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- Was musst du beim Untereinanderschreiben beachten, damit die Stellenwerte (Einer, Zehntel, Hundertstel) zusammenpassen? - Hilft es dir, die Zahlen mit Endnullen auf die gleiche Anzahl von Nachkommastellen zu bringen? - Wo genau muss das Komma im Ergebnis stehen?

1. Addition von \(9{,}42\) und \(15{,}80\): Ausrichten der Kommas und stellenweise Addition ergibt \(25{,}22\). 2. Subtraktion von \(6{,}75\) von \(14{,}60\): Ausrichten der Kommas, Ergänzen einer Endnull und stellenweise Subtraktion ergibt \(7{,}85\). 3. Addition von \(0{,}734\) und \(3{,}590\): Ausrichten der Kommas, Ergänzen einer Endnull und stellenweise Addition ergibt \(4{,}324\). 4. Subtraktion von \(12{,}841\) von \(30{,}000\): Ergänzen von drei Endnullen bei der ganzen Zahl und stellenweise Subtraktion ergibt \(17{,}159\).

a) \(25{,}22\) b) \(7{,}85\) c) \(4{,}324\) d) \(17{,}159\)

- Kannst du die Aufgabe mithilfe einer Umkehroperation lösen? - Wie würdest du vorgehen, wenn dort einfache ganze Zahlen wie \(x + 2 = 5\) stünden? - Vergiss nicht, beim Rechnen die Kommas exakt untereinander zu setzen.

1. Aufgabe a: Umkehrung der Addition zur Subtraktion führt zur Rechnung \(41{,}10 - 23{,}65\). Das Ergebnis ist \(17{,}45\). 2. Aufgabe b: Um den Subtrahenden zu finden, wird die Differenz vom Minuenden abgezogen: \(60{,}20 - 18{,}47\). Das Ergebnis ist \(41{,}73\).

a) \(17{,}45\) b) \(41{,}73\)

- Hilft es dir, die Zahlen so untereinander zu schreiben, dass die Kommas direkt untereinander stehen? - Wie kannst du leere Stellen nach dem Komma auffüllen, damit alle Zahlen gleich viele Nachkommastellen haben? - Was ist eine einfache Rundung für jede Zahl, um das Ergebnis grob zu schätzen?

1. Überschlag zu a): \(43 + 5 + 13 = 61\). 2. Genaue Berechnung a): Ergänzen von Endnullen zur besseren Übersicht (\(42{,}70 + 5{,}09 + 13{,}00\)). Addition der Stellenwerte ergibt \(60{,}79\). 3. Überschlag zu b): \(105 - 37 = 68\). 4. Genaue Berechnung b): Ergänzen von Endnullen (\(105{,}200 - 37{,}485\)). Subtraktion unter Berücksichtigung der Überträge ergibt \(67{,}715\).

a) Überschlag: \(61\); genaues Ergebnis: \(60{,}79\) b) Überschlag: \(68\); genaues Ergebnis: \(67{,}715\)

- Überlege zuerst, wie du das Gesamtgewicht für jedes Paket einzeln bestimmen kannst. - Achte beim Addieren der Dezimalzahlen darauf, dass die Kommata genau untereinander stehen. - Um den Unterschied zu finden, subtrahiere das kleinere vom größeren Ergebnis.

1. Berechnung des Gesamtgewichts von Paket A: \(1{,}425\,\text{kg} + 0{,}890\,\text{kg} = 2{,}315\,\text{kg}\). 2. Berechnung des Gesamtgewichts von Paket B: \(1{,}185\,\text{kg} + 1{,}142\,\text{kg} = 2{,}327\,\text{kg}\). 3. Vergleich der Gesamtgewichte: \(2{,}327\,\text{kg} > 2{,}315\,\text{kg}\), somit ist Paket B schwerer. 4. Berechnung der Differenz: \(2{,}327\,\text{kg} - 2{,}315\,\text{kg} = 0{,}012\,\text{kg}\).

Paket B ist mit insgesamt \(2{,}327\,\text{kg}\) schwerer. Der Gewichtsunterschied beträgt \(0{,}012\,\text{kg}\).

- Was bedeutet „gewinnen“ im Zusammenhang mit Zeitmessungen beim Sport? - Addiere die Einzelzeiten für jedes Team, um die Gesamtzeit zu erhalten. - Wie berechnet man den zeitlichen Abstand zwischen zwei Ergebnissen?

1. Berechnung der Gesamtzeit von Team Blau: \(32{,}45\,\text{s} + 31{,}98\,\text{s} = 64{,}43\,\text{s}\). 2. Berechnung der Gesamtzeit von Team Rot: \(32{,}12\,\text{s} + 32{,}26\,\text{s} = 64{,}38\,\text{s}\). 3. Vergleich der Zeiten: Da im Sport die kürzere Zeit gewinnt und \(64{,}38\,\text{s} < 64{,}43\,\text{s}\) gilt, gewinnt Team Rot. 4. Berechnung des Vorsprungs: \(64{,}43\,\text{s} - 64{,}38\,\text{s} = 0{,}05\,\text{s}\).

Team Rot hat gewonnen, da seine Gesamtzeit von \(64{,}38\,\text{s}\) kürzer ist als die von Team Blau (\(64{,}43\,\text{s}\)). Der Vorsprung beträgt \(0{,}05\,\text{s}\).

- Gibt es eine ganze Zahl, die sehr nah an dem Subtrahenden bzw. Summanden liegt? - Wenn du mit einer einfacheren Zahl rechnest, wie musst du den Fehler am Ende korrigieren? - Überlege, ob du zu viel oder zu wenig abgezogen bzw. hinzugefügt hast.

1. Für \(45{,}67 - 19{,}99\): Subtraktion von \(20\) statt \(19{,}99\), da \(20\) eine „glatte“ Zahl ist. Da \(0{,}01\) zu viel abgezogen wurde, muss dieser Betrag addiert werden: \(45{,}67 - 20 = 25{,}67\); \(25{,}67 + 0{,}01 = 25{,}68\). 2. Für \(12{,}456 + 3{,}998\): Addition von \(4\) statt \(3{,}998\). Da \(0{,}002\) zu viel addiert wurde, muss dieser Betrag subtrahiert werden: \(12{,}456 + 4 = 16{,}456\); \(16{,}456 - 0{,}002 = 16{,}454\).

a) \(25{,}68\) (Rechenweg: \(45{,}67 - 20 + 0{,}01\)) b) \(16{,}454\) (Rechenweg: \(12{,}456 + 4 - 0{,}002\))

- Was genau soll am Ende berechnet werden? - Könntest du die Kosten für die Hefte zuerst einzeln bestimmen? - Wie berechnet man den Betrag, den man an der Kasse zurückbekommt? - Achte darauf, die Kommas beim Addieren untereinander zu schreiben.

