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- Kopfzerbrechen bei den Teilern? Liste einfach nacheinander alle Zahlen auf, durch die du die Zahl ohne Rest teilen kannst. - Für das kleinste gemeinsame Vielfache kannst du die Vielfachenmengen beider Zahlen aufschreiben, bis du die erste Übereinstimmung findest. - Erinnerst du dich, wie man das Produkt zweier Zahlen berechnet? Multipliziere sie einfach schriftlich.

1. Bestimmung der Teiler: Teiler von \(24\) sind \(\{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24\}\), Teiler von \(36\) sind \(\{1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36\}\). 2. Schnittmenge der Teiler (größer \(1\)): \(\{2, 3, 4, 6, 12\}\). 3. Primfaktorzerlegung für das \(\text{kgV}\): \(24 = 2^3 \cdot 3\) und \(36 = 2^2 \cdot 3^2\). 4. Berechnung des \(\text{kgV}\): \(\text{kgV}(24, 36) = 2^3 \cdot 3^2 = 8 \cdot 9 = 72\). 5. Berechnung des Produkts: \(24 \cdot 36 = 864\). 6. Vergleich: \(72 < 864\), die Bedingung ist erfüllt.

a) Die gemeinsamen Teiler sind \(2, 3, 4, 6\) und \(12\). b) Das \(\text{kgV}(24, 36)\) ist \(72\). c) Ja, \(72\) ist kleiner als \(864\).

- Überlege dir bei den Teilern immer, welche zwei Zahlen multipliziert das Ergebnis ergeben. - Kannst du die Teilbarkeitsregeln (z. B. für \(2\), \(3\) oder \(5\)) nutzen, um Teiler schneller zu finden? - Vielfache erhältst du, indem du die Zahl nacheinander mit \(1, 2, 3, \dots\) multiplizierst.

1. \(T(56)=\{1, 2, 4, 7, 8, 14, 28, 56\}\). 2. \(T(81)=\{1, 3, 9, 27, 81\}\). 3. Die ersten fünf positiven Vielfachen von \(17\) sind \(17, 34, 51, 68, 85\). 4. Die ersten fünf positiven Vielfachen von \(32\) sind \(32, 64, 96, 128, 160\).

a) \(T(56)=\{1, 2, 4, 7, 8, 14, 28, 56\}\) b) \(T(81)=\{1, 3, 9, 27, 81\}\) c) \(\{17, 34, 51, 68, 85\}\) d) \(\{32, 64, 96, 128, 160\}\)

- Was ist eine Primzahl? - Kannst du die Zahlen schrittweise in kleinere Faktoren zerlegen, bis nur noch Primzahlen übrig sind? - Wie oft kommt jede Primzahl in der Zerlegung vor? - Schau dir die Listen der Primfaktoren nebeneinander an.

1. Zerlegung von 60: \(60 = 2 \cdot 30 = 2 \cdot 2 \cdot 15 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5\). 2. Zerlegung von 126: \(126 = 2 \cdot 63 = 2 \cdot 3 \cdot 21 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7 = 2 \cdot 3^2 \cdot 7\). 3. Zerlegung von 270: \(270 = 2 \cdot 135 = 2 \cdot 3 \cdot 45 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 15 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 = 2 \cdot 3^3 \cdot 5\). 4. Vergleich der Faktoren: In allen drei Zerlegungen kommen die Primfaktoren 2 und 3 vor.

\(60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5\) \(126 = 2 \cdot 3^2 \cdot 7\) \(270 = 2 \cdot 3^3 \cdot 5\) Gemeinsame Primfaktoren: 2 und 3.

- Überlege dir für jede Zahl systematisch, durch welche kleineren Zahlen sie ohne Rest teilbar ist. - Ein Teilerpaar hilft dir: Wenn du weißt, dass \(12 : 2 = 6\) ist, dann sind sowohl 2 als auch 6 Teiler von 12. - Primzahlen haben immer genau zwei Teiler.

