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- Was passiert mit der Variablen, wenn du zum Beispiel sieben Äpfel hast und einen wegnimmst? - Erinnere dich an die Regel für das Auflösen von Klammern, wenn eine Zahl davor steht. - Wie addiert man Brüche mit dem gleichen Nenner?

1. Teilaufgabe a): Die Umformung ist falsch. Beim Subtrahieren von \(x\) von \(7x\) wird der Koeffizient um 1 verringert, das Ergebnis lautet \(6x\). Es wurde fälschlicherweise die Variable komplett entfernt. 2. Teilaufgabe b): Die Umformung ist richtig. Da die Nenner gleich sind, werden die Zähler addiert: \(x + x = 2x\). Der Nenner bleibt unverändert. 3. Teilaufgabe c): Die Umformung ist falsch. Das Distributivgesetz wurde unvollständig angewendet. Der Faktor 3 muss mit beiden Summanden in der Klammer multipliziert werden: \(3 \cdot 2a + 3 \cdot 4 = 6a + 12\). 4. Teilaufgabe d): Die Umformung ist richtig. Gleichartige Glieder werden addiert, indem man ihre Koeffizienten addiert: \(4 + 3 = 7\).

a) Falsch (\(7x - x = 6x\)); b) Richtig; c) Falsch (\(3 \cdot 4 = 12\) wurde vergessen); d) Richtig.

- Kannst du die Glieder markieren, die dieselbe Variable enthalten? - Achte genau auf das Rechenzeichen vor jeder Zahl. - Was passiert mit einer Variablen, wenn die Summe ihrer Koeffizienten Null ergibt?

1. Sortieren und Zusammenfassen der Glieder mit der Variablen \(m\): \(12m + 3m = 15m\). 2. Sortieren und Zusammenfassen der Glieder mit der Variablen \(n\): \(-5n - 8n + 13n = (-5 - 8 + 13) \cdot n = 0n = 0\). 3. Kombinieren der Teilergebnisse: \(15m + 0 = 15m\).

\(15m\)

- Was haben alle Summanden in einer Teilaufgabe gemeinsam? - Worauf musst du achten, wenn vor einer Variable keine Zahl steht? - Wie gehst du mit den Vorzeichen beim Zusammenrechnen der Zahlen um?

1. Addition der Koeffizienten von \(a\): \(12 - 7 + 3 = 8\). Ergebnis: \(8a\). 2. Addition der Koeffizienten von \(x^2\): \(-5 + 9 - 6 = -2\). Ergebnis: \(-2x^2\). 3. Subtraktion der Koeffizienten von \(y\): \(4{,}5 - 1{,}2 - 2{,}1 = 1{,}2\). Ergebnis: \(1{,}2y\).

1) \(8a\) 2) \(-2x^2\) 3) \(1{,}2y\)

- Was bedeutet es, wenn Terme „gleichartig“ sind? - Wie gehst du vor, wenn du eine positive und eine negative Zahl addierst? - Kann man Äpfel und Birnen (oder verschiedene Variablen) einfach zusammenzählen? - Was passiert mit dem Koeffizienten, wenn sich zwei Glieder genau aufheben?

1. Addition der Koeffizienten von \(12a\) und \(5a\): \(12 + 5 = 17\), somit \(17a\). 2. Addition der Koeffizienten von \(4x\) und \(-9x\): \(4 + (-9) = -5\), somit \(-5x\). 3. Addition der Koeffizienten von \(-3m\) und \(3m\): \(-3 + 3 = 0\), somit \(0\). 4. Da \(7y\) und \(2z\) keine gleichartigen Glieder sind, können sie nicht weiter zusammengefasst werden. Die Summe lautet \(7y + 2z\).

a) \(17a\) b) \(-5x\) c) \(0\) d) \(7y + 2z\)

- Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn du ein Plus und ein Minus direkt hintereinander hast? - Stell dir die Zahlen auf einer Zahlengeraden vor: In welche Richtung gehst du, wenn du eine negative Zahl addierst? - Erinnerst du dich an das Rechnen mit Guthaben und Schulden? - Was ergibt eine Zahl, wenn man ihre Gegenzahl addiert?

1. Zusammenfassen durch Addition der Koeffizienten: \(-8 + (-5) = -13\). Ergebnis: \(-13x\). 2. Berechnung der Differenz der Koeffizienten: \(14 - 20 = -6\). Ergebnis: \(-6y\). 3. Addition von Koeffizienten mit gleichem Betrag und unterschiedlichem Vorzeichen: \(-11 + 11 = 0\). Ergebnis: \(0\). 4. Umwandlung der Subtraktion einer negativen Zahl in eine Addition: \(3 - (-7) = 3 + 7 = 10\). Ergebnis: \(10c\).

a) \(-13x\) b) \(-6y\) c) \(0\) d) \(10c\)

- Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn du eine negative Zahl subtrahierst? - Kannst du die Koeffizienten (die Zahlen vor den Variablen) erst einmal getrennt betrachten? - Überlege dir, ob das Ergebnis positiv oder negativ sein muss, indem du dir eine Zahlengerade vorstellst. - Erinnerst du dich an die Regel für das Auflösen von Klammern, vor denen ein Minuszeichen steht?

1. Subtraktion eines negativen Terms: \(12x^2 + 8x^2 = 20x^2\). 2. Zusammenfassen der Koeffizienten unter Beachtung der Vorzeichen: \(-15y^3 + 10y^3 = -5y^3\). 3. Subtraktion eines positiven Terms: \(7a^4 - 11a^4 = -4a^4\). 4. Ein Term minus sich selbst ergibt Null: \(-b^2 + b^2 = 0\).

1) \(20x^2\) 2) \(-5y^3\) 3) \(-4a^4\) 4) \(0\)

- Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn ein Minuszeichen vor einer Klammer steht, in der ein negatives Vorzeichen steht? - Kannst du die Terme wie Äpfel oder Birnen betrachten, die du zählst? - Überlege dir, was passiert, wenn du von einer Zahl genau dieselbe Zahl abziehst.

1. Auflösen der Klammer unter Beachtung der Vorzeichenregeln: \(8a + 5a = 13a\). 2. Subtraktion einer negativen Zahl entspricht der Addition: \(6x^2y + 3x^2y = 9x^2y\). 3. Zusammenfassen der gleichartigen Terme: \(-14uv + uv = -13uv\). 4. Subtraktion identischer Terme ergibt null: \(7mn - 7mn = 0\).

1) \(13a\) 2) \(9x^2y\) 3) \(-13uv\) 4) \(0\)

- Setze die angegebenen Werte für \(x\) in die Terme ein und achte auf die Rechenregeln. - Was fällt dir an den Ergebnissen in den Zeilen auf? - Nutze das Distributivgesetz, um Klammern aufzulösen. - Fasse gleiche Glieder (Zahlen mit Variablen und Zahlen ohne Variablen) zusammen.

1. Berechnung der Tabellenwerte durch Einsetzen: Für \(x = 0\): \(A = 3(0+4) = 12\), \(B = 3(0)+4 = 4\), \(C = 5(0)+12-2(0) = 12\). Für \(x = 2\): \(A = 3(2+4) = 18\), \(B = 3(2)+4 = 10\), \(C = 5(2)+12-2(2) = 18\). Für \(x = 5\): \(A = 3(5+4) = 27\), \(B = 3(5)+4 = 19\), \(C = 5(5)+12-2(5) = 27\). 2. Vergleich der Ergebnisse: Die Werte für \(A\) und \(C\) sind für alle eingesetzten \(x\) identisch, während \(B\) andere Werte liefert. 3. Vereinfachung zur Bestätigung: Term \(A\): \(3 \cdot (x + 4) = 3x + 12\). Term \(C\): \(5x + 12 - 2x = 3x + 12\). 4. Schlussfolgerung: Da \(A\) und \(C\) denselben vereinfachten Term \(3x + 12\) ergeben, sind sie äquivalent. Term \(B\) ist nicht äquivalent zu den anderen.

Die ausgefüllte Tabelle lautet: <table> <tr><td>\(x\)</td><td>\(0\)</td><td>\(2\)</td><td>\(5\)</td></tr> <tr><td>Term \(A\)</td><td>\(12\)</td><td>\(18\)</td><td>\(27\)</td></tr> <tr><td>Term \(B\)</td><td>\(4\)</td><td>\(10\)</td><td>\(19\)</td></tr> <tr><td>Term \(C\)</td><td>\(12\)</td><td>\(18\)</td><td>\(27\)</td></tr> </table> Die Terme \(A\) und \(C\) sind äquivalent, da beide vereinfacht \(3x + 12\) ergeben. Term \(B\) ist nicht äquivalent, da er für die gleichen \(x\)-Werte andere Ergebnisse liefert und sich nicht zu \(3x + 12\) vereinfachen lässt.

- Was bedeutet es, wenn zwei Terme äquivalent sind? - Kannst du Klammern auflösen, indem du die Zahl davor mit jedem Teil in der Klammer multiplizierst? - Fasse alle Glieder mit der gleichen Variable und alle Zahlen ohne Variable zusammen. - Sind die Endergebnisse nach dem Vereinfachen identisch?

1. Vereinfachung des ersten Terms in a): \(4 \cdot (a + 2) + 3 \cdot a = 4 \cdot a + 8 + 3 \cdot a = 7 \cdot a + 8\). Da dies mit dem zweiten Term übereinstimmt, sind sie äquivalent. 2. Vereinfachung des ersten Terms in b): \(15 \cdot y - 6 \cdot y + 2 = 9 \cdot y + 2\). 3. Vereinfachung des zweiten Terms in b): \(3 \cdot (3 \cdot y + 2) - 4 = 9 \cdot y + 6 - 4 = 9 \cdot y + 2\). 4. Vergleich in b): Beide Terme ergeben vereinfacht \(9 \cdot y + 2\), sie sind also äquivalent.

a) Die Terme sind äquivalent, da beide vereinfacht \(7 \cdot a + 8\) ergeben. b) Die Terme sind äquivalent, da beide vereinfacht \(9 \cdot y + 2\) ergeben.

- Überlege dir, welche Zahl vor einer Variablen steht, wenn kein Koeffizient sichtbar ist. - Konzentriere dich zuerst nur auf die Zahlen vor den Variablen und rechne mit ihnen wie gewohnt. - Achte besonders auf die Vorzeichen vor jeder Zahl. - Kann ein Term auch komplett verschwinden, wenn das Ergebnis der Rechnung null ist?

1. Berechnung der Koeffizienten für \(a\): \(1{,}5 + 2{,}7 - 0{,}8 = 3{,}4\). Ergebnis: \(3{,}4a\). 2. Berechnung der Koeffizienten für \(k\): \(-3 - 4 + 12 - 1 = 4\). Ergebnis: \(4k\). 3. Verrechnung der Brüche für \(x\): \(\frac{2}{4} + \frac{3}{4} - \frac{4}{4} = \frac{1}{4}\). Ergebnis: \(\frac{1}{4}x\) (oder \(0{,}25x\)). 4. Berechnung der Koeffizienten für \(y\): \(12 - 15 + 3 = 0\). Ergebnis: \(0\).

a) \(3{,}4a\) b) \(4k\) c) \(\frac{1}{4}x\) (oder \(0{,}25x\)) d) \(0\)

- Kannst du die Glieder mit der Variablen \(x\) und die Glieder ohne Variable getrennt voneinander betrachten? - Erinnere dich daran, wie man Klammern auflöst, wenn eine Zahl davor steht. - Achte genau darauf, welche Zahl mit der Klammer multipliziert wird.

1. Überprüfung von Term a: \(2x + 10 + 2x = (2x + 2x) + 10 = 4x + 10\). Dieser Term ist äquivalent. 2. Überprüfung von Term b: Anwendung des Distributivgesetzes: \(2 \cdot 2x + 2 \cdot 5 = 4x + 10\). Dieser Term ist äquivalent. 3. Überprüfung von Term c: Zusammenfassen der x-Glieder und der Zahlen: \(15x - 11x = 4x\) und \(12 - 2 = 10\). Das ergibt \(4x + 10\). Dieser Term ist äquivalent. 4. Überprüfung von Term d: Anwendung des Distributivgesetzes: \(4 \cdot x + 4 \cdot 10 = 4x + 40\). Da \(40 \neq 10\), ist dieser Term nicht äquivalent. 5. Überprüfung von Term e: Zusammenfassen der vier x-Glieder zu \(4x\) und der Zahlen \(7 + 3 = 10\). Das ergibt \(4x + 10\). Dieser Term ist äquivalent.

Die Terme a), b), c) und e) sind zum Term \(4x + 10\) äquivalent. Der Term d) ist nicht äquivalent, da er vereinfacht \(4x + 40\) ergibt.

- Beachte die Regel „Punkt-vor-Strich-Rechnung“. - Denke daran, dass ein Minuszeichen vor einer Variablen (wie \(-y\)) als \(-1 \cdot y\) verstanden werden kann. - Sortiere den Term zuerst so, dass alle Glieder mit Variablen nebeneinander stehen.

1. Vereinfachung von Teil a: Zuerst wird die Punktrechnung \(6x \cdot 2 = 12x\) ausgeführt. Dann werden die Glieder mit \(x\) zusammengefasst: \(12x - 4x + 9 = 8x + 9\). 2. Berechnung für Teil a: Einsetzen von \(x = -4\) ergibt \(8 \cdot (-4) + 9 = -32 + 9 = -23\). 3. Vereinfachung von Teil b: Die Zahlen ohne Variable werden addiert (\(3{,}5 + 1{,}2 = 4{,}7\)) und die Glieder mit \(y\) zusammengefasst (\(-8y - y = -9y\)). Der vereinfachte Term lautet \(4{,}7 - 9y\). 4. Berechnung für Teil b: Einsetzen von \(y = 0{,}5\) ergibt \(4{,}7 - 9 \cdot 0{,}5 = 4{,}7 - 4{,}5 = 0{,}2\).

a) Vereinfachter Term: \(8x + 9\); Wert für \(x = -4\): \(-23\) b) Vereinfachter Term: \(4{,}7 - 9y\); Wert für \(y = 0{,}5\): \(0{,}2\)

- Kann ein Term auch komplett wegfallen oder den Wert Null ergeben? - Rechne bei Term B schrittweise von links nach rechts, nachdem du die Multiplikation erledigt hast. - Wie multipliziert man eine Dezimalzahl mit einer ganzen Zahl?

1. Term A vereinfachen: \(15x - 8x - 7x = 7x - 7x = 0\). 2. Term B vereinfachen: Zuerst die Multiplikation ausführen \(3 \cdot 0{,}5z = 1{,}5z\), dann addieren und subtrahieren: \(1{,}2z + 0{,}8z - 1{,}5z = 2{,}0z - 1{,}5z = 0{,}5z\). 3. Wert für Term B berechnen: \(0{,}5 \cdot (-4) = -2\).

a) \(A = 0\) b) \(B = 0{,}5z\) Der Wert von Term \(B\) für \(z = -4\) ist \(-2\).

- Versuche, jeden Term so weit wie möglich zu vereinfachen. - Nutze das Distributivgesetz, um Klammern aufzulösen. - Fasse alle Glieder mit \(x\) und alle Glieder ohne Variable getrennt zusammen. - Achte auf die Vorrangregeln (Punkt-vor-Strich-Rechnung).

1. Überprüfung von a): \(3 \cdot (2x - 4) = 3 \cdot 2x - 3 \cdot 4 = 6x - 12\) (korrekt) 2. Überprüfung von b): \(6 \cdot (x - 2) = 6 \cdot x - 6 \cdot 2 = 6x - 12\) (korrekt) 3. Überprüfung von c): \(10x - 12 - 4x = (10x - 4x) - 12 = 6x - 12\) (korrekt) 4. Überprüfung von d): \(2x + 4x - 6 \cdot 2 = 6x - 12\) (korrekt) 5. Überprüfung von e): \(6 \cdot x - 12 = 6x - 12\) (korrekt) 6. Überprüfung von f): \(x \cdot (6 - 12) = x \cdot (-6) = -6x\) (falsch) 7. Überprüfung von g): \(12x : 2 - 12 = 6x - 12\) (korrekt)

Die korrekten Terme sind: a), b), c), d), e) und g).

- Achte genau auf das Vorzeichen vor der Klammer. - Was passiert mit den Vorzeichen in der Klammer, wenn ein Minus davor steht? - Du darfst nur gleichartige Glieder, also Glieder mit denselben Variablen und Exponenten, zusammenfassen.

1. Auflösen der Klammern unter Beachtung der Vorzeichen: a) \(12x - 5y + 3x - 4y\) b) \(8a - 2a + 7b - 10b\) c) \(-15m + 4n + 6m - 4n\) 2. Zusammenfassen der Koeffizienten gleicher Variablen: a) \((12 + 3)x + (-5 - 4)y = 15x - 9y\) b) \((8 - 2)a + (7 - 10)b = 6a - 3b\) c) \((-15 + 6)m + (4 - 4)n = -9m + 0 = -9m\)

a) \(15x - 9y\) b) \(6a - 3b\) c) \(-9m\)

- Überprüfe, ob Produkte wie \(xy^2\) und \(y^2x\) dasselbe bedeuten. - Kannst du Brüche und Dezimalzahlen in die gleiche Form bringen, um sie leichter zu addieren? - Denk an das Distributivgesetz beim Auflösen von Klammern mit einem Faktor davor.

1. Sortieren der Variablen innerhalb der Produkte (alphabetisch) und Auflösen der Klammern: a) \(4x^2y - 2xy^2 + 3x^2y - 5xy^2 = (4 + 3)x^2y + (-2 - 5)xy^2 = 7x^2y - 7xy^2\) b) Umwandeln in Dezimalzahlen oder Brüche: \(0{,}75ab - 0{,}5ab + 2{,}5ab = (0{,}75 - 0{,}5 + 2{,}5)ab = 2{,}75ab\) (oder \(\frac{11}{4}ab\)) c) Anwenden des Distributivgesetzes und Auflösen der Minusklammer: \(2z^2 - 3z - z^2 - 4z = (2 - 1)z^2 + (-3 - 4)z = z^2 - 7z\)

a) \(7x^2y - 7xy^2\) b) \(2{,}75ab\) (oder \(\frac{11}{4}ab\)) c) \(z^2 - 7z\)

- Unterscheide genau zwischen \(x^2y\) und \(xy^2\). Sind sie gleichartig? - Es kann hilfreich sein, Brüche in Dezimalzahlen umzuwandeln oder umgekehrt, um besser rechnen zu können. - Überlege dir zuerst, welche Glieder du überhaupt zusammenrechnen darfst.

1. Identifikation gleichartiger Glieder: Die Glieder mit \(x^2y\) und die Glieder mit \(xy^2\) müssen getrennt betrachtet werden. 2. Zusammenfassen der \(x^2y\)-Glieder: \(2{,}4x^2y + 0{,}6x^2y = (2{,}4 + 0{,}6)x^2y = 3x^2y\). 3. Zusammenfassen der \(xy^2\)-Glieder durch Umwandlung des Bruchs in eine Dezimalzahl oder Hauptnennerbildung: \(-\frac{6}{10}xy^2 + \frac{1}{10}xy^2 = -0{,}6xy^2 + 0{,}1xy^2 = -0{,}5xy^2\). 4. Zusammenführung zum Endergebnis: \(3x^2y - 0{,}5xy^2\).

\(3x^2y - 0{,}5xy^2\)

- Zähle nach, wie oft jede Variable vorkommt. - Achte auf die Rechenzeichen vor den Zahlen und Variablen. - Erinnerst du dich, wie man Brüche mit dem gleichen Nenner addiert? - Du kannst Variablen wie Gegenstände behandeln – zum Beispiel „3 Äpfel plus 2 Äpfel“.

1. Addition gleicher Variablen: Vier gleiche Summanden \(a\) ergeben \(4a\). 2. Zusammenfassen nach Variablen: \(10x - 4x = 6x\) und \(5y + y = 6y\). Das Ergebnis ist \(6x + 6y\). 3. Addition von Brüchen mit gleichem Nenner: Die Zähler werden addiert, was \(5z\) im Zähler ergibt. Der Term lautet \(\frac{5z}{6}\) oder \(\frac{5}{6}z\).

1) \(4a\) 2) \(6x + 6y\) 3) \(\frac{5z}{6}\)

- Zähle, wie oft jeder identische Summand vorkommt. - Das Vorzeichen gehört zum jeweiligen Summanden. - Nur vollständig gleichartige Terme dürfen durch einen gemeinsamen Koeffizienten zusammengefasst werden.

1. Addiere die vier identischen Summanden \(uv\): \(4uv\). 2. Addiere die drei identischen Summanden \(xyz\): \(3xyz\). 3. Gruppiere die Summanden nach Variablen: Zwei positive \(a\) ergeben \(2a\), drei negative \(b\) ergeben \(-3b\). Der Term lautet \(2a - 3b\).

1) \(4uv\) 2) \(3xyz\) 3) \(2a - 3b\)

- Was bedeutet eine Zahl, die direkt vor einer Variablen steht? - Wie kannst du eine Multiplikation wie \(3 \cdot 5\) nur mit Pluszeichen schreiben? - Überlege dir, wie oft die Variable oder der Klammerausdruck in der Summe vorkommen muss. - Behandle Potenzen wie \(a^2\) einfach als ein festes Paket, das mehrfach vorhanden ist.

