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- Erinnerst du dich an das Distributivgesetz? - Was passiert, wenn eine Zahl direkt vor oder hinter einer Klammer steht? - Achte darauf, jedes Glied in der Klammer mit dem Faktor zu multiplizieren. - Kannst du die Aufgabe in kleinere Teilrechnungen zerlegen?

1. Anwendung des Distributivgesetzes durch Multiplikation des Faktors außerhalb der Klammer mit jedem Summanden innerhalb der Klammer. 2. Berechnung der Produkte: 1) \(7 \cdot a + 7 \cdot 9 = 7a + 63\) 2) \(5x \cdot 3 - 4 \cdot 3 = 15x - 12\) 3) \(2 \cdot 6m + 2 \cdot 11n = 12m + 22n\) 4) \(8 \cdot 5 - 3y \cdot 5 = 40 - 15y\)

1) \(7a + 63\); 2) \(15x - 12\); 3) \(12m + 22n\); 4) \(40 - 15y\)

- Multipliziere zuerst die Zahlenwerte (Koeffizienten) miteinander. - Achte dabei besonders auf die Vorzeichenregeln: Minus mal Minus ergibt Plus. - Hänge die Variablen am Ende einfach alphabetisch geordnet an das Ergebnis an. - Bei Brüchen kannst du oft vor dem Ausrechnen kürzen.

1. Multiplikation der Koeffizienten \(-4 \cdot 7 = -28\) und der Variablen \(a \cdot b = ab\). Ergebnis: \(-28ab\). 2. Multiplikation der Koeffizienten \(1{,}2 \cdot (-5) = -6\) und der Variablen \(x \cdot y = xy\). Ergebnis: \(-6xy\). 3. Multiplikation der Brüche \((-\frac{2}{5}) \cdot (-\frac{5}{2}) = \frac{10}{10} = 1\). Das Produkt der Variablen ist \(p \cdot q = pq\). Ergebnis: \(pq\). 4. Multiplikation der drei Faktoren: \((-3) \cdot 2 \cdot (-4) = (-6) \cdot (-4) = 24\). Die Variablen ergeben \(m \cdot n = mn\). Ergebnis: \(24mn\).

a) \(-28ab\) b) \(-6xy\) c) \(pq\) d) \(24mn\)

- Achte besonders auf das Vorzeichen vor der zweiten Klammer beim Ausmultiplizieren. - Welche Teile des Terms enthalten eine Variable und welche nicht? Sortiere diese am besten zuerst. - Denk daran, dass „Minus mal Plus“ ein negatives Ergebnis ergibt.

1. Anwenden des Distributivgesetzes auf die erste Klammer: \(7 \cdot 3x + 7 \cdot (-4) = 21x - 28\). 2. Anwenden des Distributivgesetzes auf die zweite Klammer unter Berücksichtigung des Minuszeichens: \(-5 \cdot 2x - 5 \cdot 8 = -10x - 40\). 3. Zusammenfügen der Teilergebnisse: \(21x - 28 - 10x - 40\). 4. Zusammenfassen der Glieder mit \(x\): \(21x - 10x = 11x\). 5. Zusammenfassen der konstanten Glieder: \(-28 - 40 = -68\). 6. Endergebnis: \(11x - 68\).

\(11x - 68\)

- Achte besonders auf das Vorzeichen vor der Klammer, wenn du ausmultiplizierst. - Denk daran, dass du nur Glieder mit der gleichen Variablen zusammenfassen darfst. - Was passiert mit einer Zahl in der Klammer, wenn ein Minuszeichen vor der Klammer steht?

1. Teilaufgabe a: Anwenden des Distributivgesetzes ergibt \(8x - 20 + 3x\). Zusammenfassen der Glieder mit \(x\) führt zu \(11x - 20\). 2. Teilaufgabe b: Anwenden des Distributivgesetzes unter Beachtung des Minuszeichens ergibt \(15y - 15y + 6\). Zusammenfassen der Glieder mit \(y\) ergibt \(0y + 6\), also das Ergebnis \(6\). 3. Teilaufgabe c: Umstellen durch Kommutativgesetz ergibt \(8z + 4 - 2 \cdot (4z + 2)\). Anwenden des Distributivgesetzes ergibt \(8z + 4 - 8z - 4\). Zusammenfassen aller Glieder führt zum Ergebnis \(0\).

a) \(11x - 20\) b) \(6\) c) \(0\)

- Wie löst man eine Klammer auf, vor der ein Faktor steht? - Wenn zwei Terme nach dem Vereinfachen genau gleich aussehen, nennt man sie äquivalent. - Rechne für die Einsetzung in Aufgabenteil b am besten mit der ursprünglichen Form von \(T_1\), um dein Ergebnis aus Teil a zu überprüfen.

1. Vereinfachung von \(T_1\): Anwendung des Distributivgesetzes ergibt \(5 \cdot z - 5 \cdot 3 + 10 = 5z - 15 + 10 = 5z - 5\). 2. Berechnung für \(z = -2\): Für \(T_1\) gilt \(5 \cdot (-2) - 5 = -10 - 5 = -15\). Da \(T_2\) dieselbe Struktur hat, ergibt sich ebenfalls \(-15\). 3. Berechnung für \(z = 6\): Für \(T_1\) gilt \(5 \cdot 6 - 5 = 30 - 5 = 25\). Auch für \(T_2\) ergibt sich \(25\). 4. Äquivalenz: Da die Vereinfachung von \(T_1\) exakt den Term \(T_2\) ergibt, sind beide Terme für alle Einsetzungen äquivalent.

a) \(T_1 = 5z - 5\) b) Für \(z = -2\) ergibt sich bei beiden Termen \(-15\); für \(z = 6\) ergibt sich bei beiden Termen \(25\). c) Die Terme sind äquivalent, da sie nach dem Vereinfachen identisch sind.

- Was passiert mit den Vorzeichen, wenn man eine Klammer mit einer negativen Zahl multipliziert? - Rechne die linke und die rechte Seite getrennt aus und vergleiche die Ergebnisse. - Achte besonders auf das Produkt zweier negativer Zahlen.

1. Einsetzen von \(x = 10\) in den ersten Term: \(-3(10 - 5) = -3 \cdot 5 = -15\). 2. Einsetzen von \(x = 10\) in den zweiten Term: \(-3 \cdot 10 - 15 = -30 - 15 = -45\). 3. Vergleich: Da \(-15 \neq -45\), ist die Behauptung falsch. 4. Fehleranalyse: Tim hat das Minuszeichen vor der Klammer nicht korrekt auf beide Glieder in der Klammer angewendet. Er hat \(-3 \cdot (-5)\) fälschlicherweise als \(-15\) statt \(+15\) berechnet.

a) Für \(x = 10\) ergibt der erste Term \(-15\) und der zweite Term \(-45\). Damit ist die Behauptung falsch. b) Tim hat das Vorzeichen beim Ausmultiplizieren missachtet: \(-3 \cdot (-5)\) müsste \(+15\) ergeben, er hat aber \(-15\) geschrieben.

- Kannst du die Klammern zuerst auflösen? - Achte beim Zusammenfassen darauf, welche Teile ein \(x\) haben und welche nicht. - Was bedeutet es für zwei Terme, äquivalent zu sein?

1. Vereinfachung des ersten Terms: \(3 \cdot (4x - 5) + 8 = 12x - 15 + 8 = 12x - 7\). 2. Vereinfachung des zweiten Terms: \(2x + 5 \cdot (2x - 1) - 2 = 2x + 10x - 5 - 2 = 12x - 7\). 3. Da beide Terme nach dem Vereinfachen dieselbe Form \(12x - 7\) haben, sind sie äquivalent.

Ja, die Terme sind äquivalent, da beide zu \(12x - 7\) vereinfacht werden können.

- Beachte die Reihenfolge: zuerst Klammern, dann Punktrechnung, zuletzt Strichrechnung. - Fasse nur gleichartige Glieder zusammen. - Kontrolliere Vorzeichen besonders sorgfältig.

1. Teilaufgabe a): Auflösen der Minusklammer durch Umkehren der Vorzeichen im Inneren ergibt \(9a - 4a + 7b - 2b\). Zusammenfassen der Glieder mit \(a\) und der Glieder mit \(b\) führt zu \(5a + 5b\). 2. Teilaufgabe b): Ausmultiplizieren der Klammer ergibt \(12x - 4xy\). Der gesamte Ausdruck lautet dann \(12x - 4xy + 4xy - 10x\). Die Glieder \(-4xy\) und \(+4xy\) heben sich auf. Zusammenfassen von \(12x - 10x\) ergibt \(2x\).

a) \(5a + 5b\) b) \(2x\)

- Achte besonders auf das Minuszeichen vor einer Klammer. Was passiert mit den Vorzeichen im Inneren? - Überlege dir, welche Glieder „gleichartig“ sind. Darf man \(x\) und \(x^2\) zusammenzählen? - Löse zuerst die Klammern auf und beachte anschließend die Punkt-vor-Strich-Rechnung. - Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn du eine negative Zahl mit einer negativen Zahl in der Klammer multiplizierst?

1. Auflösen der Minusklammer in Teilaufgabe a) durch Umkehren aller Vorzeichen in der Klammer: \(15x - 4y + 10 - 6x - 2y + 3\). Zusammenfassen der \(x\)-Glieder (\(15-6=9\)), der \(y\)-Glieder (\(-4-2=-6\)) und der Konstanten (\(10+3=13\)) ergibt \(9x - 6y + 13\). 2. In Teilaufgabe b) die Klammer auflösen: \(4{,}2a^2 - 2a + 1{,}8a^2 + 5a\). Zusammenfassen der quadratischen Glieder (\(4{,}2+1{,}8=6\)) und der linearen Glieder (\(-2+5=3\)) ergibt \(6a^2 + 3a\). 3. In Teilaufgabe c) das Distributivgesetz anwenden: \(12 - 3x + 12 + 10 - 4x\). Zusammenfassen der Konstanten (\(12+12+10=34\)) und der \(x\)-Glieder (\(-3-4=-7\)) ergibt \(34 - 7x\).

a) \(9x - 6y + 13\) b) \(6a^2 + 3a\) c) \(34 - 7x\)

- Setze den angegebenen Wert für \(x\) in beide Terme ein und rechne Schritt für Schritt. - Wann nennt man zwei Terme „äquivalent“? - Gibt es eine Regel, wie man Klammern auflöst?

1. Einsetzen von \(x = 4\) in \(T_1\): \(3 \cdot (4 + 2) = 3 \cdot 6 = 18\). 2. Einsetzen von \(x = 4\) in \(T_2\): \(3 \cdot 4 + 2 = 12 + 2 = 14\). 3. Vergleich der Ergebnisse: Da \(18 \neq 14\), liefern die Terme für denselben Einsetzwert unterschiedliche Ergebnisse. 4. Schlussfolgerung: Die Terme sind nicht äquivalent. Eine korrekte Umformung von \(T_1\) nach dem Distributivgesetz wäre \(3x + 6\), was sich von \(T_2 = 3x + 2\) unterscheidet.

a) \(T_1 = 18\); \(T_2 = 14\) b) Die Terme sind nicht äquivalent, da sie für \(x = 4\) unterschiedliche Werte ergeben. Laut Distributivgesetz müsste die \(3\) mit beiden Summanden in der Klammer multipliziert werden (\(3x + 6\)).

- Was passiert mit den Exponenten, wenn du Variablen mit der gleichen Basis multiplizierst? - Achte besonders auf das Vorzeichen, wenn du mit einem negativen Term multiplizierst. - Gehe schrittweise vor und multipliziere den äußeren Term mit jedem Summanden in der Klammer einzeln.

1. Anwendung des Distributivgesetzes \(a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c\) und der Potenzregel \(x^n \cdot x^m = x^{n+m}\). 2. Teilaufgabe a): \(2x^3 \cdot 4x^2 - 2x^3 \cdot 5x + 2x^3 \cdot 1 = 8x^5 - 10x^4 + 2x^3\). 3. Teilaufgabe b): \(-ab^2 \cdot 3a^2b - (-ab^2) \cdot 2b + (-ab^2) \cdot 7 = -3a^3b^3 + 2ab^3 - 7ab^2\). 4. Teilaufgabe c): \(4s^2t^3 \cdot s^2 - 4s^2t^3 \cdot 3st + 4s^2t^3 \cdot 2t^2 = 4s^4t^3 - 12s^3t^4 + 8s^2t^5\).

a) \(8x^5 - 10x^4 + 2x^3\) b) \(-3a^3b^3 + 2ab^3 - 7ab^2\) c) \(4s^4t^3 - 12s^3t^4 + 8s^2t^5\)

- Erinnere dich an das Distributivgesetz: Ein Faktor vor der Klammer wird mit jedem Summanden in der Klammer multipliziert. - Achte besonders auf die Vorzeichen, wenn du eine negative Zahl oder Variable multiplizierst. - Denk daran, dass \(x \cdot x\) als \(x^2\) geschrieben wird. - Wie multipliziert man eine Dezimalzahl mit \(10\)?

1. Anwendung des Distributivgesetzes auf den ersten Term: \(7x \cdot 2x + 7x \cdot (-3y) = 14x^2 - 21xy\). 2. Anwendung des Distributivgesetzes auf den zweiten Term unter Beachtung der Vorzeichen: \(-3a \cdot 4b + (-3a) \cdot 2a = -12ab - 6a^2\). 3. Multiplikation der Dezimalzahl mit den Gliedern in der Klammer: \(0{,}4z \cdot 10z + 0{,}4z \cdot (-5) = 4z^2 - 2z\).

1) \(14x^2 - 21xy\) 2) \(-12ab - 6a^2\) 3) \(4z^2 - 2z\)

- Was besagt das Distributivgesetz für die Multiplikation einer Zahl mit einer Klammer? - Achte besonders auf das Vorzeichen, wenn du eine negative Zahl mit den Werten in der Klammer multiplizierst. - Denk daran, dass Variablen wie Platzhalter für Zahlen funktionieren – du multiplizierst die Koeffizienten und die Variablenfaktoren jeweils miteinander.

1. Multiplikation der Faktoren im ersten Term: \(9 \cdot 3x = 27x\) und \(9 \cdot (-5y) = -45y\). Ergebnis: \(27x - 45y\). 2. Multiplikation der Faktoren im zweiten Term unter Beachtung der Vorzeichen: \(-4 \cdot 2a = -8a\), \(-4 \cdot 6b = -24b\) und \(-4 \cdot (-3) = 12\). Ergebnis: \(-8a - 24b + 12\). 3. Multiplikation der Variablen und Koeffizienten im dritten Term: \(2m \cdot 4n = 8mn\) und \(2m \cdot (-7p) = -14mp\). Ergebnis: \(8mn - 14mp\).

1) \(27x - 45y\) 2) \(-8a - 24b + 12\) 3) \(8mn - 14mp\)

- Achte besonders auf die Vorzeichen beim Multiplizieren, vor allem wenn ein Minuszeichen vor dem Faktor steht. - Wie verändern sich die Exponenten der Variablen, wenn du sie miteinander multiplizierst? - Multipliziere den Faktor außerhalb der Klammer mit jedem einzelnen Summanden innerhalb der Klammer.

