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- Schau dir genau an, was sich von der linken zur rechten Seite des Gleichheitszeichens verändert. - Ändert sich nur die Reihenfolge der Zahlen? - Werden Klammern umgesetzt, während die Zahlen an ihrem Platz bleiben? - Wird eine Zahl „hineinmultipliziert“ oder „ausgeklammert“?

1. Analyse von Ausdruck a: Die Positionen der Summanden bleiben gleich, aber die Klammern werden anders gesetzt, um Teilsummen zu bilden. Dies ist das Assoziativgesetz (Verknüpfungsgesetz). 2. Analyse von Ausdruck b: Die Reihenfolge der Faktoren wird vertauscht, ohne das Ergebnis zu ändern. Dies ist das Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz). 3. Analyse von Ausdruck c: Ein Faktor wird mit einer Summe multipliziert, indem er auf jeden Summanden einzeln verteilt wird. Dies ist das Distributivgesetz (Verteilungsgesetz).

a) Assoziativgesetz b) Kommutativgesetz c) Distributivgesetz

- Überlege dir zuerst, welches Vorzeichen das Ergebnis haben muss. - Erinnere dich: „Minus mal Minus ergibt Plus.“ - Was passiert mit dem Rechenzeichen, wenn ein Minus auf ein Minus trifft? - Stell dir bei Addition und Subtraktion ein Thermometer oder eine Zahlengerade vor.

1. Addition zweier negativer Zahlen: \(-14 - 26 = -40\). 2. Subtraktion einer negativen Zahl (entspricht Addition): \(35 + 15 = 50\). 3. Multiplikation zweier negativer Zahlen (Ergebnis positiv): \(4 \cdot 12 = 48\). 4. Division einer positiven durch eine negative Zahl (Ergebnis negativ): \(100 : (-5) = -20\).

a) \(-40\) b) \(50\) c) \(48\) d) \(-20\)

- Kannst du die Brüche in Dezimalzahlen umwandeln, um die Rechnung zu vereinfachen? - Achte besonders auf das Vorzeichen bei der Addition und Subtraktion. - Überlege dir, ob es einfacher ist, mit Brüchen oder mit Dezimalzahlen zu rechnen.

1. Berechnung von \(\frac{3}{4} + (-0{,}5)\): Umwandlung in Dezimalzahlen ergibt \(0{,}75 - 0{,}5 = 0{,}25\). 2. Berechnung von \(-1{,}2 - \frac{1}{5}\): Umwandlung des Bruchs ergibt \(-1{,}2 - 0{,}2 = -1{,}4\). 3. Berechnung von \(-0{,}25 + \frac{3}{4}\): Umwandlung des Bruchs ergibt \(-0{,}25 + 0{,}75 = 0{,}5\).

a) \(0{,}25\) oder \(\frac{1}{4}\) b) \(-1{,}4\) oder \(-\frac{7}{5}\) c) \(0{,}5\) oder \(\frac{1}{2}\)

- Überlege dir zuerst, welches Vorzeichen das Ergebnis haben muss. - Multipliziere oder dividiere die Zahlen zunächst so, als wären sie positiv. - Erinnere dich an die Regel: „Minus mal Minus ergibt Plus.“

1. Bestimmung der Vorzeichen: Bei unterschiedlichen Vorzeichen ist das Ergebnis negativ, bei gleichen Vorzeichen positiv. 2. Schrittweise Berechnung der Beträge: a) \(145 \cdot 14 = 2030\). Da die Vorzeichen verschieden sind: \(-2030\). b) \(2352 : 12 = 196\). Da die Vorzeichen verschieden sind: \(-196\). c) \(26 \cdot 302 = 7852\). Da beide Vorzeichen negativ sind: \(7852\). d) \(4464 : 18 = 248\). Da die Vorzeichen verschieden sind: \(-248\).

a) \(-2030\) b) \(-196\) c) \(7852\) d) \(-248\)

- Gibt es in den Teilaufgaben eine Zahl, die in beiden Produkten vorkommt? - Kannst du diese Zahl „vor die Klammer ziehen“? - Was passiert, wenn du zuerst die Summe oder Differenz in der Klammer berechnest?

1. Anwendung des Distributivgesetzes zum Ausklammern des gemeinsamen Faktors \(15\): \(15 \cdot (48 + 52) = 15 \cdot 100 = 1500\). 2. Anwendung des Distributivgesetzes zum Ausklammern von \(12{,}5\): \(12{,}5 \cdot (7 - 3) = 12{,}5 \cdot 4 = 50\). 3. Anwendung des Distributivgesetzes zum Ausklammern von \((-20)\): \((-20) \cdot (14 + 36) = (-20) \cdot 50 = -1000\).

a) \(1500\) b) \(50\) c) \(-1000\)

- Gibt es zwei Zahlen in der Folge, deren Produkt eine besonders einfache Zahl (wie 10, 100 oder eine ganze Zahl) ergibt? - Darf man beim Multiplizieren die Reihenfolge der Faktoren und ihre Gruppierung verändern? - Welche Gesetze erlauben das Vertauschen und das Gruppieren der Faktoren?

1. Anwendung des Kommutativgesetzes zum Vertauschen der Faktoren und des Assoziativgesetzes zum Gruppieren: \((2{,}5 \cdot 4) \cdot 13\). 2. Berechnung des ersten Teilprodukts: \(2{,}5 \cdot 4 = 10\). 3. Multiplikation des Zwischenergebnisses mit dem verbleibenden Faktor: \(10 \cdot 13 = 130\). 4. Identifikation der Gesetze: Zum Vertauschen wurde das Kommutativgesetz, zum neuen Gruppieren das Assoziativgesetz angewendet.

Ergebnis: \(130\); angewendete Gesetze: Kommutativ- und Assoziativgesetz.

- Schau dir die Nenner der Brüche genau an. Welche passen gut zusammen? - Kannst du die Subtraktion als Addition der Gegenzahl schreiben und die Summanden dann umordnen und neu gruppieren? - Kannst du die Rechnung in zwei einfachere Teilrechnungen zerlegen?

1. Subtraktion als Addition der Gegenzahl schreiben und Kommutativ- sowie Assoziativgesetz anwenden: \((5\frac{3}{8} - 2\frac{3}{8}) + (4\frac{2}{5} + 1\frac{3}{5})\) 2. Berechnung der ersten Klammer: \(5 - 2 = 3\) und \(\frac{3}{8} - \frac{3}{8} = 0\), also \(3\) 3. Berechnung der zweiten Klammer: \(4 + 1 = 5\) und \(\frac{2}{5} + \frac{3}{5} = \frac{5}{5} = 1\), also \(5 + 1 = 6\) 4. Addition der Teilergebnisse: \(3 + 6 = 9\)

\(9\)

- Gibt es eine ganze Zahl, die sehr nah an dem Subtrahenden bzw. Summanden liegt? - Wenn du mit einer einfacheren Zahl rechnest, wie musst du den Fehler am Ende korrigieren? - Überlege, ob du zu viel oder zu wenig abgezogen bzw. hinzugefügt hast.

1. Für \(45{,}67 - 19{,}99\): Subtraktion von \(20\) statt \(19{,}99\), da \(20\) eine „glatte“ Zahl ist. Da \(0{,}01\) zu viel abgezogen wurde, muss dieser Betrag addiert werden: \(45{,}67 - 20 = 25{,}67\); \(25{,}67 + 0{,}01 = 25{,}68\). 2. Für \(12{,}456 + 3{,}998\): Addition von \(4\) statt \(3{,}998\). Da \(0{,}002\) zu viel addiert wurde, muss dieser Betrag subtrahiert werden: \(12{,}456 + 4 = 16{,}456\); \(16{,}456 - 0{,}002 = 16{,}454\).

a) \(25{,}68\) (Rechenweg: \(45{,}67 - 20 + 0{,}01\)) b) \(16{,}454\) (Rechenweg: \(12{,}456 + 4 - 0{,}002\))

- Kannst du eine der Zahlen in eine Summe oder Differenz aus glatten Zahlen (wie 10, 100 oder 1) zerlegen? - Hilft es dir, die große Zahl beim Teilen in zwei kleinere, leicht teilbare Zahlen zu zerlegen? - Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn du eine negative Zahl multiplizierst?

1. Anwendung des Distributivgesetzes durch Aufteilen in \(100 + 1\): \(15 \cdot 100 + 15 \cdot 1 = 1500 + 15 = 1515\). 2. Anwendung des Distributivgesetzes durch Aufteilen in \(10 - 1\): \(18 \cdot 10 - 18 \cdot 1 = 180 - 18 = 162\). 3. Aufteilen des Dividenden in \(300 + 15\): \(300 : 3 + 15 : 3 = 100 + 5 = 105\). 4. Anwendung des Distributivgesetzes durch Aufteilen in \(10 + 1\): \(-22 \cdot 10 + (-22) \cdot 1 = -220 - 22 = -242\).

a) 1515 b) 162 c) 105 d) -242

- Kannst du eine der Zahlen in eine Summe oder Differenz zerlegen, die leichter zu multiplizieren ist? - Hilft es dir, die Rechnung in zwei kleinere Teilrechnungen aufzuteilen? - Achte zuerst auf das Vorzeichen des Ergebnisses. - Gibt es eine Stelle, an der du einfach eine Null anhängen oder wegstreichen kannst?

1. Berechnung von \(14 \cdot 11\): Anwendung des Distributivgesetzes durch Zerlegen der \(11\) in \(10 + 1\). Rechnung: \(14 \cdot 10 + 14 \cdot 1 = 140 + 14 = 154\). 2. Berechnung von \(824 : 8\): Zerlegen des Dividenden in \(800 + 24\). Rechnung: \(800 : 8 + 24 : 8 = 100 + 3 = 103\). 3. Berechnung von \(-15 \cdot 9\): Bestimmung des Vorzeichens (negativ) und Zerlegen der \(9\) in \(10 - 1\). Rechnung: \(-(15 \cdot 10 - 15 \cdot 1) = -(150 - 15) = -135\). 4. Berechnung von \(450 : (-15)\): Bestimmung des Vorzeichens (negativ) und Division. Rechnung: \(-(450 : 15) = -30\), da \(3 \cdot 15 = 45\).

a) \(154\) b) \(103\) c) \(-135\) d) \(-30\)

- Schau dir die Zahlen genau an: Gibt es Faktoren, die in mehreren Teilen der Aufgabe vorkommen? - Kannst du eine Subtraktion als Addition der Gegenzahl schreiben und die Summanden dann passend umordnen und gruppieren? - Manchmal hilft es, eine Zahl „auszuklammern“.

1. Anwendung des Distributivgesetzes: \(17 \cdot [(-4) + (-6)] = 17 \cdot (-10) = -170\). 2. Subtraktion als Addition der Gegenzahl schreiben und Kommutativ- sowie Assoziativgesetz anwenden: \((-45 - 55) + 128 = -100 + 128 = 28\). 3. Ausklammern des gemeinsamen Faktors \(0{,}5\): \(0{,}5 \cdot (19 - 9) = 0{,}5 \cdot 10 = 5\).

a) \(-170\) b) \(28\) c) \(5\)

- Zähle bei Multiplikationen die Nachkommastellen der Faktoren. - Denke bei Potenzen daran, wie oft das Vorzeichen mit sich selbst multipliziert wird. - Kannst du Brüche in Dezimalzahlen umwandeln, um die Rechnung zu vereinfachen? - Überlege dir bei der Subtraktion, welche der beiden Zahlen den größeren Betrag hat.

1. Multiplikation einer negativen mit einer positiven Zahl ergibt ein negatives Vorzeichen: \( -0{,}4 \cdot 1{,}2 = -0{,}48 \). 2. Division zweier negativer Zahlen ergibt ein positives Vorzeichen: \( -2{,}5 : (-5) = 0{,}5 \). 3. Subtraktion einer größeren von einer kleineren Zahl: \( 0{,}12 - 0{,}2 = -0{,}08 \). 4. Eine negative Zahl mit ungeradem Exponenten ergibt ein negatives Vorzeichen: \( (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) = -27 \). 5. Umwandeln des Bruchs in eine Dezimalzahl und Addition: \( -0{,}5 + 0{,}3 = -0{,}2 \).

a) \( -0{,}48 \) b) \( 0{,}5 \) c) \( -0{,}08 \) d) \( -27 \) e) \( -0{,}2 \)

- Überlege dir zuerst, welches Vorzeichen das Ergebnis haben muss. - Erinnere dich an die Regel für die Division von Brüchen. - Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn man zwei negative Zahlen miteinander multipliziert?

1. Untersuchung von Teilaufgabe a: Das Produkt zweier negativer Zahlen muss positiv sein. Die Rechnung \( 0{,}2 \cdot 0{,}3 = 0{,}06 \) ist korrekt, aber das Vorzeichen ist falsch. Das richtige Ergebnis ist \( 0{,}06 \). 2. Untersuchung von Teilaufgabe b: Bei der Division durch einen Bruch muss mit dem Kehrwert multipliziert werden. Hier wurde fälschlicherweise Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multipliziert (wie bei einer Multiplikation). Die korrekte Rechnung lautet \( \frac{3}{4} \cdot \left(-\frac{2}{1}\right) = -\frac{6}{4} \). Gekürzt ergibt das \( -\frac{3}{2} \) oder als Dezimalzahl \( -1{,}5 \).

a) Fehler: Vorzeichenfehler (Minus mal Minus ergibt Plus). Richtig: \( 0{,}06 \). b) Fehler: Es wurde wie bei einer Multiplikation Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multipliziert, statt mit dem Kehrwert des Divisors zu multiplizieren. Richtig: \( -1{,}5 \) oder \( -\frac{3}{2} \).

- Achte darauf, alle Gewichtsangaben in dieselbe Einheit (Kilogramm) umzurechnen. - Addiere alle Gewichte, die im Lieferwagen transportiert werden sollen. - Vergleiche das Gesamtergebnis mit der erlaubten Höchstgrenze.

1. Umrechnung der maximalen Zuladung in Kilogramm: \(1{,}2\,\text{t} = 1200\,\text{kg}\). 2. Berechnung des aktuellen Gewichts (Sand, Steine und Fahrer): \(850\,\text{kg} + 125\,\text{kg} + 85\,\text{kg} = 1060\,\text{kg}\). 3. Berechnung des Gesamtgewichts inklusive der Zementpalette: \(1060\,\text{kg} + 150\,\text{kg} = 1210\,\text{kg}\). 4. Vergleich mit der zulässigen Zuladung: \(1210\,\text{kg} > 1200\,\text{kg}\). Der Lieferwagen wäre überladen.

Ja, der Lieferwagen wäre überladen, da das Gesamtgewicht \(1210\,\text{kg}\) beträgt und damit die Grenze von \(1200\,\text{kg}\) überschreitet.

- Wähle für jede Aufgabe die Darstellung (Bruch oder Dezimalzahl), mit der du leichter rechnen kannst. - Denke daran: Die Subtraktion einer negativen Zahl ist dasselbe wie die Addition der Gegenzahl. - Bei der Multiplikation und Division ist es oft hilfreich, zuerst das Vorzeichen des Ergebnisses zu bestimmen. - Wie dividiert man noch einmal durch einen Bruch?

1. Teilaufgabe a): Umwandlung in Dezimalzahlen liefert \(-0{,}75 + 0{,}5 = -0{,}25\). Alternativ als Bruch: \(-\frac{3}{4} + \frac{2}{4} = -\frac{1}{4}\). 2. Teilaufgabe b): Umwandlung von \(1\frac{1}{5}\) in \(1{,}2\). Die Rechnung lautet \(-2{,}2 - (-1{,}2) = -2{,}2 + 1{,}2 = -1\). 3. Teilaufgabe c): Umwandlung in Dezimalzahlen liefert \(0{,}8 \cdot (-1{,}5) = -1{,}2\). Alternativ als Bruch: \(\frac{4}{5} \cdot (-\frac{3}{2}) = -\frac{12}{10} = -1\frac{1}{5}\). 4. Teilaufgabe d): Division durch einen Bruch entspricht der Multiplikation mit dem Kehrwert: \(-2 \cdot \frac{5}{4} = -\frac{10}{4} = -2{,}5\).

a) \(-0{,}25\) oder \(-\frac{1}{4}\) b) \(-1\) c) \(-1{,}2\) oder \(-1\frac{1}{5}\) d) \(-2{,}5\) oder \(-2\frac{1}{2}\)

- Überlege, ob der gesamte zweite Wert abgezogen oder teilweise addiert werden soll. - Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn du eine Zahl in ihre Bestandteile (Ganzzahl und Rest) zerlegst? - Es kann helfen, beide Zahlen zuerst in das gleiche Format (beide als Dezimalzahl oder beide als Bruch) zu bringen.

1. Identifikation des Fehlers: Beim Aufteilen der Zahlen wurde der Dezimalteil \(0{,}5\) addiert, obwohl er als Teil des Subtrahenden (\(2{,}5\)) abgezogen werden müsste. 2. Korrekte Umwandlung: \(7\frac{1}{4} = 7{,}25\). 3. Korrekte Subtraktion: \(7{,}25 - 2{,}5 = 4{,}75\).

Der Fehler liegt darin, dass der Dezimalteil \(0{,}5\) addiert statt subtrahiert wurde. Richtig ist: \(7{,}25 - 2{,}5 = 4{,}75\).

- Überlege dir zuerst, ob das Ergebnis positiv oder negativ sein muss. - Wie verändert sich das Vorzeichen bei einer geraden Anzahl an Minuszeichen in einer Multiplikationskette? - Kannst du Brüche in Dezimalzahlen umwandeln, um leichter zu rechnen?

1. Addition zweier negativer Zahlen führt zu einem negativen Ergebnis mit dem addierten Betrag: \(- (12{,}4 + 3{,}6) = -16\). 2. Multiplikation zweier negativer Zahlen ergibt ein positives Vorzeichen: \(8 \cdot 1{,}5 = 12\). 3. Umwandlung des Bruchs in eine Dezimalzahl: \(\frac{3}{4} = 0{,}75\). Subtraktion: \(0{,}75 - 1{,}25 = -0{,}5\). 4. Eine negative Basis mit einem geraden Exponenten ergibt ein positives Ergebnis: \((-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = 16\).

a) \(-16\) b) \(12\) c) \(-0{,}5\) d) \(16\)

- Was bedeutet die kleine Zahl oben rechts (der Exponent) für die Rechnung? - Wie multipliziert man Brüche miteinander? - Wie viele Nachkommastellen hat das Ergebnis, wenn man eine Dezimalzahl mit sich selbst multipliziert? - Kannst du die Potenz als eine Kette von Multiplikationen schreiben?

