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- Welcher Bestandteil (Zahl oder Buchstabe) kommt in jedem Teil des Terms vor? - Bei Potenzen hilft es, nach der kleinsten vorkommenden Hochzahl zu suchen. - Was bleibt übrig, wenn du einen Teil durch den gemeinsamen Faktor teilst? - Du kannst dein Ergebnis prüfen, indem du die Klammer wieder auflöst.

1. Identifikation des gemeinsamen Faktors \(x\): \(x^2 + 8x = x \cdot x + x \cdot 8 = x \cdot (x + 8)\). 2. Identifikation der kleinsten Potenz von \(c\), also \(c^2\): \(c^3 - c^2 = c^2 \cdot c - c^2 \cdot 1 = c^2 \cdot (c - 1)\). 3. Identifikation des gemeinsamen Faktors \(a\): \(5a - ab = a \cdot 5 - a \cdot b = a \cdot (5 - b)\). 4. Identifikation der kleinsten Potenz von \(y\), also \(y^3\): \(y^4 + y^3 = y^3 \cdot y + y^3 \cdot 1 = y^3 \cdot (y + 1)\).

1) \(x \cdot (x + 8)\); 2) \(c^2 \cdot (c - 1)\); 3) \(a \cdot (5 - b)\); 4) \(y^3 \cdot (y + 1)\).

- Was haben die beiden Summanden gemeinsam? - Suche nach der größten Zahl, durch die beide Koeffizienten ohne Rest teilbar sind. - Wie kannst du dein Ergebnis durch Ausmultiplizieren der Klammer überprüfen? - Schreibe die Zahl vor die Klammer und teile jeden Teil in der Klammer durch diese Zahl.

1. Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers (ggT) der Koeffizienten: \(ggT(4, 4) = 4\). Ausklammern ergibt \(4 \cdot (a + b)\). 2. Bestimmung des ggT: \(ggT(15, 5) = 5\). Division der Terme durch \(5\) ergibt \(5 \cdot (3x - y)\). 3. Bestimmung des ggT: \(ggT(12, 18) = 6\). Division der Terme durch \(6\) ergibt \(6 \cdot (2m + 3n)\). 4. Bestimmung des ggT: \(ggT(20, 30) = 10\). Division der Terme durch \(10\) ergibt \(10 \cdot (2r - 3s)\).

1) \(4 \cdot (a + b)\) 2) \(5 \cdot (3x - y)\) 3) \(6 \cdot (2m + 3n)\) 4) \(10 \cdot (2r - 3s)\)

- Gibt es in den Summanden eine Zahl, die in beiden Produkten vorkommt? - Kannst du die Rechnung vereinfachen, indem du diese gemeinsame Zahl vor eine Klammer schreibst? - Schau dir die Zahlen in den Klammern an – ergeben sie zusammen eine „schöne“ Zahl wie 10, 20 oder 100?

1. Anwendung des Distributivgesetzes in der Form \(a \cdot b \pm a \cdot c = a \cdot (b \pm c)\). 2. Teilaufgabe a): \(7{,}2 \cdot (14 + 6) = 7{,}2 \cdot 20 = 144\). 3. Teilaufgabe b): \(13 \cdot (105 - 5) = 13 \cdot 100 = 1\,300\). 4. Teilaufgabe c): \((-4) \cdot (28 + 22) = -4 \cdot 50 = -200\). 5. Teilaufgabe d): \(0{,}25 \cdot (37 - 17) = 0{,}25 \cdot 20 = 5\).

a) 144 b) \(1\,300\) c) -200 d) 5 Genutztes Gesetz: Distributivgesetz (Ausklammern).

- Was ist die größte Zahl, durch die alle Koeffizienten eines Terms teilbar sind? - Welche Variablen kommen in jedem Summanden vor und was ist jeweils der kleinste Exponent? - Denk daran, dass beim Ausklammern eines kompletten Summanden eine Eins in der Klammer stehen bleibt. - Wenn der erste Koeffizient negativ ist, kann es hilfreich sein, das Minuszeichen mit auszuklammern.

1. Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers (ggT) der Koeffizienten und der jeweils kleinsten Exponenten der gemeinsamen Variablen: a) Koeffizienten \(12, 18, 6 \rightarrow 6\); Variablen \(a^3b^2, a^2b^3, a^2b^2 \rightarrow a^2b^2\). Ausklammern ergibt \(6a^2b^2(2a - 3b + 1)\). b) Koeffizienten \(24, 36 \rightarrow 12\); Variablen \(u^2v, uv^2 \rightarrow uv\). Ausklammern ergibt \(12uv(2u - 3v)\). c) Der ggT der Beträge der Koeffizienten \(-4\), \(12\) und \(-8\) ist \(4\); die kleinste gemeinsame Variablenpotenz ist \(x\). Da der erste Summand negativ ist, wird \(-4x\) ausgeklammert. Es ergibt sich \(-4x(x^2 - 3x + 2)\).

a) \(6a^2b^2(2a - 3b + 1)\) b) \(12uv(2u - 3v)\) c) \(-4x(x^2 - 3x + 2)\)

- Suche nach der größten Zahl, durch die alle Koeffizienten teilbar sind. - Welche Variablen kommen in jedem Summanden vor? Wähle die jeweils kleinste vorkommende Potenz. - Vergiss nicht: Wird ein ganzer Summand ausgeklammert, bleibt in der Klammer der Faktor \(1\) stehen.

1. Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers (ggT) der Koeffizienten und der kleinsten gemeinsamen Variablenpotenzen für Teilaufgabe a): Der ggT von \(15\) und \(10\) ist \(5\). Die gemeinsamen Variablenpotenzen sind \(u^2\) und \(v^2\). Ausklammern von \(5u^2v^2\) ergibt \(5u^2v^2(3u^2 + 2v)\). 2. Bestimmung des ggT für Teilaufgabe b): Der ggT von \(14\) und \(21\) ist \(7\). Die gemeinsame Variablenpotenz ist \(x^3\). Ausklammern von \(7x^3\) ergibt \(7x^3(2x^2 - 3)\). 3. Bestimmung des ggT für Teilaufgabe c): Der ggT von \(9\), \(6\) und \(3\) ist \(3\). Die gemeinsamen Variablen sind \(a\) und \(b\). Ausklammern von \(3ab\) ergibt \(3ab(3a - 2b + 1)\).

a) \(5u^2v^2(3u^2 + 2v)\) b) \(7x^3(2x^2 - 3)\) c) \(3ab(3a - 2b + 1)\)

- Schau dir die Summanden in der ersten Klammer genau an. Welcher Faktor kommt in beiden Teilen vor? - Erinnere dich an das Distributivgesetz: \(a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c\). Du kannst es hier rückwärts anwenden. - Prüfe vor dem Kürzen, ob der Divisor null werden kann.

1. Ausklammern von \(18\): \((18a + 18b) : 18 = 18 \cdot (a + b) : 18 = a + b\). 2. Für \(p \neq 0\) kann \(p\) ausgeklammert und gekürzt werden: \((m \cdot p + n \cdot p) : p = p \cdot (m + n) : p = m + n\). 3. Ausklammern von \(7\): \((35x - 21y) : 7 = 7 \cdot (5x - 3y) : 7 = 5x - 3y\). 4. Für \(u - v \neq 0\) kann der gemeinsame Faktor gekürzt werden: \(12 \cdot (u - v) : (u - v) = 12\).

1) \(a + b\) 2) \(m + n\) für \(p \neq 0\) 3) \(5x - 3y\) 4) \(12\) für \(u - v \neq 0\)

- Was ist die größte Zahl, durch die beide Zahlen in einem Ausdruck geteilt werden können? - Schau dir die Variablen an: Kommt eine Variable in jedem Summanden vor? - Überprüfe dein Ergebnis, indem du die Klammer wieder im Kopf auflöst. - Achte in Teil 2 darauf, dass beim Ausklammern von \(x\) aus \(x^2\) noch ein \(x\) in der Klammer übrig bleibt.

1. Bestimme den größten gemeinsamen Teiler (ggT) der Koeffizienten \(12\) und \(18\), welcher \(6\) ist. Der faktorisierte Term lautet \(6 \cdot (2a + 3b)\). 2. Identifiziere die gemeinsame Variable \(x\) in beiden Summanden. Ausklammern ergibt \(x \cdot (x - 9)\). 3. Bestimme den ggT der Zahlen \(15\) und \(10\) (\(5\)) sowie die gemeinsame Variable \(u\). Der ausgeklammerte Term ist \(5u \cdot (3v - 2w)\). 4. Bestimme den ggT von \(8\) und \(12\) (\(4\)) und klammere zusätzlich die gemeinsame Variable \(k\) aus. Dies führt zu \(4k \cdot (2k + 3)\).

1) \(6 \cdot (2a + 3b)\) 2) \(x \cdot (x - 9)\) 3) \(5u \cdot (3v - 2w)\) 4) \(4k \cdot (2k + 3)\)

- Was ist die größte Zahl, durch die beide Zahlen im Term ohne Rest teilbar sind? - Wie kannst du das Distributivgesetz rückwärts anwenden? - Überprüfe dein Ergebnis, indem du die Klammer im Kopf wieder auflöst. - Achte besonders auf das Rechenzeichen zwischen den Gliedern in der Klammer. - Was passiert, wenn eine Zahl durch sich selbst geteilt wird?

1. Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers (ggT) der Koeffizienten: \(ggT(12, 30) = 6\). Division der Glieder durch \(6\) ergibt den Term in der Klammer: \(6 \cdot (2x - 5)\). 2. \(ggT(8, 20) = 4\). Division der Glieder durch \(4\) ergibt: \(4 \cdot (2a + 5)\). 3. \(ggT(15, 10) = 5\). Division der Glieder durch \(5\) ergibt: \(5 \cdot (3 - 2b)\). 4. \(ggT(7, 7) = 7\). Division der Glieder durch \(7\) ergibt: \(7 \cdot (y + 1)\). 5. \(ggT(18, 12) = 6\). Division der Glieder durch \(6\) ergibt: \(6 \cdot (3m - 2n)\).

1) \(6 \cdot (2x - 5)\) 2) \(4 \cdot (2a + 5)\) 3) \(5 \cdot (3 - 2b)\) 4) \(7 \cdot (y + 1)\) 5) \(6 \cdot (3m - 2n)\)

- Was ist die größte Zahl, durch die beide Koeffizienten teilbar sind? - Schau dir die Variablen einzeln an: Welche ist die kleinste Hochzahl, die in beiden Teilen vorkommt? - Denk daran, dass beim Ausklammern eine 1 stehen bleibt, wenn der gesamte Teilterm ausgeklammert wird. - Du kannst dein Ergebnis prüfen, indem du die Klammer wieder auflöst.

1. Bestimmung des ggT der Koeffizienten 14 und 21 (Ergebnis: 7) sowie der gemeinsamen Variablenpotenzen (\(x\) und \(y\)). Ausklammern ergibt: \(7xy \cdot (2x - 3y)\). 2. Bestimmung des ggT von 3 und 9 (Ergebnis: 3) sowie der gemeinsamen Variablenpotenz (\(a^2\)). Ausklammern ergibt: \(3a^2 \cdot (a + 3)\). 3. Bestimmung des ggT von 4 und 6 (Ergebnis: 2) sowie der gemeinsamen Variablenpotenzen (\(k\) und \(m^2\)). Ausklammern ergibt: \(2km^2 \cdot (2k - 3m)\).

a) \(7xy \cdot (2x - 3y)\) b) \(3a^2 \cdot (a + 3)\) c) \(2km^2 \cdot (2k - 3m)\)

- Schau dir zuerst die Zahlen vor den Variablen an und finde ihren größten gemeinsamen Teiler. - Untersuche dann jede Variable einzeln: Welche ist in jedem Teil des Terms enthalten? - Nimm von jeder gemeinsamen Variable die kleinste vorkommende Hochzahl (Exponent) zum Ausklammern. - Wie kannst du dein Ergebnis durch Multiplizieren kontrollieren?

1. Für \(14a^2b - 21ab^2\): Der größte gemeinsame Teiler (ggT) von \(14\) und \(21\) ist \(7\). Die gemeinsamen Variablenpotenzen sind \(a^1\) und \(b^1\). Ausgeklammert ergibt sich \(7ab \cdot (2a - 3b)\). 2. Für \(5x^3 + 10x^2 - 15x\): Der ggT von \(5\), \(10\) und \(15\) ist \(5\). Die kleinste vorkommende Potenz von \(x\) ist \(x^1\). Ausgeklammert ergibt sich \(5x \cdot (x^2 + 2x - 3)\). 3. Für \(8u^2v^2 + 12uv^3\): Der ggT von \(8\) und \(12\) ist \(4\). Die gemeinsamen Variablenpotenzen sind \(u^1\) und \(v^2\). Ausgeklammert ergibt sich \(4uv^2 \cdot (2u + 3v)\).

a) \(7ab \cdot (2a - 3b)\) b) \(5x \cdot (x^2 + 2x - 3)\) c) \(4uv^2 \cdot (2u + 3v)\)

- Suche nach der größten Zahl, durch die alle Koeffizienten teilbar sind. - Prüfe, welche Variablen in jedem einzelnen Teil des Terms vorkommen. - Achte bei Variablen mit Potenzen auf die kleinste vorkommende Hochzahl. - Vergiss nicht, dass ein Term wie \(y\) auch als \(y \cdot 1\) geschrieben werden kann. - Du kannst dein Ergebnis prüfen, indem du die Klammer wieder auflöst.

1. Bestimmung des ggT der Koeffizienten \(8\), \(12\) und \(4\), welcher \(4\) ist. Ausklammern ergibt \(4 \cdot (2a + 3b - c)\). 2. Identifikation der kleinsten Potenz von \(x\), hier \(x^2\). Ausklammern ergibt \(x^2 \cdot (x - 5)\). 3. Bestimmung des gemeinsamen Faktors \(6p\). Ausklammern ergibt \(6p \cdot (q - 2r + s)\). 4. Identifikation des gemeinsamen Faktors \(y\). Da \(y = y \cdot 1\), bleibt nach dem Ausklammern eine \(1\) in der Klammer stehen. Ergebnis: \(y \cdot (y + 1)\).

1. \(4 \cdot (2a + 3b - c)\) 2. \(x^2 \cdot (x - 5)\) 3. \(6p \cdot (q - 2r + s)\) 4. \(y \cdot (y + 1)\)

- Wenn ein Minuszeichen am Anfang steht, kann es hilfreich sein, dieses mit auszuklammern. - Achte darauf, dass beim Ausklammern eines gesamten Gliedes (wie \(5xy\)) eine \(1\) zurückbleibt. - Was ist die niedrigste Potenz einer Variablen, die in allen Summanden vorkommt?

1. Der gemeinsame Faktor besteht aus dem ggT der Zahlen (\(5\)) und den gemeinsamen Variablen in ihrer kleinsten Potenz (\(xy\)). Ergebnis: \(5xy \cdot (3x - 2y + 1)\). 2. Ausklammern von \(-3a\) (oder \(3a\)). Bei \(-3a\) drehen sich die Vorzeichen in der Klammer um. Ergebnis: \(-3a \cdot (1 + 2b - 3c)\). 3. Die kleinste Potenz von \(z\) ist \(z^2\). Ausklammern ergibt \(z^2 \cdot (z^2 - z + 1)\).

