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Stellen Sie aus rund 20.000 Matheaufgaben Ihre eigenen Arbeitsblätter zusammen, von der 3. bis zur 13. Klasse. Alle Aufgaben enthalten Lösungsschritte.

Arithmetisches Mittel berechnen und interpretieren

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4100436
Alex hat ein halbes Jahr lang als Nachhilfelehrer gearbeitet und jeden Monat sein Einkommen in ein Diagramm eingetragen (siehe Abbildung). Wie viel hat er durchschnittlich pro Monat verdient?
Abbildung zur Aufgabe 410043

Denkanstöße

- Lies zuerst sorgfältig die Werte für jeden der sechs Monate aus dem Balkendiagramm ab. - Was musst du tun, um den Durchschnittswert einer Reihe von Zahlen zu finden? - Zähle alle Beträge zusammen und teile das Ergebnis durch die Anzahl der Monate.

Lösung

1. Werte aus dem Diagramm ablesen: Jan: 120, Feb: 200, Mär: 180, Apr: 240, Mai: 220, Jun: 150. 2. Summe der Einkünfte berechnen: \(120 + 200 + 180 + 240 + 220 + 150 = 1110 \text{ €}\). 3. Summe durch die Anzahl der Monate (6) dividieren: \(1110 : 6 = 185 \text{ €}\).

Antwort

\(185 \text{ €}\)
4115696
In einer Bowling-AG erzielten sechs Kinder folgende Punktzahlen: \(105\), \(118\), \(92\), \(126\), \(110\) und \(103\). a) Berechne das arithmetische Mittel der Punktzahlen. b) Später wurde ein Fehler entdeckt: Statt \(105\) Punkten wurden tatsächlich \(117\) Punkte erzielt. Berechne den neuen Durchschnitt. Um wie viele Punkte hat er sich durch die Korrektur erhöht?

Denkanstöße

- Wie berechnet man den Durchschnitt einer Liste von Zahlen? - Wenn du die Summe aller Zahlen um einen bestimmten Betrag erhöhst, wie wirkt sich das auf das Ergebnis der Teilung aus? - Musst du wirklich alles neu rechnen oder kannst du die Veränderung direkt auf den Durchschnitt übertragen?

Lösung

1. Berechnung der ersten Summe: \(105 + 118 + 92 + 126 + 110 + 103 = 654\) 2. Erstes arithmetisches Mittel: \(654 : 6 = 109\) 3. Korrekturwert ermitteln: \(117 - 105 = 12\) 4. Neue Summe berechnen: \(654 + 12 = 666\) 5. Neues arithmetisches Mittel: \(666 : 6 = 111\) 6. Differenz der Mittelwerte: \(111 - 109 = 2\)

Antwort

a) Das arithmetische Mittel beträgt \(109\) Punkte. b) Der neue Durchschnitt beträgt \(111\) Punkte; er hat sich um \(2\) Punkte erhöht.
4115786
In einer Kleingruppe von 5 Schülern beträgt das arithmetische Mittel der Körpergröße \(150\,\text{cm}\). Ein neuer Schüler mit einer Größe von \(162\,\text{cm}\) tritt der Gruppe bei. a) Berechne das neue arithmetische Mittel der nun sechsköpfigen Gruppe. b) Begründe ohne Rechnung, ob das neue Mittel größer oder kleiner als das ursprüngliche Mittel sein muss.

Denkanstöße

- Überlege zuerst, wie groß die Summe aller Körpergrößen zusammen sein muss, wenn man den Durchschnitt kennt. - Was passiert mit einem Durchschnittswert, wenn man eine Zahl hinzufügt, die größer als der bisherige Durchschnitt ist?

Lösung

1. Berechnung der Gesamtsumme der Körpergrößen der ursprünglichen Gruppe: \(5 \cdot 150\,\text{cm} = 750\,\text{cm}\). 2. Addition der Größe des neuen Schülers zur Gesamtsumme: \(750\,\text{cm} + 162\,\text{cm} = 912\,\text{cm}\). 3. Berechnung des neuen arithmetischen Mittels für 6 Personen: \(912\,\text{cm} : 6 = 152\,\text{cm}\). 4. Begründung für Teil b): Da der neue Wert (\(162\,\text{cm}\)) über dem bisherigen Durchschnitt (\(150\,\text{cm}\)) liegt, muss das neue arithmetische Mittel steigen.

Antwort

a) Das neue arithmetische Mittel beträgt \(152\,\text{cm}\). b) Das neue Mittel muss größer sein, da der hinzugefügte Wert (\(162\,\text{cm}\)) über dem alten Durchschnitt (\(150\,\text{cm}\)) liegt.
4115816
Eine Gruppe von 6 Kindern hat im Wald Heidelbeeren gesammelt. Die gesammelten Mengen (in Gramm) sind: \(320\), \(450\), \(280\), \(510\), \(390\) und \(450\). a) Berechne die durchschnittliche Menge (das arithmetische Mittel) der gesammelten Heidelbeeren. b) Wie viele Kinder haben mehr als die durchschnittliche Menge gesammelt? Ist dies mehr als die Hälfte der Kinder?

Denkanstöße

- Wie berechnet man den Durchschnitt einer Reihe von Zahlen? - Addiere zuerst alle Werte zusammen. - Durch welche Zahl musst du die Summe teilen? - Vergleiche jeden einzelnen Wert mit deinem Ergebnis aus Teil a.