1. Multiplikation der Dezimalzahl mit sich selbst für Teilaufgabe a: \(0{,}4 \cdot 0{,}4 = 0{,}16\). 2. Potenzieren von Zähler und Nenner für Teilaufgabe b: \(\frac{2^3}{3^3} = \frac{8}{27}\). 3. Bestimmung des Stellenwerts für die vierte Potenz von \(0{,}1\) in Teilaufgabe c: \(0{,}1 \cdot 0{,}1 \cdot 0{,}1 \cdot 0{,}1 = 0{,}0001\). 4. Potenzieren des Bruchs in Teilaufgabe d: \(\frac{5^2}{2^2} = \frac{25}{4}\) (oder als Dezimalzahl \(6{,}25\)).

a) \(0{,}16\) b) \(\frac{8}{27}\) c) \(0{,}0001\) d) \(\frac{25}{4}\) oder \(6{,}25\)

- Fällt dir eine Zahl auf, die in beiden Teilen der Summe vorkommt? - Gibt es ein Gesetz, mit dem man Faktoren „ausklammern“ kann? - Schau dir die Brüche an – was passiert, wenn man sie zuerst addiert? - Musst du hier wirklich komplizierte Multiplikationen durchführen oder gibt es einen kürzeren Weg?

1. Anwendung des Distributivgesetzes (Ausklammern): \(-15{,}8 \cdot (\frac{3}{7} + \frac{4}{7})\) 2. Addition der Brüche in der Klammer: \(\frac{3}{7} + \frac{4}{7} = \frac{7}{7} = 1\) 3. Multiplikation mit dem ausgeklammerten Faktor: \(-15{,}8 \cdot 1 = -15{,}8\)

\(-15{,}8\)

- Was musst du zuerst berechnen, wenn eine Klammer im Term steht? - Hilft es dir, die Dezimalzahlen in Brüche umzuwandeln, bevor du multiplizierst? - Kannst du bei der Multiplikation von Brüchen vorab kürzen?

1. Berechnung von \(1{,}5 - (\frac{2}{3} + 0{,}5)\): Klammerinhalt \(\frac{2}{3} + \frac{1}{2} = \frac{4}{6} + \frac{3}{6} = \frac{7}{6}\); Subtraktion \(\frac{3}{2} - \frac{7}{6} = \frac{9}{6} - \frac{7}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\). 2. Berechnung von \(-2{,}4 \cdot \frac{5}{6}\): Umwandlung \(- \frac{24}{10} \cdot \frac{5}{6} = - \frac{12}{5} \cdot \frac{5}{6}\); Kürzen von \(5\) gegen \(5\) und von \(12\) gegen \(6\) führt zu \(-2\). 3. Berechnung von \(\frac{7}{10} + (-0{,}3) - \frac{1}{2}\): Umwandlung in Dezimalzahlen ergibt \(0{,}7 - 0{,}3 - 0{,}5 = 0{,}4 - 0{,}5 = -0{,}1\).

a) \(\frac{1}{3}\) b) \(-2\) c) \(-0{,}1\) oder \(-\frac{1}{10}\)

- Überlege dir zuerst, welches Vorzeichen das Produkt hat, wenn du eine bestimmte Anzahl negativer Zahlen multiplizierst. - Die Vorzeichenregeln sind hier entscheidend. - Was passiert mit einem Produkt, sobald die Zahl Null als Faktor auftaucht? - Ganze Zahlen sind auch rationale Zahlen.

1. Fall a): Möglich. Da das Produkt einer ungeraden Anzahl negativer Faktoren negativ ist, führt \((-1) \cdot (-1) \cdot (-1) = -1\) zum Ziel. 2. Fall b): Nicht möglich. Das Produkt zweier negativer Zahlen ist positiv. Wird dies mit einer dritten positiven Zahl multipliziert, bleibt das Ergebnis positiv (und ungleich \(-1\)). 3. Fall c): Möglich. Beispielsweise ergibt \((-1) \cdot 1 \cdot 1 = -1\). Da \(-1\) und \(1\) ganze Zahlen sind, ist die Bedingung erfüllt. 4. Fall d): Nicht möglich. Wenn ein Faktor \(0\) ist, ist das gesamte Produkt immer \(0\), unabhängig von den anderen Faktoren.

a) Ja, z. B. \((-1) \cdot (-1) \cdot (-1) = -1\). b) Nein, das Produkt wäre positiv. c) Ja, z. B. \((-1) \cdot 1 \cdot 1 = -1\). d) Nein, das Produkt wäre \(0\).

- Berechne zuerst den Wert in der Klammer. - Achte beim Ausmultiplizieren besonders auf das Vorzeichen der Zahl vor der Klammer und der Zahlen innerhalb der Klammer. - Was passiert, wenn man eine negative Zahl mit einer negativen Zahl multipliziert?

1. Berechnung des korrekten Werts: \(-5 \cdot (1{,}2 - 4) = -5 \cdot (-2{,}8) = 14\). Sophie hat recht, da das Ergebnis positiv ist. 2. Fehleranalyse: Lukas hat beim Ausmultiplizieren das Vorzeichen nicht korrekt beachtet. Er hat zwar \(-5 \cdot 1{,}2 = -6\) gerechnet, aber dann einfach \(-5 \cdot 4 = -20\) subtrahiert (oder das Minuszeichen in der Klammer ignoriert), anstatt \(-5 \cdot (-4) = +20\) zu rechnen. Der korrekte Weg wäre: \(-5 \cdot 1{,}2 - (-5 \cdot 4) = -6 - (-20) = -6 + 20 = 14\).

1. Sophie hat recht; der korrekte Wert ist \(14\). 2. Lukas hat beim Ausmultiplizieren die Vorzeichenregel missachtet (Minus mal Minus ergibt Plus).

- Schau dir die Zahlen genau an: Welche Paare lassen sich leicht zu einer ganzen Zahl addieren? - Kannst du die Reihenfolge der Zahlen verändern, ohne das Ergebnis zu beeinflussen? - Es gibt Gesetze, die das Umstellen und Zusammenfassen von Zahlen erlauben. - Überlege, ob es sinnvoll ist, Dezimalzahlen mit Dezimalzahlen und Brüche mit Brüchen zu gruppieren.

1. Anwendung des Kommutativ- und Assoziativgesetzes zur Umordnung der Summanden: \((3{,}7 + 1{,}3) + (\frac{2}{3} + 1\frac{1}{3})\). 2. Berechnung der ersten Klammer: \(3{,}7 + 1{,}3 = 5\). 3. Berechnung der zweiten Klammer: \(\frac{2}{3} + \frac{4}{3} = \frac{6}{3} = 2\). 4. Addition der Teilergebnisse: \(5 + 2 = 7\). Verwendete Gesetze: Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz) und Assoziativgesetz (Verbindungsgesetz).

7 (Kommutativgesetz und Assoziativgesetz)

- Schau dir die Nachkommastellen genau an. Welche Zahlen ergänzen sich zu einer ganzen Zahl? - Bei der Subtraktion mehrerer Zahlen kannst du diese auch zuerst addieren und dann die Gesamtsumme auf einmal abziehen. - Gibt es Zahlen, die die gleiche Nachkommastelle haben? Das könnte das Abziehen erleichtern.

1. Teilaufgabe a): Gruppieren der Zahlen, die sich zu Ganzen ergänzen: \((12{,}35 + 7{,}65) + (7{,}8 + 2{,}2)\). Die erste Klammer ergibt \(20\), die zweite Klammer ergibt \(10\). Die Summe ist \(20 + 10 = 30\). 2. Teilaufgabe b): Zuerst die Subtraktion der Zahl mit gleicher Nachkommastelle: \(24{,}7 - 4{,}7 = 20\). Danach Zusammenfassen der übrigen Abzüge: \(3{,}9 + 6{,}1 = 10\). Die Endrechnung lautet \(20 - 10 = 10\).

a) \(30\) b) \(10\)

- Schau dir an, wie man Klammern auflöst, wenn ein Malzeichen davor steht. - Was passiert mit den Vorzeichen in einer Klammer, wenn ein Minuszeichen vor der Klammer steht? - Gibt es Zahlen, die miteinander multipliziert ein besonders einfaches Ergebnis (wie 1) ergeben?

1. Anwendung des Distributivgesetzes auf die linke Seite von a): \(\frac{4}{9} \cdot 2{,}7 + \frac{4}{9} \cdot \frac{9}{4}\). Da das Produkt der Kehrwerte \(\frac{4}{9} \cdot \frac{9}{4} = 1\) ergibt, ist die Gleichung \(\frac{4}{9} \cdot 2{,}7 + 1 = \frac{4}{9} \cdot 2{,}7 + 1\) korrekt. 2. Untersuchung der Klammerregel für Subtraktion in b): Das Subtrahieren einer Summe \(-(a + b)\) entspricht dem Subtrahieren beider Summanden \(-a - b\). Auf der rechten Seite wird der zweite Wert jedoch addiert, weshalb die Gleichung falsch ist.

a) Richtig, da nach dem Distributivgesetz \(\frac{4}{9} \cdot \frac{9}{4} = 1\) addiert wird. b) Falsch, da beim Auflösen der Minusklammer beide Summanden subtrahiert werden müssten (\(-4{,}2 - \frac{1}{3}\)).

- Manchmal hilft es, die Reihenfolge der Zahlen beim Multiplizieren zu ändern. Welche Zahlen „passen“ gut zusammen? - Kannst du eine schwierige Zahl in eine Summe aus einfacheren Zahlen zerlegen? - Schau dir bei b) an, ob sich die Dezimalzahlen zu einer ganzen Zahl ergänzen.

1. Vertauschung der Faktoren (Kommutativgesetz) und Zusammenfassung: \((250 \cdot 4) \cdot 13 = 1000 \cdot 13 = 13\,000\). 2. Ausklammern des gemeinsamen Faktors \(19\): \((0{,}8 + 0{,}2) \cdot 19 = 1 \cdot 19 = 19\). 3. Zerlegung der Zahl \(11\) in \((10 + 1)\) und Anwendung des Distributivgesetzes: \(45 \cdot (10 + 1) = 45 \cdot 10 + 45 \cdot 1 = 450 + 45 = 495\).

a) \(13\,000\) b) \(19\) c) \(495\)

- Überlege dir zuerst, welches Vorzeichen das Ergebnis haben muss. - Verwende die schriftliche Division für die Beträge der Zahlen. - Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn man eine positive durch eine negative Zahl teilt?

1. Bestimmung des Vorzeichens: Da eine positive Zahl durch eine negative Zahl geteilt wird, ist das Ergebnis negativ. 2. Durchführung der Division der Beträge: \(18\,432 : 16\). 3. \(18 : 16 = 1\) Rest \(2\). 4. \(24 : 16 = 1\) Rest \(8\). 5. \(83 : 16 = 5\) Rest \(3\). 6. \(32 : 16 = 2\) Rest \(0\). 7. Der Quotient der Beträge ist \(1152\). 8. Unter Berücksichtigung des Vorzeichens ergibt sich \(-1152\).

\(-1152\)

- Überlege dir zuerst, ob es einfacher ist, mit Brüchen oder mit Dezimalzahlen zu rechnen. - Denk an die Vorzeichenregeln: Was passiert, wenn du zwei negative Zahlen multiplizierst? - Bei der Division durch einen Bruch musst du mit dem Kehrwert multiplizieren.

1. Teilaufgabe a: Umwandlung in Dezimalzahlen ergibt \(-1{,}5 + 2{,}25\). Addition der rationalen Zahlen führt zum Ergebnis \(0{,}75\) bzw. \(\frac{3}{4}\). 2. Teilaufgabe b: Umwandlung in Brüche oder Dezimalzahlen ergibt \(-\frac{3}{4} \cdot (-\frac{4}{5})\) oder \(-0{,}75 \cdot (-0{,}8)\). Da beide Faktoren negativ sind, ist das Produkt positiv. Das Ergebnis ist \(0{,}6\) bzw. \(\frac{3}{5}\). 3. Teilaufgabe c: Umwandlung in Brüche ergibt \(-\frac{5}{2} : \frac{5}{3}\). Division durch Multiplikation mit dem Kehrwert: \(-\frac{5}{2} \cdot \frac{3}{5} = -\frac{3}{2}\). Das Ergebnis ist \(-1{,}5\).

a) \(0{,}75\) oder \(\frac{3}{4}\) b) \(0{,}6\) oder \(\frac{3}{5}\) c) \(-1{,}5\) oder \(-\frac{3}{2}\)

- Kannst du die Klammer auflösen, ohne vorher den Hauptnenner zu suchen? - Gibt es in der Summe einen Faktor, der in beiden Teilen vorkommt? - Manchmal hilft es, eine Zahl vor der Klammer mit jedem Teil in der Klammer einzeln zu multiplizieren.

1. Teilaufgabe a): Anwendung des Distributivgesetzes \(24 \cdot \frac{3}{8} + 24 \cdot \frac{1}{6}\). Kürzen ergibt \(3 \cdot 3 + 4 \cdot 1 = 9 + 4 = 13\). 2. Teilaufgabe b): Ausklammern des gemeinsamen Faktors \(\frac{5}{12} \cdot \left(\frac{4}{7} + \frac{3}{7}\right)\). Die Summe in der Klammer ist \(\frac{7}{7} = 1\). Das Ergebnis ist \(\frac{5}{12} \cdot 1 = \frac{5}{12}\). 3. Teilaufgabe c): Anwendung des Distributivgesetzes durch Ausklammern oder direktes Multiplizieren. Direktes Multiplizieren und Kürzen: \(3 \cdot 7 - 5 \cdot 2 = 21 - 10 = 11\).

a) \(13\) b) \(\frac{5}{12}\) c) \(11\)

- Wie viel fehlt bei den Preisen jeweils bis zum nächsten vollen Euro? - Wenn du mit glatten Beträgen rechnest, hast du dann zu viel oder zu wenig bezahlt? - Wie musst du das Ergebnis korrigieren, um den genauen Preis zu erhalten?

1. Runden der Beträge auf die nächsten ganzen Euro: \(12{,}95\,\text{€} \approx 13{,}00\,\text{€}\) (Differenz \(+0{,}05\,\text{€}\)) und \(8{,}98\,\text{€} \approx 9{,}00\,\text{€}\) (Differenz \(+0{,}02\,\text{€}\)). 2. Addition der gerundeten Werte: \(13{,}00\,\text{€} + 9{,}00\,\text{€} = 22{,}00\,\text{€}\). 3. Berechnung der gesamten Differenz durch das Aufrunden: \(0{,}05\,\text{€} + 0{,}02\,\text{€} = 0{,}07\,\text{€}\). 4. Subtraktion dieser Differenz vom Zwischenergebnis: \(22{,}00\,\text{€} - 0{,}07\,\text{€} = 21{,}93\,\text{€}\).

Leon rundet auf \(13{,}00\,\text{€}\) und \(9{,}00\,\text{€}\) auf, was zusammen \(22{,}00\,\text{€}\) ergibt. Da er insgesamt \(0{,}07\,\text{€}\) zu viel hinzugefügt hat (\(0{,}05\,\text{€} + 0{,}02\,\text{€}\)), zieht er diese vom Ergebnis ab. Der exakte Preis beträgt \(21{,}93\,\text{€}\).

- Gibt es Zahlen, deren Nachkommastellen sich zu einem Ganzen ergänzen oder die sich leicht voneinander abziehen lassen? - Kannst du die Zahlen so umstellen, dass du erst die „einfachen“ Paare berechnest? - Achte auf die Vorzeichen der Zahlen beim Umstellen.

1. Zusammenfassen der Dezimalzahlen mit gleichen Nachkommastellen: \(12{,}4 - 2{,}4 = 10{,}0\) 2. Zusammenfassen der verbleibenden Subtrahenden: \(5{,}8 + 1{,}2 = 7{,}0\) 3. Verrechnen der Teilergebnisse: \(10 - 7 = 3\)

\(3\)

- Schau dir die Nachkommastellen der Dezimalzahlen an. Welche passen gut zusammen? - Kannst du Brüche mit dem gleichen Nenner direkt addieren? - Denk an das Kommutativgesetz: Du darfst die Zahlen mitsamt ihrem Vorzeichen vertauschen.

1. Term a: Umstellen zu \((12{,}3 - 2{,}3) + (-4{,}5 + 1{,}5)\). 2. Berechnung der Teilterme: \(10 + (-3) = 7\). 3. Term b: Umstellen zu \((\frac{3}{8} + \frac{5}{8}) + (-1{,}4 - 0{,}6)\). 4. Berechnung der Teilterme: \(\frac{8}{8} + (-2) = 1 - 2 = -1\).

a) \(7\) b) \(-1\)

- Schau dir die Endziffern oder Nachkommastellen an. Welche Zahlen „passen“ gut zusammen? - Du darfst die Reihenfolge der Summanden vertauschen, solange du das Vorzeichen jeder Zahl mitnimmst. - Kannst du Zahlen finden, die zusammen \(0\), \(10\) oder \(100\) ergeben?

1. Teilaufgabe a): Umordnen zu \((34 - 134) + 128 = -100 + 128 = 28\). 2. Teilaufgabe b): Zusammenfassen der Dezimalzahlen mit gleichen Nachkommastellen: \((12{,}5 - 2{,}5) + (-6{,}7 + 1{,}7) = 10 - 5 = 5\). 3. Teilaufgabe c): Gruppieren der Zahlen, die zusammen einen glatten Hunderter ergeben: \((-48 - 52) + (56 + 44) = -100 + 100 = 0\).

a) \(28\) b) \(5\) c) \(0\)

- Gibt es Zahlen, die zusammen eine glatte Zahl (wie 10 oder 20) ergeben? - Darfst du die Reihenfolge der Zahlen in einer Additions- oder Subtraktionskette vertauschen? Achte dabei auf die Vorzeichen. - Kannst du eine Klammer setzen, um zwei Subtraktionen zusammenzufassen?

