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- Was ist die kleinste Zahl, die sowohl durch 6 als auch durch 4 teilbar ist? - Wie änderst du Zähler und Nenner eines Bruches, ohne seinen Wert zu verändern? - Welchen Teil des Bruches subtrahierst du, wenn die Nenner gleich sind?

1. Bestimmung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen der Nenner \(6\) und \(4\): Der Hauptnenner ist \(12\). 2. Erweitern der Brüche auf den Hauptnenner: \(\frac{5}{6}\) mit \(2\) erweitern ergibt \(\frac{10}{12}\), \(\frac{1}{4}\) mit \(3\) erweitern ergibt \(\frac{3}{12}\). 3. Subtraktion der Zähler bei beibehaltenem Nenner: \(10 - 3 = 7\). 4. Das Endergebnis lautet \(\frac{7}{12}\).

Zuerst bestimmt man den Hauptnenner (\(12\)). Dann erweitert man beide Brüche (\(\frac{10}{12}\) und \(\frac{3}{12}\)). Schließlich subtrahiert man die Zähler. Das Ergebnis ist \(\frac{7}{12}\).

- Überlege dir zuerst, ob das Ergebnis positiv oder negativ sein muss. - Bei Rechnungen mit gleichen Vorzeichen addierst du die Beträge. - Bei Rechnungen mit unterschiedlichen Vorzeichen subtrahierst du den kleineren Betrag vom größeren. - Vergiss nicht, Brüche am Ende zu kürzen, wenn Zähler und Nenner einen gemeinsamen Teiler haben.

1. Subtraktion einer größeren Zahl von einer kleineren: \( 45 - 72 = -(72 - 45) = -27 \). 2. Addition zweier negativer Zahlen: \( -18 + (-12) = -(18 + 12) = -30 \). 3. Subtraktion gleichnamiger Brüche: \( \frac{5}{6} - \frac{1}{6} = \frac{4}{6} \). Kürzen durch 2 ergibt \( \frac{2}{3} \). 4. Subtraktion eines Bruchs von einer negativen Zahl: \( -\frac{3}{8} - \frac{1}{8} = \frac{-3 - 1}{8} = -\frac{4}{8} \). Kürzen durch 4 ergibt \( -\frac{1}{2} \).

a) \( -27 \) b) \( -30 \) c) \( \frac{2}{3} \) d) \( -\frac{1}{2} \)

- Welche Rechenregel gilt, wenn Klammern im Ausdruck stehen? - Wandle gemischte Zahlen eventuell in unechte Brüche um oder rechne getrennt mit Ganzen und Brüchen. - Achte darauf, alle Brüche vor dem Addieren oder Subtrahieren auf den gleichen Nenner zu bringen.

1. Klammer zuerst berechnen: \(3 \frac{5}{6} + 2 \frac{1}{2}\). 2. Brüche in der Klammer auf Nenner 6 bringen: \(2 \frac{1}{2} = 2 \frac{3}{6}\). 3. Addition: \(3 \frac{5}{6} + 2 \frac{3}{6} = 5 \frac{8}{6} = 6 \frac{2}{6} = 6 \frac{1}{3}\). 4. Gesamtrechnung auf Nenner 12 bringen: \(7 \frac{5}{12} - 6 \frac{4}{12}\). 5. Ergebnis: \(1 \frac{1}{12}\).

a) \(1 \frac{1}{12}\)

- Wie addiert oder subtrahiert man Brüche mit unterschiedlichen Nennern? - Was ist die kleinste Zahl, die sowohl durch 27 als auch durch 6 teilbar ist? - Denke daran, Zähler und Nenner mit derselben Zahl zu multiplizieren, um den Wert des Bruchs nicht zu ändern.

1. Hauptnenner (kleinstes gemeinsames Vielfaches) von 27 und 6 bestimmen: \(27 = 3^3, 6 = 2 \cdot 3 \rightarrow \text{kgV} = 2 \cdot 3^3 = 54\). 2. Brüche auf den Hauptnenner erweitern: \(\frac{5 \cdot 2}{27 \cdot 2} = \frac{10}{54}\) und \(\frac{1 \cdot 9}{6 \cdot 9} = \frac{9}{54}\). 3. Subtraktion durchführen: \(\frac{10}{54} - \frac{9}{54} = \frac{1}{54}\).

\(\frac{1}{54}\)

- Was musst du bei Brüchen mit gleichem Nenner beachten, wenn du sie addierst oder subtrahierst? - Kannst du die Zähler zuerst zusammenrechnen und den Nenner beibehalten? - Schau dir das Endergebnis genau an: Gibt es eine Zahl, durch die du sowohl den Zähler als auch den Nenner teilen kannst?

1. Addition der Zähler bei gleichem Nenner: \(7 + 5 + 11 = 23\). Ergebnis \(\frac{23}{24}\). Keine Kürzung möglich. 2. Verrechnung der Zähler: \(31 - 11 + 4 = 24\). Ergebnis \(\frac{24}{45}\). Kürzen durch 3 ergibt \(\frac{8}{15}\). 3. Verrechnung der Zähler: \(19 + 23 - 7 = 35\). Ergebnis \(\frac{35}{60}\). Kürzen durch 5 ergibt \(\frac{7}{12}\).

a) \(\frac{23}{24}\) b) \(\frac{8}{15}\) c) \(\frac{7}{12}\)

- Was bedeutet es, wenn zwei Zahlen keine gemeinsamen Teiler außer der 1 haben? - Probiere es mit kleinen Primzahlen als Nenner aus. - Suche nach zwei Zahlen, die beide in derselben Vielfachenfolge vorkommen (z. B. in der 2er-Reihe). Was fällt dir beim kgV auf?

1. Überprüfung der Teilerfremdheit: Zwei Zahlen sind teilerfremd, wenn ihr größter gemeinsamer Teiler (ggT) gleich 1 ist. 2. Beispiel für Teilerfremdheit: Nenner 3 und 5. Da \(\operatorname{ggT}(3, 5) = 1\), ist das \(\operatorname{kgV}(3, 5) = 3 \cdot 5 = 15\). Die Behauptung stimmt hier. 3. Beispiel für nicht teilerfremde Nenner: Nenner 4 und 6. Da \(\operatorname{ggT}(4, 6) = 2\), ist das \(\operatorname{kgV}(4, 6) = 12\). Das Produkt ist jedoch \(4 \cdot 6 = 24\). 4. Schlussfolgerung: Bens Aussage ist mathematisch korrekt. Das kgV zweier Zahlen ist genau dann gleich ihrem Produkt, wenn sie teilerfremd sind.

Ben hat recht. Wenn zwei Nenner teilerfremd sind, ist ihr Produkt gleichzeitig ihr kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV). Beispiel für kgV = Produkt: Bei \(\frac{1}{3} + \frac{1}{4}\) ist 12 der kleinste gemeinsame Nenner. Beispiel für kgV < Produkt: Bei \(\frac{1}{6} + \frac{1}{8}\) ist das kgV 24, während das Produkt \(6 \cdot 8 = 48\) ist.

- Welche Rechenregel bestimmt, welchen Teil des Terms du zuerst bearbeiten musst? - Wie findet man einen gemeinsamen Nenner für Brüche mit unterschiedlichen Nennern? - Achte am Ende darauf, ob das Ergebnis noch vereinfacht werden kann.

1. Berechnung des Ausdrucks in der Klammer durch Finden des Hauptnenners (\(12\)): \(\frac{1}{4} + \frac{1}{3} = \frac{3}{12} + \frac{4}{12} = \frac{7}{12}\). 2. Subtraktion des Klammerergebnisses vom ersten Bruch: \(\frac{5}{12} - \frac{7}{12} = -\frac{2}{12}\). 3. Kürzen des Bruchs durch den gemeinsamen Teiler \(2\): \(-\frac{1}{6}\).

\(-\frac{1}{6}\)

- Kannst du den Zähler 5 in zwei Zahlen zerlegen, die beide Teiler von 12 sind? - Was passiert, wenn du einen Bruch wie \(\frac{4}{12}\) kürzt? - Welche Zerlegungen von 5 bestehen aus zwei verschiedenen Teilern von 12?

1. Zerlegung durch Probieren oder Erweitern: Suche nach Teilern des Nenners 12, deren Summe den Zähler 5 ergibt. 2. Erste Möglichkeit: Da \(4 + 1 = 5\), gilt \(\frac{5}{12} = \frac{4}{12} + \frac{1}{12}\). Kürzen von \(\frac{4}{12}\) ergibt \(\frac{1}{3} + \frac{1}{12}\). 3. Zweite Möglichkeit: Da \(3 + 2 = 5\), gilt \(\frac{5}{12} = \frac{3}{12} + \frac{2}{12}\). Kürzen beider Brüche ergibt \(\frac{1}{4} + \frac{1}{6}\).

