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Ein Reisebüro gibt die folgende Tabelle für den Umtausch von Euro (€) in polnische Złoty (PLN) heraus: <table> <tr><th>Euro (€)</th><td>1</td><td>5</td><td>10</td><td>50</td></tr> <tr><th>Złoty (PLN)</th><td>4,30</td><td>21,50</td><td>43,00</td><td>215,00</td></tr> </table> a) Beschreibe mit Worten, welche Zuordnung diese Tabelle darstellt. b) Stelle einen Term auf, mit dem man den Betrag in Złoty für einen beliebigen Euro-Betrag \(x\) berechnen kann. c) Berechne mithilfe deines Terms, wie viele Złoty man für \(22\,\text{€}\) erhält.

Ein Rechteck hat eine feste Breite von \(6\,\text{cm}\). Die Länge \(a\) des Rechtecks ist variabel. a) Stelle einen Term für den Umfang \(U\) des Rechtecks in Abhängigkeit von der Länge \(a\) auf. b) Berechne den Umfang für \(a = 4\,\text{cm}\) und \(a = 12{,}5\,\text{cm}\).

Eine Wanderstrecke besteht aus zwei Abschnitten. Der erste Abschnitt hat eine Länge von \(a\) Kilometern, der zweite Abschnitt eine Länge von \(b\) Kilometern. Stelle einen Term für die Gesamtlänge der Wanderstrecke auf und berechne den Wert des Terms für die folgenden Fälle: 1) \(a = 12\), \(b = 15\) 2) \(a = 4{,}7\), \(b = 3{,}8\) 3) \(a = 5\frac{3}{4}\), \(b = 6\frac{1}{2}\)

Stelle für die folgenden Beschreibungen jeweils einen passenden mathematischen Term auf: a) Das Produkt aus der Zahl \(9\) und einer Variablen \(x\). b) Die Differenz aus einer Variablen \(m\) und einer Variablen \(n\). c) Die Summe der drei Werte \(a\), \(b\) und \(12\).

Übersetze die folgenden Beschreibungen in mathematische Terme: a) Die Summe aus einer Zahl \(x\) und \(14\). b) Das Produkt der Variablen \(c\) und \(d\). c) Die Differenz aus der Zahl \(20\) und einer Variablen \(y\). d) Das Achtfache einer Zahl \(z\).

Stelle für die beschriebenen Zahlen jeweils einen passenden Term auf: 1. Eine Zahl mit \(x\) Hundertern und \(y\) Zehnern. 2. Eine Zahl mit \(a\) Tausendern, \(b\) Hundertern und \(c\) Einern. 3. Das Dreifache einer Zahl, die aus \(n\) Zehnern und \(k\) Einern besteht.

In einer Schulbibliothek stehen zu Beginn eines Monats \(x\) Bücher. Während des Monats werden \(y\) Bücher neu angeschafft und \(z\) beschädigte Bücher aussortiert. a) Stelle einen Term auf, der die Anzahl der Bücher am Ende des Monats beschreibt. b) Berechne die Anzahl der Bücher für folgende Werte: 1) \(x = 1250\), \(y = 48\), \(z = 15\) 2) \(x = 945\), \(y = 112\), \(z = 37\)

Ein Mobilfunkanbieter berechnet im Ausland für die Datennutzung \(0{,}05\,\text{€}\) pro verbrauchtem Megabyte (\(\text{MB}\)). Berechne die Kosten für die folgenden Datenmengen: a) \(10\,\text{MB}\) b) \(100\,\text{MB}\) c) \(250\,\text{MB}\) d) \(1{,}5\,\text{GB}\) (Hinweis: \(1\,\text{GB} = 1\,000\,\text{MB}\)) e) Stelle einen Term auf, mit dem man die Kosten für eine beliebige Datenmenge von \(m\,\text{MB}\) berechnen kann.

Ein zylindrisches Glas wird unter einen gleichmäßig laufenden Wasserhahn gestellt. Nach \(12\,\text{s}\) beträgt die Füllhöhe im Glas genau \(4{,}2\,\text{cm}\). a) Berechne, wie hoch das Wasser nach insgesamt \(30\,\text{s}\) im Glas steht. b) Stelle einen Term auf, mit dem man die Füllhöhe \(h\) (in \(\text{cm}\)) für eine beliebige Zeit \(t\) (in \(\text{s}\)) berechnen kann. c) Das Glas hat eine Gesamthöhe von \(14\,\text{cm}\). Bestimme, nach welcher Zeit das Wasser den Rand erreicht und überzulaufen beginnt.

In einem Kochbuch findet man eine Faustformel für die Zubereitung eines Bratenstücks im Ofen: „Rechne pro Kilogramm Fleisch eine Garzeit von \(45\) Minuten und plane zusätzlich \(20\) Minuten für das Vorheizen und Ruhen ein.“ a) Stelle einen Term für die Gesamtzeit \(G\) (in Minuten) auf, wenn das Fleisch \(m\) Kilogramm wiegt. b) Berechne die Gesamtzeit für ein Fleischstück mit einer Masse von \(2{,}5\,\text{kg}\). c) Für die Zubereitung eines Bratens wurden insgesamt \(155\) Minuten benötigt. Bestimme mithilfe deiner Formel, wie schwer das Fleischstück war.

Bei einem Gewitter kann man die Entfernung zum Einschlagsort mit einer Faustregel schätzen: „Zähle die Sekunden zwischen dem Blitz und dem Donner und dividiere diese Zahl durch 3. Das Ergebnis ist die Entfernung in Kilometern.“ a) Stelle einen Term auf, der die Entfernung \(d\) (in \(\text{km}\)) in Abhängigkeit von der Zeit \(t\) (in Sekunden) beschreibt. b) Berechne die Entfernung für die Zeitspannen \(3\,\text{s}\), \(9\,\text{s}\) und \(15\,\text{s}\). c) Ein Beobachter misst eine Zeit von \(4{,}5\,\text{s}\). Wie weit ist das Gewitter entfernt? d) Warum handelt es sich hierbei nur um eine Schätzung? Begründe kurz unter Berücksichtigung der Schallgeschwindigkeit (ca. \(343\,\text{m/s}\)).

In den USA wird die Temperatur in Grad Fahrenheit (\(^\circ\text{F}\)) gemessen. Um einen Temperaturwert in Grad Celsius (\(^\circ\text{C}\)) in Grad Fahrenheit umzurechnen, multipliziert man den Celsiuswert mit \(1{,}8\) und addiert \(32\). a) Stelle einen Term auf, mit dem man die Temperatur in \(^\circ\text{F}\) berechnen kann. Nutze die Variable \(c\) für die Temperatur in Grad Celsius. b) Berechne mithilfe deines Terms die Fahrenheit-Werte für die folgenden Temperaturen: \(20\,^\circ\text{C}\), \(35\,^\circ\text{C}\) und \(-10\,^\circ\text{C}\).

Ein rechteckiges Beet soll mit einem Zaun eingefasst werden. Die Breite des Beets wird mit \(x\) bezeichnet. Die Länge des Beets ist \(3\,\text{m}\) länger als das Doppelte der Breite. a) Stelle einen Term für den Umfang \(U\) des Beets auf. b) Vereinfache diesen Term so weit wie möglich. c) Berechne die Gesamtlänge des Zauns, wenn das Beet \(4{,}50\,\text{m}\) breit ist.

Ein Viereck hat vier Seiten mit folgenden Längen: - Die erste Seite ist \(x\,\text{cm}\) lang. - Die zweite Seite ist \(2\,\text{cm}\) länger als die erste Seite. - Die dritte Seite ist doppelt so lang wie die erste Seite. - Die vierte Seite ist genau \(5\,\text{cm}\) lang. a) Stelle einen Term für den Umfang \(U\) des Vierecks auf und fasse ihn so weit wie möglich zusammen. b) Berechne den Umfang für \(x = 3{,}5\,\text{cm}\).

Lukas behauptet: „Wenn ich vier aufeinanderfolgende natürliche Zahlen addiere, ist die Summe immer durch 4 teilbar.“ a) Überprüfe Lukas' Behauptung an zwei Beispielen. b) Stelle einen Term für die Summe von vier aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen auf (verwende \(n\) für die kleinste Zahl). c) Begründe mithilfe des Terms, warum Lukas' Behauptung falsch ist.

Addiere drei aufeinanderfolgende ganze Zahlen. Begründe mithilfe eines Terms, warum die Summe dieser drei Zahlen immer durch 3 teilbar ist.

Denke dir eine beliebige ganze Zahl \(x\). Multipliziere sie mit 5 und subtrahiere die ursprüngliche Zahl \(x\). Addiere anschließend 12 zum Ergebnis. Zeige durch das Aufstellen und Vereinfachen eines Terms, dass das Endergebnis immer durch 4 teilbar ist.

Ein quadratisches Mosaik wird für eine natürliche Zahl \(n \ge 2\) aus \(n \times n\) kleinen Steinchen zusammengesetzt. Die vier Steinchen in den Ecken des Mosaiks sind goldfarben. Alle anderen Steinchen, die sich am äußeren Rand befinden, sind silberfarben. Die restlichen Steinchen im Inneren sind weiß. Stelle einen Term für die Anzahl der silbernen Steinchen in Abhängigkeit von \(n\) auf. Vereinfache deinen Term so weit wie möglich.

Lukas hat bereits \(85\,\text{€}\) in seiner Spardose und spart nun jede Woche \(4\,\text{€}\) von seinem Taschengeld dazu. Seine Schwester Marie hat erst \(40\,\text{€}\) gespart, entscheidet sich aber, ab jetzt jede Woche \(7\,\text{€}\) beiseite zu legen. a) Nach wie vielen Wochen haben beide genau den gleichen Geldbetrag in ihren Spardosen? b) Wie viel Geld hat jeder von ihnen zu diesem Zeitpunkt gespart?

Ein Aquarium mit einem Fassungsvermögen von \(500\,\text{l}\) wird mit zwei verschiedenen Schläuchen gleichzeitig gefüllt. Der erste Schlauch liefert \(12\,\text{l}\) Wasser pro Minute, der zweite Schlauch \(8\,\text{l}\) pro Minute. Tim stellt die Behauptung auf, dass die Füllzeit \(x\) (in Minuten) mit der Gleichung \(12 \cdot x + 8 \cdot x = 500\) berechnet werden kann. a) Berechne mithilfe der Gleichung, wie lange es dauert, bis das Aquarium vollständig gefüllt ist. b) Bestimme, wie viele Liter Wasser der erste Schlauch bis zu diesem Zeitpunkt insgesamt geliefert hat.

Ein mathematischer Zaubertrick besteht aus den folgenden Schritten: 1. Denke dir eine beliebige Zahl \(x\). 2. Addiere 8 zu dieser Zahl. 3. Multipliziere das Ergebnis mit 3. 4. Subtrahiere 24 vom aktuellen Wert. 5. Subtrahiere zum Schluss das Dreifache deiner ursprünglichen Zahl \(x\). Zeige durch das Aufstellen und Vereinfachen eines Terms, dass das Endergebnis völlig unabhängig von der gewählten Zahl \(x\) ist. Welches Ergebnis kommt immer heraus?

Drei Stapel mit Streichhölzern liegen auf dem Tisch: der linke Stapel (\(L\)), der mittlere Stapel (\(M\)) und der rechte Stapel (\(R\)). Zu Beginn befinden sich im mittleren Stapel \(z\) Streichhölzer. Isabelle gibt nun folgende Anweisungen: 1. Nimm \(6\) Streichhölzer vom linken Stapel und lege sie auf den mittleren Stapel. 2. Nimm \(4\) Streichhölzer vom mittleren Stapel und lege sie auf den rechten Stapel. a) Stelle einen Term auf, der die Anzahl der Streichhölzer im mittleren Stapel nach den beiden Schritten beschreibt. b) Nach den Umverteilungen liegen genau \(15\) Streichhölzer im mittleren Stapel. Wie viele Streichhölzer lagen dort am Anfang?

Ein kleiner mathematischer Rechentrick funktioniert wie folgt: 1. Denke dir eine beliebige Zahl \(x\). 2. Addiere 5 zu dieser Zahl. 3. Multipliziere das Ergebnis mit 3. 4. Subtrahiere 15 vom aktuellen Ergebnis. 5. Subtrahiere nun das Doppelte deiner ursprünglichen Zahl \(x\). a) Probiere den Trick mit zwei verschiedenen Startzahlen aus. Was stellst du fest? b) Erkläre das Ergebnis allgemein, indem du für jeden der fünf Schritte einen Term aufstellst und den Term für den letzten Schritt so weit wie möglich vereinfachst.

Im Kino kostet eine Portion Popcorn \(4{,}50\,\text{€}\) und ein Softdrink \(3{,}20\,\text{€}\). 1) Berechne die Gesamtkosten für 2 Portionen Popcorn und 3 Softdrinks. 2) Stelle einen Term für die Gesamtkosten auf, wenn man \(p\) Portionen Popcorn und \(d\) Softdrinks kauft. 3) Was berechnet man mit dem Term \(3 \cdot 4{,}50 + 3{,}20\)? 4) Jemand kauft \(x\) Portionen Popcorn und bezahlt mit einem 20-Euro-Schein. Erstelle einen Term für das Wechselgeld.

Bei einem Spendenlauf sammelt die Klasse 7a einen Betrag von \(x\,\text{€}\). Die Klasse 7b ist besonders erfolgreich und sammelt \(20\,\%\) mehr als die 7a. Die Klasse 7c sammelt \(50\,\text{€}\) weniger als die 7b. 1. Stelle einen Term für den Spendenbetrag der Klasse 7b in Abhängigkeit von \(x\) auf. 2. Stelle einen Term für den Spendenbetrag der Klasse 7c in Abhängigkeit von \(x\) auf. 3. Wie viel Geld haben die drei Klassen insgesamt gesammelt? Gib einen vereinfachten Term in Abhängigkeit von \(x\) an.

Beim Trocknen von Äpfeln verlieren diese etwa \(\frac{4}{5}\) ihres ursprünglichen Gewichts. a) Erstelle einen Term, der das Gewicht der getrockneten Äpfel angibt, wenn man von einer Menge von \(x\,\text{kg}\) frischen Äpfeln ausgeht. b) Berechne mithilfe deines Terms, wie viele Kilogramm getrocknete Äpfel man aus \(15\,\text{kg}\) frischen Äpfeln erhält.

