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- Was haben alle Summanden in einer Teilaufgabe gemeinsam? - Worauf musst du achten, wenn vor einer Variable keine Zahl steht? - Wie gehst du mit den Vorzeichen beim Zusammenrechnen der Zahlen um?

1. Addition der Koeffizienten von \(a\): \(12 - 7 + 3 = 8\). Ergebnis: \(8a\). 2. Addition der Koeffizienten von \(x^2\): \(-5 + 9 - 6 = -2\). Ergebnis: \(-2x^2\). 3. Subtraktion der Koeffizienten von \(y\): \(4{,}5 - 1{,}2 - 2{,}1 = 1{,}2\). Ergebnis: \(1{,}2y\).

1) \(8a\) 2) \(-2x^2\) 3) \(1{,}2y\)

- Was bedeutet es, wenn Terme „gleichartig“ sind? - Wie gehst du vor, wenn du eine positive und eine negative Zahl addierst? - Kann man Äpfel und Birnen (oder verschiedene Variablen) einfach zusammenzählen? - Was passiert mit dem Koeffizienten, wenn sich zwei Glieder genau aufheben?

1. Addition der Koeffizienten von \(12a\) und \(5a\): \(12 + 5 = 17\), somit \(17a\). 2. Addition der Koeffizienten von \(4x\) und \(-9x\): \(4 + (-9) = -5\), somit \(-5x\). 3. Addition der Koeffizienten von \(-3m\) und \(3m\): \(-3 + 3 = 0\), somit \(0\). 4. Da \(7y\) und \(2z\) keine gleichartigen Glieder sind, können sie nicht weiter zusammengefasst werden. Die Summe lautet \(7y + 2z\).

a) \(17a\) b) \(-5x\) c) \(0\) d) \(7y + 2z\)

- Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn du ein Plus und ein Minus direkt hintereinander hast? - Stell dir die Zahlen auf einer Zahlengeraden vor: In welche Richtung gehst du, wenn du eine negative Zahl addierst? - Erinnerst du dich an das Rechnen mit Guthaben und Schulden? - Was ergibt eine Zahl, wenn man ihre Gegenzahl addiert?

1. Zusammenfassen durch Addition der Koeffizienten: \(-8 + (-5) = -13\). Ergebnis: \(-13x\). 2. Berechnung der Differenz der Koeffizienten: \(14 - 20 = -6\). Ergebnis: \(-6y\). 3. Addition von Koeffizienten mit gleichem Betrag und unterschiedlichem Vorzeichen: \(-11 + 11 = 0\). Ergebnis: \(0\). 4. Umwandlung der Subtraktion einer negativen Zahl in eine Addition: \(3 - (-7) = 3 + 7 = 10\). Ergebnis: \(10c\).

a) \(-13x\) b) \(-6y\) c) \(0\) d) \(10c\)

- Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn du eine negative Zahl subtrahierst? - Kannst du die Koeffizienten (die Zahlen vor den Variablen) erst einmal getrennt betrachten? - Überlege dir, ob das Ergebnis positiv oder negativ sein muss, indem du dir eine Zahlengerade vorstellst. - Erinnerst du dich an die Regel für das Auflösen von Klammern, vor denen ein Minuszeichen steht?

1. Subtraktion eines negativen Terms: \(12x^2 + 8x^2 = 20x^2\). 2. Zusammenfassen der Koeffizienten unter Beachtung der Vorzeichen: \(-15y^3 + 10y^3 = -5y^3\). 3. Subtraktion eines positiven Terms: \(7a^4 - 11a^4 = -4a^4\). 4. Ein Term minus sich selbst ergibt Null: \(-b^2 + b^2 = 0\).

1) \(20x^2\) 2) \(-5y^3\) 3) \(-4a^4\) 4) \(0\)

- Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn ein Minuszeichen vor einer Klammer steht, in der ein negatives Vorzeichen steht? - Kannst du die Terme wie Äpfel oder Birnen betrachten, die du zählst? - Überlege dir, was passiert, wenn du von einer Zahl genau dieselbe Zahl abziehst.

1. Auflösen der Klammer unter Beachtung der Vorzeichenregeln: \(8a + 5a = 13a\). 2. Subtraktion einer negativen Zahl entspricht der Addition: \(6x^2y + 3x^2y = 9x^2y\). 3. Zusammenfassen der gleichartigen Terme: \(-14uv + uv = -13uv\). 4. Subtraktion identischer Terme ergibt null: \(7mn - 7mn = 0\).

1) \(13a\) 2) \(9x^2y\) 3) \(-13uv\) 4) \(0\)

- Vergleiche nicht zuerst die Koeffizienten, sondern die Variablenfaktoren. - Welche Glieder enthalten genau denselben Buchstabenanteil? - Gleichartige Glieder werden formal erkannt, nicht durch zufällige eingesetzte Zahlenwerte.

1. Die \(x\)-Glieder sind \(3x\) und \(5x\). 2. Die \(y\)-Glieder sind \(-2y\) und \(y\). 3. Gleichartige Glieder müssen denselben Variablenfaktor besitzen. Deshalb sind ein \(x\)-Glied und ein \(y\)-Glied nicht gleichartig.

a) \(3x\) und \(5x\); \(-2y\) und \(y\) b) Die Variablenfaktoren sind verschieden.

- Markiere gedanklich die beiden Variablengruppen getrennt. - Addiere oder subtrahiere nur die Koeffizienten gleichartiger Glieder. - Die Variablenfaktoren bleiben beim Zusammenfassen erhalten.

1. Die \(a\)-Glieder ergeben \(4a-2a=2a\). 2. Die \(b\)-Glieder ergeben \(3b+5b=8b\). 3. Damit lautet der vereinfachte Term \(2a+8b\).

\(2a+8b\)

- Betrachte das Minuszeichen als Wirkung auf die gesamte Klammer. - Was geschieht mit \(+2x\) und \(+3\), wenn die Klammer subtrahiert wird? - Fasse die \(x\)-Glieder erst nach dem Auflösen der Klammer zusammen.

1. Vor der Klammer steht ein Minuszeichen. Beim Auflösen der Klammer wechseln deshalb die Vorzeichen der beiden Klammerglieder: \(7x-2x-3\). 2. Die gleichartigen \(x\)-Glieder ergeben \(5x\). 3. Der vereinfachte Term lautet \(5x-3\).

Beim Subtrahieren der Klammer wechseln die Vorzeichen beider Klammerglieder: \(7x-(2x+3)=7x-2x-3\). Daher ergibt sich \(5x-3\).

- Was bedeutet es, wenn zwei Terme äquivalent sind? - Kannst du Klammern auflösen, indem du die Zahl davor mit jedem Teil in der Klammer multiplizierst? - Fasse alle Glieder mit der gleichen Variable und alle Zahlen ohne Variable zusammen. - Sind die Endergebnisse nach dem Vereinfachen identisch?

1. Vereinfachung des ersten Terms in a): \(4 \cdot (a + 2) + 3 \cdot a = 4 \cdot a + 8 + 3 \cdot a = 7 \cdot a + 8\). Da dies mit dem zweiten Term übereinstimmt, sind sie äquivalent. 2. Vereinfachung des ersten Terms in b): \(15 \cdot y - 6 \cdot y + 2 = 9 \cdot y + 2\). 3. Vereinfachung des zweiten Terms in b): \(3 \cdot (3 \cdot y + 2) - 4 = 9 \cdot y + 6 - 4 = 9 \cdot y + 2\). 4. Vergleich in b): Beide Terme ergeben vereinfacht \(9 \cdot y + 2\), sie sind also äquivalent.

a) Die Terme sind äquivalent, da beide vereinfacht \(7 \cdot a + 8\) ergeben. b) Die Terme sind äquivalent, da beide vereinfacht \(9 \cdot y + 2\) ergeben.

- Überlege dir, welche Zahl vor einer Variablen steht, wenn kein Koeffizient sichtbar ist. - Konzentriere dich zuerst nur auf die Zahlen vor den Variablen und rechne mit ihnen wie gewohnt. - Achte besonders auf die Vorzeichen vor jeder Zahl. - Kann ein Term auch komplett verschwinden, wenn das Ergebnis der Rechnung null ist?

1. Berechnung der Koeffizienten für \(a\): \(1{,}5 + 2{,}7 - 0{,}8 = 3{,}4\). Ergebnis: \(3{,}4a\). 2. Berechnung der Koeffizienten für \(k\): \(-3 - 4 + 12 - 1 = 4\). Ergebnis: \(4k\). 3. Verrechnung der Brüche für \(x\): \(\frac{2}{4} + \frac{3}{4} - \frac{4}{4} = \frac{1}{4}\). Ergebnis: \(\frac{1}{4}x\) (oder \(0{,}25x\)). 4. Berechnung der Koeffizienten für \(y\): \(12 - 15 + 3 = 0\). Ergebnis: \(0\).

a) \(3{,}4a\) b) \(4k\) c) \(\frac{1}{4}x\) (oder \(0{,}25x\)) d) \(0\)

- Betrachte jede Lücke wie ein fehlendes gleichartiges Glied und vergleiche die Koeffizienten. - Bei einer Subtraktion fragst du: Was muss weggenommen werden, damit der Zielkoeffizient übrig bleibt? - Bei Teil c) helfen zwei entgegengesetzte Terme, die sich zu \(0\) ergänzen.

1. In a) fehlt der Unterschied zwischen \(12m\) und \(5m\): \(7m\). 2. In b) muss von \(8{,}4t\) genau \(6{,}3t\) abgezogen werden, damit \(2{,}1t\) bleibt. 3. In c) braucht \(-3b\) seinen entgegengesetzten Term \(3b\), damit sich beide aufheben. 4. In d) muss der erste Term \(-4p\) sein, denn \(-4p-6p=-10p\).

a) \(7m\) b) \(6{,}3t\) c) \(3b\) d) \(-4p\)

- Kannst du die Glieder mit der Variablen \(x\) und die Glieder ohne Variable getrennt voneinander betrachten? - Erinnere dich daran, wie man Klammern auflöst, wenn eine Zahl davor steht. - Achte genau darauf, welche Zahl mit der Klammer multipliziert wird.

1. Überprüfung von Term a: \(2x + 10 + 2x = (2x + 2x) + 10 = 4x + 10\). Dieser Term ist äquivalent. 2. Überprüfung von Term b: Anwendung des Distributivgesetzes: \(2 \cdot 2x + 2 \cdot 5 = 4x + 10\). Dieser Term ist äquivalent. 3. Überprüfung von Term c: Zusammenfassen der x-Glieder und der Zahlen: \(15x - 11x = 4x\) und \(12 - 2 = 10\). Das ergibt \(4x + 10\). Dieser Term ist äquivalent. 4. Überprüfung von Term d: Anwendung des Distributivgesetzes: \(4 \cdot x + 4 \cdot 10 = 4x + 40\). Da \(40 \neq 10\), ist dieser Term nicht äquivalent. 5. Überprüfung von Term e: Zusammenfassen der vier x-Glieder zu \(4x\) und der Zahlen \(7 + 3 = 10\). Das ergibt \(4x + 10\). Dieser Term ist äquivalent.

Die Terme a), b), c) und e) sind zum Term \(4x + 10\) äquivalent. Der Term d) ist nicht äquivalent, da er vereinfacht \(4x + 40\) ergibt.

- Beachte die Regel „Punkt-vor-Strich-Rechnung“. - Denke daran, dass ein Minuszeichen vor einer Variablen (wie \(-y\)) als \(-1 \cdot y\) verstanden werden kann. - Sortiere den Term zuerst so, dass alle Glieder mit Variablen nebeneinander stehen.

1. Vereinfachung von Teil a: Zuerst wird die Punktrechnung \(6x \cdot 2 = 12x\) ausgeführt. Dann werden die Glieder mit \(x\) zusammengefasst: \(12x - 4x + 9 = 8x + 9\). 2. Berechnung für Teil a: Einsetzen von \(x = -4\) ergibt \(8 \cdot (-4) + 9 = -32 + 9 = -23\). 3. Vereinfachung von Teil b: Die Zahlen ohne Variable werden addiert (\(3{,}5 + 1{,}2 = 4{,}7\)) und die Glieder mit \(y\) zusammengefasst (\(-8y - y = -9y\)). Der vereinfachte Term lautet \(4{,}7 - 9y\). 4. Berechnung für Teil b: Einsetzen von \(y = 0{,}5\) ergibt \(4{,}7 - 9 \cdot 0{,}5 = 4{,}7 - 4{,}5 = 0{,}2\).

a) Vereinfachter Term: \(8x + 9\); Wert für \(x = -4\): \(-23\) b) Vereinfachter Term: \(4{,}7 - 9y\); Wert für \(y = 0{,}5\): \(0{,}2\)

- Kann ein Term auch komplett wegfallen oder den Wert Null ergeben? - Rechne bei Term B schrittweise von links nach rechts, nachdem du die Multiplikation erledigt hast. - Wie multipliziert man eine Dezimalzahl mit einer ganzen Zahl?

1. Term A vereinfachen: \(15x - 8x - 7x = 7x - 7x = 0\). 2. Term B vereinfachen: Zuerst die Multiplikation ausführen \(3 \cdot 0{,}5z = 1{,}5z\), dann addieren und subtrahieren: \(1{,}2z + 0{,}8z - 1{,}5z = 2{,}0z - 1{,}5z = 0{,}5z\). 3. Wert für Term B berechnen: \(0{,}5 \cdot (-4) = -2\).

a) \(A = 0\) b) \(B = 0{,}5z\) Der Wert von Term \(B\) für \(z = -4\) ist \(-2\).

- Versuche, jeden Term so weit wie möglich zu vereinfachen. - Nutze das Distributivgesetz, um Klammern aufzulösen. - Fasse alle Glieder mit \(x\) und alle Glieder ohne Variable getrennt zusammen. - Achte auf die Vorrangregeln (Punkt-vor-Strich-Rechnung).

1. Überprüfung von a): \(3 \cdot (2x - 4) = 3 \cdot 2x - 3 \cdot 4 = 6x - 12\) (korrekt) 2. Überprüfung von b): \(6 \cdot (x - 2) = 6 \cdot x - 6 \cdot 2 = 6x - 12\) (korrekt) 3. Überprüfung von c): \(10x - 12 - 4x = (10x - 4x) - 12 = 6x - 12\) (korrekt) 4. Überprüfung von d): \(2x + 4x - 6 \cdot 2 = 6x - 12\) (korrekt) 5. Überprüfung von e): \(6x - 12 = 6x - 12\) (korrekt) 6. Überprüfung von f): \(x \cdot (6 - 12) = x \cdot (-6) = -6x\) (falsch) 7. Überprüfung von g): \(12x : 2 - 12 = 6x - 12\) (korrekt)

Die korrekten Terme sind: a), b), c), d), e) und g).

- Beim Zusammenfassen gleichartiger Glieder werden die Koeffizienten verrechnet; der gemeinsame Variablenfaktor bleibt erhalten. - Prüfe bei jedem Paar zuerst, ob die Variablen und Exponenten übereinstimmen. - Achte darauf, dass ein Exponent beim Addieren oder Subtrahieren gleichartiger Glieder nicht verändert wird.

1. a) ist falsch. Bei \(7x-x\) werden die Koeffizienten \(7\) und \(1\) subtrahiert; die Variable bleibt erhalten. Richtig ist \(6x\). 2. b) ist richtig. Beide Summanden sind gleichartig: \(\frac13x+\frac13x=\frac23x=\frac{2x}{3}\). 3. c) ist falsch. Die Glieder \(5a^2\) und \(-2a^2\) sind gleichartig, daher werden nur ihre Koeffizienten verrechnet. Richtig ist \(3a^2\); der Exponent ändert sich beim Zusammenfassen nicht. 4. d) ist richtig. \(4y+3y=(4+3)y=7y\).

a) Falsch: \(7x-x=6x\). b) Richtig. c) Falsch: \(5a^2-2a^2=3a^2\). d) Richtig.

- Achte genau auf das Vorzeichen vor der Klammer. - Was passiert mit den Vorzeichen in der Klammer, wenn ein Minus davor steht? - Du darfst nur gleichartige Glieder, also Glieder mit denselben Variablen und Exponenten, zusammenfassen.

1. Auflösen der Klammern unter Beachtung der Vorzeichen: a) \(12x - 5y + 3x - 4y\) b) \(8a - 2a + 7b - 10b\) c) \(-15m + 4n + 6m - 4n\) 2. Zusammenfassen der Koeffizienten gleicher Variablen: a) \((12 + 3)x + (-5 - 4)y = 15x - 9y\) b) \((8 - 2)a + (7 - 10)b = 6a - 3b\) c) \((-15 + 6)m + (4 - 4)n = -9m + 0 = -9m\)

a) \(15x - 9y\) b) \(6a - 3b\) c) \(-9m\)

- Kannst du die Glieder markieren, die dieselbe Variable enthalten? - Achte genau auf das Rechenzeichen vor jeder Zahl. - Was passiert mit einer Variablen, wenn die Summe ihrer Koeffizienten Null ergibt?

1. Sortieren und Zusammenfassen der Glieder mit der Variablen \(m\): \(12m + 3m = 15m\). 2. Sortieren und Zusammenfassen der Glieder mit der Variablen \(n\): \(-5n - 8n + 13n = (-5 - 8 + 13) \cdot n = 0n = 0\). 3. Kombinieren der Teilergebnisse: \(15m + 0 = 15m\).

\(15m\)

- Unterscheide genau zwischen \(x^2y\) und \(xy^2\). Sind sie gleichartig? - Es kann hilfreich sein, Brüche in Dezimalzahlen umzuwandeln oder umgekehrt, um besser rechnen zu können. - Überlege dir zuerst, welche Glieder du überhaupt zusammenrechnen darfst.

1. Identifikation gleichartiger Glieder: Die Glieder mit \(x^2y\) und die Glieder mit \(xy^2\) müssen getrennt betrachtet werden. 2. Zusammenfassen der \(x^2y\)-Glieder: \(2{,}4x^2y + 0{,}6x^2y = (2{,}4 + 0{,}6)x^2y = 3x^2y\). 3. Zusammenfassen der \(xy^2\)-Glieder durch Umwandlung des Bruchs in eine Dezimalzahl oder Hauptnennerbildung: \(-\frac{6}{10}xy^2 + \frac{1}{10}xy^2 = -0{,}6xy^2 + 0{,}1xy^2 = -0{,}5xy^2\). 4. Zusammenführung zum Endergebnis: \(3x^2y - 0{,}5xy^2\).

\(3x^2y - 0{,}5xy^2\)

- Zähle nach, wie oft jede Variable vorkommt. - Achte auf die Rechenzeichen vor den Zahlen und Variablen. - Erinnerst du dich, wie man Brüche mit dem gleichen Nenner addiert? - Du kannst Variablen wie Gegenstände behandeln – zum Beispiel „3 Äpfel plus 2 Äpfel“.

1. Addition gleicher Variablen: Vier gleiche Summanden \(a\) ergeben \(4a\). 2. Zusammenfassen nach Variablen: \(10x - 4x = 6x\) und \(5y + y = 6y\). Das Ergebnis ist \(6x + 6y\). 3. Addition von Brüchen mit gleichem Nenner: Die Zähler werden addiert, was \(5z\) im Zähler ergibt. Der Term lautet \(\frac{5z}{6}\) oder \(\frac{5}{6}z\).

1) \(4a\) 2) \(6x + 6y\) 3) \(\frac{5z}{6}\)

- Fasse nur Terme zusammen, die denselben Variablenteil besitzen. - Rechne bei Brüchen zuerst die Koeffizienten zusammen. - Ein unsichtbarer Koeffizient vor einer Variablen ist \(1\).

1. Subtraktion der Dezimalzahlen bei den Variablen: \(6{,}4m - 2{,}1m = 4{,}3m\) und \(3{,}5n - n = 2{,}5n\). Gesamtergebnis: \(4{,}3m + 2{,}5n\). 2. Zusammenfassen der Brüche: \(\frac{3c}{3} = c\) und \(\frac{2d}{2} = d\). Die Subtraktion ergibt \(c - d\). 3. Addition der Brüche mit Variable: \(\frac{2}{9}k + \frac{7}{9}k = k\). Danach folgt \(k-k=0\).

1) \(4{,}3m + 2{,}5n\) 2) \(c - d\) 3) \(0\)

- Zähle, wie oft jeder identische Summand vorkommt. - Das Vorzeichen gehört zum jeweiligen Summanden. - Nur vollständig gleichartige Terme dürfen durch einen gemeinsamen Koeffizienten zusammengefasst werden.

1. Addiere die vier identischen Summanden \(uv\): \(4uv\). 2. Addiere die drei identischen Summanden \(xyz\): \(3xyz\). 3. Gruppiere die Summanden nach Variablen: Zwei positive \(a\) ergeben \(2a\), drei negative \(b\) ergeben \(-3b\). Der Term lautet \(2a - 3b\).

1) \(4uv\) 2) \(3xyz\) 3) \(2a - 3b\)

- Wie oft kommt in Teil 1 derselbe vollständige Klammerausdruck als Summand vor? - Fasse in Teil 2 zuerst die gleichartigen Summanden im Zähler zusammen. - Schreibe die Summe in Teil 3 zunächst mit einem Koeffizienten.