Lösung

1. Berechnung der Gesamtsumme der Mengen: \(320 + 450 + 280 + 510 + 390 + 450 = 2400\,\text{g}\). 2. Berechnung des arithmetischen Mittels: \(\frac{2400}{6} = 400\,\text{g}\). 3. Vergleich der Einzelwerte mit dem Mittelwert (\(400\,\text{g}\)): Die Werte \(450\), \(510\) und \(450\) liegen über dem Durchschnitt. 4. Anzahl der Kinder über dem Durchschnitt: \(3\) Kinder. 5. Prüfung „mehr als die Hälfte“: Die Hälfte von \(6\) ist \(3\). Da genau \(3\) Kinder mehr gesammelt haben, ist dies nicht mehr als die Hälfte.

Antwort

a) Das arithmetische Mittel beträgt \(400\,\text{g}\). b) Es haben \(3\) Kinder mehr als den Durchschnitt gesammelt. Da \(3\) genau die Hälfte von \(6\) ist, ist dies nicht mehr als die Hälfte der Kinder.
4115846
Zwei Freunde, Lukas und Sarah, trainieren für einen 100-Meter-Lauf. In einer Trainingswoche stoppen sie jeweils fünf Zeiten. <table> <tr><th>Name</th><th>1. Lauf</th><th>2. Lauf</th><th>3. Lauf</th><th>4. Lauf</th><th>5. Lauf</th></tr> <tr><td>Lukas</td><td>\(14{,}5\,\text{s}\)</td><td>\(13{,}8\,\text{s}\)</td><td>\(14{,}2\,\text{s}\)</td><td>\(15{,}1\,\text{s}\)</td><td>\(14{,}4\,\text{s}\)</td></tr> <tr><td>Sarah</td><td>\(13{,}9\,\text{s}\)</td><td>\(14{,}1\,\text{s}\)</td><td>\(14{,}0\,\text{s}\)</td><td>\(14{,}3\,\text{s}\)</td><td>\(14{,}7\,\text{s}\)</td></tr> </table> Berechne für beide die durchschnittliche Zeit pro Lauf. Wer von beiden ist im Durchschnitt schneller gelaufen?

Denkanstöße

- Was bedeutet „Durchschnitt“ in der Mathematik? - Wie berechnet man den Gesamtwert einer Datenreihe? - Durch welche Zahl musst du die Gesamtsumme teilen, um den Mittelwert zu erhalten? - Denk daran, dass beim Laufen eine kleinere Zeit ein besseres Ergebnis bedeutet.

Lösung

1. Berechnung der Summe der Zeiten für Lukas: \(14{,}5 + 13{,}8 + 14{,}2 + 15{,}1 + 14{,}4 = 72{,}0\,\text{s}\). 2. Berechnung des arithmetischen Mittels für Lukas: \(72{,}0 : 5 = 14{,}4\,\text{s}\). 3. Berechnung der Summe der Zeiten für Sarah: \(13{,}9 + 14{,}1 + 14{,}0 + 14{,}3 + 14{,}7 = 71{,}0\,\text{s}\). 4. Berechnung des arithmetischen Mittels für Sarah: \(71{,}0 : 5 = 14{,}2\,\text{s}\). 5. Vergleich der Mittelwerte: Da \(14{,}2 < 14{,}4\), ist Sarah im Durchschnitt schneller.

Antwort

Lukas ist im Durchschnitt \(14{,}4\,\text{s}\) gelaufen, Sarah \(14{,}2\,\text{s}\). Damit ist Sarah im Durchschnitt schneller.
4115876
In einer Klasse wurde das Gewicht der Schultaschen von 20 Kindern gemessen. Die Ergebnisse sind in der folgenden Tabelle zusammengefasst: <table> <tr> <td>Gewicht in \(\text{kg}\)</td> <td>\(3{,}5\)</td> <td>\(4{,}0\)</td> <td>\(4{,}5\)</td> <td>\(5{,}0\)</td> </tr> <tr> <td>Absolute Häufigkeit</td> <td>6</td> <td>8</td> <td>4</td> <td>2</td> </tr> </table> a) Bestimme für jedes Gewicht die relative Häufigkeit in Prozent. b) Berechne das arithmetische Mittel der Taschengewichte.

Denkanstöße

- Wie berechnet man den Anteil einer Teilgruppe an der Gesamtgruppe? - Erinnerst du dich, wie man einen Bruch in eine Prozentzahl umwandelt? - Wie geht man vor, wenn Werte mehrfach vorkommen, um die Gesamtsumme schnell zu berechnen? - Was gibt das arithmetische Mittel über eine Datengruppe an?

