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Kostenlose Arbeitsblätter

Stellen Sie aus rund 22.000 Matheaufgaben von der 3. bis zur 13. Klasse Ihre eigenen Arbeitsblätter zusammen. Alle Aufgaben enthalten Lösungsschritte.

Variablen als Platzhalter

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4223277
Ein Wanderweg ist insgesamt \(w\) Kilometer lang. Eine Familie wandert am ersten Tag \(\frac{1}{5}\) der Strecke und am zweiten Tag \(\frac{2}{5}\) der Strecke. Wie viele Kilometer haben sie nach den zwei Tagen insgesamt zurückgelegt? Gib das Ergebnis in Abhängigkeit von \(w\) an.

Denkanstöße

- Kannst du die Anteile der beiden Tage zusammenrechnen? - Was ist die gesamte Strecke in diesem Problem? - Wie berechnet man einen Bruchteil von einer unbekannten Größe wie \(w\)?

Lösung

1. Addition der Anteile beider Tage: \(\frac{1}{5} + \frac{2}{5} = \frac{3}{5}\) 2. Berechnung der zurückgelegten Gesamtstrecke in Abhängigkeit von \(w\): \(\frac{3}{5} \cdot w\)

Antwort

\(\frac{3}{5} \cdot w\,\text{km}\)
4121337
Bestimme die Zahl, die für den Platzhalter \(\square\) eingesetzt werden muss, damit die jeweilige Gleichung korrekt ist. a) \(12{,}5 - \square = 7{,}8\) b) \(\square \cdot 0{,}4 = 2{,}4\) c) \(15 : \square = 2{,}5\)

Denkanstöße

- Überlege dir bei jeder Aufgabe die Umkehroperation. - Wie hängen Minuend, Subtrahend und Differenz zusammen? - Wenn du ein Produkt hast und einen Faktor suchst, welche Rechenart hilft dir weiter? - Du kannst dein Ergebnis immer prüfen, indem du die Zahl für das Kästchen einsetzt und nachrechnest.

Lösung

1. Berechnung für Teilaufgabe a): Um den Subtrahenden zu finden, subtrahiert man die Differenz vom Minuenden: \(12{,}5 - 7{,}8 = 4{,}7\). 2. Berechnung für Teilaufgabe b): Um den fehlenden Faktor zu finden, dividiert man das Produkt durch den bekannten Faktor: \(2{,}4 : 0{,}4 = 6\). 3. Berechnung für Teilaufgabe c): Um den Divisor zu finden, dividiert man den Dividenden durch den Quotienten: \(15 : 2{,}5 = 6\).

Antwort

a) \(\square = 4{,}7\) b) \(\square = 6\) c) \(\square = 6\)
4121637
In die beiden Kästchen soll jeweils dieselbe Ziffer eingesetzt werden. Bestimme alle Ziffern, für die die folgende Ungleichungskette eine wahre Aussage ergibt: \(4{,}2 < 4{,}\square 5 < \square{,}1\)

Denkanstöße

- Kannst du die Ungleichungskette in zwei einzelne Ungleichungen zerlegen? - Was passiert, wenn du für das Kästchen nacheinander verschiedene Ziffern einsetzt und testest? - Achte beim Vergleichen von Dezimalzahlen darauf, dass die Stellenwerte (Einer, Zehntel, Hundertstel) übereinstimmen. Hilft es dir, eine Null anzuhängen, um die gleiche Anzahl an Nachkommastellen zu haben?

Lösung

1. Analyse der ersten Teilungleichung \(4{,}2 < 4{,}\square 5\): Da die Einerstellen gleich sind, vergleichen wir die Zehntelstellen. Für \(\square = 2\) gilt \(4{,}20 < 4{,}25\) (wahr). Für alle Ziffern \(\square \ge 2\) ist diese Bedingung erfüllt. 2. Analyse der zweiten Teilungleichung \(4{,}\square 5 < \square{,}1\): Wir prüfen die Ziffern ab \(2\). - Für \(\square = 2\): \(4{,}25 < 2{,}1\) (falsch) - Für \(\square = 3\): \(4{,}35 < 3{,}1\) (falsch) - Für \(\square = 4\): \(4{,}45 < 4{,}1\) (falsch) - Für \(\square = 5\): \(4{,}55 < 5{,}1\) (wahr) 3. Überprüfung für größere Ziffern: Da für \(\square \ge 5\) die Einerstelle der rechten Seite (\(\square\)) immer größer ist als die Einerstelle der linken Seite (\(4\)), bleibt die Ungleichung für alle \(\square \in \{5, 6, 7, 8, 9\}\) wahr. 4. Schnittmenge: Die Ziffern, die beide Bedingungen erfüllen, sind \(5, 6, 7, 8, 9\).

Antwort

Die möglichen Ziffern sind \(5, 6, 7, 8, 9\).
4142217
Welche Zahl muss in das Kästchen \(\Box\) eingesetzt werden, damit die Gleichung korrekt ist? a) \(12{,}5 - \Box + 2{,}5 = 10\) b) \(\frac{3}{8} + \Box = \frac{7}{8}\) c) \(0{,}4 \cdot \Box = 2\) d) \(\Box : 4 - 0{,}5 = 1{,}5\)

Denkanstöße

- Kannst du die Zahlen, bei denen kein Kästchen steht, zuerst zusammenfassen? - Überlege dir, welche Rechenoperation das Gegenteil von der in der Aufgabe ist. - Es kann helfen, Brüche und Dezimalzahlen einheitlich zu schreiben.

