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- Wie berechnet man den Durchschnitt oder die Mitte von zwei Werten? - Stelle dir die Zahlen auf einem Zahlenstrahl vor. Wie weit sind sie voneinander entfernt? - Addiere die beiden Zahlen und teile das Ergebnis durch zwei.

1. Den Mittelwert der beiden Zahlen berechnen: \(\frac{-2,4 + 3,6}{2}\). 2. Summe bilden: \(-2,4 + 3,6 = 1,2\). 3. Durch 2 dividieren: \(1,2 : 2 = 0,6\).

a) 0,6

- Was bedeutet der Begriff „Betrag“ geometrisch auf der Zahlengeraden? - Wie viele Zahlen haben denselben Abstand vom Nullpunkt? - Wie berechnet man den Abstand zwischen einer positiven und einer negativen Zahl?

1. Identifikation der Zahlen mit dem Betrag \(5{,}2\): Da der Betrag den Abstand einer Zahl zur Null angibt, kommen die Zahlen \(5{,}2\) und \(-5{,}2\) infrage. 2. Berechnung des Abstands zwischen den beiden Punkten auf der Zahlengeraden: \(5{,}2 - (-5{,}2) = 5{,}2 + 5{,}2 = 10{,}4\).

Die beiden Zahlen sind \(5{,}2\) und \(-5{,}2\). Der Abstand zwischen ihnen beträgt \(10{,}4\).

- Welche Abstände zur Null sind erlaubt, wenn der Betrag kleiner als 4 sein muss? - Denke daran, dass ganze Zahlen sowohl positiv als auch negativ sein können. - Vergiss die Null nicht.

1. Analyse der Bedingung \(|n| < 4\): Gesucht sind alle ganzen Zahlen, deren Abstand zum Nullpunkt kleiner als \(4\) Einheiten ist. 2. Auflistung der passenden ganzen Zahlen im nichtnegativen Bereich: \(0, 1, 2, 3\). 3. Auflistung der passenden ganzen Zahlen im negativen Bereich: \(-1, -2, -3\). 4. Zusammenführung und Zählung: Die Menge ist \(\{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\}\). Die Anzahl der Elemente beträgt \(7\).

Die Zahlen sind \(-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\). Es sind insgesamt \(7\) Zahlen.

- Wie kannst du einen Bruch in eine Dezimalzahl umwandeln? - Könnte es helfen, alle Brüche auf denselben Nenner oder in die gleiche Darstellung zu bringen? - Denke daran, wie viele Zehntel oder Hundertstel in den Zahlen stecken, um sie zu vergleichen.

1. Umwandlung der Brüche in Dezimalzahlen: \( \frac{11}{4} = 2{,}75 \); \( 2{,}8 = 2{,}80 \); \( 2\frac{3}{5} = 2 + 0{,}6 = 2{,}60 \); \( \frac{27}{10} = 2{,}70 \). 2. Vergleich der Werte: \( 2{,}60 < 2{,}70 < 2{,}75 < 2{,}80 \). 3. Anordnung auf dem Zahlenstrahl in der Reihenfolge: \( 2\frac{3}{5} \), \( \frac{27}{10} \), \( \frac{11}{4} \), \( 2{,}8 \).

Die Dezimalzahlen sind: \( 2{,}75 \); \( 2{,}8 \); \( 2{,}6 \) und \( 2{,}7 \). Die richtige Reihenfolge auf dem Zahlenstrahl ist: \( 2\frac{3}{5} < \frac{27}{10} < \frac{11}{4} < 2{,}8 \).

- Was bedeutet der Abstand einer Zahl zur Null mathematisch? - Wie kannst du Brüche, Dezimalzahlen und Prozentsätze am besten vergleichen? - Überlege dir, wo die Zahlen auf der Zahlengeraden liegen.

1. Der Abstand zur Null entspricht dem Betrag der Zahl \(|x|\). 2. a) \(|-\frac{5}{8}| = 0{,}625\) und \(|0{,}65| = 0{,}65\). 3. Da \(0{,}625 < 0{,}65\), liegt \(-\frac{5}{8}\) näher an der Null. 4. b) \(|-1{,}2| = 1{,}2\) und \(|110\,\%| = |1{,}1| = 1{,}1\). 5. Da \(1{,}1 < 1{,}2\), liegt \(110\,\%\) näher an der Null.

a) \(-\frac{5}{8}\) b) \(110\,\%\)

- In welche Rechenoperation lässt sich eine Verschiebung nach rechts übersetzen? - Was bedeutet eine Verschiebung nach links für das Vorzeichen der Rechnung? - Führe die Schritte nacheinander aus und achte auf die Vorzeichenregeln bei Dezimalzahlen.

