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- Kannst du zuerst alle Längen zusammenzählen, um die Gesamtmenge zu erhalten? - Wie addiert man Brüche mit unterschiedlichen Nennern? - Überlege dir, ob es einfacher ist, mit Brüchen oder mit Dezimalzahlen zu rechnen. - Vergiss nicht, dass zwei Stücke einer bestimmten Länge gekauft wurden.

1. Berechnung der Gesamtlänge durch Addition der Einzelstücke: \(2 \cdot 2\frac{1}{2} + 1\frac{1}{4} + 2\frac{1}{5} = 5 + 1\frac{1}{4} + 2\frac{1}{5}\). 2. Bestimmung des Hauptnenners für die Brüche \(\frac{1}{4}\) und \(\frac{1}{5}\): Der Hauptnenner ist 20. 3. Umrechnung und Summation: \(5 + 1\frac{5}{20} + 2\frac{4}{20} = 8\frac{9}{20}\,\text{m}\). 4. Umwandlung in einen Dezimalbruch: \(8\frac{9}{20} = 8{,}45\,\text{m}\). 5. Berechnung der Gesamtkosten: \(8{,}45\,\text{m} \cdot 2\,\text{€/m} = 16{,}90\,\text{€}\).

Frau Meyer muss \(16{,}90\,\text{€}\) bezahlen.

- Welche Rechenart verbirgt sich hinter dem Begriff Quotient? - Was bedeutet das Wort Differenz mathematisch? - Achte bei der Subtraktion auf das Vorzeichen des Ergebnisses. - In welcher Reihenfolge musst du die Teilschritte ausführen?

1. Berechnung des Quotienten: \(4{,}8 : 0{,}6 = 8\) 2. Berechnung der Differenz: \(15{,}4 - 23{,}1 = -7{,}7\) 3. Addition der beiden Teilergebnisse: \(8 + (-7{,}7) = 0{,}3\)

\(0{,}3\)

- Was ist der Unterschied zwischen einer groben Schätzung und einer genauen Rechnung? - Kannst du die Preise zuerst auf einfachere Zahlen runden? - Vergiss nicht, dass einige Artikel mehrfach gekauft werden. - Wie berechnet man das Wechselgeld, wenn man den Gesamtpreis kennt?

1. Berechnung der Kosten für die ersten Artikel: \(1{,}49 + 4 \cdot 0{,}55 + 6{,}75 = 1{,}49 + 2{,}20 + 6{,}75 = 10{,}44\,\text{€}\) 2. Schätzung für die zusätzlichen Blöcke: Ein Block kostet ca. \(1{,}50\,\text{€}\), drei Blöcke kosten ca. \(4{,}50\,\text{€}\). Zusammen mit den \(10{,}44\,\text{€}\) (ca. \(10{,}50\,\text{€}\)) ergibt das etwa \(15{,}00\,\text{€}\). Die Schätzung zeigt daher nur, dass es knapp wird; ob das Geld tatsächlich reicht, muss exakt berechnet werden. 3. Exakte Berechnung der drei zusätzlichen Blöcke: \(3 \cdot 1{,}49 = 4{,}47\,\text{€}\) 4. Berechnung des Gesamtpreises: \(10{,}44 + 4{,}47 = 14{,}91\,\text{€}\) 5. Berechnung des Wechselgeldes: \(15{,}00 - 14{,}91 = 0{,}09\,\text{€}\)

a) Die Schätzung (\(10{,}50\,\text{€} + 4{,}50\,\text{€} = 15{,}00\,\text{€}\)) zeigt, dass es knapp wird, entscheidet aber nicht sicher, ob das Geld ausreicht. b) Der exakte Gesamtpreis beträgt \(14{,}91\,\text{€}\). Lukas erhält \(0{,}09\,\text{€}\) (oder \(9\,\text{Cent}\)) Wechselgeld zurück.

- Kannst du zuerst ausrechnen, wie viel Wasser in einer einzigen Flasche übrig bleibt? - Wie oft hast du die Menge von \(\frac{3}{4}\) Litern? - Überlege, ob es einfacher ist, erst das Ganze zu berechnen oder erst den Rest pro Flasche.

1. Berechnung der Gesamtmenge Wasser: \(8 \cdot \frac{3}{4} \text{ l} = \frac{24}{4} \text{ l} = 6 \text{ l}\). 2. Berechnung der entnommenen Menge: \(8 \cdot \frac{1}{4} \text{ l} = \frac{8}{4} \text{ l} = 2 \text{ l}\). 3. Subtraktion der entnommenen Menge von der Gesamtmenge: \(6 \text{ l} - 2 \text{ l} = 4 \text{ l}\). Alternative für b): 1. Berechnung des Restinhalts pro Flasche: \(\frac{3}{4} \text{ l} - \frac{1}{4} \text{ l} = \frac{2}{4} \text{ l} = \frac{1}{2} \text{ l}\). 2. Multiplikation mit der Anzahl der Flaschen: \(8 \cdot \frac{1}{2} \text{ l} = 4 \text{ l}\).

a) Anja hat insgesamt 6 Liter Wasser gekauft. b) In den Flaschen befinden sich danach noch insgesamt 4 Liter Wasser.

- Was bedeutet eine 12-fache Vergrößerung für das Verhältnis zwischen Bild und Wirklichkeit? - Überlege, ob das echte Tier größer oder kleiner als auf dem Foto sein muss. - Wie rechnet man Zentimeter in Millimeter um?

1. Berechnung der tatsächlichen Länge in Zentimetern durch Division der Bildgröße durch den Vergrößerungsfaktor: \(5{,}4\,\text{cm} : 12 = 0{,}45\,\text{cm}\). 2. Umrechnung der Zentimeterangabe in Millimeter: \(0{,}45 \cdot 10 = 4{,}5\,\text{mm}\).

Die Ameise ist in Wirklichkeit \(4{,}5\,\text{mm}\) lang.

- Kannst du berechnen, welche Strecke die beiden jeweils in einer Minute zurücklegen? - Wie viele Minuten hat eine Stunde? Nutze dies, um auf die Geschwindigkeit pro Stunde hochzurechnen. - Um von Kilometern pro Stunde auf Meter pro Sekunde zu kommen, überlege dir, wie viele Meter ein Kilometer hat und wie viele Sekunden eine Stunde hat.

1. Berechnung der Geschwindigkeit von Lukas: \(5{,}4\,\text{km} : 15\,\text{min} = 0{,}36\,\text{km/min}\). Umrechnung in \(\text{km/h}\): \(0{,}36 \cdot 60 = 21{,}6\,\text{km/h}\). 2. Berechnung der Geschwindigkeit von Sarah: \(4{,}5\,\text{km} : 12\,\text{min} = 0{,}375\,\text{km/min}\). Umrechnung in \(\text{km/h}\): \(0{,}375 \cdot 60 = 22{,}5\,\text{km/h}\). 3. Vergleich: Da \(22{,}5\,\text{km/h} > 21{,}6\,\text{km/h}\), fährt Sarah schneller. 4. Strecke pro Sekunde für Sarah: \(22{,}5\,\text{km/h}\) entsprechen \(22\,500\,\text{m}\) in \(3600\,\text{s}\). Berechnung: \(22\,500 : 3600 = 6{,}25\,\text{m/s}\).

a) Sarah ist mit \(22{,}5\,\text{km/h}\) schneller als Lukas, der \(21{,}6\,\text{km/h}\) fährt. b) Sarah legt in einer Sekunde \(6{,}25\,\text{m}\) zurück.

- Achte darauf, alle Gewichtsangaben in dieselbe Einheit (Kilogramm) umzurechnen. - Addiere alle Gewichte, die im Lieferwagen transportiert werden sollen. - Vergleiche das Gesamtergebnis mit der erlaubten Höchstgrenze.

1. Umrechnung der maximalen Zuladung in Kilogramm: \(1{,}2\,\text{t} = 1200\,\text{kg}\). 2. Berechnung des aktuellen Gewichts (Sand, Steine und Fahrer): \(850\,\text{kg} + 125\,\text{kg} + 85\,\text{kg} = 1060\,\text{kg}\). 3. Berechnung des Gesamtgewichts inklusive der Zementpalette: \(1060\,\text{kg} + 150\,\text{kg} = 1210\,\text{kg}\). 4. Vergleich mit der zulässigen Zuladung: \(1210\,\text{kg} > 1200\,\text{kg}\). Der Lieferwagen wäre überladen.

Ja, der Lieferwagen wäre überladen, da das Gesamtgewicht \(1210\,\text{kg}\) beträgt und damit die Grenze von \(1200\,\text{kg}\) überschreitet.

- Welche Rechenart bildet den Kern des gesamten Terms? - Was bedeuten die Begriffe Minuend und Subtrahend für die Struktur deiner Rechnung? - Kannst du die Brüche in Dezimalzahlen umwandeln, um die Rechnung zu vereinfachen? - Achte besonders auf die Vorzeichenregeln bei der Subtraktion negativer Zahlen.

1. Berechnung des Minuenden (Quotient): \(2{,}4 : (-0{,}6) = -4\) 2. Berechnung des Subtrahenden (Produkt): \(-\frac{1}{2} \cdot 5 = -0{,}5 \cdot 5 = -2{,}5\) 3. Berechnung der Differenz: \(-4 - (-2{,}5) = -4 + 2{,}5 = -1{,}5\)

Der Term lautet \((2{,}4 : (-0{,}6)) - (-\frac{1}{2} \cdot 5)\). Sein Wert ist \(-1{,}5\).

- Achte auf Signalwörter wie „Summe“, „Produkt“, „Quotient“ oder „Differenz“, um die Hauptoperation zu finden. - „Vermehrt um“ deutet auf eine Addition hin. - Überlege, ob die Reihenfolge der Zahlen bei einer Operation (wie Addition oder Multiplikation) vertauscht werden darf. - Klammern helfen dabei, festzulegen, welche Rechnung zuerst durchgeführt werden muss.

1. Analyse von (A): „Produkt von \(-1{,}2\) und \(\frac{3}{4}\)“ ist \(-1{,}2 \cdot \frac{3}{4}\). „Vermehrt um \(0{,}5\)“ bedeutet Addition von \(0{,}5\). Passende Terme sind Karte 1 und Karte 5 (Kommutativgesetz der Addition). 2. Analyse von (B): „Summe von \(-1{,}2\) und \(0{,}5\)“ ist \((-1{,}2 + 0{,}5)\). „Multipliziert mit \(\frac{3}{4}\)“ ergibt \((-1{,}2 + 0{,}5) \cdot \frac{3}{4}\). Passende Terme sind Karte 2 und Karte 4 (Kommutativgesetz der Multiplikation und Addition). 3. Analyse von (C): „Quotient aus \(-1{,}2\) und der Differenz…“ bedeutet \(-1{,}2\) geteilt durch den Klammerausdruck. „Differenz von \(\frac{3}{4}\) und \(0{,}5\)“ ist \(\frac{3}{4} - 0{,}5\). Passender Term ist Karte 3.

(A) passt zu Karte 1 und 5. (B) passt zu Karte 2 und 4. (C) passt zu Karte 3.

- Überlege zuerst, welche Rechenoperationen mit den Begriffen „Quotient“ und „Produkt“ gemeint sind. - Notiere dir die Teilergebnisse einzeln, bevor du sie addierst. - Du kannst Brüche in Dezimalzahlen umwandeln oder umgekehrt, um die Rechnung zu vereinfachen.

1. Aufstellen des Terms gemäß der Beschreibung: \((12{,}6 : 3) + (\frac{1}{2} \cdot 1{,}4)\) 2. Berechnung des Quotienten: \(12{,}6 : 3 = 4{,}2\) 3. Berechnung des Produkts: \(\frac{1}{2} \cdot 1{,}4 = 0{,}5 \cdot 1{,}4 = 0{,}7\) 4. Addition der beiden Teilergebnisse: \(4{,}2 + 0{,}7 = 4{,}9\)

Der Term lautet \((12{,}6 : 3) + (\frac{1}{2} \cdot 1{,}4)\). Der Wert des Terms ist \(4{,}9\) (oder \(4\frac{9}{10}\)).

- Kannst du den ersten Teil der Fläche berechnen und vom Ganzen abziehen? - Achte darauf, wovon der zweite Bruchteil berechnet werden soll. - Hilft es dir, eine Skizze des Gartens zu zeichnen?

1. Berechnung der Blumenfläche: \(\frac{1}{4}\) von \(600\,\text{m}^2 = 150\,\text{m}^2\) 2. Berechnung der Restfläche nach den Blumen: \(600\,\text{m}^2 - 150\,\text{m}^2 = 450\,\text{m}^2\) 3. Berechnung der Gemüsefläche: \(\frac{2}{3}\) von \(450\,\text{m}^2 = 300\,\text{m}^2\) 4. Berechnung der Rasenfläche: \(450\,\text{m}^2 - 300\,\text{m}^2 = 150\,\text{m}^2\)

Die Rasenfläche ist \(150\,\text{m}^2\) groß.

- Welche Rechenart musst du verwenden, um den Preis für eine bestimmte Menge zu berechnen? - Achte beim Multiplizieren von Dezimalzahlen darauf, wie viele Nachkommastellen das Ergebnis insgesamt haben muss. - Kannst du das Ergebnis überschlagen, um zu sehen, ob dein Wert sinnvoll ist (z. B. \(5 \cdot 2\))?

1. Aufstellen der Multiplikationsaufgabe: \(4{,}80\,\text{€/kg} \cdot 2{,}25\,\text{kg}\) 2. Durchführung der Multiplikation: \(4{,}8 \cdot 2{,}25 = 10{,}8\) 3. Das Ergebnis in der Währungseinheit angeben: \(10{,}80\,\text{€}\)

Frau Müller muss \(10{,}80\,\text{€}\) bezahlen.

