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- Kannst du die Figur in deinem Koordinatensystem einzeichnen? - Welche Seiten der Figur verlaufen parallel zu den Achsen? - Gibt es Linien, die das Viereck in einfachere Formen wie Rechtecke oder Dreiecke teilen? - Wie berechnet man den Flächeninhalt eines Dreiecks oder Rechtecks?

1. Identifikation der Grundseite \(AB\) auf der Geraden \(y=1\) mit der Länge \(10 - 2 = 8\) Längeneinheiten. 2. Identifikation der Oberseite \(CD\) auf der Geraden \(y=5\) mit der Länge \(8 - 4 = 4\) Längeneinheiten. 3. Bestimmung der Höhe \(h\) als vertikaler Abstand zwischen den Geraden: \(5 - 1 = 4\) Längeneinheiten. 4. Zerlegung in ein zentrales Rechteck (Breite 4, Höhe 4) und zwei rechtwinklige Dreiecke an den Seiten (jeweils Grundseite 2, Höhe 4). 5. Berechnung der Teilflächen: Rechteck \(4 \cdot 4 = 16\), Dreieck links \(\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 4 = 4\), Dreieck rechts \(\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 4 = 4\). 6. Gesamtflächeninhalt: \(16 + 4 + 4 = 24\) Flächeneinheiten. Alternativ: Berechnung über die Trapezformel: \(A = \frac{8 + 4}{2} \cdot 4 = 6 \cdot 4 = 24\) Flächeneinheiten.

Der Flächeninhalt des Vierecks \(ABCD\) beträgt \(24\) Flächeneinheiten.

- Wie groß ist die Grundseite des Dreiecks, wenn der Schnitt genau in der Mitte der Seite endet? - Welche Maße des Rechtecks entsprechen der Höhe des Dreiecks? - Gibt es einen einfachen Weg, die Fläche des zweiten Teils zu bestimmen, wenn du die Gesamtfläche bereits kennst?

1. Berechnung des Flächeninhalts des Dreiecks: Die Grundseite entspricht der Hälfte der langen Rechteckseite, also \(30\,\text{cm} : 2 = 15\,\text{cm}\). Die Höhe des Dreiecks entspricht der kurzen Seite des Rechtecks (\(12\,\text{cm}\)). Der Flächeninhalt ist \(A_{\text{Dreieck}} = \frac{1}{2} \cdot 15\,\text{cm} \cdot 12\,\text{cm} = 90\,\text{cm}^2\). 2. Berechnung des Flächeninhalts des Trapezes: Die parallelen Seiten sind die volle Rechteckseite (\(30\,\text{cm}\)) und der verbleibende Rest der gegenüberliegenden Seite (\(15\,\text{cm}\)). Die Höhe ist \(12\,\text{cm}\). Der Flächeninhalt ist \(A_{\text{Trapez}} = \frac{30\,\text{cm} + 15\,\text{cm}}{2} \cdot 12\,\text{cm} = 22{,}5\,\text{cm} \cdot 12\,\text{cm} = 270\,\text{cm}^2\). Alternativ: Gesamtfläche \(30\,\text{cm} \cdot 12\,\text{cm} = 360\,\text{cm}^2\) minus Dreiecksfläche \(90\,\text{cm}^2 = 270\,\text{cm}^2\).

Das Dreieck hat einen Flächeninhalt von \(90\,\text{cm}^2\), das Trapez einen Flächeninhalt von \(270\,\text{cm}^2\).

- Was sind die kleinsten und größten x- und y-Werte deiner Punkte? Diese helfen dir beim umschließenden Rechteck. - Die Seiten der kleinen Dreiecke in den Ecken kannst du einfach durch Abzählen oder Subtrahieren der Koordinaten finden. - Wie berechnet man den Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks?

1. Das umschließende Rechteck hat die Eckpunkte \((1|1)\), \((8|1)\), \((8|6)\) und \((1|6)\). 2. Die Breite des Rechtecks beträgt \(8 - 1 = 7\) Längeneinheiten und die Höhe \(6 - 1 = 5\) Längeneinheiten. Der Flächeninhalt beträgt \(7 \cdot 5 = 35\) Flächeneinheiten. 3. Die vier Dreiecke in den Ecken haben folgende Flächeninhalte: - Unten links: \(\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 1 = 2\) Flächeneinheiten. - Unten rechts: \(\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 = 4{,}5\) Flächeneinheiten. - Oben rechts: \(\frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 2 = 5\) Flächeneinheiten. - Oben links: \(\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 4 = 4\) Flächeneinheiten. 4. Die Summe der äußeren Dreiecksflächen ist \(2 + 4{,}5 + 5 + 4 = 15{,}5\) Flächeneinheiten. 5. Der Flächeninhalt von \(ABCD\) ergibt sich aus der Subtraktion: \(35 - 15{,}5 = 19{,}5\) Flächeneinheiten.

