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Stellen Sie aus rund 20.000 Matheaufgaben Ihre eigenen Arbeitsblätter zusammen, von der 3. bis zur 13. Klasse. Alle Aufgaben enthalten Lösungsschritte.

Variablen als Platzhalter

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4121337
Bestimme die Zahl, die für den Platzhalter \(\square\) eingesetzt werden muss, damit die jeweilige Gleichung korrekt ist. a) \(12{,}5 - \square = 7{,}8\) b) \(\square \cdot 0{,}4 = 2{,}4\) c) \(15 : \square = 2{,}5\)

Denkanstöße

- Überlege dir bei jeder Aufgabe die Umkehroperation. - Wie hängen Minuend, Subtrahend und Differenz zusammen? - Wenn du ein Produkt hast und einen Faktor suchst, welche Rechenart hilft dir weiter? - Du kannst dein Ergebnis immer prüfen, indem du die Zahl für das Kästchen einsetzt und nachrechnest.

Lösung

1. Berechnung für Teilaufgabe a): Um den Subtrahenden zu finden, subtrahiert man die Differenz vom Minuenden: \(12{,}5 - 7{,}8 = 4{,}7\). 2. Berechnung für Teilaufgabe b): Um den fehlenden Faktor zu finden, dividiert man das Produkt durch den bekannten Faktor: \(2{,}4 : 0{,}4 = 6\). 3. Berechnung für Teilaufgabe c): Um den Divisor zu finden, dividiert man den Dividenden durch den Quotienten: \(15 : 2{,}5 = 6\).

Antwort

a) \(\square = 4{,}7\) b) \(\square = 6\) c) \(\square = 6\)
4121637
In die beiden Kästchen soll jeweils dieselbe Ziffer eingesetzt werden. Bestimme alle Ziffern, für die die folgende Ungleichungskette eine wahre Aussage ergibt: \(4{,}2 < 4{,}\square 5 < \square{,}1\)

Denkanstöße

- Kannst du die Ungleichungskette in zwei einzelne Ungleichungen zerlegen? - Was passiert, wenn du für das Kästchen nacheinander verschiedene Ziffern einsetzt und testest? - Achte beim Vergleichen von Dezimalzahlen darauf, dass die Stellenwerte (Einer, Zehntel, Hundertstel) übereinstimmen. Hilft es dir, eine Null anzuhängen, um die gleiche Anzahl an Nachkommastellen zu haben?

Lösung

1. Analyse der ersten Teilungleichung \(4{,}2 < 4{,}\square 5\): Da die Einerstellen gleich sind, vergleichen wir die Zehntelstellen. Für \(\square = 2\) gilt \(4{,}20 < 4{,}25\) (wahr). Für alle Ziffern \(\square \ge 2\) ist diese Bedingung erfüllt. 2. Analyse der zweiten Teilungleichung \(4{,}\square 5 < \square{,}1\): Wir prüfen die Ziffern ab \(2\). - Für \(\square = 2\): \(4{,}25 < 2{,}1\) (falsch) - Für \(\square = 3\): \(4{,}35 < 3{,}1\) (falsch) - Für \(\square = 4\): \(4{,}45 < 4{,}1\) (falsch) - Für \(\square = 5\): \(4{,}55 < 5{,}1\) (wahr) 3. Überprüfung für größere Ziffern: Da für \(\square \ge 5\) die Einerstelle der rechten Seite (\(\square\)) immer größer ist als die Einerstelle der linken Seite (\(4\)), bleibt die Ungleichung für alle \(\square \in \{5, 6, 7, 8, 9\}\) wahr. 4. Schnittmenge: Die Ziffern, die beide Bedingungen erfüllen, sind \(5, 6, 7, 8, 9\).

Antwort

Die möglichen Ziffern sind \(5, 6, 7, 8, 9\).
4142217
Welche Zahl muss in das Kästchen \(\Box\) eingesetzt werden, damit die Gleichung korrekt ist? a) \(12{,}5 - \Box + 2{,}5 = 10\) b) \(\frac{3}{8} + \Box = \frac{7}{8}\) c) \(0{,}4 \cdot \Box = 2\) d) \(\Box : 4 - 0{,}5 = 1{,}5\)

Denkanstöße

- Kannst du die Zahlen, bei denen kein Kästchen steht, zuerst zusammenfassen? - Überlege dir, welche Rechenoperation das Gegenteil von der in der Aufgabe ist. - Es kann helfen, Brüche und Dezimalzahlen einheitlich zu schreiben.

