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- Achte bei jeder Teilaufgabe auf die Einheit der drei Kantenlängen. - Ein Volumen entsteht aus drei Längenrichtungen. - Vergleiche bei d) eine Flächeneinheit mit einer Volumeneinheit.

1. a) Drei Längen in Zentimetern werden multipliziert. Die Einheit ist \(\text{cm}^3\). 2. b) Drei Längen in Dezimetern werden multipliziert. Die Einheit ist \(\text{dm}^3\). 3. c) Drei Längen in Metern werden multipliziert. Die Einheit ist \(\text{m}^3\). 4. \(\text{cm}^2\) ist eine Flächeneinheit. Ein Volumen braucht eine kubische Einheit.

a) \(\text{cm}^3\) b) \(\text{dm}^3\) c) \(\text{m}^3\) d) \(\text{cm}^2\) beschreibt eine Fläche, nicht ein Volumen.

- Welche Art von Größe beschreibt eine Einheit ohne Exponent? - Wofür steht eine quadratische Einheit wie \(\text{cm}^2\)? - Welche Einheit passt zu einer Größe, die Raum einnimmt?

1. Eine Angabe in \(\text{cm}\) beschreibt eine Länge. 2. Eine Angabe in \(\text{cm}^2\) beschreibt einen Flächeninhalt. 3. Ein Volumen wird mit einer kubischen Einheit angegeben. Daher kann \(12\,000\,\text{cm}^3\) das Volumen des Kartons beschreiben.

\(12\,000\,\text{cm}^3\) kann das Volumen beschreiben, weil \(\text{cm}^3\) eine Volumeneinheit ist.

- Vergleiche bei jeder Situation zuerst die ungefähre Größe des beschriebenen Raums. - Sehr kleine Gegenstände und große Räume brauchen normalerweise unterschiedlich große Einheiten. - Prüfe, ob die gewählte Einheit zu einer Volumen- oder Fassungsgröße passt.

1. Für den Inhalt eines Trinkglases ist \(\text{ml}\) eine passende Größenordnung. 2. Für den Raum eines Klassenzimmers ist \(\text{m}^3\) passend. 3. Für einen kleinen Spielwürfel ist \(\text{cm}^3\) passend.

a) \(\text{ml}\) b) \(\text{m}^3\) c) \(\text{cm}^3\)

- Eine kubische Einheit beschreibt drei Raumrichtungen, nicht nur eine Länge. - Stell dir den Dezimeterwürfel als Würfel aus Zentimeterwürfeln vor. - Überlege, wie die Anzahl entlang Länge, Breite und Höhe zusammenwirkt.

1. In Zentimetern ist die Kante in jeder der drei Raumrichtungen \(10\,\text{cm}\) lang. 2. Daher enthält der Würfel \(10\cdot10\cdot10=1000\) Kubikzentimeter. 3. Somit gilt \(1\,\text{dm}^3=1000\,\text{cm}^3\).

Richtig ist \(1\,\text{dm}^3=1000\,\text{cm}^3\).

- Überlege, welche Hohlmaßeinheit zu \(\text{dm}^3\) gehört. - Volumen des Behälters und Wassermenge beschreiben denselben Rauminhalt. - Die Volumenangabe des Behälters ist schon gegeben; du musst keine Kantenlängen berechnen.

1. \(1\,\text{dm}^3\) entspricht \(1\,\text{l}\). Deshalb passt \(1\,\text{l}\) Wasser hinein.

\(1\,\text{l}\)

- Wandle zuerst alle Angaben in die geforderte Einheit um. - Wie viele \(\text{dm}^3\) passen in einen \(\text{m}^3\)? - Wie viele \(\text{cm}^3\) ergeben einen \(\text{dm}^3\)? - Rechne schrittweise von links nach rechts.

1. Umrechnung aller Werte in die Einheit \(\text{dm}^3\): \(1{,}2\,\text{m}^3 = 1200\,\text{dm}^3\) und \(12\,000\,\text{cm}^3 = 12\,\text{dm}^3\). 2. Aufstellen der Rechnung mit einheitlichen Einheiten: \(1200\,\text{dm}^3 - 450\,\text{dm}^3 + 12\,\text{dm}^3\). 3. Durchführung der Subtraktion: \(1200 - 450 = 750\). 4. Durchführung der Addition: \(750 + 12 = 762\). 5. Das Endergebnis lautet \(762\,\text{dm}^3\).

\(762\,\text{dm}^3\)

- Überlege dir zuerst, wie viele Einheiten der kleineren Sorte in eine Einheit der größeren Sorte passen. - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen Litern und Kubikdezimetern. - Bei der Umrechnung von einer größeren in eine kleinere Einheit wird die Zahl größer. - Achte bei Teilaufgabe d) darauf, dass du erst beide Teile in dieselbe Einheit umrechnest, bevor du sie zusammenzählst.

1. Umrechnung von Litern in Milliliter: Da \(1\,\text{l} = 1000\,\text{ml}\) ist, ergibt sich \(4{,}5 \cdot 1000 = 4500\,\text{ml}\). 2. Umrechnung von Kubikzentimetern in Kubikdezimeter: Da \(1000\,\text{cm}^3 = 1\,\text{dm}^3\) ist, ergibt sich \(250 : 1000 = 0{,}25\,\text{dm}^3\). 3. Umrechnung von Kubikmetern in Liter: Da \(1\,\text{m}^3 = 1000\,\text{dm}^3\) und \(1\,\text{dm}^3 = 1\,\text{l}\) ist, folgt \(1\,\text{m}^3 = 1000\,\text{l}\). Somit ist \(0{,}03 \cdot 1000 = 30\,\text{l}\). 4. Umrechnung der gemischten Einheiten in Kubikzentimeter: \(12\,\text{dm}^3 = 12\,000\,\text{cm}^3\). Addition der Teile ergibt \(12\,000\,\text{cm}^3 + 5\,\text{cm}^3 = 12\,005\,\text{cm}^3\).

a) \(4500\,\text{ml}\) b) \(0{,}25\,\text{dm}^3\) c) \(30\,\text{l}\) d) \(12\,005\,\text{cm}^3\)

- Kannst du Einheiten direkt addieren, wenn sie verschieden sind? - Wandle zuerst jeden einzelnen Teil in die Zieleinheit um. - Erinnere dich daran, dass ein Liter genau einem Kubikdezimeter entspricht.

1. Umrechnung des ersten Summanden in Liter: \(0{,}4\,\text{m}^3 = 0{,}4 \cdot 1000\,\text{dm}^3 = 400\,\text{dm}^3 = 400\,\text{l}\). 2. Umrechnung des zweiten Summanden in Liter: \(120\,\text{dm}^3 = 120\,\text{l}\). 3. Umrechnung des dritten Summanden in Liter: \(5000\,\text{cm}^3 = 5\,\text{dm}^3 = 5\,\text{l}\). 4. Addition aller Werte in der Einheit Liter: \(400\,\text{l} + 120\,\text{l} + 5\,\text{l} = 525\,\text{l}\).

\(525\,\text{l}\)

- Es hilft, beide Seiten eines Vergleichs in dieselbe Einheit umzuwandeln. - Erinnere dich: \(1\,\text{l}\) ist das gleiche wie \(1\,\text{dm}^3\). - Wie hängen Milliliter und Kubikzentimeter zusammen? - Überlege dir die Reihenfolge der Einheiten: \(\text{m}^3,\text{dm}^3,\text{cm}^3,\text{mm}^3\).

1. Umwandlung a): Da \(1\,\text{ml} = 1\,\text{cm}^3\) und \(1\,\text{dm}^3 = 1000\,\text{cm}^3\), ist \(0{,}45\,\text{dm}^3 = 450\,\text{cm}^3\). Also gilt \(450\,\text{ml} = 0{,}45\,\text{dm}^3\). 2. Umwandlung b): \(0{,}02\,\text{m}^3 = 20\,\text{dm}^3 = 20\,000\,\text{cm}^3\). Da \(20\,000 > 2000\) ist, gilt \(0{,}02\,\text{m}^3 > 2000\,\text{cm}^3\). 3. Umwandlung c): Von \(\text{mm}^3\) zu \(\text{cm}^3\) ist die Umrechnungszahl \(1000\). \(1500 : 1000 = 1{,}5\). Also gilt \(1500\,\text{mm}^3 = 1{,}5\,\text{cm}^3\). 4. Umwandlung d): \(12\,\text{l} = 12\,\text{dm}^3 = 12\,000\,\text{cm}^3\). Da \(12\,000 > 1200\) ist, gilt \(12\,\text{l} > 1200\,\text{cm}^3\).

a) \(=\) b) \(>\) c) \(=\) d) \(>\)

- Überlege dir zuerst, wie viele kleinere Einheiten in die nächstgrößere passen. - Zwischen benachbarten Volumeneinheiten wie \(\text{m}^3\), \(\text{dm}^3\) und \(\text{cm}^3\) ist die Umrechnungszahl \(1000\). - Denk daran, dass \(1\,\text{dm}^3\) genau dasselbe ist wie \(1\,\text{l}\). - Musst du das Komma nach links oder nach rechts verschieben?

