Kostenlose Arbeitsblätter

- Was bedeutet der Betrag einer Zahl geometrisch auf der Zahlengeraden? - Kann das Ergebnis eines Betrags \(|x|\) jemals negativ sein? - Achte genau darauf, ob ein Minuszeichen innerhalb oder außerhalb der Betragsstriche steht.

1. Auswertung von (a): Der Betrag von \(-\frac{7}{8}\) ist \(\frac{7}{8}\) und der Betrag von \(+\frac{7}{8}\) ist ebenfalls \(\frac{7}{8}\). Die Gleichung \(\frac{7}{8} = \frac{7}{8}\) ist wahr. 2. Auswertung von (b): Der Betrag von \(\frac{5}{6}\) ist \(\frac{5}{6}\). Mit dem negativen Vorzeichen ergibt sich \(-\frac{5}{6}\). Die Gleichung \(-\frac{5}{6} = \frac{5}{6}\) ist falsch. 3. Auswertung von (c): Der Betrag von \(-\frac{1}{2}\) ist \(\frac{1}{2}\). Da \(\frac{1}{2} > 0\), ist die Aussage wahr. 4. Auswertung von (d): Der Betrag von \(-\frac{3}{4}\) ist \(\frac{3}{4}\). Da \(\frac{3}{4} \neq -\frac{3}{4}\), ist die Aussage falsch.

(a) wahr, (b) falsch, (c) wahr, (d) falsch

- Wie viele Zahlen haben denselben Abstand zur Null auf der Zahlengeraden? - Überlege dir, welche Werte ein Betrag annehmen kann. Kann ein Abstand negativ sein? - Vereinfache zuerst die Seite der Gleichung, auf der kein \(x\) steht.

1. Lösung für (a): Der Betrag einer Zahl ist ihr Abstand zur Null. Die Zahlen mit dem Abstand \(\frac{5}{12}\) sind \(x_1 = \frac{5}{12}\) und \(x_2 = -\frac{5}{12}\). 2. Lösung für (b): Ein Betrag gibt einen Abstand an und ist daher immer größer oder gleich Null. Da \(-2{,}5\) negativ ist, besitzt die Gleichung keine Lösung. 3. Lösung für (c): Zuerst wird die rechte Seite berechnet: \(|-\frac{3}{7}| = \frac{3}{7}\). Die Gleichung lautet nun \(|x| = \frac{3}{7}\). Die Lösungen sind \(x_1 = \frac{3}{7}\) und \(x_2 = -\frac{3}{7}\).

(a) \(x = \frac{5}{12}\) oder \(x = -\frac{5}{12}\) (b) keine Lösung, da ein Betrag nie negativ sein kann (c) \(x = \frac{3}{7}\) oder \(x = -\frac{3}{7}\)

- Kannst du den Bruch zuerst in eine ganze Zahl umwandeln? - Welche der ganzen Zahlen in der Liste sind negativ oder null? - Wie würdest du diese Zahlen auf einer Zahlengeraden von links nach rechts anordnen? - Denk daran, dass eine Zahl wie -4 kleiner ist als \(-2{,}5\).

1. Vereinfachung des Bruchs: \( -\frac{8}{2} = -4 \). 2. Identifikation der ganzen Zahlen (\(\mathbb{Z}\)): \( 4, 0, -4, -1 \). 3. Ausschluss der natürlichen Zahlen (\(\mathbb{N}\)): Da \( 4 \in \mathbb{N} \), verbleiben für \(\mathbb{Z} \setminus \mathbb{N}\) die Zahlen \( 0, -4, -1 \). 4. Umwandlung aller Zahlen in Dezimalform für den Vergleich: \( -2{,}5; 4; 0; -4; 0{,}5; -1; 1{,}2 \). 5. Sortierung: \( -4 < -2{,}5 < -1 < 0 < 0{,}5 < 1{,}2 < 4 \).

a) \( 0 \); \( -1 \); \( -\frac{8}{2} \) (bzw. \( -4 \)) b) \( -\frac{8}{2} < -2{,}5 < -1 < 0 < \frac{1}{2} < 1{,}2 < 4 \)

- Wie kannst du Brüche mit unterschiedlichen Nennern am besten vergleichen? - Was passiert mit der Reihenfolge von Zahlen, wenn du sie an der Null auf der Zahlengeraden spiegelst (also das Vorzeichen änderst)? - Welche Zahl liegt auf der Zahlengeraden weiter links?

1. Bestimmung des Hauptnenners der Brüche \(4, 8\) und \(16\): Der Hauptnenner ist \(16\). 2. Erweiterung der Brüche auf den Nenner \(16\): \(-\frac{3}{4} = -\frac{12}{16}\), \(-\frac{5}{8} = -\frac{10}{16}\) und \(-\frac{11}{16}\) bleibt unverändert. 3. Vergleich der Zähler unter Berücksichtigung des negativen Vorzeichens: \(-12 < -11 < -10\). 4. Aufstellung der geordneten Kette: \(-\frac{12}{16} < -\frac{11}{16} < -\frac{10}{16}\). 5. Rückführung auf die ursprünglichen Brüche: \(-\frac{3}{4} < -\frac{11}{16} < -\frac{5}{8}\).

\(-\frac{3}{4} < -\frac{11}{16} < -\frac{5}{8}\)

- Was bedeutet es, wenn eine Menge eine Teilmenge einer anderen ist? - Kannst du einen Bruch finden, dessen Wert eine natürliche Zahl ist? - Wie werden rationale Zahlen auf der Zahlengeraden dargestellt?

1. Aussage a: Wahr. Jede ganze Zahl \(z\) kann als Bruch \(\frac{z}{1}\) dargestellt werden, was der Definition einer rationalen Zahl entspricht (\(\mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}\)). 2. Aussage b: Falsch. Gegenbeispiel: \(\frac{8}{2} = 4\). Hier ist der Bruchwert eine natürliche Zahl. 3. Aussage c: Wahr. Jede rationale Zahl lässt sich eindeutig einem Punkt auf der Zahlengeraden zuordnen.

a) Wahr (da \(\mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}\)). b) Falsch (Gegenbeispiel: \(\frac{10}{5} = 2 \in \mathbb{N}\)). c) Wahr.

- Ist es einfacher, Brüche in Dezimalzahlen umzuwandeln oder umgekehrt? - Wo liegen negative Zahlen auf der Zahlengeraden im Vergleich zu Null? - Denk daran, dass bei negativen Zahlen diejenige Zahl größer ist, die näher an der Null liegt. - Wie viele Nachkommastellen hat eine periodische Dezimalzahl im Vergleich zu einer abbrechenden Dezimalzahl?

