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Stellen Sie aus rund 20.000 Matheaufgaben Ihre eigenen Arbeitsblätter zusammen, von der 3. bis zur 13. Klasse. Alle Aufgaben enthalten Lösungsschritte.

Terme zu Mustern und Figuren

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4124877
Ein Rechteck hat eine feste Breite von \(6\,\text{cm}\). Die Länge \(a\) des Rechtecks ist variabel. a) Stelle einen Term für den Umfang \(U\) des Rechtecks in Abhängigkeit von der Länge \(a\) auf. b) Berechne den Umfang für \(a = 4\,\text{cm}\) und \(a = 12{,}5\,\text{cm}\).

Denkanstöße

- Wie berechnet man den Umfang eines Rechtecks, wenn man alle vier Seiten addiert? - Welche Seiten sind in einem Rechteck jeweils gleich lang? - Ersetze die bekannte Breite in deiner Formel durch die gegebene Zahl. - Setze die verschiedenen Werte für die Variable nacheinander in deine gefundene Formel ein.

Lösung

1. Formel für den Umfang eines Rechtecks mit Länge \(a\) und Breite \(b\): \(U = 2 \cdot a + 2 \cdot b\). 2. Einsetzen der gegebenen Breite \(b = 6\,\text{cm}\): \(U = 2 \cdot a + 2 \cdot 6 = 2a + 12\). 3. Berechnung für \(a = 4\,\text{cm}\): \(U = 2 \cdot 4 + 12 = 8 + 12 = 20\,\text{cm}\). 4. Berechnung für \(a = 12{,}5\,\text{cm}\): \(U = 2 \cdot 12{,}5 + 12 = 25 + 12 = 37\,\text{cm}\).

Antwort

a) Der Term für den Umfang lautet \(U = 2a + 12\) (in \(\text{cm}\)). b) Für \(a = 4\,\text{cm}\) beträgt der Umfang \(20\,\text{cm}\). Für \(a = 12{,}5\,\text{cm}\) beträgt der Umfang \(37\,\text{cm}\).
4124907
Ein rechteckiges Beet soll mit einem Zaun eingefasst werden. Die Breite des Beets wird mit \(x\) bezeichnet. Die Länge des Beets ist \(3\,\text{m}\) länger als das Doppelte der Breite. a) Stelle einen Term für den Umfang \(U\) des Beets auf. b) Vereinfache diesen Term so weit wie möglich. c) Berechne die Gesamtlänge des Zauns, wenn das Beet \(4{,}50\,\text{m}\) breit ist.

Denkanstöße

- Wie berechnet man allgemein den Umfang eines Rechtecks? - Kannst du die Länge des Beets mithilfe von \(x\) ausdrücken? - Achte beim Vereinfachen auf die Vorrangregeln und das Distributivgesetz. - Was musst du am Ende für \(x\) einsetzen?

Lösung

1. Bestimmung der Seitenlängen: Breite \(b = x\), Länge \(l = 2x + 3\). 2. Aufstellen des Umfangsterms: \(U = 2 \cdot x + 2 \cdot (2x + 3)\) oder \(U = x + x + (2x + 3) + (2x + 3)\). 3. Vereinfachung durch Auflösen der Klammer: \(U = 2x + 4x + 6\). 4. Zusammenfassen der Glieder mit \(x\): \(U = 6x + 6\). 5. Einsetzen von \(x = 4{,}5\): \(U = 6 \cdot 4{,}5 + 6 = 27 + 6 = 33\). Das Beet hat einen Umfang von \(33\,\text{m}\).

Antwort

a) \(U = 2 \cdot x + 2 \cdot (2x + 3)\) b) \(U = 6x + 6\) c) \(33\,\text{m}\)
4124937
Ein Viereck hat vier Seiten mit folgenden Längen: - Die erste Seite ist \(x\,\text{cm}\) lang. - Die zweite Seite ist \(2\,\text{cm}\) länger als die erste Seite. - Die dritte Seite ist doppelt so lang wie die erste Seite. - Die vierte Seite ist genau \(5\,\text{cm}\) lang. a) Stelle einen Term für den Umfang \(U\) des Vierecks auf und fasse ihn so weit wie möglich zusammen. b) Berechne den Umfang für \(x = 3{,}5\,\text{cm}\).