Zwei mögliche Darstellungen sind: 1. \(\frac{1}{3} + \frac{1}{12}\) 2. \(\frac{1}{4} + \frac{1}{6}\)

- Kannst du die Brüche so erweitern, dass sie den gleichen Nenner haben? - Ist es einfacher, die Dezimalzahl in einen Bruch umzuwandeln oder umgekehrt? - Wenn der Zähler beim Abziehen zu klein ist, kannst du ein Ganzes in den Bruch umschreiben.

1. Teilaufgabe a: Erweitern von \(1\frac{1}{4}\) auf den Nenner 12 ergibt \(1\frac{3}{12}\). Addition der Ganzen und der Brüche: \(3+1=4\) und \(\frac{5}{12}+\frac{3}{12}=\frac{8}{12}\). Kürzen von \(\frac{8}{12}\) mit 4 ergibt \(\frac{2}{3}\). Ergebnis: \(4\frac{2}{3}\). 2. Teilaufgabe b: Erweitern von \(6\frac{2}{5}\) auf den Nenner 10 ergibt \(6\frac{4}{10}\). Da \(\frac{4}{10} < \frac{7}{10}\), Umwandeln eines Ganzen: \(5\frac{14}{10} - 4\frac{7}{10} = 1\frac{7}{10}\). 3. Teilaufgabe c: Umwandeln von \(0{,}125\) in den Bruch \(\frac{1}{8}\). Erweitern von \(2\frac{3}{4}\) auf den Nenner 8 ergibt \(2\frac{6}{8}\). Addition: \(2\frac{6}{8} + \frac{1}{8} = 2\frac{7}{8}\).

a) \(4\frac{2}{3}\) b) \(1\frac{7}{10}\) c) \(2\frac{7}{8}\)

- Wie findest du einen gemeinsamen Nenner für zwei unterschiedliche Brüche? - Was machst du, wenn der Zähler des ersten Bruchs kleiner ist als der des zweiten bei einer Subtraktion? - Denk an die Vorrangregeln: Was muss zuerst berechnet werden? - Kannst du eine ganze Zahl als Bruch oder gemischte Zahl umschreiben, um die Subtraktion zu erleichtern?

1. Teilaufgabe a): Hauptnenner \(30\) finden. Addition: \(3\frac{12}{30} + 4\frac{25}{30} = 7 + \frac{37}{30} = 8\frac{7}{30}\). 2. Teilaufgabe b): Hauptnenner \(8\) finden. Da \(\frac{2}{8} < \frac{5}{8}\), wird aus dem ganzzahligen Anteil ein Ganzes in \(\frac{8}{8}\) umgewandelt: \(7\frac{10}{8} - 5\frac{5}{8} = 2\frac{5}{8}\). 3. Teilaufgabe c): Zuerst Klammer berechnen mit Hauptnenner \(15\): \(2\frac{5}{15} + 4\frac{9}{15} = 6\frac{14}{15}\). Subtraktion von der ganzen Zahl: \(9\frac{15}{15} - 6\frac{14}{15} = 3\frac{1}{15}\).

a) \(8\frac{7}{30}\) b) \(2\frac{5}{8}\) c) \(3\frac{1}{15}\)

- Vergleiche die Größe der beteiligten Brüche grob miteinander. - Was passiert mit einem Wert, wenn man eine positive Zahl dazu addiert? - Überlege, welche Regel man beim Addieren von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern anwenden muss.

1. Vergleich der Brüche: Da \( \frac{2}{3} = \frac{14}{21} \) und \( \frac{3}{7} = \frac{9}{21} \), ist \( \frac{3}{7} < \frac{2}{3} \). 2. Logische Schlussfolgerung: Bei der Addition einer positiven Zahl (\( \frac{1}{4} \)) zu \( \frac{2}{3} \) muss die Summe größer als der erste Summand sein. Sarah erkennt durch Schätzen, dass Tims Ergebnis kleiner ist. 3. Fehleranalyse: Tim hat Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner addiert, anstatt die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen.

Sarah hat recht, weil die Summe zweier positiver Brüche immer größer sein muss als jeder der einzelnen Brüche; \( \frac{3}{7} \) ist jedoch kleiner als \( \frac{2}{3} \). Tims Fehler war, dass er einfach Zähler und Nenner addiert hat, ohne einen gemeinsamen Nenner zu bilden.

- Könntest du die Dezimalzahlen zuerst als Brüche schreiben? - Hilft es dir, wenn alle Brüche in einer Aufgabe denselben Nenner haben? - Wie viel fehlt von der ersten Zahl bis zum Ergebnis?

1. Umrechnung der Dezimalzahl in einen Bruch mit dem Nenner 10: \( 0{,}3 = \frac{3}{10} \). 2. Erweitern des Zielbruchs auf den Nenner 10: \( \frac{4}{5} = \frac{8}{10} \). 3. Aufstellen der Gleichung für die Zähler: \( 3 + \square = 8 \), woraus \( \square = 5 \) folgt. 4. Umrechnung der Dezimalzahl in einen Bruch: \( 0{,}5 = \frac{1}{2} \). 5. Erweitern aller Brüche auf den Hauptnenner 16: \( \frac{14}{16} - \frac{\square}{16} = \frac{8}{16} \). 6. Aufstellen der Gleichung für die Zähler: \( 14 - \square = 8 \), woraus \( \square = 6 \) folgt.

a) \( \square = 5 \) b) \( \square = 6 \)

- Vergleiche die Größe der einzelnen Brüche mit dem Ergebnis. - Was passiert mit dem Wert eines Bruches, wenn man eine positive Zahl dazu addiert? - Wie findet man einen gemeinsamen Nenner für 5 und 3? - Denk daran, dass man beim Addieren von Brüchen nur die Zähler addiert, nachdem sie denselben Nenner haben.

1. Begründung der Unstimmigkeit: Der Bruch \(\frac{2}{5}\) entspricht \(0{,}4\). Lukas' Ergebnis \(\frac{3}{8}\) entspricht \(0{,}375\). Da \(\frac{3}{8}\) kleiner ist als der erste Summand \(\frac{2}{5}\), kann das Ergebnis der Addition mit einer weiteren positiven Zahl nicht stimmen. 2. Bestimmung des Hauptnenners: Das kleinste gemeinsame Vielfache von \(5\) und \(3\) ist \(15\). 3. Erweitern der Brüche: \(\frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{6}{15}\) und \(\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{5}{15}\). 4. Addition der Zähler: \(\frac{6}{15} + \frac{5}{15} = \frac{11}{15}\).

a) Das Ergebnis kann nicht stimmen, da \(\frac{3}{8}\) kleiner ist als \(\frac{2}{5}\) (denn \(\frac{15}{40} < \frac{16}{40}\)). Eine Summe positiver Zahlen ist aber größer als jeder einzelne Summand. b) Das richtige Ergebnis ist \(\frac{11}{15}\).

- Vergleiche die Größe des ersten Summanden mit dem Ergebnis von Lukas. - Was passiert mit dem Wert eines Bruches, wenn du etwas Positives dazu addierst? - Wie müssen Brüche beschaffen sein, damit man ihre Zähler addieren darf?

1. Begründung der Unstimmigkeit: Da \(\frac{1}{2}\) bereits größer ist als \(\frac{2}{6}\) (denn \(\frac{2}{6} = \frac{1}{3}\)), kann die Summe aus \(\frac{1}{2}\) und einem weiteren positiven Bruch nicht kleiner sein als \(\frac{1}{2}\). 2. Korrekter Rechenweg: Zuerst muss ein gemeinsamer Nenner (Hauptnenner) gefunden werden, hier die \(4\). 3. Den Bruch \(\frac{1}{2}\) mit \(2\) erweitern, um \(\frac{2}{4}\) zu erhalten. 4. Die Zähler der gleichnamigen Brüche addieren: \(\frac{2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}\).

Das Ergebnis ist falsch, weil \(\frac{2}{6} = \frac{1}{3}\) kleiner ist als der erste Summand \(\frac{1}{2}\). Der richtige Weg ist das Erweitern auf den Hauptnenner \(4\): \(\frac{2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}\).

- Welche Rechenregel musst du bei Ausdrücken mit Klammern beachten? - Versuche zuerst, die Brüche in der Klammer auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen. - Kannst du das Ergebnis der Klammer vereinfachen, bevor du weiterrechnest? - Achte darauf, dass am Ende alle Brüche denselben Nenner haben, bevor du sie addierst.