1. Umwandlung der Brüche in Dezimalzahlen: \(\frac{3}{5} = 0{,}6\), also \(-\frac{3}{5} = -0{,}6\). Da \(-0{,}6 < -0{,}5\), gilt \(-\frac{3}{5} < -0{,}5\). 2. Umwandlung des gemischten Bruchs: \(1\frac{1}{8} = 1 + 0{,}125 = 1{,}125\). Da beide Werte identisch sind, gilt \(1\frac{1}{8} = 1{,}125\). 3. Vergleich von \(-0{,}33\) und \(-\frac{1}{3}\): Es gilt \(-\frac{1}{3} = -0{,}333\dots\). Da \(-0{,}330 > -0{,}333\dots\), liegt \(-0{,}33\) weiter rechts auf der Zahlengeraden. Es gilt \(-0{,}33 > -\frac{1}{3}\).

a) \(-\frac{3}{5} < -0{,}5\) b) \(1\frac{1}{8} = 1{,}125\) c) \(-0{,}33 > -\frac{1}{3}\)

- Kannst du die Zahlen so erweitern, dass sie die gleiche Anzahl an Nachkommastellen haben? - Wo liegen die Zahlen auf einer Zahlengeraden? Welche liegt weiter links? - Wie kannst du einen Bruch in eine Dezimalzahl umwandeln? - Denke daran, dass bei negativen Zahlen diejenige kleiner ist, die den größeren Abstand zur Null hat.

1. Vergleich von \(0{,}708\) und \(0{,}710\): Da \(708 < 710\) im Tausendstel-Bereich, gilt \(0{,}708 < 0{,}71\). 2. Vergleich negativer Zahlen: \(-0{,}520\) hat einen größeren Betrag als \(-0{,}502\). Auf der Zahlengeraden liegt \(-0{,}52\) weiter links, also \(-0{,}52 < -0{,}502\). 3. Umwandlung des Bruchs: \(\frac{3}{8} = 3 : 8 = 0{,}375\). Somit gilt \(\frac{3}{8} = 0{,}375\). 4. Vergleich von \(-\frac{2}{3} \approx -0{,}666\dots\) und \(-0{,}6\): Da \(-0{,}666\dots < -0{,}600\), gilt \(-\frac{2}{3} < -0{,}6\).

a) \(0{,}708 < 0{,}71\) b) \(-0{,}52 < -0{,}502\) c) \(\frac{3}{8} = 0{,}375\) d) \(-\frac{2}{3} < -0{,}6\)

- Kannst du die Zahlen vereinfachen oder in eine andere Schreibweise (z. B. als Dezimalbruch oder ganze Zahl) bringen? - Welche Eigenschaften müssen Zahlen haben, um zur Menge der natürlichen oder ganzen Zahlen zu gehören? - Gibt es eine Rangordnung zwischen den Mengen, sodass eine Menge in der anderen enthalten ist? - Überlege dir für jede Zahl einzeln, ob sie ein Vorzeichen oder Kommastellen hat.

1. Überprüfung von \(4{,}5\): Da es eine Dezimalzahl mit Nachkommastellen ist, gehört sie nicht zu \(\mathbb{N}\) oder \(\mathbb{Z}\). Sie ist eine rationale Zahl: \(4{,}5 \in \mathbb{Q}\). 2. Überprüfung von \(-12\): Es ist eine negative Zahl ohne Nachkommastellen. Sie gehört nicht zu \(\mathbb{N}\), aber zu den ganzen Zahlen: \(-12 \in \mathbb{Z}\). 3. Überprüfung von \(\frac{20}{4}\): Der Bruch lässt sich kürzen zu \(20 : 4 = 5\). Da \(5\) eine positive ganze Zahl ist, ist die kleinstmögliche Menge \(\mathbb{N}\): \(\frac{20}{4} \in \mathbb{N}\). 4. Überprüfung von \(0\): Gemäß der Vorgabe \(0 \notin \mathbb{N}\) ist die Null eine ganze Zahl: \(0 \in \mathbb{Z}\). 5. Überprüfung von \(-0{,}75\): Als negative Dezimalzahl mit Nachkommastellen ist sie weder in \(\mathbb{N}\) noch in \(\mathbb{Z}\) enthalten. Sie ist eine rationale Zahl: \(-0{,}75 \in \mathbb{Q}\). 6. Überprüfung von \(120\,\%\): Umgerechnet gilt \(120\,\% = 1{,}2 = \frac{6}{5}\). Dies ist eine rationale Zahl, die keine ganze Zahl ist: \(120\,\% \in \mathbb{Q}\).

- \(4{,}5 \in \mathbb{Q}\) - \(-12 \in \mathbb{Z}\) - \(\frac{20}{4} \in \mathbb{N}\) - \(0 \in \mathbb{Z}\) - \(-0{,}75 \in \mathbb{Q}\) - \(120\,\% \in \mathbb{Q}\)

- Wandle Brüche am besten in Dezimalzahlen um, um sie leichter vergleichen zu können. - Denke an das Thermometer: Welche Zahl liegt weiter oben (ist größer) und welche weiter unten (ist kleiner)? - Bei negativen Zahlen ist diejenige Zahl kleiner, die den größeren Betrag (Abstand zur Null) hat.

1. Um \(-\frac{3}{5}\) und \(-0{,}58\) zu vergleichen, wandelt man den Bruch in eine Dezimalzahl um: \(-\frac{3}{5} = -0{,}6\). Da \(0{,}6 > 0{,}58\), gilt für die negativen Zahlen \(-0{,}6 < -0{,}58\). 2. Vergleich von \(-2{,}07\) und \(-2{,}7\): Da \(2{,}07 < 2{,}7\), ist die Zahl mit dem kleineren Betrag bei negativen Vorzeichen die größere, also \(-2{,}07 > -2{,}7\). 3. Um \(-\frac{1}{8}\) und \(-0{,}125\) zu vergleichen, wandelt man den Bruch um: \(-\frac{1}{8} = -0{,}125\). Die Werte sind gleich: \(-\frac{1}{8} = -0{,}125\). 4. Vergleich von \(-0{,}33\) und \(-\frac{1}{3}\): Es gilt \(-\frac{1}{3} = -0{,}333\dots\). Da \(0{,}33 < 0{,}333\dots\), ist \(-0{,}33 > -0{,}333\dots\), also \(-0{,}33 > -\frac{1}{3}\).

a) \(-\frac{3}{5} < -0{,}58\) b) \(-2{,}07 > -2{,}7\) c) \(-\frac{1}{8} = -0{,}125\) d) \(-0{,}33 > -\frac{1}{3}\)

- Was bedeutet das Minuszeichen für die Reihenfolge der Zahlen? - Hilft es dir, die Zahlen auf einer Zahlengeraden vorzustellen? - Was passiert mit dem Wert einer negativen Zahl, wenn ihr Abstand zur Null (der Betrag) größer wird?

1. Vergleich der Beträge der negativen Zahlen: \(5{,}44 > 5{,}404 > 5{,}4 > 5{,}04 > 5{,}0\). 2. Anwendung der Regel für negative Zahlen: Je größer der Betrag einer negativen Zahl, desto kleiner ist die Zahl selbst. 3. Anordnung von klein nach groß: \(-5{,}44 < -5{,}404 < -5{,}4 < -5{,}04 < -5\).

\(-5{,}44\); \(-5{,}404\); \(-5{,}4\); \(-5{,}04\); \(-5\)

- Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn man die Gegenzahl einer Zahl sucht? - Wie schreibst du eine Dezimalzahl oder eine gemischte Zahl als einfachen Bruch? - Was musst du bei einem Bruch tun, um seinen Kehrwert zu finden? - Bleibt das Vorzeichen beim Bilden des Kehrwerts gleich oder ändert es sich?

