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Rechenausdrücke aus Texten

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Schwierigkeit: 1 – 5

4106676

Addiere den Quotienten aus \(4{,}8\) und \(0{,}6\) zur Differenz der Zahlen \(15{,}4\) und \(23{,}1\).

Denkanstöße

- Welche Rechenart verbirgt sich hinter dem Begriff Quotient? - Was bedeutet das Wort Differenz mathematisch? - Achte bei der Subtraktion auf das Vorzeichen des Ergebnisses. - In welcher Reihenfolge musst du die Teilschritte ausführen?

Lösung

1. Berechnung des Quotienten: \(4{,}8 : 0{,}6 = 8\) 2. Berechnung der Differenz: \(15{,}4 - 23{,}1 = -7{,}7\) 3. Addition der beiden Teilergebnisse: \(8 + (-7{,}7) = 0{,}3\)

Antwort

\(0{,}3\)

4107156

Lukas kauft für die Schule ein: einen Schreibblock für \(1{,}49\,\text{€}\), vier Bleistifte zu je \(0{,}55\,\text{€}\) und einen Zirkel für \(6{,}75\,\text{€}\). Er hat einen \(15\,\text{€}\)-Schein in seinem Portemonnaie. a) Schätze durch Rundung auf volle oder halbe Euro, ob sein Geld ausreicht, um zusätzlich zu den genannten Dingen noch drei weitere Schreibblöcke zu kaufen. b) Berechne den exakten Gesamtpreis für den gesamten Einkauf (inklusive der drei zusätzlichen Blöcke) und bestimme das Wechselgeld, das er zurückerhält.

Denkanstöße

- Was ist der Unterschied zwischen einer groben Schätzung und einer genauen Rechnung? - Kannst du die Preise zuerst auf einfachere Zahlen runden? - Vergiss nicht, dass einige Artikel mehrfach gekauft werden. - Wie berechnet man das Wechselgeld, wenn man den Gesamtpreis kennt?

Lösung

1. Berechnung der Kosten für die ersten Artikel: \(1{,}49 + 4 \cdot 0{,}55 + 6{,}75 = 1{,}49 + 2{,}20 + 6{,}75 = 10{,}44\,\text{€}\) 2. Schätzung für die zusätzlichen Blöcke: Ein Block kostet ca. \(1{,}50\,\text{€}\), drei Blöcke kosten ca. \(4{,}50\,\text{€}\). Zusammen mit den \(10{,}44\,\text{€}\) (ca. \(10{,}50\,\text{€}\)) ergibt das etwa \(15{,}00\,\text{€}\). Die Schätzung zeigt daher nur, dass es knapp wird; ob das Geld tatsächlich reicht, muss exakt berechnet werden. 3. Exakte Berechnung der drei zusätzlichen Blöcke: \(3 \cdot 1{,}49 = 4{,}47\,\text{€}\) 4. Berechnung des Gesamtpreises: \(10{,}44 + 4{,}47 = 14{,}91\,\text{€}\) 5. Berechnung des Wechselgeldes: \(15{,}00 - 14{,}91 = 0{,}09\,\text{€}\)

Antwort

a) Die Schätzung (\(10{,}50\,\text{€} + 4{,}50\,\text{€} = 15{,}00\,\text{€}\)) zeigt, dass es knapp wird, entscheidet aber nicht sicher, ob das Geld ausreicht. b) Der exakte Gesamtpreis beträgt \(14{,}91\,\text{€}\). Lukas erhält \(0{,}09\,\text{€}\) (oder \(9\,\text{Cent}\)) Wechselgeld zurück.

4112696

Ein kleiner Lieferwagen hat eine zulässige Zuladung von \(1{,}2\,\text{t}\). Der Fahrer hat bereits \(850\,\text{kg}\) Sand und \(125\,\text{kg}\) Steine geladen. Er selbst wiegt \(85\,\text{kg}\) und möchte mitfahren. Nun soll noch eine Palette Zement mit einem Gewicht von \(150\,\text{kg}\) eingeladen werden. Entscheide durch eine Rechnung, ob der Lieferwagen mit der Zementpalette überladen wäre.

Denkanstöße

- Achte darauf, alle Gewichtsangaben in dieselbe Einheit (Kilogramm) umzurechnen. - Addiere alle Gewichte, die im Lieferwagen transportiert werden sollen. - Vergleiche das Gesamtergebnis mit der erlaubten Höchstgrenze.

Lösung

1. Umrechnung der maximalen Zuladung in Kilogramm: \(1{,}2\,\text{t} = 1200\,\text{kg}\). 2. Berechnung des aktuellen Gewichts (Sand, Steine und Fahrer): \(850\,\text{kg} + 125\,\text{kg} + 85\,\text{kg} = 1060\,\text{kg}\). 3. Berechnung des Gesamtgewichts inklusive der Zementpalette: \(1060\,\text{kg} + 150\,\text{kg} = 1210\,\text{kg}\). 4. Vergleich mit der zulässigen Zuladung: \(1210\,\text{kg} > 1200\,\text{kg}\). Der Lieferwagen wäre überladen.

Antwort

Ja, der Lieferwagen wäre überladen, da das Gesamtgewicht \(1210\,\text{kg}\) beträgt und damit die Grenze von \(1200\,\text{kg}\) überschreitet.

4113326

Stelle den Term auf und berechne seinen Wert: Der Term ist eine Differenz. Der Minuend ist ein Quotient mit dem Dividenden \(2{,}4\) und dem Divisor \(-0{,}6\). Der Subtrahend ist ein Produkt aus \(-\frac{1}{2}\) und \(5\).

Denkanstöße

- Welche Rechenart bildet den Kern des gesamten Terms? - Was bedeuten die Begriffe Minuend und Subtrahend für die Struktur deiner Rechnung? - Kannst du die Brüche in Dezimalzahlen umwandeln, um die Rechnung zu vereinfachen? - Achte besonders auf die Vorzeichenregeln bei der Subtraktion negativer Zahlen.

Lösung

1. Berechnung des Minuenden (Quotient): \(2{,}4 : (-0{,}6) = -4\) 2. Berechnung des Subtrahenden (Produkt): \(-\frac{1}{2} \cdot 5 = -0{,}5 \cdot 5 = -2{,}5\) 3. Berechnung der Differenz: \(-4 - (-2{,}5) = -4 + 2{,}5 = -1{,}5\)

Antwort

Der Term lautet \((2{,}4 : (-0{,}6)) - (-\frac{1}{2} \cdot 5)\). Sein Wert ist \(-1{,}5\).

4113416

Ordne den Beschreibungen die passenden Terme zu. Es können mehrere Termkarten zu einer Beschreibung passen. (A) Das Produkt von \(-1{,}2\) und \(\frac{3}{4}\), vermehrt um \(0{,}5\). (B) Die Summe von \(-1{,}2\) und \(0{,}5\), multipliziert mit \(\frac{3}{4}\). (C) Der Quotient aus \(-1{,}2\) und der Differenz von \(\frac{3}{4}\) und \(0{,}5\). Termkarten: 1: \((-1{,}2 \cdot \frac{3}{4}) + 0{,}5\) 2: \((-1{,}2 + 0{,}5) \cdot \frac{3}{4}\) 3: \(-1{,}2 : (\frac{3}{4} - 0{,}5)\) 4: \(\frac{3}{4} \cdot (0{,}5 + (-1{,}2))\) 5: \(0{,}5 + (-1{,}2 \cdot \frac{3}{4})\)

Denkanstöße

- Achte auf Signalwörter wie „Summe“, „Produkt“, „Quotient“ oder „Differenz“, um die Hauptoperation zu finden. - „Vermehrt um“ deutet auf eine Addition hin. - Überlege, ob die Reihenfolge der Zahlen bei einer Operation (wie Addition oder Multiplikation) vertauscht werden darf. - Klammern helfen dabei, festzulegen, welche Rechnung zuerst durchgeführt werden muss.

Lösung

1. Analyse von (A): „Produkt von \(-1{,}2\) und \(\frac{3}{4}\)“ ist \(-1{,}2 \cdot \frac{3}{4}\). „Vermehrt um \(0{,}5\)“ bedeutet Addition von \(0{,}5\). Passende Terme sind Karte 1 und Karte 5 (Kommutativgesetz der Addition). 2. Analyse von (B): „Summe von \(-1{,}2\) und \(0{,}5\)“ ist \((-1{,}2 + 0{,}5)\). „Multipliziert mit \(\frac{3}{4}\)“ ergibt \((-1{,}2 + 0{,}5) \cdot \frac{3}{4}\). Passende Terme sind Karte 2 und Karte 4 (Kommutativgesetz der Multiplikation und Addition). 3. Analyse von (C): „Quotient aus \(-1{,}2\) und der Differenz…“ bedeutet \(-1{,}2\) geteilt durch den Klammerausdruck. „Differenz von \(\frac{3}{4}\) und \(0{,}5\)“ ist \(\frac{3}{4} - 0{,}5\). Passender Term ist Karte 3.

