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- Kannst du die vier Zahlen mithilfe einer Variablen ausdrücken? - Was passiert, wenn du die Terme zusammenfasst? - Erinnere dich daran, wann eine Summe durch eine Zahl teilbar ist. - Reicht ein einziges Gegenbeispiel aus, um eine allgemeine Behauptung zu widerlegen?

1. Überprüfung mit Beispielen: \(1+2+3+4 = 10\) (nicht durch 4 teilbar) und \(5+6+7+8 = 26\) (nicht durch 4 teilbar). 2. Aufstellen des Terms: Die Zahlen lauten \(n\), \(n+1\), \(n+2\) und \(n+3\). Die Summe ist \(S = n + (n+1) + (n+2) + (n+3)\). 3. Vereinfachung des Terms: \(S = 4n + 6\). 4. Analyse der Teilbarkeit: Der Teil \(4n\) ist für jede natürliche Zahl \(n\) durch 4 teilbar. Da die Zahl 6 jedoch nicht durch 4 teilbar ist (Rest 2), ist die Gesamtsumme \(4n + 6\) niemals ohne Rest durch 4 teilbar.

a) Beispiele wie \(1+2+3+4=10\) zeigen, dass die Summe nicht durch 4 teilbar ist. b) Der Term lautet \(4n + 6\). c) Da \(4n\) durch 4 teilbar ist, 6 aber einen Rest von 2 bei der Division durch 4 lässt, ist die Summe \(4n + 6\) nie durch 4 teilbar.

- Wie kannst du eine Zahl und ihre unmittelbaren Nachfolger mit einer Variablen ausdrücken? - Versuche, die gesamte Summe in einem einzigen Term zusammenzufassen. - Woran erkennt man an der Struktur eines Terms, dass das Ergebnis immer durch 3 teilbar ist? - Kannst du den finalen Term so umformen, dass eine 3 als Faktor vor einer Klammer steht?

1. Festlegen der Variablen: Sei \(n\) die erste der drei Zahlen. 2. Bestimmung der weiteren Zahlen: Die darauf folgenden Zahlen sind \(n + 1\) und \(n + 2\). 3. Aufstellen der Summe: \(S = n + (n + 1) + (n + 2)\). 4. Vereinfachen des Terms: Durch Zusammenfassen der Variablen und der Konstanten ergibt sich \(S = 3n + 3\). 5. Ausklammern des gemeinsamen Faktors: Der Term kann als \(S = 3 \cdot (n + 1)\) geschrieben werden. 6. Interpretation: Da der Term ein Produkt mit dem Faktor 3 ist, stellt er für jede ganze Zahl \(n\) ein Vielfaches von 3 dar und ist somit stets durch 3 teilbar.

Bezeichnet man die erste Zahl mit \(n\), lautet die Summe \(n + (n + 1) + (n + 2) = 3n + 3\). Dies lässt sich zu \(3 \cdot (n + 1)\) faktorisieren. Da dieser Ausdruck ein Vielfaches von 3 ist, ist die Summe immer durch 3 teilbar.

- Übersetze die Rechenschritte nacheinander in die Sprache der Mathematik. - Was passiert, wenn du von fünf Portionen einer Unbekannten eine Portion wegnimmst? - Schau dir die Zahlen im vereinfachten Term genau an. Haben sie einen gemeinsamen Teiler? - Erinnere dich an das Distributivgesetz, um den Term am Ende umzuformen.

1. Aufstellen des Terms gemäß der Beschreibung: \(T = (5 \cdot x - x) + 12\). 2. Zusammenfassen der Glieder mit \(x\): \(5x - x = 4x\), woraus der Term \(T = 4x + 12\) folgt. 3. Ausklammern des gemeinsamen Faktors 4: \(T = 4 \cdot (x + 3)\). 4. Schlussfolgerung: Da der Term als Produkt mit dem Faktor 4 dargestellt werden kann, ist das Ergebnis für jede ganze Zahl \(x\) ein Vielfaches von 4 und damit durch 4 teilbar.

Der Term lautet \(5x - x + 12 = 4x + 12\). Durch Ausklammern erhält man \(4 \cdot (x + 3)\). Da 4 ein Faktor des Ergebnisses ist, ist das Ergebnis für jede ganze Zahl \(x\) durch 4 teilbar.

- Überlege dir zuerst, wie sich die Anzahl im mittleren Stapel verändert: Kommt etwas dazu oder wird etwas weggenommen? - Kannst du die Veränderungen nacheinander als Rechenschritte aufschreiben? - Wenn du am Ende das Ergebnis kennst, kannst du die Schritte einfach rückwärts rechnen.

