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- Was haben die beiden Summanden gemeinsam? - Suche nach der größten Zahl, durch die beide Koeffizienten ohne Rest teilbar sind. - Wie kannst du dein Ergebnis durch Ausmultiplizieren der Klammer überprüfen? - Schreibe die Zahl vor die Klammer und teile jeden Teil in der Klammer durch diese Zahl.

1. Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers (ggT) der Koeffizienten: \(ggT(4, 4) = 4\). Ausklammern ergibt \(4 \cdot (a + b)\). 2. Bestimmung des ggT: \(ggT(15, 5) = 5\). Division der Terme durch \(5\) ergibt \(5 \cdot (3x - y)\). 3. Bestimmung des ggT: \(ggT(12, 18) = 6\). Division der Terme durch \(6\) ergibt \(6 \cdot (2m + 3n)\). 4. Bestimmung des ggT: \(ggT(20, 30) = 10\). Division der Terme durch \(10\) ergibt \(10 \cdot (2r - 3s)\).

1) \(4 \cdot (a + b)\) 2) \(5 \cdot (3x - y)\) 3) \(6 \cdot (2m + 3n)\) 4) \(10 \cdot (2r - 3s)\)

- Zerlege beide Summanden in Faktoren. - Welcher Faktor kommt in beiden Zerlegungen vor? - Was bleibt jeweils übrig, wenn du diesen Faktor herausnimmst?

1. In beiden Summanden kommt der Faktor \(x\) vor. 2. Es gilt \(xy=x\cdot y\) und \(3x=x\cdot3\). 3. Daher ist \(xy+3x=x(y+3)\).

\(x(y+3)\)

- Lies für jedes Teilrechteck seine Breite und die gemeinsame Höhe aus der Zeichnung ab. - Bilde zuerst die beiden Teilflächen und addiere sie. - Welche Seitenlänge erscheint als Faktor in beiden Flächentermen?

1. Die beiden Teilrechtecke haben die Flächeninhalte \(ac\) und \(bc\). 2. Ihre Summe ist \(ac+bc\). 3. Beide Summanden enthalten den gemeinsamen Faktor \(c\). 4. Ausklammern ergibt \(c(a+b)\).

\(ac+bc=c(a+b)\)

- Welche Zahl bleibt vor der Klammer stehen, wenn du \(-1\) ausklammerst? - Welche Vorzeichen müssen die Klammerglieder haben, damit das Ausmultiplizieren wieder \(-x+7\) ergibt? - Prüfe dein Ergebnis durch kurzes Ausmultiplizieren.

1. Beim Ausklammern von \(-1\) wechseln die Vorzeichen der beiden Glieder in der Klammer. 2. Daher ist \(-x+7=-(x-7)\).

\(-(x-7)\)

- Suche den Faktor, der in beiden Summanden vollständig vorkommt. - Was bleibt von jedem Summanden übrig, wenn du durch \(\frac12\) teilst? - Prüfe das Ergebnis durch Ausmultiplizieren.

1. Beide Glieder enthalten den Faktor \(\frac12\). 2. Nach dem Ausklammern bleiben in der Klammer \(x\) und \(y\). 3. Damit gilt \(\frac12x+\frac12y=\frac12(x+y)\).

\(\frac12(x+y)\)

- Welcher Faktor kommt in jedem Summanden der jeweiligen Teilaufgabe vor? - Schreibe diesen Faktor vor eine Klammer und kontrolliere durch Ausmultiplizieren. - Werte erst die ausgeklammerte Form aus.

1. a) \(17x+17y=17(x+y)\), daher \(17(0{,}4+0{,}6)=17\). 2. b) \(\frac29z-\frac29\cdot\frac12=\frac29(z-\frac12)\), daher \(\frac29(3{,}5-0{,}5)=\frac23\). 3. c) \(4{,}5a+4{,}5b+4{,}5c=4{,}5(a+b+c)\), daher \(4{,}5(12+5+3)=90\).

a) \(17(x+y)\); Wert: \(17\) b) \(\frac29(z-\frac12)\); Wert: \(\frac23\) c) \(4{,}5(a+b+c)\); Wert: \(90\)

- Suche in jeder Teilaufgabe den gemeinsamen Faktor beider Produkte. - Schreibe genau diesen Faktor vor eine Klammer. - Die Rechnung gilt nur dann als vollständig, wenn die ausgeklammerte Form notiert ist.

1. Verwendet wird das Distributivgesetz rückwärts. 2. a) \(7{,}2(14+6)=7{,}2\cdot20=144\). 3. b) \(13(105-5)=13\cdot100=1300\). 4. c) \((-4)(28+22)=-4\cdot50=-200\). 5. d) \(0{,}25(37-17)=0{,}25\cdot20=5\).

a) \(7{,}2(14+6)=144\) b) \(13(105-5)=1300\) c) \((-4)(28+22)=-200\) d) \(0{,}25(37-17)=5\) Verwendetes Gesetz: Distributivgesetz in rückwärtiger Richtung.

- Welcher Faktor steht in beiden Produkten der jeweiligen Teilaufgabe? - Schreibe diesen Faktor vor eine Klammer. - Erst nach dem Ausklammern wird die besonders einfache Zahl in der Klammer berechnet.

1. a) \(-4{,}2(17+3)=-4{,}2\cdot20=-84\). 2. b) \(\frac23(-5{,}8-4{,}2)=\frac23\cdot(-10)=-\frac{20}{3}=-6\frac23\).

a) \(-4{,}2(17+3)=-84\) b) \(\frac23(-5{,}8-4{,}2)=-6\frac23\)

- Suche nach der größten Zahl, durch die alle Koeffizienten teilbar sind. - Welche Variablen kommen in jedem Summanden vor? Wähle die jeweils kleinste vorkommende Potenz. - Vergiss nicht: Wird ein ganzer Summand ausgeklammert, bleibt in der Klammer der Faktor \(1\) stehen.

1. Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers (ggT) der Koeffizienten und der kleinsten gemeinsamen Variablenpotenzen für Teilaufgabe a): Der ggT von \(15\) und \(10\) ist \(5\). Die gemeinsamen Variablenpotenzen sind \(u^2\) und \(v^2\). Ausklammern von \(5u^2v^2\) ergibt \(5u^2v^2 \cdot (3u^2 + 2v)\). 2. Bestimmung des ggT für Teilaufgabe b): Der ggT von \(14\) und \(21\) ist \(7\). Die gemeinsame Variablenpotenz ist \(x^3\). Ausklammern von \(7x^3\) ergibt \(7x^3 \cdot (2x^2 - 3)\). 3. Bestimmung des ggT für Teilaufgabe c): Der ggT von \(9\), \(6\) und \(3\) ist \(3\). Die gemeinsamen Variablen sind \(a\) und \(b\). Ausklammern von \(3ab\) ergibt \(3ab \cdot (3a - 2b + 1)\).

a) \(5u^2v^2 \cdot (3u^2 + 2v)\) b) \(7x^3 \cdot (2x^2 - 3)\) c) \(3ab \cdot (3a - 2b + 1)\)

- Welcher Faktor im Dividenden kommt auch als Divisor vor? - Du kannst das Distributivgesetz rückwärts anwenden, bevor du kürzt. - Prüfe vor jedem Kürzen, ob der betreffende Divisor null werden kann.

1. Ausklammern von \(18\) ergibt \((18a + 18b) : 18 = 18 \cdot (a + b) : 18 = a + b\). 2. Für \(p \neq 0\) kann \(p\) ausgeklammert und gekürzt werden: \((mp + np) : p = p \cdot (m + n) : p = m + n\). 3. Ausklammern von \(7\) ergibt \((35x - 21y) : 7 = 7 \cdot (5x - 3y) : 7 = 5x - 3y\). 4. Für \(u - v \neq 0\) kann der gemeinsame Faktor gekürzt werden: \(12 \cdot (u - v) : (u - v) = 12\).

1) \(a + b\) 2) \(m + n\) für \(p \neq 0\) 3) \(5x - 3y\) 4) \(12\) für \(u - v \neq 0\)

- Was ist die größte Zahl, durch die beide Zahlen in einem Ausdruck geteilt werden können? - Schau dir die Variablen an: Kommt eine Variable in jedem Summanden vor? - Überprüfe dein Ergebnis, indem du die Klammer wieder im Kopf auflöst. - Achte in Teil 2 darauf, dass beim Ausklammern von \(x\) aus \(x^2\) noch ein \(x\) in der Klammer übrig bleibt.

1. Bestimme den größten gemeinsamen Teiler (ggT) der Koeffizienten \(12\) und \(18\), welcher \(6\) ist. Der faktorisierte Term lautet \(6 \cdot (2a + 3b)\). 2. Identifiziere die gemeinsame Variable \(x\) in beiden Summanden. Ausklammern ergibt \(x \cdot (x - 9)\). 3. Bestimme den ggT der Zahlen \(15\) und \(10\) (\(5\)) sowie die gemeinsame Variable \(u\). Der ausgeklammerte Term ist \(5u \cdot (3v - 2w)\). 4. Bestimme den ggT von \(8\) und \(12\) (\(4\)) und klammere zusätzlich die gemeinsame Variable \(k\) aus. Dies führt zu \(4k \cdot (2k + 3)\).

1) \(6 \cdot (2a + 3b)\) 2) \(x \cdot (x - 9)\) 3) \(5u \cdot (3v - 2w)\) 4) \(4k \cdot (2k + 3)\)

- Was ist die größte Zahl, durch die beide Zahlen im Term ohne Rest teilbar sind? - Wie kannst du das Distributivgesetz rückwärts anwenden? - Überprüfe dein Ergebnis, indem du die Klammer im Kopf wieder auflöst. - Achte besonders auf das Rechenzeichen zwischen den Gliedern in der Klammer. - Was passiert, wenn eine Zahl durch sich selbst geteilt wird?

1. Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers (ggT) der Koeffizienten: \(ggT(12, 30) = 6\). Division der Glieder durch \(6\) ergibt den Term in der Klammer: \(6 \cdot (2x - 5)\). 2. \(ggT(8, 20) = 4\). Division der Glieder durch \(4\) ergibt: \(4 \cdot (2a + 5)\). 3. \(ggT(15, 10) = 5\). Division der Glieder durch \(5\) ergibt: \(5 \cdot (3 - 2b)\). 4. \(ggT(7, 7) = 7\). Division der Glieder durch \(7\) ergibt: \(7 \cdot (y + 1)\). 5. \(ggT(18, 12) = 6\). Division der Glieder durch \(6\) ergibt: \(6 \cdot (3m - 2n)\).

1) \(6 \cdot (2x - 5)\) 2) \(4 \cdot (2a + 5)\) 3) \(5 \cdot (3 - 2b)\) 4) \(7 \cdot (y + 1)\) 5) \(6 \cdot (3m - 2n)\)

- Welcher gemeinsame Faktor verbindet die linke Seite mit dem Klammerausdruck? - Teile die einzelnen Glieder gedanklich durch den Faktor vor der Klammer. - Prüfe jede Ergänzung durch kurzes Ausmultiplizieren.

1. In a) muss der Faktor \(6\) sein, denn \(6\cdot2z=12z\) und \(6\cdot3=18\). 2. In b) wird jedes Glied durch \(5\) geteilt. In die Lücken gehören daher \(x\), \(3y\) und \(2\). 3. In c) muss der Faktor \(2\) sein, denn \(2(4a-1)=8a-2\). 4. In d) ergibt das Teilen beider Glieder durch \(8\) die Klammer \(3-2c\).

a) \(6\) b) \(x,\ 3y,\ 2\) c) \(2\) d) \(3,\ 2c\)

- Was ist die größte Zahl, durch die beide Koeffizienten teilbar sind? - Schau dir die Variablen einzeln an: Welche ist die kleinste Hochzahl, die in beiden Teilen vorkommt? - Denk daran, dass beim Ausklammern eine 1 stehen bleibt, wenn der gesamte Teilterm ausgeklammert wird. - Du kannst dein Ergebnis prüfen, indem du die Klammer wieder auflöst.

