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- Welches Vorzeichen hat das Ergebnis, wenn du zwei negative Zahlen addierst? - Erinnere dich an die Regeln für das Rechnen mit verschiedenen Vorzeichen. - Wie findet man den kleinsten gemeinsamen Nenner bei Brüchen? - Hilft es dir, die Subtraktion als Addition der Gegenzahl zu schreiben?

1. Addition zweier negativer Dezimalzahlen: \(-8{,}7 - 13{,}5 = -22{,}2\). 2. Subtraktion einer größeren von einer kleineren Dezimalzahl: \(4{,}2 - 9{,}8 = -(9{,}8 - 4{,}2) = -5{,}6\). 3. Addition von Brüchen durch Erweitern auf den Hauptnenner 18: \(-\frac{10}{18} + \frac{3}{18} = -\frac{7}{18}\). 4. Verrechnung dreier Brüche mit dem Hauptnenner 12: \(\frac{8}{12} - \frac{9}{12} - \frac{6}{12} = \frac{8 - 9 - 6}{12} = -\frac{7}{12}\).

a) \(-22{,}2\) b) \(-5{,}6\) c) \(-\frac{7}{18}\) d) \(-\frac{7}{12}\)

- Was ist das Gesamtgewicht und woraus setzt es sich zusammen? - Wie kannst du den Anteil berechnen, der übrig bleibt, wenn du bekannte Teile abziehst? - Hilft es dir, zuerst alle Gewichte im Inneren des Ranzens zusammenzuzählen?

1. Identifikation der Teilgewichte: \(1{,}85\,\text{kg}\), \(0{,}42\,\text{kg}\), \(0{,}35\,\text{kg}\) und \(0{,}75\,\text{kg}\). 2. Aufstellen des Terms für die Summe der Inhalte: \((1{,}85 + 0{,}42 + 0{,}35 + 0{,}75)\). 3. Aufstellen des Terms für das Gewicht des Ranzens: \(4{,}5 - (1{,}85 + 0{,}42 + 0{,}35 + 0{,}75)\). 4. Berechnung der Summe der Inhalte: \(1{,}85 + 0{,}42 + 0{,}35 + 0{,}75 = 3{,}37\,\text{kg}\). 5. Subtraktion vom Gesamtgewicht: \(4{,}5 - 3{,}37 = 1{,}13\,\text{kg}\).

Term: \(4{,}5 - (1{,}85 + 0{,}42 + 0{,}35 + 0{,}75)\) Das Gewicht des leeren Ranzens beträgt \(1{,}13\,\text{kg}\).

- Denke an die Regel „Klammer vor Punkt vor Strich“. - Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn du eine negative Zahl quadrierst oder hoch drei nimmst? - Achte genau auf das Minuszeichen vor einer Klammer.

1. Berechnung der Klammer zuerst: \(2 - 2 \cdot 3 = 2 - 6 = -4\). Dann Multiplikation: \(5 \cdot (-4) = -20\). 2. Potenz vor Multiplikation: \((-2)^2 = 4\). Dann Multiplikation: \(4 \cdot 3 = 12\). Schließlich Addition: \(4 + 12 = 16\). 3. Potenz berechnen: \((-3)^3 = (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) = -27\). Dann Addition: \(-27 + 20 = -7\). 4. Klammer berechnen: \(2 - 7 = -5\). Dann Division: \(15 : (-5) = -3\). 5. Klammer berechnen: \(5 - 8 = -3\). Dann Subtraktion: \(-10 - (-3) = -10 + 3 = -7\).

1. \(-20\) 2. \(16\) 3. \(-7\) 4. \(-3\) 5. \(-7\)

- Gibt es eine Regel, welche Rechenarten man zuerst ausführt? - Was bedeuten Klammern für die Reihenfolge der Rechnung? - Rechne Schritt für Schritt und schreibe dir Zwischenergebnisse auf.

1. Berechnung von a: Multiplikation vor Subtraktion: \(85 - 60 = 25\). 2. Berechnung von b: Division und Multiplikation zuerst, dann Addition: \(12 + 32 = 44\). 3. Berechnung von c: Zuerst die Ausdrücke in beiden Klammern berechnen: \(80 : 20 = 4\). 4. Berechnung von d: Zuerst die Multiplikation in der Klammer, dann die Subtraktion in der Klammer, zum Schluss die Multiplikation außerhalb: \(7 \cdot (32 - 24) = 7 \cdot 8 = 56\).

a) \(25\) b) \(44\) c) \(4\) d) \(56\)

- Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn ein Minus vor einer Klammer steht? - In welcher Reihenfolge löst man geschachtelte Klammern am besten auf? - Kannst du den Term vereinfachen, bevor du rechnest?

1. Berechnung von a): \(-18 + 42 + 15 = 24 + 15 = 39\) 2. Berechnung von b): Zuerst die Klammer ausrechnen: \(250 - 75 = 175\). Dann die Subtraktion: \(125 - 175 = -50\) 3. Berechnung von c): Innere Klammer zuerst: \(12 - 22 = -10\). Dann die eckige Klammer: \(-40 + (-10) = -50\). Schließlich den gesamten Term: \(-15 - (-50) = -15 + 50 = 35\)

a) 39 b) -50 c) 35

- Welche Rechenoperationen müssen nach der Regel „Klammern vor Potenzen vor Punkt vor Strich“ zuerst ausgeführt werden? - Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn du eine negative Zahl quadrierst? - Achte besonders auf das Rechenzeichen vor der Multiplikation und das Vorzeichen des Ergebnisses der Multiplikation.

1. Potenz berechnen: \( (-4)^2 = 16 \) 2. Klammerausdruck berechnen: \( 14 - 18 = -4 \) 3. Multiplikation durchführen: \( 5 \cdot (-4) = -20 \) 4. Division durchführen: \( 24 : (-6) = -4 \) 5. Zwischenergebnisse zusammenführen: \( 16 - (-20) + (-4) \) 6. Subtraktion der negativen Zahl (Addition): \( 16 + 20 - 4 = 32 \)

32

- Kannst du die Potenzen einzeln ausrechnen? - Was bedeutet die Basis und was der Exponent bei einer Potenz? - Vergleiche am Ende die beiden Endergebnisse miteinander.

1. Berechnung von Term \(A\): \(2^6 = 64\) und \(4^3 = 64\). 2. Subtraktion für \(A\): \(64 - 64 = 0\). 3. Berechnung von Term \(B\): \(5^3 = 125\) und \(11^2 = 121\). 4. Subtraktion für \(B\): \(125 - 121 = 4\). 5. Vergleich der Ergebnisse: Da \(4 > 0\) ist, hat Term \(B\) das größere Ergebnis.

Term \(B\) ist größer, da sein Wert \(4\) ist, während Term \(A\) den Wert \(0\) hat.

- Welche Rechenart verbirgt sich hinter dem Begriff Quotient? - Was bedeutet das Wort Differenz mathematisch? - Achte bei der Subtraktion auf das Vorzeichen des Ergebnisses. - In welcher Reihenfolge musst du die Teilschritte ausführen?

1. Berechnung des Quotienten: \(4{,}8 : 0{,}6 = 8\) 2. Berechnung der Differenz: \(15{,}4 - 23{,}1 = -7{,}7\) 3. Addition der beiden Teilergebnisse: \(8 + (-7{,}7) = 0{,}3\)

\(0{,}3\)

- Was ist der Unterschied zwischen einer groben Schätzung und einer genauen Rechnung? - Kannst du die Preise zuerst auf einfachere Zahlen runden? - Vergiss nicht, dass einige Artikel mehrfach gekauft werden. - Wie berechnet man das Wechselgeld, wenn man den Gesamtpreis kennt?

1. Berechnung der Kosten für die ersten Artikel: \(1{,}49 + 4 \cdot 0{,}55 + 6{,}75 = 1{,}49 + 2{,}20 + 6{,}75 = 10{,}44\,\text{€}\) 2. Schätzung für die zusätzlichen Blöcke: Ein Block kostet ca. \(1{,}50\,\text{€}\), drei Blöcke kosten ca. \(4{,}50\,\text{€}\). Zusammen mit den \(10{,}44\,\text{€}\) (ca. \(10{,}50\,\text{€}\)) ergibt das etwa \(15{,}00\,\text{€}\). Die Schätzung zeigt daher nur, dass es knapp wird; ob das Geld tatsächlich reicht, muss exakt berechnet werden. 3. Exakte Berechnung der drei zusätzlichen Blöcke: \(3 \cdot 1{,}49 = 4{,}47\,\text{€}\) 4. Berechnung des Gesamtpreises: \(10{,}44 + 4{,}47 = 14{,}91\,\text{€}\) 5. Berechnung des Wechselgeldes: \(15{,}00 - 14{,}91 = 0{,}09\,\text{€}\)

a) Die Schätzung (\(10{,}50\,\text{€} + 4{,}50\,\text{€} = 15{,}00\,\text{€}\)) zeigt, dass es knapp wird, entscheidet aber nicht sicher, ob das Geld ausreicht. b) Der exakte Gesamtpreis beträgt \(14{,}91\,\text{€}\). Lukas erhält \(0{,}09\,\text{€}\) (oder \(9\,\text{Cent}\)) Wechselgeld zurück.

- Welche Rechenoperation musst du zuerst ausführen? - Wie multipliziert man einen Bruch mit einer ganzen Zahl? - Denk daran, dass man durch einen Bruch dividiert, indem man mit dem Kehrwert multipliziert. - Wandle gemischte Zahlen in Brüche um, um besser rechnen zu können.

1. Multiplikation vor Addition: \(\frac{3}{8} \cdot 2 = \frac{3}{4}\). 2. Addition der Brüche: \(1\frac{1}{4} + \frac{3}{4} = \frac{5}{4} + \frac{3}{4} = \frac{8}{4} = 2\). 3. Division vor Subtraktion: \(10 : \frac{5}{2} = 10 \cdot \frac{2}{5} = \frac{20}{5} = 4\). 4. Subtraktion: \(4 - \frac{1}{2} = 3\frac{1}{2}\) (oder \(\frac{7}{2}\)).

a) 2 b) \(3\frac{1}{2}\)

- Überlege zuerst, welche Rechenregel bei Klammern Vorrang hat. - Suche für die Addition und Subtraktion von Brüchen einen gemeinsamen Nenner. - Wandle gemischte Zahlen in unechte Brüche um, um leichter rechnen zu können.

1. Berechnung des Klammerinhalts: Bestimmung des Hauptnenners für \(2\frac{3}{4} + \frac{5}{6}\). Der Hauptnenner von 4 und 6 ist 12. Umwandlung in Brüche: \(\frac{11}{4} + \frac{5}{6} = \frac{33}{12} + \frac{10}{12} = \frac{43}{12}\). 2. Subtraktion vom ersten Wert: Umwandlung von \(4\frac{1}{2}\) in einen Bruch mit Nenner 12: \(4\frac{1}{2} = \frac{9}{2} = \frac{54}{12}\). 3. Gesamtergebnis berechnen: \(\frac{54}{12} - \frac{43}{12} = \frac{11}{12}\).

\(\frac{11}{12}\)

- Denk an die Regel „Klammer zuerst“. - Wandle gemischte Zahlen in Brüche um, bevor du rechnest. - Achte bei der Multiplikation auf die Vorzeichenregeln (Minus mal Minus ergibt Plus). - Um Brüche zu addieren, musst du sie auf den gleichen Nenner bringen.

1. Teilaufgabe a): Klammerinhalt berechnen durch Erweitern auf den Nenner 10: \(2 \frac{1}{2} + \frac{3}{10} = \frac{25}{10} + \frac{3}{10} = \frac{28}{10} = \frac{14}{5}\). 2. Subtraktion vom ersten Wert: \(4 \frac{2}{5} - \frac{14}{5} = \frac{22}{5} - \frac{14}{5} = \frac{8}{5} = 1 \frac{3}{5}\). 3. Teilaufgabe b): Klammerinhalt berechnen: \(\frac{2}{3} - \frac{6}{3} = -\frac{4}{3}\). 4. Multiplikation der rationalen Zahlen unter Beachtung der Vorzeichenregeln: \(-1 \frac{1}{4} \cdot \left( -\frac{4}{3} \right) = -\frac{5}{4} \cdot \left( -\frac{4}{3} \right) = \frac{20}{12} = \frac{5}{3} = 1 \frac{2}{3}\).

a) \(1 \frac{3}{5}\) oder \(1{,}6\) b) \(1 \frac{2}{3}\)

- Was musst du beim Dividieren von Brüchen beachten? - Hilft es dir, Dezimalzahlen zuerst in Brüche umzuwandeln? - Welche Rechenregel musst du bei Aufgabe b) zuerst anwenden (Punkt- vor Strichrechnung)? - Kannst du vor dem Multiplizieren über Kreuz kürzen?

a) 1. Kehrwert des Divisors bilden und multiplizieren: \(\frac{14}{15} \cdot \frac{10}{21}\) 2. Zähler und Nenner faktorisieren und kürzen: \(\frac{2 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 5}{3 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 7} = \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 3}\) 3. Ergebnis berechnen: \(\frac{4}{9}\) b) 1. Dezimalzahl in einen Bruch umwandeln: \(1{,}2 = \frac{12}{10} = \frac{6}{5}\) 2. Multiplikation durchführen: \(\frac{6}{5} \cdot \frac{5}{6} = 1\) 3. Addition durchführen: \(1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}\) (oder \(1 \frac{1}{2}\))

a) \(\frac{4}{9}\) b) \(\frac{3}{2}\) oder \(1 \frac{1}{2}\)

- Erinnere dich an die Regel: Klammern zuerst. - Um Brüche zu addieren, müssen sie den gleichen Nenner haben. - Wie schreibt man Zehntel als Dezimalzahl?

1. Berechnung des Klammerinhalts durch Finden des Hauptnenners \(10\): \(\frac{2}{5} + \frac{1}{2} = \frac{4}{10} + \frac{5}{10} = \frac{9}{10}\) 2. Subtraktion des Klammerergebnisses vom ersten Wert: \(\frac{7}{10} - \frac{9}{10} = -\frac{2}{10}\) 3. Umwandlung in eine Dezimalzahl: \(-\frac{2}{10} = -0{,}2\)

\(-0{,}2\)

- Welche Rechenart musst du zuerst ausführen: Potenz, Punkt oder Strich? - Beachte den Unterschied zwischen \(-10^2\) und \((-10)^2\): Worauf bezieht sich der Exponent? - Achte beim Subtrahieren einer negativen Zahl auf die beiden Minuszeichen.

1. Teilaufgabe a): Potenz berechnen \(-10^2 = -100\). 2. Division und Multiplikation durchführen: \(-100 : 5 = -20\) und \(4 \cdot (-6) = -24\). 3. Term zusammenfassen: \(-20 - (-24) + 3 = -20 + 24 + 3 = 7\). 4. Teilaufgabe b): Potenz berechnen \((-3)^3 = -27\). 5. Multiplikation durchführen: \(8 \cdot (-2) = -16\). 6. Term zusammenfassen: \(-27 + (-16) - (-12) = -27 - 16 + 12 = -31\).

a) 7 b) -31

- Welche Rechenregel bestimmt die Reihenfolge der Operationen, wenn Klammern vorhanden sind? - Welche Operation wird bei der Punkt-vor-Strich-Regel zuletzt ausgeführt? - Kannst du den Term laut vorlesen, um die Hauptstruktur zu erkennen?

1. Teilaufgabe a): Bestimmung der Struktur als Produkt aus einer Summe und einer Zahl. Berechnung der Klammer: \(-1{,}2 + 3{,}7 = 2{,}5\). Berechnung des Produkts: \(2{,}5 \cdot (-4) = -10\). 2. Teilaufgabe b): Bestimmung der Struktur als Differenz, bei der der Subtrahend ein Quotient ist. Berechnung des Quotienten: \(0{,}75 : \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \cdot 4 = 3\). Berechnung der Differenz: \(5{,}5 - 3 = 2{,}5\).

a) Struktur: Produkt; Wert: \(-10\) b) Struktur: Differenz; Wert: \(2{,}5\)

- Welche Rechenart bildet den Kern des gesamten Terms? - Was bedeuten die Begriffe Minuend und Subtrahend für die Struktur deiner Rechnung? - Kannst du die Brüche in Dezimalzahlen umwandeln, um die Rechnung zu vereinfachen? - Achte besonders auf die Vorzeichenregeln bei der Subtraktion negativer Zahlen.

1. Berechnung des Minuenden (Quotient): \(2{,}4 : (-0{,}6) = -4\) 2. Berechnung des Subtrahenden (Produkt): \(-\frac{1}{2} \cdot 5 = -0{,}5 \cdot 5 = -2{,}5\) 3. Berechnung der Differenz: \(-4 - (-2{,}5) = -4 + 2{,}5 = -1{,}5\)

Der Term lautet \((2{,}4 : (-0{,}6)) - (-\frac{1}{2} \cdot 5)\). Sein Wert ist \(-1{,}5\).

- Überlege zuerst, ob es einfacher ist, alle Zahlen als Brüche oder als Dezimalzahlen zu schreiben. - Achte bei der Addition und Subtraktion von Brüchen darauf, sie zuerst auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen. - Gehe Schritt für Schritt vor und berechne zuerst die Werte innerhalb der Klammern.

1. Berechnung der ersten Klammer: Wandle \(1{,}5\) in einen Bruch um: \(1{,}5 = \frac{3}{2}\). Bringe die Brüche auf den Hauptnenner 6: \(\frac{4}{6} - \frac{9}{6} = -\frac{5}{6}\). 2. Berechnung der zweiten Klammer: Wandle \(0{,}25\) in einen Bruch um: \(0{,}25 = \frac{1}{4}\). Bringe die Brüche auf den Hauptnenner 12: \(-\frac{10}{12} + \frac{3}{12} = -\frac{7}{12}\). 3. Addition der Zwischenergebnisse: Bringe \(-\frac{5}{6}\) und \(-\frac{7}{12}\) auf den Hauptnenner 12: \(-\frac{10}{12} + (-\frac{7}{12}) = -\frac{17}{12}\).

\(-\frac{17}{12}\) oder \(-1\frac{5}{12}\)

- Achte auf Signalwörter wie „Summe“, „Produkt“, „Quotient“ oder „Differenz“, um die Hauptoperation zu finden. - „Vermehrt um“ deutet auf eine Addition hin. - Überlege, ob die Reihenfolge der Zahlen bei einer Operation (wie Addition oder Multiplikation) vertauscht werden darf. - Klammern helfen dabei, festzulegen, welche Rechnung zuerst durchgeführt werden muss.

1. Analyse von (A): „Produkt von \(-1{,}2\) und \(\frac{3}{4}\)“ ist \(-1{,}2 \cdot \frac{3}{4}\). „Vermehrt um \(0{,}5\)“ bedeutet Addition von \(0{,}5\). Passende Terme sind Karte 1 und Karte 5 (Kommutativgesetz der Addition). 2. Analyse von (B): „Summe von \(-1{,}2\) und \(0{,}5\)“ ist \((-1{,}2 + 0{,}5)\). „Multipliziert mit \(\frac{3}{4}\)“ ergibt \((-1{,}2 + 0{,}5) \cdot \frac{3}{4}\). Passende Terme sind Karte 2 und Karte 4 (Kommutativgesetz der Multiplikation und Addition). 3. Analyse von (C): „Quotient aus \(-1{,}2\) und der Differenz…“ bedeutet \(-1{,}2\) geteilt durch den Klammerausdruck. „Differenz von \(\frac{3}{4}\) und \(0{,}5\)“ ist \(\frac{3}{4} - 0{,}5\). Passender Term ist Karte 3.

(A) passt zu Karte 1 und 5. (B) passt zu Karte 2 und 4. (C) passt zu Karte 3.

- Welche Rechenregel bestimmt, ob du zuerst addieren oder multiplizieren darfst? - Was bedeutet die kleine Hochzahl bei einer Potenz genau? - Überprüfe die Vorzeichen bei der Subtraktion in der Klammer.

1. Fehleranalyse: Im 1. Schritt wurde die Addition \(1{,}5 + 2{,}5\) vor der Multiplikation durchgeführt (Verstoß gegen die Punkt-vor-Strich-Regel). Zudem wurde die Potenz \(3^2\) fälschlicherweise als \(3 \cdot 2 = 6\) berechnet. 2. Korrekte Berechnung der Klammer: \(4{,}4 - 6{,}4 = -2\) 3. Korrekte Berechnung der Potenz: \(3^2 = 9\) 4. Einsetzen und Punktrechnung: \(1{,}5 + 2{,}5 \cdot (-2) - 9 = 1{,}5 - 5 - 9\) 5. Endergebnis berechnen: \(1{,}5 - 5 - 9 = -3{,}5 - 9 = -12{,}5\)

Die Fehler liegen im 1. Schritt: Es wurde fälschlicherweise \(1{,}5 + 2{,}5\) zuerst addiert und \(3^2\) als 6 berechnet. Das richtige Ergebnis ist \(-12{,}5\).

- Überlege zuerst, welche Rechenoperationen mit den Begriffen „Quotient“ und „Produkt“ gemeint sind. - Notiere dir die Teilergebnisse einzeln, bevor du sie addierst. - Du kannst Brüche in Dezimalzahlen umwandeln oder umgekehrt, um die Rechnung zu vereinfachen.

1. Aufstellen des Terms gemäß der Beschreibung: \((12{,}6 : 3) + (\frac{1}{2} \cdot 1{,}4)\) 2. Berechnung des Quotienten: \(12{,}6 : 3 = 4{,}2\) 3. Berechnung des Produkts: \(\frac{1}{2} \cdot 1{,}4 = 0{,}5 \cdot 1{,}4 = 0{,}7\) 4. Addition der beiden Teilergebnisse: \(4{,}2 + 0{,}7 = 4{,}9\)

Der Term lautet \((12{,}6 : 3) + (\frac{1}{2} \cdot 1{,}4)\). Der Wert des Terms ist \(4{,}9\) (oder \(4\frac{9}{10}\)).

- Welche Rechenregel bestimmt die Reihenfolge, wenn keine Klammern da sind? - Welchen Einfluss hat ein Minuszeichen direkt vor einer Klammer? - Gibt es einen Unterschied zwischen einer Plusklammer und einer Minusklammer?

1. Teil a): Die Klammern können weggelassen werden. Da ein Pluszeichen vor der Klammer steht (Plusklammer), ändern sich die Vorzeichen innerhalb der Klammer nicht. Es gilt \(24{,}5 + 12{,}8 - 5{,}2\). 2. Teil b): Die Klammern können nicht weggelassen werden. Ohne Klammern würde die Punkt-vor-Strich-Regel gelten und nur die \(6{,}4\) mit \(3\) multipliziert werden, statt der gesamten Differenz. 3. Teil c): Die Klammern können nicht weggelassen werden. Da ein Minuszeichen vor der Klammer steht (Minusklammer), müssten beim Weglassen der Klammern alle Vorzeichen in der Klammer umgedreht werden (\(-10{,}5 - 4{,}5\)), um den gleichen Wert zu erhalten.

a) Ja, die Klammern können weggelassen werden. b) Nein, die Klammern sind wegen der Punkt-vor-Strich-Regel notwendig. c) Nein, die Klammern sind wegen des Minuszeichens davor notwendig.

- Wie viele Meter steigt die Gruppe insgesamt auf? - Wie oft passt der Schritt von 100 Metern in diesen gesamten Aufstieg? - Sinkt oder steigt die Temperatur beim Aufstieg? - Überlege, wie du den Startwert mit der gesamten Änderung verrechnen musst.

1. Berechnung des Höhenunterschieds: \(2960\,\text{m} - 600\,\text{m} = 2360\,\text{m}\). 2. Ermittlung der Anzahl der \(100\,\text{m}\)-Schritte: \(2360 : 100 = 23{,}6\). 3. Berechnung der gesamten Temperaturabnahme: \(23{,}6 \cdot 0{,}8^\circ\text{C} = 18{,}88^\circ\text{C}\). 4. Berechnung der Endtemperatur: \(22^\circ\text{C} - 18{,}88^\circ\text{C} = 3{,}12^\circ\text{C}\). Ein möglicher Term ist: \(22 - (2960 - 600) \cdot \frac{0{,}8}{100}\).

An der Hütte ist eine Temperatur von \(3{,}12^\circ\text{C}\) zu erwarten. Ein passender Term ist \(22 - (2960 - 600) \cdot \frac{0{,}8}{100}\).

- Welche Rechenregel bestimmt die Reihenfolge der Berechnungen? - Ist es einfacher, mit Dezimalzahlen oder mit Brüchen zu rechnen? - Achte besonders auf die Vorzeichen bei der Subtraktion. - Kannst du den Term in kleinere Teilschritte zerlegen?

1. Berechnung des Ausdrucks in der ersten Klammer: \(-1{,}5 + 0{,}4 = -1{,}1\). 2. Multiplikation des Ergebnisses mit \(10\): \(-1{,}1 \cdot 10 = -11\). 3. Berechnung der Division in der zweiten Klammer: \(-\frac{3}{4} : 0{,}25 = -0{,}75 : 0{,}25 = -3\). 4. Subtraktion der beiden Teilergebnisse: \(-11 - (-3) = -11 + 3 = -8\).

\(-8\)

- Welche Rechenregel bestimmt die Reihenfolge der Operationen (Klammern zuerst, Punkt vor Strich)? - Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn eine negative Zahl quadriert wird? - Kannst du den Term in Teilschritte zerlegen, indem du von innen nach außen rechnest? - Überlege dir zuerst, welcher Rechenschritt ganz zum Schluss ausgeführt wird, um den Term zu benennen.

1. Struktur bestimmen: Der Term ist eine Summe, da die letzte auszuführende Operation die Addition von \(-2{,}5\) und dem Wert der eckigen Klammer ist. 2. Potenz berechnen: \((-0{,}4)^2 = 0{,}16\). 3. Multiplikation in der Klammer ausführen: \(0{,}16 \cdot 5 = 0{,}8\). 4. Subtraktion in der Klammer ausführen: \(0{,}5 - 0{,}8 = -0{,}3\). 5. Endergebnis durch Addition berechnen: \(-2{,}5 + (-0{,}3) = -2{,}8\).