1. Berechnung des Ausdrucks in der Klammer durch Erweitern auf den Nenner 4: \(1 \frac{1}{2} = 1 \frac{2}{4}\). 2. Subtraktion innerhalb der Klammer: \(5 \frac{3}{4} - 1 \frac{2}{4} = 4 \frac{1}{4}\). 3. Erweitern des Zwischenergebnisses auf den Nenner 8 für die finale Addition: \(4 \frac{1}{4} = 4 \frac{2}{8}\). 4. Addition des letzten Terms: \(4 \frac{2}{8} + 2 \frac{5}{8} = 6 \frac{7}{8}\).

\(6 \frac{7}{8}\)

- Wie findest du eine Zahl, die sowohl in der 12er-Reihe als auch in der 18er-Reihe vorkommt? - Denke daran, dass du Brüche nur addieren kannst, wenn sie denselben Nenner haben. - Was musst du beim Erweitern mit dem Zähler machen?

1. Bestimmung des Hauptnenners von 12 und 18 durch das kleinste gemeinsame Vielfache: \(\operatorname{kgV}(12, 18) = 36\). 2. Erweitern der Brüche auf den Nenner 36: \(\frac{5}{12} = \frac{5 \cdot 3}{12 \cdot 3} = \frac{15}{36}\) und \(\frac{7}{18} = \frac{7 \cdot 2}{18 \cdot 2} = \frac{14}{36}\). 3. Addition der Zähler: \(\frac{15}{36} + \frac{14}{36} = \frac{29}{36}\). 4. Prüfung auf Kürzbarkeit: Da 29 eine Primzahl ist und kein Teiler von 36, ist der Bruch \(\frac{29}{36}\) bereits vollständig gekürzt.

\(\frac{29}{36}\)

- Musst du die Brüche erst gleichnamig machen? - Welcher Nenner bietet sich als gemeinsamer Nenner an? - Kannst du das Ergebnis am Ende noch vereinfachen?

1. Bestimmung des Hauptnenners für beide Teilaufgaben: In a) ist der Hauptnenner \(8\), in b) ist er \(6\). 2. Erweiterung der Brüche: \(\frac{1}{4} = \frac{2}{8}\) und \(\frac{1}{3} = \frac{2}{6}\). 3. Addition in a): \(\frac{3}{8} + \frac{2}{8} = \frac{5}{8}\). 4. Subtraktion in b): \(\frac{5}{6} - \frac{2}{6} = \frac{3}{6}\). 5. Kürzen des Ergebnisses in b): \(\frac{3}{6} = \frac{1}{2}\).

a) \(\frac{5}{8}\) b) \(\frac{1}{2}\)

- Um Brüche zu addieren, müssen sie denselben Nenner haben. - Kannst du einen der Brüche so erweitern, dass er den Nenner des anderen Bruchs erhält? - Wenn die Nenner gleich sind, musst du nur noch die Zähler vergleichen.

1. Berechnung von Teil a): Erste Summe \( \frac{3}{10} + \frac{4}{10} = \frac{7}{10} = 0{,}7 \). Zweite Summe \( \frac{1}{4} + \frac{2}{4} = \frac{3}{4} = 0{,}75 \). Da \( 0{,}75 > 0{,}7 \), ist \( \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \) größer. 2. Berechnung von Teil b): Erste Summe \( \frac{10}{12} + \frac{1}{12} = \frac{11}{12} \). Zweite Summe \( \frac{8}{12} + \frac{3}{12} = \frac{11}{12} \). Beide Summen sind gleich groß.

a) \( \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \) ist größer. b) Beide Summen sind gleich groß (\( \frac{11}{12} \)).

- Schau dir die Summanden genau an. Gibt es Gemeinsamkeiten? - Wenn ein Teil der Rechnung identisch ist, worauf kommt es dann beim Rest an? - Erinnere dich daran, wie sich der Wert eines Bruchs ändert, wenn der Nenner größer wird.

1. Vergleich für a): Beide Summen enthalten den Summanden \( \frac{4}{11} \). Da \( \frac{3}{7} > \frac{2}{7} \), muss \( B \) größer als \( A \) sein. 2. Vergleich für b): Beide Summen enthalten \( \frac{1}{2} \). Da \( \frac{1}{5} > \frac{1}{6} \) (ein Fünftel ist größer als ein Sechstel eines Ganzen), ist \( C \) größer als \( D \). 3. Vergleich für c): \( E = \frac{2+1}{3} = \frac{3}{3} = 1 \). \( F = \frac{4+5}{9} = \frac{9}{9} = 1 \). Beide Werte sind exakt gleich groß.

a) \( B \) ist größer, da \( \frac{3}{7} > \frac{2}{7} \). b) \( C \) ist größer, da \( \frac{1}{5} > \frac{1}{6} \). c) Beide sind gleich groß, da beide Summen genau \( 1 \) ergeben.

- Wie findest du eine Zahl, die in der Malreihe beider Nenner vorkommt? - Denk daran, dass man ganze Zahlen auch als Brüche schreiben kann. - Was musst du mit dem Zähler machen, wenn du den Nenner eines Bruchs veränderst?

1. Für Teilaufgabe a) wird der Hauptnenner von 4 und 6 bestimmt, welcher 12 ist. Die Brüche werden erweitert zu \(\frac{9}{12}\) und \(\frac{2}{12}\). Die Subtraktion ergibt \(\frac{9-2}{12} = \frac{7}{12}\). 2. Für Teilaufgabe b) ist der Hauptnenner von 5 und 3 die Zahl 15. Die Brüche werden zu \(\frac{21}{15}\) und \(\frac{10}{15}\) erweitert. Das Ergebnis ist \(\frac{21-10}{15} = \frac{11}{15}\). 3. Für Teilaufgabe c) wird die ganze Zahl 2 als Bruch \(\frac{16}{8}\) geschrieben. Die Rechnung lautet \(\frac{16}{8} - \frac{5}{8} = \frac{11}{8}\).

a) \(\frac{7}{12}\) b) \(\frac{11}{15}\) c) \(\frac{11}{8}\) (oder \(1\frac{3}{8}\))

- Wandle am besten zuerst alle Bestandteile in Brüche um. - Suche nach einem gemeinsamen Nenner für 3, 5 und 20. - Überlege, welche der Zahlen sich nicht als endliche Dezimalzahl darstellen lässt.

1. Umwandlung aller Terme in Brüche: \(0{,}4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}\); \(15\,\% = \frac{15}{100} = \frac{3}{20}\). 2. Aufstellen der Summe: \(\frac{2}{5} + \frac{1}{3} - \frac{3}{20}\). 3. Hauptnenner finden: Der kleinste gemeinsame Nenner von 5, 3 und 20 ist 60. 4. Erweitern der Brüche: \(\frac{24}{60} + \frac{20}{60} - \frac{9}{60}\). 5. Berechnung: \(24 + 20 - 9 = 35\). Ergebnis: \(\frac{35}{60}\). 6. Kürzen: \(\frac{35}{60} = \frac{7}{12}\). 7. Problem bei Dezimalzahlen: Die Zahl \(\frac{1}{3}\) hat die unendliche periodische Dezimaldarstellung \(0{,}\overline{3}\). Mit endlichen Dezimalzahlen lässt sich daher kein exaktes Ergebnis ohne Rundung erzielen.

Das Ergebnis ist \(\frac{7}{12}\). Bei einer Rechnung ausschließlich mit endlichen Dezimalzahlen tritt das Problem auf, dass \(\frac{1}{3}\) nicht exakt dargestellt werden kann; eine endliche Näherung führt zu einer Rundungsabweichung.

- Was bedeutet es, Brüche zu „erweitern“? - Wie findest du eine Zahl, die in der Malreihe beider Nenner vorkommt? - Welche Rechenregel gilt für die Addition von Brüchen mit gleichem Nenner?

1. Bestimmung des kgV von 15 und 12: Primfaktorzerlegung \(15 = 3 \cdot 5\) und \(12 = 2^2 \cdot 3\). Das \(\operatorname{kgV}(15, 12) = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 = 60\). 2. Erweiterung der Brüche: \(\frac{7}{15} = \frac{7 \cdot 4}{15 \cdot 4} = \frac{28}{60}\) und \(\frac{5}{12} = \frac{5 \cdot 5}{12 \cdot 5} = \frac{25}{60}\). 3. Addition: \(\frac{28}{60} + \frac{25}{60} = \frac{53}{60}\). Da 53 eine Primzahl ist, lässt sich der Bruch nicht weiter kürzen.

a) \(\operatorname{kgV} = 60\) b) \(\frac{28}{60}\) und \(\frac{25}{60}\) c) \(\frac{53}{60}\)

- Wie gehst du mit gemischten Zahlen um, bevor du rechnest? - Denk an die Vorrangregeln: Was passiert mit dem Teil in der Klammer? - Können Ergebnisse bei der Subtraktion von Brüchen auch negativ sein? - Überlege am Ende, ob du das Ergebnis wieder in eine gemischte Zahl umwandeln kannst.