1. Teilaufgabe a: Schreibe die Subtraktionen als Addition negativer Summanden und fasse passend zusammen: \(15{,}6 + (-7{,}8) + (-2{,}2) = 15{,}6 - (7{,}8 + 2{,}2) = 5{,}6\). 2. Teilaufgabe b: Umstellen der Summanden (Kommutativgesetz): \((-4{,}9 - 5{,}1) + 12{,}5 = -10 + 12{,}5 = 2{,}5\). 3. Teilaufgabe c: Gruppieren passender Werte: \((24{,}3 - 14{,}3) + (8{,}7 + 1{,}3) = 10 + 10 = 20\).

a) \(5{,}6\) b) \(2{,}5\) c) \(20\)

- Kannst du den Bruch in eine Dezimalzahl umwandeln, um einheitliche Zahlenformate zu haben? - Schau dir die Nachkommastellen an: Welche Zahlen ergänzen sich zu einem Ganzen? - Darfst du die Reihenfolge der Zahlen in einer Summe vertauschen? - Kannst du negative Zahlen zusammenfassen, bevor du sie mit den positiven verrechnest?

1. Umwandlung des Bruchs in eine Dezimalzahl: \( \frac{11}{4} = 2{,}75 \). 2. Anwendung des Kommutativgesetzes zur Gruppierung vorteilhafter Paare: \( (7{,}25 + 2{,}75) + (-4{,}8 - 1{,}2) \). 3. Berechnung der Teilsummen: \( 10{,}00 \) und \( -6{,}0 \). 4. Addition der Ergebnisse: \( 10 - 6 = 4 \).

\( 4 \)

- Gibt es Paare von Zahlen, die zusammen eine „glatte“ Zahl wie \( 100 \) oder \( -300 \) ergeben? - Versuche, die Zahlen mit ihren Vorzeichen so zu verschieben, dass du sie leichter im Kopf rechnen kannst. - Kannst du alle negativen Zahlen und alle positiven Zahlen getrennt betrachten oder findest du bessere Paare?

1. Gruppieren von Werten, die glatte Hunderter ergeben: \( (-250 - 50) + (68 + 32) + (145 - 45) \). 2. Berechnung der Teilsummen: \( -300 \), \( 100 \) und \( 100 \). 3. Addition der Teilsummen zur Ermittlung des Gesamtwerts: \( -300 + 100 + 100 = -100 \).

\( -100 \)

- Was passiert, wenn du die Zahlen in der Klammer zuerst addierst? - Erinnerst du dich, wie man eine Zahl mit jedem Summanden in der Klammer einzeln multipliziert? - Sollte bei verschiedenen Rechenwegen das gleiche Ergebnis herauskommen?

1. Berechnung über die Klammer: \(8 \cdot (12{,}5 + 5) = 8 \cdot 17{,}5 = 140\). 2. Berechnung durch Ausmultiplizieren: \(8 \cdot 12{,}5 + 8 \cdot 5 = 100 + 40 = 140\). 3. Vergleich: Beide Rechenwege führen zum selben Ergebnis \(140\), was die Gültigkeit des Distributivgesetzes bestätigt.

a) \(140\) b) \(140\) Beide Ergebnisse sind identisch.

- Schau dir die Zahlen genau an: Gibt es Werte, die sich gegenseitig aufheben oder eine einfache Zahl wie 1 oder 10 ergeben? - Welche Rechenregel erlaubt es dir, die Reihenfolge der Zahlen in einer reinen Mal-Rechnung zu ändern? - Was passiert mit den Vorzeichen in der Klammer, wenn ein Minuszeichen davor steht?

1. Teilaufgabe a): Auflösen der Klammer unter Beachtung des Minuszeichens ergibt \(-15{,}8 - 4{,}2 + 15{,}8\). Durch das Kommutativgesetz wird \(-15{,}8 + 15{,}8 - 4{,}2\) berechnet. Da \(-15{,}8 + 15{,}8 = 0\) ist, bleibt als Ergebnis \(-4{,}2\). 2. Teilaufgabe b): Anwendung des Kommutativgesetzes, um die Faktoren \(25\) und \(0{,}04\) zuerst zu multiplizieren: \((25 \cdot 0{,}04) \cdot (-17)\). Da \(25 \cdot 0{,}04 = 1\) ist, ergibt sich \(1 \cdot (-17) = -17\).

a) \(-4{,}2\) b) \(-17\)

- Kannst du eine der Zahlen in eine Summe aus einer „schönen“ Zahl (wie 100) und dem Rest zerlegen? - Fällt dir bei der zweiten Aufgabe ein Faktor auf, der in beiden Teilen der Rechnung vorkommt? - Manchmal ist es einfacher, eine Zahl erst auszuklammern, bevor man rechnet.

1. Teilaufgabe a): Zerlegung der Zahl \(101\) in \((100 + 1)\). Anwendung des Distributivgesetzes: \(12 \cdot (100 + 1) = 12 \cdot 100 + 12 \cdot 1 = 1200 + 12 = 1212\). 2. Teilaufgabe b): Ausklammern des gemeinsamen Faktors \(\frac{5}{9}\): \(\frac{5}{9} \cdot (14 - 5)\). Berechnung des Klammerausdrucks ergibt \(14 - 5 = 9\). Multiplikation: \(\frac{5}{9} \cdot 9 = 5\).

a) \(1212\) b) \(5\)

- Achte bei der direkten Rechnung auf die Regel „Punkt- vor Strichrechnung“. - Suche beim Ausklammern nach der Zahl, die in beiden Produkten vorkommt. - Überlege, wie du die Klammer zuerst berechnen kannst, um die Multiplikation zu vereinfachen.

1. Berechnung von a): Direkt: \(154 + 126 = 280\). Ausgeklammert: \(14 \cdot (11 + 9) = 14 \cdot 20 = 280\). 2. Berechnung von b): Direkt: \(52 - 39 = 13\). Ausgeklammert: \(6{,}5 \cdot (8 - 6) = 6{,}5 \cdot 2 = 13\). 3. Berechnung von c): Direkt: \(-6 + (-9) = -15\). Ausgeklammert: \((-1{,}5) \cdot (4 + 6) = -1{,}5 \cdot 10 = -15\).

a) \(280\) b) \(13\) c) \(-15\)

- Gibt es in der Aufgabe eine Zahl, die mehrfach als Faktor vorkommt? - Kannst du diese Zahl ausklammern, um die Rechnung zu vereinfachen? - Schau dir die Zahlen in den Klammern genau an – ergeben sie zusammen eine besonders einfache Zahl wie 10 oder 50?

1. Aufstellen des Terms für Teil a): \(16 \cdot 27 - 16 \cdot 17\). 2. Anwendung des Distributivgesetzes durch Ausklammern des gemeinsamen Faktors \(16\): \(16 \cdot (27 - 17)\). 3. Berechnung der Klammer: \(27 - 17 = 10\). 4. Endergebnis für a): \(16 \cdot 10 = 160\). 5. Aufstellen des Terms für Teil b): \(0{,}2 \cdot 35 + 0{,}2 \cdot 15\). 6. Ausklammern des Faktors \(0{,}2\): \(0{,}2 \cdot (35 + 15)\). 7. Berechnung der Summe in der Klammer: \(35 + 15 = 50\). 8. Endergebnis für b): \(0{,}2 \cdot 50 = 10\).

a) Term: \(16 \cdot 27 - 16 \cdot 17\); Ergebnis: \(160\). b) Term: \(0{,}2 \cdot 35 + 0{,}2 \cdot 15\); Ergebnis: \(10\).

- Welche Zahlen lassen sich besonders leicht addieren oder subtrahieren? - Suche nach Zahlenpaaren, die zusammen eine ganze Zahl ergeben. - Kannst du Brüche in Dezimalzahlen umwandeln, um besser rechnen zu können?

1. Umstellen der Terme nach dem Kommutativgesetz für a): \((14{,}8 + 5{,}2) - (3{,}5 + 6{,}5)\). 2. Berechnung der Teilsummen: \(20 - 10 = 10\). 3. Umwandlung des Bruchs in einen Dezimalbruch für b): \(-\frac{3}{4} = -0{,}75\). 4. Umstellen der Terme: \((-0{,}75 + 0{,}75) + (12{,}3 - 2{,}3)\). 5. Ergebnisberechnung: \(0 + 10 = 10\).

a) \(10\) b) \(10\)

- Schau dir die Zahlen genau an: Welche Paare lassen sich besonders einfach addieren oder subtrahieren? - Gibt es Zahlen, die sich gegenseitig aufheben? - Kannst du Brüche in Dezimalzahlen umwandeln, um das Rechnen zu erleichtern? - Manchmal hilft es, eine Klammer zuerst aufzulösen, um Summanden besser kombinieren zu können.

1. Teilaufgabe a): Umordnen der Summanden nach dem Kommutativgesetz ergibt \( (14{,}7 + 5{,}3) - (3{,}9 + 6{,}1) \). Die Teilsummen ergeben \( 20 - 10 = 10 \). 2. Teilaufgabe b): Umwandeln des Bruchs \( \frac{3}{8} = 0{,}375 \). Zusammenfassen der entgegengesetzten Zahlen \( -0{,}375 + 0{,}375 = 0 \). Verbleibende Rechnung: \( 12{,}5 - 5{,}5 = 7 \). 3. Teilaufgabe c): Auflösen der Klammer ergibt \( 8{,}4 - 2{,}4 - 3{,}9 + 0{,}9 \). Schrittweises Zusammenfassen: \( (8{,}4 - 2{,}4) + (0{,}9 - 3{,}9) = 6 - 3 = 3 \).

a) \( 10 \) b) \( 7 \) c) \( 3 \)

- Schau dir die Zahlen genau an: Ergeben zwei Zahlen zusammen vielleicht eine „glatte“ Zahl wie 10 oder 1? - Überlege, ob es einfacher ist, zuerst die Klammer aufzulösen oder zuerst den Inhalt der Klammer zu berechnen. - Kannst du Brüche vor dem Multiplizieren kürzen?

1. Teilaufgabe a): Berechnung des Klammerwerts \(18 - 50 = -32\), Addition \(42 + (-32) = 10\). 2. Teilaufgabe b): Berechnung des Klammerwerts \(2{,}3 + 1{,}7 = 4{,}0\), Umstellung der Rechnung zu \(6{,}7 + 3{,}3 - 4{,}0\), Ergebnis \(10 - 4 = 6\). 3. Teilaufgabe c): Subtraktion in der Klammer \(\frac{17}{8} - \frac{5}{8} = \frac{12}{8}\), Kürzen zu \(\frac{3}{2}\), Multiplikation \(\frac{4}{9} \cdot \frac{3}{2} = \frac{12}{18}\), Kürzen zum Endergebnis \(\frac{2}{3}\).

a) \(10\) b) \(6\) c) \(\frac{2}{3}\)

- Beachte die Vorrangregel: Klammern werden immer zuerst berechnet. - Berechne den Wert des Terms links vom Gleichheitszeichen und den Wert des Terms rechts davon getrennt voneinander. - Überlege, ob das Ergebnis einer Rechnung gleich bleibt, wenn man die Reihenfolge der Ausführung ändert.

1. Prüfung für die Subtraktion (\(-\)): Linke Seite: \(100 - (20 - 5) = 100 - 15 = 85\) Rechte Seite: \((100 - 20) - 5 = 80 - 5 = 75\) Da \(85 \neq 75\), ist die Gleichung für die Subtraktion nicht erfüllt. 2. Prüfung für die Division (\(:\)): Linke Seite: \(100 : (20 : 5) = 100 : 4 = 25\) Rechte Seite: \((100 : 20) : 5 = 5 : 5 = 1\) Da \(25 \neq 1\), ist die Gleichung für die Division nicht erfüllt. 3. Die Eigenschaft, dass Klammern innerhalb einer Rechnung mit gleichen Rechenzeichen beliebig gesetzt werden dürfen, nennt man Assoziativgesetz (oder Verknüpfungsgesetz).

Für das Minuszeichen ergibt sich \(85 \neq 75\) und für das Divisionszeichen \(25 \neq 1\); die Gleichung ist für beide Zeichen nicht erfüllt. Das gesuchte Gesetz heißt Assoziativgesetz.

- Was passiert mit dem Ergebnis, wenn du die Reihenfolge der Zahlen änderst? - Achte besonders auf die Vorzeichen bei der Subtraktion. - Überlege, ob das Ergebnis in beiden Fällen genau denselben Wert und dasselbe Vorzeichen hat.

1. Berechnung der Addition: \(a + b = -4{,}5 + 1{,}5 = -3\) und \(b + a = 1{,}5 + (-4{,}5) = -3\). Das Beispiel veranschaulicht das Kommutativgesetz der Addition. 2. Berechnung der Subtraktion: \(a - b = -4{,}5 - 1{,}5 = -6\) und \(b - a = 1{,}5 - (-4{,}5) = 1{,}5 + 4{,}5 = 6\). 3. Vergleich der Subtraktionsergebnisse: Da \(-6 \neq 6\), führt das Vertauschen der Zahlen zu einem anderen Ergebnis. Die beiden Ergebnisse sind Gegenzahlen. 4. Schlussfolgerung: Das Kommutativgesetz gilt für die Addition rationaler Zahlen, jedoch nicht für die Subtraktion.

1) \(a + b = -3\) und \(b + a = -3\); 2) \(a - b = -6\) und \(b - a = 6\). Schlussfolgerung: Das Kommutativgesetz gilt für die Addition, aber nicht für die Subtraktion rationaler Zahlen.

- Schau dir die Nachkommastellen der Zahlen an. Welche Ergänzungen ergeben eine ganze Zahl? - Kannst du die positiven und negativen Zahlen getrennt betrachten, um die Rechnung zu vereinfachen? - Wie heißt die Regel, die besagt, dass man Summanden vertauschen darf?

1. Anwendung des Kommutativgesetzes zum Umstellen der Summanden: \(17{,}4 + 2{,}6 + (-5{,}9) + (-4{,}1)\). 2. Zusammenfassen der Dezimalzahlen mit passenden Nachkommastellen: \(17{,}4 + 2{,}6 = 20\). 3. Zusammenfassen der negativen Zahlen: \((-5{,}9) + (-4{,}1) = -10\). 4. Berechnung des Endergebnisses: \(20 + (-10) = 10\). 5. Benennung des Gesetzes: Kommutativgesetz (oder Vertauschungsgesetz).

Der Wert des Terms ist \(10\). Das verwendete Rechengesetz ist das Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz).

- Berechne auf der linken Seite zuerst \(a + b\) und auf der rechten Seite zuerst \(b + c\). - Rechne jeweils zuerst den Ausdruck innerhalb der Klammern aus. - Achte beim Addieren rationaler Zahlen besonders auf die Vorzeichen. - Erinnerst du dich an den Fachbegriff für das Gesetz, bei dem man Klammern bei einer Summe anders setzen darf?

1. Berechnung für die erste Belegung: Linke Seite: \((-15{,}4 + 6{,}7) + 3{,}3 = -8{,}7 + 3{,}3 = -5{,}4\) Rechte Seite: \(-15{,}4 + (6{,}7 + 3{,}3) = -15{,}4 + 10{,}0 = -5{,}4\) Ergebnis: \(-5{,}4 = -5{,}4\). Die Gleichung ist korrekt. 2. Berechnung für die zweite Belegung: Linke Seite: \((\frac{5}{9} + \frac{2}{9}) + (-\frac{2}{9}) = \frac{7}{9} - \frac{2}{9} = \frac{5}{9}\) Rechte Seite: \(\frac{5}{9} + (\frac{2}{9} + (-\frac{2}{9})) = \frac{5}{9} + 0 = \frac{5}{9}\) Ergebnis: \(\frac{5}{9} = \frac{5}{9}\). Die Gleichung ist korrekt. 3. Das veranschaulichte Gesetz ist das Assoziativgesetz (Verbindungsgesetz) der Addition.

1) \(-5{,}4 = -5{,}4\) 2) \(\frac{5}{9} = \frac{5}{9}\) Das Rechengesetz heißt Assoziativgesetz (Verbindungsgesetz).

- Berechne schrittweise erst die linke Seite, dann die rechte Seite des Gleichheitszeichens. - Denk an die Regel „Klammer zuerst“. - Vergleiche die beiden Endergebnisse. Sind sie identisch? - Was bedeutet das für die Freiheit, Klammern bei der Subtraktion einfach zu verschieben?

1. Berechnung der linken Seite: \((10 - 5) - 2 = 5 - 2 = 3\) 2. Berechnung der rechten Seite: \(10 - (5 - 2) = 10 - 3 = 7\) 3. Vergleich der Ergebnisse: Da \(3 \neq 7\), ist die Gleichung nicht korrekt. 4. Schlussfolgerung: Das Assoziativgesetz gilt nicht für die Subtraktion. Das Setzen oder Weglassen von Klammern verändert bei Minuszeichen das Ergebnis, da sich das Minus vor der Klammer auf alle Glieder innerhalb der Klammer auswirkt.

Die Gleichung ist nicht wahr, da \(3 \neq 7\). Das Assoziativgesetz gilt nicht für die Subtraktion; Klammern dürfen hier nicht beliebig gesetzt werden.

- Kannst du die Zahlen so umstellen oder gruppieren, dass die Rechnung einfacher wird? - Überlege dir, ob es hilfreicher ist, mit Brüchen oder mit Dezimalzahlen zu rechnen. - Achte besonders auf die Vorzeichen beim Zusammenfassen der Zahlen. - Gibt es Zahlen, die sich gegenseitig zu einer ganzen Zahl ergänzen?

