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- Gibt es eine Regel, welche Rechenarten man zuerst ausführt? - Was bedeuten Klammern für die Reihenfolge der Rechnung? - Rechne Schritt für Schritt und schreibe dir Zwischenergebnisse auf.

1. Berechnung von a: Multiplikation vor Subtraktion: \(85 - 60 = 25\). 2. Berechnung von b: Division und Multiplikation zuerst, dann Addition: \(12 + 32 = 44\). 3. Berechnung von c: Zuerst die Ausdrücke in beiden Klammern berechnen: \(80 : 20 = 4\). 4. Berechnung von d: Zuerst die Multiplikation in der Klammer, dann die Subtraktion in der Klammer, zum Schluss die Multiplikation außerhalb: \(7 \cdot (32 - 24) = 7 \cdot 8 = 56\).

a) \(25\) b) \(44\) c) \(4\) d) \(56\)

- Welche Rechenregel bestimmt die Reihenfolge, wenn keine Klammern da sind? - Welchen Einfluss hat ein Minuszeichen direkt vor einer Klammer? - Gibt es einen Unterschied zwischen einer Plusklammer und einer Minusklammer?

1. Teil a): Die Klammern können weggelassen werden. Da ein Pluszeichen vor der Klammer steht (Plusklammer), ändern sich die Vorzeichen innerhalb der Klammer nicht. Es gilt \(24{,}5 + 12{,}8 - 5{,}2\). 2. Teil b): Die Klammern können nicht weggelassen werden. Ohne Klammern würde die Punkt-vor-Strich-Regel gelten und nur die \(6{,}4\) mit \(3\) multipliziert werden, statt der gesamten Differenz. 3. Teil c): Die Klammern können nicht weggelassen werden. Da ein Minuszeichen vor der Klammer steht (Minusklammer), müssten beim Weglassen der Klammern alle Vorzeichen in der Klammer umgedreht werden (\(-10{,}5 - 4{,}5\)), um den gleichen Wert zu erhalten.

a) Ja, die Klammern können weggelassen werden. b) Nein, die Klammern sind wegen der Punkt-vor-Strich-Regel notwendig. c) Nein, die Klammern sind wegen des Minuszeichens davor notwendig.

- Wie viele Meter steigt die Gruppe insgesamt auf? - Wie oft passt der Schritt von 100 Metern in diesen gesamten Aufstieg? - Sinkt oder steigt die Temperatur beim Aufstieg? - Überlege, wie du den Startwert mit der gesamten Änderung verrechnen musst.

1. Berechnung des Höhenunterschieds: \(2960\,\text{m} - 600\,\text{m} = 2360\,\text{m}\). 2. Ermittlung der Anzahl der \(100\,\text{m}\)-Schritte: \(2360 : 100 = 23{,}6\). 3. Berechnung der gesamten Temperaturabnahme: \(23{,}6 \cdot 0{,}8^\circ\text{C} = 18{,}88^\circ\text{C}\). 4. Berechnung der Endtemperatur: \(22^\circ\text{C} - 18{,}88^\circ\text{C} = 3{,}12^\circ\text{C}\). Ein möglicher Term ist: \(22 - (2960 - 600) \cdot \frac{0{,}8}{100}\).

An der Hütte ist eine Temperatur von \(3{,}12^\circ\text{C}\) zu erwarten. Ein passender Term ist \(22 - (2960 - 600) \cdot \frac{0{,}8}{100}\).

- Beachte bei Term A die Regel „Punkt vor Strich“ und rechne dann von links nach rechts. - Bei den Termen B und C musst du zuerst das berechnen, was in den Klammern steht. - Achte beim Vergleichen der Ergebnisse auf die Vorzeichen.