1. Umwandlung der gemischten Zahl: \(1\frac{3}{8} = \frac{11}{8}\). Verrechnung der Zähler: \(11 + 7 - 5 = 13\). Ergebnis \(\frac{13}{8} = 1\frac{5}{8}\). 2. Berechnung des Klammerausdrucks: \(\frac{7+12}{15} = \frac{19}{15}\). Subtraktion: \(\frac{4-19}{15} = -\frac{15}{15} = -1\). 3. Umwandlung der gemischten Zahl: \(2\frac{1}{12} = \frac{25}{12}\). Verrechnung der Zähler: \(25 - 5 - 11 = 9\). Ergebnis \(\frac{9}{12}\). Kürzen durch 3 ergibt \(\frac{3}{4}\).

a) \(1\frac{5}{8}\) b) \(-1\) c) \(\frac{3}{4}\)

- Wie viel ist \(12 \cdot 15\)? Kannst du das im Kopf oder brauchst du eine Nebenrechnung? - Suche die kleinste Zahl, die sowohl in der 12er- als auch in der 15er-Reihe vorkommt. - Vergleiche die Größe der Zahlen, mit denen du in Schritt a) und Schritt b) rechnen musstest.

1. Berechnung Weg a: Gemeinsamer Nenner ist \(12 \cdot 15 = 180\). Erweiterung der Brüche: \(\frac{5 \cdot 15}{180} + \frac{7 \cdot 12}{180} = \frac{75}{180} + \frac{84}{180} = \frac{159}{180}\). Kürzen durch 3 ergibt \(\frac{53}{60}\). 2. Berechnung Weg b: Bestimmung des \(\operatorname{kgV}(12, 15)\). Vielfache von 12: 12, 24, 36, 48, 60... Vielfache von 15: 15, 30, 45, 60. Das kgV ist 60. Erweiterung der Brüche: \(\frac{5 \cdot 5}{60} + \frac{7 \cdot 4}{60} = \frac{25}{60} + \frac{28}{60} = \frac{53}{60}\). 3. Vergleich: Weg b nutzt deutlich kleinere Zahlen beim Erweitern und Addieren. Ein anschließendes Kürzen ist bei Weg b nicht mehr nötig, da \(\frac{53}{60}\) bereits vollständig gekürzt ist.

Das Ergebnis lautet \(\frac{53}{60}\). Weg a) führt über \(\frac{159}{180}\) zum Ziel. Weg b) nutzt den Nenner 60. Vorteil des kgV: Man arbeitet mit kleineren Zahlen, was die Rechnung (besonders im Kopf) vereinfacht und das Fehlerrisiko senkt. Zudem muss das Ergebnis seltener aufwendig gekürzt werden.

- Kannst du die Brüche in der Klammer so erweitern, dass sie denselben Nenner haben? - Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn du eine größere Zahl von einer kleineren abziehst? - Wie gehst du vor, wenn du einen negativen Bruch und einen positiven Bruch addierst?

1. Bestimmung des Hauptnenners für die Brüche in der Klammer (kgV von \(8\) und \(6\) ist \(24\)): \(\frac{3 \cdot 3}{24} - \frac{5 \cdot 4}{24} = \frac{9}{24} - \frac{20}{24} = -\frac{11}{24}\). 2. Addition des äußeren Bruchs zum Zwischenergebnis, wobei \(\frac{11}{12}\) auf den Nenner \(24\) erweitert wird: \(-\frac{11}{24} + \frac{22}{24}\). 3. Zusammenfassen der Zähler: \(\frac{-11 + 22}{24} = \frac{11}{24}\).

\(\frac{11}{24}\)

- Welcher der Brüche ist größer als \(\frac{1}{2}\) und welcher ist kleiner? - Wie weit ist jeder der beiden Brüche jeweils von \(\frac{1}{2}\) entfernt? - Wenn du etwas hinzufügst, das kleiner ist als das, was du an anderer Stelle wegnimmst, ist das Gesamtergebnis dann größer oder kleiner als der Startwert?

1. Vergleich des ersten Summanden mit \(\frac{1}{2}\): \(\frac{21}{40} > \frac{20}{40}\), also \(\frac{21}{40} = \frac{1}{2} + \frac{1}{40}\). 2. Vergleich des zweiten Summanden mit \(\frac{1}{2}\): \(\frac{19}{42} < \frac{21}{42}\), also \(\frac{19}{42} = \frac{1}{2} - \frac{2}{42} = \frac{1}{2} - \frac{1}{21}\). 3. Vergleich der Abweichungen: Es muss geprüft werden, ob der "Überschuss" \(\frac{1}{40}\) größer oder kleiner als der "Mangel" \(\frac{1}{21}\) ist. 4. Da \(21 < 40\), ist \(\frac{1}{21} > \frac{1}{40}\). Der Mangel ist also größer als der Überschuss. 5. Schlussfolgerung: Die Summe ist kleiner als 1.

Die Summe ist kleiner als 1. Begründung: \(\frac{21}{40}\) ist um \(\frac{1}{40}\) größer als \(\frac{1}{2}\), während \(\frac{19}{42}\) um \(\frac{2}{42} = \frac{1}{21}\) kleiner als \(\frac{1}{2}\) ist. Da \(\frac{1}{21}\) größer ist als \(\frac{1}{40}\), überwiegt der Mangel, und die Summe bleibt unter 1.

- Berechne zuerst den Wert von A und den Wert von B getrennt voneinander. - Um Brüche zu vergleichen, ist es hilfreich, sie auf denselben Nenner zu bringen. - Achte beim Subtrahieren darauf, ob du ein Ganzes in den Bruchanteil übertragen musst.

1. Berechnung von \(A\): Hauptnenner von 3 und 2 ist 6. \(5\frac{2}{6} - 2\frac{3}{6}\). Umwandeln zu \(4\frac{8}{6} - 2\frac{3}{6} = 2\frac{5}{6}\). 2. Berechnung von \(B\): Hauptnenner von 4 und 6 ist 12. \(1\frac{9}{12} + 1\frac{2}{12} = 2\frac{11}{12}\). 3. Vergleich: Bringen beider Ergebnisse auf den Nenner 12. \(A = 2\frac{10}{12}\). Da \(2\frac{10}{12} < 2\frac{11}{12}\), gilt \(A < B\).

\(A < B\), da \(2\frac{5}{6} < 2\frac{11}{12}\) (bzw. \(2\frac{10}{12} < 2\frac{11}{12}\)).

- Kannst du die Aufgabe mithilfe einer Umkehraufgabe lösen? - Wenn \(A - B = C\), wie kannst du dann \(B\) berechnen? - Behandle das Kästchen wie eine unbekannte Zahl und versuche, sie allein auf eine Seite zu bringen. - Achte auch hier auf den gemeinsamen Nenner.

1. Teilaufgabe a): Umstellen der Gleichung zu \(\Box = 5\frac{1}{2} - 2\frac{3}{4}\). Hauptnenner \(4\) nutzen: \(5\frac{2}{4} - 2\frac{3}{4}\). Umwandeln eines Ganzen: \(4\frac{6}{4} - 2\frac{3}{4} = 2\frac{3}{4}\). 2. Teilaufgabe b): Umkehraufgabe bilden: \(\Box + 1\frac{1}{3} = 3 + 2\frac{1}{6} = 5\frac{1}{6}\). Dann \(\Box = 5\frac{1}{6} - 1\frac{1}{3}\). Hauptnenner \(6\) nutzen: \(5\frac{1}{6} - 1\frac{2}{6}\). Umwandeln eines Ganzen: \(4\frac{7}{6} - 1\frac{2}{6} = 3\frac{5}{6}\).

a) \(\Box = 2\frac{3}{4}\) b) \(\Box = 3\frac{5}{6}\)

- Wie viele Sechstel stecken in einer ganzen Zahl? - Was musst du tun, wenn der Bruchteil des Subtrahenden größer ist als der Bruchteil des Minuenden? - Probiere beide Wege aus und schaue, wo du dich eher verrechnen könntest.

