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- Wie viele Teile hat das Ganze insgesamt und wie viele davon betrachtest du? - Suche nach einer Zahl, durch die du sowohl den Zähler als auch den Nenner ohne Rest teilen kannst. - Stell dir vor, du würdest die Trennlinien zwischen einigen Stücken einfach ignorieren.

1. Bestimmung des Bruchteils: Es sind 3 von 12 Stücken, also \(\frac{3}{12}\). 2. Kürzen des Bruchs: Der größte gemeinsame Teiler von 3 und 12 ist 3. Division von Zähler und Nenner durch 3 ergibt \(\frac{3 : 3}{12 : 3} = \frac{1}{4}\). 3. Anschauliche Interpretation: Das Kürzen durch 3 bedeutet, dass man jeweils 3 der kleinen Stücke zu einem großen Stück zusammenfasst. Die Pizza besteht dann aus 4 solcher großen Stücke (Viertel), von denen eines auf dem Teller liegt.

a) \(\frac{3}{12}\) b) \(\frac{1}{4}\) c) Es bedeutet, dass die 3 kleinen Stücke zusammen genau ein Viertel der ganzen Pizza ausmachen.

- Kannst du eine Zahl finden, die durch alle drei Nenner teilbar ist? - Was musst du tun, um Brüche mit verschiedenen Nennern direkt vergleichen zu können? - Wie verändern sich die Zähler, wenn du die Nenner angleichst?

1. Bestimmung des kleinsten gemeinsamen Nenners für 3, 5 und 10: \(\text{kgV}(3, 5, 10) = 30\) 2. Erweiterung der Brüche auf den Nenner 30: Klasse 6a: \(\frac{2 \cdot 10}{3 \cdot 10} = \frac{20}{30}\) Klasse 6b: \(\frac{3 \cdot 6}{5 \cdot 6} = \frac{18}{30}\) Klasse 6c: \(\frac{7 \cdot 3}{10 \cdot 3} = \frac{21}{30}\) 3. Vergleich der Zähler: \(18 < 20 < 21\) 4. Zuordnung der Klassen: Klasse 6b (\(\frac{18}{30}\)) < Klasse 6a (\(\frac{20}{30}\)) < Klasse 6c (\(\frac{21}{30}\))

Klasse 6c hat den größten Anteil gefüllt. Die Reihenfolge lautet: Klasse 6b (\(\frac{3}{5}\)) < Klasse 6a (\(\frac{2}{3}\)) < Klasse 6c (\(\frac{7}{10}\)).

- Stelle dir vor, wie oft die \(12 \text{ km}\) in die jeweilige Gesamtstrecke passen. - Ein Bruchstrich ist nichts anderes als ein Geteiltzeichen. - Denke daran, das Ergebnis so weit wie möglich zu vereinfachen, bevor du die gemischte Zahl schreibst.

1. Berechnung für Familie Müller: Division der Gesamtstrecke durch die Länge einer Umrundung: \( \frac{30}{12} \). 2. Kürzen des Bruchs: \( \frac{30}{12} = \frac{5}{2} \). 3. Umwandlung in eine gemischte Zahl: \( 5 : 2 = 2 \) Rest \(1\), also \( 2 \frac{1}{2} \). 4. Berechnung für die Sportgruppe: Division der Gesamtstrecke durch die Rundenlänge: \( \frac{50}{12} \). 5. Kürzen des Bruchs: \( \frac{50}{12} = \frac{25}{6} \). 6. Umwandlung in eine gemischte Zahl: \( 25 : 6 = 4 \) Rest \(1\), also \( 4 \frac{1}{6} \).

Familie Müller ist \( 2 \frac{1}{2} \) Runden gefahren. Die Sportgruppe ist \( 4 \frac{1}{6} \) Runden gefahren.

- Wie lässt sich ein Anteil mathematisch als Bruch ausdrücken? - Könnte es helfen, die Brüche so zu verändern, dass sie denselben Nenner haben? - Gibt es eine Zahl, in die sowohl die 20 als auch die 25 hineinpassen?