1. Bestimmung des ggT der Koeffizienten 14 und 21 (Ergebnis: 7) sowie der gemeinsamen Variablenpotenzen (\(x\) und \(y\)). Ausklammern ergibt: \(7xy \cdot (2x - 3y)\). 2. Bestimmung des ggT von 3 und 9 (Ergebnis: 3) sowie der gemeinsamen Variablenpotenz (\(a^2\)). Ausklammern ergibt: \(3a^2 \cdot (a + 3)\). 3. Bestimmung des ggT von 4 und 6 (Ergebnis: 2) sowie der gemeinsamen Variablenpotenzen (\(k\) und \(m^2\)). Ausklammern ergibt: \(2km^2 \cdot (2k - 3m)\).

a) \(7xy \cdot (2x - 3y)\) b) \(3a^2 \cdot (a + 3)\) c) \(2km^2 \cdot (2k - 3m)\)

- Welcher Variablenfaktor steckt in jedem Glied einer Teilaufgabe? - Bei Potenzen ist die kleinste vorkommende Potenz entscheidend. - Prüfe durch Ausmultiplizieren, ob du den ursprünglichen Term zurückerhältst.

1. Gemeinsamer Faktor ist \(x\): \(x^2+8x=x(x+8)\). 2. Die kleinste gemeinsame Potenz ist \(c^2\): \(c^3-c^2=c^2(c-1)\). 3. Gemeinsamer Faktor ist \(a\): \(5a-ab=a(5-b)\). 4. Die kleinste gemeinsame Potenz ist \(y^3\): \(y^4+y^3=y^3(y+1)\).

1) \(x(x+8)\) 2) \(c^2(c-1)\) 3) \(a(5-b)\) 4) \(y^3(y+1)\)

- Bestimme zuerst den größten gemeinsamen Zahlenfaktor. - Welche Variablen kommen in jedem Glied vor, und mit welcher kleinsten Potenz? - Prüfe die Produktform durch Ausmultiplizieren.

1. Größter gemeinsamer Faktor ist \(3a\). Damit gilt \(6ab-9ac=3a(2b-3c)\). 2. Größter gemeinsamer Faktor ist \(5x^2\). Damit gilt \(10x^3+15x^2=5x^2(2x+3)\). 3. Größter gemeinsamer Faktor ist \(4z\). Damit gilt \(4z^3-8z^2+12z=4z(z^2-2z+3)\). 4. Gemeinsamer Variablenfaktor ist \(uv\). Damit gilt \(u^2v+uv^2=uv(u+v)\).

1) \(3a(2b-3c)\) 2) \(5x^2(2x+3)\) 3) \(4z(z^2-2z+3)\) 4) \(uv(u+v)\)

- Schau dir zuerst die Zahlen vor den Variablen an und finde ihren größten gemeinsamen Teiler. - Untersuche dann jede Variable einzeln: Welche ist in jedem Teil des Terms enthalten? - Nimm von jeder gemeinsamen Variable die kleinste vorkommende Hochzahl (Exponent) zum Ausklammern. - Wie kannst du dein Ergebnis durch Multiplizieren kontrollieren?

1. Für \(14a^2b - 21ab^2\): Der größte gemeinsame Teiler (ggT) von \(14\) und \(21\) ist \(7\). Die gemeinsamen Variablenpotenzen sind \(a^1\) und \(b^1\). Ausgeklammert ergibt sich \(7ab \cdot (2a - 3b)\). 2. Für \(5x^3 + 10x^2 - 15x\): Der ggT von \(5\), \(10\) und \(15\) ist \(5\). Die kleinste vorkommende Potenz von \(x\) ist \(x^1\). Ausgeklammert ergibt sich \(5x \cdot (x^2 + 2x - 3)\). 3. Für \(8u^2v^2 + 12uv^3\): Der ggT von \(8\) und \(12\) ist \(4\). Die gemeinsamen Variablenpotenzen sind \(u^1\) und \(v^2\). Ausgeklammert ergibt sich \(4uv^2 \cdot (2u + 3v)\).

a) \(7ab \cdot (2a - 3b)\) b) \(5x \cdot (x^2 + 2x - 3)\) c) \(4uv^2 \cdot (2u + 3v)\)

- Suche nach der größten Zahl, durch die alle Koeffizienten teilbar sind. - Prüfe, welche Variablen in jedem einzelnen Teil des Terms vorkommen. - Achte bei Variablen mit Potenzen auf die kleinste vorkommende Hochzahl. - Vergiss nicht, dass ein Term wie \(y\) auch als \(y \cdot 1\) geschrieben werden kann. - Du kannst dein Ergebnis prüfen, indem du die Klammer wieder auflöst.

1. Bestimmung des ggT der Koeffizienten \(8\), \(12\) und \(4\), welcher \(4\) ist. Ausklammern ergibt \(4 \cdot (2a + 3b - c)\). 2. Identifikation der kleinsten Potenz von \(x\), hier \(x^2\). Ausklammern ergibt \(x^2 \cdot (x - 5)\). 3. Bestimmung des gemeinsamen Faktors \(6p\). Ausklammern ergibt \(6p \cdot (q - 2r + s)\). 4. Identifikation des gemeinsamen Faktors \(y\). Da \(y = y \cdot 1\), bleibt nach dem Ausklammern eine \(1\) in der Klammer stehen. Ergebnis: \(y \cdot (y + 1)\).

1. \(4 \cdot (2a + 3b - c)\) 2. \(x^2 \cdot (x - 5)\) 3. \(6p \cdot (q - 2r + s)\) 4. \(y \cdot (y + 1)\)

- Wenn ein Minuszeichen am Anfang steht, kann es hilfreich sein, dieses mit auszuklammern. - Achte darauf, dass beim Ausklammern eines gesamten Gliedes (wie \(5xy\)) eine \(1\) zurückbleibt. - Was ist die niedrigste Potenz einer Variablen, die in allen Summanden vorkommt?

1. Der gemeinsame Faktor besteht aus dem ggT der Zahlen (\(5\)) und den gemeinsamen Variablen in ihrer kleinsten Potenz (\(xy\)). Ergebnis: \(5xy \cdot (3x - 2y + 1)\). 2. Ausklammern von \(-3a\) (oder \(3a\)). Bei \(-3a\) drehen sich die Vorzeichen in der Klammer um. Ergebnis: \(-3a \cdot (1 + 2b - 3c)\). 3. Die kleinste Potenz von \(z\) ist \(z^2\). Ausklammern ergibt \(z^2 \cdot (z^2 - z + 1)\).

1. \(5xy \cdot (3x - 2y + 1)\) 2. \(-3a \cdot (1 + 2b - 3c)\) oder \(3a \cdot (-1 - 2b + 3c)\) 3. \(z^2 \cdot (z^2 - z + 1)\)

- Betrachte zuerst nur die Zahlen vor den Variablen und finde deren größten gemeinsamen Teiler. - Schau dir dann jede Variable einzeln an und finde die kleinste Hochzahl, mit der sie in allen Teilen des Terms vorkommt. - Vergiss nicht, dass beim Ausklammern eines ganzen Terms eine \(1\) in der Klammer stehen bleibt. - Achte auf die Vorzeichen innerhalb der Klammer, besonders wenn du ein Minuszeichen mit ausklammerst.

1. Bestimmung des ggT der Koeffizienten \(12\) und \(18\), welcher \(6\) ist. Die gemeinsamen Variablenfaktoren mit den kleinsten Exponenten sind \(a\) und \(b\). Ausklammern von \(6ab\) ergibt \(6ab \cdot (2a - 3b)\). 2. Bestimmung des ggT der Koeffizienten \(15, 10\) und \(5\), welcher \(5\) ist. Die gemeinsamen Variablenfaktoren sind \(x^2\) und \(y^2\). Ausklammern von \(5x^2y^2\) ergibt \(5x^2y^2 \cdot (3x + 2y - 1)\). 3. Bestimmung des ggT der Koeffizienten \(8, 12\) und \(4\), welcher \(4\) ist. Die gemeinsamen Variablenfaktoren sind \(u^2\) und \(v^2\). Um das führende Vorzeichen positiv zu gestalten oder den gesamten Faktor negativ zu wählen, klammert man \(4u^2v^2\) oder \(-4u^2v^2\) aus. Ergebnis: \(4u^2v^2 \cdot (-2u^2 - 3uv + v^2)\) bzw. \(-4u^2v^2 \cdot (2u^2 + 3uv - v^2)\).

1) \(6ab \cdot (2a - 3b)\) 2) \(5x^2y^2 \cdot (3x + 2y - 1)\) 3) \(4u^2v^2 \cdot (-2u^2 - 3uv + v^2)\) oder \(-4u^2v^2 \cdot (2u^2 + 3uv - v^2)\)

- Suche nach Faktoren, die in absolut jedem Teil des Summenterms enthalten sind. - Wenn alle Glieder eines Terms negativ sind, bietet es sich an, das Minuszeichen mit auszuklammern. - Prüfe dein Ergebnis, indem du die Klammer im Kopf wieder auflöst (ausmultiplizierst). - Achte bei Termen mit drei Variablen darauf, dass wirklich alle drei im ausgeklammerten Faktor berücksichtigt werden, falls sie überall vorkommen.

1. Der ggT von \(21, 14\) und \(7\) ist \(7\). Die kleinsten Potenzen der Variablen sind \(p^2\) und \(q^2\). Der gemeinsame Faktor ist \(7p^2q^2\). Division der Einzelterme durch den Faktor ergibt: \(7p^2q^2 \cdot (3p^2q - 2pq^2 + 1)\). 2. Der ggT von \(16, 24\) und \(8\) ist \(8\). Da alle Terme negativ sind, wird \(-8\) zusammen mit den Variablenfaktoren \(x^2\) und \(y^2\) ausgeklammert. Ergebnis: \(-8x^2y^2 \cdot (2x^3 + 3xy^2 + 1)\). 3. Der ggT von \(12, 18\) und \(30\) ist \(6\). Die gemeinsamen Variablen sind \(r, s\) und \(t\). Ausklammern von \(6rst\) ergibt durch Division der Koeffizienten: \(6rst \cdot (2t + 3r - 5s)\).

1) \(7p^2q^2 \cdot (3p^2q - 2pq^2 + 1)\) 2) \(-8x^2y^2 \cdot (2x^3 + 3xy^2 + 1)\) 3) \(6rst \cdot (2t + 3r - 5s)\)

- Bestimme den größten gemeinsamen Zahlenfaktor und anschließend für jede Variable die kleinste vorkommende Potenz. - Wenn du ein negatives Vorzeichen ausklammerst, ändern sich die Vorzeichen in der Klammer. - Prüfe abschließend, ob die Glieder in der Klammer noch einen gemeinsamen Faktor besitzen.

1. Der größte gemeinsame Teiler von \(45\), \(30\) und \(60\) ist \(15\). Die kleinsten vorkommenden Potenzen sind \(u^2\), \(v^2\) und \(w\). Daher ist der größtmögliche gemeinsame Faktor \(15u^2v^2w\), und es gilt \(45u^3v^2w - 30u^2v^3w + 60u^2v^2w^2 = 15u^2v^2w \cdot (3u - 2v + 4w)\). 2. Der größte gemeinsame Teiler von \(18\), \(27\) und \(9\) ist \(9\). Wegen der Vorgabe, auch das Minus auszuklammern, wird \(-9x^2y^2\) ausgeklammert. Es ergibt sich \(-9x^2y^2 \cdot (2x^2 - 3xy + y^2)\).

1) \(15u^2v^2w \cdot (3u - 2v + 4w)\) 2) \(-9x^2y^2 \cdot (2x^2 - 3xy + y^2)\)

- Suche in jedem Glied des Terms nach Zahlen, durch die alle Koeffizienten teilbar sind. - Prüfe, welche Variablen in jedem einzelnen Summanden vorkommen. - Achte darauf, dass beim Ausklammern eines ganzen Summanden (wie bei \(xy\)) eine \(1\) in der Klammer stehen bleibt. - Du kannst dein Ergebnis kontrollieren, indem du die Klammer wieder ausmultiplizierst.