1. Umrechnung von \(\text{m}^3\) in \(\text{dm}^3\): Der Umrechnungsfaktor ist \(1000\). \(1{,}5 \cdot 1000 = 1500\,\text{dm}^3\). 2. Umrechnung von \(\text{cm}^3\) in \(\text{dm}^3\): Division durch \(1000\). \(450 : 1000 = 0{,}45\,\text{dm}^3\). 3. Umrechnung von \(\text{dm}^3\) in \(\text{mm}^3\): Der Umrechnungsfaktor ist \(1\,000\,000\) (\(1000\) von \(\text{dm}^3\) zu \(\text{cm}^3\) und nochmals \(1000\) von \(\text{cm}^3\) zu \(\text{mm}^3\)). \(0{,}02 \cdot 1\,000\,000 = 20\,000\,\text{mm}^3\). 4. Umrechnung in \(\text{cm}^3\): Es gilt \(1\,\text{l} = 1000\,\text{cm}^3\) und \(1\,\text{ml} = 1\,\text{cm}^3\). \(2 \cdot 1000 + 5 = 2005\,\text{cm}^3\).

a) \(1500\,\text{dm}^3\) b) \(0{,}45\,\text{dm}^3\) c) \(20\,000\,\text{mm}^3\) d) \(2005\,\text{cm}^3\)

- Welches Objekt ist das kleinste, welches das größte? - Überlege, wie viele Millimeter in einen Zentimeter passen und was das für das Volumen bedeutet. - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen Litern und Kubikdezimetern. - Welche Einheit nutzt man für Flüssigkeiten im Haushalt, welche für große Gebäude?

1. Das kleinste Objekt ist das Reiskorn, das zur kleinsten Einheit passt: \(30\,\text{mm}^3\). 2. Ein USB-Stick ist klein, aber deutlich größer als ein Reiskorn: \(8\,\text{cm}^3\). 3. Eine Standardpackung Saft entspricht genau \(1\,\text{l}\), was \(1000\,\text{cm}^3\) (bzw. \(1\,\text{dm}^3\)) entspricht. 4. Ein typischer Putzeimer fasst etwa \(10\,\text{l}\). 5. Ein großes Getreidesilo hat von den genannten Gegenständen das größte Volumen: \(400\,\text{m}^3\).

- Reiskorn \(\rightarrow 30\,\text{mm}^3\) - USB-Stick \(\rightarrow 8\,\text{cm}^3\) - Packung Orangensaft \(\rightarrow 1000\,\text{cm}^3\) - Putzeimer \(\rightarrow 10\,\text{l}\) - Getreidesilo \(\rightarrow 400\,\text{m}^3\)

- Es hilft oft, alle Werte in die gleiche Einheit umzurechnen, zum Beispiel in Kubikdezimeter. - Weißt du noch, wie viele Liter in einen Kubikmeter passen? - Wie ist der Umrechnungsfaktor bei Volumeneinheiten für die nächste Stufe?

1. Umrechnung aller Werte in die Einheit \(\text{dm}^3\) (oder Liter): - \(2{,}5\,\text{dm}^3\) bleibt \(2{,}5\,\text{dm}^3\) - \(0{,}025\,\text{m}^3 = 0{,}025 \cdot 1000\,\text{dm}^3 = 25\,\text{dm}^3\) - \(2500\,\text{cm}^3 = 2{,}5\,\text{dm}^3\) - \(25\,\text{l} = 25\,\text{dm}^3\) 2. Identifikation gleicher Volumina: - \(2{,}5\,\text{dm}^3 = 2500\,\text{cm}^3\) - \(0{,}025\,\text{m}^3 = 25\,\text{l}\) 3. Aufsteigende Sortierung: \(2{,}5\,\text{dm}^3 = 2500\,\text{cm}^3 < 0{,}025\,\text{m}^3 = 25\,\text{l}\)

Die Werte \(2{,}5\,\text{dm}^3\) und \(2500\,\text{cm}^3\) sind gleich groß. Ebenso sind \(0{,}025\,\text{m}^3\) und \(25\,\text{l}\) gleich groß. Die aufsteigende Reihe lautet: \(2{,}5\,\text{dm}^3 = 2500\,\text{cm}^3 < 0{,}025\,\text{m}^3 = 25\,\text{l}\).

- Versuche beide Angaben in die Einheit Liter umzurechnen. - Zur Erinnerung: \(1\,\text{dm}^3\) ist genau \(1\,\text{l}\). - Wie viele Kubikzentimeter ergeben einen Kubikdezimeter? - Wie viele Liter passen in einen Kubikmeter?

1. Umrechnung des Volumens von Behälter A in Liter: \(0{,}06\,\text{m}^3 \cdot 1000 = 60\,\text{dm}^3 = 60\,\text{l}\) 2. Umrechnung des Volumens von Behälter B in Liter: \(55\,000\,\text{cm}^3 : 1000 = 55\,\text{dm}^3 = 55\,\text{l}\) 3. Vergleich der Volumina: \(60\,\text{l} > 55\,\text{l}\), daher fasst Behälter A mehr. 4. Berechnung der Differenz: \(60\,\text{l} - 55\,\text{l} = 5\,\text{l}\)

Behälter A fasst mehr Wasser. Der Unterschied beträgt \(5\,\text{l}\).

- Überlege dir bei jeder Aufgabe, ob die Einheit größer oder kleiner wird. - Musst du mit \(1000\) multiplizieren oder durch \(1000\) dividieren? - Denke daran, dass der Umrechnungsfaktor zwischen benachbarten Volumeneinheiten immer \(1000\) ist.

1. Zu a): Umrechnung von \(\text{m}^3\) in \(\text{dm}^3\) durch Multiplikation mit \(1000\). \(3{,}5 \cdot 1000 = 3500\). Ergebnis: \(3500\,\text{dm}^3\). 2. Zu b): \(7500\,\text{ml}\) geteilt durch \(1000\) ergibt \(7{,}5\,\text{l}\). 3. Zu c): Umrechnung von \(\text{dm}^3\) in \(\text{mm}^3\). Zwei Schritte: \(\text{dm}^3 \to \text{cm}^3 \to \text{mm}^3\). Der Faktor ist \(1000 \cdot 1000 = 1\,000\,000\). \(0{,}2 \cdot 1\,000\,000 = 200\,000\). Ergebnis: \(200\,000\,\text{mm}^3\). 4. Zu d): Umrechnung von \(450\,000\,\text{cm}^3\) in eine größere Einheit. Division durch \(1\,000\,000\) ergibt \(0{,}45\). Die passende Einheit ist \(\text{m}^3\). Ergebnis: \(0{,}45\,\text{m}^3\).

a) \(3500\,\text{dm}^3\) b) \(7{,}5\,\text{l}\) c) \(200\,000\,\text{mm}^3\) d) \(0{,}45\,\text{m}^3\)

- Achte auf die Reihenfolge der Rechenoperationen (Klammer zuerst). - Wandle jeden Summanden einzeln in Liter um, bevor du rechnest. - Wie viele Liter ergeben einen Kubikmeter?

1. Umrechnung aller Teilwerte in Liter (\(1\,\text{l} = 1\,\text{dm}^3\)): - \(1{,}5\,\text{m}^3 = 1500\,\text{dm}^3 = 1500\,\text{l}\) - \(400\,\text{dm}^3 = 400\,\text{l}\) - \(250\,000\,\text{cm}^3 = 250\,\text{dm}^3 = 250\,\text{l}\) 2. Berechnung des Klammerausdrucks: \(400\,\text{l} + 250\,\text{l} = 650\,\text{l}\) 3. Subtraktion vom Gesamtwert: \(1500\,\text{l} - 650\,\text{l} = 850\,\text{l}\)

\(850\,\text{l}\)

- Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen Hohlmaßen (Liter) und Volumeneinheiten. - Wie viele Milliliter passen in einen Liter? - Welcher Umrechnungsfaktor gilt zwischen \(\text{dm}^3\) und \(\text{cm}^3\)?

1. Umrechnung von \(2{,}5\,\text{dm}^3\) in \(\text{l}\): Da \(1\,\text{dm}^3 = 1\,\text{l}\) gilt, sind es \(2{,}5\,\text{l}\). 2. Umrechnung von \(2{,}5\,\text{l}\) in \(\text{ml}\): Da \(1\,\text{l} = 1000\,\text{ml}\) ist, ergibt sich \(2{,}5 \cdot 1000 = 2500\,\text{ml}\). 3. Umrechnung von \(2{,}5\,\text{dm}^3\) in \(\text{cm}^3\): Da der Umrechnungsfaktor bei Volumeneinheiten \(1000\) ist, ergibt sich \(2{,}5 \cdot 1000 = 2500\,\text{cm}^3\). 4. Vergleich: Die Zahlenwerte für \(\text{l}\) und \(\text{dm}^3\) sind identisch, ebenso die Werte für \(\text{ml}\) und \(\text{cm}^3\).

a) \(2{,}5\,\text{l}\); \(2500\,\text{ml}\); \(2500\,\text{cm}^3\) b) Die Einheiten sind gleichwertig (\(1\,\text{dm}^3 = 1\,\text{l}\) und \(1\,\text{cm}^3 = 1\,\text{ml}\)).

