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- Was fällt dir an Zähler und Nenner der beiden Faktoren auf? - Was bedeutet es für die Größe der Teile, wenn man eine vorhandene Menge halbiert? - Kannst du das Ergebnis von b) noch vereinfachen?

1. Berechnung von a): \(\frac{5 \cdot 9}{9 \cdot 5} = \frac{45}{45} = 1\). 2. Erklärung zu a): Das Produkt aus einem Bruch und seinem Kehrwert ergibt immer \(1\), da Zähler und Nenner sich gegenseitig zu \(1\) kürzen lassen. 3. Berechnung von b): Die Division durch \(2\) entspricht der Multiplikation mit \(\frac{1}{2}\). Also \(\frac{4}{5} \cdot \frac{1}{2} = \frac{4}{10}\). 4. Kürzen des Ergebnisses: \(\frac{4}{10} = \frac{2}{5}\).

a) \(1\); Erklärung: Das Produkt einer Zahl mit ihrem Kehrwert ist immer \(1\). b) \(\frac{2}{5}\)

- Wie dividiert man einen Bruch durch eine ganze Zahl? - Denk daran, gemischte Zahlen vor der Rechnung immer in unechte Brüche umzuwandeln. - Es hilft oft, Dezimalzahlen zuerst in Brüche umzuschreiben. - Was musst du beim Vorzeichen beachten, wenn du eine positive durch eine negative Zahl teilst?

1. Teilaufgabe a: Division durch eine ganze Zahl als Multiplikation mit dem Kehrwert schreiben: \(\frac{5}{6} \cdot \frac{1}{10} = \frac{5}{60}\). Kürzen durch 5 ergibt \(\frac{1}{12}\). 2. Teilaufgabe b: Gemischte Zahl in einen unechten Bruch umwandeln: \(3\frac{1}{3} = \frac{10}{3}\). Division durch Multiplikation mit dem Kehrwert ersetzen: \(\frac{10}{3} \cdot \frac{9}{5} = \frac{90}{15}\). Das Ergebnis ist \(6\). 3. Teilaufgabe c: Dezimalzahl in einen Bruch umwandeln: \(-2{,}5 = -\frac{5}{2}\). Division durch Multiplikation mit dem Kehrwert ersetzen: \(-\frac{5}{2} \cdot \frac{8}{5}\). Die 5 kürzt sich weg, \(- \frac{8}{2} = -4\). 4. Teilaufgabe d: Dezimalzahl umwandeln: \(-0{,}6 = -\frac{6}{10} = -\frac{3}{5}\). Rechnung: \(\frac{12}{25} \cdot (-\frac{5}{3})\). Kürzen: \(\frac{12 \cdot (-5)}{25 \cdot 3} = \frac{4 \cdot (-1)}{5 \cdot 1} = -\frac{4}{5}\).

a) \(\frac{1}{12}\) b) \(6\) c) \(-4\) d) \(-\frac{4}{5}\)

- Was passiert mit der Anzahl der Teile, wenn du den Zähler änderst? - Was passiert mit der Größe der einzelnen Teile, wenn du den Nenner änderst? - Überlege dir ein einfaches Beispiel, zum Beispiel eine Pizza.

1. Multiplikation mit \(n\): Der Zähler wird mit \(n\) multipliziert, der Nenner bleibt gleich: \(\frac{a\cdot n}{b}\). Da der Bruch positiv und \(n>1\) ist, ist das Ergebnis größer als der ursprüngliche Bruch. 2. Division durch \(n\): Das entspricht der Multiplikation mit \(\frac{1}{n}\): \(\frac{a}{b}\cdot\frac{1}{n}=\frac{a}{b\cdot n}\). Da \(0<\frac{1}{n}<1\) gilt, ist das Ergebnis kleiner als der ursprüngliche Bruch. 3. Vergleich: Die Multiplikation vervielfacht den positiven Bruchwert mit dem Faktor \(n\); die Division teilt ihn in \(n\) gleich große Teile.

Für einen positiven Bruch gilt: Bei der Multiplikation mit \(n>1\) wird der Zähler mit \(n\) multipliziert, sodass der Bruchwert steigt. Bei der Division durch \(n\) wird der Nenner mit \(n\) multipliziert, sodass der Bruchwert sinkt.

- Kannst du den Zähler direkt durch die Zahl teilen? - Was passiert mit dem Nenner, wenn du den Zähler nicht glatt teilen kannst? - Wie schreibst du eine gemischte Zahl als Bruch, bevor du rechnest?