1. Methode a: Umwandlung in unechte Brüche: \( 5\frac{1}{6} = \frac{31}{6} \) und \( 2\frac{5}{6} = \frac{17}{6} \). 2. Subtraktion der unechten Brüche: \( \frac{31}{6} - \frac{17}{6} = \frac{14}{6} \). 3. Kürzen und Umwandeln: \( \frac{14}{6} = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3} \). 4. Methode b: Umwandeln eines Ganzen: \( 5\frac{1}{6} = 4 + 1 + \frac{1}{6} = 4\frac{7}{6} \). 5. Getrennte Subtraktion: \( (4 - 2) + (\frac{7}{6} - \frac{5}{6}) = 2 + \frac{2}{6} = 2\frac{1}{3} \).

Das Ergebnis lautet auf beiden Wegen \( 2\frac{1}{3} \). (Die Einschätzung der Fehleranfälligkeit ist individuell, oft gilt der Weg über unechte Brüche als sicherer, aber rechenintensiver).

- Was passiert, wenn du den Bruch mit dem Minuszeichen auf die andere Seite der Gleichung bringst? - Kannst du die Brüche auf der rechten Seite zusammenfassen? - Wenn zwei Brüche gleich sind und die Zähler unterschiedlich, wie kannst du sie vergleichbar machen?

1. Umstellen der Gleichung nach dem unbekannten Bruch: \( \frac{5}{\square} = \frac{1}{12} + \frac{1}{4} \). 2. Erweitern von \( \frac{1}{4} \) auf den Nenner 12: \( \frac{1}{4} = \frac{3}{12} \). 3. Addition der Brüche auf der rechten Seite: \( \frac{1}{12} + \frac{3}{12} = \frac{4}{12} \). 4. Kürzen des Ergebnisses: \( \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \). 5. Gleichsetzen der Brüche: \( \frac{5}{\square} = \frac{1}{3} \). 6. Bestimmung des Nenners durch Erweitern des Bruchs \( \frac{1}{3} \) mit 5: \( \frac{1}{3} = \frac{5}{15} \), woraus \( \square = 15 \) folgt.

Das Kästchen muss die Zahl 15 enthalten.

- Überlege dir, wie viel jedem Bruch bis zu einem Ganzen fehlt. - Welche Zahl ist ein gemeinsames Vielfaches von 2, 3 und 4? - Erweitere alle Brüche so, dass sie denselben Nenner haben, bevor du rechnest.

1. Schätzung: \(\frac{3}{4}\approx 0{,}75\), \(\frac{2}{3}\approx 0{,}67\) und \(\frac{1}{2}=0{,}5\). Damit ist der Ausdruck ungefähr \(0{,}75+0{,}67-0{,}5=0{,}92\) und somit kleiner als \(1\). 2. Für die exakte Rechnung ist der Hauptnenner \(12\): \(\frac{3}{4}=\frac{9}{12}\), \(\frac{2}{3}=\frac{8}{12}\), \(\frac{1}{2}=\frac{6}{12}\). 3. \(\frac{9}{12}+\frac{8}{12}-\frac{6}{12}=\frac{11}{12}\).

a) Das Ergebnis ist schätzungsweise \(0{,}92\) und damit kleiner als \(1\). b) Der exakte Wert ist \(\frac{11}{12}\).

- Stell dir die Brüche als Stücke einer Pizza vor. Sind Drittel-Stücke und Fünftel-Stücke gleich groß? - Was gibt der Nenner eines Bruches eigentlich an? - Wie schaffst du es, dass beide Brüche die gleiche „Art“ von Teilen beschreiben?

1. Begründung: Der Nenner gibt an, in wie viele gleich große Teile ein Ganzes geteilt wurde. Da Drittel und Fünftel unterschiedlich groß sind, kann man sie nicht direkt zusammenzählen, ohne sie vorher in gleich große Untereinheiten zu zerlegen. 2. Suche nach einem gemeinsamen Nenner für \(3\) und \(5\): Das kleinste gemeinsame Vielfache ist \(15\). 3. Erweitern: \(\frac{2}{3} = \frac{10}{15}\) und \(\frac{1}{5} = \frac{3}{15}\). 4. Addition der Zähler: \(10 + 3 = 13\). 5. Das Ergebnis ist \(\frac{13}{15}\).

Man muss sie gleichnamig machen, weil man nur Mengen gleicher Einheiten (gleich große Teile) addieren kann. Der Hauptnenner ist \(15\). Rechnung: \(\frac{10}{15} + \frac{3}{15} = \frac{13}{15}\).

- Schau dir die Ganzen und die Brüche getrennt an. - Überschlage das Ergebnis: Ist es größer oder kleiner als eine bestimmte ganze Zahl? - Erinnere dich an die Regel für das Addieren von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern.

1. Schätzung: \(2\frac{3}{4}\) ist fast \(3\). Wenn man \(1\frac{1}{2}\) dazu addiert, muss das Ergebnis größer als \(4\) sein. Das Ergebnis \(3\frac{2}{3}\) ist jedoch kleiner als \(4\). 2. Fehleranalyse: Die ganzen Zahlen wurden addiert (\(2+1=3\)), aber bei den Brüchen wurden fälschlicherweise Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner addiert (\(\frac{3+1}{4+2} = \frac{4}{6}\)). 3. Korrekte Rechnung der Brüche: Hauptnenner ist \(4\). \(\frac{3}{4} + \frac{2}{4} = \frac{5}{4}\). 4. Gesamtergebnis: \(3 + \frac{5}{4} = 3 + 1\frac{1}{4} = 4\frac{1}{4}\).

Das Ergebnis ist falsch, da \(2 + 1 = 3\) ist und die Brüche \(\frac{3}{4} + \frac{1}{2}\) zusammen mehr als \(1\) ergeben, das Ergebnis also größer als \(4\) sein muss. Der Fehler liegt im falschen Addieren der Brüche (\(\text{Zähler} + \text{Zähler},\; \text{Nenner} + \text{Nenner}\)). Richtig ist \(4\frac{1}{4}\).

- Was passiert mit den Rechenzeichen, wenn man eine Klammer auflöst, vor der ein Minus steht? - Gibt es einen Weg, das Ergebnis zu berechnen, ohne die Klammer vorher aufzulösen? - Überprüfe jeden einzelnen Schritt der Gleichungskette.

1. Prüfung des Rechenwegs: Der Übergang von der Klammerform zur klammerfreien Form ist fehlerhaft. Beim Auflösen einer Minusklammer müssen sich alle Vorzeichen innerhalb der Klammer umkehren. 2. Korrektur des Terms: \(\frac{4}{5} - \frac{1}{2} + \frac{1}{10}\). 3. Alternativer (einfacherer) Weg: Zuerst den Wert in der Klammer berechnen. \(\frac{1}{2} - \frac{1}{10} = \frac{5}{10} - \frac{1}{10} = \frac{4}{10}\). 4. Endberechnung: \(\frac{4}{5} - \frac{4}{10} = \frac{8}{10} - \frac{4}{10} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}\).

Der Rechenweg ist falsch, da das Minuszeichen vor der Klammer nicht korrekt auf die Terme in der Klammer angewendet wurde (aus \(-\frac{1}{10}\) hätte \(+\frac{1}{10}\) werden müssen). Das korrekte Ergebnis ist \(\frac{4}{10}\) bzw. \(\frac{2}{5}\).

- Erinnere dich an die Regel „Klammer zuerst“. - Wie gehst du vor, wenn bei der Addition in der Klammer ein unechter Bruch entsteht? - Kannst du Brüche kürzen, um dir die Rechnung zu erleichtern? - Was passiert, wenn die Bruchteile bei der Subtraktion identisch sind?

1. Bestimmung des Hauptnenners für die Brüche in der Klammer: Der Hauptnenner von 6 und 2 ist 6. 2. Erweitern des zweiten Bruchs in der Klammer: \(3 \frac{1}{2} = 3 \frac{3}{6}\). 3. Addition in der Klammer: \(2 \frac{5}{6} + 3 \frac{3}{6} = 5 \frac{8}{6}\). 4. Umwandeln des unechten Bruchs in eine gemischte Zahl und Kürzen: \(5 \frac{8}{6} = 6 \frac{2}{6} = 6 \frac{1}{3}\). 5. Finale Subtraktion: \(9 \frac{1}{3} - 6 \frac{1}{3} = 3\).

\(3\)

- Überlege dir zuerst, wie du die Aufgabe umstellen kannst, um die fehlende Zahl zu berechnen. - Welche Zahl ist der kleinste gemeinsame Nenner für 4 und 6? - Wie verändern sich die Zähler, wenn du die Nenner angleichst?

