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- Das Gesamtvolumen eines zusammengesetzten Körpers ist die Summe der Volumina seiner Einzelteile. - Berechne zuerst das Volumen des großen unteren Quaders. - Berechne dann das Volumen des kleineren Quaders, der obenauf sitzt.

1. Volumen des unteren Quaders berechnen: \(V_1 = abc = 4\,\text{cm} \cdot 2\,\text{cm} \cdot 1\,\text{cm} = 8\,\text{cm}^3\). 2. Volumen des oberen Quaders berechnen: \(V_2 = abc = 2\,\text{cm} \cdot 2\,\text{cm} \cdot 1\,\text{cm} = 4\,\text{cm}^3\). 3. Gesamtvolumen durch Addition bestimmen: \(V_{\text{ges}} = V_1 + V_2 = 8\,\text{cm}^3 + 4\,\text{cm}^3 = 12\,\text{cm}^3\).

Der Baustein hat ein Volumen von \(12\,\text{cm}^3\).

- Bestimme zuerst die Gesamtzahl der Würfel in den verschiedenen Türmen. - Berechne das Volumen eines Würfels mit der Kantenlänge \(2\,\text{cm}\). - Multipliziere das Einzelvolumen mit der Anzahl der Würfel.

Der mittlere Turm enthält \(3\) Würfel. An den vier Ecken stehen zusammen \(4 \cdot 2 = 8\) Würfel, dazwischen weitere \(4 \cdot 1 = 4\) Würfel. Insgesamt sind es \(3 + 8 + 4 = 15\) Würfel. Ein Würfel hat das Volumen \(2\,\text{cm} \cdot 2\,\text{cm} \cdot 2\,\text{cm} = 8\,\text{cm}^3\). Daher beträgt das Gesamtvolumen \(15 \cdot 8\,\text{cm}^3 = 120\,\text{cm}^3\).

Das Gesamtvolumen beträgt \(120\,\text{cm}^3\).

- Addiere die Stapelhöhen im Bauplan. - Berechne das Volumen eines Würfels mit \(V = a \cdot a \cdot a\). - Multipliziere das Volumen eines Würfels mit der Gesamtzahl der Würfel.

1. Wir addieren die Stapelhöhen in den Reihen des Bauplans: - Vordere Reihe: \(2 + 1 = 3\) Würfel. - Mittlere Reihe: \(2 + 2 = 4\) Würfel. - Hintere Reihe: \(1 + 2 = 3\) Würfel. Insgesamt sind es \(3 + 4 + 3 = 10\) Würfel. 2. Das Volumen eines Würfels mit der Kantenlänge \(a = 5\,\text{cm}\) beträgt \(V_{\text{Einzel}} = 5\,\text{cm} \cdot 5\,\text{cm} \cdot 5\,\text{cm} = 125\,\text{cm}^3\). 3. Das Gesamtvolumen beträgt \(V_{\text{Gesamt}} = 10 \cdot 125\,\text{cm}^3 = 1250\,\text{cm}^3\).

1. Es wurden \(10\) kleine Würfel verbaut. 2. Ein Würfel hat ein Volumen von \(125\,\text{cm}^3\). 3. Das Gesamtvolumen beträgt \(1250\,\text{cm}^3\).

- Was bedeuten die Zahlen in den quadratischen Feldern des Bauplans für die Struktur? - Überlege, wie du durch einfaches Addieren die Gesamtanzahl der Würfel herausfindest. - Welchen Rechenschritt benötigst du, um vom Volumen eines Würfels zum Volumen des ganzen Objekts zu kommen? - Überprüfe deine Rechnung für das Volumen eines einzelnen Würfels: \(a \cdot a \cdot a\).

1. Bestimmung der Gesamtanzahl der Würfel durch Summation aller Werte im Bauplan: \(1 + 2 + 1 + 0 + 1 + 0 + 2 + 1 + 2 = 10\) Würfel. 2. Berechnung des Volumens eines Einzelwürfels mit \(a = 4\,\text{cm}\): \(V_{\text{Einzel}} = 4\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm} = 64\,\text{cm}^3\). 3. Berechnung des Gesamtvolumens: \(V_{\text{Gesamt}} = 10 \cdot 64\,\text{cm}^3 = 640\,\text{cm}^3\).

1. Es wurden insgesamt \(10\) Würfel verwendet. 2. Ein Würfel hat ein Volumen von \(64\,\text{cm}^3\). 3. Das Gesamtvolumen beträgt \(640\,\text{cm}^3\).

- Lies die Turmhöhen im Bauplan reihenweise ab. - Addiere alle Turmhöhen. - Berechne das Volumen eines Würfels und multipliziere es mit der Würfelzahl.

1. Wir addieren die Turmhöhen in jeder Reihe: - Vordere Reihe: \(1 + 1 + 1 = 3\) Würfel. - Mittlere Reihe: \(1 + 2 + 2 = 5\) Würfel. - Hintere Reihe: \(1 + 2 + 3 = 6\) Würfel. Insgesamt sind es \(3 + 5 + 6 = 14\) Würfel. 2. Das Volumen eines Würfels mit der Kantenlänge \(a = 2\,\text{cm}\) beträgt \(V_{\text{Einzel}} = 2\,\text{cm} \cdot 2\,\text{cm} \cdot 2\,\text{cm} = 8\,\text{cm}^3\). 3. Das Gesamtvolumen beträgt \(V_{\text{Gesamt}} = 14 \cdot 8\,\text{cm}^3 = 112\,\text{cm}^3\).

1. Das Bauwerk besteht aus \(14\) kleinen Würfeln. 2. Ein kleiner Würfel hat ein Volumen von \(8\,\text{cm}^3\). 3. Das Gesamtvolumen beträgt \(112\,\text{cm}^3\).

- Überlege dir, wie viele Würfel in jedem Turm stehen. - Du kannst das Gebäude auch in Schichten (unten und oben) zerlegen und diese getrennt zählen. - Vergiss nicht, die passende Einheit für das Volumen anzugeben.

1. Vorne stehen \(2 + 0 + 2 = 4\), in der Mitte \(2 + 0 + 2 = 4\) und hinten \(2 + 2 + 2 = 6\) Würfel. 2. Insgesamt sind es \(4 + 4 + 6 = 14\) Würfel. 3. Jeder Würfel hat das Volumen \(1\,\text{m} \cdot 1\,\text{m} \cdot 1\,\text{m} = 1\,\text{m}^3\). Das Gesamtvolumen beträgt \(14 \cdot 1\,\text{m}^3 = 14\,\text{m}^3\).

Das Volumen der Skulptur beträgt \(14\,\text{m}^3\).

- Zähle die Würfel in jedem Turm des Gebäudes einzeln zusammen. - Achte darauf, dass das Gebäude aus zwei Reihen besteht. - Überlege dir am Ende, wie viele Kubikmeter ein Würfel wert ist.

1. Vordere Reihe: \(3 + 1 + 3 = 7\) Würfel. 2. Hintere Reihe: \(3 + 1 + 3 = 7\) Würfel. 3. Insgesamt sind es \(7 + 7 = 14\) Einheitswürfel. 4. Ein Einheitswürfel entspricht \(1\,\text{m}^3\). Das Gesamtvolumen beträgt daher \(14 \cdot 1\,\text{m}^3 = 14\,\text{m}^3\).

Das Gebäude hat ein Gesamtvolumen von \(14\,\text{m}^3\).

- Überlege dir, wie man das Volumen eines einzelnen Quaders berechnet. - Kannst du die Treppe in drei einzelne Quader zerlegen? - Welche Maße haben diese drei Quader? - Addiere die Volumina der Einzelteile.

1. Das Gesamtvolumen setzt sich aus den drei einzelnen Quadern zusammen. 2. Volumen der ersten Stufe: \(V_1 = 10 \cdot 30 \cdot 10 = 3000\,\text{cm}^3\). 3. Volumen der zweiten Stufe: \(V_2 = 10 \cdot 30 \cdot 20 = 6000\,\text{cm}^3\). 4. Volumen der dritten Stufe: \(V_3 = 10 \cdot 30 \cdot 30 = 9000\,\text{cm}^3\). 5. Gesamtvolumen: \(V = 3000 + 6000 + 9000 = 18\,000\,\text{cm}^3\).

Die Treppe hat ein Gesamtvolumen von \(18\,000\,\text{cm}^3\).

- Zerlege den Körper in zwei bekannte Grundkörper. - Wie berechnet man das Volumen eines Würfels? - Wie berechnet man das Volumen eines Quaders? - Addiere die Ergebnisse.

1. Volumen des würfelförmigen Sockels: \(V_{\text{Sockel}} = 10^3 = 1000\,\text{cm}^3\). 2. Volumen des quaderförmigen Griffs: \(V_{\text{Griff}} = 4 \cdot 4 \cdot 12 = 192\,\text{cm}^3\). 3. Das Gesamtvolumen ist die Summe der Teilvolumina: \(V = 1000 + 192 = 1192\,\text{cm}^3\).

Das Volumen des Briefbeschwerers beträgt \(1192\,\text{cm}^3\).

- Zerlege die Figur gedanklich in zwei Quader. - Berechne das Volumen jedes Quaders einzeln.

1. Volumen des unteren Quaders: \(V_1 = 8\,\text{cm} \cdot 3\,\text{cm} \cdot 2\,\text{cm} = 48\,\text{cm}^3\). 2. Volumen des oberen Quaders: \(V_2 = 2\,\text{cm} \cdot 3\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm} = 24\,\text{cm}^3\). 3. Gesamtvolumen: \(V = V_1 + V_2 = 48\,\text{cm}^3 + 24\,\text{cm}^3 = 72\,\text{cm}^3\).

Das Volumen beträgt \(72\,\text{cm}^3\).

- Zerlege den zusammengesetzten Körper in einfachere Teilquader. - Achte darauf, dass du keine Teilbereiche doppelt zählst oder vergisst. - Bestimme zuerst die fehlenden Kantenlängen der Teilquader aus den Gesamtmaßen.

1. Zerlegung des Körpers in drei Quader: - Ein Bodenquader mit den Maßen \(5\,\text{cm} \times 3\,\text{cm} \times 1\,\text{cm}\). - Zwei Seitenwände mit den Maßen jeweils \(1\,\text{cm} \times 3\,\text{cm} \times 3\,\text{cm}\) (da die Gesamthöhe \(4\,\text{cm}\) ist und der Boden \(1\,\text{cm}\) dick ist). 2. Berechnung der Teilvolumina: - \(V_{\text{Boden}} = 5 \cdot 3 \cdot 1 = 15\,\text{cm}^3\) - \(V_{\text{Wand}} = 1 \cdot 3 \cdot 3 = 9\,\text{cm}^3\) 3. Gesamtvolumen: \(V_{\text{ges}} = 15\,\text{cm}^3 + 2 \cdot 9\,\text{cm}^3 = 33\,\text{cm}^3\).

Das Volumen des Werkstücks beträgt \(33\,\text{cm}^3\).

- Stell dir vor, der Träger bestünde aus zwei getrennten Balken. - Achte darauf, dass die Tiefe für beide Teile gleich ist. - Addiere die Volumina der beiden Teile am Ende.

1. Berechnung des Volumens des waagerechten Balkens: \(V_{\text{Balken}} = 60\,\text{cm} \cdot 20\,\text{cm} \cdot 20\,\text{cm} = 24\,000\,\text{cm}^3\) 2. Berechnung des Volumens des Stützfußes: \(V_{\text{Fuß}} = 20\,\text{cm} \cdot 30\,\text{cm} \cdot 20\,\text{cm} = 12\,000\,\text{cm}^3\) 3. Addition der Teilvolumina: \(V_{\text{gesamt}} = 24\,000\,\text{cm}^3 + 12\,000\,\text{cm}^3 = 36\,000\,\text{cm}^3\)

Das Volumen des T-Trägers beträgt \(36\,000\,\text{cm}^3\).

- Kannst du den Körper in zwei einfachere Formen zerlegen? - Berechne die Volumina der einzelnen Teile getrennt. - Addiere die Teilvolumina am Ende.

1. Aufteilung des Körpers in zwei Teilquader \(Q_1\) und \(Q_2\). 2. Volumen von \(Q_1\): \(V_1 = 6\,\text{cm} \cdot 3\,\text{cm} \cdot 2\,\text{cm} = 36\,\text{cm}^3\) 3. Volumen von \(Q_2\): \(V_2 = 2\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm} \cdot 2\,\text{cm} = 16\,\text{cm}^3\) 4. Gesamtvolumen: \(V_{\text{ges}} = V_1 + V_2 = 36\,\text{cm}^3 + 16\,\text{cm}^3 = 52\,\text{cm}^3\)

Das Gesamtvolumen des Körpers beträgt \(52\,\text{cm}^3\).

- Zerlege den zusammengesetzten Körper in einfache Teilkörper. - Berechne die Volumina der einzelnen Quader und addiere sie am Ende. - Denke an die Umrechnung von Kubikzentimetern in Kubikdezimeter bzw. Liter.

1. Berechnung des Volumens des unteren Quaders: \(V_1 = 60\,\text{cm} \cdot 40\,\text{cm} \cdot 15\,\text{cm} = 36\,000\,\text{cm}^3\) 2. Berechnung des Volumens des oberen Quaders: \(V_2 = 30\,\text{cm} \cdot 40\,\text{cm} \cdot 15\,\text{cm} = 18\,000\,\text{cm}^3\) 3. Addition der Teilvolumina: \(V_{\text{ges}} = 36\,000\,\text{cm}^3 + 18\,000\,\text{cm}^3 = 54\,000\,\text{cm}^3\) 4. Umrechnung in Liter: \(54\,000\,\text{cm}^3 = 54\,\text{dm}^3 = 54\,\text{l}\)

Das Gesamtvolumen des Betonelements beträgt \(54\,\text{l}\).

