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- Was gibt der Exponent (die kleine Hochzahl) bei einer Potenz an? - Achte darauf, ob zwischen den Buchstaben ein Pluszeichen oder ein Malzeichen steht. - Gleiche Zahlen oder Variablen können zu einer Basis zusammengefasst werden. - Wie nennt man die Kurzschreibweise für eine Summe aus gleichen Summanden im Vergleich zu einem Produkt aus gleichen Faktoren?

1. Das Produkt aus sechs gleichen Faktoren \(8\) wird als \(8^6\) geschrieben. 2. Das Produkt aus vier gleichen Faktoren \(z\) wird als \(z^4\) geschrieben. 3. Die Faktoren werden nach Basen gruppiert: Drei Faktoren \(3\) ergeben \(3^3\), zwei Faktoren \(a\) ergeben \(a^2\) und vier Faktoren \(b\) ergeben \(b^4\). Das Ergebnis ist \(3^3 \cdot a^2 \cdot b^4\) (oder \(27 a^2 b^4\)). 4. Der Ausdruck \(x \cdot x \cdot x \cdot x\) ist korrekt, da die Potenzschreibweise eine Kurzform für ein Produkt aus gleichen Faktoren ist. Der Ausdruck \(x + x + x + x\) hingegen beschreibt eine Summe und wird als \(4x\) zusammengefasst.

1) \(8^6\) 2) \(z^4\) 3) \(3^3 a^2 b^4\) 4) \(x \cdot x \cdot x \cdot x\), da Potenzen wiederholte Multiplikation ausdrücken.

- Was gibt der Exponent (die kleine Zahl oben rechts) bei einer Potenz an? - Was ist die Basis einer Potenz? - Wenn eine Klammer hoch zwei genommen wird, was wird dann miteinander multipliziert? - Beachte den Unterschied zwischen einem Koeffizienten (der Zahl vor der Variablen) und einem Exponenten.

1. Definition der Potenz anwenden: \(6^3 = 6 \cdot 6 \cdot 6\). 2. Gleiche Faktoren zählen (4 Stück) und als Exponent schreiben: \(b \cdot b \cdot b \cdot b = b^4\). 3. Faktoren mit gleicher Basis gruppieren und Potenzen bilden: \(3 \cdot x \cdot x \cdot y \cdot y \cdot y = 3x^2y^3\). 4. Die gesamte Klammer als Basis betrachten und entsprechend dem Exponenten als Produkt schreiben: \((a+b)^2 = (a+b) \cdot (a+b)\). 5. Variable \(m\) tritt zweimal als Faktor auf: \(7 \cdot m \cdot m = 7m^2\).

1) \(6 \cdot 6 \cdot 6\); 2) \(b^4\); 3) \(3x^2y^3\); 4) \((a+b) \cdot (a+b)\); 5) \(7m^2\).

- Achte genau darauf, ob das Minuszeichen mit quadriert wird oder nicht. - Was passiert mit dem Vorzeichen eines Bruchs, wenn Zähler und Nenner negativ sind? - Erinnere dich an die Regel für das Produkt zweier negativer Zahlen.

1. Berechnung von a): \((-3)^2 = 9\), daraus folgt \(\frac{9}{-9} = -1\) 2. Berechnung von b): \(3^2 = 9\), daraus folgt \(\frac{-9}{-9} = 1\) 3. Berechnung von c): \(3^2 = 9\), daraus folgt \(-\frac{-9}{9} = -(-1) = 1\)

a) \(-1\) b) \(1\) c) \(1\)

- Überlege zuerst, welches Vorzeichen die Potenz im Zähler hat. Spielt es eine Rolle, ob der Exponent gerade oder ungerade ist? - Was bewirkt das Minuszeichen vor dem gesamten Bruch? - Wo liegen positive und wo liegen negative Zahlen im Verhältnis zur Null?

1. Bestimmung der Potenz: Da der Exponent \(101\) ungerade ist, gilt \((-1)^{101} = -1\) 2. Einsetzen in den Term: \(x = -\frac{-1}{5}\) 3. Anwendung der Vorzeichenregeln: \(-(-\frac{1}{5}) = \frac{1}{5}\) 4. Position bestimmen: Da \(\frac{1}{5}\) positiv ist (\(\frac{1}{5} > 0\)), liegt der Wert rechts von der Null

Der Wert liegt rechts von der Null, da \(-\frac{(-1)^{101}}{5} = \frac{1}{5}\) positiv ist.

- Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn du zwei negative Zahlen multiplizierst? - Gibt es einen Unterschied, ob die Anzahl der negativen Faktoren gerade oder ungerade ist? - Schreibe dir die ersten Zeilen als Potenzen auf.

1. Bestimmung des Vorzeichens für die 8. Zeile: In der 8. Zeile stehen 8 negative Faktoren. Da 8 eine gerade Zahl ist, ergibt das Produkt ein positives Vorzeichen. 2. Berechnung der 4. Zeile: Das Produkt lautet \((-3) \cdot (-3) \cdot (-3) \cdot (-3)\). Schrittweise Multiplikation ergibt \(9 \cdot 9 = 81\).

a) Das Vorzeichen ist positiv, da die 8. Zeile eine gerade Anzahl (8) negativer Faktoren enthält. b) Der Wert ist \(81\).

- Achte darauf, worauf sich der Exponent bezieht. Steht das Minuszeichen in einer Klammer oder davor? - Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn du eine negative Zahl mit sich selbst multiplizierst? - Überlege, wie oft das Minuszeichen als Faktor vorkommt.

1. Berechnung von \((-3)^4\): \((-3) \cdot (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) = 81\). 2. Berechnung von \(-3^4\): \(-(3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3) = -81\). 3. Berechnung von \((-10)^3\): \((-10) \cdot (-10) \cdot (-10) = -1\,000\). 4. Berechnung von \(-10^3\): \(-(10 \cdot 10 \cdot 10) = -1\,000\). 5. Bestimmung von \((-1)^{100}\): Da der Exponent \(100\) gerade ist, ergibt eine negative Basis ein positives Ergebnis: \(1\). 6. Unterschied zwischen a) und b): Bei \((-3)^4\) bezieht sich der Exponent auf die gesamte Klammer (einschließlich des Minuszeichens). Bei \(-3^4\) bezieht sich der Exponent nur auf die Zahl \(3\), das Minuszeichen steht vor dem Ergebnis der Potenzierung.

a) \(81\); b) \(-81\); c) \(-1\,000\); d) \(-1\,000\); e) \(1\). Bei a) wird die negative Zahl \(-3\) potenziert, bei b) wird die positive Zahl \(3\) potenziert und das Ergebnis mit \(-1\) multipliziert.

- Schreibe alle Zahlen als Potenzen zur Basis 10. - Was passiert mit den Exponenten, wenn man Potenzen mit gleicher Basis multipliziert oder dividiert? - Wie viele Nullen hat die Zahl Hunderttausend?

1. Umwandlung aller Ausdrücke in Zehnerpotenzen: (1) \(10^4\), (2) \(10^3\), (3) \(10^{2+3} = 10^5\), (4) Hunderttausend entspricht \(10^5\), (5) \(10^{7-1} = 10^6\). 2. Vergleich der Exponenten ergibt die Reihenfolge \(3 < 4 < 5 = 5 < 6\). 3. Daraus folgt die sortierte Liste: \(1\,000 < 10^4 < 10^2 \cdot 10^3 = \text{Hunderttausend} < 10^7 : 10\).

Die richtige Reihenfolge ist: \(1\,000 < 10^4 < 10^2 \cdot 10^3 = \text{Hunderttausend} < 10^7 : 10\).

- Wende die Gesetze für das Multiplizieren, Dividieren und Potenzieren von Potenzen an. - Achte bei Term D genau darauf, ob es sich um eine Multiplikation oder eine Addition handelt. - Vergleiche am Ende die Exponenten der Zehnerpotenzen.

1. Vereinfachung der Terme (bei \(C\) für \(x \ne 0\)): \(A = x^5\), \(B = x^8\), \(C = x^7\), \(D = 2x^5\). 2. Einsetzen von \(x = 10\): \(A = 10^5 = 100\,000\), \(B = 10^8 = 100\,000\,000\), \(C = 10^7 = 10\,000\,000\), \(D = 2 \cdot 10^5 = 200\,000\). 3. Vergleich der Ergebnisse: Der Term \(B\) hat mit \(10^8\) den größten Wert, da der Exponent am höchsten ist.

Der Term \(B = (x^2)^4\) liefert für \(x = 10\) den größten Wert.

- Was bedeutet das Quadrat außerhalb einer Klammer für alle Faktoren innerhalb der Klammer? - Wie multipliziert man Potenzen, die die gleiche Basis haben? - Macht es einen Unterschied, ob ein Minuszeichen mit quadriert wird oder vor der Potenz steht? - Denke an die Bedeutung von Groß- und Kleinschreibung in der Mathematik.

1. Prüfung von a): Nach der Potenzregel \((a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n\) gilt \((5z)^2 = 5^2 \cdot z^2 = 25z^2\). Die Aussage ist richtig. 2. Prüfung von b): Das Quadrat einer negativen Zahl oder Variable ist positiv, da \((-x) \cdot (-x) = x^2\). Der Ausdruck \(-x^2\) bedeutet jedoch \(-(x^2)\). Die Aussage ist falsch; korrekt ist \((-x)^2 = x^2\). 3. Prüfung von c): Beim Multiplizieren von Potenzen mit gleicher Basis werden die Exponenten addiert: \(a^4 \cdot a^2 = a^{4+2} = a^6\). Die Aussage ist falsch; korrekt ist \(a^4 \cdot a^2 = a^6\). 4. Prüfung von d): Es gilt \((2k)^3 = 2^3 \cdot k^3 = 8k^3\). Die Aussage ist richtig. 5. Prüfung von e): In der Mathematik wird zwischen Groß- und Kleinschreibung unterschieden. \(M\) und \(m\) sind verschiedene Variablen. Die Aussage ist falsch.

a) Richtig. b) Falsch; korrekt ist \((-x)^2 = x^2\). c) Falsch; korrekt ist \(a^4 \cdot a^2 = a^6\). d) Richtig. e) Falsch; \(M\) und \(m\) sind unterschiedliche Variablen.