1. Der gleiche Klammerausdruck \(c-d\) kommt dreimal als Summand vor. Daher ergibt sich \(3(c-d)\). 2. Im Zähler stehen sechs gleichartige Summanden \(pq\), also \(6pq\). Damit ist \(\frac{6pq}{9}=\frac{2}{3}pq\). 3. Die Summe aus fünf Gliedern \(ab\) ist \(5ab\). Nach der Subtraktion gilt \(5ab-2ab=3ab\).

1) \(3(c-d)\) 2) \(\frac{2}{3}pq\) 3) \(3ab\)

- Welche Teile des Terms haben genau die gleichen Variablen mit denselben Hochzahlen? - Achte beim Zusammenfassen besonders auf die Vorzeichen vor den Zahlen. - Man kann nur Termglieder addieren oder subtrahieren, die in ihrem Buchstabenteil völlig übereinstimmen.

1. Identifikation der gleichartigen Terme: Die Summanden mit \(x^2\) (\(0{,}7x^2\) und \(1{,}3x^2\)) sowie die Summanden mit \(x\) (\(-5x\) und \(2x\)) sind jeweils gleichartig. Die Konstante \(-11\) bleibt separat. 2. Zusammenfassen der \(x^2\)-Terme: \(0{,}7 + 1{,}3 = 2{,}0\), also \(2x^2\). 3. Zusammenfassen der \(x\)-Terme: \(-5 + 2 = -3\), also \(-3x\). 4. Aufstellen des vereinfachten Terms: \(2x^2 - 3x - 11\).

\(2x^2 - 3x - 11\)

- Was bedeutet es, gleichartige Terme zusammenzufassen? - Kannst du die Rechnung zuerst nur mit den Zahlen (Koeffizienten) vor der Variablen durchführen? - Worauf musst du achten, wenn ein Minuszeichen vor einer Klammer steht, in der eine negative Zahl steht? - Was passiert mit der Variablen, wenn das Ergebnis der Zahlenrechnung null ist?

1. Addition und Subtraktion der Koeffizienten von \(x\): \(1{,}5 + 3{,}2 - 0{,}7 = 4{,}0\). Das Ergebnis ist \(4x\). 2. Subtraktion eines negativen Terms: \(-4y + 7y\). Verrechnung der Koeffizienten: \(-4 + 7 = 3\). Das Ergebnis ist \(3y\). 3. Verrechnung der Koeffizienten von \(a\): \(12 - 15 = -3\), anschließend \(-3 + 3 = 0\). Da \(0 \cdot a = 0\), ist das Ergebnis \(0\).

1) \(4x\) 2) \(3y\) 3) \(0\)

- Vergleiche bei jeder Aufgabe nur die Koeffizienten der gleichartigen Glieder. - Frage bei einer Subtraktion: Welcher Term muss weggenommen werden, damit der Zielterm bleibt? - Für ein Ergebnis \(0\) brauchst du zu einem Term seinen entgegengesetzten Term.

1. Von \(7b\) müssen \(10b\) abgezogen werden, damit \(-3b\) übrig bleiben. Die Lücke ist \(10b\). 2. Zu \(-5k\) müssen \(7k\) addiert werden, damit \(2k\) entsteht. Die Lücke ist \(7k\). 3. Zuerst gilt \(4m-9m=-5m\). Der entgegengesetzte Term \(5m\) ergänzt \(-5m\) zu \(0\).

1) \(10b\) 2) \(7k\) 3) \(5m\)

- Was fällt dir an den Variablen und ihren Exponenten in jedem Teil der Aufgabe auf? - Kannst du Brüche in Dezimalzahlen umwandeln, um die Rechnung zu vereinfachen? - Denke daran, dass du nur die Zahlen vor den Variablen (die Koeffizienten) verrechnen musst. - Was passiert mit einem Term, wenn sein Koeffizient Null ergibt?

1. Berechnung für Teilaufgabe a): Umwandlung des Bruchs \(1\frac{4}{5}\) in die Dezimalzahl \(1{,}8\). Addition der Koeffizienten: \(4{,}2 - 6 + 1{,}8 = 0\). Da der Koeffizient null ist, verschwindet der gesamte Term. Ergebnis: \(0\). 2. Berechnung für Teilaufgabe b): Umwandlung des Bruchs \(2\frac{3}{4}\) in die Dezimalzahl \(2{,}75\). Subtraktion der Koeffizienten: \(2{,}75 - 1{,}5 - 3 = 1{,}25 - 3 = -1{,}75\). Ergebnis: \(-1{,}75x^2\).

a) \(0\) b) \(-1{,}75x^2\) (oder \(-1\frac{3}{4}x^2\))

- Welche Teile der Terme sind in jeder Teilaufgabe identisch? - Konzentriere dich nur auf die Zahlen vor den Variablen. - Achte besonders auf die Vorzeichen beim Rechnen mit Dezimalzahlen. - Was passiert mit dem Term, wenn die Summe der Zahlen Null ergibt?

1. Addition der Koeffizienten von \(x^2\): \(4{,}2 - 5{,}8 + 0{,}6 = -1{,}6 + 0{,}6 = -1\). Ergebnis: \(-x^2\). 2. Addition der Koeffizienten von \(ab^2\): \(-0{,}75 + 1{,}5 - 0{,}25 = 0{,}75 - 0{,}25 = 0{,}5\). Ergebnis: \(0{,}5ab^2\). 3. Addition der Koeffizienten von \(y^5\): \(12 - 15 - 3 + 7 = -3 - 3 + 7 = -6 + 7 = 1\). Ergebnis: \(y^5\). 4. Addition der Koeffizienten von \(z^3\): \(0{,}15 - 0{,}4 + 0{,}25 = -0{,}25 + 0{,}25 = 0\). Ergebnis: \(0\).

1) \(-x^2\) 2) \(0{,}5ab^2\) 3) \(y^5\) 4) \(0\)

- Darf man Terme mit unterschiedlichen Variablen oder unterschiedlichen Hochzahlen zusammenrechnen? - Sortiere den Term zuerst so, dass gleiche Variablen beieinander stehen. - Achte auf das Kommutativgesetz der Multiplikation bei Termen wie \(ab\) und \(ba\). - Behandle Zahlen ohne Variable wie eine eigene Gruppe.

1. Gruppieren und Verrechnen der \(m\)-Glieder (\(10 - 4 = 6\)) und der \(n\)-Glieder (\(-3 + 7 = 4\)). Ergebnis: \(6m + 4n\). 2. Zusammenfassen der \(x^2\)-Glieder (\(2 - 7 = -5\)) und der \(x\)-Glieder (\(5 - 1 = 4\)). Ergebnis: \(-5x^2 + 4x\). 3. Erkennen der Gleichartigkeit von \(ab\) und \(ba\) aufgrund des Kommutativgesetzes, Subtraktion der Koeffizienten (\(12 - 5 = 7\)); der Term \(4a\) bleibt alleinstehend. Ergebnis: \(7ab + 4a\). 4. Verrechnen der \(z\)-Glieder (\(\frac{3}{8} - \frac{1}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}\)) und der konstanten Zahlen (\(\frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1\)). Ergebnis: \(\frac{1}{4}z + 1\).

1) \(6m + 4n\) 2) \(-5x^2 + 4x\) 3) \(7ab + 4a\) 4) \(\frac{1}{4}z + 1\)

- Markiere Glieder mit den gleichen Variablen und Exponenten in der gleichen Farbe. - Vergiss nicht, dass das Vorzeichen (Plus oder Minus) immer zu der Zahl gehört, die direkt danach steht. - Was passiert, wenn man eine Zahl von sich selbst abzieht? - Überlege, ob man \(m^2\) und \(n\) zusammenrechnen darf.

1. Sortieren und Zusammenfassen der \(x^2\)- und \(x\)-Glieder: \(18x^2 - 5x^2 = 13x^2\) und \(7x - 7x = 0\). Ergebnis: \(13x^2\). 2. Zusammenfassen der \(a\)-Glieder und der konstanten Zahlen: \(-4a - 3a = -7a\) und \(-9 + 2 = -7\). Ergebnis: \(-7a - 7\). 3. Zusammenfassen der \(y^3\)- und \(y\)-Glieder: \(5y^3 - 3y^3 = 2y^3\) und \(-2y + 4y = 2y\). Ergebnis: \(2y^3 + 2y\). 4. Zusammenfassen der \(m^2\)- und \(n\)-Glieder: \(-2m^2 + 5m^2 = 3m^2\) und \(-n - 4n = -5n\). Ergebnis: \(3m^2 - 5n\).

1) \(13x^2\) 2) \(-7a - 7\) 3) \(2y^3 + 2y\) 4) \(3m^2 - 5n\)

- Achte bei Produkten wie \(pq\) und \(qp\) darauf, ob sie die gleichen Variablen enthalten. - Rechne zuerst die Koeffizienten (Zahlen vor den Variablen) zusammen. - Erinnere dich an die Regeln für das Rechnen mit Dezimalzahlen und Brüchen. - Darf man Terme mit unterschiedlichen Exponenten wie \(x^4\) und \(x^2\) zusammenfassen?

1. Zusammenfassen der Dezimalzahlen bei \(z^2\) und \(z\): \((3{,}5 + 1{,}5)z^2 = 5z^2\) und \((-1{,}2 - 0{,}8)z = -2z\). Ergebnis: \(5z^2 - 2z\). 2. Zusammenfassen der Brüche bei \(b\) und \(c\): \((\frac{2}{5} + \frac{3}{5})b = \frac{5}{5}b = b\) und \((-\frac{1}{2} - \frac{3}{2})c = -\frac{4}{2}c = -2c\). Ergebnis: \(b - 2c\). 3. Erkennen der Gleichartigkeit von \(pq\) und \(qp\): \(9pq + 2pq = 11pq\) und \(-4p - p = -5p\). Ergebnis: \(11pq - 5p\). 4. Zusammenfassen der Potenzen: \((1 + 2)x^4 = 3x^4\) und \((-3 + 3)x^2 = 0\). Ergebnis: \(3x^4\).

1) \(5z^2 - 2z\) 2) \(b - 2c\) 3) \(11pq - 5p\) 4) \(3x^4\)

- Markiere Glieder mit genau den gleichen Variablen und Exponenten in derselben Farbe. - Achte besonders auf das Vorzeichen vor jedem Glied. - Erinnere dich daran, dass eine Variable ohne sichtbare Zahl davor (wie \(a\)) den Koeffizienten \(1\) besitzt. - Können Glieder mit unterschiedlichen Exponenten (wie \(x^2\) und \(x\)) zusammengefasst werden?

1. Sortieren und Zusammenfassen der Koeffizienten von \(a\) (\(9 + 3 + 1 = 13\)) und \(b\) (\(-4 - 7 = -11\)). Ergebnis: \(13a - 11b\). 2. Zusammenfassen der quadratischen Glieder \(x^2\) (\(1{,}2 + 0{,}8 - 1 = 1\)) und der linearen Glieder \(x\) (\(-0{,}5 + 1{,}5 = 1\)). Ergebnis: \(x^2 + x\). 3. Gruppieren der Glieder mit \(u^2v\) (\(\frac{3}{8} + \frac{5}{8} = 1\)) und \(uv^2\) (\(-\frac{1}{2} + \frac{3}{4} = \frac{1}{4}\)). Ergebnis: \(u^2v + \frac{1}{4}uv^2\).

1) \(13a - 11b\) 2) \(x^2 + x\) 3) \(u^2v + \frac{1}{4}uv^2\)

- Markiere Terme mit der gleichen Variable in derselben Farbe, um den Überblick zu behalten. - Achte besonders auf das Zusammenfassen der negativen Dezimalzahlen. - Überlege dir bei den Dezimalzahlen, ob du wie beim Rechnen mit Geld (Euro und Cent) vorgehen kannst.

1. Sortieren der Terme nach den Variablen \(m\) und \(n\): \((4{,}7m + 1{,}3m - 5{,}2m) + (-2{,}15n - 3{,}85n)\) 2. Zusammenfassen der Koeffizienten für \(m\): \(4{,}7 + 1{,}3 - 5{,}2 = 6{,}0 - 5{,}2 = 0{,}8\) 3. Zusammenfassen der Koeffizienten für \(n\): \(-2{,}15 - 3{,}85 = -6{,}0\) 4. Aufstellen des Endergebnisses: \(0{,}8m - 6n\)

\(0{,}8m - 6n\)

- Vergleiche bei gleichartigen Gliedern direkt die Koeffizienten links und rechts. - Frage dich jeweils, welcher zusätzliche Term den vorhandenen Koeffizienten in den Zielkoeffizienten verwandelt. - In d) kannst du zuerst den bereits identischen Anteil auf beiden Seiten gedanklich ausblenden.

1. In a) fehlen zu \(8x\) noch \(7x\), damit \(15x\) entsteht. 2. In b) muss zu \(5a\) der Term \(-7a\) hinzukommen, damit \(-2a\) entsteht. 3. In c) müssen zu \(-4m\) noch \(10m\) addiert werden, damit \(6m\) entsteht. 4. In d) steht \(3b\) bereits auf beiden Seiten. Der noch fehlende Anteil ist daher \(-2c\).

a) \(7x\) b) \(-7a\) c) \(10m\) d) \(-2c\)

- Vergleiche jeweils die Koeffizienten derselben Variablen. - Bei b) fragst du direkt: Was muss von \(12\) abgezogen werden, damit \(-3\) entsteht? - Prüfe c) durch Zusammenfassen des eingesetzten Terms mit \(-8m\).

1. In a) ergänzen \(7b\) den Term \(-5b\) zu \(2b\). 2. In b) müssen von \(12k\) genau \(15k\) abgezogen werden, damit \(-3k\) bleibt. 3. In c) muss der erste Term \(-2m\) sein, denn \(-2m-8m=-10m\).

a) \(7b\) b) \(15k\) c) \(-2m\)

- Kannst du die Glieder markieren, die dieselben Buchstaben haben? - Achte besonders auf die Vorzeichen vor jeder Zahl. - Hilft es dir, den Term zuerst so umzusortieren, dass Gleiches nebeneinander steht? - Kann man Variablen mit verschiedenen Buchstaben (wie \(x\) und \(y\)) zusammenzählen?

1. Sortierung der Glieder nach Variablen und Konstanten: \(14x - 5x\), \(-8y + 2y\) und \(3 - 11\). 2. Zusammenfassen der \(x\)-Glieder: \(14 - 5 = 9\), ergibt \(9x\). 3. Zusammenfassen der \(y\)-Glieder: \(-8 + 2 = -6\), ergibt \(-6y\). 4. Zusammenfassen der Zahlen ohne Variable: \(3 - 11 = -8\). 5. Verknüpfung der Teilergebnisse zum vereinfachten Term: \(9x - 6y - 8\).

\(9x - 6y - 8\)

- Was unterscheidet Glieder mit \(a^2\) von Gliedern mit \(ab\)? - Welche Zahl steht unsichtbar vor einem Term wie \(-a^2\)? - Rechne die Dezimalzahlen schrittweise zusammen. - Überlege genau, welche Teile des Terms exakt die gleichen Variablenkombinationen besitzen.

1. Identifikation der gleichartigen Terme: Glieder mit \(a^2\) und Glieder mit \(ab\). 2. Berechnung der Koeffizienten für \(a^2\): \(2{,}4 + 0{,}6 - 1 = 2\). 3. Berechnung der Koeffizienten für \(ab\): \(-1{,}5 + 3 = 1{,}5\). 4. Aufstellen des resultierenden Terms: \(2a^2 + 1{,}5ab\).

\(2a^2 + 1{,}5ab\)

- Achte darauf, zuerst die Vorzeichenregeln beim Auflösen der Klammern anzuwenden. - Du kannst nur Glieder zusammenfassen, die exakt dieselben Variablen mit denselben Exponenten haben. - Berechne zuerst die Summe der Koeffizienten (die Zahlen vor den Variablen). - Was passiert mit einem Term, wenn sein Koeffizient Null ergibt?

1. Zusammenfassen der Koeffizienten: \(14 - 8 - 6 = 0\). Da der Koeffizient \(0\) ist, ergibt der gesamte Term \(0 \cdot z^3 = 0\). 2. Auflösen der Vorzeichen und Zusammenfassen der Koeffizienten: \(-4{,}2 - 1{,}5 + 0{,}7 = -5{,}7 + 0{,}7 = -5{,}0\). Das Ergebnis ist \(-5xy\). 3. Gleichnamig machen der Brüche und Zusammenfassen: \(\frac{3}{4} - \frac{2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\). Das Ergebnis ist \(\frac{1}{2}b^2\).

1) \(0\) 2) \(-5xy\) 3) \(\frac{1}{2}b^2\)

- Worauf musst du bei der Addition von Brüchen achten? - Welchen Koeffizienten hat eine Variable, vor der keine Zahl steht? - Was passiert mit den Exponenten, wenn du gleichartige Terme addierst? - Schau dir genau an, ob nur die Zahlen verrechnet wurden oder ob sich auch die Variablen verändert haben.

1. Überprüfung von \(5a - 8a\): Subtraktion der Koeffizienten \(5 - 8 = -3\). Ergebnis \(-3a\) ist korrekt. 2. Überprüfung von \(\frac{1}{2}x + \frac{1}{4}x\): Hauptnenner finden (\(4\)). \(\frac{2}{4}x + \frac{1}{4}x = \frac{3}{4}x\). Das Ergebnis \(\frac{2}{6}x\) ist falsch (Zähler und Nenner wurden fälschlicherweise addiert). Korrektes Ergebnis: \(\frac{3}{4}x\). 3. Überprüfung von \(-0{,}3y + y\): Beachtung des unsichtbaren Koeffizienten \(1\). \(-0{,}3 + 1 = 0{,}7\). Ergebnis \(0{,}7y\) ist korrekt. 4. Überprüfung von \(b^2 + b^2\): Gleichartige Terme werden addiert, indem man ihre Koeffizienten addiert (\(1 + 1 = 2\)). Die Exponenten bleiben gleich. Das Ergebnis \(2b^4\) ist falsch (Exponenten wurden addiert). Korrektes Ergebnis: \(2b^2\). 5. Überprüfung von \(4mn - mn\): Subtraktion der Koeffizienten \(4 - 1 = 3\). Ergebnis \(3mn\) ist korrekt.

Korrekt sind: 1), 3) und 5). Korrektur der fehlerhaften Aufgaben: 2) \(\frac{3}{4}x\) 4) \(2b^2\)

- Kannst du die Koeffizienten (die Zahlen vor den Variablen) separat berechnen? - Denke daran, dass eine Variable ohne sichtbare Zahl den Koeffizienten \(1\) hat. - Was bedeutet es für den gesamten Term, wenn die Summe der Zahlen genau Null ergibt? - Bei Brüchen hilft es, zuerst alle auf denselben Nenner zu bringen.

1. Teilaufgabe a): Zusammenfassen der Koeffizienten: \(-1{,}2 + 2{,}5 - 0{,}8 = 1{,}3 - 0{,}8 = 0{,}5\). Ergebnis: \(0{,}5k\). 2. Teilaufgabe b): Bringen der Koeffizienten auf den Hauptnenner \(6\): \(\frac{4}{6} - \frac{1}{6} - \frac{6}{6} = -\frac{3}{6} = -\frac{1}{2}\). Ergebnis: \(-\frac{1}{2}z\) oder \(-0{,}5z\). 3. Teilaufgabe c): Zusammenfassen der Koeffizienten: \(1{,}5 - 2 + 0{,}5 = -0{,}5 + 0{,}5 = 0\). Da der Koeffizient \(0\) ist, fällt der gesamte Term weg. Ergebnis: \(0\). 4. Teilaufgabe d): Bringen der Koeffizienten auf den Hauptnenner \(8\): \(\frac{6}{8} + \frac{1}{8} - \frac{8}{8} = \frac{7}{8} - \frac{8}{8} = -\frac{1}{8}\). Ergebnis: \(-\frac{1}{8}ab\).

a) \(0{,}5k\) b) \(-\frac{1}{2}z\) c) \(0\) d) \(-\frac{1}{8}ab\)

- Was bedeutet es, wenn zwei Glieder die exakt gleichen Variablen und Potenzen haben? - Wie verändern sich die Rechenzeichen, wenn du ein Plus vor einer Klammer mit einem Minuszeichen darin hast? - Versuche, zuerst alle Terme ohne Klammern untereinander zu schreiben.

1. Auflösen der Klammern unter Berücksichtigung der Vorzeichenregeln: \(12ab^2 - 5ab^2 - 8ab^2 - 2ab^2\) 2. Zusammenfassen der Koeffizienten der gleichartigen Glieder \(ab^2\): \(12 - 5 - 8 - 2 = -3\) 3. Ergebnis: \(-3ab^2\)

\(-3ab^2\)

- Kannst du Glieder mit \(x^3\) und Glieder mit \(x\) direkt miteinander verrechnen? - Achte beim Zusammenfassen der Dezimalzahlen besonders auf das Vorzeichen des Ergebnisses. - Es hilft oft, die Glieder, die zusammengehören, zuerst nebeneinander zu sortieren.