\(-2{,}8\)

- Beachte bei Term A die Regel „Punkt vor Strich“ und rechne dann von links nach rechts. - Bei den Termen B und C musst du zuerst das berechnen, was in den Klammern steht. - Achte beim Vergleichen der Ergebnisse auf die Vorzeichen.

1. Berechnung Term A (Standardregeln): \(\frac{1}{4} \cdot 20 - 4 + 8 = 5 - 4 + 8 = 1 + 8 = 9\). 2. Berechnung Term B (Klammer zuerst): \(\frac{1}{4} \cdot 16 + 8 = 4 + 8 = 12\). 3. Berechnung Term C (Klammer zuerst): \(\frac{1}{4} \cdot 20 - 12 = 5 - 12 = -7\). 4. Vergleich der Ergebnisse: \(12 > 9 > -7\). 5. Term C liefert mit \(-7\) das kleinste Ergebnis.

Term A: \(9\) Term B: \(12\) Term C: \(-7\) Term C liefert das kleinste Ergebnis.

- Beachte die Vorrangregeln: Multiplikation und Division werden vor Addition und Subtraktion durchgeführt. - Es hilft oft, Dezimalzahlen in Brüche umzuwandeln oder umgekehrt, um leichter rechnen zu können.

1. Teilaufgabe a): Division vor Addition gemäß der Regel „Punkt vor Strich“: \(0{,}5 : \frac{1}{2} = 0{,}5 : 0{,}5 = 1\). Addition des Ergebnisses: \(\frac{3}{4} + 1 = 1{,}75\). 2. Teilaufgabe b): Multiplikation vor Subtraktion: \(1{,}2 \cdot \frac{5}{6} = \frac{6}{5} \cdot \frac{5}{6} = 1\). Subtraktion: \(1 - 0{,}4 = 0{,}6\).

a) \(1{,}75\) oder \(1 \frac{3}{4}\) b) \(0{,}6\) oder \(\frac{3}{5}\)

- Überlege, welcher Teil des Terms aufgrund der Klammern zuerst berechnet werden muss. - Wie bringst du Brüche auf einen gemeinsamen Nenner, um sie subtrahieren zu können? - Kannst du ein Zwischenergebnis kürzen, bevor du mit dem nächsten Schritt weitermachst?

1. Subtraktion in der Klammer durchführen: Zuerst wird der gemeinsame Nenner \(6\) bestimmt. Damit ergibt sich \(\frac{5}{6} - \frac{3}{6} = \frac{2}{6}\). 2. Kürzen des Bruchs: Das Ergebnis der Klammer wird zu \(\frac{1}{3}\) vereinfacht. 3. Multiplikation mit dem äußeren Faktor: \(\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{3} = \frac{3 \cdot 1}{4 \cdot 3} = \frac{3}{12}\). 4. Endgültiges Ergebnis kürzen: \(\frac{3}{12} = \frac{1}{4}\).

\(\frac{1}{4}\)

- Achte auf die Vorzeichenregeln bei der Multiplikation und Division. - Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn du eine negative Zahl subtrahierst? - Überlege dir bei der Addition, welche Zahl den größeren Betrag hat, um das Vorzeichen des Ergebnisses zu bestimmen.

1. Multiplikation einer negativen mit einer positiven Zahl: \(-14 \cdot 6 = -84\). 2. Division zweier negativer Zahlen: \(-72 : (-4) = 18\). 3. Addition einer positiven zu einer negativen Zahl: \(-105 + 38 = -67\). 4. Subtraktion einer negativen Zahl entspricht der Addition der Gegenzahl: \(17 + 83 = 100\).

a) -84 b) 18 c) -67 d) 100

- Achte auf die Vorzeichenregeln beim Auflösen von Klammern. - Bringe Brüche vor der Addition oder Subtraktion immer auf denselben Nenner. - Überlege dir bei Dezimalzahlen, ob das Ergebnis positiv oder negativ sein muss, bevor du rechnest.

1. Addition zweier negativer Dezimalzahlen: \(-4{,}8 - 2{,}35 = -7{,}15\). 2. Addition von Brüchen durch Erweitern auf den Hauptnenner 6: \(-\frac{5}{6} + \frac{2}{6} = -\frac{3}{6} = -\frac{1}{2}\). 3. Verrechnung unterschiedlicher Vorzeichen: \(0{,}75 - 1{,}2 = -0{,}45\). 4. Berechnung der Klammer mit Hauptnenner 8: \(\frac{2}{8} - \frac{5}{8} = -\frac{3}{8}\). Das Minuszeichen vor der Klammer kehrt das Vorzeichen um: \(-(-\frac{3}{8}) = \frac{3}{8}\).

a) \(-7{,}15\) b) \(-\frac{1}{2}\) c) \(-0{,}45\) d) \(\frac{3}{8}\)

- Denk an die Regel: Klammern zuerst berechnen. - Was passiert mit dem Rechenzeichen, wenn ein Minus vor einer Klammer steht, in der ein negatives Ergebnis herauskommt? - Kannst du die Aufgabe am Zahlenstrahl verbildlichen?

1. Berechnung der ersten Klammer: \(-4{,}2 + 1{,}7 = -2{,}5\) 2. Berechnung der zweiten Klammer: \(0{,}8 - 2{,}3 = -1{,}5\) 3. Subtraktion der Ergebnisse unter Beachtung der Vorzeichenregeln: \(-2{,}5 - (-1{,}5) = -2{,}5 + 1{,}5 = -1{,}0\)

\(-1\)

- Wandle die Brüche zuerst in Dezimalzahlen um, damit du leichter rechnen kannst. - Denke an die Vorrangregel: Klammern werden zuerst berechnet. - Rechne bei Strichrechnungen ohne Klammern immer von links nach rechts.

1. Berechnung von Term \(A\): Zuerst den Klammerausdruck auswerten. \(8 \frac{1}{4}\) als Dezimalzahl ist \(8{,}25\). Die Summe in der Klammer ist \(8{,}25 + 3{,}5 = 11{,}75\). Der Term lautet nun \(25{,}5 - 11{,}75 + 2\). Von links nach rechts gerechnet ergibt sich \(13{,}75 + 2 = 15{,}75\). 2. Berechnung von Term \(B\): Zuerst den Klammerausdruck auswerten: \(3{,}5 + 2 = 5{,}5\). Der Term lautet nun \(25{,}5 - 8{,}25 + 5{,}5\). Von links nach rechts gerechnet ergibt sich \(17{,}25 + 5{,}5 = 22{,}75\). 3. Vergleich: Da \(22{,}75 > 15{,}75\), hat Term \(B\) den größeren Wert.

\(A = 15{,}75\); \(B = 22{,}75\). Term \(B\) hat den größeren Wert.

- Beachte die Vorrangregeln: Klammern zuerst, dann Punkt-vor-Strich-Rechnung. - Wandle den Bruch am besten in eine Dezimalzahl um, um die Rechnung in der Klammer zu vereinfachen. - Denk an die Vorzeichenregeln bei der Division zweier negativer Zahlen.

1. Berechnung des Ausdrucks in der Klammer: \(-2{,}25 + 0{,}5 = -1{,}75\) 2. Division des Ergebnisses durch \(-0{,}5\): \(-1{,}75 : (-0{,}5) = 3{,}5\) 3. Subtraktion von \(4{,}5\): \(3{,}5 - 4{,}5 = -1\)

\(-1\)

- Achte auf die Vorzeichenregeln bei der Multiplikation und Division. - Wandle Brüche in Dezimalzahlen um, wenn es die Rechnung vereinfacht. - Beachte die Vorrangregeln: Klammern zuerst, dann Punkt-vor-Strich-Rechnung.

1. Teilaufgabe a): Zuerst wird die Klammer berechnet: \((\frac{3}{4} - 1{,}25) = (0{,}75 - 1{,}25) = -0{,}5\). Danach folgt die Multiplikation: \(-0{,}5 \cdot (-4) = 2\). Schließlich die Addition: \(2 + 0{,}5 = 2{,}5\). 2. Teilaufgabe b): Zuerst wird der Wert in der Klammer bestimmt: \((\frac{1}{5} + 0{,}1) = (0{,}2 + 0{,}1) = 0{,}3\). Es folgt die Division: \(-0{,}6 : 0{,}3 = -2\). Zuletzt wird subtrahiert: \(-2 - (-2) = -2 + 2 = 0\).

a) \(2{,}5\) b) \(0\)

- Überlege dir für die Schätzung, mit welchen gerundeten Zahlen du besonders leicht im Kopf rechnen kannst. - Denk an die Vorrangregeln: Was muss in einem Term immer zuerst berechnet werden? - Wandle Brüche in Dezimalzahlen um, wenn das die Rechnung vereinfacht.

1. Schätzung zu a): \(4{,}2 \approx 4\) und \(3\frac{4}{5} = 3{,}8 \approx 4\). Daher ist \((4 + 4) \cdot 0{,}5 \approx 4\). 2. Exakte Berechnung zu a): \(3\frac{4}{5} = 3{,}8\). Dann \(4{,}2 + 3{,}8 = 8\) und \(8 \cdot 0{,}5 = 4\). 3. Schätzung zu b): \(2{,}5 \cdot 3 = 7{,}5\), also liegt \(10{,}5 - 7{,}5\) ungefähr bei \(3\). 4. Exakte Berechnung zu b): Aufgrund der Regel „Punkt vor Strich“ wird zuerst das Produkt gebildet: \(2{,}5 \cdot 3 = 7{,}5\). Danach \(10{,}5 - 7{,}5 = 3\).

a) Schätzung: ca. 4; Exakter Wert: 4 b) Schätzung: ca. 3; Exakter Wert: 3

- Wandle den Bruch in eine Dezimalzahl um, um die Subtraktion in der ersten Klammer zu vereinfachen. - Beachte die Vorzeichenregeln bei der Division. - Rechne zuerst die Ausdrücke in den Klammern aus.

1. Erste Klammer berechnen: \(1{,}2 - 0{,}75 = 0{,}45\). 2. Zweite Klammer berechnen: \(0{,}2 - 0{,}5 = -0{,}3\). 3. Division durchführen: \(0{,}45 : (-0{,}3) = -1{,}5\).

\(-1{,}5\) oder \(-\frac{3}{2}\)

- Beachte die Vorrangregeln für Klammern. - Überlege dir zuerst, welches Vorzeichen das Ergebnis der Klammer hat. - Erinnere dich an die Vorzeichenregel bei der Multiplikation zweier negativer Zahlen.

1. Berechnung des Ausdrucks in der Klammer: \(-4{,}2 + 1{,}85 = -2{,}35\). 2. Multiplikation des Zwischenergebnisses mit dem zweiten Faktor: \(-2{,}35 \cdot (-2{,}5) = 5{,}875\).

\(5{,}875\)

- Wandle Brüche in Dezimalzahlen um oder umgekehrt, um leichter rechnen zu können. - Achte auf die Vorzeichenregeln bei der Division und Subtraktion. - Denk an die Regel „Punkt- vor Strichrechnung“. - Bei negativen Zahlen ist diejenige größer, die näher an der Null liegt.

1. Berechnung von a): \(-\frac{1}{2} + (1{,}2 : (-3)) = -0{,}5 - 0{,}4 = -0{,}9\) 2. Berechnung von b): \(0{,}4 \cdot (-2) + \frac{3}{5} = -0{,}8 + 0{,}6 = -0{,}2\) 3. Berechnung von c): \(-\frac{1}{4} - (-0{,}15) = -0{,}25 + 0{,}15 = -0{,}1\) 4. Vergleich der Ergebnisse: Da \(-0{,}1 > -0{,}2 > -0{,}9\) gilt, ist der Wert von Term c) am größten.

Der Term c) hat mit \(-0{,}1\) den größten Wert.

- Überlege dir zuerst, welche Rechenart mit welchem Begriff (Summe, Differenz, Produkt, Quotient) gemeint ist. - Achte bei Formulierungen wie „Subtrahiere ... von ...“ genau darauf, welche Zahl vorne stehen muss. - Klammern helfen dir dabei, die richtige Reihenfolge der Rechnungen festzulegen.

1. Aufstellen des Terms für Teilaufgabe a): \((82{,}7 + 17{,}3) - (15{,}5 \cdot 4)\) 2. Berechnung der Summe: \(82{,}7 + 17{,}3 = 100\) 3. Berechnung des Produkts: \(15{,}5 \cdot 4 = 62\) 4. Berechnung des Endergebnisses für a): \(100 - 62 = 38\) 5. Aufstellen des Terms für Teilaufgabe b): \((100 - 12{,}5) : (5 \cdot 0{,}5)\) 6. Berechnung der Differenz: \(100 - 12{,}5 = 87{,}5\) 7. Berechnung des Produkts im Nenner: \(5 \cdot 0{,}5 = 2{,}5\) 8. Berechnung des Endergebnisses für b): \(87{,}5 : 2{,}5 = 35\)

a) \((82{,}7 + 17{,}3) - (15{,}5 \cdot 4) = 38\) b) \((100 - 12{,}5) : (5 \cdot 0{,}5) = 35\)

- Denk an die Regel „Punkt vor Strich“. - Wie multipliziert man eine ganze Zahl mit einem Bruch? - Was musst du tun, wenn du durch einen Bruch dividieren möchtest? - Bei der Addition und Subtraktion müssen die Nenner gleich sein. - Klammern werden immer zuerst berechnet.

1. Teilaufgabe a: Punkt-vor-Strich-Rechnung. Zuerst \( \frac{1}{4} \cdot 3 = \frac{3}{4} \). Dann Addition: \( \frac{3}{8} + \frac{6}{8} = \frac{9}{8} \) oder \( 1 \frac{1}{8} \). 2. Teilaufgabe b: Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner rechnen: \( \frac{5 \cdot 9}{6 \cdot 10} = \frac{45}{60} \). Kürzen mit 15 ergibt \( \frac{3}{4} \). 3. Teilaufgabe c: Division durch einen Bruch ist Multiplikation mit dem Kehrwert: \( 12 \cdot \frac{5}{4} = 3 \cdot 5 = 15 \). Dann Subtraktion: \( 15 - 7 = 8 \). 4. Teilaufgabe d: Klammer zuerst berechnen: \( \frac{4}{6} + \frac{1}{6} = \frac{5}{6} \). Dann Multiplikation: \( \frac{5}{6} \cdot 12 = 5 \cdot 2 = 10 \).

a) \( \frac{9}{8} \) (oder \( 1 \frac{1}{8} \)) b) \( \frac{3}{4} \) c) \( 8 \) d) \( 10 \)

- Was bedeutet der Begriff „Differenz“ für die Rechenart? - Wie bestimmst du den Betrag einer negativen Zahl? - Was ist der Unterschied zwischen einer Zahl und ihrer Gegenzahl? - Kannst du Brüche in Dezimalzahlen umwandeln, um leichter zu rechnen?

1. Aufstellen des Terms für a): \(-1{,}2 - \frac{3}{4}\). Umwandlung in Dezimalzahlen ergibt \(-1{,}2 - 0{,}75 = -1{,}95\). 2. Aufstellen des Terms für b): \(| -0{,}5 \cdot 6 |\). Berechnung des Produkts ergibt \(-3\). Der Betrag von \(-3\) ist \(3\). 3. Aufstellen des Terms für c): Gegenzahl von \(2{,}4\) ist \(-2{,}4\). Der Term lautet \(-2{,}4 + (-1{,}6)\). Die Summe ergibt \(-4\).

a) \(-1{,}2 - \frac{3}{4} = -1{,}95\) b) \(| -0{,}5 \cdot 6 | = 3\) c) \(-2{,}4 + (-1{,}6) = -4\)

- Ist es für dich einfacher, mit Brüchen oder mit Dezimalzahlen zu rechnen? Wandle alles in die Form um, mit der du besser arbeiten kannst. - Erinnere dich an die Umrechnung: Was ist \( \frac{1}{4} \), \( \frac{1}{2} \) oder \( \frac{1}{5} \) als Dezimalzahl? - Achte besonders auf das „Minus vor dem Minus“.

1. Umwandlung in einheitliche Darstellung (Bruch oder Dezimalzahl): \( 0{,}75 - 1{,}25 = -0{,}5 \) bzw. \( -\frac{1}{2} \). 2. Vereinfachung des Terms zu \( -0{,}6 + 0{,}2 \). Berechnung ergibt \( -0{,}4 \) bzw. \( -\frac{2}{5} \). 3. Schrittweise Subtraktion: \( 2 - 0{,}5 = 1{,}5 \); dann \( 1{,}5 - 0{,}75 = 0{,}75 \) bzw. \( \frac{3}{4} \). 4. Umwandlung von \( \frac{1}{8} \) in \( 0{,}125 \): \( -0{,}125 - 0{,}125 = -0{,}25 \) bzw. \( -\frac{1}{4} \).

a) \( -0{,}5 \) oder \( -\frac{1}{2} \) b) \( -0{,}4 \) oder \( -\frac{2}{5} \) c) \( 0{,}75 \) oder \( \frac{3}{4} \) d) \( -0{,}25 \) oder \( -\frac{1}{4} \)

- Was passiert, wenn du zwei Schuldenbeträge zusammenzählst? - Erinnere dich: Das Subtrahieren einer negativen Zahl entspricht dem Addieren ihrer Gegenzahl. - Vergleiche die Abstände der Zahlen zur Null (ihre Beträge). Welche Zahl „zieht“ das Ergebnis stärker in ihre Richtung? - Bringe Brüche auf den gleichen Nenner, um ihre Größe besser vergleichen zu können.

1. Bei a) werden zwei negative Zahlen addiert, was eine negative Summe ergibt: Vorzeichen negativ. 2. Bei b) entspricht das Subtrahieren einer negativen Zahl der Addition einer positiven Zahl (\(24 + 10\)), woraus eine positive Summe folgt: Vorzeichen positiv. 3. Bei c) ist der Betrag der negativen Zahl (\(|-0{,}5| = 0{,}5\)) größer als der Betrag der positiven Zahl (\(0{,}3\)), weshalb das Ergebnis das Vorzeichen der betragsmäßig größeren Zahl übernimmt: Vorzeichen negativ. 4. Bei d) ist \(\frac{1}{2} = \frac{2}{4}\). Da \(\frac{2}{4} < \frac{3}{4}\), führt das Abziehen einer größeren von einer kleineren positiven Zahl zu einem negativen Wert: Vorzeichen negativ. 5. Bei e) wird der Ausdruck zu \(-8 + 5\) vereinfacht. Da der Betrag der negativen Zahl (\(8\)) größer als der der positiven Zahl (\(5\)) ist, bleibt das Ergebnis im negativen Bereich: Vorzeichen negativ.

a) negativ b) positiv c) negativ d) negativ e) negativ

- Was passiert, wenn du eine positive und eine negative Zahl kombinierst? - Überprüfe die Aussage b) einmal mit einer positiven Zahl. - Denk bei Teil c) an eine Zahl, die sehr weit links auf der Zahlengeraden liegt. - Ein Gegenbeispiel ist ein konkreter Fall mit Zahlen, bei dem die Regel nicht funktioniert.

1. Zu Teil a): Wähle \(a = 2\) und \(b = -5\). Berechne den Betrag der Summe: \(|2 + (-5)| = |-3| = 3\). Berechne die Summe der Beträge: \(|2| + |-5| = 2 + 5 = 7\). Da \(3 \neq 7\), ist die Aussage widerlegt. 2. Zu Teil b): Wähle \(a = 4\). Berechne die Summe aus der Zahl und ihrem Betrag: \(4 + |4| = 4 + 4 = 8\). Da \(8 \neq 0\), ist die Aussage falsch (sie gilt nur für negative Zahlen und Null). 3. Zu Teil c): Wähle \(a = -10\) und \(b = 2\). Es gilt \(-10 < 2\). Die Beträge sind \(|-10| = 10\) und \(|2| = 2\). Da \(10 > 2\), ist die Bedingung \(|a| < |b|\) nicht erfüllt.

a) Gegenbeispiel: \(|2 + (-3)| = 1\), aber \(|2| + |-3| = 5\). b) Gegenbeispiel: Für die Zahl \(5\) gilt \(5 + |5| = 10\), was nicht \(0\) ist. c) Gegenbeispiel: \(-5 < 3\), aber \(|-5| = 5\) ist größer als \(|3| = 3\).

- Worauf musst du achten, wenn du wissen willst, ob ein Produkt aus vielen Zahlen positiv oder negativ ist? - Spielt die Anzahl der positiven Faktoren eine Rolle für das Vorzeichen des Ergebnisses? - Kannst du in Teilaufgabe c) eine kleine Rechnung aufstellen, um herauszufinden, wie viele Faktoren negativ sind?

1. Das Vorzeichen eines Produkts hängt von der Anzahl der negativen Faktoren ab: Eine ungerade Anzahl führt zu einem negativen Produkt, eine gerade Anzahl zu einem positiven Produkt. 2. Zu a): Es gibt 7 negative Faktoren. Da 7 eine ungerade Zahl ist, ist das Produkt negativ. 3. Zu b): Es gibt 15 negative Faktoren. Da 15 eine ungerade Zahl ist, ist das Produkt negativ. 4. Zu c): Sei \(n\) die Anzahl der negativen Faktoren. Dann ist \(2n\) die Anzahl der positiven Faktoren. Es gilt \(n + 2n = 15\), also \(3n = 15\) und somit \(n = 5\). Da 5 eine ungerade Zahl ist, ist das Produkt negativ.

a) Negativ, da die Anzahl der negativen Faktoren (7) ungerade ist. b) Negativ, da die Anzahl der negativen Faktoren (15) ungerade ist. c) Negativ, da es bei insgesamt 15 Faktoren genau 5 negative Faktoren gibt (denn \(5 + 10 = 15\)) und 5 ungerade ist.

- Was passiert mit den Vorzeichen in einer Klammer, wenn ein Minuszeichen davor steht? - Berechne zuerst den Wert innerhalb der Klammer und schaue dann, wie es weitergeht. - Vergleiche Schritt für Schritt, wie Lukas und Mia vorgegangen sind.

1. Berechnung des Klammerinhalts: \(7 - 12 = -5\). 2. Einsetzen in den Gesamtausdruck: \(-15 - (-5)\). 3. Auflösen des doppelten Minuszeichens: \(-15 + 5 = -10\). 4. Vergleich der Ergebnisse: Mia hat recht, da ihr Ergebnis \(-10\) korrekt ist. 5. Fehleranalyse: Lukas hat die Klammer einfach weggelassen, ohne das Vorzeichen innerhalb der Klammer anzupassen. Richtig wäre beim Auflösen der Klammer: \(-15 - 7 + 12\).

Mia hat recht. Lukas hat einen Fehler beim Auflösen der Klammer gemacht: Beim Auflösen der Minusklammer muss sich das Vorzeichen jedes Glieds in der Klammer ändern. Richtig ist \(-15 - 7 + 12 = -10\).

- Berechne immer zuerst den Ausdruck innerhalb der Klammern. - Denke an die Regel für das Auflösen von Minusklammern. - Was passiert mit dem Wert einer Zahl, wenn du ein Minuszeichen davor setzt?

1. Berechnung Term A: \(-12 - (5 - 13) = -12 - (-8) = -12 + 8 = -4\). 2. Berechnung Term B: \((-12 - 5) - 13 = -17 - 13 = -30\). 3. Vergleich und Erklärung: In Term A bewirkt das Minuszeichen vor der Klammer, dass sich die Vorzeichen innerhalb der Klammer beim Auflösen umkehren. Aus \(-(5 - 13)\) wird \(-5 + 13\). In Term B werden die Subtraktionen einfach nacheinander von links nach rechts ausgeführt.

a) Term A hat den Wert \(-4\), Term B hat den Wert \(-30\). b) In Term A bezieht sich das Minuszeichen auf die gesamte Differenz \((5 - 13)\). Beim Auflösen der Klammer wird daraus \(-5 + 13\). In Term B werden alle Zahlen schrittweise subtrahiert, was zu einem wesentlich kleineren Wert führt.

- Kannst du alle Zahlen in die gleiche Darstellung bringen, zum Beispiel alle als Brüche oder alle als Dezimalzahlen? - Achte bei der Addition und Subtraktion auf die Vorzeichenregeln. - Welche Rechenregel gilt, wenn Punkt- und Strichrechnungen in einer Aufgabe vorkommen? - Wie multipliziert man einen Bruch mit einer Dezimalzahl am einfachsten?

1. Teilaufgabe a): Umwandlung der gemischten Zahl in einen Dezimalbruch ergibt \(-3{,}5 + 5 - 0{,}75\). Addition der ersten beiden Summanden führt zu \(1{,}5\). Subtraktion von \(0{,}75\) ergibt das Endergebnis \(0{,}75\) bzw. \(\frac{3}{4}\). 2. Teilaufgabe b): Umwandlung der Dezimalzahl in einen Bruch ergibt \(\frac{12}{10} = \frac{6}{5}\). Multiplikation mit dem negativen Bruch führt zu \(\frac{6}{5} \cdot \left(-\frac{5}{6}\right) = -1\). Addition der gemischten Zahl \(2\frac{1}{2} = 2{,}5\) ergibt \(-1 + 2{,}5 = 1{,}5\) bzw. \(\frac{3}{2}\).

a) \(0{,}75\) oder \(\frac{3}{4}\) b) \(1{,}5\) oder \(\frac{3}{2}\)

- Welche Rechenoperation gehört zu welchem Fachbegriff (Summe, Differenz, Produkt)? - Überlege, ob du Klammern setzen musst, damit die Strichrechnungen vor der Multiplikation ausgeführt werden. - Achte auf die Vorzeichenregeln bei der Multiplikation.

1. Berechnung der Summe aus \(-14\) und \(6\): \(-14 + 6 = -8\). 2. Berechnung der Differenz aus \(7\) und \(12\): \(7 - 12 = -5\). 3. Multiplikation der beiden Teilergebnisse: \(-8 \cdot (-5) = 40\).

\(40\)

- Gibt es eine Regel für die Reihenfolge von Punkt- und Strichrechnung? - Wie dividiert man durch eine ganze Zahl, wenn man mit Brüchen rechnet? - Kannst du vor dem Multiplizieren von Brüchen etwas kürzen? - Bei b) kannst du entweder erst die Klammer ausrechnen oder das Distributivgesetz anwenden – was erscheint dir einfacher?

