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- Überlege, ob Paul beim Umbauen Würfel weggenommen oder neue dazugetan hat. - Was genau gibt das Volumen eines Körpers an, wenn man ihn aus kleinen Würfeln baut? - Stell dir vor, du hättest 18 Bausteine. Ändert sich der Platz, den alle Steine zusammen brauchen, wenn du sie anders stapelst?

1. Bestimmung des Volumens der Schlange: Die Schlange besteht aus 18 Einheitswürfeln zu je \(1\,\text{cm}^3\), was ein Gesamtvolumen von \(18 \cdot 1\,\text{cm}^3 = 18\,\text{cm}^3\) ergibt. 2. Bestimmung des Volumens des Quaders: Da Paul dieselben 18 Einheitswürfel verwendet, um den Quader zu bauen, ohne Würfel hinzuzufügen oder wegzunehmen, bleibt die Anzahl der Würfel bei 18. 3. Vergleich: Das Volumen eines Körpers, der aus Einheitswürfeln besteht, entspricht der Summe der Volumina der einzelnen Würfel. Da die Anzahl gleich bleibt, ist das Volumen in beiden Fällen \(18\,\text{cm}^3\). 4. Ergebnis: Paul hat nicht recht. Das Volumen bleibt gleich, da sich die Menge des Materials (die Anzahl der Würfel) nicht geändert hat.

Nein, Paul hat nicht recht. Da er für beide Formen genau 18 Einheitswürfel verwendet hat und keine Würfel hinzugefügt oder entfernt wurden, bleibt das Gesamtvolumen von \(18\,\text{cm}^3\) gleich. Die Form hat keinen Einfluss auf das Volumen, solange die Anzahl der Würfel gleich bleibt.

- Überlege, welche Begriffe beschreiben, wie viel in etwas hineinpasst. - Denke an den Unterschied zwischen einer Linie, einer flachen Fläche und einem Körper, den man füllen kann. - Was passiert mit Wasser auf einer sehr flachen Unterlage, wenn man sie bewegt?

1. Identifikation der Volumenbegriffe: Die „Menge an Milch in einer Packung“ und der „Platz im Inneren eines Rucksacks“ beschreiben einen dreidimensionalen Rauminhalt. 2. Vergleich der Behälter: Ein Eimer besitzt eine große Höhe und einen hohen Rand. Dadurch kann er viel Wasser aufnehmen, und das Wasser läuft beim Transport weniger leicht über. 3. Bewertung des Backblechs: Ein Backblech hat eine sehr geringe Höhe und ist eher auf Fläche als auf Volumen ausgelegt, weshalb Flüssigkeiten bei Bewegung leicht überlaufen.

Die Begriffe „Menge an Milch in einer Packung“ und „Platz im Inneren eines Rucksacks“ beschreiben einen Rauminhalt. Ein Eimer ist besser geeignet als ein Backblech, da er durch seine Höhe und seinen hohen Rand viel Wasser aufnehmen kann und das Wasser beim Transport weniger leicht überläuft.

- Wie viele Dezimeter passen in einen Meter? - Stell dir vor, du stapelst Würfel: Wie viele liegen auf dem Boden und wie viele Schichten gibt es? - Was ist die Umrechnungszahl bei Raumeinheiten?

1. Da \(1\,\text{m} = 10\,\text{dm}\) gilt, passen genau \(10\) Würfel mit der Kantenlänge \(1\,\text{dm}\) in eine Reihe entlang einer Kante. 2. Für die Grundfläche des großen Würfels benötigt man \(10 \cdot 10 = 100\) kleine Würfel. Da der Würfel \(10\,\text{dm}\) hoch ist, gibt es \(10\) solcher Schichten. Insgesamt passen also \(10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000\) kleine Würfel in den großen Würfel. 3. Die nächstkleinere Einheit zu \(\text{m}^3\) ist \(\text{dm}^3\). Da \(1\,\text{m}^3 = 1000\,\text{dm}^3\) ist, berechnet man \(6{,}4 \cdot 1000 = 6400\). Das Ergebnis ist \(6400\,\text{dm}^3\).

a) \(10\) Würfel b) \(1000\) Würfel; Begründung über \(10 \cdot 10 \cdot 10\) oder die Umrechnung \(1\,\text{m}^3 = 1000\,\text{dm}^3\). c) \(6400\,\text{dm}^3\)

- Wie viele einzelne Würfel hat Lisa insgesamt für ihre Treppe benutzt? - Wie viele Einheitswürfel passen in den Quader von Max? - Vergleiche die Gesamtzahl der Würfel bei beiden Kindern.

