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- In wie viele Teile zerlegen die Diagonalen die Figur? - Überlege dir, warum alle vier Dreiecke den gleichen Flächeninhalt haben müssen.

1. Die Diagonalen eines Parallelogramms halbieren einander. Daher haben alle vier entstehenden Teildreiecke den gleichen Flächeninhalt. 2. Dies liegt daran, dass sie jeweils paarweise gleiche Grundseiten (halbe Diagonalen) und gleiche Höhen haben. 3. \(S_{para} = 4 \cdot 12\,\text{cm}^2 = 48\,\text{cm}^2\).

\(48\,\text{cm}^2\)

- Was macht eine Seitenhalbierende mit der Fläche eines Dreiecks?

1. Da \(M\) der Mittelpunkt von \(BC\) ist, ist \(AM\) eine Seitenhalbierende. 2. Die Seitenhalbierende teilt das Dreieck in zwei flächengleiche Teile. 3. \(S_{ABC} = 2 \cdot S_{ABM} = 2 \cdot 18 = 36\,\text{cm}^2\).

\(36\,\text{cm}^2\)

- Kannst du die Figur in deinem Koordinatensystem einzeichnen? - Welche Seiten der Figur verlaufen parallel zu den Achsen? - Gibt es Linien, die das Viereck in einfachere Formen wie Rechtecke oder Dreiecke teilen? - Wie berechnet man den Flächeninhalt eines Dreiecks oder Rechtecks?

1. Identifikation der Grundseite \(AB\) auf der Geraden \(y=1\) mit der Länge \(10 - 2 = 8\) Längeneinheiten. 2. Identifikation der Oberseite \(CD\) auf der Geraden \(y=5\) mit der Länge \(8 - 4 = 4\) Längeneinheiten. 3. Bestimmung der Höhe \(h\) als vertikaler Abstand zwischen den Geraden: \(5 - 1 = 4\) Längeneinheiten. 4. Zerlegung in ein zentrales Rechteck (Breite 4, Höhe 4) und zwei rechtwinklige Dreiecke an den Seiten (jeweils Grundseite 2, Höhe 4). 5. Berechnung der Teilflächen: Rechteck \(4 \cdot 4 = 16\), Dreieck links \(\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 4 = 4\), Dreieck rechts \(\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 4 = 4\). 6. Gesamtflächeninhalt: \(16 + 4 + 4 = 24\) Flächeneinheiten. Alternativ: Berechnung über die Trapezformel: \(A = \frac{8 + 4}{2} \cdot 4 = 6 \cdot 4 = 24\) Flächeneinheiten.

Der Flächeninhalt des Vierecks \(ABCD\) beträgt \(24\) Flächeneinheiten.

- Wie groß ist die Grundseite des Dreiecks, wenn der Schnitt genau in der Mitte der Seite endet? - Welche Maße des Rechtecks entsprechen der Höhe des Dreiecks? - Gibt es einen einfachen Weg, die Fläche des zweiten Teils zu bestimmen, wenn du die Gesamtfläche bereits kennst?

1. Berechnung des Flächeninhalts des Dreiecks: Die Grundseite entspricht der Hälfte der langen Rechteckseite, also \(30\,\text{cm} : 2 = 15\,\text{cm}\). Die Höhe des Dreiecks entspricht der kurzen Seite des Rechtecks (\(12\,\text{cm}\)). Der Flächeninhalt ist \(A_{\text{Dreieck}} = \frac{1}{2} \cdot 15\,\text{cm} \cdot 12\,\text{cm} = 90\,\text{cm}^2\). 2. Berechnung des Flächeninhalts des Trapezes: Die parallelen Seiten sind die volle Rechteckseite (\(30\,\text{cm}\)) und der verbleibende Rest der gegenüberliegenden Seite (\(15\,\text{cm}\)). Die Höhe ist \(12\,\text{cm}\). Der Flächeninhalt ist \(A_{\text{Trapez}} = \frac{30\,\text{cm} + 15\,\text{cm}}{2} \cdot 12\,\text{cm} = 22{,}5\,\text{cm} \cdot 12\,\text{cm} = 270\,\text{cm}^2\). Alternativ: Gesamtfläche \(30\,\text{cm} \cdot 12\,\text{cm} = 360\,\text{cm}^2\) minus Dreiecksfläche \(90\,\text{cm}^2 = 270\,\text{cm}^2\).

Das Dreieck hat einen Flächeninhalt von \(90\,\text{cm}^2\), das Trapez einen Flächeninhalt von \(270\,\text{cm}^2\).

- Versuche, die Figur mit gedanklichen Linien in mehrere Rechtecke aufzuteilen. - Siehst du ein großes Rechteck, aus dem ein kleineres Rechteck herausgeschnitten wurde? - Welche Seitenlängen haben die kleineren Rechtecke, in die du die Figur zerlegt hast? - Kannst du den Flächeninhalt bestimmen, indem du mehrere Teilflächen zusammenrechnest?

Die Figur kann auf zwei verschiedene Weisen berechnet werden: 1. Methode 1 (Zerlegung in drei Rechtecke): - Zwei vertikale äußere Rechtecke (links und rechts) mit den Maßen \(2\,\text{cm} \times 5\,\text{cm}\). Deren Flächeninhalt beträgt jeweils: \(A_1 = A_2 = 2\,\text{cm} \cdot 5\,\text{cm} = 10\,\text{cm}^2\). - Ein horizontales inneres Rechteck am Boden mit den Maßen \(4\,\text{cm} \times 2\,\text{cm}\). Die Breite ergibt sich aus \(8\,\text{cm} - 2\,\text{cm} - 2\,\text{cm} = 4\,\text{cm}\), die Höhe aus \(5\,\text{cm} - 3\,\text{cm} = 2\,\text{cm}\). Sein Flächeninhalt beträgt: \(A_3 = 4\,\text{cm} \cdot 2\,\text{cm} = 8\,\text{cm}^2\). - Der Gesamtflächeninhalt ist die Summe der Teilflächen: \(A = A_1 + A_2 + A_3 = 10\,\text{cm}^2 + 10\,\text{cm}^2 + 8\,\text{cm}^2 = 28\,\text{cm}^2\). 2. Methode 2 (Ergänzung zu einem großen Rechteck): - Ein großes umschreibendes Rechteck mit den Maßen \(8\,\text{cm} \times 5\,\text{cm}\) hat einen Flächeninhalt von: \(A_{\text{gesamt}} = 8\,\text{cm} \cdot 5\,\text{cm} = 40\,\text{cm}^2\). - Davon wird der obere freie Ausschnitt mit den Maßen \(4\,\text{cm} \times 3\,\text{cm}\) abgezogen. Sein Flächeninhalt beträgt: \(A_{\text{Ausschnitt}} = 4\,\text{cm} \cdot 3\,\text{cm} = 12\,\text{cm}^2\). - Der Flächeninhalt der U-Figur ist die Differenz: \(A = A_{\text{gesamt}} - A_{\text{Ausschnitt}} = 40\,\text{cm}^2 - 12\,\text{cm}^2 = 28\,\text{cm}^2\).

\(28\,\text{cm}^2\)

- Zerlege den Pfeil in einfache geometrische Formen, deren Flächeninhalt du leicht berechnen kannst. - Siehst du ein Rechteck und ein Dreieck in der Figur? - Bestimme die Maße (Breite und Höhe) der einzelnen Teile, indem du die Abstände zwischen den Stiften zählst. - Berechne die Flächeninhalte der Teilflächen einzeln und addiere sie am Ende.

1. Zerlege den Pfeil in einen rechteckigen Schaft und eine dreieckige Pfeilspitze. 2. Der Schaft ist \(2\,\text{cm}\) breit und \(2\,\text{cm}\) hoch. Sein Flächeninhalt beträgt \(A_{\text{Schaft}} = 2\,\text{cm} \cdot 2\,\text{cm} = 4\,\text{cm}^2\). 3. Die Pfeilspitze hat eine Grundseite von \(4\,\text{cm}\) und eine Höhe von \(3\,\text{cm}\). Ihr Flächeninhalt beträgt \(A_{\text{Spitze}} = \frac{1}{2} \cdot 4\,\text{cm} \cdot 3\,\text{cm} = 6\,\text{cm}^2\). 4. Insgesamt gilt: \(A_{\text{Gesamt}} = 4\,\text{cm}^2 + 6\,\text{cm}^2 = 10\,\text{cm}^2\).

Der Flächeninhalt des Pfeils beträgt \(10\,\text{cm}^2\).

- Kannst du die Figur in einfachere Formen zerlegen, deren Flächeninhalt du leicht berechnen kannst? - Welche geometrischen Grundformen wie Rechtecke oder Dreiecke kannst du in der Rakete erkennen? - Wie berechnet man den Flächeninhalt eines Rechtecks und eines Dreiecks? - Zähle die Gitterabstände ab, um die Längen der Seiten für deine Berechnung zu bestimmen.

1. Zerlegung der Rakete in vier Teilflächen: - Ein zentrales Rechteck (Körper) mit einer Breite von \(2\,\text{cm}\) und einer Höhe von \(4\,\text{cm}\). Flächeninhalt: \(A_1 = 2\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm} = 8\,\text{cm}^2\). - Ein Dreieck oben (Spitze) mit einer Grundseite von \(2\,\text{cm}\) und einer Höhe von \(2\,\text{cm}\). Flächeninhalt: \(A_2 = \frac{1}{2} \cdot 2\,\text{cm} \cdot 2\,\text{cm} = 2\,\text{cm}^2\). - Zwei kleine, rechtwinklige Dreiecke unten (Flügel) mit jeweils einer Grundseite von \(1\,\text{cm}\) und einer Höhe von \(1\,\text{cm}\). Flächeninhalt eines Flügels: \(A_3 = A_4 = \frac{1}{2} \cdot 1\,\text{cm} \cdot 1\,\text{cm} = 0{,}5\,\text{cm}^2\). 2. Addition der Teilflächen zur Bestimmung des gesamten Flächeninhalts: \(A_{\text{gesamt}} = 8\,\text{cm}^2 + 2\,\text{cm}^2 + 0{,}5\,\text{cm}^2 + 0{,}5\,\text{cm}^2 = 11\,\text{cm}^2\).

Der gesamte Flächeninhalt der Rakete beträgt \(11\,\text{cm}^2\).

- Suche nach einer Möglichkeit, die Figur mit einem oder zwei Strichen in Rechtecke zu teilen. - Addiere die Flächeninhalte der Teilstücke.

1. Zerlege die Figur in ein unteres Rechteck der Größe \(3\,\text{cm} \times 2\,\text{cm}\) und ein oberes Rechteck der Größe \(2\,\text{cm} \times 2\,\text{cm}\). 2. Die Teilflächen betragen \(3 \cdot 2 = 6\,\text{cm}^2\) und \(2 \cdot 2 = 4\,\text{cm}^2\). 3. Insgesamt gilt: \(6 + 4 = 10\,\text{cm}^2\).

Der Flächeninhalt beträgt \(10\,\text{cm}^2\).

- In welche bekannten Formen lässt sich diese Figur zerlegen? - Bestimme die Seitenlängen der Teilrechtecke durch Abzählen.

1. Zerlegung in ein großes Rechteck (\(5\,\text{cm} \times 1\,\text{cm}\)) unten und ein kleineres Rechteck (\(3\,\text{cm} \times 2\,\text{cm}\)) oben rechts. 2. Berechnung: \(A_{\text{unten}} = 5 \cdot 1 = 5\,\text{cm}^2\); \(A_{\text{oben}} = 3 \cdot 2 = 6\,\text{cm}^2\). 3. Gesamtfläche: \(A = 5 + 6 = 11\,\text{cm}^2\).

Der Flächeninhalt beträgt \(11\,\text{cm}^2\).

- Versuche, die Figuren in einfachere Formen wie Rechtecke oder Quadrate zu zerlegen. - Wie berechnet man den Flächeninhalt eines Dreiecks, wenn man die Grundseite und die Höhe kennt? - Zähle die vollen und halben Kästchen innerhalb der Figuren.

1. Zerlegung von Figur a): Die L-Form kann in ein unteres Rechteck (\(3\,\text{cm} \times 1\,\text{cm}\)) und ein oberes Quadrat (\(1\,\text{cm} \times 1\,\text{cm}\)) zerlegt werden. 2. Berechnung Fläche a): \(3 \cdot 1 + 1 \cdot 1 = 4\,\text{cm}^2\). 3. Berechnung Fläche b): Das Dreieck hat eine Grundseite von \(4\,\text{cm}\) und eine Höhe von \(2\,\text{cm}\). Die Fläche berechnet sich zu \(\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2 = 4\,\text{cm}^2\). 4. Vergleich: Beide Figuren haben trotz ihrer unterschiedlichen Form den exakt gleichen Flächeninhalt von \(4\,\text{cm}^2\).

Beide Figuren haben einen Flächeninhalt von \(4\,\text{cm}^2\). Sie sind also flächengleich.

- Kannst du die Figuren in Rechtecke oder Dreiecke aufteilen, deren Flächeninhalt du leicht berechnen kannst? - Zähle bei Figur a) einfach die Kästchen oder berechne die Flächen der Teilrechtecke. - Erinnere dich bei Figur b) an die Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks: \(A = \frac{1}{2} \cdot \text{Grundseite} \cdot \text{Höhe}\). - Du kannst auch ein großes Rechteck um die Figur denken und die überschüssigen Flächen abziehen.

1. Bestimmung des Flächeninhalts von Figur a): Zerlegung in zwei Rechtecke. Das untere Rechteck hat eine Breite von \(4\) und eine Höhe von \(2\) (\(4 \cdot 2 = 8\,\text{FE}\)). Das obere Rechteck hat eine Breite von \(2\) und eine Höhe von \(3\) (\(2 \cdot 3 = 6\,\text{FE}\)). Gesamtinhalt: \(8 + 6 = 14\,\text{FE}\). 2. Bestimmung des Flächeninhalts von Figur b): Zerlegung in ein Rechteck und ein Dreieck. Das Rechteck hat eine Breite von \(4\) und eine Höhe von \(3\) (\(4 \cdot 3 = 12\,\text{FE}\)). Das aufgesetzte Dreieck hat eine Grundseite von \(4\) und eine Höhe von \(3\) (\(\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 = 6\,\text{FE}\)). Gesamtinhalt: \(12 + 6 = 18\,\text{FE}\).

a) Der Flächeninhalt von Figur a) beträgt \(14\,\text{FE}\). Der Flächeninhalt von Figur b) beträgt \(18\,\text{FE}\). b) Figur b) kann zum Beispiel in ein Rechteck (\(4 \times 3\) Kästchen) und ein darauf liegendes Dreieck (Grundseite \(4\), Höhe \(3\)) zerlegt werden.