1. Berechnung Term A (Standardregeln): \(\frac{1}{4} \cdot 20 - 4 + 8 = 5 - 4 + 8 = 1 + 8 = 9\). 2. Berechnung Term B (Klammer zuerst): \(\frac{1}{4} \cdot 16 + 8 = 4 + 8 = 12\). 3. Berechnung Term C (Klammer zuerst): \(\frac{1}{4} \cdot 20 - 12 = 5 - 12 = -7\). 4. Vergleich der Ergebnisse: \(12 > 9 > -7\). 5. Term C liefert mit \(-7\) das kleinste Ergebnis.

Term A: \(9\) Term B: \(12\) Term C: \(-7\) Term C liefert das kleinste Ergebnis.

- Wandle die Brüche zuerst in Dezimalzahlen um, damit du leichter rechnen kannst. - Denke an die Vorrangregel: Klammern werden zuerst berechnet. - Rechne bei Strichrechnungen ohne Klammern immer von links nach rechts.

1. Berechnung von Term \(A\): Zuerst den Klammerausdruck auswerten. \(8 \frac{1}{4}\) als Dezimalzahl ist \(8{,}25\). Die Summe in der Klammer ist \(8{,}25 + 3{,}5 = 11{,}75\). Der Term lautet nun \(25{,}5 - 11{,}75 + 2\). Von links nach rechts gerechnet ergibt sich \(13{,}75 + 2 = 15{,}75\). 2. Berechnung von Term \(B\): Zuerst den Klammerausdruck auswerten: \(3{,}5 + 2 = 5{,}5\). Der Term lautet nun \(25{,}5 - 8{,}25 + 5{,}5\). Von links nach rechts gerechnet ergibt sich \(17{,}25 + 5{,}5 = 22{,}75\). 3. Vergleich: Da \(22{,}75 > 15{,}75\), hat Term \(B\) den größeren Wert.

\(A = 15{,}75\); \(B = 22{,}75\). Term \(B\) hat den größeren Wert.

- Was passiert mit den Vorzeichen in einer Klammer, wenn ein Minuszeichen davor steht? - Berechne zuerst den Wert innerhalb der Klammer und schaue dann, wie es weitergeht. - Vergleiche Schritt für Schritt, wie Lukas und Mia vorgegangen sind.

1. Berechnung des Klammerinhalts: \(7 - 12 = -5\). 2. Einsetzen in den Gesamtausdruck: \(-15 - (-5)\). 3. Auflösen des doppelten Minuszeichens: \(-15 + 5 = -10\). 4. Vergleich der Ergebnisse: Mia hat recht, da ihr Ergebnis \(-10\) korrekt ist. 5. Fehleranalyse: Lukas hat die Klammer einfach weggelassen, ohne das Vorzeichen innerhalb der Klammer anzupassen. Richtig wäre beim Auflösen der Klammer: \(-15 - 7 + 12\).

Mia hat recht. Lukas hat einen Fehler beim Auflösen der Klammer gemacht: Beim Auflösen der Minusklammer muss sich das Vorzeichen jedes Glieds in der Klammer ändern. Richtig ist \(-15 - 7 + 12 = -10\).

- Berechne immer zuerst den Ausdruck innerhalb der Klammern. - Denke an die Regel für das Auflösen von Minusklammern. - Was passiert mit dem Wert einer Zahl, wenn du ein Minuszeichen davor setzt?

1. Berechnung Term A: \(-12 - (5 - 13) = -12 - (-8) = -12 + 8 = -4\). 2. Berechnung Term B: \((-12 - 5) - 13 = -17 - 13 = -30\). 3. Vergleich und Erklärung: In Term A bewirkt das Minuszeichen vor der Klammer, dass sich die Vorzeichen innerhalb der Klammer beim Auflösen umkehren. Aus \(-(5 - 13)\) wird \(-5 + 13\). In Term B werden die Subtraktionen einfach nacheinander von links nach rechts ausgeführt.

a) Term A hat den Wert \(-4\), Term B hat den Wert \(-30\). b) In Term A bezieht sich das Minuszeichen auf die gesamte Differenz \((5 - 13)\). Beim Auflösen der Klammer wird daraus \(-5 + 13\). In Term B werden alle Zahlen schrittweise subtrahiert, was zu einem wesentlich kleineren Wert führt.

