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- Multipliziere den Faktor außerhalb der Klammer mit jedem Glied in der Klammer. - Achte bei Differenzen darauf, das Minuszeichen beim zweiten Produkt beizubehalten. - Prüfe nach dem Ausmultiplizieren, ob noch gleichartige Glieder zusammengefasst werden können.

1. \(7(a+9)=7a+63\). 2. \((5x-4)\cdot3=15x-12\). 3. \(2(6m+11n)=12m+22n\). 4. \((8-3y)\cdot5=40-15y\).

1) \(7a+63\) 2) \(15x-12\) 3) \(12m+22n\) 4) \(40-15y\)

- Auf wie viele Glieder innerhalb der Klammer muss der Außenfaktor wirken? - Was erhältst du aus \(3\cdot x\) und aus \(3\cdot2\)?

1. Der Faktor \(3\) multipliziert beide Glieder der Summe in der Klammer. 2. Daher gilt \(3\cdot x=3x\) und \(3\cdot2=6\). 3. Somit ist \(3(x+2)=3x+6\), also B.

B) \(3x+6\), weil der Faktor \(3\) beide Glieder in der Klammer multipliziert: \(3\cdot x=3x\) und \(3\cdot2=6\).

- Der äußere Faktor wirkt auf jedes Glied in der Klammer. - Achte besonders auf das Produkt zweier negativer Zahlen. - Schreibe die beiden Teilprodukte getrennt auf, bevor du sie zusammensetzt.

1. Der Faktor \(-3\) wird mit beiden Gliedern der Klammer multipliziert. 2. Es ist \((-3)\cdot2x=-6x\) und \((-3)\cdot(-5)=15\). 3. Daher ergibt sich \(-6x+15\).

\(-6x+15\)

- Multipliziere den Faktor \(2x\) nacheinander mit jedem Klammerglied. - Beim ersten Teilprodukt werden auch die beiden Variablen \(x\) miteinander multipliziert. - Prüfe das Vorzeichen des zweiten Teilprodukts.

1. Der Faktor \(2x\) wird mit beiden Gliedern der Klammer multipliziert. 2. Es ist \(2x\cdot3x=6x^2\) und \(2x\cdot(-4)=-8x\). 3. Damit ergibt sich \(6x^2-8x\).

\(6x^2-8x\)

- Addiere zuerst die beiden sichtbaren Breitenabschnitte und die beiden Höhenabschnitte. - Jede Teilfläche entsteht aus genau einem Breiten- und einem Höhenabschnitt. - Beide Flächenbeschreibungen beziehen sich auf dasselbe gesamte Rechteck.

1. Die gesamte Breite ist \(a+b\), die gesamte Höhe ist \(c+d\). Daher ist der Flächeninhalt \((a+b)(c+d)\). 2. Die vier Teilflächen haben die Flächeninhalte \(ac\), \(ad\), \(bc\) und \(bd\). 3. Somit gilt \((a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd\).

a) \((a+b)(c+d)\) b) \(ac+ad+bc+bd\) c) \((a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd\)

- Denke an das Verteilungsprinzip: Der Faktor vor der Klammer muss mit jedem Glied in der Klammer multipliziert werden. - Achte besonders auf die Vorzeichen innerhalb der Klammern. - Kannst du beim Multiplizieren von ganzen Zahlen mit Brüchen vorher kürzen?

1. Teilaufgabe a): Multiplikation jedes Summanden in der Klammer mit \(6\). Ergebnis: \(6 \cdot 2x - 6 \cdot \frac{2}{3} = 12x - 4\). 2. Teilaufgabe b): Multiplikation jedes Summanden mit \(\frac{3}{4}\). Ergebnisse: \(\frac{3}{4} \cdot 8a = 6a\), \(\frac{3}{4} \cdot 4b = 3b\), \(\frac{3}{4} \cdot 12 = 9\). Gesamtterm: \(6a + 3b - 9\). 3. Teilaufgabe c): Multiplikation jedes Summanden mit \(12\). Ergebnisse: \(12 \cdot \frac{x}{4} = 3x\), \(12 \cdot \frac{y}{3} = 4y\), \(12 \cdot \frac{1}{2} = 6\). Gesamtterm: \(3x + 4y - 6\).

a) \(12x - 4\) b) \(6a + 3b - 9\) c) \(3x + 4y - 6\)

- Achte besonders auf das Vorzeichen vor der zweiten Klammer beim Ausmultiplizieren. - Welche Teile des Terms enthalten eine Variable und welche nicht? Sortiere diese am besten zuerst. - Denk daran, dass „Minus mal Plus“ ein negatives Ergebnis ergibt.

1. Anwenden des Distributivgesetzes auf die erste Klammer: \(7 \cdot 3x + 7 \cdot (-4) = 21x - 28\). 2. Anwenden des Distributivgesetzes auf die zweite Klammer unter Berücksichtigung des Minuszeichens: \(-5 \cdot 2x - 5 \cdot 8 = -10x - 40\). 3. Zusammenfügen der Teilergebnisse: \(21x - 28 - 10x - 40\). 4. Zusammenfassen der Glieder mit \(x\): \(21x - 10x = 11x\). 5. Zusammenfassen der konstanten Glieder: \(-28 - 40 = -68\). 6. Endergebnis: \(11x - 68\).

\(11x - 68\)

- Vereinfache beide Terme unabhängig voneinander so weit wie möglich. - Wenn am Ende bei beiden genau derselbe Ausdruck steht, sind sie äquivalent. - Achte beim ersten Term besonders auf die Subtraktion der Klammer \((5z - 8)\).

1. Vereinfachung von \(T_1\): Ausmultiplizieren ergibt \(8z - 12\). Auflösen der zweiten Klammer mit Minuszeichen ergibt \(-5z + 8\). Zusammenfassen: \(8z - 5z - 12 + 8 = 3z - 4\). 2. Vereinfachung von \(T_2\): Ausmultiplizieren ergibt \(3z - 6\). Addieren der \(2\): \(3z - 6 + 2 = 3z - 4\). 3. Vergleich der Ergebnisse: Da beide Terme vereinfacht \(3z - 4\) ergeben, sind sie äquivalent.

Ja, die Terme sind äquivalent, da beide vereinfacht \(3z - 4\) ergeben.

- Was bedeutet es, wenn zwei Terme äquivalent sind? - Kannst du Klammern auflösen, indem du die Zahl davor mit jedem Teil in der Klammer multiplizierst? - Fasse alle Glieder mit der gleichen Variable und alle Zahlen ohne Variable zusammen. - Sind die Endergebnisse nach dem Vereinfachen identisch?

1. Vereinfachung des ersten Terms in a): \(4 \cdot (a + 2) + 3 \cdot a = 4 \cdot a + 8 + 3 \cdot a = 7 \cdot a + 8\). Da dies mit dem zweiten Term übereinstimmt, sind sie äquivalent. 2. Vereinfachung des ersten Terms in b): \(15 \cdot y - 6 \cdot y + 2 = 9 \cdot y + 2\). 3. Vereinfachung des zweiten Terms in b): \(3 \cdot (3 \cdot y + 2) - 4 = 9 \cdot y + 6 - 4 = 9 \cdot y + 2\). 4. Vergleich in b): Beide Terme ergeben vereinfacht \(9 \cdot y + 2\), sie sind also äquivalent.

a) Die Terme sind äquivalent, da beide vereinfacht \(7 \cdot a + 8\) ergeben. b) Die Terme sind äquivalent, da beide vereinfacht \(9 \cdot y + 2\) ergeben.

- Achte besonders auf das Vorzeichen vor der Klammer, wenn du ausmultiplizierst. - Denk daran, dass du nur Glieder mit der gleichen Variablen zusammenfassen darfst. - Was passiert mit einer Zahl in der Klammer, wenn ein Minuszeichen vor der Klammer steht?

1. Teilaufgabe a: Anwenden des Distributivgesetzes ergibt \(8x - 20 + 3x\). Zusammenfassen der Glieder mit \(x\) führt zu \(11x - 20\). 2. Teilaufgabe b: Anwenden des Distributivgesetzes unter Beachtung des Minuszeichens ergibt \(15y - 15y + 6\). Zusammenfassen der Glieder mit \(y\) ergibt \(0y + 6\), also das Ergebnis \(6\). 3. Teilaufgabe c: Umstellen durch Kommutativgesetz ergibt \(8z + 4 - 2(4z + 2)\). Anwenden des Distributivgesetzes ergibt \(8z + 4 - 8z - 4\). Zusammenfassen aller Glieder führt zum Ergebnis \(0\).

a) \(11x - 20\) b) \(6\) c) \(0\)

- Kannst du die Glieder mit der Variablen \(x\) und die Glieder ohne Variable getrennt voneinander betrachten? - Erinnere dich daran, wie man Klammern auflöst, wenn eine Zahl davor steht. - Achte genau darauf, welche Zahl mit der Klammer multipliziert wird.

1. Überprüfung von Term a: \(2x + 10 + 2x = (2x + 2x) + 10 = 4x + 10\). Dieser Term ist äquivalent. 2. Überprüfung von Term b: Anwendung des Distributivgesetzes: \(2 \cdot 2x + 2 \cdot 5 = 4x + 10\). Dieser Term ist äquivalent. 3. Überprüfung von Term c: Zusammenfassen der x-Glieder und der Zahlen: \(15x - 11x = 4x\) und \(12 - 2 = 10\). Das ergibt \(4x + 10\). Dieser Term ist äquivalent. 4. Überprüfung von Term d: Anwendung des Distributivgesetzes: \(4 \cdot x + 4 \cdot 10 = 4x + 40\). Da \(40 \neq 10\), ist dieser Term nicht äquivalent. 5. Überprüfung von Term e: Zusammenfassen der vier x-Glieder zu \(4x\) und der Zahlen \(7 + 3 = 10\). Das ergibt \(4x + 10\). Dieser Term ist äquivalent.

Die Terme a), b), c) und e) sind zum Term \(4x + 10\) äquivalent. Der Term d) ist nicht äquivalent, da er vereinfacht \(4x + 40\) ergibt.

- Multipliziere die \(5\) mit beiden Gliedern in der Klammer. - Vergleiche danach die vollständigen Termformen. - Überlege bei c), ob endlich viele Beispiele eine Aussage für alle zulässigen Werte beweisen können.

1. Mit dem Distributivgesetz gilt \(T_1=5z-15+10=5z-5\). 2. Damit hat \(T_1\) exakt dieselbe Termform wie \(T_2\); die Terme sind äquivalent. 3. Für \(z=-2\) ergeben beide den Wert \(-15\), für \(z=6\) den Wert \(25\). 4. Einzelne übereinstimmende Termwerte zeigen nur diese speziellen Fälle. Die allgemeine Äquivalenz folgt aus der symbolischen Umformung in a).

a) \(T_1=5z-5\); daher sind \(T_1\) und \(T_2\) äquivalent. b) Für \(z=-2\): beide \(-15\); für \(z=6\): beide \(25\). c) Zwei Zahlenbeispiele sind nur Kontrollen; der allgemeine Beweis ist die symbolische Umformung aus a).

- Versuche, jeden Term so weit wie möglich zu vereinfachen. - Nutze das Distributivgesetz, um Klammern aufzulösen. - Fasse alle Glieder mit \(x\) und alle Glieder ohne Variable getrennt zusammen. - Achte auf die Vorrangregeln (Punkt-vor-Strich-Rechnung).

1. Überprüfung von a): \(3 \cdot (2x - 4) = 3 \cdot 2x - 3 \cdot 4 = 6x - 12\) (korrekt) 2. Überprüfung von b): \(6 \cdot (x - 2) = 6 \cdot x - 6 \cdot 2 = 6x - 12\) (korrekt) 3. Überprüfung von c): \(10x - 12 - 4x = (10x - 4x) - 12 = 6x - 12\) (korrekt) 4. Überprüfung von d): \(2x + 4x - 6 \cdot 2 = 6x - 12\) (korrekt) 5. Überprüfung von e): \(6x - 12 = 6x - 12\) (korrekt) 6. Überprüfung von f): \(x \cdot (6 - 12) = x \cdot (-6) = -6x\) (falsch) 7. Überprüfung von g): \(12x : 2 - 12 = 6x - 12\) (korrekt)

Die korrekten Terme sind: a), b), c), d), e) und g).

- Was passiert mit den Vorzeichen, wenn man eine Klammer mit einer negativen Zahl multipliziert? - Rechne die linke und die rechte Seite getrennt aus und vergleiche die Ergebnisse. - Achte besonders auf das Produkt zweier negativer Zahlen.

1. Einsetzen von \(x = 10\) in den ersten Term: \(-3 \cdot (10 - 5) = -3 \cdot 5 = -15\). 2. Einsetzen von \(x = 10\) in den zweiten Term: \(-3 \cdot 10 - 15 = -30 - 15 = -45\). 3. Vergleich: Da \(-15 \neq -45\), ist die Behauptung falsch. 4. Fehleranalyse: Tim hat das Minuszeichen vor der Klammer nicht korrekt auf beide Glieder in der Klammer angewendet. Er hat \(-3 \cdot (-5)\) fälschlicherweise als \(-15\) statt \(+15\) berechnet.

a) Für \(x = 10\) ergibt der erste Term \(-15\) und der zweite Term \(-45\). Damit ist die Behauptung falsch. b) Tim hat das Vorzeichen beim Ausmultiplizieren missachtet: \(-3 \cdot (-5)\) müsste \(+15\) ergeben, er hat aber \(-15\) geschrieben.

- Kannst du die Klammern zuerst auflösen? - Achte beim Zusammenfassen darauf, welche Teile ein \(x\) haben und welche nicht. - Was bedeutet es für zwei Terme, äquivalent zu sein?

1. Vereinfachung des ersten Terms: \(3 \cdot (4x - 5) + 8 = 12x - 15 + 8 = 12x - 7\). 2. Vereinfachung des zweiten Terms: \(2x + 5 \cdot (2x - 1) - 2 = 2x + 10x - 5 - 2 = 12x - 7\). 3. Da beide Terme nach dem Vereinfachen dieselbe Form \(12x - 7\) haben, sind sie äquivalent.

Ja, die Terme sind äquivalent, da beide zu \(12x - 7\) vereinfacht werden können.

- Beachte die Reihenfolge: zuerst Klammern, dann Punktrechnung, zuletzt Strichrechnung. - Fasse nur gleichartige Glieder zusammen. - Kontrolliere Vorzeichen besonders sorgfältig.

1. Teilaufgabe a): Auflösen der Minusklammer durch Umkehren der Vorzeichen im Inneren ergibt \(9a - 4a + 7b - 2b\). Zusammenfassen der Glieder mit \(a\) und der Glieder mit \(b\) führt zu \(5a + 5b\). 2. Teilaufgabe b): Ausmultiplizieren der Klammer ergibt \(12x - 4xy\). Der gesamte Ausdruck lautet dann \(12x - 4xy + 4xy - 10x\). Die Glieder \(-4xy\) und \(+4xy\) heben sich auf. Zusammenfassen von \(12x - 10x\) ergibt \(2x\).

a) \(5a + 5b\) b) \(2x\)

- Achte besonders auf das Minuszeichen vor einer Klammer. Was passiert mit den Vorzeichen im Inneren? - Überlege dir, welche Glieder „gleichartig“ sind. Darf man \(x\) und \(x^2\) zusammenzählen? - Löse zuerst die Klammern auf und beachte anschließend die Punkt-vor-Strich-Rechnung. - Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn du eine negative Zahl mit einer negativen Zahl in der Klammer multiplizierst?

1. Auflösen der Minusklammer in Teilaufgabe a) durch Umkehren aller Vorzeichen in der Klammer: \(15x - 4y + 10 - 6x - 2y + 3\). Zusammenfassen der \(x\)-Glieder (\(15-6=9\)), der \(y\)-Glieder (\(-4-2=-6\)) und der Konstanten (\(10+3=13\)) ergibt \(9x - 6y + 13\). 2. In Teilaufgabe b) die Klammer auflösen: \(4{,}2a^2 - 2a + 1{,}8a^2 + 5a\). Zusammenfassen der quadratischen Glieder (\(4{,}2+1{,}8=6\)) und der linearen Glieder (\(-2+5=3\)) ergibt \(6a^2 + 3a\). 3. In Teilaufgabe c) das Distributivgesetz anwenden: \(12 - 3x + 12 + 10 - 4x\). Zusammenfassen der Konstanten (\(12+12+10=34\)) und der \(x\)-Glieder (\(-3-4=-7\)) ergibt \(34 - 7x\).

a) \(9x - 6y + 13\) b) \(6a^2 + 3a\) c) \(34 - 7x\)

- Setze in a) denselben Wert in beide Terme ein. - Ein einziges unterschiedliches Wertepaar reicht aus, um Nicht-Äquivalenz zu zeigen. - Prüfe zusätzlich mit dem Distributivgesetz, wie \(3(x+2)\) korrekt ausmultipliziert wird.

1. Für \(x=4\) hat \(T_1\) den Wert \(3(4+2)=18\). 2. Für denselben Wert hat \(T_2\) den Wert \(3\cdot4+2=14\). 3. Schon diese unterschiedlichen Werte zeigen, dass die Terme nicht äquivalent sind. 4. Außerdem ergibt das Distributivgesetz \(3(x+2)=3x+6\), nicht \(3x+2\).

a) \(T_1\) hat den Wert \(18\), \(T_2\) den Wert \(14\). b) Die Terme sind nicht äquivalent; nach dem Distributivgesetz gilt \(3(x+2)=3x+6\).

- Fasse bei einer Saftflasche Preis und Pfand zunächst in einer Klammer zusammen. - Welche beiden Summanden in der Klammer werden jeweils mit \(10\) multipliziert? - Setze die Zahlen erst ein, nachdem du den Term symbolisch ausmultipliziert hast.

1. Eine Saftflasche kostet mit Pfand \(s+x\). Für den Einkauf ergibt sich \(12p+10(s+x)\). 2. Mit dem Distributivgesetz wird \(10(s+x)=10s+10x\). Damit lautet der ausmultiplizierte Term \(12p+10s+10x\). 3. Einsetzen ergibt \(12\cdot1{,}30+10\cdot1{,}15+10\cdot0{,}25\). 4. Das sind \(15{,}60+11{,}50+2{,}50=29{,}60\,\text{€}\).

a) \(12p+10(s+x)\) b) \(12p+10s+10x\) c) \(29{,}60\,\text{€}\)

- Der Umfang des Quadrats ist das Vierfache seiner Seitenlänge. - Multipliziere bei diesem Term den Faktor vor der Klammer mit beiden Summanden. - Addiere beim Dreieck die drei Seitenterme und vergleiche anschließend die vereinfachten Ergebnisse.

1. Für das Quadrat gilt \(U_Q=4(1{,}5x+2y)\). 2. Ausmultiplizieren ergibt \(U_Q=6x+8y\). 3. Für das Dreieck gilt \(U_D=(2x+3y)+(3x+4y)+(x+y)\). 4. Zusammenfassen ergibt \(U_D=6x+8y\). 5. Beide Umfänge werden durch denselben Term beschrieben. Die Behauptung ist richtig.

Die Behauptung ist richtig; beide Umfangsterme vereinfachen sich zu \(6x+8y\).