- Wie berechnet man den Preis für ein einzelnes Stück, wenn man den Gesamtpreis kennt? - Führe für beide Angebote die gleiche Rechnung durch, um sie vergleichen zu können. - Achte beim Dividieren auf das Komma.

1. Berechnung des Preises pro Orange für Angebot A: \(5{,}85\,\text{€} : 15 = 0{,}39\,\text{€}\). 2. Berechnung des Preises pro Orange für Angebot B: \(4{,}80\,\text{€} : 12 = 0{,}40\,\text{€}\). 3. Vergleich der Ergebnisse: \(0{,}39\,\text{€} < 0{,}40\,\text{€}\).

Angebot A ist mit \(0{,}39\,\text{€}\) pro Orange günstiger als Angebot B mit \(0{,}40\,\text{€}\) pro Orange.

- Wie berechnet man die Geschwindigkeit, wenn Strecke und Zeit bekannt sind? - Welche Rechenoperation hilft dir, von Metern pro Sekunde auf Kilometer pro Stunde umzurechnen? - Achte darauf, dass du nur Geschwindigkeiten in der gleichen Einheit direkt vergleichen kannst.

1. Berechnung der Geschwindigkeit des Mauerseglers in \(\text{m/s}\): Division der Strecke durch die Zeit: \(336\,\text{m} : 12\,\text{s} = 28\,\text{m/s}\). 2. Umrechnung der Geschwindigkeit in \(\text{km/h}\): Multiplikation des Wertes in \(\text{m/s}\) mit dem Faktor \(3{,}6\): \(28 \cdot 3{,}6 = 100{,}8\,\text{km/h}\). 3. Vergleich der Geschwindigkeiten: \(324\,\text{km/h} > 100{,}8\,\text{km/h}\). Der Wanderfalke ist deutlich schneller.

a) Der Mauersegler hat eine Geschwindigkeit von \(28\,\text{m/s}\). b) Der Wanderfalke ist schneller, da der Mauersegler nur eine Geschwindigkeit von \(100{,}8\,\text{km/h}\) erreicht.

- Wie viele kleine Packungen kann man aus der Gesamtmenge machen? - Wie viel Geld muss insgesamt eingenommen werden, um die Kosten zu decken und zusätzlich den Gewinn zu machen? - Verteile die gesamte geplante Einnahme gleichmäßig auf alle Packungen.

1. Berechnung der Anzahl der Tüten: \(15\,\text{kg} : 0{,}25\,\text{kg/Tüte} = 60\,\text{Tüten}\). 2. Berechnung des benötigten Gesamterlöses für den Zielgewinn: \(127{,}50\,\text{€} + 67{,}50\,\text{€} = 195{,}00\,\text{€}\). 3. Berechnung des Preises pro Tüte: \(195{,}00\,\text{€} : 60\,\text{Tüten} = 3{,}25\,\text{€/Tüte}\).

Der Händler muss \(3{,}25\,\text{€}\) pro Tüte verlangen.

- Überlege dir zuerst, welche Rechenart mit welchem Begriff (Summe, Differenz, Produkt, Quotient) gemeint ist. - Achte bei Formulierungen wie „Subtrahiere ... von ...“ genau darauf, welche Zahl vorne stehen muss. - Klammern helfen dir dabei, die richtige Reihenfolge der Rechnungen festzulegen.

1. Aufstellen des Terms für Teilaufgabe a): \((82{,}7 + 17{,}3) - (15{,}5 \cdot 4)\) 2. Berechnung der Summe: \(82{,}7 + 17{,}3 = 100\) 3. Berechnung des Produkts: \(15{,}5 \cdot 4 = 62\) 4. Berechnung des Endergebnisses für a): \(100 - 62 = 38\) 5. Aufstellen des Terms für Teilaufgabe b): \((100 - 12{,}5) : (5 \cdot 0{,}5)\) 6. Berechnung der Differenz: \(100 - 12{,}5 = 87{,}5\) 7. Berechnung des Divisors: \(5 \cdot 0{,}5 = 2{,}5\) 8. Berechnung des Endergebnisses für b): \(87{,}5 : 2{,}5 = 35\)

a) \((82{,}7 + 17{,}3) - (15{,}5 \cdot 4) = 38\) b) \((100 - 12{,}5) : (5 \cdot 0{,}5) = 35\)

- Was bedeutet der Begriff „Differenz“ für die Rechenart? - Wie bestimmst du den Betrag einer negativen Zahl? - Was ist der Unterschied zwischen einer Zahl und ihrer Gegenzahl? - Kannst du Brüche in Dezimalzahlen umwandeln, um leichter zu rechnen?

1. Aufstellen des Terms für a): \(-1{,}2 - \frac{3}{4}\). Umwandlung in Dezimalzahlen ergibt \(-1{,}2 - 0{,}75 = -1{,}95\). 2. Aufstellen des Terms für b): \(| -0{,}5 \cdot 6 |\). Berechnung des Produkts ergibt \(-3\). Der Betrag von \(-3\) ist \(3\). 3. Aufstellen des Terms für c): Gegenzahl von \(2{,}4\) ist \(-2{,}4\). Der Term lautet \(-2{,}4 + (-1{,}6)\). Die Summe ergibt \(-4\).

a) \(-1{,}2 - \frac{3}{4} = -1{,}95\) b) \(| -0{,}5 \cdot 6 | = 3\) c) \(-2{,}4 + (-1{,}6) = -4\)

- Gibt es in der Aufgabe eine Zahl, die mehrfach als Faktor vorkommt? - Kannst du diese Zahl ausklammern, um die Rechnung zu vereinfachen? - Schau dir die Zahlen in den Klammern genau an – ergeben sie zusammen eine besonders einfache Zahl wie 10 oder 50?

1. Aufstellen des Terms für Teil a): \(16 \cdot 27 - 16 \cdot 17\). 2. Anwendung des Distributivgesetzes durch Ausklammern des gemeinsamen Faktors \(16\): \(16 \cdot (27 - 17)\). 3. Berechnung der Klammer: \(27 - 17 = 10\). 4. Endergebnis für a): \(16 \cdot 10 = 160\). 5. Aufstellen des Terms für Teil b): \(0{,}2 \cdot 35 + 0{,}2 \cdot 15\). 6. Ausklammern des Faktors \(0{,}2\): \(0{,}2 \cdot (35 + 15)\). 7. Berechnung der Summe in der Klammer: \(35 + 15 = 50\). 8. Endergebnis für b): \(0{,}2 \cdot 50 = 10\).

a) Term: \(16 \cdot 27 - 16 \cdot 17\); Ergebnis: \(160\). b) Term: \(0{,}2 \cdot 35 + 0{,}2 \cdot 15\); Ergebnis: \(10\).

- Welche Rechenoperation gehört zu welchem Fachbegriff (Summe, Differenz, Produkt)? - Überlege, ob du Klammern setzen musst, damit die Strichrechnungen vor der Multiplikation ausgeführt werden. - Achte auf die Vorzeichenregeln bei der Multiplikation.

1. Berechnung der Summe aus \(-14\) und \(6\): \(-14 + 6 = -8\). 2. Berechnung der Differenz aus \(7\) und \(12\): \(7 - 12 = -5\). 3. Multiplikation der beiden Teilergebnisse: \(-8 \cdot (-5) = 40\).

\(40\)

- Achte darauf, welche Operation zuerst ausgeführt werden muss. Klammern helfen dir, die Reihenfolge festzulegen. - Überlege dir, welche Fachbegriffe für welche Rechenart stehen (Summe, Differenz, Produkt, Quotient). - Löse die Rechnungen innerhalb der Klammern zuerst, bevor du die äußere Operation anwendest.

1. Aufstellen des Terms für Teilaufgabe a): \((12{,}5 - 3{,}5) \cdot (0{,}4 + 0{,}6)\) 2. Berechnung der Differenz: \(12{,}5 - 3{,}5 = 9{,}0\) 3. Berechnung der Summe: \(0{,}4 + 0{,}6 = 1{,}0\) 4. Multiplikation der Teilergebnisse: \(9{,}0 \cdot 1{,}0 = 9\) 5. Aufstellen des Terms für Teilaufgabe b): \((7{,}2 + 4{,}8) : (2 \cdot 1{,}5)\) 6. Berechnung der Summe: \(7{,}2 + 4{,}8 = 12{,}0\) 7. Berechnung des Divisors: \(2 \cdot 1{,}5 = 3{,}0\) 8. Division der Teilergebnisse: \(12{,}0 : 3{,}0 = 4\)

a) Term: \((12{,}5 - 3{,}5) \cdot (0{,}4 + 0{,}6)\); Wert: \(9\) b) Term: \((7{,}2 + 4{,}8) : (2 \cdot 1{,}5)\); Wert: \(4\)

- Achte auf Signalwörter wie „Summe“ oder „Produkt“, um die richtige Rechenoperation zu wählen. - Überlege genau, welche Zahl von welcher subtrahiert werden soll. - Erinnere dich daran, was der Betrag einer Zahl angibt. - Setze Klammern, wenn eine Rechenoperation auf ein gesamtes Ergebnis angewendet wird.

1. Aufstellen des Terms für a): \(-8 \cdot (14 + (-20))\). Berechnung der Summe in der Klammer: \(14 - 20 = -6\). Multiplikation: \(-8 \cdot (-6) = 48\). 2. Aufstellen des Terms für b): \((-6 \cdot 7) - (-45)\). Berechnung des Produkts: \(-6 \cdot 7 = -42\). Subtraktion der negativen Zahl (entspricht Addition): \(-42 + 45 = 3\). 3. Aufstellen des Terms für c): \((2 \cdot (-15)) + |-50|\). Berechnung des Doppelten: \(2 \cdot (-15) = -30\). Bestimmung des Betrags: \(|-50| = 50\). Addition: \(-30 + 50 = 20\).

a) Term: \(-8 \cdot (14 + (-20))\), Wert: \(48\) b) Term: \((-6 \cdot 7) - (-45)\), Wert: \(3\) c) Term: \(2 \cdot (-15) + |-50|\), Wert: \(20\)

- Welche Rechenoperation gehört zu welchem Begriff? - Achte besonders auf die Vorzeichenregeln beim Multiplizieren und Dividieren. - Schreibe dir die beiden Teile der Aufgabe zuerst getrennt als Rechnung auf.

1. Berechnung des Produkts: \(-4 \cdot 12 = -48\) 2. Berechnung des Quotienten: \(100 : (-5) = -20\) 3. Addition der beiden Zwischenergebnisse: \(-48 + (-20) = -68\)

\(-68\)

- Achte darauf, welche Zahl von welcher subtrahiert werden soll. - Das Wort „Differenz“ weist auf eine Subtraktion hin, „Summe“ auf eine Addition. - Klammern helfen dir dabei, die Reihenfolge der Rechenschritte richtig festzulegen. - Überlege dir, welche Rechenoperation bei Begriffen wie „das Doppelte“ gemeint ist.

1. Aufstellen des Terms für a): \((45{,}7 - 18{,}9) + 12{,}4\). Berechnung der Differenz: \(45{,}7 - 18{,}9 = 26{,}8\). Addition: \(26{,}8 + 12{,}4 = 39{,}2\). 2. Aufstellen des Terms für b): \(40 - (13{,}2 + 6{,}85)\). Berechnung der Summe: \(13{,}2 + 6{,}85 = 20{,}05\). Subtraktion der Summe von der Zahl \(40\): \(40 - 20{,}05 = 19{,}95\). 3. Aufstellen des Terms für c): \(2 \cdot 7{,}5 + (-3{,}2)\). Berechnung des Produkts: \(2 \cdot 7{,}5 = 15\). Addition der negativen Zahl: \(15 - 3{,}2 = 11{,}8\).

a) Term: \((45{,}7 - 18{,}9) + 12{,}4\); Ergebnis: \(39{,}2\) b) Term: \(40 - (13{,}2 + 6{,}85)\); Ergebnis: \(19{,}95\) c) Term: \(2 \cdot 7{,}5 + (-3{,}2)\); Ergebnis: \(11{,}8\)

- Kannst du die Aufgabe in zwei Teilrechnungen zerlegen? - Achte beim Subtrahieren darauf, ob du ein Ganzes umwandeln musst, wenn der Bruch des Minuenden kleiner ist als der des Subtrahenden. - Welchen gemeinsamen Nenner benötigen die Brüche für die finale Addition?

1. Berechnung der Differenz: \(7\frac{1}{8} - 2\frac{3}{4} = 7\frac{1}{8} - 2\frac{6}{8} = 6\frac{9}{8} - 2\frac{6}{8} = 4\frac{3}{8}\). 2. Berechnung der Summe: \(3\frac{5}{6} + 1\frac{1}{2} = 3\frac{5}{6} + 1\frac{3}{6} = 4\frac{8}{6} = 5\frac{2}{6} = 5\frac{1}{3}\). 3. Addition der beiden Teilergebnisse: \(4\frac{3}{8} + 5\frac{1}{3} = 4\frac{9}{24} + 5\frac{8}{24} = 9\frac{17}{24}\).

\(9\frac{17}{24}\)

- Übersetze beide Beschreibungen zuerst sorgfältig in mathematische Ausdrücke mit Klammern. - Achte darauf, welche Operation zuerst ausgeführt werden muss (Klammerregeln). - Sind die Ergebnisse am Ende identisch oder gibt es einen Unterschied?