1. Bestimmung der Teiler für jede Zahl: \(10: \{1, 2, 5, 10\}\) (4 Teiler) \(11: \{1, 11\}\) (2 Teiler) \(12: \{1, 2, 3, 4, 6, 12\}\) (6 Teiler) \(13: \{1, 13\}\) (2 Teiler) \(14: \{1, 2, 7, 14\}\) (4 Teiler) \(15: \{1, 3, 5, 15\}\) (4 Teiler) \(16: \{1, 2, 4, 8, 16\}\) (5 Teiler) \(17: \{1, 17\}\) (2 Teiler) \(18: \{1, 2, 3, 6, 9, 18\}\) (6 Teiler) \(19: \{1, 19\}\) (2 Teiler) \(20: \{1, 2, 4, 5, 10, 20\}\) (6 Teiler) 2. Vergleich der Anzahlen: Die maximale Anzahl an Teilern in diesem Bereich ist 6. 3. Identifikation der Zahlen: Die Zahlen 12, 18 und 20 haben jeweils 6 Teiler.

a) Die Tabelle ordnet den Zahlen 10 bis 20 die Werte 4, 2, 6, 2, 4, 4, 5, 2, 6, 2, 6 zu. b) Die Zahlen 12, 18 und 20 haben mit jeweils 6 Teilern die größte Anzahl an Teilern in diesem Bereich.

- Kannst du den Term zuerst vereinfachen, bevor du ihn untersuchst? - Was passiert, wenn du für \(n\) kleine Zahlen wie 1, 2 oder 3 einsetzt? - Wie sieht die allgemeine Form einer geraden oder ungeraden Zahl aus? - Reicht ein einziges Gegenbeispiel aus, um eine allgemeine Aussage zu widerlegen?

1. Untersuchung von Aussage a): Der Term \(n + (n + 1)\) lässt sich zu \(2n + 1\) vereinfachen. Da \(2n\) für jede natürliche Zahl \(n\) eine gerade Zahl ist, führt die Addition von 1 immer zu einer ungeraden Zahl. Die Aussage ist wahr. 2. Untersuchung von Aussage b): Test mit \(n = 1\): \(5 \cdot 1 + 2 = 7\). Da 7 eine ungerade Zahl ist, gilt die Aussage nicht für alle \(n\). Die Aussage ist falsch. 3. Untersuchung von Aussage c): Vereinfachung des Terms: \(4n - n = 3n\). Da \(3n\) das Dreifache einer natürlichen Zahl \(n\) ist, ist das Ergebnis definitionsgemäß immer durch 3 teilbar. Die Aussage ist wahr.

a) Wahr. Der Term entspricht \(2n + 1\), was immer ungerade ist. b) Falsch. Für \(n = 1\) ist das Ergebnis \(7\), also ungerade. c) Wahr. Der Term lässt sich zu \(3n\) vereinfachen, was immer ein Vielfaches von 3 ist.

- Welche Zahlen zwischen \(10\) und \(30\) kommen überhaupt infrage, wenn der größte gemeinsame Teiler \(6\) sein soll? - Denk daran, dass die Zahlen Vielfache von \(6\) sein müssen. - Wenn du ein Paar gefunden hast, berechne zur Sicherheit noch einmal das \(\text{kgV}\). Ist es wirklich kleiner als \(100\)? - Achte darauf, dass der \(\text{ggT}\) nicht plötzlich größer als \(6\) ist (zum Beispiel bei \(12\) und \(24\)).

1. Mögliche Zahlen zwischen \(10\) und \(30\), die durch \(6\) teilbar sind: \(12, 18, 24, 30\). 2. Prüfung des Paars \((12, 18)\): \(\text{ggT}(12, 18) = 6\). \(\text{kgV}(12, 18) = 36\). Bedingung \(36 < 100\) erfüllt. 3. Prüfung des Paars \((12, 24)\): \(\text{ggT}(12, 24) = 12\). Bedingung \(\text{ggT}=6\) nicht erfüllt. 4. Prüfung des Paars \((18, 24)\): \(\text{ggT}(18, 24) = 6\). \(\text{kgV}(18, 24) = 72\). Bedingung \(72 < 100\) erfüllt. 5. Prüfung des Paars \((18, 30)\): \(\text{ggT}(18, 30) = 6\). \(\text{kgV}(18, 30) = 90\). Bedingung \(90 < 100\) erfüllt. 6. Prüfung des Paars \((24, 30)\): \(\text{ggT}(24, 30) = 6\). \(\text{kgV}(24, 30) = 120\). Bedingung \(120 < 100\) nicht erfüllt.