Lösung

1. Berechnung der relativen Häufigkeiten: Anteil der Kinder pro Gewichtsklasse an der Gesamtzahl 20 bestimmen und in Prozent umrechnen. - \(3{,}5\,\text{kg}\): \(\frac{6}{20} = 0{,}3 = 30\,\%\) - \(4{,}0\,\text{kg}\): \(\frac{8}{20} = 0{,}4 = 40\,\%\) - \(4{,}5\,\text{kg}\): \(\frac{4}{20} = 0{,}2 = 20\,\%\) - \(5{,}0\,\text{kg}\): \(\frac{2}{20} = 0{,}1 = 10\,\%\) 2. Berechnung des arithmetischen Mittels: Summe aller Einzelgewichte dividiert durch die Anzahl der Kinder. - Gesamtsumme: \(6 \cdot 3{,}5 + 8 \cdot 4{,}0 + 4 \cdot 4{,}5 + 2 \cdot 5{,}0 = 21 + 32 + 18 + 10 = 81\,\text{kg}\) - Durchschnitt: \(81 : 20 = 4{,}05\,\text{kg}\)

Antwort

a) Die relativen Häufigkeiten sind: \(3{,}5\,\text{kg}: 30\,\%\); \(4{,}0\,\text{kg}: 40\,\%\); \(4{,}5\,\text{kg}: 20\,\%\); \(5{,}0\,\text{kg}: 10\,\%\). b) Das arithmetische Mittel beträgt \(4{,}05\,\text{kg}\).
4116176
Ein Supermarkt mischt zwei Sorten Bonbons für eine Sonderaktion. Es werden \(3\,\text{kg}\) der Sorte „Erdbeere“ zum Preis von \(14\,\text{€/kg}\) mit \(2\,\text{kg}\) der Sorte „Zitrone“ für \(9\,\text{€/kg}\) gemischt. Berechne, wie viel ein Kilogramm der neuen Mischung im Durchschnitt kostet.

Denkanstöße

- Überlege zuerst, wie viel Geld man insgesamt für alle Bonbons bezahlen müsste. - Wie viele Kilogramm Bonbons hat man nach dem Mischen insgesamt? - Wie verteilt sich der Gesamtpreis auf die gesamte Menge?

Lösung

1. Gesamtkosten der Sorte „Erdbeere“ berechnen: \(3\,\text{kg} \cdot 14\,\text{€/kg} = 42\,\text{€}\). 2. Gesamtkosten der Sorte „Zitrone“ berechnen: \(2\,\text{kg} \cdot 9\,\text{€/kg} = 18\,\text{€}\). 3. Gesamtkosten der Mischung ermitteln: \(42\,\text{€} + 18\,\text{€} = 60\,\text{€}\). 4. Gesamtgewicht der Mischung berechnen: \(3\,\text{kg} + 2\,\text{kg} = 5\,\text{kg}\). 5. Durchschnittspreis pro Kilogramm berechnen: \(\frac{60\,\text{€}}{5\,\text{kg}} = 12\,\text{€/kg}\).

Antwort

Ein Kilogramm der Mischung kostet im Durchschnitt \(12\,\text{€}\).
4117616
In einer Schulwoche sammelt Sarah Pfandflaschen für ein Klassenprojekt. Von Montag bis Mittwoch sammelt sie jeden Tag genau 4 Flaschen. Am Donnerstag und Freitag hat sie mehr Glück und findet jeweils 9 Flaschen. Wie viele Flaschen hat sie in diesen fünf Tagen insgesamt gesammelt und wie hoch ist der Durchschnitt pro Tag?

Denkanstöße

- Kannst du erst einmal ausrechnen, wie viele Flaschen Sarah an den ersten drei Tagen zusammen gefunden hat? - Wie viele Flaschen kommen an den restlichen zwei Tagen dazu? - Was bedeutet „Durchschnitt“ eigentlich genau in Bezug auf die Gesamtzahl und die Anzahl der Tage?

Lösung

1. Berechnung der Flaschenanzahl von Montag bis Mittwoch: \(3 \cdot 4 = 12\) Flaschen 2. Berechnung der Flaschenanzahl von Donnerstag bis Freitag: \(2 \cdot 9 = 18\) Flaschen 3. Ermittlung der Gesamtsumme: \(12 + 18 = 30\) Flaschen 4. Berechnung des arithmetischen Mittels für 5 Tage: \(30 : 5 = 6\) Flaschen pro Tag

Antwort

Sarah hat insgesamt 30 Flaschen gesammelt. Der Durchschnitt beträgt 6 Flaschen pro Tag.
4227156
Gegeben sind die Zahlen: \(8{,}5\); \(7{,}2\); \(9{,}0\); \(8{,}3\); \(7{,}5\) und \(8{,}1\). 1. Berechne das arithmetische Mittel dieser Zahlen. 2. Bestimme für jeden Wert die Abweichung als \(\text{Wert} - \text{Mittelwert}\). 3. Berechne die Summe aller Abweichungen. Was stellst du fest?

Denkanstöße

- Um den Durchschnitt zu finden, addiere zuerst alle Zahlen und teile das Ergebnis durch ihre Anzahl. - Die Abweichung berechnest du, indem du den Mittelwert von der jeweiligen Zahl abziehst. - Achte beim Addieren der Abweichungen besonders auf die Vorzeichen (Plus und Minus).

Lösung

1. Berechnung der Summe der gegebenen Zahlen: \(8{,}5 + 7{,}2 + 9{,}0 + 8{,}3 + 7{,}5 + 8{,}1 = 48{,}6\). Das arithmetische Mittel ist daher \(48{,}6 : 6 = 8{,}1\). 2. Berechnung der Abweichungen als \(\text{Wert} - \text{Mittelwert}\): \(8{,}5 - 8{,}1 = 0{,}4\) \(7{,}2 - 8{,}1 = -0{,}9\) \(9{,}0 - 8{,}1 = 0{,}9\) \(8{,}3 - 8{,}1 = 0{,}2\) \(7{,}5 - 8{,}1 = -0{,}6\) \(8{,}1 - 8{,}1 = 0{,}0\) 3. Addition der Abweichungen: \(0{,}4 + (-0{,}9) + 0{,}9 + 0{,}2 + (-0{,}6) + 0 = 0\). Die positiven und negativen Abweichungen gleichen sich aus; ihre Summe ist null.