Für den Bau eines Modells benötigt ein Schüler 3 Holzleisten der Länge \(x\,\text{cm}\) und 2 Holzleisten der Länge \(y\,\text{cm}\). Stelle einen Term für die Gesamtlänge des benötigten Holzes auf. Berechne die Gesamtlänge für: 1) \(x = 5\,\text{cm}\), \(y = 4\,\text{cm}\) 2) \(x = 2{,}5\,\text{cm}\), \(y = 1{,}8\,\text{cm}\) 3) \(x = 4\frac{1}{3}\,\text{cm}\), \(y = 1\frac{1}{2}\,\text{cm}\)

An einem Schulkiosk werden Saftschorlen für \(1{,}50\,\text{€}\) und Brezeln für \(2{,}20\,\text{€}\) verkauft. a) Stelle einen Term für die Gesamteinnahmen auf, wenn \(s\) Schorlen und \(b\) Brezeln verkauft werden. b) Berechne die Einnahmen für den Verkauf von \(80\) Schorlen und \(55\) Brezeln. c) Angenommen, die Preise ändern sich: Eine Schorle kostet nun \(x\,\text{€}\) und eine Brezel \(y\,\text{€}\). Wie lautet der Term für die Gesamteinnahmen bei den gleichen Verkaufszahlen aus Aufgabenteil b)?

Ein Wanderweg hat eine Gesamtlänge von \(L\,\text{km}\). Eine Wandergruppe hat vom Anfang des Wanderwegs aus entlang der vorgesehenen Route bereits eine Strecke von \(d\,\text{km}\) zurückgelegt. a) Stelle einen Term auf, mit dem man die noch verbleibende Strecke berechnen kann. b) Berechne die restliche Strecke für \(L = 18{,}5\) und \(d = 7{,}9\). c) Warum darf der Wert von \(d\) in diesem Sachzusammenhang nicht größer als \(L\) sein?

Übersetze die folgenden Beschreibungen in mathematische Terme mit den genannten Variablen: a) Das Produkt aus der Variablen \(x\) und der Summe der Variablen \(y\) und \(z\). b) Die Differenz aus dem Fünffachen einer Zahl \(a\) und der Zahl \(12\). c) Der Quotient, bei dem der Dividend die Differenz von \(p\) und \(q\) ist und der Divisor \(3\) beträgt.

Stelle für die folgenden Rechenanweisungen jeweils einen passenden Term auf: a) Das Fünffache der Differenz aus \(x\) und \(y\). b) Die Summe aus dem Produkt von \(3\) und \(a\) und dem Quotienten aus \(b\) und \(4\). c) Subtrahiere das Doppelte von \(z\) von der Zahl \(50\).

Stelle für jede der folgenden Beschreibungen einen passenden mathematischen Term auf: a) Die Differenz aus dem Doppelten einer Zahl \(x\) und der Zahl \(7\). b) Der Quotient aus der Summe der Zahlen \(a\) und \(b\) und der Zahl \(3\). c) Das Produkt aus einer ganzen Zahl \(y\) und ihrem Nachfolger.

Stelle einen Term für die folgende Rechenvorschrift auf: Subtrahiere vom Produkt der Zahlen \(a\) und \(b\) den Quotienten aus der Zahl \(c\) und der Zahl \(8\).

Ein Wanderer legt pro Stunde eine Strecke von \(x\) Kilometern zurück. a) Gib jeweils einen Term für die Strecke an, die er in 4 Stunden, in 30 Minuten und in \(t\) Stunden wandert. b) Berechne die Strecke für \(x = 4{,}5\) und eine Wanderzeit von 3 Stunden. c) Der Wanderer macht eine Pause und halbiert danach sein Tempo. Stelle einen Term für die gesamte Strecke auf, wenn er erst 2 Stunden mit Tempo \(x\) und dann 1 Stunde mit dem halben Tempo wandert.

Betrachte die Zahlenfolge \(4, 7, 10, 13, \dots\) a) Gib einen Term an, mit dem man das \(n\)-te Glied dieser Folge berechnen kann (\(n = 1, 2, 3, \dots\)). b) Untersuche rechnerisch, ob die Zahl \(82\) in dieser Folge vorkommt. Begründe deine Antwort. c) Jemand behauptet: „Alle Zahlen in dieser Folge lassen bei der Division durch \(3\) den gleichen Rest.“ Bestimme diesen Rest und erkläre den Zusammenhang mit deinem Term aus Teilaufgabe a).

Mathematische Terme helfen dabei, Eigenschaften von Zahlengruppen allgemein zu beschreiben. a) Erkläre, warum der Term \(2 \cdot n + 1\) für natürliche Zahlen \(n\in\mathbb{N}_0\) immer eine ungerade Zahl ergibt. b) Stelle einen Term auf, der alle positiven natürlichen Zahlen beschreibt, die sowohl durch \(3\) als auch durch \(4\) teilbar sind.

Gegeben sind die drei Variablen \(x\), \(y\) und \(z\). Stelle für jede der folgenden Beschreibungen den passenden mathematischen Term auf: 1) Das Fünffache der Zahl \(x\). 2) Die Summe aus dem Doppelten von \(y\) und der Zahl \(z\). 3) Das Produkt aus der Zahl \(x\) und der Differenz von \(y\) und \(z\). 4) Der Quotient aus dem Dreifachen von \(z\) und dem Produkt der Variablen \(x\) und \(y\).

Ein Handwerker berechnet für Reparaturen eine feste Anfahrtspauschale von \(35\,\text{€}\) und einen Stundensatz von \(52\,\text{€}\). a) Stelle eine Formel für die Gesamtkosten \(G\) (in \(\text{€}\)) in Abhängigkeit von der Arbeitszeit \(h\) (in Stunden) auf. b) Wie viel kostet eine Reparatur, die \(2{,}5\,\text{Stunden}\) dauert? c) Nach einer anderen Reparatur stellt der Handwerker eine Rechnung über \(217\,\text{€}\) aus. Bestimme die Dauer dieses Einsatzes in Stunden.

Stelle für die folgenden Beschreibungen jeweils einen passenden mathematischen Term auf: 1. Das Dreifache der Summe von \(x\) und \(5\). 2. Die Differenz aus dem Quadrat von \(a\) und dem Doppelten von \(b\). 3. Das Quadrat der Differenz von \(x\) und \(y\). 4. Die Summe aus der Hälfte von \(z\) und der Zahl \(9\).

Übersetze die folgenden mathematischen Beschreibungen in Terme mit Variablen, Zahlen und Rechenzeichen: a) Das Sechsfache der Summe von \(x\) und \(y\). b) Der Quotient aus der Differenz von \(a\) und \(b\) und der Zahl \(5\). c) Addiere das Dreifache von \(m\) zum Vierfachen von \(n\). d) Das Produkt aus der Summe von \(p\) und \(q\) und der Differenz derselben Zahlen.

Stelle für die folgenden Beschreibungen jeweils einen mathematischen Term auf: 1) Die Summe aus dem Quadrat von \(x\) und dem Vierfachen von \(y\). 2) Das Produkt aus der Differenz der Zahlen \(a\) und \(b\) und der Zahl \(7\). 3) Der Quotient aus der Summe der Zahlen \(p\) und \(q\) und ihrem Produkt; dabei gilt \(p \cdot q \neq 0\).

Stelle für jeden der folgenden Ausdrücke einen passenden mathematischen Term auf: 1) Die Summe aus dem Dreifachen einer Zahl \(x\) und der Zahl \(7\). 2) Das Dreifache der Summe aus einer Zahl \(x\) und der Zahl \(7\). 3) Das Quadrat der Differenz der Zahlen \(a\) und \(b\). 4) Die Differenz der Quadrate der Zahlen \(a\) und \(b\).

Zahlen lassen sich oft durch allgemeine Terme beschreiben. Bearbeite dazu die folgenden Aufgaben: 1. Gib einen Term an, der alle natürlichen Zahlen beschreibt, die bei der Division durch 4 den Rest 1 lassen. Nutze \(n\) als Platzhalter für eine natürliche Zahl (\(n = 0, 1, 2, \dots\)). 2. Erkläre, warum der Term \(2 \cdot (k + 5)\) für jede ganze Zahl \(k\) immer eine gerade Zahl darstellt. 3. Jemand behauptet, dass Zahlen der Form \(3n + 6\) immer durch 3 teilbar sind. Überprüfe dies, indem du den Term durch Ausklammern umformst.

Ein Regenwasserreservoir enthält zu Beginn einer Trockenperiode \(V\) Kubikmeter Wasser. In der ersten Woche werden \(v\) Kubikmeter für die Bewässerung der Beete entnommen. Der verbleibende Vorrat soll nun so eingeteilt werden, dass er für weitere \(d\) Tage ausreicht. Stelle einen Term auf, der berechnet, wie viele Liter Wasser im Durchschnitt pro Tag für die restliche Zeit verbraucht werden dürfen. (Hinweis: \(1\,\text{m}^3 = 1000\,\text{l}\)).

Ein Drahtmodell einer quadratischen Pyramide besteht aus einer quadratischen Grundfläche mit der Seitenlänge \(a\) und vier zu einer Spitze führenden Seitenkanten der Länge \(s\). 1. Stelle einen Term für die Gesamtlänge \(L\) des Drahtes auf, der für den Bau dieses Modells benötigt wird. 2. Wie lautet der vereinfachte Term für die Gesamtlänge \(L\), wenn jede Seitenkante \(s\) genau doppelt so lang ist wie eine Grundkante \(a\)?

Zwei Radfahrer, Lukas und Marie, wohnen in verschiedenen Dörfern, die \(s\,\text{km}\) voneinander entfernt liegen. Sie verabreden sich und fahren gleichzeitig einander entgegen. Lukas fährt mit einer konstanten Geschwindigkeit von \(v_L\,\text{km/h}\), Marie mit einer Geschwindigkeit von \(v_M\,\text{km/h}\). a) Stelle einen Term auf, der die Entfernung \(e\) zwischen den beiden nach einer Fahrzeit von \(t\) Stunden beschreibt (vorausgesetzt, sie sind sich noch nicht begegnet). b) Berechne die verbleibende Entfernung für die Werte \(s = 38\), \(v_L = 16\), \(v_M = 14\) und \(t = 0{,}5\).

An einem Schulkiosk kostet eine Laugenbrezel \(p\,\text{€}\) und eine Flasche Apfelsaft \(s\,\text{€}\). Für jede Saftflasche muss zusätzlich ein Pfand von \(x\,\text{€}\) bezahlt werden. a) Stelle einen Term für die Gesamtkosten auf, wenn eine Klasse 12 Brezeln und 10 Flaschen Apfelsaft kauft. b) Vereinfache deinen Term aus Aufgabenteil a) so weit wie möglich. c) Berechne die Gesamtkosten für \(p = 1{,}30\), \(s = 1{,}15\) und \(x = 0{,}25\).

Zwei Motorboote A und B befinden sich auf einem Fluss mit der Strömungsgeschwindigkeit \(v_s\,\frac{\text{km}}{\text{h}}\). Sie sind \(d\,\text{km}\) voneinander entfernt und fahren direkt aufeinander zu. Boot A fährt mit der Strömung und hat die Eigengeschwindigkeit \(v_A\,\frac{\text{km}}{\text{h}}\). Boot B fährt gegen die Strömung mit der Eigengeschwindigkeit \(v_B\,\frac{\text{km}}{\text{h}}\); dabei gilt \(v_B>v_s\). a) Stelle die Terme für die jeweiligen Geschwindigkeiten der Boote gegenüber dem Ufer auf. b) Stelle einen Term für die Annäherungsgeschwindigkeit \(v_{ann}\) der beiden Boote auf und vereinfache diesen so weit wie möglich. c) Welchen Einfluss hat die Strömungsgeschwindigkeit des Flusses auf die Zeit, die vergeht, bis sich die Boote treffen? Begründe deine Antwort mithilfe deines Ergebnisses aus b).

Zwei Wanderer, Lukas und Marie, sind auf einem geraden Weg in die gleiche Richtung unterwegs. Marie hat einen Vorsprung von \(d\) Metern. Lukas geht mit einer konstanten Geschwindigkeit von \(v_1\,\frac{\text{m}}{\text{min}}\) und Marie mit \(v_2\,\frac{\text{m}}{\text{min}}\). Lukas ist schneller als Marie, es gilt also \(v_1 > v_2\). a) Stelle einen Term für die Zeit \(t\) (in Minuten) auf, nach der Lukas Marie einholt. b) Berechne die Zeit \(t\) für einen Vorsprung von \(d = 450\,\text{m}\) und die Geschwindigkeiten \(v_1 = 80\,\frac{\text{m}}{\text{min}}\) sowie \(v_2 = 50\,\frac{\text{m}}{\text{min}}\).

In einer Klassenkasse befinden sich zu Beginn eines Monats einige Ersparnisse. Im Laufe des Monats kommen \(e\,\text{€}\) durch einen Kuchenverkauf hinzu und es werden \(a\,\text{€}\) für Bastelmaterial ausgegeben. a) Gib einen Term an, der die Änderung des Geldbetrags in der Kasse beschreibt. b) Berechne die Änderung für \(e = 54\) und \(a = 38\). Erkläre die Bedeutung des Ergebnisses für die Klassenkasse. c) Berechne die Änderung für \(e = 25\) und \(a = 42\). Was lässt sich über den Kassenbestand am Monatsende im Vergleich zum Monatsanfang sagen?

Tim spart auf ein neues Skateboard, das \(85\,\text{€}\) kostet. Er hat bereits einen Betrag von \(y\,\text{€}\) in seinem Sparschwein. a) Stelle einen Term für die vorzeichenbehaftete Differenz „Preis minus Ersparnis“ auf. b) Berechne den Wert des Terms für \(y = 62\) und für \(y = 90\). Erkläre, was das jeweilige Ergebnis für Tim bedeutet.

Ein Bankkonto hat ein aktuelles Guthaben von \(x\,\text{€}\). Es wird eine Rechnung in Höhe von \(y\,\text{€}\) abgebucht. a) Stelle einen Term auf, der den neuen Kontostand berechnet. b) Berechne den Kontostand für \(x = 125\) und \(y = 40\). c) Berechne den Kontostand für \(x = 50\) und \(y = 85\). Erkläre, was ein negatives Ergebnis in diesem Zusammenhang für den Kontoinhaber bedeutet.

Wähle eine beliebige zweistellige Zahl. Subtrahiere von dieser Zahl ihre Quersumme (die Summe ihrer Ziffern). Erkläre mithilfe von Variablen, warum das Ergebnis immer ohne Rest durch 9 teilbar sein muss.

Betrachte drei Zahlen mit jeweils dem Abstand \(1\). Wenn die mittlere Zahl mit \(n\) bezeichnet wird, lauten die drei Zahlen \(n - 1\), \(n\) und \(n + 1\). 1. Stelle einen Term für die Summe dieser drei Zahlen auf und vereinfache ihn so weit wie möglich. 2. Welchen mathematischen Zusammenhang beschreibt dein vereinfachter Term? 3. Überprüfe die Gültigkeit deines Terms, indem du die Summen für \(n = 15\) und für \(n = 2{,}5\) berechnest und mit dem Ergebnis der Formel vergleichst.