Der Flächeninhalt des Vierecks \(ABCD\) beträgt \(19{,}5\) Flächeneinheiten.

- Hast du versucht, die Figur durch eine horizontale oder vertikale Linie zu teilen? - Suche nach einer Verbindungslinie zwischen zwei Punkten, die parallel zu einer der Achsen verläuft. - Aus welchen zwei bekannten geometrischen Formen besteht das Fünfeck nach deiner Teilung?

1. Einzeichnen der Punkte und Erkennen einer horizontalen Trennungslinie bei \(y=5\) zwischen den Punkten \(T(-1|5)\) und \(R(9|5)\). 2. Zerlegung in ein oberes Dreieck \(TSR\) und ein unteres Trapez \(PQRT\). 3. Berechnung des Dreiecks \(TSR\): Grundseite \(TR = 9 - (-1) = 10\) Längeneinheiten, Höhe \(h_{S} = 8 - 5 = 3\) Längeneinheiten. Fläche \(A_{1} = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 3 = 15\) Flächeneinheiten. 4. Berechnung des Trapezes \(PQRT\): Grundseiten \(PQ = 7 - 1 = 6\) Längeneinheiten und \(TR = 10\) Längeneinheiten, Höhe \(h_{T} = 5 - 2 = 3\) Längeneinheiten. Fläche \(A_{2} = \frac{6 + 10}{2} \cdot 3 = 8 \cdot 3 = 24\) Flächeneinheiten. 5. Addition der Teilflächen: \(15 + 24 = 39\) Flächeneinheiten.

Der Flächeninhalt des Fünfecks \(PQRST\) beträgt \(39\) Flächeneinheiten.

- Welche Fläche bleibt für das Beet übrig, wenn du die Gesamtfläche des Grundstücks kennst? - Das Beet ist ein rechtwinkliges Dreieck. Welche Seite des Rechtecks dient hier als Höhe? - Überlege dir die Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks und setze die bekannten Werte ein.

1. Berechnung des gesamten Flächeninhalts des Rechtecks: \(A_{\text{Gesamt}} = 24\,\text{m} \cdot 10\,\text{m} = 240\,\text{m}^2\). 2. Berechnung der Fläche des Blumenbeets durch Subtraktion: \(A_{\text{Beet}} = 240\,\text{m}^2 - 190\,\text{m}^2 = 50\,\text{m}^2\). 3. Bestimmung der Grundseite \(g\) des Dreiecks: Da die Höhe \(h = 10\,\text{m}\) bekannt ist, gilt \(50\,\text{m}^2 = \frac{1}{2} \cdot g \cdot 10\,\text{m}\). Dies führt zu \(50 = 5 \cdot g\), also \(g = 10\,\text{m}\).

Der Flächeninhalt des Blumenbeets beträgt \(50\,\text{m}^2\). Die Grundseite des Dreiecks entlang der gegenüberliegenden langen Seite ist \(10\,\text{m}\) lang.

- Stelle dir vor, du ziehst eine Linie parallel zu einer der schrägen Seiten des Trapezes. - Wie lang ist die restliche Grundseite, wenn du \(6\,\text{cm}\) für das Parallelogramm „verbrauchst“? - Haben alle Teilfiguren dieselbe Höhe wie das Trapez?

1. Berechnung des Flächeninhalts des Trapezes: \(A_{Trapez} = \frac{1}{2} \cdot (10\,\text{cm} + 6\,\text{cm}) \cdot 4\,\text{cm} = 32\,\text{cm}^2\). 2. Berechnung des Flächeninhalts des Parallelogramms: \(A_{Para} = 6\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm} = 24\,\text{cm}^2\). 3. Bestimmung der Grundseite des Dreiecks: \(g_{Drei} = 10\,\text{cm} - 6\,\text{cm} = 4\,\text{cm}\). 4. Berechnung des Flächeninhalts des Dreiecks: \(A_{Drei} = \frac{1}{2} \cdot 4\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm} = 8\,\text{cm}^2\). 5. Addition der Teilflächen: \(24\,\text{cm}^2 + 8\,\text{cm}^2 = 32\,\text{cm}^2\). Dies entspricht dem Gesamtwert.

Der Flächeninhalt des Parallelogramms beträgt \(24\,\text{cm}^2\), der des Dreiecks \(8\,\text{cm}^2\). Die Summe ergibt \(32\,\text{cm}^2\), was exakt dem berechneten Trapezinhalt entspricht.