Lösung

1. Zusammenfassen der bekannten Werte auf der linken Seite: \(12{,}5 + 2{,}5 = 15\). Die Gleichung lautet \(15 - \Box = 10\). Daraus folgt \(\Box = 15 - 10 = 5\). 2. Subtraktion des bekannten Summanden: \(\Box = \frac{7}{8} - \frac{3}{8} = \frac{4}{8}\). Gekürzt ergibt dies \(\frac{1}{2}\) bzw. \(0{,}5\). 3. Anwendung der Umkehroperation (Division): \(\Box = 2 : 0{,}4\). Da \(20 : 4 = 5\), ist \(\Box = 5\). 4. Schrittweise Umkehrung: Zuerst Addition \(1{,}5 + 0{,}5 = 2\). Dann Multiplikation des Zwischenergebnisses mit dem Divisor: \(2 \cdot 4 = 8\). Somit ist \(\Box = 8\).

Antwort

a) \(5\) b) \(0{,}5\) (oder \(\frac{1}{2}\)) c) \(5\) d) \(8\)
4224697
In der Mathematik gibt es Gleichungen, die für jede beliebige Zahl wahr sind (man nennt sie allgemeingültig oder Identitäten). Andere Gleichungen sind nur für ganz bestimmte Werte der Variablen wahr. Entscheide für die folgenden Beispiele, welche der Aussagen allgemeingültig sind: 1) \(n + n = 2 \cdot n\) 2) \(3 \cdot x = 15\) 3) \(4 \cdot (a + b) = 4 \cdot a + 4 \cdot b\) 4) \(y - 5 = 5 - y\) 5) \(z \cdot 1 = z\)

Denkanstöße

- Überlege dir, ob eine Rechenregel (wie das Vertauschungsgesetz oder Verteilungsgesetz) hinter der Gleichung steckt. - Versuche, verschiedene Zahlen für die Variable einzusetzen. Wenn du eine Zahl findest, bei der die Gleichung nicht stimmt, ist sie nicht allgemeingültig. - Kannst du eine Seite der Gleichung so umformen, dass sie exakt wie die andere Seite aussieht?

Lösung

1. Der Term \(n + n\) lässt sich durch Zusammenfassen zu \(2n\) vereinfachen. Die Gleichung \(2n = 2n\) ist für alle \(n\) wahr, also allgemeingültig. 2. Die Gleichung \(3x = 15\) hat nur die Lösung \(x = 5\). Sie ist nicht für alle Werte wahr. 3. Durch Anwendung des Distributivgesetzes ergibt sich \(4 \cdot (a + b) = 4a + 4b\). Dies ist eine allgemeingültige Regel für alle \(a\) und \(b\). 4. Die Gleichung \(y - 5 = 5 - y\) ist nur für \(y = 5\) wahr (\(0 = 0\)). Für andere Werte (z. B. \(y = 0\)) ergibt sich \(-5 = 5\), was falsch ist. Nicht allgemeingültig. 5. Die Multiplikation einer Zahl mit \(1\) ergibt immer die Zahl selbst (neutrales Element). Die Gleichung ist für alle \(z\) wahr, also allgemeingültig.

Antwort

Allgemeingültig sind die Aussagen 1), 3) und 5).
4244597
Gegeben sei eine ganze Zahl \(n\). Beschreibe in Worten, welche Art von Zahlen durch die folgenden Terme dargestellt werden: a) \(7n\) b) \(7n + 3\) c) \(2n - 1\) d) \(10n + 5\)

Denkanstöße

- Was passiert, wenn du für \(n\) nacheinander die Zahlen 1, 2, 3 und 4 einsetzt? - Erkennst du ein Muster in den Ergebnissen? - Gibt es einen festen Abstand zwischen den Werten, die ein Term erzeugt? - Welche mathematischen Begriffe wie „gerade“, „ungerade“ oder „Vielfaches“ passen zu deinen Beobachtungen?

Lösung

1. Term \(7n\): Da \(n\) eine ganze Zahl ist, stellt das Produkt mit 7 alle Vielfachen von 7 dar. 2. Term \(7n + 3\): Zu einem Vielfachen von 7 wird 3 addiert; dies entspricht allen Zahlen, die bei der Division durch 7 den Rest 3 lassen. 3. Term \(2n - 1\): Da \(2n\) immer eine gerade Zahl ist, ergibt die Subtraktion von 1 stets eine ungerade Zahl. 4. Term \(10n + 5\): Das Zehnfache einer Zahl endet auf 0; die Addition von 5 führt dazu, dass die Zahl auf 5 endet (oder bei Division durch 10 den Rest 5 lässt).