- Zerlege die Figur in zwei Rechtecke, deren Seiten du leicht zählen kannst. - Du kannst auch ein großes Quadrat um die Figur denken und den fehlenden Teil abziehen. - Zähle die Einheitsquadrate in jedem Teilbereich einzeln.

1. Zerlegung in zwei Rechtecke: Ein unteres Rechteck der Größe \(4 \times 2\) und ein oberes Rechteck der Größe \(2 \times 2\). 2. Berechnung der Teilflächen: \(A_1 = 4 \cdot 2 = 8\,\text{FE}\) und \(A_2 = 2 \cdot 2 = 4\,\text{FE}\). 3. Gesamter Flächeninhalt: \(A = 8 + 4 = 12\,\text{FE}\). 4. Alternativ: Ergänzen zu einem \(4 \times 4\)-Quadrat (\(16\,\text{FE}\)) und Abziehen der leeren Ecke (\(2 \times 2 = 4\,\text{FE}\)): \(16 - 4 = 12\,\text{FE}\).

\(12\,\text{FE}\)

- Überlege dir, wie groß die Platte ohne die Kerbe wäre. - Wie groß ist die Kerbe selbst? - Ziehe die Fläche der Kerbe von der Gesamtfläche ab.

1. Gesamtfläche ohne Kerbe: \(10\,\text{cm} \cdot 10\,\text{cm} = 100\,\text{cm}^2\). 2. Fläche der Kerbe: Breite \(2\,\text{cm}\), Höhe \(3\,\text{cm}\). Fläche: \(2\,\text{cm} \cdot 3\,\text{cm} = 6\,\text{cm}^2\). 3. Restliche Fläche: \(100\,\text{cm}^2 - 6\,\text{cm}^2 = 94\,\text{cm}^2\).

Der Flächeninhalt der Metallplatte beträgt \(94\,\text{cm}^2\).

- Überlege, wie breit der Ausschnitt in der Mitte ist, wenn die Ränder jeweils \(2\,\text{cm}\) breit sind. - Subtrahiere die Fläche des Ausschnitts von der Gesamtfläche des Quadrats.

1. Fläche des gesamten Quadrats: \(10\,\text{cm} \cdot 10\,\text{cm} = 100\,\text{cm}^2\). 2. Fläche des ausgesägten rechteckigen Ausschnitts: \(6\,\text{cm} \cdot 8\,\text{cm} = 48\,\text{cm}^2\). 3. Fläche des Logos: \(100\,\text{cm}^2 - 48\,\text{cm}^2 = 52\,\text{cm}^2\).

Der Flächeninhalt des Logos beträgt \(52\,\text{cm}^2\).

- Stell dir vor, du hast das ganze Blech und nimmst ein Stück weg. - Welche Rechenoperation passt zum Entfernen einer Teilfläche?

1. Flächeninhalt des großen Rechtecks: \(A_{\text{groß}} = 10\,\text{cm} \cdot 7\,\text{cm} = 70\,\text{cm}^2\). 2. Flächeninhalt des Ausschnitts: \(A_{\text{klein}} = 4\,\text{cm} \cdot 3\,\text{cm} = 12\,\text{cm}^2\). 3. Restliche Fläche: \(A_{\text{Rest}} = 70\,\text{cm}^2 - 12\,\text{cm}^2 = 58\,\text{cm}^2\).

Der Flächeninhalt des restlichen Blechs beträgt \(58\,\text{cm}^2\).

- Zerlege die Figur in zwei Rechtecke, deren Flächen du leicht berechnen kannst. - Addiere die Flächeninhalte der Teilrechtecke für das Gesamtergebnis. - Gehe für den Umfang einmal um die gesamte Figur herum und addiere alle Teilstrecken.

1. Zerlegung der Figur: Die Figur besteht aus zwei Rechtecken. Das obere Rechteck hat die Maße \(4\,\text{m} \times 3\,\text{m}\) (Höhe \(7\,\text{m} - 4\,\text{m} = 3\,\text{m}\)). Das untere Rechteck hat die Maße \(8\,\text{m} \times 4\,\text{m}\). 2. Berechnung des Flächeninhalts: \(A = 4\,\text{m} \cdot 3\,\text{m} + 8\,\text{m} \cdot 4\,\text{m} = 12\,\text{m}^2 + 32\,\text{m}^2 = 44\,\text{m}^2\). 3. Berechnung des Umfangs: Summe aller Außenkanten: \(U = 4\,\text{m} + 3\,\text{m} + 4\,\text{m} + 4\,\text{m} + 8\,\text{m} + 7\,\text{m} = 30\,\text{m}\).

Der Flächeninhalt beträgt \(44\,\text{m}^2\) und der Umfang beträgt \(30\,\text{m}\).

- In welche zwei Rechtecke lässt sich das T am einfachsten zerlegen? - Berechne die Fläche des senkrechten Teils. - Berechne die Fläche des waagerechten Teils oben. - Addiere beide Ergebnisse.

1. Zerlegung in zwei Rechtecke: - Ein senkrechter Stamm mit den Maßen \(2\,\text{cm} \times 7\,\text{cm}\). - Ein waagerechter Balken oben mit den Maßen \(8\,\text{cm} \times 2\,\text{cm}\). 2. Berechnung der Teilflächen: - \(A_{\text{Stamm}} = 2 \cdot 7 = 14\,\text{cm}^2\) - \(A_{\text{Balken}} = 8 \cdot 2 = 16\,\text{cm}^2\) 3. Summe: \(A_{\text{Gesamt}} = 14 + 16 = 30\,\text{cm}^2\).

Der Flächeninhalt beträgt \(30\,\text{cm}^2\).

- Was sind die kleinsten und größten x- und y-Werte deiner Punkte? Diese helfen dir beim umschließenden Rechteck. - Die Seiten der kleinen Dreiecke in den Ecken kannst du einfach durch Abzählen oder Subtrahieren der Koordinaten finden. - Wie berechnet man den Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks?

1. Das umschließende Rechteck hat die Eckpunkte \((1|1)\), \((8|1)\), \((8|6)\) und \((1|6)\). 2. Die Breite des Rechtecks beträgt \(8 - 1 = 7\) Längeneinheiten und die Höhe \(6 - 1 = 5\) Längeneinheiten. Der Flächeninhalt beträgt \(7 \cdot 5 = 35\) Flächeneinheiten. 3. Die vier Dreiecke in den Ecken haben folgende Flächeninhalte: - Unten links: \(\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 1 = 2\) Flächeneinheiten. - Unten rechts: \(\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 = 4{,}5\) Flächeneinheiten. - Oben rechts: \(\frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 2 = 5\) Flächeneinheiten. - Oben links: \(\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 4 = 4\) Flächeneinheiten. 4. Die Summe der äußeren Dreiecksflächen ist \(2 + 4{,}5 + 5 + 4 = 15{,}5\) Flächeneinheiten. 5. Der Flächeninhalt von \(ABCD\) ergibt sich aus der Subtraktion: \(35 - 15{,}5 = 19{,}5\) Flächeneinheiten.

Der Flächeninhalt des Vierecks \(ABCD\) beträgt \(19{,}5\) Flächeneinheiten.

- Hast du versucht, die Figur durch eine horizontale oder vertikale Linie zu teilen? - Suche nach einer Verbindungslinie zwischen zwei Punkten, die parallel zu einer der Achsen verläuft. - Aus welchen zwei bekannten geometrischen Formen besteht das Fünfeck nach deiner Teilung?

1. Einzeichnen der Punkte und Erkennen einer horizontalen Trennungslinie bei \(y=5\) zwischen den Punkten \(T(-1|5)\) und \(R(9|5)\). 2. Zerlegung in ein oberes Dreieck \(TSR\) und ein unteres Trapez \(PQRT\). 3. Berechnung des Dreiecks \(TSR\): Grundseite \(TR = 9 - (-1) = 10\) Längeneinheiten, Höhe \(h_{S} = 8 - 5 = 3\) Längeneinheiten. Fläche \(A_{1} = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 3 = 15\) Flächeneinheiten. 4. Berechnung des Trapezes \(PQRT\): Grundseiten \(PQ = 7 - 1 = 6\) Längeneinheiten und \(TR = 10\) Längeneinheiten, Höhe \(h_{T} = 5 - 2 = 3\) Längeneinheiten. Fläche \(A_{2} = \frac{6 + 10}{2} \cdot 3 = 8 \cdot 3 = 24\) Flächeneinheiten. 5. Addition der Teilflächen: \(15 + 24 = 39\) Flächeneinheiten.

Der Flächeninhalt des Fünfecks \(PQRST\) beträgt \(39\) Flächeneinheiten.

- Welche Fläche bleibt für das Beet übrig, wenn du die Gesamtfläche des Grundstücks kennst? - Das Beet ist ein rechtwinkliges Dreieck. Welche Seite des Rechtecks dient hier als Höhe? - Überlege dir die Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks und setze die bekannten Werte ein.

1. Berechnung des gesamten Flächeninhalts des Rechtecks: \(A_{\text{Gesamt}} = 24\,\text{m} \cdot 10\,\text{m} = 240\,\text{m}^2\). 2. Berechnung der Fläche des Blumenbeets durch Subtraktion: \(A_{\text{Beet}} = 240\,\text{m}^2 - 190\,\text{m}^2 = 50\,\text{m}^2\). 3. Bestimmung der Grundseite \(g\) des Dreiecks: Da die Höhe \(h = 10\,\text{m}\) bekannt ist, gilt \(50\,\text{m}^2 = \frac{1}{2} \cdot g \cdot 10\,\text{m}\). Dies führt zu \(50 = 5g\), also \(g = 10\,\text{m}\).

Der Flächeninhalt des Blumenbeets beträgt \(50\,\text{m}^2\). Die Grundseite des Dreiecks entlang der gegenüberliegenden langen Seite ist \(10\,\text{m}\) lang.

- Kannst du eine horizontale Linie so einzeichnen, dass zwei einfachere Formen entstehen? - Welche Maße haben das entstandene Rechteck und das Dreieck darüber? - Wie berechnet man den Flächeninhalt eines Rechtecks und eines rechtwinkligen Dreiecks? - Addiere am Ende die beiden einzelnen Flächeninhalte.

1. Die Figur kann durch eine horizontale Linie auf Höhe der rechten Seite (\(3\,\text{m}\)) in ein unteres Rechteck und ein oberes rechtwinkliges Dreieck zerlegt werden. 2. Das untere Rechteck hat die Breite \(12\,\text{m}\) und die Höhe \(3\,\text{m}\). Sein Flächeninhalt beträgt: \(A_{\text{Rechteck}} = 12\,\text{m} \cdot 3\,\text{m} = 36\,\text{m}^2\) 3. Das obere rechtwinklige Dreieck hat dieselbe Breite von \(12\,\text{m}\). Seine Höhe berechnet sich aus der Differenz der beiden vertikalen Seiten des Beets: \(h = 6\,\text{m} - 3\,\text{m} = 3\,\text{m}\) Sein Flächeninhalt beträgt: \(A_{\text{Dreieck}} = \frac{12\,\text{m} \cdot 3\,\text{m}}{2} = 18\,\text{m}^2\) 4. Der gesamte Flächeninhalt des Beets ist die Summe der beiden Teilflächen: \(A_{\text{gesamt}} = 36\,\text{m}^2 + 18\,\text{m}^2 = 54\,\text{m}^2\)

\(54\,\text{m}^2\)

- In welche zwei einfachen Rechtecke kannst du das T-förmige Gebilde zerlegen? - Welche Maße haben diese beiden Rechtecke? Nutze die Angaben in der Zeichnung. - Berechne die Flächeninhalte der beiden Rechtecke einzeln und zähle sie zusammen. - Wie hängen der Gesamtflächeninhalt und der Preis pro Quadratmeter mit den Gesamtkosten zusammen?

1. Die T-förmige Bühne kann in zwei Rechtecke zerlegt werden: - Das obere Rechteck hat eine Breite von \(10\,\text{m}\) und eine Höhe von \(3\,\text{m}\). Der Flächeninhalt beträgt: \(A_{\text{oben}} = 10\,\text{m} \cdot 3\,\text{m} = 30\,\text{m}^2\) - Das untere Rechteck hat eine Breite von \(4\,\text{m}\) und eine Höhe von \(5\,\text{m}\). Der Flächeninhalt beträgt: \(A_{\text{unten}} = 4\,\text{m} \cdot 5\,\text{m} = 20\,\text{m}^2\) Der Gesamtflächeninhalt beträgt: \(A = A_{\text{oben}} + A_{\text{unten}} = 30\,\text{m}^2 + 20\,\text{m}^2 = 50\,\text{m}^2\) 2. Die Gesamtkosten für den Teppich berechnen sich durch Multiplikation des Gesamtflächeninhalts mit dem Preis pro Quadratmeter: \(\text{Gesamtkosten} = 50 \cdot 18\,\text{€} = 900\,\text{€}\)

a) Der Flächeninhalt der Bühne beträgt \(50\,\text{m}^2\). b) Die Gesamtkosten für den Teppich betragen \(900\,\text{€}\).

- Kannst du die weggeschnittenen Teile direkt als Rechtecke betrachten? - Wie groß ist die gesamte quadratische Holzplatte, bevor Lena anfängt zu schneiden? - Versuche, das Werkstück in mehrere einfache Rechtecke zu zerlegen, deren Flächen du leicht berechnen kannst. - Achte darauf, wie die angegebenen Maße zusammenhängen, um fehlende Seitenlängen zu bestimmen.