1. Multiplikation jedes Gliedes in der Klammer mit \(5a\) für Teilaufgabe a: \(5a \cdot 2a^2 = 10a^3\), \(5a \cdot (-3a) = -15a^2\) und \(5a \cdot 4 = 20a\). Resultat: \(10a^3 - 15a^2 + 20a\). 2. Multiplikation jedes Gliedes in der Klammer mit \(-2x^2\) für Teilaufgabe b: \(-2x^2 \cdot 3x = -6x^3\) und \(-2x^2 \cdot (-5) = 10x^2\). Resultat: \(-6x^3 + 10x^2\). 3. Multiplikation jedes Gliedes in der Klammer mit \(-3y\) für Teilaufgabe c: \(4y^2 \cdot (-3y) = -12y^3\), \(-y \cdot (-3y) = 3y^2\) und \(-6 \cdot (-3y) = 18y\). Resultat: \(-12y^3 + 3y^2 + 18y\).

a) \(10a^3 - 15a^2 + 20a\) b) \(-6x^3 + 10x^2\) c) \(-12y^3 + 3y^2 + 18y\)

- Erinnere dich an das Distributivgesetz: Jeder Teil innerhalb der Klammer muss mit dem Faktor davor multipliziert werden. - Achte besonders auf die Vorzeichen, wenn du mit negativen Zahlen multiplizierst. - Was passiert mit den Hochzahlen (Exponenten), wenn du gleiche Variablen miteinander multiplizierst? - Schreibe dir die Zwischenschritte einzeln auf, um Rechenfehler zu vermeiden.

1. Multiplikation der einzelnen Glieder in Aufgabenteil 1: \(5x \cdot 3x^2 = 15x^3\), \(5x \cdot (-2xy) = -10x^2y\) und \(5x \cdot 4y^2 = 20xy^2\). Zusammengefasst ergibt dies \(15x^3 - 10x^2y + 20xy^2\). 2. Multiplikation der Glieder in Aufgabenteil 2 unter Beachtung der Vorzeichen: \(-4ab \cdot 2a = -8a^2b\), \(-4ab \cdot (-5b) = 20ab^2\) und \(-4ab \cdot (-1) = 4ab\). Der Term lautet \(-8a^2b + 20ab^2 + 4ab\). 3. Multiplikation der Glieder in Aufgabenteil 3 mit dem Bruch: \(\frac{1}{2}m \cdot 4m^2 = 2m^3\), \(\frac{1}{2}m \cdot 8mn = 4m^2n\) und \(\frac{1}{2}m \cdot (-6n^2) = -3mn^2\). Das Ergebnis ist \(2m^3 + 4m^2n - 3mn^2\).

1) \(15x^3 - 10x^2y + 20xy^2\) 2) \(-8a^2b + 20ab^2 + 4ab\) 3) \(2m^3 + 4m^2n - 3mn^2\)

- Was besagt das Distributivgesetz für die Multiplikation einer Zahl mit einer Summe? - Achte besonders auf die Vorzeichenregeln: Was passiert, wenn du eine negative Zahl mit einer anderen negativen Zahl multiplizierst? - Vergiss nicht, den Faktor außerhalb der Klammer mit wirklich jedem Summanden innerhalb der Klammer zu multiplizieren. - Kannst du die Aufgabenstellung in eigenen Worten erklären?

1. Anwendung des Distributivgesetzes durch Multiplikation des Faktors mit jedem Glied in der Klammer: \(6 \cdot 3a + 6 \cdot (-4b) + 6 \cdot 7 = 18a - 24b + 42\). 2. Multiplikation mit einer negativen Zahl bewirkt einen Vorzeichenwechsel: \(x^2 \cdot (-3) - 2x \cdot (-3) - 5 \cdot (-3) = -3x^2 + 6x + 15\). 3. Multiplikation mit dem Dezimalfaktor \(0{,}4\): \(0{,}4 \cdot 10m + 0{,}4 \cdot (-5n) + 0{,}4 \cdot 15 = 4m - 2n + 6\). 4. Multiplikation mit dem negativen Bruch: \(9r \cdot \left(-\frac{2}{3}\right) + 6s \cdot \left(-\frac{2}{3}\right) - 3 \cdot \left(-\frac{2}{3}\right) = -6r - 4s + 2\).

1) \(18a - 24b + 42\); 2) \(-3x^2 + 6x + 15\); 3) \(4m - 2n + 6\); 4) \(-6r - 4s + 2\)

- Erinnere dich an das Distributivgesetz: Jeder Teil innerhalb der Klammer muss mit dem Faktor außerhalb der Klammer multipliziert werden. - Achte besonders auf die Vorzeichen, wenn du eine negative Zahl multiplizierst. - Denk an die Rechenregeln für Potenzen: Bei gleicher Basis werden die Exponenten addiert.

1. Anwendung des Distributivgesetzes durch Multiplikation jedes Summanden in der Klammer mit \(5x\): \(5x \cdot 3x^2 = 15x^3\), \(5x \cdot (-4x) = -20x^2\) und \(5x \cdot 2 = 10x\). 2. Zusammenfügen der Ergebnisse zum Term \(15x^3 - 20x^2 + 10x\). 3. Anwendung des Distributivgesetzes für den zweiten Aufgabenteil: \(-2ab \cdot 4a^2 = -8a^3b\), \(-2ab \cdot (-3ab) = 6a^2b^2\) und \(-2ab \cdot b^2 = -2ab^3\). 4. Zusammenfügen zum Term \(-8a^3b + 6a^2b^2 - 2ab^3\).

1) \(15x^3 - 20x^2 + 10x\) 2) \(-8a^3b + 6a^2b^2 - 2ab^3\)

- Rechne die Aufgabe zuerst selbstständig bis zum Ende durch, bevor du die Ergebnisse vergleichst. - Wurde wirklich jeder Summand in der Klammer mit dem Faktor davor multipliziert? - Was passiert mathematisch, wenn man eine Zahl mit \(1\) multipliziert?

1. Durchführung der Multiplikation mit dem Distributivgesetz: \(-3x^2 \cdot 2x = -6x^3\), \(-3x^2 \cdot (-4y) = 12x^2y\) und \(-3x^2 \cdot 1 = -3x^2\). 2. Das korrekte Gesamtergebnis lautet \(-6x^3 + 12x^2y - 3x^2\). 3. Vergleich der Ergebnisse: Sarah hat das richtige Ergebnis berechnet. 4. Fehleranalyse: Lukas hat den Faktor \(-3x^2\) nicht mit dem letzten Glied der Klammer (\(1\)) multipliziert, sondern lediglich die \(+1\) in eine \(-1\) geändert.

Sarah hat recht. Lukas hat den Fehler gemacht, das letzte Glied der Klammer (\(+1\)) nicht mit dem Faktor \(-3x^2\) zu multiplizieren.

- Kannst du die Klammern zuerst auflösen? - Achte besonders auf das Vorzeichen vor der Klammer. - Welche Glieder darfst du zusammenfassen? - Hilft es dir, die Glieder mit der gleichen Variable farbig zu markieren? - Überprüfe am Ende, ob du alle Terme in der Klammer mit dem Faktor davor multipliziert hast.

1. Schritt: Ausmultiplizieren beider Klammern unter Verwendung des Distributivgesetzes: \(5 \cdot x + 5 \cdot 2y + 3 \cdot 2x + 3 \cdot (-y) = 5x + 10y + 6x - 3y\). 2. Schritt: Zusammenfassen der gleichartigen Glieder: \((5 + 6)x + (10 - 3)y = 11x + 7y\). 3. Schritt: Ausmultiplizieren der Klammern im zweiten Teil unter Beachtung der Vorzeichen: \(8 \cdot a + 8 \cdot (-2b) - 2 \cdot 3a - 2 \cdot (-5b) = 8a - 16b - 6a + 10b\). 4. Schritt: Zusammenfassen der Glieder mit \(a\) und \(b\): \((8 - 6)a + (-16 + 10)b = 2a - 6b\).

1) \(11x + 7y\); 2) \(2a - 6b\)

- Was musst du beim Auflösen einer Klammer beachten, vor der ein Faktor mit einem Minuszeichen steht? - Sortiere die Terme nach ihren Variablen, bevor du sie addierst oder subtrahierst. - Denk daran, dass eine Variable ohne sichtbare Zahl davor den Koeffizienten 1 hat. - Achte besonders auf das Ergebnis von „Minus mal Minus“.

1. Auflösen der Klammern unter Beachtung der Vorzeichen und Faktoren: \(12u - 8v - 5u + 10v + 2v - 6u\) 2. Sortieren und Zusammenfassen der Terme mit \(u\): \(12u - 5u - 6u = u\) 3. Sortieren und Zusammenfassen der Terme mit \(v\): \(-8v + 10v + 2v = 4v\) 4. Endergebnis: \(u + 4v\)

\(u + 4v\)

- Kannst du den Term in kleinere Teile zerlegen und mit einem Teil beginnen? - Achte besonders auf die Vorzeichen, wenn du eine Klammer auflöst, vor der ein Minus steht. - Welche Teile des Terms enthalten dieselben Variablenkombinationen? - Überprüfe am Ende, ob du alle Produkte vollständig berechnet hast.

1. Ausmultiplizieren des ersten Produkts: \(5x \cdot x - 5x \cdot 2y = 5x^2 - 10xy\) 2. Ausmultiplizieren des zweiten Produkts unter Beachtung des Minuszeichens: \(-3y \cdot 4x - 3y \cdot (-y) = -12xy + 3y^2\) 3. Zusammenfügen aller Termglieder: \(5x^2 - 10xy - 12xy + 3y^2 + 22xy\) 4. Zusammenfassen der gleichartigen Glieder mit \(xy\): \((-10 - 12 + 22)xy = 0\) 5. Endergebnis: \(5x^2 + 3y^2\)

\(5x^2 + 3y^2\)

- Was musst du beim Auflösen einer Klammer beachten, wenn ein Minuszeichen oder ein negativer Faktor davorsteht? - Welche Teile des Terms darfst du zusammenfassen? - Es hilft oft, die Terme zuerst nach Variablen zu sortieren.

1. Auflösen der Klammern durch Multiplikation mit den Faktoren vor den Klammern: \( 6x - 12y - 4x + 10y - 3x - 3y \). 2. Zusammenfassen der Glieder mit \( x \): \( (6 - 4 - 3)x = -x \). 3. Zusammenfassen der Glieder mit \( y \): \( (-12 + 10 - 3)y = -5y \). 4. Endergebnis: \( -x - 5y \).

\( -x - 5y \)

- Achte beim Auflösen der Klammern besonders auf das Vorzeichen vor der Zahl, die mit der Klammer multipliziert wird. - Kannst du die Terme nach ihren Variablen sortieren, bevor du sie zusammenrechnest? - Denk daran, dass nur Terme mit genau den gleichen Variablenpotenzen (wie zum Beispiel \(x^2\)) zusammengefasst werden dürfen.

1. Ausmultiplizieren der ersten Klammer: \(4x \cdot 3x - 4x \cdot 2y = 12x^2 - 8xy\) 2. Ausmultiplizieren der zweiten Klammer (unter Beachtung des Vorzeichens): \(-2x \cdot y - 2x \cdot 5x = -2xy - 10x^2\) 3. Den gesamten Term aufschreiben: \(12x^2 - 8xy - 2xy - 10x^2 + 7xy\) 4. Sortieren und Zusammenfassen der Terme mit \(x^2\): \(12x^2 - 10x^2 = 2x^2\) 5. Sortieren und Zusammenfassen der Terme mit \(xy\): \(-8xy - 2xy + 7xy = -3xy\) 6. Endergebnis: \(2x^2 - 3xy\)

\(2x^2 - 3xy\)

- Erinnere dich an die Regel: Jeder Summand der ersten Klammer muss mit jedem Summanden der zweiten Klammer multipliziert werden. - Achte besonders auf die Vorzeichen, wenn du eine negative Zahl oder Variable multiplizierst. - Kannst du nach dem Ausmultiplizieren Glieder mit der gleichen Variable und dem gleichen Exponenten finden und zusammenfassen?

1. Anwendung des Distributivgesetzes auf \((x + 7) \cdot (x - 2)\): \(x \cdot x + x \cdot (-2) + 7 \cdot x + 7 \cdot (-2) = x^2 - 2x + 7x - 14\). Zusammenfassen der linearen Glieder ergibt \(x^2 + 5x - 14\). 2. Ausmultiplizieren von \((3a - 4) \cdot (2a + 5)\): \(3a \cdot 2a + 3a \cdot 5 - 4 \cdot 2a - 4 \cdot 5 = 6a^2 + 15a - 8a - 20\). Zusammenfassen ergibt \(6a^2 + 7a - 20\). 3. Ausmultiplizieren von \((5 - 2b) \cdot (b + 3)\): \(5 \cdot b + 5 \cdot 3 - 2b \cdot b - 2b \cdot 3 = 5b + 15 - 2b^2 - 6b\). Zusammenfassen und Sortieren nach Potenzen ergibt \(-2b^2 - b + 15\).

1) \(x^2 + 5x - 14\) 2) \(6a^2 + 7a - 20\) 3) \(-2b^2 - b + 15\)

- Denk an das Distributivgesetz: Multipliziere jedes Element der ersten Klammer mit jedem Element der zweiten Klammer. - Achte besonders auf die Vorzeichen bei der Multiplikation. - Schau nach dem Ausmultiplizieren, ob es Glieder gibt, die sich gegenseitig aufheben.

1. Ausmultiplizieren von Teil a): Jedes Glied der ersten Klammer wird mit jedem Glied der zweiten Klammer multipliziert: \(y \cdot y^2 + y \cdot (-4y) + y \cdot 16 + 4 \cdot y^2 + 4 \cdot (-4y) + 4 \cdot 16\). 2. Zusammenfassen der Terme in a): \(y^3 - 4y^2 + 16y + 4y^2 - 16y + 64\). Die Glieder \(-4y^2\) und \(+4y^2\) sowie \(+16y\) und \(-16y\) heben sich auf. Das Ergebnis ist \(y^3 + 64\). 3. Ausmultiplizieren von Teil b): \(z \cdot z^2 + z \cdot 2z + z \cdot 4 - 2 \cdot z^2 - 2 \cdot 2z - 2 \cdot 4\). 4. Zusammenfassen der Terme in b): \(z^3 + 2z^2 + 4z - 2z^2 - 4z - 8\). Die Glieder \(+2z^2\) und \(-2z^2\) sowie \(+4z\) und \(-4z\) heben sich auf. Das Ergebnis ist \(z^3 - 8\).

a) \(y^3 + 64\) b) \(z^3 - 8\)

- Stelle sicher, dass du jedes Element der ersten Klammer mit jedem Element der zweiten Klammer multiplizierst. - Achte besonders auf die Vorzeichen, wenn du eine negative Zahl multiplizierst. - Kannst du nach dem Ausmultiplizieren noch Summanden finden, die die gleiche Variable enthalten?

1. Anwendung des Distributivgesetzes (jeder Summand der ersten Klammer wird mit jedem Summanden der zweiten Klammer multipliziert): \(x \cdot x + x \cdot (-2) + 8 \cdot x + 8 \cdot (-2)\). Zusammenfassen der Terme mit \(x\): \(x^2 - 2x + 8x - 16 = x^2 + 6x - 16\). 2. Multiplikation der Glieder: \(a \cdot b + a \cdot 5 + (-4) \cdot b + (-4) \cdot 5\). Ergebnis: \(ab + 5a - 4b - 20\). 3. Multiplikation der Glieder: \(y \cdot y + y \cdot (-6) + (-3) \cdot y + (-3) \cdot (-6)\). Zusammenfassen der Terme mit \(y\): \(y^2 - 6y - 3y + 18 = y^2 - 9y + 18\).

1) \(x^2 + 6x - 16\) 2) \(ab + 5a - 4b - 20\) 3) \(y^2 - 9y + 18\)

- Achte darauf, jedes Glied der ersten Klammer mit jedem Glied der zweiten Klammer zu multiplizieren. - Beachte die Vorzeichenregeln, besonders wenn ein Minuszeichen vor einer Zahl oder Variable steht. - Überprüfe am Ende, ob du Terme mit den exakt gleichen Variablen und Potenzen noch addieren oder subtrahieren kannst.

