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- Bestimme zunächst für jeden Teilquader getrennt das Volumen. - Welche drei Kantenlängen gehören jeweils zu einem Teilquader? - Überlege, wie die Volumina nicht überlappender Teile zum Gesamtvolumen beitragen.

1. Für den ersten Teilquader gilt \(V_1=3\cdot2\cdot2\,\text{cm}^3=12\,\text{cm}^3\). 2. Für den zweiten Teilquader gilt \(V_2=2\cdot2\cdot1\,\text{cm}^3=4\,\text{cm}^3\). 3. Die Teilquader überlappen sich nicht. Daher gilt \(V=V_1+V_2=12\,\text{cm}^3+4\,\text{cm}^3=16\,\text{cm}^3\).

\(V=3\cdot2\cdot2\,\text{cm}^3+2\cdot2\cdot1\,\text{cm}^3=16\,\text{cm}^3\)

- Beginne mit den Flächen der beiden Würfel, solange sie noch getrennt sind. - Überlege, was mit den beiden Quadratflächen geschieht, die beim Zusammenfügen direkt aufeinanderliegen. - Eine Kontaktstelle zwischen zwei Würfeln betrifft je eine Fläche beider Würfel.

1. Zwei getrennte Würfel haben zusammen \(12\) Quadratflächen. 2. An der Kontaktstelle liegt von jedem Würfel eine Fläche innen. Diese beiden Flächen gehören nicht zur Außenfläche. 3. Außen liegen daher \(12-2=10\) Quadratflächen.

Es liegen \(10\) Quadratflächen außen.

- Addiere zuerst nur die bekannten Stapelhöhen. - Vergleiche diese Zahl mit der Gesamtzahl von \(10\) Würfeln. - Für b) brauchst du das Volumen eines einzelnen Würfels.

1. Die bekannten Stapelhöhen ergeben \(2+1+2+1+2=8\) Würfel. 2. Insgesamt sind es \(10\) Würfel. Daher müssen am Feld \(x\) noch \(2\) Würfel stehen. 3. Ein Würfel hat das Volumen \(5\cdot5\cdot5=125\,\text{cm}^3\). 4. Das Gesamtvolumen ist \(10\cdot125=1250\,\text{cm}^3\).

a) \(x=2\) b) \(1250\,\text{cm}^3\)

- Suche im Bauplan alle Stapel, in denen genau ein Würfel liegt. - Überlege, welche Größe die Zahl der hinzugefügten Würfel noch nicht angibt. - Prüfe die Einheit in Leas Aussage.

1. Im Bauplan gibt es vier Stapel mit der Höhe \(1\). Deshalb werden vier Würfel hinzugefügt. 2. Ein Würfel hat das Volumen \(4\cdot4\cdot4=64\,\text{cm}^3\). 3. Das Volumen wird um \(4\cdot64=256\,\text{cm}^3\) größer. 4. Lea hat nicht recht. Die Zahl vier gibt die Anzahl der neuen Würfel an, nicht deren Volumen.

Nein. Das Volumen wächst um \(256\,\text{cm}^3\).

- Welche Stapel reichen mindestens bis zur zweiten Schicht? - Gibt es auch einen Stapel, der bis zur dritten Schicht reicht? - Zähle jede Schicht getrennt, bevor du das Volumen berechnest.

1. In der untersten Schicht liegen an allen neun belegten Grundplätzen Würfel, also \(9\) Würfel. 2. Vier Stapel reichen in eine zweite Schicht; dort liegen \(4\) weitere Würfel. 3. Ein Stapel reicht in eine dritte Schicht; dort liegt \(1\) weiterer Würfel. Insgesamt sind es \(9+4+1=14\) Würfel. 4. Mina zählt nur die belegten Felder und übersieht Würfel in höheren Schichten. 5. Ein Würfel hat \(2\cdot2\cdot2=8\,\text{cm}^3\). Das Gesamtvolumen ist \(14\cdot8=112\,\text{cm}^3\).

a) Das Gebäude besteht aus \(14\) Würfeln. Mina zählt nur die belegten Felder, nicht die höheren Schichten. b) \(112\,\text{cm}^3\)

- Zähle die Würfel im Bild über die einzelnen Turmhöhen. - Bestimme das Volumen eines kleinen Würfels aus seiner Kantenlänge. - Verbinde Würfelzahl und Einzelvolumen.

1. Aus dem Bild liest man die Turmhöhen \(2,0,2\), \(2,0,2\) und \(2,2,2\) ab. Insgesamt sind das \(14\) Würfel. 2. Ein Würfel hat das Volumen \((1\,\text{m})^3=1\,\text{m}^3\). 3. Das Gesamtvolumen beträgt daher \(14\cdot1\,\text{m}^3=14\,\text{m}^3\).

\(14\,\text{m}^3\)

- Zähle für Teil a) die Würfel in den beiden Reihen getrennt. - Ordne die Außenflächen für Teil b) nach Blickrichtungen, damit du keine Seite doppelt zählst. - Prüfe auch Ober- und Unterseite des zusammengesetzten Körpers.

1. Vorne stehen \(3\) einzelne Würfel. Hinten stehen \(3\) Türme der Höhe \(2\), also \(3 \cdot 2 = 6\) Würfel. 2. Insgesamt sind es \(3 + 6 = 9\) Würfel. 3. Für die Außenflächen kann man nach Richtungen zählen: oben \(6\), unten \(6\), vorne \(6\), hinten \(6\), links \(3\) und rechts \(3\). 4. Insgesamt sind das \(6 + 6 + 6 + 6 + 3 + 3 = 30\) quadratische Außenflächen.

a) \(9\) Würfel b) \(30\) quadratische Außenflächen

- Lies die Turmhöhen in beiden Reihen aus dem Bild ab. - Addiere zuerst die Zahl der dargestellten Würfel. - Übertrage anschließend die Bedeutung eines Modellwürfels auf das reale Volumen.

1. In der vorderen Reihe zeigt das Bild die Turmhöhen \(3,1,3\), also \(7\) Würfel. 2. In der hinteren Reihe sind es ebenfalls \(3,1,3\), also weitere \(7\) Würfel. 3. Insgesamt sind das \(14\) Würfel. Da jeder für \(1\,\text{m}^3\) steht, beträgt das Gesamtvolumen \(14\,\text{m}^3\).

\(14\,\text{m}^3\)

- Zähle die Würfel im Bild Reihe für Reihe oder Turm für Turm. - Bestimme anschließend das Volumen eines einzelnen Würfels aus seiner Kantenlänge. - Überlege, wie sich das Volumen eines Würfels auf alle gleich großen Würfel des Gebäudes übertragen lässt.

1. In der vorderen Reihe stehen \(3\) einzelne Würfel. In der hinteren Reihe stehen \(3\) Türme mit jeweils \(2\) Würfeln. Insgesamt sind das \(3+3\cdot2=9\) Würfel. 2. Für einen Würfel mit der Kantenlänge \(a=2\,\text{dm}\) gilt \(V=a^3=(2\,\text{dm})^3=8\,\text{dm}^3\). 3. Das gesamte Gebäude hat daher das Volumen \(9\cdot8\,\text{dm}^3=72\,\text{dm}^3\).

a) \(9\) Würfel b) \(72\,\text{dm}^3\)

- Die Abbildung zeigt drei nicht überlappende Quader. - Berechne ihre Volumina einzeln. - Addiere die drei Ergebnisse.

1. Die drei Teilvolumina sind \(10\cdot30\cdot10=3000\,\text{cm}^3\), \(10\cdot30\cdot20=6000\,\text{cm}^3\) und \(10\cdot30\cdot30=9000\,\text{cm}^3\). 2. Zusammen sind das \(18\,000\,\text{cm}^3\).

\(18\,000\,\text{cm}^3\)

- Welche zweidimensionale Form hat die gleichbleibende Vorderseite des Prismas? - Bestimme zuerst den Flächeninhalt dieser Grundfläche. - Wie hängt bei einem Prisma das Volumen mit Grundfläche und Prismenlänge zusammen?

1. Die trapezförmige Grundfläche hat den Flächeninhalt \(G=\frac{8{,}0\,\text{dm}+4{,}0\,\text{dm}}{2}\cdot3{,}0\,\text{dm}=18{,}0\,\text{dm}^2\). 2. Die Prismenlänge ist \(l=20{,}0\,\text{dm}\). Daher gilt \(V=G\cdot l=18{,}0\,\text{dm}^2\cdot20{,}0\,\text{dm}=360{,}0\,\text{dm}^3\).

