Kostenlose Arbeitsblätter

- Wie kann man Brüche am einfachsten vergleichen, wenn sie unterschiedliche Nenner haben? - Du könntest versuchen, alle Brüche überschlägig in Dezimalzahlen umzuwandeln. - Oder bringe jeweils zwei Brüche auf den gleichen Nenner, um zu sehen, welcher von ihnen größer ist.

1. Vergleich durch Umwandlung in Dezimalzahlen: \(\frac{2}{3} \approx 0,667\); \(\frac{3}{5} = 0,6\); \(\frac{4}{7} \approx 0,571\); \(\frac{5}{8} = 0,625\). 2. Alternativer Vergleich durch Erweitern auf gemeinsamen Nenner: \(\frac{2}{3} = \frac{16}{24}\) vs \(\frac{5}{8} = \frac{15}{24} \rightarrow \frac{2}{3}\) ist größer als \(\frac{5}{8}\). \(\frac{2}{3} = \frac{10}{15}\) vs \(\frac{3}{5} = \frac{9}{15} \rightarrow \frac{2}{3}\) ist größer als \(\frac{3}{5}\). 3. Ergebnis: \(\frac{2}{3}\) ist der größte Wert.

a) \(\frac{2}{3}\)

- Wie stellt man einen Anteil mathematisch dar? - Kürze beide Brüche so weit wie möglich, um sie besser vergleichen zu können. - Wenn die Zähler gleich sind, wie kannst du dann am Nenner erkennen, welcher Bruch den größeren Anteil beschreibt?

1. Anteil für Klasse 6a als Bruch: \(\frac{12}{16}\). Kürzen mit \(\operatorname{ggT}(12, 16) = 4\) ergibt \(\frac{3}{4}\). 2. Anteil für Klasse 6b als Bruch: \(\frac{15}{25}\). Kürzen mit \(\operatorname{ggT}(15, 25) = 5\) ergibt \(\frac{3}{5}\). 3. Vergleich der Brüche \(\frac{3}{4}\) und \(\frac{3}{5}\): Da beide Zähler gleich sind, ist der Bruch mit dem kleineren Nenner größer. 4. Ergebnis: \(\frac{3}{4} > \frac{3}{5}\). In Klasse 6a ist der Anteil größer.

In Klasse 6a ist der Anteil mit \(\frac{3}{4}\) größer als in Klasse 6b mit \(\frac{3}{5}\).

- Was ist das kleinste gemeinsame Vielfache der beiden Nenner? - Mit welcher Zahl musst du den Zähler und den Nenner multiplizieren, um auf diesen neuen Nenner zu kommen? - Wie hilft dir ein gleicher Nenner dabei, die Größe der Brüche zu vergleichen?

1. Bestimmung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen (kgV) der Nenner 8 und 12: \(24\) 2. Berechnung des Erweiterungsfaktors für den ersten Bruch: \(24 : 8 = 3\) 3. Erweitern von \(\frac{5}{8}\) mit 3: \(\frac{15}{24}\) 4. Berechnung des Erweiterungsfaktors für den zweiten Bruch: \(24 : 12 = 2\) 5. Erweitern von \(\frac{7}{12}\) mit 2: \(\frac{14}{24}\) 6. Vergleich der erweiterten Brüche: Da \(15 > 14\), gilt \(\frac{15}{24} > \frac{14}{24}\) 7. Ergebnis: \(\frac{5}{8}\) ist der größere Bruch

Die erweiterten Brüche sind \(\frac{15}{24}\) und \(\frac{14}{24}\). Der Bruch \(\frac{5}{8}\) ist größer.

- Was ist das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen 8, 4 und 12? - Mit welcher Zahl musst du den Zähler und den Nenner jeweils multiplizieren, um auf diesen gemeinsamen Nenner zu kommen? - Wenn alle Brüche denselben Nenner haben, kannst du sie einfach anhand ihrer Zähler vergleichen.

1. Bestimmung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen (kgV) der Nenner 8, 4 und 12: Die Primfaktorzerlegungen sind \(8 = 2^3\), \(4 = 2^2\) und \(12 = 2^2 \cdot 3\). Das kgV ist \(2^3 \cdot 3 = 24\). 2. Erweitern der Brüche auf den Nenner 24: \(\frac{5}{8} = \frac{5 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{15}{24}\) \(\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 6}{4 \cdot 6} = \frac{18}{24}\) \(\frac{7}{12} = \frac{7 \cdot 2}{12 \cdot 2} = \frac{14}{24}\) 3. Vergleich der Zähler: \(14 < 15 < 18\). 4. Daraus ergibt sich die Reihenfolge: \(\frac{7}{12} < \frac{5}{8} < \frac{3}{4}\).

Die geordnete Reihenfolge ist \(\frac{7}{12} < \frac{5}{8} < \frac{3}{4}\).

- Überlege dir, in welche Darstellung (Brüche, Dezimalzahlen oder Prozent) du die Zahlen am einfachsten umwandeln kannst, um sie direkt zu vergleichen. - Wie viel ist \(\frac{2}{3}\) ungefähr als Dezimalzahl? - Kannst du alle Brüche auf einen gemeinsamen Nenner wie \(60\) oder \(100\) bringen?

1. Umwandlung aller Werte in Dezimalzahlen: \(\frac{3}{4} = 0{,}75\); \(0{,}8 = 0{,}8\); \(\frac{7}{10} = 0{,}7\); \(72\,\% = 0{,}72\); \(\frac{2}{3} \approx 0{,}667\). 2. Vergleich der Dezimalzahlen: \(0{,}667 < 0{,}7 < 0{,}72 < 0{,}75 < 0{,}8\). 3. Zuordnung der ursprünglichen Werte: \(\frac{2}{3} < \frac{7}{10} < 72\,\% < \frac{3}{4} < 0{,}8\).

\(\frac{2}{3} < \frac{7}{10} < 72\,\% < \frac{3}{4} < 0{,}8\)

- Kannst du einen gemeinsamen Nenner für alle Brüche finden? - Was passiert mit dem Zähler, wenn du den Nenner eines Bruchs veränderst, um ihn vergleichbar zu machen? - Welcher Bruch ist am nächsten an der Null, welcher am nächsten an der Eins?

1. Bestimmung des Hauptnenners für die Nenner 3, 6, 2 und 12: \(\operatorname{kgV}(3, 6, 2, 12) = 12\). 2. Erweitern der Brüche auf den Nenner 12: \(\frac{2}{3} = \frac{8}{12}\), \(\frac{5}{6} = \frac{10}{12}\), \(\frac{1}{2} = \frac{6}{12}\), \(\frac{7}{12} = \frac{7}{12}\). 3. Vergleich der Zähler: \(6 < 7 < 8 < 10\). 4. Aufsteigende Sortierung der ursprünglichen Brüche: \(\frac{1}{2} < \frac{7}{12} < \frac{2}{3} < \frac{5}{6}\).

\(\frac{1}{2} < \frac{7}{12} < \frac{2}{3} < \frac{5}{6}\)

- Was passiert mit dem Zähler, wenn du den Nenner vergrößerst? - Wie viele ganze Zahlen liegen zwischen den Zählern der erweiterten Brüche? - Versuche, beide Brüche mit einer Zahl wie 2, 4 oder 10 zu erweitern.

1. Um Brüche zwischen \(\frac{3}{7}\) und \(\frac{4}{7}\) zu finden, müssen diese auf einen größeren gemeinsamen Nenner erweitert werden. 2. Erweiterung mit der Zahl 4 ergibt: \(\frac{3 \cdot 4}{7 \cdot 4} = \frac{12}{28}\) und \(\frac{4 \cdot 4}{7 \cdot 4} = \frac{16}{28}\). 3. Zwischen den Zählern 12 und 16 liegen die ganzen Zahlen 13, 14 und 15. 4. Drei mögliche Brüche im gesuchten Bereich sind \(\frac{13}{28}\), \(\frac{14}{28}\) (gekürzt \(\frac{1}{2}\)) und \(\frac{15}{28}\).