1. Identifikation des gemeinsamen Faktors \(6\). Ergebnis: \(6 \cdot (a - b + c)\). 2. Identifikation der gemeinsamen Variablen \(x\) und \(y\). Da \(x\) und \(y\) in beiden Summanden vorkommen, ist der gemeinsame Faktor \(xy\). Ergebnis: \(xy \cdot (x + 1)\). 3. Identifikation des größten gemeinsamen Teilers der Koeffizienten (\(5\)) und der kleinsten Potenz von \(z\) (\(z^1\)). Der gemeinsame Faktor ist \(5z\). Ergebnis: \(5z \cdot (4z^2 - 2z + 1)\). 4. Identifikation des größten gemeinsamen Teilers (\(4\)) und der gemeinsamen Variablen (\(a\)). Der gemeinsame Faktor ist \(4a\). Ergebnis: \(4a \cdot (b - 2c + 3)\).

1) \(6 \cdot (a - b + c)\) 2) \(xy \cdot (x + 1)\) 3) \(5z \cdot (4z^2 - 2z + 1)\) 4) \(4a \cdot (b - 2c + 3)\)

- Wenn ein Minuszeichen am Anfang steht, kann es hilfreich sein, einen negativen Faktor auszuklammern. Achte dann besonders auf die Vorzeichen in der Klammer. - Bei Brüchen mit gleichem Nenner kannst du oft den Zähler und den Nenner getrennt betrachten, um den gemeinsamen Teiler zu finden. - Überlege bei Dezimalzahlen, wie oft der kleinere Wert in den größeren passt. - Vergiss nicht, auch Variablen mit ihren Exponenten zu vergleichen – ausgeklammert wird immer die kleinste vorkommende Potenz.

1. Bestimmung des gemeinsamen Faktors aus den Koeffizienten (\(7\)) und den Variablen (\(uv\)). Ausklammern von \(7uv\). Ergebnis: \(7uv \cdot (2u - 3v + 1)\). 2. Bestimmung des gemeinsamen Faktors inklusive Vorzeichen (\(-5x\)). Division der Summanden durch \(-5x\): \(-5x^3 : (-5x) = x^2\), \(-15x^2 : (-5x) = 3x\), \(10x : (-5x) = -2\). Ergebnis: \(-5x \cdot (x^2 + 3x - 2)\). 3. Bestimmung des gemeinsamen Faktors bei Dezimalzahlen (\(0{,}6ab\)). Division ergibt \(1{,}2a^2 b : 0{,}6ab = 2a\) und \(0{,}6ab : 0{,}6ab = 1\). Ergebnis: \(0{,}6ab \cdot (2a - 1)\). 4. Bestimmung des gemeinsamen Faktors bei Brüchen (\(\frac{2}{3}y\)). Division ergibt \(\frac{2}{3}y^2 : \frac{2}{3}y = y\) und \(\frac{4}{3}y : \frac{2}{3}y = 2\). Ergebnis: \(\frac{2}{3}y \cdot (y + 2)\).

1) \(7uv \cdot (2u - 3v + 1)\) 2) \(-5x \cdot (x^2 + 3x - 2)\) 3) \(0{,}6ab \cdot (2a - 1)\) 4) \(\frac{2}{3}y \cdot (y + 2)\)

- Untersuche zuerst die Zahlen vor den Variablen: Welches ist die größte Zahl, durch die alle Koeffizienten teilbar sind? - Schau dir dann die Variablen an: Welche Buchstaben kommen in jedem Teil des Terms vor? - Achte bei den Variablen auf die kleinste vorkommende Hochzahl. - Du kannst dein Ergebnis prüfen, indem du die Klammer wieder auflöst.

1. Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers der Koeffizienten \(12\) und \(18\), der \(6\) ist, sowie der gemeinsamen Variable \(a\). Ausklammern ergibt \(6a \cdot (2a + 3)\). 2. Bestimmung des ggT von \(15\) und \(10\), der \(5\) ist, sowie der gemeinsamen Variablen \(x\) und \(y\). Ausklammern ergibt \(5xy \cdot (3x - 2y)\). 3. Bestimmung des ggT von \(6\), \(9\) und \(3\), der \(3\) ist, sowie der gemeinsamen Variable \(b\). Ausklammern ergibt \(3b \cdot (2b^2 - 3b + 1)\).

1) \(6a \cdot (2a + 3)\) 2) \(5xy \cdot (3x - 2y)\) 3) \(3b \cdot (2b^2 - 3b + 1)\)

- Schau dir zuerst die Zahlen vor den Variablen an. Welches ist die größte Zahl, durch die alle Koeffizienten teilbar sind? - Vergleiche die Potenzen der Variablen in jedem Summanden. Welche ist die jeweils kleinste vorkommende Potenz jeder Variable? - Achte beim Ausklammern besonders auf die Vorzeichen, wenn ein Minuszeichen vor der Klammer steht. - Denke daran, dass beim Ausklammern eines kompletten Summanden eine \(1\) als Platzhalter in der Klammer stehen bleibt.

1. Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers (ggT) der Koeffizienten \(9\) und \(12\) (\(3\)) sowie der gemeinsamen Variablenpotenzen (\(r^1s^1\)). Division der Einzelterme durch \(3rs\) ergibt \(3r\) und \(-4s\). Ergebnis: \(3rs \cdot (3r - 4s)\). 2. Bestimmung des ggT der Koeffizienten \(14\), \(21\) und \(7\) (\(7\)) sowie der Variablenpotenzen (\(x^2y^2\)). Division der Terme ergibt \(2x\), \(3y\) und \(-1\). Ergebnis: \(7x^2y^2 \cdot (2x + 3y - 1)\). 3. Ausklammern des negativen Faktors \(-5a^2b^3\) (da der erste Summand negativ ist). Division der Summanden durch \(-5a^2b^3\) liefert \(2a^2\), \(3ab\) und \(-5b^2\). Ergebnis: \(-5a^2b^3 \cdot (2a^2 + 3ab - 5b^2)\).

1) \(3rs \cdot (3r - 4s)\) 2) \(7x^2y^2 \cdot (2x + 3y - 1)\) 3) \(-5a^2b^3 \cdot (2a^2 + 3ab - 5b^2)\)

- Kannst du in einem Teil des Terms eine Zahl oder eine Variable finden, die in mehreren Gliedern vorkommt? - Was passiert, wenn du in der zweiten Hälfte des Terms eine Klammer setzt? Musst du dabei auf Vorzeichen achten? - Wenn eine Klammer bereits vorgegeben ist, versuche den Rest des Terms so umzuformen, dass genau dieselbe Klammer entsteht. - Denk daran, dass ein Ausdruck wie \(x+y\) auch als \(1 \cdot (x+y)\) geschrieben werden kann.

1. In den letzten beiden Summanden wird die \(5\) ausgeklammert: \(a \cdot (x+y) + 5 \cdot (x+y)\). Da \((x+y)\) nun ein gemeinsamer Faktor beider Summanden ist, wird dieser ausgeklammert: \((x+y) \cdot (a+5)\). 2. Aus den Termen \(cm - cn\) wird \(c\) ausgeklammert: \(b \cdot (m-n) + c \cdot (m-n)\). Anschließend wird der gemeinsame Faktor \((m-n)\) ausgeklammert: \((m-n) \cdot (b+c)\). 3. Die letzten beiden Glieder werden durch Ausklammern von \(-1\) zusammengefasst: \(x \cdot (a+b) - (a+b)\). Da \((a+b)\) nun in beiden Teilen vorkommt (beim zweiten Teil mit dem unsichtbaren Faktor \(1\)), ergibt das Ausklammern: \((a+b) \cdot (x-1)\).

1) \((x+y) \cdot (a+5)\) 2) \((m-n) \cdot (b+c)\) 3) \((a+b) \cdot (x-1)\)

- Welche Zahl teilt alle Zahlen vor den Variablen ohne Rest? - Welche Buchstaben kommen in jedem einzelnen Teil des Terms vor? - Achte auf die Hochzahlen: Welches ist die jeweils kleinste Hochzahl eines Buchstabens, der überall vorkommt? - Was bleibt übrig, wenn du einen Teil des Terms durch den ausgeklammerten Faktor teilst? - Denk daran, dass eine \(1\) stehen bleibt, wenn du einen Summanden komplett ausklammerst.

1. Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers (ggT) der Koeffizienten 15, 10, 20 und 5: Der ggT ist 5. 2. Bestimmung der gemeinsamen Variablen mit den jeweils kleinsten Exponenten: In allen Summanden kommen \(a\) und \(b\) vor. Die kleinsten Exponenten sind \(a^1\) und \(b^1\). Der gemeinsame Variablenfaktor ist somit \(ab\). 3. Bildung des gesamten Faktors: \(5ab\). 4. Division jedes Summanden durch \(5ab\): \(15a^2b^2 : (5ab) = 3ab\) \(-10a^3b : (5ab) = -2a^2\) \(20ab^3 : (5ab) = 4b^2\) \(-5ab : (5ab) = -1\) 5. Zusammenführen zum Ergebnis: \(5ab \cdot (3ab - 2a^2 + 4b^2 - 1)\).

\(5ab \cdot (3ab - 2a^2 + 4b^2 - 1)\)

- Suche zuerst nach der größten Zahl, durch die beide Koeffizienten teilbar sind. - Schau dir dann die Variablen an: Welche kleinste Potenz jeder Variable kommt in beiden Teilen des Terms vor? - Überlege, womit du den ausgeklammerten Teil multiplizieren müsstest, um wieder den ursprünglichen Term zu erhalten.

1. Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers (ggT) der Koeffizienten \(24\) und \(16\): \(ggT(24, 16) = 8\) 2. Bestimmung der gemeinsamen Variablenpotenzen: Sowohl \(u^2\) als auch \(u^3\) enthalten \(u^2\). Sowohl \(v^2\) als auch \(v\) enthalten \(v\). Der gemeinsame Faktor ist somit \(8u^2 v\). 3. Division der einzelnen Terme durch den gemeinsamen Faktor: \(24u^2 v^2 : (8u^2 v) = 3v\) und \(-16u^3 v : (8u^2 v) = -2u\). 4. Zusammenführung zum faktorisierten Ausdruck: \(8u^2 v \cdot (3v - 2u)\).

\(8u^2 v \cdot (3v - 2u)\)

- Kannst du die Division als Multiplikation mit einem Bruch schreiben? - Denke daran, dass jedes Glied in der Klammer durch den Term hinter dem Geteiltzeichen dividiert werden muss. - Achte besonders auf die Vorzeichen, wenn du durch eine negative Zahl dividierst. - Was passiert mit den Exponenten der Variablen bei der Division?

1. Dividiere im ersten Teil jeden Summanden der Klammer einzeln durch den Divisor \(4y\): \(12x^2y : 4y = 3x^2\), \(-8xy : 4y = -2x\) und \(4y : 4y = 1\). Das ergibt den Term \(3x^2 - 2x + 1\). 2. Dividiere im zweiten Teil jeden Summanden der Klammer durch \(-5ab\). Beachte dabei die Vorzeichenregeln: \(-15a^3b^2 : (-5ab) = 3a^2b\), \(10a^2b : (-5ab) = -2a\) und \(-5ab : (-5ab) = 1\). Das ergibt den Term \(3a^2b - 2a + 1\).

a) Für \(y \ne 0\): \(3x^2 - 2x + 1\) b) Für \(a \ne 0\) und \(b \ne 0\): \(3a^2b - 2a + 1\)

- Gibt es neben Zahlen auch Buchstaben, die in jedem Teil des Terms vorkommen? - Wenn du einen Term komplett ausklammerst, bleibt an dieser Stelle eine \(1\) (oder \(-1\)) stehen. - Achte besonders auf das Vorzeichen, wenn du eine negative Zahl ausklammerst. - Überlege, was passiert, wenn du die Klammer wieder auflösen würdest.