Antwort

a) Vielfache von 7; b) Zahlen, die bei Division durch 7 den Rest 3 lassen; c) Ungerade Zahlen; d) Zahlen, die bei Division durch 10 den Rest 5 lassen (oder: Zahlen, die auf 5 enden).
4121347
In den folgenden Rechnungen wurden Ziffern durch die Buchstaben \(a\) und \(b\) ersetzt. Bestimme, welche Ziffern (0 bis 9) jeweils eingesetzt werden müssen. a) \(4{,}a2 + 3{,}7b = 8{,}59\) b) \(12{,}b - a{,}5 = 8{,}7\)

Denkanstöße

- Gehe wie bei der schriftlichen Addition oder Subtraktion Stelle für Stelle vor. - Vergiss nicht, mögliche Überträge oder das „Entleihen“ von der nächsten Stelle zu berücksichtigen. - Jeder Buchstabe steht für genau eine Ziffer zwischen 0 und 9.

Lösung

1. Analyse von Aufgabe a): An der Hundertstelstelle gilt \(2 + b = 9\), woraus \(b = 7\) folgt. An der Zehntelstelle gilt \(a + 7 = 15\) (mit einem Übertrag von 1 zur Einerstelle), woraus \(a = 8\) folgt. Die Einerstellen bestätigen dies: \(1 (\text{Übertrag}) + 4 + 3 = 8\). 2. Analyse von Aufgabe b): An der Zehntelstelle muss gelten \(b - 5 = 7\). Da dies mit einer Ziffer nicht direkt möglich ist, muss eine Einheit von der Einerstelle entliehen werden: \(10 + b - 5 = 7\), also \(b + 5 = 7\), woraus \(b = 2\) folgt. 3. An der Einerstelle von Aufgabe b) verbleibt nach dem Entleihen \(1 - a = 8\). Dies erfordert das Entleihen von der Zehnerstelle: \(11 - a = 8\), woraus \(a = 3\) folgt. Die Zehnerstelle wird dadurch zu \(0\), was zum Ergebnis \(8{,}7\) passt.

Antwort

a) \(a = 8\), \(b = 7\) b) \(a = 3\), \(b = 2\)
4121477
Bestimme den Wert der Unbekannten \( \square \), sodass die Gleichungen stimmen. a) \( \frac{4}{5} \cdot \square = 12 \) b) \( \square : \frac{2}{3} = \frac{9}{10} \) c) \( \frac{7}{3} - \square = \frac{1}{6} \)

Denkanstöße

- Überlege dir eine passende Umkehroperation, um die Unbekannte zu isolieren. - Wie würdest du vorgehen, wenn dort ganze Zahlen stünden (z. B. \( 2 \cdot x = 10 \))? - Denk bei der Subtraktion daran, die Brüche auf den gleichen Nenner zu bringen.

Lösung

1. Gleichung a: Um \( \square \) zu finden, dividiere 12 durch \( \frac{4}{5} \). Das entspricht \( 12 \cdot \frac{5}{4} = 3 \cdot 5 = 15 \). Also \( \square = 15 \). 2. Gleichung b: Um \( \square \) zu finden, multipliziere \( \frac{9}{10} \) mit \( \frac{2}{3} \). Das ergibt \( \frac{9 \cdot 2}{10 \cdot 3} = \frac{18}{30} \). Kürzen mit 6 ergibt \( \frac{3}{5} \). Also \( \square = \frac{3}{5} \). 3. Gleichung c: Um \( \square \) zu finden, rechne \( \frac{7}{3} - \frac{1}{6} \). Hauptnenner finden: \( \frac{14}{6} - \frac{1}{6} = \frac{13}{6} \). Also \( \square = \frac{13}{6} \) (oder \( 2 \frac{1}{6} \)).

