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- Welches Vorzeichen muss das Ergebnis einer Multiplikation oder Division haben, wenn die beteiligten Zahlen unterschiedliche oder gleiche Vorzeichen besitzen? - Kannst du die fehlende Zahl finden, indem du die Umkehroperation ausführst? - Überprüfe dein Ergebnis am Ende durch Einsetzen.

1. Berechnung des Divisors in a): \((-144) : 12 = -12\). 2. Berechnung des Faktors in b): \(105 : (-7) = -15\). 3. Berechnung des Faktors in c): \((-225) : (-15) = 15\). 4. Berechnung des Dividenden in d): \((-13) \cdot (-11) = 143\).

a) \(-12\) b) \(-15\) c) \(15\) d) \(143\)

- Könntest du die Ungleichung so umformen, dass das \(n\) alleine steht? - Was passiert, wenn du alle Teile der Ungleichung mit dem Nenner multiplizierst? - Welche ganzen Zahlen liegen zwischen den berechneten Grenzen?

1. Multiplikation der Ungleichung a) mit 5 ergibt \(10 < n < 15\). Die natürlichen Zahlen in diesem Bereich sind \(n \in \{11, 12, 13, 14\}\). 2. Multiplikation der Ungleichung b) mit 10 ergibt \(5 < n < 8\). Die natürlichen Zahlen in diesem Bereich sind \(n \in \{6, 7\}\).

a) \(n \in \{11, 12, 13, 14\}\) b) \(n \in \{6, 7\}\)

- Könntest du die Brüche so verändern, dass sie denselben Nenner haben wie der gesuchte Bruch? - Welche ganzen Zahlen liegen zwischen den Zählern, die du nach dem Erweitern gefunden hast? - Achte darauf, am Ende zu prüfen, ob man die Brüche noch durch eine gemeinsame Zahl teilen kann.

1. Erweitern der gegebenen Grenzen auf den Nenner 12: \(\frac{1}{2} = \frac{6}{12}\) und \(\frac{5}{6} = \frac{10}{12}\). 2. Identifizieren der Zähler \(k\), die die Bedingung \(6 < k < 10\) erfüllen: \(k \in \{7, 8, 9\}\). 3. Aufstellen der Brüche: \(\frac{7}{12}\), \(\frac{8}{12}\) und \(\frac{9}{12}\). 4. Kürzen der Brüche: \(\frac{7}{12}\) ist bereits vollständig gekürzt; \(\frac{8}{12} = \frac{2}{3}\); \(\frac{9}{12} = \frac{3}{4}\).

\(\frac{7}{12}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}\)

- Was bedeutet die Bedingung, dass der Zähler kleiner als der Nenner ist, für die möglichen Werte von \(\triangle\)? - Könntest du die Brüche so erweitern, dass sie denselben Nenner haben? - Wann ist das Ergebnis einer Division eine ganze Zahl? - Probier doch mal aus, was passiert, wenn du die gemischte Zahl zuerst in einen unechten Bruch umwandelst.

1. Da der Zähler kleiner als der Nenner sein muss, gilt \(\triangle \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11\}\). 2. Umrechnung der gemischten Zahl in einen unechten Bruch: \(3\frac{\triangle}{12} = \frac{36 + \triangle}{12}\). 3. Umrechnung von \(\frac{5}{6}\) auf den Nenner 12: \(\frac{5}{6} = \frac{10}{12}\). 4. Addition der Brüche: \(\frac{36 + \triangle}{12} + \frac{10}{12} = \frac{46 + \triangle}{12}\). 5. Damit das Ergebnis eine natürliche Zahl \(\square\) ist, muss \(46 + \triangle\) durch 12 teilbar sein. 6. Prüfung der Vielfachen von 12: Das nächste Vielfache nach 46 ist 48 (\(46 + 2\)) und danach 60 (\(46 + 14\)). 7. Da \(\triangle\) maximal 11 sein darf, ist nur \(46 + \triangle = 48\) möglich. 8. Daraus folgt \(\triangle = 2\). 9. Berechnung von \(\square\): \(\frac{48}{12} = 4\).

\(\triangle = 2\) (und das Ergebnis ist \(\square = 4\)).

- Kannst du die Aufgabe mithilfe einer Umkehroperation lösen? - Wie würdest du vorgehen, wenn dort einfache ganze Zahlen wie \(x + 2 = 5\) stünden? - Vergiss nicht, beim Rechnen die Kommas exakt untereinander zu setzen.

1. Aufgabe a: Umkehrung der Addition zur Subtraktion führt zur Rechnung \(41{,}10 - 23{,}65\). Das Ergebnis ist \(17{,}45\). 2. Aufgabe b: Um den Subtrahenden zu finden, wird die Differenz vom Minuenden abgezogen: \(60{,}20 - 18{,}47\). Das Ergebnis ist \(41{,}73\).

a) \(17{,}45\) b) \(41{,}73\)

- Wie kannst du die Zahl auf der Seite von \(x\) verschwinden lassen? - Welche Rechenoperation ist das Gegenteil der Operation in der Aufgabe? - Wenn Brüche und Dezimalzahlen gemischt sind, hilft es oft, alles in eine Form umzuwandeln. - Denk beim Addieren oder Subtrahieren von Brüchen an den gemeinsamen Nenner.

1. Subtraktion von \(\frac{3}{8}\) auf beiden Seiten: \(x = \frac{5}{6} - \frac{3}{8}\). Bestimmung des Hauptnenners (24): \(x = \frac{20}{24} - \frac{9}{24} = \frac{11}{24}\). 2. Isolation von \(x\) durch Subtraktion von \(0{,}85\) von \(1{,}4\): \(x = 1{,}4 - 0{,}85 = 0{,}55\). 3. Addition von \(\frac{1}{4}\) (entspricht \(0{,}25\)) auf beiden Seiten: \(x = 0{,}3 + 0{,}25 = 0{,}55\). Alternativ in Brüchen: \(x = \frac{3}{10} + \frac{1}{4} = \frac{6}{20} + \frac{5}{20} = \frac{11}{20}\).

a) \(x = \frac{11}{24}\) b) \(x = 0{,}55\) c) \(x = 0{,}55\) oder \(x = \frac{11}{20}\)

- Könntest du die Dezimalzahlen zuerst als Brüche schreiben? - Hilft es dir, wenn alle Brüche in einer Aufgabe denselben Nenner haben? - Wie viel fehlt von der ersten Zahl bis zum Ergebnis?

1. Umrechnung der Dezimalzahl in einen Bruch mit dem Nenner 10: \( 0{,}3 = \frac{3}{10} \). 2. Erweitern des Zielbruchs auf den Nenner 10: \( \frac{4}{5} = \frac{8}{10} \). 3. Aufstellen der Gleichung für die Zähler: \( 3 + \square = 8 \), woraus \( \square = 5 \) folgt. 4. Umrechnung der Dezimalzahl in einen Bruch: \( 0{,}5 = \frac{1}{2} \). 5. Erweitern aller Brüche auf den Hauptnenner 16: \( \frac{14}{16} - \frac{\square}{16} = \frac{8}{16} \). 6. Aufstellen der Gleichung für die Zähler: \( 14 - \square = 8 \), woraus \( \square = 6 \) folgt.

a) \( \square = 5 \) b) \( \square = 6 \)

- Was passiert mit einer Zahl, wenn man sie mit etwas multipliziert, das größer als 1 ist? - Was passiert, wenn der Faktor zwischen 0 und 1 liegt? - Überlege dir zuerst, mit welcher Zahl du multiplizieren müsstest, um genau \(\frac{1}{8}\) zu erhalten.

1. Damit ein Produkt größer als der ursprüngliche Faktor \(\frac{3}{8}\) ist, muss der zweite Faktor größer als 1 sein. Ein möglicher Wert ist \(\frac{2}{1}\). Rechnung: \(\frac{2}{1} \cdot \frac{3}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}\), und \(\frac{3}{4} > \frac{3}{8}\). 2. Damit das Produkt aus \(x \cdot \frac{3}{8}\) kleiner als \(\frac{1}{8}\) ist, muss \(x\) kleiner als \(\frac{1}{3}\) sein, da \(\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{8} = \frac{1}{8}\). Ein möglicher Wert ist \(\frac{1}{4}\). Rechnung: \(\frac{1}{4} \cdot \frac{3}{8} = \frac{3}{32}\). Vergleich: \(\frac{3}{32} < \frac{4}{32} = \frac{1}{8}\).

a) Zum Beispiel \(\frac{2}{1}\) (oder jeder Bruch \(> 1\)). b) Zum Beispiel \(\frac{1}{4}\) (oder jeder positive Bruch \(< \frac{1}{3}\)).

- Wie kannst du die Rechenoperation umkehren, um \(x\) allein auf eine Seite zu bringen? - Wandle gemischte Zahlen zuerst in unechte Brüche um. - Erinnere dich an die Regel für die Division durch einen Bruch.

1. Umstellung der Gleichung a) nach \(x\): \(x = \frac{3}{8} : 2 \frac{1}{4}\). Umwandlung der gemischten Zahl: \(2 \frac{1}{4} = \frac{9}{4}\). Rechnung: \(\frac{3}{8} \cdot \frac{4}{9} = \frac{12}{72} = \frac{1}{6}\). 2. Umstellung der Gleichung b) nach \(x\): \(x = -\frac{2}{5} \cdot 1 \frac{2}{3}\). Umwandlung der gemischten Zahl: \(1 \frac{2}{3} = \frac{5}{3}\). Rechnung: \(-\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{3} = -\frac{10}{15} = -\frac{2}{3}\).

a) \(x = \frac{1}{6}\) b) \(x = -\frac{2}{3}\)

- Was ist die Umkehroperation von Multiplikation? Und was die von Division? - Um wie viele Stellen muss das Komma verschoben werden, um vom ersten zum zweiten Wert zu gelangen? - Wie oft muss man eine Zahl mit 10 multiplizieren, um das Komma um eine bestimmte Anzahl an Stellen nach rechts zu schieben?

1. Berechnung von \(x\) durch Umkehrung der Operation: a) \(x = 40 : 0{,}04 = 1000\). Zehnerpotenz: \(10^3\). b) \(x = 5{,}8 : 0{,}058 = 100\). Zehnerpotenz: \(10^2\). c) \(x = 0{,}7 : 0{,}0007 = 1000\). Zehnerpotenz: \(10^3\). d) \(x = 12 : 0{,}0012 = 10\,000\). Zehnerpotenz: \(10^4\).

a) \(1000 = 10^3\) b) \(100 = 10^2\) c) \(1000 = 10^3\) d) \(10\,000 = 10^4\)

- Wie hängen Multiplikation und Division zusammen? - Welches Vorzeichen muss die gesuchte Zahl haben, damit das Ergebnis stimmt? - Was passiert mit dem Komma, wenn du durch \(0{,}1\) dividierst?

1. Umkehrrechnung zur Bestimmung des Faktors: \(0{,}21 : 0{,}3 = 2{,}1 : 3 = 0{,}7\). 2. Umkehrrechnung: \(0{,}04 : 0{,}2 = 0{,}4 : 2 = 0{,}2\). 3. Bestimmung des Vorzeichens und Umkehrrechnung: Das Ergebnis ist positiv, der erste Faktor negativ, also muss der zweite Faktor negativ sein. \(0{,}36 : (-0{,}6) = -0{,}6\). 4. Umkehrrechnung mit negativem Divisor: \(0{,}008 : (-0{,}1) = -0{,}08\).

a) \(0{,}7\) b) \(0{,}2\) c) \(-0{,}6\) d) \(-0{,}08\)

- Kannst du die passende Umkehraufgabe finden, um die Lücke zu berechnen? - Was passiert mit dem Komma, wenn du eine Zahl durch \(4\) teilst oder mit \(0{,}5\) multiplizierst? - Überprüfe dein Ergebnis, indem du es in die Lücke einsetzt und nachrechnest.

1. Berechnung a: Bestimmung durch die Umkehraufgabe \(-0{,}12 \cdot 4 = -0{,}48\). 2. Berechnung b: Bestimmung durch die Division \(0{,}8 : 4 = 0{,}2\). Überprüfung: \(0{,}8 : 0{,}2 = 8 : 2 = 4\). 3. Berechnung c: Bestimmung durch die Umkehraufgabe \(3{,}5 : 0{,}5 = 7\). Überprüfung: \(7 \cdot 0{,}5 = 3{,}5\).

a) \(-0{,}48\) b) \(0{,}2\) c) \(7\)

- Was bleibt übrig, nachdem der erste Teil entnommen wurde? - Wie viel ist ein Bruchteil von einem Rest? Multipliziere die Brüche. - Welcher Bruchteil der Flasche ist am Ende noch gefüllt? - Wenn du weißt, welcher Bruchteil \(150\,\text{ml}\) sind, wie kommst du dann auf das Ganze?

1. Anteil des Rests nach dem ersten Glas: \(1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}\) 2. Anteil der Karaffe am Gesamtinhalt: \(\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}\) 3. Verbleibender Anteil in der Flasche: \(\frac{3}{4} - \frac{1}{2} = \frac{3}{4} - \frac{2}{4} = \frac{1}{4}\) 4. Berechnung des Gesamtvolumens: Da \(\frac{1}{4}\) des Inhalts \(150\,\text{ml}\) entsprechen, ist der Gesamtinhalt \(150\,\text{ml} \cdot 4 = 600\,\text{ml}\)

In der Flasche waren anfangs \(600\,\text{ml}\) Saft.

- Was versteht man unter dem Kehrwert einer Zahl? - Welches Ergebnis liefert eine Division, wenn Dividend und Divisor identisch sind? - Wie hängen Multiplikation und Division als Umkehroperationen zusammen? - Achte besonders auf die Vorzeichenregeln.

