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- Was ist das Besondere an einem Stammbruch? - Wie oft passt \(\frac{1}{10}\) in \(\frac{3}{10}\)? - Kannst du \(\frac{3}{10}\) in zwei Brüche aufteilen, von denen sich einer kürzen lässt?

1. Identifikation des Zählers: Der Zähler \(3\) gibt an, wie oft der Stammbruch \(\frac{1}{10}\) addiert werden muss, um \(\frac{3}{10}\) zu erhalten: \(\frac{1}{10} + \frac{1}{10} + \frac{1}{10} = \frac{3}{10}\). 2. Zerlegung in verschiedene Stammbrüche: Da \(\frac{3}{10} = \frac{2}{10} + \frac{1}{10}\) gilt und der Bruch \(\frac{2}{10}\) zu \(\frac{1}{5}\) gekürzt werden kann, ergibt sich die Darstellung \(\frac{1}{5} + \frac{1}{10} = \frac{3}{10}\).

a) \(\frac{1}{10} + \frac{1}{10} + \frac{1}{10}\) b) \(\frac{1}{5} + \frac{1}{10}\)

- Zähle zuerst, in wie viele gleich große Teile das Ganze unterteilt wurde. Dies ist dein Nenner. - Zähle dann, wie viele dieser Teile gefärbt sind. Dies ist dein Zähler. - Überlege dir beim Aufschreiben in Worten, welche Endung die Zahl im Nenner bekommt (meist „-tel“).

1. Bestimmung des Anteils für Figur a): Die Kreisscheibe ist in 8 gleich große Teile unterteilt, von denen 3 gefärbt sind. Das entspricht dem Bruch \(\frac{3}{8}\). In Worten: drei Achtel. 2. Bestimmung des Anteils für Figur b): Der Balken besteht aus 5 gleich großen Abschnitten, von denen 2 gefärbt sind. Dies ist der Bruch \(\frac{2}{5}\). In Worten: zwei Fünftel. 3. Bestimmung des Anteils für Figur c): Die Gruppe besteht aus insgesamt 12 Elementen, von denen 7 gefärbt sind. Der Anteil ist \(\frac{7}{12}\). In Worten: sieben Zwölftel.

a) \(\frac{3}{8}\); drei Achtel b) \(\frac{2}{5}\); zwei Fünftel c) \(\frac{7}{12}\); sieben Zwölftel

- Welcher Stammbruch ist etwas kleiner als der gesuchte Bruch? - Was bleibt übrig, wenn du diesen Stammbruch vom ursprünglichen Bruch abziehst? - Kannst du den Rest als einen weiteren Stammbruch erkennen?

1. Suche einen Stammbruch, der kleiner ist als \(\frac{3}{4}\), zum Beispiel \(\frac{1}{2}\). 2. Berechne die Differenz: \(\frac{3}{4} - \frac{1}{2} = \frac{3}{4} - \frac{2}{4} = \frac{1}{4}\). 3. Da das Ergebnis \(\frac{1}{4}\) ebenfalls ein Stammbruch ist und sich von \(\frac{1}{2}\) unterscheidet, lautet die Summe: \(\frac{3}{4} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4}\).

\(\frac{3}{4} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4}\)

- Erinnere dich, wie man Brüche mit gleichem Nenner addiert. - Suche nach Zahlen, die Teiler von \(12\) sind und zusammen \(5\) ergeben. - Vergiss nicht zu kürzen, um echte Stammbrüche zu erhalten.

1. Zerlegung in gleiche Stammbrüche: Der Zähler \(5\) bestimmt die Anzahl der Summanden. Es gilt \(\frac{5}{12} = \frac{1}{12} + \frac{1}{12} + \frac{1}{12} + \frac{1}{12} + \frac{1}{12}\). 2. Suche nach verschiedenen Stammbrüchen: Es werden Teiler des Nenners \(12\) gesucht, deren Summe den Zähler \(5\) ergibt. Die Teiler von \(12\) sind \(1, 2, 3, 4, 6, 12\). 3. Möglichkeit 1: Die Summe \(2 + 3 = 5\) führt zu \(\frac{2}{12} + \frac{3}{12}\). Gekürzt ergibt dies \(\frac{1}{6} + \frac{1}{4}\). Rechnung: \(\frac{1}{6} + \frac{1}{4} = \frac{2}{12} + \frac{3}{12} = \frac{5}{12}\). 4. Möglichkeit 2: Die Summe \(1 + 4 = 5\) führt zu \(\frac{1}{12} + \frac{4}{12}\). Gekürzt ergibt dies \(\frac{1}{12} + \frac{1}{3}\). Rechnung: \(\frac{1}{12} + \frac{1}{3} = \frac{1}{12} + \frac{4}{12} = \frac{5}{12}\).

a) \(\frac{1}{12} + \frac{1}{12} + \frac{1}{12} + \frac{1}{12} + \frac{1}{12}\) b) Zum Beispiel \(\frac{1}{4} + \frac{1}{6}\) oder \(\frac{1}{3} + \frac{1}{12}\).

