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- Haben alle Kantenlängen dieselbe Einheit? - Wie viele Begrenzungsflächen hat ein Quader insgesamt? - Überlege, wie viele Quadratzentimeter in einen Quadratdezimeter passen.

1. Umrechnung aller Maße in die Einheit Zentimeter: \(a = 12\,\text{cm}\), \(b = 5\,\text{cm}\), \(c = 8\,\text{cm}\) 2. Berechnung der Teilflächen: \(12\,\text{cm} \cdot 5\,\text{cm} = 60\,\text{cm}^2\), \(12\,\text{cm} \cdot 8\,\text{cm} = 96\,\text{cm}^2\), \(5\,\text{cm} \cdot 8\,\text{cm} = 40\,\text{cm}^2\) 3. Anwendung der Formel \(O = 2 \cdot (ab + ac + bc)\): \(O = 2 \cdot (60\,\text{cm}^2 + 96\,\text{cm}^2 + 40\,\text{cm}^2)\) 4. Berechnung der Summe: \(60 + 96 + 40 = 196\,\text{cm}^2\) 5. Multiplikation mit 2: \(O = 392\,\text{cm}^2\) 6. Umrechnung in \(\text{dm}^2\) durch Division durch 100: \(O = 3{,}92\,\text{dm}^2\)

Der Oberflächeninhalt beträgt \(3{,}92\,\text{dm}^2\).

- Wie berechnet man das Volumen eines Würfels, wenn die Kantenlänge bekannt ist? - Berechne zuerst beide Volumina einzeln. - Vergleiche das Ergebnis des großen Würfels mit dem des kleinen Würfels. Wie oft passt der kleine in den großen?

1. Berechnung des Volumens des ersten Würfels: \(V_1 = 2\,\text{cm} \cdot 2\,\text{cm} \cdot 2\,\text{cm} = 8\,\text{cm}^3\). 2. Berechnung des Volumens des zweiten Würfels mit \(a = 4\,\text{cm}\): \(V_2 = 4\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm} = 64\,\text{cm}^3\). 3. Vergleich der Volumina: Das Verhältnis \(\frac{V_2}{V_1} = \frac{64}{8} = 8\). 4. Schlussfolgerung: Die Aussage ist falsch, da sich das Volumen bei Verdopplung der Kantenlänge verachtfacht (\(2 \cdot 2 \cdot 2 = 8\)), nicht nur verdoppelt.

a) \(V_1 = 8\,\text{cm}^3\), \(V_2 = 64\,\text{cm}^3\). b) Die Aussage ist falsch; das Volumen verachtfacht sich.

- Welche Volumeneinheit lässt sich besonders leicht in Liter umrechnen? - Überlege, wie viele Zentimeter ein Dezimeter hat. - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen Kubikdezimetern und Litern.

1. Umrechnung der Kantenlänge in Dezimeter, da \(1\,\text{dm}^3 = 1\,\text{l}\): \(a = 60\,\text{cm} = 6\,\text{dm}\). 2. Berechnung des Volumens in Kubikdezimeter: \(V = 6\,\text{dm} \cdot 6\,\text{dm} \cdot 6\,\text{dm} = 216\,\text{dm}^3\). 3. Umwandlung in Liter: Da \(1\,\text{dm}^3\) einem Liter entspricht, fasst das Aquarium \(216\,\text{l}\).

Es passen \(216\,\text{l}\) Wasser in das Aquarium.

- Überlege dir, welche drei Zahlen du miteinander multiplizieren kannst, um auf das Ergebnis 72 zu kommen. - Es hilft, wenn du zuerst eine Zahl festlegst und dann schaust, wie du den Rest aufteilen kannst. - Denk an die Teiler der Zahl 72.

1. Das Volumen eines Quaders berechnet sich durch die Formel \(V = a \cdot b \cdot c\). 2. Es müssen drei Faktoren gefunden werden, deren Produkt \(72\) ergibt. 3. Beispiel 1: \(1\,\text{cm} \cdot 2\,\text{cm} \cdot 36\,\text{cm} = 72\,\text{cm}^3\). 4. Beispiel 2: \(2\,\text{cm} \cdot 3\,\text{cm} \cdot 12\,\text{cm} = 72\,\text{cm}^3\). 5. Beispiel 3: \(3\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm} \cdot 6\,\text{cm} = 72\,\text{cm}^3\). 6. Weitere Möglichkeiten wie \(2\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm} \cdot 9\,\text{cm}\) oder \(6\,\text{cm} \cdot 6\,\text{cm} \cdot 2\,\text{cm}\) sind ebenfalls korrekt.

Mögliche Kantenlängen sind zum Beispiel: 1) \(1\,\text{cm}, 2\,\text{cm}, 36\,\text{cm}\) 2) \(2\,\text{cm}, 3\,\text{cm}, 12\,\text{cm}\) 3) \(3\,\text{cm}, 4\,\text{cm}, 6\,\text{cm}\)

- Überlege dir zuerst, welche Form der Behälter hat. - Wie viele Flächen hat ein Quader insgesamt? - Welche dieser Flächen müssen im zweiten Aufgabenteil berücksichtigt werden? - Achte auf die Einheiten beim Rechnen.

1. Berechnung des Volumens: \(V = a \cdot b \cdot c = 3\,\text{m} \cdot 2\,\text{m} \cdot 1{,}5\,\text{m} = 9\,\text{m}^3\). 2. Berechnung der Bodenfläche: \(A_{\text{Boden}} = 3\,\text{m} \cdot 2\,\text{m} = 6\,\text{m}^2\). 3. Berechnung der Seitenflächen: Zwei Flächen zu \(3\,\text{m} \cdot 1{,}5\,\text{m} = 4{,}5\,\text{m}^2\) und zwei Flächen zu \(2\,\text{m} \cdot 1{,}5\,\text{m} = 3\,\text{m}^2\). 4. Gesamte Folienfläche: \(A_{\text{Gesamt}} = 6\,\text{m}^2 + 2 \cdot 4{,}5\,\text{m}^2 + 2 \cdot 3\,\text{m}^2 = 6\,\text{m}^2 + 9\,\text{m}^2 + 6\,\text{m}^2 = 21\,\text{m}^2\).

a) Der Behälter fasst maximal \(9\,\text{m}^3\) Streusalz. b) Es müssen \(21\,\text{m}^2\) mit Folie bedeckt werden.

- Überlege dir zuerst, in welche Einheit du alle Längen umrechnen solltest, um das Volumen am einfachsten in Litern anzugeben. - Wie hängen Kubikdezimeter und Liter zusammen? - Achte darauf, dass alle Kantenlängen dieselbe Einheit haben, bevor du sie multiplizierst.

1. Umrechnung aller Maße in die Einheit Dezimeter (\(\text{dm}\)), da \(1\,\text{dm}^3 = 1\,\text{l}\) gilt: \(l = 40\,\text{cm} = 4\,\text{dm}\), \(b = 5\,\text{dm}\) (bleibt gleich), \(h = 250\,\text{mm} = 2{,}5\,\text{dm}\). 2. Berechnung des Volumens mit der Formel \(V = l \cdot b \cdot h\): \(V = 4\,\text{dm} \cdot 5\,\text{dm} \cdot 2{,}5\,\text{dm} = 50\,\text{dm}^3\). 3. Da \(1\,\text{dm}^3\) genau einem Liter entspricht, beträgt das Volumen \(50\,\text{l}\).

Das Volumen beträgt \(50\,\text{l}\).

- Berechne zuerst die fehlende Kantenlänge von Quader A. - Vergleiche dann die berechnete Höhe von Quader A mit der gegebenen Höhe von Quader B. - Lies die Aufgabenstellung genau: Welche Maße sind für welchen Quader bereits gegeben?

1. Berechnung der Höhe von Quader A (\(h_A\)): Die Grundfläche ist \(G_A = 12\,\text{cm} \cdot 8\,\text{cm} = 96\,\text{cm}^2\). Die Höhe ergibt sich aus \(V : G_A\), also \(480\,\text{cm}^3 : 96\,\text{cm}^2 = 5\,\text{cm}\). 2. Die Höhe von Quader B (\(h_B\)) ist bereits mit \(6\,\text{cm}\) gegeben. 3. Vergleich der Höhen: Da \(6\,\text{cm} > 5\,\text{cm}\), ist Quader B höher als Quader A.

Quader B ist mit einer Höhe von \(6\,\text{cm}\) höher als Quader A, welcher eine Höhe von \(5\,\text{cm}\) besitzt.

- Achte darauf, dass alle Längenangaben in der gleichen Einheit vorliegen, bevor du rechnest. - Überlege dir, wie viele Liter in einen Kubikmeter passen. - Wie hängen Liter und Hektoliter zusammen?

1. Umrechnung der Wasserhöhe in Meter: \(45\,\text{cm} = 0{,}45\,\text{m}\). 2. Berechnung des Volumens in Kubikmetern: \(V = G \cdot h = 12\,\text{m}^2 \cdot 0{,}45\,\text{m} = 5{,}4\,\text{m}^3\). 3. Umrechnung von Kubikmetern in Liter: \(5{,}4\,\text{m}^3 = 5400\,\text{dm}^3 = 5400\,\text{l}\). 4. Umrechnung von Litern in Hektoliter: Da \(100\,\text{l} = 1\,\text{hl}\) gilt, ergibt sich \(5400\,\text{l} : 100 = 54\,\text{hl}\).

In der Zisterne befinden sich \(54\,\text{hl}\) Wasser.

- Überlege zuerst, in welcher Einheit das Ergebnis am Ende stehen soll. - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen Kubikzentimetern, Kubikdezimetern und Litern. - Wie ändert sich das Volumen, wenn nur die Füllhöhe des Wassers angepasst wird? - Achte darauf, bei Teilaufgabe c) das tatsächliche Wasservolumen und nicht das Gesamtvolumen des Beckens zu nutzen.

1. Berechnung des Gesamtvolumens: \(V = 60\,\text{cm} \cdot 40\,\text{cm} \cdot 30\,\text{cm} = 72\,000\,\text{cm}^3\). 2. Umrechnung in Liter: \(72\,000\,\text{cm}^3 = 72\,\text{dm}^3 = 72\,\text{l}\). 3. Berechnung des Wasservolumens bei \(25\,\text{cm}\) Höhe: \(V_{\text{Wasser}} = 60\,\text{cm} \cdot 40\,\text{cm} \cdot 25\,\text{cm} = 60\,000\,\text{cm}^3\). 4. Umrechnung des Wasservolumens: \(60\,000\,\text{cm}^3 = 60\,\text{l}\). 5. Berechnung der maximalen Fischanzahl: \(60\,\text{l} : 3\,\text{l}/\text{Fisch} = 20\) Fische.

a) Das maximale Fassungsvermögen beträgt \(72\,\text{l}\). b) Es befinden sich \(60\,\text{l}\) Wasser im Becken. c) Es dürfen höchstens \(20\) Fische im Becken gehalten werden.

- Wie berechnet man das Volumen eines Quaders? - Wie ändern sich die Maße von Aquarium B im Vergleich zu Aquarium A? - Weißt du, wie man Kubikzentimeter in Liter umrechnet? - Kannst du das Ergebnis vorhersagen, indem du dir ansiehst, wie oft die Maße verdoppelt oder halbiert wurden?

1. Berechnung des Volumens von Aquarium A: \(V_A = 60\,\text{cm} \cdot 30\,\text{cm} \cdot 40\,\text{cm} = 72\,000\,\text{cm}^3\). 2. Umrechnung in Liter: \(72\,000\,\text{cm}^3 = 72\,\text{l}\). 3. Bestimmung der Maße von Aquarium B: Länge \(120\,\text{cm}\), Breite \(60\,\text{cm}\), Höhe \(20\,\text{cm}\). 4. Berechnung des Volumens von Aquarium B: \(V_B = 120\,\text{cm} \cdot 60\,\text{cm} \cdot 20\,\text{cm} = 144\,000\,\text{cm}^3\). 5. Umrechnung in Liter: \(144\,000\,\text{cm}^3 = 144\,\text{l}\). 6. Vergleich der Volumina: \(144\,\text{l} : 72\,\text{l} = 2\). Das Aquarium B fasst doppelt so viel Wasser wie Aquarium A.

a) Aquarium A fasst \(72\,\text{l}\), Aquarium B fasst \(144\,\text{l}\). b) In Aquarium B passt doppelt so viel Wasser wie in Aquarium A.

- Überlege zuerst, wie viele Kubikzentimeter in einen Liter passen. - Wie hängen die Grundfläche, die Höhe und das Volumen eines Quaders zusammen? - Kannst du die neue Höhe berechnen, indem du zuerst das neue Gesamtvolumen bestimmst? - Was passiert mit der Füllhöhe, wenn du eine bestimmte Menge Wasser zu einer bereits vorhandenen Menge hinzufügst?

1. Berechnung des Gesamtvolumens: \(V_{\text{gesamt}} = 50\,\text{cm} \cdot 40\,\text{cm} \cdot 30\,\text{cm} = 60\,000\,\text{cm}^3\). Umrechnung in Liter: \(60\,000\,\text{cm}^3 = 60\,\text{l}\). 2. Berechnung des aktuellen Wasservolumens bei \(20\,\text{cm}\) Höhe: \(V_{\text{aktuell}} = 50\,\text{cm} \cdot 40\,\text{cm} \cdot 20\,\text{cm} = 40\,000\,\text{cm}^3 = 40\,\text{l}\). 3. Neues Volumen nach Zugabe von \(10\,\text{l}\): \(40\,\text{l} + 10\,\text{l} = 50\,\text{l}\). Dies entspricht \(50\,000\,\text{cm}^3\). 4. Berechnung der neuen Füllhöhe: Die Grundfläche beträgt \(G = 50\,\text{cm} \cdot 40\,\text{cm} = 2000\,\text{cm}^2\). Die Höhe ergibt sich aus \(h = \frac{V}{G} = \frac{50\,000\,\text{cm}^3}{2000\,\text{cm}^2} = 25\,\text{cm}\).

a) Es passen insgesamt \(60\,\text{l}\) in das Aquarium. b) Das Volumen des Wassers beträgt \(40\,\text{l}\). c) Die neue Füllhöhe beträgt \(25\,\text{cm}\).

- Wie hängen Volumen, Länge, Breite und Höhe bei einem Quader zusammen? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen Litern und Kubikdezimetern. - Was passiert mit der Einheit, wenn man ein Volumen durch eine Länge teilt? - Überlege dir bei Teil b), wie ein echtes Aquarium aussieht – wäre es sehr schmal und extrem hoch praktisch?

