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- Kannst du das Problem in deinen eigenen Worten beschreiben? - Welche Information wird benötigt, um das Gewicht von 100 Packungen zu berechnen? - Was passiert mit dem Komma, wenn du eine Dezimalzahl mit 100 multiplizierst?

1. Berechnung des Gewichts einer einzelnen Packung durch Division des Gesamtgewichts durch die Anzahl: \(12{,}6\,\text{kg} : 12 = 1{,}05\,\text{kg}\). 2. Berechnung des Gewichts von 100 Packungen durch Multiplikation des Einzelgewichts mit der Anzahl: \(1{,}05\,\text{kg} \cdot 100 = 105\,\text{kg}\).

Eine einzelne Packung Mehl wiegt \(1{,}05\,\text{kg}\). Eine Palette mit 100 Packungen wiegt \(105\,\text{kg}\).

- Wie findet man die Höhe eines einzelnen Objekts, wenn man die Gesamthöhe vieler gleicher Objekte kennt? - Achte auf die Einheiten: Musst du Zentimeter in Millimeter umrechnen? - Wie oft passt die Dicke einer Platte in die gewünschte Gesamthöhe?

1. Berechnung der Dicke einer einzelnen Platte in Zentimetern: \(13{,}75\,\text{cm} : 25 = 0{,}55\,\text{cm}\). 2. Umrechnung der Dicke von Zentimetern in Millimeter: \(0{,}55\,\text{cm} = 5{,}5\,\text{mm}\). 3. Berechnung der benötigten Anzahl an Platten durch Division der Zielhöhe durch die Dicke einer Platte: \(44\,\text{cm} : 0{,}55\,\text{cm} = 80\).

Eine einzelne Glasplatte ist \(5{,}5\,\text{mm}\) dick. Für einen \(44\,\text{cm}\) hohen Stapel werden \(80\) Glasplatten benötigt.

- Vergleiche die Anzahl der Nullen im Teiler mit der Anzahl der Stellen, um die das Komma gewandert ist. - In welche Richtung bewegt sich das Komma, wenn eine Zahl durch die Division kleiner wird?

1. Berechnung der ersten Aufgabe: \(15{,}4 : 10 = 1{,}54\). Das Komma rückt um eine Stelle nach links. 2. Berechnung der zweiten Aufgabe: \(15{,}4 : 1000 = 0{,}0154\). Das Komma rückt um drei Stellen nach links. 3. Formulierung der Regel: Bei der Division durch eine Zehnerpotenz verschiebt sich das Komma um so viele Stellen nach links, wie die Zehnerpotenz Nullen hat. Reichen die vorhandenen Ziffern nicht aus, werden links Nullen als Platzhalter ergänzt.

Die Ergebnisse sind \(1{,}54\) und \(0{,}0154\). Die Regel lautet: Das Komma wird bei der Division durch eine Zehnerpotenz um so viele Stellen nach links verschoben, wie der Teiler Nullen besitzt.

- Was bedeutet eine 12-fache Vergrößerung für das Verhältnis zwischen Bild und Wirklichkeit? - Überlege, ob das echte Tier größer oder kleiner als auf dem Foto sein muss. - Wie rechnet man Zentimeter in Millimeter um?

1. Berechnung der tatsächlichen Länge in Zentimetern durch Division der Bildgröße durch den Vergrößerungsfaktor: \(5{,}4\,\text{cm} : 12 = 0{,}45\,\text{cm}\). 2. Umrechnung der Zentimeterangabe in Millimeter: \(0{,}45 \cdot 10 = 4{,}5\,\text{mm}\).

Die Ameise ist in Wirklichkeit \(4{,}5\,\text{mm}\) lang.

- Achte darauf, das Komma im Ergebnis genau dann zu setzen, wenn du die erste Stelle nach dem Komma beim Dividenden überschreitest. - Überlege dir bei negativen Zahlen zuerst, welches Vorzeichen das Ergebnis haben muss. - Wenn die Zahl vor dem Komma kleiner ist als der Teiler, beginnt das Ergebnis mit \(0,\dots\).

1. Berechnung von \(15{,}6 : 6\): Division der Vorkommastelle ergibt \(2\), Rest \(3\). Herunterholen der \(6\) hinter dem Komma ergibt \(36\). \(36 : 6 = 6\). Ergebnis: \(2{,}6\). 2. Berechnung von \(8{,}4 : 12\): Da \(8 < 12\), ist die erste Stelle \(0\). Komma setzen und \(84 : 12\) rechnen. \(84 : 12 = 7\). Ergebnis: \(0{,}7\). 3. Berechnung von \(-13{,}5 : 5\): Division einer negativen Zahl durch eine positive ergibt ein negatives Vorzeichen. \(13{,}5 : 5 = 2{,}7\). Ergebnis: \(-2{,}7\). 4. Berechnung von \(0{,}64 : 16\): Erste Stelle ist \(0\). \(6 : 16\) ist ebenfalls \(0\). \(64 : 16 = 4\). Ergebnis: \(0{,}04\).

a) \(2{,}6\) b) \(0{,}7\) c) \(-2{,}7\) d) \(0{,}04\)

- Kannst du die Aufgabe zunächst ohne Komma betrachten? - Achte bei negativen Zahlen auf das Vorzeichen. - Verschiebe bei einer Division durch eine Dezimalzahl das Komma im Dividenden und im Divisor um gleich viele Stellen.

1. a) \(0{,}48 : 6=0{,}08\). 2. b) \(-1{,}5 : 3=-0{,}5\). 3. c) \(1{,}2 : 0{,}4=12 : 4=3\).

a) \(0{,}08\) b) \(-0{,}5\) c) \(3\)

- Wie kannst du das Gesamtgewicht auf die Anzahl der Säcke verteilen? - Achte beim Vergleichen auf die Einheiten. - Wie viele Gramm sind in einem Kilogramm enthalten?

1. Gewicht eines Sacks der ersten Lieferung berechnen: \(312{,}5\,\text{kg} : 25 = 12{,}5\,\text{kg}\). 2. Gewicht eines Sacks der zweiten Lieferung berechnen: \(480\,\text{kg} : 40 = 12{,}0\,\text{kg}\). 3. Vergleich der Gewichte: Der Sack der ersten Lieferung ist mit \(12{,}5\,\text{kg}\) schwerer als der Sack der zweiten Lieferung (\(12{,}0\,\text{kg}\)). 4. Differenz berechnen: \(12{,}5\,\text{kg} - 12{,}0\,\text{kg} = 0{,}5\,\text{kg}\). 5. Umrechnung in Gramm: \(0{,}5\,\text{kg} = 500\,\text{g}\).

Ein Sack der ersten Lieferung wiegt \(12{,}5\,\text{kg}\), ein Sack der zweiten Lieferung \(12{,}0\,\text{kg}\). Der Sack der ersten Lieferung ist um \(500\,\text{g}\) schwerer.