Antwort

(A) passt zu Karte 1 und 5. (B) passt zu Karte 2 und 4. (C) passt zu Karte 3.

4113476

Stelle den zugehörigen Term auf und berechne seinen Wert: Addiere den Quotienten der Zahlen \(12{,}6\) und \(3\) zum Produkt der Zahlen \(\frac{1}{2}\) und \(1{,}4\).

Denkanstöße

- Überlege zuerst, welche Rechenoperationen mit den Begriffen „Quotient“ und „Produkt“ gemeint sind. - Notiere dir die Teilergebnisse einzeln, bevor du sie addierst. - Du kannst Brüche in Dezimalzahlen umwandeln oder umgekehrt, um die Rechnung zu vereinfachen.

Lösung

1. Aufstellen des Terms gemäß der Beschreibung: \((12{,}6 : 3) + (\frac{1}{2} \cdot 1{,}4)\) 2. Berechnung des Quotienten: \(12{,}6 : 3 = 4{,}2\) 3. Berechnung des Produkts: \(\frac{1}{2} \cdot 1{,}4 = 0{,}5 \cdot 1{,}4 = 0{,}7\) 4. Addition der beiden Teilergebnisse: \(4{,}2 + 0{,}7 = 4{,}9\)

Antwort

Der Term lautet \((12{,}6 : 3) + (\frac{1}{2} \cdot 1{,}4)\). Der Wert des Terms ist \(4{,}9\) (oder \(4\frac{9}{10}\)).

4120796

Stelle zuerst für jede Teilaufgabe einen Rechenausdruck (Term) auf und berechne anschließend seinen Wert. a) Subtrahiere das Produkt von \(15{,}5\) und \(4\) von der Summe der Zahlen \(82{,}7\) und \(17{,}3\). b) Dividiere die Differenz der Zahlen \(100\) und \(12{,}5\) durch das Produkt von \(5\) und \(0{,}5\).

Denkanstöße

- Überlege dir zuerst, welche Rechenart mit welchem Begriff (Summe, Differenz, Produkt, Quotient) gemeint ist. - Achte bei Formulierungen wie „Subtrahiere ... von ...“ genau darauf, welche Zahl vorne stehen muss. - Klammern helfen dir dabei, die richtige Reihenfolge der Rechnungen festzulegen.

Lösung

1. Aufstellen des Terms für Teilaufgabe a): \((82{,}7 + 17{,}3) - (15{,}5 \cdot 4)\) 2. Berechnung der Summe: \(82{,}7 + 17{,}3 = 100\) 3. Berechnung des Produkts: \(15{,}5 \cdot 4 = 62\) 4. Berechnung des Endergebnisses für a): \(100 - 62 = 38\) 5. Aufstellen des Terms für Teilaufgabe b): \((100 - 12{,}5) : (5 \cdot 0{,}5)\) 6. Berechnung der Differenz: \(100 - 12{,}5 = 87{,}5\) 7. Berechnung des Produkts im Nenner: \(5 \cdot 0{,}5 = 2{,}5\) 8. Berechnung des Endergebnisses für b): \(87{,}5 : 2{,}5 = 35\)

Antwort

a) \((82{,}7 + 17{,}3) - (15{,}5 \cdot 4) = 38\) b) \((100 - 12{,}5) : (5 \cdot 0{,}5) = 35\)

4121576

Stelle einen Term auf und berechne seinen Wert: a) Die Differenz aus \(-1{,}2\) und \(\frac{3}{4}\). b) Der Betrag des Produkts von \(-0{,}5\) und \(6\). c) Die Summe aus der Gegenzahl von \(2{,}4\) und \(-1{,}6\).

Denkanstöße

- Was bedeutet der Begriff „Differenz“ für die Rechenart? - Wie bestimmst du den Betrag einer negativen Zahl? - Was ist der Unterschied zwischen einer Zahl und ihrer Gegenzahl? - Kannst du Brüche in Dezimalzahlen umwandeln, um leichter zu rechnen?

Lösung

1. Aufstellen des Terms für a): \(-1{,}2 - \frac{3}{4}\). Umwandlung in Dezimalzahlen ergibt \(-1{,}2 - 0{,}75 = -1{,}95\). 2. Aufstellen des Terms für b): \(| -0{,}5 \cdot 6 |\). Berechnung des Produkts ergibt \(-3\). Der Betrag von \(-3\) ist \(3\). 3. Aufstellen des Terms für c): Gegenzahl von \(2{,}4\) ist \(-2{,}4\). Der Term lautet \(-2{,}4 + (-1{,}6)\). Die Summe ergibt \(-4\).

Antwort

a) \(-1{,}2 - \frac{3}{4} = -1{,}95\) b) \(| -0{,}5 \cdot 6 | = 3\) c) \(-2{,}4 + (-1{,}6) = -4\)

4122686

Stelle einen Term auf und rechne so vorteilhaft wie möglich: a) Berechne das Produkt aus \(16\) und \(27\) und subtrahiere davon das Produkt aus \(16\) und \(17\). b) Addiere zum Produkt von \(0{,}2\) und \(35\) das Produkt von \(0{,}2\) und \(15\).

Denkanstöße

- Gibt es in der Aufgabe eine Zahl, die mehrfach als Faktor vorkommt? - Kannst du diese Zahl ausklammern, um die Rechnung zu vereinfachen? - Schau dir die Zahlen in den Klammern genau an – ergeben sie zusammen eine besonders einfache Zahl wie 10 oder 50?

Lösung

1. Aufstellen des Terms für Teil a): \(16 \cdot 27 - 16 \cdot 17\). 2. Anwendung des Distributivgesetzes durch Ausklammern des gemeinsamen Faktors \(16\): \(16 \cdot (27 - 17)\). 3. Berechnung der Klammer: \(27 - 17 = 10\). 4. Endergebnis für a): \(16 \cdot 10 = 160\). 5. Aufstellen des Terms für Teil b): \(0{,}2 \cdot 35 + 0{,}2 \cdot 15\). 6. Ausklammern des Faktors \(0{,}2\): \(0{,}2 \cdot (35 + 15)\). 7. Berechnung der Summe in der Klammer: \(35 + 15 = 50\). 8. Endergebnis für b): \(0{,}2 \cdot 50 = 10\).

Antwort

a) Term: \(16 \cdot 27 - 16 \cdot 17\); Ergebnis: \(160\). b) Term: \(0{,}2 \cdot 35 + 0{,}2 \cdot 15\); Ergebnis: \(10\).

4122926

Berechne den Wert des folgenden Rechenausdrucks: Multipliziere die Summe aus \(-14\) und \(6\) mit der Differenz aus \(7\) und \(12\).

Denkanstöße

- Welche Rechenoperation gehört zu welchem Fachbegriff (Summe, Differenz, Produkt)? - Überlege, ob du Klammern setzen musst, damit die Strichrechnungen vor der Multiplikation ausgeführt werden. - Achte auf die Vorzeichenregeln bei der Multiplikation.

Lösung

1. Berechnung der Summe aus \(-14\) und \(6\): \(-14 + 6 = -8\). 2. Berechnung der Differenz aus \(7\) und \(12\): \(7 - 12 = -5\). 3. Multiplikation der beiden Teilergebnisse: \(-8 \cdot (-5) = 40\).

Antwort

\(40\)

4128026

Stelle für die folgenden Beschreibungen jeweils einen Term auf und berechne seinen Wert: a) Multipliziere die Differenz der Zahlen \(12{,}5\) und \(3{,}5\) mit der Summe von \(0{,}4\) und \(0{,}6\). b) Dividiere die Summe von \(7{,}2\) und \(4{,}8\) durch das Produkt von \(2\) und \(1{,}5\).

Denkanstöße

- Achte darauf, welche Operation zuerst ausgeführt werden muss. Klammern helfen dir, die Reihenfolge festzulegen. - Überlege dir, welche Fachbegriffe für welche Rechenart stehen (Summe, Differenz, Produkt, Quotient). - Löse die Rechnungen innerhalb der Klammern zuerst, bevor du die äußere Operation anwendest.