1. Umrechnung des Volumens: \(540\,\text{l} = 540\,\text{dm}^3 = 540\,000\,\text{cm}^3\). 2. Berechnung der Seitenfläche durch Division des Volumens durch die Länge: \(540\,000\,\text{cm}^3 : 150\,\text{cm} = 3600\,\text{cm}^2\). 3. Bestimmung möglicher Maße: Suche nach zwei Zahlen, deren Produkt \(3600\) ist, zum Beispiel \(60\,\text{cm} \cdot 60\,\text{cm}\) oder \(90\,\text{cm} \cdot 40\,\text{cm}\). 4. Begründung: Maße wie \(60\,\text{cm} \cdot 60\,\text{cm}\) sind sinnvoll, da das Aquarium so eine gute Tiefe für Fische und eine stabile Form hat.

a) Die Fläche beträgt \(3600\,\text{cm}^2\). b) Mögliche Maße sind zum Beispiel eine Breite von \(60\,\text{cm}\) und eine Höhe von \(60\,\text{cm}\).

- Wie viele Millimeter sind ein Meter? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen Kubikdezimetern und Litern. - Wie berechnet man das Volumen eines Quaders, wenn Grundfläche und Höhe bekannt sind? - Achte darauf, alle Längenangaben in dieselbe Einheit (zum Beispiel Meter) umzurechnen, bevor du rechnest.

1. Berechnung für \(1\,\text{mm}\) auf \(1\,\text{m}^2\): Die Höhe beträgt \(1\,\text{mm} = 0{,}001\,\text{m}\). Das Volumen ist \(V = 1\,\text{m}^2 \cdot 0{,}001\,\text{m} = 0{,}001\,\text{m}^3\). 2. Da \(1\,\text{m}^3 = 1000\,\text{l}\) gilt, entspricht \(0{,}001\,\text{m}^3\) genau \(1\,\text{l}\). Die Faustregel ist korrekt. 3. Berechnung für das Flachdach: Die Fläche beträgt \(A = 8\,\text{m} \cdot 5\,\text{m} = 40\,\text{m}^2\). 4. Die Regenhöhe beträgt \(15\,\text{mm} = 0{,}015\,\text{m}\). 5. Das Gesamtvolumen ist \(V = 40\,\text{m}^2 \cdot 0{,}015\,\text{m} = 0{,}6\,\text{m}^3\). 6. Umrechnung in Liter: \(0{,}6 \cdot 1000\,\text{l} = 600\,\text{l}\).

a) \(1\,\text{mm}\) auf \(1\,\text{m}^2\) ergibt \(0{,}001\,\text{m}^3\), was genau \(1\,\text{l}\) entspricht. b) Auf das Flachdach fallen \(600\,\text{l}\) Wasser.

- Wie berechnet man das Volumen eines Quaders? - Denke an die Umrechnung von Kilogramm in Tonnen. - Welche Maße sind für die Grundfläche entscheidend?

1. Berechnung des Volumens: \(V = 12\,\text{m} \cdot 8\,\text{m} \cdot 2{,}5\,\text{m} = 240\,\text{m}^3\). 2. Berechnung der Masse in Kilogramm: \(240\,\text{m}^3 \cdot 750\,\text{kg}/\text{m}^3 = 180\,000\,\text{kg}\). 3. Umrechnung in Tonnen: \(180\,000\,\text{kg} : 1000 = 180\,\text{t}\).

a) Das Volumen beträgt \(240\,\text{m}^3\). b) Der Vorrat hat eine Masse von \(180\,\text{t}\).

- Überlege dir, aus wie vielen Kanten ein Quader insgesamt besteht. - Wie viele Kanten haben jeweils die gleiche Länge? - Kannst du die Gesamtlänge des Drahtes durch eine einzige Seitenlänge ausdrücken? - Erinnere dich an die Formel für den Oberflächeninhalt eines Quaders.

1. Sei \(a\) die Seitenlänge der quadratischen Grundfläche und \(h = 2a\) die Höhe. Für die Gesamtkantenlänge gilt \(L = 8a + 4h\). 2. Einsetzen der Bedingungen: \(120 = 8a + 4(2a)\). Vereinfachen ergibt \(120 = 16a\). 3. Berechnung der Breite: \(a = 120 : 16 = 7{,}5\,\text{cm}\). Damit ist die Länge ebenfalls \(7{,}5\,\text{cm}\) und die Höhe \(h = 2 \cdot 7{,}5 = 15\,\text{cm}\). 4. Berechnung der Oberfläche mit \(O = 2 \cdot (l \cdot b + l \cdot h + b \cdot h)\): \(O = 2 \cdot (7{,}5 \cdot 7{,}5 + 7{,}5 \cdot 15 + 7{,}5 \cdot 15) = 2 \cdot (56{,}25 + 112{,}5 + 112{,}5) = 2 \cdot 281{,}25 = 562{,}5\,\text{cm}^2\).

a) Länge: \(7{,}5\,\text{cm}\), Breite: \(7{,}5\,\text{cm}\), Höhe: \(15\,\text{cm}\). b) Der Oberflächeninhalt beträgt \(562{,}5\,\text{cm}^2\).

- Überlege, welche Zahl dreimal mit sich selbst multipliziert das Volumen ergibt. - Achte auf die Einheiten: Wie viele Zentimeter sind ein Meter? - Ein Würfel hat sechs identische quadratische Seitenflächen.

1. Berechnung der Kantenlänge \(a\) durch die dritte Wurzel des Volumens: \(\sqrt[3]{0{,}008\,\text{m}^3} = 0{,}2\,\text{m}\). 2. Umrechnung der Kantenlänge von Metern in Zentimeter: \(0{,}2\,\text{m} \cdot 100 = 20\,\text{cm}\). 3. Berechnung des Oberflächeninhalts mit der Formel \(O = 6 \cdot a^2\): \(6 \cdot (20\,\text{cm})^2 = 6 \cdot 400\,\text{cm}^2 = 2400\,\text{cm}^2\).

a) Die Kantenlänge beträgt \(20\,\text{cm}\). b) Der Oberflächeninhalt beträgt \(2400\,\text{cm}^2\).

- Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen Litern und Kubikdezimetern. - Suche nach drei Zahlen, deren Produkt das gewünschte Volumen ergibt. - Wie viele Flächen hat ein Quader und wie berechnet man die Fläche eines Rechtecks? - Überlege, welches Volumen ein einzelner kleiner Würfel hat.

1. Umrechnung des Volumens: \(40\,\text{l} = 40\,\text{dm}^3\). 2. Mögliche ganzzahlige Maße (Produkt muss 40 ergeben), zum Beispiel: \(10\,\text{dm} \cdot 2\,\text{dm} \cdot 2\,\text{dm}\), \(8\,\text{dm} \cdot 5\,\text{dm} \cdot 1\,\text{dm}\) oder \(5\,\text{dm} \cdot 4\,\text{dm} \cdot 2\,\text{dm}\). 3. Berechnung des Oberflächeninhalts \(O = 2 \cdot (l \cdot b + l \cdot h + b \cdot h)\). Für \(5\,\text{dm} \cdot 4\,\text{dm} \cdot 2\,\text{dm}\) ergibt sich: \(O = 2 \cdot (20 + 10 + 8) = 76\,\text{dm}^2\). 4. Bestimmung der Anzahl der Würfel: Da ein Würfel mit \(1\,\text{dm}\) Kantenlänge ein Volumen von \(1\,\text{dm}^3\) (entspricht \(1\,\text{l}\)) hat, passen genau \(40\) Würfel in den Karton.

a) Mögliche Maße sind z. B. \(10\,\text{dm} \times 2\,\text{dm} \times 2\,\text{dm}\), \(8\,\text{dm} \times 5\,\text{dm} \times 1\,\text{dm}\) oder \(5\,\text{dm} \times 4\,\text{dm} \times 2\,\text{dm}\). b) Der Oberflächeninhalt für \(5 \cdot 4 \cdot 2\) beträgt \(76\,\text{dm}^2\). Andere Ergebnisse sind je nach Wahl in a) möglich. c) Es passen genau \(40\) Würfel hinein.

- Wie berechnet man das Volumen eines Quaders? - Welcher Zusammenhang besteht zwischen Kubikmetern und Litern? - Überlege, wie viele Kubikdezimeter in einen Kubikmeter passen.

1. Berechnung des Volumens in Kubikmetern: \(V = a \cdot b \cdot c = 4\,\text{m} \cdot 2{,}5\,\text{m} \cdot 1{,}5\,\text{m} = 15\,\text{m}^3\). 2. Umrechnung von Kubikmetern in Liter: Da \(1\,\text{m}^3 = 1000\,\text{dm}^3\) und \(1\,\text{dm}^3 = 1\,\text{l}\) ist, gilt \(1\,\text{m}^3 = 1000\,\text{l}\). 3. Berechnung der Gesamtlitermenge: \(15 \cdot 1000\,\text{l} = 15\,000\,\text{l}\).

a) Das maximale Fassungsvermögen beträgt \(15\,\text{m}^3\). b) Es passen \(15\,000\,\text{l}\) in das Becken.

- Überlege zuerst, wie du das Volumen eines Quaders und eines Würfels berechnest. - Wie hängen das Volumen eines Körpers und seine Masse zusammen, wenn du die Dichte kennst? - Berechne für beide Objekte getrennt die Masse und vergleiche die Zahlen.

1. Berechnung des Volumens von Objekt A: \(12\,\text{cm} \cdot 5\,\text{cm} \cdot 10\,\text{cm} = 600\,\text{cm}^3\) 2. Berechnung der Masse von Objekt A: \(600\,\text{cm}^3 \cdot 0{,}8\,\text{g}/\text{cm}^3 = 480\,\text{g}\) 3. Berechnung des Volumens von Objekt B: \(8\,\text{cm} \cdot 8\,\text{cm} \cdot 8\,\text{cm} = 512\,\text{cm}^3\) 4. Berechnung der Masse von Objekt B: \(512\,\text{cm}^3 \cdot 0{,}5\,\text{g}/\text{cm}^3 = 256\,\text{g}\) 5. Vergleich der Ergebnisse: Da \(480\,\text{g} > 256\,\text{g}\) ist, hat Objekt A die größere Masse.

Objekt A hat mit \(480\,\text{g}\) eine größere Masse als Objekt B mit \(256\,\text{g}\).

- Wie viele Kanten hat ein Würfel insgesamt? Sind sie alle gleich lang? - Aus wie vielen quadratischen Einzelflächen besteht die Oberfläche eines Würfels? - Erinnere dich an die Formel für den Rauminhalt eines Würfels.

1. Ein Würfel besitzt insgesamt 12 gleich lange Kanten. Die Kantenlänge \(a\) berechnet sich durch Division der Gesamtsumme durch 12: \(a = 48\,\text{cm} : 12 = 4\,\text{cm}\). 2. Der Oberflächeninhalt \(O\) eines Würfels berechnet sich mit der Formel \(O = 6 \cdot a^2\). Einsetzen ergibt: \(O = 6 \cdot (4\,\text{cm})^2 = 6 \cdot 16\,\text{cm}^2 = 96\,\text{cm}^2\). 3. Das Volumen \(V\) eines Würfels berechnet sich mit der Formel \(V = a^3\). Einsetzen ergibt: \(V = (4\,\text{cm})^3 = 4\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm} = 64\,\text{cm}^3\).

a) Die Kantenlänge beträgt \(4\,\text{cm}\). b) Der Oberflächeninhalt beträgt \(96\,\text{cm}^2\). c) Das Volumen beträgt \(64\,\text{cm}^3\).

- Stell dir vor, wie sich das Volumen schrittweise ändert, wenn du erst eine und dann die zweite Seite verlängerst. - Wie sieht die Formel für das Volumen aus und was passiert, wenn du Zahlen vor die Buchstaben setzt? - Musst du die genauen Maße kennen, um zu sehen, wie oft sich das Volumen vervielfacht?

1. Das Volumen eines Quaders berechnet sich durch das Produkt der drei Kantenlängen: \(V = l \cdot b \cdot h\). 2. Die neue Länge ist \(2 \cdot l\) und die neue Breite ist \(3 \cdot b\). Die Höhe \(h\) bleibt gleich. 3. Das neue Volumen \(V_{neu}\) berechnet sich also als \((2 \cdot l) \cdot (3 \cdot b) \cdot h\). 4. Durch Umstellen der Faktoren erhält man \(V_{neu} = (2 \cdot 3) \cdot (l \cdot b \cdot h) = 6 \cdot V\). 5. Das Volumen des Quaders versechsfacht sich somit.

Das Volumen des Quaders wird 6-mal so groß wie das ursprüngliche Volumen.

- Stell dir vor, wie viele kleine Würfel du nebeneinander, hintereinander und übereinander stapeln musst, um wieder einen perfekten Würfel zu erhalten. - Welche Zahl ergibt dreimal mit sich selbst multipliziert 64? - Wenn du die Kantenlänge verdoppelst, wie viele kleine Würfel hättest du dann insgesamt? Was ist bei einer Verdreifachung?

1. Damit wieder ein Würfel entsteht, müssen entlang jeder Raumrichtung gleich viele kleine Würfel liegen. 2. Gesucht ist daher eine natürliche Zahl \(n\) mit \(n \cdot n \cdot n = 64\). 3. Es gilt \(4 \cdot 4 \cdot 4 = 64\). Entlang jeder Kante liegen also vier kleine Würfel. 4. Die Kante des großen Würfels ist deshalb viermal so lang wie die Kante eines kleinen Würfels.

Die Kante des großen Würfels ist 4-mal so lang wie die Kante eines kleinen Würfels.

- Überlege dir, wie das Volumen eines Quaders berechnet wird. - Welche Maße kennst du bereits und welches Maß fehlt? - Achte darauf, dass alle Einheiten zueinander passen, bevor du rechnest. - Wie hängen Grundfläche, Höhe und Volumen zusammen?

1. Berechnung der Grundfläche des Sandkastens: \(G = 2{,}50\,\text{m} \cdot 1{,}80\,\text{m} = 4{,}5\,\text{m}^2\). 2. Berechnung der Höhe durch Umstellen der Volumenformel \(V = G \cdot h\): \(h = \frac{V}{G}\). 3. Einsetzen der Werte: \(h = \frac{1{,}35\,\text{m}^3}{4{,}5\,\text{m}^2} = 0{,}3\,\text{m}\). 4. Umrechnung der Höhe in Zentimeter: \(0{,}3\,\text{m} = 30\,\text{cm}\).