1. Aufstellen der Trefferquoten als Brüche: Lukas \(\frac{12}{20}\), Sarah \(\frac{18}{25}\). 2. Kürzen des Bruchs von Lukas: \(\frac{12}{20} = \frac{3}{5}\). 3. Vergleich der Brüche durch Erweitern auf den Hauptnenner \(25\) (oder \(100\)): \(\frac{3}{5} = \frac{15}{25}\). 4. Vergleich der Zähler: Da \(18 > 15\), gilt \(\frac{18}{25} > \frac{15}{25}\). 5. Ergebnis: Sarah hat die höhere Trefferquote.

Sarah hat die höhere Trefferquote, da ihr Anteil von \(\frac{18}{25}\) (oder \(72\,\%\)) größer ist als Lukas' Anteil von \(\frac{12}{20} = \frac{15}{25}\) (oder \(60\,\%\)).

- Kannst du die Flächenangaben in eine einheitliche Maßeinheit umrechnen? - Wie stellt man das Verhältnis eines Teils zum Ganzen als Bruch dar? - Kürze die Brüche so weit wie möglich, bevor du sie vergleichst. - Um Brüche zu vergleichen, hilft es oft, sie auf denselben Nenner zu bringen.

1. Umrechnung der Gesamtflächen in Quadratmeter: Verein A hat \(540\,\text{m}^2\), Verein B hat \(450\,\text{m}^2\). 2. Berechnung des Anteils für Verein A: \(\frac{120}{540} = \frac{12}{54} = \frac{2}{9}\). 3. Berechnung des Anteils für Verein B: \(\frac{90}{450} = \frac{9}{45} = \frac{1}{5}\). 4. Vergleich der Brüche durch Erweitern auf den Hauptnenner 45: \(\frac{2}{9} = \frac{10}{45}\) und \(\frac{1}{5} = \frac{9}{45}\). 5. Feststellung des Ergebnisses: Da \(\frac{10}{45} > \frac{9}{45}\), ist der Anteil bei Verein A größer.

Der Anteil der Fläche für das Vereinsheim ist bei Verein A (\(\frac{2}{9}\)) größer als bei Verein B (\(\frac{1}{5}\)).

- Könntest du alle Angaben in dieselbe Einheit umrechnen, um sie besser vergleichen zu können? - Wie viele Meter sind ein ganzer Kilometer? - Überlege, wie man einen Bruchteil einer Größe berechnet.

1. Umrechnung aller Längen in die Einheit Meter: \(1\,\text{km} = 1000\,\text{m}\). 2. Berechnung des Weges von Lukas: \(\frac{3}{4}\text{ von }1000\,\text{m} = (1000 : 4) \cdot 3 = 250 \cdot 3 = 750\,\text{m}\). 3. Weg von Mia: \(700\,\text{m}\) (bereits gegeben). 4. Berechnung des Weges von Ben: \(\frac{4}{5}\text{ von }1000\,\text{m} = (1000 : 5) \cdot 4 = 200 \cdot 4 = 800\,\text{m}\). 5. Vergleich der Werte: \(700\,\text{m} < 750\,\text{m} < 800\,\text{m}\). 6. Ergebnisreihenfolge: Mia, Lukas, Ben.

Die Reihenfolge vom kürzesten zum längsten Weg ist: Mia (\(700\,\text{m}\)), Lukas (\(750\,\text{m}\)), Ben (\(800\,\text{m}\)).

- Kannst du die Einheiten in eine kleinere Einheit umrechnen, damit du keine Kommazahlen erhältst? - Was gibt der Nenner eines Bruchs an, und was der Zähler? - Es hilft oft, zuerst den Wert für einen Teil (\(\frac{1}{n}\)) zu bestimmen.

1. Berechnung für a): Den Wert \(240\,\text{kg}\) durch den Nenner \(8\) teilen (\(240 : 8 = 30\,\text{kg}\)) und mit dem Zähler \(3\) multiplizieren (\(30\,\text{kg} \cdot 3 = 90\,\text{kg}\)). 2. Berechnung für b): Zuerst \(4\,\text{km}\) in Meter umrechnen (\(4\,\text{km} = 4000\,\text{m}\)). Dann \(4000\,\text{m}\) durch \(20\) teilen (\(200\,\text{m}\)) und mit \(7\) multiplizieren (\(1400\,\text{m}\)). 3. Berechnung für c): Zuerst \(2\,\text{h}\) in Minuten umrechnen (\(120\,\text{min}\)). Dann \(120\,\text{min}\) durch \(12\) teilen (\(10\,\text{min}\)) und mit \(11\) multiplizieren (\(110\,\text{min}\)).