Gegeben sind fünf aufeinanderfolgende natürliche Zahlen. Die mittlere dieser fünf Zahlen wird durch \(m\in\mathbb{N}\) mit \(m\ge3\) beschrieben. a) Stelle für jede der fünf Zahlen einen Term in Abhängigkeit von \(m\) auf. b) Berechne die Summe dieser fünf Zahlen und vereinfache den Term so weit wie möglich.

Für \(a>0\), \(b>0\) und \(2b<3a\) hat ein Viereck den Umfang \(U = 10a + 6b\). Über drei Seitenlängen ist bekannt: - Die erste Seite \(s_1\) hat die Länge \(2a + b\). - Die zweite Seite \(s_2\) ist um \(a\) länger als die erste Seite. - Die dritte Seite \(s_3\) ist um \(2b\) kürzer als die zweite Seite. Stelle einen Term für die vierte Seite \(s_4\) auf und vereinfache ihn so weit wie möglich.

Zeige mithilfe einer Termumformung, dass die folgende Aussage für alle ganzen Zahlen wahr ist: „Wenn man vom Produkt zweier aufeinanderfolgender ganzer Zahlen die kleinere der beiden Zahlen subtrahiert, erhält man stets das Quadrat dieser kleineren Zahl.“

Betrachte drei aufeinanderfolgende ganze Zahlen. a) Wähle drei Beispiele für solche Zahlenfolgen und berechne jeweils ihre Summe. Was fällt dir bei den Ergebnissen auf? b) Stelle einen allgemeinen Term für die Summe von drei aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen auf. Verwende \(n\) für die kleinste der drei Zahlen. c) Vereinfache den Term und begründe damit, warum die Summe immer durch 3 teilbar sein muss.

Beweise allgemein mit Variablen, dass die Summe einer geraden Zahl und einer ungeraden Zahl immer eine ungerade Zahl ergibt.

Ein rechteckiges Gartenbeet ist \(8\,\text{m}\) länger als es breit ist. Der Besitzer verändert die Maße für eine Neupflanzung: Er verringert die Länge um \(3\,\text{m}\) und erhöht gleichzeitig die Breite um \(3\,\text{m}\). Berechne, um wie viele Quadratmeter sich der Flächeninhalt des Beets durch diese Umgestaltung verändert.

Ein Gartenteich kann durch zwei verschiedene Schläuche befüllt werden. Schlauch A benötigt allein \(x\) Stunden, um den Teich vollständig zu füllen. Schlauch B benötigt allein \(y\) Stunden. a) Stelle einen Term für den Anteil der Füllmenge auf, den beide Schläuche zusammen in einer Stunde schaffen. b) Stelle einen Term für die Zeit auf, die benötigt wird, um den ganzen Teich gemeinsam zu füllen. c) Berechne die gemeinsame Zeit für den Fall, dass Schlauch A allein \(6\,\text{Stunden}\) und Schlauch B allein \(3\,\text{Stunden}\) benötigt. d) Was passiert mit dem Term aus b), wenn beide Schläuche gleich schnell sind (\(x = y\))? Vereinfache den Term so weit wie möglich und interpretiere das Ergebnis.

Ein Radfahrer legt eine Strecke von \(s\) Kilometern in einer Zeit von \(t\) Stunden zurück. a) Stelle einen Term für die durchschnittliche Geschwindigkeit \(v\) in \(\text{km/h}\) auf. b) Berechne die Geschwindigkeit \(v\) für folgende Werte: 1) \(s = 52{,}5\,\text{km}\), \(t = 2{,}5\,\text{h}\) 2) \(s = 18{,}9\,\text{km}\), \(t = 1{,}5\,\text{h}\)

Eine Abfüllanlage in einer Molkerei nutzt zwei verschiedene Maschinentypen. Typ A füllt \(x\) Flaschen pro Minute, Typ B füllt \(y\) Flaschen pro Minute. Für einen Auftrag über \(F\) Flaschen werden 4 Maschinen von Typ A und 5 Maschinen von Typ B gleichzeitig eingesetzt. a) Stelle einen Term für die Zeit \(t\) in Minuten auf, die für den Auftrag benötigt wird. b) Berechne die Zeit \(t\) für \(x = 25\), \(y = 20\) und \(F = 4000\).

Ein Wasserbecken mit einem Fassungsvermögen von \(V\) Litern wird durch zwei Leitungen befüllt. Leitung A leitet \(x\) Liter pro Minute in das Becken. Leitung B leitet pro Minute \(5\) Liter mehr ein als Leitung A. a) Stelle einen Term für die Wassermenge auf, die sich nach \(10\) Minuten im anfangs leeren Becken befindet, wenn beide Leitungen gleichzeitig geöffnet werden. b) Stelle einen Term für die Zeit \(t\) (in Minuten) auf, die benötigt wird, um das gesamte Becken zu füllen. c) Berechne die Füllzeit \(t\) für \(V = 750\) und \(x = 35\).

Für ein Schulfest werden \(n\) Kästen Limonade gekauft. In jedem Kasten befinden sich \(k\) Flaschen, die jeweils \(v\) Liter Inhalt haben. a) Stelle einen Term für die Gesamtmenge \(L\) der Limonade in Litern auf. b) Aus den Flaschen werden Becher mit einem Inhalt von jeweils \(0{,}25\,\text{l}\) ausgeschenkt. Stelle einen Term für die Anzahl der Becher \(B\) auf, die insgesamt gefüllt werden können. c) Berechne \(L\) und \(B\) für die Werte \(n = 20\), \(k = 12\) und \(v = 0{,}7\,\text{l}\).

Ein Vorrat an Saft besteht aus \(x\) Litern. Davon wurden bereits \(y\) Liter getrunken. Der restliche Vorrat soll gleichmäßig auf \(n\) Tage verteilt werden. a) Stelle einen Term auf, mit dem man berechnen kann, wie viele Milliliter Saft pro Tag durchschnittlich getrunken werden können. b) Berechne die tägliche Menge in Millilitern für \(x = 8\), \(y = 2\) und \(n = 25\).

Ein Ausflugsschiff fährt auf einem Fluss von Anlegestelle A zur \(36\,\text{km}\) entfernten Anlegestelle B und wieder zurück. Die Eigengeschwindigkeit des Schiffes beträgt \(15\,\text{km/h}\), die Fließgeschwindigkeit des Wassers \(3\,\text{km/h}\). a) Stelle einen Term für die Fahrzeit von A nach B (mit der Strömung) auf und berechne diese Zeit in Stunden. b) Stelle einen Term für die Fahrzeit von B nach A (gegen die Strömung) auf und berechne diese Zeit in Stunden. c) Wie lange dauert die gesamte Fahrt für den Hin- und Rückweg insgesamt?

Lukas hat \(50\,\text{€}\) in seiner Spardose und spart jede Woche \(5\,\text{€}\) von seinem Taschengeld dazu. Seine Schwester Sarah hat erst \(20\,\text{€}\) gespart, legt aber jede Woche \(8\,\text{€}\) beiseite. Nach wie vielen Wochen wird Sarah genau das \(1{,}2\)-Fache von Lukas’ Betrag gespart haben?

In einer Karaffe mischt Leonie \(x\) Liter Fruchtsaftkonzentrat mit \(y\) Litern Wasser. Das Konzentrat enthält \(s\) Gramm Zucker pro Liter. a) Stelle einen Term für die Gesamtmenge an Zucker in der Karaffe auf. b) Stelle einen Term für den Zuckergehalt (in Gramm pro Liter) der fertigen Mischung auf. c) Berechne den Zuckergehalt der Mischung für \(x = 0{,}4\), \(y = 1{,}6\) und \(s = 150\).

Zwei Gruppen von Jugendlichen nehmen an einem Quiz-Wettbewerb teil. In Gruppe A sind \(n\) Personen, die im Durchschnitt \(a\) Punkte erreicht haben. In Gruppe B sind \(m\) Personen, die im Durchschnitt \(b\) Punkte erzielt haben. a) Stelle einen Term für die Gesamtpunktzahl aller Jugendlichen beider Gruppen auf. b) Stelle einen Term für den Punktedurchschnitt aller Teilnehmer auf. c) Vereinfache den Term aus Teil b) für den Fall, dass beide Gruppen gleich viele Mitglieder haben (\(n = m\)). Welchen bekannten Mittelwert erhältst du?

Ein Streaming-Dienst bietet zwei verschiedene Tarife für den Abruf von Filmen an: Tarif „Basis“: Eine monatliche Grundgebühr von \(G\) Euro und zusätzlich \(k\) Euro pro geliehenem Film. Tarif „Premium“: Eine feste monatliche Grundgebühr von \(P\) Euro, bei der alle Filme ohne Zusatzkosten enthalten sind (Flatrate). a) Stelle für den Tarif „Basis“ einen Term für die Gesamtkosten \(K_B\) bei \(n\) geliehenen Filmen pro Monat auf. b) Stelle einen Term für die Kostendifferenz \(K_P-K_B\) auf. c) Was bedeutet es für einen Kunden, wenn der Wert des Terms aus Aufgabenteil b) genau Null ergibt?

Für ein neues Smartphone stehen zwei Tarife zur Auswahl: Tarif A: \(10\,\text{€}\) Grundgebühr pro Monat plus \(0{,}15\,\text{€}\) pro Gesprächsminute. Tarif B: Keine Grundgebühr, dafür kostet jede Gesprächsminute \(0{,}25\,\text{€}\). a) Berechne die Anzahl der Gesprächsminuten, bei denen beide Tarife genau die gleichen monatlichen Kosten verursachen. b) Welcher Tarif ist kostengünstiger, wenn man monatlich \(150\) Minuten telefoniert? Begründe deine Antwort.

Betrachte die folgende Rechenvorschrift für einen Zahlen-Trick: 1. Denke dir eine Zahl \(x\). 2. Addiere \(15\). 3. Multipliziere das Ergebnis mit \(2\). 4. Subtrahiere \(30\). 5. Subtrahiere deine gedachte Zahl \(x\). a) Welches Ergebnis erhältst du, wenn du mit der Zahl \(7\) startest? b) Stelle einen Term für die gesamte Rechenvorschrift auf und vereinfache ihn so weit wie möglich. c) Was sagt das vereinfachte Ergebnis über diesen Trick aus?

Betrachte folgendes Zahlenrätsel: „Denke dir eine Zahl, multipliziere sie mit 3, addiere 15, subtrahiere die gedachte Zahl und dividiere das Ergebnis schließlich durch 2.“ a) Welches Ergebnis erhältst du, wenn die gedachte Zahl 4 ist? b) Stelle einen Term für das Rätsel auf und vereinfache ihn so weit wie möglich. c) Erkläre anhand des vereinfachten Terms, wie das Endergebnis von der gedachten Zahl abhängt.

Denke dir eine Zahl. Multipliziere sie mit 4. Addiere 12 zum Ergebnis. Multipliziere diese Summe mit 5. Subtrahiere nun 60 vom letzten Ergebnis. Wenn du das Endergebnis nennst, kann man sofort die ursprünglich gedachte Zahl bestimmen. Erkläre, wie das geht, und begründe deine Antwort mithilfe eines Terms.

Betrachte drei aufeinanderfolgende ganze Zahlen (zum Beispiel \(5, 6, 7\)). a) Wähle eine Variable für die kleinste der drei Zahlen und stelle einen Term für die Summe der drei aufeinanderfolgenden Zahlen auf. b) Vereinfache den Term und begründe, warum die Summe von drei aufeinanderfolgenden Zahlen immer durch \(3\) teilbar sein muss.

An einem Marktstand werden Bio-Äpfel zu einem festen Stückpreis verkauft. Ein Kunde kauft 6 Äpfel und bezahlt dafür insgesamt \(4{,}50\,\text{€}\). 1) Berechne den Preis für einen einzelnen Apfel. 2) Stelle eine allgemeine Formel für den Gesamtpreis \(G\) auf, wenn man eine Anzahl von \(n\) Äpfeln zu einem Stückpreis von \(p\) kauft. 3) Berechne mit deiner Formel den Gesamtpreis für folgende Einkäufe: a) \(n = 15\) Äpfel bei einem Stückpreis von \(p = 0{,}60\,\text{€}\). b) \(n = 8\) Äpfel bei einem Stückpreis von \(p = 1{,}10\,\text{€}\).

Eine Wandergruppe legt ihren Weg in zwei verschiedenen Abschnitten zurück. 1) Auf dem ersten Abschnitt wandert die Gruppe für \(t_1\) Stunden mit einer Geschwindigkeit von \(v_1\). Auf dem zweiten Abschnitt wandert sie für \(t_2\) Stunden mit einer Geschwindigkeit von \(v_2\). Stelle einen Term für die gesamte Wanderstrecke \(s\) auf. 2) Berechne die gesamte Strecke in Kilometern für: \(t_1 = 2\,\text{h}\) bei \(v_1 = 5\,\text{km/h}\) und \(t_2 = 3\,\text{h}\) bei \(v_2 = 4\,\text{km/h}\). 3) Wie würde sich der Term für die Gesamtstrecke \(s\) verändern, wenn die Wanderer die gesamte Zeit (also \(t_1 + t_2\)) mit einer einzigen, gleichbleibenden Geschwindigkeit \(v\) wandern würden? Notiere den neuen Term.

Für einen Klassenausflug wird ein Bus gemietet. Die Kosten setzen sich aus einer festen Grundgebühr von \(G\) Euro und einem Betrag von \(p\) Euro pro teilnehmender Person zusammen. Es nehmen insgesamt \(n\) Personen am Ausflug teil. a) Stelle einen Term für die Gesamtkosten \(K\) des Busses auf. b) Berechne die Gesamtkosten für folgende Szenarien: 1) \(G = 120{,}00\,\text{€}\), \(p = 14{,}50\,\text{€}\) pro Person, \(n = 24\) 2) \(G = 85{,}00\,\text{€}\), \(p = 18{,}00\,\text{€}\) pro Person, \(n = 28\)

Eine Guthabenkarte für einen Online-Shop hat einen Wert von \(G\) Euro. Es wird ein Spiel für einen Preis von \(p\) Euro gekauft. a) Stelle einen Term für das restliche Guthaben \(R\) auf der Karte auf. b) Berechne den Wert von \(R\), wenn die Karte ursprünglich \(G = 25{,}00\,\text{€}\) wert war und das Spiel \(p = 12{,}99\,\text{€}\) kostet. c) Was bedeutet es für den Käufer, wenn in der Rechnung \(p = G\) gilt? d) Kann der Preis \(p\) größer als das ursprüngliche Guthaben \(G\) sein, wenn der Kauf ausschließlich mit dieser Karte bezahlt werden soll? Begründe deine Antwort kurz.

Eine zweistellige Zahl hat die Zehnerziffer \(z\) und die Einerziffer \(e\). a) Stelle einen Term auf, der den Wert dieser Zahl beschreibt. b) Wenn man die beiden Ziffern vertauscht, entsteht eine neue zweistellige Zahl. Stelle auch für diese neue Zahl einen Term auf. c) Berechne die Differenz aus der ursprünglichen Zahl und der neuen Zahl (unter der Annahme, dass die ursprüngliche Zahl größer ist). Vereinfache den Term so weit wie möglich durch Ausklammern.