1. Teilaufgabe a): Zuerst die Punktrechnungen ausführen. 2. Multiplikation: \( \frac{5}{6} \cdot \frac{3}{10} = \frac{5 \cdot 3}{6 \cdot 10} = \frac{1 \cdot 1}{2 \cdot 2} = \frac{1}{4} \). 3. Division: \( \frac{1}{4} : (-2) = \frac{1}{4} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{8} \). 4. Subtraktion der Ergebnisse: \( \frac{1}{4} - \left(-\frac{1}{8}\right) = \frac{2}{8} + \frac{1}{8} = \frac{3}{8} \). 5. Teilaufgabe b): Zuerst den Klammerinhalt berechnen. 6. Klammer: \( -\frac{2}{3} + \frac{5}{6} = -\frac{4}{6} + \frac{5}{6} = \frac{1}{6} \). 7. Multiplikation: \( \frac{1}{6} \cdot 12 = 2 \). 8. Subtraktion: \( 2 - 7{,}5 = -5{,}5 \).

a) \( \frac{3}{8} \) b) \( -5{,}5 \)

- Was passiert mit den Vorzeichen, wenn ein Minuszeichen vor einer Klammer mit einem negativen Wert steht? - Suche nach einem gemeinsamen Nenner für alle Brüche, bevor du addierst oder subtrahierst. - Kannst du die Zahl 1 auch als einen Bruch mit diesem Nenner schreiben?

1. Auflösen des Doppelzeichens: \( \frac{2}{3} + \frac{1}{4} + \frac{5}{6} - 1 \) 2. Bestimmung des Hauptnenners (\( 12 \)) und Erweitern der Brüche: \( \frac{8}{12} + \frac{3}{12} + \frac{10}{12} - \frac{12}{12} \) 3. Zusammenfassen der Zähler: \( \frac{8 + 3 + 10 - 12}{12} = \frac{9}{12} \) 4. Kürzen des Ergebnisses: \( \frac{3}{4} \) (entspricht \( 0{,}75 \))

\( \frac{3}{4} \) oder \( 0{,}75 \)

- Achte darauf, welche Operation zuerst ausgeführt werden muss. Klammern helfen dir, die Reihenfolge festzulegen. - Überlege dir, welche Fachbegriffe für welche Rechenart stehen (Summe, Differenz, Produkt, Quotient). - Löse die Rechnungen innerhalb der Klammern zuerst, bevor du die äußere Operation anwendest.

1. Aufstellen des Terms für Teilaufgabe a): \((12{,}5 - 3{,}5) \cdot (0{,}4 + 0{,}6)\) 2. Berechnung der Differenz: \(12{,}5 - 3{,}5 = 9{,}0\) 3. Berechnung der Summe: \(0{,}4 + 0{,}6 = 1{,}0\) 4. Multiplikation der Teilergebnisse: \(9{,}0 \cdot 1{,}0 = 9\) 5. Aufstellen des Terms für Teilaufgabe b): \((7{,}2 + 4{,}8) : (2 \cdot 1{,}5)\) 6. Berechnung der Summe: \(7{,}2 + 4{,}8 = 12{,}0\) 7. Berechnung des Produkts im Nenner/Divisor: \(2 \cdot 1{,}5 = 3{,}0\) 8. Division der Teilergebnisse: \(12{,}0 : 3{,}0 = 4\)

a) Term: \((12{,}5 - 3{,}5) \cdot (0{,}4 + 0{,}6)\); Wert: \(9\) b) Term: \((7{,}2 + 4{,}8) : (2 \cdot 1{,}5)\); Wert: \(4\)

- Bestimme zuerst das Vorzeichen des Ergebnisses: Sind die Vorzeichen gleich, ist das Ergebnis positiv; sind sie verschieden, ist es negativ. - Wie multipliziert man Brüche miteinander? - Wie dividiert man durch einen Bruch? - Denk daran, dass eine ganze Zahl auch als Bruch geschrieben werden kann.

1. Multiplikation von \(-2{,}5\) und \(0{,}4\): \(-2{,}5 \cdot 0{,}4 = -1\). Division: \(-2{,}5 : 0{,}4 = -6{,}25\). 2. Multiplikation von \(\frac{3}{10}\) und \(-\frac{6}{5}\): \(\frac{3 \cdot (-6)}{10 \cdot 5} = -\frac{18}{50} = -\frac{9}{25}\). Division: \(\frac{3}{10} : \left(-\frac{6}{5}\right) = \frac{3}{10} \cdot \left(-\frac{5}{6}\right) = -\frac{15}{60} = -\frac{1}{4}\). 3. Multiplikation von \(-12\) und \(-\frac{4}{3}\): \(-12 \cdot \left(-\frac{4}{3}\right) = \frac{48}{3} = 16\). Division: \(-12 : \left(-\frac{4}{3}\right) = -12 \cdot \left(-\frac{3}{4}\right) = \frac{36}{4} = 9\).

a) Produkt: \(-1\); Quotient: \(-6{,}25\) b) Produkt: \(-\frac{9}{25}\); Quotient: \(-\frac{1}{4}\) c) Produkt: \(16\); Quotient: \(9\)

- Denke an die Regel „Punkt-vor-Strich“. - Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn du eine positive Zahl durch eine negative Zahl teilst? - Achte auf das Rechenzeichen und das Vorzeichen beim zweiten Teil der Aufgabe.

1. Division des ersten Teilterms: \(18 : (-3) = -6\) 2. Multiplikation des zweiten Teilterms: \(4 \cdot (-2{,}5) = -10\) 3. Subtraktion der Ergebnisse: \(-6 - (-10) = -6 + 10 = 4\)

Der Wert des Terms ist \(4\).

- Überlege dir bei jeder Aufgabe zuerst, welches Vorzeichen das Ergebnis haben muss. - Kannst du Zahlen im Zähler und Nenner gegeneinander kürzen, bevor du rechnest? - Erinnere dich daran, wie man eine Division durch eine ganze Zahl als Multiplikation mit einem Stammbruch schreiben kann.

1. Multiplikation einer negativen Zahl mit einer positiven Zahl: \((-15) \cdot 4 = -60\). 2. Division zweier negativer Zahlen: Das Ergebnis ist positiv, \((-20) : (-5) = 4\). 3. Multiplikation eines Bruchs mit einer ganzen Zahl durch Kürzen: \(\frac{4}{7} \cdot 14 = 4 \cdot 2 = 8\). 4. Division eines Bruchs durch eine ganze Zahl: \(\frac{3}{10} : 3 = \frac{3}{10 \cdot 3} = \frac{1}{10}\). 5. Multiplikation zweier negativer Brüche: Das Ergebnis ist positiv; nach Kürzen der \(2\) im Zähler und Nenner ergibt sich \(\frac{1}{5}\).

a) \(-60\) b) \(4\) c) \(8\) d) \(\frac{1}{10}\) (oder \(0{,}1\)) e) \(\frac{1}{5}\) (oder \(0{,}2\))

- Bestimme für die Subtraktionen in den Klammern jeweils den kleinsten gemeinsamen Nenner. - Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn du eine positive Zahl durch eine negative Zahl teilst? - Überlege am Ende, ob es einfacher ist, mit Brüchen oder mit Dezimalzahlen weiterzurechnen.

1. Berechnung der ersten Klammer mit dem Hauptnenner 12: \( \frac{10}{12} - \frac{9}{12} = \frac{1}{12} \) 2. Berechnung der zweiten Klammer mit dem Hauptnenner 6: \( \frac{3}{6} - \frac{4}{6} = -\frac{1}{6} \) 3. Division der Ergebnisse: \( \frac{1}{12} : \left( -\frac{1}{6} \right) = \frac{1}{12} \cdot (-6) = -\frac{1}{2} \) (oder \( -0{,}5 \)) 4. Finale Addition: \( -0{,}5 + 1{,}5 = 1 \)

Der Wert des Terms ist \( 1 \).

- Beachte die Vorrangregeln: Klammern zuerst, dann Potenzen, dann Punktrechnung, dann Strichrechnung. - Es hilft oft, Dezimalzahlen in Brüche umzuwandeln oder umgekehrt, je nachdem, was einfacher zu rechnen ist. - Denke beim Dividieren daran, ob eine Umwandlung in Brüche oder Dezimalzahlen die Rechnung erleichtert.

1. Teilaufgabe a): Multiplikation vor Addition berechnen. \(0{,}3 \cdot \frac{1}{3} = \frac{3}{10} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{10}\). Addition der Brüche: \(\frac{2}{5} + \frac{1}{10} = \frac{4}{10} + \frac{1}{10} = \frac{5}{10} = 0{,}5\). 2. Teilaufgabe b): Klammer zuerst berechnen. \(1{,}2 - 0{,}75 = 0{,}45\). Division durch \(0{,}5\): \(0{,}45 : 0{,}5 = 0{,}9\). 3. Teilaufgabe c): Potenz vor Subtraktion. \(0{,}75^2 = (\frac{3}{4})^2 = \frac{9}{16}\). Subtraktion mit gemeinsamem Nenner: \(\frac{9}{16} - \frac{2}{16} = \frac{7}{16} = 0{,}4375\).

a) \(0{,}5\) (oder \(\frac{1}{2}\)) b) \(0{,}9\) (oder \(\frac{9}{10}\)) c) \(0{,}4375\) (oder \(\frac{7}{16}\))

- Welche Rechenregel musst du zuerst anwenden, wenn kein Klammerpaar vorhanden ist? - Wie dividiert man durch einen Bruch? - Denk daran, Brüche vor dem Rechnen oder beim Zwischenergebnis zu kürzen, um mit kleineren Zahlen zu arbeiten. - Was ist der gemeinsame Nenner, wenn du Brüche addieren oder subtrahieren möchtest?

1. Teilaufgabe a): Punkt-vor-Strich-Rechnung. Multiplikation \(\frac{5}{6} \cdot \frac{9}{10} = \frac{5 \cdot 9}{6 \cdot 10} = \frac{45}{60} = \frac{3}{4}\). Subtraktion \(\frac{3}{8} - \frac{3}{4} = \frac{3}{8} - \frac{6}{8} = -\frac{3}{8}\). 2. Teilaufgabe b): Klammer zuerst berechnen. \(\frac{2}{5} + \frac{1}{2} = \frac{4}{10} + \frac{5}{10} = \frac{9}{10}\). Division durch Multiplikation mit dem Kehrwert: \(\frac{9}{10} \cdot \left( -\frac{20}{3} \right) = -\frac{9 \cdot 20}{10 \cdot 3} = -\frac{180}{30} = -6\). 3. Teilaufgabe c): Punktrechnung zuerst. \(\frac{4}{7} : \frac{8}{21} = \frac{4}{7} \cdot \frac{21}{8} = \frac{4 \cdot 21}{7 \cdot 8} = \frac{1 \cdot 3}{1 \cdot 2} = \frac{3}{2}\). Subtraktion \(2 - \frac{3}{2} = \frac{4}{2} - \frac{3}{2} = \frac{1}{2}\).

a) \(-\frac{3}{8}\) b) \(-6\) c) \(\frac{1}{2}\)

- Achte bei Term A auf die Vorrangregeln für Klammern. - Was passiert mit den Vorzeichen, wenn man eine Klammer auflöst, vor der ein Minus steht? - Rechne bei Term B einfach Schritt für Schritt von links nach rechts.

1. Berechnung von Term \(A\): Zuerst den Wert in der Klammer bestimmen: \(2{,}1 - 4{,}6 = -2{,}5\). Anschließend subtrahieren: \(-3{,}5 - (-2{,}5) = -3{,}5 + 2{,}5 = -1{,}0\). 2. Berechnung von Term \(B\): Von links nach rechts rechnen: \(-3{,}5 - 2{,}1 = -5{,}6\). Danach weiter subtrahieren: \(-5{,}6 - 4{,}6 = -10{,}2\). 3. Erklärung: In Term \(A\) bewirkt die Klammer mit dem Minuszeichen davor eine Vorzeichenänderung beider Glieder innerhalb der Klammer beim Auflösen (Minus-Klammer-Regel). In Term \(B\) wird \(4{,}6\) subtrahiert, während in Term \(A\) durch das Minus vor der Klammer effektiv \(4{,}6\) addiert wird (\(-(-4{,}6) = +4{,}6\)).

a) \(A = -1{,}0\); \(B = -10{,}2\) b) Bei Term \(A\) bezieht sich das Minuszeichen auf die gesamte Differenz in der Klammer. Durch die Klammerregel wird der Wert \(-4{,}6\) effektiv zu \(+4{,}6\), während er in Term \(B\) subtrahiert wird.

- Denke an die Regel „Punkt vor Strich“. - Wie multipliziert oder dividiert man zwei Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen? - Bei der Division durch einen Bruch hilft dir der Kehrwert weiter. - Achte beim Rechnen mit Dezimalzahlen auf die Anzahl der Nachkommastellen beim Produkt.

1. Berechnung von Teil a: Zuerst wird die Multiplikation durchgeführt: \(12 \cdot (-5) = -60\). Anschließend wird die Addition berechnet: \(-60 + 72 = 12\). 2. Berechnung von Teil b: Die Division durch einen Bruch entspricht der Multiplikation mit dem Kehrwert: \(\frac{4}{5} \cdot \left(-\frac{15}{8}\right) = -\frac{60}{40} = -\frac{3}{2} = -1{,}5\). Danach wird die Addition durchgeführt: \(-1{,}5 + 1 = -0{,}5\). 3. Berechnung von Teil c: Zuerst wird die Multiplikation der Dezimalzahlen durchgeführt: \(0{,}4 \cdot 0{,}3 = 0{,}12\). Danach wird die Subtraktion berechnet: \(0{,}12 - 0{,}2 = -0{,}08\).

a) \(12\) b) \(-0{,}5\) oder \(-\frac{1}{2}\) c) \(-0{,}08\)

- Welche Rechenregel musst du bei Aufgabe a) zuerst beachten? - Wie addiert man Brüche mit unterschiedlichen Nennern? - Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn man zwei negative Zahlen multipliziert? - Erinnerst du dich, wie man durch einen Bruch dividiert?

1. Berechnung von a): Punkt-vor-Strich-Rechnung. Zuerst das Produkt \(\frac{2}{3} \cdot \frac{9}{8} = \frac{18}{24} = \frac{3}{4}\). Dann die Differenz \(\frac{3}{4} - \frac{3}{4} = 0\). 2. Berechnung von b): Klammer zuerst berechnen. \(\frac{1}{2} + \frac{3}{5} = \frac{5}{10} + \frac{6}{10} = \frac{11}{10}\). Division durch Multiplikation mit dem Kehrwert: \(\frac{11}{10} \cdot \frac{10}{11} = 1\). 3. Berechnung von c): Zähler berechnen. \((-4) \cdot (-9) = 36\). Division durch den Nenner: \(36 : 6 = 6\).

a) \(0\) b) \(1\) c) \(6\)

- Achte auf Signalwörter wie „Summe“ oder „Produkt“, um die richtige Rechenoperation zu wählen. - Überlege genau, welche Zahl von welcher subtrahiert werden soll. - Erinnere dich daran, was der Betrag einer Zahl angibt. - Setze Klammern, wenn eine Rechenoperation auf ein gesamtes Ergebnis angewendet wird.

1. Aufstellen des Terms für a): \(-8 \cdot (14 + (-20))\). Berechnung der Summe in der Klammer: \(14 - 20 = -6\). Multiplikation: \(-8 \cdot (-6) = 48\). 2. Aufstellen des Terms für b): \((-6 \cdot 7) - (-45)\). Berechnung des Produkts: \(-6 \cdot 7 = -42\). Subtraktion der negativen Zahl (entspricht Addition): \(-42 + 45 = 3\). 3. Aufstellen des Terms für c): \((2 \cdot (-15)) + |-50|\). Berechnung des Doppelten: \(2 \cdot (-15) = -30\). Bestimmung des Betrags: \(|-50| = 50\). Addition: \(-30 + 50 = 20\).

a) Term: \(-8 \cdot (14 + (-20))\), Wert: \(48\) b) Term: \((-6 \cdot 7) - (-45)\), Wert: \(3\) c) Term: \(2 \cdot (-15) + |-50|\), Wert: \(20\)

- Berechne zuerst beide Werte getrennt voneinander. - Welche Rechenoperation wird in Term A zuerst ausgeführt? Welche in Term B? - Wie beeinflussen die Klammern den Rechenweg?

1. Berechnung von \(A\) nach der Punkt-vor-Strich-Regel: \(40 - 5 + 3 = 38\). 2. Berechnung von \(B\): Klammern zuerst berechnen: \(30 : 5 = 6\). 3. Vergleich: In Term \(A\) wird nur die \(10\) durch \(2\) geteilt. In Term \(B\) bewirken die Klammern, dass zuerst die Differenz \(40-10\) und die Summe \(2+3\) gebildet werden, bevor die Division ausgeführt wird. Die Klammern verändern also die Rangfolge der Rechenoperationen.

\(A = 38\) und \(B = 6\). Die Ergebnisse unterscheiden sich, weil Klammern die normale Vorrangregel „Punkt vor Strich“ außer Kraft setzen und festlegen, welche Teile des Terms zuerst zusammengefasst werden müssen.

- Welche Rechenoperation gehört zu welchem Begriff? - Achte besonders auf die Vorzeichenregeln beim Multiplizieren und Dividieren. - Schreibe dir die beiden Teile der Aufgabe zuerst getrennt als Rechnung auf.

1. Berechnung des Produkts: \(-4 \cdot 12 = -48\) 2. Berechnung des Quotienten: \(100 : (-5) = -20\) 3. Addition der beiden Zwischenergebnisse: \(-48 + (-20) = -68\)

\(-68\)

- Achte darauf, welche Zahl von welcher subtrahiert werden soll. - Das Wort „Differenz“ weist auf eine Subtraktion hin, „Summe“ auf eine Addition. - Klammern helfen dir dabei, die Reihenfolge der Rechenschritte richtig festzulegen. - Überlege dir, welche Rechenoperation bei Begriffen wie „das Doppelte“ gemeint ist.

1. Aufstellen des Terms für a): \((45{,}7 - 18{,}9) + 12{,}4\). Berechnung der Differenz: \(45{,}7 - 18{,}9 = 26{,}8\). Addition: \(26{,}8 + 12{,}4 = 39{,}2\). 2. Aufstellen des Terms für b): \(40 - (13{,}2 + 6{,}85)\). Berechnung der Summe: \(13{,}2 + 6{,}85 = 20{,}05\). Subtraktion von 40: \(40 - 20{,}05 = 19{,}95\). 3. Aufstellen des Terms für c): \(2 \cdot 7{,}5 + (-3{,}2)\). Berechnung des Produkts: \(2 \cdot 7{,}5 = 15\). Addition der negativen Zahl: \(15 - 3{,}2 = 11{,}8\).

a) Term: \((45{,}7 - 18{,}9) + 12{,}4\); Ergebnis: \(39{,}2\) b) Term: \(40 - (13{,}2 + 6{,}85)\); Ergebnis: \(19{,}95\) c) Term: \(2 \cdot 7{,}5 + (-3{,}2)\); Ergebnis: \(11{,}8\)

- Achte besonders auf die Vorzeichenregeln beim Addieren und Subtrahieren. - Du kannst mehrere Zahlen schrittweise von links nach rechts zusammenrechnen. - Bei Aufgaben mit Brüchen und Dezimalzahlen ist es oft hilfreich, alles in eine einheitliche Darstellung umzuwandeln. - Denke bei der Addition von Brüchen daran, zuerst einen gemeinsamen Nenner zu finden.

1. Schrittweise Addition von links nach rechts: \(-17 + 25 = 8\). Danach Addition der dritten Zahl: \(8 + (-13) = -5\). 2. Zusammenfassen der ersten beiden Dezimalzahlen: \(4{,}8 + (-6{,}3) = -1{,}5\). Danach Addition des dritten Summanden: \(-1{,}5 + (-2{,}5) = -4{,}0\). 3. Umwandlung des Bruchs in eine Dezimalzahl: \(-\frac{3}{10} = -0{,}3\). Berechnung der Summe: \(-0{,}3 + 0{,}75 = 0{,}45\). Alternativ als Bruch: \(-\frac{6}{20} + \frac{15}{20} = \frac{9}{20}\). 4. Umwandlung auf den Hauptnenner \(8\): \(-2\frac{2}{8} + (-1\frac{5}{8})\). Da beide Zahlen negativ sind, werden die Beträge addiert: \(2\frac{2}{8} + 1\frac{5}{8} = 3\frac{7}{8}\). Das Ergebnis erhält ein negatives Vorzeichen: \(-3\frac{7}{8}\).

1) \(-5\); 2) \(-4\); 3) \(0{,}45\) (oder \(\frac{9}{20}\)); 4) \(-3\frac{7}{8}\) (oder \(-3{,}875\)).

- Überlege dir bei jeder Aufgabe zuerst, ob das Ergebnis positiv oder negativ sein muss. - Wenn du Brüche addierst, müssen sie den gleichen Nenner haben. - Dezimalzahlen und Brüche können oft ineinander umgewandelt werden, um die Rechnung zu vereinfachen. - Wenn die Summe und ein Summand gegeben sind, kannst du den anderen Summanden durch Subtraktion finden.

1. Berechnung der Summe: \(-7{,}2 + 4{,}5 = -2{,}7\). 2. Berechnung der Summe: \(3\frac{1}{4} + (-5\frac{1}{2}) = 3\frac{1}{4} - 5\frac{2}{4} = -2\frac{1}{4}\). 3. Bestimmung von \(y\): \(-0{,}8 + y = -2 \implies y = -2 - (-0{,}8) = -2 + 0{,}8 = -1{,}2\). 4. Berechnung der Summe: \(-\frac{5}{6} + \frac{1}{3} = -\frac{5}{6} + \frac{2}{6} = -\frac{3}{6} = -\frac{1}{2}\). 5. Berechnung der Summe: \(-4{,}15 + 4{,}15 = 0\).

1) \(-2{,}7\) 2) \(-2\frac{1}{4}\) 3) \(y = -1{,}2\) 4) \(-\frac{1}{2}\) 5) \(0\)

- Was passiert mit dem Rechenzeichen, wenn du eine negative Zahl subtrahierst? - Kannst du die Aufgabe b) als eine Gleichung mit einer Lücke schreiben? - Bei Brüchen hilft es, sie zuerst auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen oder sie in Dezimalzahlen umzuwandeln.

1. Berechnung von \((+7) - (-15)\): Das Subtrahieren einer negativen Zahl entspricht der Addition ihres Betrags: \(7 + 15 = 22\). 2. Bestimmung der gesuchten Zahl \(x\) in der Gleichung \((-3{,}8) - x = -10\): Umstellen der Gleichung ergibt \(x = -3{,}8 - (-10) = -3{,}8 + 10 = 6{,}2\). 3. Berechnung der Differenz aus \((-2\frac{1}{2})\) und \((+1\frac{3}{4})\): Umwandlung in Brüche mit gleichem Nenner ergibt \(-\frac{10}{4} - \frac{7}{4} = -\frac{17}{4} = -4\frac{1}{4}\) (oder als Dezimalzahl: \(-2{,}5 - 1{,}75 = -4{,}25\)).

a) \(22\) b) \(6{,}2\) c) \(-4\frac{1}{4}\) (oder \(-4{,}25\))

- Wie kannst du ein Pluszeichen durch zwei Minuszeichen ersetzen? - Was geschieht, wenn zwei Minuszeichen direkt hintereinander stehen (Rechenzeichen und Vorzeichen)? - Achte darauf, dass der Wert des Terms bei der Umformung immer gleich bleiben muss. - Ein Term wie \(x - (-y)\) lässt sich vereinfachen, bevor man ihn weiter umformt.

1. Umwandlung in eine reine Summe (Aufgabe a): Jedes Minuszeichen vor einer Zahl oder Variablen wird als Addition der Gegenzahl interpretiert: \(p + (-q) + (-r) + (-10)\). 2. Umwandlung in eine Kette von Subtraktionen (Aufgabe b): Da die Addition einer Zahl der Subtraktion der Gegenzahl entspricht, wird aus \(+ a\) ein \(- (-a)\) und aus \(+ b\) ein \(- (-b)\). Ergebnis: \(15 - (-a) - (-b)\). 3. Umwandlung in eine reine Summe mit Auflösung von Doppelvorzeichen (Aufgabe c): Das Subtrahieren einer negativen Zahl \(-(-y)\) entspricht der Addition der positiven Zahl \(+y\). Die Subtraktion von \(z\) wird zur Addition der Gegenzahl \((-z)\). Ergebnis: \(x + y + (-z)\).

a) \(p + (-q) + (-r) + (-10)\) b) \(15 - (-a) - (-b)\) c) \(x + y + (-z)\)

- Was passiert mit dem Rechenzeichen, wenn du eine negative Zahl subtrahierst? - Achte darauf, Brüche vor der Subtraktion auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen. - Überlege dir bei Dezimalzahlen, ob das Ergebnis positiv oder negativ sein muss.

1. Berechnung für Zeile 1: \(x - y = -2{,}4 - 5{,}6 = -8{,}0\). 2. Berechnung für Zeile 2: \(x - y = \frac{3}{5} - (-\frac{7}{10}) = \frac{6}{10} + \frac{7}{10} = \frac{13}{10} = 1\frac{3}{10}\) (oder \(1{,}3\)). 3. Berechnung für Zeile 3: \(x - y = -1\frac{1}{2} - (-2\frac{1}{4}) = -\frac{6}{4} + \frac{9}{4} = \frac{3}{4}\) (oder \(0{,}75\)). 4. Berechnung für Zeile 4: \(x - y = -0{,}75 - 0{,}75 = -1{,}5\).

1) \(-8{,}0\); 2) \(1\frac{3}{10}\) oder \(1{,}3\); 3) \(\frac{3}{4}\) oder \(0{,}75\); 4) \(-1{,}5\).

- Welche Rechenart hat Vorrang: Potenz, Punkt oder Strich? - Was ist der Unterschied zwischen \((-2)^3\) und \(-2^3\)? - Wie gehst du vor, wenn mehrere Operationen in einer Klammer stehen?

