Kostenlose Arbeitsblätter

- Aus welchen zwei bekannten geometrischen Formen setzt sich die Wand zusammen? - Wie berechnet man den Flächeninhalt eines Rechtecks? - Wie lautet die Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks? - Wie erhältst du das Gesamtergebnis aus den beiden Teilflächen?

1. Berechnung der Fläche des rechteckigen Teils: \(A_1 = ab = 4\,\text{m} \cdot 2{,}5\,\text{m} = 10\,\text{m}^2\). 2. Berechnung der Fläche des dreieckigen Giebels: \(A_2 = \frac{1}{2}gh = \frac{1}{2} \cdot 4\,\text{m} \cdot 1{,}8\,\text{m} = 3{,}6\,\text{m}^2\). 3. Addition der Teilflächen zur Gesamtfläche: \(A_{\text{gesamt}} = 10\,\text{m}^2 + 3{,}6\,\text{m}^2 = 13{,}6\,\text{m}^2\).

Die gesamte Fläche der Giebelseite beträgt \(13{,}6\,\text{m}^2\).

- Ist es einfacher, zuerst alle Längen in dieselbe Einheit umzurechnen oder erst am Ende die Flächen? - Was passiert mit der Gesamtfläche, wenn ein Teil entfernt wird? - Achte darauf, dass du beim Rechnen nur Werte mit der gleichen Einheit kombinierst.

1. Berechnung der Gesamtfläche der Glasplatte: \(80\,\text{cm} \cdot 40\,\text{cm} = 3200\,\text{cm}^2\). 2. Umrechnung der Maße des Ausschnitts in Zentimeter: \(200\,\text{mm} = 20\,\text{cm}\) und \(150\,\text{mm} = 15\,\text{cm}\). 3. Berechnung der Fläche des Ausschnitts: \(20\,\text{cm} \cdot 15\,\text{cm} = 300\,\text{cm}^2\). 4. Subtraktion des Ausschnitts von der Gesamtfläche: \(3200\,\text{cm}^2 - 300\,\text{cm}^2 = 2900\,\text{cm}^2\).

Die verbleibende Glasfläche beträgt \(2900\,\text{cm}^2\).

- Kannst du die L-förmige Figur in zwei einfache Rechtecke zerlegen? - Welche Maße haben die beiden einzelnen Rechtecke? - Wie berechnest du den Flächeninhalt eines Rechtecks? - Um den Umfang zu bestimmen, musst du alle äußeren Seitenlängen zusammenrechnen. Sind dir alle sechs Seitenlängen bekannt?

1. Zerlegung der L-förmigen Figur in zwei Rechtecke: - Unteres Rechteck mit den Seitenlängen \(8\,\text{m}\) und \(4\,\text{m}\): \(A_1 = 8\,\text{m} \cdot 4\,\text{m} = 32\,\text{m}^2\) - Oberes linkes Rechteck mit den Seitenlängen \(5\,\text{m}\) und \(3\,\text{m}\) (da die Gesamthöhe links \(7\,\text{m}\) und die Höhe des unteren Rechtecks \(4\,\text{m}\) beträgt, ist die verbleibende Höhe \(7\,\text{m} - 4\,\text{m} = 3\,\text{m}\)): \(A_2 = 5\,\text{m} \cdot 3\,\text{m} = 15\,\text{m}^2\) 2. Gesamtflächeninhalt: \(A = A_1 + A_2 = 32\,\text{m}^2 + 15\,\text{m}^2 = 47\,\text{m}^2\) 3. Berechnung des Umfangs durch Addition aller sechs Außenkanten: \(U = 8\,\text{m} + 4\,\text{m} + 3\,\text{m} + 3\,\text{m} + 5\,\text{m} + 7\,\text{m} = 30\,\text{m}\)

a) Der Flächeninhalt des Beets beträgt \(47\,\text{m}^2\). b) Es müssen insgesamt \(30\,\text{m}\) Holzleisten gekauft werden.

- Stell dir vor, die Figur wäre ein vollständig ausgefülltes \(5 \times 5\)-Quadrat. - Welche rechteckige Fläche ist ausgespart? - Ziehe die ausgesparte Fläche von der Fläche des äußeren Quadrats ab.

1. Das äußere Quadrat hat die Seitenlänge \(5\). Sein Flächeninhalt beträgt \(5 \cdot 5 = 25\,\text{FE}\). 2. Das ausgesparte Rechteck ist \(4\) Einheiten breit und \(3\) Einheiten hoch. Sein Flächeninhalt beträgt \(4 \cdot 3 = 12\,\text{FE}\). 3. Der Flächeninhalt der orangefarbenen C-Form beträgt \(25 - 12 = 13\,\text{FE}\).

\(13\,\text{FE}\)

- Berechne zuerst, wie groß das gesamte Rechteck wäre, wenn es kein Loch hätte. - Berechne dann die Fläche des inneren „Lochs“. - Was musst du tun, um nur die Fläche des Rahmens zu erhalten?

1. Berechnung des Flächeninhalts des äußeren Rechtecks: \(10\,\text{cm} \cdot 8\,\text{cm} = 80\,\text{cm}^2\). 2. Berechnung des Flächeninhalts der inneren Aussparung: \(6\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm} = 24\,\text{cm}^2\). 3. Subtraktion der Aussparung von der Gesamtfläche: \(80\,\text{cm}^2 - 24\,\text{cm}^2 = 56\,\text{cm}^2\).

Die Fläche des Bilderrahmens beträgt \(56\,\text{cm}^2\).

- Stell dir vor, du hast ein volles Rechteck und nimmst ein kleineres Stück aus der Mitte heraus. - Welche Rechenoperation hilft dir, wenn ein Teil von einer Gesamtfläche entfernt wird?

1. Berechnung des gesamten Flächeninhalts der Metallplatte: \(25\,\text{cm} \cdot 20\,\text{cm} = 500\,\text{cm}^2\). 2. Berechnung des Flächeninhalts des ausgeschnittenen Mittelteils: \(15\,\text{cm} \cdot 10\,\text{cm} = 150\,\text{cm}^2\). 3. Subtraktion der Flächen, um den Rahmeninhalt zu erhalten: \(500\,\text{cm}^2 - 150\,\text{cm}^2 = 350\,\text{cm}^2\).

Der Flächeninhalt des Rahmens beträgt \(350\,\text{cm}^2\).

- Zerlege den Platz in zwei Rechtecke, deren Maße du aus der Zeichnung ablesen oder berechnen kannst. - Wie breit ist der schmale Teil des Platzes auf der rechten Seite? - Addiere am Ende die beiden Einzelflächen.

1. Bestimmung der Maße der beiden Teilrechtecke: Das erste Rechteck hat die Maße \(8\,\text{m} \cdot 4\,\text{m}\). Das zweite Rechteck hat eine Breite von \(11\,\text{m} - 8\,\text{m} = 3\,\text{m}\) und eine Höhe von \(5\,\text{m}\). 2. Berechnung der Flächen: \(A_1 = 8\,\text{m} \cdot 4\,\text{m} = 32\,\text{m}^2\) und \(A_2 = 3\,\text{m} \cdot 5\,\text{m} = 15\,\text{m}^2\). 3. Berechnung der Gesamtfläche: \(32\,\text{m}^2 + 15\,\text{m}^2 = 47\,\text{m}^2\).

Der gesamte Flächeninhalt des Platzes beträgt \(47\,\text{m}^2\).

- Du kannst die Figur in drei schmale, senkrechte Rechtecke zerlegen. - Wie breit ist jede einzelne Stufe? - Du kannst auch waagerechte Rechtecke zur Berechnung nutzen. Probier es aus!

1. Zerlegung in drei Teilrechtecke (von links nach rechts): - Rechteck 1: \(3\,\text{m}\) breit, \(6\,\text{m}\) hoch \(\rightarrow A_1 = 3 \cdot 6 = 18\,\text{m}^2\). - Rechteck 2: \(6\,\text{m} - 3\,\text{m} = 3\,\text{m}\) breit, \(4\,\text{m}\) hoch \(\rightarrow A_2 = 3 \cdot 4 = 12\,\text{m}^2\). - Rechteck 3: \(9\,\text{m} - 6\,\text{m} = 3\,\text{m}\) breit, \(2\,\text{m}\) hoch \(\rightarrow A_3 = 3 \cdot 2 = 6\,\text{m}^2\). 2. Addition der Teilflächen: \(18\,\text{m}^2 + 12\,\text{m}^2 + 6\,\text{m}^2 = 36\,\text{m}^2\).

