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- Wie multipliziert man eine ganze Zahl mit einem Bruch? - Kannst du den Zähler und den Nenner durch die gleiche Zahl teilen? - Achte bei Teilaufgabe c) besonders auf das Vorzeichen. - Schau dir bei d) an, ob du den Bruch vielleicht schon vor dem Rechnen vereinfachen kannst.

1. Multiplikation der ganzen Zahl mit dem Zähler: \(4 \cdot 3 = 12\), Bruch ist \(\frac{12}{8}\). Kürzen durch 4 ergibt \(\frac{3}{2}\). 2. Multiplikation: \(5 \cdot 7 = 35\), Bruch ist \(\frac{35}{10}\). Kürzen durch 5 ergibt \(\frac{7}{2}\). 3. Multiplikation unter Beachtung des Vorzeichens: \(-6 \cdot 1 = -6\), Bruch ist \(\frac{-6}{3}\). Division ergibt \(-2\). 4. Multiplikation: \(11 \cdot 2 = 22\), Bruch ist \(\frac{22}{22}\). Division ergibt \(1\).

a) \(\frac{3}{2}\) b) \(\frac{7}{2}\) c) \(-2\) d) \(1\)

- Kannst du die Dezimalzahl in einen Bruch umwandeln? - Hilft es dir, bereits vor dem Ausmultiplizieren im Kopf zu kürzen? - Welches Vorzeichen hat das Ergebnis, wenn eine positive mit einer negativen Zahl multipliziert wird?

1. Multiplikation der Zähler und Nenner sowie anschließendes Kürzen bei a): \(\frac{3 \cdot 2}{8 \cdot 3} = \frac{6}{24} = \frac{1}{4}\). 2. Umwandlung der Dezimalzahl in einen Bruch bei b): \(1{,}2 = \frac{12}{10} = \frac{6}{5}\). Multiplikation des Bruchs mit seinem Kehrwert: \(\frac{6}{5} \cdot \frac{5}{6} = 1\). 3. Multiplikation unter Beachtung des negativen Vorzeichens bei c): \(\frac{7 \cdot (-5)}{10 \cdot 14}\). Durch Kürzen von 7 gegen 14 und 5 gegen 10 erhält man \(-\frac{1 \cdot 1}{2 \cdot 2} = -\frac{1}{4}\).

a) \(\frac{1}{4}\) b) \(1\) c) \(-\frac{1}{4}\)

- Schreibe die ganze Zahl bei Bedarf als Bruch. - Kannst du die ganze Zahl und den Nenner schon vor dem Multiplizieren kürzen?

1. a) \(\frac{5}{6}\cdot 18=5\cdot 3=15\). 2. b) \(24\cdot\frac{3}{8}=3\cdot 3=9\). 3. c) \(\frac{2}{7}\cdot 35=2\cdot 5=10\).

a) \(15\) b) \(9\) c) \(10\)

- Erinnere dich daran, wie man eine ganze Zahl als Bruch schreiben kann. - Was passiert, wenn du die Multiplikation Schritt für Schritt ausführst? - Gibt es einen Unterschied in der Reihenfolge der Rechenoperationen?

1. Einsetzen der Werte in Term \(A\): \(\frac{5}{6} \cdot 3 = \frac{15}{6} = 2{,}5\). 2. Einsetzen der Werte in Term \(B\): \(\frac{5 \cdot 3}{6} = \frac{15}{6} = 2{,}5\). 3. Vergleich der Ergebnisse: Beide Terme liefern das identische Ergebnis \(2{,}5\). 4. Schlussfolgerung: Bei der Multiplikation eines Bruchs mit einer ganzen Zahl kann man entweder den gesamten Bruch mit der Zahl multiplizieren oder den Zähler mit der Zahl multiplizieren.

a) Beide Terme ergeben \(2{,}5\) (oder \(\frac{5}{2}\)). b) Die Ergebnisse sind identisch. Es ist egal, ob man zuerst den Bruch bildet und anschließend multipliziert oder den Zähler direkt mit der ganzen Zahl multipliziert.

- Kannst du die ganze Zahl und den Nenner des Bruchs durch einen gemeinsamen Teiler kürzen, bevor du rechnest? - Das Rechnen mit kleineren Zahlen macht es oft einfacher. - Gibt es Aufgaben, die trotz unterschiedlicher Zahlen das gleiche Ergebnis haben?

1. Kürzen von 15 und 25 durch 5 ergibt \(3 \cdot \frac{4}{5}\). Resultat: \(\frac{12}{5}\). 2. Kürzen von 24 und 16 durch 8 ergibt \(3 \cdot \frac{5}{2}\). Resultat: \(\frac{15}{2}\). 3. Kürzen von 18 und 12 durch 6 ergibt \(-3 \cdot \frac{7}{2}\). Resultat: \(-\frac{21}{2}\). 4. Kürzen von 35 und 14 durch 7 ergibt \(5 \cdot \frac{3}{2}\). Resultat: \(\frac{15}{2}\).

a) \(\frac{12}{5}\) b) \(\frac{15}{2}\) c) \(-\frac{21}{2}\) d) \(\frac{15}{2}\)

- Wie multipliziert man einen Bruch mit einer ganzen Zahl? - Denk daran, gemischte Zahlen vor der Rechnung in unechte Brüche umzuwandeln. - Kannst du vor dem Ausrechnen schon kürzen?

1. a) \(-\frac{5}{12}\cdot 8=-\frac{40}{12}=-\frac{10}{3}=-3\frac{1}{3}\). 2. b) \(2\frac{3}{10}=\frac{23}{10}\). Daher \(4\cdot\frac{23}{10}=\frac{92}{10}=\frac{46}{5}=9\frac{1}{5}\).

a) \(-3\frac{1}{3}\) b) \(9\frac{1}{5}\)

- Musst du alle Werte exakt berechnen, um sie vergleichen zu können? - Was passiert mit einem Wert, wenn du ihn mit einer Zahl multiplizierst, die kleiner als 1 ist? Was, wenn sie größer als 1 ist? - Könnte es helfen, alle Ergebnisse auf denselben Nenner zu bringen?

1. Berechnung der einzelnen Werte: \(A = \frac{1 \cdot 1}{2 \cdot 3} = \frac{1}{6}\) \(B = \frac{1 \cdot 2}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\) \(C = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{4}\) \(D = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}\) 2. Vergleich der Brüche durch Erweitern auf einen Hauptnenner (z. B. 12): \(A = \frac{2}{12}\), \(B = \frac{4}{12}\), \(C = \frac{9}{12}\), \(D = \frac{3}{12}\). 3. Sortierung: \(\frac{2}{12} < \frac{3}{12} < \frac{4}{12} < \frac{9}{12}\), also \(A < D < B < C\).

Der Term C liefert das größte Ergebnis. Die Reihenfolge ist: A, D, B, C.

- Kannst du die Dezimalzahlen oder Prozente zuerst in Brüche umwandeln? - Überlege, ob du schon vor dem Multiplizieren über Kreuz kürzen kannst, um die Zahlen klein zu halten. - Wie schreibt man eine gemischte Zahl als reinen Bruch?

