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- Worauf musst du beim Nenner achten, bevor du die Primfaktoren untersuchst? - Welche Primfaktoren sind bei einer Zehnerpotenz wie \(10\), \(100\), \(1\,000\), \(\dots\) erlaubt? - Überlege, ob der Bruch bereits in seiner einfachsten Form vorliegt.

1. Ein Bruch ist als endliche Dezimalzahl darstellbar, wenn sein vollständig gekürzter Nenner nur die Primfaktoren 2 und/oder 5 enthält. 2. a) \( \frac{7}{25} \): Der Nenner \( 25 = 5^2 \) enthält nur den Primfaktor 5. Resultat: Endlich. 3. b) \( \frac{9}{12} \): Kürzen zu \( \frac{3}{4} \). Der Nenner \( 4 = 2^2 \) enthält nur den Primfaktor 2. Resultat: Endlich. 4. c) \( \frac{13}{40} \): Der Nenner \( 40 = 2^3 \cdot 5 \) enthält nur die Primfaktoren 2 und 5. Resultat: Endlich. 5. d) \( \frac{11}{30} \): Der Nenner \( 30 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \) enthält den Primfaktor 3. Resultat: Periodisch (nicht endlich).

a) Endlich, da \( 25 = 5^2 \). b) Endlich, da der gekürzte Nenner \( 4 = 2^2 \) ist. c) Endlich, da \( 40 = 2^3 \cdot 5 \). d) Nicht endlich (periodisch), da der Nenner den Primfaktor 3 enthält.

- Überlege zuerst, wie man einen Bruch so weit wie möglich vereinfacht. - Welche Primfaktoren darf der Nenner eines gekürzten Bruchs haben, damit die Dezimalzahl abbricht? - Wie hängen die Hochzahlen der Primfaktoren im Nenner mit der Anzahl der Stellen nach dem Komma zusammen?

1. Kürzen von \( \frac{42}{105} \): Division durch 21 ergibt \( \frac{2}{5} \). Der Nenner \( 5^1 \) führt zu einer endlichen Dezimalzahl mit \( \max(0; 1) = 1 \) Nachkommastelle. 2. Kürzen von \( \frac{33}{120} \): Division durch 3 ergibt \( \frac{11}{40} \). Primfaktorzerlegung des Nenners: \( 40 = 2^3 \cdot 5^1 \). Endliche Dezimalzahl mit \( \max(3; 1) = 3 \) Nachkommastellen. 3. Kürzen von \( \frac{9}{72} \): Division durch 9 ergibt \( \frac{1}{8} \). Primfaktorzerlegung des Nenners: \( 8 = 2^3 \). Endliche Dezimalzahl mit \( \max(3; 0) = 3 \) Nachkommastellen.

a) Endlich, 1 Nachkommastelle. b) Endlich, 3 Nachkommastellen. c) Endlich, 3 Nachkommastellen.

- Führe für jeden Bruch eine schriftliche Division (Zähler durch Nenner) durch. - Achte darauf, ob der Rest bei der Division irgendwann null wird oder ob sich Reste wiederholen. - Überlege dir, an welcher Stelle nach dem Komma die Wiederholung der Ziffern beginnt.

1. Berechnung von a): Division \(7 : 9 = 0{,}777\dots\). Ergebnis \(0{,}\overline{7}\). Da die Periode direkt nach dem Komma beginnt, ist sie rein periodisch. 2. Berechnung von b): Division \(13 : 40 = 0{,}325\). Die Division geht ohne Rest auf. Es ist eine endliche Dezimalzahl. 3. Berechnung von c): Division \(5 : 6 = 0{,}8333\dots\). Ergebnis \(0{,}8\overline{3}\). Da vor der Periode die Ziffer 8 steht, ist sie gemischt periodisch.

a) \(0{,}\overline{7}\) (rein periodisch) b) \(0{,}325\) (endlich) c) \(0{,}8\overline{3}\) (gemischt periodisch)

- Führe die schriftliche Division für die ersten Beispiele sorgfältig durch. - Achte darauf, wie viele Stellen die Periode hat, wenn der Nenner \(9\) oder \(99\) ist. - Kannst du einen Zusammenhang zwischen der Anzahl der Neunen im Nenner und der Länge der Periode sehen?