1. Bestimmung der Gegenzahlen durch Umkehrung des Vorzeichens: Die Gegenzahl von \(5\) ist \(-5\), von \(-0{,}75\) ist sie \(0{,}75\), von \(\frac{4}{9}\) ist sie \(-\frac{4}{9}\) und von \(-3\frac{1}{5}\) ist sie \(3\frac{1}{5}\). 2. Bestimmung der Kehrwerte durch Vertauschen von Zähler und Nenner (nach Umwandlung in Brüche): - Für \(5 = \frac{5}{1}\) ist der Kehrwert \(\frac{1}{5}\). - Für \(-0{,}75 = -\frac{3}{4}\) ist der Kehrwert \(-\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3}\). - Für \(\frac{4}{9}\) ist der Kehrwert \(\frac{9}{4} = 2\frac{1}{4} = 2{,}25\). - Für \(-3\frac{1}{5} = -\frac{16}{5}\) ist der Kehrwert \(-\frac{5}{16}\).

a) Gegenzahlen: \(-5\); \(0{,}75\); \(-\frac{4}{9}\); \(3\frac{1}{5}\) b) Kehrwerte: \(\frac{1}{5}\); \(-\frac{4}{3}\); \(\frac{9}{4}\); \(-\frac{5}{16}\)

- Welche Zahl liegt auf der Zahlengeraden am weitesten links? - Wie kannst du Brüche und Dezimalzahlen am besten miteinander vergleichen? - Denke an den Betrag einer Zahl: Was bedeutet ein großer Betrag bei einer negativen Zahl für ihren Wert? - Kannst du alle Zahlen so umschreiben, dass sie die gleiche Anzahl an Nachkommastellen haben?

1. Umwandlung aller Brüche in Dezimalzahlen zur besseren Vergleichbarkeit: \(-4\frac{1}{4} = -4{,}25\) und \(-4\frac{3}{10} = -4{,}3\). 2. Vergleich der Dezimalzahlen: \(-4{,}20\); \(-4{,}25\); \(-4{,}08\); \(-4{,}30\); \(-4{,}19\). 3. Bestimmung der kleinsten Zahl: Die Zahl mit dem größten Betrag ist bei negativen Vorzeichen die kleinste, also \(-4{,}3\), was \(-4\frac{3}{10}\) entspricht. 4. Bestimmung der größten Zahl: Die Zahl mit dem kleinsten Betrag ist bei negativen Vorzeichen die größte, also \(-4{,}08\).

a) \(-4\frac{3}{10}\) b) \(-4{,}08\)

- Stelle dir die Zahlen auf einer waagerechten Zahlengeraden vor. - Welche Zahl liegt weiter links? - Es hilft, Brüche zuerst in Dezimalzahlen umzurechnen. - Prüfe in Aufgabenteil b) beide strengen Ungleichungen.

1. Umwandlung der Brüche in Dezimalzahlen für den besseren Vergleich: \(-\frac{1}{2} = -0{,}5\) und \(-\frac{9}{4} = -2{,}25\). 2. Identifikation der Zahlen kleiner als \(-1\) (Werte, die weiter links als \(-1\) liegen): \(-4{,}2\), \(-5\) und \(-\frac{9}{4} = -2{,}25\). 3. Bestimmung der Werte mit \(-3 < x < -0{,}5\): \(-0{,}75\) und \(-\frac{9}{4} = -2{,}25\). 4. Die kleinste der gegebenen Zahlen ist \(-5\). Jede Zahl links davon ist kleiner, zum Beispiel \(-6\) oder \(-5{,}1\).

a) \(-4{,}2\); \(-5\); \(-\frac{9}{4}\) b) \(-0{,}75\); \(-\frac{9}{4}\) c) Zum Beispiel \(-6\) (oder jede andere Zahl \(< -5\)).

- Überlege dir für jede Aussage ein konkretes Beispiel mit einer positiven Zahl, einer negativen Zahl und der Null. - Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn du „Minus mal Minus“ rechnest? - Erinnere dich an die Definition des Kehrwerts: Was muss man mit einer Zahl multiplizieren, um 1 zu erhalten? - Was bedeutet der Betrag einer Zahl geometrisch auf der Zahlengeraden?

1. Untersuchung der Gegenzahl: Das Vorzeichen von \(-x\) hängt vom Vorzeichen von \(x\) ab. Ist \(x\) negativ (z. B. \(x = -5\)), so ist \(-x = -(-5) = 5\) positiv. Ist \(x = 0\), so ist \(-x = 0\). Die Aussage ist falsch. 2. Analyse des Kehrwerts: Der Kehrwert \(\frac{1}{x}\) entsteht durch Division von \(1\) durch \(x\). Da \(1\) positiv ist, bestimmt das Vorzeichen von \(x\) das Vorzeichen des Ergebnisses. Positive Zahlen haben positive Kehrwerte, negative Zahlen haben negative Kehrwerte. Die Aussage ist wahr. 3. Untersuchung des Betrags: Der Betrag \(|x|\) gibt den Abstand einer Zahl zur Null an. Für \(x = 0\) ist der Abstand genau \(0\), also \(|0| = 0\). Die Aussage ist falsch.

a) Falsch (wenn \(x\) negativ oder Null ist, ist \(-x\) nicht negativ). b) Wahr (beide sind entweder positiv oder beide negativ). c) Falsch (für \(x = 0\) gilt \(|x| = 0\)).

- Berechne zuerst alle Beträge, damit du mit „normalen“ Zahlen arbeiten kannst. - Es hilft oft, alle Brüche in Dezimalzahlen umzuwandeln oder umgekehrt. - Denk an die Position der Zahlen auf der Zahlengeraden: Je weiter links eine Zahl steht, desto kleiner ist sie.

1. Berechnen der Beträge: \(b = |-\frac{3}{4}| = \frac{3}{4} = 0{,}75\) und \(d = |0{,}6| = 0{,}6\). 2. Umwandeln aller Zahlen in Dezimaldarstellung zum besseren Vergleich: \(a = -1{,}2\); \(b = 0{,}75\); \(c = -0{,}5\); \(d = 0{,}6\). 3. Vergleich der negativen Zahlen: \(-1{,}2 < -0{,}5\), also \(a < c\). 4. Vergleich der positiven Zahlen: \(0{,}6 < 0{,}75\), also \(d < b\). 5. Gesamte Ordnung: \(-1{,}2 < -0{,}5 < 0{,}6 < 0{,}75\). 6. Ersetzen durch die ursprünglichen Ausdrücke: \(a < c < d < b\).

\(-1{,}2 < -\frac{1}{2} < |0{,}6| < |-\frac{3}{4}|\) (bzw. \(a < c < d < b\))

- Was bedeutet es, wenn eine Zahl in \(\mathbb{Q}\), aber nicht in \(\mathbb{Z}\) liegt? - Erinnere dich an das Bild der ineinanderliegenden Kreise (Venn-Diagramm) für die Zahlenmengen. - Kannst du eine Rechnung mit negativen Zahlen finden, bei der das Ergebnis wieder negativ ist?

