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- Wie kann man Brüche am einfachsten vergleichen, wenn sie unterschiedliche Nenner haben? - Du könntest versuchen, alle Brüche überschlägig in Dezimalzahlen umzuwandeln. - Oder bringe jeweils zwei Brüche auf den gleichen Nenner, um zu sehen, welcher von ihnen größer ist.

1. Vergleich durch Umwandlung in Dezimalzahlen: \(\frac{2}{3} \approx 0{,}667\); \(\frac{3}{5} = 0{,}6\); \(\frac{4}{7} \approx 0{,}571\); \(\frac{5}{8} = 0{,}625\). 2. Alternativer Vergleich durch Erweitern auf gemeinsamen Nenner: \(\frac{2}{3} = \frac{16}{24}\) vs \(\frac{5}{8} = \frac{15}{24} \rightarrow \frac{2}{3}\) ist größer als \(\frac{5}{8}\). \(\frac{2}{3} = \frac{10}{15}\) vs \(\frac{3}{5} = \frac{9}{15} \rightarrow \frac{2}{3}\) ist größer als \(\frac{3}{5}\). 3. Ergebnis: \(\frac{2}{3}\) ist der größte Wert.

a) \(\frac{2}{3}\)

- Wie stellt man einen Anteil mathematisch dar? - Kürze beide Brüche so weit wie möglich, um sie besser vergleichen zu können. - Wenn die Zähler gleich sind, wie kannst du dann am Nenner erkennen, welcher Bruch den größeren Anteil beschreibt?

1. Anteil für Klasse 6a als Bruch: \(\frac{12}{16}\). Kürzen mit \(\operatorname{ggT}(12, 16) = 4\) ergibt \(\frac{3}{4}\). 2. Anteil für Klasse 6b als Bruch: \(\frac{15}{25}\). Kürzen mit \(\operatorname{ggT}(15, 25) = 5\) ergibt \(\frac{3}{5}\). 3. Vergleich der Brüche \(\frac{3}{4}\) und \(\frac{3}{5}\): Da beide Zähler gleich sind, ist der Bruch mit dem kleineren Nenner größer. 4. Ergebnis: \(\frac{3}{4} > \frac{3}{5}\). In Klasse 6a ist der Anteil größer.

In Klasse 6a ist der Anteil mit \(\frac{3}{4}\) größer als in Klasse 6b mit \(\frac{3}{5}\).

- Was ist das kleinste gemeinsame Vielfache der beiden Nenner? - Mit welcher Zahl musst du den Zähler und den Nenner multiplizieren, um auf diesen neuen Nenner zu kommen? - Wie hilft dir ein gleicher Nenner dabei, die Größe der Brüche zu vergleichen?

1. Bestimmung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen (kgV) der Nenner 8 und 12: \(24\) 2. Berechnung des Erweiterungsfaktors für den ersten Bruch: \(24 : 8 = 3\) 3. Erweitern von \(\frac{5}{8}\) mit 3: \(\frac{15}{24}\) 4. Berechnung des Erweiterungsfaktors für den zweiten Bruch: \(24 : 12 = 2\) 5. Erweitern von \(\frac{7}{12}\) mit 2: \(\frac{14}{24}\) 6. Vergleich der erweiterten Brüche: Da \(15 > 14\), gilt \(\frac{15}{24} > \frac{14}{24}\) 7. Ergebnis: \(\frac{5}{8}\) ist der größere Bruch

Die erweiterten Brüche sind \(\frac{15}{24}\) und \(\frac{14}{24}\). Der Bruch \(\frac{5}{8}\) ist größer.

- Was passiert mit dem Zähler, wenn du den Nenner vergrößerst? - Wie viele ganze Zahlen liegen zwischen den Zählern der erweiterten Brüche? - Versuche, beide Brüche mit einer Zahl wie 2, 4 oder 10 zu erweitern.

1. Um Brüche zwischen \(\frac{3}{7}\) und \(\frac{4}{7}\) zu finden, müssen diese auf einen größeren gemeinsamen Nenner erweitert werden. 2. Erweiterung mit der Zahl 4 ergibt: \(\frac{3 \cdot 4}{7 \cdot 4} = \frac{12}{28}\) und \(\frac{4 \cdot 4}{7 \cdot 4} = \frac{16}{28}\). 3. Zwischen den Zählern 12 und 16 liegen die ganzen Zahlen 13, 14 und 15. 4. Drei mögliche Brüche im gesuchten Bereich sind \(\frac{13}{28}\), \(\frac{14}{28}\) (gekürzt \(\frac{1}{2}\)) und \(\frac{15}{28}\).

Zum Beispiel \(\frac{13}{28}\), \(\frac{14}{28}\) (oder \(\frac{1}{2}\)) und \(\frac{15}{28}\).

- Was ist der Vorteil, wenn zwei Brüche den gleichen Nenner haben? - Wie findest du eine Zahl, die sowohl durch 24 als auch durch 36 teilbar ist? - Hast du die Zähler beim Erweitern mit derselben Zahl multipliziert wie die Nenner?

1. Nenner in Primfaktoren zerlegen: \(24 = 2^3 \cdot 3\) und \(36 = 2^2 \cdot 3^2\). 2. Den Hauptnenner (kgV) bestimmen: \(2^3 \cdot 3^2 = 8 \cdot 9 = 72\). 3. Beide Brüche auf den Nenner \(72\) erweitern: \(\frac{11}{24} = \frac{11 \cdot 3}{72} = \frac{33}{72}\) und \(\frac{13}{36} = \frac{13 \cdot 2}{72} = \frac{26}{72}\). 4. Da \(33 > 26\) gilt, ist \(\frac{33}{72} > \frac{26}{72}\). 5. Ergebnis: \(\frac{11}{24}\) ist größer als \(\frac{13}{36}\).

\(\frac{11}{24} > \frac{13}{36}\)

- Überlege dir, ob es einfacher ist, alle Zahlen als Brüche oder als Dezimalzahlen zu vergleichen. - Erweitere Brüche so, dass sie eine Zehnerpotenz (10, 100 oder 1000) im Nenner haben, um sie leichter umzuwandeln. - Achte beim Vergleichen von Dezimalzahlen genau auf die Stellen nach dem Komma (Zehntel, Hundertstel, Tausendstel).

1. Umwandlung aller Zahlen in Dezimalzahlen: - \(\frac{2}{5} = 0{,}4\) - \(\frac{11}{25} = \frac{44}{100} = 0{,}44\) 2. Vergleich der Dezimalzahlen: - \(0{,}4 < 0{,}405 < 0{,}44 < 0{,}45\) 3. Rückführung auf die ursprünglichen Zahlen: - \(\frac{2}{5} < 0{,}405 < \frac{11}{25} < 0{,}45\)

\(\frac{2}{5} < 0{,}405 < \frac{11}{25} < 0{,}45\)

- Es hilft oft, Brüche in Dezimalzahlen umzuwandeln, um sie besser vergleichen zu können. - Denke bei periodischen Dezimalzahlen wie \(\frac{1}{3}\) daran, dass sie unendlich viele Nachkommastellen haben. - Du kannst Brüche auch auf einen gemeinsamen Nenner bringen. Dieser gemeinsame Nenner muss nicht immer eine Zehnerpotenz sein.

1. Umwandlung von \(\frac{3}{4}\) in \(0{,}75\). Vergleich: \(0{,}75 > 0{,}7\). 2. Umwandlung von \(\frac{1}{8}\) in \(0{,}125\). Vergleich: \(0{,}12 < 0{,}125\). 3. Umwandlung von \(2 \frac{1}{2}\) in \(2{,}5\). Vergleich: \(2{,}5 = 2{,}50\). 4. Umwandlung von \(\frac{1}{3}\) in \(0{,}333\dots\). Vergleich: \(0{,}33 < 0{,}333\dots\). 5. Umwandlung von \(\frac{9}{20}\) in \(\frac{45}{100} = 0{,}45\). Vergleich: \(0{,}45 = 0{,}45\).

a) \(\frac{3}{4} > 0{,}7\) b) \(0{,}12 < \frac{1}{8}\) c) \(2 \frac{1}{2} = 2{,}50\) d) \(0{,}33 < \frac{1}{3}\) e) \(\frac{9}{20} = 0{,}45\)

- Zähle zuerst bei jeder Figur, in wie viele gleich große Teile sie insgesamt unterteilt ist. Das ist dein Nenner. - Zähle dann, wie viele dieser Teile gefärbt sind. Das ist dein Zähler. - Kannst du die Brüche durch Kürzen vereinfachen? - Um zwei Brüche zu vergleichen, ist es hilfreich, sie auf denselben Nenner (Hauptnenner) zu bringen. Welchen gemeinsamen Nenner haben 5 und 10?