1. Berechnung von a): Multiplikation der Zähler und Nenner ergibt \( \frac{3 \cdot 4}{8 \cdot 9} = \frac{12}{72} \). Kürzen durch 12 führt zu \( \frac{1}{6} \). 2. Berechnung von b): Umwandlung der gemischten Zahl in einen Bruch \( 1 \frac{1}{4} = \frac{5}{4} \) und der Dezimalzahl in einen Bruch \( 0{,}8 = \frac{8}{10} = \frac{4}{5} \). Multiplikation: \( \frac{5}{4} \cdot \frac{4}{5} = \frac{20}{20} = 1 \). 3. Berechnung von c): Umwandlung des Prozentsatzes in einen Bruch \( 75\,\% = \frac{75}{100} = \frac{3}{4} \). Multiplikation: \( \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{3} = \frac{6}{12} \). Kürzen durch 6 ergibt \( \frac{1}{2} \).

a) \( \frac{1}{6} \) b) \( 1 \) c) \( \frac{1}{2} \)

- Was bedeutet das Wort „von“ in der Mathematik, wenn es um Anteile geht? - Wie multipliziert man zwei Brüche miteinander? - Denke daran, gemischte Zahlen vor der Rechnung in Brüche umzuwandeln. - Kannst du das Ergebnis durch Kürzen vereinfachen? - Überlege dir für den Alltag eine Situation, in der man etwas aufteilt oder nur einen Teil einer vorhandenen Menge nutzt.

1. Berechnung von a): Multiplikation von \( \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{2} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} \). Ergebnis: \( \frac{2}{5}\,\text{l} \). Beispiel: Eine Saftflasche ist noch halbvoll (\( \frac{1}{2}\,\text{l} \)). Davon werden \( \frac{4}{5} \) getrunken. 2. Berechnung von b): Umwandlung der gemischten Zahl \( 1\frac{1}{4} = \frac{5}{4} \). Multiplikation \( \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{4} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6} \). Ergebnis: \( \frac{5}{6}\,\text{kg} \). Beispiel: In einer Packung sind \( 1\frac{1}{4}\,\text{kg} \) Mehl. Für einen Kuchen werden \( \frac{2}{3} \) der Menge benötigt. 3. Berechnung von c): Multiplikation \( \frac{3}{10} \cdot \frac{5}{6} \). Kürzen ergibt \( \frac{1 \cdot 1}{2 \cdot 2} = \frac{1}{4} \). Ergebnis: \( \frac{1}{4}\,\text{m} \).

a) \( \frac{2}{5}\,\text{l} \) b) \( \frac{5}{6}\,\text{kg} \) c) \( \frac{1}{4}\,\text{m} \)

- Kannst du die Brüche bereits vor dem Multiplizieren vereinfachen? - Wie gehst du mit dem Vorzeichen bei der Multiplikation um? - Wie schreibt man eine gemischte Zahl als reinen Bruch?

1. Teilaufgabe a: Kürzen der Faktoren (\( 9 \) und \( 15 \) durch \( 3 \), \( 7 \) und \( 14 \) durch \( 7 \)) ergibt \( \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{5} \). Das Resultat ist \( \frac{3}{10} \). 2. Teilaufgabe b: Das Produkt ist negativ. Kürzen (\( 3 \) und \( 9 \) durch \( 3 \), \( 4 \) und \( 8 \) durch \( 4 \)) führt zu \( -\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} \). Das Resultat ist \( -\frac{1}{6} \). 3. Teilaufgabe c: Umwandeln der gemischten Zahl \( 1\frac{1}{5} \) in den unechten Bruch \( \frac{6}{5} \). Die Multiplikation \( \frac{5}{6} \cdot \frac{6}{5} \) ergibt nach vollständigem Kürzen das Resultat \( 1 \).

a) \( \frac{3}{10} \) b) \( -\frac{1}{6} \) c) \( 1 \)

- Überlege, ob du Zähler und Nenner schon vor dem Ausmultiplizieren kürzen kannst. - Gibt es eine Zahl, durch die sowohl die 9 als auch die 12 teilbar sind? - Haben die 7 und die 14 einen gemeinsamen Teiler?

1. Multiplikation von Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner: \(\frac{9 \cdot 7}{14 \cdot 12}\). 2. Kürzen der Faktoren vor der Multiplikation: \(\frac{9}{12}\) wird zu \(\frac{3}{4}\) und \(\frac{7}{14}\) wird zu \(\frac{1}{2}\). 3. Berechnung des Endprodukts: \(\frac{3 \cdot 1}{2 \cdot 4} = \frac{3}{8}\).

\(\frac{3}{8}\)

- Was bedeutet das Wort „von“ in der Mathematik, wenn es zwischen zwei Zahlen steht? - Wie multipliziert man zwei Brüche miteinander? - Denk daran, gemischte Zahlen vor der Rechnung in Brüche umzuwandeln. - Kannst du schon während der Rechnung kürzen, um mit kleineren Zahlen zu arbeiten?

1. Berechnung von a): Multiplikation der Brüche \(\frac{3}{5} \cdot \frac{10}{9} = \frac{3 \cdot 10}{5 \cdot 9}\). Kürzen durch 3 und 5 ergibt \(\frac{1 \cdot 2}{1 \cdot 3} = \frac{2}{3}\). 2. Berechnung von b): Umwandlung der gemischten Zahl \(1\frac{1}{7} = \frac{8}{7}\). Multiplikation \(\frac{7}{8} \cdot \frac{8}{7} = \frac{56}{56} = 1\). 3. Berechnung von c): Multiplikation \(\frac{5}{12} \cdot \frac{18}{25} = \frac{5 \cdot 18}{12 \cdot 25}\). Kürzen durch 5 und 6 ergibt \(\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 5} = \frac{3}{10}\).

a) \(\frac{2}{3}\) b) \(1\) c) \(\frac{3}{10}\)

- Was bedeutet das Wort „von“ in der Mathematik, wenn es zwischen zwei Brüchen steht? - Wie multipliziert man mehrere Brüche miteinander? - Überlege, ob das Ergebnis kleiner oder größer werden muss, wenn man immer wieder einen Teil von einem Teil nimmt.

1. Den Ausdruck „Ein Drittel“ als Bruch schreiben: \( \frac{1}{3} \). 2. Die Kette „Ein Drittel von einem Drittel von einem Drittel“ als Multiplikation formulieren: \( \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \). 3. Das Produkt berechnen: \( \frac{1 \cdot 1 \cdot 1}{3 \cdot 3 \cdot 3} = \frac{1}{27} \). 4. Das berechnete Ergebnis \( \frac{1}{27} \) mit Jonas' Behauptung \( \frac{1}{9} \) vergleichen: \( \frac{1}{27} \neq \frac{1}{9} \). 5. Feststellen, dass Jonas nicht recht hat.

Nein, Jonas hat nicht recht. Die Rechnung \( \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \) ergibt \( \frac{1}{27} \) und nicht \( \frac{1}{9} \).

- Wie macht man aus einer gemischten Zahl einen unechten Bruch? - Kannst du Zähler und Nenner über Kreuz kürzen? - Achte auf die Vorzeichenregeln bei der Multiplikation.

1. Umwandlung von \(2\frac{2}{3}\) in \(\frac{8}{3}\) und \(1\frac{1}{8}\) in \(\frac{9}{8}\). Multiplikation: \(\frac{8}{3} \cdot \frac{9}{8} = \frac{1}{1} \cdot \frac{3}{1} = 3\). 2. Umwandlung von \(-4\frac{1}{2}\) in \(-\frac{9}{2}\). Multiplikation: \(-\frac{9}{2} \cdot \frac{4}{9} = -\frac{1}{1} \cdot \frac{2}{1} = -2\). 3. Umwandlung von \(1\frac{3}{7}\) in \(\frac{10}{7}\) und \(-2\frac{1}{10}\) in \(-\frac{21}{10}\). Multiplikation: \(\frac{10}{7} \cdot (-\frac{21}{10}) = \frac{1}{1} \cdot (-\frac{3}{1}) = -3\).

a) \(3\) b) \(-2\) c) \(-3\)

- Welche ganze Zahl liegt am nächsten an \(4 \frac{2}{3}\)? - Vergiss nicht, die gemischten Zahlen zuerst in unechte Brüche umzuwandeln. - Schau dir die Zahlen im Zähler und Nenner genau an, bevor du sie multiplizierst. Findest du gemeinsame Teiler?