1. Berechne den Flächeninhalt der quadratischen Ausgangsplatte: \(A_{\text{Quadrat}} = 12\,\text{cm} \cdot 12\,\text{cm} = 144\,\text{cm}^2\) 2. Zerlege das Werkstück in drei Rechtecke von links nach rechts: - Erstes Rechteck (links): Breite \(7\,\text{cm}\), Höhe \(12\,\text{cm}\). \(A_1 = 7\,\text{cm} \cdot 12\,\text{cm} = 84\,\text{cm}^2\) - Zweites Rechteck (Mitte): Breite \(3\,\text{cm}\), Höhe \(12\,\text{cm} - 3\,\text{cm} = 9\,\text{cm}\). \(A_2 = 3\,\text{cm} \cdot 9\,\text{cm} = 27\,\text{cm}^2\) - Drittes Rechteck (rechts): Breite \(12\,\text{cm} - 7\,\text{cm} - 3\,\text{cm} = 2\,\text{cm}\), Höhe \(4\,\text{cm}\). \(A_3 = 2\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm} = 8\,\text{cm}^2\) 3. Berechne den Gesamtflächeninhalt des Werkstücks durch Addition der Teilflächen: \(A_{\text{Werkstück}} = 84\,\text{cm}^2 + 27\,\text{cm}^2 + 8\,\text{cm}^2 = 119\,\text{cm}^2\) 4. Berechne den Flächeninhalt des Abfalls durch Subtraktion des Werkstücks vom Quadrat: \(A_{\text{Abfall}} = 144\,\text{cm}^2 - 119\,\text{cm}^2 = 25\,\text{cm}^2\) Alternativer Weg: Berechne den Flächeninhalt der weggeschnittenen rechteckigen Bereiche direkt: - Unterer rechter Ausschnitt: Breite \(12\,\text{cm} - 7\,\text{cm} = 5\,\text{cm}\), Höhe \(3\,\text{cm}\). \(A_{\text{Ausschnitt 1}} = 5\,\text{cm} \cdot 3\,\text{cm} = 15\,\text{cm}^2\) - Mittlerer rechter Ausschnitt: Breite \(12\,\text{cm} - 7\,\text{cm} - 3\,\text{cm} = 2\,\text{cm}\), Höhe \(12\,\text{cm} - 3\,\text{cm} - 4\,\text{cm} = 5\,\text{cm}\). \(A_{\text{Ausschnitt 2}} = 2\,\text{cm} \cdot 5\,\text{cm} = 10\,\text{cm}^2\) - Gesamtfläche des Abfalls: \(A_{\text{Abfall}} = 15\,\text{cm}^2 + 10\,\text{cm}^2 = 25\,\text{cm}^2\)

Der Flächeninhalt des Abfalls beträgt \(25\,\text{cm}^2\).

- Nutze die Symmetrie der Figur: Was bedeutet es für das rechte Teilstück, wenn das linke \(3\,\text{m}\) breit ist? - Wie kannst du die U-Form geschickt in drei Rechtecke aufteilen? - Welche Maße haben diese einzelnen Rechtecke? - Wie viele Quadratmeter Rasenfläche hast du insgesamt ermittelt?

1. Bestimmung der fehlenden Maße durch Symmetrie: Die Breite des rechten Teilstücks beträgt ebenfalls \(3\,\text{m}\). Die Breite des mittleren Ausschnitts beträgt \(10\,\text{m} - 3\,\text{m} - 3\,\text{m} = 4\,\text{m}\). Die Höhe des unteren Teilstücks beträgt \(8\,\text{m} - 6\,\text{m} = 2\,\text{m}\). 2. Zerlegung der Fläche in drei Rechtecke und Berechnung der Teilflächen: Zwei äußere Rechtecke mit jeweils \(3\,\text{m} \cdot 8\,\text{m} = 24\,\text{m}^2\) und ein mittleres unteres Verbindungsstück mit \(4\,\text{m} \cdot 2\,\text{m} = 8\,\text{m}^2\). 3. Berechnung des Gesamtflächeninhalts: \(A_{\text{gesamt}} = 24\,\text{m}^2 + 24\,\text{m}^2 + 8\,\text{m}^2 = 56\,\text{m}^2\). 4. Berechnung der Anzahl der Düngersäcke bei einer Reichweite von \(8\,\text{m}^2\) pro Sack: \(\frac{56\,\text{m}^2}{8\,\text{m}^2} = 7\).

Es müssen \(7\) Säcke Rasendünger gekauft werden.

- Kannst du die T-Form in einfachere geometrische Formen zerlegen, deren Flächeninhalt du leicht berechnen kannst? - Es gibt verschiedene Möglichkeiten, die Figur zu zerlegen. Versuche, sie entweder waagerecht in zwei Rechtecke oder senkrecht in drei Rechtecke zu teilen. - Um den Umfang zu berechnen, musst du die Längen aller äußeren Begrenzungslinien addieren. - Fehlen dir Kantenlängen? Nutze die Symmetrie der Figur, um die Längen der unbeschrifteten Kanten zu bestimmen.

1. Zerlegung in Rechtecke: - Möglichkeit 1: Wir zerlegen die T-Figur in einen oberen waagerechten Balken und einen unteren senkrechten Balken. - Der obere Balken hat eine Länge von \(10\,\text{m}\) und eine Breite von \(2\,\text{m}\). Seine Fläche beträgt: \(A_1 = 10\,\text{m} \cdot 2\,\text{m} = 20\,\text{m}^2\) - Der untere Balken hat eine Breite von \(6\,\text{m}\) und eine Höhe von \(4\,\text{m}\). Seine Fläche beträgt: \(A_2 = 6\,\text{m} \cdot 4\,\text{m} = 24\,\text{m}^2\) - Der Gesamtflächeninhalt ist: \(A = A_1 + A_2 = 20\,\text{m}^2 + 24\,\text{m}^2 = 44\,\text{m}^2\) - Möglichkeit 2: Wir zerlegen die T-Figur vertikal in drei Rechtecke (links, mitte, rechts). - Das linke Rechteck hat die Maße \(2\,\text{m} \times 2\,\text{m}\) mit der Fläche \(A_{\text{links}} = 4\,\text{m}^2\). - Das rechte Rechteck hat ebenfalls die Maße \(2\,\text{m} \times 2\,\text{m}\) mit der Fläche \(A_{\text{rechts}} = 4\,\text{m}^2\). - Das mittlere Rechteck hat eine Breite von \(6\,\text{m}\) und eine Gesamthöhe von \(4\,\text{m} + 2\,\text{m} = 6\,\text{m}\). Seine Fläche ist \(A_{\text{mitte}} = 6\,\text{m} \cdot 6\,\text{m} = 36\,\text{m}^2\). - Der Gesamtflächeninhalt ist: \(A = 4\,\text{m}^2 + 4\,\text{m}^2 + 36\,\text{m}^2 = 44\,\text{m}^2\) 2. Berechnung des Umfangs: - Die Längen aller Außenkanten der Figur müssen addiert werden. - Da die Figur symmetrisch ist, sind die unbeschrifteten Kanten ebenfalls bekannt: Die linke vertikale Kante ist \(4\,\text{m}\) lang und die linke horizontale Kante unter dem Flügel ist \((10\,\text{m} - 6\,\text{m}) : 2 = 2\,\text{m}\) lang. - Der Gesamtumfang beträgt: \(U = 6\,\text{m} + 4\,\text{m} + 2\,\text{m} + 2\,\text{m} + 10\,\text{m} + 2\,\text{m} + 2\,\text{m} + 4\,\text{m} = 32\,\text{m}\)

a) Der Flächeninhalt der Terrasse beträgt \(44\,\text{m}^2\). b) Für die Beeteinfassung werden \(32\,\text{m}\) benötigt.

- Für Aufgabenteil a): Kannst du den U-förmigen Platz in einfache Rechtecke zerlegen oder ihn als großes Rechteck mit einem fehlenden Stück betrachten? - Wie berechnest du den Flächeninhalt dieser Teilformen? - Für Aufgabenteil b): Bestimme zuerst die Längen aller einzelnen Außenkanten der Figur. - Wie berechnest du den gesamten Umfang, wenn du alle Kantenlängen kennst? - Welcher Teil des Umfangs muss am Ende abgezogen werden, weil dort kein Zaun steht?

1. Berechnung des Flächeninhalts (Teilaufgabe a): - Der Platz kann als ein großes Rechteck der Größe \(10\,\text{m} \times 6\,\text{m}\) mit einer ausgeschnittenen rechteckigen Nische der Größe \(4\,\text{m} \times 3\,\text{m}\) betrachtet werden. - Gesamtfläche des großen Rechtecks: \(A_{\text{groß}} = 10\,\text{m} \cdot 6\,\text{m} = 60\,\text{m}^2\) - Fläche der Nische: \(A_{\text{Nische}} = 4\,\text{m} \cdot 3\,\text{m} = 12\,\text{m}^2\) - Tatsächliche Fläche des Platzes: \(A = 60\,\text{m}^2 - 12\,\text{m}^2 = 48\,\text{m}^2\) - Alternativ kann die Figur in drei Rechtecke zerlegt werden: zwei äußere Rechtecke der Größe \(3\,\text{m} \times 6\,\text{m}\) und ein mittleres Rechteck der Größe \(4\,\text{m} \times 3\,\text{m}\). Dies ergibt: \(2 \cdot (3\,\text{m} \cdot 6\,\text{m}) + 4\,\text{m} \cdot 3\,\text{m} = 36\,\text{m}^2 + 12\,\text{m}^2 = 48\,\text{m}^2\). 2. Berechnung der Zaunlänge (Teilaufgabe b): - Zuerst wird der gesamte Umfang des Platzes berechnet, indem alle Außenkanten addiert werden: \(U = 10\,\text{m} + 6\,\text{m} + 3\,\text{m} + 3\,\text{m} + 4\,\text{m} + 3\,\text{m} + 3\,\text{m} + 6\,\text{m} = 38\,\text{m}\) - Da ein \(2\,\text{m}\) breiter Durchgang frei bleibt, wird dieser vom Gesamtumfang abgezogen: \(\text{Zaunlänge} = 38\,\text{m} - 2\,\text{m} = 36\,\text{m}\)

a) Der Flächeninhalt des Platzes beträgt \(48\,\text{m}^2\). b) Es werden insgesamt \(36\,\text{m}\) Zaun benötigt.

- Wandle zuerst alle Längenangaben in dieselbe Einheit (Zentimeter) um. - Überlege, wie du die Figur in einfache, dir bekannte Teilflächen wie Rechtecke zerlegen kannst. - Gibt es auch eine Möglichkeit, den Flächeninhalt durch Abziehen einer kleineren Fläche von einer größeren Gesamtfläche zu berechnen? - Kontrolliere, ob deine beiden Rechenwege zum selben Ergebnis führen.

1. Umrechnen aller Maße in eine einheitliche Einheit (Zentimeter): - Gesamthöhe: \(80\,\text{mm} = 8\,\text{cm}\) - Breite der linken Säule: \(20\,\text{mm} = 2\,\text{cm}\) - Breite der rechten Säule: \(20\,\text{mm} = 2\,\text{cm}\) 2. Berechnung des Flächeninhalts (\(A\)) auf zwei verschiedenen Wegen: - **Weg 1 (Ergänzungsmethode):** Ein großes umschließendes Rechteck hat die Maße \(10\,\text{cm} \times 8\,\text{cm}\) mit einer Fläche von \(10 \cdot 8 = 80\,\text{cm}^2\). Die herausgeschnittene Aussparung hat eine Breite von \(10\,\text{cm} - 2\,\text{cm} - 2\,\text{cm} = 6\,\text{cm}\) und eine Tiefe von \(5\,\text{cm}\). Die Fläche der Aussparung beträgt \(6 \cdot 5 = 30\,\text{cm}^2\). Der Flächeninhalt ist \(A = 80\,\text{cm}^2 - 30\,\text{cm}^2 = 50\,\text{cm}^2\). - **Weg 2 (Zerlegung in Rechtecke):** Zerlegung in ein großes unteres Rechteck mit der Breite \(10\,\text{cm}\) und einer Höhe von \(8\,\text{cm} - 5\,\text{cm} = 3\,\text{cm}\) sowie zwei obere Säulen mit jeweils \(2\,\text{cm} \times 5\,\text{cm}\). Die Flächen betragen \(A_{\text{unten}} = 10 \cdot 3 = 30\,\text{cm}^2\) und \(A_{\text{Säulen}} = 2 \cdot (2 \cdot 5) = 20\,\text{cm}^2\). Der Flächeninhalt ist \(A = 30\,\text{cm}^2 + 20\,\text{cm}^2 = 50\,\text{cm}^2\).

Der Flächeninhalt der Schablone beträgt \(50\,\text{cm}^2\).

- Kannst du die Figur zu einem vollständigen Rechteck oder Quadrat ergänzen? - Welche einfache geometrische Form musst du von dem großen Rechteck abziehen, um den Flächeninhalt der Figur zu erhalten? - Wie berechnet man den Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks? - Alternativ kannst du versuchen, die Figuren mit senkrechten oder waagerechten Linien in Rechtecke und rechtwinklige Dreiecke zu zerlegen.

1. Berechnung des Flächeninhalts von Figur A: Die Figur A kann zu einem Quadrat der Größe \(5\,\text{cm} \times 5\,\text{cm}\) mit einer Fläche von \(25\,\text{cm}^2\) ergänzt werden. Dabei wird eine dreieckige Ecke oben rechts mit den Kathetenlängen \(2\,\text{cm}\) und \(2\,\text{cm}\) hinzugefügt. Der Flächeninhalt dieses rechtwinkligen Dreiecks beträgt \(\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2\,\text{cm}^2\). Der Flächeninhalt von Figur A ist somit \(25 - 2 = 23\,\text{cm}^2\). 2. Berechnung des Flächeninhalts von Figur B: Die Figur B kann zu einem Rechteck der Größe \(6\,\text{cm} \times 4\,\text{cm}\) mit einer Fläche von \(24\,\text{cm}^2\) ergänzt werden. Dabei wird eine dreieckige Ecke unten links mit den Kathetenlängen \(2\,\text{cm}\) und \(2\,\text{cm}\) hinzugefügt. Der Flächeninhalt dieses rechtwinkligen Dreiecks beträgt \(\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2\,\text{cm}^2\). Der Flächeninhalt von Figur B ist somit \(24 - 2 = 22\,\text{cm}^2\). Alternativ kann Figur B durch eine vertikale Linie bei \(x = 2\) zerlegt werden in ein linkes Trapez mit der Fläche \(\frac{2 + 4}{2} \cdot 2 = 6\,\text{cm}^2\) und ein rechtes Quadrat mit der Fläche \(4 \cdot 4 = 16\,\text{cm}^2\), was ebenfalls \(6 + 16 = 22\,\text{cm}^2\) ergibt. 3. Vergleich der beiden Figuren: Figur A ist größer als Figur B. Der Unterschied beträgt \(23 - 22 = 1\,\text{cm}^2\).

a) Der Flächeninhalt von Figur A beträgt \(23\,\text{cm}^2\). b) Der Flächeninhalt von Figur B beträgt \(22\,\text{cm}^2\). c) Figur A ist um \(1\,\text{cm}^2\) größer als Figur B.