1. Multiplikation als wiederholte Addition interpretieren: \(5x\) bedeutet, dass \(x\) fünfmal addiert wird: \(x + x + x + x + x\). 2. Die einzelnen Teile des Terms getrennt betrachten: \(3a^2\) sind drei \(a^2\)-Glieder, \(2b\) sind zwei \(b\)-Glieder. Zusammen ergibt das: \(a^2 + a^2 + a^2 + b + b\). 3. Subtraktion als wiederholte Subtraktion darstellen: \(4m\) sind vier \(m\)-Glieder, davon werden drei \(n\)-Glieder abgezogen: \(m + m + m + m - n - n - n\). 4. Den Klammerausdruck als Ganzes betrachten: Der Faktor \(2\) bedeutet, dass die gesamte Klammer zweimal als Summand auftritt: \((p + q) + (p + q)\).

a) \(x + x + x + x + x\) b) \(a^2 + a^2 + a^2 + b + b\) c) \(m + m + m + m - n - n - n\) d) \((p + q) + (p + q)\)

- Welche Teile des Terms haben genau die gleichen Variablen mit denselben Hochzahlen? - Achte beim Zusammenfassen besonders auf die Vorzeichen vor den Zahlen. - Man kann nur Termglieder addieren oder subtrahieren, die in ihrem Buchstabenteil völlig übereinstimmen.

1. Identifikation der gleichartigen Terme: Die Summanden mit \(x^2\) (\(0{,}7x^2\) und \(1{,}3x^2\)) sowie die Summanden mit \(x\) (\(-5x\) und \(2x\)) sind jeweils gleichartig. Die Konstante \(-11\) bleibt separat. 2. Zusammenfassen der \(x^2\)-Terme: \(0{,}7 + 1{,}3 = 2{,}0\), also \(2x^2\). 3. Zusammenfassen der \(x\)-Terme: \(-5 + 2 = -3\), also \(-3x\). 4. Aufstellen des vereinfachten Terms: \(2x^2 - 3x - 11\).

\(2x^2 - 3x - 11\)

- Was bedeutet es, gleichartige Terme zusammenzufassen? - Kannst du die Rechnung zuerst nur mit den Zahlen (Koeffizienten) vor der Variablen durchführen? - Worauf musst du achten, wenn ein Minuszeichen vor einer Klammer steht, in der eine negative Zahl steht? - Was passiert mit der Variablen, wenn das Ergebnis der Zahlenrechnung null ist?

1. Addition und Subtraktion der Koeffizienten von \(x\): \(1{,}5 + 3{,}2 - 0{,}7 = 4{,}0\). Das Ergebnis ist \(4x\). 2. Subtraktion eines negativen Terms: \(-4y + 7y\). Verrechnung der Koeffizienten: \(-4 + 7 = 3\). Das Ergebnis ist \(3y\). 3. Verrechnung der Koeffizienten von \(a\): \(12 - 15 = -3\), anschließend \(-3 + 3 = 0\). Da \(0 \cdot a = 0\), ist das Ergebnis \(0\).

1) \(4x\) 2) \(3y\) 3) \(0\)

- Was fällt dir an den Variablen und ihren Exponenten in jedem Teil der Aufgabe auf? - Kannst du Brüche in Dezimalzahlen umwandeln, um die Rechnung zu vereinfachen? - Denke daran, dass du nur die Zahlen vor den Variablen (die Koeffizienten) verrechnen musst. - Was passiert mit einem Term, wenn sein Koeffizient Null ergibt?

1. Berechnung für Teilaufgabe a): Umwandlung des Bruchs \(1\frac{4}{5}\) in die Dezimalzahl \(1{,}8\). Addition der Koeffizienten: \(4{,}2 - 6 + 1{,}8 = 0\). Da der Koeffizient null ist, verschwindet der gesamte Term. Ergebnis: \(0\). 2. Berechnung für Teilaufgabe b): Umwandlung des Bruchs \(2\frac{3}{4}\) in die Dezimalzahl \(2{,}75\). Subtraktion der Koeffizienten: \(2{,}75 - 1{,}5 - 3 = 1{,}25 - 3 = -1{,}75\). Ergebnis: \(-1{,}75x^2\).

a) \(0\) b) \(-1{,}75x^2\) (oder \(-1\frac{3}{4}x^2\))

- Welche Teile der Terme sind in jeder Teilaufgabe identisch? - Konzentriere dich nur auf die Zahlen vor den Variablen. - Achte besonders auf die Vorzeichen beim Rechnen mit Dezimalzahlen. - Was passiert mit dem Term, wenn die Summe der Zahlen Null ergibt?

1. Addition der Koeffizienten von \(x^2\): \(4{,}2 - 5{,}8 + 0{,}6 = -1{,}6 + 0{,}6 = -1\). Ergebnis: \(-x^2\). 2. Addition der Koeffizienten von \(ab^2\): \(-0{,}75 + 1{,}5 - 0{,}25 = 0{,}75 - 0{,}25 = 0{,}5\). Ergebnis: \(0{,}5ab^2\). 3. Addition der Koeffizienten von \(y^5\): \(12 - 15 - 3 + 7 = -3 - 3 + 7 = -6 + 7 = 1\). Ergebnis: \(y^5\). 4. Addition der Koeffizienten von \(z^3\): \(0{,}15 - 0{,}4 + 0{,}25 = -0{,}25 + 0{,}25 = 0\). Ergebnis: \(0\).

1) \(-x^2\) 2) \(0{,}5ab^2\) 3) \(y^5\) 4) \(0\)

- Darf man Terme mit unterschiedlichen Variablen oder unterschiedlichen Hochzahlen zusammenrechnen? - Sortiere den Term zuerst so, dass gleiche Variablen beieinander stehen. - Achte auf das Kommutativgesetz der Multiplikation bei Termen wie \(ab\) und \(ba\). - Behandle Zahlen ohne Variable wie eine eigene Gruppe.

1. Gruppieren und Verrechnen der \(m\)-Glieder (\(10 - 4 = 6\)) und der \(n\)-Glieder (\(-3 + 7 = 4\)). Ergebnis: \(6m + 4n\). 2. Zusammenfassen der \(x^2\)-Glieder (\(2 - 7 = -5\)) und der \(x\)-Glieder (\(5 - 1 = 4\)). Ergebnis: \(-5x^2 + 4x\). 3. Erkennen der Gleichartigkeit von \(ab\) und \(ba\) aufgrund des Kommutativgesetzes, Subtraktion der Koeffizienten (\(12 - 5 = 7\)); der Term \(4a\) bleibt alleinstehend. Ergebnis: \(7ab + 4a\). 4. Verrechnen der \(z\)-Glieder (\(\frac{3}{8} - \frac{1}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}\)) und der konstanten Zahlen (\(\frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1\)). Ergebnis: \(\frac{1}{4}z + 1\).

1) \(6m + 4n\) 2) \(-5x^2 + 4x\) 3) \(7ab + 4a\) 4) \(\frac{1}{4}z + 1\)

- Markiere Glieder mit den gleichen Variablen und Exponenten in der gleichen Farbe. - Vergiss nicht, dass das Vorzeichen (Plus oder Minus) immer zu der Zahl gehört, die direkt danach steht. - Was passiert, wenn man eine Zahl von sich selbst abzieht? - Überlege, ob man \(m^2\) und \(n\) zusammenrechnen darf.

1. Sortieren und Zusammenfassen der \(x^2\)- und \(x\)-Glieder: \(18x^2 - 5x^2 = 13x^2\) und \(7x - 7x = 0\). Ergebnis: \(13x^2\). 2. Zusammenfassen der \(a\)-Glieder und der konstanten Zahlen: \(-4a - 3a = -7a\) und \(-9 + 2 = -7\). Ergebnis: \(-7a - 7\). 3. Zusammenfassen der \(y^3\)- und \(y\)-Glieder: \(5y^3 - 3y^3 = 2y^3\) und \(-2y + 4y = 2y\). Ergebnis: \(2y^3 + 2y\). 4. Zusammenfassen der \(m^2\)- und \(n\)-Glieder: \(-2m^2 + 5m^2 = 3m^2\) und \(-n - 4n = -5n\). Ergebnis: \(3m^2 - 5n\).

1) \(13x^2\) 2) \(-7a - 7\) 3) \(2y^3 + 2y\) 4) \(3m^2 - 5n\)

- Markiere Glieder mit genau den gleichen Variablen und Exponenten in derselben Farbe. - Achte besonders auf das Vorzeichen vor jedem Glied. - Erinnere dich daran, dass eine Variable ohne sichtbare Zahl davor (wie \(a\)) den Koeffizienten \(1\) besitzt. - Können Glieder mit unterschiedlichen Exponenten (wie \(x^2\) und \(x\)) zusammengefasst werden?

1. Sortieren und Zusammenfassen der Koeffizienten von \(a\) (\(9 + 3 + 1 = 13\)) und \(b\) (\(-4 - 7 = -11\)). Ergebnis: \(13a - 11b\). 2. Zusammenfassen der quadratischen Glieder \(x^2\) (\(1{,}2 + 0{,}8 - 1 = 1\)) und der linearen Glieder \(x\) (\(-0{,}5 + 1{,}5 = 1\)). Ergebnis: \(x^2 + x\). 3. Gruppieren der Glieder mit \(u^2v\) (\(\frac{3}{8} + \frac{5}{8} = 1\)) und \(uv^2\) (\(-\frac{1}{2} + \frac{3}{4} = \frac{1}{4}\)). Ergebnis: \(u^2v + \frac{1}{4}uv^2\).

1) \(13a - 11b\) 2) \(x^2 + x\) 3) \(u^2v + \frac{1}{4}uv^2\)

- Stell dir die Gleichung wie eine Waage vor, die im Gleichgewicht sein muss. - Welche Rechenoperation ist das Gegenteil der Addition? - Wie verändert sich ein Wert, wenn das Ergebnis kleiner ist als der Startwert? - Achte besonders auf die Vorzeichenregeln beim Rechnen mit negativen Termen.

1. Berechnung des fehlenden Summanden durch Subtraktion: \(15x - 8x = 7x\). 2. Ermittlung der Differenz: \(-2a - 5a = -7a\). 3. Umkehrung der Addition: \(\dots = 6m - (-4m) = 6m + 4m = 10m\). 4. Vergleich der Terme auf beiden Seiten: Da der Term \(3b\) bereits vorhanden ist, muss die Lücke dem verbleibenden Teil \(-2c\) entsprechen.

a) \(7x\) b) \(-7a\) c) \(10m\) d) \(-2c\)

- Kannst du die Aufgabe wie eine Waage betrachten, die im Gleichgewicht bleiben muss? - Überlege dir, welche Zahl du zu \(-5\) addieren musst, um bei \(+2\) zu landen. - Wie viel musst du von \(12\) abziehen, um in den negativen Bereich zu \(-3\) zu kommen? - Versuche, die Umkehroperation zu nutzen, um den fehlenden Teil zu finden.

1. Berechnung des fehlenden Summanden in Teil a) durch die Umkehroperation: \(2b - (-5b) = 2b + 5b = 7b\). 2. Bestimmung des Subtrahenden in Teil b): Um von \(12k\) auf \(-3k\) zu kommen, muss die Differenz \(12k - (-3k) = 15k\) subtrahiert werden. 3. Berechnung des ersten Terms in Teil c): Der Term \(\dots - 8m = -10m\) führt durch Addition von \(8m\) auf beiden Seiten zu \(-10m + 8m = -2m\).

a) \(7b\) b) \(15k\) c) \(-2m\)

- Kannst du die Glieder markieren, die dieselben Buchstaben haben? - Achte besonders auf die Vorzeichen vor jeder Zahl. - Hilft es dir, den Term zuerst so umzusortieren, dass Gleiches nebeneinander steht? - Kann man Variablen mit verschiedenen Buchstaben (wie \(x\) und \(y\)) zusammenzählen?

1. Sortierung der Glieder nach Variablen und Konstanten: \(14x - 5x\), \(-8y + 2y\) und \(3 - 11\). 2. Zusammenfassen der \(x\)-Glieder: \(14 - 5 = 9\), ergibt \(9x\). 3. Zusammenfassen der \(y\)-Glieder: \(-8 + 2 = -6\), ergibt \(-6y\). 4. Zusammenfassen der Zahlen ohne Variable: \(3 - 11 = -8\). 5. Verknüpfung der Teilergebnisse zum vereinfachten Term: \(9x - 6y - 8\).

\(9x - 6y - 8\)

- Achte darauf, zuerst die Vorzeichenregeln beim Auflösen der Klammern anzuwenden. - Du kannst nur Glieder zusammenfassen, die exakt dieselben Variablen mit denselben Exponenten haben. - Berechne zuerst die Summe der Koeffizienten (die Zahlen vor den Variablen). - Was passiert mit einem Term, wenn sein Koeffizient Null ergibt?

1. Zusammenfassen der Koeffizienten: \(14 - 8 - 6 = 0\). Da der Koeffizient \(0\) ist, ergibt der gesamte Term \(0 \cdot z^3 = 0\). 2. Auflösen der Vorzeichen und Zusammenfassen der Koeffizienten: \(-4{,}2 - 1{,}5 + 0{,}7 = -5{,}7 + 0{,}7 = -5{,}0\). Das Ergebnis ist \(-5xy\). 3. Gleichnamig machen der Brüche und Zusammenfassen: \(\frac{3}{4} - \frac{2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\). Das Ergebnis ist \(\frac{1}{2}b^2\).

1) \(0\) 2) \(-5xy\) 3) \(\frac{1}{2}b^2\)

- Worauf musst du bei der Addition von Brüchen achten? - Welchen Koeffizienten hat eine Variable, vor der keine Zahl steht? - Was passiert mit den Exponenten, wenn du gleichartige Terme addierst? - Schau dir genau an, ob nur die Zahlen verrechnet wurden oder ob sich auch die Variablen verändert haben.

1. Überprüfung von \(5a - 8a\): Subtraktion der Koeffizienten \(5 - 8 = -3\). Ergebnis \(-3a\) ist korrekt. 2. Überprüfung von \(\frac{1}{2}x + \frac{1}{4}x\): Hauptnenner finden (\(4\)). \(\frac{2}{4}x + \frac{1}{4}x = \frac{3}{4}x\). Das Ergebnis \(\frac{2}{6}x\) ist falsch (Zähler und Nenner wurden fälschlicherweise addiert). Korrektes Ergebnis: \(\frac{3}{4}x\). 3. Überprüfung von \(-0{,}3y + y\): Beachtung des unsichtbaren Koeffizienten \(1\). \(-0{,}3 + 1 = 0{,}7\). Ergebnis \(0{,}7y\) ist korrekt. 4. Überprüfung von \(b^2 + b^2\): Gleichartige Terme werden addiert, indem man ihre Koeffizienten addiert (\(1 + 1 = 2\)). Die Exponenten bleiben gleich. Das Ergebnis \(2b^4\) ist falsch (Exponenten wurden addiert). Korrektes Ergebnis: \(2b^2\). 5. Überprüfung von \(4mn - mn\): Subtraktion der Koeffizienten \(4 - 1 = 3\). Ergebnis \(3mn\) ist korrekt.

Korrekt sind: 1), 3) und 5). Korrektur der fehlerhaften Aufgaben: 2) \(\frac{3}{4}x\) 4) \(2b^2\)

- Was bedeutet es, wenn zwei Glieder die exakt gleichen Variablen und Potenzen haben? - Wie verändern sich die Rechenzeichen, wenn du ein Plus vor einer Klammer mit einem Minuszeichen darin hast? - Versuche, zuerst alle Terme ohne Klammern untereinander zu schreiben.

1. Auflösen der Klammern unter Berücksichtigung der Vorzeichenregeln: \(12ab^2 - 5ab^2 - 8ab^2 - 2ab^2\) 2. Zusammenfassen der Koeffizienten der gleichartigen Glieder \(ab^2\): \(12 - 5 - 8 - 2 = -3\) 3. Ergebnis: \(-3ab^2\)

\(-3ab^2\)

- Welche Teile des Terms haben die genau gleiche Kombination aus Variablen und Potenzen? - Achte beim Zusammenfassen besonders auf die Vorzeichen vor den Zahlen. - Es hilft, die zusammengehörigen Teile mit verschiedenen Farben zu markieren oder zu unterstreichen. - Kannst du den Term so umstellen, dass alle ähnlichen Teile nebeneinander stehen?

1. Sortieren und Gruppieren der Glieder mit \(x^2\): \((4{,}8x^2 - 1{,}3x^2) = 3{,}5x^2\) 2. Sortieren und Gruppieren der Glieder mit \(x\): \((-2{,}5x - 0{,}5x) = -3{,}0x\) 3. Sortieren und Gruppieren der konstanten Glieder ohne Variable: \((3{,}7 - 1{,}2) = 2{,}5\) 4. Aufstellen des Gesamtergebnisses: \(3{,}5x^2 - 3x + 2{,}5\)

\(3{,}5x^2 - 3x + 2{,}5\)

- Was macht zwei Glieder „gleichartig“? - Achte besonders auf die Vorzeichen innerhalb und vor den Klammern. - Kannst du die Glieder nach ihren Variablen und Exponenten sortieren, bevor du rechnest? - Was passiert mit einer Variable, wenn ihr Koeffizient \(1\) ist?

1. Identifikation der gleichartigen Glieder mit den Basen und Exponenten \(z^n\) und \(z^{n+1}\). 2. Berechnung der Koeffizientensumme für \(z^n\): \(7 - 5 - 1 = 1\). Das Ergebnis für diesen Teil ist \(z^n\) bzw. \(z^n\). 3. Berechnung der Koeffizientensumme für \(z^{n+1}\): \(-3 + 8 = 5\). Das Ergebnis für diesen Teil ist \(5z^{n+1}\). 4. Zusammenführung der Teilergebnisse zum vereinfachten Term: \(z^n + 5z^{n+1}\).

\(z^n + 5z^{n+1}\)

- Worauf musst du achten, wenn du Terme mit denselben Variablen zusammenfasst? - Untersuche die Zahlen vor den Variablen (die Koeffizienten). - Was passiert mit den Variablen, wenn du die Koeffizienten addierst oder subtrahierst? - Achte besonders auf die Vorzeichen der einzelnen Glieder.

1. Identifikation der gleichartigen Glieder: Alle Summanden enthalten die Variablenkombination \(u^2v\). 2. Zusammenfassen der Koeffizienten: \(-12 + 5 - 3 + 11\). 3. Berechnung der Summe: \(-12 + 5 = -7\); \(-7 - 3 = -10\); \(-10 + 11 = 1\). 4. Aufstellen des Ergebnisterms: \(1 \cdot u^2v\), vereinfacht zu \(u^2v\).

\(u^2v\)

- Welche Teile des Terms enthalten dieselben Variablen? - Denke daran, dass ein einzelnes \(x\) dasselbe bedeutet wie \(1 \cdot x\) oder \(\frac{8}{8}x\). - Um Brüche zu addieren oder zu subtrahieren, müssen sie den gleichen Nenner haben. - Sortiere den Term zuerst um, damit alle gleichen Variablen nebeneinander stehen.

1. Identifikation und Gruppierung der \(x\)-Terme: \(\frac{3}{8}x + \frac{1}{4}x + x\). 2. Berechnung der Summe der \(x\)-Koeffizienten durch Erweitern auf den Nenner 8: \(\frac{3}{8} + \frac{2}{8} + \frac{8}{8} = \frac{13}{8}\). 3. Identifikation und Gruppierung der \(y\)-Terme: \(-\frac{1}{3}y - \frac{5}{6}y\). 4. Berechnung der Summe der \(y\)-Koeffizienten durch Erweitern auf den Nenner 6: \(-\frac{2}{6} - \frac{5}{6} = -\frac{7}{6}\). 5. Zusammenführen der Ergebnisse zum vereinfachten Term: \(\frac{13}{8}x - \frac{7}{6}y\).

\(\frac{13}{8}x - \frac{7}{6}y\)

- Welche Teile des Terms haben genau die gleichen Variablen mit den gleichen Hochzahlen? - Achte beim Zusammenfassen besonders auf die Vorzeichen vor den Zahlen. - Es hilft, gleichartige Glieder in der gleichen Farbe zu markieren oder zu unterstreichen. - Was passiert, wenn du eine größere Zahl von einer kleineren abziehst?

1. Sortieren und Gruppieren der gleichartigen Termglieder: \((7{,}5m^2 - 5{,}8m^2) + (-4{,}2mn + 2{,}3mn) + (1{,}6n^2 - 3{,}1n^2)\) 2. Berechnen der Koeffizienten für \(m^2\): \(7{,}5 - 5{,}8 = 1{,}7\) 3. Berechnen der Koeffizienten für \(mn\): \(-4{,}2 + 2{,}3 = -1{,}9\) 4. Berechnen der Koeffizienten für \(n^2\): \(1{,}6 - 3{,}1 = -1{,}5\) 5. Zusammenfügen der Ergebnisse zum vereinfachten Term: \(1{,}7m^2 - 1{,}9mn - 1{,}5n^2\)

\(1{,}7m^2 - 1{,}9mn - 1{,}5n^2\)

- Welche Teile des Terms haben genau die gleichen Variablen und Exponenten? - Achte beim Zusammenfassen besonders auf die Vorzeichen vor den Klammern. - Erinnere dich daran, dass vor einer Variablen ohne sichtbare Zahl eigentlich eine \(1\) steht. - Kannst du den Term übersichtlicher aufschreiben, indem du Glieder mit gleichen Endungen nebeneinander stellst?

1. Identifikation und Gruppierung gleichartiger Glieder: \((9b^k - 6b^k - b^k) + (-4b^{k+1} + 7b^{k+1})\) 2. Berechnung der Koeffizienten für \(b^k\): \(9 - 6 - 1 = 2\) 3. Berechnung der Koeffizienten für \(b^{k+1}\): \(-4 + 7 = 3\) 4. Zusammenfügen der Teilergebnisse zum vereinfachten Term: \(2b^k + 3b^{k+1}\)

\(2b^k + 3b^{k+1}\)

- Worauf musst du beim Auflösen einer Plusklammer achten? - Was bedeutet es, wenn Glieder „gleichartig“ sind? - Kannst du Glieder mit verschiedenen Variablen oder verschiedenen Exponenten zusammenrechnen? - Hilft es dir, die Glieder mit derselben Variable zuerst nebeneinander zu schreiben?

