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- Was ist das Besondere an einem Stammbruch? - Wie oft passt der Teil \(\frac{1}{10}\) in das Ganze \(\frac{3}{10}\)? - Kannst du \(\frac{3}{10}\) in zwei Brüche aufteilen, von denen sich einer kürzen lässt?

1. Identifikation des Zählers: Der Zähler \(3\) gibt an, wie oft der Stammbruch \(\frac{1}{10}\) addiert werden muss, um \(\frac{3}{10}\) zu erhalten: \(\frac{1}{10} + \frac{1}{10} + \frac{1}{10} = \frac{3}{10}\). 2. Zerlegung in verschiedene Stammbrüche: Da \(\frac{3}{10} = \frac{2}{10} + \frac{1}{10}\) gilt und der Bruch \(\frac{2}{10}\) zu \(\frac{1}{5}\) gekürzt werden kann, ergibt sich die Darstellung \(\frac{1}{5} + \frac{1}{10} = \frac{3}{10}\).

a) \(\frac{1}{10} + \frac{1}{10} + \frac{1}{10}\) b) \(\frac{1}{5} + \frac{1}{10}\)

- Welcher Stammbruch ist etwas kleiner als der gesuchte Bruch? - Was bleibt übrig, wenn du diesen Stammbruch vom ursprünglichen Bruch abziehst? - Kannst du den Rest als einen weiteren Stammbruch erkennen?

1. Suche einen Stammbruch, der kleiner ist als \(\frac{3}{4}\), zum Beispiel \(\frac{1}{2}\). 2. Berechne die Differenz: \(\frac{3}{4} - \frac{1}{2} = \frac{3}{4} - \frac{2}{4} = \frac{1}{4}\). 3. Da das Ergebnis \(\frac{1}{4}\) ebenfalls ein Stammbruch ist und sich von \(\frac{1}{2}\) unterscheidet, lautet die Summe: \(\frac{3}{4} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4}\).

\(\frac{3}{4} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4}\)

- Erinnere dich, wie man Brüche mit gleichem Nenner addiert. - Suche nach Zahlen, die Teiler von \(12\) sind und zusammen \(5\) ergeben. - Vergiss nicht zu kürzen, um echte Stammbrüche zu erhalten.

1. Zerlegung in gleiche Stammbrüche: Der Zähler \(5\) bestimmt die Anzahl der Summanden. Es gilt \(\frac{5}{12} = \frac{1}{12} + \frac{1}{12} + \frac{1}{12} + \frac{1}{12} + \frac{1}{12}\). 2. Suche nach verschiedenen Stammbrüchen: Es werden Teiler des Nenners \(12\) gesucht, deren Summe den Zähler \(5\) ergibt. Die Teiler von \(12\) sind \(1, 2, 3, 4, 6, 12\). 3. Möglichkeit 1: Die Summe \(2 + 3 = 5\) führt zu \(\frac{2}{12} + \frac{3}{12}\). Gekürzt ergibt dies \(\frac{1}{6} + \frac{1}{4}\). Rechnung: \(\frac{1}{6} + \frac{1}{4} = \frac{2}{12} + \frac{3}{12} = \frac{5}{12}\). 4. Möglichkeit 2: Die Summe \(1 + 4 = 5\) führt zu \(\frac{1}{12} + \frac{4}{12}\). Gekürzt ergibt dies \(\frac{1}{12} + \frac{1}{3}\). Rechnung: \(\frac{1}{12} + \frac{1}{3} = \frac{1}{12} + \frac{4}{12} = \frac{5}{12}\).

a) \(\frac{1}{12} + \frac{1}{12} + \frac{1}{12} + \frac{1}{12} + \frac{1}{12}\) b) Zum Beispiel \(\frac{1}{4} + \frac{1}{6}\) oder \(\frac{1}{3} + \frac{1}{12}\).