1. Berechnung von Term A: Erst die Summe \(2\frac{1}{4} + 3\frac{1}{2} = 2\frac{1}{4} + 3\frac{2}{4} = 5\frac{3}{4}\). Dann die Differenz \(10 - 5\frac{3}{4} = 4\frac{1}{4}\). 2. Berechnung von Term B: Erst die Differenz \(5 - 3\frac{1}{4} = 1\frac{3}{4}\). Dann die Summe \(2\frac{1}{2} + 1\frac{3}{4} = 2\frac{2}{4} + 1\frac{3}{4} = 3 + \frac{5}{4} = 4\frac{1}{4}\). 3. Vergleich: Beide Terme ergeben den gleichen Wert \(4\frac{1}{4}\).

Beide Terme sind gleich groß; ihr Wert beträgt jeweils \(4\frac{1}{4}\).

- Addiere zuerst alle abgeschnittenen Längen aus Teil a. - Überlege für Teil b: Wenn ein bestimmter Bruchteil weggenommen wird, welcher Bruchteil bleibt dann vom Rest übrig? - Wie berechnet man einen Bruchteil von einem Bruchteil?

1. Addition der ersten drei Teilstücke: \(1\frac{1}{5} + \frac{3}{4} + 1\frac{3}{10} = \frac{6}{5} + \frac{3}{4} + \frac{13}{10}\) 2. Erweitern auf den Hauptnenner \(20\): \(\frac{24}{20} + \frac{15}{20} + \frac{26}{20} = \frac{65}{20} = 3\frac{5}{20} = 3\frac{1}{4}\,\text{m}\) 3. Berechnung des Rests nach Teil a: \(4 - 3\frac{1}{4} = \frac{3}{4}\,\text{m}\) 4. Berechnung des verbleibenden Anteils für Teil b: Wenn \(\frac{2}{3}\) abgeschnitten werden, bleibt \(\frac{1}{3}\) übrig 5. Berechnung der finalen Länge: \(\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4} = \frac{1}{4}\,\text{m}\)

a) Das restliche Stück ist \(\frac{3}{4}\,\text{m}\) (oder \(0{,}75\,\text{m}\)) lang. b) Das allerletzte Stück ist \(\frac{1}{4}\,\text{m}\) (oder \(0{,}25\,\text{m}\)) lang.

- Was musst du zuerst tun, um herauszufinden, wie viel Holz noch übrig ist? - Subtrahiere die Summe der abgeschnittenen Teile von der ursprünglichen Gesamtlänge. - Wie berechnet man den Preis für ein Stück, wenn man die Länge und den Meterpreis kennt? - Kannst du den Bruch am Ende geschickt kürzen?

1. Berechnung der Gesamtlänge der abgeschnittenen Stücke: \(1\frac{1}{3} + \frac{5}{6} = \frac{4}{3} + \frac{5}{6}\). 2. Bringen auf den Hauptnenner 6: \(\frac{8}{6} + \frac{5}{6} = \frac{13}{6} = 2\frac{1}{6}\,\text{m}\). 3. Berechnung der Länge des Reststücks: \(4 - 2\frac{1}{6} = 1\frac{5}{6}\,\text{m}\). 4. Berechnung des Wertes des Reststücks: \(1\frac{5}{6}\,\text{m} \cdot 6\,\text{€/m}\). 5. Umwandlung in einen unechten Bruch: \(\frac{11}{6} \cdot 6 = 11\,\text{€}\).

Das verbleibende Reststück ist \(11\,\text{€}\) wert.

- Was bedeutet es, eine Zahl zu quadrieren? - Lies genau, welche Zahl von welcher subtrahiert werden soll. - Bestimme zuerst die Teilergebnisse in den Klammern, bevor du multiplizierst.

1. Berechnung der Summe: \(1{,}2 + 0{,}8 = 2\) 2. Berechnung des Quadrats: \((1{,}5)^2 = 2{,}25\) 3. Multiplikation der Teilergebnisse: \(2 \cdot 2{,}25 = 4{,}5\) 4. Subtraktion des Produkts von \(10\): \(10 - 4{,}5 = 5{,}5\)

\(5{,}5\)

- Wie berechnet man den Wert einer punktierten Note mathematisch? - Addiere zuerst die Werte der Noten, die du schon kennst. - Vergleiche die Summe mit dem Wert, der durch die Taktangabe vorgegeben ist.

1. Bestimmung des Wertes einer punktierten Viertelnote: \(\frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{4} + \frac{1}{8} = \frac{3}{8}\). 2. Summe der zwei vorhandenen punktierten Viertelnoten: \(2 \cdot \frac{3}{8} = \frac{6}{8}\). 3. Zielwert des Taktes (\(\frac{4}{4}\)) auf Achtel erweitern: \(\frac{8}{8}\). 4. Berechnung des fehlenden Werts: \(\frac{8}{8} - \frac{6}{8} = \frac{2}{8}\). 5. Kürzen des Ergebnisses: \(\frac{2}{8} = \frac{1}{4}\). 6. Identifikation: Eine Note mit dem Wert \(\frac{1}{4}\) ist eine normale (unpunktierte) Viertelnote.

Die dritte Note muss den Wert \(\frac{1}{4}\) haben. Es ist eine unpunktierte Viertelnote.

- Wie viel Farbe wird insgesamt für die Gläser benötigt? - Wie viel Farbe wird insgesamt für die Dosen benötigt? - Was musst du tun, um herauszufinden, was vom ursprünglichen Inhalt übrig bleibt? - Achte darauf, die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen, wenn du sie addierst oder subtrahierst.

1. Berechnung der Farbmenge in den 6 Gläsern: \(6 \cdot \frac{3}{8} \text{ l} = \frac{18}{8} \text{ l} = \frac{9}{4} \text{ l} = 2\frac{1}{4} \text{ l}\). 2. Berechnung der Farbmenge in den 4 Dosen: \(4 \cdot \frac{3}{4} \text{ l} = 3 \text{ l}\). 3. Berechnung der gesamten entnommenen Farbmenge: \(2\frac{1}{4} \text{ l} + 3 \text{ l} = 5\frac{1}{4} \text{ l}\). 4. Berechnung der Restmenge im Eimer: \(10 \text{ l} - 5\frac{1}{4} \text{ l} = 4\frac{3}{4} \text{ l}\).

Es bleiben noch \(4\frac{3}{4}\) Liter (oder \(4{,}75\) Liter) Farbe im Eimer übrig.

- Kannst du die Beziehung zwischen dem Behälter und dem Eimer in einem Schritt beschreiben? - Welche Rechenart hilft dir, wenn du von einer größeren Menge auf eine kleinere Teilmenge schließen möchtest? - Es ist oft hilfreich, gemischte Zahlen zuerst in Brüche umzuwandeln. - Überlege, ob du die beiden Faktoren für die Größenunterschiede zuerst zu einem einzigen Faktor zusammenfassen kannst.

1. Aufstellen eines Rechenausdrucks für das Fassungsvermögen des Eimers: \(42 : (1\frac{3}{4} \cdot 1\frac{1}{3})\). 2. Umwandlung der gemischten Zahlen in Brüche: \(1\frac{3}{4} = \frac{7}{4}\) und \(1\frac{1}{3} = \frac{4}{3}\). 3. Berechnung des Produkts der Faktoren: \(\frac{7}{4} \cdot \frac{4}{3} = \frac{28}{12} = \frac{7}{3}\). 4. Division der Gesamtmenge durch den kombinierten Faktor: \(42 : \frac{7}{3} = 42 \cdot \frac{3}{7}\). 5. Berechnung des Endergebnisses: \(6 \cdot 3 = 18\). Der Eimer fasst 18 Liter.

In den Eimer passen 18 Liter. Der Rechenausdruck lautet: \(42 : (1\frac{3}{4} \cdot 1\frac{1}{3}) = 18\).

- Wie viel verbraucht das Auto auf einem einzigen Kilometer? - Wenn du weißt, wie viel das Auto pro Kilometer verbraucht, wie kannst du dann die Gesamtkilometer berechnen? - Erinnere dich an die Regel zur Division durch Dezimalzahlen: Wie verschiebt man das Komma?

1. Berechnung des Verbrauchs pro Kilometer: \(6{,}4\,\text{l} : 100 = 0{,}064\,\text{l/km}\). 2. Berechnung des Verbrauchs für \(15\,\text{km}\): \(0{,}064\,\text{l/km} \cdot 15\,\text{km} = 0{,}96\,\text{l}\). 3. Berechnung der Reichweite mit der gegebenen Tankfüllung durch Division der Kraftstoffmenge durch den Verbrauch pro Kilometer: \(54{,}4\,\text{l} : 0{,}064\,\text{l/km} = 850\,\text{km}\).

Auf \(15\,\text{km}\) verbraucht das Auto \(0{,}96\,\text{l}\) Benzin. Mit \(54{,}4\,\text{l}\) kommt das Auto \(850\,\text{km}\) weit.

- Wie hängen Vergrößerungsfaktor, Bildgröße und Originalgröße zusammen? - Achte darauf, dass alle Längenangaben in derselben Einheit stehen, bevor du rechnest. - Kannst du die Division durch \(0{,}25\) vereinfachen, indem du mit dem Kehrbruch eines entsprechenden Bruchs multiplizierst?

1. Zu a): Multiplikation der tatsächlichen Länge mit dem Vergrößerungsfaktor: \(0{,}25\,\text{mm} \cdot 40 = 10\,\text{mm}\). 2. Umrechnung in Zentimeter: \(10\,\text{mm} = 1\,\text{cm}\). 3. Zu b): Umrechnung der gewünschten Bildgröße in Millimeter: \(2\,\text{cm} = 20\,\text{mm}\). 4. Berechnung des Vergrößerungsfaktors durch Division der Bildgröße durch die tatsächliche Größe: \(20\,\text{mm} : 0{,}25\,\text{mm} = 80\).

a) Das Tierchen erscheint \(1\,\text{cm}\) lang. b) Er muss eine 80-fache Vergrößerung einstellen.

- Wie viele Male passt die kleine Dicke in die gezeichnete Dicke? - Wenn du den Faktor aus dem ersten Teil kennst, kannst du ihn auf andere Objekte übertragen. - Was passiert mit dem Komma, wenn man eine Dezimalzahl mit 1000 multipliziert?

1. Zu a): Berechnung des Vergrößerungsfaktors durch Division: \(4\,\text{mm} : 0{,}08\,\text{mm} = 400 : 8 = 50\). Der Faktor ist 50. 2. Zu b): Anwendung des Faktors auf das zweite Bauteil: \(0{,}12\,\text{mm} \cdot 50 = 6\,\text{mm}\). 3. Zu c): Berechnung der neuen Bildgröße: \(0{,}08\,\text{mm} \cdot 1000 = 80\,\text{mm}\). 4. Umrechnung in Zentimeter: \(80\,\text{mm} = 8\,\text{cm}\).

a) Der Vergrößerungsfaktor ist 50. b) Das zweite Bauteil ist in der Zeichnung \(6\,\text{mm}\) dick. c) Es erscheint dann \(8\,\text{cm}\) dick.

- Musst du das Gewicht der Kiste mitzählen, wenn du nur das Gewicht der Scheiben wissen willst? - Achte darauf, dass alle Zahlen in der gleichen Einheit (z. B. Gramm) stehen, bevor du rechnest. - Wenn du das Gewicht von einer Scheibe kennst, wie kommst du auf das Gewicht von zehn?

1. Umrechnung des Gesamtgewichts in Gramm: \(1{,}58\,\text{kg} = 1580\,\text{g}\). 2. Berechnung des reinen Gewichts der Unterlegscheiben (Netto): \(1580\,\text{g} - 140\,\text{g} = 1440\,\text{g}\). 3. Berechnung des Gewichts einer einzelnen Scheibe: \(1440\,\text{g} : 400 = 3{,}6\,\text{g}\). 4. Gewicht von \(10\) Scheiben: \(3{,}6\,\text{g} \cdot 10 = 36\,\text{g}\).

Eine einzelne Unterlegscheibe wiegt \(3{,}6\,\text{g}\). Zehn Unterlegscheiben wiegen zusammen \(36\,\text{g}\).

- Berechne zuerst für jeden Schlauch die Wassermenge, die in genau einer Minute fließt. - Wenn du weißt, wie viel Wasser in einer Minute fließt, wie findest du dann heraus, wie viel es in einer Sekunde ist? - Überlege, wie oft eine Sekunde in eine Minute passt.

1. Durchflussrate Schlauch A: \(25{,}5 : 1{,}5 = 255 : 15 = 17\,\text{l/min}\). 2. Durchflussrate Schlauch B: \(32{,}4 : 1{,}8 = 324 : 18 = 18\,\text{l/min}\). 3. Vergleich: Schlauch B hat die höhere Durchflussrate (\(18 > 17\)). 4. Wassermenge pro Sekunde für Schlauch B: Da eine Minute \(60\,\text{s}\) hat, berechnet man \(18 : 60 = 0{,}3\,\text{l}\).

a) Schlauch B hat mit \(18\,\text{l/min}\) die höhere Durchflussrate (Schlauch A: \(17\,\text{l/min}\)). b) Aus Schlauch B fließen \(0{,}3\,\text{l}\) pro Sekunde.

- Bestimme zuerst das Gewicht der einzelnen Personen nacheinander. - Wie viel wiegt Mia, wenn du ihren Anteil an Jonas' Gewicht berechnest? - Vergiss nicht, am Ende alle Einzelgewichte und die Ausrüstung zusammenzuzählen.

1. Berechnung von Mias Gewicht: \(\frac{4}{5} \cdot 55\,\text{kg} = 44\,\text{kg}\). 2. Berechnung des Gewichts des Vaters: \(2 \cdot 44\,\text{kg} = 88\,\text{kg}\). 3. Summierung aller Gewichte (Jonas, Ausrüstung, Mia, Vater): \(55\,\text{kg} + 42\,\text{kg} + 44\,\text{kg} + 88\,\text{kg} = 229\,\text{kg}\). 4. Vergleich mit der Tragkraft: \(229\,\text{kg} \le 250\,\text{kg}\). Die Belastung liegt unter dem Maximum.

