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- Was bedeutet es, eine Zahl für eine Variable einzusetzen? - Achte auf die Rechenregel „Punkt vor Strich“. - Was bewirkt die Klammer in Aufgabenteil b? - Überlege dir zuerst, welche Rechenoperationen nacheinander ausgeführt werden müssen.

1. Einsetzen der Werte für \(z\) in die Terme. 2. Term a): Für \(z = 4\) ergibt sich \(5 \cdot 4 - 9 = 11\). Für \(z = 7\) ergibt sich \(5 \cdot 7 - 9 = 26\). 3. Term b): Für \(z = 4\) ergibt sich \(4 \cdot (4 + 2) = 24\). Für \(z = 7\) ergibt sich \(7 \cdot (7 + 2) = 63\). 4. Term c): Für \(z = 4\) ergibt sich \(30 - 3 \cdot 4 = 18\). Für \(z = 7\) ergibt sich \(30 - 3 \cdot 7 = 9\).

a) Für \(z = 4\) ist der Wert 11. Für \(z = 7\) ist der Wert 26. b) Für \(z = 4\) ist der Wert 24. Für \(z = 7\) ist der Wert 63. c) Für \(z = 4\) ist der Wert 18. Für \(z = 7\) ist der Wert 9.

- Was genau passiert mit der Zahl und der Variablen, wenn sie direkt nebeneinander stehen? - Achte auf die Reihenfolge der Rechenschritte. - Überlege, was passiert, wenn du eine positive Zahl mit einer negativen Zahl multiplizierst.

1. Einsetzen von \(b = 0\): \(3 \cdot 0 + 14 = 0 + 14 = 14\) 2. Einsetzen von \(b = 4\): \(3 \cdot 4 + 14 = 12 + 14 = 26\) 3. Einsetzen von \(b = 10\): \(3 \cdot 10 + 14 = 30 + 14 = 44\) 4. Einsetzen von \(b = -3\): \(3 \cdot (-3) + 14 = -9 + 14 = 5\)

Für \(b = 0\) ist der Wert \(14\). Für \(b = 4\) ist der Wert \(26\). Für \(b = 10\) ist der Wert \(44\). Für \(b = -3\) ist der Wert \(5\).

- Hast du schon versucht, den Buchstaben durch die Zahl zu ersetzen? - Erinnere dich an die Vorrangregeln: Was berechnet man zuerst, die Klammer oder die Potenz? - Achte darauf, dass du das gesamte Ergebnis der Klammer quadrierst.

1. Einsetzen von \(x = 5\) in den Term: \(2(5)^2 - (5 - 2)^2\) 2. Berechnung des Quadrats der Klammer: \((5 - 2)^2 = 3^2 = 9\) 3. Berechnung des ersten Glieds: \(2 \cdot 5^2 = 2 \cdot 25 = 50\) 4. Subtraktion der Ergebnisse: \(50 - 9 = 41\)

c) 41

- Was bedeutet das \(x\) in der Formel? - Überlege, welcher Teil der Rechnung fest bleibt und welcher sich verändert. - Achte auf die Punkt-vor-Strich-Regel beim Rechnen.

1. Einsetzen von \(x = 5\) in den Term: \(T(5) = 3{,}50 + 1{,}80 \cdot 5 = 3{,}50 + 9{,}00 = 12{,}50\). Die Kosten betragen \(12{,}50\,\text{€}\). 2. Einsetzen von \(x = 12\) in den Term: \(T(12) = 3{,}50 + 1{,}80 \cdot 12 = 3{,}50 + 21{,}60 = 25{,}10\). Die Kosten betragen \(25{,}10\,\text{€}\). 3. Einsetzen von \(x = 0{,}5\) in den Term: \(T(0{,}5) = 3{,}50 + 1{,}80 \cdot 0{,}5 = 3{,}50 + 0{,}90 = 4{,}40\). Die Kosten betragen \(4{,}40\,\text{€}\).

a) \(12{,}50\,\text{€}\) b) \(25{,}10\,\text{€}\) c) \(4{,}40\,\text{€}\)

- Setze die gegebenen Zahlen für die Variable in den Term ein. - Achte auf die Reihenfolge der Rechenoperationen (Punkt-vor-Strich-Rechnung). - Überprüfe dein Ergebnis, indem du schaust, ob die berechneten Werte logisch zu den bereits gegebenen Werten passen.

1. Berechnung für \(x = 1\): \(T(1) = 7 \cdot 1 - 5 = 2\). 2. Berechnung für \(x = 5\): \(T(5) = 7 \cdot 5 - 5 = 30\). 3. Berechnung für \(x = 20\): \(T(20) = 7 \cdot 20 - 5 = 135\).

Die fehlenden Werte sind \(2\) (für \(x=1\)), \(30\) (für \(x=5\)) und \(135\) (für \(x=20\)).

- Was bedeutet es, eine Zahl für eine Variable in einen Term einzusetzen? - Achte beim Einsetzen negativer Zahlen darauf, die Klammern richtig zu setzen. - Könnte es hilfreich sein, den Bruch in eine Dezimalzahl umzuwandeln?

1. Einsetzen von \(x = 8{,}9\): \(-15{,}4 + 8{,}9 = -6{,}5\). 2. Einsetzen von \(x = -3{,}7\): \(-15{,}4 + (-3{,}7) = -15{,}4 - 3{,}7 = -19{,}1\). 3. Einsetzen von \(x = 15{,}4\): \(-15{,}4 + 15{,}4 = 0\). 4. Einsetzen von \(x = \frac{1}{2}\): Umwandlung in Dezimalzahl \(0{,}5\), dann \(-15{,}4 + 0{,}5 = -14{,}9\).

a) \(-6{,}5\) b) \(-19{,}1\) c) \(0\) d) \(-14{,}9\)

- Erinnere dich daran, wie man Brüche subtrahiert: Zuerst musst du sie auf einen gemeinsamen Nenner bringen. - Was passiert mit den Vorzeichen, wenn du eine negative Zahl abziehst? - Vergiss nicht, das Ergebnis am Ende so weit wie möglich zu kürzen oder als gemischte Zahl zu schreiben.

1. \(a = -\frac{1}{2}\), \(b = -\frac{2}{3}\): \(-\frac{1}{2} - (-\frac{2}{3}) = -\frac{3}{6} + \frac{4}{6} = \frac{1}{6}\). 2. \(a = -\frac{1}{2}\), \(b = \frac{5}{6}\): \(-\frac{1}{2} - \frac{5}{6} = -\frac{3}{6} - \frac{5}{6} = -\frac{8}{6} = -\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3}\). 3. \(a = \frac{3}{4}\), \(b = -\frac{2}{3}\): \(\frac{3}{4} - (-\frac{2}{3}) = \frac{9}{12} + \frac{8}{12} = \frac{17}{12} = 1\frac{5}{12}\). 4. \(a = \frac{3}{4}\), \(b = \frac{5}{6}\): \(\frac{3}{4} - \frac{5}{6} = \frac{9}{12} - \frac{10}{12} = -\frac{1}{12}\).

Die berechneten Werte sind: Oben links: \(\frac{1}{6}\) Oben rechts: \(-1\frac{1}{3}\) Unten links: \(1\frac{5}{12}\) Unten rechts: \(-\frac{1}{12}\)

- Erinnere dich daran, wie man mit negativen Zahlen rechnet. - Was bewirkt ein Betragsstrich bei einer negativen Zahl? - Achte bei Teilaufgabe c) auf das Vorzeichen des Produkts. - Überlege dir bei d), was „hoch 2“ für die Rechnung bedeutet.

1. Einsetzen von \(a = -1{,}2\) und \(b = 0{,}5\) in den ersten Term: \(-1{,}2 + 0{,}5 = -0{,}7\). 2. Einsetzen in den zweiten Term: \(-1{,}2 - 0{,}5 = -1{,}7\). 3. Berechnung des Produkts: \(2 \cdot (-1{,}2) \cdot 0{,}5 = -1{,}2\). 4. Quadrieren von \(b\): \(0{,}5 \cdot 0{,}5 = 0{,}25\). 5. Berechnung mit dem Betrag von \(a\): \(|-1{,}2| - 0{,}5 = 1{,}2 - 0{,}5 = 0{,}7\).

a) \(-0{,}7\) b) \(-1{,}7\) c) \(-1{,}2\) d) \(0{,}25\) e) \(0{,}7\)

- Achte besonders auf das Vorzeichen, wenn du eine negative Zahl einsetzt. - Erinnere dich daran, dass das Quadrat einer negativen Zahl positiv ist. - Halte die Rechenregel „Punkt vor Strich“ ein. - Bei Dezimalzahlen hilft es, sich die Rechnung wie mit Geld vorzustellen.

1. Für \(x = 8\): - \(2 \cdot 8 - 5 = 16 - 5 = 11\) - \(8^2 + 10 = 64 + 10 = 74\) - \(12 - 3 \cdot 8 = 12 - 24 = -12\) 2. Für \(x = -4\): - \(2 \cdot (-4) - 5 = -8 - 5 = -13\) - \((-4)^2 + 10 = 16 + 10 = 26\) - \(12 - 3 \cdot (-4) = 12 + 12 = 24\) 3. Für \(x = 0{,}5\): - \(2 \cdot 0{,}5 - 5 = 1 - 5 = -4\) - \(0{,}5^2 + 10 = 0{,}25 + 10 = 10{,}25\) - \(12 - 3 \cdot 0{,}5 = 12 - 1{,}5 = 10{,}5\)

Die ausgefüllte Tabelle lautet: <table> <thead> <tr> <th>\(x\)</th> <th>\(2 \cdot x - 5\)</th> <th>\(x^2 + 10\)</th> <th>\(12 - 3 \cdot x\)</th> </tr> </thead> <tbody> <tr> <td>\(8\)</td> <td>\(11\)</td> <td>\(74\)</td> <td>\(-12\)</td> </tr> <tr> <td>\(-4\)</td> <td>\(-13\)</td> <td>\(26\)</td> <td>\(24\)</td> </tr> <tr> <td>\(0{,}5\)</td> <td>\(-4\)</td> <td>\(10{,}25\)</td> <td>\(10{,}5\)</td> </tr> </tbody> </table>

- Kannst du die Dezimalzahl \(1{,}5\) als Bruch schreiben, falls dir das Rechnen damit leichter fällt? - Achte besonders bei Aufgabenteil b auf die Multiplikation der Dezimalzahl mit sich selbst. - Welche Rechenregel musst du bei Aufgabenteil c zuerst beachten?

1. Einsetzen der Dezimalzahl \(1{,}5\) und der ganzen Zahl \(4\) in die Terme. 2. Term a): \(8 \cdot 1{,}5 + 2 = 12 + 2 = 14\) und \(8 \cdot 4 + 2 = 34\). 3. Term b): \(1{,}5 \cdot 1{,}5 + 10 = 2{,}25 + 10 = 12{,}25\) und \(4 \cdot 4 + 10 = 26\). 4. Term c): \(2 \cdot (10 - 1{,}5) = 2 \cdot 8{,}5 = 17\) und \(2 \cdot (10 - 4) = 12\).

a) Für \(b = 1{,}5\) ist der Wert 14. Für \(b = 4\) ist der Wert 34. b) Für \(b = 1{,}5\) ist der Wert \(12{,}25\). Für \(b = 4\) ist der Wert 26. c) Für \(b = 1{,}5\) ist der Wert 17. Für \(b = 4\) ist der Wert 12.

- Denk an die Regel „Punkt-vor-Strich-Rechnung“. - Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn du eine negative Zahl subtrahierst? - Kann ein Termwert auch negativ sein?

1. Für \(a = 0\): \(25 - 4 \cdot 0 = 25 - 0 = 25\) 2. Für \(a = 5\): \(25 - 4 \cdot 5 = 25 - 20 = 5\) 3. Für \(a = 7\): \(25 - 4 \cdot 7 = 25 - 28 = -3\) 4. Für \(a = -2\): \(25 - 4 \cdot (-2) = 25 - (-8) = 25 + 8 = 33\)

a) \(25\) b) \(5\) c) \(-3\) d) \(33\)

- Was bedeutet die kleine Hochzahl 2 bei der Kantenlänge? - Überlege dir, welche Rechenoperation zuerst ausgeführt wird: Potenzieren oder Multiplizieren? - Achte darauf, die richtige Einheit für die Oberfläche am Ende deiner Rechnung anzugeben.

1. Einsetzen von \(a = 3\,\text{cm}\) in die Formel: \(6 \cdot 3^2 = 6 \cdot 9 = 54\). Die Oberfläche beträgt \(54\,\text{cm}^2\). 2. Einsetzen von \(a = 0{,}5\,\text{m}\): \(6 \cdot 0{,}5^2 = 6 \cdot 0{,}25 = 1{,}5\). Die Oberfläche beträgt \(1{,}5\,\text{m}^2\). 3. Einsetzen von \(a = 1{,}2\,\text{dm}\): \(6 \cdot 1{,}2^2 = 6 \cdot 1{,}44 = 8{,}64\). Die Oberfläche beträgt \(8{,}64\,\text{dm}^2\).

a) \(54\,\text{cm}^2\) b) \(1{,}5\,\text{m}^2\) c) \(8{,}64\,\text{dm}^2\)

- Ersetze den Buchstaben in jedem Term durch die angegebene Zahl. - Berechne das Ergebnis für jeden Term einzeln nacheinander. - Denk an die Regel „Punkt-vor-Strich-Rechnung“. - Bei Termen mit Klammern musst du zuerst den Inhalt der Klammer berechnen.