1. Bestimmung des Faktors für das Produkt \( 1 \): Umwandlung von \( -1\frac{1}{2} \) in den unechten Bruch \( -\frac{3}{2} \). Die Multiplikation einer Zahl mit ihrem Kehrwert ergibt \( 1 \). Der Kehrwert von \( -\frac{3}{2} \) ist \( -\frac{2}{3} \). 2. Bestimmung des Divisors für den Quotienten \( 1 \): Jede Zahl (außer \( 0 \)) durch sich selbst dividiert ergibt \( 1 \). Die gesuchte Zahl ist \( -1\frac{1}{2} \). 3. Bestimmung des Dividenden: Die Umkehrrechnung zur Division \( x : (-1\frac{1}{2}) = -2 \) ist die Multiplikation \( x = -2 \cdot (-1\frac{1}{2}) \). Berechnung: \( -2 \cdot (-\frac{3}{2}) = 3 \).

a) \( -\frac{2}{3} \) b) \( -1\frac{1}{2} \) c) \( 3 \)

- Überlege dir zuerst, welches Vorzeichen das Produkt hat, wenn du eine bestimmte Anzahl negativer Zahlen multiplizierst. - Die Vorzeichenregeln sind hier entscheidend. - Was passiert mit einem Produkt, sobald die Zahl Null als Faktor auftaucht? - Ganze Zahlen sind auch rationale Zahlen.

1. Fall a): Möglich. Da das Produkt einer ungeraden Anzahl negativer Faktoren negativ ist, führt \((-1) \cdot (-1) \cdot (-1) = -1\) zum Ziel. 2. Fall b): Nicht möglich. Das Produkt zweier negativer Zahlen ist positiv. Wird dies mit einer dritten positiven Zahl multipliziert, bleibt das Ergebnis positiv (und ungleich \(-1\)). 3. Fall c): Möglich. Beispielsweise ergibt \((-1) \cdot 1 \cdot 1 = -1\). Da \(-1\) und \(1\) ganze Zahlen sind, ist die Bedingung erfüllt. 4. Fall d): Nicht möglich. Wenn ein Faktor \(0\) ist, ist das gesamte Produkt immer \(0\), unabhängig von den anderen Faktoren.

a) Ja, z. B. \((-1) \cdot (-1) \cdot (-1) = -1\). b) Nein, das Produkt wäre positiv. c) Ja, z. B. \((-1) \cdot 1 \cdot 1 = -1\). d) Nein, das Produkt wäre \(0\).

- Kannst du die Rechnung vom Ende her Schritt für Schritt rückgängig machen? - Welche Rechenoperation ist jeweils das Gegenteil der genannten Anweisung? - Achte beim Rechnen mit Kommazahlen besonders auf die Stellenwerte.

1. Rückwärtsrechnen vom Endergebnis \(25\): Den letzten Schritt (Subtraktion von \(6{,}8\)) umkehren: \(25 + 6{,}8 = 31{,}8\). 2. Den vorletzten Schritt (Multiplikation mit \(4\)) umkehren: \(31{,}8 : 4 = 7{,}95\). 3. Die Addition von \(4{,}2\) umkehren: \(7{,}95 - 4{,}2 = 3{,}75\). 4. Die Multiplikation mit \(0{,}5\) umkehren: \(3{,}75 : 0{,}5 = 7{,}5\). Die gedachte Zahl war \(7{,}5\).

Die ursprüngliche Zahl war \(7{,}5\).

- Überlege dir zuerst, welche Rechenoperation die Umkehroperation zum gegebenen Rechenzeichen ist. - Achte besonders auf die Vorzeichen und verwende auf beiden Seiten dieselbe Äquivalenzumformung. - Erinnere dich an die Regeln für das Rechnen mit negativen Zahlen, zum Beispiel was passiert, wenn man zwei Minuszeichen hintereinander hat. - Du kannst dein Ergebnis immer prüfen, indem du den gefundenen Wert für \(x\) in die ursprüngliche Gleichung einsetzt.

1. Für Teilaufgabe a) wird \(14{,}5\) von beiden Seiten subtrahiert: \(x = -5{,}5 - 14{,}5\). Das Ergebnis ist \(x = -20\). 2. In Teilaufgabe b) wird \(20\) zu beiden Seiten addiert, um \(-x = 35 + 20 = 55\) zu erhalten. Durch Multiplikation mit \(-1\) ergibt sich \(x = -55\). 3. Teilaufgabe c) wird vereinfacht zu \(x + 12 = -8\). Subtraktion von \(12\) führt zu \(x = -8 - 12\), also \(x = -20\). 4. In Teilaufgabe d) wird \(4{,}2\) zu beiden Seiten addiert: \(x = 2{,}8 + 4{,}2\). Das Ergebnis ist \(x = 7\).

a) \(x = -20\) b) \(x = -55\) c) \(x = -20\) d) \(x = 7\)

- Wie kannst du die Rechnung umkehren, um die gesuchte Zahl zu finden? - Überlege dir zuerst, welches Vorzeichen die gesuchte Zahl haben muss. - Du kannst dein Ergebnis am Ende zur Probe in die Lücke einsetzen.

1. Umkehrung der Division durch Multiplikation: \(25 \cdot (-5) = -125\). 2. Umkehrung der Addition durch Subtraktion: \(-40 - (-12) = -40 + 12 = -28\). 3. Umkehrung der Multiplikation durch Division: \(-54 : 3 = -18\). 4. Bestimmung des Subtrahenden: \(-100 - 20 = -120\). Überprüfung: \(-100 - (-120) = -100 + 120 = 20\).

a) \(-125\) b) \(-28\) c) \(-18\) d) \(-120\)

- Kannst du die Brüche in Dezimalzahlen umwandeln, um besser rechnen zu können? - Was passiert mit dem Rechenzeichen, wenn ein Minuszeichen in der Klammer steht? - Wie isolierst du das \(x\), damit es alleine auf einer Seite der Gleichung steht?

1. Umwandlung der Brüche in Dezimalzahlen: \(-\frac{3}{4} = -0{,}75\) und \(\frac{2}{5} = 0{,}4\). 2. Gleichung a) vereinfachen: \(x - 0{,}4 = -0{,}75\). Durch Addition von \(0{,}4\) ergibt sich \(x = -0{,}75 + 0{,}4 = -0{,}35\). 3. Gleichung b) vereinfachen: \(x - 0{,}4 = -0{,}4\). Durch Addition von \(0{,}4\) ergibt sich \(x = -0{,}4 + 0{,}4 = 0\).

a) \(x = -0{,}35\) (oder \(x = -\frac{7}{20}\)) b) \(x = 0\)

- Wie kannst du eine Divisionsaufgabe umkehren, um die gesuchte Zahl zu finden? - Achte besonders auf die Vorzeichenregeln bei der Multiplikation. - Was ergibt „Minus mal Minus“?

1. Anwendung der Umkehroperation: Um \(x\) zu finden, muss das Ergebnis mit dem Divisor multipliziert werden: \(x = (-125) \cdot (-24)\). 2. Bestimmung des Vorzeichens: Das Produkt zweier negativer Zahlen ist positiv. 3. Berechnung des Produkts der Beträge: \(125 \cdot 24\). 4. \(125 \cdot 20 = 2500\) und \(125 \cdot 4 = 500\). 5. Addition der Teilergebnisse: \(2500 + 500 = 3000\). 6. Das Endergebnis ist \(3000\).

\(3000\)

- Überlege dir zuerst, wie du die Aufgabe umstellen kannst, um die fehlende Zahl zu berechnen. - Welche Zahl ist der kleinste gemeinsame Nenner für 4 und 6? - Wie verändern sich die Zähler, wenn du die Nenner angleichst?

1. Umstellen der Gleichung zur Berechnung des Platzhalters: \(\square = \frac{3}{4} - \frac{1}{6}\). 2. Bestimmung des Hauptnenners von 4 und 6: \(\operatorname{kgV}(4, 6) = 12\). 3. Erweitern der Brüche auf den Nenner 12: \(\frac{3}{4} = \frac{9}{12}\) und \(\frac{1}{6} = \frac{2}{12}\). 4. Subtraktion der Zähler: \(\frac{9}{12} - \frac{2}{12} = \frac{7}{12}\).

\(\frac{7}{12}\)

- Wandle zuerst alle Brüche in Dezimalzahlen um, damit du sie besser vergleichen kannst. - Suche nach einer positiven Zahl und überlege, welche zwei anderen Zahlen zusammen ihre Gegenzahl ergeben könnten. - Probiere systematisch Kombinationen aus, die mit einer großen positiven oder einer großen negativen Zahl beginnen.

1. Umwandlung der Brüche in Dezimalzahlen: \(\frac{1}{5} = 0{,}2\). 2. Überprüfung möglicher Kombinationen von drei Zahlen: - Erste Möglichkeit: \(0{,}7 + (-0{,}3) + (-0{,}4) = 0{,}4 - 0{,}4 = 0\). - Zweite Möglichkeit: \(0{,}2 + 0{,}1 + (-0{,}3) = 0{,}3 - 0{,}3 = 0\). 3. Die gesuchten Tripel sind also \(\{0{,}7; -0{,}3; -0{,}4\}\) und \(\{0{,}2; 0{,}1; -0{,}3\}\).

Zwei mögliche Kombinationen sind: 1. \(0{,}7\), \(-0{,}3\) und \(-0{,}4\) (denn \(0{,}7 - 0{,}3 - 0{,}4 = 0\)) 2. \(\frac{1}{5}\) (bzw. \(0{,}2\)), \(0{,}1\) und \(-0{,}3\) (denn \(0{,}2 + 0{,}1 - 0{,}3 = 0\))

- Überlege dir zuerst, wie man eine Zahl findet, wenn das Produkt und der andere Faktor bekannt sind. - Welche Rechenart ist die Umkehrung der Multiplikation? - Es hilft oft, Brüche in Dezimalzahlen umzuwandeln oder umgekehrt.

1. Bestimmung des fehlenden Spaltenkopfes: Die Zeile mit dem Zeilenkopf \(\frac{2}{5}\) ergibt \(\frac{2}{5} \cdot x = -1\). Da \(\frac{2}{5} = 0{,}4\), folgt \(x = -1 : 0{,}4 = -2{,}5\). 2. Bestimmung des fehlenden Zeilenkopfes: Die Spalte mit dem Spaltenkopf \(-1{,}5\) ergibt \(y \cdot (-1{,}5) = 0{,}3\). Daraus folgt \(y = 0{,}3 : (-1{,}5) = -0{,}2\). 3. Berechnung der restlichen Tabellenfelder: - Feld in der Zeile \(\frac{2}{5}\) und der Spalte \(-1{,}5\): \(0{,}4 \cdot (-1{,}5) = -0{,}6\) - Feld in der Zeile \(-0{,}2\) und der Spalte \(-2{,}5\): \(-0{,}2 \cdot (-2{,}5) = 0{,}5\)

Die vervollständigte Tabelle lautet: <table> <tr><td>\(\cdot\)</td><td>\(-1{,}5\)</td><td>\(-2{,}5\)</td></tr> <tr><td>\(\frac{2}{5}\)</td><td>\(-0{,}6\)</td><td>\(-1\)</td></tr> <tr><td>\(-0{,}2\)</td><td>\(0{,}3\)</td><td>\(0{,}5\)</td></tr> </table>

- Erinnere dich an die Vorzeichenregeln für die Multiplikation: Wann ist ein Produkt negativ? - Du kannst eine bekannte Multiplikation (z. B. \(3 \cdot 10 = 30\)) als Startpunkt nehmen und die Vorzeichen anpassen. - Für Teil b) kannst du zum Beispiel überlegen, welche Dezimalzahl mit \(20\) multipliziert \(-30\) ergibt.

1. Ganzzahlige Faktoren für \(-30\) finden: Mögliche Paare sind zum Beispiel \(3 \cdot (-10)\), \(-5 \cdot 6\) oder \(2 \cdot (-15)\). 2. Kombination aus Dezimalzahl und ganzer Zahl: Da \(1{,}5 \cdot 20 = 30\), ist ein mögliches Paar \(1{,}5 \cdot (-20)\) oder \(-1{,}5 \cdot 20\). Auch \(7{,}5 \cdot (-4)\) ist möglich. 3. Nutzung eines Bruchs: Da \(\frac{3}{4} \cdot 40 = 30\), ergibt das Paar \(\frac{3}{4} \cdot (-40)\) das Produkt \(-30\). Alternativ ist \(\frac{1}{2} \cdot (-60)\) möglich.

Mögliche Lösungen sind: a) \(3 \cdot (-10)\) b) \(-1{,}5 \cdot 20\) c) \(\frac{3}{4} \cdot (-40)\)

- Überlege dir zuerst, welches Vorzeichen die gesuchte Zahl haben muss. - Wie kannst du die Rechenoperation umkehren, um die Lücke zu finden? - Denke bei der letzten Teilaufgabe an die Teiler der Zahl.

1. Berechnung von a): Division des Ergebnisses durch den bekannten Faktor: \(-56 : 7 = -8\). 2. Berechnung von b): Multiplikation des Quotienten mit dem Divisor: \(4 \cdot (-9) = -36\). 3. Berechnung von c): Division des Produkts durch den bekannten Faktor: \(10 : (-0{,}5) = -20\). 4. Bestimmung von d): Suche nach zwei ganzen Zahlen, deren Produkt \(-18\) ist, zum Beispiel \(2\) und \(-9\).

a) \(-8\) b) \(-36\) c) \(-20\) d) Zum Beispiel \(2\) und \(-9\) (oder \(-3\) und \(6\)).

- Probiere verschiedene Arten von Zahlen aus: positive Zahlen, negative Zahlen und die Null. - Kannst du die Terme vereinfachen, bevor du entscheidest? - Überlege dir, wie sich die Vorzeichenregeln bei der Multiplikation verhalten. - Was passiert, wenn du eine Zahl von sich selbst abziehst?

