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- Stell dir vor, du klappst einen Schuhkarton auseinander. - Überlege, welche Kanten des Quaders an jeder Fläche zusammentreffen. - Wie viele Paare von gleichen Flächen hat ein Quader?

1. Ein Quader besitzt insgesamt 6 Begrenzungsflächen, folglich besteht das Netz aus 6 Rechtecken. 2. Die Flächen treten paarweise identisch auf (gegenüberliegende Seiten). 3. Die Maße der Rechtecke ergeben sich aus den Kombinationen der Kantenlängen: - 2 Rechtecke mit den Maßen \(6\,\text{cm} \times 4\,\text{cm}\) (Grund- und Deckfläche) - 2 Rechtecke mit den Maßen \(6\,\text{cm} \times 3\,\text{cm}\) (Vorder- und Rückseite) - 2 Rechtecke mit den Maßen \(4\,\text{cm} \times 3\,\text{cm}\) (Seitenflächen)

a) Das Netz besteht aus 6 Flächen. b) Es gibt 2 Rechtecke mit \(6\,\text{cm} \times 4\,\text{cm}\), 2 Rechtecke mit \(6\,\text{cm} \times 3\,\text{cm}\) und 2 Rechtecke mit \(4\,\text{cm} \times 3\,\text{cm}\).

- Stelle dir das Prisma bildlich vor oder zeichne eine Skizze. Wie viele Kanten gehen von den Ecken nach oben? - Überlege dir, wie du eine Pyramide „aufklappen“ würdest, um ihr Netz zu erhalten. - Zähle die Ecken an der Unterseite und an der Oberseite des Prismas.

1. Wahr. Ein Prisma mit einer \(n\)-eckigen Grundfläche hat \(3n\) Kanten (\(n\) Kanten der Grundfläche, \(n\) Kanten der Deckfläche und \(n\) Seitenkanten). Für \(n=6\) ergibt sich \(3 \cdot 6 = 18\). 2. Wahr. Die Grundfläche ist ein Quadrat. An jede der vier Seiten des Quadrats schließt sich eine dreieckige Mantelfläche an, die in der Spitze der Pyramide zusammenlaufen. 3. Falsch. Ein Prisma mit einer dreieckigen Grundfläche hat \(2 \cdot 3 = 6\) Ecken (3 an der Grundfläche und 3 an der Deckfläche).

a) Wahr b) Wahr c) Falsch (Es hat 6 Ecken).

- Stell dir vor, du schneidest die Figuren aus und faltest sie im Kopf zusammen. - Welche Flächen stoßen aneinander, und welche liegen sich direkt gegenüber? - Bei einer Reihe von vier Quadraten liegen sich das erste und das dritte sowie das zweite und das vierte Quadrat gegenüber. Hilft dir das bei Figur \(A\)? - Versuche bei Figur \(C\), ein Quadrat als Bodenfläche festzulegen und die anderen gedanklich hochzuklappen.

1. Überprüfung der Figuren auf Faltbarkeit zu einem Würfel: - Figur \(A\) ist ein klassisches Würfelnetz (Kreuzform) und lässt sich falten. - Figur \(B\) lässt sich nicht zu einem Würfel falten, da sich beim Zusammenlegen die Flächen \(5\) und \(6\) überlappen würden, während die Oberseite offen bleibt. Somit ist \(B\) kein Würfelnetz. - Figur \(C\) ist ein Z-förmiges Würfelnetz und lässt sich falten. 2. Bestimmung der gegenüberliegenden Flächen zu Fläche \(3\): - Bei Netz \(A\) liegt beim fertig gefalteten Würfel die Fläche \(3\) der Fläche \(5\) gegenüber. - Bei Netz \(C\) liegt beim fertig gefalteten Würfel die Fläche \(3\) der Fläche \(6\) gegenüber.

a) Die Figuren \(A\) und \(C\) sind echte Würfelnetze. Figur \(B\) ist kein Würfelnetz. b) Bei Netz \(A\) liegt der Fläche \(3\) die Fläche \(5\) gegenüber. Bei Netz \(C\) liegt der Fläche \(3\) die Fläche \(6\) gegenüber.

- Stell dir vor, du faltest das Netz im Kopf zusammen und wählst eine Fläche als Boden. - Welche Flächen stehen sich danach gegenüber? - Gegenüberliegende Flächen eines Quaders sind deckungsgleich.