1. Einsetzen von \(x = 4\) in Term (1): \(4 \cdot 4 - 5 = 16 - 5 = 11\). Das Ergebnis ist korrekt. 2. Einsetzen von \(x = 4\) in Term (2): \(4^2 + 3 = 16 + 3 = 19\). Das Ergebnis ist ungleich \(11\). 3. Einsetzen von \(x = 4\) in Term (3): \(15 - 4 = 11\). Das Ergebnis ist korrekt. 4. Einsetzen von \(x = 4\) in Term (4): \(2 \cdot (4 + 1) = 2 \cdot 5 = 10\). Das Ergebnis ist ungleich \(11\). Die Terme (1) und (3) erfüllen die Bedingung.

Die Terme (1) und (3) ergeben den Wert \(11\).

- Setze den angegebenen Wert für \(x\) ein. - Achte auf die Rechenregel „Punkt vor Strich“. - Was bedeutet es mathematisch, wenn zwei Terme „gleich groß“ sein sollen? - Denke bei der Subtraktion an die Regeln für negative Zahlen.

1. Einsetzen von \(x = 3\) in beide Terme: \(T_1(3) = 24 - 4 \cdot 3 = 24 - 12 = 12\) und \(T_2(3) = 2 \cdot 3 + 6 = 6 + 6 = 12\). 2. Überprüfung für \(x = 5\): \(T_1(5) = 24 - 4 \cdot 5 = 24 - 20 = 4\). \(T_2(5) = 2 \cdot 5 + 6 = 10 + 6 = 16\). Da \(4 \neq 16\), ist die Aussage falsch. 3. Einsetzen von \(x = 10\) in \(T_1\): \(T_1(10) = 24 - 4 \cdot 10 = 24 - 40 = -16\).

a) \(T_1(3) = 12\) und \(T_2(3) = 12\). b) Die Aussage ist falsch, da \(4 \neq 16\). c) \(T_1(10) = -16\).

- Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn du eine negative Zahl quadrierst? - Achte beim Einsetzen darauf, Klammern um negative Werte zu setzen. - Kannst du die Rechenschritte nacheinander ausführen, indem du erst die Potenzen, dann Punktrechnung und zuletzt Strichrechnung beachtest?

1. Einsetzen von \(x = -3\) in den Term: \(T(-3) = (-3)^2 - 3 \cdot (-3) + 1 = 9 + 9 + 1 = 19\). 2. Einsetzen von \(x = 0{,}5\) in den Term: \(T(0{,}5) = (0{,}5)^2 - 3 \cdot (0{,}5) + 1 = 0{,}25 - 1{,}5 + 1 = -0{,}25\). 3. Einsetzen von \(x = 2\) in den Term: \(T(2) = 2^2 - 3 \cdot 2 + 1 = 4 - 6 + 1 = -1\).

Die berechneten Werte sind: \(T(-3) = 19\) \(T(0{,}5) = -0{,}25\) \(T(2) = -1\)

- Erstelle eine Tabelle mit drei Spalten für \(x\), Term \(A\) und Term \(B\). - Achte beim Einsetzen negativer Zahlen auf die Vorzeichenregeln. - Vereinfache Term \(B\) durch Auflösen der Klammer und Zusammenfassen, um dein Ergebnis zu prüfen.

1. Einsetzen von \(x = -2\): \(A = 5 \cdot (-2) + 3 = -7\); \(B = 2 \cdot (-2 + 4) + 3 \cdot (-2) - 5 = 2 \cdot 2 - 6 - 5 = -7\). 2. Einsetzen von \(x = -1\): \(A = 5 \cdot (-1) + 3 = -2\); \(B = 2 \cdot (-1 + 4) + 3 \cdot (-1) - 5 = 2 \cdot 3 - 3 - 5 = -2\). 3. Einsetzen von \(x = 0\): \(A = 5 \cdot 0 + 3 = 3\); \(B = 2 \cdot (0 + 4) + 3 \cdot 0 - 5 = 8 - 5 = 3\). 4. Einsetzen von \(x = 1\): \(A = 5 \cdot 1 + 3 = 8\); \(B = 2 \cdot (1 + 4) + 3 \cdot 1 - 5 = 10 + 3 - 5 = 8\). 5. Einsetzen von \(x = 2\): \(A = 5 \cdot 2 + 3 = 13\); \(B = 2 \cdot (2 + 4) + 3 \cdot 2 - 5 = 12 + 6 - 5 = 13\). 6. Vergleich: Da die Ergebnisse für alle gewählten Werte identisch sind, liegt die Vermutung nahe, dass die Terme äquivalent sind. Durch Vereinfachen von \(B = 2x + 8 + 3x - 5 = 5x + 3\) bestätigt sich dies.

Die berechneten Werte sind: <table> <tr><th>\(x\)</th><th>Term \(A\)</th><th>Term \(B\)</th></tr> <tr><td>\(-2\)</td><td>\(-7\)</td><td>\(-7\)</td></tr> <tr><td>\(-1\)</td><td>\(-2\)</td><td>\(-2\)</td></tr> <tr><td>\(0\)</td><td>\(3\)</td><td>\(3\)</td></tr> <tr><td>\(1\)</td><td>\(8\)</td><td>\(8\)</td></tr> <tr><td>\(2\)</td><td>\(13\)</td><td>\(13\)</td></tr> </table> Vermutung: Die Terme \(A\) und \(B\) sind äquivalent, da sie für die gleichen Einsetzzahlen die gleichen Werte liefern.

- Achte auf die Regel „Potenz vor Punkt vor Strich“. - Ersetze jeden Buchstaben sorgfältig durch die zugehörige Zahl. - Berechne zuerst die einzelnen Teile des Terms, bevor du sie addierst oder subtrahierst.

1. Einsetzen der gegebenen Werte in den Term: \(4 \cdot 2{,}5 \cdot 6 - 5 \cdot 3^2 + 12\). 2. Berechnung des ersten Produkts: \(4 \cdot 2{,}5 = 10\) und \(10 \cdot 6 = 60\). 3. Berechnung der Potenz: \(3^2 = 9\). 4. Berechnung des zweiten Produkts: \(5 \cdot 9 = 45\). 5. Zusammenfassen der Ergebnisse durch Subtraktion und Addition: \(60 - 45 + 12 = 15 + 12 = 27\).

Der Wert des Terms ist \(27\).

- Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn du eine negative Zahl quadrierst? - Achte beim Einsetzen darauf, Klammern um negative Zahlen zu setzen. - Überlege dir die Reihenfolge der Rechenoperationen: Was wird zuerst berechnet, die Potenz oder die Multiplikation?

1. Einsetzen von \(x = -3\) in \(3x + 10\): \(3 \cdot (-3) + 10 = -9 + 10 = 1\). 2. Einsetzen von \(x = -3\) in \(x^2 - 5\): \((-3)^2 - 5 = 9 - 5 = 4\). 3. Einsetzen von \(x = -3\) in \(2x^2 + x\): \(2 \cdot (-3)^2 + (-3) = 2 \cdot 9 - 3 = 18 - 3 = 15\). 4. Einsetzen von \(x = -3\) in \(\frac{1}{3}x^3\): \(\frac{1}{3} \cdot (-3)^3 = \frac{1}{3} \cdot (-27) = -9\).

a) \(1\) b) \(4\) c) \(15\) d) \(-9\)

- Welche Rechenregel musst du beachten, wenn in einer Formel sowohl eine Addition als auch eine Multiplikation vorkommen? - Überlege dir zuerst, was die einzelnen Buchstaben in der Formel bedeuten. - Setze die gegebenen Zahlen Schritt für Schritt an die Stelle der passenden Buchstaben.

1. Einsetzen der Werte in die Formel \(G = B + n \cdot p\): \(G = 450 + 25 \cdot 120\). Zuerst die Multiplikation durchführen: \(25 \cdot 120 = 3\,000\). Dann die Addition: \(450 + 3\,000 = 3\,450\). Ergebnis: \(3\,450\,\text{€}\). 2. Einsetzen der Werte: \(G = 520 + 22 \cdot 145\). Multiplikation: \(22 \cdot 145 = 3\,190\). Addition: \(520 + 3\,190 = 3\,710\). Ergebnis: \(3\,710\,\text{€}\). 3. Einsetzen der Werte: \(G = 380 + 28 \cdot 95\). Multiplikation: \(28 \cdot 95 = 2\,660\). Addition: \(380 + 2\,660 = 3\,040\). Ergebnis: \(3\,040\,\text{€}\).

1) \(G = 3\,450\,\text{€}\) 2) \(G = 3\,710\,\text{€}\) 3) \(G = 3\,040\,\text{€}\)

- Überlege zuerst, wie viele Flaschen in einer einzelnen Kiste sind. - Wie oft ist diese Anzahl vorhanden, wenn man die Anzahl der Kisten kennt? - Welche Rechenoperation verknüpft die drei Variablen sinnvoll miteinander?

1. Aufstellen des Terms für die Gesamtzahl der Flaschen: \(G = k \cdot n \cdot f\). 2. Berechnung für den ersten Fall (\(k=12, n=3, f=4\)): \(12 \cdot 3 \cdot 4 = 144\). 3. Berechnung für den zweiten Fall (\(k=25, n=4, f=5\)): \(25 \cdot 4 \cdot 5 = 500\). 4. Berechnung für den dritten Fall (\(k=40, n=2, f=10\)): \(40 \cdot 2 \cdot 10 = 800\).

a) \(G = k \cdot n \cdot f\) b) Die Werte für \(G\) sind: 144, 500 und 800.

- Was passiert in der Formel mit dem Wert für \(s\)? - Achte auf die Regel Punkt-vor-Strichrechnung. - Welchen festen Betrag muss man immer bezahlen, egal wie weit man fährt?

1. Berechnung für \(s = 2\): \(K = 4{,}50 + 2{,}20 \cdot 2 = 4{,}50 + 4{,}40 = 8{,}90\,\text{€}\). 2. Berechnung für \(s = 5\): \(K = 4{,}50 + 2{,}20 \cdot 5 = 4{,}50 + 11{,}00 = 15{,}50\,\text{€}\). 3. Berechnung für \(s = 7{,}5\): \(K = 4{,}50 + 2{,}20 \cdot 7{,}5 = 4{,}50 + 16{,}50 = 21{,}00\,\text{€}\). 4. Berechnung für \(s = 10\): \(K = 4{,}50 + 2{,}20 \cdot 10 = 4{,}50 + 22{,}00 = 26{,}50\,\text{€}\). 5. Berechnung für \(s = 12\): \(K = 4{,}50 + 2{,}20 \cdot 12 = 4{,}50 + 26{,}40 = 30{,}90\,\text{€}\).

Die fehlenden Werte für \(K\) sind: \(8{,}90\,\text{€}\); \(15{,}50\,\text{€}\); \(21{,}00\,\text{€}\); \(26{,}50\,\text{€}\); \(30{,}90\,\text{€}\).

- Welche Größe ist gesucht und welche Größen sind gegeben? - Wie muss die Formel umgeformt werden, wenn nicht das Ergebnis links vom Gleichheitszeichen gesucht ist? - Achte darauf, dass die Einheiten (km, h, km/h) zueinander passen.

1. Einsetzen der Werte \(s = 45\) und \(t = 2{,}5\) in die Formel \(v = \frac{s}{t}\) ergibt \(v = \frac{45}{2{,}5}\). 2. Durchführung der Division: \(45 : 2{,}5 = 18\). Die Geschwindigkeit beträgt \(18\,\text{km/h}\). 3. Umstellen der Formel nach der Strecke \(s\): \(s = v \cdot t\). 4. Einsetzen der Werte \(v = 85\) und \(t = 4{,}2\) ergibt \(s = 85 \cdot 4{,}2\). 5. Durchführung der Multiplikation: \(85 \cdot 4{,}2 = 357\). Die Strecke beträgt \(357\,\text{km}\).

a) Die Geschwindigkeit beträgt \(18\,\text{km/h}\). b) Die Strecke beträgt \(357\,\text{km}\).

- Überlege zuerst, wie man die Fläche eines einzelnen Rechtecks berechnet. - Wie viel Fläche nehmen alle Beete zusammen ein? - Was passiert mathematisch mit der Gesamtfläche, wenn Teile davon weggenommen (belegt) werden? - Ersetze in deinem Term die feste Anzahl durch einen Platzhalter für eine beliebige Anzahl.

1. Aufstellen des Terms für die gesamte Rasenfläche: \(a \cdot b\). 2. Aufstellen des Terms für die Fläche der zwei Beete: \(2 \cdot (x \cdot y)\). 3. Bildung der Differenz für die Rasenfläche: \(A = a \cdot b - 2xy\). 4. Einsetzen der Werte für Teil b: \(A = 25 \cdot 15 - 2 \cdot 4 \cdot 2{,}5\). 5. Berechnung der Teilprodukte: \(375 - 20\). 6. Ergebnis für Teil b: \(A = 355\,\text{m}^2\). 7. Anpassung des Terms für Teil c: Ersetzen des Faktors \(2\) durch die Variable \(n\), woraus \(A = a \cdot b - n \cdot x \cdot y\) folgt.

a) \(A = a \cdot b - 2xy\) b) \(A = 355\,\text{m}^2\) c) \(A = a \cdot b - nxy\)

- Achte darauf, zuerst die Werte für die einzelnen Teile des Zählers zu berechnen. - Vergiss nicht, beim Nenner immer \( 1{,}5 \) zum \( x \)-Wert zu addieren, bevor du dividierst. - Runde erst das Endergebnis für \( y \) auf zwei Stellen nach dem Komma.