- Stelle dir die Division als Bruch vor. Was musst du tun, damit der Wert eines Bruches gleich bleibt? - Wie viele Stellen wurde das Komma bei der ersten Zahl verschoben? Wurde es bei der zweiten Zahl genauso gemacht? - Überprüfe, ob die Richtung der Verschiebung bei beiden Zahlen identisch ist.

1. Prüfung von Term 1: Dividend und Divisor wurden jeweils mit \(10\) multipliziert (Komma um eine Stelle nach rechts). Das Ergebnis bleibt gleich. 2. Prüfung von Term 2: Dividend und Divisor wurden jeweils mit \(100\) multipliziert (Komma um zwei Stellen nach rechts). Das Ergebnis bleibt gleich. 3. Prüfung von Term 3: Dividend und Divisor wurden jeweils durch \(10\) dividiert (Komma um eine Stelle nach links). Das Ergebnis bleibt gleich. 4. Prüfung von Term 4: Der Dividend wurde mit \(100\) multipliziert, der Divisor jedoch nur mit \(10\). Da die Verschiebung nicht identisch ist, ändert sich das Ergebnis (\(300\) statt \(30\)). Die Terme 1, 2 und 3 sind wertgleich.

Die Terme 1, 2 und 3 haben das gleiche Ergebnis. Begründung: Bei diesen Aufgaben wurde das Komma beim Dividenden und beim Divisor um die gleiche Anzahl an Stellen in dieselbe Richtung verschoben, was den Wert des Quotienten unverändert lässt. Bei Term 4 ist die Verschiebung ungleichmäßig.

- Was passiert mit dem Ergebnis, wenn du bei beiden Zahlen das Komma um die gleiche Anzahl an Stellen verschiebst? - Kannst du die Aufgabe so umschreiben, dass du durch eine ganze Zahl teilst? - Wie viele Stellen muss das Komma nach rechts rücken, damit die hintere Zahl kein Komma mehr hat?

1. Kommaverschiebung bei Dividend und Divisor nach rechts, bis der Divisor eine ganze Zahl ist. 2. a) \(15 : 0{,}3 = 150 : 3 = 50\). 3. b) \(0{,}8 : 0{,}04 = 80 : 4 = 20\). 4. c) \(1{,}2 : 0{,}06 = 120 : 6 = 20\). 5. d) \(0{,}45 : 0{,}15 = 45 : 15 = 3\). 6. e) \(10 : 0{,}005 = 10\,000 : 5 = 2000\).

a) \(50\) b) \(20\) c) \(20\) d) \(3\) e) \(2000\)

- Was passiert mit dem Ergebnis einer Division, wenn du bei beiden Zahlen das Komma um gleich viele Stellen nach rechts verschiebst? - Versuche den Divisor (die zweite Zahl) durch Kommaverschiebung in eine ganze Zahl zu verwandeln. - Vergiss nicht, das Komma beim Dividenden (der ersten Zahl) um genau dieselbe Anzahl an Stellen zu verschieben.

1. Division durch Verschieben des Kommas vorbereiten: \(7{,}2 : 0{,}8 = 72 : 8 = 9\) 2. Komma um eine Stelle nach rechts verschieben: \(1{,}26 : 0{,}3 = 12{,}6 : 3 = 4{,}2\) 3. Komma um drei Stellen nach rechts verschieben: \(0{,}048 : 0{,}006 = 48 : 6 = 8\) 4. Komma um zwei Stellen nach rechts verschieben: \(3{,}45 : 0{,}15 = 345 : 15 = 23\)

a) \(9\) b) \(4{,}2\) c) \(8\) d) \(23\)

- Wie verändert sich das Komma, wenn du beide Zahlen mit 10, 100 oder 1000 multiplizierst? - Überlege dir beim Überschlagen einfache Zahlen, mit denen du im Kopf rechnen kannst. - Denk an die Vorzeichenregeln für die Division. - Was passiert mit dem Ergebnis einer Division, wenn der Teiler (Divisor) kleiner als 1 ist?

1. Berechnung von a): Überschlag \( 5{,}6 \approx 6 \) und \( 0{,}08 \approx 0{,}1 \), also \( 6 : 0{,}1 = 60 \). Exakte Rechnung: Kommaverschiebung um zwei Stellen nach rechts ergibt \( 560 : 8 = 70 \). 2. Berechnung von b): Überschlag \( 0{,}441 \approx 0{,}4 \) und \( 2{,}1 \approx 2 \), also \( 0{,}4 : 2 = 0{,}2 \). Exakte Rechnung: Kommaverschiebung um eine Stelle nach rechts ergibt \( 4{,}41 : 21 \). Schriftliche Division: \( 4{,}41 : 21 = 0{,}21 \). 3. Berechnung von c): Überschlag \( -2{,}25 \approx -2 \) und \( -0{,}15 \approx -0{,}2 \), also \( -2 : (-0{,}2) = 10 \). Exakte Rechnung: Da beide Vorzeichen negativ sind, ist das Ergebnis positiv. Kommaverschiebung um zwei Stellen nach rechts ergibt \( 225 : 15 = 15 \).

a) Überschlag: ca. \(60\); exakt: \(70\) b) Überschlag: ca. \(0{,}2\); exakt: \(0{,}21\) c) Überschlag: ca. \(10\); exakt: \(15\)

- Überlege dir, in welche Richtung und um wie viele Stellen das Komma verschoben wurde. - Eine Multiplikation mit \(10, 100, 1000\) verschiebt das Komma nach rechts. - Eine Division durch \(10, 100, 1000\) verschiebt das Komma nach links. - Zähle die Nullen der Zehnerpotenz, um die Anzahl der Stellen für die Verschiebung zu bestimmen.

1. Um von \(0{,}082\) zu \(82\) zu gelangen, muss das Komma um drei Stellen nach rechts verschoben werden. Dies entspricht einer Multiplikation mit \(1000\). 2. Um von \(740\) zu \(0{,}74\) zu gelangen, muss das Komma um drei Stellen nach links verschoben werden. Dies entspricht einer Division durch \(1000\). 3. Um von \(0{,}005\) zu \(500\) zu gelangen, muss das Komma um fünf Stellen nach rechts verschoben werden. Dies entspricht einer Multiplikation mit \(100\,000\). 4. Die Division von \(1{,}23\) durch \(100\) verschiebt das Komma um zwei Stellen nach links, was \(0{,}0123\) ergibt.

a) \(1000\) b) \(1000\) c) \(100\,000\) d) \(0{,}0123\)

- Kannst du berechnen, welche Strecke die beiden jeweils in einer Minute zurücklegen? - Wie viele Minuten hat eine Stunde? Nutze dies, um auf die Geschwindigkeit pro Stunde hochzurechnen. - Um von Kilometern pro Stunde auf Meter pro Sekunde zu kommen, überlege dir, wie viele Meter ein Kilometer hat und wie viele Sekunden eine Stunde hat.

