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- Überlege, welche Rechenregel Vorrang hat: Multiplikation oder Subtraktion? - Achte besonders auf das Minuszeichen vor dem zweiten Klammerpaar. Wie verändert es die Vorzeichen im Inneren? - Erkennst du im zweiten Teil des Terms eine Struktur, die zu einer der binomischen Formeln passt?

1. Multiplizieren des ersten Teils durch Anwenden des Distributivgesetzes: \(3a \cdot 2a - 3a \cdot 5 = 6a^2 - 15a\). 2. Anwenden der dritten binomischen Formel auf den zweiten Teil: \((a - 4)(a + 4) = a^2 - 16\). 3. Subtraktion des zweiten Teils vom ersten, wobei auf das Minuszeichen vor der Klammer geachtet wird: \(6a^2 - 15a - (a^2 - 16) = 6a^2 - 15a - a^2 + 16\). 4. Zusammenfassen der gleichartigen Glieder: \((6a^2 - a^2) - 15a + 16 = 5a^2 - 15a + 16\).

\(5a^2 - 15a + 16\)

- Gehe die drei Teile jeder binomischen Formel einzeln durch: das erste Quadrat, den doppelten gemischten Term und das zweite Quadrat. - Achte besonders auf den mittleren Teil. Wurde dort der Faktor 2 vergessen? - Prüfe die Vorzeichen genau.

1. Überprüfung von \((x - 6)^2\): Nach der 2. binomischen Formel fehlt der mittlere Term \(-2 \cdot x \cdot 6 = -12x\). Das Vorzeichen des letzten Terms muss positiv sein. Korrektur: \(x^2 - 12x + 36\). 2. Überprüfung von \((2a + 5)^2\): Der mittlere Term muss \(2 \cdot 2a \cdot 5 = 20a\) lauten. Im Schülerergebnis steht fälschlicherweise nur \(10a\). Korrektur: \(4a^2 + 20a + 25\). 3. Überprüfung von \((0{,}5y - 4)^2\): Erster Term \((0{,}5y)^2 = 0{,}25y^2\). Mittlerer Term \(-2 \cdot 0{,}5y \cdot 4 = -4y\). Letzter Term \(4^2 = 16\). Dieses Ergebnis ist korrekt.

1. Falsch. Korrektur: \((x - 6)^2 = x^2 - 12x + 36\) 2. Falsch. Korrektur: \((2a + 5)^2 = 4a^2 + 20a + 25\) 3. Richtig.

- Überlege zuerst, welche der drei binomischen Formeln jeweils passt. - Denk beim Quadrieren von Brüchen daran, sowohl Zähler als auch Nenner zu quadrieren. - Achte beim Quadrieren von Dezimalzahlen auf die Anzahl der Nachkommastellen.

1. Teilaufgabe a): 1. Binomische Formel \((a+b)^2\). Berechnung: \((\frac{2}{5}x)^2 + 2 \cdot \frac{2}{5}x \cdot 10 + 10^2 = \frac{4}{25}x^2 + 8x + 100\). 2. Teilaufgabe b): 2. Binomische Formel \((a-b)^2\). Berechnung: \((1{,}5a)^2 - 2 \cdot 1{,}5a \cdot 2b + (2b)^2 = 2{,}25a^2 - 6ab + 4b^2\). 3. Teilaufgabe c): 3. Binomische Formel \((a+b)(a-b)\). Berechnung: \((8k)^2 - (3m)^2 = 64k^2 - 9m^2\).

a) \(\frac{4}{25}x^2 + 8x + 100\) b) \(2{,}25a^2 - 6ab + 4b^2\) c) \(64k^2 - 9m^2\)

- Welche der drei binomischen Formeln passt zu der Struktur der jeweiligen Aufgabe? - Achte darauf, beim Quadrieren von Termen wie \(3a\) sowohl die Zahl als auch die Variable zu quadrieren. - Überlege, was genau \(A\) und \(B\) in der allgemeinen Formel für deinen speziellen Term sind.

1. Anwendung der 1. binomischen Formel \((A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2\) auf Teil a) mit \(A = 3a\) und \(B = 5b\): \((3a)^2 + 2 \cdot 3a \cdot 5b + (5b)^2 = 9a^2 + 30ab + 25b^2\). 2. Anwendung der 2. binomischen Formel \((A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2\) auf Teil b) mit \(A = 4x^2\) und \(B = 7\): \((4x^2)^2 - 2 \cdot 4x^2 \cdot 7 + 7^2 = 16x^4 - 56x^2 + 49\). 3. Anwendung der 3. binomischen Formel \((A+B)(A-B) = A^2 - B^2\) auf Teil c) mit \(A = 2y^3\) und \(B = 3x^2\): \((2y^3)^2 - (3x^2)^2 = 4y^6 - 9x^4\).

a) \(9a^2 + 30ab + 25b^2\) b) \(16x^4 - 56x^2 + 49\) c) \(4y^6 - 9x^4\)

- Kannst du die beiden Zahlen als eine Summe und eine Differenz mit denselben Werten schreiben? - Suche nach einer „glatten“ Zahl (wie 20, 40 oder 100), die genau in der Mitte der beiden Faktoren liegt. - Wie lautet die dritte binomische Formel?

1. Berechnung von \(21 \cdot 19\): Anwendung der Formel \((20+1)(20-1) = 20^2 - 1^2 = 400 - 1 = 399\). 2. Berechnung von \(42 \cdot 38\): Anwendung der Formel \((40+2)(40-2) = 40^2 - 2^2 = 1\,600 - 4 = 1\,596\). 3. Berechnung von \(103 \cdot 97\): Anwendung der Formel \((100+3)(100-3) = 100^2 - 3^2 = 10\,000 - 9 = 9\,991\).

a) \(399\) b) \(1\,596\) c) \(9\,991\)

- Es ist oft einfacher, ein Produkt zu berechnen als zwei große Quadratzahlen einzeln zu bestimmen und dann abzuziehen. - Achte bei Aufgabenteil b) besonders auf das Vorzeichen des Ergebnisses. - Welche Faktoren entstehen, wenn du die Differenz der Quadrate in Klammern schreibst?

1. Berechnung von \(45^2 - 35^2\): Umwandlung in \((45-35)(45+35) = 10 \cdot 80 = 800\). 2. Berechnung von \(16^2 - 24^2\): Umwandlung in \((16-24)(16+24) = -8 \cdot 40 = -320\). 3. Berechnung von \(101^2 - 99^2\): Umwandlung in \((101-99)(101+99) = 2 \cdot 200 = 400\).

a) 800 b) -320 c) 400

- Achte besonders auf das Minuszeichen vor der zweiten Klammer in Teilaufgabe a). - Welche der drei binomischen Formeln passt jeweils zu dem Teil des Terms? - Denke daran, dass sich beim Auflösen einer Minusklammer alle Vorzeichen innerhalb der Klammer umkehren.

1. Erste binomische Formel für \((x+4)^2\) ergibt \(x^2 + 8x + 16\). 2. Zweite binomische Formel für \((x-4)^2\) ergibt \(x^2 - 8x + 16\). 3. Subtraktion beider Ausdrücke unter Beachtung der Klammern: \(x^2 + 8x + 16 - (x^2 - 8x + 16) = x^2 + 8x + 16 - x^2 + 8x - 16 = 16x\). 4. Dritte binomische Formel für \((2a+3)(2a-3)\) ergibt \(4a^2 - 9\). 5. Erste binomische Formel für \((a+3)^2\) ergibt \(a^2 + 6a + 9\). 6. Addition beider Teilergebnisse: \(4a^2 - 9 + a^2 + 6a + 9 = 5a^2 + 6a\).

a) \(16x\) b) \(5a^2 + 6a\)

- Überlege, welcher Teil der binomischen Formel dem Ausdruck \(4x^2\) entspricht. - Wie hängen der mittlere Teil \(12x\) und die beiden gesuchten Werte \(a\) und \(b\) zusammen? - Erinnere dich an den Aufbau: Erster Teil im Quadrat, plus zweimal das Produkt der beiden Teile, plus zweiter Teil im Quadrat.

1. Vergleich mit der ersten binomischen Formel \((ax+b)^2 = a^2x^2 + 2abx + b^2\). 2. Bestimmung von \(a\): Aus \(a^2x^2 = 4x^2\) folgt \(a^2 = 4\), also \(a = 2\). 3. Bestimmung von \(b\): Der gemischte Term ist \(2abx = 12x\). Einsetzen von \(a=2\) ergibt \(2 \cdot 2 \cdot b = 12\), also \(4b = 12\) und somit \(b = 3\). 4. Berechnung von \(c\): \(c = b^2 = 3^2 = 9\). 5. Faktorisierter Term: \((2x + 3)^2\).

\(c = 9\); faktorisierter Term: \((2x + 3)^2\)

- Welche binomischen Formeln erkennst du in den beiden Teilen des Terms? - Achte besonders auf das Minuszeichen zwischen den beiden Klammern. Was passiert mit den Vorzeichen dahinter? - Gibt es Glieder, die sich beim Zusammenfassen gegenseitig aufheben?

1. Anwendung der 1. binomischen Formel auf den ersten Teil: \((3a + 2)^2 = 9a^2 + 12a + 4\). 2. Anwendung der 2. binomischen Formel auf den zweiten Teil: \((3a - 2)^2 = 9a^2 - 12a + 4\). 3. Subtraktion der beiden Ausdrücke unter Berücksichtigung der Klammerregeln: \((9a^2 + 12a + 4) - (9a^2 - 12a + 4)\). 4. Auflösen der Minusklammer durch Vorzeichenumkehr: \(9a^2 + 12a + 4 - 9a^2 + 12a - 4\). 5. Zusammenfassen der gleichartigen Glieder: \((9a^2 - 9a^2) + (12a + 12a) + (4 - 4) = 24a\).

\(24a\)

- Überlege zuerst, welche der binomischen Formeln für den jeweiligen Aufgabenteil passt. - Identifiziere, was in der Formel für \(A\) und was für \(B\) steht. - Achte beim Quadrieren von Termen wie \(4a\) darauf, sowohl die Zahl als auch die Variable zu quadrieren. - Vergiss beim mittleren Teil des Ergebnisses nicht den Faktor 2.

1. Anwendung der ersten binomischen Formel \((A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2\) auf \((x+12)^2\): \(x^2 + 2 \cdot x \cdot 12 + 12^2 = x^2 + 24x + 144\). 2. Anwendung der zweiten binomischen Formel \((A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2\) auf \((10-y)^2\): \(10^2 - 2 \cdot 10 \cdot y + y^2 = 100 - 20y + y^2\). 3. Anwendung der ersten binomischen Formel auf \((4a+3b)^2\): \((4a)^2 + 2 \cdot 4a \cdot 3b + (3b)^2 = 16a^2 + 24ab + 9b^2\). 4. Anwendung der zweiten binomischen Formel auf \((6m-5)^2\): \((6m)^2 - 2 \cdot 6m \cdot 5 + 5^2 = 36m^2 - 60m + 25\).

a) \(x^2 + 24x + 144\) b) \(100 - 20y + y^2\) c) \(16a^2 + 24ab + 9b^2\) d) \(36m^2 - 60m + 25\)

- Erinnere dich an die Struktur der binomischen Formeln für \((A+B)^2\) und \((A-B)^2\). - Identifiziere in jeder Teilaufgabe genau, was deinem \(A\) und was deinem \(B\) entspricht. - Achte beim Quadrieren von Brüchen darauf, sowohl den Zähler als auch den Nenner zu quadrieren. - Vergiss beim mittleren Term nicht den Faktor 2.

1. Anwendung der ersten binomischen Formel \((A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2\) mit \(A = a\) und \(B = \frac{2}{3}\): \(a^2 + 2 \cdot a \cdot \frac{2}{3} + (\frac{2}{3})^2 = a^2 + \frac{4}{3}a + \frac{4}{9}\). 2. Anwendung der zweiten binomischen Formel \((A - B)^2 = A^2 - 2AB + B^2\) mit \(A = 0{,}4x\) und \(B = 5\): \((0{,}4x)^2 - 2 \cdot 0{,}4x \cdot 5 + 5^2 = 0{,}16x^2 - 4x + 25\). 3. Anwendung der ersten binomischen Formel mit \(A = \frac{1}{2}y\) und \(B = \frac{1}{4}z\): \((\frac{1}{2}y)^2 + 2 \cdot \frac{1}{2}y \cdot \frac{1}{4}z + (\frac{1}{4}z)^2 = \frac{1}{4}y^2 + \frac{1}{4}yz + \frac{1}{16}z^2\).

1) \(a^2 + \frac{4}{3}a + \frac{4}{9}\) 2) \(0{,}16x^2 - 4x + 25\) 3) \(\frac{1}{4}y^2 + \frac{1}{4}yz + \frac{1}{16}z^2\)

- Erinnere dich an die allgemeine Struktur der binomischen Formeln: \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) und \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\). - Welcher Teil der Formel entspricht welcher Zahl oder Variable im Ergebnis? - Überlege, welche Zahl mit sich selbst multipliziert den hinteren Teil des Ergebnisses ergibt. - Wie setzt sich das mittlere Glied aus den beiden Teilen in der Klammer zusammen?

1. Teilaufgabe a): Vergleich mit der 1. binomischen Formel \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\). Da \(a^2 = 9x^2\), folgt \(a = 3x\). Da \(b^2 = 25\), folgt \(b = 5\). Berechnung des Mittelterms: \(2 \cdot 3x \cdot 5 = 30x\). 2. Teilaufgabe b): Vergleich mit der 2. binomischen Formel \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\). Da \(a^2 = 0{,}16x^2\), folgt \(a = 0{,}4x\). Das Endglied \(b^2 = (0{,}2y^2)^2 = 0{,}04y^4\) passt zur Vorgabe. Berechnung des Mittelterms: \(2 \cdot 0{,}4x \cdot 0{,}2y^2 = 0{,}16xy^2\).

a) \((3x + 5)^2 = 9x^2 + 30x + 25\) b) \((0{,}4x - 0{,}2y^2)^2 = 0{,}16x^2 - 0{,}16xy^2 + 0{,}04y^4\)

- Welche „glatte“ Zahl liegt nahe an der Zahl, die quadriert werden soll? - Kannst du die Zahl als Summe oder Differenz schreiben, wobei eine der Zahlen eine Stufenzahl (wie 10, 20, 50, 100) ist? - Achte bei Dezimalzahlen besonders auf die Anzahl der Nachkommastellen beim Quadrieren.

1. Zerlegung von \(21^2\) in \((20 + 1)^2\): Anwendung der ersten binomischen Formel ergibt \(20^2 + 2 \cdot 20 \cdot 1 + 1^2 = 400 + 40 + 1 = 441\). 2. Zerlegung von \(49^2\) in \((50 - 1)^2\): Anwendung der zweiten binomischen Formel ergibt \(50^2 - 2 \cdot 50 \cdot 1 + 1^2 = 2500 - 100 + 1 = 2401\). 3. Zerlegung von \(10{,}1^2\) in \((10 + 0{,}1)^2\): Anwendung der ersten binomischen Formel ergibt \(10^2 + 2 \cdot 10 \cdot 0{,}1 + 0{,}1^2 = 100 + 2 + 0{,}01 = 102{,}01\). 4. Zerlegung von \(199^2\) in \((200 - 1)^2\): Anwendung der zweiten binomischen Formel ergibt \(200^2 - 2 \cdot 200 \cdot 1 + 1^2 = 40\,000 - 400 + 1 = 39\,601\).

a) \(441\); b) \(2401\); c) \(102{,}01\); d) \(39\,601\).

- Kannst du einen Teil des Terms in jeder Klammer so zusammenfassen, dass die Struktur \((A + B) \cdot (A - B)\) sichtbar wird? - Welche binomische Formel hilft dir, wenn du ein Produkt aus einer Summe und einer Differenz berechnen sollst? - Achte beim Auflösen von Klammern besonders auf das Minuszeichen, falls ein ganzer binomischer Ausdruck subtrahiert wird.

1. Gruppierung als \(((x+y)+3) \cdot ((x+y)-3)\). Anwendung der 3. binomischen Formel ergibt \((x+y)^2 - 3^2\). Ausmultiplizieren mit der 1. binomischen Formel führt zu \(x^2 + 2xy + y^2 - 9\). 2. Gruppierung als \(((a-b)+c) \cdot ((a-b)-c)\). Anwendung der 3. binomischen Formel ergibt \((a-b)^2 - c^2\). Ausmultiplizieren mit der 2. binomischen Formel führt zu \(a^2 - 2ab + b^2 - c^2\). 3. Gruppierung als \((7+(m+n)) \cdot (7-(m+n))\). Anwendung der 3. binomischen Formel ergibt \(7^2 - (m+n)^2\). Ausmultiplizieren mit der 1. binomischen Formel und Berücksichtigung des Minuszeichens führt zu \(49 - (m^2 + 2mn + n^2) = 49 - m^2 - 2mn - n^2\).

1) \(x^2 + 2xy + y^2 - 9\) 2) \(a^2 - 2ab + b^2 - c^2\) 3) \(49 - m^2 - 2mn - n^2\)

- Welche binomischen Formeln erkennst du in den Klammern? - Achte besonders auf das Minuszeichen vor der zweiten Klammer. - Multipliziere zuerst die Klammern aus, bevor du den Faktor davor anwendest. - Was passiert mit den Vorzeichen in einer Klammer, wenn ein Minus davor steht?

1. Anwendung der ersten binomischen Formel auf \((a+5)^2\): \(a^2 + 10a + 25\). 2. Anwendung der zweiten binomischen Formel auf \((a-4)^2\): \(a^2 - 8a + 16\). 3. Ausmultiplizieren der Klammern unter Berücksichtigung der Vorfaktoren und des Minuszeichens: \(2a^2 + 20a + 50 - (a^2 - 8a + 16)\). 4. Auflösen der verbleibenden Klammer durch Vorzeichenumkehr: \(2a^2 + 20a + 50 - a^2 + 8a - 16\). 5. Zusammenfassen der gleichartigen Glieder: \(a^2 + 28a + 34\).

\(a^2 + 28a + 34\)

- Kannst du eine Struktur erkennen, die zu einer der binomischen Formeln passt? - Es hilft oft, zuerst nur zwei Klammern zusammenzufassen und das Ergebnis dann mit dem Rest des Terms zu verrechnen. - Achte bei Teilaufgabe b) darauf, zuerst die Klammer aufzulösen, bevor du die Subtraktion durchführst. - Erinnerst du dich an die Potenzgesetze, wenn du zum Beispiel \(x^2\) quadrierst?

1. Teilaufgabe a): Anwendung der dritten binomischen Formel auf die ersten beiden Klammern ergibt \((x - 3) \cdot (x + 3) = x^2 - 3^2 = x^2 - 9\). 2. Erneute Anwendung der dritten binomischen Formel auf das Zwischenergebnis und die letzte Klammer: \((x^2 - 9) \cdot (x^2 + 9) = (x^2)^2 - 9^2 = x^4 - 81\). 3. Teilaufgabe b): Anwendung der ersten binomischen Formel auf den quadrierten Ausdruck: \((k + 4)^2 = k^2 + 2 \cdot k \cdot 4 + 4^2 = k^2 + 8k + 16\). 4. Subtraktion von \(8k\) vom Ergebnis: \(k^2 + 8k + 16 - 8k = k^2 + 16\).

a) \(x^4 - 81\) b) \(k^2 + 16\)

- Kannst du im ersten Teil des Terms eine binomische Formel erkennen? - Was passiert mit den Vorzeichen der einzelnen Glieder, wenn du eine Klammer abziehst? - Überlege, welche Glieder sich beim Zusammenfassen gegenseitig aufheben.