1. Für Teilaufgabe a) werden zuerst die Dezimalzahlen zusammengefasst: \((-3{,}8) + (-1{,}2) = -5\). Anschließend wird \(5{,}5\) addiert: \(-5 + 5{,}5 = 0{,}5\). 2. In Teilaufgabe b) wird der Bruch in eine Dezimalzahl umgewandelt: \(\frac{3}{5} = 0{,}6\). Die Rechnung lautet \(0{,}6 - 1{,}4 + 2\). Zuerst \(0{,}6 - 1{,}4 = -0{,}8\), dann \(-0{,}8 + 2 = 1{,}2\). 3. Für Teilaufgabe c) werden die Brüche mit gleichem Nenner verrechnet: \(7\frac{3}{4} - 2\frac{1}{4} = 5\frac{2}{4} = 5{,}5\). Danach folgt \(-12 + 5{,}5 = -6{,}5\).

a) \(x = 0{,}5\) b) \(x = 1{,}2\) c) \(x = -6{,}5\)

- Gibt es Zahlen, die sich gegenseitig aufheben? - Es hilft oft, zuerst alle negativen Zahlen zusammenzufassen, besonders wenn sie „gut zusammenpassen“. - Erinnerst du dich an das Gesetz, das besagt, dass man Klammern bei reinen Additionsaufgaben weglassen oder verschieben darf? - Was passiert, wenn du eine Zahl und ihre Gegenzahl addierst?

1. Erkennen von Gegenzahlen: \((-34) + 34 = 0\). Das Ergebnis ist der verbleibende Summand \(57\). 2. Zusammenfassen der beiden negativen Zahlen: \((-6{,}8) + (-3{,}2) = -10\). Berechnung der Endsumme: \(12{,}4 + (-10) = 2{,}4\). 3. Gruppierung der negativen Brüche: \(\left(-2\frac{1}{5}\right) + \left(-1\frac{4}{5}\right) = -4\). Addition der positiven ganzen Zahl: \((-4) + 8 = 4\).

1) \(57\) 2) \(2{,}4\) 3) \(4\)

- Achte besonders auf die Vorzeichenregeln bei der Multiplikation von rationalen Zahlen. - Überlege, bei welcher Kombination von Faktoren eine besonders „einfache“ Zahl (wie z. B. eine Zehnerzahl) entsteht. - Was besagt das Assoziativgesetz über die Klammersetzung bei reinen Multiplikationsaufgaben?

1. Berechnung von \((a \cdot b) \cdot c\): Zuerst wird das Produkt in der Klammer gebildet: \(-2{,}5 \cdot 4 = -10\). Anschließend erfolgt die Multiplikation mit \(c\): \(-10 \cdot (-1{,}8) = 18\). 2. Berechnung von \(a \cdot (b \cdot c)\): Zuerst wird das Produkt in der Klammer gebildet: \(4 \cdot (-1{,}8) = -7{,}2\). Anschließend erfolgt die Multiplikation mit \(a\): \(-2{,}5 \cdot (-7{,}2) = 18\). 3. Vergleich und Bewertung: Beide Ergebnisse sind mit \(18\) identisch. Der erste Rechenweg ist vorteilhafter, da die Multiplikation \(-2{,}5 \cdot 4\) die glatte Zahl \(-10\) ergibt, mit der sich leichter weiterrechnen lässt.

a) \(18\) b) \(18\) c) Beide Ergebnisse sind gleich. Der Weg \((a \cdot b) \cdot c\) ist einfacher, da \(-2{,}5 \cdot 4 = -10\) eine einfache Zwischenzahl liefert.

- Gibt es Zahlenpaare, deren Produkt eine Stufenzahl wie 10, 100 oder 1000 ergibt? - Darf man die Reihenfolge der Zahlen bei einer reinen Multiplikation ändern? - Was passiert, wenn man einen Bruch mit seinem Kehrwert multipliziert? - Achte besonders auf die Vorzeichenregeln bei der Multiplikation.

1. Anwendung des Kommutativgesetzes zur Gruppierung von \(25 \cdot 4 = 100\). Anschließende Multiplikation: \(100 \cdot (-13) = -1300\). 2. Gruppierung der Faktoren \(-125\) und \(-8\), was das Produkt \(1000\) ergibt. Multiplikation mit \(7\) führt zum Ergebnis \(7000\). 3. Multiplikation der zueinander kehrwertigen Brüche: \(\frac{4}{9} \cdot \frac{9}{4} = 1\). Das Produkt mit \(-17\) ergibt \(-17\). 4. Zusammenfassung von \(0{,}2 \cdot 5 = 1\). Das Endergebnis lautet \(1 \cdot (-47) = -47\).

1) \(-1300\) 2) \(7000\) 3) \(-17\) 4) \(-47\)

- Welcher der beiden Rechenwege im Beispiel lässt sich einfacher im Kopf ausführen? - Wie nennt man das Gesetz, bei dem man Zahlen vertauschen darf? - Kannst du im zweiten Term zwei Paare bilden, die im Kopf leicht zu rechnen sind? - Überlege zuerst, welches Vorzeichen das Endergebnis haben muss.

1. Vergleich der Rechenwege: Marie nutzt das Kommutativ- und Assoziativgesetz, um zuerst die Faktoren zu multiplizieren, die ein einfaches Zwischenergebnis (\(10\)) liefern. 2. Anwendung der Strategie auf Teil b: Gruppierung von \(8 \cdot 125 = 1000\). 3. Gruppierung der übrigen Faktoren: \((-1{,}5) \cdot (-2) = 3\). 4. Berechnung des Endprodukts: \(1000 \cdot 3 = 3000\).

a) Marie hat das Kommutativgesetz und das Assoziativgesetz angewendet. b) \(3000\)

- Achte beim ersten Weg besonders auf das Vorzeichen des Ergebnisses in der Klammer. - Erinnere dich beim zweiten Weg daran, wie man eine ganze Zahl mit einer Dezimalzahl multipliziert. - Das Distributivgesetz besagt, dass \(a \cdot (b - c) = a \cdot b - a \cdot c\) gilt.

1. Berechnung über die Klammer: Zuerst wird die Differenz in der Klammer gebildet: \(0{,}75 - 1{,}25 = -0{,}5\). Anschließend erfolgt die Multiplikation: \(12 \cdot (-0{,}5) = -6\). 2. Berechnung über das Distributivgesetz: Der Ausdruck wird zu \(12 \cdot 0{,}75 - 12 \cdot 1{,}25\) umgeformt. Die Teilprodukte ergeben \(12 \cdot 0{,}75 = 9\) und \(12 \cdot 1{,}25 = 15\). Die Differenz lautet \(9 - 15 = -6\). Beide Rechenwege führen zum selben Ergebnis \(-6\).

Beide Rechenwege ergeben \(-6\).

- Achte beim Rechnen besonders auf die Vorzeichenregeln für die Multiplikation und Division. - Rechne Schritt für Schritt von links nach rechts, außer wenn Klammern eine andere Reihenfolge vorgeben. - Überlege dir vor der Rechnung, ob das Endergebnis positiv oder negativ sein muss. - Vergleiche deine drei Endergebnisse am Schluss – was fällt dir auf?

1. Berechnung des ersten Terms: \((-96 \cdot 16) : 8 = -1\,536 : 8 = -192\) 2. Berechnung des zweiten Terms: \((-96 : 8) \cdot 16 = -12 \cdot 16 = -192\) 3. Berechnung des dritten Terms: \(-96 \cdot (16 : 8) = -96 \cdot 2 = -192\) 4. Vergleich der Ergebnisse: Alle drei Berechnungen liefern den Wert \(-192\).

Alle drei Terme haben denselben Wert: \(-192\).

- Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn du eine positive Zahl durch eine negative Zahl teilst? - Erinnerst du dich an eine Regel, wie man eine Zahl durch ein Produkt teilen kann, ohne die Klammer zuerst zu berechnen? - Führe die Divisionen sorgfältig nacheinander aus und achte auf die Zwischenergebnisse.

1. Erster Rechenweg (Klammer zuerst): Berechnung des Produkts \((-6) \cdot 4 = -24\). Anschließend Division \(144 : (-24) = -6\). 2. Zweiter Rechenweg (nacheinander dividieren): Erste Division \(144 : (-6) = -24\). Anschließend Division des Ergebnisses durch den zweiten Faktor: \(-24 : 4 = -6\). 3. Vergleich: Beide Rechenwege führen zum identischen Ergebnis \(-6\).

Beide Rechenwege ergeben \(-6\).

- Fällt dir in den Teilaufgaben eine Zahl auf, die in beiden Produkten vorkommt? - Kannst du die Rechnung vereinfachen, indem du diese gemeinsame Zahl ausklammerst und die anderen Zahlen addierst oder subtrahierst? - Überlege, ob es einfacher ist, zuerst die Klammer auszurechnen, damit du mit einer runden Zahl wie \(10\) oder \(20\) multiplizieren kannst.

1. Anwendung des Distributivgesetzes durch Ausklammern des gemeinsamen Faktors \(6\): \((14{,}2 + 5{,}8) \cdot 6 = 20 \cdot 6 = 120\). 2. Ausklammern des gemeinsamen Faktors \(4{,}3\): \((15 - 5) \cdot 4{,}3 = 10 \cdot 4{,}3 = 43\). 3. Ausklammern des gemeinsamen Faktors \(0{,}35\): \((8 + 2) \cdot 0{,}35 = 10 \cdot 0{,}35 = 3{,}5\).

a) \(120\) b) \(43\) c) \(3{,}5\)

- Probiere verschiedene Arten von Zahlen aus: positive Zahlen, negative Zahlen und die Null. - Kannst du die Terme vereinfachen, bevor du entscheidest? - Überlege dir, wie sich die Vorzeichenregeln bei der Multiplikation verhalten. - Was passiert, wenn du eine Zahl von sich selbst abziehst?

1. Die Ungleichung \(a + a < a\) ist gleichbedeutend mit \(2a < a\). Subtrahiert man \(a\) auf beiden Seiten, erhält man \(a < 0\). Die Aussage ist also für alle negativen Zahlen wahr. 2. Ein Produkt \(x \cdot y\) ist genau dann negativ, wenn die beiden Faktoren unterschiedliche Vorzeichen haben. Das bedeutet, eine der Zahlen muss positiv und die andere negativ sein. 3. Für jede rationale Zahl \(k\) ergibt das Produkt mit Null den Wert \(0\), also \(k \cdot 0 = 0\). Ebenso ergibt die Subtraktion einer Zahl von sich selbst immer Null, also \(k - k = 0\). Da \(0 = 0\), gilt die Gleichung für alle rationalen Zahlen \(k\).

a) Ja, das ist für alle negativen Zahlen (\(a < 0\)) der Fall. b) Die Zahlen \(x\) und \(y\) müssen unterschiedliche Vorzeichen haben (eine positiv, eine negativ). c) Ja, die Gleichung gilt für alle rationalen Zahlen, da beide Seiten immer den Wert \(0\) ergeben.

- Berechne zuerst den Wert in der Klammer auf der linken Seite. - Achte auf der rechten Seite besonders auf die Vorzeichenregeln, wenn du negative Zahlen subtrahierst. - Wie nennt man das Gesetz, bei dem man eine Zahl mit jedem Teil einer Differenz oder Summe einzeln multipliziert?

1. Berechnung der linken Seite: \((-5) \cdot (20 - 4) = (-5) \cdot 16 = -80\). 2. Berechnung der rechten Seite: \((-5) \cdot 20 - (-5) \cdot 4 = -100 - (-20) = -100 + 20 = -80\). 3. Vergleich der Ergebnisse: \(-80 = -80\), die Gleichung ist korrekt. 4. Identifikation des Gesetzes: Da der Faktor \(-5\) auf die Glieder in der Klammer verteilt wurde, handelt es sich um das Distributivgesetz.

Die Gleichung ist korrekt (beide Seiten ergeben \(-80\)). Es handelt sich um das Distributivgesetz.

- Kannst du einen der Brüche kürzen, bevor du mit der eigentlichen Rechnung beginnst? - Was passiert mit den Vorzeichen innerhalb einer Klammer, wenn ein Minuszeichen davor steht? - Gibt es Brüche, die sich gegenseitig aufheben oder zu einer ganzen Zahl ergänzen?

1. Kürzen des Bruchs \(\frac{18}{24}\) mit dem Faktor \(6\): \(\frac{3}{4}\) 2. Auflösen der Klammern unter Beachtung des Minuszeichens vor der zweiten Klammer: \(6\frac{4}{15} + \frac{3}{4} - 1\frac{4}{15} + \frac{1}{4}\) 3. Umstellen des Terms zur Gruppierung gleicher Nenner: \((6\frac{4}{15} - 1\frac{4}{15}) + (\frac{3}{4} + \frac{1}{4})\) 4. Berechnung der Teilterme: \(5 + 1 = 6\)

\(6\)

- Schau dir die Nachkommastellen genau an. Welche Zahlen „passen“ gut zusammen? - Kannst du Paare finden, die zusammen eine ganze Zahl ergeben? - Musst du wirklich alle vier Zahlen nacheinander addieren?

1. Identifikation von Paaren, die sich zu „glatten“ Dezimalzahlen oder Ganzen ergänzen: \(0{,}85\) und \(3{,}15\) sowie \(2{,}14\) und \(1{,}86\). 2. Berechnung des ersten Paares: \(0{,}85 + 3{,}15 = 4{,}00\). 3. Berechnung des zweiten Paares: \(2{,}14 + 1{,}86 = 4{,}00\). 4. Addition der Teilergebnisse: \(4{,}00\,\text{kg} + 4{,}00\,\text{kg} = 8{,}00\,\text{kg}\).

Das Gesamtgewicht beträgt \(8{,}00\,\text{kg}\). Ein geschickter Weg ist die Paarbildung \((0{,}85 + 3{,}15) + (2{,}14 + 1{,}86) = 4 + 4 = 8\).

- Siehst du in der ersten Aufgabe eine Zahl, die in beiden Produkten vorkommt? - Gibt es bei der Multiplikation von drei Zahlen zwei Faktoren, die zusammen ein besonders einfaches Ergebnis (wie 10 oder 100) liefern? - Wie kannst du die Zahl 99 umschreiben, um die Multiplikation zu vereinfachen?

1. Ausklammern des gemeinsamen Faktors \(16\): \(16 \cdot (12 + 8) = 16 \cdot 20 = 320\). 2. Anwendung des Kommutativ- und Assoziativgesetzes zur Zusammenfassung von \(25\) und \(4\): \((25 \cdot 4) \cdot 37 = 100 \cdot 37 = 3700\). 3. Anwendung des Distributivgesetzes durch Ersetzen von \(99\) durch \((100 - 1)\): \(45 \cdot 100 - 45 \cdot 1 = 4500 - 45 = 4455\).

a) 320 b) 3700 c) 4455

- Kannst du eine Dezimalzahl wie \(2{,}5\) verdoppeln oder vervierfachen, um eine ganze Zahl zu erhalten? - Wie verändert sich das Ergebnis, wenn du mit einer Zahl multiplizierst, die knapp neben einer Hunderterzahl liegt? - Kannst du die dreistellige Zahl so aufteilen, dass beide Teile leicht durch 7 teilbar sind?

1. Zerlegung des Faktors \(12\) in \(10 + 2\): \(2{,}5 \cdot 10 + 2{,}5 \cdot 2 = 25 + 5 = 30\). Alternativ: \((2{,}5 \cdot 4) \cdot 3 = 10 \cdot 3 = 30\). 2. Zerlegung von \(-101\) in \((-100 - 1)\): \(14 \cdot (-100) + 14 \cdot (-1) = -1400 - 14 = -1414\). 3. Zerlegung des Dividenden in \(700 + 28\): \(700 : 7 + 28 : 7 = 100 + 4 = 104\).

a) 30 b) -1414 c) 104

- Erkennst du in den Aufgaben bekannte Quadratzahlen wieder? - Kannst du die Faktoren so verändern, dass sie gleich weit von einer Zehnerzahl entfernt sind? - Zerlege große Zahlen in Vielfache des Teilers, die du leicht im Kopf berechnen kannst. - Wie verändert ein negatives Vorzeichen das Ergebnis einer Quadratzahl?

1. Berechnung von \(196 : 14\): Erkennen der Quadratzahl \(14^2 = 196\). Ergebnis: \(14\). 2. Berechnung von \(18 \cdot 22\): Anwendung des Musters \((20 - 2) \cdot (20 + 2) = 20^2 - 2^2\). Rechnung: \(400 - 4 = 396\). 3. Berechnung von \(1001 : 7\): Zerlegen des Dividenden in \(700 + 280 + 21\). Rechnung: \(700:7 + 280:7 + 21:7 = 100 + 40 + 3 = 143\). 4. Berechnung von \(-13 \cdot 13\): Bestimmung des Vorzeichens (negativ) und Erkennen der Quadratzahl \(13^2 = 169\). Ergebnis: \(-169\).

a) \(14\) b) \(396\) c) \(143\) d) \(-169\)

- Welche Rechenoperationen musst du laut den Vorrangregeln zuerst ausführen? - Markiere dir Multiplikationen und Divisionen, bevor du mit Addition oder Subtraktion beginnst. - Arbeite dich bei Klammern von innen nach außen vor. - Achte besonders auf das Minuszeichen vor Klammern oder bei der Multiplikation.

1. Punkt-vor-Strich-Rechnung: \((-32) : 4 = -8\) und \((-12) \cdot 2 = -24\). Subtraktion: \(-8 - (-24) = -8 + 24 = 16\). 2. Innere Klammer zuerst: \(40 - (-10) = 50\). Dann Multiplikation: \(50 \cdot 3 = 150\). Subtraktion: \(150 - 150 = 0\). 3. Multiplikation und Division zuerst: \((-0{,}2) \cdot 50 = -10\) und \((-10) : (-2) = 5\). Addition: \(-10 + 5 = -5\).

a) \(16\) b) \(0\) c) \(-5\)

- Schreibe die Potenz als Multiplikationsaufgabe aus. - Wie oft musst du die Zahl mit sich selbst multiplizieren? - Achte besonders auf die Anzahl der Nachkommastellen beim Multiplizieren von Dezimalzahlen. - Überlege, ob das Vorzeichen bei einem ungeraden Exponenten positiv oder negativ sein muss.

1. Berechnung des Terms: \( (-0{,}5)^3 = (-0{,}5) \cdot (-0{,}5) \cdot (-0{,}5) \). 2. Schrittweise Multiplikation: \( (-0{,}5) \cdot (-0{,}5) = 0{,}25 \). Dann \( 0{,}25 \cdot (-0{,}5) = -0{,}125 \). Somit ist B korrekt. 3. Analyse der Fehler: Bei A wurde die Basis mit dem Exponenten multipliziert (\( -0{,}5 \cdot 3 \)). Bei C wurde das Vorzeichen falsch bestimmt (ein ungerader Exponent bei negativer Basis ergibt ein negatives Ergebnis). Bei D wurde ein Fehler beim Stellenwert der Dezimalstellen gemacht.

