Kostenlose Arbeitsblätter

- Überlege dir zuerst, welches Vorzeichen das Ergebnis haben muss. - Erinnere dich: „Minus mal Minus ergibt Plus.“ - Was passiert mit dem Rechenzeichen, wenn ein Minus auf ein Minus trifft? - Stell dir bei Addition und Subtraktion ein Thermometer oder eine Zahlengerade vor.

1. Addition zweier negativer Zahlen: \(-14 - 26 = -40\). 2. Subtraktion einer negativen Zahl (entspricht Addition): \(35 + 15 = 50\). 3. Multiplikation zweier negativer Zahlen (Ergebnis positiv): \(4 \cdot 12 = 48\). 4. Division einer positiven durch eine negative Zahl (Ergebnis negativ): \(100 : (-5) = -20\).

a) \(-40\) b) \(50\) c) \(48\) d) \(-20\)

- Überlege dir zuerst, welches Vorzeichen das Ergebnis haben muss. - Multipliziere oder dividiere die Zahlen zunächst so, als wären sie positiv. - Erinnere dich an die Regel: „Minus mal Minus ergibt Plus.“

1. Bestimmung der Vorzeichen: Bei unterschiedlichen Vorzeichen ist das Ergebnis negativ, bei gleichen Vorzeichen positiv. 2. Schrittweise Berechnung der Beträge: a) \(145 \cdot 14 = 2030\). Da die Vorzeichen verschieden sind: \(-2030\). b) \(2352 : 12 = 196\). Da die Vorzeichen verschieden sind: \(-196\). c) \(26 \cdot 302 = 7852\). Da beide Vorzeichen negativ sind: \(7852\). d) \(4464 : 18 = 248\). Da die Vorzeichen verschieden sind: \(-248\).

a) \(-2030\) b) \(-196\) c) \(7852\) d) \(-248\)

- Welches Vorzeichen hat das Ergebnis, wenn du zwei negative Zahlen addierst? - Erinnere dich an die Regeln für das Rechnen mit verschiedenen Vorzeichen. - Wie findet man den kleinsten gemeinsamen Nenner bei Brüchen? - Hilft es dir, die Subtraktion als Addition der Gegenzahl zu schreiben?

1. Addition zweier negativer Dezimalzahlen: \(-8{,}7 - 13{,}5 = -22{,}2\). 2. Subtraktion einer größeren von einer kleineren Dezimalzahl: \(4{,}2 - 9{,}8 = -(9{,}8 - 4{,}2) = -5{,}6\). 3. Addition von Brüchen durch Erweitern auf den Hauptnenner 18: \(-\frac{10}{18} + \frac{3}{18} = -\frac{7}{18}\). 4. Verrechnung dreier Brüche mit dem Hauptnenner 12: \(\frac{8}{12} - \frac{9}{12} - \frac{6}{12} = \frac{8 - 9 - 6}{12} = -\frac{7}{12}\).

a) \(-22{,}2\) b) \(-5{,}6\) c) \(-\frac{7}{18}\) d) \(-\frac{7}{12}\)

- Was ist das Gesamtgewicht und woraus setzt es sich zusammen? - Wie kannst du den Anteil berechnen, der übrig bleibt, wenn du bekannte Teile abziehst? - Hilft es dir, zuerst alle Gewichte im Inneren des Ranzens zusammenzuzählen?

1. Identifikation der Teilgewichte: \(1{,}85\,\text{kg}\), \(0{,}42\,\text{kg}\), \(0{,}35\,\text{kg}\) und \(0{,}75\,\text{kg}\). 2. Aufstellen des Terms für die Summe der Inhalte: \((1{,}85 + 0{,}42 + 0{,}35 + 0{,}75)\). 3. Aufstellen des Terms für das Gewicht des Ranzens: \(4{,}5 - (1{,}85 + 0{,}42 + 0{,}35 + 0{,}75)\). 4. Berechnung der Summe der Inhalte: \(1{,}85 + 0{,}42 + 0{,}35 + 0{,}75 = 3{,}37\,\text{kg}\). 5. Subtraktion vom Gesamtgewicht: \(4{,}5 - 3{,}37 = 1{,}13\,\text{kg}\).

Term: \(4{,}5 - (1{,}85 + 0{,}42 + 0{,}35 + 0{,}75)\) Das Gewicht des leeren Ranzens beträgt \(1{,}13\,\text{kg}\).

- Überlege dir zuerst, ob das Ergebnis positiv oder negativ sein muss. - Bei Rechnungen mit gleichen Vorzeichen addierst du die Beträge. - Bei Rechnungen mit unterschiedlichen Vorzeichen subtrahierst du den kleineren Betrag vom größeren. - Vergiss nicht, Brüche am Ende zu kürzen, wenn Zähler und Nenner einen gemeinsamen Teiler haben.

1. Subtraktion einer größeren Zahl von einer kleineren: \( 45 - 72 = -(72 - 45) = -27 \). 2. Addition zweier negativer Zahlen: \( -18 + (-12) = -(18 + 12) = -30 \). 3. Subtraktion gleichnamiger Brüche: \( \frac{5}{6} - \frac{1}{6} = \frac{4}{6} \). Kürzen durch 2 ergibt \( \frac{2}{3} \). 4. Subtraktion eines Bruchs von einer negativen Zahl: \( -\frac{3}{8} - \frac{1}{8} = \frac{-3 - 1}{8} = -\frac{4}{8} \). Kürzen durch 4 ergibt \( -\frac{1}{2} \).

a) \( -27 \) b) \( -30 \) c) \( \frac{2}{3} \) d) \( -\frac{1}{2} \)

- Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn ein Minus vor einer Klammer steht? - In welcher Reihenfolge löst man geschachtelte Klammern am besten auf? - Kannst du den Term vereinfachen, bevor du rechnest?

1. Berechnung von a): \(-18 + 42 + 15 = 24 + 15 = 39\) 2. Berechnung von b): Zuerst die Klammer ausrechnen: \(250 - 75 = 175\). Dann die Subtraktion: \(125 - 175 = -50\) 3. Berechnung von c): Innere Klammer zuerst: \(12 - 22 = -10\). Dann die eckige Klammer: \(-40 + (-10) = -50\). Schließlich den gesamten Term: \(-15 - (-50) = -15 + 50 = 35\)

a) 39 b) -50 c) 35

- Welche Rechenoperationen müssen nach der Regel „Klammern vor Potenzen vor Punkt vor Strich“ zuerst ausgeführt werden? - Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn du eine negative Zahl quadrierst? - Achte besonders auf das Rechenzeichen vor der Multiplikation und das Vorzeichen des Ergebnisses der Multiplikation.

1. Potenz berechnen: \( (-4)^2 = 16 \) 2. Klammerausdruck berechnen: \( 14 - 18 = -4 \) 3. Multiplikation durchführen: \( 5 \cdot (-4) = -20 \) 4. Division durchführen: \( 24 : (-6) = -4 \) 5. Zwischenergebnisse zusammenführen: \( 16 - (-20) + (-4) \) 6. Subtraktion der negativen Zahl (Addition): \( 16 + 20 - 4 = 32 \)

32

- Kannst du die Potenzen einzeln ausrechnen? - Was bedeutet die Basis und was der Exponent bei einer Potenz? - Vergleiche am Ende die beiden Endergebnisse miteinander.

1. Berechnung von Term \(A\): \(2^6 = 64\) und \(4^3 = 64\). 2. Subtraktion für \(A\): \(64 - 64 = 0\). 3. Berechnung von Term \(B\): \(5^3 = 125\) und \(11^2 = 121\). 4. Subtraktion für \(B\): \(125 - 121 = 4\). 5. Vergleich der Ergebnisse: Da \(4 > 0\) ist, hat Term \(B\) das größere Ergebnis.

Term \(B\) ist größer, da sein Wert \(4\) ist, während Term \(A\) den Wert \(0\) hat.

- Welche Rechenoperation musst du zuerst ausführen? - Wie multipliziert man einen Bruch mit einer ganzen Zahl? - Denk daran, dass man durch einen Bruch dividiert, indem man mit dem Kehrwert multipliziert. - Wandle gemischte Zahlen in Brüche um, um besser rechnen zu können.

1. Multiplikation vor Addition: \(\frac{3}{8} \cdot 2 = \frac{3}{4}\). 2. Addition der Brüche: \(1\frac{1}{4} + \frac{3}{4} = \frac{5}{4} + \frac{3}{4} = \frac{8}{4} = 2\). 3. Division vor Subtraktion: \(10 : \frac{5}{2} = 10 \cdot \frac{2}{5} = \frac{20}{5} = 4\). 4. Subtraktion: \(4 - \frac{1}{2} = 3\frac{1}{2}\) (oder \(\frac{7}{2}\)).

a) 2 b) \(3\frac{1}{2}\)

- Überlege zuerst, welche Rechenregel bei Klammern Vorrang hat. - Suche für die Addition und Subtraktion von Brüchen einen gemeinsamen Nenner. - Wandle gemischte Zahlen in unechte Brüche um, um leichter rechnen zu können.

1. Berechnung des Klammerinhalts: Bestimmung des Hauptnenners für \(2\frac{3}{4} + \frac{5}{6}\). Der Hauptnenner von 4 und 6 ist 12. Umwandlung in Brüche: \(\frac{11}{4} + \frac{5}{6} = \frac{33}{12} + \frac{10}{12} = \frac{43}{12}\). 2. Subtraktion vom ersten Wert: Umwandlung von \(4\frac{1}{2}\) in einen Bruch mit Nenner 12: \(4\frac{1}{2} = \frac{9}{2} = \frac{54}{12}\). 3. Gesamtergebnis berechnen: \(\frac{54}{12} - \frac{43}{12} = \frac{11}{12}\).

\(\frac{11}{12}\)

- Denk an die Regel „Klammer zuerst“. - Wandle gemischte Zahlen in Brüche um, bevor du rechnest. - Achte bei der Multiplikation auf die Vorzeichenregeln (Minus mal Minus ergibt Plus). - Um Brüche zu addieren, musst du sie auf den gleichen Nenner bringen.

1. Teilaufgabe a): Klammerinhalt berechnen durch Erweitern auf den Nenner 10: \(2 \frac{1}{2} + \frac{3}{10} = \frac{25}{10} + \frac{3}{10} = \frac{28}{10} = \frac{14}{5}\). 2. Subtraktion vom ersten Wert: \(4 \frac{2}{5} - \frac{14}{5} = \frac{22}{5} - \frac{14}{5} = \frac{8}{5} = 1 \frac{3}{5}\). 3. Teilaufgabe b): Klammerinhalt berechnen: \(\frac{2}{3} - \frac{6}{3} = -\frac{4}{3}\). 4. Multiplikation der rationalen Zahlen unter Beachtung der Vorzeichenregeln: \(-1 \frac{1}{4} \cdot \left( -\frac{4}{3} \right) = -\frac{5}{4} \cdot \left( -\frac{4}{3} \right) = \frac{20}{12} = \frac{5}{3} = 1 \frac{2}{3}\).

a) \(1 \frac{3}{5}\) b) \(1 \frac{2}{3}\)

- Was musst du beim Dividieren von Brüchen beachten? - Hilft es dir, Dezimalzahlen zuerst in Brüche umzuwandeln? - Welche Rechenregel musst du bei Aufgabe b) zuerst anwenden (Punkt- vor Strichrechnung)? - Kannst du vor dem Multiplizieren über Kreuz kürzen?

a) 1. Kehrwert des Divisors bilden und multiplizieren: \(\frac{14}{15} \cdot \frac{10}{21}\) 2. Zähler und Nenner faktorisieren und kürzen: \(\frac{2 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 5}{3 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 7} = \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 3}\) 3. Ergebnis berechnen: \(\frac{4}{9}\) b) 1. Dezimalzahl in einen Bruch umwandeln: \(1{,}2 = \frac{12}{10} = \frac{6}{5}\) 2. Multiplikation durchführen: \(\frac{6}{5} \cdot \frac{5}{6} = 1\) 3. Addition durchführen: \(1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}\) (oder \(1 \frac{1}{2}\))

a) \(\frac{4}{9}\) b) \(\frac{3}{2}\) oder \(1 \frac{1}{2}\)

- Erinnere dich an die Regel: Klammern zuerst. - Um Brüche zu addieren, müssen sie den gleichen Nenner haben. - Wie schreibt man Zehntel als Dezimalzahl?

1. Berechnung des Klammerinhalts durch Finden des Hauptnenners \(10\): \(\frac{2}{5} + \frac{1}{2} = \frac{4}{10} + \frac{5}{10} = \frac{9}{10}\) 2. Subtraktion des Klammerergebnisses vom ersten Wert: \(\frac{7}{10} - \frac{9}{10} = -\frac{2}{10}\) 3. Umwandlung in eine Dezimalzahl: \(-\frac{2}{10} = -0{,}2\)

\(-0{,}2\)

- Zähle bei Multiplikationen die Nachkommastellen der Faktoren. - Denke bei Potenzen daran, wie oft das Vorzeichen mit sich selbst multipliziert wird. - Kannst du Brüche in Dezimalzahlen umwandeln, um die Rechnung zu vereinfachen? - Überlege dir bei der Subtraktion, welche der beiden Zahlen den größeren Betrag hat.

1. Multiplikation einer negativen mit einer positiven Zahl ergibt ein negatives Vorzeichen: \( -0{,}4 \cdot 1{,}2 = -0{,}48 \). 2. Division zweier negativer Zahlen ergibt ein positives Vorzeichen: \( -2{,}5 : (-5) = 0{,}5 \). 3. Subtraktion einer größeren von einer kleineren Zahl: \( 0{,}12 - 0{,}2 = -0{,}08 \). 4. Eine negative Zahl mit ungeradem Exponenten ergibt ein negatives Vorzeichen: \( (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) = -27 \). 5. Umwandeln des Bruchs in eine Dezimalzahl und Addition: \( -0{,}5 + 0{,}3 = -0{,}2 \).

a) \( -0{,}48 \) b) \( 0{,}5 \) c) \( -0{,}08 \) d) \( -27 \) e) \( -0{,}2 \)

- Überlege dir zuerst, welches Vorzeichen das Ergebnis haben muss. - Erinnere dich an die Regel für die Division von Brüchen. - Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn man zwei negative Zahlen miteinander multipliziert?

1. Untersuchung von Teilaufgabe a: Das Produkt zweier negativer Zahlen muss positiv sein. Die Rechnung \( 0{,}2 \cdot 0{,}3 = 0{,}06 \) ist korrekt, aber das Vorzeichen ist falsch. Das richtige Ergebnis ist \( 0{,}06 \). 2. Untersuchung von Teilaufgabe b: Bei der Division durch einen Bruch muss mit dem Kehrwert multipliziert werden. Hier wurde fälschlicherweise Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multipliziert (wie bei einer Multiplikation). Die korrekte Rechnung lautet \( \frac{3}{4} \cdot \left(-\frac{2}{1}\right) = -\frac{6}{4} \). Gekürzt ergibt das \( -\frac{3}{2} \) oder als Dezimalzahl \( -1{,}5 \).

a) Fehler: Vorzeichenfehler (Minus mal Minus ergibt Plus). Richtig: \( 0{,}06 \). b) Fehler: Es wurde wie bei einer Multiplikation Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multipliziert, statt mit dem Kehrwert des Divisors zu multiplizieren. Richtig: \( -1{,}5 \) oder \( -\frac{3}{2} \).

- Überlege dir zuerst, ob das Ergebnis positiv oder negativ sein muss. - Wie verändert sich das Vorzeichen bei einer geraden Anzahl an Minuszeichen in einer Multiplikationskette? - Kannst du Brüche in Dezimalzahlen umwandeln, um leichter zu rechnen?

1. Addition zweier negativer Zahlen führt zu einem negativen Ergebnis mit dem addierten Betrag: \(- (12{,}4 + 3{,}6) = -16\). 2. Multiplikation zweier negativer Zahlen ergibt ein positives Vorzeichen: \(8 \cdot 1{,}5 = 12\). 3. Umwandlung des Bruchs in eine Dezimalzahl: \(\frac{3}{4} = 0{,}75\). Subtraktion: \(0{,}75 - 1{,}25 = -0{,}5\). 4. Eine negative Basis mit einem geraden Exponenten ergibt ein positives Ergebnis: \((-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = 16\).

a) \(-16\) b) \(12\) c) \(-0{,}5\) d) \(16\)

- Was bedeutet die kleine Zahl oben rechts (der Exponent) für die Rechnung? - Wie multipliziert man Brüche miteinander? - Wie viele Nachkommastellen hat das Ergebnis, wenn man eine Dezimalzahl mit sich selbst multipliziert? - Kannst du die Potenz als eine Kette von Multiplikationen schreiben?

1. Multiplikation der Dezimalzahl mit sich selbst für Teilaufgabe a: \(0{,}4 \cdot 0{,}4 = 0{,}16\). 2. Potenzieren von Zähler und Nenner für Teilaufgabe b: \(\frac{2^3}{3^3} = \frac{8}{27}\). 3. Bestimmung des Stellenwerts für die vierte Potenz von \(0{,}1\) in Teilaufgabe c: \(0{,}1 \cdot 0{,}1 \cdot 0{,}1 \cdot 0{,}1 = 0{,}0001\). 4. Potenzieren des Bruchs in Teilaufgabe d: \(\frac{5^2}{2^2} = \frac{25}{4}\) (oder als Dezimalzahl \(6{,}25\)).

a) \(0{,}16\) b) \(\frac{8}{27}\) c) \(0{,}0001\) d) \(\frac{25}{4}\) oder \(6{,}25\)

- Was musst du zuerst berechnen, wenn eine Klammer im Term steht? - Hilft es dir, die Dezimalzahlen in Brüche umzuwandeln, bevor du multiplizierst? - Kannst du bei der Multiplikation von Brüchen vorab kürzen?

1. Berechnung von \(1{,}5 - (\frac{2}{3} + 0{,}5)\): Klammerinhalt \(\frac{2}{3} + \frac{1}{2} = \frac{4}{6} + \frac{3}{6} = \frac{7}{6}\); Subtraktion \(\frac{3}{2} - \frac{7}{6} = \frac{9}{6} - \frac{7}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\). 2. Berechnung von \(-2{,}4 \cdot \frac{5}{6}\): Umwandlung \(- \frac{24}{10} \cdot \frac{5}{6} = - \frac{12}{5} \cdot \frac{5}{6}\); Kürzen von \(5\) gegen \(5\) und von \(12\) gegen \(6\) führt zu \(-2\). 3. Berechnung von \(\frac{7}{10} + (-0{,}3) - \frac{1}{2}\): Umwandlung in Dezimalzahlen ergibt \(0{,}7 - 0{,}3 - 0{,}5 = 0{,}4 - 0{,}5 = -0{,}1\).

a) \(\frac{1}{3}\) b) \(-2\) c) \(-0{,}1\) oder \(-\frac{1}{10}\)

- Welche Rechenart musst du zuerst ausführen: Potenz, Punkt oder Strich? - Beachte den Unterschied zwischen \(-10^2\) und \((-10)^2\): Worauf bezieht sich der Exponent? - Achte beim Subtrahieren einer negativen Zahl auf die beiden Minuszeichen.

1. Teilaufgabe a): Potenz berechnen \(-10^2 = -100\). 2. Division und Multiplikation durchführen: \(-100 : 5 = -20\) und \(4 \cdot (-6) = -24\). 3. Term zusammenfassen: \(-20 - (-24) + 3 = -20 + 24 + 3 = 7\). 4. Teilaufgabe b): Potenz berechnen \((-3)^3 = -27\). 5. Multiplikation durchführen: \(8 \cdot (-2) = -16\). 6. Term zusammenfassen: \(-27 + (-16) - (-12) = -27 - 16 + 12 = -31\).

a) 7 b) -31

- Welche Rechenregel bestimmt die Reihenfolge der Operationen, wenn Klammern vorhanden sind? - Welche Operation wird bei der Punkt-vor-Strich-Regel zuletzt ausgeführt? - Kannst du den Term laut vorlesen, um die Hauptstruktur zu erkennen?

1. Teilaufgabe a): Bestimmung der Struktur als Produkt aus einer Summe und einer Zahl. Berechnung der Klammer: \(-1{,}2 + 3{,}7 = 2{,}5\). Berechnung des Produkts: \(2{,}5 \cdot (-4) = -10\). 2. Teilaufgabe b): Bestimmung der Struktur als Differenz, bei der der Subtrahend ein Quotient ist. Berechnung des Quotienten: \(0{,}75 : \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \cdot 4 = 3\). Berechnung der Differenz: \(5{,}5 - 3 = 2{,}5\).

a) Struktur: Produkt; Wert: \(-10\) b) Struktur: Differenz; Wert: \(2{,}5\)

- Überlege zuerst, ob es einfacher ist, alle Zahlen als Brüche oder als Dezimalzahlen zu schreiben. - Achte bei der Addition und Subtraktion von Brüchen darauf, sie zuerst auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen. - Gehe Schritt für Schritt vor und berechne zuerst die Werte innerhalb der Klammern.

1. Berechnung der ersten Klammer: Wandle \(1{,}5\) in einen Bruch um: \(1{,}5 = \frac{3}{2}\). Bringe die Brüche auf den Hauptnenner 6: \(\frac{4}{6} - \frac{9}{6} = -\frac{5}{6}\). 2. Berechnung der zweiten Klammer: Wandle \(0{,}25\) in einen Bruch um: \(0{,}25 = \frac{1}{4}\). Bringe die Brüche auf den Hauptnenner 12: \(-\frac{10}{12} + \frac{3}{12} = -\frac{7}{12}\). 3. Addition der Zwischenergebnisse: Bringe \(-\frac{5}{6}\) und \(-\frac{7}{12}\) auf den Hauptnenner 12: \(-\frac{10}{12} + (-\frac{7}{12}) = -\frac{17}{12}\).