James baut aus quadratischen Spielsteinen eine Reihe von Figuren (siehe Abbildung). Welcher Term beschreibt die Abhängigkeit der Anzahl von Spielsteinen in einer Figur (\(s\)) von ihrer Nummer (\(n\)) korrekt? a) \(s = n+4\) b) \(s = n^2 + 4n\) c) \(s = 4n+1\) d) \(s = 4n^2 + 1\)

Zwei verschiedene zylindrische Gefäße, Gefäß A und Gefäß B, werden mit dem exakt gleichen, konstanten Wasserstrom gefüllt. Gefäß A ist deutlich breiter als Gefäß B; seine Grundfläche ist genau dreimal so groß wie die von Gefäß B. a) In welchem Gefäß steigt der Wasserspiegel schneller an? Begründe deine Antwort kurz. b) In Gefäß B steigt das Wasser in einer Minute um \(15\,\text{cm}\). Berechne, um wie viele Zentimeter der Wasserspiegel in Gefäß A in derselben Zeit steigt. c) Erstelle für beide Gefäße jeweils einen Term für die Füllhöhe \(h\) in Abhängigkeit von der Zeit \(t\) (in Minuten).

Ein Taxiunternehmen berechnet für Fahrten in der Stadt einen Grundpreis von \(4{,}50\,\text{€}\) sowie einen Preis von \(2{,}20\,\text{€}\) pro gefahrenem Kilometer. a) Erstelle eine Gleichung, die den Gesamtpreis \(y\) (in Euro) in Abhängigkeit von den gefahrenen Kilometern \(x\) beschreibt. b) Erkläre die Bedeutung der Zahl \(4{,}50\) im Sachzusammenhang. c) Ein Fahrgast zahlt am Ende der Fahrt genau \(26{,}50\,\text{€}\). Wie viele Kilometer ist er gefahren?

Für die Klassenfahrt der 7a stehen zwei Busunternehmen zur Auswahl. Unternehmen „Reiselust“ berechnet eine Grundgebühr von \(120\,\text{€}\) und zusätzlich \(1{,}20\,\text{€}\) pro gefahrenem Kilometer. Unternehmen „Flotte Fahrt“ verlangt keine Grundgebühr, berechnet dafür aber \(2{,}70\,\text{€}\) pro Kilometer. Stelle eine Gleichung auf, um zu bestimmen, bei welcher Fahrtstrecke (in Kilometern) beide Unternehmen exakt die gleichen Gesamtkosten berechnen würden. Berechne diesen Wert.

Für eine Ausstellung in der Schulaula sollen quadratische Plakate mit einer Seitenlänge von \(0{,}80\,\text{m}\) in einer Reihe an einer \(15\,\text{m}\) langen Wand aufgehängt werden. Zwischen den Plakaten sowie vor dem ersten und nach dem letzten Plakat soll jeweils ein gleich großer Zwischenraum \(x\) bleiben. a) Erkläre, warum der Term für die benötigte Gesamtlänge bei \(n\) Plakaten \(L = 0{,}80 \cdot n + x \cdot (n+1)\) lautet. b) Es sollen genau 12 Plakate aufgehängt werden. Berechne den Abstand \(x\) in Zentimetern, wenn die gesamte Wandlänge von \(15\,\text{m}\) ausgenutzt wird. c) Wie würde sich der Term verändern, wenn man die Plakate ohne Abstand direkt nebeneinander hängen würde, aber links und rechts der gesamten Reihe jeweils ein Abstand von \(1{,}50\,\text{m}\) zu den beiden Ecken bleiben müsste?

Für einen Online-Einkauf wird ein Gutschein im Wert von \(100\,\text{€}\) eingelöst. In den Warenkorb gelegt werden ein Spiel für \(24{,}99\,\text{€}\) und ein Kopfhörer für \(35{,}50\,\text{€}\). Die Versandkosten betragen \(x\,\text{€}\). a) Stelle einen Term auf, der das restliche Guthaben auf dem Gutschein beschreibt. b) Berechne das restliche Guthaben, wenn die Versandkosten \(x = 5{,}95\) betragen.

Eine Figur wird aus einem Quadrat mit der Seitenlänge \(x\) und einem direkt angrenzenden Rechteck zusammengesetzt. Das Rechteck hat dieselbe Breite \(x\) wie das Quadrat, aber eine feste Länge von \(8\,\text{cm}\). a) Erstelle einen Term für den Umfang der gesamten zusammengesetzten Figur und vereinfache ihn so weit wie möglich. b) Berechne den Umfang der Figur für \(x = 5\,\text{cm}\) und für \(x = 2{,}4\,\text{cm}\).

Der Term \(U = 4 \cdot a + 2 \cdot (a + 5)\) beschreibt den Umfang einer geometrischen Figur. a) Skizziere eine mögliche Figur und beschrifte ihre Seiten so, dass sie zum Term passen. b) Berechne den Umfang der Figur für \(a = 3{,}5\,\text{cm}\). c) Vereinfache den Term.

Ein rechteckiges Baugrundstück hat die Länge \(L\) (in Metern). Die Breite des Grundstücks ist um \(10\,\text{m}\) kürzer als die Länge. a) Stelle einen Term für den Umfang \(U\) des Grundstücks auf, der nur die Variable \(L\) verwendet. Fasse den Term zusammen. b) Stelle einen Term für den Flächeninhalt \(A\) des Grundstücks auf. c) Berechne den Umfang und den Flächeninhalt für eine Länge von \(L = 25\,\text{m}\).

Ein Pluszeichen (ein griechisches Kreuz) wird aus fünf identischen Quadraten mit der Seitenlänge \(a\) zusammengesetzt. Dabei wird ein Quadrat in die Mitte gelegt und an jede seiner vier Seiten wird jeweils ein weiteres Quadrat bündig angefügt. a) Stelle einen Term für den Umfang \(U\) der gesamten Figur auf. b) Stelle einen Term für den Flächeninhalt \(A\) der gesamten Figur auf. c) Berechne den Umfang und den Flächeninhalt für \(a = 4\,\text{cm}\).

Betrachte drei aufeinanderfolgende gerade Zahlen (zum Beispiel 2, 4 und 6 oder 20, 22 und 24). Zeige allgemein mithilfe eines Terms, dass die Summe von drei beliebigen aufeinanderfolgenden geraden Zahlen immer durch 6 teilbar ist.

In einem Lager werden Kisten in einer Ebene in einem rechteckigen Block angeordnet. Der Block ist \(x\) Kisten lang und \(y\) Kisten breit, wobei \(x\) und \(y\) natürliche Zahlen mit \(x, y \ge 2\) sind. Nur die Kisten, die am Rand des Blocks stehen, erhalten einen Aufkleber zur Kennzeichnung. a) Stelle einen Term auf, mit dem man die Anzahl der Kisten berechnen kann, die einen Aufkleber erhalten. b) Berechne die Anzahl der Aufkleber für einen Block mit der Länge \(x = 12\) und der Breite \(y = 8\).

Für ein Schulfest bestellt die Klasse 7a Getränke bei verschiedenen Händlern. Händler A berechnet \(15{,}00\,\text{€}\) für die Anlieferung und \(0{,}80\,\text{€}\) pro Flasche Limonade. Händler B verlangt \(5{,}00\,\text{€}\) für die Anlieferung und \(1{,}20\,\text{€}\) pro Flasche Limonade. a) Erstelle für beide Händler einen Term zur Berechnung der Gesamtkosten bei \(x\) bestellten Flaschen. b) Wie teuer ist eine Bestellung von \(30\) Flaschen bei Händler A und wie teuer bei Händler B? c) Die Parallelklasse 7b bestellt genauso viele Flaschen wie die Klasse 7a; diese Anzahl wird mit \(x\) bezeichnet. Die Klasse 7a bestellt bei Händler A, die Klasse 7b bei Händler B. Ein Schüler behauptet: „Zusammen zahlen wir für beide Bestellungen \(20 + 2 \cdot x\) Euro.“ Prüfe durch Zusammenfassen der Terme, ob dieser Term stimmt.

Zwei Förderbänder befördern Kisten zu zwei Stapeln. Stapel A startet mit 15 Kisten und erhält 5 Kisten pro Minute. Stapel B startet mit 45 Kisten und erhält 2 Kisten pro Minute. a) Welcher Stapel wächst schneller? Begründe kurz. b) Berechne, nach wie vielen Minuten beide Stapel gleich viele Kisten enthalten. c) Wie viele Kisten liegen zu diesem Zeitpunkt auf jedem Stapel?

In einer kleinen Vogeltränke befinden sich zu Beginn \(15\,\text{l}\) Wasser. Während eines Regenschauers fließen pro Minute \(0{,}5\,\text{l}\) Wasser hinzu. Gleichzeitig gibt es ein kleines Leck, durch das pro Minute eine konstante Menge \(y\) (in Litern) abfließt. Nach \(20\,\text{Minuten}\) befinden sich genau \(21\,\text{l}\) Wasser in der Tränke. Eine Mitschülerin schlägt folgende Gleichung vor, um den Wasserverlust pro Minute zu bestimmen: \(15 + 0{,}5 \cdot 20 - y \cdot 20 = 21\) a) Überprüfe, ob diese Gleichung die beschriebene Situation korrekt wiedergibt. Begründe kurz. b) Berechne den Wasserverlust \(y\) pro Minute in Litern.

Ein Gedankenleser auf dem Jahrmarkt bittet dich: „Wähle eine geheime Zahl, verdopple sie, addiere 10 zum Ergebnis und teile das Ganze dann durch 2. Nenne mir jetzt dein Endergebnis!“ a) Stelle einen Term für das Endergebnis auf, wenn die Startzahl \(x\) ist. Vereinfache den Term so weit wie möglich. b) Ein Zuschauer nennt als sein Endergebnis die Zahl 42. Welche Zahl hatte er sich ursprünglich gedacht? c) Wie kann der Gedankenleser die Startzahl blitzschnell im Kopf finden, sobald er das Endergebnis hört? Beschreibe seine Rechenregel.

Gegeben sind drei Stapel Streichhölzer. Im linken und im rechten Stapel liegen zu Beginn jeweils genau \(12\) Streichhölzer. Im mittleren Stapel liegen \(z\) Streichhölzer. Folgende Schritte werden durchgeführt: 1. Nimm \(5\) Streichhölzer vom linken Stapel und lege sie in die Mitte. 2. Nimm \(3\) Streichhölzer vom rechten Stapel und lege sie in die Mitte. 3. Zähle, wie viele Streichhölzer jetzt noch im linken Stapel liegen. Nimm genau diese Anzahl vom mittleren Stapel weg und lege sie zur Seite. a) Wie viele Streichhölzer liegen nach Schritt 1 noch im linken Stapel? b) Stelle einen Term für die Anzahl der Streichhölzer im mittleren Stapel nach Schritt 3 auf. Vereinfache den Term so weit wie möglich. c) Wie viele Streichhölzer liegen am Ende in der Mitte, wenn am Anfang \(z = 10\) galt?

Ein Versandhändler verwendet für seine Waren drei verschiedene Paketgrößen: S, M und L. - Ein Paket vom Typ S wiegt \(x\,\text{kg}\). - Ein Paket vom Typ M wiegt \(3\,\text{kg}\) mehr als ein Paket vom Typ S. - Ein Paket vom Typ L wiegt doppelt so viel wie ein Paket vom Typ M. a) Übernimm die folgende Tabelle und fülle die Lücken mit den passenden Termen aus. <table> <thead> <tr> <th>Pakettyp</th> <th>Gewicht in \(\text{kg}\)</th> </tr> </thead> <tbody> <tr> <td>S</td> <td>\(x\)</td> </tr> <tr> <td>M</td> <td></td> </tr> <tr> <td>L</td> <td></td> </tr> </tbody> </table> b) Ein Kunde bestellt 2 Pakete S, 4 Pakete M und ein Paket L. Stelle einen Term für das Gesamtgewicht \(G\) der Sendung auf und vereinfache ihn so weit wie möglich. c) Wie schwer ist die gesamte Sendung, wenn ein S-Paket \(4\,\text{kg}\) wiegt?

Auf einem Jahrmarkt gibt es zwei verschiedene Preismodelle für die Nutzung der Fahrgeschäfte: Angebot A: Einmalig \(6\,\text{€}\) Eintritt und \(3\,\text{€}\) pro Fahrt. Angebot B: Einmalig \(10\,\text{€}\) Eintritt und \(2\,\text{€}\) pro Fahrt. 1) Stelle für beide Angebote einen Term für die Gesamtkosten bei \(n\) Fahrten auf. 2) Wie viel bezahlt man bei Angebot A, wenn man 5-mal fährt? 3) Berechne für beide Angebote die Kosten für insgesamt 10 Fahrten. Welches Angebot ist in diesem Fall günstiger?

Ein quadratisches Werbeplakat mit der Seitenlänge \(s\) soll umgestaltet werden. Die neue Form soll ein Rechteck sein. Die Länge des Rechtecks wird gegenüber der ursprünglichen Seitenlänge \(s\) um \(10\,\%\) vergrößert. Die Breite des Rechtecks wird so gewählt, dass sie \(20\,\%\) kürzer ist als die ursprüngliche Seitenlänge \(s\). 1. Stelle Terme für die neue Länge \(l\) und die neue Breite \(b\) des Plakats in Abhängigkeit von \(s\) auf. 2. Ermittle einen vereinfachten Term für den Umfang \(U\) des neuen rechteckigen Plakats. 3. Vergleiche den Umfang des neuen Plakats mit dem Umfang des ursprünglichen Quadrats. Um wie viel Prozent hat sich der Umfang verändert?

Ein Online-Händler bietet T-Shirts für einen Stückpreis von \(p\,\text{€}\) an. Bei einer Bestellung von mehr als 10 T-Shirts gewährt der Händler einen Rabatt von \(20\,\%\) auf den Warenwert. Zusätzlich fallen pro Bestellung einmalige Versandkosten in Höhe von \(5{,}90\,\text{€}\) an. Stelle einen Term für den Gesamtpreis \(G\) einer Bestellung auf, wenn eine Kundin \(n\) T-Shirts kauft und dabei mehr als 10 Stück bestellt (\(n > 10\)). Vereinfache den Term so weit wie möglich.

Ein Kanuverleih bietet zwei verschiedene Tarife an: Tarif A: Eine feste Grundgebühr von \(12\,\text{€}\) und zusätzlich \(4\,\text{€}\) pro Stunde. Tarif B: Keine Grundgebühr, dafür \(7\,\text{€}\) pro Stunde. a) Stelle für beide Tarife einen Term auf, der die Gesamtkosten für eine Mietdauer von \(t\) Stunden beschreibt. b) Berechne die Kosten für eine Mietdauer von \(2\) Stunden und von \(5\) Stunden. Welcher Tarif ist jeweils günstiger? c) Erkläre die Bedeutung der Zahl \(12\) und der Variable \(t\) im Sachzusammenhang von Tarif A.

