Kostenlose Arbeitsblätter

- Welche Formel hilft dir, den Flächeninhalt eines Trapezes zu berechnen? - Kannst du die Formel so umstellen, dass die gesuchte Größe allein auf einer Seite steht? - Was ergibt der Mittelwert der beiden parallelen Seiten?

1. Verwendung der Formel für den Flächeninhalt eines Trapezes: \(A = \frac{a + c}{2} \cdot h\) 2. Einsetzen der gegebenen Werte: \(48 = \frac{10 + 6}{2} \cdot h\) 3. Berechnen des Mittelwerts der parallelen Seiten: \(\frac{16}{2} = 8\,\text{cm}\) 4. Umstellen der Gleichung nach \(h\): \(48 = 8 \cdot h \implies h = \frac{48}{8}\) 5. Ergebnis: \(h = 6\,\text{cm}\)

Die Höhe des Trapezes beträgt \(6\,\text{cm}\).

- Welche Eigenschaften haben die gegenüberliegenden Seiten eines Parallelogramms? - Wie weit liegen die oberen Punkte vertikal von der Grundseite entfernt? - Erinnerst du dich an die Formel für den Flächeninhalt eines Parallelogramms?

1. Zur Bestimmung von \(D\): In einem Parallelogramm ist die Seite \(CD\) parallel und gleich lang wie \(AB\). Da \(A\) und \(B\) auf der Geraden \(y=1\) liegen und den Abstand \(7 - 2 = 5\) haben, muss \(D\) ebenfalls den Abstand 5 von \(C(8|4)\) auf der Geraden \(y=4\) haben. Somit ist \(D(3|4)\). 2. Bestimmung der Höhe \(h_a\): Die Seite \(AB\) liegt auf der Geraden \(y=1\), die Seite \(CD\) auf der Geraden \(y=4\). Der senkrechte Abstand beträgt \(4 - 1 = 3\) Längeneinheiten. 3. Berechnung des Flächeninhalts: Mit der Grundseite \(g = 5\) und der Höhe \(h = 3\) ergibt sich \(A = g \cdot h = 5 \cdot 3 = 15\) Flächeneinheiten.

a) \(D(3|4)\) b) \(h_a = 3\) Längeneinheiten c) \(A = 15\) Flächeneinheiten

- Wie kannst du den Abstand zwischen zwei Punkten auf einer waagerechten Linie bestimmen? - Was bedeutet „Höhe“ in einem Parallelogramm und wie findest du sie im Gitternetz? - Schau dir die Formel für den Flächeninhalt an: Welche Größen sind für das Ergebnis entscheidend?

1. Die Länge der Grundseite \(a\) (Strecke \(AB\)) ergibt sich aus der Differenz der x-Koordinaten von \(A\) und \(B\): \(7\,\text{cm} - 1\,\text{cm} = 6\,\text{cm}\). 2. Die Höhe \(h_a\) ist der vertikale Abstand zwischen den parallelen Linien \(y = 1\) und \(y = 5\). Die Differenz der y-Koordinaten beträgt: \(5\,\text{cm} - 1\,\text{cm} = 4\,\text{cm}\). 3. Der Flächeninhalt berechnet sich durch \(A = a \cdot h_a = 6\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm} = 24\,\text{cm}^2\). 4. Da der Flächeninhalt eines Parallelogramms nur von der Länge der Grundseite und der zugehörigen Höhe abhängt (\(A = g \cdot h\)), bleibt der Flächeninhalt unverändert, solange beide Werte gleich bleiben.

a) Zeichnung im Koordinatensystem. b) \(a = 6\,\text{cm}\), \(h_a = 4\,\text{cm}\). c) \(A = 24\,\text{cm}^2\). d) Der Flächeninhalt bleibt gleich (\(24\,\text{cm}^2\)), da sich weder die Grundseite noch die Höhe ändern.

- Welche Formel nutzt du, um den Flächeninhalt einer Figur zu bestimmen? - Wenn zwei Figuren den „gleichen Flächeninhalt“ haben, was bedeutet das für ihre Ergebnisse? - Wie kannst du eine fehlende Seite berechnen, wenn du das Ergebnis der Multiplikation schon kennst?

1. Berechnung des Flächeninhalts des Parallelogramms mit der Formel \(A = g \cdot h\): \(A = 12\,\text{cm} \cdot 5\,\text{cm} = 60\,\text{cm}^2\). 2. Da das Rechteck flächengleich ist, gilt für dessen Flächeninhalt ebenfalls \(A = 60\,\text{cm}^2\). 3. Mit der bekannten Seite \(a = 10\,\text{cm}\) und der Formel \(A = a \cdot b\) wird die fehlende Seite \(b\) berechnet: \(b = A : a = 60\,\text{cm}^2 : 10\,\text{cm} = 6\,\text{cm}\).

Die andere Seite des Rechtecks ist \(6\,\text{cm}\) lang.

- Kannst du die Längen der Diagonalen direkt aus den Koordinaten ablesen? - Wie liegen die Diagonalen einer Raute zueinander im Koordinatensystem? - Welche Formel hilft dir, den Flächeninhalt mit Hilfe der Diagonalen zu berechnen? - Überlege, ob du die Raute in zwei oder vier gleiche Dreiecke zerlegen kannst.

1. Identifikation der Diagonalen in der Raute: Die Diagonale \(e\) verläuft horizontal zwischen \(A\) und \(C\), die Diagonale \(f\) vertikal zwischen \(B\) und \(D\). 2. Berechnung der Diagonalenlängen: \(e = 10 - 2 = 8\) Längeneinheiten; \(f = 8 - 2 = 6\) Längeneinheiten. 3. Anwendung der Flächeninhaltsformel für Rauten: \(A = \frac{1}{2} \cdot e \cdot f\). 4. Berechnung des Ergebnisses: \(A = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 6 = 24\) Flächeneinheiten.

Der Flächeninhalt der Raute beträgt \(24\) Flächeneinheiten.

- Welche Maße benötigst du für den Flächeninhalt und welche für den Umfang? - Unterscheide genau zwischen der Seite und der darauf stehenden Höhe. - Schau dir die Ergebnisse an: Sind sie gleich oder verschieden?

1. Berechnung für Parallelogramm A: Flächeninhalt \(A_A = a \cdot h_a = 8\,\text{cm} \cdot 5\,\text{cm} = 40\,\text{cm}^2\). Umfang \(U_A = 2 \cdot (a + b) = 2 \cdot (8\,\text{cm} + 6\,\text{cm}) = 28\,\text{cm}\). 2. Berechnung für Parallelogramm B: Flächeninhalt \(A_B = c \cdot h_c = 10\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm} = 40\,\text{cm}^2\). Umfang \(U_B = 2 \cdot (c + d) = 2 \cdot (10\,\text{cm} + 5\,\text{cm}) = 30\,\text{cm}\). 3. Vergleich: Beide Parallelogramme haben denselben Flächeninhalt von \(40\,\text{cm}^2\), aber unterschiedliche Umfänge (\(28\,\text{cm}\) und \(30\,\text{cm}\)).

a) Parallelogramm A: \(A = 40\,\text{cm}^2\), \(U = 28\,\text{cm}\); Parallelogramm B: \(A = 40\,\text{cm}^2\), \(U = 30\,\text{cm}\). b) Die Flächeninhalte sind gleich, aber die Umfänge sind verschieden.

- Wie hängen der Flächeninhalt, eine Grundseite und die dazugehörige Höhe zusammen? - Welche Formel nutzt du, um den Umfang eines Parallelogramms zu berechnen? - Überlege dir, wie du aus dem Umfang und einer bereits bekannten Seite die fehlende Seite bestimmen kannst. - Kannst du die Informationen Schritt für Schritt nutzen?

1. Berechnung der Grundseite aus dem Flächeninhalt: Da \(A = g \cdot h\), folgt mit \(24 = g \cdot 3\), dass die zugehörige Grundseite \(g = 8\,\text{cm}\) lang ist. Sei dies Seite \(a = 8\,\text{cm}\). 2. Berechnung der zweiten Seite über den Umfang: Mit \(U = 2 \cdot (a + b)\) ergibt sich \(22 = 2 \cdot (8 + b)\). 3. Auflösen nach \(b\): \(11 = 8 + b \implies b = 3\,\text{cm}\). 4. Überprüfung der geometrischen Existenz: Die Höhe zu einer Seite muss immer kleiner oder gleich der benachbarten Seite sein. Hier gilt \(h_a = 3\,\text{cm}\) und \(b = 3\,\text{cm}\) (da \(3 \le 3\), handelt es sich um ein Rechteck). Wäre die gegebene Höhe \(h_b = 3\,\text{cm}\), ergäbe sich analog \(b = 8\,\text{cm}\) und \(a = 3\,\text{cm}\). Die Seitenlängen sind \(8\,\text{cm}\) und \(3\,\text{cm}\).

Die Seitenlängen des Parallelogramms betragen \(8\,\text{cm}\) und \(3\,\text{cm}\).

- Erinnere dich an die Flächenformel für ein Trapez: Die Hälfte der Summe der parallelen Seiten mal die Höhe. - Welche Koordinaten bestimmen die Länge der parallelen Seiten? - Bleibt die Höhe bei der Verschiebung der Punkte gleich?

1. Flächeninhalt Trapez \(ABCD\): Die Grundseite \(a (AB)\) hat die Länge \(9 - 1 = 8\). Die gegenüberliegende parallele Seite \(c (CD)\) hat die Länge \(6 - 4 = 2\). Die Höhe \(h\) ist der vertikale Abstand zwischen \(y=1\) und \(y=4\), also \(h = 3\). \(A = \frac{a+c}{2} \cdot h = \frac{8+2}{2} \cdot 3 = 5 \cdot 3 = 15\) Flächeneinheiten. 2. Flächeninhalt Trapez \(ABC'D'\): Die Grundseite \(a\) bleibt \(8\). Die neue Seite \(c' (C'D')\) hat die Länge \(7 - 3 = 4\). Die Höhe \(h\) bleibt \(3\). \(A' = \frac{8+4}{2} \cdot 3 = 6 \cdot 3 = 18\) Flächeneinheiten. 3. Differenz: \(18 - 15 = 3\) Flächeneinheiten.

a) \(15\) Flächeneinheiten b) \(18\) Flächeneinheiten c) Der Flächeninhalt hat sich um \(3\) Flächeneinheiten vergrößert.

- Überlege, wie man den Abstand zwischen zwei Punkten misst, wenn sie auf einer waagerechten Linie liegen. - Die Höhe steht immer senkrecht auf der Grundseite. - Welche Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks kennst du?

1. Die Grundseite \(AB\) liegt parallel zur x-Achse. Die Länge berechnet sich aus der Differenz der x-Koordinaten: \(7 - 1 = 6\,\text{cm}\). 2. Die Höhe \(h\) ist der vertikale Abstand der Spitze \(C\) zur Grundseite \(AB\). Die Differenz der y-Koordinaten ergibt: \(6 - 2 = 4\,\text{cm}\). 3. Der Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet sich mit der Formel \(A = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h\). 4. Einsetzen der Werte: \(A = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = 12\,\text{cm}^2\).

a) Zeichnung im Koordinatensystem. b) Die Grundseite \(AB\) ist \(6\,\text{cm}\) lang, die Höhe \(h\) beträgt \(4\,\text{cm}\). c) Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt \(12\,\text{cm}^2\).

- Was haben die beiden Dreiecke gemeinsam, wenn du die Seite \(AB\) als Grundseite betrachtest? - Wie lautet die Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks? - Überlege, wie sich die Änderung der Grundseite auf das Ergebnis auswirkt, wenn die Höhe gleich bleibt.

1. Berechnung des Flächeninhalts von Dreieck \(ABC\): \(A_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 12\,\text{cm} \cdot 5\,\text{cm} = 30\,\text{cm}^2\). 2. Berechnung des Flächeninhalts von Dreieck \(ADC\): \(A_{ADC} = \frac{1}{2} \cdot 3\,\text{cm} \cdot 5\,\text{cm} = 7{,}5\,\text{cm}^2\). 3. Bestimmung des Verhältnisses: \(30\,\text{cm}^2 : 7{,}5\,\text{cm}^2 = 4\). 4. Schlussfolgerung: Der Flächeninhalt von \(ADC\) ist ein Viertel (\(\frac{1}{4}\)) des Flächeninhalts von \(ABC\).

Der Flächeninhalt von \(ABC\) beträgt \(30\,\text{cm}^2\), der von \(ADC\) beträgt \(7{,}5\,\text{cm}^2\). Das Dreieck \(ADC\) macht ein Viertel der Gesamtfläche aus.

- Wie lautet die Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks? - Was bedeutet es geometrisch, wenn eine Gerade parallel zu einer anderen verläuft? - Welche Rolle spielt der Abstand zwischen dem Punkt \(C\) und der Grundseite \(c\) für die Berechnung?

1. Berechnung des Flächeninhalts mit der Formel \(A = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h\): \(A = \frac{1}{2} \cdot 10\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm} = 20\,\text{cm}^2\). 2. Analyse der Verschiebung auf einer Parallelen: Da die Gerade parallel zur Grundseite \(c\) verläuft, bleibt der senkrechte Abstand zwischen der Geraden und der Grundseite überall gleich groß. 3. Schlussfolgerung: Da die Grundseite \(c = 10\,\text{cm}\) und die Höhe \(h_c = 4\,\text{cm}\) konstant bleiben, bleibt auch der Flächeninhalt von \(20\,\text{cm}^2\) für alle diese Dreiecke gleich.

a) Der Flächeninhalt beträgt \(20\,\text{cm}^2\). b) Der Schüler hat recht, weil die Höhe \(h_c\) (der Abstand des Punktes \(C\) zur Grundseite) bei der Verschiebung auf einer Parallelen konstant bleibt. Da auch die Grundseite \(c\) gleich bleibt, ist der Flächeninhalt immer derselbe.

- Wie hängen Umfang und die einzelnen Seitenlängen zusammen? - Welche Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks kennst du? - Welche der Seiten musst du als Grundseite wählen, um die gesuchte Höhe zu berechnen?

1. Berechnung der dritten Seite \(c\) über den Umfang: \(c = U - a - b = 32\,\text{cm} - 10\,\text{cm} - 10\,\text{cm} = 12\,\text{cm}\). 2. Berechnung der Höhe \(h_c\) unter Verwendung der Flächeninhaltsformel \(A = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h_c\): \(48 = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot h_c \Rightarrow 48 = 6 \cdot h_c\). 3. Auflösen nach \(h_c\): \(h_c = 48 : 6 = 8\,\text{cm}\).

Die dritte Seite ist \(12\,\text{cm}\) lang und die dazugehörige Höhe beträgt \(8\,\text{cm}\).

- Achte darauf, dass alle Längenangaben in derselben Einheit vorliegen, bevor du rechnest. - Überlege, welche Formel für die Fläche eines Trapezes gilt. - Das Ergebnis soll in Quadratmetern angegeben werden.

1. Umrechnung aller Einheiten in Meter: \(a = 0{,}85\,\text{m}\), \(c = 1{,}15\,\text{m}\), \(h = 0{,}6\,\text{m}\). 2. Anwendung der Formel für den Flächeninhalt eines Trapezes: \(A = \frac{a + c}{2} \cdot h\). 3. Berechnung der Summe der parallelen Seiten: \(0{,}85\,\text{m} + 1{,}15\,\text{m} = 2{,}0\,\text{m}\). 4. Berechnung des Durchschnitts der parallelen Seiten: \(\frac{2{,}0\,\text{m}}{2} = 1{,}0\,\text{m}\). 5. Multiplikation mit der Höhe: \(1{,}0\,\text{m} \cdot 0{,}6\,\text{m} = 0{,}6\,\text{m}^2\).

\(0{,}6\,\text{m}^2\)

- Schreibe dir zuerst die allgemeine Formel für den Flächeninhalt eines Trapezes auf. - Überlege, welcher Teil der Formel sich verändert und was mit dem Rest passiert. - Setze die neuen Werte (wie zum Beispiel das Doppelte oder ein Drittel) in die Formel ein und vergleiche das Ergebnis mit der ursprünglichen Formel.

1. Die Formel für den Flächeninhalt eines Trapezes lautet \(A = \frac{a + c}{2} \cdot h\). 2. Für Teilaufgabe a): Ersetzt man \((a + c)\) durch \(2 \cdot (a + c)\), ergibt sich der neue Flächeninhalt \(A_{neu} = \frac{2 \cdot (a + c)}{2} \cdot h = 2 \cdot \left( \frac{a + c}{2} \cdot h \right) = 2 \cdot A\). Der Flächeninhalt verdoppelt sich also. 3. Für Teilaufgabe b): Ersetzt man \(h\) durch \(3 \cdot h\) und \((a + c)\) durch \(\frac{1}{3} \cdot (a + c)\), ergibt sich \(A_{neu} = \frac{\frac{1}{3} \cdot (a + c)}{2} \cdot (3 \cdot h) = \frac{1}{3} \cdot 3 \cdot \frac{a + c}{2} \cdot h = 1 \cdot A\). Der Flächeninhalt bleibt also unverändert.

a) Der Flächeninhalt verdoppelt sich. b) Der Flächeninhalt bleibt gleich.

- Welche Seiten des Vierecks liegen parallel zueinander? - Wie bestimmt man die Länge einer vertikalen Strecke im Koordinatensystem? - Wie lässt sich der Abstand zwischen zwei vertikalen Linien ablesen? - Erinnere dich an die Flächenformel für ein Trapez.

1. Identifikation der parallelen Seiten: Die Strecken \(AB\) und \(CD\) verlaufen parallel zur y-Achse, da ihre Eckpunkte jeweils denselben x-Wert besitzen. 2. Berechnung der Längen der parallelen Seiten: Die Länge von \(AB\) beträgt \(6 - 1 = 5\) Längeneinheiten. Die Länge von \(CD\) beträgt \(5 - 2 = 3\) Längeneinheiten. 3. Bestimmung der Höhe: Die Höhe \(h\) ist der horizontale Abstand zwischen den parallelen Linien \(x=2\) und \(x=5\). Es gilt \(h = 5 - 2 = 3\) Längeneinheiten. 4. Berechnung des Flächeninhalts: Mit der Formel \(A = \frac{a + c}{2} \cdot h\) ergibt sich \(A = \frac{5 + 3}{2} \cdot 3 = 4 \cdot 3 = 12\) Flächeneinheiten.