Denkanstöße

- Was bedeutet der Begriff Umfang bei einer geometrischen Figur? - Versuche zuerst, für jede der vier Seiten einen eigenen kleinen Term mit der Variablen \(x\) zu finden. - Wie kannst du einen langen Term vereinfachen, in dem mehrmals die gleiche Variable vorkommt?

Lösung

1. Aufstellen der Terme für die einzelnen Seitenlängen: - Seite 1: \(x\) - Seite 2: \(x + 2\) - Seite 3: \(2x\) - Seite 4: \(5\) 2. Aufstellen des Terms für den Gesamtumfang durch Summation: \(U = x + (x + 2) + 2x + 5\) 3. Zusammenfassen des Terms: \(U = 4x + 7\) 4. Einsetzen von \(x = 3{,}5\) in den zusammengefassten Term: \(U = 4 \cdot 3{,}5 + 7 = 14 + 7 = 21\) 5. Ergebnis: Der Umfang beträgt \(21\,\text{cm}\).

Antwort

a) \(U = 4x + 7\) b) \(21\,\text{cm}\)
4125027
Ein quadratisches Mosaik wird für eine natürliche Zahl \(n \ge 2\) aus \(n \times n\) kleinen Steinchen zusammengesetzt. Die vier Steinchen in den Ecken des Mosaiks sind goldfarben. Alle anderen Steinchen, die sich am äußeren Rand befinden, sind silberfarben. Die restlichen Steinchen im Inneren sind weiß. Stelle einen Term für die Anzahl der silbernen Steinchen in Abhängigkeit von \(n\) auf. Vereinfache deinen Term so weit wie möglich.

Denkanstöße

- Wie viele Steinchen liegen insgesamt auf einer Seite des Quadrats? - Überlege dir, wie viele Steinchen an einer Seite übrig bleiben, wenn du die Ecken weglässt. - Gibt es einen Unterschied zwischen der Gesamtzahl der Randsteinchen und den gesuchten silbernen Steinchen? - Probiere es zur Kontrolle mit einem kleinen Beispiel aus, zum Beispiel für \(n = 4\).

Lösung

1. Bestimmung der Gesamtzahl der Randsteinchen: Ein Quadrat mit der Seitenlänge \(n\) hat insgesamt \(4n - 4\) Steinchen am Rand (vier Seiten à \(n\) Steinchen abzüglich der vier doppelt gezählten Eckpunkte). 2. Abzug der Ecksteinchen: Von der Gesamtzahl der Randsteinchen müssen die 4 goldenen Ecksteinchen abgezogen werden. 3. Aufstellen des Terms: \(T(n) = (4n - 4) - 4\). 4. Vereinfachung: \(T(n) = 4n - 8\). 5. Alternativer Weg: Jede der vier Seiten hat \(n\) Steinchen. Ohne die zwei Ecken pro Seite bleiben \(n - 2\) silberne Steinchen pro Seite. Da es vier Seiten gibt, ergibt sich \(4 \cdot (n - 2) = 4n - 8\).

Antwort

Der Term für die Anzahl der silbernen Steinchen lautet \(4n - 8\) (oder \(4 \cdot (n - 2)\)).
4223557
Betrachte die Zahlenfolge \(4, 7, 10, 13, \dots\) a) Gib einen Term an, mit dem man das \(n\)-te Glied dieser Folge berechnen kann (\(n = 1, 2, 3, \dots\)). b) Untersuche rechnerisch, ob die Zahl \(82\) in dieser Folge vorkommt. Begründe deine Antwort. c) Jemand behauptet: „Alle Zahlen in dieser Folge lassen bei der Division durch \(3\) den gleichen Rest.“ Bestimme diesen Rest und erkläre den Zusammenhang mit deinem Term aus Teilaufgabe a).