Lösung

1. Zusammenfassen der bekannten Werte auf der linken Seite: \(12{,}5 + 2{,}5 = 15\). Die Gleichung lautet \(15 - \Box = 10\). Daraus folgt \(\Box = 15 - 10 = 5\). 2. Subtraktion des bekannten Summanden: \(\Box = \frac{7}{8} - \frac{3}{8} = \frac{4}{8}\). Gekürzt ergibt dies \(\frac{1}{2}\) bzw. \(0{,}5\). 3. Anwendung der Umkehroperation (Division): \(\Box = 2 : 0{,}4\). Da \(20 : 4 = 5\), ist \(\Box = 5\). 4. Schrittweise Umkehrung: Zuerst Addition \(1{,}5 + 0{,}5 = 2\). Dann Multiplikation des Zwischenergebnisses mit dem Divisor: \(2 \cdot 4 = 8\). Somit ist \(\Box = 8\).

Antwort

a) \(5\) b) \(0{,}5\) (oder \(\frac{1}{2}\)) c) \(5\) d) \(8\)
4224697
In der Mathematik gibt es Gleichungen, die für jede beliebige Zahl wahr sind (solche Gleichungen nennt man Identitäten). Andere Gleichungen sind nur für ganz bestimmte Werte der Variablen wahr. Entscheide für die folgenden Beispiele, welche der Aussagen allgemeingültig sind: 1) \(n + n = 2n\) 2) \(3x = 15\) 3) \(4(a + b) = 4a + 4b\) 4) \(y - 5 = 5 - y\) 5) \(z \cdot 1 = z\)

Denkanstöße

- Überlege dir, ob eine Rechenregel (wie das Vertauschungsgesetz oder Verteilungsgesetz) hinter der Gleichung steckt. - Versuche, verschiedene Zahlen für die Variable einzusetzen. Wenn du eine Zahl findest, bei der die Gleichung nicht stimmt, ist sie nicht allgemeingültig. - Kannst du eine Seite der Gleichung so umformen, dass sie exakt wie die andere Seite aussieht?

Lösung

1. Der Term \(n + n\) lässt sich durch Zusammenfassen zu \(2n\) vereinfachen. Die Gleichung \(2n = 2n\) ist für alle \(n\) wahr, also allgemeingültig. 2. Die Gleichung \(3x = 15\) hat nur die Lösung \(x = 5\). Sie ist nicht für alle Werte wahr. 3. Durch Anwendung des Distributivgesetzes ergibt sich \(4(a + b) = 4a + 4b\). Dies ist eine allgemeingültige Regel für alle \(a\) und \(b\). 4. Die Gleichung \(y - 5 = 5 - y\) ist nur für \(y = 5\) wahr (\(0 = 0\)). Für andere Werte (z. B. \(y = 0\)) ergibt sich \(-5 = 5\), was falsch ist. Nicht allgemeingültig. 5. Die Multiplikation einer Zahl mit \(1\) ergibt immer die Zahl selbst (neutrales Element). Die Gleichung ist für alle \(z\) wahr, also allgemeingültig.

Antwort

Allgemeingültig sind die Aussagen 1), 3) und 5).
4236017
Beweise allgemein mit Variablen, dass die Summe einer geraden Zahl und einer ungeraden Zahl immer eine ungerade Zahl ergibt.

Denkanstöße

- Wie lässt sich eine gerade Zahl allgemein mit einer Variablen ausdrücken? - Wie unterscheidet sich die Darstellung einer ungeraden Zahl von der einer geraden Zahl? - Versuche, die Summe so umzuformen, dass du den Faktor 2 erkennst. - Was sagt der Rest bei einer Division durch 2 über die Art der Zahl aus?

Lösung

1. Darstellung einer geraden Zahl als \(2n\), wobei \(n\) eine ganze Zahl ist. 2. Darstellung einer ungeraden Zahl als \(2m + 1\), wobei \(m\) eine ganze Zahl ist. 3. Bildung der Summe: \(2n + (2m + 1)\). 4. Anwendung des Distributivgesetzes zum Ausklammern der 2: \(2(n + m) + 1\). 5. Da \(n + m\) wieder eine ganze Zahl ist (nennen wir sie \(k\)), hat das Ergebnis die Form \(2k + 1\). 6. Ein Term der Form \(2k + 1\) definiert eine ungerade Zahl.

Antwort

Eine gerade Zahl kann als \(2n\) und eine ungerade Zahl als \(2m+1\) dargestellt werden. Die Summe ist \(2n + 2m + 1 = 2(n+m) + 1\). Da dieser Term der Definition einer ungeraden Zahl entspricht, ist die Behauptung bewiesen.
4116997
Gegeben ist die Division \(a : b = q\). Beschreibe, wie sich der Quotient \(q\) in den folgenden Situationen verändert. Begründe deine Überlegungen, indem du die Rechnung mit Brüchen darstellst. a) Der Dividend \(a\) wird verdoppelt und der Divisor \(b\) wird vervierfacht. b) Der Dividend \(a\) wird durch \(6\) geteilt und der Divisor \(b\) wird durch \(2\) geteilt.

Denkanstöße

- Schreibe die Division als Bruch auf. - Überlege dir schrittweise: Was bewirkt die Änderung oben im Bruch und was bewirkt die Änderung unten im Bruch? - Wie verrechnet man eine Division durch einen Bruch (Kehrwert)?

Lösung

a) Im ersten Fall ergibt sich der neue Quotient durch \(\frac{2 \cdot a}{4 \cdot b}\). Durch Kürzen mit \(2\) erhält man \(\frac{1 \cdot a}{2 \cdot b} = \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{b}\). Der Quotient wird also halbiert. b) Im zweiten Fall lautet der neue Quotient \(\frac{a : 6}{b : 2}\). Dies kann als \(\frac{a}{6} : \frac{b}{2}\) geschrieben werden. Durch Multiplikation mit dem Kehrwert ergibt sich \(\frac{a}{6} \cdot \frac{2}{b} = \frac{2a}{6b} = \frac{1}{3} \cdot \frac{a}{b}\). Der Quotient wird somit durch \(3\) geteilt und beträgt damit ein Drittel des ursprünglichen Quotienten.