Das Volumen des Bauteils beträgt \(360{,}0\,\text{dm}^3\).

- Welche Fläche bleibt bei diesem Prisma von vorne bis hinten gleich? - Bestimme zuerst den Flächeninhalt des Trapezes. - Wie nutzt du anschließend die Tiefe des Körpers für das Volumen?

1. Der Flächeninhalt der trapezförmigen Grundfläche ist \(G=\frac{3{,}5\,\text{cm}+5{,}5\,\text{cm}}{2}\cdot4{,}0\,\text{cm}=18{,}0\,\text{cm}^2\). 2. Das Volumen des Prismas beträgt \(V=18{,}0\,\text{cm}^2\cdot8{,}0\,\text{cm}=144{,}0\,\text{cm}^3\).

Das Volumen des Keils beträgt \(144{,}0\,\text{cm}^3\).

- Welche Teilkörper erkennst du in der Abbildung? - Welche Maße gehören jeweils zu diesen Teilkörpern? - Wie setzt sich das Volumen des ganzen Körpers aus den Teilvolumina zusammen?

1. Jeder der beiden gleichen Quader hat das Volumen \(60\cdot20\cdot10=12\,000\,\text{cm}^3\). 2. Der dritte Quader hat das Volumen \(20\cdot20\cdot30=12\,000\,\text{cm}^3\). 3. Die drei Quader überlappen sich nicht. Zusammen sind das \(36\,000\,\text{cm}^3\).

Das Volumen beträgt \(36\,000\,\text{cm}^3\).

- Berechne das Volumen der Platte und eines Beins getrennt. - Berücksichtige, dass es vier gleich große Beine gibt. - Wandle das Gesamtvolumen erst am Ende von Kubikzentimetern in Liter um.

1. Die Platte hat das Volumen \(60\cdot40\cdot5=12\,000\,\text{cm}^3\). 2. Ein Bein hat \(5\cdot5\cdot40=1000\,\text{cm}^3\). Vier Beine haben zusammen \(4000\,\text{cm}^3\). 3. Das Gesamtvolumen ist \(16\,000\,\text{cm}^3=16\,\text{dm}^3=16\,\text{l}\).

\(16\,\text{l}\)

- Welche einfache Form hätte der Körper ohne die Aussparung? - Welche Form hat das herausgenommene Stück? - Es gibt mehr als einen möglichen Rechenweg. Wähle einen, der zur Abbildung passt.

1. Der ganze Quader hat das Volumen \(32\cdot15\cdot20=9600\,\text{cm}^3\). 2. Das entfernte Stück hat das Volumen \(12\cdot15\cdot8=1440\,\text{cm}^3\). 3. Es bleiben \(9600-1440=8160\,\text{cm}^3\).

\(8160\,\text{cm}^3\)

- Berechne zuerst das Volumen jedes einzelnen Quaders. - Wie lautet die Formel für das Volumen eines Quaders? - Addiere am Ende alle Teilergebnisse.

Das Gesamtvolumen ergibt sich aus der Summe der Volumina der drei Einzelquader: 1. Quader a: \(V_a = 8\,\text{cm} \cdot 6\,\text{cm} \cdot 10\,\text{cm} = 480\,\text{cm}^3\). 2. Quader b: \(V_b = 5\,\text{cm} \cdot 6\,\text{cm} \cdot 15\,\text{cm} = 450\,\text{cm}^3\). 3. Quader c: \(V_c = 8\,\text{cm} \cdot 6\,\text{cm} \cdot 10\,\text{cm} = 480\,\text{cm}^3\). Gesamtvolumen: \(V = 480\,\text{cm}^3 + 450\,\text{cm}^3 + 480\,\text{cm}^3 = 1410\,\text{cm}^3\).

Das Gesamtvolumen beträgt \(1410\,\text{cm}^3\).

- Welche zwei Würfelgrößen spielen in der Aufgabe eine Rolle? - Welcher Teil des großen Würfels fehlt in der Abbildung? - Wie hängt das gesuchte Restvolumen mit diesen beiden Volumina zusammen?

1. Der ganze Würfel hat das Volumen \(4\cdot4\cdot4=64\,\text{cm}^3\). 2. Der herausgeschnittene Würfel hat das Volumen \(2\cdot2\cdot2=8\,\text{cm}^3\). 3. Es bleiben \(64-8=56\,\text{cm}^3\).

\(56\,\text{cm}^3\)

- Was hat Nuri mit \(45\cdot30\cdot15\) berechnet? - Kennst du damit auch die genaue Größe des Innenraums im Rucksack? - Was weißt du sicher, weil der Rucksack in den Quader passt?

1. Der Quader hat das Volumen \(45\cdot30\cdot15=20\,250\,\text{cm}^3=20{,}25\,\text{l}\). Nuris Rechnung für den Quader ist richtig. 2. Mit dieser Rechnung kennt man nur das Volumen des Quaders. Wie groß der Innenraum des Rucksacks genau ist, steht nicht in der Aufgabe. Darum kann Nuri nicht sagen, dass genau \(20{,}25\,\text{l}\) hineinpassen.

a) Ja. b) Nein. Die Rechnung gibt das Volumen des Quaders an, nicht das genaue Fassungsvermögen des Rucksacks.

- Um was für eine geometrische Form handelt es sich bei diesem Körper? - Wie berechnet man allgemein das Volumen eines Prismas? - Bestimme zuerst die Fläche der vorderen (trapezförmigen) Seite und multipliziere sie dann mit der Tiefe des Körpers.

1. Den Körper als Prisma mit trapezförmiger Grundfläche identifizieren. 2. Maße des Trapezes bestimmen: Grundseite \(a = 1 + 4 + 3 = 8\text{ cm}\), parallele Oberseite \(c = 4\text{ cm}\), Höhe \(h = 6\text{ cm}\). 3. Flächeninhalt der Grundfläche (Trapez) berechnen: \(G = \frac{a+c}{2} \cdot h = \frac{8+4}{2} \cdot 6 = 36 \text{ cm}^2\). 4. Volumen mit der Tiefe des Prismas (\(2 \text{ cm}\)) berechnen: \(V = G \cdot \text{Tiefe} = 36 \cdot 2 = 72 \text{ cm}^3\).

\(72 \text{ cm}^3\)

- Aus welchen Teilflächen setzt sich die gesamte Oberfläche der Pyramide zusammen? - Wie berechnet man die Fläche eines Quadrats und die Fläche eines Dreiecks? - Achte in der Zeichnung darauf, welche Maße gegeben sind (Grundseite und Höhe der Seitenfläche).

1. Flächeninhalt der quadratischen Grundfläche berechnen: \(G = a^2 = 5 \cdot 5 = 25 \text{ cm}^2\). 2. Mantelfläche berechnen, bestehend aus 4 kongruenten Dreiecken mit Grundseite \(a=5\) und Höhe \(h_s=8\): \(M = 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_s = 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 8 = 80 \text{ cm}^2\). 3. Gesamtoberfläche summieren: \(O = G + M = 25 + 80 = 105 \text{ cm}^2\).

\(105 \text{ cm}^2\)

- Wenn du die Gesamtfläche durch die Anzahl der Würfelseiten teilst, erhältst du den Flächeninhalt eines einzelnen Quadrats. - Überlege dir für den Turm, wie viele der ursprünglichen Würfelseiten nach dem Stapeln noch von außen sichtbar sind. - Das Volumen verändert sich beim Zusammenstellen von Körpern einfach durch Addition.