B ist richtig. A: Potenz mit Multiplikation verwechselt. C: Vorzeichenfehler (negativ hoch ungerade muss negativ sein). D: Stellenwertfehler bei der Dezimalrechnung.

- Probiere verschiedene Stellen für die Klammern aus und berechne das Ergebnis jeweils schrittweise. - Denke an die Regel „Klammer zuerst“. - Was passiert, wenn du die Addition vor der Division ausführst? - Vergiss nicht die Vorzeichenregeln bei der Multiplikation und Division.

1. Berechnung ohne Klammern: Gemäß Punkt-vor-Strichrechnung gilt \( (-20 : 2) + (3 \cdot (-2)) = -10 + (-6) = -16 \). Dies ist ungleich \( 8 \). 2. Testen verschiedener Klammersetzungen: Variante 1: \( (-20 : 2 + 3) \cdot (-2) = (-10 + 3) \cdot (-2) = -7 \cdot (-2) = 14 \). Variante 2: \( -20 : (2 + 3) \cdot (-2) = -20 : 5 \cdot (-2) \). Da Division und Multiplikation gleichrangig sind, rechnet man von links nach rechts: \( -4 \cdot (-2) = 8 \). 3. Ergebnis: Die Klammern müssen um den Ausdruck \( 2 + 3 \) gesetzt werden.

Die richtige Klammersetzung ist: \( -20 : (2 + 3) \cdot (-2) = 8 \). Rechnung: \( -20 : 5 \cdot (-2) = -4 \cdot (-2) = 8 \).

- Bestimme zuerst das Gewicht der einzelnen Personen nacheinander. - Wie viel wiegt Mia, wenn du ihren Anteil an Jonas' Gewicht berechnest? - Vergiss nicht, am Ende alle Einzelgewichte und die Ausrüstung zusammenzuzählen.

1. Berechnung von Mias Gewicht: \(\frac{4}{5} \cdot 55\,\text{kg} = 44\,\text{kg}\). 2. Berechnung des Gewichts des Vaters: \(2 \cdot 44\,\text{kg} = 88\,\text{kg}\). 3. Summierung aller Gewichte (Jonas, Ausrüstung, Mia, Vater): \(55\,\text{kg} + 42\,\text{kg} + 44\,\text{kg} + 88\,\text{kg} = 229\,\text{kg}\). 4. Vergleich mit der Tragkraft: \(229\,\text{kg} \le 250\,\text{kg}\). Die Belastung liegt unter dem Maximum.

Ja, sie können gemeinsam fahren, da das Gesamtgewicht \(229\,\text{kg}\) beträgt und somit unter der Grenze von \(250\,\text{kg}\) liegt.

- Überlege dir zuerst, welches Vorzeichen die Ergebnisse der Rechnungen jeweils haben werden. - Denke an die Zahlengerade: Eine Zahl ist kleiner als eine andere, wenn sie weiter links liegt. - Manchmal hilft eine Überschlagsrechnung oder eine kurze Überlegung zum Betrag der Zahlen, um das Zeichen zu bestimmen.

1. Teilaufgabe a): Linke Seite: \(-1{,}2 \cdot 5 = -6\). Rechte Seite: \(-1{,}2 : 5 = -0{,}24\). Da \(-6\) auf der Zahlengeraden weiter links liegt als \(-0{,}24\), gilt \(-6 < -0{,}24\). Begründung: Die Multiplikation einer negativen Zahl mit einer Zahl größer als 1 vergrößert ihren Betrag; der Wert wird dadurch kleiner. Die Division durch 5 verkleinert den Betrag und bringt den Wert näher an 0. 2. Teilaufgabe b): Linke Seite: \(-3 \cdot (-4) = 12\). Rechte Seite: \(-3 + (-4) = -7\). Da eine positive Zahl immer größer als eine negative ist, gilt \(12 > -7\). 3. Teilaufgabe c): Linke Seite: \(-\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = -\frac{3}{6} + \frac{2}{6} = -\frac{1}{6}\). Rechte Seite: \(-\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = -\frac{1}{6}\). Beide Werte sind identisch, also gilt \(=\).

a) \(<\) b) \(>\) c) \(=\)

- Wenn du beide Faktoren als Summen schreibst, welche vier Teilprodukte entstehen nach dem Distributivgesetz? - Wie multipliziert man Brüche oder gemischte Zahlen normalerweise? - Wandle die gemischte Zahl und die Dezimalzahl in reine Brüche um, bevor du rechnest.

1. Identifikation des Fehlers: Die Faktoren wurden fälschlicherweise nur „stellenweise“ multipliziert. Beim Zerlegen beider Faktoren müssten nach dem Distributivgesetz auch die beiden Kreuzprodukte berücksichtigt werden; einfacher ist hier die Umwandlung in Brüche. 2. Umwandlung der Faktoren: \(-2\frac{2}{3} = -\frac{8}{3}\) und \(1{,}5 = \frac{3}{2}\). 3. Multiplikation der Brüche: \(-\frac{8}{3} \cdot \frac{3}{2} = -\frac{8 \cdot 3}{3 \cdot 2} = -\frac{24}{6}\). 4. Kürzen/Ergebnis: \(-4\).

Der Fehler ist die stellenweise Multiplikation, bei der die beiden Kreuzprodukte fehlen. Für den üblichen Rechenweg werden die gemischte Zahl und die Dezimalzahl in Brüche umgewandelt. Richtig ist: \(-2\frac{2}{3} \cdot 1{,}5 = -\frac{8}{3} \cdot \frac{3}{2} = -4\).

- Was ist der Kehrwert eines Bruchs? - Wenn vor einer Klammer ein Minuszeichen steht, was passiert mit dem Wert in der Klammer? - Achte auf die Reihenfolge: Was muss zuerst berechnet werden, die Potenz oder die Multiplikation?

1. Umwandlung in Brüche: \(-\frac{4}{10} \cdot \frac{5}{8} = -\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{8}\). Kürzen der \(5\) und der \(2\) ergibt \(-\frac{1}{4}\) bzw. \(-0{,}25\). 2. Division durch einen Bruch ist Multiplikation mit dem Kehrwert: \(-2{,}5 \cdot (-4)\). Das Vorzeichen wird positiv: \(2{,}5 \cdot 4 = 10\). 3. Hauptnenner in der Klammer finden: \(\frac{2}{6} - \frac{3}{6} = -\frac{1}{6}\). Das Minuszeichen vor der Klammer kehrt das Vorzeichen um: \(-(-\frac{1}{6}) = \frac{1}{6}\). 4. Quadrat berechnen: \((-0{,}1) \cdot (-0{,}1) = 0{,}01\). Dann Multiplikation mit \(-10\): \(0{,}01 \cdot (-10) = -0{,}1\).

a) \(-0{,}25\) (oder \(-\frac{1}{4}\)) b) \(10\) c) \(\frac{1}{6}\) d) \(-0{,}1\)

- Berechne zuerst den Wert auf der linken Seite. - Wird eine Zahl größer oder kleiner, wenn man sie mit einer Zahl multipliziert, die kleiner als 1 ist? - Wandle Brüche in Dezimalzahlen um oder umgekehrt, um sie besser vergleichen zu können.

1. Vergleich für a: \(0{,}2^2 = 0{,}04\). Da \(0{,}04 < 0{,}2\), ist das Ergebnis \(<\). 2. Vergleich für b: \((\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8} = 0{,}125\) und \((\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4} = 0{,}25\). Da \(0{,}125 < 0{,}25\), ist das Ergebnis \(<\). 3. Vergleich für c: \(0{,}1^2 = 0{,}1 \cdot 0{,}1 = 0{,}01\). Da \(0{,}01 = 0{,}01\), ist das Ergebnis \(=\). 4. Vergleich für d: \((\frac{3}{2})^2 = \frac{9}{4} = 2{,}25\). Da \(2{,}25 > 1{,}5\), ist das Ergebnis \(>\).

a) \(<\) b) \(<\) c) \(=\) d) \(>\)

- Welche Rechenregel bestimmt die Reihenfolge der Operationen? - Wie gehst du vor, wenn Brüche und Dezimalzahlen in einer Aufgabe vorkommen? - Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn du eine positive durch eine negative Zahl teilst? - Erinnerst du dich daran, dass das Subtrahieren einer negativen Zahl einer Addition entspricht?

1. Umwandlung des Bruchs in eine Dezimalzahl: \(1\frac{1}{5} = 1{,}2\) 2. Multiplikation des ersten Teils: \(1{,}2 \cdot (-0{,}5) = -0{,}6\) 3. Division des zweiten Teils: \(2{,}4 : (-3) = -0{,}8\) 4. Subtraktion der Ergebnisse unter Beachtung der Vorzeichen: \(-0{,}6 - (-0{,}8) = -0{,}6 + 0{,}8 = 0{,}2\)

\(0{,}2\)

- Kannst du eine periodische Dezimalzahl als Bruch schreiben? - Was weißt du über das Ergebnis, wenn du nur ganze Zahlen miteinander malnimmst? - Wie viele negative Faktoren braucht man, damit ein Produkt am Ende positiv ist?

1. Fall a): Möglich. Eine periodische Dezimalzahl wie \(0{,}\overline{3}\) entspricht dem Bruch \(\frac{1}{3}\). Wählt man z. B. \(0{,}\overline{3} \cdot 1{,}8 \cdot 1\), erhält man \(0{,}6\). 2. Fall b): Nicht möglich. Das Produkt von ganzen Zahlen ist immer eine ganze Zahl. Da \(0{,}6\) keine ganze Zahl ist, können nicht alle Faktoren ganzzahlig sein. 3. Fall c): Nicht möglich. Wenn genau ein Faktor negativ ist (und die anderen positiv), ist das Produkt negativ. Da \(0{,}6\) positiv ist, ist dies ausgeschlossen.

a) Ja, z. B. \(0{,}\overline{3} \cdot 1{,}8 \cdot 1 = 0{,}6\). b) Nein, da \(0{,}6\) keine ganze Zahl ist. c) Nein, das Produkt wäre dann negativ.

- Schau dir die Summanden genau an. Welcher Faktor kommt in beiden Teilen vor? - Kannst du die Zahlen in der Klammer so zusammenfassen, dass eine „schöne“ Zahl entsteht? - Erinnere dich an das Gesetz: \(a \cdot b + a \cdot c = a \cdot (b + c)\).

a) Ausklammern von \(\frac{4}{7}\): \(\frac{4}{7} \cdot (-13{,}2 + (-0{,}8)) = \frac{4}{7} \cdot (-14)\). Kürzen der \(7\) gegen die \(14\) ergibt \(4 \cdot (-2) = -8\). b) Ausklammern von \(\frac{2}{3}\): \(\frac{2}{3} \cdot (-15{,}5 + 6{,}5) = \frac{2}{3} \cdot (-9)\). Kürzen der \(3\) gegen die \(9\) ergibt \(2 \cdot (-3) = -6\).

a) \(-8\) b) \(-6\)

- Überlege, ob es einfacher ist, erst die Klammer zu berechnen oder den Faktor davor mit jedem Teil in der Klammer zu multiplizieren. - Erinnere dich daran, wie man eine ganze Zahl mit einem Bruch multipliziert. - Achte auf die Rechenzeichen innerhalb der Klammer.

1. Anwendung des Distributivgesetzes durch Multiplikation des Faktors 12 mit jedem Glied der Klammer: \(12 \cdot \frac{3}{4} - 12 \cdot 0{,}5 + 12 \cdot \frac{1}{6}\). 2. Berechnung der Teilprodukte: \(12 \cdot \frac{3}{4} = 9\), \(12 \cdot 0{,}5 = 6\) und \(12 \cdot \frac{1}{6} = 2\). 3. Zusammenfassen der Ergebnisse: \(9 - 6 + 2 = 5\).

5

- Suchst du bei Brüchen nach Paaren, die miteinander multipliziert \(1\) ergeben? - Gibt es bei der Multiplikation von Dezimalzahlen Paare, die eine glatte Zahl wie \(10\) oder \(100\) ergeben? - Du darfst die Reihenfolge der Faktoren beliebig vertauschen.

1. Teilaufgabe a): Umstellen der Faktoren, sodass Kehrwerte und Vielfache beieinander stehen: \((\frac{2}{9} \cdot \frac{9}{2}) \cdot (\frac{5}{11} \cdot 22)\). Das erste Produkt ergibt \(1\). Im zweiten Produkt lässt sich die \(22\) durch \(11\) kürzen, was \(5 \cdot 2 = 10\) ergibt. Das Endergebnis ist \(1 \cdot 10 = 10\). 2. Teilaufgabe b): Umstellen der Faktoren, um eine Stufenzahl zu erhalten: \((12{,}5 \cdot 8) \cdot 0{,}7\). Da \(12{,}5 \cdot 8 = 100\) ist, vereinfacht sich die Rechnung zu \(100 \cdot 0{,}7 = 70\).

a) \(10\) b) \(70\)

- Betrachte zunächst nur das Vorzeichen des Ergebnisses in der Klammer. - Welche Vorzeichenregel gilt für die Multiplikation in Term A? - Was bewirkt der Betrag in Term B? - Vergleiche die Abstände der Faktoren zur Null (die Beträge) in beiden Termen.

1. Setze \(x=-\frac{3}{4}+0{,}5\). Da \(0{,}5=\frac{1}{2}<\frac{3}{4}\), gilt \(x<0\). 2. Term A ist \(x\cdot(-2)=(-x)\cdot 2\). 3. Für \(x<0\) gilt \(|x|=-x\). Daher ist Term B \(|x|\cdot 2=(-x)\cdot 2\). 4. Beide Terme haben somit dieselbe Form und müssen denselben Wert besitzen.

Setzt man \(x=-\frac{3}{4}+0{,}5\), so gilt \(x<0\) und deshalb \(|x|=-x\). Damit sind beide Terme gleich \((-x)\cdot 2\), ohne dass das Endergebnis berechnet werden muss.

- Darf man bei einer reinen Multiplikationsaufgabe die Reihenfolge der Zahlen verändern? - Wandle Dezimalzahlen in Brüche um, um zu sehen, ob sie sich gegenseitig aufheben. - Überlege dir, ob es einen Unterschied macht, ob man durch eine verdoppelte Zahl teilt oder erst teilt und das Ergebnis dann verdoppelt.

1. Anwendung des Kommutativ- und Assoziativgesetzes der Multiplikation in a): Umstellen zu \((0{,}8 \cdot 1{,}25) \cdot \frac{3}{7}\). Da \(0{,}8 = \frac{4}{5}\) und \(1{,}25 = \frac{5}{4}\), ist ihr Produkt \(1\). Somit gilt \(1 \cdot \frac{3}{7} = \frac{3}{7}\). Die Rechnung ist korrekt. 2. Untersuchung der Division in b): Das Dividieren durch ein Produkt \(a : (b \cdot c)\) ist gleichbedeutend mit \(a : b : c\). Auf der rechten Seite wird jedoch nach der ersten Division multipliziert, was das Ergebnis vergrößert statt verkleinert. Die Rechnung ist falsch.

a) Korrekt, da \(0{,}8 \cdot 1{,}25 = 1\) ergibt und die Multiplikation mit 1 den Wert \(\frac{3}{7}\) nicht verändert. b) Falsch, da die Division durch ein Produkt nicht dasselbe ist wie die Division durch einen Faktor gefolgt von einer Multiplikation.

- Du darfst bei reinen Multiplikationsaufgaben die Reihenfolge ändern, um einfacher zu rechnen. - Achte bei Ketten von Rechnungen darauf, wie viele Minuszeichen vorkommen. - Rechne bei einer Mischung aus Multiplikation und Division strikt von links nach rechts.

1. Berechnung von links nach rechts oder durch vorteilhaftes Zusammenfassen. 2. a) \((-4) \cdot (-8) = 32\). Dann \(32 \cdot 125 = 4000\). (Alternativ: \(125 \cdot (-8) = -1000\), dann \((-4) \cdot (-1000) = 4000\)). 3. b) \((-3600) : (-15) = 240\). Dann \(240 : (-4) = -60\). 4. c) \(12 \cdot (-15) = -180\). Dann \(-180 : (-9) = 20\). Zum Schluss \(20 \cdot (-2) = -40\).

a) \(4000\) b) \(-60\) c) \(-40\)

- Wenn mehrere Summanden durch dieselbe Zahl geteilt werden, kannst du den gemeinsamen Faktor, hier \(\frac{1}{9}\), ausklammern. - Gilt das Distributivgesetz auch, wenn mehr als zwei Produkte addiert oder subtrahiert werden? - Berechne zuerst den Wert innerhalb der (gedachten) Klammer.

1. Da beide Quotienten den gemeinsamen Faktor \(\frac{1}{9}\) enthalten, kann man ihn ausklammern: \((720 - 180) : 9 = 540 : 9 = 60\). 2. Ausklammern des gemeinsamen Faktors \(1{,}2\) bei allen drei Summanden: \(1{,}2 \cdot (15 + 5 - 10) = 1{,}2 \cdot 10 = 12\).

a) \(60\) b) \(12\)

- Welche Rechenoperation musst du laut der Regel „Punkt vor Strich“ zuerst ausführen? - Vergiss nicht, dass ein Minuszeichen vor einer Klammer alle Vorzeichen in der Klammer umkehrt, oder rechne den Klammerinhalt zuerst aus. - Quadrierst du eine negative Zahl, ist das Ergebnis immer positiv.