- Kannst du die Faktoren im dritten Aufgabenteil so umstellen, dass gleiche Variablen nebeneinander stehen? - Erinnere dich an die allgemeine Definition einer Potenz für eine beliebige Anzahl \(n\) von Faktoren. - Überlege bei Teil 2 genau, welche Teile durch ein Pluszeichen getrennt sind und welche Faktoren zusammengehören.

1. Ein Produkt aus neun gleichen Faktoren \(c\) ist definiert als \(c^9\). 2. Der erste Teil des Terms besteht aus zwei Faktoren \(4\) (\(4^2\)) und drei Faktoren \(r\) (\(r^3\)). Der zweite Teil besteht aus fünf Faktoren \(s\) (\(s^5\)). Zusammen ergibt dies \(4^2 r^3 + s^5\) (oder \(16r^3 + s^5\)). 3. Durch Sortieren der Faktoren erhält man \(x \cdot x \cdot x \cdot y \cdot y \cdot y \cdot y\). Dies entspricht \(x^3 y^4\). 4. Wenn ein Faktor \(p\) genau \(n\)-mal mit sich selbst multipliziert wird, schreibt man allgemein \(p^n\).

1) \(c^9\) 2) \(4^2 r^3 + s^5\) 3) \(x^3 y^4\) 4) \(p^n\)

- Was bedeutet es, wenn eine Zahl mehrmals mit sich selbst multipliziert wird? - Was bedeutet es, wenn genau der gleiche Baustein mehrmals addiert wird? - Schau dir zuerst einen einzelnen Baustein an und fasse ihn mit einer Hochzahl zusammen. - Zähle dann, wie oft dieser Baustein in der Summe vorkommt.

1. Identifikation der Teilterme: \(x \cdot x \cdot x\) entspricht \(x^3\). Da dieser Teilterm zweimal addiert wird, ergibt sich der Koeffizient \(2\). Ergebnis: \(2x^3\). 2. Identifikation der Teilterme: \(a \cdot a \cdot b \cdot b \cdot b\) entspricht \(a^2 \cdot b^3\). Da dieser Ausdruck dreimal addiert wird, ergibt sich der Koeffizient \(3\). Ergebnis: \(3a^2 b^3\). 3. Identifikation der Teilterme: \((m + n) \cdot (m + n)\) entspricht \((m + n)^2\). Da dieser Ausdruck viermal addiert wird, ergibt sich der Koeffizient \(4\). Ergebnis: \(4 \cdot (m + n)^2\).

1) \(2x^3\) 2) \(3a^2 b^3\) 3) \(4 \cdot (m + n)^2\)

- Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn eine negative Zahl mit einem geraden Exponenten potenziert wird? - Wie ändert sich das Vorzeichen bei einem ungeraden Exponenten? - Denke bei Dezimalzahlen daran, wie viele Nachkommastellen das Ergebnis haben muss. - Verwandle gemischte Zahlen zuerst in Brüche, bevor du sie potenzierst.

1. Berechnung von \((-8)^2\): Da der Exponent gerade ist, ist das Ergebnis positiv: \((-8) \cdot (-8) = 64\). 2. Berechnung von \((-3)^3\): Da der Exponent ungerade ist, ist das Ergebnis negativ: \((-3) \cdot (-3) \cdot (-3) = -27\). 3. Berechnung von \((-\frac{2}{5})^2\): Quadrat eines negativen Bruchs ergibt einen positiven Bruch: \(\frac{(-2)^2}{5^2} = \frac{4}{25}\). 4. Berechnung von \((-0{,}1)^3\): Drei Nachkommastellen im Ergebnis, negatives Vorzeichen bei ungeradem Exponenten: \(-0{,}001\). 5. Umwandlung der gemischten Zahl in einen unechten Bruch: \(-1\frac{1}{2} = -\frac{3}{2}\). Quadrieren ergibt \((-\frac{3}{2})^2 = \frac{9}{4} = 2\frac{1}{4}\).

1) \(64\) 2) \(-27\) 3) \(\frac{4}{25}\) (oder \(0{,}16\)) 4) \(-0{,}001\) 5) \(2\frac{1}{4}\) (oder \(2{,}25\))

- Überlege genau, ob das Minuszeichen mit potenziert wird oder ob es vor der Potenz steht. - Gibt es einen Unterschied zwischen \(-a^n\) und \((-a)^n\)? - Was passiert, wenn ein Minuszeichen vor einer Klammer steht, in der bereits ein negatives Ergebnis berechnet wurde? - Bei sehr großen Exponenten wie \(50\) hilft es, sich nur auf das Vorzeichen zu konzentrieren.

1. Bei \(-4^2\) bezieht sich das Quadrat nur auf die Zahl \(4\), das Minuszeichen steht davor: \(-(4 \cdot 4) = -16\). 2. Bei \((-4)^2\) wird die negative Zahl \(-4\) quadriert: \((-4) \cdot (-4) = 16\). 3. Die Basis \(-1\) mit einem geraden Exponenten (\(50\)) ergibt immer \(+1\). 4. Vierte Potenz eines negativen Bruchs: Der Exponent ist gerade, also ist das Ergebnis positiv: \(\frac{1^4}{2^4} = \frac{1}{16}\). 5. Zuerst die Potenz berechnen: \((-2)^3 = -8\). Dann das Minuszeichen davor berücksichtigen: \(-(-8) = 8\).

1) \(-16\) 2) \(16\) 3) \(1\) 4) \(\frac{1}{16}\) 5) \(8\)

- Achte genau darauf, was genau potenziert wird: Steht das Minuszeichen innerhalb oder außerhalb der Klammer? - Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn du eine negative Zahl mit sich selbst multiplizierst? - Probiere es nacheinander aus: Minus mal Minus, dann das Ergebnis wieder mal Minus und so weiter. - Unterscheide zwischen der Rechenregel „Klammer zuerst“ und „Potenz vor Strichrechnung“.

1. Berechnung für \(n=2\): \(A = (-5)^2 = (-5) \cdot (-5) = 25\). \(B = -5^2 = -(5 \cdot 5) = -25\). Die Ergebnisse sind nicht gleich, da \(25 \neq -25\). 2. Berechnung für \(n=3\): \(A = (-5)^3 = (-5) \cdot (-5) \cdot (-5) = -125\). \(B = -5^3 = -(5 \cdot 5 \cdot 5) = -125\). Die Ergebnisse sind gleich. 3. Untersuchung der Exponenten: Bei einem ungeraden Exponenten \(n\) bleibt das negative Vorzeichen in der Klammer erhalten, da eine ungerade Anzahl negativer Faktoren ein negatives Produkt ergibt. Daher gilt \((-x)^n = -x^n\) für alle ungeraden \(n\). Bei geraden \(n\) wird das Ergebnis von \((-x)^n\) positiv (oder Null), während \(-x^n\) negativ (oder Null) bleibt.

a) \(A = 25\), \(B = -25\); sie sind nicht gleich. b) \(A = -125\), \(B = -125\); sie sind gleich. c) Die Gleichung ist für alle ungeraden Exponenten \(n\) wahr.

- Überlege dir, welches Vorzeichen eine Quadratzahl (\(x^2\)) immer hat, egal ob \(x\) positiv oder negativ ist. - Was passiert mit dem Vorzeichen eines Terms, wenn ein Minuszeichen vor einer Klammer steht? - Kannst du für die Variablen Zahlen finden, sodass der gesamte Klammerinhalt Null wird? - Unterscheide zwischen einer Zahl, die Null sein kann, und einer Zahl, die immer größer als Null sein muss.

1. Analyse von \(x^2 + y^2\): Da \(x \neq 0\) und \(y \neq 0\), sind \(x^2\) und \(y^2\) beide strikt positiv (\(> 0\)). Die Summe zweier positiver Zahlen ist immer positiv. 2. Analyse von \(-(x^2 + 3)\): Da \(x^2 \ge 0\), ist \(x^2 + 3 \ge 3\). Das Minuszeichen vor der Klammer kehrt das Vorzeichen um, sodass der Wert immer \(\le -3\) und damit immer negativ ist. 3. Analyse von \((x - y)^2\): Ein Quadrat ist grundsätzlich nie negativ (\(\ge 0\)). Wenn \(x = y\) gewählt wird (was erlaubt ist, da beide ungleich Null sein können, z. B. \(x=1, y=1\)), ergibt der Term \((1-1)^2 = 0\). Somit kann der Wert Null ergeben. 4. Analyse von \(x^4 + 10\): Da \(x^4 = (x^2)^2\) immer \(\ge 0\) ist, ist \(x^4 + 10\) immer mindestens 10 und somit immer positiv. 5. Analyse von \(-x^2 - y^2\): Da \(x^2 > 0\) und \(y^2 > 0\), ist die Summe \(x^2 + y^2\) positiv. Durch das Minuszeichen vor beiden Quadraten (oder ausgeklammert \(-(x^2 + y^2)\)) ist das Ergebnis immer negativ.

- **Immer positiv**: a) \(x^2 + y^2\), d) \(x^4 + 10\) - **Immer negativ**: b) \(-(x^2 + 3)\), e) \(-x^2 - y^2\) - **Null möglich**: c) \((x - y)^2\)

- Was passiert mit dem Vorzeichen einer negativen Zahl, wenn du sie mit sich selbst multiplizierst? - Erinnere dich an die Regel „Minus mal Minus ergibt Plus“. - Wie oft wird die Basis bei einer zweiten beziehungsweise dritten Potenz als Faktor verwendet? - Untersuche, ob das Vorzeichen bei einer geraden Anzahl an Multiplikationen erhalten bleibt oder sich ändert.

1. Berechnung von \(T_1(4)\): \(3 \cdot 4^2 + 10 = 3 \cdot 16 + 10 = 58\). 2. Berechnung von \(T_1(-4)\): \(3 \cdot (-4)^2 + 10 = 3 \cdot 16 + 10 = 58\). 3. Berechnung von \(T_2(4)\): \(2 \cdot 4^3 = 2 \cdot 64 = 128\). 4. Berechnung von \(T_2(-4)\): \(2 \cdot (-4)^3 = 2 \cdot (-64) = -128\). 5. Vergleich: Bei \(T_1\) bleibt der Wert gleich, da das Quadrieren einer negativen Zahl ein positives Ergebnis liefert (\((-4)^2 = 16\)). Bei \(T_2\) ändert sich das Vorzeichen des Ergebnisses, da die dritte Potenz einer negativen Zahl negativ ist (\((-4)^3 = -64\)).

a) \(T_1(4) = 58\), \(T_1(-4) = 58\); \(T_2(4) = 128\), \(T_2(-4) = -128\). b) Bei \(T_1\) ändert sich der Wert nicht, da die Potenz \(x^2\) für eine Zahl und ihre Gegenzahl stets denselben Wert ergibt.