- Zerlege den Körper in einfache Grundkörper, deren Volumen du leicht berechnen kannst. - Berechne die Volumina der beiden Quader einzeln. - Addiere am Ende die Ergebnisse.

1. Berechnung des Volumens des unteren Quaders: \(V_1 = 6\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm} \cdot 2\,\text{cm} = 48\,\text{cm}^3\). 2. Berechnung des Volumens des oberen Quaders: \(V_2 = 3\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm} \cdot 2\,\text{cm} = 24\,\text{cm}^3\). 3. Addition der Teilvolumina zum Gesamtvolumen: \(V = V_1 + V_2 = 48\,\text{cm}^3 + 24\,\text{cm}^3 = 72\,\text{cm}^3\).

Das Volumen des Körpers beträgt \(72\,\text{cm}^3\).

- Kannst du den Körper in einfachere Teile zerlegen? - Überlege, ob es einfacher ist, Teilvolumina zu addieren oder ein Stück von einem größeren Ganzen abzuziehen. - Achte darauf, welche Maße für die einzelnen Teilstücke gelten.

Das Bauteil kann in drei Teilquader zerlegt werden (z. B. zwei seitliche Säulen und ein Mittelstück): 1. Volumen der linken Säule: \(V_1 = 10\,\text{cm} \cdot 15\,\text{cm} \cdot 20\,\text{cm} = 3000\,\text{cm}^3\). 2. Volumen des Mittelstücks: \(V_2 = 12\,\text{cm} \cdot 15\,\text{cm} \cdot 12\,\text{cm} = 2160\,\text{cm}^3\). 3. Volumen der rechten Säule: \(V_3 = 10\,\text{cm} \cdot 15\,\text{cm} \cdot 20\,\text{cm} = 3000\,\text{cm}^3\). Gesamtvolumen: \(V = V_1 + V_2 + V_3 = 3000\,\text{cm}^3 + 2160\,\text{cm}^3 + 3000\,\text{cm}^3 = 8160\,\text{cm}^3\). Alternativer Weg durch Subtraktion: Ein großer Quader mit den Maßen \(32\,\text{cm} \times 15\,\text{cm} \times 20\,\text{cm}\) hat ein Volumen von \(9600\,\text{cm}^3\). Davon wird die Ausklinkung mit \(12\,\text{cm} \times 15\,\text{cm} \times 8\,\text{cm} = 1440\,\text{cm}^3\) abgezogen. \(V = 9600\,\text{cm}^3 - 1440\,\text{cm}^3 = 8160\,\text{cm}^3\).

Das Volumen des Bauteils beträgt \(8160\,\text{cm}^3\).

- Berechne zuerst das Volumen jedes einzelnen Quaders. - Wie lautet die Formel für das Volumen eines Quaders? - Addiere am Ende alle Teilergebnisse.

Das Gesamtvolumen ergibt sich aus der Summe der Volumina der drei Einzelquader: 1. Quader a: \(V_a = 8\,\text{cm} \cdot 6\,\text{cm} \cdot 10\,\text{cm} = 480\,\text{cm}^3\). 2. Quader b: \(V_b = 5\,\text{cm} \cdot 6\,\text{cm} \cdot 15\,\text{cm} = 450\,\text{cm}^3\). 3. Quader c: \(V_c = 8\,\text{cm} \cdot 6\,\text{cm} \cdot 10\,\text{cm} = 480\,\text{cm}^3\). Gesamtvolumen: \(V = 480\,\text{cm}^3 + 450\,\text{cm}^3 + 480\,\text{cm}^3 = 1410\,\text{cm}^3\).

Das Gesamtvolumen beträgt \(1410\,\text{cm}^3\).

- Um was für eine geometrische Form handelt es sich bei diesem Körper? - Wie berechnet man allgemein das Volumen eines Prismas? - Bestimme zuerst die Fläche der vorderen (trapezförmigen) Seite und multipliziere sie dann mit der Tiefe des Körpers.

1. Den Körper als Prisma mit trapezförmiger Grundfläche identifizieren. 2. Maße des Trapezes bestimmen: Grundseite \(a = 1 + 4 + 3 = 8\text{ cm}\), parallele Oberseite \(c = 4\text{ cm}\), Höhe \(h = 6\text{ cm}\). 3. Flächeninhalt der Grundfläche (Trapez) berechnen: \(G = \frac{a+c}{2} \cdot h = \frac{8+4}{2} \cdot 6 = 36 \text{ cm}^2\). 4. Volumen mit der Tiefe des Prismas (\(2 \text{ cm}\)) berechnen: \(V = G \cdot \text{Tiefe} = 36 \cdot 2 = 72 \text{ cm}^3\).

\(72 \text{ cm}^3\)

- Aus welchen Teilflächen setzt sich die gesamte Oberfläche der Pyramide zusammen? - Wie berechnet man die Fläche eines Quadrats und die Fläche eines Dreiecks? - Achte in der Zeichnung darauf, welche Maße gegeben sind (Grundseite und Höhe der Seitenfläche).

1. Flächeninhalt der quadratischen Grundfläche berechnen: \(G = a^2 = 5 \cdot 5 = 25 \text{ cm}^2\). 2. Mantelfläche berechnen, bestehend aus 4 kongruenten Dreiecken mit Grundseite \(a=5\) und Höhe \(h_s=8\): \(M = 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_s = 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 8 = 80 \text{ cm}^2\). 3. Gesamtoberfläche summieren: \(O = G + M = 25 + 80 = 105 \text{ cm}^2\).

\(105 \text{ cm}^2\)

- Wenn du die Gesamtfläche durch die Anzahl der Würfelseiten teilst, erhältst du den Flächeninhalt eines einzelnen Quadrats. - Überlege dir für den Turm, wie viele der ursprünglichen Würfelseiten nach dem Stapeln noch von außen sichtbar sind. - Das Volumen verändert sich beim Zusammenstellen von Körpern einfach durch Addition.

1. Aus dem Oberflächeninhalt \(O = 6a^2 = 150\,\text{cm}^2\) folgt für eine Seitenfläche \(a^2 = 150\,\text{cm}^2 : 6 = 25\,\text{cm}^2\). Die Kantenlänge ist somit \(a = 5\,\text{cm}\). 2. Das Volumen eines Würfels ist \(V = a^3 = (5\,\text{cm})^3 = 125\,\text{cm}^3\). 3. Das Volumen des Turms aus 4 Würfeln ist die vierfache Menge: \(V_{\text{Turm}} = 4 \cdot 125\,\text{cm}^3 = 500\,\text{cm}^3\). 4. Der Turm hat eine Grundfläche von \(25\,\text{cm}^2\), eine Deckfläche von \(25\,\text{cm}^2\) und vier Seitenflächen, die jeweils aus 4 Quadraten bestehen. Jede dieser Seitenflächen hat den Inhalt \(4 \cdot 25\,\text{cm}^2 = 100\,\text{cm}^2\). Gesamtoberfläche: \(O_{\text{Turm}} = 2 \cdot 25\,\text{cm}^2 + 4 \cdot 100\,\text{cm}^2 = 50\,\text{cm}^2 + 400\,\text{cm}^2 = 450\,\text{cm}^2\). Alternativ: 4 Würfel haben \(4 \cdot 6 = 24\) Außenflächen. Beim Stapeln entstehen 3 Kontaktstellen, an denen jeweils 2 Flächen „verschwinden“: \(24 - (3 \cdot 2) = 18\) Flächen bleiben sichtbar. \(18 \cdot 25\,\text{cm}^2 = 450\,\text{cm}^2\).

a) Die Kantenlänge beträgt \(5\,\text{cm}\), das Volumen beträgt \(125\,\text{cm}^3\). b) Der Turm hat ein Volumen von \(500\,\text{cm}^3\) und einen Oberflächeninhalt von \(450\,\text{cm}^2\).

- Kannst du die L-förmige Vorderseite in zwei einfachere Rechtecke zerlegen? - Wie berechnet man das Volumen eines Prismas, wenn man die Grundfläche und die Länge kennt? - Aus welchen einzelnen Begrenzungsflächen setzt sich die gesamte Oberfläche des Körpers zusammen? - Hilft es dir, den Umfang der Vorderseite zu bestimmen, um die Mantelfläche schneller zu berechnen? - Überprüfe am Ende noch einmal, ob du alle Flächen der Oberfläche berücksichtigt hast.

1. Berechnung der Grundfläche \(G\) (L-förmiges Profil): Die Vorderfläche lässt sich in zwei Rechtecke zerlegen: - Linkes Rechteck: \(3\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm} = 12\,\text{cm}^2\) - Rechtes Rechteck (Stufe): \(3\,\text{cm} \cdot 2\,\text{cm} = 6\,\text{cm}^2\) - Gesamtfläche: \(G = 12\,\text{cm}^2 + 6\,\text{cm}^2 = 18\,\text{cm}^2\) 2. Berechnung des Volumens \(V\): \(V = Gl = 18\,\text{cm}^2 \cdot 5\,\text{cm} = 90\,\text{cm}^3\) 3. Berechnung des Oberflächeninhalts \(O\): Der Umfang \(U\) der Profilfläche beträgt: \(U = 4\,\text{cm} + 3\,\text{cm} + 2\,\text{cm} + 3\,\text{cm} + 2\,\text{cm} + 6\,\text{cm} = 20\,\text{cm}\) Die Mantelfläche beträgt: \(M = Ul = 20\,\text{cm} \cdot 5\,\text{cm} = 100\,\text{cm}^2\) Der gesamte Oberflächeninhalt beträgt: \(O = 2G + M = 2 \cdot 18\,\text{cm}^2 + 100\,\text{cm}^2 = 136\,\text{cm}^2\)

a) \(V = 90\,\text{cm}^3\) b) \(O = 136\,\text{cm}^2\)

- Kannst du die L-förmige Vorderseite in einfache, dir bekannte geometrische Formen zerlegen? - Aus welchen einzelnen Teilflächen setzt sich die gesamte Oberfläche dieses Körpers zusammen? - Wie viele Begrenzungsflächen hat dieser Körper insgesamt? - Kann dir die Berechnung des Umfangs der Vorderseite dabei helfen, die Mantelfläche schneller zu bestimmen? - Überlege, welche Seitenlängen die einzelnen Teilflächen haben, wenn du sie einzeln berechnest.

1. Berechnung der Grundfläche \(A_{\text{G}}\) der L-förmigen Vorderseite durch Zerlegung in zwei Rechtecke: Ein unteres Rechteck mit \(5\,\text{cm} \cdot 2\,\text{cm} = 10\,\text{cm}^2\) und ein oberes Rechteck mit \(2\,\text{cm} \cdot (6 - 2)\,\text{cm} = 8\,\text{cm}^2\). Das ergibt eine Grundfläche von \(A_{\text{G}} = 10\,\text{cm}^2 + 8\,\text{cm}^2 = 18\,\text{cm}^2\). 2. Bestimmung des Umfangs \(U\) der Vorderseite durch Addition aller sechs Begrenzungslinien: \(U = 5\,\text{cm} + 2\,\text{cm} + (5 - 2)\,\text{cm} + (6 - 2)\,\text{cm} + 2\,\text{cm} + 6\,\text{cm} = 22\,\text{cm}\). 3. Berechnung der Mantelfläche \(M\) als Produkt aus Umfang und Länge des Bausteins: \(M = 22\,\text{cm} \cdot 10\,\text{cm} = 220\,\text{cm}^2\). 4. Berechnung der gesamten Oberfläche \(O\): \(O = 2A_{\text{G}} + M = 2 \cdot 18\,\text{cm}^2 + 220\,\text{cm}^2 = 256\,\text{cm}^2\).

Der Oberflächeninhalt des Holzbausteins beträgt \(256\,\text{cm}^2\).

- Kannst du die L-förmige Vorderseite in einfachere Formen wie Rechtecke zerlegen? - Berechne zuerst den Flächeninhalt dieser L-förmigen Vorderseite (Grundfläche). - Achte darauf, wie lang die einzelnen Abschnitte nach der Zerlegung sind. - Multipliziere die berechnete Grundfläche mit der Tiefe des Körpers, um das Gesamtvolumen zu erhalten.

1. Zerlege die L-förmige Grundfläche in zwei Rechtecke: - Vertikale Zerlegung: Ein linkes Rechteck mit der Breite \(3\,\text{cm}\) und der Höhe \(5\,\text{cm}\): \(A_1 = 3\,\text{cm} \cdot 5\,\text{cm} = 15\,\text{cm}^2\). Ein rechtes Rechteck mit der Breite \(8\,\text{cm} - 3\,\text{cm} = 5\,\text{cm}\) und der Höhe \(2\,\text{cm}\): \(A_2 = 5\,\text{cm} \cdot 2\,\text{cm} = 10\,\text{cm}^2\). Gesamtfläche der Grundfläche: \(A_g = A_1 + A_2 = 15\,\text{cm}^2 + 10\,\text{cm}^2 = 25\,\text{cm}^2\). - Horizontale Zerlegung: Ein unteres Rechteck mit der Breite \(8\,\text{cm}\) und der Höhe \(2\,\text{cm}\): \(A_1 = 8\,\text{cm} \cdot 2\,\text{cm} = 16\,\text{cm}^2\). Ein oberes linkes Rechteck mit der Breite \(3\,\text{cm}\) und der Höhe \(5\,\text{cm} - 2\,\text{cm} = 3\,\text{cm}\): \(A_2 = 3\,\text{cm} \cdot 3\,\text{cm} = 9\,\text{cm}^2\). Gesamtfläche der Grundfläche: \(A_g = A_1 + A_2 = 16\,\text{cm}^2 + 9\,\text{cm}^2 = 25\,\text{cm}^2\). 2. Berechne das Volumen des zusammengesetzten Körpers, indem du die Grundfläche mit der Tiefe des Körpers multiplizierst: \(V = A_g \cdot \text{Tiefe} = 25\,\text{cm}^2 \cdot 4\,\text{cm} = 100\,\text{cm}^3\).