- Kannst du Linien in die Figuren einzeichnen, um sie in bekannte Formen wie Rechtecke, Quadrate oder Dreiecke aufzuteilen? - Wie berechnet man den Flächeninhalt eines Rechtecks und wie den eines Dreiecks? - Achte bei den Dreiecken genau auf die Längen der Grundseiten und die dazugehörigen Höhen im Gitternetz. - Addiere am Ende einfach die Flächeninhalte aller Teilflächen einer Figur, um das Gesamtergebnis zu erhalten.

1. **Figur A (Haus-Form):** Wir zerlegen die Figur in ein Rechteck unten und ein Dreieck oben: - Das Rechteck hat eine Breite von \(4\,\text{cm}\) und eine Höhe von \(2\,\text{cm}\): \(A_{\text{Rechteck}} = 4\,\text{cm} \cdot 2\,\text{cm} = 8\,\text{cm}^2\). - Das Dreieck hat eine Grundseite von \(4\,\text{cm}\) und eine Höhe von \(2\,\text{cm}\): \(A_{\text{Dreieck}} = \frac{1}{2} \cdot 4\,\text{cm} \cdot 2\,\text{cm} = 4\,\text{cm}^2\). - Gesamtflächeninhalt: \(8\,\text{cm}^2 + 4\,\text{cm}^2 = 12\,\text{cm}^2\). 2. **Figur B (Pfeil-Form):** Wir zerlegen den Pfeil in einen rechteckigen Schaft und eine dreieckige Spitze: - Das Rechteck (Schaft) hat eine Breite von \(3\,\text{cm}\) und eine Höhe von \(2\,\text{cm}\): \(A_{\text{Rechteck}} = 3\,\text{cm} \cdot 2\,\text{cm} = 6\,\text{cm}^2\). - Das Dreieck (Spitze) hat eine vertikale Grundseite der Länge \(4\,\text{cm}\) (von \(y=0\) bis \(y=4\)) und eine horizontale Höhe von \(2\,\text{cm}\) (von \(x=3\) bis \(x=5\)): \(A_{\text{Dreieck}} = \frac{1}{2} \cdot 4\,\text{cm} \cdot 2\,\text{cm} = 4\,\text{cm}^2\). - Gesamtflächeninhalt: \(6\,\text{cm}^2 + 4\,\text{cm}^2 = 10\,\text{cm}^2\). 3. **Figur C (Fünfeck):** Wir zerlegen die Figur in ein großes Rechteck rechts und einen kleinen Bereich links: - Das rechte Rechteck erstreckt sich von \(x=1\) bis \(x=4\) und von \(y=0\) bis \(y=3\). Es hat eine Breite von \(3\,\text{cm}\) und eine Höhe von \(3\,\text{cm}\): \(A_{\text{Rechteck}} = 3\,\text{cm} \cdot 3\,\text{cm} = 9\,\text{cm}^2\). - Der linke Teil (von \(x=0\) bis \(x=1\)) kann in ein kleines Quadrat der Größe \(1\,\text{cm} \times 1\,\text{cm}\) unten und ein rechtwinkliges Dreieck mit einer Grundseite von \(2\,\text{cm}\) und einer Höhe von \(1\,\text{cm}\) darüber zerlegt werden: \(A_{\text{Quadrat}} = 1\,\text{cm} \cdot 1\,\text{cm} = 1\,\text{cm}^2\). \(A_{\text{Dreieck}} = \frac{1}{2} \cdot 2\,\text{cm} \cdot 1\,\text{cm} = 1\,\text{cm}^2\). - Gesamtflächeninhalt: \(9\,\text{cm}^2 + 1\,\text{cm}^2 + 1\,\text{cm}^2 = 11\,\text{cm}^2\).

Der Flächeninhalt von Figur A beträgt \(12\,\text{cm}^2\), von Figur B \(10\,\text{cm}^2\) und von Figur C \(11\,\text{cm}^2\).

- Kannst du die Figur in bekanntere Teilfiguren wie Rechtecke und Dreiecke zerlegen? - Manchmal ist es einfacher, ein großes Rechteck um die Figur zu zeichnen und die nicht benötigten Teile abzuziehen. - Wie berechnet man den Flächeninhalt eines Dreiecks im Gitternetz? - Schau dir die Symmetrie der Figuren an, um die Berechnung zu vereinfachen.

1. Das Schiff (Figur A) kann in einen Rumpf (Trapez) und ein Segel (Dreieck) zerlegt werden. Der Rumpf hat die parallelen Seiten der Längen \(4\,\text{cm}\) und \(6\,\text{cm}\) sowie eine Höhe von \(2\,\text{cm}\). Der Flächeninhalt des Rumpfes beträgt \(\frac{4 + 6}{2} \cdot 2 = 10\,\text{cm}^2\). Das Segel ist ein rechtwinkliges Dreieck mit einer Grundseite von \(1\,\text{cm}\) und einer Höhe von \(3\,\text{cm}\). Der Flächeninhalt des Segels beträgt \(\frac{1 \cdot 3}{2} = 1{,}5\,\text{cm}^2\). Der Gesamtflächeninhalt ist somit \(10 + 1{,}5 = 11{,}5\,\text{cm}^2\). 2. Die Krone (Figur B) lässt sich am einfachsten durch Ergänzung berechnen. Zeichne ein umgebendes Rechteck mit einer Breite von \(4\,\text{cm}\) und einer Höhe von \(3\,\text{cm}\). Dieses Rechteck hat einen Flächeninhalt von \(4 \cdot 3 = 12\,\text{cm}^2\). Von diesem Rechteck müssen die zwei dreieckigen Ausschnitte an der Oberseite abgezogen werden. Jeder dieser Ausschnitte ist ein Dreieck mit einer Grundseite von \(2\,\text{cm}\) und einer Höhe von \(2\,\text{cm}\), was einen Flächeninhalt von \(\frac{2 \cdot 2}{2} = 2\,\text{cm}^2\) pro Dreieck ergibt. Der Gesamtflächeninhalt der Krone beträgt somit \(12 - 2 - 2 = 8\,\text{cm}^2\) (oder \(8{,}0\,\text{cm}^2\)).

a) \(11{,}5\,\text{cm}^2\) b) \(8\,\text{cm}^2\) (oder \(8{,}0\,\text{cm}^2\))

- Kannst du die Figur in einfachere Teilflächen zerlegen, von denen du den Flächeninhalt leicht berechnen kannst? - Versuche, eine waagerechte oder senkrechte Linie in die Figur zu zeichnen, um sie aufzuteilen. - Berechne die Flächeninhalte der kleineren Teile einzeln und überlege, wie du damit den Gesamtflächeninhalt bestimmen kannst.

1. Zerlege die Figur durch eine waagerechte Trennlinie auf Höhe \(y = 3\) in zwei Teilflächen: - Ein Rechteck im unteren Bereich. - Ein Dreieck im oberen Bereich (als Dach). 2. Berechne den Flächeninhalt des Rechtecks: Die Breite beträgt 4 Einheiten, die Höhe beträgt 3 Einheiten. \(A_{\text{Rechteck}} = 4 \cdot 3 = 12\,\text{FE}\). 3. Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks: Die Grundseite (Breite) beträgt 4 Einheiten. Die Höhe des Dreiecks beträgt 2 Einheiten (von Höhe 3 bis Höhe 5). \(A_{\text{Dreieck}} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2 = 4\,\text{FE}\). 4. Berechne den Gesamtflächeninhalt durch Addition der Teilflächen: \(A_{\text{Gesamt}} = 12\,\text{FE} + 4\,\text{FE} = 16\,\text{FE}\).

Der Flächeninhalt der Figur beträgt \(16\,\text{FE}\).

- Schau dir die Figur an. Kannst du eine vertikale oder horizontale Linie ziehen, um sie in zwei einfachere Formen (wie Rechtecke, Quadrate oder Dreiecke) zu unterteilen? - Für den zweiten Weg: Stell dir vor, die Figur wäre ein vollständiges Rechteck. Welches Teilstück fehlt, um dieses Rechteck vollzumachen? - Berechne den Flächeninhalt des großen Rechtecks und ziehe das fehlende Teilstück ab. - Überprüfe, ob beide Rechenwege denselben Flächeninhalt ergeben.

1. **Weg 1: Zerlegen der Figur** Wir können die Figur durch eine vertikale Linie bei \(x = 3\) in zwei Teilflächen zerlegen: - Eine rechte Teilfläche: Ein Rechteck mit der Breite 2 (von \(x = 3\) bis \(x = 5\)) und der Höhe 3 (von \(y = 0\) bis \(y = 3\)). \(\text{A}_1 = 2 \cdot 3 = 6\,\text{FE}\) - Eine linke Teilfläche: Ein Trapez mit den parallelen vertikalen Seiten der Längen 1 (bei \(x = 1\) von \(y = 0\) bis \(y = 1\)) und 3 (bei \(x = 3\) von \(y = 0\) bis \(y = 3\)) und der Höhe 2 (von \(x = 1\) bis \(x = 3\)). \(\text{A}_2 = \frac{1 + 3}{2} \cdot 2 = 4\,\text{FE}\) - Gesamtflächeninhalt durch Addition: \(\text{A}_{\text{gesamt}} = \text{A}_1 + \text{A}_2 = 6 + 4 = 10\,\text{FE}\) 2. **Weg 2: Ergänzen der Figur** Wir umschließen die Figur mit einem großen Rechteck, das die Eckpunkte \((1|0)\), \((5|0)\), \((5|3)\) und \((1|3)\) besitzt. - Das umschließende Rechteck hat die Breite 4 und die Höhe 3. \(\text{A}_{\text{Rechteck}} = 4 \cdot 3 = 12\,\text{FE}\) - Um den Flächeninhalt der Figur zu erhalten, müssen wir das nicht zur Figur gehörende, rechtwinklige Dreieck oben links abziehen. Dieses Dreieck hat die Eckpunkte \((1|1)\), \((3|3)\) und \((1|3)\). Seine Katheten haben die Längen 2 und 2. \(\text{A}_{\text{Dreieck}} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2\,\text{FE}\) - Gesamtflächeninhalt durch Subtraktion: \(\text{A}_{\text{gesamt}} = \text{A}_{\text{Rechteck}} - \text{A}_{\text{Dreieck}} = 12 - 2 = 10\,\text{FE}\) 3. **Vergleich:** Beide Wege führen zum selben Ergebnis von \(10\,\text{FE}\).

a) Durch Zerlegen erhält man ein Rechteck mit \(6\,\text{FE}\) und ein Trapez mit \(4\,\text{FE}\). Der Gesamtflächeninhalt beträgt \(10\,\text{FE}\). b) Durch Ergänzen zu einem \(4 \times 3\)-Rechteck (\(12\,\text{FE}\)) und Abzug eines Dreiecks (\(2\,\text{FE}\)) erhält man ebenfalls \(10\,\text{FE}\). c) Beide Methoden liefern denselben Flächeninhalt von \(10\,\text{FE}\).

- Stell dir vor, du schneidest an einer Ecke ein Dreieck ab. Wo könntest du es wieder ansetzen, um ein Rechteck zu erhalten? - Welche Seitenlängen hätte das Rechteck, das genau den gleichen Platz einnimmt? - Kannst du das Dreieck gedanklich so teilen, dass die Teile in ein Rechteck passen?

1. Das Parallelogramm in Figur 1 hat eine Grundseite von \(4\,\text{Längeneinheiten}\) und eine Höhe von \(2\,\text{Längeneinheiten}\). Wenn man das linke Dreieck abschneidet und rechts anfügt, erhält man ein Rechteck mit den Seiten \(4\) und \(2\). Der Flächeninhalt ist \(4 \cdot 2 = 8\,\text{FE}\). 2. Das Dreieck in Figur 2 hat eine Grundseite von \(4\,\text{Längeneinheiten}\) und eine Höhe von \(4\,\text{Längeneinheiten}\). Durch Zerlegen und Umlegen (oder Verdoppeln zu einem Rechteck und anschließendes Halbieren) ergibt sich der Flächeninhalt zu \(\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 = 8\,\text{FE}\).

1) \(8\,\text{FE}\) 2) \(8\,\text{FE}\)

- Kannst du Figur a) in zwei einfache Rechtecke zerlegen? - Wie lässt sich der Flächeninhalt eines Dreiecks auf einem Gitter bestimmen? Hilft es dir, das Dreieck zu einem Rechteck zu ergänzen? - Erinnere dich an die Formeln für den Flächeninhalt von Rechtecken und Dreiecken.

1. Flächeninhalt von Figur a): Zerlegung der L-Form in zwei Teilrechtecke. Das liegende Rechteck hat die Maße \(4 \times 1\) (\(4\,\text{FE}\)), das stehende Rechteck die Maße \(1 \times 4\) (\(4\,\text{FE}\)). Gesamter Flächeninhalt: \(4\,\text{FE} + 4\,\text{FE} = 8\,\text{FE}\). 2. Flächeninhalt von Figur b): Berechnung des Dreiecks mit der Grundseite \(g = 4\) und der Höhe \(h = 4\). Der Flächeninhalt ergibt sich durch \(A = \frac{1}{2}gh = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 = 8\,\text{FE}\). 3. Vergleich: Beide Figuren besitzen denselben Flächeninhalt von \(8\,\text{FE}\).

a) Der Flächeninhalt von Figur a) beträgt \(8\,\text{FE}\). b) Der Flächeninhalt von Figur b) beträgt \(8\,\text{FE}\). Beide Figuren haben den gleichen Flächeninhalt.