1. Berechnung von a): Potenzen ausrechnen: \(32 - 36 - 4\). Schrittweise von links nach rechts: \(-4 - 4 = -8\) 2. Berechnung von b): Potenzen bestimmen: \(-8 + 9\). Klammer ausrechnen: \(10 - 15 = -5\). Term zusammenfügen: \(-8 + 9 - (-5) = 1 + 5 = 6\) 3. Berechnung von c): Innere Klammer/Potenz zuerst: \(2^3 = 8\), dann \(8 \cdot 5 = 40\). Eckige Klammer: \(50 - 40 = 10\). Gesamter Term: \(100 - 10 = 90\)

a) -8 b) 6 c) 90

- Schau dir die Vorzeichen der Zahlen in der Klammer genau an. - Was bewirkt ein Pluszeichen vor einer Klammer im Vergleich zu einem Minuszeichen? - Kannst du die Regel in eigenen Worten formulieren?

1. Berechnung von \(A\): \(-15 + (-15) = -30\). Berechnung von \(B\): \(-15 + 30 - 45 = 15 - 45 = -30\). 2. Die Ergebnisse sind gleich. Regel: Steht ein Pluszeichen vor einer Klammer, kann man die Klammer weglassen, ohne die Vorzeichen im Inneren zu ändern. 3. Bei einem Minuszeichen vor der Klammer ändern sich alle Vorzeichen in der Klammer beim Auflösen: \(-15 - 30 + 45\).

1. \(A = -30\), \(B = -30\) 2. Bei einem Plus vor der Klammer kann diese weggelassen werden. 3. \(-15 - 30 + 45\)

- Was bewirkt ein Betragsstrich bei einer Zahl? - Bearbeite verschachtelte Ausdrücke immer von innen nach außen. - Überlege dir zuerst das Vorzeichen des Ergebnisses, bevor du dividierst oder multiplizierst.

1. Betrag bestimmen: \( | -12 - 3 | = | -15 | = 15 \) 2. Potenz in der eckigen Klammer berechnen: \( (-3)^3 = -27 \) 3. Ausdruck in der eckigen Klammer berechnen: \( -27 + 30 = 3 \) 4. Multiplikation durchführen: \( 2 \cdot 15 = 30 \) 5. Division durchführen: \( 3 : (-3) = -1 \) 6. Gesamten Term berechnen: \( 50 - 30 + (-1) = 20 - 1 = 19 \)

19

- Berechne zuerst die einzelnen Potenzen nach der Regel „Potenz vor Punkt vor Strich“. - Überlege dir für den zweiten Teil, was passiert, wenn man in einer Minusaufgabe die Zahl, die abgezogen wird, kleiner macht. - Musst du den ganzen Term neu ausrechnen, um die Änderung zu bestimmen?

1. Potenzwerte ermitteln: \(3^4 = 81\), \(2^5 = 32\), \(7^2 = 49\). 2. Gesamtwert berechnen: \(81 + 32 - 49 = 113 - 49 = 64\). 3. Analyse der Änderung: Die Basis des Subtrahenden wird von \(7\) auf \(6\) verringert. 4. Da \(6^2 = 36\) kleiner ist als \(7^2 = 49\), wird eine kleinere Zahl abgezogen. 5. Das Gesamtergebnis vergrößert sich somit um die Differenz der Quadrate: \(49 - 36 = 13\).

a) Der Wert des Terms ist \(64\). b) Der Gesamtwert vergrößert sich um \(13\), da der Subtrahend (die Zahl, die abgezogen wird) von \(49\) auf \(36\) sinkt.

- Kannst du die Aufgabe in zwei Teilrechnungen zerlegen? - Achte beim Subtrahieren darauf, ob du ein Ganzes umwandeln musst, wenn der Bruch des Minuenden kleiner ist als der des Subtrahenden. - Welchen gemeinsamen Nenner benötigen die Brüche für die finale Addition?

1. Berechnung der Differenz: \(7\frac{1}{8} - 2\frac{3}{4} = 7\frac{1}{8} - 2\frac{6}{8} = 6\frac{9}{8} - 2\frac{6}{8} = 4\frac{3}{8}\). 2. Berechnung der Summe: \(3\frac{5}{6} + 1\frac{1}{2} = 3\frac{5}{6} + 1\frac{3}{6} = 4\frac{8}{6} = 5\frac{2}{6} = 5\frac{1}{3}\). 3. Addition der beiden Teilergebnisse: \(4\frac{3}{8} + 5\frac{1}{3} = 4\frac{9}{24} + 5\frac{8}{24} = 9\frac{17}{24}\).

\(9\frac{17}{24}\)

- Übersetze beide Beschreibungen zuerst sorgfältig in mathematische Ausdrücke mit Klammern. - Achte darauf, welche Operation zuerst ausgeführt werden muss (Klammerregeln). - Sind die Ergebnisse am Ende identisch oder gibt es einen Unterschied?

1. Berechnung von Term A: Erst die Summe \(2\frac{1}{4} + 3\frac{1}{2} = 2\frac{1}{4} + 3\frac{2}{4} = 5\frac{3}{4}\). Dann die Differenz \(10 - 5\frac{3}{4} = 4\frac{1}{4}\). 2. Berechnung von Term B: Erst die Differenz \(5 - 3\frac{1}{4} = 1\frac{3}{4}\). Dann die Summe \(2\frac{1}{2} + 1\frac{3}{4} = 2\frac{2}{4} + 1\frac{3}{4} = 3\frac{5}{4} = 4\frac{1}{4}\). 3. Vergleich: Beide Terme ergeben den gleichen Wert \(4\frac{1}{4}\).

Beide Terme sind gleich groß; ihr Wert beträgt jeweils \(4\frac{1}{4}\).

- Was bedeutet es, eine Zahl zu quadrieren? - Lies genau, welche Zahl von welcher subtrahiert werden soll. - Bestimme zuerst die Teilergebnisse in den Klammern, bevor du multiplizierst.

1. Berechnung der Summe: \(1{,}2 + 0{,}8 = 2\) 2. Berechnung des Quadrats: \((1{,}5)^2 = 2{,}25\) 3. Multiplikation der Teilergebnisse: \(2 \cdot 2{,}25 = 4{,}5\) 4. Subtraktion von \(10\): \(10 - 4{,}5 = 5{,}5\)

\(5{,}5\)

- Gibt es Klammern, die zuerst berechnet werden müssen? - Gilt hier die Regel „Punkt vor Strich“? - Kürze Brüche während der Rechnung, um mit kleineren Zahlen zu arbeiten. - Wie kannst du eine ganze Zahl als Bruch schreiben?

1. Erste Multiplikation: \(\frac{3}{4} \cdot \frac{2}{3} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}\). 2. Division: \(1\frac{1}{2} : 3 = \frac{3}{2} : 3 = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{2}\). 3. Addition der Teilergebnisse: \(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1\). 4. Klammer berechnen: \(2 - \frac{1}{3} = \frac{6}{3} - \frac{1}{3} = \frac{5}{3}\). 5. Multiplikation mit dem Ergebnis der Klammer: \(\frac{5}{3} \cdot \frac{6}{5} = \frac{30}{15} = 2\).

a) 1 b) 2

- Beachte die Vorrangregel „Klammer zuerst“ und danach „Punkt vor Strich“. - Achte beim Multiplizieren besonders auf das Vorzeichen. - Kannst du innerhalb der Rechnung kürzen, um die Zahlen klein zu halten?

1. Berechnung des Klammerinhalts: \(2\frac{2}{3} - \frac{1}{6} = \frac{8}{3} - \frac{1}{6} = \frac{16}{6} - \frac{1}{6} = \frac{15}{6}\). Kürzen ergibt \(\frac{5}{2}\). 2. Multiplikation durchführen: \(-1\frac{1}{5} \cdot \frac{5}{2} = -\frac{6}{5} \cdot \frac{5}{2}\). Nach Kürzen der 5 und der 6 gegen die 2 bleibt \(-3\) übrig. 3. Letzte Addition: \(-3 + \frac{3}{4} = -\frac{12}{4} + \frac{3}{4} = -\frac{9}{4}\). 4. Umwandlung in eine gemischte Zahl: \(-2\frac{1}{4}\).

\(-2\frac{1}{4}\) oder \(-\frac{9}{4}\)

- Was ist der kleinste gemeinsame Nenner von 6 und 4? - Wie dividiert man durch einen Bruch? - Überlege dir zuerst, welches Vorzeichen das Endergebnis haben muss.

1. Klammerinhalt berechnen: Hauptnenner von 6 und 4 ist 12. 2. Brüche erweitern: \(-\frac{10}{12} + \frac{15}{12} = \frac{5}{12}\). 3. Division durch einen Bruch bedeutet Multiplikation mit dem Kehrwert: \(\frac{5}{12} \cdot \left( -\frac{12}{5} \right)\). 4. Kürzen und Vorzeichen bestimmen: \(\frac{5 \cdot (-12)}{12 \cdot 5} = -1\).

\(-1\)

- Denk an die Vorrangregeln: Klammern zuerst, dann Potenzen, dann Punktrechnung. - Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn man eine negative Zahl quadriert? - Wie rechnet man eine Dezimalzahl wie \(0{,}75\) am einfachsten in einen Bruch um?

a) 1. Klammerinhalt durch Hauptnennerbildung addieren: \(\frac{8}{12} + \frac{3}{12} = \frac{11}{12}\) 2. Multiplikation mit dem Faktor außerhalb der Klammer: \(\frac{11}{12} \cdot \frac{12}{11}\) 3. Durch Kürzen das Ergebnis bestimmen: \(1\) b) 1. Quadrat berechnen: \((-\frac{3}{8})^2 = \frac{9}{64}\) 2. Dezimalzahl in Bruch umwandeln: \(0{,}75 = \frac{3}{4}\) 3. Division durch Multiplikation mit dem Kehrwert: \(\frac{3}{4} \cdot \frac{64}{9}\) 4. Kürzen und Ergebnis berechnen: \(\frac{1 \cdot 16}{1 \cdot 3} = \frac{16}{3}\)

a) \(1\) b) \(\frac{16}{3}\)

- Beachte die Regel „Klammer vor Punkt vor Strich“. - Welche Rechenschritte müssen zuerst innerhalb der eckigen Klammer ausgeführt werden? - Achte besonders auf die Vorzeichenregeln bei der Multiplikation und Division negativer Zahlen.

1. Division innerhalb der eckigen Klammer: \( 4{,}5 : (-0{,}5) = -9 \) 2. Multiplikation innerhalb der eckigen Klammer: \( 7 \cdot (-2) = -14 \) 3. Summe der Ergebnisse in der eckigen Klammer: \( -9 + (-14) = -23 \) 4. Finale Addition: \( -18 + (-23) = -41 \)

-41

- Welche Rechenoperationen müssen vor der Subtraktion durchgeführt werden? - Bei der Division durch eine Dezimalzahl hilft es, das Komma bei beiden Zahlen so weit nach rechts zu verschieben, bis der Divisor eine ganze Zahl ist. - Denk an das Vorzeichen, wenn du eine größere Zahl von einer kleineren abziehst.

1. Durchführung der Multiplikation: \(4{,}5 \cdot 0{,}2 = 0{,}9\) 2. Durchführung der Division: \(1{,}2 : 0{,}3 = 12 : 3 = 4\) 3. Subtraktion der beiden Teilergebnisse: \(0{,}9 - 4 = -3{,}1\)

\(-3{,}1\)

- Wann wird ein Ergebnis beim Potenzieren negativ, wann positiv? - Achte bei d) genau darauf, ob sich das Quadrat auf das Minuszeichen bezieht oder nicht. - Bei der Division von Dezimalzahlen hilft es oft, das Komma bei beiden Zahlen gleichzeitig nach rechts zu verschieben.

1. Potenzierung einer negativen Basis mit ungeradem Exponenten: \( (-0{,}2) \cdot (-0{,}2) \cdot (-0{,}2) = -0{,}008 \). 2. Umrechnung des Bruchs \( \frac{4}{5} = 0{,}8 \); Summe aus Zahl und Gegenzahl: \( -0{,}8 + 0{,}8 = 0 \). 3. Division durch eine negative Zahl; Kommaverschiebung führt zu \( 15 : (-3) = -5 \). 4. Beachtung der Potenzbindung (Minuszeichen steht vor der Potenz): \( -(0{,}7 \cdot 0{,}7) = -0{,}49 \).

a) \(-0{,}008\) b) 0 c) -5 d) \(-0{,}49\)

- Berechne erst beide Werte und vergleiche sie. - Worauf bezieht sich die kleine Hochzahl (der Exponent) jeweils? - Erinnerst du dich an die Regel für „Minus mal Minus“?

1. Berechnung Term \(A\): Zuerst die Potenz \(6^2 = 36\), dann das Minuszeichen davor setzen: \(-36\). Division durch \(4\) ergibt \(-9\). Addition von \(5\) ergibt \(-4\). 2. Berechnung Term \(B\): Die Klammer bewirkt, dass die negative Zahl quadriert wird: \((-6) \cdot (-6) = 36\). Division durch \(4\) ergibt \(9\). Addition von \(5\) ergibt \(14\). 3. Vergleich: Bei Term \(A\) bezieht sich das Quadrat nur auf die Zahl \(6\). Bei Term \(B\) bezieht sich das Quadrat auf die gesamte Zahl \(-6\), wodurch das Ergebnis der Potenz positiv wird.

a) Term \(A = -4\); Term \(B = 14\) b) Bei \(-6^2\) wird nur die \(6\) quadriert und das Minus danach davor gesetzt. Bei \((-6)^2\) wird die Zahl \(-6\) mit sich selbst multipliziert, was ein positives Ergebnis (\(36\)) liefert.

- Was passiert zuerst: Potenzieren, Multiplizieren/Dividieren oder Addieren/Subtrahieren? - Wie verändern die Klammern in Aufgabenteil b) die Reihenfolge, in der du rechnen musst? - Achte besonders auf das Vorzeichen beim Quadrieren.

1. Teilaufgabe a): Die Struktur ist eine Differenz. Zuerst wird die Potenz berechnet: \((-0{,}4)^2 = 0{,}16\). Dann wird der Quotient berechnet: \(0{,}16 : 0{,}4 = 0{,}4\). Schließlich die Subtraktion: \(0{,}16 - 0{,}4 = -0{,}24\). 2. Teilaufgabe b): Die Struktur ist ein Quotient. Zuerst wird innerhalb der äußeren Klammer gerechnet: Potenz \((-0{,}4)^2 = 0{,}16\), dann Differenz \(0{,}16 - 0{,}16 = 0\). Schließlich die Division durch den Divisor außerhalb der Klammer: \(0 : 0{,}4 = 0\).

a) Struktur: Differenz; Wert: \(-0{,}24\) b) Struktur: Quotient; Wert: \(0\)

- Identifiziere zuerst die beiden Faktoren, aus denen das Produkt besteht. - Überlege, ob du Klammern setzen musst, um die Summe und die Differenz zuerst zu berechnen. - Wie lautet die Vorzeichenregel für die Multiplikation zweier negativer Zahlen?

1. Berechnung des ersten Faktors (Summe): \(-3{,}5 + 1{,}25 = -2{,}25\) 2. Berechnung des zweiten Faktors (Differenz): \(0{,}8 - 1{,}2 = -0{,}4\) 3. Berechnung des Produkts: \((-2{,}25) \cdot (-0{,}4) = 0{,}9\)

Der Term lautet \((-3{,}5 + 1\frac{1}{4}) \cdot (0{,}8 - 1{,}2)\). Sein Wert ist \(0{,}9\).

- Denke daran: Die Punkt-vor-Strich-Regel gilt auch innerhalb von Klammern. - Wie dividiert man durch einen Bruch? - Kannst du am Ende das Ergebnis noch kürzen oder in eine gemischte Zahl umwandeln?

1. Berechnung der ersten Klammer: Wandle \(-4{,}5\) in einen Bruch um: \(-\frac{45}{10} = -\frac{9}{2}\). Division durch \(\frac{9}{10}\) entspricht der Multiplikation mit dem Kehrwert: \(-\frac{9}{2} \cdot \frac{10}{9} = -5\). 2. Berechnung der zweiten Klammer: Wandle \(1{,}2\) in einen Bruch um: \(1{,}2 = \frac{12}{10} = \frac{6}{5}\). Bringe \(\frac{2}{3}\) und \(\frac{6}{5}\) auf den Hauptnenner 15: \(\frac{10}{15} - \frac{18}{15} = -\frac{8}{15}\). 3. Multiplikation der Ergebnisse: \(-5 \cdot (-\frac{8}{15}) = \frac{40}{15}\). Kürzen durch 5 ergibt \(\frac{8}{3}\).

\(\frac{8}{3}\) oder \(2\frac{2}{3}\)

- Ein Bruchstrich wirkt wie ein Geteilt-Zeichen und umschließt Zähler und Nenner wie unsichtbare Klammern. - Bestimme zuerst, was die „letzte“ Rechenoperation ist, die du ausführen würdest. - Berechne den oberen und den unteren Teil des Bruchs getrennt voneinander. - Achte beim Dividieren auf die Vorzeichenregeln für rationale Zahlen.

1. Beschreibung des Aufbaus: Der Term ist ein Quotient (wegen des Hauptbruchstrichs). Der Dividend (Zähler) ist die Summe aus \(-3{,}6\) und \(1{,}2\). Der Divisor (Nenner) ist der Quotient aus \(-3{,}6\) und \(1{,}2\). 2. Berechnung des Zählers: \(-3{,}6 + 1{,}2 = -2{,}4\). 3. Berechnung des Nenners: \(-3{,}6 : 1{,}2 = -3\). 4. Berechnung des Gesamtwerts: \(-2{,}4 : (-3) = 0{,}8\).

a) Der Term ist der Quotient aus der Summe von \(-3{,}6\) und \(1{,}2\) und dem Quotienten aus \(-3{,}6\) und \(1{,}2\). b) Der Wert des Terms ist \(0{,}8\).

- Berechne zuerst den Wert von Term A und dann den von Term B. - Denk bei Term A daran, dass das Quadrat einer negativen Zahl positiv ist. - Wandle bei Term B den Bruch in eine Dezimalzahl um, um leichter rechnen zu können.

1. Wert von \(A\) berechnen: \((-0{,}6)^2 = 0{,}36\). Division durchführen: \(0{,}64 : (-2) = -0{,}32\). Addition: \(0{,}36 + (-0{,}32) = 0{,}04\). 2. Wert von \(B\) berechnen: Klammerinhalt bestimmen: \(1{,}2 - 0{,}7 = 0{,}5\). Multiplikation: \(0{,}5 \cdot 0{,}5 = 0{,}25\). Subtraktion: \(\frac{1}{4} - 0{,}25 = 0{,}25 - 0{,}25 = 0\). 3. Vergleich: Da \(0{,}04 > 0\), gilt \(A > B\).

Es gilt \(A > B\), da \(A = 0{,}04\) und \(B = 0\).

- Achte genau auf die Reihenfolge bei der Subtraktion: Was wird von was abgezogen? - Denke an die Vorzeichenregeln, wenn du eine negative Zahl subtrahierst. - Es hilft, alle Zahlen einheitlich als Dezimalzahlen oder als Brüche zu schreiben.

1. Struktur des Terms festlegen (Subtraktion eines Produkts von einer Summe): \((\text{Summe}) - (\text{Produkt})\) 2. Einsetzen der Werte: \((-1{,}2 + 2{,}25) - (-\frac{3}{5} \cdot 0{,}5)\) 3. Berechnung der Summe: \(-1{,}2 + 2{,}25 = 1{,}05\) 4. Berechnung des Produkts: \(-\frac{3}{5} \cdot 0{,}5 = -0{,}6 \cdot 0{,}5 = -0{,}3\) 5. Finale Subtraktion unter Beachtung der Vorzeichenregeln: \(1{,}05 - (-0{,}3) = 1{,}05 + 0{,}3 = 1{,}35\)

Der Term lautet \((-1{,}2 + 2\frac{1}{4}) - (-\frac{3}{5} \cdot 0{,}5)\). Das Ergebnis ist \(1{,}35\) (oder \(1\frac{7}{20}\)).

- Rechne zuerst genau das aus, was in der Klammer steht. - Wenn keine Klammern da sind und nur Punktrechnung vorkommt, in welcher Reihenfolge rechnest du dann? - Vergleiche die beiden Ergebnisse am Ende miteinander.

1. Berechnung a) mit Klammern: \( (3{,}6 \cdot 5) : 2 = 18 : 2 = 9 \). 2. Berechnung a) ohne Klammern: \( 3{,}6 \cdot 5 : 2 \). Von links nach rechts gerechnet: \( 18 : 2 = 9 \). Die Klammern ändern den Wert nicht. 3. Berechnung b) mit Klammern: \( 36 : (3 \cdot 2) = 36 : 6 = 6 \). 4. Berechnung b) ohne Klammern: \( 36 : 3 \cdot 2 \). Von links nach rechts gerechnet: \( 12 \cdot 2 = 24 \). Die Klammern ändern den Wert.

a) Die Klammern können weggelassen werden; in beiden Fällen ist das Ergebnis \( 9 \). b) Die Klammern können nicht weggelassen werden; mit Klammern ist das Ergebnis \( 6 \), ohne Klammern \( 24 \).

- Beachte die Vorrangregeln (Klammern zuerst, dann Punkt-vor-Strich-Rechnung). - Überlege dir, welche Zahl in der Formel für die Ausgangstemperatur stehen könnte. - Welche Zahlen könnten Höhenangaben sein? - Da die Person von \(400\,\text{m}\) auf \(2400\,\text{m}\) steigt: Musst du die Temperaturänderung zum Startwert addieren oder davon abziehen?

1. Berechnung des Klammerausdrucks: \(2400 - 400 = 2000\) (Höhenunterschied in m). 2. Division durch 100: \(2000 : 100 = 20\) (Anzahl der \(100\,\text{m}\)-Abschnitte). 3. Multiplikation mit der Rate: \(20 \cdot 0{,}5 = 10\) (gesamter Temperaturabfall in \(^\circ\text{C}\)). 4. Subtraktion vom Startwert: \(12 - 10 = 2\). Der Wert des Terms ist \(2\). 5. Mögliche Situation: Jemand startet auf einer Höhe von \(400\,\text{m}\) bei \(12^\circ\text{C}\) (Starttemperatur). Die Person wandert auf einen Gipfel in \(2400\,\text{m}\) Höhe (Zielhöhe). Pro \(100\,\text{m}\) Aufstieg sinkt die Temperatur um \(0{,}5^\circ\text{C}\) (Änderungsrate).

a) Der Wert des Terms ist \(2\). b) Beispiel: Eine Wanderung startet auf \(400\,\text{m}\) Höhe bei \(12^\circ\text{C}\) und führt auf einen \(2400\,\text{m}\) hohen Berg. Dabei sinkt die Temperatur um \(0{,}5^\circ\text{C}\) pro \(100\,\text{m}\).

- Welche Klammer musst du zuerst auflösen? - Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn zwei negative Zahlen multipliziert werden? - Wie dividiert man eine Zahl durch einen Bruch? - Überlege dir, ob du das Ergebnis als Dezimalzahl oder als Bruch angeben möchtest.

1. Berechnung der inneren runden Klammer: \(\frac{1}{5} - 0{,}6 = 0{,}2 - 0{,}6 = -0{,}4\). 2. Multiplikation innerhalb der eckigen Klammer: \(-2{,}5 \cdot (-0{,}4) = 1\). 3. Division des Ergebnisses der eckigen Klammer durch den Divisor: \(1 : (-\frac{1}{2}) = 1 : (-0{,}5) = -2\). 4. Finale Subtraktion: \(\frac{5}{8} - (-2) = 0{,}625 + 2 = 2{,}625\) bzw. \(2\frac{5}{8}\).

\(2{,}625\) oder \(2\frac{5}{8}\)

- Welche Rechenoperation wird laut der Vorrangregeln als Letztes ausgeführt? - Siehst du in der Klammer einen gemeinsamen Faktor, den du ausklammern kannst? - Achte beim Dividieren besonders auf die Vorzeichen.

1. Bestimmung der Termart: Der Term ist eine Summe, da die Addition von \((-4{,}5)\) als letzte Rechenoperation ausgeführt wird. 2. Berechnung der Klammer durch Ausklammern: \(2{,}4 \cdot (-1{,}5 - 3{,}5) = 2{,}4 \cdot (-5) = -12\). 3. Ausführung der Division: \(-12 : (-1{,}2) = 10\). 4. Letzter Schritt (Addition): \(10 + (-4{,}5) = 5{,}5\).

Es handelt sich um eine Summe. Der Wert des Terms ist \(5{,}5\).

- Fällt dir eine Zahl oder ein Ausdruck auf, der mehrfach im Term vorkommt? - Was passiert, wenn du die Klammern auflöst, ohne den Bruch sofort zu verrechnen? - Kannst du die Dezimalzahlen in den Klammern zuerst zusammenfassen? - Manchmal hilft es, komplizierte Teile kurzzeitig durch ein Symbol zu ersetzen.

1. Bestimmung der Termart: Der Term ist eine Differenz (bzw. eine Kette aus Summen und Differenzen), da die letzte Operation die Subtraktion des letzten Gliedes ist. 2. Struktur erkennen: Ersetze den wiederkehrenden Wert \( (- \frac{3}{7}) \) durch einen Platzhalter \( a \). Der Term lautet: \( [12{,}5 - a + 7{,}5] + [2{,}5 - a - 22{,}5] - a \). 3. Zusammenfassen der Zahlenwerte: \( (20 - a) + (-20 - a) - a \). 4. Vereinfachen des gesamten Ausdrucks: \( 20 - 20 - a - a - a = -3a \). 5. Einsetzen von \( a = - \frac{3}{7} \): \( -3 \cdot (- \frac{3}{7}) = \frac{9}{7} = 1 \frac{2}{7} \).

Der Term ist eine Differenz. Der Wert ist \( \frac{9}{7} \) oder \( 1 \frac{2}{7} \).

- Ist es einfacher, mit Dezimalzahlen oder mit Brüchen zu rechnen? Wandle gegebenenfalls um. - Achte auf die Vorzeichenregeln bei der Multiplikation. - Was ist die letzte Operation, die du durchführst? Danach wird der Term benannt.