Das Gesamtvolumen des Körpers beträgt \(100\,\text{cm}^3\).

- Stell dir vor, du zerlegst die vordere L-förmige Fläche in zwei einfache Rechtecke. - Welche Maße haben diese beiden Teilrechtecke? - Wie berechnet man das Volumen eines Prismas, wenn man die Grundfläche und die Länge kennt? - Denke daran, am Ende das Ergebnis von Kubikzentimetern in Kubikdezimeter umzurechnen. Wie lautet hierfür die Umrechnungszahl?

1. Zerlegung des L-Profils der Vorderseite (Grundfläche) in zwei Teilrechtecke: - Ein stehendes Rechteck mit den Maßen \(20\,\text{cm} \times 60\,\text{cm}\). Seine Fläche beträgt \(A_1 = 20\,\text{cm} \cdot 60\,\text{cm} = 1200\,\text{cm}^2\). - Ein liegendes Rechteck mit den Maßen \(30\,\text{cm} \times 15\,\text{cm}\) (Breite berechnet aus \(50\,\text{cm} - 20\,\text{cm} = 30\,\text{cm}\)). Seine Fläche beträgt \(A_2 = 30\,\text{cm} \cdot 15\,\text{cm} = 450\,\text{cm}^2\). 2. Berechnung der gesamten Querschnittsfläche (Grundfläche \(G\)): \(G = A_1 + A_2 = 1200\,\text{cm}^2 + 450\,\text{cm}^2 = 1650\,\text{cm}^2\). 3. Berechnung des Volumens in Kubikzentimetern (\(\text{cm}^3\)) mit der Länge \(l = 40\,\text{cm}\): \(V = G \cdot l = 1650\,\text{cm}^2 \cdot 40\,\text{cm} = 66\,000\,\text{cm}^3\). 4. Umrechnung des Volumens in Kubikdezimeter (\(\text{dm}^3\)): Da \(1000\,\text{cm}^3 = 1\,\text{dm}^3\) gilt, ist \(V = 66\,000 : 1000 = 66\,\text{dm}^3\). Alternativer Weg (Maße vorab in Dezimeter umrechnen): - Stehendes Rechteck: \(2\,\text{dm} \times 6\,\text{dm} \rightarrow A_1 = 12\,\text{dm}^2\) - Liegendes Rechteck: \(3\,\text{dm} \times 1{,}5\,\text{dm} \rightarrow A_2 = 4{,}5\,\text{dm}^2\) - Grundfläche \(G = 12\,\text{dm}^2 + 4{,}5\,\text{dm}^2 = 16{,}5\,\text{dm}^2\) - Länge \(l = 4\,\text{dm}\) - Volumen \(V = 16{,}5\,\text{dm}^2 \cdot 4\,\text{dm} = 66\,\text{dm}^3\).

Das Volumen des L-Steins beträgt \(66\,\text{dm}^3\).

- Wie kannst du das Gesamtvolumen aus den Volumen der drei einzelnen Quader zusammensetzen? - Betrachte für den Oberflächeninhalt die Treppe aus verschiedenen Perspektiven (von vorne, von der Seite, von oben und unten). - Welche Flächen liegen aufeinander und sind daher nicht Teil der äußeren Oberfläche? - Kannst du die Oberfläche berechnen, indem du die Oberflächen der einzelnen Quader addierst und die sich berührenden Flächen abziehst?

1. Berechne das Gesamtvolumen \(V\) als Summe der drei einzelnen Quader: - Unterste Stufe: \(V_1 = 30\,\text{cm} \cdot 10\,\text{cm} \cdot 10\,\text{cm} = 3000\,\text{cm}^3\) - Mittlere Stufe: \(V_2 = 20\,\text{cm} \cdot 10\,\text{cm} \cdot 10\,\text{cm} = 2000\,\text{cm}^3\) - Oberste Stufe: \(V_3 = 10\,\text{cm} \cdot 10\,\text{cm} \cdot 10\,\text{cm} = 1000\,\text{cm}^3\) - Gesamtvolumen: \(V = 3000\,\text{cm}^3 + 2000\,\text{cm}^3 + 1000\,\text{cm}^3 = 6000\,\text{cm}^3\) 2. Berechne den Oberflächeninhalt \(O\) durch Zusammenzählen der sichtbaren Außenflächen aus den verschiedenen Ansichten: - Vorder- und Rückseite: Je \((30 \cdot 10) + (20 \cdot 10) + (10 \cdot 10) = 600\,\text{cm}^2\), zusammen \(1200\,\text{cm}^2\) - Senkrechte Stirn- und Setzflächen: \((30 \cdot 10) + 3 \cdot (10 \cdot 10) = 600\,\text{cm}^2\) - Bodenfläche: \(30\,\text{cm} \cdot 10\,\text{cm} = 300\,\text{cm}^2\) - Oberseite (Stufen-Trittflächen): Die Summe der horizontalen Stufenflächen entspricht genau der Bodenfläche: \(300\,\text{cm}^2\) - Gesamter Oberflächeninhalt: \(O = 1200\,\text{cm}^2 + 600\,\text{cm}^2 + 300\,\text{cm}^2 + 300\,\text{cm}^2 = 2400\,\text{cm}^2\)

Das Gesamtvolumen der Holztreppe beträgt \(6000\,\text{cm}^3\) und ihr Oberflächeninhalt beträgt \(2400\,\text{cm}^2\).

- Stell dir vor, du zerlegst die Treppe in einzelne, einfache Quader. Welche Möglichkeiten gibt es dafür? - Du kannst die Treppe entweder in waagerechte Schichten oder in senkrechte Säulen aufteilen. - Berechne das Volumen jedes einzelnen Quaders. - Addiere die Teilvolumina, um das Gesamtvolumen zu erhalten. - Überlege, wie viele Liter in einen Kubikdezimeter passen.

1. Aufteilung in drei horizontale Quader-Schichten: - Untere Schicht: Länge \(9\,\text{dm}\), Breite \(10\,\text{dm}\), Höhe \(2\,\text{dm}\). Volumen: \(V_1 = 9\,\text{dm} \cdot 10\,\text{dm} \cdot 2\,\text{dm} = 180\,\text{dm}^3\). - Mittlere Schicht: Länge \(6\,\text{dm}\), Breite \(10\,\text{dm}\), Höhe \(2\,\text{dm}\). Volumen: \(V_2 = 6\,\text{dm} \cdot 10\,\text{dm} \cdot 2\,\text{dm} = 120\,\text{dm}^3\). - Obere Schicht: Länge \(3\,\text{dm}\), Breite \(10\,\text{dm}\), Höhe \(2\,\text{dm}\). Volumen: \(V_3 = 3\,\text{dm} \cdot 10\,\text{dm} \cdot 2\,\text{dm} = 60\,\text{dm}^3\). - Gesamtvolumen: \(V = V_1 + V_2 + V_3 = 180\,\text{dm}^3 + 120\,\text{dm}^3 + 60\,\text{dm}^3 = 360\,\text{dm}^3\). 2. Alternativ: Aufteilung in drei vertikale Quader-Säulen: - Vordere Stufe: Tiefe \(3\,\text{dm}\), Breite \(10\,\text{dm}\), Höhe \(2\,\text{dm}\). Volumen: \(V_{\text{vorne}} = 3\,\text{dm} \cdot 10\,\text{dm} \cdot 2\,\text{dm} = 60\,\text{dm}^3\). - Mittlere Stufe: Tiefe \(3\,\text{dm}\), Breite \(10\,\text{dm}\), Höhe \(4\,\text{dm}\). Volumen: \(V_{\text{mitte}} = 3\,\text{dm} \cdot 10\,\text{dm} \cdot 4\,\text{dm} = 120\,\text{dm}^3\). - Hintere Stufe: Tiefe \(3\,\text{dm}\), Breite \(10\,\text{dm}\), Höhe \(6\,\text{dm}\). Volumen: \(V_{\text{hinten}} = 3\,\text{dm} \cdot 10\,\text{dm} \cdot 6\,\text{dm} = 180\,\text{dm}^3\). - Gesamtvolumen: \(V = 60\,\text{dm}^3 + 120\,\text{dm}^3 + 180\,\text{dm}^3 = 360\,\text{dm}^3\). Da \(1\,\text{dm}^3 = 1\,\text{l}\) ist, werden \(360\,\text{l}\) Beton benötigt.

Das Volumen der Treppe beträgt \(360\,\text{dm}^3\). Es werden \(360\,\text{l}\) Beton benötigt.

- Zähle die Würfel Reihe für Reihe von hinten nach vorne oder Schicht für Schicht. - Berechne zuerst das Volumen eines einzigen kleinen Würfels mit der Kantenlänge \(5\,\text{cm}\). - Multipliziere das Volumen eines Würfels mit der Gesamtanzahl der Würfel. - Wie lautet der Umrechnungsfaktor von Kubikzentimetern (\(\text{cm}^3\)) in Kubikdezimeter (\(\text{dm}^3\))? Denke an die dreidimensionale Einheit!

1. Bestimme die Anzahl der Würfel durch systematisches Zählen von hinten nach vorne: - Hintere Reihe: \(2 + 2 + 2 = 6\) Würfel - Mittlere Reihe: \(1 + 0 + 1 = 2\) Würfel - Vordere Reihe: \(1 + 0 + 1 = 2\) Würfel - Insgesamt: \(6 + 2 + 2 = 10\) Würfel. 2. Berechne das Volumen eines einzelnen Würfels: - \(V_{\text{Würfel}} = 5\,\text{cm} \cdot 5\,\text{cm} \cdot 5\,\text{cm} = 125\,\text{cm}^3\). 3. Berechne das Gesamtvolumen des zusammengesetzten Körpers in Kubikzentimetern: - \(V_{\text{gesamt}} = 10 \cdot 125\,\text{cm}^3 = 1250\,\text{cm}^3\). 4. Rechne das Gesamtvolumen in Kubikdezimeter um: - Da \(1\,\text{dm}^3 = 1000\,\text{cm}^3\) ist, gilt: - \(1250\,\text{cm}^3 : 1000 = 1{,}25\,\text{dm}^3\).

a) Das Würfelgebäude besteht aus \(10\) einzelnen Würfeln. b) Das Gesamtvolumen beträgt \(1250\,\text{cm}^3\). c) In Kubikdezimetern ausgedrückt beträgt das Gesamtvolumen \(1{,}25\,\text{dm}^3\).

- Zähle die Würfel sorgfältig Reihe für Reihe durch. - Denke daran, dass das Volumen eines Würfels mit der Kantenlänge \(2\,\text{cm}\) nicht einfach \(2\,\text{cm}^3\) ist. - Multipliziere die Kantenlängen des Zielquaders, um die Gesamtzahl der benötigten Würfel zu finden.

1. Anzahl der vorhandenen Würfel: Von vorne nach hinten betrachtet haben die Reihen \(1\), \(1\), \(2\) und \(5\) Würfel (\(1 + 0 + 0\); \(1 + 0 + 0\); \(1 + 1 + 0\); \(2 + 2 + 1\)). Das sind insgesamt \(1 + 1 + 2 + 5 = 9\) Würfel. 2. Volumen eines Würfels: \(V_{\text{Würfel}} = (2\,\text{cm})^3 = 8\,\text{cm}^3\). 3. Volumen des Körpers: \(9 \cdot 8\,\text{cm}^3 = 72\,\text{cm}^3\). 4. Würfel im Zielquader: \(4 \cdot 3 \cdot 2 = 24\) Würfel. 5. Fehlende Würfel: \(24 - 9 = 15\) Würfel.

a) Das Volumen des Körpers beträgt \(72\,\text{cm}^3\). b) Es fehlen noch \(15\) Würfel.

- An jeder Grundposition muss die Gesamthöhe \(2\) entstehen. - Stehen in Teil A bereits \(2\) Würfel, benötigt das Ergänzungsteil dort \(0\) Würfel. - Stehen in Teil A \(0\) Würfel, muss das Ergänzungsteil dort die Höhe \(2\) haben. - Addiere die Höhen an jeder Position.

1. Im vollständigen \(2 \times 2 \times 2\)-Würfel muss jede der vier Grundpositionen die Gesamthöhe \(2\) haben. 2. Bauteil A hat vorne die Höhen \((2, 1)\) und hinten \((1, 0)\). Die Ergänzung benötigt daher vorne \((0, 1)\) und hinten \((1, 2)\). 3. Teil B hat genau diese beiden Reihen. Teil C und Teil D weichen davon ab.

Teil B passt exakt zu Bauteil A.

- Achte darauf, dass alle Längenangaben in derselben Einheit vorliegen, bevor du rechnest. - Überlege dir, wie viele Flächen der beiden einzelnen Quader nach dem Zusammenfügen noch von außen sichtbar sind. - Welche Fläche wird durch das Aufeinandersetzen der Quader „verdeckt“? - Du kannst auch die Flächeninhalte aller von außen sichtbaren Teilflächen einzeln berechnen und addieren.