Zum Beispiel \(\frac{13}{28}\), \(\frac{14}{28}\) (oder \(\frac{1}{2}\)) und \(\frac{15}{28}\).

- Überlege dir, wie viel jedem Bruch noch bis zu einem Ganzen (\(1\)) fehlt. - Welche Rolle spielt es, ob der Zähler größer oder kleiner als der Nenner ist? - Kannst du die Brüche mit der Zahl \(1\) vergleichen?

1. Vergleich für Teilaufgabe a): Beide Brüche sind echte Brüche und liegen nahe bei \(1\). Der erste Bruch \(\frac{14}{15}\) unterscheidet sich um \(\frac{1}{15}\) vom Ganzen, der zweite Bruch \(\frac{19}{20}\) um \(\frac{1}{20}\). Da \(\frac{1}{15} > \frac{1}{20}\), ist der erste Bruch weiter von der \(1\) entfernt und somit kleiner. Ergebnis: \(\frac{19}{20}\) ist größer. 2. Vergleich für Teilaufgabe b): Der Bruch \(\frac{7}{8}\) ist ein echter Bruch (Zähler kleiner als Nenner), also gilt \(\frac{7}{8} < 1\). Der Bruch \(\frac{8}{7}\) ist ein unechter Bruch (Zähler größer als Nenner), also gilt \(\frac{8}{7} > 1\). Ergebnis: \(\frac{8}{7}\) ist größer.

a) \(\frac{19}{20}\) ist größer. b) \(\frac{8}{7}\) ist größer.

- Überlege dir, ob die Zahl größer oder kleiner als ein Ganzes ist. - Kannst du die Zahlen mit der Hälfte (\(0{,}5\)) vergleichen? - Wandle Prozentangaben in Dezimalzahlen oder Brüche um, um sie besser vergleichen zu können.

1. Vergleich von \(\frac{4}{9}\) und \(\frac{11}{10}\): Da \(\frac{4}{9}\) kleiner als \(1\) ist (Zähler < Nenner) und \(\frac{11}{10}\) größer als \(1\) ist (Zähler > Nenner), gilt \(\frac{4}{9} < \frac{11}{10}\). 2. Vergleich von \(125\,\%\) und \(\frac{8}{8}\): \(125\,\%\) entspricht \(1{,}25\). \(\frac{8}{8}\) entspricht genau \(1\). Da \(1{,}25 > 1\), gilt \(125\,\% > \frac{8}{8}\). 3. Vergleich von \(\frac{3}{7}\) und \(0{,}6\): Die Hälfte von \(7\) ist \(3{,}5\). Da \(3 < 3{,}5\), ist \(\frac{3}{7}\) kleiner als \(\frac{1}{2}\) (\(0{,}5\)). Da \(0{,}6 > 0{,}5\), gilt \(\frac{3}{7} < 0{,}6\).

a) \(\frac{4}{9} < \frac{11}{10}\) b) \(125\,\% > \frac{8}{8}\) c) \(\frac{3}{7} < 0{,}6\)

- Was ist der Vorteil, wenn zwei Brüche den gleichen Nenner haben? - Wie findest du eine Zahl, die sowohl durch 24 als auch durch 36 teilbar ist? - Hast du die Zähler beim Erweitern mit derselben Zahl multipliziert wie die Nenner?

1. Nenner in Primfaktoren zerlegen: \(24 = 2^3 \cdot 3\) und \(36 = 2^2 \cdot 3^2\). 2. Den Hauptnenner (kgV) bestimmen: \(2^3 \cdot 3^2 = 8 \cdot 9 = 72\). 3. Beide Brüche auf den Nenner \(72\) erweitern: \(\frac{11}{24} = \frac{11 \cdot 3}{72} = \frac{33}{72}\) und \(\frac{13}{36} = \frac{13 \cdot 2}{72} = \frac{26}{72}\). 4. Da \(33 > 26\) gilt, ist \(\frac{33}{72} > \frac{26}{72}\). 5. Ergebnis: \(\frac{11}{24}\) ist größer als \(\frac{13}{36}\).

\(\frac{11}{24} > \frac{13}{36}\)

- Kannst du die Brüche so verändern, dass ihr Wert gleich bleibt, aber die Zähler weiter auseinander liegen? - Was passiert, wenn du beide Brüche mit derselben Zahl erweiterst? - Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn du einen noch größeren Nenner wählst?

1. Erweitern der Brüche \(\frac{2}{5}\) und \(\frac{3}{5}\) mit einer Zahl (z. B. 3), um eine Lücke zwischen den Zählern zu schaffen: \(\frac{2 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{6}{15}\) und \(\frac{3 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{9}{15}\). 2. Identifikation von zwei ganzen Zahlen zwischen den neuen Zählern 6 und 9, zum Beispiel 7 und 8. 3. Bildung der Brüche \(\frac{7}{15}\) und \(\frac{8}{15}\). 4. Da \(\frac{6}{15} < \frac{7}{15} < \frac{8}{15} < \frac{9}{15}\) gilt, liegen diese Brüche zwischen den Ausgangswerten.

Zum Beispiel \(\frac{7}{15}\) und \(\frac{8}{15}\). Die Begründung erfolgt durch das Erweitern der Brüche (z. B. mit 3), wodurch die Zähler 7 und 8 zwischen den erweiterten Zählern 6 und 9 sichtbar werden.

- Was musst du tun, um Brüche mit unterschiedlichen Nennern direkt vergleichen zu können? - Erinnerst du dich an das kleinste gemeinsame Vielfache? - Wie verändert sich der Zähler, wenn du den Nenner eines Bruchs vervielfachst?

1. Bestimmung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen der Nenner \(4, 6\) und \(8\): \(\operatorname{kgV}(4, 6, 8) = 24\) 2. Erweitern der Brüche auf den Nenner \(24\): \(\frac{3}{4} = \frac{18}{24}\), \(\frac{5}{6} = \frac{20}{24}\), \(\frac{7}{8} = \frac{21}{24}\) 3. Vergleich der Zähler: \(18 < 20 < 21\) 4. Ergebnis durch Rückführung auf die ursprünglichen Brüche: \(\frac{3}{4} < \frac{5}{6} < \frac{7}{8}\)

\(\frac{3}{4} < \frac{5}{6} < \frac{7}{8}\)

- Was musst du tun, um Brüche mit verschiedenen Nennern direkt vergleichen zu können? - Gibt es eine Zahl, die in der Vielfachenreihe von 2, 8, 12 und 3 vorkommt? - Wie verändern sich die Zähler, wenn du die Nenner angleichst?

1. Bestimmung des kleinsten gemeinsamen Nenners (kgV) von 2, 8, 12 und 3: Das kgV ist 24. 2. Erweitern der Brüche auf den Nenner 24: \(\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 12}{2 \cdot 12} = \frac{12}{24}\) \(\frac{3}{8} = \frac{3 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{9}{24}\) \(\frac{5}{12} = \frac{5 \cdot 2}{12 \cdot 2} = \frac{10}{24}\) \(\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 8}{3 \cdot 8} = \frac{16}{24}\) 3. Vergleich der Zähler: \(9 < 10 < 12 < 16\). 4. Daraus ergibt sich die Reihenfolge: \(\frac{3}{8} < \frac{5}{12} < \frac{1}{2} < \frac{2}{3}\).

\(\frac{3}{8} < \frac{5}{12} < \frac{1}{2} < \frac{2}{3}\)

- Überlege dir, ob es einfacher ist, alle Zahlen als Brüche oder als Dezimalzahlen zu vergleichen. - Erweitere Brüche so, dass sie eine Zehnerpotenz (10, 100 oder 1000) im Nenner haben, um sie leichter umzuwandeln. - Achte beim Vergleichen von Dezimalzahlen genau auf die Stellen nach dem Komma (Zehntel, Hundertstel, Tausendstel).