Der gesamte Flächeninhalt der Terrasse beträgt \(36\,\text{m}^2\).

- Manchmal ist es einfacher, von einer großen Fläche ein Stück abzuziehen, als viele kleine Flächen zusammenzurechnen. - Welche Maße hat das große Rechteck, das die gesamte Figur umschließt? - Wie groß ist das "Loch" in der Mitte, das nicht gepflastert wird?

1. Den Flächeninhalt der U-förmigen Terrasse bestimmen: Man berechnet die Fläche des großen umschließenden Rechtecks (\(8\,\text{m} \times 6\,\text{m} = 48\,\text{m}^2\)) und subtrahiert die Fläche der inneren Aussparung (\(4\,\text{m} \times 3\,\text{m} = 12\,\text{m}^2\)). 2. Tatsächliche Fläche: \(48\,\text{m}^2 - 12\,\text{m}^2 = 36\,\text{m}^2\). 3. Gesamtkosten berechnen: \(36\,\text{m}^2 \cdot 55\,\text{€/m}^2 = 1980\,\text{€}\).

Die Gesamtkosten betragen \(1980\,\text{€}\).

- Suche nach einer Möglichkeit, die Figur in zwei Rechtecke zu teilen. - Welche Maße haben die beiden Teilflächen? - Multipliziere die Gesamtfläche mit dem Preis pro Quadratmeter.

1. Zerlegung der Fläche in zwei Teilrechtecke: Rechteck 1 (\(12\,\text{m} \cdot 5\,\text{m} = 60\,\text{m}^2\)) und Rechteck 2 (\(6\,\text{m} \cdot 5\,\text{m} = 30\,\text{m}^2\)). 2. Gesamter Flächeninhalt: \(60\,\text{m}^2 + 30\,\text{m}^2 = 90\,\text{m}^2\). 3. Gesamtkosten berechnen: \(90\,\text{m}^2 \cdot 45\,\text{€}/\text{m}^2 = 4050\,\text{€}\).

a) Der Flächeninhalt der Terrasse beträgt \(90\,\text{m}^2\). b) Der Bodenbelag kostet insgesamt \(4050\,\text{€}\).

- Kannst du die Figur in zwei einfachere Formen zerlegen? - Welche Maße haben die Teilrechtecke?

1. Zerlegung der Figur in zwei Rechtecke: - Rechteck 1: \(3\,\text{cm} \times 6\,\text{cm} \implies A_1 = 18\,\text{cm}^2\). - Rechteck 2: \(3\,\text{cm} \times 3\,\text{cm} \implies A_2 = 9\,\text{cm}^2\). 2. Gesamtfläche: \(A = A_1 + A_2 = 18\,\text{cm}^2 + 9\,\text{cm}^2 = 27\,\text{cm}^2\). Alternativ: Ergänzung zu einem großen Quadrat (\(6 \times 6\)) und Abzug eines Quadrats (\(3 \times 3\)): \(36 - 9 = 27\,\text{cm}^2\).

Der Flächeninhalt beträgt \(27\,\text{cm}^2\).

- Berechne zuerst die Fläche des großen Rechtecks. - Wie groß ist ein quadratisches Loch? - Wie viel Fläche geht durch beide Löcher insgesamt verloren? - Subtrahiere diesen Wert von der Gesamtfläche.

1. Gesamtfläche der Platte ohne Löcher: \(30\,\text{cm} \cdot 20\,\text{cm} = 600\,\text{cm}^2\). 2. Fläche einer Aussparung: \(5\,\text{cm} \cdot 5\,\text{cm} = 25\,\text{cm}^2\). 3. Gesamtfläche beider Aussparungen: \(2 \cdot 25\,\text{cm}^2 = 50\,\text{cm}^2\). 4. Verbleibende Fläche: \(600\,\text{cm}^2 - 50\,\text{cm}^2 = 550\,\text{cm}^2\).

Die verbleibende Fläche beträgt \(550\,\text{cm}^2\).

- Wie berechnet man den Flächeninhalt eines Quadrats? - Kannst du die Maße der kleinen Dreiecke an den Ecken bestimmen? - Überlege dir, wie du die Rasenfläche aus dem großen Quadrat „herausschneiden“ kannst.

1. Der Flächeninhalt des gesamten quadratischen Beets beträgt \(A_{\text{Gesamt}} = 10\,\text{m} \cdot 10\,\text{m} = 100\,\text{m}^2\). 2. Die vier Eckdreiecke sind rechtwinklig. Die Katheten eines solchen Dreiecks sind \(3\,\text{m}\) und \(10\,\text{m} - 3\,\text{m} = 7\,\text{m}\) lang. 3. Der Flächeninhalt eines Eckdreiecks ist \(A_{\text{Dreieck}} = \frac{1}{2} \cdot 3\,\text{m} \cdot 7\,\text{m} = 10{,}5\,\text{m}^2\). 4. Die vier Eckdreiecke haben zusammen den Flächeninhalt \(4 \cdot 10{,}5\,\text{m}^2 = 42\,\text{m}^2\). 5. Für die Rasenfläche bleibt \(A_{\text{Rasen}} = 100\,\text{m}^2 - 42\,\text{m}^2 = 58\,\text{m}^2\).

Der Flächeninhalt der Rasenfläche beträgt \(58\,\text{m}^2\).

- Überlege dir zuerst, welche Teilflächen hinzugefügt werden und welche abgezogen werden müssen. - Notiere dir die Formeln für den Flächeninhalt von Rechtecken, Quadraten und Dreiecken. - Achte darauf, alle Zwischenergebnisse mit der richtigen Einheit anzugeben. - Kannst du die Figur in deinem Kopf oder auf einer Skizze in Einzelteile zerlegen?

1. Berechnung des Flächeninhalts des Rechtecks: \(A_{\text{Rechteck}} = 5\,\text{cm} \cdot 3\,\text{cm} = 15\,\text{cm}^2\) 2. Berechnung des Flächeninhalts des Quadrats: \(A_{\text{Quadrat}} = (2\,\text{cm})^2 = 4\,\text{cm}^2\) 3. Berechnung des Flächeninhalts des Dreiecks: \(A_{\text{Dreieck}} = \frac{1}{2} \cdot 1{,}2\,\text{cm} \cdot 1{,}5\,\text{cm} = 0{,}6 \cdot 1{,}5\,\text{cm}^2 = 0{,}9\,\text{cm}^2\) 4. Ermittlung der Gesamtfläche durch Addition der Rechtecks- und Quadratsflächen und anschließende Subtraktion der Dreiecksfläche: \(A_{\text{Gesamt}} = 15\,\text{cm}^2 + 4\,\text{cm}^2 - 0{,}9\,\text{cm}^2 = 18{,}1\,\text{cm}^2\)

Der Flächeninhalt beträgt \(18{,}1\,\text{cm}^2\).

- Berechne zuerst die Flächeninhalte der beiden geometrischen Formen einzeln. - Wie lautet die Formel für den Flächeninhalt eines Trapezes? - Wie lautet die Formel für ein Parallelogramm? - Um den Prozentsatz zu finden, kannst du den Anteil als Bruch schreiben und diesen auf den Nenner 100 erweitern.

1. Flächeninhalt des Trapezes berechnen: \(A_{\text{Trapez}} = \frac{a + c}{2} \cdot h = \frac{6\,\text{cm} + 4\,\text{cm}}{2} \cdot 3\,\text{cm} = 5\,\text{cm} \cdot 3\,\text{cm} = 15\,\text{cm}^2\) 2. Flächeninhalt des Parallelogramms berechnen: \(A_{\text{Para}} = g \cdot h_g = 4\,\text{cm} \cdot 2{,}5\,\text{cm} = 10\,\text{cm}^2\) 3. Gesamtfläche addieren: \(A_{\text{Gesamt}} = 15\,\text{cm}^2 + 10\,\text{cm}^2 = 25\,\text{cm}^2\) 4. Prozentualen Anteil des Parallelogramms bestimmen: \(\frac{10}{25} = \frac{40}{100} = 40\,\%\)

Der Gesamtflächeninhalt des Logos beträgt \(25\,\text{cm}^2\). Das Parallelogramm nimmt \(40\,\%\) der Gesamtfläche ein.