Denkanstöße

- Schau dir an, um welchen Betrag die Zahlen von Schritt zu Schritt wachsen. - Wie kannst du eine Gleichung aufstellen, um zu prüfen, ob ein bestimmter Wert erreicht wird? - Was bedeutet der Teil „\(+ 1\)“ in einem Term wie \(3n + 1\) für das Ergebnis einer Division?

Lösung

1. Bestimmung des Terms: Die Folge startet bei \(4\) und wächst pro Schritt um \(3\). Der Term für das \(n\)-te Glied lautet \(3n + 1\). (Test für \(n=1\): \(3 \cdot 1 + 1 = 4\)). 2. Überprüfung der Zahl \(82\): Gleichung \(3n + 1 = 82\) aufstellen. Subtraktion von \(1\) ergibt \(3n = 81\). Division durch \(3\) ergibt \(n = 27\). Da \(27\) eine natürliche Zahl ist, ist \(82\) das 27. Glied der Folge. 3. Untersuchung des Rests: Der Term \(3n + 1\) zeigt, dass jede Zahl ein Vielfaches von \(3\) plus \(1\) ist. Bei der Division durch \(3\) bleibt also immer der Rest \(1\).

Antwort

a) Der Term lautet \(3n + 1\). b) Ja, \(82\) ist das 27. Glied der Folge, da \(3 \cdot 27 + 1 = 82\). c) Der Rest ist \(1\), da der Term \(3n + 1\) ein Vielfaches von \(3\) plus \(1\) darstellt.
4120747
Für eine Ausstellung in der Schulaula sollen quadratische Plakate mit einer Seitenlänge von \(0{,}80\,\text{m}\) in einer Reihe an einer \(15\,\text{m}\) langen Wand aufgehängt werden. Zwischen den Plakaten sowie vor dem ersten und nach dem letzten Plakat soll jeweils ein gleich großer Zwischenraum \(x\) bleiben. a) Erkläre, warum der Term für die benötigte Gesamtlänge bei \(n\) Plakaten \(L = 0{,}80 \cdot n + x \cdot (n+1)\) lautet. b) Es sollen genau 12 Plakate aufgehängt werden. Berechne den Abstand \(x\) in Zentimetern, wenn die gesamte Wandlänge von \(15\,\text{m}\) ausgenutzt wird. c) Wie würde sich der Term verändern, wenn man die Plakate ohne Abstand direkt nebeneinander hängen würde, aber links und rechts der gesamten Reihe jeweils ein Abstand von \(1{,}50\,\text{m}\) zu den beiden Ecken bleiben müsste?

Denkanstöße

- Stelle dir die Reihe bildlich vor: Abstand, Plakat, Abstand, Plakat ... Plakat, Abstand. - Wie viele Abstände zählst du bei 2 Plakaten? Und bei 3? - Beim Umstellen der Gleichung: Subtrahiere zuerst die Gesamtlänge der Plakate von der Wandlänge.

Lösung

1. Begründung des Terms: Es gibt \(n\) Plakate der Breite \(0{,}80\,\text{m}\). Da vor jedem Plakat und nach dem letzten ein Abstand \(x\) ist, gibt es genau einen Abstand mehr als Plakate, also \(n+1\) Abstände. 2. Einsetzen der Werte für b): \(n = 12\), \(L = 15\). Die Gleichung lautet \(0{,}80 \cdot 12 + x \cdot (12+1) = 15\). 3. Berechnung: \(9{,}60 + 13x = 15\). 4. Umstellen: \(13x = 5{,}40\). 5. Ergebnis für \(x\): \(x = 5{,}40 : 13 \approx 0{,}41538\,\text{m}\). In Zentimetern: \(x \approx 41{,}5\,\text{cm}\). 6. Anpassung des Terms für c): Die \(n\) Plakate hängen zusammen (\(n \cdot 0{,}80\)). Dazu kommen zwei feste Abstände von je \(1{,}50\,\text{m}\). Der Term lautet \(L = 0{,}80n + 3\).

