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- Schau dir genau an, was sich von der linken zur rechten Seite des Gleichheitszeichens verändert. - Ändert sich nur die Reihenfolge der Zahlen? - Werden Klammern umgesetzt, während die Zahlen an ihrem Platz bleiben? - Wird eine Zahl „hineinmultipliziert“ oder „ausgeklammert“?

1. Analyse von Ausdruck a: Die Positionen der Summanden bleiben gleich, aber die Klammern werden anders gesetzt, um Teilsummen zu bilden. Dies ist das Assoziativgesetz (Verbindungsgesetz). 2. Analyse von Ausdruck b: Die Reihenfolge der Faktoren wird vertauscht, ohne das Ergebnis zu ändern. Dies ist das Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz). 3. Analyse von Ausdruck c: Ein Faktor wird mit einer Summe multipliziert, indem er auf jeden Summanden einzeln verteilt wird. Dies ist das Distributivgesetz (Verteilungsgesetz).

a) Assoziativgesetz b) Kommutativgesetz c) Distributivgesetz

- Gibt es zwei Zahlen in der Folge, deren Produkt eine besonders einfache Zahl (wie 10, 100 oder eine ganze Zahl) ergibt? - Darf man beim Multiplizieren die Reihenfolge der Faktoren und ihre Gruppierung verändern? - Welche Gesetze erlauben das Vertauschen und das Gruppieren der Faktoren?

1. Anwendung des Kommutativgesetzes zum Vertauschen der Faktoren und des Assoziativgesetzes zum Gruppieren: \((2{,}5 \cdot 4) \cdot 13\). 2. Berechnung des ersten Teilprodukts: \(2{,}5 \cdot 4 = 10\). 3. Multiplikation des Zwischenergebnisses mit dem verbleibenden Faktor: \(10 \cdot 13 = 130\). 4. Identifikation der Gesetze: Zum Vertauschen wurde das Kommutativgesetz, zum neuen Gruppieren das Assoziativgesetz angewendet.

Ergebnis: \(130\); angewendete Gesetze: Kommutativ- und Assoziativgesetz.

- Schau dir die Nenner der Brüche genau an. Welche passen gut zusammen? - Kannst du die Subtraktion als Addition der Gegenzahl schreiben und die Summanden dann umordnen und neu gruppieren? - Kannst du die Rechnung in zwei einfachere Teilrechnungen zerlegen?

1. Schreibe die Subtraktion ausdrücklich als Addition der Gegenzahl: \(5\frac{3}{8}+4\frac{2}{5}+\left(-2\frac{3}{8}\right)+1\frac{3}{5}\). 2. Ordne und gruppiere passende Summanden: \(\left(5\frac{3}{8}+\left(-2\frac{3}{8}\right)\right)+\left(4\frac{2}{5}+1\frac{3}{5}\right)\). 3. Erste Klammer: \(5\frac{3}{8}-2\frac{3}{8}=3\). 4. Zweite Klammer: \(4\frac{2}{5}+1\frac{3}{5}=6\). 5. Addition: \(3+6=9\).

\(9\)

- Kannst du eine der Zahlen in eine Summe oder Differenz aus glatten Zahlen (wie 10, 100 oder 1) zerlegen? - Hilft es dir, die große Zahl beim Teilen in zwei kleinere, leicht teilbare Zahlen zu zerlegen? - Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn du eine negative Zahl multiplizierst?

1. Anwendung des Distributivgesetzes durch Aufteilen in \(100 + 1\): \(15 \cdot 100 + 15 \cdot 1 = 1500 + 15 = 1515\). 2. Anwendung des Distributivgesetzes durch Aufteilen in \(10 - 1\): \(18 \cdot 10 - 18 \cdot 1 = 180 - 18 = 162\). 3. Aufteilen des Dividenden in \(300 + 15\): \(300 : 3 + 15 : 3 = 100 + 5 = 105\). 4. Anwendung des Distributivgesetzes durch Aufteilen in \(10 + 1\): \(-22 \cdot 10 + (-22) \cdot 1 = -220 - 22 = -242\).

a) \(1515\) b) \(162\) c) \(105\) d) \(-242\)

- Schau dir die Zahlen genau an: Gibt es Faktoren, die in mehreren Teilen der Aufgabe vorkommen? - Kannst du eine Subtraktion als Addition der Gegenzahl schreiben und die Summanden dann passend umordnen und gruppieren? - Manchmal hilft es, eine Zahl „auszuklammern“.

1. Anwendung des Distributivgesetzes: \(17 \cdot [(-4) + (-6)] = 17 \cdot (-10) = -170\). 2. Subtraktion als Addition der Gegenzahl schreiben und Kommutativ- sowie Assoziativgesetz anwenden: \((-45 - 55) + 128 = -100 + 128 = 28\). 3. Ausklammern des gemeinsamen Faktors \(0{,}5\): \(0{,}5 \cdot (19 - 9) = 0{,}5 \cdot 10 = 5\).

a) \(-170\) b) \(28\) c) \(5\)

- Fällt dir eine Zahl auf, die in beiden Teilen der Summe vorkommt? - Gibt es ein Gesetz, mit dem man Faktoren „ausklammern“ kann? - Schau dir die Brüche an – was passiert, wenn man sie zuerst addiert? - Musst du hier wirklich komplizierte Multiplikationen durchführen oder gibt es einen kürzeren Weg?

1. Anwendung des Distributivgesetzes (Ausklammern): \(-15{,}8 \cdot (\frac{3}{7} + \frac{4}{7})\) 2. Addition der Brüche in der Klammer: \(\frac{3}{7} + \frac{4}{7} = \frac{7}{7} = 1\) 3. Multiplikation mit dem ausgeklammerten Faktor: \(-15{,}8 \cdot 1 = -15{,}8\)

\(-15{,}8\)

- Schau dir die Zahlen genau an: Gibt es einen Faktor, der in beiden Teilen der Summe vorkommt? - Kannst du den gemeinsamen Faktor mithilfe des Distributivgesetzes ausklammern? - Überlege, was passiert, wenn du die Dezimalzahlen zuerst addierst, bevor du mit dem Bruch multiplizierst.

1. Anwendung des Distributivgesetzes durch Ausklammern: \((0{,}4 + 0{,}7) \cdot \frac{5}{11}\) 2. Berechnung der Summe in der Klammer: \(0{,}4 + 0{,}7 = 1{,}1\) 3. Umwandlung der Dezimalzahl in einen Bruch: \(1{,}1 = \frac{11}{10}\) 4. Multiplikation der Brüche: \(\frac{11}{10} \cdot \frac{5}{11}\) 5. Kürzen von \(11\) gegen \(11\) und von \(5\) gegen \(10\): \(\frac{1}{2}\) oder \(0{,}5\) 6. Vergleich: Maries Weg ist effizienter, da die Summe \(1{,}1\) perfekt zum Nenner \(11\) passt und somit das Finden eines Hauptnenners für zwei Teilprodukte (wie bei Lukas) entfällt.

a) Das Ergebnis ist \(\frac{1}{2}\) (oder \(0{,}5\)). b) Maries Weg ist schneller, da durch das Ausklammern nur eine Multiplikation statt zwei nötig ist und die Summe \(1{,}1\) sich sehr einfach mit dem Nenner \(11\) kürzen lässt.

- Berechne zuerst den Wert in der Klammer. - Achte beim Ausmultiplizieren besonders auf das Vorzeichen der Zahl vor der Klammer und der Zahlen innerhalb der Klammer. - Was passiert, wenn man eine negative Zahl mit einer negativen Zahl multipliziert?

1. Berechnung des korrekten Werts: \(-5 \cdot (1{,}2 - 4) = -5 \cdot (-2{,}8) = 14\). Sophie hat recht, da das Ergebnis positiv ist. 2. Fehleranalyse: Lukas hat beim Ausmultiplizieren das Vorzeichen nicht korrekt beachtet. Er hat zwar \(-5 \cdot 1{,}2 = -6\) gerechnet, aber dann einfach \(-5 \cdot 4 = -20\) subtrahiert (oder das Minuszeichen in der Klammer ignoriert), anstatt \(-5 \cdot (-4) = +20\) zu rechnen. Der korrekte Weg wäre: \(-5 \cdot 1{,}2 - (-5 \cdot 4) = -6 - (-20) = -6 + 20 = 14\).

1. Sophie hat recht; der korrekte Wert ist \(14\). 2. Lukas hat beim Ausmultiplizieren die Vorzeichenregel missachtet (Minus mal Minus ergibt Plus).

- Schau dir die Zahlen genau an: Welche Paare lassen sich leicht zu einer ganzen Zahl addieren? - Kannst du die Reihenfolge der Zahlen verändern, ohne das Ergebnis zu beeinflussen? - Es gibt Gesetze, die das Umstellen und Zusammenfassen von Zahlen erlauben. - Überlege, ob es sinnvoll ist, Dezimalzahlen mit Dezimalzahlen und Brüche mit Brüchen zu gruppieren.

1. Anwendung des Kommutativ- und Assoziativgesetzes zur Umordnung der Summanden: \((3{,}7 + 1{,}3) + (\frac{2}{3} + 1\frac{1}{3})\). 2. Berechnung der ersten Klammer: \(3{,}7 + 1{,}3 = 5\). 3. Berechnung der zweiten Klammer: \(\frac{2}{3} + \frac{4}{3} = \frac{6}{3} = 2\). 4. Addition der Teilergebnisse: \(5 + 2 = 7\). Verwendete Gesetze: Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz) und Assoziativgesetz (Verbindungsgesetz).

\(7\) (Kommutativgesetz und Assoziativgesetz)

- Erinnere dich an die Vorrangregeln: Was bedeutet die Klammer für die Reihenfolge? - Wie kannst du die Division durch \(4\) als Multiplikation mit dem Kehrwert \(\frac14\) schreiben? - Probiere beide Wege im Kopf aus und schaue, wo du weniger Zwischenschritte notieren musst.

1. Weg 1 (zuerst die Klammer): \(12{,}4-8{,}8=3{,}6\), anschließend \(3{,}6:4=0{,}9\). 2. Weg 2: Division durch \(4\) ist Multiplikation mit \(\frac14\): \(\frac14(12{,}4-8{,}8)=\frac14\cdot12{,}4-\frac14\cdot8{,}8=3{,}1-2{,}2=0{,}9\). Erst für diese Multiplikation mit dem Kehrwert wird das Distributivgesetz verwendet. 3. Beide Wege sind korrekt. Weg 1 benötigt eine Subtraktion und eine Division; Weg 2 benötigt zwei Multiplikationen beziehungsweise Divisionen und eine Subtraktion. Daher ist Weg 1 kürzer.

Weg 1: \(3{,}6:4=0{,}9\). Weg 2: \(\frac14\cdot12{,}4-\frac14\cdot8{,}8=3{,}1-2{,}2=0{,}9\). Weg 1 erfordert weniger Rechenaufwand. Das Distributivgesetz wird bei Weg 2 auf die Multiplikation mit \(\frac14\), nicht auf die Division als eigenständige Operation, angewendet.

- Schau dir die Nachkommastellen genau an. Welche Zahlen ergänzen sich zu einer ganzen Zahl? - Bei der Subtraktion mehrerer Zahlen kannst du diese auch zuerst addieren und dann die Gesamtsumme auf einmal abziehen. - Gibt es Zahlen, die die gleiche Nachkommastelle haben? Das könnte das Abziehen erleichtern.

1. Teilaufgabe a): Gruppieren der Zahlen, die sich zu Ganzen ergänzen: \((12{,}35 + 7{,}65) + (7{,}8 + 2{,}2)\). Die erste Klammer ergibt \(20\), die zweite Klammer ergibt \(10\). Die Summe ist \(20 + 10 = 30\). 2. Teilaufgabe b): Zuerst die Subtraktion der Zahl mit gleicher Nachkommastelle: \(24{,}7 - 4{,}7 = 20\). Danach Zusammenfassen der übrigen Abzüge: \(3{,}9 + 6{,}1 = 10\). Die Endrechnung lautet \(20 - 10 = 10\).

a) \(30\) b) \(10\)

- Wie kann man eine Klammer auflösen, wenn eine Zahl davor multipliziert wird? - Kannst du die Zahl vor der Klammer mit jedem Teil in der Klammer einzeln multiplizieren? - Was ergibt \(20 \cdot \frac{1}{4}\)? - Was ergibt \(20\) mal \(0{,}2\)?

1. Anwendung des Distributivgesetzes auf Term A: \(20 \cdot (\frac{1}{4} - 0{,}2) = 20 \cdot \frac{1}{4} - 20 \cdot 0{,}2\). 2. Berechnung des ersten Teilprodukts: \(20 \cdot \frac{1}{4} = \frac{20}{4} = 5\). 3. Berechnung des zweiten Teilprodukts: \(20 \cdot 0{,}2 = 20 \cdot \frac{2}{10} = \frac{40}{10} = 4\). 4. Einsetzen der Ergebnisse führt zu Term B: \(5 - 4\).

Durch Anwendung des Distributivgesetzes auf Term A erhält man \(20 \cdot \frac{1}{4} - 20 \cdot 0{,}2\). Da \(20 \cdot \frac{1}{4} = 5\) und \(20 \cdot 0{,}2 = 4\) ist, entspricht dies genau dem Term B: \(5 - 4\). Beide Terme haben den Wert \(1\).