1. Quadrieren der \( x \)-Werte für die Zeile \( x^2 \): \( 0{,}2^2 = 0{,}04 \); \( 0{,}4^2 = 0{,}16 \); \( 0{,}6^2 = 0{,}36 \); \( 0{,}8^2 = 0{,}64 \); \( 1{,}0^2 = 1{,}00 \); \( 1{,}2^2 = 1{,}44 \). 2. Verdoppeln der \( x \)-Werte für die Zeile \( 2x \): \( 2 \cdot 0{,}2 = 0{,}4 \); \( 2 \cdot 0{,}4 = 0{,}8 \); \( 2 \cdot 0{,}6 = 1{,}2 \); \( 2 \cdot 0{,}8 = 1{,}6 \); \( 2 \cdot 1{,}0 = 2{,}0 \); \( 2 \cdot 1{,}2 = 2{,}4 \). 3. Berechnen von \( y \) durch Einsetzen in \( \frac{x^2 + 2x}{x + 1{,}5} \) und Runden auf zwei Dezimalstellen: Für \( x=0{,}2 \): \( \frac{0{,}04 + 0{,}4}{0{,}2 + 1{,}5} = \frac{0{,}44}{1{,}7} \approx 0{,}26 \). Für \( x=0{,}4 \): \( \frac{0{,}16 + 0{,}8}{0{,}4 + 1{,}5} = \frac{0{,}96}{1{,}9} \approx 0{,}51 \). Für \( x=0{,}6 \): \( \frac{0{,}36 + 1{,}2}{0{,}6 + 1{,}5} = \frac{1{,}56}{2{,}1} \approx 0{,}74 \). Für \( x=0{,}8 \): \( \frac{0{,}64 + 1{,}6}{0{,}8 + 1{,}5} = \frac{2{,}24}{2{,}3} \approx 0{,}97 \). Für \( x=1{,}0 \): \( \frac{1{,}0 + 2{,}0}{1{,}0 + 1{,}5} = \frac{3{,}0}{2{,}5} = 1{,}20 \). Für \( x=1{,}2 \): \( \frac{1{,}44 + 2{,}4}{1{,}2 + 1{,}5} = \frac{3{,}84}{2{,}7} \approx 1{,}42 \).

<table> <tbody> <tr> <td>\( x \)</td> <td>\(0{,}2\)</td> <td>\(0{,}4\)</td> <td>\(0{,}6\)</td> <td>\(0{,}8\)</td> <td>\(1{,}0\)</td> <td>\(1{,}2\)</td> </tr> <tr> <td>\( x^2 \)</td> <td>\(0{,}04\)</td> <td>\(0{,}16\)</td> <td>\(0{,}36\)</td> <td>\(0{,}64\)</td> <td>\(1{,}00\)</td> <td>\(1{,}44\)</td> </tr> <tr> <td>\( 2x \)</td> <td>\(0{,}4\)</td> <td>\(0{,}8\)</td> <td>\(1{,}2\)</td> <td>\(1{,}6\)</td> <td>\(2{,}0\)</td> <td>\(2{,}4\)</td> </tr> <tr> <td>\( y \)</td> <td>\(0{,}26\)</td> <td>\(0{,}51\)</td> <td>\(0{,}74\)</td> <td>\(0{,}97\)</td> <td>\(1{,}20\)</td> <td>\(1{,}42\)</td> </tr> </tbody> </table>

- Achte besonders auf die Vorzeichenregeln beim Rechnen mit negativen Zahlen. - Welche Rechenregel bestimmt die Reihenfolge der Operationen? - Ersetze jeden Buchstaben durch die gegebene Zahl und schreibe den Term neu auf. - Vergiss nicht, Klammern zuerst auszuwerten.

1. Einsetzen von \(a = -7\) und \(b = 2\) in den ersten Term: \(4 \cdot (-7 + 3) - (2 - 5) \cdot (-3)\). Berechnung der Klammern: \(4 \cdot (-4) - (-3) \cdot (-3)\). Multiplikation: \(-16 - 9 = -25\). 2. Einsetzen von \(x = -4\) und \(y = 3\) in den zweiten Term: \([(-4 \cdot 3) + 8] : (-4 - 2)\). Berechnung innerhalb der eckigen Klammer: \([-12 + 8] = -4\). Berechnung des Divisors: \(-4 - 2 = -6\). Division: \(-4 : (-6) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\).

1) \(-25\) 2) \(\frac{2}{3}\)

- Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn du eine negative Zahl für eine Variable einsetzt, vor der bereits ein Minuszeichen steht? - Gibt es eine Regel für das Auflösen von Klammern, vor denen ein Minuszeichen steht? - Überlege dir, in welcher Reihenfolge die Rechenoperationen durchgeführt werden müssen.

1. Einsetzen der Werte für Belegung 1: \(A = 10 - (-4) + 2 = 14 + 2 = 16\). Für \(B\) ergibt sich durch die Klammerrechnung \(B = 10 - ((-4) + 2) = 10 - (-2) = 12\). Vergleich: \(16 \neq 12\). 2. Einsetzen der Werte für Belegung 2: \(A = -3{,}5 - 1{,}5 + (-5) = -5{,}0 - 5 = -10\). Für \(B\) ergibt sich \(B = -3{,}5 - (1{,}5 + (-5)) = -3{,}5 - (-3{,}5) = 0\). Vergleich: \(-10 \neq 0\).

1. \(A = 16\); \(B = 12\) 2. \(A = -10\); \(B = 0\)

- In welcher Reihenfolge löst man geschachtelte Klammern am besten auf? - Achte besonders auf das Vorzeichen vor den Klammern, wenn du diese entfernst. - Kannst du den Term erst vereinfachen, bevor du die Zahlen einsetzt? - Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn eine negative Zahl quadriert wird?

1. Auflösen der inneren runden Klammer: \(2a^2 - [3ab - a^2 - 2ab]\). 2. Zusammenfassen der Glieder innerhalb der eckigen Klammer: \(2a^2 - [ab - a^2]\). 3. Auflösen der eckigen Klammer durch Beachtung des Minuszeichens: \(2a^2 - ab + a^2\). 4. Zusammenfassen der gleichartigen Glieder: \(3a^2 - ab\). 5. Einsetzen der Werte \(a = 5\) und \(b = -2\): \(3 \cdot 5^2 - 5 \cdot (-2) = 3 \cdot 25 + 10 = 85\).

\(85\)

- Was bedeutet das Gleichheitszeichen zwischen den beiden Termen? - Setze die Zahlen nacheinander für die Buchstaben ein. - Achte beim Berechnen der rechten Seite besonders auf die Vorzeichen und die Rechenregeln (Punkt- vor Strichrechnung). - Vergleiche am Ende, ob bei beiden Seiten derselbe Zahlenwert herauskommt.

1. Berechnung für Fall 1 (\(x=6, y=5\)): Linke Seite \((6+4) \cdot (5-3) = 10 \cdot 2 = 20\). Rechte Seite \(6 \cdot 5 - 3 \cdot 6 + 4 \cdot 5 - 12 = 30 - 18 + 20 - 12 = 20\). Die Ergebnisse sind identisch. 2. Berechnung für Fall 2 (\(x=2, y=3\)): Linke Seite \((2+4) \cdot (3-3) = 6 \cdot 0 = 0\). Rechte Seite \(2 \cdot 3 - 3 \cdot 2 + 4 \cdot 3 - 12 = 6 - 6 + 12 - 12 = 0\). Die Ergebnisse sind identisch. 3. Berechnung für Fall 3 (\(x=0, y=10\)): Linke Seite \((0+4) \cdot (10-3) = 4 \cdot 7 = 28\). Rechte Seite \(0 \cdot 10 - 3 \cdot 0 + 4 \cdot 10 - 12 = 40 - 12 = 28\). Die Ergebnisse sind identisch.

Die Gleichung ist für alle drei Fälle gültig, da die Berechnungen der linken und rechten Seite jeweils denselben Wert ergeben (Fall 1: \(20\), Fall 2: \(0\), Fall 3: \(28\)).

- Ist es einfacher, die Zahl direkt einzusetzen oder den Term zuerst umzuformen? - Was musst du beachten, wenn ein Minuszeichen vor einer Klammer steht? - Wie multipliziert man zwei Klammern miteinander, in denen jeweils eine Summe oder Differenz steht? - Welche gleichartigen Terme entstehen nach dem Ausmultiplizieren, und wie lassen sie sich zusammenfassen?

1. Ausmultiplizieren der beiden Klammerprodukte: \((2x^2 + 8x - 3x - 12) - (2x^2 + x - 4x - 2)\) 2. Zusammenfassen der Terme innerhalb der Klammern: \((2x^2 + 5x - 12) - (2x^2 - 3x - 2)\) 3. Auflösen der verbleibenden Klammer unter Beachtung des Minuszeichens: \(2x^2 + 5x - 12 - 2x^2 + 3x + 2\) 4. Zusammenfassen der gleichartigen Glieder: \(8x - 10\) 5. Einsetzen von \(x = 0{,}75\): \(8 \cdot 0{,}75 - 10 = 6 - 10 = -4\)

Der vereinfachte Term lautet \(8x - 10\). Für \(x = 0{,}75\) ergibt sich der Wert \(-4\).

- Kannst du den Term zusammenfassen, bevor du die Zahl einsetzt? - Erinnerst du dich an ein Muster beim Multiplizieren von Klammern wie \((x-y) \cdot (x+y)\)? - Achte beim Einsetzen der Dezimalzahl besonders auf das Quadrat und die Vorzeichen.

1. Den ersten Teil des Terms mit der dritten binomischen Formel oder durch Ausmultiplizieren vereinfachen: \((a-5) \cdot (a+5) = a^2 - 25\). 2. Den zweiten Teil des Terms ebenso vereinfachen: \((a-1) \cdot (a+1) = a^2 - 1\). 3. Die Teilergebnisse addieren: \(T(a) = (a^2 - 25) + (a^2 - 1) = 2a^2 - 26\). 4. Den Wert \(a = 0{,}4\) in den vereinfachten Term einsetzen: \(2 \cdot (0{,}4)^2 - 26\). 5. Das Quadrat berechnen: \(0{,}4^2 = 0{,}16\). 6. Die Multiplikation durchführen: \(2 \cdot 0{,}16 = 0{,}32\). 7. Die Subtraktion durchführen: \(0{,}32 - 26 = -25{,}68\).

\(-25{,}68\)

- Welche Zahlen aus dem Text gehören zu welchen Variablen im Term? - Berechne zuerst den Wert oberhalb und unterhalb des Bruchstrichs getrennt. - Was gibt der Zähler des Bruchs in diesem Sachkontext an?

1. Einsetzen der gegebenen Werte in den Term: \(V_1 = 3\), \(p_1 = 100\), \(V_2 = 2\), \(p_2 = 40\). 2. Berechnung des Zählers (Gesamtmenge Frucht): \(3 \cdot 100 + 2 \cdot 40 = 300 + 80 = 380\). 3. Berechnung des Nenners (Gesamtvolumen): \(3 + 2 = 5\). 4. Division zur Bestimmung des Mischungsgehalts: \(G = \frac{380}{5} = 76\). Der Fruchtgehalt der Mischung beträgt \(76\,\%\).

Der Fruchtgehalt der Mischung beträgt \(76\,\%\).

- Überlege dir zuerst, welchen Wert du für den Platzhalter in der Formel einsetzen musst. - Achte auf die Rangfolge der Rechenarten: Punkt vor Strich. - Was bedeutet das Ergebnis im Sachzusammenhang?

1. Einsetzen von \(s = 80\) in den Term: \(42 + 0{,}15 \cdot 80 = 42 + 12 = 54\). Die Kosten betragen \(54\,\text{€}\). 2. Einsetzen von \(s = 240\) in den Term: \(42 + 0{,}15 \cdot 240 = 42 + 36 = 78\). Die Kosten betragen \(78\,\text{€}\).

1) \(54\,\text{€}\) 2) \(78\,\text{€}\)

- Macht es einen Unterschied, ob das Minuszeichen mit in der Klammer steht oder davor? - Überlege, welches Vorzeichen das Ergebnis hat, wenn der Exponent gerade oder ungerade ist. - Was bedeutet der Exponent \(2n\) für die Parität (gerade/ungerade) der Zahl? - Gehe schrittweise vor: Berechne zuerst die einzelnen Potenzwerte und verrechne sie dann.

1. Berechnung von \((-4)^2 = (-4) \cdot (-4) = 16\) und \(-4^2 = -(4 \cdot 4) = -16\). 2. Da \(101\) ungerade ist, gilt \((-1)^{101} = -1\). Da \(202\) gerade ist, gilt \((-1)^{202} = 1\). 3. Berechnung der Potenzen: \((-2)^5 = -32\) und \((-3)^3 = -27\). Addition der Ergebnisse: \(-32 + (-27) = -59\). 4. Da \(2n\) für jede natürliche Zahl \(n\) eine gerade Zahl ist, gilt \((-1)^{2n} = 1\). Das Vorzeichen davor ergibt \(-(1) = -1\).

1) \(16\) und \(-16\) 2) \(-1\) und \(1\) 3) \(-59\) 4) \(-1\)

- Ersetze jeden Buchstaben im Term durch die Zahl, die für ihn vorgegeben ist. - Denk an die Regel „Potenz vor Punkt vor Strich“. - Berechne zuerst die Ausdrücke innerhalb der Klammern. - Schreibe dir die Zwischenergebnisse der einzelnen Rechenschritte auf.

1. Einsetzen von \( x = 5 \) in den ersten Term: \( 4 \cdot 5^2 - 3 \cdot 5 + 12 \). Berechnung der Potenz: \( 4 \cdot 25 - 15 + 12 \). Nach der Punkt-vor-Strich-Regel: \( 100 - 15 + 12 = 97 \). 2. Einsetzen von \( a = 3 \) in den zweiten Term: \( 2 \cdot 3^3 + 5 \cdot 3 - 8 \). Berechnung der Potenz: \( 2 \cdot 27 + 15 - 8 \). Punktrechnung: \( 54 + 15 - 8 \). Endergebnis: \( 61 \). 3. Einsetzen von \( y = 6 \) in den dritten Term: \( (6 + 4) \cdot (2 \cdot 6 - 1) \). Berechnung der Klammern: \( 10 \cdot (12 - 1) = 10 \cdot 11 \). Endergebnis: \( 110 \).

a) \( 97 \) b) \( 61 \) c) \( 110 \)

- Was bedeutet die Zahl ohne Variable in den Termen für die Kosten, wenn man gar nicht telefoniert? - Setze die Werte für \(m\) nacheinander in beide Formeln ein. - Vergleiche die Ergebnisse in jeder Spalte der Tabelle. Welcher Wert ist kleiner?