Der Sand wird im Sandkasten \(30\,\text{cm}\) hoch stehen.

- Achte darauf, alle Längenangaben zuerst in dieselbe Einheit umzurechnen, bevor du das Volumen berechnest. - Überlege dir, welche Einheit am besten passt, wenn die Masse pro Kubikdezimeter gegeben ist. - Wie hängen Volumen, Masse pro Kubikdezimeter und Gesamtmasse zusammen?

1. Umrechnung der Maße in Dezimeter: \(1{,}2\,\text{dm}\), \(1{,}2\,\text{dm}\) und \(25\,\text{dm}\). 2. Berechnung des Volumens: \(V = 1{,}2\,\text{dm} \cdot 1{,}2\,\text{dm} \cdot 25\,\text{dm} = 36\,\text{dm}^3\). 3. Berechnung der Masse: \(m = 36 \cdot 0{,}8\,\text{kg} = 28{,}8\,\text{kg}\).

a) Das Volumen des Balkens beträgt \(36\,\text{dm}^3\). b) Der Balken hat insgesamt eine Masse von \(28{,}8\,\text{kg}\).

- Überlege, welcher Zusammenhang zwischen Litern und Kubikzentimetern besteht. - Wie berechnet man das Volumen eines Quaders, wenn man die Grundfläche und die Höhe kennt? - Kannst du die Formel für das Volumen so umstellen, dass du die Höhe berechnen kannst? - Achte darauf, dass alle Maße in der gleichen Einheit (z. B. Zentimeter) vorliegen, bevor du rechnest.

1. Umrechnung des Volumens in eine passende Einheit: \(12\,\text{l} = 12\,\text{dm}^3 = 12\,000\,\text{cm}^3\). 2. Berechnung der Grundfläche des Aquariums: \(A = 50\,\text{cm} \cdot 30\,\text{cm} = 1500\,\text{cm}^2\). 3. Bestimmung der zusätzlichen Höhe \(h\) durch die Formel \(V = A \cdot h\): \(12\,000\,\text{cm}^3 = 1500\,\text{cm}^2 \cdot h\). 4. Berechnung der Höhe: \(h = 12\,000 : 1500 = 8\,\text{cm}\).

Der Wasserspiegel steigt um \(8\,\text{cm}\) an.

- Überlege zuerst, wie man das Volumen eines Quaders berechnet. - Denk an den Zusammenhang zwischen Kubikzentimetern, Kubikdezimetern und Litern. - Wie verändert sich das Volumen, wenn nur eine der drei Seitenlängen vergrößert wird?

1. Berechnung des Volumens des ersten Aquariums: \(V_1 = 60\,\text{cm} \cdot 40\,\text{cm} \cdot 30\,\text{cm} = 72\,000\,\text{cm}^3\). 2. Umrechnung in Liter: \(72\,000\,\text{cm}^3 = 72\,\text{dm}^3 = 72\,\text{l}\). 3. Berechnung des Volumens des zweiten Aquariums: \(V_2 = 60\,\text{cm} \cdot 40\,\text{cm} \cdot 50\,\text{cm} = 120\,000\,\text{cm}^3\). 4. Umrechnung in Liter: \(120\,000\,\text{cm}^3 = 120\,\text{dm}^3 = 120\,\text{l}\). 5. Berechnung der Differenz: \(120\,\text{l} - 72\,\text{l} = 48\,\text{l}\).

Es passen \(48\,\text{l}\) mehr hinein.

- Wie berechnet man das Volumen eines Quaders? - Achte beim Vergleich der Volumina darauf, dass alle Maße in der gleichen Einheit vorliegen. - Wie viele Kubikzentimeter passen in einen Liter? - Wenn du das Volumen und die Grundfläche kennst, wie kannst du dann die Höhe bestimmen?

1. Berechnung des Volumens von Becken 1: \(V_1 = 50\,\text{cm} \cdot 30\,\text{cm} \cdot 40\,\text{cm} = 60\,000\,\text{cm}^3\). 2. Berechnung des Volumens von Becken 2: \(V_2 = 60\,\text{cm} \cdot 25\,\text{cm} \cdot 40\,\text{cm} = 60\,000\,\text{cm}^3\). 3. Vergleich: Beide Becken haben das gleiche Volumen von \(60\,000\,\text{cm}^3\) (bzw. \(60\,\text{dm}^3\) oder \(60\,\text{l}\)). 4. Umrechnung der Wassermenge für Aufgabenteil b): \(45\,\text{l} = 45\,\text{dm}^3 = 45\,000\,\text{cm}^3\). 5. Berechnung der Wasserhöhe im ersten Becken: Die Grundfläche beträgt \(A = 50\,\text{cm} \cdot 30\,\text{cm} = 1\,500\,\text{cm}^2\). Die Höhe berechnet sich durch \(h = \frac{V_{\text{Wasser}}}{A} = \frac{45\,000\,\text{cm}^3}{1\,500\,\text{cm}^2} = 30\,\text{cm}\).

a) Beide Becken haben das gleiche Volumen von \(60\,000\,\text{cm}^3\). b) Das Wasser steht im ersten Becken \(30\,\text{cm}\) hoch.

- Kannst du dir vorstellen, welche Form der Sand im Behälter einnimmt? - Welcher Zusammenhang besteht zwischen Grundfläche, Höhe und Volumen? - Was genau ist mit dem Abstand zur Oberkante gemeint? - Überlege, wie hoch der Sand im Behälter steht, bevor du den Abstand berechnest.

1. Berechnung der Füllhöhe des Sandes im Behälter durch Division des Volumens durch die Grundfläche: \(15\,\text{m}^3 : 12\,\text{m}^2 = 1{,}25\,\text{m}\). 2. Bestimmung des Abstands zwischen Sandoberfläche und Behälterrand durch Subtraktion der Füllhöhe von der Gesamthöhe: \(1{,}50\,\text{m} - 1{,}25\,\text{m} = 0{,}25\,\text{m}\).

Der Abstand beträgt \(0{,}25\,\text{m}\) (oder \(25\,\text{cm}\)).

- Wie berechnet man das Volumen eines Quaders aus seinen Kantenlängen? - Welche mathematische Beziehung besteht zwischen Masse, Volumen und Dichte? - Was bedeutet es für das Material, wenn die berechnete Dichte mit einem bekannten Wert übereinstimmt?

1. Berechnung des Volumens des Quaders: \(V = 2\,\text{cm} \cdot 5\,\text{cm} \cdot 10\,\text{cm} = 100\,\text{cm}^3\). 2. Berechnung der Dichte \(\rho\) mit der Formel \(\rho = \frac{m}{V}\): \(\rho = \frac{714\,\text{g}}{100\,\text{cm}^3} = 7{,}14\,\text{g}/\text{cm}^3\). 3. Vergleich mit dem Tabellenwert für Zink: Da die berechnete Dichte exakt mit der Dichte von Zink übereinstimmt, kann der Quader aus reinem Zink bestehen.

Die Dichte des Metalls beträgt \(7{,}14\,\text{g}/\text{cm}^3\). Ja, der Quader kann aus reinem Zink bestehen, da die berechnete Dichte mit der Dichte von Zink übereinstimmt.

- Wie berechnet man das Volumen eines Quaders, wenn drei unterschiedliche Seitenlängen gegeben sind? - Was ist das Besondere an den Seitenlängen eines Würfels? - Vergleiche die beiden Endergebnisse direkt miteinander.

1. Berechnung des Volumens von Paket A (Quader): \(V_A = 60\,\text{cm} \cdot 30\,\text{cm} \cdot 20\,\text{cm} = 36\,000\,\text{cm}^3\). 2. Berechnung des Volumens von Paket B (Würfel): \(V_B = 35\,\text{cm} \cdot 35\,\text{cm} \cdot 35\,\text{cm} = 42\,875\,\text{cm}^3\). 3. Vergleich der Ergebnisse: Da \(42\,875\,\text{cm}^3 > 36\,000\,\text{cm}^3\), hat Paket B das größere Volumen.

Das Volumen von Paket A beträgt \(36\,000\,\text{cm}^3\). Das Volumen von Paket B beträgt \(42\,875\,\text{cm}^3\). Paket B nimmt somit mehr Platz ein.

- Wie berechnet man das Volumen eines einzelnen Quaders? - Was bedeutet es für die Rechnung, wenn ein Objekt mehrfach vorhanden ist? - Wie schreibst du die „\(1{,}5\)-fache Länge“ als mathematischen Ausdruck mit der Variablen \(l\)?

1. Berechnung des Volumens eines einzelnen Containers: \(V = l \cdot b \cdot h = lbh\). 2. Multiplikation mit der Anzahl der Container für das Gesamtvolumen: \(V_{\text{ges}} = 8 \cdot lbh = 8lbh\). 3. Bestimmung der neuen Länge: \(l_{\text{neu}} = 1{,}5 \cdot l\). 4. Berechnung des neuen Volumens eines Containers: \(V_{\text{neu}} = 1{,}5l \cdot b \cdot h = 1{,}5lbh\). 5. Berechnung des neuen Gesamtvolumens für 8 Container: \(V_{\text{ges, neu}} = 8 \cdot 1{,}5lbh = 12lbh\). Das Gesamtvolumen wird also mit dem Faktor \(1{,}5\) multipliziert.

a) Das Gesamtvolumen beträgt \(8lbh\). b) Der neue Term lautet \(12lbh\). Das Gesamtvolumen ist damit \(1{,}5\)-mal so groß wie zuvor.

- Wie berechnet man das Volumen eines Quaders? - Wenn eine Seite um 10% wächst, mit welcher Zahl muss man die ursprüngliche Länge multiplizieren? - Was passiert mit dem Gesamtprodukt, wenn man zwei der Faktoren mit ihren jeweiligen Wachstumsfaktoren multipliziert?

1. Formel für das Volumen eines Quaders: \(V = l \cdot b \cdot h\). 2. Neue Maße definieren: Länge \(l' = 1,1 \cdot l\), Breite \(b' = 1,2 \cdot b\), Höhe \(h' = h\). 3. Neues Volumen berechnen: \(V' = (1,1 \cdot l) \cdot (1,2 \cdot b) \cdot h = 1,1 \cdot 1,2 \cdot (l \cdot b \cdot h) = 1,32 \cdot V\). 4. Zunahme bestimmen: \(1,32 - 1 = 0,32 = 32 \%\).

\(32 \%\)

- Berechne zuerst den Oberflächeninhalt des Körpers, von dem du alle Maße kennst. - Wie hängen die Oberflächeninhalte der beiden Körper zusammen? - Kannst du eine Gleichung aufstellen, in der die unbekannte Höhe vorkommt?

1. Umrechnung der Würfelkante in Zentimeter: \(s = 4\,\text{cm}\) 2. Berechnung des Oberflächeninhalts des Würfels: \(O_{\text{Würfel}} = 6 \cdot s^2 = 6 \cdot (4\,\text{cm})^2 = 6 \cdot 16\,\text{cm}^2 = 96\,\text{cm}^2\) 3. Aufstellen der Gleichung für den Quader: \(96 = 2 \cdot (6 \cdot 2 + 6 \cdot h + 2 \cdot h)\) 4. Vereinfachung der Klammer: \(96 = 2 \cdot (12 + 8h)\) 5. Auflösen nach \(h\): \(48 = 12 + 8h \Rightarrow 36 = 8h \Rightarrow h = 4{,}5\,\text{cm}\)

Die Höhe des Quaders beträgt \(4{,}5\,\text{cm}\).

- Wie viele Flächen hat ein normaler Quader? - Was ändert sich an der Anzahl der Flächen, wenn der Karton oben offen ist? - Skizziere die einzelnen Flächen, aus denen der Karton besteht.

1. Identifikation der vorhandenen Flächen: 1 Bodenfläche, 2 Seitenflächen (Länge \(\cdot\) Höhe), 2 Seitenflächen (Breite \(\cdot\) Höhe) 2. Berechnung der Bodenfläche: \(30\,\text{cm} \cdot 20\,\text{cm} = 600\,\text{cm}^2\) 3. Berechnung der ersten zwei Seitenwände: \(2 \cdot (30\,\text{cm} \cdot 15\,\text{cm}) = 2 \cdot 450\,\text{cm}^2 = 900\,\text{cm}^2\) 4. Berechnung der anderen zwei Seitenwände: \(2 \cdot (20\,\text{cm} \cdot 15\,\text{cm}) = 2 \cdot 300\,\text{cm}^2 = 600\,\text{cm}^2\) 5. Addition aller Teilflächen: \(600 + 900 + 600 = 2100\,\text{cm}^2\)

Es werden \(2100\,\text{cm}^2\) Pappe benötigt.

- Wie berechnet man das Volumen eines Quaders? - Denke an den Zusammenhang zwischen \(\text{cm}^3\), \(\text{dm}^3\) und Litern. - Wie viele Milliliter stecken in einem Liter?

1. Berechnung des Volumens des Gefäßes: \(V = 20\,\text{cm} \cdot 10\,\text{cm} \cdot 5\,\text{cm} = 1000\,\text{cm}^3\). 2. Umrechnung des Volumens in Liter: \(1000\,\text{cm}^3 = 1\,\text{dm}^3 = 1\,\text{l}\). 3. Vergleich mit der Saftmenge: Da \(1{,}5\,\text{l} > 1\,\text{l}\), passt der Saft nicht hinein. 4. Berechnung der Differenz: \(1{,}5\,\text{l} - 1\,\text{l} = 0{,}5\,\text{l}\). 5. Umrechnung der Differenz in Milliliter: \(0{,}5\,\text{l} = 500\,\text{ml}\).

Das Gefäß hat ein Volumen von \(1000\,\text{cm}^3\), was genau \(1\,\text{l}\) entspricht. Da \(1{,}5\,\text{l}\) eingefüllt werden sollen, passen \(0{,}5\,\text{l}\) nicht hinein. Es laufen \(500\,\text{ml}\) Saft über.

- Berechne zuerst den Rauminhalt des Quaders. - Wie viele Kubikzentimeter ergeben einen Liter? - Vergiss nicht, am Ende die Masse des Glases zur Masse des Wassers zu addieren.