- Schau dir an, wie man Klammern auflöst, wenn ein Malzeichen davor steht. - Was passiert mit den Vorzeichen in einer Klammer, wenn ein Minuszeichen vor der Klammer steht? - Gibt es Zahlen, die miteinander multipliziert ein besonders einfaches Ergebnis (wie 1) ergeben?

1. Anwendung des Distributivgesetzes auf die linke Seite von a): \(\frac{4}{9} \cdot 2{,}7 + \frac{4}{9} \cdot \frac{9}{4}\). Da das Produkt der Kehrwerte \(\frac{4}{9} \cdot \frac{9}{4} = 1\) ergibt, ist die Gleichung \(\frac{4}{9} \cdot 2{,}7 + 1 = \frac{4}{9} \cdot 2{,}7 + 1\) korrekt. 2. Untersuchung der Klammerregel für Subtraktion in b): Das Subtrahieren einer Summe \(-(a + b)\) entspricht dem Subtrahieren beider Summanden \(-a - b\). Auf der rechten Seite wird der zweite Wert jedoch addiert, weshalb die Gleichung falsch ist.

a) Richtig, da nach dem Distributivgesetz \(\frac{4}{9} \cdot \frac{9}{4} = 1\) addiert wird. b) Falsch, da beim Auflösen der Minusklammer beide Summanden subtrahiert werden müssten (\(-4{,}2 - \frac{1}{3}\)).

- Gibt es in den Teilaufgaben eine Zahl, die in beiden Produkten vorkommt? - Kannst du diese Zahl „vor die Klammer ziehen“? - Was passiert, wenn du zuerst die Summe oder Differenz in der Klammer berechnest?

1. Anwendung des Distributivgesetzes zum Ausklammern des gemeinsamen Faktors \(15\): \(15 \cdot (48 + 52) = 15 \cdot 100 = 1500\). 2. Anwendung des Distributivgesetzes zum Ausklammern von \(12{,}5\): \(12{,}5 \cdot (7 - 3) = 12{,}5 \cdot 4 = 50\). 3. Anwendung des Distributivgesetzes zum Ausklammern von \((-20)\): \((-20) \cdot (14 + 36) = (-20) \cdot 50 = -1000\).

a) \(1500\) b) \(50\) c) \(-1000\)

- Manchmal hilft es, die Reihenfolge der Zahlen beim Multiplizieren zu ändern. Welche Zahlen „passen“ gut zusammen? - Kannst du eine schwierige Zahl in eine Summe aus einfacheren Zahlen zerlegen? - Schau dir bei b) an, ob sich die Dezimalzahlen zu einer ganzen Zahl ergänzen.

1. Vertauschung der Faktoren (Kommutativgesetz) und Zusammenfassung: \((250 \cdot 4) \cdot 13 = 1000 \cdot 13 = 13\,000\). 2. Ausklammern des gemeinsamen Faktors \(19\): \((0{,}8 + 0{,}2) \cdot 19 = 1 \cdot 19 = 19\). 3. Zerlegung der Zahl \(11\) in \((10 + 1)\) und Anwendung des Distributivgesetzes: \(45 \cdot (10 + 1) = 45 \cdot 10 + 45 \cdot 1 = 450 + 45 = 495\).

a) \(13\,000\) b) \(19\) c) \(495\)

- Kannst du die Klammer auflösen, ohne vorher den Hauptnenner zu suchen? - Gibt es in der Summe einen Faktor, der in beiden Teilen vorkommt? - Manchmal hilft es, eine Zahl vor der Klammer mit jedem Teil in der Klammer einzeln zu multiplizieren.

1. Teilaufgabe a): Anwendung des Distributivgesetzes \(24 \cdot \frac{3}{8} + 24 \cdot \frac{1}{6}\). Kürzen ergibt \(3 \cdot 3 + 4 \cdot 1 = 9 + 4 = 13\). 2. Teilaufgabe b): Ausklammern des gemeinsamen Faktors \(\frac{5}{12} \cdot \left(\frac{4}{7} + \frac{3}{7}\right)\). Die Summe in der Klammer ist \(\frac{7}{7} = 1\). Das Ergebnis ist \(\frac{5}{12} \cdot 1 = \frac{5}{12}\). 3. Teilaufgabe c): Anwendung des Distributivgesetzes durch Ausklammern oder direktes Multiplizieren. Direktes Multiplizieren und Kürzen: \(3 \cdot 7 - 5 \cdot 2 = 21 - 10 = 11\).

a) \(13\) b) \(\frac{5}{12}\) c) \(11\)

- Was passiert, wenn du eine positive und eine negative Zahl kombinierst? - Überprüfe die Aussage b) einmal mit einer positiven Zahl. - Denk bei Teil c) an eine Zahl, die sehr weit links auf der Zahlengeraden liegt. - Ein Gegenbeispiel ist ein konkreter Fall mit Zahlen, bei dem die Regel nicht funktioniert.

1. Zu Teil a): Wähle \(a = 2\) und \(b = -5\). Berechne den Betrag der Summe: \(|2 + (-5)| = |-3| = 3\). Berechne die Summe der Beträge: \(|2| + |-5| = 2 + 5 = 7\). Da \(3 \neq 7\), ist die Aussage widerlegt. 2. Zu Teil b): Wähle \(a = 4\). Berechne die Summe aus der Zahl und ihrem Betrag: \(4 + |4| = 4 + 4 = 8\). Da \(8 \neq 0\), ist die Aussage falsch (sie gilt nur für negative Zahlen und Null). 3. Zu Teil c): Wähle \(a = -10\) und \(b = 2\). Es gilt \(-10 < 2\). Die Beträge sind \(|-10| = 10\) und \(|2| = 2\). Da \(10 > 2\), ist die Bedingung \(|a| < |b|\) nicht erfüllt.

a) Gegenbeispiel: \(|2+(-5)|=3\), aber \(|2|+|-5|=7\). b) Gegenbeispiel: Für \(a=4\) gilt \(4+|4|=8\neq0\). c) Gegenbeispiel: \(-10<2\), aber \(|-10|=10>|2|=2\).

- Worauf musst du achten, wenn du wissen willst, ob ein Produkt aus vielen Zahlen positiv oder negativ ist? - Spielt die Anzahl der positiven Faktoren eine Rolle für das Vorzeichen des Ergebnisses? - Kannst du in Teilaufgabe c) eine kleine Rechnung aufstellen, um herauszufinden, wie viele Faktoren negativ sind?

1. Das Vorzeichen eines Produkts hängt von der Anzahl der negativen Faktoren ab: Eine ungerade Anzahl führt zu einem negativen Produkt, eine gerade Anzahl zu einem positiven Produkt. 2. Zu a): Es gibt 7 negative Faktoren. Da 7 eine ungerade Zahl ist, ist das Produkt negativ. 3. Zu b): Es gibt 15 negative Faktoren. Da 15 eine ungerade Zahl ist, ist das Produkt negativ. 4. Zu c): Sei \(n\) die Anzahl der negativen Faktoren. Dann ist \(2n\) die Anzahl der positiven Faktoren. Es gilt \(n + 2n = 15\), also \(3n = 15\) und somit \(n = 5\). Da 5 eine ungerade Zahl ist, ist das Produkt negativ.

a) Negativ, da die Anzahl der negativen Faktoren (7) ungerade ist. b) Negativ, da die Anzahl der negativen Faktoren (15) ungerade ist. c) Negativ, da es bei insgesamt 15 Faktoren genau 5 negative Faktoren gibt (denn \(5 + 10 = 15\)) und 5 ungerade ist.

- Gibt es Zahlen, deren Nachkommastellen sich zu einem Ganzen ergänzen oder die sich leicht voneinander abziehen lassen? - Kannst du die Zahlen so umstellen, dass du erst die „einfachen“ Paare berechnest? - Achte auf die Vorzeichen der Zahlen beim Umstellen.

1. Zusammenfassen der Dezimalzahlen mit gleichen Nachkommastellen: \(12{,}4 - 2{,}4 = 10{,}0\) 2. Zusammenfassen der verbleibenden Subtrahenden: \(5{,}8 + 1{,}2 = 7{,}0\) 3. Verrechnen der Teilergebnisse: \(10 - 7 = 3\)

\(3\)

- Schau dir die Nachkommastellen der Dezimalzahlen an. Welche passen gut zusammen? - Kannst du Brüche mit dem gleichen Nenner direkt addieren? - Denk an das Kommutativgesetz: Du darfst die Zahlen mitsamt ihrem Vorzeichen vertauschen.

1. Term a: Umstellen zu \((12{,}3 - 2{,}3) + (-4{,}5 + 1{,}5)\). 2. Berechnung der Teilterme: \(10 + (-3) = 7\). 3. Term b: Umstellen zu \((\frac{3}{8} + \frac{5}{8}) + (-1{,}4 - 0{,}6)\). 4. Berechnung der Teilterme: \(\frac{8}{8} + (-2) = 1 - 2 = -1\).

a) \(7\) b) \(-1\)

- Schau dir die Endziffern oder Nachkommastellen an. Welche Zahlen „passen“ gut zusammen? - Du darfst die Reihenfolge der Summanden vertauschen, solange du das Vorzeichen jeder Zahl mitnimmst. - Kannst du Zahlen finden, die zusammen \(0\), \(10\) oder \(100\) ergeben?

1. Teilaufgabe a): Umordnen zu \((34 - 134) + 128 = -100 + 128 = 28\). 2. Teilaufgabe b): Zusammenfassen der Dezimalzahlen mit gleichen Nachkommastellen: \((12{,}5 - 2{,}5) + (-6{,}7 + 1{,}7) = 10 - 5 = 5\). 3. Teilaufgabe c): Gruppieren der Zahlen, die zusammen einen glatten Hunderter ergeben: \((-48 - 52) + (56 + 44) = -100 + 100 = 0\).

a) \(28\) b) \(5\) c) \(0\)

- Gibt es Zahlen, die zusammen eine glatte Zahl (wie 10 oder 20) ergeben? - Darfst du die Reihenfolge der Zahlen in einer Additions- oder Subtraktionskette vertauschen? Achte dabei auf die Vorzeichen. - Kannst du eine Klammer setzen, um zwei Subtraktionen zusammenzufassen?

1. Teilaufgabe a: Schreibe die Subtraktionen als Addition negativer Summanden und fasse passend zusammen: \(15{,}6 + (-7{,}8) + (-2{,}2) = 15{,}6 - (7{,}8 + 2{,}2) = 5{,}6\). 2. Teilaufgabe b: Umstellen der Summanden (Kommutativgesetz): \((-4{,}9 - 5{,}1) + 12{,}5 = -10 + 12{,}5 = 2{,}5\). 3. Teilaufgabe c: Gruppieren passender Werte: \((24{,}3 - 14{,}3) + (8{,}7 + 1{,}3) = 10 + 10 = 20\).

a) \(5{,}6\) b) \(2{,}5\) c) \(20\)

- Gibt es Paare von Zahlen, die zusammen eine „glatte“ Zahl wie \( 100 \) oder \( -300 \) ergeben? - Versuche, die Zahlen mit ihren Vorzeichen so zu verschieben, dass du sie leichter im Kopf rechnen kannst. - Kannst du alle negativen Zahlen und alle positiven Zahlen getrennt betrachten oder findest du bessere Paare?

1. Gruppieren von Werten, die glatte Hunderter ergeben: \( (-250 - 50) + (68 + 32) + (145 - 45) \). 2. Berechnung der Teilsummen: \( -300 \), \( 100 \) und \( 100 \). 3. Addition der Teilsummen zur Ermittlung des Gesamtwerts: \( -300 + 100 + 100 = -100 \).

\( -100 \)

- Was passiert, wenn du die Zahlen in der Klammer zuerst addierst? - Erinnerst du dich, wie man eine Zahl mit jedem Summanden in der Klammer einzeln multipliziert? - Sollte bei verschiedenen Rechenwegen das gleiche Ergebnis herauskommen?

1. Berechnung über die Klammer: \(8 \cdot (12{,}5 + 5) = 8 \cdot 17{,}5 = 140\). 2. Berechnung durch Ausmultiplizieren: \(8 \cdot 12{,}5 + 8 \cdot 5 = 100 + 40 = 140\). 3. Vergleich: Beide Rechenwege führen zum selben Ergebnis \(140\), was die Gültigkeit des Distributivgesetzes bestätigt.

a) \(140\) b) \(140\) Beide Ergebnisse sind identisch.

- Schau dir die Zahlen genau an: Gibt es Werte, die sich gegenseitig aufheben oder eine einfache Zahl wie 1 oder 10 ergeben? - Welche Rechenregel erlaubt es dir, die Reihenfolge der Zahlen in einer reinen Mal-Rechnung zu ändern? - Was passiert mit den Vorzeichen in der Klammer, wenn ein Minuszeichen davor steht?

1. Teilaufgabe a): Auflösen der Klammer unter Beachtung des Minuszeichens ergibt \(-15{,}8 - 4{,}2 + 15{,}8\). Durch das Kommutativgesetz wird \(-15{,}8 + 15{,}8 - 4{,}2\) berechnet. Da \(-15{,}8 + 15{,}8 = 0\) ist, bleibt als Ergebnis \(-4{,}2\). 2. Teilaufgabe b): Anwendung des Kommutativgesetzes, um die Faktoren \(25\) und \(0{,}04\) zuerst zu multiplizieren: \((25 \cdot 0{,}04) \cdot (-17)\). Da \(25 \cdot 0{,}04 = 1\) ist, ergibt sich \(1 \cdot (-17) = -17\).

a) \(-4{,}2\) b) \(-17\)

- Kannst du eine der Zahlen in eine Summe aus einer „schönen“ Zahl (wie 100) und dem Rest zerlegen? - Fällt dir bei der zweiten Aufgabe ein Faktor auf, der in beiden Teilen der Rechnung vorkommt? - Manchmal ist es einfacher, eine Zahl erst auszuklammern, bevor man rechnet.