Der Flächeninhalt des Trapezes beträgt \(12\) Flächeneinheiten.

- Überprüfe zuerst, ob alle Längenangaben in derselben Einheit vorliegen. - Welche Formeln benötigst du für den Flächeninhalt und den Umfang eines Trapezes? - Kannst du die gegebenen Werte direkt in die Formeln einsetzen?

1. Umrechnung der Höhe in Zentimeter: \(h = 4\,\text{cm}\). 2. Berechnung des Flächeninhalts mit der Formel \(A = \frac{a+c}{2} \cdot h\): \(A = \frac{14\,\text{cm} + 8\,\text{cm}}{2} \cdot 4\,\text{cm} = 11\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm} = 44\,\text{cm}^2\). 3. Berechnung des Umfangs mit der Formel \(U = a + b + c + d\): \(U = 14\,\text{cm} + 5\,\text{cm} + 8\,\text{cm} + 5\,\text{cm} = 32\,\text{cm}\).

\(A = 44\,\text{cm}^2\) \(U = 32\,\text{cm}\)

- Wie lauten die Formeln für den Flächeninhalt von Rechtecken und Parallelogrammen? - Was passiert mit einem Produkt, wenn man einen der Faktoren mit einer Zahl multipliziert? - Überlege dir, wie sich das Ergebnis ändert, wenn gleich zwei Faktoren im Produkt verändert werden.

1. Vergleich der Flächeninhalte: Der Flächeninhalt eines Rechtecks ist \(A_R = g \cdot h\), der eines Parallelogramms ist \(A_P = g \cdot h\). Die Flächeninhalte sind also gleich groß. 2. Verdreifachung der Grundseite: Der neue Flächeninhalt des Parallelogramms ist \(A_{P2} = (3 \cdot g) \cdot h = 3 \cdot (g \cdot h) = 3 \cdot A_R\). Das ursprüngliche Rechteck passt genau 3-mal in das neue Parallelogramm. 3. Skalierung beider Maße: Die neue Grundseite ist \(2 \cdot g\) und die neue Höhe ist \(4 \cdot h\). Der neue Flächeninhalt ist \(A_{P3} = (2 \cdot g) \cdot (4 \cdot h) = 8 \cdot (g \cdot h) = 8 \cdot A_P\). Der Flächeninhalt vergrößert sich um den Faktor 8.

a) Die Flächeninhalte sind gleich groß. b) Das Rechteck passt 3-mal hinein. c) Der Flächeninhalt vergrößert sich um den Faktor 8.

- Was passiert mit der Fläche, wenn du ein Quadrat in ein Koordinatensystem zeichnest und die Seitenlängen vergrößerst? - Überprüfe die Definitionen der Vierecke. Welche Eigenschaft muss ein Viereck haben, um ein Parallelogramm zu sein? - Berechne die Flächeninhalte mit den passenden Formeln und vergleiche die Ergebnisse.

1. Falsch. Der Flächeninhalt eines Quadrats ist \(A = a^2\). Bei Verdoppelung der Seite gilt \(A' = (2 \cdot a)^2 = 4 \cdot a^2\). Der Flächeninhalt vervierfacht sich also. 2. Wahr. Ein Parallelogramm ist definiert als ein Viereck, bei dem die gegenüberliegenden Seiten parallel sind. Da dies bei jedem Rechteck der Fall ist, ist jedes Rechteck ein spezielles Parallelogramm. 3. Wahr. Der Flächeninhalt des Trapezes ist \(A_T = \frac{5 + 3}{2} \cdot 4 = 4 \cdot 4 = 16\,\text{cm}^2\). Der Flächeninhalt des Parallelogramms ist \(A_P = 4 \cdot 4 = 16\,\text{cm}^2\). Die Werte sind identisch.

a) Falsch (Der Flächeninhalt vervierfacht sich). b) Wahr. c) Wahr (Beide haben einen Flächeninhalt von \(16\,\text{cm}^2\)).

- Überlege, ob die Form des Vierecks starr ist oder ob man es „verformen“ kann, ohne die Seitenlängen zu ändern. - Welche Formeln kennst du für den Flächeninhalt von Vierecken mit gleichen Seiten? - Was passiert mit der Höhe eines solchen Vierecks, wenn man es an den Ecken drückt?

1. Bestimmung der Vierecksart: Ein Viereck mit vier gleich langen Seiten ist eine Raute. Ein Quadrat ist ein besonderer Fall der Raute. 2. Analyse der Flächenberechnung: Bei einem Quadrat ist der Flächeninhalt durch die Seitenlänge festgelegt (\(A = a^2\)). Bei einer nicht quadratischen Raute hängt der Flächeninhalt zusätzlich vom Winkel zwischen den Seiten beziehungsweise von der Höhe ab (\(A = a \cdot h\)). 3. Schlussfolgerung: Da nicht bekannt ist, ob die Raute ein Quadrat ist beziehungsweise wie groß ihre Winkel oder ihre Höhe sind, ist der Flächeninhalt nicht eindeutig bestimmt. Verschiedene Höhen führen bei gleicher Seitenlänge zu unterschiedlichen Flächeninhalten.

a) Es handelt sich um eine Raute; ein Quadrat ist ein besonderer Fall der Raute. b) Nein, der Flächeninhalt ist nicht eindeutig bestimmt. Bei einem Quadrat beträgt er \(25\,\text{cm}^2\), eine nicht quadratische Raute kann bei gleicher Seitenlänge je nach Höhe unterschiedliche Flächeninhalte haben. Ohne Angabe eines Winkels oder der Höhe lässt sich der Wert nicht festlegen.

- Wie bestimmst du den Abstand zwischen zwei Punkten, die übereinander liegen? - Welche Formel verbindet Grundseite, Höhe und Flächeninhalt eines Dreiecks? - Wenn die Grundseite senkrecht steht, wie muss dann die Höhe verlaufen? - Überlege dir, wie viele Zentimeter du von der Grundseite nach links oder rechts gehen musst.

1. Berechnung der Grundseite \(PQ\): Da beide Punkte die gleiche x-Koordinate haben, ist die Länge die Differenz der y-Werte: \(g = 7 - 1 = 6\,\text{cm}\). 2. Berechnung der Höhe \(h\) mit der Flächenformel \(A = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h\): \(12 = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot h \Rightarrow 12 = 3 \cdot h \Rightarrow h = 4\,\text{cm}\). 3. Bestimmung der Lage von \(R\): Der Punkt \(R\) muss einen horizontalen Abstand von \(4\,\text{cm}\) zur Geraden durch \(P\) und \(Q\) (\(x = 1\)) haben. 4. Die Geradengleichungen lauten \(x = 1 + 4 = 5\) und \(x = 1 - 4 = -3\). 5. Ein möglicher Punkt \(R\) ist beispielsweise \(R(5|4)\) oder \(R(-3|1)\).

a) Die Grundseite \(PQ\) ist \(6\,\text{cm}\) lang. b) Die Höhe des Dreiecks beträgt \(4\,\text{cm}\). c) Der Punkt \(R\) muss auf der Geraden \(x = 5\) oder auf der Geraden \(x = -3\) liegen. Ein möglicher Punkt ist \(R(5|1)\).

- Welche Formel nutzt du für den Flächeninhalt eines Parallelogramms? - Wie unterscheidet sich die Flächenformel eines Dreiecks von der eines Parallelogramms? - Wenn zwei Flächen gleich groß sind, kannst du ihre Werte gleichsetzen.

1. Berechnung des Flächeninhalts des Parallelogramms: \(A = g \cdot h = 12\,\text{cm} \cdot 5\,\text{cm} = 60\,\text{cm}^2\). 2. Da das Dreieck denselben Flächeninhalt besitzt, gilt für das Dreieck: \(A = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h = 60\,\text{cm}^2\). 3. Einsetzen der Grundseite \(g = 15\,\text{cm}\) in die Formel: \(\frac{1}{2} \cdot 15\,\text{cm} \cdot h = 60\,\text{cm}^2\). 4. Umformen der Gleichung: \(7{,}5\,\text{cm} \cdot h = 60\,\text{cm}^2\). 5. Berechnung der Höhe: \(h = 60\,\text{cm}^2 : 7{,}5\,\text{cm} = 8\,\text{cm}\).

Die zugehörige Höhe des Dreiecks beträgt \(8\,\text{cm}\).

- Achte darauf, alle Längenangaben in dieselbe Einheit umzurechnen, bevor du rechnest. - Überlege, welche Formel für welche Figur gilt. - Was ist der Unterschied zwischen der Flächenformel eines Dreiecks und eines Parallelogramms?

1. Umrechnung der Einheiten für das Dreieck: \(g = 1{,}2\,\text{m} = 120\,\text{cm}\). 2. Berechnung des Flächeninhalts des Dreiecks: \(A_{\text{Dreieck}} = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 120\,\text{cm} \cdot 40\,\text{cm} = 2400\,\text{cm}^2\). 3. Umrechnung der Einheiten für das Parallelogramm: \(g = 5\,\text{dm} = 50\,\text{cm}\). 4. Berechnung des Flächeninhalts des Parallelogramms: \(A_{\text{Parallelogramm}} = g \cdot h = 50\,\text{cm} \cdot 50\,\text{cm} = 2500\,\text{cm}^2\). 5. Vergleich der Ergebnisse: Das Parallelogramm ist größer. Differenz: \(2500\,\text{cm}^2 - 2400\,\text{cm}^2 = 100\,\text{cm}^2\).

Das Parallelogramm hat einen größeren Flächeninhalt. Der Unterschied beträgt \(100\,\text{cm}^2\).

- Wie hängen die gegenüberliegenden Seiten in einem Parallelogramm zusammen? - Welche Maße eines Parallelogramms benötigst du, um seinen Flächeninhalt zu berechnen? - Was bedeutet es für die Form eines Vierecks, wenn es ein Rechteck ist und dieselbe Grundseite wie das Parallelogramm hat? - Vergleiche die Formeln für den Flächeninhalt von Rechteck und Parallelogramm.

1. Bestimmung von \(C\): Da \(ABCD\) ein Parallelogramm ist, ist die Verschiebung von \(A\) nach \(D\) identisch mit der von \(B\) nach \(C\). \(D\) liegt gegenüber \(A\) um \(3-1=2\) Einheiten rechts und \(5-1=4\) Einheiten oben. Somit hat \(C\) die Koordinaten \(C(10|5)\). 2. Berechnung des Flächeninhalts: Die Grundseite \(g\) ist die Strecke \(AB\). \(g = 8 - 1 = 7\) Längeneinheiten. Die Höhe \(h\) ist die Differenz der y-Koordinaten von \(D\) und \(A\), also \(h = 5 - 1 = 4\) Längeneinheiten. Der Flächeninhalt beträgt \(A = g \cdot h = 7 \cdot 4 = 28\) Flächeneinheiten. 3. Koordinaten des Rechtecks \(ABC'D'\): Das Rechteck nutzt die Grundseite \(AB\) auf der Geraden \(y=1\). Da es denselben Flächeninhalt und dieselbe Grundseite hat, muss es auch dieselbe Höhe \(h=4\) besitzen. Die neuen Punkte liegen senkrecht über \(A\) und \(B\) auf der Höhe \(y=5\). Somit ist \(D'(1|5)\) und \(C'(8|5)\).

a) \(C(10|5)\), Flächeninhalt \(A = 28\) Flächeneinheiten. b) \(C'(8|5)\) und \(D'(1|5)\).

- Welche Formeln kennst du für den Flächeninhalt von Parallelogrammen und Dreiecken? - Schau dir die beiden Formeln genau an – was fällt dir im Vergleich auf? - Wie oft passt das Dreieck flächenmäßig in das Parallelogramm, wenn die Grundseite und Höhe gleich sind?

1. Berechnung des Flächeninhalts des Parallelogramms mit der Formel \(A_P = g \cdot h\): \(8\,\text{cm} \cdot 4{,}5\,\text{cm} = 36\,\text{cm}^2\). 2. Berechnung des Flächeninhalts des Dreiecks mit der Formel \(A_D = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h\): \(\frac{1}{2} \cdot 8\,\text{cm} \cdot 4{,}5\,\text{cm} = 18\,\text{cm}^2\). 3. Vergleich der Ergebnisse: Der Flächeninhalt des Dreiecks ist genau halb so groß wie der des Parallelogramms (\(18\,\text{cm}^2 : 36\,\text{cm}^2 = 1 : 2\)).

Das Parallelogramm hat einen Flächeninhalt von \(36\,\text{cm}^2\), das Dreieck einen Flächeninhalt von \(18\,\text{cm}^2\). Der Flächeninhalt des Dreiecks ist halb so groß wie der des Parallelogramms.

- Wie berechnet man den Flächeninhalt eines Parallelogramms? - Welche Größen müssen im zweiten Teil gleich bleiben? - Wie kannst du die Formel umstellen, um eine fehlende Seite oder Höhe zu finden?

1. Berechnung des Flächeninhalts des ersten Parallelogramms durch Multiplikation von Grundseite und Höhe: \(8\,\text{cm} \cdot 4{,}5\,\text{cm} = 36\,\text{cm}^2\). 2. Bestimmung der gesuchten Höhe des zweiten Parallelogramms durch Division des bekannten Flächeninhalts durch die neue Grundseite: \(36\,\text{cm}^2 : 12\,\text{cm} = 3\,\text{cm}\).

a) \(36\,\text{cm}^2\) b) \(3\,\text{cm}\)

- Achte darauf, dass alle Längenangaben in derselben Einheit vorliegen, bevor du rechnest. - Erinnere dich an die Formel für den Flächeninhalt eines Trapezes. - Welche Größe wird mit \(\frac{a+c}{2}\) berechnet, bevor mit der Höhe multipliziert wird?

1. Berechnung für Teil a): Summe der parallelen Seiten bilden: \(4{,}5\,\text{cm} + 7{,}5\,\text{cm} = 12\,\text{cm}\). Diese Summe halbieren und mit der Höhe multiplizieren: \(A = \frac{1}{2} \cdot 12\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm} = 24\,\text{cm}^2\). 2. Berechnung für Teil b): Einheit der Höhe umrechnen: \(60\,\text{cm} = 0{,}6\,\text{m}\). Summe der parallelen Seiten bilden: \(1{,}2\,\text{m} + 0{,}8\,\text{m} = 2\,\text{m}\). Flächeninhalt berechnen: \(A = \frac{1}{2} \cdot 2\,\text{m} \cdot 0{,}6\,\text{m} = 0{,}6\,\text{m}^2\).

a) \(A = 24\,\text{cm}^2\) b) \(A = 0{,}6\,\text{m}^2\)

- Überlege zuerst, welche Formel für den Flächeninhalt der jeweiligen Figur gilt. - Wenn zwei Figuren den gleichen Flächeninhalt haben, kannst du das Ergebnis aus dem ersten Schritt für die anderen Rechnungen verwenden. - Bei Teilaufgabe b) und c) musst du die Formel so umstellen oder rückwärts rechnen, dass du die gesuchte Größe findest.

1. Berechnung des Flächeninhalts des Parallelogramms: \(A = g \cdot h = 10\,\text{cm} \cdot 6\,\text{cm} = 60\,\text{cm}^2\). 2. Berechnung der Dreieckshöhe: Aus \(A = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h\) folgt \(60\,\text{cm}^2 = \frac{1}{2} \cdot 12\,\text{cm} \cdot h\), also \(60 = 6 \cdot h\), woraus \(h = 10\,\text{cm}\) resultiert. 3. Berechnung der Seitensumme des Trapezes: Aus \(A = \frac{a+c}{2} \cdot h\) folgt \(60\,\text{cm}^2 = \frac{a+c}{2} \cdot 5\,\text{cm}\). Multiplikation mit 2 ergibt \(120 = (a+c) \cdot 5\), Division durch 5 ergibt \(a+c = 24\,\text{cm}\).

a) Der Flächeninhalt beträgt \(60\,\text{cm}^2\). b) Die Höhe des Dreiecks muss \(10\,\text{cm}\) sein. c) Die Summe der Seiten \(a\) und \(c\) muss \(24\,\text{cm}\) betragen.

- Welche Seite kannst du direkt mit dem Flächeninhalt und der gegebenen Höhe berechnen? - Erinnere dich an die Formel für den Umfang eines Parallelogramms. - Wenn du eine Seite kennst, wie viel bleibt dann vom Umfang für die anderen Seiten übrig?

1. Berechnung der Seite \(a\): Aus der Flächenformel \(A = a \cdot h_a\) folgt \(48 = a \cdot 6\). Division durch \(6\) ergibt \(a = 8\,\text{cm}\). 2. Berechnung der Seite \(b\): Die Umfangsformel lautet \(U = 2 \cdot a + 2 \cdot b\). Einsetzen der Werte ergibt \(40 = 2 \cdot 8 + 2 \cdot b\), also \(40 = 16 + 2 \cdot b\). Subtraktion von \(16\) ergibt \(24 = 2 \cdot b\). Division durch \(2\) ergibt \(b = 12\,\text{cm}\).

Die Seitenlängen sind \(a = 8\,\text{cm}\) und \(b = 12\,\text{cm}\).

- Kennst du eine Formel, die den Flächeninhalt mit den parallelen Seiten und der Höhe verbindet? - Es könnte helfen, zuerst die mittlere Länge (den Durchschnitt) der beiden parallelen Seiten zu bestimmen. - Wie hängen die Mittellinie, die Höhe und der Flächeninhalt zusammen? - Überlege, welche Rechenoperation die Umkehrung zur Multiplikation ist.

1. Berechnung der Mittellinie \(m\): \(m = \frac{a + c}{2} = \frac{11\,\text{cm} + 7\,\text{cm}}{2} = 9\,\text{cm}\). 2. Anwendung der Flächenformel \(A = m \cdot h\) zur Bestimmung der Höhe: \(45\,\text{cm}^2 = 9\,\text{cm} \cdot h\). 3. Auflösen nach \(h\): \(h = 45\,\text{cm}^2 : 9\,\text{cm} = 5\,\text{cm}\).

Die Höhe \(h\) des Trapezes beträgt \(5\,\text{cm}\).

