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- Überlege, ob Zähler und Nenner einen gemeinsamen Teiler haben. - Welche Teilbarkeitsregeln kennst du für kleine Zahlen wie 2, 3 oder 5? - Kannst du die Zahlen in ihre kleinstmöglichen Bausteine (Primfaktoren) zerlegen?

1. Faktoren von 15 und 21 prüfen: beide durch 3 teilbar (\(15 = 3 \cdot 5, 21 = 3 \cdot 7\)). 2. Faktoren von 12 und 25 prüfen: \(12 = 2 \cdot 2 \cdot 3, 25 = 5 \cdot 5\). Keine gemeinsamen Primfaktoren außer 1 vorhanden. 3. Faktoren von 35 und 42 prüfen: beide durch 7 teilbar (\(35 = 7 \cdot 5, 42 = 7 \cdot 6\)). 4. Faktoren von 24 und 45 prüfen: beide durch 3 teilbar (\(24 = 3 \cdot 8, 45 = 3 \cdot 15\)). 5. Ergebnis: Nur \(\frac{12}{25}\) ist nicht kürzbar.

b) \(\frac{12}{25}\)

- Bestimme zuerst, mit welcher Zahl der bekannte Teil des Bruchs (Zähler oder Nenner) multipliziert wurde. - Wende diesen Faktor auf den anderen Teil des Bruchs an. - Erweitern bedeutet, Zähler und Nenner mit derselben Zahl zu multiplizieren.

1. Berechnung von \(x\): Division des neuen Nenners durch den alten ergibt den Erweiterungsfaktor \(54 : 9 = 6\). Multiplikation des Zählers mit diesem Faktor: \(4 \cdot 6 = 24\). Also \(x = 24\). 2. Berechnung von \(y\): Division des neuen Zählers durch den alten ergibt den Erweiterungsfaktor \(60 : 12 = 5\). Multiplikation des Nenners mit diesem Faktor: \(17 \cdot 5 = 85\). Also \(y = 85\). 3. Berechnung von \(z\): Division des neuen Nenners durch den alten ergibt den Erweiterungsfaktor \(175 : 25 = 7\). Division des neuen Zählers durch diesen Faktor, um den ursprünglichen Zähler zu finden: \(112 : 7 = 16\). Also \(z = 16\).

a) \(x = 24\) b) \(y = 85\) c) \(z = 16\)

- Schau dir an, mit welcher Zahl der Nenner multipliziert wurde, um auf den neuen Nenner zu kommen. - Was du im Nenner machst, musst du auch im Zähler machen, damit der Wert des Bruchs gleich bleibt. - Kannst du eine kleine Nebenrechnung zur Division der Nenner machen?

1. Bestimmung des Erweiterungsfaktors für jede Teilaufgabe durch Division des neuen Nenners durch den alten Nenner. 2. a) \(20 : 5 = 4\). Multiplikation des Zählers mit 4 ergibt \(3 \cdot 4 = 12\). 3. b) \(56 : 8 = 7\). Multiplikation des Zählers mit 7 ergibt \(7 \cdot 7 = 49\). 4. c) \(39 : 13 = 3\). Multiplikation des Zählers mit 3 ergibt \(12 \cdot 3 = 36\). 5. d) \(100 : 4 = 25\). Multiplikation des Zählers mit 25 ergibt \(15 \cdot 25 = 375\).

a) 12 b) 49 c) 36 d) 375

- Suche die kleinste Zahl, die sowohl in der 10er-Reihe als auch in der 25er-Reihe vorkommt. - Wie oft passt die 10 in diese Zahl? Wie oft die 25? - Denk daran, dass du beim Erweitern Zähler und Nenner mit derselben Zahl multiplizieren musst.

1. Bestimmung des kgV von 10 und 25: Die Primfaktorzerlegungen sind \(10 = 2 \cdot 5\) und \(25 = 5^2\). Das kgV ist \(2 \cdot 5^2 = 50\). 2. Erweitern des ersten Bruchs: Um von 10 auf 50 zu kommen, muss mit 5 erweitert werden: \(\frac{3 \cdot 5}{10 \cdot 5} = \frac{15}{50}\). 3. Erweitern des zweiten Bruchs: Um von 25 auf 50 zu kommen, muss mit 2 erweitert werden: \(\frac{4 \cdot 2}{25 \cdot 2} = \frac{8}{50}\).

Der Hauptnenner ist 50. Die erweiterten Brüche lauten \(\frac{15}{50}\) und \(\frac{8}{50}\).

- Eine Zahl ist durch 6 teilbar, wenn sie gleichzeitig durch 2 und durch 3 teilbar ist. - Gehe die 6er-Reihe im Kopf durch, um Zähler und Nenner zu prüfen.

1. Prüfung von \(\frac{12}{20}\): \(12\) ist durch \(6\) teilbar, aber \(20\) nicht (\(20 : 6 = 3\) Rest \(2\)). 2. Prüfung von \(\frac{18}{30}\): \(18 = 3 \cdot 6\) und \(30 = 5 \cdot 6\). Beide sind durch \(6\) teilbar. 3. Prüfung von \(\frac{24}{32}\): \(24 = 4 \cdot 6\), aber \(32\) ist nicht durch \(6\) teilbar (\(32 : 6 = 5\) Rest \(2\)). 4. Kürzen von \(\frac{18}{30}\) mit der Zahl \(6\): \(\frac{18 : 6}{30 : 6} = \frac{3}{5}\). 5. Da \(3\) und \(5\) teilerfremd sind, ist \(\frac{3}{5}\) der vollständig gekürzte Wert.

Nur der Bruch aus b) \(\frac{18}{30}\) lässt sich mit \(6\) kürzen. Der vollständig gekürzte Wert ist \(\frac{3}{5}\).

- Wie oft passt der kleinere bekannte Zähler beziehungsweise Nenner in den größeren? - Prüfe dein Ergebnis, indem du sowohl den Zähler als auch den Nenner mit deinem gefundenen Faktor multiplizierst.

1. Zu a): Division des neuen Zählers durch den alten: \(55 : 5 = 11\). Überprüfung am Nenner: \(6 \cdot 11 = 66\). Der Faktor ist \(k = 11\). 2. Zu b): Division des neuen Zählers durch den alten: \(39 : 3 = 13\). Überprüfung am Nenner: \(14 \cdot 13 = 182\). Der Faktor ist \(k = 13\). 3. Zu c): Division des neuen Zählers durch den alten: \(120 : 8 = 15\). Überprüfung am Nenner: \(15 \cdot 15 = 225\). Der Faktor ist \(k = 15\).

a) \(k = 11\) b) \(k = 13\) c) \(k = 15\)

- Was bedeutet es, einen Bruch mit einer bestimmten Zahl zu kürzen? - Müssen beide Teile des Bruchs durch die Zahl teilbar sein? - Überprüfe für jede Teilaufgabe einzeln den Zähler und den Nenner. - Wenn eine Division einen Rest ergibt, ist das Kürzen mit dieser Zahl nicht erlaubt.