1. Umstellen der Gleichung zur Berechnung des Platzhalters: \(\square = \frac{3}{4} - \frac{1}{6}\). 2. Bestimmung des Hauptnenners von 4 und 6: \(\operatorname{kgV}(4, 6) = 12\). 3. Erweitern der Brüche auf den Nenner 12: \(\frac{3}{4} = \frac{9}{12}\) und \(\frac{1}{6} = \frac{2}{12}\). 4. Subtraktion der Zähler: \(\frac{9}{12} - \frac{2}{12} = \frac{7}{12}\).

\(\frac{7}{12}\)

- Was ist das kleinste gemeinsame Vielfache der drei Nenner? - Denk daran, alle Brüche auf denselben Nenner zu bringen, bevor du rechnest. - Kann man das Endergebnis durch eine Zahl teilen, um es zu verkleinern?

1. Bestimmung des Hauptnenners für die Zahlen 5, 2 und 10: Der kleinste gemeinsame Nenner ist \(10\). 2. Erweitern der Brüche auf den Nenner 10: \(\frac{2}{5} = \frac{4}{10}\) und \(\frac{1}{2} = \frac{5}{10}\). 3. Zusammenfassen der Zähler: \(4 + 5 - 3 = 6\). 4. Der resultierende Bruch ist \(\frac{6}{10}\). 5. Kürzen durch den gemeinsamen Teiler 2 ergibt \(\frac{3}{5}\).

\(\frac{3}{5}\)

- Berechne zuerst das Ergebnis jeder Additionsaufgabe. - Überlege dir, wie viel bei jedem Ergebnis noch bis zum Ganzen (\( 1 \)) fehlt. - Vergleiche diese „Reste“. Je kleiner der Rest, desto näher liegt das Ergebnis an \( 1 \).

1. Berechnung von A: \( \frac{4}{10} + \frac{5}{10} = \frac{9}{10} \). Der Abstand zu \( 1 \) ist \( 1 - \frac{9}{10} = \frac{1}{10} \). 2. Berechnung von B: \( \frac{6}{8} + \frac{1}{8} = \frac{7}{8} \). Der Abstand zu \( 1 \) ist \( 1 - \frac{7}{8} = \frac{1}{8} \). 3. Vergleich der Abstände: \( \frac{1}{10} = 0{,}1 \) und \( \frac{1}{8} = 0{,}125 \). Da \( \frac{1}{10} < \frac{1}{8} \), liegt Ausdruck A näher an \( 1 \).

Ausdruck A liegt näher an \( 1 \). Der Abstand von A zu \( 1 \) beträgt \( \frac{1}{10} \), während der Abstand von B zu \( 1 \) mit \( \frac{1}{8} \) größer ist.

- Erinnere dich an die Regel: Das Subtrahieren einer negativen Zahl ist dasselbe wie das Addieren der Gegenzahl. - Um Brüche mit unterschiedlichen Nennern zu addieren, musst du sie zuerst gleichnamig machen. - Du kannst Dezimalzahlen oft einfacher in Brüche umwandeln, um mit anderen Brüchen zu rechnen. - Achte darauf, ob das Ergebnis als echter Bruch, unechter Bruch oder gemischte Zahl angegeben werden soll.

1. Auflösen der Klammer und Hauptnenner 10 finden: \( \frac{4}{5} - \frac{1}{2} = \frac{8}{10} - \frac{5}{10} = \frac{3}{10} \). 2. Hauptnenner 12 finden und beide negativen Werte addieren: \( -\frac{9}{12} - \frac{10}{12} = -\frac{19}{12} = -1\frac{7}{12} \). 3. Umwandlung in Brüche oder Dezimalzahlen: \( -1{,}5 + 0{,}25 = -1{,}25 \) oder \( -\frac{3}{2} + \frac{1}{4} = -\frac{6}{4} + \frac{1}{4} = -\frac{5}{4} \). 4. Das Subtrahieren einer negativen Zahl entspricht dem Addieren ihrer Gegenzahl; anschließend wird der Hauptnenner 9 verwendet: \( \frac{7}{9} + \frac{6}{9} = \frac{13}{9} = 1\frac{4}{9} \).

a) \( \frac{3}{10} \) b) \( -\frac{19}{12} \) oder \( -1\frac{7}{12} \) c) \( -1{,}25 \) oder \( -\frac{5}{4} \) d) \( \frac{13}{9} \) oder \( 1\frac{4}{9} \)

- Berechne zuerst beide Ergebnisse einzeln. - Um Brüche zu vergleichen, kannst du sie entweder auf denselben Nenner bringen oder in Dezimalzahlen umwandeln.

1. Berechnung von \(A\): Der Hauptnenner von 2 und 4 ist 4. Erweiterung ergibt \(\frac{10}{4} - \frac{3}{4} = \frac{7}{4}\). Als Dezimalzahl ausgedrückt ist dies \(1{,}75\). 2. Berechnung von \(B\): Der Hauptnenner von 6 und 3 ist 6. Erweiterung ergibt \(\frac{11}{6} - \frac{2}{6} = \frac{9}{6}\). Gekürzt entspricht dies \(\frac{3}{2}\), was als Dezimalzahl \(1{,}5\) ist. 3. Vergleich: Da \(\frac{7}{4} = \frac{21}{12}\) und \(\frac{3}{2} = \frac{18}{12}\) (oder \(1{,}75 > 1{,}5\)), ist das Ergebnis von Rechnung \(A\) größer.

Das Ergebnis von Rechnung \(A\) ist größer (\(\frac{7}{4} > \frac{3}{2}\)).

- Erinnere dich daran, dass das Subtrahieren einer Zahl dasselbe ist wie das Addieren ihrer Gegenzahl. - Musst du bei allen Aufgaben zuerst einen gemeinsamen Nenner suchen oder sind manche Nenner schon gleich? - Wie kannst du eine ganze Zahl so umschreiben, dass sie zu den Brüchen in der Aufgabe passt? - Überlege dir bei gemischten Zahlen, ob es einfacher ist, sie zuerst in einen unechten Bruch umzuwandeln.

1. Auflösen der Klammern und Umwandeln der Vorzeichen: \(-\frac{7}{8} - \frac{1}{8} + 3\). Zusammenfassen der Brüche: \(-1 + 3 = 2\). 2. Hauptnenner finden (\(10\)) und Klammern auflösen: \(\frac{4}{10} + \frac{5}{10} - \frac{9}{10}\). Berechnung: \(\frac{9}{10} - \frac{9}{10} = 0\). 3. Vereinfachen: \(-2\frac{1}{4} + \frac{3}{4} - 1\). Schrittweise Berechnung: \(-1\frac{2}{4} - 1 = -2\frac{2}{4}\). Kürzen des Ergebnisses führt zu \(-2\frac{1}{2}\).

1) \(2\); 2) \(0\); 3) \(-2\frac{1}{2}\)

- Wandle zuerst alle Summanden in die Ziel-Einheit um. - Achte beim Addieren von Brüchen darauf, dass sie den gleichen Nenner haben. - Vergiss nicht, das Ergebnis am Ende so weit wie möglich zu kürzen.

1. Berechnung in Metern: \(25 \text{ cm} = \frac{25}{100} \text{ m} = \frac{1}{4} \text{ m}\). Summe: \(\frac{1}{4} \text{ m} + \frac{1}{2} \text{ m} = \frac{1}{4} \text{ m} + \frac{2}{4} \text{ m} = \frac{3}{4} \text{ m}\). 2. Berechnung in Kilogramm: \(150 \text{ g} = \frac{150}{1000} \text{ kg} = \frac{15}{100} \text{ kg} = \frac{3}{20} \text{ kg}\). Summe: \(\frac{3}{20} \text{ kg} + \frac{3}{4} \text{ kg} = \frac{3}{20} \text{ kg} + \frac{15}{20} \text{ kg} = \frac{18}{20} \text{ kg} = \frac{9}{10} \text{ kg}\). 3. Berechnung in Stunden: \(10 \text{ min} = \frac{10}{60} \text{ h} = \frac{1}{6} \text{ h}\). Summe: \(\frac{1}{6} \text{ h} + \frac{1}{6} \text{ h} = \frac{2}{6} \text{ h} = \frac{1}{3} \text{ h}\).

a) \(\frac{3}{4} \text{ m}\) b) \(\frac{9}{10} \text{ kg}\) c) \(\frac{1}{3} \text{ h}\)

- Könnte es helfen, alle Brüche in der Gleichung auf denselben Nenner zu bringen? - Wenn die Nenner links und rechts vom Gleichheitszeichen gleich sind, was muss dann für die Zähler gelten? - Behandle die Zähler wie eine kleine Rätselaufgabe für sich.

