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- Stell dir vor, du klappst einen Schuhkarton auseinander. - Überlege, welche Kanten des Quaders an jeder Fläche zusammentreffen. - Wie viele Paare von gleichen Flächen hat ein Quader?

1. Ein Quader besitzt insgesamt 6 Begrenzungsflächen, folglich besteht das Netz aus 6 Rechtecken. 2. Die Flächen treten paarweise identisch auf (gegenüberliegende Seiten). 3. Die Maße der Rechtecke ergeben sich aus den Kombinationen der Kantenlängen: - 2 Rechtecke mit den Maßen \(6\,\text{cm} \times 4\,\text{cm}\) (Grund- und Deckfläche) - 2 Rechtecke mit den Maßen \(6\,\text{cm} \times 3\,\text{cm}\) (Vorder- und Rückseite) - 2 Rechtecke mit den Maßen \(4\,\text{cm} \times 3\,\text{cm}\) (Seitenflächen)

a) Das Netz besteht aus 6 Flächen. b) Es gibt 2 Rechtecke mit \(6\,\text{cm} \times 4\,\text{cm}\), 2 Rechtecke mit \(6\,\text{cm} \times 3\,\text{cm}\) und 2 Rechtecke mit \(4\,\text{cm} \times 3\,\text{cm}\).

- Wie viele Begrenzungsflächen hat ein Quader insgesamt? - Überlege, welche Kanten im Netz aneinanderstoßen und welche Flächen gleich groß sein müssen. - Kannst du die Formel für den Oberflächeninhalt eines Quaders nutzen oder die Einzelflächen addieren?

1. Bestimmung der Flächenpaare im Netz: Ein Quader besitzt 3 Paare gegenüberliegender, deckungsgleicher Rechtecke. 2. Berechnung der Flächeninhalte der drei verschiedenen Rechtecke: \(A_1 = 6\,\text{cm} \cdot 3\,\text{cm} = 18\,\text{cm}^2\) \(A_2 = 6\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm} = 24\,\text{cm}^2\) \(A_3 = 3\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm} = 12\,\text{cm}^2\) 3. Berechnung des Gesamtoberflächeninhalts (\(O\)): \(O = 2 \cdot (A_1 + A_2 + A_3) = 2 \cdot (18\,\text{cm}^2 + 24\,\text{cm}^2 + 12\,\text{cm}^2) = 2 \cdot 54\,\text{cm}^2 = 108\,\text{cm}^2\).

a) Das Netz besteht aus 3 Paaren gleicher Rechtecke (insgesamt 6 Flächen). b) Der Oberflächeninhalt beträgt \(108\,\text{cm}^2\).

- Stelle dir das Prisma bildlich vor oder zeichne eine Skizze. Wie viele Kanten gehen von den Ecken nach oben? - Überlege dir, wie du eine Pyramide "aufklappen" würdest, um ihr Netz zu erhalten. - Zähle die Ecken an der Unterseite und an der Oberseite des Prismas.

1. Wahr. Ein Prisma mit einer \(n\)-eckigen Grundfläche hat \(3n\) Kanten (\(n\) Kanten der Grundfläche, \(n\) Kanten der Deckfläche und \(n\) Seitenkanten). Für \(n=6\) ergibt sich \(3 \cdot 6 = 18\). 2. Wahr. Die Grundfläche ist ein Quadrat. An jede der vier Seiten des Quadrats schließt sich eine dreieckige Mantelfläche an, die in der Spitze der Pyramide zusammenlaufen. 3. Falsch. Ein Prisma mit einer dreieckigen Grundfläche hat \(2 \cdot 3 = 6\) Ecken (3 an der Grundfläche und 3 an der Deckfläche).

a) Wahr b) Wahr c) Falsch (Es hat 6 Ecken).

- Überlege dir zuerst, wie viele Flächen ein Quader insgesamt hat. - Wie viele verschiedene Arten von Rechtecken kommen in einem Quadernetz vor? - Was bedeutet ein Maßstab von \(1:2\) für die Längen der Seiten?