1. Anwendung der dritten binomischen Formel auf das Produkt: \((3x + 2y) \cdot (3x - 2y) = 9x^2 - 4y^2\) 2. Anwendung der zweiten binomischen Formel auf das Quadrat: \((3x - y)^2 = 9x^2 - 6xy + y^2\) 3. Subtraktion der beiden Teilergebnisse unter Beachtung der Vorzeichenänderung in der Minusklammer: \((9x^2 - 4y^2) - (9x^2 - 6xy + y^2) = 9x^2 - 4y^2 - 9x^2 + 6xy - y^2\) 4. Zusammenfassen der gleichartigen Glieder: \(6xy - 5y^2\)

\(6xy - 5y^2\)

- Erinnere dich an das Distributivgesetz (Klammern auflösen). - Achte besonders auf die Vorzeichen beim Auflösen der Klammer im zweiten Teil. - Welche bekannten Formeln für Quadrate von Summen oder Differenzen kennst du?

1. Ausmultiplizieren der linken Seite von Gleichung 1: Anwendung des Distributivgesetzes auf \(b \cdot (2a + b)\) ergibt \(2ab + b^2\). Der gesamte Term lautet somit \(a^2 + 2ab + b^2\). 2. Vergleich mit der ersten binomischen Formel: Der umgeformte Term \(a^2 + 2ab + b^2\) ist identisch mit der rechten Seite \((a + b)^2\). 3. Ausmultiplizieren der linken Seite von Gleichung 2: Anwendung des Distributivgesetzes auf \(-b \cdot (2a - b)\) ergibt \(-2ab + b^2\). Der gesamte Term lautet somit \(a^2 - 2ab + b^2\). 4. Vergleich mit der zweiten binomischen Formel: Der umgeformte Term \(a^2 - 2ab + b^2\) ist identisch mit der rechten Seite \((a - b)^2\).

Die Identitäten werden durch Anwendung des Distributivgesetzes auf der linken Seite und anschließenden Vergleich mit der ersten bzw. zweiten binomischen Formel nachgewiesen.

- Kannst du die Klammern mithilfe der binomischen Formeln auflösen? - Was musst du beachten, wenn vor einer Klammer ein Minuszeichen steht? - Welche Glieder lassen sich am Ende gegenseitig abziehen? - Versuche, die Terme schrittweise untereinander zu schreiben.

1. Anwendung der ersten binomischen Formel auf den ersten Teil: \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) 2. Anwendung der zweiten binomischen Formel auf den zweiten Teil: \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) 3. Aufstellen der Differenz unter Berücksichtigung der Klammern: \((a^2 + 2ab + b^2) - (a^2 - 2ab + b^2)\) 4. Auflösen der Minusklammer durch Vorzeichenumkehr aller Glieder in der Klammer: \(a^2 + 2ab + b^2 - a^2 + 2ab - b^2\) 5. Zusammenfassen der gleichartigen Glieder: \(a^2 - a^2 = 0\), \(b^2 - b^2 = 0\) und \(2ab + 2ab = 4ab\) 6. Ergebnis: Der vereinfachte Term lautet \(4ab\), somit ist die Gleichung korrekt.

Die Gleichung ist korrekt, da die Vereinfachung der linken Seite \((a^2 + 2ab + b^2) - (a^2 - 2ab + b^2) = 4ab\) ergibt.

- Erkennst du im ersten Teil des Ausdrucks ein Muster, das zur dritten binomischen Formel passt? - Wie kannst du eine Differenz von zwei Quadratzahlen als Produkt schreiben? - Achte beim letzten Aufgabenteil besonders auf die Vorzeichen im Nenner. Kannst du dort etwas ausklammern? - Was passiert, wenn man einen Term durch sich selbst teilt?

1. Anwendung der dritten binomischen Formel auf den Zähler: \(x^2 - 9 = (x - 3) \cdot (x + 3)\). Division durch \((x + 3)\) ergibt \(x - 3\). 2. Anwendung der dritten binomischen Formel auf den Zähler: \(16 - y^2 = (4 - y) \cdot (4 + y)\). Division durch \((4 - y)\) ergibt \(4 + y\). 3. Anwendung der dritten binomischen Formel auf den Zähler: \(4a^2 - 25 = (2a - 5) \cdot (2a + 5)\). Division durch \((2a + 5)\) ergibt \(2a - 5\). 4. Anwendung der dritten binomischen Formel auf den Zähler: \(b^2 - 1 = (b - 1) \cdot (b + 1)\). Der Nenner \((1 - b)\) entspricht \(-(b - 1)\). Division ergibt \(\frac{(b - 1) \cdot (b + 1)}{-(b - 1)} = -(b + 1) = -b - 1\).

1) \(x - 3\) 2) \(4 + y\) 3) \(2a - 5\) 4) \(-b - 1\)

- Überlege dir für jede Zahl im Term, welche Zahl mit sich selbst multipliziert diesen Wert ergibt. - Achte darauf, dass die Formel nur bei einer Differenz (Minuszeichen) zwischen zwei Quadraten funktioniert. - Bei Termen wie \(9x^2\) musst du sowohl die Zahl als auch die Variable betrachten.

Anwendung der 3. binomischen Formel \(a^2 - b^2 = (a - b) \cdot (a + b)\): 1. Identifikation von \(100 = 10^2\), daraus folgt \((10 - p) \cdot (10 + p)\). 2. Identifikation von \(9x^2 = (3x)^2\) und \(16 = 4^2\), daraus folgt \((3x - 4) \cdot (3x + 4)\). 3. Identifikation von \(0{,}25 = 0{,}5^2\), daraus folgt \((0{,}5 - y) \cdot (0{,}5 + y)\). 4. Identifikation von \(\frac{4}{9} = \left(\frac{2}{3}\right)^2\), daraus folgt \(\left(m - \frac{2}{3}\right)\left(m + \frac{2}{3}\right)\).

1) \((10 - p) \cdot (10 + p)\) 2) \((3x - 4) \cdot (3x + 4)\) 3) \((0{,}5 - y) \cdot (0{,}5 + y)\) 4) \(\left(m - \frac{2}{3}\right)\left(m + \frac{2}{3}\right)\)

- Kannst du in den Klammern die Struktur einer binomischen Formel erkennen? - Welche Zahl oder welcher Term ergibt quadriert das letzte Glied im ersten Klammerpaar? - Überprüfe, ob das mittlere Glied genau dem doppelten Produkt der beiden Basen entspricht. - Was passiert, wenn man eine Quadratzahl durch ihre Basis teilt?

1. Teilaufgabe a: Der Dividend \(x^2 + 14x + 49\) wird mithilfe der 1. binomischen Formel als \((x+7)^2\) geschrieben. Die Division durch \((x+7)\) ergibt \((x+7)^2 : (x+7) = x+7\). 2. Teilaufgabe b: Der Dividend \(4a^2 - 12ab + 9b^2\) entspricht der 2. binomischen Formel \((2a-3b)^2\). Die Division durch \((2a-3b)\) ergibt \((2a-3b)^2 : (2a-3b) = 2a-3b\). 3. Teilaufgabe c: Der Dividend \(y^4 + 2y^2 + 1\) wird als Quadrat eines Binoms erkannt: \((y^2+1)^2\). Die Division durch \((y^2+1)\) ergibt \((y^2+1)^2 : (y^2+1) = y^2+1\).

a) \(x+7\) b) \(2a-3b\) c) \(y^2+1\)

- Kannst du die Zahlen als Quadratzahlen schreiben? - Welcher Term ergibt quadriert den Ausdruck vor oder nach dem Minuszeichen? - Erinnere dich an die Struktur der dritten binomischen Formel. - Überlege, wie man ein Produkt wie \(x^2y^2\) als ein einziges Quadrat schreiben kann.

1. Anwendung der Formel \(A^2 - B^2 = (A - B) \cdot (A + B)\) auf \(r^2s^2 - 64\): Identifikation von \(A = rs\) und \(B = 8\), da \((rs)^2 = r^2s^2\) und \(8^2 = 64\). Ergebnis: \((rs - 8) \cdot (rs + 8)\). 2. Anwendung auf \(121 - x^2y^2\): Identifikation von \(A = 11\) und \(B = xy\), da \(11^2 = 121\) und \((xy)^2 = x^2y^2\). Ergebnis: \((11 - xy) \cdot (11 + xy)\). 3. Anwendung auf \(a^2b^2 - 1\): Identifikation von \(A = ab\) und \(B = 1\), da \((ab)^2 = a^2b^2\) und \(1^2 = 1\). Ergebnis: \((ab - 1) \cdot (ab + 1)\). 4. Anwendung auf \(16 - m^2n^2\): Identifikation von \(A = 4\) und \(B = mn\), da \(4^2 = 16\) und \((mn)^2 = m^2n^2\). Ergebnis: \((4 - mn) \cdot (4 + mn)\).

1) \((rs - 8) \cdot (rs + 8)\) 2) \((11 - xy) \cdot (11 + xy)\) 3) \((ab - 1) \cdot (ab + 1)\) 4) \((4 - mn) \cdot (4 + mn)\)

- Gibt es eine Formel, mit der du die Differenz zweier Quadrate einfacher berechnen kannst? - Was passiert, wenn du die Zahlen einmal addierst und einmal subtrahierst? - Kannst du die Terme so umformen, dass du mit „runden“ Zahlen rechnen kannst?

1. Anwendung der Formel \( a^2 - b^2 = (a - b) \cdot (a + b) \) auf Teilaufgabe a): \( (5 \frac{1}{2} - 4 \frac{1}{2}) \cdot (5 \frac{1}{2} + 4 \frac{1}{2}) = 1 \cdot 10 = 10 \). 2. Anwendung der Formel auf Teilaufgabe b): \( (205 - 5) \cdot (205 + 5) = 200 \cdot 210 = 42\,000 \). 3. Anwendung der Formel auf Teilaufgabe c): \( (8{,}7 - 1{,}3) \cdot (8{,}7 + 1{,}3) = 7{,}4 \cdot 10 = 74 \).

a) \( 10 \) b) \( 42\,000 \) c) \( 74 \)

- Woran erkennst du eine Differenz? - Schau dir die Vorzeichen zwischen den beiden Teilen der Terme genau an. - Welche Zahlen oder Brüche sind Quadratzahlen? - Überlege, welcher Ausdruck mit sich selbst multipliziert den jeweiligen Teil des Terms ergibt.

1. Prüfung der Terme auf die Struktur einer Differenz zweier Quadrate (\(a^2 - b^2\)). 2. a) \(81 - x^2 = 9^2 - x^2 = (9 - x) \cdot (9 + x)\). 3. b) \(y^2 + 16\) ist eine Summe; die dritte binomische Formel ist nicht anwendbar. 4. c) \(4a^2 - 121 = (2a)^2 - 11^2 = (2a - 11) \cdot (2a + 11)\). 5. d) \(w^2 - 0{,}04 = w^2 - 0{,}2^2 = (w - 0{,}2) \cdot (w + 0{,}2)\). 6. e) \(b^2 - \frac{1}{9} = b^2 - (\frac{1}{3})^2 = (b - \frac{1}{3}) \cdot (b + \frac{1}{3})\).

a) \((9-x) \cdot (9+x)\) b) Nicht möglich (Summe) c) \((2a-11) \cdot (2a+11)\) d) \((w-0{,}2) \cdot (w+0{,}2)\) e) \((b-\frac{1}{3}) \cdot (b+\frac{1}{3})\)

- Überlege zuerst, welche Zahl oder welcher Term das Quadrat am Ende bildet. - Achte beim Subtrahieren eines ganzen Klammerausdrucks besonders auf die Vorzeichen innerhalb der Klammer. - Kannst du die Terme innerhalb der neuen Klammern noch zusammenfassen?

1. Anwendung der Formel mit \(A = x+5\) und \(B = 6\): \(((x+5) - 6) \cdot ((x+5) + 6)\). Vereinfachung der Klammern ergibt \((x-1) \cdot (x+11)\). 2. Anwendung der Formel mit \(A = 8\) und \(B = a-3\): \((8 - (a-3)) \cdot (8 + (a-3))\). Auflösen der inneren Klammern: \((8-a+3) \cdot (8+a-3)\). Zusammenfassen ergibt \((11-a) \cdot (5+a)\). 3. Anwendung der Formel mit \(A = 4y+1\) und \(B = 3y\): \(((4y+1) - 3y) \cdot ((4y+1) + 3y)\). Zusammenfassen der Terme ergibt \((y+1) \cdot (7y+1)\).

1) \((x-1) \cdot (x+11)\) 2) \((11-a) \cdot (5+a)\) 3) \((y+1) \cdot (7y+1)\)

- Erkennst du in den Aufgaben die Struktur \(A^2 - B^2\)? - Was entspricht in den jeweiligen Teilaufgaben dem \(A\) und was dem \(B\)? - Achte beim Subtrahieren von Summen in den Klammern besonders auf die Vorzeichenregeln. - Kannst du die Terme innerhalb der neuen Klammern noch weiter zusammenfassen?

1. Anwendung der Formel \(A^2 - B^2 = (A - B) \cdot (A + B)\) mit \(A = x + 7\) und \(B = 5\): \((x + 7 - 5) \cdot (x + 7 + 5) = (x + 2) \cdot (x + 12)\). 2. Anwendung mit \(A = a - 2b\) und \(B = 3c + d\): \(((a - 2b) - (3c + d)) \cdot ((a - 2b) + (3c + d)) = (a - 2b - 3c - d) \cdot (a - 2b + 3c + d)\). 3. Anwendung mit \(A = 2k + 1\) und \(B = k - 3\): \(((2k + 1) - (k - 3)) \cdot ((2k + 1) + (k - 3)) = (2k + 1 - k + 3) \cdot (2k + 1 + k - 3) = (k + 4) \cdot (3k - 2)\).

1) \((x + 2) \cdot (x + 12)\) 2) \((a - 2b - 3c - d) \cdot (a - 2b + 3c + d)\) 3) \((k + 4) \cdot (3k - 2)\)

- Welche Zehnerzahl liegt besonders nah an der Zahl, die du quadrieren sollst? - Wie kannst du die Zahl als Differenz aus einer Zehnerzahl und der Eins ausdrücken? - Erinnere dich an die Struktur der zweiten binomischen Formel. - Was passiert mit dem Term, wenn du ihn Schritt für Schritt ausmultiplizierst und zusammenfasst?

1. Berechnung von \(19^2\): \((20-1)^2 = 20^2 - 2 \cdot 20 \cdot 1 + 1^2 = 400 - 40 + 1 = 361\). 2. Berechnung von \(39^2\): \((40-1)^2 = 40^2 - 2 \cdot 40 \cdot 1 + 1^2 = 1600 - 80 + 1 = 1521\). 3. Allgemeine Termumformung: \((10n - 1)^2 = (10n)^2 - 2 \cdot 10n \cdot 1 + 1^2 = 100n^2 - 20n + 1\). 4. Anwendung für \(89^2\) mit \(n = 9\): \(100 \cdot 9^2 - 20 \cdot 9 + 1 = 8100 - 180 + 1 = 7921\).

a) \(19^2 = 361\); \(39^2 = 1521\) b) \((10n - 1)^2 = 100n^2 - 20n + 1\) c) \(89^2 = 7921\)

- Was passiert, wenn du beide Terme voneinander abziehst? - Erinnert dich der Ausdruck \(x^2 - 10x + 25\) an eine bestimmte Formel zum Umformen von Klammern? - Kann ein Quadrat einer Zahl jemals kleiner als Null sein? - Überprüfe, ob es eine Zahl gibt, bei der beide Terme genau den gleichen Wert ergeben.

1. Vergleich der Terme durch Bildung der Differenz: \(x^2 + 25 - 10x\). 2. Umordnung der Glieder: \(x^2 - 10x + 25\). 3. Anwendung der zweiten binomischen Formel: \((x - 5)^2\). 4. Da das Quadrat einer rationalen Zahl stets größer oder gleich Null ist (\((x - 5)^2 \ge 0\)), gilt \(x^2 - 10x + 25 \ge 0\). 5. Daraus folgt \(x^2 + 25 \ge 10x\). 6. Für den speziellen Fall \(x = 5\) ergibt sich \((5 - 5)^2 = 0\), was bedeutet, dass \(x^2 + 25\) in diesem Fall genau gleich \(10x\) ist (\(5^2 + 25 = 50\) und \(10 \cdot 5 = 50\)). 7. Die Aussage, dass der Term für jede beliebige Zahl „immer größer“ ist, ist somit falsch, da er für \(x = 5\) gleich groß ist.

Nein, die Aussage ist nicht wahr. Zwar ist \(x^2 + 25\) für alle rationalen Zahlen außer \(x = 5\) größer als \(10x\), aber für \(x = 5\) sind beide Terme genau gleich groß (\(50 = 50\)). Mithilfe der zweiten binomischen Formel lässt sich der Ausdruck als \((x - 5)^2 \ge 0\) schreiben, woraus \(x^2 + 25 \ge 10x\) folgt.

- Welche der drei binomischen Formeln passt zur Struktur des Terms? - Was weißt du über das Vorzeichen von Zahlen, die mit sich selbst multipliziert werden? - Wann wird ein Produkt aus zwei identischen Klammern genau Null?

1. Berechnung der Termwerte: Für \(x = 0\) ergibt sich \(0^2 - 12 \cdot 0 + 36 = 36\). Für \(x = 6\) ergibt sich \(6^2 - 12 \cdot 6 + 36 = 36 - 72 + 36 = 0\). Für \(x = 10\) ergibt sich \(10^2 - 12 \cdot 10 + 36 = 100 - 120 + 36 = 16\). 2. Anwendung der binomischen Formel: Der Term \(x^2 - 12x + 36\) entspricht der Struktur \(a^2 - 2ab + b^2\) mit \(a = x\) und \(b = 6\). Somit gilt \(x^2 - 12x + 36 = (x-6)^2\). 3. Begründung der Nicht-Negativität: Da der Term als Quadrat \((x-6)^2\) geschrieben werden kann und Quadratzahlen rationaler Zahlen immer größer oder gleich Null sind (\(k^2 \ge 0\)), kann der Term niemals negativ werden. 4. Kleinster Wert: Der kleinste mögliche Wert eines Quadrats ist \(0\). Dieser wird erreicht, wenn die Basis Null ist, also \(x - 6 = 0\), woraus \(x = 6\) folgt.

a) Die Werte sind \(36\), \(0\) und \(16\). b) \(T = (x-6)^2\). c) Da ein Quadrat einer rationalen Zahl niemals negativ ist, gilt \((x-6)^2 \ge 0\). Der kleinste Wert ist \(0\) für \(x = 6\).