1. Nach der ersten Anweisung erhöht sich die Anzahl im mittleren Stapel um \(6\). Der Term lautet: \(z + 6\). 2. Nach der zweiten Anweisung verringert sich die Anzahl im mittleren Stapel um \(4\). Der neue Term lautet: \(z + 6 - 4 = z + 2\). 3. Um die Anfangszahl \(z\) zu finden, wird die Gleichung \(z + 2 = 15\) aufgestellt. 4. Subtraktion von \(2\) auf beiden Seiten ergibt \(z = 13\).

a) Der Term lautet \(z + 2\). b) Am Anfang lagen \(13\) Streichhölzer im mittleren Stapel.

- Kannst du die Anweisungen Schritt für Schritt in die Sprache der Mathematik übersetzen? - Was passiert, wenn du Klammern auflöst? - Hast du beachtet, dass sich die Multiplikation auf das gesamte vorherige Ergebnis bezieht?

1. Beispiel mit \(x = 2\): \(2 + 5 = 7\), \(7 \cdot 3 = 21\), \(21 - 15 = 6\), \(6 - 2 \cdot 2 = 2\). 2. Beispiel mit \(x = -4\): \(-4 + 5 = 1\), \(1 \cdot 3 = 3\), \(3 - 15 = -12\), \(-12 - 2 \cdot (-4) = -4\). 3. Allgemein: Startzahl \(x\); nach Schritt 2 \(x + 5\); nach Schritt 3 \(3(x + 5) = 3x + 15\); nach Schritt 4 \(3x\); nach Schritt 5 \(3x - 2x = x\). Das Endergebnis entspricht immer der ursprünglichen Zahl.

a) Zum Beispiel ergibt der Trick für \(x = 2\) wieder \(2\) und für \(x = -4\) wieder \(-4\). b) Die schrittweisen Terme sind \(x\), \(x + 5\), \(3x + 15\), \(3x\) und \(x\). Das Endergebnis ist stets die Startzahl.

- Was weißt du über Zahlen, die mit \(2\) multipliziert werden? - Welche kleinste positive Zahl ist sowohl durch \(3\) als auch durch \(4\) teilbar? - Wie lassen sich alle Vielfachen einer Zahl mit einer Variablen beschreiben?

1. Das Produkt \(2 \cdot n\) ist für jede natürliche Zahl \(n\) gerade. Addiert man \(1\), erhält man die unmittelbar folgende ungerade Zahl. 2. Zahlen, die durch \(3\) und \(4\) teilbar sind, sind Vielfache des kleinsten gemeinsamen Vielfachen. Da \(\operatorname{kgV}(3;4)=12\), beschreibt \(12n\) für \(n\in\mathbb{N}\) alle positiven gemeinsamen Vielfachen.

a) \(2n\) ist immer gerade; daher ist \(2n+1\) ungerade. b) \(12n\) für \(n\in\mathbb{N}\).

- Wie kannst du eine zweistellige Zahl mithilfe ihrer Zehner- und Einerziffer mathematisch aufschreiben? - Was bedeutet „Quersumme“ genau? - Versuche, einen Term für die ganze Rechnung aufzustellen. - Kannst du den Term so vereinfachen, dass man die Teilbarkeit direkt erkennt?

1. Darstellung einer zweistelligen Zahl mit den Ziffern \(a\) (Zehnerstelle) und \(b\) (Einerstelle), wobei \(a \in \{1, \dots, 9\}\) und \(b \in \{0, \dots, 9\}\) gilt, als Term: \(10 \cdot a + b\). 2. Aufstellen des Terms für die Quersumme: \(a + b\). 3. Bildung der Differenz: \((10 \cdot a + b) - (a + b)\). 4. Vereinfachung des Terms durch Auflösen der Klammer und Zusammenfassen: \(10 \cdot a + b - a - b = 9 \cdot a\). 5. Interpretation des Ergebnisses: Da \(9 \cdot a\) ein Vielfaches von 9 ist, ist das Ergebnis für jede Ziffer \(a\) stets durch 9 teilbar.

Bezeichnet man die Zehnerziffer mit \(a \in \{1, \dots, 9\}\) und die Einerziffer mit \(b \in \{0, \dots, 9\}\), so lautet die Zahl \(10a + b\) und ihre Quersumme \(a + b\). Die Differenz ist \((10a + b) - (a + b) = 9a\). Da \(9a\) ein Vielfaches von 9 ist, ist das Ergebnis immer durch 9 teilbar.

- Wie kannst du die Klammern in deinem Summenterm weglassen? - Was passiert mit den Zahlen \(-1\) und \(+1\), wenn du sie addierst? - Schau dir das Ergebnis an: Wie oft kommt die Variable \(n\) vor? - Setze die gegebenen Werte für \(n\) erst in die drei einzelnen Zahlen und dann in deine Kurzform ein.