Antwort

1. Das arithmetische Mittel ist \(8{,}1\). 2. Die Abweichungen sind: \(0{,}4\); \(-0{,}9\); \(0{,}9\); \(0{,}2\); \(-0{,}6\) und \(0{,}0\). 3. Die Summe der Abweichungen ist \(0\); die positiven und negativen Abweichungen gleichen sich aus.
4115706
Eine Basketballmannschaft hat in den ersten vier Spielen der Saison \(42\), \(38\), \(55\) und \(45\) Punkte erzielt. Die Mannschaft möchte nach dem fünften Spiel einen Durchschnitt von genau \(46\) Punkten erreichen. Wie viele Punkte müssen sie im fünften Spiel erzielen, um dieses Ziel zu erreichen?

Denkanstöße

- Überlege zuerst, wie groß die Summe aller Punkte nach fünf Spielen sein muss, damit der Durchschnitt stimmt. - Wie viel fehlt noch von der aktuellen Summe bis zu dieser Ziel-Summe? - Kannst du die Rechnung umkehren?

Lösung

1. Berechnung der benötigten Gesamtsumme für \(5\) Spiele: \(46 \cdot 5 = 230\) 2. Berechnung der Summe der ersten \(4\) Spiele: \(42 + 38 + 55 + 45 = 180\) 3. Berechnung der fehlenden Punkte für das \(5\). Spiel: \(230 - 180 = 50\)

Antwort

Die Mannschaft muss im fünften Spiel \(50\) Punkte erzielen.
4115796
Zwei Klassen vergleichen ihre Ergebnisse bei einem Spendenlauf. Klasse 6a hat 20 Kinder und ist im Durchschnitt \(4{,}5\,\text{km}\) pro Kind gelaufen. Klasse 6b hat 25 Kinder und ist im Durchschnitt \(4{,}0\,\text{km}\) pro Kind gelaufen. Prüfe, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind, und begründe deine Entscheidung mathematisch: a) „Klasse 6a ist insgesamt eine längere Strecke gelaufen als Klasse 6b.“ b) „Da der Durchschnitt der 6a höher ist, ist jedes Kind der 6a weiter gelaufen als jedes Kind der 6b.“

Denkanstöße

- Wie berechnet man die Gesamtstrecke einer Klasse, wenn man die Anzahl der Kinder und den Durchschnitt kennt? - Sagt ein Durchschnittswert etwas über die Leistung eines einzelnen Kindes aus? - Kann eine größere Gruppe trotz eines kleineren Durchschnitts insgesamt mehr erreichen?

Lösung

1. Berechnung der Gesamtlaufleistung der Klasse 6a: \(20 \cdot 4{,}5\,\text{km} = 90\,\text{km}\). 2. Berechnung der Gesamtlaufleistung der Klasse 6b: \(25 \cdot 4{,}0\,\text{km} = 100\,\text{km}\). 3. Bewertung von Aussage a): Die Aussage ist falsch, da \(90\,\text{km} < 100\,\text{km}\). Die höhere Kinderanzahl in 6b gleicht den niedrigeren Durchschnitt aus. 4. Bewertung von Aussage b): Die Aussage ist falsch. Das arithmetische Mittel ist ein Durchschnittswert und macht keine Aussage über individuelle Einzelwerte. Ein Kind in 6b könnte \(10\,\text{km}\) gelaufen sein, während eines in 6a nur \(2\,\text{km}\) gelaufen ist.

Antwort

a) Falsch. Klasse 6a lief insgesamt \(90\,\text{km}\), Klasse 6b jedoch \(100\,\text{km}\). b) Falsch. Der Durchschnitt lässt keine Rückschlüsse auf die Einzelleistung einzelner Kinder zu.
4115826
Lukas hat in fünf Mathe-Tests folgende Punktzahlen erreicht: \(8, 12, 15, 9\) und \(11\). a) Bestimme das arithmetische Mittel seiner Punktzahlen. b) Bestimme den Abstand des Mittelwerts zum höchsten und zum niedrigsten erzielten Wert. c) Lukas möchte seinen Durchschnitt durch einen sechsten Test auf genau \(12\) Punkte verbessern. Wie viele Punkte müsste er dafür im nächsten Test erreichen?

Denkanstöße

- Was musst du tun, um den Durchschnitt zu finden? - Identifiziere zuerst den kleinsten und den größten Wert in der Liste. - Wenn du den Durchschnitt von 6 Tests kennst, wie groß muss dann die Summe aller Punkte insgesamt sein?

Lösung

1. Berechnung des aktuellen Mittels: Summe \(= 8 + 12 + 15 + 9 + 11 = 55\). Mittelwert \(= \frac{55}{5} = 11\). 2. Abstände berechnen: Höchster Wert ist \(15\), niedrigster Wert ist \(8\). 3. Abstand zum Maximum: \(15 - 11 = 4\). Abstand zum Minimum: \(11 - 8 = 3\). 4. Berechnung für Teil c: Bei einem Durchschnitt von \(12\) Punkten nach \(6\) Tests muss die Gesamtsumme \(12 \cdot 6 = 72\) Punkte betragen. 5. Benötigte Punkte: \(72 - 55 = 17\) Punkte.