Ja, sie können gemeinsam fahren, da das Gesamtgewicht \(229\,\text{kg}\) beträgt und somit unter der Grenze von \(250\,\text{kg}\) liegt.

- Identifiziere zuerst die beiden Faktoren, aus denen das Produkt besteht. - Überlege, ob du Klammern setzen musst, um die Summe und die Differenz zuerst zu berechnen. - Wie lautet die Vorzeichenregel für die Multiplikation zweier negativer Zahlen?

1. Berechnung des ersten Faktors (Summe): \(-3{,}5 + 1{,}25 = -2{,}25\) 2. Berechnung des zweiten Faktors (Differenz): \(0{,}8 - 1{,}2 = -0{,}4\) 3. Berechnung des Produkts: \((-2{,}25) \cdot (-0{,}4) = 0{,}9\)

Der Term lautet \((-3{,}5 + 1\frac{1}{4}) \cdot (0{,}8 - 1{,}2)\). Sein Wert ist \(0{,}9\).

- Achte genau auf die Reihenfolge bei der Subtraktion: Was wird von was abgezogen? - Denke an die Vorzeichenregeln, wenn du eine negative Zahl subtrahierst. - Es hilft, alle Zahlen einheitlich als Dezimalzahlen oder als Brüche zu schreiben.

1. Struktur des Terms festlegen (Subtraktion eines Produkts von einer Summe): \((\text{Summe}) - (\text{Produkt})\) 2. Einsetzen der Werte: \((-1{,}2 + 2{,}25) - (-\frac{3}{5} \cdot 0{,}5)\) 3. Berechnung der Summe: \(-1{,}2 + 2{,}25 = 1{,}05\) 4. Berechnung des Produkts: \(-\frac{3}{5} \cdot 0{,}5 = -0{,}6 \cdot 0{,}5 = -0{,}3\) 5. Finale Subtraktion unter Beachtung der Vorzeichenregeln: \(1{,}05 - (-0{,}3) = 1{,}05 + 0{,}3 = 1{,}35\)

Der Term lautet \((-1{,}2 + 2\frac{1}{4}) - (-\frac{3}{5} \cdot 0{,}5)\). Das Ergebnis ist \(1{,}35\) (oder \(1\frac{7}{20}\)).

- Beachte die Vorrangregeln (Klammern zuerst, dann Punkt-vor-Strich-Rechnung). - Überlege dir, welche Zahl in der Formel für die Ausgangstemperatur stehen könnte. - Welche Zahlen könnten Höhenangaben sein? - Welche Bedeutung könnte das Minuszeichen im Sachzusammenhang haben?

1. Berechnung des Klammerausdrucks: \(2400 - 400 = 2000\) (Höhenunterschied in m). 2. Division durch 100: \(2000 : 100 = 20\) (Anzahl der \(100\,\text{m}\)-Abschnitte). 3. Multiplikation mit der Rate: \(20 \cdot 0{,}5 = 10\) (gesamter Temperaturabfall in \(^\circ\text{C}\)). 4. Subtraktion vom Startwert: \(12 - 10 = 2\). Der Wert des Terms ist \(2\). 5. Mögliche Situation: Jemand startet auf einer Höhe von \(400\,\text{m}\) bei \(12\,^\circ\text{C}\) (Starttemperatur). Die Person wandert auf einen Gipfel in \(2400\,\text{m}\) Höhe (Zielhöhe). Pro \(100\,\text{m}\) Aufstieg sinkt die Temperatur um \(0{,}5\,^\circ\text{C}\) (Änderungsrate).

a) Der Wert des Terms ist \(2\). b) Beispiel: Eine Wanderung startet auf \(400\,\text{m}\) Höhe bei \(12\,^\circ\text{C}\) und führt auf einen \(2400\,\text{m}\) hohen Berg. Dabei sinkt die Temperatur um \(0{,}5\,^\circ\text{C}\) pro \(100\,\text{m}\).

- Achte darauf, dass alle Längenangaben in der gleichen Einheit (Meter) vorliegen. - Wie viele Schritte macht die Schwester insgesamt, wenn du Leons Anzahl kennst? - Wie berechnet man die Länge eines einzelnen Schrittes, wenn man die Gesamtstrecke und die Schrittanzahl hat?

1. Umrechnung der Wegstrecke: \(4{,}2\,\text{km} = 4200\,\text{m}\). 2. Berechnung von Leons Schritten: \(4200 : 0{,}7 = 6000\) Schritte. 3. Berechnung der Schritte der Schwester: \(6000 + 2000 = 8000\) Schritte. 4. Berechnung der Schrittlänge der Schwester: \(4200 : 8000 = 0{,}525\,\text{m}\).

a) Leon benötigt \(6000\) Schritte. b) Die durchschnittliche Schrittlänge seiner Schwester beträgt \(0{,}525\,\text{m}\).

- Wie viele Quadratmeter stecken in einem Hektar? - Könntest du zuerst ausrechnen, welcher Bruchteil der Fläche für den See übrig bleibt? - Überlege, wie man Brüche mit unterschiedlichen Nennern zusammenzählt.

1. Umrechnung der Gesamtfläche: \(15\,\text{ha} = 150\,000\,\text{m}^2\) 2. Berechnung des Anteils der Landfläche (Wald und Wiesen): \(\frac{2}{5} + \frac{3}{10} = \frac{4}{10} + \frac{3}{10} = \frac{7}{10}\) 3. Bestimmung des See-Anteils: \(1 - \frac{7}{10} = \frac{3}{10}\) 4. Berechnung der Seefläche in \(\text{m}^2\): \(\frac{3}{10}\) von \(150\,000\,\text{m}^2 = 45\,000\,\text{m}^2\)

Die Fläche des Sees beträgt \(45\,000\,\text{m}^2\).

- Überlege dir bei jeder Geschichte, ob Geld dazu kommt oder weggeht. - Achte darauf, ob eine Rechnung für eine Person oder für mehrere Personen gilt. - Beachte die Vorrangregeln (Klammern zuerst, dann Punkt-vor-Strich-Rechnung).

1. Zuordnung Geschichte A: Da Leo Geld ausgibt (3 Hefte und einen Füller), müssen diese Beträge vom Startwert subtrahiert werden. Der passende Term ist (2) \(20 - 3 \cdot 1{,}50 - 2{,}40\). Berechnung: \(20 - 4{,}50 - 2{,}40 = 13{,}10\). 2. Zuordnung Geschichte B: Leo gibt Geld für Hefte aus (Subtraktion), erhält aber danach Geld zurück (Addition). Der passende Term ist (3) \(20 - 3 \cdot 1{,}50 + 2{,}40\). Berechnung: \(20 - 4{,}50 + 2{,}40 = 17{,}90\). 3. Zuordnung Geschichte C: Da es drei Freunde sind, die jeweils den gleichen Restbetrag haben, wird der Restbetrag einer Person mit 3 multipliziert. Der passende Term ist (1) \(3 \cdot (20 - 1{,}50 - 2{,}40)\). Berechnung: \(3 \cdot 16{,}10 = 48{,}30\).

A gehört zu (2), Ergebnis: \(13{,}10\,\text{€}\). B gehört zu (3), Ergebnis: \(17{,}90\,\text{€}\). C gehört zu (1), Ergebnis: \(48{,}30\,\text{€}\).

- Kannst du die Strecke berechnen, wenn du Geschwindigkeit und Zeit kennst? - Für den zweiten Teil kannst du entweder das erste Ergebnis nutzen oder zuerst die neue Geschwindigkeit bestimmen. - Achte genau auf die Anzahl der Nachkommastellen bei jedem Schritt.

1. Berechnung der Strecke für die erste Schnecke: \(0{,}14\,\text{m/min} \cdot 7{,}5\,\text{min} = 1{,}05\,\text{m}\). 2. Berechnung der Strecke für die zweite Schnecke durch Anwendung des Faktors auf das erste Ergebnis: \(1{,}05\,\text{m} \cdot 1{,}3 = 1{,}365\,\text{m}\). Alternativ kann zuerst die Geschwindigkeit der zweiten Schnecke berechnet werden (\(0{,}14 \cdot 1{,}3 = 0{,}182\,\text{m/min}\)) und dann mit der Zeit multipliziert werden (\(0{,}182 \cdot 7{,}5 = 1{,}365\,\text{m}\)).

a) Die erste Schnecke schafft \(1{,}05\,\text{m}\). b) Die zweite Schnecke legt \(1{,}365\,\text{m}\) zurück.

- Sind alle Zeitangaben in derselben Einheit? - Wie viele Minuten hat eine Stunde? - Wie berechnet man die Gesamtmenge, wenn man den Wert für eine Minute kennt?

1. Umrechnung der Zeit von Stunden in Minuten: \(4{,}5\,\text{h} \cdot 60 = 270\,\text{min}\) 2. Multiplikation der Zeit mit der Verlustrate: \(270\,\text{min} \cdot 0{,}045\,\text{l/min}\) 3. Berechnung des Produkts: \(270 \cdot 0{,}045 = 12{,}15\) 4. Endergebnis: \(12{,}15\,\text{l}\)

Es werden \(12{,}15\,\text{l}\) Wasser verschwendet.

- Berechne zuerst die genaue Strecke, die Fahrer A zurückgelegt hat. - Vergleiche dann die berechnete Strecke mit der Angabe von Fahrer B. - Achte beim Multiplizieren darauf, die Kommas korrekt zu setzen.

1. Berechnung der Gesamtstrecke von Fahrer A: \(14{,}5 \cdot 3{,}25\,\text{km}\) 2. Durchführung der schriftlichen Multiplikation: \(14{,}5 \cdot 3{,}25 = 47{,}125\) 3. Vergleich der beiden Strecken: \(48\,\text{km} > 47{,}125\,\text{km}\) 4. Schlussfolgerung: Fahrer B hat recht.

Fahrer B hat recht. Fahrer A ist \(47{,}125\,\text{km}\) gefahren, was weniger ist als die \(48\,\text{km}\) von Fahrer B.

- Wandle die Zeitangabe zuerst in die kleinste vorkommende Einheit um. - Wie oft passt die Bahnlänge in die Gesamtstrecke? - Teile die Gesamtzeit durch die Anzahl der Abschnitte.

1. Umrechnung der Gesamtzeit in Sekunden: \(4 \cdot 60\,\text{s} + 24{,}8\,\text{s} = 264{,}8\,\text{s}\). 2. Bestimmung der Anzahl der Bahnen: \(400\,\text{m} : 50\,\text{m} = 8\). 3. Berechnung der Durchschnittszeit pro Bahn durch Division: \(264{,}8\,\text{s} : 8 = 33{,}1\,\text{s}\).

Der Schwimmer benötigte durchschnittlich \(33{,}1\,\text{s}\) pro Bahn.

- Kannst du die Division \(188 : 40\) vereinfachen oder schriftlich durchführen? - Überlege, wie viele Sekunden eine Stunde hat und wie viele Meter ein Kilometer, um den Umrechnungsfaktor zu verstehen. - Vergleiche die beiden Geschwindigkeiten erst, nachdem sie in derselben Einheit vorliegen.

1. Berechnung der Geschwindigkeit des ersten Autos in \(\text{m/s}\): \(188\,\text{m} : 40\,\text{s} = 4{,}7\,\text{m/s}\). 2. Umrechnung dieser Geschwindigkeit in \(\text{km/h}\): \(4{,}7 \cdot 3{,}6 = 16{,}92\,\text{km/h}\). 3. Vergleich mit dem zweiten Modell: \(16{,}92\,\text{km/h} > 16{,}2\,\text{km/h}\). Das erste Auto ist schneller.

a) Das erste Auto fährt mit \(4{,}7\,\text{m/s}\). b) Das erste Auto ist schneller, da seine Geschwindigkeit \(16{,}92\,\text{km/h}\) beträgt, während das zweite Modell nur \(16{,}2\,\text{km/h}\) schnell ist.

- Überlege zuerst, wie viel Geld die Schülerin insgesamt am Ende in der Kasse haben muss. - Wie viel Geld hat sie durch die ersten Verkäufe schon eingenommen? - Wie viele Bücher sind noch übrig, um den restlichen Betrag zu verdienen?

1. Berechnung des benötigten Gesamterlöses: \(80\,\text{€} + 50\,\text{€} = 130\,\text{€}\). 2. Berechnung der Einnahmen vom Vormittag: \(25 \cdot 4{,}00\,\text{€} = 100\,\text{€}\). 3. Berechnung des noch fehlenden Betrags: \(130\,\text{€} - 100\,\text{€} = 30\,\text{€}\). 4. Bestimmung der Anzahl der restlichen Bücher: \(40 - 25 = 15\,\text{Bücher}\). 5. Berechnung des Preises pro restlichem Buch: \(30\,\text{€} : 15 = 2{,}00\,\text{€}\).

Sie muss für die restlichen Bücher \(2{,}00\,\text{€}\) pro Stück verlangen.

- Lies genau, welche Zahl von welcher subtrahiert werden soll. - Erinnere dich: Klammern werden zuerst berechnet; anschließend gilt Punkt-vor-Strich-Rechnung. - Wandle Brüche wie \(\frac{5}{8}\) in Dezimalzahlen um, falls dir das Rechnen damit leichter fällt.