1. Berechnung des Oberflächeninhalts: Die Oberfläche eines Quaders berechnet sich nach der Formel \(O = 2 \cdot (a \cdot b + a \cdot c + b \cdot c)\). Mit \(a = 10\), \(b = 6\) und \(c = 4\) ergibt sich \(O = 2 \cdot (10 \cdot 6 + 10 \cdot 4 + 6 \cdot 4) = 2 \cdot (60 + 40 + 24) = 2 \cdot 124 = 248\,\text{cm}^2\). 2. Bestimmung der Maße im Maßstab \(1:2\): Beim Maßstab \(1:2\) werden alle Originallängen durch \(2\) dividiert. 3. Die Kantenlängen in der Zeichnung sind somit \(10\,\text{cm} : 2 = 5\,\text{cm}\), \(6\,\text{cm} : 2 = 3\,\text{cm}\) und \(4\,\text{cm} : 2 = 2\,\text{cm}\). 4. Die drei Rechteck-Typen im Netz haben folglich die Maße: \(5\,\text{cm} \times 3\,\text{cm}\), \(5\,\text{cm} \times 2\,\text{cm}\) und \(3\,\text{cm} \times 2\,\text{cm}\).

a) Der Oberflächeninhalt beträgt \(248\,\text{cm}^2\). b) Die Maße in der Zeichnung sind \(5\,\text{cm} \times 3\,\text{cm}\), \(5\,\text{cm} \times 2\,\text{cm}\) und \(3\,\text{cm} \times 2\,\text{cm}\).

- Was passiert mit den Seiten des Dreiecks, wenn man den Mantel des Prismas „abrollt“? - Wie viele „Deckel“ braucht ein Prisma? - Der Umfang der Grundfläche spielt eine wichtige Rolle für die Breite des Mantels.

1. Die Mantelfläche eines Prismas besteht aus Rechtecken, deren eine Seite der jeweiligen Grundkante und deren andere Seite der Körperhöhe entspricht. 2. Die Gesamtlänge des zusammengesetzten Rechtecks der Mantelfläche entspricht dem Umfang der Grundfläche: \(5\,\text{cm} + 12\,\text{cm} + 13\,\text{cm} = 30\,\text{cm}\). 3. Die Höhe dieses Rechtecks entspricht der Körperhöhe des Prismas: \(10\,\text{cm}\). 4. Zusätzlich zu den 3 Mantelflächen besitzt das Prisma eine Grundfläche und eine Deckfläche. 5. Diese beiden Flächen sind identische Dreiecke mit den Seitenlängen \(5\,\text{cm}\), \(12\,\text{cm}\) und \(13\,\text{cm}\).

a) Das große Rechteck hat eine Länge von \(30\,\text{cm}\) und eine Höhe von \(10\,\text{cm}\). b) Das Netz besteht zusätzlich aus 2 identischen Dreiecken (Grund- und Deckfläche).

- Stell dir vor, du faltest die Reihe um einen Würfel herum. Was passiert nach dem vierten Quadrat? - Überlege, welche Flächen sich beim Würfel nie berühren. Wie weit müssen diese im Netz voneinander entfernt sein? - Versuche, dir das Falten im Kopf oder mit einem Papiermodell vorzustellen.

1. Ein Würfel hat 6 Flächen. Eine Reihe von 5 Quadraten würde bedeuten, dass beim Falten Flächen überlappen oder eine Seite offen bleibt, da ein Würfel nur 4 Seitenflächen in einem Ring haben kann. Ein Würfel besteht aus 4 Mantelflächen plus Boden und Deckel. 2. In einer Reihe können maximal 4 Quadrate liegen. Diese bilden den „Mantel“ des Würfels. Das 5. und 6. Quadrat müssen als Grund- und Deckfläche an den Seiten dieser Reihe angebracht sein. 3. Gegenüberliegende Flächen haben im Netz immer genau ein Quadrat Abstand, wenn sie in einer Reihe liegen. In einem Kreuz-Netz mit einer 4er-Reihe liegen zwischen der obersten und der drittobersten Fläche genau ein Quadrat (das zweite). Ebenso zwischen der zweiten und der vierten Fläche. Die beiden seitlich angefügten Quadrate liegen sich ebenfalls gegenüber.

a) Bei 5 Quadraten in einer Reihe würde beim Falten das fünfte Quadrat auf dem ersten liegen (Überlappung). Mit dem sechsten Quadrat lässt sich außerdem nur eine der beiden noch fehlenden Flächen (Grund- oder Deckfläche) schließen. b) Es dürfen höchstens 4 Quadrate in einer Reihe liegen. c) Zwischen zwei gegenüberliegenden Flächen liegt im Netz genau 1 Quadrat.