1. Berechnung des Volumens in Kubikzentimetern: \(V = 50\,\text{cm} \cdot 30\,\text{cm} \cdot 40\,\text{cm} = 60\,000\,\text{cm}^3\). 2. Umrechnung in Liter: Da \(1000\,\text{cm}^3 = 1\,\text{dm}^3 = 1\,\text{l}\) ist, entsprechen \(60\,000\,\text{cm}^3\) einem Volumen von \(60\,\text{l}\). 3. Bestimmung der Masse des Wassers: Da \(1\,\text{l}\) Wasser eine Masse von \(1\,\text{kg}\) hat, haben \(60\,\text{l}\) Wasser eine Masse von \(60\,\text{kg}\). 4. Berechnung der Gesamtmasse: \(12\,\text{kg}\,\text{(Glas)} + 60\,\text{kg}\,\text{(Wasser)} = 72\,\text{kg}\).

a) Das Aquarium hat ein Volumen von \(60\,\text{l}\). b) Das gefüllte Aquarium hat insgesamt eine Masse von \(72\,\text{kg}\).

- Wie viele Liter passen insgesamt in einen Würfel von \(1\,\text{m} \cdot 1\,\text{m} \cdot 1\,\text{m}\)? - Überlege, welcher Bruchteil des Behälters bereits gefüllt ist. - Wenn die Grundfläche \(1\,\text{m}^2\) groß ist, wie verteilt sich das Volumen dann auf die Höhe?

1. Bestimmung des Gesamtvolumens und des halben Volumens: Ein Würfel mit \(1\,\text{m}\) Kantenlänge hat ein Volumen von \(1\,\text{m}^3\). Die Hälfte davon sind \(0{,}5\,\text{m}^3\). 2. Umrechnung der vorhandenen Wassermenge: \(150\,\text{l} = 150\,\text{dm}^3 = 0{,}15\,\text{m}^3\). 3. Berechnung der fehlenden Menge zur Hälfte: \(0{,}5\,\text{m}^3 - 0{,}15\,\text{m}^3 = 0{,}35\,\text{m}^3\). 4. Berechnung der Wasserhöhe: Das Volumen ist Grundfläche mal Höhe (\(V = G \cdot h\)). Die Grundfläche ist \(1\,\text{m} \cdot 1\,\text{m} = 1\,\text{m}^2 = 10\,000\,\text{cm}^2\). Das Volumen in Kubikzentimetern ist \(150\,\text{l} = 150\,000\,\text{cm}^3\). 5. Berechnung der Höhe: \(h = V : G = 150\,000\,\text{cm}^3 : 10\,000\,\text{cm}^2 = 15\,\text{cm}\).

a) Es fehlen noch \(0{,}35\,\text{m}^3\) Wasser, bis der Behälter zur Hälfte voll ist. b) Das Wasser steht \(15\,\text{cm}\) hoch.

- Weißt du noch, wie viele Kubikdezimeter ein Liter sind? - Wenn du die Maße von Dezimetern in Zentimeter umrechnest, was passiert dann mit jeder einzelnen Seite? - Suche nach Zahlen, die zusammen multipliziert 60 ergeben.

1. Umrechnung des Volumens: \(1\,\text{l} = 1\,\text{dm}^3\), also ist \(V = 60\,\text{dm}^3\). 2. Suche nach drei Faktoren für \(60\): Möglichkeit 1: \(2\,\text{dm} \cdot 3\,\text{dm} \cdot 10\,\text{dm} = 60\,\text{dm}^3\). Möglichkeit 2: \(4\,\text{dm} \cdot 3\,\text{dm} \cdot 5\,\text{dm} = 60\,\text{dm}^3\). 3. Umrechnung in Zentimeter: Da \(1\,\text{dm} = 10\,\text{cm}\) ist, wird jede Kantenlänge mit \(10\) multipliziert. 4. Beispiel 1 in cm: \(20\,\text{cm}, 30\,\text{cm}, 100\,\text{cm}\). 5. Beispiel 2 in cm: \(40\,\text{cm}, 30\,\text{cm}, 50\,\text{cm}\).

a) Zum Beispiel: \(2\,\text{dm} \times 3\,\text{dm} \times 10\,\text{dm}\) oder \(4\,\text{dm} \times 3\,\text{dm} \times 5\,\text{dm}\). b) Die entsprechenden Maße in cm sind: \(20\,\text{cm} \times 30\,\text{cm} \times 100\,\text{cm}\) bzw. \(40\,\text{cm} \times 30\,\text{cm} \times 50\,\text{cm}\).

- Erinnere dich an die Volumenformel für einen Würfel. - Probiere kleine ganze Zahlen aus und berechne ihr Volumen (\(x \cdot x \cdot x\)). - Wie kannst du mathematisch zeigen, welche Zahl „näher dran“ ist?

1. Suche nach Kubikzahlen (\(a^3\)), die den Wert \(60\) einschließen. 2. Berechnung: \(3^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27\) und \(4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64\). 3. Zu Teil a): Da \(27 < 60 < 64\), liegt die Kantenlänge zwischen \(3\,\text{dm}\) und \(4\,\text{dm}\). 4. Zu Teil b): Der Mittelpunkt zwischen \(3\,\text{dm}\) und \(4\,\text{dm}\) ist \(3{,}5\,\text{dm}\). Es gilt \(3{,}5^3 = 42{,}875\). 5. Da \(60 > 42{,}875\), ist die tatsächliche Kantenlänge größer als \(3{,}5\,\text{dm}\) und damit näher an \(4\,\text{dm}\) als an \(3\,\text{dm}\).

a) Die Kantenlänge liegt zwischen \(3\,\text{dm}\) und \(4\,\text{dm}\). b) \(4\,\text{dm}\) ist die bessere Schätzung, da \(3{,}5^3 = 42{,}875 < 60\) gilt und die tatsächliche Kantenlänge daher größer als \(3{,}5\,\text{dm}\) ist.

- Wie hängen \(\text{cm}^3\) und Liter zusammen? Eine Skizze der Maßeinheiten hilft. - Was ändert sich an der Rechnung, wenn das Wasser nicht bis zum Rand steht? - Überlege, welche der drei Kantenlängen die Höhe des Wasserspiegels beeinflusst.

1. Berechnung des maximalen Volumens in \(\text{cm}^3\): \(V_{\text{max}} = 60\,\text{cm} \cdot 30\,\text{cm} \cdot 40\,\text{cm} = 72\,000\,\text{cm}^3\). 2. Umrechnung in Liter: \(72\,000\,\text{cm}^3 = 72\,\text{dm}^3 = 72\,\text{l}\). 3. Bestimmung der aktuellen Wasserhöhe: \(h_{\text{Wasser}} = 40\,\text{cm} - 5\,\text{cm} = 35\,\text{cm}\). 4. Berechnung des Wasservolumens: \(V_{\text{Wasser}} = 60\,\text{cm} \cdot 30\,\text{cm} \cdot 35\,\text{cm} = 63\,000\,\text{cm}^3\). 5. Umrechnung in Liter: \(63\,000\,\text{cm}^3 = 63\,\text{l}\).

a) Es passen maximal \(72\,\text{l}\) in das Aquarium. b) Es befinden sich aktuell \(63\,\text{l}\) Wasser im Aquarium.

- Überlege dir zuerst, welche Fläche der Boden des Aquariums einnimmt. - Kannst du die Angabe in Litern in eine Raumeinheit wie Kubikzentimeter oder Kubikdezimeter umwandeln? - Wie hängen Volumen, Grundfläche und Höhe bei einem Quader zusammen?

1. Berechnung der Grundfläche des Aquariums: \(A = 80\,\text{cm} \cdot 40\,\text{cm} = 3200\,\text{cm}^2\). 2. Umrechnung des Wasservolumens in Kubikzentimeter: \(96\,\text{l} = 96\,\text{dm}^3 = 96\,000\,\text{cm}^3\). 3. Berechnung der Wasserhöhe durch Division des Volumens durch die Grundfläche: \(h = V : A = 96\,000\,\text{cm}^3 : 3200\,\text{cm}^2 = 30\,\text{cm}\).

Das Wasser steht \(30\,\text{cm}\) hoch im Aquarium.

- Achte auf die Einheiten: Rechne die Zentimeterangaben zuerst in Meter um, bevor du das Volumen berechnest. - Überlege dir, wie viele Liter in einen Kubikmeter passen. - Für die Kostenrechnung multiplizierst du den Preis mit der Menge.

1. Berechnung des Volumens in \(\text{m}^3\): \(V = 2{,}4\,\text{m} \cdot 1{,}5\,\text{m} \cdot 0{,}2\,\text{m} = 0{,}72\,\text{m}^3\). 2. Berechnung der Kosten: \(0{,}72\,\text{m}^3 \cdot 25\,\text{€}/\text{m}^3 = 18{,}00\,\text{€}\). 3. Umrechnung des Volumens in Liter: \(0{,}72\,\text{m}^3 = 720\,\text{dm}^3 = 720\,\text{l}\). 4. Berechnung der Sackanzahl: \(720\,\text{l} : 20\,\text{l}/\text{Sack} = 36\,\text{Säcke}\).

a) Man benötigt \(0{,}72\,\text{m}^3\) Sand. b) Die Kosten betragen \(18{,}00\,\text{€}\). c) Es müssen \(36\,\text{Säcke}\) gekauft werden.

- Überlege dir, wie das Volumen berechnet wird. Was passiert mit dem Ergebnis, wenn du eine Zahl in der Rechnung änderst? - Wenn du zwei Kanten veränderst, wie beeinflussen beide Änderungen zusammen das Endergebnis? - Gibt es verschiedene Zahlenpaare oder -trios, deren Produkt 6 ergibt?

Das Ziel ist ein neues Volumen \(V_{neu} = 6 \cdot V_{alt} = 6 \cdot (a \cdot b \cdot c)\). Die Faktoren, um die die Kantenlängen verändert werden, müssen multipliziert das Ergebnis 6 ergeben. Mögliche Lösungen: 1. Eine Kante wird versechsfacht, die anderen bleiben gleich: \(6a \cdot b \cdot c\). 2. Eine Kante wird verdoppelt, eine andere verdreifacht, die dritte bleibt gleich: \(2a \cdot 3b \cdot c = 6 \cdot (a \cdot b \cdot c)\). 3. Eine Kante wird mit 12 multipliziert, eine andere halbiert, die dritte bleibt gleich: \(12a \cdot 0{,}5b \cdot c = 6 \cdot (a \cdot b \cdot c)\).

Mögliche Lösungen sind: 1. Eine Kantenlänge wird mit 6 multipliziert, die anderen bleiben gleich. 2. Eine Kantenlänge wird verdoppelt und eine zweite Kantenlänge wird verdreifacht. 3. Eine Kantenlänge wird mit 12 multipliziert und eine andere Kantenlänge wird halbiert.

- Berechne zuerst die Kantenlängen des Quaders einzeln. - Vergleiche die beiden Endergebnisse durch Division. - Schau dir die Zahlen „doppelt“, „dreifach“ und „halbe“ an. Was passiert, wenn du diese Zahlen miteinander multiplizierst?

1. Volumen des Würfels: \(V_{W} = 4\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm} = 64\,\text{cm}^3\). 2. Maße des Quaders bestimmen: Länge \(L = 4\,\text{cm} \cdot 2 = 8\,\text{cm}\), Breite \(B = 4\,\text{cm} \cdot 3 = 12\,\text{cm}\), Höhe \(H = 4\,\text{cm} \cdot 0{,}5 = 2\,\text{cm}\). 3. Volumen des Quaders: \(V_{Q} = 8\,\text{cm} \cdot 12\,\text{cm} \cdot 2\,\text{cm} = 192\,\text{cm}^3\). 4. Faktor bestimmen: \(192 : 64 = 3\). 5. Direkte Bestimmung des Faktors: Das Produkt der Änderungsfaktoren der Kanten ergibt den Gesamtfaktor: \(2 \cdot 3 \cdot 0{,}5 = 3\).

a) Das Volumen des Würfels beträgt \(64\,\text{cm}^3\), das des Quaders \(192\,\text{cm}^3\). b) Das Volumen des Quaders ist 3-mal so groß. Man erhält diesen Faktor, indem man die einzelnen Änderungsfaktoren multipliziert: \(2 \cdot 3 \cdot 0{,}5 = 3\).

- Wie berechnet man den Platz, der in einem Gefäß noch übrig ist? - Bleibt das Volumen des Sandes gleich, wenn man ihn in ein anderes Gefäß schüttet? - Wenn du das Volumen und die Grundfläche eines Quaders kennst, wie findest du dann die Höhe heraus?

1. Berechnung des Volumens der ersten Kiste: \(V_{\text{Kiste}} = 40\,\text{cm} \cdot 30\,\text{cm} \cdot 20\,\text{cm} = 24\,000\,\text{cm}^3\). 2. Berechnung des leeren Volumens: \(V_{\text{leer}} = 24\,000\,\text{cm}^3 - 18\,000\,\text{cm}^3 = 6000\,\text{cm}^3\). 3. Berechnung der Grundfläche der zweiten Kiste: \(G_{\text{neu}} = 20\,\text{cm} \cdot 20\,\text{cm} = 400\,\text{cm}^2\). 4. Berechnung der Füllhöhe in der zweiten Kiste: \(h_{\text{neu}} = \frac{V_{\text{Sand}}}{G_{\text{neu}}} = \frac{18\,000\,\text{cm}^3}{400\,\text{cm}^2} = 45\,\text{cm}\).

a) Das restliche, freie Volumen beträgt \(6000\,\text{cm}^3\). b) Der Sand steht in der neuen Kiste \(45\,\text{cm}\) hoch.

- Denke an den Zusammenhang zwischen Litern und Kubikdezimetern oder Kubikzentimetern (\(1\,\text{l} = 1000\,\text{cm}^3\)). - Wie kannst du die Zeit berechnen, wenn du die Gesamtmenge und die Menge pro Stunde kennst? - Wenn nur die Änderung der Höhe gegeben ist, kannst du damit direkt das Volumen dieser Schicht berechnen?

1. Umrechnung des Volumens: \(240\,\text{l} = 240\,\text{dm}^3 = 240\,000\,\text{cm}^3\). 2. Berechnung der Füllhöhe: Die Grundfläche ist \(G = 100\,\text{cm} \cdot 80\,\text{cm} = 8000\,\text{cm}^2\). Die Höhe beträgt \(h = \frac{240\,000\,\text{cm}^3}{8000\,\text{cm}^2} = 30\,\text{cm}\). 3. Berechnung der Zeit bis zur Leerung: \(\text{Zeit} = \frac{240\,\text{l}}{40\,\text{l}/\text{h}} = 6\,\text{h}\). 4. Berechnung des zusätzlichen Regenwassers: Das Volumen der Schicht mit \(5\,\text{cm}\) Höhe beträgt \(V_{\text{Regen}} = 100\,\text{cm} \cdot 80\,\text{cm} \cdot 5\,\text{cm} = 40\,000\,\text{cm}^3\). Umrechnung in Liter: \(40\,000\,\text{cm}^3 = 40\,\text{l}\).

a) Die Füllhöhe beträgt \(30\,\text{cm}\). b) Der Tank ist nach \(6\,\text{h}\) leer. c) Es sind \(40\,\text{l}\) Wasser zusätzlich in den Tank geflossen.