- Was zeichnet einen Stammbruch aus? - Was musst du tun, bevor du Brüche mit verschiedenen Nennern addierst? - Schau dir die Teiler des Nenners 6 an.

1. Ein Stammbruch hat die Form \(\frac{1}{n}\). 2. Suche zwei Brüche \(\frac{1}{a}\) und \(\frac{1}{b}\), deren Summe \(\frac{5}{6}\) ergibt. 3. Durch Probieren oder Überlegen der Teiler von 6 findet man \(\frac{1}{2} + \frac{1}{3}\). 4. Rechnung: \(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}\).

\(\frac{5}{6} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3}\)

- Was musst du tun, um Brüche mit unterschiedlichen Nennern voneinander abziehen zu können? - Wie hängen die Zahlen 5, 6 und das gesuchte \(x\) zusammen? - Kannst du die Gleichung so umstellen, dass der unbekannte Teil alleine auf einer Seite steht?

1. Um \(x\) zu finden, wird die Gleichung nach \(\frac{1}{x}\) umgestellt: \(\frac{1}{x} = \frac{1}{5} - \frac{1}{6}\). 2. Subtraktion der Brüche durch Bildung des Hauptnenners \(30\): \(\frac{1}{5} - \frac{1}{6} = \frac{6}{30} - \frac{5}{30} = \frac{1}{30}\). 3. Durch Vergleich ergibt sich \(x = 30\). 4. Überprüfung der Summe: \(\frac{1}{6} + \frac{1}{30} = \frac{5}{30} + \frac{1}{30} = \frac{6}{30}\). 5. Kürzen des Ergebnisses: \(\frac{6}{30} = \frac{1}{5}\).

\(x = 30\). Die Rechnung lautet: \(\frac{1}{6} + \frac{1}{30} = \frac{5}{30} + \frac{1}{30} = \frac{6}{30} = \frac{1}{5}\).

- Zähle zuerst, in wie viele gleich große Teile die jeweilige Figur insgesamt unterteilt ist. Dies ist dein Nenner (unten im Bruch). - Zähle dann, wie viele dieser Teile farbig markiert sind. Dies ist dein Zähler (oben im Bruch). - Überlege bei jedem Bruch, ob du Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen (kürzen) kannst, um den Bruch so einfach wie möglich zu schreiben.

1. Abbildung a) zeigt einen Kreis, der in 8 gleich große Sektoren unterteilt ist. Davon sind 6 Sektoren farbig markiert. Das entspricht dem Bruch \(\frac{6}{8}\). Durch Kürzen mit 2 erhältst du \(\frac{3}{4}\). 2. Abbildung b) zeigt ein Rechteckgitter mit \(3 \cdot 5 = 15\) gleich großen Feldern. Davon sind 10 Felder farbig markiert. Das entspricht dem Bruch \(\frac{10}{15}\). Durch Kürzen mit 5 erhältst du \(\frac{2}{3}\). 3. Abbildung c) zeigt einen Balken, der in 5 gleich große Abschnitte unterteilt ist. Davon sind 2 Abschnitte farbig markiert. Das entspricht dem Bruch \(\frac{2}{5}\). Da 2 und 5 teilerfremd sind, lässt sich dieser Bruch nicht weiter kürzen.

a) \(\frac{3}{4}\) b) \(\frac{2}{3}\) c) \(\frac{2}{5}\)

- Zähle zuerst, aus wie vielen kleinen Quadraten das gesamte Rechteck besteht. - Bestimme dann die Anzahl der gefärbten Quadrate. - Überlege, wie du diese beiden Zahlen als Teil eines Ganzen aufschreiben kannst. - Prüfe am Ende, ob du den Zähler und den Nenner durch dieselbe Zahl teilen kannst, um den Bruch zu vereinfachen.

1. Bestimmung der Gesamtanzahl der Quadrate im Raster: Das Raster hat 4 Zeilen und 6 Spalten, also insgesamt \(4 \cdot 6 = 24\) Quadrate. 2. Zählen der markierten (blauen) Quadrate: In der Abbildung sind 9 Quadrate blau gefärbt. 3. Aufstellen des Anteils als Bruch: Der Anteil der blauen Fläche an der Gesamtfläche beträgt \(\frac{9}{24}\). 4. Kürzen des Bruchs: Sowohl der Zähler als auch der Nenner sind durch 3 teilbar. \(\frac{9 : 3}{24 : 3} = \frac{3}{8}\).