1. Berechnung für a): \(60 : 15 = 4\) und \(15 : 15 = 1\), ergibt \(\frac{4}{1} = 4\) 2. Berechnung für b): \(112 : 14 = 8\) und \(14 : 14 = 1\), ergibt \(\frac{8}{1} = 8\) 3. Berechnung für c): \(144 : 12 = 12\) und \(60 : 12 = 5\), ergibt \(\frac{12}{5}\) 4. Berechnung für d): \(200 : 25 = 8\) und \(75 : 25 = 3\), ergibt \(\frac{8}{3}\) 5. Prüfung für e): \(130 : 13 = 10\), aber \(45 : 13 \approx 3{,}46\) ist nicht ohne Rest möglich, daher nicht möglich

a) 4 b) 8 c) \(\frac{12}{5}\) d) \(\frac{8}{3}\) e) nicht möglich

- Überlege dir, mit welcher Zahl der Zähler oder Nenner multipliziert oder dividiert wurde. - Was du im Zähler tust, musst du auch im Nenner tun, damit der Wert des Bruchs gleich bleibt. - Suche nach dem Faktor zwischen den bekannten Werten.

1. Bestimmung des Erweiterungsfaktors für Teil a): \(14 : 2 = 7\). Multiplikation des Nenners: \(5 \cdot 7 = 35\). 2. Bestimmung des Kürzungsfaktors für Teil b): \(81 : 9 = 9\). Division des Zählers: \(54 : 9 = 6\). 3. Bestimmung des Kürzungsfaktors für Teil c): \(72 : 3 = 24\). Division des Nenners: \(96 : 24 = 4\). 4. Bestimmung des Erweiterungsfaktors für Teil d): \(51 : 17 = 3\). Multiplikation des Zählers: \(13 \cdot 3 = 39\).

a) 35 b) 6 c) 4 d) 39

- Schreibe zuerst den Anteil als Bruch (Anzahl des betrachteten Teils geteilt durch die Gesamtanzahl). - Suche nach einer Zahl, durch die du sowohl den Zähler als auch den Nenner ohne Rest teilen kannst. - Wiederhole das Kürzen so lange, bis Zähler und Nenner keine gemeinsamen Teiler mehr haben.

1. Aufstellen der Brüche für jeden Anteil: \(\frac{28}{70}\), \(\frac{15}{45}\), \(\frac{54}{72}\), \(\frac{13}{52}\). 2. Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers (ggT) für jeden Bruch: \(\operatorname{ggT}(28, 70) = 14\); \(\operatorname{ggT}(15, 45) = 15\); \(\operatorname{ggT}(54, 72) = 18\); \(\operatorname{ggT}(13, 52) = 13\). 3. Kürzen der Brüche durch Division von Zähler und Nenner durch den ggT: a) \(\frac{28 : 14}{70 : 14} = \frac{2}{5}\) b) \(\frac{15 : 15}{45 : 15} = \frac{1}{3}\) c) \(\frac{54 : 18}{72 : 18} = \frac{3}{4}\) d) \(\frac{13 : 13}{52 : 13} = \frac{1}{4}\)

a) \(\frac{2}{5}\) b) \(\frac{1}{3}\) c) \(\frac{3}{4}\) d) \(\frac{1}{4}\)

- Gibt es Teilbarkeitsregeln, die dir helfen, erste gemeinsame Teiler zu finden? - Was ist die größte Zahl, durch die du sowohl den Zähler als auch den Nenner ohne Rest teilen kannst? - Du kannst auch in mehreren kleinen Schritten kürzen, bis es nicht mehr weitergeht.

1. Für \(\frac{45}{120}\): Bestimmung des \(\operatorname{ggT}(45, 120) = 15\). Division von Zähler und Nenner durch \(15\) ergibt \(\frac{3}{8}\). 2. Für \(\frac{56}{196}\): Bestimmung des \(\operatorname{ggT}(56, 196) = 28\). Division von Zähler und Nenner durch \(28\) ergibt \(\frac{2}{7}\). 3. Für \(\frac{144}{216}\): Bestimmung des \(\operatorname{ggT}(144, 216) = 72\). Division von Zähler und Nenner durch \(72\) ergibt \(\frac{2}{3}\).

a) \(\frac{3}{8}\) b) \(\frac{2}{7}\) c) \(\frac{2}{3}\)

- Was bedeutet es mathematisch, einen Bruch zu erweitern? - Welche Beziehung muss zwischen dem ursprünglichen Nenner und dem Zielnenner bestehen? - Denke an die Teiler der Zahl 20. - Ein Bruch ist kleiner als 1, wenn der Zähler kleiner ist als der Nenner.

1. Bestimmung der Teiler von 20: Die Teiler von 20 sind 1, 2, 4, 5, 10 und 20. 2. Ausschluss der in der Aufgabenstellung genannten Werte 1 und 20: Die gesuchten Nenner sind 2, 4, 5 und 10. 3. Bildung von Beispielbrüchen (Zähler kleiner als Nenner): Für Nenner 2: \(\frac{1}{2}\) Für Nenner 4: \(\frac{1}{4}\) (oder \(\frac{3}{4}\)) Für Nenner 5: \(\frac{2}{5}\) (oder \(\frac{1}{5}, \frac{3}{5}, \frac{4}{5}\)) Für Nenner 10: \(\frac{3}{10}\) (oder andere Zähler \(< 10\))

a) Die möglichen Nenner sind 2, 4, 5 und 10. b) Mögliche Beispiele: \(\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \frac{1}{10}\).

- Wann nennt man einen Bruch „unkürzbar“? - Welche Zahlen teilen den Zähler? - Gibt es eine Zahl außer 1, die sowohl den Zähler als auch den Nenner ohne Rest teilt? - Schau dir die Malfolgen (Einmaleins) der Zahlen an.

1. Bestimmung der Teiler für \(\frac{7}{45}\): Die Teiler von 7 sind 1 und 7. Die Teiler von 45 sind 1, 3, 5, 9, 15 und 45. Da nur die 1 ein gemeinsamer Teiler ist, lässt sich der Bruch nicht kürzen. 2. Bestimmung der Teiler für \(\frac{14}{49}\): Die Teiler von 14 sind 1, 2, 7 und 14. Die Teiler von 49 sind 1, 7 und 49. 3. Da die 7 ein gemeinsamer Teiler ist, lässt sich der Bruch kürzen: \(\frac{14 : 7}{49 : 7} = \frac{2}{7}\).

\(\frac{7}{45}\) lässt sich nicht kürzen, da 7 und 45 außer der 1 keine gemeinsamen Teiler haben. \(\frac{14}{49}\) lässt sich mit 7 kürzen, da beide Zahlen durch 7 teilbar sind; das Ergebnis ist \(\frac{2}{7}\).

- Welche Zahlen unter 10 kommen als Teiler für die Zahl 12 überhaupt infrage? - Erstelle eine Liste der Vielfachen für deine Kandidaten. - Denke daran, dass das kleinste gemeinsame Vielfache gesucht ist – es darf also keine kleinere Zahl geben, in die beide Nenner hineinpassen. - Gibt es Paare, bei denen eine Zahl ein Teiler der anderen ist? Was bedeutet das für das kgV?

1. Suche nach positiven natürlichen Zahlen unter 10, die Teiler von 12 sind: 1, 2, 3, 4 und 6. 2. Prüfe ungeordnete Kombinationen dieser Teiler auf ihr kleinstes gemeinsames Vielfaches. 3. Für \(\{3,4\}\) ist das kgV 12. 4. Für \(\{4,6\}\) ist das kgV ebenfalls 12. 5. Alle anderen ungeordneten Paare verschiedener Teiler unter 10 haben ein kgV kleiner als 12 oder ungleich 12. 6. Ergebnis: \(\{3,4\}\) und \(\{4,6\}\).