In einem Schreibwarengeschäft kostet ein Füller \(f\,\text{€}\). Ein Tintenkiller ist um \(k\,\text{€}\) günstiger als der Füller. a) Gib einen Term für den Preis eines Tintenkillers an. b) Stelle einen Term für den Gesamtpreis auf, wenn man einen Füller und einen Tintenkiller zusammen kauft. Vereinfache den Term so weit wie möglich. c) Berechne diesen Gesamtpreis für \(f = 8{,}50\) und \(k = 5{,}65\). d) Welche Bedeutung hätte es für den Preis des Tintenkillers, wenn \(k\) genauso groß wie \(f\) wäre?

Untersuche, wie sich Klammern auf den Wert eines Terms auswirken: a) Stelle einen Term für den folgenden Text auf: „Subtrahiere die Summe der Zahlen \(b\) und \(c\) von der Zahl \(a\)“. b) Berechne den Wert deines aufgestellten Terms für \(a = 50\), \(b = 15\) und \(c = 5\). c) Berechne zum Vergleich den Wert des Terms \(a - b + c\) für dieselben Belegungen (\(a = 50;\ b = 15;\ c = 5\)). Was stellst du beim Vergleich der Ergebnisse fest?

Gegeben sind die beiden Terme \(T_1 = 4 \cdot x - 2\) und \(T_2 = 4 \cdot (x - 2)\). a) Berechne die Werte beider Terme für \(x = 5\). b) Beschreibe den Rechenweg von Term \(T_2\) in Worten und erkläre kurz, warum die Ergebnisse unterschiedlich sind.

In einer Schulkantine kostet ein Mittagessen für Lehrkräfte \(x\,\text{€}\) und für Schülerinnen und Schüler \(y\,\text{€}\). a) Stelle einen Term auf, der die Gesamteinnahmen der Kantine berechnet, wenn \(15\) Lehrkräfte und \(120\) Schülerinnen und Schüler ein Essen kaufen. b) Die Preise werden für alle Personen um \(0{,}50\,\text{€}\) erhöht. Gib einen neuen Term für die Gesamteinnahmen bei gleichbleibender Personenzahl an. c) Berechne die Gesamteinnahmen nach der Preiserhöhung, wenn ein Lehreressen ursprünglich \(5{,}50\,\text{€}\) und ein Schüleressen \(3{,}50\,\text{€}\) gekostet hat.

In einem Vorratsbehälter befinden sich \(V\) Liter Öl. Jeden Tag werden für den Betrieb einer Maschine gleichmäßig \(12\) Liter entnommen. a) Stelle einen Term auf, der die verbleibende Menge Öl nach \(n\) Tagen beschreibt. b) Bestimme den Wert des Terms für \(V = 500\) und \(n = 10\). c) Was bedeutet es im Sachkontext, wenn der Wert des Terms \(0\) ergibt? d) Wie ändert sich der Term aus Aufgabenteil a), wenn täglich eine unbekannte Menge von \(x\) Litern entnommen wird?

Beim Aufstellen von Termen mit den Variablen \(a\) und \(b\) kommt es oft auf die genaue Reihenfolge der Rechenschritte an. a) Stelle einen Term für „Das Dreifache der Differenz von \(a\) und \(b\)“ auf. b) Stelle einen Term für „Die Differenz aus dem Dreifachen von \(a\) und der Zahl \(b\)“ auf. c) Erkläre kurz den Unterschied in der Struktur der beiden Terme. d) Berechne für beide Terme den Wert, wenn \(a = 12\) und \(b = 4\) eingesetzt werden.

Ein E-Scooter-Verleih bietet zwei verschiedene Tarife an: Tarif A: \(1{,}20\,\text{€}\) Aktivierungsgebühr pro Fahrt plus \(0{,}20\,\text{€}\) pro Minute. Tarif B: Keine Aktivierungsgebühr, dafür \(0{,}30\,\text{€}\) pro Minute. a) Gib für beide Tarife einen Term an, mit dem man die Kosten \(K\) für eine Fahrt von \(x\) Minuten berechnen kann. b) Berechne für beide Tarife die Kosten einer \(15\)-minütigen Fahrt. Welcher Tarif ist hier günstiger? c) Bestimme die Fahrtdauer, bei der beide Tarife exakt gleich viel kosten.

Bearbeite die folgenden Aufgaben zu mathematischen Termen: a) Erstelle einen Term für die Beschreibung: „Subtrahiere die Summe der Zahlen \(x\) und \(y\) vom Doppelten ihres Produkts.“ b) Erkläre den Unterschied zwischen den Beschreibungen „Die Summe aus dem Doppelten von \(a\) und der Zahl \(b\)“ und „Das Doppelte der Summe von \(a\) und \(b\)“. Nutze Terme zur Verdeutlichung. c) Berechne den Wert des Terms aus Teilaufgabe a) für die Belegung \(x = 5\) und \(y = 2\).

Übersetze die folgenden mathematischen Beschreibungen in die Fachsprache der Terme: 1) Das Quadrat der halben Summe der Zahlen \(a\) und \(b\). 2) Die Differenz aus der Summe der Quadrate von \(x\) und \(y\) und dem Quadrat ihrer Summe. 3) Der Quotient aus der Summe der Kuben von \(m\) und \(n\) und der Differenz derselben Kuben; dabei gilt \(m \neq n\).

Übersetze die folgenden Beschreibungen in mathematische Terme: 1) Das Produkt aus der Summe von \(x\) und \(4\) und der Differenz von \(x\) und \(4\). 2) Die Hälfte der Summe aus einer Zahl \(x\) und dem Quadrat einer Zahl \(y\). 3) Das Quadrat der Hälfte der Summe der Zahlen \(x\) und \(y\).

In einer Metallwerkstatt werden aus rechteckigen Platten (Länge \(L\), Breite \(B\)) vier identische Quadrate mit der Seitenlänge \(x\) ausgestanzt. a) Welcher der folgenden Terme beschreibt den Flächeninhalt \(A\) des verbleibenden Metalls korrekt? Begründe kurz. (1) \(A = L \cdot B - 4 \cdot x^2\) (2) \(A = (L - 2x) \cdot (B - 2x)\) (3) \(A = L \cdot B - x^4\) b) Berechne die Restfläche für eine Platte mit \(L = 20\,\text{cm}\) und \(B = 15\,\text{cm}\), wenn die Quadrate eine Seitenlänge von \(x = 3\,\text{cm}\) haben. c) Ein Auszubildender behauptet: „Wenn wir die Seitenlänge \(x\) der Quadrate verdoppeln, verdoppelt sich auch die gesamte ausgestanzte Fläche.“ Überprüfe diese Aussage durch eine Rechnung oder eine Überlegung zum Term.

Eine Jugendgruppe hat für ein Zeltlager einen Vorrat von \(k\) Kilogramm Nudeln eingekauft. In den ersten zwei Tagen wurden bereits \(m\) Kilogramm verbraucht. Der restliche Vorrat soll nun gleichmäßig auf die verbleibenden \(n\) Tage verteilt werden. a) Stelle einen Term auf, der die tägliche Nudelmenge in Gramm für die restliche Zeit angibt. b) Wie verändert sich der Wert des Terms, wenn die Anzahl der verbleibenden Tage \(n\) größer wird, während der Restvorrat gleich bleibt? Begründe deine Überlegung kurz.

Gegeben ist ein Rechteck mit der Breite \(b\) und der Höhe \(h\). Aus der Mitte der oberen Seite wird ein kleineres Rechteck mit der Breite \(w\) und der Tiefe \(d\) entfernt, sodass eine U-förmige Figur entsteht. Dabei ist \(w < b\) und \(d < h\). Stelle jeweils einen Term für den Flächeninhalt \(A\) und den Umfang \(U\) dieser neuen Figur auf und vereinfache den Term für den Umfang so weit wie möglich.

Ein Quadrat hat die Seitenlänge \(s\). Aus diesem Quadrat wird ein kleineres Quadrat mit der Seitenlänge \(x\) entfernt (mit \(x < s\)). Betrachte dazu zwei verschiedene Fälle: Figur A: Das kleine Quadrat wird genau aus einer Ecke des großen Quadrats entfernt. Figur B: Das kleine Quadrat wird aus der Mitte einer der vier Seiten entfernt. a) Stelle für beide Figuren einen Term für den Flächeninhalt auf. Was fällt dir auf? b) Stelle für beide Figuren einen Term für den Umfang auf. c) Vergleiche die Umfänge der beiden Figuren. Welche Figur hat den größeren Umfang und um welchen Wert unterscheidet er sich?

Ein quaderförmiges Wasserbecken mit einem maximalen Fassungsvermögen von \(V\) Litern ist zu Beginn mit \(B\) Litern Wasser gefüllt. Über zwei Zuleitungen fließt Wasser in das Becken: Leitung A liefert \(a\) Liter pro Minute und Leitung B liefert \(b\) Liter pro Minute. Gleichzeitig ist ein Abfluss geöffnet, durch den \(c\) Liter Wasser pro Minute aus dem Becken entweichen. a) Stelle einen Term auf, der die Wassermenge \(W\) im Becken nach \(m\) Minuten beschreibt. b) Erkläre im Sachkontext, was der Term \(V - (B + m \cdot (a + b - c))\) berechnet. Betrachte nur Zeiten \(m\ge 0\), für die \(0\le B+m\cdot(a+b-c)\le V\) gilt.

Ein Stromanbieter berechnet eine monatliche Grundgebühr von \(G\,\text{€}\) und zusätzlich einen Preis von \(p\,\text{€}\) pro verbrauchter Kilowattstunde. a) Stelle einen Term für die monatlichen Gesamtkosten bei einem Verbrauch von \(k\) Kilowattstunden auf. b) Der Anbieter ändert seine Tarife: Die Grundgebühr wird um \(5\,\text{€}\) erhöht und der Preis pro Kilowattstunde wird um \(0{,}02\,\text{€}\) gesenkt. Stelle den neuen Term für die monatlichen Gesamtkosten auf.

Ein quadratisches Blumenbeet besteht aus einem \(s \times s\)-Raster gleich großer quadratischer Flächeneinheiten, wobei \(s\) eine positive ganze Zahl ist. Außen wird eine Reihe quadratischer Randsteine der Seitenlänge \(1\) gelegt, die genau eine Steinbreite umfasst. Zwei Schüler stellen unterschiedliche Terme für die Anzahl der benötigten Randsteine auf: Term 1: \(4 \cdot s + 4\) Term 2: \(4 \cdot (s + 1)\) a) Berechne die Anzahl der Steine für \(s=5\) mithilfe beider Terme. b) Überprüfe durch Termumformung, ob die beiden Terme äquivalent sind. c) Erkläre anhand der Anordnung, wie man auf den Term \(4 \cdot s + 4\) kommt. Welche Bedeutung haben die Zahlen im Term?

Zwei Spardosen werden über mehrere Monate hinweg gefüllt. In Spardose A befinden sich zu Beginn \(x\,\text{€}\). Jeden Monat kommen \(a\,\text{€}\) hinzu. Spardose B ist anfangs leer, aber hier werden monatlich \(b\,\text{€}\) eingezahlt. Dabei ist die monatliche Sparrate bei Spardose B höher als bei A (\(b > a\)). a) Stelle einen Term für den Zeitpunkt \(n\) auf, zu dem beide Spardosen gleich viel enthalten. Gib außerdem an, unter welcher Bedingung die Gleichheit genau nach einer ganzen Anzahl von Monaten eintritt. b) Erkläre anhand der Struktur deines Terms, wie sich die Zeit \(n\) verändert, wenn die Sparrate \(b\) größer wird, während \(x\) und \(a\) gleich bleiben.

An einer Wetterstation in den Alpen wird die Temperaturänderung über den Tag verfolgt. Am Vormittag steigt die Temperatur um \(x\,^\circ\text{C}\), am Nachmittag sinkt sie um \(y\,^\circ\text{C}\). a) Gib einen Term für die gesamte Temperaturänderung an diesem Tag an. b) Berechne die Gesamtänderung für folgende zwei Tage: 1) Tag 1: \(x = 5{,}4\) und \(y = 3{,}1\) 2) Tag 2: \(x = 2{,}8\) und \(y = 4{,}5\) c) Vergleiche die Ergebnisse. Was sagt das Vorzeichen über die Temperaturentwicklung aus?

Ein Speicherbecken dient zur Regulierung des Wasserstands eines Flusses. Pro Stunde fließen \(z\,\text{m}^3\) Wasser in das Becken hinein und \(a\,\text{m}^3\) Wasser fließen durch die Schleusen ab. a) Stelle einen Term auf, der die Änderung des Wasservolumens im Becken nach einer Stunde beschreibt. b) Interpretiere die Situation für den Fall, dass der berechnete Term den Wert \(0\) ergibt. c) Was bedeutet ein negatives Ergebnis für den Zustand des Speicherbeckens? d) Berechne die Volumenänderung pro Stunde für \(z = 1250\) und \(a = 1310\).

Eine Bergsteigerin befindet sich auf einer Höhe von \(h\) Metern über dem Meeresspiegel. Ihr Ziel ist eine Schutzhütte, die genau auf \(1\,200\) Metern Höhe liegt. a) Gib einen Term für die vorzeichenbehaftete Höhendifferenz „Zielhöhe minus aktuelle Höhe“ an. b) Berechne den Höhenunterschied für \(h = 920\) und für \(h = 1\,350\). Interpretiere die Ergebnisse in Bezug auf die Wanderrichtung der Bergsteigerin.

Ein Streaming-Dienst bietet ein Abonnement an, das eine monatliche Grundgebühr von \(8{,}50\,\text{€}\) kostet. Zusätzlich fallen für jeden geliehenen Film Kosten von \(2{,}50\,\text{€}\) an. a) Stelle einen Term für die monatlichen Gesamtkosten bei \(n\) geliehenen Filmen auf. b) Wie hoch sind die Kosten in einem Monat, in dem \(6\) Filme geliehen wurden? c) Ein Konkurrenzangebot verlangt keine Grundgebühr, aber dafür \(4{,}00\,\text{€}\) pro geliehenem Film. Entscheide durch Rechnung, welches Angebot bei \(5\) Filmen pro Monat günstiger ist.

Betrachte das Produkt einer beliebigen geraden Zahl und einer beliebigen ungeraden Zahl. a) Zeige allgemein mithilfe von Termen, dass dieses Produkt immer eine gerade Zahl ist. b) Untersuche nun das Produkt zweier ungerader Zahlen. Ist das Ergebnis gerade oder ungerade? Begründe deine Antwort mithilfe eines allgemeinen Terms.