1. Teilaufgabe a): Zerlegung der Zahl \(101\) in \((100 + 1)\). Anwendung des Distributivgesetzes: \(12 \cdot (100 + 1) = 12 \cdot 100 + 12 \cdot 1 = 1200 + 12 = 1212\). 2. Teilaufgabe b): Ausklammern des gemeinsamen Faktors \(\frac{5}{9}\): \(\frac{5}{9} \cdot (14 - 5)\). Berechnung des Klammerausdrucks ergibt \(14 - 5 = 9\). Multiplikation: \(\frac{5}{9} \cdot 9 = 5\).

a) \(1212\) b) \(5\)

- Achte bei der direkten Rechnung auf die Regel „Punkt-vor-Strich-Rechnung“. - Suche beim Ausklammern nach der Zahl, die in beiden Produkten vorkommt. - Überlege, wie du die Klammer zuerst berechnen kannst, um die Multiplikation zu vereinfachen.

1. Berechnung von a): Direkt: \(154 + 126 = 280\). Ausgeklammert: \(14 \cdot (11 + 9) = 14 \cdot 20 = 280\). 2. Berechnung von b): Direkt: \(52 - 39 = 13\). Ausgeklammert: \(6{,}5 \cdot (8 - 6) = 6{,}5 \cdot 2 = 13\). 3. Berechnung von c): Direkt: \(-6 + (-9) = -15\). Ausgeklammert: \((-1{,}5) \cdot (4 + 6) = -1{,}5 \cdot 10 = -15\).

a) \(280\) b) \(13\) c) \(-15\)

- Schau dir die Zahlen genau an: Welche Paare lassen sich besonders einfach addieren oder subtrahieren? - Gibt es Zahlen, die sich gegenseitig aufheben? - Kannst du Brüche in Dezimalzahlen umwandeln, um das Rechnen zu erleichtern? - Manchmal hilft es, eine Klammer zuerst aufzulösen, um Summanden besser kombinieren zu können.

1. Teilaufgabe a): Umordnen der Summanden nach dem Kommutativgesetz ergibt \( (14{,}7 + 5{,}3) - (3{,}9 + 6{,}1) \). Die Teilsummen ergeben \( 20 - 10 = 10 \). 2. Teilaufgabe b): Umwandeln des Bruchs \( \frac{3}{8} = 0{,}375 \). Zusammenfassen der entgegengesetzten Zahlen \( -0{,}375 + 0{,}375 = 0 \). Verbleibende Rechnung: \( 12{,}5 - 5{,}5 = 7 \). 3. Teilaufgabe c): Auflösen der Klammer ergibt \( 8{,}4 - 2{,}4 - 3{,}9 + 0{,}9 \). Schrittweises Zusammenfassen: \( (8{,}4 - 2{,}4) + (0{,}9 - 3{,}9) = 6 - 3 = 3 \).

a) \( 10 \) b) \( 7 \) c) \( 3 \)

- Beachte die Vorrangregel: Klammern werden immer zuerst berechnet. - Berechne den Wert des Terms links vom Gleichheitszeichen und den Wert des Terms rechts davon getrennt voneinander. - Überlege, ob das Ergebnis einer Rechnung gleich bleibt, wenn man die Reihenfolge der Ausführung ändert.

1. Prüfung für die Subtraktion (\(-\)): Linke Seite: \(100 - (20 - 5) = 100 - 15 = 85\) Rechte Seite: \((100 - 20) - 5 = 80 - 5 = 75\) Da \(85 \neq 75\), ist die Gleichung für die Subtraktion nicht erfüllt. 2. Prüfung für die Division (\(:\)): Linke Seite: \(100 : (20 : 5) = 100 : 4 = 25\) Rechte Seite: \((100 : 20) : 5 = 5 : 5 = 1\) Da \(25 \neq 1\), ist die Gleichung für die Division nicht erfüllt. 3. Die Eigenschaft, dass Klammern innerhalb einer Rechnung mit gleichen Rechenzeichen beliebig gesetzt werden dürfen, nennt man Assoziativgesetz (oder Verbindungsgesetz).

Für das Minuszeichen ergibt sich \(85 \neq 75\) und für das Divisionszeichen \(25 \neq 1\); die Gleichung ist für beide Zeichen nicht erfüllt. Das gesuchte Gesetz heißt Assoziativgesetz.

- Schau dir die Endziffern der Zahlen genau an. Welche zwei Zahlen ergeben zusammen eine besonders „schöne“ Zahl wie 100? - Du darfst die Reihenfolge der Zahlen verändern, solange du das Rechenzeichen vor der Zahl mitsortierst.

1. Schreibe die Subtraktion als Addition der Gegenzahl: \(47+(-19)+53\). 2. Vertausche die Summanden mit dem Kommutativgesetz: \(47+53+(-19)\). 3. Fasse mit dem Assoziativgesetz günstig zusammen: \((47+53)+(-19)=100-19=81\).

\(81\)

- Was passiert mit dem Ergebnis, wenn du die Reihenfolge der Zahlen änderst? - Achte besonders auf die Vorzeichen bei der Subtraktion. - Überlege, ob das Ergebnis in beiden Fällen genau denselben Wert und dasselbe Vorzeichen hat.

1. Berechnung der Addition: \(a + b = -4{,}5 + 1{,}5 = -3\) und \(b + a = 1{,}5 + (-4{,}5) = -3\). Das Beispiel veranschaulicht das Kommutativgesetz der Addition. 2. Berechnung der Subtraktion: \(a - b = -4{,}5 - 1{,}5 = -6\) und \(b - a = 1{,}5 - (-4{,}5) = 1{,}5 + 4{,}5 = 6\). 3. Vergleich der Subtraktionsergebnisse: Da \(-6 \neq 6\), führt das Vertauschen der Zahlen zu einem anderen Ergebnis. Die beiden Ergebnisse sind Gegenzahlen. 4. Schlussfolgerung: Das Kommutativgesetz gilt für die Addition rationaler Zahlen, jedoch nicht für die Subtraktion.

1) \(a + b = -3\) und \(b + a = -3\); 2) \(a - b = -6\) und \(b - a = 6\). Schlussfolgerung: Das Kommutativgesetz gilt für die Addition, aber nicht für die Subtraktion rationaler Zahlen.

- Schau dir die Nachkommastellen der Zahlen an. Welche Ergänzungen ergeben eine ganze Zahl? - Kannst du die positiven und negativen Zahlen getrennt betrachten, um die Rechnung zu vereinfachen? - Wie heißt die Regel, die besagt, dass man Summanden vertauschen darf?

1. Anwendung des Kommutativgesetzes zum Umstellen der Summanden: \(17{,}4 + 2{,}6 + (-5{,}9) + (-4{,}1)\). 2. Zusammenfassen der Dezimalzahlen mit passenden Nachkommastellen: \(17{,}4 + 2{,}6 = 20\). 3. Zusammenfassen der negativen Zahlen: \((-5{,}9) + (-4{,}1) = -10\). 4. Berechnung des Endergebnisses: \(20 + (-10) = 10\). 5. Benennung des Gesetzes: Kommutativgesetz (oder Vertauschungsgesetz).

Der Wert des Terms ist \(10\). Das verwendete Rechengesetz ist das Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz).

- Berechne auf der linken Seite zuerst \(a + b\) und auf der rechten Seite zuerst \(b + c\). - Rechne jeweils zuerst den Ausdruck innerhalb der Klammern aus. - Achte beim Addieren rationaler Zahlen besonders auf die Vorzeichen. - Erinnerst du dich an den Fachbegriff für das Gesetz, bei dem man Klammern bei einer Summe anders setzen darf?

1. Berechnung für die erste Belegung: Linke Seite: \((-15{,}4 + 6{,}7) + 3{,}3 = -8{,}7 + 3{,}3 = -5{,}4\) Rechte Seite: \(-15{,}4 + (6{,}7 + 3{,}3) = -15{,}4 + 10{,}0 = -5{,}4\) Ergebnis: \(-5{,}4 = -5{,}4\). Die Gleichung ist korrekt. 2. Berechnung für die zweite Belegung: Linke Seite: \((\frac{5}{9} + \frac{2}{9}) + (-\frac{2}{9}) = \frac{7}{9} - \frac{2}{9} = \frac{5}{9}\) Rechte Seite: \(\frac{5}{9} + (\frac{2}{9} + (-\frac{2}{9})) = \frac{5}{9} + 0 = \frac{5}{9}\) Ergebnis: \(\frac{5}{9} = \frac{5}{9}\). Die Gleichung ist korrekt. 3. Das veranschaulichte Gesetz ist das Assoziativgesetz (Verbindungsgesetz) der Addition.

1) \(-5{,}4 = -5{,}4\) 2) \(\frac{5}{9} = \frac{5}{9}\) Das Rechengesetz heißt Assoziativgesetz (Verbindungsgesetz).

- Berechne schrittweise erst die linke Seite, dann die rechte Seite des Gleichheitszeichens. - Denk an die Regel „Klammer zuerst“. - Vergleiche die beiden Endergebnisse. Sind sie identisch? - Was bedeutet das für die Freiheit, Klammern bei der Subtraktion einfach zu verschieben?

1. Berechnung der linken Seite: \((10 - 5) - 2 = 5 - 2 = 3\) 2. Berechnung der rechten Seite: \(10 - (5 - 2) = 10 - 3 = 7\) 3. Vergleich der Ergebnisse: Da \(3 \neq 7\), ist die Gleichung nicht korrekt. 4. Schlussfolgerung: Das Assoziativgesetz gilt nicht für die Subtraktion. Das Setzen oder Weglassen von Klammern verändert bei Minuszeichen das Ergebnis, da sich das Minus vor der Klammer auf alle Glieder innerhalb der Klammer auswirkt.

Die Gleichung ist nicht wahr, da \(3 \neq 7\). Das Assoziativgesetz gilt nicht für die Subtraktion; Klammern dürfen hier nicht beliebig gesetzt werden.

- Wie kannst du ein Pluszeichen durch zwei Minuszeichen ersetzen? - Was geschieht, wenn zwei Minuszeichen direkt hintereinander stehen (Rechenzeichen und Vorzeichen)? - Achte darauf, dass der Wert des Terms bei der Umformung immer gleich bleiben muss. - Ein Term wie \(x - (-y)\) lässt sich vereinfachen, bevor man ihn weiter umformt.

1. Umwandlung in eine reine Summe (Aufgabe a): Jedes Minuszeichen vor einer Zahl oder Variablen wird als Addition der Gegenzahl interpretiert: \(p + (-q) + (-r) + (-10)\). 2. Umwandlung in eine Kette von Subtraktionen (Aufgabe b): Da die Addition einer Zahl der Subtraktion der Gegenzahl entspricht, wird aus \(+ a\) ein \(- (-a)\) und aus \(+ b\) ein \(- (-b)\). Ergebnis: \(15 - (-a) - (-b)\). 3. Umwandlung in eine reine Summe mit Auflösung von Doppelvorzeichen (Aufgabe c): Das Subtrahieren einer negativen Zahl \(-(-y)\) entspricht der Addition der positiven Zahl \(+y\). Die Subtraktion von \(z\) wird zur Addition der Gegenzahl \((-z)\). Ergebnis: \(x + y + (-z)\).

a) \(p + (-q) + (-r) + (-10)\) b) \(15 - (-a) - (-b)\) c) \(x + y + (-z)\)

- Gibt es Zahlen, die sich gegenseitig aufheben? - Es hilft oft, zuerst alle negativen Zahlen zusammenzufassen, besonders wenn sie „gut zusammenpassen“. - Erinnerst du dich an das Gesetz, das besagt, dass man Klammern bei reinen Additionsaufgaben weglassen oder verschieben darf? - Was passiert, wenn du eine Zahl und ihre Gegenzahl addierst?

1. Erkennen von Gegenzahlen: \((-34) + 34 = 0\). Das Ergebnis ist der verbleibende Summand \(57\). 2. Zusammenfassen der beiden negativen Zahlen: \((-6{,}8) + (-3{,}2) = -10\). Berechnung der Endsumme: \(12{,}4 + (-10) = 2{,}4\). 3. Gruppierung der negativen Brüche: \(\left(-2\frac{1}{5}\right) + \left(-1\frac{4}{5}\right) = -4\). Addition der positiven ganzen Zahl: \((-4) + 8 = 4\).

1) \(57\) 2) \(2{,}4\) 3) \(4\)

- Achte besonders auf die Vorzeichenregeln bei der Multiplikation von rationalen Zahlen. - Überlege, bei welcher Kombination von Faktoren eine besonders „einfache“ Zahl (wie z. B. eine Zehnerzahl) entsteht. - Was besagt das Assoziativgesetz über die Klammersetzung bei reinen Multiplikationsaufgaben?