\(-\frac{17}{12}\) oder \(-1\frac{5}{12}\)

- Welche Rechenregel bestimmt, ob du zuerst addieren oder multiplizieren darfst? - Was bedeutet die kleine Hochzahl bei einer Potenz genau? - Überprüfe die Vorzeichen bei der Subtraktion in der Klammer.

1. Fehleranalyse: Im 1. Schritt wurde die Addition \(1{,}5 + 2{,}5\) vor der Multiplikation durchgeführt (Verstoß gegen die Punkt-vor-Strich-Regel). Zudem wurde die Potenz \(3^2\) fälschlicherweise als \(3 \cdot 2 = 6\) berechnet. 2. Korrekte Berechnung der Klammer: \(4{,}4 - 6{,}4 = -2\) 3. Korrekte Berechnung der Potenz: \(3^2 = 9\) 4. Einsetzen und Punktrechnung: \(1{,}5 + 2{,}5 \cdot (-2) - 9 = 1{,}5 - 5 - 9\) 5. Endergebnis berechnen: \(1{,}5 - 5 - 9 = -3{,}5 - 9 = -12{,}5\)

Die Fehler liegen im 1. Schritt: Es wurde fälschlicherweise \(1{,}5 + 2{,}5\) zuerst addiert und \(3^2\) als 6 berechnet. Das richtige Ergebnis ist \(-12{,}5\).

- Welche Rechenregel bestimmt die Reihenfolge der Berechnungen? - Ist es einfacher, mit Dezimalzahlen oder mit Brüchen zu rechnen? - Achte besonders auf die Vorzeichen bei der Subtraktion. - Kannst du den Term in kleinere Teilschritte zerlegen?

1. Berechnung des Ausdrucks in der ersten Klammer: \(-1{,}5 + 0{,}4 = -1{,}1\). 2. Multiplikation des Ergebnisses mit \(10\): \(-1{,}1 \cdot 10 = -11\). 3. Berechnung der Division in der zweiten Klammer: \(-\frac{3}{4} : 0{,}25 = -0{,}75 : 0{,}25 = -3\). 4. Subtraktion der beiden Teilergebnisse: \(-11 - (-3) = -11 + 3 = -8\).

\(-8\)

- Welche Rechenregel bestimmt die Reihenfolge der Operationen (Klammern zuerst, Punkt vor Strich)? - Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn eine negative Zahl quadriert wird? - Kannst du den Term in Teilschritte zerlegen, indem du von innen nach außen rechnest? - Überlege dir zuerst, welcher Rechenschritt ganz zum Schluss ausgeführt wird, um den Term zu benennen.

1. Struktur bestimmen: Der Term ist eine Summe, da die letzte auszuführende Operation die Addition von \(-2{,}5\) und dem Wert der eckigen Klammer ist. 2. Potenz berechnen: \((-0{,}4)^2 = 0{,}16\). 3. Multiplikation in der Klammer ausführen: \(0{,}16 \cdot 5 = 0{,}8\). 4. Subtraktion in der Klammer ausführen: \(0{,}5 - 0{,}8 = -0{,}3\). 5. Endergebnis durch Addition berechnen: \(-2{,}5 + (-0{,}3) = -2{,}8\).

\(-2{,}8\)

- Beachte die Vorrangregeln: Multiplikation und Division werden vor Addition und Subtraktion durchgeführt. - Es hilft oft, Dezimalzahlen in Brüche umzuwandeln oder umgekehrt, um leichter rechnen zu können.

1. Teilaufgabe a): Division vor Addition gemäß der Regel „Punkt vor Strich“: \(0{,}5 : \frac{1}{2} = 0{,}5 : 0{,}5 = 1\). Addition des Ergebnisses: \(\frac{3}{4} + 1 = 1{,}75\). 2. Teilaufgabe b): Multiplikation vor Subtraktion: \(1{,}2 \cdot \frac{5}{6} = \frac{6}{5} \cdot \frac{5}{6} = 1\). Subtraktion: \(1 - 0{,}4 = 0{,}6\).

a) \(1{,}75\) oder \(1 \frac{3}{4}\) b) \(0{,}6\) oder \(\frac{3}{5}\)

- Überlege, welcher Teil des Terms aufgrund der Klammern zuerst berechnet werden muss. - Wie bringst du Brüche auf einen gemeinsamen Nenner, um sie subtrahieren zu können? - Kannst du ein Zwischenergebnis kürzen, bevor du mit dem nächsten Schritt weitermachst?

1. Subtraktion in der Klammer durchführen: Zuerst wird der gemeinsame Nenner \(6\) bestimmt. Damit ergibt sich \(\frac{5}{6} - \frac{3}{6} = \frac{2}{6}\). 2. Kürzen des Bruchs: Das Ergebnis der Klammer wird zu \(\frac{1}{3}\) vereinfacht. 3. Multiplikation mit dem äußeren Faktor: \(\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{3} = \frac{3 \cdot 1}{4 \cdot 3} = \frac{3}{12}\). 4. Endgültiges Ergebnis kürzen: \(\frac{3}{12} = \frac{1}{4}\).

\(\frac{1}{4}\)

- Achte auf die Vorzeichenregeln bei der Multiplikation und Division. - Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn du eine negative Zahl subtrahierst? - Überlege dir bei der Addition, welche Zahl den größeren Betrag hat, um das Vorzeichen des Ergebnisses zu bestimmen.

1. Multiplikation einer negativen mit einer positiven Zahl: \(-14 \cdot 6 = -84\). 2. Division zweier negativer Zahlen: \(-72 : (-4) = 18\). 3. Addition einer positiven zu einer negativen Zahl: \(-105 + 38 = -67\). 4. Subtraktion einer negativen Zahl entspricht der Addition der Gegenzahl: \(17 + 83 = 100\).

a) -84 b) 18 c) -67 d) 100

- Achte auf die Vorzeichenregeln beim Auflösen von Klammern. - Bringe Brüche vor der Addition oder Subtraktion immer auf denselben Nenner. - Überlege dir bei Dezimalzahlen, ob das Ergebnis positiv oder negativ sein muss, bevor du rechnest.

1. Addition zweier negativer Dezimalzahlen: \(-4{,}8 - 2{,}35 = -7{,}15\). 2. Addition von Brüchen durch Erweitern auf den Hauptnenner 6: \(-\frac{5}{6} + \frac{2}{6} = -\frac{3}{6} = -\frac{1}{2}\). 3. Verrechnung unterschiedlicher Vorzeichen: \(0{,}75 - 1{,}2 = -0{,}45\). 4. Berechnung der Klammer mit Hauptnenner 8: \(\frac{2}{8} - \frac{5}{8} = -\frac{3}{8}\). Das Minuszeichen vor der Klammer kehrt das Vorzeichen um: \(-(-\frac{3}{8}) = \frac{3}{8}\).

a) \(-7{,}15\) b) \(-\frac{1}{2}\) c) \(-0{,}45\) d) \(\frac{3}{8}\)

- Denk an die Regel: Klammern zuerst berechnen. - Was passiert mit dem Rechenzeichen, wenn ein Minus vor einer Klammer steht, in der ein negatives Ergebnis herauskommt? - Kannst du die Aufgabe am Zahlenstrahl verbildlichen?

1. Berechnung der ersten Klammer: \(-4{,}2 + 1{,}7 = -2{,}5\) 2. Berechnung der zweiten Klammer: \(0{,}8 - 2{,}3 = -1{,}5\) 3. Subtraktion der Ergebnisse unter Beachtung der Vorzeichenregeln: \(-2{,}5 - (-1{,}5) = -2{,}5 + 1{,}5 = -1{,}0\)

\(-1\)

- Beachte die Vorrangregeln: Klammern zuerst, dann Punkt-vor-Strich-Rechnung. - Wandle den Bruch am besten in eine Dezimalzahl um, um die Rechnung in der Klammer zu vereinfachen. - Denk an die Vorzeichenregeln bei der Division zweier negativer Zahlen.

1. Berechnung des Ausdrucks in der Klammer: \(-2{,}25 + 0{,}5 = -1{,}75\) 2. Division des Ergebnisses durch \(-0{,}5\): \(-1{,}75 : (-0{,}5) = 3{,}5\) 3. Subtraktion von \(4{,}5\): \(3{,}5 - 4{,}5 = -1\)

\(-1\)

- Achte auf die Vorzeichenregeln bei der Multiplikation und Division. - Wandle Brüche in Dezimalzahlen um, wenn es die Rechnung vereinfacht. - Beachte die Vorrangregeln: Klammern zuerst, dann Punkt-vor-Strich-Rechnung.

1. Teilaufgabe a): Zuerst wird die Klammer berechnet: \((\frac{3}{4} - 1{,}25) = (0{,}75 - 1{,}25) = -0{,}5\). Danach folgt die Multiplikation: \(-0{,}5 \cdot (-4) = 2\). Schließlich die Addition: \(2 + 0{,}5 = 2{,}5\). 2. Teilaufgabe b): Zuerst wird der Wert in der Klammer bestimmt: \((\frac{1}{5} + 0{,}1) = (0{,}2 + 0{,}1) = 0{,}3\). Es folgt die Division: \(-0{,}6 : 0{,}3 = -2\). Zuletzt wird subtrahiert: \(-2 - (-2) = -2 + 2 = 0\).

a) \(2{,}5\) b) \(0\)

- Überlege dir für die Schätzung, mit welchen gerundeten Zahlen du besonders leicht im Kopf rechnen kannst. - Denk an die Vorrangregeln: Was muss in einem Term immer zuerst berechnet werden? - Wandle Brüche in Dezimalzahlen um, wenn das die Rechnung vereinfacht.

1. Schätzung zu a): \(4{,}2 \approx 4\) und \(3\frac{4}{5} = 3{,}8 \approx 4\). Daher ist \((4 + 4) \cdot 0{,}5 \approx 4\). 2. Exakte Berechnung zu a): \(3\frac{4}{5} = 3{,}8\). Dann \(4{,}2 + 3{,}8 = 8\) und \(8 \cdot 0{,}5 = 4\). 3. Schätzung zu b): \(2{,}5 \cdot 3 = 7{,}5\), also liegt \(10{,}5 - 7{,}5\) ungefähr bei \(3\). 4. Exakte Berechnung zu b): Aufgrund der Regel „Punkt vor Strich“ wird zuerst das Produkt gebildet: \(2{,}5 \cdot 3 = 7{,}5\). Danach \(10{,}5 - 7{,}5 = 3\).

a) Schätzung: ca. 4; Exakter Wert: 4 b) Schätzung: ca. 3; Exakter Wert: 3

- Wandle den Bruch in eine Dezimalzahl um, um die Subtraktion in der ersten Klammer zu vereinfachen. - Beachte die Vorzeichenregeln bei der Division. - Rechne zuerst die Ausdrücke in den Klammern aus.

1. Erste Klammer berechnen: \(1{,}2 - 0{,}75 = 0{,}45\). 2. Zweite Klammer berechnen: \(0{,}2 - 0{,}5 = -0{,}3\). 3. Division durchführen: \(0{,}45 : (-0{,}3) = -1{,}5\).

\(-1{,}5\) oder \(-\frac{3}{2}\)

- Beachte die Vorrangregeln für Klammern. - Überlege dir zuerst, welches Vorzeichen das Ergebnis der Klammer hat. - Erinnere dich an die Vorzeichenregel bei der Multiplikation zweier negativer Zahlen.

1. Berechnung des Ausdrucks in der Klammer: \(-4{,}2 + 1{,}85 = -2{,}35\). 2. Multiplikation des Zwischenergebnisses mit dem zweiten Faktor: \(-2{,}35 \cdot (-2{,}5) = 5{,}875\).

\(5{,}875\)

- Gilt hier die Regel „Punkt-vor-Strich“? - Es kann hilfreich sein, Brüche und Dezimalzahlen in das gleiche Format zu bringen. - Berechne die einzelnen Bestandteile des Terms nacheinander, bevor du sie addierst.

1. Umwandlung des Bruchs in eine Dezimalzahl oder des Dezimalbruchs in einen Bruch: \(\frac{3}{4} = 0{,}75\). 2. Durchführung der Division: \(0{,}75 : (-0{,}5) = -1{,}5\). 3. Durchführung der Multiplikation in der Klammer: \(1{,}2 \cdot 5 = 6\). 4. Addition der beiden Teilergebnisse: \(-1{,}5 + 6 = 4{,}5\).

\(4{,}5\)

- Überlege dir zuerst, welches Vorzeichen das Ergebnis haben muss. - Verwende die schriftliche Division für die Beträge der Zahlen. - Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn man eine positive durch eine negative Zahl teilt?

1. Bestimmung des Vorzeichens: Da eine positive Zahl durch eine negative Zahl geteilt wird, ist das Ergebnis negativ. 2. Durchführung der Division der Beträge: \(18\,432 : 16\). 3. \(18 : 16 = 1\) Rest \(2\). 4. \(24 : 16 = 1\) Rest \(8\). 5. \(83 : 16 = 5\) Rest \(3\). 6. \(32 : 16 = 2\) Rest \(0\). 7. Der Quotient der Beträge ist \(1152\). 8. Unter Berücksichtigung des Vorzeichens ergibt sich \(-1152\).

\(-1152\)

- Wandle Brüche in Dezimalzahlen um oder umgekehrt, um leichter rechnen zu können. - Achte auf die Vorzeichenregeln bei der Division und Subtraktion. - Denk an die Regel „Punkt-vor-Strich-Rechnung“. - Bei negativen Zahlen ist diejenige größer, die näher an der Null liegt.

1. Berechnung von a): \(-\frac{1}{2} + (1{,}2 : (-3)) = -0{,}5 - 0{,}4 = -0{,}9\) 2. Berechnung von b): \(0{,}4 \cdot (-2) + \frac{3}{5} = -0{,}8 + 0{,}6 = -0{,}2\) 3. Berechnung von c): \(-\frac{1}{4} - (-0{,}15) = -0{,}25 + 0{,}15 = -0{,}1\) 4. Vergleich der Ergebnisse: Da \(-0{,}1 > -0{,}2 > -0{,}9\) gilt, ist der Wert von Term c) am größten.

Der Term c) hat mit \(-0{,}1\) den größten Wert.

- Denk an die Regel „Punkt vor Strich“. - Wie multipliziert man eine ganze Zahl mit einem Bruch? - Was musst du tun, wenn du durch einen Bruch dividieren möchtest? - Bei der Addition und Subtraktion müssen die Nenner gleich sein. - Klammern werden immer zuerst berechnet.

1. Teilaufgabe a: Punkt-vor-Strich-Rechnung. Zuerst \( \frac{1}{4} \cdot 3 = \frac{3}{4} \). Dann Addition: \( \frac{3}{8} + \frac{6}{8} = \frac{9}{8} \) oder \( 1 \frac{1}{8} \). 2. Teilaufgabe b: Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner rechnen: \( \frac{5 \cdot 9}{6 \cdot 10} = \frac{45}{60} \). Kürzen mit 15 ergibt \( \frac{3}{4} \). 3. Teilaufgabe c: Division durch einen Bruch ist Multiplikation mit dem Kehrwert: \( 12 \cdot \frac{5}{4} = 3 \cdot 5 = 15 \). Dann Subtraktion: \( 15 - 7 = 8 \). 4. Teilaufgabe d: Klammer zuerst berechnen: \( \frac{4}{6} + \frac{1}{6} = \frac{5}{6} \). Dann Multiplikation: \( \frac{5}{6} \cdot 12 = 5 \cdot 2 = 10 \).

a) \( \frac{9}{8} \) (oder \( 1 \frac{1}{8} \)) b) \( \frac{3}{4} \) c) \( 8 \) d) \( 10 \)

- Ist es für dich einfacher, mit Brüchen oder mit Dezimalzahlen zu rechnen? Wandle alles in die Form um, mit der du besser arbeiten kannst. - Erinnere dich an die Umrechnung: Was ist \( \frac{1}{4} \), \( \frac{1}{2} \) oder \( \frac{1}{5} \) als Dezimalzahl? - Achte besonders auf das „Minus vor dem Minus“.

1. Umwandlung in einheitliche Darstellung (Bruch oder Dezimalzahl): \( 0{,}75 - 1{,}25 = -0{,}5 \) bzw. \( -\frac{1}{2} \). 2. Vereinfachung des Terms zu \( -0{,}6 + 0{,}2 \). Berechnung ergibt \( -0{,}4 \) bzw. \( -\frac{2}{5} \). 3. Schrittweise Subtraktion: \( 2 - 0{,}5 = 1{,}5 \); dann \( 1{,}5 - 0{,}75 = 0{,}75 \) bzw. \( \frac{3}{4} \). 4. Umwandlung von \( \frac{1}{8} \) in \( 0{,}125 \): \( -0{,}125 - 0{,}125 = -0{,}25 \) bzw. \( -\frac{1}{4} \).

a) \( -0{,}5 \) oder \( -\frac{1}{2} \) b) \( -0{,}4 \) oder \( -\frac{2}{5} \) c) \( 0{,}75 \) oder \( \frac{3}{4} \) d) \( -0{,}25 \) oder \( -\frac{1}{4} \)

- Was passiert, wenn du zwei Schuldenbeträge zusammenzählst? - Erinnere dich: Das Subtrahieren einer negativen Zahl entspricht dem Addieren ihrer Gegenzahl. - Vergleiche die Abstände der Zahlen zur Null (ihre Beträge). Welche Zahl „zieht“ das Ergebnis stärker in ihre Richtung? - Bringe Brüche auf den gleichen Nenner, um ihre Größe besser vergleichen zu können.

1. Bei a) werden zwei negative Zahlen addiert, was eine negative Summe ergibt: Vorzeichen negativ. 2. Bei b) entspricht das Subtrahieren einer negativen Zahl der Addition einer positiven Zahl (\(24 + 10\)), woraus eine positive Summe folgt: Vorzeichen positiv. 3. Bei c) ist der Betrag der negativen Zahl (\(|-0{,}5| = 0{,}5\)) größer als der Betrag der positiven Zahl (\(0{,}3\)), weshalb das Ergebnis das Vorzeichen der betragsmäßig größeren Zahl übernimmt: Vorzeichen negativ. 4. Bei d) ist \(\frac{1}{2} = \frac{2}{4}\). Da \(\frac{2}{4} < \frac{3}{4}\), führt das Abziehen einer größeren von einer kleineren positiven Zahl zu einem negativen Wert: Vorzeichen negativ. 5. Bei e) wird der Ausdruck zu \(-8 + 5\) vereinfacht. Da der Betrag der negativen Zahl (\(8\)) größer als der der positiven Zahl (\(5\)) ist, bleibt das Ergebnis im negativen Bereich: Vorzeichen negativ.

a) negativ b) positiv c) negativ d) negativ e) negativ

- Achte zuerst auf das Vorzeichen des Endergebnisses: Eine gerade Anzahl an Minuszeichen ergibt ein positives Resultat. - Du kannst Brüche und ganze Zahlen oft kürzen, bevor du multiplizierst. - Was bedeutet eine Potenz wie \((-1)^4\) ausgeschrieben als Multiplikation? - Es kann hilfreich sein, Dezimalzahlen in Brüche umzuwandeln oder umgekehrt.

1. Berechnung von a): Zuerst wird \(-12 \cdot \frac{3}{4}\) berechnet, was \(-9\) ergibt. Anschließend folgt \(-9 \cdot (-2) = 18\). 2. Berechnung von b): Das Produkt \(-\frac{2}{5} \cdot (-10)\) ergibt \(4\). Multipliziert mit \(-0{,}5\) folgt \(4 \cdot (-0{,}5) = -2\). 3. Berechnung von c): Zuerst wird die Potenz \((-1)^4 = 1\) bestimmt. Danach ergibt sich \(1 \cdot 7 \cdot (-3) = -21\). 4. Berechnung von d): Die Multiplikation \(\frac{4}{9} \cdot (-18)\) ergibt \(-8\). Das Endergebnis ist \(-8 \cdot (-\frac{1}{2}) = 4\).

a) \(18\) b) \(-2\) c) \(-21\) d) \(4\)

- Arbeite dich von unten nach oben durch die Mauer. - Achte besonders auf die Vorzeichenregeln: Was passiert, wenn man zwei negative Zahlen multipliziert? - Wandle den Bruch in eine Dezimalzahl um, um die Rechnung zu vereinfachen.

1. Berechnung der Steine in Ebene 2: - Linker Stein: \(-1{,}2 \cdot (-5) = 6\) - Rechter Stein: \(-5 \cdot \frac{1}{4} = -5 \cdot 0{,}25 = -1{,}25\) 2. Berechnung des obersten Steins in Ebene 3: - Produkt aus Ebene 2: \(6 \cdot (-1{,}25) = -7{,}5\)

Ebene 2: \(6\) und \(-1{,}25\) Ebene 3: \(-7{,}5\)

- Achte zuerst auf das Vorzeichen des Ergebnisses. - Wie lautet die Regel für das Vorzeichen, wenn zwei Zahlen mit gleichem oder unterschiedlichem Vorzeichen multipliziert werden? - Bei Brüchen kannst du oft schon vor dem Ausrechnen kürzen, um die Zahlen kleiner zu halten. - Dezimalzahlen lassen sich manchmal leichter als Brüche schreiben (oder umgekehrt).