1. Bestimmung der Brüche: - In Figur A sind \(9\) von \(15\) Kästchen gefärbt. Gekürzter Bruch: \(\frac{9}{15} = \frac{3}{5}\). - In Figur B sind \(7\) von \(10\) Kreissektoren gefärbt. Gekürzter Bruch: \(\frac{7}{10}\). 2. Vergleich der Brüche durch Erweitern auf den Hauptnenner \(10\): - Figur A: \(\frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{6}{10}\). - Da \(\frac{6}{10} < \frac{7}{10}\), gilt \(\frac{3}{5} < \frac{7}{10}\). 3. Ergebnis: In Figur B ist ein größerer Anteil gefärbt.

a) Figur A: \(\frac{3}{5}\), Figur B: \(\frac{7}{10}\) b) In Figur B ist ein größerer Anteil gefärbt, da \(\frac{3}{5} = \frac{6}{10}\) und \(\frac{6}{10} < \frac{7}{10}\) gilt.

- Zähle zuerst, in wie viele gleich große Teile jeder der beiden Kreise unterteilt ist. Das ist der Nenner deines Bruches. - Zähle dann die gefärbten Teile für jede Figur. Das ist der Zähler deines Bruches. - Denke daran, Zähler und Nenner durch ihren größten gemeinsamen Teiler zu teilen, um die Brüche vollständig zu kürzen. - Um zwei Brüche mit unterschiedlichen Nennern zu vergleichen, kannst du sie auf einen gemeinsamen Nenner (Hauptnenner) bringen.

1. Bestimmung des Anteils in Figur A: Der Kreis ist in 6 gleich große Sektoren unterteilt, von denen 4 gefärbt sind. Das entspricht dem Bruch \(\frac{4}{6}\). Durch Kürzen mit 2 erhalten wir \(\frac{2}{3}\). 2. Bestimmung des Anteils in Figur B: Der Kreis ist in 8 gleich große Sektoren unterteilt, von denen 6 gefärbt sind. Das entspricht dem Bruch \(\frac{6}{8}\). Durch Kürzen mit 2 erhalten wir \(\frac{3}{4}\). 3. Vergleich der beiden Brüche: Um die Brüche \(\frac{2}{3}\) und \(\frac{3}{4}\) zu vergleichen, bringen wir sie auf den gemeinsamen Nenner 12: \(\frac{2}{3} = \frac{8}{12}\) \(\frac{3}{4} = \frac{9}{12}\) Da \(\frac{8}{12} < \frac{9}{12}\) ist, gilt \(\frac{2}{3} < \frac{3}{4}\). Der Anteil in Figur B ist somit größer als in Figur A. Das gesuchte Vergleichszeichen ist \(<\).

a) Figur A: \(\frac{2}{3}\); Figur B: \(\frac{3}{4}\) b) \(<\)

- Welcher Bruch stellt den gefärbten Anteil in jeder einzelnen Abbildung dar? Zähle dazu jeweils die gefärbten Teile und die Gesamtzahl der Teile. - Um Brüche mit unterschiedlichen Nennern vergleichen zu können, ist es hilfreich, sie auf einen gemeinsamen Nenner (Hauptnenner) zu bringen. - Welches ist das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner \(8\), \(12\) und \(6\)? - Erweitere jeden Bruch so, dass er diesen gemeinsamen Nenner besitzt. Danach kannst du einfach die Zähler vergleichen.

1. Bestimme den gefärbten Anteil in jeder Abbildung als Bruch: - Abbildung a): \(3\) von \(8\) Teilen sind gefärbt, also \(\frac{3}{8}\). - Abbildung b): \(5\) von \(12\) Teilen sind gefärbt, also \(\frac{5}{12}\). - Abbildung c): \(2\) von \(6\) Teilen sind gefärbt, also \(\frac{2}{6}\). 2. Bringe die Brüche auf den gemeinsamen Hauptnenner \(24\) durch Erweitern: - Abbildung a): \(\frac{3}{8} = \frac{9}{24}\) - Abbildung b): \(\frac{5}{12} = \frac{10}{24}\) - Abbildung c): \(\frac{2}{6} = \frac{8}{24}\) 3. Vergleiche die Zähler der erweiterten Brüche: - Da \(8 < 9 < 10\) ist, gilt für die Anteile: \(\frac{8}{24} < \frac{9}{24} < \frac{10}{24}\). 4. Daraus folgt die geordnete Reihenfolge: - \(\frac{2}{6} < \frac{3}{8} < \frac{5}{12}\) (oder gekürzt: \(\frac{1}{3} < \frac{3}{8} < \frac{5}{12}\)).

\(\frac{2}{6} < \frac{3}{8} < \frac{5}{12}\) (oder gekürzt: \(\frac{1}{3} < \frac{3}{8} < \frac{5}{12}\))

- Überlege dir, was passiert, wenn du eine Pizza in mehr oder in weniger Stücke teilst. Werden die Stücke dann größer oder kleiner? - Der Nenner gibt an, in wie viele Teile das Ganze geteilt wurde. - Wenn du von zwei verschiedenen Pizzen jeweils genau ein Stück nimmst, welches ist dann größer?

1. Bestimmung der Brüche: Kreis A ist in 3 gleich große Teile unterteilt, von denen eines gefärbt ist (\(\frac{1}{3}\)). Kreis B ist in 5 gleich große Teile unterteilt, von denen ebenfalls eines gefärbt ist (\(\frac{1}{5}\)). 2. Visueller Vergleich: In Kreis A ist das gefärbte Stück breiter als in Kreis B, da das Ganze in weniger Teile zerlegt wurde. 3. Rechnerischer Vergleich: Da die Zähler beider Brüche gleich sind, ist der Bruch mit dem kleineren Nenner der größere (\(3 < 5 \implies \frac{1}{3} > \frac{1}{5}\)). 4. Endergebnis: \(\frac{1}{3} > \frac{1}{5}\).

\(\frac{1}{3} > \frac{1}{5}\)

- Bestimme für jedes Bild den Anteil als Bruch. - Vergleiche die Brüche miteinander. Welcher Wert ist am größten? - Überlege dir: Wenn du ein Ganzes teilst, in welchem Fall ist ein einzelnes Stück am größten? Wenn du es in 3, 4 oder 6 Stücke teilst?

1. Bestimmung des farbigen Anteils für jede Figur: - Abbildung a): \(1\) von \(4\) Teilen ist gefärbt, also \(\frac{1}{4}\). - Abbildung b): \(1\) von \(3\) Teilen ist gefärbt, also \(\frac{1}{3}\). - Abbildung c): \(1\) von \(6\) Teilen ist gefärbt, also \(\frac{1}{6}\). 2. Vergleich der Brüche: Da bei gleichem Zähler der Bruch mit dem kleinsten Nenner am größten ist, gilt \(\frac{1}{3} > \frac{1}{4} > \frac{1}{6}\). 3. Ergebnis: Der größte Anteil ist in Abbildung b) gefärbt.

b)

- Die Zähler sind gleich: Beide essen 2 Stücke. - Sind die Stücke von Lukas oder von Mia größer? - Vergleiche die Nenner, um die Größe der Einzelstücke zu bestimmen.

1. Beide Brüche haben den gleichen Zähler (2), aber unterschiedliche Nenner (3 und 6). 2. Ein Drittel (\(\frac{1}{3}\)) ist größer als ein Sechstel (\(\frac{1}{6}\)). 3. Daher sind zwei Drittel (\(\frac{2}{3}\)) auch größer als zwei Sechstel (\(\frac{2}{6}\)). 4. Lukas hat mehr gegessen.

Lukas hat mehr Kuchen gegessen.

- Schau dir an, wie viele Kästchen insgesamt in jedem Gitter sind. - In beiden Bildern sind 4 Kästchen ausgemalt. In welchem Bild machen diese 4 Kästchen einen größeren Teil vom Ganzen aus?

1. Vergleiche die Brüche \(\frac{4}{6}\) und \(\frac{4}{12}\). 2. Da die Zähler gleich sind (jeweils 4 Teile), entscheidet der Nenner über die Größe. 3. Ein Sechstel ist größer als ein Zwölftel. Daher sind 4 Sechstel größer als 4 Zwölftel. 4. \(\frac{4}{6} > \frac{4}{12}\).

\(\frac{4}{6}\) (Abbildung A) ist der größere Anteil.

- Wenn der Zähler gleich bleibt, wie verändert sich der Wert des Bruchs, wenn der Nenner größer wird? - Stell dir vor, du teilst 3 Liter Saft auf 4 oder auf 10 Flaschen auf.

1. Beide Brüche haben den Zähler 3. 2. Der Bruch \(\frac{3}{4}\) bedeutet, dass 3 von 4 gleich großen Teilen genommen werden. 3. Der Bruch \(\frac{3}{10}\) bedeutet, dass 3 von 10 gleich großen Teilen genommen werden. 4. Da Viertel deutlich größer als Zehntel sind, ist \(\frac{3}{4} > \frac{3}{10}\).