1. Überschlag durch Runden auf ganze Zahlen: \(4\frac{2}{3}\approx 5\) und \(1\frac{1}{2}\approx 2\). Daher \(5\cdot 2=10\). 2. Umwandlung in unechte Brüche: \(4\frac{2}{3}=\frac{14}{3}\) und \(1\frac{1}{2}=\frac{3}{2}\). 3. Multiplikation und Kürzen: \(\frac{14}{3}\cdot\frac{3}{2}=\frac{14}{2}=7\).

a) Überschlag: \(10\) b) Exaktes Ergebnis: \(7\)

- Was passiert mit einem Bruch, wenn man nur seinen Zähler vergrößert? - Was passiert mit einem Bruch, wenn man nur seinen Nenner vergrößert? - Kannst du die Änderungen erst am einzelnen Bruch ausprobieren und dann das neue Produkt berechnen? - Überlege, ob sich das Gesamtergebnis so ändert wie der einzelne Faktor.

1. Berechnung des ursprünglichen Produkts: \(P = \frac{3}{8} \cdot \frac{4}{5} = \frac{12}{40} = \frac{3}{10}\). 2. Schritt a: Verdopplung des ersten Zählers führt zum Faktor \(\frac{6}{8}\). Neues Produkt: \(\frac{6}{8} \cdot \frac{4}{5} = \frac{24}{40} = \frac{3}{5}\). Vergleich: \(\frac{3}{5} = 2 \cdot \frac{3}{10}\). Der Wert verdoppelt sich. 3. Schritt b: Verdopplung des zweiten Nenners führt zum Faktor \(\frac{4}{10}\). Neues Produkt: \(\frac{3}{8} \cdot \frac{4}{10} = \frac{12}{80} = \frac{3}{20}\). Vergleich: \(\frac{3}{20} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{10}\). Der Wert halbiert sich. 4. Schritt c: Zähler verdoppelt (\(3 \cdot 2 = 6\)) und Nenner halbiert (\(8 : 2 = 4\)) ergibt den Faktor \(\frac{6}{4}\). Neues Produkt: \(\frac{6}{4} \cdot \frac{4}{5} = \frac{24}{20} = \frac{6}{5}\). Vergleich: \(\frac{6}{5} = 4 \cdot \frac{3}{10}\). Der Wert vervierfacht sich.

Das ursprüngliche Produkt ist \(\frac{3}{10}\). a) Der Wert verdoppelt sich zu \(\frac{3}{5}\). b) Der Wert halbiert sich zu \(\frac{3}{20}\). c) Der Wert vervierfacht sich zu \(\frac{6}{5}\).

- Überlege dir, was „ein Teil von einem Teil“ mathematisch bedeutet. - Welche Rechenart hilft dir, wenn du einen Bruchteil eines anderen Bruchteils bestimmen möchtest? - Kannst du das Ergebnis am Ende noch vereinfachen?

1. Bestimmung des Anteils der Hunde an der Gesamtzahl: \(\frac{5}{8}\). 2. Bestimmung des Anteils der Welpen an den Hunden: \(\frac{2}{5}\). 3. Berechnung des Anteils der Welpen an der Gesamtzahl durch Multiplikation der Brüche: \(\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{8} = \frac{10}{40}\). 4. Kürzen des Ergebnisses: \(\frac{10}{40} = \frac{1}{4}\).

Der Anteil der Welpen an allen Tieren beträgt \(\frac{1}{4}\).

- Wie multipliziert man zwei Brüche miteinander? - Kannst du eine ganze Zahl als Bruch schreiben, um die Rechnung zu vereinfachen? - Was musst du mit einer gemischten Zahl machen, bevor du sie multiplizieren kannst? - Denke am Ende daran, das Ergebnis zu vereinfachen.

1. Multiplikation der Zähler und Nenner: \(\frac{3 \cdot 2}{7 \cdot 5} = \frac{6}{35}\). 2. Multiplikation einer Ganzzahl mit einem Bruch: \(4 \cdot \frac{5}{12} = \frac{4 \cdot 5}{12} = \frac{20}{12}\). Kürzen durch 4 ergibt \(\frac{5}{3}\) oder \(1 \frac{2}{3}\). 3. Umwandlung der gemischten Zahl in einen unechten Bruch: \(1 \frac{1}{3} = \frac{4}{3}\). Multiplikation: \(\frac{9}{10} \cdot \frac{4}{3} = \frac{9 \cdot 4}{10 \cdot 3} = \frac{36}{30}\). Kürzen durch 6 ergibt \(\frac{6}{5}\) oder \(1 \frac{1}{5}\).

a) \(\frac{6}{35}\) b) \(1 \frac{2}{3}\) c) \(1 \frac{1}{5}\)

- Überlege dir zuerst, welcher Bruchteil des Wassers im Fass bleibt, wenn ein Teil davon verloren geht. - Wie berechnet man einen Anteil von einem anderen Anteil? - Kannst du das Ergebnis am Ende noch vereinfachen?

1. Berechnung des Anteils, der nach dem Wasserverlust vom enthaltenen Wasser übrig bleibt: \(1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}\). 2. Multiplikation des ursprünglichen Füllstands mit dem verbleibenden Anteil: \(\frac{4}{5} \cdot \frac{7}{8} = \frac{28}{40}\). 3. Kürzen des Ergebnisses: \(\frac{28}{40} = \frac{7}{10}\).

\(\frac{7}{10}\)

- Achte zuerst auf das Vorzeichen des Endergebnisses: Eine gerade Anzahl an Minuszeichen ergibt ein positives Resultat. - Du kannst Brüche und ganze Zahlen oft kürzen, bevor du multiplizierst. - Was bedeutet eine Potenz wie \((-1)^4\) ausgeschrieben als Multiplikation? - Es kann hilfreich sein, Dezimalzahlen in Brüche umzuwandeln oder umgekehrt.

1. Berechnung von a): Zuerst wird \(-12 \cdot \frac{3}{4}\) berechnet, was \(-9\) ergibt. Anschließend folgt \(-9 \cdot (-2) = 18\). 2. Berechnung von b): Das Produkt \(-\frac{2}{5} \cdot (-10)\) ergibt \(4\). Multipliziert mit \(-0{,}5\) folgt \(4 \cdot (-0{,}5) = -2\). 3. Berechnung von c): Zuerst wird die Potenz \((-1)^4 = 1\) bestimmt. Danach ergibt sich \(1 \cdot 7 \cdot (-3) = -21\). 4. Berechnung von d): Die Multiplikation \(\frac{4}{9} \cdot (-18)\) ergibt \(-8\). Das Endergebnis ist \(-8 \cdot (-\frac{1}{2}) = 4\).

a) \(18\) b) \(-2\) c) \(-21\) d) \(4\)

- Arbeite dich von unten nach oben durch die Mauer. - Achte besonders auf die Vorzeichenregeln: Was passiert, wenn man zwei negative Zahlen multipliziert? - Wandle den Bruch in eine Dezimalzahl um, um die Rechnung zu vereinfachen.