1. \(5xy \cdot (3x - 2y + 1)\) 2. \(-3a \cdot (1 + 2b - 3c)\) oder \(3a \cdot (-1 - 2b + 3c)\) 3. \(z^2 \cdot (z^2 - z + 1)\)

- Betrachte zuerst nur die Zahlen vor den Variablen und finde deren größten gemeinsamen Teiler. - Schau dir dann jede Variable einzeln an und finde die kleinste Hochzahl, mit der sie in allen Teilen des Terms vorkommt. - Vergiss nicht, dass beim Ausklammern eines ganzen Terms eine \(1\) in der Klammer stehen bleibt. - Achte auf die Vorzeichen innerhalb der Klammer, besonders wenn du ein Minuszeichen mit ausklammerst.

1. Bestimmung des ggT der Koeffizienten \(12\) und \(18\), welcher \(6\) ist. Die gemeinsamen Variablenfaktoren mit den kleinsten Exponenten sind \(a\) und \(b\). Ausklammern von \(6ab\) ergibt \(6ab \cdot (2a - 3b)\). 2. Bestimmung des ggT der Koeffizienten \(15, 10\) und \(5\), welcher \(5\) ist. Die gemeinsamen Variablenfaktoren sind \(x^2\) und \(y^2\). Ausklammern von \(5x^2y^2\) ergibt \(5x^2y^2 \cdot (3x + 2y - 1)\). 3. Bestimmung des ggT der Koeffizienten \(8, 12\) und \(4\), welcher \(4\) ist. Die gemeinsamen Variablenfaktoren sind \(u^2\) und \(v^2\). Um das führende Vorzeichen positiv zu gestalten oder den gesamten Faktor negativ zu wählen, klammert man \(4u^2v^2\) oder \(-4u^2v^2\) aus. Ergebnis: \(4u^2v^2 \cdot (-2u^2 - 3uv + v^2)\) bzw. \(-4u^2v^2 \cdot (2u^2 + 3uv - v^2)\).

1) \(6ab \cdot (2a - 3b)\) 2) \(5x^2y^2 \cdot (3x + 2y - 1)\) 3) \(4u^2v^2 \cdot (-2u^2 - 3uv + v^2)\) oder \(-4u^2v^2 \cdot (2u^2 + 3uv - v^2)\)

- Was haben die beiden Teile des Terms gemeinsam? - Schau dir an, was in den Klammern steht. - Wenn vor einer Klammer keine Zahl steht, welche Zahl ist dann dort eigentlich gemeint? - Stell dir vor, du würdest den Klammerausdruck durch einen einzelnen Buchstaben ersetzen.

1. Identifikation des gemeinsamen Faktors \((x + y)\). Ausklammern ergibt \((6a + 5b) \cdot (x + y)\). 2. Identifikation des gemeinsamen Faktors \((p - 2)\). Ausklammern ergibt \((8m - 3) \cdot (p - 2)\). 3. Identifikation des gemeinsamen Faktors \((v + 4)\). Da der zweite Summand keinen sichtbaren Koeffizienten hat, wird die implizite \(1\) genutzt: \(u \cdot (v + 4) + 1 \cdot (v + 4)\). Das Ergebnis ist \((u + 1) \cdot (v + 4)\).

1) \((6a + 5b) \cdot (x + y)\) 2) \((8m - 3) \cdot (p - 2)\) 3) \((u + 1) \cdot (v + 4)\)

- Was passiert mit den Vorzeichen in der Klammer, wenn man ein Minuszeichen vor die Klammer zieht? - Untersuche die Ausdrücke in den Klammern: Wie hängen sie zusammen? - Denke daran, dass ein Ausdruck ohne sichtbare Zahl davor eigentlich den Koeffizienten 1 hat. - Kannst du die zweite Klammer so umformen, dass sie exakt wie die erste aussieht?

1. Umformen des zweiten Summanden mit \(v-u = -(u-v)\) zu \(3 \cdot (u-v) - w \cdot (u-v)\). Ausklammern von \((u-v)\) ergibt \((3-w) \cdot (u-v)\). 2. Ersetzen von \(4-x\) durch \(-(x-4)\) führt zu \(7 \cdot (x-4) + y \cdot (x-4)\). Ausklammern von \((x-4)\) ergibt \((7+y) \cdot (x-4)\). 3. Umschreiben von \(c-b\) als \(-(b-c)\), sodass der Term zu \(a \cdot (b-c) + (b-c)\) wird. Da \((b-c) = 1 \cdot (b-c)\), folgt durch Ausklammern \((a+1) \cdot (b-c)\).

1) \((3-w) \cdot (u-v)\); 2) \((7+y) \cdot (x-4)\); 3) \((a+1) \cdot (b-c)\)

- Schau dir die Ausdrücke in den Klammern genau an. In welcher Beziehung stehen sie zueinander? - Was passiert mit dem Vorzeichen vor einer Klammer, wenn du die Reihenfolge der Subtraktion innerhalb der Klammer umdrehst? - Wenn eine Klammer allein steht, kannst du sie dir als Produkt mit der Zahl 1 vorstellen.

1. Umkehrung des Vorzeichens im zweiten Summanden unter Verwendung von \( (2 - x) = -(x - 2) \): \( 5a \cdot (x - 2) - 3 \cdot (x - 2) \). 2. Ausklammern des gemeinsamen Faktors \( (x - 2) \): \( (5a - 3) \cdot (x - 2) \). 3. Umkehrung des Vorzeichens im zweiten Summanden unter Verwendung von \( (q - p) = -(p - q) \): \( (p - q) + 4y \cdot (p - q) \). 4. Ausklammern von \( (p - q) \), wobei der erste Term als \( 1 \cdot (p - q) \) betrachtet wird: \( (1 + 4y) \cdot (p - q) \). 5. Umkehrung des Vorzeichens im zweiten Summanden unter Verwendung von \( (b - a) = -(a - b) \): \( 0{,}5z \cdot (a - b) - 1 \cdot (a - b) \). 6. Ausklammern von \( (a - b) \): \( (0{,}5z - 1) \cdot (a - b) \).

a) \( (5a - 3) \cdot (x - 2) \) b) \( (1 + 4y) \cdot (p - q) \) c) \( (0{,}5z - 1) \cdot (a - b) \)

- Suche in jedem Glied des Terms nach Zahlen, durch die alle Koeffizienten teilbar sind. - Prüfe, welche Variablen in jedem einzelnen Summanden vorkommen. - Achte darauf, dass beim Ausklammern eines ganzen Summanden (wie bei \(xy\)) eine \(1\) in der Klammer stehen bleibt. - Du kannst dein Ergebnis kontrollieren, indem du die Klammer wieder ausmultiplizierst.

1. Identifikation des gemeinsamen Faktors \(6\). Ergebnis: \(6 \cdot (a - b + c)\). 2. Identifikation der gemeinsamen Variablen \(x\) und \(y\). Da \(x\) und \(y\) in beiden Summanden vorkommen, ist der gemeinsame Faktor \(xy\). Ergebnis: \(xy \cdot (x + 1)\). 3. Identifikation des größten gemeinsamen Teilers der Koeffizienten (\(5\)) und der kleinsten Potenz von \(z\) (\(z^1\)). Der gemeinsame Faktor ist \(5z\). Ergebnis: \(5z \cdot (4z^2 - 2z + 1)\). 4. Identifikation des größten gemeinsamen Teilers (\(4\)) und der gemeinsamen Variablen (\(a\)). Der gemeinsame Faktor ist \(4a\). Ergebnis: \(4a \cdot (b - 2c + 3)\).

1) \(6 \cdot (a - b + c)\) 2) \(xy \cdot (x + 1)\) 3) \(5z \cdot (4z^2 - 2z + 1)\) 4) \(4a \cdot (b - 2c + 3)\)

- Untersuche zuerst die Zahlen vor den Variablen: Welches ist die größte Zahl, durch die alle Koeffizienten teilbar sind? - Schau dir dann die Variablen an: Welche Buchstaben kommen in jedem Teil des Terms vor? - Achte bei den Variablen auf die kleinste vorkommende Hochzahl. - Du kannst dein Ergebnis prüfen, indem du die Klammer wieder auflöst.

1. Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers der Koeffizienten \(12\) und \(18\), der \(6\) ist, sowie der gemeinsamen Variable \(a\). Ausklammern ergibt \(6a \cdot (2a + 3)\). 2. Bestimmung des ggT von \(15\) und \(10\), der \(5\) ist, sowie der gemeinsamen Variablen \(x\) und \(y\). Ausklammern ergibt \(5xy \cdot (3x - 2y)\). 3. Bestimmung des ggT von \(6\), \(9\) und \(3\), der \(3\) ist, sowie der gemeinsamen Variable \(b\). Ausklammern ergibt \(3b \cdot (2b^2 - 3b + 1)\).

1) \(6a \cdot (2a + 3)\) 2) \(5xy \cdot (3x - 2y)\) 3) \(3b \cdot (2b^2 - 3b + 1)\)

- Schau dir zuerst die Zahlen vor den Variablen an. Welches ist die größte Zahl, durch die alle Koeffizienten teilbar sind? - Vergleiche die Potenzen der Variablen in jedem Summanden. Welche ist die jeweils kleinste vorkommende Potenz jeder Variable? - Achte beim Ausklammern besonders auf die Vorzeichen, wenn ein Minuszeichen vor der Klammer steht. - Denke daran, dass beim Ausklammern eines kompletten Summanden eine \(1\) als Platzhalter in der Klammer stehen bleibt.

1. Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers (ggT) der Koeffizienten \(9\) und \(12\) (\(3\)) sowie der gemeinsamen Variablenpotenzen (\(r^1s^1\)). Division der Einzelterme durch \(3rs\) ergibt \(3r\) und \(-4s\). Ergebnis: \(3rs \cdot (3r - 4s)\). 2. Bestimmung des ggT der Koeffizienten \(14\), \(21\) und \(7\) (\(7\)) sowie der Variablenpotenzen (\(x^2y^2\)). Division der Terme ergibt \(2x\), \(3y\) und \(-1\). Ergebnis: \(7x^2y^2 \cdot (2x + 3y - 1)\). 3. Ausklammern des negativen Faktors \(-5a^2b^3\) (da der erste Summand negativ ist). Division der Summanden durch \(-5a^2b^3\) liefert \(2a^2\), \(3ab\) und \(-5b^2\). Ergebnis: \(-5a^2b^3 \cdot (2a^2 + 3ab - 5b^2)\).

1) \(3rs \cdot (3r - 4s)\) 2) \(7x^2y^2 \cdot (2x + 3y - 1)\) 3) \(-5a^2b^3 \cdot (2a^2 + 3ab - 5b^2)\)

- Was haben alle Teile der Summe gemeinsam? - Achte darauf, was übrig bleibt, wenn du den gemeinsamen Teil „wegnimmst“. - Wenn eine Klammer alleine steht, kannst du sie dir als \(1 \cdot (\dots)\) vorstellen.

1. Identifikation des gemeinsamen Faktors \((a-b)\). Ausklammern ergibt \((a-b) \cdot (4x+3y-z)\). 2. Identifikation des gemeinsamen Faktors \((t^2+7)\). Beachtung des unsichtbaren Faktors \(1\) beim letzten Summanden. Ausklammern ergibt \((t^2+7) \cdot (s-2r+1)\). 3. Identifikation des gemeinsamen Faktors \((x+y-z)\). Ausklammern ergibt \((x+y-z) \cdot (u+v-w)\).

1) \((a-b) \cdot (4x+3y-z)\) 2) \((t^2+7) \cdot (s-2r+1)\) 3) \((x+y-z) \cdot (u+v-w)\)

- Kannst du in einem Teil des Terms eine Zahl oder eine Variable finden, die in mehreren Gliedern vorkommt? - Was passiert, wenn du in der zweiten Hälfte des Terms eine Klammer setzt? Musst du dabei auf Vorzeichen achten? - Wenn eine Klammer bereits vorgegeben ist, versuche den Rest des Terms so umzuformen, dass genau dieselbe Klammer entsteht. - Denk daran, dass ein Ausdruck wie \(x+y\) auch als \(1 \cdot (x+y)\) geschrieben werden kann.

1. In den letzten beiden Summanden wird die \(5\) ausgeklammert: \(a \cdot (x+y) + 5 \cdot (x+y)\). Da \((x+y)\) nun ein gemeinsamer Faktor beider Summanden ist, wird dieser ausgeklammert: \((x+y) \cdot (a+5)\). 2. Aus den Termen \(cm - cn\) wird \(c\) ausgeklammert: \(b \cdot (m-n) + c \cdot (m-n)\). Anschließend wird der gemeinsame Faktor \((m-n)\) ausgeklammert: \((m-n) \cdot (b+c)\). 3. Die letzten beiden Glieder werden durch Ausklammern von \(-1\) zusammengefasst: \(x \cdot (a+b) - (a+b)\). Da \((a+b)\) nun in beiden Teilen vorkommt (beim zweiten Teil mit dem unsichtbaren Faktor \(1\)), ergibt das Ausklammern: \((a+b) \cdot (x-1)\).

1) \((x+y) \cdot (a+5)\) 2) \((m-n) \cdot (b+c)\) 3) \((a+b) \cdot (x-1)\)

- Kannst du die hinteren Glieder so in Klammern setzen, dass sie genau wie der vordere Klammerausdruck aussehen? - Denke daran, dass vor einer Klammer ohne sichtbare Zahl eine „unsichtbare“ \(1\) steht. - Achte besonders auf das Vorzeichen, wenn du Glieder in eine Klammer zusammenfasst, vor der ein Minus steht.

1. Zusammenfassen der hinteren Glieder durch Setzen einer Klammer mit dem Faktor \(1\): \(4s \cdot (a + b) + 1 \cdot (a + b)\). Ausklammern von \((a + b)\) ergibt \((a + b) \cdot (4s + 1)\). 2. Zusammenfassen der hinteren Glieder durch Ausklammern von \(-1\): \(3x \cdot (y - z) - 1 \cdot (y - z)\). Ausklammern des Binoms ergibt \((y - z) \cdot (3x - 1)\). 3. Zusammenfassen der hinteren Glieder durch Ausklammern von \(-1\): \(k \cdot (m + n) - 1 \cdot (m + n)\). Ausklammern des Binoms ergibt \((m + n) \cdot (k - 1)\).

1) \((a + b) \cdot (4s + 1)\) 2) \((y - z) \cdot (3x - 1)\) 3) \((m + n) \cdot (k - 1)\)

- Kannst du die vier Glieder in zwei Paare aufteilen, die jeweils einen gemeinsamen Faktor haben? - Was passiert, wenn du aus jedem Paar so viel wie möglich ausklammerst? - Haben die beiden neuen Teile des Terms nun vielleicht eine ganze Klammer gemeinsam? - Achte bei der letzten Aufgabe besonders auf das Minuszeichen zwischen den Variablen.

