Kostenlose Arbeitsblätter

- Überlege dir zuerst, welche Ziffer an welcher Stelle steht. - Welche Ziffer ist entscheidend dafür, ob du auf- oder abrundest? - Erinnere dich an die Regel: Bei welchen Ziffern bleibst du bei der Zahl, und ab welcher Ziffer erhöhst du sie um eins?

1. Rundung auf eine ganze Zahl: Betrachten der Zehntelstelle (\(3\)). Da \(3 < 5\), wird abgerundet. Ergebnis: \(12\). 2. Rundung auf Zehntel: Betrachten der Hundertstelstelle (\(5\)). Da \(5 \ge 5\), wird aufgerundet. Ergebnis: \(12{,}4\). 3. Rundung auf Hundertstel: Betrachten der Tausendstelstelle (\(4\)). Da \(4 < 5\), wird abgerundet. Ergebnis: \(12{,}35\). 4. Rundung auf Tausendstel: Betrachten der Zehntausendstelstelle (\(9\)). Da \(9 \ge 5\), wird aufgerundet. Ergebnis: \(12{,}355\).

a) \(12\) b) \(12{,}4\) c) \(12{,}35\) d) \(12{,}355\)

- Kannst du die Brüche in Dezimalzahlen umwandeln, um sie besser vergleichen zu können? - Überlege dir, zwischen welchen zwei ganzen Zahlen die jeweilige Zahl auf dem Zahlenstrahl liegt. - Welche der beiden benachbarten ganzen Zahlen ist räumlich näher an deinem Punkt? - Achte bei negativen Zahlen besonders auf die Richtung auf dem Zahlenstrahl.

1. Für \(12 \frac{4}{9}\) liegt der Wert zwischen 12 und 13. Da \(\frac{4}{9} < \frac{1}{2}\) ist, ist 12 die nächste ganze Zahl. 2. \(-8{,}7\) liegt zwischen -8 und -9. Der Abstand zu -9 beträgt \(0{,}3\) und zu -8 beträgt er \(0{,}7\). Die nächste Zahl ist -9. 3. \(-\frac{21}{5} = -4{,}2\). Dies liegt zwischen -4 und -5. Der Abstand zu -4 ist \(0{,}2\), daher ist -4 die nächste ganze Zahl. 4. \(-\frac{15}{4} = -3{,}75\). Dies liegt zwischen -3 und -4. Der Abstand zu -4 ist \(0{,}25\), während er zu -3 bei \(0{,}75\) liegt. Die nächste Zahl ist -4.

a) 12 b) -9 c) -4 d) -4

- Überlege dir, ab welcher Ziffer an der zweiten Nachkommastelle auf \(5{,}4\) aufgerundet wird. - Überlege dir auch, bis zu welcher Ziffer an der zweiten Nachkommastelle noch auf \(5{,}4\) abgerundet wird. - Schreibe dir eine Liste von Zahlen mit zwei Nachkommastellen auf, die gerundet alle \(5{,}4\) ergeben könnten.

1. Um beim Runden auf eine Nachkommastelle \(5{,}4\) zu erhalten, muss die Zahl im Bereich von \(5{,}35\) bis unter \(5{,}45\) liegen. 2. Die kleinste Zahl mit zwei Nachkommastellen, bei der die Zehntelstelle auf \(4\) aufgerundet wird, ist \(5{,}35\) (da die Hundertstelstelle mindestens \(5\) sein muss). 3. Die größte Zahl mit zwei Nachkommastellen, bei der die Zehntelstelle \(4\) erhalten bleibt, ist \(5{,}44\) (da die Hundertstelstelle höchstens \(4\) sein darf).

Kleinstmögliche Zahl: \(5{,}35\) Größtmögliche Zahl: \(5{,}44\)

- Welche Ziffer folgt direkt auf die Stelle, auf die du runden sollst? - Was passiert mit der Ziffer davor, wenn du aufrunden musst und dort bereits eine 9 steht? - Gibt es einen Unterschied beim Runden, ob nach der Prüfziffer noch weitere Ziffern stehen?