Antwort

a) Der Quotient wird halbiert. b) Der Quotient wird durch \(3\) geteilt und beträgt damit ein Drittel des ursprünglichen Quotienten.
4121347
In den folgenden Rechnungen wurden Ziffern durch die Buchstaben \(a\) und \(b\) ersetzt. Bestimme in jeder Teilaufgabe neu, welche Ziffern (0 bis 9) jeweils eingesetzt werden müssen. a) \(4{,}a2 + 3{,}7b = 8{,}59\) b) \(12{,}b - a{,}5 = 8{,}7\)

Denkanstöße

- Gehe wie bei der schriftlichen Addition oder Subtraktion Stelle für Stelle vor. - Vergiss nicht, mögliche Überträge oder das „Entleihen“ von der nächsten Stelle zu berücksichtigen. - Jeder Buchstabe steht für genau eine Ziffer zwischen 0 und 9.

Lösung

1. Analyse von Aufgabe a): An der Hundertstelstelle gilt \(2 + b = 9\), woraus \(b = 7\) folgt. An der Zehntelstelle gilt \(a + 7 = 15\) (mit einem Übertrag von 1 zur Einerstelle), woraus \(a = 8\) folgt. Die Einerstellen bestätigen dies: \(1 (\text{Übertrag}) + 4 + 3 = 8\). 2. Analyse von Aufgabe b): An der Zehntelstelle muss gelten \(b - 5 = 7\). Da dies mit einer Ziffer nicht direkt möglich ist, muss eine Einheit von der Einerstelle entliehen werden: \(10 + b - 5 = 7\), also \(b + 5 = 7\), woraus \(b = 2\) folgt. 3. An der Einerstelle von Aufgabe b) verbleibt nach dem Entleihen \(1 - a = 8\). Dies erfordert das Entleihen von der Zehnerstelle: \(11 - a = 8\), woraus \(a = 3\) folgt. Die Zehnerstelle wird dadurch zu \(0\), was zum Ergebnis \(8{,}7\) passt.

Antwort

a) \(a = 8\), \(b = 7\) b) \(a = 3\), \(b = 2\)
4121477
Bestimme den Wert der Unbekannten \( \square \), sodass die Gleichungen stimmen. a) \( \frac{4}{5}\square = 12 \) b) \( \square : \frac{2}{3} = \frac{9}{10} \) c) \( \frac{7}{3} - \square = \frac{1}{6} \)

Denkanstöße

- Überlege dir eine passende Umkehroperation, um die Unbekannte zu isolieren. - Wie würdest du vorgehen, wenn dort ganze Zahlen stünden (z. B. \( 2x = 10 \))? - Denk bei der Subtraktion daran, die Brüche auf den gleichen Nenner zu bringen.

Lösung

1. Gleichung a: Um \( \square \) zu finden, dividiere 12 durch \( \frac{4}{5} \). Das entspricht \( 12 \cdot \frac{5}{4} = 3 \cdot 5 = 15 \). Also \( \square = 15 \). 2. Gleichung b: Um \( \square \) zu finden, multipliziere \( \frac{9}{10} \) mit \( \frac{2}{3} \). Das ergibt \( \frac{9 \cdot 2}{10 \cdot 3} = \frac{18}{30} \). Kürzen mit 6 ergibt \( \frac{3}{5} \). Also \( \square = \frac{3}{5} \). 3. Gleichung c: Um \( \square \) zu finden, rechne \( \frac{7}{3} - \frac{1}{6} \). Hauptnenner finden: \( \frac{14}{6} - \frac{1}{6} = \frac{13}{6} \). Also \( \square = \frac{13}{6} \) (oder \( 2 \frac{1}{6} \)).

Antwort

a) \( 15 \) b) \( \frac{3}{5} \) c) \( \frac{13}{6} \) (oder \( 2 \frac{1}{6} \))
4121557
Welche Ziffern (0 bis 9) können jeweils in das Kästchen \(\square\) eingesetzt werden, damit eine wahre Aussage entsteht? Gib für jede Teilaufgabe alle möglichen Ziffern an. a) \(-4{,}1\square > -4{,}15\) b) \(-0{,}\square7 < -0{,}4\) c) \(-8{,}2 < -8{,}\square1\)

Denkanstöße

- Überlege dir zuerst, wie die Beziehung für die positiven Beträge der Zahlen aussehen müsste. - Achtung: Bei negativen Zahlen dreht sich das Ungleichheitszeichen um, wenn man nur die Beträge betrachtet. - Ergänze bei Dezimalzahlen fehlende Endstellen mit Nullen, um die Stellenwerte besser vergleichen zu können (z. B. \(0{,}4\) als \(0{,}40\)).

Lösung

1. Für \(-4{,}1\square > -4{,}15\) muss der Betrag \(4{,}1\square\) kleiner als \(4{,}15\) sein. Dies ist für die Ziffern \(0, 1, 2, 3\) und \(4\) der Fall (da \(4{,}14 < 4{,}15\), aber \(4{,}15 = 4{,}15\)). 2. Für \(-0{,}\square7 < -0{,}4\) (entspricht \(-0{,}40\)) muss der Betrag \(0{,}\square7\) größer als \(0{,}40\) sein. Wenn \(\square = 4\), ist \(0{,}47 > 0{,}40\). Für alle Ziffern größer als \(4\) gilt dies ebenfalls. Die Lösung ist \(\{4, 5, 6, 7, 8, 9\}\). 3. Für \(-8{,}2 < -8{,}\square1\) muss der Betrag \(8{,}2\) (oder \(8{,}20\)) größer als \(8{,}\square1\) sein. Setzt man \(\square = 1\) ein, ist \(8{,}20 > 8{,}11\) (wahr). Setzt man \(\square = 2\) ein, ist \(8{,}20 > 8{,}21\) (falsch). Somit sind nur die Ziffern \(0\) und \(1\) möglich.