1. Aus dem Oberflächeninhalt \(O = 6a^2 = 150\,\text{cm}^2\) folgt für eine Seitenfläche \(a^2 = 150\,\text{cm}^2 : 6 = 25\,\text{cm}^2\). Die Kantenlänge ist somit \(a = 5\,\text{cm}\). 2. Das Volumen eines Würfels ist \(V = a^3 = (5\,\text{cm})^3 = 125\,\text{cm}^3\). 3. Das Volumen des Turms aus 4 Würfeln ist die vierfache Menge: \(V_{\text{Turm}} = 4 \cdot 125\,\text{cm}^3 = 500\,\text{cm}^3\). 4. Der Turm hat eine Grundfläche von \(25\,\text{cm}^2\), eine Deckfläche von \(25\,\text{cm}^2\) und vier Seitenflächen, die jeweils aus 4 Quadraten bestehen. Jede dieser Seitenflächen hat den Inhalt \(4 \cdot 25\,\text{cm}^2 = 100\,\text{cm}^2\). Gesamtoberfläche: \(O_{\text{Turm}} = 2 \cdot 25\,\text{cm}^2 + 4 \cdot 100\,\text{cm}^2 = 50\,\text{cm}^2 + 400\,\text{cm}^2 = 450\,\text{cm}^2\). Alternativ: 4 Würfel haben \(4 \cdot 6 = 24\) Außenflächen. Beim Stapeln entstehen 3 Kontaktstellen, an denen jeweils 2 Flächen „verschwinden“: \(24 - (3 \cdot 2) = 18\) Flächen bleiben sichtbar. \(18 \cdot 25\,\text{cm}^2 = 450\,\text{cm}^2\).

a) Die Kantenlänge beträgt \(5\,\text{cm}\), das Volumen beträgt \(125\,\text{cm}^3\). b) Der Turm hat ein Volumen von \(500\,\text{cm}^3\) und einen Oberflächeninhalt von \(450\,\text{cm}^2\).

- Welche Flächen der beiden Würfel sind nach dem Zusammenkleben noch außen sichtbar? - Wie groß ist die Berührungsfläche der beiden Würfel? - Vergleiche die Summe der beiden Einzeloberflächen mit der Außenfläche des zusammengesetzten Körpers.

1. Der große Würfel hat die Oberfläche \(6\cdot4\cdot4=96\,\text{cm}^2\). 2. Der kleine Würfel hat die Oberfläche \(6\cdot2\cdot2=24\,\text{cm}^2\). 3. Die Kontaktfläche ist \(2\cdot2=4\,\text{cm}^2\) groß. Sie wurde bei beiden Würfeln als Außenfläche mitgezählt und muss deshalb zweimal abgezogen werden. 4. Die Oberfläche beträgt \(96+24-2\cdot4=112\,\text{cm}^2\).

Der Oberflächeninhalt beträgt \(112\,\text{cm}^2\).

- Suche in der Abbildung eine Zerlegung in zwei Quader. - Für das Volumen kannst du die Volumina der beiden Quader addieren. - Bei der Oberfläche musst du beachten, dass die gemeinsame Berührungsfläche der Quader im Inneren liegt.

1. Zerlege den Körper in einen hohen Quader mit den Maßen \(3\,\text{cm}\times5\,\text{cm}\times4\,\text{cm}\) und einen niedrigen Quader mit \(3\,\text{cm}\times5\,\text{cm}\times2\,\text{cm}\). 2. Die Teilvolumina sind \(3\cdot5\cdot4=60\,\text{cm}^3\) und \(3\cdot5\cdot2=30\,\text{cm}^3\). Daher ist \(V=90\,\text{cm}^3\). 3. Die Oberflächen der beiden Quader betragen \(2\cdot(3\cdot5+3\cdot4+5\cdot4)=94\,\text{cm}^2\) und \(2\cdot(3\cdot5+3\cdot2+5\cdot2)=62\,\text{cm}^2\). 4. Die Quader berühren sich auf einer Fläche von \(5\,\text{cm}\times2\,\text{cm}=10\,\text{cm}^2\). Diese Kontaktfläche wurde zweimal mitgezählt und liegt nicht außen. Deshalb ist \(O=94+62-2\cdot10=136\,\text{cm}^2\).

a) \(90\,\text{cm}^3\) b) \(136\,\text{cm}^2\)

- Eine mögliche Trennlinie verläuft senkrecht an der Stufe, eine andere waagerecht. - Bestimme bei jeder Zerlegung die drei Kantenlängen der beiden entstehenden Quader. - Die beiden Teilvolumina jeder Zerlegung müssen sich zum gleichen Gesamtvolumen addieren.

1. Erste Zerlegung: Ein hoher linker Quader hat das Volumen \(3\cdot5\cdot4=60\,\text{cm}^3\). Rechts daneben liegt ein niedriger Quader mit der Breite \(8-3=5\,\text{cm}\) und dem Volumen \(5\cdot2\cdot4=40\,\text{cm}^3\). Zusammen ergibt das \(100\,\text{cm}^3\). 2. Zweite Zerlegung: Der untere Quader hat das Volumen \(8\cdot2\cdot4=64\,\text{cm}^3\). Darüber liegt links ein Quader mit der Höhe \(5-2=3\,\text{cm}\) und dem Volumen \(3\cdot3\cdot4=36\,\text{cm}^3\). Zusammen ergibt das ebenfalls \(100\,\text{cm}^3\). 3. Beide Zerlegungen beschreiben denselben Körper und liefern daher dasselbe Gesamtvolumen.

\(100\,\text{cm}^3\); zum Beispiel als \(60+40\) oder als \(64+36\) Kubikzentimeter.

- Beim ersten Weg kannst du die Zahlen im Bauplan addieren. - Beim zweiten Weg: Welche Felder reichen mindestens bis zur ersten, zweiten oder dritten Schicht? - Überlege für c), was bei beiden Zählweisen jeweils genau einmal gezählt wird.

1. Über die Stapelhöhen erhält man \(2+1+2+1+3+1+2+1+2=15\) Würfel. 2. Nach Schichten gezählt liegen unten \(9\), in der zweiten Schicht \(5\) und oben \(1\) Würfel. Also sind es ebenfalls \(9+5+1=15\) Würfel. 3. Ein kleiner Würfel hat das Volumen \(2\cdot2\cdot2=8\,\text{cm}^3\). Das Gebäude hat daher \(15\cdot8=120\,\text{cm}^3\). 4. Beide Zählwege erfassen jeden kleinen Würfel genau einmal, nur in einer anderen Reihenfolge.

a) Beide Zählwege ergeben \(15\) Würfel. b) \(120\,\text{cm}^3\) c) Beide Wege zählen dieselben Würfel, nur einmal nach Stapeln und einmal nach Schichten.

- Zähle die Würfel Reihe für Reihe von hinten nach vorne oder Schicht für Schicht. - Berechne zuerst das Volumen eines einzigen kleinen Würfels mit der Kantenlänge \(5\,\text{cm}\). - Multipliziere das Volumen eines Würfels mit der Gesamtanzahl der Würfel. - Wie lautet der Umrechnungsfaktor von Kubikzentimetern (\(\text{cm}^3\)) in Kubikdezimeter (\(\text{dm}^3\))? Denke an die dreidimensionale Einheit!

1. Bestimme die Anzahl der Würfel durch systematisches Zählen von hinten nach vorne: - Hintere Reihe: \(2 + 2 + 2 = 6\) Würfel - Mittlere Reihe: \(1 + 0 + 1 = 2\) Würfel - Vordere Reihe: \(1 + 0 + 1 = 2\) Würfel - Insgesamt: \(6 + 2 + 2 = 10\) Würfel. 2. Berechne das Volumen eines einzelnen Würfels: - \(V_{\text{Würfel}} = 5\,\text{cm} \cdot 5\,\text{cm} \cdot 5\,\text{cm} = 125\,\text{cm}^3\). 3. Berechne das Gesamtvolumen des zusammengesetzten Körpers in Kubikzentimetern: - \(V_{\text{gesamt}} = 10 \cdot 125\,\text{cm}^3 = 1250\,\text{cm}^3\). 4. Rechne das Gesamtvolumen in Kubikdezimeter um: - Da \(1\,\text{dm}^3 = 1000\,\text{cm}^3\) ist, gilt: - \(1250\,\text{cm}^3 : 1000 = 1{,}25\,\text{dm}^3\).

a) Das Würfelgebäude besteht aus \(10\) einzelnen Würfeln. b) Das Gesamtvolumen beträgt \(1250\,\text{cm}^3\). c) In Kubikdezimetern ausgedrückt beträgt das Gesamtvolumen \(1{,}25\,\text{dm}^3\).

- Zähle die Würfel sorgfältig Reihe für Reihe durch. - Denke daran, dass das Volumen eines Würfels mit der Kantenlänge \(2\,\text{cm}\) nicht einfach \(2\,\text{cm}^3\) ist. - Multipliziere die Kantenlängen des Zielquaders, um die Gesamtzahl der benötigten Würfel zu finden.