1. Schritt a): Gegenzahl von \(-\frac{3}{4}\) ist \(\frac{3}{4} = 0{,}75\). Betrag von \(-1{,}25\) ist \(1{,}25\). Addition: \(0{,}75 + 1{,}25 = 2\). 2. Schritt b): Gegenzahl von \(\frac{1}{5}\) ist \(-\frac{1}{5} = -0{,}2\). Subtraktion: \(-0{,}2 - 0{,}6 = -0{,}8\). 3. Schritt c): Summe bilden: \(-\frac{5}{8} + 0{,}125 = -0{,}625 + 0{,}125 = -0{,}5\). Multiplikation: \(-0{,}5 \cdot 4 = -2\).

a) \(0{,}75 + 1{,}25 = 2\) b) \(-0{,}2 - 0{,}6 = -0{,}8\) c) \((-0{,}625 + 0{,}125) \cdot 4 = -2\)

- Wie viele Stockwerke liegen insgesamt zwischen dem 4. Untergeschoss und dem 6. Obergeschoss? - Kannst du die Stockwerke als Zahlen auf einer vertikalen Achse darstellen? - Wie berechnet man die Gesamthöhe, wenn man die Anzahl der Etagen und die Höhe pro Etage kennt?

1. Bestimmung der Position des \(4\text{. UG}\): Da es unter dem Erdgeschoss liegt, wird es negativ gerechnet: \(-4 \cdot 3{,}40\,\text{m} = -13{,}60\,\text{m}\). 2. Bestimmung der Position des \(6\text{. OG}\): \(6 \cdot 3{,}40\,\text{m} = 20{,}40\,\text{m}\). 3. Berechnung der Differenz zwischen den beiden Höhen: \(20{,}40 - (-13{,}60)\). 4. Ergebnis: \(20{,}40 + 13{,}60 = 34{,}00\,\text{m}\). Alternative: Berechnung der Stockwerksdifferenz: \(6 - (-4) = 10\) Stockwerke. Multiplikation mit der Etagenhöhe: \(10 \cdot 3{,}40\,\text{m} = 34{,}00\,\text{m}\).

Der Aufzug überwindet eine Höhendifferenz von \(34{,}00\,\text{m}\).

- Wenn du eine Klammer auflöst, vor der ein Minus steht, was passiert mit den Vorzeichen in der Klammer? - Manchmal ist es einfacher, erst auszumultiplizieren, anstatt zuerst die Klammer auszurechnen. - Siehst du in Teil a) Zahlen, die sich gegenseitig aufheben könnten?

1. Aufstellen des Terms für Teil a): \((10{,}2 - 12{,}4) - (7{,}8 - 12{,}4)\). 2. Auflösen der Klammern unter Beachtung des Minuszeichens: \(10{,}2 - 12{,}4 - 7{,}8 + 12{,}4\). 3. Zusammenfassen der Terme: \(-12{,}4\) und \(+12{,}4\) heben sich auf. 4. Endergebnis für a): \(10{,}2 - 7{,}8 = 2{,}4\). 5. Aufstellen des Terms für Teil b): \((25 - 2{,}5) \cdot 4\). 6. Anwendung des Distributivgesetzes (Ausmultiplizieren): \(25 \cdot 4 - 2{,}5 \cdot 4\). 7. Berechnung der Teilprodukte: \(100 - 10\). 8. Endergebnis für b): \(90\).

a) Term: \((10{,}2 - 12{,}4) - (7{,}8 - 12{,}4)\); Ergebnis: \(2{,}4\). b) Term: \((25 - 2{,}5) \cdot 4\); Ergebnis: \(90\).

- Berechne zuerst jeden Teil einzeln. - Denk daran, dass „Subtrahiere x von y“ bedeutet, dass du \(y - x\) rechnest. - Es kann hilfreich sein, Brüche in Dezimalzahlen umzuwandeln, um sie leichter vergleichen zu können.

1. Berechnung von Wert A: \(-\frac{3}{4} \cdot \frac{8}{5} = -\frac{24}{20}\). Kürzen durch 4 ergibt \(-\frac{6}{5}\) bzw. \(-1{,}2\). 2. Berechnung von Wert B: Zuerst den Quotienten bilden: \(-\frac{7}{10} : 1 = -0{,}7\). 3. Davon \(\frac{1}{2}\) subtrahieren: \(-0{,}7 - 0{,}5 = -1{,}2\). 4. Vergleich: Da beide Ergebnisse \(-1{,}2\) lauten, sind die Werte gleich groß.

Beide Werte sind gleich groß (\(-1{,}2\)).

- Was bedeutet der Begriff „Gegenzahl“ im Vergleich zum „Betrag“? - Denke an die Vorzeichenregeln bei der Multiplikation und beim Quadrieren. - „Subtrahiere A von B“ bedeutet mathematisch \(B - A\). - Vergiss nicht, Brüche korrekt zu quadrieren, indem du Zähler und Nenner quadrierst.

1. Lösung für a): Die Gegenzahl von \(15\) ist \(-15\). Die Differenz von \(-3\) und \(7\) ist \(-3 - 7 = -10\). Der Term lautet \(-15 \cdot (-3 - 7)\). Ergebnis: \(-15 \cdot (-10) = 150\). 2. Lösung für b): Das Quadrat von \(-\frac{1}{2}\) ist \((-\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}\). Der Betrag von \(-16\) ist \(16\). Der Term lautet \((-\frac{1}{2})^2 \cdot |-16|\). Ergebnis: \(\frac{1}{4} \cdot 16 = 4\). 3. Lösung für c): Das Produkt von \(-5\) und \(-9\) ist \(45\). Die Summe von \(-12\) und \(18\) ist \(6\). Der Term lautet \((-5 \cdot (-9)) - (-12 + 18)\). Ergebnis: \(45 - 6 = 39\).

a) Term: \(-15 \cdot (-3 - 7)\), Wert: \(150\) b) Term: \((-\frac{1}{2})^2 \cdot |-16|\), Wert: \(4\) c) Term: \((-5 \cdot (-9)) - (-12 + 18)\), Wert: \(39\)

- Was bedeutet „subtrahiere von“ für die Reihenfolge der Zahlen im Term? - Erinnere dich daran, wie man Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringt. - Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn man eine negative Zahl subtrahiert?

1. Berechnung der Summe: \(-\frac{1}{2} + \frac{1}{6} = -\frac{3}{6} + \frac{1}{6} = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3}\) 2. Berechnung des Produkts: \(\frac{2}{3} \cdot \left(-\frac{3}{4}\right) = -\frac{6}{12} = -\frac{1}{2}\) 3. Durchführung der Subtraktion (Summe minus Produkt): \(-\frac{1}{3} - \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{3} + \frac{1}{2}\) 4. Bestimmung des Hauptnenners (6) und Berechnung des Endergebnisses: \(-\frac{2}{6} + \frac{3}{6} = \frac{1}{6}\)

Der Term lautet \(\left(-\frac{1}{2} + \frac{1}{6}\right) - \left(\frac{2}{3} \cdot \left(-\frac{3}{4}\right)\right)\). Sein Wert ist \(\frac{1}{6}\).

- Was bedeutet der Begriff „Gegenzahl“ für das Vorzeichen einer Zahl? - „Vermindern um“ bedeutet, dass du eine Subtraktion durchführen musst. - Denke an die Vorzeichenregeln, wenn du eine negative Zahl subtrahierst. - Bei „Differenz der Zahlen A und B“ rechnest du immer \(A - B\).

1. Term für a): \(-18{,}5 - (12{,}4 - 15{,}9)\). Differenz berechnen: \(12{,}4 - 15{,}9 = -3{,}5\). Term vereinfachen: \(-18{,}5 - (-3{,}5) = -18{,}5 + 3{,}5 = -15\). 2. Term für b): \((-14{,}6 + 21{,}3) + (-7{,}2)\). Summe berechnen: \(-14{,}6 + 21{,}3 = 6{,}7\). Addition der Gegenzahl: \(6{,}7 - 7{,}2 = -0{,}5\). 3. Term für c): \((-10 - (-25)) - 3 \cdot 4{,}5\). Differenz berechnen: \(-10 + 25 = 15\). Produkt berechnen: \(3 \cdot 4{,}5 = 13{,}5\). Subtraktion: \(15 - 13{,}5 = 1{,}5\).

a) Term: \(-18{,}5 - (12{,}4 - 15{,}9)\); Ergebnis: \(-15\) b) Term: \((-14{,}6 + 21{,}3) + (-7{,}2)\); Ergebnis: \(-0{,}5\) c) Term: \((-10 - (-25)) - 3 \cdot 4{,}5\); Ergebnis: \(1{,}5\)

- Wandle alle Zahlen am besten zuerst in die gleiche Form um (entweder Brüche oder Dezimalzahlen). - Überlege dir, was der Kehrwert einer Zahl bedeutet und wie man ihn bei einem Bruch findet. - Achte beim Addieren von negativen Zahlen besonders auf die Vorzeichen.

1. Berechnung der Summe der beiden rationalen Zahlen: \(-4\frac{1}{2} + (-1{,}75) = -4{,}5 - 1{,}75 = -6{,}25\). 2. Bestimmung des Kehrwerts der Dezimalzahl: \(0{,}8 = \frac{4}{5}\), woraus der Kehrwert \(\frac{5}{4} = 1{,}25\) folgt. 3. Addition des Kehrwerts zur zuvor berechneten Summe: \(1{,}25 + (-6{,}25) = -5\).

\(-5\)

- Was bedeutet es für die Lage auf der Zahlengeraden, wenn eine Zahl kleiner ist als eine andere? - Erinnere dich daran, dass die Gegenzahl einer Zahl einfach das entgegengesetzte Vorzeichen hat. - Gehe bei verschachtelten Rechnungen (wie bei Wert B) schrittweise vor und beachte die Klammerregeln.

1. Berechnung von Wert A: Die Gegenzahl von \(2\frac{3}{5}\) (oder \(2{,}6\)) ist \(-2{,}6\). Der Kehrwert von \(0{,}5 = \frac{1}{2}\) ist \(2\). Die Summe ergibt \(-2{,}6 + 2 = -0{,}6\). 2. Berechnung von Wert B: Zuerst wird die Summe in der Klammer gebildet: \(0{,}6 + (-3{,}5) = -2{,}9\). Dann wird diese von \(-1{,}4\) subtrahiert: \(-1{,}4 - (-2{,}9) = -1{,}4 + 2{,}9 = 1{,}5\). 3. Vergleich der Ergebnisse: Da \(-0{,}6 < 1{,}5\) gilt, liegt der Wert A auf der Zahlengeraden weiter links (da er die kleinere Zahl ist).

Wert A liegt weiter links (\(-0{,}6 < 1{,}5\)).

- Überlege genau, welche Kosten für jede einzelne Person anfallen und welche Kosten nur einmal für die ganze Gruppe gelten. - Wo im Rechenbaum müsste eine Klammer stehen, wenn man die Rechnung als Zeile aufschreiben würde? - Prüfe, ob die Gebühr von \(10\,\text{€}\) im Baum vervielfacht wird oder nicht.

1. Analyse von Baum A: Zuerst wird der ermäßigte Preis pro Person berechnet (\(18 - 3 = 15\)). Dieser wird mit der Personenanzahl multipliziert (\(15 \cdot 15 = 225\)). Zum Schluss wird die einmalige Gebühr addiert (\(225 + 10 = 235\)). Dies entspricht der Beschreibung. 2. Analyse von Baum B: Hier wird die Gebühr von \(10\,\text{€}\) zum ermäßigten Preis pro Person addiert, bevor mit 15 multipliziert wird. Das würde bedeuten, dass jede Person \(10\,\text{€}\) Gebühr zahlt, was falsch ist. 3. Berechnung der korrekten Gesamtkosten: \(15 \cdot 15 + 10 = 225 + 10 = 235\,\text{€}\).

Rechenbaum A ist richtig, da die einmalige Gebühr von \(10\,\text{€}\) erst ganz am Ende zum Gesamtpreis der Karten addiert wird. In Baum B würde die Gebühr fälschlicherweise für jede der 15 Personen berechnet werden. Die Gesamtkosten betragen \(235\,\text{€}\).

- Finde zuerst heraus, welchen Bruchteil der Gesamtmenge die Farbe Blau ausmacht. - Bestimme danach den Bruchteil für die Farbe Weiß. - Wie kannst du den Anteil der dritten Farbe (Rot) berechnen, wenn du die anderen beiden Anteile kennst? - Denke daran, dass die Anteile in beiden Mischungen identisch sind, auch wenn die Gesamtmengen unterschiedlich sind.

1. Bestimmung des Blau-Anteils aus Mischung A: \(\frac{180}{450} = \frac{18}{45} = \frac{2}{5}\). Dieser Anteil gilt für beide Mischungen. 2. Bestimmung des Weiß-Anteils aus Mischung B: \(\frac{100}{750} = \frac{10}{75} = \frac{2}{15}\). Dieser Anteil gilt für beide Mischungen. 3. Berechnung des Rot-Anteils durch Subtraktion der anderen Anteile von 1 (Gesamtmenge): \(1 - \frac{2}{5} - \frac{2}{15} = \frac{15}{15} - \frac{6}{15} - \frac{2}{15} = \frac{7}{15}\). 4. Berechnung der roten Farbe in Mischung A: \(450\,\text{g} \cdot \frac{7}{15} = 30 \cdot 7 = 210\,\text{g}\). 5. Berechnung der roten Farbe in Mischung B: \(750\,\text{g} \cdot \frac{7}{15} = 50 \cdot 7 = 350\,\text{g}\).

In Mischung A sind \(210\,\text{g}\) rote Farbe enthalten, in Mischung B sind es \(350\,\text{g}\).

- Wie findet man heraus, wie viel von etwas verbraucht wurde, wenn man Start- und Endwert kennt? - Versuche, die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen. - Wenn du weißt, wie viel Kapazität in einer Stunde verbraucht wird, wie lange dauert es dann, bis der ganze Akku leer ist?