- Was zeichnet einen Stammbruch aus? - Was musst du tun, bevor du Brüche mit verschiedenen Nennern addierst? - Schau dir die Teiler des Nenners 6 an.

1. Ein Stammbruch hat die Form \(\frac{1}{n}\). 2. Suche zwei Brüche \(\frac{1}{a}\) und \(\frac{1}{b}\), deren Summe \(\frac{5}{6}\) ergibt. 3. Durch Probieren oder Überlegen der Teiler von 6 findet man \(\frac{1}{2} + \frac{1}{3}\). 4. Rechnung: \(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}\).

\(\frac{5}{6} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3}\)

- Was musst du tun, um Brüche mit unterschiedlichen Nennern voneinander abziehen zu können? - Wie hängen die Zahlen 5, 6 und das gesuchte \(x\) zusammen? - Kannst du die Gleichung so umstellen, dass der unbekannte Teil alleine auf einer Seite steht?

1. Um \(x\) zu finden, wird die Gleichung nach \(\frac{1}{x}\) umgestellt: \(\frac{1}{x} = \frac{1}{5} - \frac{1}{6}\). 2. Subtraktion der Brüche durch Bildung des Hauptnenners \(30\): \(\frac{1}{5} - \frac{1}{6} = \frac{6}{30} - \frac{5}{30} = \frac{1}{30}\). 3. Durch Vergleich ergibt sich \(x = 30\). 4. Überprüfung der Summe: \(\frac{1}{6} + \frac{1}{30} = \frac{5}{30} + \frac{1}{30} = \frac{6}{30}\). 5. Kürzen des Ergebnisses: \(\frac{6}{30} = \frac{1}{5}\).

\(x = 30\). Die Rechnung lautet: \(\frac{1}{6} + \frac{1}{30} = \frac{5}{30} + \frac{1}{30} = \frac{6}{30} = \frac{1}{5}\).

- Probiere, den Bruch von einer größeren Zahl (wie \(\frac{1}{3}\) oder \(\frac{1}{4}\)) abzuziehen und schaue, was übrig bleibt. - Kannst du den verbleibenden Rest vielleicht noch einmal aufteilen? - Achte darauf, dass in deiner Summe kein Nenner doppelt vorkommt.

1. Für zwei Stammbrüche: Suche den größten Stammbruch kleiner als \(\frac{2}{5}\). Da \(\frac{1}{2} = 0{,}5\) und \(\frac{1}{3} \approx 0{,}33\), passt \(\frac{1}{3}\). Rechnung: \(\frac{2}{5} - \frac{1}{3} = \frac{6}{15} - \frac{5}{15} = \frac{1}{15}\). Also \(\frac{2}{5} = \frac{1}{3} + \frac{1}{15}\). 2. Für drei Stammbrüche: Wähle einen kleineren ersten Stammbruch, z. B. \(\frac{1}{4}\). Rechnung: \(\frac{2}{5} - \frac{1}{4} = \frac{8}{20} - \frac{5}{20} = \frac{3}{20}\). Zerlege \(\frac{3}{20}\) weiter in \(\frac{2}{20} + \frac{1}{20}\), also \(\frac{1}{10} + \frac{1}{20}\). Die Gesamtsumme ist \(\frac{2}{5} = \frac{1}{4} + \frac{1}{10} + \frac{1}{20}\).

Mögliche Lösungen: 1. \(\frac{2}{5} = \frac{1}{3} + \frac{1}{15}\) 2. \(\frac{2}{5} = \frac{1}{4} + \frac{1}{10} + \frac{1}{20}\)

- Wie findet man einen gemeinsamen Nenner für \(2\) und \(6\)? - Überlege dir ein einfaches Rezept: Was musst du tun, um \(\frac{7}{8}\) mit gleichen Stammbrüchen zu schreiben? Ist das schwieriger als mit verschiedenen?