1. Bestimmung der Rundungsstelle und der darauf folgenden Ziffer (Prüfziffer). 2. a) \(0{,}396\): Hundertstelstelle ist die \(9\), Prüfziffer ist die \(6\). Da \(6 \ge 5\), wird aufgerundet. Aus \(0{,}39\) wird \(0{,}40\). 3. b) \(1{,}952\): Zehntelstelle ist die \(9\), Prüfziffer ist die \(5\). Da \(5 \ge 5\), wird aufgerundet. Aus \(1{,}9\) wird \(2{,}0\). 4. c) \(7{,}0049\): Hundertstelstelle ist die zweite \(0\), Prüfziffer ist die \(4\). Da \(4 < 5\), wird abgerundet. Ergebnis ist \(7{,}00\). 5. d) \(0{,}999\): Zehntelstelle ist die erste \(9\), Prüfziffer ist die zweite \(9\). Da \(9 \ge 5\), wird aufgerundet. Aus \(0{,}9\) wird \(1{,}0\).

a) \(0{,}40\) b) \(2{,}0\) c) \(7{,}00\) d) \(1{,}0\)

- Welche Ziffer steht rechts von der Stelle, auf die du runden sollst? - Was passiert, wenn du eine \(9\) aufrunden musst? - Beachte die Rundungsregel für die Ziffer \(5\).

1. Bei \(12{,}963\) ist die Hundertstelstelle \(6\), daher wird die Zehntelstelle aufgerundet: \(13{,}0\). 2. Bei \(-0{,}0452\) ist die Tausendstelstelle \(5\), daher wird auf zwei Nachkommastellen zu \(-0{,}05\) gerundet. 3. Bei \(5{,}9996\) ist die Zehntausendstelstelle \(6\), was zum Aufrunden der Tausendstelstelle führt. Durch den Übertrag über alle Stellen ergibt sich \(6{,}000\).

a) \(13{,}0\) b) \(-0{,}05\) c) \(6{,}000\)

- Welche Ziffer entscheidet darüber, ob eine Zahl auf- oder abgerundet wird? - Erinnere dich an die Regel: Bei welchen Ziffern wird abgerundet, bei welchen aufgerundet? - Was passiert mit der Zehntelstelle, wenn die Hundertstelstelle eine \(5\) ist?

1. Runden von \(4{,}649\) auf Zehntel: Die zweite Nachkommastelle ist \(4\), daher wird abgerundet. Ergebnis: \(4{,}6\). 2. Runden von \(4{,}65\) auf Zehntel: Die zweite Nachkommastelle ist \(5\), daher wird aufgerundet. Ergebnis: \(4{,}7\). 3. Bestimmung der kleinsten Zahl mit zwei Dezimalstellen für \(4{,}7\): Alle Zahlen ab \(4{,}65\) werden auf \(4{,}7\) aufgerundet. Die kleinste Zahl mit zwei Stellen ist somit \(4{,}65\). 4. Prüfung von \(4{,}75\): Bei der Zahl \(4{,}75\) ist die zweite Nachkommastelle eine \(5\). Nach den Rundungsregeln wird bei einer \(5\) aufgerundet, sodass \(4{,}75\) auf \(4{,}8\) gerundet wird.

\(4{,}649\) gerundet auf Zehntel ist \(4{,}6\). \(4{,}65\) gerundet auf Zehntel ist \(4{,}7\). Die kleinste Zahl mit zwei Dezimalstellen, die auf \(4{,}7\) gerundet wird, ist \(4{,}65\). \(4{,}75\) wird auf \(4{,}8\) aufgerundet, da die Hundertstelstelle eine \(5\) ist.

- Wie viele Kilogramm sind eine Tonne? - Wenn eine Zahl auf eine Dezimalstelle gerundet wurde, ab welchem Wert würde man zur nächsten Stelle aufrunden? - Überlege dir, was die kleinste und die größte Zahl ist, die beim Runden \(2{,}4\) ergibt.