1. Berechnung des Volumens von Lisas Treppe: Summe der Würfel der drei Stufen bilden: \(6 + 4 + 2 = 12\). Das Volumen beträgt \(12\,\text{cm}^3\). 2. Berechnung des Volumens von Max' Quader: Multiplikation der Kantenlängen oder Abzählen der Würfel (\(3 \cdot 2 \cdot 2\)): \(3 \cdot 2 \cdot 2 = 12\). Das Volumen beträgt \(12\,\text{cm}^3\). 3. Vergleich der Ergebnisse: Beide Volumina sind mit \(12\,\text{cm}^3\) identisch.

Beide Bauwerke haben das gleiche Volumen von \(12\,\text{cm}^3\). Lisa verwendet insgesamt \(6 + 4 + 2 = 12\) Würfel, und in den Quader von Max passen ebenfalls \(3 \cdot 2 \cdot 2 = 12\) Würfel.

- Stell dir vor, du füllst den Karton Schicht für Schicht mit kleinen Würfeln. - Was berechnest du zuerst, wenn du zwei Seitenlängen multiplizierst? - Überlege dir, wie viele Würfel auf den Boden des Kartons passen. - Wie oft musst du diese Bodenschicht übereinanderstapeln, um den Karton zu füllen?

1. Berechnung Weg 1: \(V = (12\,\text{cm} \cdot 5\,\text{cm}) \cdot 4\,\text{cm} = 60\,\text{cm}^2 \cdot 4\,\text{cm} = 240\,\text{cm}^3\). 2. Berechnung Weg 2: \(V = 12\,\text{cm} \cdot (5\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm}) = 12\,\text{cm} \cdot 20\,\text{cm}^2 = 240\,\text{cm}^3\). 3. Interpretation Weg 1: Das Zwischenergebnis \(60\) gibt an, dass in der untersten Schicht (Grundfläche) \(60\) Einheitswürfel liegen. Die \(4\) gibt an, dass \(4\) solcher Schichten übereinanderliegen. 4. Interpretation Weg 2: Das Zwischenergebnis \(20\) gibt an, dass in einer seitlichen Schicht (Seitenfläche) \(20\) Einheitswürfel liegen. Die \(12\) gibt an, dass der Quader aus \(12\) solcher hintereinanderstehenden Schichten besteht.

a) \(V = (12 \cdot 5) \cdot 4 = 240\,\text{cm}^3\) und \(V = 12 \cdot (5 \cdot 4) = 240\,\text{cm}^3\). b) Das Ergebnis in den Klammern gibt jeweils die Anzahl der Einheitswürfel in einer Schicht (Grundfläche oder Seitenfläche) an.

- Lies den ersten Satz der Aufgabe ganz genau. - Ändert sich die Menge einer Flüssigkeit, nur weil sie in einem anderen Gefäß anders aussieht? - Denke beim Transport an Stapelbarkeit: Welche Form lässt weniger ungenutzte Zwischenräume in einer Kiste?

1. Vergleich des Fassungsvermögens: Da alle Gefäße laut Angabe genau \(1\,\text{l}\) fassen, passt in jedes Gefäß gleich viel Saft hinein. 2. Volumeninvarianz: Beim Umgießen ändert sich die Form der Flüssigkeit, aber der Rauminhalt (das Volumen) bleibt mit \(1\,\text{l}\) gleich (Invarianz des Volumens). 3. Eignung für Transport: Gefäß B (quaderförmig) ist am besten geeignet, da quaderförmige Körper lückenlos nebeneinander und übereinander gestapelt werden können, was den Platz im Transportkarton optimal ausnutzt.

a) In alle Gefäße passt genau gleich viel hinein (\(1\,\text{l}\)). b) Der Rauminhalt bleibt gleich; nur die äußere Form der Flüssigkeit ändert sich. c) Die Quaderform von Gefäß B erlaubt ein lückenloses Stapeln, wodurch der Platz im Karton am besten ausgenutzt wird.