- Verteile den äußeren Faktor auf jedes Glied der Klammer. - Beachte besonders die Vorzeichen bei einem negativen Faktor. - Bei Bruch- oder Dezimalfaktoren kannst du jedes Produkt einzeln berechnen.

1. \(-3(4k-7)=-12k+21\). 2. \(1{,}2(5p+10q)=6p+12q\). 3. \((2r-5s+6)(-4)=-8r+20s-24\). 4. \(\frac{3}{4}(8x-12)=6x-9\).

1) \(-12k+21\) 2) \(6p+12q\) 3) \(-8r+20s-24\) 4) \(6x-9\)

- Erinnere dich an das Distributivgesetz: Ein Faktor vor der Klammer wird mit jedem Summanden in der Klammer multipliziert. - Achte besonders auf die Vorzeichen, wenn du eine negative Zahl oder Variable multiplizierst. - Denk daran, dass \(x \cdot x\) als \(x^2\) geschrieben wird. - Wie multipliziert man eine Dezimalzahl mit \(10\)?

1. Anwendung des Distributivgesetzes auf den ersten Term: \(7x \cdot 2x + 7x \cdot (-3y) = 14x^2 - 21xy\). 2. Anwendung des Distributivgesetzes auf den zweiten Term unter Beachtung der Vorzeichen: \(-3a \cdot 4b + (-3a) \cdot 2a = -12ab - 6a^2\). 3. Multiplikation der Dezimalzahl mit den Gliedern in der Klammer: \(0{,}4z \cdot 10z + 0{,}4z \cdot (-5) = 4z^2 - 2z\).

1) \(14x^2 - 21xy\) 2) \(-12ab - 6a^2\) 3) \(4z^2 - 2z\)

- Was besagt das Distributivgesetz für die Multiplikation einer Zahl mit einer Klammer? - Achte besonders auf das Vorzeichen, wenn du eine negative Zahl mit den Werten in der Klammer multiplizierst. - Denk daran, dass Variablen wie Platzhalter für Zahlen funktionieren – du multiplizierst die Koeffizienten und die Variablenfaktoren jeweils miteinander.

1. Multiplikation der Faktoren im ersten Term: \(9 \cdot 3x = 27x\) und \(9 \cdot (-5y) = -45y\). Ergebnis: \(27x - 45y\). 2. Multiplikation der Faktoren im zweiten Term unter Beachtung der Vorzeichen: \(-4 \cdot 2a = -8a\), \(-4 \cdot 6b = -24b\) und \(-4 \cdot (-3) = 12\). Ergebnis: \(-8a - 24b + 12\). 3. Multiplikation der Variablen und Koeffizienten im dritten Term: \(2m \cdot 4n = 8mn\) und \(2m \cdot (-7p) = -14mp\). Ergebnis: \(8mn - 14mp\).

1) \(27x - 45y\) 2) \(-8a - 24b + 12\) 3) \(8mn - 14mp\)

- Achte besonders auf die Vorzeichen beim Multiplizieren, vor allem wenn ein Minuszeichen vor dem Faktor steht. - Wie verändern sich die Exponenten der Variablen, wenn du sie miteinander multiplizierst? - Multipliziere den Faktor außerhalb der Klammer mit jedem einzelnen Summanden innerhalb der Klammer.

1. Multiplikation jedes Gliedes in der Klammer mit \(5a\) für Teilaufgabe a: \(5a \cdot 2a^2 = 10a^3\), \(5a \cdot (-3a) = -15a^2\) und \(5a \cdot 4 = 20a\). Resultat: \(10a^3 - 15a^2 + 20a\). 2. Multiplikation jedes Gliedes in der Klammer mit \(-2x^2\) für Teilaufgabe b: \(-2x^2 \cdot 3x = -6x^3\) und \(-2x^2 \cdot (-5) = 10x^2\). Resultat: \(-6x^3 + 10x^2\). 3. Multiplikation jedes Gliedes in der Klammer mit \(-3y\) für Teilaufgabe c: \(4y^2 \cdot (-3y) = -12y^3\), \(-y \cdot (-3y) = 3y^2\) und \(-6 \cdot (-3y) = 18y\). Resultat: \(-12y^3 + 3y^2 + 18y\).

a) \(10a^3 - 15a^2 + 20a\) b) \(-6x^3 + 10x^2\) c) \(-12y^3 + 3y^2 + 18y\)

- Erinnere dich an das Distributivgesetz: Jeder Teil innerhalb der Klammer muss mit dem Faktor davor multipliziert werden. - Achte besonders auf die Vorzeichen, wenn du mit negativen Zahlen multiplizierst. - Was passiert mit den Hochzahlen (Exponenten), wenn du gleiche Variablen miteinander multiplizierst? - Schreibe dir die Zwischenschritte einzeln auf, um Rechenfehler zu vermeiden.

1. Multiplikation der einzelnen Glieder in Aufgabenteil 1: \(5x \cdot 3x^2 = 15x^3\), \(5x \cdot (-2xy) = -10x^2y\) und \(5x \cdot 4y^2 = 20xy^2\). Zusammengefasst ergibt dies \(15x^3 - 10x^2y + 20xy^2\). 2. Multiplikation der Glieder in Aufgabenteil 2 unter Beachtung der Vorzeichen: \(-4ab \cdot 2a = -8a^2b\), \(-4ab \cdot (-5b) = 20ab^2\) und \(-4ab \cdot (-1) = 4ab\). Der Term lautet \(-8a^2b + 20ab^2 + 4ab\). 3. Multiplikation der Glieder in Aufgabenteil 3 mit dem Bruch: \(\frac{1}{2}m \cdot 4m^2 = 2m^3\), \(\frac{1}{2}m \cdot 8mn = 4m^2n\) und \(\frac{1}{2}m \cdot (-6n^2) = -3mn^2\). Das Ergebnis ist \(2m^3 + 4m^2n - 3mn^2\).

1) \(15x^3 - 10x^2y + 20xy^2\) 2) \(-8a^2b + 20ab^2 + 4ab\) 3) \(2m^3 + 4m^2n - 3mn^2\)

- Der äußere Faktor wird mit jedem Glied der Klammer multipliziert. - Bei negativen Faktoren entscheidet die Vorzeichenregel über jedes einzelne Produkt. - Kontrolliere besonders den konstanten Term in jeder Klammer.

1. \(6(3a-4b+7)=18a-24b+42\). 2. \((x^2-2x-5)(-3)=-3x^2+6x+15\). 3. \(0{,}4(10m-5n+15)=4m-2n+6\). 4. \((9r+6s-3)\left(-\frac{2}{3}\right)=-6r-4s+2\).

1) \(18a-24b+42\) 2) \(-3x^2+6x+15\) 3) \(4m-2n+6\) 4) \(-6r-4s+2\)

- Prüfe bei jedem Glied, ob der äußere Faktor wirklich angewendet wurde. - Achte besonders auf Produkte mit einem negativen Faktor. - Ein einzelnes Minus vor einer Klammer wirkt wie der Faktor \(-1\).

1. Der Faktor \(5\) muss auch mit \(-4\) multipliziert werden. Richtig ist \(5x-20\). 2. \(-2\cdot3=-6\). Richtig ist \(-2a-6\). 3. Das Minus vor der Klammer kehrt alle Vorzeichen um. Richtig ist \(-3m+n-2\).

1) \(5x-20\) 2) \(-2a-6\) 3) \(-3m+n-2\)

- Erinnere dich an das Distributivgesetz: Jeder Teil innerhalb der Klammer muss mit dem Faktor außerhalb der Klammer multipliziert werden. - Achte besonders auf die Vorzeichen, wenn du eine negative Zahl multiplizierst. - Denk an die Rechenregeln für Potenzen: Bei gleicher Basis werden die Exponenten addiert.

1. Anwendung des Distributivgesetzes durch Multiplikation jedes Summanden in der Klammer mit \(5x\): \(5x \cdot 3x^2 = 15x^3\), \(5x \cdot (-4x) = -20x^2\) und \(5x \cdot 2 = 10x\). 2. Zusammenfügen der Ergebnisse zum Term \(15x^3 - 20x^2 + 10x\). 3. Anwendung des Distributivgesetzes für den zweiten Aufgabenteil: \(-2ab \cdot 4a^2 = -8a^3b\), \(-2ab \cdot (-3ab) = 6a^2b^2\) und \(-2ab \cdot b^2 = -2ab^3\). 4. Zusammenfügen zum Term \(-8a^3b + 6a^2b^2 - 2ab^3\).

1) \(15x^3 - 20x^2 + 10x\) 2) \(-8a^3b + 6a^2b^2 - 2ab^3\)

- Rechne die Aufgabe zuerst selbstständig bis zum Ende durch, bevor du die Ergebnisse vergleichst. - Wurde wirklich jeder Summand in der Klammer mit dem Faktor davor multipliziert? - Was passiert mathematisch, wenn man eine Zahl mit \(1\) multipliziert?

1. Durchführung der Multiplikation mit dem Distributivgesetz: \(-3x^2 \cdot 2x = -6x^3\), \(-3x^2 \cdot (-4y) = 12x^2y\) und \(-3x^2 \cdot 1 = -3x^2\). 2. Das korrekte Gesamtergebnis lautet \(-6x^3 + 12x^2y - 3x^2\). 3. Vergleich der Ergebnisse: Sarah hat das richtige Ergebnis berechnet. 4. Fehleranalyse: Lukas hat den Faktor \(-3x^2\) nicht mit dem letzten Glied der Klammer (\(1\)) multipliziert, sondern lediglich die \(+1\) in eine \(-1\) geändert.

Sarah hat recht. Lukas hat den Fehler gemacht, das letzte Glied der Klammer (\(+1\)) nicht mit dem Faktor \(-3x^2\) zu multiplizieren.

- Löse zuerst jede Klammer vollständig auf. - Achte beim zweiten Term auf das Minus vor dem Faktor \(2\). - Fasse erst danach gleichartige Glieder zusammen.

1. Ausmultiplizieren ergibt \(5x+10y+6x-3y\). Zusammenfassen ergibt \(11x+7y\). 2. Ausmultiplizieren ergibt \(8a-16b-6a+10b\). Zusammenfassen ergibt \(2a-6b\).

1) \(11x+7y\) 2) \(2a-6b\)

- Verteile jeden Faktor auf alle Glieder seiner Klammer. - Beachte das Minus vor dem zweiten Produkt. - Fasse anschließend nur gleichartige Glieder zusammen.

1. Ausmultiplizieren ergibt \(9k-18m-6k+15m\). Zusammenfassen ergibt \(3k-3m\). 2. Ausmultiplizieren ergibt \(12u-6v+15-10u-2v+6\). Zusammenfassen ergibt \(2u-8v+21\).

1) \(3k-3m\) 2) \(2u-8v+21\)

- Was musst du beim Auflösen einer Klammer beachten, vor der ein Faktor mit einem Minuszeichen steht? - Sortiere die Terme nach ihren Variablen, bevor du sie addierst oder subtrahierst. - Denk daran, dass eine Variable ohne sichtbare Zahl davor den Koeffizienten 1 hat. - Achte besonders auf das Ergebnis von „Minus mal Minus“.

1. Auflösen der Klammern unter Beachtung der Vorzeichen und Faktoren: \(12u - 8v - 5u + 10v + 2v - 6u\) 2. Sortieren und Zusammenfassen der Terme mit \(u\): \(12u - 5u - 6u = u\) 3. Sortieren und Zusammenfassen der Terme mit \(v\): \(-8v + 10v + 2v = 4v\) 4. Endergebnis: \(u + 4v\)

\(u + 4v\)

- Wann genau sind zwei Terme in der Mathematik „äquivalent“? - Konzentriere dich zuerst darauf, den komplizierteren Term \(T_1\) schrittweise zu vereinfachen. - Welche Rechenregel hilft dir dabei, Klammern wie \(3 \cdot (2a + b)\) aufzulösen? - Achte beim zweiten Teil des Terms \(T_1\) genau auf das Minuszeichen vor der 4.

1. Term \(T_1\) durch Ausmultiplizieren der Klammern umformen: \(3 \cdot 2a + 3 \cdot b - 4 \cdot a - 4 \cdot (-b) = 6a + 3b - 4a + 4b\) 2. Zusammenfassen der gleichartigen Glieder in \(T_1\): \((6 - 4)a + (3 + 4)b = 2a + 7b\) 3. Vergleich der Ergebnisse: Der vereinfachte Term \(2a + 7b\) ist identisch mit \(T_2\). 4. Schlussfolgerung: Die Terme \(T_1\) und \(T_2\) sind äquivalent.

Ja, die Terme sind äquivalent, da die Vereinfachung von \(T_1\) ebenfalls \(2a + 7b\) ergibt.

- Kannst du den Term in kleinere Teile zerlegen und mit einem Teil beginnen? - Achte besonders auf die Vorzeichen, wenn du eine Klammer auflöst, vor der ein Minus steht. - Welche Teile des Terms enthalten dieselben Variablenkombinationen? - Überprüfe am Ende, ob du alle Produkte vollständig berechnet hast.

1. Ausmultiplizieren des ersten Produkts: \(5x \cdot x - 5x \cdot 2y = 5x^2 - 10xy\) 2. Ausmultiplizieren des zweiten Produkts unter Beachtung des Minuszeichens: \(-3y \cdot 4x - 3y \cdot (-y) = -12xy + 3y^2\) 3. Zusammenfügen aller Termglieder: \(5x^2 - 10xy - 12xy + 3y^2 + 22xy\) 4. Zusammenfassen der gleichartigen Glieder mit \(xy\): \((-10 - 12 + 22)xy = 0\) 5. Endergebnis: \(5x^2 + 3y^2\)

\(5x^2 + 3y^2\)

- Erinnere dich an das Distributivgesetz: Ein Faktor vor der Klammer wird mit jedem Summanden in der Klammer multipliziert. - Achte besonders auf die Vorzeichenregeln, wenn du eine negative Zahl multiplizierst. - Was passiert mit den Hochzahlen (Exponenten), wenn du eine Variable mit sich selbst multiplizierst? - Kannst du die Rechnung in drei kleine Einzelrechnungen aufteilen?

1. Anwendung des Distributivgesetzes durch Multiplikation des Monoms mit jedem Glied der Klammer: \( (-1{,}5a \cdot 4a^2) + (-1{,}5a \cdot (-2a)) + (-1{,}5a \cdot 0{,}8) \). 2. Berechnung des ersten Teilprodukts unter Beachtung der Vorzeichen und Exponenten: \( -1{,}5 \cdot 4 = -6 \) und \( a \cdot a^2 = a^3 \), ergibt \( -6a^3 \). 3. Berechnung des zweiten Teilprodukts: \( -1{,}5 \cdot (-2) = 3 \) und \( a \cdot a = a^2 \), ergibt \( 3a^2 \). 4. Berechnung des dritten Teilprodukts: \( -1{,}5 \cdot 0{,}8 = -1{,}2 \), ergibt \( -1{,}2a \). 5. Zusammenführen der Ergebnisse zum Endterm: \( -6a^3 + 3a^2 - 1{,}2a \).

\( -6a^3 + 3a^2 - 1{,}2a \)

- Jeder Teil in der Klammer muss mit dem Term außerhalb der Klammer multipliziert werden. - Multipliziere zuerst die Zahlen (Koeffizienten) und kümmere dich danach um jede Variable einzeln. - Wie verändert sich der Exponent von \( x \), wenn du \( x^2 \) mit \( x \) multiplizierst? - Überlege dir, ob es einfacher ist, Brüche in Dezimalzahlen umzuwandeln oder umgekehrt, bevor du rechnest.

1. Multiplikation des ersten Glieds der Klammer mit dem Faktor außerhalb: \( \frac{2}{5}x^2y \cdot 5xy = 2x^3y^2 \). 2. Multiplikation des zweiten Glieds der Klammer mit dem Faktor außerhalb: \( -10xy^2 \cdot 5xy = -50x^2y^3 \). 3. Multiplikation des dritten Glieds der Klammer mit dem Faktor außerhalb: \( \frac{1}{2}y \cdot 5xy = 2{,}5xy^2 \). 4. Aufstellen des vollständigen Terms: \( 2x^3y^2 - 50x^2y^3 + 2{,}5xy^2 \).

\( 2x^3y^2 - 50x^2y^3 + 2{,}5xy^2 \)

- Was musst du beim Auflösen einer Klammer beachten, wenn ein Minuszeichen oder ein negativer Faktor davorsteht? - Welche Teile des Terms darfst du zusammenfassen? - Es hilft oft, die Terme zuerst nach Variablen zu sortieren.

1. Auflösen der Klammern durch Multiplikation mit den Faktoren vor den Klammern: \( 6x - 12y - 4x + 10y - 3x - 3y \). 2. Zusammenfassen der Glieder mit \( x \): \( (6 - 4 - 3)x = -x \). 3. Zusammenfassen der Glieder mit \( y \): \( (-12 + 10 - 3)y = -5y \). 4. Endergebnis: \( -x - 5y \).

\( -x - 5y \)

- Achte beim Auflösen der Klammern besonders auf das Vorzeichen vor der Zahl, die mit der Klammer multipliziert wird. - Kannst du die Terme nach ihren Variablen sortieren, bevor du sie zusammenrechnest? - Denk daran, dass nur Terme mit genau den gleichen Variablenpotenzen (wie zum Beispiel \(x^2\)) zusammengefasst werden dürfen.

1. Ausmultiplizieren der ersten Klammer: \(4x \cdot 3x - 4x \cdot 2y = 12x^2 - 8xy\) 2. Ausmultiplizieren der zweiten Klammer (unter Beachtung des Vorzeichens): \(-2x \cdot y - 2x \cdot 5x = -2xy - 10x^2\) 3. Den gesamten Term aufschreiben: \(12x^2 - 8xy - 2xy - 10x^2 + 7xy\) 4. Sortieren und Zusammenfassen der Terme mit \(x^2\): \(12x^2 - 10x^2 = 2x^2\) 5. Sortieren und Zusammenfassen der Terme mit \(xy\): \(-8xy - 2xy + 7xy = -3xy\) 6. Endergebnis: \(2x^2 - 3xy\)

\(2x^2 - 3xy\)

- Erinnere dich an die Regel: Jeder Summand der ersten Klammer muss mit jedem Summanden der zweiten Klammer multipliziert werden. - Achte besonders auf die Vorzeichen, wenn du eine negative Zahl oder Variable multiplizierst. - Kannst du nach dem Ausmultiplizieren Glieder mit der gleichen Variable und dem gleichen Exponenten finden und zusammenfassen?

1. Anwendung des Distributivgesetzes auf \((x + 7) \cdot (x - 2)\): \(x \cdot x + x \cdot (-2) + 7 \cdot x + 7 \cdot (-2) = x^2 - 2x + 7x - 14\). Zusammenfassen der linearen Glieder ergibt \(x^2 + 5x - 14\). 2. Ausmultiplizieren von \((3a - 4) \cdot (2a + 5)\): \(3a \cdot 2a + 3a \cdot 5 - 4 \cdot 2a - 4 \cdot 5 = 6a^2 + 15a - 8a - 20\). Zusammenfassen ergibt \(6a^2 + 7a - 20\). 3. Ausmultiplizieren von \((5 - 2b) \cdot (b + 3)\): \(5 \cdot b + 5 \cdot 3 - 2b \cdot b - 2b \cdot 3 = 5b + 15 - 2b^2 - 6b\). Zusammenfassen und Sortieren nach Potenzen ergibt \(-2b^2 - b + 15\).