1. Berechnung der Werte für Tarif A durch Einsetzen von \(m\): - \(m = 0 \implies 10 + 0{,}05 \cdot 0 = 10{,}00\,\text{€}\) - \(m = 50 \implies 10 + 0{,}05 \cdot 50 = 12{,}50\,\text{€}\) - \(m = 100 \implies 10 + 0{,}05 \cdot 100 = 15{,}00\,\text{€}\) - \(m = 150 \implies 10 + 0{,}05 \cdot 150 = 17{,}50\,\text{€}\) 2. Berechnung der Werte für Tarif B durch Einsetzen von \(m\): - \(m = 0 \implies 5 + 0{,}10 \cdot 0 = 5{,}00\,\text{€}\) - \(m = 50 \implies 5 + 0{,}10 \cdot 50 = 10{,}00\,\text{€}\) - \(m = 100 \implies 5 + 0{,}10 \cdot 100 = 15{,}00\,\text{€}\) - \(m = 150 \implies 5 + 0{,}10 \cdot 150 = 20{,}00\,\text{€}\) 3. Vergleich der Tarife: - Bei \(100\) Minuten kosten beide Tarife gleich viel (\(15{,}00\,\text{€}\)). - Bei \(150\) Minuten ist Tarif A (\(17{,}50\,\text{€}\)) günstiger als Tarif B (\(20{,}00\,\text{€}\)).

a) Tabelle: Tarif A: \(10{,}00\); \(12{,}50\); \(15{,}00\); \(17{,}50\) Tarif B: \(5{,}00\); \(10{,}00\); \(15{,}00\); \(20{,}00\) b) Tarif A ist ab \(150\) Minuten günstiger, da \(17{,}50\,\text{€} < 20{,}00\,\text{€}\). (Bei \(100\) Minuten sind sie gleich teuer.)

- Was musst du für die Buchstaben einsetzen, wenn eine Sorte gar nicht gekauft wird? - Setze die gegebenen Werte vorsichtig in den Term ein. - Rechne zuerst die Multiplikationen aus, bevor du addierst.

1. Für \(a = 2\) und \(b = 1\): \(P(2, 1) = 2{,}40 \cdot 2 + 3{,}10 \cdot 1 = 4{,}80 + 3{,}10 = 7{,}90\). Ergebnis: \(7{,}90\,\text{€}\). 2. Für \(a = 1{,}5\) und \(b = 0\): \(P(1{,}5, 0) = 2{,}40 \cdot 1{,}5 + 3{,}10 \cdot 0 = 3{,}60 + 0 = 3{,}60\). Ergebnis: \(3{,}60\,\text{€}\). 3. Für \(a = 0{,}5\) und \(b = 2{,}5\): \(P(0{,}5, 2{,}5) = 2{,}40 \cdot 0{,}5 + 3{,}10 \cdot 2{,}5 = 1{,}20 + 7{,}75 = 8{,}95\). Ergebnis: \(8{,}95\,\text{€}\).

a) \(7{,}90\,\text{€}\) b) \(3{,}60\,\text{€}\) c) \(8{,}95\,\text{€}\)

- Ersetze die Variable \(x\) durch den gegebenen Wert und beachte dabei die Klammern. - Achte besonders auf das Vorzeichen beim Multiplizieren von \( -6 \) mit einer negativen Zahl. - Berechne zuerst den Inhalt der Klammer, bevor du multiplizierst.

1. Einsetzen von \(x = -0{,}75\) in \(T_1(x)\): \(4 \cdot (-0{,}75 + 1{,}5) = 4 \cdot 0{,}75 = 3\) 2. Einsetzen von \(x = -0{,}75\) in \(T_2(x)\): \(2 - 6 \cdot (-0{,}75) = 2 + 4{,}5 = 6{,}5\) 3. Vergleich der berechneten Termwerte: \(6{,}5 > 3\)

Der Term \(T_2\) liefert für \(x = -0{,}75\) den größeren Wert (\(6{,}5\)).

- Setze den jeweiligen Wert für \(x\) in den Term ein. - Achte auf die Reihenfolge der Rechenschritte. - Kürze Brüche während der Rechnung, um mit kleineren Zahlen zu arbeiten. - Was passiert, wenn man zwei gleiche Zahlen voneinander subtrahiert?

1. Für \( x = 3 \): \( \frac{2}{3} \cdot 3 - \frac{1}{2} = 2 - \frac{1}{2} = \frac{4}{2} - \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \). 2. Für \( x = \frac{3}{4} \): \( \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} - \frac{1}{2} = \frac{2}{4} - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0 \). 3. Für \( x = 6 \): \( \frac{2}{3} \cdot 6 - \frac{1}{2} = 2 \cdot 2 - \frac{1}{2} = 4 - \frac{1}{2} = \frac{7}{2} \). 4. Für \( x = \frac{1}{4} \): \( \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{4} - \frac{1}{2} = \frac{2}{12} - \frac{1}{2} = \frac{1}{6} - \frac{3}{6} = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3} \).

a) \( \frac{3}{2} \) (oder \( 1{,}5 \)) b) \( 0 \) c) \( \frac{7}{2} \) (oder \( 3{,}5 \)) d) \( -\frac{1}{3} \)

- Ersetze den Buchstaben im Term durch die angegebene Zahl und berechne dann das Ergebnis. - Achte beim Einsetzen besonders auf die Vorzeichen, wenn die Zahl selbst negativ ist. - Welche Zahl liegt auf dem Zahlenstrahl weiter rechts?

1. Einsetzen von \( x = 2{,}1 \) in Term \( A \): \( 2{,}1 - 5{,}4 = -3{,}3 \). 2. Einsetzen von \( y = -1{,}8 \) in Term \( B \): \( -3{,}2 - (-1{,}8) \). 3. Vereinfachung und Berechnung von Term \( B \): \( -3{,}2 + 1{,}8 = -1{,}4 \). 4. Vergleich der Ergebnisse: Da \( -1{,}4 > -3{,}3 \), ist der Wert von Term \( B \) größer.

Der Wert von Term \( A \) ist \( -3{,}3 \). Der Wert von Term \( B \) ist \( -1{,}4 \). Somit ist der Wert von Term \( B \) größer.

- Überlege dir die Vorzeichenregeln für Multiplikation und Division. - Wenn du zwei Schuldenbeträge addierst, ist das Ergebnis dann positiv oder negativ? - Was passiert mit dem Rechenzeichen, wenn man eine negative Zahl subtrahiert?

1. Das Produkt zweier negativer Zahlen ist positiv: \((-5) \cdot (-2) = 10\). 2. Die Summe zweier negativer Zahlen ist negativ: \(-5 + (-2) = -7\). 3. Da \(x\) kleiner ist als \(y\), ergibt die Differenz \(y - x\) einen positiven Wert: \(-2 - (-5) = -2 + 5 = 3\). 4. Der Quotient zweier negativer Zahlen ist positiv: \(\frac{-5}{-2} = 2{,}5\).

a) positiv; Wert: \(10\) b) negativ; Wert: \(-7\) c) positiv; Wert: \(3\) d) positiv; Wert: \(2{,}5\)

- Ersetze jeden Buchstaben im Term durch die zugehörige Zahl. - Gibt es einen Unterschied, ob du erst addierst oder erst multiplizierst? - Schau dir die Klammern in c genau an – was berechnest du zuerst?

1. Einsetzen der Variablenwerte \(x = 6\) und \(y = 2\) in die Ausdrücke. 2. Term a): \(6 \cdot 2 + 6 = 12 + 6 = 18\). 3. Term b): \(6 : 2 + 5 \cdot 2 = 3 + 10 = 13\). 4. Term c): \((6 - 2) \cdot (6 + 2) = 4 \cdot 8 = 32\).

a) Der Wert ist 18. b) Der Wert ist 13. c) Der Wert ist 32.

- Hier gibt es zwei Variablen. Setze für jeden Buchstaben die jeweils angegebene Zahl ein. - Achte besonders auf das Minuszeichen vor dem zweiten Teil des Terms und das Vorzeichen der Zahl, die du einsetzt. - Klammern um negative Zahlen beim Einsetzen helfen dir, Rechenfehler zu vermeiden.

1. Schritt a: Setze \(x = 5\) und \(y = 2\) ein: \(2 \cdot 5 - 3 \cdot 2 = 10 - 6 = 4\) 2. Schritt b: Setze \(x = 3\) und \(y = -1\) ein: \(2 \cdot 3 - 3 \cdot (-1) = 6 - (-3) = 6 + 3 = 9\) 3. Schritt c: Setze \(x = -2\) und \(y = -4\) ein: \(2 \cdot (-2) - 3 \cdot (-4) = -4 - (-12) = -4 + 12 = 8\)

a) Der Termwert ist \(4\). b) Der Termwert ist \(9\). c) Der Termwert ist \(8\).

- Ersetze die Buchstaben im Term durch die gegebenen Zahlen. - Denk daran, dass zwischen einer Zahl und einer Variablen ein unsichtbares Malzeichen steht. - Welche Rechenoperation führst du bei einem Term wie \(3 \cdot x^2\) zuerst aus?

1. Für \(x = 4\) und \(y = 5\): \(3 \cdot 4^2 + 2 \cdot 5 = 3 \cdot 16 + 10 = 48 + 10 = 58\). 2. Für \(x = 2\) und \(y = 12\): \(3 \cdot 2^2 + 2 \cdot 12 = 3 \cdot 4 + 24 = 12 + 24 = 36\). 3. Für \(x = 0{,}5\) und \(y = 2\): \(3 \cdot 0{,}5^2 + 2 \cdot 2 = 3 \cdot 0{,}25 + 4 = 0{,}75 + 4 = 4{,}75\).

a) \(58\) b) \(36\) c) \(4{,}75\)

- Überlege zuerst, welche Zahl im Kästchen stehen muss, damit die erste Rechnung stimmt. - Was musst du zu \(12\) addieren, um auf \(20\) zu kommen? - Wenn du die fehlende Zahl gefunden hast, kannst du sie für den zweiten Teil der Aufgabe verwenden. - Ersetze im zweiten Schritt das \(x\) durch die neue Zahl.

1. Bestimmung des Platzhalters: Setze \(x = 6\) in den Term ein: \(2 \cdot 6 + \square = 20\). 2. Berechnung des Platzhalters: \(12 + \square = 20\), daraus folgt \(\square = 8\). 3. Anwendung des vollständigen Terms: Der Term lautet nun \(2 \cdot x + 8\). 4. Einsetzen von \(x = 10\): \(2 \cdot 10 + 8 = 20 + 8 = 28\).

Das Ergebnis ist \(28\).

- Berechne erst das Ergebnis für den ersten Term und notiere es dir. - Berechne dann das Ergebnis für den zweiten Term. - Was genau ist mit dem Begriff „Differenz“ gemeint? - Subtrahiere am Ende den kleineren Wert vom größeren Wert.

1. Berechnung von \(T_1\) für \(x = 2\): \(12 - 2 \cdot 2 = 12 - 4 = 8\). 2. Berechnung von \(T_2\) für \(x = 2\): \(\frac{2 + 10}{3} = \frac{12}{3} = 4\). 3. Berechnung der Differenz: \(8 - 4 = 4\).

Die Differenz der beiden Ergebnisse ist \(4\).

- Setze den angegebenen Wert für \(x\) in den Term ein. - Achte besonders auf das Vorzeichen, wenn du eine negative Zahl für \(x\) einsetzt. - Du kannst die Brüche in Dezimalzahlen umwandeln oder umgekehrt, um die Rechnung zu vereinfachen.

1. Für \(x = 3\): Einsetzen ergibt \(T(3) = -4 \cdot 3 + 0{,}5 = -12 + 0{,}5 = -11{,}5\). 2. Für \(x = -1{,}5\): Einsetzen ergibt \(T(-1{,}5) = -4 \cdot (-1{,}5) + 0{,}5\). Die Multiplikation zweier negativer Zahlen ergibt ein positives Resultat: \(6 + 0{,}5 = 6{,}5\). 3. Für \(x = \frac{3}{8}\): Einsetzen ergibt \(T\left(\frac{3}{8}\right) = -4 \cdot \frac{3}{8} + \frac{1}{2}\). Multiplikation: \(-\frac{12}{8} = -\frac{3}{2} = -1{,}5\). Addition: \(-1{,}5 + 0{,}5 = -1\).

a) \(-11{,}5\) b) \(6{,}5\) c) \(-1\)

- Denk daran, dass eine negative Zahl im Quadrat ein positives Ergebnis liefert. - Vergleiche am Ende die Zahlenpaare in jeder Zeile deiner Tabelle. - Welche Zahl liegt auf dem Zahlenstrahl weiter rechts? Das ist die größere Zahl.

1. Berechnung für \(y = -4\): \(T_1 = 0{,}5 \cdot (-4) - 3 = -5\); \(T_2 = (-4)^2 - 4 = 16 - 4 = 12\). 2. Berechnung für \(y = -2\): \(T_1 = 0{,}5 \cdot (-2) - 3 = -4\); \(T_2 = (-2)^2 - 4 = 4 - 4 = 0\). 3. Berechnung für \(y = 0\): \(T_1 = 0{,}5 \cdot 0 - 3 = -3\); \(T_2 = 0^2 - 4 = -4\). 4. Berechnung für \(y = 2\): \(T_1 = 0{,}5 \cdot 2 - 3 = -2\); \(T_2 = 2^2 - 4 = 0\). 5. Berechnung für \(y = 4\): \(T_1 = 0{,}5 \cdot 4 - 3 = -1\); \(T_2 = 4^2 - 4 = 12\). 6. Vergleich der Werte: Nur bei \(y = 0\) ist \(-3 > -4\). In allen anderen Fällen ist \(T_1(y) < T_2(y)\).