1. Identifikation des ggT der Zahlen (\(4\)) und der gemeinsamen Variable (\(a\)). Ausklammern von \(4a\) ergibt \(4a \cdot (2x + 3y)\). 2. Identifikation des ggT (\(7\)) und der gemeinsamen Variable (\(m\)). Ausklammern von \(7m\) ergibt \(7m \cdot (2 - 3n)\). 3. Ausklammern des negativen Faktors \(-9\), um den Term in der Klammer zu vereinfachen. Dies ergibt \(-9 \cdot (p + 3q)\). 4. Identifikation des ggT (\(5\)) und der gemeinsamen Variable (\(u\)) in allen drei Summanden. Beachtung, dass \(-5u : 5u = -1\). Das Ergebnis ist \(5u \cdot (3v + 2w - 1)\).

1) \(4a \cdot (2x + 3y)\) 2) \(7m \cdot (2 - 3n)\) 3) \(-9 \cdot (p + 3q)\) 4) \(5u \cdot (3v + 2w - 1)\)

- Bestimme zuerst den größten gemeinsamen Zahlenfaktor. - Welche Variable kommt in allen Gliedern vor und mit welcher kleinsten Potenz? - Prüfe durch Ausmultiplizieren, ob dein Produkt den Ausgangsterm ergibt.

1. Größter gemeinsamer Faktor ist \(4x^2\), also \(4x^3-8x^2=4x^2(x-2)\). 2. Größter gemeinsamer Faktor ist \(6y^4\), also \(12y^5+18y^4=6y^4(2y+3)\). 3. Größter gemeinsamer Faktor ist \(5ab\), also \(5a^2b-15ab^2=5ab(a-3b)\). 4. Größter gemeinsamer Faktor ist \(8z^4\), also \(24z^7-16z^4=8z^4(3z^3-2)\).

1) \(4x^2(x-2)\) 2) \(6y^4(2y+3)\) 3) \(5ab(a-3b)\) 4) \(8z^4(3z^3-2)\)

- Suche in jedem Teil des Terms nach einem Ausdruck in Klammern, der überall identisch ist. - Stell dir vor, du setzt für die gesamte Klammer einen neuen Buchstaben ein, zum Beispiel \(Z\). Wie würdest du dann ausklammern? - Wenn eine Klammer alleine steht, steht unsichtbar eine \(1\) als Faktor davor.

1. In Teilaufgabe a) ist \((a+b)\) der gemeinsame Faktor. Durch Ausklammern erhält man \((8x+3y) \cdot (a+b)\). 2. In Teilaufgabe b) tritt \((x-y)\) in jedem Summanden auf. Unter Beachtung der Vorzeichen ergibt sich \((p-q+r) \cdot (x-y)\). 3. In Teilaufgabe c) ist \((v^2+1)\) der gemeinsame Faktor. Der zweite Term \((v^2+1)\) entspricht \(1 \cdot (v^2+1)\). Somit lautet das Ergebnis \((u+1) \cdot (v^2+1)\).

a) \((8x+3y) \cdot (a+b)\) b) \((p-q+r) \cdot (x-y)\) c) \((u+1) \cdot (v^2+1)\)

- Welcher Faktor kommt in beiden Produkten unverändert vor? - Nach dem Ausklammern entsteht in der Klammer eine besonders einfache Summe. - Nutze die Faktorisierung als Rechenvorteil, statt beide Produkte einzeln auszurechnen.

1. Beide Summanden enthalten den gemeinsamen Faktor \(13\). 2. Ausklammern ergibt \(13(47+53)\). 3. In der Klammer ist \(47+53=100\). Daher wurden insgesamt \(13\cdot100=1300\) Brezeln verkauft.

\(13(47+53)=1300\)

- Versuche zuerst, die linke Seite der Gleichung durch Ausklammern zu vereinfachen. - Wie kannst du die Gleichung umstellen, um den Platzhalter allein auf einer Seite zu haben? - Überlege, welche Zahl in der Klammer stehen muss, damit die Multiplikation das Ergebnis auf der rechten Seite ergibt.

1. Lösung für a): Ausklammern ergibt \(15 \cdot (7 + \square) = 150\). Division durch \(15\) liefert \(7 + \square = 10\), also \(\square = 3\). 2. Lösung für b): Ausklammern ergibt \(\square \cdot (1{,}2 - 0{,}2) = 8\). Vereinfachen der Klammer liefert \(\square \cdot 1 = 8\), also \(\square = 8\). 3. Lösung für c): Ausklammern ergibt \((-4 + \square) \cdot 2{,}5 = -25\). Division durch \(2{,}5\) liefert \(-4 + \square = -10\), also \(\square = -6\). 4. Lösung für d): Ausklammern ergibt \(0{,}8 \cdot (\square - 5) = 4\). Division durch \(0{,}8\) liefert \(\square - 5 = 5\), also \(\square = 10\).

a) \(\square = 3\) b) \(\square = 8\) c) \(\square = -6\) d) \(\square = 10\)

- Welche Zahl und welche Variable kommen in beiden Gliedern als Faktor vor? - Prüfe die vorgeschlagene Faktorisierung, indem du sie gedanklich wieder ausmultiplizierst. - Vergleiche beim Einsetzen die beiden Rechenwege, ohne einen davon vorzeitig zu vereinfachen.

1. Die Zahlen \(6\) und \(9\) haben den größten gemeinsamen Teiler \(3\). Beide Glieder enthalten außerdem \(a\). Der größtmögliche gemeinsame Faktor ist daher \(3a\). 2. Ausklammern ergibt \(6ax + 9ay = 3a \cdot (2x + 3y)\). 3. Mila hat recht, denn beim Ausmultiplizieren entstehen wieder \(6ax + 9ay\). 4. Im ursprünglichen Term ergibt das Einsetzen \(6 \cdot 5 \cdot 2 + 9 \cdot 5 \cdot 4 = 60 + 180 = 240\). 5. Im ausgeklammerten Term ergibt das Einsetzen \(3 \cdot 5 \cdot (2 \cdot 2 + 3 \cdot 4) = 15 \cdot 16 = 240\).

a) \(3a \cdot (2x + 3y)\) b) Ja. Durch Ausmultiplizieren erhält man wieder \(6ax + 9ay\). c) Beide Rechenwege ergeben \(240\).

- Vergleiche in Schritt 1 die Klammerform mit der ausgeschriebenen Summe. - In Schritt 2 ändern sich weder Zahlen noch Rechenzeichen, sondern nur die Reihenfolge der Summanden. - Schritt 3 kehrt eine bekannte Verteilung eines Faktors auf zwei Summanden um.

1. In Schritt 1 wird das Distributivgesetz zum Ausmultiplizieren verwendet: \(4(x+5)=4x+4\cdot5\). 2. In Schritt 2 wird das Kommutativgesetz der Addition verwendet. Dadurch stehen die beiden \(x\)-Glieder nebeneinander. 3. In Schritt 3 wird das Distributivgesetz in umgekehrter Richtung verwendet: Aus \(4x+6x\) wird \((4+6)x\). Dabei wird \(x\) ausgeklammert. 4. Schritt 2 macht die gemeinsame Struktur der gleichartigen \(x\)-Glieder sichtbar und erleichtert dadurch das anschließende Ausklammern beziehungsweise Zusammenfassen.

Schritt 1: Distributivgesetz. Schritt 2: Kommutativgesetz der Addition. Schritt 3: Distributivgesetz in umgekehrter Richtung; \(x\) wird ausgeklammert. Schritt 2 ordnet die gleichartigen \(x\)-Glieder nebeneinander und macht ihren gemeinsamen Faktor sichtbar.

- Schau dir die Zahlen in den Klammern genau an – gibt es dort noch gemeinsame Teiler? - Prüfe, ob in den Klammern noch Variablen vorkommen, die in jedem Summanden enthalten sind. - Was ist die höchste Potenz von \(x\), die in beiden ursprünglichen Termen vorkommt?

1. Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers (ggT) der Koeffizienten \(60\) und \(45\): \(ggT(60, 45) = 15\). 2. Bestimmung der kleinsten Exponenten der Variablen: für \(x\) ist es \(x^4\), für \(y\) ist es \(y^3\). 3. Der größtmögliche Faktor ist somit \(15x^4y^3\). 4. Prüfung von A: Hier wurde nur \(5\) statt \(15\) ausgeklammert; in der Klammer \((12x - 9y)\) steckt noch der gemeinsame Teiler \(3\). 5. Prüfung von B: Hier wurde nur \(x^3\) statt \(x^4\) ausgeklammert; in der Klammer \((4x^2 - 3xy)\) steckt noch die gemeinsame Variable \(x\). 6. Prüfung von C: Hier wurde \(15x^4y^3\) ausgeklammert. Die Klammer \((4x - 3y)\) enthält keine weiteren gemeinsamen Faktoren mehr.

C ist die einzige vollständige Faktorisierung. In A kann in der Klammer noch der Faktor \(3\) ausgeklammert werden. In B kann in der Klammer noch die Variable \(x\) ausgeklammert werden.

- Was ist die größte Zahl, durch die alle Koeffizienten eines Terms teilbar sind? - Welche Variablen kommen in jedem Summanden vor und was ist jeweils der kleinste Exponent? - Denk daran, dass beim Ausklammern eines kompletten Summanden eine Eins in der Klammer stehen bleibt. - Wenn der erste Koeffizient negativ ist, kann es hilfreich sein, das Minuszeichen mit auszuklammern.

1. Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers (ggT) der Koeffizienten und der jeweils kleinsten Exponenten der gemeinsamen Variablen: a) Koeffizienten \(12, 18, 6 \rightarrow 6\); Variablen \(a^3b^2, a^2b^3, a^2b^2 \rightarrow a^2b^2\). Ausklammern ergibt \(6a^2b^2 \cdot (2a - 3b + 1)\). b) Koeffizienten \(24, 36 \rightarrow 12\); Variablen \(u^2v, uv^2 \rightarrow uv\). Ausklammern ergibt \(12uv \cdot (2u - 3v)\). c) Der ggT der Beträge der Koeffizienten \(-4\), \(12\) und \(-8\) ist \(4\); die kleinste gemeinsame Variablenpotenz ist \(x\). Da der erste Summand negativ ist, wird \(-4x\) ausgeklammert. Es ergibt sich \(-4x \cdot (x^2 - 3x + 2)\).

a) \(6a^2b^2 \cdot (2a - 3b + 1)\) b) \(12uv \cdot (2u - 3v)\) c) \(-4x \cdot (x^2 - 3x + 2)\)

- Stell dir vor, der gesamte Klammerausdruck wäre eine einzige Variable, zum Beispiel \(z\). Wie würdest du dann ausklammern? - Was steht unsichtbar vor einer Klammer, wenn dort kein Koeffizient, sondern nur ein Minuszeichen zu sehen ist? - Prüfe dein Ergebnis, indem du den gemeinsamen Klammerausdruck wieder ausmultiplizierst.

1. Identifikation des gemeinsamen Klammerausdrucks in jedem Term: a) Der gemeinsame Faktor ist \((y - 2)\). Ausklammern führt zu \((7x + 3) \cdot (y - 2)\). b) Der gemeinsame Faktor ist \((b + 1)\). Beachte, dass \(-(b+1)\) das Gleiche ist wie \(-1 \cdot (b+1)\). Ausklammern führt zu \((5a - 1) \cdot (b + 1)\). c) Der gemeinsame Faktor ist \((x + 3)\). Ausklammern führt zu \((x^2 - 4) \cdot (x + 3)\).

a) \((7x + 3) \cdot (y - 2)\) b) \((5a - 1) \cdot (b + 1)\) c) \((x^2 - 4) \cdot (x + 3)\)

- Wenn ein Minuszeichen am Anfang steht, ist es oft hilfreich, dieses mit auszuklammern. - Bei Brüchen mit gleichem Nenner kannst du den Zähler und den Nenner getrennt betrachten. - Prüfe dein Ergebnis durch Ausmultiplizieren.