1. Aufstellen des Terms für die Summe: \((n - 1) + n + (n + 1)\). Durch Zusammenfassen der Variablen und der Zahlen ergibt sich: \(n + n + n - 1 + 1 = 3n\). 2. Der vereinfachte Term \(3n\) zeigt, dass die Summe der drei Zahlen mit jeweils dem Abstand \(1\) immer genau das Dreifache der mittleren Zahl ist. 3. Überprüfung für \(n = 15\): Die Zahlen sind \(14, 15, 16\). Die Summe ist \(14 + 15 + 16 = 45\). Die Formel ergibt \(3 \cdot 15 = 45\). 4. Überprüfung für \(n = 2{,}5\): Die Zahlen sind \(1{,}5; 2{,}5; 3{,}5\). Die Summe ist \(1{,}5 + 2{,}5 + 3{,}5 = 7{,}5\). Die Formel ergibt \(3 \cdot 2{,}5 = 7{,}5\).

1. Der vereinfachte Term lautet \(3n\). 2. Die Summe ist das Dreifache der mittleren Zahl. 3. Für \(n = 15\) ergibt sich jeweils \(45\); für \(n = 2{,}5\) ergibt sich jeweils \(7{,}5\).

- Wie gelangst du von einer natürlichen Zahl zur nächsten oder zur vorherigen? - Überlege dir ein Beispiel mit festen Zahlen: Wenn die mittlere Zahl 10 ist, wie lauten dann die anderen vier Zahlen? - Was passiert mit den Zahlenwerten \(-2, -1, +1, +2\), wenn du sie alle addierst?

1. Ausgehend von der mittleren Zahl \(m\) werden die zwei vorhergehenden und die zwei nachfolgenden natürlichen Zahlen bestimmt: \(m-2\), \(m-1\), \(m\), \(m+1\) und \(m+2\). 2. Die Summe dieser Zahlen wird als Term aufgestellt: \((m-2) + (m-1) + m + (m+1) + (m+2)\). 3. Durch Zusammenfassen der Variablen \(m + m + m + m + m = 5m\) und der konstanten Werte \(-2 - 1 + 0 + 1 + 2 = 0\) ergibt sich als vereinfachte Summe der Term \(5m\).

a) Die Zahlen lauten \(m-2\), \(m-1\), \(m\), \(m+1\) und \(m+2\). b) Die Summe ist \(5m\).

- Führe die Schritte nacheinander mit einer Beispielzahl durch. - Achte beim Aufstellen des Terms besonders auf die Klammern, wenn eine Summe multipliziert wird. - Welches Gesetz hilft dir dabei, Klammern aufzulösen? - Was passiert mit den Zahlen im Term, wenn du ihn vereinfachst?

1. Berechnung für die Startzahl \(7\): \((7 + 15) \cdot 2 - 30 - 7 = 22 \cdot 2 - 30 - 7 = 44 - 30 - 7 = 7\). 2. Aufstellen des Terms für eine beliebige Zahl \(x\): \(2 \cdot (x + 15) - 30 - x\). 3. Anwendung des Distributivgesetzes: \(2x + 30 - 30 - x\). 4. Zusammenfassen der Glieder: \(2x - x + 30 - 30 = x\). 5. Interpretation: Da der vereinfachte Term genau der Startzahl \(x\) entspricht, ist das Endergebnis des Tricks immer identisch mit der Zahl, die man sich zu Beginn gedacht hat.

a) Das Ergebnis ist \(7\). b) Der vereinfachte Term ist \(x\). c) Man erhält am Ende immer genau die Zahl zurück, die man sich am Anfang gedacht hat.

- Probier das Rätsel zuerst mit der konkreten Zahl aus Teil a) aus. - Nutze eine Variable wie \(x\) für die allgemeine Beschreibung. - Fasse im Zähler zuerst alle Teile zusammen, die ein \(x\) enthalten. - Überlege dir bei Teil c), was der Term \(x + \dots\) für eine Bedeutung hat, wenn \(x\) die Startzahl ist.

1. Berechnung für \(x = 4\): \((4 \cdot 3 + 15 - 4) : 2 = (12 + 15 - 4) : 2 = 23 : 2 = 11{,}5\) 2. Aufstellen des allgemeinen Terms mit der Variablen \(x\): \((3x + 15 - x) : 2\) 3. Vereinfachung des Zählers (Zusammenfassen von \(x\)-Gliedern): \((2x + 15) : 2\) 4. Division durch 2 führt auf den Term: \(x + 7{,}5\) 5. Interpretation: Das Endergebnis ist stets um genau \(7{,}5\) größer als die ursprünglich gedachte Zahl.

a) Wenn man mit 4 startet, erhält man \(11{,}5\). b) Der Term lautet \((3x + 15 - x) : 2\) und lässt sich zu \(x + 7{,}5\) vereinfachen. c) Das Ergebnis ist immer um \(7{,}5\) größer als die ursprünglich gewählte Zahl.