1. Berechnung von \((a \cdot b) \cdot c\): Zuerst wird das Produkt in der Klammer gebildet: \(-2{,}5 \cdot 4 = -10\). Anschließend erfolgt die Multiplikation mit \(c\): \(-10 \cdot (-1{,}8) = 18\). 2. Berechnung von \(a \cdot (b \cdot c)\): Zuerst wird das Produkt in der Klammer gebildet: \(4 \cdot (-1{,}8) = -7{,}2\). Anschließend erfolgt die Multiplikation mit \(a\): \(-2{,}5 \cdot (-7{,}2) = 18\). 3. Vergleich und Bewertung: Beide Ergebnisse sind mit \(18\) identisch. Der erste Rechenweg ist vorteilhafter, da die Multiplikation \(-2{,}5 \cdot 4\) die glatte Zahl \(-10\) ergibt, mit der sich leichter weiterrechnen lässt.

a) \(18\) b) \(18\) c) Beide Ergebnisse sind gleich. Der Weg \((a \cdot b) \cdot c\) ist einfacher, da \(-2{,}5 \cdot 4 = -10\) eine einfache Zwischenzahl liefert.

- Gibt es Zahlenpaare, deren Produkt eine Stufenzahl wie 10, 100 oder 1000 ergibt? - Darf man die Reihenfolge der Zahlen bei einer reinen Multiplikation ändern? - Was passiert, wenn man einen Bruch mit seinem Kehrwert multipliziert? - Achte besonders auf die Vorzeichenregeln bei der Multiplikation.

1. Anwendung des Kommutativgesetzes zur Gruppierung von \(25 \cdot 4 = 100\). Anschließende Multiplikation: \(100 \cdot (-13) = -1300\). 2. Gruppierung der Faktoren \(-125\) und \(-8\), was das Produkt \(1000\) ergibt. Multiplikation mit \(7\) führt zum Ergebnis \(7000\). 3. Multiplikation der zueinander kehrwertigen Brüche: \(\frac{4}{9} \cdot \frac{9}{4} = 1\). Das Produkt mit \(-17\) ergibt \(-17\). 4. Zusammenfassung von \(0{,}2 \cdot 5 = 1\). Das Endergebnis lautet \(1 \cdot (-47) = -47\).

1) \(-1300\) 2) \(7000\) 3) \(-17\) 4) \(-47\)

- Welcher der beiden Rechenwege im Beispiel lässt sich einfacher im Kopf ausführen? - Wie nennt man das Gesetz, bei dem man Zahlen vertauschen darf? - Kannst du im zweiten Term zwei Paare bilden, die im Kopf leicht zu rechnen sind? - Überlege zuerst, welches Vorzeichen das Endergebnis haben muss.

1. Vergleich der Rechenwege: Marie nutzt das Kommutativ- und Assoziativgesetz, um zuerst die Faktoren zu multiplizieren, die ein einfaches Zwischenergebnis (\(10\)) liefern. 2. Anwendung der Strategie auf Teil b: Gruppierung von \(8 \cdot 125 = 1000\). 3. Gruppierung der übrigen Faktoren: \((-1{,}5) \cdot (-2) = 3\). 4. Berechnung des Endprodukts: \(1000 \cdot 3 = 3000\).

a) Marie hat das Kommutativgesetz und das Assoziativgesetz angewendet. b) \(3000\)

- Achte beim ersten Weg besonders auf das Vorzeichen des Ergebnisses in der Klammer. - Erinnere dich beim zweiten Weg daran, wie man eine ganze Zahl mit einer Dezimalzahl multipliziert. - Das Distributivgesetz besagt, dass \(a \cdot (b - c) = a \cdot b - a \cdot c\) gilt.

1. Berechnung über die Klammer: Zuerst wird die Differenz in der Klammer gebildet: \(0{,}75 - 1{,}25 = -0{,}5\). Anschließend erfolgt die Multiplikation: \(12 \cdot (-0{,}5) = -6\). 2. Berechnung über das Distributivgesetz: Der Ausdruck wird zu \(12 \cdot 0{,}75 - 12 \cdot 1{,}25\) umgeformt. Die Teilprodukte ergeben \(12 \cdot 0{,}75 = 9\) und \(12 \cdot 1{,}25 = 15\). Die Differenz lautet \(9 - 15 = -6\). Beide Rechenwege führen zum selben Ergebnis \(-6\).

Beide Rechenwege ergeben \(-6\).

- Achte beim Rechnen besonders auf die Vorzeichenregeln für die Multiplikation und Division. - Rechne Schritt für Schritt von links nach rechts, außer wenn Klammern eine andere Reihenfolge vorgeben. - Überlege dir vor der Rechnung, ob das Endergebnis positiv oder negativ sein muss. - Vergleiche deine drei Endergebnisse am Schluss – was fällt dir auf?

1. Berechnung des ersten Terms: \((-96 \cdot 16) : 8 = -1536 : 8 = -192\) 2. Berechnung des zweiten Terms: \((-96 : 8) \cdot 16 = -12 \cdot 16 = -192\) 3. Berechnung des dritten Terms: \(-96 \cdot (16 : 8) = -96 \cdot 2 = -192\) 4. Vergleich der Ergebnisse: Alle drei Berechnungen liefern den Wert \(-192\).

Alle drei Terme haben denselben Wert: \(-192\).

- Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn du eine positive Zahl durch eine negative Zahl teilst? - Erinnerst du dich an eine Regel, wie man eine Zahl durch ein Produkt teilen kann, ohne die Klammer zuerst zu berechnen? - Führe die Divisionen sorgfältig nacheinander aus und achte auf die Zwischenergebnisse.

1. Erster Rechenweg (Klammer zuerst): Berechnung des Produkts \((-6) \cdot 4 = -24\). Anschließend Division \(144 : (-24) = -6\). 2. Zweiter Rechenweg (nacheinander dividieren): Erste Division \(144 : (-6) = -24\). Anschließend Division des Ergebnisses durch den zweiten Faktor: \(-24 : 4 = -6\). 3. Vergleich: Beide Rechenwege führen zum identischen Ergebnis \(-6\).

Beide Rechenwege ergeben \(-6\).

- Berechne zuerst den Wert in der Klammer auf der linken Seite. - Achte auf der rechten Seite besonders auf die Vorzeichenregeln, wenn du negative Zahlen subtrahierst. - Wie nennt man das Gesetz, bei dem man eine Zahl mit jedem Teil einer Differenz oder Summe einzeln multipliziert?

1. Berechnung der linken Seite: \((-5) \cdot (20 - 4) = (-5) \cdot 16 = -80\). 2. Berechnung der rechten Seite: \((-5) \cdot 20 - (-5) \cdot 4 = -100 - (-20) = -100 + 20 = -80\). 3. Vergleich der Ergebnisse: \(-80 = -80\), die Gleichung ist korrekt. 4. Identifikation des Gesetzes: Da der Faktor \(-5\) auf die Glieder in der Klammer verteilt wurde, handelt es sich um das Distributivgesetz.

Die Gleichung ist korrekt (beide Seiten ergeben \(-80\)). Es handelt sich um das Distributivgesetz.

- Kannst du einen der Brüche kürzen, bevor du mit der eigentlichen Rechnung beginnst? - Was passiert mit den Vorzeichen innerhalb einer Klammer, wenn ein Minuszeichen davor steht? - Gibt es Brüche, die sich gegenseitig aufheben oder zu einer ganzen Zahl ergänzen?

1. Kürzen des Bruchs \(\frac{18}{24}\) durch \(6\): \(\frac{3}{4}\) 2. Auflösen der Klammern unter Beachtung des Minuszeichens vor der zweiten Klammer: \(6\frac{4}{15} + \frac{3}{4} - 1\frac{4}{15} + \frac{1}{4}\) 3. Umstellen des Terms zur Gruppierung gleicher Nenner: \((6\frac{4}{15} - 1\frac{4}{15}) + (\frac{3}{4} + \frac{1}{4})\) 4. Berechnung der Teilterme: \(5 + 1 = 6\)

\(6\)

- Schau dir die Nachkommastellen genau an. Welche Zahlen „passen“ gut zusammen? - Kannst du Paare finden, die zusammen eine ganze Zahl ergeben? - Musst du wirklich alle vier Zahlen nacheinander addieren?

1. Identifikation von Paaren, die sich zu „glatten“ Dezimalzahlen oder Ganzen ergänzen: \(0{,}85\) und \(3{,}15\) sowie \(2{,}14\) und \(1{,}86\). 2. Berechnung des ersten Paares: \(0{,}85 + 3{,}15 = 4{,}00\). 3. Berechnung des zweiten Paares: \(2{,}14 + 1{,}86 = 4{,}00\). 4. Addition der Teilergebnisse: \(4{,}00\,\text{kg} + 4{,}00\,\text{kg} = 8{,}00\,\text{kg}\).

Das Gesamtgewicht beträgt \(8{,}00\,\text{kg}\). Ein geschickter Weg ist die Paarbildung \((0{,}85 + 3{,}15) + (2{,}14 + 1{,}86) = 4 + 4 = 8\).

- Siehst du in der ersten Aufgabe eine Zahl, die in beiden Produkten vorkommt? - Gibt es bei der Multiplikation von drei Zahlen zwei Faktoren, die zusammen ein besonders einfaches Ergebnis (wie 10 oder 100) liefern? - Wie kannst du die Zahl 99 umschreiben, um die Multiplikation zu vereinfachen?

1. Ausklammern des gemeinsamen Faktors \(16\): \(16 \cdot (12 + 8) = 16 \cdot 20 = 320\). 2. Anwendung des Kommutativ- und Assoziativgesetzes zur Zusammenfassung von \(25\) und \(4\): \((25 \cdot 4) \cdot 37 = 100 \cdot 37 = 3700\). 3. Anwendung des Distributivgesetzes durch Ersetzen von \(99\) durch \((100 - 1)\): \(45 \cdot 100 - 45 \cdot 1 = 4500 - 45 = 4455\).

a) \(320\) b) \(3700\) c) \(4455\)

- Kannst du eine Dezimalzahl wie \(2{,}5\) verdoppeln oder vervierfachen, um eine ganze Zahl zu erhalten? - Wie verändert sich das Ergebnis, wenn du mit einer Zahl multiplizierst, die knapp neben einer Hunderterzahl liegt? - Kannst du die dreistellige Zahl so aufteilen, dass beide Teile leicht durch 7 teilbar sind?

1. Zerlegung des Faktors \(12\) in \(10 + 2\): \(2{,}5 \cdot 10 + 2{,}5 \cdot 2 = 25 + 5 = 30\). Alternativ: \((2{,}5 \cdot 4) \cdot 3 = 10 \cdot 3 = 30\). 2. Zerlegung von \(-101\) in \((-100 - 1)\): \(14 \cdot (-100) + 14 \cdot (-1) = -1400 - 14 = -1414\). 3. Zerlegung des Dividenden in \(700 + 28\): \(700 : 7 + 28 : 7 = 100 + 4 = 104\).

a) \(30\) b) \(-1414\) c) \(104\)

- Schau dir die Summanden genau an. Welcher Faktor kommt in beiden Teilen vor? - Kannst du die Zahlen in der Klammer so zusammenfassen, dass eine „schöne“ Zahl entsteht? - Erinnere dich an das Gesetz: \(a \cdot b + a \cdot c = a \cdot (b + c)\).

a) Ausklammern von \(\frac{4}{7}\): \(\frac{4}{7} \cdot (-13{,}2 + (-0{,}8)) = \frac{4}{7} \cdot (-14)\). Kürzen der \(7\) gegen die \(14\) ergibt \(4 \cdot (-2) = -8\). b) Ausklammern von \(\frac{2}{3}\): \(\frac{2}{3} \cdot (-15{,}5 + 6{,}5) = \frac{2}{3} \cdot (-9)\). Kürzen der \(3\) gegen die \(9\) ergibt \(2 \cdot (-3) = -6\).

a) \(-8\) b) \(-6\)

- Überlege, ob es einfacher ist, erst die Klammer zu berechnen oder den Faktor davor mit jedem Teil in der Klammer zu multiplizieren. - Erinnere dich daran, wie man eine ganze Zahl mit einem Bruch multipliziert. - Achte auf die Rechenzeichen innerhalb der Klammer.

1. Anwendung des Distributivgesetzes durch Multiplikation des Faktors 12 mit jedem Glied der Klammer: \(12 \cdot \frac{3}{4} - 12 \cdot 0{,}5 + 12 \cdot \frac{1}{6}\). 2. Berechnung der Teilprodukte: \(12 \cdot \frac{3}{4} = 9\), \(12 \cdot 0{,}5 = 6\) und \(12 \cdot \frac{1}{6} = 2\). 3. Zusammenfassen der Ergebnisse: \(9 - 6 + 2 = 5\).

\(5\)

- Suchst du bei Brüchen nach Paaren, die miteinander multipliziert \(1\) ergeben? - Gibt es bei der Multiplikation von Dezimalzahlen Paare, die eine glatte Zahl wie \(10\) oder \(100\) ergeben? - Du darfst die Reihenfolge der Faktoren beliebig vertauschen.

1. Teilaufgabe a): Umstellen der Faktoren, sodass Kehrwerte und Vielfache beieinander stehen: \((\frac{2}{9} \cdot \frac{9}{2}) \cdot (\frac{5}{11} \cdot 22)\). Das erste Produkt ergibt \(1\). Im zweiten Produkt lässt sich die \(22\) durch \(11\) kürzen, was \(5 \cdot 2 = 10\) ergibt. Das Endergebnis ist \(1 \cdot 10 = 10\). 2. Teilaufgabe b): Umstellen der Faktoren, um eine Stufenzahl zu erhalten: \((12{,}5 \cdot 8) \cdot 0{,}7\). Da \(12{,}5 \cdot 8 = 100\) ist, vereinfacht sich die Rechnung zu \(100 \cdot 0{,}7 = 70\).

a) \(10\) b) \(70\)

- Schreibe die Anweisungen nacheinander als einen mathematischen Ausdruck auf. - Denke an die Vorrangregeln und setze Klammern, wo sie nötig sind. - Wie kannst du eine Klammer auflösen, wenn davor oder dahinter ein Malzeichen steht? - Schau dir den vereinfachten Term an: In welchem Verhältnis steht er zur gedachten Zahl?