Lösung

1. Aufstellen des Terms für Teilaufgabe a): \((12{,}5 - 3{,}5) \cdot (0{,}4 + 0{,}6)\) 2. Berechnung der Differenz: \(12{,}5 - 3{,}5 = 9{,}0\) 3. Berechnung der Summe: \(0{,}4 + 0{,}6 = 1{,}0\) 4. Multiplikation der Teilergebnisse: \(9{,}0 \cdot 1{,}0 = 9\) 5. Aufstellen des Terms für Teilaufgabe b): \((7{,}2 + 4{,}8) : (2 \cdot 1{,}5)\) 6. Berechnung der Summe: \(7{,}2 + 4{,}8 = 12{,}0\) 7. Berechnung des Produkts im Nenner/Divisor: \(2 \cdot 1{,}5 = 3{,}0\) 8. Division der Teilergebnisse: \(12{,}0 : 3{,}0 = 4\)

Antwort

a) Term: \((12{,}5 - 3{,}5) \cdot (0{,}4 + 0{,}6)\); Wert: \(9\) b) Term: \((7{,}2 + 4{,}8) : (2 \cdot 1{,}5)\); Wert: \(4\)

4142156

Stelle für jeden Aufgabenteil einen Term auf und berechne seinen Wert. a) Multipliziere \(-8\) mit der Summe von \(14\) und \(-20\). b) Subtrahiere \(-45\) vom Produkt der Zahlen \(-6\) und \(7\). c) Addiere das Doppelte von \(-15\) zum Betrag von \(-50\).

Denkanstöße

- Achte auf Signalwörter wie „Summe“ oder „Produkt“, um die richtige Rechenoperation zu wählen. - Überlege genau, welche Zahl von welcher subtrahiert werden soll. - Erinnere dich daran, was der Betrag einer Zahl angibt. - Setze Klammern, wenn eine Rechenoperation auf ein gesamtes Ergebnis angewendet wird.

Lösung

1. Aufstellen des Terms für a): \(-8 \cdot (14 + (-20))\). Berechnung der Summe in der Klammer: \(14 - 20 = -6\). Multiplikation: \(-8 \cdot (-6) = 48\). 2. Aufstellen des Terms für b): \((-6 \cdot 7) - (-45)\). Berechnung des Produkts: \(-6 \cdot 7 = -42\). Subtraktion der negativen Zahl (entspricht Addition): \(-42 + 45 = 3\). 3. Aufstellen des Terms für c): \((2 \cdot (-15)) + |-50|\). Berechnung des Doppelten: \(2 \cdot (-15) = -30\). Bestimmung des Betrags: \(|-50| = 50\). Addition: \(-30 + 50 = 20\).

Antwort

a) Term: \(-8 \cdot (14 + (-20))\), Wert: \(48\) b) Term: \((-6 \cdot 7) - (-45)\), Wert: \(3\) c) Term: \(2 \cdot (-15) + |-50|\), Wert: \(20\)

4142246

Berechne den Wert des folgenden Zahlenterms: Addiere das Produkt von \(-4\) und \(12\) zum Quotienten aus \(100\) und \(-5\).

Denkanstöße

- Welche Rechenoperation gehört zu welchem Begriff? - Achte besonders auf die Vorzeichenregeln beim Multiplizieren und Dividieren. - Schreibe dir die beiden Teile der Aufgabe zuerst getrennt als Rechnung auf.

Lösung

1. Berechnung des Produkts: \(-4 \cdot 12 = -48\) 2. Berechnung des Quotienten: \(100 : (-5) = -20\) 3. Addition der beiden Zwischenergebnisse: \(-48 + (-20) = -68\)

Antwort

\(-68\)

4142276

Stelle für jede Beschreibung zuerst einen Rechenausdruck (Term) auf und berechne dann seinen Wert. a) Addiere \(12{,}4\) zur Differenz der Zahlen \(45{,}7\) und \(18{,}9\). b) Subtrahiere die Summe von \(13{,}2\) und \(6{,}85\) von der Zahl \(40\). c) Bilde die Summe aus dem Doppelten von \(7{,}5\) und der Zahl \(-3{,}2\).

Denkanstöße

- Achte darauf, welche Zahl von welcher subtrahiert werden soll. - Das Wort „Differenz“ weist auf eine Subtraktion hin, „Summe“ auf eine Addition. - Klammern helfen dir dabei, die Reihenfolge der Rechenschritte richtig festzulegen. - Überlege dir, welche Rechenoperation bei Begriffen wie „das Doppelte“ gemeint ist.

Lösung

1. Aufstellen des Terms für a): \((45{,}7 - 18{,}9) + 12{,}4\). Berechnung der Differenz: \(45{,}7 - 18{,}9 = 26{,}8\). Addition: \(26{,}8 + 12{,}4 = 39{,}2\). 2. Aufstellen des Terms für b): \(40 - (13{,}2 + 6{,}85)\). Berechnung der Summe: \(13{,}2 + 6{,}85 = 20{,}05\). Subtraktion von 40: \(40 - 20{,}05 = 19{,}95\). 3. Aufstellen des Terms für c): \(2 \cdot 7{,}5 + (-3{,}2)\). Berechnung des Produkts: \(2 \cdot 7{,}5 = 15\). Addition der negativen Zahl: \(15 - 3{,}2 = 11{,}8\).

Antwort

a) Term: \((45{,}7 - 18{,}9) + 12{,}4\); Ergebnis: \(39{,}2\) b) Term: \(40 - (13{,}2 + 6{,}85)\); Ergebnis: \(19{,}95\) c) Term: \(2 \cdot 7{,}5 + (-3{,}2)\); Ergebnis: \(11{,}8\)

4106316

Berechne den Wert des folgenden Ausdrucks: Addiere die Differenz der Zahlen \(7\frac{1}{8}\) und \(2\frac{3}{4}\) zur Summe von \(3\frac{5}{6}\) und \(1\frac{1}{2}\).

Denkanstöße

- Kannst du die Aufgabe in zwei Teilrechnungen zerlegen? - Achte beim Subtrahieren darauf, ob du ein Ganzes umwandeln musst, wenn der Bruch des Minuenden kleiner ist als der des Subtrahenden. - Welchen gemeinsamen Nenner benötigen die Brüche für die finale Addition?

Lösung

1. Berechnung der Differenz: \(7\frac{1}{8} - 2\frac{3}{4} = 7\frac{1}{8} - 2\frac{6}{8} = 6\frac{9}{8} - 2\frac{6}{8} = 4\frac{3}{8}\). 2. Berechnung der Summe: \(3\frac{5}{6} + 1\frac{1}{2} = 3\frac{5}{6} + 1\frac{3}{6} = 4\frac{8}{6} = 5\frac{2}{6} = 5\frac{1}{3}\). 3. Addition der beiden Teilergebnisse: \(4\frac{3}{8} + 5\frac{1}{3} = 4\frac{9}{24} + 5\frac{8}{24} = 9\frac{17}{24}\).

Antwort

\(9\frac{17}{24}\)

4106336

Vergleiche die Werte der beiden folgenden Terme. Welcher Term liefert das größere Ergebnis? Begründe durch Rechnung. Term A: Die Differenz von \(10\) und der Summe von \(2\frac{1}{4}\) und \(3\frac{1}{2}\). Term B: Die Summe von \(2\frac{1}{2}\) und der Differenz von \(5\) und \(3\frac{1}{4}\).

Denkanstöße

- Übersetze beide Beschreibungen zuerst sorgfältig in mathematische Ausdrücke mit Klammern. - Achte darauf, welche Operation zuerst ausgeführt werden muss (Klammerregeln). - Sind die Ergebnisse am Ende identisch oder gibt es einen Unterschied?

Lösung

1. Berechnung von Term A: Erst die Summe \(2\frac{1}{4} + 3\frac{1}{2} = 2\frac{1}{4} + 3\frac{2}{4} = 5\frac{3}{4}\). Dann die Differenz \(10 - 5\frac{3}{4} = 4\frac{1}{4}\). 2. Berechnung von Term B: Erst die Differenz \(5 - 3\frac{1}{4} = 1\frac{3}{4}\). Dann die Summe \(2\frac{1}{2} + 1\frac{3}{4} = 2\frac{2}{4} + 1\frac{3}{4} = 3\frac{5}{4} = 4\frac{1}{4}\). 3. Vergleich: Beide Terme ergeben den gleichen Wert \(4\frac{1}{4}\).

Antwort

Beide Terme sind gleich groß; ihr Wert beträgt jeweils \(4\frac{1}{4}\).

4106686

Multipliziere die Summe von \(1{,}2\) und \(0{,}8\) mit dem Quadrat von \(1{,}5\). Subtrahiere dieses Ergebnis anschließend von der Zahl \(10\).

Denkanstöße

- Was bedeutet es, eine Zahl zu quadrieren? - Lies genau, welche Zahl von welcher subtrahiert werden soll. - Bestimme zuerst die Teilergebnisse in den Klammern, bevor du multiplizierst.