1. Division eines Bruchs durch eine ganze Zahl, wenn der Zähler teilbar ist: \(\frac{8}{11} : 4 = \frac{8 : 4}{11} = \frac{2}{11}\). 2. Division eines Bruchs durch eine ganze Zahl durch Multiplikation des Nenners: \(\frac{5}{6} : 3 = \frac{5}{6 \cdot 3} = \frac{5}{18}\). 3. Umwandlung der gemischten Zahl in einen unechten Bruch: \(1\frac{2}{3} = \frac{5}{3}\). 4. Division durch die ganze Zahl: \(\frac{5}{3} : 5 = \frac{5 : 5}{3} = \frac{1}{3}\).

a) \(\frac{2}{11}\) b) \(\frac{5}{18}\) c) \(\frac{1}{3}\)

- Kannst du die gemischte Zahl zuerst in einen unechten Bruch umwandeln? - Weißt du, wie man eine Dezimalzahl als Bruch schreibt? - Was passiert mit dem Nenner, wenn du einen Bruch durch eine ganze Zahl teilst? - Denk an die Vorzeichenregeln bei der Division.

1. Berechnung von a: \(\frac{8}{9} : 4 = \frac{8}{9 \cdot 4} = \frac{8}{36} = \frac{2}{9}\). 2. Berechnung von b: Umwandlung der gemischten Zahl \(2\frac{2}{5} = \frac{12}{5}\). Division: \(\frac{12}{5} : 6 = \frac{12}{5 \cdot 6} = \frac{12}{30} = \frac{2}{5}\). 3. Berechnung von c: Umwandlung der Dezimalzahl \(0{,}75 = \frac{3}{4}\). Division: \(\frac{3}{4} : 3 = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}\). 4. Berechnung von d: Berücksichtigung des Vorzeichens. \(\frac{12}{13} : (-3) = -\frac{12}{13 \cdot 3} = -\frac{12}{39} = -\frac{4}{13}\).

a) \(\frac{2}{9}\) b) \(\frac{2}{5}\) c) \(\frac{1}{4}\) d) \(-\frac{4}{13}\)

- Wie schreibt man eine Divisionsaufgabe allgemein als Bruch? - Was passiert mit dem Nenner, wenn man durch einen Bruch dividiert? - Kannst du vor dem Ausmultiplizieren im Zähler und Nenner kürzen?

1. Teilaufgabe a): Umwandlung in einen Doppelbruch \(\frac{\frac{14}{15}}{\frac{7}{10}}\). Berechnung durch Multiplikation mit dem Kehrwert: \(\frac{14}{15} \cdot \frac{10}{7} = \frac{140}{105}\). Kürzen durch 35 ergibt \(\frac{4}{3}\). 2. Teilaufgabe b): Umwandlung von \(12 : 5\) in \(\frac{12}{5}\), daraus ergibt sich der Doppelbruch \(\frac{\frac{12}{5}}{\frac{18}{25}}\). Berechnung: \(\frac{12}{5} \cdot \frac{25}{18} = \frac{2 \cdot 5}{1 \cdot 3} = \frac{10}{3}\). 3. Teilaufgabe c): Umwandlung in den Doppelbruch \(\frac{\frac{22}{7}}{11}\). Berechnung: \(\frac{22}{7} \cdot \frac{1}{11} = \frac{2}{7}\).

a) Doppelbruch: \(\frac{\frac{14}{15}}{\frac{7}{10}}\), Ergebnis: \(\frac{4}{3}\) b) Doppelbruch: \(\frac{\frac{12}{5}}{\frac{18}{25}}\), Ergebnis: \(\frac{10}{3}\) c) Doppelbruch: \(\frac{\frac{22}{7}}{11}\), Ergebnis: \(\frac{2}{7}\)

- Wie dividiert man durch einen Bruch? Denke an den Kehrwert. - Was musst du bei der Division mit negativen Zahlen beachten? - Wandle gemischte Zahlen vor dem Rechnen immer zuerst in unechte Brüche um. - Kannst du schon vor dem Multiplizieren über Kreuz kürzen, um dir das Rechnen zu erleichtern? - Vergiss nicht, das Endergebnis am Schluss wieder als gemischte Zahl zu schreiben, falls der Zähler größer als der Nenner ist.

1. Berechnung von a): Multiplikation mit dem Kehrwert ergibt \(\frac{15}{16} \cdot \frac{8}{5}\). Nach dem Kürzen von 15 gegen 5 und 8 gegen 16 erhält man \(\frac{3}{2}\), was \(1 \frac{1}{2}\) entspricht. 2. Berechnung von b): Umwandlung der gemischten Zahlen in unechte Brüche ergibt \(-\frac{8}{3} : \frac{10}{9}\). Multiplikation mit dem Kehrwert führt zu \(-\frac{8}{3} \cdot \frac{9}{10}\). Kürzen ergibt \(-\frac{4 \cdot 3}{1 \cdot 5} = -\frac{12}{5}\), umgewandelt \(-2 \frac{2}{5}\). 3. Berechnung von c): Multiplikation der ganzen Zahl mit dem Kehrwert ergibt \(10 \cdot (-\frac{3}{2})\). Dies führt zu \(- \frac{30}{2} = -15\). 4. Berechnung von d): Das Ergebnis zweier negativer Zahlen ist positiv. Multiplikation mit dem Kehrwert ergibt \(\frac{7}{12} \cdot \frac{9}{14}\). Nach dem Kürzen (7 gegen 14 und 9 gegen 12) erhält man \(\frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 2} = \frac{3}{8}\).

a) \(1 \frac{1}{2}\) b) \(-2 \frac{2}{5}\) c) \(-15\) d) \(\frac{3}{8}\)

- Stelle für jede Gruppe eine Divisionsaufgabe auf. - Wie rechnet man einen Bruch geteilt durch eine ganze Zahl? - Vergleiche die beiden Brüche am Ende, indem du sie falls nötig auf den gleichen Nenner bringst.