\(\frac{3}{4}\) ist der größere Bruch.

- Überlege: Wo machen 3 Personen einen kleineren Teil der gesamten Gruppe aus? In einer großen oder in einer kleinen Gruppe? - Vergleiche die Nenner der Brüche.

1. Bestimme die Anteile: Theater-AG \(\frac{3}{12}\), Kunst-AG \(\frac{3}{6}\). 2. Vergleiche die Brüche. Beide haben den Zähler 3. 3. Ein Zwölftel ist kleiner als ein Sechstel. 4. Daher ist \(\frac{3}{12} < \frac{3}{6}\). Der Anteil in der Theater-AG ist kleiner.

In der Theater-AG (\(\frac{3}{12}\)) ist der Anteil kleiner.

- In welcher Abbildung ist weniger Fläche farbig markiert? - Wenn du die gleiche Menge (2 Teile) nimmst, sind diese kleiner, wenn das Ganze in mehr Teile (8 statt 5) geteilt wurde.

1. Identifiziere die Zähler: Beide sind 2. 2. Identifiziere die Nenner: 5 und 8. 3. Je größer der Nenner bei gleichem Zähler, desto kleiner ist der Wert des Bruchs. 4. \(\frac{2}{8} < \frac{2}{5}\).

\(\frac{2}{8}\) (Abbildung B) ist der kleinere Bruch.

- Wäre es einfacher, wenn alle Zahlen das gleiche Format hätten? - Wie kannst du Brüche vergleichen, die unterschiedliche Nenner haben? - Könntest du die Zahlen auch als Dezimalzahlen schreiben, um sie zu vergleichen? - Welche Zahl liegt am nächsten an der 3, welche am nächsten an der 4?

1. Umwandlung aller gemischten Zahlen in unechte Brüche: \(3 \frac{1}{4} = \frac{13}{4}\) und \(3 \frac{1}{2} = \frac{7}{2}\). 2. Bestimmung eines gemeinsamen Nenners für \(\frac{13}{4}, \frac{10}{3}, \frac{17}{5}, \frac{7}{2}\). Das kleinste gemeinsame Vielfache von 4, 3, 5 und 2 ist 60. 3. Erweitern der Brüche auf den Nenner 60: \(\frac{13}{4} = \frac{195}{60}\) \(\frac{10}{3} = \frac{200}{60}\) \(\frac{17}{5} = \frac{204}{60}\) \(\frac{7}{2} = \frac{210}{60}\) 4. Vergleich der Zähler: \(195 < 200 < 204 < 210\). 5. Aufstellen der Reihenfolge: \(3 \frac{1}{4} < \frac{10}{3} < \frac{17}{5} < 3 \frac{1}{2}\).

\(3 \frac{1}{4} < \frac{10}{3} < \frac{17}{5} < 3 \frac{1}{2}\)

- Schau dir an, ob ein Bruch mehr oder weniger als die Hälfte eines Ganzen darstellt. - Gibt es Brüche, die größer als ein Ganzes sind? - Wenn du einen Kuchen in 7 oder 8 gleich große Stücke schneidest – welches Stück ist dann größer?

1. Vergleich mit \(\frac{1}{2}\): \(\frac{4}{9}\) ist kleiner als \(\frac{1}{2}\) (da \(4 < 4{,}5\)), \(\frac{5}{8}\) ist größer als \(\frac{1}{2}\) (da \(5 > 4\)). Ergebnis: \(\frac{5}{8}\) ist größer. 2. Vergleich mit \(1\): \(\frac{11}{10}\) ist ein unechter Bruch und größer als \(1\), \(\frac{12}{13}\) ist ein echter Bruch und kleiner als \(1\). Ergebnis: \(\frac{11}{10}\) ist größer. 3. Vergleich der Nenner bei gleichem Zähler: Je größer der Nenner, desto kleiner ist der Anteil bei gleichem Zähler. Da \(7 < 8\), ist \(\frac{1}{7}\) größer als \(\frac{1}{8}\).

a) \(\frac{5}{8}\) ist größer. b) \(\frac{11}{10}\) ist größer. c) \(\frac{1}{7}\) ist größer.

- Überlege dir, wie viel jedem Bruch bis zu einem Ganzen (\(1\)) fehlt. - Ist einer der Brüche kleiner als die Hälfte und der andere größer? - Kannst du die Brüche so erweitern, dass sie die gleiche Anzahl an Teilen (gleicher Zähler) haben? - Schau dir bei unechten Brüchen an, wie viele Ganze enthalten sind.

1. Fall a): Vergleich der Abstände zur \(1\). \(\frac{7}{8} = 1 - \frac{1}{8}\) und \(\frac{8}{9} = 1 - \frac{1}{9}\). Da \(\frac{1}{9} < \frac{1}{8}\), fehlt dem zweiten Bruch weniger bis zur Eins, also \(\frac{8}{9} > \frac{7}{8}\). 2. Fall b): Erweitern auf gleichen Zähler 20. \(\frac{4}{9} = \frac{20}{45}\) und \(\frac{5}{11} = \frac{20}{44}\). Ein Bruch mit kleinerem Nenner bei gleichem Zähler ist größer, also \(\frac{5}{11} > \frac{4}{9}\). 3. Fall c): Umwandlung in gemischte Zahlen. \(\frac{12}{5} = 2 \frac{2}{5}\) und \(\frac{15}{7} = 2 \frac{1}{7}\). Beide Zahlen enthalten zwei Ganze. Da \(\frac{2}{5} > \frac{1}{7}\), gilt \(2 \frac{2}{5} > 2 \frac{1}{7}\), also \(\frac{12}{5} > \frac{15}{7}\).

a) \(\frac{8}{9} > \frac{7}{8}\) b) \(\frac{5}{11} > \frac{4}{9}\) c) \(\frac{12}{5} > \frac{15}{7}\)

- Was passiert mit der Größe eines Bruchteils, wenn der Zähler gleich bleibt, aber der Nenner größer wird? - Wie rechnet man eine gemischte Zahl in einen Bruch um? - Schau dir bei c) an, wie viel jeweils bis zu einem Ganzen (\(1\)) fehlt. Welcher Rest ist kleiner?

1. Teilaufgabe a: Vergleich bei gleichen Zählern. Da der Nenner 15 größer ist als 13, werden die Ganzen in mehr Teile zerlegt, wodurch jedes Teil kleiner ist. Ergebnis: \(\frac{7}{15} < \frac{7}{13}\). 2. Teilaufgabe b: Umwandlung der gemischten Zahl in einen unechten Bruch: \(2 \frac{3}{5} = \frac{2 \cdot 5 + 3}{5} = \frac{13}{5}\). Ergebnis: \(2 \frac{3}{5} = \frac{13}{5}\). 3. Teilaufgabe c: Vergleich über den Abstand zur 1. Es gilt \(1 - \frac{8}{9} = \frac{1}{9}\) und \(1 - \frac{9}{10} = \frac{1}{10}\). Da \(\frac{1}{9} > \frac{1}{10}\), fehlt \(\frac{8}{9}\) ein größeres Stück zum Ganzen als \(\frac{9}{10}\). Ergebnis: \(\frac{8}{9} < \frac{9}{10}\).

a) \(\frac{7}{15} < \frac{7}{13}\) b) \(2 \frac{3}{5} = \frac{13}{5}\) c) \(\frac{8}{9} < \frac{9}{10}\)

- Wandle unechte Brüche in gemischte Zahlen um, um die Ganzen zuerst zu vergleichen. - Wenn Brüche fast ein Ganzes ergeben, schau dir an, wie viel jeweils bis zur 1 fehlt. Je kleiner der Rest, desto größer der Bruch. - Stelle dir Dezimalzahlen wie Geldbeträge vor, um sie leichter zu vergleichen.

1. Vergleich \(2\frac{3}{5}\) und \(\frac{11}{4}\): Umwandlung von \(\frac{11}{4}\) in die gemischte Zahl \(2\frac{3}{4}\). Vergleich der Brüche \(\frac{3}{5}\) (\(0{,}6\)) und \(\frac{3}{4}\) (\(0{,}75\)). Da \(0{,}6 < 0{,}75\), ist \(2\frac{3}{5} < \frac{11}{4}\). 2. Vergleich \(\frac{9}{10}\) und \(\frac{10}{11}\): Betrachtung des Abstands zu \(1\). Bei \(\frac{9}{10}\) fehlt \(\frac{1}{10}\) bis zum Ganzen, bei \(\frac{10}{11}\) fehlt \(\frac{1}{11}\). Da \(\frac{1}{11} < \frac{1}{10}\), ist \(\frac{10}{11}\) näher an der \(1\) und somit größer. 3. Vergleich \(0{,}45\) und \(\frac{4}{10}\): \(\frac{4}{10}\) entspricht \(0{,}4\) oder \(0{,}40\). Da \(0{,}45 > 0{,}40\), ist \(0{,}45 > \frac{4}{10}\).

a) \(2\frac{3}{5} < \frac{11}{4}\) b) \(\frac{9}{10} < \frac{10}{11}\) c) \(0{,}45 > \frac{4}{10}\)

- Bringe zuerst alle Werte auf den gleichen Nenner, um sie besser vergleichen zu können. - Wann nennt man einen Bruch „vollständig gekürzt“? - Welche gemeinsamen Teiler dürfen Zähler und Nenner in diesem Fall nicht haben? - Schau dir die Primfaktorzerlegung des Nenners an.