1. Struktur bestimmen: Der Term ist eine Summe, da zuletzt die Addition von \(1\frac{1}{3}\) erfolgt. 2. Potenz berechnen: \((-1{,}5)^2 = 2{,}25\). 3. Wert der eckigen Klammer berechnen: \(2{,}25 - 0{,}25 = 2\). 4. Produkt berechnen: \(2 \cdot (-\frac{2}{3}) = -\frac{4}{3}\). 5. Addition ausführen: \(-\frac{4}{3} + \frac{4}{3} = 0\).

\(0\)

- Beachte die Priorität von Potenzen gegenüber Punktrechnungen. - Wie gehst du mit den Vorzeichen bei der Division zweier negativer Zahlen um? - Vergiss nicht, am Ende den Wert in der Klammer von \(\frac{7}{8}\) abzuziehen.

1. Struktur bestimmen: Der Term ist eine Differenz, da die Subtraktion des Klammerwerts von \(\frac{7}{8}\) der letzte Schritt ist. 2. Potenz berechnen: \((-2)^2 = 4\). 3. Division in der Klammer berechnen: \(-1{,}2 : (-0{,}4) = 3\). 4. Multiplikation in der Klammer berechnen: \(4 \cdot 0{,}5 = 2\). 5. Summe in der Klammer berechnen: \(3 + 2 = 5\). 6. Endergebnis berechnen: \(\frac{7}{8} - 5 = 0{,}875 - 5 = -4{,}125\) (oder \(-4\frac{1}{8}\)).

\(-4{,}125\) oder \(-4\frac{1}{8}\)

- Schreibe die Anweisungen nacheinander als einen mathematischen Ausdruck auf. - Denke an die Vorrangregeln und setze Klammern, wo sie nötig sind. - Wie kannst du eine Klammer auflösen, wenn davor oder dahinter ein Malzeichen steht? - Schau dir den vereinfachten Term an: In welchem Verhältnis steht er zur gedachten Zahl?

1. Aufstellen des Terms: \((x \cdot 4 + 1{,}2) \cdot 2{,}5 - 3\). 2. Anwendung des Distributivgesetzes: \(4x \cdot 2{,}5 + 1{,}2 \cdot 2{,}5 - 3\). 3. Ausrechnen der Produkte: \(10x + 3 - 3\). 4. Zusammenfassen: Der Term vereinfacht sich zu \(10x\). 5. Erklärung: Da das Endergebnis immer genau das Zehnfache der gedachten Zahl ist, muss der Zauberer das Ergebnis nur durch \(10\) teilen (oder das Komma um eine Stelle nach links verschieben), um \(x\) zu erhalten.

Der vereinfachte Term lautet \(10x\). Der Zauberer dividiert das Ergebnis einfach durch \(10\), um die ursprüngliche Zahl zu finden.

- Probiere verschiedene Positionen für die Klammern aus: um die ersten beiden Zahlen, die letzten beiden oder die mittlere Gruppe. - Berechne für jede Position den Wert unter Beachtung der Klammerregel. - Welche Operation muss zuerst ausgeführt werden, damit das Ergebnis größer oder kleiner wird als der Standardwert?

1. Für Zielwert \(30{,}5\): Wir versuchen, die Subtraktion vor der Multiplikation auszuführen. \((15 - 3) \cdot 2{,}5 + 0{,}5 = 12 \cdot 2{,}5 + 0{,}5 = 30 + 0{,}5 = 30{,}5\). Die Klammern müssen um \(15 - 3\) gesetzt werden. 2. Für Zielwert \(6\): Wir versuchen, die Addition am Ende zuerst auszuführen, um einen größeren Wert abzuziehen. \(15 - 3 \cdot (2{,}5 + 0{,}5) = 15 - 3 \cdot 3{,}0 = 15 - 9 = 6\). Die Klammern müssen um \(2{,}5 + 0{,}5\) gesetzt werden.

a) \((15 - 3) \cdot 2{,}5 + 0{,}5 = 30{,}5\) b) \(15 - 3 \cdot (2{,}5 + 0{,}5) = 6\)

- Überlege dir bei jeder Geschichte, ob Geld dazu kommt oder weggeht. - Achte darauf, ob eine Rechnung für eine Person oder für mehrere Personen gilt. - Beachte die Vorrangregeln (Klammern zuerst, dann Punkt-vor-Strich-Rechnung).

1. Zuordnung Geschichte A: Da Leo Geld ausgibt (3 Hefte und einen Füller), müssen diese Beträge vom Startwert subtrahiert werden. Der passende Term ist (2) \(20 - 3 \cdot 1{,}50 - 2{,}40\). Berechnung: \(20 - 4{,}50 - 2{,}40 = 13{,}10\). 2. Zuordnung Geschichte B: Leo gibt Geld für Hefte aus (Subtraktion), erhält aber danach Geld zurück (Addition). Der passende Term ist (3) \(20 - 3 \cdot 1{,}50 + 2{,}40\). Berechnung: \(20 - 4{,}50 + 2{,}40 = 17{,}90\). 3. Zuordnung Geschichte C: Da es drei Freunde sind, die jeweils den gleichen Restbetrag haben, wird der Restbetrag einer Person mit 3 multipliziert. Der passende Term ist (1) \(3 \cdot (20 - 1{,}50 - 2{,}40)\). Berechnung: \(3 \cdot 16{,}10 = 48{,}30\).

A gehört zu (2), Ergebnis: \(13{,}10\,\text{€}\). B gehört zu (3), Ergebnis: \(17{,}90\,\text{€}\). C gehört zu (1), Ergebnis: \(48{,}30\,\text{€}\).

- Klammern werden immer zuerst berechnet. - Wie dividiert man durch einen Bruch? Denke an den Kehrwert. - Wandle Brüche und Dezimalzahlen in die Form um, mit der du am besten rechnen kannst.

1. Teilaufgabe a): Berechnung des Klammerausdrucks durch Finden des Hauptnenners: \(\frac{5}{9} + \frac{3}{9} = \frac{8}{9}\). Division durch Multiplikation mit dem Kehrwert: \(\frac{8}{9} \cdot \frac{3}{4} = \frac{24}{36} = \frac{2}{3}\). 2. Teilaufgabe b): Berechnung des Klammerinhalts: \(0{,}5 - 0{,}2 = 0{,}3\). Durchführung der Division: \(0{,}6 : 0{,}3 = 2\).

a) \(\frac{2}{3}\) b) \(2\)

- Was bedeuten die Klammern für die Reihenfolge deiner Rechenschritte? - Erinnerst du dich an die Regel für die Division von zwei Brüchen? - Gibt es beim Multiplizieren der Brüche eine Möglichkeit, über Kreuz zu kürzen?

1. Berechnung der ersten Klammer: Mit dem Hauptnenner \(8\) ergibt sich \(\frac{7}{8} - \frac{2}{8} = \frac{5}{8}\). 2. Berechnung der zweiten Klammer: Mit dem Hauptnenner \(6\) ergibt sich \(\frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}\). 3. Division der beiden Ergebnisse: Die Division wird durch die Multiplikation mit dem Kehrwert ersetzt: \(\frac{5}{8} : \frac{5}{6} = \frac{5}{8} \cdot \frac{6}{5}\). 4. Multiplizieren und Kürzen: \(\frac{5 \cdot 6}{8 \cdot 5} = \frac{30}{40} = \frac{3}{4}\).

\(\frac{3}{4}\)

- Denke an die Regel „Klammer zuerst“. - Beachte innerhalb von Klammern die Regel „Punkt vor Strich“. - Schreibe dir die Zwischenergebnisse der Klammern einzeln auf.

1. Berechnung der Klammer: \(-15 + (-25) = -40\). Multiplikation: \(-40 \cdot (-4) = 160\). 2. Berechnung der Klammer: \(-12 - 8 = -20\). Division: \(200 : (-20) = -10\). 3. Punktrechnung in der Klammer: \(4 \cdot (-5) = -20\). Strichrechnung in der Klammer: \(-20 + 7 = -13\). Gesamter Term: \(-13 - (-13) = -13 + 13 = 0\).

a) 160 b) -10 c) 0

- Berechne jede Seite der Gleichung einzeln. - Denk an die Regel „Klammer zuerst“. - Was passiert mit den Vorzeichen innerhalb einer Klammer, wenn ein Minus davor steht?

1. Prüfung von a): Linke Seite: \(-12{,}5 + 7{,}5 = -5\). Rechte Seite: \(-(12{,}5 - 7{,}5) = -(5) = -5\). Die Aussage ist wahr. 2. Prüfung von b): Linke Seite: \(\frac{4}{8} - (\frac{2}{8} + \frac{1}{8}) = \frac{4}{8} - \frac{3}{8} = \frac{1}{8}\). Rechte Seite: \(\frac{4}{8} - \frac{2}{8} + \frac{1}{8} = \frac{2}{8} + \frac{1}{8} = \frac{3}{8}\). Da \(\frac{1}{8} \neq \frac{3}{8}\), ist die Aussage falsch.

a) Wahr, da beide Seiten \(-5\) ergeben. b) Falsch, da die linke Seite \(\frac{1}{8}\) und die rechte Seite \(\frac{3}{8}\) ergibt.

- Ist es hier einfacher, mit Dezimalzahlen oder mit Brüchen zu rechnen? - Wandle am besten alles in die Form um, mit der du sicherer rechnen kannst. - Achte beim Multiplizieren auf das Vorzeichen des Ergebnisses.

1. Umwandlung aller Zahlen in ein einheitliches Format (entweder Brüche oder Dezimalzahlen): \(1\frac{1}{5} = 1{,}2\) und \(\frac{7}{10} = 0{,}7\) 2. Berechnung des Inhalts der Klammer: \(0{,}2 - 0{,}7 = -0{,}5\) 3. Multiplikation des Ergebnisses mit dem Faktor vor der Klammer: \(1{,}2 \cdot (-0{,}5) = -0{,}6\) Alternativ als Bruch: \(\frac{6}{5} \cdot (-\frac{1}{2}) = -\frac{6}{10} = -\frac{3}{5}\)

\(-0{,}6\) oder \(-\frac{3}{5}\)

- Überlege dir, wie eine Klammer die Reihenfolge der Subtraktionen und Additionen verändert. - Wandle die Brüche in Dezimalzahlen um, um die Rechenschritte besser abschätzen zu können. - Probiere verschiedene Positionen für die Klammern aus und berechne das Ergebnis.

1. Umwandlung der Brüche: \(4 \frac{1}{2} = 4{,}5\) und \(2 \frac{1}{5} = 2{,}2\). Der Term ohne Klammern lautet \(12{,}8 - 4{,}5 - 1{,}3 + 2{,}2\). 2. Teilaufgabe a): Wir testen die Platzierung der Klammer am Ende: \(12{,}8 - 4{,}5 - (1{,}3 + 2{,}2) = 8{,}3 - 3{,}5 = 4{,}8\). Dies entspricht dem gesuchten Wert. 3. Teilaufgabe b): Wir testen eine größere Klammer nach dem ersten Minuszeichen: \(12{,}8 - (4{,}5 - 1{,}3 + 2{,}2) = 12{,}8 - (3{,}2 + 2{,}2) = 12{,}8 - 5{,}4 = 7{,}4\). Dies entspricht dem gesuchten Wert.

a) \(12{,}8 - 4 \frac{1}{2} - (1{,}3 + 2 \frac{1}{5}) = 4{,}8\) b) \(12{,}8 - (4 \frac{1}{2} - 1{,}3 + 2 \frac{1}{5}) = 7{,}4\)

- Berechne zuerst den Wert innerhalb der eckigen Klammer. - Du kannst Brüche in Dezimalzahlen umwandeln oder umgekehrt – entscheide dich für den Weg, der dir leichter fällt. - Was passiert, wenn du zu einer Zahl ihre Gegenzahl addierst?

1. Berechnung des ersten Produkts: \(\frac{3}{8} \cdot (-1{,}6) = 0{,}375 \cdot (-1{,}6) = -0{,}6\) 2. Berechnung der Division innerhalb der eckigen Klammer: \(\frac{1}{5} : (-0{,}4) = 0{,}2 : (-0{,}4) = -0{,}5\) 3. Addition innerhalb der eckigen Klammer: \(-0{,}5 + 0{,}5 = 0\) 4. Zusammenführung der Termteile: \(-0{,}6 - 0 = -0{,}6\)

\(-0{,}6\) (oder \(-\frac{3}{5}\))

- Welche Rechenoperationen musst du zuerst ausführen, wenn keine Klammern da sind? - Wenn nur Punktrechnungen (Multiplikation und Division) hintereinander stehen, in welcher Richtung rechnest du dann? - Vergleiche die Ergebnisse: Welches ist weiter von der Null entfernt?

1. Berechnung von Term A: Hier gilt die Punkt-vor-Strich-Regel. Zuerst die Division: \(-2{,}4 : 0{,}6 = -4\). Dann die Multiplikation: \(0{,}2 \cdot 5 = 1\). Subtraktion der Ergebnisse: \(-4 - 1 = -5\). 2. Berechnung von Term B: Zuerst wird die Klammer berechnet: \((0{,}6 - 0{,}2) = 0{,}4\). Der Term lautet nun \(-2{,}4 : 0{,}4 \cdot 5\). Da Division und Multiplikation gleichrangig sind, wird von links nach rechts gerechnet: \(-2{,}4 : 0{,}4 = -6\). Dann \(-6 \cdot 5 = -30\). 3. Vergleich: Term A hat den Wert \(-5\), Term B hat den Wert \(-30\). Die Klammer verändert die Rechenreihenfolge und führt zu einem deutlich kleineren Ergebnis.

Term A = \(-5\); Term B = \(-30\). Term B ist wesentlich kleiner als Term A.

- Welche Regel bestimmt die Reihenfolge, wenn keine Klammern gesetzt sind? - Wie verändert eine Klammer den Ablauf der Rechnung? - Berechne zuerst Schritt für Schritt die Zwischenergebnisse.

1. Berechnung von Term \(A\): Zuerst wird die Klammer berechnet (\(1{,}2 + 0{,}9 = 2{,}1\)). Dann folgt die Division (\(8{,}4 : 2{,}1 = 4\)). 2. Berechnung von Term \(B\): Hier gilt die Punkt-vor-Strich-Regel. Zuerst wird dividiert (\(8{,}4 : 1{,}2 = 7\)), dann wird addiert (\(7 + 0{,}9 = 7{,}9\)). 3. Vergleich: Die Ergebnisse unterscheiden sich, weil die Klammer in Term \(A\) die Rechenreihenfolge ändert und bewirkt, dass die Summe der Divisor ist, während in Term \(B\) nur durch \(1{,}2\) geteilt wird.

\(A = 4\); \(B = 7{,}9\). Die Ergebnisse sind unterschiedlich, da die Klammer in \(A\) vorschreibt, zuerst die Addition durchzuführen, während in \(B\) die Division Vorrang hat.

- Überlege, welche Rechenregel (z. B. Punkt vor Strich) in welchem Term wichtig ist. - Wie verändert die Klammer die Reihenfolge der Rechenschritte? - Wandle den Bruch zuerst in eine Dezimalzahl um.

1. Term \(A\) berechnen: Klammer zuerst \(2{,}4 - 0{,}4 = 2\), dann \(2 : 0{,}5 = 4\). 2. Term \(B\) berechnen: Nach der Punkt-vor-Strich-Regel zuerst \(0{,}4 : 0{,}5 = 0{,}8\), dann \(2{,}4 - 0{,}8 = 1{,}6\). 3. Vergleich: Da \(4 > 1{,}6\), ist der Wert von Term \(A\) größer.

\(A = 4\); \(B = 1{,}6\). Der Wert von Term \(A\) ist größer.

- Beachte die Vorrangregeln: Klammern zuerst, dann Potenzen, dann Punkt- vor Strichrechnung. - Überlege genau, wie das Minuszeichen bei \(-3^2\) behandelt wird. - Schreibe dir die Zwischenergebnisse für jeden Term einzeln auf.

1. Berechnung von A: Der Klammerausdruck ergibt \(0{,}6 : (-0{,}2) = -3\). Damit folgt \(0{,}5 - (-3) = 0{,}5 + 3 = 3{,}5\). 2. Berechnung von B: In der Klammer gilt \(0{,}25 - 0{,}75 = -0{,}5\). Die Multiplikation ergibt \(2{,}5 \cdot (-0{,}5) = -1{,}25\). 3. Berechnung von C: Im Zähler bindet das Quadrat stärker als das Vorzeichen, also \(-3^2 = -9\). Der Zähler ist \(-9 + 5 = -4\). Der Bruchwert ist \(\frac{-4}{4} = -1\). 4. Sortierung der Ergebnisse: \(-1{,}25 < -1 < 3{,}5\). Dies entspricht der Reihenfolge B, C, A.

Die richtige Reihenfolge ist B, C, A. Die Werte sind \(-1{,}25 < -1 < 3{,}5\).

- Berechne zuerst den Wert für die ursprünglichen Zahlen und notiere dir das Ergebnis. - Führe dann die gleichen Schritte mit den halbierten Zahlen durch. - Vergleiche am Ende, ob das zweite Ergebnis genau die Hälfte des ersten Ergebnisses ist.

1. Aufstellen des Terms für Teilaufgabe a): \((24 \cdot 8) - (24 : 8)\) 2. Berechnung des Produkts: \(24 \cdot 8 = 192\) 3. Berechnung des Quotienten: \(24 : 8 = 3\) 4. Berechnung der Differenz: \(192 - 3 = 189\) 5. Bestimmung der neuen Zahlen für b): Die Hälften von \(24\) und \(8\) sind \(12\) und \(4\). 6. Berechnung der neuen Differenz: \((12 \cdot 4) - (12 : 4) = 48 - 3 = 45\) 7. Vergleich mit der ursprünglichen Differenz: Die Hälfte von \(189\) ist \(94{,}5\). Da \(45 \neq 94{,}5\), ist die Aussage falsch.

a) \((24 \cdot 8) - (24 : 8) = 189\) b) Die Aussage ist falsch. Mit den halbierten Zahlen (\(12\) und \(4\)) ergibt sich eine Differenz von \(45\), was nicht die Hälfte von \(189\) (\(94{,}5\)) ist.

- Lies genau, welche Zahl von welcher subtrahiert werden soll. - Erinnere dich: Klammern werden zuerst berechnet; anschließend gilt Punkt- vor Strichrechnung. - Wandle Brüche wie \(\frac{5}{8}\) in Dezimalzahlen um, falls dir das Rechnen damit leichter fällt.

1. Schritt a): Gegenzahl von \(-\frac{3}{4}\) ist \(\frac{3}{4} = 0{,}75\). Betrag von \(-1{,}25\) ist \(1{,}25\). Addition: \(0{,}75 + 1{,}25 = 2\). 2. Schritt b): Gegenzahl von \(\frac{1}{5}\) ist \(-\frac{1}{5} = -0{,}2\). Subtraktion: \(-0{,}2 - 0{,}6 = -0{,}8\). 3. Schritt c): Summe bilden: \(-\frac{5}{8} + 0{,}125 = -0{,}625 + 0{,}125 = -0{,}5\). Multiplikation: \(-0{,}5 \cdot 4 = -2\).

a) \(0{,}75 + 1{,}25 = 2\) b) \(-0{,}2 - 0{,}6 = -0{,}8\) c) \((-0{,}625 + 0{,}125) \cdot 4 = -2\)

- Was passiert, wenn man eine Zahl und ihre Gegenzahl addiert? - Stelle dir die Aufgaben auf einem Zahlenstrahl vor. In welche Richtung bewegst du dich? - Wandle die Subtraktion einer negativen Zahl zuerst in eine Addition um. - Vergleiche die Stellenwerte bei den Dezimalzahlen (Hundertstel gegen Zehntel).

1. Bei a) werden eine Zahl und ihre Gegenzahl addiert, was exakt Null ergibt: \(-4{,}5 + 4{,}5 = 0\). 2. Bei b) wird der Term zu \(-123 + 122\). Da der Betrag der negativen Zahl (\(123\)) größer ist als der der positiven Zahl (\(122\)), ist das Ergebnis negativ: \(-123 - (-122) < 0\). 3. Bei c) werden zwei negative Brüche addiert, wodurch die Summe weiter links auf dem Zahlenstrahl liegt und somit negativ ist: \(-\frac{2}{3} + (-\frac{1}{3}) < 0\). 4. Bei d) wird eine größere positive Zahl (\(0{,}10\)) von einer kleineren positiven Zahl (\(0{,}01\)) subtrahiert, was ein negatives Ergebnis zur Folge hat: \(0{,}01 - 0{,}1 < 0\).

a) \(=\) b) \(<\) c) \(<\) d) \(<\)

- Denk an Brüche, die zwischen 0 und 1 liegen. - Welche Vorzeichenregel gilt bei der Multiplikation von zwei negativen Zahlen? - Gibt es eine spezielle Zahl, durch die man niemals teilen darf? - Was ist eigentlich die Definition eines Kehrwerts?

1. Zu Teil a): Wähle die Zahl \(0{,}5\) (oder \(\frac{1}{2}\)). Der Kehrwert ist \(2\). Da \(2 > 0{,}5\), ist der Kehrwert größer als die ursprüngliche Zahl. 2. Zu Teil b): Wähle die Zahl \(-4\). Ihr Kehrwert ist \(-\frac{1}{4}\). Multiplikation: \((-4) \cdot (-\frac{1}{4}) = 1\). Das Ergebnis \(1\) ist positiv, nicht negativ. Das Produkt einer Zahl mit ihrem Kehrwert ist immer \(1\). 3. Zu Teil c): Betrachte die Zahl \(0\). Da die Division durch \(0\) mathematisch nicht definiert ist, existiert kein Kehrwert für die Null.

a) Gegenbeispiel: Der Kehrwert von \(0{,}5\) ist \(2\). Es gilt \(2 > 0{,}5\). b) Gegenbeispiel: \(-2 \cdot (-\frac{1}{2}) = 1\). Das Ergebnis ist positiv. c) Gegenbeispiel: Die Zahl \(0\) hat keinen Kehrwert, da man nicht durch \(0\) teilen kann.

- Überlege dir, wie viele negative Faktoren nötig sind, damit ein Produkt positiv wird. - Wie viele Faktoren bleiben übrig, wenn du die Anzahl der positiven Faktoren von der Gesamtzahl abziehst? - Was passiert mit der Anzahl der negativen Faktoren, wenn du ein Vorzeichen änderst? Wird sie um eins größer oder kleiner?

1. Zu a): Wenn alle 12 Faktoren negativ sind, ist die Anzahl der negativen Faktoren 12. Da 12 eine gerade Zahl ist, ist das Produkt positiv. Die Aussage ist also möglich. 2. Zu b): Wenn 3 Faktoren positiv sind, müssen bei insgesamt 12 Faktoren genau \(12 - 3 = 9\) Faktoren negativ sein. Da 9 eine ungerade Zahl ist, ist das Produkt in diesem Fall negativ. 3. Zu c): Wenn man das Vorzeichen eines Faktors ändert, ändert sich die Anzahl der negativen Faktoren entweder von \(n\) auf \(n+1\) (wenn ein positiver Faktor negativ wird) oder von \(n\) auf \(n-1\) (wenn ein negativer Faktor positiv wird). In beiden Fällen ändert sich die Parität der Anzahl der negativen Faktoren (von gerade zu ungerade oder umgekehrt). Damit ändert sich das Vorzeichen des Produkts immer. Jonas hat recht.

a) Ja, das ist möglich, da 12 eine gerade Zahl ist und ein Produkt mit einer geraden Anzahl negativer Faktoren positiv ist. b) Das Ergebnis ist negativ, da bei 3 positiven Faktoren 9 Faktoren negativ sein müssen und 9 eine ungerade Zahl ist. c) Ja, Jonas hat recht. Durch das Ändern eines Vorzeichens ändert sich die Anzahl der negativen Faktoren um 1. Dadurch wechselt die Anzahl von gerade zu ungerade (oder umgekehrt), was das Vorzeichen des Produkts stets umkehrt.

- Überlege dir zuerst, wie du aus den Beträgen der Zahlen (4, 2, 6, 8) die Zielzahl kombinieren kannst. - Achte besonders darauf: Das Subtrahieren einer negativen Zahl entspricht dem Addieren ihrer Gegenzahl. - Probiere aus, ob es hilft, die positiven und negativen Zahlen getrennt zu betrachten.

1. Zielwert \(0\): Mögliche Kombination ist \(8 - 6 - (-2) + (-4)\). Berechnung: \(8 - 6 = 2\); \(2 + 2 = 4\); \(4 - 4 = 0\). 2. Zielwert \(12\): Mögliche Kombination ist \(8 + 6 - (-2) + (-4)\). Berechnung: \(8 + 6 = 14\); \(14 + 2 = 16\); \(16 - 4 = 12\).

Eine Lösung für \(0\) ist: \(8 - 6 - (-2) + (-4) = 0\). Eine Lösung für \(12\) ist: \(8 + 6 - (-2) + (-4) = 12\).

- Was musst du zuerst berechnen, wenn eine Klammer im Term steht? - Wie dividiert man durch einen Bruch? - Denke an die Regel „Punkt vor Strich“. - Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn man zwei negative Zahlen miteinander multipliziert?

1. Teilaufgabe a): Berechnung des Klammerausdrucks ergibt \(\frac{2}{5} - \frac{5}{5} = -\frac{3}{5}\). Umwandlung der gemischten Zahl ergibt \(-\frac{5}{2}\). Multiplikation der beiden negativen Brüche führt zu \(\left(-\frac{3}{5}\right) \cdot \left(-\frac{5}{2}\right) = \frac{3}{2}\) bzw. \(1{,}5\). 2. Teilaufgabe b): Division des ersten Terms durch Multiplikation mit dem Kehrwert ergibt \(\frac{3}{8} \cdot (-4) = -\frac{12}{8} = -1{,}5\). Berechnung des Produkts im zweiten Teil ergibt \(0{,}5 \cdot 3 = 1{,}5\). Subtraktion der Ergebnisse führt zu \(-1{,}5 - 1{,}5 = -3\).

a) \(1{,}5\) oder \(1\frac{1}{2}\) b) \(-3\)

- Berechne zuerst jeden Teil einzeln. - Denk daran, dass „Subtrahiere x von y“ bedeutet, dass du \(y - x\) rechnest. - Es kann hilfreich sein, Brüche in Dezimalzahlen umzuwandeln, um sie leichter vergleichen zu können.