Antwort

a) \(\square \in \{0, 1, 2, 3, 4\}\) b) \(\square \in \{4, 5, 6, 7, 8, 9\}\) c) \(\square \in \{0, 1\}\)
4121627
Vervollständige die Tabelle, indem du die fehlenden Werte für \(a\), \(b\) oder die Summe \(a + b\) berechnest. <table> <tr> <th style="padding: 5px; border: 1px solid black;">\(a\)</th> <th style="padding: 5px; border: 1px solid black;">\(b\)</th> <th style="padding: 5px; border: 1px solid black;">\(a + b\)</th> </tr> <tr> <td style="padding: 5px; border: 1px solid black;">\(-4{,}5\)</td> <td style="padding: 5px; border: 1px solid black;">\(2{,}1\)</td> <td style="padding: 5px; border: 1px solid black;">?</td> </tr> <tr> <td style="padding: 5px; border: 1px solid black;">?</td> <td style="padding: 5px; border: 1px solid black;">\(-7{,}8\)</td> <td style="padding: 5px; border: 1px solid black;">\(-3{,}2\)</td> </tr> <tr> <td style="padding: 5px; border: 1px solid black;">\(\frac{3}{4}\)</td> <td style="padding: 5px; border: 1px solid black;">?</td> <td style="padding: 5px; border: 1px solid black;">\(-\frac{1}{8}\)</td> </tr> </table>

Denkanstöße

- Wenn das Ergebnis und ein Summand bekannt sind, wie findet man den anderen Summanden? - Überlege dir, welche Rechenoperation die Umkehrung der Addition ist. - Achte bei den Brüchen darauf, sie zuerst auf den gleichen Nenner zu bringen.

Lösung

1. Berechnung der Summe in Zeile 1: \(-4{,}5 + 2{,}1 = -2{,}4\). 2. Bestimmung von \(a\) in Zeile 2 durch Umkehrrechnung: \(a = -3{,}2 - (-7{,}8) = -3{,}2 + 7{,}8 = 4{,}6\). 3. Bestimmung von \(b\) in Zeile 3 durch Umkehrrechnung: \(b = -\frac{1}{8} - \frac{3}{4} = -\frac{1}{8} - \frac{6}{8} = -\frac{7}{8}\).

Antwort

Zeile 1: \(a + b = -2{,}4\) Zeile 2: \(a = 4{,}6\) Zeile 3: \(b = -\frac{7}{8}\)
4121647
In die Kästchen der folgenden Ungleichungskette soll die gleiche Ziffer eingesetzt werden: \(0{,}\square 7 < 0{,}\square < 0{,}6\) Erkläre mathematisch, warum es nicht möglich ist, eine passende Ziffer zu finden.

Denkanstöße

- Schau dir nur den ersten Teil der Ungleichung an: \(0{,}\square 7 < 0{,}\square\). - Was ändert sich an dem Wert einer Dezimalzahl, wenn man rechts eine Null anhängt? - Vergleiche die Zahlen Stelle für Stelle von links nach rechts.

Lösung

1. Untersuchung der ersten Teilungleichung \(0{,}\square 7 < 0{,}\square\). 2. Ergänzung einer Endnull zur besseren Vergleichbarkeit: \(0{,}\square 7 < 0{,}\square 0\). 3. Vergleich der Stellenwerte: Die Einer- und Zehntelstellen sind auf beiden Seiten identisch. In der Hundertstelstelle steht links eine \(7\) und rechts eine \(0\). 4. Schlussfolgerung: Da \(7 > 0\), ist \(0{,}\square 7\) immer um \(0{,}07\) größer als \(0{,}\square 0\). Die Ungleichung \(0{,}\square 7 < 0{,}\square\) ist somit für keine Ziffer wahr. 5. Da der erste Teil der Kette bereits unerfüllbar ist, gibt es keine Gesamtlösung für die Ungleichungskette.

Antwort

Es ist nicht möglich, da der erste Teil der Ungleichungskette (\(0{,}\square 7 < 0{,}\square\)) für keine Ziffer wahr ist. Die Zahl \(0{,}\square 7\) ist immer größer als \(0{,}\square\), da sie an der Hundertstelstelle eine \(7\) besitzt, während \(0{,}\square\) dort eine gedachte \(0\) hat.
4121757
Vervollständige die folgende Subtraktionstabelle und bestimme die Werte für \(x\) und \(y\). In der Tabelle wird jeweils der Wert in der oberen Zeile vom Wert in der linken Spalte subtrahiert (linke Spalte \(-\) obere Zeile). <table> <tr><td>\(-\)</td><td>\(1{,}2\)</td><td>\(y\)</td><td>\(-3{,}5\)</td></tr> <tr><td>\(4{,}5\)</td><td>\(3{,}3\)</td><td>\(7{,}2\)</td><td></td></tr> <tr><td>\(-2{,}8\)</td><td></td><td>\(-0{,}1\)</td><td>\(0{,}7\)</td></tr> <tr><td>\(x\)</td><td>\(-5{,}5\)</td><td></td><td>\(-0{,}8\)</td></tr> </table>

Denkanstöße

- Überlege dir zuerst, wie man eine solche Tabelle liest. Welcher Wert wird von welchem abgezogen? - Um eine fehlende Zahl in der oberen Zeile oder der linken Spalte zu finden, kannst du eine kleine Gleichung aufstellen. - Achte besonders auf das Vorzeichen, wenn du eine negative Zahl subtrahierst.