1. Auflösen der Klammern und Sortieren nach Variablen: \((12a + 5a) + (7b - 9b)\). Addition der Koeffizienten ergibt \(17a - 2b\). 2. Zusammenfassen der quadratischen Glieder, linearen Glieder und Konstanten: \((4x^2 + 2x^2) + (-3x + 5x) + (2 - 6)\). Dies führt zu \(6x^2 + 2x - 4\). 3. Addition der Dezimalzahlen bei der Variablen \(y\) und den Konstanten: \((2{,}4y + 0{,}6y) + (-1{,}5 + 3{,}8)\). Das Ergebnis ist \(3y + 2{,}3\).

1) \(17a - 2b\) 2) \(6x^2 + 2x - 4\) 3) \(3y + 2{,}3\)

- Welche Teile der Ausdrücke gehören zusammen? - Achte besonders auf das Vorzeichen vor jeder Zahl oder Variablen. - Kannst du Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen, um sie zu addieren? - Was passiert, wenn ein positiver und ein negativer Wert mit demselben Betrag zusammenkommen?

1. Addition der Glieder von \(9y - 12\) und \(4y + 15\): Zusammenfassen der \(y\)-Terme zu \(13y\) und der Konstanten zu \(3\). Ergebnis: \(13y + 3\). 2. Addition der Glieder von \(-3a + 8b\) und \(3a - 10b\): Die \(a\)-Terme heben sich auf (\(0a\)), die \(b\)-Terme ergeben \(-2b\). Ergebnis: \(-2b\). 3. Addition der Glieder von \(2{,}5x^2 - 4x\) und \(-1{,}5x^2 + 4x - 7\): Die \(x^2\)-Terme ergeben \(x^2\), die \(x\)-Terme heben sich auf, die Konstante bleibt \(-7\). Ergebnis: \(x^2 - 7\). 4. Addition der Glieder von \(\frac{1}{2}k + \frac{2}{3}\) und \(\frac{1}{4}k - \frac{1}{6}\): Bringen der \(k\)-Koeffizienten auf den Nenner 4 ergibt \(\frac{3}{4}k\), Bringen der Konstanten auf den Nenner 6 ergibt \(\frac{3}{6} = \frac{1}{2}\). Ergebnis: \(\frac{3}{4}k + \frac{1}{2}\).

1) \(13y + 3\); 2) \(-2b\); 3) \(x^2 - 7\); 4) \(\frac{3}{4}k + \frac{1}{2}\)

- Suche zuerst alle Glieder, die genau die gleichen Variablen mit den gleichen Exponenten haben. - Addiere dann die Koeffizienten (die Zahlen vor den Variablen) dieser gleichartigen Glieder. - Achte besonders auf die Vorzeichen beim Addieren der Dezimalzahlen. - Es hilft oft, die Glieder mit den gleichen Variablen farbig zu markieren oder untereinander zu schreiben.

1. Gruppierung der Koeffizienten von \(a^2\): \(7{,}2 - 2{,}8 + 0{,}6 = 5{,}0\) 2. Gruppierung der Koeffizienten von \(ab\): \(-3{,}5 + 4{,}2 - 1{,}1 = -0{,}4\) 3. Gruppierung der Koeffizienten von \(b^2\): \(1{,}4 - 0{,}9 - 1{,}2 = -0{,}7\) 4. Zusammenfügen der Ergebnisse zum Gesamtterm: \(5a^2 - 0{,}4ab - 0{,}7b^2\)

\(5a^2 - 0{,}4ab - 0{,}7b^2\)

- Wie berechnet man den Umfang eines Quadrats, wenn man eine Seite kennt? - Was musst du tun, um den Umfang eines Dreiecks aus seinen drei Seiten zu bestimmen? - Vergleiche die beiden Endergebnisse, nachdem du sie so weit wie möglich vereinfacht hast.

1. Berechnung des Umfangsterms für das Quadrat: \(U_{Quadrat} = 4 \cdot (1{,}5x + 2y) = 6x + 8y\) 2. Aufstellen der Summe für den Umfang des Dreiecks: \(U_{Dreieck} = (2x + 3y) + (3x + 4y) + (x + y)\) 3. Zusammenfassen der \(x\)-Glieder des Dreiecks: \(2x + 3x + x = 6x\) 4. Zusammenfassen der \(y\)-Glieder des Dreiecks: \(3y + 4y + y = 8y\) 5. Vergleich der beiden resultierenden Terme: Da \(6x + 8y = 6x + 8y\), ist die Behauptung korrekt.

Die Behauptung ist wahr; beide Umfänge lassen sich durch den Term \(6x + 8y\) beschreiben.

- Wie berechnet man allgemein den Umfang einer Figur, wenn die Seitenlängen gegeben sind? - Welche Bestandteile des Terms gehören zusammen und können addiert oder subtrahiert werden? - Achte besonders auf das Minuszeichen bei der zweiten Seite. - Kannst du die Variablen wie Äpfel und Birnen behandeln, die man nicht vermischen darf?

1. Aufstellen der Summe für den Umfang: \(U = (5x + 2y) + (3x - 4y) + (2x + 3y)\) 2. Zusammenfassen der Terme mit \(x\): \(5x + 3x + 2x = 10x\) 3. Zusammenfassen der Terme mit \(y\): \(2y - 4y + 3y = y = y\) 4. Ergebnis für den Gesamtumfang: \(U = 10x + y\)

Der Umfang des Dreiecks beträgt \(10x + y\).

- Erinnere dich daran, was der Umfang einer geometrischen Figur bedeutet. - Wie gehst du vor, wenn du einen langen Ausdruck mit verschiedenen Variablen zusammenfassen möchtest? - Achte darauf, nur Glieder mit derselben Variable (z. B. alle \(x\)-Glieder) miteinander zu verrechnen. - Vergiss nicht, auch die Zahlen ohne Variablen am Ende zusammenzuzählen.

1. Aufstellen der Summe aller vier Seitenlängen für den Umfang: \(U = (3x + 2) + (2y - 1) + (x + y + 4) + (2x - y + 3)\) 2. Sortieren der Glieder nach den Variablen \(x\) und \(y\) sowie den konstanten Zahlen: \(U = (3x + x + 2x) + (2y + y - y) + (2 - 1 + 4 + 3)\) 3. Zusammenfassen der gleichartigen Glieder führt zum Ergebnis: \(U = 6x + 2y + 8\)

Der Umfang beträgt \(6x + 2y + 8\).

- Was bedeutet es, wenn Terme äquivalent sind? - Achte besonders auf das „Minus vor der Klammer“. Wie verändert es die Vorzeichen im Inneren? - Erinnere dich an die Regeln für das Addieren und Subtrahieren negativer Zahlen. - Kannst du jeden Term einzeln so weit wie möglich zusammenfassen?

1. Vereinfachung von Term A: \(-15a + 6a = -9a\) 2. Vereinfachung von Term B: \(-4a - 5a = -9a\) 3. Vereinfachung von Term C: Das Minuszeichen vor der Klammer kehrt die Vorzeichen in der Klammer um: \(-12a + 3a = -9a\) 4. Vereinfachung von Term D: \(2a - 11a = -9a\) 5. Vereinfachung von Term E: \(-a - 10a = -11a\) 6. Vergleich der Ergebnisse: Die Terme A, B, C und D ergeben alle \(-9a\) und sind somit äquivalent. Term E unterscheidet sich.

Die Terme A, B, C und D sind äquivalent, da sie alle den Wert \(-9a\) ergeben. Term E ist nicht äquivalent zu den anderen, da sein Wert \(-11a\) beträgt.

- Stelle dir die Lücke wie eine unbekannte Variable vor, nach der du die Gleichung auflöst. - Achte besonders auf das Vorzeichen, das bereits vor der Klammer steht. - Bei Teil 3) kannst du die Variable \(a\) erst einmal ignorieren und nur mit den Dezimalzahlen rechnen. - Überprüfe dein Ergebnis, indem du den gefundenen Term in die Lücke einsetzt und nachrechnest.

1. Umstellen der Gleichung nach der Lücke: \(4{,}5z^2 - 7z^2 = -2{,}5z^2\). Einsetzen ergibt: \(4{,}5z^2 - (-2{,}5z^2) = 4{,}5z^2 + 2{,}5z^2 = 7z^2\). Ergebnis: \(-2{,}5z^2\). 2. Vereinfachen der linken Seite zu \((\dots) + 3x^3 = -x^3\). Subtraktion von \(3x^3\) auf beiden Seiten liefert \(-x^3 - 3x^3 = -4x^3\). Ergebnis: \(-4x^3\). 3. Direktes Zusammenfassen der gleichartigen Terme mit Dezimalzahlen: \(-1{,}2 - 0{,}8 = -2{,}0\). Ergebnis: \(-2a\).

1) \(-2{,}5z^2\) 2) \(-4x^3\) 3) \(-2a\)

- Was passiert mit den Vorzeichen, wenn man eine negative Zahl subtrahiert? - Kannst du eine ganze Zahl oder eine gemischte Zahl als Bruch schreiben? - Denk daran, dass man Brüche nur addieren oder subtrahieren kann, wenn sie denselben Nenner haben. - Vergiss nicht, die Variable im Ergebnis wieder mit hinzuschreiben.

1. Umwandlung der Subtraktion einer negativen Zahl in eine Addition: \(\frac{3}{5}a + a = \frac{3}{5}a + \frac{5}{5}a = \frac{8}{5}a = 1\frac{3}{5}a\). 2. Zusammenfassen der Vorzeichen und Finden des Hauptnenners \(4\): \(-\frac{2}{4}b + \frac{3}{4}b = \frac{1}{4}b\). 3. Umwandlung der gemischten Zahl in einen unechten Bruch und Erweitern auf den Hauptnenner \(6\): \(\frac{5}{3}c + \frac{5}{6}c = \frac{10}{6}c + \frac{5}{6}c = \frac{15}{6}c\). Kürzen ergibt \(\frac{5}{2}c = 2\frac{1}{2}c\).

1) \(\frac{8}{5}a\) oder \(1\frac{3}{5}a\) 2) \(\frac{1}{4}b\) 3) \(\frac{5}{2}c\) oder \(2\frac{1}{2}c\)

- Was bedeutet das Minuszeichen vor einer Klammer für das Vorzeichen in der Klammer? - Haben alle Terme in einer Teilaufgabe die exakt gleichen Variablen mit den gleichen Exponenten? - Konzentriere dich zuerst nur auf die Zahlen (Koeffizienten) vor den Variablen.

1. Auflösen der Klammer und Subtraktion der Koeffizienten: \(5{,}4 - 2{,}1 = 3{,}3\). Ergebnis: \(3{,}3k^2\). 2. Auflösen der Klammer unter Beachtung der Regel für die Subtraktion eines negativen Terms: \(-3{,}8 + 5{,}2 = 1{,}4\). Ergebnis: \(1{,}4x^4\). 3. Verrechnen der Koeffizienten bei gleichem Variablenanteil: \(0{,}25 - 0{,}75 = -0{,}5\). Ergebnis: \(-0{,}5m^2n\).

1) \(3{,}3k^2\); 2) \(1{,}4x^4\); 3) \(-0{,}5m^2n\).

- Achte darauf, nur Terme mit exakt den gleichen Variablen und Potenzen zusammenzufassen. - Du kannst zuerst alle Terme ohne Klammern schreiben, bevor du rechnest. - Es hilft oft, zuerst alle positiven und dann alle negativen Koeffizienten zu betrachten. - Brüche mit gleichem Nenner kannst du direkt addieren oder subtrahieren.

1. Schrittweise Verrechnung der Koeffizienten: \(12 - 15 + 4 = 1\). Das Ergebnis ist \(xy\), kurz \(xy\). 2. Auflösen der Klammern und Verrechnen der Koeffizienten: \(-5 + 8 - 3 = 0\). Das Ergebnis ist \(0\). 3. Addition der ersten beiden Terme: \(4{,}5z + 1{,}5z = 6{,}0z\). Anschließende Subtraktion: \(6z - 7z = -z\), kurz \(-z\). 4. Umwandlung in eine Addition: \(\frac{1}{2}x + \frac{3}{2}x = \frac{4}{2}x\). Kürzen des Bruchs ergibt \(2x\).

1) \(xy\) 2) \(0\) 3) \(-z\) 4) \(2x\)

- Was passiert mit den Rechenzeichen innerhalb einer Klammer, wenn ein Minuszeichen direkt davor steht? - Darfst du Äpfel und Birnen zusammenzählen? Überlege, welche Teile des Terms (z. B. mit \(x\) oder mit \(y\)) zueinander passen. - Achte beim Zusammenfassen genau auf die Vorzeichen der einzelnen Zahlen. - Unterscheide beim Vereinfachen zwischen Gliedern mit der Variablen im Quadrat (wie \(u^2\)) und Gliedern mit der einfachen Variablen (wie \(u\)).

1. Auflösen der Klammer in Teil a: Ein Minuszeichen vor einer Klammer kehrt alle Vorzeichen innerhalb der Klammer um. Aus \(-(4k + 3m)\) wird beim Auflösen der Klammer \(-4k - 3m\). Zusammenfassen: \(9k - 4k - 3m = 5k - 3m\). 2. Auflösen der Klammern in Teil b: Die erste Klammer kann weggelassen werden, die zweite erfordert eine Vorzeichenumkehr: \(2x - 8y - 5x + 3y\). Sortieren und Zusammenfassen der \(x\)- und \(y\)-Glieder: \((2-5)x + (-8+3)y = -3x - 5y\). 3. Auflösen der Klammer in Teil c: \(15u^2 - 7u^2 + 10u - 4u\). Zusammenfassen der Glieder mit \(u^2\) und der Glieder mit \(u\): \((15-7)u^2 + (10-4)u = 8u^2 + 6u\).

a) \(5k - 3m\) b) \(-3x - 5y\) c) \(8u^2 + 6u\)

- Beachte die Vorrangregeln: Berechne immer zuerst den Ausdruck in der Klammer. - Achte besonders auf das Vorzeichen, wenn du eine Zahl von einer kleineren Zahl subtrahierst. - Denke beim Rechnen mit Brüchen daran, diese zuerst auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen. - Was passiert mit dem Rechenzeichen innerhalb der Klammer, wenn man die Klammer weglässt?

1. Für die erste Spalte: Linke Seite \(20 - (8 - 5) = 20 - 3 = 17\); Rechte Seite \(20 - 8 + 5 = 12 + 5 = 17\). Die Gleichung stimmt. 2. Für die zweite Spalte: Linke Seite \(4 - (9 - 2) = 4 - 7 = -3\); Rechte Seite \(4 - 9 + 2 = -5 + 2 = -3\). Die Gleichung stimmt. 3. Für die dritte Spalte: Linke Seite \(0{,}7 - (1{,}2 - 0{,}5) = 0{,}7 - 0{,}7 = 0\); Rechte Seite \(0{,}7 - 1{,}2 + 0{,}5 = -0{,}5 + 0{,}5 = 0\). Die Gleichung stimmt. 4. Für die vierte Spalte: Linke Seite \(\frac{5}{6} - (\frac{2}{6} - \frac{3}{6}) = \frac{5}{6} - (-\frac{1}{6}) = 1\); Rechte Seite \(\frac{5}{6} - \frac{2}{6} + \frac{3}{6} = \frac{3}{6} + \frac{3}{6} = 1\). Die Gleichung stimmt.

Die Gleichung ist für alle angegebenen Werte korrekt.

- Was passiert mit den Vorzeichen innerhalb einer Klammer, wenn ein Minuszeichen davor steht? - Sortiere die Terme so, dass Glieder mit den gleichen Variablen (oder Variablenkombinationen) nebeneinander stehen. - Achte besonders auf das Zusammenfassen von negativen Zahlen. - Was ergibt \(4a^2 - 4a^2\)?

1. Auflösen der Klammern unter Beachtung des Minuszeichens vor der zweiten Klammer (alle Vorzeichen in der Klammer werden umgekehrt): \(6x - 9y + 4z - 15x - 3y + 8z\). 2. Zusammenfassen der Koeffizienten gleicher Variablen für Teil a): \((6 - 15)x + (-9 - 3)y + (4 + 8)z = -9x - 12y + 12z\). 3. Auflösen der Klammern für Teil b): \(4a^2 - ab + 2b^2 - 4a^2 - 5ab + 3b^2\). 4. Zusammenfassen der Koeffizienten für Teil b): \((4 - 4)a^2 + (-1 - 5)ab + (2 + 3)b^2 = -6ab + 5b^2\).

a) \(-9x - 12y + 12z\) b) \(-6ab + 5b^2\)

- Worauf musst du achten, wenn ein Minuszeichen direkt vor einer Klammer steht? - Welche Teile des Terms darfst du zusammenrechnen? Nur solche mit genau denselben Variablen? - Hilft es dir, die Glieder zuerst zu sortieren, bevor du rechnest? - Denk daran, Brüche auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen, bevor du sie addierst oder subtrahierst.

1. Auflösen der Klammern unter Beachtung des Minuszeichens vor der zweiten Klammer (Umkehrung aller Vorzeichen in der Klammer): \(\frac{3}{10}x^2 - \frac{2}{3}xy + \frac{5}{6}y^2 - \frac{1}{5}x^2 - \frac{1}{4}xy + \frac{1}{2}y^2\) 2. Ordnen der Glieder nach Variablen: \((\frac{3}{10}x^2 - \frac{1}{5}x^2) + (-\frac{2}{3}xy - \frac{1}{4}xy) + (\frac{5}{6}y^2 + \frac{1}{2}y^2)\) 3. Berechnen der Koeffizienten für \(x^2\): \(\frac{3}{10} - \frac{2}{10} = \frac{1}{10}\) 4. Berechnen der Koeffizienten für \(xy\): \(-\frac{8}{12} - \frac{3}{12} = -\frac{11}{12}\) 5. Berechnen der Koeffizienten für \(y^2\): \(\frac{5}{6} + \frac{3}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}\) 6. Endergebnis: \(\frac{1}{10}x^2 - \frac{11}{12}xy + \frac{4}{3}y^2\)

\(\frac{1}{10}x^2 - \frac{11}{12}xy + \frac{4}{3}y^2\)

- Was passiert mit den Rechenzeichen in einer Klammer, wenn ein Minuszeichen direkt davor steht? - Markiere dir die Glieder, die die gleichen Variablenkombinationen haben, in der gleichen Farbe. - Achte beim Zusammenfassen besonders auf die Vorzeichen der einzelnen Zahlen.

1. Auflösen der Klammern unter Berücksichtigung des negativen Vorzeichens der zweiten Klammer, wodurch sich die Vorzeichen innerhalb dieser Klammer umkehren: \(4{,}7xy - 2{,}3yz + 5xz - 1{,}2xy - 3{,}7yz + 2xz\). 2. Zusammenfassen der Glieder mit \(xy\): \(4{,}7xy - 1{,}2xy = 3{,}5xy\). 3. Zusammenfassen der Glieder mit \(yz\): \(-2{,}3yz - 3{,}7yz = -6yz\). 4. Zusammenfassen der Glieder mit \(xz\): \(5xz + 2xz = 7xz\). 5. Zusammenführen der Ergebnisse zum vereinfachten Term: \(3{,}5xy - 6yz + 7xz\).

\(3{,}5xy - 6yz + 7xz\)

- Wandle zuerst alle Brüche in Dezimalzahlen um, damit du leichter rechnen kannst. - Achte besonders auf das Minuszeichen vor der zweiten Klammer – was passiert mit den Vorzeichen innerhalb der Klammer? - Markiere dir Glieder mit den gleichen Variablen (z. B. \(x^2\) oder \(xy\)) in der gleichen Farbe.

1. Umwandlung der Brüche in Dezimalzahlen: \(4\frac{1}{2} = 4{,}5\), \(\frac{4}{5} = 0{,}8\) und \(3\frac{1}{2} = 3{,}5\). 2. Auflösen der Klammern unter Beachtung des Minuszeichens vor der zweiten Klammer: \(4{,}5x^2 - 0{,}3xy + 2y^2 - 1{,}75x^2 - 0{,}8xy + 3{,}5y^2\). 3. Zusammenfassen der gleichartigen Glieder: \((4{,}5 - 1{,}75)x^2 + (-0{,}3 - 0{,}8)xy + (2 + 3{,}5)y^2\). 4. Berechnung der Koeffizienten: \(2{,}75x^2 - 1{,}1xy + 5{,}5y^2\).

\(2{,}75x^2 - 1{,}1xy + 5{,}5y^2\)

- Worauf musst du achten, wenn ein Minuszeichen vor einer Klammer steht? - Welche Teile des Terms darfst du zusammenzählen oder voneinander abziehen? - Hilft es dir, alle Brüche erst auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen? - Kannst du gemischte Zahlen wie \(1\frac{3}{4}\) in reine Brüche umwandeln, bevor du rechnest?