Antwort

a) \( 15 \) b) \( \frac{3}{5} \) c) \( \frac{13}{6} \) (oder \( 2 \frac{1}{6} \))
4121557
Welche Ziffern (0 bis 9) können jeweils in das Kästchen \(\square\) eingesetzt werden, damit eine wahre Aussage entsteht? Gib für jede Teilaufgabe alle möglichen Ziffern an. a) \(-4{,}1\square > -4{,}15\) b) \(-0{,}\square7 < -0{,}4\) c) \(-8{,}2 < -8{,}\square1\)

Denkanstöße

- Überlege dir zuerst, wie die Beziehung für die positiven Beträge der Zahlen aussehen müsste. - Achtung: Bei negativen Zahlen dreht sich das Ungleichheitszeichen um, wenn man nur die Beträge betrachtet. - Ergänze bei Dezimalzahlen fehlende Endstellen mit Nullen, um die Stellenwerte besser vergleichen zu können (z. B. \(0{,}4\) als \(0{,}40\)).

Lösung

1. Für \(-4{,}1\square > -4{,}15\) muss der Betrag \(4{,}1\square\) kleiner als \(4{,}15\) sein. Dies ist für die Ziffern \(0, 1, 2, 3\) und \(4\) der Fall (da \(4{,}14 < 4{,}15\), aber \(4{,}15 = 4{,}15\)). 2. Für \(-0{,}\square7 < -0{,}4\) (entspricht \(-0{,}40\)) muss der Betrag \(0{,}\square7\) größer als \(0{,}40\) sein. Wenn \(\square = 4\), ist \(0{,}47 > 0{,}40\). Für alle Ziffern größer als \(4\) gilt dies ebenfalls. Die Lösung ist \(\{4, 5, 6, 7, 8, 9\}\). 3. Für \(-8{,}2 < -8{,}\square1\) muss der Betrag \(8{,}2\) (oder \(8{,}20\)) größer als \(8{,}\square1\) sein. Setzt man \(\square = 1\) ein, ist \(8{,}20 > 8{,}11\) (wahr). Setzt man \(\square = 2\) ein, ist \(8{,}20 > 8{,}21\) (falsch). Somit sind nur die Ziffern \(0\) und \(1\) möglich.

Antwort

a) \(\square \in \{0, 1, 2, 3, 4\}\) b) \(\square \in \{4, 5, 6, 7, 8, 9\}\) c) \(\square \in \{0, 1\}\)
4121627
Vervollständige die Tabelle, indem du die fehlenden Werte für \(a\), \(b\) oder die Summe \(a + b\) berechnest. <table> <tr> <th style="padding: 5px; border: 1px solid black;">\(a\)</th> <th style="padding: 5px; border: 1px solid black;">\(b\)</th> <th style="padding: 5px; border: 1px solid black;">\(a + b\)</th> </tr> <tr> <td style="padding: 5px; border: 1px solid black;">\(-4{,}5\)</td> <td style="padding: 5px; border: 1px solid black;">\(2{,}1\)</td> <td style="padding: 5px; border: 1px solid black;">?</td> </tr> <tr> <td style="padding: 5px; border: 1px solid black;">?</td> <td style="padding: 5px; border: 1px solid black;">\(-7{,}8\)</td> <td style="padding: 5px; border: 1px solid black;">\(-3{,}2\)</td> </tr> <tr> <td style="padding: 5px; border: 1px solid black;">\(\frac{3}{4}\)</td> <td style="padding: 5px; border: 1px solid black;">?</td> <td style="padding: 5px; border: 1px solid black;">\(-\frac{1}{8}\)</td> </tr> </table>

Denkanstöße

- Wenn das Ergebnis und ein Summand bekannt sind, wie findet man den anderen Summanden? - Überlege dir, welche Rechenoperation die Umkehrung der Addition ist. - Achte bei den Brüchen darauf, sie zuerst auf den gleichen Nenner zu bringen.

Lösung

1. Berechnung der Summe in Zeile 1: \(-4{,}5 + 2{,}1 = -2{,}4\). 2. Bestimmung von \(a\) in Zeile 2 durch Umkehrrechnung: \(a = -3{,}2 - (-7{,}8) = -3{,}2 + 7{,}8 = 4{,}6\). 3. Bestimmung von \(b\) in Zeile 3 durch Umkehrrechnung: \(b = -\frac{1}{8} - \frac{3}{4} = -\frac{1}{8} - \frac{6}{8} = -\frac{7}{8}\).

Antwort

Zeile 1: \(a + b = -2{,}4\) Zeile 2: \(a = 4{,}6\) Zeile 3: \(b = -\frac{7}{8}\)
4121647
In die Kästchen der folgenden Ungleichungskette soll die gleiche Ziffer eingesetzt werden: \(0{,}\square 7 < 0{,}\square < 0{,}6\) Erkläre mathematisch, warum es nicht möglich ist, eine passende Ziffer zu finden.