1. Umrechnung der Angabe in Kilogramm: \(2{,}4\,\text{t} = 2400\,\text{kg}\). 2. Bestimmung der Rundungseinheit: Die Angabe \(2{,}4\,\text{t}\) ist auf Zehnteltonnen (\(0{,}1\,\text{t}\)) gerundet, was \(100\,\text{kg}\) entspricht. 3. Berechnung der Untergrenze: Ein Wert wird ab der Hälfte der Rundungseinheit aufgerundet. \(2{,}4\,\text{t} - 0{,}05\,\text{t} = 2{,}35\,\text{t}\). In Kilogramm: \(2350\,\text{kg}\). 4. Berechnung der Obergrenze: Ein Wert wird bis knapp unter die nächste halbe Einheit abgerundet. \(2{,}4\,\text{t} + 0{,}05\,\text{t} = 2{,}45\,\text{t}\). In Kilogramm: \(2450\,\text{kg}\). 5. Da nach ganzen Kilogramm gefragt ist, liegt der Bereich zwischen \(2350\,\text{kg}\) und \(2449\,\text{kg}\).

Das tatsächliche Gewicht liegt zwischen \(2350\,\text{kg}\) und \(2449\,\text{kg}\).

- Schau dir immer die Ziffer rechts von der Stelle an, auf die du runden möchtest. - Bei den Ziffern 0, 1, 2, 3 und 4 wird abgerundet. - Bei den Ziffern 5, 6, 7, 8 und 9 wird aufgerundet. - Schreibe dir bei periodischen Zahlen die ersten paar Ziffern hintereinander auf, um die Folgeziffer besser zu erkennen.

1. Ausschreiben der Dezimaldarstellung von \(0{,}\overline{5} = 0{,}555\dots\): Zehntelstelle ist 5, Folgeziffer 5 führt zu Aufrundung auf \(0{,}6\). Hundertstelstelle ist 5, Folgeziffer 5 führt zu Aufrundung auf \(0{,}56\). 2. Zahl \(1{,}274\): Zehntelstelle ist 2, Folgeziffer 7 führt zu Aufrundung auf \(1{,}3\). Hundertstelstelle ist 7, Folgeziffer 4 führt zu Abrundung auf \(1{,}27\). 3. Ausschreiben der Dezimaldarstellung von \(-0{,}\overline{18} = -0{,}1818\dots\): Zehntelstelle ist 1, Folgeziffer 8 führt zu Aufrundung auf \(-0{,}2\). Hundertstelstelle ist 8, Folgeziffer 1 führt zu Abrundung auf \(-0{,}18\). 4. Zahl \(3{,}009\): Zehntelstelle ist 0, Folgeziffer 0 führt zu Abrundung auf \(3{,}0\). Hundertstelstelle ist 0, Folgeziffer 9 führt zu Aufrundung auf \(3{,}01\).

a) Zehntel: \(0{,}6\); Hundertstel: \(0{,}56\) b) Zehntel: \(1{,}3\); Hundertstel: \(1{,}27\) c) Zehntel: \(-0{,}2\); Hundertstel: \(-0{,}18\) d) Zehntel: \(3{,}0\); Hundertstel: \(3{,}01\)

- Welche Ziffer betrachtest du, um zu entscheiden, ob auf- oder abgerundet wird? - Was passiert mit den Stellen links davon, wenn eine Stelle beim Aufrunden den Wert 10 erreicht? - Überlege, was die Anzahl der Nachkommastellen über die Genauigkeit einer Angabe aussagt.