1. Für Teil a) wird eine rationale Zahl gesucht, die keine ganze Zahl ist und zwischen -1 und \(-0{,}5\) liegt. Ein mögliches Ergebnis ist \( -0{,}75 \) oder \( -\frac{3}{4} \). 2. Für Teil b): Da die Menge der natürlichen Zahlen eine Teilmenge der ganzen Zahlen ist (\(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}\)), ist die Aussage wahr. Jede Zahl aus \( \{1, 2, 3, \dots\} \) (oder inklusive 0) ist in \(\mathbb{Z}\) enthalten. 3. Für Teil c): Ein Gegenbeispiel erfordert zwei ganze Zahlen, deren Summe negativ ist. Beispiel: \( -5 + 2 = -3 \). Da \( -3 \) keine natürliche Zahl ist, ist die Behauptung widerlegt.

a) Zum Beispiel \( -0{,}75 \) oder \( -\frac{3}{4} \). b) Wahr, da \(\mathbb{N}\) eine Teilmenge von \(\mathbb{Z}\) ist. c) Zum Beispiel \( -2 + (-1) = -3 \). Die Zahl \( -3 \) ist eine ganze Zahl, aber keine natürliche Zahl.

- Was bedeutet es für die Position auf der Zahlengeraden, wenn eine Zahl „größer“ ist als eine andere? - Wenn zwei Zahlen negativ sind, welche liegt dann näher bei der Null? - Wie vergleichst du Brüche wie \(\frac{4}{9}\) und \(\frac{5}{11}\) am einfachsten?

1. Bestimmung der Beträge der beiden Zahlen: \(|a| = 3 \frac{4}{9}\) und \(|b| = 3 \frac{5}{11}\). 2. Vergleich der gebrochenen Anteile \(\frac{4}{9}\) und \(\frac{5}{11}\) durch Hauptnennerbildung (\(99\)): \(\frac{4}{9} = \frac{44}{99}\) und \(\frac{5}{11} = \frac{45}{99}\). 3. Feststellung, dass \(\frac{44}{99} < \frac{45}{99}\), woraus folgt, dass \(|a| < |b|\) ist (\(3 \frac{44}{99} < 3 \frac{45}{99}\)). 4. Schlussfolgerung für negative Zahlen: Die Zahl mit dem kleineren Betrag liegt näher an der Null und somit auf der Zahlengeraden weiter rechts. 5. Ergebnis: \(a = -3 \frac{4}{9}\) liegt weiter rechts.

\(a = -3 \frac{4}{9}\) liegt weiter rechts, da \(|-3 \frac{4}{9}| < |-3 \frac{5}{11}|\).

- Kannst du den Bruch vereinfachen oder als Dezimalzahl schreiben? - Gehören negative Zahlen zu den natürlichen Zahlen? - Was passiert mit dem Wert einer Zahl, wenn man auf der Zahlengeraden nach links geht? - Erinnere dich daran, dass jede ganze Zahl automatisch auch eine rationale Zahl ist.

1. Vereinfachung: Durch Ausrechnen des Bruchs ergibt sich \(x = -4\). 2. Einordnung: \(-4\) ist keine natürliche Zahl (da negativ), aber eine ganze Zahl (\(-4 \in \mathbb{Z}\)) und somit auch eine rationale Zahl (\(-4 \in \mathbb{Q}\)). 3. Bestimmung der Gegenzahl: Die Gegenzahl von \(-4\) ist \(4\). Da \(4 > 0\), liegt sie rechts von der Null. 4. Finden einer kleineren Zahl: Gesucht ist eine Zahl \(y < -4\), die keine ganze Zahl ist. Beispiele sind \(-4{,}1\), \(-4{,}5\) oder \(-\frac{9}{2}\).

a) \(\mathbb{Z}\) und \(\mathbb{Q}\) b) Rechts von der Null (bei \(4\)) c) Zum Beispiel \(-4{,}5\) (oder jede andere rationale Zahl \(< -4\), die keine ganze Zahl ist)

- Erinnere dich an die Definition von \(\mathbb{Q}\): Zahlen, die als Bruch geschrieben werden können. - Überlege, wie die Mengen \(\mathbb{N}\), \(\mathbb{Z}\) und \(\mathbb{Q}\) ineinander verschachtelt sind. - Was bewirkt der Betrag einer Zahl? - Gibt es eine „Hierarchie“ unter den Zahlenmengen?

1. Teil a: Gesucht ist eine rationale Zahl, die keine ganze Zahl ist. Beispiele sind Brüche, deren Wert keine ganze Zahl ist, wie \(\frac{1}{2}\), oder Dezimalzahlen wie \(0{,}75\). 2. Teil b: Dies ist unmöglich. Da die Menge der ganzen Zahlen \(\mathbb{Z}\) eine Teilmenge der rationalen Zahlen \(\mathbb{Q}\) ist (\(\mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}\)), gehört automatisch jede ganze Zahl auch zu den rationalen Zahlen. 3. Teil c: Die Zahl muss negativ sein, z. B. \(-5\). Der Betrag von \(-5\) ist \(|-5| = 5\). Da \(5\) eine natürliche Zahl ist (\(5 \in \mathbb{N}\)) und \(-5\) eine rationale Zahl ist (\(-5 \in \mathbb{Q}\)), ist \(-5\) ein korrektes Beispiel.

a) Beispiel: \(\frac{1}{2}\) oder \(0{,}5\). b) Unmöglich, da jede ganze Zahl auch rational ist (\(\mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}\)). c) Beispiel: \(-3\) (da \(-3 \in \mathbb{Q}\) und \(|-3| = 3 \in \mathbb{N}\)).

- Überlege dir, welche Menge „größer“ ist oder mehr Arten von Zahlen enthält. - Gibt es rationale Zahlen, die keine ganzen Zahlen sind? Gibt es ganze Zahlen, die nicht rational sind? - Rechne den Bruch \(\frac{12}{4}\) aus, bevor du entscheidest.

1. Feststellung der Mengenbeziehung: Da jede ganze Zahl als Bruch \(\frac{n}{1}\) geschrieben werden kann, ist jede ganze Zahl auch rational. Umgekehrt gilt dies nicht (z. B. \(\frac{1}{2}\)). 2. Schlussfolgerung für das Diagramm: Der Kreis der ganzen Zahlen liegt innerhalb des Kreises der rationalen Zahlen. 3. Analyse von \(\frac{12}{4}\): Division von \(12\) durch \(4\) ergibt \(3\). 4. Einordnung: Da \(3\) eine ganze Zahl ist, gehört \(\frac{12}{4}\) in den inneren Bereich (Ganze Zahlen), der automatisch auch Teil der rationalen Zahlen ist.

1. Der Kreis der ganzen Zahlen muss vollständig innerhalb des Kreises der rationalen Zahlen liegen. 2. \(\frac{12}{4}\) gehört in den Bereich der ganzen Zahlen (und damit auch zu den rationalen Zahlen), da \(\frac{12}{4} = 3\) eine ganze Zahl ist.

- Was ist eine gute Strategie, um Zahlen mit unterschiedlichen Formaten (Bruch, Dezimalzahl) zu vergleichen? - Sortiere zuerst die negativen und die positiven Zahlen getrennt voneinander. - Welche Zahl liegt auf der Zahlengeraden am weitesten links? - Hilft es dir, alle Dezimalzahlen auf die gleiche Anzahl von Nachkommastellen zu bringen?