1. Die Ungleichung \(a + a < a\) ist gleichbedeutend mit \(2a < a\). Subtrahiert man \(a\) auf beiden Seiten, erhält man \(a < 0\). Die Aussage ist also für alle negativen Zahlen wahr. 2. Ein Produkt \(x \cdot y\) ist genau dann negativ, wenn die beiden Faktoren unterschiedliche Vorzeichen haben. Das bedeutet, eine der Zahlen muss positiv und die andere negativ sein. 3. Für jede rationale Zahl \(k\) ergibt das Produkt mit Null den Wert \(0\), also \(k \cdot 0 = 0\). Ebenso ergibt die Subtraktion einer Zahl von sich selbst immer Null, also \(k - k = 0\). Da \(0 = 0\), gilt die Gleichung für alle rationalen Zahlen \(k\).

a) Ja, das ist für alle negativen Zahlen (\(a < 0\)) der Fall. b) Die Zahlen \(x\) und \(y\) müssen unterschiedliche Vorzeichen haben (eine positiv, eine negativ). c) Ja, die Gleichung gilt für alle rationalen Zahlen, da beide Seiten immer den Wert \(0\) ergeben.

- Kannst du die erste Gleichung so umstellen, dass du das Verhältnis von \(a\) zu \(b\) siehst? - Versuche den Bruch auf der rechten Seite so weit wie möglich zu kürzen. - Wenn du weißt, in welchem Verhältnis die beiden Zahlen stehen, wie viele „Teile“ ergeben dann zusammen die Summe 14? - Was passiert, wenn du für \(a\) und \(b\) kleine Vielfache ihres Verhältnisses ausprobierst?

1. Umformung der Gleichung \(\frac{a}{12} = \frac{b}{30}\) zur Verhältnisgleichung: \(\frac{a}{b} = \frac{12}{30}\). 2. Kürzen des Verhältnisses: \(\frac{12}{30} = \frac{2}{5}\), also \(a : b = 2 : 5\). 3. Einführung eines Proportionalitätsfaktors \(k\): \(a = 2k\) und \(b = 5k\). 4. Einsetzen in die Summenbedingung: \(2k + 5k = 14 \implies 7k = 14\). 5. Berechnung des Faktors: \(k = 2\). 6. Berechnung der Werte: \(a = 2 \cdot 2 = 4\) und \(b = 5 \cdot 2 = 10\).

Das Zahlenpaar ist \(a = 4\) und \(b = 10\).

- Beachte die Vorrangregeln (Punkt-vor-Strich). - Versuche, die Gleichung schrittweise wie eine Waage zu behandeln und auf beiden Seiten die gleichen Operationen durchzuführen. - Was ist die Umkehroperation zu einer Division?

1. Teilaufgabe a): Berechnung des Produkts \((-8) \cdot 6 = -48\). Umstellen nach \(\Box\): \(-48 + \Box = -50 \Rightarrow \Box = -2\). 2. Teilaufgabe b): Umkehrung der Division durch Multiplikation: \(\Box + 20 = (-4) \cdot (-5) = 20\). Subtraktion von \(20\) ergibt \(\Box = 0\). 3. Teilaufgabe c): Umkehrung der Subtraktion: \(-100 : \Box = -7 + 12 = 5\). Division von \(-100\) durch das Ergebnis \(5\) ergibt \(\Box = -20\).

a) \(-2\) b) \(0\) c) \(-20\)

- Achte genau darauf, ob das Zeichen „kleiner als“ (\(<\)) oder „kleiner oder gleich“ (\(\le\)) verwendet wird. - Könntest du die Brüche oder Dezimalzahlen zuerst so umwandeln, dass sie den gleichen Nenner wie der mittlere Teil haben? - Wie viele Zahlen passen in das Intervall?

1. Multiplikation der Ungleichung a) mit 12: \(12 \cdot \frac{2}{3} < x \le 12 \cdot \frac{5}{4}\). Dies vereinfacht sich zu \(8 < x \le 15\). Die natürlichen Zahlen sind \(x \in \{9, 10, 11, 12, 13, 14, 15\}\). 2. Multiplikation der Ungleichung b) mit 8: \(8 \cdot 0{,}75 < x < 8 \cdot 1{,}5\). Dies ergibt \(6 < x < 12\). Die natürlichen Zahlen sind \(x \in \{7, 8, 9, 10, 11\}\).

a) \(x \in \{9, 10, 11, 12, 13, 14, 15\}\) b) \(x \in \{7, 8, 9, 10, 11\}\)

- Wie lässt sich ein Bruch in eine Dezimalzahl umwandeln? Das könnte den Vergleich erleichtern. - Was passiert, wenn du die Grenzen mit dem Zielnenner multiplizierst? - Gibt es eine ganze Zahl, die in den Bereich passt, den du berechnet hast?

1. Umrechnung der Grenzen in Dezimalzahlen oder Brüche mit passendem Nenner: \(\frac{2}{5} = 0{,}4\) und \(\frac{3}{5} = 0{,}6\). 2. Aufstellen einer Ungleichung für den gesuchten Bruch \(\frac{x}{8}\): \(0{,}4 < \frac{x}{8} < 0{,}6\). 3. Multiplikation der Ungleichung mit 8 zur Bestimmung des Zählers: \(3{,}2 < x < 4{,}8\). 4. Da \(x\) eine natürliche Zahl sein muss, ist die einzige Lösung \(x = 4\). 5. Der gesuchte Bruch ist \(\frac{4}{8}\), was gekürzt \(\frac{1}{2}\) entspricht.

\(\frac{4}{8}\) (gekürzt: \(\frac{1}{2}\))

- Könnte es helfen, alle Brüche in der Gleichung auf denselben Nenner zu bringen? - Wenn die Nenner links und rechts vom Gleichheitszeichen gleich sind, was muss dann für die Zähler gelten? - Behandle die Zähler wie eine kleine Rätselaufgabe für sich.

1. Bringen der rechten Seite auf den Nenner 18: \(\frac{2}{3} = \frac{12}{18}\). Vergleich der Zähler: \(x + 5 = 12 \Rightarrow x = 7\). 2. Bringen der rechten Seite auf den Nenner 30: \(\frac{1}{6} = \frac{5}{30}\). Vergleich der Zähler: \(17 - x = 5 \Rightarrow x = 12\). 3. Darstellung der 1 als Bruch: \(1 = \frac{42}{42}\). Vergleich der Zähler: \(25 + x - 11 = 42 \Rightarrow 14 + x = 42 \Rightarrow x = 28\).

a) \(x = 7\) b) \(x = 12\) c) \(x = 28\)

- Kannst du die Aufgabe mithilfe einer Umkehraufgabe lösen? - Wenn \(A - B = C\), wie kannst du dann \(B\) berechnen? - Behandle das Kästchen wie eine unbekannte Zahl und versuche, sie allein auf eine Seite zu bringen. - Achte auch hier auf den gemeinsamen Nenner.

1. Teilaufgabe a): Umstellen der Gleichung zu \(\Box = 5\frac{1}{2} - 2\frac{3}{4}\). Hauptnenner \(4\) nutzen: \(5\frac{2}{4} - 2\frac{3}{4}\). Umwandeln eines Ganzen: \(4\frac{6}{4} - 2\frac{3}{4} = 2\frac{3}{4}\). 2. Teilaufgabe b): Umkehraufgabe bilden: \(\Box + 1\frac{1}{3} = 3 + 2\frac{1}{6} = 5\frac{1}{6}\). Dann \(\Box = 5\frac{1}{6} - 1\frac{1}{3}\). Hauptnenner \(6\) nutzen: \(5\frac{1}{6} - 1\frac{2}{6}\). Umwandeln eines Ganzen: \(4\frac{7}{6} - 1\frac{2}{6} = 3\frac{5}{6}\).

a) \(\Box = 2\frac{3}{4}\) b) \(\Box = 3\frac{5}{6}\)

- Welche Werte kann \(\triangle\) überhaupt annehmen, wenn der Zähler kleiner als der Nenner sein muss? - Versuche, die Gleichung so umzustellen, dass der Bruch mit \(\square\) alleine auf einer Seite steht. - Was muss für \(\square\) gelten, damit \(\frac{2}{\square}\) ein echter Bruch ist? - Setze nacheinander die möglichen Werte für \(\triangle\) ein und prüfe, ob für \(\square\) eine natürliche Zahl herauskommt.

1. Aus der Bedingung „Zähler kleiner als Nenner“ für \(1\frac{\triangle}{5}\) folgt \(\triangle \in \{1, 2, 3, 4\}\). 2. Aus der Bedingung für \(\frac{2}{\square}\) folgt \(\square > 2\). 3. Umstellen der Gleichung nach \(\frac{2}{\square}\): \(\frac{2}{\square} = 2 - 1\frac{\triangle}{5} = 1 - \frac{\triangle}{5} = \frac{5-\triangle}{5}\). 4. Fallprüfung für \(\triangle\): - Wenn \(\triangle = 1\): \(\frac{2}{\square} = \frac{4}{5} \implies \square = \frac{10}{4} = 2{,}5\) (keine natürliche Zahl). - Wenn \(\triangle = 2\): \(\frac{2}{\square} = \frac{3}{5} \implies \square = \frac{10}{3} \approx 3{,}33\) (keine natürliche Zahl). - Wenn \(\triangle = 3\): \(\frac{2}{\square} = \frac{2}{5} \implies \square = 5\). Dies ist eine natürliche Zahl und erfüllt \(\square > 2\). - Wenn \(\triangle = 4\): \(\frac{2}{\square} = \frac{1}{5} \implies \square = 10\). Dies ist eine natürliche Zahl und erfüllt \(\square > 2\).

Die Lösungen für \((\triangle, \square)\) sind \((3, 5)\) und \((4, 10)\).

- Erinnerst du dich an Umkehraufgaben? Wie findest du einen fehlenden Summanden? - Wenn du eine Zahl von \(45{,}6\) abziehst und \(12{,}78\) erhältst, wie groß muss der abgezogene Teil sein? - Kannst du bei Teilaufgabe c) erst ausrechnen, was in der Klammer stehen muss, bevor du den Platzhalter selbst bestimmst?

1. Lösung für a) durch Umkehraufgabe: \(30{,}1 - 12{,}45 = 17{,}65\). 2. Lösung für b) durch Subtraktion des Ergebnisses vom Minuenden: \(45{,}6 - 12{,}78 = 32{,}82\). 3. Lösung für c) schrittweise: Zuerst die äußere Operation umkehren: \(\square + 2{,}5 = 5{,}8 + 1{,}2 = 7{,}0\). Dann die innere Operation umkehren: \(\square = 7{,}0 - 2{,}5 = 4{,}5\).

a) \(17{,}65\) b) \(32{,}82\) c) \(4{,}5\)

- Löse am besten jede Gleichung einzeln nach \(x\) auf. - Es ist hilfreich, die Ergebnisse am Ende in das gleiche Format (entweder Bruch oder Dezimalzahl) zu bringen, um sie besser vergleichen zu können. - Überlege dir, welche Darstellung (\(0{,}25\) oder \(\frac{1}{4}\)) dir hier mehr nützt.

1. Umformung der ersten Gleichung: \(x = 0{,}75 - 0{,}5 = 0{,}25\). 2. Umformung der zweiten Gleichung: \(x = \frac{5}{6} - \frac{7}{12}\). Hauptnenner bilden: \(x = \frac{10}{12} - \frac{7}{12} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}\). Da \(\frac{1}{4} = 0{,}25\), ist die Lösung identisch. 3. Umformung der dritten Gleichung: \(x = 0{,}125 + \frac{1}{8}\). Umwandlung von \(\frac{1}{8}\) in \(0{,}125\): \(x = 0{,}125 + 0{,}125 = 0{,}25\). Alle drei Gleichungen haben die Lösung \(x = 0{,}25\).

Ja, alle drei Gleichungen haben die Lösung \(x = 0{,}25\) (bzw. \(x = \frac{1}{4}\)).

- Was passiert, wenn du den Bruch mit dem Minuszeichen auf die andere Seite der Gleichung bringst? - Kannst du die Brüche auf der rechten Seite zusammenfassen? - Wenn zwei Brüche gleich sind und die Zähler unterschiedlich, wie kannst du sie vergleichbar machen?

1. Umstellen der Gleichung nach dem unbekannten Bruch: \( \frac{5}{\square} = \frac{1}{12} + \frac{1}{4} \). 2. Erweitern von \( \frac{1}{4} \) auf den Nenner 12: \( \frac{1}{4} = \frac{3}{12} \). 3. Addition der Brüche auf der rechten Seite: \( \frac{1}{12} + \frac{3}{12} = \frac{4}{12} \). 4. Kürzen des Ergebnisses: \( \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \). 5. Gleichsetzen der Brüche: \( \frac{5}{\square} = \frac{1}{3} \). 6. Bestimmung des Nenners durch Erweitern des Bruchs \( \frac{1}{3} \) mit 5: \( \frac{1}{3} = \frac{5}{15} \), woraus \( \square = 15 \) folgt.

Das Kästchen muss die Zahl 15 enthalten.

- Bring zuerst alle Teile der Gleichung auf den Nenner 10. - Kannst du die Gleichung so vereinfachen, dass nur noch die Zahlen aus den Kästchen darin vorkommen? - Probiere systematisch kleine Zahlen für eines der Kästchen aus. - Gibt es vielleicht mehrere Kombinationen, die in der Summe zum Ziel führen?

1. Umwandlung der Dezimalzahl in einen Bruch: \( 0{,}7 = \frac{7}{10} \). 2. Erweitern des zweiten Bruchs auf den Nenner 10: \( \frac{y}{5} = \frac{2y}{10} \). 3. Aufstellen der Gleichung für die Zähler: \( x + 2y = 7 \), wobei \( x \) und \( y \) die Werte in den Kästchen sind. 4. Finden ganzzahliger Lösungen für \( y \in \{1, 2, 3\} \): - Wenn \( y = 1 \), dann \( x + 2 = 7 \implies x = 5 \). - Wenn \( y = 2 \), dann \( x + 4 = 7 \implies x = 3 \). - Wenn \( y = 3 \), dann \( x + 6 = 7 \implies x = 1 \). 5. Proben: - \(x=5, y=1\): \(\frac{5}{10} + \frac{1}{5} = \frac{7}{10} = 0{,}7\). - \(x=3, y=2\): \(\frac{3}{10} + \frac{2}{5} = \frac{7}{10} = 0{,}7\). - \(x=1, y=3\): \(\frac{1}{10} + \frac{3}{5} = \frac{7}{10} = 0{,}7\).