- Welche Formel verbindet die Mittellinie mit den beiden parallelen Seiten? - Wie hängen der Flächeninhalt, die Mittellinie und die Höhe zusammen? - Überprüfe vor dem Rechnen, ob alle Längenangaben in derselben Einheit vorliegen. - Wie kannst du eine Formel umstellen, wenn das Ergebnis und ein Faktor bekannt sind, der andere Faktor aber fehlt?

1. Berechnung für Trapez a: Die Mittellinie \(m\) ergibt sich aus dem Mittelwert der parallelen Seiten \(a\) und \(c\): \(m = \frac{12\,\text{cm} + 18\,\text{cm}}{2} = 15\,\text{cm}\). Der Flächeninhalt \(A\) berechnet sich durch \(A = m \cdot h = 15\,\text{cm} \cdot 5\,\text{cm} = 75\,\text{cm}^2\). 2. Berechnung für Trapez b: Zuerst wird die Höhe in die Ziel-Einheit Dezimeter umgerechnet: \(h = 40\,\text{cm} = 4\,\text{dm}\). Dann folgt der Flächeninhalt: \(A = m \cdot h = 7\,\text{dm} \cdot 4\,\text{dm} = 28\,\text{dm}^2\). 3. Berechnung für Trapez c: Die Höhe \(h\) wird durch Umstellen der Flächenformel \(A = m \cdot h\) ermittelt: \(h = \frac{A}{m} = \frac{100\,\text{cm}^2}{20\,\text{cm}} = 5\,\text{cm}\).

a) \(m = 15\,\text{cm}\), \(A = 75\,\text{cm}^2\) b) \(A = 28\,\text{dm}^2\) c) \(h = 5\,\text{cm}\)

- Welche Seiten des Vierecks liegen parallel zueinander? - Wie kannst du die Länge einer waagerechten Strecke mithilfe der \(x\)-Koordinaten bestimmen? - Wie lässt sich der senkrechte Abstand zwischen den parallelen Seiten aus den \(y\)-Koordinaten ablesen?

1. Bestimmung der Längen der parallelen Seiten: Da die \(y\)-Koordinaten von \(A\) und \(B\) gleich sind, liegt die Seite \(a\) horizontal mit der Länge \(10 - 2 = 8\). Da die \(y\)-Koordinaten von \(C\) und \(D\) gleich sind, liegt die Seite \(c\) horizontal mit der Länge \(7 - 4 = 3\). 2. Bestimmung der Höhe \(h\): Die Höhe entspricht dem vertikalen Abstand der parallelen Linien, also der Differenz der \(y\)-Werte: \(h = 5 - 1 = 4\). 3. Berechnung des Flächeninhalts: Anwendung der Formel \(A = \frac{a+c}{2} \cdot h\) ergibt \(A = \frac{8+3}{2} \cdot 4 = \frac{11}{2} \cdot 4 = 5{,}5 \cdot 4 = 22\,\text{FE}\).

Der Flächeninhalt des Trapezes beträgt \(22\,\text{FE}\).

- Welche Formel nutzt du, um den Flächeninhalt eines Trapezes zu berechnen? - Überlege, wie du die Formel umstellen kannst, um die Summe der parallelen Seiten zu isolieren. - Was muss für die Seiten \(a\) und \(c\) gelten, damit die Figur ein Trapez, aber kein Parallelogramm ist?

1. Anwendung der Flächenformel des Trapezes: \(A = \frac{a + c}{2} \cdot h\) 2. Einsetzen der bekannten Werte: \(24 = \frac{a + c}{2} \cdot 4\) 3. Vereinfachen der Gleichung: \(24 = (a + c) \cdot 2\) 4. Division durch \(2\), um die Summe zu erhalten: \(a + c = 12\,\text{cm}\) 5. Bestimmung möglicher Wertepaare für \(a\) und \(c\), deren Summe \(12\) ergibt und die ungleich sind: z. B. \(a = 7\,\text{cm}, c = 5\,\text{cm}\) oder \(a = 8\,\text{cm}, c = 4\,\text{cm}\)

a) Die Summe der parallelen Seiten \(a + c\) beträgt \(12\,\text{cm}\). b) Mögliche Längen sind zum Beispiel: \(a = 7\,\text{cm}\) und \(c = 5\,\text{cm}\) oder \(a = 8\,\text{cm}\) und \(c = 4\,\text{cm}\).

- Vergleiche die Flächenformel eines Parallelogramms mit der eines Dreiecks. - Was passiert mit dem Flächeninhalt eines Dreiecks, wenn man die Höhe bei gleichbleibender Grundseite verdoppelt? - In welchem vertikalen Abstand zur Grundseite muss die Spitze des Dreiecks liegen?

1. Flächeninhalt Parallelogramm: Grundseite \(g = 6 - 1 = 5\). Höhe \(h = 6 - 2 = 4\). \(A_{Par} = 5 \cdot 4 = 20\) Flächeneinheiten. 2. Flächeninhalt Dreieck: Die Formel lautet \(A_{Dreieck} = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h_D\). 3. Gleichsetzung: Damit \(A_{Dreieck} = A_{Par}\) gilt, muss \(\frac{1}{2} \cdot 5 \cdot h_D = 20\) sein. 4. Berechnung der Dreieckshöhe: \(2{,}5 \cdot h_D = 20 \Rightarrow h_D = 8\). 5. Position von \(T\): Da die Grundseite auf \(y=2\) liegt, muss \(T\) auf einer Geraden parallel zur Grundseite im Abstand 8 liegen, also bei \(y = 2 + 8 = 10\) (oder \(y = 2 - 8 = -6\)).

a) \(A = 20\) Flächeneinheiten b) Der Punkt \(T\) muss auf der Geraden \(y=10\) (oder \(y=-6\)) liegen. Begründung: Da die Dreiecksfläche den Faktor \(\frac{1}{2}\) in der Formel hat, muss die Höhe des Dreiecks doppelt so groß sein wie die des Parallelogramms (\(h_D = 8\)), um den gleichen Flächeninhalt zu erzielen.

- Welche Seite bietet sich hier als Grundseite an, weil sie genau auf einer Gitterlinie liegt? - Wie bestimmst du die Höhe, wenn die Grundseite senkrecht verläuft? - Vergleiche die Längen der Grundseiten und die Abstände der gegenüberliegenden Seiten bei beiden Figuren.

1. Die Grundseite \(g\) (Strecke \(AB\)) liegt auf einer vertikalen Linie (\(x = 2\)). Ihre Länge ist die Differenz der y-Koordinaten: \(8\,\text{cm} - 2\,\text{cm} = 6\,\text{cm}\). 2. Die zugehörige Höhe \(h\) ist der horizontale Abstand zwischen den Linien \(x = 2\) und \(x = 6\). Dieser beträgt: \(6\,\text{cm} - 2\,\text{cm} = 4\,\text{cm}\). 3. Der Flächeninhalt ist \(A = g \cdot h = 6\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm} = 24\,\text{cm}^2\). 4. Für das zweite Parallelogramm \(ABEF\) ist die Grundseite \(AB\) identisch (\(6\,\text{cm}\)). Der horizontale Abstand der gegenüberliegenden Seite \(EF\) zur Grundseite (die Höhe) ist ebenfalls \(4\,\text{cm}\) (Differenz der x-Koordinaten von \(2\) und \(6\)). Da Grundseite und Höhe gleich sind, ist auch der Flächeninhalt gleich (\(24\,\text{cm}^2\)).

a) \(A = 24\,\text{cm}^2\). b) Der Flächeninhalt ist gleich (\(24\,\text{cm}^2\)), da die Grundseite \(AB\) und die Höhe (horizontaler Abstand zur gegenüberliegenden Seite) bei beiden Parallelogrammen identisch sind.

- Eine Raute ist ein besonderes Parallelogramm. Welche Formel für Parallelogramme kennst du? - Es gibt zwei verschiedene Wege, den Flächeninhalt einer Raute zu berechnen. Kannst du beide nennen? - Wenn du den Flächeninhalt bereits kennst, wie kannst du die Formel umstellen, um eine fehlende Länge zu finden?

1. Berechnung des Flächeninhalts mit der Parallelogramm-Formel: \(A = a \cdot h_a = 10\,\text{cm} \cdot 9{,}6\,\text{cm} = 96\,\text{cm}^2\). 2. Nutzung der Diagonalen-Formel für den Flächeninhalt: \(A = \frac{1}{2} \cdot e \cdot f\). 3. Einsetzen der bekannten Werte: \(96 = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot f\). 4. Umformen der Gleichung: \(96 = 6 \cdot f\). 5. Berechnung von \(f\): \(f = 96 : 6 = 16\,\text{cm}\).

a) Der Flächeninhalt beträgt \(96\,\text{cm}^2\). b) Die zweite Diagonale \(f\) ist \(16\,\text{cm}\) lang.

- Wie hängen Grundseite, Höhe und Flächeninhalt zusammen? - Kannst du die Flächenformel so umstellen, dass du die Höhe berechnen kannst? - Vergleiche die Seite \(a\) mit ihrer Höhe \(h_a\) und die Seite \(b\) mit ihrer Höhe \(h_b\).

1. Berechnung von \(h_a\): Aus \(A = a \cdot h_a\) folgt \(h_a = A : a = 48\,\text{cm}^2 : 8\,\text{cm} = 6\,\text{cm}\). 2. Berechnung von \(h_b\): Aus \(A = b \cdot h_b\) folgt \(h_b = A : b = 48\,\text{cm}^2 : 6\,\text{cm} = 8\,\text{cm}\). 3. Begründung: Da das Produkt aus Seite und Höhe immer den konstanten Flächeninhalt ergeben muss (\(8 \cdot 6 = 48\) und \(6 \cdot 8 = 48\)), gehört zur längeren Seite die kürzere Höhe und zur kürzeren Seite die längere Höhe.

a) \(h_a = 6\,\text{cm}\) und \(h_b = 8\,\text{cm}\). b) Je länger die Seite ist, desto kürzer ist die dazugehörige Höhe.

- Ein Parallelogramm hat zwei verschiedene Höhen. Der Flächeninhalt bleibt aber immer gleich, egal welche Seite du als Grundseite wählst. - Welche Maße brauchst du für den Flächeninhalt? - Wenn du den Flächeninhalt bereits kennst, wie kannst du dann eine fehlende Höhe berechnen? - Erinnere dich an die Formel für den Umfang einer Figur mit vier Seiten, bei der die gegenüberliegenden Seiten gleich lang sind.

1. Berechnung des Flächeninhalts: \(A = a \cdot h_a = 12\,\text{cm} \cdot 6\,\text{cm} = 72\,\text{cm}^2\). 2. Berechnung der zweiten Höhe: Da der Flächeninhalt auch über \(A = b \cdot h_b\) berechnet werden kann, gilt \(72 = 8 \cdot h_b\). Daraus folgt \(h_b = 72 : 8 = 9\,\text{cm}\). 3. Berechnung des Umfangs: \(U = 2 \cdot (a + b) = 2 \cdot (12\,\text{cm} + 8\,\text{cm}) = 2 \cdot 20\,\text{cm} = 40\,\text{cm}\).

a) Der Flächeninhalt beträgt \(72\,\text{cm}^2\). b) Die Höhe \(h_b\) beträgt \(9\,\text{cm}\). c) Der Umfang beträgt \(40\,\text{cm}\).

- Wie berechnet man die Länge einer waagerechten Strecke im Koordinatensystem? - Erinnere dich an die Formeln für den Flächeninhalt von Parallelogrammen und Dreiecken. - Wie bestimmt man die Höhe einer Figur, wenn die Grundseite waagerecht liegt? - Schau dir die y-Koordinaten der Punkte genau an, um die Abstände zu finden.

1. Berechnung des Flächeninhalts des Parallelogramms \(ABCD\): Die Grundseite \(AB\) liegt auf der Geraden \(y=2\) und hat die Länge \(10 - 2 = 8\) Längeneinheiten. Die Höhe \(h\) ist die vertikale Differenz der y-Koordinaten zwischen der Grundseite (\(y=2\)) und der gegenüberliegenden Seite (\(y=5\)), also \(h = 5 - 2 = 3\). Der Flächeninhalt beträgt \(A_{Para} = g \cdot h = 8 \cdot 3 = 24\) Flächeneinheiten. 2. Berechnung des Flächeninhalts des Dreiecks \(ABE\): Die Grundseite \(AB\) ist identisch mit der des Parallelogramms und hat die Länge \(8\). Die Höhe \(h_{tri}\) ist der vertikale Abstand von Punkt \(E(6|8)\) zur Grundseite (\(y=2\)), also \(h_{tri} = 8 - 2 = 6\). Der Flächeninhalt beträgt \(A_{Dreieck} = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h_{tri} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 6 = 24\) Flächeneinheiten. 3. Vergleich: Beide Flächeninhalte sind mit \(24\) FE gleich groß. Da die Höhe des Dreiecks (\(6\)) genau doppelt so groß ist wie die Höhe des Parallelogramms (\(3\)) und beide die gleiche Grundseite haben, gleicht der Faktor \(\frac{1}{2}\) in der Dreiecksformel den Unterschied aus.

a) \(24\) Flächeneinheiten b) \(24\) Flächeneinheiten c) Die Flächeninhalte sind gleich groß. Die Höhe des Dreiecks ist doppelt so groß wie die des Parallelogramms, was durch den Faktor \(\frac{1}{2}\) in der Dreiecksformel kompensiert wird.

- Notiere dir zuerst die Flächenformeln für beide Figuren. - Setze die bekannten Werte für die Fläche und die Grundseite in die Formeln ein. - Was bewirkt der Faktor \(\frac{1}{2}\) in der Dreiecksformel für die benötigte Höhe?

1. Berechnung der Höhe des Parallelogramms: \(h_P = 24\,\text{cm}^2 : 8\,\text{cm} = 3\,\text{cm}\). 2. Berechnung der Höhe des Dreiecks: \(h_D = 24\,\text{cm}^2 : (\frac{1}{2} \cdot 8\,\text{cm}) = 24\,\text{cm}^2 : 4\,\text{cm} = 6\,\text{cm}\). 3. Vergleich der Formeln: \(A_{Para} = g \cdot h_P\) und \(A_{Drei} = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h_D\). 4. Da im Dreieck nur die halbe Fläche des Produkts aus Grundseite und Höhe berechnet wird, muss die Höhe des Dreiecks doppelt so groß sein wie die des Parallelogramms, um denselben Flächeninhalt zu erzielen (\(h_D = 2 \cdot h_P\)).

Die Höhe des Parallelogramms beträgt \(3\,\text{cm}\), die des Dreiecks \(6\,\text{cm}\). Die Höhe des Dreiecks ist doppelt so groß, da die Dreiecksformel den Faktor \(\frac{1}{2}\) enthält, der ausgeglichen werden muss.

- Berechne zuerst den Flächeninhalt, den beide Dreiecke gemeinsam haben. - Wie lang ist die Grundseite des zweiten Dreiecks? - Nutze die Flächenformel für das zweite Dreieck, um die fehlende Höhe zu finden. - Vergleiche die Maße der beiden Dreiecke direkt miteinander.

1. Berechnung des Flächeninhalts des ersten Dreiecks: \(A = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 10\,\text{cm} \cdot 6\,\text{cm} = 30\,\text{cm}^2\) 2. Da beide Dreiecke flächengleich sind, gilt für das zweite Dreieck ebenfalls \(A = 30\,\text{cm}^2\) 3. Bestimmung der Grundseite des zweiten Dreiecks: \(g_2 = 10\,\text{cm} : 2 = 5\,\text{cm}\) 4. Berechnung der Höhe des zweiten Dreiecks: \(30\,\text{cm}^2 = \frac{1}{2} \cdot 5\,\text{cm} \cdot h_2\), daraus folgt \(30 = 2{,}5 \cdot h_2\), also \(h_2 = 30 : 2{,}5 = 12\,\text{cm}\) 5. Analyse der Proportionalität: Wenn die Grundseite bei konstantem Flächeninhalt halbiert wird, muss sich die Höhe verdoppeln, um das Produkt \(g \cdot h\) konstant zu halten.

a) Der Flächeninhalt beträgt \(30\,\text{cm}^2\). b) Die Höhe des zweiten Dreiecks beträgt \(12\,\text{cm}\). c) Die Höhe muss sich verdoppeln, damit der Flächeninhalt gleich bleibt.

- Berechne zuerst, wie groß der Flächeninhalt des dreieckigen Beets ist. - Erinnere dich an den Unterschied zwischen der Flächenformel für Dreiecke und der für Parallelogramme. - Wenn die Grundseiten gleich lang sind, wie müssen sich dann die Höhen unterscheiden, damit die Flächen gleich groß sind?

1. Berechnung des Flächeninhalts des Dreiecks: \(A_{Dreieck} = \frac{1}{2} \cdot 12\,\text{m} \cdot 5\,\text{m} = 30\,\text{m}^2\). 2. Aufstellen der Gleichung für das Parallelogramm (\(A = g \cdot h\)): \(30\,\text{m}^2 = 12\,\text{m} \cdot h_{Para}\). 3. Berechnung der Höhe des Parallelogramms: \(h_{Para} = 30\,\text{m}^2 : 12\,\text{m} = 2{,}5\,\text{m}\).

Die Höhe des Parallelogramms beträgt \(2{,}5\,\text{m}\).

- Achte darauf, alle Längenangaben zuerst in dieselbe Einheit umzurechnen. - Wenn zwei Figuren den gleichen Flächeninhalt haben, was bedeutet das für deine Gleichung? - Kannst du den Flächeninhalt zuerst mit den vollständig bekannten Werten berechnen?

1. Umrechnung aller Maße in die Einheit Dezimeter: \(a = 12\,\text{dm}\), \(h_a = 8\,\text{dm}\), \(b = 15\,\text{dm}\). 2. Berechnung des Flächeninhalts des ersten Segels: \(A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a = \frac{1}{2} \cdot 12\,\text{dm} \cdot 8\,\text{dm} = 48\,\text{dm}^2\). 3. Da die Flächeninhalte gleich sind, gilt für das zweite Segel: \(48\,\text{dm}^2 = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h_b = \frac{1}{2} \cdot 15\,\text{dm} \cdot h_b\). 4. Auflösen nach \(h_b\): \(48 = 7{,}5 \cdot h_b \Rightarrow h_b = 48 : 7{,}5 = 6{,}4\,\text{dm}\).