a) \(90\,\text{kg}\) b) \(1400\,\text{m}\) c) \(110\,\text{min}\)

- Überlege dir zuerst, ob es einfacher ist, mit Brüchen oder mit Dezimalzahlen zu rechnen. - Was passiert mit der Wassermenge, wenn der Wanderer trinkt, und was, wenn er nachfüllt? - Um das Fassungsvermögen zu bestimmen, musst du herausfinden, zu welchem Zeitpunkt am meisten Wasser in der Flasche war.

1. Umrechnung der Brüche in Dezimalzahlen: \(\frac{3}{8} = 0{,}375\) 2. Berechnung des Endbestands: \(1{,}5 - 0{,}375 + 0{,}5 - 0{,}4 = 1{,}225\) Liter 3. Ermittlung des maximalen Füllstandes während der Tour: - Nach dem ersten Trinken: \(1{,}5 - 0{,}375 = 1{,}125\) Liter - Nach dem Nachfüllen: \(1{,}125 + 0{,}5 = 1{,}625\) Liter - Nach dem zweiten Trinken: \(1{,}625 - 0{,}4 = 1{,}225\) Liter 4. Der höchste Füllstand beträgt \(1{,}625\) Liter, was dem minimalen Fassungsvermögen entspricht.

a) Am Ende befinden sich \(1{,}225\) Liter in der Flasche. b) Die Flasche muss ein Fassungsvermögen von mindestens \(1{,}625\) Litern haben.

- Überlege dir zuerst, wie viele Einheiten der kleineren Sorte in einer Einheit der größeren Sorte stecken. - Multipliziere den Zähler des Bruchs mit dem Umrechnungsfaktor und teile das Ergebnis durch den Nenner. - Manchmal ist es einfacher, zuerst den Umrechnungsfaktor durch den Nenner zu teilen und dann mit dem Zähler zu multiplizieren.

1. Umrechnung von m in cm: Da \(1\,\text{m} = 100\,\text{cm}\) gilt, berechnet man \(\frac{2}{5} \cdot 100\,\text{cm} = 40\,\text{cm}\). 2. Umrechnung von l in ml: Da \(1\,\text{l} = 1000\,\text{ml}\) gilt, berechnet man \(\frac{3}{4} \cdot 1000\,\text{ml} = 750\,\text{ml}\). 3. Umrechnung von kg in g: Da \(1\,\text{kg} = 1000\,\text{g}\) gilt, berechnet man \(\frac{9}{10} \cdot 1000\,\text{g} = 900\,\text{g}\). 4. Umrechnung von km in m: Da \(1\,\text{km} = 1000\,\text{m}\) gilt, berechnet man \(\frac{1}{8} \cdot 1000\,\text{m} = 125\,\text{m}\).

a) \(40\,\text{cm}\) b) \(750\,\text{ml}\) c) \(900\,\text{g}\) d) \(125\,\text{m}\)

- Was bleibt übrig, wenn man einen Teil von einem Ganzen wegnimmt? - Achte auf die Einheiten: Wie viele Gramm sind ein Kilogramm? - Wie oft passt das Gewicht einer Flasche in das Gesamtgewicht?

1. Berechnung des Gewichts der Fremdstoffe: \(\frac{2}{25} \cdot 2500\,\text{kg} = 200\,\text{kg}\). 2. Berechnung des Gewichts des reinen Glases: \(2500\,\text{kg} - 200\,\text{kg} = 2300\,\text{kg}\). 3. Umrechnung des Glasgewichts in Gramm: \(2300\,\text{kg} = 2\,300\,000\,\text{g}\). 4. Berechnung der Anzahl der Flaschen: \(2\,300\,000\,\text{g} : 400\,\text{g} = 5750\).

a) Es bleiben \(2300\,\text{kg}\) reines Glas übrig. b) Es können \(5750\) Flaschen hergestellt werden.

- Lies dir die Frage genau durch: Geht es um die bereits gegessenen oder die noch übrig gebliebenen Stücke? - Zähle zuerst, aus wie vielen Stücken die Schokolade insgesamt besteht. - Wie viele dieser Stücke sind nicht gefärbt? - Schreibe diesen Anteil als Bruch auf. - Denke daran, den Bruch so weit wie möglich zu kürzen, indem du Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilst.

