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- Achte darauf, ob in der Klammer eine Summe oder eine Differenz steht. - Welches Vorzeichen muss der gemischte Term bei einer Differenz haben?

1. Bei der zweiten binomischen Formel wird eine Differenz quadriert. 2. Der gemischte Term lautet \(-2ab\). 3. Daher ist B richtig und der mittlere Term hat ein negatives Vorzeichen.

B) \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\) Der mittlere Term ist negativ.

- Die beiden äußeren Quadrate sind bereits eingetragen. Welche Art von Term fehlt zwischen ihnen? - Welche beiden Größen werden für den gemischten Term miteinander verbunden?

1. Beim Quadrat einer Summe besteht der mittlere Term aus dem Doppelten des Produkts beider Klammerelemente. 2. Hier ist dieses Produkt \(x\cdot4\). 3. Der fehlende Term ist daher \(8x\).

\(8x\)

- Lies für jede Teilfläche ihre beiden Seitenlängen direkt aus den Beschriftungen ab. - Berechne die vier Flächen zunächst einzeln; fasse noch nichts zusammen. - Welche zwei Teilflächen haben denselben Flächeninhalt und können anschließend zusammengefasst werden?

1. Das große Teilquadrat hat den Flächeninhalt \(x\cdot x=x^2\). 2. Die beiden rechteckigen Teilflächen haben jeweils den Flächeninhalt \(x\cdot1=x\). 3. Das kleine Quadrat hat den Flächeninhalt \(1\cdot1=1\). 4. Zusammen ergeben die vier Flächen \(x^2+x+x+1=x^2+2x+1\). Damit gilt \((x+1)^2=x^2+2x+1\).

a) \(x^2\), \(x\), \(x\) und \(1\) b) \(x^2+x+x+1=x^2+2x+1\), also \((x+1)^2=x^2+2x+1\)

- Welche der drei binomischen Formeln passt zu einem Quadrat einer Summe? - Bestimme die beiden Bestandteile der Summe. - Vergiss den gemischten Term zwischen den beiden Quadraten nicht.

1. Mit der ersten binomischen Formel gilt \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\). 2. Für \(a=x\) und \(b=3\) ergibt sich \(x^2+2\cdot x\cdot3+9=x^2+6x+9\).

\(x^2+6x+9\)

- Vergleiche die beiden Klammern miteinander. - Welche binomische Formel verwendet eine Differenz und eine Summe derselben beiden Bestandteile? - Quadriere beide Bestandteile erst nach der Formelauswahl.

1. Die Faktoren haben dieselben Bestandteile mit entgegengesetzten Vorzeichen. 2. Mit der dritten binomischen Formel \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\) ergibt sich \(y^2-4^2=y^2-16\).

\(y^2-16\)

- Achte zuerst darauf, ob ein Quadrat oder ein Produkt aus zwei Klammern vorliegt. - Vergleiche bei den Quadraten das Vorzeichen innerhalb der Klammer. - Bei der dritten Formel kommen dieselben beiden Bestandteile einmal mit Minus und einmal mit Plus vor.

1. Ein Quadrat einer Summe gehört zur ersten binomischen Formel. 2. Ein Quadrat einer Differenz gehört zur zweiten binomischen Formel. 3. Das Produkt aus Differenz und Summe derselben Bestandteile gehört zur dritten binomischen Formel.

A) erste binomische Formel B) zweite binomische Formel C) dritte binomische Formel

- Kennst du eine Formel, mit der man Klammern der Form \((... - ...)^2\) schnell ausrechnen kann? - Pass beim Quadrieren von \(2p\) auf: Was passiert mit der Zahl und was mit dem Buchstaben? - Vergiss nicht den Teil in der Mitte, der beim Ausmultiplizieren entsteht.

1. Anwendung der 2. binomischen Formel \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\). 2. Einsetzen von \(a = 2p\) und \(b = q\). 3. Berechnung der Einzelterme: \(a^2 = (2p)^2 = 4p^2\), \(2ab = 2 \cdot 2p \cdot q = 4pq\), \(b^2 = q^2\). 4. Zusammensetzen: \(4p^2 - 4pq + q^2\).

c) \(4p^2 - 4pq + q^2\)

- Überlege, welche Rechenregel Vorrang hat: Multiplikation oder Subtraktion? - Achte besonders auf das Minuszeichen vor dem zweiten Klammerpaar. Wie verändert es die Vorzeichen im Inneren? - Erkennst du im zweiten Teil des Terms eine Struktur, die zu einer der binomischen Formeln passt?

1. Multiplizieren des ersten Teils durch Anwenden des Distributivgesetzes: \(3a \cdot 2a - 3a \cdot 5 = 6a^2 - 15a\). 2. Anwenden der dritten binomischen Formel auf den zweiten Teil: \((a - 4) \cdot (a + 4) = a^2 - 16\). 3. Subtraktion des zweiten Teils vom ersten, wobei auf das Minuszeichen vor der Klammer geachtet wird: \(6a^2 - 15a - (a^2 - 16) = 6a^2 - 15a - a^2 + 16\). 4. Zusammenfassen der gleichartigen Glieder: \((6a^2 - a^2) - 15a + 16 = 5a^2 - 15a + 16\).

\(5a^2 - 15a + 16\)

- Erinnerst du dich an die binomischen Formeln für Quadrate von Differenzen und Summen? - Was passiert mit den Vorzeichen in einer Klammer, wenn ein Minuszeichen davor steht? - Kannst du die Terme nach ihrer Art sortieren, bevor du sie endgültig zusammenrechnest?

1. Auflösen der ersten Klammer mit der zweiten binomischen Formel: \((x - 5)^2 = x^2 - 10x + 25\). 2. Auflösen der zweiten Klammer mit der ersten binomischen Formel: \((x + 2)^2 = x^2 + 4x + 4\). 3. Bilden der Differenz beider Ergebnisse: \(x^2 - 10x + 25 - (x^2 + 4x + 4)\). 4. Auflösen der Minusklammer durch Umkehren aller Vorzeichen in der Klammer: \(x^2 - 10x + 25 - x^2 - 4x - 4\). 5. Zusammenfassen der Terme: \(x^2 - x^2 = 0\), \(-10x - 4x = -14x\) und \(25 - 4 = 21\). Das Ergebnis ist \(-14x + 21\).

\(-14x + 21\)

- Prüfe bei jedem Quadrat die beiden Quadratterme und den doppelten gemischten Term getrennt. - Achte besonders darauf, ob beim mittleren Term der Faktor \(2\) vollständig berücksichtigt wurde. - Kontrolliere beim zweiten binomischen Quadrat auch das Vorzeichen des letzten Glieds.

1. Bei \((x-6)^2\) fehlt der mittlere Term \(-12x\), und der letzte Term ist positiv. Richtig ist \(x^2-12x+36\). 2. Bei \((2a+5)^2\) muss der mittlere Term \(2 \cdot 2a \cdot 5=20a\) sein. Richtig ist \(4a^2+20a+25\). 3. Bei \((0{,}5y-4)^2\) sind alle drei Glieder korrekt: \(0{,}25y^2-4y+16\).

1. Falsch. Korrektur: \((x - 6)^2 = x^2 - 12x + 36\) 2. Falsch. Korrektur: \((2a + 5)^2 = 4a^2 + 20a + 25\) 3. Richtig.

- Überlege zuerst, welche der drei binomischen Formeln jeweils passt. - Denk beim Quadrieren von Brüchen daran, sowohl Zähler als auch Nenner zu quadrieren. - Achte beim Quadrieren von Dezimalzahlen auf die Anzahl der Nachkommastellen.

1. Teilaufgabe a): 1. binomische Formel \((a+b)^2\). Berechnung: \((\frac{2}{5}x)^2 + 2 \cdot \frac{2}{5}x \cdot 10 + 10^2 = \frac{4}{25}x^2 + 8x + 100\). 2. Teilaufgabe b): 2. binomische Formel \((a-b)^2\). Berechnung: \((1{,}5a)^2 - 2 \cdot 1{,}5a \cdot 2b + (2b)^2 = 2{,}25a^2 - 6ab + 4b^2\). 3. Teilaufgabe c): 3. binomische Formel \((a+b) \cdot (a-b)\). Berechnung: \((8k)^2 - (3m)^2 = 64k^2 - 9m^2\).

a) \(\frac{4}{25}x^2 + 8x + 100\) b) \(2{,}25a^2 - 6ab + 4b^2\) c) \(64k^2 - 9m^2\)

- Welche der drei binomischen Formeln passt zu der Struktur der jeweiligen Aufgabe? - Achte darauf, beim Quadrieren von Termen wie \(3a\) sowohl die Zahl als auch die Variable zu quadrieren. - Überlege, was genau \(A\) und \(B\) in der allgemeinen Formel für deinen speziellen Term sind.

1. Anwendung der 1. binomischen Formel \((A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2\) auf Teil a) mit \(A = 3a\) und \(B = 5b\): \((3a)^2 + 2 \cdot 3a \cdot 5b + (5b)^2 = 9a^2 + 30ab + 25b^2\). 2. Anwendung der 2. binomischen Formel \((A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2\) auf Teil b) mit \(A = 4x^2\) und \(B = 7\): \((4x^2)^2 - 2 \cdot 4x^2 \cdot 7 + 7^2 = 16x^4 - 56x^2 + 49\). 3. Anwendung der 3. binomischen Formel \((A+B) \cdot (A-B) = A^2 - B^2\) auf Teil c) mit \(A = 2y^3\) und \(B = 3x^2\): \((2y^3)^2 - (3x^2)^2 = 4y^6 - 9x^4\).

a) \(9a^2 + 30ab + 25b^2\) b) \(16x^4 - 56x^2 + 49\) c) \(4y^6 - 9x^4\)

- Suche jeweils die Zahl genau in der Mitte der beiden Faktoren. - Schreibe die Faktoren als \((a+b)(a-b)\). - Die Differenz der Quadrate muss als Zwischenschritt in deiner Lösung stehen.

1. a) \((20+1)(20-1)=20^2-1^2=399\). 2. b) \((40+2)(40-2)=40^2-2^2=1596\). 3. c) \((100+3)(100-3)=100^2-3^2=9991\).

a) \(20^2-1^2=399\) b) \(40^2-2^2=1596\) c) \(100^2-3^2=9991\)

- Nutze \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\). - Achte in b) darauf, dass \(16-24\) negativ ist. - Der Produkt-Zwischenschritt gehört ausdrücklich zur geforderten Lösung.

1. a) \((45-35)(45+35)=10\cdot80=800\). 2. b) \((16-24)(16+24)=-8\cdot40=-320\). 3. c) \((101-99)(101+99)=2\cdot200=400\).

a) \((45-35)(45+35)=800\) b) \((16-24)(16+24)=-320\) c) \((101-99)(101+99)=400\)

- Achte besonders auf das Minuszeichen vor der zweiten Klammer in Teilaufgabe a). - Welche der drei binomischen Formeln passt jeweils zu dem Teil des Terms? - Denke daran, dass sich beim Auflösen einer Minusklammer alle Vorzeichen innerhalb der Klammer umkehren.

1. Erste binomische Formel für \((x+4)^2\) ergibt \(x^2 + 8x + 16\). 2. Zweite binomische Formel für \((x-4)^2\) ergibt \(x^2 - 8x + 16\). 3. Subtraktion beider Ausdrücke unter Beachtung der Klammern: \(x^2 + 8x + 16 - (x^2 - 8x + 16) = x^2 + 8x + 16 - x^2 + 8x - 16 = 16x\). 4. Dritte binomische Formel für \((2a+3) \cdot (2a-3)\) ergibt \(4a^2 - 9\). 5. Erste binomische Formel für \((a+3)^2\) ergibt \(a^2 + 6a + 9\). 6. Addition beider Teilergebnisse: \(4a^2 - 9 + a^2 + 6a + 9 = 5a^2 + 6a\).

a) \(16x\) b) \(5a^2 + 6a\)

- Welche binomischen Formeln erkennst du in den beiden Teilen des Terms? - Achte besonders auf das Minuszeichen zwischen den beiden Klammern. Was passiert mit den Vorzeichen dahinter? - Gibt es Glieder, die sich beim Zusammenfassen gegenseitig aufheben?

1. Anwendung der 1. binomischen Formel auf den ersten Teil: \((3a + 2)^2 = 9a^2 + 12a + 4\). 2. Anwendung der 2. binomischen Formel auf den zweiten Teil: \((3a - 2)^2 = 9a^2 - 12a + 4\). 3. Subtraktion der beiden Ausdrücke unter Berücksichtigung der Klammerregeln: \((9a^2 + 12a + 4) - (9a^2 - 12a + 4)\). 4. Auflösen der Minusklammer durch Vorzeichenumkehr: \(9a^2 + 12a + 4 - 9a^2 + 12a - 4\). 5. Zusammenfassen der gleichartigen Glieder: \((9a^2 - 9a^2) + (12a + 12a) + (4 - 4) = 24a\).

\(24a\)

- Überlege zuerst, welche der binomischen Formeln für den jeweiligen Aufgabenteil passt. - Identifiziere, was in der Formel für \(A\) und was für \(B\) steht. - Achte beim Quadrieren von Termen wie \(4a\) darauf, sowohl die Zahl als auch die Variable zu quadrieren. - Vergiss beim mittleren Teil des Ergebnisses nicht den Faktor 2.

1. Anwendung der ersten binomischen Formel \((A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2\) auf \((x+12)^2\): \(x^2 + 2 \cdot x \cdot 12 + 12^2 = x^2 + 24x + 144\). 2. Anwendung der zweiten binomischen Formel \((A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2\) auf \((10-y)^2\): \(10^2 - 2 \cdot 10 \cdot y + y^2 = 100 - 20y + y^2\). 3. Anwendung der ersten binomischen Formel auf \((4a+3b)^2\): \((4a)^2 + 2 \cdot 4a \cdot 3b + (3b)^2 = 16a^2 + 24ab + 9b^2\). 4. Anwendung der zweiten binomischen Formel auf \((6m-5)^2\): \((6m)^2 - 2 \cdot 6m \cdot 5 + 5^2 = 36m^2 - 60m + 25\).

a) \(x^2 + 24x + 144\) b) \(100 - 20y + y^2\) c) \(16a^2 + 24ab + 9b^2\) d) \(36m^2 - 60m + 25\)

- Erinnere dich an die Struktur der binomischen Formeln für \((A+B)^2\) und \((A-B)^2\). - Identifiziere in jeder Teilaufgabe genau, was deinem \(A\) und was deinem \(B\) entspricht. - Achte beim Quadrieren von Brüchen darauf, sowohl den Zähler als auch den Nenner zu quadrieren. - Vergiss beim mittleren Term nicht den Faktor 2.

1. Anwendung der ersten binomischen Formel \((A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2\) mit \(A = a\) und \(B = \frac{2}{3}\): \(a^2 + 2 \cdot a \cdot \frac{2}{3} + (\frac{2}{3})^2 = a^2 + \frac{4}{3}a + \frac{4}{9}\). 2. Anwendung der zweiten binomischen Formel \((A - B)^2 = A^2 - 2AB + B^2\) mit \(A = 0{,}4x\) und \(B = 5\): \((0{,}4x)^2 - 2 \cdot 0{,}4x \cdot 5 + 5^2 = 0{,}16x^2 - 4x + 25\). 3. Anwendung der ersten binomischen Formel mit \(A = \frac{1}{2}y\) und \(B = \frac{1}{4}z\): \((\frac{1}{2}y)^2 + 2 \cdot \frac{1}{2}y \cdot \frac{1}{4}z + (\frac{1}{4}z)^2 = \frac{1}{4}y^2 + \frac{1}{4}yz + \frac{1}{16}z^2\).

1) \(a^2 + \frac{4}{3}a + \frac{4}{9}\) 2) \(0{,}16x^2 - 4x + 25\) 3) \(\frac{1}{4}y^2 + \frac{1}{4}yz + \frac{1}{16}z^2\)

- Suche eine nahe glatte Zahl als ersten Bestandteil der Summe oder Differenz. - Entscheide anhand des Vorzeichens zwischen erster und zweiter binomischer Formel. - Nur der Endwert reicht nicht; notiere die binomische Zwischenrechnung.

1. a) \((20+1)^2=20^2+2\cdot20\cdot1+1^2=441\). 2. b) \((50-1)^2=50^2-2\cdot50\cdot1+1^2=2401\). 3. c) \((10+0{,}1)^2=10^2+2\cdot10\cdot0{,}1+0{,}1^2=102{,}01\). 4. d) \((200-1)^2=200^2-2\cdot200\cdot1+1^2=39\,601\).

a) \((20+1)^2=20^2+40+1=441\) b) \((50-1)^2=50^2-100+1=2401\) c) \((10+0{,}1)^2=100+2+0{,}01=102{,}01\) d) \((200-1)^2=40\,000-400+1=39\,601\)

- Welche binomischen Formeln erkennst du in den Klammern? - Achte besonders auf das Minuszeichen vor der zweiten Klammer. - Multipliziere zuerst die Klammern aus, bevor du den Faktor davor anwendest. - Was passiert mit den Vorzeichen in einer Klammer, wenn ein Minus davor steht?

1. Anwendung der ersten binomischen Formel auf \((a+5)^2\): \(a^2 + 10a + 25\). 2. Anwendung der zweiten binomischen Formel auf \((a-4)^2\): \(a^2 - 8a + 16\). 3. Ausmultiplizieren der Klammern unter Berücksichtigung der Vorfaktoren und des Minuszeichens: \(2a^2 + 20a + 50 - (a^2 - 8a + 16)\). 4. Auflösen der verbleibenden Klammer durch Vorzeichenumkehr: \(2a^2 + 20a + 50 - a^2 + 8a - 16\). 5. Zusammenfassen der gleichartigen Glieder: \(a^2 + 28a + 34\).

\(a^2 + 28a + 34\)

- Löse auf der linken Seite jeweils die Klammer mit dem Distributivgesetz auf. - Achte im zweiten Teil besonders auf das Minuszeichen vor dem Produkt. - Vergleiche die entstandenen Terme mit der ersten beziehungsweise zweiten binomischen Formel.

1. In Teil 1 ergibt die linke Seite durch das Distributivgesetz \(a^2+2ab+b^2\). Das ist genau die ausmultiplizierte Form von \((a+b)^2\). 2. In Teil 2 ergibt die linke Seite \(a^2-2ab+b^2\). Das ist genau die ausmultiplizierte Form von \((a-b)^2\). 3. Damit gelten beide Gleichungen für beliebige Zahlen \(a\) und \(b\).

1) Die linke Seite vereinfacht sich zu \(a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\). 2) Die linke Seite vereinfacht sich zu \(a^2-2ab+b^2=(a-b)^2\).

- Kannst du die Klammern mithilfe der binomischen Formeln auflösen? - Was musst du beachten, wenn vor einer Klammer ein Minuszeichen steht? - Welche Glieder lassen sich am Ende gegenseitig abziehen? - Versuche, die Terme schrittweise untereinander zu schreiben.