Der Anteil der blauen Glassteine beträgt \(\frac{3}{8}\) der Gesamtfläche.

- Welcher Sektor nimmt genau die Hälfte des Kreises ein? - Welcher Sektor ist genau halb so groß wie der größte Sektor? - Was fällt dir an der Größe der Sektoren für Mandeln und Rosinen im Vergleich zum Cashew-Sektor auf?

1. \(\frac{1}{2}\) entspricht genau dem halben Kreis. Das ist der blaue Sektor (Erdnüsse). 2. \(\frac{1}{4}\) entspricht einem Viertel des Kreises. Das ist der grüne Sektor (Cashewkerne). 3. \(\frac{1}{8}\) entspricht einem Achtel des Kreises. Da Mandeln und Rosinen jeweils \(\frac{1}{8}\) ausmachen, gehören sie zu den beiden gleich großen kleinsten Sektoren orange und rot. Welcher der beiden Sektoren für Mandeln und welcher für Rosinen steht, lässt sich aus dem Diagramm nicht entscheiden.

Erdnüsse: blau (\(\frac{1}{2}\) Kreis) Cashewkerne: grün (\(\frac{1}{4}\) Kreis) Mandeln und Rosinen: orange und rot in beliebiger Zuordnung (jeweils \(\frac{1}{8}\) Kreis)

- Zähle zuerst alle kleinen Quadrate im Gitter. - Wie viele dieser Quadrate sind farbig markiert? - Überlege, ob du den Bruch noch vereinfachen kannst, indem du Zähler und Nenner durch die gleiche Zahl teilst.

1. Bestimmung der Gesamtzahl der Quadrate: Das Gitter hat \(4\) Zeilen und \(5\) Spalten, also \(4 \cdot 5 = 20\) Quadrate. 2. Bestimmung der markierten Quadrate: In der Abbildung sind \(8\) Quadrate farbig markiert. 3. Aufstellen des Bruchs: Der Anteil ist \(\frac{8}{20}\). 4. Kürzen des Bruchs: Durch Kürzen mit \(4\) ergibt sich \(\frac{2}{5}\).

Die Erdbeeren nehmen \(\frac{2}{5}\) der Gesamtfläche ein.

- Überlege zuerst, wie viele Stücke die Torte im Ganzen hatte. - Wie viele Stücke fehlen im Vergleich zum Ganzen? - Wie stellt man einen Teil eines Ganzen mathematisch dar? - Überprüfe, ob du dein Ergebnis noch vereinfachen kannst.

1. Bestimmung der Gesamtzahl der Tortenstücke anhand der Unterteilung: \(12\). 2. Zählen der noch in der Vitrine vorhandenen (blau markierten) Stücke: \(8\). 3. Berechnung der bereits verkauften Stücke durch Subtraktion vom Ganzen: \(12 - 8 = 4\). 4. Aufstellen des Anteils der verkauften Stücke als Bruch: \(\frac{4}{12}\). 5. Kürzen des Bruchs mit dem größten gemeinsamen Teiler 4: \(\frac{4 : 4}{12 : 4} = \frac{1}{3}\).

a) \(\frac{1}{3}\) b) 4 Stücke

- Zähle zuerst, in wie viele gleich große Teile die gesamte Figur unterteilt ist. Dies ist dein Nenner. - Zähle dann, wie viele dieser Teile gefärbt sind. Dies ist dein Zähler. - Prüfe am Ende, ob du Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen kannst, um den Bruch zu vereinfachen.

1. Figur a): Ein Balken ist in 9 gleich große Teile unterteilt, von denen 4 gefärbt sind. Der Anteil ist \(\frac{4}{9}\). Dieser Bruch lässt sich nicht weiter kürzen. 2. Figur b): Das Gitter besteht aus \(4 \cdot 5 = 20\) kleinen Rechtecken. Davon sind 12 gefärbt. Der Anteil ist \(\frac{12}{20}\). Durch Kürzen mit 4 erhält man \(\frac{3}{5}\). 3. Figur c): Es sind insgesamt 18 Kreise dargestellt, von denen 6 gefärbt sind. Der Anteil ist \(\frac{6}{18}\). Durch Kürzen mit 6 erhält man \(\frac{1}{3}\).

a) \(\frac{4}{9}\) b) \(\frac{3}{5}\) c) \(\frac{1}{3}\)

- Aus wie vielen Teilen besteht der ganze Kreis? - Wie viele dieser Teile sind farbig markiert? - Kannst du Zähler und Nenner deines Bruchs durch dieselbe Zahl teilen, um ihn zu vereinfachen?