1. Berechnung der Geschwindigkeit von Lukas: \(5{,}4\,\text{km} : 15\,\text{min} = 0{,}36\,\text{km/min}\). Umrechnung in \(\text{km/h}\): \(0{,}36 \cdot 60 = 21{,}6\,\text{km/h}\). 2. Berechnung der Geschwindigkeit von Sarah: \(4{,}5\,\text{km} : 12\,\text{min} = 0{,}375\,\text{km/min}\). Umrechnung in \(\text{km/h}\): \(0{,}375 \cdot 60 = 22{,}5\,\text{km/h}\). 3. Vergleich: Da \(22{,}5\,\text{km/h} > 21{,}6\,\text{km/h}\), fährt Sarah schneller. 4. Strecke pro Sekunde für Sarah: \(22{,}5\,\text{km/h}\) entsprechen \(22\,500\,\text{m}\) in \(3600\,\text{s}\). Berechnung: \(22\,500 : 3600 = 6{,}25\,\text{m/s}\).

a) Sarah ist mit \(22{,}5\,\text{km/h}\) schneller als Lukas, der \(21{,}6\,\text{km/h}\) fährt. b) Sarah legt in einer Sekunde \(6{,}25\,\text{m}\) zurück.

- Überlege, wie oft die kleine Länge in die Gesamtlänge passt. - Was passiert mit dem Komma, wenn du beide Zahlen mit 100 multiplizierst? - Kannst du die Aufgabe lösen, indem du die Meter in Zentimeter umrechnest?

1. Berechnung der Anzahl für \(0{,}25\,\text{m}\): Division von \(3{,}5\) durch \(0{,}25\) ergibt \(14\). 2. Berechnung der Anzahl für \(0{,}14\,\text{m}\): Division von \(3{,}5\) durch \(0{,}14\) ergibt \(25\).

a) Er kann \(14\) Stücke schneiden. b) Er erhält \(25\) Stücke.

- Wie berechnet man den Preis für ein einzelnes Stück, wenn man den Gesamtpreis kennt? - Führe für beide Angebote die gleiche Rechnung durch, um sie vergleichen zu können. - Achte beim Dividieren auf das Komma.

1. Berechnung des Preises pro Orange für Angebot A: \(5{,}85\,\text{€} : 15 = 0{,}39\,\text{€}\). 2. Berechnung des Preises pro Orange für Angebot B: \(4{,}80\,\text{€} : 12 = 0{,}40\,\text{€}\). 3. Vergleich der Ergebnisse: \(0{,}39\,\text{€} < 0{,}40\,\text{€}\).

Angebot A ist mit \(0{,}39\,\text{€}\) pro Orange günstiger als Angebot B mit \(0{,}40\,\text{€}\) pro Orange.

- Wie berechnet man die Geschwindigkeit, wenn Strecke und Zeit bekannt sind? - Welche Rechenoperation hilft dir, von Metern pro Sekunde auf Kilometer pro Stunde umzurechnen? - Achte darauf, dass du nur Geschwindigkeiten in der gleichen Einheit direkt vergleichen kannst.

1. Berechnung der Geschwindigkeit des Mauerseglers in \(\text{m/s}\): Division der Strecke durch die Zeit: \(336\,\text{m} : 12\,\text{s} = 28\,\text{m/s}\). 2. Umrechnung der Geschwindigkeit in \(\text{km/h}\): Multiplikation des Wertes in \(\text{m/s}\) mit dem Faktor \(3{,}6\): \(28 \cdot 3{,}6 = 100{,}8\,\text{km/h}\). 3. Vergleich der Geschwindigkeiten: \(324\,\text{km/h} > 100{,}8\,\text{km/h}\). Der Wanderfalke ist deutlich schneller.

a) Der Mauersegler hat eine Geschwindigkeit von \(28\,\text{m/s}\). b) Der Wanderfalke ist schneller, da der Mauersegler nur eine Geschwindigkeit von \(100{,}8\,\text{km/h}\) erreicht.

- Wie viele kleine Packungen kann man aus der Gesamtmenge machen? - Wie viel Geld muss insgesamt eingenommen werden, um die Kosten zu decken und zusätzlich den Gewinn zu machen? - Verteile die gesamte geplante Einnahme gleichmäßig auf alle Packungen.

1. Berechnung der Anzahl der Tüten: \(15\,\text{kg} : 0{,}25\,\text{kg/Tüte} = 60\,\text{Tüten}\). 2. Berechnung des benötigten Gesamterlöses für den Zielgewinn: \(127{,}50\,\text{€} + 67{,}50\,\text{€} = 195{,}00\,\text{€}\). 3. Berechnung des Preises pro Tüte: \(195{,}00\,\text{€} : 60\,\text{Tüten} = 3{,}25\,\text{€/Tüte}\).

Der Händler muss \(3{,}25\,\text{€}\) pro Tüte verlangen.

- Kannst du die Division zuerst wie mit ganzen Zahlen durchführen und das Komma später setzen? - Wie viele Zentimeter ergeben einen Meter? - Wie viele Meter stecken in einem Kilometer? - Hilft es dir, die Ausgangszahl zuerst in eine kleinere Einheit umzurechnen, bevor du teilst?

1. Berechnung von Teil a: Division der Länge durch 6 ergibt \(0{,}75\,\text{m}\). Umrechnung in Zentimeter durch Multiplikation mit 100 ergibt \(75\,\text{cm}\). 2. Berechnung von Teil b: Division der Länge durch 8 ergibt \(0{,}015\,\text{km}\). Umrechnung in Meter durch Multiplikation mit 1000 ergibt \(15\,\text{m}\).

a) \(75\,\text{cm}\) b) \(15\,\text{m}\)

- Wie viel verbraucht das Auto auf einem einzigen Kilometer? - Wenn du weißt, wie viel das Auto pro Kilometer verbraucht, wie kannst du dann die Gesamtkilometer berechnen? - Erinnere dich an die Regel zur Division durch Dezimalzahlen: Wie verschiebt man das Komma?

1. Berechnung des Verbrauchs pro Kilometer: \(6{,}4\,\text{l} : 100 = 0{,}064\,\text{l/km}\). 2. Berechnung des Verbrauchs für \(15\,\text{km}\): \(0{,}064\,\text{l/km} \cdot 15\,\text{km} = 0{,}96\,\text{l}\). 3. Berechnung der Reichweite mit der gegebenen Tankfüllung durch Division der Kraftstoffmenge durch den Verbrauch pro Kilometer: \(54{,}4\,\text{l} : 0{,}064\,\text{l/km} = 850\,\text{km}\).

Auf \(15\,\text{km}\) verbraucht das Auto \(0{,}96\,\text{l}\) Benzin. Mit \(54{,}4\,\text{l}\) kommt das Auto \(850\,\text{km}\) weit.

- Zähle, um wie viele Stellen das Komma in jedem Fall verschoben wurde. - Was passiert, wenn man das Komma nach links schiebt, aber dort keine Ziffern mehr stehen?