- Welche Regel kennst du für das Multiplizieren von Potenzen mit der gleichen Basis? - Was musst du beachten, wenn eine Variable wie \(y\) keinen sichtbaren Exponenten hat? - Erinnere dich an die Vorzeichenregeln: Was ergibt „Minus mal Minus“?

1. Anwendung des Potenzgesetzes für die Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis durch Addition der Exponenten: \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\). 2. Berücksichtigung der Vorzeichenregeln: \((-)\cdot(+) = (-)\) und \((-)\cdot(-) = (+)\). 3. Schrittweise Berechnung: a) \(x^{4+5} = x^9\) b) \(-a^{3+2} = -a^5\) c) \(y^{1+4+2} = y^7\) d) \(m^{2+6} = m^8\) e) \(b^{n+3}\)

a) \(x^9\); b) \(-a^5\); c) \(y^7\); d) \(m^8\); e) \(b^{n+3}\)

- Multipliziere zuerst die Zahlen vor den Variablen. - Wie verändern sich die Hochzahlen, wenn man Potenzen mit der gleichen Basis multipliziert? - Achte besonders auf die Vorzeichenregeln bei der Multiplikation. - Denk daran, dass eine Variable ohne sichtbare Hochzahl (wie \(y\)) eigentlich den Exponenten \(1\) hat.

1. Multiplikation der Koeffizienten \(6 \cdot 4 = 24\) und Addition der Exponenten \(2 + 5 = 7\): \(24x^7\). 2. Multiplikation der Koeffizienten \(-3 \cdot 8 = -24\) und Addition der Exponenten \(4 + 3 = 7\): \(-24a^7\). 3. Multiplikation der Koeffizienten \(0{,}4 \cdot (-5) = -2\) und Addition der Exponenten \(1 + 4 = 5\): \(-2y^5\). 4. Multiplikation der Koeffizienten \(-7 \cdot (-2) = 14\) und Addition der Exponenten \(2 + 2 = 4\): \(14b^4\). 5. Multiplikation der Koeffizienten \(\frac{2}{5} \cdot 10 = 4\) und Addition der Exponenten \(6 + 2 = 8\): \(4z^8\).

a) \(24x^7\); b) \(-24a^7\); c) \(-2y^5\); d) \(14b^4\); e) \(4z^8\)

- Wie gehst du vor, wenn du Zahlen mit Variablen multiplizierst? - Erinnere dich an die Regel für das Multiplizieren von Potenzen mit der gleichen Basis. - Achte besonders auf die Vorzeichenregeln (Minus mal Minus, Plus mal Minus). - Was passiert mit einer Variablen, die keinen sichtbaren Exponenten hat?

1. Multiplikation der Koeffizienten \(-5 \cdot 4 = -20\) und Addition der Exponenten gleicher Basen: \(a^{3+2} = a^5\) sowie \(b^{1+4} = b^5\). Ergebnis: \(-20a^5b^5\). 2. Multiplikation der Koeffizienten \(0{,}8 \cdot (-0{,}5) = -0{,}4\) und Addition der Exponenten: \(x^{2+1} = x^3\) sowie \(y^{3+1} = y^4\). Ergebnis: \(-0{,}4x^3y^4\). 3. Multiplikation der Koeffizienten \(-6 \cdot (-3) = 18\) und Addition der Exponenten: \(m^{4+2} = m^6\) sowie \(n^{2+5} = n^7\). Ergebnis: \(18m^6n^7\).

1) \(-20a^5b^5\) 2) \(-0{,}4x^3y^4\) 3) \(18m^6n^7\)

- Was passiert mit den Zahlen vor den Variablen, wenn man die Terme multipliziert? - Welche Regel gilt für das Zusammenfassen von Potenzen mit der gleichen Basis? - Wie gehst du vor, wenn im Exponenten bereits eine Summe oder eine Differenz steht? - Denk an die Vorzeichenregeln beim Multiplizieren negativer Zahlen.

1. Teilaufgabe a: Multiplikation der Koeffizienten \(7 \cdot 3 = 21\) und Anwendung des Potenzgesetzes für gleiche Basen durch Addition der Exponenten \(n + 4\); Ergebnis: \(21x^{n+4}\). 2. Teilaufgabe b: Multiplikation der Koeffizienten \((-5) \cdot (-2) = 10\) und Addition der Exponenten \((k+2) + 3 = k+5\); Ergebnis: \(10a^{k+5}\). 3. Teilaufgabe c: Multiplikation der Koeffizienten \(\frac{1}{3} \cdot (-9) = -3\) und Addition der Exponenten \(m + (m-1) = 2m-1\); Ergebnis: \(-3y^{2m-1}\).

a) \(21x^{n+4}\) b) \(10a^{k+5}\) c) \(-3y^{2m-1}\)

- Welchen Exponenten hat eine Variable, wenn dort keine Zahl steht? - Was geschieht mit den Exponenten bei der Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis? - Achte bei der Multiplikation der Zahlen vor den Variablen besonders auf die Vorzeichen. - Vergleiche Schritt für Schritt Koeffizienten und jede einzelne Variable.

1. Überprüfung der ersten Rechnung: Multiplikation der Koeffizienten \(4 \cdot 3 = 12\). Addition der Exponenten für die Basis \(a\): \(2 + 1 = 3\), für die Basis \(b\): \(1 + 3 = 4\). Das korrekte Ergebnis ist \(12a^3b^4\). Lukas hat vergessen, die Exponenten korrekt zu addieren. 2. Überprüfung der zweiten Rechnung: Multiplikation der Koeffizienten \((-5) \cdot (-2) = 10\). Addition der Exponenten für \(x\): \(3 + 1 = 4\), für \(y\): \(2 + 1 = 3\). Das Ergebnis \(10x^4y^3\) ist richtig. 3. Überprüfung der dritten Rechnung: Multiplikation der Koeffizienten \(\frac{2}{3} \cdot 6 = 4\). Addition der Exponenten für \(m\): \(2 + 3 = 5\), für \(n\): \(4 + 1 = 5\). Das korrekte Ergebnis ist \(4m^5n^5\). Lukas hat die Exponenten falsch verarbeitet.

1) Falsch. Korrektur: \(12a^3b^4\) 2) Richtig. 3) Falsch. Korrektur: \(4m^5n^5\)

- Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn die Hochzahl ungerade oder gerade ist? - Wird der Koeffizient (die Zahl vor der Variablen) auch potenziert? - Welche Rechenart wird bei den Exponenten angewendet, wenn eine Potenz potenziert wird?

1. Anwendung des Potenzgesetzes für Produkte und Potenzen von Potenzen: \(4^2 \cdot (a^5)^2 = 16 \cdot a^{5 \cdot 2} = 16a^{10}\). 2. Anwendung des Potenzgesetzes: \((-3)^3 \cdot (b^2)^3 = -27 \cdot b^{2 \cdot 3} = -27b^6\). 3. Anwendung des Potenzgesetzes: \((\frac{1}{2})^4 \cdot (x^3)^4 = \frac{1}{16} \cdot x^{3 \cdot 4} = \frac{1}{16}x^{12}\). 4. Anwendung des Potenzgesetzes: \((-1)^2 \cdot (y^4)^2 = 1 \cdot y^{4 \cdot 2} = y^8\).

1. \(16a^{10}\) 2. \(-27b^6\) 3. \(\frac{1}{16}x^{12}\) 4. \(y^8\)

- Welche Rechenregel gilt, wenn eine Potenz selbst noch einmal potenziert wird? - Achte besonders auf das Vorzeichen, wenn eine negative Zahl mit einem geraden oder ungeraden Exponenten potenziert wird. - Wie werden Potenzen mit der gleichen Basis multipliziert? - Kannst du die Koeffizienten (die Zahlen vor den Variablen) und die Variablen getrennt voneinander betrachten?

1. Berechnung von Teil a): Zuerst wird die Potenz des Monoms gebildet: \((5a^2)^3 = 5^3 \cdot (a^2)^3 = 125a^6\). Anschließend erfolgt die Multiplikation mit dem zweiten Faktor: \(125a^6 \cdot 2a^5 = (125 \cdot 2) \cdot a^{6+5} = 250a^{11}\). 2. Berechnung von Teil b): Zuerst wird das erste Monom potenziert. Da der Exponent 4 gerade ist, wird das Ergebnis positiv: \((-2x^3)^4 = (-2)^4 \cdot (x^3)^4 = 16x^{12}\). Danach wird mit dem zweiten Faktor multipliziert: \(16x^{12} \cdot (-3x^2) = (16 \cdot (-3)) \cdot x^{12+2} = -48x^{14}\).

a) \(250a^{11}\) b) \(-48x^{14}\)

- Wende das Distributivgesetz an, indem du jedes Glied in der Klammer einzeln durch den Divisor teilst. - Achte bei der Division von Variablen auf die Potenzgesetze: Subtrahiere die Exponenten. - Beachte die Vorzeichenregeln, besonders wenn du durch eine negative Zahl dividierst. - Prüfe zusätzlich, für welche Variablenwerte der Divisor null würde.

1. Division jedes Gliedes des ersten Ausdrucks durch \(2{,}5\): \(15b^3 : 2{,}5 = 6b^3\); \(-10b^2 : 2{,}5 = -4b^2\); \(5b : 2{,}5 = 2b\). Das Ergebnis ist \(6b^3 - 4b^2 + 2b\). 2. Division jedes Gliedes des zweiten Ausdrucks durch \(-4a^2\): Zuerst die Koeffizienten dividieren (\(-12 : (-4) = 3\); \(8 : (-4) = -2\); \(-4 : (-4) = 1\)), dann die Potenzgesetze für die Division anwenden (\(a^4 : a^2 = a^2\); \(a^3 : a^2 = a\); \(a^2 : a^2 = 1\)). Das Ergebnis ist \(3a^2 - 2a + 1\). Die Umformung in Teil 2 gilt für \(a \neq 0\).

1) \( 6b^3 - 4b^2 + 2b \) 2) \( 3a^2 - 2a + 1 \) Die Umformung in Teil 2 gilt für \(a \neq 0\).