1. Für Teilaufgabe a) wird \(-0{,}5x^2y\) ausgeklammert. Division der Terme ergibt: \((-0{,}5x^3y) : (-0{,}5x^2y) = x\) und \((1{,}5x^2y^2) : (-0{,}5x^2y) = -3y\). Ergebnis: \(-0{,}5x^2y \cdot (x - 3y)\). 2. In Teilaufgabe b) ist \(\frac{2}{7}a\) der gemeinsame Faktor. Division ergibt: \((\frac{2}{7}a^2) : (\frac{2}{7}a) = a\) und \((-\frac{6}{7}a) : (\frac{2}{7}a) = -3\). Ergebnis: \(\frac{2}{7}a \cdot (a - 3)\). 3. In Teilaufgabe c) ist der ggT der Koeffizienten \(12\), \(18\) und \(6\) gleich \(6\); die kleinste gemeinsame Potenz ist \(k^2\). Ausklammern von \(6k^2\) liefert \(6k^2 \cdot (2k^2 - 3k + 1)\).

a) \(-0{,}5x^2y \cdot (x - 3y)\) b) \(\frac{2}{7}a \cdot (a - 3)\) c) \(6k^2 \cdot (2k^2 - 3k + 1)\)

- Welcher Faktor lässt sich im Dividenden gemeinsam ausklammern? - Wähle in b) Paare, deren Summe sicher nicht null ist, und setze sie in den ursprünglichen Ausdruck ein. - Prüfe für c) die Bedeutung des ursprünglichen Divisors.

1. Im Dividenden kann \(z\) ausgeklammert werden: \(xz+yz=z(x+y)\). 2. Für \(x+y\neq0\) darf gekürzt werden. Daher gilt \((xz+yz):(x+y)=z\). 3. Für b) sind viele Paare möglich. Zum Beispiel ergibt \((x,y)=(1,2)\): \((42+84):3=42\). Für \((x,y)=(5,-3)\) ergibt sich \((210-126):2=42\). 4. Bei \(x+y=0\) wäre der ursprüngliche Divisor null. Deshalb bleibt diese Bedingung ausgeschlossen, obwohl sie im vereinfachten Term \(z\) nicht mehr sichtbar ist.

a) \(z\) für \(x+y\neq0\). b) Zum Beispiel \((1,2)\) und \((5,-3)\); der ursprüngliche Term ergibt in beiden Fällen für \(z=42\) den Wert \(42\). Andere zulässige Paare sind möglich. c) Für \(x+y=0\) wäre der ursprüngliche Divisor \(0\); diese Werte bleiben ausgeschlossen.

- Überlege rückwärts, welcher Faktor nach dem Kürzen übrig bleiben soll. - Prüfe bei jedem variablen Divisor, wann er den Wert \(0\) annimmt. - Eine Kürzung ist nur zulässig, wenn der gekürzte Faktor nicht null ist.

1. Damit in a) nach dem Kürzen \(13\) übrig bleibt, muss der Dividend \(13(x+y)\) sein. Daher werden beide Lücken mit \(13\) gefüllt. In b) muss der Dividend \(5(3z-4)=15z-20\) sein; die Lücke ist \(20\). 2. Die Division durch null ist nicht definiert. Für \(x+y=0\), also \(x=-y\), ist der Divisor null und der Ausgangsterm nicht definiert. Für \(x+y\neq0\) gilt \((ax+ay):(x+y)=a(x+y):(x+y)=a\).

1. a) Beide Lücken: \(13\); b) \(20\) 2. Die Aussage gilt nur für \(x+y\neq0\). Für \(x+y=0\), also \(x=-y\), ist der Term nicht definiert.

- Überlege, womit du den Faktor vor der Klammer multiplizieren musst, um den ursprünglichen Term zu erhalten. - Wenn du einen ganzen Term ausklammerst, bleibt an dieser Stelle eine 1 stehen. - Du kannst die fehlende Stelle finden, indem du das Ergebnis durch den bekannten Teil teilst. - Achte besonders auf die Vorzeichen in der Klammer.

1. Dividiere \(14xy\) durch \(7x\) (\(2y\)) und \(21xz\) durch \(7x\) (\(3z\)). Ergebnis für die Klammer: \(2y - 3z\). 2. Dividiere \(a^2b\) durch \(ab\) (\(a\)) und \(ab^2\) durch \(ab\) (\(b\)). Ergebnis für die Klammer: \(a + b\). 3. Bestimme den Faktor vor der Klammer durch Division des ersten Gliedes: \(12m^2 : 4m = 3m\). Zur Kontrolle: \(3m \cdot (-5) = -15m\). 4. Dividiere jedes Glied des Terms durch den Faktor \(3\). Es ergeben sich \(2p\), \(3q\) und \(1\). Beachte, dass \(3 : 3 = 1\) nicht weggelassen werden darf.

1) \(14xy - 21xz = 7x \cdot (2y - 3z)\) 2) \(a^2b + ab^2 = ab \cdot (a + b)\) 3) \(3m \cdot (4m - 5) = 12m^2 - 15m\) 4) \(6p - 9q + 3 = 3 \cdot (2p - 3q + 1)\)

- Wie oft passt der ausgeklammerte Faktor in die ursprünglichen Teile hinein? - Schau dir die Ausdrücke innerhalb der Klammer nach dem Ausklammern genau an. Kannst du dort noch einmal etwas Gemeinsames finden? - Wie verhalten sich die Zahlen vor der Klammer zueinander? - Wann nennst du eine Zerlegung „fertig“?

1. Teilweises Ausklammern von \(6xy\): Division der Koeffizienten \(24 : 6 = 4\) und \(36 : 6 = 6\). Ergebnis: \(6xy \cdot (4x + 6y)\). 2. Bestimmung des größtmöglichen Faktors: \(\text{ggT}(24, 36) = 12\). Gemeinsame Variablen mit kleinstem Exponenten sind \(x\) und \(y\). Ausklammern von \(12xy\): \(12xy \cdot (2x + 3y)\). 3. Vergleich: Im Ergebnis von a), \(6xy \cdot (4x + 6y)\), haben die Terme in der Klammer (\(4x\) und \(6y\)) noch den gemeinsamen Teiler \(2\). Im Ergebnis von b), \(12xy \cdot (2x + 3y)\), haben \(2x\) und \(3y\) keinen gemeinsamen Teiler mehr (außer \(1\)).

a) \(6xy \cdot (4x + 6y)\) b) \(12xy \cdot (2x + 3y)\) c) Eine Faktorisierung ist dann vollständig bzw. der Faktor größtmöglich, wenn die Terme in der Klammer keinen weiteren gemeinsamen Faktor mehr besitzen. In a) ist \(4x + 6y\) noch durch \(2\) teilbar, in b) haben \(2x + 3y\) keinen gemeinsamen Teiler mehr.

- Wie löst man eine Klammer mit einem Faktor davor auf? - Schau dir die Ausdrücke innerhalb der Klammern genau an. Findest du dort noch Gemeinsamkeiten? - Was bedeutet „vollständig“, wenn man über Faktoren spricht? - Vergleiche die Faktoren, die vor der Klammer stehen. Welcher ist „größer“ im Sinne der Teilbarkeit?

1. Überprüfung von Tim: \(8u^2v^2 \cdot 3u = 24u^3v^2\) und \(8u^2v^2 \cdot 2v = 16u^2v^3\). Die Summe ergibt den Originalterm. 2. Überprüfung von Mia: \(4uv \cdot 6u^2v = 24u^3v^2\) und \(4uv \cdot 4uv^2 = 16u^2v^3\). Die Summe ergibt ebenfalls den Originalterm. 3. Analyse der Restterme: In Mias Klammer \((6u^2v + 4uv^2)\) haben die Koeffizienten 6 und 4 noch den gemeinsamen Teiler 2, und beide Terme enthalten noch die Variablen \(u\) und \(v\). In Tims Klammer \((3u + 2v)\) gibt es keinen gemeinsamen Faktor mehr außer 1. 4. Schlussfolgerung: Tim hat den größtmöglichen gemeinsamen Faktor (\(8u^2v^2\)) ausgeklammert, Mia nur einen Teilfaktor (\(4uv\)).

a) Beide Ergebnisse ergeben beim Ausmultiplizieren \(24u^3v^2 + 16u^2v^3\). b) Tim hat den größtmöglichen Faktor ausgeklammert. In Mias Klammer \((6u^2v + 4uv^2)\) steckt noch der Faktor \(2uv\), der zusätzlich ausgeklammert werden könnte.

- Was bedeutet es, wenn ein Faktor „größtmöglich“ ist? Darf in der Klammer dann noch etwas Gemeinsames stehen? - Vergleiche die Variablen innerhalb der Klammern bei Anja und Ben. - Wie kannst du die Klammer wieder auflösen, um zu sehen, ob das Original herauskommt?

1. Vergleich der Faktoren vor der Klammer: Anja hat \(4x\) ausgeklammert, Ben hat \(4xy^2\) ausgeklammert. 2. Untersuchung von Anjas Klammer: Im Term \((3xy^2 - 2y^3)\) ist die Variable \(y\) noch in beiden Gliedern enthalten (gemeinsamer Faktor \(y^2\)). Das Ausklammern ist also nicht vollständig. 3. Untersuchung von Bens Klammer: Im Term \((3x - 2y)\) haben die Koeffizienten \(3\) und \(2\) nur den ggT \(1\) und es gibt keine gemeinsamen Variablen mehr. Ben hat somit den größtmöglichen Faktor ausgeklammert. 4. Probe durch Ausmultiplizieren von Bens Term: \(4xy^2 \cdot 3x - 4xy^2 \cdot 2y = 12x^2y^2 - 8xy^3\). Dies entspricht dem ursprünglichen Term.

a) Ben hat den größtmöglichen Faktor ausgeklammert, da in Anjas Klammer noch der Faktor \(y^2\) in beiden Gliedern steckt. b) \(4xy^2 \cdot (3x - 2y) = 12x^2y^2 - 8xy^3\).

- Vergleiche jeweils die beiden Klammerausdrücke: Sind sie gleich oder Gegenterme? - Ein Vorzeichenwechsel vor einer Klammer kehrt alle Vorzeichen in der Klammer um. - Denke daran, dass ein Klammerausdruck ohne sichtbaren Zahlenfaktor den Faktor \(1\) besitzt.

1. Mit \(v-u=-(u-v)\) wird der erste Term zu \(3(u-v)-w(u-v)\). Ausklammern von \(u-v\) ergibt \((3-w)(u-v)\). 2. Mit \(4-x=-(x-4)\) wird der zweite Term zu \(7(x-4)+y(x-4)\). Ausklammern von \(x-4\) ergibt \((7+y)(x-4)\). 3. Mit \(c-b=-(b-c)\) wird der dritte Term zu \(a(b-c)+(b-c)\). Ausklammern von \(b-c\) ergibt \((a+1)(b-c)\).

1) \((3-w) \cdot (u-v)\) 2) \((7+y) \cdot (x-4)\) 3) \((a+1) \cdot (b-c)\)

- Vergleiche \(x-y\) mit \(y-x\) beziehungsweise \(a-b\) mit \(b-a\). - Forme zuerst so um, dass in den Summanden derselbe Klammerausdruck vorkommt. - Prüfe bei der Begründung, ob du die linke Seite allein durch äquivalente Umformungen in die rechte Seite überführen kannst.

1. Mit \(y-x=-(x-y)\) wird der Term zu \(2k(x-y)-5m(x-y)\). Ausklammern ergibt \((2k-5m)(x-y)\). 2. Mit \(b-a=-(a-b)\) wird der Term zu \(x^2(a-b)+4(a-b)\). Ausklammern ergibt \((x^2+4)(a-b)\). 3. Es gilt \(q-p=-(p-q)\). Daher wird die linke Seite zu \(z(p-q)-(p-q)\). Nach dem Ausklammern von \(p-q\) erhält man \((z-1)(p-q)\), also genau die rechte Seite.

1) \((2k-5m) \cdot (x-y)\) 2) \((x^2+4) \cdot (a-b)\) 3) Die Gleichung ist wahr, weil \(q-p=-(p-q)\) gilt und sich anschließend \(p-q\) ausklammern lässt.

- Wie kannst du den Term vereinfachen, bevor du Zahlen einsetzt? - Was fällt dir an der Klammer \((c - d)\) auf, wenn du die gegebenen Zahlen einsetzt? - Erinnere dich an die Regel: Was ergibt irgendetwas multipliziert mit Null?