- Ordne zuerst die kubischen Einheiten von klein nach groß. - Überlege, welcher Faktor zwischen zwei benachbarten kubischen Einheiten gilt. - Nutze bei Teil c) die im Aufgabentext angegebene Gleichheit von Litern und Kubikdezimetern.

1. Zu a): Die nächstkleinere Einheit ist \(\text{mm}^3\). Es gilt \(2400\,\text{cm}^3=2\,400\,000\,\text{mm}^3\). Die nächstgrößere Einheit ist \(\text{dm}^3\), also \(2400\,\text{cm}^3=2{,}4\,\text{dm}^3\). 2. Zu b): \(0{,}05\,\text{dm}^3=50\,\text{cm}^3\) und \(0{,}05\,\text{dm}^3=0{,}00005\,\text{m}^3\). 3. Zu c): Wegen \(1\,\text{l}=1\,\text{dm}^3\) gilt \(7{,}1\,\text{l}=7100\,\text{cm}^3\) und \(7{,}1\,\text{l}=0{,}0071\,\text{m}^3\).

a) Kleiner: \(2\,400\,000\,\text{mm}^3\); größer: \(2{,}4\,\text{dm}^3\) b) Kleiner: \(50\,\text{cm}^3\); größer: \(0{,}00005\,\text{m}^3\) c) Kleiner: \(7100\,\text{cm}^3\); größer: \(0{,}0071\,\text{m}^3\)

- Überlege dir, wie viele kleinere Würfel in einen größeren Würfel passen. - Zwischen benachbarten metrischen Volumeneinheiten beträgt die Umrechnungszahl 1000. - Wird die Einheit kleiner, muss die Maßzahl größer werden.

1. Um von \(\text{m}^3\) in \(\text{dm}^3\) umzurechnen, multipliziert man mit dem Faktor \(1000\): \(0{,}045 \cdot 1000 = 45\). Somit sind \(0{,}045\,\text{m}^3 = 45\,\text{dm}^3\). 2. Um von \(\text{dm}^3\) in \(\text{cm}^3\) umzurechnen, multipliziert man erneut mit dem Faktor \(1000\): \(45 \cdot 1000 = 45\,000\). Somit sind \(45\,\text{dm}^3 = 45\,000\,\text{cm}^3\).

\(45\,\text{dm}^3\) und \(45\,000\,\text{cm}^3\)

- Es hilft, beide Werte zuerst in dieselbe Einheit umzuwandeln, bevor man sie vergleicht. - Erinnere dich daran, dass ein Liter genau dasselbe ist wie ein Kubikdezimeter. - Wie viele Liter passen in einen Kubikmeter?

1. Umrechnung beider Werte in die Einheit Liter (\(\text{l}\)): Da \(1\,\text{l} = 1\,\text{dm}^3\), entspricht \(2500\,\text{ml} = 2{,}5\,\text{l}\). 2. Umrechnung von \(0{,}03\,\text{m}^3\) in \(\text{dm}^3\): \(0{,}03 \cdot 1000 = 30\,\text{dm}^3\), was \(30\,\text{l}\) entspricht. 3. Vergleich: Da \(30\,\text{l} > 2{,}5\,\text{l}\), ist das Volumen \(0{,}03\,\text{m}^3\) größer. 4. Berechnung der Differenz: \(30\,\text{l} - 2{,}5\,\text{l} = 27{,}5\,\text{l}\).

Das Volumen \(0{,}03\,\text{m}^3\) ist größer; der Unterschied beträgt \(27{,}5\,\text{l}\).

- Rechne zuerst beide Summanden in die gleiche Einheit um. - Welche Einheit ist praktischer für die Rechnung: \(\text{dm}^3\) oder \(\text{cm}^3\)? - Vergiss nicht, das Ergebnis am Ende in zwei verschiedenen Einheiten anzugeben.

1. Umrechnung von \(1{,}2\,\text{dm}^3\) in \(\text{cm}^3\): \(1{,}2 \cdot 1000 = 1200\,\text{cm}^3\). 2. Addition der Werte in \(\text{cm}^3\): \(1200\,\text{cm}^3 + 800\,\text{cm}^3 = 2000\,\text{cm}^3\). 3. Umrechnung des Ergebnisses in Liter: Da \(1000\,\text{cm}^3 = 1\,\text{dm}^3 = 1\,\text{l}\) ist, gilt \(2000\,\text{cm}^3 = 2\,\text{l}\).

\(V = 2\,\text{l} = 2000\,\text{cm}^3\)

- Welche Volumeneinheit beschreibt dieselbe kleine Menge wie Milliliter? - Für b) müssen die Wassermenge und die Flaschengröße in derselben Einheit stehen. - Überlege danach, wie oft eine Flaschenfüllung in der gesamten Wassermenge steckt.

1. \(750\,\text{ml}\) entsprechen \(750\,\text{cm}^3\). 2. \(3\,\text{dm}^3=3000\,\text{cm}^3\). 3. \(3000:750=4\). Mit der Wassermenge lassen sich vier Flaschen vollständig füllen.

a) \(750\,\text{cm}^3\) b) \(4\) Flaschen

- Überlege dir zuerst, wie viele kleinere Einheiten in eine größere Einheit passen. - Es ist oft einfacher, alles zuerst in die kleinere Einheit umzurechnen, bevor man rechnet. - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen \(1\,\text{dm}^3\) und \(1\,\text{l}\).

1. Umwandlung und Addition: \(1{,}5\,\text{dm}^3 = 1500\,\text{cm}^3\). Die Summe ist \(1500 + 800 = 2300\,\text{cm}^3\). In der größeren Einheit (\(\text{dm}^3\)) ausgedrückt: \(2{,}3\,\text{dm}^3\). 2. Umwandlung und Subtraktion: \(0{,}04\,\text{m}^3 = 40\,\text{dm}^3\). Die Differenz ist \(40 - 15 = 25\,\text{dm}^3\). In der größeren Einheit (\(\text{m}^3\)) ausgedrückt: \(0{,}025\,\text{m}^3\). 3. Division: Division des Zahlenwertes \(2{,}4 : 6 = 0{,}4\). Das Ergebnis ist \(0{,}4\,\text{l}\).

a) \(2{,}3\,\text{dm}^3\) b) \(0{,}025\,\text{m}^3\) c) \(0{,}4\,\text{l}\)

- Wie hängen Milliliter und Kubikzentimeter zusammen? - Wie viele Kubikzentimeter ergeben einen Liter? - Vergleiche erst, nachdem beide Angaben in Litern stehen.

1. Es gilt \(1\,\text{ml}=1\,\text{cm}^3\). Daher sind \(150\,000\,\text{ml}=150\,000\,\text{cm}^3\). 2. \(150\,000\,\text{cm}^3=150\,\text{dm}^3=150\,\text{l}\). 3. Die Vergleichstasche fasst \(25\,\text{l}\). Jonas' Angabe ist mit \(150\,\text{l}\) sechsmal so groß und kann daher nicht zu dieser Tasche passen.

Nein. \(150\,000\,\text{ml}=150\,000\,\text{cm}^3=150\,\text{l}\). Das ist sechsmal so viel wie \(25\,\text{l}\).

- Schreibe beide Mengen zuerst in derselben Einheit. - Vergleiche sie, bevor du sie addierst. - Überlege für c), wie du den Teil eines Liters in Milliliter schreibst.

1. \(1\,\text{l}\,800\,\text{ml}=1{,}8\,\text{l}\). Da \(2{,}05\,\text{l}>1{,}8\,\text{l}\), ist in der Flasche mehr. 2. Zusammen sind es \(2{,}05\,\text{l}+1{,}8\,\text{l}=3{,}85\,\text{l}\). 3. \(3{,}85\,\text{l}=3\,\text{l}\,850\,\text{ml}\).

a) In der Flasche. b) \(3{,}85\,\text{l}\) c) \(3\,\text{l}\,850\,\text{ml}\)

- Prüfe zuerst, ob die Zieleinheit größer oder kleiner ist als die Ausgangseinheit. - Überlege, ob die Maßzahl beim Wechsel in eine kleinere Einheit größer oder kleiner werden muss. - Bei kubischen Einheiten wirkt die Änderung der Kantenlänge in drei Richtungen.