- Wie berechnet man das Volumen eines Würfels, wenn man die Kantenlänge kennt? - Wandle die Kantenlänge des großen Würfels zuerst in Zentimeter um. - Wie oft passt das Volumen des kleinen Würfels in das Volumen des großen Würfels? - Erinnere dich daran, wie viele Nullen bei der Umrechnung von Längen zu Flächen und schließlich zu Volumina hinzukommen.

1. Volumen des kleinen Würfels: \(10\,\text{cm} \cdot 10\,\text{cm} \cdot 10\,\text{cm} = 1000\,\text{cm}^3\). 2. Kantenlänge des großen Würfels in cm: \(1\,\text{m} = 100\,\text{cm}\). 3. Volumen des großen Würfels: \(100\,\text{cm} \cdot 100\,\text{cm} \cdot 100\,\text{cm} = 1\,000\,000\,\text{cm}^3\). 4. Anzahl der kleinen Würfel: \(1\,000\,000\,\text{cm}^3 : 1000\,\text{cm}^3 = 1000\) Würfel. 5. Umrechnungszahl: Da der große Würfel ein Volumen von \(1\,\text{m}^3\) hat, gilt \(1\,\text{m}^3 = 1\,000\,000\,\text{cm}^3\).

a) Das Volumen des kleinen Würfels beträgt \(1000\,\text{cm}^3\). b) Es passen \(1000\) kleine Würfel in den großen Würfel. c) Die Umrechnungszahl ist \(1\,000\,000\), also \(1\,\text{m}^3 = 1\,000\,000\,\text{cm}^3\).

- Überlege für Teil a), ob beim Auseinanderbauen Holz verloren geht oder dazukommt. - Stell dir für Teil b) vor, du müsstest die Würfel anmalen. Musst du beim großen Würfel mehr oder weniger Fläche streichen als bei den vielen kleinen Würfeln zusammen? - Was passiert mit den Flächen, die im großen Würfel „aneinanderkleben“, wenn man sie trennt?

1. Berechnung des Volumens des großen Würfels: \(3 \cdot 3 \cdot 3 = 27\). Da jeder kleine Würfel \(1\,\text{cm}^3\) groß ist, beträgt das Gesamtvolumen \(27\,\text{cm}^3\). 2. Berechnung der Summe der Volumina der Einzelteile: \(27 \cdot 1\,\text{cm}^3 = 27\,\text{cm}^3\). Das Volumen bleibt also gleich. 3. Analyse der Oberfläche: Der große Würfel hat eine Oberfläche von \(6 \cdot (3\,\text{cm} \cdot 3\,\text{cm}) = 54\,\text{cm}^2\). Jedes der 27 Einzelteile hat eine Oberfläche von \(6 \cdot (1\,\text{cm} \cdot 1\,\text{cm}) = 6\,\text{cm}^2\). Die Gesamtoberfläche der Einzelteile ist \(27 \cdot 6\,\text{cm}^2 = 162\,\text{cm}^2\). 4. Schlussfolgerung für b): Die Oberfläche wird größer, da durch das Zerlegen Flächen sichtbar werden, die vorher im Inneren des großen Würfels verborgen waren.

a) Das Volumen des großen Würfels beträgt \(27\,\text{cm}^3\). Die Summe der Volumina der 27 kleinen Würfel beträgt ebenfalls \(27\,\text{cm}^3\). Das Volumen bleibt gleich. b) Die Gesamtoberfläche wird größer. Durch das Zerlegen werden die Flächen im Inneren des großen Würfels zu Außenflächen der kleinen Würfel.