1. Berechnung für Gruppe A: \(\frac{3}{4} : 6 = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{6} = \frac{3}{24} = \frac{1}{8}\). Jede Person in Gruppe A erhält \(\frac{1}{8}\) einer Pizza. 2. Berechnung für Gruppe B: \(\frac{1}{2} : 4 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{8}\). Jede Person in Gruppe B erhält \(\frac{1}{8}\) einer Pizza. 3. Vergleich: \(\frac{1}{8} = \frac{1}{8}\). Beide Gruppen erhalten exakt die gleiche Menge an Pizza pro Person.

Beide Gruppen erhalten pro Person gleich viel: \(\frac{1}{8}\) einer Pizza.

- Wie wandelt man eine gemischte Zahl in einen Bruch um? - Was passiert mit dem Rechenzeichen, wenn du den Kehrwert des zweiten Bruchs bildest? - Schau dir die Nenner der beiden Brüche an – fällt dir etwas auf?

1. Umwandlung der gemischten Zahlen in unechte Brüche: \(2 \frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{8}{3}\) und \(1 \frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{4}{3}\). 2. Multiplikation des ersten Bruchs mit dem Kehrwert des zweiten Bruchs: \(\frac{8}{3} : \frac{4}{3} = \frac{8}{3} \cdot \frac{3}{4}\). 3. Kürzen der gemeinsamen Faktoren (die 3 im Zähler und Nenner): \(\frac{8}{1} \cdot \frac{1}{4} = \frac{8}{4}\). 4. Berechnung des Endergebnisses: \(\frac{8}{4} = 2\).

\(2\)

- Denk daran, zuerst die gemischten Zahlen umzuwandeln. - Kannst du vor dem Multiplizieren über Kreuz kürzen, um die Rechnung zu vereinfachen? - Vergiss nicht, das Ergebnis am Ende wieder als gemischte Zahl zu schreiben.

1. Umwandlung in unechte Brüche: \(3 \frac{3}{4} = \frac{15}{4}\) und \(2 \frac{1}{2} = \frac{5}{2}\). 2. Division durch Multiplikation mit dem Kehrwert: \(\frac{15}{4} \cdot \frac{2}{5}\). 3. Kürzen vor dem Rechnen: \(\frac{15}{5} = 3\) und \(\frac{2}{4} = \frac{1}{2}\). 4. Multiplikation der gekürzten Werte: \(3 \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{2}\). 5. Umwandlung in eine gemischte Zahl: \(\frac{3}{2} = 1 \frac{1}{2}\).

\(1 \frac{1}{2}\)

- Wie dividiert man zwei Brüche miteinander? - Schreibe die Division in \(T_1\) einmal als Multiplikationsaufgabe um. - Betrachte Zähler und Nenner der resultierenden Brüche einzeln.

1. Berechnung von \(T_1\): \(\frac{2}{3} : \frac{4}{5} = \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{4} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}\). 2. Berechnung von \(T_2\): \(\frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 4} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}\). 3. Begründung: Die Division durch einen Bruch \(\frac{c}{d}\) ist mathematisch identisch mit der Multiplikation mit seinem Kehrwert \(\frac{d}{c}\). Gemäß der Multiplikationsregel für Brüche (Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner) ergibt sich daraus direkt der Ausdruck \(\frac{a \cdot d}{b \cdot c}\). 4. Dabei müssen \(b\), \(c\) und \(d\) von null verschieden sein: \(b\) und \(d\) sind Nenner, und der Divisor \(\frac{c}{d}\) darf nicht null sein.

a) Beide Terme ergeben \(\frac{5}{6}\) (ca. \(0{,}833\)). b) Die Division durch einen Bruch entspricht der Multiplikation mit dem Kehrwert. Da bei der Multiplikation von Brüchen Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multipliziert werden, sind beide Ausdrücke äquivalent. Dies gilt für \(b \neq 0, c \neq 0, d \neq 0\).

- Erinnerst du dich an die Regel „Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner“ nach dem Umdrehen des zweiten Bruchs? - Du kannst über Kreuz kürzen, bevor du die Zahlen multiplizierst. Das spart viel Rechenarbeit! - Wie wandelt man eine gemischte Zahl so um, dass man mit ihr rechnen kann?