1) \(x^2 + 5x - 14\) 2) \(6a^2 + 7a - 20\) 3) \(-2b^2 - b + 15\)

- Stelle sicher, dass du jedes Element der ersten Klammer mit jedem Element der zweiten Klammer multiplizierst. - Achte besonders auf die Vorzeichen, wenn du eine negative Zahl multiplizierst. - Kannst du nach dem Ausmultiplizieren noch Summanden finden, die die gleiche Variable enthalten?

1. Anwendung des Distributivgesetzes (jeder Summand der ersten Klammer wird mit jedem Summanden der zweiten Klammer multipliziert): \(x \cdot x + x \cdot (-2) + 8 \cdot x + 8 \cdot (-2)\). Zusammenfassen der Terme mit \(x\): \(x^2 - 2x + 8x - 16 = x^2 + 6x - 16\). 2. Multiplikation der Glieder: \(a \cdot b + a \cdot 5 + (-4) \cdot b + (-4) \cdot 5\). Ergebnis: \(ab + 5a - 4b - 20\). 3. Multiplikation der Glieder: \(y \cdot y + y \cdot (-6) + (-3) \cdot y + (-3) \cdot (-6)\). Zusammenfassen der Terme mit \(y\): \(y^2 - 6y - 3y + 18 = y^2 - 9y + 18\).

1) \(x^2 + 6x - 16\) 2) \(ab + 5a - 4b - 20\) 3) \(y^2 - 9y + 18\)

- Was passiert, wenn eine Variable mit sich selbst multipliziert wird? - Achte darauf, Terme wie \(ab\) und \(ba\) als gleichartig zu erkennen. - Beim Ordnen nach Potenzen beginnst du mit dem höchsten Exponenten, zum Beispiel \(x^2\) vor \(x\). - Überprüfe am Ende noch einmal alle Rechenzeichen.

1. Ausmultiplizieren: \(2x \cdot x + 2x \cdot (-4) + 1 \cdot x + 1 \cdot (-4) = 2x^2 - 8x + x - 4\). Zusammenfassen: \(2x^2 - 7x - 4\). 2. Ausmultiplizieren: \(3a \cdot 2a + 3a \cdot b + (-b) \cdot 2a + (-b) \cdot b = 6a^2 + 3ab - 2ab - b^2\). Zusammenfassen der \(ab\)-Terme: \(6a^2 + ab - b^2\). 3. Ausmultiplizieren: \(5 \cdot k + 5 \cdot 2 + (-k) \cdot k + (-k) \cdot 2 = 5k + 10 - k^2 - 2k\). Zusammenfassen und Ordnen: \(-k^2 + 3k + 10\).

1) \(2x^2 - 7x - 4\) 2) \(6a^2 + ab - b^2\) 3) \(-k^2 + 3k + 10\)

- Achte darauf, jedes Glied der ersten Klammer mit jedem Glied der zweiten Klammer zu multiplizieren. - Beachte die Vorzeichenregeln, besonders wenn ein Minuszeichen vor einer Zahl oder Variable steht. - Überprüfe am Ende, ob du Terme mit den exakt gleichen Variablen und Potenzen noch addieren oder subtrahieren kannst.

1. Ausmultiplizieren: \(4x \cdot 2x + 4x \cdot (-5) + 3 \cdot 2x + 3 \cdot (-5) = 8x^2 - 20x + 6x - 15\). Zusammenfassen: \(8x^2 - 14x - 15\). 2. Ausmultiplizieren: \(a \cdot 2a + a \cdot b - 6b \cdot 2a - 6b \cdot b = 2a^2 + ab - 12ab - 6b^2\). Zusammenfassen: \(2a^2 - 11ab - 6b^2\). 3. Ausmultiplizieren: \(y^2 \cdot y^2 + y^2 \cdot (-4) + 3 \cdot y^2 + 3 \cdot (-4) = y^4 - 4y^2 + 3y^2 - 12\). Zusammenfassen: \(y^4 - y^2 - 12\).

1) \(8x^2 - 14x - 15\) 2) \(2a^2 - 11ab - 6b^2\) 3) \(y^4 - y^2 - 12\)

- Achte genau darauf, welche Teile des Terms in einer Klammer stehen. - Erinnere dich an die Regel „Punkt- vor Strichrechnung“. - Was passiert mit den Vorzeichen in einer Klammer, wenn ein Minuszeichen davor steht? - Überlege, auf welche Glieder sich ein Faktor direkt vor einer Klammer bezieht.

1. Anwendung des Distributivgesetzes auf den ersten Teil: \(5 \cdot 2x - 5 \cdot 4 = 10x - 20\). Anschließend Addition von \(3x\): \(10x - 20 + 3x = 13x - 20\). 2. Zuerst Punktrechnung: \(5 \cdot 2x = 10x\). Dann Auflösen der Minusklammer durch Vorzeichenumkehr: \(10x - 4 - 3x\). Zusammenfassen der \(x\)-Glieder: \(7x - 4\). 3. Zuerst Punktrechnung innerhalb der Klammer: \(10x - 4\). Da vor der Klammer kein Faktor steht und danach eine Addition folgt, können die Klammern weggelassen werden: \(10x - 4 + 3x\). Zusammenfassen ergibt \(13x - 4\).

1) \(13x - 20\) 2) \(7x - 4\) 3) \(13x - 4\)

- Denke daran, beim Einsetzen der Ausdrücke Klammern zu setzen. - Achte besonders auf das Minuszeichen vor einer Klammer und wie es die Vorzeichen im Inneren verändert. - Fasse am Ende alle Glieder mit der Variablen \(a\) und alle Zahlen ohne Variable zusammen.

1. Einsetzen der Ausdrücke für \(x\) und \(y\): \(5 \cdot (2a + 3) + 2 \cdot (a - 5)\). Ausmultiplizieren und Zusammenfassen: \(10a + 15 + 2a - 10 = 12a + 5\). 2. Einsetzen der Ausdrücke: \(3 \cdot (2a + 3) - 4 \cdot (a - 5)\). Auflösen der Klammern unter Beachtung des Minuszeichens: \(6a + 9 - 4a + 20 = 2a + 29\). 3. Berechnen der Differenz in der Klammer: \(x - y = (2a + 3) - (a - 5) = 2a + 3 - a + 5 = a + 8\). Multiplikation mit \(2\): \(2 \cdot (a + 8) = 2a + 16\).

1) \(12a + 5\) 2) \(2a + 29\) 3) \(2a + 16\)

- Wie kannst du zwei aufeinanderfolgende Zahlen allgemein mit einer Variablen (zum Beispiel \(n\)) ausdrücken? - Erinnere dich an die mathematischen Fachbegriffe für Rechenoperationen wie „Produkt“ und „subtrahieren“. - Stelle zuerst einen Term für die gesamte Beschreibung auf, bevor du anfängst zu rechnen. - Kannst du den entstandenen Term durch Ausmultiplizieren vereinfachen?

1. Definition der Variablen: Sei \(n\) die kleinere der beiden aufeinanderfolgenden Zahlen. Die größere Zahl ist dann \(n + 1\). 2. Aufstellen des Terms laut Aufgabenstellung: Das Produkt der Zahlen ist \(n \cdot (n + 1)\). Davon wird die kleinere Zahl \(n\) subtrahiert: \(n \cdot (n + 1) - n\). 3. Ausmultiplizieren der Klammer: \(n^2 + n - n\). 4. Zusammenfassen des Terms: Die Terme \(+n\) und \(-n\) heben sich auf, es bleibt \(n^2\). 5. Interpretation: Das Ergebnis \(n^2\) ist das Quadrat der kleineren Zahl \(n\), womit die Aussage bewiesen ist.

Bezeichnet man die kleinere Zahl mit \(n\), so lautet der Term \(n \cdot (n+1) - n\). Durch Ausmultiplizieren und Zusammenfassen erhält man \(n^2 + n - n = n^2\). Das Ergebnis ist also immer das Quadrat der kleineren Zahl.

- Achte besonders auf das Rechenzeichen vor der Klammer. - Was passiert mit den Vorzeichen in der Klammer, wenn ein Minus davor steht? - Denke an die Regel „Punkt vor Strich“. - Du kannst nur Terme mit derselben Variable oder Zahlen ohne Variable miteinander verrechnen.

1. Division des ersten Klammerausdrucks durch 6 ergibt \( 3x - 2 \). 2. Multiplikation der zweiten Klammer mit 4 ergibt \( 4x - 8 \). 3. Addition der Teilergebnisse: \( 3x - 2 + 4x - 8 = 7x - 10 \). 4. Multiplikation der ersten Klammer im zweiten Aufgabenteil mit 5 ergibt \( 10y + 15 \). 5. Division der zweiten Klammer durch 6 ergibt \( 2y - 3 \). 6. Subtraktion unter Beachtung des Vorzeichens: \( 10y + 15 - (2y - 3) = 10y + 15 - 2y + 3 = 8y + 18 \).

1) \( 7x - 10 \) 2) \( 8y + 18 \)

- Denk an die Regel „Punkt-vor-Strich“. - Was passiert mit den Vorzeichen innerhalb einer Klammer, wenn ein Minuszeichen davorsteht? - Du kannst die Division einzeln auf jeden Summanden in der Klammer anwenden. - Achte darauf, nur Glieder mit den gleichen Variablen und Potenzen zusammenzufassen.

1. Ausmultiplizieren des ersten Produkts: \( 3x \cdot x - 3x \cdot 4 = 3x^2 - 12x \). 2. Division der Summe in der Klammer durch den Divisor \( 3 \): \( (6x^2 : 3) + (9x : 3) = 2x^2 + 3x \). 3. Subtraktion der Teilergebnisse unter Beachtung der Klammerregeln: \( (3x^2 - 12x) - (2x^2 + 3x) = 3x^2 - 12x - 2x^2 - 3x \). 4. Zusammenfassen der gleichartigen Glieder: \( x^2 - 15x \).

\( x^2 - 15x \)

- Kannst du den Term in kleinere Teile zerlegen und diese nacheinander vereinfachen? - Was passiert mit den Vorzeichen in einer Klammer, wenn ein Minuszeichen davor steht? - Wie gehst du vor, wenn eine ganze Klammer durch eine Zahl dividiert wird? - Achte darauf, nur Terme mit den gleichen Variablen zusammenzufassen.

1. Ausmultiplizieren der ersten Klammer: \( 4 \cdot (x + 2y) = 4x + 8y \) 2. Division des zweiten Klammerausdrucks durch 3: \( (12x - 6y) : 3 = 4x - 2y \) 3. Auflösen der Minusklammer am Ende: \( -(5x + y) = -5x - y \) 4. Zusammenführen aller Teilterme: \( 4x + 8y + 4x - 2y - 5x - y \) 5. Zusammenfassen der Terme mit \( x \): \( 4x + 4x - 5x = 3x \) 6. Zusammenfassen der Terme mit \( y \): \( 8y - 2y - y = 5y \) 7. Endergebnis: \( 3x + 5y \)

\( 3x + 5y \)

- Lies die beiden Teilbreiten und die gemeinsame Höhe direkt aus der Zeichnung ab. - Für die Gesamtbreite werden die beiden horizontalen Teilstrecken addiert. - Vergleiche die ganze Fläche mit der Summe der beiden Teilflächen.

1. Die gesamte Breite besteht aus \(a\) und \(b\), also \(a+b\). Mit der Höhe \(c\) ist der Gesamtflächeninhalt \(c(a+b)\). 2. Die beiden Teilrechtecke haben die Flächeninhalte \(ac\) und \(bc\). Ihre Summe ist \(ac+bc\). 3. Beide Terme beschreiben dieselbe Gesamtfläche des Rechtecks. Deshalb sind \(c(a+b)\) und \(ac+bc\) äquivalent.

a) \(c(a+b)\) b) \(ac+bc\) c) Beide Terme beschreiben dieselbe Rechtecksfläche; daher gilt \(c(a+b)=ac+bc\).

- Multipliziere zuerst beide äußeren Faktoren vollständig in ihre Klammern. - Trenne danach die \(x\)-Glieder von den Konstanten. - Ein Zahlenbeispiel kann deine symbolische Korrektur prüfen, ersetzt sie aber nicht.

1. Ausmultiplizieren ergibt \(3x+6+2x-2\). 2. Die variablen Glieder ergeben \(5x\), die Konstanten \(6-2=4\). Der richtige Term ist \(5x+4\). 3. Für \(x=4\) ist der ursprüngliche Term \(3\cdot6+2\cdot3=24\). 4. Der vereinfachte Term ergibt \(5\cdot4+4=24\). Die Werte stimmen überein.

a) \(5x+4\); Emir hat die Konstanten falsch zusammengefasst. b) Beide Terme haben für \(x=4\) den Wert \(24\).

- Setze in a) den angegebenen Wert überall für \(x\) ein und beachte die Klammer. - Nutze in b) das Distributivgesetz und fasse anschließend die \(x\)-Glieder zusammen. - Vergleiche in c) die beiden Formen \(x+12\) und \((x+5)+12\).

1. Für \(x=5\) ergibt sich \(3(5+4)-2\cdot5=27-10=17\). 2. Für \(x=10\) ergibt sich \(3(10+4)-2\cdot10=42-20=22\). 3. Ausmultiplizieren und Zusammenfassen ergibt \(3(x+4)-2x=3x+12-2x=x+12\). 4. Wird \(x\) um \(5\) erhöht, lautet der vereinfachte Term \((x+5)+12=x+17\). Gegenüber \(x+12\) ist das genau eine Erhöhung um \(5\).

a) Für \(x=5\): \(17\); für \(x=10\): \(22\). b) \(x+12\) c) Im vereinfachten Term \(x+12\) geht eine Erhöhung von \(x\) um \(5\) unverändert in den Termwert ein; daher steigt dieser ebenfalls um \(5\).

- Achte beim Ausmultiplizieren besonders auf die Vorzeichen. - Denk daran, dass du nur Glieder mit dem gleichen Variablentyp (z. B. alle mit \(x\)) und alle reinen Zahlen miteinander verrechnen kannst. - Was bedeutet es für die Richtigkeit deiner Vereinfachung, wenn bei der Probe zwei verschiedene Zahlen herauskommen?

1. Ausmultiplizieren: \(4 \cdot 2x - 4 \cdot 5 + 3 \cdot 10 - 3 \cdot x = 8x - 20 + 30 - 3x\). 2. Zusammenfassen: \(8x - 3x - 20 + 30 = 5x + 10\). 3. Probe im Ausgangsterm für \(x = 2\): \(4 \cdot (2 \cdot 2 - 5) + 3 \cdot (10 - 2) = 4 \cdot (4 - 5) + 3 \cdot 8 = 4 \cdot (-1) + 24 = -4 + 24 = 20\). 4. Probe im vereinfachten Term für \(x = 2\): \(5 \cdot 2 + 10 = 10 + 10 = 20\). 5. Abschluss: Da beide Werte \(20\) ergeben, ist die Vereinfachung korrekt.

a) \(5x + 10\) b) Der Wert ist in beiden Fällen \(20\).

- Berechne zuerst die Werte in den Klammern, bevor du multiplizierst. - Vergleiche die Ergebnisse der beiden Terme für jeden \(x\)-Wert zeilenweise. - Gibt es ein Gesetz, mit dem man Klammern auflösen kann?

1. Berechnung für Term \(A\): - \(x = 10 \Rightarrow 5 \cdot 10 - 15 = 50 - 15 = 35\) - \(x = 0 \Rightarrow 5 \cdot 0 - 15 = -15\) - \(x = -2 \Rightarrow 5 \cdot (-2) - 15 = -10 - 15 = -25\) 2. Berechnung für Term \(B\): - \(x = 10 \Rightarrow 5 \cdot (10 - 3) = 5 \cdot 7 = 35\) - \(x = 0 \Rightarrow 5 \cdot (0 - 3) = 5 \cdot (-3) = -15\) - \(x = -2 \Rightarrow 5 \cdot (-2 - 3) = 5 \cdot (-5) = -25\) 3. Vergleich und Begründung: - Die Ergebnisse für beide Terme sind bei allen eingesetzten Werten identisch. - Dies liegt am Distributivgesetz: \(5 \cdot (x - 3) = 5 \cdot x - 5 \cdot 3 = 5x - 15\). Die Terme sind äquivalent.

a) Für \(x = 10\) ergeben beide Terme \(35\); für \(x = 0\) ergeben beide \(-15\); für \(x = -2\) ergeben beide \(-25\). b) Die Ergebnisse sind immer gleich. Das liegt am Distributivgesetz, durch das man \(5(x - 3)\) zu \(5x - 15\) ausmultiplizieren kann.

- Es hilft oft, von innen nach außen vorzugehen, wenn Klammern ineinander stehen. - Was passiert mit den Vorzeichen in einer Klammer, wenn ein Minuszeichen direkt davor steht? - Versuche, den Inhalt der großen Klammer erst komplett zu vereinfachen, bevor du die äußere Subtraktion ausführst.

1. Auflösen der inneren Klammern im Klammerausdruck: \(3 \cdot (a + 5) = 3a + 15\). Anschließend wird das Minuszeichen vor der zweiten inneren Klammer berücksichtigt: \(-(2a - 7) = -2a + 7\). 2. Vereinfachen des Ausdrucks innerhalb der großen Klammer: \(3a + 15 - 2a + 7 = a + 22\). 3. Den gesamten Term mit der äußeren Subtraktion schreiben: \(24 - (a + 22)\). 4. Auflösen der letzten Klammer durch Vorzeichenumkehr: \(24 - a - 22\). 5. Zusammenfassen der Zahlen: \(24 - 22 = 2\). 6. Endergebnis: \(2 - a\) (oder \(-a + 2\)).

\(2 - a\)

- Setze die angegebenen Werte für \(x\) in die Terme ein und achte auf die Rechenregeln. - Was fällt dir an den Ergebnissen in den Zeilen auf? - Nutze das Distributivgesetz, um Klammern aufzulösen. - Fasse gleiche Glieder (Zahlen mit Variablen und Zahlen ohne Variablen) zusammen.

1. Berechnung der Tabellenwerte durch Einsetzen: Für \(x = 0\): \(A = 3 \cdot (0+4) = 12\), \(B = 3 \cdot 0+4 = 4\), \(C = 5 \cdot 0+12-2 \cdot 0 = 12\). Für \(x = 2\): \(A = 3 \cdot (2+4) = 18\), \(B = 3 \cdot 2+4 = 10\), \(C = 5 \cdot 2+12-2 \cdot 2 = 18\). Für \(x = 5\): \(A = 3 \cdot (5+4) = 27\), \(B = 3 \cdot 5+4 = 19\), \(C = 5 \cdot 5+12-2 \cdot 5 = 27\). 2. Vergleich der Ergebnisse: Die Werte für \(A\) und \(C\) sind für alle eingesetzten \(x\) identisch, während \(B\) andere Werte liefert. 3. Vereinfachung zur Bestätigung: Term \(A\): \(3(x + 4) = 3x + 12\). Term \(C\): \(5x + 12 - 2x = 3x + 12\). 4. Schlussfolgerung: Da \(A\) und \(C\) denselben vereinfachten Term \(3x + 12\) ergeben, sind sie äquivalent. Term \(B\) ist nicht äquivalent zu den anderen.