Denkanstöße

- Schau dir nur den ersten Teil der Ungleichung an: \(0{,}\square 7 < 0{,}\square\). - Was ändert sich an dem Wert einer Dezimalzahl, wenn man rechts eine Null anhängt? - Vergleiche die Zahlen Stelle für Stelle von links nach rechts.

Lösung

1. Untersuchung der ersten Teilungleichung \(0{,}\square 7 < 0{,}\square\). 2. Ergänzung einer Endnull zur besseren Vergleichbarkeit: \(0{,}\square 7 < 0{,}\square 0\). 3. Vergleich der Stellenwerte: Die Einer- und Zehntelstellen sind auf beiden Seiten identisch. In der Hundertstelstelle steht links eine \(7\) und rechts eine \(0\). 4. Schlussfolgerung: Da \(7 > 0\), ist \(0{,}\square 7\) immer um \(0{,}07\) größer als \(0{,}\square 0\). Die Ungleichung \(0{,}\square 7 < 0{,}\square\) ist somit für keine Ziffer wahr. 5. Da der erste Teil der Kette bereits unerfüllbar ist, gibt es keine Gesamtlösung für die Ungleichungskette.

Antwort

Es ist nicht möglich, da der erste Teil der Ungleichungskette (\(0{,}\square 7 < 0{,}\square\)) für keine Ziffer wahr ist. Die Zahl \(0{,}\square 7\) ist immer größer als \(0{,}\square\), da sie an der Hundertstelstelle eine \(7\) besitzt, während \(0{,}\square\) dort eine gedachte \(0\) hat.
4121757
Vervollständige die folgende Subtraktionstabelle und bestimme die Werte für \(x\) und \(y\). In der Tabelle wird jeweils der Wert in der Kopfzeile vom Wert in der Vorspalte subtrahiert (Vorspalte \(-\) Kopfzeile). <table> <tr><td>\(-\)</td><td>\(1{,}2\)</td><td>\(y\)</td><td>\(-3{,}5\)</td></tr> <tr><td>\(4{,}5\)</td><td>\(3{,}3\)</td><td>\(7{,}2\)</td><td></td></tr> <tr><td>\(-2{,}8\)</td><td></td><td>\(-0{,}1\)</td><td>\(0{,}7\)</td></tr> <tr><td>\(x\)</td><td>\(-5{,}5\)</td><td></td><td>\(-0{,}8\)</td></tr> </table>

Denkanstöße

- Überlege dir zuerst, wie man eine solche Tabelle liest. Welcher Wert wird von welchem abgezogen? - Um eine fehlende Zahl in der Kopfzeile oder Vorspalte zu finden, kannst du eine kleine Gleichung aufstellen. - Achte besonders auf das Vorzeichen, wenn du eine negative Zahl subtrahierst.

Lösung

1. Bestimmung von \(y\): Aus der ersten Zeile folgt \(4{,}5 - y = 7{,}2\). Umstellen ergibt \(y = 4{,}5 - 7{,}2 = -2{,}7\). 2. Bestimmung von \(x\): Aus der dritten Zeile folgt \(x - 1{,}2 = -5{,}5\). Umstellen ergibt \(x = -5{,}5 + 1{,}2 = -4{,}3\). 3. Ausfüllen der fehlenden Tabellenwerte: - Zeile \(4{,}5\), Spalte \(-3{,}5\): \(4{,}5 - (-3{,}5) = 4{,}5 + 3{,}5 = 8{,}0\). - Zeile \(-2{,}8\), Spalte \(1{,}2\): \(-2{,}8 - 1{,}2 = -4{,}0\). - Zeile \(x\), Spalte \(y\): \(-4{,}3 - (-2{,}7) = -4{,}3 + 2{,}7 = -1{,}6\).