1. Bestimmung der Gesamtzahl der Stücke der Schokoladentafel durch Multiplikation von Zeilen und Spalten: \(4 \cdot 6 = 24\) Stücke. 2. Zählen der orange gefärbten (gegessenen) Stücke: 9 Stücke. 3. Berechnung der verbleibenden Stücke durch Subtraktion: \(24 - 9 = 15\) Stücke. 4. Aufstellen des Anteils der verbleibenden Stücke an der Gesamtzahl: \(\frac{15}{24}\). 5. Kürzen des Bruchs mit dem größten gemeinsamen Teiler (3) zum Endergebnis: \(\frac{5}{8}\).

\(\frac{5}{8}\)

- Achte darauf, dass alle Angaben in der gleichen Einheit (z. B. Milliliter) stehen. - Wie oft so groß ist das Gesamtvolumen des Kanisters im Vergleich zum Krug? - Welcher Bruchteil des Inhalts im ersten Gefäß ist Saft? - Wenn das Verhältnis gleich bleibt, was bedeutet das für die Mengen im größeren Gefäß?

1. Umrechnung der Einheiten: Krugvolumen \(1{,}5\,\text{l} = 1500\,\text{ml}\), Kanistervolumen \(6\,\text{l} = 6000\,\text{ml}\). 2. Berechnung des Anteils von Apfelsaft im Krug: \(\frac{600\,\text{ml}}{1500\,\text{ml}} = \frac{6}{15} = \frac{2}{5}\). 3. Da das Mischungsverhältnis gleich ist, muss der Anteil im Kanister ebenfalls \(\frac{2}{5}\) betragen. 4. Berechnung der Apfelsaftmenge im Kanister: \(6000\,\text{ml} \cdot \frac{2}{5} = 1200\,\text{ml} \cdot 2 = 2400\,\text{ml}\). 5. Alternativer Weg über den Proportionalitätsfaktor: Das Volumen des Kanisters ist das Vierfache des Krugvolumens (\(6000 : 1500 = 4\)), also muss auch die Apfelsaftmenge das Vierfache betragen: \(600 \cdot 4 = 2400\,\text{ml}\).

Im Kanister befinden sich \(2400\,\text{ml}\) (oder \(2{,}4\,\text{l}\)) Apfelsaft.

- Wandle zuerst alle Angaben in die kleinste vorkommende Einheit um. - Rechne erst dann die Zahlen zusammen. - Erinnere dich: \(1\,\text{km} = 1000\,\text{m}\) und \(1\,\text{l} = 1000\,\text{ml}\).

1. Umwandlung der Bruchteile in die Ziel-Einheit. 2. Für a): \(\frac{3}{10}\,\text{km} = 300\,\text{m}\); \(300\,\text{m} + 450\,\text{m} = 750\,\text{m}\). 3. Für b): \(1\,\text{h} = 60\,\text{min}\), \(\frac{1}{12}\,\text{h} = 5\,\text{min}\); \(60\,\text{min} - 5\,\text{min} = 55\,\text{min}\). 4. Für c): \(\frac{1}{4}\,\text{t} = 250\,\text{kg}\); \(250\,\text{kg} - 120\,\text{kg} = 130\,\text{kg}\). 5. Für d): \(\frac{7}{20}\,\text{l} = 350\,\text{ml}\); \(350\,\text{ml} + 150\,\text{ml} = 500\,\text{ml}\).

a) \(750\,\text{m}\) b) \(55\,\text{min}\) c) \(130\,\text{kg}\) d) \(500\,\text{ml}\)

- Wenn zwei Brüche den gleichen Zähler haben, wie erkennst du dann, welcher Bruch größer ist? - Überlege dir, wer von beiden schon mehr vom Weg geschafft hat. - Was bedeutet es für den Restweg, wenn man schon einen größeren Teil gelaufen ist? - Hilft dir vielleicht ein Vergleich mit der „Hälfte“ der Strecke weiter?