- Was passiert, wenn du deine gedachte Zahl \(x\) nennst? - Versuche, die Anweisungen nacheinander als Rechenausdruck aufzuschreiben. - Kannst du Klammern auflösen, um den Ausdruck zu vereinfachen? - Welche Zahl steht am Ende als Faktor vor deinem \(x\)?

1. Aufstellen des Terms für die gedachte Zahl \(x\): \(5 \cdot (4x + 12) - 60\). 2. Anwendung des Distributivgesetzes zum Auflösen der Klammer: \(5 \cdot 4x + 5 \cdot 12 - 60 = 20x + 60 - 60\). 3. Zusammenfassen des Terms: \(20x\). 4. Da das Endergebnis immer das 20-Fache der gedachten Zahl ist, muss man das Ergebnis durch 20 teilen, um die ursprüngliche Zahl zu erhalten.

Man muss das Endergebnis durch 20 teilen. Der zugehörige Term lautet \(5 \cdot (4x + 12) - 60\), was vereinfacht \(20x\) ergibt.

- Wie kann man eine gerade Zahl allgemein mit einer Variablen darstellen? - Wenn du die erste gerade Zahl hast, wie kommst du zur nächsten geraden Zahl? - Versuche, die Summe so umzuformen, dass du einen Faktor 6 ausklammern kannst.

1. Darstellung gerader Zahlen: Eine gerade Zahl lässt sich als \(2n\) schreiben, wobei \(n\) eine natürliche Zahl ist. 2. Terme für drei aufeinanderfolgende gerade Zahlen: Diese lauten \(2n\), \(2n+2\) und \(2n+4\). 3. Summe bilden: \(S = 2n + (2n+2) + (2n+4)\). 4. Zusammenfassen des Terms: \(S = 6n + 6\). 5. Ausklammern: \(S = 6 \cdot (n + 1)\). 6. Schlussfolgerung: Da die Summe als Produkt mit dem Faktor 6 dargestellt werden kann, ist sie für jede natürliche Zahl \(n\) durch 6 teilbar.

Die drei Zahlen können als \(2n\), \(2n+2\) und \(2n+4\) geschrieben werden. Ihre Summe ist \(6n + 6\), was dasselbe ist wie \(6 \cdot (n+1)\). Da dieser Term ein Vielfaches von 6 ist, ist die Summe immer durch 6 teilbar.

- Stelle zuerst einen Term auf, der genau beschreibt, was mit der Zahl \(x\) nacheinander passiert. - Kannst du den Bruch oder die Division vereinfachen, indem du jeden Teil der Summe einzeln teilst? - Wenn du weißt, dass das Ergebnis immer um einen bestimmten Betrag größer ist als die gedachte Zahl, wie kommst du dann zurück zur Startzahl?

1. Aufstellen des Terms für das Endergebnis: \((2 \cdot x + 10) : 2\). 2. Vereinfachen des Terms durch Division beider Summanden: \(\frac{2x}{2} + \frac{10}{2} = x + 5\). 3. Berechnung der Startzahl für das Ergebnis 42: Lösen der Gleichung \(x + 5 = 42\), woraus \(x = 37\) folgt. 4. Ableitung der Rechenregel: Da das Endergebnis immer \(x + 5\) ist, muss der Magier lediglich 5 vom genannten Ergebnis abziehen, um die Startzahl \(x\) zu erhalten.

a) Der Term lautet \((2x + 10) : 2\). Vereinfacht ergibt das \(x + 5\). b) Die Startzahl war 37. c) Die Rechenregel lautet: Subtrahiere 5 vom genannten Endergebnis.

- Bestimme für jeden Schritt einzeln, wie viele Hölzer in den jeweiligen Stapeln liegen. - Notiere dir die Anzahl im linken Stapel nach dem ersten Schritt als feste Zahl. - Achte beim Aufstellen des Terms in Schritt 3 darauf, was genau vom mittleren Stapel abgezogen wird.

1. Anzahl im linken Stapel nach Schritt 1: \(12 - 5 = 7\). 2. Anzahl im mittleren Stapel nach Schritt 1: \(z + 5\). 3. Anzahl im mittleren Stapel nach Schritt 2: \(z + 5 + 3 = z + 8\). 4. In Schritt 3 werden so viele Streichhölzer aus der Mitte entfernt, wie links liegen (also \(7\)). Der Term lautet: \((z + 8) - 7 = z + 1\). 5. Für \(z = 10\) ergibt sich: \(10 + 1 = 11\).

a) Es liegen noch \(7\) Streichhölzer im linken Stapel. b) Der vereinfachte Term lautet \(z + 1\). c) Es liegen am Ende \(11\) Streichhölzer in der Mitte.