- Achte bei Term A auf die Vorrangregeln für Klammern. - Was passiert mit den Vorzeichen, wenn man eine Klammer auflöst, vor der ein Minus steht? - Rechne bei Term B einfach Schritt für Schritt von links nach rechts.

1. Berechnung von Term \(A\): Zuerst den Wert in der Klammer bestimmen: \(2{,}1 - 4{,}6 = -2{,}5\). Anschließend subtrahieren: \(-3{,}5 - (-2{,}5) = -3{,}5 + 2{,}5 = -1{,}0\). 2. Berechnung von Term \(B\): Von links nach rechts rechnen: \(-3{,}5 - 2{,}1 = -5{,}6\). Danach weiter subtrahieren: \(-5{,}6 - 4{,}6 = -10{,}2\). 3. Erklärung: In Term \(A\) bewirkt die Klammer mit dem Minuszeichen davor eine Vorzeichenänderung beider Glieder innerhalb der Klammer beim Auflösen (Minus-Klammer-Regel). In Term \(B\) wird \(4{,}6\) subtrahiert, während in Term \(A\) durch das Minus vor der Klammer effektiv \(4{,}6\) addiert wird (\(-(-4{,}6) = +4{,}6\)).

a) \(A = -1{,}0\); \(B = -10{,}2\) b) Bei Term \(A\) bezieht sich das Minuszeichen auf die gesamte Differenz in der Klammer. Durch die Klammerregel wird der Wert \(-4{,}6\) effektiv zu \(+4{,}6\), während er in Term \(B\) subtrahiert wird.

- Berechne zuerst beide Werte getrennt voneinander. - Welche Rechenoperation wird in Term A zuerst ausgeführt? Welche in Term B? - Wie beeinflussen die Klammern den Rechenweg?

1. Berechnung von \(A\) nach der Punkt-vor-Strich-Regel: \(40 - 5 + 3 = 38\). 2. Berechnung von \(B\): Klammern zuerst berechnen: \(30 : 5 = 6\). 3. Vergleich: In Term \(A\) wird nur die \(10\) durch \(2\) geteilt. In Term \(B\) bewirken die Klammern, dass zuerst die Differenz \(40-10\) und die Summe \(2+3\) gebildet werden, bevor die Division ausgeführt wird. Die Klammern verändern also die Rangfolge der Rechenoperationen.

\(A = 38\) und \(B = 6\). Die Ergebnisse unterscheiden sich, weil Klammern die normale Vorrangregel „Punkt vor Strich“ außer Kraft setzen und festlegen, welche Teile des Terms zuerst zusammengefasst werden müssen.

- Welche Rechenoperationen musst du laut den Vorrangregeln zuerst ausführen? - Erinnere dich an die Reihenfolge: Klammern zuerst, dann Potenzen, dann Punkt- vor Strichrechnung. - Wandle den Bruch in eine Dezimalzahl um, um die Addition in der Klammer zu vereinfachen. - Was bedeutet es, eine Zahl zu quadrieren?

1. Umwandeln des Bruchs in der Klammer in eine Dezimalzahl: \( \frac{4}{5} = 0{,}8 \) 2. Berechnen des Klammerwerts: \( 0{,}4 + 0{,}8 = 1{,}2 \) 3. Berechnen der Division (Multiplikation mit dem Kehrwert): \( 1{,}2 : 0{,}5 = 2{,}4 \) 4. Berechnen des Quadrats: \( (1{,}2)^2 = 1{,}44 \) 5. Endgültige Subtraktion: \( 2{,}4 - 1{,}44 = 0{,}96 \)

\( 0{,}96 \)

- Welche Rechenoperationen musst du laut den Vorrangregeln zuerst ausführen? - Markiere dir Multiplikationen und Divisionen, bevor du mit Addition oder Subtraktion beginnst. - Arbeite dich bei Klammern von innen nach außen vor. - Achte besonders auf das Minuszeichen vor Klammern oder bei der Multiplikation.