1. a) ist falsch. Es gilt \(1\,\text{m}^3=1000\,\text{dm}^3\), also \(4{,}75\,\text{m}^3=4750\,\text{dm}^3\). 2. b) ist richtig: \(0{,}2\,\text{dm}^3=200\,\text{cm}^3\). 3. c) ist richtig: \(1{,}5\,\text{cm}^3=1500\,\text{mm}^3\). 4. d) ist falsch. Es gilt \(1\,\text{l}=1000\,\text{ml}\), also \(2{,}25\,\text{l}=2250\,\text{ml}\).

a) falsch; richtig ist \(4750\,\text{dm}^3\) b) richtig c) richtig d) falsch; richtig ist \(2250\,\text{ml}\)

- Was weißt du über den Zusammenhang zwischen Litern und Kubikdezimetern? - Wie viele Liter passen in einen Kubikmeter? - Es hilft, alle Angaben in dieselbe Einheit zu bringen, um sie direkt vergleichen zu können.

1. Umrechnung Gefäß A: \(0{,}05\,\text{m}^3 = 50\,\text{dm}^3 = 50\,\text{l}\). 2. Wert Gefäß B: \(48\,\text{l}\). 3. Umrechnung Gefäß C: \(52\,000\,\text{cm}^3 = 52\,\text{dm}^3 = 52\,\text{l}\). 4. Vergleich der Werte: \(48\,\text{l} < 50\,\text{l} < 52\,\text{l}\). 5. Reihenfolge: Gefäß B, Gefäß A, Gefäß C.

Gefäß B < Gefäß A < Gefäß C (da \(48\,\text{l} < 50\,\text{l} < 52\,\text{l}\)).

- Was ist das Zielvolumen in der gesuchten Einheit? - Addiere zunächst, wie viel insgesamt schon im Behälter ist. - Achte darauf, dass du nur Werte mit der gleichen Einheit addieren kannst. - Wie viel Platz ist noch übrig, wenn du das gefüllte Volumen vom Gesamtvolumen abziehst?

1. Umrechnung des Gesamtfassungsvermögens: \(1\,\text{m}^3 = 1000\,\text{dm}^3\). 2. Umrechnung des Öls: \(120\,\text{l} = 120\,\text{dm}^3\). 3. Berechnung des aktuell gefüllten Volumens: \(650\,\text{dm}^3 + 120\,\text{dm}^3 = 770\,\text{dm}^3\). 4. Berechnung des fehlenden Volumens: \(1000\,\text{dm}^3 - 770\,\text{dm}^3 = 230\,\text{dm}^3\).

Es fehlen noch \(230\,\text{dm}^3\).

- Die Zieleinheit ist in jeder Teilaufgabe größer als die Ausgangseinheit. - Überlege, wie sich die Maßzahl ändern muss, wenn die Einheit größer wird. - Prüfe am Ende, ob deine Dezimalzahl kleiner als die Ausgangszahl ist.

1. a) \(15\,\text{cm}^3=0{,}015\,\text{dm}^3\). 2. b) \(125\,\text{dm}^3=0{,}125\,\text{m}^3\). 3. c) \(600\,\text{mm}^3=0{,}6\,\text{cm}^3\). 4. d) \(350\,\text{ml}=0{,}35\,\text{l}\).

a) \(0{,}015\,\text{dm}^3\) b) \(0{,}125\,\text{m}^3\) c) \(0{,}6\,\text{cm}^3\) d) \(0{,}35\,\text{l}\)

- Überlege bei jeder Aufgabe, wie Ausgangs- und Zieleinheit zusammenhängen. - Wird die Zahl beim Wechsel in die kleinere Einheit größer oder kleiner? - Prüfe am Ende, ob die Größenordnung zu den Einheiten passt.

1. \(4{,}5\,\text{l}=45\,\text{dl}\). 2. \(350\,\text{ml}=35\,\text{cl}\). 3. \(0{,}12\,\text{hl}=12\,\text{l}\). 4. \(75\,\text{cl}=0{,}75\,\text{l}\).

a) \(45\,\text{dl}\) b) \(35\,\text{cl}\) c) \(12\,\text{l}\) d) \(0{,}75\,\text{l}\)

- Bringe beide Angaben eines Vergleichs in dieselbe Einheit. - Wähle eine Einheit, mit der du die Zahlen leicht vergleichen kannst. - Prüfe nach dem Umrechnen noch einmal das Vergleichszeichen.

1. \(0{,}5\,\text{l}=50\,\text{cl}\). Daher gilt \(0{,}5\,\text{l}<55\,\text{cl}\). 2. \(2500\,\text{ml}=25\,\text{dl}\). Daher gilt \(2500\,\text{ml}>2{,}5\,\text{dl}\). 3. \(0{,}04\,\text{hl}=4\,\text{l}=4000\,\text{ml}\). Daher gilt \(=\). 4. \(12\,\text{dl}=1{,}2\,\text{l}\). Daher gilt \(=\).

a) \(<\) b) \(>\) c) \(=\) d) \(=\)

- Rechne erst, wenn alle Angaben in einer gemeinsamen Einheit stehen. - Achte darauf, welche Einheit am Ende verlangt ist. - Prüfe, ob dein Ergebnis zur Ausgangsmenge passt.

1. Für a) gilt \(30\,\text{cl}=0{,}3\,\text{l}\) und \(500\,\text{ml}=0{,}5\,\text{l}\). Damit ist \(1{,}2+0{,}3+0{,}5=2\), also \(2\,\text{l}\). 2. Für b) gilt \(0{,}2\,\text{hl}=20\,\text{l}\). Nach der Subtraktion bleiben \(5\,\text{l}=50\,\text{dl}\).

a) \(2\,\text{l}\) b) \(50\,\text{dl}\)

- Bringe die Gesamtmenge zuerst in eine Einheit, die gut zu einer Becherfüllung passt. - Alle neun Becher bekommen gleich viel. - Nutze für b) dein Ergebnis aus a) und achte auf die verlangte Einheit.

1. \(3{,}6\,\text{dm}^3=3{,}6\,\text{l}=3600\,\text{ml}\). 2. In einem Becher sind \(3600:9=400\,\text{ml}\). 3. Sechs Becher enthalten \(6\cdot400=2400\,\text{ml}=2{,}4\,\text{l}\).

a) \(400\,\text{ml}\) b) \(2{,}4\,\text{l}\)

- Welche Beziehung besteht zwischen den Einheiten Milliliter und Kubikzentimeter? - Erinnere dich an die Umrechnungszahl bei kubischen Volumeneinheiten. - Es hilft oft, alle Zahlen auf dieselbe Einheit zu bringen, um sie direkt vergleichen zu können.

1. Umrechnung aller Werte in \(\text{cm}^3\): - \(2{,}5\,\text{dm}^3 = 2{,}5 \cdot 1000\,\text{cm}^3 = 2500\,\text{cm}^3\) - \(2500\,\text{ml} = 2500\,\text{cm}^3\) (da \(1\,\text{ml} = 1\,\text{cm}^3\)) - \(250\,\text{cm}^3\) bleibt \(250\,\text{cm}^3\) - \(0{,}0025\,\text{m}^3 = 0{,}0025 \cdot 1\,000\,000\,\text{cm}^3 = 2500\,\text{cm}^3\) - \(2500\,\text{cm}^3\) bleibt \(2500\,\text{cm}^3\) 2. Vergleich der Ergebnisse: Vier Werte ergeben \(2500\,\text{cm}^3\), während ein Wert \(250\,\text{cm}^3\) beträgt.

Die Angabe \(250\,\text{cm}^3\) passt nicht zu den anderen, da alle anderen Werte umgerechnet \(2500\,\text{cm}^3\) entsprechen.

- Überlege dir zuerst, wie viele kleinere Einheiten in die nächstgrößere passen. - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen Hohlmaßen (Liter) und Rauminhalten (Kubikdezimeter). - Hilft es dir, die Umrechnungszahl für Volumeneinheiten aufzuschreiben? - Musst du das Komma nach links oder nach rechts verschieben?

1. Umrechnung von Litern in Kubikzentimeter: Da \(1\,\text{l} = 1\,\text{dm}^3 = 1000\,\text{cm}^3\), ergibt sich \(3{,}5 \cdot 1000 = 3500\,\text{cm}^3\). 2. Umrechnung von Kubikmillimetern in Kubikzentimeter: Da \(1000\,\text{mm}^3 = 1\,\text{cm}^3\), muss durch \(1000\) dividiert werden: \(450 : 1000 = 0{,}45\,\text{cm}^3\). 3. Umrechnung von Kubikmetern in Kubikdezimeter: Da \(1\,\text{m}^3 = 1000\,\text{dm}^3\), ergibt sich \(0{,}008 \cdot 1000 = 8\,\text{dm}^3\). 4. Umrechnung von Millilitern in Kubikdezimeter: Da \(1\,\text{ml} = 1\,\text{cm}^3\) und \(1000\,\text{cm}^3 = 1\,\text{dm}^3\), muss durch \(1000\) dividiert werden: \(120 : 1000 = 0{,}12\,\text{dm}^3\).

a) \(3500\,\text{cm}^3\) b) \(0{,}45\,\text{cm}^3\) c) \(8\,\text{dm}^3\) d) \(0{,}12\,\text{dm}^3\)

- Bringe beide Mengen in dieselbe Einheit. - Berechne die neue Füllmenge. - Vergleiche sie mit dem Fassungsvermögen.