- Kannst du das Problem in kleinere Teilaufgaben zerlegen? - Wie gehst du vor, wenn eine Summe in einer Klammer durch einen Wert geteilt wird? - Was passiert mit den Exponenten gleicher Variablen, wenn man Potenzen mit gleicher Basis dividiert? - Achte besonders auf die Vorzeichen der einzelnen Glieder. - Prüfe zusätzlich, für welche Variablenwerte der Divisor null würde.

1. Division des ersten Glieds: \( 12a^3b^2 : 3ab^2 = 4a^2 \) 2. Division des zweiten Glieds: \( 6a^2b^3 : 3ab^2 = 2ab \) 3. Division des dritten Glieds: \( -3ab^4 : 3ab^2 = -b^2 \) 4. Zusammenführen der Einzelergebnisse zum Term \( 4a^2 + 2ab - b^2 \) Die Umformung gilt für \(a \neq 0\) und \(b \neq 0\).

\( 4a^2 + 2ab - b^2 \) Die Umformung gilt für \(a \neq 0\) und \(b \neq 0\).

- Wie dividiert man eine Summe durch einen Wert? - Was passiert mit den Exponenten der Variablen bei der Division? - Erinnere dich daran, wie man durch einen Bruch dividiert. - Kannst du die Aufgabe in drei einzelne Divisionen aufteilen? - Prüfe zusätzlich, für welche Variablenwerte der Divisor null würde.

1. Division des ersten Gliedes: \( 12a^2b : \frac{6}{5}ab = 12 \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{a^2b}{ab} = 10a \). 2. Division des zweiten Gliedes: \( -18ab^2 : \frac{6}{5}ab = -18 \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{ab^2}{ab} = -15b \). 3. Division des dritten Gliedes: \( 6ab : \frac{6}{5}ab = 6 \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{ab}{ab} = 5 \). 4. Zusammenfügen der Teilergebnisse zum Ergebnisterm: \( 10a - 15b + 5 \). Die Umformung gilt für \(a \neq 0\) und \(b \neq 0\).

\( 10a - 15b + 5 \) Die Umformung gilt für \(a \neq 0\) und \(b \neq 0\).

- Erinnere dich daran, wie man Exponenten addiert oder subtrahiert, wenn die Basis gleich ist. - Kannst du die Potenzen wie Variablen behandeln (zum Beispiel wie \(4x + 5x\))? - Was passiert mit den Exponenten, wenn du Zahlen mit derselben Basis multiplizierst? - Überlege dir bei der Division, wie viele Zehner man im Bruch kürzen kann.

1. Anwendung des Gesetzes für die Multiplikation von Potenzen gleicher Basis (\(10^m \cdot 10^n = 10^{m+n}\)): a) \(10^4 \cdot 10^3 = 10^{4+3} = 10^7\). d) \(10^2 \cdot 10^2 \cdot 10^2 = 10^{2+2+2} = 10^6\). 2. Anwendung des Gesetzes für die Division (\(\frac{10^m}{10^n} = 10^{m-n}\)): b) \(\frac{10^7}{10^2} = 10^{7-2} = 10^5\). 3. Zusammenfassen von Termen mit gleicher Potenz (Distributivgesetz): c) \(4 \cdot 10^5 + 5 \cdot 10^5 = (4+5) \cdot 10^5 = 9 \cdot 10^5\).

a) \(10^7\) b) \(10^5\) c) \(9 \cdot 10^5\) d) \(10^6\)

- Kannst du die Zahlen und die Buchstaben getrennt voneinander betrachten? - Wie verändern sich die Exponenten, wenn du Variablen mit der gleichen Basis multiplizierst? - Denk daran, dass eine Variable ohne sichtbare Hochzahl den Exponenten 1 hat.

1. Multiplikation der Koeffizienten: \(2 \cdot 3 = 6\) 2. Zusammenfassen der Potenzen von \(x\) mittels Potenzgesetz \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\): \(x^2 \cdot x^3 = x^{2+3} = x^5\) 3. Zusammenfassen der Potenzen von \(y\): \(y^1 \cdot y^1 = y^{1+1} = y^2\) 4. Gesamtergebnis: \(6x^5y^2\)

d) \(6x^5y^2\)

- Berechne zuerst den Wert jedes Terms einzeln. - Achte bei Term B genau darauf, ob die vierte Potenz das Minuszeichen einschließt. - Vergleiche die resultierenden rationalen Zahlen (Brüche oder Dezimalzahlen) miteinander.

1. Berechnung von \(A\): \((-1)^3 = -1\), also \(A = \frac{-1}{2} = -0{,}5\) 2. Berechnung von \(B\): \(1^4 = 1\), also \(\frac{-1}{-4} = 0{,}25\) 3. Berechnung von \(C\): \((-1)^2 = 1\), also \(-\frac{1}{8} = -0{,}125\) 4. Vergleich der Werte: \(-0{,}5 < -0{,}125 < 0{,}25\) 5. Ordnung: \(A < C < B\)

Die Reihenfolge lautet \(A, C, B\) (oder: \(-0{,}5 < -0{,}125 < 0{,}25\)).

- Erinnere dich an den Unterschied zwischen \((-10)^n\) bei geradem und ungeradem \(n\). - Was bedeutet „kleinster Wert“ bei negativen Zahlen? Denke an das Thermometer oder die Zahlengerade. - Der Betrag einer Zahl ist ihr Abstand zur Null.

1. Auswerten von Term A: \((-10)^3 = -1\,000\). 2. Auswerten von Term B: \((-1)^4 = 1\), also \(1 \cdot 10^4 = 10\,000\). 3. Auswerten von Term C: \((-10)^5 = -100\,000\). 4. Vergleich: \(-100\,000 < -1\,000 < 10\,000\). Term C hat den kleinsten Wert. 5. Vorzeichenprüfung: Nur Term B ist positiv (\(10\,000 > 0\)). 6. Betrag von Term B: \(|10\,000| = 10\,000\).

a) Term C hat den kleinsten Wert (\(-100\,000\)). b) Nur Term B ergibt ein positives Ergebnis. c) Der Betrag von Term B ist \(10\,000\).

- Gibt es ein Muster bei den Vorzeichen der Folgenglieder? - Was weißt du über gerade und ungerade Exponenten bei negativen Basen? - Bearbeite verschachtelte Ausdrücke wie in Teil c) immer von innen nach außen.

1. Erste fünf Glieder: \((-2)^1 = -2\) \((-2)^2 = 4\) \((-2)^3 = -8\) \((-2)^4 = 16\) \((-2)^5 = -32\) 2. Vorzeichenbestimmung: Das 15. Glied ist \((-2)^{15}\). Da der Exponent \(15\) ungerade ist, ist das Ergebnis negativ. Das 20. Glied ist \((-2)^{20}\). Da der Exponent \(20\) gerade ist, ist das Ergebnis positiv. 3. Auswertung von \(-(-2)^4\): Zuerst wird die Potenz \((-2)^4\) berechnet. Da der Exponent \(4\) gerade ist, ist \((-2)^4 = 16\). Danach wird das Minuszeichen vor der Klammer angewendet: \(-(16) = -16\). Das Vorzeichen ist negativ.

a) \(-2; 4; -8; 16; -32\). b) Das 15. Glied ist negativ (ungerader Exponent), das 20. Glied ist positiv (gerader Exponent). c) Das Vorzeichen ist negativ, da \(-(-2)^4 = -16\).

- Überlege dir, wie du Zahlen wie 4, 8, 16 und 32 als Zweierpotenzen schreiben kannst. - Nutze das Gesetz zum Potenzieren von Potenzen: \((a^n)^m = a^{n \cdot m}\). - Sobald alle Potenzen die gleiche Basis haben, musst du nur noch die Exponenten vergleichen.

1. Umwandlung in Potenzen zur Basis 2: (1) \((2^4)^3 = 2^{12}\), (2) \((2^2)^7 = 2^{14}\), (3) \(2^{11}\), (4) \((2^3)^4 = 2^{12}\), (5) \((2^5)^2 = 2^{10}\). 2. Vergleich der Exponenten: \(10 < 11 < 12 = 12 < 14\). 3. Bestimmung der Extremwerte: Der kleinste Wert ist \(2^{10}\) (entspricht \(32^2\)), der größte Wert ist \(2^{14}\) (entspricht \(4^7\)).

Der kleinste Wert ist \(32^2\) und der größte Wert ist \(4^7\).

- Schau dir genau an, auf welche Teile des Terms sich die hochgestellte Zahl (der Exponent) bezieht. - Gilt die Potenz für die ganze Klammer oder nur für den letzten Buchstaben? - Wie verrechnet man die Zahlen (Koeffizienten) miteinander, wenn sie multipliziert werden?

1. Fehleranalyse: Im ersten Schritt wurde die Klammer \((3x)^2\) falsch aufgelöst. Der Schüler hat nur die Variable \(x\) quadriert, aber den Koeffizienten \(3\) unverändert gelassen. Laut Potenzgesetz für Produkte muss jeder Faktor in der Klammer quadriert werden: \((3x)^2 = 3^2 \cdot x^2 = 9x^2\). 2. Korrekte Berechnung: \(4x^2 \cdot (3x)^2 = 4x^2 \cdot 9x^2\) 3. Zusammenfassen der Koeffizienten: \(4 \cdot 9 = 36\). 4. Zusammenfassen der Variablen: \(x^2 \cdot x^2 = x^{2+2} = x^4\). 5. Endergebnis: \(36x^4\).

Fehler: In der Klammer wurde nur das \(x\) quadriert, die \(3\) jedoch nicht. Korrektes Ergebnis: \(36x^4\).

- Gibt es einen Unterschied zwischen \((-3)^2\) und \(-3^2\)? Überlege, worauf sich das Quadrat bezieht. - Wenn bei einer Variablen kein Exponent steht, welche Zahl ist dann gemeint? - Was machst du mit den Hochzahlen, wenn die Basis gleich ist und die Zahlen multipliziert werden? - Gilt bei Division dieselbe Regel für die Hochzahlen wie bei der Multiplikation?