- Kannst du den Term als ein Quadrat minus ein anderes Quadrat schreiben? - Gibt es eine binomische Formel, die genau auf eine Differenz von zwei Quadraten passt? - Schau dir die entstandenen Klammern genau an: Lässt sich eine davon vielleicht noch einmal auf die gleiche Weise zerlegen? - Wann ist ein Term „fertig“ zerlegt?

1. Der Term wird als Differenz zweier Quadrate aufgefasst: \((n^2)^2 - 1^2\). 2. Anwendung der 3. binomischen Formel ergibt \((n^2 - 1) \cdot (n^2 + 1)\). 3. Der erste Faktor \(n^2 - 1\) ist selbst eine Differenz von Quadraten und wird in \((n - 1) \cdot (n + 1)\) zerlegt. 4. Der Faktor \(n^2 + 1\) lässt sich über den rationalen Zahlen nicht weiter faktorisieren. 5. Die vollständige Faktorisierung lautet \((n - 1) \cdot (n + 1) \cdot (n^2 + 1)\). 6. Es entstehen drei nichtkonstante Faktoren.

Über den rationalen Zahlen gilt \(n^4 - 1 = (n - 1) \cdot (n + 1) \cdot (n^2 + 1)\); es sind drei nichtkonstante Faktoren.

- Überlege, welche Zahlen oder Variablen zum Quadrat die äußeren Glieder des Terms ergeben. - Prüfe, ob das mittlere Glied genau das Doppelte des Produkts dieser beiden Werte ist. - Achte auf das Rechenzeichen vor dem mittleren Glied, um zwischen der ersten und zweiten binomischen Formel zu unterscheiden.

1. Identifikation der Struktur \(a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2\) oder \(a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2\). 2. Teilaufgabe a): \(x^2 + 2 \cdot x \cdot 6 + 6^2 = (x+6)^2\). 3. Teilaufgabe b): \((5a)^2 - 2 \cdot 5a \cdot 2b + (2b)^2 = (5a-2b)^2\). 4. Teilaufgabe c): \(w^2 - 2 \cdot w \cdot 9 + 9^2 = (w-9)^2\). 5. Teilaufgabe d): \((7z)^2 + 2 \cdot 7z \cdot 1 + 1^2 = (7z+1)^2\).

a) \((x+6)^2\) b) \((5a-2b)^2\) c) \((w-9)^2\) d) \((7z+1)^2\)

- Welche Zahl ergibt mit sich selbst multipliziert den Koeffizienten des ersten oder letzten Terms? - Achte auf das Vorzeichen des Mittelterms, um zwischen der ersten und zweiten binomischen Formel zu unterscheiden. - Vergiss nicht zu prüfen, ob der doppelte Wert des Produkts aus deinen gefundenen Werten \(A\) und \(B\) tatsächlich dem Mittelterm entspricht.

1. Teilaufgabe a): Es gilt \((0{,}7x)^2 = 0{,}49x^2\) und \(y^2 = y^2\). Der Mittelterm ist \(2 \cdot 0{,}7x \cdot y = 1{,}4xy\). Daher ergibt sich \((0{,}7x + y)^2\). 2. Teilaufgabe b): Es gilt \((a^2)^2 = a^4\) und \((0{,}3b)^2 = 0{,}09b^2\). Der Mittelterm ist \(2 \cdot a^2 \cdot 0{,}3b = 0{,}6a^2b\). Daher ergibt sich \((a^2 - 0{,}3b)^2\). 3. Teilaufgabe c): Es gilt \((1{,}2u)^2 = 1{,}44u^2\) und \(1^2 = 1\). Der Mittelterm ist \(2 \cdot 1{,}2u \cdot 1 = 2{,}4u\). Daher ergibt sich \((1{,}2u - 1)^2\).

a) \((0{,}7x + y)^2\) b) \((a^2 - 0{,}3b)^2\) c) \((1{,}2u - 1)^2\)

- Was passiert, wenn du die Klammern mithilfe der binomischen Formeln auflöst? - Achte besonders auf das Minuszeichen vor der zweiten Klammer, wenn du sie entfernst. - Gibt es Glieder, die sich beim Zusammenfassen gegenseitig aufheben? - Was bleibt übrig, wenn du alle Gleichteile subtrahierst?

1. Anwendung der ersten binomischen Formel auf den Term \(A\): \(x^2 + 2xy + y^2\) 2. Anwendung der zweiten binomischen Formel auf den Term \(B\): \(x^2 - 2xy + y^2\) 3. Aufstellen der Differenz \(A - B\) unter Verwendung von Klammern: \((x^2 + 2xy + y^2) - (x^2 - 2xy + y^2)\) 4. Auflösen der Minusklammer durch Umkehrung der Vorzeichen im Inneren: \(x^2 + 2xy + y^2 - x^2 + 2xy - y^2\) 5. Zusammenfassen der Glieder: Die quadratischen Anteile \(x^2 - x^2\) und \(y^2 - y^2\) ergeben jeweils \(0\), während \(2xy + 2xy = 4xy\) resultiert.

Durch Umformung der Terme erhält man \(A - B = 4xy\). Dies entspricht genau dem Vierfachen des Produkts von \(x\) und \(y\).

- Gibt es eine Zahl oder eine Variable, die in allen Teilen des Terms vorkommt? - Erinnerst du dich an die drei binomischen Formeln? Welche könnte hier passen? - Achte darauf, ob ein Teil des Terms bereits ein Quadrat ist. - Manchmal muss man erst etwas ausklammern, bevor man eine binomische Formel erkennt.

1. Ausklammern des gemeinsamen Faktors \(2\), gefolgt von der Anwendung der 3. binomischen Formel auf den Ausdruck \(x^2 - (3y)^2\): \(2 \cdot (x - 3y) \cdot (x + 3y)\). 2. Ausklammern des gemeinsamen Faktors \(3\), Identifikation der 1. binomischen Formel für den verbleibenden Ausdruck \(a^2 + 4ab + 4b^2\): \(3 \cdot (a + 2b)^2\). 3. Direkte Anwendung der 3. binomischen Formel auf die Differenz der Quadrate \(z^2\) und \((x+1)^2\): \((z - (x + 1)) \cdot (z + (x + 1))\), vereinfacht zu \((z - x - 1) \cdot (z + x + 1)\).

1) \(2 \cdot (x - 3y) \cdot (x + 3y)\) 2) \(3 \cdot (a + 2b)^2\) 3) \((z - x - 1) \cdot (z + x + 1)\)

- Überlege, welche der binomischen Formeln jeweils passt. - Denk daran, dass beim Quadrieren eines Produkts jeder Faktor einzeln quadriert werden muss. - Wie werden Potenzen potenziert, wenn sie bereits einen Exponenten haben? - Achte bei den Brüchen darauf, sowohl den Zähler als auch den Nenner zu quadrieren.

1. Für Teilaufgabe a) wird die erste binomische Formel \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) genutzt. Mit \(a = 5x^3\) und \(b = 2y^2\) ergibt sich: \((5x^3)^2 + 2 \cdot 5x^3 \cdot 2y^2 + (2y^2)^2 = 25x^6 + 20x^3y^2 + 4y^4\). 2. Für Teilaufgabe b) wird die zweite binomische Formel \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) genutzt. Mit \(a = \frac{1}{3}a^2b\) und \(b = 6ab^2\) ergibt sich: \((\frac{1}{3}a^2b)^2 - 2 \cdot \frac{1}{3}a^2b \cdot 6ab^2 + (6ab^2)^2 = \frac{1}{9}a^4b^2 - 4a^3b^3 + 36a^2b^4\).

a) \(25x^6 + 20x^3y^2 + 4y^4\) b) \(\frac{1}{9}a^4b^2 - 4a^3b^3 + 36a^2b^4\)

- Kennst du eine Formel, mit der man Klammern der Form \((... - ...)^2\) schnell ausrechnen kann? - Pass beim Quadrieren von \(2p\) auf: Was passiert mit der Zahl und was mit dem Buchstaben? - Vergiss nicht den Teil in der Mitte, der beim Ausmultiplizieren entsteht.

1. Anwendung der 2. binomischen Formel \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\). 2. Einsetzen von \(a = 2p\) und \(b = q\). 3. Berechnung der Einzelterme: \(a^2 = (2p)^2 = 4p^2\), \(2ab = 2 \cdot 2p \cdot q = 4pq\), \(b^2 = q^2\). 4. Zusammensetzen: \(4p^2 - 4pq + q^2\).

c) \(4p^2 - 4pq + q^2\)

- Erinnerst du dich an die binomischen Formeln für Quadrate von Differenzen und Summen? - Was passiert mit den Vorzeichen in einer Klammer, wenn ein Minuszeichen davor steht? - Kannst du die Terme nach ihrer Art sortieren, bevor du sie endgültig zusammenrechnest?

1. Auflösen der ersten Klammer mit der zweiten binomischen Formel: \((x - 5)^2 = x^2 - 10x + 25\). 2. Auflösen der zweiten Klammer mit der ersten binomischen Formel: \((x + 2)^2 = x^2 + 4x + 4\). 3. Bilden der Differenz beider Ergebnisse: \(x^2 - 10x + 25 - (x^2 + 4x + 4)\). 4. Auflösen der Minusklammer durch Umkehren aller Vorzeichen in der Klammer: \(x^2 - 10x + 25 - x^2 - 4x - 4\). 5. Zusammenfassen der Terme: \(x^2 - x^2 = 0\), \(-10x - 4x = -14x\) und \(25 - 4 = 21\). Das Ergebnis ist \(-14x + 21\).

\(-14x + 21\)

- Rechne zuerst die Summe in der Klammer aus, bevor du quadrierst. - Was bedeutet es in der Mathematik, wenn etwas „immer“ oder „allgemein“ gelten soll? - Reicht ein einziges Beispiel aus, um eine Regel für alle Zahlen zu beweisen? - Was ist ein Gegenbeispiel?

1. Linke Seite für \(a = 3, b = 4\): \((3 + 4)^2 = 7^2 = 49\). 2. Rechte Seite für \(a = 3, b = 4\): \(3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25\). 3. Vergleich: Da \(49 \neq 25\), ist die Gleichung für diese Werte falsch. 4. Logische Analyse: Um eine allgemeine mathematische Aussage zu widerlegen, reicht ein einziges Gegenbeispiel (hier \(a=3, b=4\)). 5. Bewertung von Lukas' Argument: Dass eine Formel für einen speziellen Fall (wie \(b=0\)) funktioniert, beweist nicht, dass sie für alle Zahlen gilt. Eine allgemeine Regel muss ausnahmslos für alle erlaubten Werte wahr sein.

a) Linke Seite: \(49\); Rechte Seite: \(25\). Die Formel ist für diese Zahlen falsch. b) In der Mathematik muss eine Formel für alle Zahlen gelten, um als wahr anerkannt zu werden. Ein einziges Beispiel (wie \(b=0\)) ist kein Beweis für die Allgemeingültigkeit, während ein einziges Gegenbeispiel (wie \(a=3, b=4\)) ausreicht, um die Formel zu widerlegen.

- Vergleiche die gegebenen Teile mit der allgemeinen Form der binomischen Formeln. - Welcher Teil der Formel entspricht dem mittleren Summanden? - Wie hängen die äußeren Quadrate mit den Werten in der Klammer zusammen? - Achte darauf, ob ein Plus oder ein Minus in der Klammer steht.

1. Teilaufgabe a): Vergleich mit \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\). Aus \(2ab = 12x\) und \(a = x\) folgt \(2 \cdot x \cdot b = 12x\), also \(b = 6\). Das Quadrat \(b^2\) ist \(36\). Ergebnis: \((x + 6)^2 = x^2 + 12x + 36\). 2. Teilaufgabe b): Vergleich mit \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\). Aus \(a^2 = 25x^2\) folgt \(a = 5x\). Der mittlere Term \(2ab\) ist \(2 \cdot 5x \cdot 4y = 40xy\). Ergebnis: \((5x - 4y)^2 = 25x^2 - 40xy + 16y^2\). 3. Teilaufgabe c): Bezeichne den ersten Klammerterm mit \(u\). Dann muss \(2 \cdot u \cdot 0{,}1 = 0{,}4a\) gelten. Daraus folgt \(0{,}2u = 0{,}4a\) und damit \(u = 2a\). Der erste Summand ist folglich \(u^2 = (2a)^2 = 4a^2\). Ergebnis: \((2a + 0{,}1)^2 = 4a^2 + 0{,}4a + 0{,}01\).

a) \((x + 6)^2 = x^2 + 12x + 36\) b) \((5x - 4y)^2 = 25x^2 - 40xy + 16y^2\) c) \((2a + 0{,}1)^2 = 4a^2 + 0{,}4a + 0{,}01\)

- Kannst du in dem Ausdruck Quadrate von einfachen Termen erkennen? - Schau dir das Vorzeichen des mittleren Terms an, um zwischen der ersten und zweiten Formel zu unterscheiden. - Wenn nur zwei Terme mit einem Minus dazwischen dastehen, welche Formel könnte das sein? - Prüfe immer, ob der doppelte Produktterm (\(2AB\)) wirklich zum gegebenen Ausdruck passt.

1. Identifikation der 1. binomischen Formel für Teil a): Suche \(A\) und \(B\), sodass \(A^2 = 9x^2\) und \(B^2 = 4y^2\). Es ergibt sich \(A = 3x\) und \(B = 2y\). Prüfung des Mischterms: \(2 \cdot 3x \cdot 2y = 12xy\). Ergebnis: \((3x + 2y)^2\). 2. Identifikation der 2. binomischen Formel für Teil b): \(A^2 = 25a^4 \Rightarrow A = 5a^2\) und \(B^2 = 16b^2 \Rightarrow B = 4b\). Prüfung des Mischterms: \(2 \cdot 5a^2 \cdot 4b = 40a^2b\). Ergebnis: \((5a^2 - 4b)^2\). 3. Identifikation der 3. binomischen Formel für Teil c): \(A^2 = 49z^2 \Rightarrow A = 7z\) und \(B^2 = 81 \Rightarrow B = 9\). Ergebnis: \((7z + 9)(7z - 9)\).

a) \((3x + 2y)^2\) b) \((5a^2 - 4b)^2\) c) \((7z + 9)(7z - 9)\)

- Löse zuerst jeden Klammerausdruck einzeln mit der passenden binomischen Formel auf. - Achte besonders auf das Minuszeichen vor der zweiten Klammer in Teilaufgabe a) – es bezieht sich auf das gesamte Ergebnis des Ausmultiplizierens. - Fasse am Ende alle gleichartigen Glieder zusammen.

1. Ausmultiplizieren von Teil a): \((2x + 5)^2 = 4x^2 + 20x + 25\) und \((2x - 5)^2 = 4x^2 - 20x + 25\). 2. Subtraktion der Ergebnisse aus Schritt 1: \((4x^2 + 20x + 25) - (4x^2 - 20x + 25) = 4x^2 + 20x + 25 - 4x^2 + 20x - 25 = 40x\). 3. Ausmultiplizieren von Teil b): \((3y - 2)^2 = 9y^2 - 12y + 4\) und \((3y + 2)(3y - 2) = 9y^2 - 4\). 4. Addition der Ergebnisse aus Schritt 3: \((9y^2 - 12y + 4) + (9y^2 - 4) = 18y^2 - 12y\).

a) \(40x\) b) \(18y^2 - 12y\)

- Vergleiche die gegebenen Teile mit den allgemeinen binomischen Formeln. - Welche Zahl oder welcher Term muss quadriert werden, um einen der Bestandteile zu erhalten? - Achte beim mittleren Teil der Formeln auf das doppelte Produkt der beiden Summanden.

1. Zu a): Vergleich mit \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\). Da \(2 \cdot x \cdot b = 12x\), muss \(b = 6\) sein. Damit ist \(b^2 = 36\). Ergebnis: \(x^2 + 12x + 36 = (x + 6)^2\). 2. Zu b): Vergleich mit \((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\). Hier ist \(a = 4a\) und \(b = 7\). Es folgt \(b^2 = 49\). Ergebnis: \(16a^2 - 49 = (4a - 7)(4a + 7)\). 3. Zu c): Vergleich mit \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\). Hier ist \(a^2 = 25\), also \(a = 5\). Da \(2 \cdot 5 \cdot b = 20y\), muss \(b = 2y\) sein. Somit ist \(b^2 = 4y^2\). Ergebnis: \(25 - 20y + 4y^2 = (5 - 2y)^2\).

a) \(x^2 + 12x + 36 = (x + 6)^2\) b) \(16a^2 - 49 = (4a - 7)(4a + 7)\) c) \(25 - 20y + 4y^2 = (5 - 2y)^2\) (oder \((2y - 5)^2\))

- Kannst du die Terme zuerst einzeln ausrechnen, bevor du sie kombinierst? - Beachte bei Brüchen und Dezimalzahlen die Reihenfolge der Rechenoperationen: Potenzen vor Punkt vor Strich. - Was passiert mit dem Faktor \(\frac{1}{4}\), wenn du ihn in die Klammer hineinmultiplizierst?

1. Zweite binomische Formel für \((k-0{,}5)^2\) ergibt \(k^2 - k + 0{,}25\). 2. Ausmultiplizieren von \(k(1-k)\) ergibt \(k - k^2\). 3. Zusammenfassen in Teil a): \(k^2 - k + 0{,}25 + k - k^2 = 0{,}25\). 4. Erste binomische Formel für \((\frac{1}{2}x + 4)^2\) ergibt \(\frac{1}{4}x^2 + 4x + 16\). 5. Dritte binomische Formel für \((x-2)(x+2)\) ergibt \(x^2 - 4\). 6. Subtraktion mit Faktor: \(\frac{1}{4}x^2 + 4x + 16 - \frac{1}{4}(x^2 - 4) = \frac{1}{4}x^2 + 4x + 16 - \frac{1}{4}x^2 + 1\). 7. Endergebnis Teil b): \(4x + 17\).

a) \(0{,}25\) b) \(4x + 17\)

- Wie berechnet man allgemein die Fläche eines Rechtecks? - Welche binomische Formel hilft dir, ein Produkt aus einer Summe und einer Differenz schnell zu berechnen? - Was sagt das Ergebnis \(s^2 - 25\) über den Vergleich zum ursprünglichen \(s^2\) aus?

1. Flächeninhalt des Quadrats: \(A_Q = s \cdot s = s^2\). 2. Seitenlängen des Rechtecks: \(s + 5\) und \(s - 5\). 3. Flächeninhalt des Rechtecks: \(A_R = (s + 5) \cdot (s - 5)\). 4. Anwendung der 3. binomischen Formel: \(A_R = s^2 - 5^2 = s^2 - 25\). 5. Vergleich: \(A_Q - A_R = s^2 - (s^2 - 25) = 25\). 6. Ergebnis: Das ursprüngliche quadratische Grundstück hat einen um genau \(25\,\text{m}^2\) größeren Flächeninhalt als das neue rechteckige Grundstück.

a) Quadrat: \(s^2\); Rechteck: \((s+5)(s-5)\) b) Das quadratische Grundstück hat einen um \(25\,\text{m}^2\) größeren Flächeninhalt, da \((s+5)(s-5) = s^2 - 25\).

- Kannst du den Term in zwei große Bausteine zerlegen und diese zuerst einzeln vereinfachen? - Welche binomische Formel hilft dir bei dem Ausdruck mit \((x+5)\) und \((x-5)\)? - Vergiss nicht, am Ende alle Zahlen ohne Variable und alle Glieder mit \(x^2\) jeweils zu kombinieren.