1. Multiplikation einer negativen mit einer positiven Ganzzahl: \(-12 \cdot 11 = -132\). 2. Multiplikation zweier negativer Dezimalzahlen: Das Vorzeichen ist positiv. Das Produkt der Beträge ist \(0{,}5 \cdot 0{,}08 = 0{,}04\). 3. Multiplikation eines Bruchs mit einem negativen Bruch: Das Vorzeichen ist negativ. Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner ergibt \(-\frac{3 \cdot 14}{7 \cdot 9} = -\frac{42}{63}\). Kürzen mit 21 führt zu \(-\frac{2}{3}\). 4. Multiplikation einer Dezimalzahl mit einem Bruch: Umwandlung von \(-2{,}5\) in \(-\frac{5}{2}\) ergibt \((-\frac{5}{2}) \cdot \frac{2}{5} = -1\). Alternativ: \(-2{,}5 \cdot 0{,}4 = -1\).

a) \(-132\) b) \(0{,}04\) c) \(-\frac{2}{3}\) d) \(-1\)

- Kannst du alle Zahlen in die gleiche Darstellung bringen, zum Beispiel alle als Brüche oder alle als Dezimalzahlen? - Achte bei der Addition und Subtraktion auf die Vorzeichenregeln. - Welche Rechenregel gilt, wenn Punkt- und Strichrechnungen in einer Aufgabe vorkommen? - Wie multipliziert man einen Bruch mit einer Dezimalzahl am einfachsten?

1. Teilaufgabe a): Umwandlung der gemischten Zahl in einen Dezimalbruch ergibt \(-3{,}5 + 5 - 0{,}75\). Addition der ersten beiden Summanden führt zu \(1{,}5\). Subtraktion von \(0{,}75\) ergibt das Endergebnis \(0{,}75\) bzw. \(\frac{3}{4}\). 2. Teilaufgabe b): Umwandlung der Dezimalzahl in einen Bruch ergibt \(\frac{12}{10} = \frac{6}{5}\). Multiplikation mit dem negativen Bruch führt zu \(\frac{6}{5} \cdot \left(-\frac{5}{6}\right) = -1\). Addition der gemischten Zahl \(2\frac{1}{2} = 2{,}5\) ergibt \(-1 + 2{,}5 = 1{,}5\) bzw. \(\frac{3}{2}\).

a) \(0{,}75\) oder \(\frac{3}{4}\) b) \(1{,}5\) oder \(\frac{3}{2}\)

- Gibt es eine Regel für die Reihenfolge von Punkt- und Strichrechnung? - Wie dividiert man durch eine ganze Zahl, wenn man mit Brüchen rechnet? - Kannst du vor dem Multiplizieren von Brüchen etwas kürzen? - Bei b) kannst du entweder erst die Klammer ausrechnen oder das Distributivgesetz anwenden – was erscheint dir einfacher?

1. Teilaufgabe a): Zuerst die Punktrechnungen ausführen. 2. Multiplikation: \( \frac{5}{6} \cdot \frac{3}{10} = \frac{5 \cdot 3}{6 \cdot 10} = \frac{1 \cdot 1}{2 \cdot 2} = \frac{1}{4} \). 3. Division: \( \frac{1}{4} : (-2) = \frac{1}{4} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{8} \). 4. Subtraktion der Ergebnisse: \( \frac{1}{4} - \left(-\frac{1}{8}\right) = \frac{2}{8} + \frac{1}{8} = \frac{3}{8} \). 5. Teilaufgabe b): Zuerst den Klammerinhalt berechnen. 6. Klammer: \( -\frac{2}{3} + \frac{5}{6} = -\frac{4}{6} + \frac{5}{6} = \frac{1}{6} \). 7. Multiplikation: \( \frac{1}{6} \cdot 12 = 2 \). 8. Subtraktion: \( 2 - 7{,}5 = -5{,}5 \).

a) \( \frac{3}{8} \) b) \( -5{,}5 \)

- Was passiert mit den Vorzeichen, wenn ein Minuszeichen vor einer Klammer mit einem negativen Wert steht? - Suche nach einem gemeinsamen Nenner für alle Brüche, bevor du addierst oder subtrahierst. - Kannst du die Zahl 1 auch als einen Bruch mit diesem Nenner schreiben?

1. Auflösen des Doppelzeichens: \( \frac{2}{3} + \frac{1}{4} + \frac{5}{6} - 1 \) 2. Bestimmung des Hauptnenners (\( 12 \)) und Erweitern der Brüche: \( \frac{8}{12} + \frac{3}{12} + \frac{10}{12} - \frac{12}{12} \) 3. Zusammenfassen der Zähler: \( \frac{8 + 3 + 10 - 12}{12} = \frac{9}{12} \) 4. Kürzen des Ergebnisses: \( \frac{3}{4} \) (entspricht \( 0{,}75 \))

\( \frac{3}{4} \) oder \( 0{,}75 \)

- Schau dir die Zahlen genau an: Ergeben zwei Zahlen zusammen vielleicht eine „glatte“ Zahl wie 10 oder 1? - Überlege, ob es einfacher ist, zuerst die Klammer aufzulösen oder zuerst den Inhalt der Klammer zu berechnen. - Kannst du Brüche vor dem Multiplizieren kürzen?

1. Teilaufgabe a): Berechnung des Klammerwerts \(18 - 50 = -32\), Addition \(42 + (-32) = 10\). 2. Teilaufgabe b): Berechnung des Klammerwerts \(2{,}3 + 1{,}7 = 4{,}0\), Umstellung der Rechnung zu \(6{,}7 + 3{,}3 - 4{,}0\), Ergebnis \(10 - 4 = 6\). 3. Teilaufgabe c): Subtraktion in der Klammer \(\frac{17}{8} - \frac{5}{8} = \frac{12}{8}\), Kürzen zu \(\frac{3}{2}\), Multiplikation \(\frac{4}{9} \cdot \frac{3}{2} = \frac{12}{18}\), Kürzen zum Endergebnis \(\frac{2}{3}\).

a) \(10\) b) \(6\) c) \(\frac{2}{3}\)

- Bestimme zuerst das Vorzeichen des Ergebnisses: Sind die Vorzeichen gleich, ist das Ergebnis positiv; sind sie verschieden, ist es negativ. - Wie multipliziert man Brüche miteinander? - Wie dividiert man durch einen Bruch? - Denk daran, dass eine ganze Zahl auch als Bruch geschrieben werden kann.

1. Multiplikation von \(-2{,}5\) und \(0{,}4\): \(-2{,}5 \cdot 0{,}4 = -1\). Division: \(-2{,}5 : 0{,}4 = -6{,}25\). 2. Multiplikation von \(\frac{3}{10}\) und \(-\frac{6}{5}\): \(\frac{3 \cdot (-6)}{10 \cdot 5} = -\frac{18}{50} = -\frac{9}{25}\). Division: \(\frac{3}{10} : \left(-\frac{6}{5}\right) = \frac{3}{10} \cdot \left(-\frac{5}{6}\right) = -\frac{15}{60} = -\frac{1}{4}\). 3. Multiplikation von \(-12\) und \(-\frac{4}{3}\): \(-12 \cdot \left(-\frac{4}{3}\right) = \frac{48}{3} = 16\). Division: \(-12 : \left(-\frac{4}{3}\right) = -12 \cdot \left(-\frac{3}{4}\right) = \frac{36}{4} = 9\).

a) Produkt: \(-1\); Quotient: \(-6{,}25\) b) Produkt: \(-\frac{9}{25}\); Quotient: \(-\frac{1}{4}\) c) Produkt: \(16\); Quotient: \(9\)

- Denke an die Regel „Punkt-vor-Strich“. - Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn du eine positive Zahl durch eine negative Zahl teilst? - Achte auf das Rechenzeichen und das Vorzeichen beim zweiten Teil der Aufgabe.

1. Division des ersten Teilterms: \(18 : (-3) = -6\) 2. Multiplikation des zweiten Teilterms: \(4 \cdot (-2{,}5) = -10\) 3. Subtraktion der Ergebnisse: \(-6 - (-10) = -6 + 10 = 4\)

Der Wert des Terms ist \(4\).

- Überlege dir bei jeder Aufgabe zuerst, welches Vorzeichen das Ergebnis haben muss. - Kannst du Zahlen im Zähler und Nenner gegeneinander kürzen, bevor du rechnest? - Erinnere dich daran, wie man eine Division durch eine ganze Zahl als Multiplikation mit einem Stammbruch schreiben kann.

1. Multiplikation einer negativen Zahl mit einer positiven Zahl: \((-15) \cdot 4 = -60\). 2. Division zweier negativer Zahlen: Das Ergebnis ist positiv, \((-20) : (-5) = 4\). 3. Multiplikation eines Bruchs mit einer ganzen Zahl durch Kürzen: \(\frac{4}{7} \cdot 14 = 4 \cdot 2 = 8\). 4. Division eines Bruchs durch eine ganze Zahl: \(\frac{3}{10} : 3 = \frac{3}{10 \cdot 3} = \frac{1}{10}\). 5. Multiplikation zweier negativer Brüche: Das Ergebnis ist positiv; nach Kürzen der \(2\) im Zähler und Nenner ergibt sich \(\frac{1}{5}\).

a) \(-60\) b) \(4\) c) \(8\) d) \(\frac{1}{10}\) (oder \(0{,}1\)) e) \(\frac{1}{5}\) (oder \(0{,}2\))

- Bestimme für die Subtraktionen in den Klammern jeweils den kleinsten gemeinsamen Nenner. - Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn du eine positive Zahl durch eine negative Zahl teilst? - Überlege am Ende, ob es einfacher ist, mit Brüchen oder mit Dezimalzahlen weiterzurechnen.

1. Berechnung der ersten Klammer mit dem Hauptnenner 12: \( \frac{10}{12} - \frac{9}{12} = \frac{1}{12} \) 2. Berechnung der zweiten Klammer mit dem Hauptnenner 6: \( \frac{3}{6} - \frac{4}{6} = -\frac{1}{6} \) 3. Division der Ergebnisse: \( \frac{1}{12} : \left( -\frac{1}{6} \right) = \frac{1}{12} \cdot (-6) = -\frac{1}{2} \) (oder \( -0{,}5 \)) 4. Finale Addition: \( -0{,}5 + 1{,}5 = 1 \)

Der Wert des Terms ist \( 1 \).

- Beachte die Vorrangregeln: Klammern zuerst, dann Potenzen, dann Punktrechnung, dann Strichrechnung. - Es hilft oft, Dezimalzahlen in Brüche umzuwandeln oder umgekehrt, je nachdem, was einfacher zu rechnen ist. - Denke beim Dividieren daran, ob eine Umwandlung in Brüche oder Dezimalzahlen die Rechnung erleichtert.

1. Teilaufgabe a): Multiplikation vor Addition berechnen. \(0{,}3 \cdot \frac{1}{3} = \frac{3}{10} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{10}\). Addition der Brüche: \(\frac{2}{5} + \frac{1}{10} = \frac{4}{10} + \frac{1}{10} = \frac{5}{10} = 0{,}5\). 2. Teilaufgabe b): Klammer zuerst berechnen. \(1{,}2 - 0{,}75 = 0{,}45\). Division durch \(0{,}5\): \(0{,}45 : 0{,}5 = 0{,}9\). 3. Teilaufgabe c): Potenz vor Subtraktion. \(0{,}75^2 = (\frac{3}{4})^2 = \frac{9}{16}\). Subtraktion mit gemeinsamem Nenner: \(\frac{9}{16} - \frac{2}{16} = \frac{7}{16} = 0{,}4375\).

a) \(0{,}5\) (oder \(\frac{1}{2}\)) b) \(0{,}9\) (oder \(\frac{9}{10}\)) c) \(0{,}4375\) (oder \(\frac{7}{16}\))

- Welche Rechenregel musst du zuerst anwenden, wenn kein Klammerpaar vorhanden ist? - Wie dividiert man durch einen Bruch? - Denk daran, Brüche vor dem Rechnen oder beim Zwischenergebnis zu kürzen, um mit kleineren Zahlen zu arbeiten. - Was ist der gemeinsame Nenner, wenn du Brüche addieren oder subtrahieren möchtest?

1. Teilaufgabe a): Punkt-vor-Strich-Rechnung. Multiplikation \(\frac{5}{6} \cdot \frac{9}{10} = \frac{5 \cdot 9}{6 \cdot 10} = \frac{45}{60} = \frac{3}{4}\). Subtraktion \(\frac{3}{8} - \frac{3}{4} = \frac{3}{8} - \frac{6}{8} = -\frac{3}{8}\). 2. Teilaufgabe b): Klammer zuerst berechnen. \(\frac{2}{5} + \frac{1}{2} = \frac{4}{10} + \frac{5}{10} = \frac{9}{10}\). Division durch Multiplikation mit dem Kehrwert: \(\frac{9}{10} \cdot \left( -\frac{20}{3} \right) = -\frac{9 \cdot 20}{10 \cdot 3} = -\frac{180}{30} = -6\). 3. Teilaufgabe c): Punktrechnung zuerst. \(\frac{4}{7} : \frac{8}{21} = \frac{4}{7} \cdot \frac{21}{8} = \frac{4 \cdot 21}{7 \cdot 8} = \frac{1 \cdot 3}{1 \cdot 2} = \frac{3}{2}\). Subtraktion \(2 - \frac{3}{2} = \frac{4}{2} - \frac{3}{2} = \frac{1}{2}\).

a) \(-\frac{3}{8}\) b) \(-6\) c) \(\frac{1}{2}\)

- Denke an die Regel „Punkt vor Strich“. - Wie multipliziert oder dividiert man zwei Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen? - Bei der Division durch einen Bruch hilft dir der Kehrwert weiter. - Achte beim Rechnen mit Dezimalzahlen auf die Anzahl der Nachkommastellen beim Produkt.

1. Berechnung von Teil a: Zuerst wird die Multiplikation durchgeführt: \(12 \cdot (-5) = -60\). Anschließend wird die Addition berechnet: \(-60 + 72 = 12\). 2. Berechnung von Teil b: Die Division durch einen Bruch entspricht der Multiplikation mit dem Kehrwert: \(\frac{4}{5} \cdot \left(-\frac{15}{8}\right) = -\frac{60}{40} = -\frac{3}{2} = -1{,}5\). Danach wird die Addition durchgeführt: \(-1{,}5 + 1 = -0{,}5\). 3. Berechnung von Teil c: Zuerst wird die Multiplikation der Dezimalzahlen durchgeführt: \(0{,}4 \cdot 0{,}3 = 0{,}12\). Danach wird die Subtraktion berechnet: \(0{,}12 - 0{,}2 = -0{,}08\).

a) \(12\) b) \(-0{,}5\) oder \(-\frac{1}{2}\) c) \(-0{,}08\)

- Denke an die Regel „Klammer vor Punkt vor Strich“. - Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn du eine negative Zahl quadrierst oder hoch drei nimmst? - Achte genau auf das Minuszeichen vor einer Klammer.

1. Berechnung der Klammer zuerst: \(2 - 2 \cdot 3 = 2 - 6 = -4\). Dann Multiplikation: \(5 \cdot (-4) = -20\). 2. Potenz vor Multiplikation: \((-2)^2 = 4\). Dann Multiplikation: \(4 \cdot 3 = 12\). Schließlich Addition: \(4 + 12 = 16\). 3. Potenz berechnen: \((-3)^3 = (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) = -27\). Dann Addition: \(-27 + 20 = -7\). 4. Klammer berechnen: \(2 - 7 = -5\). Dann Division: \(15 : (-5) = -3\). 5. Klammer berechnen: \(5 - 8 = -3\). Dann Subtraktion: \(-10 - (-3) = -10 + 3 = -7\).

1. \(-20\) 2. \(16\) 3. \(-7\) 4. \(-3\) 5. \(-7\)

- Welche Rechenregel musst du bei Aufgabe a) zuerst beachten? - Wie addiert man Brüche mit unterschiedlichen Nennern? - Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn man zwei negative Zahlen multipliziert? - Erinnerst du dich, wie man durch einen Bruch dividiert?

1. Berechnung von a): Punkt-vor-Strich-Rechnung. Zuerst das Produkt \(\frac{2}{3} \cdot \frac{9}{8} = \frac{18}{24} = \frac{3}{4}\). Dann die Differenz \(\frac{3}{4} - \frac{3}{4} = 0\). 2. Berechnung von b): Klammer zuerst berechnen. \(\frac{1}{2} + \frac{3}{5} = \frac{5}{10} + \frac{6}{10} = \frac{11}{10}\). Division durch Multiplikation mit dem Kehrwert: \(\frac{11}{10} \cdot \frac{10}{11} = 1\). 3. Berechnung von c): Zähler berechnen. \((-4) \cdot (-9) = 36\). Division durch den Nenner: \(36 : 6 = 6\).

a) \(0\) b) \(1\) c) \(6\)

- Welche Klammer musst du zuerst auflösen? - Denk an die Regel „Punkt vor Strich“. - Was passiert, wenn du eine größere Zahl von einer kleineren abziehst?

1. Berechnung der inneren runden Klammer: \(15 + 5 = 20\) 2. Berechnung innerhalb der eckigen Klammer (Punkt vor Strich): \(20 \cdot 2 = 40\) 3. Abschluss der eckigen Klammer: \(40 - 10 = 30\) 4. Multiplikation vor Subtraktion im Hauptterm: \(3 \cdot 30 = 90\) 5. Finale Subtraktion: \(60 - 90 = -30\)

\(-30\)

- Achte besonders auf die Vorzeichenregeln beim Addieren und Subtrahieren. - Du kannst mehrere Zahlen schrittweise von links nach rechts zusammenrechnen. - Bei Aufgaben mit Brüchen und Dezimalzahlen ist es oft hilfreich, alles in eine einheitliche Darstellung umzuwandeln. - Denke bei der Addition von Brüchen daran, zuerst einen gemeinsamen Nenner zu finden.

1. Schrittweise Addition von links nach rechts: \(-17 + 25 = 8\). Danach Addition der dritten Zahl: \(8 + (-13) = -5\). 2. Zusammenfassen der ersten beiden Dezimalzahlen: \(4{,}8 + (-6{,}3) = -1{,}5\). Danach Addition des dritten Summanden: \(-1{,}5 + (-2{,}5) = -4{,}0\). 3. Umwandlung des Bruchs in eine Dezimalzahl: \(-\frac{3}{10} = -0{,}3\). Berechnung der Summe: \(-0{,}3 + 0{,}75 = 0{,}45\). Alternativ als Bruch: \(-\frac{6}{20} + \frac{15}{20} = \frac{9}{20}\). 4. Umwandlung auf den Hauptnenner \(8\): \(-2\frac{2}{8} + (-1\frac{5}{8})\). Da beide Zahlen negativ sind, werden die Beträge addiert: \(2\frac{2}{8} + 1\frac{5}{8} = 3\frac{7}{8}\). Das Ergebnis erhält ein negatives Vorzeichen: \(-3\frac{7}{8}\).

1) \(-5\); 2) \(-4\); 3) \(0{,}45\) (oder \(\frac{9}{20}\)); 4) \(-3\frac{7}{8}\) (oder \(-3{,}875\)).

- Überlege dir bei jeder Aufgabe zuerst, ob das Ergebnis positiv oder negativ sein muss. - Wenn du Brüche addierst, müssen sie den gleichen Nenner haben. - Dezimalzahlen und Brüche können oft ineinander umgewandelt werden, um die Rechnung zu vereinfachen. - Wenn die Summe und ein Summand gegeben sind, kannst du den anderen Summanden durch Subtraktion finden.

1. Berechnung der Summe: \(-7{,}2 + 4{,}5 = -2{,}7\). 2. Berechnung der Summe: \(3\frac{1}{4} + (-5\frac{1}{2}) = 3\frac{1}{4} - 5\frac{2}{4} = -2\frac{1}{4}\). 3. Bestimmung von \(y\): \(-0{,}8 + y = -2 \implies y = -2 - (-0{,}8) = -2 + 0{,}8 = -1{,}2\). 4. Berechnung der Summe: \(-\frac{5}{6} + \frac{1}{3} = -\frac{5}{6} + \frac{2}{6} = -\frac{3}{6} = -\frac{1}{2}\). 5. Berechnung der Summe: \(-4{,}15 + 4{,}15 = 0\).

1) \(-2{,}7\) 2) \(-2\frac{1}{4}\) 3) \(y = -1{,}2\) 4) \(-\frac{1}{2}\) 5) \(0\)

- Kannst du die Zahlen so umstellen oder gruppieren, dass die Rechnung einfacher wird? - Überlege dir, ob es hilfreicher ist, mit Brüchen oder mit Dezimalzahlen zu rechnen. - Achte besonders auf die Vorzeichen beim Zusammenfassen der Zahlen. - Gibt es Zahlen, die sich gegenseitig zu einer ganzen Zahl ergänzen?

1. Für Teilaufgabe a) werden zuerst die Dezimalzahlen zusammengefasst: \((-3{,}8) + (-1{,}2) = -5\). Anschließend wird \(5{,}5\) addiert: \(-5 + 5{,}5 = 0{,}5\). 2. In Teilaufgabe b) wird der Bruch in eine Dezimalzahl umgewandelt: \(\frac{3}{5} = 0{,}6\). Die Rechnung lautet \(0{,}6 - 1{,}4 + 2\). Zuerst \(0{,}6 - 1{,}4 = -0{,}8\), dann \(-0{,}8 + 2 = 1{,}2\). 3. Für Teilaufgabe c) werden die Brüche mit gleichem Nenner verrechnet: \(7\frac{3}{4} - 2\frac{1}{4} = 5\frac{2}{4} = 5{,}5\). Danach folgt \(-12 + 5{,}5 = -6{,}5\).

a) \(x = 0{,}5\) b) \(x = 1{,}2\) c) \(x = -6{,}5\)

- Was passiert mit dem Rechenzeichen, wenn du eine negative Zahl subtrahierst? - Kannst du die Aufgabe b) als eine Gleichung mit einer Lücke schreiben? - Bei Brüchen hilft es, sie zuerst auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen oder sie in Dezimalzahlen umzuwandeln.