1. Umrechnen aller Maße in die Einheit Zentimeter: Der untere Quader hat die Maße \(6\,\text{cm} \times 3\,\text{cm} \times 2\,\text{cm}\). Der obere Quader hat die Maße \(2\,\text{cm} \times 3\,\text{cm} \times 4\,\text{cm}\). 2. Berechnung der Oberfläche des unteren Quaders: \(O_1 = 2 \cdot (6 \cdot 3 + 6 \cdot 2 + 3 \cdot 2) = 2 \cdot (18 + 12 + 6) = 72\,\text{cm}^2\). 3. Berechnung der Oberfläche des oberen Quaders: \(O_2 = 2 \cdot (2 \cdot 3 + 2 \cdot 4 + 3 \cdot 4) = 2 \cdot (6 + 8 + 12) = 52\,\text{cm}^2\). 4. Bestimmung der Kontaktfläche, an der die beiden Quader zusammengefügt sind: \(A_K = 2\,\text{cm} \cdot 3\,\text{cm} = 6\,\text{cm}^2\). 5. Da die Kontaktfläche bei beiden Quadern von der Außenfläche abgezogen werden muss, ergibt sich die Gesamtoberfläche zu: \(O_{\text{ges}} = O_1 + O_2 - 2A_K = 72\,\text{cm}^2 + 52\,\text{cm}^2 - 12\,\text{cm}^2 = 112\,\text{cm}^2\).

Der gesamte Oberflächeninhalt des Bausteins beträgt \(112\,\text{cm}^2\).

- Überlege dir, wie groß der Körper war, bevor das Stück entfernt wurde. - Wie viel Material wurde genau weggenommen? - Hilft es dir, den Körper in mehrere einfache Quader zu zerlegen oder das Fehlstück abzuziehen?

1. Berechnung des Volumens des ursprünglichen großen Würfels: \(V_{\text{groß}} = a^3 = (6\,\text{cm})^3 = 216\,\text{cm}^3\). 2. Berechnung des Volumens des herausgeschnittenen kleinen Würfels: \(V_{\text{klein}} = b^3 = (2\,\text{cm})^3 = 8\,\text{cm}^3\). 3. Subtraktion der Volumina zur Bestimmung des Restkörpers: \(V_{\text{Rest}} = V_{\text{groß}} - V_{\text{klein}} = 216\,\text{cm}^3 - 8\,\text{cm}^3 = 208\,\text{cm}^3\).

Das Volumen des restlichen Körpers beträgt \(208\,\text{cm}^3\).

- Aus welchen Teilkörpern besteht das Objekt? - Wie berechnet man die Oberfläche eines einzelnen Quaders? - Was passiert mit den Flächen an der Stelle, an der sich die beiden Quader berühren? - Zähle alle Außenflächen einzeln zusammen oder ziehe die verdeckten Flächen von der Summe der Einzeloberflächen ab.

1. Berechnung der Oberfläche des unteren Quaders (\(40 \times 20 \times 10\)): \(O_1 = 2 \cdot (40 \cdot 20 + 40 \cdot 10 + 20 \cdot 10) = 2 \cdot (800 + 400 + 200) = 2800\,\text{cm}^2\). 2. Berechnung der Oberfläche des oberen Quaders (\(40 \times 5 \times 15\)): \(O_2 = 2 \cdot (40 \cdot 5 + 40 \cdot 15 + 5 \cdot 15) = 2 \cdot (200 + 600 + 75) = 1750\,\text{cm}^2\). 3. Bestimmung der Kontaktfläche zwischen beiden Quadern: \(A_{\text{Kontakt}} = 40 \cdot 5 = 200\,\text{cm}^2\). 4. Die Gesamtoberfläche ergibt sich aus der Summe der Einzeloberflächen abzüglich der zweifachen Kontaktfläche (da diese im Inneren liegt): \(O_{\text{Gesamt}} = 2800 + 1750 - 2 \cdot 200 = 4150\,\text{cm}^2\).

Der gesamte Oberflächeninhalt des Kunstobjekts beträgt \(4150\,\text{cm}^2\).

- Überlege dir, aus welchen einzelnen Rechtecken die Oberfläche besteht. - Du kannst die Oberfläche in Boden, Rückseite, Seitenwände und die eigentlichen Stufen (Tritt- und Setzflächen) unterteilen. - Achte darauf, dass es zwei identische Seitenwände gibt. - Hilft es dir, das Objekt gedanklich in zwei Quader zu zerlegen?

1. Berechnung der Grundfläche (unten): \(40\,\text{cm} \cdot 30\,\text{cm} = 1200\,\text{cm}^2\) 2. Berechnung der Rückwand: \(30\,\text{cm} \cdot 30\,\text{cm} = 900\,\text{cm}^2\) 3. Berechnung der beiden Seitenwände (L-Form): \(2 \cdot (40\,\text{cm} \cdot 15\,\text{cm} + 20\,\text{cm} \cdot 15\,\text{cm}) = 2 \cdot (600\,\text{cm}^2 + 300\,\text{cm}^2) = 1800\,\text{cm}^2\) 4. Berechnung der beiden horizontalen Trittflächen: \(2 \cdot (20\,\text{cm} \cdot 30\,\text{cm}) = 1200\,\text{cm}^2\) 5. Berechnung der beiden vertikalen Setzstufen (vorne): \(2 \cdot (15\,\text{cm} \cdot 30\,\text{cm}) = 900\,\text{cm}^2\) 6. Addition aller Teilflächen zum Oberflächeninhalt \(O\): \(1200 + 900 + 1800 + 1200 + 900 = 6000\,\text{cm}^2\)

Der Oberflächeninhalt des Werkstücks beträgt \(6000\,\text{cm}^2\).

- Bestimme zuerst den Flächeninhalt der Vorderseite (Querschnitt). - Du kannst den Querschnitt berechnen, indem du von einem großen Rechteck ein kleineres Rechteck (die Rinne) abziehst. - Wie berechnet man das Volumen eines Prismas, wenn die Grundfläche und die Länge bekannt sind?

1. Berechnung der Querschnittsfläche ohne Rinne (großes Rechteck): \(15\,\text{mm} \cdot 10\,\text{mm} = 150\,\text{mm}^2\) 2. Berechnung der Fläche der Rinne, die entfernt wurde: \(5\,\text{mm} \cdot 6\,\text{mm} = 30\,\text{mm}^2\) 3. Berechnung der tatsächlichen Querschnittsfläche \(G\): \(150\,\text{mm}^2 - 30\,\text{mm}^2 = 120\,\text{mm}^2\) 4. Berechnung des Volumens \(V\) mit der Länge \(l = 25\,\text{mm}\): \(V = G \cdot l = 120\,\text{mm}^2 \cdot 25\,\text{mm} = 3000\,\text{mm}^3\)

Das Volumen des Bauteils beträgt \(3000\,\text{mm}^3\).

- Kannst du den ersten Körper in einfache Teilkörper zerlegen, deren Volumen du leicht berechnen kannst? - Welche Maße haben die einzelnen Teile des ersten Körpers? - Vergleiche die Summe der Teilvolumina mit dem Volumen des zweiten Körpers.

1. Der zusammengesetzte Körper a) besteht aus zwei Teilquadern: - Ein unterer Quader mit den Maßen \(6\,\text{cm} \times 4\,\text{cm} \times 2\,\text{cm}\). Sein Volumen ist \(V_1 = 6 \cdot 4 \cdot 2 = 48\,\text{cm}^3\). - Ein aufgesetzter Quader mit den Maßen \(2\,\text{cm} \times 4\,\text{cm} \times 4\,\text{cm}\). Sein Volumen ist \(V_2 = 2 \cdot 4 \cdot 4 = 32\,\text{cm}^3\). - Das Gesamtvolumen beträgt \(V_a = 48\,\text{cm}^3 + 32\,\text{cm}^3 = 80\,\text{cm}^3\). 2. Der Quader b) hat die Maße \(10\,\text{cm} \times 4\,\text{cm} \times 2\,\text{cm}\). - Sein Volumen beträgt \(V_b = 10 \cdot 4 \cdot 2 = 80\,\text{cm}^3\). Beide Körper haben das gleiche Volumen von \(80\,\text{cm}^3\).

Ja, beide Körper haben das gleiche Volumen von \(80\,\text{cm}^3\).

- Überlege dir, wie man das Volumen eines einzelnen Quaders berechnet. - Zerlege die zusammengesetzten Körper in einfachere Teilkörper. - Berechne die Volumina der Teilkörper getrennt und addiere sie anschließend. - Vergleiche am Ende die Endergebnisse für A, B und C.

1. Berechnung des Volumens von Körper A (Quader): \(V_A = 10\,\text{cm} \cdot 2\,\text{cm} \cdot 6\,\text{cm} = 120\,\text{cm}^3\) 2. Berechnung des Volumens von Körper B (zusammengesetzt): Volumen des unteren Quaders: \(V_{B1} = 8\,\text{cm} \cdot 5\,\text{cm} \cdot 2\,\text{cm} = 80\,\text{cm}^3\) Volumen des oberen Quaders: \(V_{B2} = 4\,\text{cm} \cdot 5\,\text{cm} \cdot 2\,\text{cm} = 40\,\text{cm}^3\) Gesamtvolumen: \(V_B = 80\,\text{cm}^3 + 40\,\text{cm}^3 = 120\,\text{cm}^3\) 3. Berechnung des Volumens von Körper C (zusammengesetzt): Volumen des unteren Quaders: \(V_{C1} = 12\,\text{cm} \cdot 2\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm} = 96\,\text{cm}^3\) Volumen des oberen Quaders: \(V_{C2} = 4\,\text{cm} \cdot 2\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm} = 32\,\text{cm}^3\) Gesamtvolumen: \(V_C = 96\,\text{cm}^3 + 32\,\text{cm}^3 = 128\,\text{cm}^3\) Ergebnis: Die Körper A und B füllen einen gleich großen Raum aus, da beide ein Volumen von \(120\,\text{cm}^3\) besitzen.

Die Körper A und B haben das gleiche Volumen von jeweils \(120\,\text{cm}^3\). Körper C hat ein Volumen von \(128\,\text{cm}^3\).

- Überlege dir, aus welchen Teilflächen die gesamte Oberfläche besteht. - Du kannst die Grundfläche als ein großes Rechteck betrachten, von dem ein Teil fehlt. - Der Mantel eines Prismas lässt sich berechnen, indem man den Umfang der Grundfläche mit der Körperhöhe (hier die Tiefe) multipliziert. - Achte darauf, keine der inneren oder äußeren Seitenflächen zu vergessen.

1. Zerlegung der Grundfläche \(G\) in Teilrechtecke oder Subtraktion: Die Grundfläche besteht aus einem großen Rechteck der Maße \(6\,\text{cm} \times 6\,\text{cm}\), aus dem ein kleineres Rechteck der Maße \(4\,\text{cm} \times 2\,\text{cm}\) ausgeschnitten wurde. Somit gilt \(G = 6 \cdot 6 - 4 \cdot 2 = 28\,\text{cm}^2\). 2. Bestimmung des Umfangs \(U\) der Grundfläche: \(U = 6 + 6 + 6 + 2 + 4 + 2 + 4 + 2 = 32\,\text{cm}\). 3. Berechnung des Oberflächeninhalts \(O\) mit der Formel für Prismen \(O = 2G + M\), wobei die Mantelfläche \(M = UL\) ist: \(O = 2 \cdot 28\,\text{cm}^2 + 32\,\text{cm} \cdot 10\,\text{cm} = 56\,\text{cm}^2 + 320\,\text{cm}^2 = 376\,\text{cm}^2\).

Der Oberflächeninhalt des Werkstücks beträgt \(376\,\text{cm}^2\).

- Zerlege den Körper gedanklich in einfache Quader oder betrachte die einzelnen Außenflächen. - Wie viele Flächen zeigen nach oben, nach vorne, zur Seite usw.? - Die Vorderansicht (das Profil) kommt zweimal vor. - Überlege dir zuerst die Maße einer einzelnen Stufe.

1. Berechnung der Maße einer Stufe: Jede der 3 Stufen ist \(12 : 3 = 4\,\text{cm}\) hoch und \(12 : 3 = 4\,\text{cm}\) tief. 2. Berechnung der beiden Seitenflächen mit Treppenprofil: Die Fläche einer Seite setzt sich aus drei Rechtecken zusammen: \(4 \cdot 12 + 4 \cdot 8 + 4 \cdot 4 = 48 + 32 + 16 = 96\,\text{cm}^2\). Da es zwei solche Seitenflächen gibt, ist die Gesamtfläche hier \(2 \cdot 96 = 192\,\text{cm}^2\). 3. Berechnung der restlichen Flächen: - Bodenfläche: \(12 \cdot 5 = 60\,\text{cm}^2\) - senkrechte Rückfläche: \(12 \cdot 5 = 60\,\text{cm}^2\) - Summe der 3 Trittflächen (oben): \(3 \cdot (4 \cdot 5) = 60\,\text{cm}^2\) - Summe der 3 Setzflächen: \(3 \cdot (4 \cdot 5) = 60\,\text{cm}^2\) 4. Gesamte Oberfläche: \(O = 192 + 60 + 60 + 60 + 60 = 192 + 240 = 432\,\text{cm}^2\).

Der Oberflächeninhalt des Treppenelements beträgt \(432\,\text{cm}^2\).

- Kannst du die Figur in zwei einfachere Rechtecke zerlegen? - Überlege, wie du fehlende Seitenlängen aus den gegebenen Maßen berechnen kannst. - Wie berechnet man das Volumen eines Körpers, wenn die Grundfläche und die Höhe bekannt sind? - Achte beim Rechnen mit den Kosten auf die Einheiten.