Mögliche Paare sind zum Beispiel \((12, 18)\), \((18, 24)\) oder \((18, 30)\).

- Was ist der größte Teiler einer Zahl? - Erinnere dich an die Definition einer Primzahl: Wie viele Teiler hat sie? - Wie hängen die Teilermenge und die Vielfachenmenge zusammen?

1. Die größte Zahl in einer Teilermenge ist immer die Zahl selbst, daher ist \(x = 48\). 2. Die Primzahlen in der Menge identifizieren (Zahlen mit genau zwei Teilern): 2 und 3 sind Primzahlen. 1 ist keine Primzahl, alle anderen Zahlen haben mehr als zwei Teiler. 3. Prüfen, ob 96 durch 48 teilbar ist: \(96 : 48 = 2\). Da 96 ein ganzzahliges Vielfaches von 48 ist (\(2 \cdot 48 = 96\)), ist 96 ein Element von \(V(48)\).

a) \(x = 48\) b) Die Primzahlen sind 2 und 3. c) Ja, 96 ist ein Element von \(V(48)\), da \(2 \cdot 48 = 96\) gilt.

- Was passiert mit der Primfaktorzerlegung, wenn man eine Zahl mit einer weiteren Primzahl multipliziert? - Welche Endziffern haben Zahlen, die durch 5 teilbar sind? - Wie viele Teiler muss eine Primzahl genau haben?

1. Berechnung von \(n\): \(2^2 \cdot 3 \cdot 7 = 4 \cdot 3 \cdot 7 = 12 \cdot 7 = 84\). 2. Das Fünffache von \(n\) entspricht der Multiplikation der bestehenden Zerlegung mit dem Primfaktor 5. Da 5 eine Primzahl ist, lautet die neue Zerlegung \(2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7\). 3. Teilbarkeitsregel für 5: Jede Zahl, die auf 5 endet, ist durch 5 teilbar. Wenn die Zahl größer als 5 ist, hat sie somit mindestens drei Teiler: 1, 5 und sich selbst. Eine Primzahl darf jedoch nur genau zwei Teiler besitzen.

a) \(n = 84\) b) \(2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7\) c) Jede Zahl, die auf 5 endet, ist durch 5 teilbar. Ist sie größer als 5, hat sie mehr als zwei Teiler (1, 5 und die Zahl selbst) und ist somit keine Primzahl.

- Schreibe die Teiler am besten paarweise auf, z. B. für \(12\): \((1, 12)\), \((2, 6)\), \((3, 4)\). - Was passiert bei diesem Paarsystem, wenn du eine Zahl wie 16 betrachtest? - Gibt es bei der Zahl \(16\) einen Teiler, den man mit sich selbst multipliziert?

1. Teileranzahlen berechnen: \(4: \{1, 2, 4\}\) (3 Teiler) \(9: \{1, 3, 9\}\) (3 Teiler) \(16: \{1, 2, 4, 8, 16\}\) (5 Teiler) \(25: \{1, 5, 25\}\) (3 Teiler) \(6: \{1, 2, 3, 6\}\) (4 Teiler) \(8: \{1, 2, 4, 8\}\) (4 Teiler) \(10: \{1, 2, 5, 10\}\) (4 Teiler) 2. Beobachtung: Quadratzahlen haben eine ungerade Anzahl an Teilern, Nichtquadratzahlen eine gerade Anzahl. 3. Begründung: Normalerweise treten Teiler in Paaren \((a, b)\) auf, wobei \(a \cdot b = n\). Bei einer Quadratzahl gibt es jedoch einen Fall, in dem \(a = b\) gilt (nämlich \(\sqrt{n}\)). Dieser Teiler hat keinen unterschiedlichen Partner, sodass er beim Zählen der einzelnen Teiler die Gesamtzahl ungerade macht.

a) Die Teileranzahlen sind: 4 (3 Teiler), 9 (3 Teiler), 16 (5 Teiler), 25 (3 Teiler). b) Die Teileranzahlen für 6, 8 und 10 sind jeweils 4. Auffällig ist, dass Quadratzahlen eine ungerade Anzahl an Teilern haben. c) Da bei Quadratzahlen ein Teiler mit sich selbst multipliziert die Zahl ergibt (z. B. \(4 \cdot 4 = 16\)), bleibt dieser Teiler beim Bilden von Paaren „alleine“ übrig, was zu einer ungeraden Gesamtzahl führt.