1. Erweitern der Grenzen auf den Nenner 20: \(\frac{2}{5} = \frac{8}{20}\) und \(\frac{4}{5} = \frac{16}{20}\). 2. Identifikation aller Brüche mit Nenner 20 im Intervall: \(\frac{9}{20}, \frac{10}{20}, \frac{11}{20}, \frac{12}{20}, \frac{13}{20}, \frac{14}{20}, \frac{15}{20}\). 3. Prüfung der Zähler auf Teilerfremdheit zum Nenner 20 (Primfaktoren 2 und 5): - 9: teilerfremd zu 20 - 10: teilbar durch 2 und 5 - 11: teilerfremd zu 20 - 12: teilbar durch 2 - 13: teilerfremd zu 20 - 14: teilbar durch 2 - 15: teilbar durch 5 4. Auswahl der vollständig gekürzten Brüche: \(\frac{9}{20}, \frac{11}{20}, \frac{13}{20}\).

Die vollständig gekürzten Brüche sind \(\frac{9}{20}, \frac{11}{20}\) und \(\frac{13}{20}\).

- Wenn zwei Brüche den gleichen Zähler haben, wie erkennst du dann, welcher größer ist? - Wenn zwei Brüche den gleichen Nenner haben, wie erkennst du dann, welcher größer ist? - Kannst du die Kinder in Paare mit gleichen Nennern oder Zählern aufteilen?

1. Vergleich Anna (\(\frac{3}{7}\)) und Ben (\(\frac{3}{5}\)): Da beide den gleichen Zähler 3 haben, ist der Bruch mit dem kleineren Nenner größer. Da \(5 < 7\), ist \(\frac{3}{5} > \frac{3}{7}\). Ben hat also mehr Saft als Anna. 2. Vergleich innerhalb gleicher Nenner: Clara (\(\frac{2}{5}\)) < Ben (\(\frac{3}{5}\)) Anna (\(\frac{3}{7}\)) < David (\(\frac{4}{7}\)) 3. Vergleich der größten Kandidaten (\(\frac{3}{5}\) und \(\frac{4}{7}\)): \(\frac{3}{5} = \frac{21}{35}\) \(\frac{4}{7} = \frac{20}{35}\) Somit ist \(\frac{3}{5}\) (Ben) am größten. 4. Vergleich der kleinsten Kandidaten (\(\frac{2}{5}\) und \(\frac{3}{7}\)): \(\frac{2}{5} = \frac{14}{35}\) \(\frac{3}{7} = \frac{15}{35}\) Somit ist \(\frac{2}{5}\) (Clara) am kleinsten.

a) Ben hat mehr Saft als Anna, da bei gleichem Zähler der Bruch mit dem kleineren Nenner größer ist. b) Ben hat am meisten Saft (\(\frac{3}{5}\,\text{l}\)). c) Clara hat am wenigsten Saft (\(\frac{2}{5}\,\text{l}\)).

- Wenn ein Bruch keine schöne Dezimalzahl ergibt (wie bei Siebteln), reicht oft eine Schätzung oder eine Division bis zur zweiten oder dritten Nachkommastelle aus. - Um eine Zahl zwischen zwei Werten zu finden, hänge bei den Dezimalzahlen Nullen an, um mehr Stellen vergleichen zu können.

1. Umwandlung in Dezimalzahlen (ggf. gerundet für den Vergleich): - \(\frac{4}{7} \approx 0{,}\overline{571428}\) - \(\frac{5}{8} = 0{,}625\) 2. Sortierung für Teil a): - \(0{,}\overline{571428} < 0{,}62 < 0{,}625 < 0{,}63\) - Also: \(\frac{4}{7} < 0{,}62 < \frac{5}{8} < 0{,}63\) 3. Lösung für Teil b): - Da \(0{,}62 = 0{,}620\) und \(\frac{5}{8} = 0{,}625\), liegen zum Beispiel \(0{,}621\), \(0{,}622\), \(0{,}623\) oder \(0{,}624\) dazwischen.

a) \(\frac{4}{7} < 0{,}62 < \frac{5}{8} < 0{,}63\) b) Eine mögliche Lösung ist \(0{,}621\).

- Lies die Aufgabenstellung genau: Soll aufsteigend oder absteigend sortiert werden? - Schreibe alle Dezimalzahlen mit der gleichen Anzahl an Nachkommastellen untereinander, indem du Nullen ergänzt. So siehst du die Unterschiede sofort.

1. Umwandlung aller Längen in Dezimalzahlen: - Weg A: \(12{,}5\,\text{km}\) - Weg B: \(12{,}45\,\text{km}\) - Weg C: \(12 \frac{3}{5} = 12{,}6\,\text{km}\) - Weg D: \(12{,}505\,\text{km}\) 2. Vergleich der Werte (absteigend): - \(12{,}6 > 12{,}505 > 12{,}5 > 12{,}45\) 3. Zuordnung der Wege: - Weg C (\(12{,}6\)) > Weg D (\(12{,}505\)) > Weg A (\(12{,}5\)) > Weg B (\(12{,}45\))

Die Reihenfolge vom längsten zum kürzesten Weg ist: Weg C, Weg D, Weg A, Weg B.

- Bringe die beiden Brüche zuerst auf einen gemeinsamen Nenner. - Erweitere anschließend beide Brüche mit derselben Zahl. Wie kannst du erreichen, dass zwischen den neuen Zählern mindestens zwei ganze Zahlen liegen?

1. Da die Brüche bereits gleichnamig sind, werden beide mit 3 erweitert, um den Abstand ihrer Zähler zu vergrößern. 2. \(\frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{9}{12}\) und \(\frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{12}{12}\). 3. Zwischen \(\frac{9}{12}\) und \(\frac{12}{12}\) liegen die Brüche \(\frac{10}{12}\) (gekürzt \(\frac{5}{6}\)) und \(\frac{11}{12}\). 4. Allgemeine Methode: Zuerst bringt man zwei Brüche auf einen gemeinsamen Nenner. Anschließend erweitert man beide bei Bedarf mit derselben Zahl, bis zwischen den Zählern mindestens eine ganze Zahl liegt.

Zwei mögliche Brüche sind \(\frac{10}{12}\) (oder \(\frac{5}{6}\)) und \(\frac{11}{12}\). Allgemein bringt man die Ausgangsbrüche zuerst auf einen gemeinsamen Nenner und erweitert sie anschließend bei Bedarf weiter, sodass zwischen den Zählern Platz für weitere ganze Zahlen entsteht.

- Bringst du alle Werte in das gleiche Format (z. B. Dezimalzahlen mit drei Nachkommastellen), lassen sie sich leichter sortieren. - Um die Nähe zu einer Zahl zu bestimmen, kannst du den Abstand (die Differenz) berechnen. - Erweitere Brüche so, dass ihr Nenner eine Zehnerpotenz (\(10\), \(100\), \(1000\)) ist, um sie schnell umzuwandeln.

1. Umwandlung aller Zahlen in Dezimalzahlen: \(\frac{7}{8} = 0{,}875\); \(0{,}87\); \(\frac{4}{5} = 0{,}8\); \(0{,}88\); \(\frac{17}{20} = 0{,}85\). 2. Sortierung der Dezimalwerte: \(0{,}8 < 0{,}85 < 0{,}87 < 0{,}875 < 0{,}88\). 3. Rückführung auf Originaldarstellung: \(\frac{4}{5} < \frac{17}{20} < 0{,}87 < \frac{7}{8} < 0{,}88\). 4. Bestimmung der Nähe zu \(0{,}9\): Die größte Zahl \(0{,}88\) liegt am nächsten. 5. Berechnung der Differenz: \(0{,}9 - 0{,}88 = 0{,}02\).

a) \(\frac{4}{5} < \frac{17}{20} < 0{,}87 < \frac{7}{8} < 0{,}88\) b) Die Zahl \(0{,}88\) liegt am nächsten an \(0{,}9\). Der Unterschied beträgt \(0{,}02\).

- Bestimme zuerst für jede Abbildung den Anteil als Bruch (Anzahl der gefärbten Teile durch die Gesamtzahl der Teile). - Kürze die Brüche so weit wie möglich, um sie besser miteinander vergleichen zu können. - Um zwei unterschiedliche Brüche zu vergleichen, kannst du sie auf einen gemeinsamen Nenner (Hauptnenner) bringen.