Die möglichen ungeordneten Paare sind \(\{3,4\}\) und \(\{4,6\}\).

- Überlege, welche Zahl in der Einmaleins-Reihe beider Nenner als erste gemeinsam vorkommt. - Mit welcher Zahl musst du den Nenner multiplizieren, um auf diesen gemeinsamen Wert zu kommen? - Vergiss nicht, den Zähler mit derselben Zahl zu multiplizieren wie den Nenner.

1. Berechnung des Hauptnenners für a): Das kleinste gemeinsame Vielfache von 6 und 8 ist 24. Erweitern: \(\frac{5 \cdot 4}{6 \cdot 4} = \frac{20}{24}\) und \(\frac{7 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{21}{24}\). 2. Berechnung des Hauptnenners für b): Das kleinste gemeinsame Vielfache von 9 und 12 ist 36. Erweitern: \(\frac{2 \cdot 4}{9 \cdot 4} = \frac{8}{36}\) und \(\frac{5 \cdot 3}{12 \cdot 3} = \frac{15}{36}\). 3. Berechnung des Hauptnenners für c): Das kleinste gemeinsame Vielfache von 4, 6 und 3 ist 12. Erweitern: \(\frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{9}{12}\), \(\frac{1 \cdot 2}{6 \cdot 2} = \frac{2}{12}\) und \(\frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{8}{12}\).

a) \(\frac{20}{24}\) und \(\frac{21}{24}\) b) \(\frac{8}{36}\) und \(\frac{15}{36}\) c) \(\frac{9}{12}\), \(\frac{2}{12}\) und \(\frac{8}{12}\)

- Ein Gegenbeispiel ist ein Fall, in dem die Regel nicht stimmt. Suche also einen Bruch mit ungeraden Zahlen, den man doch kürzen kann. - Erinnere dich an die Teilbarkeitsregel für die Zahl 5.

1. Überprüfung der Brüche auf gemeinsame Teiler: - \(\frac{7}{9}\): 7 und 9 haben außer 1 keinen gemeinsamen Teiler. Nicht kürzbar. - \(\frac{15}{25}\): Die Zahl \(15\) endet auf \(5\), die Zahl \(25\) ebenfalls. Beide sind durch \(5\) teilbar. - \(\frac{3}{11}\): Beide sind Primzahlen. Nicht kürzbar. - \(\frac{17}{19}\): Beide sind Primzahlen. Nicht kürzbar. 2. Kürzen des Gegenbeispiels: \(\frac{15 : 5}{25 : 5} = \frac{3}{5}\). 3. Ergebnis: Der Bruch \(\frac{15}{25}\) widerlegt die Behauptung. Vollständig gekürzt lautet er \(\frac{3}{5}\).

Das Gegenbeispiel ist \(\frac{15}{25}\). Vollständig gekürzt ergibt dies \(\frac{3}{5}\).

- Überlege dir zuerst, welcher Bruch zu welchem Punkt gehört. - Wie kannst du prüfen, ob zwei Brüche denselben Wert haben? - Was passiert mit den Koordinaten eines Punktes, wenn du den zugehörigen Bruch erweiterst?

1. Bestimmung der Brüche für jeden Punkt: \(A \rightarrow \frac{1}{2}\), \(B \rightarrow \frac{3}{4}\), \(C \rightarrow \frac{3}{6}\), \(D \rightarrow \frac{5}{10}\). 2. Kürzen der Brüche auf ihre vollständig gekürzte Form: \(\frac{3}{6} = \frac{1}{2}\) (durch 3 gekürzt) und \(\frac{5}{10} = \frac{1}{2}\) (durch 5 gekürzt). 3. Vergleich der Werte: Die Punkte \(A\), \(C\) und \(D\) repräsentieren alle den Wert \(\frac{1}{2}\). 4. Schlussfolgerung: \(A\), \(C\) und \(D\) gehören zur gleichen Bruchfamilie. \(C\) entsteht aus \(A\) durch Erweitern mit 3, und \(D\) entsteht aus \(A\) durch Erweitern mit 5.

Die Punkte \(A\), \(C\) und \(D\) repräsentieren Brüche mit demselben Wert (\(\frac{1}{2}\)). \(C\) und \(D\) sind durch Erweitern aus dem Bruch von Punkt \(A\) hervorgegangen (oder \(A\) durch Kürzen aus den anderen).

- Zähle zuerst, in wie viele gleich große Felder das gesamte Raster unterteilt ist. Das ergibt den Nenner des Bruchs. - Zähle dann die gefärbten beziehungsweise die weißen Felder für den Zähler. - Überlege, durch welche gemeinsame Zahl du Zähler und Nenner teilen kannst, um den Bruch vollständig zu kürzen.

1. Zähle die Gesamtzahl der Plätze im Raster: Es gibt 3 Zeilen und 5 Spalten, also insgesamt \(3 \cdot 5 = 15\) Plätze. 2. Bestimme den Anteil der gefüllten Plätze: Es sind 6 Plätze blau gefärbt. Der Anteil ist \(\frac{6}{15}\). Gekürzt mit 3 ergibt sich \(\frac{2}{5}\). 3. Bestimme den Anteil der leeren Plätze: Es sind \(15 - 6 = 9\) Plätze weiß. Der Anteil ist \(\frac{9}{15}\). Gekürzt mit 3 ergibt sich \(\frac{3}{5}\).

a) \(\frac{2}{5}\) b) \(\frac{3}{5}\)

- Zähle zuerst, aus wie vielen Kästchen das gesamte Gitter besteht. Das ist dein Nenner. - Zähle dann, wie viele dieser Kästchen blau gefärbt sind. Das ist dein Zähler. - Überlege, durch welche Zahl du sowohl den Zähler als auch den Nenner teilen kannst, um den Bruch zu vereinfachen.

1. Zuerst bestimmen wir die Gesamtzahl der Kästchen im Gitter. Das Gitter hat \(3\) Zeilen und \(5\) Spalten, also insgesamt \(3 \cdot 5 = 15\) Kästchen. 2. Nun zählen wir die blau gefärbten Kästchen: Es sind \(9\) Kästchen gefärbt. 3. Daraus ergibt sich der Anteil als Bruch: \(\frac{9}{15}\). 4. Um den Bruch vollständig zu kürzen, teilen wir Zähler und Nenner durch ihren größten gemeinsamen Teiler \(3\): \(\frac{9 : 3}{15 : 3} = \frac{3}{5}\).

\(\frac{3}{5}\)

- Kannst du beschreiben, wie man den Anteil gefärbter Objekte an einer Gesamtzahl als Bruch darstellt? - Bestimme zuerst die Gesamtzahl aller Objekte in der Abbildung. - Wie viele der Objekte sind gefärbt? - Wenn du den Bruch aufgeschrieben hast, prüfe, ob Zähler und Nenner einen gemeinsamen Teiler haben, um den Bruch zu vereinfachen.

1. Bestimme die Gesamtzahl der Murmeln in der Schachtel: In der Abbildung sind insgesamt \(20\) Murmeln zu sehen. 2. Bestimme die Anzahl der blau gefärbten Murmeln: Es sind \(8\) blau gefärbte Murmeln. 3. Stelle den Anteil als Bruch dar: \(\frac{8}{20}\). 4. Kürze den Bruch mit dem größten gemeinsamen Teiler \(4\): \(\frac{8 : 4}{20 : 4} = \frac{2}{5}\).