Lösung

1. Bestimmung von \(y\): Aus der Zeile mit dem Zeilenkopf \(4{,}5\) folgt \(4{,}5 - y = 7{,}2\). Umstellen ergibt \(y = 4{,}5 - 7{,}2 = -2{,}7\). 2. Bestimmung von \(x\): Aus der Zeile mit dem Zeilenkopf \(x\) folgt \(x - 1{,}2 = -5{,}5\). Umstellen ergibt \(x = -5{,}5 + 1{,}2 = -4{,}3\). 3. Ausfüllen der fehlenden Tabellenwerte: - Zeile \(4{,}5\), Spalte \(-3{,}5\): \(4{,}5 - (-3{,}5) = 4{,}5 + 3{,}5 = 8{,}0\). - Zeile \(-2{,}8\), Spalte \(1{,}2\): \(-2{,}8 - 1{,}2 = -4{,}0\). - Zeile \(x\), Spalte \(y\): \(-4{,}3 - (-2{,}7) = -4{,}3 + 2{,}7 = -1{,}6\).

Antwort

\(x = -4{,}3\); \(y = -2{,}7\) Vollständige Tabelle: <table> <tr><td>\(-\)</td><td>\(1{,}2\)</td><td>\(-2{,}7\)</td><td>\(-3{,}5\)</td></tr> <tr><td>\(4{,}5\)</td><td>\(3{,}3\)</td><td>\(7{,}2\)</td><td>\(8{,}0\)</td></tr> <tr><td>\(-2{,}8\)</td><td>\(-4{,}0\)</td><td>\(-0{,}1\)</td><td>\(0{,}7\)</td></tr> <tr><td>\(-4{,}3\)</td><td>\(-5{,}5\)</td><td>\(-1{,}6\)</td><td>\(-0{,}8\)</td></tr> </table>
4121777
Bestimme die fehlende Zahl in den folgenden Rechnungen, sodass eine wahre Aussage entsteht: a) \(\Box - (-4{,}2) = -1{,}5\) b) \(2{,}5 - \Box = 6{,}1\) c) \(-\frac{7}{8} - \Box = -\frac{1}{4}\)

Denkanstöße

- Du kannst diese Aufgaben wie kleine Rätsel lösen, indem du die Umkehroperationen benutzt. - Bei b) und c) überlege dir: Was muss ich von der ersten Zahl abziehen, um zur zweiten zu kommen? - Es hilft oft, Brüche zuerst auf denselben Nenner zu bringen.

Lösung

1. Teilaufgabe a): Die Rechnung lautet \(x + 4{,}2 = -1{,}5\). Subtraktion von \(4{,}2\) auf beiden Seiten ergibt \(x = -1{,}5 - 4{,}2 = -5{,}7\). 2. Teilaufgabe b): Die Rechnung lautet \(2{,}5 - x = 6{,}1\). Umstellen nach \(x\) ergibt \(x = 2{,}5 - 6{,}1 = -3{,}6\). 3. Teilaufgabe c): Die Rechnung lautet \(-\frac{7}{8} - x = -\frac{2}{8}\). Umstellen nach \(x\) ergibt \(x = -\frac{7}{8} - (-\frac{2}{8}) = -\frac{7}{8} + \frac{2}{8} = -\frac{5}{8}\).

Antwort

a) \(-5{,}7\) b) \(-3{,}6\) c) \(-\frac{5}{8}\)
4142227
Bestimme für jede Gleichung den Wert des Platzhalters \(\Box\). Begründe bei jeder Aufgabe vor dem Rechnen kurz, ob der gesuchte Wert größer oder kleiner als \(10\) sein muss. a) \(25 - \Box = 14{,}5\) b) \(0{,}5 \cdot \Box = 6\) c) \(\frac{1}{3} \cdot \Box = 3\)

Denkanstöße

- Setze doch probehalber die Zahl 10 für das Kästchen ein. Ist das Ergebnis dann zu groß oder zu klein? - Was passiert mit dem Ergebnis einer Multiplikation, wenn du einen der Faktoren vergrößerst? - Wie verändert sich das Ergebnis einer Subtraktion, wenn die Zahl, die du abziehst, größer wird?

Lösung

1. Vergleich mit Referenzwert \(10\): \(25 - 10 = 15\). Da das gewünschte Ergebnis \(14{,}5\) kleiner als \(15\) ist, muss die abgezogene Zahl \(\Box\) größer als \(10\) sein. Berechnung: \(\Box = 25 - 14{,}5 = 10{,}5\). 2. Vergleich mit Referenzwert \(10\): \(0{,}5 \cdot 10 = 5\). Da das Ergebnis \(6\) größer als \(5\) ist, muss der Faktor \(\Box\) größer als \(10\) sein. Berechnung: \(\Box = 6 : 0{,}5 = 12\). 3. Vergleich mit Referenzwert \(10\): \(\frac{1}{3} \cdot 10 = 3\frac{1}{3} \approx 3{,}33\). Da das Ergebnis \(3\) kleiner als \(3{,}33\) ist, muss \(\Box\) kleiner als \(10\) sein. Berechnung: \(\Box = 3 : \frac{1}{3} = 3 \cdot 3 = 9\).