1. Rundung von \(0{,}4951\): Die dritte Dezimalstelle ist eine \(5\), also wird die zweite Stelle aufgerundet. Da dort eine \(9\) steht, wird daraus eine \(10\), was die erste Stelle um \(1\) erhöht. Ergebnis auf 2 Stellen: \(0{,}50\). Auf 1 Stelle: Die zweite Stelle ist eine \(9\), also aufrunden auf \(0{,}5\). 2. Rundung von \(12{,}997\): Die dritte Stelle ist eine \(7\), also aufrunden. Die zweite Stelle (\(9\)) wird zu \(10\), die erste Stelle (\(9\)) wird zu \(10\), die Einerstelle (\(2\)) wird zu \(3\). Ergebnis auf 2 Stellen: \(13{,}00\). Auf 1 Stelle: Die zweite Stelle ist eine \(9\), also aufrunden auf \(13{,}0\). 3. Rundung von \(-3{,}0449\): Die dritte Stelle ist eine \(4\), also abrunden. Ergebnis auf 2 Stellen: \(-3{,}04\). Auf 1 Stelle: Die zweite Stelle ist eine \(4\), also abrunden auf \(-3{,}0\). 4. Bedeutung der Nullen: Die Nullen bei \(13{,}00\) zeigen an, dass die Zahl auf die Hundertstelstelle genau gerundet wurde und dort den Wert Null hat. Ohne die Nullen wäre die erreichte Genauigkeit nicht erkennbar.

Gerundete Werte: \(0{,}4951 \rightarrow 0{,}50\) (2 Stellen), \(0{,}5\) (1 Stelle) \(12{,}997 \rightarrow 13{,}00\) (2 Stellen), \(13{,}0\) (1 Stelle) \(-3{,}0449 \rightarrow -3{,}04\) (2 Stellen), \(-3{,}0\) (1 Stelle) Die Nullen bei \(13{,}00\) müssen notiert werden, um die Genauigkeit der Rundung (Hundertstel) zu kennzeichnen.

- Welche Ziffer ist allein entscheidend, wenn man auf eine Nachkommastelle runden möchte? - Spielt die dritte Nachkommastelle eine Rolle, wenn man direkt auf die erste Nachkommastelle rundet? - Was passiert, wenn man Informationen aus weiter hinten liegenden Stellen „mitschleppt“, so wie Jonas es tut?

1. Bestimmung der relevanten Stelle: Für die Rundung auf eine Nachkommastelle ist nur die direkt darauf folgende Stelle (Hundertstelstelle) entscheidend. 2. Analyse der Zahl \(0{,}445\): Die Hundertstelstelle ist eine \(4\). 3. Anwendung der Rundungsregel: Da \(4 < 5\), wird abgerundet. Die Zehntelstelle bleibt unverändert. Korrektes Ergebnis: \(0{,}4\). 4. Fehleranalyse: Jonas wendet eine „Kettenrundung“ an. Man darf jedoch immer nur direkt von der Ausgangszahl auf die Zielstelle runden, da sich sonst Rundungsfehler addieren können.

Das korrekte Ergebnis ist \(0{,}4\). Jonas macht einen Fehler, weil er schrittweise rundet. Man muss jedoch immer direkt auf die Zielstelle runden und dabei nur die eine Ziffer betrachten, die unmittelbar rechts daneben steht. Da die Hundertstelstelle eine \(4\) ist, muss abgerundet werden.

- Betrachte für jede Zahl nur die Ziffer an der Tausendstelstelle, um über das Runden auf Hundertstel zu entscheiden. - Spielen Ziffern, die nach der Tausendstelstelle kommen, eine Rolle für die Rundungsentscheidung? - Überlege dir für jede Zahl einzeln: Würde ich hier auf- oder abrunden?