- Stelle dir vor, wie viel Material insgesamt durch die Quadrate entfernt wird. - Spielt es für die Größe eines Loches eine Rolle, wo genau es sich in der Platte befindet? - Denke an die Formel für den Flächeninhalt eines Parallelogramms. - Wie berechnet man den Flächeninhalt von drei gleichen Objekten?

1. Flächeninhalt des Parallelogramms berechnen: \(A_{\text{Para}} = 12\,\text{cm} \cdot 8\,\text{cm} = 96\,\text{cm}^2\) 2. Flächeninhalt eines Quadrats berechnen: \(A_{\text{Quadrat}} = (2{,}5\,\text{cm})^2 = 6{,}25\,\text{cm}^2\) 3. Gesamtfläche der drei Quadrate berechnen: \(3 \cdot 6{,}25\,\text{cm}^2 = 18{,}75\,\text{cm}^2\) 4. Restfläche durch Subtraktion bestimmen: \(96\,\text{cm}^2 - 18{,}75\,\text{cm}^2 = 77{,}25\,\text{cm}^2\) 5. Begründung zur Lage: Der Flächeninhalt ändert sich nicht, da die Größe der abgezogenen Teilflächen gleich bleibt, unabhängig von ihrer Position.

a) Die Restfläche beträgt \(77{,}25\,\text{cm}^2\). b) Nein, der Flächeninhalt ändert sich nicht, da die Größe der entfernten Flächenstücke gleich bleibt, solange sie innerhalb der Platte liegen.

- Wie kannst du die Längen der beiden inneren Seiten herausfinden, indem du die bekannten Außenlängen vergleichst? - Denke daran, dass der Umfang die Summe aller äußeren Begrenzungslinien der Figur ist. - Wie kannst du die L-förmige Terrasse in zwei einfache, rechteckige Flächen aufteilen? - Berechne zuerst die Flächeninhalte der beiden einzelnen Rechtecke und addiere sie anschließend. - Wie viele Packungen benötigst du, wenn eine Packung für eine bestimmte Quadratmeterzahl ausreicht? Runde gegebenenfalls auf die nächste ganze Packung auf.

1. Bestimmung der fehlenden inneren Seitenlängen: - Die Gesamthöhe rechts beträgt \(6\,\text{m}\), die Höhe links beträgt \(3\,\text{m}\). Die innere vertikale Seite ist somit \(6\,\text{m} - 3\,\text{m} = 3\,\text{m}\) lang. - Die Gesamtbreite unten beträgt \(8\,\text{m}\), die Breite oben rechts beträgt \(4\,\text{m}\). Die innere horizontale Seite ist somit \(8\,\text{m} - 4\,\text{m} = 4\,\text{m}\) lang. 2. Berechnung des Umfangs: Addiere alle sechs Seitenlängen der Terrasse: \(\text{Umfang} = 8\,\text{m} + 6\,\text{m} + 4\,\text{m} + 3\,\text{m} + 4\,\text{m} + 3\,\text{m} = 28\,\text{m}\) 3. Berechnung des Flächeninhalts durch Zerlegung in zwei Rechtecke: - Zerlege die Figur horizontal in ein unteres Rechteck der Größe \(8\,\text{m} \times 3\,\text{m}\) und ein oberes Rechteck der Größe \(4\,\text{m} \times 3\,\text{m}\). - \(\text{Fläche 1} = 8\,\text{m} \cdot 3\,\text{m} = 24\,\text{m}^2\) - \(\text{Fläche 2} = 4\,\text{m} \cdot 3\,\text{m} = 12\,\text{m}^2\) - \(\text{Gesamtfläche} = 24\,\text{m}^2 + 12\,\text{m}^2 = 36\,\text{m}^2\) 4. Berechnung der Kosten für die Steinplatten: - Anzahl der benötigten Packungen: \(36\,\text{m}^2 : 2\,\text{m}^2 = 18\) Packungen. - Da \(18\) eine glatte ganze Zahl ist, müssen genau \(18\) Packungen gekauft werden. - Gesamtkosten: \(18 \cdot 34{,}90\,\text{€} = 628{,}20\,\text{€}\)

a) Der Umfang der Terrasse beträgt \(28\,\text{m}\). b) Der Flächeninhalt beträgt \(36\,\text{m}^2\). Herr Schmidt benötigt \(18\) Packungen Steinplatten und muss insgesamt \(628{,}20\,\text{€}\) bezahlen.

- Kannst du dir vorstellen, dass die Figur aus einem großen Rechteck besteht, aus dem ein kleineres Rechteck herausgeschnitten wurde? - Welche Maße hätte das große, vollständige Rechteck ohne den Ausschnitt? - Welche Maße hat der Ausschnitt auf der rechten Seite? - Denke daran, beim Umfang wirklich jede einzelne Kante der Figur – auch die inneren Kanten – mitzuzählen.

1. Berechnung des Flächeninhalts mit der Ergänzungsmethode: Das große umschließende Rechteck hat die Maße \(6\,\text{cm} \times 7\,\text{cm}\) mit einer Fläche von \(A_{\text{gesamt}} = 6\,\text{cm} \cdot 7\,\text{cm} = 42\,\text{cm}^2\). 2. Der rechteckige Ausschnitt hat die Maße \(4\,\text{cm} \times 3\,\text{cm}\) (da \(6\,\text{cm} - 2\,\text{cm} = 4\,\text{cm}\) und \(5\,\text{cm} - 2\,\text{cm} = 3\,\text{cm}\)) mit einer Fläche von \(A_{\text{Ausschnitt}} = 4\,\text{cm} \cdot 3\,\text{cm} = 12\,\text{cm}^2\). 3. Subtraktion zur Bestimmung der Bauteilfläche: \(A = 42\,\text{cm}^2 - 12\,\text{cm}^2 = 30\,\text{cm}^2\). 4. Berechnung des Umfangs durch Aufsummieren aller acht Seitenlängen: \(U = 6\,\text{cm} + 2\,\text{cm} + 4\,\text{cm} + 3\,\text{cm} + 4\,\text{cm} + 2\,\text{cm} + 6\,\text{cm} + 7\,\text{cm} = 34\,\text{cm}\).

a) Der Flächeninhalt des Bauteils beträgt \(30\,\text{cm}^2\). b) Der Umfang des Bauteils beträgt \(34\,\text{cm}\).

- Wie kannst du die L-förmige Gesamtfläche in kleinere, einfachere Rechtecke zerlegen? - Gibt es eine Möglichkeit, die Fläche zu berechnen, indem du von einem großen, gedachten Rechteck eine Ecke abziehst? - Was musst du mit der Fläche des Beetes tun, da dieses nicht verfliest wird? - Berechne zuerst die gesamte Terrassenfläche und ziehe dann den nicht verfliesten Bereich ab.

1. **Flächeninhalt der L-förmigen Terrasse (ohne Beet-Abzug):** Man kann die L-Form in zwei Teilrechtecke zerlegen: - Ein linkes Hochkant-Rechteck der Breite \(6\,\text{m}\) und der Höhe \(10\,\text{m}\). Seine Fläche beträgt \(6\,\text{m} \cdot 10\,\text{m} = 60\,\text{m}^2\). - Ein rechtes Quer-Rechteck der Breite \(12\,\text{m} - 6\,\text{m} = 6\,\text{m}\) und der Höhe \(4\,\text{m}\). Seine Fläche beträgt \(6\,\text{m} \cdot 4\,\text{m} = 24\,\text{m}^2\). - Die Gesamtfläche der L-Form beträgt \(60\,\text{m}^2 + 24\,\text{m}^2 = 84\,\text{m}^2\). Alternativ kann man die L-Form zu einem großen Rechteck der Maße \(12\,\text{m} \times 10\,\text{m}\) (Fläche \(120\,\text{m}^2\)) ergänzen und die fehlende Ecke der Maße \(6\,\text{m} \times 6\,\text{m}\) (Fläche \(36\,\text{m}^2\)) abziehen: \(120\,\text{m}^2 - 36\,\text{m}^2 = 84\,\text{m}^2\). 2. **Flächeninhalt des Beetes (Loch):** Das Beet hat die Maße \(2\,\text{m} \times 3\,\text{m}\). Seine Fläche beträgt \(2\,\text{m} \cdot 3\,\text{m} = 6\,\text{m}^2\). 3. **Zu verfliesende Fläche:** Von der Gesamtfläche der Terrasse wird die Fläche des Beetes abgezogen: \(84\,\text{m}^2 - 6\,\text{m}^2 = 78\,\text{m}^2\).