1. Anwendung der Regel \(d - c = -(c - d)\): \(T = 5x \cdot (c - d) - 4y \cdot (-(c - d)) = 5x \cdot (c - d) + 4y \cdot (c - d)\). Ausklammern des gemeinsamen Faktors \((c - d)\) ergibt \(T = (5x + 4y) \cdot (c - d)\). 2. Einsetzen der Werte: \(T = (5 \cdot 2 + 4 \cdot 3) \cdot (8 - 8) = (10 + 12) \cdot 0 = 22 \cdot 0 = 0\). 3. Wenn \(c = d\), dann ist die Differenz \(c - d = 0\). Da ein Produkt immer null ist, wenn einer der Faktoren null ist, hat der Wert von \(5x + 4y\) (und damit die Werte von \(x\) und \(y\)) keinen Einfluss auf das Ergebnis; der Term ist stets \(0\).

1. \((5x + 4y) \cdot (c - d)\) 2. \(0\) 3. Wenn \(c = d\), wird der Faktor \((c - d)\) zu \(0\). Ein Produkt mit dem Faktor \(0\) ist immer \(0\), unabhängig von den Werten für \(x\) und \(y\).

- Prüfe nach dem ersten Ausklammern, ob einer der entstandenen Faktoren noch weiter zerlegt werden kann. - Kannst du eine Zahl aus einer der Klammern ausklammern? - Achte genau auf das Vorzeichen vor dem zweiten Teil des Terms, wenn du die Reihenfolge in der Klammer vertauschst.

1. Umkehrung des Vorzeichens im zweiten Summanden: \(4 \cdot (5-v) = -4 \cdot (v-5)\). 2. Zusammenfassen des Terms: \(2u \cdot (v-5) - 4 \cdot (v-5) = (2u-4) \cdot (v-5)\). 3. Ausklammern des konstanten Faktors \(2\) aus der ersten Klammer: \(2 \cdot (u-2) \cdot (v-5)\). 4. Umkehrung des Vorzeichens im zweiten Summanden der zweiten Teilaufgabe: \(-9 \cdot (3-y) = +9 \cdot (y-3)\). 5. Zusammenfassen des Terms: \(y^2 \cdot (y-3) + 9 \cdot (y-3) = (y^2+9) \cdot (y-3)\).

1) \(2 \cdot (u-2) \cdot (v-5)\) 2) \((y^2+9) \cdot (y-3)\)

- Was bedeutet das Minuszeichen direkt vor der Klammer \( (y - x) \) für die Werte innerhalb der Klammer? - Kannst du den Term so umschreiben, dass in beiden Teilen die genau gleiche Klammer vorkommt? - Überlege, wie oft der Ausdruck \( (x - y) \) insgesamt im Term enthalten ist.

1. Identifikation der Terme \( (x - y) \) und \( (y - x) \) als entgegengesetzte Differenzen. 2. Ersetzung von \( -(y - x) \) durch \( +(x - y) \), da \( -(y - x) = -1 \cdot (-1) \cdot (x - y) = 1 \cdot (x - y) \). 3. Umschreiben des gesamten Terms: \( 4 \cdot (x - y) + 1 \cdot (x - y) \). 4. Zusammenfassen der Koeffizienten: \( (4 + 1) \cdot (x - y) = 5 \cdot (x - y) \). 5. Vergleich mit den Aussagen: Jan hat recht.

Jan hat recht. Durch Umformen erhält man: \( 4 \cdot (x - y) - (y - x) = 4 \cdot (x - y) + (x - y) = 5 \cdot (x - y) \).

- Multipliziere den vorgeschlagenen Ausdruck gedanklich wieder aus und vergleiche ihn mit dem Ausgangsterm. - Achte darauf, ob jeder Summand des Ausgangsterms in der Klammer vertreten ist. - Was bleibt als Faktor in der Klammer übrig, wenn ein Summand genau dem ausgeklammerten Faktor entspricht?

1. Beim Ausmultiplizieren von Lians Ergebnis entsteht \(8p^2q^2 \cdot (3p-2q)=24p^3q^2-16p^2q^3\). 2. Im Vergleich mit dem Ausgangsterm fehlt damit der dritte Summand \(8p^2q^2\). 3. Wird \(8p^2q^2\) korrekt ausgeklammert, gehört zum dritten Summanden der Faktor \(1\), weil \(8p^2q^2 : 8p^2q^2=1\). 4. Die richtige Faktorisierung lautet \(8p^2q^2 \cdot (3p-2q+1)\).

Die Umformung ist falsch. Richtig ist \(8p^2q^2 \cdot (3p-2q+1)\).

- Teile für Teil a) jeden Summanden einzeln durch den vorgegebenen gemeinsamen Faktor. - Vergleiche bei den Potenzen jeweils die Exponenten vor und nach dem Ausklammern. - Prüfe bei Teil b), ob im verbleibenden Klammerterm noch ein gemeinsamer Zahlen- oder Variablenfaktor steckt.

1. Jeder Summand wird durch \(6m^2n^2\) geteilt. 2. Es gilt \(12m^5n^3 : 6m^2n^2 = 2m^3n\), \(-18m^3n^4 : 6m^2n^2 = -3mn^2\) und \(30m^2n^2 : 6m^2n^2 = 5\). Damit steht in der Klammer \(2m^3n - 3mn^2 + 5\). 3. Nach dem Ausklammern von \(3mn\) bleibt \(4m^4n^2 - 6m^2n^3 + 10mn\). In diesem Restterm steckt noch der gemeinsame Faktor \(2mn\), daher ist die Faktorisierung nicht vollständig.

a) \(2m^3n - 3mn^2 + 5\) b) Im Restterm steckt noch der gemeinsame Faktor \(2mn\); daher ist \(3mn\) nicht der größtmögliche gemeinsame Faktor.

- Kannst du die Terme ohne Klammern so gruppieren, dass sie fast wie der Ausdruck in der ersten Klammer aussehen? - Setze eine Klammer um die hinteren Glieder. Achte dabei besonders darauf, was mit den Vorzeichen passiert, wenn ein Minus vor der neuen Klammer steht. - Wenn nach dem Ausklammern scheinbar „nichts“ mehr von einem Summanden übrig bleibt, steht dort eigentlich immer noch der Faktor \(1\).

1. In Aufgabenteil a) werden die letzten beiden Glieder zusammengefasst, indem \(-1\) ausgeklammert wird: \(-y + 7 = -(y - 7)\). 2. Der Term lautet nun \(x \cdot (y - 7) - 1 \cdot (y - 7)\). Ausklammern von \((y - 7)\) ergibt \((y - 7) \cdot (x - 1)\). 3. In Aufgabenteil b) wird der hintere Teil des Terms umgeformt: \(3 - c = -(c - 3)\). 4. Der Term lautet nun \(2a \cdot (c - 3) - 1 \cdot (c - 3)\). Ausklammern von \((c - 3)\) ergibt \((c - 3) \cdot (2a - 1)\).

a) \((y - 7) \cdot (x - 1)\) b) \((c - 3) \cdot (2a - 1)\)

- Suche in a) getrennt nach dem größten gemeinsamen Zahlenfaktor und den kleinsten gemeinsamen Variablenpotenzen. - Prüfe in b), welcher Restfaktor in jedem Summanden nach dem Herausnehmen von \(\frac25ab\) übrig bleibt. - Vergleiche in c) den ersten Summanden mit dem ersten Klammerglied: Welcher äußere Faktor erzeugt zusammen mit \(2u\) genau \(12u^2vw\)?

1. In a) ist der größte gemeinsame Zahlenfaktor \(8\); bei den Variablen sind \(x^2y^2\) gemeinsam. Damit ergibt sich \(8x^2y^2(3x^2-2xy+1)\). 2. In b) bleiben nach dem Ausklammern von \(\frac25ab\) die Faktoren \(a\) und \(-2b\) in der Klammer. Das Ergebnis ist \(\frac25ab(a-2b)\). 3. In c) muss der äußere Faktor zusammen mit \(2u\) den Term \(12u^2vw\) ergeben. Das gelingt mit \(6uvw\); auch \(6uvw\cdot(-3v)=-18uv^2w\). Der gesuchte Faktor ist \(6uvw\).

a) \(8x^2y^2(3x^2-2xy+1)\) b) \(\frac25ab(a-2b)\) c) \(6uvw\)

- Wenn vor einer Klammer kein Buchstabe oder keine Zahl steht, welcher Faktor ist dort dann „unsichtbar“ vorhanden? - Siehst du bei der dritten Teilaufgabe eine Struktur, die in allen drei Teilen vorkommt oder vorkommen könnte? - Manchmal hilft es, einen Termteil als Platzhalter (wie ein Kästchen) zu betrachten, um die Struktur besser zu sehen. - Wie kannst du die Reihenfolge der Glieder in einer Klammer tauschen, ohne den Wert des Gesamtausdrucks zu verändern?

1. Erkennen, dass \(-(v - u) = +(u - v)\) ist. Der Term lautet dann \(z \cdot (u - v) + 1 \cdot (u - v)\). Ausklammern von \((u - v)\) ergibt \((u - v) \cdot (z + 1)\). 2. Umwandeln der zweiten Klammer durch Multiplikation mit \(-1\): \(4b \cdot (3 - 2x) = -4b \cdot (2x - 3)\). Gemeinsames Ausklammern führt zu \((2x - 3) \cdot (5a - 4b)\). 3. Umformen des mittleren Teils: \(y \cdot (b - a) = -y \cdot (a - b)\). Der gesamte Term ist \(x \cdot (a - b) - y \cdot (a - b) + 1 \cdot (a - b)\). Ausklammern des Faktors \((a - b)\) liefert \((a - b) \cdot (x - y + 1)\).

1) \((u - v) \cdot (z + 1)\) 2) \((2x - 3) \cdot (5a - 4b)\) 3) \((a - b) \cdot (x - y + 1)\)

- Manchmal hilft es, ein Vorzeichen umzudrehen, um zwei Klammern identisch zu machen. Wie ändert sich \(b-a\), wenn du ein Minus vor die Klammer ziehst? - Wenn kein gemeinsamer Faktor für den gesamten Term sichtbar ist, versuche jeweils zwei Glieder einzeln zu betrachten. - Achte bei Teil 3 darauf, dass \(y^2\) dasselbe ist wie \(y \cdot y\).

1. Aus \(3x - 6\) wird die \(3\) ausgeklammert: \(k \cdot (x-2) + 3 \cdot (x-2)\). Der gemeinsame Faktor \((x-2)\) wird ausgeklammert: \((x-2) \cdot (k+3)\). 2. Um in der zweiten Klammer dieselbe Differenz wie in der ersten zu erhalten, wird \(-1\) ausgeklammert: \(b-a = -(a-b)\). Der Term lautet dann \(p \cdot (a-b) - q \cdot (a-b)\). Das Ausklammern von \((a-b)\) ergibt \((a-b) \cdot (p-q)\). 3. Der Term wird in zwei Gruppen unterteilt. Aus \(y^2 + 4y\) wird \(y\) ausgeklammert, aus \(xy + 4x\) wird \(x\) ausgeklammert: \(y \cdot (y+4) + x \cdot (y+4)\). Nun wird die Klammer \((y+4)\) ausgeklammert: \((y+4) \cdot (y+x)\).

1) \((x-2) \cdot (k+3)\) 2) \((a-b) \cdot (p-q)\) 3) \((y+4) \cdot (y+x)\)

- Gibt es in den Gliedern ohne Klammer eine Zahl, die du ausklammern kannst, damit der Rest in der Klammer mit dem ersten Teil übereinstimmt? - Wie verändern sich die Vorzeichen in einer Klammer, wenn du ein Minuszeichen davor setzt? - Kannst du die Reihenfolge der Glieder im Kopf vertauschen, um ein bekanntes Muster zu erkennen?

