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- Kannst du den Bruch so erweitern, dass im Nenner eine 10, 100 oder 1000 steht? - Was passiert, wenn du den Zähler einfach durch den Nenner teilst? - Weißt du, wie viel ein Fünftel als Dezimalzahl ist?

1. Bruch so erweitern, dass der Nenner eine Zehnerpotenz ist: \(\frac{3 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{6}{10}\). 2. In Dezimalschreibweise umwandeln: \(\frac{6}{10} = 0,6\). 3. Alternativ: Division \(3 : 5 = 0,6\) durchführen.

0,6

- Zähle die Stellen nach dem Komma, um den passenden Nenner zu finden. - Wie viele Nullen muss die Zehnerzahl im Nenner haben? - Überlege, was die Ziffern vor und nach dem Komma für den Zähler bedeuten.

1. Bestimmung der Anzahl der Nachkommastellen für den Nenner: Eine Stelle entspricht Zehnteln (\(10\)), zwei Stellen Hundertsteln (\(100\)) und drei Stellen Tausendsteln (\(1\,000\)). 2. Für a) \(0{,}4\): Eine Nachkommastelle, also \(\frac{4}{10}\). 3. Für b) \(0{,}12\): Zwei Nachkommastellen, also \(\frac{12}{100}\). 4. Für c) \(0{,}005\): Drei Nachkommastellen, also \(\frac{5}{1\,000}\). 5. Für d) \(3{,}7\): Eine Nachkommastelle, die Ziffern bilden den Zähler \(37\), also \(\frac{37}{10}\). 6. Für e) \(0{,}08\): Zwei Nachkommastellen, also \(\frac{8}{100}\).

a) \(\frac{4}{10}\) b) \(\frac{12}{100}\) c) \(\frac{5}{1\,000}\) d) \(\frac{37}{10}\) e) \(\frac{8}{100}\)

- Kannst du den Bruch so erweitern, dass im Nenner eine Zehnerpotenz (10, 100, 1000) steht? - Welche Rechenoperation verbirgt sich hinter einem Bruchstrich? - Überlege dir bei gemischten Zahlen zuerst, welche Dezimalzahl der Bruchteil ergibt.

1. Berechnung von \(\frac{9}{20}\): Erweitern auf den Nenner \(100\) ergibt \(\frac{45}{100} = 0{,}45\). 2. Berechnung von \(\frac{7}{8}\): Division \(7 : 8 = 0{,}875\). 3. Berechnung von \(1\frac{1}{4}\): Umwandeln in \(\frac{5}{4}\) oder Addition von \(1 + \frac{1}{4}\). Da \(\frac{1}{4} = 0{,}25\), ergibt sich \(1{,}25\). 4. Berechnung von \(\frac{17}{50}\): Erweitern auf den Nenner \(100\) ergibt \(\frac{34}{100} = 0{,}34\).

a) \(0{,}45\) b) \(0{,}875\) c) \(1{,}25\) d) \(0{,}34\)

- Erinnere dich daran, dass ein Bruchstrich das Gleiche bedeutet wie ein Geteiltzeichen. - Wie gehst du vor, wenn die Division kein Ende nimmt? - Überlege, welche Ziffer entscheidet, ob du auf- oder abrunden musst.

1. Berechnung von a): \(3 : 4 = 0{,}75\). 2. Berechnung von b): \(5 : 6 = 0{,}8333\dots\). Rundung auf zwei Nachkommastellen ergibt \(0{,}83\). 3. Berechnung von c): \(12 : 5 = 2{,}4\). 4. Berechnung von d): \(-7 : 9 = -0{,}7777\dots\). Rundung auf zwei Nachkommastellen ergibt \(-0{,}78\).

a) \(0{,}75\) b) \(0{,}83\) c) \(2{,}4\) d) \(-0{,}78\)

- Wie rechnet man einen Bruch in eine Dezimalzahl um? - Schau dir die Markierungen auf dem Messbecher genau an. Wo liegen die Zahlen \( 0{,}3 \) und \( 0{,}4 \)? - Überlege, was einfacher zu verstehen ist: „Nimm drei Achtel“ oder „Nimm Null-Komma-Drei-Sieben-Fünf“.

1. Umwandlung des Bruchs durch Division: \( 3 : 8 = 0{,}375 \). Die Dezimalzahl lautet \( 0{,}375 \). 2. Bestimmung der Position auf der Skala: Der Wert \( 0{,}375 \) liegt genau in der Mitte zwischen \( 0{,}35 \) und \( 0{,}4 \). Auf der gegebenen Zehntel-Skala liegt er zwischen \( 0{,}3 \) und \( 0{,}4 \), wobei er näher an der \( 0{,}4 \)-Markierung liegt (genauer gesagt bei drei Vierteln des Abstands zwischen \( 0{,}3 \) und \( 0{,}4 \)). 3. Begründung der Bruchdarstellung: Brüche wie \( \frac{1}{4} \) oder \( \frac{3}{8} \) sind anschaulicher für das Teilen von Ganzen (Halbieren, Vierteln). Zudem sind sie exakt, während Dezimalzahlen bei anderen Werten (wie \( \frac{1}{3} \)) oft gerundet werden müssten.

a) \( 0{,}375 \) Liter. b) Der Wert liegt zwischen \( 0{,}3 \) und \( 0{,}4 \), genau bei \( 75\,\% \) des Weges von \( 0{,}3 \) zu \( 0{,}4 \). c) Brüche sind oft intuitiver für das Abmessen von Anteilen und ermöglichen eine exakte Darstellung ohne unendlich viele Nachkommastellen.

- Wie rechnet man einen Bruch in eine Dezimalzahl um? - Was bedeutet das Prozentzeichen für die Verschiebung des Kommas? - Vergleiche die Stellen der Dezimalzahlen von links nach rechts (Zehntel, Hundertstel, Tausendstel).

1. Umwandlung der Werte in Dezimalzahlen: \(A = \frac{5}{8} = 0{,}625\) \(B = 63\,\% = \frac{63}{100} = 0{,}63\) \(C = 0{,}622\) \(D = 2 : 3 = 0{,}6666\dots \approx 0{,}667\) 2. Vergleich der Dezimalzahlen: \(0{,}622 < 0{,}625 < 0{,}63 < 0{,}667\) 3. Zuordnung der ursprünglichen Werte: \(C < A < B < D\)

a) \(A = 0{,}625\); \(B = 0{,}63\); \(C = 0{,}622\); \(D \approx 0{,}667\) b) \(C < A < B < D\)

- Wie lassen sich Brüche am einfachsten vergleichen oder verrechnen, wenn man mit Dezimalzahlen arbeitet? - Erinnerst du dich, wie man den Durchschnitt von zwei Werten berechnet? - Zwischen zwei beliebigen Dezimalzahlen liegen immer unendlich viele weitere Zahlen.

1. Umwandlung der Brüche in Dezimalzahlen: \( \frac{1}{5} = 0{,}2 \) und \( \frac{1}{4} = 0{,}25 \). 2. Berechnung des Mittelwerts durch Addition und Division durch 2: \( (0{,}2 + 0{,}25) : 2 = 0{,}225 \). 3. Bestimmung einer Zahl im Intervall \( ]0{,}2; 0{,}225[ \): Ein möglicher Wert ist \( 0{,}21 \).

Die Mitte liegt bei \( 0{,}225 \). Eine weitere Zahl zwischen \( \frac{1}{5} \) und \( 0{,}225 \) ist zum Beispiel \( 0{,}21 \).