1. Berechnung der Position nach der ersten Verschiebung nach rechts (Addition): \(-2{,}3 + 4{,}5 = 2{,}2\). 2. Berechnung der Endposition nach der zweiten Verschiebung nach links (Subtraktion): \(2{,}2 - 1{,}4 = 0{,}8\).

\(0{,}8\)

- Wie berechnet man den Unterschied zwischen einer positiven und einer negativen Zahl? - Überlege dir, wie weit jede Zahl von der Null entfernt ist. - Hilft es dir, die Zahlen kurz auf einer Skizze einzuzeichnen?

1. Berechnung des Abstands für Paar A: Der Abstand zwischen \(-12\) und \(8\) wird berechnet durch \(|8 - (-12)| = |8 + 12| = 20\). 2. Berechnung des Abstands für Paar B: Der Abstand zwischen \(-5{,}5\) und \(-20\) wird berechnet durch \(|-20 - (-5{,}5)| = |-20 + 5{,}5| = |-14{,}5| = 14{,}5\). 3. Vergleich der Abstände: Da \(20 > 14{,}5\), hat Paar A den größeren Abstand.

Der Abstand von Paar A beträgt \(20\), der von Paar B beträgt \(14{,}5\). Somit liegt Paar A weiter auseinander.

- Welche der Zahlen liegt am weitesten links, welche am weitesten rechts? - Wie berechnet man den Abstand zwischen einer negativen und einer positiven Zahl? - Wenn ein Zentimeter für einen bestimmten Wert steht, wie oft passt dieser Wert in den Gesamtabstand?

1. Identifikation der Extremwerte: Die kleinste Zahl ist \(-1{,}4\), die größte Zahl ist \(1{,}2\). 2. Berechnung der Differenz: \(1{,}2 - (-1{,}4) = 1{,}2 + 1{,}4 = 2{,}6\). 3. Umrechnung in Zentimeter: Da \(1\,\text{cm}\) dem Wert \(0{,}2\) entspricht, teilt man die Differenz durch den Wert pro Zentimeter: \(2{,}6 : 0{,}2 = 13\). Die zeichnerische Distanz beträgt \(13\,\text{cm}\).

a) Die Zahlen werden an den entsprechenden Positionen markiert. b) Der wertmäßige Abstand beträgt \(2{,}6\). Auf der Zeichnung entspricht dies einer Länge von \(13\,\text{cm}\).

- Was passiert mit dem Vorzeichen einer Zahl, wenn man ihre Gegenzahl sucht? - Stell dir die Zahlen auf einer Waage vor, bei der die Null in der Mitte ist. Wo müsste das Gegengewicht liegen? - Erinnere dich an den Begriff der Spiegelung. - Rechne die Beispiele nacheinander durch und schaue, ob sich ein Muster beim Ergebnis zeigt.

1. Bestimmung der Gegenzahlen durch Vorzeichenumkehr: Die Gegenzahl von \(-5{,}4\) ist \(5{,}4\), von \(3{,}1\) ist sie \(-3{,}1\), von \(0\) bleibt sie \(0\) und von \(-\frac{1}{2}\) ist sie \(\frac{1}{2}\). 2. Geometrische Anordnung: Eine Zahl und ihre Gegenzahl haben denselben Abstand vom Nullpunkt, liegen jedoch auf gegenüberliegenden Seiten. Sie sind punktsymmetrisch zum Nullpunkt. 3. Berechnung der Summen: \(-5{,}4 + 5{,}4 = 0\); \(3{,}1 + (-3{,}1) = 0\); \(0 + 0 = 0\); \(-\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 0\). Das Ergebnis der Summe einer Zahl und ihrer Gegenzahl ist immer \(0\).

1. Gegenzahlen: \(5{,}4\); \(-3{,}1\); \(0\); \(\frac{1}{2}\). 2. Sie liegen punktsymmetrisch zum Nullpunkt und haben denselben Abstand von ihm. 3. Die Summe ist immer \(0\).

- Überlege dir, welche Rechenoperation einer Bewegung nach rechts und welche einer Bewegung nach links entspricht. - Kannst du die Situation skizzieren, um den Start- oder Zielpunkt besser zu sehen? - Wenn du den Zielpunkt kennst und den Startpunkt suchst, musst du die Bewegung „rückgängig“ machen.

1. Start bei \(-5\), Bewegung um \(8\) nach rechts: \(-5 + 8 = 3\). Ergebnis: \(3\). 2. Start bei \(3{,}5\), Bewegung um \(6\) nach links: \(3{,}5 + (-6) = -2{,}5\). Ergebnis: \(-2{,}5\). 3. Ziel \(-2\), Rückwärtsrechnung der Linksbewegung (\(-4\)): \(x + (-4) = -2\). Auflösen ergibt \(x = -2 + 4 = 2\). Der Startpunkt war \(2\), die Aufgabe lautet \(2 + (-4) = -2\).

a) \(3\); Aufgabe: \(-5 + 8 = 3\) b) \(-2{,}5\); Aufgabe: \(3{,}5 + (-6) = -2{,}5\) c) Startpunkt: \(2\); Aufgabe: \(2 + (-4) = -2\)

- Wie berechnet man den Durchschnitt zweier Werte? - Stell dir die Zahlen auf einer Skala vor. Wie viele Schritte liegen dazwischen? - Der Abstand einer Zahl zu Null wird auch Betrag genannt. - Achte auf die Vorzeichen bei der Subtraktion.