1. Prüfung von A: \(3{,}415\). Die Tausendstelziffer ist \(5\), also aufrunden: \(3{,}42\). (Korrekt) 2. Prüfung von B: \(3{,}4249\). Die Tausendstelziffer ist \(4\), also abrunden: \(3{,}42\). (Korrekt) 3. Prüfung von C: \(3{,}425\). Die Tausendstelziffer ist \(5\), also aufrunden: \(3{,}43\). (Falsch) 4. Prüfung von D: \(3{,}4149\). Die Tausendstelziffer ist \(4\), also abrunden: \(3{,}41\). (Falsch) 5. Prüfung von E: \(3{,}4201\). Die Tausendstelziffer ist \(0\), also abrunden: \(3{,}42\). (Korrekt)

A, B und E

- Überlege in Situation A: Was passiert, wenn du zu wenig Backpulver hast? - Überlege in Situation B: Kannst du mehr bezahlen, als du im Geldbeutel hast? - Hängt die Entscheidung davon ab, ob etwas „mindestens vorhanden sein muss“ oder „höchstens vorhanden sein darf“?

1. Analyse Situation A: Der Bedarf liegt bei \(2{,}1\) Einheiten. Mathematisches Runden ergäbe 2 Packungen. Da man für das Gelingen des Rezepts aber die volle Menge benötigt, würden bei 2 Packungen \(0{,}1\) Einheiten fehlen. Hier muss man immer aufrunden (auf 3 Packungen), um den Bedarf sicher zu decken. 2. Analyse Situation B: Das Budget von \(20\,\text{€}\) ist eine feste Grenze. Die Rechnung ergibt \(2{,}94\). Mathematisch würde man auf 3 aufrunden. Da \(3 \cdot 6{,}80\,\text{€} = 20{,}40\,\text{€}\) den Betrag von \(20\,\text{€}\) übersteigt, ist der Kauf von 3 Gutscheinen unmöglich. Hier muss man immer abrunden (auf 2 Gutscheine), da man nicht mehr Geld ausgeben kann, als man hat.

In Situation A muss man immer aufrunden (3 Packungen), da man bei 2 Packungen nicht genug Material für das Rezept hätte. In Situation B muss man immer abrunden (2 Gutscheine), da das Geld für einen dritten Gutschein nicht ausreicht, auch wenn man mathematisch näher an der 3 liegt.

- Was bedeutet die zusätzliche Null am Ende einer Dezimalzahl für die Genauigkeit der Rundung? - Bestimme zuerst für jedes Ergebnis separat die Untergrenze des Bereichs. - Subtrahiere die kleinere der beiden Untergrenzen von der größeren.

1. Analyse Fall A: Das Ergebnis \(5{,}0\) entstand durch Rundung auf Zehntel (\(0{,}1\)). Die kleinstmögliche Zahl liegt \(0{,}05\) unter \(5{,}0\). Ergebnis: \(5{,}0 - 0{,}05 = 4{,}95\). 2. Analyse Fall B: Das Ergebnis \(5{,}00\) entstand durch Rundung auf Hundertstel (\(0{,}01\)). Die kleinstmögliche Zahl liegt \(0{,}005\) unter \(5{,}00\). Ergebnis: \(5{,}00 - 0{,}005 = 4{,}995\). 3. Berechnung der Differenz: \(4{,}995 - 4{,}95 = 0{,}045\).

1. Fall A: \(4{,}95\); Fall B: \(4{,}995\) 2. Die Differenz beträgt \(0{,}045\).

- Was ist die kleinste Ziffer an der dritten Nachkommastelle, die dafür sorgt, dass die zweite Stelle aufgerundet wird? - Was ist die größte Ziffer an der dritten Stelle, bei der noch abgerundet wird? - Erstelle eine Liste aller möglichen Tausendstel-Ziffern für die Fälle \(2{,}45x\) und \(2{,}46x\).

1. Bestimmung des Intervalls für die Rundung auf \(2{,}46\): Der Bereich reicht von \(2{,}455\) bis unter \(2{,}465\). 2. Identifikation der kleinsten Zahl mit drei Dezimalstellen: \(2{,}455\) (da ab 5 aufgerundet wird). 3. Identifikation der größten Zahl mit drei Dezimalstellen: \(2{,}464\) (da ab 5 auf die nächste Stelle, also \(2{,}47\), aufgerundet würde). 4. Zählen der Zahlen im Bereich \([2{,}455; 2{,}464]\): Es handelt sich um die Zahlen \(2{,}455, 2{,}456, 2{,}457, 2{,}458, 2{,}459, 2{,}460, 2{,}461, 2{,}462, 2{,}463, 2{,}464\). Dies sind insgesamt 10 Zahlen.

a) Die kleinste Zahl ist \(2{,}455\), die größte Zahl ist \(2{,}464\). b) Es gibt insgesamt 10 solche Zahlen.