1. Ausmultiplizieren: \(4x \cdot 2x + 4x \cdot (-5) + 3 \cdot 2x + 3 \cdot (-5) = 8x^2 - 20x + 6x - 15\). Zusammenfassen: \(8x^2 - 14x - 15\). 2. Ausmultiplizieren: \(a \cdot 2a + a \cdot b - 6b \cdot 2a - 6b \cdot b = 2a^2 + ab - 12ab - 6b^2\). Zusammenfassen: \(2a^2 - 11ab - 6b^2\). 3. Ausmultiplizieren: \(y^2 \cdot y^2 + y^2 \cdot (-4) + 3 \cdot y^2 + 3 \cdot (-4) = y^4 - 4y^2 + 3y^2 - 12\). Zusammenfassen: \(y^4 - y^2 - 12\).

1) \(8x^2 - 14x - 15\) 2) \(2a^2 - 11ab - 6b^2\) 3) \(y^4 - y^2 - 12\)

- Kannst du das Distributivgesetz anwenden, um die Klammern aufzulösen? - Achte beim Multiplizieren besonders auf die Vorzeichen (Minus mal Minus ergibt Plus). - Welche Terme haben die gleiche Potenz von \(x\) und können am Ende zusammengefasst werden? - Hilft es dir, die einzelnen Teilschritte der Multiplikation untereinander aufzuschreiben?

1. Multiplikation jedes Glieds der ersten Klammer mit jedem Glied der zweiten Klammer gemäß dem Distributivgesetz: \(4x \cdot 2x^2 + 4x \cdot x + 4x \cdot (-5) - 3 \cdot 2x^2 - 3 \cdot x - 3 \cdot (-5)\). 2. Berechnung der einzelnen Produkte: \(8x^3 + 4x^2 - 20x - 6x^2 - 3x + 15\). 3. Zusammenfassen der Terme mit gleichen Potenzen: \(8x^3 + (4 - 6)x^2 + (-20 - 3)x + 15 = 8x^3 - 2x^2 - 23x + 15\).

\(8x^3 - 2x^2 - 23x + 15\)

- Achte genau darauf, welche Teile des Terms in einer Klammer stehen. - Erinnere dich an die Regel „Punkt- vor Strichrechnung“. - Was passiert mit den Vorzeichen in einer Klammer, wenn ein Minuszeichen davor steht? - Überlege, auf welche Glieder sich ein Faktor direkt vor einer Klammer bezieht.

1. Anwendung des Distributivgesetzes auf den ersten Teil: \(5 \cdot 2x - 5 \cdot 4 = 10x - 20\). Anschließend Addition von \(3x\): \(10x - 20 + 3x = 13x - 20\). 2. Zuerst Punktrechnung: \(5 \cdot 2x = 10x\). Dann Auflösen der Minusklammer durch Vorzeichenumkehr: \(10x - 4 - 3x\). Zusammenfassen der \(x\)-Glieder: \(7x - 4\). 3. Zuerst Punktrechnung innerhalb der Klammer: \(10x - 4\). Da vor der Klammer kein Faktor steht und danach eine Addition folgt, können die Klammern weggelassen werden: \(10x - 4 + 3x\). Zusammenfassen ergibt \(13x - 4\).

1) \(13x - 20\) 2) \(7x - 4\) 3) \(13x - 4\)

- Denke daran, beim Einsetzen der Ausdrücke Klammern zu setzen. - Achte besonders auf das Minuszeichen vor einer Klammer und wie es die Vorzeichen im Inneren verändert. - Fasse am Ende alle Glieder mit der Variablen \(a\) und alle Zahlen ohne Variable zusammen.

1. Einsetzen der Ausdrücke für \(x\) und \(y\): \(5 \cdot (2a + 3) + 2 \cdot (a - 5)\). Ausmultiplizieren und Zusammenfassen: \(10a + 15 + 2a - 10 = 12a + 5\). 2. Einsetzen der Ausdrücke: \(3 \cdot (2a + 3) - 4 \cdot (a - 5)\). Auflösen der Klammern unter Beachtung des Minuszeichens: \(6a + 9 - 4a + 20 = 2a + 29\). 3. Berechnen der Differenz in der Klammer: \(x - y = (2a + 3) - (a - 5) = 2a + 3 - a + 5 = a + 8\). Multiplikation mit \(2\): \(2 \cdot (a + 8) = 2a + 16\).

1) \(12a + 5\) 2) \(2a + 29\) 3) \(2a + 16\)

- Multipliziere jeden Summanden der ersten Klammer mit jedem Summanden der zweiten Klammer. - Es sollten insgesamt vier Teilprodukte entstehen. - Überlege dir, wie du normalerweise \(32 \cdot 21\) untereinander rechnest. Wo tauchen dort die Zehner und Einer auf?

1. Anwendung des Distributivgesetzes: \((30 + 2) \cdot (20 + 1) = 30 \cdot 20 + 30 \cdot 1 + 2 \cdot 20 + 2 \cdot 1\). 2. Berechnung der Einzelwerte: \(30 \cdot 20 = 600\), \(30 \cdot 1 = 30\), \(2 \cdot 20 = 40\), \(2 \cdot 1 = 2\). 3. Addition der Werte: \(600 + 30 + 40 + 2 = 672\). 4. Vergleich mit schriftlicher Multiplikation: Bei der Rechnung \(32 \cdot 20\) erhält man \(640\) (entspricht \(600 + 40\)) und bei \(32 \cdot 1\) erhält man \(32\) (entspricht \(30 + 2\)). Zusammen ergibt dies ebenfalls \(672\).

a) \(30 \cdot 20 + 30 \cdot 1 + 2 \cdot 20 + 2 \cdot 1\) b) \(600 + 30 + 40 + 2 = 672\) c) Das Ergebnis ist \(672\). Bei der schriftlichen Multiplikation werden meist die Zeilen für die Multiplikation mit \(20\) (\(640\)) und mit \(1\) (\(32\)) gebildet.

- Zähle bei mehreren Faktoren die Anzahl der Minuszeichen; eine ungerade Anzahl führt zu einem negativen Ergebnis. - Bei der Suche nach einer Unbekannten in einem Produkt kannst du die Umkehroperation (Division) nutzen. - Denk beim Multiplizieren von Brüchen daran: Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner.

1. Multiplikation der Koeffizienten: \((-0{,}5) \cdot (-2) = 1\); dann \(1 \cdot (-7) = -7\). Die Variablen sind \(x, y, z\). Ergebnis: \(-7xyz\). 2. Die linke Seite der Gleichung ist \(-4 \cdot k \cdot ab\). Damit dies \(20ab\) ergibt, muss \(-4 \cdot k = 20\) gelten. Division durch \(-4\) ergibt \(k = -5\). 3. Multiplikation der Koeffizienten: \((-\frac{3}{4}) \cdot (-\frac{8}{9}) = \frac{3 \cdot 8}{4 \cdot 9} = \frac{24}{36}\). Kürzen mit \(12\) ergibt \(\frac{2}{3}\). Die Variablen sind \(u\) und \(v\). Ergebnis: \(\frac{2}{3}uv\).

1. \(-7xyz\) 2. \(k = -5\) 3. \(\frac{2}{3}uv\)

- Kannst du die Division als Multiplikation mit einem Bruch schreiben? - Denke daran, dass jedes Glied in der Klammer durch den Term hinter dem Geteiltzeichen dividiert werden muss. - Achte besonders auf die Vorzeichen, wenn du durch eine negative Zahl dividierst. - Was passiert mit den Exponenten der Variablen bei der Division?

1. Dividiere im ersten Teil jeden Summanden der Klammer einzeln durch den Divisor \(4y\): \(12x^2y : 4y = 3x^2\), \(-8xy : 4y = -2x\) und \(4y : 4y = 1\). Das ergibt den Term \(3x^2 - 2x + 1\). 2. Dividiere im zweiten Teil jeden Summanden der Klammer durch \(-5ab\). Beachte dabei die Vorzeichenregeln: \(-15a^3b^2 : (-5ab) = 3a^2b\), \(10a^2b : (-5ab) = -2a\) und \(-5ab : (-5ab) = 1\). Das ergibt den Term \(3a^2b - 2a + 1\).

a) \(3x^2 - 2x + 1\) b) \(3a^2b - 2a + 1\)

- Denke an das Verteilungsprinzip: Der Faktor vor der Klammer muss mit jedem Glied in der Klammer multipliziert werden. - Achte besonders auf die Vorzeichen innerhalb der Klammern. - Kannst du beim Multiplizieren von ganzen Zahlen mit Brüchen vorher kürzen?

1. Teilaufgabe a): Multiplikation jedes Summanden in der Klammer mit \(6\). Ergebnis: \(6 \cdot 2x - 6 \cdot \frac{2}{3} = 12x - 4\). 2. Teilaufgabe b): Multiplikation jedes Summanden mit \(\frac{3}{4}\). Ergebnisse: \(\frac{3}{4} \cdot 8a = 6a\), \(\frac{3}{4} \cdot 4b = 3b\), \(\frac{3}{4} \cdot 12 = 9\). Gesamtterm: \(6a + 3b - 9\). 3. Teilaufgabe c): Multiplikation jedes Summanden mit \(12\). Ergebnisse: \(12 \cdot \frac{x}{4} = 3x\), \(12 \cdot \frac{y}{3} = 4y\), \(12 \cdot \frac{1}{2} = 6\). Gesamtterm: \(3x + 4y - 6\).

a) \(12x - 4\) b) \(6a + 3b - 9\) c) \(3x + 4y - 6\)

- Berechne zuerst die Werte in den Klammern, bevor du multiplizierst. - Vergleiche die Ergebnisse der beiden Terme für jeden \(x\)-Wert zeilenweise. - Gibt es ein Gesetz, mit dem man Klammern auflösen kann?

1. Berechnung für Term \(A\): - \(x = 10 \Rightarrow 5 \cdot 10 - 15 = 50 - 15 = 35\) - \(x = 0 \Rightarrow 5 \cdot 0 - 15 = -15\) - \(x = -2 \Rightarrow 5 \cdot (-2) - 15 = -10 - 15 = -25\) 2. Berechnung für Term \(B\): - \(x = 10 \Rightarrow 5 \cdot (10 - 3) = 5 \cdot 7 = 35\) - \(x = 0 \Rightarrow 5 \cdot (0 - 3) = 5 \cdot (-3) = -15\) - \(x = -2 \Rightarrow 5 \cdot (-2 - 3) = 5 \cdot (-5) = -25\) 3. Vergleich und Begründung: - Die Ergebnisse für beide Terme sind bei allen eingesetzten Werten identisch. - Dies liegt am Distributivgesetz: \(5 \cdot (x - 3) = 5 \cdot x - 5 \cdot 3 = 5x - 15\). Die Terme sind äquivalent.

a) Für \(x = 10\) ergeben beide Terme \(35\); für \(x = 0\) ergeben beide \(-15\); für \(x = -2\) ergeben beide \(-25\). b) Die Ergebnisse sind immer gleich. Das liegt am Distributivgesetz, durch das man \(5 \cdot (x - 3)\) zu \(5 \cdot x - 15\) ausmultiplizieren kann.

- Es hilft oft, von innen nach außen vorzugehen, wenn Klammern ineinander stehen. - Was passiert mit den Vorzeichen in einer Klammer, wenn ein Minuszeichen direkt davor steht? - Versuche, den Inhalt der großen Klammer erst komplett zu vereinfachen, bevor du die äußere Subtraktion ausführst.

1. Auflösen der inneren Klammern im Klammerausdruck: \(3 \cdot (a + 5) = 3a + 15\). Anschließend wird das Minuszeichen vor der zweiten inneren Klammer berücksichtigt: \(-(2a - 7) = -2a + 7\). 2. Vereinfachen des Ausdrucks innerhalb der großen Klammer: \(3a + 15 - 2a + 7 = a + 22\). 3. Den gesamten Term mit der äußeren Subtraktion schreiben: \(24 - (a + 22)\). 4. Auflösen der letzten Klammer durch Vorzeichenumkehr: \(24 - a - 22\). 5. Zusammenfassen der Zahlen: \(24 - 22 = 2\). 6. Endergebnis: \(2 - a\) (oder \(-a + 2\)).

\(2 - a\)

- Vereinfache beide Terme unabhängig voneinander so weit wie möglich. - Wenn am Ende bei beiden genau derselbe Ausdruck steht, sind sie äquivalent. - Achte beim ersten Term besonders auf die Subtraktion der Klammer \((5z - 8)\).

1. Vereinfachung von \(T_1\): Ausmultiplizieren ergibt \(8z - 12\). Auflösen der zweiten Klammer mit Minuszeichen ergibt \(-5z + 8\). Zusammenfassen: \(8z - 5z - 12 + 8 = 3z - 4\). 2. Vereinfachung von \(T_2\): Ausmultiplizieren ergibt \(3z - 6\). Addieren der \(2\): \(3z - 6 + 2 = 3z - 4\). 3. Vergleich der Ergebnisse: Da beide Terme vereinfacht \(3z - 4\) ergeben, sind sie äquivalent.

Ja, die Terme sind äquivalent, da beide vereinfacht \(3z - 4\) ergeben.

- Multipliziere zuerst beide Klammern einzeln aus. - Achte genau darauf, wie man eine negative Zahl mit einer anderen negativen Zahl multipliziert. - Vergleiche deinen Rechenweg Schritt für Schritt mit den Rechnungen von Lukas und Mia.

1. Multiplikation der ersten Klammer: \(6 \cdot a + 6 \cdot 2 = 6a + 12\). 2. Multiplikation der zweiten Klammer unter Berücksichtigung des negativen Faktors \(-3\): \(-3 \cdot 2a = -6a\) und \(-3 \cdot (-4) = +12\). 3. Gesamter Term nach dem Ausmultiplizieren: \(6a + 12 - 6a + 12\). 4. Zusammenfassen der Glieder: \(6a - 6a = 0\) und \(12 + 12 = 24\). 5. Ergebnis: Mia hat recht. Lukas hat beim Ausmultiplizieren der zweiten Klammer das Vorzeichen falsch gesetzt (\(-3 \cdot -4\) ergibt \(+12\), nicht \(-12\)).

Mia hat recht. Das korrekte Ergebnis ist \(24\). Lukas hat einen Vorzeichenfehler beim Ausmultiplizieren der zweiten Klammer gemacht (\(-3 \cdot (-4)\) muss \(+12\) ergeben).

- Achte besonders auf das Minuszeichen vor der \(4\), wenn du die Klammer auflöst. - „Minus mal Minus ergibt Plus“ – ist das hier an einer Stelle wichtig? - Denke daran, dass \(+ a\) das Gleiche ist wie \(+ 1a\).

1. Auflösen der Klammer: Das Distributivgesetz unter Berücksichtigung des negativen Vorfaktors ergibt \(-4 \cdot 2a = -8a\) und \(-4 \cdot (-3) = +12\). Der Term lautet nun: \(18 - 8a + 12 + a\). 2. Zusammenfassen: Die Zahlen ohne Variable ergeben \(18 + 12 = 30\). Die Glieder mit \(a\) ergeben \(-8a + a = -7a\). Der vereinfachte Term ist \(30 - 7a\). 3. Berechnung für \(a = -1\): \(30 - 7 \cdot (-1) = 30 + 7 = 37\). 4. Berechnung für \(a = 5\): \(30 - 7 \cdot 5 = 30 - 35 = -5\).

Vereinfachter Term: \(30 - 7a\). Wert für \(a = -1\): \(37\). Wert für \(a = 5\): \(-5\).

- Was bedeutet es für das Ergebnis, wenn ein Term nach der Vereinfachung genau so aussieht wie ein anderer? - Musst du für die Wertberechnung den komplizierten oder den vereinfachten Term nutzen? - Überprüfe, ob sich bestimmte Zahlen im Term gegenseitig aufheben.

1. Term \(T_1\) durch Ausmultiplizieren der Klammer vereinfachen: \(4 \cdot k + 4 \cdot 2 - 3k - 8 = 4k + 8 - 3k - 8\). 2. Glieder mit \(k\) und Glieder ohne Variable zusammenfassen: \((4k - 3k) + (8 - 8) = 1k + 0 = k\). 3. Vergleich: Da die Vereinfachung von \(T_1\) exakt den Term \(T_2\) ergibt, sind sie äquivalent. 4. Wertberechnung: Da \(T_1 = k\), ist der Wert für \(k = 12{,}5\) einfach \(12{,}5\).

