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- Wie viele kleine Abschnitte liegen genau zwischen \(4\) und \(5\)? - Welchen Bruchteil stellt also ein einzelner kleiner Abschnitt dar? - Zähle von \(4\) aus, wie viele dieser Bruchteile du bis zum Pfeil gehen musst. - Denke daran, das Ergebnis als Kombination aus der ganzen Zahl und dem Bruch aufzuschreiben.

1. Bestimmung der Unterteilung: Zwischen den ganzen Zahlen \(4\) und \(5\) liegen \(8\) gleich große Abschnitte. 2. Wert eines Abschnitts: Jeder Teilstrich entspricht somit einem Achtel (\(\frac{1}{8}\)). 3. Ablesen der Position: Der Pfeil zeigt auf den dritten Teilstrich rechts von \(4\). 4. Zusammensetzen der Zahl: Die markierte Zahl ist \(4 + \frac{3}{8} = 4\frac{3}{8}\). 5. Prüfung auf Kürzbarkeit: Der Bruch \(\frac{3}{8}\) lässt sich nicht weiter kürzen.

Der Pfeil zeigt auf die Zahl \(4\frac{3}{8}\).

- Überlege dir, welcher Nenner alle anderen enthalten könnte. - Wie viele Kästchen oder Zentimeter sollte ein Ganzes lang sein, damit du alle Brüche ohne Reste einzeichnen kannst? - Vergleiche die Abstände auf dem Zahlenstrahl, um herauszufinden, welcher Wert am nächsten liegt.

1. Bestimmung des Hauptnenners: Der kleinste gemeinsame Nenner für 2, 4 und 8 ist 8. 2. Umrechnung der Brüche: \(\frac{1}{4} = \frac{2}{8}\), \(\frac{1}{2} = \frac{4}{8}\), \(\frac{3}{4} = \frac{6}{8}\). Die Liste lautet nun: \(\frac{2}{8}, \frac{4}{8}, \frac{5}{8}, \frac{6}{8}\). 3. Wahl der Einheitsstrecke: Eine Länge von \(8\,\text{cm}\) ist ideal, da jedes Achtel genau \(1\,\text{cm}\) entspricht. Alternativ ist eine Einheitsstrecke von \(4\,\text{cm}\) möglich; dann entspricht ein Achtel \(0{,}5\,\text{cm}\). 4. Vergleich mit \(\frac{3}{8}\): Die Abstände berechnen: \(|\frac{3}{8} - \frac{2}{8}| = \frac{1}{8}\), \(|\frac{3}{8} - \frac{4}{8}| = \frac{1}{8}\). Die Brüche \(\frac{1}{4}\) und \(\frac{1}{2}\) liegen beide mit dem Abstand \(\frac{1}{8}\) am nächsten an \(\frac{3}{8}\).

Eine geeignete Einheitsstrecke ist \(8\,\text{cm}\) (oder 8 Kästchen), da der Hauptnenner 8 ist. Die Brüche \(\frac{1}{4}\) und \(\frac{1}{2}\) liegen mit einem Abstand von jeweils \(\frac{1}{8}\) am nächsten bei \(\frac{3}{8}\).

- „Genau in der Mitte“ bedeutet, dass man den Mittelwert berechnet. Wie berechnet man die Hälfte eines Bruches? Um Brüche auf einer Zahlengeraden leicht einzuzeichnen, hilft es, sie auf den gleichen Nenner zu bringen. Überlege dir einen passenden Maßstab, zum Beispiel \(10\,\text{cm}\) für ein Ganzes.

1. Berechnung der ersten Mitte: \((\frac{1}{5} + \frac{3}{5}) : 2 = \frac{4}{5} : 2 = \frac{2}{5}\). 2. Berechnung der zweiten Mitte zwischen \(\frac{1}{5}\) und \(\frac{2}{5}\): \((\frac{1}{5} + \frac{2}{5}) : 2 = \frac{3}{5} : 2 = \frac{3}{10}\). 3. Umrechnung für die Zahlengerade: \(\frac{1}{5} = \frac{2}{10}\), \(\frac{2}{5} = \frac{4}{10}\), \(\frac{3}{5} = \frac{6}{10}\). 4. Anordnung auf der Zahlengeraden: Die Punkte liegen bei \(\frac{2}{10}\), \(\frac{3}{10}\), \(\frac{4}{10}\) und \(\frac{6}{10}\).

Die erste Mitte liegt bei \(\frac{2}{5}\). Die zweite Mitte liegt bei \(\frac{3}{10}\). Auf der Zahlengeraden liegen die Punkte (von links nach rechts) bei \(\frac{1}{5}\), \(\frac{3}{10}\), \(\frac{2}{5}\) und \(\frac{3}{5}\).

- Zähle zuerst, in wie viele gleich große Teile der Bereich von \(0\) bis \(1\) unterteilt ist. Das gibt dir den Nenner des Bruchs für einen einzelnen Teilstrich. - Zähle dann für jeden Buchstaben die Teilstriche ab \(0\), um den Zähler zu bestimmen. - Denke daran, Brüche wenn möglich zu kürzen. - Werte, die größer als \(1\) sind, kannst du als gemischte Zahl oder als unechten Bruch schreiben.

1. Zähle die Anzahl der Abschnitte zwischen \(0\) und \(1\). Es sind genau \(8\) Abschnitte, also entspricht jeder Teilstrich dem Bruch \(\frac{1}{8}\). 2. Bestimme die Werte der markierten Punkte: - Punkt \(A\) liegt am 3. Teilstrich: \(\frac{3}{8}\). Dieser Bruch lässt sich nicht weiter kürzen. - Punkt \(B\) liegt am 6. Teilstrich: \(\frac{6}{8}\). Gekürzt mit \(2\) ergibt das \(\frac{3}{4}\). - Punkt \(C\) liegt 1 Teilstrich rechts von \(1\): \(1 \frac{1}{8}\) (oder als unechter Bruch \(\frac{9}{8}\)). - Punkt \(D\) liegt 6 Teilstriche rechts von \(1\): \(1 \frac{6}{8}\). Gekürzt ergibt das \(1 \frac{3}{4}\) (oder als unechter Bruch \(\frac{7}{4}\)).