1. Bestimmung für a): Um von \(68\) zu \(0{,}68\) zu gelangen, wurde das Komma um zwei Stellen nach links verschoben. Der Teiler ist also \(100\). 2. Bestimmung für b): Um von \(0{,}9\) zu \(0{,}009\) zu gelangen, wurde das Komma ebenfalls um zwei Stellen nach links verschoben. Der Teiler ist also \(100\). 3. Erklärung der Nullen: Die Nullen dienen als Platzhalter, um die korrekten Stellenwerte (Zehntel, Hundertstel, Tausendstel) anzuzeigen, wenn links von der ursprünglichen Ziffer keine weiteren Ziffern vorhanden sind.

a) \(100\); b) \(100\). Die Nullen in b) sind Platzhalter für die Stellenwerte.

- Wie hängen Vergrößerungsfaktor, Bildgröße und Originalgröße zusammen? - Achte darauf, dass alle Längenangaben in derselben Einheit stehen, bevor du rechnest. - Kannst du die Division durch \(0{,}25\) vereinfachen, indem du mit dem Kehrbruch eines entsprechenden Bruchs multiplizierst?

1. Zu a): Multiplikation der tatsächlichen Länge mit dem Vergrößerungsfaktor: \(0{,}25\,\text{mm} \cdot 40 = 10\,\text{mm}\). 2. Umrechnung in Zentimeter: \(10\,\text{mm} = 1\,\text{cm}\). 3. Zu b): Umrechnung der gewünschten Bildgröße in Millimeter: \(2\,\text{cm} = 20\,\text{mm}\). 4. Berechnung des Vergrößerungsfaktors durch Division der Bildgröße durch die tatsächliche Größe: \(20\,\text{mm} : 0{,}25\,\text{mm} = 80\).

a) Das Tierchen erscheint \(1\,\text{cm}\) lang. b) Er muss eine 80-fache Vergrößerung einstellen.

- Zähle die Stellen, um die das Komma wandert. - Was passiert mit einer Zahl, wenn du sie durch eine Zahl teilst, die kleiner als 1 ist? - Erinnere dich an die Regel für die Division durch Dezimalzahlen: Das Komma bei beiden Zahlen so weit nach rechts verschieben, bis der Divisor eine ganze Zahl ist.

1. Division durch 100 verschiebt das Komma um 2 Stellen nach links: \(3{,}4 : 100 = 0{,}034\). 2. Vergleich von \(0{,}5\) und \(0{,}005\): Das Komma rückt um 2 Stellen nach links, also Division durch \(100\). 3. Vergleich von \(0{,}002\) und \(20\): Das Komma rückt um 4 Stellen nach rechts (\(0{,}002 \rightarrow 0{,}02 \rightarrow 0{,}2 \rightarrow 2 \rightarrow 20\)), also Multiplikation mit \(10\,000\). 4. \(0{,}8 : 0{,}01 = 80\) und \(0{,}8 \cdot 100 = 80\). Feststellung: Die Division durch \(0{,}01\) hat denselben Effekt wie die Multiplikation mit \(100\).

a) \(0{,}034\); 2 Stellen nach links. b) \(100\) c) \(10\,000\) d) Beide Ergebnisse sind \(80\). Die Division durch \(0{,}01\) ist gleichbedeutend mit der Multiplikation mit \(100\).

- Berechne zuerst die einfachen Aufgaben wie \(4{,}5 : 10\) und \(4{,}5 : 1\). - Siehst du ein Muster in den Ergebnissen? - Was passiert mit dem Komma von Schritt zu Schritt? - Wie ändert sich der Wert des Divisors von a) nach b) nach c)?

1. Berechnung der Werte: a) \(4{,}5 : 100 = 0{,}045\) b) \(4{,}5 : 10 = 0{,}45\) c) \(4{,}5 : 1 = 4{,}5\) d) \(4{,}5 : 0{,}1 = 45\) e) \(4{,}5 : 0{,}01 = 450\) 2. Beobachtung: Wenn der Divisor durch 10 geteilt wird (eine Zehnerpotenz kleiner wird), verschiebt sich das Komma im Ergebnis um eine Stelle nach rechts (das Ergebnis wird zehnmal größer).

a) \(0{,}045\); b) \(0{,}45\); c) \(4{,}5\); d) \(45\); e) \(450\). Regel: Wenn der Divisor durch 10 geteilt wird, wandert das Komma im Ergebnis um eine Stelle nach rechts (das Ergebnis wird zehnmal größer).

- Mache eine Überschlagsrechnung oder die Umkehraufgabe (Multiplikation), um das Ergebnis schnell zu prüfen. - Achte besonders auf die Anzahl der Nachkommastellen. - Was passiert mit dem Komma, wenn du eine sehr kleine Zahl durch eine größere Zahl teilst?

1. Überprüfung \(4{,}5 : 9\): \(45 : 9 = 5\), mit Kommaverschiebung ist \(0{,}5\) korrekt. 2. Überprüfung \(1{,}44 : 12\): \(1{,}44\) entspricht \(144\) Hundertsteln. Da \(144 : 12 = 12\), beträgt der Quotient \(12\) Hundertstel, also \(0{,}12\). \(1{,}2\) ist falsch. 3. Überprüfung \(-3{,}6 : 4\): \(36 : 4 = 9\), Vorzeichen negativ, Ergebnis \(-0{,}9\) ist korrekt. 4. Überprüfung \(0{,}07 : 2\): Division von \(7\) durch \(2\) ist \(3{,}5\). Da wir von \(0{,}07\) ausgehen, muss das Komma um zwei Stellen nach links wandern: \(0{,}035\). \(0{,}35\) ist falsch.

a) Richtig b) Falsch, korrekt ist \(0{,}12\) c) Richtig d) Falsch, korrekt ist \(0{,}035\)

- Erinnerst du dich an den Trick mit der Kommaverschiebung, wenn der Teiler (die zweite Zahl) selbst ein Komma hat? - Wie schreibt man Prozent als Dezimalzahl? Denke an das Wort „von Hundert“. - Man darf das Komma bei beiden Zahlen gleichzeitig um die gleiche Anzahl an Stellen verschieben, ohne dass sich das Ergebnis ändert.

1. Berechnung von \(4{,}8 : 0{,}6\): Komma bei beiden Zahlen um eine Stelle nach rechts verschieben ergibt \(48 : 6 = 8\). 2. Berechnung von \(1{,}25 : 0{,}5\): Komma um eine Stelle nach rechts verschieben ergibt \(12{,}5 : 5 = 2{,}5\). 3. Berechnung von \(12\,\% : 5\): Umwandlung \(12\,\% = 0{,}12\). Durchführung der Division \(0{,}12 : 5\). \(12 : 5 = 2{,}4\), Komma um zwei Stellen nach links verschieben ergibt \(0{,}024\).

a) \(8\) b) \(2{,}5\) c) \(0{,}024\)

- Was passiert mit der Gesamtmenge, wenn man sie auf viele kleine Behälter aufteilt? - Wie viel Konzentrat bräuchte man insgesamt, wenn jede Flasche die größere Menge erhalten würde?