- Du kannst dir vorstellen, wie viele Würfel du nebeneinander, hintereinander und übereinander stapeln kannst. - Überlege bei den größeren Würfeln, ob die Seitenlängen der Schachtel ohne Rest durch die Würfelseite teilbar sind. - Zeichne dir vielleicht eine Skizze der Bodenfläche und überlege, wie viele Würfel darauf passen.

1. Berechnung für \(1\,\text{cm}\)-Würfel: Das Volumen der Schachtel beträgt \(5 \cdot 4 \cdot 3 = 60\,\text{cm}^3\). Da ein Einheitswürfel \(1\,\text{cm}^3\) groß ist, passen genau \(60\) Würfel hinein. 2. Berechnung für \(2\,\text{cm}\)-Würfel: In der Länge (\(5\,\text{cm}\)) finden \(2\) Würfel Platz (\(2 \cdot 2 = 4\,\text{cm}\)), in der Breite (\(4\,\text{cm}\)) finden \(2\) Würfel Platz (\(2 \cdot 2 = 4\,\text{cm}\)) und in der Höhe (\(3\,\text{cm}\)) findet nur \(1\) Würfel Platz (\(1 \cdot 2 = 2\,\text{cm}\)). 3. Gesamtzahl für b): \(2 \cdot 2 \cdot 1 = 4\) Würfel passen hinein. 4. Begründung für den Leerraum: Da die Kantenlängen der Schachtel (\(5\,\text{cm}\) und \(3\,\text{cm}\)) keine Vielfachen der Würfelkante (\(2\,\text{cm}\)) sind, entstehen Lücken an den Rändern, die kleiner als ein ganzer \(2\,\text{cm}\)-Würfel sind.

a) Es passen genau \(60\) Würfel mit \(1\,\text{cm}\) Kantenlänge hinein. b) Es passen nur \(4\) Würfel mit \(2\,\text{cm}\) Kantenlänge hinein. c) Es bleibt Raum leer, weil die Maße der Schachtel nicht überall ohne Rest durch \(2\,\text{cm}\) teilbar sind (z. B. bleiben bei \(5\,\text{cm}\) Länge \(1\,\text{cm}\) und bei \(3\,\text{cm}\) Höhe ebenfalls \(1\,\text{cm}\) ungenutzt).

- Wie viele Würfel liegen insgesamt in einer Schicht? - Wie oft wird diese Schicht im ganzen Quader wiederholt? - Was passiert mit den Kantenlängen (Länge, Breite, Höhe), wenn man einen Körper dreht oder kippt? - Überlege, ob beim Umkippen Würfel verloren gehen oder dazukommen können.

1. Kantenlängen: Aus den Angaben folgen \(a = 7\,\text{cm}\) (Länge der Reihe), \(b = 4\,\text{cm}\) (Anzahl der Reihen) und \(c = 5\,\text{cm}\) (Anzahl der Schichten). 2. Volumen: \(V = 7\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm} \cdot 5\,\text{cm} = 140\,\text{cm}^3\). 3. Neue Orientierung: Die neue Grundfläche hat die Maße \(7\,\text{cm}\) und \(5\,\text{cm}\). 4. Anzahl der Würfel pro Schicht (neu): \(7 \cdot 5 = 35\) Würfel. 5. Anzahl der Schichten (neu): Die verbleibende Kante ist die neue Höhe, also \(4\) Schichten. 6. Volumenprüfung: \(V_{neu} = 35 \cdot 4 = 140\,\text{cm}^3\). 7. Erklärung: Das Volumen bleibt gleich, da die Gesamtzahl der verwendeten Einheitswürfel unverändert ist (Kommutativ- und Assoziativgesetz der Multiplikation).

a) Kantenlängen: \(7\,\text{cm}\), \(4\,\text{cm}\), \(5\,\text{cm}\); Volumen: \(140\,\text{cm}^3\). b) Die Aussage ist korrekt. In der neuen Position hat jede Schicht \(35\) Würfel und es gibt \(4\) Schichten. \(35 \cdot 4 = 140\,\text{cm}^3\). Das Volumen ist unabhängig von der Lage des Quaders.