- Verdrängtes Volumen entspricht dem Volumen der eingetauchten Körper. - Achte darauf, alle Maße in die gleiche Einheit (z. B. Meter oder Dezimeter) umzurechnen, bevor du rechnest. - Wie berechnet man die Höhe, wenn Volumen und Grundfläche bekannt sind?

1. Berechnung des Gesamtvolumens der Platten: \(12 \cdot 15\,\text{dm}^3 = 180\,\text{dm}^3\). 2. Umrechnung in Kubikmeter: \(180\,\text{dm}^3 = 0{,}18\,\text{m}^3\). 3. Berechnung der Grundfläche des Behälters: \(2\,\text{m} \cdot 1{,}5\,\text{m} = 3\,\text{m}^2\). 4. Berechnung des Anstiegs der Höhe: \(0{,}18\,\text{m}^3 : 3\,\text{m}^2 = 0{,}06\,\text{m}\), was \(6\,\text{cm}\) entspricht. 5. Berechnung des Volumens für \(10\,\text{cm}\) Füllhöhe: \(3\,\text{m}^2 \cdot 0{,}1\,\text{m} = 0{,}3\,\text{m}^3\). 6. Umrechnung in Liter: \(0{,}3\,\text{m}^3 = 300\,\text{l}\).

a) Der Wasserspiegel steigt um \(6\,\text{cm}\). b) Man müsste \(300\) Liter Wasser einfüllen.

- Berechne zuerst das Volumen beider Körper in derselben Einheit. - Wie viele Kubikzentimeter entsprechen einem Liter? - Ergibt die Division keine ganze Anzahl von Säcken, muss auf die nächste ganze Sackzahl aufgerundet werden.

1. Berechnung des Volumens von Kübel A: \(80\,\text{cm} \cdot 40\,\text{cm} \cdot 30\,\text{cm} = 96\,000\,\text{cm}^3\). 2. Umrechnung in Liter: \(96\,000\,\text{cm}^3 = 96\,\text{dm}^3 = 96\,\text{l}\). 3. Berechnung des Volumens von Kübel B: \(50\,\text{cm} \cdot 50\,\text{cm} \cdot 40\,\text{cm} = 100\,000\,\text{cm}^3\). 4. Umrechnung in Liter: \(100\,000\,\text{cm}^3 = 100\,\text{dm}^3 = 100\,\text{l}\). 5. Vergleich: Kübel B (\(100\,\text{l}\)) ist größer als Kübel A (\(96\,\text{l}\)). 6. Berechnung der Säcke für Kübel A: \(96\,\text{l} : 20\,\text{l}/\text{Sack} = 4{,}8\,\text{Säcke}\). Da man nur ganze Säcke kaufen kann, müssen \(5\) Säcke gekauft werden.

a) Kübel B hat mit \(100\) Litern ein größeres Fassungsvermögen als Kübel A mit \(96\) Litern. b) Es müssen mindestens \(5\) Säcke Erde gekauft werden.

- Überlege dir, ob die Form oder Größe eines Gefäßes die Füllhöhe beeinflusst, wenn es draußen im Regen steht. - Achte bei den Rechnungen auf die Einheiten: Zentimeter müssen in Meter umgerechnet werden, um Kubikmeter zu erhalten. - Wie rechnet man Kubikmeter in Liter um?

1. Gesamtfläche des Grundstücks: \(A_{Gesamt} = 20\,\text{m} \cdot 15\,\text{m} = 300\,\text{m}^2\). 2. Regenhöhe in Metern: \(h = 2{,}4\,\text{cm} = 0{,}024\,\text{m}\). 3. Gesamtvolumen in Litern: \(V_{Gesamt} = 300\,\text{m}^2 \cdot 0{,}024\,\text{m} = 7{,}2\,\text{m}^3 = 7200\,\text{l}\). 4. Anstieg im Pool: Der Wasserspiegel steigt um genau die Höhe des gefallenen Regens, also um \(2{,}4\,\text{cm}\). Da der Regen überall gleichmäßig fällt, füllt er jedes Gefäß (unabhängig von der Form der Grundfläche) bis zu dieser Höhe. 5. Volumen im Pool: \(V_{Pool} = 12\,\text{m}^2 \cdot 0{,}024\,\text{m} = 0{,}288\,\text{m}^3 = 288\,\text{l}\).

a) Es fallen \(7200\,\text{l}\) auf das gesamte Grundstück. b) Der Wasserspiegel steigt um \(2{,}4\,\text{cm}\), da die Niederschlagshöhe unabhängig von der Fläche überall gleich hoch ist. c) Es fallen \(288\,\text{l}\) direkt in den Pool.

- Was bedeutet es für die Wasserhöhe, wenn das Wasser „unter dem Rand“ steht? - Wie hängen Kubikzentimeter, Kubikdezimeter und Liter zusammen? - Wenn du ein Objekt ins Wasser legst, welcher Teil des Aquariums bestimmt, wie hoch das Wasser steigt?

1. Umrechnung der Maße in Dezimeter für Liter: \(8\,\text{dm}\), \(4\,\text{dm}\), \(5\,\text{dm}\). 2. Maximales Volumen: \(8\,\text{dm} \cdot 4\,\text{dm} \cdot 5\,\text{dm} = 160\,\text{dm}^3 = 160\,\text{l}\). 3. Aktuelle Wasserhöhe: \(50\,\text{cm} - 10\,\text{cm} = 40\,\text{cm} = 4\,\text{dm}\). 4. Aktuelle Wassermenge: \(8\,\text{dm} \cdot 4\,\text{dm} \cdot 4\,\text{dm} = 128\,\text{dm}^3 = 128\,\text{l}\). 5. Anstieg durch Steine: \(h = \frac{V}{A} = \frac{1600\,\text{cm}^3}{80\,\text{cm} \cdot 40\,\text{cm}} = \frac{1600\,\text{cm}^3}{3200\,\text{cm}^2} = 0{,}5\,\text{cm}\).

a) Das Fassungsvermögen beträgt \(160\,\text{l}\). b) Es befinden sich \(128\,\text{l}\) Wasser im Aquarium. c) Der Wasserspiegel steigt um \(0{,}5\,\text{cm}\) an.

- Berechne zuerst den Flächeninhalt des Daches. - Achte darauf, dass alle Längenangaben die gleiche Einheit haben, bevor du das Volumen berechnest. - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen Kubikmetern und Litern.

1. Berechnung der Dachfläche: \(A = 3\,\text{m} \cdot 6\,\text{m} = 18\,\text{m}^2\). 2. Umrechnung der Regenhöhe in Meter: \(h = 1{,}5\,\text{cm} = 0{,}015\,\text{m}\). 3. Berechnung des Volumens in Kubikmetern: \(V = 18\,\text{m}^2 \cdot 0{,}015\,\text{m} = 0{,}27\,\text{m}^3\). 4. Umrechnung in Liter: \(1\,\text{m}^3 = 1000\,\text{l}\), also \(0{,}27 \cdot 1000 = 270\,\text{l}\). 5. Vergleich mit dem Fassungsvermögen: \(270\,\text{l} > 200\,\text{l}\). Eine Tonne reicht nicht aus.

Das gesamte Wasservolumen beträgt \(270\,\text{l}\). Eine Regentonne mit \(200\,\text{l}\) Fassungsvermögen reicht nicht aus.

- Wie berechnet man die Grundfläche eines Quaders, wenn das Volumen und die Höhe bekannt sind? - Welche Zahl mit sich selbst multipliziert ergibt den Wert der Grundfläche? - Stelle dir vor, das Wasser ist ein kleinerer Quader mit derselben Grundfläche, aber einer geringeren Höhe. - Achte auf die Umrechnung von Kubikzentimetern in Liter.

1. Berechnung der Grundfläche \(G\) aus dem Volumen \(V = G \cdot h\): \(G = 48\,000 : 30 = 1\,600\,\text{cm}^2\). 2. Da die Grundfläche quadratisch ist, gilt \(G = a \cdot a\). Suche die Zahl, deren Quadrat \(1\,600\) ist: \(a = 40\,\text{cm}\). Die Seitenlängen sind \(40\,\text{cm}\). 3. Berechnung des Volumenverlusts: Die Grundfläche bleibt gleich (\(1\,600\,\text{cm}^2\)), die Höhendifferenz beträgt \(5\,\text{cm}\). 4. \(V_{\text{Differenz}} = 1\,600 \cdot 5 = 8\,000\,\text{cm}^3\). 5. Umrechnung in Liter: \(8\,000 : 1\,000 = 8\,\text{l}\).

a) Die Seitenlängen der Grundfläche betragen jeweils \(40\,\text{cm}\). b) Das Volumen sinkt um \(8\,\text{l}\).

- Welche Zahl mit sich selbst dreimal multipliziert ergibt das jeweilige Volumen? - Kannst du berechnen, um welchen Faktor das Volumen des großen Würfels größer ist als das des kleinen? - Wenn du weißt, wie oft größer das Volumen ist, was sagt das über die Kantenlänge aus?

1. Bestimmung der Kantenlänge des kleinen Würfels (\(V = a^3\)): Da \(2 \cdot 2 \cdot 2 = 8\), beträgt die Kantenlänge \(a_1 = 2\,\text{dm}\). 2. Bestimmung der Kantenlänge des großen Würfels: Da \(6 \cdot 6 \cdot 6 = 216\), beträgt die Kantenlänge \(a_2 = 6\,\text{dm}\). 3. Vergleich der Kantenlängen: Berechnung des Verhältnisses \(\frac{6\,\text{dm}}{2\,\text{dm}} = 3\). 4. Alternativ: Das Volumen hat sich um den Faktor \(\frac{216}{8} = 27\) vergrößert. Da \(27 = 3 \cdot 3 \cdot 3\), müssen die Kantenlängen dreimal so lang sein.

Die Kanten des großen Würfels sind \(3\)-mal so lang wie die des kleinen Würfels.

- Wie berechnet man das Volumen eines Quaders? - Wie hängen Kubikzentimeter, Kubikdezimeter und Liter zusammen? - Wenn du weißt, wie viel in ein Gefäß passt, wie oft passt dieser Teil in das Gesamtvolumen des Eimers?

1. Berechnung des Volumens in \(\text{cm}^3\): \(V = 5\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm} \cdot 10\,\text{cm} = 200\,\text{cm}^3\). 2. Umrechnung in Liter: \(200\,\text{cm}^3 = 0{,}2\,\text{dm}^3 = 0{,}2\,\text{l}\). 3. Berechnung der Anzahl der Gefäße für \(10\,\text{l}\): \(10\,\text{l} : 0{,}2\,\text{l} = 50\).

a) Das Volumen beträgt \(200\,\text{cm}^3\), was \(0{,}2\,\text{l}\) entspricht. b) Man benötigt \(50\) dieser Gefäße, um den Eimer zu füllen.

- Welche drei Zahlen ergeben miteinander multipliziert \(24\)? - Denk daran, dass die Oberfläche aus sechs Rechtecken besteht, von denen jeweils zwei gleich groß sind. - Die „größte Seitenfläche“ ist die Fläche mit dem größten Flächeninhalt. - Probiere verschiedene Kombinationen aus, wie zum Beispiel ganz flache oder eher würfelähnliche Quader.

1. Beispiel 1: Kantenlängen \(a=4\,\text{cm}\), \(b=3\,\text{cm}\), \(c=2\,\text{cm}\). Volumen \(V = 4 \cdot 3 \cdot 2 = 24\,\text{cm}^3\). 2. Beispiel 2: Kantenlängen \(a=6\,\text{cm}\), \(b=4\,\text{cm}\), \(c=1\,\text{cm}\). Volumen \(V = 6 \cdot 4 \cdot 1 = 24\,\text{cm}^3\). 3. Oberfläche Beispiel 1: \(O = 2 \cdot (4 \cdot 3 + 3 \cdot 2 + 4 \cdot 2) = 2 \cdot (12 + 6 + 8) = 2 \cdot 26 = 52\,\text{cm}^2\). 4. Oberfläche Beispiel 2: \(O = 2 \cdot (6 \cdot 4 + 4 \cdot 1 + 6 \cdot 1) = 2 \cdot (24 + 4 + 6) = 2 \cdot 34 = 68\,\text{cm}^2\). 5. Vergleich: Die Oberflächen sind trotz gleichen Volumens unterschiedlich. 6. Schichten: Bei Beispiel 1 liegen \(4 \cdot 3 = 12\) Würfel in der untersten Schicht. Bei Beispiel 2 liegen \(6 \cdot 4 = 24\) Würfel in der untersten Schicht.

Mögliche Lösung: a) Quader 1: \(4\,\text{cm}\), \(3\,\text{cm}\), \(2\,\text{cm}\); Quader 2: \(6\,\text{cm}\), \(4\,\text{cm}\), \(1\,\text{cm}\). b) \(O_1 = 52\,\text{cm}^2\), \(O_2 = 68\,\text{cm}^2\). Quader mit gleicher Würfelanzahl können unterschiedliche Oberflächen haben. c) Quader 1: \(12\) Würfel; Quader 2: \(24\) Würfel.

- Was bedeutet „materialsparend“ im Zusammenhang mit der Geometrie eines Körpers? - Berechne zuerst alle Teilflächen der beiden Quader. - Vergleiche die Ergebnisse der Oberflächenberechnung.

1. Berechnung des Oberflächeninhalts für Schachtel A (\(6, 2, 2\)): \(O_A = 2 \cdot (6 \cdot 2 + 6 \cdot 2 + 2 \cdot 2) = 2 \cdot (12 + 12 + 4) = 56\,\text{cm}^2\). 2. Berechnung des Oberflächeninhalts für Schachtel B (\(4, 3, 2\)): \(O_B = 2 \cdot (4 \cdot 3 + 4 \cdot 2 + 3 \cdot 2) = 2 \cdot (12 + 8 + 6) = 52\,\text{cm}^2\). 3. Vergleich und Begründung: Schachtel B hat einen geringeren Oberflächeninhalt (\(52\,\text{cm}^2 < 56\,\text{cm}^2\)) und benötigt daher weniger Pappe bei gleichem Volumen.

a) Schachtel A: \(56\,\text{cm}^2\); Schachtel B: \(52\,\text{cm}^2\). b) Schachtel B ist materialsparender, da ihr Oberflächeninhalt kleiner ist und somit weniger Pappe verbraucht wird.