Die zu verfliesende Fläche beträgt \(78\,\text{m}^2\).

- Kannst du dir vorstellen, wie groß die Fläche wäre, wenn es kein Loch gäbe? - Wie berechnet man den Flächeninhalt des gesamten äußeren Rechtecks? - Wie berechnet man den Flächeninhalt des inneren Lochs? - Was musst du tun, um den übrig gebliebenen grünen Teil zu berechnen, wenn das Loch ausgeschnitten wird?

1. Berechnung des Flächeninhalts des gesamten äußeren Rechtecks (ohne Aussparung): \(A_{\text{außen}} = 24\,\text{dm} \cdot 18\,\text{dm} = 432\,\text{dm}^2\). 2. Berechnung des Flächeninhalts des inneren rechteckigen Lochs: \(A_{\text{innen}} = 14\,\text{dm} \cdot 8\,\text{dm} = 112\,\text{dm}^2\). 3. Subtraktion des inneren Flächeninhalts vom äußeren Flächeninhalt, um den verbleibenden grünen Flächeninhalt zu erhalten: \(A_{\text{grün}} = 432\,\text{dm}^2 - 112\,\text{dm}^2 = 320\,\text{dm}^2\).

Der Flächeninhalt des verbleibenden grünen Teppichbodens beträgt \(320\,\text{dm}^2\).

- Kannst du dir vorstellen, dass der Pool ein großes, ausgefülltes Rechteck ist, aus dem ein kleineres Rechteck herausgeschnitten wurde? - Wenn du das große Rechteck nimmst, welche Maße hat die ausgeschnittene Fläche in der Mitte? - Alternativ kannst du die Form auch in drei kleinere Rechtecke aufteilen. Welche Maße haben diese? - Achte darauf, wie sich die Gesamthöhe aus den einzelnen Abschnitten zusammensetzt.

1. Berechnung über Ergänzung zu einem großen Rechteck: Das umgebende große Rechteck hat die Maße \(10\,\text{m} \times 8\,\text{m}\). Der Flächeninhalt dieses großen Rechtecks beträgt: \(A_{\text{groß}} = 10\,\text{m} \cdot 8\,\text{m} = 80\,\text{m}^2\) 2. Berechnung der ausgeschnittenen Innenfläche: Die rechteckige Aussparung im oberen Bereich hat eine Breite von \(4\,\text{m}\) und eine Höhe von \(5\,\text{m}\). Ihr Flächeninhalt beträgt: \(A_{\text{Innen}} = 4\,\text{m} \cdot 5\,\text{m} = 20\,\text{m}^2\) 3. Berechnung der Poolfläche: Subtrahiert man die Aussparung von der großen Rechtecksfläche, erhält man den Gesamtflächeninhalt: \(A_{\text{Pool}} = A_{\text{groß}} - A_{\text{Innen}} = 80\,\text{m}^2 - 20\,\text{m}^2 = 60\,\text{m}^2\) Alternativer Lösungsweg durch Zerlegung in drei Rechtecke: - Zwei vertikale Seitenbalken von jeweils \(3\,\text{m} \times 8\,\text{m}\): \(2 \cdot (3\,\text{m} \cdot 8\,\text{m}) = 48\,\text{m}^2\) - Ein horizontaler Verbindungsbalken am Boden mit den Maßen \(4\,\text{m} \times 3\,\text{m}\) (da \(8\,\text{m} - 5\,\text{m} = 3\,\text{m}\)): \(4\,\text{m} \cdot 3\,\text{m} = 12\,\text{m}^2\) - Gesamtfläche: \(48\,\text{m}^2 + 12\,\text{m}^2 = 60\,\text{m}^2\)

Der Flächeninhalt des Swimmingpools beträgt \(60\,\text{m}^2\).

- Kannst du die Figur in einfachere Formen wie Rechtecke oder Quadrate zerlegen? - Gibt es eine große äußere Form, von der du ein Stück abziehen kannst? - Vergiss nicht, dass sich in der Mitte ein Loch befindet. Wie beeinflusst das den gesamten Flächeninhalt? - Berechne zuerst den Flächeninhalt der äußeren Figur, bevor du das Loch berücksichtigst. - Welche Maße haben die einzelnen Teile, die du berechnen möchtest?

1. Der äußere Teil der Figur kann in zwei einfache Teilrechtecke zerlegt werden: Ein großes linkes Quadrat mit den Seitenlängen \(6\,\text{cm} \times 6\,\text{cm}\) und ein kleineres rechtes Rechteck mit den Seitenlängen \(2\,\text{cm} \times 3\,\text{cm}\). 2. Der Flächeninhalt des linken Quadrats beträgt: \(A_1 = 6\,\text{cm} \cdot 6\,\text{cm} = 36\,\text{cm}^2\). 3. Der Flächeninhalt des rechten Rechtecks beträgt: \(A_2 = 2\,\text{cm} \cdot 3\,\text{cm} = 6\,\text{cm}^2\). 4. Der gesamte äußere Flächeninhalt (ohne Berücksichtigung des Lochs) beträgt somit: \(A_{\text{außen}} = A_1 + A_2 = 36\,\text{cm}^2 + 6\,\text{cm}^2 = 42\,\text{cm}^2\). 5. Das quadratische Loch in der Mitte hat eine Seitenlänge von \(2\,\text{cm}\). Sein Flächeninhalt beträgt: \(A_{\text{Loch}} = 2\,\text{cm} \cdot 2\,\text{cm} = 4\,\text{cm}^2\). 6. Der gesuchte Flächeninhalt der Figur ergibt sich, indem man den Flächeninhalt des Lochs vom äußeren Flächeninhalt abzieht: \(A = A_{\text{außen}} - A_{\text{Loch}} = 42\,\text{cm}^2 - 4\,\text{cm}^2 = 38\,\text{cm}^2\). Alternativ kann man die äußere Figur zu einem großen Rechteck der Maße \(8\,\text{cm} \times 6\,\text{cm}\) ergänzen (\(A_{\text{gesamt}} = 48\,\text{cm}^2\)) und die oben rechts fehlende Ecke der Maße \(2\,\text{cm} \times 3\,\text{cm}\) (\(A_{\text{Ecke}} = 6\,\text{cm}^2\)) abziehen, um auf \(A_{\text{außen}} = 42\,\text{cm}^2\) zu kommen.

\(38\,\text{cm}^2\)

- Kannst du die Figur so in zwei Rechtecke zerlegen, dass du von beiden die Seitenlängen kennst? - Überlege, wie du eine fehlende Seitenlänge aus den anderen bekannten, parallelen Seiten berechnen kannst? - Wie berechnet man den gesamten Umfang einer Figur? Musst du dafür alle Teilstrecken addieren? - Achte darauf, dass für das Tor kein Zaun benötigt wird. Welchen Rechenschritt musst du am Ende durchführen?