1. Berechnung des Mittelpunkts: Der Mittelpunkt \(M\) zweier Zahlen \(a\) und \(b\) berechnet sich durch den Durchschnitt: \(M = \frac{a + b}{2}\). Einsetzen ergibt \(\frac{-2{,}4 + 5{,}6}{2} = \frac{3{,}2}{2} = 1{,}6\). 2. Berechnung des Abstands: Der Abstand ist die Differenz der Werte (groß minus klein): \(\frac{5}{4} - (-\frac{3}{4}) = \frac{5}{4} + \frac{3}{4} = \frac{8}{4} = 2\). 3. Bestimmung von \(Q\): Der Abstand von \(P(-2)\) zu \(0\) beträgt \(|-2| = 2\). Der Abstand von \(Q\) zu \(0\) ist somit \(2 \cdot 2 = 4\). Da \(Q\) im positiven Bereich liegt, ist die Zahl \(4\).

a) \(1{,}6\) b) \(2\) c) \(4\)

- Erinnere dich daran, dass der Betrag einer Zahl niemals negativ ist. - Welche Zahl hat einen kleineren Betrag? Diese liegt näher am Ursprung. - Wie berechnet man den Wert, der genau zwischen zwei anderen Zahlen liegt? - Gibt es nur eine Zahl, die einen bestimmten Betrag hat?

1. Berechnung der Beträge: \(|a| = |-7| = 7\) und \(|b| = |3| = 3\). 2. Vergleich der Abstände zur Null: Da \(3 < 7\), ist der Abstand von \(b\) zur Null geringer. Somit liegt \(b\) näher an der \(0\). 3. Bestimmung des Mittelwerts der Beträge: Die Mitte zwischen \(3\) und \(7\) berechnet sich durch \(\frac{3 + 7}{2} = 5\). 4. Bestimmung der Zahlen \(c\) mit \(|c| = 5\): Dies sind die Zahlen \(5\) und \(-5\).

a) \(|a| = 7\) und \(|b| = 3\). b) Die Zahl \(b = 3\) liegt näher an der \(0\). c) Die Zahlen sind \(5\) und \(-5\).

- Welche Zahl liegt genau in der Mitte zwischen -2 und -3? - Wie hilft dir dieser Mittelpunkt dabei, zu entscheiden, welche ganze Zahl näher liegt? - Wandle die Brüche in Dezimalzahlen um, um sie einfacher mit der Mitte zu vergleichen. - Stell dir die Zahlen auf einem Zahlenstrahl oder Thermometer vor.

1. Berechnung des Mittelpunkts zwischen -2 und -3: \(\frac{-2 + (-3)}{2} = -2{,}5\). 2. Umwandlung der Brüche in Dezimalzahlen: \(-\frac{11}{4} = -2{,}75\); \(-\frac{7}{3} \approx -2{,}33\); \(-\frac{13}{5} = -2{,}6\); \(-\frac{9}{4} = -2{,}25\). 3. Vergleich mit dem Mittelpunkt \(-2{,}5\): Zahlen, die größer als \(-2{,}5\) sind (also weiter rechts auf dem Zahlenstrahl), liegen näher an -2. 4. Prüfung: \(-2{,}33 > -2{,}5\) und \(-2{,}25 > -2{,}5\). Die Brüche \(-\frac{7}{3}\) und \(-\frac{9}{4}\) liegen näher an -2.

\(-\frac{7}{3}\) und \(-\frac{9}{4}\)

- Was bedeutet „Abstand“ in der Mathematik? Er ist immer nichtnegativ. - Suche zuerst für jeden Wert die ganze Zahl, die am wenigsten weit entfernt ist. - Subtrahiere dann die kleinere von der größeren Zahl, um den Abstand zu finden. - Bei Brüchen wie in Aufgabenteil c) kann es helfen, die ganze Zahl ebenfalls als Bruch mit demselben Nenner zu schreiben.