Die Terme \(T_1\) und \(T_2\) sind äquivalent, da \(T_1\) vereinfacht ebenfalls \(k\) ergibt. Der Wert für \(k = 12{,}5\) ist \(12{,}5\).

- Erstelle für jede Vorschrift einen eigenen mathematischen Ausdruck. - Achte besonders bei Vorschrift A darauf, wie du „das gesamte Ergebnis“ einer Addition multiplizierst. - Nutze das Distributivgesetz (Ausmultiplizieren), um Klammern aufzulösen. - Fasse alle gleichen Bestandteile (Variablen und reine Zahlen) so weit wie möglich zusammen.

1. Aufstellen des Terms für Vorschrift A: Unter Verwendung von Klammern für die Summe ergibt sich \(T_A = 3 \cdot (x + 4)\). 2. Ausmultiplizieren von \(T_A\): Durch Anwendung des Distributivgesetzes erhält man \(T_A = 3x + 12\). 3. Aufstellen des Terms für Vorschrift B: Die Summe aus dem Doppelten und der Zahl selbst plus 12 ergibt \(T_B = 2x + x + 12\). 4. Vereinfachen von \(T_B\): Durch Zusammenfassen der \(x\)-Glieder erhält man \(T_B = 3x + 12\). 5. Vergleich: Da beide vereinfachten Terme identisch sind (\(3x + 12 = 3x + 12\)), liefern beide Vorschriften für jedes \(x\) das gleiche Ergebnis.

Ja, beide Vorschriften führen zum gleichen Ergebnis. Term A ist \(3 \cdot (x + 4) = 3x + 12\) und Term B ist \(2x + x + 12 = 3x + 12\). Da beide Terme äquivalent sind, ist das Ergebnis immer identisch.

- Was bedeutet das Gleichheitszeichen bei einer Probe? - Wie multipliziert man eine Summe in einer Klammer mit einem Faktor davor? - Überprüfe Linas ersten Schritt ganz genau.

1. Probe: Einsetzen von \(x = 4{,}25\) in die linke Seite der Ausgangsgleichung: \(4 \cdot (4{,}25 + 3) = 4 \cdot 7{,}25 = 29\). 2. Vergleich: Da \(29 \neq 20\), ist \(x = 4{,}25\) keine Lösung der Gleichung. 3. Fehleranalyse: Der Fehler geschah in Schritt 1. Lina hat das Distributivgesetz falsch angewendet. Sie hat zwar die \(4\) mit dem \(x\) multipliziert, aber vergessen, auch die \(3\) mit der \(4\) zu multiplizieren. Korrekt wäre \(4x + 12 = 20\).

a) Die Probe ergibt \(29 = 20\), was eine falsche Aussage ist. Somit ist das Ergebnis nicht korrekt. b) Der Fehler liegt in Schritt 1. Lina hat beim Auflösen der Klammer nur das \(x\) mit \(4\) multipliziert, nicht aber die \(3\).

- Vereinfache den ersten Term so weit wie möglich. - Multipliziere den zweiten Term aus, sodass er eine ähnliche Form wie der erste Term hat. - Welche Zahl muss \(a\) sein, damit die festen Zahlen in beiden Termen identisch sind?

1. Vereinfachung von \(T_1\): Durch Auflösen der Klammer und Zusammenfassen erhält man \(5k - 2k + 12 = 3k + 12\). 2. Ausmultiplizieren von \(T_2\): Der Term ergibt \(3k + 3a\). 3. Vergleich der Terme: Damit \(3k + 12 = 3k + 3a\) für alle \(k\) gilt, müssen die konstanten Glieder übereinstimmen: \(12 = 3a\). 4. Berechnung von \(a\): Division durch 3 ergibt \(a = 4\).

Damit die Terme äquivalent sind, muss \(a = 4\) sein.

- Bei Brüchen hilft es, sie zuerst auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen, bevor du sie addierst oder subtrahierst. - Arbeite dich bei geschachtelten Klammern (eckige und runde Klammern) immer von innen nach außen vor. - Produkte von Variablen wie \(a \cdot b\) schreibt man kurz als \(ab\). Nur identische Kombinationen wie \(ab\) können miteinander verrechnet werden.

1. In Teilaufgabe a) die Klammer auflösen: \(\frac{2}{5}m - \frac{1}{10}m + \frac{3}{4}n + \frac{1}{2}n\). Hauptnenner für \(m\) ist \(10\), für \(n\) ist \(4\). Rechnung: \((\frac{4}{10} - \frac{1}{10})m + (\frac{3}{4} + \frac{2}{4})n = \frac{3}{10}m + \frac{5}{4}n\). 2. In Teilaufgabe b) Produkte berechnen und ausmultiplizieren: \(12ab - (2ab + 10a) + ab = 12ab - 2ab - 10a + ab\). Zusammenfassen ergibt \(11ab - 10a\). 3. In Teilaufgabe c) die inneren Klammern zuerst auflösen: \(x^2 - [4x - 2x^2 - x] + 7 = x^2 - [3x - 2x^2] + 7\). Dann die äußere Klammer auflösen: \(x^2 - 3x + 2x^2 + 7\). Zusammenfassen ergibt \(3x^2 - 3x + 7\).

a) \(\frac{3}{10}m + \frac{5}{4}n\) b) \(11ab - 10a\) c) \(3x^2 - 3x + 7\)

- Setze die gegebenen Zahlen schrittweise in jeden der drei Terme ein. - Erinnere dich an das Distributivgesetz: Wie wird eine Zahl mit einer Differenz in einer Klammer multipliziert? - Achte darauf, dass beim Term \(T_3\) beide Variablen mit dem Faktor multipliziert werden müssen. - Vergleiche die Endergebnisse der drei Terme für jede Teilaufgabe.

1. Berechnung für \(a = 5;\ b = 3\): \(T_1 = 2 \cdot (5 - 3) = 4\); \(T_2 = 2 \cdot 5 - 3 = 7\); \(T_3 = 2 \cdot 5 - 2 \cdot 3 = 4\). 2. Berechnung für \(a = 1{,}5;\ b = 2\): \(T_1 = 2 \cdot (1{,}5 - 2) = -1\); \(T_2 = 2 \cdot 1{,}5 - 2 = 1\); \(T_3 = 2 \cdot 1{,}5 - 2 \cdot 2 = -1\). 3. Berechnung für \(a = \frac{1}{2};\ b = \frac{1}{4}\): \(T_1 = 2 \cdot (\frac{2}{4} - \frac{1}{4}) = \frac{1}{2}\); \(T_2 = 2 \cdot \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}\); \(T_3 = 2 \cdot \frac{1}{2} - 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2}\). 4. Vergleich der Ergebnisse: In allen drei Fällen liefern \(T_1\) und \(T_3\) denselben Wert, während \(T_2\) abweicht. 5. Algebraischer Nachweis: Mit dem Distributivgesetz gilt \(T_1=2\cdot(a-b)=2a-2b=T_3\). Daher sind \(T_1\) und \(T_3\) für alle zulässigen Werte äquivalent. Dass \(T_2\) nicht äquivalent ist, zeigt bereits ein Gegenbeispiel aus der Tabelle.

Die Terme \(T_1\) und \(T_3\) sind äquivalent, denn \(2\cdot(a-b)=2a-2b\). \(T_2\) ist nicht äquivalent.

- Multipliziere zuerst die erste Klammer aus und löse anschließend die Minusklammer auf. - Vergiss nicht, dass sich beim Auflösen einer Minus-Klammer alle Vorzeichen im Inneren umkehren. - Achte darauf, dass die Zahl ohne Variable am Ende allein stehen bleibt.

1. Umwandlung der Brüche in Dezimalzahlen: \(1\frac{1}{4} = 1{,}25\) und \(1\frac{3}{5} = 1{,}6\). 2. Anwendung des Distributivgesetzes auf die erste Klammer: \(1{,}25 \cdot 2{,}4a - 1{,}25 \cdot 4b = 3a - 5b\). 3. Auflösen der zweiten Klammer unter Berücksichtigung des negativen Vorzeichens: \(-(0{,}75a - 1{,}6b + 2) = -0{,}75a + 1{,}6b - 2\). 4. Zusammenfassen der Terme mit gleichen Variablen: \((3 - 0{,}75)a + (-5 + 1{,}6)b - 2\). 5. Endergebnis berechnen: \(2{,}25a - 3{,}4b - 2\).

\(2{,}25a - 3{,}4b - 2\)

- Welche Vorzeichenregeln gelten bei der Multiplikation von negativen Zahlen? - Wie multipliziert man einen Bruch oder eine Dezimalzahl mit einer ganzen Zahl? - Achte darauf, dass das Minuszeichen vor einem Faktor das Vorzeichen jedes Gliedes in der Klammer umkehrt. - Gibt es einen Unterschied, ob die Klammer zwei oder drei Glieder enthält?

1. Anwendung des Distributivgesetzes unter Berücksichtigung der Vorzeichenregeln und rationaler Zahlen. 2. Schrittweise Berechnung: 1) Multiplikation mit \(-3\): \(-3 \cdot 4k - (-3) \cdot 7 = -12k + 21\). 2) Multiplikation mit der Dezimalzahl \(1{,}2\): \(1{,}2 \cdot 5p + 1{,}2 \cdot 10q = 6p + 12q\). 3) Multiplikation von drei Gliedern mit \(-4\): \(-4 \cdot 2r - (-4) \cdot 5s + (-4) \cdot 6 = -8r + 20s - 24\). 4) Multiplikation mit dem Bruch \(\frac{3}{4}\): \(\frac{3}{4} \cdot 8x - \frac{3}{4} \cdot 12 = 6x - 9\).

1) \(-12k + 21\); 2) \(6p + 12q\); 3) \(-8r + 20s - 24\); 4) \(6x - 9\)

- Überlege dir, womit man den ersten Teil in der Klammer multiplizieren muss, um auf das erste Ergebnis nach dem Gleichheitszeichen zu kommen. - Du kannst die Division als Umkehroperation zur Multiplikation nutzen, um die fehlenden Teile zu finden. - Achte auch hier genau auf die Vorzeichen und die Potenzen der Variablen.

1. Bestimmung der ersten Lücke: Division des ersten Gliedes des Ergebnisses durch das erste Glied der Klammer: \(12x^2 : 3x = 4x\). Die Probe bestätigt \(4x \cdot (-4y) = -16xy\). 2. Bestimmung der zweiten Lücke: Division des zweiten Gliedes des Ergebnisses durch den Vorfaktor: \(-15b^2 : (-5b) = 3b\). Die Probe bestätigt \(-5b \cdot 2a = -10ab\). 3. Bestimmung der dritten Lücke: Division des ersten Gliedes des Ergebnisses durch den Vorfaktor: \(x^2 : x = x\). Die Probe bestätigt \(x \cdot (-7) = -7x\).

a) \(4x\) b) \(3b\) c) \(x\)

- Bei den Lückenaufgaben hilft es, das Ergebnis durch den bekannten Faktor zu teilen. - Überprüfe bei der zweiten Aufgabe, ob dein gefundener Faktor für beide Teile in der Klammer das richtige Vorzeichen ergibt. - Beim dritten Teil ist der Faktor vor der zweiten Klammer \(-4\); multipliziere damit jedes Glied der Klammer. - Sortiere beim Zusammenfassen die Terme so, dass Gleiches zu Gleichem kommt.

1. Vergleich der rechten Seite \(7x + 21y\) mit dem Produkt \(7 \cdot x + 7 \cdot \Box\). Da \(7 \cdot 3y = 21y\), ist der gesuchte Term \(3y\). 2. Bestimmung des Faktors durch Vergleich der Glieder: \(-8a : 4a = -2\) und \(10 : (-5) = -2\). Der Faktor ist \(-2\). 3. Erstes Ausmultiplizieren: \(5 \cdot 2z - 5 \cdot 1 = 10z - 5\). Zweites Ausmultiplizieren mit Beachtung des Minuszeichens: \(-4 \cdot z - 4 \cdot 3 = -4z - 12\). Zusammenfassen der Terme: \(10z - 4z = 6z\) und \(-5 - 12 = -17\). Ergebnis: \(6z - 17\).

1) \(\Box = 3y\) 2) \(\Box = -2\) 3) \(6z - 17\)

- Überlege dir zuerst, welches Vorzeichen das jeweilige Teilergebnis haben muss. - Vergiss nicht, dass auch Brüche und Dezimalzahlen nach den gleichen Regeln wie ganze Zahlen multipliziert werden. - Denk daran: \(x^a \cdot x^b = x^{a+b}\). Was bedeutet das für den Exponenten, wenn eine Variable ohne sichtbare Hochzahl (wie \(x\)) dasteht?

1. Anwendung des Distributivgesetzes für Teilaufgabe a: \(\frac{2}{3}z \cdot 6z^2 = 4z^3\), \(\frac{2}{3}z \cdot (-9z) = -6z^2\) und \(\frac{2}{3}z \cdot 12 = 8z\). Resultat: \(4z^3 - 6z^2 + 8z\). 2. Anwendung des Distributivgesetzes für Teilaufgabe b: \(-1{,}5m \cdot 2m^2 = -3m^3\), \(-1{,}5m \cdot (-4m) = 6m^2\) und \(-1{,}5m \cdot 6 = -9m\). Resultat: \(-3m^3 + 6m^2 - 9m\). 3. Anwendung des Distributivgesetzes für Teilaufgabe c: \(10x^3 \cdot (-\frac{1}{5}x) = -2x^4\), \(-5x^2 \cdot (-\frac{1}{5}x) = x^3\) und \(25x \cdot (-\frac{1}{5}x) = -5x^2\). Resultat: \(-2x^4 + x^3 - 5x^2\).

a) \(4z^3 - 6z^2 + 8z\) b) \(-3m^3 + 6m^2 - 9m\) c) \(-2x^4 + x^3 - 5x^2\)

- Überprüfe für jeden Teil der Klammer, ob die Multiplikation korrekt durchgeführt wurde. - Achte auf die Vorzeichen: Hat sich das Vorzeichen jedes Gliedes in der Klammer so verändert, wie es die Regeln vorschreiben? - Wurde der Faktor vor der Klammer auch mit dem zweiten oder dritten Glied in der Klammer verrechnet? - Was bedeutet ein Minuszeichen direkt vor einer Klammer für die Vorzeichen im Inneren?

1. Überprüfung von Gleichung 1: Der Faktor \(5\) muss mit beiden Gliedern multipliziert werden. Fehler: \(5 \cdot 4 = 20\), nicht \(4\). Korrekt: \(5x - 20\). 2. Überprüfung von Gleichung 2: Multiplikation einer negativen Zahl mit einer positiven Zahl ergibt ein negatives Ergebnis. Fehler: \(-2 \cdot 3 = -6\), nicht \(+6\). Korrekt: \(-2a - 6\). 3. Überprüfung von Gleichung 3: Das Minuszeichen vor der Klammer entspricht einer Multiplikation mit \(-1\) und dreht alle Vorzeichen in der Klammer um. Fehler: Aus \(-n\) muss \(+n\) werden. Korrekt: \(-3m + n - 2\).

1) \(5x - 20\); 2) \(-2a - 6\); 3) \(-3m + n - 2\)

- Was passiert mit den Vorzeichen in der Klammer, wenn du mit einer negativen Zahl multiplizierst? - Kannst du die Glieder in der Klammer einzeln mit dem Faktor davor multiplizieren? - Achte darauf, dass nur Glieder mit genau denselben Variablen addiert oder subtrahiert werden können. - Vergiss nicht, auch die Zahlen ohne Variablen am Ende zusammenzurechnen.