Lösung

1. Berechnung der Summe: \(1{,}2 + 0{,}8 = 2\) 2. Berechnung des Quadrats: \((1{,}5)^2 = 2{,}25\) 3. Multiplikation der Teilergebnisse: \(2 \cdot 2{,}25 = 4{,}5\) 4. Subtraktion von \(10\): \(10 - 4{,}5 = 5{,}5\)

Antwort

\(5{,}5\)

4112706

Ein Schlauchboot darf mit maximal \(250\,\text{kg}\) belastet werden. Jonas (\(55\,\text{kg}\)) und seine Ausrüstung (\(42\,\text{kg}\)) befinden sich bereits im Boot. Seine Schwester Mia wiegt genau \(\frac{4}{5}\) von Jonas' Gewicht. Ihr Vater ist ebenfalls dabei; er wiegt doppelt so viel wie Mia. Prüfe rechnerisch, ob alle drei Personen zusammen mit der Ausrüstung sicher im Boot fahren können, ohne das Maximalgewicht zu überschreiten.

Denkanstöße

- Bestimme zuerst das Gewicht der einzelnen Personen nacheinander. - Wie viel wiegt Mia, wenn du ihren Anteil an Jonas' Gewicht berechnest? - Vergiss nicht, am Ende alle Einzelgewichte und die Ausrüstung zusammenzuzählen.

Lösung

1. Berechnung von Mias Gewicht: \(\frac{4}{5} \cdot 55\,\text{kg} = 44\,\text{kg}\). 2. Berechnung des Gewichts des Vaters: \(2 \cdot 44\,\text{kg} = 88\,\text{kg}\). 3. Summierung aller Gewichte (Jonas, Ausrüstung, Mia, Vater): \(55\,\text{kg} + 42\,\text{kg} + 44\,\text{kg} + 88\,\text{kg} = 229\,\text{kg}\). 4. Vergleich mit der Tragkraft: \(229\,\text{kg} \le 250\,\text{kg}\). Die Belastung liegt unter dem Maximum.

Antwort

Ja, sie können gemeinsam fahren, da das Gesamtgewicht \(229\,\text{kg}\) beträgt und somit unter der Grenze von \(250\,\text{kg}\) liegt.

4113336

Stelle den Term auf und berechne seinen Wert: Der Term ist ein Produkt. Der erste Faktor ist die Summe der Zahlen \(-3{,}5\) und \(1\frac{1}{4}\). Der zweite Faktor ist die Differenz mit dem Minuenden \(0{,}8\) und dem Subtrahenden \(1{,}2\).

Denkanstöße

- Identifiziere zuerst die beiden Faktoren, aus denen das Produkt besteht. - Überlege, ob du Klammern setzen musst, um die Summe und die Differenz zuerst zu berechnen. - Wie lautet die Vorzeichenregel für die Multiplikation zweier negativer Zahlen?

Lösung

1. Berechnung des ersten Faktors (Summe): \(-3{,}5 + 1{,}25 = -2{,}25\) 2. Berechnung des zweiten Faktors (Differenz): \(0{,}8 - 1{,}2 = -0{,}4\) 3. Berechnung des Produkts: \((-2{,}25) \cdot (-0{,}4) = 0{,}9\)

Antwort

Der Term lautet \((-3{,}5 + 1\frac{1}{4}) \cdot (0{,}8 - 1{,}2)\). Sein Wert ist \(0{,}9\).

4113486

Stelle einen Rechenausdruck auf und berechne das Ergebnis: Subtrahiere das Produkt von \(-\frac{3}{5}\) und \(0{,}5\) von der Summe der Zahlen \(-1{,}2\) und \(2\frac{1}{4}\).

Denkanstöße

- Achte genau auf die Reihenfolge bei der Subtraktion: Was wird von was abgezogen? - Denke an die Vorzeichenregeln, wenn du eine negative Zahl subtrahierst. - Es hilft, alle Zahlen einheitlich als Dezimalzahlen oder als Brüche zu schreiben.

Lösung

1. Struktur des Terms festlegen (Subtraktion eines Produkts von einer Summe): \((\text{Summe}) - (\text{Produkt})\) 2. Einsetzen der Werte: \((-1{,}2 + 2{,}25) - (-\frac{3}{5} \cdot 0{,}5)\) 3. Berechnung der Summe: \(-1{,}2 + 2{,}25 = 1{,}05\) 4. Berechnung des Produkts: \(-\frac{3}{5} \cdot 0{,}5 = -0{,}6 \cdot 0{,}5 = -0{,}3\) 5. Finale Subtraktion unter Beachtung der Vorzeichenregeln: \(1{,}05 - (-0{,}3) = 1{,}05 + 0{,}3 = 1{,}35\)

Antwort

Der Term lautet \((-1{,}2 + 2\frac{1}{4}) - (-\frac{3}{5} \cdot 0{,}5)\). Das Ergebnis ist \(1{,}35\) (oder \(1\frac{7}{20}\)).

4114136

Ordne jeder der drei kurzen Geschichten den passenden Rechenausdruck zu und berechne das Ergebnis. Geschichten: A. Leo hat \(20{,}00\,\text{€}\). Er kauft 3 Hefte zu je \(1{,}50\,\text{€}\) und einen Füller für \(2{,}40\,\text{€}\). Wie viel Geld hat er am Ende übrig? B. Leo hat \(20{,}00\,\text{€}\). Er kauft 3 Hefte zu je \(1{,}50\,\text{€}\). Dann gibt ihm ein Freund \(2{,}40\,\text{€}\) zurück, die er sich gestern geliehen hatte. Wie viel Geld hat Leo nun? C. Drei Freunde haben jeweils \(20{,}00\,\text{€}\). Jeder von ihnen kauft sich ein Heft für \(1{,}50\,\text{€}\) und einen Stift für \(2{,}40\,\text{€}\). Wie viel Geld haben sie insgesamt noch? Rechenausdrücke: (1) \(3 \cdot (20 - 1{,}50 - 2{,}40)\) (2) \(20 - 3 \cdot 1{,}50 - 2{,}40\) (3) \(20 - 3 \cdot 1{,}50 + 2{,}40\)

Denkanstöße

- Überlege dir bei jeder Geschichte, ob Geld dazu kommt oder weggeht. - Achte darauf, ob eine Rechnung für eine Person oder für mehrere Personen gilt. - Beachte die Vorrangregeln (Klammern zuerst, dann Punkt-vor-Strich-Rechnung).

Lösung

1. Zuordnung Geschichte A: Da Leo Geld ausgibt (3 Hefte und einen Füller), müssen diese Beträge vom Startwert subtrahiert werden. Der passende Term ist (2) \(20 - 3 \cdot 1{,}50 - 2{,}40\). Berechnung: \(20 - 4{,}50 - 2{,}40 = 13{,}10\). 2. Zuordnung Geschichte B: Leo gibt Geld für Hefte aus (Subtraktion), erhält aber danach Geld zurück (Addition). Der passende Term ist (3) \(20 - 3 \cdot 1{,}50 + 2{,}40\). Berechnung: \(20 - 4{,}50 + 2{,}40 = 17{,}90\). 3. Zuordnung Geschichte C: Da es drei Freunde sind, die jeweils den gleichen Restbetrag haben, wird der Restbetrag einer Person mit 3 multipliziert. Der passende Term ist (1) \(3 \cdot (20 - 1{,}50 - 2{,}40)\). Berechnung: \(3 \cdot 16{,}10 = 48{,}30\).

Antwort

A gehört zu (2), Ergebnis: \(13{,}10\,\text{€}\). B gehört zu (3), Ergebnis: \(17{,}90\,\text{€}\). C gehört zu (1), Ergebnis: \(48{,}30\,\text{€}\).

4121586

Berechne das Ergebnis der folgenden Rechenanweisungen: a) Addiere die Gegenzahl von \(-\frac{3}{4}\) zum Betrag von \(-1{,}25\). b) Subtrahiere \(0{,}6\) von der Gegenzahl von \(\frac{1}{5}\). c) Multipliziere die Summe von \(-\frac{5}{8}\) und \(0{,}125\) mit \(4\).

Denkanstöße

- Lies genau, welche Zahl von welcher subtrahiert werden soll. - Erinnere dich: Klammern werden zuerst berechnet; anschließend gilt Punkt- vor Strichrechnung. - Wandle Brüche wie \(\frac{5}{8}\) in Dezimalzahlen um, falls dir das Rechnen damit leichter fällt.

Lösung

1. Schritt a): Gegenzahl von \(-\frac{3}{4}\) ist \(\frac{3}{4} = 0{,}75\). Betrag von \(-1{,}25\) ist \(1{,}25\). Addition: \(0{,}75 + 1{,}25 = 2\). 2. Schritt b): Gegenzahl von \(\frac{1}{5}\) ist \(-\frac{1}{5} = -0{,}2\). Subtraktion: \(-0{,}2 - 0{,}6 = -0{,}8\). 3. Schritt c): Summe bilden: \(-\frac{5}{8} + 0{,}125 = -0{,}625 + 0{,}125 = -0{,}5\). Multiplikation: \(-0{,}5 \cdot 4 = -2\).