Antwort

a) Individuelle Begründung (siehe Lösungsschritt 1). b) Der Abstand \(x\) beträgt ca. \(41{,}5\,\text{cm}\). c) Der neue Term lautet \(L = 0{,}80n + 3\) (in Metern).
4124887
Eine Figur wird aus einem Quadrat mit der Seitenlänge \(x\) und einem direkt angrenzenden Rechteck zusammengesetzt. Das Rechteck hat dieselbe Breite \(x\) wie das Quadrat, aber eine feste Länge von \(8\,\text{cm}\). a) Erstelle einen Term für den Umfang der gesamten zusammengesetzten Figur und vereinfache ihn so weit wie möglich. b) Berechne den Umfang der Figur für \(x = 5\,\text{cm}\) und für \(x = 2{,}4\,\text{cm}\).

Denkanstöße

- Stell dir vor, du läufst einmal um die gesamte äußere Begrenzung der Figur herum. Welche Strecken legst du dabei zurück? - Beachte, dass die Linie, an der sich Quadrat und Rechteck berühren, nicht zum Umfang gehört. - Fasse alle gleichen Variablen in deinem Term zusammen.

Lösung

1. Skizzieren der Figur: Das Quadrat hat drei freie Außenkanten der Länge \(x\). Das Rechteck hat zwei Längsseiten der Länge \(8\,\text{cm}\) und eine Außenkante der Breite \(x\). Die vierte Seite des Quadrats und die zweite Breitenseite des Rechtecks liegen aneinander und gehören nicht zum äußeren Umfang. 2. Aufstellen des Terms: \(U = x + x + x + 8 + x + 8\). 3. Vereinfachen des Terms: \(U = 4x + 16\). 4. Berechnung für \(x = 5\,\text{cm}\): \(U = 4 \cdot 5 + 16 = 20 + 16 = 36\,\text{cm}\). 5. Berechnung für \(x = 2{,}4\,\text{cm}\): \(U = 4 \cdot 2{,}4 + 16 = 9{,}6 + 16 = 25{,}6\,\text{cm}\).

Antwort

a) Der vereinfachte Term für den Umfang lautet \(U = 4x + 16\). b) Für \(x = 5\,\text{cm}\) ist der Umfang \(36\,\text{cm}\). Für \(x = 2{,}4\,\text{cm}\) ist der Umfang \(25{,}6\,\text{cm}\).
4124947
Ein rechteckiges Baugrundstück hat die Länge \(L\) (in Metern). Die Breite des Grundstücks ist um \(10\,\text{m}\) kürzer als die Länge. a) Stelle einen Term für den Umfang \(U\) des Grundstücks auf, der nur die Variable \(L\) verwendet. Fasse den Term zusammen. b) Stelle einen Term für den Flächeninhalt \(A\) des Grundstücks auf. c) Berechne den Umfang und den Flächeninhalt für eine Länge von \(L = 25\,\text{m}\).

Denkanstöße

- Wie hängen Länge und Breite bei diesem Grundstück zusammen? - Erinnere dich an die allgemeinen Formeln für Umfang und Flächeninhalt eines Rechtecks. - Achte darauf, beim Aufstellen der Terme Klammern zu setzen, wenn eine Seite aus einem ganzen Ausdruck (wie \(L-10\)) besteht.

Lösung

1. Bestimmung der Breite in Abhängigkeit von \(L\): \(B = L - 10\) 2. Term für den Umfang: \(U = 2 \cdot (L + B) = 2 \cdot (L + L - 10) = 2 \cdot (2L - 10)\) 3. Vereinfachter Umfangsterm: \(U = 4L - 20\) 4. Term für den Flächeninhalt: \(A = L \cdot B = L \cdot (L - 10)\) 5. Berechnung für \(L = 25\): - \(U = 4 \cdot 25 - 20 = 100 - 20 = 80\) - \(A = 25 \cdot (25 - 10) = 25 \cdot 15 = 375\) 6. Ergebnisse: Der Umfang beträgt \(80\,\text{m}\), der Flächeninhalt \(375\,\text{m}^2\).