1. Berechnung von \((+7) - (-15)\): Das Subtrahieren einer negativen Zahl entspricht der Addition ihrer Gegenzahl: \(7 + 15 = 22\). 2. Bestimmung der gesuchten Zahl \(x\) in der Gleichung \((-3{,}8) - x = -10\): Umstellen der Gleichung ergibt \(x = -3{,}8 - (-10) = -3{,}8 + 10 = 6{,}2\). 3. Berechnung der Differenz aus \((-2\frac{1}{2})\) und \((+1\frac{3}{4})\): Umwandlung in Brüche mit gleichem Nenner ergibt \(-\frac{10}{4} - \frac{7}{4} = -\frac{17}{4} = -4\frac{1}{4}\) (oder als Dezimalzahl: \(-2{,}5 - 1{,}75 = -4{,}25\)).

a) \(22\) b) \(6{,}2\) c) \(-4\frac{1}{4}\) (oder \(-4{,}25\))

- Was passiert mit dem Vorzeichen in der Klammer, wenn ein Minuszeichen direkt davor steht? - Kannst du die Subtraktion in eine Addition der Gegenzahl umwandeln? - Gehe bei der Rechnung am besten Schritt für Schritt von links nach rechts vor. - Achte bei den Dezimalzahlen genau auf das Komma und die Vorzeichen der Teilergebnisse.

1. Auflösen der Klammern unter Beachtung der Vorzeichenregeln: \(-18 - 12 + 20\). Zusammenfassen von links nach rechts: \(-30 + 20 = -10\). 2. Vorzeichen anpassen: \(-5{,}4 + 2{,}6 - 1{,}2\). Schrittweise Berechnung: \(-2{,}8 - 1{,}2 = -4\). 3. Vereinfachen des Terms: \(3{,}7 - 8{,}7 + 5\). Berechnung: \(-5 + 5 = 0\).

1) \(-10\); 2) \(-4\); 3) \(0\)

- Was passiert mit dem Rechenzeichen, wenn du eine negative Zahl subtrahierst? - Achte darauf, Brüche vor der Subtraktion auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen. - Überlege dir bei Dezimalzahlen, ob das Ergebnis positiv oder negativ sein muss.

1. Berechnung für Zeile 1: \(x - y = -2{,}4 - 5{,}6 = -8{,}0\). 2. Berechnung für Zeile 2: \(x - y = \frac{3}{5} - (-\frac{7}{10}) = \frac{6}{10} + \frac{7}{10} = \frac{13}{10} = 1\frac{3}{10}\) (oder \(1{,}3\)). 3. Berechnung für Zeile 3: \(x - y = -1\frac{1}{2} - (-2\frac{1}{4}) = -\frac{6}{4} + \frac{9}{4} = \frac{3}{4}\) (oder \(0{,}75\)). 4. Berechnung für Zeile 4: \(x - y = -0{,}75 - 0{,}75 = -1{,}5\).

1) \(-8{,}0\); 2) \(1\frac{3}{10}\) oder \(1{,}3\); 3) \(\frac{3}{4}\) oder \(0{,}75\); 4) \(-1{,}5\).

- Welche Rechenart hat Vorrang: Potenz, Punkt oder Strich? - Was ist der Unterschied zwischen \((-2)^3\) und \(-2^3\)? - Wie gehst du vor, wenn mehrere Operationen in einer Klammer stehen?

1. Berechnung von a): Potenzen ausrechnen: \(32 - 36 - 4\). Schrittweise von links nach rechts: \(-4 - 4 = -8\) 2. Berechnung von b): Potenzen bestimmen: \(-8 + 9\). Klammer ausrechnen: \(10 - 15 = -5\). Term zusammenfügen: \(-8 + 9 - (-5) = 1 + 5 = 6\) 3. Berechnung von c): Innere Klammer/Potenz zuerst: \(2^3 = 8\), dann \(8 \cdot 5 = 40\). Eckige Klammer: \(50 - 40 = 10\). Gesamter Term: \(100 - 10 = 90\)

a) -8 b) 6 c) 90

- Schau dir die Vorzeichen der Zahlen in der Klammer genau an. - Was bewirkt ein Pluszeichen vor einer Klammer im Vergleich zu einem Minuszeichen? - Kannst du die Regel in eigenen Worten formulieren?

1. Berechnung von \(A\): \(-15 + (-15) = -30\). Berechnung von \(B\): \(-15 + 30 - 45 = 15 - 45 = -30\). 2. Die Ergebnisse sind gleich. Regel: Steht ein Pluszeichen vor einer Klammer, kann man die Klammer weglassen, ohne die Vorzeichen im Inneren zu ändern. 3. Bei einem Minuszeichen vor der Klammer ändern sich alle Vorzeichen in der Klammer beim Auflösen: \(-15 - 30 + 45\).

1. \(A = -30\), \(B = -30\) 2. Bei einem Plus vor der Klammer kann diese weggelassen werden. 3. \(-15 - 30 + 45\)

- Was bewirkt ein Betragsstrich bei einer Zahl? - Bearbeite verschachtelte Ausdrücke immer von innen nach außen. - Überlege dir zuerst das Vorzeichen des Ergebnisses, bevor du dividierst oder multiplizierst.

1. Betrag bestimmen: \( | -12 - 3 | = | -15 | = 15 \) 2. Potenz in der eckigen Klammer berechnen: \( (-3)^3 = -27 \) 3. Ausdruck in der eckigen Klammer berechnen: \( -27 + 30 = 3 \) 4. Multiplikation durchführen: \( 2 \cdot 15 = 30 \) 5. Division durchführen: \( 3 : (-3) = -1 \) 6. Gesamten Term berechnen: \( 50 - 30 + (-1) = 20 - 1 = 19 \)

19

- Berechne zuerst die einzelnen Potenzen nach der Regel „Potenz vor Punkt vor Strich“. - Überlege dir für den zweiten Teil, was passiert, wenn man in einer Minusaufgabe die Zahl, die abgezogen wird, kleiner macht. - Musst du den ganzen Term neu ausrechnen, um die Änderung zu bestimmen?

1. Potenzwerte ermitteln: \(3^4 = 81\), \(2^5 = 32\), \(7^2 = 49\). 2. Gesamtwert berechnen: \(81 + 32 - 49 = 113 - 49 = 64\). 3. Analyse der Änderung: Die Basis des Subtrahenden wird von \(7\) auf \(6\) verringert. 4. Da \(6^2 = 36\) kleiner ist als \(7^2 = 49\), wird eine kleinere Zahl abgezogen. 5. Das Gesamtergebnis vergrößert sich somit um die Differenz der Quadrate: \(49 - 36 = 13\).

a) Der Wert des Terms ist \(64\). b) Der Gesamtwert vergrößert sich um \(13\), da der Subtrahend (die Zahl, die abgezogen wird) von \(49\) auf \(36\) sinkt.

- Wie wandelt man eine gemischte Zahl in einen unechten Bruch um? - Was ist der Kehrwert einer Zahl und wann benötigst du ihn? - Kannst du vor dem Ausrechnen der Multiplikation etwas kürzen?

1. Umwandlung der gemischten Zahlen in Brüche: \(3\frac{3}{4} = \frac{15}{4}\), \(1\frac{1}{2} = \frac{3}{2}\), \(2\frac{2}{3} = \frac{8}{3}\). 2. Berechnung zu a): \(\frac{15}{4} : 5 = \frac{15}{4} \cdot \frac{1}{5} = \frac{3}{4}\). Ergebnis: \(\frac{3}{4}\,\text{m}\) (oder \(0{,}75\,\text{m}\)). 3. Berechnung zu b): \(\frac{3}{2} \cdot 7 = \frac{21}{2} = 10\frac{1}{2}\). Ergebnis: \(10\frac{1}{2}\,\text{kg}\) (oder \(10{,}5\,\text{kg}\)). 4. Berechnung zu c): \(\frac{8}{3} : 4 = \frac{8}{3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{2}{3}\). Ergebnis: \(\frac{2}{3}\,\text{h}\) (oder \(40\,\text{min}\)).

a) \(\frac{3}{4}\,\text{m}\) b) \(10\frac{1}{2}\,\text{kg}\) c) \(\frac{2}{3}\,\text{h}\)

- Gibt es Klammern, die zuerst berechnet werden müssen? - Gilt hier die Regel „Punkt vor Strich“? - Kürze Brüche während der Rechnung, um mit kleineren Zahlen zu arbeiten. - Wie kannst du eine ganze Zahl als Bruch schreiben?

1. Erste Multiplikation: \(\frac{3}{4} \cdot \frac{2}{3} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}\). 2. Division: \(1\frac{1}{2} : 3 = \frac{3}{2} : 3 = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{2}\). 3. Addition der Teilergebnisse: \(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1\). 4. Klammer berechnen: \(2 - \frac{1}{3} = \frac{6}{3} - \frac{1}{3} = \frac{5}{3}\). 5. Multiplikation mit dem Ergebnis der Klammer: \(\frac{5}{3} \cdot \frac{6}{5} = \frac{30}{15} = 2\).

a) 1 b) 2

- Beachte die Vorrangregel „Klammer zuerst“ und danach „Punkt vor Strich“. - Achte beim Multiplizieren besonders auf das Vorzeichen. - Kannst du innerhalb der Rechnung kürzen, um die Zahlen klein zu halten?

1. Berechnung des Klammerinhalts: \(2\frac{2}{3} - \frac{1}{6} = \frac{8}{3} - \frac{1}{6} = \frac{16}{6} - \frac{1}{6} = \frac{15}{6}\). Kürzen ergibt \(\frac{5}{2}\). 2. Multiplikation durchführen: \(-1\frac{1}{5} \cdot \frac{5}{2} = -\frac{6}{5} \cdot \frac{5}{2}\). Nach dem Kürzen der beiden Fünfen und dem Kürzen von \(6\) durch \(2\) bleibt \(-3\) übrig. 3. Letzte Addition: \(-3 + \frac{3}{4} = -\frac{12}{4} + \frac{3}{4} = -\frac{9}{4}\). 4. Umwandlung in eine gemischte Zahl: \(-2\frac{1}{4}\).

\(-2\frac{1}{4}\) oder \(-\frac{9}{4}\)

- Was ist der kleinste gemeinsame Nenner von 6 und 4? - Wie dividiert man durch einen Bruch? - Überlege dir zuerst, welches Vorzeichen das Endergebnis haben muss.

1. Klammerinhalt berechnen: Hauptnenner von 6 und 4 ist 12. 2. Brüche erweitern: \(-\frac{10}{12} + \frac{15}{12} = \frac{5}{12}\). 3. Division durch einen Bruch bedeutet Multiplikation mit dem Kehrwert: \(\frac{5}{12} \cdot \left( -\frac{12}{5} \right)\). 4. Kürzen und Vorzeichen bestimmen: \(\frac{5 \cdot (-12)}{12 \cdot 5} = -1\).

\(-1\)

- Erkennst du in den Aufgaben bekannte Quadratzahlen wieder? - Kannst du die Faktoren so verändern, dass sie gleich weit von einer Zehnerzahl entfernt sind? - Zerlege große Zahlen in Vielfache des Teilers, die du leicht im Kopf berechnen kannst. - Wie verändert ein negatives Vorzeichen das Ergebnis einer Quadratzahl?

1. Berechnung von \(196 : 14\): Erkennen der Quadratzahl \(14^2 = 196\). Ergebnis: \(14\). 2. Berechnung von \(18 \cdot 22\): Anwendung des Musters \((20 - 2) \cdot (20 + 2) = 20^2 - 2^2\). Rechnung: \(400 - 4 = 396\). 3. Berechnung von \(1001 : 7\): Zerlegen des Dividenden in \(700 + 280 + 21\). Rechnung: \(700:7 + 280:7 + 21:7 = 100 + 40 + 3 = 143\). 4. Berechnung von \(-13 \cdot 13\): Bestimmung des Vorzeichens (negativ) und Erkennen der Quadratzahl \(13^2 = 169\). Ergebnis: \(-169\).

a) \(14\) b) \(396\) c) \(143\) d) \(-169\)

- Musst du die Ergebnisse immer ganz genau ausrechnen oder kannst du das Ergebnis abschätzen? - Was passiert mit dem Wert einer Zahl, wenn man sie mit einer Zahl multipliziert, die kleiner als 1 ist? - Erinnere dich bei negativen Zahlen an das Thermometer: Welche Temperatur ist höher?

1. Vergleich a: \(2{,}5 : 5 = 0{,}5\) und \(2{,}5 \cdot 0{,}2 = 0{,}5\). Da beide Ergebnisse identisch sind, gilt \(=\). 2. Vergleich b: \(-3{,}6 : 6 = -0{,}6\) und \(-3{,}6 : 4 = -0{,}9\). Auf der Zahlengeraden liegt \(-0{,}6\) weiter rechts als \(-0{,}9\), daher gilt \(-0{,}6 > -0{,}9\). 3. Vergleich c: \(0{,}8 \cdot 0{,}8 = 0{,}64\). Da \(0{,}64\) kleiner ist als \(0{,}8\), gilt \(<\).

a) \(=\) b) \(>\) c) \(<\)

- Denk an die Vorrangregeln: Klammern zuerst, dann Potenzen, dann Punktrechnung. - Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn man eine negative Zahl quadriert? - Wie rechnet man eine Dezimalzahl wie \(0{,}75\) am einfachsten in einen Bruch um?

a) 1. Klammerinhalt durch Hauptnennerbildung addieren: \(\frac{8}{12} + \frac{3}{12} = \frac{11}{12}\) 2. Multiplikation mit dem Faktor außerhalb der Klammer: \(\frac{11}{12} \cdot \frac{12}{11}\) 3. Durch Kürzen das Ergebnis bestimmen: \(1\) b) 1. Quadrat berechnen: \((-\frac{3}{8})^2 = \frac{9}{64}\) 2. Dezimalzahl in Bruch umwandeln: \(0{,}75 = \frac{3}{4}\) 3. Division durch Multiplikation mit dem Kehrwert: \(\frac{3}{4} \cdot \frac{64}{9}\) 4. Kürzen und Ergebnis berechnen: \(\frac{1 \cdot 16}{1 \cdot 3} = \frac{16}{3}\)

a) \(1\) b) \(\frac{16}{3}\)

- Beachte die Regel „Klammer vor Punkt vor Strich“. - Welche Rechenschritte müssen zuerst innerhalb der eckigen Klammer ausgeführt werden? - Achte besonders auf die Vorzeichenregeln bei der Multiplikation und Division negativer Zahlen.

1. Division innerhalb der eckigen Klammer: \( 4{,}5 : (-0{,}5) = -9 \) 2. Multiplikation innerhalb der eckigen Klammer: \( 7 \cdot (-2) = -14 \) 3. Summe der Ergebnisse in der eckigen Klammer: \( -9 + (-14) = -23 \) 4. Finale Addition: \( -18 + (-23) = -41 \)

-41

- Berechne zunächst die Werte beider Terme getrennt voneinander. - Es hilft oft, Brüche und Dezimalzahlen in die gleiche Darstellung zu bringen. - Wie dividiert man eine Zahl durch einen Bruch?

1. Wert von Term A: Umwandlung des Bruchs \( \frac{3}{4} = 0{,}75 \); Subtraktion in der Klammer \( 0{,}75 - 1{,}25 = -0{,}5 \); Multiplikation \( -0{,}5 \cdot (-4) = 2 \) 2. Wert von Term B: Division durch den Bruch \( 2{,}5 \cdot 2 = 5 \); Subtraktion \( 5 - 6 = -1 \) 3. Vergleich der Ergebnisse: \( 2 > -1 \), somit ist Term A größer

Term A ist größer (da \( 2 > -1 \)).

- Welche Rechenoperationen müssen vor der Subtraktion durchgeführt werden? - Bei der Division durch eine Dezimalzahl hilft es, das Komma bei beiden Zahlen so weit nach rechts zu verschieben, bis der Divisor eine ganze Zahl ist. - Denk an das Vorzeichen, wenn du eine größere Zahl von einer kleineren abziehst.

1. Durchführung der Multiplikation: \(4{,}5 \cdot 0{,}2 = 0{,}9\) 2. Durchführung der Division: \(1{,}2 : 0{,}3 = 12 : 3 = 4\) 3. Subtraktion der beiden Teilergebnisse: \(0{,}9 - 4 = -3{,}1\)

\(-3{,}1\)

- Wann wird ein Ergebnis beim Potenzieren negativ, wann positiv? - Achte bei d) genau darauf, ob sich das Quadrat auf das Minuszeichen bezieht oder nicht. - Bei der Division von Dezimalzahlen hilft es oft, das Komma bei beiden Zahlen gleichzeitig nach rechts zu verschieben.

1. Potenzierung einer negativen Basis mit ungeradem Exponenten: \( (-0{,}2) \cdot (-0{,}2) \cdot (-0{,}2) = -0{,}008 \). 2. Umrechnung des Bruchs \( \frac{4}{5} = 0{,}8 \); Summe aus Zahl und Gegenzahl: \( -0{,}8 + 0{,}8 = 0 \). 3. Division durch eine negative Zahl; Kommaverschiebung führt zu \( 15 : (-3) = -5 \). 4. Beachtung der Potenzbindung (Minuszeichen steht vor der Potenz): \( -(0{,}7 \cdot 0{,}7) = -0{,}49 \).

a) \(-0{,}008\) b) 0 c) -5 d) \(-0{,}49\)

- Schreibe die Potenz als Multiplikationsaufgabe aus. - Wie oft musst du die Zahl mit sich selbst multiplizieren? - Achte besonders auf die Anzahl der Nachkommastellen beim Multiplizieren von Dezimalzahlen. - Überlege, ob das Vorzeichen bei einem ungeraden Exponenten positiv oder negativ sein muss.

1. Berechnung des Terms: \( (-0{,}5)^3 = (-0{,}5) \cdot (-0{,}5) \cdot (-0{,}5) \). 2. Schrittweise Multiplikation: \( (-0{,}5) \cdot (-0{,}5) = 0{,}25 \). Dann \( 0{,}25 \cdot (-0{,}5) = -0{,}125 \). Somit ist B korrekt. 3. Analyse der Fehler: Bei A wurde die Basis mit dem Exponenten multipliziert (\( -0{,}5 \cdot 3 \)). Bei C wurde das Vorzeichen falsch bestimmt (ein ungerader Exponent bei negativer Basis ergibt ein negatives Ergebnis). Bei D wurde ein Fehler beim Stellenwert der Dezimalstellen gemacht.

B ist richtig. A: Potenz mit Multiplikation verwechselt. C: Vorzeichenfehler (negativ hoch ungerade muss negativ sein). D: Stellenwertfehler bei der Dezimalrechnung.

- Überlege dir zuerst, welches Vorzeichen die Ergebnisse der Rechnungen jeweils haben werden. - Denke an die Zahlengerade: Eine Zahl ist kleiner als eine andere, wenn sie weiter links liegt. - Manchmal hilft eine Überschlagsrechnung oder eine kurze Überlegung zum Betrag der Zahlen, um das Zeichen zu bestimmen.

1. Teilaufgabe a): Linke Seite: \(-1{,}2 \cdot 5 = -6\). Rechte Seite: \(-1{,}2 : 5 = -0{,}24\). Da \(-6\) auf der Zahlengeraden weiter links liegt als \(-0{,}24\), gilt \(-6 < -0{,}24\). Begründung: Die Multiplikation einer negativen Zahl mit einer Zahl größer als 1 vergrößert ihren Betrag; der Wert wird dadurch kleiner. Die Division durch 5 verkleinert den Betrag und bringt den Wert näher an 0. 2. Teilaufgabe b): Linke Seite: \(-3 \cdot (-4) = 12\). Rechte Seite: \(-3 + (-4) = -7\). Da eine positive Zahl immer größer als eine negative ist, gilt \(12 > -7\). 3. Teilaufgabe c): Linke Seite: \(-\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = -\frac{3}{6} + \frac{2}{6} = -\frac{1}{6}\). Rechte Seite: \(-\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = -\frac{1}{6}\). Beide Werte sind identisch, also gilt \(=\).

a) \(<\) b) \(>\) c) \(=\)

- Berechne zuerst den Wert auf der linken Seite. - Wird eine Zahl größer oder kleiner, wenn man sie mit einer Zahl multipliziert, die kleiner als 1 ist? - Wandle Brüche in Dezimalzahlen um oder umgekehrt, um sie besser vergleichen zu können.

1. Vergleich für a: \(0{,}2^2 = 0{,}04\). Da \(0{,}04 < 0{,}2\), ist das Ergebnis \(<\). 2. Vergleich für b: \((\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8} = 0{,}125\) und \((\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4} = 0{,}25\). Da \(0{,}125 < 0{,}25\), ist das Ergebnis \(<\). 3. Vergleich für c: \(0{,}1^2 = 0{,}1 \cdot 0{,}1 = 0{,}01\). Da \(0{,}01 = 0{,}01\), ist das Ergebnis \(=\). 4. Vergleich für d: \((\frac{3}{2})^2 = \frac{9}{4} = 2{,}25\). Da \(2{,}25 > 1{,}5\), ist das Ergebnis \(>\).

a) \(<\) b) \(<\) c) \(=\) d) \(>\)

- Berechne erst beide Werte und vergleiche sie. - Worauf bezieht sich die kleine Hochzahl (der Exponent) jeweils? - Erinnerst du dich an die Regel für „Minus mal Minus“?