1. Berechnung der Summe: Der Hauptnenner von \(2\) und \(6\) ist \(6\). Erweitern von \(\frac{1}{2}\) mit \(3\) ergibt \(\frac{3}{6}\). Die Addition lautet \(\frac{3}{6} + \frac{1}{6} = \frac{4}{6}\). Kürzen des Ergebnisses mit \(2\) führt zu \(\frac{2}{3}\). 2. Begründung der Einfachheit: Bei gleichen Stammbrüchen muss man lediglich den Nenner des ursprünglichen Bruchs beibehalten und den Stammbruch so oft addieren, wie der Zähler angibt (hier \(2\)-mal \(\frac{1}{3}\)). Dies erfordert keine Suche nach passenden Teilern oder das Bilden eines Hauptnenners, wie es bei verschiedenen Stammbrüchen notwendig ist.

1. \(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} + \frac{1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\). 2. Es ist einfacher, weil man den Stammbruch mit dem vorhandenen Nenner einfach so oft aufschreibt, wie der Zähler angibt. Man muss nicht erst mühsam nach passenden Teilern oder Kombinationen suchen.

- Erinnere dich: Ein Stammbruch hat immer die 1 im Zähler. - Für die Summe: Erweitere den Bruch so, dass du den neuen Zähler in Teiler des neuen Nenners zerlegen kannst. - Für die Differenz: Welcher Stammbruch ist nur ein kleines bisschen größer als dein Zielbruch?

1. Teil a): Erweitere \(\frac{2}{5}\) auf den Nenner 15: \(\frac{2}{5} = \frac{6}{15}\). Zerlege den Zähler 6 als \(5 + 1\). Dann gilt \(\frac{6}{15} = \frac{5}{15} + \frac{1}{15} = \frac{1}{3} + \frac{1}{15}\). 2. Teil b): Suche einen Stammbruch, der etwas größer ist als \(\frac{2}{5} = 0{,}4\). Der Stammbruch \(\frac{1}{2} = 0{,}5\) ist geeignet. 3. Berechne die Differenz: \(\frac{1}{2} - \frac{2}{5} = \frac{5}{10} - \frac{4}{10} = \frac{1}{10}\). 4. Stelle die Gleichung um: \(\frac{2}{5} = \frac{1}{2} - \frac{1}{10}\).

a) \(\frac{2}{5} = \frac{1}{3} + \frac{1}{15}\) b) \(\frac{2}{5} = \frac{1}{2} - \frac{1}{10}\)

- Wie addiert man Brüche mit unterschiedlichen Nennern? - Was ist das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner? - Vergiss nicht, dein Ergebnis am Ende zu kürzen, um es mit dem Zielwert zu vergleichen.

1. Überprüfung Teil a): Gemeinsamer Nenner von \(\frac{1}{5}\) und \(\frac{1}{45}\) ist \(45\). Rechnung: \(\frac{9}{45} + \frac{1}{45} = \frac{10}{45}\). Durch Kürzen mit \(5\) erhält man \(\frac{2}{9}\). 2. Überprüfung Teil b): Gemeinsamer Nenner von \(\frac{1}{9}\), \(\frac{1}{10}\) und \(\frac{1}{90}\) ist \(90\). Rechnung: \(\frac{10}{90} + \frac{9}{90} + \frac{1}{90} = \frac{20}{90}\). Durch Kürzen mit \(10\) erhält man \(\frac{2}{9}\).

Beide Rechnungen sind korrekt: a) \(\frac{9}{45} + \frac{1}{45} = \frac{10}{45} = \frac{2}{9}\) b) \(\frac{10}{90} + \frac{9}{90} + \frac{1}{90} = \frac{20}{90} = \frac{2}{9}\)

- Kannst du den Zähler 7 in eine Summe von Zahlen zerlegen, die Teiler von 12 sind? - Wenn du bereits zwei Brüche gefunden hast, kannst du einen davon vielleicht noch einmal aufteilen? - Erinnere dich daran, wie man Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringt.