1. Zählen der gleich großen Teilstücke des Kreises: 10 Stücke insgesamt. 2. Zählen der blau gefärbten Teilstücke: 4 Stücke. 3. Aufstellen des Bruchs: \(\frac{4}{10}\). 4. Kürzen des Bruchs durch den gemeinsamen Teiler 2: \(\frac{4 : 2}{10 : 2} = \frac{2}{5}\).

Der gefärbte Anteil ist \(\frac{2}{5}\).

- Überlege dir, welche Zahl oben und welche unten im Bruch steht. - Erinnere dich daran, welche Zahl die Gesamtzahl der Teile beschreibt. - Wie viele Teile fehlen noch, um das ganze Rechteck voll zu machen?

1. Bestimmung des Bruchs für den roten Anteil: Da 5 von 12 Kästchen gefärbt sind, lautet der Bruch \(\frac{5}{12}\). 2. Identifikation der Bestandteile: Der Zähler ist 5, der Nenner ist 12. 3. Bedeutung des Nenners: Der Nenner gibt an, in wie viele gleich große Teile das Ganze (hier das Rechteck) unterteilt wurde. 4. Berechnung des nicht ausgemalten Anteils: Von 12 Kästchen sind \(12 - 5 = 7\) nicht ausgemalt. Der Anteil ist \(\frac{7}{12}\).

a) Zähler: 5; Nenner: 12 b) Der Nenner gibt an, in wie viele gleich große Teile das Rechteck unterteilt wurde (hier 12 Teile). c) Der Anteil der nicht ausgemalten Fläche beträgt \(\frac{7}{12}\).

- Probiere, den Bruch von einem geeigneten Stammbruch (wie \(\frac{1}{3}\) oder \(\frac{1}{4}\)) abzuziehen und schaue, was übrig bleibt. - Kannst du den verbleibenden Rest vielleicht noch einmal aufteilen? - Achte darauf, dass in deiner Summe kein Nenner doppelt vorkommt.

1. Für zwei Stammbrüche: Suche den größten Stammbruch kleiner als \(\frac{2}{5}\). Da \(\frac{1}{2} = 0{,}5\) und \(\frac{1}{3} \approx 0{,}33\), passt \(\frac{1}{3}\). Rechnung: \(\frac{2}{5} - \frac{1}{3} = \frac{6}{15} - \frac{5}{15} = \frac{1}{15}\). Also \(\frac{2}{5} = \frac{1}{3} + \frac{1}{15}\). 2. Für drei Stammbrüche: Wähle einen kleineren ersten Stammbruch, z. B. \(\frac{1}{4}\). Rechnung: \(\frac{2}{5} - \frac{1}{4} = \frac{8}{20} - \frac{5}{20} = \frac{3}{20}\). Zerlege \(\frac{3}{20}\) weiter in \(\frac{2}{20} + \frac{1}{20}\), also \(\frac{1}{10} + \frac{1}{20}\). Die Gesamtsumme ist \(\frac{2}{5} = \frac{1}{4} + \frac{1}{10} + \frac{1}{20}\).

Mögliche Lösungen: 1. \(\frac{2}{5} = \frac{1}{3} + \frac{1}{15}\) 2. \(\frac{2}{5} = \frac{1}{4} + \frac{1}{10} + \frac{1}{20}\)

- Wie findet man einen gemeinsamen Nenner für \(2\) und \(6\)? - Überlege dir ein einfaches Rezept: Was musst du tun, um \(\frac{7}{8}\) mit gleichen Stammbrüchen zu schreiben? Ist das schwieriger als mit verschiedenen?

1. Berechnung der Summe: Der Hauptnenner von \(2\) und \(6\) ist \(6\). Erweitern von \(\frac{1}{2}\) mit \(3\) ergibt \(\frac{3}{6}\). Die Addition lautet \(\frac{3}{6} + \frac{1}{6} = \frac{4}{6}\). Kürzen des Ergebnisses mit \(2\) führt zu \(\frac{2}{3}\). 2. Begründung der Einfachheit: Bei gleichen Stammbrüchen muss man lediglich den Nenner des ursprünglichen Bruchs beibehalten und den Stammbruch so oft addieren, wie der Zähler angibt (hier \(2\)-mal \(\frac{1}{3}\)). Dies erfordert keine Suche nach passenden Teilern oder das Bilden eines Hauptnenners, wie es bei verschiedenen Stammbrüchen notwendig ist.

1. \(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} + \frac{1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\). 2. Es ist einfacher, weil man den Stammbruch mit dem vorhandenen Nenner einfach so oft aufschreibt, wie der Zähler angibt. Man muss nicht erst mühsam nach passenden Teilern oder Kombinationen suchen.

- Wie addiert man Brüche mit unterschiedlichen Nennern? - Was ist das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner? - Vergiss nicht, dein Ergebnis am Ende zu kürzen, um es mit dem Zielwert zu vergleichen.