1. Berechnung der Steine in Ebene 2: - Linker Stein: \(-1{,}2 \cdot (-5) = 6\) - Rechter Stein: \(-5 \cdot \frac{1}{4} = -5 \cdot 0{,}25 = -1{,}25\) 2. Berechnung des obersten Steins in Ebene 3: - Produkt aus Ebene 2: \(6 \cdot (-1{,}25) = -7{,}5\)

Ebene 2: \(6\) und \(-1{,}25\) Ebene 3: \(-7{,}5\)

- Achte zuerst auf das Vorzeichen des Ergebnisses. - Wie lautet die Regel für das Vorzeichen, wenn zwei Zahlen mit gleichem oder unterschiedlichem Vorzeichen multipliziert werden? - Bei Brüchen kannst du oft schon vor dem Ausrechnen kürzen, um die Zahlen kleiner zu halten. - Dezimalzahlen lassen sich manchmal leichter als Brüche schreiben (oder umgekehrt).

1. Multiplikation einer negativen mit einer positiven Ganzzahl: \(-12 \cdot 11 = -132\). 2. Multiplikation zweier negativer Dezimalzahlen: Das Vorzeichen ist positiv. Das Produkt der Beträge ist \(0{,}5 \cdot 0{,}08 = 0{,}04\). 3. Multiplikation eines Bruchs mit einem negativen Bruch: Das Vorzeichen ist negativ. Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner ergibt \(-\frac{3 \cdot 14}{7 \cdot 9} = -\frac{42}{63}\). Kürzen mit 21 führt zu \(-\frac{2}{3}\). 4. Multiplikation einer Dezimalzahl mit einem Bruch: Umwandlung von \(-2{,}5\) in \(-\frac{5}{2}\) ergibt \((-\frac{5}{2}) \cdot \frac{2}{5} = -1\). Alternativ: \(-2{,}5 \cdot 0{,}4 = -1\).

a) \(-132\) b) \(0{,}04\) c) \(-\frac{2}{3}\) d) \(-1\)

- Wie viel Zucker ist nach dem ersten Backen noch da? Drücke dies als Bruch aus. - Wenn man von einem Rest wiederum einen bestimmten Teil wegnimmt, wie viel bleibt dann von diesem Rest noch übrig? - Multipliziere die Anteile, um den Anteil an der Gesamtmenge zu finden.

1. Bestimmung der Restmenge nach dem ersten Schritt: \(1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}\) der ursprünglichen Menge. 2. Der restliche Zucker wird in 10 Teile geteilt, wovon 7 verbraucht werden. Es bleiben also \(3\) von 10 Teilen (oder \(\frac{3}{10}\)) dieser Restmenge übrig. 3. Berechnung des verbleibenden Anteils: \(\frac{3}{10} \cdot \frac{5}{9} = \frac{15}{90}\). 4. Kürzen des Ergebnisses: \(\frac{15}{90} = \frac{1}{6}\).

\(\frac{1}{6}\)

- Könnte es helfen, den Bruch auf der rechten Seite so zu erweitern, dass er den gleichen Nenner hat wie der Bruch links? - Was passiert mit dem Zähler eines Bruchs, wenn man ihn mit einer ganzen Zahl multipliziert? - Du kannst auch probieren, welche Zahl passen könnte, und dein Ergebnis überprüfen.

1. Umwandlung des Ergebnisses auf den Nenner 9: \(\frac{2}{3} = \frac{6}{9}\). Vergleich der Zähler: \(x \cdot 2 = 6\) ergibt \(x = 3\). 2. Umwandlung des Ergebnisses auf den Nenner 20: \(\frac{9}{10} = \frac{18}{20}\). Vergleich der Zähler: \(x \cdot 3 = 18\) ergibt \(x = 6\). 3. Umwandlung des Ergebnisses auf den Nenner 12: \(\frac{5}{2} = \frac{30}{12}\). Vergleich der Zähler: \(x \cdot 5 = 30\) ergibt \(x = 6\).

a) \(x = 3\) b) \(x = 6\) c) \(x = 6\)

- Was passiert allgemein mit einer positiven Zahl, wenn man sie mit einer Zahl größer als 1 multipliziert? - Was passiert im Gegensatz dazu bei der Division durch eine Zahl größer als 1? - Überlege dir zur Probe, wie viel „vier mal drei Achtel“ im Vergleich zu „einem Viertel von drei Achteln“ ist.

1. Begründung ohne Rechnung: Da die Zahl 4 größer als 1 ist, bewirkt eine Multiplikation mit 4 eine Vergrößerung des Ausgangswerts \(\frac{3}{8}\), während eine Division durch 4 eine Verkleinerung bewirkt. Daher muss \(A > B\) gelten. 2. Berechnung von A: \(\frac{3}{8} \cdot 4 = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} = 1{,}5\). 3. Berechnung von B: \(\frac{3}{8} : 4 = \frac{3}{8 \cdot 4} = \frac{3}{32} = 0{,}09375\). 4. Vergleich: Da \(1{,}5 > \frac{3}{32}\), ist die Vermutung bestätigt.

\(A\) ist größer. Begründung: Multiplikation mit einer Zahl \(> 1\) vergrößert den Wert, Division durch eine Zahl \(> 1\) verkleinert ihn. Ergebnisse: \(A = \frac{3}{2}\) (oder \(1\frac{1}{2}\)), \(B = \frac{3}{32}\).

- Berechne zuerst den Wert für jede Menge einzeln. - Schreibe die Rechnungen als Multiplikation von zwei Brüchen auf. - Vergleiche die Endergebnisse nach dem Kürzen. Was fällt dir auf?

1. Berechnung von Menge A: Multiplikation der Brüche \( \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{5} = \frac{6}{20} \). Kürzen mit 2 ergibt \( \frac{3}{10}\,\text{kg} \). 2. Berechnung von Menge B: Multiplikation der Brüche \( \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{5} = \frac{3}{10} \). 3. Vergleich: Beide Rechnungen ergeben denselben Wert von \( \frac{3}{10}\,\text{kg} \). Die Mengen sind also gleich groß.

Beide Mengen sind gleich groß (\( \frac{3}{10}\,\text{kg} \)).

- Wie gehst du mit gemischten Zahlen vor, bevor du sie multiplizierst? - Du kannst auch bei drei Faktoren „über Kreuz“ kürzen. - Prüfe am Ende, ob dein Bruch noch weiter gekürzt werden kann.

1. Umwandlung der gemischten Zahl in einen unechten Bruch: \(3\frac{3}{4} = \frac{15}{4}\). 2. Aufstellen des Gesamtbruchs: \(\frac{15 \cdot 2 \cdot 4}{4 \cdot 5 \cdot 9}\). 3. Kürzen der Faktoren: Die 4 im Zähler und Nenner kürzen sich zu 1; \(\frac{15}{5}\) ergibt 3 im Zähler. 4. Zwischenergebnis berechnen: \(\frac{3 \cdot 2 \cdot 1}{1 \cdot 1 \cdot 9} = \frac{6}{9}\). 5. Endgültiges Kürzen durch 3: \(\frac{2}{3}\).

\(\frac{2}{3}\)

- Wie berechnest du einen Bruchteil von einem anderen Bruchteil? - Was ist das Ganze in Aufgabenteil a) und was in Aufgabenteil b)? - Kannst du dir die Situation mit einer Zeichnung vorstellen?

1. Berechnung des Anteils: Berechnung von \(\frac{2}{3}\) von \(\frac{3}{4}\) durch Multiplikation \(\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} = \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 4}\). Kürzen der 3 ergibt \(\frac{2}{4} = \frac{1}{2}\). 2. Berechnung der Menge in Litern: Berechnung von \(\frac{1}{2}\) von \(120\) Litern durch \(\frac{1}{2} \cdot 120 = 60\).

a) \(\frac{1}{2}\) des Fasses b) \(60\) Liter

- Berechne zuerst den Wert für Julias Aussage. - Berechne danach den Wert für den Ausdruck, den Marc beschreibt. - Vergleiche die beiden Brüche, die du als Ergebnis erhalten hast.