1. Umwandlung aller Zahlen in Dezimalzahlen: - \(\frac{2}{5} = 0{,}4\) - \(\frac{11}{25} = \frac{44}{100} = 0{,}44\) 2. Vergleich der Dezimalzahlen: - \(0{,}4 < 0{,}405 < 0{,}44 < 0{,}45\) 3. Rückführung auf die ursprünglichen Zahlen: - \(\frac{2}{5} < 0{,}405 < \frac{11}{25} < 0{,}45\)

\(\frac{2}{5} < 0{,}405 < \frac{11}{25} < 0{,}45\)

- Es hilft oft, Brüche in Dezimalzahlen umzuwandeln, um sie besser vergleichen zu können. - Denke bei periodischen Dezimalzahlen wie \(\frac{1}{3}\) daran, dass sie unendlich viele Nachkommastellen haben. - Du kannst Brüche auch auf einen gemeinsamen Nenner bringen. Dieser gemeinsame Nenner muss nicht immer eine Zehnerpotenz sein.

1. Umwandlung von \(\frac{3}{4}\) in \(0{,}75\). Vergleich: \(0{,}75 > 0{,}7\). 2. Umwandlung von \(\frac{1}{8}\) in \(0{,}125\). Vergleich: \(0{,}12 < 0{,}125\). 3. Umwandlung von \(2\frac{1}{2}\) in \(2{,}5\). Vergleich: \(2{,}5 = 2{,}50\). 4. Umwandlung von \(\frac{1}{3}\) in \(0{,}333\dots\). Vergleich: \(0{,}33 < 0{,}333\dots\). 5. Umwandlung von \(\frac{9}{20}\) in \(\frac{45}{100} = 0{,}45\). Vergleich: \(0{,}45 = 0{,}45\).

a) \(\frac{3}{4} > 0{,}7\); b) \(0{,}12 < \frac{1}{8}\); c) \(2\frac{1}{2} = 2{,}50\); d) \(0{,}33 < \frac{1}{3}\); e) \(\frac{9}{20} = 0{,}45\)

- Wie oft passt der kleinere Nenner in den größeren Nenner? - Wenn du einen Bruch erweiterst, ändert sich sein Wert nicht. Vergleiche die Brüche erst, wenn sie denselben Nenner haben. - Sind die Zähler nach dem Erweitern exakt gleich?

1. Teilaufgabe a): Vergleich von \(\frac{5}{6}\) und \(\frac{21}{24}\). Der gemeinsame Nenner ist 24. Erweitern von \(\frac{5}{6}\) mit dem Faktor \(24 : 6 = 4\) ergibt \(\frac{5 \cdot 4}{6 \cdot 4} = \frac{20}{24}\). Da \(\frac{20}{24} \neq \frac{21}{24}\), sind die Brüche nicht gleichwertig. 2. Teilaufgabe b): Vergleich von \(\frac{4}{7}\) und \(\frac{28}{49}\). Der gemeinsame Nenner ist 49. Erweitern von \(\frac{4}{7}\) mit dem Faktor \(49 : 7 = 7\) ergibt \(\frac{4 \cdot 7}{7 \cdot 7} = \frac{28}{49}\). Da \(\frac{28}{49} = \frac{28}{49}\), sind die Brüche gleichwertig.

a) Nicht gleichwertig, da \(\frac{20}{24} \neq \frac{21}{24}\). b) Gleichwertig, da \(\frac{28}{49} = \frac{28}{49}\).

- Was passiert, wenn du beide Brüche so weit wie möglich vereinfachst? - Wie kannst du feststellen, ob zwei unterschiedlich aussehende Brüche eigentlich denselben Anteil beschreiben? - Suche für jeden Bruch einzeln den größten gemeinsamen Teiler von Zähler und Nenner.

1. Vollständiges Kürzen von \(\frac{84}{105}\): Der \(\operatorname{ggT}(84, 105)\) ist \(21\). Division ergibt \(\frac{84 : 21}{105 : 21} = \frac{4}{5}\). 2. Vollständiges Kürzen von \(\frac{64}{80}\): Der \(\operatorname{ggT}(64, 80)\) ist \(16\). Division ergibt \(\frac{64 : 16}{80 : 16} = \frac{4}{5}\). 3. Vergleich der Ergebnisse: Beide Brüche ergeben vollständig gekürzt \(\frac{4}{5}\).

Ja, beide Brüche besitzen den gleichen Wert, da sie vollständig gekürzt beide \(\frac{4}{5}\) ergeben.

- Wäre es einfacher, wenn alle Zahlen das gleiche Format hätten? - Wie kannst du Brüche vergleichen, die unterschiedliche Nenner haben? - Könntest du die Zahlen auch als Dezimalzahlen schreiben, um sie zu vergleichen? - Welche Zahl liegt am nächsten an der 3, welche am nächsten an der 4?

1. Umwandlung aller gemischten Zahlen in unechte Brüche: \(3 \frac{1}{4} = \frac{13}{4}\) und \(3 \frac{1}{2} = \frac{7}{2}\). 2. Bestimmung eines gemeinsamen Nenners für \(\frac{13}{4}, \frac{10}{3}, \frac{17}{5}, \frac{7}{2}\). Das kleinste gemeinsame Vielfache von 4, 3, 5 und 2 ist 60. 3. Erweitern der Brüche auf den Nenner 60: \(\frac{13}{4} = \frac{195}{60}\) \(\frac{10}{3} = \frac{200}{60}\) \(\frac{17}{5} = \frac{204}{60}\) \(\frac{7}{2} = \frac{210}{60}\) 4. Vergleich der Zähler: \(195 < 200 < 204 < 210\). 5. Aufstellen der Reihenfolge: \(3 \frac{1}{4} < \frac{10}{3} < \frac{17}{5} < 3 \frac{1}{2}\).

\(3 \frac{1}{4} < \frac{10}{3} < \frac{17}{5} < 3 \frac{1}{2}\)

- Schau dir an, ob ein Bruch mehr oder weniger als die Hälfte eines Ganzen darstellt. - Gibt es Brüche, die größer als ein Ganzes sind? - Wenn du einen Kuchen in 7 oder 8 gleich große Stücke schneidest – welches Stück ist dann größer?

1. Vergleich mit \(\frac{1}{2}\): \(\frac{4}{9}\) ist kleiner als \(\frac{1}{2}\) (da \(4 < 4{,}5\)), \(\frac{5}{8}\) ist größer als \(\frac{1}{2}\) (da \(5 > 4\)). Ergebnis: \(\frac{5}{8}\) ist größer. 2. Vergleich mit \(1\): \(\frac{11}{10}\) ist ein unechter Bruch und größer als \(1\), \(\frac{12}{13}\) ist ein echter Bruch und kleiner als \(1\). Ergebnis: \(\frac{11}{10}\) ist größer. 3. Vergleich der Nenner bei gleichem Zähler: Je größer der Nenner, desto kleiner ist der Anteil bei gleichem Zähler. Da \(7 < 8\), ist \(\frac{1}{7}\) größer als \(\frac{1}{8}\).

a) \(\frac{5}{8}\) ist größer. b) \(\frac{11}{10}\) ist größer. c) \(\frac{1}{7}\) ist größer.

- Es hilft oft, alle Zahlen in die gleiche Darstellung zu bringen (zum Beispiel alle als Dezimalzahl oder alle als Prozentwert). - Wie viel Prozent sind \(\frac{3}{4}\)? - Kannst du \(\frac{19}{25}\) so erweitern, dass der Nenner 100 ist?

1. Umwandlung aller Werte in Dezimalzahlen: \(\frac{3}{4} = 0{,}75\); \(0{,}7 = 0{,}7\); \(77\,\% = 0{,}77\); \(\frac{19}{25} = \frac{76}{100} = 0{,}76\). 2. Vergleich der Dezimalzahlen: \(0{,}7 < 0{,}75 < 0{,}76 < 0{,}77\). 3. Zuordnung der ursprünglichen Darstellungen: \(0{,}7 < \frac{3}{4} < \frac{19}{25} < 77\,\%\).