1. Anwendung der ersten binomischen Formel auf den ersten Teil: \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) 2. Anwendung der zweiten binomischen Formel auf den zweiten Teil: \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) 3. Aufstellen der Differenz unter Berücksichtigung der Klammern: \((a^2 + 2ab + b^2) - (a^2 - 2ab + b^2)\) 4. Auflösen der Minusklammer durch Vorzeichenumkehr aller Glieder in der Klammer: \(a^2 + 2ab + b^2 - a^2 + 2ab - b^2\) 5. Zusammenfassen der gleichartigen Glieder: \(a^2 - a^2 = 0\), \(b^2 - b^2 = 0\) und \(2ab + 2ab = 4ab\) 6. Ergebnis: Der vereinfachte Term lautet \(4ab\), somit ist die Gleichung korrekt.

Die Gleichung ist korrekt, da die Vereinfachung der linken Seite \((a^2 + 2ab + b^2) - (a^2 - 2ab + b^2) = 4ab\) ergibt.

- Kürze nur vollständige gemeinsame Faktoren. - Bei 4) sind \(1-b\) und \(b-1\) Gegenterme. - Die angegebenen Bedingungen bleiben während der Vereinfachung bestehen.

1. In 1) kann \(x+3\) gekürzt werden. Es bleibt \(x-3\). 2. In 2) kann \(4-y\) gekürzt werden. Es bleibt \(4+y\). 3. In 3) kann \(2a+5\) gekürzt werden. Es bleibt \(2a-5\). 4. In 4) gilt \(1-b=-(b-1)\). Daher ergibt der Quotient \(-(b+1)=-b-1\).

1) \(x-3\) 2) \(4+y\) 3) \(2a-5\) 4) \(-b-1\)

- Überlege dir für jede Zahl im Term, welche Zahl mit sich selbst multipliziert diesen Wert ergibt. - Achte darauf, dass die Formel nur bei einer Differenz (Minuszeichen) zwischen zwei Quadraten funktioniert. - Bei Termen wie \(9x^2\) musst du sowohl die Zahl als auch die Variable betrachten.

Anwendung der 3. binomischen Formel \(a^2 - b^2 = (a - b) \cdot (a + b)\): 1. Identifikation von \(100 = 10^2\), daraus folgt \((10 - p) \cdot (10 + p)\). 2. Identifikation von \(9x^2 = (3x)^2\) und \(16 = 4^2\), daraus folgt \((3x - 4) \cdot (3x + 4)\). 3. Identifikation von \(0{,}25 = 0{,}5^2\), daraus folgt \((0{,}5 - y) \cdot (0{,}5 + y)\). 4. Identifikation von \(\frac{4}{9} = \left(\frac{2}{3}\right)^2\), daraus folgt \(\left(m - \frac{2}{3}\right) \cdot \left(m + \frac{2}{3}\right)\).

1) \((10 - p) \cdot (10 + p)\) 2) \((3x - 4) \cdot (3x + 4)\) 3) \((0{,}5 - y) \cdot (0{,}5 + y)\) 4) \(\left(m - \frac{2}{3}\right) \cdot \left(m + \frac{2}{3}\right)\)

- Schreibe ein Quadrat bei Bedarf als Produkt zweier gleicher Faktoren. - Ein Faktor darf nur gekürzt werden, wenn er nicht null ist. - Prüfe in c), ob \(y^2+1\) für ein rationales \(y\) null werden kann.

1. In a) gilt für \(x\neq-7\): \((x+7)^2:(x+7)=x+7\). 2. In b) gilt für \(2a-3b\neq0\): \((2a-3b)^2:(2a-3b)=2a-3b\). 3. In c) ist \(y^2+1\) für jedes rationale \(y\) positiv und damit von null verschieden. Daher bleibt \(y^2+1\).

a) \(x+7\) für \(x\neq-7\) b) \(2a-3b\) für \(2a-3b\neq0\) c) \(y^2+1\) für alle \(y\in\mathbb{Q}\)

- Vereinfache die beiden Quotienten zunächst getrennt. - Schreibe die Quadrate bei Bedarf als Produkte. - Fasse die beiden verbleibenden Terme erst danach zusammen.

1. Der erste Quotient vereinfacht sich zu \(k-8\). 2. Der zweite Quotient vereinfacht sich zu \(k+8\). 3. Zusammen ergibt das \((k-8)+(k+8)=2k\).

\(2k\)

- Was musst du mit sich selbst multiplizieren, um die Brüche oder Dezimalzahlen im Term zu erhalten? - Überlege dir für jeden Summanden einzeln, von welchem Ausdruck er das Quadrat ist. - Die Struktur der Lösung ist immer ein Produkt aus einer Differenz und einer Summe. - Achte bei Aufgabe 4 darauf, dass du entweder Dezimalzahlen oder Brüche einheitlich verwenden kannst.

Die Terme werden in die Form \(A^2 - B^2\) gebracht und dann als \((A-B) \cdot (A+B)\) geschrieben. 1. Es gilt \(1{,}44 = (1{,}2)^2\) und \(0{,}01 = (0{,}1)^2\). Somit ist \(A=1{,}2m\) und \(B=0{,}1n\). Ergebnis: \((1{,}2m - 0{,}1n) \cdot (1{,}2m + 0{,}1n)\). 2. Es gilt \(\frac{25}{36} = (\frac{5}{6})^2\). Somit ist \(A=\frac{5}{6}\) und \(B=z\). Ergebnis: \((\frac{5}{6} - z) \cdot (\frac{5}{6} + z)\). 3. Es gilt \(225 = 15^2\) und \(169 = 13^2\). Somit ist \(A=15k\) und \(B=13h\). Ergebnis: \((15k - 13h) \cdot (15k + 13h)\). 4. Es gilt \(0{,}09 = (0{,}3)^2\) und \(\frac{1}{4} = (\frac{1}{2})^2\). Somit ist \(A=0{,}3p\) und \(B=\frac{1}{2}q\). Ergebnis: \((0{,}3p - \frac{1}{2}q) \cdot (0{,}3p + \frac{1}{2}q)\).

1) \((1{,}2m - 0{,}1n) \cdot (1{,}2m + 0{,}1n)\) 2) \((\frac{5}{6} - z) \cdot (\frac{5}{6} + z)\) 3) \((15k - 13h) \cdot (15k + 13h)\) 4) \((0{,}3p - 0{,}5q) \cdot (0{,}3p + 0{,}5q)\) oder \((0{,}3p - \frac{1}{2}q) \cdot (0{,}3p + \frac{1}{2}q)\)

- Kannst du die Zahlen als Quadratzahlen schreiben? - Welcher Term ergibt quadriert den Ausdruck vor oder nach dem Minuszeichen? - Erinnere dich an die Struktur der dritten binomischen Formel. - Überlege, wie man ein Produkt wie \(x^2y^2\) als ein einziges Quadrat schreiben kann.

1. Anwendung der Formel \(A^2 - B^2 = (A - B) \cdot (A + B)\) auf \(r^2s^2 - 64\): Identifikation von \(A = rs\) und \(B = 8\), da \((rs)^2 = r^2s^2\) und \(8^2 = 64\). Ergebnis: \((rs - 8) \cdot (rs + 8)\). 2. Anwendung auf \(121 - x^2y^2\): Identifikation von \(A = 11\) und \(B = xy\), da \(11^2 = 121\) und \((xy)^2 = x^2y^2\). Ergebnis: \((11 - xy) \cdot (11 + xy)\). 3. Anwendung auf \(a^2b^2 - 1\): Identifikation von \(A = ab\) und \(B = 1\), da \((ab)^2 = a^2b^2\) und \(1^2 = 1\). Ergebnis: \((ab - 1) \cdot (ab + 1)\). 4. Anwendung auf \(16 - m^2n^2\): Identifikation von \(A = 4\) und \(B = mn\), da \(4^2 = 16\) und \((mn)^2 = m^2n^2\). Ergebnis: \((4 - mn) \cdot (4 + mn)\).

1) \((rs - 8) \cdot (rs + 8)\) 2) \((11 - xy) \cdot (11 + xy)\) 3) \((ab - 1) \cdot (ab + 1)\) 4) \((4 - mn) \cdot (4 + mn)\)

- Was musst du quadrieren, um auf eine Dezimalzahl wie \(0{,}25\) zu kommen? - Wie gehst du bei einem Bruch vor? Kannst du Zähler und Nenner separat als Quadrate betrachten? - Gilt die Regel für Produkte auch, wenn drei Variablen wie \(abc\) vorhanden sind? - Achte genau auf die Anzahl der Nachkommastellen beim Quadrieren von Dezimalzahlen.

1. Identifikation der Quadrate in \(0{,}25 - x^2y^2\): Es gilt \(0{,}5^2 = 0{,}25\) und \((xy)^2 = x^2y^2\). Anwendung der Formel ergibt \((0{,}5 - xy) \cdot (0{,}5 + xy)\). 2. Identifikation der Quadrate in \(a^2b^2c^2 - 100\): Es gilt \((abc)^2 = a^2b^2c^2\) und \(10^2 = 100\). Anwendung der Formel ergibt \((abc - 10) \cdot (abc + 10)\). 3. Identifikation der Quadrate in \(\frac{9}{16} - m^2n^2\): Es gilt \((\frac{3}{4})^2 = \frac{9}{16}\) und \((mn)^2 = m^2n^2\). Anwendung der Formel ergibt \((\frac{3}{4} - mn) \cdot (\frac{3}{4} + mn)\). 4. Identifikation der Quadrate in \(0{,}01p^2q^2 - 49\): Es gilt \((0{,}1pq)^2 = 0{,}01p^2q^2\) und \(7^2 = 49\). Anwendung der Formel ergibt \((0{,}1pq - 7) \cdot (0{,}1pq + 7)\).

1) \((0{,}5 - xy) \cdot (0{,}5 + xy)\) 2) \((abc - 10) \cdot (abc + 10)\) 3) \((\frac{3}{4} - mn) \cdot (\frac{3}{4} + mn)\) 4) \((0{,}1pq - 7) \cdot (0{,}1pq + 7)\)

- Wandle jede Differenz von Quadraten in \((a-b)(a+b)\) um. - Suche danach besonders einfache Summen oder Differenzen. - Die Produktform ist ein verpflichtender Teil der Antwort.

1. a) \((5\frac12-4\frac12)(5\frac12+4\frac12)=1\cdot10=10\). 2. b) \((205-5)(205+5)=200\cdot210=42\,000\). 3. c) \((8{,}7-1{,}3)(8{,}7+1{,}3)=7{,}4\cdot10=74\).

a) \((5\frac12-4\frac12)(5\frac12+4\frac12)=10\) b) \((205-5)(205+5)=42\,000\) c) \((8{,}7-1{,}3)(8{,}7+1{,}3)=74\)

- Verwende für beide Terme dieselbe Formel \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\). - Vergleiche erst nach der Umformung die entstehenden Produkte. - Nur die Aussage „beide sind 1000“ reicht nicht; die Produktformen gehören zur Lösung.

1. \(A=(55-45)(55+45)=10\cdot100=1000\). 2. \(B=(102{,}5-97{,}5)(102{,}5+97{,}5)=5\cdot200=1000\). 3. Beide Terme haben denselben Wert.

\(A=(55-45)(55+45)=1000\) \(B=(102{,}5-97{,}5)(102{,}5+97{,}5)=1000\) Daher sind \(A\) und \(B\) gleich groß.

- Überlege zuerst, welche Zahl oder welcher Term das Quadrat am Ende bildet. - Achte beim Subtrahieren eines ganzen Klammerausdrucks besonders auf die Vorzeichen innerhalb der Klammer. - Kannst du die Terme innerhalb der neuen Klammern noch zusammenfassen?

1. Anwendung der Formel mit \(A = x+5\) und \(B = 6\): \(((x+5) - 6) \cdot ((x+5) + 6)\). Vereinfachung der Klammern ergibt \((x-1) \cdot (x+11)\). 2. Anwendung der Formel mit \(A = 8\) und \(B = a-3\): \((8 - (a-3)) \cdot (8 + (a-3))\). Auflösen der inneren Klammern: \((8-a+3) \cdot (8+a-3)\). Zusammenfassen ergibt \((11-a) \cdot (5+a)\). 3. Anwendung der Formel mit \(A = 4y+1\) und \(B = 3y\): \(((4y+1) - 3y) \cdot ((4y+1) + 3y)\). Zusammenfassen der Terme ergibt \((y+1) \cdot (7y+1)\).

1) \((x-1) \cdot (x+11)\) 2) \((11-a) \cdot (5+a)\) 3) \((y+1) \cdot (7y+1)\)

- Überlege, welche Zahlen oder Variablen zum Quadrat die äußeren Glieder des Terms ergeben. - Prüfe, ob das mittlere Glied genau das Doppelte des Produkts dieser beiden Werte ist. - Achte auf das Rechenzeichen vor dem mittleren Glied, um zwischen der ersten und zweiten binomischen Formel zu unterscheiden.

1. Identifikation der Struktur \(a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2\) oder \(a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2\). 2. Teilaufgabe a): \(x^2 + 2 \cdot x \cdot 6 + 6^2 = (x+6)^2\). 3. Teilaufgabe b): \((5a)^2 - 2 \cdot 5a \cdot 2b + (2b)^2 = (5a-2b)^2\). 4. Teilaufgabe c): \(w^2 - 2 \cdot w \cdot 9 + 9^2 = (w-9)^2\). 5. Teilaufgabe d): \((7z)^2 + 2 \cdot 7z \cdot 1 + 1^2 = (7z+1)^2\).

a) \((x+6)^2\) b) \((5a-2b)^2\) c) \((w-9)^2\) d) \((7z+1)^2\)

- Welche Zahl ergibt mit sich selbst multipliziert den Koeffizienten des ersten oder letzten Terms? - Achte auf das Vorzeichen des Mittelterms, um zwischen der ersten und zweiten binomischen Formel zu unterscheiden. - Vergiss nicht zu prüfen, ob der doppelte Wert des Produkts aus deinen gefundenen Werten \(A\) und \(B\) tatsächlich dem Mittelterm entspricht.

1. Teilaufgabe a): Es gilt \((0{,}7x)^2 = 0{,}49x^2\) und \(y^2 = y^2\). Der Mittelterm ist \(2 \cdot 0{,}7x \cdot y = 1{,}4xy\). Daher ergibt sich \((0{,}7x + y)^2\). 2. Teilaufgabe b): Es gilt \((a^2)^2 = a^4\) und \((0{,}3b)^2 = 0{,}09b^2\). Der Mittelterm ist \(2 \cdot a^2 \cdot 0{,}3b = 0{,}6a^2b\). Daher ergibt sich \((a^2 - 0{,}3b)^2\). 3. Teilaufgabe c): Es gilt \((1{,}2u)^2 = 1{,}44u^2\) und \(1^2 = 1\). Der Mittelterm ist \(2 \cdot 1{,}2u \cdot 1 = 2{,}4u\). Daher ergibt sich \((1{,}2u - 1)^2\).

a) \((0{,}7x + y)^2\) b) \((a^2 - 0{,}3b)^2\) c) \((1{,}2u - 1)^2\)

- Überlege, welche der binomischen Formeln jeweils passt. - Denk daran, dass beim Quadrieren eines Produkts jeder Faktor einzeln quadriert werden muss. - Wie werden Potenzen potenziert, wenn sie bereits einen Exponenten haben? - Achte bei den Brüchen darauf, sowohl den Zähler als auch den Nenner zu quadrieren.

1. Für Teilaufgabe a) wird die erste binomische Formel \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) genutzt. Mit \(a = 5x^3\) und \(b = 2y^2\) ergibt sich: \((5x^3)^2 + 2 \cdot 5x^3 \cdot 2y^2 + (2y^2)^2 = 25x^6 + 20x^3y^2 + 4y^4\). 2. Für Teilaufgabe b) wird die zweite binomische Formel \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) genutzt. Mit \(a = \frac{1}{3}a^2b\) und \(b = 6ab^2\) ergibt sich: \((\frac{1}{3}a^2b)^2 - 2 \cdot \frac{1}{3}a^2b \cdot 6ab^2 + (6ab^2)^2 = \frac{1}{9}a^4b^2 - 4a^3b^3 + 36a^2b^4\).

a) \(25x^6 + 20x^3y^2 + 4y^4\) b) \(\frac{1}{9}a^4b^2 - 4a^3b^3 + 36a^2b^4\)

- Kürze nur vollständige gemeinsame Faktoren. - In c) unterscheiden sich zwei lineare Faktoren nur durch das Vorzeichen. - Die angegebenen Bedingungen bleiben beim Vereinfachen erhalten.

1. In a) kann der Faktor \(13p+12q\) gekürzt werden. Es bleibt \(13p-12q\). 2. In b) kann der Faktor \(k^2-4\) gekürzt werden. Es bleibt \(k^2+4\). 3. In c) gilt \(6s-5r=-(5r-6s)\). Daher bleibt \(-(5r+6s)=-5r-6s\).

a) \(13p-12q\) b) \(k^2+4\) c) \(-5r-6s\)

- Erinnere dich an die drei Grundformen der binomischen Formeln. - Achte darauf, beim Quadrieren von Termen wie \(3x\) sowohl die Zahl als auch die Variable zu quadrieren. - Identifiziere zuerst, welcher Teil deines Terms dem \(a\) und welcher dem \(b\) in der Formel entspricht. - Achte besonders auf die Vorzeichen in der Mitte der Formeln.

1. Anwendung der 1. binomischen Formel \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) auf \((3x + 4)^2\): \(a = 3x\), \(b = 4\). \((3x)^2 + 2 \cdot 3x \cdot 4 + 4^2 = 9x^2 + 24x + 16\). 2. Anwendung der 2. binomischen Formel \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) auf \((7 - 2b)^2\): \(a = 7\), \(b = 2b\). \(7^2 - 2 \cdot 7 \cdot 2b + (2b)^2 = 49 - 28b + 4b^2\). 3. Anwendung der 3. binomischen Formel \((a+b) \cdot (a-b) = a^2 - b^2\) auf \((5k + 1) \cdot (5k - 1)\): \(a = 5k\), \(b = 1\). \((5k)^2 - 1^2 = 25k^2 - 1\).

a) \(9x^2 + 24x + 16\) b) \(49 - 28b + 4b^2\) c) \(25k^2 - 1\)

- Suche zuerst nach Quadratzahlen am Anfang und am Ende des Ausdrucks. - Wenn der Term aus drei Teilen besteht und ein Plus oder Minus in der Mitte hat, könnte es die 1. oder 2. Formel sein. - Wenn der Term nur aus zwei Quadratzahlen besteht, die voneinander abgezogen werden, ist es die 3. Formel. - Vergiss nicht, den mittleren Teil (\(2ab\)) zur Kontrolle im Kopf nachzurechnen.

1. Faktorisieren von \(m^2 + 12m + 36\): Erkenne die Struktur der 1. binomischen Formel \(a^2 + 2ab + b^2\). Hier ist \(a^2 = m^2 \Rightarrow a = m\) und \(b^2 = 36 \Rightarrow b = 6\). Prüfung des Mittelglieds: \(2ab = 2 \cdot m \cdot 6 = 12m\) (stimmt). Ergebnis: \((m + 6)^2\). 2. Faktorisieren von \(25n^2 - 40n + 16\): Erkenne die Struktur der 2. binomischen Formel \(a^2 - 2ab + b^2\). Hier ist \(a^2 = 25n^2 \Rightarrow a = 5n\) und \(b^2 = 16 \Rightarrow b = 4\). Prüfung des Mittelglieds: \(2ab = 2 \cdot 5n \cdot 4 = 40n\) (stimmt). Ergebnis: \((5n - 4)^2\). 3. Faktorisieren von \(49 - 9p^2\): Erkenne die Struktur der 3. binomischen Formel \(a^2 - b^2\). Hier ist \(a^2 = 49 \Rightarrow a = 7\) und \(b^2 = 9p^2 \Rightarrow b = 3p\). Ergebnis: \((7 - 3p) \cdot (7 + 3p)\).

a) \((m + 6)^2\) b) \((5n - 4)^2\) c) \((7 - 3p) \cdot (7 + 3p)\)

- Multipliziere zunächst jedes Glied der ersten Klammer mit jedem Glied der zweiten. - Welche beiden gemischten Produkte entstehen? - Prüfe, ob sich zwei Glieder nach dem Ausmultiplizieren aufheben.