1. \(125\,\text{ml}=0{,}125\,\text{l}\). 2. Nach dem Eingießen sind \(2{,}45\,\text{l}+0{,}125\,\text{l}=2{,}575\,\text{l}\) im Becher. 3. \(2{,}575\,\text{l}<2{,}6\,\text{l}\). Der Becher läuft also nicht über.

Nein. Nach dem Eingießen sind \(2{,}575\,\text{l}\) im Becher.

- Zähle die Würfel im Bild Reihe für Reihe oder Turm für Turm. - Bestimme anschließend das Volumen eines einzelnen Würfels aus seiner Kantenlänge. - Überlege, wie sich das Volumen eines Würfels auf alle gleich großen Würfel des Gebäudes übertragen lässt.

1. In der vorderen Reihe stehen \(3\) einzelne Würfel. In der hinteren Reihe stehen \(3\) Türme mit jeweils \(2\) Würfeln. Insgesamt sind das \(3+3\cdot2=9\) Würfel. 2. Für einen Würfel mit der Kantenlänge \(a=2\,\text{dm}\) gilt \(V=a^3=(2\,\text{dm})^3=8\,\text{dm}^3\). 3. Das gesamte Gebäude hat daher das Volumen \(9\cdot8\,\text{dm}^3=72\,\text{dm}^3\).

a) \(9\) Würfel b) \(72\,\text{dm}^3\)

- Prüfe, ob Kenji eine Länge oder ein Volumen umrechnet. - Bei einem Volumen ändern sich Länge, Breite und Höhe gemeinsam. - Stelle dir einen Dezimeterwürfel aus Zentimeterwürfeln vor und vergleiche damit Kenjis Faktor.

1. Kenji verwendet nur den Umrechnungsfaktor einer Länge. Bei einer kubischen Einheit wirkt dieser Faktor in drei Raumrichtungen. 2. Deshalb gilt \(1\,\text{dm}^3=1000\,\text{cm}^3\). 3. Somit ist \(3\,\text{dm}^3=3000\,\text{cm}^3\).

Kenji behandelt eine kubische Einheit wie eine Längeneinheit. Richtig ist \(3\,\text{dm}^3=3000\,\text{cm}^3\).

- Ordne zuerst ein, ob der Wert deutlich unter, ungefähr bei oder über einem Kubikmeter liegt. - Verknüpfe einen Kubikmeter mit der entsprechenden Litergröße. - Nutze die exakte Rechnung erst, nachdem du die unpassenden Größenordnungen ausgeschlossen hast.

1. Ein Kubikmeter entspricht \(1000\,\text{l}\). Daher entsprechen \(0{,}1\,\text{m}^3\) genau \(100\,\text{l}\); \(0{,}08\,\text{m}^3\) muss also etwas unter \(100\,\text{l}\) liegen. 2. Genau gilt \(0{,}08\,\text{m}^3=0{,}08\cdot1000\,\text{l}=80\,\text{l}\). 3. Damit passt nur \(80\,\text{l}\) zur Größenordnung und zur exakten Umrechnung.

Passend ist \(80\,\text{l}\).

- Bring zuerst alle drei Angaben auf dieselbe Einheit. - Welche direkten Zusammenhänge kennst du zwischen \(\text{m}^3\), \(\text{dm}^3\), Millilitern und Litern? - Runde erst, nachdem du die drei Werte in Litern vorliegen hast.

1. Für Gefäß A gilt \(0{,}0024\,\text{m}^3=2{,}4\,\text{l}\). Gerundet sind das \(2\,\text{l}\). 2. Für Gefäß B gilt \(2350\,\text{ml}=2{,}35\,\text{l}\). Gerundet sind das \(2\,\text{l}\). 3. Für Gefäß C gilt \(2{,}6\,\text{dm}^3=2{,}6\,\text{l}\). Gerundet sind das \(3\,\text{l}\). 4. Der größte gerundete Literwert ist \(3\,\text{l}\); er gehört zu Gefäß C.

Gefäß C hat mit \(3\,\text{l}\) den größten gerundeten Literwert.

- Überlege dir, in welche Einheit du alle Zahlen umwandeln kannst, um sie leicht vergleichen zu können. - Wie hängen \(\text{cm}^3\), \(\text{dm}^3\) und \(\text{m}^3\) zusammen? - Stelle dir die Aufgabe wie eine Waage vor: Beide Seiten müssen den gleichen Gesamtwert haben.

1. Wahl einer einheitlichen Einheit für den Vergleich, zum Beispiel \(\text{dm}^3\). 2. Umrechnung der gegebenen Werte: \(3500\,\text{cm}^3 = 3{,}5\,\text{dm}^3\) und \(0{,}02\,\text{m}^3 = 20\,\text{dm}^3\). 3. Aufstellen der Gleichung mit den umgerechneten Werten: \(3{,}5 + \square = 20\). 4. Berechnung des Platzhalters durch Subtraktion: \(20 - 3{,}5 = 16{,}5\). 5. Der gesuchte Wert ist \(16{,}5\).

\(16{,}5\)

- Erinnere dich daran, dass \(1\,\text{l}\) genau so groß ist wie \(1\,\text{dm}^3\). - Wie viele \(\text{cm}^3\) entsprechen einem Milliliter (\(\text{ml}\))? - Wandle die große Einheit \(\text{m}^3\) vorsichtig in \(\text{cm}^3\) um, indem du die Umrechnungszahl für Volumina beachtest. - Rechne zuerst alle Plus-Operationen zusammen, bevor du den letzten Teil abziehst.

1. Umrechnung aller Volumina in die Einheit \(\text{cm}^3\): \(0{,}5\,\text{l} = 500\,\text{cm}^3\), \(450\,\text{ml} = 450\,\text{cm}^3\) und \(0{,}001\,\text{m}^3 = 1000\,\text{cm}^3\). 2. Einsetzen der Werte in den Term: \(500\,\text{cm}^3 + 450\,\text{cm}^3 + 250\,\text{cm}^3 - 1000\,\text{cm}^3\). 3. Zusammenfassen der positiven Beträge: \(500 + 450 + 250 = 1200\). 4. Durchführung der Subtraktion: \(1200 - 1000 = 200\). 5. Das Ergebnis beträgt \(200\,\text{cm}^3\).

\(200\,\text{cm}^3\)

- Wandle bei a) und b) zuerst alle Zahlen in die Einheit um, die im Ergebnis gefragt ist. - Achte beim Rechnen mit Dezimalzahlen auf die Verschiebung des Kommas um jeweils drei Stellen pro Einheitsschritt. - Bei Teilaufgabe c): Wie viele \(\text{mm}^3\) stecken in einem \(\text{dm}^3\)?

1. Teil a): Umwandlung von \(0{,}8\,\text{m}^3\) in \(\text{dm}^3\): \(0{,}8 \cdot 1000 = 800\). Addition: \(800\,\text{dm}^3 + 150\,\text{dm}^3 = 950\,\text{dm}^3\). 2. Teil b): Umwandlung in Liter (\(\text{dm}^3\)): \(4200\,\text{cm}^3 = 4{,}2\,\text{dm}^3 = 4{,}2\,\text{l}\). Subtraktion: \(4{,}2\,\text{l} - 1{,}2\,\text{l} = 3\,\text{l}\). 3. Teil c): Umwandlung beider Werte in \(\text{mm}^3\): \(0{,}1\,\text{dm}^3 = 100\,\text{cm}^3 = 100\,000\,\text{mm}^3\). Division: \(100\,000 : 500 = 200\). Das kleinere Volumen ist \(200\)-mal im größeren enthalten.

a) \(950\,\text{dm}^3\) b) \(3\,\text{l}\) c) \(200\)-mal

- Erinnere dich an die Umrechnungszahl bei Volumeneinheiten. - Wie viele kleinere Würfel passen in einen nächstgrößeren Würfel? - Gehe schrittweise von \(\text{m}^3\) zu \(\text{dm}^3\) und dann zu \(\text{cm}^3\).

1. Zeile 1: \(1{,}2\,\text{m}^3 = 1200\,\text{dm}^3 = 1\,200\,000\,\text{cm}^3\). 2. Zeile 2: \(750\,\text{cm}^3 = 0{,}75\,\text{dm}^3 = 0{,}00075\,\text{m}^3\). 3. Zeile 3: \(40\,\text{dm}^3 = 0{,}04\,\text{m}^3 = 40\,000\,\text{cm}^3\).

a) \(1200\,\text{dm}^3\) b) \(1\,200\,000\,\text{cm}^3\) c) \(0{,}00075\,\text{m}^3\) d) \(0{,}75\,\text{dm}^3\) e) \(0{,}04\,\text{m}^3\) f) \(40\,000\,\text{cm}^3\)

- Stell dir einen Würfel mit einer Kantenlänge von \(1\,\text{cm}\) vor. Wie viele kleine Würfel mit \(1\,\text{mm}\) Kantenlänge passen an einer Kante entlang? - Wie viele Schichten dieser kleinen Würfel liegen übereinander? - Was passiert mit dem Volumen, wenn sich jede der drei Kantenlängen verzehnfacht?