1. Ein Quadernetz besteht aus 6 Rechtecken, da ein Quader 6 Begrenzungsflächen besitzt. 2. Wählt man Fläche \(B\) als Boden, werden die Flächen \(A\), \(C\), \(E\) und \(F\) zu Seitenflächen. Dabei liegen sich \(E\) und \(F\) gegenüber. 3. Die Flächen \(A\) und \(C\) liegen sich ebenfalls gegenüber und sind daher deckungsgleich. 4. Ein Quader hat genau 3 Paare gegenüberliegender Flächen. Jedes dieser Paare ist deckungsgleich.

a) 6 Rechtecke b) Fläche \(F\) c) Fläche \(C\) d) 3 Paare gegenüberliegender, deckungsgleicher Flächen

- Was passiert mit den Seiten des Dreiecks, wenn man den Mantel des Prismas „abrollt“? - Wie viele „Deckel“ braucht ein Prisma? - Der Umfang der Grundfläche spielt eine wichtige Rolle für die Breite des Mantels.

1. Die Mantelfläche eines Prismas besteht aus Rechtecken, deren eine Seite der jeweiligen Grundkante und deren andere Seite der Körperhöhe entspricht. 2. Die Gesamtlänge des zusammengesetzten Rechtecks der Mantelfläche entspricht dem Umfang der Grundfläche: \(5\,\text{cm} + 12\,\text{cm} + 13\,\text{cm} = 30\,\text{cm}\). 3. Die Höhe dieses Rechtecks entspricht der Körperhöhe des Prismas: \(10\,\text{cm}\). 4. Zusätzlich zu den 3 Mantelflächen besitzt das Prisma eine Grundfläche und eine Deckfläche. 5. Diese beiden Flächen sind identische Dreiecke mit den Seitenlängen \(5\,\text{cm}\), \(12\,\text{cm}\) und \(13\,\text{cm}\).

a) Das große Rechteck hat eine Länge von \(30\,\text{cm}\) und eine Höhe von \(10\,\text{cm}\). b) Das Netz besteht zusätzlich aus 2 identischen Dreiecken (Grund- und Deckfläche).

- Überlege dir zuerst, wie viele Flächen ein Quader insgesamt hat. - Wie viele verschiedene Arten von Rechtecken kommen in einem Quadernetz vor? - Was bedeutet ein Maßstab von \(1{:}2\) für die Längen der Seiten?

1. Berechnung des Oberflächeninhalts: Die Oberfläche eines Quaders berechnet sich nach der Formel \(O = 2(ab + ac + bc)\). Mit \(a = 10\), \(b = 6\) und \(c = 4\) ergibt sich \(O = 2 \cdot (10 \cdot 6 + 10 \cdot 4 + 6 \cdot 4) = 2 \cdot (60 + 40 + 24) = 2 \cdot 124 = 248\,\text{cm}^2\). 2. Bestimmung der Maße im Maßstab \(1{:}2\): Beim Maßstab \(1{:}2\) werden alle Originallängen durch \(2\) dividiert. 3. Die Kantenlängen in der Zeichnung sind somit \(10\,\text{cm} : 2 = 5\,\text{cm}\), \(6\,\text{cm} : 2 = 3\,\text{cm}\) und \(4\,\text{cm} : 2 = 2\,\text{cm}\). 4. Die drei Rechteck-Typen im Netz haben folglich die Maße: \(5\,\text{cm} \times 3\,\text{cm}\), \(5\,\text{cm} \times 2\,\text{cm}\) und \(3\,\text{cm} \times 2\,\text{cm}\).

a) Der Oberflächeninhalt beträgt \(248\,\text{cm}^2\). b) Die Maße in der Zeichnung sind \(5\,\text{cm} \times 3\,\text{cm}\), \(5\,\text{cm} \times 2\,\text{cm}\) und \(3\,\text{cm} \times 2\,\text{cm}\).

- Stell dir vor, du baust den Würfel im Kopf zusammen: Welches Quadrat liegt am Ende wo? - Beginne mit Quadrat A als Bodenfläche. Welche Flächen stehen nach dem ersten Faltschritt senkrecht nach oben? - Wohin bewegt sich die blau markierte Ecke von Quadrat E, wenn du es nach oben klappst? - Welches Quadrat bildet die Vorderseite und welches die Oberseite des Würfels? Verfolge deren Ecken beim Falten.