Die Höhe \(h_b\) des zweiten Segels beträgt \(6{,}4\,\text{dm}\).

- Setze die bekannten Werte in die Flächenformel ein und löse die Gleichung nach der gesuchten Größe auf. - Schau dir die Struktur der Formel genau an: Was passiert mit dem Gesamtergebnis, wenn du eine der Zahlen in der Multiplikation veränderst?

1. Teil a: Einsetzen der bekannten Werte in die Formel \(A = \frac{a + c}{2} \cdot h\). 2. Berechnung des Mittelwerts der parallelen Seiten: \(\frac{7\,\text{m} + 5\,\text{m}}{2} = \frac{12\,\text{m}}{2} = 6\,\text{m}\). 3. Aufstellen der Gleichung: \(24\,\text{m}^2 = 6\,\text{m} \cdot h\). 4. Auflösen nach \(h\): \(h = 24 : 6 = 4\,\text{m}\). 5. Teil b: In der Formel \(A = \frac{a+c}{2} \cdot h\) ist die Höhe ein direkter Faktor. Wird \(h\) mit \(2\) multipliziert, verdoppelt sich das gesamte Produkt. Die Aussage ist also wahr.

a) \(h = 4\,\text{m}\) b) Ja, sie hat recht. Da die Höhe ein Faktor in der Formel ist, führt eine Verdopplung von \(h\) auch zu einer Verdopplung des Flächeninhalts.

- Überlege genau, welche Maße bei einem Trapez für die Fläche wichtig sind und welche nur zur Ablenkung dienen. - Was bedeutet „senkrechte Höhe“ im Gegensatz zu den „schrägen Seiten“? - Berechne für den letzten Teil einfach die Fläche mit dem neuen Maß und vergleiche sie mit dem ersten Ergebnis.

1. Teil a: Für den Flächeninhalt eines Trapezes werden nur die beiden parallelen Seiten (Krone und Sohle) sowie die senkrechte Höhe benötigt. Die Längen der schrägen Seiten sind für den Flächeninhalt irrelevant. 2. Teil b: Anwendung der Formel mit \(a = 3\,\text{m}\), \(c = 9{,}5\,\text{m}\) und \(h = 4\,\text{m}\). 3. Berechnung: \(A = \frac{3 + 9{,}5}{2} \cdot 4 = \frac{12{,}5}{2} \cdot 4 = 6{,}25 \cdot 4 = 25\,\text{m}^2\). 4. Teil c: Neue untere Breite \(c_{neu} = 9{,}5\,\text{m} + 1\,\text{m} = 10{,}5\,\text{m}\). 5. Neue Berechnung: \(A_{neu} = \frac{3 + 10{,}5}{2} \cdot 4 = \frac{13{,}5}{2} \cdot 4 = 6{,}75 \cdot 4 = 27\,\text{m}^2\). 6. Differenz bestimmen: \(27\,\text{m}^2 - 25\,\text{m}^2 = 2\,\text{m}^2\). Die Fläche vergrößert sich um \(2\,\text{m}^2\).

a) Obere Breite, untere Breite und Höhe. b) \(25\,\text{m}^2\) c) Die Fläche vergrößert sich um \(2\,\text{m}^2\).

- Schau dir an, welcher Teil der Formel für die Berechnung des Inhalts verantwortlich ist. - Was passiert mit der Summe der beiden parallelen Seiten, wenn man zu der einen etwas addiert und von der anderen denselben Betrag abzieht? - Probiere es einfach mal mit festen Zahlen aus, um zu sehen, was passiert.

1. Die Flächeninhaltsformel ist \(A = \frac{a + c}{2} \cdot h\). Der Flächeninhalt hängt von der Summe \((a + c)\) ab. 2. Berechnung der neuen Summe: \((a + 2) + (c - 2) = a + c + 2 - 2 = a + c\). Die Summe der parallelen Seiten bleibt also gleich. 3. Da sich weder die Summe \((a + c)\) noch die Höhe \(h\) ändert, bleibt der Flächeninhalt konstant. 4. Beispiel: Sei \(a = 6\,\text{cm}\), \(c = 4\,\text{cm}\) und \(h = 5\,\text{cm}\). Dann ist \(A = \frac{6 + 4}{2} \cdot 5 = 25\,\text{cm}^2\). Nach der Änderung ist \(a' = 8\,\text{cm}\) und \(c' = 2\,\text{cm}\). Der neue Flächeninhalt ist \(A' = \frac{8 + 2}{2} \cdot 5 = 25\,\text{cm}^2\). 5. Lukas hat nicht recht.

Lukas hat nicht recht. Der Flächeninhalt bleibt gleich, da die Summe der parallelen Seiten \((a + c)\) unverändert bleibt.

- Schreibe zuerst die allgemeine Formel für den Flächeninhalt eines Trapezes auf. - Welche Werte aus dem Text kannst du in die Formel einsetzen? - Wie kannst du die Gleichung schrittweise umformen, um die unbekannte Seite zu isolieren? - Überlege dir, welche Rechenoperationen die Multiplikation mit \(7\) und die Division durch \(2\) rückgängig machen.

1. Anwendung der Flächenformel für das Trapez: \(A = \frac{a + c}{2} \cdot h\). 2. Einsetzen der bekannten Werte: \(24{,}5 = \frac{4{,}2 + c}{2} \cdot 7\). 3. Auflösen der Gleichung nach der Summe der Grundseiten: \(\frac{4{,}2 + c}{2} = 24{,}5 : 7 = 3{,}5\). 4. Multiplikation mit \(2\): \(4{,}2 + c = 7\). 5. Subtraktion von \(4{,}2\): \(c = 7 - 4{,}2 = 2{,}8\). Die gesuchte Seite ist \(2{,}8\,\text{cm}\) lang.

Die andere parallele Seite ist \(2{,}8\,\text{cm}\) lang.

- Erinnere dich an die Formel für den Flächeninhalt eines Trapezes. Welche Rolle spielt die Summe der beiden parallelen Seiten? - Rechne erst das Beispiel konkret aus, bevor du eine Entscheidung triffst. - Was müsste passieren, damit sich der Wert eines Bruchs verdoppelt?

1. Berechnung des ursprünglichen Flächeninhalts: \(A = \frac{a + c}{2} \cdot h = \frac{3\,\text{cm} + 5\,\text{cm}}{2} \cdot 4\,\text{cm} = \frac{8}{2} \cdot 4 = 16\,\text{cm}^2\). 2. Berechnung mit verdoppelter Seite \(a\): Die neue Seite ist \(a' = 2 \cdot 3\,\text{cm} = 6\,\text{cm}\). Der neue Flächeninhalt ist \(A' = \frac{6\,\text{cm} + 5\,\text{cm}}{2} \cdot 4\,\text{cm} = \frac{11}{2} \cdot 4 = 22\,\text{cm}^2\). 3. Überprüfung der Behauptung: Das Doppelte des ursprünglichen Inhalts wäre \(2 \cdot 16\,\text{cm}^2 = 32\,\text{cm}^2\). Da \(22\,\text{cm}^2 \neq 32\,\text{cm}^2\), hat Leon nicht recht. Die Verdopplung nur einer Seite führt nicht zur Verdopplung des gesamten Flächeninhalts, da die Summe der Grundseiten in der Formel steht.

1. Der Flächeninhalt beträgt \(16\,\text{cm}^2\). 2. Der neue Flächeninhalt beträgt \(22\,\text{cm}^2\). 3. Leon hat nicht recht. Der Flächeninhalt hat sich nicht verdoppelt (dafür hätte er \(32\,\text{cm}^2\) groß sein müssen).

- Berechne zuerst den Flächeninhalt der Figur, von der alle Maße bekannt sind. - Setze diesen Wert in die Formel für die zweite Figur ein. - Kannst du die Formel schrittweise umstellen, um die fehlende Seite zu finden?

1. Berechnung des Flächeninhalts des Parallelogramms: \(A = g \cdot h = 12\,\text{cm} \cdot 6\,\text{cm} = 72\,\text{cm}^2\) 2. Aufstellen der Gleichung für den Flächeninhalt des Trapezes mit der unbekannten Seite \(c\): \(72 = \frac{15 + c}{2} \cdot 6\) 3. Vereinfachung der Gleichung durch Division durch \(6\): \(12 = \frac{15 + c}{2}\) 4. Auflösen nach \(c\): \(24 = 15 + c\), also \(c = 9\,\text{cm}\)

Die zweite parallele Seite des Trapezes ist \(9\,\text{cm}\) lang.

- Was weißt du über das Verhältnis der beiden parallelen Seiten? - Wie lautet die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts eines Trapezes? - Kannst du die längere Seite durch die kürzere Seite ausdrücken, um nur noch eine Unbekannte in der Formel zu haben? - Stelle die Formel nach der gesuchten Größe um.

1. Verwendung der Formel für den Flächeninhalt eines Trapezes: \(A = \frac{a+c}{2} \cdot h\) 2. Einsetzen der bekannten Werte \(A = 36\) und \(h = 6\) sowie der Beziehung \(c = 3 \cdot a\): \(36 = \frac{a + 3 \cdot a}{2} \cdot 6\) 3. Vereinfachung des Terms in der Klammer: \(a + 3 \cdot a = 4 \cdot a\) 4. Vereinfachung der Gleichung: \(36 = \frac{4 \cdot a}{2} \cdot 6 = 2 \cdot a \cdot 6 = 12 \cdot a\) 5. Berechnung von \(a\): \(a = 36 : 12 = 3\,\text{cm}\) 6. Berechnung von \(c\): \(c = 3 \cdot 3 = 9\,\text{cm}\)

Die Längen der Seiten betragen \(a = 3\,\text{cm}\) und \(c = 9\,\text{cm}\).

- Schau dir die Flächenformel genau an. Welche Teile der Formel sind gegeben? - In Teil a suchst du einen Faktor in einem Produkt. Wie isoliert man diesen? - In Teil b ist nach der Summe der Seiten gefragt. Du musst die einzelnen Seiten \(a\) und \(c\) nicht getrennt berechnen. - Überlege, was passiert, wenn du die Fläche durch die Höhe teilst.

1. Teil a: Berechnung der Höhe \(h\) mit \(A = 40\), \(a = 7\) und \(c = 13\). Formel: \(40 = \frac{7 + 13}{2} \cdot h\) 2. Berechnung des Mittelwerts der Seiten: \(\frac{20}{2} = 10\). Gleichung: \(40 = 10 \cdot h\) 3. Ergebnis für a: \(h = 4\,\text{cm}\) 4. Teil b: Berechnung der Summe \(a + c\) mit \(A = 40\) und \(h = 5\). Formel: \(40 = \frac{a + c}{2} \cdot 5\) 5. Umstellen nach der Summe: \(40 : 5 = 8\), also \(8 = \frac{a + c}{2}\) 6. Ergebnis für b: \(a + c = 16\,\text{cm}\)

a) Die Höhe des ersten Trapezes beträgt \(h = 4\,\text{cm}\). b) Die Summe der parallelen Seiten des zweiten Trapezes muss \(16\,\text{cm}\) betragen.

- Welche Werte aus der Formel für den Flächeninhalt kennst du bereits? - Kannst du die Formel so umstellen, dass die gesuchte Größe alleine auf einer Seite steht? - Überprüfe, ob die Einheiten zusammenpassen.

1. Aufstellen der Flächenformel für das Trapez: \(A = \frac{a + c}{2} \cdot h\). 2. Einsetzen der gegebenen Werte: \(0{,}50\,\text{m}^2 = \frac{1{,}40\,\text{m} + 0{,}60\,\text{m}}{2} \cdot h\). 3. Vereinfachung des Bruchs: \(\frac{1{,}40\,\text{m} + 0{,}60\,\text{m}}{2} = \frac{2{,}00\,\text{m}}{2} = 1{,}00\,\text{m}\). 4. Auflösen nach \(h\): \(0{,}50\,\text{m}^2 = 1{,}00\,\text{m} \cdot h\), woraus sich \(h = 0{,}50\,\text{m}\) ergibt.

Die Höhe des Trapezes beträgt \(h = 0{,}50\,\text{m}\) (oder \(50\,\text{cm}\)).

- Wie lautet die Formel für den Flächeninhalt eines Parallelogramms? - Überlege dir, was passiert, wenn du einen Faktor in einem Produkt veränderst. - Wenn das Ergebnis (der Flächeninhalt) gleich bleiben soll, muss eine Vergrößerung der einen Seite durch eine Verkleinerung der anderen Seite ausgeglichen werden. - Kannst du die Aufgabe mit einfachen Beispielzahlen (z. B. \(g = 4\) und \(h = 2\)) durchrechnen?

1. Der Flächeninhalt eines Parallelogramms berechnet sich durch \(A = g \cdot h\). 2. Für Teil a): Die neue Grundseite ist \(2 \cdot g\). Der neue Flächeninhalt ist \(A_{neu} = (2 \cdot g) \cdot h = 2 \cdot (g \cdot h) = 2 \cdot A\). Der Flächeninhalt verdoppelt sich. 3. Für Teil b): Es gilt \(g_{neu} = 3 \cdot g\) und \(A_{neu} = A\). Aus \(A = (3 \cdot g) \cdot h_{neu}\) folgt \(h_{neu} = \frac{A}{3 \cdot g} = \frac{g \cdot h}{3 \cdot g} = \frac{1}{3} \cdot h\). Die Höhe muss gedrittelt werden. 4. Für Teil c): Es gilt \(h_{neu} = \frac{1}{4} \cdot h\) und \(A_{neu} = 2 \cdot A\). Aus \(2 \cdot A = g_{neu} \cdot \frac{1}{4} \cdot h\) folgt durch Einsetzen von \(A = g \cdot h\): \(2 \cdot g \cdot h = g_{neu} \cdot \frac{1}{4} \cdot h\). Auflösen nach \(g_{neu}\) ergibt \(g_{neu} = 8 \cdot g\). Die Grundseite muss verachtfacht werden.

a) Der Flächeninhalt verdoppelt sich. b) Die Höhe muss gedrittelt werden (durch 3 teilen). c) Die Grundseite muss verachtfacht werden (mit 8 multiplizieren).

- Erinnere dich an die Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks. - Berechne zuerst die Werte für Mia und dann schrittweise für Leo. - Was passiert mit dem Flächeninhalt, wenn du eine Seite verdoppelst und die andere halbierst? - Setze im zweiten Teil die bekannten Werte in die Flächenformel ein und löse nach der unbekannten Höhe auf.

1. Flächeninhalt von Mias Dreieck: \(A_{Mia} = \frac{1}{2} \cdot 10\,\text{cm} \cdot 6\,\text{cm} = 30\,\text{cm}^2\). 2. Maße von Leos Dreieck: \(g = 2 \cdot 10\,\text{cm} = 20\,\text{cm}\) und \(h = 6\,\text{cm} : 2 = 3\,\text{cm}\). 3. Flächeninhalt von Leos Dreieck: \(A_{Leo} = \frac{1}{2} \cdot 20\,\text{cm} \cdot 3\,\text{cm} = 30\,\text{cm}^2\). Vergleich: Die Flächeninhalte sind identisch. 4. Ziel für das dritte Dreieck: \(A_{Ziel} = 4 \cdot 30\,\text{cm}^2 = 120\,\text{cm}^2\). 5. Berechnung der Höhe mit \(g = 20\,\text{cm}\): \(120 = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot h \Rightarrow 120 = 10 \cdot h \Rightarrow h = 12\,\text{cm}\).

a) Mias Dreieck: \(30\,\text{cm}^2\); Leos Dreieck: \(30\,\text{cm}^2\). Die Flächeninhalte sind gleich groß. b) Die Höhe muss \(12\,\text{cm}\) betragen.

- Schau dir die Formel für den Flächeninhalt an und überlege, wie sich Änderungen der Variablen auf das Ergebnis auswirken. - Erinnere dich daran, dass der Umfang die Summe aller Außenkanten ist, während der Flächeninhalt das Innere beschreibt. - Überlege dir, ob man ein Parallelogramm so drehen oder spiegeln kann, dass die beiden Teildreiecke genau aufeinanderpassen.

1. Wahr. Der Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet sich durch \(A = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h\). Ersetzt man die Grundseite durch \(2 \cdot g\) und die Höhe durch \(\frac{1}{2} \cdot h\), ergibt sich \(A' = \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot g) \cdot (\frac{1}{2} \cdot h) = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h = A\). 2. Falsch. Ein Parallelogramm mit Grundseite \(10\) und Höhe \(2\) (als Rechteck) hat \(A = 20\) und \(U = 24\). Ein Parallelogramm mit Grundseite \(5\) und Höhe \(4\) (als Rechteck) hat ebenfalls \(A = 20\), aber \(U = 18\). 3. Wahr. Die Diagonale teilt das Parallelogramm in zwei Dreiecke. Verwendet man die beiden gegenüberliegenden, gleich langen und parallelen Seiten als Grundseiten, besitzen die Dreiecke dieselbe Grundseitenlänge und dieselbe Höhe; daher sind ihre Flächeninhalte gleich.

a) Wahr b) Falsch (Gegenbeispiel: Ein \(10 \times 2\)-Rechteck und ein \(5 \times 4\)-Rechteck haben beide die Fläche 20, aber unterschiedliche Umfänge von 24 und 18). c) Wahr

- Welche Maße sind in der Standardformel für den Flächeninhalt eines Dreiecks vorgesehen? - Stell dir vor, du veränderst die Längen der Seiten \(a\) und \(b\), hältst aber die Grundseite und die Höhe konstant. Was passiert mit der Fläche?

1. Anwendung der Flächenformel für Dreiecke: \(A = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h\). 2. Einsetzen der Werte für die Grundseite \(c\) und die Höhe \(h_c\): \(A = \frac{1}{2} \cdot 4\,\text{m} \cdot 2{,}2\,\text{m} = 2\,\text{m} \cdot 2{,}2\,\text{m} = 4{,}4\,\text{m}^2\). 3. Begründung: Der Flächeninhalt eines Dreiecks ist durch das Produkt aus Grundseite und der senkrecht darauf stehenden Höhe definiert. Die Seiten \(a\) und \(b\) bestimmen zwar die Form des Dreiecks mit, für den Flächeninhalt genügen jedoch die Grundseite \(c\) und die zugehörige Höhe \(h_c\).