1. Ein Würfel mit dem Volumen \(1\,\text{cm}^3\) hat die Kantenlängen \(1\,\text{cm} \cdot 1\,\text{cm} \cdot 1\,\text{cm}\). 2. Ersetzt man \(\text{cm}\) durch \(\text{mm}\), erhält man \(10\,\text{mm} \cdot 10\,\text{mm} \cdot 10\,\text{mm} = 1000\,\text{mm}^3\). 3. Die Umrechnungszahl bei Volumina ist also \(1000\), nicht \(100\). 4. Um \(100\,\text{mm}^3\) in \(\text{cm}^3\) umzurechnen, muss man \(100\) durch \(1000\) teilen. 5. Ergebnis: \(100\,\text{mm}^3 = 0{,}1\,\text{cm}^3\).

Lukas irrt sich, weil bei Volumen die Umrechnungszahl \(10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000\) ist. Richtig ist: \(100\,\text{mm}^3 = 0{,}1\,\text{cm}^3\).

- Welche Zieleinheit ist in a) und welche in b) verlangt? - Wandle die anderen Angaben jeweils in diese Einheit um. - Prüfe vor dem Rechnen, ob alle Größen einer Teilaufgabe dieselbe Einheit haben.

1. a) \(0{,}75\,\text{m}^3=750\,\text{dm}^3\) und \(400\,\text{l}=400\,\text{dm}^3\). Also: \(750+250-400=600\,\text{dm}^3\). 2. b) \(1{,}75\,\text{l}=1750\,\text{cm}^3\) und \(0{,}1\,\text{dm}^3=100\,\text{cm}^3\). Also: \(1750-850+100=1000\,\text{cm}^3\).

a) \(600\,\text{dm}^3\) b) \(1000\,\text{cm}^3\)

- Rechne beide Seiten eines Vergleichs in dieselbe Einheit um. - Es gilt \(1\,\text{dm}^3=1\,\text{l}\) und \(1\,\text{cm}^3=1\,\text{ml}\). - Vergleiche erst danach die Zahlenwerte.

1. a) Links: \(12{,}5\,\text{l}+0{,}5\,\text{l}=13\,\text{l}\). Rechts: \(0{,}014\,\text{m}^3=14\,\text{l}\). Daher gilt \(13<14\). 2. b) \(200\,\text{cm}^3=0{,}2\,\text{dm}^3\). Links bleiben \(2{,}2-0{,}2=2\,\text{dm}^3\). \(2000\,\text{ml}=2\,\text{l}=2\,\text{dm}^3\). Daher gilt \(=\).

a) \(<\) b) \(=\)

- Beachte die Rechenreihenfolge und beginne jeweils mit der Klammer. - Bringe die Größen innerhalb einer Klammer zuerst auf eine gemeinsame Einheit. - Prüfe vor dem Endergebnis, ob die verlangte Einheit Liter ist.

1. Für a) gilt \(200\,\text{ml}=0{,}2\,\text{l}\). Damit ist der Klammerwert \(0{,}2\,\text{l}+0{,}3\,\text{l}=0{,}5\,\text{l}\). 2. Also ergibt sich \(15\cdot0{,}5\,\text{l}=7{,}5\,\text{l}\). 3. Für b) gilt \(0{,}008\,\text{m}^3=8\,\text{dm}^3\). Der Klammerwert ist daher \(8\,\text{dm}^3-3\,\text{dm}^3=5\,\text{dm}^3\). 4. Nach der Division erhält man \(5\,\text{dm}^3:4=1{,}25\,\text{dm}^3\). 5. Wegen \(1\,\text{dm}^3=1\,\text{l}\) ist das Ergebnis \(1{,}25\,\text{l}\).

a) \(7{,}5\,\text{l}\) b) \(1{,}25\,\text{l}\)

- Wandle bei jeder Teilaufgabe alle Werte in die Einheit um, die am Ende der Gleichung steht oder nach der gefragt wird. - Erinnere dich an die Umrechnungszahl \(1000\) bei Volumeneinheiten. - Wie viele Milliliter oder Kubikzentimeter sind ein Viertelliter?

1. Teilaufgabe a): Umrechnung in \(\text{cm}^3\). \(1\,\text{dm}^3 = 1000\,\text{cm}^3\). \(0{,}25\,\text{l} = 250\,\text{cm}^3\). Berechnung der Differenz: \(1000 - 250 = 750\). Ergebnis: \(750\,\text{cm}^3\). 2. Teilaufgabe b): Umrechnung in Liter. \(0{,}002\,\text{m}^3 = 2\,\text{dm}^3 = 2\,\text{l}\). \(1500\,\text{cm}^3 = 1{,}5\,\text{dm}^3 = 1{,}5\,\text{l}\). Berechnung der Differenz: \(2 - 1{,}5 = 0{,}5\). Ergebnis: \(0{,}5\,\text{l}\).

a) \(750\) b) \(0{,}5\)

- Um Mengen vergleichen zu können, müssen sie in derselben Einheit stehen. - Wie rechnet man von \(\text{dm}^3\) in \(\text{m}^3\) um? - Wie viele Schritte auf der Einheitenleiter liegen zwischen \(\text{cm}^3\) und \(\text{m}^3\)? - Was weißt du über das Verhältnis von Litern zu Kubikmetern?

1. Umrechnung Baustelle A: \(11\,500\,\text{dm}^3 : 1000 = 11{,}5\,\text{m}^3\). Da \(11{,}5 < 12\), reicht die Ladung. 2. Umrechnung Baustelle B: \(12\,500\,000\,\text{cm}^3 : 1000 = 12\,500\,\text{dm}^3\). Weiter: \(12\,500\,\text{dm}^3 : 1000 = 12{,}5\,\text{m}^3\). Da \(12{,}5 > 12\), reicht die Ladung nicht. 3. Umrechnung Baustelle C: \(11\,000\,\text{l} = 11\,000\,\text{dm}^3\). Weiter: \(11\,000\,\text{dm}^3 : 1000 = 11\,\text{m}^3\). Da \(11 < 12\), reicht die Ladung. 4. Ergebnis: Die Ladung reicht für Baustelle A und C.

Die LKW-Ladung reicht für die Baustellen A (\(11{,}5\,\text{m}^3\)) und C (\(11\,\text{m}^3\)). Für Baustelle B (\(12{,}5\,\text{m}^3\)) reicht sie nicht aus.

- Bringe die Angaben zuerst in passende gleiche Einheiten. - Überlege dann, welche Zahl in der Lücke fehlt. - Prüfe dein Ergebnis, indem du es wieder in die Gleichung einsetzt.

1. a) \(2\,\text{dm}^3=2000\,\text{cm}^3\). \(2000-450=1550\). In die Lücke gehört \(1550\,\text{cm}^3\). 2. b) \(0{,}5\,\text{m}^3=500\,\text{l}\). \(500-320=180\). In die Lücke gehört \(180\,\text{l}\). 3. c) \(1{,}5\,\text{l}:5=0{,}3\,\text{l}\).

a) \(1550\,\text{cm}^3\) b) \(180\,\text{l}\) c) \(0{,}3\,\text{l}\)

- Überlege dir, wie viele Einheiten der nächstkleineren Sorte in eine Einheit der größeren Sorte passen. - Bei Volumeneinheiten wie \(\text{m}^3\) oder \(\text{dm}^3\) ist die Umrechnungszahl meistens \(1000\). - Was bedeuten die einzelnen Nachkommastellen bei einem Umrechnungsfaktor von \(1000\)? - Denke daran, dass \(1\,\text{l}\) genau \(1000\,\text{ml}\) entspricht.