Jonas behauptet: „Wenn man drei aufeinanderfolgende ganze Zahlen addiert, ist die Summe immer durch 3 teilbar.“ a) Überprüfe Jonas’ Behauptung an zwei eigenen Beispielen mit unterschiedlichen Startzahlen. b) Stelle einen Term für die Summe von drei aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen auf. Wähle \(n\) als die kleinste der drei Zahlen. c) Vereinfache deinen Term und begründe damit, warum Jonas recht hat.

Betrachte die Summe von vier aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen. 1. Stelle einen Term für diese Summe auf und vereinfache ihn. 2. Begründe mithilfe des Terms, warum die Summe immer eine gerade Zahl ist. 3. Erkläre, warum diese Summe jedoch niemals ohne Rest durch 4 teilbar ist. Welchen Rest lässt sie immer?

Stell dir eine dreistellige Zahl mit einer von null verschiedenen Hunderter- und Einerziffer vor. Wenn man die Ziffernreihenfolge umkehrt, erhält man eine neue dreistellige Zahl. Zeige allgemein durch das Aufstellen und Vereinfachen eines Terms, dass die Differenz zwischen der ursprünglichen Zahl und der umgekehrten Zahl immer ein Vielfaches von 99 ist.

Gegeben ist die mathematische Gleichung: \(x + (x - 2) + 3x = 43\) a) Erfinde ein passendes Zahlenrätsel oder eine Sachsituation zu dieser Gleichung. Erkläre dabei kurz, was die einzelnen Terme \(x\), \((x - 2)\) und \(3x\) in deiner Geschichte bedeuten. b) Löse die Gleichung und gib den Wert für \(x\) sowie die Werte der anderen beiden Terme an.

Ein rechteckiges Beet hat die positiven Seitenlängen \(a\) und \(b\). Für die Umgestaltung gilt \(0<x<b\). 1. Notiere einen Term für den Umfang \(U_{\text{alt}}\) des Beets. 2. Das Beet wird nun umgestaltet: Die Seite \(a\) wird um ein Stück der Länge \(x\) verlängert, während die Seite \(b\) um das gleiche Stück \(x\) verkürzt wird. Stelle einen Term für den neuen Umfang \(U_{\text{neu}}\) auf und vereinfache ihn vollständig. 3. Vergleiche die Terme für \(U_{\text{alt}}\) und \(U_{\text{neu}}\). Was stellst du fest? 4. Berechne zur Kontrolle beide Umfänge für die Werte \(a = 40\,\text{m}\), \(b = 25\,\text{m}\) und \(x = 5\,\text{m}\).

Betrachte eine Folge von sechs aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen. Die kleinste dieser Zahlen ist durch den Term \(n+5\) mit \(n\in\mathbb{N}_0\) gegeben. a) Notiere die Terme für alle sechs Zahlen dieser Folge. b) Bilde die Summe der drei kleinsten Zahlen sowie die Summe der drei größten Zahlen der Folge. c) Berechne die Differenz, indem du die Summe der drei kleineren Zahlen von der Summe der drei größeren Zahlen subtrahierst. Was fällt dir am Ergebnis auf?

Ein Draht der Gesamtlänge \((16y+20)\,\text{cm}\) wird zu einem Viereck gebogen. Dabei wird \(y\) so gewählt, dass alle Seitenlängen positiv sind und ein Viereck bilden. - Die erste Seite ist \((5y+4)\,\text{cm}\) lang. - Die zweite Seite ist genau halb so lang wie die erste Seite. - Die dritte Seite ist \((3y+6)\,\text{cm}\) lang. a) Bestimme den vereinfachten Term für die vierte Seite \(s_4\). b) Überprüfe durch Rechnung, ob die vierte Seite länger als die erste Seite ist, wenn \(y = 10\) gewählt wird.

Betrachte drei aufeinanderfolgende ganze Zahlen. Beweise allgemein durch das Aufstellen und Vereinfachen eines Terms, dass das Produkt aus der kleinsten und der größten dieser drei Zahlen, vermehrt um 1, immer genau das Quadrat der mittleren Zahl ergibt.

Beweise allgemein, dass die Summe der Quadrate zweier aufeinanderfolgender ganzer Zahlen \(n\) und \(n+1\) stets eine ungerade Zahl ergibt.

In der Mathematik kann man jede ungerade Zahl durch den Term \(2n+1\) beschreiben, wobei \(n\) eine ganze Zahl ist. Zeige, dass die Summe von zwei aufeinanderfolgenden ungeraden Zahlen immer durch 4 teilbar ist. Gehe dabei wie folgt vor: 1. Bestimme den Term für die auf \(2n+1\) folgende ungerade Zahl. 2. Bilde die Summe aus beiden Termen. 3. Vereinfache das Ergebnis so weit wie möglich und ziehe eine Schlussfolgerung.

Betrachte die Summe von vier aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen (zum Beispiel \(3, 4, 5\) und \(6\)). a) Wähle eine Variable \( x \) für die kleinste dieser vier Zahlen und stelle einen Term für die Summe aller vier Zahlen auf. b) Vereinfache diesen Term so weit wie möglich. c) Erkläre anhand deines vereinfachten Terms, warum die Summe von vier aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen immer eine gerade Zahl ergibt.

Zeige mithilfe von Termumformungen, dass die Summe von zwei aufeinanderfolgenden ungeraden Zahlen immer ein Vielfaches von 4 ist.

Ein rechteckiger Parkplatz ist \(12\,\text{m}\) länger als er breit ist. Ein zweiter Parkplatz ist quadratisch. Seine Seitenlänge entspricht genau dem Mittelwert aus der Länge und der Breite des ersten Parkplatzes. a) Stelle für beide Parkplätze einen Term für den Flächeninhalt auf. Verwende \(b\) für die Breite des rechteckigen Parkplatzes. b) Welcher der beiden Parkplätze hat die größere Fläche? Bestimme den genauen Unterschied in Quadratmetern.

Zwei Kerzen werden gleichzeitig angezündet. Kerze A ist zu Beginn \(25\,\text{cm}\) hoch und brennt pro Stunde um \(3\,\text{cm}\) ab. Kerze B hat eine Anfangshöhe von \(20\,\text{cm}\) und brennt pro Stunde um \(2\,\text{cm}\) ab. Bestimme rechnerisch, nach wie vielen Stunden beide Kerzen die gleiche Höhe erreicht haben und wie hoch sie dann noch sind. Begründe kurz, warum die anfangs größere Kerze A nach diesem Zeitpunkt kleiner sein wird als Kerze B.

Zwei Maler, Lukas und Simon, streichen einen Zaun. Lukas benötigt dafür alleine \(t\) Stunden. Simon arbeitet schneller und benötigt für dieselbe Arbeit nur halb so viel Zeit wie Lukas. a) Wie lange benötigt Simon allein? Gib einen Term in Abhängigkeit von \(t\) an. b) Welchen Anteil des Zauns schaffen beide zusammen in einer Stunde? Stelle einen Term auf und vereinfache ihn. c) Ermittle einen Term für die Zeit, die sie gemeinsam für den ganzen Zaun benötigen. d) Lukas behauptet: „Wenn ich allein \(6\,\text{Stunden}\) brauche, sparen wir insgesamt \(4\,\text{Stunden}\), wenn wir zusammenarbeiten.“ Überprüfe diese Aussage mithilfe deiner Terme.

Zwei Geschwister, Anna und Lukas, gehen gemeinsam eine Strecke von \(s\) Metern spazieren. Annas Schrittlänge beträgt \(L\,\text{cm}\). Lukas hat eine etwas kürzere Schrittlänge; er legt pro Schritt \(5\,\text{cm}\) weniger zurück als Anna. a) Stelle jeweils einen Term für die Anzahl der Schritte auf, die Anna und Lukas für die Strecke benötigen. Beachte dabei die unterschiedlichen Einheiten. b) Stelle einen Term für den Unterschied in der Schrittanzahl auf. c) Berechne die Anzahl der Schritte beider Kinder sowie den Unterschied für eine Strecke von \(s = 600\,\text{m}\) und eine Schrittlänge von \(L = 80\,\text{cm}\) bei Anna.

Ein Kopiergerät druckt \(n\) Seiten in \(m\) Minuten. a) Erstelle einen Term für die Druckgeschwindigkeit \(v\) in Seiten pro Minute. b) Erstelle einen Term für die Zeit \(T\), die benötigt wird, um eine beliebige Anzahl von \(x\) Seiten zu drucken. c) Berechne die Druckgeschwindigkeit \(v\), wenn das Gerät \(n = 180\) Seiten in \(m = 4{,}5\) Minuten druckt. d) Wie lange dauert es bei der unter c) berechneten Geschwindigkeit, einen Auftrag von \(x = 540\) Seiten zu bearbeiten?

Ein Team von Landschaftsgärtnern mäht Rasenflächen. Ein Facharbeiter mäht \(f\) Quadratmeter pro Stunde, eine Hilfskraft mäht \(h\) Quadratmeter pro Stunde. Das aktuelle Team besteht aus 2 Facharbeitern und 3 Hilfskräften. Insgesamt soll eine Fläche von \(A\) Quadratmetern gemäht werden. a) Stelle einen Term für die Dauer \(d\) des Einsatzes in Stunden auf. b) Untersuche, wie sich die Gesamtleistung (gemähte Fläche pro Stunde) ändert, wenn ein Facharbeiter durch zwei Hilfskräfte ersetzt wird. Unter welcher Bedingung arbeitet das neue Team schneller als das ursprüngliche? c) Berechne die Dauer \(d\) für das ursprüngliche Team, wenn \(f = 120\), \(h = 80\) und \(A = 1920\).

Zwei Radfahrer, Lukas und Marie, wohnen in zwei \(d\,\text{km}\) voneinander entfernten Orten. Sie fahren gleichzeitig los, um sich auf der Strecke dazwischen zu treffen. Lukas fährt mit einer konstanten Geschwindigkeit von \(v\,\text{km/h}\). Marie fährt \(4\,\text{km/h}\) schneller als Lukas. a) Stelle einen Term für die Zeit \(t\) (in Stunden) bis zu ihrem Zusammentreffen auf. b) Berechne die Zeit \(t\) für \(d = 48\) und \(v = 10\). c) Wie würde der Term für die Zeit \(t\) lauten, wenn Marie stattdessen nur halb so schnell wie Lukas fahren würde?

Ein Expeditionsteam hat einen Wasservorrat, der bei einem geplanten täglichen Verbrauch von \(v\) Litern für genau \(t\) Tage reicht. Um die Expedition sicherheitshalber zu verlängern, wird der tägliche Verbrauch um \(w\) Liter gesenkt. Stelle einen Term für die zusätzliche Zeit auf (die Differenz zwischen der neuen und der ursprünglichen Dauer) und berechne diese für folgende Werte: \(t = 20\) Tage, \(v = 60\,\text{Liter}\) und \(w = 12\,\text{Liter}\).

Ein Vorratsspeicher für Holzpellets hat eine Kapazität von \(M\,\text{kg}\). Die vollständige Füllung des Speichers kostet insgesamt \(S\,\text{€}\). Die Heizungsanlage verbraucht täglich Pellets im Wert von \(k\,\text{€}\). a) Stelle einen Term auf, der angibt, wie viele Kilogramm Pellets nach \(t\) Tagen noch im Speicher vorhanden sind. b) Berechne die verbleibende Menge für die Werte \(M = 3\,000\), \(S = 1\,200\), \(k = 10\) und \(t = 30\).

Ein Logistikunternehmen stapelt Kisten auf Paletten. Eine Palette wird mit \(r\) Reihen zu je \(k\) Kisten beladen. Jede Kiste hat eine Masse von \(m\,\text{kg}\). a) Stelle einen Term für die Masse der Ladung \(G\) in Kilogramm auf. b) Eine leere Holzpalette wiegt zusätzlich \(25\,\text{kg}\). Erstelle einen Term für die Gesamtmasse \(M\) einer beladenen Palette in Tonnen. c) Ein Gabelstapler darf maximal \(1\,\text{t}\) heben. Prüfe rechnerisch, ob er eine Palette mit \(r = 5\), \(k = 8\) und \(m = 22\,\text{kg}\) heben darf.

Ein Programmierer plant, für ein neues Softwareprojekt insgesamt \(a\) Zeilen Code in \(b\) Tagen zu schreiben. Er arbeitet jedoch schneller als gedacht und schreibt insgesamt \(c\) Zeilen mehr als ursprünglich geplant. Trotz der zusätzlichen Arbeit ist er bereits \(d\) Tage früher fertig als vorgesehen. Stelle einen Term auf, der den Unterschied in der täglichen Arbeitsleistung (geschriebene Zeilen pro Tag) zwischen dem tatsächlichen Verlauf und der ursprünglichen Planung beschreibt. Berechne diesen Unterschied für die Werte \(a = 1500\), \(b = 20\), \(c = 300\) und \(d = 5\).

Eine Jugendgruppe mit 24 Teilnehmern hat für ein 10-tägiges Zeltlager einen Vorrat an Verpflegungspaketen dabei. Jeden Tag verbraucht jeder Teilnehmer genau ein Paket. a) Wie viele Tage länger reicht der Vorrat, wenn 4 Teilnehmer kurzfristig absagen? b) Stelle einen Term für die Gesamtzahl der Tage \(T\) auf, die der Vorrat reicht. Nutze dabei die Variablen \(n\) für die ursprüngliche Teilnehmerzahl, \(t\) für die ursprünglich geplante Dauer in Tagen und \(k\) für die Anzahl der Personen, die weniger teilnehmen.

Ein Sportverein plant die Anschaffung neuer Ausrüstung für insgesamt \(K\) Euro. Die Gemeinde unterstützt den Verein mit einem festen Zuschuss von \(Z\) Euro. Die verbleibenden Kosten werden gleichmäßig auf die \(s\) aktiven Mitglieder aufgeteilt. a) Stelle einen Term auf, der angibt, wie viel Euro jedes Mitglied bezahlen muss. b) Berechne den Betrag pro Person für \(K = 540\), \(Z = 120\) und \(s = 15\). c) Wie verändert sich der Betrag für jedes einzelne Mitglied, wenn die Anzahl der Mitglieder \(s\) kleiner wird, die Kosten \(K\) und der Zuschuss \(Z\) aber gleich bleiben? Begründe kurz.

Gegeben ist der mathematische Term \(x = \frac{S - b}{k}\). a) Entwirf eine passende Sachaufgabe zu diesem Term. Erkläre dabei genau, welche Bedeutung die Variablen \(S\), \(b\) und \(k\) in deiner Aufgabe haben. b) Berechne den Wert für \(x\), wenn \(S = 85\), \(b = 13\) und \(k = 12\) gegeben sind.