1. Ausklammern der \(3\) aus den hinteren beiden Gliedern: \(5x \cdot (a - 2) + 3 \cdot (a - 2)\). Anschließendes Ausklammern des Binoms \((a - 2)\) führt zu \((a - 2) \cdot (5x + 3)\). 2. Ausklammern von \(-3\) aus den hinteren Gliedern: \(2y \cdot (c + d) - 3 \cdot (c + d)\). Ausklammern des gemeinsamen Faktors \((c + d)\) ergibt \((c + d) \cdot (2y - 3)\). 3. Umkehren der Vorzeichen im zweiten Teil durch Ausklammern von \(-1\): \(z \cdot (u - v) - 1 \cdot (u - v)\). Dies ergibt als Produkt \((u - v) \cdot (z - 1)\).

1) \((a - 2) \cdot (5x + 3)\) 2) \((c + d) \cdot (2y - 3)\) 3) \((u - v) \cdot (z - 1)\)

- Achte beim Bilden von Gruppen besonders auf die Vorzeichen, wenn ein Minuszeichen vor einer Klammer steht. - Versuche für den zweiten Teil, Summanden zu kombinieren, die du im ersten Teil nicht zusammengefasst hast. - Gibt es einen Faktor, der sowohl in \(12xy\) als auch in \(3y\) steckt? - Überprüfe dein Ergebnis, indem du die Klammern wieder ausmultiplizierst.

1. Erste Gruppierungsmöglichkeit: Zusammenfassen der ersten beiden und der letzten beiden Glieder zu \((12xy - 8x) - (3y - 2)\). Ausklammern der Faktoren \(4x\) und \(1\) ergibt \(4x \cdot (3y - 2) - 1 \cdot (3y - 2)\). Das Resultat ist \((4x - 1) \cdot (3y - 2)\). 2. Zweite Gruppierungsmöglichkeit: Umstellen der Summanden zu \((12xy - 3y) + (-8x + 2)\). Ausklammern der Faktoren \(3y\) und \(-2\) ergibt \(3y \cdot (4x - 1) - 2 \cdot (4x - 1)\). Das Resultat ist \((3y - 2) \cdot (4x - 1)\). 3. Vergleich: Da die Multiplikation kommutativ ist, sind die Ergebnisse \((4x - 1) \cdot (3y - 2)\) und \((3y - 2) \cdot (4x - 1)\) identisch.

a) \((4x - 1) \cdot (3y - 2)\) b) Beispiel für einen alternativen Rechenweg: \((12xy - 3y) + (-8x + 2) = 3y \cdot (4x - 1) - 2 \cdot (4x - 1) = (3y - 2) \cdot (4x - 1)\).

- Kannst du die vier Glieder in zwei Paare aufteilen, die jeweils einen gemeinsamen Faktor haben? - Was passiert, wenn du aus jedem Paar so viel wie möglich ausklammerst? - Haben die beiden neuen Teile des Terms nun vielleicht eine ganze Klammer gemeinsam? - Achte bei der letzten Aufgabe besonders auf das Minuszeichen zwischen den Variablen.

1. Teilaufgabe a): Gruppierung der ersten beiden und der letzten beiden Glieder ergibt \((5x+5y) + (ax+ay)\). Ausklammern der gemeinsamen Faktoren in den Klammern führt zu \(5 \cdot (x+y) + a \cdot (x+y)\). Da \((x+y)\) nun ein gemeinsamer Faktor ist, ergibt sich \((x+y) \cdot (5+a)\). 2. Teilaufgabe b): Gruppierung zu \((z^2+3z) + (mz+3m)\). Ausklammern von \(z\) und \(m\) ergibt \(z \cdot (z+3) + m \cdot (z+3)\). Zusammenfassen liefert \((z+3) \cdot (z+m)\). 3. Teilaufgabe c): Gruppierung zu \((7r-7s) + (kr-ks)\). Ausklammern von \(7\) und \(k\) führt zu \(7 \cdot (r-s) + k \cdot (r-s)\). Das Endergebnis ist \((r-s) \cdot (7+k)\).

a) \((x+y) \cdot (5+a)\) b) \((z+3) \cdot (z+m)\) c) \((r-s) \cdot (7+k)\)

- Probier doch mal, den Term erst umzustellen, bevor du ausklammerst. Ändert das etwas am Ergebnis? - Was muss passieren, damit du im zweiten Schritt eine ganze Klammer ausklammern kannst? - Denk an das Distributivgesetz: Was passiert, wenn du eine Klammer wie \((b+4)\) mit einer Zahl multiplizierst?

1. Teilaufgabe a): Gruppierung der Glieder mit \(a\) ergibt \(a \cdot (b+4)\). Gruppierung der restlichen Glieder ergibt \(3 \cdot (b+4)\). Das Gesamtprodukt ist \((a+3) \cdot (b+4)\). 2. Teilaufgabe b): Umsortieren des Terms zu \(ab + 3b + 4a + 12\). Ausklammern von \(b\) aus den ersten beiden Gliedern ergibt \(b \cdot (a+3)\). Ausklammern von \(4\) aus den letzten beiden Gliedern ergibt \(4 \cdot (a+3)\). Das Ergebnis ist \((b+4) \cdot (a+3)\), was aufgrund des Kommutativgesetzes identisch mit dem Ergebnis aus a) ist. 3. Teilaufgabe c): Damit das Verfahren funktioniert, muss nach dem ersten Ausklammern in beiden Teiltermen die gleiche Klammer stehen. Wenn man \(a \cdot (b+4)\) erhält, muss der zweite Teil \(3 \cdot (b+4)\) ergeben. Da \(3 \cdot 4 = 12\) ist, muss die Konstante \(12\) sein. Wäre sie anders, gäbe es keinen gemeinsamen Klammerfaktor \((b+4)\).

a) \((a+3) \cdot (b+4)\) b) Ja, es ist möglich: \(b \cdot (a+3) + 4 \cdot (a+3) = (b+4) \cdot (a+3)\). c) Die Zahl muss das Produkt der beiden konstanten Summanden aus den Klammern sein (\(3 \cdot 4 = 12\)), damit ein gemeinsamer Faktor entsteht.

- Gruppiere die ersten beiden und die letzten beiden Summanden so, dass in beiden Gruppen derselbe Klammerausdruck entsteht. - Klammere diesen gemeinsamen Ausdruck aus, bevor du \(x=12\) einsetzt. - Erst die faktorisierte Form soll für die Wertberechnung verwendet werden.

1. Gruppiere die Summanden: \(x^3-2x^2+5x-10=x^2(x-2)+5(x-2)\). 2. Klammere den gemeinsamen Faktor \((x-2)\) aus: \((x^2+5)(x-2)\). 3. Setze \(x=12\) in die faktorisierte Form ein: \((12^2+5)(12-2)\). 4. Damit ergibt sich \(149\cdot10=1490\).

a) \((x^2+5)(x-2)\) b) \(1490\)

- Achte beim Ausklammern im zweiten Teil des Terms besonders auf das Vorzeichen. - Wie wirkt sich eine Null in einer Multiplikation auf das Gesamtergebnis aus? - Untersuche die Struktur deiner faktorisierten Form aus Aufgabenteil a genau.

1. Teil a: Gruppierung der ersten beiden und der letzten beiden Glieder: \((4ab - 8a) - (3b - 6)\). 2. Gemeinsame Faktoren in den Klammern ausklammern: \(4a \cdot (b - 2) - 3 \cdot (b - 2)\). 3. Den gemeinsamen Faktor \((b - 2)\) vollständig ausklammern: \((4a - 3) \cdot (b - 2)\). 4. Teil b: Einsetzen von \(a = 1{,}5\) und \(b = 5\): \((4 \cdot 1{,}5 - 3) \cdot (5 - 2)\). 5. Berechnung: \((6 - 3) \cdot 3 = 3 \cdot 3 = 9\). 6. Teil c: Analyse der faktorisierten Form \((4a - 3) \cdot (b - 2)\) für \(b = 2\): Der Faktor \((b - 2)\) wird zu \(2 - 2 = 0\). Da ein Faktor des Produkts null ist, ist der Gesamtwert des Terms immer \(0\), unabhängig vom Wert von \(a\).

a) \((4a - 3) \cdot (b - 2)\) b) \(9\) c) Der Termwert ist \(0\), da der Faktor \((b - 2)\) für \(b = 2\) null wird.

- Schau dir die ersten drei Summanden und die letzten drei Summanden getrennt an. Was fällt dir auf? - Gibt es eine Summe von Variablen, die in beiden Teilen des Terms vorkommt? - Kannst du den Ausdruck so umformen, dass eine große Klammer als gemeinsamer Faktor ausgeklammert wird? - Untersuche den verbleibenden Teil mit \(x\). Kannst du dort noch ein \(x\) vor die Klammer ziehen?

1. Gruppierung der Terme nach den Potenzen von \(x\): \((ux^2 + vx^2 + wx^2) + (ux + vx + wx)\). 2. Ausklammern von \(x^2\) im ersten Teil und \(x\) im zweiten Teil: \(x^2 \cdot (u + v + w) + x \cdot (u + v + w)\). 3. Ausklammern des gemeinsamen Faktors \((u + v + w)\): \((x^2 + x) \cdot (u + v + w)\). 4. Zerlegen des ersten Faktors \(x^2 + x\) durch Ausklammern von \(x\): \(x \cdot (x + 1) \cdot (u + v + w)\).

\(x \cdot (x + 1) \cdot (u + v + w)\)

- Wenn die ursprüngliche Reihenfolge keine passenden Gruppen ergibt, ordne die Summanden um. - Suche in jedem Paar nach einem gemeinsamen Faktor. - Nach dem ersten Ausklammern sollten in beiden Gruppen identische Klammerausdrücke entstehen.

1. Für a) ordne zu \(12ac+8bc-15ad-10bd\). Dann gilt \(4c(3a+2b)-5d(3a+2b)=(3a+2b)(4c-5d)\). 2. Für b) ordne zu \(x^2-xy+7x-7y\). Dann gilt \(x(x-y)+7(x-y)=(x-y)(x+7)\). 3. Für c) gruppiere \((18ab-27ac)-(10b-15c)\). Dann gilt \(9a(2b-3c)-5(2b-3c)=(2b-3c)(9a-5)\).

a) \((3a + 2b) \cdot (4c - 5d)\) b) \((x - y) \cdot (x + 7)\) c) \((2b - 3c) \cdot (9a - 5)\)

- Suche in den ersten beiden und in den letzten beiden Summanden jeweils einen gemeinsamen Faktor. - Vergleiche die beiden Klammerausdrücke, die nach dem ersten Ausklammern entstehen. - Setze die Zahlenwerte erst ein, nachdem der Term vollständig als Produkt geschrieben ist.

1. Gruppiere die Terme: \(5x+5y+ax+ay=5(x+y)+a(x+y)\). 2. Klammere den gemeinsamen Ausdruck \(x+y\) aus: \((5+a)(x+y)\). 3. Setze die Werte ein: \((5+13)(1{,}2+0{,}8)=18\cdot2=36\).

Faktorisierte Form: \((5+a)(x+y)\). Für \(x=1{,}2\), \(y=0{,}8\) und \(a=13\) ergibt sich \(18\cdot2=36\).

- Versuche, den Term in zwei Paare aufzuteilen und aus jedem Paar so viel wie möglich auszuklammern. - Achte besonders auf das Vorzeichen beim Ausklammern der \(-5\) im hinteren Teil des Terms. - Wenn du die Differenz in den Klammern zuerst berechnest, wird die Multiplikation am Ende viel einfacher.

1. Gruppiere die Terme: \(x^2-xy-5x+5y=x(x-y)-5(x-y)\). 2. Klammere den gemeinsamen Ausdruck \(x-y\) aus: \((x-5)(x-y)\). 3. Setze die Werte ein: \((4{,}5-5)(4{,}5-2{,}25)=(-0{,}5)\cdot2{,}25=-1{,}125\).

Faktorisierte Form: \((x-5)(x-y)\). Für \(x=4{,}5\) und \(y=2{,}25\) ergibt sich \((-0{,}5)\cdot2{,}25=-1{,}125\).