1. Teilaufgabe a): Gruppierung der ersten beiden und der letzten beiden Glieder ergibt \((5x+5y) + (ax+ay)\). Ausklammern der gemeinsamen Faktoren in den Klammern führt zu \(5 \cdot (x+y) + a \cdot (x+y)\). Da \((x+y)\) nun ein gemeinsamer Faktor ist, ergibt sich \((x+y) \cdot (5+a)\). 2. Teilaufgabe b): Gruppierung zu \((z^2+3z) + (mz+3m)\). Ausklammern von \(z\) und \(m\) ergibt \(z \cdot (z+3) + m \cdot (z+3)\). Zusammenfassen liefert \((z+3) \cdot (z+m)\). 3. Teilaufgabe c): Gruppierung zu \((7r-7s) + (kr-ks)\). Ausklammern von \(7\) und \(k\) führt zu \(7 \cdot (r-s) + k \cdot (r-s)\). Das Endergebnis ist \((r-s) \cdot (7+k)\).

a) \((x+y) \cdot (5+a)\) b) \((z+3) \cdot (z+m)\) c) \((r-s) \cdot (7+k)\)

- Kannst du die Terme so sortieren, dass immer zwei Terme einen gemeinsamen Faktor haben? - Was passiert, wenn du aus den ersten beiden Termen und aus den letzten beiden Termen jeweils so viel wie möglich ausklammerst? - Erhältst du nach dem ersten Ausklammern in beiden Klammern denselben Ausdruck? - Achte darauf, dass das Ziel ein Produkt aus zwei Klammern ist.

1. Gruppierung der Terme zu Paaren mit gemeinsamen Faktoren: \((4am - 6bm) + (2an - 3bn)\). 2. Ausklammern der größten gemeinsamen Teiler in den Klammern: \(2m \cdot (2a - 3b) + n \cdot (2a - 3b)\). 3. Ausklammern des nun gemeinsamen Klammerausdrucks \((2a - 3b)\) ergibt das Produkt \((2a - 3b) \cdot (2m + n)\). 4. Gruppierung des zweiten Terms: \((x^2 + 5x) + (xy + 5y)\). 5. Ausklammern von \(x\) und \(y\): \(x \cdot (x + 5) + y \cdot (x + 5)\). 6. Zusammenfassen durch Ausklammern von \((x + 5)\) führt zum Ergebnis \((x + 5) \cdot (x + y)\).

1) \((2a - 3b) \cdot (2m + n)\) 2) \((x + 5) \cdot (x + y)\)

- Schau dir die Terme an: Gibt es einen ganzen Klammerausdruck, der in jedem Teil der Summe vorkommt? - Stell dir die Klammer als eine einzige Variable vor, zum Beispiel \(Z\). Wie würdest du \(9a \cdot Z + 4b \cdot Z\) vereinfachen? - Achte beim zweiten Aufgabenteil genau auf das Rechenzeichen zwischen den beiden Haupttermen.

1. In Aufgabenteil a) ist der Klammerausdruck \((x - y)\) in beiden Summanden identisch. Durch Ausklammern dieses Faktors ergibt sich: \((9a + 4b) \cdot (x - y)\). 2. In Aufgabenteil b) ist der Klammerausdruck \((r + s - t)\) der gemeinsame Faktor beider Summanden. Durch Ausklammern erhält man: \((u - v) \cdot (r + s - t)\).

a) \((9a + 4b) \cdot (x - y)\) b) \((u - v) \cdot (r + s - t)\)

- Kannst du in der ersten Hälfte und in der zweiten Hälfte des Terms jeweils einen gemeinsamen Faktor finden? - Schau dir die entstandenen Klammern an – fällt dir etwas auf? - Ist es einfacher, die Zahlen direkt einzusetzen oder den Term zuerst in ein Produkt umzuwandeln?

1. Gruppieren der Terme und teilweises Ausklammern: \(5 \cdot (x+y) + a \cdot (x+y)\). 2. Vollständiges Faktorisieren durch Ausklammern des gemeinsamen Faktors \((x+y)\): \((5+a) \cdot (x+y)\). 3. Einsetzen der gegebenen Werte \(x = 1{,}2\), \(y = 0{,}8\) und \(a = 13\): \((5+13) \cdot (1{,}2 + 0{,}8)\). 4. Berechnen der Klammerausdrücke: \(18 \cdot 2\). 5. Finales Ergebnis: \(36\).

\(36\)

- Welche Zahl teilt alle Zahlen vor den Variablen ohne Rest? - Welche Buchstaben kommen in jedem einzelnen Teil des Terms vor? - Achte auf die Hochzahlen: Welches ist die jeweils kleinste Hochzahl eines Buchstabens, der überall vorkommt? - Was bleibt übrig, wenn du einen Teil des Terms durch den ausgeklammerten Faktor teilst? - Denk daran, dass eine \(1\) stehen bleibt, wenn du einen Summanden komplett ausklammerst.

1. Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers (ggT) der Koeffizienten 15, 10, 20 und 5: Der ggT ist 5. 2. Bestimmung der gemeinsamen Variablen mit den jeweils kleinsten Exponenten: In allen Summanden kommen \(a\) und \(b\) vor. Die kleinsten Exponenten sind \(a^1\) und \(b^1\). Der gemeinsame Variablenfaktor ist somit \(ab\). 3. Bildung des gesamten Faktors: \(5ab\). 4. Division jedes Summanden durch \(5ab\): \(15a^2b^2 : (5ab) = 3ab\) \(-10a^3b : (5ab) = -2a^2\) \(20ab^3 : (5ab) = 4b^2\) \(-5ab : (5ab) = -1\) 5. Zusammenführen zum Ergebnis: \(5ab \cdot (3ab - 2a^2 + 4b^2 - 1)\).

\(5ab \cdot (3ab - 2a^2 + 4b^2 - 1)\)

- Suche zuerst nach der größten Zahl, durch die beide Koeffizienten teilbar sind. - Schau dir dann die Variablen an: Welche kleinste Potenz jeder Variable kommt in beiden Teilen des Terms vor? - Überlege, womit du den ausgeklammerten Teil multiplizieren müsstest, um wieder den ursprünglichen Term zu erhalten.

1. Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers (ggT) der Koeffizienten \(24\) und \(16\): \(ggT(24, 16) = 8\) 2. Bestimmung der gemeinsamen Variablenpotenzen: Sowohl \(u^2\) als auch \(u^3\) enthalten \(u^2\). Sowohl \(v^2\) als auch \(v\) enthalten \(v\). Der gemeinsame Faktor ist somit \(8u^2 v\). 3. Division der einzelnen Terme durch den gemeinsamen Faktor: \(24u^2 v^2 : (8u^2 v) = 3v\) und \(-16u^3 v : (8u^2 v) = -2u\). 4. Zusammenführung zum faktorisierten Ausdruck: \(8u^2 v \cdot (3v - 2u)\).

\(8u^2 v \cdot (3v - 2u)\)

- Versuche, die Summanden paarweise zusammenzufassen. - Gibt es in den Paaren jeweils einen gemeinsamen Faktor, den du ausklammern kannst? - Schau dir die entstandenen Klammerausdrücke an – sind sie identisch? - Wenn die Klammern gleich sind, kannst du die gesamte Klammer als neuen Faktor ausklammern.

1. Teilaufgabe a): Gruppierung der Summanden zu \((ax + 3a) + (bx + 3b)\). 2. Ausklammern der gemeinsamen Faktoren in den Klammern: \(a \cdot (x + 3) + b \cdot (x + 3)\). 3. Ausklammern des gemeinsamen Binoms \((x + 3)\) ergibt \((a + b) \cdot (x + 3)\). 4. Teilaufgabe b): Gruppierung der Summanden zu \((y^2 - 5y) + (zy - 5z)\). 5. Ausklammern der Faktoren \(y\) und \(z\): \(y \cdot (y - 5) + z \cdot (y - 5)\). 6. Ausklammern des gemeinsamen Binoms \((y - 5)\) führt zu \((y + z) \cdot (y - 5)\).

a) \((a + b) \cdot (x + 3)\) b) \((y + z) \cdot (y - 5)\)

- Gibt es neben Zahlen auch Buchstaben, die in jedem Teil des Terms vorkommen? - Wenn du einen Term komplett ausklammerst, bleibt an dieser Stelle eine \(1\) (oder \(-1\)) stehen. - Achte besonders auf das Vorzeichen, wenn du eine negative Zahl ausklammerst. - Überlege, was passiert, wenn du die Klammer wieder auflösen würdest.

1. Identifikation des ggT der Zahlen (\(4\)) und der gemeinsamen Variable (\(a\)). Ausklammern von \(4a\) ergibt \(4a \cdot (2x + 3y)\). 2. Identifikation des ggT (\(7\)) und der gemeinsamen Variable (\(m\)). Ausklammern von \(7m\) ergibt \(7m \cdot (2 - 3n)\). 3. Ausklammern des negativen Faktors \(-9\), um den Term in der Klammer zu vereinfachen. Dies ergibt \(-9 \cdot (p + 3q)\). 4. Identifikation des ggT (\(5\)) und der gemeinsamen Variable (\(u\)) in allen drei Summanden. Beachtung, dass \(-5u : 5u = -1\). Das Ergebnis ist \(5u \cdot (3v + 2w - 1)\).

1) \(4a \cdot (2x + 3y)\) 2) \(7m \cdot (2 - 3n)\) 3) \(-9 \cdot (p + 3q)\) 4) \(5u \cdot (3v + 2w - 1)\)

- Was ist die größte Zahl, durch die beide Koeffizienten teilbar sind? - Welche Variable kommt in beiden Teilen vor und was ist ihr kleinster Exponent? - Du kannst dein Ergebnis kontrollieren, indem du die Klammer im Kopf wieder ausmultiplizierst. - Denk daran, dass beim Ausklammern von Potenzen die Exponenten subtrahiert werden.

1. Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers der Koeffizienten und der kleinsten Potenz der Variablen: Für \(4x^3 - 8x^2\) ist der Faktor \(4x^2\). Division ergibt \(x - 2\). Resultat: \(4x^2 \cdot (x - 2)\). 2. Für \(12y^5 + 18y^4\) ist der Faktor \(6y^4\). Division ergibt \(2y + 3\). Resultat: \(6y^4 \cdot (2y + 3)\). 3. Für \(5a^2b - 15ab^2\) ist der Faktor \(5ab\). Division ergibt \(a - 3b\). Resultat: \(5ab \cdot (a - 3b)\). 4. Für \(24z^7 - 16z^4\) ist der Faktor \(8z^4\). Division ergibt \(3z^3 - 2\). Resultat: \(8z^4 \cdot (3z^3 - 2)\).

1) \(4x^2 \cdot (x - 2)\); 2) \(6y^4 \cdot (2y + 3)\); 3) \(5ab \cdot (a - 3b)\); 4) \(8z^4 \cdot (3z^3 - 2)\).

- Was passiert mit den Vorzeichen in einer Klammer, wenn man ein Minuszeichen vor die Klammer setzt? - Kannst du einen der Ausdrücke so umschreiben, dass er genau wie der andere Klammerausdruck aussieht? - Erinnere dich an die Regel: \((b-a) = -1 \cdot (a-b)\).

1. Umformung des zweiten Summanden mittels \(b-a = -(a-b)\): \(x \cdot (a-b) - y \cdot (a-b)\). Ausklammern des gemeinsamen Faktors \((a-b)\) ergibt \((x-y) \cdot (a-b)\). 2. Umformung des zweiten Summanden mittels \(t-2 = -(2-t)\): \(s^2 \cdot (2-t) - 5 \cdot (-(2-t)) = s^2 \cdot (2-t) + 5 \cdot (2-t)\). Ausklammern des gemeinsamen Faktors \((2-t)\) ergibt \((s^2+5) \cdot (2-t)\). 3. Umformung des zweiten Summanden mittels \(n-m = -(m-n)\): \(7 \cdot (m-n) - k \cdot (m-n)\). Ausklammern des gemeinsamen Faktors \((m-n)\) ergibt \((7-k) \cdot (m-n)\).

1) \((x-y) \cdot (a-b)\) 2) \((s^2+5) \cdot (2-t)\) 3) \((7-k) \cdot (m-n)\)

- Suche in jedem Teil des Terms nach einem Ausdruck in Klammern, der überall identisch ist. - Stell dir vor, du setzt für die gesamte Klammer einen neuen Buchstaben ein, zum Beispiel \(Z\). Wie würdest du dann ausklammern? - Wenn eine Klammer alleine steht, steht unsichtbar eine \(1\) als Faktor davor.

1. In Teilaufgabe a) ist \((a+b)\) der gemeinsame Faktor. Durch Ausklammern erhält man \((8x+3y) \cdot (a+b)\). 2. In Teilaufgabe b) tritt \((x-y)\) in jedem Summanden auf. Unter Beachtung der Vorzeichen ergibt sich \((p-q+r) \cdot (x-y)\). 3. In Teilaufgabe c) ist \((v^2+1)\) der gemeinsame Faktor. Der zweite Term \((v^2+1)\) entspricht \(1 \cdot (v^2+1)\). Somit lautet das Ergebnis \((u+1) \cdot (v^2+1)\).

a) \((8x+3y) \cdot (a+b)\) b) \((p-q+r) \cdot (x-y)\) c) \((u+1) \cdot (v^2+1)\)

- Gibt es in den Produkten einen gemeinsamen Faktor, den du ausklammern kannst? - Kannst du die Reihenfolge der Multiplikation so ändern, dass eine „schöne“ Zahl wie 10 oder 100 entsteht? - Überlege, ob es einfacher ist, zuerst die Klammer zu berechnen oder das Distributivgesetz anzuwenden.

1. Teilaufgabe a): Anwenden des Distributivgesetzes durch Ausklammern von \( -4{,}2 \) ergibt \( -4{,}2 \cdot (17 + 3) \). Berechnung der Klammer: \( -4{,}2 \cdot 20 = -84 \). 2. Teilaufgabe b): Ausklammern von \( \frac{2}{3} \) ergibt \( \frac{2}{3} \cdot (-5{,}8 - 4{,}2) \). Die Summe in der Klammer ist \( -10 \). Das Ergebnis lautet \( \frac{2}{3} \cdot (-10) = -\frac{20}{3} = -6\frac{2}{3} \). 3. Teilaufgabe c): Nutzen des Kommutativ- und Assoziativgesetzes zum Vertauschen und Gruppieren der Faktoren: \( (0{,}25 \cdot 40) \cdot 13 \). Da \( 0{,}25 \cdot 40 = 10 \), folgt \( 10 \cdot 13 = 130 \).

a) \( -84 \) b) \( -6\frac{2}{3} \) c) \( 130 \)

- Schau dir die Zahlen in den Klammern genau an – gibt es dort noch gemeinsame Teiler? - Prüfe, ob in den Klammern noch Variablen vorkommen, die in jedem Summanden enthalten sind. - Was ist die höchste Potenz von \(x\), die in beiden ursprünglichen Termen vorkommt?

1. Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers (ggT) der Koeffizienten \(60\) und \(45\): \(ggT(60, 45) = 15\). 2. Bestimmung der kleinsten Exponenten der Variablen: für \(x\) ist es \(x^4\), für \(y\) ist es \(y^3\). 3. Der größtmögliche Faktor ist somit \(15x^4y^3\). 4. Prüfung von A: Hier wurde nur \(5\) statt \(15\) ausgeklammert; in der Klammer \((12x - 9y)\) steckt noch der gemeinsame Teiler \(3\). 5. Prüfung von B: Hier wurde nur \(x^3\) statt \(x^4\) ausgeklammert; in der Klammer \((4x^2 - 3xy)\) steckt noch die gemeinsame Variable \(x\). 6. Prüfung von C: Hier wurde \(15x^4y^3\) ausgeklammert. Die Klammer \((4x - 3y)\) enthält keine weiteren gemeinsamen Faktoren mehr.