1. Sortieren der Glieder nach gleichen Variablen und Potenzen: \((0{,}7x^3 - 0{,}5x^3 - 0{,}4x^3) + (-1{,}2x + 2{,}5x)\) 2. Berechnung der Koeffizienten für \(x^3\): \(0{,}7 - 0{,}5 - 0{,}4 = -0{,}2\) 3. Berechnung der Koeffizienten für \(x\): \(-1{,}2 + 2{,}5 = 1{,}3\) 4. Zusammenführung der Teilergebnisse zum Endterm: \(-0{,}2x^3 + 1{,}3x\)

\(-0{,}2x^3 + 1{,}3x\)

- Welche Teile des Terms haben die genau gleiche Kombination aus Variablen und Potenzen? - Achte beim Zusammenfassen besonders auf die Vorzeichen vor den Zahlen. - Es hilft, die zusammengehörigen Teile mit verschiedenen Farben zu markieren oder zu unterstreichen. - Kannst du den Term so umstellen, dass alle ähnlichen Teile nebeneinander stehen?

1. Sortieren und Gruppieren der Glieder mit \(x^2\): \((4{,}8x^2 - 1{,}3x^2) = 3{,}5x^2\) 2. Sortieren und Gruppieren der Glieder mit \(x\): \((-2{,}5x - 0{,}5x) = -3{,}0x\) 3. Sortieren und Gruppieren der konstanten Glieder ohne Variable: \((3{,}7 - 1{,}2) = 2{,}5\) 4. Aufstellen des Gesamtergebnisses: \(3{,}5x^2 - 3x + 2{,}5\)

\(3{,}5x^2 - 3x + 2{,}5\)

- Worauf musst du achten, wenn du Terme mit denselben Variablen zusammenfasst? - Untersuche die Zahlen vor den Variablen (die Koeffizienten). - Was passiert mit den Variablen, wenn du die Koeffizienten addierst oder subtrahierst? - Achte besonders auf die Vorzeichen der einzelnen Glieder.

1. Identifikation der gleichartigen Glieder: Alle Summanden enthalten die Variablenkombination \(u^2v\). 2. Zusammenfassen der Koeffizienten: \(-12 + 5 - 3 + 11\). 3. Berechnung der Summe: \(-12 + 5 = -7\); \(-7 - 3 = -10\); \(-10 + 11 = 1\). 4. Aufstellen des Ergebnisterms: \(1 \cdot u^2v\), vereinfacht zu \(u^2v\).

\(u^2v\)

- Welche Teile des Terms enthalten dieselben Variablen? - Denke daran, dass ein einzelnes \(x\) dasselbe bedeutet wie \(1 \cdot x\) oder \(\frac{8}{8}x\). - Um Brüche zu addieren oder zu subtrahieren, müssen sie den gleichen Nenner haben. - Sortiere den Term zuerst um, damit alle gleichen Variablen nebeneinander stehen.

1. Identifikation und Gruppierung der \(x\)-Terme: \(\frac{3}{8}x + \frac{1}{4}x + x\). 2. Berechnung der Summe der \(x\)-Koeffizienten durch Erweitern auf den Nenner 8: \(\frac{3}{8} + \frac{2}{8} + \frac{8}{8} = \frac{13}{8}\). 3. Identifikation und Gruppierung der \(y\)-Terme: \(-\frac{1}{3}y - \frac{5}{6}y\). 4. Berechnung der Summe der \(y\)-Koeffizienten durch Erweitern auf den Nenner 6: \(-\frac{2}{6} - \frac{5}{6} = -\frac{7}{6}\). 5. Zusammenführen der Ergebnisse zum vereinfachten Term: \(\frac{13}{8}x - \frac{7}{6}y\).

\(\frac{13}{8}x - \frac{7}{6}y\)

- Welche Teile des Terms haben genau die gleichen Variablen mit den gleichen Hochzahlen? - Achte beim Zusammenfassen besonders auf die Vorzeichen vor den Zahlen. - Es hilft, gleichartige Glieder in der gleichen Farbe zu markieren oder zu unterstreichen. - Was passiert, wenn du eine größere Zahl von einer kleineren abziehst?

1. Sortieren und Gruppieren der gleichartigen Termglieder: \((7{,}5m^2 - 5{,}8m^2) + (-4{,}2mn + 2{,}3mn) + (1{,}6n^2 - 3{,}1n^2)\) 2. Berechnen der Koeffizienten für \(m^2\): \(7{,}5 - 5{,}8 = 1{,}7\) 3. Berechnen der Koeffizienten für \(mn\): \(-4{,}2 + 2{,}3 = -1{,}9\) 4. Berechnen der Koeffizienten für \(n^2\): \(1{,}6 - 3{,}1 = -1{,}5\) 5. Zusammenfügen der Ergebnisse zum vereinfachten Term: \(1{,}7m^2 - 1{,}9mn - 1{,}5n^2\)

\(1{,}7m^2 - 1{,}9mn - 1{,}5n^2\)

- Ist es einfacher für dich, mit Brüchen oder mit Dezimalzahlen zu rechnen? Wandle alles in eine einheitliche Form um. - Achte darauf, dass \(x^2\) und \(x\) unterschiedliche Glieder sind und nicht zusammengefasst werden können. - Vergiss nicht, auch die Zahlen ohne Variablen miteinander zu verrechnen.

1. Umwandlung der Brüche in Dezimalzahlen: \(\frac{3}{4} = 0{,}75\) und \(1\frac{1}{2} = 1{,}5\) 2. Umschreiben des Terms: \(1{,}2x^2 - 0{,}75x + 0{,}5 - 0{,}8x^2 + 1{,}5x - 1{,}1\) 3. Gruppieren der \(x^2\)-Glieder: \(1{,}2x^2 - 0{,}8x^2 = 0{,}4x^2\) 4. Gruppieren der \(x\)-Glieder: \(-0{,}75x + 1{,}5x = 0{,}75x\) 5. Gruppieren der konstanten Zahlen: \(0{,}5 - 1{,}1 = -0{,}6\) 6. Endgültiger Term: \(0{,}4x^2 + 0{,}75x - 0{,}6\)

\(0{,}4x^2 + 0{,}75x - 0{,}6\)

- Worauf musst du beim Auflösen einer Plusklammer achten? - Was bedeutet es, wenn Glieder „gleichartig“ sind? - Kannst du Glieder mit verschiedenen Variablen oder verschiedenen Exponenten zusammenrechnen? - Hilft es dir, die Glieder mit derselben Variable zuerst nebeneinander zu schreiben?

1. Auflösen der Klammern und Sortieren nach Variablen: \((12a + 5a) + (7b - 9b)\). Addition der Koeffizienten ergibt \(17a - 2b\). 2. Zusammenfassen der quadratischen Glieder, linearen Glieder und Konstanten: \((4x^2 + 2x^2) + (-3x + 5x) + (2 - 6)\). Dies führt zu \(6x^2 + 2x - 4\). 3. Addition der Dezimalzahlen bei der Variablen \(y\) und den Konstanten: \((2{,}4y + 0{,}6y) + (-1{,}5 + 3{,}8)\). Das Ergebnis ist \(3y + 2{,}3\).

1) \(17a - 2b\) 2) \(6x^2 + 2x - 4\) 3) \(3y + 2{,}3\)

- Welche Glieder haben jeweils genau den gleichen Variablenanteil? - Achte auf das Vorzeichen jedes Glieds, bevor du Koeffizienten zusammenfasst. - Bei Brüchen kann ein gemeinsamer Nenner helfen.

1. Beim ersten Termpaar werden die \(y\)-Glieder und die Konstanten jeweils zusammengefasst: \(9y+4y=13y\) und \(-12+15=3\). Damit ergibt sich \(13y+3\). 2. Beim zweiten Termpaar heben sich die \(a\)-Glieder auf; für die \(b\)-Glieder gilt \(8b-10b=-2b\). Damit ergibt sich \(-2b\). 3. Beim dritten Termpaar gilt \(2{,}5x^2-1{,}5x^2=x^2\), die \(x\)-Glieder heben sich auf und die Konstante \(-7\) bleibt. Damit ergibt sich \(x^2-7\). 4. Beim vierten Termpaar gilt \(\frac{1}{2}k+\frac{1}{4}k=\frac{3}{4}k\) und \(\frac{2}{3}-\frac{1}{6}=\frac{1}{2}\). Damit ergibt sich \(\frac{3}{4}k+\frac{1}{2}\).

1) \(13y + 3\) 2) \(-2b\) 3) \(x^2 - 7\) 4) \(\frac{3}{4}k + \frac{1}{2}\)

- Fasse die Glieder mit \(a\) getrennt von den konstanten Gliedern zusammen. - Achte auf die Vorzeichen der drei \(a\)-Glieder. - Prüfe anschließend, was von den konstanten Zahlen übrig bleibt.

1. Die Summe lautet \((3a-5)+(2-4a)+(a+3)\). 2. Die Variablenglieder ergeben \(3a-4a+a=0\). 3. Die konstanten Glieder ergeben \(-5+2+3=0\). 4. Insgesamt ergibt sich \(0\). Léas Behauptung ist korrekt.

Die Behauptung ist korrekt; die Summe ist \(0\).

- Suche zuerst alle Glieder, die genau die gleichen Variablen mit den gleichen Exponenten haben. - Addiere dann die Koeffizienten (die Zahlen vor den Variablen) dieser gleichartigen Glieder. - Achte besonders auf die Vorzeichen beim Addieren der Dezimalzahlen. - Es hilft oft, die Glieder mit den gleichen Variablen farbig zu markieren oder untereinander zu schreiben.

1. Gruppierung der Koeffizienten von \(a^2\): \(7{,}2 - 2{,}8 + 0{,}6 = 5{,}0\) 2. Gruppierung der Koeffizienten von \(ab\): \(-3{,}5 + 4{,}2 - 1{,}1 = -0{,}4\) 3. Gruppierung der Koeffizienten von \(b^2\): \(1{,}4 - 0{,}9 - 1{,}2 = -0{,}7\) 4. Zusammenfügen der Ergebnisse zum Gesamtterm: \(5a^2 - 0{,}4ab - 0{,}7b^2\)

\(5a^2 - 0{,}4ab - 0{,}7b^2\)

- Der Umfang des Quadrats ist das Vierfache seiner Seitenlänge. - Multipliziere bei diesem Term den Faktor vor der Klammer mit beiden Summanden. - Addiere beim Dreieck die drei Seitenterme und vergleiche anschließend die vereinfachten Ergebnisse.

1. Für das Quadrat gilt \(U_Q=4(1{,}5x+2y)\). 2. Ausmultiplizieren ergibt \(U_Q=6x+8y\). 3. Für das Dreieck gilt \(U_D=(2x+3y)+(3x+4y)+(x+y)\). 4. Zusammenfassen ergibt \(U_D=6x+8y\). 5. Beide Umfänge werden durch denselben Term beschrieben. Die Behauptung ist richtig.

Die Behauptung ist richtig; beide Umfangsterme vereinfachen sich zu \(6x+8y\).

- Der Umfang eines Dreiecks ist die Summe seiner drei Seitenlängen. - Sammle die \(x\)-Glieder und die \(y\)-Glieder getrennt. - Achte beim zweiten Seitenterm auf das Minus vor \(4y\).

1. Für den Umfang werden die drei Seitenterme addiert: \(U=(5x+2y)+(3x-4y)+(2x+3y)\). 2. Die \(x\)-Glieder ergeben \(5x+3x+2x=10x\). 3. Die \(y\)-Glieder ergeben \(2y-4y+3y=y\). 4. Damit lautet der vereinfachte Umfangsterm \(U=10x+y\).

\(10x+y\)

- Addiere für den Umfang alle vier Seitenterme. - Fasse die \(x\)-Glieder und die \(y\)-Glieder jeweils getrennt zusammen. - Vergiss die konstanten Glieder ohne Variable nicht.

1. Der Umfang ist die Summe der vier Seitenterme: \(U=(3x+2)+(2y-1)+(x+y+4)+(2x-y+3)\). 2. Die \(x\)-Glieder ergeben \(3x+x+2x=6x\). 3. Die \(y\)-Glieder ergeben \(2y+y-y=2y\). 4. Die Konstanten ergeben \(2-1+4+3=8\). 5. Damit lautet der Umfangsterm \(U=6x+2y+8\).

\(6x+2y+8\)

- Was bedeutet es, wenn Terme äquivalent sind? - Achte besonders auf das „Minus vor der Klammer“. Wie verändert es die Vorzeichen im Inneren? - Erinnere dich an die Regeln für das Addieren und Subtrahieren negativer Zahlen. - Kannst du jeden Term einzeln so weit wie möglich zusammenfassen?

1. Vereinfachung von Term A: \(-15a + 6a = -9a\) 2. Vereinfachung von Term B: \(-4a - 5a = -9a\) 3. Vereinfachung von Term C: Das Minuszeichen vor der Klammer kehrt die Vorzeichen in der Klammer um: \(-12a + 3a = -9a\) 4. Vereinfachung von Term D: \(2a - 11a = -9a\) 5. Vereinfachung von Term E: \(-a - 10a = -11a\) 6. Vergleich der Ergebnisse: Die Terme A, B, C und D ergeben alle \(-9a\) und sind somit äquivalent. Term E unterscheidet sich.

Die Terme A, B, C und D sind äquivalent, da sie alle den Wert \(-9a\) ergeben. Term E ist nicht äquivalent zu den anderen, da sein Wert \(-11a\) beträgt.

- Vergleiche jeweils die Koeffizienten derselben Variablen. - Bei einer Subtraktion kann auch ein negativer Term im Kästchen stehen; prüfe dann das doppelte Minus. - Setze deinen gefundenen Term zur Kontrolle direkt in die ursprüngliche Aussage ein.

1. Von \(7x\) muss \(-8x\) abgezogen werden, denn \(7x-(-8x)=15x\). 2. Von \(-4y\) müssen \(6y\) abgezogen werden, damit \(-10y\) entsteht. 3. Der erste Term muss \(-4z\) sein, denn \(-4z-(-3z)=-z\). 4. Zu \(-8w\) müssen \(10w\) hinzukommen, damit \(2w\) entsteht.

1) \(-8x\) 2) \(6y\) 3) \(-4z\) 4) \(10w\)

- Vergleiche jeweils nur die Koeffizienten der gleichartigen Potenzterme. - Achte darauf, dass das Subtrahieren eines negativen Terms einer Addition entspricht. - Setze deinen gefundenen Term zur Kontrolle in die Lücke ein.

1. Von \(4{,}5z^2\) muss ein negativer Term abgezogen werden, damit der Koeffizient auf \(7\) steigt. Mit \(-2{,}5z^2\) gilt \(4{,}5z^2-(-2{,}5z^2)=7z^2\). 2. Das Subtrahieren von \(-3x^3\) entspricht dem Addieren von \(3x^3\). Daher muss der erste Term \(-4x^3\) sein, denn \(-4x^3+3x^3=-x^3\). 3. Die Koeffizienten ergeben \(-1{,}2-0{,}8=-2\). Das Ergebnis ist \(-2a\).

1) \(-2{,}5z^2\) 2) \(-4x^3\) 3) \(-2a\)

- Was passiert mit den Vorzeichen, wenn man eine negative Zahl subtrahiert? - Kannst du eine ganze Zahl oder eine gemischte Zahl als Bruch schreiben? - Denk daran, dass man Brüche nur addieren oder subtrahieren kann, wenn sie denselben Nenner haben. - Vergiss nicht, die Variable im Ergebnis wieder mit hinzuschreiben.

1. Umwandlung der Subtraktion einer negativen Zahl in eine Addition: \(\frac{3}{5}a + a = \frac{3}{5}a + \frac{5}{5}a = \frac{8}{5}a = 1\frac{3}{5}a\). 2. Zusammenfassen der Vorzeichen und Finden des Hauptnenners \(4\): \(-\frac{2}{4}b + \frac{3}{4}b = \frac{1}{4}b\). 3. Umwandlung der gemischten Zahl in einen unechten Bruch und Erweitern auf den Hauptnenner \(6\): \(\frac{5}{3}c + \frac{5}{6}c = \frac{10}{6}c + \frac{5}{6}c = \frac{15}{6}c\). Kürzen ergibt \(\frac{5}{2}c = 2\frac{1}{2}c\).

1) \(\frac{8}{5}a\) oder \(1\frac{3}{5}a\) 2) \(\frac{1}{4}b\) 3) \(\frac{5}{2}c\) oder \(2\frac{1}{2}c\)

- Haben die Glieder in jeder Teilaufgabe genau den gleichen Variablenanteil? - Was bewirkt ein Minus vor einem bereits negativen Glied? - Fasse nur die Koeffizienten zusammen; der gemeinsame Variablenanteil bleibt erhalten.

1. Beim ersten Term werden die Koeffizienten subtrahiert: \(5{,}4-2{,}1=3{,}3\). Damit ergibt sich \(3{,}3k^2\). 2. Das Subtrahieren eines negativen Glieds wird zur Addition: \(-3{,}8x^4+5{,}2x^4=1{,}4x^4\). 3. Die Koeffizienten ergeben \(0{,}25-0{,}75=-0{,}5\). Damit ergibt sich \(-0{,}5m^2n\).

1) \(3{,}3k^2\) 2) \(1{,}4x^4\) 3) \(-0{,}5m^2n\)

- Welche Glieder besitzen genau denselben Variablenanteil? - Achte darauf, dass \(a^2b\) und \(ab^2\) nicht gleichartig sind. - Du kannst den Bruch in Teil 1 in eine Dezimalzahl umwandeln oder mit Brüchen weiterrechnen.

1. Es gilt \(\frac{3}{4}=0{,}75\). Für die Koeffizienten ergibt sich \(0{,}75-0{,}5-1{,}25=-1\). Damit lautet der Term \(-y^3\). 2. Die Glieder mit \(a^2b\) ergeben \((6{,}7-4{,}7)a^2b=2a^2b\). Die Glieder mit \(ab^2\) ergeben \((-2{,}3+0{,}3)ab^2=-2ab^2\). Insgesamt entsteht \(2a^2b-2ab^2\).

1) \(-y^3\) 2) \(2a^2b - 2ab^2\)

- Achte darauf, nur Terme mit exakt den gleichen Variablen und Potenzen zusammenzufassen. - Du kannst zuerst alle Terme ohne Klammern schreiben, bevor du rechnest. - Es hilft oft, zuerst alle positiven und dann alle negativen Koeffizienten zu betrachten. - Brüche mit gleichem Nenner kannst du direkt addieren oder subtrahieren.

1. Schrittweise Verrechnung der Koeffizienten: \(12 - 15 + 4 = 1\). Das Ergebnis ist \(xy\). 2. Auflösen der Klammern und Verrechnen der Koeffizienten: \(-5 + 8 - 3 = 0\). Das Ergebnis ist \(0\). 3. Addition der ersten beiden Terme: \(4{,}5z + 1{,}5z = 6{,}0z\). Anschließende Subtraktion: \(6z - 7z = -z\), kurz \(-z\). 4. Umwandlung in eine Addition: \(\frac{1}{2}x + \frac{3}{2}x = \frac{4}{2}x\). Kürzen des Bruchs ergibt \(2x\).

1) \(xy\) 2) \(0\) 3) \(-z\) 4) \(2x\)

- Was passiert mit den Rechenzeichen innerhalb einer Klammer, wenn ein Minuszeichen direkt davor steht? - Darfst du Äpfel und Birnen zusammenzählen? Überlege, welche Teile des Terms (z. B. mit \(x\) oder mit \(y\)) zueinander passen. - Achte beim Zusammenfassen genau auf die Vorzeichen der einzelnen Zahlen. - Unterscheide beim Vereinfachen zwischen Gliedern mit der Variablen im Quadrat (wie \(u^2\)) und Gliedern mit der einfachen Variablen (wie \(u\)).

1. Auflösen der Klammer in Teil a: Ein Minuszeichen vor einer Klammer kehrt alle Vorzeichen innerhalb der Klammer um. Aus \(-(4k + 3m)\) wird beim Auflösen der Klammer \(-4k - 3m\). Zusammenfassen: \(9k - 4k - 3m = 5k - 3m\). 2. Auflösen der Klammern in Teil b: Die erste Klammer kann weggelassen werden, die zweite erfordert eine Vorzeichenumkehr: \(2x - 8y - 5x + 3y\). Sortieren und Zusammenfassen der \(x\)- und \(y\)-Glieder: \((2-5)x + (-8+3)y = -3x - 5y\). 3. Auflösen der Klammer in Teil c: \(15u^2 - 7u^2 + 10u - 4u\). Zusammenfassen der Glieder mit \(u^2\) und der Glieder mit \(u\): \((15-7)u^2 + (10-4)u = 8u^2 + 6u\).

a) \(5k - 3m\) b) \(-3x - 5y\) c) \(8u^2 + 6u\)

- Ein Minus vor einer Klammer wirkt auf jedes Glied in der Klammer. - Nutze die Zahlenbeispiele erst nach der allgemeinen Umformung als Kontrolle. - Überlege, was ein Beispiel leisten kann und was für eine Aussage über alle Werte nötig ist.