1. Berechnung von Wert A: \(-\frac{3}{4} \cdot \frac{8}{5} = -\frac{24}{20}\). Kürzen durch 4 ergibt \(-\frac{6}{5}\) bzw. \(-1{,}2\). 2. Berechnung von Wert B: Zuerst den Quotienten bilden: \(-\frac{7}{10} : 1 = -0{,}7\). 3. Davon \(\frac{1}{2}\) subtrahieren: \(-0{,}7 - 0{,}5 = -1{,}2\). 4. Vergleich: Da beide Ergebnisse \(-1{,}2\) lauten, sind die Werte gleich groß.

Beide Werte sind gleich groß (\(-1{,}2\)).

- Erinnere dich an die Regel „Klammer vor Punkt vor Strich“. - Wie dividiert man durch einen Bruch? - Achte besonders auf das Vorzeichen beim letzten Rechenschritt.

1. Berechnung der Klammer: \( \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6} \) 2. Multiplikation des Zwischenergebnisses: \( \frac{5}{6} \cdot \frac{6}{5} = 1 \) 3. Division durch den negativen Bruch (Multiplikation mit dem Kehrwert): \( \frac{3}{4} \cdot ( - 2 ) = - \frac{6}{4} = - 1{,}5 \) 4. Subtraktion der Teilergebnisse: \( 1 - ( - 1{,}5 ) = 1 + 1{,}5 = 2{,}5 \)

\( 2{,}5 \) oder \( \frac{5}{2} \)

- Wie multipliziert man Brüche miteinander? - Wie dividiert man durch einen Bruch? - Denke daran, die Brüche vor der Addition auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen.

1. Multiplikation der ersten beiden Brüche: \((-\frac{5}{6}) \cdot \frac{3}{10} = -\frac{15}{60} = -\frac{1}{4}\) 2. Division im zweiten Teilterm durch Multiplikation mit dem Kehrwert: \(\frac{2}{5} \cdot (-\frac{5}{4}) = -\frac{10}{20} = -\frac{1}{2}\) 3. Addition der beiden Zwischenergebnisse: \(-\frac{1}{4} + (-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{4} - \frac{2}{4} = -\frac{3}{4}\)

Das Ergebnis ist \(-\frac{3}{4}\) (oder \(-0{,}75\)).

- Wandle die Dezimalzahl und die gemischte Zahl zuerst in Brüche um. - Denke an die Regel „Klammer zuerst“. - Wie dividiert man zwei Brüche miteinander? - Achte auf das Vorzeichen beim Rechnen mit negativen Zahlen.

1. Berechnung der ersten Klammer durch Umwandlung in Brüche und Erweitern auf den Hauptnenner 6: \( \frac{4}{3} - \frac{1}{2} = \frac{8}{6} - \frac{3}{6} = \frac{5}{6} \) 2. Berechnung der zweiten Klammer: \( \frac{1}{6} - \frac{6}{6} = -\frac{5}{6} \) 3. Division der beiden Klammerergebnisse: \( \frac{5}{6} : \left( -\frac{5}{6} \right) = -1 \) 4. Multiplikation des Zwischenergebnisses mit dem letzten Faktor: \( -1 \cdot \frac{3}{5} = -\frac{3}{5} \)

Der Wert des Terms ist \( -\frac{3}{5} \) (oder \( -0{,}6 \)).

- Was ist der Unterschied zwischen \(-x^2\) und \((-x)^2\)? - Arbeite dich bei Ausdrücken mit Klammern und Potenzen von innen nach außen vor. - Achte bei der Multiplikation und Division auf die Vorzeichenregeln.

1. Teilaufgabe a): Potenzen berechnen. Beachte \(-2^4 = -16\) (Minuszeichen steht vor der Potenz) und \((-3)^2 = 9\). Multiplikation: \(9 \cdot \frac{1}{9} = 1\). Addition: \(-16 + 1 = -15\). 2. Teilaufgabe b): Klammerinhalt berechnen. \(\frac{1}{2} - \frac{2}{3} = \frac{3-4}{6} = -\frac{1}{6}\). Potenzieren: \((-\frac{1}{6})^2 = \frac{1}{36}\). Subtraktion: \(\frac{5}{6} - \frac{1}{36} = \frac{30}{36} - \frac{1}{36} = \frac{29}{36}\). 3. Teilaufgabe c): Klammerinhalt berechnen. \(10 - 100 = -90\). Multiplikation: \(-0{,}1 \cdot (-90) = 9\).

a) \(-15\) b) \(\frac{29}{36}\) c) \(9\)

- Wandle alle Zahlen in die gleiche Darstellung (Brüche) um, um besser rechnen zu können. - Welche Rechenoperation musst du zuerst ausführen? Denke an „Klammer vor Punkt vor Strich“. - Wie dividiert man durch einen Bruch?

1. Umwandlung der Dezimalzahl: \(0{,}5 = \frac{1}{2}\). 2. Berechnung des Klammerinhalts: \(\frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{2}{6} + \frac{3}{6} = \frac{5}{6}\). 3. Division nach der Punkt-vor-Strich-Regel durchführen: \(\frac{5}{6} : \left( -\frac{1}{2} \right) = \frac{5}{6} \cdot (-2) = -\frac{10}{6} = -\frac{5}{3}\). 4. Subtraktion durchführen: \(\frac{5}{6} - \left( -\frac{5}{3} \right) = \frac{5}{6} + \frac{5}{3} = \frac{5}{6} + \frac{10}{6} = \frac{15}{6}\). 5. Kürzen des Ergebnisses: \(\frac{15}{6} = \frac{5}{2} = 2{,}5\).

\(2{,}5\) (oder \(\frac{5}{2}\))

- Berechne zuerst den Wert jedes Terms einzeln. - Vergleiche die Ergebnisse auf der Zahlengeraden. Welcher Punkt hat die kleinste Entfernung zum Nullpunkt? - Überlege dir, wie du den Abstand einer Zahl zu Null (den Betrag) bestimmen kannst.

1. Berechnung von Term \(A\): Zuerst Multiplikation \(-3 \cdot 4 = -12\). Dann Addition \(-12 + 10 = -2\). Der Abstand zu \(0\) beträgt \(2\). 2. Berechnung von Term \(B\): Zuerst Division \(15 : (-3) = -5\). Dann Addition \(-5 + 4 = -1\). Der Abstand zu \(0\) beträgt \(1\). 3. Berechnung von Term \(C\): Zuerst Multiplikation \(0{,}5 \cdot (-6) = -3\). Dann Addition \(-3 + 2{,}8 = -0{,}2\). Der Abstand zu \(0\) beträgt \(0{,}2\). 4. Vergleich der Ergebnisse: Der Wert \(-0{,}2\) liegt am nächsten bei \(0\).

Term \(C\) liegt mit dem Wert \(-0{,}2\) am nächsten bei \(0\).

- Was bedeutet der Begriff „Gegenzahl“ im Vergleich zum „Betrag“? - Denke an die Vorzeichenregeln bei der Multiplikation und beim Quadrieren. - „Subtrahiere A von B“ bedeutet mathematisch \(B - A\). - Vergiss nicht, Brüche korrekt zu quadrieren, indem du Zähler und Nenner quadrierst.

1. Lösung für a): Die Gegenzahl von \(15\) ist \(-15\). Die Differenz von \(-3\) und \(7\) ist \(-3 - 7 = -10\). Der Term lautet \(-15 \cdot (-3 - 7)\). Ergebnis: \(-15 \cdot (-10) = 150\). 2. Lösung für b): Das Quadrat von \(-\frac{1}{2}\) ist \((-\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}\). Der Betrag von \(-16\) ist \(16\). Der Term lautet \((-\frac{1}{2})^2 \cdot |-16|\). Ergebnis: \(\frac{1}{4} \cdot 16 = 4\). 3. Lösung für c): Das Produkt von \(-5\) und \(-9\) ist \(45\). Die Summe von \(-12\) und \(18\) ist \(6\). Der Term lautet \((-5 \cdot (-9)) - (-12 + 18)\). Ergebnis: \(45 - 6 = 39\).

a) Term: \(-15 \cdot (-3 - 7)\), Wert: \(150\) b) Term: \((-\frac{1}{2})^2 \cdot |-16|\), Wert: \(4\) c) Term: \((-5 \cdot (-9)) - (-12 + 18)\), Wert: \(39\)

- Überlege dir für b) und c), welche Teilergebnisse entstehen könnten, wenn du verschiedene Zahlen einklammerst. - Probiere systematisch aus: Was passiert, wenn die Klammer um die ersten beiden Zahlen steht? Was, wenn sie um die letzten beiden steht? - Denk daran, dass die Klammer Addition oder Subtraktion vor Multiplikation oder Division ziehen kann.

1. Teilaufgabe a nach der Punkt-vor-Strich-Regel: \(12 + 8 - 2 = 18\). 2. Teilaufgabe b: Um \(8\) zu erhalten, muss die Summe zuerst berechnet werden: \((12 + 48) : 6 - 2 = 60 : 6 - 2 = 10 - 2 = 8\). 3. Teilaufgabe c: Um \(24\) zu erhalten, muss die Differenz am Ende zuerst berechnet werden: \(12 + 48 : (6 - 2) = 12 + 48 : 4 = 12 + 12 = 24\).

a) \(18\) b) \((12 + 48) : 6 - 2\) c) \(12 + 48 : (6 - 2)\)

- Was bedeutet „subtrahiere von“ für die Reihenfolge der Zahlen im Term? - Erinnere dich daran, wie man Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringt. - Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn man eine negative Zahl subtrahiert?

1. Berechnung der Summe: \(-\frac{1}{2} + \frac{1}{6} = -\frac{3}{6} + \frac{1}{6} = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3}\) 2. Berechnung des Produkts: \(\frac{2}{3} \cdot \left(-\frac{3}{4}\right) = -\frac{6}{12} = -\frac{1}{2}\) 3. Durchführung der Subtraktion (Summe minus Produkt): \(-\frac{1}{3} - \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{3} + \frac{1}{2}\) 4. Bestimmung des Hauptnenners (6) und Berechnung des Endergebnisses: \(-\frac{2}{6} + \frac{3}{6} = \frac{1}{6}\)

\(\frac{1}{6}\)

- Was bedeutet der Begriff „Gegenzahl“ für das Vorzeichen einer Zahl? - „Vermindern um“ bedeutet, dass du eine Subtraktion durchführen musst. - Denke an die Vorzeichenregeln, wenn du eine negative Zahl subtrahierst. - Bei „Differenz der Zahlen A und B“ rechnest du immer \(A - B\).

1. Term für a): \(-18{,}5 - (12{,}4 - 15{,}9)\). Differenz berechnen: \(12{,}4 - 15{,}9 = -3{,}5\). Term vereinfachen: \(-18{,}5 - (-3{,}5) = -18{,}5 + 3{,}5 = -15\). 2. Term für b): \((-14{,}6 + 21{,}3) + (-7{,}2)\). Summe berechnen: \(-14{,}6 + 21{,}3 = 6{,}7\). Addition der Gegenzahl: \(6{,}7 - 7{,}2 = -0{,}5\). 3. Term für c): \((-10 - (-25)) - 3 \cdot 4{,}5\). Differenz berechnen: \(-10 + 25 = 15\). Produkt berechnen: \(3 \cdot 4{,}5 = 13{,}5\). Subtraktion: \(15 - 13{,}5 = 1{,}5\).

a) Term: \(-18{,}5 - (12{,}4 - 15{,}9)\); Ergebnis: \(-15\) b) Term: \((-14{,}6 + 21{,}3) + (-7{,}2)\); Ergebnis: \(-0{,}5\) c) Term: \((-10 - (-25)) - 3 \cdot 4{,}5\); Ergebnis: \(1{,}5\)

- Berechne jeden Term einzeln, bevor du mit dem Vergleichen beginnst. - Achte besonders auf die Vorzeichenregeln, wenn ein Minuszeichen vor einer Klammer steht. - Es hilft, alle Ergebnisse in die gleiche Darstellung (z. B. Dezimalzahlen) zu bringen, um sie leichter vergleichen zu können.

1. Berechnung von a): \(-12{,}5 + 7{,}8 = -4{,}7\). 2. Berechnung von b): \(-\frac{3}{5} - \frac{1}{2} = -\frac{6}{10} - \frac{5}{10} = -\frac{11}{10} = -1{,}1\). 3. Berechnung von c): \(4\frac{1}{3} - 2\frac{5}{6} = \frac{13}{3} - \frac{17}{6} = \frac{26}{6} - \frac{17}{6} = \frac{9}{6} = 1\frac{1}{2} = 1{,}5\). 4. Berechnung von d): \(-0{,}75 + 1{,}2 = 0{,}45\). 5. Vergleich der Ergebnisse: \(-4{,}7 < -1{,}1 < 0{,}45 < 1{,}5\). Die Reihenfolge ist a, b, d, c.

a) \(-4{,}7\) b) \(-1{,}1\) c) \(1{,}5\) d) \(0{,}45\) Reihenfolge: \(a < b < d < c\)

- Wandle alle Zahlen am besten zuerst in die gleiche Form um (entweder Brüche oder Dezimalzahlen). - Überlege dir, was der Kehrwert einer Zahl bedeutet und wie man ihn bei einem Bruch findet. - Achte beim Addieren von negativen Zahlen besonders auf die Vorzeichen.

1. Berechnung der Summe der beiden rationalen Zahlen: \(-4\frac{1}{2} + (-1{,}75) = -4{,}5 - 1{,}75 = -6{,}25\). 2. Bestimmung des Kehrwerts der Dezimalzahl: \(0{,}8 = \frac{4}{5}\), woraus der Kehrwert \(\frac{5}{4} = 1{,}25\) folgt. 3. Addition des Kehrwerts zur zuvor berechneten Summe: \(1{,}25 + (-6{,}25) = -5\).

\(-5\)

- Was bedeutet es für die Lage auf der Zahlengeraden, wenn eine Zahl kleiner ist als eine andere? - Erinnere dich daran, dass die Gegenzahl einer Zahl einfach das entgegengesetzte Vorzeichen hat. - Gehe bei verschachtelten Rechnungen (wie bei Wert B) schrittweise vor und beachte die Klammerregeln.

1. Berechnung von Wert A: Die Gegenzahl von \(2\frac{3}{5}\) (oder \(2{,}6\)) ist \(-2{,}6\). Der Kehrwert von \(0{,}5 = \frac{1}{2}\) ist \(2\). Die Summe ergibt \(-2{,}6 + 2 = -0{,}6\). 2. Berechnung von Wert B: Zuerst wird die Summe in der Klammer gebildet: \(0{,}6 + (-3{,}5) = -2{,}9\). Dann wird diese von \(-1{,}4\) subtrahiert: \(-1{,}4 - (-2{,}9) = -1{,}4 + 2{,}9 = 1{,}5\). 3. Vergleich der Ergebnisse: Da \(-0{,}6 < 1{,}5\) gilt, liegt der Wert A auf der Zahlengeraden weiter links (da er die kleinere Zahl ist).

Wert A liegt weiter links (\(-0{,}6 < 1{,}5\)).

- Achte genau auf die Vorzeichen und die Rechenzeichen beim Einsetzen der negativen Zahlen. - Was bedeutet es für das Vorzeichen, wenn der Betrag der Zahl, die abgezogen wird, kleiner oder größer als der Betrag der ersten Zahl ist? - Um eine allgemeine Behauptung zu widerlegen, reicht ein einziges Gegenbeispiel aus.

1. Berechnung von \(x - y\): \(-6{,}2 - (-3{,}4) = -6{,}2 + 3{,}4 = -2{,}8\). 2. Berechnung von \(y - x\): \(-3{,}4 - (-6{,}2) = -3{,}4 + 6{,}2 = 2{,}8\). 3. Vergleich: Die Ergebnisse sind Gegenzahlen; sie haben den gleichen Betrag, aber verschiedene Vorzeichen. 4. Widerlegung der Behauptung: Ein Beispiel, bei dem das Ergebnis negativ bleibt, ist \((-10) - (-2) = -10 + 2 = -8\). Da \(-8\) negativ ist, ist die Behauptung widerlegt.

a) \(-2{,}8\) b) \(2{,}8\) c) Die Ergebnisse sind Gegenzahlen. d) Beispiel: \((-10) - (-2) = -8\). Das Ergebnis ist negativ, also ist die Behauptung falsch.

- Kannst du den Ausdruck in Teil b) vereinfachen, indem du die Klammern weglässt? - Nutze dein Ergebnis aus der ersten Teilaufgabe, um die dritte schneller zu lösen. - Überlege, ob sich der Abstand zwischen zwei Zahlen ändert, wenn man zu beiden die gleiche Zahl addiert.

1. Berechnung von \(y - x\): Da \(y - x = -(x - y)\) gilt, ist das Ergebnis \(-7\). 2. Berechnung von \((x + 10) - (y + 10)\): Durch Auflösen der Klammern erhält man \(x + 10 - y - 10\). Die Konstanten heben sich auf, sodass \(x - y\) übrig bleibt. Der Wert ist \(7\). 3. Berechnung von \(2 \cdot (y - x)\): Unter Verwendung des Ergebnisses aus Teil a) ergibt sich \(2 \cdot (-7) = -14\).

a) \(-7\) b) \(7\) c) \(-14\)

- Kannst du den Term in kleinere Blöcke unterteilen, die durch Plus oder Minus getrennt sind? - Achte bei Potenzen mit negativer Basis darauf, ob der Exponent gerade oder ungerade ist. - Was passiert, wenn ein Minuszeichen vor einer negativen Zahl steht?

1. Potenz in der eckigen Klammer berechnen: \( (-2)^5 = -32 \) 2. Multiplikation in der eckigen Klammer berechnen: \( (-4) \cdot (-7) = 28 \) 3. Inhalt der eckigen Klammer bestimmen: \( -32 - 28 = -60 \) 4. Potenz für den Divisor berechnen: \( (-2)^3 = -8 \) 5. Division durchführen: \( 120 : (-8) = -15 \) 6. Betrag bestimmen: \( | -10 | = 10 \) 7. Term zusammenfassen: \( -60 - (-15) + 10 \) 8. Finale Berechnung: \( -60 + 15 + 10 = -35 \)

-35

- Was bedeutet es, eine Zahl zu quadrieren? - Wie dividiert man durch einen Bruch? - Denk an die Regel „Punkt vor Strich“, falls du die Aufgabe als einen langen Term aufschreibst.

1. Berechnung der Summe: \(1\frac{2}{3} + 2\frac{5}{6} = 1\frac{4}{6} + 2\frac{5}{6} = 3\frac{9}{6} = 4\frac{3}{6} = 4\frac{1}{2} = \frac{9}{2}\). 2. Berechnung des Quadrats: \((\frac{3}{4})^2 = \frac{9}{16}\). 3. Division der Summe durch das Quadrat: \(\frac{9}{2} : \frac{9}{16} = \frac{9}{2} \cdot \frac{16}{9} = \frac{1}{1} \cdot \frac{8}{1} = 8\). 4. Subtraktion: \(8 - 1\frac{1}{2} = 6\frac{1}{2}\).

\(6\frac{1}{2}\)

- Es kann hilfreich sein, Brüche und Dezimalzahlen in die gleiche Darstellung zu bringen. - Welche Zahl ist der Dividend und welche der Divisor? - Denke an die Vorzeichenregeln bei der Division. - Beachte die Vorrangregeln: Was muss zuerst berechnet werden?

1. Berechnung des Produkts: \(0{,}25 \cdot 12 = 3\) 2. Berechnung der Differenz (Umwandlung des Bruchs in eine Dezimalzahl): \(\frac{3}{4} - 1{,}5 = 0{,}75 - 1{,}5 = -0{,}75\) 3. Division der Teilergebnisse: \(3 : (-0{,}75) = -4\) 4. Berechnung des Quadrats: \(4^2 = 16\) 5. Finale Addition: \(-4 + 16 = 12\)

\(12\)

- Schritt für Schritt: Was passiert innerhalb der Klammer zuerst? - Achte bei der Addition und Subtraktion auf den gemeinsamen Nenner. - Kannst du vor dem Multiplizieren über Kreuz kürzen? - Wandle das Endergebnis in eine gemischte Zahl um, falls der Zähler größer als der Nenner ist.

1. Division durch Multiplikation mit dem Kehrwert: \(\frac{7}{10} \cdot \frac{5}{14} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}\). 2. Zweite Multiplikation: \(\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{4}\). 3. Addition der Ergebnisse: \(\frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\). 4. Multiplikation innerhalb der Klammer: \(\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}\). 5. Addition innerhalb der Klammer: \(\frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\). 6. Finale Subtraktion mit Hauptnenner 6: \(3\frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{7}{2} - \frac{1}{3} = \frac{21}{6} - \frac{2}{6} = \frac{19}{6} = 3\frac{1}{6}\).

a) \(\frac{1}{2}\) b) \(3\frac{1}{6}\)

- Teile den Term in zwei große Blöcke links und rechts vom Minuszeichen auf. - Erinnere dich daran, wie man durch einen Bruch dividiert. - Achte auf die Vorzeichenregeln bei der Subtraktion.

1. Erste Klammer berechnen: \(\frac{5}{8} - \frac{3}{2} = \frac{5}{8} - \frac{12}{8} = -\frac{7}{8}\). 2. Division des Ergebnisses: \(-\frac{7}{8} : \frac{7}{4} = -\frac{7}{8} \cdot \frac{4}{7} = -\frac{4}{8} = -\frac{1}{2}\). 3. Zweite Klammer (bzw. Division am Ende) berechnen: \(2 : \frac{4}{3} = 2 \cdot \frac{3}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}\). 4. Subtraktion der beiden Teilergebnisse: \(-\frac{1}{2} - \frac{3}{2} = -\frac{4}{2} = -2\).

\(-2\)

- Schau dir die Vorzeichen der einzelnen Faktoren oder Summanden an. - Ist das Ergebnis in der Klammer bei Term A größer oder kleiner als Null? - Bei Term B: Welcher der beiden Summanden in der Klammer hat den größeren Betrag? - Denk daran, dass die Division durch \(\frac{1}{2}\) das Gleiche ist wie die Multiplikation mit 2.

1. Begründung Vorzeichen Term A: Der Klammerausdruck \(\left( \frac{1}{2} - \frac{3}{4} \right)\) ist negativ, da \(\frac{3}{4}\) größer als \(\frac{1}{2}\) ist. Das Produkt aus der negativen Zahl \(-3 \frac{1}{8}\) und dem negativen Klammerergebnis ist positiv. 2. Begründung Vorzeichen Term B: Die Summe in der Klammer \(\left( -2 \frac{2}{3} + 1 \frac{1}{6} \right)\) ist negativ, da der Betrag der negativen Zahl größer ist. Die Division durch die positive Zahl \(\frac{1}{2}\) ändert das Vorzeichen nicht. Term B ist also negativ. 3. Berechnung A: \(- \frac{25}{8} \cdot \left( \frac{2}{4} - \frac{3}{4} \right) = - \frac{25}{8} \cdot \left( - \frac{1}{4} \right) = \frac{25}{32}\). 4. Berechnung B: \(\left( - \frac{16}{6} + \frac{7}{6} \right) : \frac{1}{2} = \left( - \frac{9}{6} \right) \cdot 2 = - \frac{3}{2} \cdot 2 = -3\).

a) Term B hat ein negatives Ergebnis. b) \(A = \frac{25}{32}\); \(B = -3\)

- Kannst du alle Zahlen in Brüche umwandeln, bevor du beginnst? - Achte bei Aufgabe a) genau auf das Vorzeichen des Ergebnisses in der Klammer. - Halte dich strikt an die Reihenfolge der Rechenoperationen von links nach rechts, nachdem du Punkt-vor-Strich beachtet hast. - Wie gehst du vor, wenn du eine größere Zahl von einer kleineren abziehst?

a) 1. Gemischte Zahl umwandeln: \(2 \frac{1}{3} = \frac{7}{3}\) 2. Klammer berechnen: \(4{,}5 - 6 = -1{,}5 = -\frac{3}{2}\) 3. Erstes Produkt berechnen: \(\frac{7}{3} \cdot (-\frac{3}{2}) = -\frac{7}{2}\) 4. Division durch Multiplikation mit dem Kehrwert: \(-\frac{7}{2} \cdot \frac{4}{7}\) 5. Kürzen und Endergebnis: \(-2\) b) 1. Ersten Teil (Division) berechnen: \(\frac{5}{12} \cdot \frac{18}{25} = \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 5} = \frac{3}{10}\) 2. Zweiten Teil (Multiplikation) berechnen: \(0{,}4 \cdot 1 \frac{1}{2} = \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{5}\) 3. Subtraktion durchführen: \(\frac{3}{10} - \frac{6}{10} = -\frac{3}{10}\)

a) \(-2\) b) \(-\frac{3}{10}\) oder \(-0{,}3\)

- Berechne zunächst die Werte beider Terme getrennt voneinander. - Es hilft oft, Brüche und Dezimalzahlen in die gleiche Darstellung zu bringen. - Wie dividiert man eine Zahl durch einen Bruch?

1. Wert von Term A: Umwandlung des Bruchs \( \frac{3}{4} = 0{,}75 \); Subtraktion in der Klammer \( 0{,}75 - 1{,}25 = -0{,}5 \); Multiplikation \( -0{,}5 \cdot (-4) = 2 \) 2. Wert von Term B: Division durch den Bruch \( 2{,}5 \cdot 2 = 5 \); Subtraktion \( 5 - 6 = -1 \) 3. Vergleich der Ergebnisse: \( 2 > -1 \), somit ist Term A größer

Term A ist größer (da \( 2 > -1 \)).

- Betrachte Zähler und Nenner zunächst als zwei separate Rechenaufgaben. - Gibt es im Zähler eine Zahl, die in beiden Produkten vorkommt und ausgeklammert werden kann? - Kannst du den Ausdruck im Nenner vereinfachen, bevor du die abschließende Division durchführst?