Die ausgefüllte Tabelle lautet: <table> <tr><td>\(x\)</td><td>\(0\)</td><td>\(2\)</td><td>\(5\)</td></tr> <tr><td>Term \(A\)</td><td>\(12\)</td><td>\(18\)</td><td>\(27\)</td></tr> <tr><td>Term \(B\)</td><td>\(4\)</td><td>\(10\)</td><td>\(19\)</td></tr> <tr><td>Term \(C\)</td><td>\(12\)</td><td>\(18\)</td><td>\(27\)</td></tr> </table> Die Terme \(A\) und \(C\) sind äquivalent, da beide vereinfacht \(3x + 12\) ergeben. Term \(B\) ist nicht äquivalent, da er für die gleichen \(x\)-Werte andere Ergebnisse liefert und sich nicht zu \(3x + 12\) vereinfachen lässt.

- Achte besonders auf das Vorzeichen vor der Klammer beim Ausgangsterm. - Wie verändert ein Minuszeichen vor einer Klammer die Vorzeichen innerhalb der Klammer? - Versuche, jeden Term so weit wie möglich zu vereinfachen, bis er die Form \(ax + b\) hat. - Kannst du Faktoren ausklammern oder Klammern ausmultiplizieren?

1. Vereinfachung des Ausgangsterms \(T\): Auflösen der Minusklammer ergibt \(12x - 4x - 8 = 8x - 8\). 2. Prüfung von \(T_1\): \(8x + 8\) ist nicht gleich \(8x - 8\). Nicht äquivalent. 3. Prüfung von \(T_2\): Ausmultiplizieren ergibt \(4 \cdot 2x - 4 \cdot 2 = 8x - 8\). Äquivalent. 4. Prüfung von \(T_3\): Zusammenfassen ergibt \(16x - 8x - 8 = 8x - 8\). Äquivalent. 5. Prüfung von \(T_4\): Ausmultiplizieren ergibt \(8 \cdot x - 8 \cdot 1 = 8x - 8\). Äquivalent.

Der vereinfachte Term ist \(T = 8x - 8\). Äquivalent zu \(T\) sind die Terme \(T_2\), \(T_3\) und \(T_4\), da sie sich alle zu \(8x - 8\) umformen lassen: \(T_2 = 4(2x - 2) = 8x - 8\) \(T_3 = 16x - 8 - 8x = 8x - 8\) \(T_4 = 8(x - 1) = 8x - 8\) \(T_1\) ist nicht äquivalent, da das Vorzeichen der Zahl falsch ist.

- Wenn du eine Zahl für \(x\) einsetzt, muss im Originalterm und im richtig vereinfachten Term dasselbe herauskommen. - Was passiert mit den Vorzeichen, wenn man eine negative Zahl mit einer anderen negativen Zahl multipliziert? - Schau dir den Schritt beim Auflösen der Klammer ganz genau an.

1. Einsetzen von \(x = 0\) in den Originalterm: \(6 \cdot 0 - 2 \cdot (0 - 4) = 0 - 2 \cdot (-4) = 8\). 2. Einsetzen von \(x = 0\) bei Lukas: \(4 \cdot 0 - 8 = -8\). 3. Einsetzen von \(x = 0\) bei Mia: \(4 \cdot 0 + 8 = 8\). 4. Vergleich: Mia hat das gleiche Ergebnis wie der Originalterm, Lukas nicht. Mia könnte recht haben. 5. Fehleranalyse: Lukas hat beim Auflösen der Klammer das Minuszeichen vor der \(2\) nicht auf die \(-4\) in der Klammer angewendet. Nach dem Distributivgesetz gilt \(-2 \cdot (-4) = +8\). Lukas hat fälschlicherweise \(-8\) geschrieben.

a) Für \(x = 0\) ergibt der Originalterm \(8\). Lukas erhält \(-8\), Mia erhält \(8\). Daher hat Mia recht. b) Lukas hat einen Vorzeichenfehler gemacht. Beim Multiplizieren von \(-2\) mit \(-4\) (aus der Klammer) muss das Ergebnis \(+8\) lauten. Lukas hat stattdessen die Subtraktion beibehalten und \(-8\) geschrieben.

- Multipliziere zuerst beide Klammern einzeln aus. - Achte genau darauf, wie man eine negative Zahl mit einer anderen negativen Zahl multipliziert. - Vergleiche deinen Rechenweg Schritt für Schritt mit den Rechnungen von Lukas und Mia.

1. Multiplikation der ersten Klammer: \(6 \cdot a + 6 \cdot 2 = 6a + 12\). 2. Multiplikation der zweiten Klammer unter Berücksichtigung des negativen Faktors \(-3\): \(-3 \cdot 2a = -6a\) und \(-3 \cdot (-4) = +12\). 3. Gesamter Term nach dem Ausmultiplizieren: \(6a + 12 - 6a + 12\). 4. Zusammenfassen der Glieder: \(6a - 6a = 0\) und \(12 + 12 = 24\). 5. Ergebnis: Mia hat recht. Lukas hat beim Ausmultiplizieren der zweiten Klammer das Vorzeichen falsch gesetzt (\(-3 \cdot -4\) ergibt \(+12\), nicht \(-12\)).

Mia hat recht. Das korrekte Ergebnis ist \(24\). Lukas hat einen Vorzeichenfehler beim Ausmultiplizieren der zweiten Klammer gemacht (\(-3 \cdot (-4)\) muss \(+12\) ergeben).

- Vereinfache jeden der drei Terme vollständig, bevor du sie vergleichst. - Achte bei \(T_2\) auf das Minuszeichen vor der Klammer. - Berechne in b) zuerst den Wert des variablen Anteils \(11x\) für \(x=2\).

1. \(T_1=6x-8+5x=11x-8\). 2. \(T_2=12x-x-8=11x-8\). 3. Damit sind \(T_1\) und \(T_2\) äquivalent. \(T_3=11x-4\) ist nicht dazu äquivalent. 4. Für \(x=2\) hat der variable Anteil \(11x\) den Wert \(22\). Damit der gesamte Term \(0\) ergibt, muss die Konstante \(-22\) sein. 5. Der veränderte Term lautet \(11x-22\).

a) \(T_1\) und \(T_2\) sind äquivalent; beide vereinfachen sich zu \(11x-8\). b) \(11x-22\)

- Vereinfache jeden Term einzeln, bevor du versuchst, sie zu vergleichen. - Achte bei Termen mit Klammern darauf, jedes Element in der Klammer mit dem Faktor davor zu multiplizieren. - Vergiss nicht, nach dem Auflösen von Klammern noch einmal alles zusammenzufassen.

1. Vereinfachung von Term 1: \(6a + 2a - 12 = 8a - 12\). 2. Vereinfachung von Term 2: \(3a + 12 - a = 2a + 12\). 3. Vereinfachung von Term 3: \(4 \cdot 2a - 4 \cdot 3 = 8a - 12\). 4. Term 4 ist bereits vereinfacht: \(2a + 12\). 5. Vereinfachung von Term 5: \(10a - 2a - 12 = 8a - 12\). 6. Vereinfachung von Term 6: \(2 \cdot a + 2 \cdot 6 = 2a + 12\). 7. Gruppierung: Gruppe A (\(8a - 12\)) enthält die Terme 1, 3 und 5. Gruppe B (\(2a + 12\)) enthält die Terme 2, 4 und 6.

Gruppe 1 (äquivalent zu \(8a - 12\)): \(6a - 12 + 2a\); \(4(2a - 3)\); \(10a - 12 - 2a\). Gruppe 2 (äquivalent zu \(2a + 12\)): \(3(a + 4) - a\); \(2a + 12\); \(2(a + 6)\).

- Achte besonders auf das Minuszeichen vor der \(4\), wenn du die Klammer auflöst. - „Minus mal Minus ergibt Plus“ – ist das hier an einer Stelle wichtig? - Denke daran, dass \(+ a\) das Gleiche ist wie \(+ 1a\).

1. Auflösen der Klammer: Das Distributivgesetz unter Berücksichtigung des negativen Vorfaktors ergibt \(-4 \cdot 2a = -8a\) und \(-4 \cdot (-3) = +12\). Der Term lautet nun: \(18 - 8a + 12 + a\). 2. Zusammenfassen: Die Zahlen ohne Variable ergeben \(18 + 12 = 30\). Die Glieder mit \(a\) ergeben \(-8a + a = -7a\). Der vereinfachte Term ist \(30 - 7a\). 3. Berechnung für \(a = -1\): \(30 - 7 \cdot (-1) = 30 + 7 = 37\). 4. Berechnung für \(a = 5\): \(30 - 7 \cdot 5 = 30 - 35 = -5\).

Vereinfachter Term: \(30 - 7a\). Wert für \(a = -1\): \(37\). Wert für \(a = 5\): \(-5\).

- Was bedeutet es für das Ergebnis, wenn ein Term nach der Vereinfachung genau so aussieht wie ein anderer? - Musst du für die Wertberechnung den komplizierten oder den vereinfachten Term nutzen? - Überprüfe, ob sich bestimmte Zahlen im Term gegenseitig aufheben.

1. Term \(T_1\) durch Ausmultiplizieren der Klammer vereinfachen: \(4 \cdot k + 4 \cdot 2 - 3k - 8 = 4k + 8 - 3k - 8\). 2. Glieder mit \(k\) und Glieder ohne Variable zusammenfassen: \((4k - 3k) + (8 - 8) = 1k + 0 = k\). 3. Vergleich: Da die Vereinfachung von \(T_1\) exakt den Term \(T_2\) ergibt, sind sie äquivalent. 4. Wertberechnung: Da \(T_1 = k\), ist der Wert für \(k = 12{,}5\) einfach \(12{,}5\).

Die Terme \(T_1\) und \(T_2\) sind äquivalent, da \(T_1\) vereinfacht ebenfalls \(k\) ergibt. Der Wert für \(k = 12{,}5\) ist \(12{,}5\).

- Wie viele Seiten hat ein gleichseitiges Dreieck und wie viele ein Quadrat? - Stelle für beide Figuren einzeln eine Formel für den Umfang auf. - Verwende das Distributivgesetz, um die Klammern in deinen Termen aufzulösen. - Wann kann man sagen, dass zwei Terme immer das gleiche Ergebnis liefern?

1. Aufstellen des Terms für Figur A (Dreieck): \(U_A = 3(2s + 4)\). 2. Ausmultiplizieren des Terms für Figur A: \(U_A = 3 \cdot 2s + 3 \cdot 4 = 6s + 12\). 3. Aufstellen des Terms für Figur B (Quadrat): \(U_B = 4(1{,}5s + 3)\). 4. Ausmultiplizieren des Terms für Figur B: \(U_B = 4 \cdot 1{,}5s + 4 \cdot 3 = 6s + 12\). 5. Vergleich: Da beide vereinfachten Terme \(6s + 12\) lauten, ist der Umfang für jeden geometrisch zulässigen Wert von \(s\) gleich.

Beide Umfangsterme lassen sich zu \(6s + 12\) vereinfachen. Damit ist \(U_A = U_B\) für alle geometrisch zulässigen Werte von \(s\).

- Erstelle für jede Vorschrift einen eigenen mathematischen Ausdruck. - Achte besonders bei Vorschrift A darauf, wie du „das gesamte Ergebnis“ einer Addition multiplizierst. - Nutze das Distributivgesetz (Ausmultiplizieren), um Klammern aufzulösen. - Fasse alle gleichen Bestandteile (Variablen und reine Zahlen) so weit wie möglich zusammen.

1. Aufstellen des Terms für Vorschrift A: Unter Verwendung von Klammern für die Summe ergibt sich \(T_A = 3(x + 4)\). 2. Ausmultiplizieren von \(T_A\): Durch Anwendung des Distributivgesetzes erhält man \(T_A = 3x + 12\). 3. Aufstellen des Terms für Vorschrift B: Die Summe aus dem Doppelten und der Zahl selbst plus 12 ergibt \(T_B = 2x + x + 12\). 4. Vereinfachen von \(T_B\): Durch Zusammenfassen der \(x\)-Glieder erhält man \(T_B = 3x + 12\). 5. Vergleich: Da beide vereinfachten Terme identisch sind (\(3x + 12 = 3x + 12\)), liefern beide Vorschriften für jedes \(x\) das gleiche Ergebnis.

Ja, beide Vorschriften führen zum gleichen Ergebnis. Term A ist \(3(x + 4) = 3x + 12\) und Term B ist \(2x + x + 12 = 3x + 12\). Da beide Terme äquivalent sind, ist das Ergebnis immer identisch.

- Nutze in 1) denselben Wert für \(n\) in beiden Termen. - Beim Distributivgesetz wird jeder Summand in der Klammer mit dem Faktor davor multipliziert. - Überlege für 3), welche Zahl mit \(4\) multipliziert \(8\) ergibt.

1. Für \(n=2\) gilt \(T_1=16\), aber \(T_2=40\). Die Behauptung ist falsch. 2. Nach dem Distributivgesetz ist \(4(n+8)=4n+32\), nicht \(4n+8\). 3. Damit nach dem Ausmultiplizieren \(+8\) entsteht, muss in der Klammer \(+2\) stehen. Richtig ist \(4(n+2)=4n+8\).

1) \(T_1=16\), \(T_2=40\); die Behauptung ist falsch. 2) \(4(n+8)=4n+32\). 3) \(4(n+2)\)

- Was bedeutet das Gleichheitszeichen bei einer Probe? - Wie multipliziert man eine Summe in einer Klammer mit einem Faktor davor? - Überprüfe Linas ersten Schritt ganz genau.

1. Probe: Einsetzen von \(x = 4{,}25\) in die linke Seite der Ausgangsgleichung: \(4 \cdot (4{,}25 + 3) = 4 \cdot 7{,}25 = 29\). 2. Vergleich: Da \(29 \neq 20\), ist \(x = 4{,}25\) keine Lösung der Gleichung. 3. Fehleranalyse: Der Fehler geschah in Schritt 1. Lina hat das Distributivgesetz falsch angewendet. Sie hat zwar die \(4\) mit dem \(x\) multipliziert, aber vergessen, auch die \(3\) mit der \(4\) zu multiplizieren. Korrekt wäre \(4x + 12 = 20\).

a) Die Probe ergibt \(29 = 20\), was eine falsche Aussage ist. Somit ist das Ergebnis nicht korrekt. b) Der Fehler liegt in Schritt 1. Lina hat beim Auflösen der Klammer nur das \(x\) mit \(4\) multipliziert, nicht aber die \(3\).

- Bestimme zuerst den Term für M und verwende ihn anschließend für L. - Multipliziere bei b) jedes Paketgewicht mit der jeweiligen Anzahl. - Vereinfache den Gesamtterm erst, nachdem alle drei Paketarten berücksichtigt sind.

1. Ein M-Paket wiegt \(x+3\). 2. Ein L-Paket wiegt \(2(x+3)=2x+6\). 3. Für die gesamte Sendung gilt \(G=2x+4(x+3)+(2x+6)\). 4. Ausmultiplizieren und Zusammenfassen ergibt \(G=8x+18\). 5. Für \(x=4\) gilt \(G=8\cdot4+18=50\). Die Sendung wiegt \(50\,\text{kg}\).

a) M: \(x+3\); L: \(2x+6\) oder \(2(x+3)\) b) \(G=8x+18\) c) \(50\,\text{kg}\)

- Vereinfache den ersten Term so weit wie möglich. - Multipliziere den zweiten Term aus, sodass er eine ähnliche Form wie der erste Term hat. - Welche Zahl muss \(a\) sein, damit die festen Zahlen in beiden Termen identisch sind?

1. Vereinfachung von \(T_1\): Durch Auflösen der Klammer und Zusammenfassen erhält man \(5k - 2k + 12 = 3k + 12\). 2. Ausmultiplizieren von \(T_2\): Der Term ergibt \(3k + 3a\). 3. Vergleich der Terme: Damit \(3k + 12 = 3k + 3a\) für alle \(k\) gilt, müssen die konstanten Glieder übereinstimmen: \(12 = 3a\). 4. Berechnung von \(a\): Division durch 3 ergibt \(a = 4\).

Damit die Terme äquivalent sind, muss \(a = 4\) sein.

- Multipliziere zuerst die beiden Klammern vollständig aus. - Fasse anschließend die \(x^2\)- und \(x\)-Glieder zusammen. - Nutze für die Einsetzungen den bereits vereinfachten Term.

1. Ausmultiplizieren ergibt \((2x+1)(x-3)=2x^2-5x-3\). 2. Damit lautet der gesamte Term \(2x^2-5x-3-2x^2+4x=-x-3\). 3. Für \(x=-5,-3,0,2\) ergeben sich nacheinander die Werte \(2,0,-3,-5\). 4. Für \(x=12\) ergibt der vereinfachte Term \(-12-3=-15\). Die Aussage ist richtig.

a) \(-x-3\) b) Für \(x=-5\): \(2\); für \(x=-3\): \(0\); für \(x=0\): \(-3\); für \(x=2\): \(-5\). c) Die Aussage ist richtig; für \(x=12\) beträgt der Termwert \(-15\).

- Vereinfache die beiden Terme zunächst getrennt. - Achte bei Term \(A\) darauf, welche Glieder sich nach dem Ausmultiplizieren aufheben. - Verwende für b) und c) die vereinfachte Form, sobald du ihre Äquivalenz gezeigt hast.

1. Term \(A\) vereinfacht sich zu \(2x-x^2+x^2+3=2x+3\). 2. Term \(B\) vereinfacht sich zu \(2x+3\). Damit sind die beiden Terme äquivalent. 3. Für \(x=-4{,}5\) ergibt Term \(A\) den Wert \(2\cdot(-4{,}5)+3=-6\). 4. Für \(x=0\) haben beide Terme den Wert \(3\), wie aufgrund ihrer Äquivalenz zu erwarten ist.

a) Beide Terme vereinfachen sich zu \(2x+3\) und sind äquivalent. b) \(-6\) c) Beide Terme haben für \(x=0\) den Wert \(3\).

- Bei Brüchen hilft es, sie zuerst auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen, bevor du sie addierst oder subtrahierst. - Arbeite dich bei geschachtelten Klammern (eckige und runde Klammern) immer von innen nach außen vor. - Produkte von Variablen wie \(a \cdot b\) schreibt man kurz als \(ab\). Nur identische Kombinationen wie \(ab\) können miteinander verrechnet werden.