1. Berechnung des Verbrauchs pro Stunde durch Subtraktion: \(\frac{5}{6} - \frac{2}{3} = \frac{5}{6} - \frac{4}{6} = \frac{1}{6}\). In einer Stunde wird \(\frac{1}{6}\) der Kapazität verbraucht. 2. Bestimmung der Gesamtnutzungsdauer für eine volle Ladung (\(\frac{6}{6}\)): Da \(\frac{1}{6}\) pro Stunde verbraucht wird, reicht die volle Ladung für \(6\) Stunden (\(6 \cdot \frac{1}{6} = 1\)). 3. Umrechnung der Stunden in Minuten: \(6 \cdot 60 \text{ min} = 360 \text{ min}\).

In einer Stunde wurde \(\frac{1}{6}\) der Gesamtkapazität verbraucht. Bei einer vollen Ladung könnte man den Laptop insgesamt \(360\) Minuten lang nutzen.

- Wie viel Platz war im Becken noch frei, bevor es geregnet hat? - Wie viel Wasser ist durch den Regen genau dazu gekommen? Berechne diesen Anteil an der Gesamtgröße. - Wie rechnest du den neuen Stand aus, wenn du den alten Stand und die hinzugefügte Menge kennst?

1. Berechnung des leeren Teils des Beckens: \(1 - \frac{3}{8} = \frac{5}{8}\) 2. Berechnung des hinzugefügten Wassers (ein Drittel des leeren Teils): \(\frac{1}{3} \cdot \frac{5}{8} = \frac{5}{24}\) 3. Berechnung des neuen Gesamtfüllstandes durch Addition zum Anfangsbestand: \(\frac{3}{8} + \frac{5}{24}\) 4. Erweitern auf den Hauptnenner 24: \(\frac{9}{24} + \frac{5}{24} = \frac{14}{24}\) 5. Kürzen des Ergebnisses: \(\frac{14}{24} = \frac{7}{12}\)

Das Becken ist nun zu \(\frac{7}{12}\) gefüllt.

- Was bedeutet es, eine Zahl zu quadrieren? - Wie dividiert man durch einen Bruch? - Denk an die Regel „Punkt vor Strich“, falls du die Aufgabe als einen langen Term aufschreibst.

1. Berechnung der Summe: \(1\frac{2}{3} + 2\frac{5}{6} = 1\frac{4}{6} + 2\frac{5}{6} = 3\frac{9}{6} = 4\frac{3}{6} = 4\frac{1}{2} = \frac{9}{2}\). 2. Berechnung des Quadrats: \((\frac{3}{4})^2 = \frac{9}{16}\). 3. Division der Summe durch das Quadrat: \(\frac{9}{2} : \frac{9}{16} = \frac{9}{2} \cdot \frac{16}{9} = \frac{1}{1} \cdot \frac{8}{1} = 8\). 4. Subtraktion: \(8 - 1\frac{1}{2} = 6\frac{1}{2}\).

\(6\frac{1}{2}\)

- Wie viel Draht wurde insgesamt schon abgeschnitten? - Was bedeutet „\(25\,\%\) der ursprünglichen Länge“ als konkrete Meterangabe? - Wie viel Draht muss insgesamt von der Rolle entfernt werden, damit am Ende nur noch dieser Zielwert übrig ist? - Die Differenz zwischen dem, was weg muss, und dem, was schon weg ist, ergibt dein gesuchtes Stück.

1. Addition der bereits abgeschnittenen Längen: \(4\frac{1}{2} + 7\frac{3}{4} + 2\frac{1}{5} + 5\frac{2}{5} = 4{,}5 + 7{,}75 + 2{,}2 + 5{,}4 = 19{,}85\,\text{m}\) 2. Umwandlung in Brüche (optional): \(19\frac{17}{20}\,\text{m}\) 3. Berechnung der Ziel-Restlänge (\(25\,\%\) von \(30\,\text{m}\)): \(0{,}25 \cdot 30 = 7{,}5\,\text{m}\) (oder \(7\frac{1}{2}\,\text{m}\)) 4. Berechnung der Gesamtlänge, die abgeschnitten werden muss: \(30 - 7{,}5 = 22{,}5\,\text{m}\) 5. Berechnung des letzten Stücks durch Differenzbildung: \(22{,}5 - 19{,}85 = 2{,}65\,\text{m}\) 6. Alternativ in Brüchen: \(22\frac{10}{20} - 19\frac{17}{20} = 21\frac{30}{20} - 19\frac{17}{20} = 2\frac{13}{20}\,\text{m}\)

Das letzte Teilstück muss \(2{,}65\,\text{m}\) (oder \(2\frac{13}{20}\,\text{m}\)) lang sein.

- Bestimme zuerst, wie viel Stoff Julia insgesamt benötigt. - Berechne dann, was dieser Stoff kosten würde, wenn sie ihn meterweise kauft. - Vergleiche diesen Betrag mit dem Preis der fertigen Rolle. - Welche Zahl ist kleiner? Um wie viel?

1. Berechnung der benötigten Gesamtlänge: \(1\frac{1}{2} + 2\frac{3}{4} + 1\frac{1}{5}\). 2. Hauptnenner finden (20): \(1\frac{10}{20} + 2\frac{15}{20} + 1\frac{4}{20} = 4\frac{29}{20} = 5\frac{9}{20}\,\text{m}\). 3. Umwandlung in Dezimalzahl: \(5\frac{9}{20} = 5{,}45\,\text{m}\). 4. Kosten für Angebot A berechnen: \(5{,}45\,\text{m} \cdot 3\,\text{€/m} = 16{,}35\,\text{€}\). 5. Vergleich mit Angebot B (\(16\,\text{€}\)): Angebot B ist günstiger. 6. Berechnung der Differenz: \(16{,}35\,\text{€} - 16{,}00\,\text{€} = 0{,}35\,\text{€}\).

Die 6-Meter-Rolle (Angebot B) ist günstiger. Der Preisunterschied beträgt \(0{,}35\,\text{€}\).

- Es kann hilfreich sein, Brüche und Dezimalzahlen in die gleiche Darstellung zu bringen. - Welche Zahl ist der Dividend und welche der Divisor? - Denke an die Vorzeichenregeln bei der Division. - Beachte die Vorrangregeln: Was muss zuerst berechnet werden?

1. Berechnung des Produkts: \(0{,}25 \cdot 12 = 3\) 2. Berechnung der Differenz (Umwandlung des Bruchs in eine Dezimalzahl): \(\frac{3}{4} - 1{,}5 = 0{,}75 - 1{,}5 = -0{,}75\) 3. Division der Teilergebnisse: \(3 : (-0{,}75) = -4\) 4. Berechnung des Quadrats: \(4^2 = 16\) 5. Finale Addition: \(-4 + 16 = 12\)

\(12\)

- Wie viel kosten alle Springseile zusammen? - Wenn du die Kosten der Seile vom Gesamtpreis abziehst, was bleibt dann für die Medizinbälle übrig? - Wie kannst du den Preis für einen Medizinball finden, wenn du den Preis für drei kennst? - Versuche für die Begründung in Teil c mit gerundeten Werten wie \(5\,\text{€}\) und \(71\,\text{€}\) zu rechnen.

1. Kosten der Springseile: \(5 \cdot 4{,}99\,\text{€} = 24{,}95\,\text{€}\). 2. Gesamtkosten der Medizinbälle: \(71{,}45\,\text{€} - 24{,}95\,\text{€} = 46{,}50\,\text{€}\). 3. Preis pro Medizinball: \(46{,}50\,\text{€} : 3 = 15{,}50\,\text{€}\). 4. Korrektur mit Gutschein: \(71{,}45\,\text{€} - 12{,}50\,\text{€} = 58{,}95\,\text{€}\). 5. Argumentation zur Schätzung: Die 5 Springseile kosten knapp unter \(25\,\text{€}\) (\(5 \cdot 5 = 25\)). Zieht man diese \(25\,\text{€}\) von ca. \(71\,\text{€}\) ab, bleiben \(46\,\text{€}\) für 3 Medizinbälle übrig. Da \(3 \cdot 15 = 45\) ist, muss der Preis pro Medizinball über \(15\,\text{€}\) liegen.

a) Ein Medizinball kostet \(15{,}50\,\text{€}\). b) Der korrekte Endbetrag ist \(58{,}95\,\text{€}\). c) Fünf Seile kosten knapp \(25\,\text{€}\). Daher bleiben etwas mehr als \(46\,\text{€}\) für drei Medizinbälle. Weil \(3 \cdot 15 = 45\) gilt, muss der Einzelpreis über \(15\,\text{€}\) liegen.

- Berechne zuerst, wie viel der gesamte Einkauf ohne Gutscheine kostet. - Wie viel Rabatt bekommt Frau Meyer insgesamt durch die Gutscheine? - Vergleiche deinen berechneten Restbetrag mit dem Betrag des Verkäufers. Wie groß ist der Unterschied? - Kommt dir dieser Differenzbetrag in der Liste der Artikelpreise bekannt vor?

1. Kosten der Notizblöcke: \(4 \cdot 2{,}35\,\text{€} = 9{,}40\,\text{€}\). 2. Kosten der Textmarker: \(2 \cdot 4{,}89\,\text{€} = 9{,}78\,\text{€}\). 3. Gesamtkosten vor Abzug: \(9{,}40\,\text{€} + 9{,}78\,\text{€} + 12{,}50\,\text{€} = 31{,}68\,\text{€}\). 4. Gesamtwert der Gutscheine: \(5{,}50\,\text{€} + 3{,}75\,\text{€} + 8{,}20\,\text{€} = 17{,}45\,\text{€}\). 5. Korrekter Restbetrag: \(31{,}68\,\text{€} - 17{,}45\,\text{€} = 14{,}23\,\text{€}\). 6. Fehleranalyse: Die Differenz zum falschen Betrag ist \(16{,}58\,\text{€} - 14{,}23\,\text{€} = 2{,}35\,\text{€}\). 7. Identifikation des Fehlers: Der Betrag von \(2{,}35\,\text{€}\) entspricht exakt dem Preis eines Notizblocks. Es wurde also vermutlich ein fünfter Notizblock berechnet oder einer der vier Blöcke doppelt gescannt.

a) Frau Meyer muss noch \(14{,}23\,\text{€}\) bezahlen. b) Der Verkäufer hat vermutlich einen Notizblock zu viel berechnet (5 statt 4 Blöcke), da die Differenz zwischen dem genannten und dem korrekten Betrag genau \(2{,}35\,\text{€}\) beträgt.

- Was bedeutet „um die Hälfte vergrößern“ mathematisch für einen Bruch? - Kannst du die Punktierung als Multiplikation mit einem Faktor ausdrücken? - Wie viele Achtel passen in ein Ganzes, in eine Halbe oder in eine Viertel?

1. Teil a: Wert einer punktierten Viertelnote berechnen: \(\frac{1}{4} \cdot 1{,}5 = \frac{3}{8}\). 2. Gesamtwert von zwei punktierten Vierteln: \(2 \cdot \frac{3}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}\). 3. Wert von drei normalen Vierteln: \(3 \cdot \frac{1}{4} = \frac{3}{4}\). Da \(\frac{3}{4} = \frac{3}{4}\), ist die Aussage bewiesen. 4. Teil b: Wert einer punktierten halben Note berechnen: \(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}\). 5. Umrechnung in Achtel: \(\frac{3}{4} = \frac{6}{8}\). 6. Ergebnis: Es werden 6 Achtelnoten benötigt.

a) Zwei punktierte Viertel ergeben \(\frac{3}{4}\), was genau dem Wert von drei normalen Vierteln (\(\frac{3}{4}\)) entspricht. b) Eine punktierte halbe Note entspricht 6 Achtelnoten.

- Rechne zuerst aus, wie viel Liter Saft für jede Bechergröße insgesamt verkauft wurden. - Wenn du die Gesamtmenge in Litern kennst, überlege, wie viele 5-Liter-Einheiten du brauchst, um diese Zahl zu erreichen oder zu überschreiten. - Wie viel Saft wäre in drei vollen Kanistern? Wie viel davon wurde tatsächlich verbraucht?

1. Berechnung der Saftmenge der Standard-Becher: \(15 \cdot \frac{1}{3} \text{ l} = 5 \text{ l}\). 2. Berechnung der Saftmenge der großen Becher: \(12 \cdot \frac{1}{2} \text{ l} = 6 \text{ l}\). 3. Berechnung der Gesamtmenge: \(5 \text{ l} + 6 \text{ l} = 11 \text{ l}\). 4. Bestimmung der Anzahl der Kanister: Da ein Kanister 5 Liter fasst, ergeben 2 Kanister 10 Liter. Da 11 Liter benötigt werden, müssen 3 Kanister geöffnet werden (\(11 > 10\)). 5. Berechnung der Restmenge im 3. Kanister: Die 3 Kanister enthalten insgesamt \(3 \cdot 5 \text{ l} = 15 \text{ l}\). Rest: \(15 \text{ l} - 11 \text{ l} = 4 \text{ l}\).

a) Es wurden insgesamt 11 Liter Saft verkauft. b) Es mussten mindestens 3 Kanister geöffnet werden. c) Im zuletzt geöffneten Kanister sind noch 4 Liter Saft enthalten.

- Berechne zuerst für jede Klasse einzeln, wie viele Kinder ein Tier haben. - Achtung: Ein größerer Bruchteil bedeutet nicht immer automatisch eine größere Anzahl. Wovon hängt das ab? - Wie viele Kinder sind es insgesamt in beiden Klassen? - Wie viele davon haben insgesamt ein Haustier?