- Berechne zuerst das Volumen für die gewünschte Füllhöhe. - Achte auf die Einheiten: Wie rechnet man Kubikmeter in Liter um? - Wenn du die Gesamtlitermenge durch die Liter pro Minute teilst, erhältst du die Zeit. - Wie viele Minuten hat eine Stunde?

1. Berechnung des Wasservolumens in \(\text{m}^3\): \(V = 10\,\text{m} \cdot 5\,\text{m} \cdot 1{,}6\,\text{m} = 80\,\text{m}^3\). 2. Umrechnung in Liter: \(80\,\text{m}^3 = 80\,000\,\text{l}\). 3. Berechnung der Zeit in Minuten: \(80\,000\,\text{l} : 40\,\text{l}/\text{min} = 2000\,\text{min}\). 4. Umrechnung der Zeit in Stunden und Minuten: \(2000 : 60 = 33\) Rest \(20\). Das entspricht \(33\,\text{Stunden}\) und \(20\,\text{Minuten}\).

a) Das Wasservolumen beträgt \(80\,000\,\text{l}\). b) Es dauert \(33\,\text{Stunden}\) und \(20\,\text{Minuten}\).

- Teil a: Wenn du das Volumen und zwei Seitenlängen kennst, wie kannst du die fehlende Seite bestimmen? - Teil b: Achte darauf, dass am Ende nach der Masse in Kilogramm gefragt ist. Wie viele Gramm sind ein Kilogramm?

1. Berechnung der Höhe: Das Volumen eines Quaders ist \(V = l \cdot b \cdot h\). Eingesetzt ergibt sich \(250\,\text{cm}^3 = 10\,\text{cm} \cdot 5\,\text{cm} \cdot h\), also \(250 = 50 \cdot h\). Daraus folgt \(h = 250 : 50 = 5\,\text{cm}\). 2. Berechnung der Masse in Gramm: \(250\,\text{cm}^3 \cdot 19{,}3\,\text{g}/\text{cm}^3 = 4825\,\text{g}\). 3. Umrechnung in Kilogramm: \(4825\,\text{g} : 1000 = 4{,}825\,\text{kg}\).

a) Die Höhe des Goldbarrens beträgt \(5\,\text{cm}\). b) Der Barren hat eine Masse von \(4{,}825\,\text{kg}\).

- Wenn du die Gesamtfläche durch die Anzahl der Würfelseiten teilst, erhältst du den Flächeninhalt eines einzelnen Quadrats. - Überlege dir für den Turm, wie viele der ursprünglichen Würfelseiten nach dem Stapeln noch von außen sichtbar sind. - Das Volumen verändert sich beim Zusammenstellen von Körpern einfach durch Addition.

1. Aus dem Oberflächeninhalt \(O = 6 \cdot a^2 = 150\,\text{cm}^2\) folgt für eine Seitenfläche \(a^2 = 150\,\text{cm}^2 : 6 = 25\,\text{cm}^2\). Die Kantenlänge ist somit \(a = 5\,\text{cm}\). 2. Das Volumen eines Würfels ist \(V = a^3 = (5\,\text{cm})^3 = 125\,\text{cm}^3\). 3. Das Volumen des Turms aus 4 Würfeln ist die vierfache Menge: \(V_{\text{Turm}} = 4 \cdot 125\,\text{cm}^3 = 500\,\text{cm}^3\). 4. Der Turm hat eine Grundfläche von \(25\,\text{cm}^2\), eine Deckfläche von \(25\,\text{cm}^2\) und vier Seitenflächen, die jeweils aus 4 Quadraten bestehen. Jede dieser Seitenflächen hat den Inhalt \(4 \cdot 25\,\text{cm}^2 = 100\,\text{cm}^2\). Gesamtoberfläche: \(O_{\text{Turm}} = 2 \cdot 25\,\text{cm}^2 + 4 \cdot 100\,\text{cm}^2 = 50\,\text{cm}^2 + 400\,\text{cm}^2 = 450\,\text{cm}^2\). Alternativ: 4 Würfel haben \(4 \cdot 6 = 24\) Außenflächen. Beim Stapeln entstehen 3 Kontaktstellen, an denen jeweils 2 Flächen „verschwinden“: \(24 - (3 \cdot 2) = 18\) Flächen bleiben sichtbar. \(18 \cdot 25\,\text{cm}^2 = 450\,\text{cm}^2\).

a) Die Kantenlänge beträgt \(5\,\text{cm}\), das Volumen beträgt \(125\,\text{cm}^3\). b) Der Turm hat ein Volumen von \(500\,\text{cm}^3\) und einen Oberflächeninhalt von \(450\,\text{cm}^2\).

- Achte darauf, alle Werte zuerst in die gleiche Einheit (z. B. Zentimeter) umzurechnen. - Wie hängen Kubikdezimeter (\(\text{dm}^3\)) und Kubikzentimeter (\(\text{cm}^3\)) zusammen? - Suche nach einer Zahl, die dreimal mit sich selbst multipliziert das Volumen ergibt.

1. Umrechnung des Volumens von Würfel A in \(\text{cm}^3\): \(0{,}008\,\text{dm}^3 = 0{,}008 \cdot 1000\,\text{cm}^3 = 8\,\text{cm}^3\). 2. Bestimmung der Kantenlänge \(a_A\): Da \(a_A^3 = 8\,\text{cm}^3\), ist \(a_A = 2\,\text{cm}\) (denn \(2 \cdot 2 \cdot 2 = 8\)). 3. Bestimmung der Kantenlänge \(a_B\) aus dem Oberflächeninhalt: \(6 \cdot a_B^2 = 54\,\text{cm}^2 \implies a_B^2 = 9\,\text{cm}^2 \implies a_B = 3\,\text{cm}\). 4. Vergleich der Kantenlängen: \(a_B = 3\,\text{cm}\) ist länger als \(a_A = 2\,\text{cm}\). 5. Berechnung des Volumens von Würfel B: \(V_B = (3\,\text{cm})^3 = 27\,\text{cm}^3\). 6. Volumenunterschied: \(V_B - V_A = 27\,\text{cm}^3 - 8\,\text{cm}^3 = 19\,\text{cm}^3\).

Würfel B hat mit \(3\,\text{cm}\) die längere Kante (Würfel A hat nur \(2\,\text{cm}\)). Der Unterschied der Volumina beträgt \(19\,\text{cm}^3\).

- Überlege dir, aus wie vielen Dimensionen eine Fläche besteht und aus wie vielen ein Körper. - Wenn du ein Quadrat dreimal so lang und dreimal so breit machst, wie viele kleine Quadrate passen dann hinein? - Was passiert, wenn du diesen Vorgang auch noch für die Höhe eines Körpers wiederholst?

1. Jede Seitenfläche ist ein Rechteck mit dem Flächeninhalt \(A = \text{Seite}_1 \cdot \text{Seite}_2\). Werden beide Seiten verdreifacht, ergibt sich \(A_{neu} = (3 \cdot \text{Seite}_1) \cdot (3 \cdot \text{Seite}_2) = 9 \cdot A\). Die Fläche wird also 9-mal so groß. 2. Das Volumen berechnet sich aus dem Produkt von drei Längen: \(V = l \cdot b \cdot h\). Werden alle drei verdreifacht, ergibt sich \(V_{neu} = (3 \cdot l) \cdot (3 \cdot b) \cdot (3 \cdot h) = 27 \cdot V\). Das Volumen wird 27-mal so groß. 3. Der Unterschied liegt in der Anzahl der Dimensionen: Bei der Fläche werden zwei Längen multipliziert (\(3 \cdot 3 = 9\)), beim Volumen drei Längen (\(3 \cdot 3 \cdot 3 = 27\)).

a) Die Seitenfläche wird 9-mal so groß. b) Das Volumen wird 27-mal so groß. Unterschied: Flächen wachsen quadratisch (\(3^2\)), das Volumen wächst kubisch (\(3^3\)) mit dem Streckungsfaktor.

- Stell dir vor, wie du die Würfel nacheinander in den Karton legst. - Wie viele Würfel passen in eine Reihe, wie viele Reihen in eine Schicht? - Was passiert, wenn die Höhe des Kartons nicht genau durch die Höhe der Würfel teilbar ist? - Kann man halbe oder angebrochene Würfel sinnvoll verpacken?

1. Berechnung der Anzahl der Würfel pro Seite für Teil a): Länge: \(50 : 5 = 10\); Breite: \(30 : 5 = 6\); Höhe: \(20 : 5 = 4\). 2. Gesamtzahl der Würfel für Teil a): \(10 \cdot 6 \cdot 4 = 240\). 3. Berechnung der Anzahl der Würfel pro Seite für Teil b): Länge und Breite bleiben gleich (\(10\) und \(6\)). Für die Höhe gilt: \(18 : 5 = 3\) Rest \(3\). Es passen also nur \(3\) ganze Schichten übereinander. 4. Gesamtzahl der Würfel für Teil b): \(10 \cdot 6 \cdot 3 = 180\). 5. Begründung: Ein Würfel kann nicht geteilt werden. Da die Höhe von \(18\,\text{cm}\) kein Vielfaches der Würfelkante von \(5\,\text{cm}\) ist, bleibt ein Hohlraum von \(3\,\text{cm}\) Höhe ungenutzt. Die reine Volumenrechnung würde Teilstücke von Würfeln berücksichtigen, was in der Realität nicht möglich ist.

a) Es passen maximal \(240\) Würfel in den Karton. b) In den niedrigeren Karton passen nur \(180\) Würfel. Eine Division der Volumina ist nicht zulässig, da nur ganze Würfel gezählt werden können und der restliche Platz (\(3\,\text{cm}\) in der Höhe) leer bleiben muss.

- Was bedeutet es für die Rechnung, wenn eine Höhe der Schicht gegeben ist? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen Kubikdezimetern und Litern. - Kannst du die Grundfläche und die Höhe nutzen, um den Rauminhalt der Schicht zu bestimmen?

1. Umrechnung der Maße in Dezimeter für die Volumenberechnung in Litern: \(8\,\text{dm}\), \(4\,\text{dm}\) und \(0{,}5\,\text{dm}\). 2. Berechnung des Volumens: \(V = 8\,\text{dm} \cdot 4\,\text{dm} \cdot 0{,}5\,\text{dm} = 16\,\text{dm}^3\). Da \(1\,\text{dm}^3 = 1\,\text{l}\), sind es \(16\,\text{l}\). 3. Berechnung der Masse: \(m = 16 \cdot 1{,}6\,\text{kg} = 25{,}6\,\text{kg}\).

a) Es werden \(16\,\text{l}\) Kies benötigt. b) Die Kiesschicht hat insgesamt eine Masse von \(25{,}6\,\text{kg}\).

- Was passiert mit einem Produkt, wenn man einen Faktor verdoppelt? - Rechne die Werte am besten erst einmal für den ursprünglichen Quader aus. - Führe die gleichen Rechnungen mit den neuen (verdoppelten) Maßen durch und vergleiche die Ergebnisse. - Gilt deine Beobachtung zur Verdopplung nur für diesen speziellen Quader?

1. Berechnung der Mantelfläche \(M\): \(M = 2 \cdot (a + b) \cdot c = 2 \cdot (3\,\text{cm} + 4\,\text{cm}) \cdot 5\,\text{cm} = 14\,\text{cm} \cdot 5\,\text{cm} = 70\,\text{cm}^2\). 2. Bei Verdopplung der Höhe (\(c = 10\,\text{cm}\)): \(M_{neu} = 14\,\text{cm} \cdot 10\,\text{cm} = 140\,\text{cm}^2\). Die Mantelfläche verdoppelt sich. 3. Berechnung des Oberflächeninhalts \(O\): \(O = 2 \cdot (3 \cdot 4 + 3 \cdot 5 + 4 \cdot 5) = 2 \cdot (12 + 15 + 20) = 2 \cdot 47 = 94\,\text{cm}^2\). 4. Verdopplung aller Kanten (\(6\,\text{cm}, 8\,\text{cm}, 10\,\text{cm}\)): \(O_{neu} = 2 \cdot (6 \cdot 8 + 6 \cdot 10 + 8 \cdot 10) = 2 \cdot (48 + 60 + 80) = 2 \cdot 188 = 376\,\text{cm}^2\). 5. Vergleich: \(376 : 94 = 4\). Der Oberflächeninhalt vervierfacht sich.

a) Die Mantelfläche beträgt \(70\,\text{cm}^2\). Bei Verdopplung der Höhe verdoppelt sich auch die Mantelfläche auf \(140\,\text{cm}^2\). b) Der Oberflächeninhalt beträgt \(94\,\text{cm}^2\). Wenn alle Kanten verdoppelt werden, vervierfacht sich der Oberflächeninhalt auf \(376\,\text{cm}^2\).

- Überlege zuerst, in welche Einheit du alle Angaben umrechnen solltest, um leichter rechnen zu können. - Wie hängen Volumen, Grundfläche und Höhe zusammen? - Was zeichnet das Volumen eines Würfels im Vergleich zu einem Quader aus? - Probiere ein paar Zahlen aus: Was ergibt \(10 \cdot 10 \cdot 10\)? Was ergibt \(11 \cdot 11 \cdot 11\)?

1. Umrechnung aller Maße in Zentimeter: \(V = 1{,}44\,\text{dm}^3 = 1\,440\,\text{cm}^3\). Die Breite beträgt \(b = 80\,\text{mm} = 8\,\text{cm}\). 2. Berechnung der Grundfläche: \(G = 12\,\text{cm} \cdot 8\,\text{cm} = 96\,\text{cm}^2\). 3. Berechnung der Höhe: \(h = \frac{V}{G} = \frac{1\,440\,\text{cm}^3}{96\,\text{cm}^2} = 15\,\text{cm}\). 4. Überprüfung für den Würfel: Das Volumen eines Würfels mit ganzzahliger Kantenlänge \(s\) ist eine Kubikzahl (\(s^3\)). Testen von Werten: \(11^3 = 1\,331\) und \(12^3 = 1\,728\). 5. Da \(1\,440\) zwischen den Kubikzahlen \(1\,331\) und \(1\,728\) liegt, kann die Kantenlänge keine ganze Zahl sein.

a) Die Höhe des Quaders beträgt \(15\,\text{cm}\). b) Nein, das ist nicht möglich, weil \(1\,440\) zwischen \(11^3 = 1\,331\) und \(12^3 = 1\,728\) liegt. Die Zahl \(1\,440\) ist also keine Kubikzahl.