\(0{,}7 < \frac{3}{4} < \frac{19}{25} < 77\,\%\)

- Überlege dir, wie viel jedem Bruch bis zu einem Ganzen (\(1\)) fehlt. - Ist einer der Brüche kleiner als die Hälfte und der andere größer? - Kannst du die Brüche so erweitern, dass sie die gleiche Anzahl an Teilen (gleicher Zähler) haben? - Schau dir bei unechten Brüchen an, wie viele Ganze enthalten sind.

1. Fall a): Vergleich der Abstände zur \(1\). \(\frac{7}{8} = 1 - \frac{1}{8}\) und \(\frac{8}{9} = 1 - \frac{1}{9}\). Da \(\frac{1}{9} < \frac{1}{8}\), fehlt dem zweiten Bruch weniger bis zur Eins, also \(\frac{8}{9} > \frac{7}{8}\). 2. Fall b): Erweitern auf gleichen Zähler 20. \(\frac{4}{9} = \frac{20}{45}\) und \(\frac{5}{11} = \frac{20}{44}\). Ein Bruch mit kleinerem Nenner bei gleichem Zähler ist größer, also \(\frac{5}{11} > \frac{4}{9}\). 3. Fall c): Umwandlung in gemischte Zahlen. \(\frac{12}{5} = 2\frac{2}{5} = 2{,}4\) und \(\frac{15}{7} = 2\frac{1}{7} \approx 2{,}14\). Vergleich der Brüche \(\frac{2}{5}\) (entspricht \(\frac{14}{35}\)) und \(\frac{1}{7}\) (entspricht \(\frac{5}{35}\)) zeigt \(2\frac{2}{5} > 2\frac{1}{7}\), also \(\frac{12}{5} > \frac{15}{7}\).

a) \(\frac{8}{9} > \frac{7}{8}\) b) \(\frac{5}{11} > \frac{4}{9}\) c) \(\frac{12}{5} > \frac{15}{7}\)

- Wie berechnet man den Durchschnitt oder die Mitte von zwei Werten? - Welche Rechenschritte sind nötig, um zwei Brüche zu addieren? - Wie teilt man einen Bruch durch 2?

1. Berechnung des Mittelwerts zweier Brüche durch Addition und anschließende Division durch 2: \(\frac{1}{2} \cdot (\frac{2}{3} + \frac{4}{5})\). 2. Bestimmung des Hauptnenners von 3 und 5: \(3 \cdot 5 = 15\). 3. Erweitern der Brüche auf den Hauptnenner: \(\frac{2}{3} = \frac{10}{15}\) und \(\frac{4}{5} = \frac{12}{15}\). 4. Addition der erweiterten Brüche: \(\frac{10}{15} + \frac{12}{15} = \frac{22}{15}\). 5. Division der Summe durch 2: \(\frac{22}{15} \cdot \frac{1}{2} = \frac{11}{15}\). 6. Der Bruch \(\frac{11}{15}\) liegt genau in der Mitte.

\(\frac{11}{15}\)

- Was passiert mit der Größe eines Bruchteils, wenn der Zähler gleich bleibt, aber der Nenner größer wird? - Wie rechnet man eine gemischte Zahl in einen Bruch um? - Schau dir bei c) an, wie viel jeweils bis zu einem Ganzen (\(1\)) fehlt. Welcher Rest ist kleiner?

1. Teilaufgabe a: Vergleich bei gleichen Zählern. Da der Nenner 15 größer ist als 13, werden die Ganzen in mehr Teile zerlegt, wodurch jedes Teil kleiner ist. Ergebnis: \(\frac{7}{15} < \frac{7}{13}\). 2. Teilaufgabe b: Umwandlung der gemischten Zahl in einen unechten Bruch: \(2\frac{3}{5} = \frac{2 \cdot 5 + 3}{5} = \frac{13}{5}\). Ergebnis: \(2\frac{3}{5} = \frac{13}{5}\). 3. Teilaufgabe c: Vergleich über den Abstand zur 1. Es gilt \(1 - \frac{8}{9} = \frac{1}{9}\) und \(1 - \frac{9}{10} = \frac{1}{10}\). Da \(\frac{1}{9} > \frac{1}{10}\), fehlt \(\frac{8}{9}\) ein größeres Stück zum Ganzen als \(\frac{9}{10}\). Ergebnis: \(\frac{8}{9} < \frac{9}{10}\).

a) \(\frac{7}{15} < \frac{7}{13}\) b) \(2\frac{3}{5} = \frac{13}{5}\) c) \(\frac{8}{9} < \frac{9}{10}\)

- Hilft dir die Primfaktorzerlegung dabei, das kleinste gemeinsame Vielfache schneller zu finden? - Überprüfe nach dem Erweitern noch einmal, ob du wirklich alle Brüche auf denselben Nenner gebracht hast. - Welcher Zähler ist am kleinsten?

1. Bestimmung des kgV der Nenner 6, 14 und 21: Primfaktorzerlegung ergibt \(6 = 2 \cdot 3\), \(14 = 2 \cdot 7\), \(21 = 3 \cdot 7\). Das kleinste gemeinsame Vielfache ist \(2 \cdot 3 \cdot 7 = 42\). 2. Erweitern der Brüche auf den Nenner 42: \(\frac{5}{6} = \frac{35}{42}\), \(\frac{11}{14} = \frac{33}{42}\), \(\frac{17}{21} = \frac{34}{42}\). 3. Vergleich der Zähler: \(33 < 34 < 35\). 4. Ergebnis: \(\frac{11}{14} < \frac{17}{21} < \frac{5}{6}\).

\(\frac{11}{14} < \frac{17}{21} < \frac{5}{6}\)

- Wie groß müsste der Zähler sein, damit der Bruch genau den Wert \(\frac{1}{2}\) hat? - Vergleiche den tatsächlichen Zähler mit der Hälfte des Nenners. - Liegt der Bruch über oder unter der Hälfte?

1. Bestimmung der Hälfte des Nenners für den ersten Bruch: Die Hälfte von \(25\) ist \(12{,}5\). Da der Zähler \(13\) größer als \(12{,}5\) ist, folgt \(\frac{13}{25} > \frac{1}{2}\). 2. Bestimmung der Hälfte des Nenners für den zweiten Bruch: Die Hälfte von \(35\) ist \(17{,}5\). Da der Zähler \(17\) kleiner als \(17{,}5\) ist, folgt \(\frac{17}{35} < \frac{1}{2}\). 3. Vergleich der Ergebnisse: Da der erste Bruch größer als \(\frac{1}{2}\) und der zweite Bruch kleiner als \(\frac{1}{2}\) ist, muss \(\frac{13}{25}\) der größere Bruch sein.

\(\frac{13}{25}\) ist größer als \(\frac{17}{35}\).

- Wandle unechte Brüche in gemischte Zahlen um, um die Ganzen zuerst zu vergleichen. - Wenn Brüche fast ein Ganzes ergeben, schau dir an, wie viel jeweils bis zur 1 fehlt. Je kleiner der Rest, desto größer der Bruch. - Stelle dir Dezimalzahlen wie Geldbeträge vor, um sie leichter zu vergleichen.