Antwort

a) Das arithmetische Mittel ist \(11\). b) Der Abstand zum höchsten Wert (\(15\)) beträgt \(4\), zum niedrigsten Wert (\(8\)) beträgt er \(3\). c) Er müsste im sechsten Test \(17\) Punkte erreichen.
4115856
In einer Obstplantage wurden an vier aufeinanderfolgenden Tagen Äpfel geerntet. Für die ersten drei Tage liegen die Ergebnisse bereits vor: - Montag: \(12\,\text{kg}\) - Dienstag: \(18\,\text{kg}\) - Mittwoch: \(15\,\text{kg}\) Am Donnerstag wurde die letzte Ernte eingebracht. Der Besitzer stellt fest, dass die durchschnittliche Erntemenge über alle vier Tage genau \(16\,\text{kg}\) pro Tag beträgt. Wie viele Kilogramm Äpfel wurden am Donnerstag geerntet?

Denkanstöße

- Wenn du den Durchschnitt und die Anzahl der Tage kennst, kannst du dann die Gesamtmenge berechnen? - Wie viel wurde insgesamt an den ersten drei Tagen geerntet? - Was fehlt noch an der berechneten Gesamtmenge für alle vier Tage?

Lösung

1. Bestimmung der Gesamtmenge über 4 Tage basierend auf dem Durchschnitt: \(4 \cdot 16\,\text{kg} = 64\,\text{kg}\). 2. Berechnung der Summe der ersten drei Tage: \(12 + 18 + 15 = 45\,\text{kg}\). 3. Subtraktion der Teilsumme von der Gesamtsumme, um den Wert für Donnerstag zu finden: \(64 - 45 = 19\,\text{kg}\).

Antwort

Am Donnerstag wurden \(19\,\text{kg}\) Äpfel geerntet.
4115886
Bei einer Mathematikarbeit in einer Klasse mit 25 Schülern ergab sich die folgende Notenverteilung: <table> <tr> <td>Note</td> <td>1</td> <td>2</td> <td>3</td> <td>4</td> <td>5</td> </tr> <tr> <td>Anzahl</td> <td>3</td> <td>7</td> <td>10</td> <td>4</td> <td>1</td> </tr> </table> a) Berechne den Notendurchschnitt (arithmetisches Mittel) dieser Arbeit. b) Nach der Rückgabe wird ein Fehler in der Korrektur entdeckt: Bei einem Schüler wurde versehentlich die Note 5 statt der Note 1 eingetragen. Berechne den neuen Notendurchschnitt. Um wie viel verbessert sich der Durchschnitt?

Denkanstöße

- Wie berechnet man die Summe aller Noten, wenn man weiß, wie oft jede Note vorkommt? - Was passiert mit der Gesamtsumme aller Noten, wenn sich ein einzelner Wert ändert? - Bleibt die Anzahl der Schüler gleich, wenn eine Note korrigiert wird? - Wie berechnet man den Unterschied zwischen zwei Durchschnittswerten?

Lösung

1. Berechnung des ursprünglichen Durchschnitts: - Gesamtsumme der Noten: \(3 \cdot 1 + 7 \cdot 2 + 10 \cdot 3 + 4 \cdot 4 + 1 \cdot 5 = 3 + 14 + 30 + 16 + 5 = 68\) - Durchschnitt: \(68 : 25 = 2{,}72\) 2. Berechnung des neuen Durchschnitts nach der Korrektur: - Die Gesamtsumme verringert sich um die Differenz der Noten (\(5 - 1 = 4\)): \(68 - 4 = 64\) - Neuer Durchschnitt: \(64 : 25 = 2{,}56\) 3. Bestimmung der Differenz: \(2{,}72 - 2{,}56 = 0{,}16\)

Antwort

a) Der ursprüngliche Notendurchschnitt beträgt \(2{,}72\). b) Der neue Notendurchschnitt ist \(2{,}56\). Er verbessert sich somit um \(0{,}16\).
4115896
In einer Umfrage wurden 25 Kinder gefragt, wie viele Bücher sie im letzten Monat gelesen haben. Die Ergebnisse: - 4 Kinder lasen kein Buch. - 10 Kinder lasen genau 1 Buch. - 6 Kinder lasen genau 2 Bücher. - 5 Kinder lasen genau 3 Bücher. Untersuche rechnerisch, ob der Durchschnitt der gelesenen Bücher pro Kind größer oder kleiner als \(1{,}5\) ist. Begründe dein Ergebnis durch die Berechnung des arithmetischen Mittels.

Denkanstöße

- Kannst du die Informationen aus dem Text zuerst übersichtlich in einer Tabelle ordnen? - Wie viele Bücher wurden insgesamt von allen Kindern zusammen gelesen? - Wie viele Kinder haben an der Umfrage teilgenommen? - Vergleiche dein berechnetes Ergebnis am Ende mit der Zahl aus der Aufgabenstellung.