1. Vergleich der bereits zurückgelegten Anteile: \(\frac{4}{7}\) und \(\frac{4}{9}\) haben den gleichen Zähler. 2. Da der Nenner \(7\) kleiner als \(9\) ist, ist ein Siebtel größer als ein Neuntel. Daraus folgt: \(\frac{4}{7} > \frac{4}{9}\). 3. Bestimmung der Reststrecken: Gruppe A hat noch \(\frac{3}{7}\) vor sich, Gruppe B noch \(\frac{5}{9}\). 4. Logische Schlussfolgerung: Da Gruppe A bereits einen größeren Anteil der Strecke gelaufen ist als Gruppe B, muss Gruppe B noch einen längeren Anteil der Strecke vor sich haben. 5. Alternativ über den Vergleich mit der Hälfte: \(\frac{4}{7} > \frac{1}{2}\), weil \(8 > 7\), während \(\frac{4}{9} < \frac{1}{2}\) gilt, weil \(8 < 9\). Somit hat Gruppe B noch mehr als die Hälfte des Weges vor sich.

Gruppe B hat noch einen längeren Weg vor sich. Da \(\frac{4}{9}\) weniger ist als \(\frac{4}{7}\), hat Gruppe B einen kleineren Teil der Strecke geschafft und folglich einen größeren Teil (\(\frac{5}{9}\)) noch vor sich.

- Kannst du die Brüche für die Anteile so weit wie möglich kürzen? - Was fällt dir auf, wenn du die gekürzten Brüche vergleichst? - Achte beim zweiten Teil der Frage darauf, ob nach dem Anteil oder nach der tatsächlichen Anzahl der Personen gefragt ist.

1. Bestimmung der Anteile für Aufgabenteil a): Klasse 6a: \(\frac{15}{25}\), Klasse 6b: \(\frac{18}{30}\). 2. Kürzen der Brüche: \(\frac{15}{25} = \frac{3}{5}\) und \(\frac{18}{30} = \frac{3}{5}\). 3. Feststellung für a): Der Anteil der Kinder mit Haustier ist in beiden Klassen identisch. 4. Berechnung der absoluten Anzahl ohne Haustier für Aufgabenteil b): 6a: \(25 - 15 = 10\) Kinder; 6b: \(30 - 18 = 12\) Kinder. 5. Vergleich: \(12 > 10\). In Klasse 6b sind es absolut mehr Kinder ohne Haustier.

a) Die Anteile sind gleich groß, in beiden Klassen haben \(\frac{3}{5}\) (oder \(60\,\%\)) der Kinder ein Haustier. b) In der Klasse 6b ist die absolute Anzahl der Kinder ohne Haustier mit \(12\) Kindern größer als in der 6a mit \(10\) Kindern.

- Was ist die Beziehung zwischen Litern und Millilitern? - Wie viele Milliliter entsprechen einem Achtelliter? - Hast du beachtet, dass nach dem Rest gefragt ist und nicht nach der verbrauchten Menge?

1. Umrechnung der benötigten Menge in Milliliter: \(1\,\text{l} = 1000\,\text{ml}\). 2. Berechnung von \(\frac{3}{8}\) von \(1000\,\text{ml}\): \(1000 : 8 = 125\); \(125 \cdot 3 = 375\,\text{ml}\). 3. Subtraktion der benötigten Menge vom Vorrat: \(500\,\text{ml} - 375\,\text{ml} = 125\,\text{ml}\).

Es bleiben \(125\,\text{ml}\) Sahne in der Packung übrig.

- Addiere zuerst die beiden Teilflächen, um die Gesamtfläche des Anteils zu erhalten. - Überlege, wie viele Quadratmeter in einem Hektar stecken. - Vergiss nicht, das Endergebnis so weit wie möglich zu vereinfachen.

1. Berechnung der Summe der Teilflächen: \(1500\,\text{m}^2 + 2100\,\text{m}^2 = 3600\,\text{m}^2\). 2. Umrechnung der Gesamtfläche in Quadratmeter: \(0{,}6\,\text{ha} = 6000\,\text{m}^2\) (da \(1\,\text{ha} = 10\,000\,\text{m}^2\)). 3. Aufstellen des Anteils: \(\frac{3600}{6000}\). 4. Kürzen des Bruchs: Zuerst durch \(100\) teilen ergibt \(\frac{36}{60}\), dann durch \(12\) kürzen ergibt \(\frac{3}{5}\).