- \(A = \frac{3}{8}\) - \(B = \frac{3}{4}\) - \(C = 1 \frac{1}{8}\) (oder \(\frac{9}{8}\)) - \(D = 1 \frac{3}{4}\) (oder \(\frac{7}{4}\))

- Zähle, in wie viele gleich große Teile die Strecke von 0 bis 1 unterteilt ist. Das gibt dir den Nenner des Bruchs für einen einzelnen Teilstrich. - Um den Wert eines Punktes zu bestimmen, kannst du die Teilstriche ab der Null zählen. - Wenn du einen Bruch abgelesen hast, prüfe, ob du den Zähler und den Nenner durch dieselbe Zahl teilen kannst, um den Bruch zu kürzen. - Für Punkte, die rechts von der 1 liegen, kannst du das Ergebnis auch als gemischte Zahl aufschreiben.

1. Zähle die Anzahl der Abschnitte zwischen \(0\) und \(1\). Es sind genau \(8\) gleich große Abschnitte. Daher entspricht ein einzelner kleiner Teilstrich dem Bruch \(\frac{1}{8}\). 2. Bestimme den Wert für Punkt \(P\): Er liegt am zweiten Teilstrich rechts von \(0\), also bei \(\frac{2}{8}\). Gekürzt mit \(2\) ergibt das \(\frac{1}{4}\). 3. Bestimme den Wert für Punkt \(Q\): Er liegt am siebten Teilstrich rechts von \(0\), also bei \(\frac{7}{8}\). Dieser Bruch lässt sich nicht weiter kürzen. 4. Bestimme den Wert für Punkt \(R\): Er liegt am elften Teilstrich rechts von \(0\) (oder drei Teilstriche rechts von \(1\)). Als unechter Bruch geschrieben ist das \(\frac{11}{8}\). Als gemischte Zahl geschrieben ergibt sich \(1\frac{3}{8}\).

a) Der Abschnitt ist in \(8\) gleich große Teile unterteilt. Ein einzelner Teilstrich entspricht dem Bruch \(\frac{1}{8}\). b) Die Brüche lauten: - \(P = \frac{1}{4}\) - \(Q = \frac{7}{8}\) - \(R = 1\frac{3}{8}\) (oder \(\frac{11}{8}\))

- Wie viele Abschnitte (Teilstriche) liegen zwischen den Hauptmarkierungen \(0\) und \(1\)? - Welchem Bruch entspricht demnach ein einzelner Schritt auf dem Zahlenstrahl? - Zähle für jeden Buchstaben die Schritte ab \(0\) oder ab \(1\). - Vergiss am Ende nicht, deine Brüche so weit wie möglich zu kürzen.

1. Bestimme den Wert eines einzelnen Teilstrichs: Zwischen den Hauptmarkierungen \(0\) und \(1\) befinden sich \(8\) gleich große Abschnitte. Ein Schritt entspricht somit dem Bruch \(\frac{1}{8}\). 2. Bestimme den Wert für \(A\): Der Punkt \(A\) liegt beim 3. Teilstrich rechts von \(0\). \(A = 3 \cdot \frac{1}{8} = \frac{3}{8}\) (dieser Bruch ist bereits vollständig gekürzt). 3. Bestimme den Wert für \(B\): Der Punkt \(B\) liegt beim 2. Teilstrich rechts von \(1\). Als unechter Bruch: \(1 + \frac{2}{8} = \frac{10}{8} = \frac{5}{4}\). Als gemischte Zahl: \(1\frac{2}{8} = 1\frac{1}{4}\). 4. Bestimme den Wert für \(C\): Der Punkt \(C\) liegt beim 6. Teilstrich rechts von \(1\). Als unechter Bruch: \(1 + \frac{6}{8} = \frac{14}{8} = \frac{7}{4}\). Als gemischte Zahl: \(1\frac{6}{8} = 1\frac{3}{4}\).

\(A = \frac{3}{8}\) \(B = \frac{5}{4}\) (bzw. \(1\frac{1}{4}\)) \(C = \frac{7}{4}\) (bzw. \(1\frac{3}{4}\))

- Zähle zuerst, in wie viele gleich große Teile der Abstand von 0 bis 1 unterteilt ist. - Welchem Bruch entspricht somit ein einzelner kleiner Teilstrich auf dem Zahlenstrahl? - Zähle für jeden Buchstaben die Teilstriche ab der Null ab. - Denke daran, Brüche wie \(\frac{2}{8}\) am Ende so weit wie möglich zu kürzen. - Liegt ein Punkt rechts von \(1\), kannst du ihn als gemischte Zahl schreiben.

1. Zuerst bestimmen wir den Wert eines einzelnen Teilabschnitts. Zwischen \(0\) und \(1\) liegen genau \(8\) gleich große Abschnitte. Ein Abschnitt entspricht also dem Bruch \(\frac{1}{8}\). 2. Der Punkt \(A\) liegt am 2. Teilstrich rechts von \(0\): \(2 \cdot \frac{1}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}\). 3. Der Punkt \(B\) liegt am 5. Teilstrich rechts von \(0\): \(5 \cdot \frac{1}{8} = \frac{5}{8}\). 4. Der Punkt \(C\) liegt einen Teilstrich rechts von \(1\), also am 9. Teilstrich: \(1 + \frac{1}{8} = 1\frac{1}{8}\) (oder als unechter Bruch \(\frac{9}{8}\)).