- Schreibe die periodischen Dezimalzahlen mit ein paar weiteren Stellen aus, um sie besser vergleichen zu können. - Wandle Brüche in Dezimalzahlen um, indem du den Zähler durch den Nenner teilst. - Vergleiche die Zahlen Stelle für Stelle von links nach rechts, beginnend bei den Einerstellen. - Wenn eine Dezimalzahl weniger Stellen hat als die andere, kannst du sie mit Nullen auffüllen.

1. Umwandlung des Bruchs \(\frac{9}{11}\) in eine Dezimalzahl durch Division: \(9 : 11 = 0{,}8181\dots\), also \(0{,}\overline{81}\). Vergleich der Stellen ab der Tausendstelstelle (\(0\) gegen \(8\)) ergibt \(0{,}81 < 0{,}\overline{81}\). 2. Ausschreiben der periodischen Zahl: \(0{,}\overline{12} = 0{,}121212\dots\). Vergleich der vierten Nachkommastelle (\(2\) gegen \(0\)) ergibt \(0{,}1212\dots > 0{,}121\). 3. Vergleich der Stellenwerte: \(2{,}\overline{6} = 2{,}6666\dots\). Da die dritte Nachkommastelle (\(6\)) größer als die gedachte Null bei \(2{,}660\) ist, folgt \(2{,}66 < 2{,}\overline{6}\). 4. Umwandlung des Bruchs \(\frac{3}{8}\) durch Erweitern auf Tausendstel (\(\frac{375}{1000}\)) oder Division: \(3 : 8 = 0{,}375\). Die Werte sind identisch, also \(\frac{3}{8} = 0{,}375\).

a) \(0{,}81 < \frac{9}{11}\) b) \(0{,}\overline{12} > 0{,}121\) c) \(2{,}66 < 2{,}\overline{6}\) d) \(\frac{3}{8} = 0{,}375\)

- Was bedeutet der Strich über einer Zahl bei einem Dezimalbruch? - Wie unterscheidet sich das Ergebnis einer Division, die aufgeht, von einer, die nicht aufgeht? - Welcher Nenner eignet sich für einen Bruch, dessen Periode aus genau einer Ziffer besteht und direkt nach dem Komma beginnt? - Führe die schriftliche Division im Kopf oder auf Papier durch, um das Ergebnis zu prüfen.

1. In Teilaufgabe a) fehlt der Periodenstrich. Da \( 4 : 9 = 0{,}444\dots \) ergibt, lautet das korrekte Ergebnis \( \frac{4}{9} = 0{,}\overline{4} \). 2. In Teilaufgabe b) wurde ein periodischer Dezimalbruch mit einem endlichen Dezimalbruch verwechselt. Bei einer einstelligen rein periodischen Dezimalzahl erhält man einen Bruch mit dem Nenner 9. Korrekt: \( 0{,}\overline{7} = \frac{7}{9} \). 3. In Teilaufgabe c) wurde eine periodische Zahl als endlicher Dezimalbruch geschrieben. Die Division \( 1 : 11 \) ergibt \( 0{,}0909\dots \). Korrekt: \( \frac{1}{11} = 0{,}\overline{09} \).

a) Fehler: Periodenstrich fehlt. Korrektur: \( \frac{4}{9} = 0{,}\overline{4} \). b) Fehler: Nenner 10 gilt für endliche Dezimalbrüche. Korrektur: \( 0{,}\overline{7} = \frac{7}{9} \). c) Fehler: Periode nicht beachtet. Korrektur: \( \frac{1}{11} = 0{,}\overline{09} \).

- Kannst du die Brüche so erweitern, dass im Nenner nur Neunen stehen? - Was passiert, wenn du den Zähler schriftlich durch den Nenner teilst? - Vergleiche die Dezimalzahlen Stelle für Stelle von links nach rechts.

1. Division von \(2\) durch \(9\) ergibt \(0{,}222\dots\), also \(0{,}\overline{2}\) 2. Erweiterung von \(\frac{7}{33}\) mit \(3\) ergibt \(\frac{21}{99}\), was der Dezimalzahl \(0{,}\overline{21}\) entspricht 3. Der Bruch \(\frac{25}{99}\) entspricht direkt der Dezimalzahl \(0{,}\overline{25}\) 4. Vergleich der Dezimalstellen: \(0{,}2121\dots < 0{,}2222\dots < 0{,}2525\dots\) 5. Ordnung: \(\frac{7}{33} < \frac{2}{9} < \frac{25}{99}\)

\(\frac{7}{33} = 0{,}\overline{21}\); \(\frac{2}{9} = 0{,}\overline{2}\); \(\frac{25}{99} = 0{,}\overline{25}\). Die Ordnung ist: \(\frac{7}{33} < \frac{2}{9} < \frac{25}{99}\).

- Was bedeutet das Prozentzeichen übersetzt als Nenner eines Bruches? - Wie kannst du eine Dezimalzahl mit einer Nachkommastelle als Zehntelbruch schreiben? - Erinnere dich daran, wie man Brüche durch Multiplikation von Zähler und Nenner mit derselben Zahl erweitert.

1. Umwandlung von \(A = 0{,}8\) in einen Bruch mit Nenner 100: \(0{,}8 = \frac{8}{10} = \frac{80}{100}\). 2. Umwandlung von \(B = \frac{4}{5}\) in einen Bruch mit Nenner 100: \(\frac{4 \cdot 20}{5 \cdot 20} = \frac{80}{100}\). 3. Umwandlung von \(C = 8\,\%\) in einen Bruch mit Nenner 100: \(8\,\% = \frac{8}{100}\). 4. Umwandlung von \(D = \frac{80}{10}\) in einen Bruch mit Nenner 100: \(\frac{80 \cdot 10}{10 \cdot 10} = \frac{800}{100}\). 5. Vergleich der Ergebnisse: \(A\) und \(B\) sind identisch, da beide \(\frac{80}{100}\) entsprechen. 6. Erklärung für b): Der Wert \(A\) (\(0{,}8\)) entspricht 80 Hundertsteln, während \(C\) (\(8\,\%\)) nur 8 Hundertstel darstellt. \(A\) ist also zehnmal so groß wie \(C\).

a) \(A\) und \(B\) sind identisch, da \(0{,}8 = \frac{80}{100}\) und \(\frac{4}{5} = \frac{80}{100}\). b) \(A\) entspricht \(80\,\%\), während \(C\) nur \(8\,\%\) ist; \(A\) ist somit das Zehnfache von \(C\).

- Gibt es eine Zahl, durch die du sowohl den Zähler als auch den Nenner ohne Rest teilen kannst? - Denke bei der Suche nach Teilern auch an Primzahlen wie 13 oder 17. - Wie oft passt der Nenner in den Zähler? Du kannst die Division schriftlich durchführen.

1. Für a): Kürzen mit 15 ergibt \(\frac{3}{4}\). Umwandlung: \(3 : 4 = 0{,}75\). 2. Für b): Kürzen mit 13 ergibt \(\frac{2}{5}\). Umwandlung: \(2 : 5 = 0{,}4\). 3. Für c): Kürzen mit 12 ergibt \(\frac{11}{4}\). Umwandlung: \(11 : 4 = 2{,}75\). 4. Für d): Kürzen mit 17 ergibt \(\frac{3}{5}\). Umwandlung: \(3 : 5 = 0{,}6\).

a) \(\frac{3}{4} = 0{,}75\) b) \(\frac{2}{5} = 0{,}4\) c) \(\frac{11}{4} = 2{,}75\) d) \(\frac{3}{5} = 0{,}6\)

- Hast du überprüft, ob der Bruch richtig in eine Dezimalzahl umgewandelt wurde? - Rechne die Subtraktion im zweiten Schritt noch einmal schriftlich nach. - Was erhältst du, wenn du den Bruch zuerst auf den Nenner 100 erweiterst?