1. Vor der Klammer steht ein Minuszeichen. Daher wechseln beim Auflösen beide Vorzeichen in der Klammer: \(x-(y-z)=x-y+z\). 2. Für \(20,8,5\) ergibt die linke Seite \(20-(8-5)=17\), die rechte Seite ebenfalls \(20-8+5=17\). 3. Für \(\frac56,\frac13,\frac12\) ergibt die linke Seite \(\frac56-(\frac13-\frac12)=1\), die rechte Seite ebenfalls \(\frac56-\frac13+\frac12=1\). 4. Die symbolische Umformung gilt für beliebige zulässige Werte. Zwei übereinstimmende Zahlenbeispiele sind dagegen nur Kontrollen und kein allgemeiner Beweis.

a) \(x-(y-z)=x-y+z\); aus \(+y\) und \(-z\) in der Klammer werden nach dem äußeren Minus \(-y\) und \(+z\). b) Beide Seiten ergeben im ersten Beispiel \(17\), im zweiten Beispiel \(1\). c) Die allgemeine Umformung beweist die Gleichheit für alle Werte; einzelne Beispiele prüfen nur spezielle Fälle.

- Was passiert mit den Vorzeichen innerhalb einer Klammer, wenn ein Minuszeichen davor steht? - Sortiere die Terme so, dass Glieder mit den gleichen Variablen (oder Variablenkombinationen) nebeneinander stehen. - Achte besonders auf das Zusammenfassen von negativen Zahlen. - Was ergibt \(4a^2 - 4a^2\)?

1. Auflösen der Klammern unter Beachtung des Minuszeichens vor der zweiten Klammer (alle Vorzeichen in der Klammer werden umgekehrt): \(6x - 9y + 4z - 15x - 3y + 8z\). 2. Zusammenfassen der Koeffizienten gleicher Variablen für Teil a): \((6 - 15)x + (-9 - 3)y + (4 + 8)z = -9x - 12y + 12z\). 3. Auflösen der Klammern für Teil b): \(4a^2 - ab + 2b^2 - 4a^2 - 5ab + 3b^2\). 4. Zusammenfassen der Koeffizienten für Teil b): \((4 - 4)a^2 + (-1 - 5)ab + (2 + 3)b^2 = -6ab + 5b^2\).

a) \(-9x - 12y + 12z\) b) \(-6ab + 5b^2\)

- Was passiert mit den Rechenzeichen in einer Klammer, wenn ein Minuszeichen direkt davor steht? - Markiere dir die Glieder, die die gleichen Variablenkombinationen haben, in der gleichen Farbe. - Achte beim Zusammenfassen besonders auf die Vorzeichen der einzelnen Zahlen.

1. Auflösen der Klammern unter Berücksichtigung des negativen Vorzeichens der zweiten Klammer, wodurch sich die Vorzeichen innerhalb dieser Klammer umkehren: \(4{,}7xy - 2{,}3yz + 5xz - 1{,}2xy - 3{,}7yz + 2xz\). 2. Zusammenfassen der Glieder mit \(xy\): \(4{,}7xy - 1{,}2xy = 3{,}5xy\). 3. Zusammenfassen der Glieder mit \(yz\): \(-2{,}3yz - 3{,}7yz = -6yz\). 4. Zusammenfassen der Glieder mit \(xz\): \(5xz + 2xz = 7xz\). 5. Zusammenführen der Ergebnisse zum vereinfachten Term: \(3{,}5xy - 6yz + 7xz\).

\(3{,}5xy - 6yz + 7xz\)

- Worauf musst du achten, wenn ein Minuszeichen vor einer Klammer steht? - Welche Teile des Terms darfst du zusammenzählen oder voneinander abziehen? - Hilft es dir, alle Brüche erst auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen? - Kannst du gemischte Zahlen wie \(1\frac{3}{4}\) in reine Brüche umwandeln, bevor du rechnest?

1. Auflösen der Klammern unter Beachtung des Minuszeichens: \(1\frac{3}{4}x - \frac{2}{5}y - \frac{1}{2}x - \frac{1}{10}y\). Gruppieren der \(x\)- und \(y\)-Glieder nach Umwandlung in Brüche mit gemeinsamem Nenner: \((\frac{7}{4} - \frac{2}{4})x + (-\frac{4}{10} - \frac{1}{10})y = \frac{5}{4}x - \frac{5}{10}y\). Gekürzt ergibt sich \(\frac{5}{4}x - \frac{1}{2}y\). 2. Auflösen der Klammern: \(\frac{2}{3}a^2 - \frac{1}{4}ab + \frac{1}{2}b^2 - \frac{1}{6}a^2 - \frac{3}{4}ab + b^2\). Zusammenfassen der Koeffizienten: \((\frac{4}{6} - \frac{1}{6})a^2 + (-\frac{1}{4} - \frac{3}{4})ab + (\frac{1}{2} + 1)b^2 = \frac{3}{6}a^2 - \frac{4}{4}ab + \frac{3}{2}b^2\). Gekürzt ergibt sich \(\frac{1}{2}a^2 - ab + \frac{3}{2}b^2\).

1) \(\frac{5}{4}x - \frac{1}{2}y\) (oder \(1\frac{1}{4}x - 0{,}5y\)); 2) \(\frac{1}{2}a^2 - ab + \frac{3}{2}b^2\)

- Von innen nach außen arbeiten: Welche Klammer sollte man zuerst betrachten? - Achte besonders auf das Vorzeichen direkt vor einer Klammer. - Was passiert mit den Vorzeichen innerhalb einer Klammer, wenn ein Minus davor steht? - Kannst du innerhalb der eckigen Klammer erst etwas zusammenfassen, bevor du sie auflöst?

1. Auflösen der inneren Klammer durch Umkehren der Vorzeichen aufgrund des Minuszeichens: \(2x - [5x - 3x - 4]\) 2. Zusammenfassen der gleichartigen Terme innerhalb der eckigen Klammer: \(2x - [2x - 4]\) 3. Auflösen der eckigen Klammer durch Umkehren der Vorzeichen: \(2x - 2x + 4\) 4. Verrechnen der Terme mit \(x\), woraus das Endergebnis \(4\) resultiert.

\(4\)

- Worauf musst du achten, wenn ein Minuszeichen direkt vor einer Klammer steht? - Welche Teile des Terms darfst du miteinander verrechnen? - Gibt es eine Regel für das Auflösen von Plus-Klammern? - Kannst du die Terme nach ihren Hochzahlen (Exponenten) sortieren, bevor du rechnest?

1. Auflösen der Klammern unter Beachtung der Vorzeichen: \( 4x^2 - 3x + 5 - 2x^2 - 5x + 7 + x^2 - 4x - 1 \). 2. Sortieren und Zusammenfassen der gleichartigen Glieder: - \( x^2 \)-Terme: \( (4 - 2 + 1)x^2 = 3x^2 \) - \( x \)-Terme: \( (-3 - 5 - 4)x = -12x \) - Konstante Terme: \( 5 + 7 - 1 = 11 \) 3. Gesamtergebnis: \( 3x^2 - 12x + 11 \).

\( 3x^2 - 12x + 11 \)

- Was passiert mit den Vorzeichen innerhalb einer Klammer, wenn ein Minus davorsteht? - Darf man \( a^3 \) und \( a^2 \) zusammenfassen? Warum oder warum nicht? - Achte besonders auf das Vorzeichen bei jedem einzelnen Glied. - Hilft es dir, die gleichartigen Glieder farbig zu markieren?

1. Auflösen der Klammern: \( 2a^3 - 5a^2 + a - 4a^3 + 2a^2 + 7 - a^2 + 3a - 4 \). Dabei ändern sich die Vorzeichen in der zweiten Klammer aufgrund des Minuszeichens davor. 2. Zusammenfassen der Potenzen von \( a \): - \( a^3 \)-Glieder: \( (2 - 4)a^3 = -2a^3 \) - \( a^2 \)-Glieder: \( (-5 + 2 - 1)a^2 = -4a^2 \) - \( a \)-Glieder: \( (1 + 3)a = 4a \) - Konstanten: \( 7 - 4 = 3 \) 3. Endergebnis: \( -2a^3 - 4a^2 + 4a + 3 \).

\( -2a^3 - 4a^2 + 4a + 3 \)

- Was passiert mit den Vorzeichen innerhalb einer Klammer, wenn ein Minuszeichen davor steht? - Sortiere die Terme so, dass diejenigen mit den exakt gleichen Variablen und Hochzahlen nebeneinander stehen. - Achte darauf, dass du nur Terme zusammenfasst, deren Variablenteil (einschließlich der Exponenten) völlig identisch ist.

1. Auflösen der Klammern unter Berücksichtigung des Minuszeichens vor der zweiten Klammer: \(4{,}5 x^2 y - 2{,}3 x y^2 + 1{,}2 x^2 y^2 - 1{,}8 x^2 y - 3{,}7 x y^2 + 0{,}5 x^2 y^2\). 2. Zusammenfassen der Koeffizienten für \(x^2 y\): \(4{,}5 - 1{,}8 = 2{,}7\). 3. Zusammenfassen der Koeffizienten für \(x y^2\): \(-2{,}3 - 3{,}7 = -6\). 4. Zusammenfassen der Koeffizienten für \(x^2 y^2\): \(1{,}2 + 0{,}5 = 1{,}7\). 5. Endergebnis durch Kombination der Teilterme: \(2{,}7 x^2 y - 6 x y^2 + 1{,}7 x^2 y^2\).

\(2{,}7 x^2 y - 6 x y^2 + 1{,}7 x^2 y^2\)

- Überprüfe sorgfältig jedes Vorzeichen beim Auflösen der Subtraktionsklammer. - Es hilft, die zusammengehörigen Terme farbig zu markieren oder zu unterstreichen. - Rechne die Koeffizienten für jede Variablengruppe Schritt für Schritt aus.

1. Auflösen aller Klammern; dabei ändern sich die Vorzeichen in der zweiten Klammer aufgrund des Minuszeichens: \(7{,}2 u^3 v^2 - 4{,}1 u v^3 + 2{,}5 w - 3{,}8 u^3 v^2 - 1{,}9 u v^3 + 0{,}4 w + 1{,}5 u v^3 - 3{,}2 w\). 2. Zusammenfassen der Koeffizienten für \(u^3 v^2\): \(7{,}2 - 3{,}8 = 3{,}4\). 3. Zusammenfassen der Koeffizienten für \(u v^3\): \(-4{,}1 - 1{,}9 + 1{,}5 = -4{,}5\). 4. Zusammenfassen der Koeffizienten für \(w\): \(2{,}5 + 0{,}4 - 3{,}2 = -0{,}3\). 5. Zusammenführen der Ergebnisse zum Endterm: \(3{,}4 u^3 v^2 - 4{,}5 u v^3 - 0{,}3 w\).

\(3{,}4 u^3 v^2 - 4{,}5 u v^3 - 0{,}3 w\)

- Welche Glieder des Terms gehören zusammen? - Was passiert mit den Vorzeichen innerhalb einer Klammer, wenn ein Minuszeichen davor steht? - Überprüfe dein Ergebnis, indem du die Klammern im Kopf wieder auflöst.

1. Identifikation der Glieder mit den Variablen \(b\) und \(c\): \(-7b\) und \(-5c\) 2. Identifikation der restlichen Glieder: \(14a\) und \(3\) 3. Zusammenfassung der restlichen Glieder in einer Klammer mit Pluszeichen: \((14a + 3)\) 4. Zusammenfassung der Glieder mit \(b\) und \(c\) unter Beachtung des Minuszeichens vor der Klammer: Umkehrung der Vorzeichen führt zu \(-(7b + 5c)\) 5. Verknüpfung der Teile zum neuen Term: \((14a + 3) - (7b + 5c)\)

\((14a + 3) - (7b + 5c)\)

- Kannst du die Terme zuerst nach ihren Variablen sortieren? - Achte besonders auf die Vorzeichen, wenn ein Minus vor einer Klammer steht. - Denke daran, dass man nur Glieder mit genau der gleichen Variablen und Potenz addieren oder subtrahieren darf. - Versuche, die Zahlen ohne Variablen am Ende separat zusammenzurechnen.

1. Berechnung von \(A + B + C\): Einsetzen der Terme ergibt \((4x^2 - 7y + 2) + (-2x^2 + 3y - 5) + (x^2 - y + 1)\). Sortieren nach Variablen: \((4 - 2 + 1)x^2 + (-7 + 3 - 1)y + (2 - 5 + 1)\). Ergebnis: \(3x^2 - 5y - 2\). 2. Berechnung von \(A - B - C\): Einsetzen ergibt \((4x^2 - 7y + 2) - (-2x^2 + 3y - 5) - (x^2 - y + 1)\). Auflösen der Minusklammern durch Vorzeichenumkehr: \(4x^2 - 7y + 2 + 2x^2 - 3y + 5 - x^2 + y - 1\). Zusammenfassen der Koeffizienten: \((4 + 2 - 1)x^2 + (-7 - 3 + 1)y + (2 + 5 - 1)\). Ergebnis: \(5x^2 - 9y + 6\).

1) \(3x^2 - 5y - 2\) 2) \(5x^2 - 9y + 6\)

- Denke an die Regel „Punkt vor Strich“. - Vereinfache zuerst die Produkte, bevor du addierst oder subtrahierst. - Nur Terme mit exakt den gleichen Variablenkombinationen können zusammengefasst werden. - Achte besonders auf das Vorzeichen, das bei der Multiplikation entsteht.

1. Zuerst wird das Produkt berechnet: \((-3x) \cdot (-2y) = 6xy\). Danach werden die gleichartigen Terme subtrahiert: \(6xy - 8xy = -2xy\). 2. Die beiden Produkte werden einzeln berechnet: \(4a \cdot (-b) = -4ab\) und \((-2a) \cdot (-3b) = 6ab\). Durch Addition der Ergebnisse erhält man \(-4ab + 6ab = 2ab\). 3. Die Multiplikation der ersten Faktoren ergibt \((-1) \cdot (-1) = 1\), sodass der erste Teil des Terms zu \(mn\) wird. Die Subtraktion ergibt \(mn - mn = 0\).

a) \(-2xy\) b) \(2ab\) c) \(0\)

- Markiere Glieder mit den exakt gleichen Variablen und Exponenten in derselben Farbe. - Achte besonders auf das Vorzeichen, das direkt vor jeder Zahl steht. - Was passiert, wenn du eine Zahl von ihrem Gegenteil subtrahierst oder sie dazu addierst?

1. Identifikation der gleichartigen Glieder: Die Glieder mit \(x^2\) sind \(9x^2\) und \(-12x^2\). Die Glieder mit \(xy\) sind \(-5xy\) und \(5xy\). Die Glieder mit \(y^2\) sind \(3y^2\) und \(-2y^2\). 2. Zusammenfassen der \(x^2\)-Glieder: \(9 - 12 = -3\), also \(-3x^2\). 3. Zusammenfassen der \(xy\)-Glieder: \(-5 + 5 = 0\), das Glied fällt weg. 4. Zusammenfassen der \(y^2\)-Glieder: \(3 - 2 = 1\), also \(1y^2\) bzw. \(y^2\). 5. Aufstellen des Gesamtergebnisses: \(-3x^2 + y^2\).

\(-3x^2 + y^2\)

- Unterscheide genau zwischen \(a^2b\) und \(ab^2\). Sind sie gleichartig? - Es hilft, Brüche in Dezimalzahlen umzuwandeln, wenn andere Glieder bereits als Dezimalzahlen gegeben sind. - Vergiss nicht das Glied am Ende, das keine Variablen hat.

1. Identifikation der gleichartigen Glieder: Glieder mit \(a^2b\) sind \(3{,}5a^2b\) und \(\frac{1}{2}a^2b\). Glieder mit \(ab^2\) sind \(-2ab^2\) und \(4ab^2\). Die Zahl \(-7\) hat kein gleichartiges Glied. 2. Berechnung der \(a^2b\)-Koeffizienten: Umrechnung \(\frac{1}{2} = 0{,}5\). Addition: \(3{,}5 + 0{,}5 = 4\), also \(4a^2b\). 3. Berechnung der \(ab^2\)-Koeffizienten: \(-2 + 4 = 2\), also \(2ab^2\). 4. Zusammenfügen aller Teile: \(4a^2b + 2ab^2 - 7\).

\(4a^2b + 2ab^2 - 7\)

- Welche Teile des Terms haben die exakt gleichen Variablen mit den gleichen Hochzahlen? - Es hilft, gleichartige Terme mit der gleichen Farbe zu markieren. - Achte besonders auf das Vorzeichen vor jeder Zahl. - Vergiss nicht, dass du nur die Zahlen vor den Variablen (die Koeffizienten) verrechnest.

1. Identifizieren der gleichartigen Terme: Die Terme mit \(x^2\) sind \(2{,}4x^2\) und \(0{,}8x^2\), die Terme mit \(xy\) sind \(-1{,}5xy\) und \(0{,}15xy\). Der Term \(-3{,}2y^2\) hat keine Entsprechung. 2. Zusammenfassen der \(x^2\)-Terme durch Addition der Koeffizienten: \(2{,}4 + 0{,}8 = 3{,}2\). Dies ergibt \(3{,}2x^2\). 3. Zusammenfassen der \(xy\)-Terme durch Addition der Koeffizienten: \(-1{,}5 + 0{,}15 = -1{,}35\). Dies ergibt \(-1{,}35xy\). 4. Zusammenstellen des gesamten Terms: \(3{,}2x^2 - 1{,}35xy - 3{,}2y^2\).

\(3{,}2x^2 - 1{,}35xy - 3{,}2y^2\)

- Schau dir die Hochzahlen ganz genau an – gehören \(a^2b\) und \(ab^2\) zusammen? - Wenn vor einer Variablen keine Zahl steht, welcher Wert ist dann gemeint? - Sortiere den Term zuerst so um, dass gleiche Variablenkombinationen nebeneinander stehen. - Achte darauf, auch reine Zahlen (Konstanten) getrennt von den Variablen zu behandeln.

1. Unterscheidung der Variablenkombinationen: \(a^2b\) und \(ab^2\) sind nicht gleichartig und müssen getrennt betrachtet werden. 2. Zusammenfassen der \(a^2b\)-Terme: Der erste Term \(a^2b\) hat den impliziten Koeffizienten \(1\). Rechnung: \(1 + 1{,}2 = 2{,}2\). Ergebnis: \(2{,}2a^2b\). 3. Zusammenfassen der \(ab^2\)-Terme: Rechnung der Koeffizienten: \(-0{,}4 + 0{,}15 = -0{,}25\). Ergebnis: \(-0{,}25ab^2\). 4. Der konstante Wert \(-0{,}75\) bleibt ohne Partner unverändert. 5. Kombination aller Teilergebnisse zum Endterm: \(2{,}2a^2b - 0{,}25ab^2 - 0{,}75\).

\(2{,}2a^2b - 0{,}25ab^2 - 0{,}75\)

- Welche Glieder haben die exakt gleiche Variable mit dem gleichen Exponenten? - Achte darauf, das Rechenzeichen vor jedem Glied als Vorzeichen zu betrachten. - Was passiert, wenn du einen Wert subtrahierst und ihn später wieder addierst? - Kannst du den Term übersichtlicher aufschreiben, indem du Gleiches nebeneinander stellst?

1. Identifizieren und Gruppieren der Glieder mit \(x^3\): \(12x^3 - 5x^3 = 7x^3\). 2. Identifizieren und Gruppieren der Glieder mit \(x^2\): \(-7x^2 + 7x^2 = 0\). 3. Die Glieder \(4x\) und \(-9\) haben keine Partner zum Zusammenfassen. 4. Kombinieren der Ergebnisse zum vereinfachten Term: \(7x^3 + 4x - 9\).

\(7x^3 + 4x - 9\)

- Fasse in \(T_1\) die \(b^2\)-Glieder, die \(b\)-Glieder und die Konstanten jeweils getrennt zusammen. - Vergleiche den vereinfachten Term anschließend direkt mit \(T_2\). - Zwei Terme sind äquivalent, wenn sie für alle zulässigen Einsetzungen denselben Wert liefern.

1. In \(T_1\) ergeben die \(b^2\)-Glieder \(6b^2-2b^2=4b^2\). 2. Die \(b\)-Glieder ergeben \(-4b+5b=b\). 3. Die Konstanten ergeben \(3-8=-5\). 4. Somit vereinfacht sich \(T_1\) zu \(4b^2+b-5\), also genau zu \(T_2\). Die Terme sind äquivalent.

Ja. \(T_1\) vereinfacht sich zu \(4b^2+b-5\) und ist daher zu \(T_2\) äquivalent.

- Welche Teile des Terms haben genau dieselben Variablen und Exponenten? - Was bedeutet es für den Wert, wenn du eine negative Zahl addierst? - Kannst du die Zahlen vor den Variablen für jede Sorte von Variable getrennt verrechnen? - Was passiert mit einem Term, wenn sein Koeffizient Null ergibt?

1. Identifikation der gleichartigen Terme mit \(x^2\) und \(y\): \(9x^2\), \(-5x^2\), \(-3x^2\) sowie \(-4y\), \(4y\). 2. Berechnung der Koeffizientensumme für \(x^2\): \(9 - 5 - 3 = 1\). 3. Berechnung der Koeffizientensumme für \(y\): \(-4 + 4 = 0\). 4. Zusammenfügen der Ergebnisse zu \(x^2 + 0\), was \(x^2\) ergibt.

\(x^2\)

- Achte darauf, nur Terme mit den exakt gleichen Variablenkombinationen zusammenzufassen. - Wie gehst du bei der Addition von Dezimalzahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen vor? - Ist \(ab\) dasselbe wie \(a^2\)? - Was bleibt übrig, wenn die Summe der Zahlen vor einer Variable Null ergibt?