- Lukas hat recht, dass man Grundseite und Höhe hier schwer ablesen kann. Aber gibt es eine Form, deren Flächeninhalt du ganz leicht berechnen kannst und die das Dreieck „einrahmt“? - Wenn du das Dreieck in ein Rechteck einpackst, entstehen an den Rändern Flächen, die wir nicht haben wollen. Welche Form haben diese Restflächen? - Kannst du die Längen der Katheten dieser äußeren Dreiecke an den Koordinaten ablesen?

1. Vorgehensweise: Da keine Seite parallel zu den Achsen liegt, wird das Dreieck in ein Rechteck eingeschlossen, das achsenparallele Seiten hat. Die Flächen der entstehenden äußeren rechtwinkligen Dreiecke werden vom Rechteck abgezogen. 2. Eckpunkte des umschließenden Rechtecks: \((2|2), (10|2), (10|9), (2|9)\). 3. Flächeninhalt des Rechtecks: Breite \(10 - 2 = 8\), Höhe \(9 - 2 = 7\). Fläche \(8 \cdot 7 = 56\) Flächeneinheiten. 4. Flächeninhalte der drei äußeren Dreiecke: - Unten: \(\frac{1}{2} \cdot 8 \cdot (4-2) = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 2 = 8\) Flächeneinheiten. - Rechts oben: \(\frac{1}{2} \cdot (10-5) \cdot (9-4) = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 5 = 12{,}5\) Flächeneinheiten. - Links oben: \(\frac{1}{2} \cdot (5-2) \cdot (9-2) = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 7 = 10{,}5\) Flächeneinheiten. 5. Berechnung des Dreiecks \(XYZ\): \(56 - (8 + 12{,}5 + 10{,}5) = 56 - 31 = 25\) Flächeneinheiten.

Der exakte Flächeninhalt des Dreiecks \(XYZ\) beträgt \(25\) Flächeneinheiten.

- Zeichne ein Rechteck um die gesamte Figur herum, sodass alle Ecken der Figur das Rechteck berühren. - Wie groß sind die Seitenlängen dieses großen Rechtecks? - An den Ecken des Rechtecks entstehen Dreiecke, die nicht zum Viereck gehören. Kannst du deren Maße bestimmen? - Warum ist es manchmal einfacher, etwas abzuziehen, als die Figur selbst zu zerlegen?

1. Bestimmung des umschließenden Rechtecks durch die Extremwerte der Koordinaten: \(x\) von 2 bis 8 (Breite 6), \(y\) von 2 bis 7 (Höhe 5). 2. Flächeninhalt des Rechtecks: \(6 \cdot 5 = 30\) Flächeneinheiten. 3. Identifikation der abzuziehenden rechtwinkligen Dreiecke an den Ecken: - Unten rechts (Ecke \((8|2)\)): Dreieck mit Ecken \((2|2), (8|2), (8|3)\). Grundseite 6, Höhe 1. Fläche \(A_{1} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 1 = 3\) Flächeneinheiten. - Oben rechts (Ecke \((8|7)\)): Dreieck mit Ecken \((8|3), (8|7), (6|7)\). Grundseite 2, Höhe 4. Fläche \(A_{2} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 4 = 4\) Flächeneinheiten. - Oben links (Ecke \((2|7)\)): Dreieck mit Ecken \((6|7), (2|7), (2|5)\). Grundseite 4, Höhe 2. Fläche \(A_{3} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2 = 4\) Flächeneinheiten. - Unten links: Da \(K(2|2)\) und \(N(2|5)\) auf derselben vertikalen Linie liegen, gibt es hier kein abzuziehendes Dreieck. 4. Subtraktion der Dreiecksflächen vom Rechteck: \(30 - 3 - 4 - 4 = 19\) Flächeneinheiten.

Der Flächeninhalt des Vierecks \(KLMN\) beträgt \(19\) Flächeneinheiten.

- Skizziere dir ein Trapez und zeichne eine Diagonale ein. Welche Grundseiten haben die entstandenen Dreiecke? - Haben beide Dreiecke die gleiche Höhe wie das Trapez? - Wie berechnet man den Flächeninhalt eines Trapezes direkt?