1. Zerlegung der Figur in zwei Teilrechtecke: Ein linkes Rechteck mit den Seitenlängen \(6\,\text{m}\) und \(12\,\text{m}\) und ein rechtes Rechteck mit den Seitenlängen \(9\,\text{m}\) (berechnet aus \(15\,\text{m} - 6\,\text{m}\)) und \(5\,\text{m}\). 2. Berechnung der Teilflächen: \(A_1 = 6\,\text{m} \cdot 12\,\text{m} = 72\,\text{m}^2\) \(A_2 = 9\,\text{m} \cdot 5\,\text{m} = 45\,\text{m}^2\) 3. Gesamtflächeninhalt: \(A = A_1 + A_2 = 72\,\text{m}^2 + 45\,\text{m}^2 = 117\,\text{m}^2\) 4. Bestimmung der fehlenden Seitenlängen für den Umfang: Die innere waagerechte Seite ist \(15\,\text{m} - 6\,\text{m} = 9\,\text{m}\) lang. Die innere senkrechte Seite ist \(12\,\text{m} - 5\,\text{m} = 7\,\text{m}\) lang. 5. Berechnung des Gesamtumfangs: \(U = 12\,\text{m} + 15\,\text{m} + 5\,\text{m} + 9\,\text{m} + 7\,\text{m} + 6\,\text{m} = 54\,\text{m}\) 6. Abzug der Torbreite für die Zaunlänge: \(\text{Zaunlänge} = 54\,\text{m} - 3\,\text{m} = 51\,\text{m}\)

a) Der Flächeninhalt des Schulhofs beträgt \(117\,\text{m}^2\). b) Es müssen \(51\,\text{m}\) Zaun gekauft werden.

- Der Umfang ist der Weg einmal um die Figur herum. Zähle die Gitterabschnitte der Außenlinie. - Für den Flächeninhalt kannst du die Figur in Rechtecke zerlegen oder sie zu einem größeren Rechteck ergänzen und Teile abziehen. - Achte darauf, beim Umfang keine Teilstrecke zu vergessen, besonders an den einspringenden Ecken. - Das graue Quadrat unten rechts hilft dir, die Größe einer Einheit zu erkennen.

1. Figur 1: - Umfang: Die Kantenlängen werden addiert: \(5 + 2 + 1 + 3 + 3 + 2 + 3 + 3 = 22\,\text{LE}\). - Flächeninhalt: Zerlegung in drei Teilrechtecke. Ein Rechteck links (\(3 \times 3 = 9\,\text{FE}\)), ein Rechteck in der Mitte (\(2 \times 5 = 10\,\text{FE}\)) und ein Rechteck rechts (\(1 \times 3 = 3\,\text{FE}\)). Gesamt: \(9 + 10 + 3 = 22\,\text{FE}\). 2. Figur 2: - Umfang: Die Kantenlängen werden addiert: \(3 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 3 = 12\,\text{LE}\). - Flächeninhalt: Zerlegung in drei horizontale Streifen oder Abzählen der Quadrate: \(3 + 2 + 1 = 6\,\text{FE}\).

Figur 1: \(U = 22\,\text{LE}\), \(A = 22\,\text{FE}\). Figur 2: \(U = 12\,\text{LE}\), \(A = 6\,\text{FE}\).

- Überlege dir, wie groß die Fläche wäre, wenn kein Loch darin wäre. - Wie viel Fläche geht durch das Loch verloren? - Welche Rechenoperation hilft dir, den Rest zu bestimmen?

1. Berechnung der Fläche der gesamten Glasscheibe (ohne Loch): \(15\,\text{cm} \cdot 10\,\text{cm} = 150\,\text{cm}^2\). 2. Berechnung der Fläche des quadratischen Lochs: \(4\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm} = 16\,\text{cm}^2\). 3. Subtraktion der Lochfläche von der Gesamtfläche: \(150\,\text{cm}^2 - 16\,\text{cm}^2 = 134\,\text{cm}^2\).

Der Flächeninhalt der blauen Glasfläche beträgt \(134\,\text{cm}^2\).

- Stell dir vor, du hast die gesamte große Fläche und schneidest das innere Stück heraus. - Welche Rechenoperation hilft dir, wenn ein Teil einer Fläche weggenommen wird? - Berechne erst die Fläche in Quadratmetern, bevor du die Kosten bestimmst.

1. Berechnung der Gesamtfläche des rechteckigen Grundstücks: \(A_{\text{gesamt}} = 60\,\text{m} \cdot 40\,\text{m} = 2400\,\text{m}^2\). 2. Berechnung des Flächeninhalts der inneren Grünfläche: \(A_{\text{Grün}} = 15\,\text{m} \cdot 10\,\text{m} = 150\,\text{m}^2\). 3. Bestimmung der Asphaltfläche durch Subtraktion der Grünfläche von der Gesamtfläche: \(A_{\text{Asphalt}} = 2400\,\text{m}^2 - 150\,\text{m}^2 = 2250\,\text{m}^2\). 4. Berechnung der Gesamtkosten durch Multiplikation der Asphaltfläche mit dem Quadratmeterpreis: \(2250\,\text{m}^2 \cdot 45\,\text{€}/\text{m}^2 = 101\,250\,\text{€}\).

a) Die zu asphaltierende Fläche beträgt \(2250\,\text{m}^2\). b) Die Gesamtkosten belaufen sich auf \(101\,250\,\text{€}\).

- Berechne zuerst die Fläche so, als gäbe es kein Loch. - Wie berechnet man die Fläche eines Quadrats? - Was musst du tun, um den Teil zu entfernen, der "fehlt"?

1. Berechne den Flächeninhalt des gesamten Parallelogramms: \(A_{\text{Para}} = gh = 20\,\text{cm} \cdot 15\,\text{cm} = 300\,\text{cm}^2\). 2. Berechne den Flächeninhalt des quadratischen Lochs: \(A_{\text{Quadrat}} = s \cdot s = 4\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm} = 16\,\text{cm}^2\). 3. Subtrahiere die Fläche des Lochs vom gesamten Flächeninhalt: \(300\,\text{cm}^2 - 16\,\text{cm}^2 = 284\,\text{cm}^2\).

Der verbleibende Flächeninhalt des Logos beträgt \(284\,\text{cm}^2\).

- Du kannst die Fläche berechnen, indem du ein großes Rechteck nimmst und ein kleines Rechteck davon abziehst. - Wie groß ist das Stück, das aus dem großen Rechteck „herausgeschnitten“ wurde? - Achte darauf, die Höhe der Aussparung richtig zu ermitteln.

1. Ergänzung zu einem großen Rechteck: \(9\,\text{dm} \cdot 8\,\text{dm} = 72\,\text{dm}^2\). 2. Abzug der rechteckigen Aussparung in der Mitte: Diese ist \(6\,\text{dm}\) breit und \(8\,\text{dm} - 2\,\text{dm} - 2\,\text{dm} = 4\,\text{dm}\) hoch. 3. Fläche der Aussparung: \(6\,\text{dm} \cdot 4\,\text{dm} = 24\,\text{dm}^2\). 4. Tatsächlicher Flächeninhalt: \(72\,\text{dm}^2 - 24\,\text{dm}^2 = 48\,\text{dm}^2\).

Der Flächeninhalt der Tischplatte beträgt \(48\,\text{dm}^2\).

- Stell dir das Beet als ein großes Quadrat vor, aus dem in der Mitte ein Rechteck fehlt. - Berechne die Fläche des fehlenden Rechtecks. - Subtrahiere diese vom Gesamtquadrat.

1. Methode durch Ergänzen: Ein großes Rechteck von \(10\,\text{m} \cdot 10\,\text{m} = 100\,\text{m}^2\) abzüglich der Lücke oben. 2. Die Lücke hat eine Breite von \(10\,\text{m} - 3\,\text{m} - 3\,\text{m} = 4\,\text{m}\) und eine Höhe von \(6\,\text{m}\). Ihr Flächeninhalt ist \(4\,\text{m} \cdot 6\,\text{m} = 24\,\text{m}^2\). 3. Beetfläche: \(100\,\text{m}^2 - 24\,\text{m}^2 = 76\,\text{m}^2\).

Der Flächeninhalt des Blumenbeets beträgt \(76\,\text{m}^2\).

- Aus welchen zwei Rechtecken besteht das T-Stück? - Für den Umfang musst du einmal um die gesamte Figur herumgehen und alle Teilstrecken addieren. - Achte darauf, keine Seite zu vergessen oder doppelt zu zählen.