1. Umwandlung aller Zahlen in Dezimaldarstellung zum besseren Vergleich: \(-0{,}6 = -0{,}600\) \(\frac{1}{2} = 0{,}500\) \(-\frac{5}{8} = -0{,}625\) \(0{,}45 = 0{,}450\) \(-\frac{1}{10} = -0{,}100\) 2. Sortierung der negativen Zahlen (je größer der Betrag, desto kleiner die Zahl): \(-0{,}625 < -0{,}600 < -0{,}100\). 3. Sortierung der positiven Zahlen: \(0{,}450 < 0{,}500\). 4. Zusammenfügen der gesamten Kette: \(-0{,}625 < -0{,}600 < -0{,}100 < 0{,}450 < 0{,}500\). 5. Rückübersetzung in die ursprüngliche Schreibweise: \(-\frac{5}{8} < -0{,}6 < -\frac{1}{10} < 0{,}45 < \frac{1}{2}\).

\(-\frac{5}{8} < -0{,}6 < -\frac{1}{10} < 0{,}45 < \frac{1}{2}\)

- Was bedeutet „absteigend“ bei negativen Zahlen? - Welche Zahl liegt auf der Zahlengeraden am weitesten rechts? - Erinnere dich: Je größer der Betrag einer negativen Zahl, desto kleiner ist ihr eigentlicher Wert. - Wie kannst du Brüche wie \(\frac{3}{7}\) näherungsweise in Dezimalzahlen umwandeln?

1. Bestimmung der Dezimalwerte der Brüche: 2. \(-\frac{3}{7} \approx -0{,}4286\) 3. \(-\frac{4}{9} = -0{,}444\dots\) (periodisch) 4. Vergleich der Beträge (Abstand von der Null): \(0{,}4 < 0{,}4286 < 0{,}44 < 0{,}444\dots < 0{,}45\) 5. Bei negativen Zahlen ist diejenige mit dem kleinsten Betrag die größte: 6. Reihenfolge: \(-0{,}4 > -0{,}4286 > -0{,}44 > -0{,}444\dots > -0{,}45\) 7. Endergebnis mit Originalzahlen: \(-0{,}4 > -\frac{3}{7} > -0{,}44 > -\frac{4}{9} > -0{,}45\)

\(-0{,}4 > -\frac{3}{7} > -0{,}44 > -\frac{4}{9} > -0{,}45\)

- Was bedeutet das Minuszeichen für den Vergleich zweier Zahlen auf der Zahlengeraden? - Welche Zahl liegt weiter rechts? - Ist bei zwei negativen Zahlen die Zahl mit dem größeren Betrag größer oder kleiner?

1. Umwandlung des gemischten Bruchs in eine Dezimalzahl: \(-4\frac{2}{3} = -(4 + 0{,}\overline{6}) = -4{,}666\dots\) 2. Vergleich der Beträge der beiden Zahlen: \(|-4{,}6| = 4{,}6\) und \(|-4{,}666\dots| = 4{,}666\dots\) 3. Da bei negativen Zahlen diejenige Zahl größer ist, deren Betrag kleiner ist (da sie weiter rechts auf der Zahlengeraden liegt), folgt aus \(4{,}6 < 4{,}666\dots\), dass \(-4{,}6 > -4{,}666\dots\) ist. 4. Ergebnis: \(-4{,}6\) ist die größere Zahl.

\(-4{,}6\) ist größer als \(-4\frac{2}{3}\).

- Gehe die Liste der Zahlen nacheinander durch und prüfe jede Bedingung einzeln. - Für Aufgabenteil c) musst du für jede Zahl aus der Menge \(S\) eine kleine Rechnung durchführen. - Achte bei Teil c) besonders auf die Vorzeichen und darauf, ob das Ergebnis eine positive ganze Zahl ist.

1. Bedingung a): Suche alle ganzen Zahlen in \(S\). Das sind \(-3\), \(0\) und \(2\). 2. Bedingung b): Suche alle Zahlen, die rational, aber keine ganzen Zahlen sind (Dezimalzahlen mit Nachkommastellen oder echte Brüche). Das sind \(-0{,}5\), \(\frac{1}{4}\) und \(4{,}5\). 3. Bedingung c): Berechne \(2x\) für jedes Element und prüfe, ob das Ergebnis in \(\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}\) liegt: - \(2 \cdot (-3) = -6 \notin \mathbb{N}\) - \(2 \cdot (-0{,}5) = -1 \notin \mathbb{N}\) - \(2 \cdot 0 = 0 \notin \mathbb{N}\) - \(2 \cdot \frac{1}{4} = 0{,}5 \notin \mathbb{N}\) - \(2 \cdot 2 = 4 \in \mathbb{N}\) - \(2 \cdot 4{,}5 = 9 \in \mathbb{N}\) Ergebnis für c) ist somit die Menge \(\{2; 4{,}5\}\).

a) \(\{-3; 0; 2\}\) b) \(\{-0{,}5; \frac{1}{4}; 4{,}5\}\) c) \(\{2; 4{,}5\}\)

- Ist es einfacher, alle Zahlen als Brüche oder als Dezimalzahlen zu vergleichen? - Was passiert mit der Reihenfolge von Zahlen, wenn man ein Minuszeichen davor setzt? - Kannst du alle Zahlen auf Zehntel, Hundertstel oder Tausendstel bringen?

1. Umwandlung aller Zahlen in Dezimalzahlen: \(-0{,}45\), \(-\frac{1}{2} = -0{,}5\), \(-0{,}405\), \(-\frac{2}{5} = -0{,}4\). 2. Angleichen der Nachkommastellen: \(-0{,}450\), \(-0{,}500\), \(-0{,}405\), \(-0{,}400\). 3. Vergleich der negativen Werte: Die Zahl mit dem größten Betrag ist die kleinste. 4. Rangfolge der Beträge: \(0{,}500 > 0{,}450 > 0{,}405 > 0{,}400\). 5. Daraus folgt für die negativen Zahlen: \(-0{,}5 < -0{,}45 < -0{,}405 < -0{,}4\).

\(-\frac{1}{2} < -0{,}45 < -0{,}405 < -\frac{2}{5}\)

- Wandle zur besseren Vergleichbarkeit alle Brüche in Dezimalzahlen um. - Denke daran, dass bei negativen Zahlen der Wert mit dem größeren Betrag („die größere Zahl ohne Vorzeichen“) die kleinere Zahl ist. - Ein Zahlenstrahl kann helfen, die Reihenfolge zu visualisieren.

1. Umwandlung aller Werte in Dezimalzahlen: \(A = 0{,}75\); \(B = -0{,}8\) (da \(\frac{4}{5} = \frac{8}{10}\)); \(C = 0{,}8\); \(D = -0{,}75\) (da \(\frac{3}{4} = \frac{75}{100}\)); \(E = -0{,}7\). 2. Vergleich der negativen Zahlen: \(-0{,}8 < -0{,}75 < -0{,}7\). 3. Vergleich der positiven Zahlen: \(0{,}75 < 0{,}8\). 4. Zusammenführung der gesamten Kette: \(-0{,}8 < -0{,}75 < -0{,}7 < 0{,}75 < 0{,}8\). 5. Zuordnung der Buchstaben: \(B < D < E < A < C\).

\(B < D < E < A < C\) (bzw. \(-\frac{4}{5} < -\frac{3}{4} < -0{,}7 < 0{,}75 < 0{,}8\))

- Schreibe dir alle Zahlen zunächst als Dezimalzahlen mit der gleichen Anzahl an Nachkommastellen auf. - Ordne sie dann so, wie sie auf einem Zahlenstrahl von links nach rechts erscheinen würden. - Um eine Zahl zwischen zwei anderen zu finden, kannst du einfach den Durchschnitt berechnen oder eine Zahl wählen, die „mehr“ Nachkommastellen nutzt.