1. Überprüfung Teil a): Gemeinsamer Nenner von \(\frac{1}{5}\) und \(\frac{1}{45}\) ist \(45\). Rechnung: \(\frac{9}{45} + \frac{1}{45} = \frac{10}{45}\). Durch Kürzen mit \(5\) erhält man \(\frac{2}{9}\). 2. Überprüfung Teil b): Gemeinsamer Nenner von \(\frac{1}{9}\), \(\frac{1}{10}\) und \(\frac{1}{90}\) ist \(90\). Rechnung: \(\frac{10}{90} + \frac{9}{90} + \frac{1}{90} = \frac{20}{90}\). Durch Kürzen mit \(10\) erhält man \(\frac{2}{9}\).

Beide Rechnungen sind korrekt: a) \(\frac{9}{45} + \frac{1}{45} = \frac{10}{45} = \frac{2}{9}\) b) \(\frac{10}{90} + \frac{9}{90} + \frac{1}{90} = \frac{20}{90} = \frac{2}{9}\)

- Kannst du den Zähler 7 in eine Summe von Zahlen zerlegen, die Teiler von 12 sind? - Wenn du bereits zwei Brüche gefunden hast, kannst du einen davon vielleicht noch einmal aufteilen? - Erinnere dich daran, wie man Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringt.

1. Teil a: Suche zwei Stammbrüche \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{7}{12}\). Mögliche Lösungen sind \(\frac{1}{3} + \frac{1}{4}\) (da \(\frac{4+3}{12} = \frac{7}{12}\)) oder \(\frac{1}{2} + \frac{1}{12}\) (da \(\frac{6+1}{12} = \frac{7}{12}\)). 2. Teil b: Zerlege einen der Stammbrüche aus Teil a weiter oder suche direkt drei Brüche. Zum Beispiel: \(\frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12}\). 3. Überprüfung: \(\frac{4}{12} + \frac{2}{12} + \frac{1}{12} = \frac{7}{12}\).

a) Zum Beispiel: \(\frac{1}{3} + \frac{1}{4}\) oder \(\frac{1}{2} + \frac{1}{12}\) b) Zum Beispiel: \(\frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12}\)

- Probiere systematisch Stammbrüche aus, die etwas kleiner als \(\frac{1}{4}\) sind. - Wenn du einen Teil der Summe festlegst, wie kannst du dann den fehlenden Teil berechnen? - Denk daran, dass die beiden Nenner in deiner Lösung unterschiedlich sein müssen.

1. Suche nach Paaren \((a, b)\) mit \(a < b\), sodass \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{4}\). Da die Brüche kleiner als \(\frac{1}{4}\) sein müssen, müssen \(a\) und \(b\) größer als \(4\) sein. 2. Erste Möglichkeit: Wähle \(a = 5\). Dann ist \(\frac{1}{b} = \frac{1}{4} - \frac{1}{5} = \frac{5-4}{20} = \frac{1}{20}\). Also \(a=5, b=20\). 3. Zweite Möglichkeit: Wähle \(a = 6\). Dann ist \(\frac{1}{b} = \frac{1}{4} - \frac{1}{6} = \frac{3-2}{12} = \frac{1}{12}\). Also \(a=6, b=12\). 4. Nachweis 1: \(\frac{1}{5} + \frac{1}{20} = \frac{4}{20} + \frac{1}{20} = \frac{5}{20} = \frac{1}{4}\). 5. Nachweis 2: \(\frac{1}{6} + \frac{1}{12} = \frac{2}{12} + \frac{1}{12} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}\).

Die beiden Möglichkeiten sind: 1. \(\frac{1}{4} = \frac{1}{5} + \frac{1}{20}\) 2. \(\frac{1}{4} = \frac{1}{6} + \frac{1}{12}\)

- Schau dir an, wie man aus der \(3\) eine \(2\), aus der \(5\) eine \(3\) und aus der \(7\) eine \(4\) macht. Welche Rechenoperation hilft hier? - Wenn du den ersten Stammbruch gefunden hast, wie kannst du den Rest berechnen? - Fällt dir eine Beziehung zwischen dem ursprünglichen Nenner und dem Nenner des zweiten Stammbruchs auf?