\(\frac{3}{5}\)

- Berechne zuerst den absoluten Wert für beide Angaben in Metern. - Wie gehst du vor, um einen Bruchteil einer Zahl zu bestimmen? - Sind die Endergebnisse unterschiedlich oder gleich?

1. Berechnung von Wert A: \(420\,\text{m}\) geteilt durch \(6\) ergibt \(70\,\text{m}\). Multiplikation mit dem Zähler \(5\) ergibt \(350\,\text{m}\). 2. Berechnung von Wert B: \(400\,\text{m}\) geteilt durch \(8\) ergibt \(50\,\text{m}\). Multiplikation mit dem Zähler \(7\) ergibt \(350\,\text{m}\). 3. Vergleich: Beide Berechnungen ergeben \(350\,\text{m}\). Die Werte sind gleich groß.

Beide Werte sind mit jeweils \(350\,\text{m}\) gleich groß.

- Achte besonders auf die Umrechnungszahl bei Flächeneinheiten wie \(\text{dm}^2\). - Wie viele Millimeter sind ein ganzer Meter? - Kannst du den Bruch so erweitern, dass im Nenner die Umrechnungszahl steht?

1. Umrechnung von m in mm: Da \(1\,\text{m} = 1000\,\text{mm}\) gilt, ist \(\frac{7}{20} \cdot 1000\,\text{mm} = 7 \cdot 50\,\text{mm} = 350\,\text{mm}\). 2. Umrechnung von \(\text{dm}^2\) in \(\text{cm}^2\): Da \(1\,\text{dm}^2 = 100\,\text{cm}^2\) gilt, ist \(\frac{11}{25} \cdot 100\,\text{cm}^2 = 11 \cdot 4\,\text{cm}^2 = 44\,\text{cm}^2\). 3. Umrechnung von l in ml: Da \(1\,\text{l} = 1000\,\text{ml}\) gilt, ist \(\frac{17}{50} \cdot 1000\,\text{ml} = 17 \cdot 20\,\text{ml} = 340\,\text{ml}\). 4. Umrechnung von kg in g: Da \(1\,\text{kg} = 1000\,\text{g}\) gilt, ist \(\frac{5}{8} \cdot 1000\,\text{g} = 5 \cdot 125\,\text{g} = 625\,\text{g}\).

a) \(350\,\text{mm}\) b) \(44\,\text{cm}^2\) c) \(340\,\text{ml}\) d) \(625\,\text{g}\)

- Kannst du erst bestimmen, wie groß der Bereich für das Gemüse ist? - Überlege dir, wie du den Anteil eines Anteils berechnen kannst. - Wenn du die Gesamtfläche für Tomaten kennst, wie oft passt der Platz für eine Pflanze dort hinein?

1. Berechnung der Gemüsefläche: \(\frac{3}{8} \cdot 480\,\text{m}^2 = 180\,\text{m}^2\). 2. Berechnung der Teilfläche für Tomaten: \(\frac{1}{5} \cdot 180\,\text{m}^2 = 36\,\text{m}^2\). 3. Berechnung der Anzahl der Pflanzen: \(36\,\text{m}^2 : 0{,}25\,\text{m}^2 = 144\).

a) Die Gemüsefläche ist \(180\,\text{m}^2\) groß. b) Es können \(144\) Tomatenpflanzen gesetzt werden.

- Stell dir die Pizza als Ganzes vor, das in 8 Teile geteilt ist. - Was bedeutet „die Hälfte“ ausgedrückt in Achteln? - Wenn du weißt, wie viele Stücke weg sind, wie viele sind dann noch da?

1. Anteil der gegessenen Stücke: Bei 3 gegessenen von 8 Stücken ist der Bruchteil \(\frac{3}{8}\). 2. Berechnung für die Hälfte: Die Hälfte von 8 Stücken sind 4 Stücke. Da bereits 3 Stücke weg sind, muss noch \(4 - 3 = 1\) Stück gegessen werden. 3. Verbleibender Anteil: Wenn 5 Stücke gegessen wurden, bleiben \(8 - 5 = 3\) Stücke übrig. Der Anteil der restlichen Pizza ist \(\frac{3}{8}\).

a) Es wurde \(\frac{3}{8}\) der Pizza gegessen. b) Es müsste noch 1 Stück gegessen werden. c) Es bleiben \(\frac{3}{8}\) der Pizza übrig.