Zunächst wird der ganzzahlige Teil in der ursprünglichen Einheit beibehalten. Der verbleibende Dezimalanteil wird durch Multiplikation mit dem Umrechnungsfaktor \(1000\) in die nächstkleinere Einheit umgerechnet. Dieser Schritt wird wiederholt, falls der neue Wert erneut Dezimalstellen aufweist. a) \(4{,}007\,\text{m}^3 = 4\,\text{m}^3 + 0{,}007 \cdot 1000\,\text{dm}^3 = 4\,\text{m}^3\,7\,\text{dm}^3\). b) \(12{,}65\,\text{dm}^3 = 12\,\text{dm}^3 + 0{,}65 \cdot 1000\,\text{cm}^3 = 12\,\text{dm}^3\,650\,\text{cm}^3\). c) \(2{,}3004\,\text{m}^3 = 2\,\text{m}^3 + 300{,}4\,\text{dm}^3 = 2\,\text{m}^3\,300\,\text{dm}^3 + 0{,}4 \cdot 1000\,\text{cm}^3 = 2\,\text{m}^3\,300\,\text{dm}^3\,400\,\text{cm}^3\). d) \(5{,}08\,\text{l} = 5\,\text{l} + 0{,}08 \cdot 1000\,\text{ml} = 5\,\text{l}\,80\,\text{ml}\).

a) \(4\,\text{m}^3\,7\,\text{dm}^3\) b) \(12\,\text{dm}^3\,650\,\text{cm}^3\) c) \(2\,\text{m}^3\,300\,\text{dm}^3\,400\,\text{cm}^3\) d) \(5\,\text{l}\,80\,\text{ml}\)

- Achte genau darauf, wie viele Stellen nach dem Komma für die kleinere Einheit reserviert sind. - Wenn \(1000\) kleinere Einheiten eine große ergeben, wie viele Stellen hat dann der Bereich für diese kleinere Einheit hinter dem Komma? - Was passiert, wenn an einer Stelle (z. B. den Zehnern oder Hundertern der kleineren Einheit) eine Null steht?

Die kleineren Einheiten werden durch Division durch die entsprechende Zehnerpotenz (\(1000, 1\,000\,000\) etc.) in die Zielgröße umgerechnet und anschließend zum ganzzahligen Teil addiert. a) \(7\,\text{m}^3 + \frac{50}{1000}\,\text{m}^3 = 7{,}05\,\text{m}^3\). b) \(2\,\text{dm}^3 + \frac{4}{1000}\,\text{dm}^3 = 2{,}004\,\text{dm}^3\). c) \(10\,\text{l} + \frac{5}{1000}\,\text{l} = 10{,}005\,\text{l}\). d) \(1\,\text{m}^3 + \frac{20}{1000}\,\text{m}^3 + \frac{300}{1000000}\,\text{m}^3 = 1 + 0{,}02 + 0{,}0003 = 1{,}0203\,\text{m}^3\).

a) \(7{,}05\,\text{m}^3\) b) \(2{,}004\,\text{dm}^3\) c) \(10{,}005\,\text{l}\) d) \(1{,}0203\,\text{m}^3\)

- Bringe in jeder Teilaufgabe beide Angaben in dieselbe Einheit. - Bei gemischten Angaben werden die Teilwerte addiert. - Achte bei benachbarten Kubikeinheiten auf den Umrechnungsfaktor \(1000\).

Um die Werte zu vergleichen, werden beide Seiten auf die gleiche Einheit oder die gleiche Schreibweise gebracht. a) \(2{,}05\,\text{m}^3 = 2050\,\text{dm}^3\); die rechte Seite entspricht \(2500\,\text{dm}^3\). Da \(2050 < 2500\), gilt \(<\). b) \(3{,}4\,\text{dm}^3 = 3400\,\text{cm}^3\); die rechte Seite entspricht \(3040\,\text{cm}^3\). Da \(3400 > 3040\), gilt \(>\). c) \(0{,}008\,\text{l} = 8\,\text{ml}\). Da \(8 < 80\), gilt \(<\). d) \(1\,\text{cm}^3\,2\,\text{mm}^3 = 1{,}002\,\text{cm}^3\). Beide Seiten sind identisch, also gilt \(=\).

a) \(<\) b) \(>\) c) \(<\) d) \(=\)

- Bringe für jeden Vergleich beide Seiten in dieselbe Einheit. - Überlege, wie sich die Maßzahl beim Wechsel zwischen benachbarten Kubikeinheiten ändert. - Vergleiche die Zahlen erst nach dem Umrechnen.

1. a) \(4{,}5\,\text{dm}^3=4500\,\text{cm}^3\), aber \(4\,\text{dm}^3\,50\,\text{cm}^3=4050\,\text{cm}^3\). Daher gilt \(>\). 2. b) \(0{,}02\,\text{m}^3=20\,\text{dm}^3\). Daher gilt \(=\). 3. c) \(1{,}005\,\text{dm}^3=1005\,\text{cm}^3\). Daher gilt \(=\). 4. d) \(0{,}03\,\text{cm}^3=30\,\text{mm}^3\). Daher gilt \(300\,\text{mm}^3>30\,\text{mm}^3\).

a) \(>\) b) \(=\) c) \(=\) d) \(>\)

- Was weißt du über die Beziehung zwischen Litern und Kubikdezimetern? - Wie berechnet man den Bruchteil einer Menge, zum Beispiel drei Viertel von 120? - Überlege dir zuerst, wie viel Wasser in Litern im Aquarium ist, bevor du die Einheit umwandelst. - Wie viele Kubikzentimeter passen in einen Kubikdezimeter?

1. Zusammenhang zwischen Litern und Kubikdezimetern: \(1\,\text{l} = 1\,\text{dm}^3\). Somit sind \(120\,\text{l} = 120\,\text{dm}^3\). 2. Berechnung des Wasseranteils in Litern: \(\frac{3}{4}\) von \(120\,\text{l}\). Rechnung: \(120 : 4 \cdot 3 = 90\,\text{l}\). 3. Umrechnung des Wasseranteils in \(\text{cm}^3\): Da \(1\,\text{l} = 1\,\text{dm}^3\) und \(1\,\text{dm}^3 = 1000\,\text{cm}^3\), ist der Umrechnungsfaktor \(1000\). Rechnung: \(90 \cdot 1000 = 90\,000\,\text{cm}^3\).

a) \(120\,\text{dm}^3\) b) \(90\,000\,\text{cm}^3\)

- Um Werte zu vergleichen, müssen sie alle in der gleichen Einheit stehen. Wähle eine Einheit, die keine allzu großen oder kleinen Zahlen erzeugt. - Beachte die Klammerregeln: Rechne zuerst aus, was in der Klammer steht. - Ein Kubikdezimeter ist genau dasselbe wie ein Liter.

1. Für a) Umrechnung aller Werte in Liter: \(0{,}2\,\text{m}^3 = 200\,\text{l}\); \(220\,\text{l}\) bleibt gleich; \(21\,000\,\text{cm}^3 = 21\,\text{dm}^3 = 21\,\text{l}\). Vergleich: \(21\,\text{l} < 200\,\text{l} < 220\,\text{l}\). Reihenfolge: \(21\,000\,\text{cm}^3 < 0{,}2\,\text{m}^3 < 220\,\text{l}\). 2. Für b) Umrechnung in \(\text{cm}^3\): \(4{,}8\,\text{l} = 4800\,\text{cm}^3\). Klammer berechnen: \(4800\,\text{cm}^3 - 800\,\text{cm}^3 = 4000\,\text{cm}^3\). Division durch \(2\): \(4000\,\text{cm}^3 : 2 = 2000\,\text{cm}^3\). Das entspricht \(2\,\text{l}\). 3. Für c) Umrechnung in \(\text{dm}^3\): \(0{,}05\,\text{m}^3 = 50\,\text{dm}^3\); \(100\,\text{l} = 100\,\text{dm}^3\). Gleichung: \(50\,\text{dm}^3 + x = 100\,\text{dm}^3\). Auflösen ergibt \(x = 50\,\text{dm}^3\).

a) \(21\,000\,\text{cm}^3 < 0{,}2\,\text{m}^3 < 220\,\text{l}\) b) \(2\,\text{l}\) (oder \(2000\,\text{cm}^3\)) c) \(50\,\text{dm}^3\)

- Wie berechnest du das Volumen des kleinen Würfels? - Wie viele kleine Würfel passen entlang einer Kante des großen Würfels? - Nutze bei c) die Anzahl der kleinen Würfel aus b) und das Volumen eines kleinen Würfels aus a).

1. Der kleine Würfel hat das Volumen \(10\,\text{cm}\cdot10\,\text{cm}\cdot10\,\text{cm}=1000\,\text{cm}^3\). 2. Die Kante des großen Würfels ist \(100\,\text{cm}\) lang. An jede Kante passen \(100:10=10\) kleine Würfel. Insgesamt sind es \(10\cdot10\cdot10=1000\) kleine Würfel. 3. Der große Würfel besteht also aus \(1000\) kleinen Würfeln mit je \(1000\,\text{cm}^3\). Deshalb gilt \(1\,\text{m}^3=1000\cdot1000\,\text{cm}^3=1\,000\,000\,\text{cm}^3\).

a) \(1000\,\text{cm}^3\) b) \(1000\) kleine Würfel c) \(1\,\text{m}^3=1\,000\,000\,\text{cm}^3\)

- Überlege zuerst, wie viele Kubikdezimeter in einen Kubikmeter passen. - Wie hängen Liter und Kubikdezimeter zusammen? - Wenn du die Gesamtmenge in Litern hast, wie berechnest du die Zeit, wenn du die Menge pro Minute kennst? - Vergiss nicht, am Ende die Minuten in Stunden umzurechnen.