1. Berechnung der Haustierbesitzer in Klasse 6a: \( \frac{2}{3} \cdot 24 = 16 \) 2. Berechnung der Haustierbesitzer in Klasse 6b: \( \frac{1}{2} \cdot 30 = 15 \) 3. Vergleich der Ergebnisse: \( 16 > 15 \), also hat die 6a mehr Kinder mit Haustieren. 4. Berechnung der Gesamtzahl der Kinder: \( 24 + 30 = 54 \) 5. Berechnung der Gesamtzahl der Haustierbesitzer: \( 16 + 15 = 31 \) 6. Bestimmung des Gesamtanteils: \( \frac{31}{54} \)

a) In der Klasse 6a gibt es mehr Kinder mit Haustieren (16 Kinder) als in der 6b (15 Kinder). b) Der Anteil aller Kinder mit Haustier beträgt \( \frac{31}{54} \).

- Erinnere dich daran, wie man durch eine Dezimalzahl dividiert, indem man das Komma bei beiden Zahlen verschiebt. - Was bedeutet die Angabe \(\text{m/s}\) für die Berechnung der Strecke in einer sehr kurzen Zeit? - Wie viele Zentimeter sind ein Meter?

1. Geschwindigkeit Drohne Alpha: \(45{,}5 : 3{,}5 = 455 : 35 = 13\,\text{m/s}\). 2. Geschwindigkeit Drohne Beta: \(61{,}2 : 4{,}8 = 612 : 48 = 12{,}75\,\text{m/s}\). 3. Vergleich: Drohne Alpha ist schneller, da \(13\,\text{m/s} > 12{,}75\,\text{m/s}\). 4. Strecke in \(0{,}01\,\text{s}\) für Alpha: \(13\,\text{m/s} \cdot 0{,}01\,\text{s} = 0{,}13\,\text{m}\). 5. Umrechnung in Zentimeter: \(0{,}13\,\text{m} = 13\,\text{cm}\).

a) Drohne Alpha ist mit \(13\,\text{m/s}\) schneller als Drohne Beta (\(12{,}75\,\text{m/s}\)). b) Die schnellere Drohne fliegt in \(0{,}01\,\text{s}\) genau \(13\,\text{cm}\).

- Berechne Schritt für Schritt das Gewicht jeder Kiste. - Wie viel Platz ist noch im Aufzug, nachdem die Kisten geladen wurden? - Überlege beim letzten Schritt, ob man ein angebrochenes Paket mitzählen darf, wenn die Grenze nicht überschritten werden soll.

1. Umrechnung der Tragfähigkeit: \(0{,}8\,\text{t} = 800\,\text{kg}\). 2. Gewicht von Kiste B berechnen: \(\frac{3}{4} \cdot 210\,\text{kg} = 157{,}5\,\text{kg}\). 3. Gewicht von Kiste C berechnen: \(157{,}5\,\text{kg} + 45\,\text{kg} = 202{,}5\,\text{kg}\). 4. Gesamtgewicht der Kisten berechnen: \(210\,\text{kg} + 157{,}5\,\text{kg} + 202{,}5\,\text{kg} = 570\,\text{kg}\). 5. Restkapazität ermitteln: \(800\,\text{kg} - 570\,\text{kg} = 230\,\text{kg}\). 6. Anzahl der Pakete bestimmen: \(230\,\text{kg} : 12{,}5\,\text{kg} = 18{,}4\). 7. Da nur ganze Pakete geladen werden können, passen maximal 18 Pakete hinein.

a) Das Gesamtgewicht der Kisten beträgt \(570\,\text{kg}\). b) Es können höchstens noch 18 Pakete zugeladen werden.

- Was steht bei einem Quotienten vorne (Dividend) und was hinten (Divisor)? - Wandle alle Brüche in Dezimalzahlen um, um die Teilrechnungen leichter durchzuführen. - Prüfe am Ende das Vorzeichen deines Ergebnisses.

1. Berechnung des Dividenden (Differenz): \(-\frac{3}{10} - 0{,}2 = -0{,}3 - 0{,}2 = -0{,}5\) 2. Berechnung des Divisors (Summe): \(\frac{1}{8} + (-0{,}375) = 0{,}125 - 0{,}375 = -0{,}25\) 3. Berechnung des Quotienten: \((-0{,}5) : (-0{,}25) = 2\)

Der Term lautet \((-\frac{3}{10} - 0{,}2) : (\frac{1}{8} + (-0{,}375))\). Sein Wert ist \(2\).

- Welche Rechenoperation gehört zu welchem Fachbegriff (Produkt, Differenz, subtrahieren)? - Achte genau auf die Reihenfolge: Was wird von was abgezogen? - Schreibe den Term zuerst vollständig mit Klammern auf, bevor du zu rechnen beginnst. - Achte besonders auf die Vorzeichenregeln bei der Subtraktion einer negativen Zahl.

1. Aufstellen des Terms: Die Differenz ist \(\frac{1}{4} - 0{,}75\). Davon wird das Produkt \(-1{,}2 \cdot \frac{5}{6}\) subtrahiert. Term: \((\frac{1}{4} - 0{,}75) - (-1{,}2 \cdot \frac{5}{6})\). 2. Berechnung der Differenz (Minuend): \(\frac{1}{4} - \frac{3}{4} = -\frac{2}{4} = -0{,}5\). 3. Berechnung des Produkts (Subtrahend): \(-1{,}2 = -\frac{6}{5}\). Das Produkt ist \(-\frac{6}{5} \cdot \frac{5}{6} = -1\). 4. Finale Subtraktion: \(-0{,}5 - (-1) = -0{,}5 + 1 = 0{,}5\).

Der Term lautet \((\frac{1}{4} - 0{,}75) - (-1{,}2 \cdot \frac{5}{6})\). Sein Wert ist \(0{,}5\) oder \(\frac{1}{2}\).

- Schreibe dir zuerst die Werte für die Summe und die Differenz der beiden Zahlen einzeln auf. - Achte besonders auf das „Minus-Minus“, wenn du eine negative Zahl subtrahierst. - Vergleiche die beiden Endergebnisse: Was passiert, wenn du sie miteinander multiplizierst? - Erinnerst du dich an den Begriff für Zahlen, deren Produkt \(1\) ergibt?

1. Aufstellen von Term 1: \((a - b) : (a + b)\). Einsetzen der Werte: \((0{,}4 - (-0{,}6)) : (0{,}4 + (-0{,}6)) = 1{,}0 : (-0{,}2)\). 2. Berechnung von Term 1: \(1{,}0 : (-0{,}2) = -5\). 3. Aufstellen von Term 2: \((a + b) : (a - b)\). Einsetzen der Werte: \((0{,}4 + (-0{,}6)) : (0{,}4 - (-0{,}6)) = -0{,}2 : 1{,}0\). 4. Berechnung von Term 2: \(-0{,}2 : 1{,}0 = -0{,}2\) (oder \(-\frac{1}{5}\)). 5. Beziehung bestimmen: Da \(-5 \cdot (-0{,}2) = 1\), sind die Ergebnisse Kehrwerte (reziprok) voneinander.

Term 1: \((0{,}4 - (-0{,}6)) : (0{,}4 + (-0{,}6)) = -5\) Term 2: \((0{,}4 + (-0{,}6)) : (0{,}4 - (-0{,}6)) = -0{,}2\) Beziehung: Die Ergebnisse sind Kehrwerte voneinander.

- Klammern helfen dir, die Differenz und das Produkt klar voneinander zu trennen, bevor du dividierst. - Wandle gemischte Zahlen und Dezimalzahlen so um, dass du gut mit ihnen rechnen kannst. - Erinnerst du dich, wie man Brüche miteinander multipliziert?

1. Aufstellen des Gesamtausdrucks: \((-5{,}25 - (-2\frac{1}{4})) : (\frac{2}{3} \cdot 1{,}5)\) 2. Berechnung der Differenz im ersten Teil: \(-5{,}25 - (-2{,}25) = -5{,}25 + 2{,}25 = -3\) 3. Berechnung des Produkts im zweiten Teil: \(\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} = 1\) 4. Durchführung der Division: \(-3 : 1 = -3\)

Der Term lautet \((-5{,}25 - (-2\frac{1}{4})) : (\frac{2}{3} \cdot 1{,}5)\). Das Ergebnis ist \(-3\).

- Was bedeutet eine „stärkere Abnahme“ für das Endergebnis? - Berechne für jedes Modell einzeln, wie stark die Temperatur auf der Zielhöhe gesunken ist. - Vergleiche die beiden Ergebnisse am Ende, um den Unterschied zu finden.

1. Begründung ohne Rechnung: Modell B sagt eine niedrigere Temperatur voraus, da die Temperatur dort pro \(100\,\text{m}\) stärker sinkt (\(1{,}0\,^\circ\text{C}\) statt \(0{,}6\,^\circ\text{C}\)). 2. Berechnung Modell A: \(15 + 3500 \cdot \frac{-0{,}6}{100} = 15 - 35 \cdot 0{,}6 = 15 - 21 = -6\,^\circ\text{C}\). 3. Berechnung Modell B: \(15 + 3500 \cdot \frac{-1{,}0}{100} = 15 - 35 \cdot 1 = 15 - 35 = -20\,^\circ\text{C}\). 4. Berechnung der Differenz: \(|-6 - (-20)| = 14\,^\circ\text{C}\).

Modell B sagt eine niedrigere Temperatur voraus, da der Temperaturabfall pro Höhenmeter größer ist. Der Unterschied zwischen den Modellen beträgt \(14\,^\circ\text{C}\) (Modell A: \(-6\,^\circ\text{C}\); Modell B: \(-20\,^\circ\text{C}\)).

- Was bedeutet „vollständig gefüllt“ für dein Rechenergebnis? - Wie berechnest du den Rest, nachdem du die Anzahl der vollen Flaschen bestimmt hast? - Rechne erst aus, wie viel Saft in die 20 großen Flaschen passt, bevor du dich um den Rest kümmerst.

1. Große Flaschen: \(26 \cdot 0{,}75 = 19{,}5\). Es können also \(26\) große Flaschen vollständig gefüllt werden; es bleiben \(20 - 19{,}5 = 0{,}5\,\text{l}\) übrig. 2. Kleine Flaschen: \(60 \cdot 0{,}33 = 19{,}8\). Es können also \(60\) kleine Flaschen vollständig gefüllt werden; es bleiben \(20 - 19{,}8 = 0{,}2\,\text{l}\) übrig. 3. Vergleich: \(0{,}2\,\text{l} < 0{,}5\,\text{l}\), die Aussage ist wahr. 4. Kombination: \(20\) große Flaschen fassen \(20 \cdot 0{,}75 = 15\,\text{l}\). 5. Verbleibende Menge: \(20 - 15 = 5\,\text{l}\). 6. Kleine Flaschen für die Restmenge: \(15 \cdot 0{,}33 = 4{,}95\). Es können \(15\) kleine Flaschen zusätzlich vollständig gefüllt werden; danach bleiben \(0{,}05\,\text{l}\) übrig.

a) Es können \(26\) große Flaschen gefüllt werden; es bleiben \(0{,}5\,\text{l}\) übrig. b) Die Aussage ist wahr, da bei kleinen Flaschen nur \(0{,}2\,\text{l}\) übrig bleiben (\(0{,}2 < 0{,}5\)). c) Es können \(15\) kleine Flaschen zusätzlich vollständig gefüllt werden.

- Was könnte die Klammer in einer Geschichte bedeuten? Oft ist es ein Gesamtpaket oder eine gemeinsame Rechnung. - Wofür könnte das Teilen durch 2 am Ende stehen? - Denk an alltägliche Situationen wie Einkaufen oder das Aufteilen von Kosten.

1. Beispiel für eine Sachgeschichte: Zwei Freunde bestellen zusammen eine Pizza für \(12{,}50\,\text{€}\) und drei Getränke für jeweils \(4{,}50\,\text{€}\). Sie teilen sich die Gesamtkosten gerecht auf. 2. Berechnung des Terms unter Beachtung der Vorrangregeln: Zuerst Punktrechnung in der Klammer: \(3 \cdot 4{,}50 = 13{,}50\). 3. Addition in der Klammer: \(12{,}50 + 13{,}50 = 26{,}00\). 4. Division durch 2: \(26{,}00 : 2 = 13{,}00\).

a) Mögliche Geschichte: Zwei Personen teilen sich die Kosten für eine Pizza (\(12{,}50\,\text{€}\)) und drei Softdrinks (je \(4{,}50\,\text{€}\)). b) Das Ergebnis ist \(13{,}00\,\text{€}\).

- Schau dir an, an welcher Stelle im Term der Rabatt abgezogen wird. - Wird der Rabatt einmalig abgezogen oder mehrmals (z. B. für jede Person)? - Rechne beide Möglichkeiten Schritt für Schritt aus, um sie zu vergleichen.

1. Zuordnung: Term 1 berechnet erst die normalen Preise (\(4 \cdot 3{,}50\) für Kinder und \(2 \cdot 5{,}50\) für Erwachsene) und zieht am Ende \(3{,}00\,\text{€}\) ab. Das passt zu Aktion 1. 2. Zuordnung: Term 2 berechnet für jedes der 4 Kinder einen reduzierten Preis (\(3{,}50 - 0{,}50\)) und addiert die Erwachsenenpreise. Das passt zu Aktion 2. 3. Berechnung Term 1: \(14{,}00 + 11{,}00 - 3{,}00 = 22{,}00\,\text{€}\). 4. Berechnung Term 2: \(4 \cdot 3{,}00 + 11{,}00 = 12{,}00 + 11{,}00 = 23{,}00\,\text{€}\). 5. Vergleich: \(22{,}00\,\text{€}\) ist weniger als \(23{,}00\,\text{€}\). Aktion 1 ist günstiger.