Antwort

a) \(0{,}75 + 1{,}25 = 2\) b) \(-0{,}2 - 0{,}6 = -0{,}8\) c) \((-0{,}625 + 0{,}125) \cdot 4 = -2\)

4122696

Stelle einen Term auf und berechne den Wert: a) Subtrahiere die Differenz von \(7{,}8\) und \(12{,}4\) von der Differenz von \(10{,}2\) und \(12{,}4\). b) Multipliziere die Differenz von \(25\) und \(2{,}5\) mit \(4\).

Denkanstöße

- Wenn du eine Klammer auflöst, vor der ein Minus steht, was passiert mit den Vorzeichen in der Klammer? - Manchmal ist es einfacher, erst auszumultiplizieren, anstatt zuerst die Klammer auszurechnen. - Siehst du in Teil a) Zahlen, die sich gegenseitig aufheben könnten?

Lösung

1. Aufstellen des Terms für Teil a): \((10{,}2 - 12{,}4) - (7{,}8 - 12{,}4)\). 2. Auflösen der Klammern unter Beachtung des Minuszeichens: \(10{,}2 - 12{,}4 - 7{,}8 + 12{,}4\). 3. Zusammenfassen der Terme: \(-12{,}4\) und \(+12{,}4\) heben sich auf. 4. Endergebnis für a): \(10{,}2 - 7{,}8 = 2{,}4\). 5. Aufstellen des Terms für Teil b): \((25 - 2{,}5) \cdot 4\). 6. Anwendung des Distributivgesetzes (Ausmultiplizieren): \(25 \cdot 4 - 2{,}5 \cdot 4\). 7. Berechnung der Teilprodukte: \(100 - 10\). 8. Endergebnis für b): \(90\).

Antwort

a) Term: \((10{,}2 - 12{,}4) - (7{,}8 - 12{,}4)\); Ergebnis: \(2{,}4\). b) Term: \((25 - 2{,}5) \cdot 4\); Ergebnis: \(90\).

4122936

Vergleiche die Werte der beiden folgenden Beschreibungen. Welcher Wert ist kleiner, oder sind beide Werte gleich groß? A: Das Produkt aus \(-\frac{3}{4}\) und \(\frac{8}{5}\). B: Subtrahiere \(\frac{1}{2}\) vom Quotienten aus \(-\frac{7}{10}\) und \(1\).

Denkanstöße

- Berechne zuerst jeden Teil einzeln. - Denk daran, dass „Subtrahiere x von y“ bedeutet, dass du \(y - x\) rechnest. - Es kann hilfreich sein, Brüche in Dezimalzahlen umzuwandeln, um sie leichter vergleichen zu können.

Lösung

1. Berechnung von Wert A: \(-\frac{3}{4} \cdot \frac{8}{5} = -\frac{24}{20}\). Kürzen durch 4 ergibt \(-\frac{6}{5}\) bzw. \(-1{,}2\). 2. Berechnung von Wert B: Zuerst den Quotienten bilden: \(-\frac{7}{10} : 1 = -0{,}7\). 3. Davon \(\frac{1}{2}\) subtrahieren: \(-0{,}7 - 0{,}5 = -1{,}2\). 4. Vergleich: Da beide Ergebnisse \(-1{,}2\) lauten, sind die Werte gleich groß.

Antwort

Beide Werte sind gleich groß (\(-1{,}2\)).

4142166

Übersetze die folgenden Beschreibungen in mathematische Terme und bestimme das jeweilige Ergebnis. a) Bilde das Produkt aus der Gegenzahl von \(15\) und der Differenz von \(-3\) und \(7\). b) Multipliziere das Quadrat von \(-\frac{1}{2}\) mit dem Betrag von \(-16\). c) Subtrahiere die Summe von \(-12\) und \(18\) vom Produkt der Zahlen \(-5\) und \(-9\).

Denkanstöße

- Was bedeutet der Begriff „Gegenzahl“ im Vergleich zum „Betrag“? - Denke an die Vorzeichenregeln bei der Multiplikation und beim Quadrieren. - „Subtrahiere A von B“ bedeutet mathematisch \(B - A\). - Vergiss nicht, Brüche korrekt zu quadrieren, indem du Zähler und Nenner quadrierst.

Lösung

1. Lösung für a): Die Gegenzahl von \(15\) ist \(-15\). Die Differenz von \(-3\) und \(7\) ist \(-3 - 7 = -10\). Der Term lautet \(-15 \cdot (-3 - 7)\). Ergebnis: \(-15 \cdot (-10) = 150\). 2. Lösung für b): Das Quadrat von \(-\frac{1}{2}\) ist \((-\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}\). Der Betrag von \(-16\) ist \(16\). Der Term lautet \((-\frac{1}{2})^2 \cdot |-16|\). Ergebnis: \(\frac{1}{4} \cdot 16 = 4\). 3. Lösung für c): Das Produkt von \(-5\) und \(-9\) ist \(45\). Die Summe von \(-12\) und \(18\) ist \(6\). Der Term lautet \((-5 \cdot (-9)) - (-12 + 18)\). Ergebnis: \(45 - 6 = 39\).

Antwort

a) Term: \(-15 \cdot (-3 - 7)\), Wert: \(150\) b) Term: \((-\frac{1}{2})^2 \cdot |-16|\), Wert: \(4\) c) Term: \((-5 \cdot (-9)) - (-12 + 18)\), Wert: \(39\)

4142256

Stelle für die folgende Anweisung einen Term auf und berechne seinen Wert: Subtrahiere das Produkt aus \(\frac{2}{3}\) und \(-\frac{3}{4}\) von der Summe der Zahlen \(-\frac{1}{2}\) und \(\frac{1}{6}\).

Denkanstöße

- Was bedeutet „subtrahiere von“ für die Reihenfolge der Zahlen im Term? - Erinnere dich daran, wie man Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringt. - Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn man eine negative Zahl subtrahiert?

Lösung

1. Berechnung der Summe: \(-\frac{1}{2} + \frac{1}{6} = -\frac{3}{6} + \frac{1}{6} = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3}\) 2. Berechnung des Produkts: \(\frac{2}{3} \cdot \left(-\frac{3}{4}\right) = -\frac{6}{12} = -\frac{1}{2}\) 3. Durchführung der Subtraktion (Summe minus Produkt): \(-\frac{1}{3} - \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{3} + \frac{1}{2}\) 4. Bestimmung des Hauptnenners (6) und Berechnung des Endergebnisses: \(-\frac{2}{6} + \frac{3}{6} = \frac{1}{6}\)

Antwort

\(\frac{1}{6}\)

4142286

Übersetze die folgenden Sätze in mathematische Terme und bestimme das Ergebnis. a) Vermindere die Zahl \(-18{,}5\) um die Differenz der Zahlen \(12{,}4\) und \(15{,}9\). b) Addiere die Gegenzahl von \(7{,}2\) zur Summe der Zahlen \(-14{,}6\) und \(21{,}3\). c) Subtrahiere das Dreifache der Zahl \(4{,}5\) von der Differenz der Zahlen \(-10\) und \(-25\).

Denkanstöße

- Was bedeutet der Begriff „Gegenzahl“ für das Vorzeichen einer Zahl? - „Vermindern um“ bedeutet, dass du eine Subtraktion durchführen musst. - Denke an die Vorzeichenregeln, wenn du eine negative Zahl subtrahierst. - Bei „Differenz der Zahlen A und B“ rechnest du immer \(A - B\).

Lösung

1. Term für a): \(-18{,}5 - (12{,}4 - 15{,}9)\). Differenz berechnen: \(12{,}4 - 15{,}9 = -3{,}5\). Term vereinfachen: \(-18{,}5 - (-3{,}5) = -18{,}5 + 3{,}5 = -15\). 2. Term für b): \((-14{,}6 + 21{,}3) + (-7{,}2)\). Summe berechnen: \(-14{,}6 + 21{,}3 = 6{,}7\). Addition der Gegenzahl: \(6{,}7 - 7{,}2 = -0{,}5\). 3. Term für c): \((-10 - (-25)) - 3 \cdot 4{,}5\). Differenz berechnen: \(-10 + 25 = 15\). Produkt berechnen: \(3 \cdot 4{,}5 = 13{,}5\). Subtraktion: \(15 - 13{,}5 = 1{,}5\).

Antwort

a) Term: \(-18{,}5 - (12{,}4 - 15{,}9)\); Ergebnis: \(-15\) b) Term: \((-14{,}6 + 21{,}3) + (-7{,}2)\); Ergebnis: \(-0{,}5\) c) Term: \((-10 - (-25)) - 3 \cdot 4{,}5\); Ergebnis: \(1{,}5\)

4226576

Berechne den Wert des folgenden Ausdrucks: Addiere zum Kehrwert von \(0{,}8\) die Summe der Zahlen \(-4\frac{1}{2}\) und \(-1{,}75\).