1. Der Flächeninhalt des Segels beträgt \(4{,}4\,\text{m}^2\). 2. Die Seiten \(a\) und \(b\) werden nicht benötigt, da die Fläche eines Dreiecks ausschließlich durch die Grundseite und die dazugehörige Höhe bestimmt wird (\(A = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h\)). Die Höhe gibt den senkrechten Abstand der Spitze von der Grundseite an.

- Was ist die Grundseite des Dreiecks \(ABD\)? - Wie berechnet man den Flächeninhalt, wenn die Grundseite auf einer der Achsen liegt? - Was passiert mit der Form eines Dreiecks, wenn man die Spitze parallel zur Grundseite verschiebt? - Verändert sich der Abstand zur Grundseite, wenn du den Punkt nur nach links oder rechts bewegst?

1. Bestimmung der Grundseite \(AB\): Die Punkte liegen auf der x-Achse. Länge \(g = 3 - (-3) = 6\,\text{LE}\). 2. Berechnung der Höhe \(h\) für Dreieck \(ABD\): \(A = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h \Rightarrow 18 = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot h \Rightarrow 18 = 3 \cdot h \Rightarrow h = 6\,\text{LE}\). 3. Da die Grundseite auf der x-Achse (\(y=0\)) liegt und \(y > 0\) sein soll, ist die y-Koordinate von \(D\) genau die Höhe: \(y = 6\). 4. Erklärung: Der Flächeninhalt hängt nur von der Grundseite und der senkrechten Höhe ab. Da \(AB\) horizontal liegt, ist die Höhe nur vom y-Abstand abhängig. Eine Änderung der x-Koordinate verschiebt die Spitze nur parallel zur Grundseite, was die Höhe nicht verändert.

a) Die y-Koordinate von \(D\) ist \(6\). b) Der Flächeninhalt hängt nur von der Länge der Grundseite und der zugehörigen Höhe ab. Da die Grundseite auf der x-Achse liegt, entspricht die Höhe dem senkrechten Abstand (y-Wert). Eine Änderung der x-Koordinate verschiebt den Punkt \(D\) nur parallel zur Grundseite, wodurch die Höhe und damit der Flächeninhalt gleich bleiben.

- Achte darauf, dass alle Längenangaben in derselben Einheit vorliegen, bevor du rechnest. - Erinnere dich an die Formel für den Flächeninhalt eines Trapezes. - Was weißt du über die Seiten eines Quadrats und wie man seinen Flächeninhalt berechnet?

1. Umwandlung der Einheiten: \(a = 1{,}3\,\text{dm} = 13\,\text{cm}\). 2. Berechnung des Flächeninhalts des Trapezes: \(A = \frac{a + c}{2} \cdot h = \frac{13\,\text{cm} + 5\,\text{cm}}{2} \cdot 4\,\text{cm} = \frac{18}{2} \cdot 4 = 9 \cdot 4 = 36\,\text{cm}^2\). 3. Der Flächeninhalt des Quadrats ist ebenfalls \(36\,\text{cm}^2\). 4. Für die Seitenlänge \(s\) gilt \(s \cdot s = 36\,\text{cm}^2\). Da \(6\,\text{cm} \cdot 6\,\text{cm} = 36\,\text{cm}^2\), ist \(s = 6\,\text{cm}\).

Die Seitenlänge des Quadrats beträgt \(6\,\text{cm}\).

- Wie berechnet man die Seitenlänge eines Quadrats, wenn man den Umfang kennt? - Wie hängen die Seitenlängen eines Parallelogramms mit seinem Umfang zusammen? - Überlege dir, wie sich die Höhe eines Parallelogramms verändert, wenn man es „schief“ drückt, während die Seitenlängen gleich bleiben.

1. Quadrat: Der Umfang \(U = 4 \cdot a = 32\,\text{m}\). Die Seitenlänge ist \(a = 32 : 4 = 8\,\text{m}\). Der Flächeninhalt ist \(A = a \cdot a = 8 \cdot 8 = 64\,\text{m}^2\). 2. Parallelogramm: Der Umfang ist \(U = 2 \cdot (a + b) = 32\,\text{m}\). Daraus folgt \(a + b = 16\,\text{m}\). Mit \(a = 10\,\text{m}\) ergibt sich \(b = 16 - 10 = 6\,\text{m}\). 3. Vergleich: Der Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet sich aus Grundseite mal Höhe. Die Höhe ist immer höchstens so lang wie die schräge Seite. Hier wäre die maximale Höhe \(6\,\text{m}\) (wenn es ein Rechteck wäre). Der maximale Flächeninhalt wäre \(10 \cdot 6 = 60\,\text{m}^2\). Da \(60 < 64\), kann das Parallelogramm keinen größeren Flächeninhalt haben. Allgemein hat bei festem Umfang das Quadrat den größten Flächeninhalt aller Vierecke.

a) Seitenlänge \(8\,\text{m}\), Flächeninhalt \(64\,\text{m}^2\). b) Die angrenzende Seite ist \(6\,\text{m}\) lang. c) Nein, da der maximale Flächeninhalt dieses Parallelogramms \(60\,\text{m}^2\) beträgt (im Falle eines Rechtecks), was kleiner als \(64\,\text{m}^2\) ist.

- Kennst du die Formel für die Mittellinie eines Trapezes? - Wie hängen die Mittellinie und die Höhe mit dem Flächeninhalt zusammen? - Schau dir an, wie sich die Summe der parallelen Seiten verändert, wenn man bei einer Seite etwas wegnimmt und es bei der anderen hinzufügt.

1. Flächeninhalt des Trapezes: \(A = \frac{a+c}{2} \cdot h = \frac{8 + 4}{2} \cdot 5 = 6 \cdot 5 = 30\,\text{cm}^2\). 2. Mittellinie des Trapezes: \(m = \frac{a+c}{2} = 6\,\text{cm}\). Für das Rechteck gilt \(A = m \cdot x\), also \(30 = 6 \cdot x\), was \(x = 5\,\text{cm}\) ergibt. Die gesuchte Seite entspricht der Höhe des Trapezes. 3. Veränderung der Seiten: Die neue Summe der parallelen Seiten ist \((8+2) + (4-2) = 10 + 2 = 12\,\text{cm}\). Da die Summe \(a+c\) (und damit die Mittellinie) gleich bleibt, bleibt auch der Flächeninhalt bei unveränderter Höhe gleich (\(30\,\text{cm}^2\)).

a) Der Flächeninhalt beträgt \(30\,\text{cm}^2\). b) Die andere Seite des Rechtecks ist \(5\,\text{cm}\) lang. c) Der Flächeninhalt bleibt gleich (\(30\,\text{cm}^2\)), da die Summe der parallelen Seiten \(a+c\) (und somit die Mittellinie) unverändert bleibt.

- Wie kannst du die Flächenformel umstellen, wenn das Ergebnis schon bekannt ist, aber eine Seite fehlt? - Überlege dir für den zweiten Teil zwei Zahlen, deren Produkt das Doppelte des Flächeninhalts ergibt. - Stell dir vor, du verschiebst die obere Ecke eines Dreiecks nach links oder rechts, ohne die Höhe zu ändern. Was passiert mit der Form?

1. Umstellen der Dreiecksformel \(A = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h\) nach \(h\): \(h = \frac{2 \cdot A}{g}\). 2. Einsetzen der Werte für Teil a): \(h = \frac{2 \cdot 15\,\text{cm}^2}{6\,\text{cm}} = \frac{30}{6}\,\text{cm} = 5\,\text{cm}\). 3. Für Teil b) ein beliebiges Paar finden, bei dem \(g \cdot h = 30\) gilt, zum Beispiel \(g = 10\,\text{cm}\) und \(h = 3\,\text{cm}\). 4. Zu Teil c): Nein, die Dreiecke müssen nicht die gleiche Form haben. Die Spitze des Dreiecks kann auf einer Parallelen zur Grundseite verschoben werden, wodurch sich die Winkel und Seitenlängen ändern, während der Flächeninhalt gleich bleibt.

a) Die Höhe beträgt \(5\,\text{cm}\). b) Ein mögliches Paar ist \(g = 10\,\text{cm}\) und \(h = 3\,\text{cm}\) (oder jedes andere Paar mit \(g \cdot h = 30\,\text{cm}^2\)). c) Nein, sie müssen nicht die gleiche Form haben, da die Spitze auf einer zur Grundseite parallelen Geraden verschoben werden kann.

- Welche Seite des Dreiecks bietet sich als Grundseite an, weil sie parallel zu einer Achse liegt? - Wie bestimmt man die Höhe eines Dreiecks, wenn die Grundseite waagerecht im Koordinatensystem liegt? - Überlege, von welchen Maßen der Flächeninhalt eines Dreiecks abhängt. Was passiert, wenn man nur die Spitze parallel zur Grundseite verschiebt? - Wenn die Grundseite gleich bleibt, wie muss sich die Höhe ändern, um den Flächeninhalt zu verdoppeln?

1. Berechnung der Grundseite \(g\) von \(ABC\): Da \(A\) und \(B\) auf der gleichen \(y\)-Koordinate liegen, ist \(g = 10 - 2 = 8\,\text{cm}\). 2. Berechnung der Höhe \(h\): Der vertikale Abstand von \(C(y=7)\) zur Grundseite \((y=1)\) beträgt \(h = 7 - 1 = 6\,\text{cm}\). 3. Flächeninhalt \(A_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 6 = 24\,\text{cm}^2\). 4. Da \(C'\) dieselbe \(y\)-Koordinate wie \(C\) hat, bleibt die Höhe \(h = 6\,\text{cm}\) und die Grundseite \(g = 8\,\text{cm}\) gleich. Der Flächeninhalt ändert sich nicht. 5. Für den doppelten Flächeninhalt (\(48\,\text{cm}^2\)) muss bei gleichbleibender Grundseite \(g = 8\,\text{cm}\) die Höhe \(h_{neu} = 12\,\text{cm}\) sein. Da die Grundseite bei \(y=1\) liegt, muss \(D\) auf \(y = 1 + 12 = 13\) liegen (oder \(y = 1 - 12 = -11\)). Ein Beispiel ist \(D(5|13)\).

a) Der Flächeninhalt beträgt \(24\,\text{cm}^2\). b) Der Flächeninhalt bleibt gleich (\(24\,\text{cm}^2\)), da Grundseite und Höhe unverändert bleiben. c) Eine mögliche Koordinate ist \(D(5|13)\) (jede Koordinate mit \(y = 13\) oder \(y = -11\) ist korrekt).

- Erinnere dich an die Formeln für den Flächeninhalt von Parallelogrammen und Dreiecken. - Was haben das Parallelogramm und das Dreieck \(ABP\) gemeinsam? Schau dir die Grundseite und die Höhe an. - Ändert sich die Höhe des Dreiecks, wenn du den Punkt \(P\) nach links oder rechts auf der Linie \(CD\) verschiebst?

1. Parallelogramm \(ABCD\): Grundseite \(g = 7 - 1 = 6\). Höhe \(h = 5 - 1 = 4\). 2. Flächeninhalt Parallelogramm: \(A_{\text{Parallelogramm}} = g \cdot h = 6 \cdot 4 = 24\) Flächeneinheiten. 3. Dreieck \(ABP\): Grundseite ist die gleiche wie beim Parallelogramm (\(g = 6\)). Die Höhe des Dreiecks ist der Abstand von \(P(y=5)\) zur Grundseite \(AB (y=1)\), also \(h_{Dreieck} = 4\). 4. Flächeninhalt Dreieck: \(A_{\text{Dreieck}} = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = 12\) Flächeneinheiten. 5. Vergleich: Das Dreieck hat genau die Hälfte des Flächeninhalts des Parallelogramms (\(12 : 24 = 1 : 2\)). 6. Da jeder Punkt auf \(CD\) die \(y\)-Koordinate 5 hat, bleibt die Höhe für jedes Dreieck mit der Grundseite \(AB\) und der Spitze auf \(CD\) immer gleich 4. Daher gilt dies für jeden solchen Punkt.

a) Der Flächeninhalt des Parallelogramms beträgt \(24\) Flächeneinheiten. b) Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt \(12\) Flächeneinheiten. c) Das Dreieck ist halb so groß wie das Parallelogramm (Verhältnis \(1 : 2\)). Dies gilt für jeden Punkt \(P\) auf \(CD\), da Grundseite und Höhe immer gleich bleiben.

- Schau dir die Formel für den Flächeninhalt genau an. Welche Teile der Formel sind bei beiden Trapezen gleich? - Was passiert mit dem Ergebnis, wenn die Summe der parallelen Seiten gleich bleibt? - Musst du wirklich alles ausrechnen, um die Größe zu vergleichen?

1. Berechnung der Summe der parallelen Seiten für Trapez 1: \(a_1 + c_1 = 4\,\text{cm} + 8\,\text{cm} = 12\,\text{cm}\). 2. Berechnung der Summe der parallelen Seiten für Trapez 2: \(a_2 + c_2 = 5\,\text{cm} + 7\,\text{cm} = 12\,\text{cm}\). 3. Da die Höhen \(h\) beider Trapeze identisch sind (\(5\,\text{cm}\)) und auch die Summen der parallelen Seiten gleich sind (\(12\,\text{cm}\)), müssen die Flächeninhalte nach der Formel \(A = \frac{a+c}{2} \cdot h\) gleich groß sein. 4. Überprüfung durch Rechnung: \(A = \frac{12}{2} \cdot 5 = 6 \cdot 5 = 30\,\text{cm}^2\).

Beide Trapeze haben den gleichen Flächeninhalt von \(30\,\text{cm}^2\), da die Summe ihrer parallelen Seiten jeweils \(12\,\text{cm}\) ergibt und die Höhen gleich sind.

- Unterscheide zwischen der Flächenformel für ein Parallelogramm und der für ein Dreieck. - Der Umfang eines Parallelogramms berechnet sich ähnlich wie der eines Rechtecks. - Überlege, wie sich die Höhe eines Dreiecks verändern muss, wenn der Faktor \(\frac{1}{2}\) in der Formel steht, die Fläche aber gleich bleiben soll.

1. Berechnung von \(h_a\): \(A = a \cdot h_a \Rightarrow 40\,\text{cm}^2 = 8\,\text{cm} \cdot h_a \Rightarrow h_a = 5\,\text{cm}\). 2. Berechnung des Umfangs: \(U = 2 \cdot (a + b) = 2 \cdot (8\,\text{cm} + 6\,\text{cm}) = 2 \cdot 14\,\text{cm} = 28\,\text{cm}\). 3. Höhe des Dreiecks bestimmen: Die Flächenformel des Dreiecks lautet \(A = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h\). 4. Gleichsetzen mit dem Flächeninhalt des Parallelogramms: \(40\,\text{cm}^2 = \frac{1}{2} \cdot 8\,\text{cm} \cdot h\). 5. Auflösen nach \(h\): \(40 = 4 \cdot h \Rightarrow h = 10\,\text{cm}\).

a) Die Höhe \(h_a\) beträgt \(5\,\text{cm}\). b) Der Umfang beträgt \(28\,\text{cm}\). c) Die Höhe des Dreiecks muss \(10\,\text{cm}\) betragen.

- Notiere dir zuerst die allgemeine Formel für den Flächeninhalt eines Trapezes. - Setze alle Werte ein, die in der Aufgabe gegeben sind. - Wie kannst du die Gleichung Schritt für Schritt umformen, um die gesuchte Größe allein auf eine Seite zu bringen?

1. Aufstellen der Trapezformel: \(A = \frac{a + c}{2} \cdot h\). 2. Einsetzen der gegebenen Werte: \(180 = \frac{22 + 14}{2} \cdot h\). 3. Zusammenfassen der Klammer und Division: \(180 = \frac{36}{2} \cdot h = 18 \cdot h\). 4. Auflösen nach der Höhe \(h\): \(h = 180 : 18 = 10\,\text{m}\).

Die Höhe des Trapezes beträgt \(10\,\text{m}\).

- Berechne im ersten Schritt die fehlende Höhe mit der bekannten Flächenformel für Dreiecke. - Überlege für die weiteren Teile, wie sich eine Halbierung oder Verdreifachung eines Faktors in einer Multiplikation auf das Gesamtergebnis auswirkt. - Du kannst die neuen Maße entweder direkt in die Formel einsetzen oder eine proportionale Schlussfolgerung ziehen.

1. Berechnung der ursprünglichen Höhe: \(A = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h \implies 24 = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot h \implies 24 = 4 \cdot h \implies h = 6\,\text{cm}\). 2. Berechnung bei halber Grundseite: \(A = \frac{1}{2} \cdot 4\,\text{cm} \cdot 6\,\text{cm} = 12\,\text{cm}^2\). 3. Berechnung bei dreifacher Höhe: \(A = \frac{1}{2} \cdot 8\,\text{cm} \cdot 18\,\text{cm} = 72\,\text{cm}^2\).

a) \(6\,\text{cm}\) b) \(12\,\text{cm}^2\) c) \(72\,\text{cm}^2\)

- Erinnere dich an die Trapezformel: Man nimmt den Durchschnitt der parallelen Seiten und multipliziert mit der Höhe. - Schau dir in der Formel an, was passiert, wenn du eine Zahl durch ihr Doppeltes ersetzt. - Überlege dir, wie ein Trapez aussieht, wenn die obere Seite immer kleiner wird, bis sie nur noch ein Punkt ist.

1. Flächeninhalt Trapez: \(A = \frac{a+c}{2} \cdot h = \frac{9 + 5}{2} \cdot 4 = 7 \cdot 4 = 28\,\text{cm}^2\). 2. Änderung bei Verdopplung der Höhe: Da die Höhe \(h\) ein linearer Faktor in der Flächenformel ist, verdoppelt sich der gesamte Flächeninhalt auf \(56\,\text{cm}^2\) (\(7 \cdot 8 = 56\)). 3. Grenzfall \(c=0\): Wenn eine der parallelen Seiten die Länge 0 hat, treffen sich die Schenkel in einem Punkt; es entsteht ein Dreieck. Der Flächeninhalt ist \(A = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 4 = 18\,\text{cm}^2\).

a) Der Flächeninhalt beträgt \(28\,\text{cm}^2\). b) Der Flächeninhalt verdoppelt sich (auf \(56\,\text{cm}^2\)), da die Höhe ein direkter Faktor in der Formel ist. c) Es entsteht ein Dreieck mit einem Flächeninhalt von \(18\,\text{cm}^2\).