1. Identifikation des ersten Fehlers: Die Umwandlung des Bruchs \(\frac{1}{4}\) in die Dezimalzahl \(0{,}14\) ist falsch. Der korrekte Wert ist \(0{,}25\), da \(\frac{1}{4} = \frac{25}{100}\). 2. Identifikation des zweiten Fehlers: Die Subtraktion \(4{,}5 - 1{,}14\) wurde falsch ausgeführt. Das Ergebnis dieser (fehlerhaften) Zwischenrechnung müsste \(3{,}36\) lauten (\(4{,}50 - 1{,}14 = 3{,}36\)), nicht \(3{,}46\). 3. Berechnung des richtigen Ergebnisses: \(4{,}5 - 1{,}25 = 3{,}25\).

1. Fehler: \(\frac{1}{4}\) ist \(0{,}25\), nicht \(0{,}14\). 2. Fehler: Die Subtraktion \(4{,}5 - 1{,}14\) ergibt \(3{,}36\), nicht \(3{,}46\). Das korrekte Ergebnis der Aufgabe ist \(3{,}25\).

- Schau dir an, wie viele Stellen hinter dem Komma stehen, um den Nenner (10, 100 oder 1000) zu bestimmen. - Vergiss am Ende nicht zu prüfen, ob du Zähler und Nenner noch durch dieselbe Zahl teilen kannst.

1. Für \(0{,}24\): Die Zahl hat zwei Nachkommastellen, entspricht also \(\frac{24}{100}\). Kürzen mit \(4\) ergibt \(\frac{6}{25}\). 2. Für \(3{,}5\): Dies entspricht \(3 \frac{5}{10}\). Kürzen des Bruchteils mit \(5\) ergibt \(3 \frac{1}{2}\) oder als unechter Bruch \(\frac{7}{2}\). 3. Für \(0{,}015\): Die Zahl hat drei Nachkommastellen, entspricht also \(\frac{15}{1000}\). Kürzen mit \(5\) ergibt \(\frac{3}{200}\).

a) \(\frac{6}{25}\) b) \(3\frac{1}{2}\) oder \(\frac{7}{2}\) c) \(\frac{3}{200}\)

- Kannst du den Nenner durch Erweitern auf eine Stufenzahl wie 10, 100 oder 1000 bringen? - Alternativ kannst du den Zähler durch den Nenner teilen.

1. Für \(\frac{9}{20}\): Erweitern mit \(5\), um den Nenner \(100\) zu erhalten: \(\frac{45}{100} = 0{,}45\). 2. Für \(\frac{3}{8}\): Division \(3 : 8 = 0{,}375\) oder Erweitern mit \(125\) auf den Nenner \(1000\): \(\frac{375}{1000} = 0{,}375\). 3. Für \(2\frac{1}{4}\): Der ganzzahlige Teil ist \(2\). Den Bruch \(\frac{1}{4}\) mit \(25\) erweitern ergibt \(\frac{25}{100} = 0{,}25\). Zusammen ergibt das \(2{,}25\).

a) \(0{,}45\) b) \(0{,}375\) c) \(2{,}25\)

- Überlege dir, wie viele Stellen nach dem Komma stehen, um den richtigen Nenner (10, 100 oder 1000) zu finden. - Kannst du Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen, um den Bruch zu vereinfachen? - Gibt es einen gemeinsamen Teiler von Zähler und Nenner?

1. Umwandlung von \(0{,}15\): \(0{,}15 = \frac{15}{100}\). Kürzen mit dem \(\operatorname{ggT}(15;100) = 5\) ergibt \(\frac{3}{20}\). 2. Umwandlung von \(0{,}08\): \(0{,}08 = \frac{8}{100}\). Kürzen mit dem \(\operatorname{ggT}(8;100) = 4\) ergibt \(\frac{2}{25}\). 3. Umwandlung von \(0{,}375\): \(0{,}375 = \frac{375}{1000}\). Kürzen mit dem \(\operatorname{ggT}(375;1000) = 125\) ergibt \(\frac{3}{8}\). 4. Umwandlung von \(2{,}4\): \(2{,}4 = \frac{24}{10}\). Kürzen mit dem \(\operatorname{ggT}(24;10) = 2\) ergibt \(\frac{12}{5}\) oder \(2 \frac{2}{5}\).

a) \(\frac{3}{20}\) b) \(\frac{2}{25}\) c) \(\frac{3}{8}\) d) \(\frac{12}{5}\)

- Mit welcher Zahl musst du den Nenner multiplizieren, um auf 100 zu kommen? - Was musst du dann mit dem Zähler machen, damit der Wert des Bruches gleich bleibt? - Erinnerst du dich, wie man eine Division schriftlich rechnet, wenn das Ergebnis eine Dezimalzahl ist?

1. Den Bruch so erweitern, dass der Nenner eine Zehnerpotenz ist, zum Beispiel \(10\), \(100\), \(1\,000\), \(\dots\): \(\frac{11 \cdot 5}{20 \cdot 5} = \frac{55}{100}\). 2. Den Bruch mit dem Nenner 100 als Dezimalzahl schreiben: \(\frac{55}{100} = 0{,}55\). 3. Alternativ: Division des Zählers durch den Nenner: \(11 : 20 = 0{,}55\).

\(0{,}55\)

- Schreibe die Dezimalzahl zunächst als Bruch mit dem Nenner 100. - Bestimme einen gemeinsamen Teiler von Zähler und Nenner. - Kürze Zähler und Nenner durch denselben Wert, bis der Bruch vollständig gekürzt ist.

1. Den Dezimalbruch als Bruch mit einer Zehnerpotenz im Nenner schreiben: \(0{,}48 = \frac{48}{100}\). 2. Den gemeinsamen Teiler von Zähler und Nenner finden: Der größte gemeinsame Teiler von 48 und 100 ist 4. 3. Den Bruch durch 4 kürzen: \(\frac{48 : 4}{100 : 4} = \frac{12}{25}\).

\(\frac{12}{25}\)

- Überlege, mit welcher Zahl du den Nenner multiplizieren musst, um auf \(10\), \(100\) oder \(1\,000\) zu kommen. - Vergiss nicht, den Zähler mit derselben Zahl zu multiplizieren. - Wie viele Nachkommastellen hat eine Dezimalzahl bei einem Nenner von \(100\) oder \(1\,000\)?

1. Erweiterung von \(\frac{3}{5}\) mit \(2\) auf Zehntel: \(\frac{3 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{6}{10} = 0{,}6\) 2. Erweiterung von \(\frac{7}{20}\) mit \(5\) auf Hundertstel: \(\frac{7 \cdot 5}{20 \cdot 5} = \frac{35}{100} = 0{,}35\) 3. Erweiterung von \(\frac{9}{40}\) mit \(25\) auf Tausendstel: \(\frac{9 \cdot 25}{40 \cdot 25} = \frac{225}{1\,000} = 0{,}225\) 4. Erweiterung von \(\frac{11}{250}\) mit \(4\) auf Tausendstel: \(\frac{11 \cdot 4}{250 \cdot 4} = \frac{44}{1\,000} = 0{,}044\)

a) \(0{,}6\) b) \(0{,}35\) c) \(0{,}225\) d) \(0{,}044\)

- Überlege dir, welchen Stellenwert die letzte Ziffer der Dezimalzahl hat. - Erinnere dich daran, dass eine ganze Zahl auch als Bruch geschrieben werden kann. - Wie verändert sich der Zähler, wenn der Nenner \(100\) ist?