- Stell dir vor, du legst die Würfel zuerst nur entlang einer Seite der Kiste. Wie viele passen dorthin? - Was passiert, wenn du den Boden der Kiste komplett mit einer Lage Würfel bedeckst? - Wie viele solcher Lagen kannst du übereinander stapeln? - Welche Einheit ist am besten geeignet, um das Volumen direkt in Litern anzugeben?

1. Umrechnung der Kistenmaße in Zentimeter: Länge \(L = 120\,\text{cm}\), Breite \(B = 80\,\text{cm}\), Höhe \(H = 60\,\text{cm}\). 2. Bestimmung der Anzahl der Würfel (\(s = 20\,\text{cm}\)) pro Dimension: Anzahl in der Länge: \(120 : 20 = 6\). Anzahl in der Breite: \(80 : 20 = 4\). Anzahl in der Höhe: \(60 : 20 = 3\). 3. Berechnung der Gesamtzahl: Eine Schicht besteht aus \(6 \cdot 4 = 24\) Würfeln. Es gibt \(3\) solcher Schichten. Insgesamt: \(24 \cdot 3 = 72\) Würfel. 4. Berechnung des Gesamtvolumens: \(V = 12\,\text{dm} \cdot 8\,\text{dm} \cdot 6\,\text{dm} = 576\,\text{dm}^3\). 5. Umrechnung in Liter: Da \(1\,\text{dm}^3 = 1\,\text{l}\), beträgt das Volumen \(576\,\text{l}\).

a) Es passen insgesamt \(72\) Würfel in die Kiste. b) In einer Schicht auf dem Boden liegen \(6 \cdot 4 = 24\) Würfel. Da die Kiste \(60\,\text{cm}\) hoch ist, passen \(3\) solcher Schichten übereinander (\(24 \cdot 3 = 72\)). c) Das Gesamtvolumen beträgt \(576\,\text{l}\).

- Überlege, wie die Grundfläche und die Höhe mit dem Volumen eines Quaders zusammenhängen. - Wie viel Platz ist im Becken oben noch frei, wenn das Wasser nicht bis zum Rand steht? - Achte auf die Umrechnung von Kubikmetern in Liter.

1. Berechnung des Gesamtvolumens: Da die Grundfläche \(G\) bereits gegeben ist, gilt \(V = G \cdot h\). Also \(V_{\text{gesamt}} = 15\,\text{m}^2 \cdot 2\,\text{m} = 30\,\text{m}^3\). 2. Bestimmung der fehlenden Wasserhöhe: \(2\,\text{m} - 1{,}20\,\text{m} = 0{,}80\,\text{m}\). 3. Berechnung des fehlenden Volumens: \(V_{\text{fehlend}} = 15\,\text{m}^2 \cdot 0{,}80\,\text{m} = 12\,\text{m}^3\). 4. Umrechnung in Liter: \(12\,\text{m}^3 = 12 \cdot 1\,000\,\text{l} = 12\,000\,\text{l}\).

a) Das maximale Fassungsvermögen beträgt \(30\,\text{m}^3\). b) Es fehlen noch \(12\,000\,\text{l}\) Wasser.

- Überlege zuerst, wie viel Wasser sich im Beckenbereich einer einzelnen Bahn befindet. - Achte bei Teilaufgabe b) darauf, dass alle Maße in der gleichen Einheit (Meter) vorliegen, bevor du rechnest. - Wie ändert sich die Wassertiefe, wenn der Wasserspiegel sinkt?

1. Volumen des Beckenbereichs einer Bahn: \(25\,\text{m} \cdot 2{,}5\,\text{m} \cdot 2\,\text{m} = 125\,\text{m}^3\). 2. Gesamtvolumen des vollständig gefüllten Beckens: \(3 \cdot 125\,\text{m}^3 = 375\,\text{m}^3\). 3. Umrechnung der Absenkung in Meter: \(40\,\text{cm} = 0{,}4\,\text{m}\). 4. Berechnung der neuen Wassertiefe: \(2\,\text{m} - 0{,}4\,\text{m} = 1{,}6\,\text{m}\). 5. Volumen des Beckenbereichs einer Bahn bei reduziertem Wasserstand: \(25\,\text{m} \cdot 2{,}5\,\text{m} \cdot 1{,}6\,\text{m} = 100\,\text{m}^3\). 6. Verbleibendes Gesamtvolumen: \(3 \cdot 100\,\text{m}^3 = 300\,\text{m}^3\).

a) Das gesamte Wasservolumen beträgt \(375\,\text{m}^3\). b) Es befinden sich noch insgesamt \(300\,\text{m}^3\) Wasser im Becken.

- Berechne zuerst, wie viel Wasser sich insgesamt im ersten Becken befindet. - Wenn die Wassermenge gleich bleibt, aber die Grundfläche sich ändert, was passiert dann mit der Höhe? - Wie kannst du die Höhe berechnen, wenn du das Volumen und die neue Grundfläche kennst?

1. Berechnung der Grundfläche von Becken A: \(G_A = 4\,\text{m} \cdot 4\,\text{m} = 16\,\text{m}^2\). 2. Berechnung des Wasservolumens in Becken A: \(V = 16\,\text{m}^2 \cdot 1{,}5\,\text{m} = 24\,\text{m}^3\). 3. Da das Volumen in Becken B gleich bleibt, Berechnung der Höhe in Becken B: \(h_B = V : G_B = 24\,\text{m}^3 : 20\,\text{m}^2 = 1{,}2\,\text{m}\).

Das Wasser steht in Becken B \(1{,}2\,\text{m}\) hoch.

- Wenn das Volumen und die Grundfläche bekannt sind, wie findet man dann die Höhe? - Überlege dir zuerst, wie viel Platz in einer einzelnen Transportkiste ist. - Wie oft passt das Volumen einer kleinen Kiste in das Gesamtvolumen des Weizens?

1. Maximales Volumen: \(V_{\text{max}} = 8\,\text{m} \cdot 5\,\text{m} \cdot 4\,\text{m} = 160\,\text{m}^3\). 2. Berechnung der Füllhöhe: Die Grundfläche beträgt \(G = 8\,\text{m} \cdot 5\,\text{m} = 40\,\text{m}^2\). Die Höhe ergibt sich aus \(h = V : G = 120\,\text{m}^3 : 40\,\text{m}^2 = 3\,\text{m}\). 3. Volumen einer Transportkiste: \(V_{\text{Kiste}} = 1\,\text{m} \cdot 1\,\text{m} \cdot 0{,}5\,\text{m} = 0{,}5\,\text{m}^3\). 4. Anzahl der Kisten: \(120\,\text{m}^3 : 0{,}5\,\text{m}^3/\text{Kiste} = 240\) Kisten.

a) Das maximale Volumen beträgt \(160\,\text{m}^3\). b) Das Getreide steht \(3\,\text{m}\) hoch. c) Es werden \(240\) Kisten benötigt.

- Berechne zuerst den Rauminhalt beider Tonnen in einer einheitlichen Maßeinheit. - Was bedeutet „zur Hälfte gefüllt“ mathematisch für das Volumen? - Wenn du das Volumen und die Grundfläche eines Quaders kennst, wie kannst du die Höhe bestimmen?

1. Berechnung der Volumina: Tonne A: \(60\,\text{cm} \cdot 60\,\text{cm} \cdot 100\,\text{cm} = 360\,000\,\text{cm}^3 = 360\,\text{l}\). Tonne B: \(80\,\text{cm} \cdot 50\,\text{cm} \cdot 100\,\text{cm} = 400\,000\,\text{cm}^3 = 400\,\text{l}\). 2. Vergleich der Füllmengen: Halbe Füllung Tonne A entspricht \(360\,\text{l} : 2 = 180\,\text{l}\). Vergleich: \(180\,\text{l} > 170\,\text{l}\), daher ist in Tonne A mehr Wasser. 3. Berechnung der Wasserhöhe in B: Gegeben \(V = 180\,\text{l} = 180\,000\,\text{cm}^3\). Grundfläche B: \(G = 80\,\text{cm} \cdot 50\,\text{cm} = 4000\,\text{cm}^2\). Höhe \(h = V : G = 180\,000\,\text{cm}^3 : 4000\,\text{cm}^2 = 45\,\text{cm}\).

a) Tonne A fasst \(360\,\text{l}\), Tonne B fasst \(400\,\text{l}\). b) In Tonne A befindet sich mehr Wasser, da \(180\,\text{l} > 170\,\text{l}\). c) Das Wasser würde in Tonne B genau \(45\,\text{cm}\) hoch stehen.

- Erinnere dich an die Umrechnungen für Flächeneinheiten: Wie viele Quadratmeter sind ein Hektar? Wie viele ein Quadratkilometer? - Bringe alle Angaben (Höhen und Flächen) auf die Basiseinheiten Meter und Quadratmeter, bevor du das Volumen berechnest. - Vergleiche am Ende die Ergebnisse in der Einheit Liter.

1. Umrechnung für Gebiet A: Fläche \(4\text{ ha} = 4 \cdot 10\,000\,\text{m}^2 = 40\,000\,\text{m}^2\). Regenhöhe \(12\,\text{mm} = 0{,}012\,\text{m}\). 2. Volumen A: \(V_A = 40\,000\,\text{m}^2 \cdot 0{,}012\,\text{m} = 480\,\text{m}^3\). In Litern: \(480 \cdot 1000 = 480\,000\,\text{l}\). 3. Umrechnung für Gebiet B: Fläche \(0{,}05\,\text{km}^2 = 0{,}05 \cdot 1\,000\,000\,\text{m}^2 = 50\,000\,\text{m}^2\). Regenhöhe \(0{,}8\,\text{cm} = 0{,}008\,\text{m}\). 4. Volumen B: \(V_B = 50\,000\,\text{m}^2 \cdot 0{,}008\,\text{m} = 400\,\text{m}^3\). In Litern: \(400 \cdot 1000 = 400\,000\,\text{l}\). 5. Vergleich: In Gebiet A fiel mehr Wasser. Unterschied: \(480\,000\,\text{l} - 400\,000\,\text{l} = 80\,000\,\text{l}\).

Im Waldgebiet (Station A) ist mit \(480\,000\,\text{l}\) mehr Wasser gefallen als auf dem Feld (Station B) mit \(400\,000\,\text{l}\). Der Unterschied beträgt \(80\,000\,\text{l}\).

- Achte auf die Einheiten: Wandle Kilometerquadrate zuerst in Quadratmeter um. - Wie viel Quadratmeter sind ein Quadratkilometer? - Wenn das gleiche Volumen aus einem kleineren Gefäß kommt, was passiert dann mit der Höhe? - Vergleiche dein Ergebnis aus Teil b mit der Behauptung in Teil c.

1. Umrechnung der Seeoberfläche: \(0{,}4\,\text{km}^2 = 400\,000\,\text{m}^2\). 2. Umrechnung der Höhendifferenz: \(12\,\text{cm} = 0{,}12\,\text{m}\). 3. Verdunstungsvolumen: \(V = 400\,000\,\text{m}^2 \cdot 0{,}12\,\text{m} = 48\,000\,\text{m}^3\). 4. Grundfläche des Reservebeckens: \(100\,\text{m} \cdot 40\,\text{m} = 4\,000\,\text{m}^2\). 5. Erforderliche Tiefe (Absenkung) im Becken: \(h = \frac{48\,000\,\text{m}^3}{4\,000\,\text{m}^2} = 12\,\text{m}\). 6. Vergleich mit der Aussage: Da das Wasser im Becken um \(12\,\text{m}\) sinken müsste, reicht ein \(5\,\text{m}\) tiefes Becken nicht aus.

a) Es sind \(48\,000\,\text{m}^3\) Wasser verdunstet. b) Das Wasser im Becken muss um \(12\,\text{m}\) sinken. c) Die Aussage ist falsch, da das Becken mindestens \(12\,\text{m}\) tief sein müsste (bzw. mehr Wasser enthalten müsste), um den Verlust auszugleichen.

- Wie findest du die fehlende Seite eines Quaders, wenn das Volumen und zwei Seiten bekannt sind? - Erinnere dich an die Definition eines Würfels – alle Kanten sind gleich lang. Probiere kleine Zahlen aus. - Berechne für beide Körper den Oberflächeninhalt Schritt für Schritt. - Was fällt dir auf, wenn du die beiden Ergebnisse vergleichst?

1. Höhe von Gefäß A: \(V = l \cdot b \cdot h \Rightarrow 216 = 12 \cdot 6 \cdot h \Rightarrow 216 = 72 \cdot h\). Berechnung: \(h = 216 : 72 = 3\,\text{cm}\). 2. Kantenlänge von Gefäß B (Würfel): \(V = a^3\). Suche eine Zahl \(a\), so dass \(a \cdot a \cdot a = 216\). Durch Probieren findet man \(6 \cdot 6 \cdot 6 = 216\), also \(a = 6\,\text{cm}\). 3. Oberfläche Gefäß A: \(O_A = 2 \cdot (12 \cdot 6 + 6 \cdot 3 + 12 \cdot 3) = 2 \cdot (72 + 18 + 36) = 2 \cdot 126 = 252\,\text{cm}^2\). 4. Oberfläche Gefäß B: \(O_B = 6 \cdot a^2 = 6 \cdot 6^2 = 6 \cdot 36 = 216\,\text{cm}^2\). 5. Vergleich: \(216\,\text{cm}^2 < 252\,\text{cm}^2\). Gefäß B (der Würfel) hat die kleinere Oberfläche.

a) Die Höhe von Gefäß A beträgt \(3\,\text{cm}\). b) Die Kantenlänge von Gefäß B beträgt \(6\,\text{cm}\). c) Gefäß B (der Würfel) hat mit \(216\,\text{cm}^2\) eine kleinere Oberfläche als Gefäß A mit \(252\,\text{cm}^2\).

- Wie viel Platz nimmt ein einzelner Würfel ein, wenn drei davon zusammen \(375\,\text{cm}^3\) groß sind? - Stelle dir vor, wie der Quader aussieht. Welche Seitenflächen der Würfel liegen im Inneren und zählen nicht zur Oberfläche? - Skizziere die drei Würfel nebeneinander.