1. Die Diagonale zerlegt das Trapez in zwei Dreiecke mit der gleichen Höhe \(h = 4\,\text{cm}\). 2. Berechnung Dreieck 1 (Basis \(a\)): \(A_1 = \frac{1}{2} \cdot 7\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm} = 14\,\text{cm}^2\). 3. Berechnung Dreieck 2 (Basis \(c\)): \(A_2 = \frac{1}{2} \cdot 3\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm} = 6\,\text{cm}^2\). 4. Summe der Teilflächen: \(14\,\text{cm}^2 + 6\,\text{cm}^2 = 20\,\text{cm}^2\). 5. Berechnung mit der Trapezformel \(A = \frac{a+c}{2} \cdot h\): \(\frac{7\,\text{cm} + 3\,\text{cm}}{2} \cdot 4\,\text{cm} = 5\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm} = 20\,\text{cm}^2\). 6. Vergleich: Beide Wege führen zum selben Ergebnis von \(20\,\text{cm}^2\).

Die Flächeninhalte der Dreiecke sind \(14\,\text{cm}^2\) und \(6\,\text{cm}^2\). Ihre Summe ergibt \(20\,\text{cm}^2\). Die Trapezformel liefert mit \(\frac{7+3}{2} \cdot 4 = 20\) dasselbe Ergebnis.

- Zeichne das Dreieck zuerst in ein Koordinatensystem ein. - Suche den kleinsten und größten x- und y-Wert, um die Eckpunkte des Rechtecks zu finden. - Das umschließende Rechteck besteht aus dem gesuchten Dreieck und drei weiteren rechtwinkligen Dreiecken. - Wie berechnet man den Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks, wenn man die Längen der Seiten an den Achsen kennt?

1. Bestimmung des umschließenden Rechtecks: Die \(x\)-Werte liegen zwischen 1 und 7 (Breite \(w = 6\)), die \(y\)-Werte zwischen 2 und 8 (Höhe \(h = 6\)). 2. Flächeninhalt des Rechtecks: \(A_{\text{Rechteck}} = 6 \cdot 6 = 36\) Flächeneinheiten. 3. Flächeninhalt der drei äußeren rechtwinkligen Dreiecke berechnen: - Dreieck 1 (unten rechts unter \(PQ\)): Eckpunkte \((1|2), (7|2), (7|3)\). Katheten \(6\) und \(1\). \(A_1 = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 1 = 3\) Flächeneinheiten. - Dreieck 2 (rechts oben neben \(QR\)): Eckpunkte \((7|3), (7|8), (3|8)\). Katheten \(4\) und \(5\). \(A_2 = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 5 = 10\) Flächeneinheiten. - Dreieck 3 (links neben \(PR\)): Eckpunkte \((1|2), (1|8), (3|8)\). Katheten \(2\) und \(6\). \(A_3 = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 6 = 6\) Flächeneinheiten. 4. Gesamter Flächeninhalt \(A = A_{\text{Rechteck}} - (A_1 + A_2 + A_3) = 36 - (3 + 10 + 6) = 36 - 19 = 17\) Flächeneinheiten.

Der Flächeninhalt des Dreiecks \(PQR\) beträgt \(17\) Flächeneinheiten.

- Berechne zuerst den Flächeninhalt für beide Fälle getrennt. - Achte genau darauf, welche Seite jeweils halbiert wird und welche Seite als Höhe dient. - Was fällt dir beim Vergleich der Ergebnisse auf?

1. Berechnung für Rechteck A: Die Grundseite des Dreiecks ist die Hälfte der langen Seite (\(g_A = 5\,\text{cm}\)), die Höhe ist die kurze Seite (\(h_A = 6\,\text{cm}\)). Flächeninhalt \(A_A = \frac{1}{2} \cdot 5\,\text{cm} \cdot 6\,\text{cm} = 15\,\text{cm}^2\). 2. Berechnung für Rechteck B: Die Grundseite des Dreiecks ist die Hälfte der kurzen Seite (\(g_B = 3\,\text{cm}\)), die Höhe ist die lange Seite (\(h_B = 10\,\text{cm}\)). Flächeninhalt \(A_B = \frac{1}{2} \cdot 3\,\text{cm} \cdot 10\,\text{cm} = 15\,\text{cm}^2\). 3. Ergebnis: Beide Dreiecke haben denselben Flächeninhalt. Begründung: In beiden Fällen wird für die Dreiecksgrundseite eine Rechteckseite halbiert, während die jeweils andere Rechteckseite die Höhe bildet. Daher ist das Produkt aus Grundseite und Höhe in beiden Fällen gleich (\(5 \cdot 6 = 3 \cdot 10 = 30\)).

Beide Dreiecke haben denselben Flächeninhalt von \(15\,\text{cm}^2\). Obwohl die Form der Dreiecke unterschiedlich ist, bleibt das Produkt aus Grundseite und Höhe (\(5 \cdot 6 = 30\) und \(3 \cdot 10 = 30\)) gleich.