1. Aufstellen des Terms: \((x \cdot 4 + 1{,}2) \cdot 2{,}5 - 3\). 2. Anwendung des Distributivgesetzes: \(4x \cdot 2{,}5 + 1{,}2 \cdot 2{,}5 - 3\). 3. Ausrechnen der Produkte: \(10x + 3 - 3\). 4. Zusammenfassen: Der Term vereinfacht sich zu \(10x\). 5. Erklärung: Da das Endergebnis immer genau das Zehnfache der gedachten Zahl ist, muss der Zauberer das Ergebnis nur durch \(10\) teilen (oder das Komma um eine Stelle nach links verschieben), um \(x\) zu erhalten.

Der vereinfachte Term lautet \(10x\). Der Zauberer dividiert das Ergebnis einfach durch \(10\), um die ursprüngliche Zahl zu finden.

- Darf man bei einer reinen Multiplikationsaufgabe die Reihenfolge der Zahlen verändern? - Wandle Dezimalzahlen in Brüche um, um zu sehen, ob sie sich gegenseitig aufheben. - Überlege dir, ob es einen Unterschied macht, ob man durch eine verdoppelte Zahl teilt oder erst teilt und das Ergebnis dann verdoppelt.

1. Anwendung des Kommutativ- und Assoziativgesetzes der Multiplikation in a): Umstellen zu \((0{,}8 \cdot 1{,}25) \cdot \frac{3}{7}\). Da \(0{,}8 = \frac{4}{5}\) und \(1{,}25 = \frac{5}{4}\), ist ihr Produkt \(1\). Somit gilt \(1 \cdot \frac{3}{7} = \frac{3}{7}\). Die Rechnung ist korrekt. 2. Untersuchung der Division in b): Das Dividieren durch ein Produkt \(a : (b \cdot c)\) ist gleichbedeutend mit \(a : b : c\). Auf der rechten Seite wird jedoch nach der ersten Division multipliziert, was das Ergebnis vergrößert statt verkleinert. Die Rechnung ist falsch.

a) Korrekt, da \(0{,}8 \cdot 1{,}25 = 1\) ergibt und die Multiplikation mit 1 den Wert \(\frac{3}{7}\) nicht verändert. b) Falsch, da die Division durch ein Produkt nicht dasselbe ist wie die Division durch einen Faktor gefolgt von einer Multiplikation.

- Wenn mehrere Summanden durch dieselbe Zahl geteilt werden, kannst du den gemeinsamen Faktor, hier \(\frac{1}{9}\), ausklammern. - Gilt das Distributivgesetz auch, wenn mehr als zwei Produkte addiert oder subtrahiert werden? - Berechne zuerst den Wert innerhalb der (gedachten) Klammer.

1. Da beide Quotienten den gemeinsamen Faktor \(\frac{1}{9}\) enthalten, kann man ihn ausklammern: \((720 - 180) : 9 = 540 : 9 = 60\). 2. Ausklammern des gemeinsamen Faktors \(1{,}2\) bei allen drei Summanden: \(1{,}2 \cdot (15 + 5 - 10) = 1{,}2 \cdot 10 = 12\).

a) \(60\) b) \(12\)

- Denk an Brüche, die zwischen 0 und 1 liegen. - Welche Vorzeichenregel gilt bei der Multiplikation von zwei negativen Zahlen? - Gibt es eine spezielle Zahl, durch die man niemals teilen darf? - Was ist eigentlich die Definition eines Kehrwerts?

1. Zu Teil a): Wähle die Zahl \(0{,}5\) (oder \(\frac{1}{2}\)). Der Kehrwert ist \(2\). Da \(2 > 0{,}5\), ist der Kehrwert größer als die ursprüngliche Zahl. 2. Zu Teil b): Wähle die Zahl \(-4\). Ihr Kehrwert ist \(-\frac{1}{4}\). Multiplikation: \((-4) \cdot (-\frac{1}{4}) = 1\). Das Ergebnis \(1\) ist positiv, nicht negativ. Das Produkt einer Zahl mit ihrem Kehrwert ist immer \(1\). 3. Zu Teil c): Betrachte die Zahl \(0\). Da die Division durch \(0\) mathematisch nicht definiert ist, existiert kein Kehrwert für die Null.

a) Gegenbeispiel: Der Kehrwert von \(0{,}5\) ist \(2\), also größer als die Ausgangszahl. b) Gegenbeispiel: \((-4)\cdot(-\frac14)=1\); das Ergebnis ist positiv. c) Gegenbeispiel: \(0\) besitzt keinen Kehrwert, weil Division durch \(0\) nicht definiert ist.

- Überlege dir, wie viele negative Faktoren nötig sind, damit ein Produkt positiv wird. - Wie viele Faktoren bleiben übrig, wenn du die Anzahl der positiven Faktoren von der Gesamtzahl abziehst? - Was passiert mit der Anzahl der negativen Faktoren, wenn du ein Vorzeichen änderst? Wird sie um eins größer oder kleiner?

1. Zu a): Wenn alle 12 Faktoren negativ sind, ist die Anzahl der negativen Faktoren 12. Da 12 eine gerade Zahl ist, ist das Produkt positiv. Die Aussage ist also möglich. 2. Zu b): Wenn 3 Faktoren positiv sind, müssen bei insgesamt 12 Faktoren genau \(12 - 3 = 9\) Faktoren negativ sein. Da 9 eine ungerade Zahl ist, ist das Produkt in diesem Fall negativ. 3. Zu c): Wenn man das Vorzeichen eines Faktors ändert, ändert sich die Anzahl der negativen Faktoren entweder von \(n\) auf \(n+1\) (wenn ein positiver Faktor negativ wird) oder von \(n\) auf \(n-1\) (wenn ein negativer Faktor positiv wird). In beiden Fällen ändert sich die Parität der Anzahl der negativen Faktoren (von gerade zu ungerade oder umgekehrt). Damit ändert sich das Vorzeichen des Produkts immer. Jonas hat recht.

a) Ja, das ist möglich, da 12 eine gerade Zahl ist und ein Produkt mit einer geraden Anzahl negativer Faktoren positiv ist. b) Das Ergebnis ist negativ, da bei 3 positiven Faktoren 9 Faktoren negativ sein müssen und 9 eine ungerade Zahl ist. c) Ja, Jonas hat recht. Durch das Ändern eines Vorzeichens ändert sich die Anzahl der negativen Faktoren um 1. Dadurch wechselt die Anzahl von gerade zu ungerade (oder umgekehrt), was das Vorzeichen des Produkts stets umkehrt.

- Welche Brüche haben denselben Nenner? Es ist oft einfacher, diese zuerst zu verrechnen. - Kannst du die Subtraktion von zwei Brüchen als das Abziehen ihrer Summe zusammenfassen? - Was passiert, wenn du Brüche addierst, die zusammen ein Ganzes ergeben?

1. Gruppieren der Brüche mit gleichem Nenner: \((\frac{7}{15} + \frac{8}{15})\) und \((-\frac{3}{4} - \frac{1}{4})\) 2. Berechnen der ersten Gruppe: \(\frac{7+8}{15} = \frac{15}{15} = 1\) 3. Berechnen der zweiten Gruppe: \(-\frac{3+1}{4} = -\frac{4}{4} = -1\) 4. Zusammenführen der Ergebnisse: \(1 - 1 = 0\)

\(0\)

- Was passiert, wenn du eine Zahl mit ihrer Gegenzahl (z. B. \(-2\) und \(+2\)) addierst? - Wandle Brüche in Dezimalzahlen um, wenn es dir hilft. - Was geschieht mit den Vorzeichen in einer Klammer, vor der ein Plus steht?

1. Mias Weg: \(-0{,}5 + 0{,}75 = 0{,}25\); dann \(0{,}25 - 0{,}25 = 0\); schließlich \(0 + 0{,}5 = 0{,}5\). 2. Lukas' Weg: Gruppieren von Dezimalzahlen und Brüchen, die sich ergänzen: \((-0{,}5 + 0{,}5) + (0{,}75 - 0{,}25)\). 3. Ergebnis Lukas: \(0 + 0{,}5 = 0{,}5\). 4. Vergleich mit Klammerterm: Vor der Klammer steht ein Plus. Daher kann die Plusklammer ohne Änderung der Vorzeichen weggelassen werden; der Termwert bleibt \(0{,}5\).

a) \(0{,}5\) b) Lukas gruppiert z. B. \((-0{,}5 + \frac{1}{2}) + (\frac{3}{4} - 0{,}25) = 0 + 0{,}5 = 0{,}5\). c) Nein. Vor der Klammer steht ein Plus, deshalb kann die Klammer ohne Vorzeichenänderung weggelassen werden. Der Wert bleibt \(0{,}5\).

- Suche nach Brüchen mit dem gleichen Nenner. - Manchmal ist es hilfreich, Brüche in Dezimalzahlen umzuwandeln oder umgekehrt – aber schau erst, ob das Gruppieren der Brüche schon ausreicht. - Achte besonders auf das Minuszeichen vor den Zahlen.

1. Teilaufgabe a): Gruppieren der Brüche mit gleichem Nenner: \((-\frac{3}{7} - \frac{4}{7}) + (\frac{5}{8} + \frac{3}{8}) = -\frac{7}{7} + \frac{8}{8} = -1 + 1 = 0\). 2. Teilaufgabe b): Kombination der Brüche mit gleichem Nenner: \((1\frac{2}{5} + \frac{3}{5}) + (-3\frac{1}{4} + \frac{1}{4}) = 2 + (-3) = -1\). 3. Teilaufgabe c): Umwandeln oder direktes Gruppieren von Brüchen und Dezimalzahlen: \((\frac{7}{10} + \frac{3}{10}) + (-0{,}45 - 0{,}55) = 1 - 1 = 0\).

a) \(0\) b) \(-1\) c) \(0\)

- Rechne erst einmal beide Wege ganz in Ruhe aus. - Schau dir die Zwischenergebnisse an: Bei welchem Weg sind die Zahlen „einfacher“ oder „glatter“? - Denk daran, dass „vorteilhaft“ in der Mathematik oft bedeutet, dass man weniger Fehler beim Kopfrechnen macht.

1. Berechnung Linas Weg: \(12{,}5 + 7{,}5 = 20\) und \(8{,}3 + 1{,}7 = 10\). Das Ergebnis ist \(20 - 10 = 10\). 2. Berechnung Tims Weg: \(12{,}5 - 8{,}3 = 4{,}2\) und \(7{,}5 - 1{,}7 = 5{,}8\). Das Ergebnis ist \(4{,}2 + 5{,}8 = 10\). 3. Vorteil von Linas Methode: Durch das Zusammenfassen der positiven und negativen Terme entstehen ganzzahlige Zwischenergebnisse (\(20\) und \(10\)), wodurch die abschließende Subtraktion im Kopf sehr einfach ist.

a) Beide Wege führen zum Ergebnis \(10\). b) Linas Methode ist vorteilhaft, weil sie zu ganzzahligen Zwischenergebnissen (\(20\) und \(10\)) führt, was das Rechnen vereinfacht.

- Schau dir die Nenner der Brüche an. Welche lassen sich leicht zusammenrechnen? - Was passiert, wenn du eine Zahl und ihre Gegenzahl (z. B. \(5\) und \(-5\)) im selben Term hast? - Manchmal hilft es, Brüche und Dezimalzahlen getrennt zu betrachten, bevor man alles zusammenführt.

1. Teilaufgabe a: Brüche mit gleichem Nenner zuerst addieren: \((\frac{5}{9} + \frac{4}{9}) - \frac{1}{3} = \frac{9}{9} - \frac{1}{3} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\). 2. Teilaufgabe b: Brüche und Dezimalzahlen jeweils gruppieren: \((\frac{3}{4} - \frac{7}{4}) + (-2{,}5 + 1{,}5) = -\frac{4}{4} + (-1) = -1 - 1 = -2\). 3. Teilaufgabe c: Gegenzahlen eliminieren und verbleibende Brüche verrechnen: \((-\frac{2}{7} + \frac{2}{7}) + (\frac{5}{6} - \frac{1}{6}) = 0 + \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\).

a) \(\frac{2}{3}\) b) \(-2\) c) \(\frac{2}{3}\)

- Welche Zahl ist ein gemeinsames Vielfaches von 12 und 16? - Kannst du die 48 gegen die Nenner kürzen, bevor du multiplizierst? - Welcher Weg erscheint dir weniger aufwendig?

1. Weg über die Klammer: Hauptnenner von \(12\) und \(16\) ist \(48\). Rechnung: \(\frac{7 \cdot 4}{48} - \frac{5 \cdot 3}{48} = \frac{28}{48} - \frac{15}{48} = \frac{13}{48}\). Multiplikation: \(48 \cdot \frac{13}{48} = 13\). 2. Weg durch Ausmultiplizieren: \(48 \cdot \frac{7}{12} - 48 \cdot \frac{5}{16}\). Kürzen ergibt \(4 \cdot 7 - 3 \cdot 5 = 28 - 15 = 13\). 3. Ergebnis: In beiden Fällen ist das Ergebnis \(13\).

a) \(13\) b) \(13\)

- Musst du zuerst den Inhalt der Klammer ausrechnen oder ist es einfacher, die Zahl vor der Klammer mit jedem Teil in der Klammer einzeln zu multiplizieren? - Was passiert, wenn du eine ganze Zahl mit einem Bruch multiplizierst, dessen Nenner ein Teiler dieser Zahl ist? - Kannst du Dezimalzahlen in Brüche umwandeln, um einfacher zu kürzen?