1. Punkt-vor-Strich-Rechnung: \((-32) : 4 = -8\) und \((-12) \cdot 2 = -24\). Subtraktion: \(-8 - (-24) = -8 + 24 = 16\). 2. Innere Klammer zuerst: \(40 - (-10) = 50\). Dann Multiplikation: \(50 \cdot 3 = 150\). Subtraktion: \(150 - 150 = 0\). 3. Multiplikation und Division zuerst: \((-0{,}2) \cdot 50 = -10\) und \((-10) : (-2) = 5\). Addition: \(-10 + 5 = -5\).

a) \(16\) b) \(0\) c) \(-5\)

- Probiere verschiedene Stellen für die Klammern aus und berechne das Ergebnis jeweils schrittweise. - Denke an die Regel „Klammer zuerst“. - Was passiert, wenn du die Addition vor der Division ausführst? - Vergiss nicht die Vorzeichenregeln bei der Multiplikation und Division.

1. Berechnung ohne Klammern: Gemäß Punkt-vor-Strichrechnung gilt \( (-20 : 2) + (3 \cdot (-2)) = -10 + (-6) = -16 \). Dies ist ungleich \( 8 \). 2. Testen verschiedener Klammersetzungen: Variante 1: \( (-20 : 2 + 3) \cdot (-2) = (-10 + 3) \cdot (-2) = -7 \cdot (-2) = 14 \). Variante 2: \( -20 : (2 + 3) \cdot (-2) = -20 : 5 \cdot (-2) \). Da Division und Multiplikation gleichrangig sind, rechnet man von links nach rechts: \( -4 \cdot (-2) = 8 \). 3. Ergebnis: Die Klammern müssen um den Ausdruck \( 2 + 3 \) gesetzt werden.

Die richtige Klammersetzung ist: \( -20 : (2 + 3) \cdot (-2) = 8 \). Rechnung: \( -20 : 5 \cdot (-2) = -4 \cdot (-2) = 8 \).

- Rechne zuerst genau das aus, was in der Klammer steht. - Wenn keine Klammern da sind und nur Punktrechnung vorkommt, in welcher Reihenfolge rechnest du dann? - Vergleiche die beiden Ergebnisse am Ende miteinander.

1. Berechnung a) mit Klammern: \( (3{,}6 \cdot 5) : 2 = 18 : 2 = 9 \). 2. Berechnung a) ohne Klammern: \( 3{,}6 \cdot 5 : 2 \). Von links nach rechts gerechnet: \( 18 : 2 = 9 \). Die Klammern ändern den Wert nicht. 3. Berechnung b) mit Klammern: \( 36 : (3 \cdot 2) = 36 : 6 = 6 \). 4. Berechnung b) ohne Klammern: \( 36 : 3 \cdot 2 \). Von links nach rechts gerechnet: \( 12 \cdot 2 = 24 \). Die Klammern ändern den Wert.

a) Die Klammern können weggelassen werden; in beiden Fällen ist das Ergebnis \( 9 \). b) Die Klammern können nicht weggelassen werden; mit Klammern ist das Ergebnis \( 6 \), ohne Klammern \( 24 \).

- Probiere verschiedene Positionen für die Klammern aus: um die ersten beiden Zahlen, die letzten beiden oder die mittlere Gruppe. - Berechne für jede Position den Wert unter Beachtung der Klammerregel. - Welche Operation muss zuerst ausgeführt werden, damit das Ergebnis größer oder kleiner wird als der Standardwert?