1. Gruppieren der Terme nach Variablenkombinationen: \(ab\)-Terme (\(1{,}8ab\), \(-0{,}8ab\)) und \(a^2\)-Terme (\(-0{,}6a^2\), \(-1{,}4a^2\), \(2a^2\)). 2. Summieren der Koeffizienten für \(ab\): \(1{,}8 - 0{,}8 = 1{,}0\). 3. Summieren der Koeffizienten für \(a^2\): \(-0{,}6 - 1{,}4 + 2 = 0\). 4. Kombination der Ergebnisse \(ab + 0\) zum Endergebnis \(ab\).

\(ab\)

- Was passiert mit den Vorzeichen innerhalb einer Klammer, wenn ein Minuszeichen davor steht? - Welche Teile der Terme sind „gleichartig“ und dürfen miteinander verrechnet werden? - Achte besonders auf den Unterschied zwischen Gliedern mit Variablen (wie \(x\)) und Gliedern mit Potenzen (wie \(x^2\)). - Kannst du die Terme zuerst sortieren, bevor du sie zusammenrechnest?

1. Auflösen der Klammern unter Beachtung des Minuszeichens (Vorzeichenumkehr in der zweiten Klammer): \(8x + 12y - 5x + 3y\). Zusammenfassen der \(x\)-Glieder (\(8 - 5 = 3\)) und \(y\)-Glieder (\(12 + 3 = 15\)) ergibt \(3x + 15y\). 2. Auflösen der Klammern: \(4a^2 - 7a - a^2 - 2a\). Zusammenfassen der \(a^2\)-Glieder (\(4 - 1 = 3\)) und \(a\)-Glieder (\(-7 - 2 = -9\)) ergibt \(3a^2 - 9a\). 3. Auflösen der Klammern: \(9uv + 4v - 9uv + 6v\). Die Glieder mit \(uv\) heben sich auf (\(9 - 9 = 0\)), die \(v\)-Glieder ergeben \(4 + 6 = 10\). Das Ergebnis ist \(10v\). 4. Auflösen der Klammern: \(-3k + 5 + 7k - 2\). Zusammenfassen der \(k\)-Glieder (\(-3 + 7 = 4\)) und der konstanten Zahlen (\(5 - 2 = 3\)) ergibt \(4k + 3\).

a) \(3x + 15y\) b) \(3a^2 - 9a\) c) \(10v\) d) \(4k + 3\)

- Was passiert mit den Werten in einer Klammer, wenn man ein Minuszeichen davor setzt? - Stell dir vor, du multiplizierst den gesamten Klammerinhalt mit \(-1\). - Wie ändert sich ein Term wie \((a - b)\), wenn du jedes Vorzeichen darin umdrehst?

1. Um das Minuszeichen vor der Klammer in ein Pluszeichen zu ändern, müssen alle Vorzeichen innerhalb der Klammer umgekehrt werden: \( 12 + (-4a + 5b) \). 2. Um das Pluszeichen vor der Klammer in ein Minuszeichen zu ändern, müssen alle Vorzeichen innerhalb der Klammer umgekehrt werden: \( x - (-2y + 3z - 1) \). 3. Um das Minuszeichen vor der Klammer in ein Pluszeichen zu ändern, müssen alle Vorzeichen innerhalb der Klammer umgekehrt werden: \( 3k + (-k + m) \).

1) \( 12 + (-4a + 5b) \) 2) \( x - (-2y + 3z - 1) \) 3) \( 3k + (-k + m) \)

- Achte darauf, dass nur ein Teil des Terms in die Klammer kommt. - Was passiert mit dem Vorzeichen von \( -7b \), wenn es in eine Klammer wandert, vor der bereits ein Minus steht? - Überprüfe dein Ergebnis, indem du die Klammer im Kopf wieder auflöst.

1. Identifikation der betroffenen Glieder am Ende des Terms: \( -7b + 4c - 9 \). 2. Umkehrung der Vorzeichen dieser Glieder, um sie in eine Minusklammer zu setzen: \( 7b \), \( -4c \) und \( +9 \). 3. Zusammensetzen des Terms mit dem unveränderten ersten Glied \( 12a \) und der neu gebildeten Klammer: \( 12a - (7b - 4c + 9) \).

\( 12a - (7b - 4c + 9) \)

- Für den Umfang werden alle drei sichtbaren Seiten addiert. - Trenne beim Zusammenfassen die \(x\)-Glieder von den Konstanten. - Jede Seitenbeschriftung wird genau einmal verwendet.

1. Der Umfang ist die Summe der drei Seitenlängen: \((2x+1)+(x+3)+(3x-2)\). 2. Die \(x\)-Glieder ergeben \(2x+x+3x=6x\). 3. Die Konstanten ergeben \(1+3-2=2\). 4. Daher lautet der Umfangsterm \(6x+2\).

\(6x+2\)

- Beginne mit der innersten Klammer. - Achte bei jedem Minuszeichen vor einer Klammer auf beide Klammerglieder. - Fasse gleichartige Glieder erst zusammen, nachdem die betreffende Klammer aufgelöst ist.

1. Zuerst wird die innere Minusklammer aufgelöst: \(4x-(2x-3)=4x-2x+3=2x+3\). 2. Damit lautet der gesamte Term \(9x-(2x+3)\). 3. Die äußere Minusklammer ergibt \(9x-2x-3=7x-3\).

Innere Vereinfachung: \(4x-(2x-3)=2x+3\). Gesamter Term: \(9x-(2x+3)=7x-3\).

- Prüfe nicht zuerst die beiden Endergebnisse, sondern beginne mit der inneren Klammer. - Was geschieht mit \(+a\) und \(+4\), wenn die gesamte Klammer subtrahiert wird? - Löse die äußere Minusklammer erst auf, wenn der innere Ausdruck vereinfacht ist.

1. Zuerst wird die innere Klammer aufgelöst: \(2a-(a+4)=2a-a-4=a-4\). 2. Der gesamte Term lautet damit \(6a-(a-4)\). 3. Auflösen der äußeren Minusklammer ergibt \(6a-a+4=5a+4\). 4. Leon hat daher recht. Mira hat beim Auflösen mindestens einer Minusklammer ein Vorzeichen falsch übernommen.

Leon hat recht: \(2a-(a+4)=a-4\) und anschließend \(6a-(a-4)=5a+4\).

- Fasse zuerst nur die Glieder mit \(x\) zusammen. - Fasse danach die beiden konstanten Glieder zusammen. - Setze den Zahlenwert erst in den vollständig vereinfachten Term ein.

1. Die \(x\)-Glieder ergeben \(15x+5x=20x\). 2. Die konstanten Glieder ergeben \(-7+17=10\). 3. Der vereinfachte Term lautet \(20x+10\). 4. Für \(x=-1{,}2\) gilt \(20\cdot(-1{,}2)+10=-24+10=-14\).

a) \(20x+10\) b) \(-14\)

- Vereinfache jeden Term vollständig, bevor du den angegebenen Wert einsetzt. - In a) sind alle drei Glieder gleichartig; vergleiche nur ihre Koeffizienten. - Berechne in b) zuerst die Zahlenklammer. Welche beiden gleichartigen \(y\)-Glieder bleiben danach übrig?

1. In a) werden die Koeffizienten der \(x\)-Glieder zusammengefasst: \((15-4{,}5+0{,}5)x=11x\). 2. Für \(x=1{,}2\) ergibt sich \(11\cdot1{,}2=13{,}2\). 3. In b) wird zuerst die Zahlenklammer berechnet: \(12-5{,}5=6{,}5\). Damit lautet der Term \(6{,}5y-1{,}5y\). 4. Die gleichartigen Glieder ergeben \(5y\). 5. Für \(y=\frac{4}{5}\) ergibt sich \(5\cdot\frac{4}{5}=4\).

a) Vereinfachter Term: \(11x\); für \(x=1{,}2\): \(13{,}2\) b) Vereinfachter Term: \(5y\); für \(y=\frac{4}{5}\): \(4\)

- Setze die angegebenen Werte für \(x\) in die Terme ein und achte auf die Rechenregeln. - Was fällt dir an den Ergebnissen in den Zeilen auf? - Nutze das Distributivgesetz, um Klammern aufzulösen. - Fasse gleiche Glieder (Zahlen mit Variablen und Zahlen ohne Variablen) zusammen.

1. Berechnung der Tabellenwerte durch Einsetzen: Für \(x = 0\): \(A = 3 \cdot (0+4) = 12\), \(B = 3 \cdot 0+4 = 4\), \(C = 5 \cdot 0+12-2 \cdot 0 = 12\). Für \(x = 2\): \(A = 3 \cdot (2+4) = 18\), \(B = 3 \cdot 2+4 = 10\), \(C = 5 \cdot 2+12-2 \cdot 2 = 18\). Für \(x = 5\): \(A = 3 \cdot (5+4) = 27\), \(B = 3 \cdot 5+4 = 19\), \(C = 5 \cdot 5+12-2 \cdot 5 = 27\). 2. Vergleich der Ergebnisse: Die Werte für \(A\) und \(C\) sind für alle eingesetzten \(x\) identisch, während \(B\) andere Werte liefert. 3. Vereinfachung zur Bestätigung: Term \(A\): \(3(x + 4) = 3x + 12\). Term \(C\): \(5x + 12 - 2x = 3x + 12\). 4. Schlussfolgerung: Da \(A\) und \(C\) denselben vereinfachten Term \(3x + 12\) ergeben, sind sie äquivalent. Term \(B\) ist nicht äquivalent zu den anderen.

Die ausgefüllte Tabelle lautet: <table> <tr><td>\(x\)</td><td>\(0\)</td><td>\(2\)</td><td>\(5\)</td></tr> <tr><td>Term \(A\)</td><td>\(12\)</td><td>\(18\)</td><td>\(27\)</td></tr> <tr><td>Term \(B\)</td><td>\(4\)</td><td>\(10\)</td><td>\(19\)</td></tr> <tr><td>Term \(C\)</td><td>\(12\)</td><td>\(18\)</td><td>\(27\)</td></tr> </table> Die Terme \(A\) und \(C\) sind äquivalent, da beide vereinfacht \(3x + 12\) ergeben. Term \(B\) ist nicht äquivalent, da er für die gleichen \(x\)-Werte andere Ergebnisse liefert und sich nicht zu \(3x + 12\) vereinfachen lässt.

- Achte besonders auf das Vorzeichen vor der Klammer beim Ausgangsterm. - Wie verändert ein Minuszeichen vor einer Klammer die Vorzeichen innerhalb der Klammer? - Versuche, jeden Term so weit wie möglich zu vereinfachen, bis er die Form \(ax + b\) hat. - Kannst du Faktoren ausklammern oder Klammern ausmultiplizieren?

1. Vereinfachung des Ausgangsterms \(T\): Auflösen der Minusklammer ergibt \(12x - 4x - 8 = 8x - 8\). 2. Prüfung von \(T_1\): \(8x + 8\) ist nicht gleich \(8x - 8\). Nicht äquivalent. 3. Prüfung von \(T_2\): Ausmultiplizieren ergibt \(4 \cdot 2x - 4 \cdot 2 = 8x - 8\). Äquivalent. 4. Prüfung von \(T_3\): Zusammenfassen ergibt \(16x - 8x - 8 = 8x - 8\). Äquivalent. 5. Prüfung von \(T_4\): Ausmultiplizieren ergibt \(8 \cdot x - 8 \cdot 1 = 8x - 8\). Äquivalent.

Der vereinfachte Term ist \(T = 8x - 8\). Äquivalent zu \(T\) sind die Terme \(T_2\), \(T_3\) und \(T_4\), da sie sich alle zu \(8x - 8\) umformen lassen: \(T_2 = 4(2x - 2) = 8x - 8\) \(T_3 = 16x - 8 - 8x = 8x - 8\) \(T_4 = 8(x - 1) = 8x - 8\) \(T_1\) ist nicht äquivalent, da das Vorzeichen der Zahl falsch ist.

- Wenn du eine Zahl für \(x\) einsetzt, muss im Originalterm und im richtig vereinfachten Term dasselbe herauskommen. - Was passiert mit den Vorzeichen, wenn man eine negative Zahl mit einer anderen negativen Zahl multipliziert? - Schau dir den Schritt beim Auflösen der Klammer ganz genau an.

1. Einsetzen von \(x = 0\) in den Originalterm: \(6 \cdot 0 - 2 \cdot (0 - 4) = 0 - 2 \cdot (-4) = 8\). 2. Einsetzen von \(x = 0\) bei Lukas: \(4 \cdot 0 - 8 = -8\). 3. Einsetzen von \(x = 0\) bei Mia: \(4 \cdot 0 + 8 = 8\). 4. Vergleich: Mia hat das gleiche Ergebnis wie der Originalterm, Lukas nicht. Mia könnte recht haben. 5. Fehleranalyse: Lukas hat beim Auflösen der Klammer das Minuszeichen vor der \(2\) nicht auf die \(-4\) in der Klammer angewendet. Nach dem Distributivgesetz gilt \(-2 \cdot (-4) = +8\). Lukas hat fälschlicherweise \(-8\) geschrieben.

a) Für \(x = 0\) ergibt der Originalterm \(8\). Lukas erhält \(-8\), Mia erhält \(8\). Daher hat Mia recht. b) Lukas hat einen Vorzeichenfehler gemacht. Beim Multiplizieren von \(-2\) mit \(-4\) (aus der Klammer) muss das Ergebnis \(+8\) lauten. Lukas hat stattdessen die Subtraktion beibehalten und \(-8\) geschrieben.

- Betrachte zuerst nur das Minuszeichen vor der Klammer. - Prüfe jedes Glied in der Klammer einzeln auf sein Vorzeichen. - Fasse erst danach Variablenglieder und Zahlen getrennt zusammen.

1. Vor der Klammer steht ein Minus. Deshalb wechseln beim Auflösen beide Vorzeichen in der Klammer: \(12b-5b-7+3\). 2. Die Variablenglieder ergeben \(12b-5b=7b\). 3. Die Zahlen ergeben \(-7+3=-4\). 4. Der richtige Term ist \(7b-4\). Santiago hat das Vorzeichen der \(7\) beim Auflösen der Minusklammer nicht geändert.

Das Ergebnis ist falsch. Richtig ist \(7b-4\); beim Auflösen der Minusklammer muss aus \(+7\) ein \(-7\) werden.

- Kannst du die Zahlen in Term A zusammenfassen, auch wenn ein \(x\) dazwischen steht? - Wie verändert das Minuszeichen vor der Klammer in Term B die Werte innerhalb der Klammer beim Auflösen? - Was passiert mit der Variablen, wenn du einen Term vom anderen abziehst?

1. Vereinfachung von Term A durch Zusammenfassen der konstanten Zahlen: \(30 - 10 - 5 - x = 15 - x\). 2. Vereinfachung von Term B durch Auflösen der Klammer: \(30 - x - 5 = 25 - x\). 3. Berechnung der Differenz: \((25 - x) - (15 - x) = 25 - x - 15 + x = 10\). 4. Da sich die Variable \(x\) bei der Subtraktion der Terme gegenseitig aufhebt, ist der Unterschied immer \(10\), unabhängig vom Wert der Variablen.

a) Term A: \(15 - x\); Term B: \(25 - x\) b) Die Differenz beträgt \(10\). Sie hängt nicht von \(x\) ab, da sich die Variable bei der Subtraktion der Terme aufhebt.

- Welche Zahl steht unsichtbar vor dem letzten \(x\)? - Schreibe dir den Term mit allen sichtbaren Koeffizienten auf, bevor du rechnest. - Was passiert, wenn man ein \(x\) zu \(3x\) dazuzählt?

1. Identifikation der Koeffizienten des Terms: \(7\), \(-4\) und \(1\) (da \(x = 1 \cdot x\)). 2. Durchführung der Addition/Subtraktion: \(7 - 4 + 1 = 4\). 3. Vergleich: Das korrekte Ergebnis ist \(4x\). Somit hat Ben recht. 4. Fehleranalyse: Anna hat vermutlich die \(1\) beim letzten \(x\) ignoriert oder als \(0\) gewertet (\(7 - 4 = 3\)).

Ben hat recht. Rechnung: \(7x - 4x + 1x = (7 - 4 + 1)x = 4x\). Anna hat vermutlich den Koeffizienten \(1\) beim letzten \(x\) übersehen.

- Vereinfache jeden Term einzeln, bevor du versuchst, sie zu vergleichen. - Achte bei Termen mit Klammern darauf, jedes Element in der Klammer mit dem Faktor davor zu multiplizieren. - Vergiss nicht, nach dem Auflösen von Klammern noch einmal alles zusammenzufassen.

1. Vereinfachung von Term 1: \(6a + 2a - 12 = 8a - 12\). 2. Vereinfachung von Term 2: \(3a + 12 - a = 2a + 12\). 3. Vereinfachung von Term 3: \(4 \cdot 2a - 4 \cdot 3 = 8a - 12\). 4. Term 4 ist bereits vereinfacht: \(2a + 12\). 5. Vereinfachung von Term 5: \(10a - 2a - 12 = 8a - 12\). 6. Vereinfachung von Term 6: \(2 \cdot a + 2 \cdot 6 = 2a + 12\). 7. Gruppierung: Gruppe A (\(8a - 12\)) enthält die Terme 1, 3 und 5. Gruppe B (\(2a + 12\)) enthält die Terme 2, 4 und 6.

Gruppe 1 (äquivalent zu \(8a - 12\)): \(6a - 12 + 2a\); \(4(2a - 3)\); \(10a - 12 - 2a\). Gruppe 2 (äquivalent zu \(2a + 12\)): \(3(a + 4) - a\); \(2a + 12\); \(2(a + 6)\).

- Nutze in 1) denselben Wert für \(n\) in beiden Termen. - Beim Distributivgesetz wird jeder Summand in der Klammer mit dem Faktor davor multipliziert. - Überlege für 3), welche Zahl mit \(4\) multipliziert \(8\) ergibt.

1. Für \(n=2\) gilt \(T_1=16\), aber \(T_2=40\). Die Behauptung ist falsch. 2. Nach dem Distributivgesetz ist \(4(n+8)=4n+32\), nicht \(4n+8\). 3. Damit nach dem Ausmultiplizieren \(+8\) entsteht, muss in der Klammer \(+2\) stehen. Richtig ist \(4(n+2)=4n+8\).

1) \(T_1=16\), \(T_2=40\); die Behauptung ist falsch. 2) \(4(n+8)=4n+32\). 3) \(4(n+2)\)

- Was musst du beachten, wenn ein Minuszeichen direkt vor einer Klammer steht? - Kannst du die Terme zusammenfassen, die die gleiche Variable haben? - Setze den Wert für \(x\) erst ein, nachdem du den Term vereinfacht hast – das spart Rechenarbeit.

1. Vereinfachung von Term \(A\): Das Minuszeichen vor der Klammer kehrt die Vorzeichen innerhalb der Klammer um: \(A = 5x - 2x - 3\). Zusammenfassen der Glieder mit \(x\): \(5x - 2x = 3x\). Daraus folgt \(A = 3x - 3\). Da dies identisch mit Term \(B\) ist, sind sie äquivalent. 2. Berechnung für \(x = 4{,}5\): \(3 \cdot 4{,}5 - 3 = 13{,}5 - 3 = 10{,}5\).

1. \(A = 5x - 2x - 3 = 3x - 3\), was genau Term \(B\) entspricht. 2. Für \(x = 4{,}5\) ergeben beide Terme den Wert \(10{,}5\).

- Berechne zuerst beide Werte ganz in Ruhe. - Was passiert mit den Vorzeichen innerhalb einer Klammer, wenn ein Minuszeichen davor steht? - Versuche, die erste Zahl \(x\) und die zweite Zahl \(y\) zu nennen und schaue, was beim Verrechnen übrig bleibt.

1. Term A aufstellen: \((15{,}2 + 6{,}4) - (15{,}2 - 6{,}4)\). Summe berechnen: \(15{,}2 + 6{,}4 = 21{,}6\). Differenz berechnen: \(15{,}2 - 6{,}4 = 8{,}8\). Subtraktion: \(21{,}6 - 8{,}8 = 12{,}8\). 2. Term B aufstellen: \(2 \cdot 6{,}4\). Berechnung: \(2 \cdot 6{,}4 = 12{,}8\). 3. Vergleich: Beide Ergebnisse sind identisch (\(12{,}8\)). 4. Allgemeine Begründung: Bezeichnet man die erste Zahl allgemein mit \(x\) und die zweite mit \(y\), lautet Term A: \((x + y) - (x - y)\). Auflösen der Minusklammer ergibt \(x + y - x + y\). Zusammenfassen führt zu \(2y\), was genau der Beschreibung von Term B entspricht.

a) Term A: \((15{,}2 + 6{,}4) - (15{,}2 - 6{,}4) = 12{,}8\); Term B: \(2 \cdot 6{,}4 = 12{,}8\). b) Die Ergebnisse sind gleich. Begründung: \((x + y) - (x - y) = x + y - x + y = 2y\). Das Ergebnis hängt also nur von der zweiten Zahl ab.

- Vergleiche in Schritt 1 die Klammerform mit der ausgeschriebenen Summe. - In Schritt 2 ändern sich weder Zahlen noch Rechenzeichen, sondern nur die Reihenfolge der Summanden. - Schritt 3 kehrt eine bekannte Verteilung eines Faktors auf zwei Summanden um.