1. Berechnung der ersten Brüche: \(\frac{1}{9} = 0{,}\overline{1}\), \(\frac{2}{9} = 0{,}\overline{2}\), \(\frac{3}{9} = 0{,}\overline{3}\). 2. Mustererkennung: Die Ziffer im Zähler entspricht der sich wiederholenden Ziffer in der Periode. 3. Anwendung auf Teil b: \(\frac{7}{9} = 0{,}\overline{7}\) und \(\frac{8}{9} = 0{,}\overline{8}\). 4. Erweiterung auf Nenner 99: \(\frac{1}{99} = 0{,}\overline{01}\). Hier ist die Periode zweistellig und entspricht dem Zähler (mit führender Null). 5. Überprüfung für \(\frac{12}{99}\): \(12 : 99 = 0{,}1212\dots = 0{,}\overline{12}\). Die Vermutung bestätigt sich: Der zweistellige Zähler bildet die Periode.

a) \(\frac{1}{9} = 0{,}\overline{1}\); \(\frac{2}{9} = 0{,}\overline{2}\); \(\frac{3}{9} = 0{,}\overline{3}\). Die Ziffer im Zähler wiederholt sich unendlich. b) \(\frac{7}{9} = 0{,}\overline{7}\); \(\frac{8}{9} = 0{,}\overline{8}\). c) \(\frac{1}{99} = 0{,}\overline{01}\); \(\frac{12}{99} = 0{,}\overline{12}\). Die Periode ist zweistellig.

- Hast du schon einmal beobachtet, wie viele Stellen die Periode hat, wenn im Nenner eine 9 oder 99 steht? - Überlege, wie sich das Komma verschiebt, wenn man einen Bruch durch 10 teilt. - Kannst du ein Muster zwischen der Anzahl der Neunen im Nenner und der Länge der Periode erkennen?

1. Division von 4 durch 9 ergibt \(0{,}444\dots\), also \(0{,}\overline{4}\). 2. Division von 4 durch 99 ergibt \(0{,}040404\dots\), also \(0{,}\overline{04}\). 3. Division von 4 durch 90 entspricht \(\frac{4}{9} \cdot \frac{1}{10}\), also \(0{,}\overline{4} : 10 = 0{,}0\overline{4}\). 4. Division von 41 durch 99 ergibt \(0{,}414141\dots\), also \(0{,}\overline{41}\).

a) \(0{,}\overline{4}\) b) \(0{,}\overline{04}\) c) \(0{,}0\overline{4}\) d) \(0{,}\overline{41}\)

- Zerlege den Nenner zuerst in seine kleinsten Bausteine (Primfaktoren). - Welche dieser Bausteine verhindern, dass der Bruch eine endliche Dezimalzahl wird? - Wie kann der Zähler helfen, diese „störenden“ Bausteine zu beseitigen? - Was bedeutet „kürzen“ in diesem Zusammenhang?

1. Primfaktorzerlegung des Nenners durchführen: \( 126 = 2 \cdot 3^2 \cdot 7 = 2 \cdot 9 \cdot 7 \). 2. Bedingung für endliche Dezimalzahlen identifizieren: Der Nenner des vollständig gekürzten Bruchs darf nur die Primfaktoren 2 und 5 besitzen. 3. Störende Primfaktoren im aktuellen Nenner finden: Die Faktoren \( 3^2 \) (also 9) und 7 müssen durch den Zähler \( x \) gekürzt werden. 4. Minimalen Wert für \( x \) berechnen: \( x = 3^2 \cdot 7 = 9 \cdot 7 = 63 \). 5. Überprüfung: \( \frac{63}{126} = \frac{1}{2} = 0{,}5 \), was eine endliche Dezimalzahl ist.

Die kleinste natürliche Zahl ist \( x = 63 \).

- Überlege dir, welche Primzahlen keine 2 und keine 5 sind. - Wie kannst du aus diesen Primzahlen eine zweistellige Zahl zusammenbauen? - Erinnere dich an die Regel für die Primfaktoren im Nenner eines gekürzten Bruchs.

1. Eine geeignete Zahl muss einen Primfaktor außer 2 und 5 haben. 2. Beispiel 1: Die Zahl 12. Primfaktorzerlegung: \(12 = 2^2 \cdot 3\). Da der Faktor 3 enthalten ist, führt dieser Nenner bei einem gekürzten Bruch zu einer Periode. 3. Beispiel 2: Die Zahl 21. Primfaktorzerlegung: \(21 = 3 \cdot 7\). Da die Faktoren 3 und 7 enthalten sind, führt dieser Nenner zu einer Periode. 4. Beispiel 3: Die Zahl 11. Primfaktorzerlegung: \(11 = 11\) (Primzahl). Da der Faktor 11 enthalten ist, führt dieser Nenner zu einer Periode. 5. Mögliche korrekte Nenner sind alle zweistelligen Zahlen außer jenen, die nur 2 und 5 als Primfaktoren haben (wie 10, 16, 20, 25, 32, 40, 50, 64, 80).