Antwort

\(x = -4{,}3\); \(y = -2{,}7\) Vollständige Tabelle: <table> <tr><td>\(-\)</td><td>\(1{,}2\)</td><td>\(-2{,}7\)</td><td>\(-3{,}5\)</td></tr> <tr><td>\(4{,}5\)</td><td>\(3{,}3\)</td><td>\(7{,}2\)</td><td>\(8{,}0\)</td></tr> <tr><td>\(-2{,}8\)</td><td>\(-4{,}0\)</td><td>\(-0{,}1\)</td><td>\(0{,}7\)</td></tr> <tr><td>\(-4{,}3\)</td><td>\(-5{,}5\)</td><td>\(-1{,}6\)</td><td>\(-0{,}8\)</td></tr> </table>
4121777
Bestimme die fehlende Zahl in den folgenden Rechnungen, sodass eine wahre Aussage entsteht: a) \(\Box - (-4{,}2) = -1{,}5\) b) \(2{,}5 - \Box = 6{,}1\) c) \(-\frac{7}{8} - \Box = -\frac{1}{4}\)

Denkanstöße

- Du kannst diese Aufgaben wie kleine Rätsel lösen, indem du die Umkehroperationen benutzt. - Bei b) und c) überlege dir: Was muss ich von der ersten Zahl abziehen, um zur zweiten zu kommen? - Es hilft oft, Brüche zuerst auf denselben Nenner zu bringen.

Lösung

1. Teilaufgabe a): Die Rechnung lautet \(x + 4{,}2 = -1{,}5\). Subtraktion von \(4{,}2\) auf beiden Seiten ergibt \(x = -1{,}5 - 4{,}2 = -5{,}7\). 2. Teilaufgabe b): Die Rechnung lautet \(2{,}5 - x = 6{,}1\). Umstellen nach \(x\) ergibt \(x = 2{,}5 - 6{,}1 = -3{,}6\). 3. Teilaufgabe c): Die Rechnung lautet \(-\frac{7}{8} - x = -\frac{2}{8}\). Umstellen nach \(x\) ergibt \(x = -\frac{7}{8} - (-\frac{2}{8}) = -\frac{7}{8} + \frac{2}{8} = -\frac{5}{8}\).

Antwort

a) \(-5{,}7\) b) \(-3{,}6\) c) \(-\frac{5}{8}\)
4142227
Bestimme für jede Gleichung den Wert des Platzhalters \(\Box\). Begründe bei jeder Aufgabe vor dem Rechnen kurz, ob der gesuchte Wert größer oder kleiner als \(10\) sein muss. a) \(25 - \Box = 14{,}5\) b) \(0{,}5 \cdot \Box = 6\) c) \(\frac{1}{3} \cdot \Box = 3\)

Denkanstöße

- Setze doch probehalber die Zahl 10 für das Kästchen ein. Ist das Ergebnis dann zu groß oder zu klein? - Was passiert mit dem Ergebnis einer Multiplikation, wenn du einen der Faktoren vergrößerst? - Wie verändert sich das Ergebnis einer Subtraktion, wenn die Zahl, die du abziehst, größer wird?

Lösung

1. Vergleich mit Referenzwert \(10\): \(25 - 10 = 15\). Da das gewünschte Ergebnis \(14{,}5\) kleiner als \(15\) ist, muss die abgezogene Zahl \(\Box\) größer als \(10\) sein. Berechnung: \(\Box = 25 - 14{,}5 = 10{,}5\). 2. Vergleich mit Referenzwert \(10\): \(0{,}5 \cdot 10 = 5\). Da das Ergebnis \(6\) größer als \(5\) ist, muss der Faktor \(\Box\) größer als \(10\) sein. Berechnung: \(\Box = 6 : 0{,}5 = 12\). 3. Vergleich mit Referenzwert \(10\): \(\frac{1}{3} \cdot 10 = 3\frac{1}{3} \approx 3{,}33\). Da das Ergebnis \(3\) kleiner als \(3{,}33\) ist, muss \(\Box\) kleiner als \(10\) sein. Berechnung: \(\Box = 3 : \frac{1}{3} = 3 \cdot 3 = 9\).

Antwort

a) \(\Box = 10{,}5\) (Begründung: größer als \(10\), da \(25-10=15\) und \(15 > 14{,}5\)) b) \(\Box = 12\) (Begründung: größer als \(10\), da \(0{,}5 \cdot 10 = 5\) und \(5 < 6\)) c) \(\Box = 9\) (Begründung: kleiner als \(10\), da \(\frac{1}{3} \cdot 10 > 3\))
4224707
Zwei Terme werden als äquivalent bezeichnet, wenn sie bei jeder Einsetzung für die Variablen den gleichen Wert liefern. Man kann dies durch Termumformungen prüfen. Untersuche die folgenden Termpaare auf Äquivalenz und begründe deine Entscheidung: Paar A: \(T_1 = 2 \cdot (3x + 4) - 2x\) und \(T_2 = 4x + 8\) Paar B: \(T_3 = 8a : 2\) und \(T_4 = 4a\) Paar C: \(T_5 = 5 + 3 \cdot b\) und \(T_6 = 8b\)

Denkanstöße

- Nutze Termumformungen wie das Ausmultiplizieren von Klammern oder das Zusammenfassen von Gliedern, um die Terme zu vergleichen. - Achte besonders auf Rechenregeln wie „Punkt vor Strich“. - Wenn du vermutest, dass zwei Terme nicht gleich sind, setze eine einfache Zahl (wie \(0\) oder \(2\)) ein und vergleiche die Ergebnisse.