1. Teilaufgabe a: Zuerst die Klammer berechnen: \(3{,}5 - 1{,}2 = 2{,}3\). Dann die Subtraktion: \(2{,}4 - 2{,}3 = 0{,}1\). Das Ergebnis ist \(0{,}1\) bzw. \(\frac{1}{10}\). 2. Teilaufgabe b: Potenz berechnen: \((-0{,}5)^2 = 0{,}25\). Multiplikation berechnen: \(\frac{3}{4} \cdot 2 = 1{,}5\). Subtraktion: \(0{,}25 - 1{,}5 = -1{,}25\). Das Ergebnis ist \(-1{,}25\) bzw. \(-\frac{5}{4}\). 3. Teilaufgabe c: Klammer berechnen: \(0{,}2 - 0{,}5 = -0{,}3\). Division durchführen: \(\frac{2}{5} : (-\frac{3}{10}) = \frac{2}{5} \cdot (-\frac{10}{3}) = -\frac{20}{15} = -\frac{4}{3}\). Das Ergebnis ist \(-\frac{4}{3}\) bzw. \(-1{,}\overline{3}\).

a) \(0{,}1\) b) \(-1{,}25\) c) \(-\frac{4}{3}\) oder \(-1{,}\overline{3}\)

- Welche ganze Zahl liegt sehr nah an \(2{,}998\)? - Ist es einfacher, \(3\) abzuziehen oder \(2{,}998\)? - Wenn du mehr abziehst als eigentlich nötig, wie musst du das Ergebnis am Ende anpassen?

1. Runden des Subtrahenden auf die nächste ganze Zahl: \(2{,}998 \approx 3\). 2. Durchführung der einfacheren Subtraktion: \(34{,}152 - 3 = 31{,}152\). 3. Da \(3\) statt \(2{,}998\) abgezogen wurde, wurde um \(0{,}002\) zu viel subtrahiert (\(3 - 2{,}998 = 0{,}002\)). 4. Korrektur des Ergebnisses durch Addition des zu viel abgezogenen Betrags: \(31{,}152 + 0{,}002 = 31{,}154\).

Man rechnet zuerst \(34{,}152 - 3 = 31{,}152\). Da man \(0{,}002\) zu viel abgezogen hat, addiert man diese Differenz wieder dazu. Das Ergebnis lautet \(31{,}154\).

- Schau dir an, wie viel jede einzelne Strecke von den Zahlen \(5\), \(3\) und \(3\) abweicht. - Notiere dir die Abweichungen mit Vorzeichen (plus für mehr, minus für weniger). - Was passiert, wenn du alle diese kleinen Abweichungen zusammenzählst?

1. Bestimmung der Abweichungen der Teilstrecken von den Zielwerten \(5\), \(3\) und \(3\): - \(4{,}97 = 5 - 0{,}03\) - \(3{,}05 = 3 + 0{,}05\) - \(2{,}98 = 3 - 0{,}02\) 2. Berechnung der Summe der Zielwerte: \(5 + 3 + 3 = 11\). 3. Zusammenfassung der Korrekturwerte: \(-0{,}03 + 0{,}05 - 0{,}02\). 4. Berechnung der Gesamtkorrektur: \(-0{,}03 - 0{,}02 = -0{,}05\); dann \(-0{,}05 + 0{,}05 = 0\). 5. Das exakte Ergebnis entspricht somit genau der Summe der gerundeten Werte: \(11 + 0 = 11\).

Die Korrektur ergibt sich aus den Abweichungen \(-0{,}03\,\text{km}\), \(+0{,}05\,\text{km}\) und \(-0{,}02\,\text{km}\). Da diese sich gegenseitig zu \(0\) aufheben, ist die Korrektur \(0\). Das exakte Gesamtergebnis lautet \(11\,\text{km}\).

- Welche Brüche haben denselben Nenner? Es ist oft einfacher, diese zuerst zu verrechnen. - Kannst du die Subtraktion von zwei Brüchen als das Abziehen ihrer Summe zusammenfassen? - Was passiert, wenn du Brüche addierst, die zusammen ein Ganzes ergeben?

1. Gruppieren der Brüche mit gleichem Nenner: \((\frac{7}{15} + \frac{8}{15})\) und \((-\frac{3}{4} - \frac{1}{4})\) 2. Berechnen der ersten Gruppe: \(\frac{7+8}{15} = \frac{15}{15} = 1\) 3. Berechnen der zweiten Gruppe: \(-\frac{3+1}{4} = -\frac{4}{4} = -1\) 4. Zusammenführen der Ergebnisse: \(1 - 1 = 0\)

\(0\)

- Was passiert, wenn du eine Zahl mit ihrer Gegenzahl (z. B. \(-2\) und \(+2\)) addierst? - Wandle Brüche in Dezimalzahlen um, wenn es dir hilft. - Was geschieht mit den Vorzeichen in einer Klammer, vor der ein Plus steht?

1. Mias Weg: \(-0{,}5 + 0{,}75 = 0{,}25\); dann \(0{,}25 - 0{,}25 = 0\); schließlich \(0 + 0{,}5 = 0{,}5\). 2. Lukas' Weg: Gruppieren von Dezimalzahlen und Brüchen, die sich ergänzen: \((-0{,}5 + 0{,}5) + (0{,}75 - 0{,}25)\). 3. Ergebnis Lukas: \(0 + 0{,}5 = 0{,}5\). 4. Vergleich mit Klammerterm: Vor der Klammer steht ein Plus. Daher kann die Plusklammer ohne Änderung der Vorzeichen weggelassen werden; der Termwert bleibt \(0{,}5\).

a) \(0{,}5\) b) Lukas gruppiert z. B. \((-0{,}5 + \frac{1}{2}) + (\frac{3}{4} - 0{,}25) = 0 + 0{,}5 = 0{,}5\). c) Nein. Vor der Klammer steht ein Plus, deshalb kann die Klammer ohne Vorzeichenänderung weggelassen werden. Der Wert bleibt \(0{,}5\).

- Suche nach Brüchen mit dem gleichen Nenner. - Manchmal ist es hilfreich, Brüche in Dezimalzahlen umzuwandeln oder umgekehrt – aber schau erst, ob das Gruppieren der Brüche schon ausreicht. - Achte besonders auf das Minuszeichen vor den Zahlen.

1. Teilaufgabe a): Gruppieren der Brüche mit gleichem Nenner: \((-\frac{3}{7} - \frac{4}{7}) + (\frac{5}{8} + \frac{3}{8}) = -\frac{7}{7} + \frac{8}{8} = -1 + 1 = 0\). 2. Teilaufgabe b): Kombination der Brüche mit gleichem Nenner: \((1\frac{2}{5} + \frac{3}{5}) + (-3\frac{1}{4} + \frac{1}{4}) = 2 + (-3) = -1\). 3. Teilaufgabe c): Umwandeln oder direktes Gruppieren von Brüchen und Dezimalzahlen: \((\frac{7}{10} + \frac{3}{10}) + (-0{,}45 - 0{,}55) = 1 - 1 = 0\).

a) \(0\) b) \(-1\) c) \(0\)

- Rechne erst einmal beide Wege ganz in Ruhe aus. - Schau dir die Zwischenergebnisse an: Bei welchem Weg sind die Zahlen „einfacher“ oder „glatter“? - Denk daran, dass „vorteilhaft“ in der Mathematik oft bedeutet, dass man weniger Fehler beim Kopfrechnen macht.

1. Berechnung Linas Weg: \(12{,}5 + 7{,}5 = 20\) und \(8{,}3 + 1{,}7 = 10\). Das Ergebnis ist \(20 - 10 = 10\). 2. Berechnung Tims Weg: \(12{,}5 - 8{,}3 = 4{,}2\) und \(7{,}5 - 1{,}7 = 5{,}8\). Das Ergebnis ist \(4{,}2 + 5{,}8 = 10\). 3. Vorteil von Linas Methode: Durch das Zusammenfassen der positiven und negativen Terme entstehen ganzzahlige Zwischenergebnisse (\(20\) und \(10\)), wodurch die abschließende Subtraktion im Kopf sehr einfach ist.

a) Beide Wege führen zum Ergebnis \(10\). b) Linas Methode ist vorteilhaft, weil sie zu ganzzahligen Zwischenergebnissen (\(20\) und \(10\)) führt, was das Rechnen vereinfacht.

- Schau dir die Nenner der Brüche an. Welche lassen sich leicht zusammenrechnen? - Was passiert, wenn du eine Zahl und ihre Gegenzahl (z. B. \(5\) und \(-5\)) im selben Term hast? - Manchmal hilft es, Brüche und Dezimalzahlen getrennt zu betrachten, bevor man alles zusammenführt.

1. Teilaufgabe a: Brüche mit gleichem Nenner zuerst addieren: \((\frac{5}{9} + \frac{4}{9}) - \frac{1}{3} = \frac{9}{9} - \frac{1}{3} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\). 2. Teilaufgabe b: Brüche und Dezimalzahlen jeweils gruppieren: \((\frac{3}{4} - \frac{7}{4}) + (-2{,}5 + 1{,}5) = -\frac{4}{4} + (-1) = -1 - 1 = -2\). 3. Teilaufgabe c: Gegenzahlen eliminieren und verbleibende Brüche verrechnen: \((-\frac{2}{7} + \frac{2}{7}) + (\frac{5}{6} - \frac{1}{6}) = 0 + \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\).

a) \(\frac{2}{3}\) b) \(-2\) c) \(\frac{2}{3}\)

- Welche Zahl ist ein gemeinsames Vielfaches von 12 und 16? - Kannst du die 48 gegen die Nenner kürzen, bevor du multiplizierst? - Welcher Weg erscheint dir weniger aufwendig?

1. Weg über die Klammer: Hauptnenner von \(12\) und \(16\) ist \(48\). Rechnung: \(\frac{7 \cdot 4}{48} - \frac{5 \cdot 3}{48} = \frac{28}{48} - \frac{15}{48} = \frac{13}{48}\). Multiplikation: \(48 \cdot \frac{13}{48} = 13\). 2. Weg durch Ausmultiplizieren: \(48 \cdot \frac{7}{12} - 48 \cdot \frac{5}{16}\). Kürzen ergibt \(4 \cdot 7 - 3 \cdot 5 = 28 - 15 = 13\). 3. Ergebnis: In beiden Fällen ist das Ergebnis \(13\).

a) \(13\) b) \(13\)

- Musst du zuerst den Inhalt der Klammer ausrechnen oder ist es einfacher, die Zahl vor der Klammer mit jedem Teil in der Klammer einzeln zu multiplizieren? - Was passiert, wenn du eine ganze Zahl mit einem Bruch multiplizierst, dessen Nenner ein Teiler dieser Zahl ist? - Kannst du Dezimalzahlen in Brüche umwandeln, um einfacher zu kürzen?

1. Anwendung des Distributivgesetzes: \(a \cdot (b \pm c) = a \cdot b \pm a \cdot c\). 2. Teilaufgabe a): \(\frac{4}{5} \cdot 10 - \frac{4}{5} \cdot 2{,}5 = 8 - 2 = 6\). 3. Teilaufgabe b): \(18 \cdot \frac{1}{2} + 18 \cdot \frac{1}{3} - 18 \cdot \frac{1}{6} = 9 + 6 - 3 = 12\). 4. Teilaufgabe c): \(\frac{7}{11} \cdot 22 - \frac{7}{11} \cdot 5{,}5 = 14 - 3{,}5 = 10{,}5\).

a) 6 b) 12 c) \(10{,}5\)

- Gehe bei a) Schritt für Schritt vor: Erst die Subtraktion in der Klammer, dann die Multiplikation mit der negativen Zahl. - Bei b) verteilst du die \(-8\) auf beide Werte in der Klammer. Achte dabei besonders auf die Vorzeichen! - Überlege dir für c), bei welcher Rechnung du weniger Zwischenschritte im Kopf behalten musstest.

1. Teilaufgabe a): Berechnung der Klammer: \(12{,}5 - 5 = 7{,}5\). Multiplikation: \((-8) \cdot 7{,}5 = -60\). 2. Teilaufgabe b): Anwendung des Distributivgesetzes: \((-8) \cdot 12{,}5 - (-8) \cdot 5\). Berechnung der Teilprodukte: \(-100 - (-40) = -100 + 40 = -60\). 3. Teilaufgabe c): Individuelle Begründung. Oft wird Weg b) als einfacher empfunden, da \((-8) \cdot 12{,}5 = -100\) eine sehr glatte Zahl ergibt, während die Multiplikation \(8 \cdot 7{,}5\) im Kopf etwas aufwendiger sein kann.

a) \(-60\) b) \(-60\) c) Individuelle Antwort, zum Beispiel: Weg b) ist einfacher, da \((-8) \cdot 12{,}5 = -100\) eine einfache Stufenzahl ergibt.

- Was fällt dir an den Zahlen in den Klammern auf, wenn du ausklammerst? Ergeben sie eine „schöne“ Zahl? - Kannst du eine Multiplikation durch eine einfachere ersetzen? - Vergiss nicht, auf die Vorzeichen zu achten, besonders bei negativen Zahlen.

1. Schritt a): Gemeinsamen Faktor \(27\) ausklammern: \(27 \cdot (13 + 87) = 27 \cdot 100 = 2\,700\). 2. Schritt b): Gemeinsamen Faktor \(0{,}4\) ausklammern: \(0{,}4 \cdot (35 - 15) = 0{,}4 \cdot 20 = 8\). 3. Schritt c): Gemeinsamen Faktor \(\frac{3}{8}\) ausklammern: \(\frac{3}{8} \cdot (17 - 9) = \frac{3}{8} \cdot 8 = 3\). 4. Schritt d): Gemeinsamen Faktor \(0{,}25\) ausklammern: \((-12 - 8) \cdot 0{,}25 = -20 \cdot 0{,}25 = -5\).

a) \(2\,700\) b) \(8\) c) \(3\) d) \(-5\)

- Schau dir genau an, wie die \(-4\) mit den Zahlen in der Klammer multipliziert wurde. - Achte besonders auf die Vorzeichenregeln bei der Multiplikation. - Was ergibt „Minus mal Minus“? - Kannst du die Aufgabe auch lösen, indem du zuerst den Wert in der Klammer ausrechnest?

1. Identifikation des Fehlers im Distributivgesetz: Beim Ausmultiplizieren von \((-4) \cdot (2{,}5 - 6)\) wurde das Vorzeichen der \(6\) falsch berücksichtigt. Es müsste heißen: \((-4) \cdot 2{,}5 - (-4) \cdot 6\) oder \(-4 \cdot 2{,}5 + 4 \cdot 6\). 2. Korrekte Berechnung Schritt 1: \(-4 \cdot 2{,}5 = -10\). 3. Korrekte Berechnung Schritt 2: \(-4 \cdot (-6) = +24\). 4. Endergebnis berechnen: \(-10 + 24 = 14\). 5. Alternativer Weg über die Klammer: \((-4) \cdot (-3{,}5) = 14\).

Der Fehler liegt im zweiten Schritt der Verteilung: Es müsste \(-4 \cdot 2{,}5 + 4 \cdot 6\) heißen (oder \(-10 - (-24)\)). Das richtige Ergebnis lautet \(14\).

- Wenn du eine Klammer auflöst, vor der ein Minus steht, was passiert mit den Vorzeichen in der Klammer? - Manchmal ist es einfacher, erst auszumultiplizieren, anstatt zuerst die Klammer auszurechnen. - Siehst du in Teil a) Zahlen, die sich gegenseitig aufheben könnten?

1. Aufstellen des Terms für Teil a): \((10{,}2 - 12{,}4) - (7{,}8 - 12{,}4)\). 2. Auflösen der Klammern unter Beachtung des Minuszeichens: \(10{,}2 - 12{,}4 - 7{,}8 + 12{,}4\). 3. Zusammenfassen der Terme: \(-12{,}4\) und \(+12{,}4\) heben sich auf. 4. Endergebnis für a): \(10{,}2 - 7{,}8 = 2{,}4\). 5. Aufstellen des Terms für Teil b): \((25 - 2{,}5) \cdot 4\). 6. Anwendung des Distributivgesetzes (Ausmultiplizieren): \(25 \cdot 4 - 2{,}5 \cdot 4\). 7. Berechnung der Teilprodukte: \(100 - 10\). 8. Endergebnis für b): \(90\).

a) Term: \((10{,}2 - 12{,}4) - (7{,}8 - 12{,}4)\); Ergebnis: \(2{,}4\). b) Term: \((25 - 2{,}5) \cdot 4\); Ergebnis: \(90\).

- Was besagt das Distributivgesetz? - Probiere beide Wege nacheinander aus. Welcher fühlt sich für dich einfacher an? - Schau dir die Zahlen genau an: Hat die Zahl vor der Klammer eine besondere Beziehung zu den Nennern in der Klammer?

1. Weg von Lukas (Klammer zuerst): Differenz in der Klammer bilden \( \frac{1}{4} - \frac{3}{8} = \frac{2}{8} - \frac{3}{8} = -\frac{1}{8} \). 2. Multiplikation mit \( -8 \): \( -8 \cdot \left(-\frac{1}{8}\right) = 1 \). 3. Weg von Sarah (Distributivgesetz): Einzelne Produkte berechnen \( -8 \cdot \frac{1}{4} = -2 \) und \( -8 \cdot \left(-\frac{3}{8}\right) = 3 \). 4. Ergebnisse addieren: \( -2 + 3 = 1 \). 5. Bewertung: Beide Wege führen effizient zum Ziel. Sarahs Weg ist oft vorteilhafter, da die Multiplikation mit dem Hauptnenner die Brüche direkt in ganze Zahlen umwandelt und so die Bruchrechnung in der Klammer erspart.

Beide Wege ergeben \( 1 \). Sarahs Weg über das Distributivgesetz ist hier besonders geschickt, da sich der Faktor \(-8\) mit beiden Nennern kürzen lässt.

- Was passiert mit den Vorzeichen innerhalb der Klammer, wenn ein Minuszeichen davor steht? - Gibt es Zahlen, die sich gegenseitig aufheben? - Kannst du die Reihenfolge der Rechnung so ändern, dass du weniger Kopfrechnen musst?

1. Auflösen der Klammer in a): \(17{,}4 - 5{,}9 - 17{,}4 + 0{,}9\). 2. Zusammenfassen gleicher Werte: \((17{,}4 - 17{,}4) - 5{,}9 + 0{,}9 = 0 - 5 = -5\). 3. Umwandlung des Bruchs in b): \(-\frac{2}{5} = -0{,}4\). 4. Auflösen der Klammer: \(-0{,}4 + 3{,}7 + 0{,}4 - 2{,}7\). 5. Zusammenfassen der Gegenzahlen und Differenzbildung: \((-0{,}4 + 0{,}4) + (3{,}7 - 2{,}7) = 1\).

a) \(-5\) b) \(1\)

- Gibt es einen gemeinsamen Faktor, den du ausklammern kannst? - Bei einer reinen Multiplikation darfst du die Reihenfolge der Zahlen vertauschen. Welche Kombination ist besonders leicht? - Kannst du bei der Multiplikation von Brüchen „über Kreuz“ kürzen?