1. Zu a): \((-4)^2 = (-4) \cdot (-4) = 16\). Bei \(-4^2\) bezieht sich das Quadrat nur auf die 4, also \(-(4 \cdot 4) = -16\). \((-2)^3 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = -8\). 2. Zu b): Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem man die Exponenten addiert. Beachte, dass \(x = x^1\). Ergebnis: \(x^{2+5+1} = x^8\). 3. Zu c): Für \(y \ne 0\) werden Potenzen mit gleicher Basis dividiert, indem man die Exponenten subtrahiert. \((y^8 : y^3) = y^{8-3} = y^5\). Danach Multiplikation: \(y^5 \cdot y^2 = y^{5+2} = y^7\).

a) \(16\); \(-16\); \(-8\) b) \(x^8\) c) \(y^7\)

- Schreibe jeden Ausdruck zuerst ganz ausführlich als Produkt mit Malzeichen auf. - Worauf bezieht sich der Exponent, wenn keine Klammer da ist? Und worauf, wenn eine Klammer gesetzt wurde? - Zähle beim Zusammenfassen von Produkten einfach, wie oft der gleiche Buchstabe als Faktor vorkommt. - Probier doch mal aus, was passiert, wenn du für die Variablen kleine Zahlen einsetzt.

1. Vergleich der Produkte: \(5 \cdot a^2 = 5 \cdot a \cdot a\). Dagegen ist \((5 \cdot a)^2 = (5a) \cdot (5a) = 5 \cdot 5 \cdot a \cdot a = 25a^2\). Die Ausdrücke sind nicht gleich. 2. Ausschreiben der Faktoren: \(x^2 = x \cdot x\) und \(x^4 = x \cdot x \cdot x \cdot x\). Multiplikation ergibt \((x \cdot x) \cdot (x \cdot x \cdot x \cdot x) = x^6\). Die Behauptung ist falsch; die Exponenten müssen addiert, nicht multipliziert werden. 3. Ordnen der Faktoren nach Variablen: \(z \cdot z \cdot z \cdot w \cdot w \cdot w\). Zählen der Häufigkeit ergibt drei Faktoren \(z\) und drei Faktoren \(w\). Ergebnis: \(z^3 \cdot w^3\) oder \(z^3w^3\).

1) Nein, \(5a^2 = 5 \cdot a \cdot a\), aber \((5a)^2 = 25a^2\). 2) Falsch, \(x^2 \cdot x^4 = x^6\). 3) \(z^3w^3\).

- Was ist der Unterschied, wenn eine Zahl mit in der Klammer einer Potenz steht oder davor? - Beachte die Rechenregel „Potenz vor Punktrechnung“. - Setze für die Variable die gegebene Zahl ein und berechne erst die Potenz, falls keine Klammern etwas anderes vorschreiben.

1. Der Faktor \((3y)\) wird zweimal mit sich selbst multipliziert, was \((3y)^2\) ergibt. Ohne Klammern berechnet man \(3 \cdot 3 \cdot y \cdot y = 9y^2\). 2. Einsetzen von \(x = 3\): Für \(2 \cdot x^3\) ergibt sich \(2 \cdot 3^3 = 2 \cdot 27 = 54\). Für \((2 \cdot x)^3\) ergibt sich \((2 \cdot 3)^3 = 6^3 = 216\). 3. Zusammenfassen der Produkte zu Potenzen: \(m\) wird dreimal multipliziert, \(n\) zweimal. Ergebnis: \(m^3 + n^2\).

1) \((3y)^2 = 9y^2\) 2) \(54\) und \(216\) 3) \(m^3 + n^2\)

- Überlege dir, welche Zahl angibt, wie oft etwas addiert wird. - Überlege dir, welche Zahl angibt, wie oft etwas multipliziert wird. - Versuche, für beide Terme die jeweils andere Schreibweise zu finden. - Was passiert, wenn du für \(x\) eine einfache Zahl einsetzt, zum Beispiel \(x = 2\)? Ergibt das bei beiden Seiten denselben Wert?

1. Umwandlung von \(3x^2\) in die ausführliche Schreibweise: Der positive ganzzahlige Koeffizient \(3\) bedeutet hier eine dreifache Addition, der Exponent \(2\) eine zweifache Multiplikation der Basis. Somit gilt \(3x^2 = x \cdot x + x \cdot x + x \cdot x\). 2. Umwandlung von \(x \cdot x \cdot x + x \cdot x \cdot x\) in die Kurzschreibweise: Das Produkt \(x \cdot x \cdot x\) ist \(x^3\). Da es zweimal addiert wird, ergibt sich \(2x^3\). 3. Vergleich und Fehleranalyse: Da \(3x^2 \neq 2x^3\), ist Linas Aussage falsch. Sie hat die Bedeutung von Koeffizient und Exponent vertauscht: Der positive ganzzahlige Koeffizient \(3\) gibt hier die Anzahl gleicher Summanden an, der Exponent \(2\) die Anzahl gleicher Faktoren.

Lina hat nicht recht. Der Term \(3x^2\) ist ausgeschrieben \(x \cdot x + x \cdot x + x \cdot x\). Der Term \(x \cdot x \cdot x + x \cdot x \cdot x\) ist kurz geschrieben \(2x^3\). Lina hat den positiven ganzzahligen Koeffizienten \(3\) (hier: Anzahl gleicher Summanden) und den Exponenten \(2\) (Anzahl gleicher Faktoren) miteinander vertauscht.

- Was wird bei \(T_1\) zuerst gerechnet, was bei \(T_2\)? Achte auf die Klammern. - Äquivalent bedeutet, dass die Terme für jede beliebige Zahl, die man einsetzt, das gleiche Ergebnis liefern müssen. - Skizziere dir für den dritten Teil ein Quadrat und beschrifte die Seiten, nachdem sie verlängert wurden. - Wie berechnet man allgemein den Flächeninhalt eines Quadrats, wenn man die Seitenlänge kennt?

1. \(T_1\): Addiere zuerst \(n\) und \(3\) und quadriere anschließend das Ergebnis (Quadrat der Summe). \(T_2\): Quadriere zuerst \(n\) und die Zahl \(3\) getrennt und addiere dann die Ergebnisse (Summe der Quadrate). 2. Für \(n = 2\): \(T_1 = (2 + 3)^2 = 5^2 = 25\); \(T_2 = 2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13\). Für \(n = 5\): \(T_1 = (5 + 3)^2 = 8^2 = 64\); \(T_2 = 5^2 + 3^2 = 25 + 9 = 34\). Da die Ergebnisse für gleiche Einsetzungen unterschiedlich sind, sind die Terme nicht äquivalent. 3. Die neue Seitenlänge des Quadrats beträgt \((n + 3)\). Der Flächeninhalt eines Quadrats berechnet sich durch \(\text{Seite} \cdot \text{Seite} = \text{Seite}^2\). Somit beschreibt Term \(T_1 = (n + 3)^2\) den neuen Flächeninhalt.

1. \(T_1\): Quadrat der Summe von \(n\) und \(3\); \(T_2\): Summe der Quadrate von \(n\) und \(3\). 2. Für \(n=2\): \(T_1=25;\ T_2=13\). Für \(n=5\): \(T_1=64;\ T_2=34\). Die Terme sind nicht äquivalent. 3. Term \(T_1\); der Flächeninhalt beträgt \((n+3)^2\,\text{cm}^2\), da die neue Seitenlänge als Ganzes quadriert werden muss.

- Überprüfe bei jedem Teilterm zuerst, ob das Minuszeichen durch den Exponenten verschwindet oder erhalten bleibt. - Erinnere dich an die Potenzgesetze für die Multiplikation und Division von Potenzen mit gleicher Basis. - Ein Minuszeichen vor einer Potenz kannst du dir wie den Faktor \(-1\) vorstellen. - Wann ist eine Potenz einer negativen Basis positiv, wann ist sie negativ?

1. Teilaufgabe a): Da der Exponent \(2\) gerade ist, gilt \((-a)^2 = a^2\). Der Term wird zu \(a^2 \cdot a^4 = a^{2+4} = a^6\). 2. Teilaufgabe b): Da der Exponent \(3\) ungerade ist, gilt \((-a)^3 = -a^3\). Der Term wird zu \(-a^3 \cdot a^3 = -(a^3 \cdot a^3) = -a^{3+3} = -a^6\). 3. Teilaufgabe c): Da der Exponent \(4\) gerade ist, gilt \((-x)^4 = x^4\). Der Term wird zu \(x^7 : x^4 = x^{7-4} = x^3\). 4. Teilaufgabe d): Hier haben beide Faktoren die gleiche Basis \((-y)\). Die Exponenten werden addiert: \((-y)^{2+3} = (-y)^5\). Da \(5\) ungerade ist, lässt sich dies zu \(-y^5\) vereinfachen. Alternativ: \(y^2 \cdot (-y^3) = -y^5\).

a) \(a^6\) b) \(-a^6\) c) \(x^3\) für \(x\neq0\) d) \(-y^5\)

- Probiere verschiedene Arten von Zahlen aus: positive Zahlen, negative Zahlen und die Null. - Welchen Einfluss hat ein ungerader Exponent im Vergleich zu einem geraden Exponenten auf das Vorzeichen? - Überlege dir, was der kleinstmögliche Wert ist, den ein Quadrat \(x^2\) annehmen kann. - Kannst du eine Zahl für die Variable finden, die den positiven Teil des Terms „überwiegt“?

1. Term \(a^2 + 5\): Da \(a^2\) für jede rationale Zahl \(\ge 0\) ist, ist \(a^2 + 5\) immer mindestens 5. Ein negatives Ergebnis ist nicht möglich. 2. Term \((a + b)^2\): Ein Term der Form \((\dots)^2\) ist das Quadrat einer rationalen Zahl. Quadrate sind niemals negativ (\(\ge 0\)). Ein negatives Ergebnis ist nicht möglich. 3. Term \(a^3\): Bei ungeraden Exponenten bleibt das Vorzeichen der Basis erhalten. Setzt man für \(a\) eine negative Zahl ein (z. B. \(a = -2\)), so ist \((-2)^3 = -8\). Ein negatives Ergebnis ist möglich. 4. Term \(a^2 - 10\): Wenn \(a^2\) kleiner als 10 ist (z. B. \(a = 0\)), ergibt sich \(0 - 10 = -10\). Ein negatives Ergebnis ist möglich. 5. Term \(-(a - 2)^2 - 1\): Der Teil \((a - 2)^2\) ist immer \(\ge 0\). Durch das Minuszeichen davor wird er \(\le 0\). Wenn man davon noch 1 subtrahiert, ist der Wert immer \(\le -1\). Ein negatives Ergebnis ist also nicht nur möglich, sondern sogar immer gegeben.

a) Nein, das Ergebnis ist immer \(\ge 5\). b) Nein, ein Quadrat ist niemals negativ. c) Ja, z. B. für \(a = -1\) ist \((-1)^3 = -1\). d) Ja, z. B. für \(a = 0\) ist \(0^2 - 10 = -10\). e) Ja, der Term ist für jede Einsetzung negativ (immer \(\le -1\)).