Denkanstöße

- Wandle alle Zahlen am besten zuerst in die gleiche Form um (entweder Brüche oder Dezimalzahlen). - Überlege dir, was der Kehrwert einer Zahl bedeutet und wie man ihn bei einem Bruch findet. - Achte beim Addieren von negativen Zahlen besonders auf die Vorzeichen.

Lösung

1. Berechnung der Summe der beiden rationalen Zahlen: \(-4\frac{1}{2} + (-1{,}75) = -4{,}5 - 1{,}75 = -6{,}25\). 2. Bestimmung des Kehrwerts der Dezimalzahl: \(0{,}8 = \frac{4}{5}\), woraus der Kehrwert \(\frac{5}{4} = 1{,}25\) folgt. 3. Addition des Kehrwerts zur zuvor berechneten Summe: \(1{,}25 + (-6{,}25) = -5\).

Antwort

\(-5\)

4226586

Bestimme, welcher der beiden folgenden Werte auf der Zahlengeraden weiter links liegt: Wert A: Die Summe aus der Gegenzahl von \(2\frac{3}{5}\) und dem Kehrwert von \(0{,}5\). Wert B: Die Differenz, die entsteht, wenn man von \(-1{,}4\) die Summe der Zahlen \(+0{,}6\) und \(-3\frac{1}{2}\) subtrahiert.

Denkanstöße

- Was bedeutet es für die Lage auf der Zahlengeraden, wenn eine Zahl kleiner ist als eine andere? - Erinnere dich daran, dass die Gegenzahl einer Zahl einfach das entgegengesetzte Vorzeichen hat. - Gehe bei verschachtelten Rechnungen (wie bei Wert B) schrittweise vor und beachte die Klammerregeln.

Lösung

1. Berechnung von Wert A: Die Gegenzahl von \(2\frac{3}{5}\) (oder \(2{,}6\)) ist \(-2{,}6\). Der Kehrwert von \(0{,}5 = \frac{1}{2}\) ist \(2\). Die Summe ergibt \(-2{,}6 + 2 = -0{,}6\). 2. Berechnung von Wert B: Zuerst wird die Summe in der Klammer gebildet: \(0{,}6 + (-3{,}5) = -2{,}9\). Dann wird diese von \(-1{,}4\) subtrahiert: \(-1{,}4 - (-2{,}9) = -1{,}4 + 2{,}9 = 1{,}5\). 3. Vergleich der Ergebnisse: Da \(-0{,}6 < 1{,}5\) gilt, liegt der Wert A auf der Zahlengeraden weiter links (da er die kleinere Zahl ist).

Antwort

Wert A liegt weiter links (\(-0{,}6 < 1{,}5\)).

4106326

Bestimme das Ergebnis der folgenden Rechenvorschrift: Dividiere die Summe von \(1\frac{2}{3}\) und \(2\frac{5}{6}\) durch das Quadrat von \(\frac{3}{4}\). Subtrahiere anschließend \(1\frac{1}{2}\) vom Quotienten.

Denkanstöße

- Was bedeutet es, eine Zahl zu quadrieren? - Wie dividiert man durch einen Bruch? - Denk an die Regel „Punkt vor Strich“, falls du die Aufgabe als einen langen Term aufschreibst.

Lösung

1. Berechnung der Summe: \(1\frac{2}{3} + 2\frac{5}{6} = 1\frac{4}{6} + 2\frac{5}{6} = 3\frac{9}{6} = 4\frac{3}{6} = 4\frac{1}{2} = \frac{9}{2}\). 2. Berechnung des Quadrats: \((\frac{3}{4})^2 = \frac{9}{16}\). 3. Division der Summe durch das Quadrat: \(\frac{9}{2} : \frac{9}{16} = \frac{9}{2} \cdot \frac{16}{9} = \frac{1}{1} \cdot \frac{8}{1} = 8\). 4. Subtraktion: \(8 - 1\frac{1}{2} = 6\frac{1}{2}\).

Antwort

\(6\frac{1}{2}\)

4106696

Dividiere das Produkt aus \(0{,}25\) und \(12\) durch die Differenz von \(\frac{3}{4}\) und \(1{,}5\). Addiere zum Gesamtergebnis das Quadrat der Zahl \(4\).

Denkanstöße

- Es kann hilfreich sein, Brüche und Dezimalzahlen in die gleiche Darstellung zu bringen. - Welche Zahl ist der Dividend und welche der Divisor? - Denke an die Vorzeichenregeln bei der Division. - Beachte die Vorrangregeln: Was muss zuerst berechnet werden?

Lösung

1. Berechnung des Produkts: \(0{,}25 \cdot 12 = 3\) 2. Berechnung der Differenz (Umwandlung des Bruchs in eine Dezimalzahl): \(\frac{3}{4} - 1{,}5 = 0{,}75 - 1{,}5 = -0{,}75\) 3. Division der Teilergebnisse: \(3 : (-0{,}75) = -4\) 4. Berechnung des Quadrats: \(4^2 = 16\) 5. Finale Addition: \(-4 + 16 = 12\)

Antwort

\(12\)

4112716

In einem Lastenaufzug mit einer Tragfähigkeit von \(0{,}8\,\text{t}\) stehen drei schwere Kisten. Kiste A wiegt \(210\,\text{kg}\). Kiste B wiegt \(\frac{3}{4}\) des Gewichts von Kiste A. Kiste C wiegt \(45\,\text{kg}\) mehr als Kiste B. a) Berechne das Gesamtgewicht der drei Kisten. b) Ein Arbeiter möchte zusätzlich kleine Pakete einladen, die jeweils \(12{,}5\,\text{kg}\) wiegen. Wie viele dieser Pakete können höchstens noch zugeladen werden, ohne den Aufzug zu überlasten?

Denkanstöße

- Berechne Schritt für Schritt das Gewicht jeder Kiste. - Wie viel Platz ist noch im Aufzug, nachdem die Kisten geladen wurden? - Überlege beim letzten Schritt, ob man ein angebrochenes Paket mitzählen darf, wenn die Grenze nicht überschritten werden soll.

Lösung

1. Umrechnung der Tragfähigkeit: \(0{,}8\,\text{t} = 800\,\text{kg}\). 2. Gewicht von Kiste B berechnen: \(\frac{3}{4} \cdot 210\,\text{kg} = 157{,}5\,\text{kg}\). 3. Gewicht von Kiste C berechnen: \(157{,}5\,\text{kg} + 45\,\text{kg} = 202{,}5\,\text{kg}\). 4. Gesamtgewicht der Kisten berechnen: \(210\,\text{kg} + 157{,}5\,\text{kg} + 202{,}5\,\text{kg} = 570\,\text{kg}\). 5. Restkapazität ermitteln: \(800\,\text{kg} - 570\,\text{kg} = 230\,\text{kg}\). 6. Anzahl der Pakete bestimmen: \(230\,\text{kg} : 12{,}5\,\text{kg} = 18{,}4\). 7. Da nur ganze Pakete geladen werden können, passen maximal 18 Pakete hinein.

Antwort

a) Das Gesamtgewicht der Kisten beträgt \(570\,\text{kg}\). b) Es können höchstens noch 18 Pakete zugeladen werden.

4113346

Stelle den Term auf und berechne seinen Wert: Der Term ist ein Quotient. Der Dividend ist die Differenz aus \(-\frac{3}{10}\) und \(0{,}2\). Der Divisor ist die Summe aus \(\frac{1}{8}\) und \(-0{,}375\).

Denkanstöße

- Was steht bei einem Quotienten vorne (Dividend) und was hinten (Divisor)? - Wandle alle Brüche in Dezimalzahlen um, um die Teilrechnungen leichter durchzuführen. - Prüfe am Ende das Vorzeichen deines Ergebnisses.

Lösung

1. Berechnung des Dividenden (Differenz): \(-\frac{3}{10} - 0{,}2 = -0{,}3 - 0{,}2 = -0{,}5\) 2. Berechnung des Divisors (Summe): \(\frac{1}{8} + (-0{,}375) = 0{,}125 - 0{,}375 = -0{,}25\) 3. Berechnung des Quotienten: \((-0{,}5) : (-0{,}25) = 2\)

Antwort

Der Term lautet \((-\frac{3}{10} - 0{,}2) : (\frac{1}{8} + (-0{,}375))\). Sein Wert ist \(2\).

4113406

Strukturiere die folgende Beschreibung als mathematischen Term und berechne anschließend seinen Wert: Subtrahiere das Produkt von \(-1{,}2\) und \(\frac{5}{6}\) von der Differenz der Zahlen \(\frac{1}{4}\) und \(0{,}75\).