Die Termwerte lauten: <table> <tr><th>\(y\)</th><th>\(T_1(y)\)</th><th>\(T_2(y)\)</th></tr> <tr><td>\(-4\)</td><td>\(-5\)</td><td>\(12\)</td></tr> <tr><td>\(-2\)</td><td>\(-4\)</td><td>\(0\)</td></tr> <tr><td>\(0\)</td><td>\(-3\)</td><td>\(-4\)</td></tr> <tr><td>\(2\)</td><td>\(-2\)</td><td>\(0\)</td></tr> <tr><td>\(4\)</td><td>\(-1\)</td><td>\(12\)</td></tr> </table> Nur für \(y = 0\) ist der Wert von \(T_1(y)\) mit \(-3\) größer als der Wert von \(T_2(y)\) mit \(-4\).

- Achte beim ersten Term besonders auf das Minuszeichen vor der Klammer. - Überlege dir, wie man eine Klammer auflöst, wenn ein Minus davor steht. - Rechne sorgfältig mit den Dezimalzahlen.

1. Berechnung für \(z = -3\): \(T_A = 3 \cdot (-3) - (-3 + 4) = -9 - 1 = -10\); \(T_B = 2 \cdot (-3 - 2) = 2 \cdot (-5) = -10\). 2. Berechnung für \(z = -1{,}5\): \(T_A = 3 \cdot (-1{,}5) - (-1{,}5 + 4) = -4{,}5 - 2{,}5 = -7\); \(T_B = 2 \cdot (-1{,}5 - 2) = 2 \cdot (-3{,}5) = -7\). 3. Berechnung für \(z = 0\): \(T_A = 0 - (0 + 4) = -4\); \(T_B = 2 \cdot (0 - 2) = -4\). 4. Berechnung für \(z = 1{,}5\): \(T_A = 3 \cdot 1{,}5 - (1{,}5 + 4) = 4{,}5 - 5{,}5 = -1\); \(T_B = 2 \cdot (1{,}5 - 2) = 2 \cdot (-0{,}5) = -1\). 5. Berechnung für \(z = 3\): \(T_A = 3 \cdot 3 - (3 + 4) = 9 - 7 = 2\); \(T_B = 2 \cdot (3 - 2) = 2 \cdot 1 = 2\). 6. Ergebnis: Für alle fünf untersuchten Werte liefern beide Terme identische Ergebnisse.

Ja, die Terme liefern für diese Werte die gleichen Ergebnisse: <table> <tr><th>\(z\)</th><th>\(T_A(z)\)</th><th>\(T_B(z)\)</th></tr> <tr><td>\(-3\)</td><td>\(-10\)</td><td>\(-10\)</td></tr> <tr><td>\(-1{,}5\)</td><td>\(-7\)</td><td>\(-7\)</td></tr> <tr><td>\(0\)</td><td>\(-4\)</td><td>\(-4\)</td></tr> <tr><td>\(1{,}5\)</td><td>\(-1\)</td><td>\(-1\)</td></tr> <tr><td>\(3\)</td><td>\(2\)</td><td>\(2\)</td></tr> </table>

- Überlege zuerst, welche Kosten nur einmal anfallen und welche sich jeden Monat wiederholen. - Wie viele Monate hat ein Jahr? Nutze diese Zahl für \(x\). - Stelle sicher, dass du am Ende die richtige Währungseinheit angibst.

1. Aufstellen des allgemeinen Terms für die Gesamtkosten \(G\): \(G = m \cdot x + s\). 2. Einsetzen der Werte für ein Jahr (\(x = 12\)): \(19{,}90\,\text{€} \cdot 12 + 35{,}00\,\text{€}\). 3. Berechnung der monatlichen Kosten über das Jahr: \(19{,}90\,\text{€} \cdot 12 = 238{,}80\,\text{€}\). 4. Addition der einmaligen Anmeldegebühr zum Jahresbetrag: \(238{,}80\,\text{€} + 35{,}00\,\text{€} = 273{,}80\,\text{€}\).

a) Der Term lautet \(m \cdot x + s\) (oder \(m x + s\)). b) Die Gesamtkosten nach einem Jahr betragen \(273{,}80\,\text{€}\).

- Berechne zuerst jeden Term einzeln für den angegebenen Wert. - Erinnere dich an die Regel „Potenz vor Punkt vor Strich“. - Um den Unterschied zu finden, kannst du das kleinere vom größeren Ergebnis subtrahieren.

1. Berechnung für \(y = 3\): \(T_1 = 5 \cdot 3 - 15 = 0\); \(T_2 = 3^2 - 3 \cdot 3 = 9 - 9 = 0\). 2. Berechnung für \(y = 6\): \(T_1 = 5 \cdot 6 - 15 = 15\); \(T_2 = 6^2 - 3 \cdot 6 = 36 - 18 = 18\). 3. Vergleich für \(y = 6\): \(T_2\) ist größer als \(T_1\). Die Differenz beträgt \(18 - 15 = 3\).

a) \(T_1 = 0\) und \(T_2 = 0\) b) \(T_1 = 15\) und \(T_2 = 18\) c) \(T_2\) ist um \(3\) größer als \(T_1\).

- Was passiert mit dem Rechenzeichen, wenn du eine negative Zahl für eine Variable einsetzt? - Erinnere dich an die Regel „Punkt- vor Strichrechnung“. - Klammere negative Zahlen beim Einsetzen am besten ein, um Rechenfehler zu vermeiden.

1. Einsetzen der Werte \(a = 8\) und \(b = 12\): \(T = 5 \cdot 8 - 2 \cdot 12\). Multiplikationen: \(40 - 24\). Subtraktion: \(16\). 2. Einsetzen der Werte \(a = -4\) und \(b = 5\): \(T = 5 \cdot (-4) - 2 \cdot 5\). Multiplikationen: \(-20 - 10\). Subtraktion: \(-30\). 3. Einsetzen der Werte \(a = 2{,}5\) und \(b = -3\): \(T = 5 \cdot 2{,}5 - 2 \cdot (-3)\). Multiplikationen: \(12{,}5 - (-6)\). Umwandeln der Subtraktion einer negativen Zahl in eine Addition: \(12{,}5 + 6 = 18{,}5\).

1) \(16\) 2) \(-30\) 3) \(18{,}5\)

- Wie viele Parkplätze befinden sich insgesamt auf einer einzigen Etage? - Achte bei der Formel darauf, dass die Addition der Parkplätze vor der Multiplikation mit den Etagen erfolgen muss. Welche Klammern helfen dabei? - Wenn Plätze wegfallen, welche Rechenoperation ändert sich innerhalb der Klammer?

1. Formel für die Gesamtzahl \(Z\): Die Plätze pro Etage sind \((p + q)\). Multipliziert mit der Anzahl der Etagen ergibt sich \(Z = e \cdot (p + q)\). 2. Berechnung für \(e=5, p=42, q=58\): \(5 \cdot (42 + 58) = 5 \cdot 100 = 500\). 3. Anpassung der Formel für \(Z_{\text{neu}}\): In jeder Etage werden im Bereich B 4 Plätze abgezogen, also \((q - 4)\). Die neue Formel lautet \(Z_{\text{neu}} = e \cdot (p + q - 4)\). 4. Berechnung des neuen Wertes: \(5 \cdot (42 + 58 - 4) = 5 \cdot 96 = 480\).

a) \(Z = e \cdot (p + q)\) b) \(Z = 500\) c) \(Z_{\text{neu}} = e \cdot (p + q - 4)\); der neue Wert ist \(480\).

- Überlege dir für Aufgabenteil c), was mit einem Bruch passiert, wenn man den Nenner kleiner macht. - Kannst du die Formel so umstellen, dass die gesuchte Größe allein auf einer Seite steht? - Was passiert mit dem Ergebnis einer Division, wenn der Teiler (Divisor) halbiert wird?

1. Einsetzen von \(F = 540\) und \(A = 1{,}2\) in \(p = \frac{F}{A}\) ergibt \(p = \frac{540}{1{,}2} = 450\). Der Druck beträgt \(450\,\text{N/m}^2\). 2. Umstellen der Formel nach \(F\): \(F = p \cdot A\). Einsetzen von \(p = 2\,400\) und \(A = 0{,}15\) ergibt \(F = 2\,400 \cdot 0{,}15 = 360\). Die Kraft beträgt \(360\,\text{N}\). 3. Analyse der Formel \(p = \frac{F}{A}\): Da die Fläche \(A\) im Nenner steht, ist der Druck umgekehrt proportional zur Fläche. Wird der Nenner halbiert, verdoppelt sich der Wert des Bruchs. Der Druck \(p\) verdoppelt sich also.

a) Der Druck beträgt \(450\,\text{N/m}^2\). b) Die Kraft beträgt \(360\,\text{N}\). c) Der Druck verdoppelt sich, da die Fläche im Nenner der Formel steht (antiproportionales Verhältnis).

- Achte genau auf die Vorzeichenregeln, besonders wenn du eine negative Zahl subtrahierst. - Denk an die Regel „Potenz vor Punkt vor Strich“. - Bei Brüchen im Bruchstrich hilft es oft, den Zähler und den Nenner zuerst einzeln auszurechnen. - Kannst du Dezimalzahlen in Brüche umwandeln, um die Rechnung zu vereinfachen?

1. Einsetzen der Werte \(a = 0{,}5\) und \(b = 1{,}5\) in den ersten Term: \(2 \cdot 0{,}5^2 - 3 \cdot (0{,}5 - 1{,}5)\). Berechnung der Potenz: \(0{,}5^2 = 0{,}25\). Berechnung der Klammer: \(0{,}5 - 1{,}5 = -1\). Multiplikation: \(2 \cdot 0{,}25 = 0{,}5\) und \(-3 \cdot (-1) = 3\). Addition: \(0{,}5 + 3 = 3{,}5\). 2. Einsetzen der Werte \(x = \frac{1}{2}\) und \(y = \frac{1}{4}\) in den zweiten Term: \(\frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{4}}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4}}\). Berechnung des Zählers: \(\frac{2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}\). Berechnung des Nenners: \(\frac{1}{8}\). Division durch Multiplikation mit dem Kehrwert: \(\frac{3}{4} \cdot 8 = 6\).

1) \(3{,}5\) 2) \(6\)

- Überlege dir zuerst, in welcher Reihenfolge du die Rechenoperationen ausführen musst. - Was passiert mit dem Wert eines Terms, wenn eine Zahl in der Klammer kleiner als Null wird? - Beim Teilen durch eine Dezimalzahl kann es helfen, das Komma bei beiden Zahlen so weit nach rechts zu verschieben, bis du durch eine ganze Zahl teilst. - Schreibe dir die Zwischenschritte einzeln auf, um Rechenfehler zu vermeiden.

1. Einsetzen von \(s = 4\) und \(t = 0{,}5\): \(4 \cdot (0{,}5^2 - 0{,}5) + \frac{2}{4}\). Potenz berechnen: \(0{,}5^2 = 0{,}25\). Klammerinhalt: \(0{,}25 - 0{,}5 = -0{,}25\). Multiplikation: \(4 \cdot (-0{,}25) = -1\). Bruch berechnen: \(\frac{2}{4} = 0{,}5\). Gesamtergebnis: \(-1 + 0{,}5 = -0{,}5\). 2. Einsetzen von \(x = 1{,}5\) und \(y = 0{,}04\): \(\frac{12}{1{,}5} - \frac{0{,}04}{0{,}2}\). Ersten Bruch berechnen: \(12 : 1{,}5 = 8\). Zweiten Bruch berechnen: \(0{,}04 : 0{,}2 = 0{,}2\). Subtraktion: \(8 - 0{,}2 = 7{,}8\).

1) \(-0{,}5\) 2) \(7{,}8\)

- Ersetze den Platzhalter \(x\) in beiden Termen durch die jeweilige Zahl. - Achte bei \(x^2\) darauf, zuerst das Quadrat zu berechnen, bevor du subtrahierst. - Vergleiche am Ende die beiden Zahlenwerte für jede eingesetzte Zahl einzeln.

1. Berechnung der Termwerte für \(x = 1\): \(A(1) = 12 \cdot 1 - 1^2 = 12 - 1 = 11\) \(B(1) = 3 \cdot 1 + 8 = 3 + 8 = 11\) Ergebnis: \(A(1) = B(1)\). 2. Berechnung der Termwerte für \(x = 4\): \(A(4) = 12 \cdot 4 - 4^2 = 48 - 16 = 32\) \(B(4) = 3 \cdot 4 + 8 = 12 + 8 = 20\) Ergebnis: \(A(4) > B(4)\). 3. Berechnung der Termwerte für \(x = 10\): \(A(10) = 12 \cdot 10 - 10^2 = 120 - 100 = 20\) \(B(10) = 3 \cdot 10 + 8 = 30 + 8 = 38\) Ergebnis: \(A(10) < B(10)\). 4. Vergleich: Nur für den Wert \(x = 4\) ist der Termwert von \(A(x)\) größer als der von \(B(x)\).

Für \(x=1\) gilt \(A(1)=11\) und \(B(1)=11\). Für \(x=4\) gilt \(A(4)=32\) und \(B(4)=20\). Für \(x=10\) gilt \(A(10)=20\) und \(B(10)=38\). Der Wert von \(A(x)\) ist nur bei \(x = 4\) größer als der von \(B(x)\).

- Bei Brüchen berechnest du am besten zuerst den Zähler und den Nenner getrennt. - Denke bei Potenzen daran: \(n^3\) bedeutet \(n \cdot n \cdot n\). - Beachte die Regel „Potenzen vor Punkt vor Strich“.