1. Anwendung des Distributivgesetzes: \(a \cdot (b \pm c) = a \cdot b \pm a \cdot c\). 2. Teilaufgabe a): \(\frac{4}{5} \cdot 10 - \frac{4}{5} \cdot 2{,}5 = 8 - 2 = 6\). 3. Teilaufgabe b): \(18 \cdot \frac{1}{2} + 18 \cdot \frac{1}{3} - 18 \cdot \frac{1}{6} = 9 + 6 - 3 = 12\). 4. Teilaufgabe c): \(\frac{7}{11} \cdot 22 - \frac{7}{11} \cdot 5{,}5 = 14 - 3{,}5 = 10{,}5\).

a) \(6\) b) \(12\) c) \(10{,}5\)

- Gehe bei a) Schritt für Schritt vor: Erst die Subtraktion in der Klammer, dann die Multiplikation mit der negativen Zahl. - Bei b) verteilst du die \(-8\) auf beide Werte in der Klammer. Achte dabei besonders auf die Vorzeichen! - Überlege dir für c), bei welcher Rechnung du weniger Zwischenschritte im Kopf behalten musstest.

1. Teilaufgabe a): Berechnung der Klammer: \(12{,}5 - 5 = 7{,}5\). Multiplikation: \((-8) \cdot 7{,}5 = -60\). 2. Teilaufgabe b): Anwendung des Distributivgesetzes: \((-8) \cdot 12{,}5 - (-8) \cdot 5\). Berechnung der Teilprodukte: \(-100 - (-40) = -100 + 40 = -60\). 3. Teilaufgabe c): Individuelle Begründung. Oft wird Weg b) als einfacher empfunden, da \((-8) \cdot 12{,}5 = -100\) eine sehr glatte Zahl ergibt, während die Multiplikation \(8 \cdot 7{,}5\) im Kopf etwas aufwendiger sein kann.

a) \(-60\) b) \(-60\) c) Individuelle Antwort, zum Beispiel: Weg b) ist einfacher, da \((-8) \cdot 12{,}5 = -100\) eine einfache Stufenzahl ergibt.

- Was fällt dir an den Zahlen in den Klammern auf, wenn du ausklammerst? Ergeben sie eine „schöne“ Zahl? - Kannst du eine Multiplikation durch eine einfachere ersetzen? - Vergiss nicht, auf die Vorzeichen zu achten, besonders bei negativen Zahlen.

1. Schritt a): Gemeinsamen Faktor \(27\) ausklammern: \(27 \cdot (13 + 87) = 27 \cdot 100 = 2700\). 2. Schritt b): Gemeinsamen Faktor \(0{,}4\) ausklammern: \(0{,}4 \cdot (35 - 15) = 0{,}4 \cdot 20 = 8\). 3. Schritt c): Gemeinsamen Faktor \(\frac{3}{8}\) ausklammern: \(\frac{3}{8} \cdot (17 - 9) = \frac{3}{8} \cdot 8 = 3\). 4. Schritt d): Gemeinsamen Faktor \(0{,}25\) ausklammern: \((-12 - 8) \cdot 0{,}25 = -20 \cdot 0{,}25 = -5\).

a) \(2700\) b) \(8\) c) \(3\) d) \(-5\)

- Schau dir genau an, wie die \(-4\) mit den Zahlen in der Klammer multipliziert wurde. - Achte besonders auf die Vorzeichenregeln bei der Multiplikation. - Was ergibt „Minus mal Minus“? - Kannst du die Aufgabe auch lösen, indem du zuerst den Wert in der Klammer ausrechnest?

1. Identifikation des Fehlers im Distributivgesetz: Beim Ausmultiplizieren von \((-4) \cdot (2{,}5 - 6)\) wurde das Vorzeichen der \(6\) falsch berücksichtigt. Es müsste heißen: \((-4) \cdot 2{,}5 - (-4) \cdot 6\) oder \(-4 \cdot 2{,}5 + 4 \cdot 6\). 2. Korrekte Berechnung Schritt 1: \(-4 \cdot 2{,}5 = -10\). 3. Korrekte Berechnung Schritt 2: \(-4 \cdot (-6) = +24\). 4. Endergebnis berechnen: \(-10 + 24 = 14\). 5. Alternativer Weg über die Klammer: \((-4) \cdot (-3{,}5) = 14\).

Der Fehler liegt im zweiten Schritt der Verteilung: Es müsste \(-4 \cdot 2{,}5 + 4 \cdot 6\) heißen (oder \(-10 - (-24)\)). Das richtige Ergebnis lautet \(14\).

- Was besagt das Distributivgesetz? - Probiere beide Wege nacheinander aus. Welcher fühlt sich für dich einfacher an? - Schau dir die Zahlen genau an: Hat die Zahl vor der Klammer eine besondere Beziehung zu den Nennern in der Klammer?

1. Weg von Lukas (Klammer zuerst): Differenz in der Klammer bilden \( \frac{1}{4} - \frac{3}{8} = \frac{2}{8} - \frac{3}{8} = -\frac{1}{8} \). 2. Multiplikation mit \( -8 \): \( -8 \cdot \left(-\frac{1}{8}\right) = 1 \). 3. Weg von Sarah (Distributivgesetz): Einzelne Produkte berechnen \( -8 \cdot \frac{1}{4} = -2 \) und \( -8 \cdot \left(-\frac{3}{8}\right) = 3 \). 4. Ergebnisse addieren: \( -2 + 3 = 1 \). 5. Bewertung: Beide Wege führen effizient zum Ziel. Sarahs Weg ist oft vorteilhafter, da die Multiplikation mit dem Hauptnenner die Brüche direkt in ganze Zahlen umwandelt und so die Bruchrechnung in der Klammer erspart.

Beide Wege ergeben \( 1 \). Sarahs Weg über das Distributivgesetz ist hier besonders geschickt, da sich der Faktor \(-8\) mit beiden Nennern kürzen lässt.

- Was passiert mit den Vorzeichen innerhalb der Klammer, wenn ein Minuszeichen davor steht? - Gibt es Zahlen, die sich gegenseitig aufheben? - Kannst du die Reihenfolge der Rechnung so ändern, dass du weniger Kopfrechnen musst?

1. Auflösen der Klammer in a): \(17{,}4 - 5{,}9 - 17{,}4 + 0{,}9\). 2. Zusammenfassen gleicher Werte: \((17{,}4 - 17{,}4) - 5{,}9 + 0{,}9 = 0 - 5 = -5\). 3. Umwandlung des Bruchs in b): \(-\frac{2}{5} = -0{,}4\). 4. Auflösen der Klammer: \(-0{,}4 + 3{,}7 + 0{,}4 - 2{,}7\). 5. Zusammenfassen der Gegenzahlen und Differenzbildung: \((-0{,}4 + 0{,}4) + (3{,}7 - 2{,}7) = 1\).

a) \(-5\) b) \(1\)

- Gibt es einen gemeinsamen Faktor, den du ausklammern kannst? - Bei einer reinen Multiplikation darfst du die Reihenfolge der Zahlen vertauschen. Welche Kombination ist besonders leicht? - Kannst du bei der Multiplikation von Brüchen „über Kreuz“ kürzen?

1. Teilaufgabe a): Anwendung des Distributivgesetzes \(\frac{3}{5} \cdot (17 + 8)\), Berechnung der Klammer \(17 + 8 = 25\), Multiplikation \(\frac{3}{5} \cdot 25 = 15\). 2. Teilaufgabe b): Nutzung des Kommutativgesetzes \((-2{,}5) \cdot (-4) \cdot 7\), Berechnung des Produkts \(-2{,}5 \cdot -4 = 10\), Endergebnis \(10 \cdot 7 = 70\). 3. Teilaufgabe c): Kürzen innerhalb der Klammer \(\frac{5 \cdot 18}{6 \cdot 5} = \frac{1 \cdot 3}{1 \cdot 1} = 3\), Subtraktion \(12 - 3 = 9\).

a) \(15\) b) \(70\) c) \(9\)

- Gibt es Zahlenkombinationen, die im Kopf besonders leicht zu multiplizieren sind? - Erinnerst du dich an die lateinischen Namen der Rechengesetze? - Probiere beim Gegenbeispiel einfach aus, was passiert, wenn du die Klammern um die ersten beiden Zahlen oder um die letzten beiden Zahlen setzt.

a) Weg 1 (von links nach rechts): \((25 \cdot 17) \cdot 4 = 425 \cdot 4 = 1700\). Weg 2 (mit Rechenvorteil): \((25 \cdot 4) \cdot 17 = 100 \cdot 17 = 1700\). b) Das Vertauschen von Faktoren wird durch das Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz) erlaubt. Das Umsetzen von Klammern wird durch das Assoziativgesetz (Verbindungsgesetz) erlaubt. c) Gegenbeispiel zur Division: Linke Klammerung: \(12 : (6 : 2) = 12 : 3 = 4\). Rechte Klammerung: \((12 : 6) : 2 = 2 : 2 = 1\). Da \(4 \neq 1\), gilt das Gesetz hier nicht.

a) Das Ergebnis ist \(1700\). Ein Rechenvorteil entsteht durch \(25 \cdot 4 = 100\). b) Kommutativgesetz und Assoziativgesetz. c) \(12 : (6 : 2) = 4\), aber \((12 : 6) : 2 = 1\).

- Schau dir die Zahlen genau an: Welche Paare lassen sich besonders leicht addieren? - Gibt es Zahlen, die zusammen eine glatte Zahl wie \(10\), \(1\) oder \(0\) ergeben? - Manchmal hilft es, Brüche in Dezimalzahlen umzuwandeln oder umgekehrt, um passende Partner zu finden. - Du darfst die Reihenfolge der Zahlen in einer Summe beliebig vertauschen.

1. Gruppierung der Summanden mit gleichem Vorzeichen oder zur Bildung von Zehnerzahlen: \(((-24) + (-16)) + ((+15) + (+35))\). Berechnung der Teilsummen ergibt \(-40 + 50 = 10\). 2. Gruppierung der Summanden, die sich zu einer ganzen Zahl ergänzen: \(((+6{,}7) + (+1{,}3)) + ((-3{,}2) + (-1{,}8))\). Berechnung der Teilsummen ergibt \(8 + (-5) = 3\). 3. Umwandlung des Bruchs \(-\frac{3}{4}\) in \(-0{,}75\) und des Bruchs \(2\frac{1}{5}\) in \(2{,}2\). Gruppierung passender Dezimalzahlen: \(((-0{,}75) + (-0{,}25)) + ((+2{,}2) + (+0{,}8))\). Berechnung der Teilsummen ergibt \(-1 + 3 = 2\).

1) \(10\) 2) \(3\) 3) \(2\)

- Achte auf die Nenner der Brüche. Welche Brüche lassen sich sofort zusammenzählen? - Kannst du Dezimalzahlen finden, die zusammen eine ganze Zahl ergeben? - Wenn eine Aufgabe Brüche und Dezimalzahlen mischt, entscheide dich für die Darstellung, mit der du besser rechnen kannst.

1. Umwandlung von \(0{,}375\) in \(\frac{3}{8}\) und \(-5\frac{1}{2}\) in \(-5{,}5\). Gruppierung der Brüche mit gleichem Nenner und der Dezimalzahlen: \((\frac{3}{8} + \frac{5}{8}) + ((-5{,}5) + (+4{,}5))\). Dies ergibt \(1 + (-1) = 0\). 2. Gruppierung der Dezimalzahlen und der Brüche mit gleichem Nenner: \(((-8{,}1) + (+1{,}1)) + ((+2\frac{3}{7}) + (+5\frac{4}{7}))\). Berechnung ergibt \(-7 + 8 = 1\). 3. Gruppierung der Brüche und der Dezimalzahlen: \(((+11\frac{1}{9}) + (-2\frac{1}{9})) + ((-4{,}9) + (-5{,}1))\). Berechnung ergibt \(9 + (-10) = -1\).

1) \(0\) 2) \(1\) 3) \(-1\)

- Kannst du den Ausdruck in Teil b) vereinfachen, indem du die Klammern weglässt? - Nutze dein Ergebnis aus der ersten Teilaufgabe, um die dritte schneller zu lösen. - Überlege, ob sich der Abstand zwischen zwei Zahlen ändert, wenn man zu beiden die gleiche Zahl addiert.

1. Berechnung von \(y - x\): Da \(y - x = -(x - y)\) gilt, ist das Ergebnis \(-7\). 2. Berechnung von \((x + 10) - (y + 10)\): Durch Auflösen der Klammern erhält man \(x + 10 - y - 10\). Die Konstanten heben sich auf, sodass \(x - y\) übrig bleibt. Der Wert ist \(7\). 3. Berechnung von \(2(y - x)\): Unter Verwendung des Ergebnisses aus Teil a) ergibt sich \(2 \cdot (-7) = -14\).

a) \(-7\) b) \(7\) c) \(-14\)

- Überlege dir zuerst, was die Zahlen im Text bedeuten (z. B. wie viele lange und kurze Leisten Luisa insgesamt für alle Rahmen braucht). - Vergleiche die beiden Rechenbäume: Welcher berechnet zuerst das Holz für einen Rahmen, und welcher berechnet das Holz direkt für alle Rahmen zusammen? - Berechne die Werte in den Rechenbäumen von oben nach unten. - Welches Rechengesetz erlaubt es, eine Zahl in eine Klammer hineinzumultiplizieren?