1. Anwendung der 3. binomischen Formel auf das Produkt: \((x + 5)(x - 5) = x^2 - 25\). 2. Multiplikation mit dem Faktor 2: \(2 \cdot (x^2 - 25) = 2x^2 - 50\). 3. Anwendung der 2. binomischen Formel auf das Quadrat: \((x - 3)^2 = x^2 - 6x + 9\). 4. Subtraktion der Ergebnisse: \((2x^2 - 50) - (x^2 - 6x + 9)\). 5. Auflösen der Klammer mit Vorzeichenwechsel: \(2x^2 - 50 - x^2 + 6x - 9\). 6. Zusammenfassen der Glieder: \(x^2 + 6x - 59\).

\(x^2 + 6x - 59\)

- Was passiert, wenn du einen konkreten Wert für \(x\) einsetzt? - Erinnere dich an die Struktur der ersten binomischen Formel. - Wie sieht das Ergebnis aus, wenn man eine Klammer der Form \((a+b)^2\) vollständig multipliziert? - Kannst du die Gleichung so umformen, dass alle Glieder mit \(x\) auf einer Seite stehen?

1. Einsetzen von \(x=1\) in beide Seiten: Linke Seite \((1+5)^2 = 6^2 = 36\), rechte Seite \(1^2 + 25 = 1 + 25 = 26\). Da \(36 \neq 26\), ist die Behauptung im Allgemeinen falsch. 2. Anwendung der ersten binomischen Formel auf die linke Seite: \((x+5)^2 = x^2 + 10x + 25\). 3. Gleichsetzen mit der rechten Seite der Behauptung: \(x^2 + 10x + 25 = x^2 + 25\). 4. Subtraktion von \(x^2\) und \(25\) auf beiden Seiten ergibt \(10x = 0\), woraus \(x = 0\) folgt. Die Gleichung ist also nur für \(x=0\) wahr. 5. Der Schüler hat das „Mittelglied“ \(2 \cdot x \cdot 5 = 10x\) der binomischen Formel vernachlässigt.

a) Für \(x=1\) ergibt sich \(36 \neq 26\), was eine falsche Aussage ist. b) Die Gleichung ist nur für \(x=0\) wahr. c) Es fehlt das Mittelglied \(2ab\), in diesem Fall \(10x\).

- Achte besonders auf das Minuszeichen vor dem zweiten Produkt. Was passiert mit den Vorzeichen in der Klammer? - Welche binomischen Formeln kannst du hier erkennen und anwenden? - Fasse alle Glieder mit \(x^2\), alle mit \(x\) und alle Zahlen separat zusammen. - Überlege, ob die Gleichung nach dem Zusammenfassen noch quadratisch ist oder linear wird.

1. Anwendung der zweiten binomischen Formel auf \((x-6)^2\): \(x^2 - 12x + 36\). 2. Anwendung der dritten binomischen Formel auf \((x+2)(x-2)\): \(x^2 - 4\). 3. Einsetzen der Ergebnisse in die Ausgangsgleichung unter Beachtung des Minuszeichens vor der zweiten Klammer: \((x^2 - 12x + 36) - (x^2 - 4) = 20\). 4. Auflösen der Klammer: \(x^2 - 12x + 36 - x^2 + 4 = 20\). 5. Zusammenfassen der Glieder: \(-12x + 40 = 20\). 6. Subtraktion von \(40\): \(-12x = -20\). 7. Division durch \(-12\): \(x = \frac{-20}{-12} = \frac{5}{3}\). 8. Angabe der Lösungsmenge: \(L = \{\frac{5}{3}\}\).

\(x = \frac{5}{3}\) (bzw. \(x \approx 1{,}67\)); die Lösungsmenge ist \(L = \{\frac{5}{3}\}\).

- Multipliziere zuerst die Klammern vollständig aus, bevor du vergleichst. - Vergleiche die Bestandteile der beiden Ergebnisse Schritt für Schritt: Wo sind sie gleich, wo unterscheiden sie sich? - Wenn du die Differenz bildest, achte darauf, den gesamten zweiten Term in Klammern zu setzen. - Hängt das Ergebnis der Differenz noch von \(x\) ab?

1. Ausmultiplizieren von \(T_1(x)\) mit der ersten binomischen Formel: \(T_1(x) = x^2 + 8x + 16\). 2. Ausmultiplizieren von \(T_2(x)\) durch distributives Rechnen: \(T_2(x) = x \cdot x + x \cdot 6 + 2 \cdot x + 2 \cdot 6 = x^2 + 8x + 12\). 3. Vergleich der Terme: Da \(x^2\) und \(8x\) in beiden Termen identisch sind, hängt der Unterschied nur von den konstanten Gliedern ab. Da \(16 > 12\), gilt \(T_1(x) > T_2(x)\) für alle \(x\). 4. Berechnung der Differenz: \(T_1(x) - T_2(x) = (x^2 + 8x + 16) - (x^2 + 8x + 12) = 16 - 12 = 4\). 5. Feststellung: Die Differenz ist konstant \(4\), unabhängig vom gewählten Wert für \(x\).

a) \(T_1(x) = x^2 + 8x + 16\) und \(T_2(x) = x^2 + 8x + 12\). b) \(T_1(x)\) liefert stets den größeren Wert, da \(x^2 + 8x + 16 > x^2 + 8x + 12\). c) Die Differenz ist \(4\). Der Wert ist unabhängig von \(x\) immer gleich groß.

- Schau dir das Ergebnis an: Welcher Teil entspricht \(A^2\), welcher \(2AB\) und welcher \(B^2\)? - Wenn du die Zahl am Ende kennst, wie kommst du auf die Zahl in der Klammer? - Nutze den mittleren Term, um deine Vermutung für die Platzhalter zu überprüfen. - Denk daran, dass in der Klammer stehende Terme als Ganzes quadriert werden, um das erste oder letzte Glied der Summe zu bilden.

1. Vergleich von \((a+b)^2 = a^2+2ab+b^2\) mit \(a^2+14a+49\): Da \(b^2 = 49\) und \(2ab = 14a\), muss \(b = 7\) sein. Der Platzhalter ist \(7\). 2. Vergleich von \((Ax-B)^2 = (Ax)^2 - 2AxB + B^2\) mit \(9x^2-24x+16\): Da \((Ax)^2 = 9x^2\) und \(B^2 = 16\), folgt \(Ax = 3x\) und \(B = 4\). Der Platzhalter ist \(3x\). 3. Vergleich von \((2y+B)^2 = (2y)^2 + 2 \cdot 2y \cdot B + B^2\) mit \(\square + 20y + 25\): Aus \(B^2 = 25\) folgt \(B = 5\). Der erste Platzhalter in der Klammer ist \(5\). Der zweite Platzhalter im Ergebnis entspricht \((2y)^2 = 4y^2\).

a) \((a + 7)^2 = a^2 + 14a + 49\) b) \((3x - 4)^2 = 9x^2 - 24x + 16\) c) \((2y + 5)^2 = 4y^2 + 20y + 25\)

- Vergleiche die gegebene Gleichung mit der allgemeinen Form \(A^2 \pm 2AB + B^2\). - Überlege dir, von welchem Term das Quadrat am Anfang oder Ende der Lösung stammt. - Nutze den gemischten Term in der Mitte, um den fehlenden Teil des Klammerausdrucks zu berechnen. - Prüfe dein Ergebnis, indem du die Klammer selbst noch einmal auflöst.

1. Vergleich mit \((A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2\): Da das Quadrat des ersten Terms \(x^2\) ist, muss die erste Lücke \(x\) sein. Überprüfung des gemischten Terms: \(2 \cdot x \cdot 3 = 6x\) (korrekt). 2. Vergleich mit \((A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2\): Der gemischte Term ist \(2ab\). Mit \(A = 2a\) gilt \(2 \cdot 2a \cdot B = 2ab\), woraus \(4aB = 2ab\) und somit \(B = \frac{1}{2}b\) folgt. Überprüfung des letzten Terms: \((\frac{1}{2}b)^2 = \frac{1}{4}b^2\) (korrekt). 3. Vergleich mit \((A+B)^2\): Da das Quadrat des zweiten Terms \(n^2\) ist, muss die erste Lücke \(n\) sein. Der erste Term des Ergebnisses ist das Quadrat von \(\frac{1}{3}m\), also \((\frac{1}{3}m)^2 = \frac{1}{9}m^2\). Überprüfung des gemischten Terms: \(2 \cdot \frac{1}{3}m \cdot n = \frac{2}{3}mn\) (korrekt).

1) \(x\) 2) \(\frac{1}{2}b\) (oder \(0{,}5b\)) 3) Erste Lücke: \(n\); zweite Lücke: \(\frac{1}{9}m^2\)

- Achte darauf, sowohl die Zahlen als auch die Variablen mit ihren Exponenten zu quadrieren. - Nutze die Potenzgesetze, zum Beispiel \((x^2)^2 = x^4\). - Vergiss beim Mittelterm nicht den Faktor 2. - Bei Brüchen quadrierst du Zähler und Nenner getrennt.

1. Teilaufgabe a): Anwendung von \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\). Berechnung: \((\frac{3}{4}a^2)^2 + 2 \cdot \frac{3}{4}a^2 \cdot \frac{1}{3}b + (\frac{1}{3}b)^2 = \frac{9}{16}a^4 + \frac{1}{2}a^2b + \frac{1}{9}b^2\). 2. Teilaufgabe b): Anwendung von \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\). Berechnung: \((1{,}5z^3)^2 - 2 \cdot 1{,}5z^3 \cdot 2w^2 + (2w^2)^2 = 2{,}25z^6 - 6z^3w^2 + 4w^4\). 3. Teilaufgabe c): Anwendung von \((a+b)^2\). Berechnung: \((x^k)^2 + 2 \cdot x^k \cdot x^1 + x^2 = x^{2k} + 2x^{k+1} + x^2\). Hierbei werden die Potenzgesetze \( (x^m)^n = x^{m \cdot n} \) und \( x^m \cdot x^n = x^{m+n} \) genutzt.

a) \(\frac{9}{16}a^4 + \frac{1}{2}a^2b + \frac{1}{9}b^2\) b) \(2{,}25z^6 - 6z^3w^2 + 4w^4\) c) \(x^{2k} + 2x^{k+1} + x^2\)

- Überlege dir, wie sich das Vorzeichen ändert, wenn du eine negative Klammer quadrierst. - Welche binomische Formel ist hier am hilfreichsten? - Achte beim Quadrieren der Variablen auf die Potenzgesetze. - Vergiss nicht, beim mittleren Term den Faktor 2 zu berücksichtigen.

1. Anwendung der Identität \((-A - B)^2 = (A + B)^2\): \((1{,}5a^2b + 0{,}4ab^2)^2\) 2. Bestimmung der Terme für die erste binomische Formel \((x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2\): \(x = 1{,}5a^2b\) und \(y = 0{,}4ab^2\) 3. Quadrieren des ersten Terms: \((1{,}5a^2b)^2 = 2{,}25a^4b^2\) 4. Berechnung des doppelten Produkts: \(2 \cdot 1{,}5a^2b \cdot 0{,}4ab^2 = 1{,}2a^3b^3\) 5. Quadrieren des zweiten Terms: \((0{,}4ab^2)^2 = 0{,}16a^2b^4\) 6. Zusammenfügen der Ergebnisse: \(2{,}25a^4b^2 + 1{,}2a^3b^3 + 0{,}16a^2b^4\)

\(2{,}25a^4b^2 + 1{,}2a^3b^3 + 0{,}16a^2b^4\)

- Achte darauf, zuerst die Potenzen (die binomischen Formeln) auszuführen, bevor du mit dem Faktor davor multiplizierst. - Welche binomische Formel erkennst du in den einzelnen Teilaufgaben? - Achte bei Teil b) besonders auf das Vorzeichen beim Ausmultiplizieren der zweiten Klammer.

Teil a): 1. Anwendung der zweiten binomischen Formel auf \((y-1)^2\): \(y^2 - 2y + 1\) 2. Multiplikation mit dem Faktor 4: \(4 \cdot (y^2 - 2y + 1) = 4y^2 - 8y + 4\) 3. Anwendung der dritten binomischen Formel auf \((y+2) \cdot (y-2)\): \(y^2 - 4\) 4. Zusammenfassen aller Glieder: \(4y^2 - 8y + 4 + y^2 - 4 = 5y^2 - 8y\) Teil b): 1. Anwendung der ersten binomischen Formel auf \((3a+2)^2\): \(9a^2 + 12a + 4\) 2. Ausmultiplizieren der Klammer \(-3 \cdot (a^2 - 4)\): \(-3a^2 + 12\) 3. Zusammenfassen aller Glieder: \(9a^2 + 12a + 4 - 3a^2 + 12 = 6a^2 + 12a + 16\)

a) \(5y^2 - 8y\) b) \(6a^2 + 12a + 16\)

- Wie lautet die Formel für den Flächeninhalt eines Quadrats? - Was passiert mit dem Ergebnis, wenn du denselben Wert auf zwei verschiedene Arten zerlegst? - Überlege dir, bei welcher Rechnung du weniger Schritte im Kopf behalten musst.

1. Berechnung mit der ersten binomischen Formel: \(A = (2 + 0{,}5)^2 = 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot 0{,}5 + 0{,}5^2\). Die Teilergebnisse sind \(4 + 2 + 0{,}25 = 6{,}25\,\text{m}^2\). 2. Berechnung mit der zweiten binomischen Formel: \(A = (3 - 0{,}5)^2 = 3^2 - 2 \cdot 3 \cdot 0{,}5 + 0{,}5^2\). Die Teilergebnisse sind \(9 - 3 + 0{,}25 = 6{,}25\,\text{m}^2\). 3. Vergleich: Beide Wege führen zum identischen Ergebnis \(6{,}25\,\text{m}^2\) und benötigen jeweils drei Rechenterme. Welcher Weg einfacher erscheint, hängt von der persönlichen Kopfrechenstrategie ab; hier sind beide Wege ähnlich aufwendig.

a) \(6{,}25\,\text{m}^2\); b) \(6{,}25\,\text{m}^2\); c) Individuelle, rechnerisch nachvollziehbare Begründung; beide Wege sind hier ähnlich aufwendig.

- Vergleiche die Ausdrücke mit den drei binomischen Formeln. - Welcher Teil der Formel ist gegeben: die Klammer oder der ausmultiplizierte Term? - Denk an das Vorzeichen beim mittleren Summanden. - Was passiert mit dem Vorzeichen einer Zahl, wenn man sie quadriert?

1. Vergleich mit der ersten binomischen Formel \((A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2\): Es ist \(A = 4x\). Der mittlere Term ist \(2 \cdot 4x \cdot B = 40xy\). Daraus folgt \(8x \cdot B = 40xy\), also \(B = 5y\). Die Lücken sind: \((4x + 5y)^2 = 16x^2 + 40xy + 25y^2\). 2. Anwendung der zweiten binomischen Formel \(A^2 - 2AB + B^2 = (A-B)^2\): Hier ist \(A^2 = 25a^2 \Rightarrow A = 5a\) und \(B^2 = 1 \Rightarrow B = 1\). Der mittlere Term \(-2 \cdot 5a \cdot 1 = -10a\) passt zur Aufgabenstellung. Ergebnis: \((5a - 1)^2\). 3. Linke Seite: \((x-7)^2 = x^2 - 14x + 49\). Rechte Seite: \((7-x)^2 = 49 - 14x + x^2\). Da die Summanden identisch sind (Kommutativgesetz), gilt die Gleichheit. Alternativ: \((7-x)^2 = ((-1) \cdot (x-7))^2 = (-1)^2 \cdot (x-7)^2 = (x-7)^2\).

1. \((4x + 5y)^2 = 16x^2 + 40xy + 25y^2\) 2. \((5a - 1)^2\) 3. Beide Seiten ergeben ausmultipliziert \(x^2 - 14x + 49\).

- Welche binomischen Formeln kannst du in der eckigen Klammer erkennen? - Achte besonders auf das Minuszeichen vor der zweiten runden Klammer und wie es die Vorzeichen beim Auflösen beeinflusst. - Kannst du den Ausdruck in der eckigen Klammer zuerst komplett vereinfachen, bevor du den äußeren Faktor einbeziehst?

1. Anwendung der 1. und 2. binomischen Formel auf die Ausdrücke in der eckigen Klammer: \((4r^2 + 12rs + 9s^2) - (4r^2 - 12rs + 9s^2)\) 2. Vereinfachung des Ausdrucks in der eckigen Klammer durch Subtraktion: \(4r^2 - 4r^2 + 12rs - (-12rs) + 9s^2 - 9s^2 = 24rs\) 3. Multiplikation des Ergebnisses mit dem Faktor außerhalb der Klammer: \(24rs \cdot \frac{1}{2}rs = 12r^2s^2\)

\(12r^2s^2\)

- Manchmal muss man ein Minuszeichen ausklammern, um eine passende Gruppe in beiden Faktoren zu finden. - Achte besonders auf das Minuszeichen vor einer Klammer, wenn du ein Quadrat abziehst. - Erinnere dich daran, dass \(-(a+b) = -a - b\) und \(-(a-b) = -a + b\) gilt. - Kannst du die Terme so sortieren, dass die Struktur \((A-B) \cdot (A+B)\) deutlich wird?

1. Teilaufgabe a): Gruppierung zu \(((r+s) + (t+u)) \cdot ((r+s) - (t+u))\). Anwendung der dritten binomischen Formel ergibt \((r+s)^2 - (t+u)^2\). Auflösen beider Quadrate mit der ersten binomischen Formel führt zu \((r^2 + 2rs + s^2) - (t^2 + 2tu + u^2)\). Auflösen der Minusklammer ergibt \(r^2 + 2rs + s^2 - t^2 - 2tu - u^2\). 2. Teilaufgabe b): Gruppierung zu \((10 - (x - 2y)) \cdot (10 + (x - 2y))\). Anwendung der dritten binomischen Formel ergibt \(10^2 - (x - 2y)^2\). Auflösen des Quadrats mit der zweiten binomischen Formel liefert \(100 - (x^2 - 4xy + 4y^2)\). Auflösen der Minusklammer ergibt \(100 - x^2 + 4xy - 4y^2\).

a) \(r^2 + 2rs + s^2 - t^2 - 2tu - u^2\) b) \(100 - x^2 + 4xy - 4y^2\)

- Kannst du die drei verschiedenen binomischen Formeln hier identifizieren? - Multipliziere die Terme Schritt für Schritt aus. - Achte beim letzten Teilterm darauf, dass du \(-2x\) mit beiden Gliedern in der Klammer multiplizierst. - Sortiere am Ende die Glieder nach ihren Variablen, um den Überblick beim Zusammenfassen zu behalten.