Denkanstöße

- Welche Rechenoperation gehört zu welchem Fachbegriff (Produkt, Differenz, subtrahieren)? - Achte genau auf die Reihenfolge: Was wird von was abgezogen? - Schreibe den Term zuerst vollständig mit Klammern auf, bevor du zu rechnen beginnst. - Achte besonders auf die Vorzeichenregeln bei der Subtraktion einer negativen Zahl.

Lösung

1. Aufstellen des Terms: Die Differenz ist \(\frac{1}{4} - 0{,}75\). Davon wird das Produkt \(-1{,}2 \cdot \frac{5}{6}\) subtrahiert. Term: \((\frac{1}{4} - 0{,}75) - (-1{,}2 \cdot \frac{5}{6})\). 2. Berechnung der Differenz (Minuend): \(\frac{1}{4} - \frac{3}{4} = -\frac{2}{4} = -0{,}5\). 3. Berechnung des Produkts (Subtrahend): \(-1{,}2 = -\frac{6}{5}\). Das Produkt ist \(-\frac{6}{5} \cdot \frac{5}{6} = -1\). 4. Finale Subtraktion: \(-0{,}5 - (-1) = -0{,}5 + 1 = 0{,}5\).

Antwort

Der Term lautet \((\frac{1}{4} - 0{,}75) - (-1{,}2 \cdot \frac{5}{6})\). Sein Wert ist \(0{,}5\) oder \(\frac{1}{2}\).

4113436

Gegeben sind zwei Rechenanweisungen für die Zahlen \(a = 0{,}4\) und \(b = -0{,}6\): 1. Dividiere die Differenz von \(a\) und \(b\) durch deren Summe. 2. Dividiere die Summe von \(a\) und \(b\) durch deren Differenz. Stelle für beide Anweisungen den Term auf, berechne die Ergebnisse und erkläre, in welcher mathematischen Beziehung die beiden Ergebnisse zueinander stehen.

Denkanstöße

- Schreibe dir zuerst die Werte für die Summe und die Differenz der beiden Zahlen einzeln auf. - Achte besonders auf das „Minus-Minus“, wenn du eine negative Zahl subtrahierst. - Vergleiche die beiden Endergebnisse: Was passiert, wenn du sie miteinander multiplizierst? - Erinnerst du dich an den Begriff für Zahlen, deren Produkt \(1\) ergibt?

Lösung

1. Aufstellen von Term 1: \((a - b) : (a + b)\). Einsetzen der Werte: \((0{,}4 - (-0{,}6)) : (0{,}4 + (-0{,}6)) = 1{,}0 : (-0{,}2)\). 2. Berechnung von Term 1: \(1{,}0 : (-0{,}2) = -5\). 3. Aufstellen von Term 2: \((a + b) : (a - b)\). Einsetzen der Werte: \((0{,}4 + (-0{,}6)) : (0{,}4 - (-0{,}6)) = -0{,}2 : 1{,}0\). 4. Berechnung von Term 2: \(-0{,}2 : 1{,}0 = -0{,}2\) (oder \(-\frac{1}{5}\)). 5. Beziehung bestimmen: Da \(-5 \cdot (-0{,}2) = 1\), sind die Ergebnisse Kehrwerte (reziprok) voneinander.

Antwort

Term 1: \((0{,}4 - (-0{,}6)) : (0{,}4 + (-0{,}6)) = -5\) Term 2: \((0{,}4 + (-0{,}6)) : (0{,}4 - (-0{,}6)) = -0{,}2\) Beziehung: Die Ergebnisse sind Kehrwerte voneinander.

4113496

Bestimme den Wert des folgenden Ausdrucks: Dividiere die Differenz der Zahlen \(-5{,}25\) und \(-2\frac{1}{4}\) durch das Produkt von \(\frac{2}{3}\) und \(1{,}5\).

Denkanstöße

- Klammern helfen dir, die Differenz und das Produkt klar voneinander zu trennen, bevor du dividierst. - Wandle gemischte Zahlen und Dezimalzahlen so um, dass du gut mit ihnen rechnen kannst. - Erinnerst du dich, wie man Brüche miteinander multipliziert?

Lösung

1. Aufstellen des Gesamtausdrucks: \((-5{,}25 - (-2\frac{1}{4})) : (\frac{2}{3} \cdot 1{,}5)\) 2. Berechnung der Differenz im ersten Teil: \(-5{,}25 - (-2{,}25) = -5{,}25 + 2{,}25 = -3\) 3. Berechnung des Produkts im zweiten Teil: \(\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} = 1\) 4. Durchführung der Division: \(-3 : 1 = -3\)

Antwort

Der Term lautet \((-5{,}25 - (-2\frac{1}{4})) : (\frac{2}{3} \cdot 1{,}5)\). Das Ergebnis ist \(-3\).

4114146

Gegeben ist der folgende Rechenausdruck: \((12{,}50 + 3 \cdot 4{,}50) : 2\) a) Erfinde eine passende Sachgeschichte zu diesem Term. Verwende dabei sinnvolle Einheiten (z. B. Euro, Kilogramm oder Meter). b) Berechne den Wert des Terms.

Denkanstöße

- Was könnte die Klammer in einer Geschichte bedeuten? Oft ist es ein Gesamtpaket oder eine gemeinsame Rechnung. - Wofür könnte das Teilen durch 2 am Ende stehen? - Denk an alltägliche Situationen wie Einkaufen oder das Aufteilen von Kosten.

Lösung

1. Beispiel für eine Sachgeschichte: Zwei Freunde bestellen zusammen eine Pizza für \(12{,}50\,\text{€}\) und drei Getränke für jeweils \(4{,}50\,\text{€}\). Sie teilen sich die Gesamtkosten gerecht auf. 2. Berechnung des Terms unter Beachtung der Vorrangregeln: Zuerst Punktrechnung in der Klammer: \(3 \cdot 4{,}50 = 13{,}50\). 3. Addition in der Klammer: \(12{,}50 + 13{,}50 = 26{,}00\). 4. Division durch 2: \(26{,}00 : 2 = 13{,}00\).

Antwort

a) Mögliche Geschichte: Zwei Personen teilen sich die Kosten für eine Pizza (\(12{,}50\,\text{€}\)) und drei Softdrinks (je \(4{,}50\,\text{€}\)). b) Das Ergebnis ist \(13{,}00\,\text{€}\).

4114156

Eine Familie mit 2 Erwachsenen und 4 Kindern besucht ein Schwimmbad. Der normale Eintritt kostet für Erwachsene \(5{,}50\,\text{€}\) und für Kinder \(3{,}50\,\text{€}\). Es gibt zwei verschiedene Rabattaktionen: Aktion 1: „Familien-Special: \(3{,}00\,\text{€}\) Rabatt auf den Gesamtpreis.“ Aktion 2: „Kindertag: Jedes Kind zahlt \(0{,}50\,\text{€}\) weniger.“ Diese Situationen können mit folgenden Termen beschrieben werden: Term 1: \(4 \cdot 3{,}50 + 2 \cdot 5{,}50 - 3{,}00\) Term 2: \(4 \cdot (3{,}50 - 0{,}50) + 2 \cdot 5{,}50\) Entscheide, welcher Term zu welcher Aktion gehört, und berechne, bei welcher Aktion die Familie insgesamt weniger bezahlen muss.

Denkanstöße

- Schau dir an, an welcher Stelle im Term der Rabatt abgezogen wird. - Wird der Rabatt einmalig abgezogen oder mehrmals (z. B. für jede Person)? - Rechne beide Möglichkeiten Schritt für Schritt aus, um sie zu vergleichen.

Lösung

1. Zuordnung: Term 1 berechnet erst die normalen Preise (\(4 \cdot 3{,}50\) für Kinder und \(2 \cdot 5{,}50\) für Erwachsene) und zieht am Ende \(3{,}00\,\text{€}\) ab. Das passt zu Aktion 1. 2. Zuordnung: Term 2 berechnet für jedes der 4 Kinder einen reduzierten Preis (\(3{,}50 - 0{,}50\)) und addiert die Erwachsenenpreise. Das passt zu Aktion 2. 3. Berechnung Term 1: \(14{,}00 + 11{,}00 - 3{,}00 = 22{,}00\,\text{€}\). 4. Berechnung Term 2: \(4 \cdot 3{,}00 + 11{,}00 = 12{,}00 + 11{,}00 = 23{,}00\,\text{€}\). 5. Vergleich: \(22{,}00\,\text{€}\) ist weniger als \(23{,}00\,\text{€}\). Aktion 1 ist günstiger.

Antwort

Term 1 gehört zu Aktion 1, Term 2 gehört zu Aktion 2. Aktion 1 ist günstiger, da die Familie dort nur \(22{,}00\,\text{€}\) statt \(23{,}00\,\text{€}\) zahlt.