1. Anzahl der vorhandenen Würfel: Von vorne nach hinten betrachtet haben die Reihen \(1\), \(1\), \(2\) und \(5\) Würfel (\(1 + 0 + 0\); \(1 + 0 + 0\); \(1 + 1 + 0\); \(2 + 2 + 1\)). Das sind insgesamt \(1 + 1 + 2 + 5 = 9\) Würfel. 2. Volumen eines Würfels: \(V_{\text{Würfel}} = (2\,\text{cm})^3 = 8\,\text{cm}^3\). 3. Volumen des Körpers: \(9 \cdot 8\,\text{cm}^3 = 72\,\text{cm}^3\). 4. Würfel im Zielquader: \(4 \cdot 3 \cdot 2 = 24\) Würfel. 5. Fehlende Würfel: \(24 - 9 = 15\) Würfel.

a) Das Volumen des Körpers beträgt \(72\,\text{cm}^3\). b) Es fehlen noch \(15\) Würfel.

- An jeder Grundposition muss die Gesamthöhe \(2\) entstehen. - Stehen in Teil A bereits \(2\) Würfel, benötigt das Ergänzungsteil dort \(0\) Würfel. - Stehen in Teil A \(0\) Würfel, muss das Ergänzungsteil dort die Höhe \(2\) haben. - Addiere die Höhen an jeder Position.

1. Im vollständigen \(2 \times 2 \times 2\)-Würfel muss jede der vier Grundpositionen die Gesamthöhe \(2\) haben. 2. Bauteil A hat vorne die Höhen \((2, 1)\) und hinten \((1, 0)\). Die Ergänzung benötigt daher vorne \((0, 1)\) und hinten \((1, 2)\). 3. Teil B hat genau diese beiden Reihen. Teil C und Teil D weichen davon ab.

Teil B passt exakt zu Bauteil A.

- Wandle die Millimeter zuerst in Zentimeter um. - Addiere zunächst die Oberflächen der drei einzelnen Teile. - Nutze die Abbildung, um die Kontaktflächen zu erkennen.

1. \(20\,\text{mm}=2\,\text{cm}\). 2. Der große Quader hat die Oberfläche \(2\cdot(6\cdot3+6\cdot2+3\cdot2)=72\,\text{cm}^2\). 3. Jeder kleine Würfel hat die Oberfläche \(6\cdot2\cdot2=24\,\text{cm}^2\). 4. Aus der Abbildung erkennt man zwei Kontaktflächen von jeweils \(2\cdot2=4\,\text{cm}^2\). Jede wurde zweimal mitgezählt. 5. Die Oberfläche beträgt \(72+24+24-4\cdot4=104\,\text{cm}^2\).

\(104\,\text{cm}^2\)

- Bestimme zuerst das Volumen des vollständigen großen Würfels. - Bestimme danach das Volumen des herausgeschnittenen Würfels. - Das gesuchte Volumen ist die Differenz der beiden Volumina.

1. Der ursprüngliche Würfel hat das Volumen \((6\,\text{cm})^3=216\,\text{cm}^3\). 2. Der herausgeschnittene Würfel hat das Volumen \((2\,\text{cm})^3=8\,\text{cm}^3\). 3. Das Restvolumen beträgt \(216-8=208\,\text{cm}^3\).

\(208\,\text{cm}^3\)

- Wie viele Quadratflächen hätten die fünf Würfel, wenn sie getrennt wären? - Welche dieser Flächen liegen nach dem Zusammenbauen innen? - Bestimme danach den Flächeninhalt einer einzelnen Quadratfläche.

1. Fünf einzelne Würfel hätten zusammen \(5\cdot6=30\) Quadratflächen. 2. Aus der Abbildung erkennt man \(4\) Kontaktflächen zwischen Würfelpaaren. 3. Bei jeder Berührung liegen zwei Quadratflächen innen. Außen bleiben daher \(30-2\cdot4=22\) Quadratflächen. 4. Eine Quadratfläche ist \(10\cdot10=100\,\text{cm}^2\) groß. Die Oberfläche beträgt \(22\cdot100=2200\,\text{cm}^2\).

\(2200\,\text{cm}^2\)

- Stelle dir zunächst den vollständigen äußeren Quader ohne Rinne vor. - Die Rinne kann als herausgenommener Quader betrachtet werden. - Das Materialvolumen ist die Differenz der beiden Quader-Volumina.

1. Ohne Rinne wäre das Bauteil ein Quader mit dem Volumen \(15\cdot10\cdot25=3750\,\text{mm}^3\). 2. Die herausgefräste Rinne ist ein Quader mit dem Volumen \(5\cdot6\cdot25=750\,\text{mm}^3\). 3. Das verbleibende Volumen beträgt \(V=3750-750=3000\,\text{mm}^3\).

\(3000\,\text{mm}^3\)

- Kannst du den stufenförmigen Querschnitt in einfache Rechtecke zerlegen? - Achte in a) auf die verlangte Einheit Quadratmeter. - Welche Beziehung besteht zwischen Querschnittsfläche, Länge und Volumen?

1. Der Querschnitt lässt sich in drei Rechtecke zerlegen: \(120\,\text{cm}\times30\,\text{cm}\), \(80\,\text{cm}\times30\,\text{cm}\) und \(40\,\text{cm}\times30\,\text{cm}\). 2. Ihre Flächen sind \(3600\,\text{cm}^2\), \(2400\,\text{cm}^2\) und \(1200\,\text{cm}^2\). Zusammen sind das \(7200\,\text{cm}^2=0{,}72\,\text{m}^2\). 3. Für das Volumen entstehen drei Quader mit den Volumina \(5{,}4\,\text{m}^3\), \(3{,}6\,\text{m}^3\) und \(1{,}8\,\text{m}^3\). 4. Zusammen sind das \(10{,}8\,\text{m}^3\).

a) \(0{,}72\,\text{m}^2\) b) \(10{,}8\,\text{m}^3\)

- Zerlege den Grundriss entlang der inneren Ecke in zwei Rechtecke. - In Teil b) wird aus jedem Rechteck zusammen mit der Raumhöhe ein Quader. - Für Teil c) wird der gegebene Preis auf das gesamte berechnete Volumen angewendet.

1. Der Grundriss zerfällt in ein Rechteck mit \(15\,\text{m}\times10\,\text{m}=150\,\text{m}^2\) und eines mit \(7\,\text{m}\times8\,\text{m}=56\,\text{m}^2\). Zusammen sind das \(206\,\text{m}^2\). 2. Der erste Gebäudeteil hat das Volumen \(15\cdot10\cdot2{,}8=420\,\text{m}^3\), der zweite \(7\cdot8\cdot2{,}8=156{,}8\,\text{m}^3\). Insgesamt ist \(V=576{,}8\,\text{m}^3\). 3. Die Kosten betragen \(576{,}8\cdot310\,\text{€}=178\,808\,\text{€}\).

a) \(206\,\text{m}^2\) b) \(576{,}8\,\text{m}^3\) c) \(178\,808\,\text{€}\)

- Für die Grundfläche kannst du die beiden rechteckigen Aussparungen vom äußeren Rechteck abziehen. - Übertrage dieselbe Idee in Teil b) auf dreidimensionale Quader. - Beide Aussparungen gehen über die gesamte Hallenhöhe.

1. Die Fläche des äußeren Rechtecks beträgt \(25\cdot12=300\,\text{m}^2\). Die beiden Aussparungen haben zusammen \(2\cdot4\cdot3=24\,\text{m}^2\). Daher ist die Hallenfläche \(276\,\text{m}^2\). 2. Der vollständige äußere Quader hätte das Volumen \(25\cdot12\cdot7=2100\,\text{m}^3\). 3. Jede Aussparung entspricht einem Quader mit \(4\cdot3\cdot7=84\,\text{m}^3\). Beide zusammen umfassen \(168\,\text{m}^3\). 4. Das Volumen der Halle beträgt daher \(2100-168=1932\,\text{m}^3\).

a) \(276\,\text{m}^2\) b) \(1932\,\text{m}^3\)

- Für die Stirnfläche kannst du die innere Aussparung vom äußeren Rechteck abziehen. - Übertrage dieselbe Idee in Teil b) auf zwei Quader mit derselben Tiefe. - Für die Literangabe brauchst du den Zusammenhang zwischen \(\text{cm}^3\) und Litern.