1. Teil a: Suche zwei Stammbrüche \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{7}{12}\). Mögliche Lösungen sind \(\frac{1}{3} + \frac{1}{4}\) (da \(\frac{4+3}{12} = \frac{7}{12}\)) oder \(\frac{1}{2} + \frac{1}{12}\) (da \(\frac{6+1}{12} = \frac{7}{12}\)). 2. Teil b: Zerlege einen der Stammbrüche aus Teil a weiter oder suche direkt drei Brüche. Zum Beispiel: \(\frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12}\). 3. Überprüfung: \(\frac{4}{12} + \frac{2}{12} + \frac{1}{12} = \frac{7}{12}\).

a) Zum Beispiel: \(\frac{1}{3} + \frac{1}{4}\) oder \(\frac{1}{2} + \frac{1}{12}\) b) Zum Beispiel: \(\frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12}\)

- Probiere systematisch Stammbrüche aus, die etwas kleiner als \(\frac{1}{4}\) sind. - Wenn du einen Teil der Summe festlegst, wie kannst du dann den fehlenden Teil berechnen? - Denk daran, dass die beiden Nenner in deiner Lösung unterschiedlich sein müssen.

1. Suche nach Paaren \((a, b)\) mit \(a < b\), sodass \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{4}\). Da die Brüche kleiner als \(\frac{1}{4}\) sein müssen, müssen \(a\) und \(b\) größer als \(4\) sein. 2. Erste Möglichkeit: Wähle \(a = 5\). Dann ist \(\frac{1}{b} = \frac{1}{4} - \frac{1}{5} = \frac{5-4}{20} = \frac{1}{20}\). Also \(a=5, b=20\). 3. Zweite Möglichkeit: Wähle \(a = 6\). Dann ist \(\frac{1}{b} = \frac{1}{4} - \frac{1}{6} = \frac{3-2}{12} = \frac{1}{12}\). Also \(a=6, b=12\). 4. Nachweis 1: \(\frac{1}{5} + \frac{1}{20} = \frac{4}{20} + \frac{1}{20} = \frac{5}{20} = \frac{1}{4}\). 5. Nachweis 2: \(\frac{1}{6} + \frac{1}{12} = \frac{2}{12} + \frac{1}{12} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}\).

Die beiden Möglichkeiten sind: 1. \(\frac{1}{4} = \frac{1}{5} + \frac{1}{20}\) 2. \(\frac{1}{4} = \frac{1}{6} + \frac{1}{12}\)

- Schau dir an, wie man aus der \(3\) eine \(2\), aus der \(5\) eine \(3\) und aus der \(7\) eine \(4\) macht. Welche Rechenoperation hilft hier? - Wenn du den ersten Stammbruch gefunden hast, wie kannst du den Rest berechnen? - Fällt dir eine Beziehung zwischen dem ursprünglichen Nenner und dem Nenner des zweiten Stammbruchs auf?

1. Analyse des Musters für den ersten Nenner: Bei \(\frac{2}{3}\) ist er \(2\) (was \((3+1):2\) entspricht), bei \(\frac{2}{5}\) ist er \(3\) (\((5+1):2\)), bei \(\frac{2}{7}\) ist er \(4\) (\((7+1):2\)). Der erste Nenner ist also immer die Hälfte des um \(1\) erhöhten ursprünglichen Nenners. 2. Berechnung für \(\frac{2}{9}\): Erster Nenner ist \((9+1):2 = 5\). Zweiter Stammbruch durch Subtraktion: \(\frac{2}{9} - \frac{1}{5} = \frac{10}{45} - \frac{9}{45} = \frac{1}{45}\). Ergebnis: \(\frac{1}{5} + \frac{1}{45}\). 3. Berechnung für \(\frac{2}{13}\): Erster Nenner ist \((13+1):2 = 7\). Zweiter Stammbruch durch Subtraktion: \(\frac{2}{13} - \frac{1}{7} = \frac{14}{91} - \frac{13}{91} = \frac{1}{91}\). Ergebnis: \(\frac{1}{7} + \frac{1}{91}\).

a) Der Nenner des ersten Stammbruchs ergibt sich, indem man zum Nenner des Ausgangsbruchs \(1\) addiert und das Ergebnis durch \(2\) teilt. b) \(\frac{2}{9} = \frac{1}{5} + \frac{1}{45}\) und \(\frac{2}{13} = \frac{1}{7} + \frac{1}{91}\).