1. Anwendung der zweiten binomischen Formel auf \((3x-2y)^2\): \(9x^2 - 12xy + 4y^2\). 2. Anwendung der dritten binomischen Formel auf \((x+y) \cdot (x-y)\): \(x^2 - y^2\). 3. Ausmultiplizieren der weiteren Terme: \(3 \cdot (x^2 - y^2) = 3x^2 - 3y^2\) und \(-2x \cdot (x-4y) = -2x^2 + 8xy\). 4. Aufstellen der Gesamtsumme: \(9x^2 - 12xy + 4y^2 + 3x^2 - 3y^2 - 2x^2 + 8xy\). 5. Zusammenfassen der \(x^2\)-Glieder (\(9+3-2=10\)), der \(xy\)-Glieder (\(-12+8=-4\)) und der \(y^2\)-Glieder (\(4-3=1\)): \(10x^2 - 4xy + y^2\).

\(10x^2 - 4xy + y^2\)

- Kannst du die Klammern mithilfe der binomischen Formeln auflösen? - Was musst du beim Subtrahieren beachten, wenn der zweite Teil des Terms in Klammern steht? - Welche Teile des Terms heben sich gegenseitig auf, wenn du alles zusammenfasst?

1. Aufstellen des Terms für die Differenz der Quadrate: \((n+1)^2 - (n-1)^2\) 2. Expansion des ersten Terms mit der 1. binomischen Formel: \(n^2 + 2n + 1\) 3. Expansion des zweiten Terms mit der 2. binomischen Formel: \(n^2 - 2n + 1\) 4. Subtraktion der Ausdrücke: \((n^2 + 2n + 1) - (n^2 - 2n + 1) = n^2 + 2n + 1 - n^2 + 2n - 1\) 5. Vereinfachung des Terms: \(4n\) 6. Schlussfolgerung: Der resultierende Term \(4n\) ist für jede ganze Zahl \(n\) das Vierfache dieser Zahl.

Die Differenz der Quadrate \((n+1)^2 - (n-1)^2\) ergibt nach Anwendung der binomischen Formeln und Vereinfachung den Term \(4n\). Dies beweist, dass das Ergebnis stets das Vierfache der mittleren Zahl \(n\) ist.

- Arbeite dich von links nach rechts durch den Term. Was passiert, wenn du die ersten beiden Klammern multiplizierst? - Siehst du ein Muster, das sich bei jedem Schritt wiederholt? - Wie berechnet man das Quadrat einer Potenz, zum Beispiel \((y^4)^2\)? - Überlege dir, welche der drei binomischen Formeln hier in jedem Schritt den Rechenaufwand verkürzt.

1. Zusammenfassen der ersten beiden Faktoren mithilfe der dritten binomischen Formel: \((y - 2) \cdot (y + 2) = y^2 - 4\). 2. Multiplikation dieses Ergebnisses mit dem dritten Faktor unter erneuter Anwendung der dritten binomischen Formel: \((y^2 - 4) \cdot (y^2 + 4) = (y^2)^2 - 4^2 = y^4 - 16\). 3. Letzte Anwendung der dritten binomischen Formel auf das neue Zwischenergebnis und den vierten Faktor: \((y^4 - 16) \cdot (y^4 + 16) = (y^4)^2 - 16^2 = y^8 - 256\).

\(y^8 - 256\)

- Manchmal muss man ein Minuszeichen ausklammern, um eine passende Struktur für die binomischen Formeln zu finden. - Was passiert mit den Vorzeichen in einer Klammer, wenn ein Minus davor steht? - Überlege dir genau, welcher Teil des Terms dein „A“ und welcher dein „B“ in der Formel \((A+B) \cdot (A-B)\) ist.

1. Teilaufgabe a: Umschreiben des zweiten Faktors zu \((m - (2n + 3p))\). Der Term lautet nun \((m + (2n + 3p)) \cdot (m - (2n + 3p))\). 2. Anwendung der 3. binomischen Formel ergibt \(m^2 - (2n + 3p)^2\). 3. Expansion des Quadrats mit der 1. binomischen Formel: \(m^2 - (4n^2 + 12np + 9p^2)\). Auflösen der Minusklammer führt zu \(m^2 - 4n^2 - 12np - 9p^2\). 4. Teilaufgabe b: Umschreiben zu \((4u + (v - 5w)) \cdot (4u - (v - 5w))\). Anwendung der 3. binomischen Formel ergibt \((4u)^2 - (v - 5w)^2\). 5. Expansion ergibt \(16u^2 - (v^2 - 10vw + 25w^2)\). Auflösen der Minusklammer führt zu \(16u^2 - v^2 + 10vw - 25w^2\).

a) \(m^2 - 4n^2 - 12np - 9p^2\); b) \(16u^2 - v^2 + 10vw - 25w^2\)

- Löse zuerst die Quadrate innerhalb der geschweiften Klammer einzeln auf. - Achte beim Subtrahieren darauf, welche Terme übrig bleiben. - Erinnere dich an die Potenzgesetze, wenn du Variablen mit unterschiedlichen Exponenten multiplizierst.

1. Erste binomische Formel für das erste Quadrat: \((b^2 + 4)^2 = b^4 + 8b^2 + 16\) 2. Zweite binomische Formel für das zweite Quadrat: \((b^2 - 4)^2 = b^4 - 8b^2 + 16\) 3. Bildung der Differenz innerhalb der geschweiften Klammer: \((b^4 + 8b^2 + 16) - (b^4 - 8b^2 + 16) = 16b^2\) 4. Multiplikation des Ergebnisses mit dem äußeren Faktor: \(\frac{1}{4}b \cdot 16b^2 = 4b^3\)

\(4b^3\)

- Multipliziere zuerst beide Klammerausdrücke einzeln mit den binomischen Formeln aus. - Setze beim Abziehen des zweiten Terms unbedingt eine Klammer um das gesamte Ergebnis von \(T_2\). - Was passiert mit den Vorzeichen innerhalb einer Klammer, wenn ein Minuszeichen davor steht? - Versuche, den Term erst komplett zu vereinfachen, bevor du die Zahl einsetzt.

1. Ausmultiplizieren von \(T_1\): Anwendung der ersten binomischen Formel liefert \(x^2 + 10x + 25\). 2. Ausmultiplizieren von \(T_2\): Anwendung der zweiten binomischen Formel liefert \(x^2 - 10x + 25\). 3. Differenz bilden und Klammern auflösen: \(D = (x^2 + 10x + 25) - (x^2 - 10x + 25) = x^2 + 10x + 25 - x^2 + 10x - 25\). 4. Zusammenfassen gleicher Glieder: Die Terme \(x^2\) und \(-x^2\) sowie \(25\) und \(-25\) heben sich auf. Es bleibt \(D = 20x\). 5. Einsetzen von \(x = 1{,}5\): \(20 \cdot 1{,}5 = 30\).

a) \(D = 20x\) b) \(30\)

- Was passiert mit der ersten binomischen Formel, wenn man den letzten Teil einfach weglässt? - Wie findet man den passenden Wert für \(a\), wenn die Basis \(10\) ist? - Überlege, welcher Teil der Rechnung für den Unterschied zwischen dem geschätzten und dem echten Ergebnis verantwortlich ist.

1. Für \(10{,}2^2\) ist \(a = 0{,}2\). Näherung: \(100 + 20 \cdot 0{,}2 = 100 + 4 = 104\). Für \(10{,}02^2\) ist \(a = 0{,}02\). Näherung: \(100 + 20 \cdot 0{,}02 = 100 + 0{,}4 = 100{,}4\). 2. Exakte Werte: \(10{,}2^2 = (10 + 0{,}2)^2 = 100 + 4 + 0{,}04 = 104{,}04\). \(10{,}02^2 = (10 + 0{,}02)^2 = 100 + 0{,}4 + 0{,}0004 = 100{,}4004\). 3. Absoluter Fehler für \(10{,}2^2\): \(104{,}04 - 104 = 0{,}04\). Absoluter Fehler für \(10{,}02^2\): \(100{,}4004 - 100{,}4 = 0{,}0004\). 4. Der Fehler entspricht genau dem Term \(a^2\), der in der Näherung weggelassen wurde. Da \(0{,}02\) kleiner ist als \(0{,}2\), ist das Quadrat \(0{,}02^2 = 0{,}0004\) wesentlich kleiner als \(0{,}2^2 = 0{,}04\).

1. Näherungen: \(104\) und \(100{,}4\). 2. Exakte Werte: \(104{,}04\) und \(100{,}4004\). 3. Fehler: \(0{,}04\) und \(0{,}0004\). 4. Der Fehler entspricht \(a^2\); da \(0{,}02 < 0{,}2\), ist \(0{,}02^2\) viel kleiner als \(0{,}2^2\).

- Wie hängen Multiplikation und Division zusammen? Kannst du die Aufgabe als Multiplikation umformulieren? - Wenn zwei Terme fast gleich aussehen, sich aber in den Vorzeichen unterscheiden (wie \(a-b\) und \(b-a\)), hilft oft das Ausklammern von \(-1\). - Überlege dir, welches Produkt den Zähler ergibt, wenn man die binomischen Formeln rückwärts anwendet.

1. Zu Teil a): Der Zähler \(25 - z^2\) lässt sich nach der dritten binomischen Formel zu \((5 - z) \cdot (5 + z)\) faktorisieren. Damit das Ergebnis \(5 - z\) lautet, muss durch den Faktor \((5 + z)\) dividiert werden. Somit ist \(D = 5 + z\). 2. Zu Teil b): Faktorisierung des Zählers ergibt \(k^2 - 16 = (k - 4) \cdot (k + 4)\). Der Nenner ist \((4 - k)\), was umgeformt \(-(k - 4)\) entspricht. Die Division ergibt \(\frac{(k - 4) \cdot (k + 4)}{-(k - 4)} = -(k + 4) = -k - 4\). Die Behauptung ist falsch, da das Vorzeichen des Ergebnisses negativ ist. 3. Zu Teil c): Anwendung der dritten binomischen Formel auf den Zähler: \(9y^2 - 64 = (3y - 8) \cdot (3y + 8)\). Kürzen des Faktors \((3y + 8)\) führt zum Ergebnis \(3y - 8\).

a) \(D = 5 + z\) b) Die Behauptung ist falsch; das korrekte Ergebnis ist \(-k - 4\). c) \(3y - 8\)

- Welche der drei binomischen Formeln passt jeweils zur Struktur der Gleichung? - Vergleiche die einzelnen Bestandteile der Klammern mit den Ergebnissen auf der rechten Seite. - Wenn du ein Quadrat wie \(16x^2\) hast, wie kommst du auf die ursprüngliche Zahl in der Klammer? - Achte bei der zweiten Aufgabe besonders auf den gemischten Term in der Mitte.

1. Teilaufgabe a): Vergleich mit der 3. binomischen Formel \((A-B) \cdot (A+B) = A^2 - B^2\). Da \((4x)^2 = 16x^2\) und \((3y)^2 = 9y^2\) gilt, erhält man \((4x - 3y) \cdot (4x + 3y) = 16x^2 - 9y^2\). 2. Teilaufgabe b): Vergleich mit der 1. binomischen Formel \((A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2\). Mit \(A = 5a\) und \(B = 3\) gilt \(2AB = 2 \cdot 5a \cdot 3 = 30a\). Daher ist \((5a + 3)^2 = 25a^2 + 30a + 9\). 3. Teilaufgabe c): Da \((0{,}5z)^2 = 0{,}25z^2\) gilt, ergibt die 3. binomische Formel \((4 - 0{,}5z) \cdot (4 + 0{,}5z) = 16 - 0{,}25z^2\).

a) \((4x - 3y) \cdot (4x + 3y) = 16x^2 - 9y^2\) b) \((5a + 3)^2 = 25a^2 + 30a + 9\) c) \((4 - 0{,}5z) \cdot (4 + 0{,}5z) = 16 - 0{,}25z^2\)

- Erinnere dich an die genaue Struktur der 3. binomischen Formel. Welche Rechenzeichen müssen vorhanden sein? - Prüfe, ob die Zahlen im Term perfekte Quadratzahlen (wie \(1, 4, 9, 16, \dots\)) sind. - Ein Term wie \(x^2 + y^2\) lässt sich mit dieser Formel nicht zerlegen.

Prüfung der Struktur \(A^2 - B^2\) über den rationalen Zahlen: a) Möglich, da \(121 = 11^2\). Ergebnis: \((a - 11) \cdot (a + 11)\). b) Nicht möglich, da es sich um eine Summe und nicht um eine Differenz handelt. c) Möglich, da \(16x^2 = (4x)^2\) und \(1 = 1^2\). Ergebnis: \((4x - 1) \cdot (4x + 1)\). d) Über den rationalen Zahlen nicht möglich, da es keine rationale Zahl \(r\) mit \(r^2 = 20\) gibt.

a) Ja: \((a - 11) \cdot (a + 11)\) b) Nein, da es eine Summe ist. c) Ja: \((4x - 1) \cdot (4x + 1)\) d) Über den rationalen Zahlen nein, da \(20\) kein Quadrat einer rationalen Zahl ist.

- Betrachte die beiden Divisionen zuerst einzeln. - Kannst du die Zähler (Dividenden) jeweils als Quadrat eines Binoms schreiben? - Vergiss nicht, am Ende alle verbleibenden Glieder zusammenzufassen. - Was fällt dir bei den Zahlen \(-8\) und \(+8\) auf, wenn du sie addierst?

1. Den ersten Teilterm vereinfachen: Anwendung der 2. binomischen Formel auf \(k^2 - 16k + 64\) ergibt \((k-8)^2\). Die Division durch \((k-8)\) liefert das Ergebnis \(k-8\). 2. Den zweiten Teilterm vereinfachen: Anwendung der 1. binomischen Formel auf \(k^2 + 16k + 64\) ergibt \((k+8)^2\). Die Division durch \((k+8)\) liefert das Ergebnis \(k+8\). 3. Die Teilergebnisse addieren: \((k-8) + (k+8) = 2k\).

\(2k\)

- Was musst du mit sich selbst multiplizieren, um die Brüche oder Dezimalzahlen im Term zu erhalten? - Überlege dir für jeden Summanden einzeln, von welchem Ausdruck er das Quadrat ist. - Die Struktur der Lösung ist immer ein Produkt aus einer Differenz und einer Summe. - Achte bei Aufgabe 4 darauf, dass du entweder Dezimalzahlen oder Brüche einheitlich verwenden kannst.

Die Terme werden in die Form \(A^2 - B^2\) gebracht und dann als \((A-B) \cdot (A+B)\) geschrieben. 1. Es gilt \(\sqrt{1{,}44} = 1{,}2\) und \(\sqrt{0{,}01} = 0{,}1\). Somit ist \(A=1{,}2m\) und \(B=0{,}1n\). Ergebnis: \((1{,}2m - 0{,}1n) \cdot (1{,}2m + 0{,}1n)\). 2. Es gilt \(\sqrt{\frac{25}{36}} = \frac{5}{6}\). Somit ist \(A=\frac{5}{6}\) und \(B=z\). Ergebnis: \((\frac{5}{6} - z) \cdot (\frac{5}{6} + z)\). 3. Es gilt \(\sqrt{225} = 15\) und \(\sqrt{169} = 13\). Somit ist \(A=15k\) und \(B=13h\). Ergebnis: \((15k - 13h) \cdot (15k + 13h)\). 4. Es gilt \(\sqrt{0{,}09} = 0{,}3\) und \(\sqrt{\frac{1}{4}} = 0{,}5\) bzw. \(\frac{1}{2}\). Somit ist \(A=0{,}3p\) und \(B=0{,}5q\). Ergebnis: \((0{,}3p - 0{,}5q) \cdot (0{,}3p + 0{,}5q)\).

1) \((1{,}2m - 0{,}1n) \cdot (1{,}2m + 0{,}1n)\) 2) \((\frac{5}{6} - z) \cdot (\frac{5}{6} + z)\) 3) \((15k - 13h) \cdot (15k + 13h)\) 4) \((0{,}3p - 0{,}5q) \cdot (0{,}3p + 0{,}5q)\) oder \((0{,}3p - \frac{1}{2}q) \cdot (0{,}3p + \frac{1}{2}q)\)

- Was musst du quadrieren, um auf eine Dezimalzahl wie \(0{,}25\) zu kommen? - Wie gehst du bei einem Bruch vor? Kannst du Zähler und Nenner separat als Quadrate betrachten? - Gilt die Regel für Produkte auch, wenn drei Variablen wie \(abc\) vorhanden sind? - Achte genau auf die Anzahl der Nachkommastellen beim Quadrieren von Dezimalzahlen.

1. Identifikation der Quadrate in \(0{,}25 - x^2y^2\): Es gilt \(0{,}5^2 = 0{,}25\) und \((xy)^2 = x^2y^2\). Anwendung der Formel ergibt \((0{,}5 - xy) \cdot (0{,}5 + xy)\). 2. Identifikation der Quadrate in \(a^2b^2c^2 - 100\): Es gilt \((abc)^2 = a^2b^2c^2\) und \(10^2 = 100\). Anwendung der Formel ergibt \((abc - 10) \cdot (abc + 10)\). 3. Identifikation der Quadrate in \(\frac{9}{16} - m^2n^2\): Es gilt \((\frac{3}{4})^2 = \frac{9}{16}\) und \((mn)^2 = m^2n^2\). Anwendung der Formel ergibt \((\frac{3}{4} - mn) \cdot (\frac{3}{4} + mn)\). 4. Identifikation der Quadrate in \(0{,}01p^2q^2 - 49\): Es gilt \((0{,}1pq)^2 = 0{,}01p^2q^2\) und \(7^2 = 49\). Anwendung der Formel ergibt \((0{,}1pq - 7) \cdot (0{,}1pq + 7)\).

1) \((0{,}5 - xy) \cdot (0{,}5 + xy)\) 2) \((abc - 10) \cdot (abc + 10)\) 3) \((\frac{3}{4} - mn) \cdot (\frac{3}{4} + mn)\) 4) \((0{,}1pq - 7) \cdot (0{,}1pq + 7)\)

- Berechne zuerst beide Terme getrennt voneinander. - Nutze für beide Terme die dritte binomische Formel, um die Quadrate nicht einzeln ausrechnen zu müssen. - Was fällt dir an den Faktoren auf, die bei der Umformung entstehen?

1. Berechnung von Term \( A \) mit der Formel \( a^2 - b^2 = (a - b) \cdot (a + b) \): \( (55 - 45) \cdot (55 + 45) = 10 \cdot 100 = 1000 \). 2. Berechnung von Term \( B \) mit derselben Formel: \( (102{,}5 - 97{,}5) \cdot (102{,}5 + 97{,}5) = 5 \cdot 200 = 1000 \). 3. Vergleich der Ergebnisse: Da beide Rechnungen den Wert \( 1000 \) ergeben, sind die Terme \( A \) und \( B \) gleich groß.

Beide Terme sind gleich groß; ihr Wert beträgt jeweils \( 1000 \).

- Vergleiche die linke und die rechte Seite der Gleichung systematisch mit der Formel. - Was erhältst du, wenn du einen Teilterm der Klammer mit sich selbst multiplizierst? - Welche Zahl ergibt quadriert den Koeffizienten vor der Variablen? - Achte beim Quadrieren von Dezimalzahlen wie \(0{,}1\) auf die Anzahl der Nachkommastellen.