1. In Teilaufgabe a) die Klammer auflösen: \(\frac{2}{5}m - \frac{1}{10}m + \frac{3}{4}n + \frac{1}{2}n\). Hauptnenner für \(m\) ist \(10\), für \(n\) ist \(4\). Rechnung: \((\frac{4}{10} - \frac{1}{10})m + (\frac{3}{4} + \frac{2}{4})n = \frac{3}{10}m + \frac{5}{4}n\). 2. In Teilaufgabe b) Produkte berechnen und ausmultiplizieren: \(12ab - (2ab + 10a) + ab = 12ab - 2ab - 10a + ab\). Zusammenfassen ergibt \(11ab - 10a\). 3. In Teilaufgabe c) die inneren Klammern zuerst auflösen: \(x^2 - [4x - 2x^2 - x] + 7 = x^2 - [3x - 2x^2] + 7\). Dann die äußere Klammer auflösen: \(x^2 - 3x + 2x^2 + 7\). Zusammenfassen ergibt \(3x^2 - 3x + 7\).

a) \(\frac{3}{10}m + \frac{5}{4}n\) b) \(11ab - 10a\) c) \(3x^2 - 3x + 7\)

- Berechne zuerst beide Werte ganz in Ruhe. - Was passiert mit den Vorzeichen innerhalb einer Klammer, wenn ein Minuszeichen davor steht? - Versuche, die erste Zahl \(x\) und die zweite Zahl \(y\) zu nennen und schaue, was beim Verrechnen übrig bleibt.

1. Term A aufstellen: \((15{,}2 + 6{,}4) - (15{,}2 - 6{,}4)\). Summe berechnen: \(15{,}2 + 6{,}4 = 21{,}6\). Differenz berechnen: \(15{,}2 - 6{,}4 = 8{,}8\). Subtraktion: \(21{,}6 - 8{,}8 = 12{,}8\). 2. Term B aufstellen: \(2 \cdot 6{,}4\). Berechnung: \(2 \cdot 6{,}4 = 12{,}8\). 3. Vergleich: Beide Ergebnisse sind identisch (\(12{,}8\)). 4. Allgemeine Begründung: Bezeichnet man die erste Zahl allgemein mit \(x\) und die zweite mit \(y\), lautet Term A: \((x + y) - (x - y)\). Auflösen der Minusklammer ergibt \(x + y - x + y\). Zusammenfassen führt zu \(2y\), was genau der Beschreibung von Term B entspricht.

a) Term A: \((15{,}2 + 6{,}4) - (15{,}2 - 6{,}4) = 12{,}8\); Term B: \(2 \cdot 6{,}4 = 12{,}8\). b) Die Ergebnisse sind gleich. Begründung: \((x + y) - (x - y) = x + y - x + y = 2y\). Das Ergebnis hängt also nur von der zweiten Zahl ab.

- Multipliziere den Faktor vor der Klammer mit jedem Teil innerhalb der Klammer. - Achte besonders auf das Vorzeichen, wenn du eine Klammer mit einem negativen Faktor oder einem Minuszeichen davor auflöst. - Gibt es Glieder, die sich gegenseitig aufheben (null ergeben)?

1. Ausmultiplizieren der Klammern (Distributivgesetz): a) \(5rs - 10r - 3sr - 12s + 10r\) b) \(2x^2 - 3xy - x^2 + 2xy\) c) \(k^2m - (k^2m - k^2) + m = k^2m - k^2m + k^2 + m\) 2. Zusammenfassen der gleichartigen Glieder: a) \((5 - 3)rs + (-10 + 10)r - 12s = 2rs - 12s\) b) \((2 - 1)x^2 + (-3 + 2)xy = x^2 - xy\) c) \(0 \cdot k^2m + k^2 + m = k^2 + m\)

a) \(2rs - 12s\) b) \(x^2 - xy\) c) \(k^2 + m\)

- Was passiert mit den Exponenten, wenn du Variablen mit der gleichen Basis multiplizierst? - Achte besonders auf das Vorzeichen, wenn du mit einem negativen Term multiplizierst. - Gehe schrittweise vor und multipliziere den äußeren Term mit jedem Summanden in der Klammer einzeln.

1. Anwendung des Distributivgesetzes \(a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c\) und der Potenzregel \(x^n \cdot x^m = x^{n+m}\). 2. Teilaufgabe a): \(2x^3 \cdot 4x^2 - 2x^3 \cdot 5x + 2x^3 \cdot 1 = 8x^5 - 10x^4 + 2x^3\). 3. Teilaufgabe b): \(-ab^2 \cdot 3a^2b - (-ab^2) \cdot 2b + (-ab^2) \cdot 7 = -3a^3b^3 + 2ab^3 - 7ab^2\). 4. Teilaufgabe c): \(4s^2t^3 \cdot s^2 - 4s^2t^3 \cdot 3st + 4s^2t^3 \cdot 2t^2 = 4s^4t^3 - 12s^3t^4 + 8s^2t^5\).

a) \(8x^5 - 10x^4 + 2x^3\) b) \(-3a^3b^3 + 2ab^3 - 7ab^2\) c) \(4s^4t^3 - 12s^3t^4 + 8s^2t^5\)

- Vereinfache jeden Term nur mit den Rechenregeln, die zu seiner vorhandenen Struktur passen. - Prüfe zuerst, welche Glieder gleichartig sind und daher zusammengefasst werden können. - Wenn du vermutest, dass zwei Terme nicht äquivalent sind, kann eine einfache Einsetzung als Gegenbeispiel dienen.

1. Bei Paar A werden die gleichartigen \(x\)-Glieder zusammengefasst: \(7x-3x+8=4x+8\). Die Terme sind äquivalent. 2. Bei Paar B gilt \(8a:2=4a\). Auch diese Terme sind äquivalent. 3. Bei Paar C sind \(5\) und \(3b\) nicht gleichartig und können nicht zu \(8b\) zusammengefasst werden. Zum Gegencheck liefert \(b=0\) die Werte \(5\) und \(0\). Die Terme sind nicht äquivalent.

Paar A und Paar B sind äquivalent. Paar C ist nicht äquivalent.

- Bestimme zuerst die beiden neuen Seitenlängen. - Setze diese anschließend in die Umfangsformel für ein Rechteck ein. - Multipliziere den Faktor \(2\) am Ende mit jedem Summanden in der Klammer.

1. Die neue Länge ist \((4a+3b)+(a-b)=5a+2b\). 2. Die neue Breite ist \((2a+b)-b=2a\). 3. Der Umfang ist \(U=2((5a+2b)+2a)=2(7a+2b)\). 4. Ausmultiplizieren ergibt \(U=14a+4b\).

\(14a+4b\)

- Vergleiche die drei Termwerte zunächst für jede einzelne Belegung. - Welche Vermutung entsteht aus den wiederholt gleichen beziehungsweise verschiedenen Ergebnissen? - Für einen Beweis musst du einen der Terme so umformen, dass seine Struktur direkt mit einem anderen vergleichbar wird.

1. Für \(a=5\) und \(b=3\) gilt \(T_1=4\), \(T_2=7\) und \(T_3=4\). 2. Für \(a=1{,}5\) und \(b=2\) gilt \(T_1=-1\), \(T_2=1\) und \(T_3=-1\). 3. Für \(a=\frac{1}{2}\) und \(b=\frac{1}{4}\) gilt \(T_1=\frac{1}{2}\), \(T_2=\frac{3}{4}\) und \(T_3=\frac{1}{2}\). 4. Die drei Beispiele legen nahe, dass \(T_1\) und \(T_3\) äquivalent sind, \(T_2\) aber nicht. 5. Mit dem Distributivgesetz gilt \(T_1=2(a-b)=2a-2b=T_3\). Ein Gegenbeispiel aus den berechneten Belegungen zeigt, dass \(T_2\) nicht äquivalent zu ihnen ist.

a) \(T_1=4\), \(T_2=7\), \(T_3=4\) b) \(T_1=-1\), \(T_2=1\), \(T_3=-1\) c) \(T_1=\frac{1}{2}\), \(T_2=\frac{3}{4}\), \(T_3=\frac{1}{2}\) \(T_1\) und \(T_3\) sind äquivalent, denn \(2(a-b)=2a-2b\). \(T_2\) ist nicht äquivalent.

- Multipliziere zuerst die erste Klammer aus und löse anschließend die Minusklammer auf. - Vergiss nicht, dass sich beim Auflösen einer Minus-Klammer alle Vorzeichen im Inneren umkehren. - Achte darauf, dass die Zahl ohne Variable am Ende allein stehen bleibt.

1. Umwandlung der Brüche in Dezimalzahlen: \(1\frac{1}{4} = 1{,}25\) und \(1\frac{3}{5} = 1{,}6\). 2. Anwendung des Distributivgesetzes auf die erste Klammer: \(1{,}25 \cdot 2{,}4a - 1{,}25 \cdot 4b = 3a - 5b\). 3. Auflösen der zweiten Klammer unter Berücksichtigung des negativen Vorzeichens: \(-(0{,}75a - 1{,}6b + 2) = -0{,}75a + 1{,}6b - 2\). 4. Zusammenfassen der Terme mit gleichen Variablen: \((3 - 0{,}75)a + (-5 + 1{,}6)b - 2\). 5. Endergebnis berechnen: \(2{,}25a - 3{,}4b - 2\).

\(2{,}25a - 3{,}4b - 2\)

- Wie gehst du vor, wenn mehrere Klammern ineinander verschachtelt sind? - Gibt es eine Reihenfolge, in der man Klammern am besten auflöst? - Kannst du den Term erst kürzer schreiben, bevor du die langen Ausdrücke einsetzt? - Achte besonders auf die Vorzeichen, wenn ein Minus vor einer Klammer steht.

1. Auflösen der inneren Klammer (Minusklammer): \(3a - [2b - a + b] = 3a - [3b - a]\) 2. Auflösen der äußeren Klammer: \(3a - 3b + a = 4a - 3b\) 3. Einsetzen der Ausdrücke für \(a\) und \(b\): \(4(2x + y) - 3(x - y)\) 4. Anwenden des Distributivgesetzes: \(8x + 4y - 3x + 3y\) 5. Zusammenfassen gleichartiger Terme: \(5x + 7y\)

\(5x + 7y\)

- Überlege dir, ob es einfacher ist, zuerst die Buchstaben \(U\) und \(V\) zu verrechnen oder direkt die großen Terme einzusetzen. - Was passiert mit den Vorzeichen in der Klammer, wenn du sie auflöst? - Welche Teile des Ergebnisses gehören zusammen (z. B. \(m^2\) und \(n\))?

1. Vereinfachung des Terms \(W\) durch Auflösen der inneren Klammer: \(2[U - V + U] - 3U = 2[2U - V] - 3U\) 2. Auflösen der verbleibenden Klammer und Zusammenfassen von \(U\): \(4U - 2V - 3U = U - 2V\) 3. Einsetzen der gegebenen Terme für \(U\) und \(V\): \((3m^2 - 5n) - 2(m^2 + 2n)\) 4. Auflösen der Klammern unter Beachtung der Vorzeichen: \(3m^2 - 5n - 2m^2 - 4n\) 5. Zusammenfassen der \(m^2\)-Terme und der \(n\)-Terme: \(m^2 - 9n\)

\(m^2 - 9n\)

- Wie berechnet man die Hälfte eines Terms? - Was musst du tun, um herauszufinden, welche Seite bei einem bestimmten Wert für \(y\) länger ist? - Kannst du zuerst alle bekannten Seiten zu einem einzigen Term zusammenfassen?

1. Erste Seite: \(s_1 = 5y + 4\) 2. Zweite Seite als Hälfte der ersten berechnen: \(s_2 = 0{,}5(5y + 4) = 2{,}5y + 2\) 3. Dritte Seite: \(s_3 = 3y + 6\) 4. Summe der bekannten Seiten: \((5y + 4) + (2{,}5y + 2) + (3y + 6) = 10{,}5y + 12\) 5. Vierte Seite berechnen: \(s_4 = (16y + 20) - (10{,}5y + 12) = 5{,}5y + 8\) 6. Einsetzen von \(y = 10\): \(s_1 = 5 \cdot 10 + 4 = 54\,\text{cm}\); \(s_4 = 5{,}5 \cdot 10 + 8 = 63\,\text{cm}\) 7. Vergleich: Da \(63 > 54\), ist die vierte Seite länger als die erste.

a) Der Term für die vierte Seite lautet \((5{,}5y+8)\,\text{cm}\). b) Ja, für \(y = 10\) ist die vierte Seite (\(63\,\text{cm}\)) länger als die erste Seite (\(54\,\text{cm}\)).

- Überlege dir, womit man den ersten Teil in der Klammer multiplizieren muss, um auf das erste Ergebnis nach dem Gleichheitszeichen zu kommen. - Du kannst die Division als Umkehroperation zur Multiplikation nutzen, um die fehlenden Teile zu finden. - Achte auch hier genau auf die Vorzeichen und die Potenzen der Variablen.

1. Bestimmung der ersten Lücke: Division des ersten Gliedes des Ergebnisses durch das erste Glied der Klammer: \(12x^2 : 3x = 4x\). Die Probe bestätigt \(4x \cdot (-4y) = -16xy\). 2. Bestimmung der zweiten Lücke: Division des zweiten Gliedes des Ergebnisses durch den Vorfaktor: \(-15b^2 : (-5b) = 3b\). Die Probe bestätigt \(-5b \cdot 2a = -10ab\). 3. Bestimmung der dritten Lücke: Division des ersten Gliedes des Ergebnisses durch den Vorfaktor: \(x^2 : x = x\). Die Probe bestätigt \(x \cdot (-7) = -7x\).

a) \(4x\) b) \(3b\) c) \(x\)

- Bei den Lückenaufgaben hilft es, das Ergebnis durch den bekannten Faktor zu teilen. - Überprüfe bei der zweiten Aufgabe, ob dein gefundener Faktor für beide Teile in der Klammer das richtige Vorzeichen ergibt. - Beim dritten Teil ist der Faktor vor der zweiten Klammer \(-4\); multipliziere damit jedes Glied der Klammer. - Sortiere beim Zusammenfassen die Terme so, dass Gleiches zu Gleichem kommt.

1. Vergleich der rechten Seite \(7x + 21y\) mit dem Produkt \(7 \cdot x + 7 \cdot \square\). Da \(7 \cdot 3y = 21y\), ist der gesuchte Term \(3y\). 2. Bestimmung des Faktors durch Vergleich der Glieder: \(-8a : 4a = -2\) und \(10 : (-5) = -2\). Der Faktor ist \(-2\). 3. Erstes Ausmultiplizieren: \(5 \cdot 2z - 5 \cdot 1 = 10z - 5\). Zweites Ausmultiplizieren mit Beachtung des Minuszeichens: \(-4 \cdot z - 4 \cdot 3 = -4z - 12\). Zusammenfassen der Terme: \(10z - 4z = 6z\) und \(-5 - 12 = -17\). Ergebnis: \(6z - 17\).

1) \(\square = 3y\) 2) \(\square = -2\) 3) \(6z - 17\)

- Überlege dir zuerst, welches Vorzeichen das jeweilige Teilergebnis haben muss. - Vergiss nicht, dass auch Brüche und Dezimalzahlen nach den gleichen Regeln wie ganze Zahlen multipliziert werden. - Denk daran: \(x^a \cdot x^b = x^{a+b}\). Was bedeutet das für den Exponenten, wenn eine Variable ohne sichtbare Hochzahl (wie \(x\)) dasteht?

1. Anwendung des Distributivgesetzes für Teilaufgabe a: \(\frac{2}{3}z \cdot 6z^2 = 4z^3\), \(\frac{2}{3}z \cdot (-9z) = -6z^2\) und \(\frac{2}{3}z \cdot 12 = 8z\). Resultat: \(4z^3 - 6z^2 + 8z\). 2. Anwendung des Distributivgesetzes für Teilaufgabe b: \(-1{,}5m \cdot 2m^2 = -3m^3\), \(-1{,}5m \cdot (-4m) = 6m^2\) und \(-1{,}5m \cdot 6 = -9m\). Resultat: \(-3m^3 + 6m^2 - 9m\). 3. Anwendung des Distributivgesetzes für Teilaufgabe c: \(10x^3 \cdot (-\frac{1}{5}x) = -2x^4\), \(-5x^2 \cdot (-\frac{1}{5}x) = x^3\) und \(25x \cdot (-\frac{1}{5}x) = -5x^2\). Resultat: \(-2x^4 + x^3 - 5x^2\).

a) \(4z^3 - 6z^2 + 8z\) b) \(-3m^3 + 6m^2 - 9m\) c) \(-2x^4 + x^3 - 5x^2\)

- Was passiert mit den Vorzeichen innerhalb der Klammer, wenn du mit einer negativen Zahl multiplizierst? - Erinnerst du dich daran, dass die Reihenfolge der Variablen in einem Produkt (wie \(km\) und \(mk\)) keine Rolle spielt? - Gibt es Terme, die sich gegenseitig aufheben? - Wie multipliziert man eine Dezimalzahl mit einer ganzen Zahl?

1. Ausmultiplizieren der ersten Klammer: \(0{,}5k \cdot 4k - 0{,}5k \cdot 6m = 2k^2 - 3km\) 2. Ausmultiplizieren der zweiten Klammer unter Beachtung des negativen Faktors \(-2m\): \(-2m \cdot k - 2m \cdot (-3m) = -2mk + 6m^2\) 3. Den gesamten Term aufschreiben: \(2k^2 - 3km - 2mk + 6m^2 - 2k^2\) 4. Zusammenfassen der Glieder mit \(k^2\): \(2k^2 - 2k^2 = 0\) 5. Zusammenfassen der Glieder mit \(km\) (beachte \(km = mk\)): \(-3km - 2km = -5km\) 6. Endergebnis: \(-5km + 6m^2\) oder \(6m^2 - 5km\)

\(6m^2 - 5km\)

- Achte besonders auf die Vorzeichen, wenn du eine Klammer mit einem Minus davor auflöst. - Was bedeutet ein Minus direkt vor einer Klammer für die Vorzeichen innerhalb der Klammer? - Denk daran, dass Zahlen ohne Variable nur mit anderen Zahlen ohne Variable verrechnet werden können.

1. Auflösen der Klammern unter Beachtung der Vorzeichenregeln: \( -6x + 3y - 12 + 6x + 4y - 2 - 5y + 10 \). 2. Zusammenfassen der \( x \)-Glieder: \( -6x + 6x = 0 \). 3. Zusammenfassen der \( y \)-Glieder: \( 3y + 4y - 5y = 2y \). 4. Zusammenfassen der konstanten Zahlen: \( -12 - 2 + 10 = -4 \). 5. Ergebnis: \( 2y - 4 \).

\( 2y - 4 \)

- Was passiert mit dem Vorzeichen innerhalb der Klammer, wenn du mit einer negativen Zahl multiplizierst? - Es hilft oft, zuerst alle Klammern einzeln aufzulösen und die Ergebnisse in eine lange Zeile zu schreiben. - Markiere dir Terme mit gleichen Variablen (z. B. alle \(a^2\)) in der gleichen Farbe, um den Überblick zu behalten.