1. Berechnung der Menge pro Flasche: \(12{,}5\,\text{l} : 50 = 0{,}25\,\text{l}\). 2. Überprüfung des Vorschlags: Multiplikation der Wunschmenge mit der Anzahl der Flaschen: \(0{,}3\,\text{l} \cdot 50 = 15{,}0\,\text{l}\). 3. Vergleich mit dem Vorrat: Da \(15{,}0\,\text{l} > 12{,}5\,\text{l}\), reicht das Konzentrat nicht aus. Die Differenz beträgt \(2{,}5\,\text{l}\).

Jede Flasche erhält \(0{,}25\,\text{l}\) Konzentrat. Der Vorschlag des Trainers ist nicht umsetzbar, da man für \(50\) Flaschen à \(0{,}3\,\text{l}\) insgesamt \(15\,\text{l}\) benötigen würde, aber nur \(12{,}5\,\text{l}\) vorhanden sind.

- Schau dir immer das Zahlenpaar an, bei dem beide Werte bekannt sind. - Wie verändert sich die Zahl vor dem Geteilt-Zeichen im Vergleich zur ersten Aufgabe? - Was du mit der einen Zahl machst, musst du auch mit der anderen tun. - Suche dir die einfachste der vier Aufgaben aus, um das Endergebnis zu berechnen.

1. Schritt: Bestimmung der ersten Lücke. Von \(1{,}2\) zu \(12\) wurde das Komma um eine Stelle nach rechts verschoben (Multiplikation mit \(10\)). Also muss auch \(0{,}3\) mit \(10\) multipliziert werden: \(0{,}3 \cdot 10 = 3\). 2. Schritt: Bestimmung der zweiten Lücke. Von \(0{,}3\) zu \(30\) wurde das Komma um zwei Stellen nach rechts verschoben (Multiplikation mit \(100\)). Also muss auch \(1{,}2\) mit \(100\) multipliziert werden: \(1{,}2 \cdot 100 = 120\). 3. Schritt: Bestimmung der dritten Lücke. Von \(1{,}2\) zu \(0{,}12\) wurde das Komma um eine Stelle nach links verschoben (Division durch \(10\)). Also muss auch \(0{,}3\) durch \(10\) dividiert werden: \(0{,}3 : 10 = 0{,}03\). 4. Schritt: Berechnung des Werts. Am einfachsten mit der Aufgabe ohne Komma: \(12 : 3 = 4\).

Die ausgefüllte Kette lautet: \(1{,}2 : 0{,}3 = 12 : 3 = 120 : 30 = 0{,}12 : 0{,}03\). Der Wert des Quotienten ist \(4\).

- Was passiert mit dem Wert eines Ergebnisses, wenn du die erste Zahl viel stärker vergrößerst als die zweite? - Stell dir die Division als einen Bruch vor. Was darf man beim Erweitern von Brüchen tun und was nicht? - Wie viele Schritte musst du gehen, damit die Rechnung so einfach wie möglich wird, aber trotzdem korrekt bleibt?

1. Fehleranalyse: Das Verschieben des Kommas entspricht dem Erweitern eines Bruches. Damit der Wert des Quotienten gleich bleibt, müssen Dividend und Divisor mit derselben Zahl (derselben Zehnerpotenz) multipliziert werden. 2. Korrektur des Vorgehens: Wenn das Komma beim Divisor um eine Stelle verschoben wird (Multiplikation mit \(10\)), muss es auch beim Dividenden um genau eine Stelle verschoben werden. 3. Korrekte Rechnung: Aus \(0{,}45 : 0{,}5\) wird durch Verschiebung um eine Stelle nach rechts \(4{,}5 : 5\). 4. Ergebnisberechnung: \(4{,}5 : 5 = 0{,}9\). Das ursprüngliche Ergebnis \(9\) war um den Faktor \(10\) zu groß.

Das Vorgehen ist falsch, weil das Komma bei beiden Zahlen um die gleiche Anzahl an Stellen verschoben werden muss, um den Wert der Rechnung nicht zu verändern. Durch die ungleiche Verschiebung wurde der Dividend stärker vergrößert als der Divisor. Korrekt ist: Verschiebe das Komma bei beiden um eine Stelle nach rechts zu \(4{,}5 : 5\). Das richtige Ergebnis ist \(0{,}9\).

- Kannst du die Aufgabe in eine Multiplikationsaufgabe umwandeln? - Rechne zuerst die Seite aus, auf der beide Zahlen bekannt sind. - Wie hängen die Zahlen zusammen, wenn das Ergebnis gleich bleiben soll?

1. a) Umkehrrechnung durchführen: \(20 \cdot 0{,}3 = 6\). 2. b) Den Divisor bestimmen durch \(1{,}8 : 9 = 0{,}2\). 3. c) Den Wert der linken Seite berechnen: \(0{,}75 : 0{,}25 = 75 : 25 = 3\). Dann die Gleichung \(7{,}5 : x = 3\) lösen: \(7{,}5 : 3 = 2{,}5\). 4. d) Den Wert der linken Seite berechnen: \(0{,}04 : 0{,}008 = 40 : 8 = 5\). Dann die Gleichung \(x : 8 = 5\) lösen: \(5 \cdot 8 = 40\).

a) \(6\) b) \(0{,}2\) c) \(2{,}5\) d) \(40\)

- Kannst du die Aufgaben so umformen, dass du immer durch dieselbe ganze Zahl teilst? - Schau dir an, wie sich die Positionen der Kommata in den verschiedenen Aufgaben zueinander verhalten. - Rechne die Werte nacheinander aus und vergleiche sie.

1. Berechnung von A: \(0{,}45 : 0{,}09 = 45 : 9 = 5\) 2. Berechnung von B: \(4{,}5 : 0{,}9 = 45 : 9 = 5\) 3. Berechnung von C: \(45 : 9 = 5\) 4. Berechnung von D: \(0{,}045 : 0{,}9 = 0{,}45 : 9 = 0{,}05\) 5. Vergleich der Ergebnisse: Der Term D hat den Wert \(0{,}05\), während alle anderen den Wert \(5\) haben.

Term D hat einen anderen Wert (\(0{,}05\)). Die Terme A, B und C ergeben jeweils \(5\).

- Wie ändert sich ein Ergebnis, wenn man nur eine der beiden Zahlen verändert? - Was passiert, wenn man beide Zahlen um den gleichen Faktor (z. B. \(10\)) vergrößert? - Schau dir genau an, um wie viele Stellen das Komma im Vergleich zur Ausgangsrechnung verschoben wurde.