1. Schritt: Anwendung des Distributivgesetzes auf die Klammern im ersten Teil: \(9k - 18m - 6k + 15m\). 2. Schritt: Zusammenfassen der Variablen \(k\) und \(m\): \((9 - 6)k + (-18 + 15)m = 3k - 3m\). 3. Schritt: Ausmultiplizieren der Klammern im zweiten Teil (Beachtung der drei Glieder in der Klammer und des negativen Faktors): \(12u - 6v + 15 - 10u - 2v + 6\). 4. Schritt: Zusammenfassen der Variablen \(u\), \(v\) und der konstanten Zahlen: \((12 - 10)u + (-6 - 2)v + (15 + 6) = 2u - 8v + 21\).

1) \(3k - 3m\); 2) \(2u - 8v + 21\)

- Wann genau sind zwei Terme in der Mathematik „äquivalent“? - Konzentriere dich zuerst darauf, den komplizierteren Term \(T_1\) schrittweise zu vereinfachen. - Welche Rechenregel hilft dir dabei, Klammern wie \(3 \cdot (2a + b)\) aufzulösen? - Achte beim zweiten Teil des Terms \(T_1\) genau auf das Minuszeichen vor der 4.

1. Term \(T_1\) durch Ausmultiplizieren der Klammern umformen: \(3 \cdot 2a + 3 \cdot b - 4 \cdot a - 4 \cdot (-b) = 6a + 3b - 4a + 4b\) 2. Zusammenfassen der gleichartigen Glieder in \(T_1\): \((6 - 4)a + (3 + 4)b = 2a + 7b\) 3. Vergleich der Ergebnisse: Der vereinfachte Term \(2a + 7b\) ist identisch mit \(T_2\). 4. Schlussfolgerung: Die Terme \(T_1\) und \(T_2\) sind äquivalent.

Ja, die Terme sind äquivalent, da die Vereinfachung von \(T_1\) ebenfalls \(2a + 7b\) ergibt.

- Was passiert mit den Vorzeichen innerhalb der Klammer, wenn du mit einer negativen Zahl multiplizierst? - Erinnerst du dich daran, dass die Reihenfolge der Variablen in einem Produkt (wie \(km\) und \(mk\)) keine Rolle spielt? - Gibt es Terme, die sich gegenseitig aufheben? - Wie multipliziert man eine Dezimalzahl mit einer ganzen Zahl?

1. Ausmultiplizieren der ersten Klammer: \(0{,}5k \cdot 4k - 0{,}5k \cdot 6m = 2k^2 - 3km\) 2. Ausmultiplizieren der zweiten Klammer unter Beachtung des negativen Faktors \(-2m\): \(-2m \cdot k - 2m \cdot (-3m) = -2mk + 6m^2\) 3. Den gesamten Term aufschreiben: \(2k^2 - 3km - 2mk + 6m^2 - 2k^2\) 4. Zusammenfassen der Glieder mit \(k^2\): \(2k^2 - 2k^2 = 0\) 5. Zusammenfassen der Glieder mit \(km\) (beachte \(km = mk\)): \(-3km - 2km = -5km\) 6. Endergebnis: \(-5km + 6m^2\) oder \(6m^2 - 5km\)

\(6m^2 - 5km\)

- Erinnere dich an das Distributivgesetz: Ein Faktor vor der Klammer wird mit jedem Summanden in der Klammer multipliziert. - Achte besonders auf die Vorzeichenregeln, wenn du eine negative Zahl multiplizierst. - Was passiert mit den Hochzahlen (Exponenten), wenn du eine Variable mit sich selbst multiplizierst? - Kannst du die Rechnung in drei kleine Einzelrechnungen aufteilen?

1. Anwendung des Distributivgesetzes durch Multiplikation des Monoms mit jedem Glied der Klammer: \( (-1{,}5a \cdot 4a^2) + (-1{,}5a \cdot (-2a)) + (-1{,}5a \cdot 0{,}8) \). 2. Berechnung des ersten Teilprodukts unter Beachtung der Vorzeichen und Exponenten: \( -1{,}5 \cdot 4 = -6 \) und \( a \cdot a^2 = a^3 \), ergibt \( -6a^3 \). 3. Berechnung des zweiten Teilprodukts: \( -1{,}5 \cdot (-2) = 3 \) und \( a \cdot a = a^2 \), ergibt \( 3a^2 \). 4. Berechnung des dritten Teilprodukts: \( -1{,}5 \cdot 0{,}8 = -1{,}2 \), ergibt \( -1{,}2a \). 5. Zusammenführen der Ergebnisse zum Endterm: \( -6a^3 + 3a^2 - 1{,}2a \).

\( -6a^3 + 3a^2 - 1{,}2a \)

- Achte besonders auf die Vorzeichen, wenn du eine Klammer mit einem Minus davor auflöst. - Was bedeutet ein Minus direkt vor einer Klammer für die Vorzeichen innerhalb der Klammer? - Denk daran, dass Zahlen ohne Variable nur mit anderen Zahlen ohne Variable verrechnet werden können.

1. Auflösen der Klammern unter Beachtung der Vorzeichenregeln: \( -6x + 3y - 12 + 6x + 4y - 2 - 5y + 10 \). 2. Zusammenfassen der \( x \)-Glieder: \( -6x + 6x = 0 \). 3. Zusammenfassen der \( y \)-Glieder: \( 3y + 4y - 5y = 2y \). 4. Zusammenfassen der konstanten Zahlen: \( -12 - 2 + 10 = -4 \). 5. Ergebnis: \( 2y - 4 \).

\( 2y - 4 \)

- Was passiert mit dem Vorzeichen innerhalb der Klammer, wenn du mit einer negativen Zahl multiplizierst? - Es hilft oft, zuerst alle Klammern einzeln aufzulösen und die Ergebnisse in eine lange Zeile zu schreiben. - Markiere dir Terme mit gleichen Variablen (z. B. alle \(a^2\)) in der gleichen Farbe, um den Überblick zu behalten.

1. Erstes Produkt ausmultiplizieren: \(2a \cdot 4b + 2a \cdot (-3a) = 8ab - 6a^2\) 2. Zweites Produkt ausmultiplizieren (Minuszeichen vor der 5 beachten): \(-5 \cdot a^2 - 5 \cdot (-2ab) = -5a^2 + 10ab\) 3. Drittes Produkt ausmultiplizieren (Minuszeichen vor dem \(a\) beachten): \(-a \cdot 3a - a \cdot b = -3a^2 - ab\) 4. Alle Teilterme zusammenführen: \(8ab - 6a^2 - 5a^2 + 10ab - 3a^2 - ab\) 5. Glieder mit \(a^2\) zusammenfassen: \(-6a^2 - 5a^2 - 3a^2 = -14a^2\) 6. Glieder mit \(ab\) zusammenfassen: \(8ab + 10ab - ab = 17ab\) 7. Ergebnis: \(-14a^2 + 17ab\)

\(-14a^2 + 17ab\)

- In welcher Reihenfolge löst man geschachtelte Klammern am besten auf? - Achte besonders auf das Vorzeichen, wenn eine negative Zahl vor der Klammer steht. - Kannst du den Ausdruck innerhalb der eckigen Klammer vereinfachen, bevor du ihn mit 5 multiplizierst? - Überprüfe am Ende, ob du alle Terme mit \(x\) und alle Terme mit \(y\) jeweils korrekt zusammengefasst hast.

1. Auflösen der inneren runden Klammer innerhalb der eckigen Klammer: \(2x - 3x + 12y\). 2. Zusammenfassen der Terme innerhalb der eckigen Klammer: \(-x + 12y\). 3. Multiplizieren des Ergebnisses mit dem Faktor \(5\): \(5 \cdot (-x + 12y) = -5x + 60y\). 4. Ausmultiplizieren des hinteren Teils des Terms: \(-4 \cdot (2x + 7y) = -8x - 28y\). 5. Zusammenfassen aller gleichartigen Glieder: \((-5x - 8x) + (60y - 28y) = -13x + 32y\).

\(-13x + 32y\)

- Was bewirkt die Zahl direkt vor der Klammer für die Werte innerhalb der Klammer? - Achte besonders auf das Minuszeichen zwischen den beiden Klammerausdrücken. - Darfst du Terme mit \(x^2\) und Terme mit \(x\) einfach addieren? - Kannst du den Term erst ohne Klammern schreiben, bevor du sortierst?

1. Ausmultiplizieren der ersten Klammer: \(1{,}5 \cdot 4x^2 - 1{,}5 \cdot 2x + 1{,}5 \cdot 6 = 6x^2 - 3x + 9\). 2. Ausmultiplizieren der zweiten Klammer: \(1{,}2 \cdot 5x^2 - 1{,}2 \cdot 10x - 1{,}2 \cdot 5 = 6x^2 - 12x - 6\). 3. Subtraktion der beiden Teilergebnisse unter Beachtung der Vorzeichenregeln: \(6x^2 - 3x + 9 - (6x^2 - 12x - 6) = 6x^2 - 3x + 9 - 6x^2 + 12x + 6\). 4. Zusammenfassen der Glieder mit \(x^2\): \(6x^2 - 6x^2 = 0\). 5. Zusammenfassen der Glieder mit \(x\): \(-3x + 12x = 9x\). 6. Zusammenfassen der konstanten Glieder: \(9 + 6 = 15\). Das Endergebnis lautet \(9x + 15\).

\(9x + 15\)

- Bei Aufgaben mit zwei Variablen wie \(a\) und \(b\) ist es hilfreich zu wissen, dass \(a \cdot b\) das Gleiche ist wie \(b \cdot a\). - Gehe bei der vierten Teilaufgabe schrittweise vor: Berechne zuerst die Produkte und kümmere dich im letzten Schritt um die Subtraktion. - Gibt es in der dritten Teilaufgabe Glieder, die sich gegenseitig aufheben?

1. Expansion von \((4a + b) \cdot (a - 3b)\): \(4a^2 - 12ab + ab - 3b^2\). Zusammenfassen der gemischten Glieder ergibt \(4a^2 - 11ab - 3b^2\). 2. Expansion von \((2x - 3y) \cdot (5x - 2y)\): \(10x^2 - 4xy - 15xy + 6y^2\). Zusammenfassen ergibt \(10x^2 - 19xy + 6y^2\). 3. Expansion von \((m + n) \cdot (m - n)\): \(m^2 - mn + mn - n^2\). Die Terme \(-mn\) und \(+mn\) heben sich auf, es bleibt \(m^2 - n^2\). 4. Zuerst das Produkt der Klammern berechnen: \((x + 2) \cdot (x + 3) = x^2 + 3x + 2x + 6 = x^2 + 5x + 6\). Davon wird \(x \cdot (x + 5) = x^2 + 5x\) subtrahiert: \(x^2 + 5x + 6 - (x^2 + 5x) = 6\).

1) \(4a^2 - 11ab - 3b^2\) 2) \(10x^2 - 19xy + 6y^2\) 3) \(m^2 - n^2\) 4) \(6\)

- Multipliziere zuerst die beiden Klammern vollständig aus, bevor du den Term hinter dem Minuszeichen betrachtest. - Achte auf die Potenzen von \(x\): \(x \cdot x^2\) ergibt \(x^3\). - Gibt es Terme, die genau den gleichen Betrag, aber unterschiedliche Vorzeichen haben?

1. Schrittweise Multiplikation der Klammern: \(2x \cdot 4x^2 + 2x \cdot (-2x) + 2x \cdot 1 + 1 \cdot 4x^2 + 1 \cdot (-2x) + 1 \cdot 1\). 2. Vereinfachung der Einzelprodukte: \(8x^3 - 4x^2 + 2x + 4x^2 - 2x + 1\). 3. Zusammenfassen der Glieder innerhalb des Produkts: Die Terme \(-4x^2\) und \(+4x^2\) sowie \(+2x\) und \(-2x\) ergeben Null. Es bleibt \(8x^3 + 1\). 4. Verrechnung mit dem restlichen Term: \((8x^3 + 1) - 8x^3 = 1\).

\(1\)

- Was passiert, wenn eine Variable mit sich selbst multipliziert wird? - Achte darauf, Terme wie \(ab\) und \(ba\) als gleichartig zu erkennen. - Beim Ordnen nach Potenzen beginnst du mit dem höchsten Exponenten, zum Beispiel \(x^2\) vor \(x\). - Überprüfe am Ende noch einmal alle Rechenzeichen.

1. Ausmultiplizieren: \(2x \cdot x + 2x \cdot (-4) + 1 \cdot x + 1 \cdot (-4) = 2x^2 - 8x + x - 4\). Zusammenfassen: \(2x^2 - 7x - 4\). 2. Ausmultiplizieren: \(3a \cdot 2a + 3a \cdot b + (-b) \cdot 2a + (-b) \cdot b = 6a^2 + 3ab - 2ab - b^2\). Zusammenfassen der \(ab\)-Terme: \(6a^2 + ab - b^2\). 3. Ausmultiplizieren: \(5 \cdot k + 5 \cdot 2 + (-k) \cdot k + (-k) \cdot 2 = 5k + 10 - k^2 - 2k\). Zusammenfassen und Ordnen: \(-k^2 + 3k + 10\).

1) \(2x^2 - 7x - 4\) 2) \(6a^2 + ab - b^2\) 3) \(-k^2 + 3k + 10\)

- Gehe systematisch vor: Multipliziere zuerst das erste Glied der linken Klammer mit der gesamten rechten Klammer, dann das zweite. - Achte auf die Potenzregeln, zum Beispiel \(a \cdot a^2 = a^3\). - Pass auf die Vorzeichen auf, besonders wenn du mit \(-2b\) multiplizierst. - Markiere dir Terme mit den gleichen Variablenkombinationen, um sie leichter zusammenfassen zu können.

1. Multiplikation von \(a\) mit jedem Glied der zweiten Klammer: \(a \cdot a^2 + a \cdot 2ab + a \cdot 4b^2 + a \cdot (-1) = a^3 + 2a^2b + 4ab^2 - a\) 2. Multiplikation von \(-2b\) mit jedem Glied der zweiten Klammer: \(-2b \cdot a^2 - 2b \cdot 2ab - 2b \cdot 4b^2 - 2b \cdot (-1) = -2a^2b - 4ab^2 - 8b^3 + 2b\) 3. Aufstellen des Gesamtausdrucks: \(a^3 + 2a^2b + 4ab^2 - a - 2a^2b - 4ab^2 - 8b^3 + 2b\) 4. Zusammenfassen gleichartiger Glieder: \(2a^2b - 2a^2b = 0\) und \(4ab^2 - 4ab^2 = 0\) 5. Endergebnis: \(a^3 - 8b^3 - a + 2b\)

\(a^3 - 8b^3 - a + 2b\)

- Wie viele Teilprodukte müssen entstehen, bevor du zusammenfasst? - Achte besonders auf die Vorzeichen, wenn du die einzelnen Glieder multiplizierst. - Nur Glieder mit exakt der gleichen Variablen- und Potenzkombination dürfen addiert oder subtrahiert werden. - Gehe Schritt für Schritt vor und markiere dir eventuell bereits verrechnete Glieder.

1. Anwendung des Distributivgesetzes durch Multiplikation jedes Gliedes der ersten Klammer mit jedem Glied der zweiten Klammer: \(x^2 \cdot x + x^2 \cdot 2y - 4xy \cdot x - 4xy \cdot 2y + 3y^2 \cdot x + 3y^2 \cdot 2y\) 2. Berechnung der einzelnen Teilprodukte: \(x^3 + 2x^2y - 4x^2y - 8xy^2 + 3xy^2 + 6y^3\) 3. Zusammenfassen der Glieder mit gleichen Variablenkombinationen (\(x^2y\) und \(xy^2\)): \(x^3 + (2 - 4)x^2y + (-8 + 3)xy^2 + 6y^3\) 4. Endergebnis: \(x^3 - 2x^2y - 5xy^2 + 6y^3\)

\(x^3 - 2x^2y - 5xy^2 + 6y^3\)

- Denke daran, dass beim Multiplizieren von Variablen die Exponenten addiert werden, wenn die Basis gleich ist. - Jeder Term der ersten Klammer muss mit jedem Term der zweiten Klammer kombiniert werden. - Achte darauf, Terme wie \(a^3b\) und \(a^2b^2\) nicht miteinander zu vermischen. - Überprüfe nach dem Ausmultiplizieren, ob du alle acht Teilprodukte gebildet hast.