1. Berechnung des Volumens eines einzelnen Würfels: \(375\,\text{cm}^3 : 3 = 125\,\text{cm}^3\). 2. Bestimmung der Kantenlänge \(a\) eines Würfels: \(\sqrt[3]{125\,\text{cm}^3} = 5\,\text{cm}\). 3. Bestimmung der Maße des Quaders: Länge \(L = 3 \cdot 5\,\text{cm} = 15\,\text{cm}\), Breite \(B = 5\,\text{cm}\), Höhe \(H = 5\,\text{cm}\). 4. Berechnung des Oberflächeninhalts des Quaders: \(O = 2 \cdot (15 \cdot 5 + 15 \cdot 5 + 5 \cdot 5) = 2 \cdot (75 + 75 + 25) = 2 \cdot 175 = 350\,\text{cm}^2\). Alternativ: Zählen der sichtbaren Quadratflächen: \(2 \cdot 5\) (Enden) + \(1 \cdot 4\) (Mitte) = \(14\) Flächen. \(14 \cdot 25\,\text{cm}^2 = 350\,\text{cm}^2\).

a) Die Kantenlänge eines Würfels beträgt \(5\,\text{cm}\). b) Der Oberflächeninhalt des Quaders beträgt \(350\,\text{cm}^2\).

- Suche systematisch alle Teiler von 12, um die Kantenlängen zu finden. - Denk daran, dass bei einer offenen Kiste nur fünf Flächen berechnet werden (ein Boden, vier Seiten). - Probiere bei jeder Kombination von Kantenlängen aus, welche Seite als Boden die kleinste Gesamtfläche liefert.

1. Finden aller ganzzahligen Tripel \((l, b, h)\), deren Produkt 12 ist: \(\{12, 1, 1\}\), \(\{6, 2, 1\}\), \(\{4, 3, 1\}\), \(\{3, 2, 2\}\). 2. Berechnung für Teil b): Bodenfläche \(4 \cdot 3 = 12\,\text{dm}^2\), Seitenwände \(2 \cdot (4 \cdot 1) + 2 \cdot (3 \cdot 1) = 8 + 6 = 14\,\text{dm}^2\). Gesamte Holzfläche: \(12 + 14 = 26\,\text{dm}^2\). 3. Vergleich aller Varianten für die offene Kiste (\(S = l \cdot w + 2 \cdot h \cdot (l + w)\)): - \(\{12, 1, 1\}\): Boden \(12 \cdot 1\), \(h=1 \Rightarrow 38\,\text{dm}^2\); Boden \(1 \cdot 1\), \(h=12 \Rightarrow 49\,\text{dm}^2\). - \(\{6, 2, 1\}\): Boden \(6 \cdot 2\), \(h=1 \Rightarrow 28\,\text{dm}^2\); Boden \(6 \cdot 1\), \(h=2 \Rightarrow 34\,\text{dm}^2\); Boden \(2 \cdot 1\), \(h=6 \Rightarrow 38\,\text{dm}^2\). - \(\{4, 3, 1\}\): Boden \(4 \cdot 3\), \(h=1 \Rightarrow 26\,\text{dm}^2\); Boden \(4 \cdot 1\), \(h=3 \Rightarrow 34\,\text{dm}^2\); Boden \(3 \cdot 1\), \(h=4 \Rightarrow 35\,\text{dm}^2\). - \(\{3, 2, 2\}\): Boden \(3 \cdot 2\), \(h=2 \Rightarrow 26\,\text{dm}^2\); Boden \(2 \cdot 2\), \(h=3 \Rightarrow 28\,\text{dm}^2\). 4. Ergebnis: Die minimale Fläche von \(26\,\text{dm}^2\) wird bei den Maßen \(4\,\text{dm} \times 3\,\text{dm} \times 1\,\text{dm}\) (Höhe 1) oder \(3\,\text{dm} \times 2\,\text{dm} \times 2\,\text{dm}\) (Höhe 2) erreicht.

a) Die möglichen Kombinationen sind {12, 1, 1}, {6, 2, 1}, {4, 3, 1} und {3, 2, 2}. b) Die Holzfläche beträgt \(26\,\text{dm}^2\). c) Die Holzfläche ist am kleinsten (\(26\,\text{dm}^2\)) bei den Maßen \(4\,\text{dm} \times 3\,\text{dm}\) (Boden) mit Höhe \(1\,\text{dm}\) oder bei \(3\,\text{dm} \times 2\,\text{dm}\) (Boden) mit Höhe \(2\,\text{dm}\).

- Wie viel Wasser kommt in den 10 Minuten dazu? - Rechne die Litermenge in Kubikmeter um, um sie besser mit den Maßen des Tanks vergleichen zu können. - Überlege, wie die Grundfläche des Tanks mit dem Volumen und der Höhe zusammenhängt. - Was bedeutet „zur Hälfte gefüllt“ für die Starthöhe des Wassers?

1. Berechnung der Grundfläche des Tanks: \(A = 2\,\text{m} \cdot 1{,}5\,\text{m} = 3\,\text{m}^2\). 2. Berechnung des hinzugefügten Volumens: \(V_{\text{zu}} = 10\,\text{min} \cdot 150\,\text{l}/\text{min} = 1500\,\text{l}\). 3. Umrechnung des Volumens in \(\text{m}^3\): \(1500\,\text{l} = 1{,}5\,\text{m}^3\). 4. Berechnung des Höhenzuwachses: \(h_{\text{zu}} = V_{\text{zu}} : A = 1{,}5\,\text{m}^3 : 3\,\text{m}^2 = 0{,}5\,\text{m}\). In Zentimetern: \(0{,}5\,\text{m} = 50\,\text{cm}\). 5. Berechnung der Gesamthöhe: Die Anfangshöhe war die Hälfte der Gesamthöhe, also \(2\,\text{m} : 2 = 1\,\text{m}\). Gesamthöhe = \(1\,\text{m} + 0{,}5\,\text{m} = 1{,}5\,\text{m}\).

a) Der Wasserspiegel ist um \(50\,\text{cm}\) gestiegen. b) Das Wasser steht insgesamt \(1{,}5\,\text{m}\) hoch im Tank.

- Rechne die Maße am besten zuerst in Dezimeter um, da \(1\,\text{l}\) einem Kubikdezimeter entspricht. - Wie berechnet man die gesamte Außenfläche eines Quaders? - Gibt es einen Unterschied zwischen dem Platzbedarf (Volumen) und dem Materialbedarf (Oberfläche)? - Denke bei der letzten Teilaufgabe an den Verwendungszweck eines Aquariums.

1. Umrechnung der Maße in Dezimeter (dm) für einfachere Rechnung: Aquarium A: \(6\,\text{dm}, 3\,\text{dm}, 4\,\text{dm}\). Aquarium B: \(12\,\text{dm}, 2\,\text{dm}, 3\,\text{dm}\). 2. Berechnung der Oberfläche für Aquarium A: \(O_A = 2 \cdot (6 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + 6 \cdot 4) = 2 \cdot (18 + 12 + 24) = 2 \cdot 54 = 108\,\text{dm}^2\). 3. Berechnung der Oberfläche für Aquarium B: \(O_B = 2 \cdot (12 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 12 \cdot 3) = 2 \cdot (24 + 6 + 36) = 2 \cdot 66 = 132\,\text{dm}^2\). 4. Vergleich: Aquarium B benötigt mit \(132\,\text{dm}^2\) mehr Glas als Aquarium A mit \(108\,\text{dm}^2\). 5. Mögliche Gründe für Aquarium B: Mehr Schwimmstrecke für Fische, passt besser auf schmale Regale, optische Gründe (Panoramablick).

a) Oberfläche A: \(108\,\text{dm}^2\); Oberfläche B: \(132\,\text{dm}^2\). b) Aquarium B benötigt mehr Glas. c) Ein möglicher Grund für Aquarium B ist die größere Länge, die Fischen mehr Platz zum Schwimmen in einer Richtung bietet, oder die geringere Tiefe, wodurch es auf schmalere Möbel passt.

- Stelle sicher, dass du alle Maße in die kleinste vorkommende Einheit umrechnest, bevor du rechnest. - Ein Draht kann mathematisch als ein sehr langer, dünner Quader betrachtet werden. - Wie viele Millimeter sind ein Zentimeter? Wie verändert sich dieser Faktor bei Flächen- und Volumeneinheiten? - Überlege am Ende gut, wie man Millimeter in Meter umrechnet.

1. Berechnung des Volumens des Kupferblocks: \(V = 12\,\text{cm} \cdot 10\,\text{cm} \cdot 6\,\text{cm} = 720\,\text{cm}^3\). 2. Umrechnung des Volumens in Kubikmillimeter: \(720\,\text{cm}^3 = 720\,000\,\text{mm}^3\). 3. Berechnung der Querschnittsfläche des Drahtes: \(A = 2\,\text{mm} \cdot 2\,\text{mm} = 4\,\text{mm}^2\). 4. Berechnung der Länge \(l\) des Drahtes in mm: \(l = V : A = 720\,000\,\text{mm}^3 : 4\,\text{mm}^2 = 180\,000\,\text{mm}\). 5. Umrechnung der Länge in Meter: \(180\,000\,\text{mm} = 18\,000\,\text{cm} = 180\,\text{m}\).

Der Draht wird eine Länge von \(180\,\text{m}\) haben.

- Welche Glasflächen des Aquariums kommen mit dem Wasser in Berührung? - Ist die Oberseite des Wassers eine Glasfläche? - Welche Höhe musst du für die Berechnung der Seitenwände verwenden: die Höhe des Aquariums oder die Höhe des Wassers? - Skizziere dir das Aquarium und markiere die Flächen, die unter Wasser liegen.

1. Identifikation der benetzten Flächen: Der Boden und die vier Seitenwände bis zur Wasserhöhe. 2. Fläche des Bodens: \(60\,\text{cm} \cdot 30\,\text{cm} = 1800\,\text{cm}^2\). 3. Fläche der beiden langen Seitenwände (bis zur Wasserhöhe): \(2 \cdot (60\,\text{cm} \cdot 20\,\text{cm}) = 2400\,\text{cm}^2\). 4. Fläche der beiden kurzen Seitenwände (bis zur Wasserhöhe): \(2 \cdot (30\,\text{cm} \cdot 20\,\text{cm}) = 1200\,\text{cm}^2\). 5. Summe der benetzten Flächen: \(1800\,\text{cm}^2 + 2400\,\text{cm}^2 + 1200\,\text{cm}^2 = 5400\,\text{cm}^2\).

Die mit Wasser bedeckte Glasfläche beträgt \(5400\,\text{cm}^2\).

- Woraus setzt sich die Oberfläche eines Quaders zusammen? - Kannst du die Flächen berechnen, von denen du bereits beide Seitenlängen kennst? - Wie viel vom Oberflächeninhalt bleibt übrig, wenn du diese bekannten Teilflächen abziehst? - Wie oft kommt die gesuchte Breite in den restlichen Teilflächen vor?

1. Berechnung der Flächeninhalte der beiden Seitenflächen mit bekannten Maßen (\(6\,\text{cm}\) und \(10\,\text{cm}\)): \(2 \cdot (6\,\text{cm} \cdot 10\,\text{cm}) = 120\,\text{cm}^2\). 2. Subtraktion dieser Flächen vom Gesamtoberflächeninhalt: \(280\,\text{cm}^2 - 120\,\text{cm}^2 = 160\,\text{cm}^2\). Dieser Rest verteilt sich auf die zwei Grundflächen und die zwei noch unbekannten Seitenflächen. 3. Aufstellen eines Terms für die verbleibenden Flächen mit der unbekannten Breite \(b\): \(2 \cdot (6\,\text{cm} \cdot b) + 2 \cdot (10\,\text{cm} \cdot b) = 12b + 20b = 32b\). 4. Gleichsetzen und Lösen nach \(b\): \(32 \cdot b = 160\,\text{cm}^2\). 5. Division durch 32 ergibt die Breite: \(b = 160 : 32 = 5\,\text{cm}\).

Die Breite des Kartons beträgt \(5\,\text{cm}\).

- Erinnere dich an die Formel für die Oberfläche eines Quaders: Sie besteht aus sechs Rechtecken. - Was passiert an der Stelle, an der der Block durchgeschnitten wird? Entstehen dort neue Flächen? - Skizziere dir den Schnitt, um die Maße der kleineren Quader besser zu erkennen.

1. Oberfläche des ursprünglichen Quaders: \(O = 2 \cdot (10\,\text{cm} \cdot 8\,\text{cm} + 10\,\text{cm} \cdot 6\,\text{cm} + 8\,\text{cm} \cdot 6\,\text{cm}) = 2 \cdot (80 + 60 + 48) = 2 \cdot 188 = 376\,\text{cm}^2\). 2. Maße der neuen Teilquader: Länge \(10\,\text{cm}\), Breite \(8\,\text{cm}\), Höhe \(3\,\text{cm}\). 3. Oberfläche eines Teilquaders: \(O_{Teil} = 2 \cdot (10 \cdot 8 + 10 \cdot 3 + 8 \cdot 3) = 2 \cdot (80 + 30 + 24) = 2 \cdot 134 = 268\,\text{cm}^2\). 4. Summe der Oberflächen beider Teilquader: \(2 \cdot 268\,\text{cm}^2 = 536\,\text{cm}^2\). Alternative: Durch den Schnitt entstehen zwei neue Flächen der Größe \(10\,\text{cm} \cdot 8\,\text{cm} = 80\,\text{cm}^2\). Die Gesamtoberfläche erhöht sich also um \(2 \cdot 80\,\text{cm}^2 = 160\,\text{cm}^2\). \(376 + 160 = 536\,\text{cm}^2\).

a) Die Oberfläche beträgt \(376\,\text{cm}^2\). b) Die Summe der Oberflächen beträgt \(536\,\text{cm}^2\).

- Was bleibt gleich, wenn das Wasser umgefüllt wird? - Berechne zuerst, wie viel Wasser insgesamt vorhanden ist. - Wie berechnet man die Höhe, wenn das Volumen und die Grundfläche bekannt sind? - Überlege, ob die Form des Gefäßes Einfluss auf die Wassermenge hat.

1. Berechnung des Volumens des vollen Würfels: \(40\,\text{cm} \cdot 40\,\text{cm} \cdot 40\,\text{cm} = 64\,000\,\text{cm}^3\). 2. Berechnung der Grundfläche des quaderförmigen Beckens: \(50\,\text{cm} \cdot 32\,\text{cm} = 1600\,\text{cm}^2\). 3. Ermittlung der neuen Füllhöhe durch Division des übertragenen Wasservolumens durch die neue Grundfläche: \(64\,000\,\text{cm}^3 : 1600\,\text{cm}^2 = 40\,\text{cm}\).

Das Wasser steht im zweiten Becken \(40\,\text{cm}\) hoch.