Zwei verschiedene Kerzen werden gleichzeitig angezündet. Kerze A ist zu Beginn \(20\,\text{cm}\) lang und brennt pro Stunde um \(4\,\text{cm}\) ab. Kerze B hat eine Anfangslänge von \(14\,\text{cm}\) und brennt pro Stunde um \(2\,\text{cm}\) ab. a) Bestimme durch Aufstellen und Lösen einer Gleichung, nach wie vielen Stunden beide Kerzen exakt gleich lang sind. b) Berechne, welche Länge die Kerzen zu diesem Zeitpunkt haben.

Zwei Wassertanks werden gleichzeitig geleert. Im ersten Tank befinden sich zu Beginn \(500\,\text{l}\) Wasser, wobei pro Minute \(10\,\text{l}\) abfließen. Im zweiten Tank befinden sich anfangs \(800\,\text{l}\) Wasser, hier fließen pro Minute \(30\,\text{l}\) ab. Nach wie vielen Minuten ist im ersten Tank genau doppelt so viel Wasser enthalten wie im zweiten Tank?

Ein Aquarium mit einem Fassungsvermögen von \(V\) Litern ist zu einem Drittel mit Wasser gefüllt. Darin sind \(k\) Gramm Salz gelöst. a) Gib einen Term für die aktuelle Salzkonzentration (in Gramm pro Liter) dieser Lösung an. b) Das Aquarium wird nun bis zum Rand mit reinem Wasser aufgefüllt. Stelle einen Term für die neue Salzkonzentration auf. c) Unter der Voraussetzung \(m \cdot V \geq k\): Um wie viel Gramm muss die Salzmenge erhöht werden, damit im vollen Aquarium die Konzentration genau \(m\) Gramm pro Liter beträgt? Stelle einen Term für die zusätzliche Salzmenge auf.

Ein Radfahrer plant eine zweitägige Tour. Am ersten Tag fährt er \(t_1\) Stunden lang mit einer konstanten Geschwindigkeit von \(v_1\,\text{km/h}\). Am zweiten Tag ist er \(t_2\) Stunden lang mit einer Geschwindigkeit von \(v_2\,\text{km/h}\) unterwegs. Stelle einen Term für die Durchschnittsgeschwindigkeit \(v_{\text{ges}}\) der gesamten Tour auf.

Zwei Roboter, Alpha und Beta, bewegen sich auf einer kreisförmigen Bahn mit dem Umfang \(U\). Roboter Alpha hat die Geschwindigkeit \(v_{\alpha}\) und Roboter Beta die Geschwindigkeit \(v_{\beta}\). Es gilt \(v_{\alpha} > v_{\beta}\). a) Beide starten am selben Punkt in entgegengesetzte Richtungen. Stelle einen Term für die Zeit \(t_{E}\) bis zu ihrem ersten Zusammentreffen auf. b) Nun starten beide am selben Punkt in die gleiche Richtung. Stelle einen Term für die Zeit \(t_{G}\) auf, nach der Roboter Alpha den Roboter Beta zum ersten Mal überrundet. c) Erkläre kurz, warum sich die Nenner der beiden Terme unterscheiden müssen.

Zwei Läufer, Jan und Tim, trainieren auf einer langen, geraden Strecke. Jan läuft mit einer konstanten Geschwindigkeit von \(v_J\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\). Tim startet am selben Punkt, aber erst \(100\,\text{s}\) später. Er läuft mit einer Geschwindigkeit von \(v_T\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\) hinterher, wobei er schneller ist als Jan (\(v_T > v_J\)). a) Stelle einen Term für die Strecke \(s_J\) auf, die Jan zurückgelegt hat, wenn Tim seit \(t\) Sekunden unterwegs ist. b) Stelle einen Term für die Strecke \(s_T\) auf, die Tim nach \(t\) Sekunden zurückgelegt hat. c) Leite daraus einen Term für die Zeit \(t\) her, die Tim benötigt, um Jan einzuholen.

Lukas und Sophie haben sich zwei verschiedene Rechenwege ausgedacht. Lukas sagt: „Wähle eine Zahl, addiere 4 und multipliziere das Ergebnis mit 5.“ Sophie sagt: „Wähle dieselbe Zahl, verdopple sie, addiere 8 und multipliziere das neue Ergebnis mit \(2{,}5\).“ Untersuche durch Aufstellen und Vereinfachen von Termen mit der Variablen \(n\), ob beide Rechenwege für jede beliebige Startzahl immer zum gleichen Ergebnis führen.

Jemand behauptet: „Egal welche Zahl du dir denkst: Wenn du 5 addierst, das Ergebnis verdoppelst und dann das Doppelte deiner gedachten Zahl wieder abziehst, kommt immer 10 raus.“ a) Überprüfe diese Behauptung, indem du einen passenden Term aufstellst und ihn vereinfachst. b) Wie müsste man den Rechenweg nach dem Verdoppeln (Schritt 2) ändern, damit am Ende nicht 10, sondern immer die ursprünglich gedachte Zahl \(x\) herauskommt? Gib eine Möglichkeit an.

Zwei Jugendgruppen planen einen Ausflug und erhalten dafür jeweils den gleichen Geldbetrag aus der Vereinskasse. Gruppe A kauft Eintrittskarten für einen Zoo zum Preis von \(15{,}00\,\text{€}\) pro Person und behält \(10{,}00\,\text{€}\) vom erhaltenen Geld übrig. Gruppe B besucht einen Abenteuerpark, in dem der Eintritt \(12{,}00\,\text{€}\) pro Person kostet. Diese Gruppe besteht aus 5 Personen mehr als Gruppe A und behält am Ende \(7{,}00\,\text{€}\) übrig. Wie viel Geld wurde jeder der beiden Gruppen insgesamt ausgezahlt?

Wenn man drei ungerade Zahlen addiert, ist das Ergebnis immer ungerade. Überprüfe diese Behauptung allgemein, indem du einen Term für die Summe von drei beliebigen ungeraden Zahlen aufstellst und diesen so umformst, dass man die Eigenschaft (ungerade) direkt ablesen kann.

Zwei Freunde, Jan und Mia, sparen für ein neues Fahrrad. Jan hat bereits \(180\,\text{€}\) gespart und legt jeden Monat \(15\,\text{€}\) von seinem Taschengeld beiseite. Mia hat erst \(60\,\text{€}\) gespart, möchte aber monatlich \(35\,\text{€}\) sparen. a) Nach wie vielen Monaten haben beide exakt den gleichen Betrag gespart? b) Wie hoch ist das Ersparte zu diesem Zeitpunkt? c) Mia behauptet: „Schon einen Monat später habe ich \(20\,\text{€}\) mehr als Jan.“ Untersuche, ob diese Aussage wahr ist.

In einem Wassertank befinden sich zu Beginn \(W\) Liter Wasser. Durch ein Leck fließen pro Stunde \(k\) Liter Wasser gleichmäßig ab. a) Stelle einen Term auf, der die verbleibende Wassermenge nach \(h\) Stunden beschreibt. b) Berechne die Restmenge im Tank für \(W = 500\,\text{Liter}\), \(k = 12\,\text{Liter pro Stunde}\) und eine Zeit von \(h = 8\,\text{Stunden}\). c) Nach wie vielen Stunden ist der Tank vollständig leer? Gib eine Formel mithilfe der Variablen \(W\) und \(k\) an. d) Ein Schüler behauptet, man könne für die Zeit \(h\) jede beliebige Zahl in den Term einsetzen. Erkläre, warum dies im Sachkontext des Wassertanks nicht sinnvoll ist.

Ein Motorboot fährt auf einem Fluss. Seine Eigengeschwindigkeit (die Geschwindigkeit in stehendem Wasser) wird mit \(v\) bezeichnet, während die Fließgeschwindigkeit des Flusses \(c\) beträgt. 1. Stelle einen Term für den Unterschied (die Differenz) zwischen der Geschwindigkeit des Bootes mit der Strömung und der Geschwindigkeit gegen die Strömung auf. 2. Vereinfache diesen Term so weit wie möglich. Was sagt das Ergebnis über das Verhältnis der Geschwindigkeiten aus? 3. Überprüfe deine Überlegung mit einem Zahlenbeispiel: Wähle eine Eigengeschwindigkeit von \(22\,\text{km/h}\) und eine Fließgeschwindigkeit von \(4\,\text{km/h}\).

Ein Team von \(n\) Fachkräften benötigt für die Renovierung einer Halle \(d\) Tage. Die Stadtverwaltung möchte jedoch, dass die Halle \(k\) Tage früher fertiggestellt wird. a) Stelle einen Term auf, der berechnet, wie viele Fachkräfte insgesamt nötig sind, um die Arbeit in der kürzeren Zeit zu schaffen. b) Berechne die Anzahl der Fachkräfte für \(n = 12\), \(d = 20\) und \(k = 5\). c) Wie viele Fachkräfte müssen zusätzlich zum ursprünglichen Team eingestellt werden, wenn alle mit der gleichen Leistung arbeiten?

Zwei Pumpen füllen gemeinsam ein Wasserbecken mit dem Gesamtvolumen \(V\). Pumpe A fördert \(x\) Liter pro Minute, Pumpe B fördert \(y\) Liter pro Minute. a) Stelle eine Formel für das Gesamtvolumen \(V\) auf, wenn nach \(t\) Minuten gemeinsamen Betriebs beider Pumpen noch \(R\) Liter bis zur vollständigen Füllung fehlen. b) Berechne \(V\) für die Werte \(x = 15\), \(y = 20\), \(t = 12\) und \(R = 80\). c) Angenommen, das Becken hätte tatsächlich ein Fassungsvermögen von \(630\,\text{Liter}\). Wie viele Minuten müssten beide Pumpen nach den ersten \(12\,\text{Minuten}\) insgesamt noch zusätzlich laufen, um es vollständig zu füllen?

Betrachte eine beliebige dreistellige Zahl mit der Hunderterziffer \(h\), der Zehnerziffer \(z\) und der Einerziffer \(e\). a) Notiere einen Term für den Wert dieser dreistelligen Zahl und einen Term für ihre Quersumme (die Summe ihrer Ziffern). b) Subtrahiere die Quersumme vom Wert der Zahl und vereinfache den Term. c) Untersuche den vereinfachten Term aus Teil b). Durch welche größte einstellige Zahl ist das Ergebnis für jede beliebige dreistellige Zahl immer ohne Rest teilbar? Begründe kurz mithilfe des Terms.

Ein quaderförmiges Wasserbecken wird gleichmäßig gefüllt. Die Wasserhöhe \(h\) (in Zentimetern) nach einer Zeit \(t\) (in Minuten) kann mit der Formel \(h = 3 \cdot t + 10\) berechnet werden. a) Jemand behauptet: „Das Becken war zu Beginn leer.“ Nimm mithilfe der Formel Stellung zu dieser Aussage. b) Um wie viele Zentimeter steigt der Wasserspiegel in jeder Minute? c) Bestimme, nach wie vielen Minuten das Wasser eine Höhe von \(1{,}60\,\text{m}\) erreicht hat.

Wanderer nutzen oft eine Faustregel, um die benötigte Zeit für eine Bergtour zu berechnen: „Plane für je \(4\,\text{km}\) horizontale Strecke eine Stunde ein. Addiere für je \(500\,\text{m}\) Aufstieg eine weitere Stunde.“ a) Stelle einen Term für die Gesamtzeit \(T\) (in Stunden) auf. Benutze \(s\) für die Strecke in \(\text{km}\) und \(h\) für die Höhenmeter im Aufstieg. b) Wie lange dauert laut Regel eine Wanderung über \(10\,\text{km}\) Strecke und \(750\,\text{m}\) Aufstieg? c) Eine Wandergruppe behauptet: „Wenn wir die Strecke verdoppeln, aber die Höhenmeter gleich bleiben, verdoppelt sich auch die benötigte Zeit.“ Überprüfe diese Aussage mithilfe deines Terms.

Zwei Freunde vergleichen ihr Erspartes. Lukas hat bereits \(85\,\text{€}\) in seiner Spardose und spart ab jetzt jeden Monat \(12\,\text{€}\) von seinem Taschengeld. Sarah hat \(205\,\text{€}\), muss aber monatlich \(8\,\text{€}\) für ihren Handyvertrag bezahlen, die sie von ihrem Ersparten nimmt. Nach wie vielen Monaten werden beide genau den gleichen Betrag besitzen? Wie viel Geld hat dann jeder von ihnen?

Ein Bauzaun besteht aus einzelnen Zaunelementen mit einer Länge von \(3{,}50\,\text{m}\) und Verbindungspfosten, die jeweils \(12\,\text{cm}\) breit sind. Ein Zaunabschnitt beginnt und endet immer mit einem Pfosten. Zwischen zwei Pfosten wird jeweils genau ein Zaunelement montiert. a) Stelle eine Formel für die Gesamtlänge \(L\) (in Metern) eines Zauns aus \(n\) Zaunelementen auf. b) Ein Bauherr bestellt Material für einen \(47\,\text{m}\) langen Zaun. Wie viele Zaunelemente muss er mindestens kaufen, um diese Strecke (oder etwas mehr) abzudecken? c) Wie viele Pfosten müssen für die in Teil b) berechnete Anzahl an Zaunelementen bestellt werden? Begründe kurz den Zusammenhang zwischen der Anzahl der Elemente und der Pfosten.

Ein Wassertank enthält zu Beginn \(1000\,\text{Liter}\). Durch ein Leck verliert der Tank gleichmäßig \(15\,\text{Liter}\) Wasser pro Stunde. a) Stelle einen Term auf, der die verbleibende Wassermenge im Tank nach \(t\) Stunden beschreibt. b) Berechne mithilfe deines Terms, wie viel Wasser nach \(12\) Stunden noch im Tank ist. c) Nach wie vielen Stunden ist der Tank vollständig leer? Runde dein Ergebnis auf eine Dezimalstelle.

Ein Tag hat \(24\) Stunden. Ein Schüler plant seine Zeit wie folgt: Schlaf (\(8{,}5\,\text{h}\)), Schule (\(6{,}5\,\text{h}\)), Hausaufgaben (\(1{,}5\,\text{h}\)) und Hobbys (\(t_H\,\text{h}\)). Die verbleibende frei verfügbare Zeit wird mit \(F\) bezeichnet. a) Stelle einen Term für \(F\) in Abhängigkeit von \(t_H\) auf und vereinfache ihn so weit wie möglich. b) Wie verändert sich \(F\), wenn die Schulzeit um eine Stunde verlängert wird (\(7{,}5\,\text{h}\)), man dafür aber eine halbe Stunde weniger schläft (\(8{,}0\,\text{h}\))? Begründe durch Vergleich der Terme.

In einer Hundertertafel sind die Zahlen von 1 bis 100 in Zehnerreihen angeordnet. Man wählt eine beliebige Zahl \(x\) aus, die nicht am Rand liegt. Markiert man nun die Zahl \(x\) sowie ihre vier direkten Nachbarn (oben, unten, links, rechts), entsteht eine Kreuzform. Begründe allgemein durch Aufstellen eines Terms, dass die Summe dieser fünf Zahlen im Kreuz immer genau das Fünffache der mittleren Zahl \(x\) ist.