1. Zähler berechnen: Anwendung des Distributivgesetzes \( 12{,}5 \cdot (3{,}7 + 4{,}3) = 12{,}5 \cdot 8 = 100 \) 2. Nenner berechnen: Addition der Brüche \( \frac{4}{6} + \frac{1}{6} = \frac{5}{6} \); Division durch den Bruch \( \frac{5}{6} \cdot 12 = 10 \) 3. Gesamtergebnis durch Division von Zähler und Nenner: \( 100 : 10 = 10 \)

10

- Berechne für Term A zuerst den Inhalt der Klammer. - In Term B rechnest du zuerst die beiden Produkte aus. - Fällt dir eine Regel ein, die beschreibt, wie man eine Zahl mit einer Differenz in einer Klammer multipliziert?

1. Berechnung von Term A: Klammerinhalt \(\frac{3}{12} - \frac{4}{12} = -\frac{1}{12}\). Multiplikation: \(12 \cdot (-\frac{1}{12}) = -1\). 2. Berechnung von Term B: Erste Multiplikation \(12 \cdot \frac{1}{4} = 3\). Zweite Multiplikation \(12 \cdot \frac{1}{3} = 4\). Subtraktion: \(3 - 4 = -1\). 3. Vergleich: Beide Ergebnisse sind gleich (\(-1\)). 4. Identifikation des Gesetzes: Das Distributivgesetz (Verteilungsgesetz).

a) Term A = \(-1\); Term B = \(-1\) b) Die Ergebnisse sind gleich. Dies veranschaulicht das Distributivgesetz.

- Berechne zuerst jeden Wert einzeln im Kopf. - Was ist der Unterschied zwischen \( -x^2 \) und \( (-x)^2 \)? - Denk daran: Bei negativen Zahlen ist diejenige kleiner, die weiter links auf dem Zahlenstrahl liegt.

1. Berechnung der Einzelwerte: \( A = -(0{,}4 \cdot 0{,}4) = -0{,}16 \); \( B = (-0{,}4) \cdot (-0{,}4) = 0{,}16 \); \( C = -0{,}8 \); \( D = -0{,}2 \). 2. Vergleich der negativen Werte auf dem Zahlenstrahl: \( -0{,}8 < -0{,}2 < -0{,}16 \). 3. Einordnung des positiven Wertes \( 0{,}16 \) als größten Wert. 4. Finale Reihenfolge der Terme: C, D, A, B.

C, D, A, B

- Welche Rechenoperation würdest du ganz am Ende ausführen? Das bestimmt den Namen des Terms. - Arbeite dich von der innersten Klammer nach außen vor. - Vergiss nicht, die Potenz separat zu berechnen, bevor du die finale Division durchführst.

1. Struktur bestimmen: Da die letzte auszuführende Operation die Division durch \((-2)^3\) ist, handelt es sich um einen Quotienten. 2. Innere Klammer berechnen: \(12 - 15 = -3\). 3. Multiplikation in der eckigen Klammer: \((-4) \cdot (-3) = 12\). 4. Wert der eckigen Klammer berechnen: \(12 - 20 = -8\). 5. Potenz berechnen: \((-2)^3 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = -8\). 6. Letzter Schritt (Division): \(-8 : (-8) = 1\).

Struktur: Quotient; Ergebnis: 1

- Beginne bei komplexen Termen immer in der innersten Klammer. - Ist es hier einfacher, mit Brüchen oder mit Dezimalzahlen zu rechnen? - Überlege dir, welche Operation ganz zum Schluss durchgeführt wird, um die Struktur zu benennen.

1. Bestimmung der Gesamtstruktur: Es handelt sich um eine Summe, deren erster Summand ein Produkt ist. 2. Berechnung der inneren Klammer (Differenz): \(\frac{3}{8} - (-\frac{1}{4}) = \frac{3}{8} + \frac{2}{8} = \frac{5}{8}\). 3. Umwandlung für die Multiplikation: \(\frac{5}{8} = 0{,}625\) oder \(-1{,}6 = -\frac{16}{10} = -\frac{8}{5}\). 4. Berechnung des Produkts: \(\frac{5}{8} \cdot \left( -\frac{8}{5} \right) = -1\). 5. Finale Addition: \(-1 + 1 = 0\).

Struktur: Summe; Wert: \(0\)

- Was steht bei einem Quotienten vorne (Dividend) und was hinten (Divisor)? - Wandle alle Brüche in Dezimalzahlen um, um die Teilrechnungen leichter durchzuführen. - Prüfe am Ende das Vorzeichen deines Ergebnisses.

1. Berechnung des Dividenden (Differenz): \(-\frac{3}{10} - 0{,}2 = -0{,}3 - 0{,}2 = -0{,}5\) 2. Berechnung des Divisors (Summe): \(\frac{1}{8} + (-0{,}375) = 0{,}125 - 0{,}375 = -0{,}25\) 3. Berechnung des Quotienten: \((-0{,}5) : (-0{,}25) = 2\)

Der Term lautet \((-\frac{3}{10} - 0{,}2) : (\frac{1}{8} + (-0{,}375))\). Sein Wert ist \(2\).

- Welche Rechenoperation gehört zu welchem Fachbegriff (Produkt, Differenz, subtrahieren)? - Achte genau auf die Reihenfolge: Was wird von was abgezogen? - Schreibe den Term zuerst vollständig mit Klammern auf, bevor du zu rechnen beginnst. - Achte besonders auf die Vorzeichenregeln bei der Subtraktion einer negativen Zahl.

1. Aufstellen des Terms: Die Differenz ist \(\frac{1}{4} - 0{,}75\). Davon wird das Produkt \(-1{,}2 \cdot \frac{5}{6}\) subtrahiert. Term: \((\frac{1}{4} - 0{,}75) - (-1{,}2 \cdot \frac{5}{6})\). 2. Berechnung der Differenz (Minuend): \(\frac{1}{4} - \frac{3}{4} = -\frac{2}{4} = -0{,}5\). 3. Berechnung des Produkts (Subtrahend): \(-1{,}2 = -\frac{6}{5}\). Das Produkt ist \(-\frac{6}{5} \cdot \frac{5}{6} = -1\). 4. Finale Subtraktion: \(-0{,}5 - (-1) = -0{,}5 + 1 = 0{,}5\).

Der Term lautet \((\frac{1}{4} - 0{,}75) - (-1{,}2 \cdot \frac{5}{6})\). Sein Wert ist \(0{,}5\) oder \(\frac{1}{2}\).

- Schreibe dir zuerst die Werte für die Summe und die Differenz der beiden Zahlen einzeln auf. - Achte besonders auf das „Minus-Minus“, wenn du eine negative Zahl subtrahierst. - Vergleiche die beiden Endergebnisse: Was passiert, wenn du sie miteinander multiplizierst? - Erinnerst du dich an den Begriff für Zahlen, deren Produkt \(1\) ergibt?

1. Aufstellen von Term 1: \((a - b) : (a + b)\). Einsetzen der Werte: \((0{,}4 - (-0{,}6)) : (0{,}4 + (-0{,}6)) = 1{,}0 : (-0{,}2)\). 2. Berechnung von Term 1: \(1{,}0 : (-0{,}2) = -5\). 3. Aufstellen von Term 2: \((a + b) : (a - b)\). Einsetzen der Werte: \((0{,}4 + (-0{,}6)) : (0{,}4 - (-0{,}6)) = -0{,}2 : 1{,}0\). 4. Berechnung von Term 2: \(-0{,}2 : 1{,}0 = -0{,}2\) (oder \(-\frac{1}{5}\)). 5. Beziehung bestimmen: Da \(-5 \cdot (-0{,}2) = 1\), sind die Ergebnisse Kehrwerte (reziprok) voneinander.

Term 1: \((0{,}4 - (-0{,}6)) : (0{,}4 + (-0{,}6)) = -5\) Term 2: \((0{,}4 + (-0{,}6)) : (0{,}4 - (-0{,}6)) = -0{,}2\) Beziehung: Die Ergebnisse sind Kehrwerte voneinander.

- Gehe die Zeilen nacheinander durch und prüfe, ob die jeweilige Rechenoperation korrekt ausgeführt wurde. - Achte besonders auf den Übergang von Zeile 2 zu Zeile 3. Welche Operation müsste dort laut Vorrangregeln zuerst kommen? - Überlege, ob Multiplikation/Division oder Addition/Subtraktion Vorrang hat.

1. Fehleranalyse: Die 1. und 2. Zeile sind korrekt. Der Fehler geschieht beim Übergang zur 3. Zeile. Hier wurde die Subtraktion \(\frac{3}{4} - 1{,}2\) (\(0{,}75 - 1{,}2 = -0{,}45\)) vor der Division \(1{,}2 : 0{,}3\) durchgeführt. Dies verletzt die Regel „Punkt vor Strich“. 2. Korrekte Weiterführung ab Zeile 2: Zuerst Division berechnen: \(1{,}2 : 0{,}3 = 4\). 3. Subtraktion durchführen: \(0{,}75 - 4 = -3{,}25\).

Der Fehler liegt in der 3. Zeile, da die Subtraktion vor der Division durchgeführt wurde. Das richtige Ergebnis ist \(-3{,}25\).

- Klammern helfen dir, die Differenz und das Produkt klar voneinander zu trennen, bevor du dividierst. - Wandle gemischte Zahlen und Dezimalzahlen so um, dass du gut mit ihnen rechnen kannst. - Erinnerst du dich, wie man Brüche miteinander multipliziert?

1. Aufstellen des Gesamtausdrucks: \((-5{,}25 - (-2\frac{1}{4})) : (\frac{2}{3} \cdot 1{,}5)\) 2. Berechnung der Differenz im ersten Teil: \(-5{,}25 - (-2{,}25) = -5{,}25 + 2{,}25 = -3\) 3. Berechnung des Produkts im zweiten Teil: \(\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} = 1\) 4. Durchführung der Division: \(-3 : 1 = -3\)

Der Term lautet \((-5{,}25 - (-2\frac{1}{4})) : (\frac{2}{3} \cdot 1{,}5)\). Das Ergebnis ist \(-3\).

- Dürfen Rechenzeichen und Vorzeichen direkt nebeneinander stehen? - Was passiert mit der Reihenfolge der Rechnung, wenn eine umschließende Klammer bei einer Multiplikation fehlt? - Achte besonders auf das Minuszeichen vor der letzten Klammer.

1. Die runden Klammern um \( -12 \) können weggelassen werden, da am Anfang der eckigen Klammer keine Verwechslung zwischen Rechen- und Vorzeichen möglich ist: \( [-12 + 4] \). 2. Die eckigen Klammern können nicht weggelassen werden. Ohne sie würde die Punktrechnung \( 4 \cdot (-3) \) zuerst ausgeführt, statt der Summe in der Klammer. 3. In der üblichen Schulnotation sollten die runden Klammern um \(-3\) nicht weggelassen werden, damit Multiplikationszeichen und Minuszeichen nicht unmittelbar aufeinanderfolgen und der negative Faktor eindeutig erkennbar bleibt. 4. Die runden Klammern um \( 10 - 2 \) können nicht weggelassen werden, da das Minuszeichen vor der Klammer die gesamte Differenz subtrahiert. Ohne Klammer würde sich der Wert ändern (\( - 10 - 2 \) statt \( - 10 + 2 \)).

1. Ja, die Klammern um \( -12 \) können weggelassen werden. 2. Nein, die eckigen Klammern sind notwendig. 3. Nein, in der üblichen Schulnotation bleiben die Klammern um \(-3\) zur eindeutigen Darstellung stehen. 4. Nein, die Klammern um \( 10 - 2 \) sind notwendig.

- Was bedeutet eine „stärkere Abnahme“ für das Endergebnis? - Berechne für jedes Modell einzeln, wie stark die Temperatur auf der Zielhöhe gesunken ist. - Vergleiche die beiden Ergebnisse am Ende, um den Unterschied zu finden.

1. Begründung ohne Rechnung: Modell B sagt eine niedrigere Temperatur voraus, da die Temperatur dort pro \(100\,\text{m}\) stärker sinkt (\(1{,}0^\circ\text{C}\) statt \(0{,}6^\circ\text{C}\)). 2. Berechnung Modell A: \(15 + 3500 \cdot \frac{-0{,}6}{100} = 15 - 35 \cdot 0{,}6 = 15 - 21 = -6^\circ\text{C}\). 3. Berechnung Modell B: \(15 + 3500 \cdot \frac{-1{,}0}{100} = 15 - 35 \cdot 1 = 15 - 35 = -20^\circ\text{C}\). 4. Berechnung der Differenz: \(|-6 - (-20)| = 14^\circ\text{C}\).

Modell B sagt eine niedrigere Temperatur voraus, da der Temperaturabfall pro Höhenmeter größer ist. Der Unterschied zwischen den Modellen beträgt \(14^\circ\text{C}\) (Modell A: \(-6^\circ\text{C}\); Modell B: \(-20^\circ\text{C}\)).

- Arbeite dich von der innersten zur äußersten Klammer vor. - Kannst du die Division durch eine Dezimalzahl vereinfachen? - Was ergibt „Minus mal Minus“? - Achte auf die Reihenfolge: Erst die Division innerhalb der geschweiften Klammer, dann die Subtraktion.

1. Berechnung der innersten eckigen Klammer: \(4 - 0{,}5 = 3{,}5\). 2. Division des Ergebnisses durch \(-0{,}7\): \(3{,}5 : (-0{,}7) = -5\). 3. Subtraktion innerhalb der geschweiften Klammer: \(-5 - 2 = -7\). 4. Abschließende Multiplikation: \(-7 \cdot (- \frac{2}{7}) = 2\).

\(2\)

- Was ist die Hauptoperation, wenn du den gesamten Ausdruck betrachtest? - Kannst du innerhalb der eckigen Klammer einen Bruch entdecken, der in beiden Teilprodukten vorkommt? - Denk daran, dass eine Potenz wie \( (-2)^3 \) Vorrang vor der Subtraktion hat. - Wie dividiert man durch einen Bruch?

1. Bestimmung der Termart: Es handelt sich um eine Differenz, da nach der Punktrechnung und der Klammer die Subtraktion von \( (-2)^3 \) erfolgt. 2. Vereinfachung der eckigen Klammer durch Ausklammern von \( \frac{2}{3} \): \( (- \frac{3}{4} - \frac{1}{4}) \cdot \frac{2}{3} = (-1) \cdot \frac{2}{3} = - \frac{2}{3} \). 3. Division durch den Klammerwert: \( \frac{7}{2} : (- \frac{2}{3}) = \frac{7}{2} \cdot (- \frac{3}{2}) = - \frac{21}{4} = -5{,}25 \). 4. Berechnung der Potenz: \( (-2)^3 = -8 \). 5. Finale Subtraktion: \( -5{,}25 - (-8) = -5{,}25 + 8 = 2{,}75 \).

Es handelt sich um eine Differenz. Der Wert des Terms ist \( 2{,}75 \) (oder \( 2 \frac{3}{4} \)).

- Setze für den ersten Teil einfach die Zahl für den Platzhalter ein und rechne wie gewohnt. - Nutze das Distributivgesetz, um die Klammer im Term zu beseitigen. - Stelle dir vor, du hast eine Gleichung: „Ergebnis = vereinfachter Term“. Wie würdest du nach \(x\) auflösen?

1. Einsetzen für a): \(5 \cdot (2 \cdot 4{,}3 + 1{,}4) - 2 = 5 \cdot (8{,}6 + 1{,}4) - 2 = 5 \cdot 10 - 2 = 48\). 2. Vereinfachen für b): \(5 \cdot (2x + 1{,}4) - 2 = 10x + 7 - 2 = 10x + 5\). 3. Prüfung für c): Sei das Ergebnis \(R = 10x + 5\). Um \(x\) zu isolieren, rechnet man \(R - 5 = 10x\) und anschließend \((R - 5) : 10 = x\). 4. Vergleich: Die Regel besagt genau dies (erst \(5\) subtrahieren, dann durch \(10\) teilen). Die Behauptung ist also korrekt.

a) Der Wert ist \(48\). b) Der vereinfachte Term ist \(10x + 5\). c) Die Regel ist korrekt, da die Auflösung der Gleichung \(R = 10x + 5\) nach \(x\) genau diese Schritte ergibt: \(x = (R - 5) : 10\).

- Überlege, welche Rechenoperation (Addition, Subtraktion oder Multiplikation) das Ergebnis am stärksten beeinflusst. - Denke an die Regel: Klammern zuerst, dann Punkt-vor-Strich-Rechnung. - Wie verändert sich ein Produkt, wenn einer der Faktoren durch eine Klammer vergrößert wird? - Wie verändert sich das Endergebnis, wenn du eine größere Zahl abziehst?

1. Ohne Klammern gilt die Punkt-vor-Strich-Regel: \(10 + (5 \cdot 1{,}2) - 0{,}2 + 4 = 10 + 6 - 0{,}2 + 4 = 19{,}8\). 2. Für den maximalen Wert müssen wir den Multiplikator \(5\) mit einer möglichst großen Summe multiplizieren: \(10 + 5 \cdot (1{,}2 - 0{,}2 + 4) = 10 + 5 \cdot 5 = 10 + 25 = 35\). 3. Für den minimalen Wert müssen wir einen möglichst großen Wert subtrahieren: \(10 + 5 \cdot 1{,}2 - (0{,}2 + 4) = 10 + 6 - 4{,}2 = 16 - 4{,}2 = 11{,}8\). 4. Begründung: Durch die Klammern in a) wird die Addition und Subtraktion vor der Multiplikation ausgeführt. Dadurch wird die \(5\) nicht nur mit \(1{,}2\) multipliziert, sondern mit dem Gesamtergebnis der Klammer (\(5\)), was den Wert des Produkts deutlich steigert.

a) \(10 + 5 \cdot (1{,}2 - 0{,}2 + 4) = 35\) b) \(10 + 5 \cdot 1{,}2 - (0{,}2 + 4) = 11{,}8\) c) Die Klammer bewirkt, dass die Strichrechnungen vor der Multiplikation ausgeführt werden, wodurch der Faktor, mit dem die \(5\) multipliziert wird, deutlich größer wird.

- Was könnte die Klammer in einer Geschichte bedeuten? Oft ist es ein Gesamtpaket oder eine gemeinsame Rechnung. - Wofür könnte das Teilen durch 2 am Ende stehen? - Denk an alltägliche Situationen wie Einkaufen oder das Aufteilen von Kosten.

1. Beispiel für eine Sachgeschichte: Zwei Freunde bestellen zusammen eine Pizza für \(12{,}50\,\text{€}\) und drei Getränke für jeweils \(4{,}50\,\text{€}\). Sie teilen sich die Gesamtkosten gerecht auf. 2. Berechnung des Terms unter Beachtung der Vorrangregeln: Zuerst Punktrechnung in der Klammer: \(3 \cdot 4{,}50 = 13{,}50\). 3. Addition in der Klammer: \(12{,}50 + 13{,}50 = 26{,}00\). 4. Division durch 2: \(26{,}00 : 2 = 13{,}00\).

a) Mögliche Geschichte: Zwei Personen teilen sich die Kosten für eine Pizza (\(12{,}50\,\text{€}\)) und drei Softdrinks (je \(4{,}50\,\text{€}\)). b) Das Ergebnis ist \(13{,}00\,\text{€}\).

- Schau dir an, an welcher Stelle im Term der Rabatt abgezogen wird. - Wird der Rabatt einmalig abgezogen oder mehrmals (z. B. für jede Person)? - Rechne beide Möglichkeiten Schritt für Schritt aus, um sie zu vergleichen.

1. Zuordnung: Term 1 berechnet erst die normalen Preise (\(4 \cdot 3{,}50\) für Kinder und \(2 \cdot 5{,}50\) für Erwachsene) und zieht am Ende \(3{,}00\,\text{€}\) ab. Das passt zu Aktion 1. 2. Zuordnung: Term 2 berechnet für jedes der 4 Kinder einen reduzierten Preis (\(3{,}50 - 0{,}50\)) und addiert die Erwachsenenpreise. Das passt zu Aktion 2. 3. Berechnung Term 1: \(14{,}00 + 11{,}00 - 3{,}00 = 22{,}00\,\text{€}\). 4. Berechnung Term 2: \(4 \cdot 3{,}00 + 11{,}00 = 12{,}00 + 11{,}00 = 23{,}00\,\text{€}\). 5. Vergleich: \(22{,}00\,\text{€}\) ist weniger als \(23{,}00\,\text{€}\). Aktion 1 ist günstiger.

Term 1 gehört zu Aktion 1, Term 2 gehört zu Aktion 2. Aktion 1 ist günstiger, da die Familie dort nur \(22{,}00\,\text{€}\) statt \(23{,}00\,\text{€}\) zahlt.

- Gehe schrittweise vor und notiere dir die Zwischenergebnisse der Klammern. - Prüfe bei jedem Schritt, ob es einfacher ist, mit Dezimalzahlen oder mit Brüchen weiterzurechnen. - Gibt es in Teilaufgabe b) zwei separate Blöcke, die du zuerst berechnen musst?

1. Teilaufgabe a): Klammerinhalt berechnen: \(1{,}4 - 0{,}4 = 1\). Multiplikation: \(\frac{1}{2} \cdot 1 = 0{,}5\). Addition: \(0{,}5 + 0{,}3 = 0{,}8\). 2. Teilaufgabe b): Wert der ersten Klammer bestimmen: \(\frac{2}{3} \cdot \frac{9}{4} = \frac{3}{2} = 1{,}5\). Wert der zweiten Klammer bestimmen: \(0{,}5 \cdot 0{,}5 = 0{,}25\). Differenz berechnen: \(1{,}5 - 0{,}25 = 1{,}25\).

a) \(0{,}8\) oder \(\frac{4}{5}\) b) \(1{,}25\) oder \(1 \frac{1}{4}\)

- Welche Rechenoperationen müssen hier in welcher Reihenfolge ausgeführt werden? Denke an „Klammer vor Punkt vor Strich“. - Wie findest du für die Addition am Ende den kleinsten gemeinsamen Nenner? - Hilft es dir, Zwischenergebnisse sofort zu kürzen?

1. Klammerinhalt berechnen: Mit dem gemeinsamen Nenner \(10\) folgt \(\frac{8}{10} - \frac{1}{10} = \frac{7}{10}\). 2. Multiplikation nach der Punkt-vor-Strich-Regel: \(\frac{7}{10} \cdot \frac{2}{3} = \frac{14}{30}\). Durch Kürzen erhält man \(\frac{7}{15}\). 3. Addition des letzten Summanden: Für \(\frac{7}{15} + \frac{1}{6}\) wird der Hauptnenner \(30\) gewählt. 4. Endergebnis ermitteln: \(\frac{14}{30} + \frac{5}{30} = \frac{19}{30}\).

\(\frac{19}{30}\)

- Berechne nacheinander die Werte in den beiden Klammern. - Wie dividiert man durch einen Bruch? - Welches Vorzeichen hat das Ergebnis, wenn man eine negative Zahl durch eine negative Zahl teilt?

1. Berechnung der ersten Klammer durch Finden des Hauptnenners: \(\frac{5}{6} - \frac{4}{3} = \frac{5}{6} - \frac{8}{6} = -\frac{3}{6} = -\frac{1}{2}\) 2. Berechnung der zweiten Klammer: \(0{,}75 - 1 = -0{,}25\), was als Bruch \(-\frac{1}{4}\) entspricht. 3. Division der beiden Teilergebnisse: \(-\frac{1}{2} : (-\frac{1}{4})\). 4. Multiplikation mit dem Kehrwert: \(-\frac{1}{2} \cdot (-4) = 2\).

\(2\)

- Berechne zuerst den Wert innerhalb der Klammer und ziehe diesen dann von der ersten Zahl ab. - Beim Weglassen der Klammer musst du die Zahlen nacheinander von links nach rechts verrechnen. - Vergleiche die beiden Endergebnisse direkt miteinander.

1. Teilaufgabe a): Zuerst den Ausdruck in der Klammer berechnen: \(7{,}5 - 2{,}4 + 1{,}1 = 5{,}1 + 1{,}1 = 6{,}2\). Dann die Subtraktion durchführen: \(30 - 6{,}2 = 23{,}8\). 2. Teilaufgabe b): Ohne Klammer wird streng von links nach rechts gerechnet: \(30 - 7{,}5 = 22{,}5\). Danach \(22{,}5 - 2{,}4 = 20{,}1\). Zum Schluss \(20{,}1 + 1{,}1 = 21{,}2\). 3. Teilaufgabe c): Tim hat nicht recht. Die Ergebnisse (\(23{,}8\) und \(21{,}2\)) sind unterschiedlich. Ein Minuszeichen vor einer Klammer bewirkt, dass der gesamte Wert in der Klammer abgezogen wird, was die Rechenreihenfolge und damit das Ergebnis verändert.

a) \(23{,}8\) b) \(21{,}2\) c) Tim hat nicht recht, da die Ergebnisse unterschiedlich sind. Das Weglassen der Klammer verändert die Rechenreihenfolge.

- Überlege dir für Aufgabenteil a) schrittweise, ob die Teilergebnisse positiv oder negativ sind. - Erinnere dich daran, dass die Subtraktion einer negativen Zahl dasselbe ist wie die Addition der Gegenzahl. - Wie dividiert man durch einen Bruch?

1. Bestimmung des Vorzeichens: Das Produkt in der inneren Klammer ist negativ (\(+\cdot -\)). Durch das Minuszeichen davor wird es zu einer Addition (\(-(-)\)). Da \(\frac{3}{4}\) (bzw. \(\frac{9}{12}\)) betragsmäßig größer ist als \(\frac{5}{12}\), ist der Wert in der eckigen Klammer positiv. Die Division einer positiven Zahl durch eine negative Zahl (\(- \frac{1}{6}\)) ergibt ein negatives Vorzeichen. 2. Berechnung der inneren Klammer: \(\frac{1}{4} \cdot (-3) = - \frac{3}{4}\) 3. Berechnung der eckigen Klammer: \(- \frac{5}{12} - (- \frac{3}{4}) = - \frac{5}{12} + \frac{9}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}\) 4. Division durch \(- \frac{1}{6}\): \(\frac{1}{3} : (- \frac{1}{6}) = \frac{1}{3} \cdot (-6) = -2\)

a) Das Vorzeichen ist negativ. b) \(-2\)

- Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn man eine negative Zahl quadriert? - Arbeite dich von der innersten Klammer nach außen vor. - Kannst du \(\frac{5}{8}\) als Dezimalzahl schreiben?