1. Lösung für a): Der Dividend \( 15{,}6 \) ist 10-mal kleiner als \( 156 \). Das Ergebnis muss daher ebenfalls 10-mal kleiner sein: \( 31{,}2 : 10 = 3{,}12 \). 2. Lösung für b): Durch Erweitern mit 10 erhält man die Aufgabe \( 15{,}6 : 5 \). Dies entspricht dem Fall aus Teilaufgabe a), das Ergebnis ist \( 3{,}12 \). 3. Lösung für c): Der Divisor \( 0{,}05 \) ist 100-mal kleiner als \( 5 \). Wenn man durch eine 100-mal kleinere Zahl teilt, wird das Ergebnis 100-mal größer: \( 31{,}2 \cdot 100 = 3120 \). 4. Lösung für d): Der Dividend \( 0{,}156 \) ist 1000-mal kleiner als \( 156 \). Das Ergebnis muss daher 1000-mal kleiner sein: \( 31{,}2 : 1000 = 0{,}0312 \).

a) \(3{,}12\) (Dividend durch \(10\)) b) \(3{,}12\) (Dividend und Divisor mit \(10\) multipliziert; der Quotient bleibt unverändert) c) \(3120\) (Divisor durch \(100\)) d) \(0{,}0312\) (Dividend durch \(1000\))

- Berechne zuerst für jeden Schlauch die Wassermenge, die in genau einer Minute fließt. - Wenn du weißt, wie viel Wasser in einer Minute fließt, wie findest du dann heraus, wie viel es in einer Sekunde ist? - Überlege, wie oft eine Sekunde in eine Minute passt.

1. Durchflussrate Schlauch A: \(25{,}5 : 1{,}5 = 255 : 15 = 17\,\text{l/min}\). 2. Durchflussrate Schlauch B: \(32{,}4 : 1{,}8 = 324 : 18 = 18\,\text{l/min}\). 3. Vergleich: Schlauch B hat die höhere Durchflussrate (\(18 > 17\)). 4. Wassermenge pro Sekunde für Schlauch B: Da eine Minute \(60\,\text{s}\) hat, berechnet man \(18 : 60 = 0{,}3\,\text{l}\).

a) Schlauch B hat mit \(18\,\text{l/min}\) die höhere Durchflussrate (Schlauch A: \(17\,\text{l/min}\)). b) Aus Schlauch B fließen \(0{,}3\,\text{l}\) pro Sekunde.

- Achte darauf, dass alle Längenangaben in der gleichen Einheit (Meter) vorliegen. - Wie viele Schritte macht die Schwester insgesamt, wenn du Leons Anzahl kennst? - Wie berechnet man die Länge eines einzelnen Schrittes, wenn man die Gesamtstrecke und die Schrittanzahl hat?

1. Umrechnung der Wegstrecke: \(4{,}2\,\text{km} = 4200\,\text{m}\). 2. Berechnung von Leons Schritten: \(4200 : 0{,}7 = 6000\) Schritte. 3. Berechnung der Schritte der Schwester: \(6000 + 2000 = 8000\) Schritte. 4. Berechnung der Schrittlänge der Schwester: \(4200 : 8000 = 0{,}525\,\text{m}\).

a) Leon benötigt \(6000\) Schritte. b) Die durchschnittliche Schrittlänge seiner Schwester beträgt \(0{,}525\,\text{m}\).

- Wandle die Zeitangabe zuerst in die kleinste vorkommende Einheit um. - Wie oft passt die Bahnlänge in die Gesamtstrecke? - Teile die Gesamtzeit durch die Anzahl der Abschnitte.

1. Umrechnung der Gesamtzeit in Sekunden: \(4 \cdot 60\,\text{s} + 24{,}8\,\text{s} = 264{,}8\,\text{s}\). 2. Bestimmung der Anzahl der Bahnen: \(400\,\text{m} : 50\,\text{m} = 8\). 3. Berechnung der Durchschnittszeit pro Bahn durch Division: \(264{,}8\,\text{s} : 8 = 33{,}1\,\text{s}\).

Der Schwimmer benötigte durchschnittlich \(33{,}1\) Sekunden pro Bahn.

- Kannst du die Division \(188 : 40\) vereinfachen oder schriftlich durchführen? - Überlege, wie viele Sekunden eine Stunde hat und wie viele Meter ein Kilometer, um den Umrechnungsfaktor zu verstehen. - Was bedeutet eine Geschwindigkeit von \(16{,}2\,\text{km/h}\) im Vergleich zu \(16{,}92\,\text{km/h}\)?

1. Berechnung der Geschwindigkeit des ersten Autos in \(\text{m/s}\): \(188\,\text{m} : 40\,\text{s} = 4{,}7\,\text{m/s}\). 2. Umrechnung dieser Geschwindigkeit in \(\text{km/h}\): \(4{,}7 \cdot 3{,}6 = 16{,}92\,\text{km/h}\). 3. Vergleich mit dem zweiten Modell: \(16{,}92\,\text{km/h} > 16{,}2\,\text{km/h}\). Das erste Auto ist schneller.

a) Das erste Auto fährt mit \(4{,}7\,\text{m/s}\). b) Das erste Auto ist schneller, da seine Geschwindigkeit \(16{,}92\,\text{km/h}\) beträgt, während das zweite Modell nur \(16{,}2\,\text{km/h}\) schnell ist.

- Überlege zuerst, wie viel Geld die Schülerin insgesamt am Ende in der Kasse haben muss. - Wie viel Geld hat sie durch die ersten Verkäufe schon eingenommen? - Wie viele Bücher sind noch übrig, um den restlichen Betrag zu verdienen?

1. Berechnung des benötigten Gesamterlöses: \(80\,\text{€} + 50\,\text{€} = 130\,\text{€}\). 2. Berechnung der Einnahmen vom Vormittag: \(25 \cdot 4{,}00\,\text{€} = 100\,\text{€}\). 3. Berechnung des noch fehlenden Betrags: \(130\,\text{€} - 100\,\text{€} = 30\,\text{€}\). 4. Bestimmung der Anzahl der restlichen Bücher: \(40 - 25 = 15\,\text{Bücher}\). 5. Berechnung des Preises pro restlichem Buch: \(30\,\text{€} : 15 = 2{,}00\,\text{€}\).

Sie muss für die restlichen Bücher \(2{,}00\,\text{€}\) pro Stück verlangen.

- Sind alle Gewichtsangaben in der gleichen Einheit? - Was musst du vom Gesamtgewicht abziehen, um nur das Gewicht der Safttüten zu erhalten? - Wie gehst du vor, wenn du das Gesamtgewicht vieler gleicher Gegenstände kennst und das Gewicht von nur einem wissen möchtest?

1. Umrechnung des Gesamtgewichts in Gramm: \(2{,}7\,\text{kg} \cdot 1000 = 2700\,\text{g}\). 2. Subtraktion des Verpackungsgewichts: \(2700\,\text{g} - 60\,\text{g} = 2640\,\text{g}\). 3. Division des Gewichts des Inhalts durch die Anzahl der Tüten: \(2640\,\text{g} : 12 = 220\,\text{g}\).