1. Mit dem Distributivgesetz ergibt sich \((a+b)(a-b)=a^2-ab+ab-b^2\). 2. Die beiden gemischten Glieder \(-ab\) und \(+ab\) heben sich auf. 3. Es bleibt \(a^2-b^2\). Damit gilt \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\).

\((a+b)(a-b)=a^2-ab+ab-b^2=a^2-b^2\). Die gemischten Glieder \(-ab\) und \(+ab\) heben sich auf.

- In a) behandle die beiden gleichen Klammern zunächst wie zwei gewöhnliche Faktoren. - Welche binomische Formel passt zu einem Quadrat einer Summe? - Vergleiche nicht nur die Ergebnisse, sondern auch die Zahl der benötigten Zwischenschritte.

1. Gewöhnliches Ausmultiplizieren ergibt \((x+2)(x+2)=x^2+2x+2x+4=x^2+4x+4\). 2. Mit der ersten binomischen Formel ergibt \((x+2)^2=x^2+2\cdot x\cdot2+2^2=x^2+4x+4\). 3. Beide Methoden liefern denselben Flächeninhalt. Die binomische Formel ist kürzer, weil der Term direkt als Quadrat einer Summe erkennbar ist.

a) \(x^2+2x+2x+4=x^2+4x+4\) b) \(x^2+2\cdot x\cdot2+2^2=x^2+4x+4\) c) Die erste binomische Formel ist hier kürzer, weil \((x+2)^2\) direkt vorliegt.

- Rechne zuerst die Summe in der Klammer aus, bevor du quadrierst. - Was bedeutet es in der Mathematik, wenn etwas „immer“ oder „allgemein“ gelten soll? - Reicht ein einziges Beispiel aus, um eine Regel für alle Zahlen zu beweisen? - Was ist ein Gegenbeispiel?

1. Linke Seite für \(a = 3, b = 4\): \((3 + 4)^2 = 7^2 = 49\). 2. Rechte Seite für \(a = 3, b = 4\): \(3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25\). 3. Vergleich: Da \(49 \neq 25\), ist die Gleichung für diese Werte falsch. 4. Logische Analyse: Um eine allgemeine mathematische Aussage zu widerlegen, reicht ein einziges Gegenbeispiel (hier \(a=3, b=4\)). 5. Bewertung von Lukas’ Argument: Dass eine Formel für einen speziellen Fall (wie \(b=0\)) funktioniert, beweist nicht, dass sie für alle Zahlen gilt. Eine allgemeine Regel muss ausnahmslos für alle erlaubten Werte wahr sein.

a) Linke Seite: \(49\); Rechte Seite: \(25\). Die Formel ist für diese Zahlen falsch. b) In der Mathematik muss eine Formel für alle Zahlen gelten, um als wahr anerkannt zu werden. Ein einziges Beispiel (wie \(b=0\)) ist kein Beweis für die Allgemeingültigkeit, während ein einziges Gegenbeispiel (wie \(a=3, b=4\)) ausreicht, um die Formel zu widerlegen.

- Vergleiche jede Aufgabe mit der passenden binomischen Formel. - Der mittlere Summand enthält beide Klammerterme und den Faktor \(2\). - Die äußeren Summanden sind die Quadrate der beiden Klammerterme.

1. In a) muss der zweite Summand der Klammer \(6\) sein, weil \(2 \cdot x \cdot 6=12x\). Der letzte Summand ist \(6^2=36\). 2. In b) ist der erste Klammerterm \(5x\), weil sein Quadrat \(25x^2\) ist. Der mittlere Term ist \(2 \cdot 5x \cdot 4y=40xy\). 3. In c) muss für den mittleren Term \(2 \cdot u \cdot 0{,}1=0{,}4a\) gelten. Daher ist \(u=2a\), und der erste Summand ist \(4a^2\).

a) \((x + 6)^2 = x^2 + 12x + 36\) b) \((5x - 4y)^2 = 25x^2 - 40xy + 16y^2\) c) \((2a + 0{,}1)^2 = 4a^2 + 0{,}4a + 0{,}01\)

- Kannst du in dem Ausdruck Quadrate von einfachen Termen erkennen? - Schau dir das Vorzeichen des mittleren Terms an, um zwischen der ersten und zweiten Formel zu unterscheiden. - Wenn nur zwei Terme mit einem Minus dazwischen dastehen, welche Formel könnte das sein? - Prüfe immer, ob der doppelte Produktterm (\(2AB\)) wirklich zum gegebenen Ausdruck passt.

1. Identifikation der 1. binomischen Formel für Teil a): Suche \(A\) und \(B\), sodass \(A^2 = 9x^2\) und \(B^2 = 4y^2\). Es ergibt sich \(A = 3x\) und \(B = 2y\). Prüfung des Mischterms: \(2 \cdot 3x \cdot 2y = 12xy\). Ergebnis: \((3x + 2y)^2\). 2. Identifikation der 2. binomischen Formel für Teil b): \(A^2 = 25a^4 \Rightarrow A = 5a^2\) und \(B^2 = 16b^2 \Rightarrow B = 4b\). Prüfung des Mischterms: \(2 \cdot 5a^2 \cdot 4b = 40a^2b\). Ergebnis: \((5a^2 - 4b)^2\). 3. Identifikation der 3. binomischen Formel für Teil c): \(A^2 = 49z^2 \Rightarrow A = 7z\) und \(B^2 = 81 \Rightarrow B = 9\). Ergebnis: \((7z + 9) \cdot (7z - 9)\).

a) \((3x + 2y)^2\) b) \((5a^2 - 4b)^2\) c) \((7z + 9) \cdot (7z - 9)\)

- Löse zuerst jeden Klammerausdruck einzeln mit der passenden binomischen Formel auf. - Achte besonders auf das Minuszeichen vor der zweiten Klammer in Teilaufgabe a) – es bezieht sich auf das gesamte Ergebnis des Ausmultiplizierens. - Fasse am Ende alle gleichartigen Glieder zusammen.

1. Ausmultiplizieren von Teil a): \((2x + 5)^2 = 4x^2 + 20x + 25\) und \((2x - 5)^2 = 4x^2 - 20x + 25\). 2. Subtraktion der Ergebnisse aus Schritt 1: \((4x^2 + 20x + 25) - (4x^2 - 20x + 25) = 4x^2 + 20x + 25 - 4x^2 + 20x - 25 = 40x\). 3. Ausmultiplizieren von Teil b): \((3y - 2)^2 = 9y^2 - 12y + 4\) und \((3y + 2) \cdot (3y - 2) = 9y^2 - 4\). 4. Addition der Ergebnisse aus Schritt 3: \((9y^2 - 12y + 4) + (9y^2 - 4) = 18y^2 - 12y\).

a) \(40x\) b) \(18y^2 - 12y\)

- Vergleiche die gegebenen Teile mit den allgemeinen binomischen Formeln. - Welche Zahl oder welcher Term muss quadriert werden, um einen der Bestandteile zu erhalten? - Achte beim mittleren Teil der Formeln auf das doppelte Produkt der beiden Summanden.

1. Zu a): Vergleich mit \((u+v)^2 = u^2 + 2uv + v^2\). Da \(2 \cdot x \cdot v = 12x\), muss \(v = 6\) sein. Damit ist \(v^2 = 36\). Ergebnis: \(x^2 + 12x + 36 = (x + 6)^2\). 2. Zu b): Vergleich mit \((u-v)(u+v) = u^2 - v^2\). Hier ist \(u = 4a\) und \(v = 7\). Es folgt \(v^2 = 49\). Ergebnis: \(16a^2 - 49 = (4a - 7)(4a + 7)\). 3. Zu c): Vergleich mit \((u-v)^2 = u^2 - 2uv + v^2\). Hier ist \(u^2 = 25\), also \(u = 5\). Da \(2 \cdot 5 \cdot v = 20y\), muss \(v = 2y\) sein. Somit ist \(v^2 = 4y^2\). Ergebnis: \(25 - 20y + 4y^2 = (5 - 2y)^2\).

a) \(x^2 + 12x + 36 = (x + 6)^2\) b) \(16a^2 - 49 = (4a - 7) \cdot (4a + 7)\) c) \(25 - 20y + 4y^2 = (5 - 2y)^2\) (oder \((2y - 5)^2\))

- Kannst du die Terme zuerst einzeln ausrechnen, bevor du sie kombinierst? - Beachte bei Brüchen und Dezimalzahlen die Reihenfolge der Rechenoperationen: Potenzen vor Punkt vor Strich. - Was passiert mit dem Faktor \(\frac{1}{4}\), wenn du ihn in die Klammer hineinmultiplizierst?

1. Zweite binomische Formel für \((k-0{,}5)^2\) ergibt \(k^2 - k + 0{,}25\). 2. Ausmultiplizieren von \(k \cdot (1-k)\) ergibt \(k - k^2\). 3. Zusammenfassen in Teil a): \(k^2 - k + 0{,}25 + k - k^2 = 0{,}25\). 4. Erste binomische Formel für \((\frac{1}{2}x + 4)^2\) ergibt \(\frac{1}{4}x^2 + 4x + 16\). 5. Dritte binomische Formel für \((x-2) \cdot (x+2)\) ergibt \(x^2 - 4\). 6. Subtraktion mit Faktor: \(\frac{1}{4}x^2 + 4x + 16 - \frac{1}{4} \cdot (x^2 - 4) = \frac{1}{4}x^2 + 4x + 16 - \frac{1}{4}x^2 + 1\). 7. Endergebnis Teil b): \(4x + 17\).

a) \(0{,}25\) b) \(4x + 17\)

- Überlege, welcher Teil der binomischen Formel dem Ausdruck \(4x^2\) entspricht. - Wie hängen der mittlere Teil \(12x\) und die beiden gesuchten Werte \(a\) und \(b\) zusammen? - Erinnere dich an den Aufbau: Erster Teil im Quadrat, plus zweimal das Produkt der beiden Teile, plus zweiter Teil im Quadrat.

1. Vergleich mit der ersten binomischen Formel \((ax+b)^2 = a^2x^2 + 2abx + b^2\). 2. Bestimmung von \(a\): Aus \(a^2x^2 = 4x^2\) folgt \(a^2 = 4\), also wegen des geforderten positiven Koeffizienten \(a = 2\). 3. Bestimmung von \(b\): Der gemischte Term ist \(2abx = 12x\). Einsetzen von \(a=2\) ergibt \(2 \cdot 2 \cdot b = 12\), also \(4b = 12\) und somit \(b = 3\). 4. Berechnung von \(c\): \(c = b^2 = 3^2 = 9\). 5. Faktorisierter Term: \((2x + 3)^2\).

\(c = 9\); faktorisierter Term: \((2x + 3)^2\)

- Wie berechnet man allgemein die Fläche eines Rechtecks? - Welche binomische Formel hilft dir, ein Produkt aus einer Summe und einer Differenz schnell zu berechnen? - Was sagt das Ergebnis \(s^2 - 25\) über den Vergleich zum ursprünglichen \(s^2\) aus?

1. Flächeninhalt des Quadrats: \(A_Q = s \cdot s = s^2\). 2. Seitenlängen des Rechtecks: \(s + 5\) und \(s - 5\). 3. Flächeninhalt des Rechtecks: \(A_R = (s + 5) \cdot (s - 5)\). 4. Anwendung der 3. binomischen Formel: \(A_R = s^2 - 5^2 = s^2 - 25\). 5. Vergleich: \(A_Q - A_R = s^2 - (s^2 - 25) = 25\). 6. Ergebnis: Das ursprüngliche quadratische Grundstück hat einen um genau \(25\,\text{m}^2\) größeren Flächeninhalt als das neue rechteckige Grundstück.

a) Quadrat: \(s^2\); Rechteck: \((s+5) \cdot (s-5)\) b) Das quadratische Grundstück hat einen um \(25\,\text{m}^2\) größeren Flächeninhalt, da \((s+5) \cdot (s-5) = s^2 - 25\).

- Kannst du den Term in zwei große Bausteine zerlegen und diese zuerst einzeln vereinfachen? - Welche binomische Formel hilft dir bei dem Ausdruck mit \((x+5)\) und \((x-5)\)? - Vergiss nicht, am Ende alle Zahlen ohne Variable und alle Glieder mit \(x^2\) jeweils zu kombinieren.

1. Anwendung der 3. binomischen Formel auf das Produkt: \((x + 5) \cdot (x - 5) = x^2 - 25\). 2. Multiplikation mit dem Faktor 2: \(2 \cdot (x^2 - 25) = 2x^2 - 50\). 3. Anwendung der 2. binomischen Formel auf das Quadrat: \((x - 3)^2 = x^2 - 6x + 9\). 4. Subtraktion der Ergebnisse: \((2x^2 - 50) - (x^2 - 6x + 9)\). 5. Auflösen der Klammer mit Vorzeichenwechsel: \(2x^2 - 50 - x^2 + 6x - 9\). 6. Zusammenfassen der Glieder: \(x^2 + 6x - 59\).

\(x^2 + 6x - 59\)

- Berechne zuerst das Quadrat in der Klammer, bevor du den Faktor davor berücksichtigst. - Erinnerst du dich an die Regel für \((a-b) \cdot (a+b)\)? Das hilft dir beim zweiten Teil des Terms. - Achte beim letzten Schritt genau auf das Vorzeichen der Zahl \(1\).

1. Anwendung der 1. binomischen Formel: \((2z + 4)^2 = 4z^2 + 16z + 16\). 2. Multiplikation mit dem Faktor \(\frac{1}{2}\): \(\frac{1}{2} \cdot (4z^2 + 16z + 16) = 2z^2 + 8z + 8\). 3. Anwendung der 3. binomischen Formel: \((z - 1) \cdot (z + 1) = z^2 - 1\). 4. Subtraktion des zweiten Teils vom ersten: \((2z^2 + 8z + 8) - (z^2 - 1)\). 5. Auflösen der Klammer: \(2z^2 + 8z + 8 - z^2 + 1\). 6. Endergebnis durch Zusammenfassen: \(z^2 + 8z + 9\).

\(z^2 + 8z + 9\)

- Vergleiche für a) die beiden Seiten nach demselben eingesetzten Wert. - Schreibe für b) die linke Seite vollständig mit der ersten binomischen Formel aus. - Vergleiche die vollständige Formel mit Darias verkürztem Ausdruck.

1. Für \(x=1\) ist die linke Seite \(36\), die rechte Seite \(26\). Damit ist die Behauptung im Allgemeinen widerlegt. 2. Mit der ersten binomischen Formel gilt \((x+5)^2=x^2+10x+25\). 3. Die angegebene Gleichung wird damit zu \(x^2+10x+25=x^2+25\). Nach dem Kürzen gleicher Glieder bleibt \(10x=0\), also \(x=0\). 4. In Darias Umformung fehlt der mittlere Term \(2 \cdot x \cdot 5=10x\).

a) Für \(x=1\) gilt \(36 \neq 26\). b) \(x=0\) c) Es fehlt der mittlere Term \(10x\).

- Multipliziere beide Terme vollständig aus, bevor du sie vergleichst. - Welche Glieder stimmen in den beiden vereinfachten Termen überein? - Setze beim Bilden der Differenz den gesamten zweiten Term in Klammern.

1. Mit der ersten binomischen Formel ergibt sich \(T_1=x^2+8x+16\). 2. Ausmultiplizieren ergibt \(T_2=x^2+8x+12\). 3. Die Terme unterscheiden sich nur in den Konstanten. Da \(16>12\), ist der Wert von \(T_1\) für jedes \(x\) um \(4\) größer. 4. Die Differenz ist \((x^2+8x+16)-(x^2+8x+12)=4\). Sie ist unabhängig von \(x\).

a) \(T_1=x^2+8x+16\); \(T_2=x^2+8x+12\) b) \(T_1\) liefert stets den größeren Wert. c) \(T_1-T_2=4\); die Differenz ist konstant.

- Schau zuerst, ob du eine Zahl oder eine Variable ausklammern kannst. - Untersuche den verbleibenden Klammerausdruck: Erinnert er dich an eine binomische Formel? - Achte besonders auf Ausdrücke der Form \(a^2 - b^2\).

1. Teilaufgabe a): Zuerst den Faktor \(5\) ausklammern: \(5 \cdot (x^2 - 9)\). Der Ausdruck in der Klammer ist eine Differenz von Quadraten (dritte binomische Formel): \(x^2 - 3^2 = (x - 3) \cdot (x + 3)\). Endergebnis: \(5 \cdot (x - 3) \cdot (x + 3)\). 2. Teilaufgabe b): Ausklammern des gemeinsamen Faktors \(3ab\) ergibt \(3ab \cdot (a^2 - 4b^2)\). Anwendung der dritten binomischen Formel auf \((a^2 - (2b)^2)\) ergibt \((a - 2b) \cdot (a + 2b)\). Endergebnis: \(3ab \cdot (a - 2b) \cdot (a + 2b)\). 3. Teilaufgabe c): Ausklammern von \(y\) ergibt \(y \cdot (x^2 - 1)\). Anwendung der dritten binomischen Formel auf \((x^2 - 1^2)\) ergibt \((x - 1) \cdot (x + 1)\). Endergebnis: \(y \cdot (x - 1) \cdot (x + 1)\).

a) \(5 \cdot (x - 3) \cdot (x + 3)\) b) \(3ab \cdot (a - 2b) \cdot (a + 2b)\) c) \(y \cdot (x - 1) \cdot (x + 1)\)

- Erkennst du in beiden Produkten die Struktur \((u-v)(u+v)\)? - Vereinfache beide Produkte, bevor du sie addierst. - Setze die Dezimalzahl erst in den vereinfachten Term ein.

1. Mit der dritten binomischen Formel gilt \((a-5)(a+5)=a^2-25\) und \((a-1)(a+1)=a^2-1\). 2. Zusammen ergibt sich \(2a^2-26\). 3. Für \(a=0{,}4\) ist der Wert \(2\cdot0{,}4^2-26=0{,}32-26=-25{,}68\).

Vereinfachter Term: \(2a^2-26\) Termwert: \(-25{,}68\)

- Vereinfache zunächst beide Produktterme auf der linken Seite. - Prüfe danach, welche gleichartigen Glieder sich gegenseitig aufheben. - Löse erst die übrig gebliebene lineare Gleichung.

1. Mit der dritten binomischen Formel ist \((x-2)(x+2)=x^2-4\), also \(5(x^2-4)=5x^2-20\). 2. Der zweite Produktterm ist \(-5x(x-1)=-5x^2+5x\). 3. Zusammen ergibt die linke Seite \(5x^2-20-5x^2+5x=5x-20\). Mateo hat also recht: Die quadratischen Glieder heben sich auf. 4. Die verbleibende Gleichung lautet \(5x-20=10\). 5. Addieren von \(20\) und anschließendes Teilen durch \(5\) ergibt \(x=6\).