1. Zerlegung in zwei Rechtecke: Ein oberes Querteil (\(12\,\text{cm} \times 3\,\text{cm}\)) und ein unteres Längsteil (\(4\,\text{cm} \times 5\,\text{cm}\)). 2. Berechnung des Flächeninhalts: \(A = (12\,\text{cm} \cdot 3\,\text{cm}) + (4\,\text{cm} \cdot 5\,\text{cm}) = 36\,\text{cm}^2 + 20\,\text{cm}^2 = 56\,\text{cm}^2\). 3. Berechnung des Umfangs durch Addition aller Außenkanten: \(U = 12\,\text{cm} + 3\,\text{cm} + 4\,\text{cm} + 5\,\text{cm} + 4\,\text{cm} + 5\,\text{cm} + 4\,\text{cm} + 3\,\text{cm} = 40\,\text{cm}\).

Der Flächeninhalt beträgt \(56\,\text{cm}^2\) und der Umfang beträgt \(40\,\text{cm}\).

- Wie berechnet man die Fläche eines Rechtecks? - Wenn ein Teil aus einer Fläche herausgeschnitten wird, was bedeutet das für die Berechnung? - Berechne zuerst die Fläche des großen Rechtecks und dann die des kleinen.

1. Berechnung des Flächeninhalts der gesamten Scheibe (ohne Loch): \(A_{\text{gesamt}} = 80\,\text{cm} \cdot 50\,\text{cm} = 4000\,\text{cm}^2\). 2. Berechnung des Flächeninhalts der Aussparung: \(A_{\text{Loch}} = 30\,\text{cm} \cdot 20\,\text{cm} = 600\,\text{cm}^2\). 3. Subtraktion der Aussparung von der Gesamtfläche: \(4000\,\text{cm}^2 - 600\,\text{cm}^2 = 3400\,\text{cm}^2\).

Die verbleibende Glasfläche beträgt \(3400\,\text{cm}^2\).

- Kannst du die Figur in einfachere Formen wie Rechtecke zerlegen? - Wie berechnet man den Flächeninhalt eines Rechtecks? - Überlege, ob ein angebrochener Eimer Lack im Laden gekauft werden kann oder ob du aufrunden musst.

1. Zerlegung der Figur in zwei Teilrechtecke: Ein oberes Rechteck mit den Maßen \(8\,\text{m} \times 3\,\text{m}\) und ein unteres Rechteck mit den Maßen \(3\,\text{m} \times 4\,\text{m}\). 2. Berechnung der Teilflächen: \(A_1 = 8\,\text{m} \cdot 3\,\text{m} = 24\,\text{m}^2\) und \(A_2 = 3\,\text{m} \cdot 4\,\text{m} = 12\,\text{m}^2\). 3. Gesamter Flächeninhalt: \(A_{\text{Gesamt}} = 24\,\text{m}^2 + 12\,\text{m}^2 = 36\,\text{m}^2\). 4. Anzahl der Eimer berechnen: \(36\,\text{m}^2 : 15\,\text{m}^2/\text{Eimer} = 2{,}4\). Da man nur ganze Eimer kaufen kann, müssen \(3\) Eimer bestellt werden.

Der gesamte Flächeninhalt der Terrasse beträgt \(36\,\text{m}^2\). Es müssen \(3\) Eimer Schutzlack gekauft werden.

- Stell dir die Terrasse als eine große Fläche vor, in der ein Loch (der Pool) ist. - Berechne erst die große Fläche und ziehe die Fläche des Pools ab. - Multipliziere das Ergebnis mit dem Preis pro Quadratmeter.

1. Berechnung der Gesamtfläche (Terrasse + Pool): \(12\,\text{m} \cdot 8\,\text{m} = 96\,\text{m}^2\). 2. Berechnung der Poolfläche: \(8\,\text{m} \cdot 4\,\text{m} = 32\,\text{m}^2\). 3. Berechnung der Terrassenfläche durch Subtraktion: \(96\,\text{m}^2 - 32\,\text{m}^2 = 64\,\text{m}^2\). 4. Berechnung der Gesamtkosten: \(64\,\text{m}^2 \cdot 45\,\text{€/m}^2 = 2880\,\text{€}\).

Der Flächeninhalt der Terrasse beträgt \(64\,\text{m}^2\) und die Gesamtkosten belaufen sich auf \(2880\,\text{€}\).

- Berechne zuerst die Fläche jedes Grundstücks einzeln. - Bei Grundstück B hilft es, die Figur in zwei einfache Rechtecke zu unterteilen. - Vergleiche die beiden Ergebnisse und ziehe den kleineren Wert vom größeren ab.

1. Flächeninhalt von Grundstück A berechnen: \(22\,\text{m} \cdot 18\,\text{m} = 396\,\text{m}^2\). 2. Flächeninhalt von Grundstück B berechnen (Zerlegung in zwei Rechtecke): Ein Rechteck mit \(25\,\text{m} \cdot 12\,\text{m} = 300\,\text{m}^2\) und ein Rechteck mit \(10\,\text{m} \cdot (20\,\text{m} - 12\,\text{m}) = 10\,\text{m} \cdot 8\,\text{m} = 80\,\text{m}^2\). Gesamtfläche B: \(300\,\text{m}^2 + 80\,\text{m}^2 = 380\,\text{m}^2\). 3. Vergleich der Flächen: Grundstück A (\(396\,\text{m}^2\)) ist größer als Grundstück B (\(380\,\text{m}^2\)). 4. Differenz berechnen: \(396\,\text{m}^2 - 380\,\text{m}^2 = 16\,\text{m}^2\).

Grundstück A ist um \(16\,\text{m}^2\) größer als Grundstück B.

- Zerlege die Figur in zwei Rechtecke. - Wie lang ist das Teilstück, für das kein Maß direkt an der Kante steht? - Du kannst fehlende Längen finden, indem du parallele Seiten vergleichst.

1. Zerlegung in zwei Rechtecke: Ein unteres Rechteck \(R_1\) und ein oberes Rechteck \(R_2\). 2. \(R_1\) hat die Maße \(10\,\text{cm} \times 4\,\text{cm}\), also \(A_1 = 40\,\text{cm}^2\). 3. Die Breite von \(R_2\) ist oben mit \(6\,\text{cm}\) gegeben. Die Höhe von \(R_2\) berechnet sich aus der Gesamthöhe links (\(9\,\text{cm}\)) minus der Höhe der ersten Stufe (\(4\,\text{cm}\)): \(9\,\text{cm} - 4\,\text{cm} = 5\,\text{cm}\). 4. \(A_2 = 6\,\text{cm} \cdot 5\,\text{cm} = 30\,\text{cm}^2\). 5. Gesamtfläche: \(A = 40\,\text{cm}^2 + 30\,\text{cm}^2 = 70\,\text{cm}^2\).

Der Flächeninhalt der Figur beträgt \(70\,\text{cm}^2\).

- Betrachte zuerst die Form ohne das Loch. - Welchen Teil der Fläche musst du entfernen? - Subtraktion ist hier oft einfacher als die Zerlegung in viele kleine Rechtecke.

1. Berechnung des Flächeninhalts der gesamten äußeren Platte: \(A_{\text{gesamt}} = 12\,\text{cm} \cdot 8\,\text{cm} = 96\,\text{cm}^2\). 2. Berechnung des Flächeninhalts des Ausschnitts (Loch): \(A_{\text{Loch}} = 6\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm} = 24\,\text{cm}^2\). 3. Subtraktion des Ausschnitts von der Gesamtfläche: \(A_{\text{Rest}} = 96\,\text{cm}^2 - 24\,\text{cm}^2 = 72\,\text{cm}^2\).

Der Flächeninhalt des restlichen Blechs beträgt \(72\,\text{cm}^2\).

- Überlege dir, wie du die graue Fläche berechnen kannst, ohne das weiße Rechteck in der Mitte mitzuzählen. - Du kannst zuerst die große Fläche berechnen und dann den Teil abziehen, der nicht gepflastert wird. - Sobald du die Netto-Fläche in Quadratmetern hast, kannst du den Preis bestimmen.