1. Das Quadrat A bildet die Grundfläche (unten). 2. Das Quadrat E wird an der linken Kante von A nach oben geklappt. Die blau markierte obere linke Ecke von E befindet sich danach an der oberen, vorderen, linken Ecke des Würfels. 3. Das Quadrat B wird an der vorderen Kante von A nach oben geklappt. Seine obere linke Ecke befindet sich danach ebenfalls an der oberen, vorderen, linken Ecke des Würfels. 4. Das Quadrat C wird über B hinweg geklappt und bildet die Deckfläche (oben). Seine untere linke Ecke liegt somit ebenfalls an der oberen, vorderen, linken Ecke des Würfels. Daher treffen an der blau markierten Ecke die folgenden beiden Ecken auf: - Die obere linke Ecke des Quadrats B - Die untere linke Ecke des Quadrats C

Die obere linke Ecke des Quadrats B und die untere linke Ecke des Quadrats C.

- Nutze die Information über die gegenüberliegenden Paare aus dem Text. - Finde im Netz heraus, welche Positionen sich nach dem Falten gegenüberstehen. - Gehe Feld für Feld vor und trage die Symbole in Gedanken ein.

1. Dem roten Quadrat RQ liegt das ganz rechte Feld der waagerechten Viererreihe gegenüber. Dort steht BQ. 2. Dem roten Kreis RK liegt das Feld direkt unter RQ gegenüber. Dort steht BK. 3. Dem roten Dreieck RD liegt das leere Feld direkt rechts neben RQ gegenüber. Dort steht BD.

BQ steht im ganz rechten Feld der waagerechten Reihe, BK im Feld direkt unter RQ und BD im Feld direkt rechts neben RQ.

- Stell dir vor, die Fläche U liegt fest auf dem Tisch. Welche Flächen musst du hochklappen? - Welche Fläche ist am weitesten von U entfernt und muss zwei Knicke machen, um parallel zu U zu liegen? - Gegenüberliegende Flächen berühren sich im Netz nie direkt an einer Kante.

1. Wenn die Fläche **U** unten liegt, bilden die angrenzenden Flächen **L**, **R**, **V** und **H** die Seitenwände, wenn sie hochgeklappt werden. 2. Die Fläche **O** ist an **H** befestigt. Wenn **H** hochgeklappt wird, kann **O** als Deckel über die Grundfläche **U** geklappt werden. Somit liegt **O** gegenüber von **U**. 3. Wenn **V** die Vorderseite ist, liegt die gegenüberliegende Fläche **H** hinten.

- Die Fläche **O** liegt oben (Deckfläche). - Wenn **V** die Vorderseite ist, ist **H** die Rückseite.

- Stell dir vor, du klappst die Quadrate an den Kanten hoch, um einen geschlossenen Körper zu formen. - Achte darauf, ob beim Falten zwei Quadrate an derselben Stelle landen würden, was auf eine Überlappung hindeutet. - Ein Würfel hat immer drei Paare von gegenüberliegenden Seiten. Diese berühren sich im ausgebreiteten Netz nie direkt an einer Kante. - Überlege dir für das Falten eine feste „Bodenfläche“ und klappe die anderen Wände von dort aus hoch. - Die Oberfläche eines Würfels besteht aus sechs identischen Quadraten.

1. Identifikation der Würfelnetze: Die Abbildungen (1) und (3) stellen gültige Würfelnetze dar, da sie sich ohne Überlappungen zu einem geschlossenen Würfel falten lassen. Abbildung (2) ist kein Netz, da zwei Seitenflächen (die oberen Quadrate) beim Falten übereinander liegen würden und eine Seite offen bliebe. Bei Abbildung (4) bilden vier Quadrate beim Falten einen Mantel; die beiden übrigen Quadrate überlappen bereits belegte Seiten, während Boden und Deckel fehlen. 2. Gegenüberliegende Flächen in Netz (1): Durch gedankliches Falten (z. B. mit B als Bodenfläche) ergeben sich die Paare A und C (Seitenwände), B und D (Boden und Deckel) sowie E und F (Vorder- und Rückwand). 3. Berechnung des Oberflächeninhalts: Die Fläche eines Quadrats beträgt \(A = (5\,\text{cm})^2 = 25\,\text{cm}^2\). Da ein Würfel aus 6 dieser identischen Flächen besteht, ergibt sich ein Gesamtoberflächeninhalt von \(O = 6 \cdot 25\,\text{cm}^2 = 150\,\text{cm}^2\).

a) Die Abbildungen (1) und (3) sind Würfelnetze. b) Gegenüberliegende Flächen sind: A und C, B und D, E und F. c) Der Oberflächeninhalt beträgt \(150\,\text{cm}^2\).