1. Bringen der rechten Seite auf den Nenner 18: \(\frac{2}{3} = \frac{12}{18}\). Vergleich der Zähler: \(x + 5 = 12 \Rightarrow x = 7\). 2. Bringen der rechten Seite auf den Nenner 30: \(\frac{1}{6} = \frac{5}{30}\). Vergleich der Zähler: \(17 - x = 5 \Rightarrow x = 12\). 3. Darstellung der 1 als Bruch: \(1 = \frac{42}{42}\). Vergleich der Zähler: \(25 + x - 11 = 42 \Rightarrow 14 + x = 42 \Rightarrow x = 28\).

a) \(x = 7\) b) \(x = 12\) c) \(x = 28\)

- Gibt es eine Zahl, die in der 2er-, 3er- und 4er-Reihe vorkommt und kleiner als 24 ist? - Überlege, wie du die Zähler anpassen musst, wenn du 12 als Nenner wählst. - Warum ist es im Alltag oft einfacher, mit kleineren Zahlen zu rechnen?

1. Bestimmung eines kleineren Nenners: Suche nach einer Zahl, die durch 2, 3 und 4 teilbar ist und kleiner als 24 ist. Die Zahl 12 erfüllt diese Bedingung (\(2 \cdot 6 = 12\), \(3 \cdot 4 = 12\), \(4 \cdot 3 = 12\)). 2. Durchführung der Rechnung mit Nenner 12: \(\frac{1}{2} = \frac{6}{12}\), \(\frac{1}{3} = \frac{4}{12}\), \(\frac{1}{4} = \frac{3}{12}\). 3. Addition der Zähler: \(\frac{6 + 4 + 3}{12} = \frac{13}{12}\). 4. Begründung: Der Nenner 12 ist das kgV. Er führt zu kleineren Zählern beim Erweitern, was die Addition im Kopf erleichtert und die Wahrscheinlichkeit für Rechenfehler verringert.

Der kleinste gemeinsame Nenner (kgV) ist 12. Rechnung: \(\frac{6}{12} + \frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{13}{12}\). Man sollte den kleineren Nenner bevorzugen, da die Erweiterungsfaktoren kleiner sind, die Addition der Zähler einfacher fällt und ein eventuell nötiges Kürzen mit kleineren Zahlen erfolgt.

- Bei mehreren Klammern arbeitet man sich von innen nach außen vor. Welcher Teil steht ganz innen? - Das Subtrahieren einer negativen Zahl entspricht dem Addieren ihrer Gegenzahl. - Suche für jeden Schritt den passenden Hauptnenner.

1. Berechnung der inneren Klammer: Hauptnenner von \(10\) und \(4\) ist \(20\). \(\frac{6}{20} + \frac{5}{20} = \frac{11}{20}\). 2. Berechnung der äußeren Klammer: \(\frac{1}{2} - \frac{11}{20} = \frac{10}{20} - \frac{11}{20} = -\frac{1}{20}\). 3. Finale Subtraktion unter Berücksichtigung der Vorzeichenregeln: \(\frac{2}{5} - \left(-\frac{1}{20}\right) = \frac{2}{5} + \frac{1}{20}\). 4. Erweitern auf den Nenner \(20\): \(\frac{8}{20} + \frac{1}{20} = \frac{9}{20}\).

\(\frac{9}{20}\)

- Bringe \(\frac{26}{53}\) und \(\frac{1}{2}\) auf einen gemeinsamen Nenner, um ihren Abstand exakt zu bestimmen. - Um wie viel überschreitet \(\frac{25}{49}\) den Wert \(\frac{1}{2}\)? - Vergleiche die beiden Differenzen: Welche ist größer?

1. Bestimmung der Abweichung von \(\frac{25}{49}\) zu \(\frac{1}{2}\): \(\frac{25}{49} - \frac{1}{2} = \frac{50}{98} - \frac{49}{98} = \frac{1}{98}\). Dieser Summand ist um \(\frac{1}{98}\) größer als \(\frac{1}{2}\). 2. Bestimmung der Abweichung von \(\frac{26}{53}\) zu \(\frac{1}{2}\): \(\frac{1}{2} - \frac{26}{53} = \frac{53}{106} - \frac{52}{106} = \frac{1}{106}\). Dieser Summand ist um \(\frac{1}{106}\) kleiner als \(\frac{1}{2}\). 3. Vergleich der Beträge der Abweichungen: \(\frac{1}{98} > \frac{1}{106}\), da der Nenner kleiner ist. 4. Da der positive Abstand zur \(\frac{1}{2}\) (\(\frac{1}{98}\)) größer ist als der negative Abstand (\(\frac{1}{106}\)), ist die Gesamtsumme größer als \(1\).

Es gilt \(S > 1\). Erklärung: \(\frac{25}{49}\) ist um \(\frac{1}{98}\) größer als \(\frac{1}{2}\). \(\frac{26}{53}\) ist um \(\frac{1}{106}\) kleiner als \(\frac{1}{2}\). Da \(\frac{1}{98} > \frac{1}{106}\), ist der Wert, der über \(\frac{1}{2}\) hinausgeht, größer als der Wert, der zur \(\frac{1}{2}\) fehlt. Somit ist die Summe größer als 1.

- Denk an die Regel „Klammer zuerst“. - Gibt es Zahlen im Term, die besonders gut zusammenpassen? - Du kannst alle Werte entweder als Brüche oder als Dezimalzahlen schreiben, um besser rechnen zu können.

1. Berechnung der Klammer: Hauptnenner ist 4. \(2\frac{2}{4} + 1\frac{3}{4} = 3\frac{5}{4} = 4\frac{1}{4}\). 2. Umwandeln der Dezimalzahl: \(0{,}8 = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}\). 3. Zusammenfassen gleicher Nenner (optional, aber effizient): \(7\frac{1}{5} + \frac{4}{5} = 7\frac{5}{5} = 8\). 4. Endberechnung: \(8 - 4\frac{1}{4} = 7\frac{4}{4} - 4\frac{1}{4} = 3\frac{3}{4}\). Alternativer Weg: Schrittweise von links nach rechts nach Auflösen der Klammer: \(7\frac{4}{20} - 4\frac{5}{20} + \frac{16}{20} = 2\frac{19}{20} + \frac{16}{20} = 3\frac{15}{20} = 3\frac{3}{4}\).

\(3\frac{3}{4}\)

- Schau dir die Reihenfolge der Brüche in der Klammer des Schülers genau an. Stimmt sie mit der Originalaufgabe überein? - Was passiert, wenn man beim Subtrahieren einfach die größere von der kleineren Zahl abzieht, obwohl es andersherum da steht? - Wie würdest du vorgehen, wenn der erste Bruch kleiner ist als der zweite?

1. Fehleranalyse: Der Schüler hat die Reihenfolge der Brüche vertauscht (Subtrahend minus Minuend), um eine negative Differenz zu vermeiden, was mathematisch nicht zulässig ist. Richtig wäre \(\frac{1}{4} - \frac{2}{3}\). 2. Korrekte Berechnung: Hauptnenner \(12\) festlegen: \(6\frac{3}{12} - 2\frac{8}{12}\). 3. Da \(\frac{3}{12} < \frac{8}{12}\), ein Ganzes leihen: \(5\frac{15}{12} - 2\frac{8}{12}\). 4. Ergebnis: \(3\frac{7}{12}\).

Der Fehler liegt im Vertauschen der Subtraktionsreihenfolge der Brüche (\(\frac{2}{3} - \frac{1}{4}\) statt \(\frac{1}{4} - \frac{2}{3}\)). Das richtige Ergebnis ist \(3\frac{7}{12}\).

- Schau dir die Vorzeichen in der Klammer und beim Bruch genau an. - Was ergibt \( 2 - 5 \)? - Wie wirkt sich ein negatives Ergebnis im Bruch auf die ganze Zahl davor aus?

1. Fehleridentifikation: Der Fehler liegt im letzten Schritt beim Übergang von \( (8-3) + \frac{2-5}{8} \) zu \( 5\frac{3}{8} \). 2. Fehleranalyse: Die Rechnung \( \frac{2-5}{8} \) ergibt \( -\frac{3}{8} \). Der Schüler hat das Minuszeichen ignoriert oder fälschlicherweise \( 5-2 \) gerechnet. Korrekt müsste dort \( 5 - \frac{3}{8} \) stehen. 3. Korrekte Berechnung: \( 5 - \frac{3}{8} = 4\frac{8}{8} - \frac{3}{8} = 4\frac{5}{8} \).

Der Fehler geschah im letzten Schritt: \( \frac{2-5}{8} \) ist \( -\frac{3}{8} \), nicht \( +\frac{3}{8} \). Das korrekte Ergebnis ist \( 4\frac{5}{8} \).