1. Auflösen der Klammern unter Beachtung des Minuszeichens: \(1\frac{3}{4}x - \frac{2}{5}y - \frac{1}{2}x - \frac{1}{10}y\). Gruppieren der \(x\)- und \(y\)-Glieder nach Umwandlung in Brüche mit gemeinsamem Nenner: \((\frac{7}{4} - \frac{2}{4})x + (-\frac{4}{10} - \frac{1}{10})y = \frac{5}{4}x - \frac{5}{10}y\). Gekürzt ergibt sich \(\frac{5}{4}x - \frac{1}{2}y\). 2. Auflösen der Klammern: \(\frac{2}{3}a^2 - \frac{1}{4}ab + \frac{1}{2}b^2 - \frac{1}{6}a^2 - \frac{3}{4}ab + b^2\). Zusammenfassen der Koeffizienten: \((\frac{4}{6} - \frac{1}{6})a^2 + (-\frac{1}{4} - \frac{3}{4})ab + (\frac{1}{2} + 1)b^2 = \frac{3}{6}a^2 - \frac{4}{4}ab + \frac{3}{2}b^2\). Gekürzt ergibt sich \(\frac{1}{2}a^2 - ab + \frac{3}{2}b^2\).

1) \(\frac{5}{4}x - \frac{1}{2}y\) (oder \(1\frac{1}{4}x - 0{,}5y\)); 2) \(\frac{1}{2}a^2 - ab + \frac{3}{2}b^2\)

- Von innen nach außen arbeiten: Welche Klammer sollte man zuerst betrachten? - Achte besonders auf das Vorzeichen direkt vor einer Klammer. - Was passiert mit den Vorzeichen innerhalb einer Klammer, wenn ein Minus davor steht? - Kannst du innerhalb der eckigen Klammer erst etwas zusammenfassen, bevor du sie auflöst?

1. Auflösen der inneren Klammer durch Umkehren der Vorzeichen aufgrund des Minuszeichens: \(2x - [5x - 3x - 4]\) 2. Zusammenfassen der gleichartigen Terme innerhalb der eckigen Klammer: \(2x - [2x - 4]\) 3. Auflösen der eckigen Klammer durch Umkehren der Vorzeichen: \(2x - 2x + 4\) 4. Verrechnen der Terme mit \(x\), woraus das Endergebnis \(4\) resultiert.

\(4\)

- Worauf musst du achten, wenn ein Minuszeichen direkt vor einer Klammer steht? - Welche Teile des Terms darfst du miteinander verrechnen? - Gibt es eine Regel für das Auflösen von Plus-Klammern? - Kannst du die Terme nach ihren Hochzahlen (Exponenten) sortieren, bevor du rechnest?

1. Auflösen der Klammern unter Beachtung der Vorzeichen: \( 4x^2 - 3x + 5 - 2x^2 - 5x + 7 + x^2 - 4x - 1 \). 2. Sortieren und Zusammenfassen der gleichartigen Glieder: - \( x^2 \)-Terme: \( (4 - 2 + 1)x^2 = 3x^2 \) - \( x \)-Terme: \( (-3 - 5 - 4)x = -12x \) - Konstante Terme: \( 5 + 7 - 1 = 11 \) 3. Gesamtergebnis: \( 3x^2 - 12x + 11 \).

\( 3x^2 - 12x + 11 \)

- Überlege, was das Minuszeichen vor der zweiten Klammer für alle Glieder innerhalb dieser Klammer bedeutet. - Welche Terme darf man zusammenfassen? Achte dabei genau auf die Exponenten. - Wenn vor einer Variable keine Zahl steht, welcher Koeffizient ist dann gemeint? - Gehe die Rechnung für jeden Exponenten einzeln durch.

1. Auflösen der Klammern unter Beachtung des Minuszeichens vor der zweiten Klammer: \(12y^{n+2} - 5y^{n+1} + y^n - 7y^{n+2} + 8y^{n+1} + 4y^n\). 2. Zusammenfassen der gleichartigen Terme mit der Basis \(y\) und dem Exponenten \(n+2\): \(12 - 7 = 5\), also \(5y^{n+2}\). 3. Zusammenfassen der Terme mit dem Exponenten \(n+1\): \(-5 + 8 = 3\), also \(3y^{n+1}\). 4. Zusammenfassen der Terme mit dem Exponenten \(n\): \(1 + 4 = 5\), also \(5y^n\). 5. Zusammenfügen der Teilergebnisse zum Endterm: \(5y^{n+2} + 3y^{n+1} + 5y^n\).

\(5y^{n+2} + 3y^{n+1} + 5y^n\)

- Wie verändern sich die Vorzeichen in einer Klammer, wenn ein Minuszeichen davor steht? - Es ist oft hilfreich, von der innersten Klammer zur äußersten vorzugehen. - Achte darauf, nur Glieder mit den exakt gleichen Variablenpotenzen (z. B. \( x^2 \)) zusammenzufassen. - Kannst du den Term innerhalb einer Klammer erst vereinfachen, bevor du die Klammer ganz weglässt?

1. Auflösen der inneren runden Klammern unter Berücksichtigung der Vorzeichen: \( 4x^2 - [3y^2 - 2x^2 - 5xy + y^2 + x^2 - 5xy] \) 2. Zusammenfassen der Terme innerhalb der eckigen Klammer: \( 4x^2 - [-x^2 - 10xy + 4y^2] \) 3. Auflösen der eckigen Klammer (Minuszeichen vor der Klammer kehrt alle Vorzeichen um): \( 4x^2 + x^2 + 10xy - 4y^2 \) 4. Zusammenfassen der finalen Glieder: \( 5x^2 + 10xy - 4y^2 \)

\( 5x^2 + 10xy - 4y^2 \)

- Kannst du die Terme zuerst nach ihren Variablen sortieren? - Achte besonders auf die Vorzeichen, wenn ein Minus vor einer Klammer steht. - Denke daran, dass man nur Glieder mit genau der gleichen Variablen und Potenz addieren oder subtrahieren darf. - Versuche, die Zahlen ohne Variablen am Ende separat zusammenzurechnen.

1. Berechnung von \(A + B + C\): Einsetzen der Terme ergibt \((4x^2 - 7y + 2) + (-2x^2 + 3y - 5) + (x^2 - y + 1)\). Sortieren nach Variablen: \((4 - 2 + 1)x^2 + (-7 + 3 - 1)y + (2 - 5 + 1)\). Ergebnis: \(3x^2 - 5y - 2\). 2. Berechnung von \(A - B - C\): Einsetzen ergibt \((4x^2 - 7y + 2) - (-2x^2 + 3y - 5) - (x^2 - y + 1)\). Auflösen der Minusklammern durch Vorzeichenumkehr: \(4x^2 - 7y + 2 + 2x^2 - 3y + 5 - x^2 + y - 1\). Zusammenfassen der Koeffizienten: \((4 + 2 - 1)x^2 + (-7 - 3 + 1)y + (2 + 5 - 1)\). Ergebnis: \(5x^2 - 9y + 6\).

1) \(3x^2 - 5y - 2\) 2) \(5x^2 - 9y + 6\)

- Welche Teile der Terme haben die gleiche Variable mit dem gleichen Exponenten? Nur diese darfst du zusammenrechnen. - Was musst du beachten, wenn ein Minuszeichen direkt vor einer Klammer steht? - Es hilft oft, zuerst die Ausdrücke in der Klammer zu vereinfachen, bevor man die gesamte Rechnung löst.

1. Addition der Koeffizienten gleichartiger Terme für \(A + B + C\): \((4{,}5 - 2{,}5 + 1)x^2 + (-5 + 3 - 1{,}5)x + (7 - 4 + 2)\) 2. Zusammengefasstes Ergebnis für a): \(3x^2 - 3{,}5x + 5\) 3. Berechnung der Summe in der Klammer für b): \(B + C = (-2{,}5 + 1)x^2 + (3 - 1{,}5)x + (-4 + 2) = -1{,}5x^2 + 1{,}5x - 2\) 4. Subtraktion des Ergebnisses von \(A\): \((4{,}5x^2 - 5x + 7) - (-1{,}5x^2 + 1{,}5x - 2)\) 5. Auflösen der Minusklammer durch Vorzeichenwechsel: \(4{,}5x^2 + 1{,}5x^2 - 5x - 1{,}5x + 7 + 2\) 6. Zusammengefasstes Ergebnis für b): \(6x^2 - 6{,}5x + 9\)

a) \(3x^2 - 3{,}5x + 5\) b) \(6x^2 - 6{,}5x + 9\)

- Achte besonders auf das Rechenzeichen vor der Klammer. - Was passiert mit den Vorzeichen in der Klammer, wenn ein Minus davor steht? - Denke an die Regel „Punkt vor Strich“. - Du kannst nur Terme mit derselben Variable oder Zahlen ohne Variable miteinander verrechnen.

1. Division des ersten Klammerausdrucks durch 6 ergibt \( 3x - 2 \). 2. Multiplikation der zweiten Klammer mit 4 ergibt \( 4x - 8 \). 3. Addition der Teilergebnisse: \( 3x - 2 + 4x - 8 = 7x - 10 \). 4. Multiplikation der ersten Klammer im zweiten Aufgabenteil mit 5 ergibt \( 10y + 15 \). 5. Division der zweiten Klammer durch 6 ergibt \( 2y - 3 \). 6. Subtraktion unter Beachtung des Vorzeichens: \( 10y + 15 - (2y - 3) = 10y + 15 - 2y + 3 = 8y + 18 \).

1) \( 7x - 10 \) 2) \( 8y + 18 \)

- Denk an die Regel „Punkt-vor-Strich“. - Was passiert mit den Vorzeichen innerhalb einer Klammer, wenn ein Minuszeichen davorsteht? - Du kannst die Division einzeln auf jeden Summanden in der Klammer anwenden. - Achte darauf, nur Glieder mit den gleichen Variablen und Potenzen zusammenzufassen.

1. Ausmultiplizieren des ersten Produkts: \( 3x \cdot x - 3x \cdot 4 = 3x^2 - 12x \). 2. Division der Summe in der Klammer durch den Divisor \( 3 \): \( (6x^2 : 3) + (9x : 3) = 2x^2 + 3x \). 3. Subtraktion der Teilergebnisse unter Beachtung der Klammerregeln: \( (3x^2 - 12x) - (2x^2 + 3x) = 3x^2 - 12x - 2x^2 - 3x \). 4. Zusammenfassen der gleichartigen Glieder: \( x^2 - 15x \).

\( x^2 - 15x \)

- Kannst du den Term in kleinere Teile zerlegen und diese nacheinander vereinfachen? - Was passiert mit den Vorzeichen in einer Klammer, wenn ein Minuszeichen davor steht? - Wie gehst du vor, wenn eine ganze Klammer durch eine Zahl dividiert wird? - Achte darauf, nur Terme mit den gleichen Variablen zusammenzufassen.

1. Ausmultiplizieren der ersten Klammer: \( 4 \cdot (x + 2y) = 4x + 8y \) 2. Division des zweiten Klammerausdrucks durch 3: \( (12x - 6y) : 3 = 4x - 2y \) 3. Auflösen der Minusklammer am Ende: \( -(5x + y) = -5x - y \) 4. Zusammenführen aller Teilterme: \( 4x + 8y + 4x - 2y - 5x - y \) 5. Zusammenfassen der Terme mit \( x \): \( 4x + 4x - 5x = 3x \) 6. Zusammenfassen der Terme mit \( y \): \( 8y - 2y - y = 5y \) 7. Endergebnis: \( 3x + 5y \)

\( 3x + 5y \)

- Markiere Glieder mit den exakt gleichen Variablen und Exponenten in derselben Farbe. - Achte besonders auf das Vorzeichen, das direkt vor jeder Zahl steht. - Was passiert, wenn du eine Zahl von ihrem Gegenteil subtrahierst oder sie dazu addierst?

1. Identifikation der gleichartigen Glieder: Die Glieder mit \(x^2\) sind \(9x^2\) und \(-12x^2\). Die Glieder mit \(xy\) sind \(-5xy\) und \(5xy\). Die Glieder mit \(y^2\) sind \(3y^2\) und \(-2y^2\). 2. Zusammenfassen der \(x^2\)-Glieder: \(9 - 12 = -3\), also \(-3x^2\). 3. Zusammenfassen der \(xy\)-Glieder: \(-5 + 5 = 0\), das Glied fällt weg. 4. Zusammenfassen der \(y^2\)-Glieder: \(3 - 2 = 1\), also \(1y^2\) bzw. \(y^2\). 5. Aufstellen des Gesamtergebnisses: \(-3x^2 + y^2\).

\(-3x^2 + y^2\)

- Welche Teile des Terms haben die exakt gleichen Variablen mit den gleichen Hochzahlen? - Es hilft, gleichartige Terme mit der gleichen Farbe zu markieren. - Achte besonders auf das Vorzeichen vor jeder Zahl. - Vergiss nicht, dass du nur die Zahlen vor den Variablen (die Koeffizienten) verrechnest.

1. Identifizieren der gleichartigen Terme: Die Terme mit \(x^2\) sind \(2{,}4x^2\) und \(0{,}8x^2\), die Terme mit \(xy\) sind \(-1{,}5xy\) und \(0{,}15xy\). Der Term \(-3{,}2y^2\) hat keine Entsprechung. 2. Zusammenfassen der \(x^2\)-Terme durch Addition der Koeffizienten: \(2{,}4 + 0{,}8 = 3{,}2\). Dies ergibt \(3{,}2x^2\). 3. Zusammenfassen der \(xy\)-Terme durch Addition der Koeffizienten: \(-1{,}5 + 0{,}15 = -1{,}35\). Dies ergibt \(-1{,}35xy\). 4. Zusammenstellen des gesamten Terms: \(3{,}2x^2 - 1{,}35xy - 3{,}2y^2\).

\(3{,}2x^2 - 1{,}35xy - 3{,}2y^2\)

- Welche Glieder haben die exakt gleiche Variable mit dem gleichen Exponenten? - Achte darauf, das Rechenzeichen vor jedem Glied als Vorzeichen zu betrachten. - Was passiert, wenn du einen Wert subtrahierst und ihn später wieder addierst? - Kannst du den Term übersichtlicher aufschreiben, indem du Gleiches nebeneinander stellst?

1. Identifizieren und Gruppieren der Glieder mit \(x^3\): \(12x^3 - 5x^3 = 7x^3\). 2. Identifizieren und Gruppieren der Glieder mit \(x^2\): \(-7x^2 + 7x^2 = 0\). 3. Die Glieder \(4x\) und \(-9\) haben keine Partner zum Zusammenfassen. 4. Kombinieren der Ergebnisse zum vereinfachten Term: \(7x^3 + 4x - 9\).

\(7x^3 + 4x - 9\)

- Was bedeutet es, wenn eine Zahl oder Variable mehrfach mit sich selbst multipliziert wird? Wie schreibt man das kürzer? - Überlege, wie oft der genau gleiche Baustein in der Summe vorkommt. - Kannst du \(x^3\) und \(y^2\) zusammenzählen oder sind das unterschiedliche „Sorten“?

1. Umwandlung der Produkte in Potenzschreibweise: \(k \cdot k = k^2\), \(x \cdot x \cdot x = x^3\), \(y \cdot y = y^2\), \(a \cdot a = a^2\), \(m \cdot m \cdot m = m^3\) und \(n \cdot n = n^2\). 2. Zusammenfassen der gleichartigen Terme durch Addition der Koeffizienten: - \(k^2 + k^2 + k^2 = 3k^2\) - \(x^3 + y^2 + x^3 + y^2 = 2x^3 + 2y^2\) - \(a^2 + a^2 + a^2 = 3a^2\) - \(m^3 + n^2 + m^3 = 2m^3 + n^2\)

1) \(3k^2\); 2) \(2x^3 + 2y^2\); 3) \(3a^2\); 4) \(2m^3 + n^2\)

- Was bedeutet es, wenn Terme „gleichartig“ sind? - Konzentriere dich zuerst auf die Zahlen vor den Variablen. - Achte besonders auf die Vorzeichen, wenn ein Minus vor einer Klammer steht. - Bei Brüchen musst du sie zuerst auf denselben Nenner bringen.

1. Identifikation der Basis \(a^k\). Berechnung der Koeffizienten: \(12 - 15 = -3\). Ergebnis: \(-3a^k\). 2. Identifikation der Basis \(x^{n+1}\). Auflösen der Klammer und Zusammenfassen der Koeffizienten: \(-3 + 8 = 5\). Ergebnis: \(5x^{n+1}\). 3. Identifikation der Basis \(b^{2m}\). Zusammenfassen der Dezimalzahlen: \(0{,}4 - 1{,}1 = -0{,}7\). Ergebnis: \(-0{,}7b^{2m}\). 4. Identifikation der Basis \(y^{m-1}\). Subtraktion der Brüche durch Erweitern auf den Hauptnenner \(6\): \(\frac{4}{6} - \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\). Ergebnis: \(\frac{1}{2}y^{m-1}\).

1) \(-3a^k\); 2) \(5x^{n+1}\); 3) \(-0{,}7b^{2m}\); 4) \(\frac{1}{2}y^{m-1}\)

- Welche Teile des Terms haben genau dieselben Variablen und Exponenten? - Was bedeutet es für den Wert, wenn du eine negative Zahl addierst? - Kannst du die Zahlen vor den Variablen für jede Sorte von Variable getrennt verrechnen? - Was passiert mit einem Term, wenn sein Koeffizient Null ergibt?

1. Identifikation der gleichartigen Terme mit \(x^2\) und \(y\): \(9x^2\), \(-5x^2\), \(-3x^2\) sowie \(-4y\), \(4y\). 2. Berechnung der Koeffizientensumme für \(x^2\): \(9 - 5 - 3 = 1\). 3. Berechnung der Koeffizientensumme für \(y\): \(-4 + 4 = 0\). 4. Zusammenfügen der Ergebnisse zu \(x^2 + 0\), was \(x^2\) ergibt.

\(x^2\)

- Was passiert mit den Vorzeichen innerhalb einer Klammer, wenn ein Minuszeichen davor steht? - Welche Teile der Terme sind „gleichartig“ und dürfen miteinander verrechnet werden? - Achte besonders auf den Unterschied zwischen Gliedern mit Variablen (wie \(x\)) und Gliedern mit Potenzen (wie \(x^2\)). - Kannst du die Terme zuerst sortieren, bevor du sie zusammenrechnest?

1. Auflösen der Klammern unter Beachtung des Minuszeichens (Vorzeichenumkehr in der zweiten Klammer): \(8x + 12y - 5x + 3y\). Zusammenfassen der \(x\)-Glieder (\(8 - 5 = 3\)) und \(y\)-Glieder (\(12 + 3 = 15\)) ergibt \(3x + 15y\). 2. Auflösen der Klammern: \(4a^2 - 7a - a^2 - 2a\). Zusammenfassen der \(a^2\)-Glieder (\(4 - 1 = 3\)) und \(a\)-Glieder (\(-7 - 2 = -9\)) ergibt \(3a^2 - 9a\). 3. Auflösen der Klammern: \(9uv + 4v - 9uv + 6v\). Die Glieder mit \(uv\) heben sich auf (\(9 - 9 = 0\)), die \(v\)-Glieder ergeben \(4 + 6 = 10\). Das Ergebnis ist \(10v\). 4. Auflösen der Klammern: \(-3k + 5 + 7k - 2\). Zusammenfassen der \(k\)-Glieder (\(-3 + 7 = 4\)) und der konstanten Zahlen (\(5 - 2 = 3\)) ergibt \(4k + 3\).

a) \(3x + 15y\) b) \(3a^2 - 9a\) c) \(10v\) d) \(4k + 3\)

- Welche Teile des Terms gehören zusammen? Sortiere sie nach Gliedern mit Variablen und Gliedern ohne Variablen. - Es ist oft einfacher, einen Term erst zu vereinfachen, bevor man eine Zahl einsetzt. - Achte beim Einsetzen der negativen Zahl auf das Vorzeichen beim Multiplizieren.

1. Zusammenfassen der Glieder mit der Variablen \( x \): \( 15x + 5x = 20x \). 2. Zusammenfassen der konstanten Glieder: \( -7 + 17 = 10 \). 3. Aufstellen des vereinfachten Terms: \( 20x + 10 \). 4. Einsetzen von \( x = -1{,}2 \) in den vereinfachten Term: \( 20 \cdot (-1{,}2) + 10 \). 5. Berechnung des Endwerts: \( -24 + 10 = -14 \).

\( -14 \)

- Achte besonders auf das Vorzeichen vor der Klammer beim Ausgangsterm. - Wie verändert ein Minuszeichen vor einer Klammer die Vorzeichen innerhalb der Klammer? - Versuche, jeden Term so weit wie möglich zu vereinfachen, bis er die Form \(ax + b\) hat. - Kannst du Faktoren ausklammern oder Klammern ausmultiplizieren?

1. Vereinfachung des Ausgangsterms \(T\): Auflösen der Minusklammer ergibt \(12x - 4x - 8 = 8x - 8\). 2. Prüfung von \(T_1\): \(8x + 8\) ist nicht gleich \(8x - 8\). Nicht äquivalent. 3. Prüfung von \(T_2\): Ausmultiplizieren ergibt \(4 \cdot 2x - 4 \cdot 2 = 8x - 8\). Äquivalent. 4. Prüfung von \(T_3\): Zusammenfassen ergibt \(16x - 8x - 8 = 8x - 8\). Äquivalent. 5. Prüfung von \(T_4\): Ausmultiplizieren ergibt \(8 \cdot x - 8 \cdot 1 = 8x - 8\). Äquivalent.

Der vereinfachte Term ist \(T = 8x - 8\). Äquivalent zu \(T\) sind die Terme \(T_2\), \(T_3\) und \(T_4\), da sie sich alle zu \(8x - 8\) umformen lassen: \(T_2 = 4(2x - 2) = 8x - 8\) \(T_3 = 16x - 8 - 8x = 8x - 8\) \(T_4 = 8(x - 1) = 8x - 8\) \(T_1\) ist nicht äquivalent, da das Vorzeichen der Zahl falsch ist.