4121596

Bestimme den Wert der beschriebenen Terme: a) Quotient aus dem Betrag von \(-3{,}6\) durch die Gegenzahl von \(0{,}4\). b) Die Differenz aus dem Betrag von \(-\frac{9}{10}\) und der Gegenzahl von \(-0{,}4\). c) Das Produkt aus der Gegenzahl von \(1{,}5\) und der Summe von \(-\frac{1}{3}\) und \(\frac{4}{3}\).

Denkanstöße

- Achte bei b) besonders auf die Vorzeichen: Was ist die Gegenzahl einer negativen Zahl? - Bei c) hilft es, zuerst die Klammer (die Summe) zu berechnen. - Division durch eine Dezimalzahl kann durch Kommaverschiebung vereinfacht werden.

Lösung

1. Rechnung a): \(| -3{,}6 | = 3{,}6\). Gegenzahl von \(0{,}4\) ist \(-0{,}4\). Division: \(3{,}6 : (-0{,}4) = -9\). 2. Rechnung b): \(| -\frac{9}{10} | = 0{,}9\). Gegenzahl von \(-0{,}4\) ist \(0{,}4\). Differenz: \(0{,}9 - 0{,}4 = 0{,}5\). 3. Rechnung c): Gegenzahl von \(1{,}5\) ist \(-1{,}5\). Summe: \(-\frac{1}{3} + \frac{4}{3} = \frac{3}{3} = 1\). Produkt: \(-1{,}5 \cdot 1 = -1{,}5\).

Antwort

a) \(3{,}6 : (-0{,}4) = -9\) b) \(0{,}9 - 0{,}4 = 0{,}5\) c) \(-1{,}5 \cdot 1 = -1{,}5\)

4122706

Übersetze die Beschreibung in einen Rechenausdruck und bestimme das Ergebnis auf geschicktem Weg: a) Multipliziere die Summe von \(-\frac{2}{5}\) und \(\frac{1}{2}\) mit \(20\). b) Subtrahiere das Produkt von \(12\) und \(0{,}75\) von der Summe aus \(15\) und \(-3\).

Denkanstöße

- Bei Brüchen kann es helfen, die Zahl vor der Klammer direkt mit jedem Bruch in der Klammer zu multiplizieren. - Achte bei Teil b) genau darauf, was von was abgezogen werden soll – die Reihenfolge ist wichtig. - Kannst du \(0{,}75\) als Bruch schreiben, um die Multiplikation im Kopf zu vereinfachen?

Lösung

1. Aufstellen des Terms für Teil a): \(20 \cdot (-\frac{2}{5} + \frac{1}{2})\). 2. Anwendung des Distributivgesetzes: \(20 \cdot (-\frac{2}{5}) + 20 \cdot \frac{1}{2}\). 3. Berechnung der Teilprodukte: \(-8 + 10\). 4. Endergebnis für a): \(2\). 5. Aufstellen des Terms für Teil b): \((15 + (-3)) - (12 \cdot 0{,}75)\). 6. Berechnung der ersten Klammer (Summe): \(15 - 3 = 12\). 7. Berechnung des Produkts: \(12 \cdot 0{,}75 = 9\). 8. Endergebnis für b): \(12 - 9 = 3\).

Antwort

a) Term: \(20 \cdot (-\frac{2}{5} + \frac{1}{2})\); Ergebnis: \(2\). b) Term: \((15 + (-3)) - (12 \cdot 0{,}75)\); Ergebnis: \(3\).

4122946

Ein Schüler soll folgenden Text in einen Rechenausdruck übersetzen: „Dividiere die Differenz aus \(2{,}5\) und \(7{,}5\) durch das Produkt aus \(-0{,}25\) und \(8\).“ Der Schüler notiert als Lösung: \(2{,}5 - 7{,}5 : -0{,}25 \cdot 8\). Erkläre kurz, warum dieser Term nicht zum Text passt, und berechne den korrekten Wert des beschriebenen Ausdrucks.

Denkanstöße

- Was passiert in dem Term des Schülers zuerst, wenn man die Vorrangregeln beachtet? - Wie kannst du erzwingen, dass eine Strichrechnung vor einer Punktrechnung ausgeführt wird? - Berechne die einzelnen Bestandteile des korrekten Terms nacheinander.

Lösung

1. Analyse des Fehlers: Ohne Klammern gilt die Regel „Punkt-vor-Strich“. Im Term des Schülers würde zuerst \(7{,}5 : (-0{,}25)\) gerechnet werden. Laut Text müssen aber zuerst die Differenz und das Produkt berechnet werden, wofür Klammern notwendig sind. 2. Aufstellen des korrekten Terms: \((2{,}5 - 7{,}5) : (-0{,}25 \cdot 8)\). 3. Berechnung der Differenz: \(2{,}5 - 7{,}5 = -5\). 4. Berechnung des Produkts: \(-0{,}25 \cdot 8 = -2\). 5. Division der Teilergebnisse: \(-5 : (-2) = 2{,}5\).

Antwort

Der Term des Schülers ist falsch, da Klammern fehlen, um die Differenz und das Produkt zuerst zu berechnen. Der korrekte Wert ist \(2{,}5\).

4142176

Berechne die Werte der folgenden verschachtelten Zahlenrätsel. Notiere dazu zuerst den vollständigen Term. a) Das Produkt zweier Faktoren soll berechnet werden. Der erste Faktor ist die Differenz von \(-11\) und \(-15\). Der zweite Faktor ist die Gegenzahl von \(8\). b) Addiere zum Quadrat von \(-5\) das Produkt aus \(\frac{2}{3}\) und \(-12\). c) Subtrahiere den Betrag der Differenz von \(10\) und \(25\) vom Produkt aus \(-4\) und \(-7\).

Denkanstöße

- Lies die Sätze genau und identifiziere die Hauptrechenart. - Zerlege lange Beschreibungen in kleinere Teile (z. B. erst die Faktoren bestimmen, dann multiplizieren). - Achte besonders auf den Unterschied zwischen dem „Betrag einer Differenz“ und der „Differenz von Beträgen“. - Prüfe am Ende, ob die Reihenfolge der Operationen (Punkt vor Strich, Klammern zuerst) korrekt abgebildet ist.

Lösung

1. Schrittweise Lösung für a): Bestimmung des ersten Faktors: \(-11 - (-15) = 4\). Bestimmung des zweiten Faktors: \(-8\). Term: \((-11 - (-15)) \cdot (-8)\). Wert: \(4 \cdot (-8) = -32\). 2. Schrittweise Lösung für b): Berechnung des Quadrats: \((-5)^2 = 25\). Berechnung des Produkts: \(\frac{2}{3} \cdot (-12) = -8\). Term: \((-5)^2 + (\frac{2}{3} \cdot (-12))\). Wert: \(25 + (-8) = 17\). 3. Schrittweise Lösung für c): Berechnung des Produkts: \(-4 \cdot (-7) = 28\). Berechnung der Differenz innerhalb des Betrags: \(10 - 25 = -15\). Betrag der Differenz: \(|-15| = 15\). Term: \((-4 \cdot (-7)) - |10 - 25|\). Wert: \(28 - 15 = 13\).

Antwort

a) Term: \((-11 - (-15)) \cdot (-8)\), Wert: \(-32\) b) Term: \((-5)^2 + (\frac{2}{3} \cdot (-12))\), Wert: \(17\) c) Term: \((-4 \cdot (-7)) - |10 - 25|\), Wert: \(13\)

4142266

Untersuche, welche der beiden Rechenanweisungen das größere Ergebnis liefert. Gib beide Ergebnisse an. a) Dividiere die Differenz von \(-15\) und \(5\) durch das Produkt von \(2\) und \(-2\). b) Multipliziere die Summe von \(-\frac{3}{4}\) und \(\frac{1}{2}\) mit dem Quotienten aus \(20\) und \(-2\).

Denkanstöße

- Berechne zuerst die Teilergebnisse in den Klammern für beide Aufgaben. - Achte bei a) genau darauf, welche Zahl von welcher abgezogen wird. - Bei b) hilft es, die Dezimalzahl oder den Bruch am Ende zu vergleichen.

Lösung

1. Berechnung von Teil a): Differenz: \(-15 - 5 = -20\) Produkt: \(2 \cdot (-2) = -4\) Division: \(-20 : (-4) = 5\) 2. Berechnung von Teil b): Summe: \(-\frac{3}{4} + \frac{1}{2} = -\frac{3}{4} + \frac{2}{4} = -\frac{1}{4}\) Quotient: \(20 : (-2) = -10\) Multiplikation: \(-\frac{1}{4} \cdot (-10) = \frac{10}{4} = 2{,}5\) 3. Vergleich: \(5 > 2{,}5\), daher liefert Anweisung a) das größere Ergebnis.

Antwort

Anweisung a) ergibt \(5\), Anweisung b) ergibt \(2{,}5\). Somit liefert a) das größere Ergebnis.

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