\(\frac{2}{5}\)

- Wie viele kleine Quadrate siehst du insgesamt im Raster? - Zähle, wie viele dieser Quadrate farbig markiert sind. - Kannst du den Anteil als Bruch aufschreiben, indem du die Anzahl der markierten Quadrate durch die Gesamtzahl teilst? - Überlege, durch welche Zahl du sowohl den Zähler als auch den Nenner des Bruchs teilen kannst, um ihn zu kürzen. - Wie kannst du den verbleibenden weißen Anteil berechnen?

1. Gesamtzahl der kleinen Quadrate im Gitternetz: Das Raster hat 4 Zeilen und 6 Spalten, also insgesamt \(4 \cdot 6 = 24\) Quadrate. 2. Anzahl der farbig markierten Quadrate: Durch Abzählen erhält man genau 9 farbige Quadrate. 3. Bestimmung des farbigen Anteils: Der Anteil ist \(\frac{9}{24}\). Kürzen mit 3 liefert den vollständig gekürzten Bruch \(\frac{3}{8}\). 4. Anzahl der weißen Quadrate: Es sind \(24 - 9 = 15\) weiße Quadrate. 5. Bestimmung des weißen Anteils: Der Anteil ist \(\frac{15}{24}\). Kürzen mit 3 liefert den vollständig gekürzten Bruch \(\frac{5}{8}\).

a) \(\frac{3}{8}\) b) \(\frac{5}{8}\)

- Zähle zuerst, wie viele Farbtöpfe es insgesamt in der Schachtel gibt. - Wie viele dieser Farbtöpfe sind farbig markiert? - Schreibe die Anzahl der markierten Töpfe über den Bruchstrich und die Gesamtzahl darunter. - Kannst du den Zähler und den Nenner durch dieselbe Zahl teilen, um den Bruch einfacher zu machen?

1. Bestimmung der Gesamtzahl der Farbtöpfe durch Abzählen oder Multiplikation der Reihen und Spalten: \(3 \cdot 6 = 18\). 2. Bestimmung der Anzahl der markierten Farbtöpfe durch Abzählen: Es sind \(6\) Farbtöpfe markiert. 3. Aufstellen des Anteils als Bruch: \(\frac{6}{18}\). 4. Kürzen des Bruchs durch den größten gemeinsamen Teiler (\(6\)): \(\frac{6 : 6}{18 : 6} = \frac{1}{3}\).

\(\frac{1}{3}\)

- Bestimme zuerst den Bruch aus der Anzahl der gefärbten Teile (Zähler) und der Gesamtzahl der Teile (Nenner). - Suche zum Kürzen nach einem gemeinsamen Teiler von Zähler und Nenner. - Ein Bruch ist vollständig gekürzt, wenn es außer der 1 keine Zahl mehr gibt, durch die man beide Zahlen teilen kann.

1. Analyse von Figur a): Das Gitter besteht aus \(3 \cdot 4 = 12\) gleich großen Kästchen. Davon sind 9 Kästchen gefärbt. Der Anteil ist \(\frac{9}{12}\). Durch Kürzen mit der Zahl 3 erhält man den vollständig gekürzten Bruch \(\frac{3}{4}\). 2. Analyse von Figur b): Das Sechseck ist in 6 gleich große Dreiecke unterteilt. Davon sind 4 gefärbt. Der Anteil ist \(\frac{4}{6}\). Durch Kürzen mit der Zahl 2 erhält man den vollständig gekürzten Bruch \(\frac{2}{3}\).

a) \(\frac{9}{12} = \frac{3}{4}\) b) \(\frac{4}{6} = \frac{2}{3}\)

- Wie viele Fliesen gibt es insgesamt in dem Raster? - Zähle die gefärbten Fliesen sorgfältig ab. - Wie stellst du einen Teil eines Ganzen als Bruch dar? - Denke daran, Zähler und Nenner durch ihre größte gemeinsame Zahl zu teilen, um den Bruch zu kürzen. - Wenn du den blauen Anteil kennst, wie viel bleibt dann noch für den weißen Anteil übrig?

1. Bestimmung der Gesamtzahl der Fliesen im Raster durch Multiplikation von Zeilen und Spalten: \(4 \cdot 6 = 24\). 2. Zählen der blauen Fliesen in der Abbildung: Es sind 8 blaue Fliesen. 3. Berechnung des blauen Anteils als Bruch: \(\frac{8}{24}\). 4. Kürzen des Bruchs durch den größten gemeinsamen Teiler 8: \(\frac{8 : 8}{24 : 8} = \frac{1}{3}\). 5. Bestimmung der Anzahl der weißen Fliesen durch Subtraktion von der Gesamtanzahl: \(24 - 8 = 16\). 6. Berechnung des weißen Anteils als Bruch: \(\frac{16}{24}\). 7. Kürzen des Bruchs durch den größten gemeinsamen Teiler 8: \(\frac{16 : 8}{24 : 8} = \frac{2}{3}\).

Der blaue Anteil beträgt \(\frac{1}{3}\) und der weiße Anteil beträgt \(\frac{2}{3}\).

- Wie viele Kästchen sind es insgesamt? Das ist dein Nenner. - Wie viele Kästchen sind farbig? Das ist dein Zähler. - Durch welche Zahl lassen sich sowohl der Zähler als auch der Nenner ohne Rest teilen?

1. Bestimmung der Gesamtzahl der Kästchen: \(3 \cdot 8 = 24\). 2. Zählen der gefärbten Kästchen: 18 Kästchen. 3. Aufstellen des Bruchs: \(\frac{18}{24}\). 4. Kürzen des Bruchs durch den größten gemeinsamen Teiler 6: \(\frac{18 : 6}{24 : 6} = \frac{3}{4}\).

Der Anteil ist \(\frac{18}{24}\), was gekürzt \(\frac{3}{4}\) entspricht.

- Gehe schrittweise vor und vergleiche jeden neuen Bruch immer mit dem Ausgangsbruch \(\frac{7}{12}\). - Erinnere dich daran, dass beim Erweitern das Verhältnis zwischen Zähler und Nenner gleich bleibt. - Für den zweiten Teil der Aufgabe musst du nur den Zielnenner durch den Startnenner teilen.

1. Bestimmung von \(a\): Der Nenner \(12\) wurde auf \(84\) erweitert. Faktor: \(84 : 12 = 7\). Zähler \(a = 7 \cdot 7 = 49\). 2. Bestimmung von \(b\): Der Zähler \(7\) wurde auf \(91\) erweitert. Faktor: \(91 : 7 = 13\). Nenner \(b = 12 \cdot 13 = 156\). 3. Bestimmung von \(k\): Der Zielnenner ist \(132\). Division durch den ursprünglichen Nenner: \(132 : 12 = 11\). Der Erweiterungsfaktor ist \(k = 11\).

1. \(a = 49\), \(b = 156\) 2. \(k = 11\)

- Wie oft passt der kleinere Nenner in den größeren Nenner? - Wenn du einen Bruch erweiterst, ändert sich sein Wert nicht. Vergleiche die Brüche erst, wenn sie denselben Nenner haben. - Sind die Zähler nach dem Erweitern exakt gleich?