Mögliche Beispiele sind 12, 21 und 11 (oder jede andere zweistellige Zahl, die Primfaktoren außer 2 und 5 besitzt).

- Was bedeutet es für den Nenner, wenn der Bruch „vollständig gekürzt“ ist und im Zähler eine 3 steht? - Welche Zahlen zwischen 10 und 30 haben nur 2 und 5 als Primfaktoren? - Prüfe systematisch die Potenzen von 2, die Potenzen von 5 und deren Produkte.

1. Da der Bruch \(\frac{3}{n}\) vollständig gekürzt ist, darf \(n\) nicht durch 3 teilbar sein. 2. Damit der Bruch eine endliche Dezimalzahl ist, muss die Primfaktorzerlegung von \(n\) die Form \(2^a \cdot 5^b\) haben. 3. Wir suchen alle Zahlen dieser Form im Bereich \(11, \dots, 29\): - \(2^4 = 16\) - \(2^2 \cdot 5 = 20\) - \(5^2 = 25\) 4. Überprüfung der Teilerfremdheit zu 3: Weder 16, noch 20, noch 25 sind durch 3 teilbar. 5. Andere Kombinationen wie \(2 \cdot 5 = 10\) oder \(2^3 \cdot 5 = 40\) liegen außerhalb des Bereichs.

Die möglichen Werte für \(n\) sind 16, 20 und 25.

- Was passiert, wenn im Nenner eine Primzahl vorkommt, die weder 2 noch 5 ist? - Achte darauf, den Bruch immer erst vollständig zu kürzen, bevor du den Nenner untersuchst. - Gibt es einen Unterschied zwischen der gesamten Anzahl an Nachkommastellen und den Stellen, die sich nicht wiederholen?

1. \( \frac{13}{65} = \frac{1}{5} \). Der Nenner hat nur den Primfaktor 5. Die Dezimalzahl ist endlich und hat 1 Nachkommastelle. 2. \( \frac{14}{350} = \frac{1}{25} = \frac{1}{5^2} \). Der Nenner hat nur den Primfaktor 5. Die Dezimalzahl ist endlich und hat 2 Nachkommastellen. 3. \( \frac{7}{30} \): Der Bruch ist bereits vollständig gekürzt. Die Primfaktorzerlegung des Nenners ist \( 2 \cdot 3 \cdot 5 \). Wegen des Faktors 3 ist die Dezimalzahl periodisch. Da die Faktoren \(2\) und \(5\) jeweils einmal vorkommen, gibt es eine Stelle vor Beginn der Periode (Vorperiode).

a) Endlich, 1 Nachkommastelle. b) Endlich, 2 Nachkommastellen. c) Periodisch (mit einer Stelle Vorperiode).

- Zerlege den Nenner zuerst in seine Primfaktoren. - Welche Primfaktoren stören, damit der Bruch eine endliche Dezimalzahl wird? - Wie muss der Zähler beschaffen sein, damit diese störenden Faktoren verschwinden? - Wie viele Vielfache einer bestimmten Zahl liegen in dem gesuchten Bereich?

1. Primfaktorzerlegung des Nenners: \(140 = 2^2 \cdot 5 \cdot 7\). 2. Bedingung für eine endliche Dezimalzahl: Nach dem Kürzen dürfen im Nenner nur noch die Primfaktoren 2 und 5 vorhanden sein. 3. Der störende Faktor 7 im Nenner muss also durch den Zähler \(n\) gekürzt werden. 4. \(n\) muss folglich ein Vielfaches von 7 sein. 5. Vielfache von 7 im Bereich \(1 \le n < 140\): \(7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, 84, 91, 98, 105, 112, 119, 126, 133\). 6. Anzahl berechnen: \(133 : 7 = 19\).

Die Zahlen \(n\) müssen Vielfache von 7 sein (\(n \in \{7, 14, \dots, 133\}\)). Es gibt insgesamt 19 solcher Brüche.

- Notiere dir bei der schriftlichen Division von \(\frac{1}{13}\) alle Reste, die nacheinander entstehen. - Vergleiche diese Resteliste mit dem Startwert (Zähler) der anderen Brüche. - Wenn ein Zähler bereits als Rest in einer anderen Rechnung auftauchte, was bedeutet das für die Ziffernfolge?