1. Analyse des Musters für den ersten Nenner: Bei \(\frac{2}{3}\) ist er \(2\) (was \((3+1):2\) entspricht), bei \(\frac{2}{5}\) ist er \(3\) (\((5+1):2\)), bei \(\frac{2}{7}\) ist er \(4\) (\((7+1):2\)). Der erste Nenner ist also immer die Hälfte des um \(1\) erhöhten ursprünglichen Nenners. 2. Berechnung für \(\frac{2}{9}\): Erster Nenner ist \((9+1):2 = 5\). Zweiter Stammbruch durch Subtraktion: \(\frac{2}{9} - \frac{1}{5} = \frac{10}{45} - \frac{9}{45} = \frac{1}{45}\). Ergebnis: \(\frac{1}{5} + \frac{1}{45}\). 3. Berechnung für \(\frac{2}{13}\): Erster Nenner ist \((13+1):2 = 7\). Zweiter Stammbruch durch Subtraktion: \(\frac{2}{13} - \frac{1}{7} = \frac{14}{91} - \frac{13}{91} = \frac{1}{91}\). Ergebnis: \(\frac{1}{7} + \frac{1}{91}\).

a) Der Nenner des ersten Stammbruchs ergibt sich, indem man zum Nenner des Ausgangsbruchs \(1\) addiert und das Ergebnis durch \(2\) teilt. b) \(\frac{2}{9} = \frac{1}{5} + \frac{1}{45}\) und \(\frac{2}{13} = \frac{1}{7} + \frac{1}{91}\).

- Um Brüche zu addieren, musst du sie zuerst auf einen gemeinsamen Nenner bringen. - Was ist das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner in jeder Teilaufgabe? - Vergiss nicht, das Ergebnis am Ende so weit wie möglich zu kürzen, um es mit \(\frac{2}{3}\) vergleichen zu können.

1. Überprüfung von A: Bestimmung des Hauptnenners 6. \(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} + \frac{1}{6} = \frac{4}{6}\). Kürzen durch 2 ergibt \(\frac{2}{3}\). (Richtig) 2. Überprüfung von B: Bestimmung des Hauptnenners 12. \(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{12} = \frac{6}{12} + \frac{3}{12} + \frac{1}{12} = \frac{10}{12}\). Kürzen durch 2 ergibt \(\frac{5}{6}\). (Falsch) 3. Überprüfung von C: Bestimmung des Hauptnenners 30. \(\frac{1}{2} + \frac{1}{10} + \frac{1}{15} = \frac{15}{30} + \frac{3}{30} + \frac{2}{30} = \frac{20}{30}\). Kürzen durch 10 ergibt \(\frac{2}{3}\). (Richtig)

Die Summen A und C sind gleich \(\frac{2}{3}\).

- Für die Summe: Was passiert, wenn du immer den größtmöglichen Stammbruch abziehst? - Für die Differenz: Welcher Stammbruch liegt ganz knapp oberhalb von \(\frac{3}{7}\)? - Überlege dir, welche der beiden Rechnungen für dich einfacher im Kopf oder auf dem Papier durchzuführen war.

1. Teil a: Suche Stammbrüche. \(\frac{3}{7} - \frac{1}{3} = \frac{9}{21} - \frac{7}{21} = \frac{2}{21}\). Dann \(\frac{2}{21} - \frac{1}{11} = \frac{22}{231} - \frac{21}{231} = \frac{1}{231}\). Eine mögliche Summe ist \(\frac{1}{3} + \frac{1}{11} + \frac{1}{231}\). 2. Teil b: Suche einen Stammbruch, der etwas größer ist als \(\frac{3}{7}\). Da \(\frac{3}{7} \approx 0{,}428\), ist \(\frac{1}{2} = 0{,}5\) geeignet. Berechnung: \(\frac{1}{2} - \frac{3}{7} = \frac{7}{14} - \frac{6}{14} = \frac{1}{14}\). Also gilt \(\frac{3}{7} = \frac{1}{2} - \frac{1}{14}\). 3. Teil c: Die Darstellung mit Subtraktion benötigt weniger Terme (nur zwei statt drei) und die Nenner sind deutlich kleiner und handlicher.

a) Zum Beispiel \(\frac{3}{7} = \frac{1}{3} + \frac{1}{11} + \frac{1}{231}\) b) \(\frac{3}{7} = \frac{1}{2} - \frac{1}{14}\) c) Die Darstellung mit Subtraktion ist kürzer und verwendet kleinere Nenner.

- Wenn du eine Differenz suchst, die einen bestimmten Wert ergibt, fange mit einem Wert an, der knapp größer ist. - Was passiert, wenn du zwei Brüche mit verschiedenen Nennern subtrahierst? Wie findest du den Hauptnenner? - Kannst du ein Muster bei den Nennern in Teil a) erkennen, das dir bei Teil b) hilft?