1. Den Grundriss in zwei Rechtecke zerlegen: Ein großes Rechteck mit \(15\,\text{m} \cdot 10\,\text{m} = 150\,\text{m}^2\) und ein kleineres mit \(7\,\text{m} \cdot 8\,\text{m} = 56\,\text{m}^2\). 2. Gesamten Flächeninhalt addieren: \(150\,\text{m}^2 + 56\,\text{m}^2 = 206\,\text{m}^2\). 3. Volumen des Hauses berechnen: \(V = 206\,\text{m}^2 \cdot 2{,}8\,\text{m} = 576{,}8\,\text{m}^3\). 4. Gesamtkosten berechnen: \(576{,}8\,\text{m}^3 \cdot 310\,\text{€}/\text{m}^3 = 178\,808\,\text{€}\).

a) Der Flächeninhalt beträgt \(206\,\text{m}^2\). b) Das Volumen des Hauses beträgt \(576{,}8\,\text{m}^3\). c) Die voraussichtlichen Gesamtkosten belaufen sich auf \(178\,808\,\text{€}\).

- Teile die Fläche in zwei Rechtecke auf, um den Inhalt leichter zu berechnen. - Denk daran, dass das Volumen das Produkt aus Grundfläche und Tiefe ist. - Zum Schluss multiplizierst du das Volumen mit dem Preis pro Kubikmeter.

1. Zerlegung der Oberfläche in zwei Rechtecke: \(10\,\text{m} \cdot 4\,\text{m} = 40\,\text{m}^2\) und \(6\,\text{m} \cdot 4\,\text{m} = 24\,\text{m}^2\). 2. Gesamtfläche: \(40\,\text{m}^2 + 24\,\text{m}^2 = 64\,\text{m}^2\). 3. Volumen berechnen: \(V = 64\,\text{m}^2 \cdot 1{,}4\,\text{m} = 89{,}6\,\text{m}^3\). 4. Kosten berechnen: \(89{,}6\,\text{m}^3 \cdot 2{,}50\,\text{€}/\text{m}^3 = 224\,\text{€}\).

a) Der Flächeninhalt der Wasseroberfläche beträgt \(64\,\text{m}^2\). b) Das Becken hat ein Volumen von \(89{,}6\,\text{m}^3\). c) Die Kosten für die Befüllung betragen \(224\,\text{€}\).

- Du kannst die Fläche berechnen, indem du von einem großen Rechteck die kleineren Lücken abziehst. - Alternativ kannst du die Figur in mehrere Teilrechtecke zerlegen und diese addieren. - Das Volumen ergibt sich aus der Grundfläche multipliziert mit der Höhe.

1. Die Halle kann als ein großes Rechteck (\(25\,\text{m} \cdot 12\,\text{m}\)) betrachtet werden, von dem zwei kleine Rechtecke (\(4\,\text{m} \cdot 3\,\text{m}\)) abgezogen werden. 2. Fläche des großen Rechtecks: \(25 \cdot 12 = 300\,\text{m}^2\). 3. Fläche der Aussparungen: \(2 \cdot (4 \cdot 3) = 24\,\text{m}^2\). 4. Grundfläche der Halle: \(300\,\text{m}^2 - 24\,\text{m}^2 = 276\,\text{m}^2\). 5. Volumen berechnen: \(V = 276\,\text{m}^2 \cdot 7\,\text{m} = 1932\,\text{m}^3\).

a) Der Flächeninhalt der Halle beträgt \(276\,\text{m}^2\). b) Das Volumen beträgt \(1932\,\text{m}^3\).

- Wie groß wäre die Fläche, wenn die Lücke in der Mitte gefüllt wäre? - Ziehe die Fläche des inneren, nicht mit Wasser gefüllten Teils ab. - Multipliziere die Grundfläche mit der Tiefe.

1. Flächeninhalt durch Abziehen berechnen: Äußeres Rechteck (\(8\,\text{m} \cdot 6\,\text{m} = 48\,\text{m}^2\)) minus inneres Rechteck (\(6\,\text{m} \cdot 4\,\text{m} = 24\,\text{m}^2\)). 2. \(A = 48 - 24 = 24\,\text{m}^2\). 3. Volumen berechnen: \(V = 24\,\text{m}^2 \cdot 1{,}2\,\text{m} = 28{,}8\,\text{m}^3\).

a) Die Wasseroberfläche beträgt \(24\,\text{m}^2\). b) Das Wasservolumen beträgt \(28{,}8\,\text{m}^3\).

- Überlege dir zuerst, welche Form die Vorderseite des Körpers hat. - Wie berechnet man den Flächeninhalt dieser Vorderseite? Du kannst sie in ein Rechteck und zwei Dreiecke zerlegen. - Wenn du die Fläche der Vorderseite kennst, wie kommst du dann auf das gesamte Volumen?

1. Berechnung der Querschnittsfläche (Trapez): \(A = \frac{a + c}{2} \cdot h = \frac{8{,}0\,\text{dm} + 4{,}0\,\text{dm}}{2} \cdot 3{,}0\,\text{dm} = 6{,}0\,\text{dm} \cdot 3{,}0\,\text{dm} = 18{,}0\,\text{dm}^2\). 2. Berechnung des Volumens: \(V = A \cdot l = 18{,}0\,\text{dm}^2 \cdot 20{,}0\,\text{dm} = 360{,}0\,\text{dm}^3\).

Das Volumen des Bauteils beträgt \(360{,}0\,\text{dm}^3\).

- Zerlege den Körper in einen Quader und ein Prisma mit dreieckiger Grundfläche. - Wie hoch ist das Dach allein über den Seitenwänden? - Addiere die Volumina der beiden Teilkörper.

1. Querschnittsfläche berechnen: unterer Teil (Rechteck) \(3{,}0\,\text{m} \cdot 2{,}5\,\text{m} = 7{,}5\,\text{m}^2\); oberer Teil (Dreieck) \(\frac{1}{2} \cdot 3{,}0\,\text{m} \cdot (3{,}5\,\text{m} - 2{,}5\,\text{m}) = 1{,}5\,\text{m}^2\). 2. Gesamtfläche der Vorderseite: \(A = 7{,}5\,\text{m}^2 + 1{,}5\,\text{m}^2 = 9{,}0\,\text{m}^2\). 3. Volumen: \(V = 9{,}0\,\text{m}^2 \cdot 4{,}0\,\text{m} = 36{,}0\,\text{m}^3\).

Das Luftvolumen im Haus beträgt \(36{,}0\,\text{m}^3\).

- Die Grundfläche ist hier ein Trapez mit einem rechten Winkel an einer Seite. - Du kannst das Trapez in ein Rechteck und ein Dreieck zerlegen, um die Fläche zu berechnen. - Multipliziere das Ergebnis mit der Tiefe des Keils.

1. Berechnung der Grundfläche (Trapez): \(A = \frac{3{,}5\,\text{cm} + 5{,}5\,\text{cm}}{2} \cdot 4{,}0\,\text{cm} = 4{,}5\,\text{cm} \cdot 4{,}0\,\text{cm} = 18{,}0\,\text{cm}^2\). 2. Berechnung des Volumens: \(V = A \cdot l = 18{,}0\,\text{cm}^2 \cdot 8{,}0\,\text{cm} = 144{,}0\,\text{cm}^3\).

Das Volumen des Keils beträgt \(144{,}0\,\text{cm}^3\).

- Überlege dir, aus welchen einzelnen Rechtecken die Oberfläche des Sitzmöbels besteht. - Vergiss nicht die Flächen, die man in der Schrägansicht nicht direkt sieht, wie die Unterseite oder die Rückseite. - Du kannst die Oberfläche auch berechnen, indem du die Oberflächen der beiden Teilquader addierst und die Kontaktfläche doppelt abziehst.

1. Bestimmung der Teilflächen der Oberfläche: - Grundfläche (unten): \(4\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm} = 16\,\text{cm}^2\). - Deckflächen (oben): Sitzfläche \((4 - 1)\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm} = 12\,\text{cm}^2\) und Oberkante der Lehne \(1\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm} = 4\,\text{cm}^2\). Zusammen: \(16\,\text{cm}^2\). - Rückwand (hinten): \(4\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm} = 16\,\text{cm}^2\). - Vorderflächen: Unterer Teil \(4\,\text{cm} \cdot 2\,\text{cm} = 8\,\text{cm}^2\); Vorderseite der Lehne \(4\,\text{cm} \cdot 2\,\text{cm} = 8\,\text{cm}^2\). Zusammen: \(16\,\text{cm}^2\). - Seitenflächen (links und rechts): Jeweils eine L-Form mit der Fläche \(4\,\text{cm} \cdot 2\,\text{cm} + 1\,\text{cm} \cdot 2\,\text{cm} = 10\,\text{cm}^2\). Zusammen für beide Seiten: \(20\,\text{cm}^2\). 2. Berechnung der Gesamtoberfläche: \(O = 16 + 16 + 16 + 16 + 20 = 84\,\text{cm}^2\). 3. Berechnung der Kosten: \(84\,\text{cm}^2 \cdot \frac{0{,}05\,\text{€}}{\text{cm}^2} = 4{,}20\,\text{€}\).

Die Gesamtkosten für den Anstrich betragen \(4{,}20\,\text{€}\).

- Achte darauf, zuerst alle Längenangaben in die gleiche Einheit umzurechnen. - Du kannst den Körper entweder in zwei Teile schneiden oder dir vorstellen, er wäre ein ganzer Block, aus dem eine Ecke fehlt. - Um das Gewicht zu finden, multipliziere das Volumen mit der Dichte.

1. Umrechnung aller Maße in \(\text{dm}\): - Grundplatte: \(5\,\text{dm} \times 3\,\text{dm} \times 1\,\text{dm}\) - Vertikaler Schenkel: \(2\,\text{dm} \times 3\,\text{dm} \times 2\,\text{dm}\) 2. Volumenberechnung (Weg 1: Zerlegen): \(V_1 = 5 \cdot 3 \cdot 1 = 15\,\text{dm}^3\) \(V_2 = 2 \cdot 3 \cdot 2 = 12\,\text{dm}^3\) \(V = 15 + 12 = 27\,\text{dm}^3\) 3. Volumenberechnung (Weg 2: Ergänzen): Gesamtquader: \(5 \cdot 3 \cdot 3 = 45\,\text{dm}^3\) Fehlendes Stück: \(3 \cdot 3 \cdot 2 = 18\,\text{dm}^3\) \(V = 45 - 18 = 27\,\text{dm}^3\) 4. Massenberechnung: \(m = V \cdot \text{Dichte} = 27\,\text{dm}^3 \cdot 2{,}5\,\frac{\text{kg}}{\text{dm}^3} = 67{,}5\,\text{kg}\)

a) Das Volumen beträgt \(27\,\text{dm}^3\). b) Das Bauteil wiegt \(67{,}5\,\text{kg}\).

- Stell dir den Rahmen als einen großen vollen Block vor, aus dem in der Mitte ein kleinerer Block herausgestanzt wurde. - Achte auf die unterschiedlichen Einheiten (cm, mm, dm) und bringe sie in eine gemeinsame Form. - Wie berechnet man die Masse, wenn man das Volumen und das Gewicht pro \(1\,\text{dm}^3\) kennt?

1. Umrechnung der Maße in Dezimeter: - Außen: \(3\,\text{dm} \times 3\,\text{dm} \times 1\,\text{dm}\) - Innen: \(1\,\text{dm} \times 1\,\text{dm} \times 1\,\text{dm}\) 2. Berechnung der Volumina: - \(V_{\text{außen}} = 3\,\text{dm} \cdot 3\,\text{dm} \cdot 1\,\text{dm} = 9\,\text{dm}^3\) - \(V_{\text{innen}} = 1\,\text{dm} \cdot 1\,\text{dm} \cdot 1\,\text{dm} = 1\,\text{dm}^3\) 3. Berechnung des Rahmensvolumens: \(V = V_{\text{außen}} - V_{\text{innen}} = 9\,\text{dm}^3 - 1\,\text{dm}^3 = 8\,\text{dm}^3\) 4. Berechnung der Masse: \(m = 8\,\text{dm}^3 \cdot 7{,}8\,\frac{\text{kg}}{\text{dm}^3} = 62{,}4\,\text{kg}\)

a) Das Volumen des Rahmens beträgt \(8\,\text{dm}^3\). b) Die Masse des Rahmens beträgt \(62{,}4\,\text{kg}\).

- Kannst du den Körper in zwei einfache Quader aufteilen? - Überlege dir, wie groß ein großer Klotz wäre, aus dem man ein Stück herausschneidet, um diese Form zu erhalten. - Achte auf die Einheiten: Wie viele Kubikzentimeter ergeben einen Liter?

1. Berechnung durch Zerlegung in zwei Teilquader: - Volumen der Grundplatte: \(V_1 = 80\,\text{cm} \cdot 40\,\text{cm} \cdot 20\,\text{cm} = 64\,000\,\text{cm}^3\) - Volumen des stehenden Quaders: \(V_2 = 20\,\text{cm} \cdot 40\,\text{cm} \cdot 40\,\text{cm} = 32\,000\,\text{cm}^3\) - Gesamtvolumen: \(V_{\text{ges}} = 64\,000\,\text{cm}^3 + 32\,000\,\text{cm}^3 = 96\,000\,\text{cm}^3\) 2. Berechnung durch Ergänzung zu einem großen Quader: - Volumen des umschließenden Quaders (\(80\,\text{cm} \times 40\,\text{cm} \times 60\,\text{cm}\)): \(V_{\text{groß}} = 192\,000\,\text{cm}^3\) - Volumen des fehlenden Ausschnitts (\(60\,\text{cm} \times 40\,\text{cm} \times 40\,\text{cm}\)): \(V_{\text{aus}} = 96\,000\,\text{cm}^3\) - Gesamtvolumen: \(V_{\text{ges}} = 192\,000\,\text{cm}^3 - 96\,000\,\text{cm}^3 = 96\,000\,\text{cm}^3\) 3. Umrechnung in Liter: \(96\,000\,\text{cm}^3 = 96\,\text{dm}^3 = 96\,\text{l}\).