1. Die Stirnfläche ist ein äußeres Rechteck mit \(120\,\text{cm}\times50\,\text{cm}\) minus die innere Aussparung mit \(100\,\text{cm}\times40\,\text{cm}\). Daher ist \(A=6000-4000=2000\,\text{cm}^2\). 2. Der vollständige äußere Quader hätte das Volumen \(120\cdot50\cdot40=240\,000\,\text{cm}^3\). 3. Der innere Aussparungsquader hat das Volumen \(100\cdot40\cdot40=160\,000\,\text{cm}^3\). 4. Das Betonvolumen beträgt \(240\,000-160\,000=80\,000\,\text{cm}^3\). Das entspricht \(80\,\text{l}\).

a) \(2000\,\text{cm}^2\) b) \(80\,000\,\text{cm}^3\), entsprechend \(80\,\text{l}\)

- Ergänze die U-Form gedanklich zu einem äußeren Rechteck. - Der fehlende mittlere Bereich kann in Teil b) als ausgesparter Quader betrachtet werden. - Beide Quader haben dieselbe Tiefe.

1. Die Wasseroberfläche ist \(8\cdot6-6\cdot4=48-24=24\,\text{m}^2\). 2. Der äußere Quader hätte das Volumen \(8\cdot6\cdot1{,}2=57{,}6\,\text{m}^3\). 3. Der ausgesparte innere Quader hat das Volumen \(6\cdot4\cdot1{,}2=28{,}8\,\text{m}^3\). 4. Das Wasservolumen ist \(57{,}6-28{,}8=28{,}8\,\text{m}^3\).

a) \(24\,\text{m}^2\) b) \(28{,}8\,\text{m}^3\)

- Ordne die Rechtecke aus jeder Rechnung der T-Form in der Abbildung zu. - Prüfe, ob jede Stelle der T-Fläche bei jeder Zerlegung genau einmal erfasst wird. - Für b) müssen Querschnittsfläche und Balkenlänge zueinander passende Einheiten haben.

1. Noah zerlegt die T-Form in das obere Rechteck \(20\times5\) und das mittlere Rechteck \(6\times15\). Das ergibt \(100+90=190\,\text{cm}^2\). 2. Lina nimmt stattdessen das mittlere Rechteck über die ganze Höhe: \(6\times20=120\). Oben bleiben links und rechts je \((20-6):2=7\,\text{cm}\) Breite und \(5\,\text{cm}\) Höhe. Das ergibt \(120+2\cdot7\cdot5=190\,\text{cm}^2\). 3. Die Balkenlänge ist \(300\,\text{cm}\). Das Volumen ist \(190\cdot300=57\,000\,\text{cm}^3=57\,\text{dm}^3\).

a) Beide Zerlegungen ergeben \(190\,\text{cm}^2\). b) \(57\,\text{dm}^3\)

- Zerlege den Querschnitt in Rechtecke, die sich nicht überlappen. - Bringe für b) Volumen und Querschnittsfläche in zueinander passende Einheiten. - Welche Länge gehört zu einem Körper mit dieser Querschnittsfläche und diesem Volumen?

1. Die beiden waagerechten Rechtecke haben zusammen die Fläche \(2\cdot15\cdot3=90\,\text{cm}^2\). Das mittlere Rechteck hat \(3\cdot10=30\,\text{cm}^2\). Insgesamt sind es \(120\,\text{cm}^2\). 2. \(72\,\text{dm}^3=72\,000\,\text{cm}^3\). 3. Die Länge ist \(72\,000\,\text{cm}^3:120\,\text{cm}^2=600\,\text{cm}=6\,\text{m}\).

a) \(120\,\text{cm}^2\) b) \(6\,\text{m}\)

- Welche einfache Flächen kannst du im hausförmigen Querschnitt erkennen? - Welche Höhe hat nur der dreieckige Dachteil? - Bestimme zuerst den Querschnitt und nutze dann die gleichbleibende Länge des Prismas.

1. Der rechteckige Teil des Querschnitts hat den Flächeninhalt \(3{,}0\,\text{m}\cdot2{,}5\,\text{m}=7{,}5\,\text{m}^2\). 2. Das Dachdreieck ist \(3{,}5\,\text{m}-2{,}5\,\text{m}=1{,}0\,\text{m}\) hoch. Sein Flächeninhalt beträgt \(\frac{1}{2}\cdot3{,}0\,\text{m}\cdot1{,}0\,\text{m}=1{,}5\,\text{m}^2\). 3. Damit ist die Grundfläche des Prismas \(G=7{,}5\,\text{m}^2+1{,}5\,\text{m}^2=9{,}0\,\text{m}^2\). 4. Das Volumen beträgt \(V=9{,}0\,\text{m}^2\cdot4{,}0\,\text{m}=36{,}0\,\text{m}^3\).

Das Luftvolumen im Gartenhaus beträgt \(36{,}0\,\text{m}^3\).

- Bringe die Außenmaße und die Öffnung zuerst auf eine gemeinsame Längeneinheit. - Welcher volle Quader würde entstehen, wenn die Öffnung geschlossen wäre? - Welchen Quader musst du wegen der durchgehenden Öffnung wieder abziehen? - Verwende die angegebene Masse pro Kubikdezimeter erst für Teil b).

1. In Dezimetern misst der äußere Quader \(3\,\text{dm}\times3\,\text{dm}\times1\,\text{dm}\), der innere Quader \(1\,\text{dm}\times1\,\text{dm}\times1\,\text{dm}\). 2. Die Volumina sind \(V_{\text{außen}}=9\,\text{dm}^3\) und \(V_{\text{innen}}=1\,\text{dm}^3\). 3. Das Rahmenvolumen ist \(V=9\,\text{dm}^3-1\,\text{dm}^3=8\,\text{dm}^3\). 4. Die Masse beträgt \(8\,\text{dm}^3\cdot7{,}8\,\frac{\text{kg}}{\text{dm}^3}=62{,}4\,\text{kg}\).

a) Das Volumen des Rahmens beträgt \(8\,\text{dm}^3\). b) Die Masse des Rahmens beträgt \(62{,}4\,\text{kg}\).

- Nutze für a) die vier Quader aus der Beschreibung. - Nutze für b) den großen umschließenden Quader. - Ziehe die beiden gleich großen Lücken ab.

1. Beim Zerlegen erhält man \(20\cdot20\cdot60=24\,000\,\text{cm}^3\) und dreimal \(40\cdot20\cdot10=8000\,\text{cm}^3\). Zusammen sind das \(48\,000\,\text{cm}^3\). 2. Der große Quader hat \(60\cdot20\cdot60=72\,000\,\text{cm}^3\). 3. Jede Lücke hat \(40\cdot20\cdot15=12\,000\,\text{cm}^3\). Nach dem Abziehen beider Lücken bleiben ebenfalls \(48\,000\,\text{cm}^3\). 4. \(48\,000\,\text{cm}^3=48\,\text{l}\).

a) \(48\,\text{l}\) b) \(48\,\text{l}\)

- Betrachte den Boden und die beiden Seitenwände als drei Quader. - Welche Höhe haben die Seitenwände oberhalb des Bodens? - Bringe die Körperlänge in dieselbe Längeneinheit wie die Querschnittsmaße. - Addiere die drei Quader-Volumina und wandle erst das Ergebnis in Kubikdezimeter um.

1. Die Länge beträgt \(2\,\text{m}=2000\,\text{mm}\). Oberhalb des \(10\,\text{mm}\) dicken Bodens sind die Seitenwände jeweils \(60\,\text{mm}-10\,\text{mm}=50\,\text{mm}\) hoch. 2. Der Bodenquader hat \(V_1=100\,\text{mm}\cdot10\,\text{mm}\cdot2000\,\text{mm}=2\,000\,000\,\text{mm}^3\). 3. Jede Seitenwand hat \(V_2=10\,\text{mm}\cdot50\,\text{mm}\cdot2000\,\text{mm}=1\,000\,000\,\text{mm}^3\). 4. Insgesamt ist \(V=2\,000\,000\,\text{mm}^3+2\cdot1\,000\,000\,\text{mm}^3=4\,000\,000\,\text{mm}^3=4\,\text{dm}^3\).

Das Materialvolumen des Kabelkanals beträgt \(4\,\text{dm}^3\).

- Betrachte Boden und Seitenwände als drei Quader. - Welche Höhe haben die beiden Seitenwände nur oberhalb des Bodens? - Addiere die drei Teilvolumina und wandle das Ergebnis passend zur angegebenen Masse pro Kubikdezimeter um. - Die Massenangabe wird erst nach der Volumenberechnung benötigt.