1. Berechnung des Flächeninhalts der gesamten Terrasse (inklusive Beet): \(10\,\text{m} \cdot 6\,\text{m} = 60\,\text{m}^2\). 2. Berechnung des Flächeninhalts des Blumenbeets (Loch): \(3\,\text{m} \cdot 2\,\text{m} = 6\,\text{m}^2\). 3. Berechnung der zu pflasternden Fläche durch Subtraktion: \(60\,\text{m}^2 - 6\,\text{m}^2 = 54\,\text{m}^2\). 4. Berechnung der Gesamtkosten: \(54\,\text{m}^2 \cdot 28{,}00\,\text{€}/\text{m}^2 = 1512{,}00\,\text{€}\).

Die Gesamtkosten für die Pflastersteine betragen \(1512{,}00\,\text{€}\).

- Kannst du die Figur in drei einfache Rechtecke zerlegen? - Wie breit ist der mittlere Teil der Figur? Du kannst ihn aus der Gesamtbreite und den beiden oberen Teilstücken berechnen. - Du kannst auch die Fläche berechnen, als wäre die Figur ein volles Rechteck, und dann das "Loch" abziehen.

1. Berechnung durch Ergänzung: Das große Rechteck hat eine Fläche von \(12\,\text{m} \cdot 8\,\text{m} = 96\,\text{m}^2\). Die Aussparung in der Mitte oben ist ein Rechteck mit einer Breite von \(6\,\text{m}\) (berechnet aus \(12 - 3 - 3\)) und einer Höhe von \(5\,\text{m}\). Die Fläche der Aussparung beträgt \(6\,\text{m} \cdot 5\,\text{m} = 30\,\text{m}^2\). Die Gesamtfläche ist \(96 - 30 = 66\,\text{m}^2\). 2. Berechnung durch Zerlegung: Die Terrasse besteht aus zwei seitlichen Balken (\(3\,\text{m} \cdot 8\,\text{m}\) jeweils) und einem verbindenden unteren Rechteck (\(6\,\text{m} \cdot 3\,\text{m}\)). Gesamt: \(24 + 24 + 18 = 66\,\text{m}^2\).

Die Gesamtfläche der Terrasse beträgt \(66\,\text{m}^2\).

- Zerlege die Hauswand in einfache Formen wie Rechtecke und Dreiecke. - Vergiss nicht, dass das Fenster nicht mitgestrichen wird. - Wie berechnet man den Flächeninhalt eines Dreiecks?

1. Berechnung des Flächeninhalts des rechteckigen Teils der Wand: \(A_{\text{Rechteck}} = 8\,\text{m} \cdot 4\,\text{m} = 32\,\text{m}^2\). 2. Berechnung des Flächeninhalts des dreieckigen Giebels: \(A_{\text{Giebel}} = \frac{1}{2} \cdot 8\,\text{m} \cdot 3\,\text{m} = 12\,\text{m}^2\). 3. Berechnung des Flächeninhalts des Fensters: \(A_{\text{Fenster}} = 2\,\text{m} \cdot 1{,}5\,\text{m} = 3\,\text{m}^2\). 4. Berechnung der gesamten Wandfläche ohne Fenster: \(A_{\text{Gesamt}} = 32\,\text{m}^2 + 12\,\text{m}^2 - 3\,\text{m}^2 = 41\,\text{m}^2\).

Die zu streichende Wandfläche beträgt \(41\,\text{m}^2\).

- Berechne die Flächen der beiden Teilfiguren einzeln. - Wie hoch ist das Dreieck, wenn du die Gesamthöhe und die Höhe des unteren Teils kennst?

1. Berechnung der Rechteckfläche: \(A_{\text{Rechteck}} = 8\,\text{cm} \cdot 5\,\text{cm} = 40\,\text{cm}^2\). 2. Berechnung der Dreieckshöhe: Die Gesamthöhe beträgt \(8\,\text{cm}\), die Rechteckhöhe \(5\,\text{cm}\), also ist die Dreieckshöhe \(h_D = 8\,\text{cm} - 5\,\text{cm} = 3\,\text{cm}\). 3. Berechnung der Dreiecksfläche: \(A_{\text{Dreieck}} = \frac{1}{2} \cdot 8\,\text{cm} \cdot 3\,\text{cm} = 12\,\text{cm}^2\). 4. Gesamtfläche: \(A = 40\,\text{cm}^2 + 12\,\text{cm}^2 = 52\,\text{cm}^2\).

Der Flächeninhalt beträgt \(52\,\text{cm}^2\).

- Kannst du die Figur in zwei einfache Rechtecke unterteilen? - Überlege, wie du fehlende Seitenlängen aus den gegebenen Maßen berechnen kannst. - Der Umfang ist die Länge der äußeren Begrenzungslinie. - Der Flächeninhalt lässt sich auch berechnen, indem man ein großes Rechteck nimmt und die fehlende Ecke abzieht.

1. Zerlegung der Figur: Die Figur kann in zwei Rechtecke zerlegt werden. Zum Beispiel ein linkes Rechteck mit den Seiten \(4\,\text{m}\) und \(5\,\text{m}\) sowie ein rechtes oberes Rechteck mit den Seiten \(3\,\text{m}\) und \(3\,\text{m}\) (da \(7\,\text{m} - 4\,\text{m} = 3\,\text{m}\) und \(5\,\text{m} - 2\,\text{m} = 3\,\text{m}\)). 2. Berechnung des Flächeninhalts: \(A = 4\,\text{m} \cdot 5\,\text{m} + 3\,\text{m} \cdot 3\,\text{m} = 20\,\text{m}^2 + 9\,\text{m}^2 = 29\,\text{m}^2\). Alternativ durch Ergänzung zum großen Rechteck: \(A = 7\,\text{m} \cdot 5\,\text{m} - 3\,\text{m} \cdot 2\,\text{m} = 35\,\text{m}^2 - 6\,\text{m}^2 = 29\,\text{m}^2\). 3. Berechnung des Umfangs: Summe aller Seitenlängen: \(U = 7\,\text{m} + 3\,\text{m} + 3\,\text{m} + 2\,\text{m} + 4\,\text{m} + 5\,\text{m} = 24\,\text{m}\).

Der Flächeninhalt der Terrasse beträgt \(29\,\text{m}^2\) und der Umfang beträgt \(24\,\text{m}\).

- Addiere die Flächen der beiden Einzelrechtecke. - Achte beim Umfang darauf, wirklich alle kleinen Teilstrecken am Rand mitzuzählen. - Welche Maße gehören zu welchen Seiten des Vorsprungs?

1. Zerlegung der Figur: Die Figur besteht aus einem Hauptrechteck (\(15\,\text{cm} \times 10\,\text{cm}\)) und einem angehängten kleinen Rechteck (\(5\,\text{cm} \times 4\,\text{cm}\)). 2. Flächeninhalt: \(A = 15\,\text{cm} \cdot 10\,\text{cm} + 5\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm} = 150\,\text{cm}^2 + 20\,\text{cm}^2 = 170\,\text{cm}^2\). 3. Umfang: Die Summe aller Außenkanten ist \(U = 15 + 3 + 5 + 4 + 5 + 3 + 15 + 10 = 60\,\text{cm}\).

Der Flächeninhalt des Maschinenteils beträgt \(170\,\text{cm}^2\) und der Umfang beträgt \(60\,\text{cm}\).

- Kannst du die Figur mit einer Linie in zwei einfache Rechtecke teilen? - Bestimme die fehlenden Seitenlängen der Teilrechtecke. - Addiere am Ende die beiden Einzelflächen.

1. Zerlegung in zwei Rechtecke: Ein unteres Rechteck mit den Maßen \(10\,\text{cm} \times 3\,\text{cm}\) und ein oberes linkes Rechteck. 2. Die Breite des oberen Teils ist \(4\,\text{cm}\). Die Höhe des oberen Teils ist \(7\,\text{cm} - 3\,\text{cm} = 4\,\text{cm}\). 3. Flächeninhalte: \(A_1 = 10\,\text{cm} \cdot 3\,\text{cm} = 30\,\text{cm}^2\) und \(A_2 = 4\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm} = 16\,\text{cm}^2\). 4. Gesamtfläche: \(30\,\text{cm}^2 + 16\,\text{cm}^2 = 46\,\text{cm}^2\).