Das Volumen des Betonsteins beträgt \(96\,\text{l}\).

- Wie tief ist die gesamte Treppe, wenn jede der drei Stufen \(25\,\text{cm}\) tief ist? - Du kannst die Treppe entweder in waagerechte Schichten oder in senkrechte Blöcke zerlegen. - Denke an die Umrechnungszahl bei Raumeinheiten (\(1000\)).

1. Zerlegung der Treppe in drei Quader (waagerechte Schichten): - Unterste Schicht (ganze Tiefe): \(V_1 = 80\,\text{cm} \cdot 75\,\text{cm} \cdot 20\,\text{cm} = 120\,000\,\text{cm}^3\) - Mittlere Schicht: \(V_2 = 80\,\text{cm} \cdot 50\,\text{cm} \cdot 20\,\text{cm} = 80\,000\,\text{cm}^3\) - Oberste Schicht: \(V_3 = 80\,\text{cm} \cdot 25\,\text{cm} \cdot 20\,\text{cm} = 40\,000\,\text{cm}^3\) 2. Summe der Teilvolumina: \(V_{\text{ges}} = 120\,000 + 80\,000 + 40\,000 = 240\,000\,\text{cm}^3\). 3. Umrechnung in Kubikmeter: \(240\,000\,\text{cm}^3 = 240\,\text{dm}^3 = 0{,}24\,\text{m}^3\).

Das Volumen der Treppe beträgt \(0{,}24\,\text{m}^3\).

- Kannst du das Volumen berechnen, indem du den Körper in einfache Formen zerlegst? - Bei der Oberfläche musst du vorsichtig sein: Welche Flächen liegen außen und welche sind verdeckt? - Überlege dir, wie viel von der Deckfläche des unteren Quaders durch den oberen Quader verdeckt wird.

1. Berechnung des Gesamtvolumens \(V\): Summe der Volumina beider Teilquader. \(V_1 = 10 \cdot 10 \cdot 4 = 400\,\text{cm}^3\). \(V_2 = 6 \cdot 6 \cdot 8 = 288\,\text{cm}^3\). \(V = V_1 + V_2 = 400 + 288 = 688\,\text{cm}^3\). 2. Berechnung der Oberfläche \(O\): Summe der Oberflächen beider Quader abzüglich der doppelten Kontaktfläche (da diese im Inneren liegt). \(O_1 = 2 \cdot (10 \cdot 10 + 10 \cdot 4 + 10 \cdot 4) = 360\,\text{cm}^2\). \(O_2 = 2 \cdot (6 \cdot 6 + 6 \cdot 8 + 6 \cdot 8) = 264\,\text{cm}^2\). Kontaktfläche \(A_K = 6 \cdot 6 = 36\,\text{cm}^2\). \(O = O_1 + O_2 - 2A_K = 360 + 264 - 72 = 552\,\text{cm}^2\).

a) Das Gesamtvolumen beträgt \(688\,\text{cm}^3\). b) Die gesamte Oberfläche beträgt \(552\,\text{cm}^2\).

- Überlege dir, wie du die Grundfläche in einfache Teilflächen zerlegen kannst. - Wie berechnet man das Volumen eines Prismas, wenn die Grundfläche und die Höhe (Länge) bekannt sind? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen Volumen, Dichte und Masse.

1. Zerlegung der L-förmigen Grundfläche in zwei Rechtecke: Ein waagerechtes Rechteck (\(6\,\text{cm} \times 2\,\text{cm}\)) und ein senkrechtes Rechteck (\((8\,\text{cm} - 2\,\text{cm}) \times 2\,\text{cm} = 6\,\text{cm} \times 2\,\text{cm}\)). 2. Berechnung des Grundflächeninhalts: \(A_G = 12\,\text{cm}^2 + 12\,\text{cm}^2 = 24\,\text{cm}^2\). 3. Berechnung des Volumens: \(V = A_G \cdot l = 24\,\text{cm}^2 \cdot 15\,\text{cm} = 360\,\text{cm}^3\). 4. Berechnung der Masse: \(m = V \cdot \rho = 360\,\text{cm}^3 \cdot 2{,}7\,\frac{\text{g}}{\text{cm}^3} = 972\,\text{g}\).

Das Volumen des Werkstücks beträgt \(360\,\text{cm}^3\) und die Masse \(972\,\text{g}\).

- Manchmal ist es einfacher, von einem großen Ganzen etwas wegzunehmen, anstatt viele kleine Teile zu addieren. - Achte auf die Einheiten, bevor du das Gewicht berechnest. Wie viele Kubikzentimeter ergeben einen Kubikdezimeter? - Die Dichte gibt an, wie viel ein bestimmtes Volumen wiegt.

1. Berechnung des Flächeninhalts des gesamten Querschnitts (äußeres Rechteck): \(40\,\text{cm} \cdot 30\,\text{cm} = 1200\,\text{cm}^2\). 2. Berechnung des Flächeninhalts der Aussparung (inneres Rechteck): Die Breite ist \(40\,\text{cm} - 2 \cdot 10\,\text{cm} = 20\,\text{cm}\), die Höhe ist \(30\,\text{cm} - 10\,\text{cm} = 20\,\text{cm}\). Also \(20\,\text{cm} \cdot 20\,\text{cm} = 400\,\text{cm}^2\). 3. Berechnung der Grundfläche des Betonkörpers: \(A_G = 1200\,\text{cm}^2 - 400\,\text{cm}^2 = 800\,\text{cm}^2\). 4. Berechnung des Volumens: \(V = 800\,\text{cm}^2 \cdot 100\,\text{cm} = 80\,000\,\text{cm}^3\). 5. Umrechnung in Kubikdezimeter: \(V = 80\,\text{dm}^3\). 6. Berechnung der Masse: \(m = 80\,\text{dm}^3 \cdot 2{,}4\,\frac{\text{kg}}{\text{dm}^3} = 192\,\text{kg}\).

Ein Element hat eine Masse von \(192\,\text{kg}\).

- Stell dir den Körper als einen großen, vollen Block vor, aus dem ein kleinerer Block herausgeschnitten wurde. - Welche Maße hat der große Block und welche der leere Raum im Inneren? - Wie berechnet man das verbleibende Volumen?

1. Berechnung des Volumens des äußeren Quaders: \(V_{\text{außen}} = 12\,\text{cm} \cdot 10\,\text{cm} \cdot 6\,\text{cm} = 720\,\text{cm}^3\). 2. Berechnung des Volumens der rechteckigen Öffnung (Hohlraum): \(V_{\text{innen}} = 8\,\text{cm} \cdot 10\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm} = 320\,\text{cm}^3\). 3. Subtraktion der Volumina, um das Metallvolumen zu erhalten: \(V_{\text{Metall}} = 720\,\text{cm}^3 - 320\,\text{cm}^3 = 400\,\text{cm}^3\).

Das Volumen des Metalls beträgt \(400\,\text{cm}^3\).

- Die Oberfläche ist die Summe aller von außen sichtbaren Flächen. - Wenn zwei Körper zusammengeklebt werden, verschwinden zwei gleich große Teilflächen im Inneren. - Du kannst auch alle einzelnen sichtbaren Rechtecke der Außenhülle addieren.

1. Berechnung der Oberfläche des ersten Quaders: \(O_1 = 2 \cdot (10 \cdot 4 + 10 \cdot 3 + 4 \cdot 3) = 2 \cdot (40 + 30 + 12) = 164\,\text{cm}^2\). 2. Berechnung der Oberfläche des zweiten Quaders: \(O_2 = 2 \cdot (4 \cdot 4 + 4 \cdot 3 + 4 \cdot 3) = 2 \cdot (16 + 12 + 12) = 80\,\text{cm}^2\). 3. Identifikation der Kontaktfläche: Die Quader berühren sich an einer Fläche von \(4\,\text{cm} \times 4\,\text{cm} = 16\,\text{cm}^2\). Diese Fläche liegt im Inneren und zählt nicht zur Oberfläche. 4. Gesamtoberfläche berechnen: \(O_{\text{ges}} = O_1 + O_2 - 2A_{\text{Kontakt}} = 164\,\text{cm}^2 + 80\,\text{cm}^2 - 2 \cdot 16\,\text{cm}^2 = 212\,\text{cm}^2\).

Die Oberfläche des Körpers beträgt \(212\,\text{cm}^2\).

- Das Gesamtvolumen ist einfach die Summe der Volumina der beiden Einzelquader. - Denke bei der Oberfläche daran, dass die Stelle, an der die Quader aufeinanderliegen, nicht mehr zur Außenfläche gehört. - Du kannst die Oberfläche auch berechnen, indem du alle von außen sichtbaren Teilflächen (Rechtecke) einzeln addierst. - Wie viele Außenflächen hat der zusammengesetzte Körper insgesamt? Zähle sie an der Skizze ab.

1. Berechnung des Volumens: Volumen des unteren Quaders: \(V_1 = 80\,\text{cm} \cdot 60\,\text{cm} \cdot 40\,\text{cm} = 192\,000\,\text{cm}^3\). Volumen des oberen Quaders: \(V_2 = 40\,\text{cm} \cdot 60\,\text{cm} \cdot 40\,\text{cm} = 96\,000\,\text{cm}^3\). Gesamtvolumen: \(V = 192\,000\,\text{cm}^3 + 96\,000\,\text{cm}^3 = 288\,000\,\text{cm}^3\). Umrechnung in Kubikdezimeter: \(288\,000\,\text{cm}^3 = 288\,\text{dm}^3\). 2. Berechnung der Oberfläche: Summe der Oberflächen beider Einzelquader: \(O_1 = 2 \cdot (80 \cdot 60 + 80 \cdot 40 + 60 \cdot 40) = 20\,800\,\text{cm}^2\); \(O_2 = 2 \cdot (40 \cdot 60 + 40 \cdot 40 + 60 \cdot 40) = 12\,800\,\text{cm}^2\). Abzug der doppelten Kontaktfläche (\(40\,\text{cm} \cdot 60\,\text{cm} = 2400\,\text{cm}^2\)): \(O = 20\,800 + 12\,800 - 2 \cdot 2400 = 28\,800\,\text{cm}^2\). Alternativ Addition aller sichtbaren Außenflächen (Boden, 2 Oberseiten, 4 Vorder-/Rückseiten, 3 Seitenflächen): \(4800 + (2400 + 2400) + (3200 + 1600 + 3200 + 1600) + (4800 + 2400 + 2400) = 28\,800\,\text{cm}^2\).

a) Das Gesamtvolumen des Podests beträgt \(288\,\text{dm}^3\). b) Die zu streichende Fläche beträgt \(28\,800\,\text{cm}^2\).

- Kannst du den Körper gedanklich in zwei einfachere Teile zerlegen? - Welchen Teil des Gesamtvolumens nimmt der untere Quader ein? - Wenn du das Volumen und die Höhe eines Quaders kennst, wie berechnest du dann seine Grundfläche? - Überlege, welche Zahl mit sich selbst multipliziert den Wert der Grundfläche ergibt.

1. Berechnung des Volumens des unteren Quaders: \(V_{\text{unten}} = 8\,\text{cm} \cdot 8\,\text{cm} \cdot 3\,\text{cm} = 192\,\text{cm}^3\). 2. Bestimmung des Volumens des oberen Quaders durch Subtraktion vom Gesamtvolumen: \(V_{\text{oben}} = 256\,\text{cm}^3 - 192\,\text{cm}^3 = 64\,\text{cm}^3\). 3. Berechnung der Grundfläche des oberen Quaders mit der Höhe \(h = 4\,\text{cm}\): \(G_{\text{oben}} = \frac{V_{\text{oben}}}{h} = \frac{64\,\text{cm}^3}{4\,\text{cm}} = 16\,\text{cm}^2\). 4. Da die Grundfläche quadratisch ist, gilt \(G = x \cdot x\). Weil \(4\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm} = 16\,\text{cm}^2\), ist \(x = 4\,\text{cm}\).

Die Seitenlänge des oberen Quaders beträgt \(x = 4\,\text{cm}\).

- Stell dir vor, welche Flächen des Körpers von außen sichtbar sind. - Was passiert mit den Flächen an der Stelle, an der die beiden Körper zusammengeklebt sind? - Gehören diese inneren Flächen noch zum Oberflächeninhalt des Gesamtkörpers? - Du kannst entweder die Oberflächen einzeln berechnen und die Klebefläche abziehen oder alle sichtbaren Teilflächen addieren.

1. Berechnung des Oberflächeninhalts des unteren Quaders: \(O_1 = 2 \cdot (10 \cdot 10 + 10 \cdot 4 + 10 \cdot 4) = 2 \cdot (100 + 40 + 40) = 360\,\text{cm}^2\). 2. Berechnung des Oberflächeninhalts des oberen Würfels: \(O_2 = 6 \cdot (5 \cdot 5) = 150\,\text{cm}^2\). 3. Bestimmung der Klebefläche: Da der Würfel auf dem Quader klebt, ist eine Fläche von \(5\,\text{cm} \cdot 5\,\text{cm} = 25\,\text{cm}^2\) bei beiden Körpern nicht mehr Teil der Außenfläche. 4. Berechnung der Gesamtoberfläche: \(O_{Gesamt} = O_1 + O_2 - 2 \cdot 25\,\text{cm}^2 = 360 + 150 - 50 = 460\,\text{cm}^2\). Alternativ: Addition aller sichtbaren Teilflächen (Boden: \(100\), 4 Seiten unten: \(160\), Rest-Oberseite unten: \(100-25=75\), 4 Seiten oben: \(100\), Deckfläche oben: \(25\)). Summe: \(100 + 160 + 75 + 100 + 25 = 460\,\text{cm}^2\).