1. Berechnung der Kosten für die Schreibhefte: \(3 \cdot 0{,}60\,\text{€} = 1{,}80\,\text{€}\). 2. Addition aller Einzelbeträge zur Gesamtsumme: \(1{,}35\,\text{€} + 1{,}80\,\text{€} + 9{,}49\,\text{€} = 12{,}64\,\text{€}\). 3. Subtraktion der Gesamtsumme vom gezahlten Betrag zur Ermittlung des Wechselgelds: \(20{,}00\,\text{€} - 12{,}64\,\text{€} = 7{,}36\,\text{€}\).

Lukas erhält \(7{,}36\,\text{€}\) Wechselgeld.

- Achte beim Addieren darauf, dass die Kommata genau untereinander stehen. - Ergänze bei Bedarf Endnullen, damit alle Zahlen gleich viele Nachkommastellen haben. - Schau dir beim Runden auf zwei Stellen die dritte Nachkommastelle an.

1. Addition der drei Längen: \(12{,}45 + 8{,}7 + 15{,}333 = 36{,}483\). 2. Runden auf zwei Dezimalstellen: Die dritte Nachkommastelle ist eine \(3\), daher wird abgerundet. Das Ergebnis lautet \(36{,}48\,\text{km}\).

a) Die Gesamtlänge beträgt \(36{,}483\,\text{km}\). b) Auf zwei Dezimalstellen gerundet ergibt das \(36{,}48\,\text{km}\).

- Was bedeutet ein negativer Kontostand in diesem Zusammenhang? - Wie viel Geld muss man einzahlen, um erst einmal bei Null zu landen? - Welche Rechnung führt dich vom Minusbereich in den Plusbereich?

1. Der aktuelle Stand des Kontos ist \(-75{,}20\,\text{€}\). 2. Der gewünschte Zielstand ist \(+120{,}00\,\text{€}\). 3. Die notwendige Einzahlung entspricht der Differenz zwischen Zielstand und aktuellem Stand: \(120{,}00\,\text{€} - (-75{,}20\,\text{€})\). 4. Berechnung der Summe: \(120{,}00\,\text{€} + 75{,}20\,\text{€} = 195{,}20\,\text{€}\).

Frau Weber muss \(195{,}20\,\text{€}\) einzahlen.

- Stelle dir das Konto wie eine Skala vor. Was passiert bei einer Einzahlung mit dem Kontostand? - Was bedeutet ein Minuszeichen vor dem Geldbetrag für das Guthaben? - Kannst du alle Vorgänge in einer einzigen Zeile aufschreiben?

1. Zusammenhängende Rechnung aufstellen: \(-125{,}50 + 350{,}00 - 80{,}00\). 2. Berechnung: \(-125{,}50 + 350{,}00 = 224{,}50\) und \(224{,}50 - 80{,}00 = 144{,}50\). 3. Der neue Kontostand beträgt \(144{,}50\,\text{€}\).

\(-125{,}50 + 350{,}00 - 80{,}00 = 144{,}50\) Der neue Kontostand beträgt \(144{,}50\,\text{€}\).

- Wie viel fehlt bei den Preisen jeweils bis zum nächsten vollen Euro? - Wenn du mit glatten Beträgen rechnest, hast du dann zu viel oder zu wenig bezahlt? - Wie musst du das Ergebnis korrigieren, um den genauen Preis zu erhalten?

1. Runden der Beträge auf den jeweils nächsten vollen Euro: \(12{,}95\,\text{€} \approx 13{,}00\,\text{€}\) (Differenz \(+0{,}05\,\text{€}\)) und \(8{,}98\,\text{€} \approx 9{,}00\,\text{€}\) (Differenz \(+0{,}02\,\text{€}\)). 2. Addition der gerundeten Werte: \(13{,}00\,\text{€} + 9{,}00\,\text{€} = 22{,}00\,\text{€}\). 3. Berechnung der gesamten Differenz durch das Aufrunden: \(0{,}05\,\text{€} + 0{,}02\,\text{€} = 0{,}07\,\text{€}\). 4. Subtraktion dieser Differenz vom Zwischenergebnis: \(22{,}00\,\text{€} - 0{,}07\,\text{€} = 21{,}93\,\text{€}\).

Leon rundet auf \(13{,}00\,\text{€}\) und \(9{,}00\,\text{€}\) auf, was zusammen \(22{,}00\,\text{€}\) ergibt. Da er insgesamt \(0{,}07\,\text{€}\) zu viel hinzugefügt hat (\(0{,}05\,\text{€} + 0{,}02\,\text{€}\)), zieht er diese vom Ergebnis ab. Der exakte Preis beträgt \(21{,}93\,\text{€}\).

- Wie werden Gewinne und Verluste mathematisch miteinander verrechnet? Erinnere dich an das Rechnen mit rationalen Zahlen. - Woran erkennst du im Diagramm auf einen Blick, ob in einem Monat ein Gewinn oder ein Verlust erzielt wurde? - Zähle einfach die Säulen, die nach oben zeigen, und vergleiche sie mit denen, die nach unten zeigen.

1. Die Werte für jeden Monat aus dem Diagramm ablesen: Jan (\(35\,\text{€}\)), Feb (\(-20\,\text{€}\)), Mär (\(55\,\text{€}\)), Apr (\(-45\,\text{€}\)), Mai (\(90\,\text{€}\)), Jun (\(35\,\text{€}\)). 2. Die Summe aller monatlichen Ergebnisse berechnen: \(35 - 20 + 55 - 45 + 90 + 35 = 150\). Das Gesamtergebnis beträgt \(150\,\text{€}\). 3. Die Anzahl der Monate mit Gewinn (Säulen über der Nulllinie) zählen: Jan, Mär, Mai, Jun (insgesamt 4 Monate). 4. Die Anzahl der Monate mit Verlust (Säulen unter der Nulllinie) zählen: Feb, Apr (insgesamt 2 Monate). 5. Die Anzahlen vergleichen: \(4 > 2\). Es gab mehr Monate mit Gewinn.

a) Das Gesamtergebnis für das erste Halbjahr beträgt \(150\,\text{€}\). b) Es gab mehr Monate mit Gewinn (4 Monate) als Monate mit Verlust (2 Monate).