- Suche zuerst die größte Zahl, durch die 24, 16 und 32 teilbar sind. - Vergleiche die Potenzen der Variablen \(x\), \(y\) und \(z\) in allen drei Summanden. - Nur Variablen, die in wirklich jedem Summanden vorkommen, können ausgeklammert werden. - Du kannst dein Ergebnis prüfen, indem du die Klammer wieder auflöst (ausmultiplizierst).

1. Bestimmung des ggT der Koeffizienten 24, 16 und 32: Der ggT ist 8. 2. Bestimmung der gemeinsamen Variablen mit den kleinsten Exponenten: Für \(x\): \(x^3\) Für \(y\): \(y^3\) Für \(z\): \(z^1\) Der gemeinsame Variablenfaktor ist \(x^3y^3z\). 3. Gesamter auszuklammernder Faktor: \(8x^3y^3z\). 4. Division der einzelnen Summanden durch \(8x^3y^3z\): \(24x^4y^3z^2 : (8x^3y^3z) = 3xz\) \(16x^3y^5z : (8x^3y^3z) = 2y^2\) \(-32x^3y^3z^3 : (8x^3y^3z) = -4z^2\) 5. Ergebnis als Produkt: \(8x^3y^3z \cdot (3xz + 2y^2 - 4z^2)\).

\(8x^3y^3z \cdot (3xz + 2y^2 - 4z^2)\)

- Erinnere dich an die Potenzgesetze: Wie kann man eine Summe im Exponenten als Produkt von Potenzen schreiben? - Welcher Teil kommt in beiden Summanden identisch vor? - Was bleibt in der Klammer übrig, wenn du diesen gemeinsamen Teil „wegnimmst“?

1. Anwendung des Potenzgesetzes \(a^{x+y} = a^x \cdot a^y\): Umschreiben des ersten Summanden zu \(y^{n+2} = y^n \cdot y^2\). 2. Identifikation des gemeinsamen Faktors in den Termen \(y^n \cdot y^2\) und \(5 \cdot y^n\): Der gemeinsame Faktor ist \(y^n\). 3. Ausklammern des Faktors \(y^n\): \(y^n \cdot (y^2 + 5)\).

\(y^n \cdot (y^2 + 5)\)

- Wie hängen Division und Multiplikation zusammen? Kannst du die Aufgabe rückwärts rechnen? - Wenn du ein Ergebnis hast und wissen willst, was am Anfang stand, welche Rechenart hilft dir dabei? - Multipliziere jedes Teil des Ergebnisses mit dem Divisor. - Vergleiche dein Zwischenergebnis mit dem bereits bekannten Glied in der Mitte.

1. Nutze die Umkehroperation der Division, die Multiplikation, um die ursprünglichen Glieder zu finden. Multipliziere dazu jedes Glied des Ergebnisses mit dem Divisor \(4xy\). 2. Berechne das erste fehlende Glied: \(2x^2 \cdot 4xy = 8x^3y\). 3. Überprüfe das mittlere Glied zur Kontrolle: \(-3xy \cdot 4xy = -12x^2y^2\). Dies stimmt mit der Angabe überein. 4. Berechne das zweite fehlende Glied am Ende der Klammer: \(5y^2 \cdot 4xy = 20xy^3\). 5. Setze die Terme ein. Die gesuchten Glieder sind \(8x^3y\) und \(20xy^3\).

Für \(x \ne 0\) und \(y \ne 0\) sind die fehlenden Glieder \(8x^3y\) und \(20xy^3\). Die vollständige Gleichung lautet: \((8x^3y - 12x^2y^2 + 20xy^3) : 4xy = 2x^2 - 3xy + 5y^2\)

- Wenn der Faktor vor der Klammer gegeben ist, teile jedes Glied durch ihn. - Wenn die Klammer gegeben ist, vergleiche ein entsprechendes Glied links und rechts, um den Außenfaktor zu bestimmen. - Prüfe Vorzeichen und Exponenten durch kurzes Ausmultiplizieren.

1. Teilen durch \(7xy\) ergibt die Klammer \(2x-3y\). 2. Der gemeinsame Faktor ist \(3a^2\), denn \(3a^2(3a^2+2)=9a^4+6a^2\). 3. Teilen durch \(5b^3\) ergibt die Klammer \(4b^2-5\). 4. Teilen durch \(6u^2v^2\) ergibt die Klammer \(2u+3v\).

1) \(2x-3y\) 2) \(3a^2\) 3) \(4b^2-5\) 4) \(2u+3v\)

- Vergleiche \(x-5\) mit \(5-x\). - Nachdem derselbe Klammerausdruck in beiden Summanden sichtbar ist, kannst du ihn als ganzen Faktor ausklammern. - Prüfe anschließend, ob die Koeffizienten im verbleibenden Klammerausdruck noch einen gemeinsamen Teiler besitzen.

1. Weil \(5-x=-(x-5)\) gilt, wird \(-4b(5-x)\) zu \(4b(x-5)\). 2. Damit ergibt sich \(12a(x-5)+4b(x-5)=(12a+4b)(x-5)\). 3. Aus \(12a+4b\) lässt sich \(4\) ausklammern. Das vollständige Produkt lautet \(4(3a+b)(x-5)\).

1) \(4b \cdot (x-5)\) 2) \((12a+4b) \cdot (x-5)\) 3) \(4 \cdot (3a+b) \cdot (x-5)\)

- Kannst du außer dem Klammerausdruck auch noch eine gemeinsame Zahl in den Koeffizienten finden? - Achte beim letzten Term in Aufgabenteil b) darauf, was übrig bleibt, wenn du den kompletten Ausdruck ausklammerst. - Überprüfe dein Ergebnis, indem du es im Kopf wieder ausmultiplizierst.

1. Teilaufgabe a): Der gemeinsame Klammerausdruck ist \((x-5)\). Die Koeffizienten \(12a\) und \(18b\) haben zudem die Zahl \(6\) als gemeinsamen Teiler. Zuerst klammert man \((x-5)\) aus: \((12a-18b) \cdot (x-5)\). Dann klammert man die \(6\) aus der ersten Klammer aus: \(6 \cdot (2a-3b) \cdot (x-5)\). 2. Teilaufgabe b): Der gemeinsame Klammerausdruck ist \((p+q)\). Zusätzlich ist die Zahl \(5\) ein Faktor in jedem Summanden. Man klammert \(5 \cdot (p+q)\) aus. Der dritte Term \(-5 \cdot (p+q)\) hinterlässt dabei den Faktor \(-1\). Das Ergebnis ist \(5 \cdot (x+y-1) \cdot (p+q)\).

a) \(6 \cdot (2a-3b) \cdot (x-5)\) b) \(5 \cdot (x+y-1) \cdot (p+q)\)

- Suche in jedem Summanden nach einem gemeinsamen Zahlen- und Variablenfaktor. - Ein negativer ausgeklammerter Faktor verändert die Vorzeichen der Glieder in der Klammer. - Bei Bruchkoeffizienten kann ein gemeinsamer Nenner helfen, den gemeinsamen Bruchfaktor zu erkennen.

1. In a) ist \(3ab\) ein gemeinsamer Faktor. Wird der negative gemeinsame Faktor \(-3ab\) ausgeklammert, ergibt sich \(-3ab(2a-3b)\). 2. In b) ist der größte gemeinsame Zahlenfaktor \(9\), und bei den Variablen sind \(p^2q^2\) gemeinsam. Damit ergibt sich \(9p^2q^2(2p^2-3pq+5q^2)\). 3. In c) ist bei den Koeffizienten \(\frac14\) gemeinsam und bei den Variablen \(rs\). Ausklammern ergibt \(\frac14rs(3rs-2s+1)\).

a) \(-3ab(2a-3b)\) b) \(9p^2q^2(2p^2-3pq+5q^2)\) c) \(\frac14rs(3rs-2s+1)\)

- Siehst du einen gemeinsamen Faktor in beiden Teilen der linken Seite der Gleichung? - Du kannst die Klammern direkt ausmultiplizieren oder versuchen, durch Ausklammern eines gemeinsamen Terms Rechenzeit zu sparen. - Wenn du ausmultiplizierst, achte gut auf die Vorzeichenverteilung nach dem Minuszeichen. - Welche Methode erscheint dir hier einfacher oder weniger fehleranfällig?

Es gibt zwei Lösungswege: Weg A (Ausklammern): 1. Ausklammern des gemeinsamen Faktors \((x-3)\): \((x-3) \cdot [4 \cdot (x+5) - (4x+2)] = 36\) 2. Vereinfachen des Terms in der eckigen Klammer: \(4x + 20 - 4x - 2 = 18\) 3. Aufstellen der vereinfachten Gleichung: \((x-3) \cdot 18 = 36\) 4. Division durch \(18\): \(x - 3 = 2\) 5. Addition von \(3\): \(x = 5\) Weg B (Ausmultiplizieren): 1. Ausmultiplizieren: \((4x^2 + 8x - 60) - (4x^2 - 10x - 6) = 36\) 2. Zusammenfassen und Auflösen der Minusklammer: \(18x - 54 = 36\) 3. Addition von \(54\): \(18x = 90\) 4. Division durch \(18\): \(x = 5\)

\(x = 5\)

- Suche nach der kleinsten Potenz einer Variablen, um sie auszuklammern. - Bei Zahlen als Basis (wie der 2) kannst du nach dem Ausklammern oft weiterrechnen. - Betrachte bei Termen mit mehreren Variablen jede Variable einzeln. - Was passiert, wenn du die Klammer wieder auflösen würdest? Kommst du zum Ursprungsterm zurück?

1. Bestimmung des ggT von 15 und 10 (ist 5) sowie der kleinsten Potenz von \(z\) (ist \(z^n\)): \(5z^n \cdot (3z^2+2)\). 2. Anwendung von \(x^{a+b} = x^a \cdot x^b\) und Ausklammern von \(x^a\): \(x^a \cdot (x^b-1)\). 3. Ausklammern der kleinsten Potenz \(2^k\), Berechnung der verbleibenden Differenz in der Klammer: \(2^k \cdot (2^2-1) = 2^k \cdot (4-1) = 3 \cdot 2^k\). 4. Ausklammern des Produkts \(r^n s^n\), da dies in beiden Summanden enthalten ist: \(r^n s^n \cdot (s^n-r^n)\).

1) \(5z^n \cdot (3z^2+2)\) 2) \(x^a \cdot (x^b-1)\) 3) \(3 \cdot 2^k\) 4) \(r^n s^n \cdot (s^n-r^n)\)

- Was passiert mit den Hochzahlen, wenn du eine Potenz ausklammerst? Erinnere dich an die Rechenregeln für Potenzen. - Wenn ein ganzer Teil des Terms ausgeklammert wird, bleibt an dieser Stelle eine 1 stehen. - Welche Potenz ist „kleiner“: \(x^n\) oder \(x^{n+2}\)? - Versuche, den Term als Produkt von zwei einfacheren Bausteinen zu sehen.

1. Der kleinste Exponent von \(x\) ist \(n\). Ausklammern von \(x^n\) ergibt \(x^n \cdot (1 + x^{(n+2)-n}) = x^n \cdot (1 + x^2)\). 2. Der GGT der Koeffizienten \(6\) und \(3\) ist \(3\). Die kleinste Potenz von \(y\) ist \(y^k\). Ausklammern von \(3y^k\) ergibt \(3y^k \cdot (2y^{(k+1)-k} - 1) = 3y^k \cdot (2y - 1)\). 3. Da \(a^{2m} = (a^m)^2\) bzw. \(a^{m+m}\), ist \(a^m\) der gemeinsame Faktor. Ausklammern ergibt \(a^m \cdot (a^m - 1)\). 4. Gemeinsame Faktoren sind \(x^n\) und \(y^n\). Ausklammern von \(x^n y^n\) ergibt \(x^n y^n \cdot (y^{(n+1)-n} + x^{(n+1)-n}) = x^n y^n \cdot (y + x)\).

1) \(x^n \cdot (1 + x^2)\) 2) \(3y^k \cdot (2y - 1)\) 3) \(a^m \cdot (a^m - 1)\) 4) \(x^n y^n \cdot (y + x)\)