1. Schritt: Brüche für die drei Abbildungen bestimmen. - Abbildung \(A\): \(4\) von \(6\) Teilen sind gefärbt, also \(\frac{4}{6}\). Gekürzt ergibt das \(\frac{2}{3}\). - Abbildung \(B\): \(6\) von \(8\) Teilen sind gefärbt, also \(\frac{6}{8}\). Gekürzt ergibt das \(\frac{3}{4}\). - Abbildung \(C\): \(8\) von \(12\) Teilen sind gefärbt, also \(\frac{8}{12}\). Gekürzt ergibt das \(\frac{2}{3}\). 2. Schritt: Vergleich der Anteile. - Da \(\frac{4}{6} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}\) gilt, stellen die Abbildungen \(A\) und \(C\) denselben Anteil dar. - Der gekürzte Bruch für diesen Anteil ist \(\frac{2}{3}\). 3. Schritt: Größten Anteil bestimmen. - Um \(\frac{2}{3}\) (Abbildungen \(A\) und \(C\)) mit \(\frac{3}{4}\) (Abbildung \(B\)) zu vergleichen, bringen wir beide Brüche auf den Hauptnenner \(12\): \(\frac{2}{3} = \frac{8}{12}\) \(\frac{3}{4} = \frac{9}{12}\) - Da \(\frac{9}{12} > \frac{8}{12}\) ist, ist der Anteil in Abbildung \(B\) am größten.

1. Die Abbildungen \(A\) und \(C\) stellen denselben Anteil dar. 2. Der gekürzte Bruch ist \(\frac{2}{3}\). 3. Der Anteil in Abbildung \(B\) (\(\frac{3}{4}\)) ist am größten, da \(\frac{3}{4} = \frac{9}{12} > \frac{8}{12} = \frac{2}{3}\).

- Wie lauten die Brüche für die beiden Riegel? Der Nenner gibt die Gesamtzahl der Teile an, der Zähler die Anzahl der gefärbten Teile. - Um zwei Brüche mit verschiedenen Nennern zu vergleichen, musst du sie zuerst erweitern, sodass sie denselben Nenner haben. - Welches ist das kleinste gemeinsame Vielfache der beiden Nenner? - Vergleiche nach dem Erweitern einfach die Zähler der beiden Brüche.

1. Bestimmung der Brüche: Für Riegel A sind 2 von 3 Teilen übrig, also der Anteil \(\frac{2}{3}\). Für Riegel B sind 3 von 5 Teilen übrig, also der Anteil \(\frac{3}{5}\). 2. Vergleich der Brüche: Um die Brüche \(\frac{2}{3}\) und \(\frac{3}{5}\) zu vergleichen, bringen wir sie auf den Hauptnenner (kleinstes gemeinsames Vielfaches von 3 und 5 ist 15): - Riegel A: \(\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{10}{15}\) - Riegel B: \(\frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{9}{15}\) Da \(\frac{10}{15} > \frac{9}{15}\) ist, gilt \(\frac{2}{3} > \frac{3}{5}\). Riegel A hat somit den größeren verbleibenden Anteil.

a) Riegel A: \(\frac{2}{3}\), Riegel B: \(\frac{3}{5}\) b) Riegel A hat den größeren verbleibenden Anteil, da \(\frac{2}{3} = \frac{10}{15}\) größer ist als \(\frac{3}{5} = \frac{9}{15}\).

- Wie viele gleich große Teile hat der Kreis in Abbildung A insgesamt und wie viele davon sind gefärbt? - Wie sieht es bei Kreis B aus? Schreibe für beide Kreise zuerst den jeweiligen Anteil als Bruch auf. - Um zwei Brüche mit unterschiedlichen Nennern vergleichen zu können, müssen sie denselben Nenner haben. Wie kannst du Brüche so verändern, dass sie denselben Nenner haben? - Suche nach dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen der beiden Nenner. - Welcher Zähler ist nach dem Erweitern größer?

1. Bestimmung des gefärbten Anteils in Kreis A: Der Kreis ist in 8 gleich große Teile unterteilt, wovon 5 gefärbt sind. Das entspricht dem nicht weiter kürzbaren Bruch \(\frac{5}{8}\). 2. Bestimmung des gefärbten Anteils in Kreis B: Der Kreis ist in 6 gleich große Teile unterteilt, wovon 4 gefärbt sind. Das entspricht dem Bruch \(\frac{4}{6}\). Gekürzt mit 2 ergibt dies \(\frac{2}{3}\). 3. Bestimmung des Hauptnenners: Das kleinste gemeinsame Vielfache von 8 und 3 ist 24. 4. Erweitern der Brüche auf den Nenner 24: - \(\frac{5}{8} = \frac{15}{24}\) - \(\frac{2}{3} = \frac{16}{24}\) 5. Vergleich der Brüche: Da \(\frac{16}{24} > \frac{15}{24}\) gilt, hat der Kreis B den größeren gefärbten Anteil.

a) Anteil A: \(\frac{5}{8}\), Anteil B: \(\frac{2}{3}\) b) Kreis B, da \(\frac{2}{3} = \frac{16}{24}\) größer ist als \(\frac{5}{8} = \frac{15}{24}\).

- Welcher Bruch stellt den gefärbten Anteil in jeder der Abbildungen dar? Zähle dazu die gefärbten Teile und die Gesamtzahl der Teile. - Um Brüche mit unterschiedlichen Nennern vergleichen zu können, hilft es, sie auf einen gemeinsamen Nenner (Hauptnenner) zu bringen. - Du kannst die Brüche auch erweitern oder kürzen, um den Vergleich zu erleichtern. - Welcher der Brüche ist der kleinste? Welcher der größte? Ordne sie schrittweise. - Wenn du die Buchstaben in der Reihenfolge der geordneten Brüche aufschreibst, entsteht ein bekanntes deutsches Wort.

1. Bestimmung des gefärbten Anteils für jede Abbildung als Bruch: - B: 2 von 5 Teilen sind gefärbt \(\rightarrow \frac{2}{5}\) - O: 1 von 4 Teilen ist gefärbt \(\rightarrow \frac{1}{4}\) - S: 6 von 10 Teilen sind gefärbt \(\rightarrow \frac{6}{10} = \frac{3}{5}\) - T: 6 von 8 Teilen sind gefärbt \(\rightarrow \frac{6}{8} = \frac{3}{4}\) 2. Vergleich der Brüche durch Erweitern auf den Hauptnenner \(20\): - O: \(\frac{1}{4} = \frac{5}{20}\) - B: \(\frac{2}{5} = \frac{8}{20}\) - S: \(\frac{6}{10} = \frac{12}{20}\) - T: \(\frac{3}{4} = \frac{15}{20}\) 3. Ordnung der Brüche vom kleinsten zum größten Wert: \(\frac{5}{20} < \frac{8}{20} < \frac{12}{20} < \frac{15}{20}\) bzw. \(\frac{1}{4} < \frac{2}{5} < \frac{6}{10} < \frac{3}{4}\) 4. Zusammensetzen des Lösungsworts anhand der geordneten Buchstaben: Die Reihenfolge lautet O - B - S - T. Das Lösungswort ist „OBST“.

Das Lösungswort lautet „OBST“. Die geordneten Brüche sind: \(\frac{1}{4} < \frac{2}{5} < \frac{6}{10} < \frac{3}{4}\)

- Bestimme zuerst für jede Figur einzeln, wie viele Teile insgesamt vorhanden sind und wie viele davon gefärbt sind. - Schreibe diese Anteile als Brüche auf und kürze sie, wenn möglich. - Um zwei Brüche mit unterschiedlichen Nennern zu vergleichen, musst du sie zuerst durch Erweitern auf denselben Nenner (den Hauptnenner) bringen. - Welcher der beiden erweiterten Brüche hat nun den größeren Zähler?

1. Bestimmung des gefärbten Anteils von Figur A: Ein Kreis mit \(8\) gleich großen Sektoren, von denen \(5\) gefärbt sind. Der Anteil ist \(\frac{5}{8}\) (nicht weiter kürzbar). 2. Bestimmung des gefärbten Anteils von Figur B: Ein Gitter mit \(2 \cdot 5 = 10\) Kästchen, von denen \(6\) gefärbt sind. Der Anteil ist \(\frac{6}{10}\), was gekürzt \(\frac{3}{5}\) ergibt. 3. Vergleich der beiden Anteile durch Erweitern auf den Hauptnenner \(40\): - Figur A: \(\frac{5}{8} = \frac{5 \cdot 5}{8 \cdot 5} = \frac{25}{40}\) - Figur B: \(\frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 8}{5 \cdot 8} = \frac{24}{40}\) 4. Da \(\frac{25}{40} > \frac{24}{40}\) ist, hat Figur A einen größeren gefärbten Anteil an der Gesamtfläche als Figur B.

a) Figur A: \(\frac{5}{8}\); Figur B: \(\frac{3}{5}\) b) Figur A hat den größeren gefärbten Anteil, da beim Vergleich auf dem gemeinsamen Nenner gilt: \(\frac{25}{40} > \frac{24}{40}\).