- Überprüfe zuerst, ob jedes Netz aus genau sechs rechteckigen Flächen besteht. - Suche nach Paaren von Flächen, die genau gleich groß sind. Ein Quader benötigt immer drei solcher Paare. - Überlege dir beim Falten im Kopf: Welche Kanten werden beim Zusammenbauen aufeinandertreffen? Sie müssen die gleiche Länge haben. - Achte darauf, dass nicht zwei Flächen an Stellen sitzen, an denen sie beim Falten übereinander liegen würden.

1. Analyse von Netz a): Vorhandensein von drei Paaren kongruenter Rechtecke (\(2 \times 3\), \(2 \times 1\), \(1 \times 3\)). Die Anordnung in der zentralen Kette (\(3, 1, 3, 1\)) und die Position der seitlich angefügten Flächen erlauben ein passgenaues Falten ohne Überlappungen. Ergebnis: Korrektes Netz. 2. Analyse von Netz b): Die beiden seitlichen \(1 \times 3\) Flächen befinden sich auf der gleichen Seite der zentralen Kette. Beim Falten würden sie dieselbe Seite des Quaders abdecken (Überlappung), während die gegenüberliegende Seite offen bliebe. Ergebnis: Falsches Netz. 3. Analyse von Netz c): Vergleich der gegenüberliegenden Flächen in der Kette. Die zweite Fläche (\(2 \times 2\)) und die vierte Fläche (\(2 \times 1\)) sind nicht deckungsgleich. Ein Quader erfordert jedoch drei Paare jeweils gleicher Flächen. Ergebnis: Falsches Netz. 4. Analyse von Netz d): Die Flächenpaare sind korrekt, aber die Abfolge in der Kette (\(3, 3, 1, 1\)) ist falsch. Beim Falten trifft die \(3\,\text{cm}\) lange Seitenkante der zweiten Fläche auf die nur \(1\,\text{cm}\) lange Oberkante der seitlich angefügten Fläche. Ergebnis: Falsches Netz.

Nur Netz a) ist ein korrektes Netz eines Quaders. Die anderen Netze sind aus folgenden Gründen fehlerhaft: - b) Die seitlichen Flächen überlappen sich beim Falten, da sie auf der gleichen Seite der Kette liegen. - c) Die Flächenmaße passen nicht paarweise zusammen (es fehlen drei Paare jeweils gleicher Rechtecke). - d) Die Kantenlängen der aneinanderstoßenden Flächen passen beim Falten nicht zusammen (mangelnde Passung der Seitenkanten).

- Parallel bedeutet im fertigen Modell, dass sich die Flächen gegenüberliegen und denselben Abstand zueinander haben. - In einem Netz liegen gegenüberliegende Flächen nie direkt nebeneinander (sie teilen keine Kante). - Versuche, den Faltvorgang Schritt für Schritt im Kopf durchzugehen.

1. Analyse der Anordnung: Fläche C (Mitte, \(2 \times 3\)) wird als Grundfläche gewählt. 2. Die Flächen A (links, \(1 \times 3\)) und E (rechts, \(1 \times 3\)) werden hochgeklappt und stehen sich als Seitenflächen gegenüber. Sie sind also parallel. 3. Die Flächen B (oben, \(2 \times 1\)) und D (unten, \(2 \times 1\)) werden ebenfalls hochgeklappt und bilden Vorder- und Rückseite. Sie liegen parallel zueinander. 4. Fläche F (ganz rechts, \(2 \times 3\)) wird über die Oberseite geklappt und liegt damit parallel zur Grundfläche C. 5. Ergebnis: Die parallelen Paare sind (A, E), (B, D) und (C, F).

Die parallelen Flächenpaare sind: - A und E - B und D - C und F

- Stell dir vor, du faltest die Reihe um einen Würfel herum. Was passiert nach dem vierten Quadrat? - Überlege, welche Flächen sich beim Würfel nie berühren. Wie weit müssen diese im Netz voneinander entfernt sein? - Versuche, dir das Falten im Kopf oder mit einem Papiermodell vorzustellen.