1. Division für \(\frac{1}{13}\): \(1 : 13 = 0{,}\overline{076923}\). Die auftretenden Reste sind \(10, 9, 12, 3, 4, 1\). 2. Division für \(\frac{3}{13}\): \(3 : 13 = 0{,}\overline{230769}\). Die Ziffernfolge ist eine zyklische Verschiebung der Folge von \(\frac{1}{13}\). 3. Erklärung der Verschiebung: Da der Rest \(3\) in der Restefolge von \(1 : 13\) vorkommt, muss die Division von \(3 : 13\) ab diesem Punkt die gleichen Ziffern liefern. 4. Division für \(\frac{2}{13}\): \(2 : 13 = 0{,}\overline{153846}\). 5. Vergleich: Die Ziffernfolge ist völlig anders. Da der Rest \(2\) nicht in der Restefolge von \(1 : 13\) (\(10, 9, 12, 3, 4, 1\)) vorkam, startet hier ein neuer „Zyklus“ mit anderen Ziffern.

a) \(\frac{1}{13} = 0{,}\overline{076923}\) und \(\frac{3}{13} = 0{,}\overline{230769}\). Die Ziffernfolgen sind identisch, aber gegeneinander verschoben. b) \(\frac{2}{13} = 0{,}\overline{153846}\). Dieser Bruch gehört nicht zur gleichen Familie, da die Ziffernfolge eine andere ist. Das liegt daran, dass der Rest 2 bei der Division von 1 durch 13 nie auftritt.

- Berechne die Divisionen sorgfältig und achte auf die Vielfachen von 9. - Wie hängen die Ziffern in der Periode mit dem Zähler zusammen? - Was passiert, wenn man einen Bruch mit 9 im Nenner betrachtet? Ist die Periode dort auch zweistellig?

1. Berechnung: \(\frac{1}{11} = 0{,}0909\dots = 0{,}\overline{09}\); \(\frac{2}{11} = 0{,}1818\dots = 0{,}\overline{18}\); \(\frac{3}{11} = 0{,}2727\dots = 0{,}\overline{27}\). 2. Regelmäßigkeit a): Die zweistellige Periode entspricht immer dem Neunfachen des Zählers (\(k \cdot 9\)). 3. Anwendung b): Für \(\frac{7}{11}\) ist \(7 \cdot 9 = 63\), also \(0{,}\overline{63}\). Für \(\frac{9}{11}\) ist \(9 \cdot 9 = 81\), also \(0{,}\overline{81}\). 4. Vergleich c): \(\frac{1}{9} = 0{,}\overline{1}\) und \(\frac{2}{9} = 0{,}\overline{2}\). Hier entspricht die (einstellige) Periode direkt dem Zähler.

a) \(\frac{1}{11} = 0{,}\overline{09}\), \(\frac{2}{11} = 0{,}\overline{18}\), \(\frac{3}{11} = 0{,}\overline{27}\). Die Periode ist das Neunfache des Zählers. b) \(\frac{7}{11} = 0{,}\overline{63}\) und \(\frac{9}{11} = 0{,}\overline{81}\). c) Ja, bei Nenner 9 ist die Periode direkt die Ziffer des Zählers (\(\frac{1}{9} = 0{,}\overline{1}\), \(\frac{2}{9} = 0{,}\overline{2}\)).

- Wann genau bricht eine Dezimalzahl ab? Welche Primfaktoren darf der Nenner im gekürzten Zustand haben? - Zerlege die Zahl \(60\) in ihre Primfaktoren. Welcher Faktor „stört“, damit die Dezimalzahl endlich wird? - Wie kann man diesen störenden Faktor aus dem Nenner verschwinden lassen? - Was muss für den Zähler \(k\) gelten, damit man den störenden Teil wegkürzen kann?

1. Primfaktorzerlegung des Nenners bestimmen: \(60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5\). 2. Bedingung für endliche Dezimalzahlen anwenden: Ein vollständig gekürzter Bruch ergibt genau dann eine endliche Dezimalzahl, wenn der Nenner nur die Primfaktoren \(2\) und \(5\) besitzt. 3. Identifikation des störenden Faktors: Im Nenner \(60\) ist der Faktor \(3\) enthalten. Damit der Dezimalbruch abbricht, muss dieser Faktor \(3\) durch den Zähler \(k\) gekürzt werden. 4. Bestimmung der möglichen Werte für \(k\): \(k\) muss ein Vielfaches von \(3\) sein. 5. Auflistung im Bereich \(1 \leq k < 60\): Die Vielfachen von \(3\) sind \(3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45, 48, 51, 54, 57\).

Die Werte für \(k\) sind alle Vielfachen von \(3\) im Bereich von \(1\) bis \(59\): \(3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45, 48, 51, 54, 57\). Begründung: Der Primfaktor \(3\) im Nenner \(60\) muss durch \(k\) gekürzt werden.