1. Für Zielwert \(30{,}5\): Wir versuchen, die Subtraktion vor der Multiplikation auszuführen. \((15 - 3) \cdot 2{,}5 + 0{,}5 = 12 \cdot 2{,}5 + 0{,}5 = 30 + 0{,}5 = 30{,}5\). Die Klammern müssen um \(15 - 3\) gesetzt werden. 2. Für Zielwert \(6\): Wir versuchen, die Addition am Ende zuerst auszuführen, um einen größeren Wert abzuziehen. \(15 - 3 \cdot (2{,}5 + 0{,}5) = 15 - 3 \cdot 3{,}0 = 15 - 9 = 6\). Die Klammern müssen um \(2{,}5 + 0{,}5\) gesetzt werden.

a) \((15 - 3) \cdot 2{,}5 + 0{,}5 = 30{,}5\) b) \(15 - 3 \cdot (2{,}5 + 0{,}5) = 6\)

- Überlege dir, wie eine Klammer die Reihenfolge der Subtraktionen und Additionen verändert. - Wandle die Brüche in Dezimalzahlen um, um die Rechenschritte besser abschätzen zu können. - Probiere verschiedene Positionen für die Klammern aus und berechne das Ergebnis.

1. Umwandlung der Brüche: \(4 \frac{1}{2} = 4{,}5\) und \(2 \frac{1}{5} = 2{,}2\). Der Term ohne Klammern lautet \(12{,}8 - 4{,}5 - 1{,}3 + 2{,}2\). 2. Teilaufgabe a): Wir testen die Platzierung der Klammer am Ende: \(12{,}8 - 4{,}5 - (1{,}3 + 2{,}2) = 8{,}3 - 3{,}5 = 4{,}8\). Dies entspricht dem gesuchten Wert. 3. Teilaufgabe b): Wir testen eine größere Klammer nach dem ersten Minuszeichen: \(12{,}8 - (4{,}5 - 1{,}3 + 2{,}2) = 12{,}8 - (3{,}2 + 2{,}2) = 12{,}8 - 5{,}4 = 7{,}4\). Dies entspricht dem gesuchten Wert.

a) \(12{,}8 - 4 \frac{1}{2} - (1{,}3 + 2 \frac{1}{5}) = 4{,}8\) b) \(12{,}8 - (4 \frac{1}{2} - 1{,}3 + 2 \frac{1}{5}) = 7{,}4\)

- Welche Rechenoperationen musst du zuerst ausführen, wenn keine Klammern da sind? - Wenn nur Punktrechnungen (Multiplikation und Division) hintereinander stehen, in welcher Richtung rechnest du dann? - Vergleiche die Ergebnisse: Welches ist weiter von der Null entfernt?

1. Berechnung von Term A: Hier gilt die Punkt-vor-Strich-Regel. Zuerst die Division: \(-2{,}4 : 0{,}6 = -4\). Dann die Multiplikation: \(0{,}2 \cdot 5 = 1\). Subtraktion der Ergebnisse: \(-4 - 1 = -5\). 2. Berechnung von Term B: Zuerst wird die Klammer berechnet: \((0{,}6 - 0{,}2) = 0{,}4\). Der Term lautet nun \(-2{,}4 : 0{,}4 \cdot 5\). Da Division und Multiplikation gleichrangig sind, wird von links nach rechts gerechnet: \(-2{,}4 : 0{,}4 = -6\). Dann \(-6 \cdot 5 = -30\). 3. Vergleich: Term A hat den Wert \(-5\), Term B hat den Wert \(-30\). Die Klammer verändert die Rechenreihenfolge und führt zu einem deutlich kleineren Ergebnis.

Term A = \(-5\); Term B = \(-30\). Term B ist wesentlich kleiner als Term A.

- Überlege, welche Rechenregel (z. B. Punkt vor Strich) in welchem Term wichtig ist. - Wie verändert die Klammer die Reihenfolge der Rechenschritte? - Wandle den Bruch zuerst in eine Dezimalzahl um.