- Behandle die Stellen vor und nach dem Komma sorgfältig, besonders beim Übergang zum nächsten Ganzen (z. B. von \(0{,}9\) zu \(1{,}0\)). - Ein negativer Wert am Pfeil bedeutet eine Subtraktion, also eine Bewegung nach links auf dem Zahlenstrahl. - Wenn du den Wert am Pfeilanfang suchst, musst du die Rechenoperation des Pfeils umkehren.

1. Addition für a): Wir addieren die Zehntel zum Startwert: \(4{,}5 + 2{,}7 = 7{,}2\). Das Ergebnis ist \(x = 7{,}2\). 2. Rückwärtsrechnung für b): Da der Startwert gesucht ist, führen wir die Umkehroperation zum Sprung \(-3{,}5\) aus: \(6{,}7 + 3{,}5 = 10{,}2\). Somit ist \(x = 10{,}2\). 3. Subtraktion für c): Wir ziehen den Wert des Sprungs vom Startwert ab: \(12{,}3 - 4{,}6 = 7{,}7\). Also ist \(x = 7{,}7\).

a) \(x = 7{,}2\) b) \(x = 10{,}2\) c) \(x = 7{,}7\)

- Achte beim Rechnen genau auf die Stelle nach dem Komma. - Du kannst die Zahlen als Geldbeträge in Euro auffassen, zum Beispiel \(1{,}50\,\text{€}\).

a) \(1{,}5 + 0{,}8 = 2{,}3\). b) \(4{,}2 - 1{,}5 = 2{,}7\). c) \(0{,}9 + 1{,}4 = 2{,}3\).

a) \(2{,}3\) b) \(2{,}7\) c) \(2{,}3\)

- Gehe Schritt für Schritt vor und berechne zuerst die Zahl in der Mitte. - Achte beim Rechnen mit Dezimalzahlen auf das Komma.

1. Erster Sprung: Addition von \(3{,}8\) zum Startwert \(12{,}4\). Ergebnis: \(12{,}4 + 3{,}8 = 16{,}2\). 2. Zweiter Sprung: Subtraktion von \(2{,}5\) vom Zwischenergebnis \(16{,}2\). Ergebnis: \(16{,}2 - 2{,}5 = 13{,}7\).

Die fehlenden Zahlen sind \(16{,}2\) und \(13{,}7\).

- Wie rundest du Zahlen sinnvoll auf Ganze? - Welche Rechenregel musst du bei Aufgabe b) beachten, bevor du die Subtraktion durchführst? - Vergleiche am Ende dein genaues Ergebnis mit deiner Schätzung. Sind sie nah beieinander?

1. Aufgabe a: Überschlag \(57 + 14 + 8 = 79\). Schriftliche Addition \(56{,}70 + 14{,}00 + 8{,}29 = 78{,}99\). 2. Aufgabe b: Überschlag \(95 - (24 + 32) = 95 - 56 = 39\). Zuerst Klammerinhalt berechnen: \(24{,}38 + 31{,}70 = 56{,}08\). Dann Subtraktion: \(95{,}40 - 56{,}08 = 39{,}32\).

a) Schätzung: \(79\); Exakt: \(78{,}99\) b) Schätzung: \(39\); Exakt: \(39{,}32\)

- Schau dir die Hundertstelstelle beider Zahlen genau an. Was passiert dort bei Sarahs Rechnung? - Stell dir die Zahlen in einer Stellenwerttafel vor. - Wie würde die Rechnung aussehen, wenn du \(15{,}8\) als \(15{,}80\) schreibst?

1. Identifikation des Fehlers: Sarah hat die Stellenwerte nicht korrekt berücksichtigt. Sie hat vermutlich die \(5\) an der Hundertstelstelle einfach in das Ergebnis übernommen, anstatt sie von der (nicht geschriebenen) Null an der Hundertstelstelle der ersten Zahl abzuziehen. 2. Korrekte Rechnung: \(15{,}80 - 2{,}45 = 13{,}35\). 3. Begründung der Endnull: Durch das Schreiben von \(15{,}80\) wird deutlich, dass an der Hundertstelstelle \(0 - 5\) gerechnet werden muss, was einen Übertrag von der Zehntelstelle erfordert.

Fehler: Sarah hat den Übertrag an der Hundertstelstelle ignoriert (sie hat die \(5\) einfach „heruntergeschrieben“). Korrektes Ergebnis: \(13{,}35\). Begründung: Die Endnull hilft dabei, den Stellenwert (0 Hundertstel) sichtbar zu machen, damit man korrekt subtrahieren kann (\(0 - 5\) mit Übertrag).

- Erinnerst du dich an Umkehraufgaben? Wie findest du einen fehlenden Summanden? - Wenn du eine Zahl von \(45{,}6\) abziehst und \(12{,}78\) erhältst, wie groß muss der abgezogene Teil sein? - Kannst du bei Teilaufgabe c) erst ausrechnen, was in der Klammer stehen muss, bevor du den Platzhalter selbst bestimmst?

1. Lösung für a) durch Umkehraufgabe: \(30{,}1 - 12{,}45 = 17{,}65\). 2. Lösung für b) durch Subtraktion des Ergebnisses vom Minuenden: \(45{,}6 - 12{,}78 = 32{,}82\). 3. Lösung für c) schrittweise: Zuerst die äußere Operation umkehren: \(\square + 2{,}5 = 5{,}8 + 1{,}2 = 7{,}0\). Dann die innere Operation umkehren: \(\square = 7{,}0 - 2{,}5 = 4{,}5\).

a) \(17{,}65\) b) \(32{,}82\) c) \(4{,}5\)

- Bestimme zuerst, wie weit der Wanderer insgesamt schon gelaufen ist. - Wie findest du heraus, was noch bis zum Ziel fehlt, wenn du die Gesamtstrecke kennst? - Vergleiche am Ende alle drei berechneten oder gegebenen Werte miteinander. Achte dabei auf die Stellen nach dem Komma.