- Bestimme zuerst die Anteile im Ausgangszustand. - Was passiert mit dem Zähler des Bruchs, wenn die Teichfläche vergrößert wird? - Achte darauf, ob sich die Gesamtfläche durch die Änderung der Teichfläche verändert oder gleich bleibt. - Nutze Erweiterungen, um die Brüche am Ende exakt zu vergleichen.

1. Umrechnung der Flächen in \(\text{m}^2\): Park Alpha = \(1250\,\text{m}^2\), Park Beta = \(1600\,\text{m}^2\). 2. Anteil Alpha: \(\frac{250}{1250} = \frac{25}{125} = \frac{1}{5}\). 3. Anteil Beta (ursprünglich): \(\frac{320}{1600} = \frac{32}{160} = \frac{1}{5}\). 4. Neue Teichfläche Beta: \(320\,\text{m}^2 + 20\,\text{m}^2 = 340\,\text{m}^2\). 5. Neuer Anteil Beta: \(\frac{340}{1600} = \frac{34}{160} = \frac{17}{80}\). 6. Vergleich der Anteile: \(\frac{1}{5} = \frac{16}{80}\). 7. Da \(\frac{17}{80} > \frac{16}{80}\), hat Park Beta nun den größeren Anteil.

a) Der Anteil ist bei beiden Parks zunächst gleich groß und beträgt \(\frac{1}{5}\). b) Nach der Vergrößerung hat Park Beta den größeren Anteil (\(\frac{17}{80}\)), da der Anteil von Park Alpha weiterhin bei \(\frac{1}{5} = \frac{16}{80}\) liegt.

- Ist die erreichte Punktzahl allein aussagekräftig, wenn die Arbeiten unterschiedlich lang waren? - Wie viel Prozent der maximalen Punktzahl hat jedes Kind erreicht? - Kannst du die Ergebnisse als gekürzte Brüche darstellen? - Was müsste gleich sein, damit man nur die erreichten Punkte vergleichen könnte?

1. Berechnung des Anteils der erreichten Punkte: Anna \(\frac{27}{36}\), Lukas \(\frac{32}{40}\). 2. Vereinfachen der Brüche: \(\frac{27}{36} = \frac{3}{4} = 0{,}75\) und \(\frac{32}{40} = \frac{4}{5} = 0{,}8\). 3. Umrechnung in Prozent: Anna hat \(75\,\%\) der Punkte, Lukas hat \(80\,\%\) der Punkte. 4. Vergleich: \(80\,\% > 75\,\%\). 5. Bewertung: Lukas hat zwar recht, dass er besser war, aber seine Begründung („mehr Punkte“) ist unzureichend, da die Gesamtpunktzahlen unterschiedlich sind. Nur der prozentuale Anteil erlaubt einen fairen Vergleich.

Lukas hat recht, er war mit \(80\,\%\) der Punkte besser als Anna mit \(75\,\%\). Seine Begründung ist jedoch nicht hinreichend, da man bei unterschiedlichen Gesamtpunktzahlen die Anteile (Prozentsätze) vergleichen muss, nicht die absoluten Punkte.

- Hier ist der Anteil gegeben und das Ganze gesucht. Wie kannst du von \(\frac{3}{8}\) auf \(\frac{1}{8}\) schließen? - Wenn du weißt, wie viel ein Achtel wert ist, wie kommst du dann auf den Gesamtbetrag? - Wie viele Achtel bleiben übrig, wenn drei Achtel ausgegeben wurden?

1. Bestimmung des Wertes für \(\frac{1}{8}\): Da \(\frac{3}{8}\) genau \(45\,\text{€}\) sind, teilt man \(45\,\text{€}\) durch \(3\), was \(15\,\text{€}\) ergibt. 2. Berechnung des Ganzen (Teil a): Da das Ganze \(\frac{8}{8}\) entspricht, multipliziert man \(15\,\text{€}\) mit \(8\). Das ergibt \(120\,\text{€}\). 3. Berechnung des Restbetrags (Teil b): Man subtrahiert den Anteil für das Geschenk vom Ganzen: \(120\,\text{€} - 45\,\text{€} = 75\,\text{€}\). Alternativ berechnet man \(\frac{5}{8}\) von \(120\,\text{€}\) (\(15\,\text{€} \cdot 5 = 75\,\text{€}\)).

a) \(120\,\text{€}\) b) \(75\,\text{€}\)

- Schreibe dir die großen Zahlen am besten mit allen Nullen auf oder nutze eine Kurzschreibweise. - Wie viele Kilogramm sind eine Tonne? - Kannst du die Rechnung vereinfachen, indem du beim Teilen Nullen streichst?