- \(A = \frac{1}{4}\) - \(B = \frac{5}{8}\) - \(C = 1\frac{1}{8}\) (oder \(\frac{9}{8}\))

- Zähle zuerst, in wie viele gleich große Teile die Strecke zwischen zwei beschrifteten ganzen Zahlen aufgeteilt ist. - Wenn du weißt, wie viele Abschnitte es gibt, kannst du den Wert eines einzelnen Abschnitts bestimmen. - Überlege dir, wie viele dieser Abschnitte du von der Zahl \(1\) aus nach rechts gehen musst, um zu den jeweiligen Punkten zu gelangen. - Denke daran, Brüche am Ende so weit wie möglich zu kürzen.

1. Bestimmung der Einteilung: Die Strecke zwischen den ganzen Zahlen \(1\) und \(2\) ist in \(8\) gleich große Abschnitte unterteilt. Jeder dieser Abschnitte entspricht somit dem Wert \(\frac{1}{8}\). 2. Bestimmung von Punkt \(A\): Der Punkt \(A\) liegt einen Abschnitt rechts von \(1\). Sein Wert ist \(1 + \frac{1}{8} = 1\frac{1}{8} = \frac{9}{8}\). 3. Bestimmung von Punkt \(B\): Der Punkt \(B\) liegt fünf Abschnitte rechts von \(1\). Sein Wert ist \(1 + \frac{5}{8} = 1\frac{5}{8} = \frac{13}{8}\). 4. Bestimmung von Punkt \(C\): Der Punkt \(C\) liegt sieben Abschnitte rechts von \(1\). Sein Wert ist \(1 + \frac{7}{8} = 1\frac{7}{8} = \frac{15}{8}\).

a) Die Strecke ist in \(8\) gleich große Abschnitte unterteilt. Ein einzelner Abschnitt hat den Wert \(\frac{1}{8}\). b) Die gesuchten Werte sind: - **\(A\)**: \(\frac{9}{8}\) bzw. \(1\frac{1}{8}\) - **\(B\)**: \(\frac{13}{8}\) bzw. \(1\frac{5}{8}\) - **\(C\)**: \(\frac{15}{8}\) bzw. \(1\frac{7}{8}\)

- Schaue dir den Abstand zwischen den Zahlen \(0\) und \(1\) an. - In wie viele gleich große Teile ist dieser Bereich unterteilt? Was bedeutet das für den Wert eines einzelnen Teilstriches? - Zähle die Teilstriche von der Null aus bis zum Punkt \(A\), um den passenden Bruch zu finden. - Für den Punkt \(B\) kannst du entweder von der Null aus alle Teilstriche zählen oder von \(1\) aus weitergehen, um eine gemischte Zahl zu erhalten. Vergiss nicht zu prüfen, ob du den Bruch noch kürzen kannst!

1. Bestimmung der Schrittweite eines einzelnen Teilstrichs: Der Abstand von \(0\) bis \(1\) ist in \(8\) gleich große Abschnitte unterteilt, was einer Schrittweite von \(\frac{1}{8}\) entspricht. 2. Bestimmung des Werts an Position \(A\): \(A\) liegt \(5\) Teilstriche rechts von \(0\), also \(A = \frac{5}{8}\). Der Bruch ist bereits vollständig gekürzt. 3. Bestimmung des Werts an Position \(B\): \(B\) liegt \(3\) Teilstriche rechts von \(1\), also \(B = 1\frac{3}{8}\) (oder als unechter Bruch \(\frac{11}{8}\)). Der Bruch ist bereits vollständig gekürzt.

\(A = \frac{5}{8}\) und \(B = 1\frac{3}{8}\) (oder \(\frac{11}{8}\))

- Zähle zuerst, in wie viele gleich große Teile der Abstand zwischen 0 und 1 unterteilt ist. - Bestimme damit den Wert eines einzelnen Teilstriches. - Zähle nun die Teilstriche von der nächsten kleineren ganzen Zahl aus, um den gesuchten Wert zu ermitteln. - Denke daran, Brüche wenn möglich vollständig zu kürzen oder als gemischte Zahl aufzuschreiben.

1. Zuerst bestimmen wir den Wert eines einzelnen Teilstriches (die Skalierung). Der Abstand zwischen \(0\) und \(1\) ist in genau \(8\) gleich lange Abschnitte unterteilt. Jeder Teilstrich entspricht also einem Wert von \(\frac{1}{8}\). 2. Für die Markierung \(A\): Sie liegt beim dritten Teilstrich nach \(0\). Der Wert ist somit \(\frac{3}{8}\). Da dieser Bruch nicht weiter gekürzt werden kann, lautet das Ergebnis \(\frac{3}{8}\). 3. Für die Markierung \(B\): Sie liegt beim siebten Teilstrich nach \(0\). Der Wert ist somit \(\frac{7}{8}\). 4. Für die Markierung \(C\): Sie liegt einen Teilstrich rechts von \(1\). Das entspricht \(1 + \frac{1}{8} = 1\frac{1}{8}\) (oder als unechter Bruch \(\frac{9}{8}\)). 5. Für die Markierung \(D\): Sie liegt fünf Teilstriche rechts von \(1\). Das entspricht \(1 + \frac{5}{8} = 1\frac{5}{8}\) (oder als unechter Bruch \(\frac{13}{8}\)).

\(A = \frac{3}{8}\), \(B = \frac{7}{8}\), \(C = 1\frac{1}{8}\) (oder \(\frac{9}{8}\)), \(D = 1\frac{5}{8}\) (oder \(\frac{13}{8}\))

- Wie viele kleine Abschnitte passen genau in den Bereich von \(0\) bis \(1\)? - Welchen Wert hat demnach ein einzelner kleiner Teilstrich? - Zähle für jeden Buchstaben die Teilstriche ab der Null.