1. Schritt a): \(0{,}75\) hat zwei Nachkommastellen, daher ist der Nenner \(100\). 2. Schritt b): \(0{,}003\) entspricht drei Tausendsteln, der Zähler ist also \(3\). 3. Schritt c): \(2{,}1\) sind \(21\) Zehntel, der Zähler ist \(21\). 4. Schritt d): \(0{,}06\) hat zwei Nachkommastellen, daher ist der Nenner \(100\). 5. Schritt e): Die ganze Zahl \(9\) entspricht \(900\) Hundertsteln (\(9 \cdot 100\)), der Zähler ist \(900\).

a) \(100\) b) \(3\) c) \(21\) d) \(100\) e) \(900\)

- Überlege dir für jeden Bruch, wie er als Dezimalzahl aussieht. - Du kannst einen Bruch auch in eine Dezimalzahl umwandeln, indem du den Zähler durch den Nenner dividierst. - Wie viele Stellen nach dem Komma hat die Zahl \( 0{,}625 \)? Was sagt dir das über den Nenner des entsprechenden Bruchs (als Stufenzahl)?

1. Umwandlung von \( \frac{625}{100} \): Als Dezimalzahl geschrieben ist dies \( 6{,}25 \). Das stimmt nicht mit \( 0{,}625 \) überein. 2. Umwandlung von \( \frac{5}{8} \): Erweitern mit \( 125 \) ergibt \( \frac{625}{1\,000} \), was \( 0{,}625 \) entspricht. 3. Umwandlung von \( \frac{3}{4} \): Erweitern mit \( 25 \) ergibt \( \frac{75}{100} \), was \( 0{,}75 \) entspricht. Der Bruch \( \frac{5}{8} \) ist somit gleichwertig zu \( 0{,}625 \).

\( \frac{5}{8} \)

- Wie viele Nachkommastellen hat die Zahl? Das sagt dir, ob du Zehntel, Hundertstel oder Tausendstel im Nenner brauchst. - Vergiss nicht, den Zähler und den Nenner durch ihren größten gemeinsamen Teiler zu teilen. - Ein unechter Bruch als Ergebnis ist völlig in Ordnung, solange er vollständig gekürzt ist.

1. Umwandlung in Brüche mit Zehnerpotenzen im Nenner basierend auf der Anzahl der Nachkommastellen: \(0{,}025 = \frac{25}{1000}\), \(1{,}44 = \frac{144}{100}\), \(0{,}008 = \frac{8}{1000}\), \(3{,}5 = \frac{35}{10}\). 2. Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers und Kürzen: \(\frac{25}{1000}\) gekürzt mit \(25\) ergibt \(\frac{1}{40}\); \(\frac{144}{100}\) gekürzt mit \(4\) ergibt \(\frac{36}{25}\); \(\frac{8}{1000}\) gekürzt mit \(8\) ergibt \(\frac{1}{125}\); \(\frac{35}{10}\) gekürzt mit \(5\) ergibt \(\frac{7}{2}\).

a) \(\frac{1}{40}\) b) \(\frac{36}{25}\) c) \(\frac{1}{125}\) d) \(\frac{7}{2}\)

- Wie kann man eine gemischte Zahl in einen Bruch umwandeln, bevor man rechnet? - Was bedeutet es für die Dezimalzahl, wenn ein Rest bei der Division immer wieder auftaucht? - Woran erkennst du am Nenner eines vollständig gekürzten Bruchs, ob die Dezimalzahl abbricht oder periodisch ist?

1. Umwandlung \(\frac{7}{8}\): Division \(7 : 8 = 0{,}875\). Dies ist eine abbrechende Dezimalzahl. 2. Umwandlung \(1\frac{2}{3}\): Umwandlung in einen unechten Bruch \(\frac{5}{3}\). Division \(5 : 3 = 1{,}666\dots\). Periodenschreibweise: \(1{,}\overline{6}\). 3. Umwandlung \(-\frac{13}{11}\): Division \(-13 : 11 = -1{,}181818\dots\). Periodenschreibweise: \(-1{,}\overline{18}\). 4. Identifikation: Nur \(\frac{7}{8}\) ist abbrechend.

\(\frac{7}{8} = 0{,}875\) (abbrechend) \(1\frac{2}{3} = 1{,}\overline{6}\) \(-\frac{13}{11} = -1{,}\overline{18}\) Abbrechende Dezimalzahl: \(\frac{7}{8}\)

- Was passiert, wenn du drei Drittel zusammenzählst? - Addiere die Dezimalzahlen wie Geldbeträge. Kommst du genau auf 1? - Erinnere dich an den Unterschied zwischen endlichen und periodischen Dezimalzahlen.

1. Addition der Brüche: \( \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{3}{3} = 1 \). Das Ergebnis ist genau das Ganze. 2. Addition der Dezimalzahlen: \( 0{,}33 + 0{,}33 + 0{,}33 = 0{,}99 \). 3. Vergleich und Schlussfolgerung: Bei der Dezimalzahl \( 0{,}33 \) fehlt ein Rest von \( 0{,}01 \) zum Ganzen. Der Bruch \( \frac{1}{3} \) entspricht der periodischen Dezimalzahl \( 0{,}\overline{3} \). Die endliche Dezimalzahl \( 0{,}33 \) ist nur ein gerundeter Näherungswert, weshalb beim Rechnen ein Rundungsfehler entsteht.

a) \( 1 \) (das Ganze). b) \( 0{,}99 \). c) Nur der Bruch \( \frac{1}{3} \) stellt den Anteil exakt dar. Die Dezimalzahl \( 0{,}33 \) führt zu einem Rundungsfehler, da sie den unendlichen Dezimalbruch \( 0{,}\overline{3} \) abschneidet.

- Führe die schriftliche Division bis zur dritten Nachkommastelle aus. - Welche Regel gilt für das Auf- und Abrunden bei der Ziffer 5? - Konzentriere dich nur auf die Stelle direkt rechts neben der Zielstelle.

1. Division für \( \frac{19}{12} \): \( 19 : 12 = 1{,}5833\dots \) 2. Bestimmung der Tausendstelstelle für a): Die dritte Nachkommastelle ist \( 3 \). Da \( 3 < 5 \), wird abgerundet. Ergebnis: \( 1{,}58 \). 3. Division für \( \frac{7}{11} \): \( 7 : 11 = 0{,}636363\dots \) 4. Bestimmung der Tausendstelstelle für b): Die dritte Nachkommastelle ist \( 6 \). Da \( 6 \geq 5 \), wird aufgerundet. Ergebnis: \( 0{,}64 \).

a) \( 1{,}58 \) (Tausendstelstelle: \( 3 \)) b) \( 0{,}64 \) (Tausendstelstelle: \( 6 \))

- Denke daran, dass Prozent „von Hundert“ bedeutet. - Bei Brüchen hilft die schriftliche Division. - Achte genau auf die dritte Stelle nach dem Komma für die Rundung.