1. Vergleich \(2\frac{3}{5}\) und \(\frac{11}{4}\): Umwandlung von \(\frac{11}{4}\) in die gemischte Zahl \(2\frac{3}{4}\). Vergleich der Brüche \(\frac{3}{5}\) (\(0{,}6\)) und \(\frac{3}{4}\) (\(0{,}75\)). Da \(0{,}6 < 0{,}75\), ist \(2\frac{3}{5} < \frac{11}{4}\). 2. Vergleich \(\frac{9}{10}\) und \(\frac{10}{11}\): Betrachtung des Abstands zu \(1\). Bei \(\frac{9}{10}\) fehlt \(\frac{1}{10}\) bis zum Ganzen, bei \(\frac{10}{11}\) fehlt \(\frac{1}{11}\). Da \(\frac{1}{11} < \frac{1}{10}\), ist \(\frac{10}{11}\) näher an der \(1\) und somit größer. 3. Vergleich \(0{,}45\) und \(\frac{4}{10}\): \(\frac{4}{10}\) entspricht \(0{,}4\) oder \(0{,}40\). Da \(0{,}45 > 0{,}40\), ist \(0{,}45 > \frac{4}{10}\).

a) \(2\frac{3}{5} < \frac{11}{4}\) b) \(\frac{9}{10} < \frac{10}{11}\) c) \(0{,}45 > \frac{4}{10}\)

- Wie kannst du Brüche vergleichen, wenn sie unterschiedliche Nenner haben? - Was musst du tun, um alle Brüche auf denselben Nenner zu bringen? - Erinnerst du dich, wie man eine Zahl in ihre Primfaktoren zerlegt? - Welche Primfaktoren müssen im gemeinsamen Nenner enthalten sein, damit alle ursprünglichen Nenner darin „aufgehen“?

1. Primfaktorzerlegung der Nenner durchführen: \(12 = 2^2 \cdot 3\), \(18 = 2 \cdot 3^2\), \(30 = 2 \cdot 3 \cdot 5\). 2. Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) als Produkt der höchsten vorkommenden Primfaktorpotenzen berechnen: \(\operatorname{kgV}(12, 18, 30) = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5 = 4 \cdot 9 \cdot 5 = 180\). 3. Alle Brüche auf den Hauptnenner \(180\) erweitern: \(\frac{7}{12} = \frac{7 \cdot 15}{180} = \frac{105}{180}\), \(\frac{5}{18} = \frac{5 \cdot 10}{180} = \frac{50}{180}\), \(\frac{11}{30} = \frac{11 \cdot 6}{180} = \frac{66}{180}\). 4. Vergleich der Zähler: \(50 < 66 < 105\). 5. Daraus folgt die aufsteigende Sortierung: \(\frac{5}{18} < \frac{11}{30} < \frac{7}{12}\).

\(\frac{5}{18} < \frac{11}{30} < \frac{7}{12}\)

- Gibt es bei Brüchen so etwas wie „direkte Nachbarn“, zwischen denen keine andere Zahl mehr passt? - Überlege dir, was passiert, wenn du die Nenner immer weiter vergrößerst. - Spielt die physikalische Länge des Abstands auf dem Papier eine Rolle für die Anzahl der Zahlen, die man dort theoretisch finden kann?

1. Feststellung, dass die Behauptung des Schülers falsch ist 2. Begründung durch die Dichteeigenschaft rationaler Zahlen: Zwischen zwei beliebigen, voneinander verschiedenen rationalen Zahlen (Brüchen) liegen immer unendlich viele weitere rationale Zahlen 3. Erläuterung des Prinzips: Unabhängig vom Abstand der Ausgangszahlen kann man durch Erweitern der Brüche mit beliebig großen Zahlen (z. B. \(10^n\)) stets beliebig viele neue Brüche in das Intervall einfügen

Der Schüler hat nicht recht. Zwischen zwei beliebigen verschiedenen Brüchen liegen immer unendlich viele weitere Brüche, unabhängig davon, wie nah sie beieinander liegen. Diese Eigenschaft nennt man Dichte der rationalen Zahlen.

- Bringe zuerst alle Werte auf den gleichen Nenner, um sie besser vergleichen zu können. - Wann nennt man einen Bruch „vollständig gekürzt“? - Welche gemeinsamen Teiler dürfen Zähler und Nenner in diesem Fall nicht haben? - Schau dir die Primfaktorzerlegung des Nenners an.

1. Erweitern der Grenzen auf den Nenner 20: \(\frac{2}{5} = \frac{8}{20}\) und \(\frac{4}{5} = \frac{16}{20}\). 2. Identifikation aller Brüche mit Nenner 20 im Intervall: \(\frac{9}{20}, \frac{10}{20}, \frac{11}{20}, \frac{12}{20}, \frac{13}{20}, \frac{14}{20}, \frac{15}{20}\). 3. Prüfung der Zähler auf Teilerfremdheit zum Nenner 20 (Primfaktoren 2 und 5): - 9: teilerfremd zu 20 - 10: teilbar durch 2 und 5 - 11: teilerfremd zu 20 - 12: teilbar durch 2 - 13: teilerfremd zu 20 - 14: teilbar durch 2 - 15: teilbar durch 5 4. Auswahl der vollständig gekürzten Brüche: \(\frac{9}{20}, \frac{11}{20}, \frac{13}{20}\).

Die vollständig gekürzten Brüche sind \(\frac{9}{20}, \frac{11}{20}\) und \(\frac{13}{20}\).

- Wenn zwei Brüche den gleichen Zähler haben, wie erkennst du dann, welcher größer ist? - Wenn zwei Brüche den gleichen Nenner haben, wie erkennst du dann, welcher größer ist? - Kannst du die Kinder in Paare mit gleichen Nennern oder Zählern aufteilen?

1. Vergleich Anna (\(\frac{3}{7}\)) und Ben (\(\frac{3}{5}\)): Da beide den gleichen Zähler 3 haben, ist der Bruch mit dem kleineren Nenner größer. Da \(5 < 7\), ist \(\frac{3}{5} > \frac{3}{7}\). Ben hat also mehr Saft als Anna. 2. Vergleich innerhalb gleicher Nenner: Clara (\(\frac{2}{5}\)) < Ben (\(\frac{3}{5}\)) Anna (\(\frac{3}{7}\)) < David (\(\frac{4}{7}\)) 3. Vergleich der größten Kandidaten (\(\frac{3}{5}\) und \(\frac{4}{7}\)): \(\frac{3}{5} = \frac{21}{35}\) \(\frac{4}{7} = \frac{20}{35}\) Somit ist \(\frac{3}{5}\) (Ben) am größten. 4. Vergleich der kleinsten Kandidaten (\(\frac{2}{5}\) und \(\frac{3}{7}\)): \(\frac{2}{5} = \frac{14}{35}\) \(\frac{3}{7} = \frac{15}{35}\) Somit ist \(\frac{2}{5}\) (Clara) am kleinsten.

a) Ben hat mehr Saft als Anna, da bei gleichem Zähler der Bruch mit dem kleineren Nenner größer ist. b) Ben hat am meisten Saft (\(\frac{3}{5}\,\text{l}\)). c) Clara hat am wenigsten Saft (\(\frac{2}{5}\,\text{l}\)).

- Wenn ein Bruch keine schöne Dezimalzahl ergibt (wie bei Siebteln), reicht oft eine Schätzung oder eine Division bis zur zweiten oder dritten Nachkommastelle aus. - Um eine Zahl zwischen zwei Werten zu finden, hänge bei den Dezimalzahlen Nullen an, um mehr Stellen vergleichen zu können.

1. Umwandlung in Dezimalzahlen (ggf. gerundet für den Vergleich): - \(\frac{4}{7} \approx 0{,}\overline{571428}\) - \(\frac{5}{8} = 0{,}625\) 2. Sortierung für Teil a): - \(0{,}\overline{571428} < 0{,}62 < 0{,}625 < 0{,}63\) - Also: \(\frac{4}{7} < 0{,}62 < \frac{5}{8} < 0{,}63\) 3. Lösung für Teil b): - Da \(0{,}62 = 0{,}620\) und \(\frac{5}{8} = 0{,}625\), liegen zum Beispiel \(0{,}621\), \(0{,}622\), \(0{,}623\) oder \(0{,}624\) dazwischen.

a) \(\frac{4}{7} < 0{,}62 < \frac{5}{8} < 0{,}63\) b) Eine mögliche Lösung ist \(0{,}621\).

- Lies die Aufgabenstellung genau: Soll aufsteigend oder absteigend sortiert werden? - Schreibe alle Dezimalzahlen mit der gleichen Anzahl an Nachkommastellen untereinander, indem du Nullen ergänzt. So siehst du die Unterschiede sofort.