1. Berechnung für \(T(y)\) bei \(y = 4\): Zähler: \(4^2 + 1 = 16 + 1 = 17\); Nenner: \(4 + 2 = 6\). Ergebnis: \(T(4) = \frac{17}{6} = 2\frac{5}{6}\). 2. Berechnung für \(T(y)\) bei \(y = \frac{1}{2} = 0{,}5\): Zähler: \(0{,}5^2 + 1 = 0{,}25 + 1 = 1{,}25\); Nenner: \(0{,}5 + 2 = 2{,}5\). Ergebnis: \(T(0{,}5) = \frac{1{,}25}{2{,}5} = 0{,}5\) (oder \(\frac{1}{2}\)). 3. Berechnung für \(S(n)\) bei \(n = 3\): \(S(3) = 3^3 - 2 \cdot 3^2 + 5 = 27 - 2 \cdot 9 + 5 = 27 - 18 + 5 = 14\). 4. Berechnung für \(S(n)\) bei \(n = 10\): \(S(10) = 10^3 - 2 \cdot 10^2 + 5 = 1000 - 2 \cdot 100 + 5 = 1000 - 200 + 5 = 805\).

a) \(T(4) = 2\frac{5}{6}\) (oder \(\approx 2{,}83\)); \(T(\frac{1}{2}) = 0{,}5\). b) \(S(3) = 14\); \(S(10) = 805\).

- Erstelle am besten eine Tabelle mit drei Zeilen: eine für \( x \), eine für den Wert von \( A(x) \) und eine für den Wert von \( B(x) \). - Denk daran, dass bei \( x^2 \) die Zahl zuerst mit sich selbst multipliziert wird, bevor du sie mit \( 0{,}5 \) multiplizierst. - Vergleiche nach der Rechnung Zeile für Zeile, in welcher Spalte die größere Zahl steht.

1. Berechnung der Werte für \( A(x) = 2x + 1 \): \( x=1 \Rightarrow 2 \cdot (1)+1 = 3 \); \( x=2 \Rightarrow 2 \cdot (2)+1 = 5 \); \( x=3 \Rightarrow 2 \cdot (3)+1 = 7 \); \( x=4 \Rightarrow 2 \cdot (4)+1 = 9 \); \( x=5 \Rightarrow 2 \cdot (5)+1 = 11 \). 2. Berechnung der Werte für \( B(x) = 0{,}5x^2 + 2 \): \( x=1 \Rightarrow 0{,}5 \cdot (1)^2+2 = 2{,}5 \); \( x=2 \Rightarrow 0{,}5 \cdot (2)^2+2 = 4 \); \( x=3 \Rightarrow 0{,}5 \cdot (3)^2+2 = 6{,}5 \); \( x=4 \Rightarrow 0{,}5 \cdot (4)^2+2 = 10 \); \( x=5 \Rightarrow 0{,}5 \cdot (5)^2+2 = 14{,}5 \). 3. Vergleich der Termwerte: Bei \( x=1, 2, 3 \) ist \( A(x) > B(x) \). Bei \( x=4 \) ist \( 10 > 9 \), also \( B(x) > A(x) \). Bei \( x=5 \) ist \( 14{,}5 > 11 \), also \( B(x) > A(x) \).

a) Tabelle der Termwerte: <table> <tr><td>\( x \)</td><td>1</td><td>2</td><td>3</td><td>4</td><td>5</td></tr> <tr><td>\( A(x) \)</td><td>3</td><td>5</td><td>7</td><td>9</td><td>11</td></tr> <tr><td>\( B(x) \)</td><td>\(2{,}5\)</td><td>4</td><td>\(6{,}5\)</td><td>10</td><td>\(14{,}5\)</td></tr> </table> b) Der Wert von Term \( B(x) \) ist für \( x = 4 \) und \( x = 5 \) größer als der von Term \( A(x) \).

- Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn zwei negative Zahlen multipliziert werden? - Achte auf den Unterschied zwischen dem Rechenzeichen (Minus) und dem Vorzeichen einer Zahl. - Arbeite dich bei verschachtelten Klammern von innen nach außen vor. - Kannst du den Term in Teilschritte zerlegen?

1. Substitution von \(m = -8\) und \(n = -4\): \(-8 - [(-8 - (-4)) : (-2)] \cdot (-6)\). Innere Klammer auflösen: \(-8 - [-4 : (-2)] \cdot (-6)\). Division in der eckigen Klammer: \(-8 - [2] \cdot (-6)\). Multiplikation: \(-8 - (-12)\). Addition: \(-8 + 12 = 4\). 2. Substitution von \(p = -5\) und \(q = 4\): \((-5 - 2) \cdot [-5 - (-4) \cdot (-4)] + (-5 + 4) \cdot (-3)\). Berechnung der runden Klammern und des Produkts in der eckigen Klammer: \((-7) \cdot [-5 - 16] + (-1) \cdot (-3)\). Auswerten der eckigen Klammer: \((-7) \cdot (-21) + 3\). Multiplikation: \(147 + 3 = 150\).

1) \(4\) 2) \(150\)

- Wie gehst du vor, wenn du Brüche mit unterschiedlichen Nennern subtrahieren möchtest? - Achte besonders auf das Vorzeichen von \(x\) im Term \(T = -x - \dots\), wenn \(x\) selbst negativ ist. - Wandle gemischte Zahlen und Dezimalzahlen am besten in Brüche um, um besser rechnen zu können.

1. Berechnung für Teilaufgabe a): Einsetzen der Werte führt zu \(T = -\frac{2}{3} - \left(-\frac{1}{6} - \frac{1}{2}\right)\). Berechnung der Klammer mit dem Hauptnenner \(6\) ergibt \(-\frac{1}{6} - \frac{3}{6} = -\frac{4}{6} = -\frac{2}{3}\). Der Gesamtwert ist \(T = -\frac{2}{3} - \left(-\frac{2}{3}\right) = 0\). 2. Berechnung für Teilaufgabe b): Umwandeln in Brüche ergibt \(x = -\frac{9}{4}\), \(y = \frac{11}{8}\) und \(z = -\frac{4}{8}\). Einsetzen in den Term: \(T = -\left(-\frac{9}{4}\right) - \left(\frac{11}{8} - \left(-\frac{4}{8}\right)\right)\). Die Klammer ergibt \(\frac{15}{8}\). Mit dem Hauptnenner \(8\) folgt \(T = \frac{18}{8} - \frac{15}{8} = \frac{3}{8}\).

a) \(0\) b) \(\frac{3}{8}\)

- Achte besonders darauf, negative Zahlen in Klammern zu setzen, bevor du sie quadrierst oder hoch drei nimmst. - Erinnere dich an die Regel „Punkt vor Strich“. - Überlege dir bei Brüchen zuerst, welchen Wert der Zähler und welchen Wert der Nenner hat. - Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn eine negative Zahl mit einer ungeraden Hochzahl (wie 3) potenziert wird?

1. Einsetzen von \(x = -3\) und \(y = 0{,}5\): \(2 \cdot (-3)^2 - 3 \cdot 0{,}5 = 2 \cdot 9 - 1{,}5 = 18 - 1{,}5 = 16{,}5\). 2. Einsetzen von \(a = -0{,}4\) und \(b = 0{,}6\): \(\frac{-0{,}4 + 0{,}6}{-0{,}4 - 0{,}6} = \frac{0{,}2}{-1{,}0} = -0{,}2\). 3. Einsetzen von \(z = -2\): \((-2)^3 + 2 \cdot (-2)^2 - 5 = -8 + 2 \cdot 4 - 5 = -8 + 8 - 5 = -5\).

1) \(16{,}5\); 2) \(-0{,}2\); 3) \(-5\)

- Klammern zuerst! Berechne erst den Ausdruck innerhalb der Klammer, bevor du quadrierst. - Wenn du einen Bruch durch einen anderen teilst, hilft die Multiplikation mit dem Kehrwert. - Gehe Schritt für Schritt vor und schreibe dir Zwischenergebnisse auf, um Rechenfehler zu vermeiden. - Achte beim letzten Teil auf den Unterschied zwischen \(( -3 )^2\) und dem Minuszeichen, das bereits im Term steht.

1. Einsetzen von \(p = -1{,}5\) und \(q = 0{,}5\): \(4 \cdot (-1{,}5 - 0{,}5)^2 = 4 \cdot (-2)^2 = 4 \cdot 4 = 16\). 2. Einsetzen von \(x = -\frac{1}{3}\): Zähler \((-\frac{1}{3})^2 - 1 = \frac{1}{9} - 1 = -\frac{8}{9}\). Nenner \(-\frac{1}{3} + 1 = \frac{2}{3}\). Division: \(-\frac{8}{9} : \frac{2}{3} = -\frac{8}{9} \cdot \frac{3}{2} = -\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3}\). 3. Einsetzen von \(a = 2\) und \(b = -3\): \(0{,}5 \cdot 2^2 \cdot (-3) - 2 \cdot (-3)^2 = 0{,}5 \cdot 4 \cdot (-3) - 2 \cdot 9 = 2 \cdot (-3) - 18 = -6 - 18 = -24\).

1) \(16\); 2) \(-1\frac{1}{3}\); 3) \(-24\)

- In welcher Reihenfolge löst man geschachtelte Klammern am besten auf? - Was passiert mit den Vorzeichen innerhalb einer Klammer, wenn ein Minuszeichen davor steht? - Ist es einfacher, erst die Zahlen einzusetzen oder erst den Term zu vereinfachen? - Achte beim Quadrieren einer negativen Zahl auf das Vorzeichen des Ergebnisses.

1. Auflösen der inneren runden Klammer unter Beachtung des Minuszeichens: \(2a^2b - [3ab^2 - 4a^2b + 2ab^2 + 5a^2b]\). 2. Zusammenfassen der gleichartigen Terme innerhalb der eckigen Klammer: \(2a^2b - [5ab^2 + a^2b]\). 3. Auflösen der eckigen Klammer: \(2a^2b - 5ab^2 - a^2b = a^2b - 5ab^2\). 4. Einsetzen der Werte \(a = -2\) und \(b = 3\): \((-2)^2 \cdot 3 - 5 \cdot (-2) \cdot 3^2\). 5. Berechnen der Potenzen und Produkte: \(4 \cdot 3 - (-10) \cdot 9 = 12 + 90 = 102\).

102

- Was passiert mit der Variablen \(x\), wenn du alle Klammern aufgelöst und zusammengefasst hast? - Schau dir das Ergebnis deiner Vereinfachung an – welche Variablen kommen darin noch vor? - Musst du die \(100\) für \(x\) überhaupt einsetzen, wenn du den Term bereits vereinfacht hast?

1. Auflösen der inneren runden Klammer: \(T = 5x + 3y - [3x - y + 2x]\). 2. Zusammenfassen der Glieder innerhalb der eckigen Klammer: \(T = 5x + 3y - [5x - y]\). 3. Auflösen der eckigen Klammer unter Berücksichtigung des Minuszeichens: \(T = 5x + 3y - 5x + y\). 4. Zusammenfassen der Glieder mit \(x\) und \(y\): \(5x - 5x = 0\) und \(3y + y = 4y\). Der vereinfachte Term lautet \(4y\). 5. Begründung: Da sich die Glieder mit der Variablen \(x\) gegenseitig aufheben, hat der Wert von \(x\) keinen Einfluss auf das Endergebnis. 6. Berechnung für \(y = -2{,}5\): \(4 \cdot (-2{,}5) = -10\).

a) \(4y\); b) Der Term vereinfacht sich zu \(4y\), die Variable \(x\) fällt weg; c) \(-10\)

- Berechne zuerst den Inhalt der Klammern, bevor du multiplizierst. - Erinnere dich daran, was eine Quadratzahl wie \(a^2\) bedeutet. - Gehe bei Dezimalzahlen besonders sorgfältig vor. - Was passiert in der Klammer, wenn beide Zahlen gleich groß sind?

1. Berechnung für Teil a: Linke Seite \((7+3) \cdot (7-3) = 10 \cdot 4 = 40\). Rechte Seite \(7^2 - 3^2 = 49 - 9 = 40\). Gleichheit gilt. 2. Berechnung für Teil b: Linke Seite \((1{,}5+0{,}5) \cdot (1{,}5-0{,}5) = 2 \cdot 1 = 2\). Rechte Seite \(1{,}5^2 - 0{,}5^2 = 2{,}25 - 0{,}25 = 2\). Gleichheit gilt. 3. Berechnung für Teil c: Linke Seite \((12+12) \cdot (12-12) = 24 \cdot 0 = 0\). Rechte Seite \(12^2 - 12^2 = 144 - 144 = 0\). Gleichheit gilt.

In allen drei Fällen ist die Gleichung korrekt: a) \(40 = 40\) b) \(2 = 2\) c) \(0 = 0\)

- Kannst du die Klammern zuerst auflösen, indem du jeden Wert in der Klammer mit dem Faktor davor multiplizierst? - Achte besonders auf die Vorzeichen, wenn du Terme mit Minuszeichen multiplizierst oder addierst. - Gibt es Terme, die sich gegenseitig aufheben? - Setze die Zahlen für die Variablen erst ein, nachdem du den Term so kurz wie möglich geschrieben hast.

1. Multiplizieren der Klammern unter Beachtung der Vorzeichen: \(4a \cdot (a - 2b) = 4a^2 - 8ab\) und \(2b \cdot (4a + b) = 8ab + 2b^2\). 2. Zusammenfügen der Teilterme: \(4a^2 - 8ab + 8ab + 2b^2 - 3a^2\). 3. Zusammenfassen der gleichartigen Glieder: Die Glieder \(-8ab\) und \(+8ab\) heben sich auf. Es verbleibt \(4a^2 - 3a^2 + 2b^2 = a^2 + 2b^2\). 4. Einsetzen der Werte \(a = 1{,}2\) und \(b = -0{,}5\): \(1{,}2^2 + 2 \cdot (-0{,}5)^2\). 5. Berechnen der Quadrate: \(1{,}44 + 2 \cdot 0{,}25\). 6. Finales Ergebnis: \(1{,}44 + 0{,}5 = 1{,}94\).