1. **Teilaufgabe a):** - **Weg A:** Berechnet zuerst die benötigte Holzlänge für einen einzelnen Rahmen durch Addition der Längen von 2 langen Leisten (\(2 \cdot 1{,}2\,\text{m}\)) und 2 kurzen Leisten (\(2 \cdot 0{,}85\,\text{m}\)). Diese Summe wird am Ende mit 4 multipliziert, um die Gesamtlänge für alle 4 Rahmen zu erhalten. - **Weg B:** Berechnet die Gesamtlänge aller langen und aller kurzen Leisten getrennt. Da für 4 Rahmen insgesamt \(4 \cdot 2 = 8\) lange Leisten benötigt werden, rechnet man \(8 \cdot 1{,}2\,\text{m}\). Für die kurzen Leisten rechnet man \(8 \cdot 0{,}85\,\text{m}\). Am Ende werden beide Teillängen addiert. 2. **Teilaufgabe b):** - **Weg A:** - Linker Ast oben: \(2 \cdot 1{,}2 = 2{,}4\) - Rechter Ast oben: \(2 \cdot 0{,}85 = 1{,}7\) - Summe (ein Rahmen): \(2{,}4 + 1{,}7 = 4{,}1\) - Gesamtlänge: \(4 \cdot 4{,}1 = 16{,}4\,\text{m}\) - **Weg B:** - Linker Ast: \(8 \cdot 1{,}2 = 9{,}6\) - Rechter Ast: \(8 \cdot 0{,}85 = 6{,}8\) - Gesamtlänge: \(9{,}6 + 6{,}8 = 16{,}4\,\text{m}\) Die Gesamtlänge beträgt in beiden Fällen \(16{,}4\,\text{m}\). 3. **Teilaufgabe c):** Das zugrundeliegende Gesetz ist das **Distributivgesetz** (Verteilungsgesetz). Die beiden Terme lauten: - Weg A: \(4 \cdot (2 \cdot 1{,}2 + 2 \cdot 0{,}85)\) - Weg B: \(8 \cdot 1{,}2 + 8 \cdot 0{,}85\) (bzw. \((4 \cdot 2) \cdot 1{,}2 + (4 \cdot 2) \cdot 0{,}85\))

a) Weg A berechnet zuerst das Holz für einen Rahmen und multipliziert dann mit 4. Weg B berechnet die Gesamtlängen aller langen und kurzen Leisten separat und addiert sie am Ende. b) Die Gesamtlänge beträgt \(16{,}4\,\text{m}\). c) Das Gesetz heißt **Distributivgesetz** (Verteilungsgesetz). Die Terme lauten \(4 \cdot (2 \cdot 1{,}2 + 2 \cdot 0{,}85)\) und \(8 \cdot 1{,}2 + 8 \cdot 0{,}85\).

- Löse zuerst die Klammern auf. Achte dabei besonders auf das Minuszeichen vor der zweiten Klammer. - Sortiere die Zahlen so, dass Brüche mit dem gleichen Nenner (oder leicht erweiterbare Nenner wie 2 und 4) beieinander stehen. - Manchmal ist es leichter, mehrere abzuziehende Beträge zuerst zu addieren.

1. Auflösen der Klammern: \(15\frac{5}{6} + 3\frac{1}{4} - 2\frac{5}{6} - 1\frac{1}{2} - 1\frac{3}{4}\) 2. Gruppieren der Brüche mit Nenner \(6\): \(15\frac{5}{6} - 2\frac{5}{6} = 13\) 3. Gruppieren der restlichen Brüche und Erweitern von \(1\frac{1}{2}\) auf Viertel: \(3\frac{1}{4} - 1\frac{2}{4} - 1\frac{3}{4}\) 4. Zusammenfassen der subtrahierten Viertel: \(3\frac{1}{4} - (1\frac{2}{4} + 1\frac{3}{4}) = 3\frac{1}{4} - 3\frac{1}{4} = 0\) 5. Gesamtergebnis: \(13 + 0 = 13\)

\(13\)

- Was bedeutet das Distributivgesetz für diesen Term? - Wie verhält sich die Zahl außerhalb der Klammer zu den Nennern innerhalb der Klammer? - Probiere beide Wege aus und stoppe die Zeit oder zähle die Rechenschritte.

1. Weg 1 (Klammer zuerst): Umwandlung \(0{,}75 = \frac{3}{4}\). Hauptnenner von \(\frac{2}{3}\) und \(\frac{3}{4}\) ist \(12\). 2. Rechnung in der Klammer: \(\frac{8}{12} + \frac{9}{12} = \frac{17}{12}\). 3. Multiplikation: \(\frac{17}{12} \cdot 12 = 17\). 4. Weg 2 (Distributivgesetz): \((\frac{2}{3} \cdot 12) + (0{,}75 \cdot 12)\). 5. Einzelrechnungen: \(\frac{2}{3} \cdot 12 = 2 \cdot 4 = 8\) und \(0{,}75 \cdot 12 = \frac{3}{4} \cdot 12 = 3 \cdot 3 = 9\). 6. Summe: \(8 + 9 = 17\). 7. Bewertung: Weg 2 ist einfacher, da durch das Distributivgesetz die Nenner direkt mit der \(12\) gekürzt werden und kein Hauptnenner für die Addition gesucht werden muss.

Das Ergebnis ist \(17\). Das Distributivgesetz (Weg 2) ist hier geschickter, da die Multiplikation mit \(12\) die Brüche sofort in ganze Zahlen umwandelt und die Suche nach einem Hauptnenner entfällt.

- Erinnere dich an das Distributivgesetz. Wie multipliziert man eine Summe mit einer Zahl? - Probier es einfach mit kleinen Zahlen aus, bei denen du das Ergebnis leicht im Kopf prüfen kannst. - Was passiert, wenn du eine Zahl wie \(1 \frac{1}{2}\) als \((1 + \frac{1}{2})\) schreibst?

1. Fall 1 (Natürliche Zahl): Die Aussage ist wahr. Dies entspricht dem Distributivgesetz: \(4 \cdot (2 + \frac{1}{3}) = 4 \cdot 2 + 4 \cdot \frac{1}{3} = 8 + \frac{4}{3} = 9 \frac{1}{3}\). Eine Gegenprobe mit unechten Brüchen (\(\frac{7}{3} \cdot 4 = \frac{28}{3} = 9 \frac{1}{3}\)) bestätigt dies. 2. Fall 2 (Zwei gemischte Zahlen): Die Aussage ist falsch. Beim „getrennten“ Multiplizieren fehlen die Kreuzprodukte. 3. Beispiel für Fall 2: \(2 \frac{1}{3} \cdot 1 \frac{1}{2}\). Getrennt gerechnet: \(2 \cdot 1 = 2\) und \(\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{6}\), also \(2 \frac{1}{6}\). 4. Korrekte Rechnung für Fall 2: \(\frac{7}{3} \cdot \frac{3}{2} = \frac{21}{6} = 3 \frac{3}{6} = 3 \frac{1}{2}\). 5. Vergleich: Da \(2 \frac{1}{6} \neq 3 \frac{1}{2}\), ist das Verfahren für zwei gemischte Zahlen nicht zulässig.

Die Aussage ist nur für die Multiplikation mit einer natürlichen Zahl richtig. Bei der Multiplikation von zwei gemischten Zahlen ist sie falsch, da dabei wichtige Teilprodukte (Ganzes mal Bruch) ausgelassen werden. Ein Beispiel zeigt: \(2 \frac{1}{3} \cdot 1 \frac{1}{2}\) ist tatsächlich \(3 \frac{1}{2}\) und nicht \(2 \frac{1}{6}\).

- Gibt es Faktoren, die zusammen eine besonders einfache Zahl wie 10 oder 100 ergeben? - Kannst du eine Division durch eine große Zahl in zwei Divisionen durch kleinere Zahlen aufteilen? - Welche Vielfachen des Teilers kennst du, die nahe an der gesuchten Zahl liegen? - Überlege dir zuerst, ob das Ergebnis positiv oder negativ sein muss.

1. Berechnung von \(25 \cdot 28\): Zerlegen der \(28\) in \(4 \cdot 7\) und Ausnutzen von \(25 \cdot 4 = 100\). Rechnung: \(100 \cdot 7 = 700\). 2. Berechnung von \(126 : 18\): Schrittweise Division durch Faktoren von \(18\) (z.B. \(9\) und \(2\)). Rechnung: \(126 : 9 = 14\), dann \(14 : 2 = 7\). Alternativ: \(18 \cdot 5 = 90\) und \(126 - 90 = 36 = 2 \cdot 18\), also \(5 + 2 = 7\). 3. Berechnung von \(-15 \cdot 12\): Bestimmung des Vorzeichens (negativ) und Zerlegen der \(12\) in \(10 + 2\). Rechnung: \(-(15 \cdot 10 + 15 \cdot 2) = -(150 + 30) = -180\). 4. Berechnung von \(105 : (-7)\): Bestimmung des Vorzeichens (negativ) und Zerlegen des Dividenden in \(70 + 35\). Rechnung: \(-(70 : 7 + 35 : 7) = -(10 + 5) = -15\).

a) \(700\) b) \(7\) c) \(-180\) d) \(-15\)

- Berechne für Term A zuerst den Inhalt der Klammer. - In Term B rechnest du zuerst die beiden Produkte aus. - Fällt dir eine Regel ein, die beschreibt, wie man eine Zahl mit einer Differenz in einer Klammer multipliziert?

1. Berechnung von Term A: Klammerinhalt \(\frac{3}{12} - \frac{4}{12} = -\frac{1}{12}\). Multiplikation: \(12 \cdot (-\frac{1}{12}) = -1\). 2. Berechnung von Term B: Erste Multiplikation \(12 \cdot \frac{1}{4} = 3\). Zweite Multiplikation \(12 \cdot \frac{1}{3} = 4\). Subtraktion: \(3 - 4 = -1\). 3. Vergleich: Beide Ergebnisse sind gleich (\(-1\)). 4. Identifikation des Gesetzes: Das Distributivgesetz (Verteilungsgesetz).

a) Term A = \(-1\); Term B = \(-1\) b) Die Ergebnisse sind gleich. Dies veranschaulicht das Distributivgesetz.

- Vergleiche die Struktur der beiden Terme. Was passiert, wenn du die Klammer in Term \(A\) auflöst? - Achte bei der Berechnung von \(A\) auf die Vorzeichenregeln. - Wenn der vordere Teil des Terms einen festen Wert hat, was musst du addieren, um bei Null zu landen?

1. Begründung: Wendet man das Distributivgesetz auf Term \(A\) an, multipliziert man \(-\frac{3}{4}\) mit \(2{,}4\) und mit \(-6{,}4\). Da \(-\frac{3}{4} \cdot (-6{,}4) = +\frac{3}{4} \cdot 6{,}4\) ist, entspricht die ausmultiplizierte Form genau dem Term \(B\). 2. Berechnung von \(A\): Klammer zuerst: \(2{,}4 - 6{,}4 = -4\). Dann Multiplikation: \(-\frac{3}{4} \cdot (-4) = 3\). Addition: \(3 + 1{,}5 = 4{,}5\). 3. Bestimmung der neuen Zahl: Der vordere Teil von Term \(B\) hat den Wert \(3\) (wie in Schritt 2 berechnet). Damit der Gesamtwert \(0\) ergibt, muss die Gleichung \(3 + x = 0\) gelöst werden. Daraus folgt \(x = -3\). Die Zahl am Ende muss also \(-3\) lauten.

1. Gleichheit durch Distributivgesetz begründet. 2. Der Wert ist \(4{,}5\). 3. Die neue Zahl muss \(-3\) lauten.

- Suche nach Paaren von Zahlen, deren Produkt eine einfache Zahl (wie 1 oder 10) ergibt. - Achte auf das Vorzeichen: Welches Vorzeichen hat das Ergebnis, wenn du zwei negative Zahlen multiplizierst? - Darf man bei einer reinen Multiplikation die Reihenfolge der Zahlen beliebig vertauschen? - Wandle Dezimalzahlen in Brüche um, wenn das Kürzen dadurch einfacher wird.

1. Umordnung der Faktoren mittels Kommutativ- und Assoziativgesetz, um Paare mit einfachen Produkten zu bilden: \((\frac{5}{9} \cdot 1{,}8) \cdot ((-0{,}4) \cdot (-2{,}5))\). 2. Berechnung des ersten Produkts: \(\frac{5}{9} \cdot \frac{18}{10} = \frac{90}{90} = 1\). 3. Berechnung des zweiten Produkts: \(-0{,}4 \cdot (-2{,}5) = 1\). 4. Multiplikation der Teilergebnisse: \(1 \cdot 1 = 1\). Verwendete Gesetze: Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz) und Assoziativgesetz (Verbindungsgesetz).

\(1\) (Kommutativgesetz und Assoziativgesetz)

- Was passiert, wenn du die Zahl vor der Klammer mit jedem Teil in der Klammer einzeln malnimmst? - Fällt dir eine Zahl auf, die in beiden Produkten vorkommt? - Manchmal ist es einfacher, erst die Klammer zu berechnen, aber hier ist das Auflösen oder Ausklammern der schnellere Weg.