1. Berechnung der bisher zurückgelegten Strecke: \(7{,}35\,\text{km} + 6{,}825\,\text{km} = 14{,}175\,\text{km}\). 2. Berechnung der verbleibenden Reststrecke: \(18{,}5\,\text{km} - 14{,}175\,\text{km} = 4{,}325\,\text{km}\). 3. Vergleich der drei Teilstrecken: \(7{,}35\,\text{km}\) (Vormittag), \(6{,}825\,\text{km}\) (Nachmittag) und \(4{,}325\,\text{km}\) (Rest). 4. Feststellung: Die längste Strecke ist die Vormittagsstrecke mit \(7{,}35\,\text{km}\).

Der Wanderer muss noch \(4{,}325\,\text{km}\) wandern. Die längste Teilstrecke ist die Vormittagsstrecke mit \(7{,}35\,\text{km}\).

- Versuche zuerst, die Beträge auf bequeme Zahlen zu runden, um eine schnelle Einschätzung zu bekommen. - Vergiss nicht, dass einige Artikel mehrfach gekauft wurden. - Wann im Rechenweg sollte der Gutschein berücksichtigt werden? - Sind die Parkgebühren Teil des Einkaufs oder kommen sie später dazu?

1. Überschlag durch Runden: \(4{,}60\,\text{€} + 2{,}30\,\text{€} + 3{,}10\,\text{€} + 2{,}70\,\text{€} = 12{,}70\,\text{€}\). Abzüglich \(1{,}50\,\text{€}\) Gutschein ergibt \(11{,}20\,\text{€}\). Zuzüglich \(3{,}50\,\text{€}\) Parkgebühren ergibt ca. \(14{,}70\,\text{€}\). Schätzung: \(15\,\text{€}\) reichen aus. 2. Exakte Berechnung der Limonadenkosten: \(2 \cdot 1{,}35\,\text{€} = 2{,}70\,\text{€}\). 3. Addition der Einkäufe: \(4{,}58\,\text{€} + 2{,}25\,\text{€} + 3{,}12\,\text{€} + 2{,}70\,\text{€} = 12{,}65\,\text{€}\). 4. Abzug des Gutscheins: \(12{,}65\,\text{€} - 1{,}50\,\text{€} = 11{,}15\,\text{€}\). 5. Addition der Parkgebühren: \(11{,}15\,\text{€} + 3{,}50\,\text{€} = 14{,}65\,\text{€}\). 6. Vergleich mit dem Budget: \(14{,}65\,\text{€} \le 15{,}00\,\text{€}\). Das Geld reicht aus.

Die Schätzung ergibt, dass das Geld reicht. Die exakte Berechnung ergibt Gesamtkosten von \(14{,}65\,\text{€}\). Da \(14{,}65\,\text{€} \le 15{,}00\,\text{€}\), reicht das Geld aus.

- Kannst du die Preise erst einmal grob runden, um ein Gefühl für die Summe zu bekommen? - Wie viel Geld hat Lukas insgesamt durch seine Gutscheine zur Verfügung? - Was ist der Unterschied zwischen dem Betrag, den Lukas eigentlich zahlen müsste, und dem Betrag auf dem Kassenzettel? - Könnte die Differenz mit einem der Artikelpreise zusammenhängen?

1. Schätzung der Kosten durch Rundung auf ganze Euro: \(3 \cdot 1\,\text{€} + 7\,\text{€} + 2 \cdot 2\,\text{€} = 14\,\text{€}\). 2. Schätzung der Gutscheine durch Rundung auf ganze Euro: \(5\,\text{€} + 2\,\text{€} + 4\,\text{€} = 11\,\text{€}\). Die Gutscheine reichen voraussichtlich nicht aus. 3. Exakte Kosten: \(3 \cdot 1{,}49\,\text{€} + 6{,}95\,\text{€} + 2 \cdot 2{,}25\,\text{€} = 4{,}47\,\text{€} + 6{,}95\,\text{€} + 4{,}50\,\text{€} = 15{,}92\,\text{€}\). 4. Exakter Gutscheinwert: \(5{,}00\,\text{€} + 2{,}20\,\text{€} + 3{,}50\,\text{€} = 10{,}70\,\text{€}\). 5. Tatsächlicher Restbetrag: \(15{,}92\,\text{€} - 10{,}70\,\text{€} = 5{,}22\,\text{€}\). Lukas muss noch \(5{,}22\,\text{€}\) bezahlen. 6. Fehleranalyse: Die Differenz zwischen dem korrekten Restbetrag und dem Kassenbetrag ist \(5{,}22\,\text{€} - 3{,}27\,\text{€} = 1{,}95\,\text{€}\). 7. Wenn die Tischdecke statt mit \(6{,}95\,\text{€}\) fälschlich mit \(5{,}00\,\text{€}\) eingegeben wurde, ist der Einkauf um \(1{,}95\,\text{€}\) zu billig und der angezeigte Endbetrag beträgt \(3{,}27\,\text{€}\).

a) Gerundet kostet der Einkauf etwa \(14\,\text{€}\), die Gutscheine sind etwa \(11\,\text{€}\) wert. Sie reichen nicht aus. b) Lukas muss noch \(5{,}22\,\text{€}\) bezahlen. c) Die Tischdecke wurde vermutlich mit \(5{,}00\,\text{€}\) statt mit \(6{,}95\,\text{€}\) eingegeben.

- Wie viele Stockwerke liegen insgesamt zwischen dem 4. Untergeschoss und dem 6. Obergeschoss? - Kannst du die Stockwerke als Zahlen auf einer vertikalen Achse darstellen? - Wie berechnet man die Gesamthöhe, wenn man die Anzahl der Etagen und die Höhe pro Etage kennt?