- Wenn \(n\) die erste Zahl ist, wie heißen dann die beiden Zahlen, die direkt danach kommen? - Addiere diese drei Ausdrücke und fasse alle gleichen Glieder zusammen. - Was muss bei einem Term gelten, damit man sicher sagen kann, dass das Ergebnis immer durch 3 teilbar ist? - Kannst du die Zahl 3 aus deinem vereinfachten Term ausklammern?

1. Teil a) Beispielrechnung: Zum Beispiel \(5 + 6 + 7 = 18\) (durch 3 teilbar) und \(20 + 21 + 22 = 63\) (durch 3 teilbar). 2. Teil b) Term aufstellen: Die drei Zahlen sind \(n\), \(n+1\) und \(n+2\). Die Summe lautet \(S = n + (n+1) + (n+2)\). 3. Teil c) Vereinfachung: \(S = 3n + 3\). 4. Faktorisieren: \(S = 3 \cdot (n + 1)\). 5. Schlussfolgerung: Da die Summe als Produkt aus 3 und einer ganzen Zahl \((n+1)\) geschrieben werden kann, ist sie für jede beliebige ganze Zahl \(n\) durch 3 teilbar.

a) Individuelle Beispiele, z. B. \(1+2+3=6\) (durch 3 teilbar). b) Der Term lautet \(n + (n+1) + (n+2)\). c) Vereinfacht ergibt sich \(3n + 3\) bzw. \(3 \cdot (n+1)\). Da der Faktor 3 enthalten ist, ist die Summe immer durch 3 teilbar.

- Wie bezeichnest du vier Zahlen, die direkt hintereinander folgen, mit einer Variablen? - Woran erkennt man an einem Term sofort, dass das Ergebnis eine gerade Zahl sein muss? - Versuche, den Term so umzuformen, dass du einen Teil durch 4 teilen kannst und schaue, was übrig bleibt. - Probier es doch mal mit ein paar Beispielzahlen aus und schaue, ob dir beim Rest etwas auffällt.

1. Darstellung der vier Zahlen als \(n\), \(n+1\), \(n+2\) und \(n+3\). 2. Summenbildung und Vereinfachung: \(n + (n+1) + (n+2) + (n+3) = 4n + 6\). 3. Nachweis der Geradheit: Ausklammern von 2 ergibt \(2 \cdot (2n + 3)\). Da 2 ein Faktor ist, ist das Ergebnis immer gerade. 4. Untersuchung der Teilbarkeit durch 4: Der Term \(4n + 6\) kann geschrieben werden als \(4n + 4 + 2\), was \(4 \cdot (n+1) + 2\) entspricht. 5. Schlussfolgerung: Bei Division durch 4 bleibt immer der Rest 2, weshalb die Summe nie durch 4 teilbar ist.

1. Der vereinfachte Term lautet \(4n + 6\). 2. Die Summe ist gerade, da sie als \(2 \cdot (2n + 3)\) geschrieben werden kann. 3. Die Summe ist nicht durch 4 teilbar, da \(4n + 6 = 4 \cdot (n+1) + 2\) immer den Rest 2 lässt.

- Wie schreibt man eine dreistellige Zahl mit Hunderter-, Zehner- und Einerziffer als Summe auf? - Was passiert mit der mittleren Ziffer, wenn du die Zahl umdrehst? - Stelle einen Term für die Subtraktion der beiden Zahlen auf. - Kannst du im vereinfachten Term eine Zahl ausklammern?

1. Darstellung der ursprünglichen dreistelligen Zahl mit den Ziffern \(a\), \(b\) und \(c\), wobei \(a\neq0\) und \(c\neq0\): \(100 \cdot a + 10 \cdot b + c\). 2. Darstellung der Zahl mit umgekehrter Ziffernfolge: \(100 \cdot c + 10 \cdot b + a\). 3. Aufstellen des Terms für die Differenz: \((100 \cdot a + 10 \cdot b + c) - (100 \cdot c + 10 \cdot b + a)\). 4. Vereinfachung des Terms: \(100 \cdot a + 10 \cdot b + c - 100 \cdot c - 10 \cdot b - a = 99 \cdot a - 99 \cdot c\). 5. Ausklammern des gemeinsamen Faktors: \(99 \cdot (a - c)\). 6. Schlussfolgerung: Da der Term den Faktor 99 enthält, ist die Differenz immer ein Vielfaches von 99.