Mateo hat recht: \(5(x-2)(x+2)-5x(x-1)\) \(=5(x^2-4)-5x^2+5x\) \(=5x-20\). Damit lautet die lineare Gleichung \(5x-20=10\), also \(5x=30\) und \(x=6\).

- Schau dir das Ergebnis an: Welcher Teil entspricht \(A^2\), welcher \(2AB\) und welcher \(B^2\)? - Wenn du die Zahl am Ende kennst, wie kommst du auf die Zahl in der Klammer? - Nutze den mittleren Term, um deine Vermutung für die Platzhalter zu überprüfen. - Denk daran, dass in der Klammer stehende Terme als Ganzes quadriert werden, um das erste oder letzte Glied der Summe zu bilden.

1. Vergleich von \((a+b)^2 = a^2+2ab+b^2\) mit \(a^2+14a+49\): Da \(b^2 = 49\) und \(2ab = 14a\), muss \(b = 7\) sein. Der Platzhalter ist \(7\). 2. Vergleich von \((Ax-B)^2 = (Ax)^2 - 2AxB + B^2\) mit \(9x^2-24x+16\): Da \((Ax)^2 = 9x^2\) und \(B^2 = 16\), folgt \(Ax = 3x\) und \(B = 4\). Der Platzhalter ist \(3x\). 3. Vergleich von \((2y+B)^2 = (2y)^2 + 2 \cdot 2y \cdot B + B^2\) mit \(\square + 20y + 25\): Aus \(B^2 = 25\) folgt \(B = 5\). Der erste Platzhalter in der Klammer ist \(5\). Der zweite Platzhalter im Ergebnis entspricht \((2y)^2 = 4y^2\).

a) \((a + 7)^2 = a^2 + 14a + 49\) b) \((3x - 4)^2 = 9x^2 - 24x + 16\) c) \((2y + 5)^2 = 4y^2 + 20y + 25\)

- Vergleiche die gegebene Gleichung mit der allgemeinen Form \(A^2 \pm 2AB + B^2\). - Überlege dir, von welchem Term das Quadrat am Anfang oder Ende der Lösung stammt. - Nutze den gemischten Term in der Mitte, um den fehlenden Teil des Klammerausdrucks zu berechnen. - Prüfe dein Ergebnis, indem du die Klammer selbst noch einmal auflöst.

1. Vergleich mit \((A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2\): Da das Quadrat des ersten Terms \(x^2\) ist, muss die erste Lücke \(x\) sein. Überprüfung des gemischten Terms: \(2 \cdot x \cdot 3 = 6x\) (korrekt). 2. Vergleich mit \((A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2\): Der gemischte Term ist \(2ab\). Mit \(A = 2a\) gilt \(2 \cdot 2a \cdot B = 2ab\), woraus \(4aB = 2ab\) und somit \(B = \frac{1}{2}b\) folgt. Überprüfung des letzten Terms: \((\frac{1}{2}b)^2 = \frac{1}{4}b^2\) (korrekt). 3. Vergleich mit \((A+B)^2\): Da das Quadrat des zweiten Terms \(n^2\) ist, muss die erste Lücke \(n\) sein. Der erste Term des Ergebnisses ist das Quadrat von \(\frac{1}{3}m\), also \((\frac{1}{3}m)^2 = \frac{1}{9}m^2\). Überprüfung des gemischten Terms: \(2 \cdot \frac{1}{3}m \cdot n = \frac{2}{3}mn\) (korrekt).

1) \(x\) 2) \(\frac{1}{2}b\) (oder \(0{,}5b\)) 3) Erste Lücke: \(n\); zweite Lücke: \(\frac{1}{9}m^2\)

- Erinnere dich an die allgemeine Struktur der binomischen Formeln: \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) und \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\). - Welcher Teil der Formel entspricht welcher Zahl oder Variable im Ergebnis? - Überlege, welche Zahl mit sich selbst multipliziert den hinteren Teil des Ergebnisses ergibt. - Wie setzt sich das mittlere Glied aus den beiden Teilen in der Klammer zusammen?

1. Teilaufgabe a): Vergleich mit der 1. binomischen Formel \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\). Da \(a^2 = 9x^2\), folgt \(a = 3x\). Da \(b^2 = 25\), folgt \(b = 5\). Berechnung des Mittelterms: \(2 \cdot 3x \cdot 5 = 30x\). 2. Teilaufgabe b): Vergleich mit der 2. binomischen Formel \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\). Da \(a^2 = 0{,}16x^2\), folgt \(a = 0{,}4x\). Das Endglied \(b^2 = (0{,}2y^2)^2 = 0{,}04y^4\) passt zur Vorgabe. Berechnung des Mittelterms: \(2 \cdot 0{,}4x \cdot 0{,}2y^2 = 0{,}16xy^2\).

a) \((3x + 5)^2 = 9x^2 + 30x + 25\) b) \((0{,}4x - 0{,}2y^2)^2 = 0{,}16x^2 - 0{,}16xy^2 + 0{,}04y^4\)

- Achte darauf, sowohl die Zahlen als auch die Variablen mit ihren Exponenten zu quadrieren. - Nutze die Potenzgesetze, zum Beispiel \((x^2)^2 = x^4\). - Vergiss beim Mittelterm nicht den Faktor 2. - Bei Brüchen quadrierst du Zähler und Nenner getrennt.

1. Teilaufgabe a): Anwendung von \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\). Berechnung: \((\frac{3}{4}a^2)^2 + 2 \cdot \frac{3}{4}a^2 \cdot \frac{1}{3}b + (\frac{1}{3}b)^2 = \frac{9}{16}a^4 + \frac{1}{2}a^2b + \frac{1}{9}b^2\). 2. Teilaufgabe b): Anwendung von \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\). Berechnung: \((1{,}5z^3)^2 - 2 \cdot 1{,}5z^3 \cdot 2w^2 + (2w^2)^2 = 2{,}25z^6 - 6z^3w^2 + 4w^4\).

a) \(\frac{9}{16}a^4 + \frac{1}{2}a^2b + \frac{1}{9}b^2\) b) \(2{,}25z^6 - 6z^3w^2 + 4w^4\)

- Überlege zuerst, welchen Einfluss ein gemeinsames Minuszeichen beim Quadrieren der ganzen Klammer hat. - Nutze anschließend die erste binomische Formel. - Achte beim mittleren Term auf den Faktor \(2\) und beim Quadrieren auf die Potenzgesetze.

1. Beim Quadrieren ändert ein gemeinsames Minuszeichen den Wert nicht: \((-1{,}5a^2b-0{,}4ab^2)^2=(1{,}5a^2b+0{,}4ab^2)^2\). 2. Mit der ersten binomischen Formel werden der erste Term, das doppelte Produkt und der zweite Term quadriert beziehungsweise multipliziert. 3. \((1{,}5a^2b)^2=2{,}25a^4b^2\). 4. \(2\cdot1{,}5a^2b\cdot0{,}4ab^2=1{,}2a^3b^3\). 5. \((0{,}4ab^2)^2=0{,}16a^2b^4\). 6. Insgesamt ergibt sich \(2{,}25a^4b^2+1{,}2a^3b^3+0{,}16a^2b^4\).

\(2{,}25a^4b^2+1{,}2a^3b^3+0{,}16a^2b^4\)

- Berechne zuerst die beiden Klammerausdrücke einzeln. - Achte besonders auf das Minuszeichen zwischen den beiden Klammern. - Was passiert mit den Vorzeichen in der zweiten Klammer, wenn du sie auflöst? - Gibt es Terme, die sich gegenseitig aufheben?

1. Ausmultiplizieren des ersten Quadrats mit der ersten binomischen Formel: \((2x^2 + 0{,}5y)^2 = 4x^4 + 2x^2y + 0{,}25y^2\) 2. Ausmultiplizieren des zweiten Quadrats mit der zweiten binomischen Formel: \((2x^2 - 0{,}5y)^2 = 4x^4 - 2x^2y + 0{,}25y^2\) 3. Bilden der Differenz unter Berücksichtigung der Klammerregeln: \((4x^4 + 2x^2y + 0{,}25y^2) - (4x^4 - 2x^2y + 0{,}25y^2)\) 4. Auflösen der Minusklammer: \(4x^4 + 2x^2y + 0{,}25y^2 - 4x^4 + 2x^2y - 0{,}25y^2\) 5. Zusammenfassen gleicher Glieder: \(4x^2y\)

\(4x^2y\)

- Wie multipliziert man einen Bruch mit einer ganzen Zahl? - Welche binomische Formel passt jeweils zur Klammer? - Achte darauf, beim Quadrieren eines Terms wie \(x^2\) die Potenzgesetze anzuwenden.

1. Anwendung der zweiten binomischen Formel auf \((\frac{2}{3}x - 6)^2\): Berechnung von \((\frac{2}{3}x)^2 = \frac{4}{9}x^2\), des Doppelprodukts \(2 \cdot \frac{2}{3}x \cdot 6 = 8x\) und \(6^2 = 36\). Ergebnis: \(\frac{4}{9}x^2 - 8x + 36\). 2. Anwendung der ersten binomischen Formel auf \((x^2 + 4y)^2\): Berechnung von \((x^2)^2 = x^4\), des Doppelprodukts \(2 \cdot x^2 \cdot 4y = 8x^2y\) und \((4y)^2 = 16y^2\). Ergebnis: \(x^4 + 8x^2y + 16y^2\).

1) \(\frac{4}{9}x^2 - 8x + 36\) 2) \(x^4 + 8x^2y + 16y^2\)

- Welche binomische Formel passt zu den jeweiligen Klammerausdrücken? - Berücksichtige einen Faktor vor einer Klammer erst nach der binomischen Formel. - Fasse am Ende gleichartige Glieder zusammen.

1. In a) gilt \((y-1)^2=y^2-2y+1\). Mit dem Faktor \(4\) ergibt das \(4y^2-8y+4\). 2. Außerdem gilt \((y+2)(y-2)=y^2-4\). Zusammen entsteht \(5y^2-8y\). 3. In b) gilt \((3a+2)^2=9a^2+12a+4\). 4. Weiter ist \(-3(a^2-4)=-3a^2+12\). Zusammen entsteht \(6a^2+12a+16\).

a) \(5y^2-8y\) b) \(6a^2+12a+16\)

- Setze in a) die Werte in \(a^2+2ab+b^2\) ein. - Setze in b) die Werte in \(a^2-2ab+b^2\) ein. - Vergleiche in c) die tatsächlich notierten Zwischenschritte, nicht nur den gemeinsamen Endwert.

1. a) \((2+0{,}5)^2=2^2+2\cdot2\cdot0{,}5+0{,}5^2=4+2+0{,}25=6{,}25\). 2. b) \((3-0{,}5)^2=3^2-2\cdot3\cdot0{,}5+0{,}5^2=9-3+0{,}25=6{,}25\). 3. Beide Wege sind korrekt. Eine begründete Präferenz kann sich auf die einfacheren Teilrechnungen beziehen.

a) \((2+0{,}5)^2=4+2+0{,}25=6{,}25\,\text{m}^2\) b) \((3-0{,}5)^2=9-3+0{,}25=6{,}25\,\text{m}^2\) c) Beide Wege sind möglich; die gewählte Präferenz muss mit den konkreten Teilrechnungen begründet werden.

- Vergleiche die Ausdrücke mit den drei binomischen Formeln. - Welcher Teil der Formel ist gegeben: die Klammer oder der ausmultiplizierte Term? - Denk an das Vorzeichen beim mittleren Summanden. - Was passiert mit dem Vorzeichen einer Zahl, wenn man sie quadriert?

1. Vergleich mit der ersten binomischen Formel \((A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2\): Es ist \(A = 4x\). Der mittlere Term ist \(2 \cdot 4x \cdot B = 40xy\). Daraus folgt \(8x \cdot B = 40xy\), also \(B = 5y\). Die Lücken sind: \((4x + 5y)^2 = 16x^2 + 40xy + 25y^2\). 2. Anwendung der zweiten binomischen Formel \(A^2 - 2AB + B^2 = (A-B)^2\): Hier ist \(A^2 = 25a^2 \Rightarrow A = 5a\) und \(B^2 = 1 \Rightarrow B = 1\). Der mittlere Term \(-2 \cdot 5a \cdot 1 = -10a\) passt zur Aufgabenstellung. Ergebnis: \((5a - 1)^2\). 3. Linke Seite: \((x-7)^2 = x^2 - 14x + 49\). Rechte Seite: \((7-x)^2 = 49 - 14x + x^2\). Da die Summanden identisch sind (Kommutativgesetz), gilt die Gleichheit. Alternativ: \((7-x)^2 = ((-1) \cdot (x-7))^2 = (-1)^2 \cdot (x-7)^2 = (x-7)^2\).

1. \((4x + 5y)^2 = 16x^2 + 40xy + 25y^2\) 2. \((5a - 1)^2\) 3. Beide Seiten ergeben ausmultipliziert \(x^2 - 14x + 49\).

- Welche binomischen Formeln kannst du in der Klammer erkennen? - Achte besonders auf das Minuszeichen vor der zweiten runden Klammer und wie es die Vorzeichen beim Auflösen beeinflusst. - Kannst du den Ausdruck in der Klammer zuerst komplett vereinfachen, bevor du den äußeren Faktor einbeziehst?

1. Anwendung der 1. und 2. binomischen Formel auf die Ausdrücke in der Klammer: \((4r^2 + 12rs + 9s^2) - (4r^2 - 12rs + 9s^2)\) 2. Vereinfachung des Ausdrucks in der Klammer durch Subtraktion: \(4r^2 - 4r^2 + 12rs - (-12rs) + 9s^2 - 9s^2 = 24rs\) 3. Multiplikation des Ergebnisses mit dem Faktor außerhalb der Klammer: \(24rs \cdot \frac{1}{2}rs = 12r^2s^2\)

\(12r^2s^2\)

- Vereinfache beide Terme unabhängig voneinander. - Nutze bei \(T_1\) die passenden binomischen Formeln. - Vergleiche erst die vollständig vereinfachten Ergebnisse.

1. Mit der ersten und zweiten binomischen Formel ergibt sich \(T_1=(25x^2+20x+4)+(4x^2-20x+25)\). 2. Zusammenfassen liefert \(T_1=29x^2+29\). 3. Ausmultiplizieren von \(T_2\) ergibt ebenfalls \(29x^2+29\). 4. Beide Terme vereinfachen sich auf denselben Term und sind daher äquivalent.

\(T_1=25x^2+20x+4+4x^2-20x+25=29x^2+29\). \(T_2=29(x^2+1)=29x^2+29\). Beide Terme vereinfachen sich auf denselben Term und sind daher äquivalent.

- Kannst du einen Teil des Terms in jeder Klammer so zusammenfassen, dass die Struktur \((A + B) \cdot (A - B)\) sichtbar wird? - Welche binomische Formel hilft dir, wenn du ein Produkt aus einer Summe und einer Differenz berechnen sollst? - Achte beim Auflösen von Klammern besonders auf das Minuszeichen, falls ein ganzer binomischer Ausdruck subtrahiert wird.

1. Gruppierung als \(((x+y)+3) \cdot ((x+y)-3)\). Anwendung der 3. binomischen Formel ergibt \((x+y)^2 - 3^2\). Ausmultiplizieren mit der 1. binomischen Formel führt zu \(x^2 + 2xy + y^2 - 9\). 2. Gruppierung als \(((a-b)+c) \cdot ((a-b)-c)\). Anwendung der 3. binomischen Formel ergibt \((a-b)^2 - c^2\). Ausmultiplizieren mit der 2. binomischen Formel führt zu \(a^2 - 2ab + b^2 - c^2\). 3. Gruppierung als \((7+(m+n)) \cdot (7-(m+n))\). Anwendung der 3. binomischen Formel ergibt \(7^2 - (m+n)^2\). Ausmultiplizieren mit der 1. binomischen Formel und Berücksichtigung des Minuszeichens führt zu \(49 - (m^2 + 2mn + n^2) = 49 - m^2 - 2mn - n^2\).

1) \(x^2 + 2xy + y^2 - 9\) 2) \(a^2 - 2ab + b^2 - c^2\) 3) \(49 - m^2 - 2mn - n^2\)

- Manchmal muss man ein Minuszeichen ausklammern, um eine passende Gruppe in beiden Faktoren zu finden. - Achte besonders auf das Minuszeichen vor einer Klammer, wenn du ein Quadrat abziehst. - Erinnere dich daran, dass \(-(a+b) = -a - b\) und \(-(a-b) = -a + b\) gilt. - Kannst du die Terme so sortieren, dass die Struktur \((A-B) \cdot (A+B)\) deutlich wird?

1. Teilaufgabe a): Gruppierung zu \(((r+s) + (t+u)) \cdot ((r+s) - (t+u))\). Anwendung der dritten binomischen Formel ergibt \((r+s)^2 - (t+u)^2\). Auflösen beider Quadrate mit der ersten binomischen Formel führt zu \((r^2 + 2rs + s^2) - (t^2 + 2tu + u^2)\). Auflösen der Minusklammer ergibt \(r^2 + 2rs + s^2 - t^2 - 2tu - u^2\). 2. Teilaufgabe b): Gruppierung zu \((10 - (x - 2y)) \cdot (10 + (x - 2y))\). Anwendung der dritten binomischen Formel ergibt \(10^2 - (x - 2y)^2\). Auflösen des Quadrats mit der zweiten binomischen Formel liefert \(100 - (x^2 - 4xy + 4y^2)\). Auflösen der Minusklammer ergibt \(100 - x^2 + 4xy - 4y^2\).

a) \(r^2 + 2rs + s^2 - t^2 - 2tu - u^2\) b) \(100 - x^2 + 4xy - 4y^2\)

- Welche Zahl in der Mitte der drei aufeinanderfolgenden Zahlen eignet sich am besten als Basis für deine Variable? - Wenn die mittlere Zahl \(x\) ist, wie lauten dann die Zahlen direkt davor und danach? - Achte beim Multiplizieren von zwei Klammern auf die Vorzeichenregeln. - Was passiert mit den verschiedenen Teilen deines Terms, wenn du ihn so weit wie möglich zusammenfasst?

1. Festlegen der Variablen: Um die Rechnung zu vereinfachen, wählt man die mittlere Zahl als \(m\). Dann ist die kleinste Zahl \(m - 1\) und die größte Zahl \(m + 1\). 2. Aufstellen des Terms: Das Produkt der äußeren Zahlen plus 1 ergibt \((m - 1) \cdot (m + 1) + 1\). 3. Ausmultiplizieren der Klammern (Distributivgesetz): \(m \cdot m + m \cdot 1 - 1 \cdot m - 1 \cdot 1 + 1 = m^2 + m - m - 1 + 1\). 4. Vereinfachen des Terms: Die Glieder \(+m\) und \(-m\) sowie \(-1\) und \(+1\) heben sich paarweise auf. 5. Ergebnis: Es bleibt lediglich \(m^2\) übrig, was das Quadrat der mittleren Zahl ist.

Sei \(m\) die mittlere Zahl. Dann sind die drei Zahlen \(m-1\), \(m\) und \(m+1\). Das Produkt der äußeren Zahlen plus 1 ergibt \((m-1) \cdot (m+1) + 1 = m^2 + m - m - 1 + 1 = m^2\). Dies entspricht dem Quadrat der mittleren Zahl.