1. Für \(3{,}8\) ist die nächste ganze Zahl 4. Abstand: \(|4 - 3{,}8| = 0{,}2\). 2. Für \(-1 \frac{1}{4} = -1{,}25\) ist die nächste ganze Zahl -1. Abstand: \(|-1 - (-1{,}25)| = 0{,}25\). 3. Für \(-\frac{22}{7}\) (ca. \(-3{,}14\)) ist die nächste ganze Zahl -3. Abstand: \(|-\frac{21}{7} - (-\frac{22}{7})| = \frac{1}{7}\). 4. Für \(0{,}45\) ist die nächste ganze Zahl 0. Abstand: \(|0{,}45 - 0| = 0{,}45\).

a) \(0{,}2\) b) \(0{,}25\) c) \(\frac{1}{7}\) d) \(0{,}45\)

- Was bedeutet es, wenn eine Zahl „zwischen“ zwei anderen Werten liegt? - Wandle zuerst alle Werte in die Dezimalschreibweise um, um sie besser mit den Grenzen vergleichen zu können. - Achte beim Runden darauf, ob die Zahl dadurch über oder unter eine Grenze rutscht.

1. Umwandlung in Dezimalzahlen: \( \frac{11}{2} = 5{,}5 \); \( 5\frac{2}{3} = 5{,}666\dots \approx 5{,}67 \); \( \frac{53}{10} = 5{,}3 \); \( 5{,}65 = 5{,}65 \). 2. Prüfung des Bereichs \( 5{,}4 < x < 5{,}7 \): 3. \( 5{,}5 \) liegt im Intervall (\( 5{,}4 < 5{,}5 < 5{,}7 \)). 4. \( 5{,}67 \) liegt im Intervall (\( 5{,}4 < 5{,}67 < 5{,}7 \)). 5. \( 5{,}3 \) liegt nicht im Intervall (\( 5{,}3 < 5{,}4 \)). 6. \( 5{,}65 \) liegt im Intervall (\( 5{,}4 < 5{,}65 < 5{,}7 \)).

Die Zahlen \( \frac{11}{2} \), \( 5\frac{2}{3} \) und \( 5{,}65 \) liegen zwischen \( 5{,}4 \) und \( 5{,}7 \).

- Wie berechnet man den Abstand zwischen zwei Punkten auf der Zahlengeraden? - Hilft es dir, die Zahlen alle in die gleiche Darstellung (z. B. Dezimalzahlen) umzuwandeln? - Skizziere die Punkte grob auf einem Zahlenstrahl, um eine erste Vermutung zu erhalten.

1. Der Abstand einer Zahl \(x\) zu \(1\) wird durch \(|x - 1|\) berechnet. 2. a) \(|\frac{3}{7} - 1| = |-\frac{4}{7}| = \frac{4}{7} \approx 0{,}571\). 3. \(|1{,}6 - 1| = 0{,}6\). 4. Vergleich: \(0{,}571 < 0{,}6\), also liegt \(\frac{3}{7}\) näher an \(1\). 5. b) \(|-\frac{1}{4} - 1| = |-1{,}25| = 1{,}25\). 6. \(|2{,}1 - 1| = 1{,}1\). 7. Vergleich: \(1{,}1 < 1{,}25\), also liegt \(2{,}1\) näher an \(1\).

a) \(\frac{3}{7}\) b) \(2{,}1\)

- Was bedeutet es mathematisch, wenn eine Zahl „am nächsten“ an einer anderen liegt? - Hilft es dir, die Zahlen zuerst als Dezimalzahlen zu schreiben? - Du kannst dir die Lage der Zahlen auf einer Skizze der Zahlengeraden vorstellen.

1. Umwandlung aller Werte in Dezimalzahlen: \(A = -2{,}25\); \(B = -1{,}8\); \(C = -2{,}1\); \(D = -2{,}2\); \(E = -1{,}95\) 2. Berechnung der Abstände zu \(-2\) durch Differenzbildung: \(| -2{,}25 - (-2) | = 0{,}25\) \(| -1{,}8 - (-2) | = 0{,}2\) \(| -2{,}1 - (-2) | = 0{,}1\) \(| -2{,}2 - (-2) | = 0{,}2\) \(| -1{,}95 - (-2) | = 0{,}05\) 3. Vergleich der Abstände: \(0{,}05 < 0{,}1 < 0{,}2 < 0{,}25\) 4. Ergebnis: Der kleinste Abstand gehört zu \(E = -1{,}95\)

Die Zahl \(E = -1{,}95\) liegt am nächsten an \(-2\).

- Was bedeutet es für die Größe einer Zahl, wenn sie auf der Zahlengeraden „links“ von einer anderen Zahl liegt? - Wandle die Brüche zuerst in Dezimalzahlen um, um sie besser mit \(-3{,}15\) und \(-3{,}2\) vergleichen zu können. - Vorsicht bei negativen Zahlen: Je größer der Betrag (die Zahl ohne Vorzeichen), desto kleiner ist die eigentliche negative Zahl.