1. Teilaufgabe a: Multiplikation mit dem Kehrwert: \(\frac{21}{40} \cdot \frac{15}{14}\). Kürzen: 21 und 14 durch 7, 15 und 40 durch 5. Rechnung: \(\frac{3 \cdot 3}{8 \cdot 2} = \frac{9}{16}\). 2. Teilaufgabe b: Umwandeln in unechte Brüche: \(\frac{45}{8} : \frac{9}{4}\). Multiplikation mit dem Kehrwert: \(\frac{45}{8} \cdot \frac{4}{9}\). Kürzen: 45 und 9 durch 9, 4 und 8 durch 4. Rechnung: \(\frac{5 \cdot 1}{2 \cdot 1} = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2}\). 3. Teilaufgabe c: Multiplikation mit dem Kehrwert: \(\frac{48}{125} \cdot \frac{25}{16}\). Kürzen: 48 und 16 durch 16 (ergibt 3 und 1), 25 und 125 durch 25 (ergibt 1 und 5). Rechnung: \(\frac{3 \cdot 1}{5 \cdot 1} = \frac{3}{5}\).

a) \(\frac{9}{16}\) b) \(2\frac{1}{2}\) (oder \(2{,}5\)) c) \(\frac{3}{5}\) (oder \(0{,}6\))

- Was passiert mit dem Wert eines Bruches, wenn man ihn durch eine Zahl größer als 1 teilt? Was, wenn man ihn durch eine Zahl kleiner als 1 teilt? - Bei Teilaufgabe b: Kannst du die Gleichung so umstellen, dass der Platzhalter allein steht? Erinnere dich an die Umkehroperation. - Überlege dir bei Teilaufgabe c, was der Kehrwert von zwei Dritteln ist und wie man ihn als Dezimalzahl schreibt.

1. Teilaufgabe a: Berechnung der Werte: \(I = \frac{1}{4}\), \(II = 1\), \(III = \frac{1}{8}\). Vergleich der Brüche: \(\frac{1}{8} < \frac{1}{4} < 1\). Reihenfolge: \(III, I, II\). 2. Teilaufgabe b: Umformung der Gleichung: \(\frac{3}{7} \cdot \frac{1}{\square} = \frac{9}{14}\). Daraus folgt \(\frac{1}{\square} = \frac{9}{14} \cdot \frac{7}{3}\). Kürzen ergibt \(\frac{1}{\square} = \frac{3}{2}\). Der Kehrwert ist \(\square = \frac{2}{3}\). 3. Teilaufgabe c: Division durch einen Bruch entspricht der Multiplikation mit dem Kehrwert. Der Kehrwert von \(\frac{2}{3}\) ist \(\frac{3}{2}\). Da \(\frac{3}{2} = 1{,}5\) ist, ist die Aussage wahr.

a) \(III < I < II\) b) \(\square = \frac{2}{3}\) c) Wahr, da die Division durch \(\frac{2}{3}\) das Gleiche ist wie die Multiplikation mit dem Kehrwert \(\frac{3}{2}\), was der Dezimalzahl \(1{,}5\) entspricht.

- Führe zuerst beide Rechnungen getrennt voneinander durch. - Kürze deine Ergebnisse so weit wie möglich, bevor du sie vergleichst. - Wie oft passt das kleinere Ergebnis in das größere?

1. Berechnung der Multiplikation: \(\frac{2}{5} \cdot 4 = \frac{2 \cdot 4}{5} = \frac{8}{5}\). 2. Berechnung der Division: \(\frac{2}{5} : 4 = \frac{2}{5 \cdot 4} = \frac{2}{20} = \frac{1}{10}\). 3. Vergleich der Ergebnisse: \(\frac{8}{5} : \frac{1}{10} = \frac{8}{5} \cdot \frac{10}{1} = \frac{80}{5} = 16\). 4. Begründung: Da die Multiplikation den Wert vervierfacht (\(\cdot 4\)) und die Division den Wert viertelt (\(: 4\)), ist der Unterschied der Faktor \(4 \cdot 4 = 16\).

1. Multiplikation: \(\frac{8}{5}\) (oder \(1\frac{3}{5}\)). 2. Division: \(\frac{1}{10}\). 3. Das Ergebnis der Multiplikation ist 16-mal so groß wie das der Division, da \(4 \cdot 4 = 16\) gilt.

- Achte auf die Vorzeichenregeln wie bei ganzen Zahlen. - Kannst du vor dem Ausmultiplizieren im Nenner bereits kürzen? - Wandle Dezimalzahlen zuerst in Brüche um.

1. Beachtung des Vorzeichens und Division des Zählers: \(-\frac{15}{16} : 5 = -\frac{15 : 5}{16} = -\frac{3}{16}\). 2. Multiplikation des Nenners und Kürzen: \(\frac{7}{8} : 14 = \frac{7}{8 \cdot 14} = \frac{1}{8 \cdot 2} = \frac{1}{16}\). 3. Umwandlung der gemischten Zahl: \(2\frac{4}{7} = \frac{18}{7}\). Division durch 6: \(\frac{18 : 6}{7} = \frac{3}{7}\). 4. Umwandlung der Dezimalzahl in einen Bruch: \(0{,}4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}\). Division: \(\frac{2}{5} : 8 = \frac{2}{5 \cdot 8} = \frac{1}{5 \cdot 4} = \frac{1}{20}\).

a) \(-\frac{3}{16}\) b) \(\frac{1}{16}\) c) \(\frac{3}{7}\) d) \(\frac{1}{20}\)

- Erinnerst du dich an den Zusammenhang zwischen der Division durch eine Zahl und der Multiplikation mit ihrem Kehrwert? - Was passiert, wenn du die Brüche in den Aufgaben C und D zuerst vereinfachst oder umwandelst? - Musst du wirklich alles bis zum Ende ausrechnen, um die Terme vergleichen zu können?