- Wenn du eine Zahl für \(x\) einsetzt, muss im Originalterm und im richtig vereinfachten Term dasselbe herauskommen. - Was passiert mit den Vorzeichen, wenn man eine negative Zahl mit einer anderen negativen Zahl multipliziert? - Schau dir den Schritt beim Auflösen der Klammer ganz genau an.

1. Einsetzen von \(x = 0\) in den Originalterm: \(6(0) - 2(0 - 4) = 0 - 2(-4) = 8\). 2. Einsetzen von \(x = 0\) bei Lukas: \(4(0) - 8 = -8\). 3. Einsetzen von \(x = 0\) bei Mia: \(4(0) + 8 = 8\). 4. Vergleich: Mia hat das gleiche Ergebnis wie der Originalterm, Lukas nicht. Mia könnte recht haben. 5. Fehleranalyse: Lukas hat beim Auflösen der Klammer das Minuszeichen vor der \(2\) nicht auf die \(-4\) in der Klammer angewendet. Nach dem Distributivgesetz gilt \(-2 \cdot (-4) = +8\). Lukas hat fälschlicherweise \(-8\) geschrieben.

a) Für \(x = 0\) ergibt der Originalterm \(8\). Lukas erhält \(-8\), Mia erhält \(8\). Daher hat Mia recht. b) Lukas hat einen Vorzeichenfehler gemacht. Beim Multiplizieren von \(-2\) mit \(-4\) (aus der Klammer) muss das Ergebnis \(+8\) lauten. Lukas hat stattdessen die Subtraktion beibehalten und \(-8\) geschrieben.

- Achte besonders auf das Rechenzeichen vor der Klammer. Was passiert mit den Zeichen in der Klammer? - Berechne den Term Schritt für Schritt selbst, ohne auf die Lösung des Schülers zu schauen. - Vergleiche dein Ergebnis mit der Zahl am Ende der Schülerrechnung.

1. Auflösen der Minusklammer: Das Minuszeichen vor der Klammer kehrt alle Vorzeichen innerhalb der Klammer um, woraus \(- 5 \cdot b - 7\) folgt. 2. Einsetzen in den Gesamtausdruck: \(12 \cdot b - 5 \cdot b - 7 + 3\). 3. Zusammenfassen der Glieder mit \(b\): \(12 \cdot b - 5 \cdot b = 7 \cdot b\). 4. Zusammenfassen der Zahlen: \(-7 + 3 = -4\). 5. Endergebnis: Der korrekt vereinfachte Term lautet \(7 \cdot b - 4\). 6. Fehleranalyse: Der Schüler hat das Vorzeichen der \(7\) in der Klammer nicht umgekehrt (\(+7\) statt \(-7\)) und dann \((7 + 3 = 10)\) gerechnet.

Das Ergebnis ist falsch. Der Fehler liegt beim Auflösen der Minusklammer, da die \(+7\) zu \(-7\) werden muss. Die richtige Vereinfachung lautet \(7 \cdot b - 4\).

- Welche Zahl steht unsichtbar vor dem letzten \(x\)? - Schreibe dir den Term mit allen sichtbaren Koeffizienten auf, bevor du rechnest. - Was passiert, wenn man ein \(x\) zu \(3x\) dazuzählt?

1. Identifikation der Koeffizienten des Terms: \(7\), \(-4\) und \(1\) (da \(x = 1 \cdot x\)). 2. Durchführung der Addition/Subtraktion: \(7 - 4 + 1 = 4\). 3. Vergleich: Das korrekte Ergebnis ist \(4x\). Somit hat Ben recht. 4. Fehleranalyse: Anna hat vermutlich die \(1\) beim letzten \(x\) ignoriert oder als \(0\) gewertet (\(7 - 4 = 3\)).

Ben hat recht. Rechnung: \(7x - 4x + 1x = (7 - 4 + 1)x = 4x\). Anna hat vermutlich den Koeffizienten \(1\) beim letzten \(x\) übersehen.

- Vereinfache jeden Term einzeln, bevor du versuchst, sie zu vergleichen. - Achte bei Termen mit Klammern darauf, jedes Element in der Klammer mit dem Faktor davor zu multiplizieren. - Vergiss nicht, nach dem Auflösen von Klammern noch einmal alles zusammenzufassen.

1. Vereinfachung von Term 1: \(6a + 2a - 12 = 8a - 12\). 2. Vereinfachung von Term 2: \(3a + 12 - a = 2a + 12\). 3. Vereinfachung von Term 3: \(4 \cdot 2a - 4 \cdot 3 = 8a - 12\). 4. Term 4 ist bereits vereinfacht: \(2a + 12\). 5. Vereinfachung von Term 5: \(10a - 2a - 12 = 8a - 12\). 6. Vereinfachung von Term 6: \(2 \cdot a + 2 \cdot 12 = 2a + 12\). 7. Gruppierung: Gruppe A (\(8a - 12\)) enthält die Terme 1, 3 und 5. Gruppe B (\(2a + 12\)) enthält die Terme 2, 4 und 6.

Gruppe 1 (äquivalent zu \(8a - 12\)): \(6a - 12 + 2a\); \(4 \cdot (2a - 3)\); \(10a - 12 - 2a\). Gruppe 2 (äquivalent zu \(2a + 12\)): \(3 \cdot (a + 4) - a\); \(2a + 12\); \(2 \cdot (a + 6)\).

- Was passiert, wenn du eine konkrete Zahl für die Variable einsetzt? - Erinnere dich daran, wie man eine Zahl mit einer Summe in einer Klammer multipliziert. - Muss jeder Teil in der Klammer mit der Zahl davor multipliziert werden? - Welche Zahl ergibt mit 4 multipliziert 8?

1. Einsetzen von \(n = 2\): \(T_1 = 4 \cdot 2 + 8 = 8 + 8 = 16\). \(T_2 = 4 \cdot (2 + 8) = 4 \cdot 10 = 40\). Da \(16 \neq 40\), ist die Behauptung falsch. 2. Anwendung des Distributivgesetzes auf \(T_2\): \(4 \cdot (n + 8) = 4 \cdot n + 4 \cdot 8 = 4n + 32\). Der Fehler liegt darin, dass beim Auflösen der Klammer auch die \(8\) mit \(4\) multipliziert werden muss, was zu \(32\) statt \(8\) führt. 3. Um \(4n + 8\) zu erhalten, muss in der Klammer ein Wert stehen, der mit \(4\) multipliziert \(8\) ergibt. Da \(8 : 4 = 2\), lautet der korrekte Term \(4 \cdot (n + 2)\).

1. Für \(n=2\) ergibt \(T_1 = 16\) und \(T_2 = 40\). Die Behauptung ist falsch. 2. Nach dem Distributivgesetz ist \(4 \cdot (n + 8) = 4n + 32\), nicht \(4n + 8\). 3. Der Term müsste \(4 \cdot (n + 2)\) lauten.

- Was musst du beachten, wenn ein Minuszeichen direkt vor einer Klammer steht? - Kannst du die Terme zusammenfassen, die die gleiche Variable haben? - Setze den Wert für \(x\) erst ein, nachdem du den Term vereinfacht hast – das spart Rechenarbeit.

1. Vereinfachung von Term \(A\): Das Minuszeichen vor der Klammer kehrt die Vorzeichen innerhalb der Klammer um: \(A = 5x - 2x - 3\). Zusammenfassen der Glieder mit \(x\): \(5x - 2x = 3x\). Daraus folgt \(A = 3x - 3\). Da dies identisch mit Term \(B\) ist, sind sie äquivalent. 2. Berechnung für \(x = 4{,}5\): \(3 \cdot 4{,}5 - 3 = 13{,}5 - 3 = 10{,}5\).

1. \(A = 5x - 2x - 3 = 3x - 3\), was genau Term \(B\) entspricht. 2. Für \(x = 4{,}5\) ergeben beide Terme den Wert \(10{,}5\).

- Multipliziere den Faktor vor der Klammer mit jedem Teil innerhalb der Klammer. - Achte besonders auf das Vorzeichen, wenn du eine Klammer mit einem negativen Faktor oder einem Minuszeichen davor auflöst. - Gibt es Glieder, die sich gegenseitig aufheben (null ergeben)?

1. Ausmultiplizieren der Klammern (Distributivgesetz): a) \(5rs - 10r - 3sr - 12s + 10r\) b) \(2x^2 - 3xy - x^2 + 2xy\) c) \(k^2m - (k^2m - k^2) + m = k^2m - k^2m + k^2 + m\) 2. Zusammenfassen der gleichartigen Glieder: a) \((5 - 3)rs + (-10 + 10)r - 12s = 2rs - 12s\) b) \((2 - 1)x^2 + (-3 + 2)xy = x^2 - xy\) c) \(0 \cdot k^2m + k^2 + m = k^2 + m\)

a) \(2rs - 12s\) b) \(x^2 - xy\) c) \(k^2 + m\)

- Denke daran, dass \(a^3\) dasselbe ist wie \(1 \cdot a^3\). - Kannst du \(0{,}75\) als Bruch schreiben, um die Rechnung mit \(\frac{1}{4}\) zu erleichtern? - Sortiere die Glieder so, dass alle mit der gleichen Potenz von \(a\) nebeneinander stehen.

1. Zusammenfassen der Glieder mit \(a^3\): \(\frac{2}{3}a^3 + \frac{1}{6}a^3 - 1a^3 = (\frac{4}{6} + \frac{1}{6} - \frac{6}{6})a^3 = -\frac{1}{6}a^3\). 2. Zusammenfassen der Glieder mit \(a^2\): \(-0{,}75a^2 + 0{,}25a^2 = -0{,}5a^2\). 3. Aufstellen des vereinfachten Terms: \(-\frac{1}{6}a^3 - 0{,}5a^2\).

\(-\frac{1}{6}a^3 - 0{,}5a^2\)

- Fasse nur Terme zusammen, die denselben Variablenteil besitzen. - Rechne bei Brüchen zuerst die Koeffizienten zusammen. - Ein unsichtbarer Koeffizient vor einer Variablen ist \(1\).

1. Subtraktion der Dezimalzahlen bei den Variablen: \(6{,}4m - 2{,}1m = 4{,}3m\) und \(3{,}5n - n = 2{,}5n\). Gesamtergebnis: \(4{,}3m + 2{,}5n\). 2. Zusammenfassen der Brüche: \(\frac{3c}{3} = c\) und \(\frac{2d}{2} = d\). Die Subtraktion ergibt \(c - d\). 3. Addition der Brüche mit Variable: \(\frac{2}{9}k + \frac{7}{9}k = k\). Danach folgt \(k-k=0\).

1) \(4{,}3m + 2{,}5n\) 2) \(c - d\) 3) \(0\)

- Wie oft kommt der gesamte Klammerausdruck vor? - Fasse im Zähler zuerst die gleichartigen Summanden zusammen. - Schreibe die Summe zunächst mit einem Koeffizienten, bevor du subtrahierst.

1. Drei identische Klammerausdrücke werden addiert: \(3 \cdot (c-d)\). Ausmultipliziert lautet der Term \(3c-3d\). 2. Im Zähler stehen sechs Summanden \(pq\), also \(6pq\). Der Bruch \(\frac{6pq}{9}\) lässt sich durch \(3\) kürzen: \(\frac{2}{3}pq\). 3. Die Summe besteht aus fünf Gliedern \(ab\), also \(5ab\). Die Subtraktion lautet \(5ab-2ab\). Das Ergebnis ist \(3ab\).

1) \(3 \cdot (c-d)\) oder \(3c-3d\) 2) \(\frac{2}{3}pq\) 3) \(3ab\)

- Was ist der Unterschied, wenn eine kleine Zahl oben rechts steht oder eine Zahl vor dem Buchstaben? - Schreibe die Terme ganz lang auf, als ob du keine Abkürzungen wie Malpunkte oder Hochzahlen kennen würdest. - Kannst du Äpfel und Birnen zu einer gemeinsamen Frucht „Apfelbirne“ addieren? - Wie viele \(a\) hast du insgesamt, wenn du erst zwei und dann noch mal drei davon hinlegst?

1. Unterscheidung von Koeffizient und Exponent: Der Koeffizient \(4\) in \(4x\) gibt die Anzahl der Summanden an: \(x + x + x + x\). Der Exponent \(4\) in \(x^4\) gibt die Anzahl der Faktoren an: \(x \cdot x \cdot x \cdot x\). 2. Nachweis der Additionsregel: \(2a\) entspricht \(a + a\). \(3a\) entspricht \(a + a + a\). Die gesamte Summe ist \((a + a) + (a + a + a) = a + a + a + a + a\). Da es fünf Summanden sind, entspricht dies \(5a\). 3. Unmöglichkeit des Zusammenfassens: \(3x + 2y\) ausgeschrieben ergibt \(x + x + x + y + y\). Da \(x\) und \(y\) unterschiedliche Variablen (und damit unterschiedliche Werte oder Objekte) repräsentieren, lassen sie sich nicht zu einer gemeinsamen Anzahl einer neuen Einheit zusammenzählen. Man kann nur gleichartige Glieder addieren.

a) \(4x = x + x + x + x\) (Summe); \(x^4 = x \cdot x \cdot x \cdot x\) (Produkt). b) \(2a + 3a = (a + a) + (a + a + a) = a + a + a + a + a = 5a\). c) \(3x + 2y = x + x + x + y + y\). Da die Summanden \(x\) und \(y\) verschieden sind, kann man sie nicht zu einer Gesamtzahl einer einzigen Variablen zusammenfassen.

- Unterscheide genau zwischen \(a^2b\) und \(ab^2\). Sind diese Glieder gleichartig? - Es hilft oft, Brüche in Dezimalzahlen umzuwandeln oder umgekehrt, um sie besser verrechnen zu können. - Vergiss nicht, die isolierte Zahl am Ende wieder anzufügen.

1. Identifikation gleichartiger Glieder: Terme mit der Variablenkombination \(a^2b\) (\(\frac{2}{5}a^2b\) und \(-0{,}6a^2b\)) und Terme mit \(ab^2\) (\(1\frac{1}{2}ab^2\) und \(-\frac{3}{4}ab^2\)). 2. Berechnung für \(a^2b\): Umwandlung von \(\frac{2}{5}\) in \(0{,}4\). Es ergibt sich \(0{,}4 - 0{,}6 = -0{,}2\). Der Teilterm lautet \(-0{,}2a^2b\). 3. Berechnung für \(ab^2\): Umwandlung in Dezimalzahlen oder Brüche. \(1{,}5 - 0{,}75 = 0{,}75\) (oder \(\frac{3}{2} - \frac{3}{4} = \frac{6}{4} - \frac{3}{4} = \frac{3}{4}\)). Der Teilterm lautet \(0{,}75ab^2\). 4. Endergebnis unter Berücksichtigung der Konstanten: \(-0{,}2a^2b + 0{,}75ab^2 + 5\) oder \(-\frac{1}{5}a^2b + \frac{3}{4}ab^2 + 5\).

\(-0{,}2a^2b + 0{,}75ab^2 + 5\) oder \(-\frac{1}{5}a^2b + \frac{3}{4}ab^2 + 5\)

- Überlege dir zuerst, welche Zahl in die Lücke passen würde, wenn keine Variablen (wie \(b\), \(k\) oder \(m\)) da wären. - Kannst du die Gleichung so umstellen, dass die Lücke allein auf einer Seite steht? - Wie hängen Addition und Subtraktion zusammen, um einen fehlenden Teil einer Rechnung zu finden? - Was ist die Gegenzahl einer Zahl und was passiert, wenn man beide addiert?

1. Um den fehlenden Subtrahenden zu finden, rechnet man \(7b - (-3b) = 7b + 3b = 10b\). Die Lücke ist \(10b\). 2. Um den ersten Summanden zu finden, subtrahiert man den zweiten Summanden vom Ergebnis: \(2k - (-5k) = 2k + 5k = 7k\). Die Lücke ist \(7k\). 3. Zuerst werden die bekannten Terme zusammengefasst: \(4m - 9m = -5m\). Um auf \(0\) zu kommen, muss die Gegenzahl addiert werden: \(-5m + 5m = 0\). Die Lücke ist \(5m\).

1) \(10b\) 2) \(7k\) 3) \(5m\)

- Wie findet man einen gemeinsamen Nenner für Brüche mit unterschiedlichen Nennern? - Achte besonders auf die Vorzeichen vor den einzelnen Brüchen. - Kannst du das Ergebnis am Ende noch weiter kürzen? - Bleiben die Variablen und ihre Hochzahlen beim Zusammenfassen gleich?

1. Berechnung für Teilaufgabe a): Alle Brüche auf den Hauptnenner \(12\) bringen: \(\frac{7}{12} - \frac{3}{12} - \frac{8}{12}\). Verrechnung der Zähler: \(7 - 3 - 8 = -4\). Kürzen des Bruchs: \(-\frac{4}{12} = -\frac{1}{3}\). Ergebnis: \(-\frac{1}{3}a^3\). 2. Berechnung für Teilaufgabe b): Alle Brüche auf den Hauptnenner \(8\) bringen: \(-\frac{4}{8} + \frac{5}{8} - \frac{6}{8}\). Verrechnung der Zähler: \(-4 + 5 - 6 = -5\). Ergebnis: \(-\frac{5}{8}b^4\).

a) \(-\frac{1}{3}a^3\) b) \(-\frac{5}{8}b^4\)

- Kannst du die Terme, die du bereits kennst, zuerst zusammenfassen? - Stelle dir die Lücke wie eine Unbekannte in einer einfachen Gleichung vor. - Überlege dir, welche Zahl du von deinem Zwischenergebnis abziehen oder dazu addieren musst, um das Ziel auf der rechten Seite zu erreichen.

1. Berechnung der Summe der bekannten Koeffizienten auf der linken Seite: \(2{,}5 + 1{,}2 = 3{,}7\). Aufstellen der Gleichung für den fehlenden Koeffizienten \(k\): \(3{,}7 - k = 0{,}7\). Auflösen nach \(k\): \(k = 3{,}7 - 0{,}7 = 3{,}0\). Ergebnis: \(3a^3b\). 2. Berechnung der Summe der bekannten Koeffizienten auf der linken Seite: \(3{,}4 - 5 = -1{,}6\). Aufstellen der Gleichung für den gesuchten Koeffizienten \(c\): \(c - 1{,}6 = -2{,}1\). Auflösen nach \(c\): \(c = -2{,}1 + 1{,}6 = -0{,}5\). Ergebnis: \(-0{,}5\).

1) \(3a^3b\) 2) \(-0{,}5\)

- Achte bei Produkten wie \(pq\) und \(qp\) darauf, ob sie die gleichen Variablen enthalten. - Rechne zuerst die Koeffizienten (Zahlen vor den Variablen) zusammen. - Erinnere dich an die Regeln für das Rechnen mit Dezimalzahlen und Brüchen. - Darf man Terme mit unterschiedlichen Exponenten wie \(x^4\) und \(x^2\) zusammenfassen?

1. Zusammenfassen der Dezimalzahlen bei \(z^2\) und \(z\): \((3{,}5 + 1{,}5)z^2 = 5z^2\) und \((-1{,}2 - 0{,}8)z = -2z\). Ergebnis: \(5z^2 - 2z\). 2. Zusammenfassen der Brüche bei \(b\) und \(c\): \((\frac{2}{5} + \frac{3}{5})b = \frac{5}{5}b = b\) und \((-\frac{1}{2} - \frac{3}{2})c = -\frac{4}{2}c = -2c\). Ergebnis: \(b - 2c\). 3. Erkennen der Gleichartigkeit von \(pq\) und \(qp\): \(9pq + 2pq = 11pq\) und \(-4p - p = -5p\). Ergebnis: \(11pq - 5p\). 4. Zusammenfassen der Potenzen: \((1 + 2)x^4 = 3x^4\) und \((-3 + 3)x^2 = 0\). Ergebnis: \(3x^4\).

1) \(5z^2 - 2z\) 2) \(b - 2c\) 3) \(11pq - 5p\) 4) \(3x^4\)

- Schau genau hin: Haben die Variablen in jedem Glied exakt die gleichen Hochzahlen? - Was passiert mit einem Glied, wenn die Summe seiner Koeffizienten genau Null ergibt? - Sortiere den Term zuerst um, damit alle gleichartigen Glieder nebeneinander stehen. - Vergiss nicht, dass Zahlen ohne Variablen (Konstanten) am Ende separat stehen bleiben.

1. Identifikation gleichartiger Glieder: \(x^2y\) (\(17 + 3 = 20\)) und \(xy\) (\(-8 - 2 + 1 = -9\)). Ergebnis: \(20x^2y - 9xy\). 2. Berechnung der Koeffizienten für \(a^3b\) (\(2{,}5 + 0{,}5 - 3 = 0\)) und \(ab^3\) (\(-1{,}4 + 1{,}4 = 0\)). Beide Glieder heben sich vollständig auf. Ergebnis: \(0\). 3. Zusammenfassen der Brüche für \(z^2\) (\(\frac{2}{3} + \frac{1}{3} = 1\)) und \(z\) (\(-\frac{1}{4} - \frac{3}{4} = -1\)). Die Konstante \(5\) bleibt unverändert. Ergebnis: \(z^2 - z + 5\).

1) \(20x^2y - 9xy\) 2) \(0\) 3) \(z^2 - z + 5\)

- Welche Teile des Terms haben die exakt gleichen Variablen mit den gleichen Hochzahlen? - Achte darauf, das Rechenzeichen vor jedem Paket als Vorzeichen für den Koeffizienten mitzunehmen. - Es hilft, Brüche zuerst auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen, bevor du sie addierst oder subtrahierst. - Denk daran, dass man eine Variable ohne sichtbare Zahl davor als \(1 \cdot \text{Variable}\) betrachten kann.