1. Umwandlung aller Längen in Dezimalzahlen: - Weg A: \(12{,}5\,\text{km}\) - Weg B: \(12{,}45\,\text{km}\) - Weg C: \(12\frac{3}{5} = 12{,}6\,\text{km}\) - Weg D: \(12{,}505\,\text{km}\) 2. Vergleich der Werte (absteigend): - \(12{,}6 > 12{,}505 > 12{,}5 > 12{,}45\) 3. Zuordnung der Wege: - Weg C (\(12{,}6\)) > Weg D (\(12{,}505\)) > Weg A (\(12{,}5\)) > Weg B (\(12{,}45\))

Die Reihenfolge vom längsten zum kürzesten Weg ist: Weg C, Weg D, Weg A, Weg B.

- Bringe die beiden Brüche zuerst auf einen gemeinsamen Nenner. Erweitere anschließend beide Brüche mit derselben Zahl. Wie kannst du erreichen, dass zwischen den neuen Zählern mindestens zwei ganze Zahlen liegen? Alternativ kannst du den Mittelwert zweier Brüche betrachten.

1. Da die Brüche bereits gleichnamig sind, werden beide mit 3 erweitert, um den Abstand ihrer Zähler zu vergrößern. 2. \(\frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{9}{12}\) und \(\frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{12}{12}\). 3. Zwischen \(\frac{9}{12}\) und \(\frac{12}{12}\) liegen die Brüche \(\frac{10}{12}\) (gekürzt \(\frac{5}{6}\)) und \(\frac{11}{12}\). 4. Allgemeine Methode: Zuerst bringt man zwei Brüche auf einen gemeinsamen Nenner. Anschließend erweitert man beide bei Bedarf mit derselben Zahl, bis zwischen den Zählern mindestens eine ganze Zahl liegt. Alternativ kann man den Mittelwert der beiden Brüche bilden.

Zwei mögliche Brüche sind \(\frac{10}{12}\) (oder \(\frac{5}{6}\)) und \(\frac{11}{12}\). Allgemein bringt man die Ausgangsbrüche zuerst auf einen gemeinsamen Nenner und erweitert sie anschließend bei Bedarf weiter, sodass zwischen den Zählern Platz für weitere ganze Zahlen entsteht.

- Bringst du alle Werte in das gleiche Format (z. B. Dezimalzahlen mit drei Nachkommastellen), lassen sie sich leichter sortieren. - Um die Nähe zu einer Zahl zu bestimmen, kannst du den Abstand (die Differenz) berechnen. - Erweitere Brüche so, dass ihr Nenner eine Zehnerpotenz (\(10\), \(100\), \(1000\)) ist, um sie schnell umzuwandeln.

1. Umwandlung aller Zahlen in Dezimalzahlen: \(\frac{7}{8} = 0{,}875\); \(0{,}87\); \(\frac{4}{5} = 0{,}8\); \(0{,}88\); \(\frac{17}{20} = 0{,}85\). 2. Sortierung der Dezimalwerte: \(0{,}8 < 0{,}85 < 0{,}87 < 0{,}875 < 0{,}88\). 3. Rückführung auf Originaldarstellung: \(\frac{4}{5} < \frac{17}{20} < 0{,}87 < \frac{7}{8} < 0{,}88\). 4. Bestimmung der Nähe zu \(0{,}9\): Die größte Zahl \(0{,}88\) liegt am nächsten. 5. Berechnung der Differenz: \(0{,}9 - 0{,}88 = 0{,}02\).

a) \(\frac{4}{5} < \frac{17}{20} < 0{,}87 < \frac{7}{8} < 0{,}88\) b) Die Zahl \(0{,}88\) liegt am nächsten an \(0{,}9\). Der Unterschied beträgt \(0{,}02\).

- Ist es einfacher, Brüche mit verschiedenen Nennern zu vergleichen oder alles in Prozente umzurechnen? - Was ergibt \(3 : 8\)? - Wie viel Prozent sind ein Fünftel? - Gibt es Werte, die vielleicht genau gleich groß sind?

1. Umwandlung aller Werte in Prozent: - \(\frac{3}{8} = 0{,}375 = 37{,}5\,\%\) - \(35\,\%\) bleibt \(35\,\%\) - \(0{,}4 = 40\,\%\) - \(\frac{2}{5} = \frac{4}{10} = 40\,\%\) 2. Vergleich der Prozentwerte: \(35\,\% < 37{,}5\,\% < 40\,\% = 40\,\%\) 3. Aufstellen der Reihenfolge: \(35\,\% < \frac{3}{8} < 0{,}4 = \frac{2}{5}\)

\(35\,\% < \frac{3}{8} < 0{,}4 = \frac{2}{5}\)

- Bringe alle Zahlen in das gleiche Format, zum Beispiel in Prozent, um sie besser vergleichen zu können. - Die „Hälfte“ lässt sich einfach als Prozentsatz mit dem Nenner 100 ausdrücken. - Wie viel fehlt jedem Wert bis zu \(50\,\%\) oder wie weit liegt er darüber?

1. Umwandlung von \(A\): \(\frac{14}{25} = \frac{56}{100} = 56\,\%\) 2. Umwandlung von \(B\): \(0{,}49 = \frac{49}{100} = 49\,\%\) 3. Umwandlung von \(C\): Erweitern von \(\frac{123}{250}\) mit 4 ergibt \(\frac{492}{1000} = 0{,}492 = 49{,}2\,\%\) 4. Berechnung der Abstände zu \(50\,\%\): Der Abstand beträgt bei \(A\) 6 Prozentpunkte, bei \(B\) 1 Prozentpunkt und bei \(C\) \(0{,}8\) Prozentpunkte. 5. Vergleich der Abstände: \(0{,}8\) Prozentpunkte sind der kleinste Abstand, daher liegt \(C\) am nächsten.

Anteil \(C = \frac{123}{250}\) liegt am nächsten bei \(50\,\%\). Begründung: \(A = 56\,\%\), \(B = 49\,\%\) und \(C = 49{,}2\,\%\). Der Abstand von \(C\) zu \(50\,\%\) beträgt nur \(0{,}8\) Prozentpunkte.

- Überlege dir, wie groß der Zähler sein müsste, damit der Bruch genau den Wert \(\frac{1}{2}\) hat. - Ist der erste Bruch größer oder kleiner als \(\frac{1}{2}\)? - Wie sieht es beim zweiten Bruch aus? - Kannst du daraus schließen, welcher Bruch insgesamt größer ist, ohne die Nenner gleichzumachen?

1. Vergleich von \(\frac{15}{32}\) mit \(\frac{1}{2}\): Die Hälfte von 32 ist 16. Da \(15 < 16\), ist \(\frac{15}{32} < \frac{1}{2}\). 2. Vergleich von \(\frac{17}{30}\) mit \(\frac{1}{2}\): Die Hälfte von 30 ist 15. Da \(17 > 15\), ist \(\frac{17}{30} > \frac{1}{2}\). 3. Schlussfolgerung: Da ein Wert kleiner als \(\frac{1}{2}\) und der andere größer als \(\frac{1}{2}\) ist, gilt \(\frac{17}{30} > \frac{15}{32}\).

\(\frac{17}{30}\) ist größer als \(\frac{15}{32}\), da \(\frac{15}{32} < \frac{1}{2}\) und \(\frac{17}{30} > \frac{1}{2}\) ist.

- Kannst du eine Zahl finden, die in der Dreierreihe, der Fünferreihe und der Zehnerreihe vorkommt? - Sobald alle Brüche denselben Nenner haben, musst du nur noch die Zähler vergleichen. - Vergiss nicht, am Ende die ursprünglichen Brüche in der richtigen Reihenfolge aufzuschreiben.