1. Term \(A\) berechnen: Klammer zuerst \(2{,}4 - 0{,}4 = 2\), dann \(2 : 0{,}5 = 4\). 2. Term \(B\) berechnen: Nach der Punkt-vor-Strich-Regel zuerst \(0{,}4 : 0{,}5 = 0{,}8\), dann \(2{,}4 - 0{,}8 = 1{,}6\). 3. Vergleich: Da \(4 > 1{,}6\), ist der Wert von Term \(A\) größer.

\(A = 4\); \(B = 1{,}6\). Der Wert von Term \(A\) ist größer.

- Welche Rechenoperation musst du laut der Regel „Punkt vor Strich“ zuerst ausführen? - Vergiss nicht, dass ein Minuszeichen vor einer Klammer alle Vorzeichen in der Klammer umkehrt, oder rechne den Klammerinhalt zuerst aus. - Quadrierst du eine negative Zahl, ist das Ergebnis immer positiv.

1. Teilaufgabe a: Zuerst die Klammer berechnen: \(3{,}5 - 1{,}2 = 2{,}3\). Dann die Subtraktion: \(2{,}4 - 2{,}3 = 0{,}1\). Das Ergebnis ist \(0{,}1\) bzw. \(\frac{1}{10}\). 2. Teilaufgabe b: Potenz berechnen: \((-0{,}5)^2 = 0{,}25\). Multiplikation berechnen: \(\frac{3}{4} \cdot 2 = 1{,}5\). Subtraktion: \(0{,}25 - 1{,}5 = -1{,}25\). Das Ergebnis ist \(-1{,}25\) bzw. \(-\frac{5}{4}\). 3. Teilaufgabe c: Klammer berechnen: \(0{,}2 - 0{,}5 = -0{,}3\). Division durchführen: \(\frac{2}{5} : (-\frac{3}{10}) = \frac{2}{5} \cdot (-\frac{10}{3}) = -\frac{20}{15} = -\frac{4}{3}\). Das Ergebnis ist \(-\frac{4}{3}\) bzw. \(-1{,}\overline{3}\).

a) \(0{,}1\) b) \(-1{,}25\) c) \(-\frac{4}{3}\) oder \(-1{,}\overline{3}\)

- Überlege dir für b) und c), welche Teilergebnisse entstehen könnten, wenn du verschiedene Zahlen einklammerst. - Probiere systematisch aus: Was passiert, wenn die Klammer um die ersten beiden Zahlen steht? Was, wenn sie um die letzten beiden steht? - Denk daran, dass die Klammer Addition oder Subtraktion vor Multiplikation oder Division ziehen kann.

1. Teilaufgabe a nach der Punkt-vor-Strich-Regel: \(12 + 8 - 2 = 18\). 2. Teilaufgabe b: Um \(8\) zu erhalten, muss die Summe zuerst berechnet werden: \((12 + 48) : 6 - 2 = 60 : 6 - 2 = 10 - 2 = 8\). 3. Teilaufgabe c: Um \(24\) zu erhalten, muss die Differenz am Ende zuerst berechnet werden: \(12 + 48 : (6 - 2) = 12 + 48 : 4 = 12 + 12 = 24\).

a) \(18\) b) \((12 + 48) : 6 - 2\) c) \(12 + 48 : (6 - 2)\)

- Welche Rechenregel gilt für die Rangfolge von Potenzen und Subtraktion? - Gilt das Gesetz \((a - b)^2 = a^2 - b^2\)? Überprüfe das mit einfachen Zahlen wie \(3\) und \(2\). - Berechne jeden Teil der Subtraktion einzeln, bevor du den Unterschied bildest.