Lösung

1. Erstellung der Häufigkeitstabelle oder direkte Berechnung der Gesamtsumme der Bücher: - Summe: \(4 \cdot 0 + 10 \cdot 1 + 6 \cdot 2 + 5 \cdot 3 = 0 + 10 + 12 + 15 = 37\) Bücher. 2. Berechnung des arithmetischen Mittels: - Division der Gesamtsumme durch die Anzahl der Kinder: \(37 : 25\) - \(37 : 25 = 1{,}48\) 3. Vergleich mit dem Zielwert: - Da \(1{,}48 < 1{,}5\), liegt der Durchschnitt unter dem Wert von \(1{,}5\).

Antwort

Der Durchschnitt der gelesenen Bücher liegt mit \(1{,}48\) unter dem Wert von \(1{,}5\).
4116186
An einem Sponsorenlauf nehmen zwei Klassen teil. In der Klasse 6A haben \(24\) Kinder teilgenommen und durchschnittlich \(10\,\text{€}\) pro Person gesammelt. In der Klasse 6B haben \(26\) Kinder teilgenommen und im Durchschnitt \(15\,\text{€}\) pro Person gesammelt. Berechne den durchschnittlichen Spendenbetrag pro Kind für alle Teilnehmenden beider Klassen zusammen.

Denkanstöße

- Kann man den Durchschnitt einfach aus \(10\,\text{€}\) und \(15\,\text{€}\) bilden? Warum spielt die Anzahl der Kinder eine Rolle? - Berechne zuerst, wie viel Geld jede Klasse insgesamt gesammelt hat. - Wie viele Kinder haben insgesamt teilgenommen?

Lösung

1. Gesamtbetrag der Klasse 6A berechnen: \(24 \cdot 10\,\text{€} = 240\,\text{€}\). 2. Gesamtbetrag der Klasse 6B berechnen: \(26 \cdot 15\,\text{€} = 390\,\text{€}\). 3. Gesamte Spendensumme beider Klassen berechnen: \(240\,\text{€} + 390\,\text{€} = 630\,\text{€}\). 4. Gesamtzahl der Kinder berechnen: \(24 + 26 = 50\). 5. Gesamtdurchschnitt berechnen: \(\frac{630\,\text{€}}{50} = 12{,}60\,\text{€}\).

Antwort

Der Durchschnittsbetrag pro Kind liegt für beide Klassen zusammen bei \(12{,}60\,\text{€}\).
4116196
Ein Gärtner besitzt drei Regentonnen. In der ersten Tonne befinden sich \(120\,\text{Liter}\) Wasser, in der zweiten \(160\,\text{Liter}\). Er möchte, dass die drei Tonnen im Durchschnitt genau \(150\,\text{Liter}\) enthalten. a) Berechne, wie viele Liter Wasser sich in der dritten Tonne befinden müssen. b) Erkläre ohne neue Rechnung: Wie viel Wasser wäre in jeder Tonne, wenn man den gesamten Inhalt gleichmäßig auf alle drei Tonnen verteilen würde?

Denkanstöße

- Wenn drei Tonnen im Schnitt \(150\,\text{Liter}\) haben sollen, wie viele Liter müssen dann insgesamt in allen drei Tonnen zusammen sein? - Was bedeutet der Begriff „Durchschnitt“ eigentlich, wenn man an das „Gleichmachen“ von Mengen denkt?

Lösung

1. Gesamtmenge für den Ziel-Durchschnitt berechnen: \(3 \cdot 150\,\text{Liter} = 450\,\text{Liter}\). 2. Aktuelle Summe der ersten beiden Tonnen berechnen: \(120\,\text{Liter} + 160\,\text{Liter} = 280\,\text{Liter}\). 3. Fehlende Menge für die dritte Tonne bestimmen: \(450\,\text{Liter} - 280\,\text{Liter} = 170\,\text{Liter}\). 4. Interpretation des Durchschnitts: Der Durchschnittswert von \(150\,\text{Liter}\) gibt genau die Menge an, die in jeder Tonne wäre, wenn der Gesamtinhalt (\(450\,\text{Liter}\)) gleichmäßig auf die Anzahl der Gefäße (\(3\)) verteilt würde. Ergebnis: \(150\,\text{Liter}\).

Antwort

a) In der dritten Tonne müssen \(170\,\text{Liter}\) Wasser sein. b) Es wären in jeder Tonne genau \(150\,\text{Liter}\), da der Durchschnitt genau diesen Wert des gleichmäßigen Ausgleichs beschreibt.
4117626
Lukas liest ein Buch mit insgesamt 123 Seiten. In den ersten 4 Tagen liest er fleißig jeweils genau 15 Seiten pro Tag. Er möchte das Buch nach insgesamt genau einer Woche (7 Tage) beendet haben. Wie viele Seiten muss er in den verbleibenden 3 Tagen durchschnittlich pro Tag lesen, um sein Ziel zu erreichen?

Denkanstöße

- Wie viele Seiten hat Lukas nach den ersten vier Tagen schon geschafft? - Wie viele Seiten fehlen ihm noch, bis er das ganze Buch gelesen hat? - Auf wie viele Tage muss er diese restlichen Seiten nun gleichmäßig verteilen?