1. Teilaufgabe a): Anwendung des Distributivgesetzes \(\frac{3}{5} \cdot (17 + 8)\), Berechnung der Klammer \(17 + 8 = 25\), Multiplikation \(\frac{3}{5} \cdot 25 = 15\). 2. Teilaufgabe b): Nutzung des Kommutativgesetzes \((-2{,}5) \cdot (-4) \cdot 7\), Berechnung des Produkts \(-2{,}5 \cdot -4 = 10\), Endergebnis \(10 \cdot 7 = 70\). 3. Teilaufgabe c): Kürzen innerhalb der Klammer \(\frac{5 \cdot 18}{6 \cdot 5} = \frac{1 \cdot 3}{1 \cdot 1} = 3\), Subtraktion \(12 - 3 = 9\).

a) \(15\) b) \(70\) c) \(9\)

- Gibt es Zahlenkombinationen, die im Kopf besonders leicht zu multiplizieren sind? - Erinnerst du dich an die lateinischen Namen der Rechengesetze? - Probiere beim Gegenbeispiel einfach aus, was passiert, wenn du die Klammern um die ersten beiden Zahlen oder um die letzten beiden Zahlen setzt.

a) Weg 1 (von links nach rechts): \((25 \cdot 17) \cdot 4 = 425 \cdot 4 = 1700\). Weg 2 (mit Rechenvorteil): \((25 \cdot 4) \cdot 17 = 100 \cdot 17 = 1700\). b) Das Vertauschen von Faktoren wird durch das Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz) erlaubt. Das Umsetzen von Klammern wird durch das Assoziativgesetz (Verknüpfungsgesetz) erlaubt. c) Gegenbeispiel zur Division: Linke Klammerung: \(12 : (6 : 2) = 12 : 3 = 4\). Rechte Klammerung: \((12 : 6) : 2 = 2 : 2 = 1\). Da \(4 \neq 1\), gilt das Gesetz hier nicht.

a) Das Ergebnis ist \(1700\). Ein Rechenvorteil entsteht durch \(25 \cdot 4 = 100\). b) Kommutativgesetz und Assoziativgesetz. c) \(12 : (6 : 2) = 4\), aber \((12 : 6) : 2 = 1\).

- Schau dir die Zahlen genau an: Welche Paare lassen sich besonders leicht addieren? - Gibt es Zahlen, die zusammen eine glatte Zahl wie \(10\), \(1\) oder \(0\) ergeben? - Manchmal hilft es, Brüche in Dezimalzahlen umzuwandeln oder umgekehrt, um passende Partner zu finden. - Du darfst die Reihenfolge der Zahlen in einer Summe beliebig vertauschen.

1. Gruppierung der Summanden mit gleichem Vorzeichen oder zur Bildung von Zehnerzahlen: \(((-24) + (-16)) + ((+15) + (+35))\). Berechnung der Teilsummen ergibt \(-40 + 50 = 10\). 2. Gruppierung der Summanden, die sich zu einer ganzen Zahl ergänzen: \(((+6{,}7) + (+1{,}3)) + ((-3{,}2) + (-1{,}8))\). Berechnung der Teilsummen ergibt \(8 + (-5) = 3\). 3. Umwandlung des Bruchs \(-\frac{3}{4}\) in \(-0{,}75\) und des Bruchs \(2\frac{1}{5}\) in \(2{,}2\). Gruppierung passender Dezimalzahlen: \(((-0{,}75) + (-0{,}25)) + ((+2{,}2) + (+0{,}8))\). Berechnung der Teilsummen ergibt \(-1 + 3 = 2\).

1) \(10\) 2) \(3\) 3) \(2\)

- Achte auf die Nenner der Brüche. Welche Brüche lassen sich sofort zusammenzählen? - Kannst du Dezimalzahlen finden, die zusammen eine ganze Zahl ergeben? - Wenn eine Aufgabe Brüche und Dezimalzahlen mischt, entscheide dich für die Darstellung, mit der du besser rechnen kannst.

1. Umwandlung von \(0{,}375\) in \(\frac{3}{8}\) und \(-5\frac{1}{2}\) in \(-5{,}5\). Gruppierung der Brüche mit gleichem Nenner und der Dezimalzahlen: \((\frac{3}{8} + \frac{5}{8}) + ((-5{,}5) + (+4{,}5))\). Dies ergibt \(1 + (-1) = 0\). 2. Gruppierung der Dezimalzahlen und der Brüche mit gleichem Nenner: \(((-8{,}1) + (+1{,}1)) + ((+2\frac{3}{7}) + (+5\frac{4}{7}))\). Berechnung ergibt \(-7 + 8 = 1\). 3. Gruppierung der Brüche und der Dezimalzahlen: \(((+11\frac{1}{9}) + (-2\frac{1}{9})) + ((-4{,}9) + (-5{,}1))\). Berechnung ergibt \(9 + (-10) = -1\).

1) \(0\) 2) \(1\) 3) \(-1\)

- Was passiert bei der Subtraktion einer negativen Zahl? - Wann ist ein Bruch oder ein Quotient gleich Null? - Denk daran, dass das Minuszeichen vor einer Variablen (\(-x\)) nicht automatisch bedeutet, dass das Ergebnis negativ ist. - Überprüfe deine Vermutung mit konkreten Zahlen wie \(5\), \(-5\) und \(0\).

1. Die Bedingung \(x - y > x\) ist erfüllt, wenn \(-y > 0\) gilt, was bedeutet, dass \(y\) negativ sein muss (\(y < 0\)). Beispiel: \(10 - (-5) = 15\), und \(15 > 10\). 2. Ein Quotient \(a : b\) (mit \(b \neq 0\)) ist genau dann Null, wenn der Dividend \(a\) gleich Null ist. Da gegeben ist, dass \(a \neq 0\), kann der Quotient niemals Null sein. 3. Für \(x > 0\) ist \(-x\) negativ, also \(-x < x\) (wahr). Für \(x < 0\) ist \(-x\) positiv, also \(-x > x\) (falsch). Für \(x = 0\) ist \(-x = 0\), also \(0 = 0\) (falsch, da nicht kleiner). Die Aussage gilt also nur für positive Zahlen.

a) Ja, wenn der Subtrahend \(y\) negativ ist (z. B. \(5 - (-2) = 7\)). b) Nein, ein Quotient ist nur dann Null, wenn der Dividend Null ist. c) Nein. Dies gilt nur für positive Zahlen. Bei negativen Zahlen ist die Gegenzahl größer, bei Null sind beide gleich.

- Löse zuerst die Klammern auf. Achte dabei besonders auf das Minuszeichen vor der zweiten Klammer. - Sortiere die Zahlen so, dass Brüche mit dem gleichen Nenner (oder leicht erweiterbare Nenner wie 2 und 4) beieinander stehen. - Manchmal ist es leichter, mehrere abzuziehende Beträge zuerst zu addieren.

1. Auflösen der Klammern: \(15\frac{5}{6} + 3\frac{1}{4} - 2\frac{5}{6} - 1\frac{1}{2} - 1\frac{3}{4}\) 2. Gruppieren der Brüche mit Nenner \(6\): \(15\frac{5}{6} - 2\frac{5}{6} = 13\) 3. Gruppieren der restlichen Brüche und Erweitern von \(1\frac{1}{2}\) auf Viertel: \(3\frac{1}{4} - 1\frac{2}{4} - 1\frac{3}{4}\) 4. Zusammenfassen der subtrahierten Viertel: \(3\frac{1}{4} - (1\frac{2}{4} + 1\frac{3}{4}) = 3\frac{1}{4} - 3\frac{1}{4} = 0\) 5. Gesamtergebnis: \(13 + 0 = 13\)

\(13\)

- Rechne die Beispiele einmal schrittweise nach. - Wenn du eine größere Zahl abziehst als nötig, hast du dann am Ende zu viel oder zu wenig weggenommen? - Stell dir die Zahlen auf einem Zahlenstrahl vor, um die Korrekturrichtung zu prüfen.

1. Prüfung der ersten Aussage: \(17{,}4 - 3{,}9 = 13{,}5\). Der vorgeschlagene Weg \(17{,}4 - 4 - 0{,}1\) ergibt \(13{,}3\). Die Aussage ist falsch. Da man beim Abziehen von \(4\) bereits \(0{,}1\) zu viel abgezogen hat (da \(4 > 3{,}9\)), muss man \(0{,}1\) wieder addieren. Korrekter Weg: \(17{,}4 - 4 + 0{,}1 = 13{,}5\). 2. Prüfung der zweiten Aussage: \(5{,}65 + 2{,}98 = 8{,}63\). Der vorgeschlagene Weg \(5{,}65 + 3 - 0{,}02\) ergibt \(8{,}65 - 0{,}02 = 8{,}63\). Die Aussage ist korrekt, da man durch die Addition von \(3\) genau \(0{,}02\) zu viel hinzugefügt hat und dies am Ende ausgleicht.

Aussage 1 ist falsch. Korrektur: Man muss \(0{,}1\) addieren statt subtrahieren (\(17{,}4 - 4 + 0{,}1 = 13{,}5\)). Aussage 2 ist korrekt (\(5{,}65 + 3 - 0{,}02 = 8{,}63\)).

- Gibt es Faktoren, die zusammen eine besonders einfache Zahl wie 10 oder 100 ergeben? - Kannst du eine Division durch eine große Zahl in zwei Divisionen durch kleinere Zahlen aufteilen? - Welche Vielfachen des Teilers kennst du, die nahe an der gesuchten Zahl liegen? - Überlege dir zuerst, ob das Ergebnis positiv oder negativ sein muss.

1. Berechnung von \(25 \cdot 28\): Zerlegen der \(28\) in \(4 \cdot 7\) und Ausnutzen von \(25 \cdot 4 = 100\). Rechnung: \(100 \cdot 7 = 700\). 2. Berechnung von \(126 : 18\): Schrittweise Division durch Faktoren von \(18\) (z.B. \(9\) und \(2\)). Rechnung: \(126 : 9 = 14\), dann \(14 : 2 = 7\). Alternativ: \(18 \cdot 5 = 90\) und \(126 - 90 = 36 = 2 \cdot 18\), also \(5 + 2 = 7\). 3. Berechnung von \(-15 \cdot 12\): Bestimmung des Vorzeichens (negativ) und Zerlegen der \(12\) in \(10 + 2\). Rechnung: \(-(15 \cdot 10 + 15 \cdot 2) = -(150 + 30) = -180\). 4. Berechnung von \(105 : (-7)\): Bestimmung des Vorzeichens (negativ) und Zerlegen des Dividenden in \(70 + 35\). Rechnung: \(-(70 : 7 + 35 : 7) = -(10 + 5) = -15\).

a) \(700\) b) \(7\) c) \(-180\) d) \(-15\)

- Manchmal hilft es, nur zu bestimmen, ob ein Ergebnis positiv oder negativ ist. - Stelle dir die Zahlen auf einer Zahlengeraden vor. Was liegt weiter rechts? - Überlege dir, wie sich eine Division durch eine Zahl zwischen 0 und 1 auf den Betrag auswirkt. - Gleiche Vorzeichen oder ungleiche Vorzeichen? Das hilft oft schon beim Vergleichen.

1. \( (-0{,}5)^2 \) ist positiv (gerader Exponent), \( (-0{,}5)^3 \) ist negativ (ungerader Exponent). Da jede positive Zahl größer als jede negative Zahl ist, gilt \( > \). 2. Links wird zu einer negativen Zahl etwas addiert (sie wird „größer“), rechts wird etwas abgezogen (sie wird „kleiner“). Also gilt \( > \). 3. Das Produkt aus drei negativen Faktoren ist negativ. Da jede negative Zahl kleiner als Null ist, gilt \( < \). 4. Eine Division durch \( 0{,}5 \) verdoppelt den Betrag der Zahl (hier auf \( 8 \)), eine Multiplikation mit \( 0{,}5 \) halbiert ihn (hier auf \( 2 \)). Da beide Ergebnisse negativ sind (\( -8 \) und \( -2 \)), ist die Zahl mit dem kleineren Betrag die größere. Also gilt \( < \).

a) \( > \) b) \( > \) c) \( < \) d) \( < \)

- Berechne Schritt für Schritt das Gewicht jeder Kiste. - Wie viel Platz ist noch im Aufzug, nachdem die Kisten geladen wurden? - Überlege beim letzten Schritt, ob man ein angebrochenes Paket mitzählen darf, wenn die Grenze nicht überschritten werden soll.

1. Umrechnung der Tragfähigkeit: \(0{,}8\,\text{t} = 800\,\text{kg}\). 2. Gewicht von Kiste B berechnen: \(\frac{3}{4} \cdot 210\,\text{kg} = 157{,}5\,\text{kg}\). 3. Gewicht von Kiste C berechnen: \(157{,}5\,\text{kg} + 45\,\text{kg} = 202{,}5\,\text{kg}\). 4. Gesamtgewicht der Kisten berechnen: \(210\,\text{kg} + 157{,}5\,\text{kg} + 202{,}5\,\text{kg} = 570\,\text{kg}\). 5. Restkapazität ermitteln: \(800\,\text{kg} - 570\,\text{kg} = 230\,\text{kg}\). 6. Anzahl der Pakete bestimmen: \(230\,\text{kg} : 12{,}5\,\text{kg} = 18{,}4\). 7. Da nur ganze Pakete geladen werden können, passen maximal 18 Pakete hinein.

a) Das Gesamtgewicht der Kisten beträgt \(570\,\text{kg}\). b) Es können höchstens noch 18 Pakete zugeladen werden.

- Welche Rechenregel gilt für die Rangfolge von Potenzen und Subtraktion? - Gilt das Gesetz \((a - b)^2 = a^2 - b^2\)? Überprüfe das mit einfachen Zahlen wie \(3\) und \(2\). - Berechne jeden Teil der Subtraktion einzeln, bevor du den Unterschied bildest.

1. Identifikation des Fehlers: Es wurde fälschlicherweise angenommen, dass man die Basen zuerst subtrahieren darf, bevor man quadriert (\(a^2 - b^2 \neq (a-b)^2\)). Potenzrechnung geht vor Strichrechnung. 2. Berechnung der ersten Potenz: \((-0{,}3)^2 = (-0{,}3) \cdot (-0{,}3) = 0{,}09\). 3. Berechnung der zweiten Potenz: \(0{,}1^2 = 0{,}1 \cdot 0{,}1 = 0{,}01\). 4. Subtraktion der Ergebnisse: \(0{,}09 - 0{,}01 = 0{,}08\).

Der Fehler liegt in der Reihenfolge der Operationen; Potenzen müssen vor der Subtraktion berechnet werden. Die Regel \(a^2 - b^2 = (a-b)^2\) ist mathematisch falsch. Richtig ist: \(0{,}09 - 0{,}01 = 0{,}08\).

- Wie beeinflusst der Exponent das Vorzeichen einer negativen Basis? - Welche Vorrangregeln kennst du für Klammern und Punkt-vor-Strichrechnung? - Kannst du bei der Multiplikation von Brüchen vorab kürzen?

1. \((-0{,}2)^2\) hat einen geraden Exponenten, das Ergebnis ist daher positiv. \((-0{,}2)^3\) hat einen ungeraden Exponenten, das Ergebnis ist negativ. Da jede positive Zahl größer als jede negative Zahl ist, gilt \((-0{,}2)^2 > (-0{,}2)^3\). 2. Berechnung der Klammer: \(-4{,}8 + 2{,}4 = -2{,}4\). Division durch \(-0{,}6\): \(-2{,}4 : (-0{,}6) = 4\). 3. Punktrechnung zuerst: \(\frac{-3 \cdot (-10)}{5 \cdot 9} = \frac{30}{45} = \frac{2}{3}\). Addition: \(\frac{2}{3} + (-1) = \frac{2}{3} - \frac{3}{3} = -\frac{1}{3}\).

a) \((-0{,}2)^2\) ist größer, da es positiv ist, während \((-0{,}2)^3\) negativ ist. b) \(4\) c) \(-\frac{1}{3}\)

- Berechne zuerst jeden Term einzeln für sich. - Was passiert mit dem Vorzeichen einer negativen Zahl, wenn man sie quadriert? - Kannst du den Bruch im zweiten Term als Dezimalzahl schreiben, um leichter zu rechnen? - Vergleiche am Ende deine beiden Endergebnisse.

1. Berechnung von Term \(A\): Potenzieren von \(-0{,}3\) ergibt \((-0{,}3) \cdot (-0{,}3) = 0{,}09\). Division durch \(0{,}1\) ergibt \(0{,}09 : 0{,}1 = 0{,}9\). 2. Berechnung von Term \(B\): Multiplikation von \(-2{,}5\) mit \(\frac{2}{5}\) (entspricht \(0{,}4\)) ergibt \(-2{,}5 \cdot 0{,}4 = -1{,}0\). Addition von \(1{,}9\) ergibt \(-1{,}0 + 1{,}9 = 0{,}9\). 3. Vergleich: Beide Terme ergeben \(0{,}9\).

Ja, beide Terme haben den Wert \(0{,}9\).

- Arbeite dich bei verschachtelten Klammern von innen nach außen vor. - Wie dividiert man durch einen Bruch? Denke an den Kehrwert. - Überlege bei jeder Teilaufgabe neu, ob Brüche oder Dezimalzahlen praktischer sind.