1. Umwandlung von \( 112{,}4\,\% \): Division durch 100 ergibt \( 1{,}124 \). Die Tausendstelstelle ist \( 4 \), also wird abgerundet: \( 1{,}12 \). 2. Umwandlung von \( \frac{5}{13} \): Division \( 5 : 13 \approx 0{,}3846\dots \). Die Tausendstelstelle ist \( 4 \), also wird abgerundet: \( 0{,}38 \). 3. Umwandlung von \( \frac{25}{6} \): Division \( 25 : 6 = 4{,}1666\dots \). Die Tausendstelstelle ist \( 6 \), also wird aufgerundet: \( 4{,}17 \).

a) \( 1{,}12 \) b) \( 0{,}38 \) c) \( 4{,}17 \)

- Bring alle Zahlen in das gleiche Format, um sie besser vergleichen zu können. - Achte beim Vergleichen auf die Stellenwerte (Zehntel, Hundertstel, Tausendstel). - Wenn du zwischen zwei Zahlen mit zwei Nachkommastellen keine Zahl findest, hänge eine Null an (z. B. aus \( 0{,}38 \) wird \( 0{,}380 \)).

1. Umwandlung aller Brüche in Dezimalzahlen: \( \frac{3}{8} = 0{,}375 \) und \( \frac{2}{5} = 0{,}4 \). 2. Vergleich der Dezimalzahlen: \( 0{,}3 < 0{,}375 < 0{,}38 < 0{,}4 \). 3. Identifikation der beiden größten Werte: \( 0{,}38 \) und \( 0{,}4 \). 4. Auswahl einer Zahl zwischen \( 0{,}38 \) und \( 0{,}4 \): Ein möglicher Wert ist \( 0{,}39 \).

a) \( 0{,}3 < 0{,}375 < 0{,}38 < 0{,}4 \) (bzw. \( 0{,}3 < \frac{3}{8} < 0{,}38 < \frac{2}{5} \)). b) Eine mögliche Zahl ist \( 0{,}39 \).

- Wie kannst du eine gemischte Zahl am einfachsten umrechnen, ohne den Ganzzahlteil erst in den Bruch einzubeziehen? - Schau dir die ersten paar Nachkommastellen an. Fällt dir ein Muster auf? - Wie oft wiederholt sich die Ziffernfolge bis zur 50. Stelle?

1. Umwandlung des Bruchteils: \(5 : 11 = 0{,}454545\dots\). 2. Gesamtzahl als Dezimalbruch: \(2{,}\overline{45}\). 3. Analyse der Periode: Die Periode hat die Länge 2. Die Ziffer 4 steht an allen ungeraden Stellen (1., 3., 5., \dots), die Ziffer 5 steht an allen geraden Stellen (2., 4., 6., \dots). 4. Da 50 eine gerade Zahl ist, muss an der 50. Stelle die Ziffer 5 stehen.

\(2 \frac{5}{11} = 2{,}\overline{45}\). An der 50. Stelle nach dem Komma steht die Ziffer 5.

- Achte beim zweiten Bruch auf das Vorzeichen, es beeinflusst die Ziffernfolge selbst nicht. - Die Periode beginnt erst dort, wo sich die Ziffernfolge zum ersten Mal exakt wiederholt. - Zähle genau, wie viele Ziffern unter dem Periodenstrich stehen.

1. Division für \(\frac{5}{12}\): \(5 : 12 = 0{,}41666\dots\), also \(0{,}41\overline{6}\). 2. Periodenlänge von \(0{,}41\overline{6}\): Die Periode besteht nur aus der Ziffer 6, die Länge ist also 1. 3. Division für \(-\frac{7}{11}\): \(-(7 : 11) = -0{,}636363\dots\), also \(-0{,}\overline{63}\). 4. Periodenlänge von \(-0{,}\overline{63}\): Die Periode besteht aus den Ziffern 6 und 3, die Länge ist also 2. 5. Vergleich: Der Bruch \(-\frac{7}{11}\) hat mit der Länge 2 die längere Periode.

\(\frac{5}{12} = 0{,}41\overline{6}\) (Periodenlänge 1); \(-\frac{7}{11} = -0{,}\overline{63}\) (Periodenlänge 2). Der Bruch \(-\frac{7}{11}\) hat die längere Periode.

- Wie wandelt man einen Bruch am besten in eine Dezimalzahl um, wenn der Nenner keine Zehnerpotenz ist? - Erinnere dich daran, wie man den Abstand zwischen zwei Zahlen auf dem Zahlenstrahl bestimmt. - Vergleiche die Differenzen Stelle für Stelle, um zu sehen, welche kleiner ist.

1. Umwandlung von \(\frac{1}{6}\) in eine Dezimalzahl: \(1 : 6 = 0{,}1666\dots = 0{,}1\overline{6}\). 2. Umwandlung von \(\frac{1}{8}\) in eine Dezimalzahl: \(1 : 8 = 0{,}125\). 3. Berechnung des Abstands von \(0{,}1\overline{6}\) zu \(0{,}15\): \(0{,}1666\dots - 0{,}15 = 0{,}0166\dots = 0{,}01\overline{6}\). 4. Berechnung des Abstands von \(0{,}125\) zu \(0{,}15\): \(0{,}15 - 0{,}125 = 0{,}025\). 5. Vergleich der Abstände: Da \(0{,}01\overline{6} < 0{,}025\), liegt \(\frac{1}{6}\) näher an \(0{,}15\).

\(\frac{1}{6} = 0{,}1\overline{6}\) und \(\frac{1}{8} = 0{,}125\). Der Bruch \(\frac{1}{6}\) liegt näher an \(0{,}15\), da der Abstand \(0{,}01\overline{6}\) kleiner ist als \(0{,}025\).

- Bringe alle Zahlen in das gleiche Format, am besten als Dezimalzahlen. - Welche Ziffer steht bei \(\frac{7}{9}\) an der dritten und vierten Nachkommastelle? - Um eine Zahl zwischen zwei anderen zu finden, betrachte weitere Nachkommastellen oder bilde den Mittelwert.

1. Darstellung aller Zahlen als Dezimalzahlen für den Vergleich: \(0{,}7 = 0{,}7000\dots\), \(\frac{7}{9} = 0{,}7777\dots\), \(0{,}77 = 0{,}7700\dots\) und \(0{,}778 = 0{,}7780\dots\). 2. Vergleich nach Stellenwerten (Zehntel, Hundertstel, Tausendstel): \(0{,}700 < 0{,}770 < 0{,}777\dots < 0{,}778\). 3. Sortierung: \(0{,}7 < 0{,}77 < \frac{7}{9} < 0{,}778\). 4. Identifikation der beiden größten Zahlen: \(\frac{7}{9} \approx 0{,}7777\dots\) und \(0{,}778\). 5. Eine mögliche Zahl dazwischen finden, indem man mehr Nachkommastellen betrachtet: Zwischen \(0{,}7777\dots\) und \(0{,}7780\) liegt zum Beispiel \(0{,}7779\).

a) \(0{,}7 < 0{,}77 < \frac{7}{9} < 0{,}778\) b) Zum Beispiel \(0{,}7779\) (andere Lösungen wie \(0{,}77785\) sind ebenfalls korrekt).

- Manchmal hilft es, periodische Zahlen als Brüche zu schreiben, um sie exakt zu addieren. - Wenn du zwei Produkte vergleichst und ein Faktor gleich ist, musst du nur die anderen beiden Faktoren vergleichen. - Wie sieht die vierte Nachkommastelle aus, wenn du den Bruch in eine Dezimalzahl umwandelst?