- Bestimme für jedes Bild zuerst den Bruchteil der gefärbten Stücke an der Gesamtzahl der Stücke der Schokoladentafel. - Versuche, die Brüche so weit wie möglich zu kürzen. - Um Brüche mit verschiedenen Nennern zu vergleichen, kannst du sie auf einen gemeinsamen Nenner (Hauptnenner) erweitern. - Welches ist das kleinste gemeinsame Vielfache von \(3\), \(8\) und \(4\)?

1. Bestimmung der Anteile als Bruch: - Amelie (Bild a): Von \(6\) Teilen sind \(4\) gefärbt. Das entspricht dem Bruch \(\frac{4}{6}\). Gekürzt erhalten wir \(\frac{2}{3}\). - Ben (Bild b): Von \(8\) Teilen sind \(5\) gefärbt. Das entspricht dem Bruch \(\frac{5}{8}\). Dieser Bruch ist bereits vollständig gekürzt. - Charlotte (Bild c): Von \(12\) Teilen sind \(9\) gefärbt. Das entspricht dem Bruch \(\frac{9}{12}\). Gekürzt erhalten wir \(\frac{3}{4}\). 2. Vergleich und Ordnung der Brüche: Um die Brüche \(\frac{2}{3}\), \(\frac{5}{8}\) und \(\frac{3}{4}\) zu vergleichen, bringen wir sie auf den Hauptnenner \(24\): - Amelie: \(\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 8}{3 \cdot 8} = \frac{16}{24}\) - Ben: \(\frac{5}{8} = \frac{5 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{15}{24}\) - Charlotte: \(\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 6}{4 \cdot 6} = \frac{18}{24}\) Es gilt: \(\frac{15}{24} < \frac{16}{24} < \frac{18}{24}\). Daraus ergibt sich die geordnete Reihenfolge: \(\frac{5}{8} < \frac{2}{3} < \frac{3}{4}\). Charlotte hat am meisten Schokolade übrig.

a) Amelie: \(\frac{2}{3}\), Ben: \(\frac{5}{8}\), Charlotte: \(\frac{3}{4}\) b) Reihenfolge: \(\frac{5}{8} < \frac{2}{3} < \frac{3}{4}\). Charlotte hat am meisten Schokolade übrig.

- Welcher farbige Balken in der Zeichnung ist am längsten? - Um Brüche genau zu vergleichen, kannst du sie auf den gleichen Nenner erweitern. - Suche eine Zahl, die sowohl in der 3er-, 4er- als auch in der 6er-Reihe vorkommt.

1. Bestimmung der Anteile aus der Aufgabenstellung: \(A = \frac{3}{4}\), \(B = \frac{2}{3}\), \(C = \frac{5}{6}\). 2. Vergleich durch Erweiterung auf einen gemeinsamen Nenner (Hauptnenner ist 12): - Beet A: \(\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{9}{12}\) - Beet B: \(\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{8}{12}\) - Beet C: \(\frac{5}{6} = \frac{5 \cdot 2}{6 \cdot 2} = \frac{10}{12}\) 3. Ordnung der Brüche: Da \(10 > 9 > 8\), gilt \(\frac{10}{12} > \frac{9}{12} > \frac{8}{12}\). 4. Schlussfolgerung: Der Anteil \(\frac{5}{6}\) (Beet C) ist am größten.

Beet C hat die größte bepflanzte Fläche.

- Bestimme für jede Figur den Bruchteil der markierten Fläche. - Versuche, die Brüche so weit wie möglich zu kürzen, um sie besser vergleichen zu können. - Welche zwei Brüche haben nach dem Kürzen denselben Wert?

1. Anteil A bestimmen: Der Kreis ist in 4 Teile geteilt, 1 Teil ist markiert. Anteil = \(\frac{1}{4}\). 2. Anteil B bestimmen: Das Gitter besteht aus \(2 \cdot 4 = 8\) Feldern, 2 Felder sind markiert. Anteil = \(\frac{2}{8}\). Durch Kürzen mit 2 erhält man \(\frac{2 : 2}{8 : 2} = \frac{1}{4}\). 3. Anteil C bestimmen: Das Sechseck ist in 6 Dreiecke unterteilt, 2 Dreiecke sind markiert. Anteil = \(\frac{2}{6}\). Durch Kürzen mit 2 erhält man \(\frac{2 : 2}{6 : 2} = \frac{1}{3}\). 4. Vergleich: Anteil A (\(\frac{1}{4}\)) und Anteil B (\(\frac{1}{4}\)) sind gleich groß. Anteil C (\(\frac{1}{3}\)) ist größer als \(\frac{1}{4}\). 5. Ergebnis: Figur C stellt einen anderen Anteil dar.

Abbildung C stellt einen anderen Anteil dar. Die Abbildungen A und B zeigen jeweils \(\frac{1}{4}\), denn \(\frac{2}{8} = \frac{1}{4}\). Abbildung C zeigt dagegen \(\frac{2}{6} = \frac{1}{3}\).

- Welchen Bruchteil stellt Abbildung A dar? - Welchen Bruchteil stellt Abbildung B dar? - Um Brüche zu vergleichen, kannst du sie auf einen gemeinsamen Nenner bringen oder in Dezimalzahlen umwandeln.

1. Bestimmung des Bruchteils für Tafel A: \(3\) von \(5\) Teilen sind markiert, also \(\frac{3}{5}\). 2. Bestimmung des Bruchteils für Tafel B: \(2\) von \(4\) Teilen sind markiert, also \(\frac{2}{4}\) (oder \(\frac{1}{2}\)). 3. Vergleich der Brüche: Um sie zu vergleichen, bringt man sie auf den Hauptnenner \(20\). \(\frac{3}{5} = \frac{12}{20}\) und \(\frac{2}{4} = \frac{10}{20}\). 4. Ergebnis: Da \(12 > 10\), ist der Anteil in Abbildung A größer.

In Abbildung A ist der Anteil größer, da \(\frac{3}{5} > \frac{2}{4}\) (beziehungsweise \(0{,}6 > 0{,}5\)).

- Welcher Kreis ist in mehr Stücke unterteilt? - Wenn beide Kreise gleich viele farbige Stücke haben, in welchem Kreis sind diese Stücke breiter?

1. Die Zähler sind bei beiden Brüchen gleich (4). 2. Ein Siebtel ist ein größerer Anteil an einem Ganzen als ein Neuntel. 3. Vier Siebtel sind somit mehr als vier Neuntel (\(\frac{4}{7} > \frac{4}{9}\)).

In Abbildung A (\(\frac{4}{7}\)) ist ein größerer Anteil markiert.

- Zähle zuerst, in wie viele gleich große Teile die jeweilige Figur unterteilt ist. Das ist dein Nenner. - Zähle dann die gefärbten Teile für den Zähler. - Kürze die Brüche so weit wie möglich, bevor du sie vergleichst. - Um Brüche besser vergleichen zu können, hilft es oft, sie auf denselben Nenner zu bringen.

1. Bestimmung der Bruchteile: - Figur S (Sechseck): \(1\) von \(6\) Dreiecken ist gefärbt: \(\frac{1}{6}\). - Figur T (Dreieck): \(1\) von \(3\) Teilflächen ist gefärbt: \(\frac{1}{3}\). - Figur A (Kreis): \(2\) von \(4\) Sektoren sind gefärbt: \(\frac{2}{4} = \frac{1}{2}\). - Figur R (Balken): \(2\) von \(3\) Abschnitten sind gefärbt: \(\frac{2}{3}\). 2. Vergleich der Brüche (Hauptnenner \(6\)): - S: \(\frac{1}{6}\) - T: \(\frac{1}{3} = \frac{2}{6}\) - A: \(\frac{1}{2} = \frac{3}{6}\) - R: \(\frac{2}{3} = \frac{4}{6}\) 3. Ordnung: \(\frac{1}{6} < \frac{1}{3} < \frac{1}{2} < \frac{2}{3}\). 4. Buchstabenfolge: S – T – A – R.

Die Anteile sind: S: \(\frac{1}{6}\), T: \(\frac{1}{3}\), A: \(\frac{1}{2}\), R: \(\frac{2}{3}\). In der richtigen Reihenfolge gilt: \(\frac{1}{6} < \frac{1}{3} < \frac{1}{2} < \frac{2}{3}\). Das Lösungswort ist STAR.

- Ist es einfacher, Brüche mit verschiedenen Nennern zu vergleichen oder alles in Prozente umzurechnen? - Was ergibt \(3 : 8\)? - Wie viel Prozent sind ein Fünftel? - Gibt es Werte, die vielleicht genau gleich groß sind?