Lösung

1. Für Paar A wird der Term \(T_1\) durch Ausmultiplizieren und Zusammenfassen umgeformt: \(2 \cdot (3x + 4) - 2x = 6x + 8 - 2x = 4x + 8\). Da das Ergebnis mit \(T_2\) übereinstimmt, sind die Terme äquivalent. 2. Für Paar B wird die Division durchgeführt: \(8a : 2 = (8 : 2) \cdot a = 4a\). Da das Ergebnis exakt \(T_4\) entspricht, sind diese Terme äquivalent. 3. Für Paar C gilt die Vorrangregel „Punkt vor Strich“. Der Term \(5 + 3b\) kann nicht weiter zu \(8b\) zusammengefasst werden, da die \(5\) keinen Variablenanteil \(b\) hat. Eine Probe mit \(b = 0\) ergibt \(5\) für \(T_5\) und \(0\) für \(T_6\). Die Terme sind nicht äquivalent.

Antwort

Äquivalent sind die Paare A und B. Paar C ist nicht äquivalent.
4244607
Stelle für die folgenden Beschreibungen jeweils einen Term mit der Variablen \(k\) auf. Dabei ist \(k\) eine beliebige ganze Zahl. a) Alle Zahlen, die durch 8 teilbar sind. b) Alle Zahlen, die bei der Division durch 8 den Rest 5 lassen. c) Alle ungeraden Zahlen. d) Alle Zahlen, die um 2 kleiner sind als ein Vielfaches von 3.

Denkanstöße

- Wie schreibt man allgemein ein Vielfaches einer Zahl mit einer Variablen? - Wenn eine Zahl einen Rest lässt, wie verändert das den Term für das Vielfache? - Überlege dir, wie du sicherstellen kannst, dass das Ergebnis einer Rechnung immer gerade ist, und was du dann tun musst, um es ungerade zu machen. - „Um etwas kleiner“ lässt sich mathematisch durch ein bestimmtes Rechenzeichen ausdrücken.

Lösung

1. Teilbarkeit durch 8: Eine Zahl ist durch 8 teilbar, wenn sie ein Vielfaches von 8 ist, also \(8 \cdot k\) bzw. \(8k\). 2. Division durch 8 mit Rest 5: Ein Vielfaches von 8 wird um den Rest erhöht, was zum Term \(8k + 5\) führt. 3. Ungerade Zahlen: Da \(2k\) immer gerade ist, führt die Addition oder Subtraktion von 1 zu einer ungeraden Zahl, also \(2k + 1\) oder \(2k - 1\). 4. Um 2 kleiner als ein Vielfaches von 3: Ein Vielfaches von 3 ist \(3k\); „um 2 kleiner“ bedeutet eine Subtraktion von 2, also \(3k - 2\).

Antwort

a) \(8k\); b) \(8k + 5\); c) \(2k + 1\) (oder \(2k - 1\)); d) \(3k - 2\).
4121657
Gegeben ist die folgende Ungleichung für rationale Zahlen, in der \(k\) für eine Ziffer steht: \(-k{,}6 < -3{,}4 < -k{,}2\) Bestimme alle Ziffern für \(k\), die die Ungleichungskette zu einer wahren Aussage machen.

Denkanstöße

- Erinnere dich daran, wie man negative Zahlen auf der Zahlengeraden vergleicht: Welche Zahl liegt weiter links? - Was passiert mit dem Ungleichheitszeichen, wenn du die Vorzeichen aller Zahlen umkehrst? - Überprüfe deine Lösung, indem du die gefundene Ziffer am Ende einsetzt.