1. Bestimmung der Position des \(4\text{. UG}\): Da es unter dem Erdgeschoss liegt, wird es negativ gerechnet: \(-4 \cdot 3{,}40\,\text{m} = -13{,}60\,\text{m}\). 2. Bestimmung der Position des \(6\text{. OG}\): \(6 \cdot 3{,}40\,\text{m} = 20{,}40\,\text{m}\). 3. Berechnung der Differenz zwischen den beiden Höhen: \(20{,}40 - (-13{,}60)\). 4. Ergebnis: \(20{,}40 + 13{,}60 = 34{,}00\,\text{m}\). Alternative: Berechnung der Stockwerksdifferenz: \(6 - (-4) = 10\) Stockwerke. Multiplikation mit der Etagenhöhe: \(10 \cdot 3{,}40\,\text{m} = 34{,}00\,\text{m}\).

Der Aufzug überwindet eine Höhendifferenz von \(34{,}00\,\text{m}\).

- Welche ganze Zahl liegt sehr nah an \(2{,}998\)? - Ist es einfacher, \(3\) abzuziehen oder \(2{,}998\)? - Wenn du mehr abziehst als eigentlich nötig, wie musst du das Ergebnis am Ende anpassen?

1. Runden des Subtrahenden auf die nächste ganze Zahl: \(2{,}998 \approx 3\). 2. Durchführung der einfacheren Subtraktion: \(34{,}152 - 3 = 31{,}152\). 3. Da \(3\) statt \(2{,}998\) abgezogen wurde, wurde um \(0{,}002\) zu viel subtrahiert (\(3 - 2{,}998 = 0{,}002\)). 4. Korrektur des Ergebnisses durch Addition des zu viel abgezogenen Betrags: \(31{,}152 + 0{,}002 = 31{,}154\).

Man rechnet zuerst \(34{,}152 - 3 = 31{,}152\). Da man \(0{,}002\) zu viel abgezogen hat, addiert man diese Differenz wieder dazu. Das Ergebnis lautet \(31{,}154\).

- Schau dir an, wie viel jede einzelne Strecke von den Zahlen \(5\), \(3\) und \(3\) abweicht. - Notiere dir die Abweichungen mit Vorzeichen (plus für mehr, minus für weniger). - Was passiert, wenn du alle diese kleinen Abweichungen zusammenzählst?

1. Bestimmung der Abweichungen der Teilstrecken von den Zielwerten \(5\), \(3\) und \(3\): - \(4{,}97 = 5 - 0{,}03\) - \(3{,}05 = 3 + 0{,}05\) - \(2{,}98 = 3 - 0{,}02\) 2. Berechnung der Summe der Zielwerte: \(5 + 3 + 3 = 11\). 3. Zusammenfassung der Korrekturwerte: \(-0{,}03 + 0{,}05 - 0{,}02\). 4. Berechnung der Gesamtkorrektur: \(-0{,}03 - 0{,}02 = -0{,}05\); dann \(-0{,}05 + 0{,}05 = 0\). 5. Das exakte Ergebnis entspricht somit genau der Summe der gerundeten Werte: \(11 + 0 = 11\).

Die Korrektur ergibt sich aus den Abweichungen \(-0{,}03\,\text{km}\), \(+0{,}05\,\text{km}\) und \(-0{,}02\,\text{km}\). Da diese sich gegenseitig zu \(0\) aufheben, ist die Korrektur \(0\). Das exakte Gesamtergebnis lautet \(11\,\text{km}\).

- Erstelle eine Liste aller Temperaturen, die nacheinander erreicht werden. - Vergiss nicht, die Starttemperatur als ersten Wert in deine Überlegungen einzubeziehen. - Achte beim Addieren und Subtrahieren genau auf die Vorzeichen der Änderungen.

1. Berechnung der Temperaturen nach jedem Schritt: - Start: \(8{,}5\,^\circ\text{C}\) - Nach 1. Änderung: \(8{,}5 - 2{,}4 = 6{,}1\,^\circ\text{C}\) - Nach 2. Änderung: \(6{,}1 + 5{,}8 = 11{,}9\,^\circ\text{C}\) - Nach 3. Änderung: \(11{,}9 - 1{,}2 = 10{,}7\,^\circ\text{C}\) - Nach 4. Änderung: \(10{,}7 - 3{,}7 = 7{,}0\,^\circ\text{C}\) - Nach 5. Änderung: \(7{,}0 + 4{,}1 = 11{,}1\,^\circ\text{C}\) 2. Bestimmung der Werte aus der Liste \(\{8{,}5; 6{,}1; 11{,}9; 10{,}7; 7{,}0; 11{,}1\}\): - Endtemperatur: \(11{,}1\,^\circ\text{C}\) - Höchste Temperatur: \(11{,}9\,^\circ\text{C}\) - Niedrigste Temperatur: \(6{,}1\,^\circ\text{C}\)

a) Die Endtemperatur beträgt \(11{,}1\,^\circ\text{C}\). b) Die höchste Temperatur war \(11{,}9\,^\circ\text{C}\). c) Die niedrigste Temperatur war \(6{,}1\,^\circ\text{C}\).

- Berechne zunächst Schritt für Schritt, wie viel Wasser nach jeder Aktion in der Tonne ist. - Für den zweiten Teil der Aufgabe musst du zuerst herausfinden, wann die Tonne am vollsten war. - Subtrahiere diesen Höchststand dann vom Gesamtvolumen der Tonne.

1. Berechnung der Füllstände nach jedem Ereignis: - Start: \(120{,}75\,\text{l}\) - Nach Regen 1: \(120{,}75 + 34{,}50 = 155{,}25\,\text{l}\) - Nach Gießen 1: \(155{,}25 - 55{,}20 = 100{,}05\,\text{l}\) - Nach Regen 2: \(100{,}05 + 12{,}85 = 112{,}90\,\text{l}\) - Nach Gießen 2: \(112{,}90 - 88{,}40 = 24{,}50\,\text{l}\) 2. Ermittlung des maximalen Füllstands: \(155{,}25\,\text{l}\). 3. Berechnung des freien Platzes bei Maximum: \(200{,}00 - 155{,}25 = 44{,}75\,\text{l}\).

a) Am Ende befinden sich \(24{,}50\,\text{l}\) in der Tonne. b) Beim höchsten Füllstand waren noch \(44{,}75\,\text{l}\) Platz in der Tonne.