- Vergleiche die Wirkung gerader und ungerader Exponenten auf das Vorzeichen. - Berechne in Teil c) zuerst beide Ausgangswerte. - Was passiert mit der Differenz zweier Zahlen, wenn zu beiden dieselbe Konstante addiert wird?

1. \(A(3)=3^4-5 \cdot 3^2=81-45=36\) und \(A(-3)=(-3)^4-5 \cdot (-3)^2=81-45=36\). 2. \(B(3)=3^3-3=24\) und \(B(-3)=(-3)^3-(-3)=-24\). 3. In \(A\) treten nur gerade Exponenten auf. Daher gilt \(A(-z)=A(z)\). 4. In \(B\) treten nur ungerade Exponenten auf. Deshalb gilt \(B(-z)=-B(z)\); die Werte sind im Allgemeinen Gegenzahlen. 5. \(B(2)=8-2=6\) und \(B(-2)=-8+2=-6\). Addiert man zu beiden Werten dieselbe Konstante \(c\), erhält man \(6+c\) und \(-6+c\). Diese können nicht gleich sein, weil daraus \(6=-6\) folgen würde.

a) \(A(3)=A(-3)=36\); \(B(3)=24\); \(B(-3)=-24\). b) \(A(-z)=A(z)\), weil nur gerade Exponenten vorkommen; \(B(-z)=-B(z)\), weil nur ungerade Exponenten vorkommen. c) \(B(2)=6\) und \(B(-2)=-6\). Durch Addition derselben konstanten Zahl werden die beiden Werte nicht gleich.

- Wie hängen die Exponenten der Faktoren mit dem Exponenten des Ergebnisses zusammen? - Kannst du eine kleine Gleichung für die Exponenten aufstellen? - Achte bei Teilaufgabe c) besonders auf das Vorzeichen des Ergebnisses. - In Teilaufgabe d) musst du zwei kleine Terme mit der Variablen \(k\) addieren.

1. Anwendung der Regel für die Multiplikation von Potenzen gleicher Basis: Die Summe der Exponenten der Faktoren muss dem Exponenten des Ergebnisses entsprechen. 2. In a): Aufstellen der Gleichung \(7 + \Box = 12\), woraus \(\Box = 5\) folgt. 3. In b): Vergleich der Exponenten \(n + 4\) und \(n + \Box\), woraus \(\Box = 4\) folgt. 4. In c): Der fehlende Faktor muss den Koeffizienten \(-1\) und die Potenz \(y^5\) enthalten, denn \(1 \cdot (-1) = -1\) und \(3 + 5 = 8\). Daher gilt \(\Box = -y^5\). 5. In d): Addition der Exponententerme \((k+2) + (k-1) = 2k + 1\), also \(\Box = 2k+1\).

a) \(5\); b) \(4\); c) \(-y^5\); d) \(2k+1\)

- Überlege dir bei den Lückenaufgaben: Mit welcher Zahl muss ich multiplizieren, um auf das Ergebnis zu kommen? - Wie viel fehlt im Exponenten noch bis zum Ergebnis? - Bei Teil d hilft es, die Potenzen erst einmal als lange Kette von Multiplikationen auszuschreiben. - Was passiert mit den Exponenten, wenn die Basis eine Variable ist? Die Regel bleibt dieselbe.

1. Berechnung des fehlenden Koeffizienten \(12 : 3 = 4\) und des Exponenten \(9 - 4 = 5\): \(4x^5\). 2. Berechnung des fehlenden Koeffizienten \(20 : (-5) = -4\) und des Exponenten \(3 - 2 = 1\): \(-4a\). 3. Anwendung des Potenzgesetzes (Exponenten addieren): \(y^{k+5}\). 4. Überprüfung der Aussage: \(2^3 \cdot 2^2 = 8 \cdot 4 = 32\). Nach Pauls Regel: \(2^{3 \cdot 2} = 2^6 = 64\). Da \(32 \neq 64\), ist die Aussage falsch. Korrektur: Die Exponenten müssen addiert werden (\(2^{3+2} = 2^5 = 32\)).

a) \(4x^5\); b) \(-4a\); c) \(y^{k+5}\); d) Paul hat unrecht; die Exponenten werden addiert, nicht multipliziert. \(2^3 \cdot 2^2 = 2^5 = 32\), aber \(2^{3 \cdot 2} = 2^6 = 64\).

- Bei Brüchen hilft es oft, vor dem Multiplizieren zu kürzen. - Wenn ein Exponent ein Buchstabe wie \(n\) oder \(k\) ist, wende die Potenzregel für die Addition von Exponenten einfach formal an. - Um eine Lücke in einer Multiplikation zu finden, kannst du die Umkehroperation verwenden. - Vergiss nicht, dass ein Minuszeichen vor einer Klammer wie der Faktor \(-1\) wirkt.

1. Multiplikation der Brüche: \(-\frac{4}{7} \cdot \frac{14}{8} = -\frac{4 \cdot 14}{7 \cdot 8} = -\frac{56}{56} = -1\). Zusammenfassen der Variablen: \(x^{5+2} = x^7\) und \(y^{n+3}\). Ergebnis: \(-x^7y^{n+3}\). 2. Bestimmung des Koeffizienten durch Division: \(12 : (-3) = -4\). Bestimmung der Exponenten durch Subtraktion: \(a^{5-2} = a^3\) und \(b^{7-4} = b^3\). Der fehlende Term ist \(-4a^3b^3\). 3. Multiplikation der Koeffizienten \(-1 \cdot 1{,}2 = -1{,}2\). Addition der Exponenten: \(u^{3+k}\) und \(v^{2+1} = v^3\). Ergebnis: \(-1{,}2u^{k+3}v^3\).

1) \(-x^7y^{n+3}\) 2) \(-4a^3b^3\) 3) \(-1{,}2u^{k+3}v^3\)

- Überlege dir zuerst, mit welcher Zahl du die \(2\) multiplizieren musst, um auf \(-10\) zu kommen. - Welchen Exponenten muss die Variable \(b\) haben, damit beim Addieren der Exponenten \(n+3\) entsteht? - Du kannst das Ergebnis überprüfen, indem du die Klammer mit deinem gefundenen Term füllst und nachrechnest.

1. Bestimmung des Koeffizienten: Der Zielkoeffizient \(-10\) geteilt durch den gegebenen Koeffizienten \(2\) ergibt \(-5\). 2. Bestimmung des Exponenten: Nach dem Potenzgesetz \(b^n \cdot b^x = b^{n+x}\) muss die Summe der Exponenten \(n+3\) ergeben. Aus \(n + x = n + 3\) folgt \(x = 3\). 3. Der gesuchte Term ist somit \(-5b^3\).

Der fehlende Term ist \(-5b^3\).

- Erinnere dich an die Formel für das Volumen eines Quaders. - Sortiere den Term so, dass alle Zahlen vorne stehen und gleiche Variablen nebeneinander. - Überlege für b) und c), wie oft der Faktor 2 in die Multiplikation einfließt. - Musst du für c) alles neu rechnen oder kannst du das Ergebnis aus a) nutzen?

1. Berechnung des Volumens \(V = a \cdot b \cdot c\): Einsetzen der Terme ergibt \((2x^2y) \cdot (1{,}5xy^2) \cdot (4x^3)\). Multiplikation der Koeffizienten \(2 \cdot 1{,}5 \cdot 4 = 12\). Zusammenfassen der Variablen durch Addition der Exponenten: \(x^{2+1+3} = x^6\) und \(y^{1+2} = y^3\). Das Volumen ist \(V = 12x^6y^3\). 2. Verdopplung von \(c\): Die neue Kante ist \(c_{\text{neu}} = 2 \cdot 4x^3 = 8x^3\). Das neue Volumen \(V_{\text{neu}}\) berechnet sich zu \(12x^6y^3 \cdot 2 = 24x^6y^3\). Das Volumen verdoppelt sich. 3. Verdopplung aller Kanten: Jede Kante erhält den Faktor \(2\). Für das Volumen ergibt sich der Gesamtfaktor \(2 \cdot 2 \cdot 2 = 8\). Das neue Volumen ist \(8 \cdot 12x^6y^3 = 96x^6y^3\). Das Volumen verachtfacht sich.

a) \(V = 12x^6y^3\) b) Das Volumen verdoppelt sich auf \(24x^6y^3\). c) Das Volumen verachtfacht sich auf \(96x^6y^3\).

- Achte besonders auf den Unterschied zwischen dem Multiplizieren einer Zahl mit dem Exponenten und dem Potenzieren der Zahl. - Überlege dir, welche Rechenregel für die Exponenten gilt, wenn eine Potenz noch einmal potenziert wird. - Prüfe bei Brüchen, ob sowohl der Zähler als auch der Nenner potenziert wurden.

1. Überprüfung von a): Der Koeffizient \(2\) muss potenziert werden (\(2^3 = 8\)), nicht mit dem Exponenten multipliziert (\(2 \cdot 3 = 6\)). Das korrekte Ergebnis ist \(8z^{12}\). 2. Überprüfung von b): Das Quadrat von \(-5\) ist \(25\), und die Exponenten werden multipliziert (\(2 \cdot 2 = 4\)). Das Ergebnis ist richtig. 3. Überprüfung von c): Beim Potenzieren einer Potenz müssen die Exponenten multipliziert werden (\(3 \cdot 2 = 6\)), nicht addiert. Das korrekte Ergebnis ist \(a^6\). 4. Überprüfung von d): Der Bruch wird quadriert (\(\frac{2^2}{3^2} = \frac{4}{9}\)) und die Variable ebenfalls. Das Ergebnis ist richtig.

a) Falsch (richtig ist \(8z^{12}\); der Koeffizient wurde multipliziert statt potenziert). b) Richtig. c) Falsch (richtig ist \(a^6\); die Exponenten wurden addiert statt multipliziert). d) Richtig.