1. Julias Ausdruck berechnen: „Ein Viertel von einem Viertel“ bedeutet \( \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{16} \). 2. Marcs Vergleichswert berechnen: „Die Hälfte von einem Achtel“ bedeutet \( \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{8} = \frac{1}{16} \). 3. Die Ergebnisse vergleichen: \( \frac{1}{16} = \frac{1}{16} \). 4. Schlussfolgern, dass Marc recht hat, da beide Ausdrücke denselben Wert ergeben.

Marc hat recht. Beide Ausdrücke ergeben den Wert \( \frac{1}{16} \).

- Wie kannst du eine gemischte Zahl in einen unechten Bruch umwandeln? - Gibt es vor dem Multiplizieren Möglichkeiten zum Kürzen? - Welches Vorzeichen hat das Ergebnis bei der Multiplikation einer negativen mit einer positiven Zahl? - Wie schreibst du eine Dezimalzahl als Bruch?

1. Überschlag zu a): \( 4 \cdot 2 = 8 \) oder \( 3{,}5 \cdot 2{,}5 = 8{,}75 \). Exakte Rechnung: \( \frac{7}{2} \cdot \frac{12}{5} = \frac{7 \cdot 6}{5} = \frac{42}{5} = 8\frac{2}{5} \). 2. Überschlag zu b): \( -5 \cdot 1{,}5 = -7{,}5 \). Exakte Rechnung: \( -\frac{14}{3} \cdot \frac{3}{2} = -\frac{14}{2} = -7 \). 3. Überschlag zu c): \( 0{,}5 \cdot 3{,}5 = 1{,}75 \) oder \( 0{,}6 \cdot 3 = 1{,}8 \). Exakte Rechnung: \( \frac{6}{10} \cdot \frac{10}{3} = \frac{6}{3} = 2 \).

a) Überschlag: ca. \( 8 \); Exakt: \( 8\frac{2}{5} \) b) Überschlag: ca. \( -7{,}5 \); Exakt: \( -7 \) c) Überschlag: ca. \( 2 \); Exakt: \( 2 \)

- Kannst du die Faktoren so umstellen, dass das Rechnen leichter wird? - Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn du zwei negative Zahlen multiplizierst? - Überlege, welche Zahlen im Zähler und Nenner gemeinsame Teiler haben.

1. Berechnung zu a): \( \frac{5}{8} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{4}{1} \). Kürzen der \( 5 \) im Zähler und Nenner ergibt \( \frac{1}{8} \cdot \frac{6}{1} \cdot \frac{4}{1} \). Kürzen von \( 4 \) und \( 8 \) ergibt \( \frac{1}{2} \cdot \frac{6}{1} \cdot 1 = \frac{6}{2} = 3 \). 2. Berechnung zu b): Das Vorzeichen ist positiv, da zwei negative Faktoren multipliziert werden. \( \frac{9}{4} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2} \). Kürzen der \( 4 \) im Zähler und Nenner ergibt \( \frac{9}{1} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \). Kürzen von \( 9 \) und \( 3 \) ergibt \( \frac{3}{1} \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} \).

a) \( 3 \) b) \( 1\frac{1}{2} \) (oder \( 1{,}5 \))

- Du kannst bei mehr als zwei Faktoren alle Zähler und alle Nenner gleichzeitig betrachten und kürzen. - Zähle zuerst die negativen Vorzeichen, um das Vorzeichen des Ergebnisses zu bestimmen. - Gibt es Zahlen, die sich direkt gegenseitig aufheben?

1. Umwandlung der Faktoren in Teil a): \(\frac{6}{5} \cdot \frac{5}{3} \cdot \frac{5}{6}\). Kürzen der \(6\) im Zähler und Nenner sowie der \(5\). Es bleibt \(\frac{5}{3}\), was \(1\frac{2}{3}\) entspricht. 2. Umwandlung der Faktoren in Teil b): \((-\frac{12}{5}) \cdot \frac{15}{8} \cdot (-\frac{1}{3})\). Bestimmung des Vorzeichens: Minus mal Plus mal Minus ergibt Plus. Multiplikation der Beträge: \(\frac{12 \cdot 15 \cdot 1}{5 \cdot 8 \cdot 3}\). Kürzen: \(\frac{12}{3} = 4\), \(\frac{15}{5} = 3\). Neuer Bruch: \(\frac{4 \cdot 3 \cdot 1}{8} = \frac{12}{8}\). Kürzen durch \(4\) ergibt \(\frac{3}{2}\) bzw. \(1\frac{1}{2}\).

a) \(1\frac{2}{3}\) b) \(1\frac{1}{2}\)

- Berechne jeden Wert einzeln. - Was passiert, wenn man eine Zahl mit ihrem Kehrwert multipliziert? Siehst du das bei einer der Aufgaben? - Vergiss nicht, am Ende die Buchstaben in die richtige Reihenfolge zu bringen.

1. Berechnung von \(A\): \(\frac{7}{4} \cdot \frac{8}{7} = \frac{1}{1} \cdot \frac{2}{1} = 2\). 2. Berechnung von \(B\): \(\frac{8}{3} \cdot \frac{3}{8} = 1\). 3. Berechnung von \(C\): \((-\frac{6}{5}) \cdot (-\frac{5}{2}) = \frac{6 \cdot 5}{5 \cdot 2} = \frac{6}{2} = 3\). 4. Vergleich der Ergebnisse: \(1 < 2 < 3\). Die Reihenfolge ist \(B, A, C\).

\(B < A < C\) (Ergebnisse: \(1 < 2 < 3\))

- Stell dir das Rechteck in vier kleine Rechtecke unterteilt vor. Welche Flächen entstehen, wenn du die Seiten in Ganze und Brüche zerlegst? - Wie wandelt man eine gemischte Zahl in einen Bruch um? - Kannst du vor dem Multiplizieren im Zähler und Nenner kürzen?

1. Begründung: Jonas hat nur einen Teil der Fläche berechnet. Beim Multiplizieren von gemischten Zahlen müssen alle Bestandteile der ersten Zahl mit allen Bestandteilen der zweiten Zahl multipliziert werden (wie bei einem Rechteck, das in vier Teilflächen unterteilt ist). Er hat die Kombinationen aus Ganzen und Brüchen (z. B. \(2 \cdot \frac{1}{5}\)) ausgelassen. 2. Umwandlung in unechte Brüche: \(2 \frac{1}{2} = \frac{5}{2}\) und \(3 \frac{1}{5} = \frac{16}{5}\). 3. Multiplikation der Brüche: \(\frac{5}{2} \cdot \frac{16}{5} = \frac{5 \cdot 16}{2 \cdot 5}\). 4. Kürzen und Berechnen: Die \(5\) im Zähler und Nenner kürzt sich zu \(1\). Es bleibt \(\frac{16}{2} = 8\).

a) Jonas hat die Produkte aus ganzzahligem Anteil und Bruchanteil vernachlässigt, weshalb wesentliche Teile der Fläche fehlen. b) Der korrekte Flächeninhalt beträgt \(8\,\text{cm}^2\).

- Wie wandelt man eine gemischte Zahl in einen Bruch um? - Achte auf die Vorzeichenregeln bei der Multiplikation: Was passiert, wenn man eine positive mit einer negativen Zahl multipliziert? Was passiert bei zwei negativen Zahlen? - Kannst du Zähler und Nenner schon vor dem eigentlichen Multiplizieren vereinfachen? - Um Brüche zu vergleichen, kannst du sie auf den gleichen Nenner bringen oder in Dezimalzahlen umwandeln.