- Welche Zahlen ergeben miteinander multipliziert 36? - Was passiert, wenn du eine Fläche genau in der Mitte teilst? - Überlege, wie die Flächenformeln für Rechteck und Parallelogramm aufgebaut sind. Unterscheiden sie sich grundsätzlich?

1. Mögliche Paare für \(g\) und \(h\): Da \(A = g \cdot h\), muss das Produkt 36 ergeben. Beispiele: \(g=6\,\text{cm}, h=6\,\text{cm}\) oder \(g=9\,\text{cm}, h=4\,\text{cm}\). 2. Dreiecksflächen: Eine Diagonale teilt jedes Parallelogramm in zwei kongruente (deckungsgleiche) Dreiecke. Daher ist der Flächeninhalt jedes Dreiecks genau halb so groß: \(36\,\text{cm}^2 : 2 = 18\,\text{cm}^2\). 3. Vergleich mit Rechteck: Für das Rechteck gilt \(A = a \cdot b\) (Länge mal Breite). Da das Rechteck ein spezielles Parallelogramm ist, entspricht die Breite der Höhe. Wenn Grundseite und Fläche gleich sind, muss auch die Höhe (bzw. Breite) identisch sein (\(36 / g = h\)).

a) Mögliche Paare sind zum Beispiel \(g=6\,\text{cm}, h=6\,\text{cm}\) oder \(g=12\,\text{cm}, h=3\,\text{cm}\). b) Jedes Dreieck hat einen Flächeninhalt von \(18\,\text{cm}^2\), da die Diagonale das Parallelogramm in zwei gleich große Flächen teilt. c) Die Höhen der beiden Figuren müssen gleich groß sein.

- Welche Eigenschaft haben die Seiten, die an einem rechten Winkel liegen? - Erinnere dich daran, dass jede Seite eines Dreiecks als Grundseite dienen kann, solange man die dazugehörige Höhe nutzt. - Wenn du den Flächeninhalt bereits kennst, kannst du die Formel nach der gesuchten Höhe umstellen.

1. Da die Katheten \(a\) und \(b\) im rechten Winkel zueinander stehen, ist die Seite \(b\) die Höhe auf die Grundseite \(a\) (\(h_a = 12\,\text{cm}\)) und die Seite \(a\) die Höhe auf die Grundseite \(b\) (\(h_b = 9\,\text{cm}\)). 2. Berechnung des Flächeninhalts mit den Katheten: \(A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 9\,\text{cm} \cdot 12\,\text{cm} = 54\,\text{cm}^2\). 3. Berechnung der Höhe \(h_c\) über die Flächenformel \(A = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h_c\): \(h_c = \frac{2 \cdot A}{c} = \frac{2 \cdot 54\,\text{cm}^2}{15\,\text{cm}} = \frac{108}{15}\,\text{cm} = 7{,}2\,\text{cm}\).

a) In einem rechtwinkligen Dreieck sind die Katheten gleichzeitig die Höhen aufeinander: \(h_a = 12\,\text{cm}\) und \(h_b = 9\,\text{cm}\). b) \(A = 54\,\text{cm}^2\) c) \(h_c = 7{,}2\,\text{cm}\)

- Berechne zuerst beide Flächeninhalte getrennt voneinander. - Schau dir den Teil \(\frac{a+c}{2}\) in der Trapezformel genau an. Welchen Wert ergibt dieser hier? - Was passiert, wenn man in den Formeln \(g\) und \(\frac{a+c}{2}\) vergleicht?

1. Berechnung des Flächeninhalts des Parallelogramms: \(A_P = g \cdot h = 6\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm} = 24\,\text{cm}^2\). 2. Berechnung des Flächeninhalts des Trapezes: \(A_T = \frac{a + c}{2} \cdot h = \frac{8\,\text{cm} + 4\,\text{cm}}{2} \cdot 4\,\text{cm} = \frac{12\,\text{cm}}{2} \cdot 4\,\text{cm} = 6\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm} = 24\,\text{cm}^2\). 3. Vergleich und Begründung: Beide Flächeninhalte sind gleich (\(24\,\text{cm}^2\)). Dies liegt daran, dass der Mittelwert der parallelen Seiten des Trapezes (\(\frac{a+c}{2} = 6\,\text{cm}\)) genau der Grundseite \(g\) des Parallelogramms entspricht. Da auch die Höhen identisch sind, müssen die Flächeninhalte gleich sein.

a) Beide Figuren haben einen Flächeninhalt von \(24\,\text{cm}^2\). b) Die Flächeninhalte sind gleich, weil der Mittelwert der parallelen Seiten des Trapezes (\(6\,\text{cm}\)) identisch mit der Grundseite des Parallelogramms ist und beide die gleiche Höhe haben.

- Beginne mit der Formel für den Flächeninhalt, um die Mittellinie zu finden. - Was weißt du über die Summe der beiden parallelen Seiten, wenn du die Mittellinie kennst? - Wenn eine Seite doppelt so lang ist wie die andere, aus wie vielen gleich langen Teilen besteht dann ihre Summe insgesamt?

1. Berechnung der Mittellinie: Aus der Formel \(A = m \cdot h\) folgt \(m = \frac{A}{h}\). Mit den gegebenen Werten ergibt sich \(m = \frac{60\,\text{cm}^2}{5\,\text{cm}} = 12\,\text{cm}\). 2. Bestimmung der Seitenlängen: Es gilt \(m = \frac{a + c}{2}\), also \(12\,\text{cm} = \frac{a + c}{2}\), woraus \(a + c = 24\,\text{cm}\) folgt. Da \(a = 2 \cdot c\) ist, setzt man dies ein: \(2 \cdot c + c = 24\,\text{cm}\). Dies führt zu \(3 \cdot c = 24\,\text{cm}\), also \(c = 8\,\text{cm}\). Damit ist \(a = 2 \cdot 8\,\text{cm} = 16\,\text{cm}\).

a) \(m = 12\,\text{cm}\) b) \(a = 16\,\text{cm}\) und \(c = 8\,\text{cm}\)

- Berechne zuerst den Flächeninhalt der Figur, von der du alle Maße kennst. - Was bedeutet es für die Rechnung, wenn zwei Figuren „denselben Flächeninhalt“ haben? - Setze den berechneten Flächeninhalt in die Formel für die zweite Figur ein.

1. Berechnen des Flächeninhalts des Dreiecks: \(A_{\text{Dreieck}} = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 10\,\text{cm} \cdot 8\,\text{cm} = 40\,\text{cm}^2\). 2. Da die Flächeninhalte gleich sind, gilt für das Trapez: \(A_{\text{Trapez}} = 40\,\text{cm}^2\). 3. Aufstellen der Trapezformel mit den bekannten Werten: \(40\,\text{cm}^2 = \frac{6\,\text{cm} + c}{2} \cdot 5\,\text{cm}\). 4. Division durch die Höhe des Trapezes: \(40\,\text{cm}^2 : 5\,\text{cm} = 8\,\text{cm}\), also \(8\,\text{cm} = \frac{6\,\text{cm} + c}{2}\). 5. Multiplikation mit 2, um den Nenner zu entfernen: \(16\,\text{cm} = 6\,\text{cm} + c\). 6. Subtraktion der bekannten Seite: \(c = 16\,\text{cm} - 6\,\text{cm} = 10\,\text{cm}\).

Die andere parallele Seite des Trapezes ist \(10\,\text{cm}\) lang.

- Fange damit an, die fehlende Größe des Parallelogramms zu berechnen. - Wie hängen die Höhen der beiden Figuren zusammen? - Setze den bekannten Flächeninhalt und die neue Höhe in die Formel für das Trapez ein.

1. Berechnung der Höhe des Parallelogramms: \(h_p = \frac{A}{g} = \frac{40}{8} = 5\,\text{cm}\) 2. Bestimmung der Höhe des Trapezes: \(h_t = 2 \cdot 5 = 10\,\text{cm}\) 3. Nutzung der Trapezformel für den Flächeninhalt: \(A = \frac{a + c}{2} \cdot h_t\) 4. Einsetzen der Werte: \(40 = \frac{a + c}{2} \cdot 10\) 5. Vereinfachen: \(40 = (a + c) \cdot 5\) 6. Berechnung der Summe: \(a + c = \frac{40}{5} = 8\,\text{cm}\)

Die Summe der Längen der parallelen Seiten des Trapezes beträgt \(8\,\text{cm}\).

- Berechne zuerst den Flächeninhalt mit der Seite, die du leicht bestimmen kannst. - Ein Parallelogramm hat zwei Paare von Grundseiten und Höhen, aber der Flächeninhalt ist immer derselbe. - Wie hängen Flächeninhalt, Grundseite und Höhe zusammen? Kannst du die Formel umstellen? - Denk an typische Werkzeuge wie Geodreieck und Bleistift – wo könnten dort beim Messen Fehler passieren?

1. Berechnung des Flächeninhalts über die waagerechte Grundseite \(PQ\): Länge \(g = 11 - 1 = 10\,\text{cm}\). Die vertikale Höhe ist \(h = 5 - 1 = 4\,\text{cm}\). 2. Flächeninhalt \(A = g \cdot h = 10\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm} = 40\,\text{cm}^2\). 3. Da der Flächeninhalt auch über die andere Seite berechnet werden kann (\(A = b \cdot h_b\)), gilt: \(40\,\text{cm}^2 = 5\,\text{cm} \cdot h_{QR}\). 4. Umstellung nach der gesuchten Höhe: \(h_{QR} = 40\,\text{cm}^2 : 5\,\text{cm} = 8\,\text{cm}\). 5. Ungenauigkeiten beim Ablesen aus Zeichnungen entstehen durch die Dicke des Bleistifts, die begrenzte Präzision des Lineals oder kleine Fehler beim Einzeichnen der rechten Winkel.

a) \(A = 40\,\text{cm}^2\). b) \(h_{QR} = 8\,\text{cm}\). c) Zeichnungen sind nie perfekt; Faktoren wie die Strichstärke des Stiftes, die Ablesegenauigkeit am Lineal oder minimale Abweichungen beim Zeichnen des rechten Winkels führen zu kleinen Messfehlern.

- Schau dir die Formel für das Trapez genau an: Welcher Teil der Formel bestimmt die „durchschnittliche Breite“? - Wenn die Höhen identisch sind, welcher Teil der Trapezformel muss dann der Breite des Rechtecks entsprechen? - Was passiert, wenn du die beiden parallelen Seiten des Trapezes addierst und halbierst?

1. Berechnung des Flächeninhalts des Trapezes: \(A = \frac{a+c}{2} \cdot h = \frac{9\,\text{cm} + 3\,\text{cm}}{2} \cdot 5\,\text{cm} = 6\,\text{cm} \cdot 5\,\text{cm} = 30\,\text{cm}^2\). 2. Berechnung der Rechteckbreite \(b\): Da \(A = b \cdot h\) und \(h = 5\,\text{cm}\) ist, folgt \(b = 30\,\text{cm}^2 : 5\,\text{cm} = 6\,\text{cm}\). 3. Zusammenhang: Die Breite des Rechtecks entspricht dem Mittelwert der beiden parallelen Seiten des Trapezes (\(\frac{a+c}{2}\)). Da die Höhe bei beiden Figuren gleich ist, müssen die Faktoren vor der Höhe in den Formeln übereinstimmen.

a) Die Breite des Rechtecks beträgt \(6\,\text{cm}\). b) Die Breite entspricht dem Mittelwert der beiden parallelen Seiten des Trapezes: \(b = \frac{a+c}{2}\).

- Wie groß muss das Produkt der beiden Diagonalen sein, wenn die Hälfte davon 20 ergeben soll? - Probier es doch mal mit einem konkreten Beispiel aus: Wähle Zahlen für \(e\) und \(f\), berechne die Fläche, verdopple dann die Zahlen und berechne die Fläche erneut. - Was passiert mit dem Flächeninhalt eines Rechtecks, wenn man beide Seiten verdoppelt? Wie hängt die Raute mit diesem Rechteck zusammen?

1. Zusammenhang zwischen Fläche und Diagonalenprodukt: \(A = \frac{1}{2} \cdot e \cdot f \implies e \cdot f = 2 \cdot A = 40\). 2. Mögliche Paare finden: z. B. \(e = 4\,\text{cm}, f = 10\,\text{cm}\) oder \(e = 5\,\text{cm}, f = 8\,\text{cm}\) oder \(e = 2\,\text{cm}, f = 20\,\text{cm}\). 3. Untersuchung der Verdopplung: Neuer Flächeninhalt \(A_{neu} = \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot e) \cdot (2 \cdot f) = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot e \cdot f = 2 \cdot e \cdot f\). 4. Vergleich mit ursprünglicher Fläche: Da \(A = 0{,}5 \cdot e \cdot f\), ist \(4 \cdot A = 4 \cdot 0{,}5 \cdot e \cdot f = 2 \cdot e \cdot f\). 5. Schlussfolgerung: Die Aussage ist wahr, da der Faktor \(2\) bei beiden Diagonalen zu einem Gesamtfaktor von \(4\) führt.

a) Mögliche Paare sind zum Beispiel \(e = 4\,\text{cm}\) und \(f = 10\,\text{cm}\) sowie \(e = 5\,\text{cm}\) und \(f = 8\,\text{cm}\). b) Die Schülerin hat recht. Durch die Verdopplung beider Diagonalen wird das Produkt \(e \cdot f\) vervierfacht, wodurch auch der Flächeninhalt auf das Vierfache ansteigt.

- Stell dir vor, wie sich die Form verändert, wenn man sie zur Seite drückt. - Was ist beim Rechteck die Höhe auf die Grundseite? - Überlege, was mit den Leisten passiert: Werden sie länger, kürzer oder bleiben sie gleich? - Welches Maß in der Flächenformel hat sich konkret verändert?

1. Flächeninhalt Rechteck: \(A_{Recht} = 12\,\text{cm} \cdot 5\,\text{cm} = 60\,\text{cm}^2\). Beim Rechteck entspricht die Seite \(5\,\text{cm}\) gleichzeitig der Höhe. 2. Flächeninhalt Parallelogramm: Die Grundseite ist \(g = 12\,\text{cm}\), die neue Höhe ist \(h = 4\,\text{cm}\). \(A_{Para} = 12\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm} = 48\,\text{cm}^2\). 3. Umfang: Der Umfang bleibt gleich, da die Längen der vier Leisten (\(12, 5, 12, 5\)) nicht verändert wurden. 4. Erklärung Flächeninhalt: Der Flächeninhalt berechnet sich aus Grundseite mal Höhe. Da die Seiten schräg gestellt wurden, ist der senkrechte Abstand (die Höhe) zwischen den Grundseiten kleiner geworden (\(4\,\text{cm}\) statt \(5\,\text{cm}\)), wodurch das Produkt sinkt.

a) \(60\,\text{cm}^2\). b) \(48\,\text{cm}^2\). c) Der Umfang bleibt gleich, weil die Seitenlängen der Leisten identisch bleiben. d) Der Flächeninhalt sinkt, weil die Höhe (der senkrechte Abstand) kleiner geworden ist, während die Grundseite gleich blieb.

- Achte zuerst darauf, dass alle Längenangaben in derselben Einheit (zum Beispiel Zentimeter) stehen. - Kannst du zuerst die Länge der unbekannten Seite berechnen, wenn du den Umfang und eine Seite kennst? - Welche der beiden Seiten ist die kürzere? - Benutze den Flächeninhalt und die Länge dieser kürzeren Seite, um die dazugehörige Höhe zu finden.

1. Einheiten angleichen: Der Umfang \(U = 1{,}4\,\text{m} = 140\,\text{cm}\). 2. Bestimmung der zweiten Seitenlänge: Aus \(U = 2 \cdot (a + b)\) folgt \(140 = 2 \cdot (45 + b)\). Division durch 2 ergibt \(70 = 45 + b\), also ist die zweite Seite \(b = 25\,\text{cm}\). 3. Identifikation der kürzeren Seite: Die Seiten sind \(45\,\text{cm}\) und \(25\,\text{cm}\). Die kürzere Seite ist somit \(b = 25\,\text{cm}\). 4. Berechnung der gesuchten Höhe \(h_b\): Da \(A = b \cdot h_b\), gilt \(900 = 25 \cdot h_b\). 5. Ergebnis berechnen: \(h_b = 900 : 25 = 36\,\text{cm}\). Zusatzprüfung (optional): \(h_b \le a\) bedeutet \(36 \le 45\), was geometrisch möglich ist.

Die Höhe auf der kürzeren Seite beträgt \(36\,\text{cm}\).

- Berechne zuerst, wie hoch das Dreieck sein müsste, um den gewünschten Flächeninhalt zu erreichen. - Überlege dir, wie die Höhe in einem Dreieck im Verhältnis zu den an die Grundseite angrenzenden Seiten steht. - Kann eine an die Grundseite angrenzende Seite kürzer sein als die zugehörige Höhe? Skizziere dir ein Dreieck und die Höhe.

1. Berechnung der benötigten Höhe \(h_c\) zur Grundseite \(c\): Aus \(A = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h_c\) folgt \(20 = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot h_c\). 2. Berechnungswert für \(h_c\): \(20 = 4 \cdot h_c \implies h_c = 5\,\text{cm}\). 3. Vergleich der Höhe mit den Seitenlängen: Die Höhe \(h_c\) ist der senkrechte Abstand von \(C\) zur Geraden \(AB\). Daher ist sie höchstens so lang wie jede der beiden an die Grundseite \(c\) angrenzenden Seiten \(a\) und \(b\). 4. Schlussfolgerung: Damit das Dreieck existieren kann, müsste \(h_c \le a\) gelten. Da jedoch \(5\,\text{cm} > 4\,\text{cm}\) ist, kann die Seite \(a\) die erforderliche Höhe nicht erreichen. Das Dreieck ist nicht konstruierbar.

Die notwendige Höhe \(h_c\) für diesen Flächeninhalt beträgt \(5\,\text{cm}\). Da die an die Grundseite \(c\) angrenzende Seite \(a = 4\,\text{cm}\) kürzer als die Höhe \(h_c = 5\,\text{cm}\) ist, ist die Konstruktion unmöglich.