1. Zähle die Anzahl der gleich großen Abschnitte zwischen den Zahlen \(0\) und \(1\). Es sind \(5\) Abschnitte. 2. Bestimme den Wert eines einzelnen Teilschritts: Da die Einheit \(1\) in \(5\) Teile zerlegt ist, entspricht ein Schritt dem Bruch \(\frac{1}{5}\). 3. Bestimme die Werte der Punkte durch Abzählen der Schritte vom Nullpunkt aus: - Punkt \(A\) liegt am 2. Teilstrich: \(A = 2 \cdot \frac{1}{5} = \frac{2}{5}\). - Punkt \(B\) liegt am 7. Teilstrich: \(B = 7 \cdot \frac{1}{5} = \frac{7}{5}\). - Punkt \(C\) liegt am 9. Teilstrich: \(C = 9 \cdot \frac{1}{5} = \frac{9}{5}\).

\(A = \frac{2}{5}\), \(B = \frac{7}{5}\), \(C = \frac{9}{5}\)

- Achte darauf, wo die Markierung für die Zahl 1 steht. Das hilft dir, den Wert eines Teilstücks zu bestimmen. - Wenn eine Markierung rechts von der 1 liegt, ist der Wert größer als 1. - Du kannst das Ergebnis als unechten Bruch (Zähler größer als Nenner) oder als gemischte Zahl schreiben.

1. Bestimmung der Einheit: Der Abstand von 0 bis 1 ist in 4 Teile unterteilt, sodass ein Teilstrich \(\frac{1}{4}\) entspricht. 2. Punkt K: Befindet sich bei 3 Teilstrichen, also \(\frac{3}{4}\). 3. Punkt L: Befindet sich einen Teilstrich rechts von \(1\), also bei \(1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4} = 1 \frac{1}{4}\). 4. Punkt M: Befindet sich drei Teilstriche rechts von \(1\), also bei \(1 + \frac{3}{4} = \frac{7}{4} = 1 \frac{3}{4}\).

\(K = \frac{3}{4}\), \(L = \frac{5}{4}\) (bzw. \(1 \frac{1}{4}\)), \(M = \frac{7}{4}\) (bzw. \(1 \frac{3}{4}\))

- Schau dir das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner an. - Wie gut lassen sich die Zentimeter auf deinem Lineal durch die verschiedenen Nenner teilen? - Ein Zahlenstrahl hilft dir, Brüche zu vergleichen: Was weiter rechts liegt, ist größer.

1. Analyse der Nenner: Die Nenner sind 3, 6, 4 und 12. Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) ist 12. 2. Vorteil von \(12\,\text{cm}\): Bei einer Einheitsstrecke von \(12\,\text{cm}\) entspricht ein Zwölftel genau \(1\,\text{cm}\). Bei \(10\,\text{cm}\) entspricht ein Zwölftel \(0{,}833\dots\,\text{cm}\), sodass insbesondere Sechstel und Zwölftel unpraktisch zu markieren sind; Viertel lassen sich dagegen exakt als \(2{,}5\,\text{cm}\) darstellen. 3. Alternative Längen: Gut geeignet sind zum Beispiel \(6\,\text{cm}\), wobei ein Zwölftel \(0{,}5\,\text{cm}\) entspricht, oder \(24\,\text{cm}\), wobei ein Zwölftel \(2\,\text{cm}\) entspricht. 4. Umrechnung zum Vergleich: \(\frac{1}{6} = \frac{2}{12}\), \(\frac{5}{12}\), \(\frac{2}{3} = \frac{8}{12}\), \(\frac{3}{4} = \frac{9}{12}\). 5. Ordnung: \(\frac{1}{6} < \frac{5}{12} < \frac{2}{3} < \frac{3}{4}\).

a) Bei \(12\,\text{cm}\) entspricht jedes Zwölftel \(1\,\text{cm}\). Bei \(10\,\text{cm}\) sind insbesondere Sechstel und Zwölftel nicht bequem mit dem Lineal zu markieren; Viertel entsprechen jedoch exakt \(2{,}5\,\text{cm}\). b) Eine Einheitsstrecke von \(6\,\text{cm}\) (oder \(24\,\text{cm}\)) wäre ebenfalls gut geeignet. c) Die Reihenfolge ist: \(\frac{1}{6} < \frac{5}{12} < \frac{2}{3} < \frac{3}{4}\).

- Was bedeutet es mathematisch, eine Strecke zu „halbieren“ im Vergleich dazu, sie zu „vierteln“? - Berechne zuerst die Position von Lukas' Punkt. - Wie viele von Annas kleinen Abschnitten muss man gehen, um genau die Hälfte der Gesamtstrecke zu erreichen? - Kannst du das Verhältnis von \(\frac{2}{4}\) zu \(\frac{1}{2}\) nutzen?

1. Gesamtlänge berechnen: \(\frac{5}{6} - \frac{1}{2} = \frac{5}{6} - \frac{3}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\). 2. Lukas' Teilungspunkt (Mittelpunkt) bestimmen: \(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} + \frac{1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\). 3. Annas Schrittweite berechnen: \(\frac{1}{3} : 4 = \frac{1}{12}\). 4. Annas Teilungspunkte prüfen: Der zweite Punkt liegt bei \(\frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{1}{12} = \frac{1}{2} + \frac{2}{12} = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} = \frac{2}{3}\). 5. Begründung: Da zwei Viertel einer Strecke genau die Hälfte der Strecke ausmachen, muss der zweite Punkt der Viertelteilung mit dem Punkt der Halbteilung übereinstimmen.

Der gemeinsame Punkt liegt bei \(\frac{2}{3}\). Da zwei Viertelabschnitte exakt den gleichen Weg zurücklegen wie ein halber Abschnitt, ist Annas zweiter Teilungspunkt identisch mit Lukas' Mittelpunkt.

- Da der Bereich zwischen 0 und 1 in 8 Abschnitte unterteilt ist, entspricht jeder kleine Teilstrich dem Bruch \(\frac{1}{8}\). - Bestimme für jedes Band die Start- und Endposition als Bruch oder gemischte Zahl. - Berechne die Länge, indem du den Startwert vom Endwert subtrahierst. - Denke daran, Brüche bei Bedarf auf denselben Nenner zu bringen, um sie zu vergleichen, zu subtrahieren oder zu addieren.