1. Identifikation und Gruppierung der gleichartigen Terme mit denselben Variablen und Exponenten: \((\frac{1}{3}x^2y + \frac{5}{6}x^2y - \frac{1}{6}x^2y) + (-2\frac{1}{2}xy^2 - \frac{1}{4}xy^2)\) 2. Berechnung der Summe der Koeffizienten für \(x^2y\): \(\frac{2}{6} + \frac{5}{6} - \frac{1}{6} = \frac{6}{6} = 1\) 3. Berechnung der Summe der Koeffizienten für \(xy^2\): \(-2\frac{2}{4} - \frac{1}{4} = -2\frac{3}{4}\) (bzw. \(-\frac{11}{4}\)) 4. Zusammenfügen der Teilergebnisse zum vereinfachten Term: \(x^2y - 2\frac{3}{4}xy^2\)

\(x^2y - 2\frac{3}{4}xy^2\)

- Markiere Terme mit der gleichen Variable in derselben Farbe, um den Überblick zu behalten. - Achte besonders auf das Zusammenfassen der negativen Dezimalzahlen. - Überlege dir bei den Dezimalzahlen, ob du wie beim Rechnen mit Geld (Euro und Cent) vorgehen kannst.

1. Sortieren der Terme nach den Variablen \(m\) und \(n\): \((4{,}7m + 1{,}3m - 5{,}2m) + (-2{,}15n - 3{,}85n)\) 2. Zusammenfassen der Koeffizienten für \(m\): \(4{,}7 + 1{,}3 - 5{,}2 = 6{,}0 - 5{,}2 = 0{,}8\) 3. Zusammenfassen der Koeffizienten für \(n\): \(-2{,}15 - 3{,}85 = -6{,}0\) 4. Aufstellen des Endergebnisses: \(0{,}8m - 6n\)

\(0{,}8m - 6n\)

- Was unterscheidet Glieder mit \(a^2\) von Gliedern mit \(ab\)? - Welche Zahl steht unsichtbar vor einem Term wie \(-a^2\)? - Rechne die Dezimalzahlen schrittweise zusammen. - Überlege genau, welche Teile des Terms exakt die gleichen Variablenkombinationen besitzen.

1. Identifikation der gleichartigen Terme: Glieder mit \(a^2\) und Glieder mit \(ab\). 2. Berechnung der Koeffizienten für \(a^2\): \(2{,}4 + 0{,}6 - 1 = 2\). 3. Berechnung der Koeffizienten für \(ab\): \(-1{,}5 + 3 = 1{,}5\). 4. Aufstellen des resultierenden Terms: \(2a^2 + 1{,}5ab\).

\(2a^2 + 1{,}5ab\)

- Markiere dir die zusammengehörigen Glieder (z. B. alle mit \(x^2\)) in der gleichen Farbe. - Das Vorzeichen gehört immer direkt zur darauf folgenden Zahl oder Variablen. - Überlege dir ein Beispiel: Wenn \(x = 2\) ist, was ist dann \(x^2\) und was ist \(x\)? Kannst du sie einfach addieren wie Äpfel und Birnen?

1. Markieren und Zusammenfassen der gleichartigen Glieder: - Quadrate: \(5x^2 - 8x^2 = (5 - 8)x^2 = -3x^2\) - Lineare Glieder: \(-12x + 4x = (-12 + 4)x = -8x\) - Konstante Glieder: \(9 - 15 = -6\) 2. Zusammenfügen der Teilergebnisse: \(-3x^2 - 8x - 6\). 3. Begründung: Potenzen derselben Basis mit unterschiedlichen Exponenten (hier \(x^2\) und \(x^1\)) haben verschiedene Variablenteile und sind daher nicht gleichartig. Man kann sie addieren, aber nicht zu einem Produkt oder einer Potenz verschmelzen.

a) \(-3x^2 - 8x - 6\) b) Glieder mit \(x^2\) und \(x\) sind nicht gleichartig, da sie unterschiedliche Exponenten haben. Nur Glieder mit exakt gleicher Variablenbasis und gleichem Exponenten können zusammengefasst werden.

- Kannst du die Koeffizienten (die Zahlen vor den Variablen) separat berechnen? - Denke daran, dass eine Variable ohne sichtbare Zahl den Koeffizienten \(1\) hat. - Was bedeutet es für den gesamten Term, wenn die Summe der Zahlen genau Null ergibt? - Bei Brüchen hilft es, zuerst alle auf denselben Nenner zu bringen.

1. Teilaufgabe a): Zusammenfassen der Koeffizienten: \(-1{,}2 + 2{,}5 - 0{,}8 = 1{,}3 - 0{,}8 = 0{,}5\). Ergebnis: \(0{,}5k\). 2. Teilaufgabe b): Bringen der Koeffizienten auf den Hauptnenner \(6\): \(\frac{4}{6} - \frac{1}{6} - \frac{6}{6} = -\frac{3}{6} = -\frac{1}{2}\). Ergebnis: \(-\frac{1}{2}z\) oder \(-0{,}5z\). 3. Teilaufgabe c): Zusammenfassen der Koeffizienten: \(1{,}5 - 2 + 0{,}5 = -0{,}5 + 0{,}5 = 0\). Da der Koeffizient \(0\) ist, fällt der gesamte Term weg. Ergebnis: \(0\). 4. Teilaufgabe d): Bringen der Koeffizienten auf den Hauptnenner \(8\): \(\frac{6}{8} + \frac{1}{8} - \frac{8}{8} = \frac{7}{8} - \frac{8}{8} = -\frac{1}{8}\). Ergebnis: \(-\frac{1}{8}ab\).

a) \(0{,}5k\) b) \(-\frac{1}{2}z\) c) \(0\) d) \(-\frac{1}{8}ab\)

- Kannst du Glieder mit \(x^3\) und Glieder mit \(x\) direkt miteinander verrechnen? - Achte beim Zusammenfassen der Dezimalzahlen besonders auf das Vorzeichen des Ergebnisses. - Es hilft oft, die Glieder, die zusammengehören, zuerst nebeneinander zu sortieren.

1. Sortieren der Glieder nach gleichen Variablen und Potenzen: \((0{,}7x^3 - 0{,}5x^3 - 0{,}4x^3) + (-1{,}2x + 2{,}5x)\) 2. Berechnung der Koeffizienten für \(x^3\): \(0{,}7 - 0{,}5 - 0{,}4 = -0{,}2\) 3. Berechnung der Koeffizienten für \(x\): \(-1{,}2 + 2{,}5 = 1{,}3\) 4. Zusammenführung der Teilergebnisse zum Endterm: \(-0{,}2x^3 + 1{,}3x\)

\(-0{,}2x^3 + 1{,}3x\)

- Was bedeutet es mathematisch, wenn zwei Terme äquivalent sind? - Konzentriere dich zuerst nur auf Term A und versuche, ihn so kurz wie möglich zu schreiben. - Unterscheide genau zwischen \(a^2\) und \(ab\) – diese können nicht zusammengefasst werden. - Achte darauf, ob nach der Vereinfachung alle Koeffizienten und Vorzeichen mit Term B übereinstimmen.

1. Identifikation gleichartiger Glieder in Term A: Glieder mit \(a^2\), Glieder mit \(ab\) und Glieder mit \(b\). 2. Zusammenfassen der \(a^2\)-Glieder: \(1{,}5a^2 - 0{,}5a^2 = 1{,}0a^2\) bzw. \(a^2\). 3. Zusammenfassen der \(ab\)-Glieder: \(-2{,}4ab + 3{,}1ab = 0{,}7ab\). 4. Das Glied mit \(b\) bleibt unverändert: \(-0{,}6b\). 5. Der vereinfachte Term A lautet somit: \(a^2 + 0{,}7ab - 0{,}6b\). 6. Vergleich mit Term B zeigt, dass beide Ausdrücke identisch sind.

Ja, die Terme sind äquivalent, da die Vereinfachung von Term A exakt \(a^2 + 0{,}7ab - 0{,}6b\) ergibt.

- Es kann hilfreich sein, Brüche in Dezimalzahlen umzuwandeln oder umgekehrt, um die Koeffizienten leichter addieren zu können. - Schau dir die Exponenten genau an – welche Glieder gehören zusammen? - Was bedeutet es für das Endergebnis, wenn die Summe der Zahlen vor einer Variable genau Null ergibt?

1. Gruppierung der Terme nach ihren Variablenanteilen \(x^{m+1}\) und \(x^m\). 2. Berechnung der Summe der Koeffizienten für \(x^{m+1}\): \(\frac{1}{4} + \frac{3}{4} - 1 = 1 - 1 = 0\). Da der Koeffizient \(0\) ist, fällt dieser Teil des Terms weg (\(0 \cdot x^{m+1} = 0\)). 3. Berechnung der Summe der Koeffizienten für \(x^m\): \(-0{,}8 + 1{,}2 = 0{,}4\). 4. Das Endergebnis besteht nur aus dem verbleibenden Teil: \(0{,}4x^m\).

\(0{,}4x^m\)

- Kannst du den Term zuerst übersichtlicher schreiben, indem du Glieder mit gleichen Potenzen sortierst? - Was muss mit einem Teil des Terms passieren, damit er im Endergebnis verschwindet? - Überlege, was das Gegenteil eines Gliedes ist, um es zu neutralisieren.

1. Gruppieren der gleichartigen Glieder in \(T\): \((-4x^2 - 2x^2 + 7x^2)\) und \((9x - 12x)\). 2. Koeffizienten für \(x^2\) berechnen: \(-4 - 2 + 7 = 1\), also \(x^2\). 3. Koeffizienten für \(x\) berechnen: \(9 - 12 = -3\), also \(-3x\). 4. Zusammenführung zum vereinfachten Term \(T = x^2 - 3x\). 5. Bestimmung des Ergänzungsterms \(M\): Die Gleichung \(x^2 - 3x + M = x^2\) muss erfüllt sein. 6. Um \(x^2\) als Ergebnis zu erhalten, muss der Teil \(-3x\) durch Addition seines Gegenteils aufgehoben werden: \(M = 3x\).

a) \(x^2 - 3x\) b) \(3x\)

- Achte genau darauf, welche Variable quadriert ist – \(u^2v\) und \(uv^2\) sind nicht gleichartig. - Beachte die Vorzeichen beim Auflösen der Klammern und beim Zusammenfassen. - Suche für die Koeffizienten von \(uv^2\) den kleinsten gemeinsamen Nenner von 2, 10 und 5. - Kannst du einen der Brüche im Ergebnis noch kürzen?

1. Gruppierung der Terme mit der Variablenkombination \(u^2v\): \(-\frac{4}{9}u^2v - \frac{1}{3}u^2v\). 2. Berechnung des Koeffizienten für \(u^2v\): \(-\frac{4}{9} - \frac{3}{9} = -\frac{7}{9}\). 3. Gruppierung der Terme mit der Variablenkombination \(uv^2\): \(\frac{1}{2}uv^2 - \frac{3}{10}uv^2 + \frac{1}{5}uv^2\). 4. Berechnung des Koeffizienten für \(uv^2\) durch Erweitern auf den Nenner 10: \(\frac{5}{10} - \frac{3}{10} + \frac{2}{10} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}\). 5. Aufstellen des Endergebnisses: \(-\frac{7}{9}u^2v + \frac{2}{5}uv^2\).

\(-\frac{7}{9}u^2v + \frac{2}{5}uv^2\)

- Ist es einfacher für dich, mit Brüchen oder mit Dezimalzahlen zu rechnen? Wandle alles in eine einheitliche Form um. - Achte darauf, dass \(x^2\) und \(x\) unterschiedliche Glieder sind und nicht zusammengefasst werden können. - Vergiss nicht, auch die Zahlen ohne Variablen miteinander zu verrechnen.

1. Umwandlung der Brüche in Dezimalzahlen: \(\frac{3}{4} = 0{,}75\) und \(1\frac{1}{2} = 1{,}5\) 2. Umschreiben des Terms: \(1{,}2x^2 - 0{,}75x + 0{,}5 - 0{,}8x^2 + 1{,}5x - 1{,}1\) 3. Gruppieren der \(x^2\)-Glieder: \(1{,}2x^2 - 0{,}8x^2 = 0{,}4x^2\) 4. Gruppieren der \(x\)-Glieder: \(-0{,}75x + 1{,}5x = 0{,}75x\) 5. Gruppieren der konstanten Zahlen: \(0{,}5 - 1{,}1 = -0{,}6\) 6. Endgültiger Term: \(0{,}4x^2 + 0{,}75x - 0{,}6\)

\(0{,}4x^2 + 0{,}75x - 0{,}6\)

- Was bedeutet es mathematisch, wenn zwei Terme „äquivalent“ sind? - Wie verändert ein Minuszeichen vor einer Klammer die Vorzeichen der Glieder innerhalb der Klammer? - Versuche, beide Terme unabhängig voneinander so weit wie möglich zu vereinfachen und vergleiche dann die Endresultate.

1. Vereinfachung von Term \(A\) durch Zusammenfassen gleichartiger Glieder: \((4 + 3)x^{m+1} + (-2 - 5)x^m = 7x^{m+1} - 7x^m\) 2. Vereinfachung von Term \(B\) durch Auflösen der Minusklammer: \(10x^{m+1} - 3x^{m+1} - 7x^m\) 3. Zusammenfassen der Glieder in Term \(B\): \((10 - 3)x^{m+1} - 7x^m = 7x^{m+1} - 7x^m\) 4. Vergleich der Ergebnisse: Da beide Terme zu \(7x^{m+1} - 7x^m\) vereinfacht werden können, sind sie äquivalent.

Ja, die Terme sind äquivalent, da beide vereinfacht \(7x^{m+1} - 7x^m\) ergeben.

- Achte genau darauf, welche Variablenkombinationen und Exponenten exakt übereinstimmen. - Was passiert mit einem Term, wenn du denselben Term einmal addierst und einmal subtrahierst? - Gehe Schritt für Schritt vor und markiere dir eventuell gleichartige Glieder in derselben Farbe.

1. Identifikation gleichartiger Terme mit den Variablenkombinationen \(r^2s\) und \(rs^2\): \((5r^2s - 4r^2s) + (-2rs^2 + 3rs^2)\). Ergebnis: \(r^2s + rs^2\). 2. Zusammenfassen der Potenzen von \(a\) und der Zahlen: \((a^3 - a^3) + (4a^2 + 2a^2) + (-7 + 7)\). Die Glieder \(a^3\) und die Konstanten heben sich gegenseitig auf, es bleibt \(6a^2\). 3. Kombination der drei Klammerausdrücke nach Variablen \(x\), \(y\) und \(z\): \((2x + x) + (3y - 5y + 2y) + (-4z + 2z + 2z)\). Die Glieder mit \(y\) und \(z\) ergeben jeweils Null, das Endergebnis ist \(3x\).

1) \(r^2s + rs^2\) 2) \(6a^2\) 3) \(3x\)

- Schreibe zuerst alle drei Terme hintereinander mit Pluszeichen dazwischen auf. - Markiere alle Glieder, die ein \(a\) enthalten, in einer Farbe und alle reinen Zahlen in einer anderen. - Was bedeutet es für einen Term, wenn am Ende \(0 \cdot a\) herauskommt? - Rechne Schritt für Schritt von links nach rechts.

1. Aufstellen des gesamten Summenterms: \((3a - 5) + (2 - 4a) + (a + 3)\). 2. Zusammenfassen aller Glieder, die die Variable \(a\) enthalten: \(3a - 4a + a = 0a = 0\). 3. Zusammenfassen aller konstanten Zahlen: \(-5 + 2 + 3 = 0\). 4. Berechnung des Endergebnisses: \(0 + 0 = 0\). Die Behauptung des Schülers ist korrekt, da der Koeffizient von \(a\) Null ergibt.

Die Behauptung ist korrekt. Das Ergebnis der Summe ist \(0\).

- Überlege dir, welche Rechenoperation das Gegenteil der Addition ist, um einen fehlenden Summanden zu finden. - Stelle dir die Aufgabe wie eine einfache Gleichung vor: \(A + B = S\). Wenn du \(A\) und \(S\) kennst, wie findest du \(B\)? - Achte beim Subtrahieren eines ganzen Terms darauf, dass sich alle Vorzeichen innerhalb dieses Terms umkehren.

1. Ansatz der Gleichung für den gesuchten Term \(Q\): \((2x^2 + 4x - 1) + Q = 5x^2 - 3x + 8\) 2. Umstellung nach \(Q\) durch Subtraktion des bekannten Terms: \(Q = (5x^2 - 3x + 8) - (2x^2 + 4x - 1)\) 3. Auflösen der Klammer unter Beachtung der Vorzeichen: \(Q = 5x^2 - 3x + 8 - 2x^2 - 4x + 1\) 4. Zusammenfassen der Koeffizienten für \(x^2\): \(5 - 2 = 3\) 5. Zusammenfassen der Koeffizienten für \(x\): \(-3 - 4 = -7\) 6. Zusammenfassen der konstanten Glieder: \(8 + 1 = 9\) 7. Ergebnis: \(Q = 3x^2 - 7x + 9\)

\(3x^2 - 7x + 9\)

- Bestimme zuerst die Länge des zweiten Abschnitts als eigenen Term. - Was bedeutet „länger als“ mathematisch für deine Rechnung? - Wie kannst du Terme mit den gleichen Buchstaben am besten zusammenfassen? - Achte beim Addieren der Terme auf die Vorzeichen der Zahlen.

1. Berechnung der Länge des zweiten Abschnitts durch Addition der Differenz zum ersten Abschnitt: \(L_2 = (4a + 3b) + (a - b + 2) = 5a + 2b + 2\) 2. Aufstellen der Summe für die Gesamtlänge aller drei Abschnitte: \(L_{ges} = (4a + 3b) + (5a + 2b + 2) + (2a + 4b - 5)\) 3. Zusammenfassen der Terme mit der Variablen \(a\): \(4a + 5a + 2a = 11a\) 4. Zusammenfassen der Terme mit der Variablen \(b\): \(3b + 2b + 4b = 9b\) 5. Zusammenfassen der konstanten Zahlen ohne Variable: \(2 - 5 = -3\) 6. Ergebnis als vereinfachter Term: \(11a + 9b - 3\)

Die Gesamtlänge des Zauns beträgt \(11a + 9b - 3\) Meter.

- Bestimme zuerst die Ausdrücke für die beiden neuen Seitenlängen einzeln. - Was bedeuten die Formulierungen „um ... größer“ und „um ... kleiner“ für deine Rechnung? - Erinnere dich an die Formel für den Umfang eines Rechtecks. - Vergiss nicht, beim Zusammenfassen nur gleiche Variablen miteinander zu verrechnen.

1. Berechnung der neuen Länge \(l'\): \(l' = (4a + 3b) + (a - b) = 5a + 2b\) 2. Berechnung der neuen Breite \(w'\): \(w' = (2a + b) - b = 2a\) 3. Formel für den Umfang des neuen Rechtecks: \(U = 2 \cdot (l' + w')\) 4. Einsetzen und Zusammenfassen der Seiten in der Klammer: \(l' + w' = (5a + 2b) + 2a = 7a + 2b\) 5. Ausmultiplizieren des gesamten Umfangs: \(U = 2 \cdot (7a + 2b) = 14a + 4b\)

Der Umfang des zweiten Rechtecks beträgt \(14a + 4b\).

- Bestimme zuerst, wie lang die Summe der ersten beiden Seiten ist. - Wenn eine Seite um einen ganzen Term „kürzer“ ist, musst du diesen Term in Klammern abziehen. - Achte beim Auflösen der Minusklammer darauf, dass sich alle Vorzeichen innerhalb der Klammer umkehren. - Addiere am Ende alle drei Einzelseiten, um den Gesamtumfang zu erhalten.

1. Berechnung der Summe der ersten beiden Seiten: \(s_1 + s_2 = (a + 4b) + (3a - 2b + 5) = 4a + 2b + 5\) 2. Ermittlung der Länge der dritten Seite durch Subtraktion des angegebenen Terms: \(s_3 = (4a + 2b + 5) - (2a + b + 3) = 4a + 2b + 5 - 2a - b - 3 = 2a + b + 2\) 3. Addition aller drei Seiten zur Bestimmung des Gesamtumfangs: \(U = (s_1 + s_2) + s_3 = (4a + 2b + 5) + (2a + b + 2) = 6a + 3b + 7\)

Der Umfang des Dreiecks ist \(6a + 3b + 7\).

- Stell dir das Kästchen wie eine Unbekannte in einer einfachen Gleichung vor. - Wie kannst du die Gleichung umstellen, um das Kästchen allein auf eine Seite zu bringen? - Überlege dir: Was muss ich von der linken Seite abziehen oder dazuaddieren, um auf das Ergebnis rechts zu kommen? - Achte genau darauf, ob ein Term addiert oder subtrahiert wird, besonders bei negativen Vorzeichen.

1. Berechnung für \(\Box\) in der ersten Gleichung: Umstellen zu \(\Box = 7x - 15x\), ergibt \(\Box = -8x\) 2. Berechnung für \(\Box\) in der zweiten Gleichung: Umstellen zu \(\Box = -4y - (-10y) = -4y + 10y\), ergibt \(\Box = 6y\) 3. Berechnung für \(\Box\) in der dritten Gleichung: Umstellen zu \(\Box = -z + (-3z) = -z - 3z\), ergibt \(\Box = -4z\) 4. Berechnung für \(\Box\) in der vierten Gleichung: Umstellen zu \(\Box = 2w - (-8w) = 2w + 8w\), ergibt \(\Box = 10w\)

1) \(\Box = -8x\) 2) \(\Box = 6y\) 3) \(\Box = -4z\) 4) \(\Box = 10w\)

- Wenn mehrere Brüche vorkommen, hilft es, zuerst alle auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen. - Bei der Lückenaufgabe: Wie würdest du rechnen, wenn dort einfache Zahlen wie \(7 - \dots = 5\) stünden? - Achte genau auf die Vorzeichen, besonders wenn ein Minuszeichen vor einer Klammer oder einer Lücke steht.