1. Teil a): Nutze die Idee, einen etwas größeren Stammbruch zu wählen. Für \(\frac{1}{6}\) ist \(\frac{1}{5}\) der nächstgrößere Stammbruch. 2. Differenz berechnen: \(\frac{1}{5} - \frac{1}{6} = \frac{6}{30} - \frac{5}{30} = \frac{1}{30}\). Also \(\frac{1}{6} = \frac{1}{5} - \frac{1}{30}\). 3. Teil b): Setze \(n = 10\) in den ersten Teil der Formel ein: \(\frac{1}{10} = \frac{1}{9} - \frac{1}{x}\). 4. Um \(x\) zu finden, berechne \(\frac{1}{9} - \frac{1}{10} = \frac{10}{90} - \frac{9}{90} = \frac{1}{90}\). 5. Daraus folgt \(x = 90\). 6. Probe: \(\frac{1}{9} - \frac{1}{90} = \frac{10}{90} - \frac{1}{90} = \frac{9}{90} = \frac{1}{10}\). Das Ergebnis ist korrekt.

a) \(\frac{1}{6} = \frac{1}{5} - \frac{1}{30}\) b) \(x = 90\). Die Rechnung lautet: \(\frac{1}{9} - \frac{1}{90} = \frac{10}{90} - \frac{1}{90} = \frac{9}{90} = \frac{1}{10}\).

- Setze für \(n\) einfach die Zahl \(5\) in die gegebene Formel ein. - Was passiert, wenn du einen Teil einer Summe durch etwas Gleichwertiges austauschst? - Achte darauf, dass am Ende drei verschiedene Brüche in der Summe stehen.

1. Anwendung der Formel für \(n=5\): Der erste neue Nenner ist \(5+1=6\), der zweite ist \(5 \cdot 6 = 30\). Somit gilt \(\frac{1}{5} = \frac{1}{6} + \frac{1}{30}\). 2. Ersetzung in der Summe: \(\frac{2}{5} = \frac{1}{5} + \frac{1}{5} = \frac{1}{5} + (\frac{1}{6} + \frac{1}{30})\). Die resultierende Summe aus drei verschiedenen Stammbrüchen ist \(\frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{30}\).

a) \(\frac{1}{5} = \frac{1}{6} + \frac{1}{30}\) b) \(\frac{2}{5} = \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{30}\)

- Was passiert, wenn du einen Kuchen in drei gleich große Teile schneidest und zwei davon nimmst? Wie lässt sich das als Summe schreiben? - Kannst du einen Teil deiner ersten Lösung durch etwas Gleichwertiges ersetzen, das im Text gegeben ist? - Achte darauf, dass in der zweiten Lösung alle Nenner unterschiedlich sein müssen.

1. Darstellung als Summe von zwei gleichen Stammbrüchen: Da \(\frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\), ist die Lösung \(\frac{1}{3} + \frac{1}{3}\). 2. Darstellung als Summe von drei verschiedenen Stammbrüchen: Man ersetzt einen der Brüche \(\frac{1}{3}\) durch die gegebene Zerlegung \(\frac{1}{3} = \frac{1}{4} + \frac{1}{12}\). Damit ergibt sich \(\frac{2}{3} = \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{12}\). Alle drei Stammbrüche sind verschieden.

1. \(\frac{2}{3} = \frac{1}{3} + \frac{1}{3}\) 2. \(\frac{2}{3} = \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{12}\)

- Addiere die Brüche, indem du sie auf einen gemeinsamen Nenner bringst. - Vergleiche die Größe der ersten Brüche in beiden Summen. - Welcher Stammbruch liegt am nächsten an \(\frac{3}{10}\), ohne ihn zu überschreiten? - Wandle die Brüche zum Vergleich eventuell in Dezimalzahlen um.

1. Überprüfung von A: \(\frac{1}{4} + \frac{1}{20} = \frac{5}{20} + \frac{1}{20} = \frac{6}{20}\). Kürzen mit \(2\) ergibt \(\frac{3}{10}\). Korrekt. 2. Überprüfung von B: \(\frac{1}{5} + \frac{1}{10} = \frac{2}{10} + \frac{1}{10} = \frac{3}{10}\). Korrekt. 3. Vergleich der Startbrüche: In A ist der erste Bruch \(\frac{1}{4} = 0{,}25\). In B ist der erste Bruch \(\frac{1}{5} = 0{,}2\). 4. Prüfung auf „gierig“: Der nächstgrößere Stammbruch nach \(\frac{1}{4}\) wäre \(\frac{1}{3} \approx 0{,}333\). Da \(\frac{1}{3} > \frac{3}{10} = 0{,}3\), ist \(\frac{1}{4}\) tatsächlich der größte Stammbruch, der kleiner als \(\frac{3}{10}\) ist. 5. Ergebnis: Möglichkeit A ist die gierige Zerlegung, da \(\frac{1}{4} > \frac{1}{5}\).

a) Beide Rechnungen sind korrekt, da \(\frac{5+1}{20} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}\) und \(\frac{2+1}{10} = \frac{3}{10}\). b) Möglichkeit A ist die gierige Zerlegung, da \(\frac{1}{4}\) größer ist als \(\frac{1}{5}\) und der größte Stammbruch ist, der noch kleiner als \(\frac{3}{10}\) ist (\(\frac{1}{3}\) wäre bereits zu groß).