1. Teilaufgabe a): Vergleich von \(\frac{5}{6}\) und \(\frac{21}{24}\). Der gemeinsame Nenner ist 24. Erweitern von \(\frac{5}{6}\) mit dem Faktor \(24 : 6 = 4\) ergibt \(\frac{5 \cdot 4}{6 \cdot 4} = \frac{20}{24}\). Da \(\frac{20}{24} \neq \frac{21}{24}\), sind die Brüche nicht gleichwertig. 2. Teilaufgabe b): Vergleich von \(\frac{4}{7}\) und \(\frac{28}{49}\). Der gemeinsame Nenner ist 49. Erweitern von \(\frac{4}{7}\) mit dem Faktor \(49 : 7 = 7\) ergibt \(\frac{4 \cdot 7}{7 \cdot 7} = \frac{28}{49}\). Da \(\frac{28}{49} = \frac{28}{49}\), sind die Brüche gleichwertig.

a) Nicht gleichwertig, da \(\frac{20}{24} \neq \frac{21}{24}\). b) Gleichwertig, da \(\frac{28}{49} = \frac{28}{49}\).

- Woran erkennst du schnell, ob eine Zahl durch 2, 3 oder 9 teilbar ist? - Ein Bruch kann nur dann mit einer Zahl gekürzt werden, wenn diese Zahl ein Teiler des Zählers UND des Nenners ist. - Probiere die Division für jede der vorgeschlagenen Zahlen im Kopf oder schriftlich aus.

1. Überprüfung der Teilbarkeit von 126: durch 2 (gerade Zahl: ja), durch 3 (Quersumme \(1+2+6=9\): ja), durch 4 (\(126 : 4 = 31{,}5\): nein), durch 6 (da durch 2 und 3 teilbar: ja), durch 9 (Quersumme 9: ja) 2. Überprüfung der Teilbarkeit von 162: durch 2 (gerade Zahl: ja), durch 3 (Quersumme \(1+6+2=9\): ja), durch 4 (\(162 : 4 = 40{,}5\): nein), durch 6 (da durch 2 und 3 teilbar: ja), durch 9 (Quersumme 9: ja) 3. Abgleich der gemeinsamen Teiler: Die Zahlen 2, 3, 6 und 9 teilen sowohl Zähler als auch Nenner ohne Rest.

Der Bruch kann mit den Zahlen 2, 3, 6 und 9 gekürzt werden.

- Was passiert, wenn du beide Brüche so weit wie möglich vereinfachst? - Wie kannst du feststellen, ob zwei unterschiedlich aussehende Brüche eigentlich denselben Anteil beschreiben? - Suche für jeden Bruch einzeln den größten gemeinsamen Teiler von Zähler und Nenner.

1. Vollständiges Kürzen von \(\frac{84}{105}\): Der \(\operatorname{ggT}(84, 105)\) ist \(21\). Division ergibt \(\frac{84 : 21}{105 : 21} = \frac{4}{5}\). 2. Vollständiges Kürzen von \(\frac{64}{80}\): Der \(\operatorname{ggT}(64, 80)\) ist \(16\). Division ergibt \(\frac{64 : 16}{80 : 16} = \frac{4}{5}\). 3. Vergleich der Ergebnisse: Beide Brüche ergeben vollständig gekürzt \(\frac{4}{5}\).

Ja, beide Brüche besitzen den gleichen Wert, da sie vollständig gekürzt beide \(\frac{4}{5}\) ergeben.

- Wie oft passt der neue Zähler in den ursprünglichen Zähler hinein? - Erinnerst du dich an den Zusammenhang zwischen Kürzen und Erweitern? - Wenn du weißt, mit welcher Zahl der Zähler verändert wurde, muss dasselbe für den Nenner gelten.

1. Berechnung der Zahl \(k\): Da der ursprüngliche Zähler \(117\) durch \(k\) geteilt den neuen Zähler \(9\) ergab, gilt \(117 : k = 9\). Daraus folgt \(k = 117 : 9 = 13\). 2. Berechnung des ursprünglichen Nenners: Der neue Nenner \(13\) entstand durch Division des alten Nenners durch \(k\). Also gilt \(\text{alter Nenner} = 13k = 13 \cdot 13 = 169\).

Die Zahl ist \(k = 13\) und der ursprüngliche Nenner war \(169\). (Der ursprüngliche Bruch war \(\frac{117}{169}\)).

- Untersuche die Primfaktorzerlegung der Nenner. - Welche Primfaktoren stecken in 10, 100 oder 1000? - Vergleiche die Anzahl der Faktoren 2 und 5 im Nenner mit denen in der Zehnerpotenz. - Wann ist eine Zahl ein Teiler einer anderen Zahl?

1. Analyse von Aufgabenteil a: Die Primfaktorzerlegung von 8 ist \(2^3\). Der Nenner 100 hat die Zerlegung \(2^2 \cdot 5^2\). Da \(2^3\) kein Teiler von \(2^2 \cdot 5^2\) ist (der Exponent der 2 ist zu groß), kann man nicht auf 100 erweitern. Da \(1000 = 2^3 \cdot 5^3\), ist 8 ein Teiler von 1000 und das Erweitern ist möglich. 2. Analyse von Aufgabenteil b: Die Primfaktorzerlegung von 40 ist \(2^3 \cdot 5^1\). Eine Zehnerpotenz \(10^n\) hat die Form \(2^n \cdot 5^n\). Damit 40 ein Teiler ist, muss \(n \ge 3\) und \(n \ge 1\) gelten. Der kleinste Wert ist \(n=3\), also ist die kleinste Zehnerpotenz \(10^3 = 1000\). 3. Analyse von Aufgabenteil c: Ein Nenner zwischen 10 und 15 mit anderen Primfaktoren als 2 oder 5 ist gesucht. Mögliche Nenner sind 11 (Primzahl), 12 (enthält Faktor 3), 13 (Primzahl) oder 14 (enthält Faktor 7). Beispiel: 12, da \(12 = 2^2 \cdot 3\) und der Faktor 3 nicht in Zehnerpotenzen vorkommt.

a) \(8 = 2^3\) ist kein Teiler von \(100 = 2^2 \cdot 5^2\), aber ein Teiler von \(1000 = 2^3 \cdot 5^3\). b) Die kleinste Zehnerpotenz ist 1000. c) Zum Beispiel der Nenner 11, 12, 13 oder 14, da diese Primfaktoren außer 2 und 5 enthalten (z. B. die 3 bei der 12).

- Schau dir zuerst die Nenner im ersten Schritt an. Mit welcher Zahl wurde die 5 multipliziert, um 20 zu erhalten? - Denk daran, dass beim Erweitern Zähler und Nenner immer mit derselben Zahl multipliziert werden müssen. - Beim Kürzen gehst du genau umgekehrt vor: Du dividierst Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl.

1. Berechnung von \(a\): Da der Nenner von 5 auf 20 erweitert wurde, berechnet man \(20 : 5 = 4\). Somit ist \(a = 4\). 2. Berechnung von \(x\): Der Zähler 2 muss mit demselben Faktor \(a=4\) erweitert werden. \(2 \cdot 4 = 8\). Somit ist \(x = 8\). 3. Überprüfung des nächsten Schritts: Der Bruch \(\frac{8}{20}\) wird durch 2 gekürzt. Der Zähler wird zu \(8 : 2 = 4\), was mit der Angabe übereinstimmt. 4. Berechnung von \(y\): Der Nenner 20 muss ebenfalls durch 2 gekürzt werden. \(20 : 2 = 10\). Somit ist \(y = 10\).