C ist die einzige vollständige Faktorisierung. In A kann in der Klammer noch der Faktor \(3\) ausgeklammert werden. In B kann in der Klammer noch die Variable \(x\) ausgeklammert werden.

- Stell dir vor, der gesamte Klammerausdruck wäre eine einzige Variable, zum Beispiel \(z\). Wie würdest du dann ausklammern? - Was steht unsichtbar vor einer Klammer, wenn dort kein Koeffizient, sondern nur ein Minuszeichen zu sehen ist? - Schau dir die Ergebnisse genau an – lässt sich einer der neuen Faktoren vielleicht noch weiter zerlegen?

1. Identifikation des gemeinsamen Klammerausdrucks in jedem Term: a) Der gemeinsame Faktor ist \((y - 2)\). Ausklammern führt zu \((7x + 3)(y - 2)\). b) Der gemeinsame Faktor ist \((b + 1)\). Beachte, dass \(-(b+1)\) das Gleiche ist wie \(-1 \cdot (b+1)\). Ausklammern führt zu \((5a - 1)(b + 1)\). c) Der gemeinsame Faktor ist \((x + 3)\). Ausklammern führt zu \((x^2 - 4)(x + 3)\). Optional kann \(x^2 - 4\) mit der dritten binomischen Formel weiter zu \((x - 2)(x + 2)\) faktorisiert werden; insgesamt ergibt sich dann \((x - 2)(x + 2)(x + 3)\).

a) \((7x + 3)(y - 2)\) b) \((5a - 1)(b + 1)\) c) \((x^2 - 4)(x + 3)\) oder \((x - 2)(x + 2)(x + 3)\)

- Wenn ein Minuszeichen am Anfang steht, ist es oft hilfreich, dieses mit auszuklammern. - Bei Brüchen mit gleichem Nenner kannst du den Zähler und den Nenner getrennt betrachten. - Prüfe dein Ergebnis durch Ausmultiplizieren.

1. Für Teilaufgabe a) wird \(-0{,}5x^2y\) ausgeklammert. Division der Terme ergibt: \((-0{,}5x^3y) : (-0{,}5x^2y) = x\) und \((1{,}5x^2y^2) : (-0{,}5x^2y) = -3y\). Ergebnis: \(-0{,}5x^2y(x - 3y)\). 2. In Teilaufgabe b) ist \(\frac{2}{7}a\) der gemeinsame Faktor. Division ergibt: \((\frac{2}{7}a^2) : (\frac{2}{7}a) = a\) und \((-\frac{6}{7}a) : (\frac{2}{7}a) = -3\). Ergebnis: \(\frac{2}{7}a(a - 3)\). 3. In Teilaufgabe c) ist der ggT der Koeffizienten \(12\), \(18\) und \(6\) gleich \(6\); die kleinste gemeinsame Potenz ist \(k^2\). Ausklammern von \(6k^2\) liefert \(6k^2(2k^2 - 3k + 1)\).

a) \(-0{,}5x^2y(x - 3y)\) b) \(\frac{2}{7}a(a - 3)\) c) \(6k^2(2k^2 - 3k + 1)\)

- Kannst du im ersten Teil des Ausdrucks etwas ausklammern, das auch im zweiten Teil der Division vorkommt? - Was passiert, wenn man eine Zahl erst mit einer Summe multipliziert und das Ergebnis dann wieder durch dieselbe Summe teilt? - Überlege dir ein Beispiel mit einfachen Zahlen für \(x\), \(y\) und \(z\), um deine Vermutung zu prüfen.

1. Ausklammern von \(z\) im Dividenden: \((x \cdot z + y \cdot z) = z \cdot (x + y)\). 2. Für \(x + y \neq 0\) kann gekürzt werden: \(z \cdot (x + y) : (x + y) = z\). 3. Für \(z = 42\) ergibt sich der Wert \(42\). 4. Unter der Bedingung \(x + y \neq 0\) kürzt sich der Ausdruck \((x + y)\) vollständig heraus; deshalb bleibt nur \(z\) übrig.

a) \(z\) für \(x + y \neq 0\) b) \(42\) c) Durch das Ausklammern von \(z\) erhält man \(z \cdot (x + y) : (x + y)\). Für \(x + y \neq 0\) kürzt sich der gemeinsame Faktor; das Ergebnis ist dann unabhängig von den einzelnen Werten von \(x\) und \(y\).

- Überlege bei der ersten Aufgabe, wie die Umkehroperation (Multiplikation) aussehen müsste. - Gibt es in der Mathematik eine Regel, durch welche Zahlen man niemals teilen darf? - Was muss passieren, damit die Klammer im Divisor den Wert Null ergibt?

1. Bestimmung der fehlenden Glieder: a) Damit das Ergebnis \(13\) lautet, muss im Dividenden der Faktor \(13\) ausgeklammert werden können. Die Lücken müssen also jeweils \(13\) enthalten: \((13x + 13y) : (x + y) = 13\). b) Rückrechnung durch Multiplikation: \(5 \cdot (3z - 4) = 15z - 20\). Das fehlende Glied ist \(20\). 2. Mathematische Begründung: Die Division durch Null ist nicht definiert. Der Divisor \((x + y)\) darf also nicht den Wert \(0\) annehmen. Die Rechnung funktioniert daher nicht, wenn \(x + y = 0\) ist (also wenn \(x = -y\)). In allen anderen Fällen ist die Aussage korrekt, da \(\frac{a \cdot (x+y)}{x+y} = a\).

1. a) Beide Lücken werden mit \(13\) gefüllt; b) \(20\) 2. Die Aussage ist falsch für den Fall \(x + y = 0\) (bzw. \(x = -y\)), da man nicht durch Null teilen darf.

- Überlege, womit du den Faktor vor der Klammer multiplizieren musst, um den ursprünglichen Term zu erhalten. - Wenn du einen ganzen Term ausklammerst, bleibt an dieser Stelle eine 1 stehen. - Du kannst die fehlende Stelle finden, indem du das Ergebnis durch den bekannten Teil teilst. - Achte besonders auf die Vorzeichen in der Klammer.

1. Dividiere \(14xy\) durch \(7x\) (\(2y\)) und \(21xz\) durch \(7x\) (\(3z\)). Ergebnis für die Klammer: \(2y - 3z\). 2. Dividiere \(a^2b\) durch \(ab\) (\(a\)) und \(ab^2\) durch \(ab\) (\(b\)). Ergebnis für die Klammer: \(a + b\). 3. Bestimme den Faktor vor der Klammer durch Division des ersten Gliedes: \(12m^2 : 4m = 3m\). Zur Kontrolle: \(3m \cdot (-5) = -15m\). 4. Dividiere jedes Glied des Terms durch den Faktor \(3\). Es ergeben sich \(2p\), \(3q\) und \(1\). Beachte, dass \(3 : 3 = 1\) nicht weggelassen werden darf.

1) \(14xy - 21xz = 7x \cdot (2y - 3z)\) 2) \(a^2b + ab^2 = ab \cdot (a + b)\) 3) \(3m \cdot (4m - 5) = 12m^2 - 15m\) 4) \(6p - 9q + 3 = 3 \cdot (2p - 3q + 1)\)

- Wie oft passt der ausgeklammerte Faktor in die ursprünglichen Teile hinein? - Schau dir die Ausdrücke innerhalb der Klammer nach dem Ausklammern genau an. Kannst du dort noch einmal etwas Gemeinsames finden? - Wie verhalten sich die Zahlen vor der Klammer zueinander? - Wann nennst du eine Zerlegung „fertig“?

1. Teilweises Ausklammern von \(6xy\): Division der Koeffizienten \(24 : 6 = 4\) und \(36 : 6 = 6\). Ergebnis: \(6xy \cdot (4x + 6y)\). 2. Bestimmung des größtmöglichen Faktors: \(\text{ggT}(24, 36) = 12\). Gemeinsame Variablen mit kleinstem Exponenten sind \(x\) und \(y\). Ausklammern von \(12xy\): \(12xy \cdot (2x + 3y)\). 3. Vergleich: Im Ergebnis von a), \(6xy \cdot (4x + 6y)\), haben die Terme in der Klammer (\(4x\) und \(6y\)) noch den gemeinsamen Teiler \(2\). Im Ergebnis von b), \(12xy \cdot (2x + 3y)\), haben \(2x\) und \(3y\) keinen gemeinsamen Teiler mehr (außer \(1\)).

a) \(6xy \cdot (4x + 6y)\) b) \(12xy \cdot (2x + 3y)\) c) Eine Faktorisierung ist dann vollständig bzw. der Faktor größtmöglich, wenn die Terme in der Klammer keinen weiteren gemeinsamen Faktor mehr besitzen. In a) ist \(4x + 6y\) noch durch \(2\) teilbar, in b) haben \(2x + 3y\) keinen gemeinsamen Teiler mehr.

- Wie hängen die Zahl vor der Klammer und die Glieder in der Klammer mit dem ursprünglichen Term zusammen? - Kannst du eine Probe machen, indem du die Klammer ausmultiplizierst? - Welche Zahl musst du mit dem Inhalt der Klammer multiplizieren, um den ersten Teil des ursprünglichen Terms zu erhalten? - Achte darauf, dass die Variablen (\(x, y, z, \dots\)) an der richtigen Stelle stehen bleiben.

a) Bestimmung des Faktors vor der Klammer durch Division eines Gliedes außerhalb der Klammer durch das entsprechende Glied innerhalb der Klammer: \(12z : 2z = 6\). Überprüfung: \(6 \cdot 3 = 18\). Ergebnis: \(6\). b) Division jedes Gliedes des ursprünglichen Terms durch den Faktor \(5\): \(5x : 5 = x\), \(15y : 5 = 3y\), \(10 : 5 = 2\). Ergebnis: \(x\), \(3y\), \(2\). c) Bestimmung des Faktors durch Division: \(8a : 4a = 2\). Überprüfung: \(2 \cdot (-1) = -2\). Ergebnis: \(2\). d) Division der Glieder durch \(8\): \(24 : 8 = 3\) und \(16c : 8 = 2c\). Ergebnis: \(3\), \(2c\).

a) \(6\) b) \(x, 3y, 2\) c) \(2\) d) \(3, 2c\)

- Wie löst man eine Klammer mit einem Faktor davor auf? - Schau dir die Ausdrücke innerhalb der Klammern genau an. Findest du dort noch Gemeinsamkeiten? - Was bedeutet „vollständig“, wenn man über Faktoren spricht? - Vergleiche die Faktoren, die vor der Klammer stehen. Welcher ist „größer“ im Sinne der Teilbarkeit?

1. Überprüfung von Tim: \(8u^2v^2 \cdot 3u = 24u^3v^2\) und \(8u^2v^2 \cdot 2v = 16u^2v^3\). Die Summe ergibt den Originalterm. 2. Überprüfung von Mia: \(4uv \cdot 6u^2v = 24u^3v^2\) und \(4uv \cdot 4uv^2 = 16u^2v^3\). Die Summe ergibt ebenfalls den Originalterm. 3. Analyse der Restterme: In Mias Klammer \((6u^2v + 4uv^2)\) haben die Koeffizienten 6 und 4 noch den gemeinsamen Teiler 2, und beide Terme enthalten noch die Variablen \(u\) und \(v\). In Tims Klammer \((3u + 2v)\) gibt es keinen gemeinsamen Faktor mehr außer 1. 4. Schlussfolgerung: Tim hat den größtmöglichen gemeinsamen Faktor (\(8u^2v^2\)) ausgeklammert, Mia nur einen Teilfaktor (\(4uv\)).

a) Beide Ergebnisse ergeben beim Ausmultiplizieren \(24u^3v^2 + 16u^2v^3\). b) Tim hat den größtmöglichen Faktor ausgeklammert. In Mias Klammer \((6u^2v + 4uv^2)\) steckt noch der Faktor \(2uv\), der zusätzlich ausgeklammert werden könnte.

- Suche zuerst nach der größten Zahl, durch die alle Koeffizienten teilbar sind. - Überprüfe dann, welche Variablen in jedem Summanden vorkommen. - Achte bei mehreren Variablen darauf, jede in ihrer kleinsten vorkommenden Potenz auszuklammern. - In der Klammer muss es genauso viele Glieder geben wie im ursprünglichen Term.

1. Bestimmung des ggT von \(6\) und \(9\) (\(3\)) sowie der gemeinsamen Variable \(a\): \(3a \cdot (2b - 3c)\). 2. Bestimmung des ggT von \(10\) und \(15\) (\(5\)) sowie der kleinsten Potenz von \(x\) (\(x^2\)): \(5x^2 \cdot (2x + 3)\). 3. Bestimmung des ggT von \(4, 8, 12\) (\(4\)) und der gemeinsamen Variable \(z\): \(4z \cdot (z^2 - 2z + 3)\). 4. Identifikation der gemeinsamen Variablen \(u\) und \(v\) in ihrer jeweils kleinsten Potenz: \(uv \cdot (u + v)\).

1) \(3a \cdot (2b - 3c)\); 2) \(5x^2 \cdot (2x + 3)\); 3) \(4z \cdot (z^2 - 2z + 3)\); 4) \(uv \cdot (u + v)\).

- Was bedeutet es, wenn ein Faktor „größtmöglich“ ist? Darf in der Klammer dann noch etwas Gemeinsames stehen? - Vergleiche die Variablen innerhalb der Klammern bei Anja und Ben. - Wie kannst du die Klammer wieder auflösen, um zu sehen, ob das Original herauskommt?

1. Vergleich der Faktoren vor der Klammer: Anja hat \(4x\) ausgeklammert, Ben hat \(4xy^2\) ausgeklammert. 2. Untersuchung von Anjas Klammer: Im Term \((3xy^2 - 2y^3)\) ist die Variable \(y\) noch in beiden Gliedern enthalten (gemeinsamer Faktor \(y^2\)). Das Ausklammern ist also nicht vollständig. 3. Untersuchung von Bens Klammer: Im Term \((3x - 2y)\) haben die Koeffizienten \(3\) und \(2\) nur den ggT \(1\) und es gibt keine gemeinsamen Variablen mehr. Ben hat somit den größtmöglichen Faktor ausgeklammert. 4. Probe durch Ausmultiplizieren von Bens Term: \(4xy^2 \cdot 3x - 4xy^2 \cdot 2y = 12x^2y^2 - 8xy^3\). Dies entspricht dem ursprünglichen Term.

a) Ben hat den größtmöglichen Faktor ausgeklammert, da in Anjas Klammer noch der Faktor \(y^2\) in beiden Gliedern steckt. b) \(4xy^2 \cdot (3x - 2y) = 12x^2y^2 - 8xy^3\).

- Suche nach Faktoren, die in absolut jedem Teil des Summenterms enthalten sind. - Wenn alle Glieder eines Terms negativ sind, bietet es sich an, das Minuszeichen mit auszuklammern. - Prüfe dein Ergebnis, indem du die Klammer im Kopf wieder auflöst (ausmultiplizierst). - Achte bei Termen mit drei Variablen darauf, dass wirklich alle drei im ausgeklammerten Faktor berücksichtigt werden, falls sie überall vorkommen.