1. Anwendung des Distributivgesetzes, indem jeder Term des ersten Polynoms mit jedem Term des zweiten Polynoms multipliziert wird: \(2a^3 \cdot a + 2a^3 \cdot 2b - 3a^2b \cdot a - 3a^2b \cdot 2b + ab^2 \cdot a + ab^2 \cdot 2b - b^3 \cdot a - b^3 \cdot 2b\). 2. Ausmultiplizieren der Terme: \(2a^4 + 4a^3b - 3a^3b - 6a^2b^2 + a^2b^2 + 2ab^3 - ab^3 - 2b^4\). 3. Zusammenfassen der gleichartigen Terme (Glieder mit identischen Variablenkombinationen): \(2a^4 + (4 - 3)a^3b + (-6 + 1)a^2b^2 + (2 - 1)ab^3 - 2b^4\). 4. Endergebnis nach der Vereinfachung: \(2a^4 + a^3b - 5a^2b^2 + ab^3 - 2b^4\).

\(2a^4 + a^3b - 5a^2b^2 + ab^3 - 2b^4\)

- Wie viele Teilprodukte entstehen, wenn du eine Klammer mit vier Gliedern mit einer Klammer mit zwei Gliedern multiplizierst? - Achte besonders auf das Vorzeichen, wenn du mit negativen Zahlen wie \(-3\) multiplizierst. - Erinnere dich an die Regel für das Multiplizieren von Potenzen mit gleicher Basis: \(y^a \cdot y^b = y^{a+b}\). - Sortiere deine Teilergebnisse am besten direkt nach der Größe der Hochzahlen, um den Überblick zu behalten.

1. Anwendung des Distributivgesetzes durch Multiplikation jedes Gliedes der ersten Klammer mit jedem Glied der zweiten Klammer: \(2y^3 \cdot y^2 + 2y^3 \cdot (-3) - y^2 \cdot y^2 - y^2 \cdot (-3) + 4y \cdot y^2 + 4y \cdot (-3) - 1 \cdot y^2 - 1 \cdot (-3)\) 2. Berechnung der Einzelprodukte: \(2y^5 - 6y^3 - y^4 + 3y^2 + 4y^3 - 12y - y^2 + 3\) 3. Sortieren nach Potenzen von \(y\): \(2y^5 - y^4 - 6y^3 + 4y^3 + 3y^2 - y^2 - 12y + 3\) 4. Zusammenfassen der Koeffizienten gleicher Potenzen: \(2y^5 - y^4 - 2y^3 + 2y^2 - 12y + 3\)

\(2y^5 - y^4 - 2y^3 + 2y^2 - 12y + 3\)

- Was passiert mit den Zahlen \(a\) und \(b\), wenn man die Klammern auflöst? Schau dir das mittlere Glied und das hintere Glied genau an. - Für die Probe setzt du die Zahl einfach für jeden Platzhalter ein und rechnest beide Seiten der Gleichung getrennt aus. - Bei Teil c hilft ein Vergleich: Welche Zahl ergibt zusammen mit 3 addiert 10 und mit 3 multipliziert 21?

1. Teil a: Identifikation von \(a = 12\) und \(b = -3\). Einsetzen in die Formel: \(x^2 + (12 + (-3))x + 12 \cdot (-3) = x^2 + 9x - 36\). 2. Teil b: Ausmultiplizieren von \((x-5) \cdot (x-4) = x^2 - 4x - 5x + 20 = x^2 - 9x + 20\). Probe mit \(x=10\): Linke Seite \((10-5) \cdot (10-4) = 5 \cdot 6 = 30\). Rechte Seite \(10^2 - 9 \cdot 10 + 20 = 100 - 90 + 20 = 30\). Beide Seiten sind gleich. 3. Teil c: Vergleich der Koeffizienten mit der Formel \((x+a) \cdot (x+c) = x^2 + (a+c)x + ac\). Es muss gelten \(3 + c = 10\) und \(3 \cdot c = 21\). Aus beiden Bedingungen folgt \(c = 7\).

a) \(x^2 + 9x - 36\) b) \(x^2 - 9x + 20\); Probe: \(30 = 30\) c) \(c = 7\), da \(3 + 7 = 10\) (Koeffizient von \(x\)) und \(3 \cdot 7 = 21\) (konstantes Glied).

- Kannst du beschreiben, wie man zwei Klammern miteinander multipliziert? - Achte besonders auf die Vorzeichen beim Multiplizieren der einzelnen Glieder. - Überlege, wie du Brüche mit unterschiedlichen Nennern addieren oder subtrahieren kannst. - Gibt es Terme mit den gleichen Variablen, die du am Ende zusammenfassen kannst? - Versuche, systematisch vorzugehen und jedes Glied der ersten Klammer nacheinander mit jedem Glied der zweiten zu multiplizieren.

1. Anwendung des Distributivgesetzes durch Multiplikation jedes Gliedes der ersten Klammer mit jedem Glied der zweiten Klammer: \(\frac{2}{3}a \cdot \frac{3}{4}a + \frac{2}{3}a \cdot \frac{1}{3}b + \frac{2}{3}a \cdot (-2) - \frac{1}{2}b \cdot \frac{3}{4}a - \frac{1}{2}b \cdot \frac{1}{3}b - \frac{1}{2}b \cdot (-2)\). 2. Berechnung der einzelnen Produkte: \(\frac{1}{2}a^2 + \frac{2}{9}ab - \frac{4}{3}a - \frac{3}{8}ab - \frac{1}{6}b^2 + b\). 3. Zusammenfassen der gleichartigen Terme (\(ab\)-Terme): \(\frac{2}{9}ab - \frac{3}{8}ab = \frac{16}{72}ab - \frac{27}{72}ab = -\frac{11}{72}ab\). 4. Endgültiger zusammengefasster Term: \(\frac{1}{2}a^2 - \frac{11}{72}ab - \frac{4}{3}a - \frac{1}{6}b^2 + b\).

\(\frac{1}{2}a^2 - \frac{11}{72}ab - \frac{4}{3}a - \frac{1}{6}b^2 + b\)

- Bei der Multiplikation von zwei Klammern muss jedes Glied der ersten Klammer mit jedem Glied der zweiten Klammer multipliziert werden. - Darfst du bei einer reinen Multiplikationskette wie \(3 \cdot (\dots) \cdot 2\) die Reihenfolge der Faktoren vertauschen? - Achte beim Zusammenfassen darauf, nur Glieder mit der gleichen Variable und dem gleichen Exponenten zu addieren. - Vergiss nicht, die Vorzeichen beim Multiplizieren korrekt zu verrechnen.

1. Multiplikation zweier Binome nach dem Schema \((a+b) \cdot (c+d)\): \(a \cdot 3a + a \cdot (-2) + 6 \cdot 3a + 6 \cdot (-2)\). Dies ergibt \(3a^2 - 2a + 18a - 12\). Zusammenfassen der \(a\)-Glieder liefert \(3a^2 + 16a - 12\). 2. Anwendung des Kommutativ- und Assoziativgesetzes bei der Multiplikation: \(3 \cdot (2z - 5) \cdot 2 = (3 \cdot 2) \cdot (2z - 5) = 6 \cdot (2z - 5)\). Ausmultiplizieren ergibt \(12z - 30\). Addition zum ersten Glied: \(4z + 12z - 30\). Das Endergebnis ist \(16z - 30\).

1) \(3a^2 + 16a - 12\) 2) \(16z - 30\)

- Hast du die Terme in den Klammern bereits sortiert? - Achte beim Multiplizieren besonders auf die Vorzeichen der einzelnen Glieder. - Überprüfe, ob du jedes Glied der ersten Klammer mit jedem Glied der zweiten Klammer multipliziert hast. - Kannst du am Ende noch Terme mit der gleichen Potenz zusammenfassen?

1. Umstellen der Faktoren nach absteigenden Potenzen von \(x\): \((3x^2 - 4x + 5) \cdot (x^2 + 2x - 3)\). 2. Ausmultiplizieren der Klammern durch Verteilung jedes Gliedes der ersten Klammer auf die zweite: \(3x^2 \cdot (x^2 + 2x - 3) = 3x^4 + 6x^3 - 9x^2\), \(-4x \cdot (x^2 + 2x - 3) = -4x^3 - 8x^2 + 12x\) und \(5 \cdot (x^2 + 2x - 3) = 5x^2 + 10x - 15\). 3. Zusammenfassen der Terme mit gleicher Potenz von \(x\): \(3x^4 + (6 - 4)x^3 + (-9 - 8 + 5)x^2 + (12 + 10)x - 15\). 4. Endergebnis: \(3x^4 + 2x^3 - 12x^2 + 22x - 15\).

\(3x^4 + 2x^3 - 12x^2 + 22x - 15\)

- Achte darauf, jedes Glied der ersten Klammer mit jedem Glied der zweiten Klammer zu multiplizieren. - Denke an die Vorzeichenregeln, besonders wenn du eine negative Zahl oder Variable multiplizierst. - Sortiere die Terme nach der Rechnung am besten nach den Potenzen der Variablen, um den Überblick beim Zusammenfassen nicht zu verlieren. - Was passiert mit den Exponenten, wenn du Variablen wie \(a^2\) und \(a\) multiplizierst?

1. Multiplikation des ersten Ausdrucks durch gliedweises Ausmultiplizieren der Klammern: \((2a^2 \cdot 4a) + (2a^2 \cdot (-5b)) + (-3ab \cdot 4a) + (-3ab \cdot (-5b)) + (b^2 \cdot 4a) + (b^2 \cdot (-5b))\). Dies ergibt \(8a^3 - 10a^2b - 12a^2b + 15ab^2 + 4ab^2 - 5b^3\). Durch Zusammenfassen der gleichartigen Glieder erhält man \(8a^3 - 22a^2b + 19ab^2 - 5b^3\). 2. Multiplikation des zweiten Ausdrucks: Jedes Glied der ersten Klammer wird mit jedem Glied der zweiten Klammer multipliziert: \(x^2 \cdot (2x^2 + x - 4) - 3x \cdot (2x^2 + x - 4) + 2 \cdot (2x^2 + x - 4)\). Dies führt zu \(2x^4 + x^3 - 4x^2 - 6x^3 - 3x^2 + 12x + 4x^2 + 2x - 8\). Nach dem Zusammenfassen der Potenzen ergibt sich \(2x^4 - 5x^3 - 3x^2 + 14x - 8\).

1) \(8a^3 - 22a^2b + 19ab^2 - 5b^3\) 2) \(2x^4 - 5x^3 - 3x^2 + 14x - 8\)

- Was passiert mit den Vorzeichen, wenn du eine Klammer abziehst? - Kannst du beim dritten Aufgabenteil vielleicht zuerst \(m\) ausklammern, bevor du einsetzt? - Beim Multiplizieren von zwei Klammern muss jedes Glied der ersten Klammer mit jedem Glied der zweiten Klammer multipliziert werden.

1. Einsetzen: \(3 \cdot (m + 2n) + 4 \cdot (m - n) = 3m + 6n + 4m - 4n = 7m + 2n\). 2. Einsetzen und Subtrahieren: \(2 \cdot (m + 2n) - (m - n) = 2m + 4n - m + n = m + 5n\). 3. Multiplikation der Terme mit \(m\): \(m \cdot (m + 2n) - m \cdot (m - n) = m^2 + 2mn - (m^2 - mn) = m^2 + 2mn - m^2 + mn = 3mn\). 4. Multiplikation zweier Summen: \((m + 2n) \cdot (m - n) = m^2 - mn + 2mn - 2n^2 = m^2 + mn - 2n^2\).

1) \(7m + 2n\) 2) \(m + 5n\) 3) \(3mn\) 4) \(m^2 + mn - 2n^2\)

- Achte besonders auf das Minuszeichen vor der Klammer beim Auflösen. - Multipliziere zuerst die beiden Klammern in Ruhe aus, bevor du das Minus davor berücksichtigst. - Sortiere am Ende alle Terme mit den gleichen Variablen-Kombinationen.

1. Ausmultiplizieren des ersten Produkts unter Anwendung des Distributivgesetzes: \(4a \cdot 2a - 4a \cdot 3b = 8a^2 - 12ab\) 2. Ausmultiplizieren der beiden Klammern (beachte das Minuszeichen vor der Klammer): \((a - b) \cdot (3a + 2b) = 3a^2 + 2ab - 3ab - 2b^2 = 3a^2 - ab - 2b^2\) 3. Einsetzen in den Gesamtausdruck und Auflösen der Minusklammer: \(8a^2 - 12ab - (3a^2 - ab - 2b^2) - 5a^2 = 8a^2 - 12ab - 3a^2 + ab + 2b^2 - 5a^2\) 4. Zusammenfassen der gleichartigen Glieder: \((8 - 3 - 5)a^2 + (-12 + 1)ab + 2b^2 = 0 - 11ab + 2b^2\) 5. Endergebnis: \(-11ab + 2b^2\)

\(2b^2 - 11ab\)

- Erinnere dich an das Ausmultiplizieren von zwei Klammern: Jedes Glied der ersten Klammer wird mit jedem Glied der zweiten Klammer multipliziert. - Wie lassen sich die Zahlen \(1{,}002\) und \(1{,}006\) als Summen mit der Zahl \(1\) schreiben? - Der Fehler ist die Differenz zwischen deinem geschätzten Wert und dem tatsächlichen Ergebnis.

1. Ausmultiplizieren von \((1+a) \cdot (1+b)\): \((1+a) \cdot (1+b) = 1 \cdot 1 + 1 \cdot b + a \cdot 1 + a \cdot b = 1 + a + b + ab\) Der Term \(ab\) wird bei der Näherung weggelassen. 2. Anwendung der Näherungsformel auf \(1{,}002 \cdot 1{,}006\): Hier ist \(a = 0{,}002\) und \(b = 0{,}006\). Näherungswert: \(1 + 0{,}002 + 0{,}006 = 1{,}008\). 3. Berechnung des exakten Wertes: \(1{,}002 \cdot 1{,}006 = 1{,}008012\). 4. Bestimmung des Fehlers: \(1{,}008012 - 1{,}008 = 0{,}000012\).

a) \((1+a) \cdot (1+b) = 1+a+b+ab\); weggelassen wird der Term \(ab\). b) Der Schätzwert ist \(1{,}008\). c) Das exakte Ergebnis ist \(1{,}008012\); der Fehler beträgt \(0{,}000012\).

- Erinnere dich an das Distributivgesetz: Ein Faktor vor einer Klammer wird mit jedem Summanden in der Klammer multipliziert. - Wie multipliziert man Potenzen mit der gleichen Basis? Was passiert dabei mit den Exponenten? - Achte besonders auf die Vorzeichen, wenn du eine negative Zahl oder Variable ausmultiplizierst. - Denk daran, dass eine Variable ohne sichtbaren Exponenten (wie \(x\)) eigentlich den Exponenten \(1\) hat.

1. Anwendung des Distributivgesetzes: \(4a^n \cdot a^3 - 4a^n \cdot 2a^n\). Anwendung der Potenzregel \(a^x \cdot a^y = a^{x+y}\) ergibt \(4a^{n+3} - 8a^{2n}\). 2. Multiplikation der Faktoren: \(-3x^k \cdot 2x^{k+1} + (-3x^k) \cdot 4x\). Verrechnung der Koeffizienten und Addition der Exponenten führt zu \(-6x^{2k+1} - 12x^{k+1}\). 3. Ausmultiplizieren des Bruchs: \(\frac{1}{3}y^m \cdot 9y^{2m} - \frac{1}{3}y^m \cdot 6y\). Kürzen der Brüche und Addition der Exponenten ergibt \(3y^{3m} - 2y^{m+1}\).