- Der erste Teilterm passt zur zweiten, der zweite zur dritten binomischen Formel. - Beim letzten Teilterm wird keine binomische Formel benötigt; dort genügt das Distributivgesetz. - Sortiere danach die \(x^2\)-, \(xy\)- und \(y^2\)-Glieder.

1. Mit der zweiten binomischen Formel ist \((3x-2y)^2=9x^2-12xy+4y^2\). 2. Mit der dritten binomischen Formel ist \((x+y)(x-y)=x^2-y^2\), also \(3(x+y)(x-y)=3x^2-3y^2\). 3. Der letzte Term wird mit dem Distributivgesetz ausmultipliziert: \(-2x(x-4y)=-2x^2+8xy\). 4. Zusammenfassen aller gleichartigen Glieder ergibt \(10x^2-4xy+y^2\).

\(10x^2-4xy+y^2\)

- Wie sieht der mathematische Ausdruck für die Summe der Quadrate aus? - Kannst du die Klammer mit einer binomischen Formel auflösen? - Woran erkennt man mathematisch, ob eine Zahl gerade oder ungerade ist? - Hilft es dir, den Term so umzuformen, dass eine 2 ausgeklammert wird?

1. Aufstellen des Terms für die Summe der Quadrate: \(n^2 + (n+1)^2\) 2. Anwendung der 1. binomischen Formel auf den zweiten Summanden: \(n^2 + (n^2 + 2n + 1)\) 3. Zusammenfassen der Termglieder: \(2n^2 + 2n + 1\) 4. Ausklammern der 2 im vorderen Teil des Terms: \(2(n^2 + n) + 1\) 5. Argumentation zur Parität: Da \(n^2 + n\) für jede ganze Zahl \(n\) ein ganzzahliges Ergebnis liefert, ist \(2(n^2 + n)\) immer eine gerade Zahl. Die Addition von 1 führt somit zwingend zu einer ungeraden Zahl.

Die Summe der Quadrate \(n^2 + (n+1)^2\) lässt sich zu \(2(n^2 + n) + 1\) umformen. Da \(2(n^2 + n)\) immer eine gerade Zahl ist, ergibt die Summe mit 1 stets eine ungerade Zahl.

- Achte besonders auf das Vorzeichen, wenn du eine Klammer hinter ein Minuszeichen setzt. - Siehst du ein Muster, das der Form \((a-b) \cdot (a+b)\) ähnelt, wenn du Teile des Terms zusammenfasst? - Vergiss nicht, am Ende alle inneren Klammern vollständig aufzulösen.

1. Umformung der zweiten Klammer: \((r + (s - t))\) 2. Umformung der ersten Klammer durch Ausklammern eines Minuszeichens: \(r - s + t = r - (s - t)\) 3. Struktur der 3. binomischen Formel erkennen: \((r - (s - t)) \cdot (r + (s - t))\) 4. Anwendung der 3. binomischen Formel: \(r^2 - (s - t)^2\) 5. Anwendung der 2. binomischen Formel auf \((s - t)^2\): \(r^2 - (s^2 - 2st + t^2)\) 6. Auflösen der Minusklammer: \(r^2 - s^2 + 2st - t^2\)

\(r^2 - s^2 + 2st - t^2\)

- Kannst du eine Struktur erkennen, die zu einer der binomischen Formeln passt? - Es hilft oft, zuerst nur zwei Klammern zusammenzufassen und das Ergebnis dann mit dem Rest des Terms zu verrechnen. - Achte bei Teilaufgabe b) darauf, zuerst die Klammer aufzulösen, bevor du die Subtraktion durchführst. - Erinnerst du dich an die Potenzgesetze, wenn du zum Beispiel \(x^2\) quadrierst?

1. Teilaufgabe a): Anwendung der dritten binomischen Formel auf die ersten beiden Klammern ergibt \((x - 3) \cdot (x + 3) = x^2 - 3^2 = x^2 - 9\). 2. Erneute Anwendung der dritten binomischen Formel auf das Zwischenergebnis und die letzte Klammer: \((x^2 - 9) \cdot (x^2 + 9) = (x^2)^2 - 9^2 = x^4 - 81\). 3. Teilaufgabe b): Anwendung der ersten binomischen Formel auf den quadrierten Ausdruck: \((k + 4)^2 = k^2 + 2 \cdot k \cdot 4 + 4^2 = k^2 + 8k + 16\). 4. Subtraktion von \(8k\) vom Ergebnis: \(k^2 + 8k + 16 - 8k = k^2 + 16\).

a) \(x^4 - 81\) b) \(k^2 + 16\)

- Arbeite dich von links nach rechts durch den Term. Was passiert, wenn du die ersten beiden Klammern multiplizierst? - Siehst du ein Muster, das sich bei jedem Schritt wiederholt? - Wie berechnet man das Quadrat einer Potenz, zum Beispiel \((y^4)^2\)? - Überlege dir, welche der drei binomischen Formeln hier in jedem Schritt den Rechenaufwand verkürzt.

1. Zusammenfassen der ersten beiden Faktoren mithilfe der dritten binomischen Formel: \((y - 2) \cdot (y + 2) = y^2 - 4\). 2. Multiplikation dieses Ergebnisses mit dem dritten Faktor unter erneuter Anwendung der dritten binomischen Formel: \((y^2 - 4) \cdot (y^2 + 4) = (y^2)^2 - 4^2 = y^4 - 16\). 3. Letzte Anwendung der dritten binomischen Formel auf das neue Zwischenergebnis und den vierten Faktor: \((y^4 - 16) \cdot (y^4 + 16) = (y^4)^2 - 16^2 = y^8 - 256\).

\(y^8 - 256\)

- Manchmal muss man ein Minuszeichen ausklammern, um eine passende Struktur für die binomischen Formeln zu finden. - Was passiert mit den Vorzeichen in einer Klammer, wenn ein Minus davor steht? - Überlege dir genau, welcher Teil des Terms dein „A“ und welcher dein „B“ in der Formel \((A+B) \cdot (A-B)\) ist.

1. Teilaufgabe a: Umschreiben des zweiten Faktors zu \((m - (2n + 3p))\). Der Term lautet nun \((m + (2n + 3p)) \cdot (m - (2n + 3p))\). 2. Anwendung der 3. binomischen Formel ergibt \(m^2 - (2n + 3p)^2\). 3. Expansion des Quadrats mit der 1. binomischen Formel: \(m^2 - (4n^2 + 12np + 9p^2)\). Auflösen der Minusklammer führt zu \(m^2 - 4n^2 - 12np - 9p^2\). 4. Teilaufgabe b: Umschreiben zu \((4u + (v - 5w)) \cdot (4u - (v - 5w))\). Anwendung der 3. binomischen Formel ergibt \((4u)^2 - (v - 5w)^2\). 5. Expansion ergibt \(16u^2 - (v^2 - 10vw + 25w^2)\). Auflösen der Minusklammer führt zu \(16u^2 - v^2 + 10vw - 25w^2\).

a) \(m^2 - 4n^2 - 12np - 9p^2\) b) \(16u^2 - v^2 + 10vw - 25w^2\)

- Kannst du im ersten Teil des Terms eine binomische Formel erkennen? - Was passiert mit den Vorzeichen der einzelnen Glieder, wenn du eine Klammer abziehst? - Überlege, welche Glieder sich beim Zusammenfassen gegenseitig aufheben.

1. Anwendung der dritten binomischen Formel auf das Produkt: \((3x + 2y) \cdot (3x - 2y) = 9x^2 - 4y^2\) 2. Anwendung der zweiten binomischen Formel auf das Quadrat: \((3x - y)^2 = 9x^2 - 6xy + y^2\) 3. Subtraktion der beiden Teilergebnisse unter Beachtung der Vorzeichenänderung in der Minusklammer: \((9x^2 - 4y^2) - (9x^2 - 6xy + y^2) = 9x^2 - 4y^2 - 9x^2 + 6xy - y^2\) 4. Zusammenfassen der gleichartigen Glieder: \(6xy - 5y^2\)

\(6xy - 5y^2\)

- Löse zuerst die Quadrate innerhalb der geschweiften Klammer einzeln auf. - Achte beim Subtrahieren darauf, welche Terme übrig bleiben. - Erinnere dich an die Potenzgesetze, wenn du Variablen mit unterschiedlichen Exponenten multiplizierst.

1. Erste binomische Formel für das erste Quadrat: \((b^2 + 4)^2 = b^4 + 8b^2 + 16\) 2. Zweite binomische Formel für das zweite Quadrat: \((b^2 - 4)^2 = b^4 - 8b^2 + 16\) 3. Bildung der Differenz innerhalb der geschweiften Klammer: \((b^4 + 8b^2 + 16) - (b^4 - 8b^2 + 16) = 16b^2\) 4. Multiplikation des Ergebnisses mit dem äußeren Faktor: \(\frac{1}{4}b \cdot 16b^2 = 4b^3\)

\(4b^3\)

- Überlege zuerst, welche der binomischen Formeln jeweils passt. - Achte beim Quadrieren von Produkten darauf, jeden Faktor einzeln zu quadrieren. - Multipliziere bei den gemischten Termen (\(2ab\)) erst die Zahlen und dann die Variablen.

1. Anwendung der ersten binomischen Formel \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\): \((0{,}5x^2)^2 + 2 \cdot 0{,}5x^2 \cdot 0{,}2y^3 + (0{,}2y^3)^2 = 0{,}25x^4 + 0{,}2x^2y^3 + 0{,}04y^6\) 2. Anwendung der zweiten binomischen Formel \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\): \((\frac{3}{4}a)^2 - 2 \cdot \frac{3}{4}a \cdot \frac{1}{3}b + (\frac{1}{3}b)^2 = \frac{9}{16}a^2 - \frac{1}{2}ab + \frac{1}{9}b^2\) 3. Anwendung der zweiten binomischen Formel: \((1{,}2p^2)^2 - 2 \cdot 1{,}2p^2 \cdot 0{,}5q + (0{,}5q)^2 = 1{,}44p^4 - 1{,}2p^2q + 0{,}25q^2\)

1) \(0{,}25x^4 + 0{,}2x^2y^3 + 0{,}04y^6\) 2) \(\frac{9}{16}a^2 - \frac{1}{2}ab + \frac{1}{9}b^2\) 3) \(1{,}44p^4 - 1{,}2p^2q + 0{,}25q^2\)

- Was passiert mit der ersten binomischen Formel, wenn man den letzten Teil einfach weglässt? - Wie findet man den passenden Wert für \(a\), wenn die Basis \(10\) ist? - Überlege, welcher Teil der Rechnung für den Unterschied zwischen dem geschätzten und dem echten Ergebnis verantwortlich ist.

1. Für \(10{,}2^2\) ist \(a = 0{,}2\). Näherung: \(100 + 20 \cdot 0{,}2 = 100 + 4 = 104\). Für \(10{,}02^2\) ist \(a = 0{,}02\). Näherung: \(100 + 20 \cdot 0{,}02 = 100 + 0{,}4 = 100{,}4\). 2. Exakte Werte: \(10{,}2^2 = (10 + 0{,}2)^2 = 100 + 4 + 0{,}04 = 104{,}04\). \(10{,}02^2 = (10 + 0{,}02)^2 = 100 + 0{,}4 + 0{,}0004 = 100{,}4004\). 3. Absoluter Fehler für \(10{,}2^2\): \(104{,}04 - 104 = 0{,}04\). Absoluter Fehler für \(10{,}02^2\): \(100{,}4004 - 100{,}4 = 0{,}0004\). 4. Der Fehler entspricht genau dem Term \(a^2\), der in der Näherung weggelassen wurde. Da \(0{,}02\) kleiner ist als \(0{,}2\), ist das Quadrat \(0{,}02^2 = 0{,}0004\) wesentlich kleiner als \(0{,}2^2 = 0{,}04\).

1. Näherungen: \(104\) und \(100{,}4\). 2. Exakte Werte: \(104{,}04\) und \(100{,}4004\). 3. Fehler: \(0{,}04\) und \(0{,}0004\). 4. Der Fehler entspricht \(a^2\); da \(0{,}02 < 0{,}2\), ist \(0{,}02^2\) viel kleiner als \(0{,}2^2\).

- Ersetze die Zahl durch einen Ausdruck der Form \((1 - a)\). - Vergleiche die vollständige zweite binomische Formel mit der verkürzten Näherungsformel. - Was weißt du über das Vorzeichen von Quadratzahlen?

1. Für \(0{,}99^2\) ist \(a = 0{,}01\). Näherungswert: \(1 - 2 \cdot 0{,}01 = 1 - 0{,}02 = 0{,}98\). Exakter Wert: \((1 - 0{,}01)^2 = 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 0{,}01 + 0{,}01^2 = 1 - 0{,}02 + 0{,}0001 = 0{,}9801\). 2. Absoluter Fehler: \(|0{,}9801 - 0{,}98| = 0{,}0001\). 3. Die Differenz zwischen dem exakten Wert \((1 - 2a + a^2)\) und der Näherung \((1 - 2a)\) ist \((1 - 2a + a^2) - (1 - 2a) = a^2\). Da das Quadrat einer Zahl \(a \neq 0\) immer positiv ist (\(a^2 > 0\)), ist der exakte Wert stets um \(a^2\) größer als der Näherungswert.

1. Näherung: \(0{,}98\); Exakt: \(0{,}9801\). 2. Fehler: \(0{,}0001\). 3. Der exakte Wert ist um \(a^2\) größer als die Näherung. Da \(a^2\) für \(a \neq 0\) immer positiv ist, liegt die Näherung stets unter dem echten Wert.

- In a) soll nach dem Kürzen genau der Faktor \(5-z\) übrig bleiben. - Vergleiche in b) die Reihenfolge der beiden Summanden im Divisor. - In c) ist ein gemeinsamer Faktor bereits sichtbar.

1. In a) muss der Faktor \(5+z\) im Nenner stehen, damit er gekürzt werden kann. Daher ist \(N=5+z\). 2. In b) gilt \(4-k=-(k-4)\). Daher ist der Quotient \(-(k+4)=-k-4\); Hanas Behauptung ist falsch. 3. In c) kann \(3y+8\) gekürzt werden. Es bleibt \(3y-8\).

a) \(N=5+z\) b) Falsch; richtig ist \(-k-4\). c) \(3y-8\)

- Welche der drei binomischen Formeln passt jeweils zur Struktur der Gleichung? - Vergleiche die einzelnen Bestandteile der Klammern mit den Ergebnissen auf der rechten Seite. - Wenn du ein Quadrat wie \(16x^2\) hast, wie kommst du auf die ursprüngliche Zahl in der Klammer? - Achte bei der zweiten Aufgabe besonders auf den gemischten Term in der Mitte.

1. Teilaufgabe a): Vergleich mit der 3. binomischen Formel \((A-B) \cdot (A+B) = A^2 - B^2\). Da \((4x)^2 = 16x^2\) und \((3y)^2 = 9y^2\) gilt, erhält man \((4x - 3y) \cdot (4x + 3y) = 16x^2 - 9y^2\). 2. Teilaufgabe b): Vergleich mit der 1. binomischen Formel \((A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2\). Mit \(A = 5a\) und \(B = 3\) gilt \(2AB = 2 \cdot 5a \cdot 3 = 30a\). Daher ist \((5a + 3)^2 = 25a^2 + 30a + 9\). 3. Teilaufgabe c): Da \((0{,}5z)^2 = 0{,}25z^2\) gilt, ergibt die 3. binomische Formel \((4 - 0{,}5z) \cdot (4 + 0{,}5z) = 16 - 0{,}25z^2\).

a) \((4x - 3y) \cdot (4x + 3y) = 16x^2 - 9y^2\) b) \((5a + 3)^2 = 25a^2 + 30a + 9\) c) \((4 - 0{,}5z) \cdot (4 + 0{,}5z) = 16 - 0{,}25z^2\)

- Die 3. binomische Formel erkennt man an einer Differenz von zwei Quadraten. - Prüfe bei jedem Term sowohl das Rechenzeichen als auch die Anzahl der Glieder. - Ein Term kann zu einer anderen binomischen Formel passen, ohne zur dritten zu passen.

1. Bei a) liegt eine Differenz zweier Quadrate vor: \(a^2-11^2=(a-11)(a+11)\). 2. Bei b) liegt eine Summe vor. Die 3. binomische Formel gilt für eine Differenz von Quadraten und ist daher nicht anwendbar. 3. Bei c) gilt \(16x^2-1=(4x)^2-1^2=(4x-1)(4x+1)\). 4. Bei d) stehen drei Glieder. Der Term ist zwar \((x-3)^2\), aber keine direkte Differenz zweier Quadrate; die 3. binomische Formel ist daher nicht die passende direkte Zerlegung.

a) Ja: \((a-11) \cdot (a+11)\) b) Nein; es liegt eine Summe vor. c) Ja: \((4x-1) \cdot (4x+1)\) d) Nein; der Term ist ein binomisches Quadrat \((x-3)^2\), keine direkte Differenz zweier Quadrate.

- Vergleiche die linke und die rechte Seite der Gleichung systematisch mit der Formel. - Was erhältst du, wenn du einen Teilterm der Klammer mit sich selbst multiplizierst? - Welche Zahl ergibt quadriert den Koeffizienten vor der Variablen? - Achte beim Quadrieren von Dezimalzahlen wie \(0{,}1\) auf die Anzahl der Nachkommastellen.

1. Abgleich der gegebenen Terme mit der Struktur \(a^2 - b^2 = (a - b) \cdot (a + b)\). 2. a) Da \(a^2 = 4k^2\), folgt \(a = 2k\). Da \(b = 5\), folgt \(b^2 = 25\). Ergebnis: \((2k - 5) \cdot (2k + 5) = 4k^2 - 25\). 3. b) Da \(a^2 = 100x^2\), folgt \(a = 10x\). Da \(b = 9y\), folgt \(b^2 = 81y^2\). Ergebnis: \(100x^2 - 81y^2 = (10x - 9y) \cdot (10x + 9y)\). 4. c) Da \(a = 0{,}1z\), folgt \(a^2 = 0{,}01z^2\). Da \(b^2 = 1\), folgt \(b = 1\). Ergebnis: \(0{,}01z^2 - 1 = (0{,}1z - 1) \cdot (0{,}1z + 1)\).

a) \((2k - 5) \cdot (2k + 5) = 4k^2 - 25\) b) \(100x^2 - 81y^2 = (10x - 9y) \cdot (10x + 9y)\) c) \(0{,}01z^2 - 1 = (0{,}1z - 1) \cdot (0{,}1z + 1)\)

- Bei Teil a musst du darauf achten, dass auch Potenzen wie \( x^4 \) Quadrate sind. - Schau dir die Struktur der 3. binomischen Formel genau an – welches Rechenzeichen steht zwischen den Quadraten? - In Teil c hilft dir die Formel, eine schwierige Quadratrechnung in eine einfache Multiplikation zu verwandeln.