- Skizziere das Koordinatensystem und markiere die Achsen, um die Quadranten zu erkennen. - Wo schneidet das Dreieck die x-Achse und die y-Achse? - Welche Form hat das Teilstück, das im ersten Quadranten liegt? - Berechne erst die gesamte Fläche und dann die gesuchte Teilfläche separat.

1. Gesamtflächeninhalt: Die Seite \(AC\) ist vertikal mit der Länge \(5 - (-5) = 10\). Die Seite \(AB\) ist horizontal mit der Länge \(5 - (-5) = 10\). Da \(AC\) und \(AB\) senkrecht aufeinander stehen, ist das Dreieck rechtwinklig bei \(A\). Der Flächeninhalt ist \(A_{Gesamt} = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 10 = 50\) Flächeneinheiten. 2. Teilfläche im I. Quadranten: Der I. Quadrant umfasst alle Punkte mit \(x > 0\) und \(y > 0\). Die Seite \(AB\) verläuft von \(x=-5\) bis \(x=5\) auf der Höhe \(y=5\). Im I. Quadranten liegt das Teilstück von \(x=0\) bis \(x=5\) (Länge \(5\)). Die Hypotenuse \(BC\) verläuft durch den Ursprung \((0|0)\), da sie die Punkte \((-5|-5)\) und \((5|5)\) verbindet (Gerade \(y=x\)). Die Teilfläche im I. Quadranten ist somit ein Dreieck mit den Eckpunkten \((0|0)\), \((5|5)\) und \((0|5)\). 3. Berechnung der Teilfläche: Dieses kleine Dreieck hat eine horizontale Grundseite (auf \(y=5\)) der Länge \(5\) und eine Höhe von \(5\) (Abstand von \(y=5\) zu \(y=0\)). Der Flächeninhalt beträgt \(A_{I} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 5 = 12{,}5\) Flächeneinheiten. 4. Prozentsatz: \(\frac{12{,}5}{50} \cdot 100 = 25\,\%\).

a) Der Gesamtflächeninhalt beträgt \(50\) Flächeneinheiten. b) \(25\,\%\) der Fläche liegen im I. Quadranten.

- Erinnere dich an die Formel für den Flächeninhalt eines Trapezes. - Kannst du zuerst herausfinden, wie groß die Summe der beiden parallelen Seiten sein muss? - Wenn du die Summe kennst und weißt, dass eine Seite um einen bestimmten Wert länger ist als die andere, wie kannst du die Längen aufteilen? - Versuche, eine der Seiten durch die andere auszudrücken.

1. Aufstellen der Flächenformel für das Trapez: \(A = \frac{a + c}{2} \cdot h\) 2. Einsetzen der bekannten Werte: \(60 = \frac{a + c}{2} \cdot 6\) 3. Vereinfachen der Gleichung: \(60 = (a + c) \cdot 3\) 4. Division durch 3 liefert die Summe der parallelen Seiten: \(a + c = 20\,\text{cm}\) 5. Einsetzen der Beziehung \(a = c + 4\) in die Summe: \((c + 4) + c = 20\) 6. Zusammenfassen und Lösen nach \(c\): \(2 \cdot c + 4 = 20 \Rightarrow 2 \cdot c = 16 \Rightarrow c = 8\,\text{cm}\) 7. Berechnen von \(a\): \(a = 8\,\text{cm} + 4\,\text{cm} = 12\,\text{cm}\)

Die Seite \(a\) ist \(12\,\text{cm}\) lang und die Seite \(c\) ist \(8\,\text{cm}\) lang.

- Erinnere dich an die Formel für den Trapezinhalt: Man addiert die parallelen Seiten, teilt durch 2 und nimmt das Ergebnis mal die Höhe. - Was passiert mit dem Ergebnis einer Multiplikation, wenn man nur einen der Faktoren verdoppelt? - Wenn man bei einer Figur alle Längen halbiert, schrumpft die Fläche stärker als die einzelnen Linien. Probiere es Schritt für Schritt aus.

1. Flächeninhalt Trapez: \(A = \frac{a+c}{2} \cdot h = \frac{4\,\text{cm} + 6\,\text{cm}}{2} \cdot 5\,\text{cm} = 5\,\text{cm} \cdot 5\,\text{cm} = 25\,\text{cm}^2\). 2. Verdopplung der Höhe: \(h' = 10\,\text{cm}\). Neuer Inhalt: \(A' = \frac{4+6}{2} \cdot 10 = 5 \cdot 10 = 50\,\text{cm}^2\). Der Flächeninhalt verdoppelt sich. 3. Halbierung aller Maße: \(a'' = 2\,\text{cm}\), \(c'' = 3\,\text{cm}\), \(h'' = 2{,}5\,\text{cm}\). 4. Neuer Flächeninhalt: \(A'' = \frac{2 + 3}{2} \cdot 2{,}5 = 2{,}5 \cdot 2{,}5 = 6{,}25\,\text{cm}^2\). 5. Vergleich: \(25\,\text{cm}^2 : 6{,}25\,\text{cm}^2 = 4\). Der Flächeninhalt viertelt sich (wird durch 4 geteilt).

a) \(25\,\text{cm}^2\) b) Der Flächeninhalt verdoppelt sich (\(50\,\text{cm}^2\)). c) Der Flächeninhalt viertelt sich (neuer Wert: \(6{,}25\,\text{cm}^2\)).

- Man kann den Flächeninhalt eines Dreiecks auf verschiedene Arten berechnen, je nachdem, welche Seite und Höhe man nutzt. - Was weißt du über den Flächeninhalt, egal welche Grundseite du wählst? - Wie kannst du den Umfang nutzen, wenn du bereits zwei Seitenlängen kennst?

1. Berechnung des Flächeninhalts \(A\) mit der Seite \(c\) und der Höhe \(h_c\): \(A = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h_c = \frac{1}{2} \cdot 10\,\text{cm} \cdot 4{,}8\,\text{cm} = 24\,\text{cm}^2\). 2. Berechnung der Seite \(a\) unter Verwendung des Flächeninhalts und der Höhe \(h_a\): \(24 = \frac{1}{2} \cdot a \cdot 8 \Rightarrow 24 = 4 \cdot a \Rightarrow a = 6\,\text{cm}\). 3. Berechnung der Seite \(b\) über den Umfang: \(b = U - a - c = 24\,\text{cm} - 6\,\text{cm} - 10\,\text{cm} = 8\,\text{cm}\).

Die Seite \(a\) ist \(6\,\text{cm}\) lang und die Seite \(b\) ist \(8\,\text{cm}\) lang.

- Schau dir die Flächenformel an: Was passiert mit dem Ergebnis, wenn du einen Teil des Zählers verdoppelst? - Musst du für den zweiten Teil wirklich alle Längen einzeln kennen? - Wie hängen die Summe der Seiten und der Flächeninhalt zusammen?

1. Zu Teil a): Einsetzen der Summe \((a+c) = 12\) in die Formel \(A = \frac{a+c}{2} \cdot h\): \(36 = \frac{12}{2} \cdot h\) 2. Berechnung der Höhe: \(36 = 6 \cdot h \implies h = 6\,\text{cm}\) 3. Zu Teil b): Analyse der Flächenformel \(A = \frac{a+c}{2} \cdot h\). Da der Flächeninhalt direkt proportional zur Summe der parallelen Seiten ist (bei gleichbleibender Höhe), führt eine Verdoppelung der Summe \((a+c)\) zu einer Verdoppelung des Flächeninhalts. 4. Ergebnis für den Flächeninhalt: \(2 \cdot 36\,\text{cm}^2 = 72\,\text{cm}^2\)

a) Die Höhe beträgt \(6\,\text{cm}\). b) Der Flächeninhalt beträgt \(72\,\text{cm}^2\). Da der Flächeninhalt proportional zur Summe der parallelen Seiten ist, verdoppelt er sich, wenn die Summe der Seiten verdoppelt wird und die Höhe gleich bleibt.

- Berechne zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms. - Vergleiche die Formeln für das Parallelogramm (\(g \cdot h\)) und das Trapez (\(\frac{a+c}{2} \cdot h\)). - Welchen Wert muss der Ausdruck \(\frac{a+c}{2}\) haben, damit das gleiche Ergebnis herauskommt? - Gibt es nur eine einzige Lösung für \(a\) und \(c\)?

1. Flächeninhalt des Parallelogramms: \(A_P = g \cdot h = 10 \cdot 4 = 40\,\text{cm}^2\). 2. Flächeninhalt des Trapezes: \(A_T = \frac{a + c}{2} \cdot h\). Da \(A_T = A_P\) und \(h\) gleich sind, muss gelten: \(\frac{a + c}{2} = g = 10\). 3. Daraus folgt die Bedingung: \(a + c = 20\,\text{cm}\). 4. Mögliche Paare für \(a\) und \(c\) (wobei \(a\) und \(c\) positiv sein müssen): Paar 1: \(a = 12\,\text{cm}\), \(c = 8\,\text{cm}\). Paar 2: \(a = 15\,\text{cm}\), \(c = 5\,\text{cm}\). (Auch \(a = 10, c = 10\) wäre möglich, dann ist das Trapez ein Parallelogramm).

Die Bedingung ist \(a + c = 20\,\text{cm}\). Mögliche Paare sind zum Beispiel \(a = 12\,\text{cm}, c = 8\,\text{cm}\) und \(a = 15\,\text{cm}, c = 5\,\text{cm}\).

- Wenn ein Produkt gleich bleiben soll und ein Faktor vergrößert wird, was muss dann mit dem anderen Faktor passieren? - Nutze Platzhalter wie \(g\) und \(h\), um allgemeine Aussagen zu prüfen. - Wie wirkt sich eine Verdopplung beider Faktoren in der Formel \(A = g \cdot h\) auf das Endergebnis aus?

1. Flächeninhalt des Dreiecks: \(A = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 10\,\text{cm} \cdot 6\,\text{cm} = 30\,\text{cm}^2\). 2. Neue Höhe bei gleichem Flächeninhalt: Die neue Grundseite ist \(g' = 20\,\text{cm}\). Es gilt \(30\,\text{cm}^2 = \frac{1}{2} \cdot 20\,\text{cm} \cdot h'\). Daraus folgt \(30 = 10 \cdot h'\), also \(h' = 3\,\text{cm}\). Die Höhe muss also halbiert werden. 3. Flächeninhalt Parallelogramm: Ursprünglich \(A = g \cdot h\). Mit neuen Maßen \(g_{neu} = 2 \cdot g\) und \(h_{neu} = 2 \cdot h\) ergibt sich \(A_{neu} = (2 \cdot g) \cdot (2 \cdot h) = 4 \cdot (g \cdot h) = 4 \cdot A\). Die Aussage ist also wahr, der Flächeninhalt vervierfacht sich.

a) Der Flächeninhalt beträgt \(30\,\text{cm}^2\). b) Die Höhe muss auf \(3\,\text{cm}\) verringert (also halbiert) werden. c) Die Aussage ist wahr. Durch Einsetzen von \(2 \cdot g\) und \(2 \cdot h\) in die Formel \(A = g \cdot h\) erhält man \(4 \cdot g \cdot h\), was dem vierfachen Flächeninhalt entspricht.

- Schau dir die Trapezformel genau an: Welche Teile der Formel müssen sich ändern und welche müssen gleich bleiben? - Wenn das Ergebnis der Rechnung am Ende \(24\) sein soll und die Höhe \(4\) ist, was muss dann in der Klammer bzw. im Bruch stehen? - Probiere verschiedene Zahlen für \(a\) und \(c\) aus und rechne nach.

1. Zu a): \(A = \frac{9 + 3}{2} \cdot 4 = 6 \cdot 4 = 24\,\text{cm}^2\) 2. Zu b): Da \(A\) und \(h\) gleich bleiben, muss der Mittelwert \(\frac{a+c}{2}\) gleich \(6\) sein. Mögliche Paare sind z. B. \(a = 8\,\text{cm}, c = 4\,\text{cm}\) oder \(a = 7\,\text{cm}, c = 5\,\text{cm}\) (oder auch \(a=10, c=2\) etc.) 3. Zu c): In der Formel \(A = \frac{a+c}{2} \cdot h\) sind \(A\) und \(h\) fest. Damit die Gleichung erfüllt bleibt, muss die Summe \((a+c)\) immer den gleichen Wert ergeben (hier \(12\,\text{cm}\)).

a) Der Flächeninhalt beträgt \(24\,\text{cm}^2\). b) Mögliche Paare sind zum Beispiel \(a = 10\,\text{cm}, c = 2\,\text{cm}\) oder \(a = 8\,\text{cm}, c = 4\,\text{cm}\). c) Die Summe der beiden parallelen Seiten \(a + c\) muss immer gleich bleiben (in diesem Fall \(12\,\text{cm}\)), damit der Flächeninhalt bei gleichbleibender Höhe konstant ist.

- Überlege dir, wie sich eine Verdopplung der Summe \((a+c)\) auf das Ergebnis der Formel auswirkt. - Überlege dir dann, was die zusätzliche Verdopplung der Höhe bewirkt. - Du kannst die Formel auch so schreiben: \(A = \frac{1}{2} \cdot (a+c) \cdot h\). Was passiert, wenn zwei der Faktoren verdoppelt werden?

1. Ursprünglicher Flächeninhalt: \(A = \frac{a+c}{2} \cdot h\). 2. Neue Werte: \(h_{neu} = 2 \cdot h\) und die neue Summe der parallelen Seiten ist \(a_{neu} + c_{neu} = 2 \cdot a + 2 \cdot c = 2 \cdot (a+c)\). 3. Einsetzen in die Formel: \(A_{neu} = \frac{2 \cdot (a+c)}{2} \cdot 2 \cdot h = (a+c) \cdot 2 \cdot h = 2 \cdot (a+c) \cdot h\). 4. Vergleich mit der ursprünglichen Formel: Da \(A = \frac{1}{2} \cdot (a+c) \cdot h\), ist \(A_{neu} = 4 \cdot (\frac{1}{2} \cdot (a+c) \cdot h) = 4 \cdot A\). 5. Der neue Flächeninhalt ist viermal so groß wie der ursprüngliche.

Der ursprüngliche Flächeninhalt passt genau 4-mal in den neuen Flächeninhalt. Durch die Verdopplung der Summe der parallelen Seiten verdoppelt sich die Fläche; durch die zusätzliche Verdopplung der Höhe verdoppelt sie sich nochmals (\(2 \cdot 2 = 4\)).

- Kannst du die Formel schrittweise rückwärts rechnen, um \(c\) zu isolieren? - Überlege dir für Teil b, wie sich ein Produkt verhält, wenn man einen Faktor verdoppelt. - Nutze für Teil c die in Teil a gefundene Länge für \(c\). - Was ist der „Durchschnitt“ der beiden parallelen Seiten? Dieser Wert hilft dir bei der Berechnung der Höhe.

1. Teil a: Einsetzen in \(A = \frac{a+c}{2} \cdot h \implies 25 = \frac{4+c}{2} \cdot 5\) 2. Division durch 5: \(5 = \frac{4+c}{2}\). Multiplikation mit 2: \(10 = 4+c\). Ergebnis: \(c = 6\,\text{cm}\) 3. Teil b: Da die Höhe ein linearer Faktor in der Formel \(A = \frac{a+c}{2} \cdot h\) ist, führt eine Verdopplung der Höhe bei konstanten Grundseiten zu einer Verdopplung des Flächeninhalts (\(50\,\text{cm}^2\)). 4. Teil c: Einsetzen der neuen Fläche \(A = 60\) und der bekannten Seiten \(a=4, c=6\): \(60 = \frac{4+6}{2} \cdot h\) 5. Berechnung des Mittelwerts: \(\frac{10}{2} = 5\). Gleichung: \(60 = 5 \cdot h\) 6. Ergebnis: \(h = 12\,\text{cm}\)

a) Die Seite \(c\) ist \(6\,\text{cm}\) lang. b) Der Flächeninhalt würde sich ebenfalls verdoppeln (auf \(50\,\text{cm}^2\)), da die Höhe proportional zum Flächeninhalt ist. c) Die neue Höhe müsste \(h = 12\,\text{cm}\) betragen.

- Versuche dir eine Skizze der Zerlegung zu machen. Wie hängen die Längen auf der unteren Seite zusammen? - Wenn du die Dreiecke an den Seiten wegschneidest, was bleibt in der Mitte übrig? - Du kannst den Flächeninhalt entweder mit der Trapezformel oder durch Addieren der Teilflächen berechnen.

1. Bestimmung der Seite \(c\): Da das Trapez gleichschenklig ist und an beiden Enden der Basis \(a\) jeweils ein Stück von \(2\,\text{cm}\) für die Dreiecke „abgeht“, berechnet sich die obere Seite zu \(c = a - 2 \cdot 2\,\text{cm} = 10\,\text{cm} - 4\,\text{cm} = 6\,\text{cm}\). 2. Berechnung des Flächeninhalts mit der Trapezformel: \(A = \frac{10\,\text{cm} + 6\,\text{cm}}{2} \cdot 4\,\text{cm}\). 3. Ausrechnen des Ergebnisses: \(A = \frac{16\,\text{cm}}{2} \cdot 4\,\text{cm} = 8\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm} = 32\,\text{cm}^2\). 4. Alternativweg über Teilflächen: Rechteck (\(6\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm} = 24\,\text{cm}^2\)) plus zwei Dreiecke (\(2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 2\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm} = 8\,\text{cm}^2\)). Gesamtsumme: \(24\,\text{cm}^2 + 8\,\text{cm}^2 = 32\,\text{cm}^2\).

a) Die Seite \(c\) ist \(6\,\text{cm}\) lang. b) Der Flächeninhalt des Trapezes beträgt \(32\,\text{cm}^2\).

- Schreibe die Formeln für beide Flächeninhalte nebeneinander auf. - Was unterscheidet die Formel des Rechtecks von der des Dreiecks? - Überlege dir für den zweiten Teil, wie sich die Faktoren 2 und 3 auf das Endergebnis in der Formel auswirken. - Du kannst dir auch hier wieder einfache Zahlen für \(g\) und \(h\) ausdenken, um es zu prüfen.