Lösung

1. Berechnung der bereits gelesenen Seiten nach 4 Tagen: \(4 \cdot 15 = 60\) Seiten 2. Ermittlung der noch verbleibenden Seiten: \(123 - 60 = 63\) Seiten 3. Bestimmung der Anzahl der restlichen Tage: \(7 - 4 = 3\) Tage 4. Berechnung des benötigten Durchschnitts für die restlichen Tage: \(63 : 3 = 21\) Seiten pro Tag

Antwort

Lukas muss in den verbleibenden 3 Tagen durchschnittlich 21 Seiten pro Tag lesen.
4227166
Berechne das arithmetische Mittel und die jeweiligen vorzeichenbehafteten Abweichungen vom Mittelwert (jeweils Wert minus Mittelwert) für die folgende Zahlenreihe: \(\frac{1}{2}\); \(1{,}2\); \(\frac{4}{5}\); \(1\frac{1}{2}\) und \(0{,}7\).

Denkanstöße

- Wandle am besten alle Brüche in Dezimalzahlen um, bevor du mit der Rechnung beginnst. - Wie viel ist \(\frac{1}{2}\) oder \(\frac{4}{5}\) als Dezimalzahl? - Denk daran, dass der Mittelwert nicht unbedingt eine der Zahlen aus der Liste sein muss.

Lösung

1. Umwandlung aller Zahlen in Dezimalzahlen für eine einfachere Berechnung: \(0{,}5\); \(1{,}2\); \(0{,}8\); \(1{,}5\) und \(0{,}7\). 2. Berechnung der Summe: \(0{,}5 + 1{,}2 + 0{,}8 + 1{,}5 + 0{,}7 = 4{,}7\). 3. Berechnung des arithmetischen Mittels bei \(n = 5\) Werten: \(4{,}7 : 5 = 0{,}94\). 4. Berechnung der Abweichungen: \(0{,}5 - 0{,}94 = -0{,}44\) \(1{,}2 - 0{,}94 = 0{,}26\) \(0{,}8 - 0{,}94 = -0{,}14\) \(1{,}5 - 0{,}94 = 0{,}56\) \(0{,}7 - 0{,}94 = -0{,}24\)

Antwort

Arithmetisches Mittel: \(0{,}94\). Abweichungen: \(-0{,}44\); \(0{,}26\); \(-0{,}14\); \(0{,}56\) und \(-0{,}24\).
4115716
An einer Wetterstation wurden an sechs aufeinanderfolgenden Tagen folgende Temperaturen um 8:00 Uhr gemessen: Montag: \(12\,^\circ\text{C}\), Dienstag: \(14\,^\circ\text{C}\), Mittwoch: \(11\,^\circ\text{C}\), Donnerstag: \(15\,^\circ\text{C}\), Freitag: \(13\,^\circ\text{C}\), Samstag: \(16\,^\circ\text{C}\). Der Wochendurchschnitt (für alle \(7\) Tage) betrug genau \(14\,^\circ\text{C}\). a) Bestimme die Temperatur am Sonntag. b) Angenommen, der Wert vom Montag war eigentlich \(2\,^\circ\text{C}\) zu hoch gemessen und der vom Dienstag \(2\,^\circ\text{C}\) zu niedrig. Erkläre ohne neue Rechnung, ob sich das arithmetische Mittel der Woche dadurch verändert.

Denkanstöße

- Wie hängt der Wochendurchschnitt mit der Summe der Temperaturen aller sieben Tage zusammen? - Was passiert mit der Gesamtsumme, wenn du bei einer Zahl etwas abziehst und bei einer anderen denselben Betrag dazugibst? - Überlege dir eine Begründung, die nur die Summe der Werte betrachtet.

Lösung

1. Ziel-Gesamtsumme für \(7\) Tage berechnen: \(14 \cdot 7 = 98\) 2. Summe der Temperaturen von Montag bis Samstag: \(12 + 14 + 11 + 15 + 13 + 16 = 81\) 3. Temperatur für Sonntag: \(98 - 81 = 17\) 4. Analyse der Korrektur: Die Summe der Änderungen beträgt \(-2 + 2 = 0\). Da die Gesamtsumme der Werte gleich bleibt und die Anzahl der Tage (\(7\)) unverändert ist, bleibt auch das arithmetische Mittel gleich (\(14\,^\circ\text{C}\)).

Antwort

a) Am Sonntag betrug die Temperatur \(17\,^\circ\text{C}\). b) Nein, das arithmetische Mittel verändert sich nicht, da die Gesamtsumme der Werte durch die entgegengesetzten Fehler gleich bleibt.
4115806
Eine Basketballmannschaft besteht aus 5 Spielern. Das arithmetische Mittel ihrer erzielten Punkte in einem Spiel beträgt genau 12. Von vier Spielern sind die Punktzahlen bekannt: 8, 15, 10 und 14. a) Berechne, wie viele Punkte der fünfte Spieler erzielt hat. b) Wie viele Punkte hätte der fünfte Spieler erzielen müssen, damit der Durchschnitt der gesamten Mannschaft auf 15 Punkte steigt, wenn die anderen vier Spieler die gleichen Punktzahlen behalten hätten?

Denkanstöße

- Wenn du den Durchschnitt und die Anzahl der Werte kennst, wie findest du die Summe aller Werte heraus? - Wie viel fehlt von der Summe der bekannten Spieler zur berechneten Gesamtsumme? - Was müsste sich an der Gesamtsumme ändern, damit der Durchschnitt steigt?