Lösung

1. Umformung durch Multiplikation mit \(-1\) (Umkehrung der Relationszeichen): \(k{,}6 > 3{,}4 > k{,}2\). 2. Analyse der Bedingung \(k{,}6 > 3{,}4\): Dies ist erfüllt, wenn die Einerstelle \(k \ge 3\) ist. Falls \(k=3\), gilt \(3{,}6 > 3{,}4\) (wahr). Somit \(k \in \{3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}\). 3. Analyse der Bedingung \(3{,}4 > k{,}2\): Dies ist erfüllt, wenn die Einerstelle \(k \le 3\) ist. Falls \(k=3\), gilt \(3{,}4 > 3{,}2\) (wahr). Somit \(k \in \{0, 1, 2, 3\}\). 4. Bestimmung der Schnittmenge: Die einzige Ziffer, die beide Bedingungen gleichzeitig erfüllt, ist \(k = 3\). 5. Probe: \(-3{,}6 < -3{,}4 < -3{,}2\). Da \(-3{,}6\) weiter links auf der Zahlengeraden liegt als \(-3{,}4\) und dieses wiederum weiter links als \(-3{,}2\), ist die Aussage wahr.

Antwort

Die einzige mögliche Ziffer ist \(k = 3\).
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Bestimme die Zahl für den Platzhalter \(\square\), sodass die Gleichung korrekt ist. Nutze dabei dein Wissen über das Distributivgesetz. a) \(15 \cdot 7 + 15 \cdot \square = 150\) b) \(\square \cdot 1{,}2 - \square \cdot 0{,}2 = 8\) c) \((-4) \cdot 2{,}5 + \square \cdot 2{,}5 = -25\) d) \(0{,}8 \cdot \square - 0{,}8 \cdot 5 = 4\)

Denkanstöße

- Versuche zuerst, die linke Seite der Gleichung durch Ausklammern zu vereinfachen. - Wie kannst du die Gleichung umstellen, um den Platzhalter allein auf einer Seite zu haben? - Überlege, welche Zahl in der Klammer stehen muss, damit die Multiplikation das Ergebnis auf der rechten Seite ergibt.

Lösung

1. Lösung für a): Ausklammern ergibt \(15 \cdot (7 + \square) = 150\). Division durch \(15\) liefert \(7 + \square = 10\), also \(\square = 3\). 2. Lösung für b): Ausklammern ergibt \(\square \cdot (1{,}2 - 0{,}2) = 8\). Vereinfachen der Klammer liefert \(\square \cdot 1 = 8\), also \(\square = 8\). 3. Lösung für c): Ausklammern ergibt \((-4 + \square) \cdot 2{,}5 = -25\). Division durch \(2{,}5\) liefert \(-4 + \square = -10\), also \(\square = -6\). 4. Lösung für d): Ausklammern ergibt \(0{,}8 \cdot (\square - 5) = 4\). Division durch \(0{,}8\) liefert \(\square - 5 = 5\), also \(\square = 10\).

Antwort

a) \(\square = 3\) b) \(\square = 8\) c) \(\square = -6\) d) \(\square = 10\)
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Ermittle den Wert, der in das Kästchen \(\Box\) passt. Achte auf die Verbindung von Brüchen und Dezimalzahlen. a) \(\frac{3}{4} + \Box - 0{,}25 = 1\) b) \(2 \cdot ( \Box + 1{,}5 ) = 7\) c) \(10 - \frac{\Box}{2} = 8{,}5\)

Denkanstöße

- Kannst du die Gleichung so umformen, dass das Kästchen am Ende alleine auf einer Seite steht? - Denke an die Vorrangregeln, zum Beispiel bei der Klammeraufgabe oder dem Bruchstrich. - Manchmal ist es einfacher, alles in Dezimalzahlen umzurechnen, bevor man beginnt.

Lösung

1. Umwandlung und Zusammenfassung: \(\frac{3}{4}\) entspricht \(0{,}75\). Rechnung: \(0{,}75 - 0{,}25 = 0{,}5\). Die Gleichung lautet \(0{,}5 + \Box = 1\). Subtraktion ergibt \(\Box = 0{,}5\). 2. Division der gesamten Gleichung durch \(2\): \(\Box + 1{,}5 = 3{,}5\). Subtraktion von \(1{,}5\) auf beiden Seiten ergibt \(\Box = 2\). 3. Umstellen der Gleichung nach dem Bruchterm: \(\frac{\Box}{2} = 10 - 8{,}5 = 1{,}5\). Multiplikation beider Seiten mit \(2\) ergibt \(\Box = 3\).

Antwort

a) \(0{,}5\) (oder \(\frac{1}{2}\)) b) \(2\) c) \(3\)

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