1. Teil a: Identifikation der Quadrate: \( 0{,}04x^4 = (0{,}2x^2)^2 \) und \( \frac{1}{25}y^2 = (\frac{1}{5}y)^2 \). Anwendung der Formel \( A^2 - B^2 = (A - B) \cdot (A + B) \) führt zu \( (0{,}2x^2 - \frac{1}{5}y) \cdot (0{,}2x^2 + \frac{1}{5}y) \). Alternativ mit Dezimalzahlen: \( (0{,}2x^2 - 0{,}2y) \cdot (0{,}2x^2 + 0{,}2y) \). 2. Teil b: Die 3. binomische Formel \( A^2 - B^2 = (A-B) \cdot (A+B) \) setzt eine Differenz (Minuszeichen) voraus. Da im Term \( 81a^2 + 16b^2 \) eine Summe vorliegt, ist die Formel nicht anwendbar. 3. Teil c: Anwendung der Formel auf Zahlenwerte: \( 51^2 - 49^2 = (51 - 49) \cdot (51 + 49) \). Berechnung der Klammern: \( 2 \cdot 100 = 200 \).

a) \( (0{,}2x^2 - \frac{1}{5}y) \cdot (0{,}2x^2 + \frac{1}{5}y) \) oder \( (0{,}2x^2 - 0{,}2y) \cdot (0{,}2x^2 + 0{,}2y) \) b) Die Formel gilt nur für Differenzen (\( A^2 - B^2 \)), hier liegt jedoch eine Summe vor. c) \( 200 \)

- Hier sind beide Teile der Differenz Quadrate von Termen. Setze für \(A\) und \(B\) die gesamten Ausdrücke in den Klammern ein. - Vergiss nicht, beim Auflösen der Minusklammer alle Vorzeichen umzudrehen. - Prüfe am Ende jedes Produkts, ob du Variablen mit gleichen Namen zusammenrechnen kannst.

1. Anwendung der Formel \(A^2 - B^2\) mit \(A = a+b\) und \(B = a-b\): \(((a+b) - (a-b)) \cdot ((a+b) + (a-b))\). Vereinfachung: \((a+b-a+b) \cdot (a+b+a-b) = (2b) \cdot (2a) = 4ab\). 2. Anwendung mit \(A = 2x+3y\) und \(B = x+y\): \(((2x+3y) - (x+y)) \cdot ((2x+3y) + (x+y))\). Vereinfachung: \((2x+3y-x-y) \cdot (2x+3y+x+y) = (x+2y) \cdot (3x+4y)\). 3. Anwendung mit \(A = 0{,}7k\) und \(B = 0{,}3k-1\): \((0{,}7k - (0{,}3k-1)) \cdot (0{,}7k + (0{,}3k-1))\). Vereinfachung: \((0{,}7k-0{,}3k+1) \cdot (0{,}7k+0{,}3k-1) = (0{,}4k+1) \cdot (k-1)\).

1) \(4ab\) 2) \((x+2y) \cdot (3x+4y)\) 3) \((0{,}4k+1) \cdot (k-1)\)

- Kannst du den gesamten ersten Teil des Terms als ein einziges Quadrat schreiben, zum Beispiel \((...)^2\)? - Erinnere dich daran, welche Dezimalzahl mit sich selbst multipliziert \(0{,}49\) ergibt. - Wenn ein Teil des Terms bereits in Klammern steht, behandle diesen gesamten Ausdruck wie eine einzige Variable. - Überprüfe am Ende, ob du alle inneren Klammern korrekt aufgelöst hast.

1. Umschreiben von \(9a^2\) als \((3a)^2\). Identifikation von \(A = 3a\) und \(B = 3b-c\). Anwendung der Formel \((A-B) \cdot (A+B)\) führt zu \((3a - (3b-c)) \cdot (3a + (3b-c))\). Auflösen der Klammern ergibt \((3a - 3b + c) \cdot (3a + 3b - c)\). 2. Umschreiben von \(16z^2\) als \((4z)^2\). Identifikation von \(A = x+2y\) und \(B = 4z\). Anwendung der Formel ergibt \((x+2y-4z) \cdot (x+2y+4z)\). 3. Umschreiben der Dezimalzahl \(0{,}49\) als \((0{,}7)^2\). Identifikation von \(A = 0{,}7\) und \(B = u+v\). Anwendung der Formel ergibt \((0{,}7 - (u+v)) \cdot (0{,}7 + (u+v))\), was vereinfacht zu \((0{,}7 - u - v) \cdot (0{,}7 + u + v)\) führt.

1) \((3a-3b+c) \cdot (3a+3b-c)\) 2) \((x+2y-4z) \cdot (x+2y+4z)\) 3) \((0{,}7-u-v) \cdot (0{,}7+u+v)\)

- Setze bei Weg 1 den gesamten zweiten ausmultiplizierten Term wegen des Minuszeichens in Klammern. - Betrachte bei Weg 2 die beiden vollständigen Klammerterme als \(A\) und \(B\). - Beide Wege müssen nach vollständiger Vereinfachung übereinstimmen.

1. Weg 1: \((x^2+10x+25)-(x^2-10x+25)=20x\). 2. Weg 2: Mit \(A=x+5\) und \(B=x-5\) ergibt sich \(((x+5)-(x-5))((x+5)+(x-5))=10\cdot2x=20x\). 3. In Weg 1 entsteht in beiden Quadraten jeweils \(x^2\). Durch die Subtraktion wird daraus \(x^2-x^2=0\); deshalb verschwindet dieser Anteil.

a) 1. \((x+5)^2-(x-5)^2=(x^2+10x+25)-(x^2-10x+25)=20x\). 2. \(((x+5)-(x-5))((x+5)+(x-5))=10\cdot2x=20x\). b) Beim ersten Weg entsteht in beiden Quadraten ein \(x^2\)-Glied; durch die Subtraktion ergibt sich \(x^2-x^2=0\).

- Betrachte die gesamten Klammerausdrücke als die Einheiten \(a\) und \(b\) der Formel. - Was passiert mit den Vorzeichen in der Klammer, wenn ein Minus davor steht? - Fasse alle \(x\)-Terme und alle Zahlen innerhalb der neuen Klammern zusammen.

1. Erkennen der Struktur \(A^2 - B^2\) mit \(A = 2x+3\) und \(B = x-1\). 2. Anwendung der 3. binomischen Formel: \(T = ((2x+3) - (x-1)) \cdot ((2x+3) + (x-1))\). 3. Vereinfachung des ersten Faktors: \((2x+3) - (x-1) = 2x + 3 - x + 1 = x + 4\). 4. Vereinfachung des zweiten Faktors: \((2x+3) + (x-1) = 2x + 3 + x - 1 = 3x + 2\). 5. Ergebnis als Produkt: \((x+4) \cdot (3x+2)\).

\((x+4) \cdot (3x+2)\)

- Welche beiden Ausdrücke spielen jeweils die Rollen \(A\) und \(B\) in \(A^2-B^2\)? - Vereinfache erst nach dem Anwenden der Formel die beiden entstandenen Faktoren. - In Teil 3 vereinfachen sich beide Faktoren stark.

1. Mit \(A=xy^2\) und \(B=z+2\) gilt \((A-B)(A+B)=(xy^2-z-2)(xy^2+z+2)\). 2. Mit \(A=0{,}1\) und \(B=x-0{,}1\) gilt \((0{,}1-(x-0{,}1))(0{,}1+(x-0{,}1))=(0{,}2-x)x\). 3. Mit \(A=a+b\) und \(B=a-b\) entstehen die Faktoren \(2b\) und \(2a\); ihr Produkt ist \(4ab\).

1) \((xy^2-z-2)(xy^2+z+2)\) 2) \((0{,}2-x)x\) 3) \(4ab\)

- Erkennst du in den Aufgaben die Struktur \(A^2 - B^2\)? - Was entspricht in den jeweiligen Teilaufgaben dem \(A\) und was dem \(B\)? - Achte beim Subtrahieren von Summen in den Klammern besonders auf die Vorzeichenregeln. - Kannst du die Terme innerhalb der neuen Klammern noch weiter zusammenfassen?

1. Anwendung der Formel \(A^2 - B^2 = (A - B) \cdot (A + B)\) mit \(A = x + 7\) und \(B = 5\): \((x + 7 - 5) \cdot (x + 7 + 5) = (x + 2) \cdot (x + 12)\). 2. Anwendung mit \(A = a - 2b\) und \(B = 3c + d\): \(((a - 2b) - (3c + d)) \cdot ((a - 2b) + (3c + d)) = (a - 2b - 3c - d) \cdot (a - 2b + 3c + d)\). 3. Anwendung mit \(A = 2k + 1\) und \(B = k - 3\): \(((2k + 1) - (k - 3)) \cdot ((2k + 1) + (k - 3)) = (2k + 1 - k + 3) \cdot (2k + 1 + k - 3) = (k + 4) \cdot (3k - 2)\).

1) \((x + 2) \cdot (x + 12)\) 2) \((a - 2b - 3c - d) \cdot (a - 2b + 3c + d)\) 3) \((k + 4) \cdot (3k - 2)\)

- Achte in a) beim Subtrahieren auf alle Vorzeichen des zweiten ausmultiplizierten Quadrats. - In b) kannst du die beiden vollständigen Klammerterme als \(A\) und \(B\) betrachten. - Wenn der vereinfachte Term \(4n\) lautet, welche Rückwärtsrechnung führt vom Termwert \(84\) zu \(n\)?

1. Ausmultiplizieren ergibt \((n^2+2n+1)-(n^2-2n+1)=4n\). 2. Mit der dritten binomischen Formel ergibt sich \(((n+1)-(n-1))((n+1)+(n-1))=2\cdot2n=4n\). 3. Der Termwert ist also immer das Vierfache von \(n\). Für den Wert \(84\) ist daher \(n=84:4=21\).

a) \((n^2+2n+1)-(n^2-2n+1)=4n\) b) \(((n+1)-(n-1))((n+1)+(n-1))=2\cdot2n=4n\) c) \(n=21\)

- Schreibe das Quadrat als Produkt zweier gleicher Klammern und multipliziere aus. - Zerlege Zahlen wie \(31\) als \(10a+1\). - Gehe für Zahlen mit Endziffer \(2\) genauso vor, aber beginne mit \((10a+2)^2\).

1. Ausmultiplizieren ergibt \((10a+1)^2=100a^2+10a+10a+1=100a^2+20a+1\). 2. Für \(31^2\) ist \(a=3\): \(900+60+1=961\). Für \(61^2\) ist \(a=6\): \(3600+120+1=3721\). 3. Es gilt \((10a+2)^2=100a^2+40a+4\). Für \(a=3\) ergibt sich \(32^2=900+120+4=1024\).

1) \((10a+1)^2=(10a)^2+2\cdot10a\cdot1+1^2=100a^2+20a+1\). 2) \(31^2=961\); \(61^2=3721\). 3) \((10a+2)^2=100a^2+40a+4\); daraus folgt \(32^2=1024\).

- Versuche nicht, die Quadrate einzeln auszurechnen, sondern wende direkt die Formel für die Differenz zweier Quadrate an. - Was passiert mit den Variablen und Zahlen in den beiden neuen Klammern? - Woran erkennt man an einem Produkt, dass es durch \(24\) teilbar ist?

1. Identifikation der Komponenten für die dritte binomische Formel \(A^2 - B^2 = (A-B) \cdot (A+B)\): Hier ist \(A = 2n+3\) und \(B = 2n-3\). 2. Einsetzen in die Formel: \(T = ((2n+3) - (2n-3)) \cdot ((2n+3) + (2n-3))\). 3. Vereinfachen der ersten Klammer: \(2n + 3 - 2n + 3 = 6\). 4. Vereinfachen der zweiten Klammer: \(2n + 3 + 2n - 3 = 4n\). 5. Multiplikation der Ergebnisse: \(T = 6 \cdot 4n = 24n\). 6. Da \(n\) eine natürliche Zahl ist, ist \(24n\) stets ein ganzzahliges Vielfaches von \(24\).

Durch Anwendung der dritten binomischen Formel erhält man \(((2n+3)-(2n-3)) \cdot ((2n+3)+(2n-3))\). Dies vereinfacht sich zu \(6 \cdot 4n = 24n\). Da \(n\) eine natürliche Zahl ist, ist das Ergebnis immer ein Vielfaches von \(24\).

- Welche Zehnerzahl liegt besonders nah an der Zahl, die du quadrieren sollst? - Wie kannst du die Zahl als Differenz aus einer Zehnerzahl und der Eins ausdrücken? - Erinnere dich an die Struktur der zweiten binomischen Formel. - Was passiert mit dem Term, wenn du ihn Schritt für Schritt ausmultiplizierst und zusammenfasst?

1. Berechnung von \(19^2\): \((20-1)^2 = 20^2 - 2 \cdot 20 \cdot 1 + 1^2 = 400 - 40 + 1 = 361\). 2. Berechnung von \(39^2\): \((40-1)^2 = 40^2 - 2 \cdot 40 \cdot 1 + 1^2 = 1600 - 80 + 1 = 1521\). 3. Allgemeine Termumformung: \((10n - 1)^2 = (10n)^2 - 2 \cdot 10n \cdot 1 + 1^2 = 100n^2 - 20n + 1\). 4. Anwendung für \(89^2\) mit \(n = 9\): \(100 \cdot 9^2 - 20 \cdot 9 + 1 = 8100 - 180 + 1 = 7921\).

a) \(19^2 = 361\); \(39^2 = 1521\) b) \((10n - 1)^2 = 100n^2 - 20n + 1\) c) \(89^2 = 7921\)

- Erinnere dich daran, wie man den Mittelwert (Durchschnitt) von zwei Werten berechnet. - Drücke die Seitenlänge des Quadrats mithilfe der Breite \(b\) aus und vereinfache den Term so weit wie möglich. - Multipliziere die Terme für die Flächeninhalte aus, um sie besser vergleichen zu können. - Schau dir die fertigen Terme genau an: Welcher Teil ist in beiden gleich und wo liegt der Unterschied?

1. Für das Rechteck gilt: Breite \(= b\), Länge \(= b + 12\). Der Flächeninhalt ist \(A_R = b \cdot (b + 12) = b^2 + 12b\). 2. Die Seitenlänge \(s\) des Quadrats ist der Mittelwert: \(s = \frac{b + (b + 12)}{2} = \frac{2b + 12}{2} = b + 6\). 3. Der Flächeninhalt des Quadrats ist \(A_Q = (b + 6) \cdot (b + 6) = b^2 + 12b + 36\). 4. Vergleich der Terme: \(A_Q = A_R + 36\). Der quadratische Parkplatz ist daher um \(36\,\text{m}^2\) größer.

a) Rechteck: \(b \cdot (b + 12)\) oder \(b^2 + 12b\); Quadrat: \((b + 6)^2\) oder \(b^2 + 12b + 36\). b) Der quadratische Parkplatz ist um \(36\,\text{m}^2\) größer.

- Überlege zuerst, wie du die drei Brüche auf einen gemeinsamen Zahlennenner bringst. - Achte beim Auflösen der quadratischen Klammern auf die Vorzeichen und sammle anschließend gleichartige Terme. - Prüfe am Ende, ob sich ein gemeinsamer Zahlenfaktor noch kürzen lässt.

1. Die drei Brüche werden auf den gemeinsamen Nenner \(6\) gebracht: \(\frac{2(a+1)^2}{6}+\frac{(a-1)^2}{6}-\frac{3(a^2+1)}{6}\). 2. Die binomischen Formeln ergeben im Zähler \(2(a^2+2a+1)+(a^2-2a+1)-3(a^2+1)\). 3. Nach dem Auflösen der Klammern und Zusammenfassen bleibt \(2a\) im Zähler. 4. Damit ist der Term \(\frac{2a}{6}=\frac{a}{3}\).

\(\frac{a}{3}\)

- Welche der drei binomischen Formeln passt zur Struktur des Terms? - Was weißt du über das Vorzeichen von Zahlen, die mit sich selbst multipliziert werden? - Wann wird ein Produkt aus zwei identischen Klammern genau Null?

1. Berechnung der Termwerte: Für \(x = 0\) ergibt sich \(0^2 - 12 \cdot 0 + 36 = 36\). Für \(x = 6\) ergibt sich \(6^2 - 12 \cdot 6 + 36 = 36 - 72 + 36 = 0\). Für \(x = 10\) ergibt sich \(10^2 - 12 \cdot 10 + 36 = 100 - 120 + 36 = 16\). 2. Anwendung der binomischen Formel: Der Term \(x^2 - 12x + 36\) entspricht der Struktur \(a^2 - 2ab + b^2\) mit \(a = x\) und \(b = 6\). Somit gilt \(x^2 - 12x + 36 = (x-6)^2\). 3. Begründung der Nicht-Negativität: Da der Term als Quadrat \((x-6)^2\) geschrieben werden kann und Quadratzahlen rationaler Zahlen immer größer oder gleich Null sind (\(k^2 \ge 0\)), kann der Term niemals negativ werden. 4. Kleinster Wert: Der kleinste mögliche Wert eines Quadrats ist \(0\). Dieser wird erreicht, wenn die Basis Null ist, also \(x - 6 = 0\), woraus \(x = 6\) folgt.

a) Die Werte sind \(36\), \(0\) und \(16\). b) \(T = (x-6)^2\). c) Da ein Quadrat einer rationalen Zahl niemals negativ ist, gilt \((x-6)^2 \ge 0\). Der kleinste Wert ist \(0\) für \(x = 6\).

- Schreibe \(n^4\) als Quadrat einer Potenz von \(n\). - Prüfe nach der ersten Anwendung der 3. binomischen Formel jeden neuen Faktor erneut. - Die 3. binomische Formel setzt eine Differenz von Quadraten voraus.

1. Zuerst gilt \(n^4-1=(n^2)^2-1^2\). 2. Mit der 3. binomischen Formel folgt \((n^2-1)(n^2+1)\). 3. Der Faktor \(n^2-1\) ist erneut eine Differenz von Quadraten: \(n^2-1=(n-1)(n+1)\). 4. Auf \(n^2+1\) ist die 3. binomische Formel nicht anwendbar, weil dort eine Summe steht. 5. Damit erhält man \((n-1)(n+1)(n^2+1)\), also drei nichtkonstante Faktoren.

\(n^4-1=(n-1) \cdot (n+1) \cdot (n^2+1)\); es entstehen drei nichtkonstante Faktoren.

- Überlege, welche der drei binomischen Formeln jeweils passen könnte. - Achte darauf, ob ein Teil des Ergebnisses noch einmal faktorisiert werden kann. - Suche nach Quadratzahlen wie 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100. - Kannst du den Term als Differenz von zwei Quadraten schreiben?

1. Teilaufgabe a): Anwendung der 3. binomischen Formel auf \((6x)^2 - (7y)^2\) ergibt \((6x - 7y) \cdot (6x + 7y)\). 2. Teilaufgabe b): Erkennen der 1. binomischen Formel \(a^2 + 2 \cdot a \cdot 9 + 9^2\) führt zu \((a + 9)^2\). 3. Teilaufgabe c): Erste Anwendung der 3. binomischen Formel auf \((z^2)^2 - 1^2\) ergibt \((z^2 - 1) \cdot (z^2 + 1)\). 4. Zweite Anwendung der 3. binomischen Formel auf den Faktor \((z^2 - 1)\) führt zum Endergebnis \((z - 1) \cdot (z + 1) \cdot (z^2 + 1)\).

a) \((6x - 7y) \cdot (6x + 7y)\) b) \((a + 9)^2\) c) \((z - 1) \cdot (z + 1) \cdot (z^2 + 1)\)

- Multipliziere den vorgeschlagenen Ausdruck probeweise zurück. - Welche Zahl hat das Quadrat \(16\)? - Vergleiche den Term mit der Form \(A^2-B^2\).