- Was bedeutet es für eine Zahl, wenn sie den Faktor 2 hat? - Probier doch mal die ersten drei oder vier natürlichen Zahlen für \(x\) aus. - Was weißt du über die Endziffern von Vielfachen von 10? - Findest du eine Zahl für \(x\), bei der die Bedingung nicht erfüllt ist?

1. Analyse von a): Der Term \(2 \cdot (x + 4)\) besitzt den Faktor 2. Jedes Produkt mit dem Faktor 2 ergibt eine gerade Zahl, unabhängig vom Wert in der Klammer. Die Aussage ist wahr. 2. Analyse von b): Teste verschiedene Werte für \(x\). Für \(x = 1\) ist \(1^2 + 1 = 2\) (Primzahl). Für \(x = 2\) ist \(2^2 + 1 = 5\) (Primzahl). Für \(x = 3\) ist \(3^2 + 1 = 10\). Da 10 keine Primzahl ist (\(2 \cdot 5\)), ist die Aussage falsch. 3. Analyse von c): Der Term \(10 \cdot x\) ergibt immer eine Zahl, die auf 0 endet (Zehnerzahl). Subtrahiert man von einer solchen Zahl 5, endet das Ergebnis immer auf 5 (z. B. \(10-5=5\), \(20-5=15\)). Die Aussage ist wahr.

a) Wahr. Wegen des Faktors 2 ist das Ergebnis immer durch 2 teilbar. b) Falsch. Ein Gegenbeispiel ist \(x = 3\), da \(3^2 + 1 = 10\) keine Primzahl ist. c) Wahr. Vielfache von 10 enden auf 0; zieht man 5 ab, ist die Endziffer immer 5.

- Es gibt eine hilfreiche Formel, die das Produkt zweier Zahlen mit ihrem \(\text{ggT}\) und \(\text{kgV}\) verbindet. Fällt sie dir ein? - Wenn du die Formel nutzt, kannst du das \(\text{kgV}\) direkt ausrechnen, ohne die Zahlen zu kennen. - Um die Zahlen selbst zu finden: Sie müssen beide durch \(3\) teilbar sein. Welche Paare von Vielfachen von \(3\) haben das Produkt \(180\)? - Überprüfe bei deinen gefundenen Zahlen, ob der größte gemeinsame Teiler wirklich \(3\) ist.

1. Anwendung der Formel: \(a \cdot b = \text{ggT}(a, b) \cdot \text{kgV}(a, b)\). 2. Einsetzen der Werte: \(180 = 3 \cdot \text{kgV}\). 3. Berechnung: \(\text{kgV} = 180 : 3 = 60\). 4. Suche nach Zahlen \(a, b\): Da \(\text{ggT}(a, b) = 3\), gilt \(a = 3 \cdot m\) und \(b = 3 \cdot n\) mit \(\text{ggT}(m, n) = 1\). 5. Einsetzen in das Produkt: \((3m) \cdot (3n) = 180 \Rightarrow 9 \cdot m \cdot n = 180 \Rightarrow m \cdot n = 20\). 6. Mögliche teilerfremde Paare für \((m, n)\): \((1, 20)\) oder \((4, 5)\). 7. Daraus ergeben sich die Zahlenpaare \((3, 60)\) oder \((12, 15)\).

a) Das \(\text{kgV}\) ist \(60\). b) Mögliche Zahlenpaare sind \((3, 60)\) oder \((12, 15)\).

- Schreibe dir für den ersten Teil beide Mengen ordentlich untereinander auf. - Kannst du bei Teil b) die Vielfachen beider Zahlen nacheinander durchgehen, bis du einen Treffer hast? - Überlege für Teil c), was die größte Zahl in einer Teilermenge und die kleinste Zahl in einer Vielfachenmenge ist.