\(220\,\text{g}\)

- Überlege dir zuerst getrennt, was eine Division und was eine Multiplikation mit dem Komma macht. - Stelle dir die Bewegungen wie Schritte auf einem Zahlenstrahl oder einer Skala vor. - Kannst du die beiden Bewegungen (links und rechts) miteinander verrechnen?

1. Erster Schritt: Division durch \(1000\) verschiebt das Komma um 3 Stellen nach links. 2. Zweiter Schritt: Multiplikation des Zwischenergebnisses mit \(100\) verschiebt das Komma um 2 Stellen nach rechts. 3. Gesamteffekt berechnen: \(3 \text{ Stellen links} - 2 \text{ Stellen rechts} = 1 \text{ Stelle links}\). 4. Einzelne Rechnung bestimmen: Eine Verschiebung um eine Stelle nach links entspricht der Division durch \(10\).

Das Komma hat sich insgesamt um eine Stelle nach links verschoben. Das entspricht einer einfachen Division durch \(10\).

- Wie viele Male passt die kleine Dicke in die gezeichnete Dicke? - Wenn du den Faktor aus dem ersten Teil kennst, kannst du ihn auf andere Objekte übertragen. - Was passiert mit dem Komma, wenn man eine Dezimalzahl mit 1000 multipliziert?

1. Zu a): Berechnung des Vergrößerungsfaktors durch Division: \(4\,\text{mm} : 0{,}08\,\text{mm} = 400 : 8 = 50\). Der Faktor ist 50. 2. Zu b): Anwendung des Faktors auf das zweite Bauteil: \(0{,}12\,\text{mm} \cdot 50 = 6\,\text{mm}\). 3. Zu c): Berechnung der neuen Bildgröße: \(0{,}08\,\text{mm} \cdot 1000 = 80\,\text{mm}\). 4. Umrechnung in Zentimeter: \(80\,\text{mm} = 8\,\text{cm}\).

a) Der Vergrößerungsfaktor ist 50. b) Das zweite Bauteil ist in der Zeichnung \(6\,\text{mm}\) dick. c) Es erscheint dann \(8\,\text{cm}\) dick.

- Musst du das Gewicht der Kiste mitzählen, wenn du nur das Gewicht der Scheiben wissen willst? - Achte darauf, dass alle Zahlen in der gleichen Einheit (z. B. Gramm) stehen, bevor du rechnest. - Wenn du das Gewicht von einer Scheibe kennst, wie kommst du auf das Gewicht von zehn?

1. Umrechnung des Gesamtgewichts in Gramm: \(1{,}58\,\text{kg} = 1580\,\text{g}\). 2. Berechnung des reinen Gewichts der Unterlegscheiben (Netto): \(1580\,\text{g} - 140\,\text{g} = 1440\,\text{g}\). 3. Berechnung des Gewichts einer einzelnen Scheibe: \(1440\,\text{g} : 400 = 3{,}6\,\text{g}\). 4. Gewicht von \(10\) Scheiben: \(3{,}6\,\text{g} \cdot 10 = 36\,\text{g}\).

Eine einzelne Unterlegscheibe wiegt \(3{,}6\,\text{g}\). Zehn Unterlegscheiben wiegen zusammen \(36\,\text{g}\).

- Schau dir an, wie sich die Lage des Kommas in den Teilaufgaben verändert. - Vergleiche Aufgabe a) mit Aufgabe b): Was hat sich am Teiler geändert? - Vergleiche Aufgabe a) mit Aufgabe d): Warum kommt dort das gleiche heraus?

1. a) \(2{,}4 : 0{,}6 = 24 : 6 = 4\). 2. b) \(2{,}4 : 0{,}06 = 240 : 6 = 40\). 3. c) \(0{,}24 : 0{,}6 = 2{,}4 : 6 = 0{,}4\). 4. d) \(0{,}24 : 0{,}06 = 24 : 6 = 4\). 5. Vergleich: Wenn der Divisor kleiner wird (bei gleichem Dividenden), wird das Ergebnis größer. Wenn der Dividend kleiner wird (bei gleichem Divisor), wird das Ergebnis kleiner. In Aufgabe d) heben sich beide Effekte im Vergleich zu a) gegenseitig auf.

a) \(4\) b) \(40\) c) \(0{,}4\) d) \(4\) Beobachtung: Das Ergebnis bleibt gleich, wenn man beim Dividenden und beim Divisor das Komma um gleich viele Stellen verschiebt.

- Berechne zuerst den Wert einer Seite der Gleichung, wenn möglich. - Vergleiche bei b) und c) die Zahlen vor und nach dem Doppelpunkt. Wenn die erste Zahl um einen bestimmten Faktor kleiner oder größer wird, was muss dann mit der zweiten Zahl passieren, damit das Ergebnis gleich bleibt? - Erinnere dich daran, dass \(10^2 = 100\), \(10^3 = 1000\) und so weiter.

1. Linke Seite berechnen: \(0{,}0007 \cdot 10\,000 = 7\). Die rechte Seite muss also auch \(7\) ergeben. \(x \cdot 100 = 7 \implies x = 7 : 100 = 0{,}07\). 2. Linke Seite berechnen: \(15{,}2 : 1000 = 0{,}0152\). Um von \(0{,}152\) auf \(0{,}0152\) zu kommen, muss durch \(10\) dividiert werden. Der Platzhalter ist \(10\). 3. Vergleich der Terme: Von \(10^2\) zu \(10^4\) wird mit \(100\) multipliziert. Damit der Quotient gleich bleibt, muss auch der Divisor (\(8{,}5\)) mit \(100\) multipliziert werden. \(8{,}5 \cdot 100 = 850\).

a) \(0{,}07\) b) \(10\) c) \(850\)

- Erinnere dich daran, wie man durch eine Dezimalzahl dividiert, indem man das Komma bei beiden Zahlen verschiebt. - Was bedeutet die Angabe \(\text{m/s}\) für die Berechnung der Strecke in einer sehr kurzen Zeit? - Wie viele Zentimeter sind ein Meter?

1. Geschwindigkeit Drohne Alpha: \(45{,}5 : 3{,}5 = 455 : 35 = 13\,\text{m/s}\). 2. Geschwindigkeit Drohne Beta: \(61{,}2 : 4{,}8 = 612 : 48 = 12{,}75\,\text{m/s}\). 3. Vergleich: Drohne Alpha ist schneller, da \(13\,\text{m/s} > 12{,}75\,\text{m/s}\). 4. Strecke in \(0{,}01\,\text{s}\) für Alpha: \(13\,\text{m/s} \cdot 0{,}01\,\text{s} = 0{,}13\,\text{m}\). 5. Umrechnung in Zentimeter: \(0{,}13\,\text{m} = 13\,\text{cm}\).

a) Drohne Alpha ist mit \(13\,\text{m/s}\) schneller als Drohne Beta (\(12{,}75\,\text{m/s}\)). b) Die schnellere Drohne fliegt in \(0{,}01\,\text{s}\) genau \(13\,\text{cm}\).