1. In Schritt 1 wird das Distributivgesetz zum Ausmultiplizieren verwendet: \(4(x+5)=4x+4\cdot5\). 2. In Schritt 2 wird das Kommutativgesetz der Addition verwendet. Dadurch stehen die beiden \(x\)-Glieder nebeneinander. 3. In Schritt 3 wird das Distributivgesetz in umgekehrter Richtung verwendet: Aus \(4x+6x\) wird \((4+6)x\). Dabei wird \(x\) ausgeklammert. 4. Schritt 2 macht die gemeinsame Struktur der gleichartigen \(x\)-Glieder sichtbar und erleichtert dadurch das anschließende Ausklammern beziehungsweise Zusammenfassen.

Schritt 1: Distributivgesetz. Schritt 2: Kommutativgesetz der Addition. Schritt 3: Distributivgesetz in umgekehrter Richtung; \(x\) wird ausgeklammert. Schritt 2 ordnet die gleichartigen \(x\)-Glieder nebeneinander und macht ihren gemeinsamen Faktor sichtbar.

- Welche Produkte unterscheiden sich nur durch die Reihenfolge ihrer Faktoren? - Bringe die Koeffizienten in b) in eine gemeinsame Zahlenform. - In c) sind \(z^2\)-Glieder und \(z\)-Glieder nicht gleichartig; sammle sie getrennt.

1. In a) können Faktoren in Produkten umgeordnet werden: \(yx^2=x^2y\) und \(y^2x=xy^2\). Damit ergibt sich \(7x^2y-7xy^2\). 2. In b) sind alle Glieder gleichartig. Die Koeffizienten ergeben \(\frac34-\frac12+2{,}5=2{,}75\). Somit lautet der Term \(2{,}75ab\). 3. In c) werden die \(z^2\)-Glieder und die \(z\)-Glieder getrennt zusammengefasst: \(z^2-3z^2=-2z^2\) und \(4z+z=5z\). Das Ergebnis ist \(-2z^2+5z\).

a) \(7x^2y-7xy^2\) b) \(2{,}75ab\) oder \(\frac{11}{4}ab\) c) \(-2z^2+5z\)

- Denke daran, dass \(a^3\) dasselbe ist wie \(1 \cdot a^3\). - Kannst du \(0{,}75\) als Bruch schreiben, um die Rechnung mit \(\frac{1}{4}\) zu erleichtern? - Sortiere die Glieder so, dass alle mit der gleichen Potenz von \(a\) nebeneinander stehen.

1. Zusammenfassen der Glieder mit \(a^3\): \(\frac{2}{3}a^3 + \frac{1}{6}a^3 - 1a^3 = (\frac{4}{6} + \frac{1}{6} - \frac{6}{6})a^3 = -\frac{1}{6}a^3\). 2. Zusammenfassen der Glieder mit \(a^2\): \(-0{,}75a^2 + 0{,}25a^2 = -0{,}5a^2\). 3. Aufstellen des vereinfachten Terms: \(-\frac{1}{6}a^3 - 0{,}5a^2\).

\(-\frac{1}{6}a^3 - 0{,}5a^2\)

- Vereinfache jeden Term nur mit den Rechenregeln, die zu seiner vorhandenen Struktur passen. - Prüfe zuerst, welche Glieder gleichartig sind und daher zusammengefasst werden können. - Wenn du vermutest, dass zwei Terme nicht äquivalent sind, kann eine einfache Einsetzung als Gegenbeispiel dienen.

1. Bei Paar A werden die gleichartigen \(x\)-Glieder zusammengefasst: \(7x-3x+8=4x+8\). Die Terme sind äquivalent. 2. Bei Paar B gilt \(8a:2=4a\). Auch diese Terme sind äquivalent. 3. Bei Paar C sind \(5\) und \(3b\) nicht gleichartig und können nicht zu \(8b\) zusammengefasst werden. Zum Gegencheck liefert \(b=0\) die Werte \(5\) und \(0\). Die Terme sind nicht äquivalent.

Paar A und Paar B sind äquivalent. Paar C ist nicht äquivalent.

- Unterscheide genau zwischen \(a^2b\) und \(ab^2\). Sind diese Glieder gleichartig? - Es hilft oft, Brüche in Dezimalzahlen umzuwandeln oder umgekehrt, um sie besser verrechnen zu können. - Vergiss nicht, die isolierte Zahl am Ende wieder anzufügen.

1. Identifikation gleichartiger Glieder: Terme mit der Variablenkombination \(a^2b\) (\(\frac{2}{5}a^2b\) und \(-0{,}6a^2b\)) und Terme mit \(ab^2\) (\(1\frac{1}{2}ab^2\) und \(-\frac{3}{4}ab^2\)). 2. Berechnung für \(a^2b\): Umwandlung von \(\frac{2}{5}\) in \(0{,}4\). Es ergibt sich \(0{,}4 - 0{,}6 = -0{,}2\). Der Teilterm lautet \(-0{,}2a^2b\). 3. Berechnung für \(ab^2\): Umwandlung in Dezimalzahlen oder Brüche. \(1{,}5 - 0{,}75 = 0{,}75\) (oder \(\frac{3}{2} - \frac{3}{4} = \frac{6}{4} - \frac{3}{4} = \frac{3}{4}\)). Der Teilterm lautet \(0{,}75ab^2\). 4. Endergebnis unter Berücksichtigung der Konstanten: \(-0{,}2a^2b + 0{,}75ab^2 + 5\) oder \(-\frac{1}{5}a^2b + \frac{3}{4}ab^2 + 5\).

\(-0{,}2a^2b + 0{,}75ab^2 + 5\) oder \(-\frac{1}{5}a^2b + \frac{3}{4}ab^2 + 5\)

- Wie findet man einen gemeinsamen Nenner für Brüche mit unterschiedlichen Nennern? - Achte besonders auf die Vorzeichen vor den einzelnen Brüchen. - Kannst du das Ergebnis am Ende noch weiter kürzen? - Bleiben die Variablen und ihre Hochzahlen beim Zusammenfassen gleich?

1. Berechnung für Teilaufgabe a): Alle Brüche auf den Hauptnenner \(12\) bringen: \(\frac{7}{12} - \frac{3}{12} - \frac{8}{12}\). Verrechnung der Zähler: \(7 - 3 - 8 = -4\). Kürzen des Bruchs: \(-\frac{4}{12} = -\frac{1}{3}\). Ergebnis: \(-\frac{1}{3}a^3\). 2. Berechnung für Teilaufgabe b): Alle Brüche auf den Hauptnenner \(8\) bringen: \(-\frac{4}{8} + \frac{5}{8} - \frac{6}{8}\). Verrechnung der Zähler: \(-4 + 5 - 6 = -5\). Ergebnis: \(-\frac{5}{8}b^4\).

a) \(-\frac{1}{3}a^3\) b) \(-\frac{5}{8}b^4\)

- Fasse zuerst die bereits bekannten gleichartigen Glieder zusammen. - Vergleiche anschließend nur die Koeffizienten mit dem Ziel auf der rechten Seite. - Überlege, welcher fehlende Koeffizient den Unterschied zwischen deinem Zwischenergebnis und dem Ziel ausgleicht.

1. Die bekannten Koeffizienten ergeben \(2{,}5+1{,}2=3{,}7\). Von \(3{,}7a^3b\) müssen \(3a^3b\) abgezogen werden, damit \(0{,}7a^3b\) bleibt. 2. Die bekannten Koeffizienten ergeben \(3{,}4-5=-1{,}6\). Damit insgesamt \(-2{,}1\) entsteht, muss noch der Koeffizient \(-0{,}5\) hinzukommen.

1) \(3a^3b\) 2) \(-0{,}5\)

- Schau genau hin: Haben die Variablen in jedem Glied exakt die gleichen Hochzahlen? - Was passiert mit einem Glied, wenn die Summe seiner Koeffizienten genau Null ergibt? - Sortiere den Term zuerst um, damit alle gleichartigen Glieder nebeneinander stehen. - Vergiss nicht, dass Zahlen ohne Variablen (Konstanten) am Ende separat stehen bleiben.

1. Identifikation gleichartiger Glieder: \(x^2y\) (\(17 + 3 = 20\)) und \(xy\) (\(-8 - 2 + 1 = -9\)). Ergebnis: \(20x^2y - 9xy\). 2. Berechnung der Koeffizienten für \(a^3b\) (\(2{,}5 + 0{,}5 - 3 = 0\)) und \(ab^3\) (\(-1{,}4 + 1{,}4 = 0\)). Beide Glieder heben sich vollständig auf. Ergebnis: \(0\). 3. Zusammenfassen der Brüche für \(z^2\) (\(\frac{2}{3} + \frac{1}{3} = 1\)) und \(z\) (\(-\frac{1}{4} - \frac{3}{4} = -1\)). Die Konstante \(5\) bleibt unverändert. Ergebnis: \(z^2 - z + 5\).

1) \(20x^2y - 9xy\) 2) \(0\) 3) \(z^2 - z + 5\)

- Welche Teile des Terms haben die exakt gleichen Variablen mit den gleichen Hochzahlen? - Achte darauf, das Rechenzeichen vor jedem Paket als Vorzeichen für den Koeffizienten mitzunehmen. - Es hilft, Brüche zuerst auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen, bevor du sie addierst oder subtrahierst. - Denk daran, dass man eine Variable ohne sichtbare Zahl davor als \(1 \cdot \text{Variable}\) betrachten kann.

1. Identifikation und Gruppierung der gleichartigen Terme mit denselben Variablen und Exponenten: \((\frac{1}{3}x^2y + \frac{5}{6}x^2y - \frac{1}{6}x^2y) + (-2\frac{1}{2}xy^2 - \frac{1}{4}xy^2)\) 2. Berechnung der Summe der Koeffizienten für \(x^2y\): \(\frac{2}{6} + \frac{5}{6} - \frac{1}{6} = \frac{6}{6} = 1\) 3. Berechnung der Summe der Koeffizienten für \(xy^2\): \(-2\frac{2}{4} - \frac{1}{4} = -2\frac{3}{4}\) (bzw. \(-\frac{11}{4}\)) 4. Zusammenfügen der Teilergebnisse zum vereinfachten Term: \(x^2y - 2\frac{3}{4}xy^2\)

\(x^2y - 2\frac{3}{4}xy^2\)

- Markiere dir die zusammengehörigen Glieder (z. B. alle mit \(x^2\)) in der gleichen Farbe. - Das Vorzeichen gehört immer direkt zur darauf folgenden Zahl oder Variablen. - Überlege dir ein Beispiel: Wenn \(x = 2\) ist, was ist dann \(x^2\) und was ist \(x\)? Kannst du sie einfach addieren wie Äpfel und Birnen?

1. Markieren und Zusammenfassen der gleichartigen Glieder: - Quadrate: \(5x^2 - 8x^2 = (5 - 8)x^2 = -3x^2\) - Lineare Glieder: \(-12x + 4x = (-12 + 4)x = -8x\) - Konstante Glieder: \(9 - 15 = -6\) 2. Zusammenfügen der Teilergebnisse: \(-3x^2 - 8x - 6\). 3. Begründung: Potenzen derselben Basis mit unterschiedlichen Exponenten (hier \(x^2\) und \(x^1\)) haben verschiedene Variablenteile und sind daher nicht gleichartig. Man kann sie addieren, aber nicht zu einem Produkt oder einer Potenz verschmelzen.

a) \(-3x^2 - 8x - 6\) b) Glieder mit \(x^2\) und \(x\) sind nicht gleichartig, da sie unterschiedliche Exponenten haben. Nur Glieder mit exakt gleicher Variablenbasis und gleichem Exponenten können zusammengefasst werden.

- Gruppiere in Term A nur Glieder mit exakt demselben Variablenfaktor. - Achte besonders darauf, \(a^2\) und \(ab\) nicht als gleichartig zu behandeln. - Vergleiche nach dem Zusammenfassen Koeffizienten und Vorzeichen direkt mit Term B.

1. In Term A sind die Glieder mit \(a^2\), die Glieder mit \(ab\) und das Glied mit \(b\) jeweils getrennte Gruppen. 2. Die \(a^2\)-Glieder ergeben \(1{,}5a^2-0{,}5a^2=a^2\). 3. Die \(ab\)-Glieder ergeben \(-2{,}4ab+3{,}1ab=0{,}7ab\). 4. Das Glied \(-0{,}6b\) bleibt unverändert. 5. Damit vereinfacht sich Term A zu \(a^2+0{,}7ab-0{,}6b\), also genau zu Term B. Die Terme sind äquivalent.

Ja. Term A vereinfacht sich zu \(a^2+0{,}7ab-0{,}6b\) und ist daher zu Term B äquivalent.

- Sortiere zuerst die Glieder mit \(x^2\) und die Glieder mit \(x\). - Welcher Teil des vereinfachten Terms soll im Zielergebnis verschwinden? - Welcher Term ist das additive Gegenteil dieses Glieds?

1. Die \(x^2\)-Glieder ergeben \((-4-2+7)x^2=x^2\). 2. Die \(x\)-Glieder ergeben \((9-12)x=-3x\). 3. Damit lautet der vereinfachte Term \(x^2-3x\). 4. Damit nur \(x^2\) übrig bleibt, muss das Glied \(-3x\) aufgehoben werden. 5. Der entgegengesetzte Term zu \(-3x\) ist \(3x\). Dieser muss addiert werden.

a) \(x^2-3x\) b) \(3x\)

- Achte genau darauf, welche Variable quadriert ist – \(u^2v\) und \(uv^2\) sind nicht gleichartig. - Beachte die Vorzeichen beim Auflösen der Klammern und beim Zusammenfassen. - Suche für die Koeffizienten von \(uv^2\) den kleinsten gemeinsamen Nenner von 2, 10 und 5. - Kannst du einen der Brüche im Ergebnis noch kürzen?

1. Gruppierung der Terme mit der Variablenkombination \(u^2v\): \(-\frac{4}{9}u^2v - \frac{1}{3}u^2v\). 2. Berechnung des Koeffizienten für \(u^2v\): \(-\frac{4}{9} - \frac{3}{9} = -\frac{7}{9}\). 3. Gruppierung der Terme mit der Variablenkombination \(uv^2\): \(\frac{1}{2}uv^2 - \frac{3}{10}uv^2 + \frac{1}{5}uv^2\). 4. Berechnung des Koeffizienten für \(uv^2\) durch Erweitern auf den Nenner 10: \(\frac{5}{10} - \frac{3}{10} + \frac{2}{10} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}\). 5. Aufstellen des Endergebnisses: \(-\frac{7}{9}u^2v + \frac{2}{5}uv^2\).

\(-\frac{7}{9}u^2v + \frac{2}{5}uv^2\)

- Achte genau darauf, welche Variablenkombinationen und Exponenten exakt übereinstimmen. - Was passiert mit einem Term, wenn du denselben Term einmal addierst und einmal subtrahierst? - Gehe Schritt für Schritt vor und markiere dir eventuell gleichartige Glieder in derselben Farbe.

1. Identifikation gleichartiger Terme mit den Variablenkombinationen \(r^2s\) und \(rs^2\): \((5r^2s - 4r^2s) + (-2rs^2 + 3rs^2)\). Ergebnis: \(r^2s + rs^2\). 2. Zusammenfassen der Potenzen von \(a\) und der Zahlen: \((a^3 - a^3) + (4a^2 + 2a^2) + (-7 + 7)\). Die Glieder \(a^3\) und die Konstanten heben sich gegenseitig auf, es bleibt \(6a^2\). 3. Kombination der drei Klammerausdrücke nach Variablen \(x\), \(y\) und \(z\): \((2x + x) + (3y - 5y + 2y) + (-4z + 2z + 2z)\). Die Glieder mit \(y\) und \(z\) ergeben jeweils Null, das Endergebnis ist \(3x\).

1) \(r^2s + rs^2\) 2) \(6a^2\) 3) \(3x\)

- Überlege, wie du aus einer Summe und einem bekannten Summanden den anderen Summanden zurückgewinnst. - Beim Subtrahieren eines ganzen Terms ändern sich alle Vorzeichen in der Klammer. - Fasse anschließend \(x^2\)-Glieder, \(x\)-Glieder und Zahlen getrennt zusammen.

1. Der fehlende Summand entsteht, indem der bekannte Summand von der Summe abgezogen wird: \(Q=(5x^2-3x+8)-(2x^2+4x-1)\). 2. Nach dem Auflösen der Minusklammer gilt \(Q=5x^2-3x+8-2x^2-4x+1\). 3. Zusammenfassen ergibt \(Q=3x^2-7x+9\).

\(3x^2-7x+9\)

- Bestimme zuerst den Term für den zweiten Zaunabschnitt. - Addiere anschließend die drei Abschnittsterme. - Fasse \(a\)-Glieder, \(b\)-Glieder und konstante Glieder jeweils getrennt zusammen.

1. Der zweite Abschnitt ist \((4a+3b)+(a-b+2)=5a+2b+2\) Meter lang. 2. Die Gesamtlänge ist \((4a+3b)+(5a+2b+2)+(2a+4b-5)\). 3. Die \(a\)-Glieder ergeben \(11a\), die \(b\)-Glieder \(9b\) und die Konstanten \(-3\). 4. Der vereinfachte Term lautet \(11a+9b-3\).

\(11a+9b-3\) Meter

- Bestimme zuerst die beiden neuen Seitenlängen. - Setze diese anschließend in die Umfangsformel für ein Rechteck ein. - Multipliziere den Faktor \(2\) am Ende mit jedem Summanden in der Klammer.

1. Die neue Länge ist \((4a+3b)+(a-b)=5a+2b\). 2. Die neue Breite ist \((2a+b)-b=2a\). 3. Der Umfang ist \(U=2((5a+2b)+2a)=2(7a+2b)\). 4. Ausmultiplizieren ergibt \(U=14a+4b\).

\(14a+4b\)

- Bestimme zuerst die Summe der beiden gegebenen Seitenterme. - „Um einen Term kürzer“ bedeutet, dass dieser gesamte Term subtrahiert wird. - Löse die Minusklammer sorgfältig auf und addiere danach alle drei Seiten.

1. Die Summe der ersten beiden Seiten ist \((a+4b)+(3a-2b+5)=4a+2b+5\). 2. Die dritte Seite ist \((4a+2b+5)-(2a+b+3)=2a+b+2\). 3. Der Umfang ist \((4a+2b+5)+(2a+b+2)=6a+3b+7\).

\(6a+3b+7\)

- Bringe in Teil 1 die Bruchkoeffizienten auf einen gemeinsamen Nenner. - Vergleiche in Teil 2 die Koeffizienten \(\frac{7}{10}\) und \(-\frac{2}{10}\). - Prüfe dein Ergebnis für Teil 2, indem du den gefundenen Term wirklich subtrahierst.

1. Mit dem Hauptnenner \(18\) ergibt sich \(\frac{8}{18}x-\frac{15}{18}x+\frac{6}{18}x=-\frac{1}{18}x\). 2. Gesucht ist der Term, der von \(\frac{7}{10}y\) abgezogen wird, damit \(-\frac{2}{10}y\) bleibt. Der Unterschied der Koeffizienten ist \(\frac{9}{10}\). Daher gehört \(\frac{9}{10}y\) in die Lücke.

1) \(-\frac{1}{18}x\) 2) \(\frac{9}{10}y\)

- Achte darauf, den gesamten zweiten Term in Klammern zu setzen, wenn du die Differenz bildest. - Wie hängen die Rechnungen \(10 - 4\) und \(4 - 10\) zusammen? Nutze diese Idee für den Vergleich in Aufgabenteil b. - Gehe beim Zusammenfassen schrittweise vor: erst die Quadrate, dann die einfachen Variablen, dann die Zahlen ohne Variable.

1. Aufstellen der Differenz \(P - Q\): \((12x^2 + 4x - 5) - (5x^2 - 2x + 7)\). 2. Auflösen der Klammer mit Vorzeichenumkehr: \(12x^2 + 4x - 5 - 5x^2 + 2x - 7\). 3. Zusammenfassen gleichartiger Glieder: \((12 - 5)x^2 + (4 + 2)x + (-5 - 7) = 7x^2 + 6x - 12\). 4. Aufstellen und Berechnen der Differenz \(Q - P\): \((5x^2 - 2x + 7) - (12x^2 + 4x - 5) = 5x^2 - 2x + 7 - 12x^2 - 4x + 5 = -7x^2 - 6x + 12\). 5. Vergleich und Begründung: Das Ergebnis von \(Q - P\) ist der Gegenterm zu \(P - Q\). Alle Vorzeichen der Koeffizienten haben sich umgedreht, da \(Q - P = -(P - Q)\) gilt.

a) \(7x^2 + 6x - 12\) b) \(Q - P = -7x^2 - 6x + 12\). Beobachtung: Alle Vorzeichen sind umgekehrt, da die Reihenfolge der Subtraktion vertauscht wurde.

- Vergleiche die Koeffizienten von \(m\), \(n\) und \(k\) jeweils getrennt. - Beachte, dass jedes Vorzeichen im gesuchten Klammerterm beim Subtrahieren seine Wirkung umkehrt. - Setze den gefundenen Term zur Kontrolle in die Minusklammer ein und löse sie auf.