1. Wert von A: \(\frac{3}{4} : 2 = \frac{3}{4 \cdot 2} = \frac{3}{8}\). 2. Wert von B: Die Multiplikation mit dem Kehrwert \(\frac{1}{2}\) entspricht der Division durch 2. \(\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{8}\). 3. Wert von C: \(1\frac{1}{2} = \frac{3}{2}\). Division durch 4: \(\frac{3}{2} : 4 = \frac{3}{2 \cdot 4} = \frac{3}{8}\). 4. Wert von D: Kürzen von \(\frac{6}{4}\) ergibt \(\frac{3}{2}\). Division durch 4: \(\frac{3}{2} : 4 = \frac{3}{8}\). Alle vier Terme haben denselben Wert.

Alle vier Terme (A, B, C und D) haben denselben Wert: \(\frac{3}{8}\).

- Welche Rechnung wird durch die Klammern zuerst ausgeführt? - Wo muss der lange Hauptbruchstrich im Doppelbruch stehen? - Vergleiche die Position der Divisionen mit der Position der Bruchstriche.

1. Teilaufgabe a): Der Ausdruck \((12 : 4) : 2\) wird als Doppelbruch \(\frac{\frac{12}{4}}{2}\) geschrieben. Berechnung: \(\frac{3}{2} = 1{,}5\). Hier ist der Zähler selbst ein Bruch (\(\frac{12}{4}\)). 2. Teilaufgabe b): Der Ausdruck \(12 : (4 : 2)\) wird als Doppelbruch \(\frac{12}{\frac{4}{2}}\) geschrieben. Berechnung: \(\frac{12}{2} = 6\). Hier ist der Nenner selbst ein Bruch (\(\frac{4}{2}\)). 3. Vergleich: Die Ergebnisse \(\frac{3}{2}\) und \(6\) sind verschieden. Die Klammersetzung bestimmt, welcher Teil des Terms als „Hauptbruchstrich“ fungiert.

a) Doppelbruch: \(\frac{\frac{12}{4}}{2}\), Ergebnis: \(\frac{3}{2}\) (oder \(1{,}5\)) b) Doppelbruch: \(\frac{12}{\frac{4}{2}}\), Ergebnis: \(6\) Vergleich: Die Ergebnisse sind unterschiedlich, da der Hauptbruchstrich an verschiedenen Stellen steht.

- Was passiert mit einer Zahl, wenn man sie durch etwas teilt, das kleiner als 1 ist? - Wie verändert sich eine Zahl, wenn der Divisor größer als 1 ist? - Erinnere dich an die Regel für die Division von Brüchen: Mit welcher Zahl muss man stattdessen multiplizieren? - Wandle gemischte Zahlen immer zuerst in einen unechten Bruch um, bevor du rechnest. - Kannst du beim Multiplizieren der Brüche eventuell schon vorab kürzen?

1. Analyse der Divisoren: Der Divisor in (1) ist \( \frac{2}{3} \), was kleiner als 1 ist. Der Divisor in (2) ist \( 1\frac{1}{3} \), was größer als 1 ist. 2. Schlussfolgerung für a): Da die Division durch eine Zahl kleiner als 1 den Wert vergrößert, liefert Rechnung (1) ein Ergebnis \( > \frac{4}{5} \). 3. Berechnung (1): Multiplikation mit dem Kehrwert ergibt \( \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{2} = \frac{12}{10} \). Kürzen und Umwandeln führt zu \( \frac{6}{5} = 1\frac{1}{5} \). 4. Umwandlung für (2): Die gemischte Zahl \( 1\frac{1}{3} \) entspricht dem Bruch \( \frac{4}{3} \). 5. Berechnung (2): Multiplikation mit dem Kehrwert ergibt \( \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{4} = \frac{12}{20} \). Kürzen führt zum Ergebnis \( \frac{3}{5} \).

a) Bei Rechnung (1), da man durch eine Zahl teilt, die kleiner als 1 ist (\( \frac{2}{3} < 1 \)). b) (1) \( 1\frac{1}{5} \) (oder \( \frac{6}{5} \)); (2) \( \frac{3}{5} \).

- Kannst du eine Division durch eine Zahl auch als Multiplikation mit ihrem Kehrwert schreiben? - Ein Doppelbruch ist nur eine andere Schreibweise für eine Division zweier Brüche. Welches Rechenzeichen ersetzt der Hauptbruchstrich? - Achte bei mehreren Rechenzeichen auf die Reihenfolge (von links nach rechts), sofern keine Klammern etwas anderes vorgeben. - Kannst du vor dem Multiplizieren im Zähler und Nenner kürzen, um die Zahlen kleiner zu machen? - Vergiss bei Teilaufgabe b nicht, auf das Vorzeichen zu achten.