1) \(4a^{n+3} - 8a^{2n}\) 2) \(-6x^{2k+1} - 12x^{k+1}\) 3) \(3y^{3m} - 2y^{m+1}\)

- Wie hängen Division und Multiplikation zusammen? Kannst du die Aufgabe rückwärts rechnen? - Wenn du ein Ergebnis hast und wissen willst, was am Anfang stand, welche Rechenart hilft dir dabei? - Multipliziere jedes Teil des Ergebnisses mit dem Divisor. - Vergleiche dein Zwischenergebnis mit dem bereits bekannten Glied in der Mitte.

1. Nutze die Umkehroperation der Division, die Multiplikation, um die ursprünglichen Glieder zu finden. Multipliziere dazu jedes Glied des Ergebnisses mit dem Divisor \(4xy\). 2. Berechne das erste fehlende Glied: \(2x^2 \cdot 4xy = 8x^3y\). 3. Überprüfe das mittlere Glied zur Kontrolle: \(-3xy \cdot 4xy = -12x^2y^2\). Dies stimmt mit der Angabe überein. 4. Berechne das zweite fehlende Glied am Ende der Klammer: \(5y^2 \cdot 4xy = 20xy^3\). 5. Setze die Terme ein. Die gesuchten Glieder sind \(8x^3y\) und \(20xy^3\).

Die fehlenden Glieder sind \(8x^3y\) und \(20xy^3\). Die vollständige Gleichung lautet: \((8x^3y - 12x^2y^2 + 20xy^3) : 4xy = 2x^2 - 3xy + 5y^2\)

- Nutze das Distributivgesetz, um jedes Glied der ersten Klammer mit jedem Glied der zweiten Klammer zu multiplizieren. - Achte beim Multiplizieren besonders auf die Vorzeichen. - Welche Terme fallen weg, wenn du sie addierst oder subtrahierst?

1. Das Distributivgesetz anwenden, um die Klammern aufzulösen: \((x + 3) \cdot (x^2 - 3x + 9) = x \cdot (x^2 - 3x + 9) + 3 \cdot (x^2 - 3x + 9)\). 2. Die Einzelprodukte berechnen: \(x^3 - 3x^2 + 9x + 3x^2 - 9x + 27\). 3. Terme mit gleichen Variablenpotenzen zusammenfassen: Die Terme \(-3x^2\) und \(+3x^2\) sowie \(+9x\) und \(-9x\) heben sich gegenseitig auf (Summe ist jeweils \(0\)). 4. Es bleibt der Restterm: \(x^3 + 27\). 5. Damit ist die Identität bestätigt.

Durch Ausmultiplizieren erhält man \(x^3 - 3x^2 + 9x + 3x^2 - 9x + 27\). Nach dem Zusammenfassen ergibt sich \(x^3 + 27\), womit die Gleichung bestätigt ist.

- Für den ersten Teil musst du die Zahl einfach überall dort einsetzen, wo das \(x\) steht. Denke an „Punkt vor Strich“. - Beim Vereinfachen hilft dir das Distributivgesetz, um die Klammer zu beseitigen. - Schau dir den vereinfachten Term genau an: Wie oft kommt die Variable \(x\) darin vor und was passiert mit dem Gesamtwert, wenn \(x\) größer wird?

1. Einsetzen von \(x = 5\) in den Term: \(3 \cdot (5 + 4) - 2 \cdot 5 = 3 \cdot 9 - 10 = 27 - 10 = 17\) 2. Einsetzen von \(x = 10\) in den Term: \(3 \cdot (10 + 4) - 2 \cdot 10 = 3 \cdot 14 - 20 = 42 - 20 = 22\) 3. Vereinfachung des Terms: \(3 \cdot (x + 4) - 2 \cdot x = 3x + 12 - 2x\) 4. Zusammenfassen der \(x\)-Glieder: \(3x - 2x + 12 = x + 12\) 5. Begründung für c): Der vereinfachte Term lautet \(x + 12\). Erhöht man \(x\) um \(5\), so wird aus \(x + 12\) der Ausdruck \((x + 5) + 12\), was \(x + 17\) entspricht. Die Differenz zwischen \(x + 17\) und \(x + 12\) ist immer \(5\).

a) Für \(x = 5\) ist der Wert \(17\); für \(x = 10\) ist der Wert \(22\). b) \(T(x) = x + 12\) c) Da der vereinfachte Term \(x + 12\) lautet, bewirkt jede Erhöhung von \(x\) um einen bestimmten Betrag genau dieselbe Erhöhung des Gesamtwerts. Erhöht man \(x\) um \(5\), steigt auch der Wert \(x + 12\) um \(5\).

- Achte beim Ausmultiplizieren besonders auf die Vorzeichen. - Denk daran, dass du nur Glieder mit dem gleichen Variablentyp (z. B. alle mit \(x\)) und alle reinen Zahlen miteinander verrechnen kannst. - Was bedeutet es für die Richtigkeit deiner Vereinfachung, wenn bei der Probe zwei verschiedene Zahlen herauskommen?

1. Ausmultiplizieren: \(4 \cdot 2x - 4 \cdot 5 + 3 \cdot 10 - 3 \cdot x = 8x - 20 + 30 - 3x\). 2. Zusammenfassen: \(8x - 3x - 20 + 30 = 5x + 10\). 3. Probe im Ausgangsterm für \(x = 2\): \(4 \cdot (2 \cdot 2 - 5) + 3 \cdot (10 - 2) = 4 \cdot (4 - 5) + 3 \cdot 8 = 4 \cdot (-1) + 24 = -4 + 24 = 20\). 4. Probe im vereinfachten Term für \(x = 2\): \(5 \cdot 2 + 10 = 10 + 10 = 20\). 5. Abschluss: Da beide Werte \(20\) ergeben, ist die Vereinfachung korrekt.

a) \(5x + 10\) b) Der Wert ist in beiden Fällen \(20\).

- Terme sind äquivalent, wenn sie nach dem Vereinfachen genau gleich aussehen. - Was bedeutet das Minuszeichen direkt vor einer Klammer für die Glieder innerhalb der Klammer? - Setze für den zweiten Teil der Aufgabe die Zahl für \(x\) ein und überlege, was du abziehen musst, um bei Null zu landen.

1. Vereinfachung von \(T_1\): \(2 \cdot 3x - 2 \cdot 4 + 5x = 6x - 8 + 5x = 11x - 8\). 2. Vereinfachung von \(T_2\): Die Klammerregel besagt, dass sich die Vorzeichen in der Klammer bei einem Minus davor umkehren: \(12x - x - 8 = 11x - 8\). 3. Vergleich: \(T_1\) und \(T_2\) ergeben beide \(11x - 8\), sie sind also äquivalent. \(T_3 = 11x - 4\) ist nicht äquivalent zu den anderen. 4. Anpassung von \(T_3\): Setze \(x = 2\) in den variablen Teil \(11x\) ein: \(11 \cdot 2 = 22\). Damit der gesamte Term \(0\) ergibt, muss die Konstante \(-22\) lauten. Der neue Term ist \(11x - 22\).

a) \(T_1\) und \(T_2\) sind äquivalent (beide vereinfacht: \(11x - 8\)). b) Der veränderte Term lautet \(11x - 22\).

- Wie viele Seiten hat ein gleichseitiges Dreieck und wie viele ein Quadrat? - Stelle für beide Figuren einzeln eine Formel für den Umfang auf. - Verwende das Distributivgesetz, um die Klammern in deinen Termen aufzulösen. - Wann kann man sagen, dass zwei Terme immer das gleiche Ergebnis liefern?

1. Aufstellen des Terms für Figur A (Dreieck): \(U_A = 3 \cdot (2s + 4)\). 2. Ausmultiplizieren des Terms für Figur A: \(U_A = 3 \cdot 2s + 3 \cdot 4 = 6s + 12\). 3. Aufstellen des Terms für Figur B (Quadrat): \(U_B = 4 \cdot (1{,}5s + 3)\). 4. Ausmultiplizieren des Terms für Figur B: \(U_B = 4 \cdot 1{,}5s + 4 \cdot 3 = 6s + 12\). 5. Vergleich: Da beide vereinfachten Terme \(6s + 12\) lauten, ist der Umfang für jeden geometrisch zulässigen Wert von \(s\) gleich.

Beide Umfangsterme lassen sich zu \(6s + 12\) vereinfachen. Damit ist \(U_A = U_B\) für alle geometrisch zulässigen Werte von \(s\).

- Schreibe für beide Personen getrennt einen mathematischen Term auf. - Achte bei Sophies Beschreibung genau auf die Reihenfolge der Rechenschritte – was muss zuerst gerechnet werden? - Nutze das Distributivgesetz, um Klammern aufzulösen und Terme vergleichbar zu machen. - Wann kann man sagen, dass zwei Rechenwege immer das Gleiche ergeben?

1. Aufstellen des Terms für Leons Vorschrift: \(3 \cdot x + 6\). 2. Aufstellen des Terms für Sophies Vorschrift: \(3 \cdot (x + 2)\). 3. Vereinfachen von Sophies Term unter Anwendung des Distributivgesetzes: \(3 \cdot x + 3 \cdot 2 = 3x + 6\). 4. Vergleich der beiden Terme: Beide Terme führen nach der Vereinfachung zum identischen Ausdruck \(3x + 6\). 5. Schlussfolgerung: Da die Terme äquivalent sind, liefern beide Vorschriften für jede beliebige Zahl \(x\) das gleiche Ergebnis.

Ja, beide Vorschriften führen immer zum gleichen Ergebnis. Leons Term ist \(3x + 6\). Sophies Term ist \(3(x + 2)\), was ausmultipliziert ebenfalls \(3x + 6\) ergibt.

- Berechne zuerst beide Werte ganz in Ruhe. - Was passiert mit den Vorzeichen innerhalb einer Klammer, wenn ein Minuszeichen davor steht? - Versuche, die erste Zahl \(x\) und die zweite Zahl \(y\) zu nennen und schaue, was beim Verrechnen übrig bleibt.

1. Term A aufstellen: \((15{,}2 + 6{,}4) - (15{,}2 - 6{,}4)\). Summe berechnen: \(15{,}2 + 6{,}4 = 21{,}6\). Differenz berechnen: \(15{,}2 - 6{,}4 = 8{,}8\). Subtraktion: \(21{,}6 - 8{,}8 = 12{,}8\). 2. Term B aufstellen: \(2 \cdot 6{,}4\). Berechnung: \(2 \cdot 6{,}4 = 12{,}8\). 3. Vergleich: Beide Ergebnisse sind identisch (\(12{,}8\)). 4. Allgemeine Begründung: Setzt man \(x = 15{,}2\) und \(y = 6{,}4\), lautet der allgemeine Term A: \((x + y) - (x - y)\). Auflösen der Minusklammer ergibt \(x + y - x + y\). Zusammenfassen führt zu \(2y\), was genau der Beschreibung von Term B entspricht.

a) Term A: \((15{,}2 + 6{,}4) - (15{,}2 - 6{,}4) = 12{,}8\); Term B: \(2 \cdot 6{,}4 = 12{,}8\). b) Die Ergebnisse sind gleich. Begründung: \((x + y) - (x - y) = x + y - x + y = 2y\). Das Ergebnis hängt also nur von der zweiten Zahl ab.

- Überlege dir für den ersten Teil: Womit muss man \(4a^2\) multiplizieren, um \(12a^3\) zu erhalten? Gehe so für jedes Glied vor. - Die Umkehroperation der Multiplikation kann dir helfen, den fehlenden Teil zu finden. - Im zweiten Teil wendest du das normale Verfahren zum Ausmultiplizieren auf deinen neu gefundenen Term an. - Achte beim Multiplizieren mit \(-2ab\) wieder genau auf die Vorzeichen und die Exponenten der Variablen.

1. Durch gliedweises Vergleichen mit dem gemeinsamen Faktor \(4a^2\) erhält man \(12a^3 = 4a^2 \cdot 3a\), \(-8a^2b = 4a^2 \cdot (-2b)\) und \(20a^2 = 4a^2 \cdot 5\). Der ursprüngliche Term in der Klammer lautet somit \((3a - 2b + 5)\). 2. Multiplikation des gefundenen Terms mit \(-2ab\): \(-2ab \cdot 3a = -6a^2b\), \(-2ab \cdot (-2b) = 4ab^2\) und \(-2ab \cdot 5 = -10ab\). Das neue Ergebnis ist \(-6a^2b + 4ab^2 - 10ab\).

a) Der Term in der Klammer lautet \(3a - 2b + 5\). b) Das neue Ergebnis lautet \(-6a^2b + 4ab^2 - 10ab\).

- Jeder Teil in der Klammer muss mit dem Term außerhalb der Klammer multipliziert werden. - Multipliziere zuerst die Zahlen (Koeffizienten) und kümmere dich danach um jede Variable einzeln. - Wie verändert sich der Exponent von \( x \), wenn du \( x^2 \) mit \( x \) multiplizierst? - Überlege dir, ob es einfacher ist, Brüche in Dezimalzahlen umzuwandeln oder umgekehrt, bevor du rechnest.

1. Multiplikation des ersten Glieds der Klammer mit dem Faktor außerhalb: \( \frac{2}{5}x^2y \cdot 5xy = 2x^3y^2 \). 2. Multiplikation des zweiten Glieds der Klammer mit dem Faktor außerhalb: \( -10xy^2 \cdot 5xy = -50x^2y^3 \). 3. Multiplikation des dritten Glieds der Klammer mit dem Faktor außerhalb: \( \frac{1}{2}y \cdot 5xy = 2{,}5xy^2 \). 4. Aufstellen des vollständigen Terms: \( 2x^3y^2 - 50x^2y^3 + 2{,}5xy^2 \).

\( 2x^3y^2 - 50x^2y^3 + 2{,}5xy^2 \)

- Multipliziere jeden Summanden in der Klammer einzeln mit dem Faktor davor. - Beachte die Vorzeichenregeln: Was passiert, wenn du eine negative Zahl mit einer negativen Zahl multiplizierst? - Sortiere die Terme nach ihren Variablen (zum Beispiel alle mit \(a^2\), alle mit \(ab\) und alle mit \(b^2\)), um den Überblick zu behalten. - Achte darauf, dass \(ab\) und \(ba\) das Gleiche bedeuten.

1. Ausmultiplizieren des ersten Produkts: \(1{,}2a \cdot 2a - 1{,}2a \cdot 0{,}5b = 2{,}4a^2 - 0{,}6ab\). 2. Ausmultiplizieren des zweiten Produkts unter Beachtung des Minuszeichens: \(-0{,}4 \cdot 3a^2 + 0{,}4 \cdot 5ab - 0{,}4 \cdot 2b^2 = -1{,}2a^2 + 2ab - 0{,}8b^2\). 3. Ausmultiplizieren des dritten Produkts: \(0{,}5b \cdot 4a - 0{,}5b \cdot 6b = 2ab - 3b^2\). 4. Zusammenfassen der \(a^2\)-Glieder: \(2{,}4a^2 - 1{,}2a^2 = 1{,}2a^2\). 5. Zusammenfassen der \(ab\)-Glieder: \(-0{,}6ab + 2ab + 2ab = 3{,}4ab\). 6. Zusammenfassen der \(b^2\)-Glieder: \(-0{,}8b^2 - 3b^2 = -3{,}8b^2\). Das Endergebnis lautet: \(1{,}2a^2 + 3{,}4ab - 3{,}8b^2\).