- Was bedeutet „vollständig gefüllt“ für dein Rechenergebnis? - Wie berechnest du den Rest, nachdem du die Anzahl der vollen Flaschen bestimmt hast? - Rechne erst aus, wie viel Saft in die 20 großen Flaschen passt, bevor du dich um den Rest kümmerst.

1. Große Flaschen: \(20 : 0{,}75 = 26\) Rest \(0{,}5\). Es werden \(26\) Flaschen gefüllt (\(26 \cdot 0{,}75 = 19{,}5\)), Rest ist \(0{,}5\,\text{l}\). 2. Kleine Flaschen: \(20 : 0{,}33 = 60\) Rest \(0{,}2\). Es werden \(60\) Flaschen gefüllt (\(60 \cdot 0{,}33 = 19{,}8\)), Rest ist \(0{,}2\,\text{l}\). 3. Vergleich: \(0{,}2\,\text{l} < 0{,}5\,\text{l}\), die Aussage ist wahr. 4. Kombination: \(20\) große Flaschen fassen \(20 \cdot 0{,}75 = 15\,\text{l}\). 5. Verbleibende Menge: \(20 - 15 = 5\,\text{l}\). 6. Kleine Flaschen für Restmenge: \(5 : 0{,}33 = 15{,}\overline{15}\). Es können \(15\) kleine Flaschen zusätzlich gefüllt werden.

a) Es können \(26\) große Flaschen gefüllt werden; es bleiben \(0{,}5\,\text{l}\) übrig. b) Die Aussage ist wahr, da bei kleinen Flaschen nur \(0{,}2\,\text{l}\) übrig bleiben (\(0{,}2 < 0{,}5\)). c) Es können \(15\) kleine Flaschen zusätzlich vollständig gefüllt werden.

- Überlege für den ersten Teil, wie viel vom Ganzen auf eine Minute entfällt. - Für den zweiten Teil ist es hilfreich, die Zeit zuerst in Sekunden umzurechnen. - Was musst du durch was teilen, um die Zeit für genau einen Liter zu erhalten?

1. Berechnung der Liter pro Minute: \(112{,}5\,\text{l} : 15 = 7{,}5\,\text{l/min}\). 2. Umrechnung der Gesamtzeit in Sekunden: \(15 \cdot 60\,\text{s} = 900\,\text{s}\). 3. Berechnung der Zeit pro Liter: \(900\,\text{s} : 112{,}5 = 8\,\text{s}\).

a) Es werden durchschnittlich \(7{,}5\,\text{l/min}\) abgefüllt. b) Es dauert durchschnittlich \(8\,\text{s}\), einen Liter abzufüllen.

- Wandle zuerst alle Zeitangaben in Sekunden um, um besser rechnen zu können. - Wie viele Sekunden stecken in \(10\,\text{min}\)? - Wenn du weißt, wie weit jemand in einer Sekunde kommt, wie berechnest du dann die Strecke für eine längere Zeit? - Kannst du die Strecke des Läufers berechnen, ohne zuerst seine Geschwindigkeit als Dezimalzahl zu bestimmen? Schau dir das Verhältnis der Zeiten an.

1. Umrechnung der Geschwindigkeit des Radfahrers in \(\text{m/s}\): \(23{,}4 : 3{,}6 = 6{,}5\,\text{m/s}\). Der Radfahrer legt \(6{,}5\,\text{m}\) pro Sekunde zurück. 2. Berechnung der Geschwindigkeit des Läufers: Zuerst Zeit in Sekunden umrechnen: \(1\,\text{min} + 15\,\text{s} = 75\,\text{s}\). Dann Geschwindigkeit berechnen: \(400\,\text{m} : 75\,\text{s} \approx 5{,}33\,\text{m/s}\). 3. Berechnung der Distanz in \(10\,\text{min}\) (\(600\,\text{s}\)): - Radfahrer: \(6{,}5\,\text{m/s} \cdot 600\,\text{s} = 3900\,\text{m}\). - Läufer: Da er \(400\,\text{m}\) in \(75\,\text{s}\) schafft, rechnet man \(600 : 75 = 8\) Intervalle. \(8 \cdot 400\,\text{m} = 3200\,\text{m}\). 4. Vergleich: \(3900\,\text{m} > 3200\,\text{m}\). Der Radfahrer legt die größere Distanz zurück.

a) Der Radfahrer legt \(6{,}5\,\text{m}\) pro Sekunde zurück. b) Der Radfahrer legt eine größere Distanz zurück. In \(10\,\text{min}\) fährt er \(3900\,\text{m}\), während der Läufer in der gleichen Zeit \(3200\,\text{m}\) weit kommt.

- Bestimme zuerst die Gesamtkosten für die gesamte Ernte. - Wie viel Geld muss insgesamt eingenommen werden, um Kosten und Gewinn zu decken? - Berechne, wie viel Geld nach dem Morgenverkauf noch eingenommen werden muss und teile dies durch die restliche Menge. - Vergiss nicht, am Ende den Unterschied zwischen den beiden Preisen zu berechnen.

1. Berechnung der Gesamtkosten: \(120\,\text{kg} \cdot 1{,}80\,\text{€/kg} = 216\,\text{€}\). 2. Berechnung des benötigten Gesamterlöses: \(216\,\text{€} + 240\,\text{€} = 456\,\text{€}\). 3. Berechnung der Einnahmen am Morgen: \(70\,\text{kg} \cdot 4{,}50\,\text{€/kg} = 315\,\text{€}\). 4. Berechnung des noch benötigten Erlöses: \(456\,\text{€} - 315\,\text{€} = 141\,\text{€}\). 5. Berechnung der restlichen Menge: \(120\,\text{kg} - 70\,\text{kg} = 50\,\text{kg}\). 6. Berechnung des Nachmittagspreises: \(141\,\text{€} : 50\,\text{kg} = 2{,}82\,\text{€/kg}\). 7. Berechnung der Preisdifferenz: \(4{,}50\,\text{€/kg} - 2{,}82\,\text{€/kg} = 1{,}68\,\text{€/kg}\).

Der Kilopreis am Nachmittag ist um \(1{,}68\,\text{€/kg}\) niedriger als am Morgen.

- Überlege zuerst, wie viel Benzin das Auto auf einem einzigen Kilometer verbraucht. - Wie oft passt dieser kleine Verbrauchswert in die gesamte Restmenge von 6 Litern? - Könnte eine Tabelle (Dreisatz) helfen, die Werte übersichtlich darzustellen?

1. Berechnung des Verbrauchs pro Kilometer: \(22{,}5\,\text{l} : 300\,\text{km} = 0{,}075\,\text{l/km}\). 2. Berechnung der Reichweite mit der Restmenge durch Division der vorhandenen Liter durch den Verbrauch pro Kilometer: \(6\,\text{l} : 0{,}075\,\text{l/km} = 80\,\text{km}\).

a) \(0{,}075\,\text{l/km}\) b) \(80\,\text{km}\)