\(a = 4\), \(x = 8\), \(y = 10\)

- Woran erkennst du, ob eine Zahl als gemeinsamer Nenner zweier Brüche dienen kann? - Überprüfe für jede der vorgegebenen Zahlen, ob sie ein Vielfaches von 6 und gleichzeitig ein Vielfaches von 10 ist. - Wenn du einen gemeinsamen Nenner gefunden hast, wie findest du heraus, mit welcher Zahl du den Zähler multiplizieren musst?

1. Prüfung der Teilbarkeit der vorgeschlagenen Nenner durch die ursprünglichen Nenner 6 und 10 2. Ausschluss von 20 (nicht durch 6 teilbar) und 45 (nicht durch 10 teilbar) 3. Identifikation von 30 und 60 als geeignete Nenner, da sie Vielfache von 6 und 10 sind 4. Festlegung des kleinsten geeigneten Nenners: 30 5. Erweitern von \(\frac{1}{6}\) auf den Nenner 30: \(\frac{1 \cdot 5}{6 \cdot 5} = \frac{5}{30}\) 6. Erweitern von \(\frac{3}{10}\) auf den Nenner 30: \(\frac{3 \cdot 3}{10 \cdot 3} = \frac{9}{30}\)

Geeignete Nenner sind 30 und 60, da sie Vielfache von 6 und 10 sind. Auf dem kleinsten dieser Nenner lauten die Brüche \(\frac{5}{30}\) und \(\frac{9}{30}\).

- Schreibe die ersten Vielfachen von 6 und 10 auf, um den kleinsten gemeinsamen Wert zu finden. - Was haben die Zahlen 6 und 10 gemeinsam, wenn du sie in ihre Primfaktoren zerlegst? - Wann „überlappen“ sich die Reihen der Vielfachen früher, als wenn man die Zahlen einfach multipliziert? - Erinnere dich an den Begriff „teilerfremd“.

1. Vielfache von \(10\): \(10, 20, 30, 40, \dots\). Vielfache von \(6\): \(6, 12, 18, 24, 30, \dots\). Der kleinste gemeinsame Wert ist \(30\). 2. Untersuchung der Teiler: \(6\) hat die Teiler \(\{1, 2, 3, 6\}\), \(10\) hat die Teiler \(\{1, 2, 5, 10\}\). Beide Zahlen haben den gemeinsamen Faktor \(2\). 3. Erklärung: Da beide Nenner den gemeinsamen Teiler \(2\) besitzen, ist im Produkt \(60\) dieser Faktor „doppelt“ enthalten (\(2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 5\)). Für das kgV reicht es, den gemeinsamen Faktor nur einmal zu berücksichtigen (\(2 \cdot 3 \cdot 5 = 30\)). 4. Bedingung für kgV = Produkt: Die Nenner dürfen außer der \(1\) keinen weiteren gemeinsamen Teiler haben (sie müssen teilerfremd sein).

a) Der Hauptnenner ist 30. b) Weil 6 und 10 den gemeinsamen Teiler 2 haben. Das Produkt ist nur dann das kgV, wenn außer 1 kein gemeinsamer Teiler vorliegt. c) Das Produkt ist der Hauptnenner, wenn die Nenner teilerfremd sind.

- Kannst du eine Zahl finden, in die alle drei Nenner ohne Rest hineinpassen? - Gehe die Vielfachen der größten Zahl (hier 15) durch und prüfe, ob die anderen Zahlen auch Teiler davon sind. - Denk daran, dass du beim Erweitern Zähler und Nenner mit derselben Zahl multiplizieren musst.

1. Bestimmung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen (kgV) von 10, 15 und 6. 2. Vielfache von 15 prüfen: 15 (nicht durch 10 oder 6 teilbar), 30 (durch 10 und 6 teilbar). Das kgV ist 30. 3. Erweitern von \(\frac{3}{10}\) mit dem Faktor \(30 : 10 = 3\): \(\frac{3 \cdot 3}{10 \cdot 3} = \frac{9}{30}\). 4. Erweitern von \(\frac{4}{15}\) mit dem Faktor \(30 : 15 = 2\): \(\frac{4 \cdot 2}{15 \cdot 2} = \frac{8}{30}\). 5. Erweitern von \(\frac{1}{6}\) mit dem Faktor \(30 : 6 = 5\): \(\frac{1 \cdot 5}{6 \cdot 5} = \frac{5}{30}\).

\(\frac{9}{30}; \frac{8}{30}; \frac{5}{30}\)

- Stell dir den Bruch als Division vor. Was passiert mit deinem Anteil, wenn du viermal so viel besitzt, aber mit derselben Anzahl an Personen teilst? - Was passiert mit deinem Anteil, wenn die Menge gleich bleibt, aber plötzlich viermal so viele Personen mitessen wollen? - Erinnere dich an die Regeln zum Kürzen von Brüchen.

1. Bei einer Vervierfachung des Zählers wird der gesamte Bruchwert mit \(4\) multipliziert: \(\frac{4 \cdot a}{b} = 4 \cdot \frac{a}{b}\). Beispiel: \(\frac{2}{1} = 2 \to \frac{8}{1} = 8\). 2. Bei einer Vervierfachung des Nenners wird der gesamte Bruchwert durch \(4\) geteilt: \(\frac{a}{4 \cdot b} = \frac{1}{4} \cdot \frac{a}{b}\). Beispiel: \(\frac{4}{1} = 4 \to \frac{4}{4} = 1\). 3. Sind Zähler und Nenner durch 5 teilbar und werden beide durch 5 dividiert, entspricht dies dem Kürzen des Bruchs. Der Wert bleibt unverändert: \(\frac{a : 5}{b : 5} = \frac{a}{b}\). Beispiel: \(\frac{10}{5} = 2 \to \frac{2}{1} = 2\).

a) Der Wert vervierfacht sich. Beispiel: \(\frac{2}{1} = 2 \to \frac{8}{1} = 8\). b) Der Wert viertelt sich. Beispiel: \(\frac{4}{1} = 4 \to \frac{4}{4} = 1\). c) Vorausgesetzt, Zähler und Nenner sind durch 5 teilbar, bleibt der Wert gleich. Beispiel: \(\frac{10}{5} = 2 \to \frac{2}{1} = 2\).

- Was bedeutet es für einen Bruch, „vollständig gekürzt“ zu sein? - Wenn ein Punkt auf der Geraden zum Ursprung liegt, müssen seine Koordinaten im gleichen Verhältnis stehen. - Suche nach gemeinsamen Teilern der Koordinaten.

1. Aufstellen des Bruches: \(\frac{\text{Zähler}}{\text{Nenner}} = \frac{15}{12}\). 2. Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers (ggT): \(\operatorname{ggT}(15, 12) = 3\). 3. Vollständiges Kürzen des Bruches: \(\frac{15 : 3}{12 : 3} = \frac{5}{4}\). 4. Identifikation des Punktes für den gekürzten Bruch: \((4|5)\). 5. Bestimmung weiterer ganzzahliger Punkte durch schrittweises Erweitern des Grundbruches: \(1 \cdot (4|5) = (4|5)\), \(2 \cdot (4|5) = (8|10)\), \(3 \cdot (4|5) = (12|15)\). 6. Ergebnis für b): Im Inneren der Strecke liegen genau zwei Punkte mit ganzzahligen Koordinaten: \((4|5)\) und \((8|10)\).

a) Der Punkt \((4|5)\) entspricht dem vollständig gekürzten Bruch \(\frac{5}{4}\). b) Im Inneren der Strecke liegen genau zwei Punkte mit ganzzahligen Koordinaten: \((4|5)\) und \((8|10)\).