1. Umwandlung der gemischten Zahlen in unechte Brüche für Teil a: \( \frac{8}{5} \cdot \left(-\frac{5}{2}\right) \). Multiplikation und Kürzen der Faktoren \( 5 \) und \( 2 \): \( \frac{4}{1} \cdot \left(-\frac{1}{1}\right) = -4 \). 2. Umwandlung für Teil b: \( \left(-\frac{15}{4}\right) \cdot \left(-\frac{8}{15}\right) \). Da beide Faktoren negativ sind, ist das Produkt positiv. Kürzen der \( 15 \) und der \( 4 \) ergibt \( \frac{1}{1} \cdot \frac{2}{1} = 2 \). 3. Umwandlung für Teil c: \( \frac{7}{9} \cdot \frac{9}{7} \cdot (-3) \). Die ersten beiden Brüche sind Kehrwerte voneinander, ihr Produkt ist \( 1 \). Das Endergebnis ist \( 1 \cdot (-3) = -3 \). 4. Berechnung für Teil d: Erste Rechnung: \( \frac{9}{4} \cdot \frac{2}{3} = \frac{3 \cdot 1}{2 \cdot 1} = \frac{3}{2} = 1{,}5 \). Zweite Rechnung: \( \frac{3}{2} \cdot \frac{5}{6} = \frac{1 \cdot 5}{2 \cdot 2} = \frac{5}{4} = 1{,}25 \). Vergleich der Ergebnisse: \( 1{,}5 > 1{,}25 \). Das erste Ergebnis ist größer.

a) \( -4 \) b) \( 2 \) c) \( -3 \) d) Das Ergebnis von \( 2\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} \) (nämlich \( 1{,}5 \)) ist größer als das von \( 1\frac{1}{2} \cdot \frac{5}{6} \) (nämlich \( 1{,}25 \)).

- Denke daran, wie man Brüche multipliziert: Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner. - Wenn du jeden Zähler verdoppelst, wie oft hast du dann insgesamt mit 2 multipliziert? - Was passiert, wenn du eine Zahl erst mit 2 multiplizierst und dann durch 2 teilst?

1. Berechnung des ursprünglichen Produkts: \(P = \frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6} = \frac{15}{48} = \frac{5}{16}\). 2. Schritt a: Verdopplung aller Zähler entspricht der Multiplikation des gesamten Produkts mit \(2 \cdot 2 \cdot 2 = 8\). Neues Produkt: \(\frac{2 \cdot 6 \cdot 10}{2 \cdot 4 \cdot 6} = \frac{120}{48} = \frac{5}{2}\). Der Wert ist achtmal so groß wie \(\frac{5}{16}\). 3. Schritt b: Verdopplung aller Nenner entspricht der Division des gesamten Produkts durch \(2 \cdot 2 \cdot 2 = 8\). Neues Produkt: \(\frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{4 \cdot 8 \cdot 12} = \frac{15}{384} = \frac{5}{128}\). Der Wert sinkt auf ein Achtel des ursprünglichen Werts. 4. Schritt c: Erster Faktor mal 2 (\(1\)), zweiter Faktor mal \(\frac{1}{2}\) (\(\frac{3}{8}\)). Neues Produkt: \(1 \cdot \frac{3}{8} \cdot \frac{5}{6} = \frac{15}{48} = \frac{5}{16}\). Das Ergebnis bleibt unverändert, da sich die Faktoren \(2\) und \(\frac{1}{2}\) gegenseitig aufheben.

Das ursprüngliche Produkt ist \(\frac{5}{16}\). a) Das Ergebnis wird achtmal so groß (\(\frac{5}{2}\)). b) Das Ergebnis sinkt auf ein Achtel des ursprünglichen Werts (\(\frac{5}{128}\)). c) Das Ergebnis bleibt gleich (\(\frac{5}{16}\)).

- Wie berechnet man den Anteil einer Teilmenge an der Gesamtmenge? - Stell dir vor, du teilst ein Rechteck erst in vier Teile und nimmst drei davon. Wie viel ist davon wiederum zwei Drittel? - Erinnere dich an die Regel „Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner“.

1. Identifikation der gegebenen Anteile: \(\frac{3}{4}\) (Beetfläche) und \(\frac{2}{3}\) (Gemüseanteil der Beetfläche). 2. Multiplikation der Brüche zur Berechnung des Anteils vom Ganzen: \(\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} = \frac{6}{12}\). 3. Kürzen des Bruchs: \(\frac{6}{12} = \frac{1}{2}\). 4. Begründung: Die Multiplikation wird verwendet, da ein Bruchteil (\(\frac{2}{3}\)) von einer bereits bestehenden Teilmenge (\(\frac{3}{4}\)) berechnet werden soll („Anteil eines Anteils“).

\(\frac{1}{2}\) des gesamten Gartens ist mit Gemüse bepflanzt. Man multipliziert, weil man den Anteil eines Anteils berechnet.

- Ist es einfacher, vor oder nach der Multiplikation zu kürzen? - Schau dir die Zähler des einen Bruchs und die Nenner des anderen Bruchs genau an. - Gibt es einen gemeinsamen Teiler für Zahlen, die „über Kreuz“ stehen?

1. Umwandlung in unechte Brüche: \(1 \frac{1}{4} = \frac{5}{4}\). Multiplikation: \(\frac{5}{4} \cdot \frac{8}{15}\). Über Kreuz kürzen: 5 und 15 durch 5 teilen, 8 und 4 durch 4 teilen. Es bleibt \(\frac{1 \cdot 2}{1 \cdot 3} = \frac{2}{3}\). 2. Umwandlung beider Zahlen: \(2 \frac{2}{3} = \frac{8}{3}\) und \(1 \frac{1}{8} = \frac{9}{8}\). Multiplikation: \(\frac{8}{3} \cdot \frac{9}{8}\). Über Kreuz kürzen: Die 8er heben sich auf, 9 und 3 durch 3 teilen. Es bleibt \(\frac{1 \cdot 3}{1 \cdot 1} = 3\).

a) \(\frac{2}{3}\) b) \(3\)

- Was bedeutet das Wort „von“ in der Mathematik, wenn es um Anteile geht? - Wenn du eine Menge mehrmals hast, welche Rechenart hilft dir? - Vergiss nicht, die Einheit im Endergebnis anzugeben.

1. „Von“ entspricht einer Multiplikation. Umwandlung: \(1 \frac{1}{2} = \frac{3}{2}\). Rechnung: \(\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}\,\text{kg} = \frac{6}{6}\,\text{kg} = 1\,\text{kg}\). 2. Multiplikation von Inhalt und Anzahl: \(5 \cdot \frac{3}{4}\,\text{l} = \frac{15}{4}\,\text{l}\). Umwandlung in eine gemischte Zahl: \(15 : 4 = 3\) Rest \(3\). Ergebnis: \(3 \frac{3}{4}\,\text{l}\).

a) \(1\,\text{kg}\) b) \(3 \frac{3}{4}\,\text{l}\)

- Bestimme schrittweise, wie viel Platz nach jeder Planung noch übrig ist. - Achte darauf, worauf sich die Anteile beziehen: auf den ganzen Garten oder nur auf den Rest? - Eine Skizze des Gartens könnte dir helfen, die Aufteilung besser zu sehen.

1. Bestimmung der Restfläche nach der Planung des Teichs: \(1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\). 2. Berechnung des Anteils, der von dieser Restfläche nach dem Anlegen der Beete übrig bleibt: \(1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}\). 3. Multiplikation der Anteile, um den Anteil an der Gesamtfläche zu erhalten: \(\frac{2}{5} \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{15}\). Alternativ: Anteil der Beete berechnen (\(\frac{3}{5} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{5}\)) und von der Restfläche abziehen (\(\frac{2}{3} - \frac{2}{5} = \frac{10}{15} - \frac{6}{15} = \frac{4}{15}\)).