- Multipliziere den Wert \(0{,}\overline{09}\) mit 3 und überprüfe die entstehende Periode. - Was passiert mit einer Dezimalzahl, wenn du sie durch 10 teilst? - Schau dir an, ob die Periode bei der Division durch 10 sofort nach dem Komma beginnt oder erst später.

1. Berechnung von \(1 : 11\): \(10\) geht nicht, \(100 : 11 = 9\) Rest \(1\). Der Zyklus wiederholt sich: \(0{,}0909\dots\), also \(0{,}\overline{09}\). 2. Multiplikation von \(\frac{1}{11}\) mit 3: \(3 \cdot 0{,}\overline{09} = 0{,}\overline{27}\). 3. Division von \(\frac{1}{11}\) durch 10: \(0{,}\overline{09} : 10 = 0{,}0\overline{09}\). Die Division durch 10 verschiebt alle Ziffern um eine Stelle nach rechts, wodurch eine Null als Vorperiode entsteht.

a) \(0{,}\overline{09}\) b) \(0{,}\overline{27}\) c) \(0{,}0\overline{09}\). Durch die Division des Bruches \(\frac{1}{11}\) durch 10 verschiebt sich das Komma um eine Stelle nach links (bzw. die Ziffern um eine Stelle nach rechts).

- Ist es wichtig, ob ein Bruch gekürzt ist, bevor man sich den Nenner ansieht? - Versuche, den Bruch so weit wie möglich zu vereinfachen. - Welche Faktoren bleiben im Nenner übrig, nachdem du alle gemeinsamen Faktoren von Zähler und Nenner entfernt hast?

1. Prüfung der Regel: Die Eigenschaft „endlich“ oder „periodisch“ bezieht sich immer auf den vollständig gekürzten Bruch. Somit hat Schüler B recht. 2. Kürzen des Bruchs: \(\frac{18}{75} = \frac{3 \cdot 6}{3 \cdot 25} = \frac{6}{25}\). 3. Untersuchung des Nenners des gekürzten Bruchs: \(25 = 5^2\). 4. Da der Nenner des gekürzten Bruchs nur den Primfaktor 5 enthält, handelt es sich um eine endliche Dezimalzahl. 5. Ergebnis: Schüler B hat recht; die Dezimalzahl ist endlich (\(0{,}24\)).

Schüler B hat recht. Der Bruch ergibt eine endliche Dezimalzahl, da er sich zu \(\frac{6}{25}\) kürzen lässt und der Nenner \(25 = 5^2\) nur den Primfaktor 5 enthält.

- Führe die schriftliche Division \(Zähler : Nenner\) durch. - Was passiert, wenn bei der schriftlichen Division immer wieder derselbe Rest auftaucht? - Wie kennzeichnet man Zahlen, bei denen sich eine Ziffernfolge unendlich oft wiederholt?

1. Teilaufgabe a): \(3 : 16 = 0{,}1875\). Die Division geht auf, daher ist es eine endliche Dezimalzahl. 2. Teilaufgabe b): \(5 : 6 = 0{,}8333\dots\). Der Rest \(2\) wiederholt sich, daher ist es eine periodische Dezimalzahl: \(0{,}8\overline{3}\). 3. Teilaufgabe c): \(4 : 11 = 0{,}3636\dots\). Die Reste \(7\) und \(4\) wiederholen sich abwechselnd, daher ist es eine rein periodische Dezimalzahl: \(0{,}\overline{36}\).

a) \(0{,}1875\) (endlich) b) \(0{,}8\overline{3}\) (periodisch) c) \(0{,}\overline{36}\) (periodisch)

- Wann lässt sich ein Bruch durch Erweitern auf einen Nenner wie \(10\), \(100\) oder \(1\,000\) bringen? - Schau dir die Primfaktoren der Nenner an. Welche Faktoren sind für unendliche periodische Dezimalzahlen verantwortlich? - Du kannst auch versuchen, den Zähler durch den Nenner zu teilen und schauen, ob die Rechnung aufgeht.

1. Untersuchung der Nenner der vollständig gekürzten Brüche: Ein Bruch ergibt eine endliche Dezimalzahl, wenn sein Nenner nur die Primfaktoren \(2\) und \(5\) enthält. 2. Anwendung auf die gegebenen Brüche: Bei \(\frac{7}{20}\) ist der Nenner \(20 = 2 \cdot 2 \cdot 5\) (endlich). Bei \(\frac{11}{40}\) ist der Nenner \(40 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5\) (endlich). Bei \(\frac{5}{6}\) (Nenner \(6 = 2 \cdot 3\)) und \(\frac{2}{3}\) (Nenner \(3\)) treten andere Primfaktoren auf, daher sind sie periodisch. 3. Berechnung der Dezimalwerte: \(\frac{7}{20} = \frac{35}{100} = 0{,}35\) und \(\frac{11}{40} = \frac{275}{1000} = 0{,}275\).