1. Identifikation des Fehlers: Es wurde fälschlicherweise angenommen, dass man die Basen zuerst subtrahieren darf, bevor man quadriert (\(a^2 - b^2 \neq (a-b)^2\)). Potenzrechnung geht vor Strichrechnung. 2. Berechnung der ersten Potenz: \((-0{,}3)^2 = (-0{,}3) \cdot (-0{,}3) = 0{,}09\). 3. Berechnung der zweiten Potenz: \(0{,}1^2 = 0{,}1 \cdot 0{,}1 = 0{,}01\). 4. Subtraktion der Ergebnisse: \(0{,}09 - 0{,}01 = 0{,}08\).

Der Fehler liegt in der Reihenfolge der Operationen; Potenzen müssen vor der Subtraktion berechnet werden. Die Regel \(a^2 - b^2 = (a-b)^2\) ist mathematisch falsch. Richtig ist: \(0{,}09 - 0{,}01 = 0{,}08\).

- Dürfen Rechenzeichen und Vorzeichen direkt nebeneinander stehen? - Was passiert mit der Reihenfolge der Rechnung, wenn eine umschließende Klammer bei einer Multiplikation fehlt? - Achte besonders auf das Minuszeichen vor der letzten Klammer.

1. Die runden Klammern um \( -12 \) können weggelassen werden, da am Anfang der eckigen Klammer keine Verwechslung zwischen Rechen- und Vorzeichen möglich ist: \( [-12 + 4] \). 2. Die eckigen Klammern können nicht weggelassen werden. Ohne sie würde die Punktrechnung \( 4 \cdot (-3) \) zuerst ausgeführt, statt der Summe in der Klammer. 3. In der üblichen Schulnotation sollten die runden Klammern um \(-3\) nicht weggelassen werden, damit Multiplikationszeichen und Minuszeichen nicht unmittelbar aufeinanderfolgen und der negative Faktor eindeutig erkennbar bleibt. 4. Die runden Klammern um \( 10 - 2 \) können nicht weggelassen werden, da das Minuszeichen vor der Klammer die gesamte Differenz subtrahiert. Ohne Klammer würde sich der Wert ändern (\( - 10 - 2 \) statt \( - 10 + 2 \)).

1. Ja, die Klammern um \( -12 \) können weggelassen werden. 2. Nein, die eckigen Klammern sind notwendig. 3. Nein, in der üblichen Schulnotation bleiben die Klammern um \(-3\) zur eindeutigen Darstellung stehen. 4. Nein, die Klammern um \( 10 - 2 \) sind notwendig.

- Überlege, welche Rechenoperation (Addition, Subtraktion oder Multiplikation) das Ergebnis am stärksten beeinflusst. - Denke an die Regel: Klammern zuerst, dann Punkt-vor-Strich-Rechnung. - Wie verändert sich ein Produkt, wenn einer der Faktoren durch eine Klammer vergrößert wird? - Wie verändert sich das Endergebnis, wenn du eine größere Zahl abziehst?

1. Ohne Klammern gilt die Punkt-vor-Strich-Regel: \(10 + (5 \cdot 1{,}2) - 0{,}2 + 4 = 10 + 6 - 0{,}2 + 4 = 19{,}8\). 2. Für den maximalen Wert müssen wir den Multiplikator \(5\) mit einer möglichst großen Summe multiplizieren: \(10 + 5 \cdot (1{,}2 - 0{,}2 + 4) = 10 + 5 \cdot 5 = 10 + 25 = 35\). 3. Für den minimalen Wert müssen wir einen möglichst großen Wert subtrahieren: \(10 + 5 \cdot 1{,}2 - (0{,}2 + 4) = 10 + 6 - 4{,}2 = 16 - 4{,}2 = 11{,}8\). 4. Begründung: Durch die Klammern in a) wird die Addition und Subtraktion vor der Multiplikation ausgeführt. Dadurch wird die \(5\) nicht nur mit \(1{,}2\) multipliziert, sondern mit dem Gesamtergebnis der Klammer (\(5\)), was den Wert des Produkts deutlich steigert.

a) \(10 + 5 \cdot (1{,}2 - 0{,}2 + 4) = 35\) b) \(10 + 5 \cdot 1{,}2 - (0{,}2 + 4) = 11{,}8\) c) Die Klammer bewirkt, dass die Strichrechnungen vor der Multiplikation ausgeführt werden, wodurch der Faktor, mit dem die \(5\) multipliziert wird, deutlich größer wird.