1. Beim Ausmultiplizieren von Jonas' Ausdruck würde der erste Quadratterm \((8a)^2=64a^2\) entstehen, nicht \(16a^2\). 2. Richtig ist \(16a^2=(4a)^2\) und \(81=9^2\). 3. Mit der 3. binomischen Formel folgt \((4a-9)(4a+9)\).

Der Fehler liegt beim ersten Quadrat. Richtig ist \((4a-9) \cdot (4a+9)\).

- Behandle Brüche, indem du Zähler und Nenner jeweils als Quadrate darstellst. - Bei Dezimalzahlen hilft es oft, sie kurzzeitig als Brüche zu denken oder an bekannte Quadratzahlen zu denken (z. B. \(121\)). - Wie verhalten sich die Exponenten einer Potenz, wenn man die Basis quadriert? Erinnere dich an die Potenzgesetze. - Achte darauf, dass jeder Teil des Produkts im Term quadriert wurde.

1. Umschreiben als Differenz von Quadraten: \((\frac{1}{4}u^6)^2 - (v^4)^2\). Anwendung der dritten binomischen Formel liefert \((\frac{1}{4}u^6 - v^4) \cdot (\frac{1}{4}u^6 + v^4)\). 2. Darstellung der Koeffizienten als Quadrate (\(1{,}21 = (1{,}1)^2\) und \(0{,}04 = (0{,}2)^2\)) und Bestimmung der Variablenanteile. Der Term entspricht \((1{,}1 m n^5)^2 - (0{,}2 k^2)^2\). Anwendung der Formel ergibt \((1{,}1 m n^5 - 0{,}2 k^2) \cdot (1{,}1 m n^5 + 0{,}2 k^2)\). 3. Darstellung als \((6 a b^3)^2 - (\frac{5}{9} c^2)^2\). Anwendung der Formel führt zu \((6 a b^3 - \frac{5}{9} c^2) \cdot (6 a b^3 + \frac{5}{9} c^2)\).

1) \((\frac{1}{4}u^6 - v^4) \cdot (\frac{1}{4}u^6 + v^4)\) 2) \((1{,}1 m n^5 - 0{,}2 k^2) \cdot (1{,}1 m n^5 + 0{,}2 k^2)\) 3) \((6 a b^3 - \frac{5}{9} c^2) \cdot (6 a b^3 + \frac{5}{9} c^2)\)

- Prüfe, ob beide Glieder jeweils Quadrate sind und welches Rechenzeichen zwischen ihnen steht. - Schreibe \(x^{10}\) als Quadrat einer Potenz von \(x\). - Bei einer Summe zweier Quadrate passt die 3. binomische Formel nicht.

1. Es gilt \(1{,}21m^2=(1{,}1m)^2\) und \(0{,}04n^2=(0{,}2n)^2\). Daher ergibt sich \((1{,}1m-0{,}2n)(1{,}1m+0{,}2n)\). 2. Es gilt \(36x^{10}=(6x^5)^2\). Daher ergibt sich \((6x^5-1)(6x^5+1)\). 3. Zwischen den beiden Quadraten steht ein Pluszeichen. Die 3. binomische Formel ist daher nicht anwendbar.

1) \((1{,}1m - 0{,}2n) \cdot (1{,}1m + 0{,}2n)\) 2) \((6x^5 - 1) \cdot (6x^5 + 1)\) 3) Mit der 3. binomischen Formel nicht möglich, weil eine Summe statt einer Differenz vorliegt.

- Achte auf die Hochzahlen der Variablen. Welche Potenz ergibt beim Quadrieren die gegebene Potenz? - Wie kannst du einen Bruch wie \(\frac{49}{81}\) als Quadrat eines anderen Bruchs schreiben? - Gibt es eine Formel, mit der man eine Subtraktion in eine Multiplikation verwandeln kann? - Überlege, welcher Term mit sich selbst multipliziert den jeweiligen Teil des Terms ergibt.

1. Den Ausdruck als Differenz zweier Quadrate erkennen. 2. Für das erste Glied gilt \(\left(\frac{7}{9}a^2\right)^2 = \frac{49}{81}a^4\). 3. Für das zweite Glied gilt \(\left(\frac{1}{4}bc^2\right)^2 = \frac{1}{16}b^2c^4\). 4. Die Faktoren gemäß \(X^2 - Y^2 = (X - Y) \cdot (X + Y)\) aufstellen. 5. Das Ergebnis lautet \((\frac{7}{9}a^2 - \frac{1}{4}bc^2) \cdot (\frac{7}{9}a^2 + \frac{1}{4}bc^2)\).

\((\frac{7}{9}a^2 - \frac{1}{4}bc^2) \cdot (\frac{7}{9}a^2 + \frac{1}{4}bc^2)\)

- Zerlege das mittlere Glied in seine Bestandteile: \(2 \cdot \text{erster Teil} \cdot \text{zweiter Teil}\). - Wenn ein äußeres Glied fehlt, bestimme die passende Quadratbasis oder rechne aus dem mittleren Glied zurück. - Überprüfe dein Ergebnis, indem du das gefundene Binom wieder ausmultiplizierst.

1. Teilaufgabe a): Das mittlere Glied ist \(2 \cdot x \cdot 5\), also muss das fehlende Glied \(5^2 = 25\) sein. Der Term lautet \(x^2 + 10x + 25 = (x+5)^2\). 2. Teilaufgabe b): Die äußeren Glieder sind \((2a)^2\) und \(3^2\). Das mittlere Glied ist \(2 \cdot 2a \cdot 3 = 12a\). Der Term lautet \(4a^2 - 12a + 9 = (2a-3)^2\). 3. Teilaufgabe c): Das letzte Glied ist \(4^2\). Das mittlere Glied ist \(24y = 2 \cdot (\dots) \cdot 4\), woraus \(24y = 8 \cdot (3y)\) folgt. Das erste Glied ist \((3y)^2 = 9y^2\). Der Term lautet \(9y^2 + 24y + 16 = (3y+4)^2\).

a) \(x^2 + 10x + 25 = (x+5)^2\) b) \(4a^2 - 12a + 9 = (2a-3)^2\) c) \(9y^2 + 24y + 16 = (3y+4)^2\)

- Brüche lassen sich oft leichter verarbeiten, wenn man Zähler und Nenner getrennt betrachtet. - Der Mittelterm einer binomischen Formel ist immer das Doppelte des Produkts der beiden Einzelteile \(A\) und \(B\). - Wenn ein Term ein Quadrat sein soll, müssen alle drei Teile (die beiden Quadrate und der Mittelterm) exakt zusammenpassen.

1. Es gilt \(\left(\frac{1}{4}m\right)^2 = \frac{1}{16}m^2\), \(n^2=n^2\) und \(2 \cdot \frac{1}{4}m \cdot n = \frac{1}{2}mn\). Daher ist der Term \(\left(\frac{1}{4}m+n\right)^2\). 2. Es gilt \((0{,}2p)^2 = 0{,}04p^2\) und \((0{,}5q)^2 = 0{,}25q^2\). Für das Quadrat einer Summe ist der Mittelterm \(2 \cdot 0{,}2p \cdot 0{,}5q = 0{,}2pq\); für das Quadrat einer Differenz ist er \(-0{,}2pq\). 3. Angenommen, \(x^2 + 5x + 6 = (x + e)^2 = x^2 + 2ex + e^2\). Dann müsste \(2e = 5\), also \(e = 2{,}5\), gelten. Die Konstante müsste dann \(e^2 = 2{,}5^2 = 6{,}25\) sein. Da im Term \(6\) steht, ist er kein Quadrat eines Binoms.

1) \(\left(\frac{1}{4}m + n\right)^2\) 2) \(0{,}2pq\) oder \(-0{,}2pq\) 3) Nein. Bei einem Mittelterm \(5x\) müsste die Konstante \(2{,}5^2 = 6{,}25\) lauten; gegeben ist jedoch \(6\).

- Schreibe zuerst den gesamten Rechenausdruck ohne Klammern auf, indem du die binomischen Formeln nutzt. - Schau dir an, welche Teile des Terms nach dem Zusammenfassen übrig bleiben. - Was geschieht mit den gemischten Termen, die das Produkt der beiden Variablen enthalten? - Hängt das Endergebnis noch von allen ursprünglichen Bestandteilen ab?

1. Aufstellen der Summe: \((a+b)^2 + (a-b)^2\). 2. Ausmultiplizieren des ersten Quadrats: \(a^2 + 2ab + b^2\). 3. Ausmultiplizieren des zweiten Quadrats: \(a^2 - 2ab + b^2\). 4. Addition: \(a^2 + 2ab + b^2 + a^2 - 2ab + b^2\). 5. Zusammenfassen: \(2a^2 + 2b^2\). Die gemischten Terme \(+2ab\) und \(-2ab\) heben sich auf. 6. Interpretation: Der vereinfachte Ausdruck enthält kein gemischtes \(ab\)-Glied; dessen Beiträge aus den beiden Quadraten gleichen sich aus.

Der vereinfachte Term lautet \(2a^2 + 2b^2 = 2(a^2 + b^2)\). Die gemischten Terme \(+2ab\) und \(-2ab\) heben sich bei der Addition auf, sodass im Ergebnis kein \(ab\)-Glied vorkommt.

- Gibt es eine Zahl oder eine Variable, die in allen Teilen des Terms vorkommt? - Erinnerst du dich an die drei binomischen Formeln? Welche könnte hier passen? - Achte darauf, ob ein Teil des Terms bereits ein Quadrat ist. - Manchmal muss man erst etwas ausklammern, bevor man eine binomische Formel erkennt.

1. Ausklammern des gemeinsamen Faktors \(2\), gefolgt von der Anwendung der 3. binomischen Formel auf den Ausdruck \(x^2 - (3y)^2\): \(2 \cdot (x - 3y) \cdot (x + 3y)\). 2. Ausklammern des gemeinsamen Faktors \(3\), Identifikation der 1. binomischen Formel für den verbleibenden Ausdruck \(a^2 + 4ab + 4b^2\): \(3 \cdot (a + 2b)^2\). 3. Direkte Anwendung der 3. binomischen Formel auf die Differenz der Quadrate \(z^2\) und \((x+1)^2\): \((z - (x + 1)) \cdot (z + (x + 1))\), vereinfacht zu \((z - x - 1) \cdot (z + x + 1)\).

1) \(2 \cdot (x - 3y) \cdot (x + 3y)\) 2) \(3 \cdot (a + 2b)^2\) 3) \((z - x - 1) \cdot (z + x + 1)\)

- Suche jeweils zuerst nach drei Gliedern, die ein vollständiges Quadrat bilden. - Prüfe danach, ob eine Differenz zweier Quadrate entstanden ist. - In Teil 2 hilft es, die letzten drei Glieder gedanklich als eine zusammengehörige Quadratstruktur zu betrachten.

1. Die ersten drei Glieder sind \((x+3)^2\). Damit ist der Term \((x+3)^2-(2y)^2\) und faktorisiert zu \((x+3-2y)(x+3+2y)\). 2. Es gilt \(49-(a^2+2ab+b^2)=7^2-(a+b)^2\). Mit der dritten binomischen Formel ergibt sich \((7-a-b)(7+a+b)\). 3. Die ersten drei Glieder bilden \((2x+3y)^2\). Daher ist der Term \((2x+3y)^2-5^2\) und faktorisiert zu \((2x+3y-5)(2x+3y+5)\).

1) \((x+3-2y)(x+3+2y)\) 2) \((7-a-b)(7+a+b)\) 3) \((2x+3y-5)(2x+3y+5)\)

- Löse die beiden Quadrate getrennt mit der ersten beziehungsweise zweiten binomischen Formel auf. - Achte beim Addieren darauf, welche linearen Glieder sich aufheben. - Welcher gemeinsame Faktor bleibt im vereinfachten Ergebnis übrig?

1. Mit der ersten binomischen Formel ist \((2x+3)^2=4x^2+12x+9\). 2. Mit der zweiten binomischen Formel ist \((3x-2)^2=9x^2-12x+4\). 3. Addiert man beide Ergebnisse, heben sich \(12x\) und \(-12x\) auf. Es bleibt \(13x^2+13\). 4. Ausklammern von \(13\) ergibt \(13(x^2+1)\), also genau die rechte Seite. Damit gilt die Gleichheit für alle \(x\).

\((2x+3)^2+(3x-2)^2=(4x^2+12x+9)+(9x^2-12x+4)=13x^2+13=13(x^2+1)\). Damit gilt die Gleichheit für alle \(x\).

- Schau dir die allgemeine Struktur der binomischen Formeln genau an. Bestehen sie nur aus zwei Teilen? - Was passiert mit dem Mittelstück der Formel in Tims Rechnung? - Welche Zahl bietet sich bei \(1005\) als Basis \(a\) an, um das Quadrieren zu erleichtern?

1. Fehleranalyse: Tim hat den gemischten Term \(-2ab\) der zweiten binomischen Formel \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) vernachlässigt. Er hat lediglich die Quadrate der einzelnen Summanden subtrahiert. 2. Korrekte Berechnung von \(39^2\): \((40 - 1)^2 = 40^2 - 2 \cdot 40 \cdot 1 + 1^2 = 1600 - 80 + 1 = 1521\). 3. Berechnung von \(1005^2\): Anwendung der ersten binomischen Formel auf \((1000 + 5)^2\). Es ergibt sich \(1000^2 + 2 \cdot 1000 \cdot 5 + 5^2 = 1\,000\,000 + 10\,000 + 25 = 1\,010\,025\).

a) Tim hat den mittleren Term \(-2ab\) vergessen. b) \(1521\) c) \(1\,010\,025\)

- Schau dir den mittleren Term genau an: Er ist immer das doppelte Produkt der beiden Glieder in der Klammer. - Wenn du das Quadrat eines Gliedes kennst, wie kommst du dann auf das ursprüngliche Glied zurück? - Vergleiche die Struktur der Gleichung mit der allgemeinen Form \(a^2 \pm 2ab + b^2\).

1. In Gleichung a) ist das erste Glied der binomischen Formel \(3a^2\). Der mittlere Term \(30a^2b^3\) entspricht \(2 \cdot (3a^2) \cdot (\text{zweites Glied})\). Division durch \(6a^2\) ergibt für das zweite Glied \(5b^3\). 2. Das fehlende Quadrat am Ende von a) ist \((5b^3)^2 = 25b^6\). 3. In Gleichung b) gilt \((2x^3)^2 = 4x^6\); daher kann das erste Glied \(2x^3\) gewählt werden. 4. Der mittlere Term ist \(2 \cdot 2x^3 \cdot \frac{1}{2}y^2 = 2x^3y^2\). Das fehlende Glied am Ende ist \((\frac{1}{2}y^2)^2 = \frac{1}{4}y^4\).

a) \((3a^2 + 5b^3)^2 = 9a^4 + 30a^2b^3 + 25b^6\) b) \((2x^3 - \frac{1}{2}y^2)^2 = 4x^6 - 2x^3y^2 + \frac{1}{4}y^4\)

- Bestimme für jedes Teilrechteck seine beiden Seitenlängen aus den Randbeschriftungen. - Zwei der Teilflächen haben dieselben Seitenlängen, nur vertauscht. - Vergleiche die Summe der Teilflächen mit der Fläche des gesamten Quadrats.

1. Das große Teilquadrat hat den Flächeninhalt \(a^2\), das kleine Teilquadrat \(b^2\). 2. Die beiden übrigen Rechtecke haben jeweils die Seitenlängen \(a\) und \(b\), also jeweils den Flächeninhalt \(ab\). 3. Die Summe der Teilflächen ist \(a^2+ab+ab+b^2=a^2+2ab+b^2\). 4. Da die Gesamtfigur zugleich ein Quadrat der Seitenlänge \(a+b\) ist, gilt \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\).

a) \(a^2\), \(ab\), \(ab\), \(b^2\) b) \(a^2+2ab+b^2\) c) \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)

- Welche Fläche besitzt jeder der beiden Randstreifen? - Vergleiche die beiden markierten Streifen genau dort, wo sie sich kreuzen. - Welche Seitenlänge hat das übrig bleibende Quadrat?

1. Das Ausgangsquadrat hat die Fläche \(a^2\). 2. Der rechte und der obere Randstreifen haben jeweils die Fläche \(ab\), daher werden zunächst \(2ab\) abgezogen. 3. Das Eckquadrat mit der Fläche \(b^2\) liegt im Schnitt beider Streifen. Es wurde beim Abziehen daher zweimal berücksichtigt, obwohl es nur einmal entfernt werden soll; deshalb wird \(b^2\) einmal addiert. 4. Die verbleibende Fläche ist \(a^2-2ab+b^2\) und zugleich ein Quadrat mit Seitenlänge \(a-b\). Somit gilt \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\).

a) Beide Randstreifen haben jeweils die Fläche \(ab\). b) Ihr gemeinsames Eckquadrat mit Fläche \(b^2\) wurde doppelt abgezogen. c) \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)

- Bestimme zuerst die Fläche des großen und des entfernten Quadrats. - Lies für die beiden Restrechtecke die gemeinsame Seitenlänge \(a-b\) ab. - Suche in der Summe der beiden Rechtecksflächen nach einem gemeinsamen Faktor.

1. Vom großen Quadrat mit Fläche \(a^2\) wird das kleine Quadrat mit Fläche \(b^2\) entfernt. Die Restfläche ist daher \(a^2-b^2\). 2. Das untere Rechteck hat die Seitenlängen \(a\) und \(a-b\), also die Fläche \(a(a-b)\). 3. Das obere linke Rechteck hat die Seitenlängen \(b\) und \(a-b\), also die Fläche \(b(a-b)\). 4. Zusammen ergibt sich \(a(a-b)+b(a-b)=(a+b)(a-b)\). 5. Beide Terme beschreiben dieselbe Restfläche. Daher gilt \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\).

a) \(a^2-b^2\) b) \(a(a-b)+b(a-b)=(a+b)(a-b)\) c) \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\)

- Welche Teilflächen sind rechts zusätzlich zu den beiden Quadraten zu sehen? - Welche Seitenlängen besitzen diese zusätzlichen Rechtecke? - Addiere alle Teilflächen des rechten Quadrats.

1. Links sind nur ein Quadrat der Fläche \(x^2\) und ein Quadrat der Fläche \(4\) dargestellt; zusammen bilden sie noch nicht das Quadrat der Seitenlänge \(x+2\). 2. Im rechten Quadrat entstehen zusätzlich zwei Rechtecke mit Seitenlängen \(x\) und \(2\). 3. Jedes zusätzliche Rechteck hat die Fläche \(2x\); zusammen fehlen \(4x\). 4. Damit gilt \((x+2)^2=x^2+4x+4\).

a) Links fehlen Teile der Gesamtfläche des Quadrats mit Seitenlänge \(x+2\). b) Zwei Rechtecke mit jeweils \(2x\), zusammen \(4x\) c) \((x+2)^2=x^2+4x+4\)

- Versuche, Schritt für Schritt vorzugehen und jeden Teilterm einzeln zu vereinfachen. - Vergiss nicht, Faktoren vor den Klammern (wie die \(3\) oder die \(2\)) auf jedes Glied in der Klammer anzuwenden. - Gibt es Teile im Term, die sich gegenseitig aufheben?