- Denke daran, dass du beim Multiplizieren von Potenzen mit derselben Basis die Exponenten addieren musst. - Vergiss nicht, die Vorzeichenregeln bei der Multiplikation der Zahlen (Koeffizienten) zu beachten. - Behandle jede Variable einzeln nacheinander. - Wenn ein Exponent eine Summe ist (wie \(n+1\)), klammere ihn beim Addieren gedanklich ein.

1. Multiplikation der Koeffizienten: \(1{,}2 \cdot (-5) = -6\). 2. Zusammenfassen der Potenzen von \(a\): \(a^n \cdot a^{n+1} = a^{n+(n+1)} = a^{2n+1}\). 3. Zusammenfassen der Potenzen von \(b\): \(b^k \cdot b^{3k} = b^{k+3k} = b^{4k}\). Ergebnis für 1): \(-6 a^{2n+1} b^{4k}\). 4. Multiplikation der Koeffizienten: \(-\frac{2}{5} \cdot \frac{15}{4} = -\frac{2 \cdot 15}{5 \cdot 4} = -\frac{30}{20} = -1{,}5\). 5. Zusammenfassen der Potenzen von \(x\): \(x^{m-1} \cdot x^3 = x^{(m-1)+3} = x^{m+2}\). 6. Zusammenfassen der Potenzen von \(y\): \(y^2 \cdot y^{m+1} = y^{2+(m+1)} = y^{m+3}\). Ergebnis für 2): \(-1{,}5 x^{m+2} y^{m+3}\).

1) \(-6 a^{2n+1} b^{4k}\); 2) \(-1{,}5 x^{m+2} y^{m+3}\)

- Vergleiche die Endergebnisse aus Teil a) sorgfältig. - Erinnere dich an die Vorzeichenregeln beim Potenzieren von negativen Zahlen. - Welche Art von Zahlen (gerade oder ungerade) führt bei einer negativen Basis zu einem negativen Ergebnis?

1. Vereinfachung von Term \(A\): \((-2)^4 \cdot (a^3)^4 = 16a^{12}\). 2. Vereinfachung von Term \(B\): \((-4)^2 \cdot (a^6)^2 = 16a^{12}\). Feststellung: Beide Terme sind äquivalent. 3. Begründung für das positive Vorzeichen: Da der äußere Exponent \(4\) eine gerade Zahl ist, ergibt das Potenzieren einer negativen Basis (\(-2\)) ein positives Ergebnis. 4. Anpassung von Term \(A\): Um einen negativen Koeffizienten zu erhalten, muss der äußere Exponent ungerade sein. Wählt man beispielsweise den Exponenten \(3\), lautet der neue Term \(A_{\text{neu}} = (-2a^3)^3\). 5. Berechnung des neuen Ergebnisses: \((-2)^3 \cdot (a^3)^3 = -8a^9\).

a) \(A = 16a^{12}\) und \(B = 16a^{12}\). Die Terme sind äquivalent. b) Da der äußere Exponent \(4\) gerade ist, führt die negative Basis zu einem positiven Koeffizienten. c) Beispiel: \((-2a^3)^3 = -8a^9\) (Jeder ungerade äußere Exponent ist möglich).

- Was passiert mit dem Minuszeichen bei einem geraden Exponenten im Vergleich zu einem ungeraden Exponenten? - Berechne die Terme Schritt für Schritt von innen nach außen. - Vergleiche die Endergebnisse der beiden Rechenwege.

1. Vereinfachung von \(T_1\): Zuerst den inneren Term \((-x)^2\) berechnen, was \(x^2\) ergibt (da das Quadrat einer negativen Basis positiv ist). Dann die äußere Potenz anwenden: \((x^2)^3 = x^{2 \cdot 3} = x^6\). 2. Vereinfachung von \(T_2\): Zuerst den inneren Term \((-x)^3\) berechnen, was \(-x^3\) ergibt (da eine ungerade Potenz das negative Vorzeichen beibehält). Dann die äußere Potenz anwenden: \((-x^3)^2 = (-1)^2 \cdot (x^3)^2 = 1 \cdot x^6 = x^6\). 3. Vergleich: Beide Terme ergeben \(x^6\). Die Aussage des Schülers ist korrekt.

Die Aussage ist wahr, da beide Terme vereinfacht \(x^6\) ergeben.

- Erinnere dich daran, dass die Division durch einen Bruch dasselbe ist wie die Multiplikation mit seinem Kehrwert. - Vergiss nicht, dass auch die Variable im Divisor steht und somit die Potenzen in der Klammer verringert. - Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn du ein positives Glied durch ein negatives teilst? - Prüfe zusätzlich, für welche Variablenwerte der Divisor null würde.

1. Division durch den Bruchterm \(\frac{6}{5}z^2\) entspricht der Multiplikation mit dem Kehrwert \(\frac{5}{6z^2}\). Für die Koeffizienten gilt: \(-12 \cdot \frac{5}{6} = -10\); \(18 \cdot \frac{5}{6} = 15\); \(-6 \cdot \frac{5}{6} = -5\). Für die Potenzen gilt: \(z^6 : z^2 = z^4\); \(z^4 : z^2 = z^2\); \(z^2 : z^2 = 1\). Das Ergebnis ist \(-10z^4 + 15z^2 - 5\). 2. Division durch \(-\frac{1}{4}x\) entspricht der Multiplikation mit \(-4\) und Division durch \(x\). Koeffizienten: \(\frac{3}{4} \cdot (-4) = -3\); \(-\frac{1}{2} \cdot (-4) = 2\); \(1 \cdot (-4) = -4\). Potenzen: \(x^3 : x = x^2\); \(x^2 : x = x\); \(x : x = 1\). Das Ergebnis ist \(-3x^2 + 2x - 4\). Die Umformungen gelten für \(z \neq 0\) bzw. \(x \neq 0\).

1) \( -10z^4 + 15z^2 - 5 \) 2) \( -3x^2 + 2x - 4 \) Die Umformungen gelten für \(z \neq 0\) bzw. \(x \neq 0\).

- Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn du eine negative Zahl durch eine negative Zahl teilst? - Überlege dir, welchen Exponenten die Variable im Divisor hat, wenn dort kein Exponent explizit geschrieben steht. - Du kannst dein Ergebnis überprüfen, indem du es am Ende wieder mit dem Divisor multiplizierst. - Prüfe zusätzlich, für welche Variablenwerte der Divisor null würde.

1. Division des ersten Glieds unter Beachtung der Vorzeichen: \(-12a^3 : (-6a) = 2a^2\). 2. Division des zweiten Glieds: \(18a^2 : (-6a) = -3a\). 3. Division des dritten Glieds: \(-6a : (-6a) = 1\). 4. Kombination der Terme zum Endergebnis: \(2a^2 - 3a + 1\). Die Umformung gilt für \(a \neq 0\).

\(2a^2 - 3a + 1\) Die Umformung gilt für \(a \neq 0\).

- Was passiert mit den Hochzahlen (Exponenten), wenn man Potenzen mit gleicher Basis teilt? - Achte besonders auf das Vorzeichen des Divisors. Was passiert, wenn du eine negative Zahl durch eine negative Zahl teilst? - Dividiere zuerst die Zahlen und kümmere dich danach um die Buchstaben. - Denk daran, dass vor dem ersten \(p^5\) eine unsichtbare \(1\) als Koeffizient steht. - Prüfe zusätzlich, für welche Variablenwerte der Divisor null würde.

1. Division jedes Summanden des Polynoms durch das Monom \((-0{,}5p^2)\) 2. Division der Koeffizienten: \(1 : (-0{,}5) = -2\); \(-2{,}5 : (-0{,}5) = 5\); \(0{,}5 : (-0{,}5) = -1\) 3. Division der Variablenpotenzen durch Subtraktion der Exponenten: \(p^5 : p^2 = p^3\); \(p^4 : p^2 = p^2\); \(p^3 : p^2 = p^1 = p\) 4. Kombination der Ergebnisse unter Beachtung der Vorzeichen: \(-2p^3 + 5p^2 - p\) Die Umformung gilt für \(p \neq 0\).

\(-2p^3 + 5p^2 - p\) Die Umformung gilt für \(p \neq 0\).

- Gibt es in der Klammer Terme, die du zusammenrechnen kannst, bevor du mit der Division beginnst? - Was passiert mit einer Variablen, wenn sie durch sich selbst geteilt wird (zum Beispiel \(a : a\))? - Gehe Schritt für Schritt vor und bestimme für jedes Glied zuerst das Vorzeichen, dann die Zahl und zuletzt die Variable mit ihrem neuen Exponenten. - Achte darauf, dass beim Zusammenfassen in der Klammer nur Glieder mit derselben Potenz der Variablen kombiniert werden dürfen. - Prüfe zusätzlich, für welche Variablenwerte der Divisor null würde.

1. Zusammenfassen der gleichartigen Glieder innerhalb der Klammer: \(0{,}5a^2 - 1{,}1a^2 = -0{,}6a^2\). Der Term vereinfacht sich zu \((-0{,}2a^3 - 0{,}6a^2 + 0{,}04a) : (-0{,}2a)\). 2. Division jedes einzelnen Gliedes durch \(-0{,}2a\). 3. Berechnung der Koeffizienten: \(-0{,}2 : (-0{,}2) = 1\), \(-0{,}6 : (-0{,}2) = 3\) und \(0{,}04 : (-0{,}2) = -0{,}2\). 4. Anwendung der Potenzgesetze: \(a^3 : a = a^2\), \(a^2 : a = a\) und \(a : a = 1\). 5. Das Endergebnis lautet: \(a^2 + 3a - 0{,}2\). Die Umformung gilt für \(a \neq 0\).

\(a^2 + 3a - 0{,}2\) Die Umformung gilt für \(a \neq 0\).

- Wie geht man vor, wenn eine Summe oder Differenz durch einen Term geteilt wird? - Erinnere dich an die Regeln für die Division von Brüchen: Man multipliziert mit dem Kehrwert. - Wie verändern sich die Exponenten der Variablen bei der Division? - Behandle die Koeffizienten und die Variablen (x und y) nacheinander für jedes Glied. - Prüfe zusätzlich, für welche Variablenwerte der Divisor null würde.