Antwort

a) \(\Box = 10{,}5\) (Begründung: größer als \(10\), da \(25-10=15\) und \(15 > 14{,}5\)) b) \(\Box = 12\) (Begründung: größer als \(10\), da \(0{,}5 \cdot 10 = 5\) und \(5 < 6\)) c) \(\Box = 9\) (Begründung: kleiner als \(10\), da \(\frac{1}{3} \cdot 10 > 3\))
4223287
Ein Aquarium hat das Fassungsvermögen \(V\) und ist zu \(\frac{4}{5}\) mit Wasser gefüllt. Zur Reinigung wird \(\frac{1}{4}\) des gesamten Fassungsvermögens abgelassen. a) Welcher Bruchteil des Fassungsvermögens \(V\) verbleibt im Aquarium? b) Berechne die verbleibende Wassermenge für \(V = 80\,\text{l}\).

Denkanstöße

- Welcher Anteil war am Anfang vorhanden? - Was musst du tun, wenn zwei Brüche unterschiedliche Nenner haben? - Achte darauf, dass sich die Angabe \(\frac{1}{4}\) auf das gesamte Volumen bezieht. - Wie gehst du vor, wenn du nun eine konkrete Zahl für \(V\) einsetzen sollst?

Lösung

1. Berechnung des verbleibenden Anteils durch Subtraktion: \(\frac{4}{5} - \frac{1}{4} = \frac{16}{20} - \frac{5}{20} = \frac{11}{20}\) 2. Berechnung der Wassermenge für \(V = 80\,\text{l}\): \(80\,\text{l} \cdot \frac{11}{20} = 44\,\text{l}\)

Antwort

a) \(\frac{11}{20}\) b) \(44\,\text{l}\)
4225337
Zahlen lassen sich oft durch allgemeine Terme beschreiben. Bearbeite dazu die folgenden Aufgaben: 1. Gib einen Term an, der alle natürlichen Zahlen beschreibt, die bei der Division durch 4 den Rest 1 lassen. Nutze \(n\) als Platzhalter für eine natürliche Zahl (\(n = 0, 1, 2, \dots\)). 2. Erkläre, warum der Term \(2(k + 5)\) für jede ganze Zahl \(k\) immer eine gerade Zahl darstellt. 3. Jemand behauptet, dass Zahlen der Form \(3n + 6\) immer durch 3 teilbar sind. Überprüfe dies, indem du den Term durch Ausklammern umformst.

Denkanstöße

- Was bedeutet „Rest“ bei einer Division für den Aufbau eines Terms? - Wann genau nennst du eine Zahl „gerade“? - Wie kannst du zeigen, dass eine Summe ein Vielfaches einer bestimmten Zahl ist?

Lösung

1. Eine Zahl, die bei Division durch 4 den Rest 1 lässt, hat die Form \(4n + 1\). 2. Eine gerade Zahl ist als Vielfaches von 2 definiert. Da \(k\) eine ganze Zahl ist, ist auch \(k + 5\) eine ganze Zahl. Der Term \(2(k + 5)\) hat die Form \(2m\) (mit \(m = k + 5\)) und ist somit stets durch 2 teilbar und damit gerade. 3. Durch Ausklammern von 3 erhält man \(3(n + 2)\). Da der Term als Produkt mit dem Faktor 3 geschrieben werden kann, ist das Ergebnis für jede ganze Zahl \(n\) durch 3 teilbar.

Antwort

1. \(4n + 1\) 2. Der Term ist ein Produkt mit dem Faktor \(2\), was der Definition einer geraden Zahl entspricht. 3. Ja, die Behauptung stimmt, da \(3n + 6 = 3(n + 2)\).
4229197
Betrachte das Produkt einer beliebigen geraden Zahl und einer beliebigen ungeraden Zahl. a) Zeige allgemein mithilfe von Termen, dass dieses Produkt immer eine gerade Zahl ist. b) Untersuche nun das Produkt zweier ungerader Zahlen. Ist das Ergebnis gerade oder ungerade? Begründe deine Antwort mithilfe eines allgemeinen Terms.

Denkanstöße

- Wie kann man eine gerade Zahl allgemein mit einer Variablen ausdrücken? - Wie sieht im Vergleich dazu eine ungerade Zahl aus? - Wenn du die Klammern beim Multiplizieren auflöst, achte darauf, jeden Teil der ersten Klammer mit jedem Teil der zweiten Klammer zu multiplizieren. - Woran erkennt man an einem Term, ob das Ergebnis auf jeden Fall durch 2 teilbar ist?

Lösung

1. Definition der Zahlen: Eine gerade Zahl lässt sich als \(2n\) und eine ungerade Zahl als \(2m + 1\) darstellen, wobei \(n\) und \(m\) ganze Zahlen sind. 2. Teil a) Produkt bilden: \(2n(2m + 1) = 4nm + 2n\). 3. Ausklammern: Der Term lässt sich als \(2(2nm + n)\) schreiben. Da dies ein Vielfaches von 2 ist, ist das Ergebnis immer eine gerade Zahl. 4. Teil b) Produkt zweier ungerader Zahlen: \((2n + 1)(2m + 1) = 4nm + 2n + 2m + 1\). 5. Umformung: Der Term lässt sich zu \(2(2nm + n + m) + 1\) zusammenfassen. Dies entspricht der Form einer ungeraden Zahl (\(2 \cdot \text{ganze Zahl} + 1\)). Das Ergebnis ist also immer ungerade.

Antwort

a) Das Produkt ist \(2(2nm + n)\). Da es als Vielfaches von 2 darstellbar ist, ist es stets gerade. b) Das Produkt zweier ungerader Zahlen ist ungerade, da \((2n+1)(2m+1) = 2(2nm+n+m)+1\) immer einen Rest von 1 bei der Division durch 2 lässt.
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In der Mathematik kann man jede ungerade Zahl durch den Term \(2n+1\) beschreiben, wobei \(n\) eine ganze Zahl ist. Zeige, dass die Summe von zwei aufeinanderfolgenden ungeraden Zahlen immer durch 4 teilbar ist. Gehe dabei wie folgt vor: 1. Bestimme den Term für die auf \(2n+1\) folgende ungerade Zahl. 2. Bilde die Summe aus beiden Termen. 3. Vereinfache das Ergebnis so weit wie möglich und ziehe eine Schlussfolgerung.