1. Erstes Produkt ausmultiplizieren: \(2a \cdot 4b + 2a \cdot (-3a) = 8ab - 6a^2\) 2. Zweites Produkt ausmultiplizieren (Minuszeichen vor der 5 beachten): \(-5 \cdot a^2 - 5 \cdot (-2ab) = -5a^2 + 10ab\) 3. Drittes Produkt ausmultiplizieren (Minuszeichen vor dem \(a\) beachten): \(-a \cdot 3a - a \cdot b = -3a^2 - ab\) 4. Alle Teilterme zusammenführen: \(8ab - 6a^2 - 5a^2 + 10ab - 3a^2 - ab\) 5. Glieder mit \(a^2\) zusammenfassen: \(-6a^2 - 5a^2 - 3a^2 = -14a^2\) 6. Glieder mit \(ab\) zusammenfassen: \(8ab + 10ab - ab = 17ab\) 7. Ergebnis: \(-14a^2 + 17ab\)

\(-14a^2 + 17ab\)

- In welcher Reihenfolge löst man geschachtelte Klammern am besten auf? - Achte besonders auf das Vorzeichen, wenn eine negative Zahl vor der Klammer steht. - Kannst du den Ausdruck innerhalb der eckigen Klammer vereinfachen, bevor du ihn mit 5 multiplizierst? - Überprüfe am Ende, ob du alle Terme mit \(x\) und alle Terme mit \(y\) jeweils korrekt zusammengefasst hast.

1. Auflösen der inneren runden Klammer innerhalb der eckigen Klammer: \(2x - 3x + 12y\). 2. Zusammenfassen der Terme innerhalb der eckigen Klammer: \(-x + 12y\). 3. Multiplizieren des Ergebnisses mit dem Faktor \(5\): \(5 \cdot (-x + 12y) = -5x + 60y\). 4. Ausmultiplizieren des hinteren Teils des Terms: \(-4 \cdot (2x + 7y) = -8x - 28y\). 5. Zusammenfassen aller gleichartigen Glieder: \((-5x - 8x) + (60y - 28y) = -13x + 32y\).

\(-13x + 32y\)

- Multipliziere jeden Summanden in der Klammer einzeln mit dem Faktor davor. - Beachte die Vorzeichenregeln: Was passiert, wenn du eine negative Zahl mit einer negativen Zahl multiplizierst? - Sortiere die Terme nach ihren Variablen (zum Beispiel alle mit \(a^2\), alle mit \(ab\) und alle mit \(b^2\)), um den Überblick zu behalten. - Achte darauf, dass \(ab\) und \(ba\) das Gleiche bedeuten.

1. Ausmultiplizieren des ersten Produkts: \(1{,}2a \cdot 2a - 1{,}2a \cdot 0{,}5b = 2{,}4a^2 - 0{,}6ab\). 2. Ausmultiplizieren des zweiten Produkts unter Beachtung des Minuszeichens: \(-0{,}4 \cdot 3a^2 + 0{,}4 \cdot 5ab - 0{,}4 \cdot 2b^2 = -1{,}2a^2 + 2ab - 0{,}8b^2\). 3. Ausmultiplizieren des dritten Produkts: \(0{,}5b \cdot 4a - 0{,}5b \cdot 6b = 2ab - 3b^2\). 4. Zusammenfassen der \(a^2\)-Glieder: \(2{,}4a^2 - 1{,}2a^2 = 1{,}2a^2\). 5. Zusammenfassen der \(ab\)-Glieder: \(-0{,}6ab + 2ab + 2ab = 3{,}4ab\). 6. Zusammenfassen der \(b^2\)-Glieder: \(-0{,}8b^2 - 3b^2 = -3{,}8b^2\). Das Endergebnis lautet: \(1{,}2a^2 + 3{,}4ab - 3{,}8b^2\).

\(1{,}2a^2 + 3{,}4ab - 3{,}8b^2\)

- Was bewirkt die Zahl direkt vor der Klammer für die Werte innerhalb der Klammer? - Achte besonders auf das Minuszeichen zwischen den beiden Klammerausdrücken. - Darfst du Terme mit \(x^2\) und Terme mit \(x\) einfach addieren? - Kannst du den Term erst ohne Klammern schreiben, bevor du sortierst?

1. Ausmultiplizieren der ersten Klammer: \(1{,}5 \cdot 4x^2 - 1{,}5 \cdot 2x + 1{,}5 \cdot 6 = 6x^2 - 3x + 9\). 2. Ausmultiplizieren der zweiten Klammer: \(1{,}2 \cdot 5x^2 - 1{,}2 \cdot 10x - 1{,}2 \cdot 5 = 6x^2 - 12x - 6\). 3. Subtraktion der beiden Teilergebnisse unter Beachtung der Vorzeichenregeln: \(6x^2 - 3x + 9 - (6x^2 - 12x - 6) = 6x^2 - 3x + 9 - 6x^2 + 12x + 6\). 4. Zusammenfassen der Glieder mit \(x^2\): \(6x^2 - 6x^2 = 0\). 5. Zusammenfassen der Glieder mit \(x\): \(-3x + 12x = 9x\). 6. Zusammenfassen der konstanten Glieder: \(9 + 6 = 15\). Das Endergebnis lautet \(9x + 15\).

\(9x + 15\)

- Betrachte \(x^3\) und \(y^2\) jeweils als gleichartige Bausteine. - Multipliziere jeden Faktor vor einer Klammer mit jedem Glied in dieser Klammer. - Achte besonders auf das Minuszeichen vor der zweiten Klammer, bevor du gleichartige Glieder zusammenfasst.

1. Die erste Klammer wird ausmultipliziert: \(\frac{2}{3} \cdot (6x^3 - 9y^2) = 4x^3 - 6y^2\). 2. Die zweite Klammer wird ausmultipliziert: \(\frac{3}{4} \cdot (8x^3 - 12y^2) = 6x^3 - 9y^2\). 3. Die dritte Klammer wird ausmultipliziert: \(\frac{1}{2} \cdot (4x^3 + 6y^2) = 2x^3 + 3y^2\). 4. Mit dem Minuszeichen vor der zweiten Klammer ergibt sich \(4x^3 - 6y^2 - 6x^3 + 9y^2 + 2x^3 + 3y^2\). 5. Die Glieder mit \(x^3\) heben sich auf, und die Glieder mit \(y^2\) ergeben \(6y^2\).

\(6y^2\)

- Bei Aufgaben mit zwei Variablen wie \(a\) und \(b\) ist es hilfreich zu wissen, dass \(a \cdot b\) das Gleiche ist wie \(b \cdot a\). - Gehe bei der vierten Teilaufgabe schrittweise vor: Berechne zuerst die Produkte und kümmere dich im letzten Schritt um die Subtraktion. - Gibt es in der dritten Teilaufgabe Glieder, die sich gegenseitig aufheben?

1. Ausmultiplizieren von \((4a + b) \cdot (a - 3b)\): \(4a^2 - 12ab + ab - 3b^2\). Zusammenfassen der gemischten Glieder ergibt \(4a^2 - 11ab - 3b^2\). 2. Ausmultiplizieren von \((2x - 3y) \cdot (5x - 2y)\): \(10x^2 - 4xy - 15xy + 6y^2\). Zusammenfassen ergibt \(10x^2 - 19xy + 6y^2\). 3. Ausmultiplizieren von \((m + n) \cdot (m - n)\): \(m^2 - mn + mn - n^2\). Die Terme \(-mn\) und \(+mn\) heben sich auf, es bleibt \(m^2 - n^2\). 4. Zuerst das Produkt der Klammern berechnen: \((x + 2) \cdot (x + 3) = x^2 + 3x + 2x + 6 = x^2 + 5x + 6\). Davon wird \(x \cdot (x + 5) = x^2 + 5x\) subtrahiert: \(x^2 + 5x + 6 - (x^2 + 5x) = 6\).

1) \(4a^2 - 11ab - 3b^2\) 2) \(10x^2 - 19xy + 6y^2\) 3) \(m^2 - n^2\) 4) \(6\)

- Denk an das Distributivgesetz: Multipliziere jedes Element der ersten Klammer mit jedem Element der zweiten Klammer. - Achte besonders auf die Vorzeichen bei der Multiplikation. - Schau nach dem Ausmultiplizieren, ob es Glieder gibt, die sich gegenseitig aufheben.

1. Ausmultiplizieren von Teil a): Jedes Glied der ersten Klammer wird mit jedem Glied der zweiten Klammer multipliziert: \(y \cdot y^2 + y \cdot (-4y) + y \cdot 16 + 4 \cdot y^2 + 4 \cdot (-4y) + 4 \cdot 16\). 2. Zusammenfassen der Terme in a): \(y^3 - 4y^2 + 16y + 4y^2 - 16y + 64\). Die Glieder \(-4y^2\) und \(+4y^2\) sowie \(+16y\) und \(-16y\) heben sich auf. Das Ergebnis ist \(y^3 + 64\). 3. Ausmultiplizieren von Teil b): \(z \cdot z^2 + z \cdot 2z + z \cdot 4 - 2 \cdot z^2 - 2 \cdot 2z - 2 \cdot 4\). 4. Zusammenfassen der Terme in b): \(z^3 + 2z^2 + 4z - 2z^2 - 4z - 8\). Die Glieder \(+2z^2\) und \(-2z^2\) sowie \(+4z\) und \(-4z\) heben sich auf. Das Ergebnis ist \(z^3 - 8\).

a) \(y^3 + 64\) b) \(z^3 - 8\)

- Multipliziere zuerst die beiden Klammern vollständig aus, bevor du den Term hinter dem Minuszeichen betrachtest. - Achte auf die Potenzen von \(x\): \(x \cdot x^2\) ergibt \(x^3\). - Gibt es Terme, die genau den gleichen Betrag, aber unterschiedliche Vorzeichen haben?

1. Schrittweise Multiplikation der Klammern: \(2x \cdot 4x^2 + 2x \cdot (-2x) + 2x \cdot 1 + 1 \cdot 4x^2 + 1 \cdot (-2x) + 1 \cdot 1\). 2. Vereinfachung der Einzelprodukte: \(8x^3 - 4x^2 + 2x + 4x^2 - 2x + 1\). 3. Zusammenfassen der Glieder innerhalb des Produkts: Die Terme \(-4x^2\) und \(+4x^2\) sowie \(+2x\) und \(-2x\) ergeben Null. Es bleibt \(8x^3 + 1\). 4. Verrechnung mit dem restlichen Term: \((8x^3 + 1) - 8x^3 = 1\).

\(1\)

- Wenn Variablen mit Potenzen multipliziert werden, addiere die Exponenten der gleichen Basis. - Vergiss nicht, dass ein Minuszeichen vor der Klammer oder innerhalb der Klammer alle nachfolgenden Multiplikationen beeinflusst. - Gleichartige Glieder sind solche, die in ihren Variablen und deren Exponenten völlig übereinstimmen.

1. Ausmultiplizieren: \(8x^4 + 2x^2y^2 - 12x^2y^2 - 3y^4\). Zusammenfassen der mittleren Glieder: \(8x^4 - 10x^2y^2 - 3y^4\). 2. Ausmultiplizieren: \(15a^3b^3 - 12a^2b^2 + 10a^2b^2 - 8ab\). Zusammenfassen der mittleren Glieder: \(15a^3b^3 - 2a^2b^2 - 8ab\). 3. Ausmultiplizieren: \(-3x^4y^2 - 5x^2y - 6x^2y - 10\). Zusammenfassen der mittleren Glieder: \(-3x^4y^2 - 11x^2y - 10\).

1) \(8x^4 - 10x^2y^2 - 3y^4\) 2) \(15a^3b^3 - 2a^2b^2 - 8ab\) 3) \(-3x^4y^2 - 11x^2y - 10\)

- Gehe systematisch vor: Multipliziere zuerst das erste Glied der linken Klammer mit der gesamten rechten Klammer, dann das zweite. - Achte auf die Potenzregeln, zum Beispiel \(a \cdot a^2 = a^3\). - Pass auf die Vorzeichen auf, besonders wenn du mit \(-2b\) multiplizierst. - Markiere dir Terme mit den gleichen Variablenkombinationen, um sie leichter zusammenfassen zu können.

1. Multiplikation von \(a\) mit jedem Glied der zweiten Klammer: \(a \cdot a^2 + a \cdot 2ab + a \cdot 4b^2 + a \cdot (-1) = a^3 + 2a^2b + 4ab^2 - a\) 2. Multiplikation von \(-2b\) mit jedem Glied der zweiten Klammer: \(-2b \cdot a^2 - 2b \cdot 2ab - 2b \cdot 4b^2 - 2b \cdot (-1) = -2a^2b - 4ab^2 - 8b^3 + 2b\) 3. Aufstellen des Gesamtausdrucks: \(a^3 + 2a^2b + 4ab^2 - a - 2a^2b - 4ab^2 - 8b^3 + 2b\) 4. Zusammenfassen gleichartiger Glieder: \(2a^2b - 2a^2b = 0\) und \(4ab^2 - 4ab^2 = 0\) 5. Endergebnis: \(a^3 - 8b^3 - a + 2b\)

\(a^3 - 8b^3 - a + 2b\)

- Wie viele Teilprodukte müssen entstehen, bevor du zusammenfasst? - Achte besonders auf die Vorzeichen, wenn du die einzelnen Glieder multiplizierst. - Nur Glieder mit exakt der gleichen Variablen- und Potenzkombination dürfen addiert oder subtrahiert werden. - Gehe Schritt für Schritt vor und markiere dir eventuell bereits verrechnete Glieder.

1. Anwendung des Distributivgesetzes durch Multiplikation jedes Gliedes der ersten Klammer mit jedem Glied der zweiten Klammer: \(x^2 \cdot x + x^2 \cdot 2y - 4xy \cdot x - 4xy \cdot 2y + 3y^2 \cdot x + 3y^2 \cdot 2y\) 2. Berechnung der einzelnen Teilprodukte: \(x^3 + 2x^2y - 4x^2y - 8xy^2 + 3xy^2 + 6y^3\) 3. Zusammenfassen der Glieder mit gleichen Variablenkombinationen (\(x^2y\) und \(xy^2\)): \(x^3 + (2 - 4)x^2y + (-8 + 3)xy^2 + 6y^3\) 4. Endergebnis: \(x^3 - 2x^2y - 5xy^2 + 6y^3\)

\(x^3 - 2x^2y - 5xy^2 + 6y^3\)

- Erinnere dich an die Regel: Minus mal Minus ergibt Plus. - Kannst du die Glieder in der Zeile so ordnen, dass die zusammengehörigen Terme direkt nebeneinander stehen? - Überprüfe am Ende, ob du wirklich jedes Glied der linken Klammer mit jedem Glied der rechten Klammer multipliziert hast.

1. Systematisches Multiplizieren der Glieder beider Klammern: \(2a \cdot 3a^2 + 2a \cdot ab + 2a \cdot (-2b^2) - 3b \cdot 3a^2 - 3b \cdot ab - 3b \cdot (-2b^2)\) 2. Ausrechnen der Produkte unter Beachtung der Vorzeichenregeln: \(6a^3 + 2a^2b - 4ab^2 - 9a^2b - 3ab^2 + 6b^3\) 3. Sortieren und Zusammenfassen der gleichartigen Terme: \(6a^3 + (2 - 9)a^2b + (-4 - 3)ab^2 + 6b^3\) 4. Finales Ergebnis: \(6a^3 - 7a^2b - 7ab^2 + 6b^3\)

\(6a^3 - 7a^2b - 7ab^2 + 6b^3\)

- Kannst du das Distributivgesetz anwenden, um die Klammern aufzulösen? - Achte beim Multiplizieren besonders auf die Vorzeichen (Minus mal Minus ergibt Plus). - Welche Terme haben die gleiche Potenz von \(x\) und können am Ende zusammengefasst werden? - Hilft es dir, die einzelnen Teilschritte der Multiplikation untereinander aufzuschreiben?

1. Multiplikation jedes Glieds der ersten Klammer mit jedem Glied der zweiten Klammer gemäß dem Distributivgesetz: \(4x \cdot 2x^2 + 4x \cdot x + 4x \cdot (-5) - 3 \cdot 2x^2 - 3 \cdot x - 3 \cdot (-5)\). 2. Berechnung der einzelnen Produkte: \(8x^3 + 4x^2 - 20x - 6x^2 - 3x + 15\). 3. Zusammenfassen der Terme mit gleichen Potenzen: \(8x^3 + (4 - 6)x^2 + (-20 - 3)x + 15 = 8x^3 - 2x^2 - 23x + 15\).

\(8x^3 - 2x^2 - 23x + 15\)

- Denke daran, dass beim Multiplizieren von Variablen die Exponenten addiert werden, wenn die Basis gleich ist. - Jeder Term der ersten Klammer muss mit jedem Term der zweiten Klammer kombiniert werden. - Achte darauf, Terme wie \(a^3b\) und \(a^2b^2\) nicht miteinander zu vermischen. - Überprüfe nach dem Ausmultiplizieren, ob du alle acht Teilprodukte gebildet hast.

1. Anwendung des Distributivgesetzes, indem jeder Term des ersten Polynoms mit jedem Term des zweiten Polynoms multipliziert wird: \(2a^3 \cdot a + 2a^3 \cdot 2b - 3a^2b \cdot a - 3a^2b \cdot 2b + ab^2 \cdot a + ab^2 \cdot 2b - b^3 \cdot a - b^3 \cdot 2b\). 2. Ausmultiplizieren der Terme: \(2a^4 + 4a^3b - 3a^3b - 6a^2b^2 + a^2b^2 + 2ab^3 - ab^3 - 2b^4\). 3. Zusammenfassen der gleichartigen Terme (Glieder mit identischen Variablenkombinationen): \(2a^4 + (4 - 3)a^3b + (-6 + 1)a^2b^2 + (2 - 1)ab^3 - 2b^4\). 4. Endergebnis nach der Vereinfachung: \(2a^4 + a^3b - 5a^2b^2 + ab^3 - 2b^4\).

\(2a^4 + a^3b - 5a^2b^2 + ab^3 - 2b^4\)

- Wie viele Teilprodukte entstehen, wenn du eine Klammer mit vier Gliedern mit einer Klammer mit zwei Gliedern multiplizierst? - Achte besonders auf das Vorzeichen, wenn du mit negativen Zahlen wie \(-3\) multiplizierst. - Erinnere dich an die Regel für das Multiplizieren von Potenzen mit gleicher Basis: \(y^a \cdot y^b = y^{a+b}\). - Sortiere deine Teilergebnisse am besten direkt nach der Größe der Hochzahlen, um den Überblick zu behalten.

1. Anwendung des Distributivgesetzes durch Multiplikation jedes Gliedes der ersten Klammer mit jedem Glied der zweiten Klammer: \(2y^3 \cdot y^2 + 2y^3 \cdot (-3) - y^2 \cdot y^2 - y^2 \cdot (-3) + 4y \cdot y^2 + 4y \cdot (-3) - 1 \cdot y^2 - 1 \cdot (-3)\) 2. Berechnung der Einzelprodukte: \(2y^5 - 6y^3 - y^4 + 3y^2 + 4y^3 - 12y - y^2 + 3\) 3. Sortieren nach Potenzen von \(y\): \(2y^5 - y^4 - 6y^3 + 4y^3 + 3y^2 - y^2 - 12y + 3\) 4. Zusammenfassen der Koeffizienten gleicher Potenzen: \(2y^5 - y^4 - 2y^3 + 2y^2 - 12y + 3\)

\(2y^5 - y^4 - 2y^3 + 2y^2 - 12y + 3\)

- Was passiert mit den Zahlen \(a\) und \(b\), wenn man die Klammern auflöst? Schau dir das mittlere Glied und das hintere Glied genau an. - Für die Probe setzt du die Zahl einfach für jeden Platzhalter ein und rechnest beide Seiten der Gleichung getrennt aus. - Bei Teil c hilft ein Vergleich: Welche Zahl ergibt zusammen mit 3 addiert 10 und mit 3 multipliziert 21?