1. Umwandlung der Brüche in Dezimalzahlen: \(B = -\frac{13}{4} = -3{,}25\) und \(C = -3 \frac{1}{10} = -3{,}1\). 2. Bestimmung der Zahlen links von \(-3{,}1\): Eine Zahl liegt links von \(-3{,}1\), wenn sie kleiner als \(-3{,}1\) ist. 3. Vergleich der Werte: \(A = -3{,}15 < -3{,}1\); \(B = -3{,}25 < -3{,}1\); \(D = -3{,}2 < -3{,}1\). Die Zahl \(C = -3{,}1\) liegt genau auf dem Referenzpunkt, nicht links davon. 4. Ordnen der gefundenen Zahlen \(A\), \(B\) und \(D\): Der kleinste Wert ist der mit dem größten Betrag bei negativem Vorzeichen. Somit ergibt sich: \(-3{,}25 < -3{,}2 < -3{,}15\). 5. Endergebnis in Originalschreibweise: \(-\frac{13}{4} < -3{,}2 < -3{,}15\).

Die Zahlen \(-\frac{13}{4}\), \(-3{,}2\) und \(-3{,}15\) liegen links von \(-3{,}1\). Ihre Reihenfolge ist: \(-\frac{13}{4} < -3{,}2 < -3{,}15\).

- Wie berechnet man den Wert, der genau zwischen zwei Zahlen liegt? Denk an den Durchschnitt. - Es hilft, alle Werte auf das gleiche Format zu bringen (Dezimalzahlen oder Brüche mit gleichem Nenner). - Vergleiche die Lage der Zahlen auf der Zahlengeraden. Welche liegt weiter rechts?

1. Darstellung beider Zahlen als Dezimalzahlen: \(-\frac{1}{2} = -0{,}5\) und \(0{,}3\). 2. Berechnung des Mittelwerts: \(x = \frac{-0{,}5 + 0{,}3}{2} = \frac{-0{,}2}{2} = -0{,}1\). 3. Umwandlung der Vergleichszahl in eine Dezimalzahl: \(-\frac{1}{8} = -0{,}125\). 4. Vergleich von \(x\) und \(-\frac{1}{8}\): Auf der Zahlengeraden liegt \(-0{,}1\) rechts von \(-0{,}125\), da \(|-0{,}1| < |-0{,}125|\) bei negativen Vorzeichen gilt. 5. Ergebnis: \(-0{,}1 > -0{,}125\), also ist \(x\) größer als \(-\frac{1}{8}\).

Die Zahl in der Mitte ist \(x = -0{,}1\). Da \(-0{,}1 > -0{,}125\) (was \(-\frac{1}{8}\) entspricht), ist \(x\) größer als \(-\frac{1}{8}\).

- Welchen Abstand hat die Mitte zu dem bekannten Punkt? - Wie kannst du diesen Abstand nutzen, um den Punkt auf der anderen Seite zu finden? - Was passiert, wenn du die Summe der beiden Endpunkte durch zwei teilst?

1. Berechnung des Abstands zwischen dem bekannten Endpunkt \(-3{,}5\) und dem Mittelwert \(0{,}5\): \(0{,}5 - (-3{,}5) = 4{,}0\). 2. Da der Mittelwert genau in der Mitte liegt, muss der gesuchte Punkt \(b\) denselben Abstand zum Mittelwert haben, jedoch in der entgegengesetzten Richtung: \(0{,}5 + 4{,}0 = 4{,}5\). 3. Alternativ über die Mittelwertsformel: \(\frac{-3{,}5 + b}{2} = 0{,}5\). Durch Multiplikation mit \(2\) erhält man \(-3{,}5 + b = 1{,}0\). Addition von \(3{,}5\) ergibt \(b = 4{,}5\).

\(b = 4{,}5\)

- In welche Richtungen kann man sich von einem Punkt aus auf der Zahlengeraden bewegen? - Wenn du den Abstand kennst, wie verändern sich die Werte, wenn du nach links oder nach rechts gehst?

1. Um den Punkt in positiver Richtung (nach rechts) zu finden, addiert man den Abstand zum Startpunkt: \(-3{,}4 + 7{,}2 = 3{,}8\). 2. Um den Punkt in negativer Richtung (nach links) zu finden, subtrahiert man den Abstand vom Startpunkt: \(-3{,}4 - 7{,}2 = -10{,}6\). 3. Die zwei möglichen Positionen sind somit \(3{,}8\) und \(-10{,}6\).

Der zweite Punkt kann an den Positionen \(3{,}8\) oder \(-10{,}6\) liegen.

- Es ist oft hilfreich, beide Zahlen in das gleiche Format zu bringen (beide als Dezimalzahlen oder beide als Brüche). - Denk daran, dass der Abstand zwischen einer positiven und einer negativen Zahl immer positiv sein muss. - Welcher gemeinsame Nenner bietet sich bei den Brüchen an?