Mögliche Lösungen (Kästchen 1, Kästchen 2) sind: (5, 1), (3, 2) oder (1, 3).

- Kannst du die unbekannte Gesamtzahl der Plätze mit einem Buchstaben benennen? - Wie viel Platz nehmen die 12 Bücher als Anteil vom Ganzen ein? - Stell dir vor, du ziehst den ersten belegten Teil vom zweiten belegten Teil ab.

1. Sei \(x\) die Gesamtzahl der Buchplätze im Regal. 2. Die Anzahl der Bücher zu Beginn beträgt \(\frac{1}{3}x\). 3. Nach dem Hinzufügen von 12 Büchern ist der belegte Anteil \(\frac{1}{2}x\). 4. Aufstellen der Gleichung: \(\frac{1}{3}x + 12 = \frac{1}{2}x\). 5. Umstellen der Gleichung: \(12 = \frac{1}{2}x - \frac{1}{3}x\). 6. Berechnung der Differenz der Brüche: \(\frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{3}{6} - \frac{2}{6} = \frac{1}{6}\). 7. Lösen nach \(x\): \(12 = \frac{1}{6}x \implies x = 72\).

Insgesamt passen 72 Bücher in das Regal.

- Könnte es helfen, den Bruch auf der rechten Seite so zu erweitern, dass er den gleichen Nenner hat wie der Bruch links? - Was passiert mit dem Zähler eines Bruchs, wenn man ihn mit einer ganzen Zahl multipliziert? - Du kannst auch probieren, welche Zahl passen könnte, und dein Ergebnis überprüfen.

1. Umwandlung des Ergebnisses auf den Nenner 9: \(\frac{2}{3} = \frac{6}{9}\). Vergleich der Zähler: \(x \cdot 2 = 6\) ergibt \(x = 3\). 2. Umwandlung des Ergebnisses auf den Nenner 20: \(\frac{9}{10} = \frac{18}{20}\). Vergleich der Zähler: \(x \cdot 3 = 18\) ergibt \(x = 6\). 3. Umwandlung des Ergebnisses auf den Nenner 12: \(\frac{5}{2} = \frac{30}{12}\). Vergleich der Zähler: \(x \cdot 5 = 30\) ergibt \(x = 6\).

a) \(x = 3\) b) \(x = 6\) c) \(x = 6\)

- Wie kannst du eine Multiplikationsaufgabe umkehren, um den unbekannten Faktor zu finden? - Bei Teil b: Durch welche Zahl muss man teilen, um von 12 auf 4 (im Zähler) und gleichzeitig den Nenner zu verdreifachen? - Es hilft oft, gemischte Zahlen zuerst in Brüche umzuwandeln. - Erinnere dich an die Umkehroperationen von Multiplikation und Division.

1. Lösung für a): Umwandlung von \(2\frac{1}{2}\) in \(\frac{5}{2}\). Die Gleichung lautet \(\frac{5}{6} \cdot x = \frac{5}{2}\). Umstellen nach \(x\) durch Division: \(x = \frac{5}{2} : \frac{5}{6} = \frac{5}{2} \cdot \frac{6}{5}\). Kürzen der beiden Fünfen und Berechnung von \(\frac{6}{2}\) ergibt \(x = 3\). 2. Lösung für b): Die Gleichung lautet \(\frac{12}{7} : x = \frac{4}{21}\). Umstellen nach \(x\) ergibt \(x = \frac{12}{7} : \frac{4}{21}\). Berechnung durch Kehrwertbildung: \(x = \frac{12}{7} \cdot \frac{21}{4}\). Kürzen: \(\frac{12}{4} = 3\) und \(\frac{21}{7} = 3\). Damit ist \(x = 3 \cdot 3 = 9\).

a) \(x = 3\) b) \(x = 9\)

- Welche Rechenart ist die Umkehrung der Multiplikation? - Wie dividiert man durch einen Bruch? - Was muss man mit einem Bruch multiplizieren, um genau 1 zu erhalten?

1. Berechnung von \(x\): Division des Ergebnisses durch den bekannten Faktor ergibt \( x = \frac{1}{3} : \frac{5}{6} = \frac{1}{3} \cdot \frac{6}{5} = \frac{6}{15} \). Kürzen durch 3 ergibt \( x = \frac{2}{5} \). 2. Berechnung von \(y\): Umwandlung \( 0{,}4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} \). Berechnung durch Multiplikation mit dem Kehrwert: \( y = \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{2} = \frac{10}{6} \). Kürzen durch 2 ergibt \( y = \frac{5}{3} \). 3. Berechnung von \(z\): Damit das Produkt 1 ergibt, muss \(z\) der Kehrwert von \(-\frac{3}{4}\) sein. Somit ist \( z = -\frac{4}{3} \).

a) \( x = \frac{2}{5} \) b) \( y = \frac{5}{3} \) c) \( z = -\frac{4}{3} \)

- Wie findet man einen fehlenden Faktor in einer Multiplikationsaufgabe? - Welche Rechenoperation ist das Gegenteil der Multiplikation? - Denke bei b) daran, die gemischte Zahl zuerst in einen Bruch umzuwandeln. - Wie dividiert man durch einen Bruch?

1. Lösung für a): Gesucht ist ein Faktor \( x \), sodass \( x \cdot \frac{8}{9} = \frac{2}{3} \). Division \( \frac{2}{3} : \frac{8}{9} = \frac{2}{3} \cdot \frac{9}{8} = \frac{18}{24} = \frac{3}{4} \). 2. Lösung für b): Umwandlung \( 1\frac{1}{5} = \frac{6}{5} \). Rechnung \( \frac{3}{5} \cdot x = \frac{6}{5} \). Division \( \frac{6}{5} : \frac{3}{5} = \frac{6}{5} \cdot \frac{5}{3} = \frac{30}{15} = 2 \). 3. Lösung für c): Rechnung \( \frac{3}{4} \cdot x = \frac{1}{2} \). Division \( \frac{1}{2} : \frac{3}{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \).

a) \( \frac{3}{4} \) b) \( 2 \) c) \( \frac{2}{3} \)

- Kannst du die Bedingungen in Ungleichungen schreiben? - Teile beide Grenzwerte durch \(\frac{2}{3}\), um die Grenzen für \(x\) zu bestimmen. - Denk daran, dass die Division durch einen Bruch dasselbe ist wie die Multiplikation mit seinem Kehrwert.

1. Bedingung \(x \cdot \frac{2}{3} > 1\): Umstellen ergibt \(x > 1 : \frac{2}{3}\), also \(x > \frac{3}{2} = 1{,}5\). 2. Bedingung \(x \cdot \frac{2}{3} < \frac{3}{2}\): Umstellen ergibt \(x < \frac{3}{2} : \frac{2}{3}\), also \(x < \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{9}{4} = 2{,}25\). 3. Wähle einen Bruch zwischen \(1{,}5\) und \(2{,}25\), zum Beispiel \(x = \frac{2}{1}\). 4. Überprüfung: \(\frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{3}\). Es gilt \(1 = \frac{3}{3} < \frac{4}{3}\) und \(\frac{4}{3} = \frac{8}{6} < \frac{9}{6} = \frac{3}{2}\).

Ein möglicher Bruch ist \(\frac{2}{1}\) (also \(2\)). Auch Brüche wie \(\frac{7}{4}\) sind korrekt.

- Kannst du die Gleichung so umstellen, dass die gesuchte Zahl allein auf einer Seite steht? - Welche Rechenoperation macht eine Division oder Multiplikation rückgängig? - Denk daran, dass man durch einen Bruch dividiert, indem man mit seinem Kehrwert multipliziert. - Bei Aufgaben mit mehreren Rechenschritten: Welche Operation musst du zuerst „rückwärts“ rechnen? - Vereinfache zuerst eine Seite der Gleichung, wenn dort kein Platzhalter steht.

1. Berechnung von a): Um den Faktor zu finden, dividiert man das Produkt durch den bekannten Faktor: \(\square = \frac{1}{3} : \frac{5}{6} = \frac{1}{3} \cdot \frac{6}{5} = \frac{6}{15} = \frac{2}{5}\). 2. Berechnung von b): Um den Divisor zu finden, dividiert man den Dividenden durch den Quotienten: \(\square = \frac{3}{4} : \frac{9}{8} = \frac{3}{4} \cdot \frac{8}{9} = \frac{24}{36} = \frac{2}{3}\). 3. Berechnung von c): Zuerst wird der Summand isoliert: \(\square : 2 = \frac{7}{10} - \frac{2}{5} = \frac{7}{10} - \frac{4}{10} = \frac{3}{10}\). Dann wird nach der Zahl aufgelöst: \(\square = \frac{3}{10} \cdot 2 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}\). 4. Berechnung von d): Zuerst wird die rechte Seite berechnet: \(\frac{4}{5} : \frac{6}{5} = \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\). Die Gleichung lautet nun \(\square \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{3}\). Daraus folgt \(\square = \frac{2}{3} : \frac{2}{3} = 1\).

a) \(\frac{2}{5}\) b) \(\frac{2}{3}\) c) \(\frac{3}{5}\) d) \(1\)

- Wandle gemischte Zahlen immer zuerst in unechte Brüche um. - Überlege dir bei Divisionsaufgaben, ob die Unbekannte der Dividend oder der Divisor ist. - Wie berechnet man eine Potenz, wenn die Basis ein negativer Bruch ist? - Ein Doppelbruch ist nichts anderes als eine Division zweier Brüche. - Denke daran, das Ergebnis so weit wie möglich zu kürzen.

1. Um \(x\) in Aufgabenteil a) zu isolieren, wird \(-1 \frac{1}{9}\) durch \(2 \frac{2}{3}\) dividiert. Umwandlung in unechte Brüche ergibt \(-\frac{10}{9} : \frac{8}{3}\). Die Multiplikation mit dem Kehrwert führt zu \(-\frac{10}{9} \cdot \frac{3}{8} = -\frac{30}{72}\). Kürzen ergibt \(x = -\frac{5}{12}\). 2. In Teil b) wird die Gleichung nach \(x\) umgestellt: \(x = 4 \frac{1}{2} : \frac{3}{4}\). Umwandlung in einen unechten Bruch ergibt \(\frac{9}{2} : \frac{3}{4}\). Multiplikation mit dem Kehrwert ergibt \(\frac{9}{2} \cdot \frac{4}{3} = \frac{36}{6}\). Das Ergebnis ist \(x = 6\). 3. Für Teil c) wird zuerst die Potenz berechnet: \(\left(-\frac{1}{2}\right)^3 = -\frac{1}{8}\). Die Gleichung \(x : \left(-\frac{1}{8}\right) = -16\) wird durch Multiplikation gelöst: \(x = -16 \cdot \left(-\frac{1}{8}\right)\). Das Ergebnis ist \(x = 2\). 4. In Teil d) wird zuerst der Doppelbruch vereinfacht: \(\frac{2}{5} : \frac{4}{15} = \frac{2}{5} \cdot \frac{15}{4} = \frac{30}{20} = \frac{3}{2}\). Die Gleichung lautet nun \(\frac{3}{2} : x = \frac{5}{2}\). Umstellen nach \(x\) ergibt \(x = \frac{3}{2} : \frac{5}{2} = \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{5}\). Das Ergebnis ist \(x = \frac{3}{5}\).

a) \(x = -\frac{5}{12}\) b) \(x = 6\) c) \(x = 2\) d) \(x = \frac{3}{5}\)

- Berechne zuerst den unbekannten Bruch, indem du das Ergebnis durch den gegebenen Faktor teilst. - Nutze für die Division von Brüchen immer den Kehrwert des zweiten Bruchs. - Vergleiche am Ende dein berechnetes Ergebnis mit dem Wert, den Sarah genannt hat.

1. Bestimmung der unbekannten Zahl \(x\) durch die Umkehroperation: \(x = \frac{5}{12} : \frac{5}{6}\). 2. Durchführung der Division mit dem Kehrwert: \(x = \frac{5}{12} \cdot \frac{6}{5} = \frac{30}{60} = \frac{1}{2}\). 3. Prüfung von Sarahs Behauptung durch Division von \(\frac{1}{2}\) durch \(\frac{1}{4}\): \(\frac{1}{2} : \frac{1}{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{1} = \frac{4}{2} = 2\). 4. Vergleich: Sarah behauptet \(4\), das tatsächliche Ergebnis ist jedoch \(2\).

Nein, Sarah hat nicht recht. Der unbekannte Bruch ist \(\frac{1}{2}\). Wenn man \(\frac{1}{2}\) durch \(\frac{1}{4}\) dividiert, erhält man \(2\) und nicht \(4\).

- Überlege dir bei Aufgaben mit Lücken, welche Umkehroperation dir helfen könnte. - Erinnere dich daran, wie man eine Dezimalzahl mit \(10\), \(100\) oder \(1000\) multipliziert. - Achte bei negativen Ergebnissen auf die Vorzeichenregel.

1. Berechnung des Platzhalters durch Division: \(3{,}2 : 0{,}4 = 32 : 4 = 8\). 2. Multiplikation: \(7 \cdot 8 = 56\), mit zwei Nachkommastellen ergibt sich \(0{,}56\). 3. Bestimmung des Faktors: \(-4{,}5 : 1{,}5 = -3\). 4. Multiplikation mit einer Zehnerpotenz: \(0{,}003 \cdot 300 = 0{,}3 \cdot 3 = 0{,}9\).

a) \(8\) b) \(0{,}56\) c) \(-3\) d) \(0{,}9\)

- Kannst du die Aufgabe in eine Multiplikationsaufgabe umwandeln? - Rechne zuerst die Seite aus, auf der beide Zahlen bekannt sind. - Wie hängen die Zahlen zusammen, wenn das Ergebnis gleich bleiben soll?