1. Berechnung der Abfälle in Haushalten: \(\frac{1}{2}\) von \(12\,000\,000\,\text{t} = 6\,000\,000\,\text{t}\) 2. Berechnung der vermeidbaren Abfälle: \(\frac{2}{5}\) von \(6\,000\,000\,\text{t} = 2\,400\,000\,\text{t}\) 3. Umrechnung in Kilogramm: \(2\,400\,000\,\text{t} = 2\,400\,000\,000\,\text{kg}\) 4. Division durch die Bevölkerungszahl: \(2\,400\,000\,000\,\text{kg} : 80\,000\,000 = 30\,\text{kg}\)

Durchschnittlich fallen pro Person und Jahr \(30\,\text{kg}\) vermeidbare Lebensmittelabfälle in den Haushalten an.

- Um zwei Größen zu vergleichen, solltest du sie zuerst in dieselbe Einheit umrechnen. - Wandle den Bruch am besten immer in die kleinere der beiden Einheiten um. - Erinnere dich an die Umrechnungsfaktoren: \(1000\) für km/m, l/ml und kg/g; \(100\) für \(\text{m}^2/\text{dm}^2\).

1. Vergleich km/m: \(\frac{3}{8}\,\text{km} = \frac{3}{8} \cdot 1000\,\text{m} = 3 \cdot 125\,\text{m} = 375\,\text{m}\). Da \(375 > 370\), gilt \(\frac{3}{8}\,\text{km} > 370\,\text{m}\). 2. Vergleich l/ml: \(\frac{4}{5}\,\text{l} = \frac{4}{5} \cdot 1000\,\text{ml} = 4 \cdot 200\,\text{ml} = 800\,\text{ml}\). Da \(800 = 800\), gilt \(\frac{4}{5}\,\text{l} = 800\,\text{ml}\). 3. Vergleich \(\text{m}^2/\text{dm}^2\): \(\frac{7}{25}\,\text{m}^2 = \frac{7}{25} \cdot 100\,\text{dm}^2 = 7 \cdot 4\,\text{dm}^2 = 28\,\text{dm}^2\). Da \(28 < 30\), gilt \(\frac{7}{25}\,\text{m}^2 < 30\,\text{dm}^2\). 4. Vergleich kg/g: \(\frac{13}{20}\,\text{kg} = \frac{13}{20} \cdot 1000\,\text{g} = 13 \cdot 50\,\text{g} = 650\,\text{g}\). Da \(650 > 640\), gilt \(\frac{13}{20}\,\text{kg} > 640\,\text{g}\).

a) \(>\) b) \(=\) c) \(<\) d) \(>\)

- Was bleibt von der Gesamtstrecke übrig, wenn man den Teil durch den Wald abzieht? - Wie viel Kilometer lang ist also der Teil, der über die Wiese führt? - Wenn du weißt, wie lang ein Viertel der Strecke ist, wie kommst du dann auf das Ganze? - Das Balkenmodell zeigt dir, wie viele gleich große Teile die Gesamtstrecke bilden.

1. Identifikation des Wiesenstücks: Die Differenz zwischen der Gesamtstrecke und dem Waldweg ist die Länge des Wiesenstücks. Also ist das Wiesenstück \(6\,\text{km}\) lang. 2. Verknüpfung mit dem Anteil: Laut Aufgabe entspricht dieses Wiesenstück \(\frac{1}{4}\) der Gesamtstrecke. 3. Berechnung der Gesamtlänge: Wenn ein Viertel der Strecke \(6\,\text{km}\) lang ist, beträgt die Gesamtlänge \(4 \cdot 6\,\text{km} = 24\,\text{km}\).

Die gesamte Wanderstrecke ist \(24\,\text{km}\) lang.