1. Bestimmung des Hauptnenners als kgV von 3, 5 und 10: \(30\) 2. Erweitern von \(\frac{2}{3}\) mit 10: \(\frac{20}{30}\) 3. Erweitern von \(\frac{3}{5}\) mit 6: \(\frac{18}{30}\) 4. Erweitern von \(\frac{7}{10}\) mit 3: \(\frac{21}{30}\) 5. Vergleich der Zähler der erweiterten Brüche: \(18 < 20 < 21\) 6. Übertragung auf die ursprünglichen Brüche: \(\frac{3}{5} < \frac{2}{3} < \frac{7}{10}\)

Die korrekte Reihenfolge ist \(\frac{3}{5} < \frac{2}{3} < \frac{7}{10}\).

- Es ist oft einfacher, Zahlen zu vergleichen, wenn sie im gleichen Format stehen. - Du kannst einen unechten Bruch in eine gemischte Zahl verwandeln oder umgekehrt. - Achte darauf, ob Brüche gekürzt oder erweitert werden müssen, um sie besser vergleichen zu können. - Was passiert mit dem Wert eines Bruches, wenn du Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilst?

1. Vergleich a): Umwandlung \(3 \frac{4}{7} = \frac{3 \cdot 7 + 4}{7} = \frac{25}{7}\). Vergleich \(\frac{25}{7} > \frac{24}{7}\). Ergebnis: \(>\). 2. Vergleich b): Kürzen von \(\frac{45}{12}\) mit \(3\) ergibt \(\frac{15}{4}\). Umwandlung \(3 \frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{15}{4}\). Ergebnis: \(=\). 3. Vergleich c): Umwandlung \(6 \frac{2}{5} = \frac{32}{5}\). Erweitern auf Nenner \(10\) ergibt \(\frac{64}{10}\). Vergleich \(\frac{64}{10} > \frac{62}{10}\). Alternativ: \(\frac{62}{10} = 6 \frac{2}{10} = 6 \frac{1}{5}\). Vergleich \(6 \frac{2}{5} > 6 \frac{1}{5}\). Ergebnis: \(>\).

a) \(>\) b) \(=\) c) \(>\)

- Kannst du die gegebenen Brüche in Dezimalzahlen umwandeln? - Welche Dezimalzahlen lassen sich als Bruch mit dem Nenner 10 schreiben? - Überprüfe alle möglichen Zähler für den Nenner 10 nacheinander.

1. Umrechnung der Grenzbrüche in Dezimalzahlen: \(\frac{1}{4} = 0{,}25\) und \(\frac{2}{5} = 0{,}4\). 2. Ein Bruch mit dem Nenner 10 hat in Dezimalschreibweise die Form \(0{,}k\) (wobei \(k\) der Zähler ist). 3. Aufstellen der Ungleichung: \(0{,}25 < 0{,}k < 0{,}4\). 4. Da \(k\) eine ganze Zahl sein muss, kommen nur Werte infrage, bei denen die erste Nachkommastelle zwischen 2 und 4 liegt (unter Berücksichtigung der zweiten Stelle von \(0{,}25\)). 5. Für \(k=2\) gilt \(0{,}2 < 0{,}25\) (nicht erfüllt). Für \(k=3\) gilt \(0{,}25 < 0{,}3 < 0{,}4\) (erfüllt). Für \(k=4\) gilt \(0{,}4 = 0{,}4\); die strenge obere Ungleichung ist nicht erfüllt. 6. Die einzige Lösung ist \(\frac{3}{10}\). Da für alle anderen ganzen Zahlen \(k\) der Wert \(0{,}k\) entweder kleiner/gleich \(0{,}2\) oder größer/gleich \(0{,}4\) ist, gibt es keine weitere Lösung.

Der Bruch ist \(\frac{3}{10}\). Es gibt nur diese Lösung, da im Bereich zwischen \(0{,}25\) und \(0{,}4\) nur die Dezimalzahl \(0{,}3\) liegt, die eine Zehntelstelle besitzt.

- Hier sind es vier Brüche. Das Prinzip bleibt gleich: Finde einen gemeinsamen Nenner für alle. - Gibt es eine Zahl in der 36er-Reihe, die auch durch 18, 24 und 12 teilbar ist? - Achte beim Vergleichen genau darauf, welcher ursprüngliche Bruch zu welchem erweiterten Zähler gehört.

1. Bestimmung des kgV der Nenner 18, 24, 36 und 12: \(18 = 2 \cdot 3^2\), \(24 = 2^3 \cdot 3\), \(36 = 2^2 \cdot 3^2\), \(12 = 2^2 \cdot 3\). Das kleinste gemeinsame Vielfache ist \(2^3 \cdot 3^2 = 8 \cdot 9 = 72\). 2. Erweitern der Brüche auf den Nenner 72: \(\frac{13}{18} = \frac{52}{72}\), \(\frac{19}{24} = \frac{57}{72}\), \(\frac{25}{36} = \frac{50}{72}\), \(\frac{11}{12} = \frac{66}{72}\). 3. Vergleich der Zähler: \(50 < 52 < 57 < 66\). 4. Ergebnis: \(\frac{25}{36} < \frac{13}{18} < \frac{19}{24} < \frac{11}{12}\).

\(\frac{25}{36} < \frac{13}{18} < \frac{19}{24} < \frac{11}{12}\)

- Sortiere zuerst die Brüche, die kleiner als \(1\) sind, und die, die größer als \(1\) sind. - Wenn zwei Brüche fast \(1\) ergeben, welcher ist dann näher dran? - Denke an die Größe der fehlenden „Stücke“: Ist \(\frac{1}{124}\) größer oder kleiner als \(\frac{1}{125}\)?

1. Identifikation des größten Wertes: Bruch \(B = \frac{124}{123}\) ist der einzige unechte Bruch (\(B > 1\)), während \(A\) und \(C\) echte Brüche sind (\(< 1\)). Somit ist \(B\) der größte Wert. 2. Vergleich von \(A\) und \(C\): Beide Brüche haben einen Abstand von genau einem Teil zum Ganzen. Bei \(A\) fehlt \(\frac{1}{124}\) zu \(1\), bei \(C\) fehlt \(\frac{1}{125}\) zu \(1\). 3. Da \(\frac{1}{124} > \frac{1}{125}\), ist der „Abstand“ zur \(1\) bei \(A\) größer als bei \(C\). Das bedeutet, \(A\) liegt weiter links auf dem Zahlenstrahl als \(C\). 4. Schlussfolgerung: \(A < C < 1 < B\).

Die Reihenfolge lautet: \(A < C < B\) (bzw. \(\frac{123}{124} < \frac{124}{125} < \frac{124}{123}\)).

- Was passiert mit der Größe eines Bruchs, wenn der Zähler gleich bleibt, aber der Nenner kleiner wird? - Was passiert, wenn der Nenner gleich bleibt, aber der Zähler größer wird? - Vergleiche die Brüche einzeln miteinander. Welcher ist der absolut kleinste? - Nutze die Hälfte (\(\frac{1}{2}\)) als Orientierungspunkt für den schwierigen Vergleich.

1. Vergleich von \(\frac{7}{15}\) und \(\frac{8}{15}\): Da die Nenner gleich sind, ist der Bruch mit dem kleineren Zähler kleiner. Somit gilt \(\frac{7}{15} < \frac{8}{15}\). 2. Vergleich von \(\frac{7}{15}\) und \(\frac{7}{13}\): Da die Zähler gleich sind, ist der Bruch mit dem größeren Nenner kleiner (da das Ganze in mehr Teile geteilt wird). Somit gilt \(\frac{7}{15} < \frac{7}{13}\). 3. Vergleich von \(\frac{8}{15}\) und \(\frac{7}{13}\): Untersuchung des Abstands zur Hälfte (\(0{,}5\)). Es gilt \(\frac{8}{15} - \frac{1}{2} = \frac{1}{30}\) und \(\frac{7}{13} - \frac{1}{2} = \frac{1}{26}\). Da \(\frac{1}{26} > \frac{1}{30}\), ist \(\frac{7}{13} > \frac{8}{15}\). Alternativ Kreuzmultiplikation: \(8 \cdot 13 = 104\) und \(7 \cdot 15 = 105\). Da \(104 < 105\), ist \(\frac{8}{15} < \frac{7}{13}\). 4. Gesamtreihenfolge: \(\frac{7}{15} < \frac{8}{15} < \frac{7}{13}\).