Endliche Dezimalzahlen sind \(\frac{7}{20} = 0{,}35\) und \(\frac{11}{40} = 0{,}275\). Begründung: Die Brüche \(\frac{5}{6}\) und \(\frac{2}{3}\) sind periodisch, da ihre Nenner (nach dem Kürzen) den Primfaktor \(3\) enthalten, weshalb sie sich nicht auf eine Zehnerpotenz wie \(10\), \(100\), \(1\,000\), \(\dots\) erweitern lassen.

- Reicht ein einziges Beispiel aus, um zu zeigen, dass eine allgemeine Aussage falsch ist? - Denk an Brüche, die man so weit kürzen kann, dass im Nenner nur noch eine 1 oder nur Faktoren von 2 und 5 übrig bleiben. - Was passiert, wenn der Zähler alle „problematischen“ Faktoren des Nenners in ausreichender Vielfachheit enthält? - Probier es mal mit kleinen Werten für \( n \), die eine periodische Zahl ergeben (wie 3, 6 oder 7).

1. Analyse der Bedingung für \( \frac{1}{n} \): Wenn \( \frac{1}{n} \) periodisch ist, enthält die Primfaktorzerlegung von \( n \) mindestens einen Primfaktor, der weder 2 noch 5 ist. 2. Untersuchung der Auswirkung von \( k \): Der Zähler \( k \) kann beim Kürzen des Bruches \( \frac{k}{n} \) Faktoren im Nenner eliminieren. 3. Suche nach einem Gegenbeispiel: Wähle \( n = 3 \). Der Bruch \( \frac{1}{3} = 0{,}\overline{3} \) ist periodisch. 4. Wähle ein passendes \( k \), das den Faktor 3 im Nenner aufhebt: Sei \( k = 3 \). 5. Berechnung des neuen Bruches: \( \frac{3}{3} = 1 \). Die Zahl 1 ist eine endliche Dezimalzahl (\(1{,}0\)). 6. Alternativbeispiel: \( n = 6 \). \( \frac{1}{6} = 0{,}1\overline{6} \) (periodisch). Wähle \( k = 3 \). \( \frac{3}{6} = \frac{1}{2} = 0{,}5 \) (endlich). 7. Fazit: Lukas hat nicht recht. Wenn \( k \) alle „störenden“ Primfaktoren von \( n \) in ausreichender Vielfachheit enthält, kann der vollständig gekürzte Bruch endlich werden.

Lukas hat nicht recht. Ein Gegenbeispiel ist \( n = 6 \) und \( k = 3 \): Während \( \frac{1}{6} = 0{,}1\overline{6} \) periodisch ist, ist \( \frac{3}{6} = 0{,}5 \) eine endliche Dezimalzahl, da der Faktor 3 im Nenner weggekürzt wird.

- Wenn eine Zahl genau vier Nachkommastellen hat, was sagt das über die höchste Potenz von 2 oder 5 im Nenner aus? - Untersuche zwei Fälle: Entweder ist der Exponent von 2 genau 4, oder der Exponent von 5 ist genau 4. - Achte darauf, dass das Ergebnis eine zweistellige Zahl sein muss.

1. Die Bedingung für vier Nachkommastellen lautet: \(n = 2^a \cdot 5^b\) mit \(\max(a, b) = 4\). 2. Fall 1: \(a = 4\). Dann ist \(n = 2^4 \cdot 5^b = 16 \cdot 5^b\). - Für \(b = 0\): \(n = 16 \cdot 1 = 16\) (zweistellig, korrekt). - Für \(b = 1\): \(n = 16 \cdot 5 = 80\) (zweistellig, korrekt). - Für \(b = 2\): \(n = 16 \cdot 25 = 400\) (zu groß). 3. Fall 2: \(b = 4\). Dann ist \(n = 2^a \cdot 5^4 = 2^a \cdot 625\). - Für \(a = 0\): \(n = 625\) (zu groß). Alle weiteren \(a\) führen ebenfalls zu dreistelligen oder größeren Zahlen. 4. Ergebnis: Die einzigen zweistelligen Zahlen sind 16 und 80.

Die Zahlen sind 16 und 80.

- Untersuche die Nenner beider Brüche ganz genau. - Musst du beide Brüche kürzen? - Welcher mathematische Zusammenhang besteht zwischen den Faktoren 2 und 5 im Nenner und der Zehnerpotenz, auf die man den Bruch erweitern könnte?