1. Der Bodenquader hat das Volumen \(V_1=40\,\text{cm}\cdot100\,\text{cm}\cdot10\,\text{cm}=40\,000\,\text{cm}^3\). 2. Oberhalb des Bodens ist jede Seitenwand \(30\,\text{cm}-10\,\text{cm}=20\,\text{cm}\) hoch. Eine Seitenwand hat \(V_2=10\,\text{cm}\cdot100\,\text{cm}\cdot20\,\text{cm}=20\,000\,\text{cm}^3\). 3. Insgesamt ist \(V=40\,000\,\text{cm}^3+2\cdot20\,000\,\text{cm}^3=80\,000\,\text{cm}^3=80\,\text{dm}^3\). 4. Die Masse beträgt \(80\,\text{dm}^3\cdot2{,}4\,\frac{\text{kg}}{\text{dm}^3}=192\,\text{kg}\).

Das Betonelement hat eine Masse von \(192\,\text{kg}\).

- Welchen vollen Quader erhältst du, wenn du die Öffnung gedanklich schließt? - Welche Form und welche Maße hat der herausgenommene Hohlraum? - Vergleiche die beiden Volumina so, dass nur das Material übrig bleibt.

1. Der äußere Quader hat das Volumen \(V_{\text{außen}}=12\,\text{cm}\cdot10\,\text{cm}\cdot6\,\text{cm}=720\,\text{cm}^3\). 2. Die durchgehende Öffnung entspricht einem Quader mit \(V_{\text{innen}}=8\,\text{cm}\cdot10\,\text{cm}\cdot4\,\text{cm}=320\,\text{cm}^3\). 3. Daher beträgt das Metallvolumen \(V=720\,\text{cm}^3-320\,\text{cm}^3=400\,\text{cm}^3\).

Das Volumen des Metalls beträgt \(400\,\text{cm}^3\).

- Bestimme zuerst, wie viel vom Gesamtvolumen auf den unteren Quader entfällt. - Welches Volumen bleibt danach für den oberen Quader übrig? - Aus Volumen und Höhe des oberen Quaders kannst du seine quadratische Grundfläche bestimmen. - Welche positive Seitenlänge gehört zu dieser quadratischen Fläche?

1. Der untere Quader hat \(V_1=8\,\text{cm}\cdot8\,\text{cm}\cdot3\,\text{cm}=192\,\text{cm}^3\). 2. Für den oberen Quader bleiben \(V_2=256\,\text{cm}^3-192\,\text{cm}^3=64\,\text{cm}^3\). 3. Seine quadratische Grundfläche hat den Flächeninhalt \(G=64\,\text{cm}^3:4\,\text{cm}=16\,\text{cm}^2\). 4. Wegen \(x\cdot x=16\,\text{cm}^2\) und \(x>0\) gilt \(x=4\,\text{cm}\).

Die Seitenlänge beträgt \(x=4\,\text{cm}\).

- Bestimme zuerst das Volumen des vollständig bekannten Teilquaders. - Welcher Anteil des Gesamtvolumens bleibt für den zweiten Quader übrig? - Beim zweiten Quader kennst du danach Volumen und zwei Kantenlängen.

1. Der erste Quader hat \(V_1=6\,\text{cm}\cdot3\,\text{cm}\cdot4\,\text{cm}=72\,\text{cm}^3\). 2. Für den zweiten Quader bleiben \(V_2=90\,\text{cm}^3-72\,\text{cm}^3=18\,\text{cm}^3\). 3. Seine Grundfläche hat den Flächeninhalt \(3\,\text{cm}\cdot2\,\text{cm}=6\,\text{cm}^2\). 4. Daher ist \(h=18\,\text{cm}^3:6\,\text{cm}^2=3\,\text{cm}\).

Die unbekannte Höhe beträgt \(h=3\,\text{cm}\).

- Überlege, welche Flächen nach dem Zusammenfügen der beiden Quader nicht mehr außen liegen. - Welche Größe hat die gemeinsame Berührungsfläche? - Prüfe, wie oft diese Fläche in der Summe der beiden Einzeloberflächen enthalten ist.

1. Die beiden Einzeloberflächen sind richtig berechnet. Die gemeinsame Kontaktfläche liegt nach dem Zusammensetzen jedoch innen. 2. Die Kontaktfläche ist \(3\,\text{cm}\times4\,\text{cm}=12\,\text{cm}^2\) groß. 3. Diese Fläche wurde in der Summe der beiden Einzeloberflächen zweimal mitgezählt. 4. Deshalb gilt \(O=140\,\text{cm}^2-2\cdot12\,\text{cm}^2=116\,\text{cm}^2\).

Amina zählt die gemeinsame Kontaktfläche zweimal als Außenfläche mit. Die richtige äußere Oberfläche beträgt \(116\,\text{cm}^2\).

- Welche Flächen verschwinden aus der äußeren Oberfläche, sobald zwei Quader aneinandergefügt werden? - Verfolge die Kette von A nach D und zähle die tatsächlichen Flächenkontakte. - Überlege, wie oft jede Kontaktfläche in der Summe der Einzeloberflächen enthalten ist.

1. Beim Zusammenfügen entstehen drei Kontaktflächen: zwischen A und B, zwischen B und C sowie zwischen C und D. 2. Jede Kontaktfläche ist \(2\,\text{cm}\times2\,\text{cm}=4\,\text{cm}^2\) groß. 3. Jede Kontaktfläche wurde in der Summe der Einzeloberflächen zweimal mitgezählt. Insgesamt müssen daher \(2\cdot3\cdot4\,\text{cm}^2=24\,\text{cm}^2\) abgezogen werden. 4. Die richtige äußere Oberfläche ist \(144\,\text{cm}^2-24\,\text{cm}^2=120\,\text{cm}^2\).

Amina zählt drei innen liegende Kontaktflächen jeweils zweimal mit. Die richtige äußere Oberfläche beträgt \(120\,\text{cm}^2\).

- Wie viele Würfel zeigt das Gebäude insgesamt? - Welche Flächen verschwinden jeweils, wenn zwei Würfel aneinanderliegen? - Bestimme erst die Anzahl sichtbarer Quadratflächen und dann den Flächeninhalt einer Quadratfläche.

1. Das Gebäude besteht aus \(4\) Würfeln. Vier einzelne Würfel hätten zusammen \(4\cdot6=24\) Quadratflächen. 2. Es gibt \(3\) Berührungsflächen zwischen Würfelpaaren: eine im senkrechten Stapel und zwei zwischen benachbarten unteren Würfeln. 3. Jede Berührung macht zwei Quadratflächen unsichtbar. Daher bleiben \(24-3\cdot2=18\) sichtbare Quadratflächen. 4. Eine Quadratfläche hat den Inhalt \(2\,\text{cm}\cdot2\,\text{cm}=4\,\text{cm}^2\). 5. Die Oberfläche beträgt \(18\cdot4\,\text{cm}^2=72\,\text{cm}^2\).

Die gesamte Oberfläche beträgt \(72\,\text{cm}^2\).

- Rechne die beiden Quader zuerst in Litern aus. - Was weißt du sicher, weil der kleine Quader ganz in die Box passt? - Was weißt du sicher, weil der ganze Innenraum in den großen Quader passt?

1. Der kleine Quader hat das Volumen \(55\cdot35\cdot30=57\,750\,\text{cm}^3=57{,}75\,\text{l}\). 2. Der große Quader hat das Volumen \(60\cdot40\cdot35=84\,000\,\text{cm}^3=84\,\text{l}\). 3. Der kleine Quader passt ganz in den Innenraum. Deshalb fasst die Box mindestens \(57{,}75\,\text{l}\). 4. Der ganze Innenraum passt in den großen Quader. Deshalb fasst die Box höchstens \(84\,\text{l}\).

a) \(57{,}75\,\text{l}\) und \(84\,\text{l}\) b) mindestens \(57{,}75\,\text{l}\), höchstens \(84\,\text{l}\) c) Der kleine Quader passt sicher hinein. Der ganze Innenraum passt in den großen Quader.

- Stell dir vor, welche Flächen des Körpers von außen sichtbar sind. - Was passiert mit den Flächen an der Stelle, an der die beiden Körper zusammengeklebt sind? - Gehören diese inneren Flächen noch zum Oberflächeninhalt des Gesamtkörpers? - Du kannst entweder die Oberflächen einzeln berechnen und die Klebefläche abziehen oder alle sichtbaren Teilflächen addieren.