\(\frac{7}{15} < \frac{8}{15} < \frac{7}{13}\)

- Kannst du die Nenner einzeln in ihre kleinsten Bausteine (Primzahlen) zerlegen? - Wie bildest du aus diesen Bausteinen das kleinste gemeinsame Vielfache? - Überprüfe deine Multiplikationen beim Erweitern der Brüche sorgfältig.

1. Primfaktorzerlegung der Nenner durchführen: \(60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5\), \(45 = 3^2 \cdot 5\), \(75 = 3 \cdot 5^2\). 2. Das kgV der Nenner berechnen: \(2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^2 = 4 \cdot 9 \cdot 25 = 900\). 3. Brüche auf den Nenner \(900\) erweitern: \(\frac{19}{60} = \frac{19 \cdot 15}{900} = \frac{285}{900}\), \(\frac{13}{45} = \frac{13 \cdot 20}{900} = \frac{260}{900}\), \(\frac{23}{75} = \frac{23 \cdot 12}{900} = \frac{276}{900}\). 4. Zähler vergleichen: \(260 < 276 < 285\). 5. Aufsteigende Reihenfolge bestimmen: \(\frac{13}{45} < \frac{23}{75} < \frac{19}{60}\).

\(\frac{13}{45} < \frac{23}{75} < \frac{19}{60}\)

- Wie viele Brüche passen zwischen zwei Brüche, wenn man den Nenner immer größer macht? - Welcher deiner gefundenen Brüche hat den kleinsten Unterschied zum größeren der beiden Randwerte? - Könntest du die Brüche auch in Dezimalzahlen umrechnen, um die Abstände besser zu sehen?

1. Finden eines gemeinsamen Nenners für \(\frac{3}{4}\) und \(\frac{4}{5}\), zum Beispiel 20: \(\frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 5} = \frac{15}{20}\) und \(\frac{4 \cdot 4}{5 \cdot 4} = \frac{16}{20}\). 2. Erweitern auf einen größeren Nenner, um mindestens drei Zwischenräume zu erhalten (z. B. Erweitern mit 4): \(\frac{15 \cdot 4}{20 \cdot 4} = \frac{60}{80}\) und \(\frac{16 \cdot 4}{20 \cdot 4} = \frac{64}{80}\). 3. Auswahl von drei Zählern zwischen 60 und 64: 61, 62 und 63. Die Brüche lauten \(\frac{61}{80}\), \(\frac{62}{80}\) und \(\frac{63}{80}\). 4. Vergleich der Abstände zum Zielwert \(\frac{4}{5} = \frac{64}{80}\): Der Bruch \(\frac{63}{80}\) hat den kleinsten Abstand (\(\frac{1}{80}\)).

Mögliche Brüche sind \(\frac{61}{80}, \frac{62}{80}\) und \(\frac{63}{80}\). Von diesen liegt \(\frac{63}{80}\) am nächsten an \(\frac{4}{5}\). (Andere korrekte Lösungen durch Wahl anderer Nenner sind möglich.)

- Wie berechnet man den Durchschnitt von zwei Zahlen? - Wenn du eine Zahl zwischen zwei anderen gefunden hast, kannst du dann das gleiche Verfahren auf die neue Zahl und eine der alten Zahlen anwenden? - Könnte dieser Prozess jemals stoppen, weil kein Platz mehr da ist?

1. Berechnung des Mittelwerts: \(M = \frac{A + B}{2} = \frac{\frac{5}{8} + \frac{6}{8}}{2} = \frac{\frac{11}{8}}{2} = \frac{11}{16}\) 2. Überprüfung der Lage: \(\frac{5}{8} = \frac{10}{16}\) und \(\frac{6}{8} = \frac{12}{16}\). Da \(10 < 11 < 12\), liegt \(\frac{11}{16}\) zwischen den Ausgangswerten 3. Argumentation zur Unendlichkeit: Da das arithmetische Mittel zweier rationaler Zahlen \(x\) und \(y\) (mit \(x < y\)) immer eine rationale Zahl \(z\) ergibt, für die \(x < z < y\) gilt, kann man diesen Prozess unendlich oft wiederholen, ohne jemals an eine Grenze zu stoßen, an der keine neue Zahl mehr gebildet werden kann

1. Der mittlere Bruch ist \(\frac{11}{16}\). 2. Da man aus zwei rationalen Zahlen durch Mittelwertbildung immer eine neue rationale Zahl konstruieren kann, die dazwischen liegt, lässt sich dieser Schritt unendlich oft wiederholen.

- Wie viel fehlt jedem Kind jeweils bis zu einer ganzen Pizza? - Welcher dieser „Rest-Brüche“ ist der kleinste? - Was bedeutet es für die gegessene Menge, wenn der Rest besonders klein ist?

1. Berechnung des Rests (Ergänzung zu 1): Anton lässt \(1 - \frac{5}{6} = \frac{1}{6}\) übrig. Berta lässt \(1 - \frac{7}{8} = \frac{1}{8}\) übrig. Claus lässt \(1 - \frac{11}{12} = \frac{1}{12}\) übrig. 2. Vergleich der Reststücke: \(\frac{1}{6}\), \(\frac{1}{8}\) und \(\frac{1}{12}\) sind Stammbrüche. 3. Je größer der Nenner eines Stammbruchs, desto kleiner ist der Wert des Bruchstücks. 4. Da \(12 > 8 > 6\), gilt \(\frac{1}{12} < \frac{1}{8} < \frac{1}{6}\). 5. Claus lässt mit \(\frac{1}{12}\) das kleinste Stück übrig.

Claus lässt das kleinste Stück übrig. Da \(\frac{1}{12}\) kleiner ist als \(\frac{1}{8}\) und \(\frac{1}{6}\), ist er am nächsten an einer ganzen Pizza.

- Führe die beschriebenen Schritte genau so aus, wie sie im Text stehen. - Um Brüche zu vergleichen, ist es am einfachsten, sie auf den gleichen Nenner zu bringen. - Erinnere dich, wie man den Durchschnitt (die Mitte) zweier Zahlen berechnet.

1. Anwendung der vorgeschlagenen Methode: Zähler addieren \(1+1=2\), Nenner addieren \(4+2=6\). Ergebnis: \(\frac{2}{6} = \frac{1}{3}\). 2. Vergleich mit den Randwerten: Hauptnenner 12 suchen. \(\frac{1}{4} = \frac{3}{12}\), \(\frac{1}{3} = \frac{4}{12}\), \(\frac{1}{2} = \frac{6}{12}\). Da \(\frac{3}{12} < \frac{4}{12} < \frac{6}{12}\), liegt \(\frac{1}{3}\) dazwischen. 3. Berechnung der exakten Mitte (arithmetisches Mittel): \((\frac{1}{4} + \frac{2}{4}) : 2 = \frac{3}{4} : 2 = \frac{3}{8}\). 4. Vergleich von \(\frac{1}{3}\) und \(\frac{3}{8}\): Hauptnenner 24 suchen. \(\frac{1}{3} = \frac{8}{24}\) und \(\frac{3}{8} = \frac{9}{24}\). Da \(\frac{8}{24} \neq \frac{9}{24}\), liegt der Bruch aus der Schülermethode nicht genau in der Mitte.

a) Der neue Bruch ist \(\frac{1}{3}\). b) Ja, er liegt dazwischen, da \(\frac{1}{4} < \frac{1}{3} < \frac{1}{2}\). c) Nein, er liegt nicht genau in der Mitte. Die exakte Mitte ist \(\frac{3}{8}\), was etwas größer ist als \(\frac{1}{3}\).