1. Für a): Umwandlung der Perioden in Brüche: \(0{,}\overline{3} = \frac{1}{3}\) und \(0{,}\overline{6} = \frac{2}{3}\). Die Summe ist \(\frac{1}{3} + \frac{2}{3} = \frac{3}{3} = 1\). Ergebnis: \(=\). 2. Für b): Vergleich der Faktoren. Da \(\frac{1}{2} = 0{,}5\) und \(0{,}5 < 0{,}55\), muss das Produkt \(0{,}4 \cdot 0{,}5\) kleiner sein als \(0{,}4 \cdot 0{,}55\), da \(0{,}4\) positiv ist. Ergebnis: \(<\). 3. Für c): Umwandlung in periodische Dezimalzahl \(\frac{1}{3} = 0{,}3333\dots\). Vergleich mit \(0{,}3330\). Da die vierte Nachkommastelle \(3 > 0\) ist, gilt \(\frac{1}{3} > 0{,}333\). Ergebnis: \(>\).

a) \(=\), da \(\frac{1}{3} + \frac{2}{3} = 1\) b) \(<\), da \(0{,}5 < 0{,}55\) c) \(>\), da \(0{,}3333\dots > 0{,}333\)

- Achte beim Runden auf die Ziffer, die rechts neben der Rundungsstelle steht. - Schau genau hin, über welchen Ziffern der Periodenstrich steht. - Kann ein Bruch mit dem Nenner 3 oder 99 ein endlicher Dezimalbruch sein? - Überlege, ob \( 0{,}3 \) wirklich exakt dasselbe ist wie ein Drittel.

1. In Teilaufgabe a) liegt ein Rundungsfehler vor. Da \( \frac{2}{3} = 0{,}666\dots \) ist, muss wegen der dritten Dezimalstelle (6) aufgerundet werden. Korrekt: \( \frac{2}{3} \approx 0{,}67 \). 2. In Teilaufgabe b) wurde der Periodenstrich falsch interpretiert. Er steht nur über der 5, also wiederholt sich nur die 5. Korrekt: \( 0{,}4\overline{5} = 0{,}4555\dots \). 3. In Teilaufgabe c) ist der Ausgangswert \( \frac{1}{3} = 0{,}3 \) bereits falsch (Periode fehlt). Die Multiplikation dieses falschen, endlichen Wertes führt zu einem weiteren Fehler. Korrekt: \( \frac{2}{3} = 0{,}\overline{6} \). 4. In Teilaufgabe d) wurde ein Bruch mit Nenner 99 als endlicher Dezimalbruch geschrieben. Nenner wie 99 deuten auf eine Periode hin. Korrekt: \( \frac{8}{99} = 0{,}\overline{08} \).

a) Fehler: Abgerundet statt aufgerundet. Korrektur: \( \frac{2}{3} \approx 0{,}67 \). b) Fehler: Periode falsch gelesen. Korrektur: \( 0{,}4\overline{5} = 0{,}4555\dots \). c) Fehler: \( \frac{1}{3} \) ist nicht \( 0{,}3 \), sondern \( 0{,}\overline{3} \). Korrektur: \( \frac{2}{3} = 0{,}\overline{6} \). d) Fehler: Periodizität missachtet. Korrektur: \( \frac{8}{99} = 0{,}\overline{08} \).

- Versuche, alle Zahlen in eine einheitliche Form zu bringen, zum Beispiel in Dezimalzahlen oder Brüche. - Was passiert mit dem Komma, wenn du eine Prozentzahl in eine Dezimalzahl umwandelst? - Beachte, dass \(0{,}375 = \frac{375}{1\,000}\) gilt, nicht \(\frac{375}{100}\).

1. Umwandlung in Dezimalzahlen zur besseren Vergleichbarkeit: - \(0{,}375\) ist bereits eine Dezimalzahl. - \(\frac{3}{8} = 3 : 8 = 0{,}375\). - \(37{,}5\,\% = 37{,}5 : 100 = 0{,}375\). - \(\frac{375}{100} = 3{,}75\). 2. Vergleich der Ergebnisse: Die Werte \(0{,}375\), \(\frac{3}{8}\) und \(37{,}5\,\%\) sind identisch. 3. Identifikation des Ausreißers: Der Wert \(\frac{375}{100}\) (entspricht \(3{,}75\)) ist genau zehnmal so groß wie die anderen Werte.

Die Zahl \(\frac{375}{100}\) passt nicht in die Reihe, da sie den Wert \(3{,}75\) hat, während alle anderen Werte \(0{,}375\) entsprechen.

- Was passiert, wenn du beide Brüche auf die gleiche Form bringst? - Kannst du eine Dezimalzahl direkt mit einer anderen vergleichen? - Achte darauf, beim Kürzen wirklich den größten gemeinsamen Teiler zu finden oder in mehreren Schritten zu kürzen.

1. Kürzen von \(\frac{18}{24}\): Der größte gemeinsame Teiler ist 6. \(\frac{18 : 6}{24 : 6} = \frac{3}{4}\). 2. Umwandlung in Dezimalzahl: \(3 : 4 = 0{,}75\). 3. Kürzen von \(\frac{14}{20}\): Der größte gemeinsame Teiler ist 2. \(\frac{14 : 2}{20 : 2} = \frac{7}{10}\). 4. Umwandlung in Dezimalzahl: \(7 : 10 = 0{,}7\). 5. Vergleich: Da \(0{,}75 > 0{,}7\) ist, gilt \(\frac{18}{24} > \frac{14}{20}\).

\(\frac{18}{24} = 0{,}75\) und \(\frac{14}{20} = 0{,}7\). Somit ist \(\frac{18}{24}\) der größere Bruch.

- Erinnerst du dich an den Unterschied zwischen abbrechenden und periodischen Dezimalbrüchen? - Addiere die Zahlen \(0{,}8\) und \(2{,}3\) stellenweise. - Überlege, ob man solche Aufgaben besser mit Brüchen oder mit Dezimalzahlen löst, wenn Perioden auftreten.

1. Analyse der Umwandlung: Der Bruch \(\frac{1}{3}\) ergibt einen periodischen Dezimalbruch \(0{,}333\dots\) bzw. \(0{,}\overline{3}\). Die Angabe \(2{,}3\) ist lediglich ein gerundeter Wert und entspricht nicht dem exakten Wert von \(2\frac{1}{3}\). 2. Analyse der Addition: Die Summe von \(0{,}8\) und \(2{,}3\) ist \(3{,}1\). Das angegebene Ergebnis \(3{,}3\) ist daher falsch. 3. Korrektes exaktes Ergebnis: \(\frac{4}{5} + \frac{7}{3} = \frac{12}{15} + \frac{35}{15} = \frac{47}{15} = 3\frac{2}{15}\) (oder \(3{,}1\overline{3}\)).

a) \(\frac{1}{3}\) ist ein periodischer Dezimalbruch (\(0{,}\overline{3}\)), weshalb \(2{,}3\) nur ein Näherungswert ist. b) Die Addition \(0{,}8 + 2{,}3\) ergibt \(3{,}1\), nicht \(3{,}3\).

- Es hilft oft, beide Zahlen in dieselbe Form zu bringen (entweder beide als Dezimalzahl oder beide als Bruch). - Achte bei Brüchen wie \(\frac{1}{3}\) darauf, ob sie als Dezimalzahl abbrechen oder unendlich weitergehen.