- Beachte, dass der Kontostand auch negativ werden kann („im Minus sein“). - Wenn du von einem negativen Stand zu einem positiven Zielwert willst, musst du den Schuldenbetrag und den Zielwert zusammenrechnen. - Gehe die Buchungen einzeln nacheinander durch und notiere dir jedes Zwischenergebnis.

1. Berechnung der Kontostände: - Start: \(250{,}00\,\text{€}\) - Nach 1. Abbuchung: \(250{,}00 - 315{,}50 = -65{,}50\,\text{€}\) - Nach Einzahlung: \(-65{,}50 + 120{,}00 = 54{,}50\,\text{€}\) - Nach 2. Abbuchung: \(54{,}50 - 85{,}25 = -30{,}75\,\text{€}\) 2. Vergleich der Stände \(\{250{,}00; -65{,}50; 54{,}50; -30{,}75\}\): - Niedrigster Stand: \(-65{,}50\,\text{€}\) - Endstand: \(-30{,}75\,\text{€}\) 3. Berechnung der Differenz zum Zielwert: \(100{,}00 - (-30{,}75) = 130{,}75\,\text{€}\).

a) Der niedrigste Kontostand betrug \(-65{,}50\,\text{€}\). b) Der Endstand beträgt \(-30{,}75\,\text{€}\). c) Es müssten \(130{,}75\,\text{€}\) eingezahlt werden.

- Was ist der Startwert für deine Rechnung? - Wie verändern positive und negative Werte das Ergebnis? - Um den höchsten und niedrigsten Punkt zu finden, hilft es, die Temperatur nach jedem einzelnen Schritt auszurechnen. - Beziehe jede Temperaturänderung auf den jeweils vorherigen Messzeitpunkt.

1. Aufstellen des Terms für die Endtemperatur: \(-2{,}5 + 4{,}2 + 3{,}8 + 2{,}4 - 1{,}5 - 4{,}6 - 2{,}3\). 2. Berechnung der Endtemperatur um 21:00 Uhr: \(-0{,}5\,^{\circ}\text{C}\). 3. Berechnung der Zwischenstände zur Ermittlung von Maximum und Minimum: Mitternacht: \(-2{,}5\,^{\circ}\text{C}\) 06:00 Uhr: \(-2{,}5 + 4{,}2 = 1{,}7\,^{\circ}\text{C}\) 09:00 Uhr: \(1{,}7 + 3{,}8 = 5{,}5\,^{\circ}\text{C}\) 12:00 Uhr: \(5{,}5 + 2{,}4 = 7{,}9\,^{\circ}\text{C}\) 15:00 Uhr: \(7{,}9 - 1{,}5 = 6{,}4\,^{\circ}\text{C}\) 18:00 Uhr: \(6{,}4 - 4{,}6 = 1{,}8\,^{\circ}\text{C}\) 21:00 Uhr: \(1{,}8 - 2{,}3 = -0{,}5\,^{\circ}\text{C}\) 4. Vergleich der Werte: Die höchste Temperatur betrug \(7{,}9\,^{\circ}\text{C}\) (um 12:00 Uhr), die niedrigste Temperatur betrug \(-2{,}5\,^{\circ}\text{C}\) (um Mitternacht).

a) Der Rechenausdruck lautet \(-2{,}5 + 4{,}2 + 3{,}8 + 2{,}4 - 1{,}5 - 4{,}6 - 2{,}3\). Die Temperatur um 21:00 Uhr beträgt \(-0{,}5\,^{\circ}\text{C}\). b) Die höchste Temperatur war \(7{,}9\,^{\circ}\text{C}\), die niedrigste Temperatur war \(-2{,}5\,^{\circ}\text{C}\).

- Kannst du die Einnahmen und Ausgaben getrennt zusammenfassen, um die Rechnung zu vereinfachen? - Was bedeutet ein negatives Vorzeichen bei einem Geldbetrag für das Guthaben? - Um herauszufinden, ob das Konto zwischendurch im Minus war, musst du die Beträge nacheinander in der zeitlichen Reihenfolge verrechnen.

1. Aufstellen des Terms für den Endstand: \(28{,}50 - 14{,}20 + 20{,}00 - 35{,}00 + 12{,}50 - 6{,}80\). 2. Berechnung der Zwischenstände: Start: \(28{,}50\,\text{€}\) Nach 04.04.: \(28{,}50 - 14{,}20 = 14{,}30\,\text{€}\) Nach 10.04.: \(14{,}30 + 20{,}00 = 34{,}30\,\text{€}\) Nach 15.04.: \(34{,}30 - 35{,}00 = -0{,}70\,\text{€}\) Nach 22.04.: \(-0{,}70 + 12{,}50 = 11{,}80\,\text{€}\) Nach 28.04.: \(11{,}80 - 6{,}80 = 5{,}00\,\text{€}\) 3. Auswertung: Der Endstand beträgt \(5{,}00\,\text{€}\). Der niedrigste Stand war \(-0{,}70\,\text{€}\), das Konto war also am 15.04. im Minus.

a) Der Kontostand am Ende des Monats beträgt \(5{,}00\,\text{€}\). b) Ja, das Konto war im Minus. Der niedrigste Stand betrug \(-0{,}70\,\text{€}\).

- Überlege dir, wie viel zu Beginn da war und wie sich dieser Wert durch Verkäufe und Lieferungen verändert. - Erstelle eine Liste der Bestände für jeden einzelnen Tag. - Achte auf die Einheiten in deiner Antwort.

1. Berechnung des Endbestands: \(15{,}5 - 3{,}2 - 4{,}8 + 20{,}0 - 7{,}5 - 9{,}4 = 10{,}6\). Am Freitagabend sind \(10{,}6\,\text{kg}\) vorrätig. 2. Ermittlung der Bestände nach jedem Tag: Montagabend: \(15{,}5 - 3{,}2 = 12{,}3\,\text{kg}\) Dienstagabend: \(12{,}3 - 4{,}8 = 7{,}5\,\text{kg}\) Mittwochabend (nach Lieferung): \(7{,}5 + 20{,}0 = 27{,}5\,\text{kg}\) Donnerstagabend: \(27{,}5 - 7{,}5 = 20{,}0\,\text{kg}\) Freitagabend: \(20{,}0 - 9{,}4 = 10{,}6\,\text{kg}\) 3. Vergleich der Werte: Der maximale Bestand betrug \(27{,}5\,\text{kg}\) am Mittwochabend.

a) Am Freitagabend sind noch \(10{,}6\,\text{kg}\) Haferflocken im Laden. b) Die maximale Menge betrug \(27{,}5\,\text{kg}\).