- Auf welche Stelle könnte die Zeitung gerundet haben, wenn sie \(40\,000\) schreibt? - Auf welche Stelle könnte der Blog gerundet haben, wenn er \(38\,000\) schreibt? - Gibt es Zahlen, die bei beiden Rundungsregeln zu den genannten Ergebnissen führen?

1. Analyse der ersten Angabe: „\(40\,000\)“ kann eine Rundung auf Zehntausender sein. Der Bereich der exakten Werte liegt dann zwischen \(35\,000\) und \(44\,999\). 2. Analyse der zweiten Angabe: „\(38\,000\)“ deutet auf eine Rundung auf Tausender hin. Der Bereich der exakten Werte liegt dann zwischen \(37\,500\) und \(38\,499\). 3. Schnittmengenbildung: Damit beide Aussagen wahr sind, muss die Zuschauerzahl im Bereich von \(37\,500\) bis \(38\,499\) liegen, da dieser Bereich vollständig im Intervall der ersten Angabe enthalten ist. 4. Beispiel wählen: Jede Zahl in diesem Bereich ist möglich, z. B. \(38\,200\).

Beide Angaben können wahr sein, wenn die Zeitung auf Zehntausender und der Blog auf Tausender gerundet hat. Eine mögliche Zuschauerzahl ist zum Beispiel \(38\,200\).

- Welche Stelle nach dem Komma entscheidet darüber, ob die Zehntelstelle gleich bleibt oder um eins erhöht wird? - Spielen Ziffern, die noch weiter rechts stehen, eine Rolle für das Runden auf die erste Stelle? - Erinnere dich an die Regel: Ab welcher Ziffer wird „aufgerundet“?

1. Identifikation der entscheidenden Stelle: Beim Runden auf die erste Dezimalstelle (Zehntel) ist allein die zweite Dezimalstelle (Hundertstel) ausschlaggebend. 2. Bestimmung der Bedingung für das Aufrunden: Damit aus \(4{,}3\) durch Aufrunden \(4{,}4\) wird, muss die Ziffer im Kästchen \(5, 6, 7, 8\) oder \(9\) sein. 3. Analyse der Tausendstelstelle: Die Ziffer \(9\) an der dritten Stelle (Tausendstel) hat keinen Einfluss, da Rundungsentscheidungen in der Schule nicht schrittweise von rechts nach links, sondern direkt anhand der Folgestelle getroffen werden.

Mögliche Ziffern: \(\{5, 6, 7, 8, 9\}\). Die Ziffer \(9\) an der Tausendstelstelle wird ignoriert, da nur die direkt auf die Zielstelle folgende Ziffer (die Hundertstelstelle) über das Runden entscheidet.

- Schreibe beide Zahlen mit mindestens vier Nachkommastellen untereinander. - Führe die Rundung für beide Zahlen Schritt für Schritt für jede geforderte Stelle durch. - Was passiert bei einer endlichen Dezimalzahl wie \(0{,}27\), wenn man sie auf Tausendstel runden möchte?