- Um Brüche zu addieren, musst du sie zuerst auf einen gemeinsamen Nenner bringen. - Was ist das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner in jeder Teilaufgabe? - Vergiss nicht, das Ergebnis am Ende so weit wie möglich zu kürzen, um es mit \(\frac{2}{3}\) vergleichen zu können.

1. Überprüfung von A: Bestimmung des Hauptnenners 6. \(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} + \frac{1}{6} = \frac{4}{6}\). Kürzen durch 2 ergibt \(\frac{2}{3}\). (Richtig) 2. Überprüfung von B: Bestimmung des Hauptnenners 12. \(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{12} = \frac{6}{12} + \frac{3}{12} + \frac{1}{12} = \frac{10}{12}\). Kürzen durch 2 ergibt \(\frac{5}{6}\). (Falsch) 3. Überprüfung von C: Bestimmung des Hauptnenners 30. \(\frac{1}{2} + \frac{1}{10} + \frac{1}{15} = \frac{15}{30} + \frac{3}{30} + \frac{2}{30} = \frac{20}{30}\). Kürzen durch 10 ergibt \(\frac{2}{3}\). (Richtig)

Die Summen A und C sind gleich \(\frac{2}{3}\).

- Für die Summe: Was passiert, wenn du immer den größtmöglichen Stammbruch abziehst? - Für die Differenz: Welcher Stammbruch liegt ganz knapp oberhalb von \(\frac{3}{7}\)? - Überlege dir, welche der beiden Rechnungen für dich einfacher im Kopf oder auf dem Papier durchzuführen war.

1. Teil a: Suche Stammbrüche. \(\frac{3}{7} - \frac{1}{3} = \frac{9}{21} - \frac{7}{21} = \frac{2}{21}\). Dann \(\frac{2}{21} - \frac{1}{11} = \frac{22}{231} - \frac{21}{231} = \frac{1}{231}\). Eine mögliche Summe ist \(\frac{1}{3} + \frac{1}{11} + \frac{1}{231}\). 2. Teil b: Suche einen Stammbruch, der etwas größer ist als \(\frac{3}{7}\). Da \(\frac{3}{7} \approx 0{,}428\), ist \(\frac{1}{2} = 0{,}5\) geeignet. Berechnung: \(\frac{1}{2} - \frac{3}{7} = \frac{7}{14} - \frac{6}{14} = \frac{1}{14}\). Also gilt \(\frac{3}{7} = \frac{1}{2} - \frac{1}{14}\). 3. Teil c: Die Darstellung mit Subtraktion benötigt weniger Terme (nur zwei statt drei) und die Nenner sind deutlich kleiner und handlicher.

a) Zum Beispiel \(\frac{3}{7} = \frac{1}{3} + \frac{1}{11} + \frac{1}{231}\) b) \(\frac{3}{7} = \frac{1}{2} - \frac{1}{14}\) c) Die Darstellung mit Subtraktion ist kürzer und verwendet kleinere Nenner.

- Wenn du eine Differenz suchst, die einen bestimmten Wert ergibt, fange mit einem Wert an, der knapp größer ist. - Was passiert, wenn du zwei Brüche mit verschiedenen Nennern subtrahierst? Wie findest du den Hauptnenner? - Kannst du ein Muster bei den Nennern in Teil a) erkennen, das dir bei Teil b) hilft?