Lösung

1. Berechnung der erforderlichen Gesamtsumme für einen Durchschnitt von 12 bei 5 Spielern: \(5 \cdot 12 = 60\) Punkte. 2. Summe der bekannten Punkte: \(8 + 15 + 10 + 14 = 47\) Punkte. 3. Berechnung der Punkte des fünften Spielers: \(60 - 47 = 13\) Punkte. 4. Berechnung der neuen erforderlichen Gesamtsumme für einen Durchschnitt von 15: \(5 \cdot 15 = 75\) Punkte. 5. Berechnung der benötigten Punkte des fünften Spielers für den neuen Durchschnitt: \(75 - 47 = 28\) Punkte.

Antwort

a) Der fünfte Spieler hat 13 Punkte erzielt. b) Er hätte 28 Punkte erzielen müssen.
4115836
In einer Woche wurden mittags folgende Temperaturen (in \(^\circ\text{C}\)) gemessen: \(12, 13, 11, 14, 12, 13\) und \(30\). Der Wert von \(30\,^\circ\text{C}\) entstand vermutlich durch einen Messfehler, da das Thermometer kurzzeitig in der direkten Sonne lag. a) Berechne das arithmetische Mittel aller sieben Messwerte. b) Berechne das arithmetische Mittel nur für die sechs realistischen Werte (ohne die \(30\,^\circ\text{C}\)). c) Welcher der beiden Mittelwerte beschreibt die typische Wetterlage in dieser Woche besser? Begründe deine Entscheidung.

Denkanstöße

- Was passiert mit dem Durchschnitt, wenn eine Zahl viel größer ist als alle anderen? - Vergleiche deine Ergebnisse aus a und b mit den ursprünglichen Zahlen (außer der 30). Welches Ergebnis passt eher in die Reihe? - Überlege, ob ein einzelner extremer Wert das Gesamtbild verfälschen kann.

Lösung

1. Mittelwert aller Werte: Summe \(= 12 + 13 + 11 + 14 + 12 + 13 + 30 = 105\). Mittelwert \(= \frac{105}{7} = 15\,^\circ\text{C}\). 2. Mittelwert ohne Ausreißer: Summe \(= 105 - 30 = 75\). Mittelwert \(= \frac{75}{6} = 12{,}5\,^\circ\text{C}\). 3. Interpretation: Der Wert \(15\,^\circ\text{C}\) ist höher als fast alle Einzelmessungen (außer dem Fehlerwert). Der Wert \(12{,}5\,^\circ\text{C}\) liegt zentral zwischen den typischen Werten (\(11\) bis \(14\)). Daher beschreibt der zweite Mittelwert (\(12{,}5\,^\circ\text{C}\)) die Lage besser, da er nicht durch den Messfehler verzerrt ist.

Antwort

a) Das Mittel aller Werte ist \(15\,^\circ\text{C}\). b) Das Mittel ohne den Fehlerwert ist \(12{,}5\,^\circ\text{C}\). c) Der Wert \(12{,}5\,^\circ\text{C}\) beschreibt das Wetter besser, da der Wert \(30\,^\circ\text{C}\) ein offensichtlicher Ausreißer beziehungsweise Messfehler ist, der den Gesamtdurchschnitt künstlich nach oben zieht.
4115866
Zwei Schulklassen sammeln über fünf Wochen hinweg ihren Papiermüll, um ihn zu recyceln. Die Mengen sind in Kilogramm (\(\text{kg}\)) angegeben: Klasse 6a: \(1{,}2\); \(0{,}8\); \(1{,}5\); \(1{,}1\); \(0{,}9\) Klasse 6b: \(0{,}5\); \(2{,}2\); \(1{,}0\); \(0{,}4\); \(1{,}4\) a) Berechne für beide Klassen die durchschnittliche Müllmenge pro Woche. b) Vergleiche die Ergebnisse. Was fällt dir bei der Verteilung der Mengen auf, wenn du die beiden Klassen betrachtest? Welche Klasse sammelt „gleichmäßiger“?

Denkanstöße

- Berechne zuerst den Mittelwert für beide Gruppen. - Schau dir die kleinsten und größten Werte in jeder Reihe an. - Wie weit liegen die einzelnen Werte vom Durchschnitt entfernt? - Was bedeutet „gleichmäßig“ in Bezug auf die Daten?

Lösung

1. Berechnung für Klasse 6a: Summe \(1{,}2 + 0{,}8 + 1{,}5 + 1{,}1 + 0{,}9 = 5{,}5\,\text{kg}\). Mittelwert \(5{,}5 : 5 = 1{,}1\,\text{kg}\). 2. Berechnung für Klasse 6b: Summe \(0{,}5 + 2{,}2 + 1{,}0 + 0{,}4 + 1{,}4 = 5{,}5\,\text{kg}\). Mittelwert \(5{,}5 : 5 = 1{,}1\,\text{kg}\). 3. Vergleich: Beide Klassen haben denselben Durchschnitt von \(1{,}1\,\text{kg}\). 4. Interpretation der Verteilung: Bei Klasse 6a liegen die Werte nah beieinander (zwischen \(0{,}8\) und \(1{,}5\)). Bei Klasse 6b schwanken die Werte stark (zwischen \(0{,}4\) und \(2{,}2\)). Klasse 6a sammelt gleichmäßiger.

Antwort

a) Beide Klassen haben eine durchschnittliche Müllmenge von \(1{,}1\,\text{kg}\) pro Woche. b) Obwohl der Durchschnitt gleich ist, sammelt Klasse 6a gleichmäßiger, da ihre Werte weniger stark schwanken als die von Klasse 6b.

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