- Kannst du eine waagerechte Linie ziehen, um die Figur in ein Rechteck und ein Dreieck zu teilen? - Bestimme für beide Teilfiguren die Längen der Seiten bzw. die Höhe durch Abzählen der Gitterabstände. - Erinnere dich an die Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks: \(\frac{1}{2} \cdot \text{Grundseite} \cdot \text{Höhe}\). - Addiere am Ende die Ergebnisse der Teilflächen, um das Gesamtergebnis zu erhalten.

1. Zerlegung der Figur in ein unteres Rechteck und ein oberes Dreieck. 2. Berechnung des Rechtecks: Die Breite beträgt \(5\,\text{cm}\) (von \(x=1\) bis \(x=6\)) und die Höhe \(2\,\text{cm}\) (von \(y=1\) bis \(y=3\)). Der Flächeninhalt ist \(5\,\text{cm} \cdot 2\,\text{cm} = 10\,\text{cm}^2\). 3. Berechnung des Dreiecks: Die Grundseite auf der Trennlinie ist \(5\,\text{cm}\) lang. Die Höhe von der Trennlinie bis zur Spitze beträgt \(3\,\text{cm}\) (von \(y=3\) bis \(y=6\)). Der Flächeninhalt ist \(\frac{1}{2} \cdot 5\,\text{cm} \cdot 3\,\text{cm} = 7{,}5\,\text{cm}^2\). 4. Addition der Teilflächen: \(10\,\text{cm}^2 + 7{,}5\,\text{cm}^2 = 17{,}5\,\text{cm}^2\).

Der Flächeninhalt der Figur beträgt \(17{,}5\,\text{cm}^2\).

- Du kannst die Figur in Rechtecke und Dreiecke zerlegen. - Achte besonders auf die schräge Linie.

1. Die Figur kann als Rechteck der Größe \(4 \times 4\) minus einem Trapez an der linken Seite betrachtet werden. 2. Alternativ Zerlegung: Unteres Rechteck \(4 \times 2\) (\(8\,\text{cm}^2\)), oberes Rechteck \(2 \times 2\) (\(4\,\text{cm}^2\)) und ein Dreieck mit Grundseite \(1\) und Höhe \(2\) (\(1\,\text{cm}^2\)). 3. Summe: \(8 + 4 + 1 = 13\,\text{cm}^2\).

Der Flächeninhalt beträgt \(13\,\text{cm}^2\).

- Kannst du in der Mitte des Sterns ein Quadrat erkennen? - Aus welchen anderen geometrischen Formen bestehen die „Zacken“ des Sterns? - Wie berechnet man den Flächeninhalt eines Dreiecks auf einem Gitter? - Versuche, die Figur in Teile zu zerlegen, deren Flächeninhalt du leicht bestimmen kannst.

1. Zerlegung des Sterns in ein zentrales Quadrat und vier angrenzende Dreiecke: Das Quadrat in der Mitte hat die Eckpunkte \((2|2)\), \((4|2)\), \((4|4)\) und \((2|4)\). Seine Seitenlänge beträgt \(2\,\text{cm}\), woraus ein Flächeninhalt von \(2\,\text{cm} \cdot 2\,\text{cm} = 4\,\text{cm}^2\) folgt. 2. Berechnung der vier Dreiecke: Jedes Dreieck hat eine Grundseite von \(2\,\text{cm}\) (entspricht einer Seite des Quadrats) und eine Höhe von \(2\,\text{cm}\) (Abstand von der Quadratseite zur jeweiligen Sternspitze). Der Flächeninhalt eines Dreiecks ist \(\frac{1}{2} \cdot 2\,\text{cm} \cdot 2\,\text{cm} = 2\,\text{cm}^2\). 3. Gesamter Flächeninhalt: \(4\,\text{cm}^2 + 4 \cdot 2\,\text{cm}^2 = 4\,\text{cm}^2 + 8\,\text{cm}^2 = 12\,\text{cm}^2\).

Der Flächeninhalt des Sterns beträgt \(12\,\text{cm}^2\).

- Überlege dir, wie du die schräge Figur in ein gerades Rechteck umwandeln kannst, ohne die Fläche zu verändern. - Wie viele Kästchen ist die Figur an der Unterseite breit? - Wie viele Kästchenreihen hoch ist das Parallelogramm? - Du kannst auch versuchen, die vollen Quadrate zu zählen und die restlichen Teilstücke zu Ganzen zusammenzusetzen.

1. Bestimmung der Grundseite: Die untere Seite des Parallelogramms liegt auf einer Gitterlinie und ist \(4\) Einheiten lang. 2. Bestimmung der Höhe: Der senkrechte Abstand zwischen der unteren und der oberen Seite beträgt \(3\) Einheiten. 3. Zerlegung und Zusammensetzung: Durch das Abschneiden eines rechtwinkligen Dreiecks (Grundseite \(2\), Höhe \(3\)) an der linken Seite und das Verschieben an die rechte Seite entsteht ein Rechteck mit der Breite \(4\) und der Höhe \(3\). 4. Berechnung des Flächeninhalts: \(4 \cdot 3 = 12\). Der Flächeninhalt beträgt \(12\) Einheitsquadrate.

Der Flächeninhalt beträgt \(12\) Einheitsquadrate.

- Zerlege Figur f in bekannte Teilflächen wie ein Rechteck und ein Dreieck. - Erinnere dich an die Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks: \(\frac{1}{2} \cdot \text{Grundseite} \cdot \text{Höhe}\). - Du kannst auch ein großes Rechteck um die Figuren zeichnen und die überschüssigen Flächen abziehen.

1. Zerlege Figur f in ein unteres Rechteck und ein oberes Dreieck. Das Rechteck hat die Eckpunkte \((1|1)\), \((5|1)\), \((5|3)\) und \((1|3)\). Sein Flächeninhalt beträgt \(4 \cdot 2 = 8\) Einheitsquadrate. 2. Das obere Dreieck von Figur f hat die Grundseite \(4\) und die Höhe \(2\). Sein Flächeninhalt beträgt \(\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2 = 4\) Einheitsquadrate. 3. Figur f hat somit den Flächeninhalt \(8 + 4 = 12\) Einheitsquadrate. 4. Figur g ist ein Dreieck mit Grundseite \(6\) und Höhe \(4\); seine Spitze liegt bei \((3|5)\). 5. Sein Flächeninhalt beträgt \(\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = 12\) Einheitsquadrate. 6. Beide Figuren haben trotz ihrer unterschiedlichen Form denselben Flächeninhalt.

Beide Figuren haben einen Flächeninhalt von \(12\,\text{Einheitsquadraten}\). Sie sind also flächengleich.

- Versuche, die Figur durch Linien in drei bekannte Formen zu teilen. - Stell dir vor, die Lücke wäre geschlossen. Wie groß wäre das ganze Rechteck dann? - Welches Verfahren benötigt weniger Rechenschritte?

1. Methode 1 (Zerlegen): Die Figur wird horizontal in drei Rechtecke zerlegt. Das obere und untere Rechteck messen je \(10\,\text{cm} \times 2\,\text{cm}\) (Fläche jeweils \(20\,\text{cm}^2\)). Das verbindende Rechteck links misst \(4\,\text{cm} \times 3\,\text{cm}\) (Fläche \(12\,\text{cm}^2\)). Gesamtfläche: \(20 + 20 + 12 = 52\,\text{cm}^2\). 2. Methode 2 (Ergänzen): Man denkt sich ein großes Rechteck mit \(10\,\text{cm} \times 7\,\text{cm}\) (Fläche \(70\,\text{cm}^2\)). Davon wird die Lücke rechts abgezogen, die \(6\,\text{cm} \times 3\,\text{cm}\) groß ist (Fläche \(18\,\text{cm}^2\)). Gesamtfläche: \(70 - 18 = 52\,\text{cm}^2\). 3. Beurteilung: Der Weg über das Ergänzen ist oft schneller, da man nur zwei Flächen berechnen und einmal subtrahieren muss, während man beim Zerlegen drei Flächen berechnet und zweimal addiert.

Der Flächeninhalt beträgt \(52\,\text{cm}^2\). Beide Rechenwege führen zum selben Ergebnis. Das Ergänzen ist oft effizienter, da weniger Teilflächen berechnet werden müssen.

- Wo genau entsteht das Dreieck, wenn du ein Rechteck aus dem Trapez heraustrennst? - Wie lang ist die kurze Seite des Dreiecks unten? Nutze die Maße der beiden parallelen Seiten. - Wie hoch ist das Dreieck?

1. Die Grundseite des Dreiecks ergibt sich aus der Differenz der parallelen Trapezseiten: \(100\,\text{cm} - 70\,\text{cm} = 30\,\text{cm}\). 2. Die Höhe des Dreiecks entspricht der Höhe des Trapezes: \(h = 40\,\text{cm}\). 3. Der Flächeninhalt des Dreiecks ist \(A = \frac{1}{2} \cdot \text{Grundseite} \cdot \text{Höhe}\). 4. Rechnung: \(A = 0{,}5 \cdot 30 \cdot 40 = 600\,\text{cm}^2\).

Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt \(600\,\text{cm}^2\).

- Zerlege den Grundriss in drei einfache Rechtecke. - Beachte, dass die beiden Seitenflügel unterschiedliche Höhen haben. - Addiere die drei Flächeninhalte zum Schluss.

1. Zerlegung in drei Teilrechtecke: Ein Bodenrechteck (\(12\,\text{m} \cdot 4\,\text{m} = 48\,\text{m}^2\)), ein linker Flügel (\(3\,\text{m} \cdot 4\,\text{m} = 12\,\text{m}^2\)) und ein rechter Flügel (\(3\,\text{m} \cdot 6\,\text{m} = 18\,\text{m}^2\)). 2. Addition: \(48 + 12 + 18 = 78\,\text{m}^2\).

Der Flächeninhalt des Lagerraumbodens beträgt \(78\,\text{m}^2\).

- Berechne für beide Grundstücke getrennt den Flächeninhalt. - Bei Grundstück a ist es einfacher, ein Loch abzuziehen. - Bei Grundstück b kannst du zwei Rechtecke addieren. - Vergleiche am Ende die beiden Ergebnisse.

1. Grundstück a: Ein Rechteck (\(12\,\text{m} \cdot 10\,\text{m} = 120\,\text{m}^2\)) mit einer Aussparung in der Mitte (\(4\,\text{m} \cdot 4\,\text{m} = 16\,\text{m}^2\)). Fläche: \(120 - 16 = 104\,\text{m}^2\). 2. Grundstück b: Besteht aus einem unteren Teil (\(10\,\text{m} \cdot 10\,\text{m} = 100\,\text{m}^2\)) und einem oberen Anbau (\(6\,\text{m} \cdot 3\,\text{m} = 18\,\text{m}^2\)). Fläche: \(100 + 18 = 118\,\text{m}^2\). 3. Vergleich: \(118\,\text{m}^2 > 104\,\text{m}^2\). Grundstück b ist größer.

Grundstück a hat einen Flächeninhalt von \(104\,\text{m}^2\), Grundstück b hat \(118\,\text{m}^2\). Somit ist Grundstück b größer.

- Überlege dir zuerst, wie groß das gesamte Holzbrett vor dem Sägen war. - Kannst du das fertige Bauteil in einfache Formen wie Rechtecke zerlegen? - Der Abfall ist der Teil des Bretts, der nicht zum Bauteil gehört.

1. Berechnung des Flächeninhalts des ursprünglichen Quadrats: \(40\,\text{cm} \cdot 40\,\text{cm} = 1600\,\text{cm}^2\). 2. Berechnung des Flächeninhalts des Bauteils durch Zerlegung in zwei Rechtecke: - Ein großes Rechteck mit \(40\,\text{cm} \times 30\,\text{cm}\): \(1200\,\text{cm}^2\). - Ein kleineres Rechteck mit \(30\,\text{cm} \times 10\,\text{cm}\): \(300\,\text{cm}^2\). - Gesamtfläche des Bauteils: \(1200\,\text{cm}^2 + 300\,\text{cm}^2 = 1500\,\text{cm}^2\). 3. Berechnung des Abfalls: \(1600\,\text{cm}^2 - 1500\,\text{cm}^2 = 100\,\text{cm}^2\).

Der Abfall hat einen Flächeninhalt von \(100\,\text{cm}^2\).

- Zerlege die T-Form in zwei einfache Rechtecke. - Achte darauf, die richtigen Seitenlängen für das obere Rechteck zu bestimmen.

1. Zerlegung des T-Dachs in zwei Rechtecke: - Ein breites Rechteck unten mit \(20\,\text{m} \times 5\,\text{m}\). - Ein schmales Rechteck oben mit \(4\,\text{m} \times 10\,\text{m}\) (Breite: \(20\,\text{m} - 8\,\text{m} - 8\,\text{m} = 4\,\text{m}\); Höhe: \(15\,\text{m} - 5\,\text{m} = 10\,\text{m}\)). 2. Berechnung der Teilflächen: - Fläche 1: \(20\,\text{m} \cdot 5\,\text{m} = 100\,\text{m}^2\). - Fläche 2: \(4\,\text{m} \cdot 10\,\text{m} = 40\,\text{m}^2\). 3. Gesamtsumme bilden: \(100\,\text{m}^2 + 40\,\text{m}^2 = 140\,\text{m}^2\).

Der gesamte Flächeninhalt des Daches beträgt \(140\,\text{m}^2\).

- Zeichne eine Hilfslinie ein, um das „L“ in zwei Rechtecke zu teilen. - Achte darauf, dass du keine Teilstücke doppelt zählst. - Wie lang ist die Seite des oberen Rechtecks, die nicht direkt beschriftet ist?