1. Teil a): Nutze die Idee, einen etwas größeren Stammbruch zu wählen. Für \(\frac{1}{6}\) ist \(\frac{1}{5}\) der nächstgrößere Stammbruch. 2. Differenz berechnen: \(\frac{1}{5} - \frac{1}{6} = \frac{6}{30} - \frac{5}{30} = \frac{1}{30}\). Also \(\frac{1}{6} = \frac{1}{5} - \frac{1}{30}\). 3. Teil b): Setze \(n = 10\) in den ersten Teil der Formel ein: \(\frac{1}{10} = \frac{1}{9} - \frac{1}{x}\). 4. Um \(x\) zu finden, berechne \(\frac{1}{9} - \frac{1}{10} = \frac{10}{90} - \frac{9}{90} = \frac{1}{90}\). 5. Daraus folgt \(x = 90\). 6. Probe: \(\frac{1}{9} - \frac{1}{90} = \frac{10}{90} - \frac{1}{90} = \frac{9}{90} = \frac{1}{10}\). Das Ergebnis ist korrekt.

a) \(\frac{1}{6} = \frac{1}{5} - \frac{1}{30}\) b) \(x = 90\). Die Rechnung lautet: \(\frac{1}{9} - \frac{1}{90} = \frac{10}{90} - \frac{1}{90} = \frac{9}{90} = \frac{1}{10}\).

- Setze für \(n\) einfach die Zahl \(5\) in die gegebene Formel ein. - Was passiert, wenn du einen Teil einer Summe durch etwas Gleichwertiges austauschst? - Achte darauf, dass am Ende drei verschiedene Brüche in der Summe stehen.

1. Anwendung der Formel für \(n=5\): Der erste neue Nenner ist \(5+1=6\), der zweite ist \(5 \cdot 6 = 30\). Somit gilt \(\frac{1}{5} = \frac{1}{6} + \frac{1}{30}\). 2. Ersetzung in der Summe: \(\frac{2}{5} = \frac{1}{5} + \frac{1}{5} = \frac{1}{5} + (\frac{1}{6} + \frac{1}{30})\). Die resultierende Summe aus drei verschiedenen Stammbrüchen ist \(\frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{30}\).

a) \(\frac{1}{5} = \frac{1}{6} + \frac{1}{30}\) b) \(\frac{2}{5} = \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{30}\)

- Was passiert, wenn du einen Kuchen in drei Teile schneidest und zwei davon nimmst? Wie lässt sich das als Summe schreiben? - Kannst du einen Teil deiner ersten Lösung durch etwas Gleichwertiges ersetzen, das im Text gegeben ist? - Achte darauf, dass in der zweiten Lösung alle Nenner unterschiedlich sein müssen.

1. Darstellung als Summe von zwei gleichen Stammbrüchen: Da \(\frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\), ist die Lösung \(\frac{1}{3} + \frac{1}{3}\). 2. Darstellung als Summe von drei verschiedenen Stammbrüchen: Man ersetzt einen der Brüche \(\frac{1}{3}\) durch die gegebene Zerlegung \(\frac{1}{3} = \frac{1}{4} + \frac{1}{12}\). Damit ergibt sich \(\frac{2}{3} = \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{12}\). Alle drei Stammbrüche sind verschieden.

1. \(\frac{2}{3} = \frac{1}{3} + \frac{1}{3}\) 2. \(\frac{2}{3} = \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{12}\)

- Addiere die Brüche, indem du sie auf einen gemeinsamen Nenner bringst. - Vergleiche die Größe der ersten Brüche in beiden Summen. - Welcher Stammbruch liegt am nächsten an \(\frac{3}{10}\), ohne ihn zu überschreiten? - Wandle die Brüche zum Vergleich eventuell in Dezimalzahlen um.