1. Berechnung von \((-1{,}2 + \frac{2}{5}) \cdot 1{,}5\): Klammerinhalt \(-1{,}2 + 0{,}4 = -0{,}8\); Multiplikation \(-0{,}8 \cdot 1{,}5 = -1{,}2\). 2. Berechnung von \(\frac{3}{8} : (-0{,}75) - 1{,}25\): Umwandlung \(\frac{3}{8} : (-\frac{3}{4}) = \frac{3}{8} \cdot (-\frac{4}{3}) = -\frac{1}{2} = -0{,}5\); Subtraktion \(-0{,}5 - 1{,}25 = -1{,}75\). 3. Berechnung von \(- [\frac{1}{3} - (0{,}5 + \frac{1}{6})]\): Innere Klammer \(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} + \frac{1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\); Ausdruck in der eckigen Klammer \(\frac{1}{3} - \frac{2}{3} = -\frac{1}{3}\); Vorzeichenwechsel ergibt \(-(-\frac{1}{3}) = \frac{1}{3}\).

a) \(-1{,}2\) oder \(-\frac{6}{5}\) b) \(-1{,}75\) oder \(-\frac{7}{4}\) c) \(\frac{1}{3}\)

- Welche Zahl ergibt mit sich selbst dreimal multipliziert \(0{,}125\)? - Überlege dir die Vorzeichenregel für das Produkt von zwei negativen und einer positiven Zahl. - Wenn du jeden Teil einer Multiplikation verdoppelst, wie oft wird das Gesamtergebnis dann mit 2 multipliziert?

1. Teil a): Gesucht ist eine Zahl \(x\) mit \(x \cdot x \cdot x = -0{,}125\). Da \(0{,}5 \cdot 0{,}5 \cdot 0{,}5 = 0{,}125\) und das Vorzeichen negativ sein muss, gilt \(a = b = c = -0{,}5\). 2. Teil b): Nicht möglich. Das Produkt zweier negativer Zahlen ist positiv. Multipliziert man dieses Ergebnis mit einer dritten positiven Zahl, ist das Endprodukt positiv. Da \(-0{,}125\) negativ ist, ist diese Konstellation unmöglich. 3. Teil c): Das ursprüngliche Produkt ist \(a \cdot b \cdot c = -0{,}125\). Werden alle Faktoren verdoppelt, lautet die Rechnung \((2a) \cdot (2b) \cdot (2c) = 8 \cdot (a \cdot b \cdot c)\). Das neue Produkt ist also \(8 \cdot (-0{,}125) = -1\).

a) \(a = b = c = -0{,}5\). b) Nein, da das Produkt dann positiv wäre. c) Das neue Produkt ist \(-1\).

- Vergleiche die Struktur der beiden Terme. Was passiert, wenn du die Klammer in Term \(A\) auflöst? - Achte bei der Berechnung von \(A\) auf die Vorzeichenregeln. - Wenn der vordere Teil des Terms einen festen Wert hat, was musst du addieren, um bei Null zu landen?

1. Begründung: Wendet man das Distributivgesetz auf Term \(A\) an, multipliziert man \(-\frac{3}{4}\) mit \(2{,}4\) und mit \(-6{,}4\). Da \(-\frac{3}{4} \cdot (-6{,}4) = +\frac{3}{4} \cdot 6{,}4\) ist, entspricht die ausmultiplizierte Form genau dem Term \(B\). 2. Berechnung von \(A\): Klammer zuerst: \(2{,}4 - 6{,}4 = -4\). Dann Multiplikation: \(-\frac{3}{4} \cdot (-4) = 3\). Addition: \(3 + 1{,}5 = 4{,}5\). 3. Bestimmung der neuen Zahl: Der vordere Teil von Term \(B\) hat den Wert \(3\) (wie in Schritt 2 berechnet). Damit der Gesamtwert \(0\) ergibt, muss die Gleichung \(3 + x = 0\) gelöst werden. Daraus folgt \(x = -3\). Die Zahl am Ende muss also \(-3\) lauten.

1. Gleichheit durch Distributivgesetz begründet. 2. Der Wert ist \(4{,}5\). 3. Die neue Zahl muss \(-3\) lauten.

- Suche nach Paaren von Zahlen, deren Produkt eine einfache Zahl (wie 1 oder 10) ergibt. - Achte auf das Vorzeichen: Welches Vorzeichen hat das Ergebnis, wenn du zwei negative Zahlen multiplizierst? - Darf man bei einer reinen Multiplikation die Reihenfolge der Zahlen beliebig vertauschen? - Wandle Dezimalzahlen in Brüche um, wenn das Kürzen dadurch einfacher wird.

1. Umordnung der Faktoren mittels Kommutativ- und Assoziativgesetz, um Paare mit einfachen Produkten zu bilden: \((\frac{5}{9} \cdot 1{,}8) \cdot ((-0{,}4) \cdot (-2{,}5))\). 2. Berechnung des ersten Produkts: \(\frac{5}{9} \cdot \frac{18}{10} = \frac{90}{90} = 1\). 3. Berechnung des zweiten Produkts: \(-0{,}4 \cdot (-2{,}5) = 1\). 4. Multiplikation der Teilergebnisse: \(1 \cdot 1 = 1\). Verwendete Gesetze: Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz) und Assoziativgesetz (Verbindungsgesetz).

1 (Kommutativgesetz und Assoziativgesetz)

- Was passiert, wenn du die Zahl vor der Klammer mit jedem Teil in der Klammer einzeln malnimmst? - Fällt dir eine Zahl auf, die in beiden Produkten vorkommt? - Manchmal ist es einfacher, erst die Klammer zu berechnen, aber hier ist das Auflösen oder Ausklammern der schnellere Weg.

1. Teilaufgabe a): Anwendung des Distributivgesetzes durch Multiplikation des Faktors mit jedem Summanden in der Klammer: \(42 \cdot \frac{1}{7} + 42 \cdot \frac{1}{6}\). Dies ergibt \(6 + 7 = 13\). 2. Teilaufgabe b): Anwendung des Distributivgesetzes in umgekehrter Richtung durch Ausklammern der \(17\): \(17 \cdot (3{,}8 + 6{,}2)\). Die Summe in der Klammer ergibt genau \(10\). Die Rechnung lautet somit \(17 \cdot 10 = 170\).

a) \(13\) b) \(170\)

- Wie kann man eine Klammer auflösen, wenn eine Zahl davor multipliziert wird? - Kannst du die Zahl vor der Klammer mit jedem Teil in der Klammer einzeln multiplizieren? - Was ergibt \(20 \cdot \frac{1}{4}\)? - Was ergibt \(20\) mal \(0{,}2\)?

1. Anwendung des Distributivgesetzes auf Term A: \(20 \cdot (\frac{1}{4} - 0{,}2) = 20 \cdot \frac{1}{4} - 20 \cdot 0{,}2\). 2. Berechnung des ersten Teilprodukts: \(20 \cdot \frac{1}{4} = \frac{20}{4} = 5\). 3. Berechnung des zweiten Teilprodukts: \(20 \cdot 0{,}2 = 20 \cdot \frac{2}{10} = \frac{40}{10} = 4\). 4. Einsetzen der Ergebnisse führt zu Term B: \(5 - 4\).

Durch Anwendung des Distributivgesetzes auf Term A erhält man \(20 \cdot \frac{1}{4} - 20 \cdot 0{,}2\). Da \(20 \cdot \frac{1}{4} = 5\) und \(20 \cdot 0{,}2 = 4\) ist, entspricht dies genau dem Term B: \(5 - 4\). Beide Terme haben den Wert \(1\).

- Was passiert mit dem Vorzeichen von \(-1\), wenn man es mehrfach mit sich selbst multipliziert? - Macht es einen Unterschied, ob der Exponent gerade oder ungerade ist? - Spielt die Reihenfolge der Faktoren bei einer Multiplikation eine Rolle für das Ergebnis?

1. Eine negative Basis mit einem ungeraden Exponenten ergibt immer ein negatives Ergebnis. Da \(3\) ungerade ist, gilt \((-1)^3 = -1\). 2. Damit ist der Wert von Term A: \(-1 \cdot 4{,}2 = -4{,}2\). 3. Auch im Term B ist der Exponent \(7\) ungerade, weshalb \((-1)^7 = -1\) gilt. 4. Der Wert von Term B ist somit: \(4{,}2 \cdot (-1) = -4{,}2\). 5. Da beide Berechnungen zum selben Ergebnis führen, haben die Terme denselben Wert.

Ja, die Terme haben denselben Wert. Da sowohl \(3\) als auch \(7\) ungerade Zahlen sind, ergibt sowohl \((-1)^3\) als auch \((-1)^7\) den Wert \(-1\). In beiden Fällen wird also \(4{,}2\) mit \(-1\) multipliziert, was jeweils \(-4{,}2\) ergibt.

- Welche Zahl kommt in beiden Teilen des Terms vor? - Kennst du ein Gesetz, mit dem man gemeinsame Faktoren „vor eine Klammer“ ziehen kann? - Ist \(\frac{3}{4}\) dasselbe wie \(0{,}75\)? - Macht es für dieses Gesetz einen Unterschied, ob in der Klammer plus oder minus gerechnet wird?

1. Identifikation des gemeinsamen Faktors: In beiden Teilen des Terms \(T\) kommt der Faktor \(\frac{3}{4}\) vor. 2. Anwendung des Distributivgesetzes (Ausklammern): \(\frac{3}{4} \cdot 1{,}2 - \frac{3}{4} \cdot 0{,}4 = \frac{3}{4} \cdot (1{,}2 - 0{,}4)\). 3. Vergleich mit der Behauptung: Da \(\frac{3}{4} = 0{,}75\) ist, entspricht der Weg des Schülers genau dem Ausklammern. Die Behauptung ist korrekt. 4. Übertragung auf Addition: Das Distributivgesetz gilt analog für die Addition: \(a \cdot b + a \cdot c = a \cdot (b + c)\). Somit wäre der Weg auch bei einem Pluszeichen korrekt.

Die Behauptung ist korrekt, da sie auf dem Distributivgesetz beruht: \(\frac{3}{4}\) (oder \(0{,}75\)) wird ausgeklammert. Die Regel gilt auch für die Addition (\(a \cdot b + a \cdot c = a \cdot (b + c)\)), daher wäre der Weg auch mit einem Pluszeichen gültig.

- Beachte die Klammern und rechne von links nach rechts. - Bestimme bei jedem Schritt zuerst das Vorzeichen des Zwischenergebnisses. - Erinnerst du dich an die Regel für die Division zweier negativer Zahlen?

1. Berechnung des Ausdrucks in der Klammer: \(-2160 : 18\). 2. Vorzeichenbestimmung für den ersten Schritt: Negativ durch Positiv ergibt Negativ. 3. Division der Beträge: \(2160 : 18 = 120\). Zwischenergebnis: \(-120\). 4. Durchführung der zweiten Division mit dem Zwischenergebnis: \(-120 : (-3)\). 5. Vorzeichenbestimmung für den zweiten Schritt: Negativ durch Negativ ergibt Positiv. 6. Division der Beträge: \(120 : 3 = 40\). 7. Das Endergebnis ist \(40\).

\(40\)

- Beim Schätzen kannst du komplizierte Brüche durch nahegelegene ganze Zahlen oder einfache Dezimalzahlen ersetzen. - Achte bei Teilaufgabe c auf die Anzahl der negativen Faktoren, um das Vorzeichen des Ergebnisses schnell zu bestimmen. - Brüche wie \(\frac{3}{8}\) oder \(\frac{1}{2}\) lassen sich oft leichter als Dezimalzahlen verrechnen, wenn der Rest des Terms auch so gegeben ist.

1. Schätzung zu a): \((-1{,}5)^3\) liegt ungefähr bei \(-3{,}4\); zusammen mit \(0{,}375 \approx 0{,}4\) ergibt sich etwa \(-3\). Exakt: \((-1{,}5)^3 + 0{,}375 = -3{,}375 + 0{,}375 = -3\). 2. Schätzung zu b): Der Klammerwert liegt bei etwa \(-1{,}5\); geteilt durch \(-0{,}5\) ergibt das etwa \(3\). Exakt: \((2{,}25 - 3{,}75) : (-0{,}5) = -1{,}5 : (-0{,}5) = 3\). 3. Schätzung zu c): Der Klammerwert liegt bei etwa \(-3{,}8\). Damit ist \(0{,}1 \cdot (-3{,}8) \cdot (-3)\) ungefähr \(1{,}1\). Exakt: \(0{,}1 \cdot (-2\frac{1}{3} - 1{,}5) \cdot (-3) = 0{,}1 \cdot (-\frac{23}{6}) \cdot (-3) = \frac{23}{20} = 1{,}15\).

a) Schätzung \(\approx -3\); Exakt: \(-3\) b) Schätzung \(\approx 3\); Exakt: \(3\) c) Schätzung \(\approx 1{,}1\); Exakt: \(1{,}15\)

- Musst du wirklich alles in Brüche oder alles in Dezimalzahlen umwandeln? Schau dir die Paare genau an. - Welche Zahlen lassen sich ohne Umrechnung direkt miteinander verrechnen? - Kannst du einen der Brüche vielleicht in eine ganze Zahl umwandeln, nachdem du ihn mit einem anderen verrechnet hast?

1. Gruppieren der Dezimalzahlen: \(2{,}7 - 1{,}7 = 1{,}0\) 2. Gruppieren der Brüche: \(\frac{2}{9} + \frac{16}{9} = \frac{18}{9}\) 3. Vereinfachen des Bruchergebnisses: \(\frac{18}{9} = 2\) 4. Addition der Zwischenergebnisse: \(1 + 2 = 3\)

\(3\)

- Überlege dir bei jeder Aufgabe kurz beide Wege im Kopf. Welcher führt zu einfacheren Zwischenschritten? - Manchmal vermeidet ein Weg das Rechnen mit komplizierten Brüchen oder großen Zahlen. - Gibt es eine „Stufenzahl“ (10, 100, ...), die durch eine der Operationen entsteht?

1. Teilaufgabe a): Distributivgesetz ist geschickt, da Multiplikationen mit 100 einfach sind. \(12 \cdot 100 + 12 \cdot 3 = 1\,200 + 36 = 1\,236\). 2. Teilaufgabe b): Distributivgesetz ist geschickt, um die Brüche direkt zu kürzen und die Suche nach dem Hauptnenner in der Klammer zu vermeiden. \(15 \cdot \frac{1}{3} + 15 \cdot \frac{4}{5} = 5 + 3 \cdot 4 = 5 + 12 = 17\). 3. Teilaufgabe c): Klammer zuerst ist geschickt, da die Subtraktion eine glatte 10 ergibt. \(6{,}4 \cdot 10 = 64\).

a) \(1\,236\) (Distributivgesetz sinnvoll) b) 17 (Distributivgesetz sinnvoll) c) 64 (Klammer zuerst sinnvoll)

- Prüfe, ob auf beiden Seiten der Gleichung die gleichen Regeln (z. B. das Distributivgesetz) korrekt angewendet wurden. - Rechne im Zweifelsfall beide Seiten getrennt aus, um sie zu vergleichen. - Achte bei b) besonders darauf, was das Minuszeichen vor der Klammer mit allen Gliedern in der Klammer macht.

1. Überprüfung a): Anwendung des Distributivgesetzes (Ausklammern von \(-0{,}2\)). Die Struktur \(a \cdot b + a \cdot c = a \cdot (b + c)\) ist korrekt erfüllt. Gleichung a) ist wahr. 2. Überprüfung b): Linke Seite berechnen: \(\frac{3}{4} - \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = 0{,}5\). Rechte Seite berechnen: \(\frac{1}{4} - \frac{1}{4} = 0\). Gleichung b) ist falsch. Korrektur durch Vorzeichenwechsel beim Auflösen der Klammer: \(\frac{3}{4} - \frac{1}{2} + \frac{1}{4}\). 3. Überprüfung c): Ausklammern von \(-3\). Linke Seite: \(-21 - (-12) = -9\). Rechte Seite: \(-3 \cdot 3 = -9\). Die Struktur \(a \cdot b - a \cdot c = a \cdot (b - c)\) ist korrekt. Gleichung c) ist wahr.

a) Wahr. b) Falsch. Korrektur: \(\frac{3}{4} - \frac{1}{2} + \frac{1}{4}\). c) Wahr.

- Bei Brüchen kann es helfen, die Zahl vor der Klammer direkt mit jedem Bruch in der Klammer zu multiplizieren. - Achte bei Teil b) genau darauf, was von was abgezogen werden soll – die Reihenfolge ist wichtig. - Kannst du \(0{,}75\) als Bruch schreiben, um die Multiplikation im Kopf zu vereinfachen?

1. Aufstellen des Terms für Teil a): \(20 \cdot (-\frac{2}{5} + \frac{1}{2})\). 2. Anwendung des Distributivgesetzes: \(20 \cdot (-\frac{2}{5}) + 20 \cdot \frac{1}{2}\). 3. Berechnung der Teilprodukte: \(-8 + 10\). 4. Endergebnis für a): \(2\). 5. Aufstellen des Terms für Teil b): \((15 + (-3)) - (12 \cdot 0{,}75)\). 6. Berechnung der ersten Klammer (Summe): \(15 - 3 = 12\). 7. Berechnung des Produkts: \(12 \cdot 0{,}75 = 9\). 8. Endergebnis für b): \(12 - 9 = 3\).

a) Term: \(20 \cdot (-\frac{2}{5} + \frac{1}{2})\); Ergebnis: \(2\). b) Term: \((15 + (-3)) - (12 \cdot 0{,}75)\); Ergebnis: \(3\).

- Manchmal hilft es, eine Klammer zuerst aufzulösen, um Zahlen zu finden, die gut zusammenpassen. Achte dabei gut auf die Vorzeichen! - Suche nach Faktoren, deren Produkt eine Stufenzahl (wie 10, 100 oder -10) ergibt. - Achte bei der Multiplikation mehrerer negativer Zahlen auf das Vorzeichen des Endergebnisses.

1. Teilaufgabe a): Auflösen der Klammer mit Vorzeichenwechsel \(15{,}3 - 4{,}8 + 2{,}7 - 5{,}2\), Gruppieren vorteilhafter Paare \((15{,}3 + 2{,}7) - (4{,}8 + 5{,}2)\), Berechnung der Teilsummen \(18 - 10 = 8\). 2. Teilaufgabe b): Vorteilhaftes Kürzen beim Produkt der Brüche \(\frac{7}{14} \cdot \frac{22}{11} = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1\), Subtraktion \(1 - 1 = 0\). 3. Teilaufgabe c): Gruppieren der Faktoren \((-8 \cdot 1{,}25) \cdot ((-3) \cdot (-2))\), Berechnung der Teilprodukte \(-10 \cdot 6\), Endergebnis \(-60\).

a) \(8\) b) \(0\) c) \(-60\)