1. Der ggT von \(21, 14\) und \(7\) ist \(7\). Die kleinsten Potenzen der Variablen sind \(p^2\) und \(q^2\). Der gemeinsame Faktor ist \(7p^2q^2\). Division der Einzelterme durch den Faktor ergibt: \(7p^2q^2 \cdot (3p^2q - 2pq^2 + 1)\). 2. Der ggT von \(16, 24\) und \(8\) ist \(8\). Da alle Terme negativ sind, wird \(-8\) zusammen mit den Variablenfaktoren \(x^2\) und \(y^2\) ausgeklammert. Ergebnis: \(-8x^2y^2 \cdot (2x^3 + 3xy^2 + 1)\). 3. Der ggT von \(12, 18\) und \(30\) ist \(6\). Die gemeinsamen Variablen sind \(r, s\) und \(t\). Ausklammern von \(6rst\) ergibt durch Division der Koeffizienten: \(6rst \cdot (2t + 3r - 5s)\).

1) \(7p^2q^2 \cdot (3p^2q - 2pq^2 + 1)\) 2) \(-8x^2y^2 \cdot (2x^3 + 3xy^2 + 1)\) 3) \(6rst \cdot (2t + 3r - 5s)\)

- Wenn du ein Minuszeichen ausklammerst, drehen sich alle Vorzeichen innerhalb der Klammer um. - Gehe systematisch vor: erst die Zahl, dann jede Variable nacheinander. - Erinnere dich an die Potenzgesetze: Beim Ausklammern subtrahierst du die Exponenten der Variablen. - Stelle sicher, dass die Terme in der Klammer keinen gemeinsamen Faktor mehr haben.

1. Analyse der Koeffizienten \(45, 30\) und \(60\): Der \(ggT\) ist \(15\). Analyse der Variablen: Die kleinsten Potenzen sind \(u^2, v^2\) und \(w^1\). Der ausgeklammerte Faktor ist \(15u^2v^2w\). Division der Einzelterme ergibt \(15u^2v^2w \cdot (3u - 2v + 4w)\). 2. Analyse der Koeffizienten \(18, 27\) und \(9\): Der \(ggT\) ist \(9\). Da das Minuszeichen ausgeklammert werden soll, ist der Faktor \(-9\). Analyse der Variablen: Die kleinsten Potenzen sind \(x^2\) und \(y^2\). Der Faktor ist \(-9x^2y^2\). Achte auf die Vorzeichenumkehr in der Klammer: \(-9x^2y^2 \cdot (2x^2 - 3xy + y^2)\).

1) \(15u^2v^2w \cdot (3u - 2v + 4w)\) 2) \(-9x^2y^2 \cdot (2x^2 - 3xy + y^2)\)

- Erkennst du in den Aufgabenblöcken wiederkehrende Ausdrücke? - Gehe Schritt für Schritt vor und schreibe die Faktoren, die vor den Klammern stehen, zusammen in eine neue Klammer. - Achte bei der dritten Teilaufgabe besonders darauf, was übrig bleibt, wenn du die erste Klammer „wegnimmst“. - Überlege, wie du das Distributivgesetz rückwärts anwenden kannst.

1. Der gemeinsame Faktor ist \((y - z)\). Durch Ausklammern erhält man \((14x - 9w) \cdot (y - z)\). 2. Der gemeinsame Faktor ist \((m + 3)\). Der Term vor der ersten Klammer ist \(k^2\). Das Ergebnis lautet \((k^2 + 7) \cdot (m + 3)\). 3. Der gemeinsame Faktor ist \((c - d)\). Der erste Teil des Terms entspricht \(1 \cdot (c - d)\). Ausklammern von \((c - d)\) führt zu \((1 - 5a) \cdot (c - d)\).

1) \((14x - 9w) \cdot (y - z)\) 2) \((k^2 + 7) \cdot (m + 3)\) 3) \((1 - 5a) \cdot (c - d)\)

- Kannst du den Term in zwei große Blöcke unterteilen? - Achte beim zweiten Beispiel genau auf das Minuszeichen vor der zweiten Klammer. Welche Zahl versteckt sich dort? - In welcher Reihenfolge die Faktoren in einem Produkt stehen, spielt für das Ergebnis keine Rolle.

1. In Teil a) ist der gemeinsame Faktor das Binom \((x + 2y)\); Ausklammern der Koeffizienten ergibt \((4a - 5b) \cdot (x + 2y)\). 2. In Teil b) wird das Binom \((q - 1)\) ausgeklammert; da der zweite Term subtrahiert wird, muss der Faktor \(-1\) in der neuen Klammer stehen; Ergebnis ist \((p - 1) \cdot (q - 1)\). 3. In Teil c) steht der gemeinsame Faktor \((u + v)\) jeweils an erster Stelle der Produkte; Ausklammern ergibt \((u + v) \cdot (7 + w)\) oder \((7 + w) \cdot (u + v)\).

a) \((4a - 5b) \cdot (x + 2y)\) b) \((p - 1) \cdot (q - 1)\) c) \((7 + w) \cdot (u + v)\)

- Erinnere dich an die Regel: \(b-a = -(a-b)\). - Wie kannst du die linke Seite der Gleichung in Teilaufgabe 3 schrittweise umformen? - Gibt es einen gemeinsamen Faktor, den du in allen Teilaufgaben nutzen kannst? - Achte bei Teilaufgabe 2 besonders auf das doppelte Minuszeichen.

1. Anwendung von \(y-x = -(x-y)\) ergibt den Term \(2k \cdot (x-y) - 5m \cdot (x-y)\). Herausheben des Faktors \((x-y)\) führt zu \((2k-5m) \cdot (x-y)\). 2. Ersetzen von \((b-a)\) durch \(-(a-b)\) wandelt den Term in \(x^2 \cdot (a-b) + 4 \cdot (a-b)\) um. Ausklammern ergibt \((x^2+4) \cdot (a-b)\). 3. Der Ausdruck \((q-p)\) ist identisch mit \(-1 \cdot (p-q)\). Setzt man dies in die linke Seite ein, erhält man \(z \cdot (p-q) - 1 \cdot (p-q)\). Durch Ausklammern von \((p-q)\) entsteht die rechte Seite \((z-1) \cdot (p-q)\).

1) \((2k-5m) \cdot (x-y)\); 2) \((x^2+4) \cdot (a-b)\); 3) Die Gleichung ist wahr, da \(q-p = -1 \cdot (p-q)\) gilt und somit durch Ausklammern von \((p-q)\) die rechte Seite entsteht.

- Wie kannst du den Term vereinfachen, bevor du Zahlen einsetzt? - Was fällt dir an der Klammer \((c - d)\) auf, wenn du die gegebenen Zahlen einsetzt? - Erinnere dich an die Regel: Was ergibt irgendetwas multipliziert mit Null?

1. Anwendung der Regel \(d - c = -(c - d)\): \(T = 5x \cdot (c - d) - 4y \cdot (-(c - d)) = 5x \cdot (c - d) + 4y \cdot (c - d)\). Ausklammern des gemeinsamen Faktors \((c - d)\) ergibt \(T = (5x + 4y) \cdot (c - d)\). 2. Einsetzen der Werte: \(T = (5 \cdot 2 + 4 \cdot 3) \cdot (8 - 8) = (10 + 12) \cdot 0 = 22 \cdot 0 = 0\). 3. Wenn \(c = d\), dann ist die Differenz \(c - d = 0\). Da ein Produkt immer null ist, wenn einer der Faktoren null ist, hat der Wert von \(5x + 4y\) (und damit die Werte von \(x\) und \(y\)) keinen Einfluss auf das Ergebnis; der Term ist stets \(0\).

1. \((5x + 4y) \cdot (c - d)\) 2. \(0\) 3. Wenn \(c = d\), wird der Faktor \((c - d)\) zu \(0\). Ein Produkt mit dem Faktor \(0\) ist immer \(0\), unabhängig von den Werten für \(x\) und \(y\).

- Prüfe nach dem ersten Ausklammern, ob einer der entstandenen Faktoren noch weiter zerlegt werden kann. - Kannst du eine Zahl aus einer der Klammern ausklammern? - Achte genau auf das Vorzeichen vor dem zweiten Teil des Terms, wenn du die Reihenfolge in der Klammer vertauschst.

1. Umkehrung des Vorzeichens im zweiten Summanden: \(4 \cdot (5-v) = -4 \cdot (v-5)\). 2. Zusammenfassen des Terms: \(2u \cdot (v-5) - 4 \cdot (v-5) = (2u-4) \cdot (v-5)\). 3. Ausklammern des konstanten Faktors \(2\) aus der ersten Klammer: \(2 \cdot (u-2) \cdot (v-5)\). 4. Umkehrung des Vorzeichens im zweiten Summanden der zweiten Teilaufgabe: \(-9 \cdot (3-y) = +9 \cdot (y-3)\). 5. Zusammenfassen des Terms: \(y^2 \cdot (y-3) + 9 \cdot (y-3) = (y^2+9) \cdot (y-3)\).

1) \(2 \cdot (u-2) \cdot (v-5)\) 2) \((y^2+9) \cdot (y-3)\)

- Was bedeutet das Minuszeichen direkt vor der Klammer \( (y - x) \) für die Werte innerhalb der Klammer? - Kannst du den Term so umschreiben, dass in beiden Teilen die genau gleiche Klammer vorkommt? - Überlege, wie oft der Ausdruck \( (x - y) \) insgesamt im Term enthalten ist.

1. Identifikation der Terme \( (x - y) \) und \( (y - x) \) als entgegengesetzte Differenzen. 2. Ersetzung von \( -(y - x) \) durch \( +(x - y) \), da \( -(y - x) = -1 \cdot (-1) \cdot (x - y) = 1 \cdot (x - y) \). 3. Umschreiben des gesamten Terms: \( 4 \cdot (x - y) + 1 \cdot (x - y) \). 4. Zusammenfassen der Koeffizienten: \( (4 + 1) \cdot (x - y) = 5 \cdot (x - y) \). 5. Vergleich mit den Aussagen: Jan hat recht.

Jan hat recht. Durch Umformen erhält man: \( 4 \cdot (x - y) - (y - x) = 4 \cdot (x - y) + (x - y) = 5 \cdot (x - y) \).

- Wenn ein Minuszeichen am Anfang steht, kann es hilfreich sein, einen negativen Faktor auszuklammern. Achte dann besonders auf die Vorzeichen in der Klammer. - Bei Brüchen mit gleichem Nenner kannst du oft den Zähler und den Nenner getrennt betrachten, um den gemeinsamen Teiler zu finden. - Überlege bei Dezimalzahlen, wie oft der kleinere Wert in den größeren passt. - Vergiss nicht, auch Variablen mit ihren Exponenten zu vergleichen – ausgeklammert wird immer die kleinste vorkommende Potenz.

1. Bestimmung des gemeinsamen Faktors aus den Koeffizienten (\(7\)) und den Variablen (\(uv\)). Ausklammern von \(7uv\). Ergebnis: \(7uv \cdot (2u - 3v + 1)\). 2. Bestimmung des gemeinsamen Faktors inklusive Vorzeichen (\(-5x\)). Division der Summanden durch \(-5x\): \(-5x^3 : (-5x) = x^2\), \(-15x^2 : (-5x) = 3x\), \(10x : (-5x) = -2\). Ergebnis: \(-5x \cdot (x^2 + 3x - 2)\). 3. Bestimmung des gemeinsamen Faktors bei Dezimalzahlen (\(0{,}6ab\)). Division ergibt \(1{,}2a^2 b : 0{,}6ab = 2a\) und \(0{,}6ab : 0{,}6ab = 1\). Ergebnis: \(0{,}6ab \cdot (2a - 1)\). 4. Bestimmung des gemeinsamen Faktors bei Brüchen (\(\frac{2}{3}y\)). Division ergibt \(\frac{2}{3}y^2 : \frac{2}{3}y = y\) und \(\frac{4}{3}y : \frac{2}{3}y = 2\). Ergebnis: \(\frac{2}{3}y \cdot (y + 2)\).

1) \(7uv \cdot (2u - 3v + 1)\) 2) \(-5x \cdot (x^2 + 3x - 2)\) 3) \(0{,}6ab \cdot (2a - 1)\) 4) \(\frac{2}{3}y \cdot (y + 2)\)

- Rechne die Klammer des Schülers im Kopf oder auf Papier wieder aus. Erhältst du genau den Startterm? - Wie viele Summanden hat der ursprüngliche Term? Wie viele stehen in der Klammer des Schülers? - Was passiert, wenn man einen Faktor ausklammert, der genau so groß ist wie einer der Summanden im Term?

1. Überprüfung durch Ausmultiplizieren des Schülerergebnisses: \(8p^2q^2 \cdot 3p - 8p^2q^2 \cdot 2q = 24p^3q^2 - 16p^2q^3\). 2. Vergleich mit dem Ursprungsterm: Der dritte Summand \(+ 8p^2q^2\) fehlt im Ergebnis des Schülers. 3. Korrekte Faktorisierung: Da der gemeinsame Faktor \(8p^2q^2\) identisch mit dem dritten Summanden des Terms ist, muss beim Ausklammern an dieser Stelle eine \(1\) in der Klammer stehen, da \(8p^2q^2 : 8p^2q^2 = 1\). 4. Ergebnis: \(8p^2q^2 \cdot (3p - 2q + 1)\).

Die Umformung ist falsch. Der Schüler hat den dritten Summanden (\(8p^2q^2\)) beim Ausklammern vernachlässigt. Da \(8p^2q^2 : 8p^2q^2 = 1\) ist, muss in der Klammer eine \(+ 1\) stehen. Richtige Lösung: \(8p^2q^2 \cdot (3p - 2q + 1)\).

- Schau dir die Vorzeichen innerhalb der Klammern genau an. Unterscheiden sie sich nur durch ein Minuszeichen? - Wie kannst du einen Ausdruck wie \(-y-1\) so umschreiben, dass eine Klammer entsteht? - Erinnere dich daran, dass \((a-b)\) das Gleiche ist wie \(-(b-a)\). Wie hilft dir das hier weiter?

1. In Teil a) ist \((y+z)\) gemeinsam. Das Ergebnis ist \((y+z) \cdot (2x-5)\). 2. In Teil b) erkenne, dass \((4-b) = -1 \cdot (b-4)\). Der Term wird zu \(a \cdot (b-4) - 3 \cdot (b-4)\). Ausklammern von \((b-4)\) ergibt \((b-4) \cdot (a-3)\). 3. In Teil c) gruppiere die letzten Glieder zu \(-(y+1)\). Der Term lautet \(x \cdot (y+1) - 1 \cdot (y+1)\). Ausklammern ergibt \((y+1) \cdot (x-1)\). 4. In Teil d) nutze \((w-v) = -1 \cdot (v-w)\). Der Term wird zu \(4u \cdot (v-w) + 7t \cdot (v-w)\). Ausklammern ergibt \((v-w) \cdot (4u+7t)\).

a) \((y+z) \cdot (2x-5)\) b) \((b-4) \cdot (a-3)\) c) \((y+1) \cdot (x-1)\) d) \((v-w) \cdot (4u+7t)\)

- Wie verändern sich die Exponenten der Variablen, wenn du sie ausklammerst? Überlege, welche Rechenregel für Potenzen hier gilt. - Überprüfe dein Ergebnis für Teil a durch Ausmultiplizieren. - Schau dir die Koeffizienten und Variablen in der Klammer nach dem Ausklammern von \(3mn\) genau an. Gibt es dort noch weitere Gemeinsamkeiten?