Der gesamte Oberflächeninhalt des Podests beträgt \(460\,\text{cm}^2\).

- Kannst du den zusammengesetzten Körper in einfachere, bekannte Teilkörper zerlegen? - Wie berechnet man das Volumen der einzelnen Teile, und wie hängen sie zusammen? - Wenn zwei Körper aneinandergeklebt werden, welche Flächen verschwinden dann im Inneren? - Überlege dir Schritt für Schritt, welche Außenflächen des gesamten Körpers von außen sichtbar sind.

1. Das Gesamtvolumen \(V\) berechnet sich als Summe der Volumina der beiden Quader: - Volumen des unteren Quaders: \(V_1 = 6\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm} \cdot 2\,\text{cm} = 48\,\text{cm}^3\) - Volumen des oberen Quaders: \(V_2 = 3\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm} \cdot 3\,\text{cm} = 36\,\text{cm}^3\) - Gesamtvolumen: \(V = V_1 + V_2 = 48\,\text{cm}^3 + 36\,\text{cm}^3 = 84\,\text{cm}^3\) 2. Der gesamte Oberflächeninhalt \(O\) berechnet sich aus der Summe der Oberflächen der beiden einzelnen Quader abzüglich der doppelten Kontaktfläche: - Oberfläche des unteren Quaders: \(O_1 = 2 \cdot (6 \cdot 4 + 6 \cdot 2 + 4 \cdot 2)\,\text{cm}^2 = 2 \cdot (24 + 12 + 8)\,\text{cm}^2 = 88\,\text{cm}^2\) - Oberfläche des oberen Quaders: \(O_2 = 2 \cdot (3 \cdot 4 + 3 \cdot 3 + 4 \cdot 3)\,\text{cm}^2 = 2 \cdot (12 + 9 + 12)\,\text{cm}^2 = 66\,\text{cm}^2\) - Kontaktfläche: Beide Quader berühren sich auf einer Fläche von \(A_{\text{Kontakt}} = 3\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm} = 12\,\text{cm}^2\) - Gesamter Oberflächeninhalt: \(O = O_1 + O_2 - 2A_{\text{Kontakt}} = 88\,\text{cm}^2 + 66\,\text{cm}^2 - 2 \cdot 12\,\text{cm}^2 = 130\,\text{cm}^2\)

Das Gesamtvolumen beträgt \(V = 84\,\text{cm}^3\) und der gesamte Oberflächeninhalt beträgt \(O = 130\,\text{cm}^2\).

- Überlege dir, wie du das Volumen des Betons berechnen kannst, ohne die Hohlräume mitzuzählen. - Gibt es eine Möglichkeit, das Gesamtvolumen zu berechnen und das Volumen des Hohlraums abzuziehen? - Achte darauf, wie oft die Wandstärke von den Außenmaßen abgezogen werden muss, um auf die Innenmaße zu kommen. - Alternativ kannst du den Kasten auch in einzelne Platten für den Boden und die Wände zerlegen. - Denke an den Zusammenhang zwischen Kubikdezimetern und Litern.

1. Methode (Subtraktion des Hohlraums vom Gesamtvolumen): - Gesamtvolumen des äußeren Quaders: \(V_{\text{außen}} = 8\,\text{dm} \cdot 5\,\text{dm} \cdot 4\,\text{dm} = 160\,\text{dm}^3\). - Innenmaße des leeren Raums bestimmen: - Die Innenlänge verringert sich durch die zwei Seitenwände um \(2 \cdot 1\,\text{dm}\): \(l_{\text{innen}} = 8\,\text{dm} - 2\,\text{dm} = 6\,\text{dm}\). - Die Innenbreite verringert sich durch die Vorder- und Rückwand um \(2 \cdot 1\,\text{dm}\): \(b_{\text{innen}} = 5\,\text{dm} - 2\,\text{dm} = 3\,\text{dm}\). - Die Innenhöhe verringert sich nur durch den Boden um \(1\,\text{dm}\), da der Kasten oben offen ist: \(h_{\text{innen}} = 4\,\text{dm} - 1\,\text{dm} = 3\,\text{dm}\). - Innenvolumen des Hohlraums: \(V_{\text{innen}} = 6\,\text{dm} \cdot 3\,\text{dm} \cdot 3\,\text{dm} = 54\,\text{dm}^3\). - Betonvolumen: \(V_{\text{Beton}} = V_{\text{außen}} - V_{\text{innen}} = 160\,\text{dm}^3 - 54\,\text{dm}^3 = 106\,\text{dm}^3\). 2. Methode (Zusammensetzen aus Teilquadern): - Bodenplatte: \(V_{\text{Boden}} = 8\,\text{dm} \cdot 5\,\text{dm} \cdot 1\,\text{dm} = 40\,\text{dm}^3\). - Zwei Seitenwände (links und rechts): \(2 \cdot (1\,\text{dm} \cdot 5\,\text{dm} \cdot 3\,\text{dm}) = 30\,\text{dm}^3\). - Zwei Längswände (vorne und hinten, zwischen den Seitenwänden): \(2 \cdot (6\,\text{dm} \cdot 1\,\text{dm} \cdot 3\,\text{dm}) = 36\,\text{dm}^3\). - Gesamtvolumen: \(V_{\text{Beton}} = 40\,\text{dm}^3 + 30\,\text{dm}^3 + 36\,\text{dm}^3 = 106\,\text{dm}^3\). Da \(1\,\text{dm}^3 = 1\,\text{l}\) ist, entspricht dies genau \(106\,\text{Litern}\).

Das Betonvolumen beträgt \(106\,\text{dm}^3\), was genau \(106\,\text{Litern}\) entspricht.

- Versuche, das Portal gedanklich in seine einzelnen Bausteine aufzuteilen. - Wie lässt sich das Volumen der einzelnen Quader berechnen und wie hängen sie mit dem Gesamtvolumen zusammen? - Wenn du die Oberfläche berechnest, welche Flächen der einzelnen Quader sind nach dem Zusammenbau nicht mehr von außen sichtbar? - Wie oft musst du diese verdeckten Kontaktflächen von der Summe der Einzeloberflächen abziehen?

1. Berechnung des Gesamtvolumens: - Das Volumen eines einzelnen Pfeilers beträgt: \(V_{\text{Pfeiler}} = 2\,\text{cm} \cdot 3\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm} = 24\,\text{cm}^3\). - Das Volumen des Decksteins beträgt: \(V_{\text{Deckstein}} = 8\,\text{cm} \cdot 3\,\text{cm} \cdot 2\,\text{cm} = 48\,\text{cm}^3\). - Das Gesamtvolumen beträgt somit: \(V_{\text{gesamt}} = 2V_{\text{Pfeiler}} + V_{\text{Deckstein}} = 2 \cdot 24\,\text{cm}^3 + 48\,\text{cm}^3 = 96\,\text{cm}^3\). 2. Berechnung der gesamten Oberfläche: - Die Oberfläche eines einzelnen Pfeilers im isolierten Zustand beträgt: \(O_{\text{Pfeiler}} = 2 \cdot (2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + 2 \cdot 4) = 2 \cdot (6 + 12 + 8) = 52\,\text{cm}^2\). - Die Oberfläche des isolierten Decksteins beträgt: \(O_{\text{Deckstein}} = 2 \cdot (8 \cdot 3 + 3 \cdot 2 + 8 \cdot 2) = 2 \cdot (24 + 6 + 16) = 92\,\text{cm}^2\). - Beim Zusammenfügen berühren sich die Pfeiler und der Deckstein an zwei Kontaktflächen. Jede dieser Kontaktflächen hat die Maße des Pfeilerkopfs: \(A_{\text{Kontakt}} = 2\,\text{cm} \cdot 3\,\text{cm} = 6\,\text{cm}^2\). - Diese beiden Kontaktflächen liegen im Inneren des zusammengesetzten Körpers und müssen daher von beiden berührenden Teilen abgezogen werden, insgesamt also viermal die Kontaktfläche: \(O_{\text{gesamt}} = 2O_{\text{Pfeiler}} + O_{\text{Deckstein}} - 4A_{\text{Kontakt}} = 2 \cdot 52\,\text{cm}^2 + 92\,\text{cm}^2 - 4 \cdot 6\,\text{cm}^2 = 104\,\text{cm}^2 + 92\,\text{cm}^2 - 24\,\text{cm}^2 = 172\,\text{cm}^2\).

a) Das Gesamtvolumen des Portals beträgt \(96\,\text{cm}^3\). b) Die gesamte Oberfläche beträgt \(172\,\text{cm}^2\).

- Kannst du das Gesamtvolumen bestimmen, indem du die Volumina der einzelnen Teile nacheinander berechnest? - Welche Flächen der Quader sind von außen sichtbar und welche sind durch das Aufeinanderstellen verdeckt? - Gibt es einen Trick für die Ansicht von oben, um nicht alle Teilflächen einzeln berechnen zu müssen? - Achte darauf, welche Flächen auf dem Boden stehen und daher nicht gereinigt werden müssen.

1. Berechnung des Gesamtvolumens: Das Gesamtvolumen setzt sich aus den Einzelvolumina der drei Quader zusammen: - Unterer Quader: \(V_1 = 6\,\text{m} \cdot 4\,\text{m} \cdot 2\,\text{m} = 48\,\text{m}^3\) - Mittlerer Quader: \(V_2 = 4\,\text{m} \cdot 2\,\text{m} \cdot 2\,\text{m} = 16\,\text{m}^3\) - Oberer Quader: \(V_3 = 2\,\text{m} \cdot 2\,\text{m} \cdot 2\,\text{m} = 8\,\text{m}^3\) - Gesamtvolumen: \(V = 48\,\text{m}^3 + 16\,\text{m}^3 + 8\,\text{m}^3 = 72\,\text{m}^3\) 2. Berechnung der zu reinigenden Oberfläche (ohne Standfläche): - Die Mantelflächen (Seitenflächen) der drei Quader betragen: - Unterer Quader: \(M_1 = 2 \cdot (6\,\text{m} + 4\,\text{m}) \cdot 2\,\text{m} = 40\,\text{m}^2\) - Mittlerer Quader: \(M_2 = 2 \cdot (4\,\text{m} + 2\,\text{m}) \cdot 2\,\text{m} = 24\,\text{m}^2\) - Oberer Quader: \(M_3 = 2 \cdot (2\,\text{m} + 2\,\text{m}) \cdot 2\,\text{m} = 16\,\text{m}^2\) - Die von oben sichtbaren horizontalen Flächen entsprechen in ihrer Summe genau der Deckfläche des untersten Quaders: \(A_{\text{oben}} = 6\,\text{m} \cdot 4\,\text{m} = 24\,\text{m}^2\) - Die zu reinigende Gesamtfläche beträgt somit: \(O_{\text{reinigen}} = M_1 + M_2 + M_3 + A_{\text{oben}} = 40\,\text{m}^2 + 24\,\text{m}^2 + 16\,\text{m}^2 + 24\,\text{m}^2 = 104\,\text{m}^2\).

a) \(72\,\text{m}^3\) b) \(104\,\text{m}^2\)

- Kannst du die L-förmige Figur in zwei einfache Rechtecke zerlegen? - Wie berechnest du den Flächeninhalt eines Rechtecks? - Wie rechnest du die Füllhöhe von Zentimetern in Meter um? - Welches Gesamtvolumen an Sand in Kubikmetern ergibt sich daraus? - Denke daran, dass ein Kubikmeter \(1000\) Litern entspricht.

1. Zerlegung der Grundfläche in zwei Rechtecke: ein oberes Rechteck mit den Maßen \(4{,}0\,\text{m} \times 1{,}5\,\text{m}\) und ein unteres rechtes Rechteck mit den Maßen \(1{,}5\,\text{m} \times 2{,}0\,\text{m}\). 2. Berechnung der Teilflächen: \(A_1 = 4{,}0\,\text{m} \cdot 1{,}5\,\text{m} = 6{,}0\,\text{m}^2\) und \(A_2 = 1{,}5\,\text{m} \cdot 2{,}0\,\text{m} = 3{,}0\,\text{m}^2\). 3. Berechnung des Gesamtflächeninhalts: \(A_{\text{gesamt}} = 6{,}0\,\text{m}^2 + 3{,}0\,\text{m}^2 = 9{,}0\,\text{m}^2\). 4. Berechnung des benötigten Sandvolumens bei einer Füllhöhe von \(25\,\text{cm} = 0{,}25\,\text{m}\): \(V = 9{,}0\,\text{m}^2 \cdot 0{,}25\,\text{m} = 2{,}25\,\text{m}^3\). 5. Umrechnung des Volumens in Liter: \(2{,}25\,\text{m}^3 = 2250\,\text{l}\). 6. Ermittlung der Sackanzahl bei \(25\,\text{l}\) pro Sack: \(\frac{2250\,\text{l}}{25\,\text{l}} = 90\).

Es müssen \(90\) Säcke Spielsand gekauft werden.

- Du kannst die Flächen zählen, indem du das Gebäude von allen sechs Seiten (vorne, hinten, rechts, links, oben, unten) betrachtest. - Überlege, wie viele Quadratflächen man von jeder Seite aus sieht. - Vergiss nicht die Flächen, die durch den Höhenunterschied in der Mitte zusätzlich entstehen.