1. Berechnung von \((a+b)^2 - (a-b)^2\): \((a^2 + 2ab + b^2) - (a^2 - 2ab + b^2) = 4ab\). 2. Berechnung von \(-(2a+b) \cdot (2a-b)\) mittels dritter binomischer Formel: \(-(4a^2 - b^2) = -4a^2 + b^2\). 3. Gesamter Term Teil a): \(4ab - 4a^2 + b^2 + 4a^2 = 4ab + b^2\). 4. Berechnung von \(3 \cdot (x-2)^2\): \(3 \cdot (x^2 - 4x + 4) = 3x^2 - 12x + 12\). 5. Berechnung von \(-2 \cdot (x-3) \cdot (x+3)\): \(-2 \cdot (x^2 - 9) = -2x^2 + 18\). 6. Zusammenfassen Teil b): \(3x^2 - 12x + 12 - 2x^2 + 18 - x^2 = -12x + 30\).

a) \(4ab + b^2\) b) \(-12x + 30\)

- Multipliziere zuerst alle Klammern auf beiden Seiten der Gleichung aus, bevor du versuchst, nach \(x\) umzustellen. - Gibt es Terme, die auf beiden Seiten identisch sind und beim Subtrahieren wegfallen? - Wie kannst du am Ende ganz sicher sein, dass dein berechneter Wert für \(x\) wirklich die Gleichung löst? - Achte beim Ausmultiplizieren auf die Vorzeichenregeln.

1. Vereinfachung der linken Seite: \(4x^2 + 12x - 2x - 6 = 4x^2 + 10x - 6\) 2. Vereinfachung der rechten Seite: \(4x^2 - 2x + 2x - 1 + 15 = 4x^2 + 14\) 3. Aufstellen der vereinfachten Gleichung: \(4x^2 + 10x - 6 = 4x^2 + 14\) 4. Subtraktion von \(4x^2\) auf beiden Seiten: \(10x - 6 = 14\) 5. Lösen der linearen Gleichung: \(10x = 20 \Rightarrow x = 2\) 6. Durchführung der Probe: Linke Seite \((4 \cdot 2 - 2) \cdot (2 + 3) = 6 \cdot 5 = 30\); Rechte Seite \((2 \cdot 2 + 1) \cdot (2 \cdot 2 - 1) + 15 = 5 \cdot 3 + 15 = 30\). Da \(30 = 30\) eine wahre Aussage ist, ist die Lösung korrekt.

a) \(4x^2 + 10x - 6 = 4x^2 + 14\) b) \(x = 2\) c) Probe: \(30 = 30\) (wahr)

- Erinnere dich daran, dass \((a + b)^2\) dasselbe bedeutet wie \((a + b) \cdot (a + b)\). - Wende beim Ausmultiplizieren das Prinzip an, dass jedes Glied der ersten Klammer mit jedem Glied der zweiten Klammer multipliziert wird. - Achte beim Ausklammern darauf, welche Teile des Terms den gemeinsamen Faktor \(100x\) enthalten. - Was bewirkt eine Multiplikation mit \(100\) für die Position der Ziffern in einer Zahl?

1. Ausmultiplizieren des Terms: \((10x + 5) \cdot (10x + 5) = 10x \cdot 10x + 10x \cdot 5 + 5 \cdot 10x + 5 \cdot 5 = 100x^2 + 50x + 50x + 25\). 2. Zusammenfassen der mittleren Terme: \(100x^2 + 100x + 25\). 3. Ausklammern von \(100x\): \(100x \cdot (x + 1) + 25\). 4. Interpretation des Rechentricks: Der Ausdruck \(x \cdot (x + 1)\) gibt an, wie viele Hunderter das Ergebnis hat. Da \(100 \cdot 12 = 1200\) ist, entspricht das Multiplizieren der Zehnerziffer mit ihrem Nachfolger genau dem Wert vor der \(25\) an der Hunderterstelle. Die Addition von \(25\) bewirkt das „Anhängen“ der Ziffern \(2\) und \(5\) an die Einer- und Zehnerstelle.

a) \(100x^2 + 100x + 25\) b) \(100x \cdot (x + 1) + 25\) c) Der Term \(100 \cdot x \cdot (x + 1)\) berechnet die Hunderter der Zahl. Rechnet man \(3 \cdot 4 = 12\), erhält man \(12\) Hunderter (\(1200\)). Durch das Addieren der restlichen \(25\) entsteht die Zahl \(1225\).

- Überlege dir, welche Terme in der binomischen Formel \(a^2\), \(2ab\) und \(b^2\) entsprechen könnten. - Wie kommst du von \(a^2\) zurück auf \(a\)? - Welchen Einfluss hat das Vorzeichen in der Klammer auf das Vorzeichen des Ergebnisses? - Prüfe dein Ergebnis, indem du die Klammer im Kopf wieder auflöst.

1. Identifikation der quadratischen Bestandteile: Der erste Term \(\frac{1}{4}a^6\) muss das Quadrat von \(\frac{1}{2}a^3\) sein, da \((\frac{1}{2}a^3)^2 = \frac{1}{4}a^6\). 2. Der letzte Term \(9b^4\) muss das Quadrat von \(3b^2\) sein, da \((3b^2)^2 = 9b^4\). 3. Überprüfung des mittleren Terms: \(2 \cdot (\frac{1}{2}a^3) \cdot (3b^2) = 3a^3b^2\). Dies entspricht dem gegebenen Term. 4. Aufstellen des Binoms für a): \((\frac{1}{2}a^3 + 3b^2)^2\). 5. Analyse für b): Da sich nur das Vorzeichen des mittleren Terms ändert, muss die 2. binomische Formel vorliegen. Das Pluszeichen in der Klammer wird durch ein Minuszeichen ersetzt: \((\frac{1}{2}a^3 - 3b^2)^2\).

a) \((\frac{1}{2}a^3 + 3b^2)^2\) b) \((\frac{1}{2}a^3 - 3b^2)^2\). Begründung: Das negative Vorzeichen beim mittleren Term weist auf die Anwendung der 2. binomischen Formel hin.

- Multipliziere zuerst die Quadrate in den Klammern aus, bevor du den Faktor davor berücksichtigst. - Denk daran, dass ein Minus vor der Klammer alle Vorzeichen innerhalb der Klammer umkehrt. - Siehst du, wie sich die Terme mit \(x^2\) gegenseitig aufheben? - Wie kannst du dein Ergebnis am Ende überprüfen?

1. Auflösen der Klammern: \(2(x^2 + 6x + 9) - (2x^2 + 14x) = 10\). Distributivgesetz anwenden: \(2x^2 + 12x + 18 - 2x^2 - 14x = 10\). Zusammenfassen der \(x^2\)- und \(x\)-Terme: \(-2x + 18 = 10\). Subtraktion von \(18\): \(-2x = -8\). Division durch \(-2\): \(x = 4\). 2. Anwendung der binomischen Formeln: \((4x^2 + 20x + 25) - (4x^2 - 9) = 74\). Auflösen der Minusklammer: \(4x^2 + 20x + 25 - 4x^2 + 9 = 74\). Zusammenfassen: \(20x + 34 = 74\). Subtraktion von \(34\): \(20x = 40\). Division durch \(20\): \(x = 2\).

1) \(x = 4\) 2) \(x = 2\)

- Suche jeweils die Zahl genau in der Mitte der beiden Faktoren. - Wie weit sind die Faktoren von dieser Mitte entfernt? - Übertrage die Struktur auf \((n-k)(n+k)\), bevor du die Größen vergleichst. - Beim Rechentrick ist die Mitte der gemeinsame Wert \(n\), der halbe Abstand ist \(k\).

1. \(73\cdot67=(70+3)(70-3)=70^2-3^2=4900-9=4891\). 2. \(52\cdot48=(50+2)(50-2)=50^2-2^2=2500-4=2496\). 3. Nach der dritten binomischen Formel gilt \((n-k)(n+k)=n^2-k^2\). Für \(k\ne0\) ist \(k^2>0\); das Produkt ist also um genau \(k^2\) kleiner als \(n^2\). 4. Für \(35\cdot45\) ist die Mitte \(40\) und der halbe Abstand \(5\). Daher ist \(35\cdot45=40^2-5^2=1600-25=1575\). 5. Allgemein ist dies genau die Struktur \((n-k)(n+k)=n^2-k^2\).

a) \(73\cdot67=(70+3)(70-3)=70^2-3^2=4891\); \(52\cdot48=(50+2)(50-2)=50^2-2^2=2496\) b) \((n-k)(n+k)=n^2-k^2\); für \(k\ne0\) ist das Produkt um \(k^2\) kleiner als \(n^2\). c) \(35\cdot45=40^2-5^2=1575\); allgemein folgt der Trick aus \((n-k)(n+k)=n^2-k^2\).

- Was passiert, wenn du beide Terme voneinander abziehst? - Erinnert dich der Ausdruck \(x^2 - 10x + 25\) an eine bestimmte Formel zum Umformen von Klammern? - Kann ein Quadrat einer Zahl jemals kleiner als Null sein? - Überprüfe, ob es eine Zahl gibt, bei der beide Terme genau den gleichen Wert ergeben.

1. Vergleich der Terme durch Bildung der Differenz: \(x^2 + 25 - 10x\). 2. Umordnung der Glieder: \(x^2 - 10x + 25\). 3. Anwendung der zweiten binomischen Formel: \((x - 5)^2\). 4. Da das Quadrat einer rationalen Zahl stets größer oder gleich Null ist (\((x - 5)^2 \ge 0\)), gilt \(x^2 - 10x + 25 \ge 0\). 5. Daraus folgt \(x^2 + 25 \ge 10x\). 6. Für den speziellen Fall \(x = 5\) ergibt sich \((5 - 5)^2 = 0\), was bedeutet, dass \(x^2 + 25\) in diesem Fall genau gleich \(10x\) ist (\(5^2 + 25 = 50\) und \(10 \cdot 5 = 50\)). 7. Die Aussage, dass der Term für jede beliebige Zahl „immer größer“ ist, ist somit falsch, da er für \(x = 5\) gleich groß ist.

Nein, die Aussage ist nicht wahr. Zwar ist \(x^2 + 25\) für alle rationalen Zahlen außer \(x = 5\) größer als \(10x\), aber für \(x = 5\) sind beide Terme genau gleich groß (\(50 = 50\)). Mithilfe der zweiten binomischen Formel lässt sich der Ausdruck als \((x - 5)^2 \ge 0\) schreiben, woraus \(x^2 + 25 \ge 10x\) folgt.

- Beginne damit, den Term \((a + b)^2\) mit einer binomischen Formel auszumultiplizieren. - Subtrahiere dann \(4ab\) von deinem Ergebnis und fasse zusammen. - Kannst du den neuen Ausdruck wieder als Quadrat eines Binoms schreiben? - Überlege, was du über das Vorzeichen von Quadratzahlen weißt. - Wann ist das Ergebnis einer Subtraktion genau Null?

1. Aufstellen der Differenz zwischen beiden Ausdrücken: \((a + b)^2 - 4ab\). 2. Ausmultiplizieren der Klammer mit der ersten binomischen Formel: \(a^2 + 2ab + b^2 - 4ab\). 3. Zusammenfassen der Terme mit \(ab\): \(a^2 - 2ab + b^2\). 4. Rückführung auf die zweite binomische Formel: \((a - b)^2\). 5. Da das Quadrat einer Differenz zweier rationaler Zahlen niemals negativ sein kann, gilt \((a - b)^2 \ge 0\). 6. Daraus folgt direkt \((a + b)^2 - 4ab \ge 0\) und somit \((a + b)^2 \ge 4ab\). 7. Gleichheit tritt genau dann ein, wenn die Differenz Null ist: \((a - b)^2 = 0\). Dies ist nur der Fall, wenn \(a - b = 0\), also \(a = b\).

Durch Umformung erhält man \((a + b)^2 - 4ab = a^2 + 2ab + b^2 - 4ab = a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2\). Da ein Quadrat \((a - b)^2\) immer \(\ge 0\) ist, ist \((a + b)^2\) nie kleiner als \(4ab\). Die beiden Werte sind genau dann gleich groß, wenn \(a = b\) gilt.

- Nutze die Kongruenz der vier Rechtecke: Eine lange und eine kurze Rechteckseite bestimmen auch die Seitenlänge des großen Quadrats. - Betrachte für b) eine Seite des inneren Quadrats als Rest einer Strecke der Länge \(a\), nachdem ein Abschnitt der Länge \(b\) abgezogen wurde. - Vergleiche in c) zuerst die Flächen direkt in der Zeichnung und überprüfe den Zusammenhang danach algebraisch.

1. Eine Seite des großen Quadrats setzt sich aus einer langen Rechteckseite \(a\) und einer kurzen Rechteckseite \(b\) zusammen. Daher ist \(A_1=(a+b)^2\). 2. Jedes der vier kongruenten Rechtecke hat den Flächeninhalt \(ab\). Zusammen ist \(A_2=4ab\). 3. Eine Seite des inneren Quadrats ist die lange Rechteckseite \(a\) abzüglich der kurzen Rechteckseite \(b\), also \(a-b\). Sein Flächeninhalt ist \((a-b)^2\). 4. Geometrisch ist das innere Quadrat genau die Fläche des großen Quadrats, die nach dem Entfernen der vier schattierten Rechtecke übrig bleibt. Deshalb gilt \(A_1-A_2=(a-b)^2\). 5. Rechnerisch ist \((a+b)^2-4ab=a^2+2ab+b^2-4ab=a^2-2ab+b^2=(a-b)^2\). 6. Für \(a\ne b\) ist \((a-b)^2>0\), also \(A_1>A_2\). Für \(a=b\) ist die Differenz \(0\), also sind die Flächeninhalte gleich.

a) \(A_1=(a+b)^2\); \(A_2=4ab\) b) Seitenlänge: \(a-b\); Flächeninhalt: \((a-b)^2\) c) Geometrisch ist die ungeschattete Restfläche genau \(A_1-A_2\). Algebraisch gilt \((a+b)^2-4ab=a^2+2ab+b^2-4ab=a^2-2ab+b^2=(a-b)^2\). Für \(a>b\) ist die Differenz positiv und damit \(A_1>A_2\); für \(a=b\) ist sie \(0\), also \(A_1=A_2\).

- Formuliere zuerst die Summe der Seitenlängen und die Differenz der Flächen als Gleichungen. - Wie lässt sich \(x^2-y^2\) als Produkt schreiben, wenn \(x+y\) bereits bekannt ist? - Sobald du zwei lineare Gleichungen hast, löse das entstehende Gleichungssystem mit einem passenden bekannten Verfahren.

1. Aus der Seitensumme folgt \(x+y=22\). 2. Aus der Flächendifferenz folgt \(x^2-y^2=88\). Mit \(x^2-y^2=(x-y)(x+y)\) und \(x+y=22\) ergibt sich \(x-y=4\). 3. Damit liegt das lineare Gleichungssystem \(x+y=22\) und \(x-y=4\) vor. 4. Addieren der beiden Gleichungen ergibt \(2x=26\), also \(x=13\). 5. Einsetzen in \(x+y=22\) liefert \(y=9\).

Lineares Gleichungssystem: \(x+y=22\) und \(x-y=4\). Lösung: \(x=13\,\text{cm}\), \(y=9\,\text{cm}\).

- Manchmal lässt sich eine binomische Formel mehrmals hintereinander anwenden. - Betrachte bei der zweiten Teilaufgabe den gesamten Ausdruck: Erinnert dich die Form \(A^2 + 2AB + B^2\) an etwas? - Was passiert, wenn du für die großen Ausdrücke in den Klammern einfach kurze Platzhalter wie \(u\) und \(v\) benutzt?

1. Erster Term: Anwendung der Formel \(A^2 - B^2 = (A - B) \cdot (A + B)\) mit \(A = x^2 + 9\) und \(B = 6x\): \(((x^2 + 9) - 6x) \cdot ((x^2 + 9) + 6x) = (x^2 - 6x + 9) \cdot (x^2 + 6x + 9)\) 2. Erkennen der binomischen Formeln in den Faktoren: \(x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2\) und \(x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2\) 3. Gesamtergebnis: \((x - 3)^2 \cdot (x + 3)^2\) oder \((x^2 - 9)^2\) 4. Zweiter Term: Anwendung der Formel \(A^2 + 2AB + B^2 = (A + B)^2\) mit \(A = x + y\) und \(B = x - y\): \(((x + y) + (x - y))^2\) 5. Vereinfachen des Ausdrucks in der Klammer: \((x + y + x - y)^2 = (2x)^2 = 2x \cdot 2x = 4x^2\)

1) \((x - 3)^2 \cdot (x + 3)^2\) oder \((x^2 - 9)^2\) 2) \((2x)^2 = 4x^2\)

- Prüfe bei jedem Term zunächst, ob eine Differenz zweier Quadrate vorliegt oder nach einem ersten Schritt entsteht. - Die ersten drei Glieder in Teil 2 und Teil 3 sind jeweils vollständige Quadrate. - Prüfe nach jeder Faktorisierung, ob sich ein entstandener Faktor noch einmal mit einer binomischen Formel zerlegen lässt.

1. Zuerst gilt \(y^4-1=(y^2-1)(y^2+1)\). Der Faktor \(y^2-1\) lässt sich erneut zerlegen: \((y-1)(y+1)(y^2+1)\). 2. Die ersten drei Glieder sind \((a-b)^2\). Daher ergibt sich \((a-b)^2-4^2=(a-b-4)(a-b+4)\). 3. Die ersten drei Glieder bilden \((3x+2y)^2\). Damit ist der Term \((3x+2y)^2-z^2=(3x+2y-z)(3x+2y+z)\).

1) \((y-1)(y+1)(y^2+1)\) 2) \((a-b-4)(a-b+4)\) 3) \((3x+2y-z)(3x+2y+z)\)

- Welche Teile der vier Klammern kommen jeweils paarweise mit \(+c\) und \(-c\) vor? - Vergleiche die Entwicklung eines Quadrats mit Pluszeichen mit der entsprechenden Entwicklung mit Minuszeichen. - Welche Terme heben sich beim Addieren solcher beiden Entwicklungen auf? - Nachdem die \(c\)-Terme verschwunden sind: Welche bekannte Struktur erkennst du bei den verbleibenden Quadraten?

1. Fasse die ersten beiden Quadrate als \(((a+b)+c)^2+((a+b)-c)^2\) auf. Mit der ersten und zweiten binomischen Formel ergibt ihre Summe \(2(a+b)^2+2c^2\). 2. Entsprechend ist \(((a-b)+c)^2+((a-b)-c)^2=2(a-b)^2+2c^2\). 3. Beim Subtrahieren heben sich die beiden Terme \(2c^2\) auf. Es bleibt \(2(a+b)^2-2(a-b)^2\). 4. Klammere \(2\) aus und wende die binomischen Formeln auf die beiden Quadrate an: \(2[(a+b)^2-(a-b)^2]=2(4ab)=8ab\). 5. Damit gilt die angegebene Gleichheit für alle Zahlen \(a\), \(b\) und \(c\).

Die ersten beiden Quadrate ergeben \(2(a+b)^2+2c^2\), die letzten beiden \(2(a-b)^2+2c^2\). Daher wird die linke Seite zu \(2[(a+b)^2-(a-b)^2]=2\cdot4ab=8ab\). Damit gilt die Gleichheit für alle \(a\), \(b\) und \(c\).