1. a) Umkehrrechnung durchführen: \(20 \cdot 0{,}3 = 6\). 2. b) Den Divisor bestimmen durch \(1{,}8 : 9 = 0{,}2\). 3. c) Den Wert der linken Seite berechnen: \(0{,}75 : 0{,}25 = 75 : 25 = 3\). Dann die Gleichung \(7{,}5 : x = 3\) lösen: \(7{,}5 : 3 = 2{,}5\). 4. d) Den Wert der linken Seite berechnen: \(0{,}04 : 0{,}008 = 40 : 8 = 5\). Dann die Gleichung \(x : 8 = 5\) lösen: \(5 \cdot 8 = 40\).

a) \(6\) b) \(0{,}2\) c) \(2{,}5\) d) \(40\)

- Überlege dir bei jeder Teilaufgabe, mit welcher Gegenoperation du das \(x\) isolieren kannst. - Wenn ein Produkt gegeben ist, hilft oft eine Division. - Wenn der Dividend gesucht ist, hilft oft eine Multiplikation. - Achte bei der Multiplikation von Dezimalzahlen auf die Gesamtzahl der Nachkommastellen.

1. Umkehrrechnung für a): \(x = 1{,}44 : 0{,}2 = 14{,}4 : 2 = 7{,}2\) 2. Umkehrrechnung für b): \(x = 0{,}56 : 0{,}8 = 5{,}6 : 8 = 0{,}7\) 3. Umkehrrechnung für c): \(x = 0{,}04 \cdot 1{,}5 = 0{,}06\)

a) \(x = 7{,}2\) b) \(x = 0{,}7\) c) \(x = 0{,}06\)

- Überlege dir, mit welcher Rechenart du die gesuchte Zahl isolieren kannst. - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen Multiplikation und Division. - Achte bei der Multiplikation von Dezimalzahlen besonders auf die Anzahl der Nachkommastellen im Ergebnis.

1. Lösung für a): Um \( x \) zu finden, wird die Umkehroperation genutzt: \( x = 1{,}26 : 0{,}3 \). Kommaverschiebung ergibt \( 12{,}6 : 3 = 4{,}2 \). 2. Lösung für b): Um den Divisor zu finden, rechnet man \( 0{,}48 : 0{,}6 \). Kommaverschiebung ergibt \( 4{,}8 : 6 = 0{,}8 \). 3. Lösung für c): Um den Dividenden zu finden, wird die Umkehroperation (Multiplikation) genutzt: \( x = 2{,}5 \cdot 0{,}04 \). Rechnung: \( 25 \cdot 4 = 100 \), mit drei Nachkommastellen ergibt sich \( 0{,}100 = 0{,}1 \).

a) \( x = 4{,}2 \) b) \( x = 0{,}8 \) c) \( x = 0{,}1 \)

- Könntest du alle Brüche so umschreiben, dass sie denselben Nenner haben? - Was müsste im Zähler des zweiten Bruches stehen, damit die Summe der Zähler 11 ergibt? - Achte darauf, dass beim Erweitern von \(\frac{\square}{4}\) auf den Nenner 12 auch der Zähler mit derselben Zahl multipliziert werden muss.

1. Alle Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen: Der Hauptnenner für \(6, 4\) und \(12\) ist \(12\). 2. Erweitern der bekannten Brüche: \(\frac{1}{6} = \frac{2}{12}\) und \(\frac{\square}{4} = \frac{\square \cdot 3}{12}\). 3. Aufstellen der Zählergleichung: \(2 + (\square \cdot 3) = 11\). 4. Lösen der Gleichung nach dem Platzhalter: Subtraktion von \(2\) ergibt \(\square \cdot 3 = 9\). Division durch \(3\) ergibt \(\square = 3\). 5. Überprüfung: \(\frac{1}{6} + \frac{3}{4} = \frac{2}{12} + \frac{9}{12} = \frac{11}{12}\).

Die gesuchte Zahl ist \(3\).

- Überlege dir zuerst, welcher Anteil nach dem Gießen der Blumen noch im Fass ist. - „Die Hälfte des Rests“ bedeutet, dass du den Rest durch 2 teilst oder mit \(\frac{1}{2}\) multiplizierst. - Stelle eine Gleichung oder eine Schlussrechnung auf, um vom Anteil (\(21\,\text{l}\)) auf die Gesamtmenge zu schließen. - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen Litern und Kubikdezimetern.

1. Restanteil nach der Bewässerung der Beete: \(1 - \frac{3}{10} = \frac{7}{10}\) 2. Anteil für den Teich am Gesamtvolumen: \(\frac{1}{2} \cdot \frac{7}{10} = \frac{7}{20}\) 3. Verbleibender Anteil im Fass: \(\frac{7}{10} - \frac{7}{20} = \frac{14}{20} - \frac{7}{20} = \frac{7}{20}\) 4. Berechnung des Gesamtvolumens \(V\): \(\frac{7}{20} \cdot V = 21\,\text{l} \Rightarrow V = 21 \cdot \frac{20}{7} = 60\,\text{l}\) 5. Umrechnung in die andere Einheit: \(60\,\text{l} = 60\,\text{dm}^3\)

Das ursprüngliche Volumen betrug \(60\,\text{l}\), was \(60\,\text{dm}^3\) entspricht.

- Überlege dir, mit welcher Umkehroperation du die fehlende Zahl berechnen kannst. - Achte besonders darauf, ob die gesuchte Zahl positiv oder negativ sein muss, um das Zielergebnis zu erreichen. - Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn du eine Zahl von einer Seite der Gleichung auf die andere bringst?

1. Um die Lücke zu finden, rechnet man \( -4 - (-1{,}5) = -4 + 1{,}5 = -2{,}5 \). 2. Division des Ergebnisses durch den bekannten Faktor: \( 1 : (-0{,}2) = -5 \). 3. Multiplikation des Quotienten mit dem Divisor: \( 0{,}25 \cdot (-10) = -2{,}5 \). 4. Umstellen der Gleichung ergibt \( x = 0{,}8 - 1{,}2 = -0{,}4 \).

a) \( -2{,}5 \) b) \( -5 \) c) \( -2{,}5 \) d) \( -0{,}4 \)

- Es kann hilfreich sein, Brüche in Dezimalzahlen umzuwandeln oder umgekehrt. - Überlege dir für jeden Teilschritt zuerst die passende Gleichung. - Erinnere dich an die Vorzeichenregeln für die Multiplikation und Division.

1. Berechnung des Produkts: \( -\frac{2}{5} \cdot 0{,}4 = -0{,}4 \cdot 0{,}4 = -0{,}16 \). 2. Bestimmung des Divisors: Die Gleichung lautet \( -0{,}16 : x = -1 \). Daraus folgt \( x = -0{,}16 : (-1) = 0{,}16 \) (oder \( \frac{4}{25} \)). 3. Berechnung der Summe: \( -0{,}16 + 0{,}2 = 0{,}04 \). 4. Bestimmung des Faktors für das Produkt \( 1 \): Die Gleichung lautet \( 0{,}04x = 1 \). Der Faktor ist der Kehrwert von \( 0{,}04 = \frac{1}{25} \), also \( x = 25 \).

a) \( -0{,}16 \) (oder \( -\frac{4}{25} \)) b) \( 0{,}16 \) (oder \( \frac{4}{25} \)) c) \( 25 \)

- Überlege dir, welche Rechenoperation die Umkehrung der gegebenen Operation ist. - Achte besonders auf das Vorzeichen: Welches Vorzeichen muss die gesuchte Zahl haben, damit das Ergebnis das richtige Vorzeichen hat? - Du kannst dein Ergebnis immer prüfen, indem du die Zahl in das Kästchen einsetzt und nachrechnest.

1. Teilaufgabe a): Um \(\square\) zu isolieren, wird die Umkehroperation durchgeführt: \(-0{,}5 - 1{,}5 = -2\). Somit ist \(\square = -2\). 2. Teilaufgabe b): In der Division \(-2{,}4 : \square = 6\) berechnet man den Divisor durch \(-2{,}4 : 6\). Das ergibt \(-0{,}4\). Somit ist \(\square = -0{,}4\). 3. Teilaufgabe c): Um den Faktor \(\square\) zu finden, rechnet man \(4 : (-\frac{2}{3})\). Dies entspricht \(4 \cdot (-\frac{3}{2}) = -6\). Somit ist \(\square = -6\).

a) \(-2\) b) \(-0{,}4\) c) \(-6\)

- Kannst du eine periodische Dezimalzahl als Bruch schreiben? - Was weißt du über das Ergebnis, wenn du nur ganze Zahlen miteinander malnimmst? - Wie viele negative Faktoren braucht man, damit ein Produkt am Ende positiv ist?

1. Fall a): Möglich. Eine periodische Dezimalzahl wie \(0{,}\overline{3}\) entspricht dem Bruch \(\frac{1}{3}\). Wählt man z. B. \(0{,}\overline{3} \cdot 1{,}8 \cdot 1\), erhält man \(0{,}6\). 2. Fall b): Nicht möglich. Das Produkt von ganzen Zahlen ist immer eine ganze Zahl. Da \(0{,}6\) keine ganze Zahl ist, können nicht alle Faktoren ganzzahlig sein. 3. Fall c): Nicht möglich. Wenn genau ein Faktor negativ ist (und die anderen positiv), ist das Produkt negativ. Da \(0{,}6\) positiv ist, ist dies ausgeschlossen.

a) Ja, z. B. \(0{,}\overline{3} \cdot 1{,}8 \cdot 1 = 0{,}6\). b) Nein, da \(0{,}6\) keine ganze Zahl ist. c) Nein, das Produkt wäre dann negativ.

- Was passiert mit den Vorzeichen, wenn ein Minuszeichen vor einer Klammer mit einer negativen Zahl steht? - Wie würdest du vorgehen, wenn dort \(x + 15 = 10\) stehen würde? - Versuche, Schritt für Schritt die Unbekannte auf eine Seite der Gleichung zu isolieren.

1. Überprüfung von Annas Aussage: Das Subtrahieren einer negativen Zahl ist gleichbedeutend mit der Addition der Gegenzahl. Somit ist \(x - (-15) = x + 15\). Anna hat recht. 2. Überprüfung von Bens Aussage: Um die Gleichung \(x + 15 = 10\) nach \(x\) aufzulösen, muss die Gegenzahl von \(15\) addiert bzw. \(15\) subtrahiert werden. Die Rechnung \(10 - 15\) ist also korrekt. Ben hat recht. 3. Berechnung des Wertes: \(10 - 15 = -5\). Die Lösung der Gleichung ist \(x = -5\).

Beide haben recht. Die Lösung ist \(x = -5\).

- Kannst du die Terme auf der linken Seite erst vereinfachen, bevor du die Gleichung umstellst? - Denke an die Regeln für Minuszeichen vor einer Klammer. - Du kannst die gesamte Klammer auch zuerst als einen „Block“ betrachten und überlegen, welchen Wert dieser Block haben muss.

1. In Teilaufgabe a) können die Klammern weggelassen werden: \(-15 + z - 10 = 5\). Zusammenfassen ergibt \(z - 25 = 5\). Addition von \(25\) führt zu \(z = 30\). 2. In Teilaufgabe b) wird das Minus vor der Klammer beachtet: \(30 - z - 5 = 15\). Zusammenfassen ergibt \(25 - z = 15\). Subtraktion von \(25\) ergibt \(-z = -10\), also \(z = 10\). 3. In Teilaufgabe c) ergibt das Auflösen der Klammern \(z + 4 - 12 = -20\). Zusammenfassen führt zu \(z - 8 = -20\). Addition von \(8\) ergibt \(z = -12\).

a) \(z = 30\) b) \(z = 10\) c) \(z = -12\)

- Wie hängen Multiplikation und Division zusammen? Kannst du eine Umkehraufgabe bilden? - Bei Teilaufgabe c): Was passiert, wenn du die Division in eine Multiplikation mit dem Kehrwert umschreibst? - Kannst du die Gleichung erst vereinfachen, bevor du nach der fehlenden Zahl suchst?

1. Zu a): Um den Faktor zu finden, dividiert man das Ergebnis durch den bekannten Faktor: \(15 : \frac{3}{4} = 15 \cdot \frac{4}{3} = 5 \cdot 4 = 20\). 2. Zu b): Um den Faktor zu finden, dividiert man das Ergebnis durch den bekannten Faktor: \(10 : \frac{2}{5} = 10 \cdot \frac{5}{2} = 5 \cdot 5 = 25\). 3. Zu c): Die Gleichung \(12 : \frac{\Box}{4} = 16\) umformen zu \(12 \cdot \frac{4}{\Box} = 16\), also \(\frac{48}{\Box} = 16\). Daraus folgt \(\Box = \frac{48}{16} = 3\). 4. Zu d): Direkte Multiplikation: \(\frac{7}{9} \cdot 18 = 7 \cdot \frac{18}{9} = 7 \cdot 2 = 14\).

a) \(20\) b) \(25\) c) \(3\) d) \(14\)

- Du kannst die fehlende Zahl finden, indem du die Umkehroperation verwendest. - Bei Teil c) überlege dir zuerst, welchen Wert der gesamte Klammerausdruck haben muss. - Stelle dir die Zahlen auf einer Zahlengeraden vor, um die Richtung der Verschiebung zu prüfen.

1. Umstellung für a): \(\Box = -1{,}2 - (-3{,}4) = -1{,}2 + 3{,}4 = 2{,}2\). 2. Umstellung für b): \(\Box = -\frac{1}{6} + \frac{2}{3} = -\frac{1}{6} + \frac{4}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\). 3. Umstellung für c): Die Klammer muss den Wert \(1{,}5\) haben, damit die Differenz Null ergibt. Also \(0{,}8 + \Box = 1{,}5\). Daraus folgt \(\Box = 1{,}5 - 0{,}8 = 0{,}7\).

a) \(2{,}2\) b) \(\frac{1}{2}\) (oder \(0{,}5\)) c) \(0{,}7\)

- Überlege zuerst, wie du die Klammern auflösen kannst. - Denke daran, Brüche auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen, bevor du sie addierst oder subtrahierst. - Wenn vor dem \(x\) ein Minuszeichen steht, wie kannst du es positiv machen?