Antwort

a) \(U = 4L - 20\) b) \(A = L \cdot (L - 10)\) oder \(A = L^2 - 10L\) c) \(U = 80\,\text{m}\); \(A = 375\,\text{m}^2\)
4124957
Ein Pluszeichen (ein griechisches Kreuz) wird aus fünf identischen Quadraten mit der Seitenlänge \(a\) zusammengesetzt. Dabei wird ein Quadrat in die Mitte gelegt und an jede seiner vier Seiten wird jeweils ein weiteres Quadrat bündig angefügt. a) Stelle einen Term für den Umfang \(U\) der gesamten Figur auf. b) Stelle einen Term für den Flächeninhalt \(A\) der gesamten Figur auf. c) Berechne den Umfang und den Flächeninhalt für \(a = 4\,\text{cm}\).

Denkanstöße

- Stelle dir die Figur bildlich vor oder skizziere sie. Wie viele der Quadratseiten liegen am Rand der Figur und wie viele im Inneren? - Für den Flächeninhalt musst du nur zählen, wie viele Grundquadrate insgesamt vorhanden sind. - Zähle für den Umfang sorgfältig die einzelnen Teilstrecken an der Außenseite ab.

Lösung

1. Analyse des Flächeninhalts: Die Figur besteht aus 5 Quadraten. Da jedes Quadrat den Flächeninhalt \(a^2\) hat, gilt \(A = 5 \cdot a^2 = 5a^2\). 2. Analyse des Umfangs: Die Figur hat nach außen gerichtete Seiten. Jedes der 4 äußeren Quadrate trägt 3 seiner Seiten zum Außenumfang bei. Die Seiten des mittleren Quadrats liegen alle im Inneren. 3. Berechnung der Anzahl der Außenseiten: \(4 \text{ Quadrate} \cdot 3 \text{ Seiten} = 12 \text{ Seiten}\). Somit ist \(U = 12a\). 4. Berechnung für \(a = 4\): - \(A = 5 \cdot 4^2 = 5 \cdot 16 = 80\) - \(U = 12 \cdot 4 = 48\) 5. Ergebnisse: Der Flächeninhalt beträgt \(80\,\text{cm}^2\), der Umfang beträgt \(48\,\text{cm}\).

Antwort

a) \(U = 12a\) b) \(A = 5a^2\) c) \(U = 48\,\text{cm}\); \(A = 80\,\text{cm}^2\)
4125037
In einem Lager werden Kisten in einer Ebene in einem rechteckigen Block angeordnet. Der Block ist \(x\) Kisten lang und \(y\) Kisten breit, wobei \(x\) und \(y\) natürliche Zahlen mit \(x, y \ge 2\) sind. Nur die Kisten, die am Rand des Blocks stehen, erhalten einen Aufkleber zur Kennzeichnung. a) Stelle einen Term auf, mit dem man die Anzahl der Kisten berechnen kann, die einen Aufkleber erhalten. b) Berechne die Anzahl der Aufkleber für einen Block mit der Länge \(x = 12\) und der Breite \(y = 8\).

Denkanstöße

- Kannst du die Anzahl der Kisten am Rand bestimmen, indem du die „inneren“ Kisten von der Gesamtmenge abziehst? - Wie ändern sich die Seitenlängen, wenn man nur den inneren Kern betrachtet? - Achte darauf, die Eckkisten nicht doppelt zu zählen, wenn du die Seiten einzeln addierst. - Was passiert mit dem Term, wenn \(x\) und \(y\) gleich groß sind?

Lösung

1. Berechnung der Gesamtzahl der Kisten: \(x \cdot y\). 2. Berechnung der inneren Kisten (ohne Aufkleber): Wenn man den Rand entfernt, verringert sich jede Seite um 2 Kisten. Die Anzahl der inneren Kisten ist \((x - 2) \cdot (y - 2)\). 3. Differenzbildung für die Randkisten: \(x \cdot y - (x - 2) \cdot (y - 2)\). 4. Vereinfachung des Terms: \(xy - (xy - 2x - 2y + 4) = 2x + 2y - 4\). 5. Alternativer Weg: Zwei Reihen der Länge \(x\) und zwei Reihen der Länge \(y - 2\) (um Doppelzählungen zu vermeiden): \(2x + 2(y - 2) = 2x + 2y - 4\). 6. Einsetzen der Werte für Teilaufgabe b): \(x = 12\), \(y = 8\). 7. Rechnung: \(2 \cdot 12 + 2 \cdot 8 - 4 = 24 + 16 - 4 = 36\).