- Achte besonders auf das Vorzeichen der Sprünge und der Zahlen auf dem Zahlenstrahl. - Wenn du rückwärts rechnen musst, um einen Startwert zu finden, kehre das Vorzeichen des Sprungs um. - Führe bei mehreren Pfeilen die Rechnungen nacheinander in der vorgegebenen Sprungreihenfolge durch.

Wir berechnen die gesuchten Werte schrittweise anhand der vorgegebenen Sprünge: 1. **Teilaufgabe a):** Wir beginnen bei \(3{,}5\) und führen einen Sprung von \(-4{,}8\) aus: \(3{,}5 - 4{,}8 = -1{,}3\) Die gesuchte Zahl ist \(-1{,}3\). 2. **Teilaufgabe b):** Der Startwert ist unbekannt. Nach einem Sprung von \(+2{,}6\) landen wir bei \(-0{,}8\). Wir berechnen den Startwert durch Rückwärtsrechnen (Umkehroperation): \(-0{,}8 - 2{,}6 = -3{,}4\) Der Startwert ist \(-3{,}4\). 3. **Teilaufgabe c):** Wir starten bei \(-1{,}2\) und springen zuerst um \(-1{,}5\): \(-1{,}2 - 1{,}5 = -2{,}7\) Die erste gesuchte Zahl (der Zwischenwert) ist \(-2{,}7\). Vom Zwischenwert \(-2{,}7\) springen wir um \(+3{,}1\) weiter: \(-2{,}7 + 3{,}1 = 0{,}4\) Die zweite gesuchte Zahl (der Endwert) ist \(0{,}4\).

a) \(-1{,}3\) b) \(-3{,}4\) c) Erste Zahl: \(-2{,}7\), zweite Zahl: \(0{,}4\)

- Beachte bei der Addition und Subtraktion von Dezimalzahlen besonders den Übergang zum nächsten Ganzen (z. B. von \(2{,}8\) über \(3\)). - Ein Pluszeichen auf dem Pfeil bedeutet eine Bewegung nach rechts (Addition), ein Minuszeichen eine Bewegung nach links (Subtraktion). - Wenn du rückwärts rechnen musst, kehre das Rechenzeichen auf dem Pfeil um: Aus Plus wird Minus, und aus Minus wird Plus. - Du kannst deine Ergebnisse überprüfen, indem du die Sprünge noch einmal in der vorgegebenen Reihenfolge durchgehst.

1. Zahlenstrahl a): Wir beginnen bei \(2{,}8\). - Erster Schritt: \(2{,}8 + 1{,}5 = 4{,}3\). Das erste Fragezeichen ist \(4{,}3\). - Zweiter Schritt: \(4{,}3 + 0{,}9 = 5{,}2\). Das zweite Fragezeichen ist \(5{,}2\). 2. Zahlenstrahl b): Wir beginnen bei \(7{,}3\). - Erster Schritt: \(7{,}3 - 2{,}6 = 4{,}7\). Das erste Fragezeichen ist \(4{,}7\). - Zweiter Schritt: \(4{,}7 - 1{,}8 = 2{,}9\). Das zweite Fragezeichen ist \(2{,}9\). 3. Zahlenstrahl c): Wir kennen den Endpunkt \(5{,}5\). Wir rechnen rückwärts: - Letzter Schritt rückwärts: Da der letzte Schritt \(-1{,}6\) war, rechnen wir \(5{,}5 + 1{,}6 = 7{,}1\). Das zweite Fragezeichen ist \(7{,}1\). - Erster Schritt rückwärts: Da der erste Schritt \(+3{,}4\) war, rechnen wir \(7{,}1 - 3{,}4 = 3{,}7\). Das erste Fragezeichen ist \(3{,}7\).

a) \(4{,}3\) und \(5{,}2\) b) \(4{,}7\) und \(2{,}9\) c) \(3{,}7\) und \(7{,}1\)

- Achte beim Rechnen mit Dezimalzahlen auf die Stellen nach dem Komma. - Du kannst dir die Zahlen auch wie Geldbeträge vorstellen, um das Rechnen zu erleichtern. - Wenn du nach links springst, subtrahierst du den Wert; nach rechts addierst du ihn.

1. Teilaufgabe a): Wir addieren den Sprung zum Startwert: \(1{,}25 + 0{,}45 = 1{,}7\). 2. Teilaufgabe b): Um den Startwert zu finden, subtrahieren wir den Sprung vom Zielwert: \(0{,}5 - 0{,}8 = -0{,}3\). 3. Teilaufgabe c): Der erste Sprung führt von \(0{,}1\) um \(0{,}75\) nach links zu \(0{,}1 - 0{,}75 = -0{,}65\). Der zweite Sprung führt von dort um \(0{,}25\) nach rechts zu \(-0{,}65 + 0{,}25 = -0{,}4\).

a) \(1{,}7\); b) \(-0{,}3\); c) \(-0{,}65\) und \(-0{,}4\)

- Rechne die Beispiele einmal schrittweise nach. - Wenn du eine größere Zahl abziehst als nötig, hast du dann am Ende zu viel oder zu wenig weggenommen? - Stell dir die Zahlen auf einem Zahlenstrahl vor, um die Korrekturrichtung zu prüfen.

1. Prüfung der ersten Aussage: \(17{,}4 - 3{,}9 = 13{,}5\). Der vorgeschlagene Weg \(17{,}4 - 4 - 0{,}1\) ergibt \(13{,}3\). Die Aussage ist falsch. Da man beim Abziehen von \(4\) bereits \(0{,}1\) zu viel abgezogen hat (da \(4 > 3{,}9\)), muss man \(0{,}1\) wieder addieren. Korrekter Weg: \(17{,}4 - 4 + 0{,}1 = 13{,}5\). 2. Prüfung der zweiten Aussage: \(5{,}65 + 2{,}98 = 8{,}63\). Der vorgeschlagene Weg \(5{,}65 + 3 - 0{,}02\) ergibt \(8{,}65 - 0{,}02 = 8{,}63\). Die Aussage ist korrekt, da man durch die Addition von \(3\) genau \(0{,}02\) zu viel hinzugefügt hat und dies am Ende ausgleicht.