1. Dezimaldarstellung: \(A = 0{,}272727\dots\) und \(B = 0{,}270000\dots\). 2. Runden auf Zehntel: Bei \(A\) folgt auf die 2 eine 7 (Aufrunden) \(\to 0{,}3\). Bei \(B\) folgt auf die 2 eine 7 (Aufrunden) \(\to 0{,}3\). Die Werte sind gleich. 3. Runden auf Hundertstel: Bei \(A\) folgt auf die 7 eine 2 (Abrunden) \(\to 0{,}27\). \(B\) ist bereits \(0{,}27\). Die Werte sind gleich. 4. Runden auf Tausendstel: Bei \(A\) folgt auf die 2 eine 7 (Aufrunden) \(\to 0{,}273\). Bei \(B\) folgt auf die 0 eine 0 (Abrunden) \(\to 0{,}270\). Die Werte unterscheiden sich (\(0{,}273 \neq 0{,}270\)).

Die gerundeten Werte unterscheiden sich zum ersten Mal bei der Rundung auf Tausendstel (\(0{,}273\) gegenüber \(0{,}270\)).

- Um die kleinstmögliche Summe zu finden, musst du zuerst herausfinden, wie klein die Summanden einzeln gewesen sein können. - Überlege für jede Zahl einzeln, ab welchem Wert sie auf das angegebene Ergebnis aufgerundet wird. - Addiere danach diese beiden Mindestwerte.

1. Bestimmung der Untergrenze für \(x\): Da auf Zehntel (\(0{,}1\)) gerundet wurde, ist die kleinste Zahl \(x_{min} = 7{,}4 - 0{,}05 = 7{,}35\). 2. Bestimmung der Untergrenze für \(y\): Da auf Hundertstel (\(0{,}01\)) gerundet wurde, ist die kleinste Zahl \(y_{min} = 2{,}15 - 0{,}005 = 2{,}145\). 3. Berechnung der minimalen Summe: Die kleinstmögliche Summe ergibt sich aus den kleinstmöglichen Einzelwerten. \(7{,}35 + 2{,}145 = 9{,}495\).

Der kleinstmögliche Wert der Summe ist \(9{,}495\). (Berechnung: \(7{,}35 + 2{,}145\))

- Welche erste Nachkommastelle kann eine Zahl haben, die auf \(5{,}0\) gerundet wird? Es gibt zwei Möglichkeiten. - Wenn die Zahl mit \(4{,}9\) beginnt, wie groß muss dann die zweite Nachkommastelle mindestens sein, um auf \(5{,}0\) zu kommen? Passt das zur Ziffernsumme? - Wenn die Zahl mit \(5{,}0\) beginnt, wie klein muss die zweite Nachkommastelle sein, damit sie nicht auf \(5{,}1\) aufgerundet wird? - Denk daran, dass eine Ziffer nur die Werte von 0 bis 9 annehmen kann.

1. Festlegen des Bereichs für die Rundung auf \(5{,}0\): Die Zahl \(x\) muss im Bereich \(4{,}950 \le x < 5{,}050\) liegen. 2. Fallunterscheidung nach der ersten Nachkommastelle: Fall 1: Die Zahl beginnt mit \(4{,}9\dots\). Die erste Nachkommastelle ist 9. Die Summe der drei Nachkommastellen ist \(9 + d_2 + d_3 = 10\), also \(d_2 + d_3 = 1\). Damit die Zahl auf \(5{,}0\) aufgerundet wird, muss die zweite Nachkommastelle \(d_2 \ge 5\) sein. Dies ist mit \(d_2 + d_3 = 1\) nicht möglich. Fall 2: Die Zahl beginnt mit \(5{,}0\dots\). Die erste Nachkommastelle ist 0. Die Summe der drei Nachkommastellen ist \(0 + d_2 + d_3 = 10\), also \(d_2 + d_3 = 10\). Damit die Zahl auf \(5{,}0\) abgerundet wird, muss die zweite Nachkommastelle \(d_2 < 5\) sein. 3. Finden der Paare \((d_2, d_3)\) mit \(d_2 + d_3 = 10\) und \(d_2 \in \{0, 1, 2, 3, 4\}\): - \(d_2 = 1 \implies d_3 = 9\) (Zahl: \(5{,}019\)) - \(d_2 = 2 \implies d_3 = 8\) (Zahl: \(5{,}028\)) - \(d_2 = 3 \implies d_3 = 7\) (Zahl: \(5{,}037\)) - \(d_2 = 4 \implies d_3 = 6\) (Zahl: \(5{,}046\)) (\(d_2 = 0\) ist nicht möglich, da \(d_3\) dann 10 sein müsste, was keine Ziffer ist).