Denkanstöße

- Wenn eine ungerade Zahl \(2n+1\) ist, wie weit ist dann die nächste ungerade Zahl von ihr entfernt? - Addiere die beiden Terme und achte auf die Vorzeichen. - Wie kannst du am Ende zeigen, dass eine 4 im Ergebnis „steckt“? - Was muss man mit einem Term machen, um zu beweisen, dass er ein Vielfaches einer bestimmten Zahl ist?

Lösung

1. Bestimmung des Nachfolgers: Die nächste ungerade Zahl nach \(2n+1\) erhält man, indem man 2 addiert. Der Term lautet also \((2n+1) + 2 = 2n+3\). 2. Summenbildung: Die Summe beider Zahlen ist \(S = (2n+1) + (2n+3)\). 3. Vereinfachung: Durch Auflösen der Klammern und Zusammenfassen erhält man \(S = 2n + 2n + 1 + 3 = 4n + 4\). 4. Faktorisierung: Durch Ausklammern von 4 ergibt sich \(S = 4(n+1)\). 5. Ergebnis: Da der Term den Faktor 4 enthält, ist die Summe für jede ganze Zahl \(n\) durch 4 teilbar.

Antwort

Die Summe der beiden aufeinanderfolgenden ungeraden Zahlen \(2n+1\) und \(2n+3\) ergibt vereinfacht \(4n+4\). Da man dies als \(4(n+1)\) schreiben kann, ist das Ergebnis immer durch 4 teilbar.
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Stelle für die folgenden Beschreibungen jeweils einen Term mit der Variablen \(k\) auf. Dabei ist \(k\) eine beliebige ganze Zahl. a) Alle Zahlen, die durch 8 teilbar sind. b) Alle Zahlen, die bei der Division durch 8 den Rest 5 lassen. c) Alle ungeraden Zahlen. d) Alle Zahlen, die um 2 kleiner sind als ein Vielfaches von 3.

Denkanstöße

- Wie schreibt man allgemein ein Vielfaches einer Zahl mit einer Variablen? - Wenn eine Zahl einen Rest lässt, wie verändert das den Term für das Vielfache? - Überlege dir, wie du sicherstellen kannst, dass das Ergebnis einer Rechnung immer gerade ist, und was du dann tun musst, um es ungerade zu machen. - „Um etwas kleiner“ lässt sich mathematisch durch ein bestimmtes Rechenzeichen ausdrücken.

Lösung

1. Teilbarkeit durch 8: Eine Zahl ist durch 8 teilbar, wenn sie ein Vielfaches von 8 ist, also \(8k\). 2. Division durch 8 mit Rest 5: Ein Vielfaches von 8 wird um den Rest erhöht, was zum Term \(8k + 5\) führt. 3. Ungerade Zahlen: Da \(2k\) immer gerade ist, führt die Addition oder Subtraktion von 1 zu einer ungeraden Zahl, also \(2k + 1\) oder \(2k - 1\). 4. Um 2 kleiner als ein Vielfaches von 3: Ein Vielfaches von 3 ist \(3k\); „um 2 kleiner“ bedeutet eine Subtraktion von 2, also \(3k - 2\).

Antwort

a) \(8k\); b) \(8k + 5\); c) \(2k + 1\) (oder \(2k - 1\)); d) \(3k - 2\).
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Wenn man drei ungerade Zahlen addiert, ist das Ergebnis immer ungerade. Überprüfe diese Behauptung allgemein, indem du einen Term für die Summe von drei beliebigen ungeraden Zahlen aufstellst und diesen so umformst, dass man die Eigenschaft (ungerade) direkt ablesen kann.

Denkanstöße

- Wie lässt sich eine ungerade Zahl allgemein mit einer Variablen ausdrücken? - Was passiert, wenn du drei solche Ausdrücke addierst? - Kannst du das Ergebnis so umschreiben, dass es wie die allgemeine Form einer ungeraden Zahl aussieht? - Erinnere dich daran, dass jede gerade Zahl durch \(2\) teilbar ist.

Lösung

1. Darstellung der drei ungeraden Zahlen mithilfe von Variablen: \(2a+1\), \(2b+1\) und \(2c+1\), wobei \(a, b, c\) ganze Zahlen sind. 2. Aufstellen der Summe: \(S = (2a+1) + (2b+1) + (2c+1)\). 3. Zusammenfassen der Terme: \(S = 2a + 2b + 2c + 3\). 4. Zerlegung der Zahl \(3\) in \(2 + 1\), um den Faktor \(2\) ausklammern zu können: \(S = 2a + 2b + 2c + 2 + 1\). 5. Ausklammern der \(2\): \(S = 2(a + b + c + 1) + 1\). 6. Da der Ausdruck in der Klammer eine ganze Zahl ergibt, hat das Gesamtergebnis die Form \(2k + 1\), was definitionsgemäß eine ungerade Zahl beschreibt.

Antwort

Die Behauptung ist wahr. Die Summe lässt sich als \(2(a+b+c+1) + 1\) schreiben. Da \(a+b+c+1\) eine ganze Zahl ist, entspricht dieser Term der allgemeinen Form einer ungeraden Zahl.
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Ein Quotient soll durch Veränderung von Dividend \(a\) und Divisor \(b\) genau den \(10\)-fachen Wert des ursprünglichen Quotienten \(\frac{a}{b}\) annehmen. a) Wie muss sich der Divisor \(b\) ändern, wenn der Dividend \(a\) gleich bleibt? b) Wie muss sich der Dividend \(a\) ändern, wenn der Divisor \(b\) verdoppelt wird? c) Nenne eine weitere Möglichkeit, bei der sich sowohl \(a\) als auch \(b\) ändern, um das \(10\)-fache Ergebnis zu erhalten.