1. Zerlegung in zwei Rechtecke: Ein waagerechtes Rechteck unten und ein senkrechtes Rechteck links. 2. Maße des waagerechten Rechtecks: \(15\,\text{cm}\) Breite und \(5\,\text{cm}\) Höhe. Fläche \(A_{\text{unten}} = 15\,\text{cm} \cdot 5\,\text{cm} = 75\,\text{cm}^2\). 3. Maße des senkrechten Rechtecks: \(5\,\text{cm}\) Breite und \(15\,\text{cm} - 5\,\text{cm} = 10\,\text{cm}\) zusätzliche Höhe. Fläche \(A_{\text{links}} = 5\,\text{cm} \cdot 10\,\text{cm} = 50\,\text{cm}^2\). 4. Gesamtfläche: \(75\,\text{cm}^2 + 50\,\text{cm}^2 = 125\,\text{cm}^2\).

Der Flächeninhalt des Werkstücks beträgt \(125\,\text{cm}^2\).

- Berechne zuerst die Fläche des großen Rechtecks. - Ziehe davon die Flächen der kleinen Quadrate ab. - Multipliziere das Ergebnis mit dem Preis pro Quadratmeter.

1. Fläche des gesamten Hofes ohne Aussparungen berechnen: \(15\,\text{m} \cdot 8\,\text{m} = 120\,\text{m}^2\). 2. Fläche der drei quadratischen Beete berechnen: \(3 \cdot (2\,\text{m} \cdot 2\,\text{m}) = 3 \cdot 4\,\text{m}^2 = 12\,\text{m}^2\). 3. Pflasterfläche berechnen: \(120\,\text{m}^2 - 12\,\text{m}^2 = 108\,\text{m}^2\). 4. Materialkosten berechnen: \(108\,\text{m}^2 \cdot 65\,\text{€}/\text{m}^2 = 7020\,\text{€}\).

a) Die zu pflasternde Fläche beträgt \(108\,\text{m}^2\). b) Die Materialkosten belaufen sich auf \(7020\,\text{€}\).

- Kannst du die Figur mit einer Linie in zwei einfache Rechtecke teilen? - Was passiert, wenn du die Figur zu einem großen Rechteck vervollständigst? Was musst du dann wieder abziehen? - Gibt es mehr als eine Möglichkeit, die Trennlinie zu ziehen?

1. Weg 1 (Zerlegen in zwei waagerechte Rechtecke): Ein unteres Rechteck (\(7\,\text{cm} \times 3\,\text{cm}\)) und ein oberes Quadrat (\(3\,\text{cm} \times 3\,\text{cm}\)). \(A = 7 \cdot 3 + 3 \cdot 3 = 21 + 9 = 30\,\text{cm}^2\). 2. Weg 2 (Ergänzen zum großen Rechteck): Großes Rechteck (\(7\,\text{cm} \times 6\,\text{cm}\)) abzüglich der fehlenden Ecke rechts oben (\(4\,\text{cm} \times 3\,\text{cm}\)). \(A = 7 \cdot 6 - 4 \cdot 3 = 42 - 12 = 30\,\text{cm}^2\). 3. Weg 3 (Zerlegen in zwei senkrechte Rechtecke): Linkes Rechteck (\(3\,\text{cm} \times 6\,\text{cm}\)) und rechtes Rechteck (\(4\,\text{cm} \times 3\,\text{cm}\)). \(A = 18 + 12 = 30\,\text{cm}^2\).

Der Flächeninhalt der Figur beträgt \(30\,\text{cm}^2\).

- Überlege dir, wie du die Figur mit einer geraden Linie in zwei Rechtecke teilen kannst. - Wenn du die Figur zu einem großen Rechteck vervollständigst, welche Maße hat dann das fehlende Stück? - Achte darauf, dass du beim Zerlegen keine Flächen doppelt zählst oder vergisst.

1. Zerlegung in zwei Rechtecke: Möglichkeit A: Ein unteres Rechteck mit \(12{,}4\,\text{m} \cdot 4{,}2\,\text{m} = 52{,}08\,\text{m}^2\) und ein oberes Rechteck mit \(5{,}2\,\text{m} \cdot 6{,}6\,\text{m} = 34{,}32\,\text{m}^2\). Gesamt: \(52{,}08 + 34{,}32 = 86{,}4\,\text{m}^2\). Möglichkeit B: Ein linkes Rechteck mit \(5{,}2\,\text{m} \cdot 10{,}8\,\text{m} = 56{,}16\,\text{m}^2\) und ein rechtes Rechteck mit \(7{,}2\,\text{m} \cdot 4{,}2\,\text{m} = 30{,}24\,\text{m}^2\). Gesamt: \(56{,}16 + 30{,}24 = 86{,}4\,\text{m}^2\). 2. Ergänzung zum großen Rechteck: Das große umschließende Rechteck hat die Maße \(12{,}4\,\text{m} \cdot 10{,}8\,\text{m} = 133{,}92\,\text{m}^2\). Die zu ergänzende (fehlende) Fläche oben rechts hat die Maße \(7{,}2\,\text{m} \cdot 6{,}6\,\text{m} = 47{,}52\,\text{m}^2\). Differenz: \(133{,}92 - 47{,}52 = 86{,}4\,\text{m}^2\).

Der Flächeninhalt des Parkplatzes beträgt \(86{,}4\,\text{m}^2\).

- Stell dir vor, das Logo wäre zuerst ein ganzes Rechteck. - Welcher Teil wurde davon weggenommen? - Kannst du die Höhe des ausgeschnittenen Dreiecks aus den anderen Maßen berechnen?

1. Berechnung des Flächeninhalts des umschließenden Rechtecks: \(A_{\text{Rechteck}} = 10\,\text{cm} \cdot 6\,\text{cm} = 60\,\text{cm}^2\). 2. Bestimmung der Maße des ausgeschnittenen Dreiecks: Basis \(b = 6\,\text{cm}\), Höhe \(h = 10\,\text{cm} - 6\,\text{cm} = 4\,\text{cm}\). 3. Berechnung des Flächeninhalts des Dreiecks: \(A_{\text{Dreieck}} = \frac{1}{2} \cdot 6\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm} = 12\,\text{cm}^2\). 4. Subtraktion des Dreiecks vom Rechteck: \(A_{\text{Logo}} = 60\,\text{cm}^2 - 12\,\text{cm}^2 = 48\,\text{cm}^2\).

Der Flächeninhalt des Logos beträgt \(48\,\text{cm}^2\).

- Kannst du die Figur als ein großes Rechteck mit einem fehlenden Teil sehen? - Vergiss beim Umfang nicht die Kanten im Inneren des U. - Bestimme die Breite der beiden Schenkel aus Gesamtbreite und Breite der Aussparung.

1. Berechnung durch Subtraktion: Ein großes Rechteck von \(10\,\text{cm} \times 8\,\text{cm}\) hat einen Flächeninhalt von \(80\,\text{cm}^2\). Die weiße Aussparung ist \(6\,\text{cm} \times 5\,\text{cm}\) groß (\(30\,\text{cm}^2\)). \(A = 80\,\text{cm}^2 - 30\,\text{cm}^2 = 50\,\text{cm}^2\). 2. Berechnung des Umfangs: Alle Seitenlängen addieren: \(10 + 8 + 2 + 5 + 6 + 5 + 2 + 8 = 46\,\text{cm}\).

Der Flächeninhalt des Logos beträgt \(50\,\text{cm}^2\) und der Umfang beträgt \(46\,\text{cm}\).

- Überlege dir, wie du die Fläche in zwei Rechtecke zerlegen kannst. - Berechne die fehlende Höhe des schmaleren Rechtecks.

1. Zerlegung in ein großes Rechteck (\(12\,\text{m} \times 4\,\text{m}\)) und ein kleineres Rechteck (\(5\,\text{m} \times (10\,\text{m} - 4\,\text{m})\)). 2. Fläche 1: \(12\,\text{m} \cdot 4\,\text{m} = 48\,\text{m}^2\). 3. Fläche 2: \(5\,\text{m} \cdot 6\,\text{m} = 30\,\text{m}^2\). 4. Gesamtfläche: \(48\,\text{m}^2 + 30\,\text{m}^2 = 78\,\text{m}^2\).

Die gesamte Bodenfläche beträgt \(78\,\text{m}^2\).

- Wie groß wäre die Fläche ohne die Ausschnitte? - Was passiert mit dem Umfang, wenn man ein Quadrat aus einer Kante herausschneidet?

1. Ursprüngliches Rechteck: \(10\,\text{dm} \times 6\,\text{dm}\). 2. Zwei Ausschnitte: jeweils \(2\,\text{dm} \times 2\,\text{dm}\). 3. Flächeninhalt: \(A = (10 \cdot 6) - 2 \cdot (2 \cdot 2) = 60 - 8 = 52\,\text{dm}^2\). 4. Umfang: \(10 + 6 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 6 = 40\,\text{dm}\).

Der Flächeninhalt beträgt \(52\,\text{dm}^2\) und der Umfang \(40\,\text{dm}\).

- Zeichne die Situation auf. Wie viele kleine Dreiecke entstehen in den Ecken? - Wie verhält sich die Fläche der vier Eckdreiecke zur Gesamtfläche?

1. Bezeichne den Flächeninhalt des Parallelogramms mit \(A_{\text{para}}\). Jedes der vier Eckdreiecke hat eine halb so lange Grundseite und eine halb so große Höhe wie das Parallelogramm. Daher besitzt jedes Eckdreieck den Flächenanteil \(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8}\). 2. Die vier Eckdreiecke bedecken zusammen \(4 \cdot \frac{1}{8} = \frac{1}{2}\) der Gesamtfläche. Das innere Viereck nimmt somit ebenfalls die Hälfte ein. 3. \(A_{\text{innen}} = \frac{1}{2} \cdot 80\,\text{cm}^2 = 40\,\text{cm}^2\).

\(40\,\text{cm}^2\)

- Wie verhält sich der Flächeninhalt eines Dreiecks, wenn man eine seiner Seiten verkürzt, die Höhe auf diese Seite aber gleich bleibt? - Überlege dir, welchen Anteil der Fläche das Dreieck \(AEC\) am Gesamtdreieck \(ABC\) hat. - Wenn \(AD : DC = 2 : 1\) ist, welchen Bruchteil der gesamten Strecke \(AC\) macht dann der Abschnitt \(AD\) aus? - Du kannst das Problem lösen, indem du den Flächeninhalt schrittweise für immer kleinere Teildreiecke berechnest.

1. Da \(E\) der Mittelpunkt der Seite \(AB\) ist, haben die Dreiecke \(AEC\) und \(ABC\) zur Geraden \(AB\) die gleiche Höhe, während \(AE = \frac{1}{2}AB\) gilt. Somit ist \(A_{AEC} = \frac{1}{2} \cdot A_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 45\,\text{cm}^2 = 22{,}5\,\text{cm}^2\). 2. Aus \(AD : DC = 2 : 1\) folgt \(AD = \frac{2}{3}AC\). Die Dreiecke \(ADE\) und \(AEC\) haben zur Geraden \(AC\) die gleiche Höhe. Daher gilt \(A_{ADE} = \frac{2}{3} \cdot A_{AEC} = \frac{2}{3} \cdot 22{,}5\,\text{cm}^2 = 15\,\text{cm}^2\).

Der Flächeninhalt des Dreiecks \(ADE\) beträgt \(15\,\text{cm}^2\).

- Wie verhält sich der Flächeninhalt eines Dreiecks, wenn man bei gleichbleibender Höhe die Grundseite verkürzt? - Überlege dir, welchen Anteil das Teildreieck \(ABD\) am gesamten Dreieck \(ABC\) hat. - Was bewirkt eine Verbindungslinie von einer Ecke zum Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite (eine Seitenhalbierende) für den Flächeninhalt eines Dreiecks? - Versuche, den Flächeninhalt Schritt für Schritt von der großen Figur zu den kleineren Teilen zu berechnen.

1. Da die Seite \(BC\) durch die Punkte \(D\) und \(E\) in drei gleich lange Abschnitte unterteilt wird, ist die Grundseite \(BD\) des Dreiecks \(ABD\) genau ein Drittel so lang wie die Seite \(BC\) des Dreiecks \(ABC\). 2. Da beide Dreiecke die gleiche Höhe bezüglich dieser Grundseiten haben (die Höhe von der Spitze \(A\) auf die Gerade \(BC\)), ist der Flächeninhalt von \(ABD\) ein Drittel des Gesamtinhalts: \(A_{ABD} = \frac{1}{3} \cdot 60\,\text{cm}^2 = 20\,\text{cm}^2\). 3. Da \(M\) der Mittelpunkt der Strecke \(AD\) ist, teilt die Strecke \(BM\) das Dreieck \(ABD\) in zwei flächengleiche Teildreiecke (\(ABM\) und \(BDM\)), da sie die gleiche Höhe und gleich lange Grundseiten auf der Geraden \(AD\) besitzen. 4. Der Flächeninhalt des Dreiecks \(ABM\) ist somit die Hälfte des Flächeninhalts von \(ABD\): \(A_{ABM} = \frac{1}{2} \cdot 20\,\text{cm}^2 = 10\,\text{cm}^2\).

Der Flächeninhalt des Dreiecks \(ABM\) beträgt \(10\,\text{cm}^2\).

- Manchmal ist es einfacher, die Flächen zu berechnen, die nicht gesucht sind, und diese vom Ganzen abzuziehen. - Welche geometrischen Formen entstehen um das farbige Dreieck herum innerhalb des Quadrats? - Wie lang sind die Katheten der rechtwinkligen Dreiecke an den Ecken? - Denke an die Formel für den Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks.

1. Der Flächeninhalt des gesamten Quadrats \(ABCD\) berechnet sich zu \(12\,\text{cm} \cdot 12\,\text{cm} = 144\,\text{cm}^2\). 2. Die Flächeninhalte der drei rechtwinkligen Dreiecke an den Ecken werden bestimmt: - Dreieck \(ABE\): \(\frac{1}{2} \cdot 12\,\text{cm} \cdot 6\,\text{cm} = 36\,\text{cm}^2\) (da \(E\) Mittelpunkt von \(BC\) ist). - Dreieck \(ADF\): \(\frac{1}{2} \cdot 12\,\text{cm} \cdot 6\,\text{cm} = 36\,\text{cm}^2\) (da \(F\) Mittelpunkt von \(CD\) ist). - Dreieck \(ECF\): \(\frac{1}{2} \cdot 6\,\text{cm} \cdot 6\,\text{cm} = 18\,\text{cm}^2\) (da \(E\) und \(F\) Mittelpunkte sind). 3. Die Summe der Flächen dieser drei „abzuziehenden“ Dreiecke ist \(36\,\text{cm}^2 + 36\,\text{cm}^2 + 18\,\text{cm}^2 = 90\,\text{cm}^2\). 4. Der Flächeninhalt des Dreiecks \(AEF\) ergibt sich durch die Differenz: \(144\,\text{cm}^2 - 90\,\text{cm}^2 = 54\,\text{cm}^2\).