Eine dreistellige Zahl lässt sich als \(100a + 10b + c\) schreiben, ihre Umkehrung als \(100c + 10b + a\). Die Differenz beträgt \((100a + 10b + c) - (100c + 10b + a) = 99a - 99c = 99 \cdot (a - c)\). Da das Ergebnis ein Produkt mit dem Faktor 99 ist, ist es stets ein Vielfaches von 99.

- Stell dir vor, es geht um drei verschiedene Mengen oder Personen. Was könnte \(x\) sein? - Was bedeutet es im echten Leben, wenn von einer Menge 2 abgezogen werden oder eine Menge verdreifacht wird? - Versuche zuerst, alle \(x\) auf der linken Seite der Gleichung zusammenzuzählen, bevor du mit dem Rechnen beginnst. - Vergiss nicht, am Ende zu prüfen, ob deine drei Ergebnisse zusammen wirklich 43 ergeben.

1. Beispielhafte Sachsituation: In drei Kisten liegen insgesamt 43 Äpfel. In der ersten Kiste sind \(x\) Äpfel, in der zweiten Kiste sind 2 Äpfel weniger als in der ersten (\(x - 2\)) und in der dritten Kiste liegen dreimal so viele Äpfel wie in der ersten (\(3x\)). 2. Zusammenfassen der Gleichung: \(x + x - 2 + 3x = 43\) ergibt \(5x - 2 = 43\). 3. Lösen der Gleichung: Addition von 2 ergibt \(5x = 45\). Division durch 5 liefert \(x = 9\). 4. Berechnung der Teilwerte: Der erste Wert ist \(x = 9\), der zweite Wert ist \(9 - 2 = 7\) und der dritte Wert ist \(3 \cdot 9 = 27\). 5. Überprüfung: \(9 + 7 + 27 = 43\).

a) Individuelle Lösung (z. B. drei Kisten mit \(x\), \(x - 2\) und \(3x\) Äpfeln, die zusammen 43 Äpfel enthalten). b) \(x = 9\). Die drei Werte sind 9, 7 und 27.

- Schreibe zuerst alle sechs Zahlen untereinander auf, um den Überblick zu behalten. - Achte beim Subtrahieren der Summen darauf, Klammern zu setzen, damit sich die Vorzeichen innerhalb der Summe korrekt ändern. - Überlege am Ende, ob das Ergebnis noch von \(n\) abhängt oder für jedes \(n\) gleich bleibt.

1. Aufstellen der sechs Zahlen ausgehend von \(n+5\): \(n+5, n+6, n+7, n+8, n+9, n+10\). 2. Berechnung der Summe der drei kleinsten Zahlen: \((n+5) + (n+6) + (n+7) = 3n + 18\). 3. Berechnung der Summe der drei größten Zahlen: \((n+8) + (n+9) + (n+10) = 3n + 27\). 4. Berechnung der Differenz: \((3n + 27) - (3n + 18) = 3n + 27 - 3n - 18 = 9\). 5. Feststellung: Die Differenz ist eine konstante Zahl und unabhängig von der Variablen \(n\).

a) Die Zahlen sind \(n+5, n+6, n+7, n+8, n+9, n+10\). b) Summe der drei kleinsten: \(3n+18\); Summe der drei größten: \(3n+27\). c) Die Differenz ist \(9\). Das Ergebnis ist unabhängig von \(n\).

- Wie kannst du eine zweistellige Zahl mithilfe ihrer Zehner- und Einerziffer mathematisch ausdrücken? - Welche Beziehung besteht laut Text zwischen den beiden Ziffern? - Kannst du eine Ungleichungskette aufstellen, die den Wert der Zahl einschränkt? - Welche Werte darf eine Ziffer in einer Zahl grundsätzlich annehmen?

1. Darstellung der zweistelligen Zahl als \(10t + u\), wobei \(t\) die Zehnerziffer und \(u\) die Einerziffer ist. 2. Anwendung der Bedingung für die Ziffern: \(u = t + 4\). 3. Aufstellen der Ungleichung basierend auf dem Wertebereich: \(20 < 10t + (t + 4) < 60\). 4. Vereinfachung der Ungleichung: \(20 < 11t + 4 < 60\). 5. Isolieren von \(t\): Subtraktion von 4 ergibt \(16 < 11t < 56\). 6. Division durch 11 liefert den Bereich für \(t\): \(\frac{16}{11} < t < \frac{56}{11}\), also etwa \(1{,}45 < t < 5{,}09\). 7. Da \(t\) eine Ziffer (ganze Zahl von 1 bis 9) sein muss, kommen für \(t\) die Werte 2, 3, 4 und 5 infrage. 8. Berechnung der zugehörigen Einerziffern \(u = t + 4\): Für \(t=2\) ist \(u=6\), für \(t=3\) ist \(u=7\), für \(t=4\) ist \(u=8\), für \(t=5\) ist \(u=9\). 9. Die gesuchten Zahlen sind demnach 26, 37, 48 und 59.