Ein großer Würfel mit einer Kantenlänge von \(k\) Einheiten, wobei \(k \ge 3\) eine natürliche Zahl ist, wird aus lauter kleinen Einheitswürfeln (Kantenlänge 1) zusammengebaut. Der gesamte große Würfel wird von außen rot angemalt. Danach wird er wieder in die kleinen Einheitswürfel zerlegt. a) Stelle einen Term auf, der die Anzahl der kleinen Würfel angibt, die im Inneren liegen und somit keine rote Farbe erhalten haben. b) Berechne diese Anzahl für einen Würfel mit der Kantenlänge \(k = 5\). c) Wie viele kleine Würfel haben mindestens eine rote Seite, wenn der Gesamtwürfel eine Kantenlänge von \(k = 10\) hat?

Lukas und Sarah sparen für ein neues Fahrrad. Lukas hat bereits \(60\,\text{€}\) in seiner Sparbüchse und legt jede Woche \(4\,\text{€}\) dazu. Sarah hat erst \(10\,\text{€}\) gespart, legt aber jede Woche \(9\,\text{€}\) dazu. a) Stelle für Lukas und Sarah jeweils einen Term auf, der das Ersparte nach \(w\) Wochen angibt. b) Wie viel Geld haben beide jeweils nach \(5\) Wochen und nach \(12\) Wochen gespart? c) Nach wie vielen Wochen haben beide genau den gleichen Betrag in ihrer Sparbüchse? Begründe deine Antwort durch Einsetzen oder Probieren.

Aus Streichhölzern werden Quadrate in einer Reihe gelegt. Für das erste Quadrat benötigt man 4 Hölzchen. Für jedes weitere Quadrat, das man rechts anfügt, braucht man nur 3 zusätzliche Hölzchen, da eine Seite bereits vorhanden ist. a) Stelle einen Term auf, der die Anzahl der benötigten Streichhölzer \(S\) für eine Reihe aus \(n\) Quadraten angibt. b) Wie viele Streichhölzer werden für eine Reihe aus 15 Quadraten benötigt? c) Jemand hat eine solche Reihe aus Quadraten gelegt und dafür insgesamt 76 Hölzchen verbraucht. Aus wie vielen Quadraten besteht diese Reihe?

Ein großer Wasserbehälter enthält \(450\,\text{Liter}\) Wasser. Durch ein Leck fließen pro Minute \(15\,\text{Liter}\) ab. Gleichzeitig beginnt man, einen zweiten, anfangs leeren Behälter mit einer Rate von \(25\,\text{Litern}\) pro Minute zu füllen. a) Berechne den Zeitpunkt, zu dem beide Behälter exakt die gleiche Wassermenge enthalten. b) Wie viel Wasser befindet sich zu diesem Zeitpunkt in den Behältern? c) Erkläre ohne Rechnung, warum die Wassermenge im zweiten Behälter nach diesem Zeitpunkt immer größer sein wird als im ersten.

Zwei Kerzen werden gleichzeitig angezündet. Kerze A ist \(20\,\text{cm}\) hoch und brennt pro Stunde um \(1{,}5\,\text{cm}\) ab. Kerze B ist \(15\,\text{cm}\) hoch und brennt pro Stunde um \(0{,}5\,\text{cm}\) ab. a) Nach wie vielen Stunden sind die Kerzen gleich hoch? b) Welche Höhe haben sie zu diesem Zeitpunkt? c) Welche Kerze ist nach insgesamt 7 Stunden Brenndauer höher? Begründe deine Antwort.

Zwei verschiedene Kerzen werden gleichzeitig angezündet. Kerze A ist \(24\,\text{cm}\) hoch und brennt pro Stunde um \(2\,\text{cm}\) ab. Kerze B ist \(18\,\text{cm}\) hoch und brennt pro Stunde um \(1\,\text{cm}\) ab. Die Zeit \(t\) (in Stunden), nach der beide Kerzen genau gleich hoch sind, lässt sich mit der Gleichung \(24 - 2 \cdot t = 18 - t\) berechnen. a) Erkläre die Bedeutung der Terme \(24 - 2 \cdot t\) und \(18 - t\) im Sachzusammenhang. b) Berechne den Zeitpunkt \(t\), an dem beide Kerzen die gleiche Höhe erreicht haben. c) Wie hoch sind die Kerzen zu diesem Zeitpunkt?

Isabelle führt einen Zaubertrick mit insgesamt \(40\) Streichhölzern vor, die auf drei Stapel (\(L\), \(M\), \(R\)) verteilt sind. Sie weiß nicht, wie viele Hölzer in welchem Stapel liegen, nur die Gesamtzahl ist bekannt. Anweisungen: 1. Lege \(7\) Streichhölzer von \(L\) nach \(M\). 2. Lege \(5\) Streichhölzer von \(R\) nach \(M\). Nach diesen Zügen fragt Isabelle: „Wie viele Streichhölzer liegen jetzt insgesamt im linken und im rechten Stapel zusammen?“ Der Schüler antwortet: „Es sind genau \(15\).“ Isabelle sagt sofort: „Dann lagen am Anfang genau \(13\) Streichhölzer im mittleren Stapel.“ Zeige durch eine Rechnung mit Variablen (z. B. \(M\) für den Anfangsbestand der Mitte), dass Isabelle recht hat.

Stell dir eine zweistellige Zahl vor. Die Zehnerziffer wird mit \(x\) bezeichnet und die Einerziffer mit \(y\), wobei \(x \in \{1, \dots, 9\}\) und \(y \in \{0, \dots, 9\}\) gilt. 1. Erstelle einen Term, der den Wert dieser zweistelligen Zahl berechnet. 2. Wenn man die Ziffern vertauscht, erhält man eine neue Zahl (die Umkehrzahl). Wie lautet der Term für den Wert dieser neuen Zahl? 3. Subtrahiere die neue Zahl von der ursprünglichen Zahl und vereinfache den entstandenen Term so weit wie möglich. 4. Begründe mithilfe deines Ergebnisses aus Teil 3, warum die Differenz zwischen einer Zahl und ihrer Umkehrzahl immer durch 9 teilbar sein muss.

Ein großer Würfel mit der Kantenlänge \(a\) und ein kleinerer Würfel mit der Kantenlänge \(b\) werden zu einem neuen Körper zusammengeklebt. Dabei wird eine Seitenfläche des kleinen Würfels vollständig auf eine Seitenfläche des großen Würfels geklebt. Stelle einen Term für den gesamten Oberflächeninhalt \(O\) dieses neuen zusammengesetzten Körpers auf und vereinfache ihn so weit wie möglich.

Ein mathematisches Rätsel beschäftigt sich mit der Differenz der Quadrate von zwei aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen. a) Berechne die Differenz der Quadrate für die Paare \( (1, 2) \), \( (4, 5) \) und \( (10, 11) \). Rechne dabei immer „größeres Quadrat minus kleineres Quadrat“. Was fällt dir bei den Ergebnissen auf? b) Sei \( n \) die kleinere der beiden aufeinanderfolgenden Zahlen. Stelle einen Term für die Differenz der Quadrate von \( n \) und ihrem Nachfolger \( n+1 \) auf. c) Vereinfache den Term (multipliziere dazu die Klammern aus) und begründe, warum das Ergebnis immer eine ungerade Zahl sein muss.

Zwei verschiedene Pumpen sollen ein Wasserbecken mit einem Volumen von \(V\) Litern füllen. Pumpe A schafft \(x\) Liter pro Minute. Pumpe B ist leistungsstärker und fördert pro Minute \(10\) Liter mehr als Pumpe A. a) Stelle einen Term für den Zeitunterschied \(\Delta t\) (in Minuten) auf, den die beiden Pumpen benötigen, um das Becken jeweils alleine vollständig zu füllen. b) Untersuche mithilfe deines Terms, wie sich dieser Zeitunterschied verändert, wenn das Becken doppelt so groß wäre (also \(2 \cdot V\) Liter fassen würde). Begründe deine Antwort.

Eine Jugendgruppe mit \(n\) Personen plant einen Ausflug. Die Kosten für den Bus betragen insgesamt \(B\) Euro und sollen gleichmäßig auf alle Teilnehmer aufgeteilt werden. Kurz vor der Fahrt melden sich noch \(m\) weitere Jugendliche an. Da nun ein größerer Bus benötigt wird, erhöhen sich die Gesamtkosten um \(s\) Euro. a) Stelle einen Term auf, der beschreibt, um wie viel Euro der Preis pro Person durch die zusätzlichen Teilnehmer sinkt. b) Berechne die Ersparnis pro Person für \(n = 20\), \(B = 400\), \(m = 5\) und \(s = 50\). c) Unter welcher Bedingung würde sich der Preis pro Person überhaupt nicht ändern, obwohl mehr Leute mitfahren und der Bus teurer wird? Erkläre den Zusammenhang ohne eine Rechnung durchzuführen.

Ein Wasserbecken wird mit einer Pumpe gefüllt. Geplant ist eine Fülldauer von \(t\) Stunden bei einer Förderleistung von \(r\) Litern pro Stunde. Die Pumpe wird jedoch optimiert, sodass sie pro Stunde \(s\) Liter zusätzlich fördert. a) Stelle einen Term auf, der die Zeitersparnis in Stunden beschreibt. b) Berechne diese Ersparnis für \(t = 10\), \(r = 1\,200\) und \(s = 300\). c) Erkläre kurz, was der Teilterm \(\frac{t \cdot r}{r + s}\) in diesem Sachzusammenhang angibt.

Ein Sportboot soll eine Strecke von \(s = 120\,\text{km}\) (einfacher Weg) hin und wieder zurücklegen. Das Boot hat eine konstante Eigengeschwindigkeit von \(v = 25\,\text{km/h}\). Untersuche, wie sich eine Strömung auf die Gesamtdauer der Fahrt auswirkt: 1. Berechne die Gesamtdauer für den Hin- und Rückweg auf einem stehenden See (ohne Strömung). 2. Berechne die Gesamtdauer für den Hin- und Rückweg auf einem Fluss mit einer Fließgeschwindigkeit von \(c = 5\,\text{km/h}\). 3. Vergleiche die beiden Ergebnisse. Wird die Zeit, die man durch die Strömung in die eine Richtung gewinnt, durch den Zeitverlust in die Gegenrichtung genau ausgeglichen?

Zwei verschiedene Handy-Tarife lassen sich durch Terme für die monatlichen Kosten (in Euro) beschreiben. Dabei gibt \(m\) die Anzahl der verbrauchten Gigabyte (\(\text{GB}\)) an Datenvolumen an: Tarif 1: \(10 + 2 \cdot m\) Tarif 2: \(4 \cdot m\) a) Beschreibe den Unterschied der beiden Tarife im Hinblick auf die Kostenstruktur (Grundgebühr und Preis pro \(\text{GB}\)). b) Stelle einen Term für die Ersparnis \(E\) auf, die man erzielt, wenn man Tarif 1 statt Tarif 2 wählt. Vereinfache den Term so weit wie möglich. c) Berechne die Ersparnis \(E\) für \(m = 3\) und \(m = 7\). Interpretiere deine Ergebnisse.

Zwei Zahlen stehen im Verhältnis \(1 : n\), wobei die zweite Zahl die größere ist und \(n > 1\) gilt. Die Differenz der beiden Zahlen beträgt \(d\). Bestimme die Ausdrücke für beide Zahlen in Abhängigkeit von \(n\) und \(d\).

Zwei Räder rollen nebeneinander eine Strecke \(s\) weit. Rad A hat einen Umfang von \(u\). Rad B ist größer und hat einen Umfang von \(1{,}25 \cdot u\). Stelle eine Gleichung auf und bestimme eine Formel für die Strecke \(s\), bei der Rad A genau \(n\) Umdrehungen mehr macht als Rad B. Dein Ergebnis für \(s\) soll nur von den Variablen \(n\) und \(u\) abhängen.

Ein Lieferwagen und ein Motorrad fahren dieselbe Strecke der Länge \(s\). Der Lieferwagen fährt mit einer konstanten Geschwindigkeit \(v\). Das Motorrad fährt um \(20\,\text{km/h}\) schneller als der Lieferwagen. a) Stelle einen Term für den Zeitunterschied \(\Delta t\) zwischen der Ankunft des Lieferwagens und des Motorrads in Abhängigkeit von \(s\) und \(v\) auf. b) Erkläre ohne Rechnung, wie sich dieser Zeitunterschied \(\Delta t\) verändert, wenn die Strecke \(s\) verdoppelt wird (bei gleichbleibenden Geschwindigkeiten). c) Berechne die Entfernung \(s\), wenn der Lieferwagen mit \(60\,\text{km/h}\) fährt und das Motorrad \(15\,\text{Minuten}\) früher am Ziel ankommt.

Ein Fruchtsaftkonzentrat hat einen Fruchtgehalt von \(p\,\%\). Um eine trinkfertige Schorle mit einem Fruchtgehalt von \(q\,\%\) herzustellen, wird das Konzentrat mit Wasser verdünnt. Es sind \(V\) Liter des Konzentrats vorhanden. Es gilt \(V>0\) und \(0<q<p\leq 100\). Stelle einen Term auf, der die benötigte Wassermenge \(w\) in Litern angibt, die zum Konzentrat hinzugefügt werden muss.

In einem Chemielabor befinden sich \(m\) Gramm einer Salzlösung mit einem Salzgehalt von \(s\,\%\). Der Laborant möchte den Salzgehalt auf \(k\,\%\) erhöhen, indem er reines Salz zur Lösung hinzufügt. Es gilt \(m>0\) und \(0\leq s<k<100\). Stelle einen Term auf, der berechnet, wie viel Gramm reines Salz \(z\) hinzugefügt werden müssen.

Ein Flugzeug fliegt bei Windstille mit einer konstanten Eigengeschwindigkeit \(v\). Wenn Wind mit der Geschwindigkeit \(w\) weht, ändert sich die Geschwindigkeit des Flugzeugs über dem Boden. a) Stelle Terme für die Geschwindigkeit mit Rückenwind (\(v_R\)) und für die Geschwindigkeit mit Gegenwind (\(v_G\)) auf. b) Addiere die beiden Terme \(v_R\) und \(v_G\) und dividiere die Summe durch 2. Welchen Wert erhältst du? Interpretiere dieses Ergebnis. c) Ein Flugzeug erreicht mit Rückenwind eine Geschwindigkeit von \(820\,\text{km/h}\) und mit Gegenwind \(740\,\text{km/h}\). Berechne mithilfe deiner Erkenntnisse aus Aufgabenteil b) die Eigengeschwindigkeit des Flugzeugs und bestimme anschließend die Windgeschwindigkeit.