1. Bestimmung der Länge von Band D: Das Band D beginnt bei \(\frac{2}{8}\) (bzw. \(\frac{1}{4}\)) und endet bei \(1\frac{3}{8}\) (bzw. \(\frac{11}{8}\)). Die Länge berechnet sich als: \(\frac{11}{8} - \frac{2}{8} = \frac{9}{8} = 1\frac{1}{8}\). 2. Bestimmung der Länge von Band E: Das Band E beginnt bei \(\frac{5}{8}\) und endet bei \(1\frac{7}{8}\) (bzw. \(\frac{15}{8}\)). Die Länge berechnet sich als: \(\frac{15}{8} - \frac{5}{8} = \frac{10}{8} = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4}\). 3. Vergleich der Längen: Da \(1\frac{1}{4} = 1\frac{2}{8}\) und \(1\frac{1}{8}\) gilt, ist Band E länger. Die Differenz beträgt: \(1\frac{2}{8} - 1\frac{1}{8} = \frac{1}{8}\). 4. Gesamtlänge: \(1\frac{1}{8} + 1\frac{1}{4} = 1\frac{1}{8} + 1\frac{2}{8} = 2\frac{3}{8}\) (oder \(\frac{19}{8}\)).

a) \(1\frac{1}{8}\) (oder \(\frac{9}{8}\)) b) \(1\frac{1}{4}\) (oder \(\frac{5}{4}\)) c) Band E ist um \(\frac{1}{8}\) länger. d) \(2\frac{3}{8}\) (oder \(\frac{19}{8}\))

- Zähle zuerst, in wie viele gleich große Abschnitte der Bereich zwischen zwei benachbarten ganzen Zahlen unterteilt ist. - Welchen Bruchwert hat demnach ein einzelner kleiner Teilstrich? - Lies die Positionen der beiden Punkte aufmerksam ab. - Wie berechnet man die Entfernung bzw. den Abstand zwischen zwei Werten auf einer Zahlengeraden? - Denke daran, das Endergebnis wenn möglich als gemischte Zahl oder vollständig gekürzten Bruch zu schreiben.

1. Bestimmung der Skalierung: Der Abstand von \(0\) bis \(1\) ist in drei gleich große Abschnitte unterteilt. Jedes Teilstück entspricht somit dem Bruch \(\frac{1}{3}\). 2. Ablesen der Werte: - Der Punkt \(A\) befindet sich am zweiten Teilstrich rechts von \(0\), also bei \(\frac{2}{3}\). - Der Punkt \(B\) befindet sich am ersten Teilstrich rechts von \(2\), also bei \(2\frac{1}{3}\) (bzw. als unechter Bruch \(\frac{7}{3}\)). 3. Berechnung der Streckenlänge: Um die Länge der Strecke zwischen \(A\) und \(B\) zu ermitteln, subtrahieren wir den kleineren Wert vom größeren Wert: \(2\frac{1}{3} - \frac{2}{3} = \frac{7}{3} - \frac{2}{3} = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3}\).

a) Zu den Punkten gehören die Werte \(A = \frac{2}{3}\) und \(B = 2\frac{1}{3}\) (oder \(\frac{7}{3}\)). b) Die Länge der Strecke zwischen den Punkten beträgt \(1\frac{2}{3}\) (oder \(\frac{5}{3}\)).

- Zähle zuerst, in wie viele gleich große Teile die Strecke von \(0\) bis \(1\) unterteilt ist. Das gibt dir den Nenner des Bruchs. - Zähle nun vom Nullpunkt aus die Teilstriche bis zum markierten Buchstaben, um den Zähler zu bestimmen. - Prüfe am Ende immer, ob du den Bruch noch durch Kürzen vereinfachen kannst. - Wenn ein Punkt rechts von \(1\) liegt, ist der Bruch größer als \(1\). Schreibe ihn dann auch als gemischte Zahl auf.

1. Zähle für Teilaufgabe a) die Abschnitte zwischen \(0\) und \(1\): Es sind \(8\) gleich große Abschnitte. Ein Teilstrich entspricht somit dem Bruch \(\frac{1}{8}\). 2. Bestimme die Brüche für die Buchstaben durch Abzählen und anschließendes Kürzen: - \(A\): 2. Teilstrich, also \(\frac{2}{8} = \frac{1}{4}\). - \(B\): 5. Teilstrich, also \(\frac{5}{8}\). - \(C\): 7. Teilstrich, also \(\frac{7}{8}\). - \(D\): 9. Teilstrich, also \(\frac{9}{8} = 1\frac{1}{8}\). 3. Zähle für Teilaufgabe b) die Abschnitte zwischen \(0\) und \(1\): Es sind \(10\) gleich große Abschnitte. Ein Teilstrich entspricht somit dem Bruch \(\frac{1}{10}\). 4. Bestimme die Brüche für die Buchstaben durch Abzählen und anschließendes Kürzen: - \(E\): 3. Teilstrich, also \(\frac{3}{10}\). - \(F\): 6. Teilstrich, also \(\frac{6}{10} = \frac{3}{5}\). - \(G\): 8. Teilstrich, also \(\frac{8}{10} = \frac{4}{5}\). - \(H\): 11. Teilstrich, also \(\frac{11}{10} = 1\frac{1}{10}\).

a) \(A = \frac{1}{4}\), \(B = \frac{5}{8}\), \(C = \frac{7}{8}\), \(D = 1\frac{1}{8}\) (oder \(\frac{9}{8}\)) b) \(E = \frac{3}{10}\), \(F = \frac{3}{5}\), \(G = \frac{4}{5}\), \(H = 1\frac{1}{10}\) (oder \(\frac{11}{10}\))

- Zähle zuerst, in wie viele gleich große Teile die Strecke zwischen zwei ganzen Zahlen (zum Beispiel von 0 bis 1) unterteilt ist. - Die Anzahl dieser Teile bestimmt den Nenner deines Bruchs. - Wenn die Markierung hinter einer ganzen Zahl liegt, kannst du sie als gemischte Zahl schreiben. - Überprüfe am Ende, ob du den Bruch noch kürzen kannst.