1. Umrechnung von \(\text{m}^3\) in Liter: Da \(1\,\text{m}^3 = 1000\,\text{l}\) gilt, lautet die Rechnung \(450 \cdot 1000 = 450\,000\). Das Becken fasst also \(450\,000\,\text{l}\). 2. Berechnung der Zeit in Minuten: \(450\,000\,\text{l} : 1500\,\text{l}/\text{min} = 300\,\text{min}\). 3. Umrechnung der Zeit in Stunden: \(300\,\text{min} : 60 = 5\,\text{h}\).

a) Das Becken fasst \(450\,000\,\text{l}\). b) Das Abpumpen dauert \(5\,\text{h}\).

- Wähle eine Einheit aus, in die du alle Werte umrechnest, bevor du sie vergleichst. - Achte darauf, wie viele Nullen sich beim Verschieben des Kommas bei kubischen Einheiten ändern. - Erinnere dich daran, dass \(1\,\text{l}\) genau \(1\,\text{dm}^3\) entspricht.

1. Umrechnung aller Werte in eine gemeinsame Einheit (z. B. \(\text{cm}^3\)): - \(4000\,\text{mm}^3 = 4\,\text{cm}^3\) - \(45\,\text{cm}^3\) bleibt \(45\,\text{cm}^3\) - \(0{,}05\,\text{dm}^3 = 0{,}05 \cdot 1000\,\text{cm}^3 = 50\,\text{cm}^3\) - \(0{,}0003\,\text{m}^3 = 0{,}0003 \cdot 1\,000\,000\,\text{cm}^3 = 300\,\text{cm}^3\) - \(0{,}4\,\text{l} = 0{,}4\,\text{dm}^3 = 0{,}4 \cdot 1000\,\text{cm}^3 = 400\,\text{cm}^3\) 2. Sortierung der Werte: \(4\,\text{cm}^3 < 45\,\text{cm}^3 < 50\,\text{cm}^3 < 300\,\text{cm}^3 < 400\,\text{cm}^3\).

\(4000\,\text{mm}^3 < 45\,\text{cm}^3 < 0{,}05\,\text{dm}^3 < 0{,}0003\,\text{m}^3 < 0{,}4\,\text{l}\)

- Berechne zuerst, wie viel Wasser insgesamt entnommen wird. - Bringe die Mengen zum Rechnen in dieselbe Einheit. - Wandle das Ergebnis am Ende in Milliliter um.

1. Insgesamt werden \(60\cdot250\,\text{ml}=15\,000\,\text{ml}=15\,\text{l}\) entnommen. 2. Im Spender bleiben \(18{,}5\,\text{l}-15\,\text{l}=3{,}5\,\text{l}\). 3. \(3{,}5\,\text{l}=3500\,\text{ml}\).

Es bleiben \(3500\,\text{ml}\) Wasser im Spender.

- Denke an die Umrechnungszahlen für Volumeneinheiten (meistens 1000). - Erinnere dich: \(1\,\text{dm}^3\) ist genau dasselbe wie \(1\,\text{l}\). - Es hilft oft, zuerst alles in dieselbe Einheit umzurechnen, bevor man rechnet. - Überlege bei Divisionen, ob das Ergebnis eine Größe (mit Einheit) oder ein Faktor (reine Zahl) sein muss.

1. Umwandlung von \(0{,}75\,\text{l}\) in \(750\,\text{ml}\). Addition: \(450\,\text{ml} + 750\,\text{ml} = 1200\,\text{ml}\) (oder \(1{,}2\,\text{l}\)). 2. Umwandlung von \(0{,}004\,\text{m}^3\) in \(4000\,\text{cm}^3\). Subtraktion: \(4000\,\text{cm}^3 - 1200\,\text{cm}^3 = 2800\,\text{cm}^3\) (oder \(2{,}8\,\text{dm}^3\)). 3. Multiplikation der Maßzahl: \(1{,}2 \cdot 5 = 6{,}0\). Ergebnis: \(6\,\text{dm}^3\) (oder \(6\,\text{l}\)). 4. Umwandlung von \(6\,\text{l}\) in \(6000\,\text{ml}\). Division: \(6000\,\text{ml} : 15 = 400\,\text{ml}\) (oder \(0{,}4\,\text{l}\)). 5. Umwandlung von \(2\,\text{m}^3\) in \(2000\,\text{l}\). Division der Volumina: \(2000\,\text{l} : 400\,\text{l} = 5\).

a) \(1200\,\text{ml}\) (oder \(1{,}2\,\text{l}\)) b) \(2800\,\text{cm}^3\) (oder \(2{,}8\,\text{dm}^3\)) c) \(6\,\text{dm}^3\) (oder \(6\,\text{l}\)) d) \(400\,\text{ml}\) (oder \(0{,}4\,\text{l}\)) e) \(5\)

- Bringe die Angaben zuerst in passende gleiche Einheiten. - Es gilt \(1\,\text{dm}^3=1\,\text{l}\) und \(1\,\text{cm}^3=1\,\text{ml}\). - Rechne erst danach weiter.

1. a) \(0{,}2\,\text{m}^3=200\,000\,\text{cm}^3\). Daher gilt \(>\). 2. b) \(4{,}5\,\text{l}-0{,}8\,\text{l}=3{,}7\,\text{l}=3{,}7\,\text{dm}^3\). 3. c) \(0{,}75\,\text{m}^3=750\,\text{l}\) und \(1\,\text{m}^3=1000\,\text{l}\). Es fehlen \(250\,\text{l}\). 4. d) \(12\cdot250\,\text{ml}=3000\,\text{ml}=3\,\text{l}\) und \(0{,}003\,\text{m}^3=3\,\text{l}\). Daher gilt \(=\).

a) \(>\) b) \(3{,}7\,\text{dm}^3\) c) \(250\,\text{l}\) d) \(=\)

- Bringe die Größen in jeder Teilaufgabe zuerst in eine gemeinsame Einheit. - Beachte Klammern und Punkt-vor-Strich. - \(1\,\text{ml}=1\,\text{cm}^3\).

1. a) \(0{,}25\,\text{m}^3=250\,\text{l}\) und \(0{,}3\,\text{m}^3=300\,\text{l}\). Damit ist \((250+150)\cdot2-300=500\,\text{l}\). 2. b) \(0{,}08\,\text{dm}^3=80\,\text{cm}^3\). Damit ist \(80:4+15=35\,\text{cm}^3\). 3. c) \(3500\,\text{ml}=3{,}5\,\text{l}\). Damit ist \(0{,}4\cdot10-3{,}5=0{,}5\,\text{l}\).

a) \(500\,\text{l}\) b) \(35\,\text{cm}^3\) c) \(0{,}5\,\text{l}\)

- Wie viele Würfel siehst du insgesamt? Zähle Reihe für Reihe. - Welches Volumen hat ein einzelner Würfel mit der Kantenlänge \(10\,\text{cm}\)? - Weißt du noch, wie viele Kubikzentimeter in einen Liter passen?

1. Bestimmung der Anzahl der Würfel: Die vordere Reihe besteht aus \(3\) Würfeln. In der hinteren Reihe stehen zwei Türme aus jeweils \(3\) Würfeln an den Ecken, dazwischen ist eine Lücke. Das sind \(3 + 3 = 6\) Würfel hinten. Insgesamt besteht das Gebäude aus \(3 + 6 = 9\) Würfeln. 2. Volumen eines einzelnen Würfels: \(V_{\text{Würfel}} = (10\,\text{cm})^3 = 1000\,\text{cm}^3\). 3. Umrechnung in Liter: \(1000\,\text{cm}^3 = 1\,\text{dm}^3 = 1\,\text{l}\). 4. Gesamtvolumen: \(9 \cdot 1\,\text{l} = 9\,\text{l}\).

Das Gesamtvolumen des Bauwerks beträgt \(9\,\text{l}\).

- Denke an einen Würfel mit \(1\,\text{m}\) Kantenlänge. - Wie viele Dezimeter liegen auf jeder seiner drei Kanten? - Für c) hilft ein Vergleich mit einer Volumeneinheit, deren Größe du gut kennst.

1. Ein Würfel mit \(1\,\text{m}\) Kantenlänge hat in Dezimetern die Maße \(10\,\text{dm}\times10\,\text{dm}\times10\,\text{dm}\). Also gilt \(1\,\text{m}^3=1000\,\text{dm}^3\). Mira hat recht: \(0{,}6\,\text{m}^3=600\,\text{dm}^3\). 2. \(1\,\text{m}^3=1\,000\,000\,\text{cm}^3\). Deshalb gilt \(0{,}006\,\text{m}^3=6000\,\text{cm}^3\). 3. \(0{,}006\,\text{m}^3=6\,\text{dm}^3\). Das sind \(6\cdot1000=6000\,\text{cm}^3\); die Größe des Ergebnisses passt.

a) Mira hat recht: \(0{,}6\,\text{m}^3=600\,\text{dm}^3\). b) \(6000\,\text{cm}^3\) c) Zum Beispiel: \(0{,}006\,\text{m}^3=6\,\text{dm}^3\), also müssen es einige Tausend Kubikzentimeter sein.