1. Berechnung Term \(A\): Zuerst die Potenz \(6^2 = 36\), dann das Minuszeichen davor setzen: \(-36\). Division durch \(4\) ergibt \(-9\). Addition von \(5\) ergibt \(-4\). 2. Berechnung Term \(B\): Die Klammer bewirkt, dass die negative Zahl quadriert wird: \((-6) \cdot (-6) = 36\). Division durch \(4\) ergibt \(9\). Addition von \(5\) ergibt \(14\). 3. Vergleich: Bei Term \(A\) bezieht sich das Quadrat nur auf die Zahl \(6\). Bei Term \(B\) bezieht sich das Quadrat auf die gesamte Zahl \(-6\), wodurch das Ergebnis der Potenz positiv wird.

a) Term \(A = -4\); Term \(B = 14\) b) Bei \(-6^2\) wird nur die \(6\) quadriert und das Minus danach davor gesetzt. Bei \((-6)^2\) wird die Zahl \(-6\) mit sich selbst multipliziert, was ein positives Ergebnis (\(36\)) liefert.

- Was passiert zuerst: Potenzieren, Multiplizieren/Dividieren oder Addieren/Subtrahieren? - Wie verändern die Klammern in Aufgabenteil b) die Reihenfolge, in der du rechnen musst? - Achte besonders auf das Vorzeichen beim Quadrieren.

1. Teilaufgabe a): Die Struktur ist eine Differenz. Zuerst wird die Potenz berechnet: \((-0{,}4)^2 = 0{,}16\). Dann wird der Quotient berechnet: \(0{,}16 : 0{,}4 = 0{,}4\). Schließlich die Subtraktion: \(0{,}16 - 0{,}4 = -0{,}24\). 2. Teilaufgabe b): Die Struktur ist ein Quotient. Zuerst wird innerhalb der äußeren Klammer gerechnet: Potenz \((-0{,}4)^2 = 0{,}16\), dann Differenz \(0{,}16 - 0{,}16 = 0\). Schließlich die Division durch den Divisor außerhalb der Klammer: \(0 : 0{,}4 = 0\).

a) Struktur: Differenz; Wert: \(-0{,}24\) b) Struktur: Quotient; Wert: \(0\)

- Denke daran: Die Punkt-vor-Strich-Regel gilt auch innerhalb von Klammern. - Wie dividiert man durch einen Bruch? - Kannst du am Ende das Ergebnis noch kürzen oder in eine gemischte Zahl umwandeln?

1. Berechnung der ersten Klammer: Wandle \(-4{,}5\) in einen Bruch um: \(-\frac{45}{10} = -\frac{9}{2}\). Division durch \(\frac{9}{10}\) entspricht der Multiplikation mit dem Kehrwert: \(-\frac{9}{2} \cdot \frac{10}{9} = -5\). 2. Berechnung der zweiten Klammer: Wandle \(1{,}2\) in einen Bruch um: \(1{,}2 = \frac{12}{10} = \frac{6}{5}\). Bringe \(\frac{2}{3}\) und \(\frac{6}{5}\) auf den Hauptnenner 15: \(\frac{10}{15} - \frac{18}{15} = -\frac{8}{15}\). 3. Multiplikation der Ergebnisse: \(-5 \cdot (-\frac{8}{15}) = \frac{40}{15}\). Kürzen durch 5 ergibt \(\frac{8}{3}\).

\(\frac{8}{3}\) oder \(2\frac{2}{3}\)

- Ein Bruchstrich wirkt wie ein Geteilt-Zeichen und umschließt Zähler und Nenner wie unsichtbare Klammern. - Bestimme zuerst, was die „letzte“ Rechenoperation ist, die du ausführen würdest. - Berechne den oberen und den unteren Teil des Bruchs getrennt voneinander. - Achte beim Dividieren auf die Vorzeichenregeln für rationale Zahlen.

1. Beschreibung des Aufbaus: Der Term ist ein Quotient (wegen des Hauptbruchstrichs). Der Dividend (Zähler) ist die Summe aus \(-3{,}6\) und \(1{,}2\). Der Divisor (Nenner) ist der Quotient aus \(-3{,}6\) und \(1{,}2\). 2. Berechnung des Zählers: \(-3{,}6 + 1{,}2 = -2{,}4\). 3. Berechnung des Nenners: \(-3{,}6 : 1{,}2 = -3\). 4. Berechnung des Gesamtwerts: \(-2{,}4 : (-3) = 0{,}8\).

a) Der Term ist der Quotient aus der Summe von \(-3{,}6\) und \(1{,}2\) und dem Quotienten aus \(-3{,}6\) und \(1{,}2\). b) Der Wert des Terms ist \(0{,}8\).

- Berechne zuerst den Wert von Term A und dann den von Term B. - Denk bei Term A daran, dass das Quadrat einer negativen Zahl positiv ist. - Wandle bei Term B den Bruch in eine Dezimalzahl um, um leichter rechnen zu können.

1. Wert von \(A\) berechnen: \((-0{,}6)^2 = 0{,}36\). Division durchführen: \(0{,}64 : (-2) = -0{,}32\). Addition: \(0{,}36 + (-0{,}32) = 0{,}04\). 2. Wert von \(B\) berechnen: Klammerinhalt bestimmen: \(1{,}2 - 0{,}7 = 0{,}5\). Multiplikation: \(0{,}5 \cdot 0{,}5 = 0{,}25\). Subtraktion: \(\frac{1}{4} - 0{,}25 = 0{,}25 - 0{,}25 = 0\). 3. Vergleich: Da \(0{,}04 > 0\), gilt \(A > B\).

Es gilt \(A > B\), da \(A = 0{,}04\) und \(B = 0\).

- Beachte die Vorrangregeln (Klammern zuerst, dann Punkt-vor-Strich-Rechnung). - Überlege dir, welche Zahl in der Formel für die Ausgangstemperatur stehen könnte. - Welche Zahlen könnten Höhenangaben sein? - Welche Bedeutung könnte das Minuszeichen im Sachzusammenhang haben?

1. Berechnung des Klammerausdrucks: \(2400 - 400 = 2000\) (Höhenunterschied in m). 2. Division durch 100: \(2000 : 100 = 20\) (Anzahl der \(100\,\text{m}\)-Abschnitte). 3. Multiplikation mit der Rate: \(20 \cdot 0{,}5 = 10\) (gesamter Temperaturabfall in \(^\circ\text{C}\)). 4. Subtraktion vom Startwert: \(12 - 10 = 2\). Der Wert des Terms ist \(2\). 5. Mögliche Situation: Jemand startet auf einer Höhe von \(400\,\text{m}\) bei \(12\,^\circ\text{C}\) (Starttemperatur). Die Person wandert auf einen Gipfel in \(2400\,\text{m}\) Höhe (Zielhöhe). Pro \(100\,\text{m}\) Aufstieg sinkt die Temperatur um \(0{,}5\,^\circ\text{C}\) (Änderungsrate).

a) Der Wert des Terms ist \(2\). b) Beispiel: Eine Wanderung startet auf \(400\,\text{m}\) Höhe bei \(12\,^\circ\text{C}\) und führt auf einen \(2400\,\text{m}\) hohen Berg. Dabei sinkt die Temperatur um \(0{,}5\,^\circ\text{C}\) pro \(100\,\text{m}\).

- Welche Klammer musst du zuerst auflösen? - Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn zwei negative Zahlen multipliziert werden? - Wie dividiert man eine Zahl durch einen Bruch? - Überlege dir, ob du das Ergebnis als Dezimalzahl oder als Bruch angeben möchtest.

1. Berechnung der inneren runden Klammer: \(\frac{1}{5} - 0{,}6 = 0{,}2 - 0{,}6 = -0{,}4\). 2. Multiplikation innerhalb der eckigen Klammer: \(-2{,}5 \cdot (-0{,}4) = 1\). 3. Division des Ergebnisses der eckigen Klammer durch den Divisor: \(1 : (-\frac{1}{2}) = 1 : (-0{,}5) = -2\). 4. Finale Subtraktion: \(\frac{5}{8} - (-2) = 0{,}625 + 2 = 2{,}625\) bzw. \(2\frac{5}{8}\).

\(2{,}625\) oder \(2\frac{5}{8}\)

- Betrachte zunächst nur das Vorzeichen des Ergebnisses in der Klammer. - Welche Vorzeichenregel gilt für die Multiplikation in Term A? - Was bewirkt der Betrag in Term B? - Vergleiche die Abstände der Faktoren zur Null (die Beträge) in beiden Termen.

1. Setze \(x=-\frac{3}{4}+0{,}5\). Da \(0{,}5=\frac{1}{2}<\frac{3}{4}\), gilt \(x<0\). 2. Term A ist \(x\cdot(-2)=(-x)\cdot 2\). 3. Für \(x<0\) gilt \(|x|=-x\). Daher ist Term B \(|x|\cdot 2=(-x)\cdot 2\). 4. Beide Terme haben somit dieselbe Form und müssen denselben Wert besitzen.

Setzt man \(x=-\frac{3}{4}+0{,}5\), so gilt \(x<0\) und deshalb \(|x|=-x\). Damit sind beide Terme gleich \((-x)\cdot 2\), ohne dass das Endergebnis berechnet werden muss.

- Ist es einfacher, mit Dezimalzahlen oder mit Brüchen zu rechnen? Wandle gegebenenfalls um. - Achte auf die Vorzeichenregeln bei der Multiplikation. - Was ist die letzte Operation, die du durchführst? Danach wird der Term benannt.

1. Struktur bestimmen: Der Term ist eine Summe, da zuletzt die Addition von \(1\frac{1}{3}\) erfolgt. 2. Potenz berechnen: \((-1{,}5)^2 = 2{,}25\). 3. Wert der eckigen Klammer berechnen: \(2{,}25 - 0{,}25 = 2\). 4. Produkt berechnen: \(2 \cdot (-\frac{2}{3}) = -\frac{4}{3}\). 5. Addition ausführen: \(-\frac{4}{3} + \frac{4}{3} = 0\).

\(0\)

- Beachte die Priorität von Potenzen gegenüber Punktrechnungen. - Wie gehst du mit den Vorzeichen bei der Division zweier negativer Zahlen um? - Vergiss nicht, am Ende den Wert in der Klammer von \(\frac{7}{8}\) abzuziehen.

1. Struktur bestimmen: Der Term ist eine Differenz, da die Subtraktion des Klammerwerts von \(\frac{7}{8}\) der letzte Schritt ist. 2. Potenz berechnen: \((-2)^2 = 4\). 3. Division in der Klammer berechnen: \(-1{,}2 : (-0{,}4) = 3\). 4. Multiplikation in der Klammer berechnen: \(4 \cdot 0{,}5 = 2\). 5. Summe in der Klammer berechnen: \(3 + 2 = 5\). 6. Endergebnis berechnen: \(\frac{7}{8} - 5 = 0{,}875 - 5 = -4{,}125\) (oder \(-4\frac{1}{8}\)).

\(-4{,}125\) oder \(-4\frac{1}{8}\)

- Du darfst bei reinen Multiplikationsaufgaben die Reihenfolge ändern, um einfacher zu rechnen. - Achte bei Ketten von Rechnungen darauf, wie viele Minuszeichen vorkommen. - Rechne bei einer Mischung aus Multiplikation und Division strikt von links nach rechts.

1. Berechnung von links nach rechts oder durch vorteilhaftes Zusammenfassen. 2. a) \((-4) \cdot (-8) = 32\). Dann \(32 \cdot 125 = 4000\). (Alternativ: \(125 \cdot (-8) = -1000\), dann \((-4) \cdot (-1000) = 4000\)). 3. b) \((-3600) : (-15) = 240\). Dann \(240 : (-4) = -60\). 4. c) \(12 \cdot (-15) = -180\). Dann \(-180 : (-9) = 20\). Zum Schluss \(20 \cdot (-2) = -40\).

a) \(4000\) b) \(-60\) c) \(-40\)

- Klammern werden immer zuerst berechnet. - Wie dividiert man durch einen Bruch? Denke an den Kehrwert. - Wandle Brüche und Dezimalzahlen in die Form um, mit der du am besten rechnen kannst.

1. Teilaufgabe a): Berechnung des Klammerausdrucks durch Finden des Hauptnenners: \(\frac{5}{9} + \frac{3}{9} = \frac{8}{9}\). Division durch Multiplikation mit dem Kehrwert: \(\frac{8}{9} \cdot \frac{3}{4} = \frac{24}{36} = \frac{2}{3}\). 2. Teilaufgabe b): Berechnung des Klammerinhalts: \(0{,}5 - 0{,}2 = 0{,}3\). Durchführung der Division: \(0{,}6 : 0{,}3 = 2\).

a) \(\frac{2}{3}\) b) \(2\)

- Was bedeuten die Klammern für die Reihenfolge deiner Rechenschritte? - Erinnerst du dich an die Regel für die Division von zwei Brüchen? - Gibt es beim Multiplizieren der Brüche eine Möglichkeit, über Kreuz zu kürzen?

1. Berechnung der ersten Klammer: Mit dem Hauptnenner \(8\) ergibt sich \(\frac{7}{8} - \frac{2}{8} = \frac{5}{8}\). 2. Berechnung der zweiten Klammer: Mit dem Hauptnenner \(6\) ergibt sich \(\frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}\). 3. Division der beiden Ergebnisse: Die Division wird durch die Multiplikation mit dem Kehrwert ersetzt: \(\frac{5}{8} : \frac{5}{6} = \frac{5}{8} \cdot \frac{6}{5}\). 4. Multiplizieren und Kürzen: \(\frac{5 \cdot 6}{8 \cdot 5} = \frac{30}{40} = \frac{3}{4}\).

\(\frac{3}{4}\)

- Denke an die Regel „Klammer zuerst“. - Beachte innerhalb von Klammern die Regel „Punkt vor Strich“. - Schreibe dir die Zwischenergebnisse der Klammern einzeln auf.

1. Berechnung der Klammer: \(-15 + (-25) = -40\). Multiplikation: \(-40 \cdot (-4) = 160\). 2. Berechnung der Klammer: \(-12 - 8 = -20\). Division: \(200 : (-20) = -10\). 3. Punktrechnung in der Klammer: \(4 \cdot (-5) = -20\). Strichrechnung in der Klammer: \(-20 + 7 = -13\). Gesamter Term: \(-13 - (-13) = -13 + 13 = 0\).

a) 160 b) -10 c) 0

- Berechne jede Seite der Gleichung einzeln. - Denk an die Regel „Klammer zuerst“. - Was passiert mit den Vorzeichen innerhalb einer Klammer, wenn ein Minus davor steht?

1. Prüfung von a): Linke Seite: \(-12{,}5 + 7{,}5 = -5\). Rechte Seite: \(-(12{,}5 - 7{,}5) = -(5) = -5\). Die Aussage ist wahr. 2. Prüfung von b): Linke Seite: \(\frac{4}{8} - (\frac{2}{8} + \frac{1}{8}) = \frac{4}{8} - \frac{3}{8} = \frac{1}{8}\). Rechte Seite: \(\frac{4}{8} - \frac{2}{8} + \frac{1}{8} = \frac{2}{8} + \frac{1}{8} = \frac{3}{8}\). Da \(\frac{1}{8} \neq \frac{3}{8}\), ist die Aussage falsch.

a) Wahr, da beide Seiten \(-5\) ergeben. b) Falsch, da die linke Seite \(\frac{1}{8}\) und die rechte Seite \(\frac{3}{8}\) ergibt.

- Ist es hier einfacher, mit Dezimalzahlen oder mit Brüchen zu rechnen? - Wandle am besten alles in die Form um, mit der du sicherer rechnen kannst. - Achte beim Multiplizieren auf das Vorzeichen des Ergebnisses.

1. Umwandlung aller Zahlen in ein einheitliches Format (entweder Brüche oder Dezimalzahlen): \(1\frac{1}{5} = 1{,}2\) und \(\frac{7}{10} = 0{,}7\) 2. Berechnung des Inhalts der Klammer: \(0{,}2 - 0{,}7 = -0{,}5\) 3. Multiplikation des Ergebnisses mit dem Faktor vor der Klammer: \(1{,}2 \cdot (-0{,}5) = -0{,}6\) Alternativ als Bruch: \(\frac{6}{5} \cdot (-\frac{1}{2}) = -\frac{6}{10} = -\frac{3}{5}\)

\(-0{,}6\) oder \(-\frac{3}{5}\)

- Berechne zuerst den Wert innerhalb der eckigen Klammer. - Du kannst Brüche in Dezimalzahlen umwandeln oder umgekehrt – entscheide dich für den Weg, der dir leichter fällt. - Was passiert, wenn du zu einer Zahl ihre Gegenzahl addierst?

1. Berechnung des ersten Produkts: \(\frac{3}{8} \cdot (-1{,}6) = 0{,}375 \cdot (-1{,}6) = -0{,}6\) 2. Berechnung der Division innerhalb der eckigen Klammer: \(\frac{1}{5} : (-0{,}4) = 0{,}2 : (-0{,}4) = -0{,}5\) 3. Addition innerhalb der eckigen Klammer: \(-0{,}5 + 0{,}5 = 0\) 4. Zusammenführung der Termteile: \(-0{,}6 - 0 = -0{,}6\)

\(-0{,}6\) (oder \(-\frac{3}{5}\))

- Welche Regel bestimmt die Reihenfolge, wenn keine Klammern gesetzt sind? - Wie verändert eine Klammer den Ablauf der Rechnung? - Berechne zuerst Schritt für Schritt die Zwischenergebnisse.

1. Berechnung von Term \(A\): Zuerst wird die Klammer berechnet (\(1{,}2 + 0{,}9 = 2{,}1\)). Dann folgt die Division (\(8{,}4 : 2{,}1 = 4\)). 2. Berechnung von Term \(B\): Hier gilt die Punkt-vor-Strich-Regel. Zuerst wird dividiert (\(8{,}4 : 1{,}2 = 7\)), dann wird addiert (\(7 + 0{,}9 = 7{,}9\)). 3. Vergleich: Die Ergebnisse unterscheiden sich, weil die Klammer in Term \(A\) die Rechenreihenfolge ändert und bewirkt, dass die Summe der Divisor ist, während in Term \(B\) nur durch \(1{,}2\) geteilt wird.

\(A = 4\); \(B = 7{,}9\). Die Ergebnisse sind unterschiedlich, da die Klammer in \(A\) vorschreibt, zuerst die Addition durchzuführen, während in \(B\) die Division Vorrang hat.

- Beachte die Vorrangregeln: Klammern zuerst, dann Potenzen, dann Punkt-vor-Strich-Rechnung. - Überlege genau, wie das Minuszeichen bei \(-3^2\) behandelt wird. - Schreibe dir die Zwischenergebnisse für jeden Term einzeln auf.

1. Berechnung von A: Der Klammerausdruck ergibt \(0{,}6 : (-0{,}2) = -3\). Damit folgt \(0{,}5 - (-3) = 0{,}5 + 3 = 3{,}5\). 2. Berechnung von B: In der Klammer gilt \(0{,}25 - 0{,}75 = -0{,}5\). Die Multiplikation ergibt \(2{,}5 \cdot (-0{,}5) = -1{,}25\). 3. Berechnung von C: Im Zähler bindet das Quadrat stärker als das Vorzeichen, also \(-3^2 = -9\). Der Zähler ist \(-9 + 5 = -4\). Der Bruchwert ist \(\frac{-4}{4} = -1\). 4. Sortierung der Ergebnisse: \(-1{,}25 < -1 < 3{,}5\). Dies entspricht der Reihenfolge B, C, A.

Die richtige Reihenfolge ist B, C, A. Die Werte sind \(-1{,}25 < -1 < 3{,}5\).

- Berechne zuerst den Wert für die ursprünglichen Zahlen und notiere dir das Ergebnis. - Führe dann die gleichen Schritte mit den halbierten Zahlen durch. - Vergleiche am Ende, ob das zweite Ergebnis genau die Hälfte des ersten Ergebnisses ist.

1. Aufstellen des Terms für Teilaufgabe a): \((24 \cdot 8) - (24 : 8)\) 2. Berechnung des Produkts: \(24 \cdot 8 = 192\) 3. Berechnung des Quotienten: \(24 : 8 = 3\) 4. Berechnung der Differenz: \(192 - 3 = 189\) 5. Bestimmung der neuen Zahlen für b): Die Hälften von \(24\) und \(8\) sind \(12\) und \(4\). 6. Berechnung der neuen Differenz: \((12 \cdot 4) - (12 : 4) = 48 - 3 = 45\) 7. Vergleich mit der ursprünglichen Differenz: Die Hälfte von \(189\) ist \(94{,}5\). Da \(45 \neq 94{,}5\), ist die Aussage falsch.

a) \((24 \cdot 8) - (24 : 8) = 189\) b) Die Aussage ist falsch. Mit den halbierten Zahlen (\(12\) und \(4\)) ergibt sich eine Differenz von \(45\), was nicht die Hälfte von \(189\) (\(94{,}5\)) ist.

- Was passiert, wenn man eine Zahl und ihre Gegenzahl addiert? - Stelle dir die Aufgaben auf einem Zahlenstrahl vor. In welche Richtung bewegst du dich? - Wandle die Subtraktion einer negativen Zahl zuerst in eine Addition um. - Vergleiche die Stellenwerte bei den Dezimalzahlen (Hundertstel gegen Zehntel).