Leon könnte sich die Zahlen \(5{,}019\), \(5{,}028\), \(5{,}037\) oder \(5{,}046\) gedacht haben.

- Gibt es Zahlen, die mehr als drei Nachkommastellen haben? - Wie verhält sich die Rundung, wenn du hinter die \(9\) in \(8{,}249\) noch weitere Ziffern schreibst? - Wie nah kannst du an die Zahl \(8{,}25\) herankommen, ohne sie zu erreichen? - Kannst du immer noch eine Ziffer hinzufügen, um eine Zahl noch ein kleines Stück größer zu machen?

1. Überprüfung für drei Stellen: Die Zahlen, die auf \(8{,}2\) abgerundet werden, müssen an der Hundertstelstelle eine \(0, 1, 2, 3\) oder \(4\) haben. Die größte Zahl mit drei Stellen ist somit \(8{,}249\). Julia hat für diesen speziellen Fall recht. 2. Gegenbeispiele mit mehr Stellen: Zahlen wie \(8{,}2491\), \(8{,}2499\) oder \(8{,}24999\) sind alle größer als \(8{,}249\). Da ihre Hundertstelstelle weiterhin eine \(4\) ist, werden sie alle auf \(8{,}2\) abgerundet. 3. Begründung für die Nichtexistenz: Die Grenze zum Aufrunden liegt bei \(8{,}25\). Jede Zahl \(x\) mit \(8{,}15 \le x < 8{,}25\) wird auf \(8{,}2\) gerundet. Da man zwischen jede Zahl \(x\) und die Grenze \(8{,}25\) immer eine weitere, noch größere Zahl finden kann (z. B. den Mittelwert oder durch Anhängen einer weiteren \(9\)), gibt es keine absolut größte Zahl in diesem Bereich.

a) Für genau drei Nachkommastellen hat Julia recht; \(8{,}249\) ist die größte. b) Beispiele für größere Zahlen sind \(8{,}2499\), \(8{,}24999\) und \(8{,}249999\). c) Es gibt keine größte Zahl, da man sich der Grenze \(8{,}25\) unendlich nah annähern kann (z. B. durch immer mehr Neunen), diese Grenze selbst aber zum Aufrunden auf \(8{,}3\) führt.

- Bestimme zuerst für jede der beiden Angaben den Bereich der möglichen Werte. - Welche Werte liegen in beiden Bereichen gleichzeitig? - Vergiss nicht, am Ende alles in die Einheit Meter umzurechnen.

1. Analyse Bedingung 1: Rundung auf \(7{,}3\,\text{km}\) (Zehntel-Kilometer). Der Bereich ist \([7{,}25; 7{,}35)\,\text{km}\). 2. Analyse Bedingung 2: Rundung auf \(7{,}28\,\text{km}\) (Hundertstel-Kilometer). Der Bereich ist \([7{,}275; 7{,}285)\,\text{km}\). 3. Prüfung der Konsistenz: Der Bereich \([7{,}275; 7{,}285)\) liegt vollständig innerhalb von \([7{,}25; 7{,}35)\). Somit ist der zweite Bereich maßgeblich. 4. Umrechnung in Meter: \([7275\,\text{m}; 7285\,\text{m})\). 5. Ergebnisformulierung: Der kleinste Wert ist \(7275\,\text{m}\). Der größte Wert, der noch zu \(7{,}28\) gerundet wird, liegt unmittelbar unter \(7285\,\text{m}\) (als ganze Zahl \(7284\,\text{m}\)).

Der kleinstmögliche Wert ist \(7275\,\text{m}\) und der größtmögliche ganzzahlige Wert ist \(7284\,\text{m}\).