1. Teilaufgabe a): Umwandlung von \(0{,}2\) in einen Bruch ergibt \(\frac{1}{5}\) oder von \(-\frac{3}{4}\) in eine Dezimalzahl ergibt \(-0{,}75\). Berechnung des Abstands: \(|0{,}2 - (-0{,}75)| = |0{,}2 + 0{,}75| = 0{,}95\). Als Bruch: \(|\frac{1}{5} - (-\frac{3}{4})| = |\frac{4}{20} + \frac{15}{20}| = \frac{19}{20}\). 2. Teilaufgabe b): Umwandlung von \(1\frac{1}{2}\) in \(1{,}5\) und \(-\frac{2}{5}\) in \(-0{,}4\). Berechnung des Abstands: \(|1{,}5 - (-0{,}4)| = |1{,}5 + 0{,}4| = 1{,}9\). Als Bruch: \(|\frac{3}{2} - (-\frac{2}{5})| = |\frac{15}{10} + \frac{4}{10}| = \frac{19}{10} = 1\frac{9}{10}\).

a) \(0{,}95\) oder \(\frac{19}{20}\) b) \(1{,}9\) oder \(1\frac{9}{10}\)

- Wie rechnet man einen Wert in eine zeichnerische Länge um, wenn man die Länge einer ganzen Einheit kennt? - Überlege dir, ob die Mitte zwischen einer negativen und einer positiven Zahl eher im positiven oder negativen Bereich liegen muss. - Wie berechnet man den Wert, der genau zwischen zwei anderen Werten liegt?

1. Abstandsberechnung für \(-1{,}25\): Der Betrag der Zahl ist \(|-1{,}25| = 1{,}25\). Da eine Einheit \(4\,\text{cm}\) entspricht, rechnet man \(1{,}25 \cdot 4\,\text{cm} = 5\,\text{cm}\). Der Punkt liegt \(5\,\text{cm}\) links von der Null. 2. Bestimmung der Mitte: Um die Mitte zwischen zwei Zahlen zu finden, berechnet man deren Mittelwert. 3. Umwandlung in Dezimalzahlen: \(-\frac{1}{2} = -0{,}5\) und \(\frac{3}{4} = 0{,}75\). 4. Mittelwert berechnen: \(\frac{-0{,}5 + 0{,}75}{2} = \frac{0{,}25}{2} = 0{,}125\). 5. Umwandlung in einen Bruch: \(0{,}125 = \frac{125}{1000} = \frac{1}{8}\).

a) Die Zahl \(-1{,}25\) liegt \(5\,\text{cm}\) vom Nullpunkt entfernt (nach links). b) Die Mitte liegt bei der Zahl \(0{,}125\) bzw. \(\frac{1}{8}\).

- Wenn zwei Punkte symmetrisch um einen Mittelpunkt liegen, wie berechnet man dann den Abstand eines Punktes zum Mittelpunkt? - Wo liegt die Mitte zwischen zwei Werten, die denselben Abstand vom Nullpunkt haben? - Gehe bei der „Gegenzahl der Gegenzahl“ schrittweise vor: Bestimme erst das erste Ergebnis und wende darauf die nächste Regel an.

1. Da \(p\) und \(q\) Gegenzahlen sind, liegen sie symmetrisch zum Nullpunkt. Der Abstand jeder Zahl vom Nullpunkt ist die Hälfte des Gesamtabstands: \(15 : 2 = 7{,}5\). Die Zahlen sind also \(7{,}5\) und \(-7{,}5\). Mögliche geordnete Paare sind \((7{,}5; -7{,}5)\) und \((-7{,}5; 7{,}5)\). 2. Eine Zahl und ihre Gegenzahl haben denselben Abstand vom Nullpunkt und liegen auf gegenüberliegenden Seiten. Ihr Mittelpunkt ist daher immer der Nullpunkt. Somit gilt \(r = 0\). 3. Die Gegenzahl von \(-8{,}3\) ist \(8{,}3\). Die Gegenzahl von \(8{,}3\) ist wieder \(-8{,}3\). Zweifache Vorzeichenumkehr führt zur ursprünglichen Zahl zurück.

1. Die geordneten Zahlenpaare sind \((7{,}5; -7{,}5)\) und \((-7{,}5; 7{,}5)\). 2. \(r = 0\). 3. Das Ergebnis ist \(-8{,}3\).

- Was bedeutet es für den Wert einer Zahl, wenn sie auf der Zahlengeraden weiter links liegt? - Wie nennt man die Zahl, die zusammen mit einer gegebenen Zahl die Summe \(0\) ergibt? - Wo liegt der Spiegelpunkt einer negativen Zahl auf der Zahlengeraden?