1. Das Gebäude besteht aus \(3 \cdot 3 + 1 = 10\) Würfeln. 2. Zwischen den Würfeln gibt es \(13\) Berührungsflächen. 3. Mit \(N = 10\) für die Anzahl der Würfel und \(C = 13\) für die Anzahl der Berührungsflächen gilt \(O = 6N - 2C = 6 \cdot 10 - 2 \cdot 13 = 34\). 4. Eine Quadratfläche ist \(1\,\text{cm}^2\) groß. Der Oberflächeninhalt beträgt daher \(34\,\text{cm}^2\).

Der Oberflächeninhalt des Gebäudes beträgt \(34\,\text{cm}^2\).

- Überlege dir zuerst, wie viele Würfel der große Block ohne das Loch hätte. - Berechne dann, wie viele Würfel für den Schacht entfernt wurden. - Ziehe die Anzahl der entfernten Würfel von der Gesamtzahl ab.

1. Berechnung des Volumens des vollen großen Würfels: \(V_{\text{gesamt}} = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125\) Einheitswürfel. 2. Berechnung des Volumens des entfernten Schachts: Der Schacht hat eine Grundfläche von \(3 \cdot 3 = 9\) Würfeln und ist 5 Schichten hoch. \(V_{\text{Schacht}} = 3 \cdot 3 \cdot 5 = 45\) Einheitswürfel. 3. Berechnung der verbleibenden Würfel: \(125 - 45 = 80\).

Der Körper besteht aus \(80\) Einheitswürfeln.

- Welche Flächen gehören zur Oberfläche des Hohlsteins? Denke auch an die Flächen im Inneren. - Wie groß ist die Öffnung in der Mitte, wenn man die Wandstärke berücksichtigt? - Berechne die äußeren Seitenflächen, die inneren Seitenflächen und die ringförmigen Flächen an den Enden separat.

1. Berechnung der äußeren Mantelfläche (4 Seiten): \(4 \cdot (30 \cdot 20) = 2400\,\text{cm}^2\). 2. Bestimmung der Maße des inneren Lochs: Die Breite und Höhe verringern sich um jeweils zweimal die Wandstärke, also \(30 - 2 \cdot 5 = 20\,\text{cm}\). Das Loch ist \(20\,\text{cm} \times 20\,\text{cm}\) groß. 3. Berechnung der inneren Mantelfläche (4 Seiten): \(4 \cdot (20 \cdot 20) = 1600\,\text{cm}^2\). 4. Berechnung der beiden Stirnflächen (vorne und hinten): Jede Fläche ist ein Quadrat mit einem quadratischen Ausschnitt: \(2 \cdot (30^2 - 20^2) = 2 \cdot (900 - 400) = 1000\,\text{cm}^2\). 5. Gesamtoberfläche: \(O = 2400 + 1600 + 1000 = 5000\,\text{cm}^2\).

Der gesamte Oberflächeninhalt des Hohlsteins beträgt \(5000\,\text{cm}^2\).

- Zerlege den Querschnitt in drei waagerechte Rechtecke. - Achte auf die Einheiten: Rechne am besten erst in Quadratzentimetern und wandle das Ergebnis dann in Quadratmeter um. - Das Volumen eines Körpers mit gleichbleibendem Querschnitt berechnet man, indem man die Querschnittsfläche mit der Länge multipliziert.

1. Querschnittsfläche berechnen durch Zerlegung in drei Rechtecke: - Untere Stufe: \(120\,\text{cm} \cdot 30\,\text{cm} = 3600\,\text{cm}^2\). - Mittlere Stufe: \(80\,\text{cm} \cdot 30\,\text{cm} = 2400\,\text{cm}^2\). - Obere Stufe: \(40\,\text{cm} \cdot 30\,\text{cm} = 1200\,\text{cm}^2\). 2. Gesamtquerschnittsfläche: \(3600\,\text{cm}^2 + 2400\,\text{cm}^2 + 1200\,\text{cm}^2 = 7200\,\text{cm}^2\). 3. Umrechnung in \(\text{m}^2\): \(7200\,\text{cm}^2 : 10\,000 = 0{,}72\,\text{m}^2\). 4. Volumen berechnen: \(V = \text{Fläche} \cdot \text{Länge} = 0{,}72\,\text{m}^2 \cdot 15\,\text{m} = 10{,}8\,\text{m}^3\).

a) Der Flächeninhalt des Querschnitts beträgt \(0{,}72\,\text{m}^2\). b) Das Volumen des Fundaments beträgt \(10{,}8\,\text{m}^3\).

- Berechne die Fläche des U-Profils, indem du die innere Aussparung von einem großen Rechteck abziehst. - Achte auf die Einheiten bei der Umrechnung von Kubikzentimetern in Liter (\(1000\,\text{cm}^3 = 1\,\text{l}\)).

1. Flächeninhalt der Stirnseite berechnen: Großes Rechteck (\(120\,\text{cm} \cdot 50\,\text{cm} = 6000\,\text{cm}^2\)) minus inneres Rechteck (\(100\,\text{cm} \cdot 40\,\text{cm} = 4000\,\text{cm}^2\)). 2. \(A = 6000 - 4000 = 2000\,\text{cm}^2\). 3. Volumen berechnen: \(V = 2000\,\text{cm}^2 \cdot 40\,\text{cm} = 80\,000\,\text{cm}^3\). 4. Umrechnung in Liter: \(80\,000 : 1000 = 80\,\text{l}\).

a) Der Flächeninhalt der Stirnseite beträgt \(2000\,\text{cm}^2\). b) Es wurden \(80\,000\,\text{cm}^3\) Beton verwendet. Das entspricht \(80\,\text{l}\).

- Zerlege den Querschnitt in zwei Rechtecke, um die Fläche zu berechnen. - Achte beim Volumen auf die Umrechnung der Länge von Metern in Zentimeter. - Für die Masse musst du das Volumen erst in Kubikdezimeter umwandeln.

1. Querschnittsfläche in zwei Rechtecke zerlegen: Kopfplatte (\(20\,\text{cm} \cdot 5\,\text{cm} = 100\,\text{cm}^2\)) und Steg (\(6\,\text{cm} \cdot 15\,\text{cm} = 90\,\text{cm}^2\)). 2. Gesamtfläche: \(100\,\text{cm}^2 + 90\,\text{cm}^2 = 190\,\text{cm}^2\). 3. Volumen berechnen: \(3\,\text{m} = 300\,\text{cm}\). \(V = 190\,\text{cm}^2 \cdot 300\,\text{cm} = 57\,000\,\text{cm}^3\). 4. Umrechnung in \(\text{dm}^3\): \(57\,000\,\text{cm}^3 = 57\,\text{dm}^3\). 5. Masse berechnen: \(57\,\text{dm}^3 \cdot 2{,}4\,\text{kg}/\text{dm}^3 = 136{,}8\,\text{kg}\).

a) Die Querschnittsfläche beträgt \(190\,\text{cm}^2\). b) Das Volumen des Balkens beträgt \(57\,000\,\text{cm}^3\). c) Die Masse des Balkens beträgt \(136{,}8\,\text{kg}\).

- Zerlege den Träger in drei einfache Rechtecke. - Achte darauf, die Länge in Zentimeter umzurechnen, bevor du das Volumen berechnest. - Multipliziere das Volumen mit der Dichte, um die Masse in Gramm zu erhalten, und rechne dann in Kilogramm um.

1. Querschnittsfläche berechnen: Zwei Flansche (\(2 \cdot 15\,\text{cm} \cdot 3\,\text{cm} = 90\,\text{cm}^2\)) plus der Steg (\(3\,\text{cm} \cdot 10\,\text{cm} = 30\,\text{cm}^2\)). 2. Gesamtfläche: \(90\,\text{cm}^2 + 30\,\text{cm}^2 = 120\,\text{cm}^2\). 3. Volumen berechnen: \(Länge = 500\,\text{cm}\). \(V = 120\,\text{cm}^2 \cdot 500\,\text{cm} = 60\,000\,\text{cm}^3\). 4. Masse berechnen: \(60\,000\,\text{cm}^3 \cdot 7{,}85\,\text{g}/\text{cm}^3 = 471\,000\,\text{g}\). 5. Umrechnung in Kilogramm: \(471\,000\,\text{g} = 471\,\text{kg}\).

a) Die Querschnittsfläche beträgt \(120\,\text{cm}^2\). b) Das Volumen des Trägers beträgt \(60\,000\,\text{cm}^3\). c) Die Masse des Trägers beträgt \(471\,\text{kg}\).

- Du kannst die Fläche berechnen, indem du ein langes Rechteck und zwei kleine seitliche Quadrate addierst. - Achte bei der Volumenangabe auf die Umrechnung von Kubikzentimetern in Kubikdezimeter. - Überlege genau, wie oft du das mittlere Quadrat zählst, wenn du die Fläche zerlegst.

1. Querschnittsfläche zerlegen: Ein zentrales vertikales Rechteck (\(10\,\text{cm} \cdot 40\,\text{cm} = 400\,\text{cm}^2\)) und zwei seitliche kleine Quadrate (\(2 \cdot 10\,\text{cm} \cdot 10\,\text{cm} = 200\,\text{cm}^2\)). 2. Gesamtfläche: \(400\,\text{cm}^2 + 200\,\text{cm}^2 = 600\,\text{cm}^2\). 3. Volumen berechnen: \(Länge = 250\,\text{cm}\). \(V = 600\,\text{cm}^2 \cdot 250\,\text{cm} = 150\,000\,\text{cm}^3\). 4. Umrechnung in \(\text{dm}^3\): \(150\,000\,\text{cm}^3 = 150\,\text{dm}^3\). 5. Masse berechnen: \(150\,\text{dm}^3 \cdot 2{,}5\,\text{kg}/\text{dm}^3 = 375\,\text{kg}\).

a) Die Querschnittsfläche beträgt \(600\,\text{cm}^2\). b) Das Volumen der Säule beträgt \(150\,\text{dm}^3\). c) Die Masse der Säule beträgt \(375\,\text{kg}\).

- Berechne zuerst die Fläche des Querschnitts. Das ist die Fläche, die du siehst, wenn du von vorne in den Kanal schaust. - Du kannst die Materialfläche finden, indem du den inneren „leeren“ Bereich vom gesamten äußeren Rechteck abziehst. - Achte auf die Einheiten: Rechne am besten alles zuerst in Millimeter um und am Ende in Kubikdezimeter.

1. Berechnung der Querschnittsfläche des Materials: - Fläche des äußeren Rechtecks: \(A_{\text{außen}} = 100\,\text{mm} \cdot 60\,\text{mm} = 6000\,\text{mm}^2\). - Maße des inneren Ausschnitts: Breite \(= 100\,\text{mm} - 2 \cdot 10\,\text{mm} = 80\,\text{mm}\); Höhe \(= 60\,\text{mm} - 10\,\text{mm} = 50\,\text{mm}\). - Fläche des inneren Ausschnitts: \(A_{\text{innen}} = 80\,\text{mm} \cdot 50\,\text{mm} = 4000\,\text{mm}^2\). - Materialfläche: \(A = 6000\,\text{mm}^2 - 4000\,\text{mm}^2 = 2000\,\text{mm}^2\). 2. Berechnung des Volumens: - Länge: \(L = 2\,\text{m} = 2000\,\text{mm}\). - Volumen: \(V = 2000\,\text{mm}^2 \cdot 2000\,\text{mm} = 4\,000\,000\,\text{mm}^3\). 3. Umrechnung in Kubikdezimeter: - \(1\,\text{dm}^3 = 1\,000\,000\,\text{mm}^3\). - \(V = 4\,\text{dm}^3\).

Das Volumen des Kunststoffkanals beträgt \(4\,\text{dm}^3\).

- Überlege, welche Flächen der einzelnen Kisten nach dem Zusammenstellen noch von außen sichtbar sind. - Vergiss nicht die kleinen vertikalen Flächenstücke, die entstehen, weil die Kisten unterschiedlich hoch sind. - Du kannst auch die Oberflächen der drei einzelnen Kisten addieren und die doppelten Kontaktflächen abziehen.

Man kann die Oberfläche durch Addition der Teilflächen ermitteln: 1. Grundfläche (unten): \((5 + 5 + 5)\,\text{dm} \cdot 5\,\text{dm} = 15\,\text{dm} \cdot 5\,\text{dm} = 75\,\text{dm}^2\). 2. Deckflächen (oben): \(3 \cdot (5\,\text{dm} \cdot 5\,\text{dm}) = 75\,\text{dm}^2\). 3. Vorderseite: \(5 \cdot 8 + 5 \cdot 12 + 5 \cdot 10 = 40 + 60 + 50 = 150\,\text{dm}^2\). 4. Rückseite: Wie Vorderseite, also \(150\,\text{dm}^2\). 5. Linke Außenfläche: \(5\,\text{dm} \cdot 8\,\text{dm} = 40\,\text{dm}^2\). 6. Rechte Außenfläche: \(5\,\text{dm} \cdot 10\,\text{dm} = 50\,\text{dm}^2\). 7. Sichtbare vertikale Teilstücke zwischen den Kisten: Zwischen Kiste 1 und 2: \((12 - 8)\,\text{dm} \cdot 5\,\text{dm} = 20\,\text{dm}^2\). Zwischen Kiste 2 und 3: \((12 - 10)\,\text{dm} \cdot 5\,\text{dm} = 10\,\text{dm}^2\). Gesamtfläche: \(O = 75 + 75 + 150 + 150 + 40 + 50 + 20 + 10 = 570\,\text{dm}^2\).

Der Oberflächeninhalt des Gesamtkörpers beträgt \(570\,\text{dm}^2\).