1. Teilaufgabe a: Der Ausdruck wird als Doppelbruch \(\frac{\frac{14}{25}}{\frac{7}{10}}\) geschrieben. Die Division durch einen Bruch entspricht der Multiplikation mit dem Kehrwert: \(\frac{14}{25} \cdot \frac{10}{7}\). Durch Kürzen (\(14\) mit \(7\) und \(10\) mit \(25\)) erhält man \(\frac{2 \cdot 2}{5 \cdot 1} = \frac{4}{5}\). 2. Teilaufgabe b: Der Ausdruck wird als Doppelbruch \(\frac{-\frac{18}{35}}{\frac{9}{14}}\) dargestellt. Die Berechnung erfolgt durch \((-\frac{18}{35}) \cdot \frac{14}{9}\). Nach dem Kürzen (\(18\) mit \(9\) und \(14\) mit \(35\)) ergibt sich \(-\frac{2 \cdot 2}{5 \cdot 1} = -\frac{4}{5}\). 3. Teilaufgabe c: Zuerst wird die Division von links nach rechts oder durch Zusammenfassung der Teilschritte betrachtet. Als geschachtelter Doppelbruch geschrieben ergibt sich \(\frac{\frac{\frac{21}{16}}{\frac{7}{8}}}{3}\). Zuerst berechnet man den Zähler des Hauptbruchs: \(\frac{21}{16} \cdot \frac{8}{7} = \frac{3}{2}\). Danach dividiert man das Zwischenergebnis durch \(3\): \(\frac{3}{2} : 3 = \frac{3}{2 \cdot 3} = \frac{1}{2}\).

a) Doppelbruch: \(\frac{\frac{14}{25}}{\frac{7}{10}}\), Ergebnis: \(\frac{4}{5}\) b) Doppelbruch: \(\frac{-\frac{18}{35}}{\frac{9}{14}}\), Ergebnis: \(-\frac{4}{5}\) c) Doppelbruch: \(\frac{\frac{\frac{21}{16}}{\frac{7}{8}}}{3}\), Ergebnis: \(\frac{1}{2}\)

- Was passiert mit dem Nenner eines Bruchs, wenn man den Bruch durch eine ganze Zahl teilt? - Erinnerst du dich an die Regel „Mit dem Kehrwert multiplizieren“? Wann wendet man sie an? - Wie geht man am besten vor, wenn in einer Divisionsaufgabe eine gemischte Zahl vorkommt? - Schau dir genau an, ob Lukas multipliziert oder dividiert hat und ob das zur Rechenregel passt.

1. In Teilaufgabe a) wurde der Zähler mit der ganzen Zahl multipliziert, statt den Nenner zu multiplizieren oder den Zähler zu dividieren. Richtig: \(\frac{3}{7} : 3 = \frac{3}{7 \cdot 3} = \frac{3}{21} = \frac{1}{7}\) oder \(\frac{3 : 3}{7} = \frac{1}{7}\). 2. In Teilaufgabe b) wurde direkt Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multipliziert, anstatt mit dem Kehrwert des Divisors zu multiplizieren. Richtig: \(\frac{4}{5} : \frac{2}{3} = \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{2} = \frac{12}{10} = \frac{6}{5} = 1\frac{1}{5}\). 3. In Teilaufgabe c) wurde die gemischte Zahl nicht in einen unechten Bruch umgewandelt. Lukas hat nur die ganze Zahl durch den Bruch geteilt und den restlichen Bruch addiert. Richtig: Umwandeln in \(\frac{5}{2}\), dann \(\frac{5}{2} : \frac{1}{4} = \frac{5}{2} \cdot \frac{4}{1} = \frac{20}{2} = 10\).

a) Fehler: Zähler wurde multipliziert statt dividiert. Richtig: \(\frac{1}{7}\). b) Fehler: Es wurde kein Kehrwert gebildet. Richtig: \(\frac{6}{5}\) (oder \(1\frac{1}{5}\)). c) Fehler: Gemischte Zahl wurde nicht korrekt umgewandelt/verrechnet. Richtig: \(10\).

- Überlege dir, ob das Ergebnis größer oder kleiner als der Startwert sein muss. - Wie ändert sich die Rechnung, wenn man durch einen Bruch statt durch eine ganze Zahl teilt? - Was bedeutet „geteilt durch \(3\)“ im Vergleich zu „wie oft passt ein Drittel hinein“?