1. Bestimmung des Hauptnenners für \(9\), \(6\) und \(3\), welcher \(18\) ist. Umformung: \(\frac{8}{18}x - \frac{15}{18}x + \frac{6}{18}x = (\frac{8 - 15 + 6}{18})x = -\frac{1}{18}x\). 2. Um den fehlenden Term \(T\) zu finden, wird die Gleichung \(\frac{7}{10}y - T = -\frac{2}{10}y\) betrachtet. Durch Umstellen ergibt sich \(T = \frac{7}{10}y - (-\frac{2}{10}y) = \frac{7}{10}y + \frac{2}{10}y = \frac{9}{10}y\).

1) \(-\frac{1}{18}x\) 2) \(\frac{9}{10}y\)

- Kannst du Brüche in Dezimalzahlen umwandeln, um die Rechnung zu vereinfachen? - Markiere dir Terme mit dem exakt gleichen Variablenanteil in derselben Farbe. - Achte genau auf die Exponenten – sind \(a^2b\) und \(ab^2\) gleichartig? - Vergiss nicht, dass ein Koeffizient von \(1\) oder \(-1\) oft verkürzt geschrieben wird.

1. Umwandlung des Bruchs in eine Dezimalzahl: \(\frac{3}{4} = 0{,}75\). Zusammenfassen der Koeffizienten: \(0{,}75 - 0{,}5 - 1{,}25 = -1\). Ergebnis: \(-y^3\). 2. Sortieren der Terme nach ihrem Variablenanteil: \(a^2b\) und \(ab^2\). Berechnung für \(a^2b\): \(6{,}7 - 4{,}7 = 2\). Berechnung für \(ab^2\): \(-2{,}3 + 0{,}3 = -2\). Ergebnis: \(2a^2b - 2ab^2\).

1) \(-y^3\); 2) \(2a^2b - 2ab^2\).

- Achte darauf, den gesamten zweiten Term in Klammern zu setzen, wenn du die Differenz bildest. - Wie hängen die Rechnungen \(10 - 4\) und \(4 - 10\) zusammen? Nutze diese Idee für den Vergleich in Aufgabenteil b. - Gehe beim Zusammenfassen schrittweise vor: erst die Quadrate, dann die einfachen Variablen, dann die Zahlen ohne Variable.

1. Aufstellen der Differenz \(P - Q\): \((12x^2 + 4x - 5) - (5x^2 - 2x + 7)\). 2. Auflösen der Klammer mit Vorzeichenumkehr: \(12x^2 + 4x - 5 - 5x^2 + 2x - 7\). 3. Zusammenfassen gleichartiger Glieder: \((12 - 5)x^2 + (4 + 2)x + (-5 - 7) = 7x^2 + 6x - 12\). 4. Aufstellen und Berechnen der Differenz \(Q - P\): \((5x^2 - 2x + 7) - (12x^2 + 4x - 5) = 5x^2 - 2x + 7 - 12x^2 - 4x + 5 = -7x^2 - 6x + 12\). 5. Vergleich und Begründung: Das Ergebnis von \(Q - P\) ist der Gegenterm zu \(P - Q\). Alle Vorzeichen der Koeffizienten haben sich umgedreht, da \(Q - P = -(P - Q)\) gilt.

a) \(7x^2 + 6x - 12\) b) \(Q - P = -7x^2 - 6x + 12\). Beobachtung: Alle Vorzeichen sind umgekehrt, da die Reihenfolge der Subtraktion vertauscht wurde.

- Stell dir vor, die Aufgabe hieße \(10 - x = 7\). Wie würdest du \(x\) berechnen? - Du kannst den gesuchten Term finden, indem du das Ergebnis vom ersten Term subtrahierst. - Bestimme für jede Variable (\(m\), \(n\) und \(k\)) einzeln, was abgezogen werden muss, um auf das Zielergebnis zu kommen. - Überprüfe dein Ergebnis am Ende, indem du den gefundenen Term in die Klammer einsetzt und nachrechnest.

1. Sei \(T\) der gesuchte Term. Die Gleichung lautet \((12m - 5n + 2k) - T = 7m + n - 4k\). 2. Um \(T\) zu isolieren, kann die Gleichung umgestellt werden zu \(T = (12m - 5n + 2k) - (7m + n - 4k)\). 3. Auflösen der Klammer durch Umkehren der Vorzeichen im Subtrahenden: \(12m - 5n + 2k - 7m - n + 4k\). 4. Zusammenfassen der gleichartigen Glieder: \((12 - 7)m + (-5 - 1)n + (2 + 4)k = 5m - 6n + 6k\).

\(5m - 6n + 6k\)

- Es ist oft einfacher, wenn du alle Zahlen im Term in das gleiche Format (z. B. Dezimalzahlen) bringst. - Unterscheide genau zwischen \(a^2b\) und \(ab^2\) – das sind unterschiedliche Glieder, die man nicht zusammenzählen darf. - Gehe schrittweise vor: erst die Klammern weg, dann sortieren, dann rechnen.

1. Umwandlung der Brüche in Dezimalzahlen für eine einheitliche Rechnung: \(\frac{1}{2} = 0{,}5\) und \(\frac{1}{4} = 0{,}25\). 2. Auflösen der Klammern: Die Minus-Klammer bewirkt eine Vorzeichenumkehr (\(-0{,}3ab^2 + 1{,}5a^2b\)), während die Plus-Klammer die Vorzeichen unverändert lässt (\(-0{,}7ab^2 + 0{,}25a^2b\)). 3. Sortieren und Zusammenfassen der \(a^2b\)-Glieder: \(0{,}5a^2b + 1{,}5a^2b + 0{,}25a^2b = 2{,}25a^2b\). 4. Sortieren und Zusammenfassen der \(ab^2\)-Glieder: \(-0{,}3ab^2 - 0{,}7ab^2 = -1{,}0ab^2\). 5. Endergebnis: \(2{,}25a^2b - ab^2\).

\(2{,}25a^2b - ab^2\)

- Was passiert mit den Vorzeichen in der Klammer, wenn ein Minus davor steht? - Es hilft oft, Brüche in Dezimalzahlen umzuwandeln, wenn im Term bereits Dezimalzahlen vorkommen. - Achte darauf, nur Glieder mit den exakt gleichen Variablen und Potenzen zusammenzufassen.

1. Umwandlung der Brüche in Dezimalzahlen: \(2\frac{1}{2} = 2{,}5\), \(\frac{3}{4} = 0{,}75\) und \(1\frac{1}{4} = 1{,}25\). 2. Einsetzen in den Term: \((4{,}8a^2 - 2{,}5ab + 0{,}75b^2) - (1{,}3a^2 - 3{,}75ab - 1{,}25b^2)\). 3. Auflösen der Klammern unter Beachtung der Vorzeichenregeln: \(4{,}8a^2 - 2{,}5ab + 0{,}75b^2 - 1{,}3a^2 + 3{,}75ab + 1{,}25b^2\). 4. Ordnen und Zusammenfassen gleichartiger Glieder: \((4{,}8 - 1{,}3)a^2 + (-2{,}5 + 3{,}75)ab + (0{,}75 + 1{,}25)b^2\). 5. Berechnung der Koeffizienten: \(3{,}5a^2 + 1{,}25ab + 2b^2\).

\(3{,}5a^2 + 1{,}25ab + 2b^2\)

- Kannst du den Bruch \(\frac{3}{8}\) als Dezimalzahl schreiben? - Überlege genau, welche Vorzeichen sich beim Auflösen der zweiten Klammer ändern. - Gibt es Teile des Terms, die sich gegenseitig aufheben?

1. Umrechnung der Brüche: \(\frac{3}{8} = 0{,}375\) und \(1\frac{1}{5} = 1{,}2\). 2. Einsetzen: \((0{,}6z^2 - 0{,}375z + 1{,}2) - (-1{,}4z^2 + 0{,}125z + 1{,}2)\). 3. Klammern auflösen (Minuszeichen vor der Klammer kehrt alle Vorzeichen im Inneren um): \(0{,}6z^2 - 0{,}375z + 1{,}2 + 1{,}4z^2 - 0{,}125z - 1{,}2\). 4. Zusammenfassen der Terme mit \(z^2\), \(z\) und der konstanten Glieder: \((0{,}6 + 1{,}4)z^2 + (-0{,}375 - 0{,}125)z + (1{,}2 - 1{,}2)\). 5. Endergebnis berechnen: \(2z^2 - 0{,}5z + 0\), also \(2z^2 - 0{,}5z\).

\(2z^2 - 0{,}5z\)

- Wie gehst du vor, wenn eine Zahl direkt vor einer Klammer steht? - Achte besonders auf das Minuszeichen vor der zweiten Klammer in beiden Aufgaben. - Was passiert mit einer Variablen, wenn die Summe ihrer Koeffizienten genau Null ergibt? - Sortiere die Terme nach ihren Variablen, bevor du sie zusammenfasst.

1. Anwendung des Distributivgesetzes auf beide Klammern: \((4a - 6b) - (2a + 3b)\). Auflösen der verbleibenden Klammer mit Vorzeichenwechsel: \(4a - 6b - 2a - 3b\). Zusammenfassen der Glieder: \((4-2)a + (-6-3)b = 2a - 9b\). 2. Auflösen aller Klammern unter Beachtung der Vorzeichen: \(x - \frac{1}{2}y + \frac{1}{3}z - \frac{1}{2}x - y + \frac{2}{3}z + \frac{1}{4}x - \frac{1}{2}y - z\). Gruppieren der Variablen: \(x\)-Glieder: \((1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{4})x = \frac{3}{4}x\); \(y\)-Glieder: \((-\frac{1}{2} - 1 - \frac{1}{2})y = -2y\); \(z\)-Glieder: \((\frac{1}{3} + \frac{2}{3} - 1)z = 0\). Das Endergebnis ist \(\frac{3}{4}x - 2y\).

1) \(2a - 9b\); 2) \(\frac{3}{4}x - 2y\)

- Identifiziere zuerst die innerste Klammer und löse sie auf. - Sortiere die Terme innerhalb der eckigen Klammer nach ihren Variablen und Potenzen. - Denk daran, dass nur Terme mit exakt derselben Variablen und Potenz (z. B. \(a^2\)) zusammengefasst werden können. - Überprüfe nach jedem Schritt, ob sich Vorzeichen geändert haben.

1. Auflösen der inneren runden Klammer unter Beachtung des Minuszeichens: \(10a^2 - [4a^2 + 6a - a^2 + 2a]\) 2. Zusammenfassen gleichartiger Terme (\(a^2\) mit \(a^2\) und \(a\) mit \(a\)) innerhalb der eckigen Klammer: \(10a^2 - [3a^2 + 8a]\) 3. Auflösen der eckigen Klammer (Vorzeichenwechsel wegen des Minuszeichens davor): \(10a^2 - 3a^2 - 8a\) 4. Endgültiges Zusammenfassen der \(a^2\)-Terme führt zum Ergebnis \(7a^2 - 8a\).

\(7a^2 - 8a\)

- Was passiert mit den Vorzeichen innerhalb einer Klammer, wenn ein Minus davorsteht? - Darf man \( a^3 \) und \( a^2 \) zusammenfassen? Warum oder warum nicht? - Achte besonders auf das Vorzeichen bei jedem einzelnen Glied. - Hilft es dir, die gleichartigen Glieder farbig zu markieren?

1. Auflösen der Klammern: \( 2a^3 - 5a^2 + a - 4a^3 + 2a^2 + 7 - a^2 + 3a - 4 \). Dabei ändern sich die Vorzeichen in der zweiten Klammer aufgrund des Minuszeichens davor. 2. Zusammenfassen der Potenzen von \( a \): - \( a^3 \)-Glieder: \( (2 - 4)a^3 = -2a^3 \) - \( a^2 \)-Glieder: \( (-5 + 2 - 1)a^2 = -4a^2 \) - \( a \)-Glieder: \( (1 + 3)a = 4a \) - Konstanten: \( 7 - 4 = 3 \) 3. Endergebnis: \( -2a^3 - 4a^2 + 4a + 3 \).

\( -2a^3 - 4a^2 + 4a + 3 \)

- Multipliziere zuerst die erste Klammer vollständig mit der Zahl davor. - Was ändert sich an den Vorzeichen der zweiten Klammer, wenn du sie auflöst? - Achte darauf, nur Terme mit exakt demselben Exponenten (z. B. \(k+1\)) miteinander zu verrechnen. - Was machst du mit Termen, die nur ein einziges Mal im gesamten Ausdruck vorkommen?

1. Ausmultiplizieren der ersten Klammer mit dem Faktor \(2\): \(2 \cdot 3a^{k+1} - 2 \cdot a^k = 6a^{k+1} - 2a^k\). 2. Auflösen der zweiten Klammer als Minusklammer durch Umkehren aller Vorzeichen: \(-5a^{k+1} + 4a^k - 6a^{k-1}\). 3. Sortieren und Zusammenfassen der Terme mit gleichem Exponenten: - Für \(a^{k+1}\): \(6 - 5 = 1\), also \(a^{k+1}\). - Für \(a^k\): \(-2 + 4 = 2\), also \(2a^k\). - Für \(a^{k-1}\): Es gibt nur einen Term, \(-6a^{k-1}\). 4. Kombination der Ergebnisse zum vereinfachten Term: \(a^{k+1} + 2a^k - 6a^{k-1}\).

\(a^{k+1} + 2a^k - 6a^{k-1}\)

- Was passiert mit den Vorzeichen innerhalb einer Klammer, wenn du eine Subtraktion ausführst? - Gehe schrittweise vor und schreibe nach jedem Auflösen einer Klammer den gesamten Term neu auf. - Markiere dir am besten gleichartige Glieder (z. B. alle mit \( a \)) in derselben Farbe. - Achte besonders auf das „Minus vor der Klammer“ – das ist eine häufige Fehlerquelle.

1. Auflösen der innersten runden Klammer: \( 10a - \{3b - [4a - 5b + 2c + a - c]\} \) 2. Vereinfachen des Inhalts der eckigen Klammer: \( 10a - \{3b - [5a - 5b + c]\} \) 3. Auflösen der eckigen Klammer durch Vorzeichenumkehr: \( 10a - \{3b - 5a + 5b - c\} \) 4. Vereinfachen des Inhalts der geschweiften Klammer: \( 10a - \{8b - 5a - c\} \) 5. Auflösen der geschweiften Klammer und finales Zusammenfassen: \( 10a - 8b + 5a + c = 15a - 8b + c \)

\( 15a - 8b + c \)

- In welcher Reihenfolge löst man geschachtelte Klammern am besten auf? - Was passiert mit den Vorzeichen in einer Klammer, wenn ein Minuszeichen davor steht? - Kannst du den Ausdruck innerhalb der eckigen Klammer zuerst vereinfachen, bevor du die Klammer selbst auflöst? - Achte darauf, nur Terme mit derselben Variablen zusammenzufassen.

1. Auflösen der runden Klammer innerhalb der eckigen Klammer: \( 3y - 2x - 5y + 7x = 5x - 2y \). 2. Einsetzen in den Gesamtausdruck: \( 4x - [5x - 2y] - (x - 2y) \). 3. Auflösen der eckigen Klammer (Minuszeichen beachten): \( 4x - 5x + 2y - (x - 2y) \). 4. Auflösen der verbleibenden runden Klammer: \( 4x - 5x + 2y - x + 2y \). 5. Zusammenfassen gleichartiger Glieder: \( -2x + 4y \).

\( -2x + 4y \)

- Was passiert mit den Vorzeichen innerhalb einer Klammer, wenn ein Minuszeichen davor steht? - Sortiere die Terme so, dass diejenigen mit den exakt gleichen Variablen und Hochzahlen nebeneinander stehen. - Achte darauf, dass du nur Terme zusammenfasst, deren Variablenteil (einschließlich der Exponenten) völlig identisch ist.

1. Auflösen der Klammern unter Berücksichtigung des Minuszeichens vor der zweiten Klammer: \(4{,}5 x^2 y - 2{,}3 x y^2 + 1{,}2 x^2 y^2 - 1{,}8 x^2 y - 3{,}7 x y^2 + 0{,}5 x^2 y^2\). 2. Zusammenfassen der Koeffizienten für \(x^2 y\): \(4{,}5 - 1{,}8 = 2{,}7\). 3. Zusammenfassen der Koeffizienten für \(x y^2\): \(-2{,}3 - 3{,}7 = -6\). 4. Zusammenfassen der Koeffizienten für \(x^2 y^2\): \(1{,}2 + 0{,}5 = 1{,}7\). 5. Endergebnis durch Kombination der Teilterme: \(2{,}7 x^2 y - 6 x y^2 + 1{,}7 x^2 y^2\).

\(2{,}7 x^2 y - 6 x y^2 + 1{,}7 x^2 y^2\)

- Überprüfe sorgfältig jedes Vorzeichen beim Auflösen der Subtraktionsklammer. - Es hilft, die zusammengehörigen Terme farbig zu markieren oder zu unterstreichen. - Rechne die Koeffizienten für jede Variablengruppe Schritt für Schritt aus.

1. Auflösen aller Klammern; dabei ändern sich die Vorzeichen in der zweiten Klammer aufgrund des Minuszeichens: \(7{,}2 u^3 v^2 - 4{,}1 u v^3 + 2{,}5 w - 3{,}8 u^3 v^2 - 1{,}9 u v^3 + 0{,}4 w + 1{,}5 u v^3 - 3{,}2 w\). 2. Zusammenfassen der Koeffizienten für \(u^3 v^2\): \(7{,}2 - 3{,}8 = 3{,}4\). 3. Zusammenfassen der Koeffizienten für \(u v^3\): \(-4{,}1 - 1{,}9 + 1{,}5 = -4{,}5\). 4. Zusammenfassen der Koeffizienten für \(w\): \(2{,}5 + 0{,}4 - 3{,}2 = -0{,}3\). 5. Zusammenführen der Ergebnisse zum Endterm: \(3{,}4 u^3 v^2 - 4{,}5 u v^3 - 0{,}3 w\).

\(3{,}4 u^3 v^2 - 4{,}5 u v^3 - 0{,}3 w\)

- Hilft es dir, erst den Inhalt der Klammer auszurechnen, bevor du das Minus davor berücksichtigst? - Was passiert mit einem Glied wie \(t\), wenn am Ende \(t - t\) gerechnet wird? - Gehe Schritt für Schritt vor und schreibe jede Zeile neu auf, um Rechenfehler bei den Vorzeichen zu vermeiden.

1. Berechnung von \(u - v + w\): Einsetzen ergibt \((3r - 5s + 2t) - (-r + 4s - 3t) + (2r - s + t)\). Auflösen der Klammern: \(3r - 5s + 2t + r - 4s + 3t + 2r - s + t\). Zusammenfassen gleichartiger Glieder: \((3 + 1 + 2)r + (-5 - 4 - 1)s + (2 + 3 + 1)t\). Ergebnis: \(6r - 10s + 6t\). 2. Berechnung von \(-(u + v) - w\): Zuerst Summe in der Klammer berechnen: \(u + v = (3-1)r + (-5+4)s + (2-3)t = 2r - s - t\). Dann Einsetzen in den Gesamtausdruck: \(-(2r - s - t) - (2r - s + t)\). Klammern auflösen: \(-2r + s + t - 2r + s - t\). Zusammenfassen: \((-2 - 2)r + (1 + 1)s + (1 - 1)t = -4r + 2s\).

1) \(6r - 10s + 6t\) 2) \(-4r + 2s\)

- Wie gehst du vor, wenn mehrere Klammern ineinander verschachtelt sind? - Gibt es eine Reihenfolge, in der man Klammern am besten auflöst? - Kannst du den Term erst kürzer schreiben, bevor du die langen Ausdrücke einsetzt? - Achte besonders auf die Vorzeichen, wenn ein Minus vor einer Klammer steht.

1. Auflösen der inneren Klammer (Minusklammer): \(3a - [2b - a + b] = 3a - [3b - a]\) 2. Auflösen der äußeren Klammer: \(3a - 3b + a = 4a - 3b\) 3. Einsetzen der Ausdrücke für \(a\) und \(b\): \(4 \cdot (2x + y) - 3 \cdot (x - y)\) 4. Anwenden des Distributivgesetzes: \(8x + 4y - 3x + 3y\) 5. Zusammenfassen gleichartiger Terme: \(5x + 7y\)

\(5x + 7y\)

- Überlege dir, ob es einfacher ist, zuerst die Buchstaben \(U\) und \(V\) zu verrechnen oder direkt die großen Terme einzusetzen. - Was passiert mit den Vorzeichen in der Klammer, wenn du sie auflöst? - Welche Teile des Ergebnisses gehören zusammen (z. B. \(m^2\) und \(n\))?