1. Bestimmung der Skalierung pro Teilstrich für jeden Zahlenstrahl durch Zählen der Abstände zwischen zwei benachbarten ganzen Zahlen: - a) 4 Intervalle \(\rightarrow\) ein Schritt entspricht \(\frac{1}{4}\) - b) 3 Intervalle \(\rightarrow\) ein Schritt entspricht \(\frac{1}{3}\) - c) 10 Intervalle \(\rightarrow\) ein Schritt entspricht \(\frac{1}{10}\) - d) 8 Intervalle \(\rightarrow\) ein Schritt entspricht \(\frac{1}{8}\) 2. Ablesen der Positionen basierend auf der nächsten kleineren ganzen Zahl: - A: \(1 + 1 \cdot \frac{1}{4} = 1 \frac{1}{4}\) - B: \(3 + 2 \cdot \frac{1}{3} = 3 \frac{2}{3}\) - C: \(4 + 1 \cdot \frac{1}{3} = 4 \frac{1}{3}\) - D: \(10 + 7 \cdot \frac{1}{10} = 10 \frac{7}{10}\) - E: \(0 + 5 \cdot \frac{1}{8} = \frac{5}{8}\)

a) A: \(1 \frac{1}{4}\) b) B: \(3 \frac{2}{3}\); C: \(4 \frac{1}{3}\) c) D: \(10 \frac{7}{10}\) d) E: \(\frac{5}{8}\)

- Zähle zuerst, in wie viele gleich große Teile der Abstand zwischen zwei ganzen Zahlen (z. B. zwischen 0 und 1) unterteilt ist. Das ist dein Nenner. - Wenn eine Markierung rechts von einer ganzen Zahl liegt, beginne mit dieser Zahl und zähle dann die kleinen Teilstriche für den Zähler weiter. - Überprüfe am Ende jedes Ergebnis, ob du den Bruch noch durch eine gemeinsame Zahl im Zähler und Nenner teilen (kürzen) kannst.

1. Bestimmung der Skalierung durch Zählen der Abschnitte zwischen zwei ganzen Zahlen: - Strahl a): 8 Abschnitte zwischen 0 und 1 \(\rightarrow\) Skalierung in Achteln. - Strahl b): 5 Abschnitte zwischen 5 und 6 \(\rightarrow\) Skalierung in Fünfteln. - Strahl c): 10 Abschnitte zwischen 10 und 11 \(\rightarrow\) Skalierung in Zehnteln. 2. Ablesen der Werte und Kürzen der Brüche: - A: Die Markierung liegt beim 6. Teilstrich nach 0: \(\frac{6}{8} = \frac{3}{4}\). - B: Die Markierung liegt beim 2. Teilstrich nach 1: \(1 \frac{2}{8} = 1 \frac{1}{4}\). - C: Die Markierung liegt beim 2. Teilstrich nach 5: \(5 \frac{2}{5}\). - D: Die Markierung liegt beim 4. Teilstrich nach 6: \(6 \frac{4}{5}\). - E: Die Markierung liegt beim 6. Teilstrich nach 10: \(10 \frac{6}{10} = 10 \frac{3}{5}\).

a) \(A = \frac{3}{4}\); \(B = 1 \frac{1}{4}\) b) \(C = 5 \frac{2}{5}\); \(D = 6 \frac{4}{5}\) c) \(E = 10 \frac{3}{5}\)

- Finde zuerst heraus, welchen Wert ein einzelner kleiner Teilstrich hat. Teile dazu den Wert \(\frac{1}{4}\) durch die Anzahl der Abschnitte bis dorthin. - Wenn du den Wert eines Teilschritts kennst, kannst du die Positionen der Buchstaben einfach abzählen. - Denke daran, das Ergebnis am Ende so weit wie möglich zu kürzen.

1. Bestimme den Wert eines Teilschritts: Der Bereich von \(0\) bis \(\frac{1}{4}\) ist in \(5\) gleich große Teile unterteilt. Ein Teilschritt entspricht also \(\frac{1}{4} : 5 = \frac{1}{20}\). 2. Bestimme die Werte der Punkte durch Abzählen der Teilschritte: - Punkt \(D\) liegt am 3. Teilstrich: \(D = 3 \cdot \frac{1}{20} = \frac{3}{20}\). - Punkt \(E\) liegt am 7. Teilstrich: \(E = 7 \cdot \frac{1}{20} = \frac{7}{20}\). - Punkt \(F\) liegt am 12. Teilstrich: \(F = 12 \cdot \frac{1}{20} = \frac{12}{20}\). Durch Kürzen mit \(4\) erhält man \(F = \frac{3}{5}\).

\(D = \frac{3}{20}\), \(E = \frac{7}{20}\), \(F = \frac{3}{5}\)

- Schau dir genau an, in wie viele gleich große Teile der Abstand zwischen zwei benachbarten ganzen Zahlen (z. B. zwischen \(10\) und \(11\)) unterteilt ist. - Überlege, wie du die ganzen Zahlen \(10\), \(11\) und \(12\) als Brüche mit dem Nenner \(250\) schreiben kannst. - Wie viele Brüche liegen zwischen zwei benachbarten ganzen Zahlen, wenn der Nenner \(n\) ist? Denke daran, ob die ganze Zahl in der Mitte auch als Bruch mit diesem Nenner geschrieben werden kann. - Kannst du eine einfache Formel finden, wenn du die Länge des gesamten Bereichs und den Nenner kennst?