- Bring zuerst alle Teile der Gleichung auf den Nenner 10. - Kannst du die Gleichung so vereinfachen, dass nur noch die Zahlen aus den Kästchen darin vorkommen? - Probiere systematisch kleine Zahlen für eines der Kästchen aus. - Gibt es vielleicht mehrere Kombinationen, die in der Summe zum Ziel führen?

1. Umwandlung der Dezimalzahl in einen Bruch: \( 0{,}7 = \frac{7}{10} \). 2. Erweitern des zweiten Bruchs auf den Nenner 10: \( \frac{y}{5} = \frac{2y}{10} \). 3. Aufstellen der Gleichung für die Zähler: \( x + 2y = 7 \), wobei \( x \) und \( y \) die Werte in den Kästchen sind. 4. Finden ganzzahliger Lösungen für \( y \in \{1, 2, 3\} \): - Wenn \( y = 1 \), dann \( x + 2 = 7 \implies x = 5 \). - Wenn \( y = 2 \), dann \( x + 4 = 7 \implies x = 3 \). - Wenn \( y = 3 \), dann \( x + 6 = 7 \implies x = 1 \). 5. Proben: - \(x=5, y=1\): \(\frac{5}{10} + \frac{1}{5} = \frac{7}{10} = 0{,}7\). - \(x=3, y=2\): \(\frac{3}{10} + \frac{2}{5} = \frac{7}{10} = 0{,}7\). - \(x=1, y=3\): \(\frac{1}{10} + \frac{3}{5} = \frac{7}{10} = 0{,}7\).

Mögliche Lösungen (Kästchen 1, Kästchen 2) sind: (5, 1), (3, 2) oder (1, 3).

- Könntest du alle Brüche so umschreiben, dass sie denselben Nenner haben? - Was müsste im Zähler des zweiten Bruches stehen, damit die Summe der Zähler 11 ergibt? - Achte darauf, dass beim Erweitern von \(\frac{\square}{4}\) auf den Nenner 12 auch der Zähler mit derselben Zahl multipliziert werden muss.

1. Alle Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen: Der Hauptnenner für \(6, 4\) und \(12\) ist \(12\). 2. Erweitern der bekannten Brüche: \(\frac{1}{6} = \frac{2}{12}\) und \(\frac{\square}{4} = \frac{\square \cdot 3}{12}\). 3. Aufstellen der Zählergleichung: \(2 + (\square \cdot 3) = 11\). 4. Lösen der Gleichung nach dem Platzhalter: Subtraktion von \(2\) ergibt \(\square \cdot 3 = 9\). Division durch \(3\) ergibt \(\square = 3\). 5. Überprüfung: \(\frac{1}{6} + \frac{3}{4} = \frac{2}{12} + \frac{9}{12} = \frac{11}{12}\).

Die gesuchte Zahl ist \(3\).

- Hier gibt es mehrere Schritte. Welchen Teil rechnest du zuerst? - Wie subtrahierst du eine gemischte Zahl von einer ganzen Zahl wie 10? Hilft es, die 10 als \(9 \frac{12}{12}\) zu schreiben? - Vergiss nicht, am Ende zu prüfen, ob du den Bruch noch kürzen kannst. - Achte auf die Reihenfolge der Subtraktionen nach dem Auflösen der Klammer.

1. Berechnung der Klammer durch Finden des Hauptnenners 12: \(3 \frac{3}{12} + 2 \frac{10}{12} = 5 \frac{13}{12}\). 2. Umwandlung in eine gemischte Zahl: \(5 \frac{13}{12} = 6 \frac{1}{12}\). 3. Subtraktion der Klammer von der ganzen Zahl 10: \(10 - 6 \frac{1}{12} = 9 \frac{12}{12} - 6 \frac{1}{12} = 3 \frac{11}{12}\). 4. Subtraktion des letzten Terms: \(3 \frac{11}{12} - 1 \frac{1}{12} = 2 \frac{10}{12}\). 5. Kürzen des Ergebnisses: \(2 \frac{10}{12} = 2 \frac{5}{6}\).

\(2 \frac{5}{6}\)

- Wie kannst du eine gemischte Zahl wie \(2\frac{1}{4}\) umschreiben, um besser mit ihr rechnen zu können? - Suche den Hauptnenner für alle drei Brüche gleichzeitig. - Du kannst die Subtraktionen nacheinander von links nach rechts durchführen. - Überlege am Ende, ob das Ergebnis größer als 1 ist.

1. Umwandlung der gemischten Zahl in einen unechten Bruch: \(2\frac{1}{4} = \frac{9}{4}\). 2. Bestimmung des Hauptnenners für die Nenner 4, 6 und 8: \(\operatorname{kgV}(4, 6, 8) = 24\). 3. Erweitern der Brüche auf den Hauptnenner: \(\frac{9}{4} = \frac{54}{24}\), \(\frac{5}{6} = \frac{20}{24}\) und \(\frac{3}{8} = \frac{9}{24}\). 4. Schrittweise Subtraktion der Zähler: \(\frac{54}{24} - \frac{20}{24} - \frac{9}{24} = \frac{34}{24} - \frac{9}{24} = \frac{25}{24}\). 5. Umwandlung des Ergebnisses in eine gemischte Zahl: \(\frac{25}{24} = 1\frac{1}{24}\).

\(1\frac{1}{24}\)

- Wie kannst du die gemischte Zahl am besten in die Rechnung einbeziehen? - Welche Zahl ist durch 2, 3 und 4 teilbar? - Vergiss nicht, am Ende zu prüfen, ob das Ergebnis als gemischte Zahl verlangt wurde.

1. Umwandlung der gemischten Zahl in einen unechten Bruch: \(2\frac{1}{2} = \frac{5}{2}\). 2. Bestimmung des Hauptnenners für 2, 3 und 4: Das kleinste gemeinsame Vielfache ist \(12\). 3. Erweitern der Brüche auf den Nenner 12: \(\frac{5}{2} = \frac{30}{12}\), \(\frac{2}{3} = \frac{8}{12}\) und \(\frac{3}{4} = \frac{9}{12}\). 4. Subtraktion der Zähler: \(30 - 8 - 9 = 13\). 5. Der resultierende Bruch ist \(\frac{13}{12}\). 6. Umwandlung in eine gemischte Zahl: \(\frac{13}{12} = 1\frac{1}{12}\).

\(1\frac{1}{12}\)

- Stelle dir die Lücke wie eine Variable \( x \) vor. - Wie würdest du vorgehen, wenn dort nur einfache positive Zahlen stünden? Nutze die Umkehroperationen. - Achte besonders bei Teilaufgabe c) auf das Minuszeichen vor der Lücke. - Es hilft oft, alle Zahlen zuerst auf den gleichen Nenner zu bringen, bevor man die Lücke bestimmt.

1. Umstellung der Gleichung: \( x = -\frac{1}{6} - \frac{2}{3} \). Hauptnenner 6: \( -\frac{1}{6} - \frac{4}{6} = -\frac{5}{6} \). 2. Umstellung der Gleichung: \( x = -1 + \frac{3}{5} \). Umwandlung der Ganzzahl: \( -\frac{5}{5} + \frac{3}{5} = -\frac{2}{5} \). 3. Umstellung der Gleichung: \( x = -\frac{1}{2} - \frac{1}{8} \). Hauptnenner 8: \( -\frac{4}{8} - \frac{1}{8} = -\frac{5}{8} \).

a) \( -\frac{5}{6} \) b) \( -\frac{2}{5} \) c) \( -\frac{5}{8} \)

- Überlege dir bei Teilaufgabe a): Welche Zahl muss ich von \(\frac{8}{3}\) abziehen, um \(\frac{5}{4}\) zu erhalten? - Kannst du eine Umkehraufgabe bilden, um \(x\) zu isolieren? - Achte darauf, das Endergebnis wenn möglich zu kürzen.

1. In Teilaufgabe a) wird nach dem Subtrahenten gesucht. Die Rechnung lautet \(x = \frac{8}{3} - \frac{5}{4}\). Der Hauptnenner von 3 und 4 ist 12. Erweiterung ergibt \(\frac{32}{12} - \frac{15}{12} = \frac{17}{12}\). 2. In Teilaufgabe b) wird nach dem Minuenden gesucht. Die Umkehroperation ist Addition: \(x = \frac{7}{10} + \frac{1}{2}\). Der Hauptnenner ist 10. Erweiterung ergibt \(\frac{7}{10} + \frac{5}{10} = \frac{12}{10}\). Gekürzt ergibt dies \(\frac{6}{5}\).

a) \(x = \frac{17}{12}\) b) \(x = \frac{6}{5}\) (oder \(1\frac{1}{5}\))