1. Vereinfachung des Terms \(W\) durch Auflösen der inneren Klammer: \(2 \cdot [U - V + U] - 3U = 2 \cdot [2U - V] - 3U\) 2. Auflösen der verbleibenden Klammer und Zusammenfassen von \(U\): \(4U - 2V - 3U = U - 2V\) 3. Einsetzen der gegebenen Terme für \(U\) und \(V\): \((3m^2 - 5n) - 2 \cdot (m^2 + 2n)\) 4. Auflösen der Klammern unter Beachtung der Vorzeichen: \(3m^2 - 5n - 2m^2 - 4n\) 5. Zusammenfassen der \(m^2\)-Terme und der \(n\)-Terme: \(m^2 - 9n\)

\(m^2 - 9n\)

- Kannst du die Frage in Teil b) als eine mathematische Gleichung mit \(W\) aufschreiben? - Überlege dir zuerst, wie der Term \(X + Y\) aussieht. - Achte beim Subtrahieren eines ganzen Terms darauf, Klammern zu setzen, damit sich das Minus auf alle Teile des Terms bezieht.

1. Einsetzen der Ausdrücke für \(X - Y + Z\): \((3a - 4b) - (5a + 2b) + (-a + 6b)\) 2. Auflösen der Minusklammer und Zusammenfassen: \(3a - 5a - a - 4b - 2b + 6b = -3a + 0\) 3. Ergebnis für a): \(-3a\) 4. Aufstellen der Bedingung für \(W\): \((X + Y) + W = Z\) 5. Umstellen nach \(W\): \(W = Z - (X + Y)\) 6. Berechnung von \(X + Y\): \((3a - 4b) + (5a + 2b) = 8a - 2b\) 7. Subtraktion dieser Summe von \(Z\): \((-a + 6b) - (8a - 2b) = -a - 8a + 6b + 2b\) 8. Ergebnis für b): \(W = -9a + 8b\)

a) \(-3a\) b) \(W = -9a + 8b\)

- Denke an die Regel „Punkt vor Strich“. - Vereinfache zuerst die Produkte, bevor du addierst oder subtrahierst. - Nur Terme mit exakt den gleichen Variablenkombinationen können zusammengefasst werden. - Achte besonders auf das Vorzeichen, das bei der Multiplikation entsteht.

1. Zuerst wird das Produkt berechnet: \((-3x) \cdot (-2y) = 6xy\). Danach werden die gleichartigen Terme subtrahiert: \(6xy - 8xy = -2xy\). 2. Die beiden Produkte werden einzeln berechnet: \(4a \cdot (-b) = -4ab\) und \((-2a) \cdot (-3b) = 6ab\). Durch Addition der Ergebnisse erhält man \(-4ab + 6ab = 2ab\). 3. Die Multiplikation der ersten Faktoren ergibt \((-1) \cdot (-1) = 1\), sodass der erste Teil des Terms zu \(mn\) wird. Die Subtraktion ergibt \(mn - mn = 0\).

a) \(-2xy\); b) \(2ab\); c) \(0\)

- Wenn eine Klammer durch eine Zahl dividiert wird, muss jedes Glied in der Klammer dividiert werden. - Ein Minuszeichen vor einer Klammer dreht alle Vorzeichen innerhalb der Klammer um, wenn man sie auflöst. - Sortiere den Term zuerst nach Variablen und Zahlen, bevor du das Endergebnis berechnest.

1. Erster Aufgabenteil: Divisionen durchführen ergibt \( (6w - 4) - (3w + 2) \). Auflösen der Minusklammer führt zu \( 6w - 4 - 3w - 2 = 3w - 6 \). 2. Zweiter Aufgabenteil: Multiplikation mit \( 0{,}2 \) ergibt \( 2x - 10 \). Division durch 4 ergibt \( x - 3 \). Subtraktion: \( (2x - 10) - (x - 3) = 2x - 10 - x + 3 = x - 7 \). 3. Dritter Aufgabenteil: Division durch 3 ergibt \( 3z - 2 \). Einsetzen in den Gesamtausdruck: \( 7 - (3z - 2) - (z + 1) \). Klammern auflösen: \( 7 - 3z + 2 - z - 1 = 8 - 4z \).

1) \( 3w - 6 \) 2) \( x - 7 \) 3) \( 8 - 4z \)

- Unterscheide genau zwischen \(a^2b\) und \(ab^2\). Sind sie gleichartig? - Es hilft, Brüche in Dezimalzahlen umzuwandeln, wenn andere Glieder bereits als Dezimalzahlen gegeben sind. - Vergiss nicht das Glied am Ende, das keine Variablen hat.

1. Identifikation der gleichartigen Glieder: Glieder mit \(a^2b\) sind \(3{,}5a^2b\) und \(\frac{1}{2}a^2b\). Glieder mit \(ab^2\) sind \(-2ab^2\) und \(4ab^2\). Die Zahl \(-7\) hat kein gleichartiges Glied. 2. Berechnung der \(a^2b\)-Koeffizienten: Umrechnung \(\frac{1}{2} = 0{,}5\). Addition: \(3{,}5 + 0{,}5 = 4\), also \(4a^2b\). 3. Berechnung der \(ab^2\)-Koeffizienten: \(-2 + 4 = 2\), also \(2ab^2\). 4. Zusammenfügen aller Teile: \(4a^2b + 2ab^2 - 7\).

\(4a^2b + 2ab^2 - 7\)

- Schau dir die Hochzahlen ganz genau an – gehören \(a^2b\) und \(ab^2\) zusammen? - Wenn vor einer Variablen keine Zahl steht, welcher Wert ist dann gemeint? - Sortiere den Term zuerst so um, dass gleiche Variablenkombinationen nebeneinander stehen. - Achte darauf, auch reine Zahlen (Konstanten) getrennt von den Variablen zu behandeln.

1. Unterscheidung der Variablenkombinationen: \(a^2b\) und \(ab^2\) sind nicht gleichartig und müssen getrennt betrachtet werden. 2. Zusammenfassen der \(a^2b\)-Terme: Der erste Term \(a^2b\) hat den impliziten Koeffizienten \(1\). Rechnung: \(1 + 1{,}2 = 2{,}2\). Ergebnis: \(2{,}2a^2b\). 3. Zusammenfassen der \(ab^2\)-Terme: Rechnung der Koeffizienten: \(-0{,}4 + 0{,}15 = -0{,}25\). Ergebnis: \(-0{,}25ab^2\). 4. Der konstante Wert \(-0{,}75\) bleibt ohne Partner unverändert. 5. Kombination aller Teilergebnisse zum Endterm: \(2{,}2a^2b - 0{,}25ab^2 - 0{,}75\).

\(2{,}2a^2b - 0{,}25ab^2 - 0{,}75\)

- Was bedeutet es mathematisch, wenn zwei Terme „äquivalent“ sind? - Wie kannst du den komplizierteren Term \(T_1\) übersichtlicher machen? - Hilft es dir, die zusammengehörigen Teile (z. B. alle \(b^2\)) verschieden zu markieren? - Vergleiche am Ende dein Ergebnis Schritt für Schritt mit dem Term \(T_2\).

1. Vereinfachung von \(T_1\) durch Zusammenfassen gleichartiger Glieder. 2. Glieder mit \(b^2\): \(6b^2 - 2b^2 = 4b^2\). 3. Glieder mit \(b\): \(-4b + 5b = b\) (oder einfach \(b\)). 4. Konstante Glieder: \(3 - 8 = -5\). 5. Der vereinfachte Term \(T_1\) lautet somit \(4b^2 + b - 5\). 6. Vergleich mit \(T_2\): Da beide Terme nach der Vereinfachung identisch sind, sind sie äquivalent.

Ja, die Terme sind äquivalent, da die Vereinfachung von \(T_1\) den Term \(4b^2 + b - 5\) ergibt, was identisch mit \(T_2\) ist.

- Achte darauf, dass nur Terme mit exakt den gleichen Variablen und Exponenten zusammengefasst werden dürfen. - Vergiss nicht, dass vor einem Term ohne sichtbare Zahl eigentlich eine \(1\) steht. - Beachte die Rechenzeichen vor den Termen, besonders wenn ein Minus vorkommt.

1. Umwandlung aller Produkte in Potenzen: \(x \cdot x = x^2\), \(a \cdot a \cdot b = a^2b\), \(a \cdot b \cdot b = ab^2\), \(z \cdot z \cdot z = z^3\), \(p \cdot p = p^2\) und \(q \cdot q \cdot q = q^3\). 2. Identifikation und Kombination gleichartiger Glieder unter Berücksichtigung der Vorzeichen: - \(4x^2 + 1x^2 - 2x^2 = 3x^2\) - \(a^2b + a^2b + ab^2 = 2a^2b + ab^2\) - \(3z^3 + 1z^3 - 2z^3 = 2z^3\) - \(2p^2 + 1q^3 + 1p^2 + 1q^3 + 1p^2 = 4p^2 + 2q^3\)

1) \(3x^2\); 2) \(2a^2b + ab^2\); 3) \(2z^3\); 4) \(4p^2 + 2q^3\)

- Du kannst die Lücke wie eine Unbekannte in einer Gleichung behandeln. - Wie würdest du die Gleichung umstellen, um die Lücke allein auf eine Seite zu bringen? - Überlege dir, welche Zahl du von der ersten abziehen oder zur ersten addieren musst, um das Ergebnis zu erhalten. - Beachte, dass die Variablen und ihre Exponenten in allen Teilen eines Summanden gleich bleiben müssen.

1. Teilaufgabe a): Umstellen nach der Lücke ergibt \((\dots) = 7x^n - 10x^n\). Berechnung der Koeffizienten: \(7 - 10 = -3\). Der gesuchte Term ist \(-3x^n\). 2. Teilaufgabe b): Umstellen nach der Lücke ergibt \((\dots) = -y^{k+2} - (-4y^{k+2}) = -y^{k+2} + 4y^{k+2}\). Berechnung der Koeffizienten: \(-1 + 4 = 3\). Der gesuchte Term ist \(3y^{k+2}\). 3. Teilaufgabe c): Umstellen nach der Lücke ergibt \((\dots) = \frac{1}{2}a^m - (-\frac{1}{4}a^m) = \frac{1}{2}a^m + \frac{1}{4}a^m\). Hauptnenner bilden: \(\frac{2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}\). Der gesuchte Term ist \(\frac{3}{4}a^m\).

a) \(-3x^n\); b) \(3y^{k+2}\); c) \(\frac{3}{4}a^m\)

- Achte darauf, nur Terme mit den exakt gleichen Variablenkombinationen zusammenzufassen. - Wie gehst du bei der Addition von Dezimalzahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen vor? - Ist \(ab\) dasselbe wie \(a^2\)? - Was bleibt übrig, wenn die Summe der Zahlen vor einer Variable Null ergibt?

1. Gruppieren der Terme nach Variablenkombinationen: \(ab\)-Terme (\(1{,}8ab\), \(-0{,}8ab\)) und \(a^2\)-Terme (\(-0{,}6a^2\), \(-1{,}4a^2\), \(2a^2\)). 2. Summieren der Koeffizienten für \(ab\): \(1{,}8 - 0{,}8 = 1{,}0\). 3. Summieren der Koeffizienten für \(a^2\): \(-0{,}6 - 1{,}4 + 2 = 0\). 4. Kombination der Ergebnisse \(ab + 0\) zum Endergebnis \(ab\).

\(ab\)

- Überprüfe Schritt für Schritt, wie Lukas die Klammern aufgelöst hat. - Erinnere dich an die Regel „Minus mal Minus ergibt Plus“. - Welches Vorzeichen müsste vor der \(9x\) stehen, nachdem die Klammer weggelassen wurde?

1. Analyse des Fehlers: Lukas hat beim Auflösen der Minusklammer das Vorzeichen des zweiten Gliedes in der Klammer (\(-9x\)) nicht korrekt umgedreht. Er hat vermutlich \(-4x - 9x = -13x\) gerechnet, anstatt \(-4x + 9x\) zu bilden. 2. Korrekte Auflösung der Klammern: \((15x^2 - 4x) - (7x^2 - 9x) = 15x^2 - 4x - 7x^2 + 9x\). 3. Zusammenfassen der gleichartigen Glieder: \(15x^2 - 7x^2 = 8x^2\) und \(-4x + 9x = 5x\). 4. Endergebnis: \(8x^2 + 5x\).

Lukas hat beim Auflösen der Klammer vergessen, das Vorzeichen von \(-9x\) in ein Pluszeichen umzuwandeln. Das korrekte Ergebnis lautet \(8x^2 + 5x\).

- Welche Klammer liegt am weitesten „innen“? Beginne dort. - Was passiert mit den Vorzeichen der Glieder in einer Klammer, wenn ein Minuszeichen vor der Klammer steht? - Achte darauf, nur Glieder mit derselben Variablen (z. B. alle mit \( a \)) zusammenzufassen. - Es hilft oft, den Term nach jedem Schritt einmal komplett neu aufzuschreiben.

1. Auflösen der innersten runden Klammer unter Beachtung des Minuszeichens: \( 2a - (5b - 3a) = 2a - 5b + 3a = 5a - 5b \). 2. Vereinfachen des Ausdrucks innerhalb der eckigen Klammer und Berücksichtigung der benachbarten Glieder in der geschweiften Klammer: \( 4b + (5a - 5b) - 2b = 5a - 3b \). 3. Auflösen der geschweiften Klammer mit dem davorstehenden Minuszeichen: \( 15a - (5a - 3b) = 15a - 5a + 3b \). 4. Zusammenfassen der verbleibenden Glieder mit der Variablen \( a \): \( 10a + 3b \).

\( 10a + 3b \)

- Es ist oft leichter, einen Term erst so weit wie möglich zu vereinfachen, bevor man die Zahlenwerte einsetzt. - Wie viele \( x \) hast du insgesamt, wenn du die Koeffizienten verrechnest? - Kannst du beim zweiten Term einen gemeinsamen Faktor finden, um die Rechnung zu verkürzen?

1. Teilaufgabe a): Zusammenfassen der Koeffizienten von \( x \): \( (15 - 4{,}5 + 0{,}5) \cdot x = 11x \). Einsetzen von \( x = 1{,}2 \): \( 11 \cdot 1{,}2 = 13{,}2 \). 2. Teilaufgabe b): Vereinfachen der Klammer und Anwendung des Distributivgesetzes: \( y \cdot 6{,}5 - y \cdot 1{,}5 = y \cdot (6{,}5 - 1{,}5) = 5y \). Einsetzen von \( y = \frac{4}{5} \) (oder \( 0{,}8 \)): \( 5 \cdot 0{,}8 = 4 \).

a) \( 13{,}2 \) b) \( 4 \)

- Vereinfache zuerst den Teil des Terms, den du bereits vollständig kennst. - Überlege dir: Was muss ich von diesem Teilergebnis abziehen, um zum Zielterm auf der rechten Seite zu kommen? - Du kannst den Platzhalter wie eine Unbekannte in einer Gleichung behandeln. - Vergiss nicht, am Ende dein Ergebnis einzusetzen und zu prüfen, ob die Rechnung aufgeht.

1. Vereinfachung des linken Terms (soweit möglich): \(5 \cdot (2 \cdot n + 1) = 10 \cdot n + 5\). 2. Aufstellen der Gleichung mit dem Platzhalter \(X\): \(10 \cdot n + 5 - X = 3 \cdot n + 8\). 3. Umstellen nach \(X\): \(X = (10 \cdot n + 5) - (3 \cdot n + 8)\). 4. Auflösen der Klammer: \(X = 10 \cdot n + 5 - 3 \cdot n - 8\). 5. Zusammenfassen: \(X = 7 \cdot n - 3\). 6. Überprüfung: \(10 \cdot n + 5 - (7 \cdot n - 3) = 10 \cdot n + 5 - 7 \cdot n + 3 = 3 \cdot n + 8\). Dies ist korrekt.

In das Kästchen muss der Term \(7 \cdot n - 3\) eingesetzt werden.

- Stell dir die Lücke wie eine gesuchte Zahl in einer einfachen Plus- oder Minusaufgabe vor. - Wie kannst du das Ergebnis einer Additionsaufgabe nutzen, um einen fehlenden Summanden zu finden? - Achte bei Teilaufgabe d) darauf, von welcher Zahl man etwas abziehen muss, um bei einer noch kleineren negativen Zahl zu landen.

1. Umstellung der Gleichungen zur Isolierung der Lücke. 2. Für a): \(12m - 5m = 7m\). 3. Für b): \(8{,}4t - 2{,}1t = 6{,}3t\). 4. Für c): Das Ergebnis \(0\) wird erreicht, wenn der zu \(-3b\) entgegengesetzte Term addiert wird: \(0 - (-3b) = 3b\). 5. Für d): Rückwärtsrechnung: \(-10p + 6p = -4p\).

a) \(7m\) b) \(6{,}3t\) c) \(3b\) d) \(-4p\)

- Vereinfache zuerst beide Seiten getrennt voneinander, indem du die Klammern auflöst. - Vergleiche dann die Ergebnisse: Stimmen sowohl die Koeffizienten der Variablen als auch die Zahlen ohne Variable überein? - Um eine Zahl zu ändern, schau dir an, an welcher Stelle der Vereinfachung der Fehler im Vergleich zum Zielterm liegt.

1. Vereinfachung von \(T_1\): \(0{,}5 \cdot (12y - 8) + 3y = 6y - 4 + 3y = 9y - 4\). 2. Vereinfachung von \(T_2\): \(3 \cdot (3y - 2) - y + 2 = 9y - 6 - y + 2 = 8y - 4\). 3. Damit sind \(T_1\) und \(T_2\) nicht äquivalent. 4. Ändert man in der Klammer den Zahlenfaktor \(3\) vor \(y\) in \(\frac{10}{3}\), erhält man \(T_3 = 3 \cdot (\frac{10}{3}y - 2) - y + 2 = 10y - 6 - y + 2 = 9y - 4\). Somit ist \(T_3\) äquivalent zu \(T_1\).

a) Die Behauptung ist falsch: \(T_1 = 9y - 4\), aber \(T_2 = 8y - 4\). b) Eine mögliche Lösung ist \(T_3 = 3 \cdot (\frac{10}{3}y - 2) - y + 2\).

- Gehe schrittweise vor und markiere dir eventuell Glieder mit gleichen Variablen in derselben Farbe. - Achte besonders auf die Vorzeichen, wenn du die mittlere Klammer auflöst. - Was passiert mit dem Vorzeichen von \(-\frac{1}{6}a\), wenn die Klammer davor ein Minus hat? - Vergiss nicht, am Ende auch die reinen Zahlenwerte ohne Variablen zusammenzufassen.

1. Auflösen aller Klammern: \(2a^3 - \frac{5}{8}a^2 + \frac{1}{3}a - \frac{3}{4}a^3 - a^2 + \frac{1}{6}a - 1 + \frac{1}{2}a^3 - \frac{1}{4}\) 2. Zusammenfassen der \(a^3\)-Glieder: \(2 - \frac{3}{4} + \frac{1}{2} = \frac{8}{4} - \frac{3}{4} + \frac{2}{4} = \frac{7}{4}\) 3. Zusammenfassen der \(a^2\)-Glieder: \(-\frac{5}{8} - 1 = -\frac{5}{8} - \frac{8}{8} = -\frac{13}{8}\) 4. Zusammenfassen der \(a\)-Glieder: \(\frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\) 5. Zusammenfassen der konstanten Zahlen: \(-1 - \frac{1}{4} = -\frac{4}{4} - \frac{1}{4} = -\frac{5}{4}\) 6. Zusammengefasster Term: \(\frac{7}{4}a^3 - \frac{13}{8}a^2 + \frac{1}{2}a - \frac{5}{4}\)

\(\frac{7}{4}a^3 - \frac{13}{8}a^2 + \frac{1}{2}a - \frac{5}{4}\)

- Arbeite dich von der innersten zur äußersten Klammer vor. - Achte besonders auf das Minuszeichen vor der geschweiften und der eckigen Klammer. - Behandle \( a^2 \) und \( a \) als unterschiedliche Bausteine, die nicht direkt addiert werden können. - Überprüfe nach jedem Schritt, ob du innerhalb einer Klammer bereits etwas zusammenfassen kannst.

1. Auflösen der innersten runden Klammer und Vereinfachen des Inhalts der eckigen Klammer: \( 2a - 3a^2 + a = 3a - 3a^2 \). 2. Einsetzen des vereinfachten Ausdrucks in die geschweifte Klammer und Anpassen der Vorzeichen: \( 5a^2 - [3a - 3a^2] + 4a \). 3. Auflösen der eckigen Klammer innerhalb der geschweiften Klammer: \( 5a^2 - 3a + 3a^2 + 4a = 8a^2 + a \). 4. Einsetzen in den Gesamtausdruck: \( 10a^2 - \{ 8a^2 + a \} \). 5. Auflösen der geschweiften Klammer und Zusammenfassen: \( 10a^2 - 8a^2 - a = 2a^2 - a \).

\( 2a^2 - a \)

- Überlege dir zuerst eine Strategie: Möchtest du von innen nach außen oder lieber alle Klammern gleichzeitig auflösen? - Vergiss nicht, dass auch vor der allerersten Klammer ein Minuszeichen steht. - Markiere dir Glieder mit der gleichen Variablen in derselben Farbe, bevor du sie zusammenrechnest. - Prüfe am Ende noch einmal jedes Vorzeichen einzeln.

1. Auflösen der inneren runden Klammer innerhalb der eckigen Klammer: \( 5v - (u + 3v) = 5v - u - 3v = -u + 2v \). 2. Auflösen der eckigen Klammer innerhalb der geschweiften Klammer: \( 3u - (-u + 2v) = 3u + u - 2v = 4u - 2v \). 3. Auflösen der verbleibenden runden Klammer innerhalb der geschweiften Klammer: \( (4u - 2v) - (2u - v) = 4u - 2v - 2u + v = 2u - v \). 4. Auflösen der ersten runden Klammer am Anfang des Terms: \( -(6u - 2v) = -6u + 2v \). 5. Zusammenführen aller Teile und finales Zusammenfassen: \( (-6u + 2v) + (2u - v) = -4u + v \).

\( -4u + v \)