1. Bei a) werden eine Zahl und ihre Gegenzahl addiert, was exakt Null ergibt: \(-4{,}5 + 4{,}5 = 0\). 2. Bei b) wird der Term zu \(-123 + 122\). Da der Betrag der negativen Zahl (\(123\)) größer ist als der der positiven Zahl (\(122\)), ist das Ergebnis negativ: \(-123 - (-122) < 0\). 3. Bei c) werden zwei negative Brüche addiert, wodurch die Summe weiter links auf dem Zahlenstrahl liegt und somit negativ ist: \(-\frac{2}{3} + (-\frac{1}{3}) < 0\). 4. Bei d) wird eine größere positive Zahl (\(0{,}10\)) von einer kleineren positiven Zahl (\(0{,}01\)) subtrahiert, was ein negatives Ergebnis zur Folge hat: \(0{,}01 - 0{,}1 < 0\).

a) \(=\) b) \(<\) c) \(<\) d) \(<\)

- Berechne zuerst jeden Term einzeln Schritt für Schritt. - Erinnere dich daran, wie sich das Vorzeichen beim Quadrieren einer negativen Zahl verhält. - Zeichne dir bei negativen Zahlen im Kopf einen Zahlenstrahl: Welche Zahl liegt weiter rechts?

1. Berechnung von Term \(X\): Zuerst wird die Potenz berechnet: \((-4)^2 = 16\). Danach folgt \(16 \cdot (-0{,}5) = -8\). 2. Berechnung von Term \(Y\): Die ersten beiden Faktoren ergeben \((-2) \cdot (-2) = 4\). Multiplikation mit dem dritten Faktor liefert \(4 \cdot (-2{,}5) = -10\). 3. Vergleich: Da \(-8 > -10\), ist der Wert von Term \(X\) größer als der von Term \(Y\).

Term \(X\) ist größer, da \(-8 > -10\).

- Was musst du zuerst berechnen, wenn eine Klammer im Term steht? - Wie dividiert man durch einen Bruch? - Denke an die Regel „Punkt vor Strich“. - Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn man zwei negative Zahlen miteinander multipliziert?

1. Teilaufgabe a): Berechnung des Klammerausdrucks ergibt \(\frac{2}{5} - \frac{5}{5} = -\frac{3}{5}\). Umwandlung der gemischten Zahl ergibt \(-\frac{5}{2}\). Multiplikation der beiden negativen Brüche führt zu \(\left(-\frac{3}{5}\right) \cdot \left(-\frac{5}{2}\right) = \frac{3}{2}\) bzw. \(1{,}5\). 2. Teilaufgabe b): Division des ersten Terms durch Multiplikation mit dem Kehrwert ergibt \(\frac{3}{8} \cdot (-4) = -\frac{12}{8} = -1{,}5\). Berechnung des Produkts im zweiten Teil ergibt \(0{,}5 \cdot 3 = 1{,}5\). Subtraktion der Ergebnisse führt zu \(-1{,}5 - 1{,}5 = -3\).

a) \(1{,}5\) oder \(1\frac{1}{2}\) b) \(-3\)

- Erinnere dich an die Regel „Klammer vor Punkt vor Strich“. - Wie dividiert man durch einen Bruch? - Achte besonders auf das Vorzeichen beim letzten Rechenschritt.

1. Berechnung der Klammer: \( \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6} \) 2. Multiplikation des Zwischenergebnisses: \( \frac{5}{6} \cdot \frac{6}{5} = 1 \) 3. Division durch den negativen Bruch (Multiplikation mit dem Kehrwert): \( \frac{3}{4} \cdot ( - 2 ) = - \frac{6}{4} = - 1{,}5 \) 4. Subtraktion der Teilergebnisse: \( 1 - ( - 1{,}5 ) = 1 + 1{,}5 = 2{,}5 \)

\( 2{,}5 \) oder \( \frac{5}{2} \)

- Wie multipliziert man Brüche miteinander? - Wie dividiert man durch einen Bruch? - Denke daran, die Brüche vor der Addition auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen.

1. Multiplikation der ersten beiden Brüche: \((-\frac{5}{6}) \cdot \frac{3}{10} = -\frac{15}{60} = -\frac{1}{4}\) 2. Division im zweiten Teilterm durch Multiplikation mit dem Kehrwert: \(\frac{2}{5} \cdot (-\frac{5}{4}) = -\frac{10}{20} = -\frac{1}{2}\) 3. Addition der beiden Zwischenergebnisse: \(-\frac{1}{4} + (-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{4} - \frac{2}{4} = -\frac{3}{4}\)

Das Ergebnis ist \(-\frac{3}{4}\) (oder \(-0{,}75\)).

- Erinnere dich an die Regel: Das Subtrahieren einer negativen Zahl ist dasselbe wie das Addieren der Gegenzahl. - Um Brüche mit unterschiedlichen Nennern zu addieren, musst du sie zuerst gleichnamig machen. - Du kannst Dezimalzahlen oft einfacher in Brüche umwandeln, um mit anderen Brüchen zu rechnen. - Achte darauf, ob das Ergebnis als echter Bruch, unechter Bruch oder gemischte Zahl angegeben werden soll.

1. Auflösen der Klammer und Hauptnenner 10 finden: \( \frac{4}{5} - \frac{1}{2} = \frac{8}{10} - \frac{5}{10} = \frac{3}{10} \). 2. Hauptnenner 12 finden und beide negativen Werte addieren: \( -\frac{9}{12} - \frac{10}{12} = -\frac{19}{12} = -1\frac{7}{12} \). 3. Umwandlung in Brüche oder Dezimalzahlen: \( -1{,}5 + 0{,}25 = -1{,}25 \) oder \( -\frac{3}{2} + \frac{1}{4} = -\frac{6}{4} + \frac{1}{4} = -\frac{5}{4} \). 4. Das Subtrahieren einer negativen Zahl entspricht dem Addieren ihrer Gegenzahl; anschließend wird der Hauptnenner 9 verwendet: \( \frac{7}{9} + \frac{6}{9} = \frac{13}{9} = 1\frac{4}{9} \).

a) \( \frac{3}{10} \) b) \( -\frac{19}{12} \) oder \( -1\frac{7}{12} \) c) \( -1{,}25 \) oder \( -\frac{5}{4} \) d) \( \frac{13}{9} \) oder \( 1\frac{4}{9} \)

- Wandle die Dezimalzahl und die gemischte Zahl zuerst in Brüche um. - Denke an die Regel „Klammer zuerst“. - Wie dividiert man zwei Brüche miteinander? - Achte auf das Vorzeichen beim Rechnen mit negativen Zahlen.

1. Berechnung der ersten Klammer durch Umwandlung in Brüche und Erweitern auf den Hauptnenner 6: \( \frac{4}{3} - \frac{1}{2} = \frac{8}{6} - \frac{3}{6} = \frac{5}{6} \) 2. Berechnung der zweiten Klammer: \( \frac{1}{6} - \frac{6}{6} = -\frac{5}{6} \) 3. Division der beiden Klammerergebnisse: \( \frac{5}{6} : \left( -\frac{5}{6} \right) = -1 \) 4. Multiplikation des Zwischenergebnisses mit dem letzten Faktor: \( -1 \cdot \frac{3}{5} = -\frac{3}{5} \)

Der Wert des Terms ist \( -\frac{3}{5} \) (oder \( -0{,}6 \)).

- Was ist der Unterschied zwischen \(-x^2\) und \((-x)^2\)? - Arbeite dich bei Ausdrücken mit Klammern und Potenzen von innen nach außen vor. - Achte bei der Multiplikation und Division auf die Vorzeichenregeln.

1. Teilaufgabe a): Potenzen berechnen. Beachte \(-2^4 = -16\) (Minuszeichen steht vor der Potenz) und \((-3)^2 = 9\). Multiplikation: \(9 \cdot \frac{1}{9} = 1\). Addition: \(-16 + 1 = -15\). 2. Teilaufgabe b): Klammerinhalt berechnen. \(\frac{1}{2} - \frac{2}{3} = \frac{3-4}{6} = -\frac{1}{6}\). Potenzieren: \((-\frac{1}{6})^2 = \frac{1}{36}\). Subtraktion: \(\frac{5}{6} - \frac{1}{36} = \frac{30}{36} - \frac{1}{36} = \frac{29}{36}\). 3. Teilaufgabe c): Klammerinhalt berechnen. \(10 - 100 = -90\). Multiplikation: \(-0{,}1 \cdot (-90) = 9\).

a) \(-15\) b) \(\frac{29}{36}\) c) \(9\)

- Wandle alle Zahlen in die gleiche Darstellung (Brüche) um, um besser rechnen zu können. - Welche Rechenoperation musst du zuerst ausführen? Denke an „Klammer vor Punkt vor Strich“. - Wie dividiert man durch einen Bruch?

1. Umwandlung der Dezimalzahl: \(0{,}5 = \frac{1}{2}\). 2. Berechnung des Klammerinhalts: \(\frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{2}{6} + \frac{3}{6} = \frac{5}{6}\). 3. Division nach der Punkt-vor-Strich-Regel durchführen: \(\frac{5}{6} : \left( -\frac{1}{2} \right) = \frac{5}{6} \cdot (-2) = -\frac{10}{6} = -\frac{5}{3}\). 4. Subtraktion durchführen: \(\frac{5}{6} - \left( -\frac{5}{3} \right) = \frac{5}{6} + \frac{5}{3} = \frac{5}{6} + \frac{10}{6} = \frac{15}{6}\). 5. Kürzen des Ergebnisses: \(\frac{15}{6} = \frac{5}{2} = 2{,}5\).

\(2{,}5\) (oder \(\frac{5}{2}\))

- Berechne zuerst den Wert jedes Terms einzeln. - Vergleiche die Ergebnisse auf der Zahlengeraden. Welcher Punkt hat die kleinste Entfernung zum Nullpunkt? - Überlege dir, wie du den Abstand einer Zahl zu Null (den Betrag) bestimmen kannst.

1. Berechnung von Term \(A\): Zuerst Multiplikation \(-3 \cdot 4 = -12\). Dann Addition \(-12 + 10 = -2\). Der Abstand zu \(0\) beträgt \(2\). 2. Berechnung von Term \(B\): Zuerst Division \(15 : (-3) = -5\). Dann Addition \(-5 + 4 = -1\). Der Abstand zu \(0\) beträgt \(1\). 3. Berechnung von Term \(C\): Zuerst Multiplikation \(0{,}5 \cdot (-6) = -3\). Dann Addition \(-3 + 2{,}8 = -0{,}2\). Der Abstand zu \(0\) beträgt \(0{,}2\). 4. Vergleich der Ergebnisse: Der Wert \(-0{,}2\) liegt am nächsten bei \(0\).

Term \(C\) liegt mit dem Wert \(-0{,}2\) am nächsten bei \(0\).

- Berechne jeden Term einzeln, bevor du mit dem Vergleichen beginnst. - Achte besonders auf die Vorzeichenregeln, wenn ein Minuszeichen vor einer Klammer steht. - Es hilft, alle Ergebnisse in die gleiche Darstellung (z. B. Dezimalzahlen) zu bringen, um sie leichter vergleichen zu können.

1. Berechnung von a): \(-12{,}5 + 7{,}8 = -4{,}7\). 2. Berechnung von b): \(-\frac{3}{5} - \frac{1}{2} = -\frac{6}{10} - \frac{5}{10} = -\frac{11}{10} = -1{,}1\). 3. Berechnung von c): \(4\frac{1}{3} - 2\frac{5}{6} = \frac{13}{3} - \frac{17}{6} = \frac{26}{6} - \frac{17}{6} = \frac{9}{6} = 1\frac{1}{2} = 1{,}5\). 4. Berechnung von d): \(-0{,}75 + 1{,}2 = 0{,}45\). 5. Vergleich der Ergebnisse: \(-4{,}7 < -1{,}1 < 0{,}45 < 1{,}5\). Die Reihenfolge ist a, b, d, c.

a) \(-4{,}7\) b) \(-1{,}1\) c) \(1{,}5\) d) \(0{,}45\) Reihenfolge: \(a < b < d < c\)

- Setze die Werte für \(x\) nacheinander in den Ausdruck ein und achte auf die Klammern bei negativen Zahlen. - Beim Subtrahieren einer negativen Zahl addierst du ihre Gegenzahl. - Vergleiche die drei Ergebnisse aus Aufgabenteil a). Werden sie größer oder kleiner? - Was bedeutet es für eine Differenz, wenn die Zahl, die abgezogen wird, immer kleiner wird?

1. Einsetzen von \(x = 2\): \(-4{,}5 - 2 = -6{,}5\) 2. Einsetzen von \(x = -2\): \(-4{,}5 - (-2) = -4{,}5 + 2 = -2{,}5\) 3. Einsetzen von \(x = -4{,}5\): \(-4{,}5 - (-4{,}5) = -4{,}5 + 4{,}5 = 0\) 4. Vergleich der Ergebnisse: Da \(2 > -2 > -4{,}5\), wird \(x\) kleiner; die Ergebnisse \(-6{,}5 < -2{,}5 < 0\) zeigen, dass der Wert des Ausdrucks dabei größer wird. 5. Begründung: Wird \(x\) kleiner, wird seine Gegenzahl \(-x\) größer. Deshalb wird auch der Wert von \(-4{,}5 - x\) größer.

a) Für \(x = 2\) ist das Ergebnis \(-6{,}5\); für \(x = -2\) ist es \(-2{,}5\); für \(x = -4{,}5\) ist es \(0\). b) Das Ergebnis wird größer, wenn \(x\) kleiner wird, weil dann die Gegenzahl \(-x\) größer wird.

- Achte genau auf die Vorzeichen und die Rechenzeichen beim Einsetzen der negativen Zahlen. - Was bedeutet es für das Vorzeichen, wenn der Betrag der Zahl, die abgezogen wird, kleiner oder größer als der Betrag der ersten Zahl ist? - Um eine allgemeine Behauptung zu widerlegen, reicht ein einziges Gegenbeispiel aus.

1. Berechnung von \(x - y\): \(-6{,}2 - (-3{,}4) = -6{,}2 + 3{,}4 = -2{,}8\). 2. Berechnung von \(y - x\): \(-3{,}4 - (-6{,}2) = -3{,}4 + 6{,}2 = 2{,}8\). 3. Vergleich: Die Ergebnisse sind Gegenzahlen; sie haben den gleichen Betrag, aber verschiedene Vorzeichen. 4. Widerlegung der Behauptung: Ein Beispiel, bei dem das Ergebnis negativ bleibt, ist \((-10) - (-2) = -10 + 2 = -8\). Da \(-8\) negativ ist, ist die Behauptung widerlegt.

a) \(-2{,}8\) b) \(2{,}8\) c) Die Ergebnisse sind Gegenzahlen. d) Beispiel: \((-10) - (-2) = -8\). Das Ergebnis ist negativ, also ist die Behauptung falsch.

- Erinnere dich daran, dass das Subtrahieren einer Zahl dasselbe ist wie das Addieren ihrer Gegenzahl. - Musst du bei allen Aufgaben zuerst einen gemeinsamen Nenner suchen oder sind manche Nenner schon gleich? - Wie kannst du eine ganze Zahl so umschreiben, dass sie zu den Brüchen in der Aufgabe passt? - Überlege dir bei gemischten Zahlen, ob es einfacher ist, sie zuerst in einen unechten Bruch umzuwandeln.

1. Auflösen der Klammern und Umwandeln der Vorzeichen: \(-\frac{7}{8} - \frac{1}{8} + 3\). Zusammenfassen der Brüche: \(-1 + 3 = 2\). 2. Hauptnenner finden (\(10\)) und Klammern auflösen: \(\frac{4}{10} + \frac{5}{10} - \frac{9}{10}\). Berechnung: \(\frac{9}{10} - \frac{9}{10} = 0\). 3. Vereinfachen: \(-2\frac{1}{4} + \frac{3}{4} - 1\). Schrittweise Berechnung: \(-1\frac{2}{4} - 1 = -2\frac{2}{4}\). Kürzen des Ergebnisses führt zu \(-2\frac{1}{2}\).

1) \(2\); 2) \(0\); 3) \(-2\frac{1}{2}\)

- Betrachte die beiden Äste des Rechenbaums getrennt voneinander. Was wird links berechnet, was rechts? - Wie verbinden wir die beiden Teilergebnisse am Ende? Welche Rolle spielen dabei Klammern? - Rechnest du mit Dezimalzahlen, ist es oft hilfreich, die Stellen nach dem Komma genau untereinander zu betrachten. - Berechne erst die beiden oberen Verknüpfungen, bevor du das Endergebnis ganz unten bestimmst.

1. Aufstellen des Terms aus dem Rechenbaum: - Der linke Ast berechnet eine Summe: \((4{,}5 + 1{,}5)\). - Der rechte Ast berechnet eine Differenz: \((12{,}8 - 7{,}3)\). - Beide Teilergebnisse werden miteinander multipliziert. Da die Punktrechnung (Multiplikation) stärker bindet als Strichrechnungen (Addition, Subtraktion), müssen beide Teilausdrücke in Klammern gesetzt werden. - Der vollständige Term lautet: \((4{,}5 + 1{,}5) \cdot (12{,}8 - 7{,}3)\). 2. Berechnung der Werte: - Linke Klammer (Addition): \(4{,}5 + 1{,}5 = 6\) - Rechte Klammer (Subtraktion): \(12{,}8 - 7{,}3 = 5{,}5\) - Multiplikation (Endwert): \(6 \cdot 5{,}5 = 33\)

a) Der Term lautet: \((4{,}5 + 1{,}5) \cdot (12{,}8 - 7{,}3)\) b) Die Zwischenergebnisse sind \(6\) und \(5{,}5\). Der Endwert des Terms ist \(33\).

- Schau dir an, welche Zahlen durch die Linien zuerst verbunden werden. Diese Operation musst du zuerst berechnen. - Wenn eine Operation zuerst berechnet werden soll, die nach den Standardregeln später käme, musst du sie im Term eventuell durch Klammern schützen. - Denke an die Vorzeichenregeln bei der Multiplikation und Division von negativen Zahlen. - Gehe im Rechenbaum Schritt für Schritt von oben nach unten vor und trage die Zwischenergebnisse ein.

1. Rechenbaum a): Zuerst wird die Addition im linken Ast berechnet: \(-15 + 7 = -8\). Da dieses Ergebnis mit \(-4\) multipliziert wird, lautet der dazugehörige Term \((-15 + 7) \cdot (-4)\). Die Multiplikation liefert das Endergebnis: \(-8 \cdot (-4) = 32\). 2. Rechenbaum b): Zuerst wird die Division im rechten Ast berechnet: \(60 : (-5) = -12\). Dieses Ergebnis wird zu \(-100\) addiert. Der dazugehörige Term lautet \(-100 + (60 : (-5))\) (oder vereinfacht \(-100 + (-12)\)). Die Addition liefert das Endergebnis: \(-100 + (-12) = -112\).

a) Term: \((-15 + 7) \cdot (-4)\), Ergebnis: \(32\) b) Term: \(-100 + (60 : (-5))\), Ergebnis: \(-112\)

- Achte beim ersten Schritt auf das Minuszeichen vor der 15. - Berechne die beiden Hauptäste getrennt voneinander, bevor du sie multiplizierst. - Gehe in der rechten Baumhälfte schrittweise von innen nach außen vor.

1. Term aufstellen: \((-15 + 25) \cdot (40 - (30 - 10))\) 2. Linke Klammer (Addition rationaler Zahlen): \(-15 + 25 = 10\) 3. Rechte innere Klammer: \(30 - 10 = 20\) 4. Rechte äußere Klammer: \(40 - 20 = 20\) 5. Finale Multiplikation: \(10 \cdot 20 = 200\)

Der Wert des Terms ist \(200\).

- Gehe den Baum von oben nach unten durch und notiere die Teilergebnisse. - Denke daran: Das Subtrahieren einer negativen Zahl entspricht dem Addieren der Gegenzahl. - Setze Klammern um die Ausdrücke, die in den Zweigen berechnet werden.

1. Aufstellen des Terms: \((-20 + 35) + (10 - (-15))\) 2. Berechnung des linken Zweigs: \(-20 + 35 = 15\) 3. Berechnung des rechten Zweigs: \(10 - (-15) = 10 + 15 = 25\) 4. Addition der Zwischenergebnisse: \(15 + 25 = 40\) Das Ergebnis ist \(40\).

Term: \((-20 + 35) + (10 - (-15))\) Ergebnis: \(40\)

- Berechne zuerst den Wert in dem Kästchen, das zwei Zahlen verbindet. - Achte beim Dividieren auf die Vorzeichenregeln. - Wo müssen im Term Klammern stehen, damit die Addition zuerst gerechnet wird?

1. Berechnung der Summe in der rechten Verzweigung: \(12 + 3 = 15\). 2. Durchführung der Division für das Endergebnis: \(-60 : 15 = -4\). 3. Bildung des Terms unter Berücksichtigung der Rechenreihenfolge: Da die Addition zuerst ausgeführt wird, lautet der Term \(-60 : (12 + 3)\).

Das Zwischenergebnis ist \(15\), das Endergebnis ist \(-4\). Der Term lautet \(-60 : (12 + 3)\).

- Achte beim ersten Schritt auf das Vorzeichen: „Minus durch Plus ergibt Minus“. - Achte beim zweiten Schritt auf das Vorzeichen: „Minus mal Minus ergibt Plus“.

1. Berechnung des ersten Schritts: \(-35 : 7 = -5\). 2. Berechnung des zweiten Schritts mit dem Zwischenergebnis: \(-5 \cdot (-9) = 45\).

Das Zwischenergebnis im oberen Kästchen ist \(-5\). Das Endergebnis im unteren Kästchen ist \(45\).