1. Teilaufgabe a): Innere Klammer: \((0{,}4 - \frac{4}{5}) = (0{,}4 - 0{,}8) = -0{,}4\). Äußere eckige Klammer: \([-1{,}5 \cdot (-0{,}4)] = 0{,}6\). Abschließende Division: \(0{,}6 : (-0{,}3) = -2\). 2. Teilaufgabe b): Quadrat in der Klammer: \((-0{,}5)^2 = 0{,}25\). Summe in der eckigen Klammer: \([1{,}5 + 0{,}25] = 1{,}75\). Finale Subtraktion: \(\frac{5}{8} - 1{,}75 = 0{,}625 - 1{,}75 = -1{,}125\).

a) \(-2\) b) \(-1{,}125\) oder \(-\frac{9}{8}\)

- Wandle gemischte Zahlen und Dezimalzahlen bei Bedarf in Brüche um, damit du exakt rechnen kannst. - Arbeite dich von der innersten Klammer nach außen vor. - Kannst du vor dem Multiplizieren von Brüchen vielleicht etwas kürzen?

1. Innerste Operation: Division in der Klammer. Umwandlung in Brüche: \(\frac{20}{3} : \frac{5}{2} = \frac{20}{3} \cdot \frac{2}{5} = \frac{40}{15} = \frac{8}{3}\). 2. Subtraktion in der Klammer: \(\frac{8}{3} - 0{,}8 = \frac{8}{3} - \frac{4}{5} = \frac{40}{15} - \frac{12}{15} = \frac{28}{15}\). 3. Multiplikation: \(\frac{28}{15} \cdot 1{,}5 = \frac{28}{15} \cdot \frac{3}{2} = \frac{14}{5} = 2{,}8\). 4. Letzte Addition: \(2{,}8 + 2 \frac{1}{4} = 2{,}8 + 2{,}25 = 5{,}05\).

\(5{,}05\) (oder \(5 \frac{1}{20}\))

- Behandle den Zähler und den Nenner wie zwei getrennte Aufgaben, die du nacheinander löst. - Wandle Brüche in Dezimalzahlen um, wenn dies die Rechnung vereinfacht. - Was bedeutet der lange Bruchstrich für die Reihenfolge der Rechnungen?

1. Zähler berechnen: Klammer \(\frac{1}{5} - 0{,}6 = 0{,}2 - 0{,}6 = -0{,}4\). Dann Multiplikation \(2{,}5 \cdot (-0{,}4) = -1\). 2. Nenner berechnen: Punktrechnung \(0{,}25 \cdot 8 = 2\). Dann Subtraktion \(2 - 1{,}5 = 0{,}5\). 3. Gesamtwert berechnen: \(-1 : 0{,}5 = -2\).

\(-2\)

- Gilt hier die Regel „Punkt-vor-Strich“? - Es kann hilfreich sein, Brüche und Dezimalzahlen in das gleiche Format zu bringen. - Berechne die einzelnen Bestandteile des Terms nacheinander, bevor du sie addierst.

1. Umwandlung des Bruchs in eine Dezimalzahl oder des Dezimalbruchs in einen Bruch: \(\frac{3}{4} = 0{,}75\). 2. Durchführung der Division: \(0{,}75 : (-0{,}5) = -1{,}5\). 3. Durchführung der Multiplikation in der Klammer: \(1{,}2 \cdot 5 = 6\). 4. Addition der beiden Teilergebnisse: \(-1{,}5 + 6 = 4{,}5\).

\(4{,}5\)

- Achte bei b) besonders auf die Vorzeichen: Was ist die Gegenzahl einer negativen Zahl? - Bei c) hilft es, zuerst die Klammer (die Summe) zu berechnen. - Division durch eine Dezimalzahl kann durch Kommaverschiebung vereinfacht werden.

1. Rechnung a): \(| -3{,}6 | = 3{,}6\). Gegenzahl von \(0{,}4\) ist \(-0{,}4\). Division: \(3{,}6 : (-0{,}4) = -9\). 2. Rechnung b): \(| -\frac{9}{10} | = 0{,}9\). Gegenzahl von \(-0{,}4\) ist \(0{,}4\). Differenz: \(0{,}9 - 0{,}4 = 0{,}5\). 3. Rechnung c): Gegenzahl von \(1{,}5\) ist \(-1{,}5\). Summe: \(-\frac{1}{3} + \frac{4}{3} = \frac{3}{3} = 1\). Produkt: \(-1{,}5 \cdot 1 = -1{,}5\).

a) \(3{,}6 : (-0{,}4) = -9\) b) \(0{,}9 - 0{,}4 = 0{,}5\) c) \(-1{,}5 \cdot 1 = -1{,}5\)

- Du musst nicht rechnen. Überlege dir nur, ob die Ergebnisse positiv oder negativ sind. - Eine positive Zahl ist immer größer als eine negative Zahl. - Stelle dir vor, du stehst an einem Punkt auf dem Zahlenstrahl. Bei welcher Operation läufst du nach rechts (wirst größer), bei welcher nach links (wirst kleiner)?

1. Bei a) ergibt der erste Term die Summe zweier negativer Zahlen (negativ). Der zweite Term wird zu \(-15 + 20\), was positiv ist, da \(20 > |-15|\). Ein positiver Wert ist immer größer als ein negativer: \((-15) - (-20)\) ist größer. 2. Bei b) subtrahiert der erste Term eine größere Zahl von einer kleineren, das Ergebnis ist negativ (\(0{,}4 < 0{,}6\)). Der zweite Term addiert eine größere positive Zahl zu einer betragsmäßig kleineren negativen Zahl, das Ergebnis ist positiv (\(0{,}6 > |-0{,}4|\)). Somit ist \(-0{,}4 + 0{,}6\) größer. 3. Bei c) wird im ersten Fall von einer negativen Zahl ein positiver Wert abgezogen, sie wird also noch kleiner (weiter links auf dem Zahlenstrahl). Im zweiten Fall wird zu derselben negativen Zahl ein positiver Wert addiert, sie wird also größer (weiter rechts auf dem Zahlenstrahl): \(-\frac{1}{8} + \frac{1}{4}\) ist größer.

a) \((-15) - (-20)\) ist größer. b) \(-0{,}4 + 0{,}6\) ist größer. c) \(-\frac{1}{8} + \frac{1}{4}\) ist größer.

- Reicht es aus, wenn nur ein Teil der Multiplikation Null ist? - Probier die Multiplikation mit \(-1\) mal mit einer negativen Zahl aus. - Was passiert bei Quadraten von Zahlen, die zwischen 0 und 1 liegen? - Untersuche auch die Zahlen 0 und 1 für die letzte Behauptung.

1. Zu Teil a): Wähle die Faktoren \(0\) und \(5\). Das Produkt ist \(0 \cdot 5 = 0\). Hier ist nur ein Faktor Null, nicht beide. Somit ist die Aussage „beide müssen Null sein“ falsch. 2. Zu Teil b): Wähle die Zahl \(-3\). Multiplikation mit \(-1\): \(-3 \cdot (-1) = 3\). Da \(3 > -3\), ist das Ergebnis größer und nicht kleiner. 3. Zu Teil c): Wähle die Zahl \(0{,}5\). Berechnung des Quadrats: \(0{,}5 \cdot 0{,}5 = 0{,}25\). Da \(0{,}25 < 0{,}5\), ist das Quadrat kleiner. (Weitere Gegenbeispiele wären \(0\), da \(0^2 = 0\), oder \(1\), da \(1^2 = 1\)).

a) Gegenbeispiel: \(0 \cdot 7 = 0\). Nur ein Faktor ist Null. b) Gegenbeispiel: \(-5 \cdot (-1) = 5\). Es gilt \(5 > -5\). c) Gegenbeispiel: \(0{,}5 \cdot 0{,}5 = 0{,}25\). Das Ergebnis \(0{,}25\) ist kleiner als \(0{,}5\).

- Zähle die Anzahl der negativen Faktoren in jedem Ausdruck. - Erinnere dich an die Regel für das Multiplizieren von zwei Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen. - Was passiert, wenn du alle Faktoren von \(A\) und \(B\) in eine lange Kette schreibst? Wie viele negative Vorzeichen hättest du dann insgesamt?

1. Zu a): Produkt \(A\) besteht aus 10 Faktoren, die alle negativ sind. Da 10 eine gerade Zahl ist, ist das Ergebnis von \(A\) positiv. Produkt \(B\) besteht aus 11 negativen Faktoren. Da 11 ungerade ist, ist das Ergebnis von \(B\) negativ. 2. Zu b): Da \(A\) positiv und \(B\) negativ ist, ergibt das Produkt \(A \cdot B\) (ein positiver Wert mal ein negativer Wert) ein negatives Ergebnis. 3. Alternativer Weg zu b): Das Produkt \(A \cdot B\) hat insgesamt \(10 + 11 = 21\) negative Faktoren. Da 21 ungerade ist, ist das Gesamtergebnis negativ. 4. Zu c): Ein Produkt aus ausschließlich negativen Faktoren ist genau dann negativ, wenn die Anzahl der Faktoren \(n\) eine ungerade Zahl ist.

a) Das Produkt \(A\) ist positiv, da es eine gerade Anzahl (10) an negativen Faktoren besitzt. b) Das Vorzeichen von \(A \cdot B\) ist negativ (Plus mal Minus ergibt Minus). c) Das Ergebnis ist negativ, wenn \(n\) eine ungerade Zahl ist.

- Rechne für b) verschiedene Möglichkeiten durch: Wo könnte eine Klammer stehen? Was bewirkt ein Minus vor einer Klammer? - Für c): Überlege, ob das Ergebnis größer oder kleiner werden muss, und welches Vorzeichen du dafür ändern müsstest. - Erinnere dich daran, wie sich das Vorzeichen in der Klammer ändert, wenn ein Minus davor steht.

1. Teil a: \(-8{,}2 + 3{,}5 = -4{,}7\). Dann \(-4{,}7 - 1{,}8 = -6{,}5\). 2. Teil b: Es wird nur eine Klammer ergänzt: \(-(8{,}2 + 3{,}5) - 1{,}8 = -11{,}7 - 1{,}8 = -13{,}5\). 3. Teil c: Ziel ist \(9{,}9\). Testen der Vorzeichenänderung: \(+8{,}2 + 3{,}5 - 1{,}8 = 11{,}7 - 1{,}8 = 9{,}9\). Also wird das erste Minus zu einem Plus (bzw. weggelassen).

a) \(-6{,}5\) b) \(-(8{,}2 + 3{,}5) - 1{,}8\) c) \(8{,}2 + 3{,}5 - 1{,}8\) (Das Vorzeichen der \(8{,}2\) wurde geändert)

- Erinnerst du dich an die Regeln für das Auflösen von Klammern, vor denen ein Minuszeichen steht? - Kannst du einen Bruch in eine Dezimalzahl umwandeln, um die Rechnung zu vereinfachen? - Versuche, die Terme so umzustellen, dass du zuerst „glatte“ Ergebnisse erhältst.

1. Teilaufgabe a: Minusklammer auflösen: \(-3{,}25 - 1{,}75 + 8\). Zusammenfassen der ersten beiden Glieder: \(-5 + 8 = 3\). 2. Teilaufgabe b: Klammer auflösen und Dezimalzahlen/Brüche gruppieren: \(2 \frac{1}{5} - 4{,}8 - \frac{1}{5} + 0{,}8 = (2{,}2 - 0{,}2) + (-4{,}8 + 0{,}8) = 2 - 4 = -2\). 3. Teilaufgabe c: Klammern auflösen: \(\frac{5}{8} + 1{,}4 - \frac{1}{8} + 0{,}6\). Gruppieren: \((\frac{5}{8} - \frac{1}{8}) + (1{,}4 + 0{,}6) = 0{,}5 + 2 = 2{,}5\).

a) \(3\) b) \(-2\) c) \(2{,}5\)

- Gehe systematisch vor und probiere die vier möglichen Kombinationen der zwei Zeichen aus. - Beachte in Aufgabenteil b) die Vorrangregel: Klammern zuerst berechnen. - Überlege dir, ob das Ergebnis größer oder kleiner als die Startzahl \(-7\) werden muss.

1. Teilaufgabe a): Wir testen Kombinationen für \(-7 \dots (-3) \dots 5 = -9\). Mit \(-7 - (-3) - 5\) erhalten wir \(-7 + 3 - 5 = -4 - 5 = -9\). Die Zeichen sind also \(-\) und \(-\). 2. Teilaufgabe b): Wir testen Kombinationen für \(-7 \dots ((-3) \dots 5) = 1\). Mit \(-7 - ((-3) - 5)\) erhalten wir \(-7 - (-8) = -7 + 8 = 1\). Die Zeichen sind also \(-\) und \(-\).

a) \(-7 - (-3) - 5 = -9\) b) \(-7 - ((-3) - 5) = 1\)

- Kannst du den Term in kleinere Teilschritte zerlegen? - Welche Brüche lassen sich vor dem Multiplizieren kürzen, um die Rechnung zu vereinfachen? - Wie gehst du vor, wenn mehrere Rechenzeichen hintereinander stehen? - Achte besonders auf das Vorzeichen beim Multiplizieren und Dividieren.

1. Teilaufgabe a): Berechnung der Differenz in der Klammer ergibt \(\frac{2}{7} - \frac{14}{7} = -\frac{12}{7}\). Multiplikation mit dem ersten Faktor führt zu \(-\frac{7}{10} \cdot \left(-\frac{12}{7}\right) = \frac{12}{10} = 1{,}2\). Addition von \(-1{,}4\) ergibt \(1{,}2 - 1{,}4 = -0{,}2\) bzw. \(-\frac{1}{5}\). 2. Teilaufgabe b): Berechnung der Summe in der Klammer durch Erweitern auf den Nenner 6 ergibt \(\frac{8}{6} + \frac{1}{6} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}\). Division durch den Bruch erfolgt durch Multiplikation mit dem Kehrwert: \(\frac{3}{2} \cdot \left(-\frac{4}{3}\right) = -2\). Multiplikation des Zwischenergebnisses mit \(0{,}5\) ergibt \(-2 \cdot 0{,}5 = -1\).

a) \(-0{,}2\) oder \(-\frac{1}{5}\) b) \(-1\)

- Was passiert in dem Term des Schülers zuerst, wenn man die Vorrangregeln beachtet? - Wie kannst du erzwingen, dass eine Strichrechnung vor einer Punktrechnung ausgeführt wird? - Berechne die einzelnen Bestandteile des korrekten Terms nacheinander.

1. Analyse des Fehlers: Ohne Klammern gilt die Regel „Punkt-vor-Strich“. Im Term des Schülers würde zuerst \(7{,}5 : (-0{,}25)\) gerechnet werden. Laut Text müssen aber zuerst die Differenz und das Produkt berechnet werden, wofür Klammern notwendig sind. 2. Aufstellen des korrekten Terms: \((2{,}5 - 7{,}5) : (-0{,}25 \cdot 8)\). 3. Berechnung der Differenz: \(2{,}5 - 7{,}5 = -5\). 4. Berechnung des Produkts: \(-0{,}25 \cdot 8 = -2\). 5. Division der Teilergebnisse: \(-5 : (-2) = 2{,}5\).

Der Term des Schülers ist falsch, da Klammern fehlen, um die Differenz und das Produkt zuerst zu berechnen. Der korrekte Wert ist \(2{,}5\).

- Ist es hier sinnvoller, mit Brüchen oder mit Dezimalzahlen zu rechnen? - Überlege, wie du die Brüche mit gleichem Nenner direkt zusammenfassen kannst. - Vergiss nicht, Brüche am Ende so weit wie möglich zu kürzen.

1. Umwandlung von \(\frac{1}{8}\) in \(0{,}125\) für Teilaufgabe a). 2. Gruppieren der positiven und negativen Dezimalzahlen: \((0{,}125 + 0{,}875) - (0{,}25 + 1{,}75)\). 3. Ergebnis: \(1 - 2 = -1\). 4. Auflösen der Klammern in b): \(\frac{5}{6} + 1{,}2 - \frac{1}{6} + 0{,}8\). 5. Gruppieren nach Zahldarstellung: \((\frac{5}{6} - \frac{1}{6}) + (1{,}2 + 0{,}8)\). 6. Berechnung: \(\frac{4}{6} + 2 = \frac{2}{3} + 2 = 2\frac{2}{3}\).

a) \(-1\) b) \(2\frac{2}{3}\) (oder \(\frac{8}{3}\))

- Wandle gemischte Zahlen zuerst in unechte Brüche um. - Berechne zuerst die Ausdrücke innerhalb der eckigen Klammer. - Beachte innerhalb der Klammer die Regel „Punkt vor Strich“. - Kannst du Brüche vor dem Multiplizieren kürzen, um die Rechnung zu vereinfachen?

1. Erste Punktrechnung in der eckigen Klammer: \( \frac{2}{3} \cdot ( - \frac{3}{8} ) = - \frac{6}{24} = - \frac{1}{4} \) 2. Zweite Punktrechnung in der eckigen Klammer: \( \frac{1}{2} : \frac{4}{5} = \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{4} = \frac{5}{8} \) 3. Addition innerhalb der eckigen Klammer auf den Nenner 8: \( - \frac{2}{8} + \frac{5}{8} = \frac{3}{8} \) 4. Umwandlung der gemischten Zahl und finale Subtraktion: \( \frac{5}{4} - \frac{3}{8} = \frac{10}{8} - \frac{3}{8} = \frac{7}{8} \) (entspricht \( 0{,}875 \))

\( \frac{7}{8} \) oder \( 0{,}875 \)

- Welche Rolle spielen die Klammern für die Reihenfolge der Rechnung? - Gilt hier das Distributivgesetz? Vergleiche die Struktur der beiden Terme genau. - Überlege zuerst, welches Vorzeichen die Ergebnisse vermutlich haben werden.

1. Berechnung von Term \(A\): Klammer zuerst berechnen \(2{,}4 - 5{,}4 = -3\); anschließend Multiplikation \(-3 \cdot (-3) = 9\) 2. Berechnung von Term \(B\): Punktrechnung zuerst \(-3 \cdot 2{,}4 = -7{,}2\); anschließend Subtraktion \(-7{,}2 - 5{,}4 = -12{,}6\) 3. Vergleich der Ergebnisse: Da \(9 > -12{,}6\), ist der Wert von Term \(A\) größer.

Term \(A\) hat den größeren Wert, da \(9 > -12{,}6\).

- Behandle den Zähler und den Nenner wie separate Aufgaben, bevor du sie dividierst. - Erinnere dich an die Vorrangregel „Potenz vor Punkt vor Strich“. - Ein Bruchstrich wirkt wie eine Klammer für den gesamten Zähler und den gesamten Nenner. - Kannst du beim Multiplizieren von Brüchen vorab kürzen?

1. Berechnung des Zählers: Zuerst die Potenz \( \left( \frac{1}{3} \right)^2 = \frac{1}{9} \), dann die Subtraktion \( \frac{1}{2} - \frac{1}{9} = \frac{9}{18} - \frac{2}{18} = \frac{7}{18} \) 2. Berechnung des Nenners: Zuerst die Multiplikation \( \frac{5}{4} \cdot \frac{8}{3} = \frac{10}{3} \), dann die Subtraktion \( \frac{10}{3} - \frac{12}{3} = -\frac{2}{3} \) 3. Division des Zählers durch den Nenner: \( \frac{7}{18} : \left( -\frac{2}{3} \right) = \frac{7}{18} \cdot \left( -\frac{3}{2} \right) = -\frac{7 \cdot 1}{6 \cdot 2} = -\frac{7}{12} \)

Das Ergebnis ist \( -\frac{7}{12} \).

- Ein Bruchstrich wirkt wie eine Klammer für den Zähler und den Nenner. - Bei geschachtelten Klammern rechnet man immer von der innersten zur äußersten Klammer. - Überlege dir vor dem Rechnen, ob du das Ergebnis lieber als Bruch oder als Dezimalzahl hättest.

1. Teilaufgabe a): Zähler berechnen: \(\frac{3-2}{6} = \frac{1}{6}\). Nenner berechnen: \(\frac{3+2}{12} = \frac{5}{12}\). Doppelbruch auflösen: \(\frac{1}{6} \cdot \frac{12}{5} = \frac{2}{5} = 0{,}4\). 2. Teilaufgabe b): Innere Klammer: \(1 - 0{,}8 = 0{,}2\). Eckige Klammer berechnen: \(0{,}5 \cdot 0{,}2 + 0{,}1 = 0{,}1 + 0{,}1 = 0{,}2\). Endergebnis: \(2 - 0{,}2 = 1{,}8\). 3. Teilaufgabe c): Potenz berechnen: \((-\frac{2}{3})^3 = -\frac{8}{27}\). Division durch Multiplikation mit dem Kehrwert: \(-\frac{8}{27} \cdot \frac{9}{4} = -\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{1} = -\frac{2}{3}\). Addition: \(-\frac{2}{3} + 1 = \frac{1}{3}\).

a) \(0{,}4\) (oder \(\frac{2}{5}\)) b) \(1{,}8\) (oder \(\frac{9}{5}\)) c) \(\frac{1}{3}\)

- Vergiss bei Teil a) nicht die Regel „Punkt vor Strich“. - Probier für b) und c) systematisch aus, wo du die Klammern setzen kannst: Um die erste Summe, um die letzte Differenz oder um den gesamten hinteren Teil. - Bedenke, dass bei negativen Zahlen ein Wert wie \(-0{,}2\) größer ist als \(-6{,}5\).

1. Standardberechnung: Punktrechnung zuerst: \(5 \cdot 0{,}4 = 2{,}0\). Dann Strichrechnung von links nach rechts: \(-2{,}5 + 2{,}0 = -0{,}5\); \(-0{,}5 - 1{,}2 = -1{,}7\). 2. Maximierung des Wertes: Testen verschiedener Klammerungen. - \((-2{,}5 + 5) \cdot 0{,}4 - 1{,}2 = 2{,}5 \cdot 0{,}4 - 1{,}2 = 1{,}0 - 1{,}2 = -0{,}2\). - \(-2{,}5 + 5 \cdot (0{,}4 - 1{,}2) = -2{,}5 + 5 \cdot (-0{,}8) = -2{,}5 - 4{,}0 = -6{,}5\). - \((-2{,}5 + 5 \cdot 0{,}4) - 1{,}2 = -1{,}7\) (keine Änderung). - \(-2{,}5 + (5 \cdot 0{,}4 - 1{,}2) = -1{,}7\) (keine Änderung). Der größte Wert ist \(-0{,}2\) bei der Klammerung \((-2{,}5 + 5) \cdot 0{,}4 - 1{,}2\). 3. Minimierung des Wertes: Wie oben gezeigt, ergibt \(-2{,}5 + 5 \cdot (0{,}4 - 1{,}2) = -6{,}5\). Dies ist der kleinste mögliche Wert.

a) \(-1{,}7\) b) \((-2{,}5 + 5) \cdot 0{,}4 - 1{,}2 = -0{,}2\) c) \(-2{,}5 + 5 \cdot (0{,}4 - 1{,}2) = -6{,}5\)

- Lies die Sätze genau und identifiziere die Hauptrechenart. - Zerlege lange Beschreibungen in kleinere Teile (z. B. erst die Faktoren bestimmen, dann multiplizieren). - Achte besonders auf den Unterschied zwischen dem „Betrag einer Differenz“ und der „Differenz von Beträgen“. - Prüfe am Ende, ob die Reihenfolge der Operationen (Punkt vor Strich, Klammern zuerst) korrekt abgebildet ist.

1. Schrittweise Lösung für a): Bestimmung des ersten Faktors: \(-11 - (-15) = 4\). Bestimmung des zweiten Faktors: \(-8\). Term: \((-11 - (-15)) \cdot (-8)\). Wert: \(4 \cdot (-8) = -32\). 2. Schrittweise Lösung für b): Berechnung des Quadrats: \((-5)^2 = 25\). Berechnung des Produkts: \(\frac{2}{3} \cdot (-12) = -8\). Term: \((-5)^2 + (\frac{2}{3} \cdot (-12))\). Wert: \(25 + (-8) = 17\). 3. Schrittweise Lösung für c): Berechnung des Produkts: \(-4 \cdot (-7) = 28\). Berechnung der Differenz innerhalb des Betrags: \(10 - 25 = -15\). Betrag der Differenz: \(|-15| = 15\). Term: \((-4 \cdot (-7)) - |10 - 25|\). Wert: \(28 - 15 = 13\).

a) Term: \((-11 - (-15)) \cdot (-8)\), Wert: \(-32\) b) Term: \((-5)^2 + (\frac{2}{3} \cdot (-12))\), Wert: \(17\) c) Term: \((-4 \cdot (-7)) - |10 - 25|\), Wert: \(13\)

- Berechne zuerst die Teilergebnisse in den Klammern für beide Aufgaben. - Achte bei a) genau darauf, welche Zahl von welcher abgezogen wird. - Bei b) hilft es, die Dezimalzahl oder den Bruch am Ende zu vergleichen.

1. Berechnung von Teil a): Differenz: \(-15 - 5 = -20\) Produkt: \(2 \cdot (-2) = -4\) Division: \(-20 : (-4) = 5\) 2. Berechnung von Teil b): Summe: \(-\frac{3}{4} + \frac{1}{2} = -\frac{3}{4} + \frac{2}{4} = -\frac{1}{4}\) Quotient: \(20 : (-2) = -10\) Multiplikation: \(-\frac{1}{4} \cdot (-10) = \frac{10}{4} = 2{,}5\) 3. Vergleich: \(5 > 2{,}5\), daher liefert Anweisung a) das größere Ergebnis.

Anweisung a) ergibt \(5\), Anweisung b) ergibt \(2{,}5\). Somit liefert a) das größere Ergebnis.