1. Division jedes Summanden des Terms \(12m^5n^3 - 18m^3n^4 + 30m^2n^2\) durch den Faktor \(6m^2n^2\). 2. Berechnung der Quotienten: \(12m^5n^3 : 6m^2n^2 = 2m^3n\), \(-18m^3n^4 : 6m^2n^2 = -3mn^2\) und \(30m^2n^2 : 6m^2n^2 = 5\). Ergebnis für Teil a: \(2m^3n - 3mn^2 + 5\). 3. Untersuchung der Ausklammerung von \(3mn\): Der Restterm lautet \(4m^4n^2 - 6m^2n^3 + 10mn\). Da alle Koeffizienten durch \(2\) und alle Glieder durch \(mn\) teilbar sind, ist der Faktor \(3mn\) nicht der größtmögliche.

a) \(2m^3n - 3mn^2 + 5\) b) Eine Faktorisierung ist erst dann vollständig, wenn der Term in der Klammer keinen weiteren gemeinsamen Faktor mehr besitzt. Im Restterm \(4m^4n^2 - 6m^2n^3 + 10mn\) steckt jedoch noch der gemeinsame Faktor \(2mn\).

- Schau dir die Reihenfolge der Variablen in den Klammern genau an. Kannst du durch Ändern eines Vorzeichens Übereinstimmung herstellen? - Wenn eine Klammer ohne sichtbare Zahl davor steht, welcher Faktor ist dann dort versteckt? - Prüfe am Ende deines Ergebnisses, ob in den neuen Klammern noch ein gemeinsamer numerischer Teiler steckt.

1. Beachte, dass \(z-y = -(y-z)\) gilt. Ersetze den zweiten Summanden: \(7x \cdot (y-z) - 2 \cdot (y-z)\). Klammere \((y-z)\) aus. Ergebnis: \((y-z) \cdot (7x-2)\). 2. Ergänze die unsichtbare \(1\) vor der zweiten Klammer: \(5a \cdot (b+c) - 1 \cdot (b+c)\). Klammere \((b+c)\) aus. Ergebnis: \((b+c) \cdot (5a-1)\). 3. Klammere zuerst den gemeinsamen Faktor \((t-1)\) aus: \((t-1) \cdot (6s+3)\). Beachte, dass im verbleibenden Faktor \((6s+3)\) die Zahl \(3\) ausgeklammert werden kann: \(3 \cdot (2s+1)\). Gesamtergebnis: \(3 \cdot (t-1) \cdot (2s+1)\).

1) \((y-z) \cdot (7x-2)\) 2) \((b+c) \cdot (5a-1)\) 3) \(3 \cdot (t-1) \cdot (2s+1)\)

- Kannst du die Terme ohne Klammern so gruppieren, dass sie fast wie der Ausdruck in der ersten Klammer aussehen? - Setze eine Klammer um die hinteren Glieder. Achte dabei besonders darauf, was mit den Vorzeichen passiert, wenn ein Minus vor der neuen Klammer steht. - Wenn nach dem Ausklammern scheinbar „nichts“ mehr von einem Summanden übrig bleibt, steht dort eigentlich immer noch der Faktor \(1\).

1. In Aufgabenteil a) werden die letzten beiden Glieder zusammengefasst, indem \(-1\) ausgeklammert wird: \(-y + 7 = -(y - 7)\). 2. Der Term lautet nun \(x \cdot (y - 7) - 1 \cdot (y - 7)\). Ausklammern von \((y - 7)\) ergibt \((y - 7) \cdot (x - 1)\). 3. In Aufgabenteil b) wird der hintere Teil des Terms umgeformt: \(3 - c = -(c - 3)\). 4. Der Term lautet nun \(2a \cdot (c - 3) - 1 \cdot (c - 3)\). Ausklammern von \((c - 3)\) ergibt \((c - 3) \cdot (2a - 1)\).

a) \((y - 7) \cdot (x - 1)\) b) \((c - 3) \cdot (2a - 1)\)

- Bei Brüchen kannst du oft den Zähler und den Nenner getrennt betrachten. - Um einen fehlenden Faktor zu finden, kannst du den ursprünglichen Term durch den Ausdruck in der Klammer teilen. - Achte bei Teilaufgabe a genau auf die Hochzahlen (Exponenten) der Variablen \(x\) und \(y\). - Was passiert bei Teilaufgabe c mit der Variablen \(w\)?

1. Teilaufgabe a: Der ggT von \(24\), \(16\) und \(8\) ist \(8\). Die kleinsten Potenzen der Variablen sind \(x^2\) und \(y^2\). Der Faktor ist \(8x^2y^2\). Ergebnis: \(8x^2y^2 \cdot (3x^2 - 2xy + 1)\). 2. Teilaufgabe b: Division beider Terme durch \(\frac{2}{5}ab\). Erster Term: \(\frac{2}{5}a^2b : \frac{2}{5}ab = a\). Zweiter Term: \(\frac{4}{5}ab^2 : \frac{2}{5}ab = 2b\). Ergebnis: \(\frac{2}{5}ab \cdot (a - 2b)\). 3. Teilaufgabe c: Vergleich der Koeffizienten (\(12u^2vw : 2u = 6uvw\)) oder (\(-18uv^2w : -3v = 6uvw\)). Der gesuchte Faktor ist \(6uvw\).

a) \(8x^2y^2 \cdot (3x^2 - 2xy + 1)\) b) \(\frac{2}{5}ab \cdot (a - 2b)\) c) \(6uvw\)

- Gibt es in dem langen Term Bestandteile, die sich zusammenfassen lassen? - Achte darauf, dass du beim Umdrehen der Differenz in der Klammer auch das Vorzeichen davor anpassen musst. - Versuche, den Term erst so umzuformen, dass in allen Klammern genau derselbe Ausdruck steht.

1. Vorzeichenwechsel im Term \(-4r \cdot (t-s)\) zu \(+4r \cdot (s-t)\), um eine einheitliche Klammer \((s-t)\) zu erhalten. 2. Zusammenfassen der Koeffizienten des gemeinsamen Faktors \((s-t)\): \((s-t) \cdot (1 + 4r + 2)\). 3. Vereinfachung der Summe in der zweiten Klammer ergibt \((s-t) \cdot (3+4r)\). 4. Umwandlung von \(+(2y-x)\) in \(-(x-2y)\). 5. Ausklammern von \((x-2y)\) liefert das Resultat \((x-2y) \cdot (5a-1)\).

a) \((s-t) \cdot (3+4r)\) b) \((x-2y) \cdot (5a-1)\)

- Schau dir die Vorzeichen innerhalb der Klammern genau an. Kannst du eine Klammer durch Multiplikation mit \(-1\) umdrehen? - Erinnere dich daran, dass \((b-a) = -(a-b)\) gilt. - Welche Zahl steht als Faktor vor einer Klammer, wenn dort kein Buchstabe oder keine andere Zahl zu sehen ist?

1. Umformung von \((3-x)\) zu \(-(x-3)\). Der Term wird zu \(a \cdot (x-3) - b \cdot (x-3)\). Ausklammern des gemeinsamen Faktors \((x-3)\) ergibt \((x-3) \cdot (a-b)\). 2. Umformung von \(-(n-m)\) zu \(+(m-n)\) durch Vorzeichenwechsel. Der Term wird zu \(5 \cdot (m-n) + k \cdot (m-n)\). Ausklammern des gemeinsamen Faktors \((m-n)\) ergibt \((m-n) \cdot (5+k)\). 3. Auffassen des zweiten Teils als \(1 \cdot (p+q)\). Der Term lautet \(x \cdot (p+q) - 1 \cdot (p+q)\). Ausklammern des gemeinsamen Faktors \((p+q)\) ergibt \((p+q) \cdot (x-1)\).

1) \((x-3) \cdot (a-b)\) 2) \((m-n) \cdot (5+k)\) 3) \((p+q) \cdot (x-1)\)

- Manchmal unterscheiden sich Klammern nur durch ihre Vorzeichen. Kannst du \(-1\) ausklammern, um sie gleich zu machen? - Versuche, die hinteren Glieder ohne Klammern so zusammenzufassen, dass sie wie der vordere Klammerausdruck aussehen. - Achte beim Setzen von Klammern mit einem Minus davor darauf, dass sich alle Vorzeichen innerhalb der Klammer umkehren.

1. Umkehrung der Vorzeichen in der zweiten Klammer durch Ausklammern von \(-1\), sodass \(a \cdot (y-x) = -a \cdot (x-y)\). Anschließendes Ausklammern von \((x-y)\) ergibt \((x-y) \cdot (5-a)\). 2. Zusammenfassen der letzten beiden Glieder durch Ausklammern von \(-1\) zu \(-(q+1)\). Ausklammern des gemeinsamen Faktors \((q+1)\) ergibt \((q+1) \cdot (p-1)\). 3. Gruppierung der letzten beiden Glieder zu \(-(v-3)\). Ausklammern des gemeinsamen Binoms \((v-3)\) liefert das Ergebnis \((v-3) \cdot (2u-1)\).

1) \((x-y) \cdot (5-a)\) 2) \((q+1) \cdot (p-1)\) 3) \((v-3) \cdot (2u-1)\)

- Wenn vor einer Klammer kein Buchstabe oder keine Zahl steht, welcher Faktor ist dort dann „unsichtbar“ vorhanden? - Siehst du bei der dritten Teilaufgabe eine Struktur, die in allen drei Teilen vorkommt oder vorkommen könnte? - Manchmal hilft es, einen Termteil als Platzhalter (wie ein Kästchen) zu betrachten, um die Struktur besser zu sehen. - Wie kannst du die Reihenfolge der Glieder in einer Klammer tauschen, ohne den Wert des Gesamtausdrucks zu verändern?

1. Erkennen, dass \(-(v - u) = +(u - v)\) ist. Der Term lautet dann \(z \cdot (u - v) + 1 \cdot (u - v)\). Ausklammern von \((u - v)\) ergibt \((u - v) \cdot (z + 1)\). 2. Umwandeln der zweiten Klammer durch Multiplikation mit \(-1\): \(4b \cdot (3 - 2x) = -4b \cdot (2x - 3)\). Gemeinsames Ausklammern führt zu \((2x - 3) \cdot (5a - 4b)\). 3. Umformen des mittleren Teils: \(y \cdot (b - a) = -y \cdot (a - b)\). Der gesamte Term ist \(x \cdot (a - b) - y \cdot (a - b) + 1 \cdot (a - b)\). Ausklammern des Faktors \((a - b)\) liefert \((a - b) \cdot (x - y + 1)\).

1) \((u - v) \cdot (z + 1)\) 2) \((2x - 3) \cdot (5a - 4b)\) 3) \((a - b) \cdot (x - y + 1)\)

- Manchmal hilft es, ein Vorzeichen umzudrehen, um zwei Klammern identisch zu machen. Wie ändert sich \(b-a\), wenn du ein Minus vor die Klammer ziehst? - Wenn kein gemeinsamer Faktor für den gesamten Term sichtbar ist, versuche jeweils zwei Glieder einzeln zu betrachten. - Achte bei Teil 3 darauf, dass \(y^2\) dasselbe ist wie \(y \cdot y\).

1. Aus \(3x - 6\) wird die \(3\) ausgeklammert: \(k \cdot (x-2) + 3 \cdot (x-2)\). Der gemeinsame Faktor \((x-2)\) wird ausgeklammert: \((x-2) \cdot (k+3)\). 2. Um in der zweiten Klammer dieselbe Differenz wie in der ersten zu erhalten, wird \(-1\) ausgeklammert: \(b-a = -(a-b)\). Der Term lautet dann \(p \cdot (a-b) - q \cdot (a-b)\). Das Ausklammern von \((a-b)\) ergibt \((a-b) \cdot (p-q)\). 3. Der Term wird in zwei Gruppen unterteilt. Aus \(y^2 + 4y\) wird \(y\) ausgeklammert, aus \(xy + 4x\) wird \(x\) ausgeklammert: \(y \cdot (y+4) + x \cdot (y+4)\). Nun wird die Klammer \((y+4)\) ausgeklammert: \((y+4) \cdot (y+x)\).

1) \((x-2) \cdot (k+3)\) 2) \((a-b) \cdot (p-q)\) 3) \((y+4) \cdot (y+x)\)

- Gibt es in den Gliedern ohne Klammer eine Zahl, die du ausklammern kannst, damit der Rest in der Klammer mit dem ersten Teil übereinstimmt? - Wie verändern sich die Vorzeichen in einer Klammer, wenn du ein Minuszeichen davor setzt? - Kannst du die Reihenfolge der Glieder im Kopf vertauschen, um ein bekanntes Muster zu erkennen?

1. Ausklammern der \(3\) aus den hinteren beiden Gliedern: \(5x \cdot (a - 2) + 3 \cdot (a - 2)\). Anschließendes Ausklammern des Binoms \((a - 2)\) führt zu \((a - 2) \cdot (5x + 3)\). 2. Ausklammern von \(-3\) aus den hinteren Gliedern: \(2y \cdot (c + d) - 3 \cdot (c + d)\). Ausklammern des gemeinsamen Faktors \((c + d)\) ergibt \((c + d) \cdot (2y - 3)\). 3. Umkehren der Vorzeichen im zweiten Teil durch Ausklammern von \(-1\): \(z \cdot (u - v) - 1 \cdot (u - v)\). Dies ergibt als Produkt \((u - v) \cdot (z - 1)\).

1) \((a - 2) \cdot (5x + 3)\) 2) \((c + d) \cdot (2y - 3)\) 3) \((u - v) \cdot (z - 1)\)

- Achte beim Bilden von Gruppen besonders auf die Vorzeichen, wenn ein Minuszeichen vor einer Klammer steht. - Versuche für den zweiten Teil, Summanden zu kombinieren, die du im ersten Teil nicht zusammengefasst hast. - Gibt es einen Faktor, der sowohl in \(12xy\) als auch in \(3y\) steckt? - Überprüfe dein Ergebnis, indem du die Klammern wieder ausmultiplizierst.

1. Erste Gruppierungsmöglichkeit: Zusammenfassen der ersten beiden und der letzten beiden Glieder zu \((12xy - 8x) - (3y - 2)\). Ausklammern der Faktoren \(4x\) und \(1\) ergibt \(4x \cdot (3y - 2) - 1 \cdot (3y - 2)\). Das Resultat ist \((4x - 1) \cdot (3y - 2)\). 2. Zweite Gruppierungsmöglichkeit: Umstellen der Summanden zu \((12xy - 3y) + (-8x + 2)\). Ausklammern der Faktoren \(3y\) und \(-2\) ergibt \(3y \cdot (4x - 1) - 2 \cdot (4x - 1)\). Das Resultat ist \((3y - 2) \cdot (4x - 1)\). 3. Vergleich: Da die Multiplikation kommutativ ist, sind die Ergebnisse \((4x - 1) \cdot (3y - 2)\) und \((3y - 2) \cdot (4x - 1)\) identisch.

a) \((4x - 1) \cdot (3y - 2)\) b) Beispiel für einen alternativen Rechenweg: \((12xy - 3y) + (-8x + 2) = 3y \cdot (4x - 1) - 2 \cdot (4x - 1) = (3y - 2) \cdot (4x - 1)\).