1. Berechnung von \(\frac{3}{5} : 3\): \(\frac{3}{5 \cdot 3} = \frac{3}{15} = \frac{1}{5}\). Hier wird ein Anteil auf drei gleich große Gruppen verteilt (Verteilen). 2. Berechnung von \(\frac{3}{5} : \frac{1}{3}\): \(\frac{3}{5} \cdot \frac{3}{1} = \frac{9}{5} = 1 \frac{4}{5}\). Hier wird ermittelt, wie oft ein Drittel in den Anteil von drei Fünfteln hineinpasst (Aufteilen bzw. Messen). 3. Vergleich der Ergebnisse: \(\frac{1}{5}\) ist kleiner als der ursprüngliche Wert, \(1 \frac{4}{5}\) ist größer.

1. \(\frac{1}{5}\); 2. \(\frac{9}{5}\) (oder \(1 \frac{4}{5}\)). Unterschied: Bei 1. wird die Menge verkleinert (Teilen in 3 Stücke), bei 2. wird gefragt, wie oft ein kleiner Teil (\(\frac{1}{3}\)) in der Menge enthalten ist.

- Achte beim Umwandeln der gemischten Zahlen darauf, den Nenner beizubehalten. - Gibt es eine Zahl, durch die man 21 und 7 teilen kann? - Wie oft passt der Nenner 5 in den Zähler 12?

1. Umwandlung der gemischten Zahlen in unechte Brüche: \(4 \frac{1}{5} = \frac{21}{5}\) und \(1 \frac{3}{4} = \frac{7}{4}\). 2. Anwendung der Kehrwertregel: \(\frac{21}{5} \cdot \frac{4}{7}\). 3. Kürzen der Zahlen 21 und 7 durch den gemeinsamen Teiler 7: \(\frac{3}{5} \cdot \frac{4}{1}\). 4. Multiplikation der Zähler und Nenner: \(\frac{3 \cdot 4}{5 \cdot 1} = \frac{12}{5}\). 5. Umwandlung in eine gemischte Zahl: \(\frac{12}{5} = 2 \frac{2}{5}\).

\(2 \frac{2}{5}\)

- Erinnere dich an die Definition des Kehrwerts eines Bruchs. - Was passiert mit Zähler und Nenner, wenn man den Kehrwert bildet? - Vergleiche die Rechenwege für die Division und die Multiplikation mit dem Kehrwert Schritt für Schritt.

1. Berechnung des Produkts: \(-\frac{3}{4} \cdot \frac{2}{3} = -\frac{6}{12} = -\frac{1}{2}\). 2. Berechnung des Quotienten: \(-\frac{3}{4} : \frac{2}{3} = -\frac{3}{4} \cdot \frac{3}{2} = -\frac{9}{8}\). 3. Der Kehrwert von \(b = \frac{2}{3}\) ist \(\frac{3}{2}\). Die Multiplikation \(a \cdot \frac{3}{2} = -\frac{3}{4} \cdot \frac{3}{2} = -\frac{9}{8}\). 4. Feststellung: Die Ergebnisse aus b) und c) sind identisch. Dies bestätigt, dass die Division durch einen Bruch dasselbe ist wie die Multiplikation mit seinem Kehrwert.

a) \(-\frac{1}{2}\) b) \(-\frac{9}{8}\) c) Das Ergebnis ist \(-\frac{9}{8}\). Die Ergebnisse in b) und c) sind gleich.

- Wie dividiert man eine Zahl durch einen Bruch? - Welche Zahl ist größer: \(-4\) oder \(-25\)? - Stelle dir die Positionen der Zahlen auf einer Skala vor.

1. Berechnung von \(x\): \((-10) \cdot \frac{2}{5} = \frac{-20}{5} = -4\). 2. Berechnung von \(y\): Division durch einen Bruch entspricht der Multiplikation mit dem Kehrwert: \((-10) : \frac{2}{5} = (-10) \cdot \frac{5}{2} = \frac{-50}{2} = -25\). 3. Vergleich der Werte: Auf der Zahlengeraden liegen größere Zahlen weiter rechts. Da \(-4 > -25\), liegt das Ergebnis \(x\) weiter rechts.

\(x = -4\) und \(y = -25\). Das Ergebnis \(x\) liegt weiter rechts auf der Zahlengeraden, da \(-4 > -25\).

- Überlege dir: Gesamtmenge geteilt durch Anzahl ergibt den Anteil. Wie kannst du diese Rechnung umkehren? - Wenn eine Kanne \(\frac{3}{4}\) Liter fasst, wie viele Viertelliter sind dann in 6 ganzen Litern enthalten? - Wie oft passt \(\frac{3}{4}\) in die Zahl 6?

1. Aufstellen der Beziehung: Die Gesamtmenge (6 Liter) geteilt durch die Anzahl der Kannen (\(x\)) ergibt den Anteil pro Kanne (\(\frac{3}{4}\)). Also \(6 : x = \frac{3}{4}\). 2. Umformung zur Bestimmung der Anzahl: Um \(x\) zu finden, muss die Gesamtmenge durch den Anteil pro Kanne geteilt werden: \(x = 6 : \frac{3}{4}\). 3. Berechnung durch Multiplikation mit dem Kehrwert: \(6 \cdot \frac{4}{3} = \frac{24}{3}\). 4. Ergebnis: \(24 : 3 = 8\). Die Anzahl der Gießkannen beträgt 8.