1. Abgleich der gegebenen Terme mit der Struktur \(a^2 - b^2 = (a - b) \cdot (a + b)\). 2. a) Da \(a^2 = 4k^2\), folgt \(a = 2k\). Da \(b = 5\), folgt \(b^2 = 25\). Ergebnis: \((2k - 5) \cdot (2k + 5) = 4k^2 - 25\). 3. b) Da \(a^2 = 100x^2\), folgt \(a = 10x\). Da \(b = 9y\), folgt \(b^2 = 81y^2\). Ergebnis: \(100x^2 - 81y^2 = (10x - 9y) \cdot (10x + 9y)\). 4. c) Da \(a = 0{,}1z\), folgt \(a^2 = 0{,}01z^2\). Da \(b^2 = 1\), folgt \(b = 1\). Ergebnis: \(0{,}01z^2 - 1 = (0{,}1z - 1) \cdot (0{,}1z + 1)\).

a) \((2k - 5) \cdot (2k + 5) = 4k^2 - 25\) b) \(100x^2 - 81y^2 = (10x - 9y) \cdot (10x + 9y)\) c) \(0{,}01z^2 - 1 = (0{,}1z - 1) \cdot (0{,}1z + 1)\)

- Bei Teil a musst du darauf achten, dass auch Potenzen wie \( x^4 \) Quadrate sind. - Schau dir die Struktur der 3. binomischen Formel genau an – welches Rechenzeichen steht zwischen den Quadraten? - In Teil c hilft dir die Formel, eine schwierige Quadratrechnung in eine einfache Multiplikation zu verwandeln.

1. Teil a: Identifikation der Quadrate: \( 0{,}04x^4 = (0{,}2x^2)^2 \) und \( \frac{1}{25}y^2 = (\frac{1}{5}y)^2 \). Anwendung der Formel \( A^2 - B^2 = (A - B) \cdot (A + B) \) führt zu \( (0{,}2x^2 - \frac{1}{5}y) \cdot (0{,}2x^2 + \frac{1}{5}y) \). Alternativ mit Dezimalzahlen: \( (0{,}2x^2 - 0{,}2y) \cdot (0{,}2x^2 + 0{,}2y) \). 2. Teil b: Die 3. binomische Formel \( A^2 - B^2 = (A-B) \cdot (A+B) \) setzt eine Differenz (Minuszeichen) voraus. Da im Term \( 81a^2 + 16b^2 \) eine Summe vorliegt, ist die Formel nicht anwendbar. 3. Teil c: Anwendung der Formel auf Zahlenwerte: \( 51^2 - 49^2 = (51 - 49) \cdot (51 + 49) \). Berechnung der Klammern: \( 2 \cdot 100 = 200 \).

a) \( (0{,}2x^2 - \frac{1}{5}y) \cdot (0{,}2x^2 + \frac{1}{5}y) \) oder \( (0{,}2x^2 - 0{,}2y) \cdot (0{,}2x^2 + 0{,}2y) \) b) Die Formel gilt nur für Differenzen (\( A^2 - B^2 \)), hier liegt jedoch eine Summe vor. c) \( 200 \)

- Kannst du den gesamten ersten Teil des Terms als ein einziges Quadrat schreiben, zum Beispiel \((...)^2\)? - Erinnere dich daran, welche Dezimalzahl mit sich selbst multipliziert \(0{,}49\) ergibt. - Wenn ein Teil des Terms bereits in Klammern steht, behandle diesen gesamten Ausdruck wie eine einzige Variable. - Überprüfe am Ende, ob du alle inneren Klammern korrekt aufgelöst hast.

1. Umschreiben von \(9a^2\) als \((3a)^2\). Identifikation von \(A = 3a\) und \(B = 3b-c\). Anwendung der Formel \((A-B) \cdot (A+B)\) führt zu \((3a - (3b-c)) \cdot (3a + (3b-c))\). Auflösen der Klammern ergibt \((3a - 3b + c) \cdot (3a + 3b - c)\). 2. Umschreiben von \(16z^2\) als \((4z)^2\). Identifikation von \(A = x+2y\) und \(B = 4z\). Anwendung der Formel ergibt \((x+2y-4z) \cdot (x+2y+4z)\). 3. Umschreiben der Dezimalzahl \(0{,}49\) als \((0{,}7)^2\). Identifikation von \(A = 0{,}7\) und \(B = u+v\). Anwendung der Formel ergibt \((0{,}7 - (u+v)) \cdot (0{,}7 + (u+v))\), was vereinfacht zu \((0{,}7 - u - v) \cdot (0{,}7 + u + v)\) führt.

1) \((3a-3b+c) \cdot (3a+3b-c)\) 2) \((x+2y-4z) \cdot (x+2y+4z)\) 3) \((0{,}7-u-v) \cdot (0{,}7+u+v)\)

- Bei Weg 1: Denke daran, den gesamten zweiten ausmultiplizierten Teil in eine Klammer zu setzen, da das Minuszeichen davor für alle Glieder gilt. - Bei Weg 2: Was passiert in der Klammer \((A - B)\), wenn du \(x+5\) und \(x-5\) voneinander abziehst? - Vergleiche die beiden Ergebnisse. Sie müssen identisch sein!

1. Lösungsweg 1 (Ausmultiplizieren): \((x^2 + 10x + 25) - (x^2 - 10x + 25)\). Auflösen der Minusklammer: \(x^2 + 10x + 25 - x^2 + 10x - 25\). Zusammenfassen ergibt \(20x\). 2. Lösungsweg 2 (3. Binomische Formel): Setze \(A = x + 5\) und \(B = x - 5\). Es folgt \(((x + 5) - (x - 5)) \cdot ((x + 5) + (x - 5))\). Vereinfachung der ersten Klammer: \(x + 5 - x + 5 = 10\). Vereinfachung der zweiten Klammer: \(x + 5 + x - 5 = 2x\). Ergebnis: \(10 \cdot 2x = 20x\). 3. Erklärung zu b): In beiden quadrierten Teiltermen \((x + 5)^2\) und \((x - 5)^2\) entsteht jeweils ein positives \(x^2\). Da zwischen den beiden Termen ein Minuszeichen steht, wird \(x^2 - x^2\) gerechnet, wodurch dieser Teil des Terms Null wird.

a) Das Ergebnis ist in beiden Fällen \(20x\). b) In beiden binomischen Formeln entsteht ein \(x^2\). Durch die Subtraktion der beiden Ausdrücke heben sich diese Quadrate gegenseitig auf (\(x^2 - x^2 = 0\)).

- Betrachte die gesamten Klammerausdrücke als die Einheiten \(a\) und \(b\) der Formel. - Was passiert mit den Vorzeichen in der Klammer, wenn ein Minus davor steht? - Fasse alle \(x\)-Terme und alle Zahlen innerhalb der neuen Klammern zusammen.

1. Erkennen der Struktur \(A^2 - B^2\) mit \(A = 2x+3\) und \(B = x-1\). 2. Anwendung der 3. binomischen Formel: \(T = ((2x+3) - (x-1)) \cdot ((2x+3) + (x-1))\). 3. Vereinfachung des ersten Faktors: \((2x+3) - (x-1) = 2x + 3 - x + 1 = x + 4\). 4. Vereinfachung des zweiten Faktors: \((2x+3) + (x-1) = 2x + 3 + x - 1 = 3x + 2\). 5. Ergebnis als Produkt: \((x+4) \cdot (3x+2)\).

\((x+4) \cdot (3x+2)\)

- Welche binomischen Formeln helfen dir beim Auflösen der Quadrate in Teil a? - Achte bei Teil a auf das Minuszeichen vor der zweiten Klammer. - In Teil b kannst du den gesamten Ausdruck in den ersten Klammern als \(A\) und den in den zweiten als \(B\) betrachten. - Wie hängen die Zahlen 101 und 99 mit der Variable \(n\) zusammen?

1. Ausmultiplizieren: \((n^2 + 2n + 1) - (n^2 - 2n + 1)\). Auflösen der Minusklammer ergibt \(n^2 + 2n + 1 - n^2 + 2n - 1 = 4n\). 2. Faktorisieren mit \(A = n + 1\) und \(B = n - 1\): \(((n + 1) - (n - 1)) \cdot ((n + 1) + (n - 1))\). Vereinfachen der Klammern ergibt \((2) \cdot (2n) = 4n\). 3. Anwendung auf \(101^2 - 99^2\): Hier ist \(n = 100\), da \(100 + 1 = 101\) und \(100 - 1 = 99\). Einsetzen in das vereinfachte Ergebnis \(4n\) liefert \(4 \cdot 100 = 400\).

a) \(4n\) b) \(4n\) c) \(400\)

- Was bedeutet es mathematisch, eine Zahl zu quadrieren? - Wie kannst du eine Zahl wie 31 in Zehner und Einer zerlegen? - Nutze das Distributivgesetz, um die Klammern \((10a + 2) \cdot (10a + 2)\) aufzulösen. - Achte beim Zusammenfassen der Terme auf die Koeffizienten von \(a\).

1. Beweis durch Ausmultiplizieren: \((10a + 1) \cdot (10a + 1) = 100a^2 + 10a + 10a + 1 = 100a^2 + 20a + 1\). 2. Anwendung: Für \(31^2\) ist \(a = 3\): \(100 \cdot 3^2 + 20 \cdot 3 + 1 = 900 + 60 + 1 = 961\). Für \(61^2\) ist \(a = 6\): \(100 \cdot 6^2 + 20 \cdot 6 + 1 = 3600 + 120 + 1 = 3721\). 3. Neue Formel: \((10a + 2)^2 = 100a^2 + 40a + 4\). Für \(32^2\) ist \(a = 3\): \(100 \cdot 9 + 40 \cdot 3 + 4 = 900 + 120 + 4 = 1024\).

1) Beweis: \(100a^2 + 10a + 10a + 1 = 100a^2 + 20a + 1\). 2) \(31^2 = 961\); \(61^2 = 3721\). 3) Formel: \((10a + 2)^2 = 100a^2 + 40a + 4\); Ergebnis: \(32^2 = 1024\).

- Versuche nicht, die Quadrate einzeln auszurechnen, sondern wende direkt die Formel für die Differenz zweier Quadrate an. - Was passiert mit den Variablen und Zahlen in den beiden neuen Klammern? - Woran erkennt man an einem Produkt, dass es durch \(24\) teilbar ist?

1. Identifikation der Komponenten für die dritte binomische Formel \(A^2 - B^2 = (A-B) \cdot (A+B)\): Hier ist \(A = 2n+3\) und \(B = 2n-3\). 2. Einsetzen in die Formel: \(T = ((2n+3) - (2n-3)) \cdot ((2n+3) + (2n-3))\). 3. Vereinfachen der ersten Klammer: \(2n + 3 - 2n + 3 = 6\). 4. Vereinfachen der zweiten Klammer: \(2n + 3 + 2n - 3 = 4n\). 5. Multiplikation der Ergebnisse: \(T = 6 \cdot 4n = 24n\). 6. Da \(n\) eine natürliche Zahl ist, ist \(24n\) stets ein ganzzahliges Vielfaches von \(24\).

Durch Anwendung der dritten binomischen Formel erhält man \(((2n+3)-(2n-3)) \cdot ((2n+3)+(2n-3))\). Dies vereinfacht sich zu \(6 \cdot 4n = 24n\). Da \(n\) eine natürliche Zahl ist, ist das Ergebnis immer ein Vielfaches von \(24\).

- Beginne damit, den Term \((a + b)^2\) mit einer binomischen Formel auszumultiplizieren. - Subtrahiere dann \(4ab\) von deinem Ergebnis und fasse zusammen. - Kannst du den neuen Ausdruck wieder als Quadrat eines Binoms schreiben? - Überlege, was du über das Vorzeichen von Quadratzahlen weißt. - Wann ist das Ergebnis einer Subtraktion genau Null?

1. Aufstellen der Differenz zwischen beiden Ausdrücken: \((a + b)^2 - 4ab\). 2. Ausmultiplizieren der Klammer mit der ersten binomischen Formel: \(a^2 + 2ab + b^2 - 4ab\). 3. Zusammenfassen der Terme mit \(ab\): \(a^2 - 2ab + b^2\). 4. Rückführung auf die zweite binomische Formel: \((a - b)^2\). 5. Da das Quadrat einer Differenz zweier rationaler Zahlen niemals negativ sein kann, gilt \((a - b)^2 \ge 0\). 6. Daraus folgt direkt \((a + b)^2 - 4ab \ge 0\) und somit \((a + b)^2 \ge 4ab\). 7. Gleichheit tritt genau dann ein, wenn die Differenz Null ist: \((a - b)^2 = 0\). Dies ist nur der Fall, wenn \(a - b = 0\), also \(a = b\).

Durch Umformung erhält man \((a + b)^2 - 4ab = a^2 + 2ab + b^2 - 4ab = a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2\). Da ein Quadrat \((a - b)^2\) immer \(\ge 0\) ist, ist \((a + b)^2\) nie kleiner als \(4ab\). Die beiden Werte sind genau dann gleich groß, wenn \(a = b\) gilt.

- Wie berechnet man den Flächeninhalt eines Quadrats aus seiner Seitenlänge? - Was bedeutet „um \(88\,\text{cm}^2\) größer“ mathematisch für den Vergleich der beiden Flächen? - Gibt es eine Formel, die \(x^2 - y^2\) mit \((x + y)\) verknüpft? - Versuche, aus den Informationen zwei einfache lineare Gleichungen für die Seitenlängen zu gewinnen.

1. Definition der Variablen: \(x\) für die Seitenlänge des größeren Quadrats und \(y\) für die des kleineren Quadrats in \(\text{cm}\). 2. Aufstellen des Gleichungssystems: \(x + y = 22\) und \(x^2 - y^2 = 88\). 3. Faktorisierung der Flächendifferenz mittels der dritten binomischen Formel: \((x - y) \cdot (x + y) = 88\). 4. Substitution der Summe der Seitenlängen: \((x - y) \cdot 22 = 88\). 5. Ermittlung der Differenz der Seitenlängen: \(x - y = 4\). 6. Lösen des Systems aus \(x + y = 22\) und \(x - y = 4\) mittels Additionsverfahren: \(2x = 26 \Rightarrow x = 13\). 7. Berechnung von \(y\): \(13 + y = 22 \Rightarrow y = 9\).

Die Seitenlängen der Quadrate betragen \(13\,\text{cm}\) und \(9\,\text{cm}\).

- Überlege, welche der drei binomischen Formeln jeweils passen könnte. - Achte darauf, ob ein Teil des Ergebnisses noch einmal faktorisiert werden kann. - Suche nach Quadratzahlen wie 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100. - Kannst du den Term als Differenz von zwei Quadraten schreiben?

1. Teilaufgabe a): Anwendung der 3. binomischen Formel auf \((6x)^2 - (7y)^2\) ergibt \((6x - 7y) \cdot (6x + 7y)\). 2. Teilaufgabe b): Erkennen der 1. binomischen Formel \(a^2 + 2 \cdot a \cdot 9 + 9^2\) führt zu \((a + 9)^2\). 3. Teilaufgabe c): Erste Anwendung der 3. binomischen Formel auf \((z^2)^2 - 1^2\) ergibt \((z^2 - 1) \cdot (z^2 + 1)\). 4. Zweite Anwendung der 3. binomischen Formel auf den Faktor \((z^2 - 1)\) führt zum Endergebnis \((z - 1) \cdot (z + 1) \cdot (z^2 + 1)\).

a) \((6x - 7y) \cdot (6x + 7y)\) b) \((a + 9)^2\) c) \((z - 1) \cdot (z + 1) \cdot (z^2 + 1)\)

- Überprüfe das Ergebnis des Schülers, indem du die Klammern wieder ausmultiplizierst. - Was passiert, wenn du \(8a \cdot 8a\) rechnest? Erhältst du \(16a^2\)? - Worauf musst du beim Koeffizienten achten, wenn du die Basis für das Quadrat suchst?

1. Fehleranalyse: Der Schüler hat den Koeffizienten \(16\) halbiert (\(16 : 2 = 8\)), anstatt die Quadratwurzel zu ziehen. Da \(8 \cdot 8 = 64\) ist, wäre \((8a)^2 = 64a^2\) und nicht \(16a^2\). 2. Korrekte Identifikation: Es gilt \(16a^2 = (4a)^2\) und \(81 = 9^2\). 3. Korrekte Anwendung der 3. binomischen Formel: \((4a - 9) \cdot (4a + 9)\).

Der Fehler liegt beim Koeffizienten: Der Schüler hat \(16\) durch \(2\) geteilt, statt die Wurzel zu ziehen (\(4^2 = 16\)). Die richtige Lösung ist \((4a - 9) \cdot (4a + 9)\).

- Was muss zwischen den beiden Quadraten stehen, damit du die dritte binomische Formel anwenden kannst? - Wie kannst du eine Potenz wie \(x^{10}\) als ein Quadrat schreiben? Denke an die Potenzgesetze. - Kannst du die Dezimalzahlen als Brüche schreiben, falls dir das Wurzelziehen im Kopf schwerfällt?

1. Umwandlung der Dezimalzahlen in Quadrate: \(1{,}21 = 1{,}1^2\) und \(0{,}04 = 0{,}2^2\). Der Term lautet \((1{,}1m)^2 - (0{,}2n)^2\). Faktorisierung: \((1{,}1m - 0{,}2n) \cdot (1{,}1m + 0{,}2n)\). 2. Umschreiben der Potenzen: \(x^{10} = (x^5)^2\). Der Term lautet \((6x^5)^2 - 1^2\). Faktorisierung: \((6x^5 - 1) \cdot (6x^5 + 1)\). 3. Prüfung der Struktur: Es handelt sich um eine Summe (\(+\)), nicht um eine Differenz (\(-\)). Eine Faktorisierung mithilfe der dritten binomischen Formel ist im Bereich der rationalen Zahlen nicht möglich, da kein Term der Form \(a^2 - b^2\) vorliegt.

1) \((1{,}1m - 0{,}2n) \cdot (1{,}1m + 0{,}2n)\) 2) \((6x^5 - 1) \cdot (6x^5 + 1)\) 3) Nicht möglich, da es eine Summe und keine Differenz ist.

- Achte auf die Hochzahlen der Variablen. Wie verhalten sie sich beim Wurzelziehen? - Wie kannst du einen Bruch wie \(\frac{49}{81}\) als Quadrat eines anderen Bruchs schreiben? - Gibt es eine Formel, mit der man eine Subtraktion in eine Multiplikation verwandeln kann? - Überlege, welcher Term mit sich selbst multipliziert den jeweiligen Teil des Terms ergibt.

1. Den Ausdruck als Differenz zweier Quadrate erkennen. 2. Für das erste Glied gilt \(\left(\frac{7}{9}a^2\right)^2 = \frac{49}{81}a^4\). 3. Für das zweite Glied gilt \(\left(\frac{1}{4}bc^2\right)^2 = \frac{1}{16}b^2c^4\). 4. Die Faktoren gemäß \(X^2 - Y^2 = (X - Y) \cdot (X + Y)\) aufstellen. 5. Das Ergebnis lautet \((\frac{7}{9}a^2 - \frac{1}{4}bc^2) \cdot (\frac{7}{9}a^2 + \frac{1}{4}bc^2)\).

\((\frac{7}{9}a^2 - \frac{1}{4}bc^2) \cdot (\frac{7}{9}a^2 + \frac{1}{4}bc^2)\)

- Zerlege das mittlere Glied in seine Bestandteile: \(2 \cdot \text{erster Teil} \cdot \text{zweiter Teil}\). - Wenn ein äußeres Glied fehlt, bestimme es durch die Wurzel aus dem Quadrat oder durch Rückrechnen aus dem mittleren Glied. - Überprüfe dein Ergebnis, indem du das gefundene Binom wieder ausmultiplizierst.