1. Umwandlung aller Zahlen in Dezimaldarstellung: \(-1{,}6 = -1{,}600\) \(-\frac{7}{4} = -1{,}750\) \(-1{,}705 = -1{,}705\) \(-\frac{3}{2} = -1{,}500\) 2. Vergleich der Beträge: \(1{,}750 > 1{,}705 > 1{,}600 > 1{,}500\). 3. Da die Zahlen negativ sind, kehrt sich die Reihenfolge um: \(-1{,}750 < -1{,}705 < -1{,}600 < -1{,}500\). 4. Aufsteigende Kette: \(-\frac{7}{4} < -1{,}705 < -1{,}6 < -\frac{3}{2}\). 5. Die beiden größten Werte sind \(-1{,}6\) und \(-\frac{3}{2}\) (also \(-1{,}5\)). Eine Zahl dazwischen ist zum Beispiel der Mittelwert: \(\frac{-1{,}6 + (-1{,}5)}{2} = -1{,}55\).

a) \(-\frac{7}{4} < -1{,}705 < -1{,}6 < -\frac{3}{2}\) b) Eine mögliche Zahl ist \(-1{,}55\) (andere Lösungen wie \(-1{,}51\) oder \(-1{,}59\) sind ebenfalls korrekt).

- Kannst du alle Zahlen in das gleiche Format bringen, zum Beispiel alle als Dezimalzahlen? - Wie vergleichst du Brüche mit Dezimalzahlen am besten? - Überlege dir, welche Zahl am weitesten links auf der Zahlengeraden liegt.

1. Umwandlung der Brüche in Dezimalzahlen: \(-\frac{3}{5} = -0{,}6\) und \(-\frac{1}{2} = -0{,}5\). 2. Vergleich aller Dezimalzahlen: \(-0{,}65\); \(-0{,}6\); \(-0{,}55\); \(-0{,}5\). 3. Da bei negativen Zahlen diejenige mit dem größten Betrag am kleinsten ist, ergibt sich die Reihenfolge: \(-0{,}65 < -0{,}6 < -0{,}55 < -0{,}5\). 4. Einsetzen der ursprünglichen Brüche in die Kette: \(-0{,}65 < -\frac{3}{5} < -0{,}55 < -\frac{1}{2}\).

\(-0{,}65 < -\frac{3}{5} < -0{,}55 < -\frac{1}{2}\)

- Überlege dir ein Beispiel: Was ergibt \(\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}\)? - Wenn du von der Gegenzahl zurück zur ursprünglichen Zahl willst, was musst du mit dem Vorzeichen tun? - Wie kannst du \(2{,}5\) als Bruch schreiben, um leichter den Kehrwert zu finden? - Erinnere dich an die Regel zur Division durch die Zahl Null.

1. Eine Zahl \(a\) multipliziert mit ihrem Kehrwert \(\frac{1}{a}\) ergibt immer \(1\), da \(a \cdot \frac{1}{a} = \frac{a}{a} = 1\). 2. Die Gegenzahl wird durch Vorzeichenumkehr gebildet. Wenn die Gegenzahl \(4{,}5\) ist, muss die ursprüngliche Zahl \(-4{,}5\) sein. 3. Um die ursprüngliche Zahl aus dem Kehrwert zu finden, bildet man erneut den Kehrwert. \(2{,}5 = \frac{25}{10} = \frac{5}{2}\). Der Kehrwert davon ist \(\frac{2}{5} = 0{,}4\). 4. Der Kehrwert einer Zahl \(n\) ist definiert als \(\frac{1}{n}\). Da eine Division durch \(0\) in der Mathematik nicht definiert ist, existiert \(\frac{1}{0}\) nicht.

a) Das Ergebnis ist immer \(1\). b) Die Zahl lautet \(-4{,}5\). c) Die Zahl lautet \(0{,}4\) (oder \(\frac{2}{5}\)). d) Der Kehrwert von \(0\) wäre \(\frac{1}{0}\). Da man durch \(0\) nicht dividieren kann, ist dieser Wert nicht definiert.

- Wie kannst du Brüche mit unterschiedlichen Nennern vergleichbar machen? - Könnte es helfen, einen Bruch in eine Dezimalzahl umzuwandeln oder umgekehrt? - Achte genau auf die Anzahl der Dezimalstellen hinter dem Komma. - Erinnere dich daran, dass bei negativen Zahlen diejenige größer ist, deren Betrag kleiner ist.

1. Vergleich von \(-\frac{5}{9}\) und \(-\frac{7}{12}\): Hauptnenner ist \(36\). Erweitern liefert \(-\frac{20}{36}\) und \(-\frac{21}{36}\). Da \(-20 > -21\), gilt \(-\frac{5}{9} > -\frac{7}{12}\). 2. Vergleich von \(-3{,}101\) und \(-3{,}11\): Angleichen der Stellen ergibt \(-3{,}101\) und \(-3{,}110\). Da \(3{,}101 < 3{,}110\), ist \(-3{,}101 > -3{,}110\). 3. Vergleich von \(-\frac{19}{20}\) und \(-0{,}9\): Umwandeln des Bruchs ergibt \(-\frac{95}{100} = -0{,}95\). Vergleich von \(-0{,}95\) und \(-0{,}90\) zeigt, dass \(-0{,}95 < -0{,}90\). Somit \(-\frac{19}{20} < -0{,}9\). 4. Vergleich von \(-1\frac{2}{3}\) und \(-\frac{13}{8}\): Umwandeln in Brüche ergibt \(-\frac{5}{3}\) und \(-\frac{13}{8}\). Hauptnenner ist \(24\). Erweitern liefert \(-\frac{40}{24}\) und \(-\frac{39}{24}\). Da \(-40 < -39\), gilt \(-1\frac{2}{3} < -\frac{13}{8}\).

1) \(-\frac{5}{9} > -\frac{7}{12}\) 2) \(-3{,}101 > -3{,}11\) 3) \(-\frac{19}{20} < -0{,}9\) 4) \(-1\frac{2}{3} < -\frac{13}{8}\)

- Was bedeutet „absteigend“ für die Reihenfolge der Zahlen? - Kannst du die Zahlen in Gruppen einteilen (positiv, negativ, Null)? - Wie kannst du Brüche wie \(-\frac{13}{4}\) am besten mit Dezimalzahlen vergleichen?

1. Umwandlung der Brüche in Dezimalzahlen: \(-\frac{13}{4} = -3{,}25\) und \(3\frac{1}{5} = 3{,}2\). 2. Sortierung der positiven Zahlen: \(3{,}25 > 3{,}2\). 3. Einordnung der Null: Die Null ist kleiner als alle positiven und größer als alle negativen Zahlen. 4. Sortierung der negativen Zahlen: Je kleiner der Betrag, desto größer die negative Zahl. Es ergibt sich \(-0{,}03 > -3{,}05 > -3{,}1 > -3{,}25\). 5. Kombination zur absteigenden Folge: \(3{,}25 > 3{,}2 > 0 > -0{,}03 > -3{,}05 > -3{,}1 > -3{,}25\). 6. Rückführung in die Originalschreibweise: \(3{,}25\); \(3\frac{1}{5}\); \(0\); \(-0{,}03\); \(-3{,}05\); \(-3{,}1\); \(-\frac{13}{4}\).