1. Bestimmung der Brüche für \(A\) und \(B\): Die Strecke zwischen den ganzen Zahlen ist in Viertel unterteilt. Markierung \(A\) liegt an der dritten Stelle nach der \(10\), was dem Bruch \(10 \frac{3}{4}\) entspricht. Markierung \(B\) liegt an der zweiten Stelle nach der \(11\), was dem Bruch \(11 \frac{2}{4}\) (gekürzt \(11 \frac{1}{2}\)) entspricht. 2. Berechnung der Anzahl für den Nenner \(250\): Der Abstand zwischen \(10\) und \(12\) beträgt \(2\) Einheiten. Bei einer Einteilung mit dem Nenner \(250\) wird jede Einheit in \(250\) gleich große Abschnitte unterteilt. Insgesamt ergeben sich für die zwei Einheiten \(2 \cdot 250 = 500\) Abschnitte. Da die Endpunkte \(10\) und \(12\) nicht mitgezählt werden sollen, liegen dazwischen genau \(500 - 1 = 499\) Brüche. Alternativ: Die Brüche reichen von \(\frac{2501}{250}\) bis \(\frac{2999}{250}\). Die Anzahl der Zähler von \(2501\) bis \(2999\) ist \(2999 - 2501 + 1 = 499\).

a) \(A = 10 \frac{3}{4}\); \(B = 11 \frac{1}{2}\) (oder \(11 \frac{2}{4}\)) b) Es liegen insgesamt \(499\) Brüche mit dem Nenner \(250\) dazwischen. Rechenweg: Der Abstand ist \(2\), also gibt es \(2 \cdot 250 = 500\) Abschnitte. Ohne die Endpunkte sind es \(500 - 1 = 499\) Stellen.

- Wie groß ist der Gesamtabstand zwischen 0 und der markierten Stelle \(\frac{1}{2}\)? - Durch wie viele Teilstücke wird dieser Abstand geteilt? - Berechne den Wert eines einzelnen Teilstücks durch Division.

1. Analyse der Unterteilung: Die Strecke von 0 bis \(\frac{1}{2}\) ist in 5 gleiche Abschnitte unterteilt. 2. Wert eines Abschnitts: \(\frac{1}{2} : 5 = \frac{1}{10}\). 3. Punkt D: Liegt beim ersten Teilstrich, also \(\frac{1}{10}\). 4. Punkt E: Liegt beim dritten Teilstrich, also \(\frac{3}{10}\). 5. Punkt F: Liegt beim vierten Teilstrich, also \(\frac{4}{10} = \frac{2}{5}\).

\(D = \frac{1}{10}\), \(E = \frac{3}{10}\), \(F = \frac{2}{5}\)

- Bestimme, welcher Bruchwert einem einzelnen Teilabschnitt entspricht, indem du \(\frac{2}{3}\) durch die Anzahl der Abschnitte teilst. - Multipliziere diesen Wert mit der Position des jeweiligen Buchstabens ab der Null. - Denke daran, deine Ergebnisse vollständig zu kürzen.

1. Berechnung der Schrittweite: Die Strecke von 0 bis \(\frac{2}{3}\) besteht aus 4 Abschnitten. Ein Abschnitt hat den Wert \(\frac{2}{3} : 4 = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}\). 2. Punkt U: Liegt beim ersten Teilstrich, also \(\frac{1}{6}\). 3. Punkt V: Liegt beim zweiten Teilstrich, also \(\frac{2}{6} = \frac{1}{3}\). 4. Punkt W: Liegt beim dritten Teilstrich, also \(\frac{3}{6} = \frac{1}{2}\).

\(U = \frac{1}{6}\), \(V = \frac{1}{3}\), \(W = \frac{1}{2}\)

- Zähle, in wie viele gleich große Teile die Strecke zwischen \(0\) und \(1\) (oder \(0\) und \(-1\)) geteilt wurde. Das gibt dir den Nenner. - Zähle von der Null aus, an welchem Teilstrich der Buchstabe steht. Das gibt dir den Zähler. - Achte bei Werten links von der Null auf das Minuszeichen. - Prüfe am Ende, ob du Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen kannst, um den Bruch zu kürzen.

1. Nenner für a) bestimmen: Der Bereich von \(0\) bis \(1\) ist in \(10\) gleich große Abschnitte unterteilt. Jeder Teilstrich entspricht also \(\frac{1}{10}\). 2. Werte für a) ablesen und kürzen: - \(A\) ist der 3. Strich: \(\frac{3}{10}\) - \(B\) ist der 5. Strich: \(\frac{5}{10} = \frac{1}{2}\) - \(C\) ist der 8. Strich: \(\frac{8}{10} = \frac{4}{5}\) 3. Nenner für b) bestimmen: Der Bereich von \(-1\) bis \(0\) ist in \(4\) gleich große Abschnitte unterteilt. Jeder Teilstrich entspricht also \(\frac{1}{4}\). 4. Werte für b) ablesen und kürzen: - \(D\) liegt 3 Schritte links von der Null: \(-\frac{3}{4}\) - \(E\) liegt 2 Schritte links von der Null: \(-\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}\) - \(F\) liegt 1 Schritt links von der Null: \(-\frac{1}{4}\)

a) \(A = \frac{3}{10}\); \(B = \frac{1}{2}\); \(C = \frac{4}{5}\) b) \(D = -\frac{3}{4}\); \(E = -\frac{1}{2}\); \(F = -\frac{1}{4}\)

- Bestimme zuerst den wertmäßigen Unterschied zwischen den beiden gegebenen Brüchen. - Wenn du weißt, welcher Zahlenwert einer Länge von \(5\,\text{cm}\) entspricht, kannst du ausrechnen, welcher Zahlenwert zu \(1\,\text{cm}\) gehört. - Wie viele Zentimeter brauchst du dann für einen ganzen Wert von 1? - Rechne die \(2\,\text{cm}\) zurück in einen Bruchwert, bevor du ihn zu \(B\) addierst.