Antwort

a) Der Term lautet \(2x + 2y - 4\) (oder eine äquivalente Form wie \(2 \cdot (x + y - 2)\)). b) Für \(x = 12\) und \(y = 8\) werden \(36\) Aufkleber benötigt.
4222147
Ein quadratisches Werbeplakat mit der Seitenlänge \(s\) soll umgestaltet werden. Die neue Form soll ein Rechteck sein. Die Länge des Rechtecks wird gegenüber der ursprünglichen Seitenlänge \(s\) um \(10\,\%\) vergrößert. Die Breite des Rechtecks wird so gewählt, dass sie \(20\,\%\) kürzer ist als die ursprüngliche Seitenlänge \(s\). 1. Stelle Terme für die neue Länge \(l\) und die neue Breite \(b\) des Plakats in Abhängigkeit von \(s\) auf. 2. Ermittle einen vereinfachten Term für den Umfang \(U\) des neuen rechteckigen Plakats. 3. Vergleiche den Umfang des neuen Plakats mit dem Umfang des ursprünglichen Quadrats. Um wie viel Prozent hat sich der Umfang verändert?

Denkanstöße

- Wie lautet die allgemeine Formel für den Umfang eines Quadrats und eines Rechtecks? - Versuche zuerst, die neuen Seitenlängen als Vielfaches von \(s\) auszudrücken. - Was bedeutet eine Verringerung um \(20\,\%\) für den Faktor vor der Variablen? - Vergleiche am Ende den neuen Faktor vor \(s\) mit dem ursprünglichen Faktor beim Quadrat.

Lösung

1. Bestimmung der neuen Seitenlängen: \(l = 1{,}1s\) und \(b = 0{,}8s\). 2. Aufstellen und Vereinfachen des Umfangsterms: \(U = 2 \cdot (l + b) = 2 \cdot (1{,}1s + 0{,}8s) = 3{,}8s\). 3. Der ursprüngliche Umfang beträgt \(U_{\text{alt}} = 4s\). Die Differenz ist \(4s - 3{,}8s = 0{,}2s\). Damit beträgt die prozentuale Änderung \(\frac{0{,}2s}{4s} = 0{,}05 = 5\,\%\). Der Umfang hat sich um \(5\,\%\) verringert.

Antwort

1. \(l = 1{,}1s\); \(b = 0{,}8s\) 2. \(U = 3{,}8s\) 3. Der Umfang hat sich um \(5\,\%\) verringert.
4225507
Ein quadratisches Blumenbeet besteht aus einem \(s \times s\)-Raster gleich großer quadratischer Flächeneinheiten, wobei \(s\) eine positive ganze Zahl ist. Außen wird eine Reihe quadratischer Randsteine der Seitenlänge \(1\) gelegt, die genau eine Steinbreite umfasst. Zwei Schüler stellen unterschiedliche Terme für die Anzahl der benötigten Randsteine auf: Term 1: \(4 \cdot s + 4\) Term 2: \(4 \cdot (s + 1)\) a) Berechne die Anzahl der Steine für \(s=5\) mithilfe beider Terme. b) Überprüfe durch Termumformung, ob die beiden Terme äquivalent sind. c) Erkläre anhand der Anordnung, wie man auf den Term \(4 \cdot s + 4\) kommt. Welche Bedeutung haben die Zahlen im Term?

Denkanstöße

- Setze \(s=5\) in beide Terme ein. - Nutze zum Vergleichen das Distributivgesetz. - Zähle zuerst die Steine entlang der vier Seiten und anschließend die Ecken.

Lösung

1. Term 1 für \(s=5\): \(4\cdot5+4=24\). 2. Term 2 für \(s=5\): \(4\cdot(5+1)=24\). 3. Mit dem Distributivgesetz gilt \(4\cdot(s+1)=4\cdot s+4\). Die Terme sind äquivalent. 4. An jeder der vier Seiten liegen \(s\) Randsteine; dazu kommen die vier Ecksteine. Daher ergibt sich \(4\cdot s+4\).