1. Für Teil a): Flächeninhalt Rechteck \(A_R = g \cdot h\). Flächeninhalt Dreieck \(A_D = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h\). Das Verhältnis ist \(A_R : A_D = 1 : 0{,}5 = 2 : 1\). Das Rechteck ist doppelt so groß wie das Dreieck. 2. Für Teil b): Ursprüngliches Dreieck \(A_1 = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h\). 3. Neues Dreieck mit \(g_{neu} = 2 \cdot g\) und \(h_{neu} = 3 \cdot h\): \(A_2 = \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot g) \cdot (3 \cdot h) = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot g \cdot h = 3 \cdot g \cdot h\). 4. Vergleich durch Division: \(\frac{A_2}{A_1} = \frac{3 \cdot g \cdot h}{0{,}5 \cdot g \cdot h} = \frac{3}{0{,}5} = 6\). Das neue Dreieck ist 6-mal so groß.

a) Das Rechteck hat den doppelten Flächeninhalt des Dreiecks (Verhältnis \(2 : 1\)). b) Der ursprüngliche Flächeninhalt passt genau 6-mal in das neue Dreieck.

- Vergleiche die Flächenformeln für Dreiecke und Parallelogramme. - Was musst du bei der Dreiecksformel beachten, was bei der Parallelogrammformel nicht vorkommt? - Wenn du die Höhe des Parallelogramms hast, wie rechnest du sie auf die y-Koordinate um, wenn die Grundseite bei \(y=2\) startet?

1. Grundseite \(g = 6 - 2 = 4\,\text{LE}\). 2. Höhe Dreieck: \(10 = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot h_{\text{Dreieck}} \Rightarrow 10 = 2 \cdot h_{\text{Dreieck}} \Rightarrow h_{\text{Dreieck}} = 5\,\text{LE}\). 3. Höhe Parallelogramm: \(A = g \cdot h_{\text{Para}} \Rightarrow 10 = 4 \cdot h_{\text{Para}} \Rightarrow h_{\text{Para}} = 2{,}5\,\text{LE}\). 4. y-Koordinate von \(DE\): Da \(AB\) auf \(y = 2\) liegt und \(DE\) darüber liegt: \(y = 2 + 2{,}5 = 4{,}5\). 5. Vergleich: Die Flächenformel des Dreiecks enthält den Faktor \(\frac{1}{2}\), die des Parallelogramms nicht. Bei gleicher Grundseite und gleichem Inhalt muss das Dreieck also doppelt so hoch sein wie das Parallelogramm.

a) Die Höhe des Dreiecks beträgt \(5\,\text{LE}\). b) Die Seite \(DE\) muss auf der Höhe \(y = 4{,}5\) liegen. c) In der Flächenformel des Dreiecks wird durch \(2\) geteilt (\(A = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h\)). Damit bei gleicher Grundseite derselbe Flächeninhalt wie beim Parallelogramm (\(A = g \cdot h\)) herauskommt, muss die Höhe des Dreiecks doppelt so groß sein wie die des Parallelogramms.

- Wie hängen Grundseite, Höhe und Flächeninhalt beim Dreieck zusammen? - Kannst du die Formel nach der gesuchten Größe umstellen? - Probiere die Behauptung in Teil c) Schritt für Schritt mit den Zahlen aus Teil a) aus.

1. Berechnung der Höhe von Dreieck A: \(24 = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot h \Rightarrow 24 = 4 \cdot h \Rightarrow h = 6\,\text{cm}\). 2. Berechnung der Grundseite von Dreieck B: \(24 = \frac{1}{2} \cdot g \cdot 4 \Rightarrow 24 = 2 \cdot g \Rightarrow g = 12\,\text{cm}\). 3. Überprüfung der Behauptung für Dreieck A: Ursprüngliche Werte \(g = 8\,\text{cm}\), \(h = 6\,\text{cm}\). 4. Neue Werte: \(g_{\text{neu}} = 8 \cdot 2 = 16\,\text{cm}\) und \(h_{\text{neu}} = 6 : 2 = 3\,\text{cm}\). 5. Neuer Flächeninhalt: \(A_{\text{neu}} = \frac{1}{2} \cdot 16\,\text{cm} \cdot 3\,\text{cm} = 8 \cdot 3 = 24\,\text{cm}^2\). 6. Ergebnis: Der Flächeninhalt bleibt gleich, die Aussage ist korrekt.

a) Die Höhe von Dreieck A beträgt \(6\,\text{cm}\). b) Die Grundseite von Dreieck B beträgt \(12\,\text{cm}\). c) Die Behauptung ist wahr, da der neue Flächeninhalt mit \(16\,\text{cm}\) Grundseite und \(3\,\text{cm}\) Höhe wieder \(24\,\text{cm}^2\) ergibt.

- Der Flächeninhalt eines Parallelogramms bleibt gleich, egal welche Grundseite und zugehörige Höhe du zur Berechnung nutzt. - Überlege dir für Teil c), wie die Variablen in der Formel zusammenhängen. Was passiert mit dem Ergebnis, wenn ein Faktor verdoppelt wird?

1. Berechnung des Flächeninhalts mit \(a\) und \(h_a\): \(A = a \cdot h_a = 10\,\text{cm} \cdot 4{,}5\,\text{cm} = 45\,\text{cm}^2\). 2. Berechnung der Höhe \(h_b\) unter Verwendung des Flächeninhalts: \(A = b \cdot h_b \Rightarrow 45\,\text{cm}^2 = 6\,\text{cm} \cdot h_b\). 3. Auflösen nach \(h_b\): \(h_b = 45 : 6 = 7{,}5\,\text{cm}\). 4. Untersuchung der Änderung: Neuer Flächeninhalt \(A_{neu} = (2 \cdot a) \cdot h_a = 2 \cdot (a \cdot h_a) = 2 \cdot A\). Der Flächeninhalt verdoppelt sich, da er proportional zur Grundseite ist.

a) Der Flächeninhalt beträgt \(45\,\text{cm}^2\). b) Die Höhe \(h_b\) beträgt \(7{,}5\,\text{cm}\). c) Der Flächeninhalt verdoppelt sich ebenfalls, da die Grundseite ein direkter Faktor in der Flächenformel ist.

- Was passiert mit einem Produkt, wenn man einen Faktor durch 2 teilt und den anderen mit 2 multipliziert? - Berechne zuerst den neuen Ziel-Flächeninhalt und die neue Grundseite einzeln. - Stelle eine kleine Gleichung auf, um die unbekannte Höhe zu finden.

1. Ursprünglicher Flächeninhalt: \(A = \frac{1}{2} \cdot 12\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm} = 24\,\text{cm}^2\). 2. Überprüfung der Aussage: Neue Grundseite \(c' = 6\,\text{cm}\), neue Höhe \(h' = 8\,\text{cm}\). Neuer Flächeninhalt \(A' = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24\,\text{cm}^2\). Die Aussage ist wahr. 3. Berechnung für Teil c): Neue Grundseite \(c'' = \frac{12}{3} = 4\,\text{cm}\). Ziel-Flächeninhalt \(A'' = 2 \cdot 24 = 48\,\text{cm}^2\). Einsetzen in die Formel: \(48 = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot h'' \Rightarrow 48 = 2 \cdot h'' \Rightarrow h'' = 24\,\text{cm}\).

a) Der Flächeninhalt beträgt \(24\,\text{cm}^2\). b) Die Aussage ist wahr, da \(\frac{1}{2} \cdot 6\,\text{cm} \cdot 8\,\text{cm} = 24\,\text{cm}^2\) gilt. c) Die neue Höhe muss \(24\,\text{cm}\) betragen.

- Welche Besonderheit haben die Seiten an einem rechten Winkel bei der Flächenberechnung? - Jede Seite eines Dreiecks kann als Grundseite dienen, solange man die richtige Höhe verwendet. - Schau dir die Flächenformel an: Was passiert mit dem Ergebnis, wenn man einen der Faktoren verdoppelt?

1. Im rechtwinkligen Dreieck dient eine Kathete als Grundseite und die andere als Höhe: \(A = \frac{1}{2} \cdot 6\,\text{cm} \cdot 8\,\text{cm} = 24\,\text{cm}^2\). 2. Berechnung der Höhe \(h_c\): \(A = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h_c \Rightarrow 24\,\text{cm}^2 = \frac{1}{2} \cdot 10\,\text{cm} \cdot h_c\). 3. Auflösen nach \(h_c\): \(24 = 5 \cdot h_c \Rightarrow h_c = 4{,}8\,\text{cm}\). 4. Verdopplung von \(a\): In der Formel \(A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b\) ist der Flächeninhalt proportional zur Grundseite. Wenn \(a\) verdoppelt wird, verdoppelt sich auch das Produkt und damit der Flächeninhalt auf \(48\,\text{cm}^2\).

a) Der Flächeninhalt beträgt \(24\,\text{cm}^2\). b) Die Höhe \(h_c\) beträgt \(4{,}8\,\text{cm}\). c) Der Flächeninhalt verdoppelt sich (auf \(48\,\text{cm}^2\)), da die Grundseite in der Flächenformel verdoppelt wird und die Höhe gleich bleibt.

- Berechne zuerst den Flächeninhalt, den beide Trapeze gemeinsam haben. - Was fällt dir auf, wenn du die „mittlere Breite“ (den Durchschnitt der parallelen Seiten) beider Trapeze vergleichst? - Wie beeinflussen sich Breite und Höhe bei gleichbleibender Fläche?

1. Berechnung des Flächeninhalts von Trapez 1: \(A = \frac{10 + 14}{2} \cdot 6 = 12 \cdot 6 = 72\,\text{cm}^2\) 2. Da die Flächen gleich sind, gilt für Trapez 2: \(72 = \frac{8 + 22}{2} \cdot h_2\) 3. Berechnung der Höhe \(h_2\): \(72 = 15 \cdot h_2 \Rightarrow h_2 = \frac{72}{15} = 4{,}8\,\text{cm}\) 4. Vergleich der Seitensummen: Trapez 1 hat \(10 + 14 = 24\,\text{cm}\), Trapez 2 hat \(8 + 22 = 30\,\text{cm}\) 5. Begründung: Da die Summe der parallelen Seiten bei Trapez 2 größer ist, muss die Höhe kleiner sein, damit das Produkt (und somit der Flächeninhalt) gleich bleibt.

a) Die Höhe von Trapez 2 beträgt \(4{,}8\,\text{cm}\). b) Da die Summe der parallelen Seiten bei Trapez 2 (\(30\,\text{cm}\)) größer ist als bei Trapez 1 (\(24\,\text{cm}\)), muss die Höhe entsprechend kleiner ausfallen, um denselben Flächeninhalt zu erzielen.

- Überlege dir zuerst, für welche Grundseite du bereits die passende Höhe kennst. - Wie hängen Grundseite, Höhe und Flächeninhalt mathematisch zusammen? - Kann ein Dreieck zwei verschiedene Flächeninhalte haben?

1. Berechnung des Flächeninhalts mit \(a\) und \(h_a\): \(A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a = \frac{1}{2} \cdot 14\,\text{cm} \cdot 5\,\text{cm} = 35\,\text{cm}^2\). 2. Berechnung der Höhe \(h_b\) unter Verwendung des Flächeninhalts: \(h_b = \frac{2 \cdot A}{b} = \frac{2 \cdot 35\,\text{cm}^2}{10\,\text{cm}} = \frac{70}{10}\,\text{cm} = 7\,\text{cm}\). 3. Der Flächeninhalt ist eine feste Eigenschaft der geometrischen Fläche innerhalb der drei Eckpunkte. Da sich die Form und Größe des Dreiecks nicht ändern, muss jede Kombination aus Grundseite und zugehöriger Höhe denselben Wert für den Flächeninhalt liefern.

a) \(A = 35\,\text{cm}^2\) b) \(h_b = 7\,\text{cm}\) c) Der Flächeninhalt beschreibt die Größe der überdeckten Fläche, die unabhängig von der Wahl der Grundseite konstant ist.

- Erinnere dich an die Formel für den Flächeninhalt, in der die Mittellinie \(m\) vorkommt. - Was passiert mit der Summe der beiden Seiten, wenn man zu der einen genau das dazugibt, was man bei der anderen wegnimmt? - Überlege, wovon der Flächeninhalt eines Trapezes genau abhängt.

1. Berechnung des Flächeninhalts: \(A = m \cdot h = 12\,\text{cm} \cdot 5\,\text{cm} = 60\,\text{cm}^2\). 2. Analyse der Änderung: Die Mittellinie \(m\) berechnet sich aus \(\frac{a + c}{2}\). 3. Da \(a\) um \(2\) vergrößert und \(c\) um \(2\) verkleinert wird, bleibt die Summe \(a + c\) gleich (\(a + 2 + c - 2 = a + c\)). 4. Da die Summe der parallelen Seiten und die Höhe unverändert bleiben, bleibt auch der Flächeninhalt gleich.

a) Der Flächeninhalt beträgt \(60\,\text{cm}^2\). b) Der Flächeninhalt verändert sich nicht, da die Summe der parallelen Seiten \(a + c\) (und damit auch die Mittellinie \(m\)) gleich bleibt.

- Setze alle bekannten Werte in die Flächenformel für das Trapez ein. - Überlege dir, wie du die Formel schrittweise rückwärts rechnen kannst. - Wenn das Ergebnis der Rechnung \(\frac{a+c}{2} \cdot 5 = 40\) ist, was muss dann \(\frac{a+c}{2}\) sein?

1. Aufstellen der Formel für den Flächeninhalt des Trapezes: \(A = \frac{a + c}{2} \cdot h\). 2. Einsetzen der bekannten Werte: \(40 = \frac{6 + c}{2} \cdot 5\). 3. Umstellen der Gleichung nach der Unbekannten \(c\): Zuerst Division durch die Höhe: \(40 : 5 = 8\). Es gilt also \(\frac{6 + c}{2} = 8\). 4. Multiplikation mit 2, um den Nenner zu entfernen: \(8 \cdot 2 = 16\). Es gilt \(6 + c = 16\). 5. Subtraktion der bekannten Seite: \(16 - 6 = 10\). Die gesuchte Seite \(c\) ist \(10\,\text{cm}\) lang.

Die andere parallele Seite ist \(10\,\text{cm}\) lang.

- Gehe Zeile für Zeile vor und überlege, welche Formel die bekannten Werte mit dem gesuchten Wert verknüpft. - Wenn du die Mittellinie und eine Seite kennst, wie kannst du die andere Seite berechnen? - Denke daran, dass die Mittellinie genau in der Mitte zwischen den beiden parallelen Seiten liegt.

1. Trapez 1: \(m = \frac{4{,}5 + 3{,}5}{2} = 4\,\text{m}\). \(A = 4\,\text{m} \cdot 2\,\text{m} = 8\,\text{m}^2\). 2. Trapez 2: Aus \(m = \frac{a + c}{2}\) folgt \(10 = \frac{8 + c}{2}\), also \(20 = 8 + c\), woraus \(c = 12\,\text{cm}\) resultiert. Aus \(A = m \cdot h\) folgt \(50 = 10 \cdot h\), woraus \(h = 5\,\text{cm}\) resultiert. 3. Trapez 3: Aus \(m = \frac{a + c}{2}\) folgt \(15 = \frac{a + 12}{2}\), also \(30 = a + 12\), woraus \(a = 18\,\text{mm}\) resultiert. \(A = m \cdot h = 15\,\text{mm} \cdot 10\,\text{mm} = 150\,\text{mm}^2\).

Trapez 1: \(m = 4\,\text{m}\), \(A = 8\,\text{m}^2\) Trapez 2: \(c = 12\,\text{cm}\), \(h = 5\,\text{cm}\) Trapez 3: \(a = 18\,\text{mm}\), \(A = 150\,\text{mm}^2\)

- Berechne zuerst den Flächeninhalt für die ursprünglichen Koordinaten. - Überlege dir, welche Länge sich durch die Verschiebung von \(C\) zu \(C'\) ändert und welche gleich bleibt. - Berechne den neuen Flächeninhalt und vergleiche ihn mit dem alten Ergebnis.

1. Berechnung des ursprünglichen Flächeninhalts: Grundseite \(a = 7 - 1 = 6\), Seite \(c = 5 - 3 = 2\), Höhe \(h = 4 - 1 = 3\). \(A_1 = \frac{6+2}{2} \cdot 3 = 4 \cdot 3 = 12\,\text{FE}\). 2. Berechnung des neuen Flächeninhalts: Die neue Seite \(c'\) hat die Länge \(8 - 3 = 5\). \(A_2 = \frac{6+5}{2} \cdot 3 = 5{,}5 \cdot 3 = 16{,}5\,\text{FE}\). 3. Ermittlung der Zunahme: Die Differenz beträgt \(16{,}5 - 12 = 4{,}5\). Der Flächeninhalt vergrößert sich um \(4{,}5\,\text{FE}\).

a) Der ursprüngliche Flächeninhalt beträgt \(12\,\text{FE}\). b) Der Flächeninhalt nimmt um \(4{,}5\,\text{FE}\) zu.

- Stelle zuerst eine Formel für den Flächeninhalt mit den ursprünglichen Zahlen auf. - Schreibe auf, wie die neuen Längen der Seiten und der Höhe aussehen. - Berechne den neuen Flächeninhalt und vergleiche ihn mit deinem ersten Ergebnis.

1. Berechnung des ursprünglichen Flächeninhalts in Abhängigkeit von \(h\): \(A_1 = \frac{12\,\text{cm} + 8\,\text{cm}}{2} \cdot h = 10\,\text{cm} \cdot h\) 2. Bestimmung der neuen Maße: \(a_{neu} = 6\,\text{cm}\), \(c_{neu} = 4\,\text{cm}\), \(h_{neu} = 2 \cdot h\) 3. Berechnung des neuen Flächeninhalts: \(A_2 = \frac{6\,\text{cm} + 4\,\text{cm}}{2} \cdot (2 \cdot h) = 5\,\text{cm} \cdot 2 \cdot h = 10\,\text{cm} \cdot h\) 4. Vergleich der Ergebnisse: \(A_1 = A_2\). Der Flächeninhalt bleibt unverändert.

Der Flächeninhalt bleibt gleich. Rechnung: Ursprünglich \(A = \frac{12\,\text{cm} + 8\,\text{cm}}{2} \cdot h = 10\,\text{cm} \cdot h\); neu \(A = \frac{6\,\text{cm} + 4\,\text{cm}}{2} \cdot (2 \cdot h) = 5\,\text{cm} \cdot 2 \cdot h = 10\,\text{cm} \cdot h\).