1. Vereinfachung der Terme: In a) wird \(x - (-\frac{1}{6})\) zu \(x + \frac{1}{6}\). In b) wird \(\frac{1}{8} - \frac{5}{8} = -\frac{4}{8} = -0{,}5\). 2. Berechnung der rechten Seite in a): Hauptnenner \(6\) suchen. \(-\frac{4}{6} - \frac{3}{6} = -\frac{7}{6}\). 3. Auflösen nach \(x\) in a): \(x = -\frac{7}{6} - \frac{1}{6} = -\frac{8}{6} = -\frac{4}{3}\). 4. Auflösen nach \(x\) in b): \(-0{,}75 - x = -0{,}5\). Umstellen ergibt \(-0{,}75 + 0{,}5 = x\), also \(x = -0{,}25\).

a) \(x = -1\frac{1}{3}\) (oder \(x = -\frac{4}{3}\)) b) \(x = -0{,}25\) (oder \(x = -\frac{1}{4}\))

- Kannst du die Aufgabe mithilfe einer Umkehraufgabe lösen? - Was muss als Ergebnis in der Klammer stehen, damit die Division durch \(0{,}5\) genau \(-10\) ergibt? - Stelle dir die Rechnung auf einer Zahlengeraden vor, um den fehlenden Wert zu finden.

1. Umkehrung der Division durch Multiplikation der rechten Seite mit \(0{,}5\): \(-10 \cdot 0{,}5 = -5\). Somit gilt: \(-12{,}4 + \square = -5\). 2. Bestimmung des Platzhalters durch Addition von \(12{,}4\) zum Ergebnis: \(\square = -5 + 12{,}4 = 7{,}4\).

\(7{,}4\)

- Wie macht man eine Rechenoperation rückgängig? - Was ist das Gegenteil davon, eine negative Zahl zu subtrahieren? - Vergleiche dein Ergebnis am Ende mit Leonies Behauptung.

1. Aufstellen der Umkehraufgabe: Um \(x\) in der Gleichung \(x - (-2{,}4) = -1{,}1\) zu isolieren, muss die Gegenoperation zur Subtraktion von \(-2{,}4\) durchgeführt werden. Dies ist die Addition von \(-2{,}4\). 2. Berechnung: \(-1{,}1 + (-2{,}4) = -1{,}1 - 2{,}4 = -3{,}5\). 3. Vergleich: Das berechnete Ergebnis \(x = -3{,}5\) stimmt mit Leonies Ergebnis überein.

Die Umkehraufgabe lautet \(-1{,}1 + (-2{,}4) = -3{,}5\). Leonie hat richtig gerechnet.

- Beginne damit, alle Zahlen aufzuschreiben, die die ersten beiden Bedingungen erfüllen. - Untersuche dann für diese kleine Auswahl an Zahlen nacheinander die Teilermengen. - Wie viele Teiler hat eine Zahl, die das Produkt aus dem Quadrat einer Primzahl und einer anderen Primzahl ist (z. B. \(3^2 \cdot 5\))?

1. Mögliche Vielfache von 3 im Bereich \(30 < x < 50\): 33, 36, 39, 42, 45, 48. 2. Prüfung der Teileranzahl für diese Kandidaten: \(33: \{1, 3, 11, 33\}\) (4 Teiler) \(36: \{1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36\}\) (9 Teiler) \(39: \{1, 3, 13, 39\}\) (4 Teiler) \(42: \{1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42\}\) (8 Teiler) \(45: \{1, 3, 5, 9, 15, 45\}\) (6 Teiler) \(48: \{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48\}\) (10 Teiler) 3. Ergebnis: Nur die Zahl 45 erfüllt alle Bedingungen.

Die gesuchte Zahl ist \(x = 45\). Ihre Teiler sind 1, 3, 5, 9, 15 und 45. Dies sind genau 6 Teiler, und 45 ist ein Vielfaches von 3 im Bereich zwischen 30 und 50.

- Es hilft, zuerst alle Zahlen als Dezimalzahlen zu schreiben. - Überlege dir, ob das Ergebnis \(0{,}5\) eher durch Addition großer Werte oder durch Subtraktion erreicht werden kann. - Achte besonders auf das „Minus-Minus-Gesetz“ (Subtraktion einer negativen Zahl). - Versuche, die Zahlen erst einmal grob zu überschlagen, bevor du genau rechnest.

1. Umwandlung des Bruchs: \(\frac{1}{4} = 0{,}25\). 2. Suche nach einer Kombination von vier Zahlen und passenden Vorzeichen: - Test von \(1{,}2\), \(-0{,}8\), \(0{,}1\) und \(-0{,}2\). - Berechnung: \(1{,}2 + (-0{,}8) - 0{,}1 - (-0{,}2) = 1{,}2 - 0{,}8 - 0{,}1 + 0{,}2 = 0{,}4 - 0{,}1 + 0{,}2 = 0{,}3 + 0{,}2 = 0{,}5\). 3. Alternativ: \(1{,}2 - 0{,}8 - 0{,}1 + 0{,}2 = 0{,}5\).

Eine mögliche Lösung ist: \(1{,}2 + (-0{,}8) - 0{,}1 - (-0{,}2) = 0{,}5\) (Dies entspricht der Rechnung: \(1{,}2 - 0{,}8 - 0{,}1 + 0{,}2 = 0{,}5\))

- Ordne die Zahlen zuerst der Größe nach auf einem Zahlenstrahl, um die kleinste und größte Zahl sicher zu finden. - Wann wird ein Produkt positiv, wann negativ? - Es hilft, sich \(0{,}125\) als Bruch vorzustellen.

1. Identifikation der Extreme: Die kleinste Zahl ist \(-8\), die größte ist \(4\). 2. Berechnung zu Teil a): \(-8 \cdot 4 = -32\). 3. Untersuchung der Produkte für Teil b): Das Produkt \(-8 \cdot 0{,}125\) ergibt genau \(-1\), da \(0{,}125 = \frac{1}{8}\). 4. Untersuchung der Produkte für Teil c): Um ein positives Produkt zu erhalten, müssen beide Faktoren das gleiche Vorzeichen haben. - Positive Paare: \(-8 \cdot (-0{,}5) = 4\) und \(0{,}125 \cdot 4 = 0{,}5\). - Das größte positive Produkt ist somit \(4\), gebildet aus \(-8\) und \(-0{,}5\).

a) \(-32\) b) \(-8\) und \(0{,}125\) c) Die Zahlen \(-8\) und \(-0{,}5\) ergeben das größte positive Produkt von \(4\).

- Wenn das Produkt \(1\) sein soll, suchst du nach dem sogenannten Kehrwert oder dem Reziproken. - Wie verändert sich das Vorzeichen, wenn das Ergebnis positiv sein soll, aber ein Faktor negativ ist? - Überlege bei Teilaufgabe d), welche besondere Eigenschaft die Zahl Null bei der Multiplikation hat.

1. Berechnung von \(x\): Durch Division \(1 : (-2)\) erhält man \(x = -0{,}5\) oder \(x = -\frac{1}{2}\). 2. Berechnung von \(y\): Durch Division \(1 : 0{,}1\) erhält man \(y = 10\). 3. Kehrwerte finden: Das Produkt eines Bruchs mit seinem Kehrwert ist immer \(1\), zum Beispiel \(\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2} = \frac{10}{10} = 1\). 4. Nullprodukt-Eigenschaft: Ein Produkt ist \(0\), wenn mindestens einer der Faktoren \(0\) ist. Da die Faktoren verschieden sein sollen, wählen wir \(0\) und eine beliebige andere Zahl, zum Beispiel \(0 \cdot 5 = 0\).

a) \(x = -0{,}5\) (oder \(-\frac{1}{2}\)) b) \(y = 10\) c) Zum Beispiel \(\frac{2}{5}\) und \(\frac{5}{2}\) d) Ja, zum Beispiel \(0 \cdot 7 = 0\)

- Überlege dir zuerst, wie du aus den Beträgen der Zahlen (4, 2, 6, 8) die Zielzahl kombinieren kannst. - Achte besonders darauf: Das Subtrahieren einer negativen Zahl entspricht dem Addieren ihrer Gegenzahl. - Probiere aus, ob es hilft, die positiven und negativen Zahlen getrennt zu betrachten.

1. Zielwert \(0\): Mögliche Kombination ist \(8 - 6 - (-2) + (-4)\). Berechnung: \(8 - 6 = 2\); \(2 + 2 = 4\); \(4 - 4 = 0\). 2. Zielwert \(12\): Mögliche Kombination ist \(8 + 6 - (-2) + (-4)\). Berechnung: \(8 + 6 = 14\); \(14 + 2 = 16\); \(16 - 4 = 12\).

Eine Lösung für \(0\) ist: \(8 - 6 - (-2) + (-4) = 0\). Eine Lösung für \(12\) ist: \(8 + 6 - (-2) + (-4) = 12\).

- Kannst du die Aufgabe mithilfe einer Umkehroperation lösen? - Überlege dir bei der Division: Geteilt durch was ergibt das Ziel? - Achte genau auf die Vorzeichenregeln beim Umstellen der Gleichung.

1. Berechnung der Zahl in a) durch die Umkehraufgabe: \(1{,}5 : (-0{,}5) = -3\). 2. Berechnung der Zahl in b): Um \(x\) in \(\frac{2}{7} : x = -\frac{4}{21}\) zu finden, wird \(\frac{2}{7} : \left(-\frac{4}{21}\right)\) gerechnet. Dies entspricht \(\frac{2}{7} \cdot \left(-\frac{21}{4}\right) = -\frac{42}{28} = -\frac{3}{2}\) (oder \(-1{,}5\)). 3. Berechnung der Zahl in c) durch die Umkehraufgabe: \(\frac{9}{4} \cdot \left(-\frac{2}{3}\right) = -\frac{18}{12} = -\frac{3}{2}\) (oder \(-1{,}5\)).

a) \(-3\) b) \(-\frac{3}{2}\) (oder \(-1{,}5\)) c) \(-\frac{3}{2}\) (oder \(-1{,}5\))

- Überlege dir bei Teilaufgabe a): Welche Zahl muss ich von \(\frac{8}{3}\) abziehen, um \(\frac{5}{4}\) zu erhalten? - Kannst du eine Umkehraufgabe bilden, um \(x\) zu isolieren? - Achte darauf, das Endergebnis wenn möglich zu kürzen.

1. In Teilaufgabe a) wird nach dem Subtrahenten gesucht. Die Rechnung lautet \(x = \frac{8}{3} - \frac{5}{4}\). Der Hauptnenner von 3 und 4 ist 12. Erweiterung ergibt \(\frac{32}{12} - \frac{15}{12} = \frac{17}{12}\). 2. In Teilaufgabe b) wird nach dem Minuenden gesucht. Die Umkehroperation ist Addition: \(x = \frac{7}{10} + \frac{1}{2}\). Der Hauptnenner ist 10. Erweiterung ergibt \(\frac{7}{10} + \frac{5}{10} = \frac{12}{10}\). Gekürzt ergibt dies \(\frac{6}{5}\).

a) \(x = \frac{17}{12}\) b) \(x = \frac{6}{5}\) (oder \(1\frac{1}{5}\))

- Überlege dir, welche Zahl du addieren oder subtrahieren musst, um das \(x\) allein auf einer Seite stehen zu haben. - Nutze die Umkehroperation, um die gesuchte Zahl zu finden. - Du kannst dein Ergebnis immer prüfen, indem du den gefundenen Wert für \(x\) in die ursprüngliche Gleichung einsetzt. - Bei mehreren Zahlen auf einer Seite lohnt es sich, diese zuerst zusammenzufassen.

1. Anwendung der Umkehroperation: \(x = -5 - (-12)\). Vereinfachung der Vorzeichen ergibt \(x = -5 + 12 = 7\). 2. Subtraktion von \(3{,}4\) auf beiden Seiten: \(x = -1{,}2 - 3{,}4\). Da beide Werte negativ sind, ergibt sich \(x = -4{,}6\). 3. Umformung der Gleichung: \(x = \frac{1}{2} - (-\frac{2}{5}) = \frac{1}{2} + \frac{2}{5}\). Bringen auf den Hauptnenner \(10\): \(x = \frac{5}{10} + \frac{4}{10} = \frac{9}{10}\) (oder \(0{,}9\)). 4. Zuerst Zusammenfassen der bekannten Zahlen: \(7{,}5 - 10 = -2{,}5\). Die Gleichung lautet nun \(-2{,}5 + x = 0\). Daraus folgt durch Umkehrung \(x = 2{,}5\).

1) \(x = 7\); 2) \(x = -4{,}6\); 3) \(x = \frac{9}{10}\) (oder \(0{,}9\)); 4) \(x = 2{,}5\).

- Was muss passieren, damit die Summe von drei Zahlen genau Null ergibt? - Berechne zuerst das Ergebnis der ersten beiden Zahlen. - Welche Zahl musst du zu deinem Zwischenergebnis addieren, um bei Null zu landen? - Erinnere dich an das Konzept der Gegenzahl.

1. In Teilaufgabe a) wird zuerst die Summe von \(a\) und \(b\) gebildet: \(-8{,}5 + 3{,}25 = -5{,}25\). Damit die Gesamtsumme \(0\) ergibt, muss \(c\) der Gegenzahl entsprechen: \(c = 5{,}25\). 2. Für b) wird ein gemeinsamer Nenner für die Brüche gesucht: \(\frac{4}{6} - \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\). Daraus folgt für die Summe \(0\), dass \(c = -\frac{1}{2}\) (oder \(-0{,}5\)) sein muss. 3. In Teilaufgabe c) ergibt die Summe \(15{,}7 - 20 = -4{,}3\). Um auf Null zu kommen, muss \(c = 4{,}3\) addiert werden.

a) \(c = 5{,}25\) b) \(c = -\frac{1}{2}\) c) \(c = 4{,}3\)

- Was passiert bei der Subtraktion einer negativen Zahl? - Wann ist ein Bruch oder ein Quotient gleich Null? - Denk daran, dass das Minuszeichen vor einer Variablen (\(-x\)) nicht automatisch bedeutet, dass das Ergebnis negativ ist. - Überprüfe deine Vermutung mit konkreten Zahlen wie \(5\), \(-5\) und \(0\).