1. Überprüfung von A: \(\frac{1}{4} + \frac{1}{20} = \frac{5}{20} + \frac{1}{20} = \frac{6}{20}\). Kürzen mit \(2\) ergibt \(\frac{3}{10}\). Korrekt. 2. Überprüfung von B: \(\frac{1}{5} + \frac{1}{10} = \frac{2}{10} + \frac{1}{10} = \frac{3}{10}\). Korrekt. 3. Vergleich der Startbrüche: In A ist der erste Bruch \(\frac{1}{4} = 0{,}25\). In B ist der erste Bruch \(\frac{1}{5} = 0{,}2\). 4. Prüfung auf „gierig“: Der nächstgrößere Stammbruch nach \(\frac{1}{4}\) wäre \(\frac{1}{3} \approx 0{,}333\). Da \(\frac{1}{3} > \frac{3}{10} = 0{,}3\), ist \(\frac{1}{4}\) tatsächlich der größte Stammbruch, der kleiner als \(\frac{3}{10}\) ist. 5. Ergebnis: Möglichkeit A ist die gierige Zerlegung, da \(\frac{1}{4} > \frac{1}{5}\).

a) Beide Rechnungen sind korrekt, da \(\frac{5+1}{20} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}\) und \(\frac{2+1}{10} = \frac{3}{10}\). b) Möglichkeit A ist die gierige Zerlegung, da \(\frac{1}{4}\) größer ist als \(\frac{1}{5}\) und der größte Stammbruch ist, der noch kleiner als \(\frac{3}{10}\) ist (\(\frac{1}{3}\) wäre bereits zu groß).

- Wie oft passt die \(3\) in die \(14\)? Das hilft dir, den ersten Stammbruch zu finden. - Bringe die Brüche beim Subtrahieren auf den Hauptnenner (hier \(70\)). - Überprüfe am Ende, ob dein Ergebnis im Zähler eine \(1\) hat.

1. Um den größten Stammbruch \(\frac{1}{k} < \frac{3}{14}\) zu finden, berechnen wir \(14 : 3 \approx 4{,}66\). Der kleinste ganzzahlige Nenner \(k\), für den der Stammbruch kleiner als das Original ist, muss also \(5\) sein. Somit ist \(\frac{1}{5}\) der größte passende Stammbruch. 2. Berechnung des Rests: \(\frac{3}{14} - \frac{1}{5} = \frac{3 \cdot 5}{14 \cdot 5} - \frac{1 \cdot 14}{5 \cdot 14} = \frac{15}{70} - \frac{14}{70} = \frac{1}{70}\). 3. Da \(\frac{1}{70}\) ein Stammbruch ist, lautet die Zerlegung: \(\frac{3}{14} = \frac{1}{5} + \frac{1}{70}\).

\(\frac{3}{14} = \frac{1}{5} + \frac{1}{70}\)

- Was passiert, wenn du in der Formel für \(n\) einfach die Zahl des Nenners einsetzt? - Wenn du ein Ganzes in zwei Teile teilst, kannst du dann einen dieser Teile nochmals teilen? - Achte darauf, dass am Ende drei Brüche mit dem Zähler 1 in einer Additionskette stehen.

1. Teil a): Setze \(n = 10\) in die Formel ein. 2. Berechnung: \(\frac{1}{10} = \frac{1}{10+1} + \frac{1}{10 \cdot (10+1)} = \frac{1}{11} + \frac{1}{110}\). 3. Teil b): Wende die Regel zuerst auf \(\frac{1}{3}\) an (\(n=3\)): \(\frac{1}{3} = \frac{1}{4} + \frac{1}{12}\). 4. Wende die Regel nun auf einen der neuen Brüche an, zum Beispiel auf \(\frac{1}{12}\) (\(n=12\)): \(\frac{1}{12} = \frac{1}{13} + \frac{1}{12 \cdot 13} = \frac{1}{13} + \frac{1}{156}\). 5. Setze dies in die erste Zerlegung ein: \(\frac{1}{3} = \frac{1}{4} + \frac{1}{13} + \frac{1}{156}\). 6. Alternativ kann man \(\frac{1}{4}\) zerlegen: \(\frac{1}{4} = \frac{1}{5} + \frac{1}{20}\). Dann folgt: \(\frac{1}{3} = \frac{1}{5} + \frac{1}{20} + \frac{1}{12}\).