1. Umwandlung aller Werte in Prozent: - \(\frac{3}{8} = 0{,}375 = 37{,}5\,\%\) - \(35\,\%\) bleibt \(35\,\%\) - \(0{,}4 = 40\,\%\) - \(\frac{2}{5} = \frac{4}{10} = 40\,\%\) 2. Vergleich der Prozentwerte: \(35\,\% < 37{,}5\,\% < 40\,\% = 40\,\%\) 3. Aufstellen der Reihenfolge: \(35\,\% < \frac{3}{8} < 0{,}4 = \frac{2}{5}\)

\(35\,\% < \frac{3}{8} < 0{,}4 = \frac{2}{5}\)

- Bringe alle Zahlen in das gleiche Format, zum Beispiel in Prozent, um sie besser vergleichen zu können. - Die „Hälfte“ lässt sich einfach als Prozentsatz mit dem Nenner 100 ausdrücken. - Wie viel fehlt jedem Wert bis zu \(50\,\%\) oder wie weit liegt er darüber?

1. Umwandlung von \(A\): \(\frac{14}{25} = \frac{56}{100} = 56\,\%\) 2. Umwandlung von \(B\): \(0{,}49 = \frac{49}{100} = 49\,\%\) 3. Umwandlung von \(C\): Erweitern von \(\frac{123}{250}\) mit 4 ergibt \(\frac{492}{1000} = 0{,}492 = 49{,}2\,\%\) 4. Berechnung der Abstände zu \(50\,\%\): Der Abstand beträgt bei \(A\) 6 Prozentpunkte, bei \(B\) 1 Prozentpunkt und bei \(C\) \(0{,}8\) Prozentpunkte. 5. Vergleich der Abstände: \(0{,}8\) Prozentpunkte sind der kleinste Abstand, daher liegt \(C\) am nächsten.

Anteil \(C = \frac{123}{250}\) liegt am nächsten bei \(50\,\%\). Begründung: \(A = 56\,\%\), \(B = 49\,\%\) und \(C = 49{,}2\,\%\). Der Abstand von \(C\) zu \(50\,\%\) beträgt nur \(0{,}8\) Prozentpunkte.

- Überlege dir, wie groß der Zähler sein müsste, damit der Bruch genau den Wert \(\frac{1}{2}\) hat. - Ist der erste Bruch größer oder kleiner als \(\frac{1}{2}\)? - Wie sieht es beim zweiten Bruch aus? - Kannst du daraus schließen, welcher Bruch insgesamt größer ist, ohne die Nenner gleichzumachen?

1. Vergleich von \(\frac{15}{32}\) mit \(\frac{1}{2}\): Die Hälfte von 32 ist 16. Da \(15 < 16\), ist \(\frac{15}{32} < \frac{1}{2}\). 2. Vergleich von \(\frac{17}{30}\) mit \(\frac{1}{2}\): Die Hälfte von 30 ist 15. Da \(17 > 15\), ist \(\frac{17}{30} > \frac{1}{2}\). 3. Schlussfolgerung: Da ein Wert kleiner als \(\frac{1}{2}\) und der andere größer als \(\frac{1}{2}\) ist, gilt \(\frac{17}{30} > \frac{15}{32}\).

\(\frac{17}{30}\) ist größer als \(\frac{15}{32}\), da \(\frac{15}{32} < \frac{1}{2}\) und \(\frac{17}{30} > \frac{1}{2}\) ist.

- Kannst du eine Zahl finden, die in der Dreierreihe, der Fünferreihe und der Zehnerreihe vorkommt? - Sobald alle Brüche denselben Nenner haben, musst du nur noch die Zähler vergleichen. - Vergiss nicht, am Ende die ursprünglichen Brüche in der richtigen Reihenfolge aufzuschreiben.

1. Bestimmung des Hauptnenners als kgV von 3, 5 und 10: \(30\) 2. Erweitern von \(\frac{2}{3}\) mit 10: \(\frac{20}{30}\) 3. Erweitern von \(\frac{3}{5}\) mit 6: \(\frac{18}{30}\) 4. Erweitern von \(\frac{7}{10}\) mit 3: \(\frac{21}{30}\) 5. Vergleich der Zähler der erweiterten Brüche: \(18 < 20 < 21\) 6. Übertragung auf die ursprünglichen Brüche: \(\frac{3}{5} < \frac{2}{3} < \frac{7}{10}\)

Die korrekte Reihenfolge ist \(\frac{3}{5} < \frac{2}{3} < \frac{7}{10}\).

- Es ist oft einfacher, Zahlen zu vergleichen, wenn sie im gleichen Format stehen. - Du kannst einen unechten Bruch in eine gemischte Zahl verwandeln oder umgekehrt. - Achte darauf, ob Brüche gekürzt oder erweitert werden müssen, um sie besser vergleichen zu können. - Was passiert mit dem Wert eines Bruches, wenn du Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilst?

1. Vergleich a): Umwandlung \(3 \frac{4}{7} = \frac{3 \cdot 7 + 4}{7} = \frac{25}{7}\). Vergleich \(\frac{25}{7} > \frac{24}{7}\). Ergebnis: \(>\). 2. Vergleich b): Kürzen von \(\frac{45}{12}\) mit \(3\) ergibt \(\frac{15}{4}\). Umwandlung \(3 \frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{15}{4}\). Ergebnis: \(=\). 3. Vergleich c): Umwandlung \(6 \frac{2}{5} = \frac{32}{5}\). Erweitern auf Nenner \(10\) ergibt \(\frac{64}{10}\). Vergleich \(\frac{64}{10} > \frac{62}{10}\). Alternativ: \(\frac{62}{10} = 6 \frac{2}{10} = 6 \frac{1}{5}\). Vergleich \(6 \frac{2}{5} > 6 \frac{1}{5}\). Ergebnis: \(>\).

a) \(>\) b) \(=\) c) \(>\)

- Kannst du die gegebenen Brüche in Dezimalzahlen umwandeln? - Welche Dezimalzahlen lassen sich als Bruch mit dem Nenner 10 schreiben? - Überprüfe alle möglichen Zähler für den Nenner 10 nacheinander.

1. Umrechnung der Grenzbrüche in Dezimalzahlen: \(\frac{1}{4} = 0{,}25\) und \(\frac{2}{5} = 0{,}4\). 2. Ein Bruch mit dem Nenner 10 hat in Dezimalschreibweise die Form \(0{,}k\) (wobei \(k\) der Zähler ist). 3. Aufstellen der Ungleichung: \(0{,}25 < 0{,}k < 0{,}4\). 4. Da \(k\) eine ganze Zahl sein muss, kommen nur Werte infrage, bei denen die erste Nachkommastelle zwischen 2 und 4 liegt (unter Berücksichtigung der zweiten Stelle von \(0{,}25\)). 5. Für \(k=2\) gilt \(0{,}2 < 0{,}25\) (nicht erfüllt). Für \(k=3\) gilt \(0{,}25 < 0{,}3 < 0{,}4\) (erfüllt). Für \(k=4\) gilt \(0{,}4 = 0{,}4\); die strenge obere Ungleichung ist nicht erfüllt. 6. Die einzige Lösung ist \(\frac{3}{10}\). Da für alle anderen ganzen Zahlen \(k\) der Wert \(0{,}k\) entweder kleiner/gleich \(0{,}2\) oder größer/gleich \(0{,}4\) ist, gibt es keine weitere Lösung.

Der Bruch ist \(\frac{3}{10}\). Es gibt nur diese Lösung, da im Bereich zwischen \(0{,}25\) und \(0{,}4\) nur die Dezimalzahl \(0{,}3\) liegt, die eine Zehntelstelle besitzt.

- Hier sind es vier Brüche. Das Prinzip bleibt gleich: Finde einen gemeinsamen Nenner für alle. - Gibt es eine Zahl in der 36er-Reihe, die auch durch 18, 24 und 12 teilbar ist? - Achte beim Vergleichen genau darauf, welcher ursprüngliche Bruch zu welchem erweiterten Zähler gehört.

1. Bestimmung des kgV der Nenner 18, 24, 36 und 12: \(18 = 2 \cdot 3^2\), \(24 = 2^3 \cdot 3\), \(36 = 2^2 \cdot 3^2\), \(12 = 2^2 \cdot 3\). Das kleinste gemeinsame Vielfache ist \(2^3 \cdot 3^2 = 8 \cdot 9 = 72\). 2. Erweitern der Brüche auf den Nenner 72: \(\frac{13}{18} = \frac{52}{72}\), \(\frac{19}{24} = \frac{57}{72}\), \(\frac{25}{36} = \frac{50}{72}\), \(\frac{11}{12} = \frac{66}{72}\). 3. Vergleich der Zähler: \(50 < 52 < 57 < 66\). 4. Ergebnis: \(\frac{25}{36} < \frac{13}{18} < \frac{19}{24} < \frac{11}{12}\).