1. Differenz der Brüche berechnen: \(B - A = 1 \frac{1}{4} - \frac{5}{6} = \frac{5}{4} - \frac{5}{6}\). Hauptnenner ist 12: \(\frac{15}{12} - \frac{10}{12} = \frac{5}{12}\). 2. Bestimmung der Einheitsstrecke: Der Wert \(\frac{5}{12}\) entspricht einer physikalischen Länge von \(5\,\text{cm}\). Daraus folgt, dass \(\frac{1}{12}\) einer Länge von \(1\,\text{cm}\) entspricht. Die ganze Einheit (\(\frac{12}{12}\)) ist somit \(12\,\text{cm}\) lang. 3. Bestimmung des neuen Punktes \(C\): \(2\,\text{cm}\) entsprechen auf diesem Strahl einem Wert von \(\frac{2}{12}\), da \(1\,\text{cm} = \frac{1}{12}\). 4. Berechnung von \(C\): \(C = B + \frac{2}{12} = \frac{15}{12} + \frac{2}{12} = \frac{17}{12}\). 5. Ergebnis umwandeln: \(\frac{17}{12} = 1 \frac{5}{12}\).

a) Die Einheitsstrecke ist \(12\,\text{cm}\) lang. b) Der Punkt liegt bei \(\frac{17}{12}\) (oder \(1 \frac{5}{12}\)).

- Wie lang ist die gesamte Strecke zwischen den beiden gegebenen Zahlen? - Wenn eine Strecke in vier Abschnitte unterteilt wird, wie viele Markierungen setzt man dazwischen? - Es hilft, alle Brüche auf denselben Nenner zu bringen, bevor du addierst. - Denke daran, deine Endergebnisse so weit wie möglich zu kürzen.

1. Hauptnenner für \(\frac{1}{6}\) und \(\frac{5}{8}\) finden: \(24\). 2. Brüche erweitern: \(\frac{1}{6} = \frac{4}{24}\) und \(\frac{5}{8} = \frac{15}{24}\). 3. Gesamtlänge der Strecke berechnen: \(\frac{15}{24} - \frac{4}{24} = \frac{11}{24}\). 4. Länge eines der vier Abschnitte berechnen: \(\frac{11}{24} : 4 = \frac{11}{96}\). 5. Ersten Teilungspunkt berechnen: \(\frac{4}{24} + \frac{11}{96} = \frac{16}{96} + \frac{11}{96} = \frac{27}{96} = \frac{9}{32}\). 6. Zweiten Teilungspunkt berechnen: \(\frac{27}{96} + \frac{11}{96} = \frac{38}{96} = \frac{19}{48}\). 7. Dritten Teilungspunkt berechnen: \(\frac{38}{96} + \frac{11}{96} = \frac{49}{96}\).

Die Brüche an den Teilungspunkten lauten \(\frac{9}{32}\), \(\frac{19}{48}\) und \(\frac{49}{96}\).

- Wie viele Abschnitte liegen zwischen dem Startpunkt und dem zweiten Teilungspunkt? - Wenn du weißt, wie lang zwei Abschnitte zusammen sind, wie findest du die Länge von nur einem Abschnitt? - Wie kommst du vom zweiten Teilungspunkt zum Endpunkt der Strecke? - Skizziere dir die Lage der Punkte grob auf einem Blatt Papier, um die Abstände zu visualisieren.

1. Bestimmung der Distanz zwischen Startpunkt \(S = \frac{1}{5}\) und dem 2. Teilungspunkt \(P_2 = \frac{1}{2}\): \(\frac{1}{2} - \frac{1}{5} = \frac{5}{10} - \frac{2}{10} = \frac{3}{10}\). 2. Da die Strecke in drei Abschnitte unterteilt wurde, liegt der 2. Teilungspunkt nach genau zwei Abschnitten. Die berechnete Distanz entspricht also \(2d\), wobei \(d\) die Länge eines Abschnitts ist. 3. Länge eines Abschnitts berechnen: \(d = \frac{3}{10} : 2 = \frac{3}{20}\). 4. Endpunkt \(E\) berechnen, indem ein weiterer Abschnitt zum 2. Teilungspunkt addiert wird: \(E = \frac{1}{2} + \frac{3}{20} = \frac{10}{20} + \frac{3}{20} = \frac{13}{20}\).

Der Endpunkt der Strecke liegt bei \(\frac{13}{20}\).

- Zähle zuerst, wie viele kleine Abschnitte zwischen \(0\) und der Markierung \(\frac{3}{4}\) liegen. - Wie kannst du daraus den Wert eines einzelnen kleinen Abschnitts berechnen? - Wenn du den Wert eines Abschnitts kennst, kannst du die Schritte von \(0\) aus bis zu den Punkten \(A\), \(B\) und \(C\) zählen und berechnen. - Denke am Ende daran, deine Brüche so weit wie möglich zu kürzen.

1. Zähle die Abschnitte zwischen \(0\) und \(\frac{3}{4}\): Es liegen genau \(6\) gleich große Abschnitte dazwischen. 2. Berechne den Wert eines einzelnen Abschnitts (Teilschritts): \(\frac{3}{4} : 6 = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{6} = \frac{3}{24} = \frac{1}{8}\). Jeder Teilstrich entspricht somit dem Wert \(\frac{1}{8}\). 3. Bestimme die Werte an den Markierungen durch Abzählen der Teilstriche von \(0\) aus: - Markierung \(A\) liegt am 3. Teilstrich: \(A = 3 \cdot \frac{1}{8} = \frac{3}{8}\) - Markierung \(B\) liegt am 10. Teilstrich: \(B = 10 \cdot \frac{1}{8} = \frac{10}{8} = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4}\) - Markierung \(C\) liegt am 14. Teilstrich: \(C = 14 \cdot \frac{1}{8} = \frac{14}{8} = \frac{7}{4} = 1\frac{3}{4}\)

\(A = \frac{3}{8}\) \(B = \frac{5}{4}\) (oder \(1\frac{1}{4}\)) \(C = \frac{7}{4}\) (oder \(1\frac{3}{4}\))