- Welche Rechenoperation steht ganz unten im Baum? Das ist der letzte Schritt deiner Rechnung. - Überlege dir, welche Zahlen oder Teilergebnisse durch die Rechenzeichen verbunden werden. - Achte beim Aufschreiben des Terms darauf, Klammern zu setzen, damit die Reihenfolge der Rechnungen erhalten bleibt.

1. Den Term aus dem Rechenbaum ablesen: Zuerst wird die Multiplikation \(5 \cdot (-6) = -30\) berechnet. 2. Danach wird dieses Ergebnis von \(-20\) subtrahiert: \(-20 - (-30) = -20 + 30 = 10\). 3. Als letzter Schritt wird das Zwischenergebnis durch \(-2\) dividiert: \(10 : (-2) = -5\). Der vollständige Term lautet \(((-20) - 5 \cdot (-6)) : (-2)\). Sein Wert ist \(-5\).

Der Term lautet \(((-20) - 5 \cdot (-6)) : (-2)\). Der Wert des Terms ist \(-5\).

- Welche Zahlen stehen in der innersten Verzweigung? - Wie viele Rechenschritte gibt es insgesamt? - Achte auf die Kommasetzung bei der Addition und Multiplikation.

1. Summe der Dezimalzahlen berechnen: \(1{,}2 + 0{,}8 = 2{,}0\). 2. Das Ergebnis mit \(5\) multiplizieren: \(2{,}0 \cdot 5 = 10\). 3. Das Ergebnis zu \(-2{,}5\) addieren: \(-2{,}5 + 10 = 7{,}5\). Term: \(-2{,}5 + ((1{,}2 + 0{,}8) \cdot 5)\). Wert: \(7{,}5\).

Der Term ist \(-2{,}5 + ((1{,}2 + 0{,}8) \cdot 5)\). Der Wert ist \(7{,}5\).

- Kannst du den Term in kleinere Blöcke unterteilen, die durch Plus oder Minus getrennt sind? - Achte bei Potenzen mit negativer Basis darauf, ob der Exponent gerade oder ungerade ist. - Was passiert, wenn ein Minuszeichen vor einer negativen Zahl steht?

1. Potenz in der eckigen Klammer berechnen: \( (-2)^5 = -32 \) 2. Multiplikation in der eckigen Klammer berechnen: \( (-4) \cdot (-7) = 28 \) 3. Inhalt der eckigen Klammer bestimmen: \( -32 - 28 = -60 \) 4. Potenz für den Divisor berechnen: \( (-2)^3 = -8 \) 5. Division durchführen: \( 120 : (-8) = -15 \) 6. Betrag bestimmen: \( | -10 | = 10 \) 7. Term zusammenfassen: \( -60 - (-15) + 10 \) 8. Finale Berechnung: \( -60 + 15 + 10 = -35 \)

-35

- Wandle den Prozentsatz in eine Dezimalzahl um, bevor du rechnest. - Wie lässt sich \( 0{,}75 \) als Bruch schreiben, um die Multiplikation mit \( \frac{2}{3} \) zu vereinfachen? - Achte darauf, erst die Potenz und die Punktrechnungen auszuführen, bevor du addierst oder subtrahierst.

1. Berechnen des ersten Produkts durch Umwandlung von \( 0{,}75 \) in \( \frac{3}{4} \): \( \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} = \frac{2}{4} = 0{,}5 \) 2. Umwandeln des Prozentsatzes und des gemischten Bruchs für die Division: \( 1{,}5 : 0{,}75 = 2 \) 3. Berechnen der Potenz: \( (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8} = 0{,}125 \) 4. Zusammenführen der Ergebnisse: \( 0{,}5 + 2 - 0{,}125 \) 5. Endergebnis: \( 2{,}5 - 0{,}125 = 2{,}375 \)

\( 2{,}375 \)

- Schritt für Schritt: Was passiert innerhalb der Klammer zuerst? - Achte bei der Addition und Subtraktion auf den gemeinsamen Nenner. - Kannst du vor dem Multiplizieren über Kreuz kürzen? - Wandle das Endergebnis in eine gemischte Zahl um, falls der Zähler größer als der Nenner ist.

1. Division durch Multiplikation mit dem Kehrwert: \(\frac{7}{10} \cdot \frac{5}{14} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}\). 2. Zweite Multiplikation: \(\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{4}\). 3. Addition der Ergebnisse: \(\frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\). 4. Multiplikation innerhalb der Klammer: \(\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}\). 5. Addition innerhalb der Klammer: \(\frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\). 6. Finale Subtraktion mit Hauptnenner 6: \(3\frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{7}{2} - \frac{1}{3} = \frac{21}{6} - \frac{2}{6} = \frac{19}{6} = 3\frac{1}{6}\).

a) \(\frac{1}{2}\) b) \(3\frac{1}{6}\)

- Teile den Term in zwei große Blöcke links und rechts vom Minuszeichen auf. - Erinnere dich daran, wie man durch einen Bruch dividiert. - Achte auf die Vorzeichenregeln bei der Subtraktion.

1. Erste Klammer berechnen: \(\frac{5}{8} - \frac{3}{2} = \frac{5}{8} - \frac{12}{8} = -\frac{7}{8}\). 2. Division des Ergebnisses: \(-\frac{7}{8} : \frac{7}{4} = -\frac{7}{8} \cdot \frac{4}{7} = -\frac{4}{8} = -\frac{1}{2}\). 3. Zweite Klammer (bzw. Division am Ende) berechnen: \(2 : \frac{4}{3} = 2 \cdot \frac{3}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}\). 4. Subtraktion der beiden Teilergebnisse: \(-\frac{1}{2} - \frac{3}{2} = -\frac{4}{2} = -2\).

\(-2\)

- Schau dir die Vorzeichen der einzelnen Faktoren oder Summanden an. - Ist das Ergebnis in der Klammer bei Term A größer oder kleiner als Null? - Bei Term B: Welcher der beiden Summanden in der Klammer hat den größeren Betrag? - Denk daran, dass die Division durch \(\frac{1}{2}\) das Gleiche ist wie die Multiplikation mit 2.

1. Begründung Vorzeichen Term A: Der Klammerausdruck \(\left( \frac{1}{2} - \frac{3}{4} \right)\) ist negativ, da \(\frac{3}{4}\) größer als \(\frac{1}{2}\) ist. Das Produkt aus der negativen Zahl \(-3 \frac{1}{8}\) und dem negativen Klammerergebnis ist positiv. 2. Begründung Vorzeichen Term B: Die Summe in der Klammer \(\left( -2 \frac{2}{3} + 1 \frac{1}{6} \right)\) ist negativ, da der Betrag der negativen Zahl größer ist. Die Division durch die positive Zahl \(\frac{1}{2}\) ändert das Vorzeichen nicht. Term B ist also negativ. 3. Berechnung A: \(- \frac{25}{8} \cdot \left( \frac{2}{4} - \frac{3}{4} \right) = - \frac{25}{8} \cdot \left( - \frac{1}{4} \right) = \frac{25}{32}\). 4. Berechnung B: \(\left( - \frac{16}{6} + \frac{7}{6} \right) : \frac{1}{2} = \left( - \frac{9}{6} \right) \cdot 2 = - \frac{3}{2} \cdot 2 = -3\).

a) Term B hat ein negatives Ergebnis. b) \(A = \frac{25}{32}\); \(B = -3\)

- Kannst du alle Zahlen in Brüche umwandeln, bevor du beginnst? - Achte bei Aufgabe a) genau auf das Vorzeichen des Ergebnisses in der Klammer. - Halte dich strikt an die Reihenfolge der Rechenoperationen von links nach rechts, nachdem du Punkt-vor-Strich beachtet hast. - Wie gehst du vor, wenn du eine größere Zahl von einer kleineren abziehst?

a) 1. Gemischte Zahl umwandeln: \(2 \frac{1}{3} = \frac{7}{3}\) 2. Klammer berechnen: \(4{,}5 - 6 = -1{,}5 = -\frac{3}{2}\) 3. Erstes Produkt berechnen: \(\frac{7}{3} \cdot (-\frac{3}{2}) = -\frac{7}{2}\) 4. Division durch Multiplikation mit dem Kehrwert: \(-\frac{7}{2} \cdot \frac{4}{7}\) 5. Kürzen und Endergebnis: \(-2\) b) 1. Ersten Teil (Division) berechnen: \(\frac{5}{12} \cdot \frac{18}{25} = \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 5} = \frac{3}{10}\) 2. Zweiten Teil (Multiplikation) berechnen: \(0{,}4 \cdot 1 \frac{1}{2} = \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{5}\) 3. Subtraktion durchführen: \(\frac{3}{10} - \frac{6}{10} = -\frac{3}{10}\)

a) \(-2\) b) \(-\frac{3}{10}\) oder \(-0{,}3\)

- Betrachte Zähler und Nenner zunächst als zwei separate Rechenaufgaben. - Gibt es im Zähler eine Zahl, die in beiden Produkten vorkommt und ausgeklammert werden kann? - Kannst du den Ausdruck im Nenner vereinfachen, bevor du die abschließende Division durchführst?

1. Zähler berechnen: Anwendung des Distributivgesetzes \( 12{,}5 \cdot (3{,}7 + 4{,}3) = 12{,}5 \cdot 8 = 100 \) 2. Nenner berechnen: Addition der Brüche \( \frac{4}{6} + \frac{1}{6} = \frac{5}{6} \); Division durch den Bruch \( \frac{5}{6} \cdot 12 = 10 \) 3. Gesamtergebnis durch Division von Zähler und Nenner: \( 100 : 10 = 10 \)

10

- Manchmal hilft es, nur zu bestimmen, ob ein Ergebnis positiv oder negativ ist. - Stelle dir die Zahlen auf einer Zahlengeraden vor. Was liegt weiter rechts? - Überlege dir, wie sich eine Division durch eine Zahl zwischen 0 und 1 auf den Betrag auswirkt. - Gleiche Vorzeichen oder ungleiche Vorzeichen? Das hilft oft schon beim Vergleichen.

1. \( (-0{,}5)^2 \) ist positiv (gerader Exponent), \( (-0{,}5)^3 \) ist negativ (ungerader Exponent). Da jede positive Zahl größer als jede negative Zahl ist, gilt \( > \). 2. Links wird zu einer negativen Zahl etwas addiert (sie wird „größer“), rechts wird etwas abgezogen (sie wird „kleiner“). Also gilt \( > \). 3. Das Produkt aus drei negativen Faktoren ist negativ. Da jede negative Zahl kleiner als Null ist, gilt \( < \). 4. Eine Division durch \( 0{,}5 \) verdoppelt den Betrag der Zahl, eine Multiplikation mit \( 0{,}5 \) halbiert ihn. Da beide Ergebnisse negativ sind, ist das Ergebnis der Division wegen seines größeren Betrags kleiner. Also gilt \( < \).

a) \( > \) b) \( > \) c) \( < \) d) \( < \)

- Berechne zuerst jeden Wert einzeln im Kopf. - Was ist der Unterschied zwischen \( -x^2 \) und \( (-x)^2 \)? - Denk daran: Bei negativen Zahlen ist diejenige kleiner, die weiter links auf dem Zahlenstrahl liegt.

1. Berechnung der Einzelwerte: \( A = -(0{,}4 \cdot 0{,}4) = -0{,}16 \); \( B = (-0{,}4) \cdot (-0{,}4) = 0{,}16 \); \( C = -0{,}8 \); \( D = -0{,}2 \). 2. Vergleich der negativen Werte auf dem Zahlenstrahl: \( -0{,}8 < -0{,}2 < -0{,}16 \). 3. Einordnung des positiven Wertes \( 0{,}16 \) als größten Wert. 4. Finale Reihenfolge der Terme: C, D, A, B.

C, D, A, B

- Wie beeinflusst der Exponent das Vorzeichen einer negativen Basis? - Welche Vorrangregeln kennst du für Klammern und Punkt-vor-Strichrechnung? - Kannst du bei der Multiplikation von Brüchen vorab kürzen?

1. \((-0{,}2)^2\) hat einen geraden Exponenten, das Ergebnis ist daher positiv. \((-0{,}2)^3\) hat einen ungeraden Exponenten, das Ergebnis ist negativ. Da jede positive Zahl größer als jede negative Zahl ist, gilt \((-0{,}2)^2 > (-0{,}2)^3\). 2. Berechnung der Klammer: \(-4{,}8 + 2{,}4 = -2{,}4\). Division durch \(-0{,}6\): \(-2{,}4 : (-0{,}6) = 4\). 3. Punktrechnung zuerst: \(\frac{-3 \cdot (-10)}{5 \cdot 9} = \frac{30}{45} = \frac{2}{3}\). Addition: \(\frac{2}{3} + (-1) = \frac{2}{3} - \frac{3}{3} = -\frac{1}{3}\).

a) \((-0{,}2)^2\) ist größer, da es positiv ist, während \((-0{,}2)^3\) negativ ist. b) \(4\) c) \(-\frac{1}{3}\)

- Berechne zuerst jeden Term einzeln für sich. - Was passiert mit dem Vorzeichen einer negativen Zahl, wenn man sie quadriert? - Kannst du den Bruch im zweiten Term als Dezimalzahl schreiben, um leichter zu rechnen? - Vergleiche am Ende deine beiden Endergebnisse.

1. Berechnung von Term \(A\): Potenzieren von \(-0{,}3\) ergibt \((-0{,}3) \cdot (-0{,}3) = 0{,}09\). Division durch \(0{,}1\) ergibt \(0{,}09 : 0{,}1 = 0{,}9\). 2. Berechnung von Term \(B\): Multiplikation von \(-2{,}5\) mit \(\frac{2}{5}\) (entspricht \(0{,}4\)) ergibt \(-2{,}5 \cdot 0{,}4 = -1{,}0\). Addition von \(1{,}9\) ergibt \(-1{,}0 + 1{,}9 = 0{,}9\). 3. Vergleich: Beide Terme ergeben \(0{,}9\).

Ja, beide Terme haben den Wert \(0{,}9\).

- Arbeite dich bei verschachtelten Klammern von innen nach außen vor. - Wie dividiert man durch einen Bruch? Denke an den Kehrwert. - Überlege bei jeder Teilaufgabe neu, ob Brüche oder Dezimalzahlen praktischer sind.

1. Berechnung von \((-1{,}2 + \frac{2}{5}) \cdot 1{,}5\): Klammerinhalt \(-1{,}2 + 0{,}4 = -0{,}8\); Multiplikation \(-0{,}8 \cdot 1{,}5 = -1{,}2\). 2. Berechnung von \(\frac{3}{8} : (-0{,}75) - 1{,}25\): Umwandlung \(\frac{3}{8} : (-\frac{3}{4}) = \frac{3}{8} \cdot (-\frac{4}{3}) = -\frac{1}{2} = -0{,}5\); Subtraktion \(-0{,}5 - 1{,}25 = -1{,}75\). 3. Berechnung von \(- [\frac{1}{3} - (0{,}5 + \frac{1}{6})]\): Innere Klammer \(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} + \frac{1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\); Ausdruck in der eckigen Klammer \(\frac{1}{3} - \frac{2}{3} = -\frac{1}{3}\); Vorzeichenwechsel ergibt \(-(-\frac{1}{3}) = \frac{1}{3}\).

a) \(-1{,}2\) oder \(-\frac{6}{5}\) b) \(-1{,}75\) oder \(-\frac{7}{4}\) c) \(\frac{1}{3}\)

- Welche Rechenoperation würdest du ganz am Ende ausführen? Das bestimmt den Namen des Terms. - Arbeite dich von der innersten Klammer nach außen vor. - Vergiss nicht, die Potenz separat zu berechnen, bevor du die finale Division durchführst.

1. Struktur bestimmen: Da die letzte auszuführende Operation die Division durch \((-2)^3\) ist, handelt es sich um einen Quotienten. 2. Innere Klammer berechnen: \(12 - 15 = -3\). 3. Multiplikation in der eckigen Klammer: \((-4) \cdot (-3) = 12\). 4. Wert der eckigen Klammer berechnen: \(12 - 20 = -8\). 5. Potenz berechnen: \((-2)^3 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = -8\). 6. Letzter Schritt (Division): \(-8 : (-8) = 1\).

Struktur: Quotient; Ergebnis: 1

- Beginne bei komplexen Termen immer in der innersten Klammer. - Ist es hier einfacher, mit Brüchen oder mit Dezimalzahlen zu rechnen? - Überlege dir, welche Operation ganz zum Schluss durchgeführt wird, um die Struktur zu benennen.

1. Bestimmung der Gesamtstruktur: Es handelt sich um eine Summe, deren erster Summand ein Produkt ist. 2. Berechnung der inneren Klammer (Differenz): \(\frac{3}{8} - (-\frac{1}{4}) = \frac{3}{8} + \frac{2}{8} = \frac{5}{8}\). 3. Umwandlung für die Multiplikation: \(\frac{5}{8} = 0{,}625\) oder \(-1{,}6 = -\frac{16}{10} = -\frac{8}{5}\). 4. Berechnung des Produkts: \(\frac{5}{8} \cdot \left( -\frac{8}{5} \right) = -1\). 5. Finale Addition: \(-1 + 1 = 0\).

Struktur: Summe; Wert: \(0\)

- Gehe die Zeilen nacheinander durch und prüfe, ob die jeweilige Rechenoperation korrekt ausgeführt wurde. - Achte besonders auf den Übergang von Zeile 2 zu Zeile 3. Welche Operation müsste dort laut Vorrangregeln zuerst kommen? - Überlege, ob Multiplikation/Division oder Addition/Subtraktion Vorrang hat.

1. Fehleranalyse: Die 1. und 2. Zeile sind korrekt. Der Fehler geschieht beim Übergang zur 3. Zeile. Hier wurde die Subtraktion \(\frac{3}{4} - 1{,}2\) (\(0{,}75 - 1{,}2 = -0{,}45\)) vor der Division \(1{,}2 : 0{,}3\) durchgeführt. Dies verletzt die Regel „Punkt vor Strich“. 2. Korrekte Weiterführung ab Zeile 2: Zuerst Division berechnen: \(1{,}2 : 0{,}3 = 4\). 3. Subtraktion durchführen: \(0{,}75 - 4 = -3{,}25\).

Der Fehler liegt in der 3. Zeile, da die Subtraktion vor der Division durchgeführt wurde. Das richtige Ergebnis ist \(-3{,}25\).

- Was bedeutet eine „stärkere Abnahme“ für das Endergebnis? - Berechne für jedes Modell einzeln, wie stark die Temperatur auf der Zielhöhe gesunken ist. - Vergleiche die beiden Ergebnisse am Ende, um den Unterschied zu finden.

1. Begründung ohne Rechnung: Modell B sagt eine niedrigere Temperatur voraus, da die Temperatur dort pro \(100\,\text{m}\) stärker sinkt (\(1{,}0\,^\circ\text{C}\) statt \(0{,}6\,^\circ\text{C}\)). 2. Berechnung Modell A: \(15 + 3500 \cdot \frac{-0{,}6}{100} = 15 - 35 \cdot 0{,}6 = 15 - 21 = -6\,^\circ\text{C}\). 3. Berechnung Modell B: \(15 + 3500 \cdot \frac{-1{,}0}{100} = 15 - 35 \cdot 1 = 15 - 35 = -20\,^\circ\text{C}\). 4. Berechnung der Differenz: \(|-6 - (-20)| = 14\,^\circ\text{C}\).

Modell B sagt eine niedrigere Temperatur voraus, da der Temperaturabfall pro Höhenmeter größer ist. Der Unterschied zwischen den Modellen beträgt \(14\,^\circ\text{C}\) (Modell A: \(-6\,^\circ\text{C}\); Modell B: \(-20\,^\circ\text{C}\)).

- Arbeite dich von der innersten zur äußersten Klammer vor. - Kannst du die Division durch eine Dezimalzahl vereinfachen? - Was ergibt „Minus mal Minus“? - Achte auf die Reihenfolge: Erst die Division innerhalb der geschweiften Klammer, dann die Subtraktion.

1. Berechnung der innersten eckigen Klammer: \(4 - 0{,}5 = 3{,}5\). 2. Division des Ergebnisses durch \(-0{,}7\): \(3{,}5 : (-0{,}7) = -5\). 3. Subtraktion innerhalb der geschweiften Klammer: \(-5 - 2 = -7\). 4. Abschließende Multiplikation: \(-7 \cdot (- \frac{2}{7}) = 2\).

\(2\)

- Was passiert mit dem Vorzeichen von \(-1\), wenn man es mehrfach mit sich selbst multipliziert? - Macht es einen Unterschied, ob der Exponent gerade oder ungerade ist? - Spielt die Reihenfolge der Faktoren bei einer Multiplikation eine Rolle für das Ergebnis?

1. Eine negative Basis mit einem ungeraden Exponenten ergibt immer ein negatives Ergebnis. Da \(3\) ungerade ist, gilt \((-1)^3 = -1\). 2. Damit ist der Wert von Term A: \(-1 \cdot 4{,}2 = -4{,}2\). 3. Auch im Term B ist der Exponent \(7\) ungerade, weshalb \((-1)^7 = -1\) gilt. 4. Der Wert von Term B ist somit: \(4{,}2 \cdot (-1) = -4{,}2\). 5. Da beide Berechnungen zum selben Ergebnis führen, haben die Terme denselben Wert.

Ja, die Terme haben denselben Wert. Da sowohl \(3\) als auch \(7\) ungerade Zahlen sind, ergibt sowohl \((-1)^3\) als auch \((-1)^7\) den Wert \(-1\). In beiden Fällen wird also \(4{,}2\) mit \(-1\) multipliziert, was jeweils \(-4{,}2\) ergibt.