1. Kürzen von \( \frac{27}{1200} \): Division durch 3 ergibt \( \frac{9}{400} \). 2. Primfaktorzerlegung des Nenners 400: \( 400 = 4 \cdot 100 = 2^2 \cdot 2^2 \cdot 5^2 = 2^4 \cdot 5^2 \). 3. Bestimmung der Stellen für \( \frac{27}{1200} \): Da \( \max(4, 2) = 4 \), hat die Dezimalzahl 4 Nachkommastellen. 4. Analyse von \( \frac{19}{400} \): Der Bruch ist bereits gekürzt. Der Nenner ist identisch (\( 400 = 2^4 \cdot 5^2 \)). Somit hat auch dieser Bruch 4 Nachkommastellen. 5. Vergleich: Beide Brüche haben nach dem Kürzen denselben Nenner (bzw. Nenner mit identischer Primfaktorzerlegung bezüglich der Potenzen von 2 und 5), weshalb die Anzahl der Nachkommastellen gleich ist.

a) 4 Nachkommastellen. b) Beide Brüche haben 4 Nachkommastellen. Nach dem Kürzen von \( \frac{27}{1200} \) haben beide Brüche den Nenner 400, dessen Primfaktorzerlegung \( 2^4 \cdot 5^2 \) ist. Die höchste Potenz bestimmt die Anzahl der Stellen.

- Führe die schriftliche Division so lange durch, bis du wieder beim ersten Rest ankommst, den du am Anfang hattest. - Zähle die Ziffern, die unter dem Periodenstrich stehen. - Lass dich bei Bruch B nicht entmutigen, wenn die Division etwas länger dauert – sie wiederholt sich garantiert!

1. Berechnung von \(A\): \(4 : 11 = 0{,}3636\dots\). Das Ergebnis ist \(0{,}\overline{36}\). Die Periode hat eine Länge von 2 Ziffern. 2. Berechnung von \(B\): Schriftliche Division \(5 : 13\): \(50 : 13 = 3\) Rest \(11\) \(110 : 13 = 8\) Rest \(6\) \(60 : 13 = 4\) Rest \(8\) \(80 : 13 = 6\) Rest \(2\) \(20 : 13 = 1\) Rest \(7\) \(70 : 13 = 5\) Rest \(5\) (Startwert erreicht) Das Ergebnis ist \(0{,}\overline{384\,615}\). 3. Vergleich: Die Periode von \(B\) hat 6 Ziffern, die von \(A\) hat 2 Ziffern. Somit hat \(B\) die längere Periode.

a) \(A = 0{,}\overline{36}\); \(B = 0{,}\overline{384\,615}\) b) Bruch \(B\) hat die längere Periode. c) Die Periode von \(B\) hat 6 Ziffern.

- Kannst du einen Bruch finden, bei dem man die 3 im Nenner „wegkürzen“ kann? - Was ist der Unterschied zwischen einem beliebigen Bruch und einem vollständig gekürzten Bruch in Bezug auf diese Regel? - Schau dir die Primfaktoren von 120 an und überlege, welcher davon „unschädlich“ gemacht werden muss.

1. Gegenbeispiel zu a): Der Bruch \(\frac{3}{6}\) hat den Nenner 6 (teilbar durch 3), aber \(\frac{3}{6} = 0{,}5\) ist endlich. Ebenso \(\frac{3}{30} = 0{,}1\). 2. Korrekte Regel zu b): Ein Bruch ergibt genau dann eine periodische Dezimalzahl, wenn der Nenner des *vollständig gekürzten* Bruches Primfaktoren außer 2 und 5 enthält. 3. Analyse zu c): Primfaktorzerlegung von 120: \(120 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5\). 4. Damit der Bruch endlich ist, muss der Faktor 3 durch den Zähler \(k\) gekürzt werden. 5. Eigenschaft von \(k\): \(k\) muss eine durch 3 teilbare Zahl (ein Vielfaches von 3) sein.

a) Gegenbeispiel: \(\frac{3}{6} = 0{,}5\) oder \(\frac{3}{15} = 0{,}2\). b) Ein Bruch ist genau dann periodisch, wenn der vollständig gekürzte Nenner Primfaktoren außer 2 und 5 besitzt. c) Der Zähler \(k\) muss ein Vielfaches von 3 sein.

- Schau dir an, mit welcher Ziffer die Division jeweils beginnt. - Bleiben die Ziffern in ihrer relativen Reihenfolge gleich, wenn man sie im Kreis anordnet? - Teile die Periode in zwei gleich lange Hälften und vergleiche die Ziffern an den entsprechenden Positionen.