Der vereinfachte Term lautet \(a^2 + 2b^2\). Der Wert für die gegebenen Zahlen ist \(1{,}94\).

- Überlege dir, welche Geschwindigkeit zu welcher Zeitspanne gehört. - Achte beim Rechnen auf die Dezimalzahlen. - Kannst du erklären, was das Ergebnis im Zähler des Bruchs (die Summe der Produkte) physikalisch bedeutet?

1. Identifikation der Variablenwerte: \(v_1 = 22\), \(t_1 = 1{,}5\), \(v_2 = 14\), \(t_2 = 0{,}5\). 2. Berechnung der Teilstrecken im Zähler: \(22 \cdot 1{,}5 = 33\) und \(14 \cdot 0{,}5 = 7\). 3. Addition der Teilstrecken zur Gesamtstrecke: \(33 + 7 = 40\). 4. Berechnung der Gesamtzeit im Nenner: \(1{,}5 + 0{,}5 = 2\). 5. Berechnung des Termwerts: \(v_{\text{ges}} = \frac{40}{2} = 20\). Die Durchschnittsgeschwindigkeit beträgt \(20\,\text{km/h}\).

Die Durchschnittsgeschwindigkeit für die gesamte Fahrt beträgt \(20\,\text{km/h}\).

- Hier musst du zwei verschiedene Werte gleichzeitig in die Formel einsetzen. - Wandle die Brüche am besten in Dezimalzahlen um, um sie leichter addieren zu können. - Vergleiche für den zweiten Teil die beiden berechneten Ergebnisse miteinander.

1. Einsetzen von \(s = 10\) und \(h = 600\) in die Formel: \(t = \frac{10}{4} + \frac{600}{500} = 2{,}5 + 1{,}2 = 3{,}7\). Die Gehzeit beträgt \(3{,}7\,\text{h}\). 2. Berechnung für Weg A: \(s = 12\), \(h = 400 \Rightarrow t_A = \frac{12}{4} + \frac{400}{500} = 3 + 0{,}8 = 3{,}8\,\text{h}\). 3. Berechnung für Weg B: \(s = 8\), \(h = 950 \Rightarrow t_B = \frac{8}{4} + \frac{950}{500} = 2 + 1{,}9 = 3{,}9\,\text{h}\). 4. Vergleich: Da \(3{,}8 < 3{,}9\), ist Weg A zeitlich kürzer.

1) \(3{,}7\,\text{h}\) 2) Weg A ist kürzer (\(3{,}8\,\text{h}\) gegenüber \(3{,}9\,\text{h}\)).

- Erinnere dich an die Regel „Potenzen vor Punkt vor Strich“. - Bei Brüchen wird sowohl der Zähler als auch der Nenner potenziert. - Achte beim Einsetzen negativer Zahlen in Terme darauf, Klammern zu setzen. - Wie verändert sich das Vorzeichen, wenn man eine negative Zahl mit sich selbst multipliziert?

1. Potenzieren des Bruchs: \(\left(-\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{(-2)^3}{3^3} = -\frac{8}{27}\). 2. Berechnung der Dezimalzahlen: \(0{,}2^2 = 0{,}04\) und \((-0{,}1)^3 = -0{,}001\). Subtraktion: \(0{,}04 - (-0{,}001) = 0{,}04 + 0{,}001 = 0{,}041\). 3. Berechnung der Potenzen: \((-1)^7 = -1\) und \(\left(\frac{1}{2}\right)^2 = 0{,}25\). Multiplikation und Addition: \(-1 \cdot 0{,}25 + 0{,}75 = -0{,}25 + 0{,}75 = 0{,}5\) (oder \(\frac{1}{2}\)). 4. Einsetzen der Werte in den Term: \((-2)^4 - (-2)^3\). Berechnung: \(16 - (-8) = 16 + 8 = 24\).

1) \(-\frac{8}{27}\) 2) \(0{,}041\) 3) \(0{,}5\) (oder \(\frac{1}{2}\)) 4) \(24\)

- Gehe schrittweise vor und berechne zuerst alle Potenzen, bevor du multiplizierst oder addierst. - Denk an die Regel: Minus mal Minus ergibt Plus. - Bei Brüchen: Erinnere dich daran, wie man einen Bruch potenziert (Zähler und Nenner separat). - Klammern helfen dir, die Übersicht über die Vorzeichen zu behalten.

1. Substitution von \( x = -1 \) in den ersten Term: \( 5 \cdot (-1)^4 - 3 \cdot (-1)^3 + 2 \cdot (-1)^2 - (-1) + 4 \). Berechnung der Potenzen: \( 5 \cdot (1) - 3 \cdot (-1) + 2 \cdot (1) + 1 + 4 \). Zusammenfassung: \( 5 + 3 + 2 + 1 + 4 = 15 \). 2. Substitution von \( x = -\frac{1}{2} \) in den zweiten Term: \( 8 \cdot (-\frac{1}{2})^3 + 4 \cdot (-\frac{1}{2})^2 - 2 \cdot (-\frac{1}{2}) + 1 \). Berechnung der Potenzen: \( 8 \cdot (-\frac{1}{8}) + 4 \cdot (\frac{1}{4}) + 1 + 1 \). Vereinfachung der Produkte: \( -1 + 1 + 1 + 1 = 2 \).

a) 15 b) 2

- Was passiert mit dem Wert einer Zahl, wenn sie mit sich selbst multipliziert wird (hoch 3)? - Gehe bei der Rechnung mit Dezimalzahlen besonders sorgfältig vor. - Achte darauf, dass die Potenz nur für die Variable \( n \) gilt, nicht für die \( 6 \). - Kannst du ein Muster erkennen, wenn du Zehnerpotenzen wie \( 10 \) einsetzt?

1. Für \( n = 10 \): Einsetzen ergibt \( 6 \cdot 10^3 + 4 \cdot 10 + 7 \). Berechnung der Potenz: \( 6 \cdot 1000 + 40 + 7 = 6000 + 40 + 7 = 6047 \). 2. Für \( n = 2 \): Einsetzen ergibt \( 6 \cdot 2^3 + 4 \cdot 2 + 7 \). Berechnung der Potenz: \( 6 \cdot 8 + 8 + 7 = 48 + 8 + 7 = 63 \). 3. Für \( n = 0{,}5 \): Einsetzen ergibt \( 6 \cdot 0{,}5^3 + 4 \cdot 0{,}5 + 7 \). Berechnung der Potenz: \( 6 \cdot 0{,}125 + 2 + 7 \). Multiplikation: \( 0{,}75 + 2 + 7 = 9{,}75 \).

a) \( 6047 \) b) \( 63 \) c) \( 9{,}75 \)

- Was passiert mit der Wasserhöhe, wenn die Zeit \(t\) zunimmt? - Welchen Wert hat die Zeit \(t\) genau in dem Moment, in dem das Leeren beginnt? - Wenn das Becken leer ist, welche Höhe hat das Wasser dann?

1. Berechnung der Tabellenwerte für \(h = 120 - 8 \cdot t\): - \(t = 0 \implies h = 120 - 8 \cdot 0 = 120\,\text{cm}\) - \(t = 5 \implies h = 120 - 8 \cdot 5 = 120 - 40 = 80\,\text{cm}\) - \(t = 10 \implies h = 120 - 8 \cdot 10 = 120 - 80 = 40\,\text{cm}\) - \(t = 15 \implies h = 120 - 8 \cdot 15 = 120 - 120 = 0\,\text{cm}\) 2. Interpretation der Konstanten: Die Zahl \(120\) ist die Höhe bei \(t = 0\), also die Anfangshöhe des Wassers im Becken. 3. Bestimmung des Leerzustands: Das Becken ist leer, wenn \(h = 0\). Aus der Rechnung folgt, dass dies bei \(t = 15\,\text{min}\) der Fall ist.

a) Werte für \(h\): \(120\,\text{cm}\), \(80\,\text{cm}\), \(40\,\text{cm}\), \(0\,\text{cm}\). b) Die \(120\) gibt die Anfangshöhe des Wassers im Becken an (in \(\text{cm}\)). c) Das Becken ist nach \(15\) Minuten leer, da der Term für \(t = 15\) den Wert \(0\) ergibt.

- Erstelle am besten eine Tabelle mit drei Zeilen: eine für \(x\), eine für die Ergebnisse von Term \(A\) und eine für Term \(B\). - Berechne für jede Spalte nacheinander die Werte für beide Terme. - Suche in deiner fertigen Tabelle nach einer Spalte, in der in den Zeilen für \(A(x)\) und \(B(x)\) dieselbe Zahl steht.

1. Berechnung der Werte für \(A(x)\): \(x=3 \to 16\); \(x=4 \to 18\); \(x=5 \to 20\); \(x=6 \to 22\); \(x=7 \to 24\). 2. Berechnung der Werte für \(B(x)\): \(x=3 \to 12\); \(x=4 \to 16\); \(x=5 \to 20\); \(x=6 \to 24\); \(x=7 \to 28\). 3. Vergleich der Ergebnisse: Bei \(x = 5\) liefern beide Terme den Wert \(20\).

a) Die Tabelle enthält für \(A(x)\) die Werte \(16, 18, 20, 22, 24\) und für \(B(x)\) die Werte \(12, 16, 20, 24, 28\). b) Für \(x = 5\) haben beide Terme den gleichen Wert (\(20\)).

- Setze die gegebenen Werte für \(x\) ein und beachte die Vorrangregeln. - Bei Teilaufgabe c) kannst du rückwärts rechnen: Was muss vor dem Abzug der 6 herauskommen, damit 0 übrig bleibt? - Schau dir bei d) die Ergebnisse genau an. Siehst du einen Zusammenhang zur Zahl vor dem \(x\)?

1. Einsetzen von \(x = -1{,}5\): \(4 \cdot (-1{,}5) - 6 = -6 - 6 = -12\). 2. Einsetzen von \(x = 0{,}75\): \(4 \cdot 0{,}75 - 6 = 3 - 6 = -3\). 3. Nullstelle finden: \(4x - 6 = 0 \implies 4x = 6 \implies x = 1{,}5\). 4. Vergleich der Werte: \(T(2) = 4 \cdot 2 - 6 = 2\) und \(T(3) = 4 \cdot 3 - 6 = 6\). Die Differenz beträgt \(6 - 2 = 4\). Erhöht man \(x\) um \(1\), steigt der Termwert um \(4\).

a) \(-12\) b) \(-3\) c) \(x = 1{,}5\) d) \(T(2) = 2\); \(T(3) = 6\); der Wert erhöht sich um \(4\).

- Setze für \(a\) den angegebenen Wert ein. - Achte besonders auf das Vorzeichen, wenn du eine negative Zahl für \(a\) einsetzt. - Ist es einfacher, mit Dezimalzahlen oder mit Brüchen zu rechnen? - Denk an die Regel „Punkt vor Strich“.

1. Teilaufgabe a): Einsetzen von \( a = \frac{1}{8} \) ergibt \( \frac{3}{4} - \frac{1}{8} : \frac{1}{2} \). 2. Division durch Multiplikation mit dem Kehrwert: \( \frac{1}{8} \cdot 2 = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} \). 3. Subtraktion: \( \frac{3}{4} - \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \). 4. Teilaufgabe b): Einsetzen von \( a = -1{,}5 \) (entspricht \( -\frac{3}{2} \)) ergibt \( \frac{3}{4} - (-1{,}5) : \frac{1}{2} \). 5. Division: \( -1{,}5 : 0{,}5 = -3 \). 6. Subtraktion: \( \frac{3}{4} - (-3) = \frac{3}{4} + 3 = 3\frac{3}{4} \) (oder \( 3{,}75 \)).

a) \( \frac{1}{2} \) (oder \( 0{,}5 \)) b) \( 3\frac{3}{4} \) (oder \( 3{,}75 \))

- Setze den angegebenen Wert für \(x\) in den Term ein. - Achte darauf, den gesamten Ausdruck in der Klammer zuerst zu berechnen oder das Distributivgesetz anzuwenden. - Können Brüche vor dem Multiplizieren gekürzt werden? - Überprüfe am Ende das Vorzeichen deines Ergebnisses.

1. Einsetzen von \( x = \frac{3}{4} \) in den Term: \( T\left(\frac{3}{4}\right) = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} - \left( \frac{3}{4} + \frac{1}{2} \right) \cdot 4 \). 2. Erster Teil: \( \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \). 3. Klammerinhalt: \( \frac{3}{4} + \frac{2}{4} = \frac{5}{4} \). 4. Multiplikation der Klammer mit \( 4 \): \( \frac{5}{4} \cdot 4 = 5 \). 5. Subtraktion: \( \frac{1}{2} - 5 = 0{,}5 - 5 = -4{,}5 \) bzw. \( -\frac{9}{2} \).

\( -4{,}5 \) (oder \( -\frac{9}{2} \))

- Schau dir an, ob das Ergebnis größer oder kleiner wird, wenn du eine größere Zahl für \(k\) einsetzt. - Wenn du einen Wert suchst, bei dem beide Terme gleich sind, probiere Zahlen zwischen \(2\) und \(10\) aus. - Was passiert mit dem Wert des Terms, wenn du etwas abziehst, das immer größer wird?