1. Teilaufgabe a): Anwendung des Distributivgesetzes durch Multiplikation des Faktors mit jedem Summanden in der Klammer: \(42 \cdot \frac{1}{7} + 42 \cdot \frac{1}{6}\). Dies ergibt \(6 + 7 = 13\). 2. Teilaufgabe b): Anwendung des Distributivgesetzes in umgekehrter Richtung durch Ausklammern der \(17\): \(17 \cdot (3{,}8 + 6{,}2)\). Die Summe in der Klammer ergibt genau \(10\). Die Rechnung lautet somit \(17 \cdot 10 = 170\).

a) \(13\) b) \(170\)

- Setze für den ersten Teil einfach die Zahl für den Platzhalter ein und rechne wie gewohnt. - Nutze das Distributivgesetz, um die Klammer im Term zu beseitigen. - Stelle dir vor, du hast eine Gleichung: „Ergebnis = vereinfachter Term“. Wie würdest du nach \(x\) auflösen?

1. Einsetzen für a): \(5 \cdot (2 \cdot 4{,}3 + 1{,}4) - 2 = 5 \cdot (8{,}6 + 1{,}4) - 2 = 5 \cdot 10 - 2 = 48\). 2. Vereinfachen für b): \(5(2x + 1{,}4) - 2 = 10x + 7 - 2 = 10x + 5\). 3. Prüfung für c): Sei das Ergebnis \(R = 10x + 5\). Um \(x\) zu isolieren, rechnet man \(R - 5 = 10x\) und anschließend \((R - 5) : 10 = x\). 4. Vergleich: Die Regel besagt genau dies (erst \(5\) subtrahieren, dann durch \(10\) teilen). Die Behauptung ist also korrekt.

a) Der Wert ist \(48\). b) Der vereinfachte Term ist \(10x + 5\). c) Die Regel ist korrekt, da die Auflösung der Gleichung \(R = 10x + 5\) nach \(x\) genau diese Schritte ergibt: \(x = (R - 5) : 10\).

- Welche Zahl kommt in beiden Teilen des Terms vor? - Kennst du ein Gesetz, mit dem man gemeinsame Faktoren „vor eine Klammer“ ziehen kann? - Ist \(\frac{3}{4}\) dasselbe wie \(0{,}75\)? - Macht es für dieses Gesetz einen Unterschied, ob in der Klammer plus oder minus gerechnet wird?

1. Identifikation des gemeinsamen Faktors: In beiden Teilen des Terms \(T\) kommt der Faktor \(\frac{3}{4}\) vor. 2. Anwendung des Distributivgesetzes (Ausklammern): \(\frac{3}{4} \cdot 1{,}2 - \frac{3}{4} \cdot 0{,}4 = \frac{3}{4} \cdot (1{,}2 - 0{,}4)\). 3. Vergleich mit der Behauptung: Da \(\frac{3}{4} = 0{,}75\) ist, entspricht der Weg des Schülers genau dem Ausklammern. Die Behauptung ist korrekt. 4. Übertragung auf Addition: Das Distributivgesetz gilt analog für die Addition: \(a \cdot b + a \cdot c = a \cdot (b + c)\). Somit wäre der Weg auch bei einem Pluszeichen korrekt.

Die Behauptung ist korrekt, da sie auf dem Distributivgesetz beruht: \(\frac{3}{4}\) (oder \(0{,}75\)) wird ausgeklammert. Die Regel gilt auch für die Addition (\(a \cdot b + a \cdot c = a \cdot (b + c)\)), daher wäre der Weg auch mit einem Pluszeichen gültig.

- Erinnerst du dich an die Regel für die Division durch einen Bruch? - Kannst du Brüche vereinfachen oder kürzen, um sie besser vergleichen zu können? - Was passiert mit einer Zahl, wenn man sie mit etwas multipliziert, das kleiner als 1 ist? Was passiert bei der Division? - Musst du wirklich alles ausrechnen, um zu sehen, welche Ausdrücke denselben Wert haben?

1. Vergleich von A und B: Division durch einen Bruch ist gleichwertig mit der Multiplikation mit dem Kehrwert. Der Kehrwert von \(\frac{5}{2}\) ist \(\frac{2}{5}\). Daher ist \(30 : \frac{5}{2} = 30 \cdot \frac{2}{5}\). A und B sind gleich. 2. Vergleich von A und C: Der Bruch \(\frac{4}{10}\) lässt sich mit \(2\) kürzen zu \(\frac{2}{5}\). Daher ist \(30 \cdot \frac{4}{10} = 30 \cdot \frac{2}{5}\). A und C sind gleich. 3. Schlussfolgerung für a): Die Ausdrücke A, B und C haben alle das gleiche Ergebnis. 4. Vergleich für b): In Ausdruck A wird \(30\) mit einem echten Bruch (\(\frac{2}{5} < 1\)) multipliziert, das Ergebnis ist kleiner als \(30\) (konkret \(12\)). In Ausdruck D wird \(30\) durch einen echten Bruch dividiert, was einer Multiplikation mit dem Kehrwert \(\frac{5}{2} = 2{,}5\) entspricht. Da \(2{,}5 > 1\), ist das Ergebnis von D deutlich größer als \(30\) (konkret \(75\)). Somit ist D größer als A.

a) A, B und C sind gleich, da die Division durch \(\frac{5}{2}\) dasselbe ist wie die Multiplikation mit \(\frac{2}{5}\) und \(\frac{4}{10}\) gekürzt ebenfalls \(\frac{2}{5}\) ergibt. b) Das Ergebnis von D ist größer als das von A. Bei A wird die Zahl durch die Multiplikation mit einem Bruch kleiner als 1 verkleinert, während sie bei D durch die Division vergrößert wird.

- Reicht es aus, wenn nur ein Teil der Multiplikation Null ist? - Probier die Multiplikation mit \(-1\) mal mit einer negativen Zahl aus. - Was passiert bei Quadraten von Zahlen, die zwischen 0 und 1 liegen? - Untersuche auch die Zahlen 0 und 1 für die letzte Behauptung.

1. Zu Teil a): Wähle die Faktoren \(0\) und \(5\). Das Produkt ist \(0 \cdot 5 = 0\). Hier ist nur ein Faktor Null, nicht beide. Somit ist die Aussage „beide müssen Null sein“ falsch. 2. Zu Teil b): Wähle die Zahl \(-3\). Multiplikation mit \(-1\): \(-3 \cdot (-1) = 3\). Da \(3 > -3\), ist das Ergebnis größer und nicht kleiner. 3. Zu Teil c): Wähle die Zahl \(0{,}5\). Berechnung des Quadrats: \(0{,}5 \cdot 0{,}5 = 0{,}25\). Da \(0{,}25 < 0{,}5\), ist das Quadrat kleiner. (Weitere Gegenbeispiele wären \(0\), da \(0^2 = 0\), oder \(1\), da \(1^2 = 1\)).

a) Gegenbeispiel: \(0\cdot5=0\); nur ein Faktor ist null. b) Gegenbeispiel: \((-3)\cdot(-1)=3>-3\). c) Gegenbeispiel: \(0{,}5^2=0{,}25<0{,}5\).

- Zähle die Anzahl der negativen Faktoren in jedem Ausdruck. - Erinnere dich an die Regel für das Multiplizieren von zwei Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen. - Was passiert, wenn du alle Faktoren von \(A\) und \(B\) in eine lange Kette schreibst? Wie viele negative Vorzeichen hättest du dann insgesamt?

1. Zu a): Produkt \(A\) besteht aus 10 Faktoren, die alle negativ sind. Da 10 eine gerade Zahl ist, ist das Ergebnis von \(A\) positiv. Produkt \(B\) besteht aus 11 negativen Faktoren. Da 11 ungerade ist, ist das Ergebnis von \(B\) negativ. 2. Zu b): Da \(A\) positiv und \(B\) negativ ist, ergibt das Produkt \(A \cdot B\) (ein positiver Wert mal ein negativer Wert) ein negatives Ergebnis. 3. Alternativer Weg zu b): Das Produkt \(A \cdot B\) hat insgesamt \(10 + 11 = 21\) negative Faktoren. Da 21 ungerade ist, ist das Gesamtergebnis negativ. 4. Zu c): Ein Produkt aus ausschließlich negativen Faktoren ist genau dann negativ, wenn die Anzahl der Faktoren \(n\) eine ungerade Zahl ist.

a) Das Produkt \(A\) ist positiv, da es eine gerade Anzahl (10) an negativen Faktoren besitzt. b) Das Vorzeichen von \(A \cdot B\) ist negativ (Plus mal Minus ergibt Minus). c) Das Ergebnis ist negativ, wenn \(n\) eine ungerade Zahl ist.

- Musst du wirklich alles in Brüche oder alles in Dezimalzahlen umwandeln? Schau dir die Paare genau an. - Welche Zahlen lassen sich ohne Umrechnung direkt miteinander verrechnen? - Kannst du einen der Brüche vielleicht in eine ganze Zahl umwandeln, nachdem du ihn mit einem anderen verrechnet hast?

1. Gruppieren der Dezimalzahlen: \(2{,}7 - 1{,}7 = 1{,}0\) 2. Gruppieren der Brüche: \(\frac{2}{9} + \frac{16}{9} = \frac{18}{9}\) 3. Vereinfachen des Bruchergebnisses: \(\frac{18}{9} = 2\) 4. Addition der Zwischenergebnisse: \(1 + 2 = 3\)

\(3\)

- Überlege dir bei jeder Aufgabe kurz beide Wege im Kopf. Welcher führt zu einfacheren Zwischenschritten? - Manchmal vermeidet ein Weg das Rechnen mit komplizierten Brüchen oder großen Zahlen. - Gibt es eine „Stufenzahl“ (10, 100, ...), die durch eine der Operationen entsteht?

1. Teilaufgabe a): Distributivgesetz ist geschickt, da Multiplikationen mit 100 einfach sind. \(12 \cdot 100 + 12 \cdot 3 = 1200 + 36 = 1236\). 2. Teilaufgabe b): Distributivgesetz ist geschickt, um die Brüche direkt zu kürzen und die Suche nach dem Hauptnenner in der Klammer zu vermeiden. \(15 \cdot \frac{1}{3} + 15 \cdot \frac{4}{5} = 5 + 3 \cdot 4 = 5 + 12 = 17\). 3. Teilaufgabe c): Klammer zuerst ist geschickt, da die Subtraktion eine glatte 10 ergibt. \(6{,}4 \cdot 10 = 64\).

a) \(1236\) (Distributivgesetz sinnvoll) b) \(17\) (Distributivgesetz sinnvoll) c) \(64\) (Klammer zuerst sinnvoll)

- Prüfe, ob auf beiden Seiten der Gleichung die gleichen Regeln (z. B. das Distributivgesetz) korrekt angewendet wurden. - Rechne im Zweifelsfall beide Seiten getrennt aus, um sie zu vergleichen. - Achte bei b) besonders darauf, was das Minuszeichen vor der Klammer mit allen Gliedern in der Klammer macht.

1. Überprüfung a): Anwendung des Distributivgesetzes (Ausklammern von \(-0{,}2\)). Die Struktur \(a \cdot b + a \cdot c = a \cdot (b + c)\) ist korrekt erfüllt. Gleichung a) ist wahr. 2. Überprüfung b): Linke Seite berechnen: \(\frac{3}{4} - \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = 0{,}5\). Rechte Seite berechnen: \(\frac{1}{4} - \frac{1}{4} = 0\). Gleichung b) ist falsch. Korrektur durch Vorzeichenwechsel beim Auflösen der Klammer: \(\frac{3}{4} - \frac{1}{2} + \frac{1}{4}\). 3. Überprüfung c): Ausklammern von \(-3\). Linke Seite: \(-21 - (-12) = -9\). Rechte Seite: \(-3 \cdot 3 = -9\). Die Struktur \(a \cdot b - a \cdot c = a \cdot (b - c)\) ist korrekt. Gleichung c) ist wahr.

a) Wahr. b) Falsch. Korrektur: \(\frac{3}{4} - \frac{1}{2} + \frac{1}{4}\). c) Wahr.

- Manchmal hilft es, eine Klammer zuerst aufzulösen, um Zahlen zu finden, die gut zusammenpassen. Achte dabei gut auf die Vorzeichen! - Suche nach Faktoren, deren Produkt eine Stufenzahl (wie 10, 100 oder -10) ergibt. - Achte bei der Multiplikation mehrerer negativer Zahlen auf das Vorzeichen des Endergebnisses.

1. Teilaufgabe a): Auflösen der Klammer mit Vorzeichenwechsel \(15{,}3 - 4{,}8 + 2{,}7 - 5{,}2\), Gruppieren vorteilhafter Paare \((15{,}3 + 2{,}7) - (4{,}8 + 5{,}2)\), Berechnung der Teilsummen \(18 - 10 = 8\). 2. Teilaufgabe b): Vorteilhaftes Kürzen beim Produkt der Brüche \(\frac{7}{14} \cdot \frac{22}{11} = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1\), Subtraktion \(1 - 1 = 0\). 3. Teilaufgabe c): Gruppieren der Faktoren \((-8 \cdot 1{,}25) \cdot ((-3) \cdot (-2))\), Berechnung der Teilprodukte \(-10 \cdot 6\), Endergebnis \(-60\).

a) \(8\) b) \(0\) c) \(-60\)