\(1{,}2a^2 + 3{,}4ab - 3{,}8b^2\)

- Lass dich nicht von den Buchstaben in den Hochzahlen verunsichern – behandle \(x^n\) und \(y^m\) einfach wie „Pakete“ oder Bausteine. - Multipliziere jeden Bruch schrittweise in die jeweilige Klammer. - Was passiert mit den Vorzeichen in der zweiten Klammer, wenn ein Minus davor steht? - Sortiere am Ende alle Glieder, die den gleichen „Baustein“ (Variable mit Hochzahl) haben.

1. Multiplikation der ersten Klammer mit \(\frac{2}{3}\): \(\frac{2}{3} \cdot 6x^n - \frac{2}{3} \cdot 9y^m = 4x^n - 6y^m\). 2. Multiplikation der zweiten Klammer mit \(\frac{3}{4}\): \(\frac{3}{4} \cdot 8x^n - \frac{3}{4} \cdot 12y^m = 6x^n - 9y^m\). 3. Multiplikation der dritten Klammer mit \(\frac{1}{2}\): \(\frac{1}{2} \cdot 4x^n + \frac{1}{2} \cdot 6y^m = 2x^n + 3y^m\). 4. Aufschreiben des Gesamtausdrucks ohne Klammern (Vorsicht beim Minuszeichen vor der zweiten Klammer): \(4x^n - 6y^m - 6x^n + 9y^m + 2x^n + 3y^m\). 5. Zusammenfassen der Glieder mit \(x^n\): \((4 - 6 + 2)x^n = 0\). 6. Zusammenfassen der Glieder mit \(y^m\): \((-6 + 9 + 3)y^m = 6y^m\). Das Endergebnis ist \(6y^m\).

\(6y^m\)

- Wenn Variablen mit Potenzen multipliziert werden, addiere die Exponenten der gleichen Basis. - Vergiss nicht, dass ein Minuszeichen vor der Klammer oder innerhalb der Klammer alle nachfolgenden Multiplikationen beeinflusst. - Gleichartige Glieder sind solche, die in ihren Variablen und deren Exponenten völlig übereinstimmen.

1. Ausmultiplizieren: \(8x^4 + 2x^2y^2 - 12x^2y^2 - 3y^4\). Zusammenfassen der mittleren Glieder: \(8x^4 - 10x^2y^2 - 3y^4\). 2. Ausmultiplizieren: \(15a^3b^3 - 12a^2b^2 + 10a^2b^2 - 8ab\). Zusammenfassen der mittleren Glieder: \(15a^3b^3 - 2a^2b^2 - 8ab\). 3. Ausmultiplizieren: \(-3x^4y^2 - 5x^2y - 6x^2y - 10\). Zusammenfassen der mittleren Glieder: \(-3x^4y^2 - 11x^2y - 10\).

1) \(8x^4 - 10x^2y^2 - 3y^4\) 2) \(15a^3b^3 - 2a^2b^2 - 8ab\) 3) \(-3x^4y^2 - 11x^2y - 10\)

- Erinnere dich an die Regel: Minus mal Minus ergibt Plus. - Kannst du die Glieder in der Zeile so ordnen, dass die zusammengehörigen Terme direkt nebeneinander stehen? - Überprüfe am Ende, ob du wirklich jedes Glied der linken Klammer mit jedem Glied der rechten Klammer multipliziert hast.

1. Systematisches Multiplizieren der Glieder beider Klammern: \(2a \cdot 3a^2 + 2a \cdot ab + 2a \cdot (-2b^2) - 3b \cdot 3a^2 - 3b \cdot ab - 3b \cdot (-2b^2)\) 2. Ausrechnen der Produkte unter Beachtung der Vorzeichenregeln: \(6a^3 + 2a^2b - 4ab^2 - 9a^2b - 3ab^2 + 6b^3\) 3. Sortieren und Zusammenfassen der gleichartigen Terme: \(6a^3 + (2 - 9)a^2b + (-4 - 3)ab^2 + 6b^3\) 4. Finales Ergebnis: \(6a^3 - 7a^2b - 7ab^2 + 6b^3\)

\(6a^3 - 7a^2b - 7ab^2 + 6b^3\)

- Gehe schrittweise vor und multipliziere jedes Glied der ersten Klammer nacheinander mit der gesamten zweiten Klammer. - Schreibe die Teilergebnisse untereinander oder markiere gleiche Potenzen mit verschiedenen Farben, um Rechenfehler beim Zusammenfassen zu vermeiden. - Vergiss nicht, dass \(x^2 \cdot x^3 = x^5\) ergibt. - Achte auf die Vorzeichenregeln, insbesondere bei „Minus mal Minus“ und „Minus mal Plus“.

1. Systematisches Ausmultiplizieren der Klammern: \(x^2 \cdot (x^3 + 3x^2 - 5x + 2) - 2x \cdot (x^3 + 3x^2 - 5x + 2) + 1 \cdot (x^3 + 3x^2 - 5x + 2)\) 2. Ausrechnen der Teilausdrücke: \((x^5 + 3x^4 - 5x^3 + 2x^2) + (-2x^4 - 6x^3 + 10x^2 - 4x) + (x^3 + 3x^2 - 5x + 2)\) 3. Zusammenfassen der Glieder mit gleichen Potenzen: \(x^5\) \(x^4\): \(3x^4 - 2x^4 = x^4\) \(x^3\): \(-5x^3 - 6x^3 + x^3 = -10x^3\) \(x^2\): \(2x^2 + 10x^2 + 3x^2 = 15x^2\) \(x\): \(-4x - 5x = -9x\) Konstante: \(2\) 4. Endergebnis: \(x^5 + x^4 - 10x^3 + 15x^2 - 9x + 2\)

\(x^5 + x^4 - 10x^3 + 15x^2 - 9x + 2\)

- Gehe Schritt für Schritt vor und multipliziere jedes Glied der ersten Klammer mit jedem Glied der zweiten Klammer. - Beachte die Rechenregeln für Vorzeichen: Plus mal Minus ergibt Minus, Minus mal Minus ergibt Plus. - Schau nach dem Ausmultiplizieren genau hin: Heben sich manche Terme vielleicht gegenseitig auf? - Wie fasst man Brüche mit gleichem Nenner zusammen?

1. Multiplikation der beiden Trinome durch gliedweises Ausmultiplizieren: \(\frac{1}{2}x \cdot \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}x \cdot (-\frac{1}{3}y) + \frac{1}{2}x \cdot \frac{1}{4}z + \frac{1}{3}y \cdot \frac{1}{2}x + \frac{1}{3}y \cdot (-\frac{1}{3}y) + \frac{1}{3}y \cdot \frac{1}{4}z - \frac{1}{4}z \cdot \frac{1}{2}x - \frac{1}{4}z \cdot (-\frac{1}{3}y) - \frac{1}{4}z \cdot \frac{1}{4}z\). 2. Berechnung der Produkte: \(\frac{1}{4}x^2 - \frac{1}{6}xy + \frac{1}{8}xz + \frac{1}{6}xy - \frac{1}{9}y^2 + \frac{1}{12}yz - \frac{1}{8}xz + \frac{1}{12}yz - \frac{1}{16}z^2\). 3. Zusammenfassen der Terme: Die gemischten Terme mit \(xy\) und \(xz\) heben sich gegenseitig auf (\(-\frac{1}{6} + \frac{1}{6} = 0\) und \(\frac{1}{8} - \frac{1}{8} = 0\)). 4. Addition der \(yz\)-Terme: \(\frac{1}{12}yz + \frac{1}{12}yz = \frac{2}{12}yz = \frac{1}{6}yz\). 5. Ergebnis: \(\frac{1}{4}x^2 - \frac{1}{9}y^2 + \frac{1}{6}yz - \frac{1}{16}z^2\).

\(\frac{1}{4}x^2 - \frac{1}{9}y^2 + \frac{1}{6}yz - \frac{1}{16}z^2\)

- Was bedeutet es, einen Term nach den Potenzen einer Variablen zu ordnen? - Denk daran, dass Variablen wie \(a^2b\) und \(ab^2\) unterschiedlich sind und nicht zusammengefasst werden können. - Wie gehst du vor, wenn ein Minuszeichen vor einem Glied in der Klammer steht? - Gibt es in deinem Ergebnis noch Terme, die die exakt gleichen Variablenkombinationen haben?

1. Ordnen des ersten Faktors nach Potenzen von \(a\): \((a^2 - 3ab + 2b^2) \cdot (4a - 5b)\). 2. Schrittweises Ausmultiplizieren der Terme: \(a^2 \cdot 4a = 4a^3\), \(a^2 \cdot (-5b) = -5a^2b\), \(-3ab \cdot 4a = -12a^2b\), \(-3ab \cdot (-5b) = 15ab^2\), \(2b^2 \cdot 4a = 8ab^2\) und \(2b^2 \cdot (-5b) = -10b^3\). 3. Zusammenfassen der gleichartigen Terme (\(a^2b\) und \(ab^2\)): \(4a^3 + (-5 - 12)a^2b + (15 + 8)ab^2 - 10b^3\). 4. Endergebnis: \(4a^3 - 17a^2b + 23ab^2 - 10b^3\).

\(4a^3 - 17a^2b + 23ab^2 - 10b^3\)

- Ein Koeffizient ist die Zahl, die direkt vor einer Variablen steht. - Du kannst Teil c) lösen, indem du \(x\) in dein Ergebnis aus a) einsetzt oder direkt in die Klammern des ursprünglichen Terms. - Vergiss beim Zusammenfassen der \(x^2\)-Glieder nicht, das Vorzeichen mitzunehmen.

1. Ausmultiplizieren der Klammern: \((3x^2 \cdot 2x) + (3x^2 \cdot (-5)) + (-2x \cdot 2x) + (-2x \cdot (-5)) + (1 \cdot 2x) + (1 \cdot (-5))\). Dies ergibt \(6x^3 - 15x^2 - 4x^2 + 10x + 2x - 5\). 2. Zusammenfassen der Glieder: \(6x^3 - 19x^2 + 12x - 5\). 3. Identifikation des Koeffizienten von \(x^2\): Die Zahl vor \(x^2\) ist \(-19\). 4. Einsetzen von \(x = 2\) in das Ergebnis (oder den Ausgangsterm): \(6 \cdot 2^3 - 19 \cdot 2^2 + 12 \cdot 2 - 5 = 6 \cdot 8 - 19 \cdot 4 + 24 - 5 = 48 - 76 + 24 - 5 = -9\). Alternativ über den Ausgangsterm: \((3 \cdot 2^2 - 2 \cdot 2 + 1) \cdot (2 \cdot 2 - 5) = (12 - 4 + 1) \cdot (4 - 5) = 9 \cdot (-1) = -9\).

a) \(6x^3 - 19x^2 + 12x - 5\) b) \(-19\) c) \(-9\)

- Erinnere dich daran, dass \((a + b)^2\) dasselbe bedeutet wie \((a + b) \cdot (a + b)\). - Wende beim Ausmultiplizieren das Prinzip an, dass jedes Glied der ersten Klammer mit jedem Glied der zweiten Klammer multipliziert wird. - Achte beim Ausklammern darauf, welche Teile des Terms den gemeinsamen Faktor \(100x\) enthalten. - Was bewirkt eine Multiplikation mit \(100\) für die Position der Ziffern in einer Zahl?

1. Ausmultiplizieren des Terms: \((10x + 5) \cdot (10x + 5) = 10x \cdot 10x + 10x \cdot 5 + 5 \cdot 10x + 5 \cdot 5 = 100x^2 + 50x + 50x + 25\). 2. Zusammenfassen der mittleren Terme: \(100x^2 + 100x + 25\). 3. Ausklammern von \(100x\): \(100x \cdot (x + 1) + 25\). 4. Interpretation des Rechentricks: Der Ausdruck \(x \cdot (x + 1)\) gibt an, wie viele Hunderter das Ergebnis hat. Da \(100 \cdot 12 = 1200\) ist, entspricht das Multiplizieren der Zehnerziffer mit ihrem Nachfolger genau dem Wert vor der \(25\) an der Hunderterstelle. Die Addition von \(25\) bewirkt das „Anhängen“ der Ziffern \(2\) und \(5\) an die Einer- und Zehnerstelle.

a) \(100x^2 + 100x + 25\) b) \(100x \cdot (x + 1) + 25\) c) Der Term \(100 \cdot x \cdot (x + 1)\) berechnet die Hunderter der Zahl. Rechnet man \(3 \cdot 4 = 12\), erhält man \(12\) Hunderter (\(1200\)). Durch das Addieren der restlichen \(25\) entsteht die Zahl \(1225\).

- Achte im zweiten Fall darauf, dass eine der Zahlen kleiner als \(1\) ist. Welchen Wert muss \(b\) dann haben? - Überlege dir, wie der Fehler zustande kommt, wenn man das Produkt exakt ausmultipliziert. - Vergleiche die Differenzen zwischen dem Schätzwert und dem exakten Ergebnis.

1. Bestimmung der Näherungswerte: Fall I: \(a=0{,}003, b=0{,}003 \implies 1 + 0{,}003 + 0{,}003 = 1{,}006\). Fall II: \(a=0{,}003, b=-0{,}003 \implies 1 + 0{,}003 - 0{,}003 = 1{,}000\). 2. Berechnung der exakten Werte: Fall I: \(1{,}003 \cdot 1{,}003 = 1{,}006009\). Fall II: \(1{,}003 \cdot 0{,}997 = 0{,}999991\). 3. Vergleich der Abweichungen: Fall I: \(|1{,}006009 - 1{,}006| = 0{,}000009\). Fall II: \(|0{,}999991 - 1{,}000| = 0{,}000009\). 4. Begründung: Die Abweichung entspricht genau dem Betrag des Produkts \(a \cdot b\). Da in beiden Fällen \(|0{,}003 \cdot 0{,}003| = |0{,}003 \cdot (-0{,}003)| = 0{,}000009\) gilt, ist der absolute Fehler in beiden Fällen gleich groß.

a) Näherungswerte: I: \(1{,}006\); II: \(1{,}000\). b) Exakte Werte: I: \(1{,}006009\); II: \(0{,}999991\). c) Die Abweichung ist in beiden Fällen gleich groß (\(0{,}000009\)). Dies liegt daran, dass der Betrag des vernachlässigten Terms \(a \cdot b\) in beiden Fällen identisch ist.

- Wenn du Exponenten addierst, die selbst aus mehreren Teilen bestehen (wie \(k-1\)), nutze im Kopf Klammern, um Rechenfehler zu vermeiden. - Was passiert mit den Buchstaben im Exponenten, wenn du sie addierst oder subtrahierst? - Überprüfe bei jedem Schritt, ob das Vorzeichen des Ergebnisses korrekt ist (Minus mal Minus ergibt Plus). - Kannst du den Exponenten im Ergebnis noch weiter vereinfachen, indem du gleiche Variablen zusammenfasst?

1. Distributivgesetz anwenden: \(x^{k-1} \cdot x^{k+1} + x^{k-1} \cdot 5x^2\). Exponenten addieren: \((k-1) + (k+1) = 2k\) und \((k-1) + 2 = k+1\). Ergebnis: \(x^{2k} + 5x^{k+1}\). 2. Terme multiplizieren: \(6b^{2n} \cdot \frac{1}{3}b^{1-n} - 6b^{2n} \cdot 2b^n\). Koeffizienten berechnen: \(6 \cdot \frac{1}{3} = 2\) und \(6 \cdot 2 = 12\). Exponenten addieren: \(2n + (1-n) = n+1\) und \(2n + n = 3n\). Ergebnis: \(2b^{n+1} - 12b^{3n}\). 3. Vorzeichen und Exponenten beachten: \(-2z^m \cdot 3z^{p-m} - (-2z^m) \cdot z\). Multiplikation ergibt \(-6z^{m+p-m} + 2z^{m+1}\). Vereinfachung des Exponenten \(m+p-m = p\) führt zu \(-6z^p + 2z^{m+1}\).

1) \(x^{2k} + 5x^{k+1}\) 2) \(2b^{n+1} - 12b^{3n}\) 3) \(-6z^p + 2z^{m+1}\)