1. Berechnung des Oberflächeninhalts des unteren Quaders: \(O_1 = 2 \cdot (10 \cdot 10 + 10 \cdot 4 + 10 \cdot 4) = 2 \cdot (100 + 40 + 40) = 360\,\text{cm}^2\). 2. Berechnung des Oberflächeninhalts des oberen Würfels: \(O_2 = 6 \cdot (5 \cdot 5) = 150\,\text{cm}^2\). 3. Bestimmung der Klebefläche: Da der Würfel auf dem Quader klebt, ist eine Fläche von \(5\,\text{cm} \cdot 5\,\text{cm} = 25\,\text{cm}^2\) bei beiden Körpern nicht mehr Teil der Außenfläche. 4. Berechnung der Gesamtoberfläche: \(O_{Gesamt} = O_1 + O_2 - 2 \cdot 25\,\text{cm}^2 = 360 + 150 - 50 = 460\,\text{cm}^2\). Alternativ: Addition aller sichtbaren Teilflächen (Boden: \(100\), 4 Seiten unten: \(160\), Rest-Oberseite unten: \(100-25=75\), 4 Seiten oben: \(100\), Deckfläche oben: \(25\)). Summe: \(100 + 160 + 75 + 100 + 25 = 460\,\text{cm}^2\).

Der gesamte Oberflächeninhalt des Podests beträgt \(460\,\text{cm}^2\).

- Addiere für das Volumen die drei Teilvolumina. - Lies aus der Abbildung ab, welche Teilkörper sich berühren. - Kontaktflächen liegen nach dem Zusammensetzen innen.

1. Die drei Volumina sind \(6\cdot4\cdot2=48\,\text{cm}^3\), \(2\cdot4\cdot3=24\,\text{cm}^3\) und \(2\cdot2\cdot2=8\,\text{cm}^3\). Zusammen sind das \(80\,\text{cm}^3\). 2. Die Oberflächen der drei Einzelkörper sind \(88\,\text{cm}^2\), \(52\,\text{cm}^2\) und \(24\,\text{cm}^2\). 3. Aus der Abbildung erkennt man zwei Kontaktflächen: \(2\cdot4=8\,\text{cm}^2\) und \(2\cdot2=4\,\text{cm}^2\). 4. Beide Kontaktflächen wurden jeweils zweimal mitgezählt. Daher ist die Oberfläche \(88+52+24-2\cdot8-2\cdot4=140\,\text{cm}^2\).

Volumen: \(80\,\text{cm}^3\) Oberfläche: \(140\,\text{cm}^2\)

- Behandle die drei Stufen für das Volumen als einzelne Quader. - Nutze die Abbildung, um die Berührungsflächen zu erkennen. - Diese Flächen gehören nicht zur äußeren Oberfläche.

1. Die Teilvolumina sind \(3000\,\text{cm}^3\), \(2000\,\text{cm}^3\) und \(1000\,\text{cm}^3\). Zusammen sind das \(6000\,\text{cm}^3\). 2. Die Einzeloberflächen sind \(1400\,\text{cm}^2\), \(1000\,\text{cm}^2\) und \(600\,\text{cm}^2\). 3. Aus der Abbildung erkennt man die Kontaktflächen \(20\cdot10=200\,\text{cm}^2\) und \(10\cdot10=100\,\text{cm}^2\). 4. Jede Kontaktfläche wurde zweimal mitgezählt. Daher beträgt die Oberfläche \(1400+1000+600-2\cdot200-2\cdot100=2400\,\text{cm}^2\).

Volumen: \(6000\,\text{cm}^3\) Oberfläche: \(2400\,\text{cm}^2\)

- Betrachte zuerst den vollständigen äußeren Quader. - Für die Innenmaße wird die Wandstärke bei Länge und Breite auf zwei Seiten, bei der Höhe aber nur am Boden abgezogen. - Das gesuchte Materialvolumen ist die Differenz aus Außenvolumen und Hohlraum.

1. Der äußere Quader hat das Volumen \(8\cdot5\cdot4=160\,\text{dm}^3\). 2. Der Hohlraum ist innen \(8-2=6\,\text{dm}\) lang, \(5-2=3\,\text{dm}\) breit und wegen des Bodens \(4-1=3\,\text{dm}\) hoch. Sein Volumen ist \(6\cdot3\cdot3=54\,\text{dm}^3\). 3. Das Betonvolumen beträgt daher \(160-54=106\,\text{dm}^3\). 4. Wegen \(1\,\text{dm}^3=1\,\text{l}\) entspricht das \(106\,\text{l}\).

\(106\,\text{dm}^3\), entsprechend \(106\,\text{l}\)

- Addiere für a) die drei Quader-Volumina. - Lies aus der Abbildung ab, wo sich die Quader berühren. - Jede Kontaktfläche liegt nach dem Zusammensetzen innen.

1. Ein kleiner Quader hat das Volumen \(2\cdot3\cdot4=24\,\text{cm}^3\), der große Quader \(8\cdot3\cdot2=48\,\text{cm}^3\). Zusammen sind das \(96\,\text{cm}^3\). 2. Ein kleiner Quader hat die Oberfläche \(52\,\text{cm}^2\), der große \(92\,\text{cm}^2\). 3. Aus der Abbildung erkennt man zwei Kontaktflächen von jeweils \(2\cdot3=6\,\text{cm}^2\). 4. Jede Kontaktfläche wurde zweimal mitgezählt. Daher beträgt die Oberfläche \(2\cdot52+92-4\cdot6=172\,\text{cm}^2\).

a) \(96\,\text{cm}^3\) b) \(172\,\text{cm}^2\)

- Addiere für a) die drei Teilvolumina. - Nutze für b) die Abbildung, um die sichtbaren Flächen zu erkennen. - Die Standfläche auf dem Boden gehört nicht zur gesuchten Fläche.

1. Die Teilvolumina sind \(48\,\text{m}^3\), \(16\,\text{m}^3\) und \(8\,\text{m}^3\). Zusammen sind das \(72\,\text{m}^3\). 2. Die senkrechten Seitenflächen der drei Quader haben zusammen \(40\,\text{m}^2\), \(24\,\text{m}^2\) und \(16\,\text{m}^2\). 3. Aus der Abbildung erkennt man, dass sich die von oben sichtbaren waagerechten Flächen zusammen zu \(24\,\text{m}^2\) ergänzen. 4. Die Standfläche wird nicht mitgerechnet. Die zu reinigende Fläche beträgt daher \(40+24+16+24=104\,\text{m}^2\).

a) \(72\,\text{m}^3\) b) \(104\,\text{m}^2\)

- Kannst du die L-förmige Figur in zwei einfache Rechtecke zerlegen? - Wie berechnest du den Flächeninhalt eines Rechtecks? - Wie rechnest du die Füllhöhe von Zentimetern in Meter um? - Welches Gesamtvolumen an Sand in Kubikmetern ergibt sich daraus? - Denke daran, dass ein Kubikmeter \(1000\) Litern entspricht.

1. Zerlegung der Grundfläche in zwei Rechtecke: ein oberes Rechteck mit den Maßen \(4{,}0\,\text{m} \times 1{,}5\,\text{m}\) und ein unteres rechtes Rechteck mit den Maßen \(1{,}5\,\text{m} \times 2{,}0\,\text{m}\). 2. Berechnung der Teilflächen: \(A_1 = 4{,}0\,\text{m} \cdot 1{,}5\,\text{m} = 6{,}0\,\text{m}^2\) und \(A_2 = 1{,}5\,\text{m} \cdot 2{,}0\,\text{m} = 3{,}0\,\text{m}^2\). 3. Berechnung des Gesamtflächeninhalts: \(A_{\text{gesamt}} = 6{,}0\,\text{m}^2 + 3{,}0\,\text{m}^2 = 9{,}0\,\text{m}^2\). 4. Berechnung des benötigten Sandvolumens bei einer Füllhöhe von \(25\,\text{cm} = 0{,}25\,\text{m}\): \(V = 9{,}0\,\text{m}^2 \cdot 0{,}25\,\text{m} = 2{,}25\,\text{m}^3\). 5. Umrechnung des Volumens in Liter: \(2{,}25\,\text{m}^3 = 2250\,\text{l}\). 6. Ermittlung der Sackanzahl bei \(25\,\text{l}\) pro Sack: \(\frac{2250\,\text{l}}{25\,\text{l}} = 90\).