- Probier doch mal, den Term erst umzustellen, bevor du ausklammerst. Ändert das etwas am Ergebnis? - Was muss passieren, damit du im zweiten Schritt eine ganze Klammer ausklammern kannst? - Denk an das Distributivgesetz: Was passiert, wenn du eine Klammer wie \((b+4)\) mit einer Zahl multiplizierst?

1. Teilaufgabe a): Gruppierung der Glieder mit \(a\) ergibt \(a \cdot (b+4)\). Gruppierung der restlichen Glieder ergibt \(3 \cdot (b+4)\). Das Gesamtprodukt ist \((a+3) \cdot (b+4)\). 2. Teilaufgabe b): Umsortieren des Terms zu \(ab + 3b + 4a + 12\). Ausklammern von \(b\) aus den ersten beiden Gliedern ergibt \(b \cdot (a+3)\). Ausklammern von \(4\) aus den letzten beiden Gliedern ergibt \(4 \cdot (a+3)\). Das Ergebnis ist \((b+4) \cdot (a+3)\), was aufgrund des Kommutativgesetzes identisch mit dem Ergebnis aus a) ist. 3. Teilaufgabe c): Damit das Verfahren funktioniert, muss nach dem ersten Ausklammern in beiden Teiltermen die gleiche Klammer stehen. Wenn man \(a \cdot (b+4)\) erhält, muss der zweite Teil \(3 \cdot (b+4)\) ergeben. Da \(3 \cdot 4 = 12\) ist, muss die Konstante \(12\) sein. Wäre sie anders, gäbe es keinen gemeinsamen Klammerfaktor \((b+4)\).

a) \((a+3) \cdot (b+4)\) b) Ja, es ist möglich: \(b \cdot (a+3) + 4 \cdot (a+3) = (b+4) \cdot (a+3)\). c) Die Zahl muss das Produkt der beiden konstanten Summanden aus den Klammern sein (\(3 \cdot 4 = 12\)), damit ein gemeinsamer Faktor entsteht.

- Kannst du den Term so aufteilen, dass in zwei Teilen jeweils derselbe Ausdruck in Klammern entsteht? - Welche Zahl erhältst du für den hinteren Teil der Multiplikation, wenn du die gegebene Zahl einsetzt? - Überlege, ob das Rechnen mit der faktorisierten Form einfacher ist als das direkte Einsetzen in den ursprünglichen Term.

1. Den Term durch Gruppieren faktorisieren: \(x^2 \cdot (x-2) + 5 \cdot (x-2)\). 2. Den gemeinsamen Faktor \((x-2)\) ausklammern: \((x^2+5) \cdot (x-2)\). 3. Den Wert \(x = 12\) in die faktorisierte Form einsetzen: \((12^2 + 5) \cdot (12 - 2)\). 4. Die Klammern berechnen: \((144 + 5) \cdot 10 = 149 \cdot 10\). 5. Das Endergebnis berechnen: \(1490\).

\(1490\)

- Achte genau auf die Minuszeichen innerhalb der Gruppen. - Welche Zahl und welche Variable stecken als gemeinsamer Teiler in den ersten beiden Gliedern? - Kannst du die hinteren beiden Glieder so faktorisieren, dass dieselbe Klammer wie vorne entsteht? - Überprüfe dein Ergebnis am Ende durch Ausmultiplizieren (Probe).

1. Gruppierung der Terme: \((3ab - 6a) + (2b - 4)\). 2. Herausheben der gemeinsamen Faktoren in den Klammern: \(3a \cdot (b - 2) + 2 \cdot (b - 2)\). 3. Zusammenfassen durch Ausklammern des binomischen Faktors \((b - 2)\): \((3a + 2) \cdot (b - 2)\). 4. Gruppierung beim zweiten Term: \((x^3 - 4x^2) + (3x - 12)\). 5. Herausheben der Faktoren: \(x^2 \cdot (x - 4) + 3 \cdot (x - 4)\). 6. Zusammenfassen durch Ausklammern von \((x - 4)\): \((x^2 + 3) \cdot (x - 4)\).

1) \((3a + 2) \cdot (b - 2)\) 2) \((x^2 + 3) \cdot (x - 4)\)

- Kannst du den Term in zwei Paare aufteilen? - Was kannst du aus den ersten beiden Summanden gemeinsam ausklammern? - Achte beim zweiten Paar besonders auf die Vorzeichen, damit am Ende in beiden Klammern das Gleiche steht. - Wenn eine Klammer allein steht, kannst du dir eine unsichtbare \(1\) davor vorstellen.

1. Aufteilung des Terms in zwei Gruppen: \((5am - 5an) + (-m + n)\). 2. Ausklammern des gemeinsamen Faktors \(5a\) in der ersten Gruppe: \(5a \cdot (m - n) - m + n\). 3. Ausklammern von \(-1\) in der zweiten Gruppe, um den gemeinsamen Binomausdruck \(m - n\) zu erhalten: \(5a \cdot (m - n) - 1 \cdot (m - n)\). 4. Ausklammern des gesamten Ausdrucks \((m - n)\): \((5a - 1) \cdot (m - n)\).

\((5a - 1) \cdot (m - n)\)

- Achte besonders auf die Minuszeichen beim Ausklammern. - Welche Zahl steckt als gemeinsamer Teiler in \(4\) und \(2\) oder in \(6\) und \(3\)? - Wenn du ein Minuszeichen ausklammerst, ändern sich die Vorzeichen in der Klammer. - Überprüfe dein Ergebnis, indem du die Klammern wieder ausmultiplizierst.

1. Gruppierung ergibt \((xy - 3x) + (2y - 6)\). Ausklammern von \(x\) und \(2\) führt zu \(x \cdot (y - 3) + 2 \cdot (y - 3)\). Der gemeinsame Faktor \((y - 3)\) ergibt das Produkt \((x + 2) \cdot (y - 3)\). 2. Gruppierung ergibt \((a^2 - ab) + (-7a + 7b)\). Ausklammern von \(a\) und \(-7\) (Vorzeichen beachten!) führt zu \(a \cdot (a - b) - 7 \cdot (a - b)\). Das Ergebnis ist \((a - 7) \cdot (a - b)\). 3. Gruppierung ergibt \((4km + 2kn) + (-6m - 3n)\). In der ersten Gruppe wird \(2k\) und in der zweiten Gruppe \(-3\) ausgeklammert: \(2k \cdot (2m + n) - 3 \cdot (2m + n)\). Dies führt zum Ergebnis \((2k - 3) \cdot (2m + n)\).

1) \((x + 2) \cdot (y - 3)\) 2) \((a - 7) \cdot (a - b)\) 3) \((2k - 3) \cdot (2m + n)\)

- Versuche, den Term in zwei Paare aufzuteilen und aus jedem Paar so viel wie möglich auszuklammern. - Achte besonders auf das Vorzeichen beim Ausklammern der \(-5\) im hinteren Teil des Terms. - Wenn du die Differenz in den Klammern zuerst berechnest, wird die Multiplikation am Ende viel einfacher.

1. Gruppieren der Terme und teilweises Ausklammern: \(x \cdot (x-y) - 5 \cdot (x-y)\). 2. Faktorisieren des Gesamtausdrucks durch Ausklammern von \((x-y)\): \((x-5) \cdot (x-y)\). 3. Einsetzen der Werte \(x = 4{,}5\) und \(y = 2{,}25\): \((4{,}5-5) \cdot (4{,}5-2{,}25)\). 4. Berechnung der Differenzen in den Klammern: \(-0{,}5 \cdot 2{,}25\). 5. Finales Ergebnis: \(-1{,}125\).

\(-1{,}125\)

- Suche zuerst die größte Zahl, durch die 24, 16 und 32 teilbar sind. - Vergleiche die Potenzen der Variablen \(x\), \(y\) und \(z\) in allen drei Summanden. - Nur Variablen, die in wirklich jedem Summanden vorkommen, können ausgeklammert werden. - Du kannst dein Ergebnis prüfen, indem du die Klammer wieder auflöst (ausmultiplizierst).

1. Bestimmung des ggT der Koeffizienten 24, 16 und 32: Der ggT ist 8. 2. Bestimmung der gemeinsamen Variablen mit den kleinsten Exponenten: Für \(x\): \(x^3\) Für \(y\): \(y^3\) Für \(z\): \(z^1\) Der gemeinsame Variablenfaktor ist \(x^3y^3z\). 3. Gesamter auszuklammernder Faktor: \(8x^3y^3z\). 4. Division der einzelnen Summanden durch \(8x^3y^3z\): \(24x^4y^3z^2 : (8x^3y^3z) = 3xz\) \(16x^3y^5z : (8x^3y^3z) = 2y^2\) \(-32x^3y^3z^3 : (8x^3y^3z) = -4z^2\) 5. Ergebnis als Produkt: \(8x^3y^3z \cdot (3xz + 2y^2 - 4z^2)\).

\(8x^3y^3z \cdot (3xz + 2y^2 - 4z^2)\)

- Erinnere dich an die Potenzgesetze: Wie kann man eine Summe im Exponenten als Produkt von Potenzen schreiben? - Welcher Teil kommt in beiden Summanden identisch vor? - Was bleibt in der Klammer übrig, wenn du diesen gemeinsamen Teil „wegnimmst“?

1. Anwendung des Potenzgesetzes \(a^{x+y} = a^x \cdot a^y\): Umschreiben des ersten Summanden zu \(y^{n+2} = y^n \cdot y^2\). 2. Identifikation des gemeinsamen Faktors in den Termen \(y^n \cdot y^2\) und \(5 \cdot y^n\): Der gemeinsame Faktor ist \(y^n\). 3. Ausklammern des Faktors \(y^n\): \(y^n \cdot (y^2 + 5)\).

\(y^n \cdot (y^2 + 5)\)

- Wenn der Faktor vor der Klammer gegeben ist, kannst du den Inhalt der Klammer durch Division finden. - Wenn der Inhalt der Klammer gegeben ist, kannst du den Faktor davor finden, indem du einen Summanden der linken Seite durch den entsprechenden Summanden in der Klammer teilst. - Achte besonders auf die Vorzeichen und die Exponenten der Variablen.

1. Division von \(14x^2y\) durch \(7xy\) ergibt \(2x\). Division von \(21xy^2\) durch \(7xy\) ergibt \(3y\). Die Lücke ist \((2x - 3y)\). 2. Division von \(9a^4\) durch \(3a^2\) ergibt den Faktor \(3a^2\). Kontrolle mit \(6a^2 : 2 = 3a^2\). Die Lücke ist \(3a^2\). 3. Division von \(20b^5\) durch \(5b^3\) ergibt \(4b^2\). Division von \(25b^3\) durch \(5b^3\) ergibt \(5\). Die Lücke ist \((4b^2 - 5)\). 4. Division von \(12u^3v^2\) durch \(6u^2v^2\) ergibt \(2u\). Division von \(18u^2v^3\) durch \(6u^2v^2\) ergibt \(3v\). Die Lücke ist \((2u + 3v)\).

1) \(2x - 3y\); 2) \(3a^2\); 3) \(4b^2 - 5\); 4) \(2u + 3v\).

- Wie hängen die Ausdrücke \((x-5)\) und \((5-x)\) zusammen? - Wenn du ein gemeinsames Binom ausgeklammert hast, schau dir die Koeffizienten in der neuen Klammer genau an. Haben sie einen gemeinsamen Teiler? - Vollständig faktorisiert bedeutet, dass man keine weiteren Zahlen oder Variablen mehr ausklammern kann.

1. Umformung von \(-(5-x)\) zu \(+(x-5)\): Der zweite Summand \(-4b \cdot (5-x)\) wird zu \(+4b \cdot (x-5)\). 2. Addition der Terme mit gemeinsamem Faktor: \(12a \cdot (x-5) + 4b \cdot (x-5) = (12a+4b) \cdot (x-5)\). 3. Faktorisieren der ersten Klammer: Da sowohl \(12a\) als auch \(4b\) durch \(4\) teilbar sind, ergibt sich \(4 \cdot (3a+b)\). Das Endergebnis lautet \(4 \cdot (3a+b) \cdot (x-5)\).

1) \(+4b \cdot (x-5)\) 2) \((12a+4b) \cdot (x-5)\) 3) \(4 \cdot (3a+b) \cdot (x-5)\)

- Kannst du außer dem Klammerausdruck auch noch eine gemeinsame Zahl in den Koeffizienten finden? - Achte beim letzten Term in Aufgabenteil b) darauf, was übrig bleibt, wenn du den kompletten Ausdruck ausklammerst. - Überprüfe dein Ergebnis, indem du es im Kopf wieder ausmultiplizierst.

1. Teilaufgabe a): Der gemeinsame Klammerausdruck ist \((x-5)\). Die Koeffizienten \(12a\) und \(18b\) haben zudem die Zahl \(6\) als gemeinsamen Teiler. Zuerst klammert man \((x-5)\) aus: \((12a-18b) \cdot (x-5)\). Dann klammert man die \(6\) aus der ersten Klammer aus: \(6 \cdot (2a-3b) \cdot (x-5)\). 2. Teilaufgabe b): Der gemeinsame Klammerausdruck ist \((p+q)\). Zusätzlich ist die Zahl \(5\) ein Faktor in jedem Summanden. Man klammert \(5 \cdot (p+q)\) aus. Der dritte Term \(-5 \cdot (p+q)\) hinterlässt dabei den Faktor \(-1\). Das Ergebnis ist \(5 \cdot (x+y-1) \cdot (p+q)\).

a) \(6 \cdot (2a-3b) \cdot (x-5)\) b) \(5 \cdot (x+y-1) \cdot (p+q)\)

- Versuche, jeweils zwei Glieder des Terms zusammenzufassen. - Was musst du beim Ausklammern beachten, wenn ein Minuszeichen vor dem dritten Glied steht? - Überprüfe dein Ergebnis, indem du die Klammern wieder ausmultiplizierst.

1. Gruppierung: \((2x^2 - 6xy) - (5x - 15y)\). Gemeinsame Faktoren ausklammern: \(2x \cdot (x - 3y) - 5 \cdot (x - 3y)\). Ergebnis: \((2x - 5) \cdot (x - 3y)\). 2. Gruppierung: \((12ab - 9ac) + (8b - 6c)\). Gemeinsame Faktoren ausklammern: \(3a \cdot (4b - 3c) + 2 \cdot (4b - 3c)\). Ergebnis: \((3a + 2) \cdot (4b - 3c)\). 3. Gruppierung: \((14p^2 - 7pq) - (10p - 5q)\). Gemeinsame Faktoren ausklammern: \(7p \cdot (2p - q) - 5 \cdot (2p - q)\). Ergebnis: \((7p - 5) \cdot (2p - q)\).

1) \((2x - 5) \cdot (x - 3y)\) 2) \((3a + 2) \cdot (4b - 3c)\) 3) \((7p - 5) \cdot (2p - q)\)

- Achte beim Zusammenfassen der Paare besonders auf das Minuszeichen vor dem dritten Summanden. - Wenn du ein Minuszeichen vor einer Klammer setzt, wie ändern sich dann die Vorzeichen innerhalb der Klammer? - Ziel ist es, in beiden Teilen exakt denselben Klammerausdruck zu erhalten.