Denkanstöße

- Wenn das Ergebnis größer werden soll, muss der Dividend größer oder der Divisor kleiner werden. - Wenn du den Divisor verdoppelst, machst du das Ergebnis erst einmal kleiner. Wie viel musst du oben „draufpacken“, um das nicht nur auszugleichen, sondern sogar noch größer zu werden? - Probiere für Aufgabenteil c) verschiedene Faktoren aus, deren Kombination am Ende \(10\) ergibt.

Lösung

1. Damit der Wert bei konstantem Zähler \(10\)-mal so groß wird, muss der Nenner durch \(10\) geteilt werden: \(\frac{a}{b : 10} = 10 \cdot \frac{a}{b}\). 2. Wenn der Divisor verdoppelt wird, würde der Quotient normalerweise halbiert. Um insgesamt beim \(10\)-fachen zu landen, muss der Dividend die Verdopplung des Nenners ausgleichen (Faktor \(2\)) und zusätzlich den Faktor \(10\) liefern. Insgesamt muss der Dividend also mit \(2 \cdot 10 = 20\) multipliziert werden: \(\frac{20 \cdot a}{2 \cdot b} = 10 \cdot \frac{a}{b}\). 3. Eine mögliche Kombination ist die Verfünffachung des Dividenden bei gleichzeitiger Halbierung des Divisors: \(\frac{5 \cdot a}{b : 2} = 5 \cdot 2 \cdot \frac{a}{b} = 10 \cdot \frac{a}{b}\).

Antwort

a) Der Divisor \(b\) muss durch \(10\) geteilt werden. b) Der Dividend \(a\) muss mit \(20\) multipliziert werden. c) Beispielmöglichkeit: Der Dividend wird verfünffacht (\(\cdot 5\)) und der Divisor wird halbiert (\(: 2\)).
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Gegeben ist die folgende Ungleichung für rationale Zahlen, in der \(k\) für eine Ziffer steht: \(-k{,}6 < -3{,}4 < -k{,}2\) Bestimme alle Ziffern für \(k\), die die Ungleichungskette zu einer wahren Aussage machen.

Denkanstöße

- Erinnere dich daran, wie man negative Zahlen auf der Zahlengeraden vergleicht: Welche Zahl liegt weiter links? - Was passiert mit dem Ungleichheitszeichen, wenn du die Vorzeichen aller Zahlen umkehrst? - Überprüfe deine Lösung, indem du die gefundene Ziffer am Ende einsetzt.

Lösung

1. Umformung durch Multiplikation mit \(-1\) (Umkehrung der Relationszeichen): \(k{,}6 > 3{,}4 > k{,}2\). 2. Analyse der Bedingung \(k{,}6 > 3{,}4\): Dies ist erfüllt, wenn die Einerstelle \(k \ge 3\) ist. Falls \(k=3\), gilt \(3{,}6 > 3{,}4\) (wahr). Somit \(k \in \{3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}\). 3. Analyse der Bedingung \(3{,}4 > k{,}2\): Dies ist erfüllt, wenn die Einerstelle \(k \le 3\) ist. Falls \(k=3\), gilt \(3{,}4 > 3{,}2\) (wahr). Somit \(k \in \{0, 1, 2, 3\}\). 4. Bestimmung der Schnittmenge: Die einzige Ziffer, die beide Bedingungen gleichzeitig erfüllt, ist \(k = 3\). 5. Probe: \(-3{,}6 < -3{,}4 < -3{,}2\). Da \(-3{,}6\) weiter links auf der Zahlengeraden liegt als \(-3{,}4\) und dieses wiederum weiter links als \(-3{,}2\), ist die Aussage wahr.

Antwort

Die einzige mögliche Ziffer ist \(k = 3\).
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Ermittle den Wert, der in das Kästchen \(\Box\) passt. Achte auf die Verbindung von Brüchen und Dezimalzahlen. a) \(\frac{3}{4} + \Box - 0{,}25 = 1\) b) \(2( \Box + 1{,}5 ) = 7\) c) \(10 - \frac{\Box}{2} = 8{,}5\)

Denkanstöße

- Kannst du die Gleichung so umformen, dass das Kästchen am Ende alleine auf einer Seite steht? - Denke an die Vorrangregeln, zum Beispiel bei der Klammeraufgabe oder dem Bruchstrich. - Manchmal ist es einfacher, alles in Dezimalzahlen umzurechnen, bevor man beginnt.

Lösung

1. Umwandlung und Zusammenfassung: \(\frac{3}{4}\) entspricht \(0{,}75\). Rechnung: \(0{,}75 - 0{,}25 = 0{,}5\). Die Gleichung lautet \(0{,}5 + \Box = 1\). Subtraktion ergibt \(\Box = 0{,}5\). 2. Division der gesamten Gleichung durch \(2\): \(\Box + 1{,}5 = 3{,}5\). Subtraktion von \(1{,}5\) auf beiden Seiten ergibt \(\Box = 2\). 3. Umstellen der Gleichung nach dem Bruchterm: \(\frac{\Box}{2} = 10 - 8{,}5 = 1{,}5\). Multiplikation beider Seiten mit \(2\) ergibt \(\Box = 3\).

Antwort

a) \(0{,}5\) (oder \(\frac{1}{2}\)) b) \(2\) c) \(3\)

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