1. Die Bedingung \(x - y > x\) ist erfüllt, wenn \(-y > 0\) gilt, was bedeutet, dass \(y\) negativ sein muss (\(y < 0\)). Beispiel: \(10 - (-5) = 15\), und \(15 > 10\). 2. Ein Quotient \(a : b\) (mit \(b \neq 0\)) ist genau dann Null, wenn der Dividend \(a\) gleich Null ist. Da gegeben ist, dass \(a \neq 0\), kann der Quotient niemals Null sein. 3. Für \(x > 0\) ist \(-x\) negativ, also \(-x < x\) (wahr). Für \(x < 0\) ist \(-x\) positiv, also \(-x > x\) (falsch). Für \(x = 0\) ist \(-x = 0\), also \(0 = 0\) (falsch, da nicht kleiner). Die Aussage gilt also nur für positive Zahlen.

a) Ja, wenn der Subtrahend \(y\) negativ ist (z. B. \(5 - (-2) = 7\)). b) Nein, ein Quotient ist nur dann Null, wenn der Dividend Null ist. c) Nein. Dies gilt nur für positive Zahlen. Bei negativen Zahlen ist die Gegenzahl größer, bei Null sind beide gleich.

- Berechne jeden Ausdruck sorgfältig einzeln, bevor du sie vergleichst. - Erinnere dich daran, dass das Subtrahieren einer negativen Zahl dasselbe ist wie das Addieren ihres Betrags. - Wie groß ist der Unterschied zwischen den Werten von \(X\) und \(Y\)?

1. Berechnung von \(X\): \((-12) \cdot (-3) = 36\). Addition von \(-16\) ergibt \(X = 20\). 2. Berechnung von \(Y\): \((-60) : 4 = -15\). Subtraktion von \(-5\) entspricht Addition von \(5\), also \(Y = -15 + 5 = -10\). 3. Aufstellen der Gleichung für \(z\): \(Y + z = X \Rightarrow -10 + z = 20\). 4. Berechnung von \(z\): \(z = 20 - (-10) = 30\).

\(X = 20\), \(Y = -10\), die gesuchte Zahl ist \(z = 30\).

- Hier musst du zwei Schritte nacheinander ausführen, um die Variable zu isolieren. - Was musst du nach der Multiplikation mit dem Nenner tun, um nur noch \(k\) in der Mitte zu haben? - Überlege dir bei Dezimalzahlen wie \(3{,}5\), welche natürliche Zahl als erste größer ist.

1. Lösung für a): Multiplikation mit 7 ergibt \(7 < 2k < 14\). Division durch 2 ergibt \(3{,}5 < k < 7\). Die natürlichen Zahlen sind \(k \in \{4, 5, 6\}\). 2. Lösung für b): Multiplikation mit 9 ergibt \(3 \le k+2 < 6\). Subtraktion von 2 ergibt \(1 \le k < 4\). Die natürlichen Zahlen sind \(k \in \{1, 2, 3\}\).

a) \(k \in \{4, 5, 6\}\) b) \(k \in \{1, 2, 3\}\)

- Kannst du die Bedingung so umstellen, dass du eine Eingrenzung für den Zähler erhältst, die vom Nenner abhängt? - Zwischen welchen beiden Werten muss \(k\) liegen, und gibt es dort eine natürliche Zahl? - Probier doch mal nacheinander kleine Werte für den Nenner aus und schau, ob ein passender Zähler existiert.

1. Aufstellen der Ungleichung \(\frac{1}{5} < \frac{k}{n} < \frac{1}{4}\). 2. Umformen nach \(k\): \(\frac{n}{5} < k < \frac{n}{4}\). Gesucht ist das kleinste \(n\), sodass zwischen \(\frac{n}{5}\) und \(\frac{n}{4}\) mindestens eine ganze Zahl liegt. 3. Für \(n \le 4\) gilt \(\frac{n}{4} \le 1\); damit kann keine natürliche Zahl \(k\) die Bedingung \(\frac{n}{5} < k < \frac{n}{4}\) erfüllen. 4. Systematisches Testen von \(n\): - \(n=5: 1 < k < 1{,}25\) (kein \(k\)) - \(n=6: 1{,}2 < k < 1{,}5\) (kein \(k\)) - \(n=7: 1{,}4 < k < 1{,}75\) (kein \(k\)) - \(n=8: 1{,}6 < k < 2\) (kein \(k\)) - \(n=9: 1{,}8 < k < 2{,}25 \implies k=2\). 5. Für \(n=9\) ergibt sich der Bruch \(\frac{2}{9}\).

a) \(n = 9\) b) \(\frac{2}{9}\)

- Vereinfache zuerst beide Seiten der Gleichung so weit wie möglich, indem du die Potenzen ausrechnest. - Wie kannst du eine Zahl auf die andere Seite der Gleichung bringen? - Welche Zahl ergibt mit sich selbst multipliziert das Ergebnis auf der rechten Seite?

1. Bekannte Potenzen berechnen: \(2^5 = 32\) und \(5^2 = 25\). 2. Die rechte Seite der Gleichung zusammenfassen: \(112 + 25 = 137\). 3. Die Gleichung aufstellen: \(n^2 - 32 = 137\). 4. Umstellen nach \(n^2\): \(n^2 = 137 + 32 = 169\). 5. Da \(13 \cdot 13 = 169\) gilt und \(n\) eine natürliche Zahl ist, folgt \(n = 13\).

\(n = 13\)

- Kannst du eine Tabelle erstellen, die zeigt, wie viel Gewicht in jedem der fünf Schritte im Aufzug liegt? - Wann ist der Aufzug am schwersten beladen? - Das Gesamtgewicht darf nie über \(1200\,\text{kg}\) steigen. Wie viel Platz bleibt also für den Aufzug selbst, wenn die Last am größten ist?

1. Berechnung der Lastzustände nach jedem Schritt: - Schritt 1: \(350{,}5\) kg - Schritt 2: \(350{,}5 - 120{,}25 = 230{,}25\) kg - Schritt 3: \(230{,}25 + 480{,}75 = 711\) kg - Schritt 4: \(711 - 200 = 511\) kg - Schritt 5: \(511 + 150{,}5 = 661{,}5\) kg 2. Identifikation der maximalen Last: Der Spitzenwert der Zuladung trat nach Schritt 3 mit \(711\) kg auf. 3. Berechnung des maximalen Eigengewichts \(E\): \(E + 711 \le 1200 \Rightarrow E \le 489\) kg.

a) Nach dem 5. Schritt befinden sich \(661{,}5\) kg Last im Aufzug. b) Das maximale Eigengewicht des Aufzugs darf \(489\) kg betragen.

- Was bedeutet „Zähler kleiner als Nenner“ für die Beziehung zwischen den beiden Symbolen in jedem Bruch? - Kannst du die Ungleichung so umstellen, dass du eine Bedingung für das Quadrat von \(\triangle\) erhältst? - Wenn \(\frac{2}{\triangle}\) ein echter Bruch sein soll, welche Zahlen kommen dann für \(\triangle\) nicht infrage? - Probiere systematisch kleine Werte für \(\triangle\) aus, beginnend bei deinem Ergebnis aus Aufgabenteil a).

1. Aus der Bedingung „Zähler kleiner als Nenner“ folgt für den ersten Bruch \(\triangle < \square\). 2. Damit der zweite Bruch \(\frac{2}{\triangle}\) existiert und der Zähler kleiner als der Nenner ist, muss \(\triangle > 2\) gelten. 3. Die kleinste natürliche Zahl für \(\triangle\) ist somit \(\triangle = 3\). 4. Umformung der Ungleichung: \(\frac{\triangle}{\square} > \frac{2}{\triangle} \implies \triangle^2 > 2\square \implies \square < \frac{\triangle^2}{2}\). 5. Zusammenführen der Bedingungen: \(\triangle < \square < \frac{\triangle^2}{2}\). 6. Suche nach Paaren: - Wenn \(\triangle = 3\): \(3 < \square < \frac{9}{2} = 4{,}5\). Einzige Möglichkeit: \(\square = 4\). Paar: \((3, 4)\). - Wenn \(\triangle = 4\): \(4 < \square < \frac{16}{2} = 8\). Möglichkeiten: \(\square \in \{5, 6, 7\}\). Paare: \((4, 5), (4, 6), (4, 7)\). - Wenn \(\triangle = 5\): \(5 < \square < 12{,}5\). Möglichkeiten: \(\square \in \{6, 7, \dots, 12\}\).

a) \(\triangle = 3\) b) Mögliche Paare sind zum Beispiel \((3, 4)\) und \((4, 5)\) (andere wie \((4, 6), (4, 7), (5, 6)\) usw. sind ebenfalls korrekt).

- Achte besonders auf das Minuszeichen vor dem \(x\) in Aufgabenteil b. Wie wird man es los? - Was passiert, wenn du eine größere Zahl von einer kleineren Zahl abziehst? - Denk an die Regeln für das Rechnen mit negativen Zahlen. - Kannst du eine Dezimalzahl in einen Bruch umwandeln oder umgekehrt, um die Rechnung zu vereinfachen?

1. Subtraktion von \(\frac{7}{9}\) auf beiden Seiten: \(x = \frac{1}{3} - \frac{7}{9}\). Hauptnenner 9: \(x = \frac{3}{9} - \frac{7}{9} = -\frac{4}{9}\). 2. Addition von \(2{,}5\) auf beiden Seiten: \(-x = -1{,}2 + 2{,}5 = 1{,}3\). Multiplikation mit \(-1\): \(x = -1{,}3\). 3. Subtraktion von \(1{,}1\) auf beiden Seiten: \(x = \frac{3}{5} - 1{,}1\). Umwandlung \(\frac{3}{5} = 0{,}6\): \(x = 0{,}6 - 1{,}1 = -0{,}5\).

a) \(x = -\frac{4}{9}\) b) \(x = -1{,}3\) c) \(x = -0{,}5\) oder \(x = -\frac{1}{2}\)

- Schreibe zuerst auf, was „Quadrat von \(\frac{1}{n}\)“ als Bruch mit \(n\) bedeutet. - Wann ist ein Bruch mit dem Zähler 1 größer als ein anderer Bruch mit dem Zähler 1? Schau dir die Nenner an. - Welche Quadratzahlen kennst du, die in den Bereich der Nenner passen?

1. Die Bedingung lautet \(\frac{1}{50} < \frac{1}{n^2} < \frac{1}{10}\). 2. Durch Bilden der Kehrwerte drehen sich die Relationszeichen um: \(10 < n^2 < 50\). 3. Testen der Quadratzahlen natürlicher Zahlen: - \(n=1: 1^2=1\) (falsch) - \(n=2: 2^2=4\) (falsch) - \(n=3: 3^2=9\) (falsch, da \(9 < 10\)) - \(n=4: 4^2=16\) (wahr, \(10 < 16 < 50\)) - \(n=5: 5^2=25\) (wahr, \(10 < 25 < 50\)) - \(n=6: 6^2=36\) (wahr, \(10 < 36 < 50\)) - \(n=7: 7^2=49\) (wahr, \(10 < 49 < 50\)) - \(n=8: 8^2=64\) (falsch, da \(64 > 50\)) 4. Die gesuchten Zahlen sind somit \(4, 5, 6\) und \(7\).

Die natürlichen Zahlen sind \(4, 5, 6\) und \(7\).

- Vereinfache zuerst die Seite der Gleichung, auf der kein \(x\) steht. - Achte besonders auf die Vorzeichenregeln bei der Multiplikation. - Wie geht man mit einem Doppelbruch um?

1. Vereinfachung der rechten Seite: \(\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}\). Der Doppelbruch ergibt \(\frac{1}{4} : \frac{5}{8} = \frac{1}{4} \cdot \frac{8}{5} = \frac{8}{20} = \frac{2}{5}\). 2. Umstellung der Gesamtgleichung nach \(x\): \(x = \frac{2}{5} \cdot \left(-2 \frac{1}{2}\right)\). Umwandlung: \(-2 \frac{1}{2} = -\frac{5}{2}\). 3. Endrechnung: \(x = \frac{2}{5} \cdot \left(-\frac{5}{2}\right) = -\frac{10}{10} = -1\).

\(x = -1\)

- Berechne zuerst den Wert einer Seite der Gleichung, wenn möglich. - Vergleiche bei b) und c) die Zahlen vor und nach dem Doppelpunkt. Wenn die erste Zahl um einen bestimmten Faktor kleiner oder größer wird, was muss dann mit der zweiten Zahl passieren, damit das Ergebnis gleich bleibt? - Erinnere dich daran, dass \(10^2 = 100\), \(10^3 = 1000\) und so weiter.

1. Linke Seite berechnen: \(0{,}0007 \cdot 10\,000 = 7\). Die rechte Seite muss also auch \(7\) ergeben. \(x \cdot 100 = 7 \implies x = 7 : 100 = 0{,}07\). 2. Linke Seite berechnen: \(15{,}2 : 1000 = 0{,}0152\). Um von \(0{,}152\) auf \(0{,}0152\) zu kommen, muss durch \(10\) dividiert werden. Der Platzhalter ist \(10\). 3. Vergleich der Terme: Von \(10^2\) zu \(10^4\) wird mit \(100\) multipliziert. Damit der Quotient gleich bleibt, muss auch der Divisor (\(8{,}5\)) mit \(100\) multipliziert werden. \(8{,}5 \cdot 100 = 850\).

a) \(0{,}07\) b) \(10\) c) \(850\)

- Berechne schrittweise, welcher Anteil der ursprünglichen Farbe nach jeder Wand noch übrig ist. - Kürze beim Multiplizieren der Brüche, um die Rechnung zu vereinfachen. - Achte am Ende genau auf die Maßeinheit, die in der Frage verlangt wird. - Wie viele Milliliter ergeben einen Liter?