- Erweitere den Zähler und den Nenner mit derselben Zahl, um die neuen Koordinaten zu finden. - Schau dir an, wie sich die \(x\)-Werte und die \(y\)-Werte von Punkt zu Punkt verändern. - Gibt es ein regelmäßiges Muster in den Schritten?

1. Erweitern des Bruches \(\frac{2}{3}\): Mit 2: \(\frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{4}{6} \rightarrow (6|4)\). Mit 3: \(\frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 3} = \frac{6}{9} \rightarrow (9|6)\). Mit 4: \(\frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{8}{12} \rightarrow (12|8)\). 2. Analyse der Punktabstände: Von \((3|2)\) zu \((6|4)\) geht man 3 Einheiten nach rechts und 2 Einheiten nach oben. 3. Überprüfung des Musters: Auch von \((6|4)\) zu \((9|6)\) und von \((9|6)\) zu \((12|8)\) geht man jeweils 3 Einheiten nach rechts und 2 Einheiten nach oben. 4. Ergebnis: Man gelangt zum nächsten Punkt, indem man immer wieder die Koordinaten des Grundpunktes \((3|2)\) addiert.

a) Die Punkte sind \((6|4)\), \((9|6)\) und \((12|8)\). b) Man gelangt von einem Punkt zum nächsten, indem man immer 3 Einheiten nach rechts (\(x\)-Richtung) und 2 Einheiten nach oben (\(y\)-Richtung) geht.

- Bestimme für jede einzelne Figur den Anteil der markierten Fläche als Bruch (Zähler = markierte Teile, Nenner = alle Teile). - Kürze jeden dieser Brüche so weit wie möglich, indem du Zähler und Nenner durch ihren größten gemeinsamen Teiler dividierst. - Vergleiche die gekürzten Brüche, um herauszufinden, welche beiden denselben Wert haben.

1. Figur A zeigt einen Kreis mit 6 gleich großen Sektoren, von denen 4 farbig markiert sind. Das entspricht dem Bruch \(\frac{4}{6}\). Gekürzt mit 2 ergibt das \(\frac{2}{3}\). 2. Figur B zeigt ein Gitter mit \(4 \cdot 4 = 16\) Feldern, von denen 12 farbig markiert sind. Das entspricht dem Bruch \(\frac{12}{16}\). Gekürzt mit 4 ergibt das \(\frac{3}{4}\). 3. Figur C zeigt einen Balken mit 9 gleich großen Abschnitten, von denen 6 farbig markiert sind. Das entspricht dem Bruch \(\frac{6}{9}\). Gekürzt mit 3 ergibt das \(\frac{2}{3}\). 4. Figur D zeigt ein Dreieck mit 4 gleich großen Teilen, von denen 2 farbig markiert sind. Das entspricht dem Bruch \(\frac{2}{4}\). Gekürzt mit 2 ergibt das \(\frac{1}{2}\). Beim Vergleich der gekürzten Brüche sieht man, dass Figur A und Figur C denselben Anteil von \(\frac{2}{3}\) darstellen.

Figur A und Figur C stellen denselben Anteil dar (nämlich \(\frac{2}{3}\)).

- Bestimme für jede Figur den Zähler (markierte Teile) und den Nenner (alle Teile). - Suche nach einem gemeinsamen Teiler für Zähler und Nenner, um den Bruch zu vereinfachen. - Wenn du die Brüche nicht mehr weiter teilen kannst, vergleiche die Endergebnisse. - Schauen die gefärbten Flächen im Verhältnis zur Gesamtfigur vielleicht ähnlich aus?

1. Bestimmung der Brüche: - Figur a): Der Kreis ist in 8 Sektoren unterteilt, 6 sind markiert. Anteil: \(\frac{6}{8}\). - Figur b): Das Rechteck-Gitter hat \(3 \cdot 4 = 12\) Felder, 9 sind markiert. Anteil: \(\frac{9}{12}\). 2. Kürzen der Brüche: - \(\frac{6}{8}\) lässt sich durch 2 kürzen: \(\frac{6 : 2}{8 : 2} = \frac{3}{4}\). - \(\frac{9}{12}\) lässt sich durch 3 kürzen: \(\frac{9 : 3}{12 : 3} = \frac{3}{4}\). 3. Vergleich: Beide Brüche lassen sich auf den Grundbruch \(\frac{3}{4}\) kürzen. Die Anteile sind also gleichwertig.

a) \(\frac{6}{8} = \frac{3}{4}\) b) \(\frac{9}{12} = \frac{3}{4}\) Feststellung: Beide Figuren stellen denselben Anteil der Gesamtfläche dar; die Brüche sind gleichwertig.

- Bestimme die Anzahl aller Kreise in der Gruppe. - Wie viele dieser Kreise sind blau gefärbt? - Suche nach einer großen Zahl, durch die du sowohl die Anzahl der blauen Kreise als auch die Gesamtzahl teilen kannst.

1. Bestimmung der Gesamtanzahl der Kreise: \(5 \cdot 9 = 45\). 2. Zählen der blau markierten Kreise: 27 Kreise. 3. Aufstellen des Bruchs: \(\frac{27}{45}\). 4. Kürzen des Bruchs durch den größten gemeinsamen Teiler 9: \(\frac{27 : 9}{45 : 9} = \frac{3}{5}\).

Der Anteil der blauen Kreise ist \(\frac{3}{5}\).

- Führe die Divisionen nacheinander durch und achte darauf, das Zwischenergebnis für den nächsten Schritt zu nutzen. - Wenn du nacheinander durch mehrere Zahlen teilst, entspricht das einer Teilung durch das Produkt dieser Zahlen. - Wie hängen die kleinen Zahlen aus Aufgabenteil a mit der großen Zahl aus Aufgabenteil b zusammen?

1. Schrittweises Kürzen: \(\frac{210}{462} \xrightarrow{:2} \frac{105}{231} \xrightarrow{:3} \frac{35}{77} \xrightarrow{:7} \frac{5}{11}\) 2. Bestimmung des Gesamtkürzungsfaktors: Multiplikation der einzelnen Faktoren \(2 \cdot 3 \cdot 7 = 42\) 3. Überprüfung: \(210 : 42 = 5\) und \(462 : 42 = 11\). Der gesuchte Faktor ist 42.

a) \(\frac{5}{11}\) b) 42

- Beziehe dich bei jedem Schritt am besten immer auf den ersten, vollständig gegebenen Bruch. - Du kannst eine lange Kette in zwei einzelne Aufgaben zerlegen. - Prüfe am Ende, ob alle Brüche in der Kette wirklich denselben Wert haben.