1. Vergleiche für jede Variable getrennt den ersten Term mit dem Zielterm. 2. Beim \(m\)-Glied müssen \(5m\) abgezogen werden, denn \(12m-5m=7m\). 3. Beim \(n\)-Glied muss das Abziehen den Koeffizienten von \(-5\) auf \(+1\) ändern. Daher muss im Klammerterm \(-6n\) stehen, denn \(-5n-(-6n)=n\). 4. Beim \(k\)-Glied müssen \(6k\) abgezogen werden, denn \(2k-6k=-4k\). 5. Der gesuchte Term ist \(5m-6n+6k\).

\(5m-6n+6k\)

- Worauf musst du achten, wenn ein Minuszeichen direkt vor einer Klammer steht? - Welche Teile des Terms darfst du zusammenrechnen? Nur solche mit genau denselben Variablen? - Hilft es dir, die Glieder zuerst zu sortieren, bevor du rechnest? - Denk daran, Brüche auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen, bevor du sie addierst oder subtrahierst.

1. Auflösen der Klammern unter Beachtung des Minuszeichens vor der zweiten Klammer (Umkehrung aller Vorzeichen in der Klammer): \(\frac{3}{10}x^2 - \frac{2}{3}xy + \frac{5}{6}y^2 - \frac{1}{5}x^2 - \frac{1}{4}xy + \frac{1}{2}y^2\) 2. Ordnen der Glieder nach Variablen: \((\frac{3}{10}x^2 - \frac{1}{5}x^2) + (-\frac{2}{3}xy - \frac{1}{4}xy) + (\frac{5}{6}y^2 + \frac{1}{2}y^2)\) 3. Berechnen der Koeffizienten für \(x^2\): \(\frac{3}{10} - \frac{2}{10} = \frac{1}{10}\) 4. Berechnen der Koeffizienten für \(xy\): \(-\frac{8}{12} - \frac{3}{12} = -\frac{11}{12}\) 5. Berechnen der Koeffizienten für \(y^2\): \(\frac{5}{6} + \frac{3}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}\) 6. Endergebnis: \(\frac{1}{10}x^2 - \frac{11}{12}xy + \frac{4}{3}y^2\)

\(\frac{1}{10}x^2 - \frac{11}{12}xy + \frac{4}{3}y^2\)

- Gehe schrittweise vor und markiere dir eventuell Glieder mit gleichen Variablen in derselben Farbe. - Achte besonders auf die Vorzeichen, wenn du die mittlere Klammer auflöst. - Was passiert mit dem Vorzeichen von \(-\frac{1}{6}a\), wenn die Klammer davor ein Minus hat? - Vergiss nicht, am Ende auch die reinen Zahlenwerte ohne Variablen zusammenzufassen.

1. Auflösen aller Klammern: \(2a^3 - \frac{5}{8}a^2 + \frac{1}{3}a - \frac{3}{4}a^3 - a^2 + \frac{1}{6}a - 1 + \frac{1}{2}a^3 - \frac{1}{4}\) 2. Zusammenfassen der \(a^3\)-Glieder: \(2 - \frac{3}{4} + \frac{1}{2} = \frac{8}{4} - \frac{3}{4} + \frac{2}{4} = \frac{7}{4}\) 3. Zusammenfassen der \(a^2\)-Glieder: \(-\frac{5}{8} - 1 = -\frac{5}{8} - \frac{8}{8} = -\frac{13}{8}\) 4. Zusammenfassen der \(a\)-Glieder: \(\frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\) 5. Zusammenfassen der konstanten Zahlen: \(-1 - \frac{1}{4} = -\frac{4}{4} - \frac{1}{4} = -\frac{5}{4}\) 6. Zusammengefasster Term: \(\frac{7}{4}a^3 - \frac{13}{8}a^2 + \frac{1}{2}a - \frac{5}{4}\)

\(\frac{7}{4}a^3 - \frac{13}{8}a^2 + \frac{1}{2}a - \frac{5}{4}\)

- Es ist oft einfacher, wenn du alle Zahlen im Term in das gleiche Format (z. B. Dezimalzahlen) bringst. - Unterscheide genau zwischen \(a^2b\) und \(ab^2\) – das sind unterschiedliche Glieder, die man nicht zusammenzählen darf. - Gehe schrittweise vor: erst die Klammern weg, dann sortieren, dann rechnen.

1. Umwandlung der Brüche in Dezimalzahlen für eine einheitliche Rechnung: \(\frac{1}{2} = 0{,}5\) und \(\frac{1}{4} = 0{,}25\). 2. Auflösen der Klammern: Die Minus-Klammer bewirkt eine Vorzeichenumkehr (\(-0{,}3ab^2 + 1{,}5a^2b\)), während die Plus-Klammer die Vorzeichen unverändert lässt (\(-0{,}7ab^2 + 0{,}25a^2b\)). 3. Sortieren und Zusammenfassen der \(a^2b\)-Glieder: \(0{,}5a^2b + 1{,}5a^2b + 0{,}25a^2b = 2{,}25a^2b\). 4. Sortieren und Zusammenfassen der \(ab^2\)-Glieder: \(-0{,}3ab^2 - 0{,}7ab^2 = -1{,}0ab^2\). 5. Endergebnis: \(2{,}25a^2b - ab^2\).

\(2{,}25a^2b - ab^2\)

- Wandle zuerst alle Brüche in Dezimalzahlen um, damit du leichter rechnen kannst. - Achte besonders auf das Minuszeichen vor der zweiten Klammer – was passiert mit den Vorzeichen innerhalb der Klammer? - Markiere dir Glieder mit den gleichen Variablen (z. B. \(x^2\) oder \(xy\)) in der gleichen Farbe.

1. Umwandlung der Brüche in Dezimalzahlen: \(4\frac{1}{2} = 4{,}5\), \(\frac{4}{5} = 0{,}8\) und \(3\frac{1}{2} = 3{,}5\). 2. Auflösen der Klammern unter Beachtung des Minuszeichens vor der zweiten Klammer: \(4{,}5x^2 - 0{,}3xy + 2y^2 - 1{,}75x^2 - 0{,}8xy + 3{,}5y^2\). 3. Zusammenfassen der gleichartigen Glieder: \((4{,}5 - 1{,}75)x^2 + (-0{,}3 - 0{,}8)xy + (2 + 3{,}5)y^2\). 4. Berechnung der Koeffizienten: \(2{,}75x^2 - 1{,}1xy + 5{,}5y^2\).

\(2{,}75x^2 - 1{,}1xy + 5{,}5y^2\)

- Was passiert mit den Vorzeichen in der Klammer, wenn ein Minus davor steht? - Es hilft oft, Brüche in Dezimalzahlen umzuwandeln, wenn im Term bereits Dezimalzahlen vorkommen. - Achte darauf, nur Glieder mit den exakt gleichen Variablen und Potenzen zusammenzufassen.

1. Umwandlung der Brüche in Dezimalzahlen: \(2\frac{1}{2} = 2{,}5\), \(\frac{3}{4} = 0{,}75\) und \(1\frac{1}{4} = 1{,}25\). 2. Einsetzen in den Term: \((4{,}8a^2 - 2{,}5ab + 0{,}75b^2) - (1{,}3a^2 - 3{,}75ab - 1{,}25b^2)\). 3. Auflösen der Klammern unter Beachtung der Vorzeichenregeln: \(4{,}8a^2 - 2{,}5ab + 0{,}75b^2 - 1{,}3a^2 + 3{,}75ab + 1{,}25b^2\). 4. Ordnen und Zusammenfassen gleichartiger Glieder: \((4{,}8 - 1{,}3)a^2 + (-2{,}5 + 3{,}75)ab + (0{,}75 + 1{,}25)b^2\). 5. Berechnung der Koeffizienten: \(3{,}5a^2 + 1{,}25ab + 2b^2\).

\(3{,}5a^2 + 1{,}25ab + 2b^2\)

- Kannst du den Bruch \(\frac{3}{8}\) als Dezimalzahl schreiben? - Überlege genau, welche Vorzeichen sich beim Auflösen der zweiten Klammer ändern. - Gibt es Teile des Terms, die sich gegenseitig aufheben?

1. Umrechnung der Brüche: \(\frac{3}{8} = 0{,}375\) und \(1\frac{1}{5} = 1{,}2\). 2. Einsetzen: \((0{,}6z^2 - 0{,}375z + 1{,}2) - (-1{,}4z^2 + 0{,}125z + 1{,}2)\). 3. Klammern auflösen (Minuszeichen vor der Klammer kehrt alle Vorzeichen im Inneren um): \(0{,}6z^2 - 0{,}375z + 1{,}2 + 1{,}4z^2 - 0{,}125z - 1{,}2\). 4. Zusammenfassen der Terme mit \(z^2\), \(z\) und der konstanten Glieder: \((0{,}6 + 1{,}4)z^2 + (-0{,}375 - 0{,}125)z + (1{,}2 - 1{,}2)\). 5. Endergebnis berechnen: \(2z^2 - 0{,}5z + 0\), also \(2z^2 - 0{,}5z\).

\(2z^2 - 0{,}5z\)

- Löse zuerst jede Minusklammer auf und ändere dabei alle Vorzeichen in dieser Klammer. - Fasse danach nur Glieder mit derselben Variable zusammen. - Bringe die Bruchkoeffizienten einer Variablengruppe auf einen gemeinsamen Nenner.

1. Die Minusklammer wird aufgelöst: \(\frac{5}{6}a-\frac{3}{4}b-\frac{1}{3}a-\frac{1}{4}b\). Die \(a\)-Glieder ergeben \(\frac{1}{2}a\), die \(b\)-Glieder \(-b\). Das Ergebnis ist \(\frac{1}{2}a-b\). 2. Nach dem Auflösen der Klammern lautet der Term \(x-\frac{1}{2}y+\frac{1}{3}z-\frac{1}{2}x-y+\frac{2}{3}z+\frac{1}{4}x-\frac{1}{2}y-z\). 3. Die \(x\)-Koeffizienten ergeben \(1-\frac12+\frac14=\frac34\), die \(y\)-Koeffizienten \(-\frac12-1-\frac12=-2\), und die \(z\)-Koeffizienten \(\frac13+\frac23-1=0\). 4. Das Ergebnis von Teil 2 ist \(\frac34x-2y\).

1) \(\frac{1}{2}a-b\) 2) \(\frac{3}{4}x-2y\)

- Identifiziere zuerst die innerste Klammer und löse sie auf. - Sortiere die Terme innerhalb der eckigen Klammer nach ihren Variablen und Potenzen. - Denk daran, dass nur Terme mit exakt derselben Variablen und Potenz (z. B. \(a^2\)) zusammengefasst werden können. - Überprüfe nach jedem Schritt, ob sich Vorzeichen geändert haben.

1. Auflösen der inneren runden Klammer unter Beachtung des Minuszeichens: \(10a^2 - [4a^2 + 6a - a^2 + 2a]\) 2. Zusammenfassen gleichartiger Terme (\(a^2\) mit \(a^2\) und \(a\) mit \(a\)) innerhalb der eckigen Klammer: \(10a^2 - [3a^2 + 8a]\) 3. Auflösen der eckigen Klammer (Vorzeichenwechsel wegen des Minuszeichens davor): \(10a^2 - 3a^2 - 8a\) 4. Endgültiges Zusammenfassen der \(a^2\)-Terme führt zum Ergebnis \(7a^2 - 8a\).

\(7a^2 - 8a\)

- Wie verändern sich die Vorzeichen in einer Klammer, wenn ein Minuszeichen davor steht? - Es ist oft hilfreich, von der innersten Klammer zur äußersten vorzugehen. - Achte darauf, nur Glieder mit den exakt gleichen Variablenpotenzen (z. B. \( x^2 \)) zusammenzufassen. - Kannst du den Term innerhalb einer Klammer erst vereinfachen, bevor du die Klammer ganz weglässt?

1. Auflösen der inneren runden Klammern unter Berücksichtigung der Vorzeichen: \( 4x^2 - [3y^2 - 2x^2 - 5xy + y^2 + x^2 - 5xy] \) 2. Zusammenfassen der Terme innerhalb der eckigen Klammer: \( 4x^2 - [-x^2 - 10xy + 4y^2] \) 3. Auflösen der eckigen Klammer (Minuszeichen vor der Klammer kehrt alle Vorzeichen um): \( 4x^2 + x^2 + 10xy - 4y^2 \) 4. Zusammenfassen der finalen Glieder: \( 5x^2 + 10xy - 4y^2 \)

\( 5x^2 + 10xy - 4y^2 \)

- Was passiert mit den Vorzeichen innerhalb einer Klammer, wenn du eine Subtraktion ausführst? - Gehe schrittweise vor und schreibe nach jedem Auflösen einer Klammer den gesamten Term neu auf. - Markiere dir am besten gleichartige Glieder (z. B. alle mit \( a \)) in derselben Farbe. - Achte besonders auf das „Minus vor der Klammer“ – das ist eine häufige Fehlerquelle.

1. Auflösen der innersten runden Klammer: \( 10a - \{3b - [4a - 5b + 2c + a - c]\} \) 2. Vereinfachen des Inhalts der eckigen Klammer: \( 10a - \{3b - [5a - 5b + c]\} \) 3. Auflösen der eckigen Klammer durch Vorzeichenumkehr: \( 10a - \{3b - 5a + 5b - c\} \) 4. Vereinfachen des Inhalts der geschweiften Klammer: \( 10a - \{8b - 5a - c\} \) 5. Auflösen der geschweiften Klammer und finales Zusammenfassen: \( 10a - 8b + 5a + c = 15a - 8b + c \)

\( 15a - 8b + c \)

- In welcher Reihenfolge löst man geschachtelte Klammern am besten auf? - Was passiert mit den Vorzeichen in einer Klammer, wenn ein Minuszeichen davor steht? - Kannst du den Ausdruck innerhalb der eckigen Klammer zuerst vereinfachen, bevor du die Klammer selbst auflöst? - Achte darauf, nur Terme mit derselben Variablen zusammenzufassen.

1. Auflösen der runden Klammer innerhalb der eckigen Klammer: \( 3y - 2x - 5y + 7x = 5x - 2y \). 2. Einsetzen in den Gesamtausdruck: \( 4x - [5x - 2y] - (x - 2y) \). 3. Auflösen der eckigen Klammer (Minuszeichen beachten): \( 4x - 5x + 2y - (x - 2y) \). 4. Auflösen der verbleibenden runden Klammer: \( 4x - 5x + 2y - x + 2y \). 5. Zusammenfassen gleichartiger Glieder: \( -2x + 4y \).

\( -2x + 4y \)

- Arbeite dich von der innersten zur äußersten Klammer vor. - Achte besonders auf das Minuszeichen vor der geschweiften und der eckigen Klammer. - Behandle \( a^2 \) und \( a \) als unterschiedliche Bausteine, die nicht direkt addiert werden können. - Überprüfe nach jedem Schritt, ob du innerhalb einer Klammer bereits etwas zusammenfassen kannst.

1. Auflösen der innersten runden Klammer und Vereinfachen des Inhalts der eckigen Klammer: \( 2a - 3a^2 + a = 3a - 3a^2 \). 2. Einsetzen des vereinfachten Ausdrucks in die geschweifte Klammer und Anpassen der Vorzeichen: \( 5a^2 - [3a - 3a^2] + 4a \). 3. Auflösen der eckigen Klammer innerhalb der geschweiften Klammer: \( 5a^2 - 3a + 3a^2 + 4a = 8a^2 + a \). 4. Einsetzen in den Gesamtausdruck: \( 10a^2 - \{ 8a^2 + a \} \). 5. Auflösen der geschweiften Klammer und Zusammenfassen: \( 10a^2 - 8a^2 - a = 2a^2 - a \).

\( 2a^2 - a \)

- Wie gehst du vor, wenn du Glieder mit einem negativen Vorzeichen in eine Minus-Klammer schreibst? - Stell dir vor, du würdest die Klammern wieder auflösen – käme dann der ursprüngliche Term heraus? - Was besagt die Vorzeichenregel für das Auflösen von Minusklammern?

1. Gruppierung der Glieder \(20u\) und \(10w\) in der ersten Klammer: \((20u + 10w)\) 2. Bestimmung der verbleibenden Glieder: \(-15v\) und \(-5\) 3. Setzen des Minuszeichens vor die zweite Klammer und Anpassung der Vorzeichen der verbleibenden Glieder: \(-(15v + 5)\) 4. Aufstellen des gesamten Ausdrucks: \((20u + 10w) - (15v + 5)\) 5. Begründung für b): Ein Minuszeichen vor einer Klammer kehrt beim Auflösen alle Vorzeichen im Inneren um; um den ursprünglichen Wert \(-5\) beizubehalten, muss in der Klammer \(+5\) stehen, da \(-( \dots + 5) = \dots - 5\) ergibt.

a) \((20u + 10w) - (15v + 5)\) b) Da ein Minuszeichen vor der Klammer steht, müssen die Vorzeichen der Glieder in der Klammer umgedreht werden, damit der Gesamtwert des Terms beim Auflösen der Klammer gleich bleibt.

- Vergleiche beim Zielterm und beim vorgegebenen Summanden jeweils die \(x\)-Glieder, die \(y\)-Glieder und die Konstanten. - Welche Glieder müssen zum ersten Summanden noch dazukommen, damit die jeweiligen Koeffizienten des Zielterms entstehen? - Prüfe deinen zweiten Summanden, indem du beide Summanden zusammenfasst.

1. Vergleiche den vorgegebenen Summanden \(x-3y\) gliedweise mit dem Zielterm \(4x-7y+2\). 2. Beim \(x\)-Glied fehlen \(3x\), beim \(y\)-Glied fehlen \(-4y\), und die Konstante \(2\) fehlt vollständig. 3. Der zweite Summand ist daher \(3x-4y+2\). 4. Zur Kontrolle gilt \((x-3y)+(3x-4y+2)=4x-7y+2\).

\((x-3y)+(3x-4y+2)\)

- Vergleiche die Koeffizienten der \(a^2\)-Glieder im Minuenden und im Zielterm. - Denke daran, dass beim Auflösen einer Minusklammer alle Vorzeichen im Subtrahenden wechseln. - Prüfe deine Differenz, indem du die Minusklammer wieder auflöst und gleichartige Glieder zusammenfasst.

1. Der Minuend \(7a^2-2\) soll nach der Subtraktion den Zielterm \(3a^2-5a-4\) ergeben. 2. Beim \(a^2\)-Glied muss deshalb \(4a^2\) subtrahiert werden, denn \(7a^2-4a^2=3a^2\). 3. Damit nach dem Auflösen der Minusklammer \(-5a\) und \(-4\) entstehen, müssen im Subtrahenden zusätzlich \(+5a\) und \(+2\) stehen. 4. Der gesuchte Subtrahend ist \(4a^2+5a+2\). Zur Kontrolle gilt \((7a^2-2)-(4a^2+5a+2)=3a^2-5a-4\).

\((7a^2-2)-(4a^2+5a+2)\)

- Hilft es dir, erst den Inhalt der Klammer auszurechnen, bevor du das Minus davor berücksichtigst? - Was passiert mit einem Glied wie \(t\), wenn am Ende \(t - t\) gerechnet wird? - Gehe Schritt für Schritt vor und schreibe jede Zeile neu auf, um Rechenfehler bei den Vorzeichen zu vermeiden.

1. Berechnung von \(u - v + w\): Einsetzen ergibt \((3r - 5s + 2t) - (-r + 4s - 3t) + (2r - s + t)\). Auflösen der Klammern: \(3r - 5s + 2t + r - 4s + 3t + 2r - s + t\). Zusammenfassen gleichartiger Glieder: \((3 + 1 + 2)r + (-5 - 4 - 1)s + (2 + 3 + 1)t\). Ergebnis: \(6r - 10s + 6t\). 2. Berechnung von \(-(u + v) - w\): Zuerst Summe in der Klammer berechnen: \(u + v = (3-1)r + (-5+4)s + (2-3)t = 2r - s - t\). Dann Einsetzen in den Gesamtausdruck: \(-(2r - s - t) - (2r - s + t)\). Klammern auflösen: \(-2r + s + t - 2r + s - t\). Zusammenfassen: \((-2 - 2)r + (1 + 1)s + (1 - 1)t = -4r + 2s\).

1) \(6r - 10s + 6t\) 2) \(-4r + 2s\)

- Löse die geschachtelten Klammern von innen nach außen auf. - Achte beim äußeren Minus auf beide Vorzeichen in der Klammer. - Setze die Zahlen erst nach der vollständigen symbolischen Vereinfachung ein.

1. Zuerst wird die innere Klammer berücksichtigt: \(2a^2-[3ab-a^2-2ab]\). 2. In der eckigen Klammer ergibt sich \(ab-a^2\). 3. Auflösen der äußeren Klammer liefert \(2a^2-ab+a^2=3a^2-ab\). 4. Einsetzen ergibt \(3\cdot5^2-5\cdot(-2)=75+10=85\).

a) \(3a^2-ab\) b) \(85\)

- Wie gehst du vor, wenn mehrere Klammern ineinander verschachtelt sind? - Gibt es eine Reihenfolge, in der man Klammern am besten auflöst? - Kannst du den Term erst kürzer schreiben, bevor du die langen Ausdrücke einsetzt? - Achte besonders auf die Vorzeichen, wenn ein Minus vor einer Klammer steht.