1. Teil a: Identifikation von \(a = 12\) und \(b = -3\). Einsetzen in die Formel: \(x^2 + (12 + (-3))x + 12 \cdot (-3) = x^2 + 9x - 36\). 2. Teil b: Ausmultiplizieren von \((x-5) \cdot (x-4) = x^2 - 4x - 5x + 20 = x^2 - 9x + 20\). Probe mit \(x=10\): Linke Seite \((10-5) \cdot (10-4) = 5 \cdot 6 = 30\). Rechte Seite \(10^2 - 9 \cdot 10 + 20 = 100 - 90 + 20 = 30\). Beide Seiten sind gleich. 3. Teil c: Vergleich der Koeffizienten mit der Formel \((x+a) \cdot (x+c) = x^2 + (a+c)x + ac\). Es muss gelten \(3 + c = 10\) und \(3 \cdot c = 21\). Aus beiden Bedingungen folgt \(c = 7\).

a) \(x^2 + 9x - 36\) b) \(x^2 - 9x + 20\); Probe: \(30 = 30\) c) \(c = 7\), da \(3 + 7 = 10\) (Koeffizient von \(x\)) und \(3 \cdot 7 = 21\) (konstantes Glied).

- Ist es einfacher, die Zahl direkt einzusetzen oder den Term zuerst umzuformen? - Was musst du beachten, wenn ein Minuszeichen vor einer Klammer steht? - Wie multipliziert man zwei Klammern miteinander, in denen jeweils eine Summe oder Differenz steht? - Welche gleichartigen Terme entstehen nach dem Ausmultiplizieren, und wie lassen sie sich zusammenfassen?

1. Ausmultiplizieren der beiden Klammerprodukte: \((2x^2 + 8x - 3x - 12) - (2x^2 + x - 4x - 2)\) 2. Zusammenfassen der Terme innerhalb der Klammern: \((2x^2 + 5x - 12) - (2x^2 - 3x - 2)\) 3. Auflösen der verbleibenden Klammer unter Beachtung des Minuszeichens: \(2x^2 + 5x - 12 - 2x^2 + 3x + 2\) 4. Zusammenfassen der gleichartigen Glieder: \(8x - 10\) 5. Einsetzen von \(x = 0{,}75\): \(8 \cdot 0{,}75 - 10 = 6 - 10 = -4\)

Der vereinfachte Term lautet \(8x - 10\). Für \(x = 0{,}75\) ergibt sich der Wert \(-4\).

- Bei der Multiplikation von zwei Klammern muss jedes Glied der ersten Klammer mit jedem Glied der zweiten Klammer multipliziert werden. - Darfst du bei einer reinen Multiplikationskette wie \(3 \cdot (\dots) \cdot 2\) die Reihenfolge der Faktoren vertauschen? - Achte beim Zusammenfassen darauf, nur Glieder mit der gleichen Variable und dem gleichen Exponenten zu addieren. - Vergiss nicht, die Vorzeichen beim Multiplizieren korrekt zu verrechnen.

1. Multiplikation zweier Binome nach dem Schema \((a+b) \cdot (c+d)\): \(a \cdot 3a + a \cdot (-2) + 6 \cdot 3a + 6 \cdot (-2)\). Dies ergibt \(3a^2 - 2a + 18a - 12\). Zusammenfassen der \(a\)-Glieder liefert \(3a^2 + 16a - 12\). 2. Anwendung des Kommutativ- und Assoziativgesetzes bei der Multiplikation: \(3 \cdot (2z - 5) \cdot 2 = (3 \cdot 2) \cdot (2z - 5) = 6 \cdot (2z - 5)\). Ausmultiplizieren ergibt \(12z - 30\). Addition zum ersten Glied: \(4z + 12z - 30\). Das Endergebnis ist \(16z - 30\).

1) \(3a^2 + 16a - 12\) 2) \(16z - 30\)

- Was bedeutet es, einen Term nach den Potenzen einer Variablen zu ordnen? - Denk daran, dass Variablen wie \(a^2b\) und \(ab^2\) unterschiedlich sind und nicht zusammengefasst werden können. - Wie gehst du vor, wenn ein Minuszeichen vor einem Glied in der Klammer steht? - Gibt es in deinem Ergebnis noch Terme, die die exakt gleichen Variablenkombinationen haben?

1. Ordnen des ersten Faktors nach Potenzen von \(a\): \((a^2 - 3ab + 2b^2) \cdot (4a - 5b)\). 2. Schrittweises Ausmultiplizieren der Terme: \(a^2 \cdot 4a = 4a^3\), \(a^2 \cdot (-5b) = -5a^2b\), \(-3ab \cdot 4a = -12a^2b\), \(-3ab \cdot (-5b) = 15ab^2\), \(2b^2 \cdot 4a = 8ab^2\) und \(2b^2 \cdot (-5b) = -10b^3\). 3. Zusammenfassen der gleichartigen Terme (\(a^2b\) und \(ab^2\)): \(4a^3 + (-5 - 12)a^2b + (15 + 8)ab^2 - 10b^3\). 4. Endergebnis: \(4a^3 - 17a^2b + 23ab^2 - 10b^3\).

\(4a^3 - 17a^2b + 23ab^2 - 10b^3\)

- Ein Koeffizient ist die Zahl, die direkt vor einer Variablen steht. - Du kannst Teil c) lösen, indem du \(x\) in dein Ergebnis aus a) einsetzt oder direkt in die Klammern des ursprünglichen Terms. - Vergiss beim Zusammenfassen der \(x^2\)-Glieder nicht, das Vorzeichen mitzunehmen.

1. Ausmultiplizieren der Klammern: \((3x^2 \cdot 2x) + (3x^2 \cdot (-5)) + (-2x \cdot 2x) + (-2x \cdot (-5)) + (1 \cdot 2x) + (1 \cdot (-5))\). Dies ergibt \(6x^3 - 15x^2 - 4x^2 + 10x + 2x - 5\). 2. Zusammenfassen der Glieder: \(6x^3 - 19x^2 + 12x - 5\). 3. Identifikation des Koeffizienten von \(x^2\): Die Zahl vor \(x^2\) ist \(-19\). 4. Einsetzen von \(x = 2\) in das Ergebnis (oder den Ausgangsterm): \(6 \cdot 2^3 - 19 \cdot 2^2 + 12 \cdot 2 - 5 = 6 \cdot 8 - 19 \cdot 4 + 24 - 5 = 48 - 76 + 24 - 5 = -9\). Alternativ über den Ausgangsterm: \((3 \cdot 2^2 - 2 \cdot 2 + 1) \cdot (2 \cdot 2 - 5) = (12 - 4 + 1) \cdot (4 - 5) = 9 \cdot (-1) = -9\).

a) \(6x^3 - 19x^2 + 12x - 5\) b) \(-19\) c) \(-9\)

- Ersetze zuerst jedes \(u\) und \(v\) durch den jeweils gegebenen Term. - Achte beim Subtrahieren von \(v\) beziehungsweise \(vm\) auf die Vorzeichen des gesamten eingesetzten Terms. - Beim Produkt \(uv\) muss jeder Summand der ersten Klammer mit jedem Summanden der zweiten Klammer multipliziert werden.

1. \(3(m+2n)+4(m-n)=3m+6n+4m-4n=7m+2n\). 2. \(2(m+2n)-(m-n)=2m+4n-m+n=m+5n\). 3. \(m(m+2n)-m(m-n)=m^2+2mn-(m^2-mn)=3mn\). 4. \((m+2n)(m-n)=m^2-mn+2mn-2n^2=m^2+mn-2n^2\).

1) \(7m+2n\) 2) \(m+5n\) 3) \(3mn\) 4) \(m^2+mn-2n^2\)

- Multipliziere zuerst die Klammern in beiden Termen einzeln aus. - Was passiert mit den Gliedern, die ein \(x\) enthalten, wenn du die Terme voneinander abziehst? - Wenn ein Ergebnis unabhängig von einer Variablen ist, was bedeutet das für beliebige Werte dieser Variablen?

1. Term \(A\) ausmultiplizieren: \(A = x^2 + 5x + 2x + 10 = x^2 + 7x + 10\). 2. Term \(B\) ausmultiplizieren: \(B = x^2 + 4x + 3x + 12 = x^2 + 7x + 12\). 3. Die Differenz \(B - A\) bilden: \((x^2 + 7x + 12) - (x^2 + 7x + 10)\). 4. Klammern auflösen und zusammenfassen: \(x^2 - x^2 + 7x - 7x + 12 - 10 = 2\). 5. Da alle Terme mit \(x\) wegfallen, ist die Differenz konstant \(2\). 6. Für \(x = -3{,}5\) bleibt der Wert der Differenz ebenfalls \(2\).

a) \(A = x^2 + 7x + 10\); \(B = x^2 + 7x + 12\); \(B - A = 2\). b) \(2\) c) \(2\)

- Achte besonders auf das Minuszeichen vor der Klammer beim Auflösen. - Multipliziere zuerst die beiden Klammern in Ruhe aus, bevor du das Minus davor berücksichtigst. - Sortiere am Ende alle Terme mit den gleichen Variablen-Kombinationen.

1. Ausmultiplizieren des ersten Produkts unter Anwendung des Distributivgesetzes: \(4a \cdot 2a - 4a \cdot 3b = 8a^2 - 12ab\) 2. Ausmultiplizieren der beiden Klammern (beachte das Minuszeichen vor der Klammer): \((a - b) \cdot (3a + 2b) = 3a^2 + 2ab - 3ab - 2b^2 = 3a^2 - ab - 2b^2\) 3. Einsetzen in den Gesamtausdruck und Auflösen der Minusklammer: \(8a^2 - 12ab - (3a^2 - ab - 2b^2) - 5a^2 = 8a^2 - 12ab - 3a^2 + ab + 2b^2 - 5a^2\) 4. Zusammenfassen der gleichartigen Glieder: \((8 - 3 - 5)a^2 + (-12 + 1)ab + 2b^2 = 0 - 11ab + 2b^2\) 5. Endergebnis: \(-11ab + 2b^2\)

\(2b^2 - 11ab\)

- Multipliziere die beiden Produkte getrennt vollständig aus. - Behandle das Ergebnis des zweiten Produkts wegen des Minuszeichens als ganzen Klammerausdruck. - Setze den Wert für \(a\) erst in den fertig vereinfachten Term ein.

1. Das erste Produkt ist \(2a(3a-1)=6a^2-2a\). 2. Das zweite Produkt ist \((a+2)(6a-5)=6a^2+7a-10\). 3. Nach der Subtraktion erhält man \(6a^2-2a-(6a^2+7a-10)=-9a+10\). 4. Für \(a=-\frac{2}{3}\) ergibt sich \(-9\cdot(-\frac23)+10=16\).

Vereinfachter Term: \(-9a+10\) Termwert für \(a=-\frac{2}{3}\): \(16\)

- Erinnere dich an das Ausmultiplizieren von zwei Klammern: Jedes Glied der ersten Klammer wird mit jedem Glied der zweiten Klammer multipliziert. - Wie lassen sich die Zahlen \(1{,}002\) und \(1{,}006\) als Summen mit der Zahl \(1\) schreiben? - Der Fehler ist die Differenz zwischen deinem geschätzten Wert und dem tatsächlichen Ergebnis.

1. Ausmultiplizieren von \((1+a) \cdot (1+b)\): \((1+a) \cdot (1+b) = 1 \cdot 1 + 1 \cdot b + a \cdot 1 + a \cdot b = 1 + a + b + ab\) Der Term \(ab\) wird bei der Näherung weggelassen. 2. Anwendung der Näherungsformel auf \(1{,}002 \cdot 1{,}006\): Hier ist \(a = 0{,}002\) und \(b = 0{,}006\). Näherungswert: \(1 + 0{,}002 + 0{,}006 = 1{,}008\). 3. Berechnung des exakten Wertes: \(1{,}002 \cdot 1{,}006 = 1{,}008012\). 4. Bestimmung des Fehlers: \(1{,}008012 - 1{,}008 = 0{,}000012\).

a) \((1+a) \cdot (1+b) = 1+a+b+ab\); weggelassen wird der Term \(ab\). b) Der Schätzwert ist \(1{,}008\). c) Das exakte Ergebnis ist \(1{,}008012\); der Fehler beträgt \(0{,}000012\).

- Multipliziere beide Klammern vollständig aus. - Suche anschließend nach gleichartigen Gliedern, die sich zusammenfassen oder gegenseitig aufheben. - Setze die Zahlen erst in den vollständig vereinfachten Term ein.

1. Ausmultiplizieren ergibt \(4a^2-8ab+8ab+2b^2-3a^2\). 2. Die Glieder \(-8ab\) und \(+8ab\) heben sich auf; außerdem ist \(4a^2-3a^2=a^2\). Der vereinfachte Term lautet \(a^2+2b^2\). 3. Einsetzen ergibt \(1{,}2^2+2\cdot(-0{,}5)^2=1{,}44+0{,}5=1{,}94\).

Vereinfachter Term: \(a^2+2b^2\) Termwert: \(1{,}94\)

- Wie kannst du zeigen, dass zwei Terme immer gleich sind? Versuche, beide so weit wie möglich zu vereinfachen. - Denk daran, dass \(x \cdot y\) das Gleiche ist wie \(y \cdot x\). - Wenn du ein Minuszeichen vor einer Klammer hast, ändern sich beim Auflösen alle Vorzeichen innerhalb der Klammer. - Ist es einfacher, die Zahlen in die langen Ursprungsterme oder in den kurzen, vereinfachten Term einzusetzen?

1. Vereinfachung von Term \(A\): Ausmultiplizieren ergibt \(2x^2 + xy - (yx - 3y^2) = 2x^2 + xy - xy + 3y^2\). Durch Zusammenfassen erhält man \(A = 2x^2 + 3y^2\). 2. Vereinfachung von Term \(B\): Ausmultiplizieren ergibt \(2x^2 + 2y^2 + y^2\). Durch Zusammenfassen erhält man \(B = 2x^2 + 3y^2\). 3. Vergleich: Da beide Terme auf denselben Ausdruck \(2x^2 + 3y^2\) vereinfacht werden können, sind sie äquivalent. 4. Einsetzen der Werte in den vereinfachten Term: \(2 \cdot (-5)^2 + 3 \cdot (\frac{1}{3})^2\). 5. Berechnung: \(2 \cdot 25 + 3 \cdot \frac{1}{9} = 50 + \frac{1}{3} = 50\frac{1}{3}\).

a) Beide Terme lassen sich zu \(2x^2 + 3y^2\) vereinfachen. b) Der Wert beträgt \(50\frac{1}{3}\).

- Wenn eine Klammer durch eine Zahl dividiert wird, muss jedes Glied in der Klammer dividiert werden. - Ein Minuszeichen vor einer Klammer dreht alle Vorzeichen innerhalb der Klammer um, wenn man sie auflöst. - Sortiere den Term zuerst nach Variablen und Zahlen, bevor du das Endergebnis berechnest.

1. Erster Aufgabenteil: Divisionen durchführen ergibt \( (6w - 4) - (3w + 2) \). Auflösen der Minusklammer führt zu \( 6w - 4 - 3w - 2 = 3w - 6 \). 2. Zweiter Aufgabenteil: Multiplikation mit \( 0{,}2 \) ergibt \( 2x - 10 \). Division durch 4 ergibt \( x - 3 \). Subtraktion: \( (2x - 10) - (x - 3) = 2x - 10 - x + 3 = x - 7 \). 3. Dritter Aufgabenteil: Division durch 3 ergibt \( 3z - 2 \). Einsetzen in den Gesamtausdruck: \( 7 - (3z - 2) - (z + 1) \). Klammern auflösen: \( 7 - 3z + 2 - z - 1 = 8 - 4z \).

1) \( 3w - 6 \) 2) \( x - 7 \) 3) \( 8 - 4z \)

- Wähle eine Variable für die ursprüngliche Breite und drücke die Länge damit aus. - Übertrage die beiden Änderungen auf diese Seitenterme. - Vergleiche die Flächenterme erst nach dem Ausmultiplizieren.

1. Sei \(b\) die ursprüngliche Breite. Dann ist die ursprüngliche Länge \(b+8\). 2. Der ursprüngliche Flächeninhalt ist \(A_1=b(b+8)=b^2+8b\). 3. Nach der Änderung sind die Seiten \(b+3\) und \(b+5\). 4. Der neue Flächeninhalt ist \(A_2=(b+3)(b+5)=b^2+8b+15\). 5. Damit gilt \(A_2-A_1=15\). Die Fläche vergrößert sich um \(15\,\text{m}^2\).

Der Flächeninhalt vergrößert sich um \(15\,\text{m}^2\).

- Erinnere dich an das Distributivgesetz: Ein Faktor vor einer Klammer wird mit jedem Summanden in der Klammer multipliziert. - Wie multipliziert man Potenzen mit der gleichen Basis? Was passiert dabei mit den Exponenten? - Achte besonders auf die Vorzeichen, wenn du eine negative Zahl oder Variable ausmultiplizierst. - Denk daran, dass eine Variable ohne sichtbaren Exponenten (wie \(x\)) eigentlich den Exponenten \(1\) hat.

1. Anwendung des Distributivgesetzes: \(4a^n \cdot a^3 - 4a^n \cdot 2a^n\). Anwendung der Potenzregel \(a^x \cdot a^y = a^{x+y}\) ergibt \(4a^{n+3} - 8a^{2n}\). 2. Multiplikation der Faktoren: \(-3x^k \cdot 2x^{k+1} + (-3x^k) \cdot 4x\). Verrechnung der Koeffizienten und Addition der Exponenten führt zu \(-6x^{2k+1} - 12x^{k+1}\). 3. Ausmultiplizieren des Bruchs: \(\frac{1}{3}y^m \cdot 9y^{2m} - \frac{1}{3}y^m \cdot 6y\). Kürzen der Brüche und Addition der Exponenten ergibt \(3y^{3m} - 2y^{m+1}\).

1) \(4a^{n+3} - 8a^{2n}\) 2) \(-6x^{2k+1} - 12x^{k+1}\) 3) \(3y^{3m} - 2y^{m+1}\)

- Wie gehst du vor, wenn zwei Klammern miteinander multipliziert werden? - Achte besonders auf das Minuszeichen vor der zweiten Klammergruppe. - Was passiert mit den quadratischen Termen beim Vereinfachen? - Versuche, alle Terme mit der Unbekannten auf eine Seite der Gleichung zu bringen.