- Gehe schrittweise vor und notiere dir die Zwischenergebnisse der Klammern. - Prüfe bei jedem Schritt, ob es einfacher ist, mit Dezimalzahlen oder mit Brüchen weiterzurechnen. - Gibt es in Teilaufgabe b) zwei separate Blöcke, die du zuerst berechnen musst?

1. Teilaufgabe a): Klammerinhalt berechnen: \(1{,}4 - 0{,}4 = 1\). Multiplikation: \(\frac{1}{2} \cdot 1 = 0{,}5\). Addition: \(0{,}5 + 0{,}3 = 0{,}8\). 2. Teilaufgabe b): Wert der ersten Klammer bestimmen: \(\frac{2}{3} \cdot \frac{9}{4} = \frac{3}{2} = 1{,}5\). Wert der zweiten Klammer bestimmen: \(0{,}5 \cdot 0{,}5 = 0{,}25\). Differenz berechnen: \(1{,}5 - 0{,}25 = 1{,}25\).

a) \(0{,}8\) oder \(\frac{4}{5}\) b) \(1{,}25\) oder \(1 \frac{1}{4}\)

- Welche Rechenoperationen müssen hier in welcher Reihenfolge ausgeführt werden? Denke an „Klammer vor Punkt vor Strich“. - Wie findest du für die Addition am Ende den kleinsten gemeinsamen Nenner? - Hilft es dir, Zwischenergebnisse sofort zu kürzen?

1. Klammerinhalt berechnen: Mit dem gemeinsamen Nenner \(10\) folgt \(\frac{8}{10} - \frac{1}{10} = \frac{7}{10}\). 2. Multiplikation nach der Punkt-vor-Strich-Regel: \(\frac{7}{10} \cdot \frac{2}{3} = \frac{14}{30}\). Durch Kürzen erhält man \(\frac{7}{15}\). 3. Addition des letzten Summanden: Für \(\frac{7}{15} + \frac{1}{6}\) wird der Hauptnenner \(30\) gewählt. 4. Endergebnis ermitteln: \(\frac{14}{30} + \frac{5}{30} = \frac{19}{30}\).

\(\frac{19}{30}\)

- Berechne nacheinander die Werte in den beiden Klammern. - Wie dividiert man durch einen Bruch? - Welches Vorzeichen hat das Ergebnis, wenn man eine negative Zahl durch eine negative Zahl teilt?

1. Berechnung der ersten Klammer durch Finden des Hauptnenners: \(\frac{5}{6} - \frac{4}{3} = \frac{5}{6} - \frac{8}{6} = -\frac{3}{6} = -\frac{1}{2}\) 2. Berechnung der zweiten Klammer: \(0{,}75 - 1 = -0{,}25\), was als Bruch \(-\frac{1}{4}\) entspricht. 3. Division der beiden Teilergebnisse: \(-\frac{1}{2} : (-\frac{1}{4})\). 4. Multiplikation mit dem Kehrwert: \(-\frac{1}{2} \cdot (-4) = 2\).

\(2\)

- Überlege dir für Aufgabenteil a) schrittweise, ob die Teilergebnisse positiv oder negativ sind. - Erinnere dich daran, dass die Subtraktion einer negativen Zahl dasselbe ist wie die Addition der Gegenzahl. - Wie dividiert man durch einen Bruch?

1. Bestimmung des Vorzeichens: Das Produkt in der inneren Klammer ist negativ (\(+\cdot -\)). Durch das Minuszeichen davor wird es zu einer Addition (\(-(-)\)). Da \(\frac{3}{4}\) (bzw. \(\frac{9}{12}\)) betragsmäßig größer ist als \(\frac{5}{12}\), ist der Wert in der eckigen Klammer positiv. Die Division einer positiven Zahl durch eine negative Zahl (\(- \frac{1}{6}\)) ergibt ein negatives Vorzeichen. 2. Berechnung der inneren Klammer: \(\frac{1}{4} \cdot (-3) = - \frac{3}{4}\) 3. Berechnung der eckigen Klammer: \(- \frac{5}{12} - (- \frac{3}{4}) = - \frac{5}{12} + \frac{9}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}\) 4. Division durch \(- \frac{1}{6}\): \(\frac{1}{3} : (- \frac{1}{6}) = \frac{1}{3} \cdot (-6) = -2\)

a) Das Vorzeichen ist negativ. b) \(-2\)

- Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn man eine negative Zahl quadriert? - Arbeite dich von der innersten Klammer nach außen vor. - Kannst du \(\frac{5}{8}\) als Dezimalzahl schreiben?

1. Teilaufgabe a): Innere Klammer: \((0{,}4 - \frac{4}{5}) = (0{,}4 - 0{,}8) = -0{,}4\). Äußere eckige Klammer: \([-1{,}5 \cdot (-0{,}4)] = 0{,}6\). Abschließende Division: \(0{,}6 : (-0{,}3) = -2\). 2. Teilaufgabe b): Quadrat in der Klammer: \((-0{,}5)^2 = 0{,}25\). Summe in der eckigen Klammer: \([1{,}5 + 0{,}25] = 1{,}75\). Finale Subtraktion: \(\frac{5}{8} - 1{,}75 = 0{,}625 - 1{,}75 = -1{,}125\).

a) \(-2\) b) \(-1{,}125\) oder \(-\frac{9}{8}\)

- Wandle gemischte Zahlen und Dezimalzahlen bei Bedarf in Brüche um, damit du exakt rechnen kannst. - Arbeite dich von der innersten Klammer nach außen vor. - Kannst du vor dem Multiplizieren von Brüchen vielleicht etwas kürzen?

1. Innerste Operation: Division in der Klammer. Umwandlung in Brüche: \(\frac{20}{3} : \frac{5}{2} = \frac{20}{3} \cdot \frac{2}{5} = \frac{40}{15} = \frac{8}{3}\). 2. Subtraktion in der Klammer: \(\frac{8}{3} - 0{,}8 = \frac{8}{3} - \frac{4}{5} = \frac{40}{15} - \frac{12}{15} = \frac{28}{15}\). 3. Multiplikation: \(\frac{28}{15} \cdot 1{,}5 = \frac{28}{15} \cdot \frac{3}{2} = \frac{14}{5} = 2{,}8\). 4. Letzte Addition: \(2{,}8 + 2 \frac{1}{4} = 2{,}8 + 2{,}25 = 5{,}05\).

\(5{,}05\) (oder \(5 \frac{1}{20}\))

- Behandle den Zähler und den Nenner wie zwei getrennte Aufgaben, die du nacheinander löst. - Wandle Brüche in Dezimalzahlen um, wenn dies die Rechnung vereinfacht. - Was bedeutet der lange Bruchstrich für die Reihenfolge der Rechnungen?

1. Zähler berechnen: Klammer \(\frac{1}{5} - 0{,}6 = 0{,}2 - 0{,}6 = -0{,}4\). Dann Multiplikation \(2{,}5 \cdot (-0{,}4) = -1\). 2. Nenner berechnen: Punktrechnung \(0{,}25 \cdot 8 = 2\). Dann Subtraktion \(2 - 1{,}5 = 0{,}5\). 3. Gesamtwert berechnen: \(-1 : 0{,}5 = -2\).

\(-2\)

- Beachte die Klammern und rechne von links nach rechts. - Bestimme bei jedem Schritt zuerst das Vorzeichen des Zwischenergebnisses. - Erinnerst du dich an die Regel für die Division zweier negativer Zahlen?

1. Berechnung des Ausdrucks in der Klammer: \(-2160 : 18\). 2. Vorzeichenbestimmung für den ersten Schritt: Negativ durch Positiv ergibt Negativ. 3. Division der Beträge: \(2160 : 18 = 120\). Zwischenergebnis: \(-120\). 4. Durchführung der zweiten Division mit dem Zwischenergebnis: \(-120 : (-3)\). 5. Vorzeichenbestimmung für den zweiten Schritt: Negativ durch Negativ ergibt Positiv. 6. Division der Beträge: \(120 : 3 = 40\). 7. Das Endergebnis ist \(40\).

\(40\)

- Beim Schätzen kannst du komplizierte Brüche durch nahegelegene ganze Zahlen oder einfache Dezimalzahlen ersetzen. - Achte bei Teilaufgabe c auf die Anzahl der negativen Faktoren, um das Vorzeichen des Ergebnisses schnell zu bestimmen. - Brüche wie \(\frac{3}{8}\) oder \(\frac{1}{2}\) lassen sich oft leichter als Dezimalzahlen verrechnen, wenn der Rest des Terms auch so gegeben ist.

1. Schätzung zu a): \((-1{,}5)^3\) liegt ungefähr bei \(-3{,}4\); zusammen mit \(0{,}375 \approx 0{,}4\) ergibt sich etwa \(-3\). Exakt: \((-1{,}5)^3 + 0{,}375 = -3{,}375 + 0{,}375 = -3\). 2. Schätzung zu b): Der Klammerwert liegt bei etwa \(-1{,}5\); geteilt durch \(-0{,}5\) ergibt das etwa \(3\). Exakt: \((2{,}25 - 3{,}75) : (-0{,}5) = -1{,}5 : (-0{,}5) = 3\). 3. Schätzung zu c): Der Klammerwert liegt bei etwa \(-3{,}8\). Damit ist \(0{,}1 \cdot (-3{,}8) \cdot (-3)\) ungefähr \(1{,}1\). Exakt: \(0{,}1 \cdot (-2\frac{1}{3} - 1{,}5) \cdot (-3) = 0{,}1 \cdot (-\frac{23}{6}) \cdot (-3) = \frac{23}{20} = 1{,}15\).

a) Schätzung \(\approx -3\); Exakt: \(-3\) b) Schätzung \(\approx 3\); Exakt: \(3\) c) Schätzung \(\approx 1{,}1\); Exakt: \(1{,}15\)

- Du musst nicht rechnen. Überlege dir nur, ob die Ergebnisse positiv oder negativ sind. - Eine positive Zahl ist immer größer als eine negative Zahl. - Stelle dir vor, du stehst an einem Punkt auf dem Zahlenstrahl. Bei welcher Operation läufst du nach rechts (wirst größer), bei welcher nach links (wirst kleiner)?

1. Bei a) ergibt der erste Term die Summe zweier negativer Zahlen (negativ). Der zweite Term wird zu \(-15 + 20\), was positiv ist, da \(20 > |-15|\). Ein positiver Wert ist immer größer als ein negativer: \((-15) - (-20)\) ist größer. 2. Bei b) subtrahiert der erste Term eine größere Zahl von einer kleineren, das Ergebnis ist negativ (\(0{,}4 < 0{,}6\)). Der zweite Term addiert eine größere positive Zahl zu einer betragsmäßig kleineren negativen Zahl, das Ergebnis ist positiv (\(0{,}6 > |-0{,}4|\)). Somit ist \(-0{,}4 + 0{,}6\) größer. 3. Bei c) wird im ersten Fall von einer negativen Zahl ein positiver Wert abgezogen, sie wird also noch kleiner (weiter links auf dem Zahlenstrahl). Im zweiten Fall wird zu derselben negativen Zahl ein positiver Wert addiert, sie wird also größer (weiter rechts auf dem Zahlenstrahl): \(-\frac{1}{8} + \frac{1}{4}\) ist größer.

a) \((-15) - (-20)\) ist größer. b) \(-0{,}4 + 0{,}6\) ist größer. c) \(-\frac{1}{8} + \frac{1}{4}\) ist größer.

- Zähle die Anzahl der negativen Vorzeichen in der Produktkette. Was sagt dir das über das Endergebnis? - Du kannst die Faktoren in einer Multiplikationskette beliebig vertauschen oder zusammenfassen. - Was bedeutet ein Exponent bei einer negativen Zahl in Klammern?

1. Zählen der negativen Faktoren: Vier negative Faktoren ergeben ein positives Produkt. \(1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24\). 2. Schrittweise Multiplikation: \((-\frac{1}{2} \cdot 8) = -4\). Dann \(-4 \cdot (-0{,}25) = 1\). 3. Potenz berechnen: \((-0{,}1)^2 = 0{,}01\). Dann \(0{,}01 \cdot (-1000) = -10\). 4. Schrittweise Multiplikation: \((-5) \cdot (-\frac{2}{5}) = 2\). Dann \(2 \cdot (-3) = -6\).

a) \(24\) b) \(1\) c) \(-10\) d) \(-6\)

- Kannst du den Term in kleinere Teilschritte zerlegen? - Welche Brüche lassen sich vor dem Multiplizieren kürzen, um die Rechnung zu vereinfachen? - Wie gehst du vor, wenn mehrere Rechenzeichen hintereinander stehen? - Achte besonders auf das Vorzeichen beim Multiplizieren und Dividieren.

1. Teilaufgabe a): Berechnung der Differenz in der Klammer ergibt \(\frac{2}{7} - \frac{14}{7} = -\frac{12}{7}\). Multiplikation mit dem ersten Faktor führt zu \(-\frac{7}{10} \cdot \left(-\frac{12}{7}\right) = \frac{12}{10} = 1{,}2\). Addition von \(-1{,}4\) ergibt \(1{,}2 - 1{,}4 = -0{,}2\) bzw. \(-\frac{1}{5}\). 2. Teilaufgabe b): Berechnung der Summe in der Klammer durch Erweitern auf den Nenner 6 ergibt \(\frac{8}{6} + \frac{1}{6} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}\). Division durch den Bruch erfolgt durch Multiplikation mit dem Kehrwert: \(\frac{3}{2} \cdot \left(-\frac{4}{3}\right) = -2\). Multiplikation des Zwischenergebnisses mit \(0{,}5\) ergibt \(-2 \cdot 0{,}5 = -1\).

a) \(-0{,}2\) oder \(-\frac{1}{5}\) b) \(-1\)

- Wandle gemischte Zahlen zuerst in unechte Brüche um. - Berechne zuerst die Ausdrücke innerhalb der eckigen Klammer. - Beachte innerhalb der Klammer die Regel „Punkt vor Strich“. - Kannst du Brüche vor dem Multiplizieren kürzen, um die Rechnung zu vereinfachen?

1. Erste Punktrechnung in der eckigen Klammer: \( \frac{2}{3} \cdot ( - \frac{3}{8} ) = - \frac{6}{24} = - \frac{1}{4} \) 2. Zweite Punktrechnung in der eckigen Klammer: \( \frac{1}{2} : \frac{4}{5} = \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{4} = \frac{5}{8} \) 3. Addition innerhalb der eckigen Klammer auf den Nenner 8: \( - \frac{2}{8} + \frac{5}{8} = \frac{3}{8} \) 4. Umwandlung der gemischten Zahl und finale Subtraktion: \( \frac{5}{4} - \frac{3}{8} = \frac{10}{8} - \frac{3}{8} = \frac{7}{8} \) (entspricht \( 0{,}875 \))

\( \frac{7}{8} \) oder \( 0{,}875 \)

- Welche Rolle spielen die Klammern für die Reihenfolge der Rechnung? - Gilt hier das Distributivgesetz? Vergleiche die Struktur der beiden Terme genau. - Überlege zuerst, welches Vorzeichen die Ergebnisse vermutlich haben werden.

1. Berechnung von Term \(A\): Klammer zuerst berechnen \(2{,}4 - 5{,}4 = -3\); anschließend Multiplikation \(-3 \cdot (-3) = 9\) 2. Berechnung von Term \(B\): Punktrechnung zuerst \(-3 \cdot 2{,}4 = -7{,}2\); anschließend Subtraktion \(-7{,}2 - 5{,}4 = -12{,}6\) 3. Vergleich der Ergebnisse: Da \(9 > -12{,}6\), ist der Wert von Term \(A\) größer.

Term \(A\) hat den größeren Wert, da \(9 > -12{,}6\).

- Behandle den Zähler und den Nenner wie separate Aufgaben, bevor du sie dividierst. - Erinnere dich an die Vorrangregel „Potenz vor Punkt vor Strich“. - Ein Bruchstrich wirkt wie eine Klammer für den gesamten Zähler und den gesamten Nenner. - Kannst du beim Multiplizieren von Brüchen vorab kürzen?

1. Berechnung des Zählers: Zuerst die Potenz \( \left( \frac{1}{3} \right)^2 = \frac{1}{9} \), dann die Subtraktion \( \frac{1}{2} - \frac{1}{9} = \frac{9}{18} - \frac{2}{18} = \frac{7}{18} \) 2. Berechnung des Nenners: Zuerst die Multiplikation \( \frac{5}{4} \cdot \frac{8}{3} = \frac{10}{3} \), dann die Subtraktion \( \frac{10}{3} - \frac{12}{3} = -\frac{2}{3} \) 3. Division des Zählers durch den Nenner: \( \frac{7}{18} : \left( -\frac{2}{3} \right) = \frac{7}{18} \cdot \left( -\frac{3}{2} \right) = -\frac{7 \cdot 1}{6 \cdot 2} = -\frac{7}{12} \)

Das Ergebnis ist \( -\frac{7}{12} \).

- Ein Bruchstrich wirkt wie eine Klammer für den Zähler und den Nenner. - Bei geschachtelten Klammern rechnet man immer von der innersten zur äußersten Klammer. - Überlege dir vor dem Rechnen, ob du das Ergebnis lieber als Bruch oder als Dezimalzahl hättest.

1. Teilaufgabe a): Zähler berechnen: \(\frac{3-2}{6} = \frac{1}{6}\). Nenner berechnen: \(\frac{3+2}{12} = \frac{5}{12}\). Doppelbruch auflösen: \(\frac{1}{6} \cdot \frac{12}{5} = \frac{2}{5} = 0{,}4\). 2. Teilaufgabe b): Innere Klammer: \(1 - 0{,}8 = 0{,}2\). Eckige Klammer berechnen: \(0{,}5 \cdot 0{,}2 + 0{,}1 = 0{,}1 + 0{,}1 = 0{,}2\). Endergebnis: \(2 - 0{,}2 = 1{,}8\). 3. Teilaufgabe c): Potenz berechnen: \((-\frac{2}{3})^3 = -\frac{8}{27}\). Division durch Multiplikation mit dem Kehrwert: \(-\frac{8}{27} \cdot \frac{9}{4} = -\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{1} = -\frac{2}{3}\). Addition: \(-\frac{2}{3} + 1 = \frac{1}{3}\).

a) \(0{,}4\) (oder \(\frac{2}{5}\)) b) \(1{,}8\) (oder \(\frac{9}{5}\)) c) \(\frac{1}{3}\)

- Gehe bei Dezimalzahlen genauso vor wie bei ganzen Zahlen. - Achte darauf, das Komma an der richtigen Stelle zu setzen.

1. Linke Seite berechnen: \(4{,}2 - 1{,}2 = 3{,}0\), dann \(10{,}5 - 3{,}0 = 7{,}5\). 2. Rechte Seite berechnen: \(2{,}8 - 0{,}8 = 2{,}0\), dann \(1{,}5 + 2{,}0 = 3{,}5\). 3. Endergebnis: \(7{,}5 - 3{,}5 = 4{,}0\). Term: \((10{,}5 - (4{,}2 - 1{,}2)) - (1{,}5 + (2{,}8 - 0{,}8))\).

Der Term lautet \((10{,}5 - (4{,}2 - 1{,}2)) - (1{,}5 + (2{,}8 - 0{,}8))\). Das Ergebnis ist \(4{,}0\).

- Gehe von oben nach unten vor und achte auf die Vorzeichen der Zahlen. - Denke an die Vorzeichenregeln für die Multiplikation zweier negativer Zahlen.

1. Linke Verzweigung: \(15 - 25 = -10\). 2. Rechte Verzweigung: \(48 : (-6) = -8\). 3. Endergebnis durch Multiplikation der Zwischenergebnisse: \((-10) \cdot (-8) = 80\). 4. Zugehöriger Term: \((15 - 25) \cdot (48 : (-6))\).

Die Zwischenergebnisse sind \(-10\) und \(-8\). Das Endergebnis ist \(80\). Der Term lautet \((15 - 25) \cdot (48 : (-6))\).

- Wie liest man einen solchen Baum? Die obersten Zahlen sind die Ausgangswerte. - Ein Rechenzeichen zwischen zwei Linien bedeutet, dass die Werte oberhalb damit verknüpft werden. - Denke an die Vorzeichenregeln beim Rechnen mit Dezimalzahlen.

1. Berechnung des rechten Zweigs: \(-0{,}4 \cdot 5 = -2{,}0\). 2. Addition zum linken Zweig: \(0{,}6 + (-2{,}0) = 0{,}6 - 2{,}0 = -1{,}4\). 3. Division durch die letzte Zahl: \(-1{,}4 : 0{,}2 = -7\). Der Term ist \((0{,}6 + (-0{,}4) \cdot 5) : 0{,}2\). Sein Wert ist \(-7\).

Der Term ist \((0{,}6 + (-0{,}4) \cdot 5) : 0{,}2\). Das Ergebnis ist \(-7\).

- Dieser Baum hat zwei Hauptzweige, die am Ende voneinander abgezogen werden. - Berechne erst den linken und dann den rechten Zweig komplett fertig. - Sei vorsichtig mit den Vorzeichen, besonders bei der Subtraktion am Ende.

1. Linker Teilbaum: \(-3 \cdot 8 = -24\). 2. Rechter Teilbaum (innerster Schritt): \(-4 \cdot (-2) = 8\). 3. Rechter Teilbaum (nächster Schritt): \(-10 + 8 = -2\). 4. Gesamtergebnis (letzter Schritt): \(-24 - (-2) = -24 + 2 = -22\). Term: \((-3) \cdot 8 - ((-10) + (-4) \cdot (-2))\). Wert: \(-22\).

Der Term lautet \((-3) \cdot 8 - ((-10) + (-4) \cdot (-2))\). Der Wert ist \(-22\).