1. Berechnung der Summen: \((-12) + 7 = -5\) und \((-3) + (-3) = -6\). Da \(-6\) kleiner als \(-5\) ist, liegt die Summe \((-3) + (-3)\) weiter links. 2. Um von \(-4{,}8\) zum Nullpunkt zu gelangen, muss die Gegenzahl addiert werden: \(-4{,}8 + 4{,}8 = 0\). Somit ist \(x = 4{,}8\). 3. Der Spiegelpunkt von \(-2{,}4\) bezüglich des Nullpunkts ist \(2{,}4\). Von \(-2{,}4\) bis \(0\) sind es \(2{,}4\) Einheiten und von \(0\) bis \(2{,}4\) nochmals \(2{,}4\) Einheiten. Daher ist \(y = 2{,}4 + 2{,}4 = 4{,}8\). Die Rechnung lautet \(-2{,}4 + 4{,}8 = 2{,}4\).

a) \((-3) + (-3)\) liegt weiter links, da \(-6 < -5\). b) \(x = 4{,}8\) c) \(y = 4{,}8\); Rechnung: \(-2{,}4 + 4{,}8 = 2{,}4\)

- Wie berechnet man den Durchschnitt zweier Werte? - Welche Art von Zahl ist das Ergebnis der Mittelpunktsberechnung? Ist es eine ganze Zahl? - Gehe die Zahlengerade von \(-3{,}4\) aus nach rechts durch. Welche ganze Zahl kommt als Erstes?

1. Berechnung des Mittelwerts: \( m = \frac{-3{,}4 + 1{,}2}{2} = \frac{-2{,}2}{2} = -1{,}1 \). 2. Klassifizierung von \( -1{,}1 \): Die Zahl ist ein abbrechender Dezimalbruch, also \( m \in \mathbb{Q} \). Da sie eine Nachkommastelle hat, ist sie keine ganze Zahl (\( m \notin \mathbb{Z} \)) und somit auch keine natürliche Zahl (\( m \notin \mathbb{N} \)). 3. Bestimmung der ganzen Zahlen zwischen \( -3{,}4 \) und \( 1{,}2 \): Wir suchen alle \( z \in \mathbb{Z} \), für die \( -3{,}4 < z < 1{,}2 \) gilt. Dies sind \( -3, -2, -1, 0, 1 \).

a) \( m = -1{,}1 \) b) \( m \) gehört nur zu \(\mathbb{Q}\). c) Die ganzen Zahlen sind: \( -3, -2, -1, 0, 1 \).

- Wie viele Nachkommastellen musst du betrachten, um \( 2{,}37 \) und \( 2{,}375 \) sicher zu vergleichen? - Wie berechnet man den Mittelwert von zwei Zahlen? - Stell dir die beiden Zahlen auf einem sehr fein unterteilten Zahlenstrahl vor.

1. Umwandlung von \( \frac{19}{8} \) in eine Dezimalzahl: \( 19 : 8 = 2{,}375 \). 2. Vergleich: \( 2{,}375 > 2{,}37 \) (da \( 2{,}375 > 2{,}370 \)). Somit ist \( \frac{19}{8} \) größer. 3. Berechnung der Mitte: Addiere beide Werte und dividiere durch 2: \( (2{,}375 + 2{,}37) : 2 = 4{,}745 : 2 = 2{,}3725 \).

\( \frac{19}{8} \) (oder \( 2{,}375 \)) ist größer als \( 2{,}37 \). Die Zahl genau in der Mitte ist \( 2{,}3725 \).

- Wie kannst du den Durchschnitt (Mittelwert) von zwei Zahlen berechnen? - Für Teil b): Wenn zwischen zwei Zählern kein Platz mehr ist, hilft es oft, den Bruch zu erweitern. - Stelle dir die Zahlen auf einem Zahlenstrahl vor. Welche Markierung läge genau in der Mitte?

1. Zu a): Umwandlung von \( \frac{5}{8} \) in eine Dezimalzahl: \( 5 : 8 = 0{,}625 \). 2. Suche nach einer Zahl zwischen \( 0{,}625 \) und \( 0{,}63 \). Mittelwert: \( (0{,}625 + 0{,}63) : 2 = 1{,}255 : 2 = 0{,}6275 \). 3. Zu b): Umwandlung der Dezimalzahlen in Brüche: \( 0{,}7 = \frac{7}{10} = \frac{70}{100} \) und \( 0{,}71 = \frac{71}{100} \). 4. Um eine Zahl dazwischen als Bruch zu finden, Nenner erweitern: \( \frac{70}{100} = \frac{140}{200} \) und \( \frac{71}{100} = \frac{142}{200} \). 5. Die Zahl genau in der Mitte ist \( \frac{141}{200} \).

a) \( 0{,}6275 \) b) \( \frac{141}{200} \) (als exakte Mitte zwischen den Werten)

- Wandle alle Werte in eine vergleichbare Form um, zum Beispiel Dezimalzahlen. - Denk daran, dass der Abstand immer ein nichtnegativer Wert ist. - Kann ein Abstand auf der Zahlengeraden negativ sein?