1. Analyse der Ziffernfolge: Die Brüche \(\frac{k}{7}\) sind zyklische Verschiebungen der Folge \(142\,857\). 2. Bestimmung von \(\frac{2}{7}\): Da \(2 : 7\) mit \(0{,}2\dots\) beginnt, startet die Periode bei der Ziffer 2: \(0{,}\overline{285\,714}\). 3. Bestimmung von \(\frac{3}{7}\): Da \(3 : 7\) mit \(0{,}4\dots\) beginnt, startet die Periode bei der Ziffer 4: \(0{,}\overline{428\,571}\). 4. Addition der Ziffernpaare in \(142\,857\): \(1+8=9\), \(4+5=9\), \(2+7=9\). Alle Summen ergeben 9.

a) \(\frac{2}{7} = 0{,}\overline{285\,714}\) und \(\frac{3}{7} = 0{,}\overline{428\,571}\) (zyklische Verschiebung). b) Die Summe der Ziffernpaare (\(1+8, 4+5, 2+7\)) ist immer 9.

- Vergleiche die Anzahl der Stellen in der Periode mit der Anzahl der Neunen im Nenner. - Eine Null am Ende des Nenners (wie bei 990) bedeutet oft eine Division durch 10 im Vergleich zum reinen Neuner-Nenner. - Kannst du den Dezimalbruch \(0{,}0\overline{07}\) als \(0{,}\overline{07} : 10\) schreiben?

1. \(\frac{13}{99} = 0{,}\overline{13}\) (2 Neunen, Periodenlänge 2). \(\frac{123}{999} = 0{,}\overline{123}\) (3 Neunen, Periodenlänge 3). Die Vermutung wird für diese beiden Beispiele bestätigt. 2. Der Übergang von \(\frac{13}{99}\) zu \(\frac{13}{990}\) entspricht einer Division durch 10. Dadurch verschiebt sich die Periode um eine Stelle nach rechts, und es entsteht eine Vorperiode (eine Null nach dem Komma): \(0{,}0\overline{13}\). 3. \(0{,}\overline{07}\) entspricht \(\frac{7}{99}\). Da \(0{,}0\overline{07}\) um eine Stelle nach rechts verschoben ist, muss der Nenner mit 10 multipliziert werden: \(\frac{7}{990}\).

a) \(\frac{13}{99} = 0{,}\overline{13}\); \(\frac{123}{999} = 0{,}\overline{123}\). b) Die Periode verschiebt sich um eine Stelle nach rechts, es entsteht eine Null als Vorperiode: \(0{,}0\overline{13}\). c) \(\frac{7}{990}\)

- Überlege dir, welche Faktoren im Nenner stehen dürfen, damit die Dezimalzahl abbricht. - Was passiert, wenn im Nenner eine „verbotene“ Primzahl wie 3 oder 7 steht, diese aber auch im Zähler vorkommt? - Zerlege sowohl den Zähler als auch den Nenner in ihre Primfaktoren.

1. Primfaktorzerlegung des Zählers: \(21 = 3 \cdot 7\). Primfaktorzerlegung des festen Nennerteils: \(125 = 5^3\). 2. Bedingung für eine endliche Dezimalzahl: Der Nenner des vollständig gekürzten Bruchs darf nur die Primfaktoren 2 und 5 enthalten. Alle anderen Primfaktoren in \(n\) müssen sich mit den Faktoren im Zähler (\(3\) oder \(7\)) wegkürzen lassen. 3. Prüfung der Werte für \(n\): - \(n = 3\): Der Faktor 3 im Nenner kürzt sich gegen die 3 im Zähler weg. Nenner bleibt \(5^3\). (Möglich) - \(n = 4\): \(4 = 2^2\). Nur Faktoren 2 und 5 im Nenner. (Möglich) - \(n = 9\): \(9 = 3^2\). Ein Faktor 3 kürzt sich weg, ein Faktor 3 bleibt im Nenner. (Nicht möglich) - \(n = 11\): 11 ist eine Primzahl, die nicht im Zähler vorkommt. Der Faktor 11 bleibt im Nenner. (Nicht möglich) - \(n = 14\): \(14 = 2 \cdot 7\). Der Faktor 7 kürzt sich gegen die 7 im Zähler weg. Im Nenner verbleiben nur die Faktoren 2 und 5. (Möglich) 4. Ergebnis: \(n \in \{3, 4, 14\}\).

Der Bruch ergibt für \(n \in \{3, 4, 14\}\) eine endliche Dezimalzahl.