Der Flächeninhalt des Dreiecks \(AEF\) beträgt \(54\,\text{cm}^2\).

- Stell dir vor, du ziehst zwei Linien durch die Mitte des großen Quadrats (waagerecht und senkrecht). Was fällt dir auf? - Wie viele kleine Dreiecke entstehen durch diese Linien und die Seiten des inneren Quadrats? - Sind alle diese kleinen Dreiecke gleich groß? - Welchen Bruchteil der Gesamtfläche nimmt das gelbe Quadrat ein?

1. Ziehe gedanklich eine waagerechte und eine senkrechte Mittellinie durch das äußere Quadrat. Dadurch wird es in vier gleich große kleine Quadrate zerlegt. 2. Jede Seite des inneren Quadrats ist eine Diagonale eines dieser kleinen Quadrate und halbiert dessen Fläche. 3. Das innere Quadrat besteht daher aus vier halben kleinen Quadraten, also aus der Fläche von zwei kleinen Quadraten. 4. Das äußere Quadrat besteht aus vier kleinen Quadraten. Das innere Quadrat nimmt somit genau die Hälfte der äußeren Fläche ein. 5. Berechnung: \(2 \cdot 32\,\text{cm}^2 = 64\,\text{cm}^2\).

Der Flächeninhalt des äußeren Quadrats beträgt \(64\,\text{cm}^2\).

- Skizziere das Koordinatensystem und markiere die Achsen, um die Quadranten zu erkennen. - Wo schneidet das Dreieck die x-Achse und die y-Achse? - Welche Form hat das Teilstück, das im ersten Quadranten liegt? - Berechne erst die gesamte Fläche und dann die gesuchte Teilfläche separat.

1. Gesamtflächeninhalt: Die Seite \(AC\) ist vertikal mit der Länge \(5 - (-5) = 10\). Die Seite \(AB\) ist horizontal mit der Länge \(5 - (-5) = 10\). Da \(AC\) und \(AB\) senkrecht aufeinander stehen, ist das Dreieck rechtwinklig bei \(A\). Der Flächeninhalt ist \(A_{Gesamt} = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 10 = 50\) Flächeneinheiten. 2. Teilfläche im I. Quadranten: Der I. Quadrant umfasst alle Punkte mit \(x > 0\) und \(y > 0\). Die Seite \(AB\) verläuft von \(x=-5\) bis \(x=5\) auf der Höhe \(y=5\). Im I. Quadranten liegt das Teilstück von \(x=0\) bis \(x=5\) (Länge \(5\)). Die Hypotenuse \(BC\) verläuft durch den Ursprung \((0|0)\), da sie die Punkte \((-5|-5)\) und \((5|5)\) verbindet (Gerade \(y=x\)). Die Teilfläche im I. Quadranten ist somit ein Dreieck mit den Eckpunkten \((0|0)\), \((5|5)\) und \((0|5)\). 3. Berechnung der Teilfläche: Dieses kleine Dreieck hat eine horizontale Grundseite (auf \(y=5\)) der Länge \(5\) und eine Höhe von \(5\) (Abstand von \(y=5\) zu \(y=0\)). Der Flächeninhalt beträgt \(A_{I} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 5 = 12{,}5\) Flächeneinheiten. 4. Prozentsatz: \(\frac{12{,}5}{50} \cdot 100 = 25\,\%\).

a) Der Gesamtflächeninhalt beträgt \(50\) Flächeneinheiten. b) \(25\,\%\) der Fläche liegen im I. Quadranten.

- Stelle dir vor, du ziehst eine Linie parallel zu einer der schrägen Seiten des Trapezes. - Wie lang ist die restliche Grundseite, wenn du \(6\,\text{cm}\) für das Parallelogramm „verbrauchst“? - Haben alle Teilfiguren dieselbe Höhe wie das Trapez?

1. Berechnung des Flächeninhalts des Trapezes: \(A_{Trapez} = \frac{1}{2} \cdot (10\,\text{cm} + 6\,\text{cm}) \cdot 4\,\text{cm} = 32\,\text{cm}^2\). 2. Berechnung des Flächeninhalts des Parallelogramms: \(A_{Para} = 6\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm} = 24\,\text{cm}^2\). 3. Bestimmung der Grundseite des Dreiecks: \(g_{Drei} = 10\,\text{cm} - 6\,\text{cm} = 4\,\text{cm}\). 4. Berechnung des Flächeninhalts des Dreiecks: \(A_{Drei} = \frac{1}{2} \cdot 4\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm} = 8\,\text{cm}^2\). 5. Addition der Teilflächen: \(24\,\text{cm}^2 + 8\,\text{cm}^2 = 32\,\text{cm}^2\). Dies entspricht dem Gesamtwert.

Der Flächeninhalt des Parallelogramms beträgt \(24\,\text{cm}^2\), der des Dreiecks \(8\,\text{cm}^2\). Die Summe ergibt \(32\,\text{cm}^2\), was exakt dem berechneten Trapezinhalt entspricht.

- Lukas hat recht, dass man Grundseite und Höhe hier schwer ablesen kann. Aber gibt es eine Form, deren Flächeninhalt du ganz leicht berechnen kannst und die das Dreieck „einrahmt“? - Wenn du das Dreieck in ein Rechteck einpackst, entstehen an den Rändern Flächen, die wir nicht haben wollen. Welche Form haben diese Restflächen? - Kannst du die Längen der Katheten dieser äußeren Dreiecke an den Koordinaten ablesen?

1. Vorgehensweise: Da keine Seite parallel zu den Achsen liegt, wird das Dreieck in ein Rechteck eingeschlossen, das achsenparallele Seiten hat. Die Flächen der entstehenden äußeren rechtwinkligen Dreiecke werden vom Rechteck abgezogen. 2. Eckpunkte des umschließenden Rechtecks: \((2|2), (10|2), (10|9), (2|9)\). 3. Flächeninhalt des Rechtecks: Breite \(10 - 2 = 8\), Höhe \(9 - 2 = 7\). Fläche \(8 \cdot 7 = 56\) Flächeneinheiten. 4. Flächeninhalte der drei äußeren Dreiecke: - Unten: \(\frac{1}{2} \cdot 8 \cdot (4-2) = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 2 = 8\) Flächeneinheiten. - Rechts oben: \(\frac{1}{2} \cdot (10-5) \cdot (9-4) = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 5 = 12{,}5\) Flächeneinheiten. - Links oben: \(\frac{1}{2} \cdot (5-2) \cdot (9-2) = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 7 = 10{,}5\) Flächeneinheiten. 5. Berechnung des Dreiecks \(XYZ\): \(56 - (8 + 12{,}5 + 10{,}5) = 56 - 31 = 25\) Flächeneinheiten.

Der exakte Flächeninhalt des Dreiecks \(XYZ\) beträgt \(25\) Flächeneinheiten.

- Versuche dir eine Skizze der Zerlegung zu machen. Wie hängen die Längen auf der unteren Seite zusammen? - Wenn du die Dreiecke an den Seiten wegschneidest, was bleibt in der Mitte übrig? - Du kannst den Flächeninhalt entweder mit der Trapezformel oder durch Addieren der Teilflächen berechnen.

1. Bestimmung der Seite \(c\): Da das Trapez gleichschenklig ist und an beiden Enden der Basis \(a\) jeweils ein Stück von \(2\,\text{cm}\) für die Dreiecke „abgeht“, berechnet sich die obere Seite zu \(c = a - 2 \cdot 2\,\text{cm} = 10\,\text{cm} - 4\,\text{cm} = 6\,\text{cm}\). 2. Berechnung des Flächeninhalts mit der Trapezformel: \(A = \frac{10\,\text{cm} + 6\,\text{cm}}{2} \cdot 4\,\text{cm}\). 3. Ausrechnen des Ergebnisses: \(A = \frac{16\,\text{cm}}{2} \cdot 4\,\text{cm} = 8\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm} = 32\,\text{cm}^2\). 4. Alternativweg über Teilflächen: Rechteck (\(6\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm} = 24\,\text{cm}^2\)) plus zwei Dreiecke (\(2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 2\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm} = 8\,\text{cm}^2\)). Gesamtsumme: \(24\,\text{cm}^2 + 8\,\text{cm}^2 = 32\,\text{cm}^2\).

a) Die Seite \(c\) ist \(6\,\text{cm}\) lang. b) Der Flächeninhalt des Trapezes beträgt \(32\,\text{cm}^2\).

- Zeichne ein Rechteck um die gesamte Figur herum, sodass alle Ecken der Figur das Rechteck berühren. - Wie groß sind die Seitenlängen dieses großen Rechtecks? - An den Ecken des Rechtecks entstehen Dreiecke, die nicht zum Viereck gehören. Kannst du deren Maße bestimmen? - Warum ist es manchmal einfacher, etwas abzuziehen, als die Figur selbst zu zerlegen?

1. Bestimmung des umschließenden Rechtecks durch die Extremwerte der Koordinaten: \(x\) von 2 bis 8 (Breite 6), \(y\) von 2 bis 7 (Höhe 5). 2. Flächeninhalt des Rechtecks: \(6 \cdot 5 = 30\) Flächeneinheiten. 3. Identifikation der abzuziehenden rechtwinkligen Dreiecke an den Ecken: - Unten rechts (Ecke \((8|2)\)): Dreieck mit Ecken \((2|2), (8|2), (8|3)\). Grundseite 6, Höhe 1. Fläche \(A_{1} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 1 = 3\) Flächeneinheiten. - Oben rechts (Ecke \((8|7)\)): Dreieck mit Ecken \((8|3), (8|7), (6|7)\). Grundseite 2, Höhe 4. Fläche \(A_{2} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 4 = 4\) Flächeneinheiten. - Oben links (Ecke \((2|7)\)): Dreieck mit Ecken \((6|7), (2|7), (2|5)\). Grundseite 4, Höhe 2. Fläche \(A_{3} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2 = 4\) Flächeneinheiten. - Unten links: Da \(K(2|2)\) und \(N(2|5)\) auf derselben vertikalen Linie liegen, gibt es hier kein abzuziehendes Dreieck. 4. Subtraktion der Dreiecksflächen vom Rechteck: \(30 - 3 - 4 - 4 = 19\) Flächeneinheiten.

Der Flächeninhalt des Vierecks \(KLMN\) beträgt \(19\) Flächeneinheiten.

- Skizziere dir ein Trapez und zeichne eine Diagonale ein. Welche Grundseiten haben die entstandenen Dreiecke? - Haben beide Dreiecke die gleiche Höhe wie das Trapez? - Wie berechnet man den Flächeninhalt eines Trapezes direkt?

1. Die Diagonale zerlegt das Trapez in zwei Dreiecke mit der gleichen Höhe \(h = 4\,\text{cm}\). 2. Berechnung Dreieck 1 (Basis \(a\)): \(A_1 = \frac{1}{2} \cdot 7\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm} = 14\,\text{cm}^2\). 3. Berechnung Dreieck 2 (Basis \(c\)): \(A_2 = \frac{1}{2} \cdot 3\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm} = 6\,\text{cm}^2\). 4. Summe der Teilflächen: \(14\,\text{cm}^2 + 6\,\text{cm}^2 = 20\,\text{cm}^2\). 5. Berechnung mit der Trapezformel \(A = \frac{a+c}{2} \cdot h\): \(\frac{7\,\text{cm} + 3\,\text{cm}}{2} \cdot 4\,\text{cm} = 5\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm} = 20\,\text{cm}^2\). 6. Vergleich: Beide Wege führen zum selben Ergebnis von \(20\,\text{cm}^2\).

Die Flächeninhalte der Dreiecke sind \(14\,\text{cm}^2\) und \(6\,\text{cm}^2\). Ihre Summe ergibt \(20\,\text{cm}^2\). Die Trapezformel liefert mit \(\frac{7+3}{2} \cdot 4 = 20\) dasselbe Ergebnis.

- Berechne zuerst den Flächeninhalt für beide Fälle getrennt. - Achte genau darauf, welche Seite jeweils halbiert wird und welche Seite als Höhe dient. - Was fällt dir beim Vergleich der Ergebnisse auf?

1. Berechnung für Rechteck A: Die Grundseite des Dreiecks ist die Hälfte der langen Seite (\(g_A = 5\,\text{cm}\)), die Höhe ist die kurze Seite (\(h_A = 6\,\text{cm}\)). Flächeninhalt \(A_A = \frac{1}{2} \cdot 5\,\text{cm} \cdot 6\,\text{cm} = 15\,\text{cm}^2\). 2. Berechnung für Rechteck B: Die Grundseite des Dreiecks ist die Hälfte der kurzen Seite (\(g_B = 3\,\text{cm}\)), die Höhe ist die lange Seite (\(h_B = 10\,\text{cm}\)). Flächeninhalt \(A_B = \frac{1}{2} \cdot 3\,\text{cm} \cdot 10\,\text{cm} = 15\,\text{cm}^2\). 3. Ergebnis: Beide Dreiecke haben denselben Flächeninhalt. Begründung: In beiden Fällen wird für die Dreiecksgrundseite eine Rechteckseite halbiert, während die jeweils andere Rechteckseite die Höhe bildet. Daher ist das Produkt aus Grundseite und Höhe in beiden Fällen gleich (\(5 \cdot 6 = 3 \cdot 10 = 30\)).

Beide Dreiecke haben denselben Flächeninhalt von \(15\,\text{cm}^2\). Obwohl die Form der Dreiecke unterschiedlich ist, bleibt das Produkt aus Grundseite und Höhe (\(5 \cdot 6 = 30\) und \(3 \cdot 10 = 30\)) gleich.