1. Berechnung für \(k = 2\): - \(T_1(2) = 2 \cdot 2 + 10 = 14\) - \(T_2(2) = 40 - 3 \cdot 2 = 34\) 2. Berechnung für \(k = 10\): - \(T_1(10) = 2 \cdot 10 + 10 = 30\) - \(T_2(10) = 40 - 3 \cdot 10 = 10\) 3. Analyse des Wachstums: - \(T_1\) steigt an (von \(14\) auf \(30\)). - \(T_2\) sinkt (von \(34\) auf \(10\)). 4. Bestimmung des gemeinsamen Werts durch Probieren: - Test \(k = 5\): \(T_1(5) = 20\), \(T_2(5) = 25\) (Differenz wird kleiner) - Test \(k = 6\): \(T_1(6) = 2 \cdot 6 + 10 = 22\); \(T_2(6) = 40 - 3 \cdot 6 = 22\). - Bei \(k = 6\) sind beide Terme gleich.

a) Für \(k = 2\): \(T_1 = 14\), \(T_2 = 34\). Für \(k = 10\): \(T_1 = 30\), \(T_2 = 10\). b) \(T_1\) steigt an, \(T_2\) sinkt. c) Für \(k = 6\) liefern beide Terme das gleiche Ergebnis (\(22\)).

- Was musst du für den Buchstaben \(m\) einsetzen, um die Kosten für eine bestimmte Zeit zu berechnen? - Vergleiche die Ergebnisse der Rechnungen, um zu entscheiden, welcher Preis niedriger ist. - Bei Teilaufgabe c) suchst du einen Wert für \(m\), sodass das Ergebnis der Formel für Anbieter B genau \(5\) ergibt.

1. Berechnung für \(m = 50\): \(K_A = 5 + 0{,}12 \cdot 50 = 11\,\text{€}\) und \(K_B = 0{,}20 \cdot 50 = 10\,\text{€}\). 2. Berechnung für \(m = 100\): \(K_A = 5 + 0{,}12 \cdot 100 = 17\,\text{€}\) und \(K_B = 0{,}20 \cdot 100 = 20\,\text{€}\). Da \(17\,\text{€} < 20\,\text{€}\), ist Anbieter A günstiger. 3. Gleichsetzen von \(K_B\) mit der Grundgebühr von A (\(5\,\text{€}\)): \(0{,}20 \cdot m = 5\). Division durch \(0{,}20\) ergibt \(m = 5 : 0{,}20 = 25\). Bei \(25\) Minuten entsprechen die Kosten von Anbieter B der Grundgebühr von Anbieter A.

a) Anbieter A: \(11{,}00\,\text{€}\); Anbieter B: \(10{,}00\,\text{€}\) b) Anbieter A ist günstiger, da er \(17{,}00\,\text{€}\) kostet, während Anbieter B \(20{,}00\,\text{€}\) kostet. c) Bei \(25\) Minuten entsprechen die Kosten von Anbieter B der Grundgebühr von Anbieter A.

- Schau dir die Struktur des Terms genau an: Was passiert als Erstes (in der Klammer) und was als Zweites? - Für Teilaufgabe b) ersetze einfach den Buchstaben durch die angegebene Zahl. - Wann wird ein Produkt aus zwei Zahlen eigentlich Null?

1. Beschreibung in Worten: „Das Vierfache der Differenz aus einer Zahl \(x\) und \(2{,}5\)“ (oder ähnlich). 2. Einsetzen von \(x = 5{,}5\) in den Term: \(4 \cdot (5{,}5 - 2{,}5)\) 3. Berechnung der Klammer: \(5{,}5 - 2{,}5 = 3{,}0\) 4. Multiplikation: \(4 \cdot 3{,}0 = 12\) 5. Analyse für den Wert \(0\): Ein Produkt ist \(0\), wenn einer der Faktoren \(0\) ist. Da \(4\) nicht \(0\) ist, muss die Klammer \((x - 2{,}5) = 0\) sein. 6. Lösung der Gleichung \(x - 2{,}5 = 0\): \(x = 2{,}5\).

a) Das Vierfache der Differenz aus einer Zahl \(x\) und \(2{,}5\). b) Der Wert ist \(12\). c) \(x\) muss \(2{,}5\) sein, da der Klammerinhalt null sein muss (\(2{,}5 - 2{,}5 = 0\)) und \(4 \cdot 0 = 0\) ist.

- Arbeite dich beim Auflösen der Klammern von innen nach außen vor. - Markiere dir gleichartige Terme (z. B. alle \(x^2\)-Terme), um beim Zusammenfassen nichts zu vergessen. - Welches Vorzeichen ergibt sich, wenn zwei negative Zahlen miteinander multipliziert werden? - Überprüfe nach jedem Schritt, ob du alle Terme innerhalb der Klammern korrekt behandelt hast.

1. Auflösen der innersten runden Klammer: \(4xy - \{2x^2 - [3xy - x^2 + 2xy + 4x^2] - 5xy\}\). 2. Zusammenfassen der Terme in der eckigen Klammer: \(4xy - \{2x^2 - [5xy + 3x^2] - 5xy\}\). 3. Auflösen der eckigen Klammer innerhalb der geschweiften Klammer: \(4xy - \{2x^2 - 5xy - 3x^2 - 5xy\}\). 4. Zusammenfassen in der geschweiften Klammer: \(4xy - \{-x^2 - 10xy\}\). 5. Endgültige Vereinfachung des Terms durch Auflösen der geschweiften Klammer: \(4xy + x^2 + 10xy = x^2 + 14xy\). 6. Einsetzen der Werte \(x = -1\) und \(y = -4\): \((-1)^2 + 14 \cdot (-1) \cdot (-4)\). 7. Ergebnis berechnen: \(1 + 56 = 57\).

57

- Überlege dir gut, in welcher Reihenfolge man Klammern von innen nach außen auflöst. - Achte besonders auf das Minuszeichen vor einer Klammer – wie verändern sich die Vorzeichen der Glieder im Inneren? - Kannst du den Term erst vollständig vereinfachen, bevor du die Zahlenwerte einsetzt? Das spart oft viel Rechenarbeit. - Denk daran, dass Potenzen (wie \(x^2\)) vor der Multiplikation berechnet werden.

1. Auflösen der innersten runden Klammer: \(x^2y - \{2xy^2 - [3x^2y - xy^2 - x^2y]\}\). 2. Zusammenfassen innerhalb der eckigen Klammer: \(x^2y - \{2xy^2 - [2x^2y - xy^2]\}\). 3. Auflösen der eckigen Klammer (Minuszeichen beachten): \(x^2y - \{2xy^2 - 2x^2y + xy^2\}\). 4. Zusammenfassen innerhalb der geschweiften Klammer: \(x^2y - \{3xy^2 - 2x^2y\}\). 5. Auflösen der geschweiften Klammer: \(x^2y - 3xy^2 + 2x^2y = 3x^2y - 3xy^2\). 6. Einsetzen von \(x = -1\) und \(y = \frac{2}{3}\): \(3 \cdot (-1)^2 \cdot \frac{2}{3} - 3 \cdot (-1) \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^2\). 7. Berechnung der Teilterme: \(3 \cdot 1 \cdot \frac{2}{3} = 2\) und \(-3 \cdot (-1) \cdot \frac{4}{9} = \frac{12}{9} = \frac{4}{3}\). 8. Addition der Ergebnisse: \(2 + \frac{4}{3} = \frac{6}{3} + \frac{4}{3} = \frac{10}{3}\).

\(\frac{10}{3}\) oder \(3\frac{1}{3}\)

- Versuche, den Term in kleine Abschnitte zu unterteilen und diese einzeln zu vereinfachen. - Überlege, ob eine der Klammern eine bekannte Formel (binomische Formel) darstellt. - Wie gehst du mit dem negativen Vorzeichen vor der zweiten Klammergruppe um? - Wandle die gemischte Zahl in einen unechten Bruch um, bevor du rechnest.

1. Schrittweises Ausmultiplizieren der Klammerpaare: - \((3n - 2) \cdot (n + 3) = 3n^2 + 9n - 2n - 6 = 3n^2 + 7n - 6\) - \((n - 1) \cdot (3n + 2) = 3n^2 + 2n - 3n - 2 = 3n^2 - n - 2\) - \((n + 2) \cdot (n - 2) = n^2 - 4\) (Anwendung der binomischen Formel oder direktes Multiplizieren) 2. Einsetzen der Ergebnisse in den Gesamtterm: \((3n^2 + 7n - 6) - (3n^2 - n - 2) + (n^2 - 4) - n^2\) 3. Auflösen der Klammern und Zusammenfassen: \(3n^2 - 3n^2 + n^2 - n^2 + 7n - (-n) - 6 - (-2) - 4 = 8n - 8\) 4. Einsetzen von \(n = -1\frac{1}{8} = -\frac{9}{8}\): \(8 \cdot \left(-\frac{9}{8}\right) - 8 = -9 - 8 = -17\)

Nach der Vereinfachung ergibt sich der Term \(8n - 8\). Der berechnete Wert für \(n = -1\frac{1}{8}\) ist \(-17\).

- Multipliziere zuerst die Klammern in beiden Termen einzeln aus. - Was passiert mit den Gliedern, die ein \(x\) enthalten, wenn du die Terme voneinander abziehst? - Wenn ein Ergebnis unabhängig von einer Variablen ist, was bedeutet das für beliebige Werte dieser Variablen?

1. Term \(A\) ausmultiplizieren: \(A = x^2 + 5x + 2x + 10 = x^2 + 7x + 10\). 2. Term \(B\) ausmultiplizieren: \(B = x^2 + 4x + 3x + 12 = x^2 + 7x + 12\). 3. Die Differenz \(B - A\) bilden: \((x^2 + 7x + 12) - (x^2 + 7x + 10)\). 4. Klammern auflösen und zusammenfassen: \(x^2 - x^2 + 7x - 7x + 12 - 10 = 2\). 5. Da alle Terme mit \(x\) wegfallen, ist die Differenz konstant \(2\). 6. Für \(x = -3{,}5\) bleibt der Wert der Differenz ebenfalls \(2\).

a) \(A = x^2 + 7x + 10\); \(B = x^2 + 7x + 12\); \(B - A = 2\). b) \(2\) c) \(2\)

- Multipliziere zuerst die Klammern einzeln aus. - Setze das Ergebnis des zweiten Produkts in Klammern, um Vorzeichenfehler durch das Minuszeichen davor zu vermeiden. - Fasse alle Terme mit \(a^2\), alle mit \(a\) und alle Konstanten getrennt zusammen. - Setze den Wert für \(a\) erst in den fertig vereinfachten Term ein.

1. Ausmultiplizieren des ersten Teils: \(2a \cdot (3a - 1) = 6a^2 - 2a\) 2. Ausmultiplizieren des zweiten Teils (Produkt zweier Klammern): \((a + 2) \cdot (6a - 5) = 6a^2 - 5a + 12a - 10 = 6a^2 + 7a - 10\) 3. Subtraktion der Teilergebnisse: \(6a^2 - 2a - (6a^2 + 7a - 10) = 6a^2 - 2a - 6a^2 - 7a + 10\) 4. Zusammenfassen der Glieder zum vereinfachten Term: \(-9a + 10\) 5. Einsetzen von \(a = -\frac{2}{3}\): \(-9 \cdot \left(-\frac{2}{3}\right) + 10 = 6 + 10 = 16\)

\(16\)

- Wie kannst du zeigen, dass zwei Terme immer gleich sind? Versuche, beide so weit wie möglich zu vereinfachen. - Denk daran, dass \(x \cdot y\) das Gleiche ist wie \(y \cdot x\). - Wenn du ein Minuszeichen vor einer Klammer hast, ändern sich beim Auflösen alle Vorzeichen innerhalb der Klammer. - Ist es einfacher, die Zahlen in die langen Ursprungsterme oder in den kurzen, vereinfachten Term einzusetzen?

1. Vereinfachung von Term \(A\): Ausmultiplizieren ergibt \(2x^2 + xy - (yx - 3y^2) = 2x^2 + xy - xy + 3y^2\). Durch Zusammenfassen erhält man \(A = 2x^2 + 3y^2\). 2. Vereinfachung von Term \(B\): Ausmultiplizieren ergibt \(2x^2 + 2y^2 + y^2\). Durch Zusammenfassen erhält man \(B = 2x^2 + 3y^2\). 3. Vergleich: Da beide Terme auf denselben Ausdruck \(2x^2 + 3y^2\) vereinfacht werden können, sind sie äquivalent. 4. Einsetzen der Werte in den vereinfachten Term: \(2 \cdot (-5)^2 + 3 \cdot (\frac{1}{3})^2\). 5. Berechnung: \(2 \cdot 25 + 3 \cdot \frac{1}{9} = 50 + \frac{1}{3} = 50\frac{1}{3}\).

a) Beide Terme lassen sich zu \(2x^2 + 3y^2\) vereinfachen. b) Der Wert beträgt \(50\frac{1}{3}\).

- Beachte die Regel „Klammer vor Punkt vor Strich“. - Wandle Brüche in Dezimalzahlen um, wenn dies die Rechnung vereinfacht. - Berechne zuerst die inneren Werte der beiden großen Klammern separat. - Achte am Ende genau darauf, welche Operation als Letztes ausgeführt werden muss.

1. Berechnung der ersten Klammer: \(\frac{11}{20} - \frac{3}{25} + \frac{7}{50} = 0{,}55 - 0{,}12 + 0{,}14 = 0{,}57\). 2. Berechnung der Divisionen in der zweiten Klammer: \(9{,}12 : 0{,}24 = 38\) und \(16\frac{4}{5} : 8 = 16{,}8 : 8 = 2{,}1\). 3. Zusammenfassen der zweiten Klammer: \(38 + 2{,}1 - 1{,}5 - 0{,}6 = 38\). 4. Division des Ergebnisses der zweiten Klammer durch \(0{,}5\): \(38 : 0{,}5 = 76\). 5. Subtraktion der beiden Hauptteile: \(0{,}57 - 76 = -75{,}43\).

\(-75{,}43\)