Die Zahlen sind 26, 37, 48 und 59.

- Was bedeutet es mathematisch, wenn zwei Rechenwege „das Gleiche“ ergeben sollen? - Achte beim Aufstellen der Terme darauf, wann du Klammern setzen musst. - Wie rechnet man eine Dezimalzahl wie \(2{,}5\) mal eine ganze Zahl? - Vergleiche die beiden Endergebnisse, nachdem du alle Klammern aufgelöst hast.

1. Aufstellen des Terms für Lukas’ Rechenweg: - Addiere 4 zur Zahl \(n\): \(n + 4\) - Multipliziere das Ergebnis mit 5: \(5 \cdot (n + 4)\) - Vereinfachen durch Ausmultiplizieren: \(5 \cdot n + 5 \cdot 4 = 5n + 20\) 2. Aufstellen des Terms für Sophies Rechenweg: - Verdopple die Zahl \(n\): \(2n\) - Addiere 8: \(2n + 8\) - Multipliziere das Ergebnis mit \(2{,}5\): \(2{,}5 \cdot (2n + 8)\) - Vereinfachen durch Ausmultiplizieren: \(2{,}5 \cdot 2n + 2{,}5 \cdot 8 = 5n + 20\) 3. Vergleich: Beide Terme ergeben nach der Vereinfachung \(5n + 20\). 4. Schlussfolgerung: Beide Wege führen immer zum gleichen Ergebnis.

Ja, beide Wege führen immer zum gleichen Ergebnis. Lukas’ Term: \(5 \cdot (n + 4) = 5n + 20\). Sophies Term: \(2{,}5 \cdot (2n + 8) = 5n + 20\). Da beide Terme zu \(5n + 20\) vereinfacht werden können, sind sie äquivalent.

- Stelle für den ersten Teil zuerst einen Term mit der Variablen \(x\) auf. - Schau dir im vereinfachten Term an, warum das Ergebnis nicht von \(x\) abhängt. - Für den zweiten Teil: Was stört dich am Term \(2x + 10\), wenn du eigentlich nur \(x\) haben möchtest? - Wie kannst du Teile eines Terms „neutralisieren“, damit genau das gewünschte Ziel übrig bleibt?

1. Teil a: Aufstellen des Terms für die Behauptung: \(2 \cdot (x + 5) - 2x\). 2. Vereinfachung durch Ausmultiplizieren: \(2x + 10 - 2x\). 3. Zusammenfassen: \(2x - 2x + 10 = 10\). Die Behauptung ist korrekt, da \(x\) wegfällt und 10 übrig bleibt. 4. Teil b: Ziel ist das Ergebnis \(x\). Nach dem Verdoppeln hat man den Wert \(2x + 10\). 5. Um von \(2x + 10\) auf \(x\) zu kommen, muss man \(x\) subtrahieren und 10 subtrahieren. 6. Ein möglicher geänderter Rechenweg wäre: „Subtrahiere 10 vom Ergebnis und ziehe dann die gedachte Zahl ab.“ (Oder: „Subtrahiere die gedachte Zahl und ziehe dann 10 ab.“)

a) Der Term \(2 \cdot (x + 5) - 2x\) vereinfacht sich zu \(2x + 10 - 2x = 10\). Die Behauptung stimmt. b) Mögliche Änderung: Nach dem Verdoppeln (Ergebnis \(2x+10\)) subtrahiert man die Zahl 10 und anschließend die gedachte Zahl \(x\). Dann gilt: \(2x + 10 - 10 - x = x\).

- Erinnere dich daran, wie man den Wert einer Zahl im Zehnersystem zerlegt (z. B. \(325 = 3 \cdot 100 + \dots\)). - Achte beim Abziehen der Quersumme darauf, dass sich das Vorzeichen für jede einzelne Ziffer in der Summe ändert. - Schau dir die Zahlen vor den Variablen im vereinfachten Term genau an. Gibt es einen gemeinsamen Teiler?

1. Der Term für den Wert der dreistelligen Zahl ist \(100h + 10z + e\). Die Quersumme wird durch \(h + z + e\) beschrieben. 2. Subtraktion der Quersumme vom Zahlenwert: \((100h + 10z + e) - (h + z + e)\). 3. Auflösen der Klammer und Zusammenfassen: \(100h - h + 10z - z + e - e = 99h + 9z\). 4. Ausklammern der 9 führt zu \(9 \cdot (11h + z)\). 5. Da der Term als Produkt mit dem Faktor 9 dargestellt werden kann (\(9 \cdot (11h + z)\)), ist das Ergebnis immer durch 9 teilbar.

a) Wert: \(100h + 10z + e\); Quersumme: \(h + z + e\) b) \(99h + 9z\) c) Das Ergebnis ist immer durch 9 und damit auch durch 3 teilbar, da der Term zu \(9 \cdot (11h + z)\) faktorisiert werden kann.