\(\frac{25}{36} < \frac{13}{18} < \frac{19}{24} < \frac{11}{12}\)

- Sortiere zuerst die Brüche, die kleiner als \(1\) sind, und die, die größer als \(1\) sind. - Wenn zwei Brüche fast \(1\) ergeben, welcher ist dann näher dran? - Denke an die Größe der fehlenden „Stücke“: Ist \(\frac{1}{124}\) größer oder kleiner als \(\frac{1}{125}\)?

1. Identifikation des größten Wertes: Bruch \(B = \frac{124}{123}\) ist der einzige unechte Bruch (\(B > 1\)), während \(A\) und \(C\) echte Brüche sind (\(< 1\)). Somit ist \(B\) der größte Wert. 2. Vergleich von \(A\) und \(C\): Beide Brüche haben einen Abstand von genau einem Teil zum Ganzen. Bei \(A\) fehlt \(\frac{1}{124}\) zu \(1\), bei \(C\) fehlt \(\frac{1}{125}\) zu \(1\). 3. Da \(\frac{1}{124} > \frac{1}{125}\), ist der „Abstand“ zur \(1\) bei \(A\) größer als bei \(C\). Das bedeutet, \(A\) liegt weiter links auf dem Zahlenstrahl als \(C\). 4. Schlussfolgerung: \(A < C < 1 < B\).

Die Reihenfolge lautet: \(A < C < B\) (bzw. \(\frac{123}{124} < \frac{124}{125} < \frac{124}{123}\)).

- Was passiert mit der Größe eines Bruchs, wenn der Zähler gleich bleibt, aber der Nenner kleiner wird? - Was passiert, wenn der Nenner gleich bleibt, aber der Zähler größer wird? - Vergleiche die Brüche einzeln miteinander. Welcher ist der absolut kleinste? - Nutze die Hälfte (\(\frac{1}{2}\)) als Orientierungspunkt für den schwierigen Vergleich.

1. Vergleich von \(\frac{7}{15}\) und \(\frac{8}{15}\): Da die Nenner gleich sind, ist der Bruch mit dem kleineren Zähler kleiner. Somit gilt \(\frac{7}{15} < \frac{8}{15}\). 2. Vergleich von \(\frac{7}{15}\) und \(\frac{7}{13}\): Da die Zähler gleich sind, ist der Bruch mit dem größeren Nenner kleiner (da das Ganze in mehr Teile geteilt wird). Somit gilt \(\frac{7}{15} < \frac{7}{13}\). 3. Vergleich von \(\frac{8}{15}\) und \(\frac{7}{13}\): Untersuchung des Abstands zur Hälfte (\(0{,}5\)). Es gilt \(\frac{8}{15} - \frac{1}{2} = \frac{1}{30}\) und \(\frac{7}{13} - \frac{1}{2} = \frac{1}{26}\). Da \(\frac{1}{26} > \frac{1}{30}\), ist \(\frac{7}{13} > \frac{8}{15}\). Alternativ Kreuzmultiplikation: \(8 \cdot 13 = 104\) und \(7 \cdot 15 = 105\). Da \(104 < 105\), ist \(\frac{8}{15} < \frac{7}{13}\). 4. Gesamtreihenfolge: \(\frac{7}{15} < \frac{8}{15} < \frac{7}{13}\).

\(\frac{7}{15} < \frac{8}{15} < \frac{7}{13}\)

- Kannst du die Nenner einzeln in ihre kleinsten Bausteine (Primzahlen) zerlegen? - Wie bildest du aus diesen Bausteinen das kleinste gemeinsame Vielfache? - Überprüfe deine Multiplikationen beim Erweitern der Brüche sorgfältig.

1. Primfaktorzerlegung der Nenner durchführen: \(60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5\), \(45 = 3^2 \cdot 5\), \(75 = 3 \cdot 5^2\). 2. Das kgV der Nenner berechnen: \(2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^2 = 4 \cdot 9 \cdot 25 = 900\). 3. Brüche auf den Nenner \(900\) erweitern: \(\frac{19}{60} = \frac{19 \cdot 15}{900} = \frac{285}{900}\), \(\frac{13}{45} = \frac{13 \cdot 20}{900} = \frac{260}{900}\), \(\frac{23}{75} = \frac{23 \cdot 12}{900} = \frac{276}{900}\). 4. Zähler vergleichen: \(260 < 276 < 285\). 5. Aufsteigende Reihenfolge bestimmen: \(\frac{13}{45} < \frac{23}{75} < \frac{19}{60}\).

\(\frac{13}{45} < \frac{23}{75} < \frac{19}{60}\)

- Gibt es bei Brüchen so etwas wie „direkte Nachbarn“, zwischen denen keine andere Zahl mehr passt? - Überlege dir, was passiert, wenn du die Nenner immer weiter vergrößerst. - Spielt die physikalische Länge des Abstands auf dem Papier eine Rolle für die Anzahl der Zahlen, die man dort theoretisch finden kann?

1. Feststellung, dass die Behauptung des Schülers falsch ist. 2. Begründung: Zwischen zwei beliebigen, voneinander verschiedenen Brüchen liegen immer unendlich viele weitere Brüche. 3. Erläuterung des Prinzips: Unabhängig vom Abstand der Ausgangszahlen kann man durch Erweitern der Brüche mit beliebig großen Zahlen, zum Beispiel mit \(10^n\), stets beliebig viele neue Brüche in das Intervall einfügen.

Der Schüler hat nicht recht. Zwischen zwei beliebigen verschiedenen Brüchen liegen immer unendlich viele weitere Brüche, unabhängig davon, wie nah sie beieinanderliegen.

- Wie viel fehlt jedem Kind jeweils bis zu einer ganzen Pizza? - Welcher dieser „Rest-Brüche“ ist der kleinste? - Was bedeutet es für die gegessene Menge, wenn der Rest besonders klein ist?

1. Berechnung des Rests (Ergänzung zu 1): Anton lässt \(1 - \frac{5}{6} = \frac{1}{6}\) übrig. Berta lässt \(1 - \frac{7}{8} = \frac{1}{8}\) übrig. Claus lässt \(1 - \frac{11}{12} = \frac{1}{12}\) übrig. 2. Vergleich der Reststücke: \(\frac{1}{6}\), \(\frac{1}{8}\) und \(\frac{1}{12}\) sind Stammbrüche. 3. Je größer der Nenner eines Stammbruchs, desto kleiner ist der Wert des Bruchstücks. 4. Da \(12 > 8 > 6\), gilt \(\frac{1}{12} < \frac{1}{8} < \frac{1}{6}\). 5. Claus lässt mit \(\frac{1}{12}\) das kleinste Stück übrig.

Claus lässt das kleinste Stück übrig. Da \(\frac{1}{12}\) kleiner ist als \(\frac{1}{8}\) und \(\frac{1}{6}\), ist er am nächsten an einer ganzen Pizza.

- Führe die beschriebenen Schritte genau so aus, wie sie im Text stehen. - Um Brüche zu vergleichen, ist es am einfachsten, sie auf den gleichen Nenner zu bringen. - Erinnere dich, wie man den Durchschnitt (die Mitte) zweier Zahlen berechnet.

1. Anwendung der vorgeschlagenen Methode: Zähler addieren \(1+1=2\), Nenner addieren \(4+2=6\). Ergebnis: \(\frac{2}{6} = \frac{1}{3}\). 2. Vergleich mit den Randwerten: Hauptnenner 12 suchen. \(\frac{1}{4} = \frac{3}{12}\), \(\frac{1}{3} = \frac{4}{12}\), \(\frac{1}{2} = \frac{6}{12}\). Da \(\frac{3}{12} < \frac{4}{12} < \frac{6}{12}\), liegt \(\frac{1}{3}\) dazwischen. 3. Berechnung der exakten Mitte (arithmetisches Mittel): \((\frac{1}{4} + \frac{2}{4}) : 2 = \frac{3}{4} : 2 = \frac{3}{8}\). 4. Vergleich von \(\frac{1}{3}\) und \(\frac{3}{8}\): Hauptnenner 24 suchen. \(\frac{1}{3} = \frac{8}{24}\) und \(\frac{3}{8} = \frac{9}{24}\). Da \(\frac{8}{24} \neq \frac{9}{24}\), liegt der Bruch aus der Schülermethode nicht genau in der Mitte.

a) Der neue Bruch ist \(\frac{1}{3}\). b) Ja, er liegt dazwischen, da \(\frac{1}{4} < \frac{1}{3} < \frac{1}{2}\). c) Nein, er liegt nicht genau in der Mitte. Die exakte Mitte ist \(\frac{3}{8}\), was etwas größer ist als \(\frac{1}{3}\).