1. Vergleich \(0{,}4\) und \(\frac{2}{5}\): Da \(\frac{2}{5} = \frac{4}{10} = 0{,}4\), gilt \(0{,}4 = \frac{2}{5}\). 2. Vergleich \(0{,}33\) und \(\frac{1}{3}\): Da \(\frac{1}{3} = 0{,}\overline{3}\) (periodisch) und \(0{,}33 = 0{,}330\) ist, gilt \(0{,}33 < \frac{1}{3}\). 3. Vergleich \(0{,}85\) und \(\frac{17}{20}\): Da \(\frac{17}{20} = \frac{85}{100} = 0{,}85\), gilt \(0{,}85 = \frac{17}{20}\).

a) \(=\) b) \(<\) c) \(=\)

- Kannst du den Bruch durch Erweitern auf eine Zehnerpotenz (10, 100, 1000) bringen? - Wenn das Erweitern schwierig ist, hilft die schriftliche Division: Zähler geteilt durch Nenner. - Achte darauf, ob sich bei der Division Reste wiederholen.

1. Berechnung für \(\frac{9}{20}\): Erweiterung auf den Nenner 100 ergibt \(\frac{45}{100} = 0{,}45\). 2. Berechnung für \(\frac{5}{6}\): Schriftliche Division \(5 : 6 = 0{,}8333\dots\). Das Ergebnis ist \(0{,}8\overline{3}\). 3. Berechnung für \(\frac{4}{11}\): Schriftliche Division \(4 : 11 = 0{,}3636\dots\). Das Ergebnis ist \(0{,}\overline{36}\). 4. Berechnung für \(\frac{17}{50}\): Erweiterung auf den Nenner 100 ergibt \(\frac{34}{100} = 0{,}34\).

a) \(0{,}45\) b) \(0{,}8\overline{3}\) c) \(0{,}\overline{36}\) d) \(0{,}34\)

- Um eine Dezimalzahl in einen Bruch umzuwandeln, schreibe sie zuerst mit einer Zehnerpotenz (10, 100 oder 1000) im Nenner. - Vergiss nicht, am Ende zu prüfen, ob du Zähler und Nenner noch durch dieselbe Zahl teilen kannst. - Brüche mit dem Nenner 8 lassen sich gut auf Tausendstel erweitern.

1. Berechnung (1): \(0{,}625 = \frac{625}{1000}\). Kürzen mit 125 ergibt \(\frac{5}{8}\). 2. Berechnung (2): \(\frac{2}{5} = \frac{4}{10} = 0{,}4\). 3. Berechnung (3): \(2{,}4 = \frac{24}{10}\). Kürzen mit 2 ergibt \(\frac{12}{5}\) (oder \(2 \frac{2}{5}\)). 4. Berechnung (4): \(-\frac{3}{8}\). Erweiterung auf Tausendstel: \(-\frac{375}{1000} = -0{,}375\).

(1) \(\frac{5}{8}\) (2) \(0{,}4\) (3) \(\frac{12}{5}\) (oder \(2 \frac{2}{5}\)) (4) \(-0{,}375\)

- Es ist einfacher, Zahlen zu vergleichen, wenn sie alle im gleichen Format (zum Beispiel als Dezimalzahlen) vorliegen. - Ergänze bei den Dezimalzahlen Nullen am Ende, damit sie alle gleich viele Nachkommastellen haben.

1. Umwandlung der Brüche in Dezimalzahlen: \(\frac{3}{8} = 3 : 8 = 0{,}375\) und \(\frac{2}{5} = \frac{4}{10} = 0{,}4\) 2. Vergleich aller Dezimalzahlen: \(0{,}375 < 0{,}380 < 0{,}400 < 0{,}420\) 3. Zuordnung der ursprünglichen Werte zur Sortierung: \(\frac{3}{8} < 0{,}38 < \frac{2}{5} < 0{,}42\)

\(\frac{3}{8} < 0{,}38 < \frac{2}{5} < 0{,}42\)

- Es ist einfacher, Zahlen zu vergleichen, wenn sie denselben Nenner haben. - Erweitere oder kürze die Brüche, um sie vergleichbar zu machen. - Achte genau auf die Anzahl der Nullen und die Stellenwerte.

1. Vergleich a): \(0{,}3 = \frac{30}{100}\) und \(0{,}03 = \frac{3}{100}\). Da \(30 > 3\), gilt \(0{,}3 > 0{,}03\). 2. Vergleich b): \(0{,}05 = \frac{5}{100} = \frac{50}{1\,000}\). Somit gilt \(0{,}05 = \frac{50}{1\,000}\). 3. Vergleich c): \(1{,}2 = \frac{12}{10} = \frac{120}{100}\). Somit gilt \(1{,}2 = \frac{120}{100}\). 4. Vergleich d): \(0{,}008 = \frac{8}{1\,000}\) und \(0{,}01 = \frac{1}{100} = \frac{10}{1\,000}\). Da \(8 < 10\), gilt \(0{,}008 < 0{,}01\).

a) \(0{,}3 > 0{,}03\) b) \(0{,}05 = \frac{50}{1\,000}\) c) \(1{,}2 = \frac{120}{100}\) d) \(0{,}008 < 0{,}01\)

- Es ist einfacher zu vergleichen, wenn beide Zahlen im gleichen Format (beide als Dezimalzahl) vorliegen. - Achte beim Vergleichen von Dezimalzahlen auf die Stellen nach dem Komma: Zehntel, Hundertstel usw. - Kannst du einen Bruch so erweitern oder kürzen, dass du ihn sofort als Dezimalzahl schreiben kannst?

1. \( \frac{7}{10} = 0{,}7 \). Da \( 0{,}7 < 0{,}75 \), ist das Zeichen \( < \). 2. \( \frac{1}{4} = 0{,}25 \). Da \( 0{,}4 > 0{,}25 \), ist das Zeichen \( > \). 3. \( \frac{12}{50} = \frac{24}{100} = 0{,}24 \). Da \( 0{,}24 = 0{,}24 \), ist das Zeichen \( = \). 4. \( \frac{6}{5} = \frac{12}{10} = 1{,}2 \). Da \( 1{,}3 > 1{,}2 \), ist das Zeichen \( > \).

a) \( < \) b) \( > \) c) \( = \) d) \( > \)

- Es hilft, alle Zahlen auf die gleiche Anzahl von Nachkommastellen zu bringen, um sie besser vergleichen zu können. - Stelle dir die Zahlen auf einem Zahlenstrahl vor. - Achte genau auf die dritte und vierte Nachkommastelle beim Umwandeln und Vergleichen.

1. Umwandlung von \(A\): \(5 : 7 \approx 0{,}71428\dots\). Gerundet auf drei Stellen: \(0{,}714\). 2. Umwandlung von \(C\): \(11 : 15 = 0{,}73333\dots\). Gerundet auf drei Stellen: \(0{,}733\). 3. Vergleich der Werte: \(0{,}710\) (B) \(<\) \(0{,}714\) (A) \(<\) \(0{,}715\) (D) \(<\) \(0{,}733\) (C). 4. Reihenfolge: \(0{,}71 < \frac{5}{7} < 0{,}715 < \frac{11}{15}\).

\(0{,}71 < \frac{5}{7} < 0{,}715 < \frac{11}{15}\)

- Was passiert, wenn man eine Zahl wie 5 durch 6 teilt? Führe die schriftliche Division durch. - Was bedeutet der Begriff „Hundertstel“ für die Anzahl der Nachkommastellen? - Wie viele Stellen nach dem Komma musst du berechnen, um sicher zu sein, zwischen welchen Hundertsteln die Zahl liegt?