Der Flächeninhalt beträgt \(46\,\text{cm}^2\).

- Gehe für den Umfang einmal vollständig um die Figur und addiere alle Teilstrecken. - Du kannst die Fläche berechnen, indem du die beiden Zinnen zur Grundfläche addierst. - Achte darauf, keine Seite doppelt zu zählen oder zu vergessen.

1. Die Figur besteht aus einem unteren Basisrechteck der Größe \(12\,\text{cm} \times 4\,\text{cm}\) und zwei rechteckigen Zinnen der Größe \(2\,\text{cm} \times 3\,\text{cm}\). 2. Berechnung des Flächeninhalts: \(A = (12 \cdot 4) + 2 \cdot (2 \cdot 3) = 48 + 12 = 60\,\text{cm}^2\). 3. Berechnung des Umfangs: Die Summe aller Außenkanten ergibt \(12 + 4 + 3 + 2 + 3 + 3 + 3 + 2 + 3 + 3 + 2 + 4 = 44\,\text{cm}\).

Der Flächeninhalt beträgt \(60\,\text{cm}^2\) und der Umfang \(44\,\text{cm}\).

- Kannst du die Figur in zwei einfachere Rechtecke zerlegen? - Überlege dir, wie du die Längen aller Außenkanten zusammenzählst, um den Umfang zu erhalten. - Achte darauf, dass du keine Seite beim Zusammenzählen vergisst oder doppelt nimmst.

1. Berechnung des Flächeninhalts durch Zerlegen in zwei Rechtecke: - Unteres Rechteck: \(10\,\text{cm} \cdot 3\,\text{cm} = 30\,\text{cm}^2\) - Oberes Rechteck: \(4\,\text{cm} \cdot 5\,\text{cm} = 20\,\text{cm}^2\) - Gesamtfläche: \(30\,\text{cm}^2 + 20\,\text{cm}^2 = 50\,\text{cm}^2\) 2. Für den Umfang beträgt die Summe der beiden waagerechten Teilstrecken neben dem Stamm \(10\,\text{cm} - 4\,\text{cm} = 6\,\text{cm}\). Daher: \(U = 10\,\text{cm} + 2 \cdot 3\,\text{cm} + 2 \cdot 5\,\text{cm} + 4\,\text{cm} + 6\,\text{cm} = 36\,\text{cm}\).

Der Flächeninhalt beträgt \(50\,\text{cm}^2\) und der Umfang beträgt \(36\,\text{cm}\).

- Zerlege das L in zwei Rechtecke. - Achte darauf, wie lang die Seiten der Teilrechtecke sind. Musst du eine Seite erst berechnen? - Multipliziere Länge und Breite für jedes Teilrechteck und zähle die Ergebnisse zusammen.

1. Zerlegung der Fläche in zwei Rechtecke: - Rechteck 1 (unten): \(2{,}00\,\text{m} \cdot 0{,}60\,\text{m} = 1{,}20\,\text{m}^2\) - Rechteck 2 (links oben): Die Höhe beträgt \(2{,}50\,\text{m} - 0{,}60\,\text{m} = 1{,}90\,\text{m}\). Die Breite ist \(0{,}60\,\text{m}\). - Fläche 2: \(0{,}60\,\text{m} \cdot 1{,}90\,\text{m} = 1{,}14\,\text{m}^2\) 2. Gesamtfläche: \(1{,}20\,\text{m}^2 + 1{,}14\,\text{m}^2 = 2{,}34\,\text{m}^2\).

Der Flächeninhalt der Arbeitsplatte beträgt \(2{,}34\,\text{m}^2\).

- Wie viel Platz nehmen die beiden äußeren Dreiecke zusammen im Parallelogramm ein? - Kannst du die Gesamtfläche des Parallelogramms berechnen, wenn du die Fläche eines Eckdreiecks kennst?

1. Der Flächeninhalt von \(\triangle ADE\) ist \(\frac{1}{4}\) der Gesamtfläche \(S_{para}\), da die Grundseite \(AE\) halb so groß wie \(AB\) ist. Also \(S_{para} = 4 \cdot 9 = 36\,\text{cm}^2\). 2. Ebenso ist \(S_{FCD} = \frac{1}{4} S_{para} = 9\,\text{cm}^2\), da \(F\) die Mitte von \(BC\) ist. 3. Das Viereck \(EBFD\) hat den Flächeninhalt \(S_{EBFD} = S_{para} - S_{ADE} - S_{FCD} = 36 - 9 - 9 = 18\,\text{cm}^2\).

\(18\,\text{cm}^2\)

- Achte darauf, vor dem Rechnen alle Maße auf die gleiche Einheit (Zentimeter) zu bringen. - Kannst du die T-Form in einen oberen Querbalken und einen unteren Stamm aufteilen? - Wie groß wäre ein großes Rechteck, das die gesamte Figur genau umschließt? Welche Flächen müsste man davon abziehen? - Ein anderer Weg wäre, die Figur vertikal in drei Streifen zu zerlegen. Probier das doch mal aus!

1. Umrechnen aller Maße in eine einheitliche Einheit (Zentimeter): - Breite des Stammes (unten): \(40\,\text{mm} = 4\,\text{cm}\) - Höhe des oberen Querbalkens: \(30\,\text{mm} = 3\,\text{cm}\) 2. Berechnung des Flächeninhalts (\(A\)) auf zwei verschiedenen Wegen: - **Weg 1 (Zerlegung in zwei waagerechte Rechtecke):** Zerlegung in den oberen Querbalken (\(12\,\text{cm} \times 3\,\text{cm}\)) und den unteren Stamm (\(4\,\text{cm} \times 6\,\text{cm}\)). Die Flächen betragen \(A_{\text{oben}} = 12 \cdot 3 = 36\,\text{cm}^2\) und \(A_{\text{unten}} = 4 \cdot 6 = 24\,\text{cm}^2\). Der gesamte Flächeninhalt ist \(A = 36\,\text{cm}^2 + 24\,\text{cm}^2 = 60\,\text{cm}^2\). - **Weg 2 (Ergänzungsmethode):** Ein umschließendes Rechteck hat eine Gesamtbreite von \(12\,\text{cm}\) und eine Gesamthöhe von \(6\,\text{cm} + 3\,\text{cm} = 9\,\text{cm}\). Seine Fläche beträgt \(A_{\text{gesamt}} = 12 \cdot 9 = 108\,\text{cm}^2\). Links und rechts des Stammes fehlen zwei gleich große, rechteckige Ecken mit einer Breite von \(4\,\text{cm}\) (Überstand) und einer Höhe von \(6\,\text{cm}\). Ihre gemeinsame Fläche ist \(A_{\text{fehlt}} = 2 \cdot (4 \cdot 6) = 48\,\text{cm}^2\). Der Flächeninhalt ist \(A = 108\,\text{cm}^2 - 48\,\text{cm}^2 = 60\,\text{cm}^2\).

Der Flächeninhalt der Holzplatte beträgt \(60\,\text{cm}^2\).

- Manchmal ist es einfacher, eine größere Fläche zu nehmen und etwas wegzunehmen, als viele kleine Teile zusammenzuzählen. - Welches einfache Rechteck umschließt die gesamte Figur? - Welche Form hat die Lücke, die oben in das Rechteck hineinragt?

1. Berechnung des umschreibenden Rechtecks: - Breite = \(6\) Einheiten, Höhe = \(4\) Einheiten. - \(A_{\text{Rechteck}} = 6 \cdot 4 = 24\,\text{FE}\). 2. Berechnung des ausgeschnittenen Dreiecks (der „Kerbe“): - Die Grundseite des Dreiecks liegt oben und ist \(2\) Einheiten lang (von \(x=2\) bis \(x=4\)). - Die Höhe des Dreiecks reicht von \(y=4\) bis \(y=1\), ist also \(3\) Einheiten lang. - \(A_{\text{Dreieck}} = \frac{1}{2}gh = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 3 = 3\,\text{FE}\). 3. Subtraktion: - \(A_{\text{Figur}} = 24 - 3 = 21\,\text{FE}\).

Der Flächeninhalt beträgt \(21\) Flächeneinheiten.