Aussage 1 ist falsch. Korrektur: Man muss \(0{,}1\) addieren statt subtrahieren (\(17{,}4 - 4 + 0{,}1 = 13{,}5\)). Aussage 2 ist korrekt (\(5{,}65 + 3 - 0{,}02 = 8{,}63\)).

- Kannst du die Gesamtkosten der Ausrüstung schrittweise ermitteln? - Welchen Einfluss hat der Rabatt auf die zu zahlende Summe? - Wie viel Geld bleibt übrig, nachdem die erste Ausrüstung bezahlt wurde? - Vergleiche das übrig gebliebene Geld mit dem Preis der Handtücher.

1. Berechnung der Kosten für die Springseile: \(5 \cdot 4{,}25\,\text{€} = 21{,}25\,\text{€}\). 2. Berechnung der Gesamtsumme der Ausrüstung vor Rabatt: \(21{,}25\,\text{€} + 18{,}90\,\text{€} + 12{,}50\,\text{€} = 52{,}65\,\text{€}\). 3. Abzug des Vereinsrabatts: \(52{,}65\,\text{€} - 5{,}75\,\text{€} = 46{,}90\,\text{€}\). 4. Ermittlung des Restbudgets: \(50{,}00\,\text{€} - 46{,}90\,\text{€} = 3{,}10\,\text{€}\). 5. Berechnung der Kosten für die Handtücher: \(3 \cdot 2{,}80\,\text{€} = 8{,}40\,\text{€}\). 6. Vergleich von Restbudget und Handtuchkosten: \(3{,}10\,\text{€} < 8{,}40\,\text{€}\). Das Geld reicht nicht aus. Es fehlen \(8{,}40\,\text{€} - 3{,}10\,\text{€} = 5{,}30\,\text{€}\).

Nein, das Geld reicht nicht aus. Nach dem Kauf der Ausrüstung (Kosten: \(46{,}90\,\text{€}\)) bleiben nur noch \(3{,}10\,\text{€}\) vom Budget übrig. Die Handtücher kosten jedoch insgesamt \(8{,}40\,\text{€}\). Es fehlen somit \(5{,}30\,\text{€}\).

- Wie viel kosten alle Springseile zusammen? - Wenn du die Kosten der Seile vom Gesamtpreis abziehst, was bleibt dann für die Medizinbälle übrig? - Wie kannst du den Preis für einen Medizinball finden, wenn du den Preis für drei kennst? - Versuche für die Begründung in Teil c mit gerundeten Werten wie \(5\,\text{€}\) und \(71\,\text{€}\) zu rechnen.

1. Kosten der Springseile: \(5 \cdot 4{,}99\,\text{€} = 24{,}95\,\text{€}\). 2. Gesamtkosten der Medizinbälle: \(71{,}45\,\text{€} - 24{,}95\,\text{€} = 46{,}50\,\text{€}\). 3. Preis pro Medizinball: \(46{,}50\,\text{€} : 3 = 15{,}50\,\text{€}\). 4. Korrektur mit Gutschein: \(71{,}45\,\text{€} - 12{,}50\,\text{€} = 58{,}95\,\text{€}\). 5. Argumentation zur Schätzung: Die 5 Springseile kosten knapp unter \(25\,\text{€}\) (\(5 \cdot 5 = 25\)). Zieht man diese \(25\,\text{€}\) von ca. \(71\,\text{€}\) ab, bleiben \(46\,\text{€}\) für 3 Medizinbälle übrig. Da \(3 \cdot 15 = 45\) ist, muss der Preis pro Medizinball über \(15\,\text{€}\) liegen.

a) Ein Medizinball kostet \(15{,}50\,\text{€}\). b) Der korrekte Endbetrag ist \(58{,}95\,\text{€}\). c) Fünf Seile kosten knapp \(25\,\text{€}\). Daher bleiben etwas mehr als \(46\,\text{€}\) für drei Medizinbälle. Weil \(3 \cdot 15 = 45\) gilt, muss der Einzelpreis über \(15\,\text{€}\) liegen.

- Berechne zuerst, wie viel der gesamte Einkauf ohne Gutscheine kostet. - Wie viel Rabatt bekommt Frau Meyer insgesamt durch die Gutscheine? - Vergleiche deinen berechneten Restbetrag mit dem Betrag des Verkäufers. Wie groß ist der Unterschied? - Kommt dir dieser Differenzbetrag in der Liste der Artikelpreise bekannt vor?

1. Kosten der Notizblöcke: \(4 \cdot 2{,}35\,\text{€} = 9{,}40\,\text{€}\). 2. Kosten der Textmarker: \(2 \cdot 4{,}89\,\text{€} = 9{,}78\,\text{€}\). 3. Gesamtkosten vor Abzug: \(9{,}40\,\text{€} + 9{,}78\,\text{€} + 12{,}50\,\text{€} = 31{,}68\,\text{€}\). 4. Gesamtwert der Gutscheine: \(5{,}50\,\text{€} + 3{,}75\,\text{€} + 8{,}20\,\text{€} = 17{,}45\,\text{€}\). 5. Korrekter Restbetrag: \(31{,}68\,\text{€} - 17{,}45\,\text{€} = 14{,}23\,\text{€}\). 6. Fehleranalyse: Die Differenz zum falschen Betrag ist \(16{,}58\,\text{€} - 14{,}23\,\text{€} = 2{,}35\,\text{€}\). 7. Identifikation des Fehlers: Der Betrag von \(2{,}35\,\text{€}\) entspricht exakt dem Preis eines Notizblocks. Es wurde also vermutlich ein fünfter Notizblock berechnet oder einer der vier Blöcke doppelt gescannt.

a) Frau Meyer muss noch \(14{,}23\,\text{€}\) bezahlen. b) Der Verkäufer hat vermutlich einen Notizblock zu viel berechnet (5 statt 4 Blöcke), da die Differenz zwischen dem genannten und dem korrekten Betrag genau \(2{,}35\,\text{€}\) beträgt.