- Wie oft passt die \(3\) in die \(14\)? Das hilft dir, den ersten Stammbruch zu finden. - Bringe die Brüche beim Subtrahieren auf den Hauptnenner (hier \(70\)). - Überprüfe am Ende, ob dein Ergebnis im Zähler eine \(1\) hat.

1. Um den größten Stammbruch \(\frac{1}{k} < \frac{3}{14}\) zu finden, berechnen wir \(14 : 3 \approx 4{,}66\). Der kleinste ganzzahlige Nenner \(k\), für den der Stammbruch kleiner als das Original ist, muss also \(5\) sein. Somit ist \(\frac{1}{5}\) der größte passende Stammbruch. 2. Berechnung des Rests: \(\frac{3}{14} - \frac{1}{5} = \frac{3 \cdot 5}{14 \cdot 5} - \frac{1 \cdot 14}{5 \cdot 14} = \frac{15}{70} - \frac{14}{70} = \frac{1}{70}\). 3. Da \(\frac{1}{70}\) ein Stammbruch ist, lautet die Zerlegung: \(\frac{3}{14} = \frac{1}{5} + \frac{1}{70}\).

\(\frac{3}{14} = \frac{1}{5} + \frac{1}{70}\)

- Wie kannst du schnell prüfen, ob ein Stammbruch wie \(\frac{1}{3}\) kleiner ist als ein Bruch wie \(\frac{3}{10}\)? - Denk daran, bei jeder Subtraktion die Brüche zuerst auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen. - Was bedeutet „gierig“ in diesem Zusammenhang? Es bedeutet, so viel wie möglich auf einmal wegzunehmen.

1. Bestimmung des ersten Stammbruchs für \(\frac{4}{5}\): Da \(\frac{1}{1} > \frac{4}{5}\) und \(\frac{1}{2} < \frac{4}{5}\), ist \(\frac{1}{2}\) der größte Stammbruch. 2. Erster Rest: \(\frac{4}{5} - \frac{1}{2} = \frac{8}{10} - \frac{5}{10} = \frac{3}{10}\). 3. Bestimmung des zweiten Stammbruchs für \(\frac{3}{10}\): \(\frac{1}{3} = \frac{10}{30} > \frac{9}{30} = \frac{3}{10}\), also zu groß. \(\frac{1}{4} = \frac{5}{20} < \frac{6}{20} = \frac{3}{10}\). Somit ist \(\frac{1}{4}\) der größte passende Stammbruch. 4. Zweiter Rest: \(\frac{3}{10} - \frac{1}{4} = \frac{6}{20} - \frac{5}{20} = \frac{1}{20}\). 5. Da der Rest \(\frac{1}{20}\) bereits ein Stammbruch ist, bricht das Verfahren ab. 6. Endergebnis: \(\frac{4}{5} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{20}\).

Die Zerlegung lautet: \(\frac{4}{5} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{20}\).

- Was ist der größte Stammbruch (Zähler 1), der gerade noch in \(\frac{3}{4}\) passt? - Wenn du diesen größten Teil abgezogen hast, wie viel bleibt vom ursprünglichen Bruch noch übrig? - Kannst du den Rest nun in zwei weitere, noch kleinere Stammbrüche aufteilen? - Achte darauf, dass alle drei Nenner unterschiedlich sein müssen.

1. Auswahl des größten Stammbruchs, der kleiner als \(\frac{3}{4}\) ist: \(\frac{1}{2}\). 2. Berechnung des verbleibenden Rests: \(\frac{3}{4} - \frac{1}{2} = \frac{3}{4} - \frac{2}{4} = \frac{1}{4}\). 3. Zerlegung des Rests \(\frac{1}{4}\) in zwei weitere unterschiedliche Stammbrüche. Da \(\frac{1}{4} = \frac{1}{5} + \frac{1}{x}\) sein soll, berechne \(\frac{1}{4} - \frac{1}{5} = \frac{5}{20} - \frac{4}{20} = \frac{1}{20}\). Somit ist \(x = 20\). 4. Die Summe der drei verschiedenen Stammbrüche lautet: \(\frac{1}{2} + \frac{1}{5} + \frac{1}{20}\). Alternative Lösung: Da \(\frac{1}{4} = \frac{1}{6} + \frac{1}{12}\), ist auch \(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12}\) korrekt.

\(\frac{1}{2} + \frac{1}{5} + \frac{1}{20}\) (oder auch \(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12}\))