Der Dünger wurde auf 8 Gießkannen verteilt.

- Stelle eine Gleichung auf, in der \(n\) die gesuchte Zahl ist. - Wie schreibt man die Division durch \(n\) als Bruchterm? - Kannst du die Gleichung so umformen, dass kein Bruch mehr da steht?

1. Aufstellen der Gleichung: \(\frac{3}{8} \cdot n = \frac{3}{2} : n\). 2. Schreiben der Division als Multiplikation mit dem Kehrwert: \(\frac{3}{2} : n = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{n} = \frac{3}{2n}\). Damit gilt \(\frac{3n}{8} = \frac{3}{2n}\). 3. Lösen durch Kreuzmultiplikation: \(3n \cdot 2n = 3 \cdot 8\), also \(6n^2 = 24\). 4. Division durch 6: \(n^2 = 4\). 5. Da \(n\) eine natürliche Zahl ist, folgt aus \(n^2 = 4\) durch Probieren \(n = 2\). 6. Verifikation: \(\frac{3}{8} \cdot 2 = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}\) und \(\frac{3}{2} : 2 = \frac{3}{4}\).

Die gesuchte Zahl ist \(n = 2\). Rechnung: \(\frac{3}{8} \cdot 2 = \frac{3}{4}\) und \(\frac{3}{2} : 2 = \frac{3}{4}\).

- Manchmal ist es einfacher, den Zähler zu dividieren, manchmal den Nenner zu multiplizieren. - Suche nach einem gemeinsamen Teiler zwischen dem Zähler des Bruchs und dem Divisor. - Vergiss nicht, am Ende zu prüfen, ob der Bruch noch weiter gekürzt werden kann.

1. Division des Zählers durch die ganze Zahl: \(\frac{121 : 11}{144} = \frac{11}{144}\). 2. Multiplikation im Nenner und Kürzen: \(\frac{7}{15 \cdot 21} = \frac{1}{15 \cdot 3} = \frac{1}{45}\). 3. Umwandlung in einen unechten Bruch: \(-4\frac{2}{3} = -\frac{14}{3}\). Division durch 14: \(-\frac{14 : 14}{3} = -\frac{1}{3}\). 4. Multiplikation im Nenner und Kürzen durch 5: \(\frac{25}{36 \cdot 10} = \frac{5}{36 \cdot 2} = \frac{5}{72}\).

a) \(\frac{11}{144}\) b) \(\frac{1}{45}\) c) \(-\frac{1}{3}\) d) \(\frac{5}{72}\)

- Was passiert mit einem Kuchen, wenn du ihn mit immer mehr Menschen teilen musst? - Kannst du den Term so umschreiben, dass \(x\) im Nenner eines einzigen Bruchs steht? - Probiere für Teil c verschiedene große Zahlen für \(x\) aus, zum Beispiel 10, 100 oder 1000. Was beobachtest du?

1. Lösung für a: Für \(x=2\) ergibt sich \(\frac{4}{5} : 2 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}\). Für \(x=8\) ergibt sich \(\frac{4}{5} : 8 = \frac{4}{40} = \frac{1}{10}\). 2. Lösung für b: Gesucht ist \(x\) mit \(\frac{4}{5 \cdot x} = \frac{1}{10}\). Da \(\frac{1}{10} = \frac{4}{40}\), muss \(5 \cdot x = 40\) gelten. Daraus folgt \(x = 8\). 3. Lösung für c: Wenn \(x\) größer wird, wird der Nenner des Bruchs \(\frac{4}{5x}\) immer größer, während der Zähler konstant bleibt. Der Gesamtwert des Terms wird also immer kleiner und nähert sich \(0\) an.

a) Für \(x=2\) ist der Wert \(\frac{2}{5}\); für \(x=8\) ist der Wert \(\frac{1}{10}\). b) \(x = 8\). c) Der Wert des Terms wird immer kleiner (er nähert sich \(0\) an).

- Wie macht man aus einer gemischten Zahl einen Bruch? - Kannst du den unteren Teil des großen Bruchs zuerst wie eine ganz normale Divisionsaufgabe lösen? - Erinnere dich an die Regel: „Man dividiert durch einen Bruch, indem man …“

1. Zähler umwandeln: \(3 \frac{1}{2} = \frac{7}{2}\). 2. Nenner berechnen: \(\frac{7}{4} : \frac{5}{2} = \frac{7}{4} \cdot \frac{2}{5} = \frac{14}{20} = \frac{7}{10}\). 3. Gesamtwert berechnen: Der Doppelbruch lautet nun \(\frac{\frac{7}{2}}{\frac{7}{10}}\). Berechnung durch Multiplikation mit dem Kehrwert: \(\frac{7}{2} \cdot \frac{10}{7} = \frac{70}{14} = 5\).

Der Zähler ist \(\frac{7}{2}\), der Nenner ist \(\frac{7}{10}\). Das Endergebnis ist \(5\).