\(3{,}25\); \(3\frac{1}{5}\); \(0\); \(-0{,}03\); \(-3{,}05\); \(-3{,}1\); \(-\frac{13}{4}\)

- Hilft es dir, die Brüche zuerst in Dezimalzahlen umzuwandeln? - Stell dir die Zahlen auf einer Waage oder einem Thermometer vor – welche Temperatur ist am niedrigsten? - Achte darauf, die Zahlen in ihrer ursprünglichen Form (als Bruch oder Dezimalzahl) in die Lösungskette zu schreiben. - Wie viele Stellen nach dem Komma haben die Zahlen? Ergänze bei Bedarf Nullen am Ende.

1. Darstellung aller Zahlen als Dezimalzahlen: \(-\frac{1}{2} = -0{,}5\) und \(-\frac{3}{5} = -0{,}6\). 2. Liste der Dezimalzahlen: \(-0{,}5\); \(-0{,}45\); \(-0{,}6\); \(-0{,}55\); \(-0{,}4\). 3. Vergleich der Werte unter Berücksichtigung des negativen Vorzeichens: Je größer der Betrag, desto kleiner der Wert der Zahl. 4. Sortierung: \(-0{,}6 < -0{,}55 < -0{,}5 < -0{,}45 < -0{,}4\). 5. Rückübersetzung in die ursprüngliche Darstellung: \(-\frac{3}{5} < -0{,}55 < -\frac{1}{2} < -0{,}45 < -0{,}4\).

\(-\frac{3}{5} < -0{,}55 < -\frac{1}{2} < -0{,}45 < -0{,}4\)

- Überlege dir, welche Zahlen auf der Zahlengeraden weiter links von der Null liegen. - Je tiefer ein Punkt unter dem Meeresspiegel liegt, desto kleiner ist der zugehörige Zahlenwert. - „Größer“ bedeutet bei negativen Zahlen, dass die Zahl näher an der Null liegt.

1. Tiefere Positionen entsprechen kleineren Zahlen auf der Zahlengeraden. Mögliche Werte für \(x < -12{,}5\) sind zum Beispiel \(-13\) und \(-14{,}5\). 2. Gesucht ist eine Zahl \(y\) mit \(-12{,}5 < y < -10\). Mögliche Dezimalzahl: \(-11{,}5\). Möglicher Bruch: \(-\frac{21}{2}\). 3. Vergleich: \(-13 < -12{,}5\). Auf der Zahlengeraden liegt \(-13\) weiter links als \(-12{,}5\) und ist daher die kleinere Zahl.

a) Zum Beispiel \(-13\) und \(-15\). b) Zum Beispiel Dezimalzahl: \(-11{,}5\); Bruch: \(-\frac{21}{2}\). c) \(-13\) ist kleiner als \(-12{,}5\), da \(-13\) auf der Zahlengeraden weiter links liegt.

- Denk an die Zahlen, die du beim Zählen verwendest. Kannst du zwei davon zusammenzählen und landest bei einer Zahl, die man nicht zum Zählen benutzt? - Was passiert bei einer Minusaufgabe, wenn du mehr wegnimmst, als du eigentlich hast? - Welche Zahlen kennst du vom Thermometer, wenn es kälter als Null Grad ist?

1. Bei der Addition und der Multiplikation zweier natürlicher Zahlen bleibt das Ergebnis in der Menge der natürlichen Zahlen. Beispiele: \(4 + 7 = 11\) und \(3 \cdot 5 = 15\). 2. Die Subtraktion ist in \(\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}\) nicht immer möglich. Zum Beispiel ist \(3 - 8 = -5\), und \(-5\) ist keine natürliche Zahl. Auch bei gleichen Zahlen entsteht \(0\), die nach der hier verwendeten Definition nicht zu \(\mathbb{N}\) gehört. 3. Für den Fall \(a = b\) muss die Zahl \(0\) ergänzt werden. Für den Fall \(a < b\) werden die negativen ganzen Zahlen \(-1, -2, -3, \dots\) benötigt. Zusammen bilden diese Zahlen die Menge der ganzen Zahlen \(\mathbb{Z}\).

a) Ja. Die Summe und das Produkt zweier natürlicher Zahlen sind wieder natürliche Zahlen, zum Beispiel \(2 + 3 = 5\) und \(2 \cdot 3 = 6\). b) Zum Beispiel gilt \(2 - 5 = -3\). Da \(-3\) keine natürliche Zahl ist, ist die Subtraktion in \(\mathbb{N}\) nicht immer ausführbar. c) Man muss die Zahl \(0\) und die negativen ganzen Zahlen hinzufügen. Dadurch erhält man die ganzen Zahlen \(\mathbb{Z}\).

- Überlege dir, was passiert, wenn du von einer kleinen Torte ein größeres Stück abschneiden willst, als vorhanden ist. - Welche Zahl steht genau zwischen den positiven und den negativen Zahlen auf der Zahlengeraden? - Vergleiche die Größe der beiden Zahlen \(a\) und \(b\). Wer muss „gewinnen“, damit das Ergebnis ein Minuszeichen bekommt?

1. Zu den positiven rationalen Zahlen müssen die Zahl \(0\) sowie alle negativen rationalen Zahlen hinzugefügt werden, um die Menge der rationalen Zahlen \(\mathbb{Q}\) zu erhalten. 2. Analyse der Fälle: - Ergebnis ist Null, wenn Minuend und Subtrahend gleich groß sind: \(a = b\). - Ergebnis ist negativ, wenn der Minuend kleiner ist als der Subtrahend: \(a < b\). - Ergebnis ist positiv, wenn der Minuend größer ist als der Subtrahend: \(a > b\). 3. Beispielrechnungen: - Fall \(a = b\): \(1{,}5 - 1{,}5 = 0\). - Fall \(a < b\): \(0{,}2 - 0{,}7 = -0{,}5\) oder \(\frac{1}{4} - \frac{3}{4} = -\frac{2}{4} = -0{,}5\). - Fall \(a > b\): \(5{,}8 - 2{,}3 = 3{,}5\) oder \(\frac{7}{8} - \frac{3}{8} = \frac{4}{8} = 0{,}5\).

a) Die Zahl \(0\) und alle negativen rationalen Zahlen. b) 1. \(a = b\); 2. \(a < b\); 3. \(a > b\). c) Mögliche Beispiele: \(0{,}5 - 0{,}5 = 0\); \(1{,}2 - 2{,}0 = -0{,}8\); \(4{,}5 - 1{,}2 = 3{,}3\).

- Kannst du die Brüche an den Außenseiten so umschreiben, dass sie denselben Nenner haben wie der Bruch in der Mitte? - Wenn die Nenner gleich sind, worauf musst du dann bei den Zählern achten? - Denk daran, dass bei einem „kleiner als“ (\(<\)) die Randzahlen selbst nicht dazugehören.

1. Bringen aller Terme der Ungleichungskette auf den gemeinsamen Nenner \(12\). 2. Umrechnung der linken Grenze: \(-\frac{3}{4} = -\frac{9}{12}\). 3. Umrechnung der rechten Grenze: \(-\frac{1}{3} = -\frac{4}{12}\). 4. Aufstellen der Ungleichung für die Zähler: \(-9 < k < -4\). 5. Auflisten aller ganzen Zahlen \(k\), die zwischen \(-9\) und \(-4\) liegen: \(-8, -7, -6, -5\).