1. Anteil der restlichen Farbe nach der ersten Wand: \(1 - \frac{2}{9} = \frac{7}{9}\) 2. Anteil der Farbe für die zweite Wand bezogen auf die Gesamtmenge: \(\frac{3}{7} \cdot \frac{7}{9} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}\) 3. Verbleibender Anteil im Eimer: \(\frac{7}{9} - \frac{3}{9} = \frac{4}{9}\) 4. Berechnung der Gesamtmenge in Millilitern: \(\frac{4}{9}\) entsprechen \(1200\,\text{ml}\). Ein Neuntel ist \(1200\,\text{ml} : 4 = 300\,\text{ml}\). Die Gesamtmenge (\(\frac{9}{9}\)) ist \(300\,\text{ml} \cdot 9 = 2700\,\text{ml}\). 5. Umrechnung in Liter: \(2700\,\text{ml} = 2{,}7\,\text{l}\)

Ursprünglich waren \(2{,}7\,\text{l}\) Farbe im Eimer.

- Wenn das Produkt zweier Zahlen positiv ist, was sagt das über deren Vorzeichen aus? - Wie findet man die Zahl, die mit einer anderen multipliziert 1 ergibt? - Vergleiche die Positionen der beiden Zahlen auf der Zahlengeraden, um die größere Zahl zu bestimmen.

1. Bestimmung der zweiten Zahl: Das Produkt zweier Zahlen ist \( 1 \), wenn sie Kehrwerte voneinander sind. \( -2\frac{1}{2} = -\frac{5}{2} \). Der Kehrwert ist \( -\frac{2}{5} \) (oder \( -0{,}4 \)). 2. Berechnung der Summe: \( -2{,}5 + (-0{,}4) = -2{,}9 \). Das Ergebnis ist negativ. 3. Analyse des Vorzeichens: Da das Produkt der beiden Zahlen \( 1 \) (positiv) ist, müssen beide Zahlen das gleiche Vorzeichen haben. Da eine Zahl negativ ist, muss auch die andere negativ sein. Die Division zweier Zahlen mit gleichem Vorzeichen ergibt immer ein positives Vorzeichen.

a) \( -\frac{2}{5} \) (oder \( -0{,}4 \)) b) \( -2{,}9 \); das Ergebnis ist negativ. c) Das Vorzeichen ist positiv, da beide Zahlen negativ sind und die Division zweier Zahlen mit gleichem Vorzeichen ein positives Ergebnis liefert.

- Welche Zahlen ergeben quadriert \(0{,}49\)? Denke auch an eine negative Basis. - Wie oft muss \(\frac{1}{3}\) mit sich selbst multipliziert werden, damit der Nenner \(81\) entsteht? - Achte bei Dezimalzahlen auf die Anzahl der Nachkommastellen.

1. a) Sowohl \(0{,}7^2=0{,}49\) als auch \((-0{,}7)^2=0{,}49\). Daher sind \(0{,}7\) und \(-0{,}7\) möglich. 2. b) \(3^4=81\), also \((\frac{1}{3})^4=\frac{1}{81}\). 3. c) \(0{,}2^3=0{,}008\), also ist die Basis \(0{,}2\). 4. d) \(1{,}1 \cdot 1{,}1=1{,}21\).

a) \(0{,}7\) oder \(-0{,}7\) b) \(4\) c) \(0{,}2\) d) \(1{,}21\)

- Welche Zahl ergibt mit sich selbst dreimal multipliziert \(0{,}125\)? - Überlege dir die Vorzeichenregel für das Produkt von zwei negativen und einer positiven Zahl. - Wenn du jeden Teil einer Multiplikation verdoppelst, wie oft wird das Gesamtergebnis dann mit 2 multipliziert?

1. Teil a): Gesucht ist eine Zahl \(x\) mit \(x \cdot x \cdot x = -0{,}125\). Da \(0{,}5 \cdot 0{,}5 \cdot 0{,}5 = 0{,}125\) und das Vorzeichen negativ sein muss, gilt \(a = b = c = -0{,}5\). 2. Teil b): Nicht möglich. Das Produkt zweier negativer Zahlen ist positiv. Multipliziert man dieses Ergebnis mit einer dritten positiven Zahl, ist das Endprodukt positiv. Da \(-0{,}125\) negativ ist, ist diese Konstellation unmöglich. 3. Teil c): Das ursprüngliche Produkt ist \(abc = -0{,}125\). Werden alle Faktoren verdoppelt, lautet die Rechnung \((2a)(2b)(2c) = 8(abc)\). Das neue Produkt ist also \(8 \cdot (-0{,}125) = -1\).

a) \(a = b = c = -0{,}5\). b) Nein, da das Produkt dann positiv wäre. c) Das neue Produkt ist \(-1\).

- Wandle am besten zuerst alle Angaben in eine einheitliche Form um (zum Beispiel Dezimalzahlen). - Welche Diagonale ist vollständig besetzt? Multipliziere diese Zahlen, um den Zielwert zu finden. - Gehe Schritt für Schritt vor und suche nach Zeilen oder Spalten, in denen nur noch ein Wert fehlt.

1. Berechnung des magischen Produkts \(P\) über die Hauptdiagonale: \(P = 0{,}25 \cdot 0{,}5 \cdot 1 = 0{,}125\). 2. Umwandlung der Prozentangabe: \(10\,\% = 0{,}1\). 3. Bestimmung der Zahl oben in der Mitte (\(a_{12}\)): \(0{,}25 \cdot a_{12} \cdot 0{,}1 = 0{,}125 \implies 0{,}025a_{12} = 0{,}125 \implies a_{12} = 5\). 4. Bestimmung der Zahl unten links (\(a_{31}\)) über die Nebendiagonale: \(0{,}1 \cdot 0{,}5 \cdot a_{31} = 0{,}125 \implies 0{,}05a_{31} = 0{,}125 \implies a_{31} = 2{,}5\). 5. Bestimmung der Zahl in der Mitte links (\(a_{21}\)): \(0{,}25 \cdot a_{21} \cdot 2{,}5 = 0{,}125 \implies 0{,}625a_{21} = 0{,}125 \implies a_{21} = 0{,}2\). 6. Bestimmung der Zahl in der Mitte rechts (\(a_{23}\)): \(0{,}2 \cdot 0{,}5 \cdot a_{23} = 0{,}125 \implies 0{,}1a_{23} = 0{,}125 \implies a_{23} = 1{,}25\). 7. Bestimmung der Zahl unten in der Mitte (\(a_{32}\)): \(5 \cdot 0{,}5 \cdot a_{32} = 0{,}125 \implies 2{,}5a_{32} = 0{,}125 \implies a_{32} = 0{,}05\).

Das vervollständigte Quadrat lautet: <table> <tr><td>\(0{,}25\)</td><td>\(5\)</td><td>\(10\,\%\)</td></tr> <tr><td>\(0{,}2\)</td><td>\(0{,}5\)</td><td>\(1{,}25\)</td></tr> <tr><td>\(2{,}5\)</td><td>\(0{,}05\)</td><td>\(1\)</td></tr> </table> Das magische Produkt ist \(0{,}125\) (bzw. \(\frac{1}{8}\)).

- Gehe schrittweise vor und berechne zuerst die Werte innerhalb der Klammern. - Achte besonders auf das „Minus vor der Klammer“. - Kannst du Brüche und Dezimalzahlen in das jeweils andere Format umwandeln, um leichter zu rechnen?

1. Vereinfachung der Klammern in a): \(\frac{1}{5} = 0{,}2\). Der Klammerterm ist \(0{,}2 - 0{,}4 = -0{,}2\). Die rechte Seite lautet \(-0{,}5 - (-0{,}2) = -0{,}5 + 0{,}2 = -0{,}3\). 2. Isolation von \(x\) in a): \(x + 0{,}3 = -0{,}3 \Rightarrow x = -0{,}6\). 3. Vereinfachung der Terme in b): Linke Seite \(-(-\frac{2}{3}) = \frac{2}{3}\). Rechte Seite ohne \(x\) zusammenfassen: \(-\frac{3}{12} - \frac{5}{12} = -\frac{8}{12} = -\frac{2}{3}\). 4. Isolation von \(x\) in b): \(\frac{2}{3} = x - \frac{2}{3} \Rightarrow x = \frac{2}{3} + \frac{2}{3} = \frac{4}{3}\).

a) \(x = -0{,}6\) (oder \(x = -\frac{3}{5}\)) b) \(x = 1\frac{1}{3}\) (oder \(x = \frac{4}{3}\))

- Versuche, das Rätsel von hinten nach vorne zu lösen. - Welche Zahl muss man vor der Subtraktion von 14 gehabt haben, um bei -10 zu landen? - Mache jede Rechenoperation nacheinander mit ihrer Gegenoperation rückgängig.

1. Darstellung des Rätsels als Gleichungskette: \((x + (-8)) - 14 = -10\). 2. Erster Schritt der Umkehrung: Die letzte Operation (Subtraktion von \(14\)) wird rückgängig gemacht durch Addition: \(-10 + 14 = 4\). 3. Zweiter Schritt der Umkehrung: Die erste Operation (Addition von \(-8\)) wird rückgängig gemacht durch Subtraktion: \(4 - (-8) = 4 + 8 = 12\). 4. Ergebnis: Die ursprüngliche Zahl ist \(x = 12\).

Die ursprüngliche Zahl ist \(x = 12\).

- Berechne zuerst die Summe aller sechs Zahlen. Wenn du weißt, wie groß das Ganze ist, weißt du auch, wie groß jede der beiden Hälften sein muss. - Vergiss nicht, die Brüche vorher umzuwandeln. - Gibt es in der Liste Zahlen, die sich gegenseitig fast aufheben?

1. Umwandlung der Brüche in Dezimalzahlen: \(\frac{3}{10} = 0{,}3\) und \(-\frac{3}{5} = -0{,}6\). 2. Berechnung der Gesamtsumme aller Zahlen: \(1{,}2 + 0{,}3 + (-1{,}5) + 0{,}8 + (-0{,}2) + (-0{,}6) = 0 + 0 = 0\). 3. Da die Gesamtsumme \(0\) ist, müssen beide Dreiergruppen jeweils die Summe \(0\) haben, damit sie gleich groß sind. 4. Suche nach einer Dreiergruppe mit Summe \(0\): - Gruppe 1: \(1{,}2 + 0{,}3 + (-1{,}5) = 1{,}5 - 1{,}5 = 0\). 5. Die verbleibenden Zahlen bilden die zweite Gruppe: - Gruppe 2: \(0{,}8 + (-0{,}2) + (-0{,}6) = 0{,}6 - 0{,}6 = 0\). 6. Beide Gruppen haben die gleiche Summe (\(0\)).

Die Aufteilung lautet: Gruppe 1: \(1{,}2\); \(\frac{3}{10}\) (oder \(0{,}3\)); \(-1{,}5\) (Summe ist \(0\)) Gruppe 2: \(0{,}8\); \(-0{,}2\); \(-\frac{3}{5}\) (oder \(-0{,}6\)) (Summe ist ebenfalls \(0\))

- Kannst du alle Paare von Zahlen aufschreiben, die multipliziert das gewünschte Ergebnis liefern? - Achte bei der zweiten Aufgabe darauf, dass alle drei Zahlen unterschiedlich sein müssen. - Überlege dir, wie viele der Zahlen negativ sein müssen, damit ein negatives Produkt entsteht.

1. Teilaufgabe a): Suche nach Faktorenpaaren von \(-10\). Mögliche Paare sind \((1, -10), (-1, 10), (2, -5), (-2, 5)\). Prüfung der Summen: \(1 + (-10) = -9\); \(-1 + 10 = 9\); \(2 + (-5) = -3\); \(-2 + 5 = 3\). Das gesuchte Paar ist \(2\) und \(-5\). 2. Teilaufgabe b): Suche nach drei unterschiedlichen ganzen Zahlen, deren Produkt \(-12\) ergibt. Mögliche Kombination: \(1 \cdot 2 \cdot (-6) = -12\). Eine andere Möglichkeit wäre \(1 \cdot 3 \cdot (-4) = -12\) oder \((-1) \cdot 2 \cdot 6 = -12\).

a) Die Zahlen sind \(2\) und \(-5\). b) Zum Beispiel \(1\), \(2\) und \(-6\) (weitere Lösungen möglich).

- Gehe systematisch vor und probiere die vier möglichen Kombinationen der zwei Zeichen aus. - Beachte in Aufgabenteil b) die Vorrangregel: Klammern zuerst berechnen. - Überlege dir, ob das Ergebnis größer oder kleiner als die Startzahl \(-7\) werden muss.

1. Teilaufgabe a): Wir testen Kombinationen für \(-7 \dots (-3) \dots 5 = -9\). Mit \(-7 - (-3) - 5\) erhalten wir \(-7 + 3 - 5 = -4 - 5 = -9\). Die Zeichen sind also \(-\) und \(-\). 2. Teilaufgabe b): Wir testen Kombinationen für \(-7 \dots ((-3) \dots 5) = 1\). Mit \(-7 - ((-3) - 5)\) erhalten wir \(-7 - (-8) = -7 + 8 = 1\). Die Zeichen sind also \(-\) und \(-\).

a) \(-7 - (-3) - 5 = -9\) b) \(-7 - ((-3) - 5) = 1\)

- Wie kannst du eine Multiplikationsaufgabe umkehren, um eine fehlende Zahl zu finden? - Was ist das Besondere an einer Zahl, die mit einer anderen multipliziert \(1\) ergibt? - Achte beim Multiplizieren von Brüchen darauf, ob du bereits während der Rechnung kürzen kannst.

1. Um den Platzhalter in a) zu finden, dividiert man \(1\) durch den Faktor \(\left(-\frac{5}{6}\right)\). Das entspricht der Multiplikation mit dem Kehrwert: \(1 \cdot \left(-\frac{6}{5}\right) = -\frac{6}{5}\). 2. Um den Platzhalter in b) zu finden, multipliziert man das Ergebnis mit dem Divisor: \(\square = \frac{8}{9} \cdot \left(-\frac{3}{4}\right)\). 3. Berechnung von b): \(\frac{8 \cdot (-3)}{9 \cdot 4} = -\frac{24}{36}\). Kürzen durch \(12\) ergibt \(-\frac{2}{3}\).

a) \(\square = -\frac{6}{5}\) (oder \(-1{,}2\)) b) \(\square = -\frac{2}{3}\)