1. Berechnung der Abstände zu \(-2\) mittels \(|x - (-2)| = |x + 2|\). 2. \(A: |-\frac{7}{3} + 2| = |-\frac{7}{3} + \frac{6}{3}| = |-\frac{1}{3}| \approx 0{,}333\). 3. \(B: |-1{,}65 + 2| = 0{,}35\). 4. \(C: |-2{,}2 + 2| = |-0{,}2| = 0{,}2\). 5. \(D: -175\,\% = -1{,}75\); \(|-1{,}75 + 2| = 0{,}25\). 6. Vergleich der Abstände: \(0{,}2 < 0{,}25 < 0{,}333 < 0{,}35\). 7. Die Zahl \(C = -2{,}2\) hat den kleinsten Abstand.

\(-2{,}2\)

- Wie berechnet man den Abstand zwischen zwei Werten mathematisch? - Wandle zuerst alle Brüche in ein einheitliches Format um, um sie besser vergleichen zu können. - Überlege dir, wie viele Nachkommastellen sinnvoll sind, um einen genauen Vergleich zu ermöglichen.

1. Umwandlung der Brüche in Dezimalzahlen: - \(\frac{3}{8} = 0{,}375\) - \(\frac{2}{5} = 0{,}4\) - \(\frac{4}{9} = 0{,}\overline{4} = 0{,}444\dots\) 2. Berechnung der absoluten Abstände (Differenzen) zu \(0{,}41\): - \(|0{,}41 - 0{,}375| = 0{,}035\) - \(|0{,}41 - 0{,}4| = 0{,}01\) - \(|0{,}41 - 0{,}444\dots| \approx 0{,}0344\) 3. Vergleich der Abstände: Da \(0{,}01 < 0{,}0344 < 0{,}035\), ist der Abstand von \(\frac{2}{5}\) am kleinsten. 4. Ergebnis: \(\frac{2}{5}\) liegt am nächsten an \(0{,}41\).

Der Bruch \(\frac{2}{5}\) liegt am nächsten an \(0{,}41\).

- Wie weit liegen die beiden äußeren Zahlen auf der Zahlengeraden auseinander? - Wenn du eine Strecke in drei gleiche Teile teilen willst, wie lang ist dann ein Teil? - Wie findest du die Zwischenstationen, wenn du beim Startwert beginnst und immer um die gleiche Teilstrecke weitergehst?

1. Berechnung der Gesamtlänge der Strecke durch Subtraktion: \(2{,}4 - (-1{,}2) = 3{,}6\). 2. Bestimmung der Länge eines einzelnen Abschnitts durch Division durch drei: \(3{,}6 : 3 = 1{,}2\). 3. Berechnung des ersten Teilungspunkts durch Addition der Abschnittslänge zum Startwert: \(-1{,}2 + 1{,}2 = 0\). 4. Berechnung des zweiten Teilungspunkts durch Addition der Abschnittslänge zum ersten Punkt: \(0 + 1{,}2 = 1{,}2\).

\(0\) und \(1{,}2\)

- Wie groß ist der gesamte Zahlenbereich, der von den 10 Abschnitten abgedeckt wird? - Wenn du weißt, wie viel ein Schritt wert ist, wie kannst du dann von einem Startpunkt aus andere Punkte erreichen? - Überlege, wie oft der Wert eines kleinen Abschnitts in die Differenz zweier Zahlen passt.

1. Bestimmung des Gesamtwerts zwischen \(A\) und \(B\): \(3 - (-2) = 5\). 2. Wert eines Teilabschnitts: Da die Strecke in \(10\) Abschnitte unterteilt ist, beträgt der Wert pro Abschnitt \(5 : 10 = 0{,}5\). 3. Zahl am vierten Teilstrich: Man startet bei \(A = -2\) und addiert vier Abschnitte: \(-2 + 4 \cdot 0{,}5 = -2 + 2 = 0\). 4. Anzahl der Abschnitte zwischen \(-0{,}5\) und \(1{,}5\): Zuerst Differenz berechnen: \(1{,}5 - (-0{,}5) = 2{,}0\). Dann durch den Wert eines Abschnitts teilen: \(2{,}0 : 0{,}5 = 4\). Es liegen \(4\) Abschnitte dazwischen.

a) Ein Teilabschnitt stellt den Wert \(0{,}5\) dar. b) Auf dem vierten Teilstrich rechts von \(A\) liegt die Zahl \(0\). c) Zwischen \(-0{,}5\) und \(1{,}5\) liegen \(4\) Teilabschnitte, da der Abstand \(2{,}0\) beträgt und \(2{,}0 : 0{,}5 = 4\) ist.