\(\frac{4}{15}\)

- Berechne zuerst jeden Term einzeln Schritt für Schritt. - Erinnere dich daran, wie sich das Vorzeichen beim Quadrieren einer negativen Zahl verhält. - Zeichne dir bei negativen Zahlen im Kopf einen Zahlenstrahl: Welche Zahl liegt weiter rechts?

1. Berechnung von Term \(X\): Zuerst wird die Potenz berechnet: \((-4)^2 = 16\). Danach folgt \(16 \cdot (-0{,}5) = -8\). 2. Berechnung von Term \(Y\): Die ersten beiden Faktoren ergeben \((-2) \cdot (-2) = 4\). Multiplikation mit dem dritten Faktor liefert \(4 \cdot (-2{,}5) = -10\). 3. Vergleich: Da \(-8 > -10\), ist der Wert von Term \(X\) größer als der von Term \(Y\).

Term \(X\) ist größer, da \(-8 > -10\).

- Welche Rechenart ist die Umkehrung der Multiplikation? - Wie dividiert man durch einen Bruch? - Was muss man mit einem Bruch multiplizieren, um genau 1 zu erhalten?

1. Berechnung von \(x\): Division des Ergebnisses durch den bekannten Faktor ergibt \( x = \frac{1}{3} : \frac{5}{6} = \frac{1}{3} \cdot \frac{6}{5} = \frac{6}{15} \). Kürzen durch 3 ergibt \( x = \frac{2}{5} \). 2. Berechnung von \(y\): Umwandlung \( 0{,}4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} \). Berechnung durch Multiplikation mit dem Kehrwert: \( y = \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{2} = \frac{10}{6} \). Kürzen durch 2 ergibt \( y = \frac{5}{3} \). 3. Berechnung von \(z\): Damit das Produkt 1 ergibt, muss \(z\) der Kehrwert von \(-\frac{3}{4}\) sein. Somit ist \( z = -\frac{4}{3} \).

a) \( x = \frac{2}{5} \) b) \( y = \frac{5}{3} \) c) \( z = -\frac{4}{3} \)

- Wie findet man einen fehlenden Faktor in einer Multiplikationsaufgabe? - Welche Rechenoperation ist das Gegenteil der Multiplikation? - Denke bei b) daran, die gemischte Zahl zuerst in einen Bruch umzuwandeln. - Wie dividiert man durch einen Bruch?

1. Lösung für a): Gesucht ist ein Faktor \( x \), sodass \( x \cdot \frac{8}{9} = \frac{2}{3} \). Division \( \frac{2}{3} : \frac{8}{9} = \frac{2}{3} \cdot \frac{9}{8} = \frac{18}{24} = \frac{3}{4} \). 2. Lösung für b): Umwandlung \( 1\frac{1}{5} = \frac{6}{5} \). Rechnung \( \frac{3}{5} \cdot x = \frac{6}{5} \). Division \( \frac{6}{5} : \frac{3}{5} = \frac{6}{5} \cdot \frac{5}{3} = \frac{30}{15} = 2 \). 3. Lösung für c): Rechnung \( \frac{3}{4} \cdot x = \frac{1}{2} \). Division \( \frac{1}{2} : \frac{3}{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \).

a) \( \frac{3}{4} \) b) \( 2 \) c) \( \frac{2}{3} \)

- Was bedeutet das kleine Quadrat an der Klammer für den Bruch? - Denk an die Regel „Potenzrechnung vor Punktrechnung“. - Wandle die gemischte Zahl zuerst in einen unechten Bruch um. - Vergiss nicht, das Endergebnis wieder als gemischte Zahl zu schreiben.

1. Berechnung des Quadrats: \((\frac{4}{5})^2 = \frac{4 \cdot 4}{5 \cdot 5} = \frac{16}{25}\). 2. Umwandlung der gemischten Zahl in einen unechten Bruch: \(1\frac{7}{8} = \frac{15}{8}\). 3. Multiplikation der Brüche mit Kürzen: \(\frac{16 \cdot 15}{25 \cdot 8} = \frac{2 \cdot 3}{5 \cdot 1} = \frac{6}{5}\). 4. Umwandlung des unechten Bruchs in eine gemischte Zahl: \(\frac{6}{5} = 1\frac{1}{5}\).

\(1\frac{1}{5}\)

- Berechne zuerst beide Werte getrennt voneinander. - Vergleiche die Endergebnisse nach dem vollständigen Kürzen. - Gibt es eine Möglichkeit, die Brüche zu vergleichen, ohne sie in Dezimalzahlen umzuwandeln?

1. Berechnung von Wert A: \(\frac{4}{9} \cdot \frac{27}{16} = \frac{4 \cdot 27}{9 \cdot 16}\). Kürzen durch 4 und 9 ergibt \(\frac{1 \cdot 3}{1 \cdot 4} = \frac{3}{4}\). 2. Berechnung von Wert B: \(\frac{5}{6} \cdot \frac{9}{10} = \frac{5 \cdot 9}{6 \cdot 10}\). Kürzen durch 5 und 3 ergibt \(\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 2} = \frac{3}{4}\). 3. Vergleich der Ergebnisse: Da \(\frac{3}{4} = \frac{3}{4}\) ist, sind beide Werte gleich groß.

Beide Werte sind gleich groß (beide ergeben \(\frac{3}{4}\)).

- Was passiert mit dem Nenner eines Bruchs, wenn du ihn immer wieder mit \( \frac{1}{2} \) multiplizierst? - Kannst du eine Liste der Ergebnisse erstellen, wenn du schrittweise immer wieder halbierst? - Wie oft musst du die Zahl 2 mit sich selbst multiplizieren, um auf 64 zu kommen?

1. Startwert ist 1. 2. Einmalige Anwendung: \( 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \). 3. Zweimalige Anwendung: \( \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \). 4. Den Vorgang fortsetzen und die Potenzen von 2 im Nenner prüfen: \( 2^2=4 \), \( 2^3=8 \), \( 2^4=16 \), \( 2^5=32 \), \( 2^6=64 \). 5. Da \( 2^6 = 64 \) ist, muss die Multiplikation mit \( \frac{1}{2} \) insgesamt 6-mal durchgeführt werden: \( (\frac{1}{2})^6 = \frac{1}{64} \).

Man muss den Ausdruck 6-mal anwenden, da \( \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{64} \) ist.

- Schau dir die Faktoren genau an. Wie unterscheiden sich die ersten Faktoren voneinander? Wie die zweiten? - Kannst du die Zahlen grob runden, um einen ersten Eindruck zu bekommen? - Wandle die gemischten Zahlen in Brüche um, um den exakten Wert zu finden.

1. Überschlag: Für A gilt \(4\frac{1}{2} \approx 4{,}5\) und \(1\frac{1}{3} \approx 1{,}3\), also \(A \approx 4{,}5 \cdot 1{,}3 \approx 5{,}9\). Für B gilt \(3\frac{1}{3} \approx 3{,}3\) und \(1\frac{1}{2} = 1{,}5\), also \(B \approx 3{,}3 \cdot 1{,}5 \approx 5{,}0\). Daher ist A voraussichtlich größer. 2. Berechnung A: \( \frac{9}{2} \cdot \frac{4}{3} = \frac{3 \cdot 2}{1} = 6 \). 3. Berechnung B: \( \frac{10}{3} \cdot \frac{3}{2} = \frac{10}{2} = 5 \). 4. Ergebnis: \( 6 > 5 \), also ist Rechnung A größer.