a) \(\frac{1}{10} = \frac{1}{11} + \frac{1}{110}\) b) Eine mögliche Lösung ist \(\frac{1}{3} = \frac{1}{4} + \frac{1}{13} + \frac{1}{156}\) (oder auch \(\frac{1}{3} = \frac{1}{5} + \frac{1}{20} + \frac{1}{12}\)).

- Wie kannst du schnell prüfen, ob ein Stammbruch wie \(\frac{1}{3}\) kleiner ist als ein Bruch wie \(\frac{3}{10}\)? - Denk daran, bei jeder Subtraktion die Brüche zuerst auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen. - Was bedeutet „gierig“ in diesem Zusammenhang? Es bedeutet, so viel wie möglich auf einmal wegzunehmen.

1. Bestimmung des ersten Stammbruchs für \(\frac{4}{5}\): Da \(\frac{1}{1} > \frac{4}{5}\) und \(\frac{1}{2} < \frac{4}{5}\), ist \(\frac{1}{2}\) der größte Stammbruch. 2. Erster Rest: \(\frac{4}{5} - \frac{1}{2} = \frac{8}{10} - \frac{5}{10} = \frac{3}{10}\). 3. Bestimmung des zweiten Stammbruchs für \(\frac{3}{10}\): \(\frac{1}{3} = \frac{10}{30} > \frac{9}{30} = \frac{3}{10}\), also zu groß. \(\frac{1}{4} = \frac{5}{20} < \frac{6}{20} = \frac{3}{10}\). Somit ist \(\frac{1}{4}\) der größte passende Stammbruch. 4. Zweiter Rest: \(\frac{3}{10} - \frac{1}{4} = \frac{6}{20} - \frac{5}{20} = \frac{1}{20}\). 5. Da der Rest \(\frac{1}{20}\) bereits ein Stammbruch ist, bricht das Verfahren ab. 6. Endergebnis: \(\frac{4}{5} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{20}\).

Die Zerlegung lautet: \(\frac{4}{5} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{20}\).

- Was ist der größte Stammbruch (Zähler 1), der gerade noch in \(\frac{3}{4}\) passt? - Wenn du diesen größten Teil abgezogen hast, wie viel bleibt vom ursprünglichen Bruch noch übrig? - Kannst du den Rest nun in zwei weitere, noch kleinere Stammbrüche aufteilen? - Achte darauf, dass alle drei Nenner unterschiedlich sein müssen.

1. Auswahl des größten Stammbruchs, der kleiner als \(\frac{3}{4}\) ist: \(\frac{1}{2}\). 2. Berechnung des verbleibenden Rests: \(\frac{3}{4} - \frac{1}{2} = \frac{3}{4} - \frac{2}{4} = \frac{1}{4}\). 3. Zerlegung des Rests \(\frac{1}{4}\) in zwei weitere unterschiedliche Stammbrüche. Da \(\frac{1}{4} = \frac{1}{5} + \frac{1}{x}\) sein soll, berechne \(\frac{1}{4} - \frac{1}{5} = \frac{5}{20} - \frac{4}{20} = \frac{1}{20}\). Somit ist \(x = 20\). 4. Die Summe der drei verschiedenen Stammbrüche lautet: \(\frac{1}{2} + \frac{1}{5} + \frac{1}{20}\). Alternative Lösung: Da \(\frac{1}{4} = \frac{1}{6} + \frac{1}{12}\), ist auch \(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12}\) korrekt.

\(\frac{1}{2} + \frac{1}{5} + \frac{1}{20}\) (oder auch \(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12}\))