1. Umwandlung des Bruchs \( \frac{5}{6} \) in eine Dezimalzahl durch Division: \( 5 : 6 = 0{,}8333\dots \) (periodisch). 2. Vergleich mit Hundertsteln: Die Zahl \( 0{,}8333\dots \) ist größer als \( 0{,}83 \) (da \( 0{,}833\dots > 0{,}830 \)). 3. Die Zahl \( 0{,}8333\dots \) ist kleiner als das nächste Hundertstel \( 0{,}84 \) (da \( 0{,}833\dots < 0{,}840 \)). 4. Ergebnis: \( 0{,}83 < \frac{5}{6} < 0{,}84 \).

Der Bruch \( \frac{5}{6} \) liegt zwischen \( 0{,}83 \) und \( 0{,}84 \), da \( \frac{5}{6} \approx 0{,}833\dots \) ist.

- Überlege zuerst, wie viele Tausendstel in der Dezimalzahl stecken. - Vergiss nicht, den Bruch so weit wie möglich zu vereinfachen, bevor du den nächsten Schritt machst. - Wie geht man vor, wenn man eine Division wie \(2 : 3\) durchführt?

1. Umwandlung von \(0{,}625\) in einen Bruch: \(0{,}625 = \frac{625}{1000}\). 2. Kürzen des Bruchs: \(\frac{625}{1000} = \frac{5 \cdot 125}{8 \cdot 125} = \frac{5}{8}\). Hier ist \(a=5\) und \(b=8\). 3. Bildung des neuen Bruchs: \(\frac{a+1}{b+1} = \frac{5+1}{8+1} = \frac{6}{9}\). 4. Kürzen und Umwandeln des neuen Bruchs: \(\frac{6}{9} = \frac{2}{3} = 0{,}\overline{6}\). 5. Vergleich der Werte: \(0{,}\overline{6} = 0{,}666\dots\) und \(0{,}625\). Da \(0{,}666\dots > 0{,}625\), ist der neue Wert größer.

Der ursprüngliche Bruch ist \(\frac{5}{8}\). Der neue Bruch ist \(\frac{6}{9} = \frac{2}{3}\). Da \(0{,}\overline{6} > 0{,}625\), ist der neue Wert größer.

- Wie viele Neunen braucht man im Nenner für eine zweistellige Periode? - Was passiert mit den Nachkommastellen, wenn man eine Zahl durch 10 teilt? - Versuche \( 0{,}\overline{9} \) als Bruch zu schreiben. Was fällt dir auf? - Vergleiche die Dezimalstellen von \( \frac{1}{6} \) nacheinander mit \( 0{,}16 \).

1. Teilaufgabe a) ist falsch. Rein periodische Dezimalbrüche haben im Nenner so viele Neunen, wie die Periode lang ist. Korrekt: \( 0{,}\overline{12} = \frac{12}{99} = \frac{4}{33} \). 2. Teilaufgabe b) ist korrekt. Die Division durch 10 verschiebt das Komma um eine Stelle nach links, wodurch eine Null vor der Periode entsteht. 3. Teilaufgabe c) ist mathematisch falsch (auf diesem Niveau oft als „erstaunlich“ wahrgenommen). \( 0{,}\overline{9} \) ist exakt gleich \( 1 \), da \( 3 \cdot \frac{1}{3} = 3 \cdot 0{,}\overline{3} = 0{,}\overline{9} \) und gleichzeitig \( 3 \cdot \frac{1}{3} = 1 \). Korrekt: \( 0{,}\overline{9} = 1 \). 4. Teilaufgabe d) ist korrekt. \( \frac{1}{6} = 0{,}1666\dots \). Da \( 0{,}166\dots > 0{,}160 \), ist der Bruch größer.

a) Falsch. Korrektur: \( 0{,}\overline{12} = \frac{12}{99} \). b) Korrekt. Durch die Division durch 10 verschiebt sich das Komma. c) Falsch. Korrektur: \( 0{,}\overline{9} = 1 \). d) Korrekt. \( \frac{1}{6} = 0{,}1\overline{6} \), was größer ist als \( 0{,}16 \).

- Schau dir die Primfaktoren der Nenner an, nachdem du die Brüche vollständig gekürzt hast. - Welche Primfaktoren im Nenner führen dazu, dass eine Dezimalzahl abbricht? - Was passiert bei der Division, wenn ein Rest immer wiederkehrt?

1. \(\frac{36}{48}\): Kürzen mit 12 ergibt \(\frac{3}{4}\). Der Nenner 4 enthält nur den Primfaktor 2, daher abbrechend. Wert: \(0{,}75\). 2. \(\frac{36}{45}\): Kürzen mit 9 ergibt \(\frac{4}{5}\). Der Nenner 5 enthält nur den Primfaktor 5, daher abbrechend. Wert: \(0{,}8\). 3. \(\frac{36}{54}\): Kürzen mit 18 ergibt \(\frac{2}{3}\). Der Nenner 3 enthält einen Primfaktor ungleich 2 oder 5, daher periodisch. Wert: \(0{,}\overline{6}\).

\(\frac{36}{48} = \frac{3}{4} = 0{,}75\) (abbrechend) \(\frac{36}{45} = \frac{4}{5} = 0{,}8\) (abbrechend) \(\frac{36}{54} = \frac{2}{3} = 0{,}\overline{6}\) (periodisch)

- Wie wandelt man einen Bruch mit dem Nenner 5 am einfachsten in einen Dezimalbruch um? - Was passiert mit dem Komma, wenn man durch eine Dezimalzahl dividiert? - Überprüfe das Ergebnis der Division \(1{,}5 : 0{,}25\) durch eine Überschlagsrechnung oder die Umkehrrechnung.

1. Erster Fehler: Die Umwandlung des Bruchs \(\frac{2}{5}\) ist falsch. \(\frac{2}{5}\) entspricht \(0{,}4\) (da \(\frac{4}{10} = 0{,}4\)), nicht \(0{,}25\). 2. Zweiter Fehler: Die Division \(1{,}5 : 0{,}25\) wurde falsch berechnet. Es gilt \(1{,}5 : 0{,}25 = 150 : 25 = 6\). Das Ergebnis \(60\) weist auf einen Fehler beim Setzen des Kommas oder der Zehnerpotenz hin. 3. Korrekte Berechnung: \(1{,}5 : 0{,}4 = 15 : 4 = 3{,}75\).

1. Fehler: \(\frac{2}{5}\) ist \(0{,}4\), nicht \(0{,}25\). 2. Fehler: \(1{,}5 : 0{,}25\) ergibt \(6\), nicht \(60\). Das richtige Ergebnis ist \(3{,}75\).

- Schreibe die Dezimalzahl zuerst als Bruch mit dem Nenner \(10\), \(100\) oder \(1\,000\). - Kannst du diesen Bruch so kürzen oder erweitern, dass er wie der gesuchte Bruch aussieht? - Was musst du tun, um von einem Nenner auf den anderen zu kommen?

1. Zu a): Umwandlung von \(0{,}375\) in einen Bruch ergibt \(\frac{375}{1\,000}\). Kürzen durch \(125\) führt zu \(\frac{3}{8}\). Ergebnis: \(\square = 3\). 2. Zu b): Umwandlung von \(0{,}64\) in einen Bruch ergibt \(\frac{64}{100}\). Kürzen durch \(4\) führt zu \(\frac{16}{25}\). Ergebnis: \(\square = 16\). 3. Zu c): Umwandlung von \(0{,}07\) in einen Bruch ergibt \(\frac{7}{100}\). Der Vergleich mit \(\frac{7}{\square}\) zeigt: \(\square = 100\).

a) \(\square = 3\) b) \(\square = 16\) c) \(\square = 100\)