1. Erste Kette: - Vergleich \(\frac{4}{7}\) und \(\frac{a}{28}\): Erweiterungsfaktor ist \(28 : 7 = 4\). Somit \(a = 4 \cdot 4 = 16\). - Vergleich \(\frac{4}{7}\) und \(\frac{36}{b}\): Erweiterungsfaktor ist \(36 : 4 = 9\). Somit \(b = 7 \cdot 9 = 63\). 2. Zweite Kette: - Vergleich \(\frac{120}{180}\) und \(\frac{c}{15}\): Kürzungsfaktor ist \(180 : 15 = 12\). Somit \(c = 120 : 12 = 10\). - Vergleich \(\frac{120}{180}\) und \(\frac{2}{d}\): Kürzungsfaktor ist \(120 : 2 = 60\). Somit \(d = 180 : 60 = 3\).

1) \(a = 16\), \(b = 63\) 2) \(c = 10\), \(d = 3\)

- Wie kannst du Brüche am besten vergleichen, wenn sie unterschiedliche Nenner haben? - Was passiert, wenn du jeden Bruch so weit wie möglich vereinfachst? - Haben alle Brüche nach dem Kürzen denselben Zähler und Nenner?

1. Kürzen von \(\frac{18}{24}\): Division durch \(\operatorname{ggT}(18, 24) = 6\) ergibt \(\frac{3}{4}\). 2. Kürzen von \(\frac{25}{40}\): Division durch \(\operatorname{ggT}(25, 40) = 5\) ergibt \(\frac{5}{8}\). 3. Kürzen von \(\frac{45}{60}\): Division durch \(\operatorname{ggT}(45, 60) = 15\) ergibt \(\frac{3}{4}\). 4. Kürzen von \(\frac{9}{12}\): Division durch \(\operatorname{ggT}(9, 12) = 3\) ergibt \(\frac{3}{4}\). 5. Vergleich: Da \(\frac{18}{24} = \frac{45}{60} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}\), ist \(\frac{25}{40}\) der abweichende Bruch.

Der Bruch \(\frac{25}{40}\) passt nicht in die Gruppe. Gekürzt ergeben die anderen drei Brüche jeweils \(\frac{3}{4}\), während \(\frac{25}{40}\) gekürzt \(\frac{5}{8}\) ergibt.

- Welche Zahlen sind Teiler von 1000? Nutze die Primfaktorzerlegung \(2^3 \cdot 5^3\). - Systematisches Probieren hilft: Kombiniere die Zweier- und Fünferfaktoren so, dass das Ergebnis nicht über 100 liegt. - Wann lässt sich ein Bruch mit dem Nenner 125 nicht weiter kürzen? - Erinnere dich: Ein Bruch ist unkürzbar, wenn Zähler und Nenner teilerfremd sind.

1. Analyse der Bedingung für Teil a: Der Nenner \(n\) muss ein Teiler von \(1000 = 2^3 \cdot 5^3\) sein. Alle Teiler haben die Form \(2^a \cdot 5^b\) mit \(0 \le a \le 3\) und \(0 \le b \le 3\). 2. Auflistung der Teiler \(n \le 100\): Für \(b=0\): \(2^0=1, 2^1=2, 2^2=4, 2^3=8\) Für \(b=1\): \(5, 10, 20, 40\) Für \(b=2\): \(25, 50, 100\) Für \(b=3\): \(125\) (entfällt, da \(> 100\)) Die Werte sind: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 25, 40, 50, 100. 3. Berechnung für Teil b: Wenn \(m \cdot 8 = 1000\), dann ist \(m = 1000 : 8 = 125\). 4. Finden unkürzbarer echter Brüche mit Nenner 125: Da \(125 = 5^3\), darf der Zähler \(k\) kein Vielfaches von 5 sein und muss kleiner als 125 sein. Mögliche Beispiele: \(\frac{1}{125}, \frac{2}{125}, \frac{3}{125}\).

a) Die Nenner sind: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 25, 40, 50, 100. b) Der Nenner ist \(m = 125\). Beispiele für unkürzbare Brüche: \(\frac{1}{125}, \frac{2}{125}, \frac{3}{125}\).

- Führe die Rechnungen für beide Kinder Schritt für Schritt durch. Was fällt dir am Ende auf? - Untersuche die Zahlen, durch die Leon teilt. Was passiert, wenn du diese Zahlen miteinander multiplizierst? - Überlege dir, was schwieriger ist: Den größten gemeinsamen Teiler sofort zu sehen oder kleine Teiler wie 2 oder 3 zu finden.

1. Leons Rechnung: \(\frac{24}{36} \xrightarrow{:2} \frac{12}{18} \xrightarrow{:2} \frac{6}{9} \xrightarrow{:3} \frac{2}{3}\). 2. Sophies Rechnung: \(\frac{24}{36} \xrightarrow{:12} \frac{2}{3}\). 3. Vergleich: Beide Kinder erhalten das Ergebnis \(\frac{2}{3}\). 4. Mathematische Begründung: Das Produkt von Leons Kürzungszahlen ist \(2 \cdot 2 \cdot 3 = 12\). Da nacheinander durch diese Faktoren dividiert wird, entspricht dies der Division durch ihr Produkt (den größten gemeinsamen Teiler). 5. Vor- und Nachteile: Sophies Methode ist schneller und effizienter (direktes Kürzen mit dem ggT). Leons Methode ist sicherer, wenn man große Teiler nicht sofort erkennt, da man mit kleinen Primfaktoren arbeiten kann.

a) Beide erhalten \(\frac{2}{3}\). b) Das Produkt von Leons Teilerzahlen (\(2 \cdot 2 \cdot 3\)) ergibt genau 12, was Sophies Teiler entspricht. c) Sophies Methode ist zeitsparend. Leons Methode ist einfacher im Kopf zu rechnen, wenn man den größten gemeinsamen Teiler nicht sofort sieht.

- Rechne die Beispiele in Teil a) zuerst aus und vergleiche das Ergebnis mit dem Produkt der Zahlen. - Was passiert, wenn du versuchst, eine Zahl zu finden, die zwei direkt benachbarte Zahlen teilt? Probiere es mit 2, 3 oder 4. - Wenn eine Zahl \(d\) in Schritten von \(d\) „springt“ (wie die 3er-Reihe: 3, 6, 9...), kann sie dann zwei Zahlen treffen, die direkt nebeneinander liegen? - Wie groß ist der Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden Zahlen?

1. Berechnung: \(\operatorname{kgV}(3, 4) = 12\), \(\operatorname{kgV}(4, 5) = 20\) und \(\operatorname{kgV}(7, 8) = 56\). 2. Beobachtung: In allen Fällen entspricht das kgV dem Produkt der beiden Zahlen (\(3 \cdot 4\), \(4 \cdot 5\), \(7 \cdot 8\)). 3. Vermutung: Der Hauptnenner zweier aufeinanderfolgender Zahlen ist immer ihr Produkt. 4. Begründung zur Teilerfremdheit: Angenommen, eine Zahl \(d\) teilt sowohl \(n\) als auch \(n+1\). Dann muss \(d\) auch die Differenz \((n+1) - n\) teilen. Die Differenz ist jedoch 1. Da nur die Zahl 1 die 1 teilt, muss \(d = 1\) sein. 5. Schlussfolgerung: Da aufeinanderfolgende Zahlen immer teilerfremd sind, ist ihr Hauptnenner stets ihr Produkt.

a) 12, 20 und 56. b) Der Hauptnenner ist immer das Produkt der beiden Zahlen. c) Zwei aufeinanderfolgende Zahlen haben keinen gemeinsamen Teiler außer 1, da ein solcher Teiler auch ihre Differenz (also 1) teilen müsste. Da sie teilerfremd sind, ist ihr kgV ihr Produkt.