- Wenn du in der Hundertertafel ein Feld nach rechts oder links gehst, wie ändert sich der Wert? - Wie viel musst du addieren oder subtrahieren, um in die Zeile direkt darüber oder darunter zu gelangen? - Stelle einen Term für alle fünf Felder des Kreuzes auf und addiere sie.

1. Bestimmung der Nachbarzahlen in Abhängigkeit von \(x\): - Linker Nachbar: \(x - 1\) - Rechter Nachbar: \(x + 1\) - Oberer Nachbar (eine Zeile darüber): \(x - 10\) - Unterer Nachbar (eine Zeile darunter): \(x + 10\) 2. Aufstellen der Summe aller fünf Zahlen: \(S = x + (x - 1) + (x + 1) + (x - 10) + (x + 10)\). 3. Vereinfachen des Terms: - Die Konstanten heben sich paarweise auf: \(-1 + 1 = 0\) und \(-10 + 10 = 0\). - Es bleibt: \(S = x + x + x + x + x = 5x\). 4. Ergebnis: Die Summe \(5x\) entspricht genau dem Fünffachen der gewählten mittleren Zahl \(x\).

Die fünf Zahlen sind \(x-10\), \(x-1\), \(x\), \(x+1\) und \(x+10\). Die Summe dieser Terme ist \(x-10 + x-1 + x + x+1 + x+10 = 5x\). Somit ist die Summe immer das Fünffache der mittleren Zahl.

- Was weißt du über die Summe aller Streichhölzer vor und nach dem Umverteilen? - Versuche, die Information „links und rechts zusammen sind es 15“ als Gleichung mit den ursprünglichen Anzahlen \(L\) und \(R\) zu schreiben. - Wie hängen \(L + R\) und \(M\) mit der Gesamtzahl \(40\) zusammen?

1. Sei \(S = 40\) die Gesamtzahl der Streichhölzer. Es gilt \(L + M + R = 40\). 2. Nach den Umverteilungen haben die Stapel neue Anzahlen: \(L' = L - 7\), \(R' = R - 5\) und \(M' = M + 7 + 5 = M + 12\). 3. Die Summe der äußeren Stapel ist nun \(L' + R' = 15\). Einsetzen der Ausdrücke: \((L - 7) + (R - 5) = 15\). 4. Vereinfachen der Gleichung: \(L + R - 12 = 15\), also \(L + R = 27\). 5. Da \(L + M + R = 40\), folgt durch Einsetzen von \(L + R = 27\): \(27 + M = 40\). 6. Berechnung von \(M\): \(M = 40 - 27 = 13\). Dies bestätigt Isabelles Aussage.

Durch die Gleichung \((L-7) + (R-5) = 15\) ergibt sich \(L+R = 27\). Da die Gesamtsumme \(L+M+R = 40\) ist, muss \(M = 40 - 27 = 13\) sein.

- Wie berechnet man den Wert einer Zahl, wenn man die Stellen kennt? Denk an \(34 = 3 \cdot 10 + 4\). - Achte beim Subtrahieren auf die Klammern um den zweiten Term. - Was muss bei einem Term gegeben sein, damit man sicher sagen kann, dass er durch 9 teilbar ist?

1. Der Wert einer zweistelligen Zahl mit Zehnerziffer \(x\) und Einerziffer \(y\) ist \(10x + y\). 2. Bei vertauschten Ziffern ist \(y\) die Zehnerziffer und \(x\) die Einerziffer. Der Term lautet \(10y + x\). 3. Die Differenz wird berechnet durch \((10x + y) - (10y + x)\). Auflösen der Klammer ergibt \(10x + y - 10y - x\). Zusammenfassen führt zu \(9x - 9y\). Durch Ausklammern erhält man \(9 \cdot (x - y)\). 4. Da \(x\) und \(y\) Ziffern (ganze Zahlen) sind, ist auch deren Differenz \((x - y)\) eine ganze Zahl. Da der gesamte Term den Faktor 9 enthält, ist das Ergebnis stets ein Vielfaches von 9 und somit durch 9 teilbar.

1. \(10x + y\) 2. \(10y + x\) 3. \(9 \cdot (x - y)\) (oder \(9x - 9y\)) 4. Die Differenz ist ein Produkt aus 9 und einer ganzen Zahl, also ein Vielfaches von 9.