Es müssen \(90\) Säcke Spielsand gekauft werden.

- Bestimme aus dem Bauplan zunächst die Anzahl aller Würfel. - Überlege anschließend, wie viele ganze Quadratflächen jeweils zwischen zwei benachbarten Würfeln liegen. - Warum verschwinden bei jeder Berührungsfläche zwei Würfelflächen von der äußeren Oberfläche?

1. Der Bauplan beschreibt \(9\) Würfel in der unteren Schicht und einen zusätzlichen Würfel auf der Mitte. Insgesamt gilt \(N=10\). 2. In der unteren \(3\times3\)-Schicht gibt es \(12\) Berührungsflächen zwischen seitlich benachbarten Würfeln. Der zusätzliche Würfel hat eine weitere Berührungsfläche mit dem mittleren Würfel. Daher gilt \(C=13\). 3. Zehn getrennte Würfel hätten zusammen \(6\cdot10=60\) Quadratflächen. Jede Berührungsfläche entfernt zwei Flächen von der äußeren Oberfläche. 4. Somit gilt \(O=60-2\cdot13=34\,\text{cm}^2\).

Der Oberflächeninhalt beträgt \(34\,\text{cm}^2\).

- Bestimme aus der Abbildung zunächst die Größe des vollständigen äußeren Würfels. - Untersuche anschließend Breite, Tiefe und Höhe des herausgenommenen Schachts. - Das verbleibende Würfelvolumen ist die Differenz aus äußerem Körper und Schacht.

1. Aus der Abbildung erkennt man einen vollständigen \(5\times5\times5\)-Würfel. Er würde \(5\cdot5\cdot5=125\) Einheitswürfel enthalten. 2. Der herausgenommene Schacht hat eine \(3\times3\)-Grundfläche und geht durch alle \(5\) Schichten. Er umfasst \(3\cdot3\cdot5=45\) Einheitswürfel. 3. Verbleiben \(125-45=80\) Einheitswürfel.

\(80\) Einheitswürfel

- Denke an äußere Seitenflächen, innere Seitenflächen und die beiden Stirnflächen. - Bestimme aus Außenmaß und Wandstärke zuerst die Kantenlänge der quadratischen Öffnung. - Die Stirnflächen sind Rahmenflächen, also äußeres Quadrat minus inneres Quadrat.

1. Die vier äußeren Seitenflächen haben zusammen den Flächeninhalt \(4\cdot30\cdot20=2400\,\text{cm}^2\). 2. Das innere Loch ist \(30-2\cdot5=20\,\text{cm}\) breit und hoch. Seine vier inneren Seitenflächen haben zusammen \(4\cdot20\cdot20=1600\,\text{cm}^2\). 3. Jede Stirnfläche ist ein \(30\,\text{cm}\times30\,\text{cm}\)-Quadrat mit einem \(20\,\text{cm}\times20\,\text{cm}\)-Ausschnitt. Beide Stirnflächen haben zusammen \(2\cdot(30^2-20^2)=1000\,\text{cm}^2\). 4. Insgesamt ist \(O=2400+1600+1000=5000\,\text{cm}^2\).

\(5000\,\text{cm}^2\)

- Zerlege die C-Form in einen senkrechten und zwei waagerechte Quader. - Addiere zunächst die vollständigen Oberflächen der drei Quader. - Welche Kontaktflächen liegen nach dem Zusammensetzen innen und sind deshalb doppelt abzuziehen?

1. Zerlege den Körper in einen linken Quader mit \(2\,\text{cm}\times10\,\text{cm}\times6\,\text{cm}\) sowie einen oberen und einen unteren Quader mit jeweils \(4\,\text{cm}\times10\,\text{cm}\times2\,\text{cm}\). 2. Die Oberfläche des linken Quaders beträgt \(2\cdot(2\cdot10+2\cdot6+10\cdot6)=184\,\text{cm}^2\). Jeder der beiden anderen Quader hat die Oberfläche \(2\cdot(4\cdot10+4\cdot2+10\cdot2)=136\,\text{cm}^2\). 3. Oben und unten gibt es je eine Kontaktfläche von \(2\,\text{cm}\times10\,\text{cm}=20\,\text{cm}^2\). Jede wurde zweimal mitgezählt. 4. Daher ist \(O=184+136+136-4\cdot20=376\,\text{cm}^2\).

\(376\,\text{cm}^2\)

- Zerlege die Kreuzform ohne Überlappung in ein langes Mittelrechteck und zwei seitliche Rechtecke. - Übertrage diese drei Rechtecke für Teil b) auf drei Quader mit derselben Höhe. - Passe für Teil c) die Volumeneinheit an die gegebene Dichte an.

1. Die Querschnittsfläche besteht aus einem senkrechten Rechteck \(10\,\text{cm}\times40\,\text{cm}\) und zwei seitlichen Rechtecken \(10\,\text{cm}\times10\,\text{cm}\). Damit ist \(A=400+2\cdot100=600\,\text{cm}^2\). 2. Die Höhe beträgt \(250\,\text{cm}\). Der senkrechte Quader hat das Volumen \(10\cdot40\cdot250=100\,000\,\text{cm}^3\). Die beiden Seitenquader haben zusammen \(2\cdot10\cdot10\cdot250=50\,000\,\text{cm}^3\). 3. Insgesamt ist \(V=150\,000\,\text{cm}^3=150\,\text{dm}^3\). 4. Die Masse beträgt \(150\cdot2{,}5\,\text{kg}=375\,\text{kg}\).

a) \(600\,\text{cm}^2\) b) \(150\,\text{dm}^3\) c) \(375\,\text{kg}\)

- Du kannst zunächst die Oberflächen der drei einzelnen Kisten bestimmen. - Welche rechteckigen Flächen verschwinden dort, wo zwei Kisten aneinanderstehen? - Die gemeinsame Kontaktfläche zweier unterschiedlich hoher Kisten richtet sich nach der kleineren der beiden Höhen. - Überlege, wie oft jede Kontaktfläche in der Summe der Einzeloberflächen vorkommt.

1. Die Oberflächen der drei einzelnen Quader sind \(O_1=2(25+40+40)\,\text{dm}^2=210\,\text{dm}^2\), \(O_2=2(25+60+60)\,\text{dm}^2=290\,\text{dm}^2\) und \(O_3=2(25+50+50)\,\text{dm}^2=250\,\text{dm}^2\). 2. Zwischen der ersten und zweiten Kiste liegt eine Kontaktfläche von \(5\,\text{dm}\cdot8\,\text{dm}=40\,\text{dm}^2\). Zwischen der zweiten und dritten liegt eine Kontaktfläche von \(5\,\text{dm}\cdot10\,\text{dm}=50\,\text{dm}^2\). 3. Beide Kontaktflächen wurden in der Summe der Einzeloberflächen jeweils zweimal mitgezählt. Daher ist \(O=210\,\text{dm}^2+290\,\text{dm}^2+250\,\text{dm}^2-2\cdot40\,\text{dm}^2-2\cdot50\,\text{dm}^2=570\,\text{dm}^2\).

Der Oberflächeninhalt des Gesamtkörpers beträgt \(570\,\text{dm}^2\).

- Berechne zunächst die Oberflächen der beiden Quader getrennt. - Welche rechteckige Fläche berührt sich zwischen den beiden Körpern? - Wie oft wurde diese Kontaktfläche in den beiden Einzeloberflächen mitgezählt?

1. Der untere Quader hat die Oberfläche \(2\cdot(6\cdot4+6\cdot2+4\cdot2)\,\text{cm}^2=88\,\text{cm}^2\). 2. Der obere Quader hat die Oberfläche \(2\cdot(3\cdot4+3\cdot2+4\cdot2)\,\text{cm}^2=52\,\text{cm}^2\). 3. Die Kontaktfläche zwischen beiden Quadern ist \(3\,\text{cm}\cdot4\,\text{cm}=12\,\text{cm}^2\). 4. Diese Kontaktfläche wurde in den beiden Einzeloberflächen zweimal mitgezählt, ist am zusammengesetzten Körper aber nicht außen sichtbar. 5. Daher beträgt die Gesamtoberfläche \(88\,\text{cm}^2+52\,\text{cm}^2-2\cdot12\,\text{cm}^2=116\,\text{cm}^2\).

a) \(12\,\text{cm}^2\) b) \(116\,\text{cm}^2\)