1. Division des ersten Glieds: \(6x^4y^3 : \frac{3}{2}x^2y = 6 \cdot \frac{2}{3} \cdot x^{4-2}y^{3-1} = 4x^2y^2\) 2. Division des zweiten Glieds: \(-\frac{3}{4}x^3y^2 : \frac{3}{2}x^2y = -\frac{3}{4} \cdot \frac{2}{3} \cdot x^{3-2}y^{2-1} = -\frac{1}{2}xy\) 3. Division des dritten Glieds: \(\frac{1}{2}x^2y^4 : \frac{3}{2}x^2y = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot x^{2-2}y^{4-1} = \frac{1}{3}y^3\) 4. Zusammenführung der Ergebnisse: \(4x^2y^2 - \frac{1}{2}xy + \frac{1}{3}y^3\) Die Umformung gilt für \(x \neq 0\) und \(y \neq 0\).

\(4x^2y^2 - \frac{1}{2}xy + \frac{1}{3}y^3\) Die Umformung gilt für \(x \neq 0\) und \(y \neq 0\).

- Berechne zuerst die Werte für die ersten vier oder fünf Glieder. Siehst du eine Regel? - Wie beeinflusst das Hinzufügen eines neuen Faktors das vorherige Ergebnis? - Unterscheide zwischen Gliedern an geraden und ungeraden Positionen.

1. Berechnung der ersten Werte: \(a_1 = -2\); \(a_2 = (-2) \cdot (-0{,}5) = 1\); \(a_3 = 1 \cdot (-2) = -2\); \(a_4 = (-2) \cdot (-0{,}5) = 1\). 2. Erkennen des Musters: Glieder mit ungeradem Index haben den Wert \(-2\), Glieder mit geradem Index haben den Wert \(1\). 3. Ergebnis für a): Das 6. Glied hat einen geraden Index, also ist das Vorzeichen positiv und der Wert \(1\). 4. Ergebnis für b): Das 7. Glied hat einen ungeraden Index, also ist das Vorzeichen negativ und der Wert \(-2\). 5. Ergebnis für c): Da 100 eine gerade Zahl ist, entspricht der Wert des 100. Gliedes dem Muster der geraden Indizes, also \(1\). Der Betrag ist \(|1| = 1\).

a) Vorzeichen: positiv, Wert: \(1\) b) Vorzeichen: negativ, Wert: \(-2\) c) Der Betrag ist \(1\). Da alle Glieder mit gerader Nummer den Wert \(1\) haben (wegen des periodischen Musters \(-2, 1, -2, 1, \dots\)), ist auch der Wert des 100. Gliedes \(1\).

- Erinnere dich daran, dass eine positive Zahl immer größer ist als eine negative Zahl. - Probiere verschiedene Arten von Zahlen aus (kleiner als 1, größer als 1), um eine allgemeine Aussage zu prüfen. - Wie verhält sich das Ergebnis einer Multiplikation, wenn man mit einer Zahl zwischen 0 und 1 multipliziert?

1. Für \(x = -3\): \(x^2 = (-3)^2 = 9\) und \(x^3 = (-3)^3 = -27\). 2. Vergleich für negative \(x\): Da \(x\) negativ ist, ist \(x^2\) (negativ \(\cdot\) negativ) immer positiv. \(x^3\) (negativ \(\cdot\) negativ \(\cdot\) negativ) ist immer negativ. Da jede positive Zahl größer als jede negative Zahl ist, gilt für negative \(x\): \(x^2 > x^3\). 3. Überprüfung für positive \(x\): Für \(x = 0{,}5\): \(x^2 = 0{,}25\) und \(x^3 = 0{,}125\). Hier ist \(x^2 > x^3\). Für \(x = 2\): \(x^2 = 4\) und \(x^3 = 8\). Hier ist \(x^3 > x^2\). 4. Schlussfolgerung: Die Beobachtung gilt nicht für alle positiven Zahlen. Wenn \(x > 1\), ist \(x^3\) größer als \(x^2\).

a) \(x^2 = 9\); \(x^3 = -27\). b) \(x^2\) ist immer größer, da es für negative \(x\) positiv ist, während \(x^3\) negativ bleibt. c) Nein. Für \(x = 0{,}5\) ist \(x^2 (0{,}25) > x^3 (0{,}125)\), aber für \(x = 2\) ist \(x^3 (8) > x^2 (4)\).

- Setze den Wert \(a = 3\) ein und achte auf die Reihenfolge der Rechenschritte. - Was wird zuerst berechnet, wenn eine Klammer vorhanden ist? - Was hat Vorrang: die Multiplikation oder die Potenz?

1. Berechnung für a): \(T_1 = (2 \cdot 3)^3 = 6^3 = 6 \cdot 6 \cdot 6 = 216\). \(T_2 = 2 \cdot 3^3 = 2 \cdot (3 \cdot 3 \cdot 3) = 2 \cdot 27 = 54\). 2. Erklärung des Unterschieds: In Term \(T_1\) erzwingt die Klammer, dass zuerst die Multiplikation \(2 \cdot a\) ausgeführt wird. Das Ergebnis dieser Multiplikation wird anschließend potenziert. 3. In Term \(T_2\) gibt es keine Klammer. Nach der Vorrangregel „Potenz vor Punkt“ muss zuerst \(a^3\) berechnet werden. Erst danach wird dieses Ergebnis mit \(2\) multipliziert.

a) \(T_1 = 216\); \(T_2 = 54\). b) In \(T_1\) wird erst multipliziert und dann potenziert (wegen der Klammer). In \(T_2\) wird erst potenziert und dann multipliziert (Regel: Potenz vor Punkt).

- Kannst du Zahlen und Variablen beim Multiplizieren getrennt betrachten? - Achte bei b) auf die Klammer. Was musst du zuerst ausrechnen? - Wann darf man Glieder durch Addition oder Subtraktion zusammenfassen? Schau dir die Variablen und ihre Exponenten genau an.

1. Zu a): Koeffizienten multiplizieren: \(5 \cdot 3 = 15\). Potenzen mit gleicher Basis zusammenfassen: \(a^3 \cdot a^2 = a^5\). Ergebnis: \(15a^5\). 2. Zu b): Für \(b \ne 0\) zuerst den Ausdruck in der Klammer berechnen: \(3b^2 \cdot 2b = 6b^3\). Dann die Division: \(18b^6 : 6b^3\). Koeffizienten dividieren: \(18 : 6 = 3\). Potenzen subtrahieren: \(b^{6-3} = b^3\). Ergebnis: \(3b^3\). 3. Zu c): Da alle Glieder dieselbe Potenz \(z^4\) enthalten, können die Koeffizienten addiert/subtrahiert werden: \((7 - 2 + 1) \cdot z^4 = 6z^4\).

a) \(15a^5\) b) \(3b^3\) c) \(6z^4\)

- Betrachte die Zahlen, die Basis \(a\) und die Basis \(b\) nacheinander als separate kleine Rätsel. - Welche Zahl muss mit \(4\) multipliziert werden, damit \(-12\) entsteht? - Stelle eine einfache Gleichung für die Exponenten der Basis \(b\) auf. - Überprüfe am Ende, ob dein Ergebnis Sinn ergibt, indem du die linke Seite mit deinen Werten neu berechnest.

1. Vergleich der Koeffizienten: Die Gleichung für die Zahlen lautet \(4 \cdot \Box = -12\). Division durch \(4\) ergibt \(\Box = -3\). 2. Überprüfung der \(a\)-Potenzen: \(a^k \cdot a^{k+1} = a^{k+k+1} = a^{2k+1}\). Dies stimmt mit der rechten Seite der Gleichung überein. 3. Vergleich der \(b\)-Potenzen: Auf der linken Seite ergibt sich \(b^2 \cdot b^n = b^{2+n}\). Dies muss gleich \(b^7\) sein. 4. Berechnung von \(n\): Aus \(2 + n = 7\) folgt durch Subtraktion von \(2\) das Ergebnis \(n = 5\).

\(\Box = -3\) und \(n = 5\)

- Bearbeite zuerst die beiden Klammern einzeln, indem du die äußeren Exponenten auf jeden Teil in der Klammer anwendest. - Was passiert mit dem Minuszeichen, wenn die ganze Klammer hoch 4 genommen wird? - Erinnere dich daran, dass eine Variable ohne sichtbaren Exponenten (wie bei \(y\)) eigentlich den Exponenten 1 hat. - Multipliziere am Ende die Zahlenwerte und die gleichen Variablen schrittweise.

1. Potenzieren des ersten Faktors: \((2xy^3)^3 = 2^3 \cdot x^3 \cdot (y^3)^3 = 8x^3y^9\). 2. Potenzieren des zweiten Faktors: Da der Exponent 4 gerade ist, fällt das negative Vorzeichen weg: \((-0{,}5x^2y)^4 = (-0{,}5)^4 \cdot (x^2)^4 \cdot y^4 = 0{,}0625x^8y^4\). 3. Multiplikation der Ergebnisse: Zuerst die Koeffizienten multiplizieren: \(8 \cdot 0{,}0625 = 0{,}5\). 4. Zusammenfassen der Variablen durch Addition der Exponenten: \(x^3 \cdot x^8 = x^{11}\) und \(y^9 \cdot y^4 = y^{13}\). 5. Endergebnis: \(0{,}5x^{11}y^{13}\).

\(0{,}5x^{11}y^{13}\)

- Welche Vorzeichen ergeben sich, wenn eine negative Zahl mit einer ungeraden oder einer geraden Zahl potenziert wird? - Wie verarbeitest du Potenzen, die selbst noch einmal potenziert werden? - Was passiert mit den Exponenten, wenn du Potenzen mit der gleichen Basis multiplizierst? - Kannst du die Zahlen (Koeffizienten) und die Variablen getrennt voneinander betrachten?

1. Den ersten Faktor mit der Potenzregel \((x \cdot y)^k = x^k \cdot y^k\) und \((x^m)^n = x^{m \cdot n}\) berechnen: \((-3a^k b^2)^3 = (-3)^3 \cdot (a^k)^3 \cdot (b^2)^3 = -27 a^{3k} b^6\) 2. Den zweiten Faktor analog berechnen: \((2a^2 b^n)^2 = 2^2 \cdot (a^2)^2 \cdot (b^n)^2 = 4 a^4 b^{2n}\) 3. Die Ergebnisse multiplizieren und dabei Koeffizienten sowie Potenzen gleicher Basis zusammenfassen: \(-27 \cdot 4 \cdot a^{3k} \cdot a^4 \cdot b^6 \cdot b^{2n} = -108 a^{3k+4} b^{2n+6}\)

\(-108 a^{3k+4} b^{2n+6}\)