1. Auflösen der inneren Klammer (Minusklammer): \(3a - [2b - a + b] = 3a - [3b - a]\) 2. Auflösen der äußeren Klammer: \(3a - 3b + a = 4a - 3b\) 3. Einsetzen der Ausdrücke für \(a\) und \(b\): \(4(2x + y) - 3(x - y)\) 4. Anwenden des Distributivgesetzes: \(8x + 4y - 3x + 3y\) 5. Zusammenfassen gleichartiger Terme: \(5x + 7y\)

\(5x + 7y\)

- Überlege dir, ob es einfacher ist, zuerst die Buchstaben \(U\) und \(V\) zu verrechnen oder direkt die großen Terme einzusetzen. - Was passiert mit den Vorzeichen in der Klammer, wenn du sie auflöst? - Welche Teile des Ergebnisses gehören zusammen (z. B. \(m^2\) und \(n\))?

1. Vereinfachung des Terms \(W\) durch Auflösen der inneren Klammer: \(2[U - V + U] - 3U = 2[2U - V] - 3U\) 2. Auflösen der verbleibenden Klammer und Zusammenfassen von \(U\): \(4U - 2V - 3U = U - 2V\) 3. Einsetzen der gegebenen Terme für \(U\) und \(V\): \((3m^2 - 5n) - 2(m^2 + 2n)\) 4. Auflösen der Klammern unter Beachtung der Vorzeichen: \(3m^2 - 5n - 2m^2 - 4n\) 5. Zusammenfassen der \(m^2\)-Terme und der \(n\)-Terme: \(m^2 - 9n\)

\(m^2 - 9n\)

- Löse die innerste Klammer zuerst auf. - Fasse nur Glieder mit genau demselben Variablenfaktor zusammen. - Setze die Zahlen erst ein, nachdem der Term vollständig vereinfacht ist.

1. Von innen nach außen ergibt sich \(2a^2b-[3ab^2-4a^2b+2ab^2+5a^2b]\). 2. In der eckigen Klammer werden gleichartige Glieder zusammengefasst: \(5ab^2+a^2b\). 3. Damit folgt \(2a^2b-(5ab^2+a^2b)=a^2b-5ab^2\). 4. Einsetzen ergibt \((-2)^2\cdot3-5\cdot(-2)\cdot3^2=12+90=102\).

a) \(a^2b-5ab^2\) b) \(102\)

- Welche Teile der Terme haben die gleiche Variable mit dem gleichen Exponenten? Nur diese darfst du zusammenrechnen. - Was musst du beachten, wenn ein Minuszeichen direkt vor einer Klammer steht? - Es hilft oft, zuerst die Ausdrücke in der Klammer zu vereinfachen, bevor man die gesamte Rechnung löst.

1. Addition der Koeffizienten gleichartiger Terme für \(A + B + C\): \((4{,}5 - 2{,}5 + 1)x^2 + (-5 + 3 - 1{,}5)x + (7 - 4 + 2)\) 2. Zusammengefasstes Ergebnis für a): \(3x^2 - 3{,}5x + 5\) 3. Berechnung der Summe in der Klammer für b): \(B + C = (-2{,}5 + 1)x^2 + (3 - 1{,}5)x + (-4 + 2) = -1{,}5x^2 + 1{,}5x - 2\) 4. Subtraktion des Ergebnisses von \(A\): \((4{,}5x^2 - 5x + 7) - (-1{,}5x^2 + 1{,}5x - 2)\) 5. Auflösen der Minusklammer durch Vorzeichenwechsel: \(4{,}5x^2 + 1{,}5x^2 - 5x - 1{,}5x + 7 + 2\) 6. Zusammengefasstes Ergebnis für b): \(6x^2 - 6{,}5x + 9\)

a) \(3x^2 - 3{,}5x + 5\) b) \(6x^2 - 6{,}5x + 9\)

- Löse in a) zuerst die Minusklammer auf und fasse anschließend \(a\)- und \(b\)-Glieder getrennt zusammen. - Bestimme für b) zuerst den vereinfachten Term \(X+Y\). - Vergleiche danach die Koeffizienten von \(X+Y\) direkt mit denen von \(Z\): Welche Ergänzung fehlt jeweils?

1. Für a) gilt \((3a-4b)-(5a+2b)+(-a+6b)\). 2. Nach dem Auflösen der Minusklammer ergeben die \(a\)-Glieder \(3a-5a-a=-3a\), während sich die \(b\)-Glieder aufheben. Das Ergebnis ist \(-3a\). 3. Für b) ist zunächst \(X+Y=(3a-4b)+(5a+2b)=8a-2b\). 4. Vergleiche diesen Term mit \(Z=-a+6b\). Beim \(a\)-Glied fehlen \(-9a\), denn \(8a-9a=-a\). Beim \(b\)-Glied fehlen \(8b\), denn \(-2b+8b=6b\). 5. Daher ist \(W=-9a+8b\).

a) \(-3a\) b) \(W=-9a+8b\)

- Was passiert mit der Variablen \(x\), wenn du alle Klammern aufgelöst und zusammengefasst hast? - Schau dir das Ergebnis deiner Vereinfachung an – welche Variablen kommen darin noch vor? - Musst du die \(100\) für \(x\) überhaupt einsetzen, wenn du den Term bereits vereinfacht hast?

1. Auflösen der inneren runden Klammer: \(T = 5x + 3y - [3x - y + 2x]\). 2. Zusammenfassen der Glieder innerhalb der eckigen Klammer: \(T = 5x + 3y - [5x - y]\). 3. Auflösen der eckigen Klammer unter Berücksichtigung des Minuszeichens: \(T = 5x + 3y - 5x + y\). 4. Zusammenfassen der Glieder mit \(x\) und \(y\): \(5x - 5x = 0\) und \(3y + y = 4y\). Der vereinfachte Term lautet \(4y\). 5. Begründung: Da sich die Glieder mit der Variablen \(x\) gegenseitig aufheben, hat der Wert von \(x\) keinen Einfluss auf das Endergebnis. 6. Berechnung für \(y = -2{,}5\): \(4 \cdot (-2{,}5) = -10\).

a) \(4y\) b) Die \(x\)-Glieder heben sich vollständig auf; deshalb hängt der Termwert nicht von \(x\) ab. c) \(-10\)

- Kannst du die Längen der ersten drei Seiten nacheinander als Terme aufschreiben? - Wie hängen der Umfang und die einzelnen Seiten eines Vierecks zusammen? - Achte beim Subtrahieren von Termen besonders auf die Vorzeichen in der Klammer.

1. Term für die zweite Seite aufstellen: \(s_2 = (2a + b) + a = 3a + b\) 2. Term für die dritte Seite aufstellen: \(s_3 = (3a + b) - 2b = 3a - b\) 3. Summe der ersten drei Seiten berechnen: \(s_1 + s_2 + s_3 = (2a + b) + (3a + b) + (3a - b) = 8a + b\) 4. Vierte Seite durch Subtraktion vom Gesamtumfang bestimmen: \(s_4 = (10a + 6b) - (8a + b)\) 5. Term vereinfachen: \(s_4 = 10a + 6b - 8a - b = 2a + 5b\)

Die vierte Seite hat die Länge \(2a + 5b\).

- Was bedeutet das Minuszeichen direkt vor der Klammer \( (y - x) \) für die Werte innerhalb der Klammer? - Kannst du den Term so umschreiben, dass in beiden Teilen die genau gleiche Klammer vorkommt? - Überlege, wie oft der Ausdruck \( (x - y) \) insgesamt im Term enthalten ist.

1. Identifikation der Terme \( (x - y) \) und \( (y - x) \) als entgegengesetzte Differenzen. 2. Ersetzung von \( -(y - x) \) durch \( +(x - y) \), da \( -(y - x) = -1 \cdot (-1) \cdot (x - y) = 1 \cdot (x - y) \). 3. Umschreiben des gesamten Terms: \( 4 \cdot (x - y) + 1 \cdot (x - y) \). 4. Zusammenfassen der Koeffizienten: \( (4 + 1) \cdot (x - y) = 5 \cdot (x - y) \). 5. Vergleich mit den Aussagen: Jan hat recht.

Jan hat recht. Durch Umformen erhält man: \( 4 \cdot (x - y) - (y - x) = 4 \cdot (x - y) + (x - y) = 5 \cdot (x - y) \).

- Schreibe die ausgeschriebenen Produkte zuerst als Potenzen. - Welche Terme haben danach exakt denselben Variablenanteil? - Bei einem Term ohne sichtbaren Koeffizienten ist der Koeffizient \(1\).

1. Alle Produkte mit \(x\) werden zu \(x^2\); \((4+1-2)x^2=3x^2\). 2. Es gilt \(a\cdot a\cdot b=a^2b\) und \(a\cdot b\cdot b=ab^2\). Daher entsteht \(2a^2b+ab^2\). 3. \(z\cdot z\cdot z=z^3\), also \((3+1-2)z^3=2z^3\). 4. \(p\cdot p=p^2\) und \(q\cdot q\cdot q=q^3\). Daher ergibt sich \(4p^2+2q^3\).

1) \(3x^2\) 2) \(2a^2b+ab^2\) 3) \(2z^3\) 4) \(4p^2+2q^3\)

- Wie verändern sich Geschwindigkeiten, wenn eine Strömung mitwirkt oder entgegenwirkt? - Was bedeutet das Wort „Unterschied“ in der Mathematik? - Achte beim Subtrahieren von Klammern besonders auf die Vorzeichenregeln. - Kannst du den Term so umformen, dass eine der Variablen ganz wegfällt?

1. Die Geschwindigkeit mit der Strömung beträgt \(v + c\), die Geschwindigkeit gegen die Strömung \(v - c\). Die Differenz wird durch den Term \((v + c) - (v - c)\) beschrieben. 2. Durch Auflösen der Klammern ergibt sich \(v + c - v + c = 2c\). Das Ergebnis zeigt, dass der Unterschied zwischen den beiden Geschwindigkeiten genau der doppelten Fließgeschwindigkeit des Wassers entspricht und unabhängig von der Eigengeschwindigkeit des Bootes ist. 3. Einsetzen der Beispielwerte: Geschwindigkeit mit Strömung \(22\,\text{km/h} + 4\,\text{km/h} = 26\,\text{km/h}\); Geschwindigkeit gegen Strömung \(22\,\text{km/h} - 4\,\text{km/h} = 18\,\text{km/h}\). Differenz: \(26\,\text{km/h} - 18\,\text{km/h} = 8\,\text{km/h}\). Berechnung über die Fließgeschwindigkeit: \(2 \cdot 4\,\text{km/h} = 8\,\text{km/h}\). Die Ergebnisse stimmen überein.

Der vereinfachte Term lautet \(2c\). Der Unterschied zwischen den Geschwindigkeiten entspricht immer der doppelten Fließgeschwindigkeit. Im Beispiel ergibt sich eine Differenz von \(8\,\text{km/h}\).

- Überprüfe Schritt für Schritt, wie Lukas die Klammern aufgelöst hat. - Erinnere dich an die Regel „Minus mal Minus ergibt Plus“. - Welches Vorzeichen müsste vor der \(9x\) stehen, nachdem die Klammer weggelassen wurde?

1. Analyse des Fehlers: Lukas hat beim Auflösen der Minusklammer das Vorzeichen des zweiten Gliedes in der Klammer (\(-9x\)) nicht korrekt umgedreht. Er hat vermutlich \(-4x - 9x = -13x\) gerechnet, anstatt \(-4x + 9x\) zu bilden. 2. Korrekte Auflösung der Klammern: \((15x^2 - 4x) - (7x^2 - 9x) = 15x^2 - 4x - 7x^2 + 9x\). 3. Zusammenfassen der gleichartigen Glieder: \(15x^2 - 7x^2 = 8x^2\) und \(-4x + 9x = 5x\). 4. Endergebnis: \(8x^2 + 5x\).

Lukas hat beim Auflösen der Klammer vergessen, das Vorzeichen von \(-9x\) in ein Pluszeichen umzuwandeln. Das korrekte Ergebnis lautet \(8x^2 + 5x\).

- Welche Klammer liegt am weitesten „innen“? Beginne dort. - Was passiert mit den Vorzeichen der Glieder in einer Klammer, wenn ein Minuszeichen vor der Klammer steht? - Achte darauf, nur Glieder mit derselben Variablen (z. B. alle mit \( a \)) zusammenzufassen. - Es hilft oft, den Term nach jedem Schritt einmal komplett neu aufzuschreiben.

1. Auflösen der innersten runden Klammer unter Beachtung des Minuszeichens: \( 2a - (5b - 3a) = 2a - 5b + 3a = 5a - 5b \). 2. Vereinfachen des Ausdrucks innerhalb der eckigen Klammer und Berücksichtigung der benachbarten Glieder in der geschweiften Klammer: \( 4b + (5a - 5b) - 2b = 5a - 3b \). 3. Auflösen der geschweiften Klammer mit dem davorstehenden Minuszeichen: \( 15a - (5a - 3b) = 15a - 5a + 3b \). 4. Zusammenfassen der verbleibenden Glieder mit der Variablen \( a \): \( 10a + 3b \).

\( 10a + 3b \)

- Wie löst man eine Minusklammer auf? Was passiert dabei mit den Vorzeichen der einzelnen Glieder? - Wenn zwei Terme nach dem vollständigen Auflösen aller Klammern und Vereinfachen identisch sind, sind sie wertgleich. - Kannst du die Reihenfolge der Glieder in einer Klammer vertauschen, um den Term übersichtlicher zu machen?

1. Schritt a): Ersetzen des Minuszeichens durch ein Pluszeichen und Invertieren der Vorzeichen in der Klammer ergibt \( 20 + (-x + 10) \). 2. Schritt b): Auflösen der linken Seite ergibt \( a + b - c \). Auflösen der rechten Seite unter Beachtung der Minusklammer-Regel ergibt \( a - c - (-b) = a - c + b \). Da die Summanden identisch sind, ist die Gleichung korrekt. 3. Schritt c): Ersetzen des Pluszeichens durch ein Minuszeichen und Invertieren der Vorzeichen in der Klammer ergibt \( m^2 - (-1 + n) \), was zu \( m^2 - (n - 1) \) umgeformt werden kann.

a) \( 20 + (-x + 10) \) b) Links: \( a + b - c \); Rechts: \( a - c + b \). Beide Seiten sind wertgleich. c) \( m^2 - (n - 1) \) oder \( m^2 - (-1 + n) \)

- Multipliziere zuerst die Klammer vollständig aus. - Vergleiche danach getrennt das \(n\)-Glied und das konstante Glied auf beiden Seiten. - Beachte beim konstanten Glied, dass ein negativer Teil im gesuchten Term durch das Minus davor sein Vorzeichen wechselt.

1. Zuerst wird ausmultipliziert: \(5(2n+1)=10n+5\). 2. Gesucht ist also genau der Term, der von \(10n+5\) abgezogen werden muss, damit \(3n+8\) bleibt. 3. Vergleiche die gleichartigen Glieder: Vom \(n\)-Anteil müssen \(7n\) abgezogen werden, weil \(10n-7n=3n\). 4. Bei den Konstanten muss das Abziehen den Wert von \(5\) auf \(8\) erhöhen. Deshalb muss im gesuchten Term \(-3\) stehen, denn \(5-(-3)=8\). 5. Der gesuchte Term ist \(7n-3\). 6. Kontrolle: \(10n+5-(7n-3)=3n+8\).

\(7n-3\)

- Vereinfache beide Terme unabhängig voneinander. - Vergleiche anschließend den Variablenkoeffizienten und das konstante Glied. - Für b) muss nur eine Zahl geändert werden; prüfe, welcher Teil des vereinfachten Terms noch nicht passt.

1. \(T_1=0{,}5(12y-8)+3y=6y-4+3y=9y-4\). 2. \(T_2=3(3y-2)-y+2=9y-6-y+2=8y-4\). 3. Die Terme sind nicht äquivalent. 4. Eine mögliche Änderung ist, die \(3\) vor \(y\) in der Klammer durch \(\frac{10}{3}\) zu ersetzen. Dann gilt \(T_3=3\left(\frac{10}{3}y-2\right)-y+2=9y-4\).

a) Die Behauptung ist falsch: \(T_1=9y-4\), aber \(T_2=8y-4\). b) Zum Beispiel \(T_3=3\left(\frac{10}{3}y-2\right)-y+2\).

- Fasse zuerst die beiden bekannten Summanden zusammen. - Vergleiche anschließend getrennt die Koeffizienten von \(a^2b\), \(ab^2\), \(a\) und dem konstanten Glied. - Welche Ergänzung braucht jede dieser vier Gruppen, damit der Zielterm entsteht?

1. Die beiden gegebenen Summanden ergeben zusammen \(2a^2b-ab^2-3a+5\). 2. Vergleiche nun jede Gruppe gleichartiger Glieder mit dem Zielpolynom. 3. Beim Glied \(a^2b\) muss noch \(-a^2b\) hinzukommen; beim Glied \(ab^2\) fehlen \(-2ab^2\). 4. Beim linearen Glied fehlen \(7a\), und bei der Konstanten fehlen \(-12\). 5. Der dritte Summand ist daher \(-a^2b-2ab^2+7a-12\). 6. Zur Kontrolle ergibt die Summe aller drei Summanden wieder \(a^2b-3ab^2+4a-7\).

\(-a^2b-2ab^2+7a-12\)

- Arbeite bei geschachtelten Klammern konsequent von innen nach außen. - Welche Glieder sind jeweils gleichartig und können zusammengefasst werden? - Setze die gegebenen Zahlen erst ein, nachdem der Term vereinfacht ist.

1. Die innerste Klammer wird aufgelöst: \(4xy-\{2x^2-[3xy-x^2+2xy+4x^2]-5xy\}\). 2. In der eckigen Klammer gilt \(3xy+2xy-x^2+4x^2=5xy+3x^2\). 3. Damit wird der Term zu \(4xy-\{2x^2-5xy-3x^2-5xy\}=4xy-\{-x^2-10xy\}\). 4. Auflösen der äußeren Klammer ergibt \(x^2+14xy\). 5. Für \(x=-1\) und \(y=-4\) gilt \((-1)^2+14\cdot(-1)\cdot(-4)=1+56=57\).

\(57\)

- Überlege dir gut, in welcher Reihenfolge man Klammern von innen nach außen auflöst. - Achte besonders auf das Minuszeichen vor einer Klammer – wie verändern sich die Vorzeichen der Glieder im Inneren? - Kannst du den Term erst vollständig vereinfachen, bevor du die Zahlenwerte einsetzt? Das spart oft viel Rechenarbeit. - Denk daran, dass Potenzen (wie \(x^2\)) vor der Multiplikation berechnet werden.

1. Auflösen der innersten runden Klammer: \(x^2y - \{2xy^2 - [3x^2y - xy^2 - x^2y]\}\). 2. Zusammenfassen innerhalb der eckigen Klammer: \(x^2y - \{2xy^2 - [2x^2y - xy^2]\}\). 3. Auflösen der eckigen Klammer (Minuszeichen beachten): \(x^2y - \{2xy^2 - 2x^2y + xy^2\}\). 4. Zusammenfassen innerhalb der geschweiften Klammer: \(x^2y - \{3xy^2 - 2x^2y\}\). 5. Auflösen der geschweiften Klammer: \(x^2y - 3xy^2 + 2x^2y = 3x^2y - 3xy^2\). 6. Einsetzen von \(x = -1\) und \(y = \frac{2}{3}\): \(3 \cdot (-1)^2 \cdot \frac{2}{3} - 3 \cdot (-1) \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^2\). 7. Berechnung der Teilterme: \(3 \cdot 1 \cdot \frac{2}{3} = 2\) und \(-3 \cdot (-1) \cdot \frac{4}{9} = \frac{12}{9} = \frac{4}{3}\). 8. Addition der Ergebnisse: \(2 + \frac{4}{3} = \frac{6}{3} + \frac{4}{3} = \frac{10}{3}\).

\(\frac{10}{3}\) oder \(3\frac{1}{3}\)

- Überlege dir zuerst eine Strategie: Möchtest du von innen nach außen oder lieber alle Klammern gleichzeitig auflösen? - Vergiss nicht, dass auch vor der allerersten Klammer ein Minuszeichen steht. - Markiere dir Glieder mit der gleichen Variablen in derselben Farbe, bevor du sie zusammenrechnest. - Prüfe am Ende noch einmal jedes Vorzeichen einzeln.

1. Auflösen der inneren runden Klammer innerhalb der eckigen Klammer: \( 5v - (u + 3v) = 5v - u - 3v = -u + 2v \). 2. Auflösen der eckigen Klammer innerhalb der geschweiften Klammer: \( 3u - (-u + 2v) = 3u + u - 2v = 4u - 2v \). 3. Auflösen der verbleibenden runden Klammer innerhalb der geschweiften Klammer: \( (4u - 2v) - (2u - v) = 4u - 2v - 2u + v = 2u - v \). 4. Auflösen der ersten runden Klammer am Anfang des Terms: \( -(6u - 2v) = -6u + 2v \). 5. Zusammenführen aller Teile und finales Zusammenfassen: \( (-6u + 2v) + (2u - v) = -4u + v \).

\( -4u + v \)