1. Ausmultiplizieren der ersten beiden Klammern: \((x + 3) \cdot (x - 4) = x^2 - 4x + 3x - 12 = x^2 - x - 12\) 2. Ausmultiplizieren der hinteren beiden Klammern: \((x - 5) \cdot (x + 2) = x^2 + 2x - 5x - 10 = x^2 - 3x - 10\) 3. Einsetzen in die Gleichung unter Berücksichtigung des Minuszeichens: \(x^2 - x - 12 - (x^2 - 3x - 10) = 2\) 4. Auflösen der Minusklammer: \(x^2 - x - 12 - x^2 + 3x + 10 = 2\) 5. Zusammenfassen der Terme: \(2x - 2 = 2\) 6. Addition von \(2\) auf beiden Seiten: \(2x = 4\) 7. Division durch \(2\): \(x = 2\)

\(x = 2\)

- Multipliziere jedes Glied der ersten Klammer mit jedem Glied der zweiten Klammer. - Sortiere anschließend nach gleichen Potenzen von \(x\). - Welche Glieder heben sich beim Zusammenfassen gegenseitig auf?

1. Mit dem Distributivgesetz ergibt sich \((x+3)(x^2-3x+9)=x(x^2-3x+9)+3(x^2-3x+9)\). 2. Ausmultipliziert lautet die linke Seite \(x^3-3x^2+9x+3x^2-9x+27\). 3. Die \(x^2\)-Glieder und die \(x\)-Glieder heben sich jeweils auf. 4. Es bleibt \(x^3+27\). Damit gilt die angegebene Gleichheit für alle \(x\).

\((x+3)(x^2-3x+9)=x^3-3x^2+9x+3x^2-9x+27=x^3+27\). Die \(x^2\)- und \(x\)-Glieder heben sich auf; damit gilt die Gleichheit für alle \(x\).

- Multipliziere zuerst die Klammer vollständig aus. - Vergleiche danach getrennt das \(n\)-Glied und das konstante Glied auf beiden Seiten. - Beachte beim konstanten Glied, dass ein negativer Teil im gesuchten Term durch das Minus davor sein Vorzeichen wechselt.

1. Zuerst wird ausmultipliziert: \(5(2n+1)=10n+5\). 2. Gesucht ist also genau der Term, der von \(10n+5\) abgezogen werden muss, damit \(3n+8\) bleibt. 3. Vergleiche die gleichartigen Glieder: Vom \(n\)-Anteil müssen \(7n\) abgezogen werden, weil \(10n-7n=3n\). 4. Bei den Konstanten muss das Abziehen den Wert von \(5\) auf \(8\) erhöhen. Deshalb muss im gesuchten Term \(-3\) stehen, denn \(5-(-3)=8\). 5. Der gesuchte Term ist \(7n-3\). 6. Kontrolle: \(10n+5-(7n-3)=3n+8\).

\(7n-3\)

- Vereinfache beide Terme unabhängig voneinander. - Vergleiche anschließend den Variablenkoeffizienten und das konstante Glied. - Für b) muss nur eine Zahl geändert werden; prüfe, welcher Teil des vereinfachten Terms noch nicht passt.

1. \(T_1=0{,}5(12y-8)+3y=6y-4+3y=9y-4\). 2. \(T_2=3(3y-2)-y+2=9y-6-y+2=8y-4\). 3. Die Terme sind nicht äquivalent. 4. Eine mögliche Änderung ist, die \(3\) vor \(y\) in der Klammer durch \(\frac{10}{3}\) zu ersetzen. Dann gilt \(T_3=3\left(\frac{10}{3}y-2\right)-y+2=9y-4\).

a) Die Behauptung ist falsch: \(T_1=9y-4\), aber \(T_2=8y-4\). b) Zum Beispiel \(T_3=3\left(\frac{10}{3}y-2\right)-y+2\).

- Überlege dir für den ersten Teil: Womit muss man \(4a^2\) multiplizieren, um \(12a^3\) zu erhalten? Gehe so für jedes Glied vor. - Die Umkehroperation der Multiplikation kann dir helfen, den fehlenden Teil zu finden. - Im zweiten Teil wendest du das normale Verfahren zum Ausmultiplizieren auf deinen neu gefundenen Term an. - Achte beim Multiplizieren mit \(-2ab\) wieder genau auf die Vorzeichen und die Exponenten der Variablen.

1. Durch gliedweises Vergleichen mit dem gemeinsamen Faktor \(4a^2\) erhält man \(12a^3 = 4a^2 \cdot 3a\), \(-8a^2b = 4a^2 \cdot (-2b)\) und \(20a^2 = 4a^2 \cdot 5\). Der ursprüngliche Term in der Klammer lautet somit \((3a - 2b + 5)\). 2. Multiplikation des gefundenen Terms mit \(-2ab\): \(-2ab \cdot 3a = -6a^2b\), \(-2ab \cdot (-2b) = 4ab^2\) und \(-2ab \cdot 5 = -10ab\). Das neue Ergebnis ist \(-6a^2b + 4ab^2 - 10ab\).

a) Der Term in der Klammer lautet \(3a - 2b + 5\). b) Das neue Ergebnis lautet \(-6a^2b + 4ab^2 - 10ab\).

- Gehe schrittweise vor und multipliziere jedes Glied der ersten Klammer nacheinander mit der gesamten zweiten Klammer. - Schreibe die Teilergebnisse untereinander oder markiere gleiche Potenzen mit verschiedenen Farben, um Rechenfehler beim Zusammenfassen zu vermeiden. - Vergiss nicht, dass \(x^2 \cdot x^3 = x^5\) ergibt. - Achte auf die Vorzeichenregeln, insbesondere bei „Minus mal Minus“ und „Minus mal Plus“.

1. Systematisches Ausmultiplizieren der Klammern: \(x^2 \cdot (x^3 + 3x^2 - 5x + 2) - 2x \cdot (x^3 + 3x^2 - 5x + 2) + 1 \cdot (x^3 + 3x^2 - 5x + 2)\) 2. Ausrechnen der Teilausdrücke: \((x^5 + 3x^4 - 5x^3 + 2x^2) + (-2x^4 - 6x^3 + 10x^2 - 4x) + (x^3 + 3x^2 - 5x + 2)\) 3. Zusammenfassen der Glieder mit gleichen Potenzen: \(x^5\) \(x^4\): \(3x^4 - 2x^4 = x^4\) \(x^3\): \(-5x^3 - 6x^3 + x^3 = -10x^3\) \(x^2\): \(2x^2 + 10x^2 + 3x^2 = 15x^2\) \(x\): \(-4x - 5x = -9x\) Konstante: \(2\) 4. Endergebnis: \(x^5 + x^4 - 10x^3 + 15x^2 - 9x + 2\)

\(x^5 + x^4 - 10x^3 + 15x^2 - 9x + 2\)

- Kannst du beschreiben, wie man zwei Klammern miteinander multipliziert? - Achte besonders auf die Vorzeichen beim Multiplizieren der einzelnen Glieder. - Überlege, wie du Brüche mit unterschiedlichen Nennern addieren oder subtrahieren kannst. - Gibt es Terme mit den gleichen Variablen, die du am Ende zusammenfassen kannst? - Versuche, systematisch vorzugehen und jedes Glied der ersten Klammer nacheinander mit jedem Glied der zweiten zu multiplizieren.

1. Anwendung des Distributivgesetzes durch Multiplikation jedes Gliedes der ersten Klammer mit jedem Glied der zweiten Klammer: \(\frac{2}{3}a \cdot \frac{3}{4}a + \frac{2}{3}a \cdot \frac{1}{3}b + \frac{2}{3}a \cdot (-2) - \frac{1}{2}b \cdot \frac{3}{4}a - \frac{1}{2}b \cdot \frac{1}{3}b - \frac{1}{2}b \cdot (-2)\). 2. Berechnung der einzelnen Produkte: \(\frac{1}{2}a^2 + \frac{2}{9}ab - \frac{4}{3}a - \frac{3}{8}ab - \frac{1}{6}b^2 + b\). 3. Zusammenfassen der gleichartigen Terme (\(ab\)-Terme): \(\frac{2}{9}ab - \frac{3}{8}ab = \frac{16}{72}ab - \frac{27}{72}ab = -\frac{11}{72}ab\). 4. Endgültiger zusammengefasster Term: \(\frac{1}{2}a^2 - \frac{11}{72}ab - \frac{4}{3}a - \frac{1}{6}b^2 + b\).

\(\frac{1}{2}a^2 - \frac{11}{72}ab - \frac{4}{3}a - \frac{1}{6}b^2 + b\)

- Gehe Schritt für Schritt vor und multipliziere jedes Glied der ersten Klammer mit jedem Glied der zweiten Klammer. - Beachte die Rechenregeln für Vorzeichen: Plus mal Minus ergibt Minus, Minus mal Minus ergibt Plus. - Schau nach dem Ausmultiplizieren genau hin: Heben sich manche Terme vielleicht gegenseitig auf? - Wie fasst man Brüche mit gleichem Nenner zusammen?

1. Multiplikation der beiden Trinome durch gliedweises Ausmultiplizieren: \(\frac{1}{2}x \cdot \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}x \cdot (-\frac{1}{3}y) + \frac{1}{2}x \cdot \frac{1}{4}z + \frac{1}{3}y \cdot \frac{1}{2}x + \frac{1}{3}y \cdot (-\frac{1}{3}y) + \frac{1}{3}y \cdot \frac{1}{4}z - \frac{1}{4}z \cdot \frac{1}{2}x - \frac{1}{4}z \cdot (-\frac{1}{3}y) - \frac{1}{4}z \cdot \frac{1}{4}z\). 2. Berechnung der Produkte: \(\frac{1}{4}x^2 - \frac{1}{6}xy + \frac{1}{8}xz + \frac{1}{6}xy - \frac{1}{9}y^2 + \frac{1}{12}yz - \frac{1}{8}xz + \frac{1}{12}yz - \frac{1}{16}z^2\). 3. Zusammenfassen der Terme: Die gemischten Terme mit \(xy\) und \(xz\) heben sich gegenseitig auf (\(-\frac{1}{6} + \frac{1}{6} = 0\) und \(\frac{1}{8} - \frac{1}{8} = 0\)). 4. Addition der \(yz\)-Terme: \(\frac{1}{12}yz + \frac{1}{12}yz = \frac{2}{12}yz = \frac{1}{6}yz\). 5. Ergebnis: \(\frac{1}{4}x^2 - \frac{1}{9}y^2 + \frac{1}{6}yz - \frac{1}{16}z^2\).

\(\frac{1}{4}x^2 - \frac{1}{9}y^2 + \frac{1}{6}yz - \frac{1}{16}z^2\)

- Multipliziere jedes Klammerpaar vollständig aus, bevor du die Teilergebnisse zusammensetzt. - Achte besonders auf das Minuszeichen vor dem zweiten ausmultiplizierten Produkt. - Wandle die gemischte Zahl vor dem Einsetzen in einen unechten Bruch um.

1. Die Produkte ergeben \((3n-2)(n+3)=3n^2+7n-6\), \((n-1)(3n+2)=3n^2-n-2\) und \((n+2)(n-2)=n^2-4\). 2. Eingesetzt in den Gesamtterm erhält man \(3n^2+7n-6-(3n^2-n-2)+n^2-4-n^2\). 3. Nach dem Auflösen der Minusklammer und Zusammenfassen bleibt \(8n-8\). 4. Es ist \(-1\frac18=-\frac98\). Damit ergibt sich \(8\cdot(-\frac98)-8=-17\).

Vereinfachter Term: \(8n-8\) Termwert für \(n=-1\frac18\): \(-17\)

- Hast du die Terme in den Klammern bereits sortiert? - Achte beim Multiplizieren besonders auf die Vorzeichen der einzelnen Glieder. - Überprüfe, ob du jedes Glied der ersten Klammer mit jedem Glied der zweiten Klammer multipliziert hast. - Kannst du am Ende noch Terme mit der gleichen Potenz zusammenfassen?

1. Umstellen der Faktoren nach absteigenden Potenzen von \(x\): \((3x^2 - 4x + 5) \cdot (x^2 + 2x - 3)\). 2. Ausmultiplizieren der Klammern durch Verteilung jedes Gliedes der ersten Klammer auf die zweite: \(3x^2 \cdot (x^2 + 2x - 3) = 3x^4 + 6x^3 - 9x^2\), \(-4x \cdot (x^2 + 2x - 3) = -4x^3 - 8x^2 + 12x\) und \(5 \cdot (x^2 + 2x - 3) = 5x^2 + 10x - 15\). 3. Zusammenfassen der Terme mit gleicher Potenz von \(x\): \(3x^4 + (6 - 4)x^3 + (-9 - 8 + 5)x^2 + (12 + 10)x - 15\). 4. Endergebnis: \(3x^4 + 2x^3 - 12x^2 + 22x - 15\).

\(3x^4 + 2x^3 - 12x^2 + 22x - 15\)

- Achte darauf, jedes Glied der ersten Klammer mit jedem Glied der zweiten Klammer zu multiplizieren. - Denke an die Vorzeichenregeln, besonders wenn du eine negative Zahl oder Variable multiplizierst. - Sortiere die Terme nach der Rechnung am besten nach den Potenzen der Variablen, um den Überblick beim Zusammenfassen nicht zu verlieren. - Was passiert mit den Exponenten, wenn du Variablen wie \(a^2\) und \(a\) multiplizierst?

1. Multiplikation des ersten Ausdrucks durch gliedweises Ausmultiplizieren der Klammern: \((2a^2 \cdot 4a) + (2a^2 \cdot (-5b)) + (-3ab \cdot 4a) + (-3ab \cdot (-5b)) + (b^2 \cdot 4a) + (b^2 \cdot (-5b))\). Dies ergibt \(8a^3 - 10a^2b - 12a^2b + 15ab^2 + 4ab^2 - 5b^3\). Durch Zusammenfassen der gleichartigen Glieder erhält man \(8a^3 - 22a^2b + 19ab^2 - 5b^3\). 2. Multiplikation des zweiten Ausdrucks: Jedes Glied der ersten Klammer wird mit jedem Glied der zweiten Klammer multipliziert: \(x^2 \cdot (2x^2 + x - 4) - 3x \cdot (2x^2 + x - 4) + 2 \cdot (2x^2 + x - 4)\). Dies führt zu \(2x^4 + x^3 - 4x^2 - 6x^3 - 3x^2 + 12x + 4x^2 + 2x - 8\). Nach dem Zusammenfassen der Potenzen ergibt sich \(2x^4 - 5x^3 - 3x^2 + 14x - 8\).

1) \(8a^3 - 22a^2b + 19ab^2 - 5b^3\) 2) \(2x^4 - 5x^3 - 3x^2 + 14x - 8\)

- Multipliziere zunächst jedes Klammerprodukt vollständig aus. - Achte beim Subtrahieren eines ganzen Ausdrucks auf die Vorzeichen aller seiner Glieder. - Zwei Terme sind äquivalent, wenn sie sich für alle zulässigen Werte auf denselben Term zurückführen lassen.

1. Ausmultiplizieren ergibt \(n^2+7n+12-(n^2+7n+6)\). 2. Nach dem Auflösen der Minusklammer heben sich \(n^2\) und \(7n\) auf. Es bleibt \(6\); der Wert ist daher unabhängig von \(n\). 3. Für den zweiten Vergleich gilt \((2x+1)(3x-2)=6x^2-x-2\). 4. Außerdem ist \(6(x-1)(x+2)=6(x^2+x-2)=6x^2+6x-12\). 5. Die Differenz ist \(6x^2-x-2-6x^2-6x+12=10-7x\). Damit sind die beiden Terme äquivalent.

1. \( (n+3)(n+4)-(n+1)(n+6)=n^2+7n+12-(n^2+7n+6)=6\); der Wert ist unabhängig von \(n\). 2. \( (2x+1)(3x-2)-6(x-1)(x+2)=6x^2-x-2-(6x^2+6x-12)=10-7x\). Damit sind die beiden Terme äquivalent.

- Achte im zweiten Fall darauf, dass eine der Zahlen kleiner als \(1\) ist. Welchen Wert muss \(b\) dann haben? - Überlege dir, wie der Fehler zustande kommt, wenn man das Produkt exakt ausmultipliziert. - Vergleiche die Differenzen zwischen dem Schätzwert und dem exakten Ergebnis.

1. Bestimmung der Näherungswerte: Fall I: \(a=0{,}003, b=0{,}003 \implies 1 + 0{,}003 + 0{,}003 = 1{,}006\). Fall II: \(a=0{,}003, b=-0{,}003 \implies 1 + 0{,}003 - 0{,}003 = 1{,}000\). 2. Berechnung der exakten Werte: Fall I: \(1{,}003 \cdot 1{,}003 = 1{,}006009\). Fall II: \(1{,}003 \cdot 0{,}997 = 0{,}999991\). 3. Vergleich der Abweichungen: Fall I: \(|1{,}006009 - 1{,}006| = 0{,}000009\). Fall II: \(|0{,}999991 - 1{,}000| = 0{,}000009\). 4. Begründung: Die Abweichung entspricht genau dem Betrag des Produkts \(a \cdot b\). Da in beiden Fällen \(|0{,}003 \cdot 0{,}003| = |0{,}003 \cdot (-0{,}003)| = 0{,}000009\) gilt, ist der absolute Fehler in beiden Fällen gleich groß.

a) Näherungswerte: I: \(1{,}006\); II: \(1{,}000\). b) Exakte Werte: I: \(1{,}006009\); II: \(0{,}999991\). c) Die Abweichung ist in beiden Fällen gleich groß (\(0{,}000009\)). Dies liegt daran, dass der Betrag des vernachlässigten Terms \(a \cdot b\) in beiden Fällen identisch ist.

- Wenn du Exponenten addierst, die selbst aus mehreren Teilen bestehen (wie \(k-1\)), nutze im Kopf Klammern, um Rechenfehler zu vermeiden. - Was passiert mit den Buchstaben im Exponenten, wenn du sie addierst oder subtrahierst? - Überprüfe bei jedem Schritt, ob das Vorzeichen des Ergebnisses korrekt ist (Minus mal Minus ergibt Plus). - Kannst du den Exponenten im Ergebnis noch weiter vereinfachen, indem du gleiche Variablen zusammenfasst?

1. Distributivgesetz anwenden: \(x^{k-1} \cdot x^{k+1} + x^{k-1} \cdot 5x^2\). Exponenten addieren: \((k-1) + (k+1) = 2k\) und \((k-1) + 2 = k+1\). Ergebnis: \(x^{2k} + 5x^{k+1}\). 2. Terme multiplizieren: \(6b^{2n} \cdot \frac{1}{3}b^{1-n} - 6b^{2n} \cdot 2b^n\). Koeffizienten berechnen: \(6 \cdot \frac{1}{3} = 2\) und \(6 \cdot 2 = 12\). Exponenten addieren: \(2n + (1-n) = n+1\) und \(2n + n = 3n\). Ergebnis: \(2b^{n+1} - 12b^{3n}\). 3. Vorzeichen und Exponenten beachten: \(-2z^m \cdot 3z^{p-m} - (-2z^m) \cdot z\). Multiplikation ergibt \(-6z^{m+p-m} + 2z^{m+1}\). Vereinfachung des Exponenten \(m+p-m = p\) führt zu \(-6z^p + 2z^{m+1}\).

1) \(x^{2k} + 5x^{k+1}\) 2) \(2b^{n+1} - 12b^{3n}\) 3) \(-6z^p + 2z^{m+1}\)