- Berechne zuerst den Wert innerhalb der Klammer und ziehe diesen dann von der ersten Zahl ab. - Beim Weglassen der Klammer musst du die Zahlen nacheinander von links nach rechts verrechnen. - Vergleiche die beiden Endergebnisse direkt miteinander.

1. Teilaufgabe a): Zuerst den Ausdruck in der Klammer berechnen: \(7{,}5 - 2{,}4 + 1{,}1 = 5{,}1 + 1{,}1 = 6{,}2\). Dann die Subtraktion durchführen: \(30 - 6{,}2 = 23{,}8\). 2. Teilaufgabe b): Ohne Klammer wird streng von links nach rechts gerechnet: \(30 - 7{,}5 = 22{,}5\). Danach \(22{,}5 - 2{,}4 = 20{,}1\). Zum Schluss \(20{,}1 + 1{,}1 = 21{,}2\). 3. Teilaufgabe c): Tim hat nicht recht. Die Ergebnisse (\(23{,}8\) und \(21{,}2\)) sind unterschiedlich. Ein Minuszeichen vor einer Klammer bewirkt, dass der gesamte Wert in der Klammer abgezogen wird, was die Rechenreihenfolge und damit das Ergebnis verändert.

a) \(23{,}8\) b) \(21{,}2\) c) Tim hat nicht recht, da die Ergebnisse unterschiedlich sind. Das Weglassen der Klammer verändert die Rechenreihenfolge.

- Vergiss bei Teil a) nicht die Regel „Punkt vor Strich“. - Probier für b) und c) systematisch aus, wo du die Klammern setzen kannst: Um die erste Summe, um die letzte Differenz oder um den gesamten hinteren Teil. - Bedenke, dass bei negativen Zahlen ein Wert wie \(-0{,}2\) größer ist als \(-6{,}5\).

1. Standardberechnung: Punktrechnung zuerst: \(5 \cdot 0{,}4 = 2{,}0\). Dann Strichrechnung von links nach rechts: \(-2{,}5 + 2{,}0 = -0{,}5\); \(-0{,}5 - 1{,}2 = -1{,}7\). 2. Maximierung des Wertes: Testen verschiedener Klammerungen. - \((-2{,}5 + 5) \cdot 0{,}4 - 1{,}2 = 2{,}5 \cdot 0{,}4 - 1{,}2 = 1{,}0 - 1{,}2 = -0{,}2\). - \(-2{,}5 + 5 \cdot (0{,}4 - 1{,}2) = -2{,}5 + 5 \cdot (-0{,}8) = -2{,}5 - 4{,}0 = -6{,}5\). - \((-2{,}5 + 5 \cdot 0{,}4) - 1{,}2 = -1{,}7\) (keine Änderung). - \(-2{,}5 + (5 \cdot 0{,}4 - 1{,}2) = -1{,}7\) (keine Änderung). Der größte Wert ist \(-0{,}2\) bei der Klammerung \((-2{,}5 + 5) \cdot 0{,}4 - 1{,}2\). 3. Minimierung des Wertes: Wie oben gezeigt, ergibt \(-2{,}5 + 5 \cdot (0{,}4 - 1{,}2) = -6{,}5\). Dies ist der kleinste mögliche Wert.

a) \(-1{,}7\) b) \((-2{,}5 + 5) \cdot 0{,}4 - 1{,}2 = -0{,}2\) c) \(-2{,}5 + 5 \cdot (0{,}4 - 1{,}2) = -6{,}5\)