Antwort

a) Beide Terme ergeben \(24\) Randsteine. b) Ja, denn \(4\cdot(s+1)=4\cdot s+4\). c) \(4\cdot s\) zählt die Steine an den vier Seiten, \(+4\) die vier Ecksteine.
4120757
Ein Bauzaun besteht aus einzelnen Zaunelementen mit einer Länge von \(3{,}50\,\text{m}\) und Verbindungspfosten, die jeweils \(12\,\text{cm}\) breit sind. Ein Zaunabschnitt beginnt und endet immer mit einem Pfosten. Zwischen zwei Pfosten wird jeweils genau ein Zaunelement montiert. a) Stelle eine Formel für die Gesamtlänge \(L\) (in Metern) eines Zauns aus \(n\) Zaunelementen auf. b) Ein Bauherr bestellt Material für einen \(47\,\text{m}\) langen Zaun. Wie viele Zaunelemente muss er mindestens kaufen, um diese Strecke (oder etwas mehr) abzudecken? c) Wie viele Pfosten müssen für die in Teil b) berechnete Anzahl an Zaunelementen bestellt werden? Begründe kurz den Zusammenhang zwischen der Anzahl der Elemente und der Pfosten.

Denkanstöße

- Achte auf die Einheiten: Rechne die Breite der Pfosten zuerst in Meter um. - Wenn ein Zaun mit einem Pfosten beginnt und endet, wie verhält sich dann die Anzahl der Pfosten zur Anzahl der Felder? - Was bedeutet „mindestens“ abdecken für dein Rechenergebnis?

Lösung

1. Formel aufstellen: Ein Zaun mit \(n\) Elementen benötigt \(n+1\) Pfosten. Die Breite der Pfosten in Metern ist \(0{,}12\,\text{m}\). Die Formel lautet \(L = n \cdot 3{,}50 + (n+1) \cdot 0{,}12\). Vereinfacht: \(L = 3{,}62n + 0{,}12\). 2. Berechnung für b): \(3{,}62n + 0{,}12 \ge 47\). 3. Umstellen: \(3{,}62n \ge 46{,}88\). 4. Division: \(n \ge 46{,}88 : 3{,}62 \approx 12{,}95\). Es müssen also mindestens 13 Zaunelemente gekauft werden. 5. Pfostenanzahl für c): Bei 13 Elementen werden \(13 + 1 = 14\) Pfosten benötigt. Begründung: Da der Zaun mit einem Pfosten beginnt und nach jedem der \(n\) Elemente ein Pfosten folgt, ist die Anzahl der Pfosten immer um 1 höher als die der Elemente.

Antwort

a) \(L = 3{,}50n + 0{,}12(n+1)\) oder \(L = 3{,}62n + 0{,}12\). b) Er muss mindestens 13 Zaunelemente kaufen. c) Es werden 14 Pfosten benötigt. Die Anzahl der Pfosten ist \(n+1\), da jedes Element einen Endpfosten hat und zusätzlich ein Startpfosten benötigt wird.
4125047
Ein großer Würfel mit einer Kantenlänge von \(k\) Einheiten, wobei \(k \ge 3\) eine natürliche Zahl ist, wird aus lauter kleinen Einheitswürfeln (Kantenlänge 1) zusammengebaut. Der gesamte große Würfel wird von außen rot angemalt. Danach wird er wieder in die kleinen Einheitswürfel zerlegt. a) Stelle einen Term auf, der die Anzahl der kleinen Würfel angibt, die im Inneren liegen und somit keine rote Farbe erhalten haben. b) Berechne diese Anzahl für einen Würfel mit der Kantenlänge \(k = 5\). c) Wie viele kleine Würfel haben mindestens eine rote Seite, wenn der Gesamtwürfel eine Kantenlänge von \(k = 10\) hat?