1. Gruppieren der Terme: \((x^2 - 5x) + (-xy + 5y)\). Aus der ersten Gruppe \(x\) ausklammern: \(x \cdot (x - 5)\). Aus der zweiten Gruppe \(-y\) ausklammern, damit die Klammer \((x - 5)\) entsteht: \(-y \cdot (x - 5)\). Zusammenführen: \((x - y) \cdot (x - 5)\). 2. Gruppieren der Terme: \((14uv - 21u) + (-10v + 15)\). Aus der ersten Gruppe \(7u\) ausklammern: \(7u \cdot (2v - 3)\). Aus der zweiten Gruppe \(-5\) ausklammern, um das Vorzeichen in der Klammer anzupassen: \(-5 \cdot (2v - 3)\). Das gemeinsame Binom ausklammern: \((7u - 5) \cdot (2v - 3)\).

1) \((x - y) \cdot (x - 5)\) 2) \((7u - 5) \cdot (2v - 3)\)

- Suche nach der Zahl, die in jedem Teil des Terms als Faktor vorkommt. - Wenn du diesen Faktor vor eine Klammer schreibst, was bleibt dann im Inneren übrig? - Rechne zuerst das Ergebnis in der Klammer aus, bevor du die Multiplikation ausführst.

1. Teilaufgabe a): Ausklammern von \(17\): \(17(x + y)\). Einsetzen: \(17(0{,}4 + 0{,}6) = 17 \cdot 1 = 17\). 2. Teilaufgabe b): Ausklammern von \(\frac{2}{9}\): \(\frac{2}{9} \cdot (z - \frac{1}{2})\). Einsetzen: \(\frac{2}{9} \cdot (3{,}5 - 0{,}5) = \frac{2}{9} \cdot 3 = \frac{2}{3}\). 3. Teilaufgabe c): Ausklammern von \(4{,}5\): \(4{,}5(a + b + c)\). Einsetzen: \(4{,}5(12 + 5 + 3) = 4{,}5 \cdot 20 = 90\).

a) \(17\) b) \(\frac{2}{3}\) c) \(90\)

- Suche nach Zahlen und Buchstaben, die in beiden Teilen des Terms vorkommen. - Was ist der größte gemeinsame Teiler von 6 und 9? - Beim Ausrechnen: Achte auf die Regel „Punkt vor Strich“. - Hilft das Ausklammern, die Rechnung zu vereinfachen?

1. Größtmöglicher Faktor: Die Zahlen \(6\) und \(9\) haben den \(ggT(6, 9) = 3\). Beide Glieder enthalten zudem die Variable \(a\). Der größtmögliche Faktor ist also \(3a\). 2. Ausklammern: \(6ax + 9ay = 3a \cdot (2x + 3y)\). 3. Bewertung der Schülerbehauptung: Der Schüler hat recht, da \(3a \cdot 2x = 6ax\) und \(3a \cdot 3y = 9ay\) ergeben. Dies entspricht genau der korrekten Anwendung des Distributivgesetzes. 4. Berechnung Weg 1 (Original): \(6 \cdot 5 \cdot 2 + 9 \cdot 5 \cdot 4 = 30 \cdot 2 + 45 \cdot 4 = 60 + 180 = 240\). 5. Berechnung Weg 2 (Ausgeklammert): \(3 \cdot 5 \cdot (2 \cdot 2 + 3 \cdot 4) = 15 \cdot (4 + 12) = 15 \cdot 16 = 240\).

a) Der ausgeklammerte Term ist \(3a(2x + 3y)\). b) Ja, der Schüler hat recht, da \(3a\) der größtmögliche gemeinsame Faktor beider Summanden ist. c) Bei beiden Rechenwegen kommt \(240\) heraus.

- Wie hängen die Ausdrücke \((x - y)\) und \((y - x)\) zusammen? Kannst du durch das Ausklammern von \(-1\) eine Übereinstimmung herstellen? - Bei Brüchen hilft es oft, sie zuerst auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen, um den gemeinsamen Faktor leichter zu finden. - Gehe bei den Variablen systematisch vor: Was ist die jeweils kleinste Hochzahl jeder Variablen, die in allen Summanden vorkommt?

1. Schrittweise Bearbeitung der Terme: a) Erkenne, dass \((y - x) = -1 \cdot (x - y)\). Der Term wird zu \(a(x - y) - b(x - y)\). Ausklammern von \((x - y)\) ergibt \((a - b)(x - y)\). b) Bestimmung des ggT der Koeffizienten \(18, 27, 45 \rightarrow 9\). Bestimmung der gemeinsamen Variablenpotenzen \(p^4q^2, p^3q^3, p^2q^4 \rightarrow p^2q^2\). Ausklammern ergibt \(9p^2q^2(2p^2 - 3pq + 5q^2)\). c) Ein gemeinsamer Nenner der Bruchkoeffizienten ist \(4\). Die Brüche sind \(\frac{3}{4}, \frac{2}{4}, \frac{1}{4}\). Der gemeinsame Faktor ist \(\frac{1}{4}\). Bei den Variablen ist es \(rs\). Ausklammern von \(\frac{1}{4}rs\) ergibt \(\frac{1}{4}rs(3rs - 2s + 1)\).

a) \((a - b)(x - y)\) b) \(9p^2q^2(2p^2 - 3pq + 5q^2)\) c) \(\frac{1}{4}rs(3rs - 2s + 1)\)

- Schau zuerst, ob du eine Zahl oder eine Variable ausklammern kannst. - Untersuche den verbleibenden Klammerausdruck: Erinnert er dich an eine binomische Formel? - Achte besonders auf Ausdrücke der Form \(a^2 - b^2\).

1. Teilaufgabe a): Zuerst den Faktor \(5\) ausklammern: \(5(x^2 - 9)\). Der Ausdruck in der Klammer ist eine Differenz von Quadraten (dritte binomische Formel): \(x^2 - 3^2 = (x - 3)(x + 3)\). Endergebnis: \(5(x - 3)(x + 3)\). 2. Teilaufgabe b): Ausklammern des gemeinsamen Faktors \(3ab\) ergibt \(3ab(a^2 - 4b^2)\). Anwendung der dritten binomischen Formel auf \((a^2 - (2b)^2)\) ergibt \((a - 2b)(a + 2b)\). Endergebnis: \(3ab(a - 2b)(a + 2b)\). 3. Teilaufgabe c): Ausklammern von \(y\) ergibt \(y(x^2 - 1)\). Anwendung der dritten binomischen Formel auf \((x^2 - 1^2)\) ergibt \((x - 1)(x + 1)\). Endergebnis: \(y(x - 1)(x + 1)\).

a) \(5(x - 3)(x + 3)\) b) \(3ab(a - 2b)(a + 2b)\) c) \(y(x - 1)(x + 1)\)

- Suche nach der kleinsten Potenz einer Variablen, um sie auszuklammern. - Bei Zahlen als Basis (wie der 2) kannst du nach dem Ausklammern oft weiterrechnen. - Betrachte bei Termen mit mehreren Variablen jede Variable einzeln. - Was passiert, wenn du die Klammer wieder auflösen würdest? Kommst du zum Ursprungsterm zurück?

1. Bestimmung des ggT von 15 und 10 (ist 5) sowie der kleinsten Potenz von \(z\) (ist \(z^n\)): \(5z^n \cdot (3z^2+2)\). 2. Anwendung von \(x^{a+b} = x^a \cdot x^b\) und Ausklammern von \(x^a\): \(x^a \cdot (x^b-1)\). 3. Ausklammern der kleinsten Potenz \(2^k\), Berechnung der verbleibenden Differenz in der Klammer: \(2^k \cdot (2^2-1) = 2^k \cdot (4-1) = 3 \cdot 2^k\). 4. Ausklammern des Produkts \(r^n s^n\), da dies in beiden Summanden enthalten ist: \(r^n s^n \cdot (s^n-r^n)\).

1) \(5z^n \cdot (3z^2+2)\) 2) \(x^a \cdot (x^b-1)\) 3) \(3 \cdot 2^k\) 4) \(r^n s^n \cdot (s^n-r^n)\)

- Was passiert mit den Hochzahlen, wenn du eine Potenz ausklammerst? Erinnere dich an die Rechenregeln für Potenzen. - Wenn ein ganzer Teil des Terms ausgeklammert wird, bleibt an dieser Stelle eine 1 stehen. - Welche Potenz ist „kleiner“: \(x^n\) oder \(x^{n+2}\)? - Versuche, den Term als Produkt von zwei einfacheren Bausteinen zu sehen.

1. Der kleinste Exponent von \(x\) ist \(n\). Ausklammern von \(x^n\) ergibt \(x^n \cdot (1 + x^{(n+2)-n}) = x^n \cdot (1 + x^2)\). 2. Der GGT der Koeffizienten \(6\) und \(3\) ist \(3\). Die kleinste Potenz von \(y\) ist \(y^k\). Ausklammern von \(3y^k\) ergibt \(3y^k \cdot (2y^{(k+1)-k} - 1) = 3y^k \cdot (2y - 1)\). 3. Da \(a^{2m} = (a^m)^2\) bzw. \(a^{m+m}\), ist \(a^m\) der gemeinsame Faktor. Ausklammern ergibt \(a^m \cdot (a^m - 1)\). 4. Gemeinsame Faktoren sind \(x^n\) und \(y^n\). Ausklammern von \(x^n y^n\) ergibt \(x^n y^n \cdot (y^{(n+1)-n} + x^{(n+1)-n}) = x^n y^n \cdot (y + x)\).

1) \(x^n \cdot (1 + x^2)\) 2) \(3y^k \cdot (2y - 1)\) 3) \(a^m \cdot (a^m - 1)\) 4) \(x^n y^n \cdot (y + x)\)

- Achte beim Ausklammern im zweiten Teil des Terms besonders auf das Vorzeichen. - Wie wirkt sich eine Null in einer Multiplikation auf das Gesamtergebnis aus? - Untersuche die Struktur deiner faktorisierten Form aus Aufgabenteil a genau.

1. Teil a: Gruppierung der ersten beiden und der letzten beiden Glieder: \((4ab - 8a) - (3b - 6)\). 2. Gemeinsame Faktoren in den Klammern ausklammern: \(4a \cdot (b - 2) - 3 \cdot (b - 2)\). 3. Den gemeinsamen Faktor \((b - 2)\) vollständig ausklammern: \((4a - 3) \cdot (b - 2)\). 4. Teil b: Einsetzen von \(a = 1{,}5\) und \(b = 5\): \((4 \cdot 1{,}5 - 3) \cdot (5 - 2)\). 5. Berechnung: \((6 - 3) \cdot 3 = 3 \cdot 3 = 9\). 6. Teil c: Analyse der faktorisierten Form \((4a - 3) \cdot (b - 2)\) für \(b = 2\): Der Faktor \((b - 2)\) wird zu \(2 - 2 = 0\). Da ein Faktor des Produkts null ist, ist der Gesamtwert des Terms immer \(0\), unabhängig vom Wert von \(a\).

a) \((4a - 3) \cdot (b - 2)\) b) \(9\) c) Der Termwert ist \(0\), da der Faktor \((b - 2)\) für \(b = 2\) null wird.

- Versuche, die Terme paarweise zusammenzufassen. - Achte besonders auf die Vorzeichen, wenn du ein Minuszeichen vor einer Klammer ausklammerst. - Was passiert mit den Vorzeichen im Inneren der Klammer, wenn du einen negativen Faktor nach vorne ziehst? - Haben die Klammern, die übrig bleiben, denselben Inhalt?

1. Gruppierung der Terme: \((12ac - 8bc) - (15ad - 10bd)\). 2. Ausklammern von \(4c\) im ersten Paar und \(5d\) im zweiten Paar: \(4c \cdot (3a - 2b) - 5d \cdot (3a - 2b)\). 3. Ausklammern der gemeinsamen Klammer \((3a - 2b)\) ergibt \((3a - 2b) \cdot (4c - 5d)\). 4. Gruppierung des zweiten Ausdrucks: \((21x^2 - 14xy) - (6x - 4y)\). 5. Ausklammern von \(7x\) und \(2\): \(7x \cdot (3x - 2y) - 2 \cdot (3x - 2y)\). 6. Zusammenfassen zum Ergebnis \((3x - 2y) \cdot (7x - 2)\).

1) \((3a - 2b) \cdot (4c - 5d)\) 2) \((3x - 2y) \cdot (7x - 2)\)

- Schau dir die ersten drei Summanden und die letzten drei Summanden getrennt an. Was fällt dir auf? - Gibt es eine Summe von Variablen, die in beiden Teilen des Terms vorkommt? - Kannst du den Ausdruck so umformen, dass eine große Klammer als gemeinsamer Faktor ausgeklammert wird? - Untersuche den verbleibenden Teil mit \(x\). Kannst du dort noch ein \(x\) vor die Klammer ziehen?

1. Gruppierung der Terme nach den Potenzen von \(x\): \((ux^2 + vx^2 + wx^2) + (ux + vx + wx)\). 2. Ausklammern von \(x^2\) im ersten Teil und \(x\) im zweiten Teil: \(x^2 \cdot (u + v + w) + x \cdot (u + v + w)\). 3. Ausklammern des gemeinsamen Faktors \((u + v + w)\): \((x^2 + x) \cdot (u + v + w)\). 4. Zerlegen des ersten Faktors \(x^2 + x\) durch Ausklammern von \(x\): \(x \cdot (x + 1) \cdot (u + v + w)\).

\(x \cdot (x + 1) \cdot (u + v + w)\)

- Wenn du beim ersten Versuch keinen gemeinsamen Faktor in den Klammern findest, versuche die Reihenfolge der Summanden zu ändern. - Achte besonders auf das Minuszeichen: Wenn du ein Minuszeichen vor eine Klammer setzt, ändern sich die Vorzeichen innerhalb der Klammer. - Das Ziel ist es, in beiden Gruppen exakt den gleichen Klammerausdruck zu erhalten.

1. Teilaufgabe a: Umstellen der Summanden zu \(12ac + 8bc - 15ad - 10bd\). Ausklammern von \(4c\) in der ersten Gruppe und \(-5d\) in der zweiten Gruppe ergibt \(4c \cdot (3a + 2b) - 5d \cdot (3a + 2b)\). Herausheben des gemeinsamen Binoms ergibt \((3a + 2b) \cdot (4c - 5d)\). 2. Teilaufgabe b: Umstellen der Summanden zu \(x^2 - xy + 7x - 7y\). Ausklammern von \(x\) und \(7\) ergibt \(x \cdot (x - y) + 7 \cdot (x - y)\). Herausheben des gemeinsamen Binoms ergibt \((x - y) \cdot (x + 7)\). 3. Teilaufgabe c: Gruppierung der ersten beiden und der letzten beiden Glieder zu \((18ab - 27ac) - (10b - 15c)\). Ausklammern von \(9a\) und \(-5\) ergibt \(9a \cdot (2b - 3c) - 5 \cdot (2b - 3c)\). Herausheben des gemeinsamen Binoms ergibt \((2b - 3c) \cdot (9a - 5)\).

a) \((3a + 2b) \cdot (4c - 5d)\) b) \((x - y) \cdot (x + 7)\) c) \((2b - 3c) \cdot (9a - 5)\)