Term 1 gehört zu Aktion 1, Term 2 gehört zu Aktion 2. Aktion 1 ist günstiger, da die Familie dort nur \(22{,}00\,\text{€}\) statt \(23{,}00\,\text{€}\) zahlt.

- Überlege für den ersten Teil, wie viel vom Ganzen auf eine Minute entfällt. - Für den zweiten Teil ist es hilfreich, die Zeit zuerst in Sekunden umzurechnen. - Was musst du durch was teilen, um die Zeit für genau einen Liter zu erhalten?

1. Berechnung der Liter pro Minute: \(112{,}5\,\text{l} : 15 = 7{,}5\,\text{l/min}\). 2. Umrechnung der Gesamtzeit in Sekunden: \(15 \cdot 60\,\text{s} = 900\,\text{s}\). 3. Berechnung der Zeit pro Liter: \(900\,\text{s} : 112{,}5 = 8\,\text{s}\).

a) Es werden durchschnittlich \(7{,}5\,\text{l/min}\) abgefüllt. b) Es dauert durchschnittlich \(8\,\text{s}\), einen Liter abzufüllen.

- Wandle zuerst alle Zeitangaben in Sekunden um, um besser rechnen zu können. - Wie viele Sekunden stecken in \(10\,\text{min}\)? - Wenn du weißt, wie weit jemand in einer Sekunde kommt, wie berechnest du dann die Strecke für eine längere Zeit? - Kannst du die Strecke des Läufers berechnen, ohne zuerst seine Geschwindigkeit als Dezimalzahl zu bestimmen? Schau dir das Verhältnis der Zeiten an.

1. Umrechnung der Geschwindigkeit des Radfahrers in \(\text{m/s}\): \(23{,}4 : 3{,}6 = 6{,}5\,\text{m/s}\). Der Radfahrer legt \(6{,}5\,\text{m}\) pro Sekunde zurück. 2. Berechnung der Geschwindigkeit des Läufers: Zuerst Zeit in Sekunden umrechnen: \(1\,\text{min} + 15\,\text{s} = 75\,\text{s}\). Dann Geschwindigkeit berechnen: \(400\,\text{m} : 75\,\text{s} \approx 5{,}33\,\text{m/s}\). 3. Berechnung der Distanz in \(10\,\text{min}\) (\(600\,\text{s}\)): - Radfahrer: \(6{,}5\,\text{m/s} \cdot 600\,\text{s} = 3900\,\text{m}\). - Läufer: Da er \(400\,\text{m}\) in \(75\,\text{s}\) schafft, rechnet man \(600 : 75 = 8\) Intervalle. \(8 \cdot 400\,\text{m} = 3200\,\text{m}\). 4. Vergleich: \(3900\,\text{m} > 3200\,\text{m}\). Der Radfahrer legt die größere Distanz zurück.

a) Der Radfahrer legt \(6{,}5\,\text{m}\) pro Sekunde zurück. b) Der Radfahrer legt eine größere Distanz zurück. In \(10\,\text{min}\) fährt er \(3900\,\text{m}\), während der Läufer in der gleichen Zeit \(3200\,\text{m}\) weit kommt.

- Bestimme zuerst die Gesamtkosten für die gesamte Ernte. - Wie viel Geld muss insgesamt eingenommen werden, um Kosten und Gewinn zu decken? - Berechne, wie viel Geld nach dem Morgenverkauf noch eingenommen werden muss und teile dies durch die restliche Menge. - Vergiss nicht, am Ende den Unterschied zwischen den beiden Preisen zu berechnen.

1. Berechnung der Gesamtkosten: \(120\,\text{kg} \cdot 1{,}80\,\text{€/kg} = 216\,\text{€}\). 2. Berechnung des benötigten Gesamterlöses: \(216\,\text{€} + 240\,\text{€} = 456\,\text{€}\). 3. Berechnung der Einnahmen am Morgen: \(70\,\text{kg} \cdot 4{,}50\,\text{€/kg} = 315\,\text{€}\). 4. Berechnung des noch benötigten Erlöses: \(456\,\text{€} - 315\,\text{€} = 141\,\text{€}\). 5. Berechnung der restlichen Menge: \(120\,\text{kg} - 70\,\text{kg} = 50\,\text{kg}\). 6. Berechnung des Nachmittagspreises: \(141\,\text{€} : 50\,\text{kg} = 2{,}82\,\text{€/kg}\). 7. Berechnung der Preisdifferenz: \(4{,}50\,\text{€/kg} - 2{,}82\,\text{€/kg} = 1{,}68\,\text{€/kg}\).

Der Kilopreis am Nachmittag ist um \(1{,}68\,\text{€/kg}\) niedriger als am Morgen.

- Überlege zuerst, wie viel Benzin das Auto auf einem einzigen Kilometer verbraucht. - Wie oft passt dieser kleine Verbrauchswert in die gesamte Restmenge von \(6\,\text{l}\)? - Könnte eine Tabelle (Dreisatz) helfen, die Werte übersichtlich darzustellen?

1. Berechnung des Verbrauchs pro Kilometer: \(22{,}5\,\text{l} : 300\,\text{km} = 0{,}075\,\text{l/km}\). 2. Berechnung der Reichweite mit der Restmenge durch Division der vorhandenen Liter durch den Verbrauch pro Kilometer: \(6\,\text{l} : 0{,}075\,\text{l/km} = 80\,\text{km}\).

a) \(0{,}075\,\text{l/km}\) b) \(80\,\text{km}\)

- Achte bei b) besonders auf die Vorzeichen: Was ist die Gegenzahl einer negativen Zahl? - Bei c) hilft es, zuerst die Klammer (die Summe) zu berechnen. - Division durch eine Dezimalzahl kann durch Kommaverschiebung vereinfacht werden.

1. Rechnung a): \(| -3{,}6 | = 3{,}6\). Gegenzahl von \(0{,}4\) ist \(-0{,}4\). Division: \(3{,}6 : (-0{,}4) = -9\). 2. Rechnung b): \(| -\frac{9}{10} | = 0{,}9\). Gegenzahl von \(-0{,}4\) ist \(0{,}4\). Differenz: \(0{,}9 - 0{,}4 = 0{,}5\). 3. Rechnung c): Gegenzahl von \(1{,}5\) ist \(-1{,}5\). Summe: \(-\frac{1}{3} + \frac{4}{3} = \frac{3}{3} = 1\). Produkt: \(-1{,}5 \cdot 1 = -1{,}5\).

a) \(3{,}6 : (-0{,}4) = -9\) b) \(0{,}9 - 0{,}4 = 0{,}5\) c) \(-1{,}5 \cdot 1 = -1{,}5\)

- Bei Brüchen kann es helfen, die Zahl vor der Klammer direkt mit jedem Bruch in der Klammer zu multiplizieren. - Achte bei Teil b) genau darauf, was von was abgezogen werden soll – die Reihenfolge ist wichtig. - Kannst du \(0{,}75\) als Bruch schreiben, um die Multiplikation im Kopf zu vereinfachen?

1. Aufstellen des Terms für Teil a): \(20 \cdot (-\frac{2}{5} + \frac{1}{2})\). 2. Anwendung des Distributivgesetzes: \(20 \cdot (-\frac{2}{5}) + 20 \cdot \frac{1}{2}\). 3. Berechnung der Teilprodukte: \(-8 + 10\). 4. Endergebnis für a): \(2\). 5. Aufstellen des Terms für Teil b): \((15 + (-3)) - (12 \cdot 0{,}75)\). 6. Berechnung der ersten Klammer (Summe): \(15 - 3 = 12\). 7. Berechnung des Produkts: \(12 \cdot 0{,}75 = 9\). 8. Endergebnis für b): \(12 - 9 = 3\).

a) Term: \(20 \cdot (-\frac{2}{5} + \frac{1}{2})\); Ergebnis: \(2\). b) Term: \((15 + (-3)) - (12 \cdot 0{,}75)\); Ergebnis: \(3\).

- Was passiert in dem Term des Schülers zuerst, wenn man die Vorrangregeln beachtet? - Wie kannst du erzwingen, dass eine Strichrechnung vor einer Punktrechnung ausgeführt wird? - Berechne die einzelnen Bestandteile des korrekten Terms nacheinander.

1. Analyse des Fehlers: Ohne Klammern gilt die Regel „Punkt-vor-Strich“. Im Term des Schülers würde zuerst \(7{,}5 : (-0{,}25)\) gerechnet werden. Laut Text müssen aber zuerst die Differenz und das Produkt berechnet werden, wofür Klammern notwendig sind. 2. Aufstellen des korrekten Terms: \((2{,}5 - 7{,}5) : (-0{,}25 \cdot 8)\). 3. Berechnung der Differenz: \(2{,}5 - 7{,}5 = -5\). 4. Berechnung des Produkts: \(-0{,}25 \cdot 8 = -2\). 5. Division der Teilergebnisse: \(-5 : (-2) = 2{,}5\).

Der Term des Schülers ist falsch, da Klammern fehlen, um die Differenz und das Produkt zuerst zu berechnen. Der korrekte Wert ist \(2{,}5\).

- Lies die Sätze genau und identifiziere die Hauptrechenart. - Zerlege lange Beschreibungen in kleinere Teile (z. B. erst die Faktoren bestimmen, dann multiplizieren). - Achte besonders auf den Unterschied zwischen dem „Betrag einer Differenz“ und der „Differenz von Beträgen“. - Prüfe am Ende, ob die Reihenfolge der Operationen (Punkt vor Strich, Klammern zuerst) korrekt abgebildet ist.

1. Schrittweise Lösung für a): Bestimmung des ersten Faktors: \(-11 - (-15) = 4\). Bestimmung des zweiten Faktors: \(-8\). Term: \((-11 - (-15)) \cdot (-8)\). Wert: \(4 \cdot (-8) = -32\). 2. Schrittweise Lösung für b): Berechnung des Quadrats: \((-5)^2 = 25\). Berechnung des Produkts: \(\frac{2}{3} \cdot (-12) = -8\). Term: \((-5)^2 + (\frac{2}{3} \cdot (-12))\). Wert: \(25 + (-8) = 17\). 3. Schrittweise Lösung für c): Berechnung des Produkts: \(-4 \cdot (-7) = 28\). Berechnung der Differenz innerhalb des Betrags: \(10 - 25 = -15\). Betrag der Differenz: \(|-15| = 15\). Term: \((-4 \cdot (-7)) - |10 - 25|\). Wert: \(28 - 15 = 13\).

a) Term: \((-11 - (-15)) \cdot (-8)\), Wert: \(-32\) b) Term: \((-5)^2 + (\frac{2}{3} \cdot (-12))\), Wert: \(17\) c) Term: \((-4 \cdot (-7)) - |10 - 25|\), Wert: \(13\)

- Berechne zuerst die Teilergebnisse in den Klammern für beide Aufgaben. - Achte bei a) genau darauf, welche Zahl von welcher abgezogen wird. - Bei b) hilft es, die Dezimalzahl oder den Bruch am Ende zu vergleichen.

1. Berechnung von Teil a): Differenz: \(-15 - 5 = -20\) Produkt: \(2 \cdot (-2) = -4\) Division: \(-20 : (-4) = 5\) 2. Berechnung von Teil b): Summe: \(-\frac{3}{4} + \frac{1}{2} = -\frac{3}{4} + \frac{2}{4} = -\frac{1}{4}\) Quotient: \(20 : (-2) = -10\) Multiplikation: \(-\frac{1}{4} \cdot (-10) = \frac{10}{4} = 2{,}5\) 3. Vergleich: \(5 > 2{,}5\), daher liefert Anweisung a) das größere Ergebnis.

a) \(5\) b) \(2{,}5\) Anweisung a) liefert das größere Ergebnis.

- Folge dem Rechenbaum Schritt für Schritt von oben nach unten, um die Stufenpunkte zu berechnen. - Was ist die jeweilige Umkehroperation für jeden Schritt im Rechenbaum? - Wenn du rückwärts rechnest, fange beim Endergebnis an und arbeite dich bis zum Startwert vor. - Wenn du einen einzigen Term aufschreibst, überlege, ob die Punkt-vor-Strich-Regel gilt. Brauchst du Klammern, um eine Strichrechnung vor einer Punktrechnung auszuführen?

1. Die Berechnung der Stufenpunkte für einen gegebenen Rohpunktwert \(x\) erfolgt von oben nach unten im Rechenbaum: \((x \cdot 4 - 200) : 5\). - Für \(100\) Punkte: \(100 \cdot 4 = 400\), danach \(400 - 200 = 200\), schließlich \(200 : 5 = 40\) Stufenpunkte. - Für \(250\) Punkte: \(250 \cdot 4 = 1000\), danach \(1000 - 200 = 800\), schließlich \(800 : 5 = 160\) Stufenpunkte. - Für \(75\) Punkte: \(75 \cdot 4 = 300\), danach \(300 - 200 = 100\), schließlich \(100 : 5 = 20\) Stufenpunkte. 2. Zur Bestimmung der Rohpunkte bei \(120\) Stufenpunkten wird der Rechenweg rückwärts mit Umkehroperationen begangen: - Erste Umkehrung (von \(: 5\)): \(120 \cdot 5 = 600\). - Zweite Umkehrung (von \(- 200\)): \(600 + 200 = 800\). - Dritte Umkehrung (von \(\cdot 4\)): \(800 : 4 = 200\) Rohpunkte. 3. Der zugehörige mathematische Term lautet: \((x \cdot 4 - 200) : 5\). Die Klammern sind notwendig, da die Subtraktion vor der Division durchgeführt werden muss.

a) 1) \(40\) Stufenpunkte, 2) \(160\) Stufenpunkte, 3) \(20\) Stufenpunkte b) \(200\) Rohpunkte c) \((x \cdot 4 - 200) : 5\)