1. Ein Würfel hat 6 Flächen. Eine Reihe von 5 Quadraten würde bedeuten, dass beim Falten Flächen überlappen oder eine Seite offen bleibt, da ein Würfel nur 4 Seitenflächen in einem Ring haben kann. Ein Würfel besteht aus 4 Mantelflächen plus Boden und Deckel. 2. In einer Reihe können maximal 4 Quadrate liegen. Diese bilden den „Mantel“ des Würfels. Das 5. und 6. Quadrat müssen als Grund- und Deckfläche an den Seiten dieser Reihe angebracht sein. 3. Gegenüberliegende Flächen haben im Netz immer genau ein Quadrat Abstand, wenn sie in einer Reihe liegen. In einem Kreuz-Netz mit einer 4er-Reihe liegen zwischen der obersten und der drittobersten Fläche genau ein Quadrat (das zweite). Ebenso zwischen der zweiten und der vierten Fläche. Die beiden seitlich angefügten Quadrate liegen sich ebenfalls gegenüber.

a) Bei 5 Quadraten in einer Reihe würde beim Falten das fünfte Quadrat auf dem ersten liegen (Überlappung). Mit dem sechsten Quadrat lässt sich außerdem nur eine der beiden noch fehlenden Flächen (Grund- oder Deckfläche) schließen. b) Es dürfen höchstens 4 Quadrate in einer Reihe liegen. c) Zwischen zwei gegenüberliegenden Flächen liegt im Netz genau 1 Quadrat.

- Versuche, dir ein Quadrat als Grundfläche auszusuchen und die anderen Seiten gedanklich hochzuklappen. - Welche Kanten des Netzes werden nach dem Falten direkt aneinanderliegen? - Verfolge den Weg der beiden farbigen Punkte während des Faltvorgangs Schritt für Schritt. - Überlege dir, welche drei Quadrate sich jeweils an einer Ecke des fertigen Würfels treffen müssen. - Prüfe, ob die markierten Punkte am Ende denselben Abstand zu einer gemeinsamen Referenzkante haben.

1. Zuerst identifizieren wir die Positionen der Markierungen im Würfelnetz. Die blaue Markierung befindet sich an der unteren linken Ecke des Quadrats links der Mitte. Die gelbe Markierung befindet sich an der unteren rechten Ecke des obersten Quadrats. 2. Wir wählen das Quadrat in der Mitte des Netzes als Grundfläche des Würfels. Beim Zusammenfalten werden die vier angrenzenden Quadrate zu den Seitenwänden hochgeklappt. 3. Die gelbe Markierung liegt an einer Ecke, an der die Rückwand, die rechte Seitenwand und die Grundfläche zusammentreffen (im Koordinatensystem des Netzes der Punkt \((2|3)\)). 4. Die blaue Markierung liegt an einer Ecke, die beim Falten der linken Seitenwand nach oben wandert. Durch das Zusammentreffen der Kanten der linken Seitenwand und der Vorderwand trifft die blaue Markierung genau auf die obere linke Ecke des Quadrats \(A\) (im Netz der Punkt \((1|1)\)). 5. Im dreidimensionalen Modell des Würfels liegen die Position der blauen Markierung (vorne oben links) und die Position der gelben Markierung (hinten unten rechts) diametral gegenüber. Sie treffen sich also nicht. 6. Die Ecke des Quadrats \(A\), die mit der blauen Markierung zusammenfällt, ist die obere linke Ecke (bezogen auf die Ausrichtung im Netz).

a) Nein, die Behauptung ist falsch. Die blaue und die gelbe Markierung treffen sich nicht in einer gemeinsamen Ecke, sondern liegen nach dem Falten an gegenüberliegenden Ecken des Würfels. b) Die blaue Markierung trifft mit der oberen linken Ecke des Quadrats \( A \) zusammen.

- Markiere dir im Kopf eine Ecke des Würfels, zum Beispiel „vorne oben links“. Welche Quadrate grenzen an diesen Punkt? - Verfolge jede markierte Ecke einzeln beim Falten. - An jeder Ecke eines Würfels treffen genau drei Flächen zusammen.

1. Betrachte das zweite Quadrat der waagerechten Viererreihe als Vorderfläche des Würfels. 2. Das darüberliegende Quadrat wird zur Oberseite, das ganz linke Quadrat zur linken Seite und das ganz rechte Quadrat zur Rückseite. Das darunterliegende Quadrat wird zur Unterseite. 3. Beim Falten treffen drei der markierten Ecken an derselben Würfelecke zusammen: die obere linke Ecke des oberen Quadrats, die obere linke Ecke des ganz linken Quadrats und die obere rechte Ecke des ganz rechten Quadrats. 4. Die markierte untere rechte Ecke des unteren Quadrats liegt an einer anderen Würfelecke. 5. Daher treffen sich genau drei rote Markierungen an einem Punkt.

Es treffen sich 3 rote Ecken an einem gemeinsamen Punkt des Würfels.