\(k \in \{-8, -7, -6, -5\}\)

- Was bedeutet es für den Wert einer Zahl, wenn sie auf der Zahlengeraden weiter rechts liegt? - Erinnere dich an die Definition des Betrags: Was gibt der Betrag einer Zahl an? - Wandle den Bruch in eine Dezimalzahl um, um ihn direkt mit der anderen Zahl vergleichen zu können. - Haben „größer sein“ und „einen größeren Betrag haben“ bei negativen Zahlen dieselbe Bedeutung?

1. Umwandlung von \(a\) in eine Dezimalzahl: \(a = -\frac{7}{4} = -1{,}75\). 2. Vergleich der Lage auf der Zahlengeraden: Da \(-1{,}75 > -1{,}8\), liegt die Zahl \(a\) weiter rechts als \(b\). 3. Bestimmung der Beträge: \(|a| = |-1{,}75| = 1{,}75\) und \(|b| = |-1{,}8| = 1{,}8\). 4. Vergleich der Beträge: Da \(1{,}8 > 1{,}75\), hat die Zahl \(b\) den größeren Betrag.

1. Die Zahl \(a = -\frac{7}{4}\) liegt weiter rechts, da \(-1{,}75 > -1{,}8\). 2. Die Zahl \(b = -1{,}8\) hat den größeren Betrag, da \(|-1{,}8| = 1{,}8\) und \(|-\frac{7}{4}| = 1{,}75\).

- Alle diese Zahlen liegen im Intervall \([-1; -0{,}9]\). - Welche Zahl liegt am nächsten bei \(-1\)? Das ist die kleinste Zahl. - Du kannst die Brüche auch vergleichen, indem du ihre Abstände zu \(-1\) betrachtest. - Ein kleinerer Abstand zu \(-1\) bedeutet bei diesen Zahlen einen kleineren Wert.

1. Umwandlung aller Werte in Dezimalzahlen: 2. \(-\frac{9}{10} = -0{,}9\) 3. \(-\frac{11}{12} \approx -0{,}9167\) 4. \(-\frac{12}{13} \approx -0{,}9231\) 5. Die gegebenen Dezimalzahlen sind \(-0{,}915\) und \(-0{,}95\). 6. Vergleich der Beträge: \(0{,}9 < 0{,}915 < 0{,}9167 < 0{,}9231 < 0{,}95\) 7. Sortierung der negativen Zahlen (größter Betrag ist kleinster Wert): \(-0{,}95 < -0{,}9231 < -0{,}9167 < -0{,}915 < -0{,}9\) 8. Einsetzen der Originalwerte: \(-0{,}95 < -\frac{12}{13} < -\frac{11}{12} < -0{,}915 < -\frac{9}{10}\)

\(-0{,}95 < -\frac{12}{13} < -\frac{11}{12} < -0{,}915 < -\frac{9}{10}\)

- Stelle dir die Zahlengerade vor. Welche Zahl ist näher an der Null? - Wie berechnet man die Mitte zwischen zwei Werten? - Wie oft passt die \(5\) in die \(7\) und wie oft die \(2\) in die \(3\)?

1. Zu a): Auf der Zahlengeraden liegt \(-1{,}4\) rechts von \(-1{,}5\), da der Betrag \(1{,}4\) kleiner ist als \(1{,}5\). Somit ist \(-1{,}4 > -1{,}5\). 2. Zu b): Berechnung des Mittelwerts: \(z = \frac{-1{,}4 + (-1{,}5)}{2} = \frac{-2{,}9}{2} = -1{,}45\). 3. Zu c): Umwandlung der Brüche: \(-\frac{7}{5} = -1{,}4\) und \(-\frac{3}{2} = -1{,}5\). 4. Identifikation: Der Bruch \(-\frac{7}{5}\) entspricht der Zahl \(x\). Da \(-1{,}4 > -1{,}5\), gilt \(-\frac{7}{5} > -\frac{3}{2}\).

a) \(-1{,}4 > -1{,}5\), da \(-1{,}4\) auf der Zahlengeraden weiter rechts liegt (geringerer Betrag). b) \(z = -1{,}45\) c) \(-\frac{7}{5} > -\frac{3}{2}\); der Bruch \(-\frac{7}{5}\) entspricht \(x\).

- Bei a): Welche Zahl musst du zu einer halben negativen Einheit addieren, um bei einer positiven ganzen Zahl zu landen? - Bei b): Erinnere dich an die Vorzeichenregeln bei der Multiplikation. - Bei c): Welche Zahlen gehören zu den ganzen Zahlen, aber nicht zu den natürlichen Zahlen? Denke besonders an die Null und negative Zahlen.

1. Teilaufgabe a: Gesucht ist \(\Box\) so, dass \(-\frac{1}{2} + \Box = n\) mit \(n \in \{1, 2, 3, \dots\}\). Mögliche Lösung: \(\Box = 1{,}5\), denn \(-0{,}5 + 1{,}5 = 1\). 2. Teilaufgabe b: Damit das Produkt einer Multiplikation mit \(-3\) positiv wird, muss \(\Box\) negativ sein. Damit das Ergebnis eine ganze Zahl ist, muss \(\Box\) ein negatives Vielfaches von \(\frac{1}{3}\) sein. Mögliche Lösung: \(\Box = -1\), denn \(-1 \cdot (-3) = 3\). 3. Teilaufgabe c: Das Ergebnis soll eine ganze Zahl sein, die nicht positiv ist (also \(\dots, -2, -1, 0\)). Mögliche Lösung: \(\Box = 2{,}4\), denn \(2{,}4 - 2{,}4 = 0\). (Alternativ: \(\Box = 3{,}4\), dann ist \(2{,}4 - 3{,}4 = -1\)).

Mögliche Lösungen sind: a) \(1{,}5\); b) \(-1\); c) \(2{,}4\).

- Was ist die Gegenzahl einer negativen Zahl? - Wandle zuerst alle Brüche in Dezimalzahlen um, um sie besser vergleichen zu können. - Sortiere zuerst die negativen und dann die positiven Zahlen getrennt voneinander. - Wie verändert sich die Reihenfolge, wenn man die Vorzeichen aller Zahlen umdreht?

1. Umwandlung von \(b\) in eine Dezimalzahl: \(b = -1{,}25\). 2. Bestimmung der Gegenzahlen durch Vorzeichenumkehr: \(-a = 1{,}2\); \(-b = 1{,}25\); \(-c = 1{,}15\). 3. Vergleich der negativen Werte: Wegen \(1{,}25 > 1{,}2 > 1{,}15\) gilt \(-1{,}25 < -1{,}2 < -1{,}15\), also \(b < a < c\). 4. Vergleich der positiven Werte: \(1{,}15 < 1{,}2 < 1{,}25\), also \(-c < -a < -b\). 5. Zusammenführen der Teilketten: \(b < a < c < -c < -a < -b\). 6. Resultierende Wertekette: \(-1{,}25 < -1{,}2 < -1{,}15 < 1{,}15 < 1{,}2 < 1{,}25\).

\(b < a < c < -c < -a < -b\) bzw. \(-1{,}25 < -1{,}2 < -1{,}15 < 1{,}15 < 1{,}2 < 1{,}25\)