1. Teilaufgabe a): Das mittlere Glied ist \(2 \cdot x \cdot 5\), also muss das fehlende Glied \(5^2 = 25\) sein. Der Term lautet \(x^2 + 10x + 25 = (x+5)^2\). 2. Teilaufgabe b): Die äußeren Glieder sind \((2a)^2\) und \(3^2\). Das mittlere Glied ist \(2 \cdot 2a \cdot 3 = 12a\). Der Term lautet \(4a^2 - 12a + 9 = (2a-3)^2\). 3. Teilaufgabe c): Das letzte Glied ist \(4^2\). Das mittlere Glied ist \(24y = 2 \cdot (\dots) \cdot 4\), woraus \(24y = 8 \cdot (3y)\) folgt. Das erste Glied ist \((3y)^2 = 9y^2\). Der Term lautet \(9y^2 + 24y + 16 = (3y+4)^2\).

a) \(x^2 + 10x + 25 = (x+5)^2\) b) \(4a^2 - 12a + 9 = (2a-3)^2\) c) \(9y^2 + 24y + 16 = (3y+4)^2\)

- Brüche lassen sich oft leichter verarbeiten, wenn man Zähler und Nenner getrennt betrachtet. - Der Mittelterm einer binomischen Formel ist immer das Doppelte des Produkts der beiden Einzelteile \(A\) und \(B\). - Wenn ein Term ein Quadrat sein soll, müssen alle drei Teile (die beiden Quadrate und der Mittelterm) exakt zusammenpassen.

1. Es gilt \(\left(\frac{1}{4}m\right)^2 = \frac{1}{16}m^2\), \(n^2=n^2\) und \(2 \cdot \frac{1}{4}m \cdot n = \frac{1}{2}mn\). Daher ist der Term \(\left(\frac{1}{4}m+n\right)^2\). 2. Es gilt \((0{,}2p)^2 = 0{,}04p^2\) und \((0{,}5q)^2 = 0{,}25q^2\). Für das Quadrat einer Summe ist der Mittelterm \(2 \cdot 0{,}2p \cdot 0{,}5q = 0{,}2pq\); für das Quadrat einer Differenz ist er \(-0{,}2pq\). 3. Angenommen, \(x^2 + 5x + 6 = (x + e)^2 = x^2 + 2ex + e^2\). Dann müsste \(2e = 5\), also \(e = 2{,}5\), gelten. Die Konstante müsste dann \(e^2 = 2{,}5^2 = 6{,}25\) sein. Da im Term \(6\) steht, ist er kein Quadrat eines Binoms.

1) \(\left(\frac{1}{4}m + n\right)^2\) 2) \(0{,}2pq\) oder \(-0{,}2pq\) 3) Nein. Bei einem Mittelterm \(5x\) müsste die Konstante \(2{,}5^2 = 6{,}25\) lauten; gegeben ist jedoch \(6\).

- Schreibe zuerst den gesamten Rechenausdruck ohne Klammern auf, indem du die binomischen Formeln nutzt. - Schau dir an, welche Teile des Terms nach dem Zusammenfassen übrig bleiben. - Was geschieht mit den gemischten Termen, die das Produkt der beiden Variablen enthalten? - Hängt das Endergebnis noch von allen ursprünglichen Bestandteilen ab?

1. Aufstellen der Summe: \((a+b)^2 + (a-b)^2\). 2. Ausmultiplizieren des ersten Quadrats: \(a^2 + 2ab + b^2\). 3. Ausmultiplizieren des zweiten Quadrats: \(a^2 - 2ab + b^2\). 4. Addition: \(a^2 + 2ab + b^2 + a^2 - 2ab + b^2\). 5. Zusammenfassen: \(2a^2 + 2b^2\). Die gemischten Terme \(+2ab\) und \(-2ab\) heben sich auf. 6. Interpretation: Der vereinfachte Ausdruck enthält kein gemischtes \(ab\)-Glied; dessen Beiträge aus den beiden Quadraten gleichen sich aus.

Der vereinfachte Term lautet \(2a^2 + 2b^2 = 2 \cdot (a^2 + b^2)\). Die gemischten Terme \(+2ab\) und \(-2ab\) heben sich bei der Addition auf, sodass im Ergebnis kein \(ab\)-Glied vorkommt.

- Kannst du eine Gruppe von drei Gliedern finden, die zusammen eine binomische Formel ergeben? - Achte auf die Vorzeichen. Manchmal hilft es, ein Minuszeichen vor einer Klammer auszuklammern. - Wenn ein Term aus fünf Gliedern besteht, versuche ihn in eine Zweier- und eine Dreiergruppe aufzuteilen. - Siehst du nach einem ersten Schritt einen neuen gemeinsamen Faktor in den Klammern?

1. Zusammenfassen der ersten drei Glieder zur 1. binomischen Formel \((x+3)^2\), dann Anwendung der 3. binomischen Formel auf \((x+3)^2 - (2y)^2\): \((x + 3 - 2y) \cdot (x + 3 + 2y)\). 2. Ausklammern von \(-1\) bei den letzten drei Gliedern ergibt \(49 - (a^2 + 2ab + b^2)\). Umformung zu \(7^2 - (a+b)^2\) und Anwendung der 3. binomischen Formel: \((7 - (a + b)) \cdot (7 + (a + b))\), vereinfacht zu \((7 - a - b) \cdot (7 + a + b)\). 3. Gruppieren der ersten zwei Glieder durch Ausklammern von \(a\) zu \(a \cdot (x+y)\) und Umwandlung der restlichen drei Glieder mittels der 1. binomischen Formel zu \((x+y)^2\). Abschließendes Ausklammern des gemeinsamen Faktors \((x+y)\): \((x+y) \cdot (a + x + y)\).

1) \((x + 3 - 2y) \cdot (x + 3 + 2y)\) 2) \((7 - a - b) \cdot (7 + a + b)\) 3) \((x + y) \cdot (a + x + y)\)

- Kannst du die Klammern einzeln mit den binomischen Formeln auflösen? - Achte beim Zusammenfassen der Ergebnisse besonders auf die Glieder, die \(x\) enthalten. - Siehst du am Ende einen gemeinsamen Faktor, den du ausklammern kannst?

1. Anwendung der ersten binomischen Formel auf den ersten Summanden: \((2x+3)^2 = (2x)^2 + 2 \cdot 2x \cdot 3 + 3^2 = 4x^2 + 12x + 9\). 2. Anwendung der zweiten binomischen Formel auf den zweiten Summanden: \((3x-2)^2 = (3x)^2 - 2 \cdot 3x \cdot 2 + 2^2 = 9x^2 - 12x + 4\). 3. Addition der beiden entwickelten Terme: \(4x^2 + 12x + 9 + 9x^2 - 12x + 4\). 4. Zusammenfassen gleichartiger Glieder: Die Terme \(12x\) und \(-12x\) heben sich auf (\(0\)); \(4x^2 + 9x^2 = 13x^2\) und \(9 + 4 = 13\). 5. Faktorisieren des Ergebnisses \(13x^2 + 13\) durch Ausklammern von \(13\): \(13 \cdot (x^2 + 1)\). 6. Da die linke Seite nach der Umformung mit der rechten Seite übereinstimmt, ist die Identität bewiesen.

Die Identität ist bewiesen.

- Welche binomische Formel passt zu der Struktur des Terms? - Erinnere dich an das Potenzgesetz für das Potenzieren von Potenzen: \((a^n)^m = a^{n \cdot m}\). - Was passiert mit dem Exponenten, wenn du eine Wurzel (oder eine Potenz mit Bruch-Exponent) quadrierst? - Achte darauf, dass beim mittleren Term der binomischen Formel alle Faktoren (Zahlen und Variablenpotenzen) multipliziert werden.

1. Anwendung der zweiten binomischen Formel \((A - B)^2 = A^2 - 2AB + B^2\) mit \(A = x^{\frac{1}{2}}\) und \(B = 4\). 2. Berechnung der Quadrate und des gemischten Terms: \((x^{\frac{1}{2}})^2 = x^1 = x\); \(2 \cdot x^{\frac{1}{2}} \cdot 4 = 8x^{\frac{1}{2}}\); \(4^2 = 16\). 3. Zusammenführung zum Ergebnis: \(x - 8x^{\frac{1}{2}} + 16\). 4. Anwendung der ersten binomischen Formel \((A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2\) mit \(A = a^{\frac{2}{3}}\) und \(B = b^{\frac{1}{3}}\). 5. Berechnung der Quadrate und des gemischten Terms: \((a^{\frac{2}{3}})^2 = a^{\frac{4}{3}}\); \(2 \cdot a^{\frac{2}{3}} \cdot b^{\frac{1}{3}} = 2a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{1}{3}}\); \((b^{\frac{1}{3}})^2 = b^{\frac{2}{3}}\). 6. Zusammenführung zum Ergebnis: \(a^{\frac{4}{3}} + 2a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}\).

1) \(x - 8x^{\frac{1}{2}} + 16\) 2) \(a^{\frac{4}{3}} + 2a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}\)

- Schau dir die allgemeine Struktur der binomischen Formeln genau an. Bestehen sie nur aus zwei Teilen? - Was passiert mit dem Mittelstück der Formel in Tims Rechnung? - Welche Zahl bietet sich bei \(1\,005\) als Basis \(a\) an, um das Quadrieren zu erleichtern?

1. Fehleranalyse: Tim hat den gemischten Term \(-2ab\) der zweiten binomischen Formel \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) vernachlässigt. Er hat lediglich die Quadrate der einzelnen Summanden subtrahiert. 2. Korrekte Berechnung von \(39^2\): \((40 - 1)^2 = 40^2 - 2 \cdot 40 \cdot 1 + 1^2 = 1\,600 - 80 + 1 = 1\,521\). 3. Berechnung von \(1\,005^2\): Anwendung der ersten binomischen Formel auf \((1\,000 + 5)^2\). Es ergibt sich \(1\,000^2 + 2 \cdot 1\,000 \cdot 5 + 5^2 = 1\,000\,000 + 10\,000 + 25 = 1\,010\,025\).

a) Tim hat den mittleren Term \(-2ab\) vergessen. b) \(1\,521\) c) \(1\,010\,025\)

- Schau dir den mittleren Term genau an: Er ist immer das doppelte Produkt der beiden Glieder in der Klammer. - Wenn du das Quadrat eines Gliedes kennst, wie kommst du dann auf das ursprüngliche Glied zurück? - Vergleiche die Struktur der Gleichung mit der allgemeinen Form \(a^2 \pm 2ab + b^2\).

1. In Gleichung a) ist das erste Glied der binomischen Formel \(3a^2\). Der mittlere Term \(30a^2b^3\) entspricht \(2 \cdot (3a^2) \cdot (\text{zweites Glied})\). Division durch \(6a^2\) ergibt für das zweite Glied \(5b^3\). 2. Das fehlende Quadrat am Ende von a) ist \((5b^3)^2 = 25b^6\). 3. In Gleichung b) gilt \((2x^3)^2 = 4x^6\); daher kann das erste Glied \(2x^3\) gewählt werden. 4. Der mittlere Term ist \(2 \cdot 2x^3 \cdot \frac{1}{2}y^2 = 2x^3y^2\). Das fehlende Glied am Ende ist \((\frac{1}{2}y^2)^2 = \frac{1}{4}y^4\).

a) \((3a^2 + 5b^3)^2 = 9a^4 + 30a^2b^3 + 25b^6\) b) \((2x^3 - \frac{1}{2}y^2)^2 = 4x^6 - 2x^3y^2 + \frac{1}{4}y^4\)

- Überlege, wie du höhere Potenzen wie \(k^4\) als Quadrat schreiben kannst. - Spielt die Reihenfolge der Summanden bei einer Addition in der Klammer eine Rolle? - Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn man in einer Differenz wie \((a - b)\) die Terme vertauscht zu \((b - a)\)? - Suche gezielt nach den Quadratwurzeln der Koeffizienten, um die Basen für die binomische Formel zu finden.

1. Für Teil a) wird der Zähler als \((13p)^2 - (12q)^2\) erkannt und zu \((13p - 12q) \cdot (13p + 12q)\) faktorisiert. Da die Addition kommutativ ist, gilt \((12q + 13p) = (13p + 12q)\). Durch Kürzen dieses Faktors erhält man \(13p - 12q\). 2. In Teil b) wird \(k^4\) als \((k^2)^2\) aufgefasst. Somit ist der Zähler \((k^2)^2 - 4^2 = (k^2 - 4) \cdot (k^2 + 4)\). Die Division durch \((k^2 - 4)\) ergibt \(k^2 + 4\). 3. In Teil c) faktorisiert man den Zähler zu \((5r - 6s) \cdot (5r + 6s)\). Der Nenner ist \((6s - 5r)\), was genau \(-(5r - 6s)\) entspricht. Nach dem Kürzen bleibt \(-(5r + 6s)\) übrig, was vereinfacht \(-5r - 6s\) ergibt.

a) \(13p - 12q\) b) \(k^2 + 4\) c) \(-5r - 6s\)

- Versuche, Schritt für Schritt vorzugehen und jeden Teilterm einzeln zu vereinfachen. - Vergiss nicht, Faktoren vor den Klammern (wie die \(3\) oder die \(2\)) auf jedes Glied in der Klammer anzuwenden. - Gibt es Teile im Term, die sich gegenseitig aufheben?

1. Berechnung von \((a+b)^2 - (a-b)^2\): \((a^2 + 2ab + b^2) - (a^2 - 2ab + b^2) = 4ab\). 2. Berechnung von \(-(2a+b)(2a-b)\) mittels dritter binomischer Formel: \(-(4a^2 - b^2) = -4a^2 + b^2\). 3. Gesamter Term Teil a): \(4ab - 4a^2 + b^2 + 4a^2 = 4ab + b^2\). 4. Berechnung von \(3(x-2)^2\): \(3(x^2 - 4x + 4) = 3x^2 - 12x + 12\). 5. Berechnung von \(-2(x-3)(x+3)\): \(-2(x^2 - 9) = -2x^2 + 18\). 6. Zusammenfassen Teil b): \(3x^2 - 12x + 12 - 2x^2 + 18 - x^2 = -12x + 30\).

a) \(4ab + b^2\) b) \(-12x + 30\)

- Berechne zuerst das Quadrat in der Klammer, bevor du den Faktor davor berücksichtigst. - Erinnerst du dich an die Regel für \((a-b)(a+b)\)? Das hilft dir beim zweiten Teil des Terms. - Achte beim letzten Schritt genau auf das Vorzeichen der Zahl \(1\).

1. Anwendung der 1. binomischen Formel: \((2z + 4)^2 = 4z^2 + 16z + 16\). 2. Multiplikation mit dem Faktor \(\frac{1}{2}\): \(\frac{1}{2}(4z^2 + 16z + 16) = 2z^2 + 8z + 8\). 3. Anwendung der 3. binomischen Formel: \((z - 1)(z + 1) = z^2 - 1\). 4. Subtraktion des zweiten Teils vom ersten: \((2z^2 + 8z + 8) - (z^2 - 1)\). 5. Auflösen der Klammer: \(2z^2 + 8z + 8 - z^2 + 1\). 6. Endergebnis durch Zusammenfassen: \(z^2 + 8z + 9\).

\(z^2 + 8z + 9\)

- Überlege dir, welche Terme in der binomischen Formel \(a^2\), \(2ab\) und \(b^2\) entsprechen könnten. - Wie kommst du von \(a^2\) zurück auf \(a\)? - Welchen Einfluss hat das Vorzeichen in der Klammer auf das Vorzeichen des Ergebnisses? - Prüfe dein Ergebnis, indem du die Klammer im Kopf wieder auflöst.

1. Identifikation der quadratischen Bestandteile: Der erste Term \(\frac{1}{4}a^6\) muss das Quadrat von \(\frac{1}{2}a^3\) sein, da \((\frac{1}{2}a^3)^2 = \frac{1}{4}a^6\). 2. Der letzte Term \(9b^4\) muss das Quadrat von \(3b^2\) sein, da \((3b^2)^2 = 9b^4\). 3. Überprüfung des mittleren Terms: \(2 \cdot (\frac{1}{2}a^3) \cdot (3b^2) = 3a^3b^2\). Dies entspricht dem gegebenen Term. 4. Aufstellen des Binoms für a): \((\frac{1}{2}a^3 + 3b^2)^2\). 5. Analyse für b): Da sich nur das Vorzeichen des mittleren Terms ändert, muss die 2. binomische Formel vorliegen. Das Pluszeichen in der Klammer wird durch ein Minuszeichen ersetzt: \((\frac{1}{2}a^3 - 3b^2)^2\).

a) \((\frac{1}{2}a^3 + 3b^2)^2\) b) \((\frac{1}{2}a^3 - 3b^2)^2\). Begründung: Das negative Vorzeichen beim mittleren Term weist auf die Anwendung der 2. binomischen Formel hin.

- Berechne zuerst die beiden Klammerausdrücke einzeln. - Achte besonders auf das Minuszeichen zwischen den beiden Klammern. - Was passiert mit den Vorzeichen in der zweiten Klammer, wenn du sie auflöst? - Gibt es Terme, die sich gegenseitig aufheben?

1. Ausmultiplizieren des ersten Quadrats mit der ersten binomischen Formel: \((2x^2 + 0{,}5y)^2 = 4x^4 + 2x^2y + 0{,}25y^2\) 2. Ausmultiplizieren des zweiten Quadrats mit der zweiten binomischen Formel: \((2x^2 - 0{,}5y)^2 = 4x^4 - 2x^2y + 0{,}25y^2\) 3. Bilden der Differenz unter Berücksichtigung der Klammerregeln: \((4x^4 + 2x^2y + 0{,}25y^2) - (4x^4 - 2x^2y + 0{,}25y^2)\) 4. Auflösen der Minusklammer: \(4x^4 + 2x^2y + 0{,}25y^2 - 4x^4 + 2x^2y - 0{,}25y^2\) 5. Zusammenfassen gleicher Glieder: \(4x^2y\)

\(4x^2y\)

- Erinnerst du dich an die Potenzregeln, wenn eine Potenz nochmals quadriert wird? - Wie multipliziert man einen Bruch mit einer ganzen Zahl? - Lass dich von Variablen im Exponenten nicht verunsichern; die Struktur der binomischen Formel bleibt identisch.

1. Anwendung der zweiten binomischen Formel auf \((\frac{2}{3}x - 6)^2\): Berechnung von \((\frac{2}{3}x)^2 = \frac{4}{9}x^2\), des Doppelprodukts \(2 \cdot \frac{2}{3}x \cdot 6 = 8x\) und \(6^2 = 36\). Ergebnis: \(\frac{4}{9}x^2 - 8x + 36\). 2. Anwendung der ersten binomischen Formel auf \((x^2 + 4y)^2\): Berechnung von \((x^2)^2 = x^4\), des Doppelprodukts \(2 \cdot x^2 \cdot 4y = 8x^2y\) und \((4y)^2 = 16y^2\). Ergebnis: \(x^4 + 8x^2y + 16y^2\). 3. Anwendung der zweiten binomischen Formel auf \((a^n - 5)^2\): Berechnung von \((a^n)^2 = a^{2n}\), des Doppelprodukts \(2 \cdot a^n \cdot 5 = 10a^n\) und \(5^2 = 25\). Ergebnis: \(a^{2n} - 10a^n + 25\).