Denkanstöße

- Stell dir vor, du schälst die äußere Schicht des Würfels wie bei einer Zwiebel ab. Welche Form bleibt übrig? - Wie viele kleine Würfel werden an jeder Seite der Kante abgezogen, um zum inneren Teil zu gelangen? - Wie berechnet man das Volumen eines Würfels? - Um die Anzahl der bemalten Würfel zu finden, könnte es einfacher sein, die Gesamtzahl zu nehmen und etwas davon abzuziehen.

Lösung

1. Analyse der inneren Struktur: Der innere Kern, der nicht bemalt wurde, ist selbst ein Würfel. 2. Bestimmung der Kantenlänge des Kerns: Da an jeder der zwei Seiten einer Kante ein bemalter Würfel liegt, ist die Kantenlänge des Kerns \(k - 2\). 3. Volumen des Kerns (unbemalte Würfel): \(V_{\text{innen}} = (k - 2)^3\). Dies ist der gesuchte Term für Teil a). 4. Berechnung für \(k = 5\): \((5 - 2)^3 = 3^3 = 27\). 5. Berechnung der bemalten Würfel für \(k = 10\): Gesamtzahl der Würfel minus unbemalte Würfel. 6. Gesamtzahl bei \(k = 10\): \(10^3 = 1000\). 7. Unbemalte Würfel bei \(k = 10\): \((10 - 2)^3 = 8^3 = 512\). 8. Ergebnis für Teil c): \(1000 - 512 = 488\).

Antwort

a) Der Term lautet \((k - 2)^3\). b) Für \(k = 5\) sind \(27\) kleine Würfel unbemalt. c) Bei \(k = 10\) haben \(488\) kleine Würfel mindestens eine rote Seite.
4125137
Aus Streichhölzern werden Quadrate in einer Reihe gelegt. Für das erste Quadrat benötigt man 4 Hölzchen. Für jedes weitere Quadrat, das man rechts anfügt, braucht man nur 3 zusätzliche Hölzchen, da eine Seite bereits vorhanden ist. a) Stelle einen Term auf, der die Anzahl der benötigten Streichhölzer \(S\) für eine Reihe aus \(n\) Quadraten angibt. b) Wie viele Streichhölzer werden für eine Reihe aus 15 Quadraten benötigt? c) Jemand hat eine solche Reihe aus Quadraten gelegt und dafür insgesamt 76 Hölzchen verbraucht. Aus wie vielen Quadraten besteht diese Reihe?

Denkanstöße

- Überlege dir, wie viele Hölzchen bei jedem neuen Quadrat dazukommen. - Gibt es ein Hölzchen, das nur einmal ganz am Anfang (oder Ende) gebraucht wird? - Probiere es erst mit kleinen Zahlen aus (z. B. für 2 oder 3 Quadrate) und schaue, ob dein Term stimmt. - Um die Anzahl der Quadrate zu finden, kannst du rückwärts rechnen: Erst das „Extra-Hölzchen“ abziehen und dann teilen.

Lösung

1. Analyse des Musters: Das erste Quadrat hat 4 Hölzer. Jedes der restlichen \(n-1\) Quadrate fügt 3 Hölzer hinzu. Alternativ: Jedes Quadrat hat 3 „eigene“ Hölzer, und eines kommt am Anfang für den Abschluss dazu. 2. Aufstellen des Terms: \(S = 3 \cdot n + 1\) (oder \(S = 4 + 3 \cdot (n-1)\)). 3. Berechnung für \(n = 15\): \(S = 3 \cdot 15 + 1 = 45 + 1 = 46\). 4. Berechnung der Anzahl der Quadrate für \(S = 76\): \(76 = 3 \cdot n + 1 \implies 75 = 3 \cdot n \implies n = 25\).

Antwort

a) Der Term lautet \(S = 3n + 1\). b) Für 15 Quadrate benötigt man 46 Streichhölzer. c) Die Reihe besteht aus 25 Quadraten.

Alle Aufgaben dürfen für Schule und Nachhilfe (auch im Rahmen bezahlter Nachhilfe) kostenlos genutzt, kopiert und ausgedruckt werden. Nicht gestattet sind kommerzielle Bearbeitungen sowie die Veröffentlichung oder Weiterverbreitung im Internet.

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