- Kannst du Figur A in ein Rechteck in der Mitte und zwei Dreiecke an den Seiten zerlegen? - Lässt sich Figur B in zwei einfache Rechtecke aufteilen? - Berechne den Flächeninhalt jedes Teils einzeln und addiere sie für die jeweilige Figur. - Vergleiche die beiden Endergebnisse miteinander.

1. Flächeninhalt von Figur A: Figur A lässt sich in ein mittleres Rechteck mit Breite \(2\,\text{LE}\) und Höhe \(3\,\text{LE}\) sowie zwei rechtwinklige Dreiecke mit Grundseite \(1\,\text{LE}\) und Höhe \(3\,\text{LE}\) zerlegen. Die Teilflächen betragen \(2 \cdot 3 = 6\,\text{FE}\) sowie zweimal \(\frac{1 \cdot 3}{2} = 1{,}5\,\text{FE}\). Insgesamt gilt: \(6 + 1{,}5 + 1{,}5 = 9\,\text{FE}\). 2. Flächeninhalt von Figur B: Figur B lässt sich in ein linkes Rechteck mit Breite \(2\,\text{LE}\) und Höhe \(4\,\text{LE}\) sowie ein Quadrat mit Seitenlänge \(1\,\text{LE}\) zerlegen. Die Teilflächen betragen \(2 \cdot 4 = 8\,\text{FE}\) und \(1 \cdot 1 = 1\,\text{FE}\). Insgesamt gilt: \(8 + 1 = 9\,\text{FE}\). 3. Beide Figuren haben denselben Flächeninhalt von \(9\,\text{FE}\).

a) Der Flächeninhalt von Figur A beträgt \(9\,\text{FE}\). b) Der Flächeninhalt von Figur B beträgt \(9\,\text{FE}\). c) Beide Figuren haben denselben Flächeninhalt (\(9\,\text{FE}\)).

- Wenn eine Figur schräge Seiten hat, kann es schwierig sein, die Kästchen direkt zu zählen. Versuche, ein Rechteck um die gesamte Figur zu zeichnen. - Wie kannst du den Flächeninhalt der äußeren, rechtwinkligen Dreiecke berechnen, die nicht zur Figur gehören? - Wenn du den Flächeninhalt der äußeren Teile vom Gesamtflächeninhalt des umschreibenden Rechtecks abziehst, erhältst du den Flächeninhalt der gesuchten Figur. - Eine andere Möglichkeit ist, die Figur in zwei oder mehr Dreiecke zu zerlegen, deren Grundseiten und Höhen sich leicht auf dem Gitter ablesen lassen.

1. **Flächeninhalt von Figur D:** Wir umschließen Figur D mit einem Quadrat der Größe \(4 \times 4\) und dem Flächeninhalt \(16\,\text{FE}\). An den vier Ecken liegen rechtwinklige Dreiecke mit Grundseite \(1\,\text{LE}\) und Höhe \(3\,\text{LE}\), die nicht zur Figur gehören. Jedes hat den Flächeninhalt \(\frac{1 \cdot 3}{2} = 1{,}5\,\text{FE}\). Damit beträgt der Flächeninhalt von Figur D \(16 - 4 \cdot 1{,}5 = 10\,\text{FE}\). 2. **Flächeninhalt von Figur E:** Wir umschließen Figur E mit einem Rechteck der Größe \(5 \times 4\) und dem Flächeninhalt \(20\,\text{FE}\). Außerhalb der Figur liegen zwei rechtwinklige Dreiecke mit Grundseite \(3\,\text{LE}\) und Höhe \(2\,\text{LE}\) sowie zwei mit Grundseite \(2\,\text{LE}\) und Höhe \(2\,\text{LE}\). Ihre Gesamtfläche beträgt \(2 \cdot \frac{3 \cdot 2}{2} + 2 \cdot \frac{2 \cdot 2}{2} = 6 + 4 = 10\,\text{FE}\). Damit beträgt der Flächeninhalt von Figur E \(20 - 10 = 10\,\text{FE}\).

Der Flächeninhalt von Figur D beträgt \(10\,\text{FE}\) und der Flächeninhalt von Figur E beträgt ebenfalls \(10\,\text{FE}\).

- Zerlege das Trapez in ein Rechteck und zwei Dreiecke, um den Inhalt leichter zu finden. - Nutze für die anderen Figuren die bekannten Flächenformeln. - Achte beim Ablesen der Längen genau auf die Abstände zwischen den Stiften des Geobretts.

1. Flächeninhalt Trapez (a): Grundseiten \(a = 4\), \(c = 2\), Höhe \(h = 2\). Fläche \(A = \frac{4+2}{2} \cdot 2 = 6\). 2. Flächeninhalt Dreieck (b): Grundseite \(g = 4\), Höhe \(h = 3\). Fläche \(A = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 = 6\). 3. Flächeninhalt Rechteck (c): Seiten \(3\) und \(2\). Fläche \(A = 3 \cdot 2 = 6\). 4. Flächeninhalt Dreieck (d): Grundseite \(g = 3\), Höhe \(h = 3\). Fläche \(A = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 = 4{,}5\). 5. Vergleich: Die Figuren b) und c) haben denselben Flächeninhalt wie Figur a).

Die Figuren b) und c) haben denselben Flächeninhalt wie Figur a) (jeweils \(6\) Flächeneinheiten).

- Kannst du die Figur so teilen, dass zwei Dreiecke mit der gleichen Grundseite entstehen? - Wie lang ist die waagerechte Verbindungslinie zwischen den beiden spitzen Ecken? - Wie hoch sind die beiden Dreiecke, die über und unter dieser Linie liegen?

1. Die Figur kann durch eine horizontale Diagonale in zwei spiegelsymmetrische Dreiecke zerlegt werden. Die Diagonale verläuft von \((0|2)\) nach \((6|2)\) und hat die Länge \(g = 6\). 2. Das obere Dreieck hat eine Höhe von \(h_1 = 2\) Einheiten. Sein Flächeninhalt ist \(A_1 = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 2 = 6\,\text{Flächeneinheiten}\). 3. Das untere Dreieck hat ebenfalls eine Höhe von \(h_2 = 2\) Einheiten. Sein Flächeninhalt ist \(A_2 = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 2 = 6\,\text{Flächeneinheiten}\). 4. Der gesamte Flächeninhalt des Vierecks ist die Summe beider Dreiecksflächen: \(A = 6 + 6 = 12\,\text{Flächeneinheiten}\).

Der Flächeninhalt beträgt \(12\,\text{Flächeneinheiten}\).

- Zerlege die Figuren in einfachere Formen oder nutze ein umschließendes Rechteck, um die Flächeninhalte zu bestimmen. - Wenn du ein Rechteck um die Figur ziehst, kannst du die überstehenden Flächen (meist rechtwinklige Dreiecke) leicht berechnen und abziehen. - Achte darauf, die Abstände zwischen den Stiften genau zu zählen, um Grundseiten und Höhen zu bestimmen. - Vergleiche am Ende die beiden Ergebnisse durch eine Subtraktion.

1. Berechnung von Figur (a): Umschließe das blaue Dreieck mit einem Rechteck der Größe \(4 \times 3\). Der Flächeninhalt dieses Rechtecks beträgt \(12\,\text{cm}^2\). Subtrahiere die Flächen der drei rechtwinkligen Dreiecke, die außerhalb des blauen Dreiecks liegen: \(\frac{4 \cdot 1}{2} = 2\,\text{cm}^2\), \(\frac{3 \cdot 2}{2} = 3\,\text{cm}^2\) und \(\frac{1 \cdot 3}{2} = 1{,}5\,\text{cm}^2\). Der Flächeninhalt von (a) ist somit \(12 - (2 + 3 + 1{,}5) = 5{,}5\,\text{cm}^2\). 2. Berechnung von Figur (b): Umschließe das grüne Viereck mit einem Rechteck der Größe \(4 \times 3\). Der Flächeninhalt beträgt \(12\,\text{cm}^2\). Subtrahiere die vier äußeren rechtwinkligen Dreiecke: \(\frac{2 \cdot 1}{2} = 1\,\text{cm}^2\), \(\frac{2 \cdot 1}{2} = 1\,\text{cm}^2\), \(\frac{2 \cdot 2}{2} = 2\,\text{cm}^2\) und \(\frac{2 \cdot 2}{2} = 2\,\text{cm}^2\). Der Flächeninhalt von (b) ist somit \(12 - (1 + 1 + 2 + 2) = 6\,\text{cm}^2\). 3. Vergleich: Figur (b) ist größer als Figur (a). Der Unterschied beträgt \(6\,\text{cm}^2 - 5{,}5\,\text{cm}^2 = 0{,}5\,\text{cm}^2\).

Figur a) hat einen Flächeninhalt von \(5{,}5\,\text{cm}^2\), Figur b) von \(6\,\text{cm}^2\). Figur b) ist um \(0{,}5\,\text{cm}^2\) größer als Figur a).

- Welche geometrischen Grundformen kannst du in dem Segelboot erkennen? - Nutze die Formel für den Flächeninhalt eines Trapezes und eines Dreiecks. - Die Gitterpunkte helfen dir dabei, die Längen der Grundseiten und Höhen abzulesen.

1. Zerlegung in Rumpf (Trapez) und Segel (Dreieck). 2. Flächeninhalt Rumpf: Die parallelen Seiten sind \(a = 6\) und \(c = 4\), die Höhe ist \(h = 2\). \(A_{\text{Rumpf}} = \frac{6+4}{2} \cdot 2 = 10\,\text{FE}\). 3. Flächeninhalt Segel: Die Grundseite ist \(g = 2\) und die Höhe ist \(h = 4\). \(A_{\text{Segel}} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 4 = 4\,\text{FE}\). 4. Gesamtfläche: \(10 + 4 = 14\,\text{FE}\).

Der Flächeninhalt des Segelbootes beträgt \(14\,\text{FE}\).

- Versuche, die Figur in Rechtecke zu zerlegen, deren Flächeninhalt du leicht berechnen kannst. - Du kannst auch ein großes Rechteck um die ganze Figur zeichnen und die Flächen abziehen, die „zu viel“ sind. - Markiere dir die Ecken und zähle die Abstände zwischen den Stiften genau ab.

1. Zerlegung der Figur in drei Teilrechtecke: Ein linkes vertikales Rechteck und zwei rechte horizontale „Arme“. 2. Das linke Rechteck erstreckt sich von \(x=1\) bis \(x=5\) und von \(y=1\) bis \(y=7\). Seine Breite ist \(4\) und seine Höhe ist \(6\). Fläche: \(4 \cdot 6 = 24\,\text{EQ}\). 3. Der untere rechte Arm erstreckt sich von \(x=5\) bis \(x=8\) und von \(y=1\) bis \(y=3\). Seine Breite ist \(3\) und seine Höhe ist \(2\). Fläche: \(3 \cdot 2 = 6\,\text{EQ}\). 4. Der obere rechte Arm erstreckt sich von \(x=5\) bis \(x=8\) und von \(y=5\) bis \(y=7\). Seine Breite ist \(3\) und seine Höhe ist \(2\). Fläche: \(3 \cdot 2 = 6\,\text{EQ}\). 5. Addition der Teilflächen: \(24 + 6 + 6 = 36\,\text{EQ}\). Alternativ: Ergänzung zu einem großen \(7 \times 6\) Rechteck (\(42\,\text{EQ}\)) und Subtraktion der Lücke in der Mitte rechts (\(3 \times 2 = 6\,\text{EQ}\)). Ergebnis: \(42 - 6 = 36\,\text{EQ}\).

Der Flächeninhalt der Figur beträgt \(36\) Einheitsquadrate.

- Wie viel Platz nimmt die Tür in der Wand ein? Ziehe diesen Teil von der Gesamtfläche ab. - Achte darauf, dass alle Maße in der gleichen Einheit (z. B. Meter) vorliegen, bevor du rechnest. - Wie oft passt die Fläche einer einzelnen Fliese in die gesamte zu fliesende Wandfläche?

1. Berechnung der Wandfläche: \(6\,\text{m} \cdot 3\,\text{m} = 18\,\text{m}^2\) 2. Berechnung der Türfläche: \(2\,\text{m} \cdot 2\,\text{m} = 4\,\text{m}^2\) 3. Berechnung der zu fliesenden Fläche: \(18\,\text{m}^2 - 4\,\text{m}^2 = 14\,\text{m}^2\) 4. Berechnung der Fläche einer Fliese: \(0{,}2\,\text{m} \cdot 0{,}2\,\text{m} = 0{,}04\,\text{m}^2\) 5. Berechnung der Anzahl der Fliesen: \(14 : 0{,}04 = 350\)

Es werden insgesamt \(350\) Fliesen benötigt.

- Überlege dir zuerst, in welchem Verhältnis der Flächeninhalt von \(XST\) zum Flächeninhalt des Dreiecks \(XSZ\) steht. - Was bedeutet das Verhältnis \(1 : 3\) für die Länge einer Teilstrecke im Vergleich zur Gesamtlänge der Seite? - Du kannst das gesamte Dreieck schrittweise aus den Teildreiecken „aufbauen“. - Wenn eine Seite eines Dreiecks verdreifacht wird und die Höhe gleich bleibt, wie ändert sich dann die Fläche?

1. Aus dem Verhältnis \(XT : TZ = 1 : 3\) folgt, dass \(XT\) genau \(\frac{1}{4}\) der gesamten Seite \(XZ\) ausmacht. Die Dreiecke \(XST\) und \(XSZ\) haben zur Geraden \(XZ\) die gleiche Höhe. Daher ist \(A_{XSZ} = 4 \cdot A_{XST} = 4 \cdot 4\,\text{cm}^2 = 16\,\text{cm}^2\). 2. Da \(S\) die Seite \(XY\) im Verhältnis \(1 : 2\) teilt, ist \(XS = \frac{1}{3}XY\). Die Dreiecke \(XSZ\) und \(XYZ\) haben zur Geraden \(XY\) die gleiche Höhe. Somit gilt \(A_{XYZ} = 3 \cdot A_{XSZ} = 3 \cdot 16\,\text{cm}^2 = 48\,\text{cm}^2\).

Der Flächeninhalt des Dreiecks \(XYZ\) beträgt \(48\,\text{cm}^2\).