1) \(\frac{4}{9}x^2 - 8x + 36\); 2) \(x^4 + 8x^2y + 16y^2\); 3) \(a^{2n} - 10a^n + 25\)

- Was bedeutet es mathematisch, wenn zwei Terme „äquivalent“ sind? - Versuche, beide Terme unabhängig voneinander so weit wie möglich zu vereinfachen. - Welche Rechenregeln helfen dir dabei, die Klammern in \(T_1\) und \(T_2\) aufzulösen?

1. Umformung von \(T_1\) durch Anwendung der 1. und 2. binomischen Formel: \((25x^2 + 20x + 4) + (4x^2 - 20x + 25)\) 2. Zusammenfassen der gleichartigen Glieder in \(T_1\): \(25x^2 + 4x^2 = 29x^2\), \(20x - 20x = 0\) und \(4 + 25 = 29\), woraus \(T_1 = 29x^2 + 29\) folgt 3. Umformung von \(T_2\) durch Ausmultiplizieren der Klammer: \(29 \cdot x^2 + 29 \cdot 1 = 29x^2 + 29\) 4. Vergleich der Ergebnisse: Da beide Terme auf denselben Ausdruck \(29x^2 + 29\) vereinfacht werden können, sind sie äquivalent.

Durch Termumformung ergibt sich für beide Terme der identische Ausdruck \(29x^2 + 29\). Somit sind \(T_1\) und \(T_2\) äquivalent.

- Achte besonders auf das Vorzeichen, wenn du eine Klammer hinter ein Minuszeichen setzt. - Siehst du ein Muster, das der Form \((a-b) \cdot (a+b)\) ähnelt, wenn du Teile des Terms zusammenfasst? - Vergiss nicht, am Ende alle inneren Klammern vollständig aufzulösen.

1. Umformung der zweiten Klammer: \((r + (s - t))\) 2. Umformung der ersten Klammer durch Ausklammern eines Minuszeichens: \(r - s + t = r - (s - t)\) 3. Struktur der 3. binomischen Formel erkennen: \((r - (s - t)) \cdot (r + (s - t))\) 4. Anwendung der 3. binomischen Formel: \(r^2 - (s - t)^2\) 5. Anwendung der 2. binomischen Formel auf \((s - t)^2\): \(r^2 - (s^2 - 2st + t^2)\) 6. Auflösen der Minusklammer: \(r^2 - s^2 + 2st - t^2\)

\(r^2 - s^2 + 2st - t^2\)

- Überlege zuerst, welche der drei binomischen Formeln jeweils passt. - Achte beim Quadrieren von Produkten darauf, jeden Faktor einzeln zu quadrieren. - Denk bei Potenzen an die Regel \((x^a)^b = x^{a \cdot b}\). - Multipliziere bei den gemischten Termen (\(2ab\)) erst die Zahlen und dann die Variablen.

1. Anwendung der ersten binomischen Formel \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\): \((0{,}5x^2)^2 + 2 \cdot 0{,}5x^2 \cdot 0{,}2y^3 + (0{,}2y^3)^2 = 0{,}25x^4 + 0{,}2x^2y^3 + 0{,}04y^6\) 2. Anwendung der zweiten binomischen Formel \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\): \((\frac{3}{4}a)^2 - 2 \cdot \frac{3}{4}a \cdot \frac{1}{3}b + (\frac{1}{3}b)^2 = \frac{9}{16}a^2 - \frac{1}{2}ab + \frac{1}{9}b^2\) 3. Anwendung der dritten binomischen Formel \((a+b) \cdot (a-b) = a^2 - b^2\): \((x^n)^2 - (y^m)^2 = x^{2n} - y^{2m}\) 4. Anwendung der zweiten binomischen Formel: \((1{,}2p^2)^2 - 2 \cdot 1{,}2p^2 \cdot 0{,}5q + (0{,}5q)^2 = 1{,}44p^4 - 1{,}2p^2q + 0{,}25q^2\)

1) \(0{,}25x^4 + 0{,}2x^2y^3 + 0{,}04y^6\) 2) \(\frac{9}{16}a^2 - \frac{1}{2}ab + \frac{1}{9}b^2\) 3) \(x^{2n} - y^{2m}\) 4) \(1{,}44p^4 - 1{,}2p^2q + 0{,}25q^2\)

- Ersetze die Zahl durch einen Ausdruck der Form \((1 - a)\). - Vergleiche die vollständige zweite binomische Formel mit der verkürzten Näherungsformel. - Was weißt du über das Vorzeichen von Quadratzahlen?

1. Für \(0{,}99^2\) ist \(a = 0{,}01\). Näherungswert: \(1 - 2 \cdot 0{,}01 = 1 - 0{,}02 = 0{,}98\). Exakter Wert: \((1 - 0{,}01)^2 = 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 0{,}01 + 0{,}01^2 = 1 - 0{,}02 + 0{,}0001 = 0{,}9801\). 2. Absoluter Fehler: \(|0{,}9801 - 0{,}98| = 0{,}0001\). 3. Die Differenz zwischen dem exakten Wert \((1 - 2a + a^2)\) und der Näherung \((1 - 2a)\) ist \((1 - 2a + a^2) - (1 - 2a) = a^2\). Da das Quadrat einer Zahl \(a \neq 0\) immer positiv ist (\(a^2 > 0\)), ist der exakte Wert stets um \(a^2\) größer als der Näherungswert.

1. Näherung: \(0{,}98\); Exakt: \(0{,}9801\). 2. Fehler: \(0{,}0001\). 3. Der exakte Wert ist um \(a^2\) größer als die Näherung. Da \(a^2\) für \(a \neq 0\) immer positiv ist, liegt die Näherung stets unter dem echten Wert.

- Hier sind beide Teile der Differenz Quadrate von Termen. Setze für \(A\) und \(B\) die gesamten Ausdrücke in den Klammern ein. - Vergiss nicht, beim Auflösen der Minusklammer alle Vorzeichen umzudrehen. - Prüfe am Ende jedes Produkts, ob du Variablen mit gleichen Namen zusammenrechnen kannst.

1. Anwendung der Formel \(A^2 - B^2\) mit \(A = a+b\) und \(B = a-b\): \(((a+b) - (a-b)) \cdot ((a+b) + (a-b))\). Vereinfachung: \((a+b-a+b) \cdot (a+b+a-b) = (2b) \cdot (2a) = 4ab\). 2. Anwendung mit \(A = 2x+3y\) und \(B = x+y\): \(((2x+3y) - (x+y)) \cdot ((2x+3y) + (x+y))\). Vereinfachung: \((2x+3y-x-y) \cdot (2x+3y+x+y) = (x+2y) \cdot (3x+4y)\). 3. Anwendung mit \(A = 0{,}7k\) und \(B = 0{,}3k-1\): \((0{,}7k - (0{,}3k-1)) \cdot (0{,}7k + (0{,}3k-1))\). Vereinfachung: \((0{,}7k-0{,}3k+1) \cdot (0{,}7k+0{,}3k-1) = (0{,}4k+1) \cdot (k-1)\).

1) \(4ab\) 2) \((x+2y) \cdot (3x+4y)\) 3) \((0{,}4k+1) \cdot (k-1)\)

- Was musst du quadrieren, um den ersten Teil des Terms zu erhalten? - Wie gehst du vor, wenn beide Teile der Differenz bereits Quadrate von Klammerausdrücken sind? - Vergiss nicht, am Ende alle Terme innerhalb der Klammern so weit wie möglich zu vereinfachen. - Bei Teilaufgabe 3 heben sich in den Klammern einige Variablen gegenseitig auf.

1. Identifikation von \(A = xy^2\) und \(B = z+2\). Anwendung der Formel ergibt \((xy^2 - (z+2)) \cdot (xy^2 + (z+2))\). Auflösen der inneren Klammern führt zu \((xy^2 - z - 2) \cdot (xy^2 + z + 2)\). 2. Identifikation von \(A = 0{,}1\) und \(B = x-0{,}1\). Anwendung der Formel: \((0{,}1 - (x-0{,}1)) \cdot (0{,}1 + (x-0{,}1))\). Auflösen der Klammern ergibt \((0{,}1 - x + 0{,}1) \cdot (0{,}1 + x - 0{,}1)\). Zusammenfassen führt zu \((0{,}2 - x) \cdot x\). 3. Identifikation von \(A = a+b\) und \(B = a-b\). Anwendung der Formel: \(((a+b) - (a-b)) \cdot ((a+b) + (a-b))\). Auflösen der inneren Klammern ergibt \((a + b - a + b) \cdot (a + b + a - b)\). Vereinfachen der Faktoren führt zu \(2b \cdot 2a = 4ab\).

1) \((xy^2 - z - 2) \cdot (xy^2 + z + 2)\) 2) \((0{,}2 - x)x\) oder \(0{,}2x - x^2\) 3) \(4ab\)

- Welche Zahl liegt genau in der Mitte der beiden Faktoren? - Wie weit sind die Faktoren jeweils von dieser Mitte entfernt? - Überlege, was beim Ausmultiplizieren von \((a-b) \cdot (a+b)\) mit den mittleren Termen passiert. - Was sagt das Ergebnis \(n^2 - k^2\) über die Größe im Vergleich zu \(n^2\) aus?

1. Berechnung \(21 \cdot 19\): \((20+1) \cdot (20-1) = 20^2 - 1^2 = 400 - 1 = 399\) 2. Berechnung \(52 \cdot 48\): \((50+2) \cdot (50-2) = 50^2 - 2^2 = 2500 - 4 = 2496\) 3. Vergleich mit \(n^2\): Das Produkt \((n-k) \cdot (n+k)\) ergibt nach der 3. binomischen Formel \(n^2 - k^2\). Da \(k^2\) für \(k \neq 0\) positiv ist, ist das Produkt um genau \(k^2\) kleiner als \(n^2\). 4. Überprüfung \(35 \cdot 45\): Mitte \(n=40\), halber Abstand \(k=5\). Rechnung: \(40^2 - 5^2 = 1600 - 25 = 1575\). 5. Begründung: Der Trick ist eine direkte Anwendung von \((n-k) \cdot (n+k) = n^2 - k^2\), wobei \(n\) der Mittelwert und \(k\) der halbe Abstand (Abweichung von der Mitte) ist.

a) \(21 \cdot 19 = 399\); \(52 \cdot 48 = 2496\) b) Für \(k \neq 0\) beträgt der Unterschied \(k^2\); daher ist das Produkt um \(k^2\) kleiner als \(n^2\). c) \(35 \cdot 45 = 1575\); der Trick funktioniert, weil \(35 = 40-5\) und \(45 = 40+5\) gilt, was der Struktur \((n-k) \cdot (n+k)\) entspricht.

- Wie berechnet man den Flächeninhalt eines Quadrats und eines Rechtecks? - Multipliziere die Klammer im ersten Term zuerst vollständig aus. - Überlege dir, welches Vorzeichen das Ergebnis einer Quadratrechnung hat, wenn die Zahl in der Klammer nicht Null ist.

1. Aufstellen der Terme: Der Flächeninhalt des Quadrats ist \(A_1 = (a+b)^2\). Die vier Rechtecke haben zusammen den Flächeninhalt \(A_2 = 4 \cdot (a \cdot b) = 4ab\). 2. Berechnung der Differenz: \(A_1 - A_2 = (a+b)^2 - 4ab\). 3. Termumformung: Anwendung der ersten binomischen Formel liefert \(a^2 + 2ab + b^2 - 4ab\). Zusammenfassen der Glieder ergibt \(a^2 - 2ab + b^2\). 4. Rückführung auf binomische Formel: Gemäß der zweiten binomischen Formel entspricht dies \((a-b)^2\). 5. Vergleich: Da \((a-b)^2\) für \(a \neq b\) immer positiv ist, ist \(A_1 - A_2 > 0\), woraus \(A_1 > A_2\) folgt. Das große Quadrat ist also größer. Wenn \(a = b\) gilt, ist die Differenz \((a-a)^2 = 0\), beide Flächeninhalte sind also gleich groß.

a) \(A_1 = (a+b)^2\) und \(A_2 = 4ab\). b) \((a+b)^2 - 4ab = a^2 + 2ab + b^2 - 4ab = a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2\). c) Für \(a \neq b\) ist \(A_1\) größer, da das Quadrat der Differenz \((a-b)^2\) positiv ist. Für \(a = b\) sind beide Flächen gleich groß.

- Behandle Brüche, indem du Zähler und Nenner separat betrachtest, um die Quadratwurzel zu finden. - Bei Dezimalzahlen hilft es oft, sie kurzzeitig als Brüche zu denken oder an bekannte Quadratzahlen zu denken (z. B. \(121\)). - Wie verhalten sich die Exponenten einer Potenz, wenn man die Basis quadriert? Erinnere dich an die Potenzgesetze. - Achte darauf, dass jeder Teil des Produkts im Term quadriert wurde.

1. Umschreiben als Differenz von Quadraten: \((\frac{1}{4}u^6)^2 - (v^4)^2\). Anwendung der dritten binomischen Formel liefert \((\frac{1}{4}u^6 - v^4) \cdot (\frac{1}{4}u^6 + v^4)\). 2. Identifikation der Quadratwurzeln der Koeffizienten (\(\sqrt{1{,}21} = 1{,}1\) und \(\sqrt{0{,}04} = 0{,}2\)) und der Variablenanteile. Der Term entspricht \((1{,}1 m n^5)^2 - (0{,}2 k^2)^2\). Anwendung der Formel ergibt \((1{,}1 m n^5 - 0{,}2 k^2) \cdot (1{,}1 m n^5 + 0{,}2 k^2)\). 3. Darstellung als \((6 a b^3)^2 - (\frac{5}{9} c^2)^2\). Anwendung der Formel führt zu \((6 a b^3 - \frac{5}{9} c^2) \cdot (6 a b^3 + \frac{5}{9} c^2)\).

1) \((\frac{1}{4}u^6 - v^4) \cdot (\frac{1}{4}u^6 + v^4)\) 2) \((1{,}1 m n^5 - 0{,}2 k^2) \cdot (1{,}1 m n^5 + 0{,}2 k^2)\) 3) \((6 a b^3 - \frac{5}{9} c^2) \cdot (6 a b^3 + \frac{5}{9} c^2)\)

- Manchmal lässt sich eine binomische Formel mehrmals hintereinander anwenden. - Betrachte bei der zweiten Teilaufgabe den gesamten Ausdruck: Erinnert dich die Form \(A^2 + 2AB + B^2\) an etwas? - Was passiert, wenn du für die großen Ausdrücke in den Klammern einfach kurze Platzhalter wie \(u\) und \(v\) benutzt?

1. Erster Term: Anwendung der Formel \(A^2 - B^2 = (A - B) \cdot (A + B)\) mit \(A = x^2 + 9\) und \(B = 6x\): \(((x^2 + 9) - 6x) \cdot ((x^2 + 9) + 6x) = (x^2 - 6x + 9) \cdot (x^2 + 6x + 9)\) 2. Erkennen der binomischen Formeln in den Faktoren: \(x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2\) und \(x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2\) 3. Gesamtergebnis: \((x - 3)^2 \cdot (x + 3)^2\) oder \((x^2 - 9)^2\) 4. Zweiter Term: Anwendung der Formel \(A^2 + 2AB + B^2 = (A + B)^2\) mit \(A = x + y\) und \(B = x - y\): \(((x + y) + (x - y))^2\) 5. Vereinfachen des Ausdrucks in der Klammer: \((x + y + x - y)^2 = (2x)^2 = 4x^2\)

1) \((x - 3)^2 \cdot (x + 3)^2\) oder \((x^2 - 9)^2\) 2) \(4x^2\)

- Manchmal muss man eine binomische Formel mehr als einmal anwenden. - Siehst du in einem Teil des Terms eine bekannte binomische Formel versteckt? - Achte beim Gruppieren besonders auf die Vorzeichen, wenn ein Minus vor einer Klammer steht. - Ein Term ist erst dann vollständig faktorisiert, wenn man keinen der Faktoren mehr weiter zerlegen kann.

1. Anwendung der 3. binomischen Formel auf \((y^2)^2 - 1^2\) ergibt \((y^2-1) \cdot (y^2+1)\). Erneute Anwendung der 3. binomischen Formel auf den ersten Faktor führt zu \((y-1) \cdot (y+1) \cdot (y^2+1)\). 2. Die ersten drei Glieder bilden die 2. binomische Formel: \((a-b)^2 - 16\). Dies entspricht der Struktur \(u^2 - v^2\) mit \(u = (a-b)\) und \(v = 4\). Anwendung der 3. binomischen Formel ergibt \((a-b-4) \cdot (a-b+4)\). 3. Gruppieren nach Teiltermen: \(x^2 \cdot (x+3) - 4 \cdot (x+3)\). Ausklammern von \((x+3)\) ergibt \((x+3) \cdot (x^2-4)\). Anwendung der 3. binomischen Formel auf die zweite Klammer liefert das Endergebnis \((x+3) \cdot (x-2) \cdot (x+2)\).

1) \((y-1) \cdot (y+1) \cdot (y^2+1)\) 2) \((a-b-4) \cdot (a-b+4)\) 3) \((x+3) \cdot (x-2) \cdot (x+2)\)

- Versuche, die Ausdrücke in den Klammern geschickt zu gruppieren, zum Beispiel indem du \((a+b)\) als eine einzige Einheit betrachtest. - Gibt es eine Regel für die Summe von zwei Quadraten wie \((u+v)^2 + (u-v)^2\)? - Achte beim Auflösen der großen Klammer besonders auf die Vorzeichenverteilung. - Was bleibt übrig, wenn du \((a+b)^2\) und \((a-b)^2\) voneinander subtrahierst?

1. Gruppierung der Terme innerhalb der Quadrate, um binomische Formeln der Form \((u \pm v)^2\) zu nutzen: \(((a+b)+c)^2 + ((a+b)-c)^2 - [((a-b)+c)^2 + ((a-b)-c)^2]\). 2. Anwendung der Identität \((u+v)^2 + (u-v)^2 = 2u^2 + 2v^2\) auf das erste Paar mit \(u = a+b\) und \(v = c\): \(2 \cdot (a+b)^2 + 2c^2\). 3. Anwendung derselben Identität auf das zweite Paar in der Klammer mit \(u = a-b\) und \(v = c\): \(2 \cdot (a-b)^2 + 2c^2\). 4. Subtraktion der Ergebnisse: \(2 \cdot (a+b)^2 + 2c^2 - [2 \cdot (a-b)^2 + 2c^2] = 2 \cdot (a+b)^2 - 2 \cdot (a-b)^2\). 5. Ausklammern der \(2\): \(2[(a+b)^2 - (a-b)^2]\). 6. Anwendung der Identität \((a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab\) innerhalb der Klammer. 7. Finales Ergebnis: \(2 \cdot (4ab) = 8ab\). Damit ist die Identität bewiesen.

Die Identität ist bewiesen.