Rechnung A ist größer. A: \( 6 \) B: \( 5 \)

- Erinnere dich an das Distributivgesetz. Wie multipliziert man eine Summe mit einer Zahl? - Probier es einfach mit kleinen Zahlen aus, bei denen du das Ergebnis leicht im Kopf prüfen kannst. - Was passiert, wenn du eine Zahl wie \(1 \frac{1}{2}\) als \((1 + \frac{1}{2})\) schreibst?

1. Fall 1 (Natürliche Zahl): Die Aussage ist wahr. Dies entspricht dem Distributivgesetz: \(4 \cdot (2 + \frac{1}{3}) = 4 \cdot 2 + 4 \cdot \frac{1}{3} = 8 + \frac{4}{3} = 9 \frac{1}{3}\). Eine Gegenprobe mit unechten Brüchen (\(\frac{7}{3} \cdot 4 = \frac{28}{3} = 9 \frac{1}{3}\)) bestätigt dies. 2. Fall 2 (Zwei gemischte Zahlen): Die Aussage ist falsch. Beim „getrennten“ Multiplizieren fehlen die Kreuzprodukte. 3. Beispiel für Fall 2: \(2 \frac{1}{3} \cdot 1 \frac{1}{2}\). Getrennt gerechnet: \(2 \cdot 1 = 2\) und \(\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{6}\), also \(2 \frac{1}{6}\). 4. Korrekte Rechnung für Fall 2: \(\frac{7}{3} \cdot \frac{3}{2} = \frac{21}{6} = 3 \frac{3}{6} = 3 \frac{1}{2}\). 5. Vergleich: Da \(2 \frac{1}{6} \neq 3 \frac{1}{2}\), ist das Verfahren für zwei gemischte Zahlen nicht zulässig.

Die Aussage ist nur für die Multiplikation mit einer natürlichen Zahl richtig. Bei der Multiplikation von zwei gemischten Zahlen ist sie falsch, da dabei wichtige Teilprodukte (Ganzes mal Bruch) ausgelassen werden. Ein Beispiel zeigt: \(2 \frac{1}{3} \cdot 1 \frac{1}{2}\) ist tatsächlich \(3 \frac{1}{2}\) und nicht \(2 \frac{1}{6}\).

- Kannst du das Produkt als einen einzigen Bruch schreiben, bevor du die Änderungen betrachtest? - Erinnerst du dich an das Gesetz, das besagt, dass man Zahlen beim Multiplizieren vertauschen darf? - Wenn du etwas dreimal so groß machst, was musst du tun, um wieder zum ursprünglichen Zustand zu kommen?

1. Ursprüngliches Produkt: \(P = \frac{2 \cdot 3}{5 \cdot 7} = \frac{6}{35}\). 2. Schritt a: Neuer erster Faktor \(\frac{4}{5}\), neuer zweiter Faktor \(\frac{3}{14}\). Produkt: \(\frac{4 \cdot 3}{5 \cdot 14} = \frac{12}{70} = \frac{6}{35}\). Der Wert bleibt gleich, da die Multiplikation im Zähler und Nenner mit demselben Faktor (2) einer Erweiterung des gesamten Bruchs entspricht. 3. Schritt b: Vertauschen der Zähler ergibt \(\frac{3}{5} \cdot \frac{2}{7} = \frac{6}{35}\). Das Ergebnis bleibt gleich, da für die Multiplikation das Kommutativgesetz gilt (\(2 \cdot 3 = 3 \cdot 2\)). 4. Schritt c: Wenn der erste Faktor mit 3 multipliziert wird, muss der zweite Faktor durch 3 geteilt werden (oder mit \(\frac{1}{3}\) multipliziert werden), um die Änderung auszugleichen. Neuer zweiter Faktor: \(\frac{3}{7} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{7}\). Probe: \((3 \cdot \frac{2}{5}) \cdot \frac{1}{7} = \frac{6}{5} \cdot \frac{1}{7} = \frac{6}{35}\).

a) Der Wert bleibt gleich (\(\frac{6}{35}\)). b) Ja, das Ergebnis bleibt gleich, da bei der Multiplikation das Kommutativgesetz gilt (die Reihenfolge der Faktoren im Gesamtzähler ist egal). c) Man muss den zweiten Faktor durch 3 teilen (bzw. mit \(\frac{1}{3}\) multiplizieren). Der neue Faktor wäre \(\frac{1}{7}\).

- Berechne zuerst den Anteil für die erste Situation (a) durch Multiplikation. - Führe die gleiche Rechnung für die zweite Situation (b) durch. - Vergleiche die beiden Brüche, die du als Ergebnis erhalten hast. - Vergiss nicht zu kürzen, um die Brüche besser vergleichen zu können.

1. Berechnung für Teil a: Multiplikation von \(\frac{3}{8}\) und \(\frac{4}{5}\) ergibt \(\frac{3 \cdot 4}{8 \cdot 5} = \frac{12}{40}\). 2. Kürzen des Ergebnisses aus Teil a: \(\frac{12}{40} = \frac{3}{10}\). 3. Berechnung für Teil b: Multiplikation von \(\frac{1}{2}\) und \(\frac{3}{5}\) ergibt \(\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 5} = \frac{3}{10}\). 4. Vergleich der Ergebnisse: Da \(\frac{3}{10} = \frac{3}{10}\), ist in beiden Fällen die gleiche Menge Saft im Glas.

a) Im Glas befinden sich \(\frac{3}{10}\) des Kannenvolumens. b) In beiden Fällen ist genau gleich viel Saft im Glas, da beide Rechnungen \(\frac{3}{10}\) ergeben.

- Zerlege die Aufgabe in zwei Teile: berechne erst den Bruchteil und nutze diesen dann für die Energiemenge. - Wenn du weißt, welcher Bruchteil \(14\,\text{Wh}\) entspricht, wie kommst du dann auf das Ganze? - Überlege genau, wie viel vom Akku nach dem ersten Schritt noch übrig war.

1. Berechnung der Restladung nach dem Vormittag: \(1 - \frac{5}{8} = \frac{3}{8}\). 2. Berechnung des verbleibenden Anteils nach der Pause: \(1 - \frac{2}{9} = \frac{7}{9}\). 3. Multiplikation der Anteile für Teilaufgabe a: \(\frac{7}{9} \cdot \frac{3}{8} = \frac{21}{72} = \frac{7}{24}\). 4. Berechnung des Grundwerts für Teilaufgabe b: \(14\,\text{Wh} : \frac{7}{24} = 14 \cdot \frac{24}{7} = 2 \cdot 24 = 48\,\text{Wh}\).

a) \(\frac{7}{24}\) b) \(48\,\text{Wh}\)

- Zähle die Anzahl der negativen Vorzeichen in der Produktkette. Was sagt dir das über das Endergebnis? - Du kannst die Faktoren in einer Multiplikationskette beliebig vertauschen oder zusammenfassen. - Was bedeutet ein Exponent bei einer negativen Zahl in Klammern?

1. Zählen der negativen Faktoren: Vier negative Faktoren ergeben ein positives Produkt. \(1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24\). 2. Schrittweise Multiplikation: \((-\frac{1}{2} \cdot 8) = -4\). Dann \(-4 \cdot (-0{,}25) = 1\). 3. Potenz berechnen: \((-0{,}1)^2 = 0{,}01\). Dann \(0{,}01 \cdot (-1000) = -10\). 4. Schrittweise Multiplikation: \((-5) \cdot (-\frac{2}{5}) = 2\). Dann \(2 \cdot (-3) = -6\).

a) \(24\) b) \(1\) c) \(-10\) d) \(-6\)