1. Teilermengen bestimmen: \(T(12) = \{1, 2, 3, 4, 6, 12\}\) und \(T(18) = \{1, 2, 3, 6, 9, 18\}\). Vergleich der Mengen ergibt die gemeinsamen Teiler: \(\{1, 2, 3, 6\}\). 2. Vielfache auflisten: \(V(10) = \{10, 20, 30, 40, \dots\}\) und \(V(15) = \{15, 30, 45, \dots\}\). Die kleinste gemeinsame Zahl ist 30. 3. \(T(20)\) enthält alle Teiler von 20 (Zahlen \(\le 20\)). \(V(20)\) enthält alle Vielfachen von 20 (Zahlen \(\ge 20\)). Die einzige Zahl, die in beiden Mengen vorkommt, ist die 20 selbst.

a) \(T(12) = \{1, 2, 3, 4, 6, 12\}\); \(T(18) = \{1, 2, 3, 6, 9, 18\}\). Gemeinsame Zahlen: 1, 2, 3, 6. b) Die Zahl ist 30. c) Ja, die Zahl 20.

- Wie kann man zwei Produkte von Primfaktoren zu einem großen Produkt zusammenfassen? - Gehe die Liste der Primzahlen der Größe nach durch: 2, 3, 5, 7, 11, ... - Wenn zwei Zahlen beide einen bestimmten Baustein (Faktor) haben, was bedeutet das für ihre Summe?

1. Berechnung: \(A = 4 \cdot 3 \cdot 5 = 60\). \(B = 2 \cdot 9 \cdot 5 = 90\). 2. Produkt \(A \cdot B\): Die Primfaktoren werden kombiniert: \((2^2 \cdot 3 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 3^2 \cdot 5) = 2^{2+1} \cdot 3^{1+2} \cdot 5^{1+1} = 2^3 \cdot 3^3 \cdot 5^2\). 3. Primzahlen der Reihe nach: 2, 3, 5 kommen vor. Die nächste Primzahl ist 7, sie kommt in keiner der Zerlegungen vor. 4. Teilbarkeit der Summe: Da der Primfaktor 5 sowohl in der Zerlegung von \(A\) als auch in der von \(B\) enthalten ist, sind beide Zahlen Vielfache von 5. Addiert man zwei Vielfache von 5, ist das Ergebnis ebenfalls durch 5 teilbar.

a) \(A = 60\), \(B = 90\) b) \(2^3 \cdot 3^3 \cdot 5^2\) c) 7 d) Ja, da beide Zahlen den Primfaktor 5 enthalten, sind beide durch 5 teilbar. Somit ist auch ihre Summe durch 5 teilbar.

- Vergleiche die Werte der beiden Terme für \(k = 1\). Was stellst du fest? - Wie kann man eine wiederholte Addition desselben Wertes kürzer schreiben? - Was muss erfüllt sein, damit eine Zahl ein Vielfaches von 3 ist?

1. Vergleich für Teilaufgabe a): Setze kleine Werte für \(k\) ein. Für \(k = 1\): Term A ist \(3 \cdot 1 + 1 = 4\), Term B ist \(2 \cdot 1 + 2 = 4\). Hier ist A nicht größer als B, sondern gleich. Für \(k = 2\): Term A ist \(3 \cdot 2 + 1 = 7\), Term B ist \(2 \cdot 2 + 2 = 6\). Hier ist A größer. Da es für \(k = 1\) nicht gilt, ist die Aussage „für jeden Wert“ falsch. 2. Erklärung für Teilaufgabe b): Der Term \(k + k + k\) lässt sich durch Zusammenfassen der gleichen Summanden als Produkt schreiben: \(3 \cdot k\). Da \(k\) eine natürliche Zahl ist, stellt \(3 \cdot k\) das \(k\)-fache der Zahl 3 dar. Somit ist das Ergebnis immer durch 3 teilbar und damit ein Vielfaches von 3.

a) Nein. Für \(k = 1\) sind beide Terme gleich groß (\(4 = 4\)). Erst für \(k > 1\) ist Term A größer. b) Der Term lässt sich zu \(3k\) zusammenfassen. Da dies ein Produkt mit dem Faktor 3 ist, ist das Ergebnis stets ein Vielfaches von 3.