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- Was passiert, wenn du auf beiden Seiten des Vergleichs das Gleiche tust, zum Beispiel die Variable entfernst? - Überlege dir, ob eine der Zahlen, die zu der Variablen hinzugefügt oder abgezogen werden, immer größer ist als die andere. - Kannst du dir eine Zahl für die Variable vorstellen und prüfen, welcher Ausdruck dann größer ist? Gilt das für jede Zahl?

1. Vergleich von \(m - 4\) und \(m + 4\): Subtraktion von \(m\) auf beiden Seiten führt zum Vergleich der Konstanten \(-4\) und \(4\). Da \(-4 < 4\) gilt, folgt die Ungleichung \(m - 4 < m + 4\). 2. Vergleich von \(10 - k\) und \(5 - k\): Addition der Variablen \(k\) auf beiden Seiten führt zum Vergleich der Konstanten \(10\) und \(5\). Da \(10 > 5\) gilt, folgt die Ungleichung \(10 - k > 5 - k\).

a) \(m - 4 < m + 4\) b) \(10 - k > 5 - k\)

- Unterscheide den Teil des Terms, der von \(h\) abhängt, von dem Teil ohne Variable. - Frage dich, welche Einheit der Faktor vor \(h\) haben muss. - Vergleiche den Term für zwei Ausleihdauern, die sich um eine Stunde unterscheiden.

1. Die \(4\) steht unabhängig von der Ausleihdauer im Term. Sie beschreibt eine feste Grundgebühr von \(4\,\text{€}\). 2. Der Faktor \(1{,}5\) wird mit der Stundenzahl multipliziert. Er beschreibt \(1{,}50\,\text{€}\) pro Stunde. 3. Eine zusätzliche Stunde erhöht den variablen Anteil und damit den Gesamtpreis um \(1{,}50\,\text{€}\).

a) Grundgebühr: \(4\,\text{€}\) b) Preis pro Stunde: \(1{,}50\,\text{€}\) c) \(K\) steigt pro zusätzlicher Stunde um \(1{,}50\,\text{€}\).

- Welche Größe wird durch den gesamten Kostenterm beschrieben? - Ist \(14\) ein einzelner Bestandteil des Terms oder sein vollständiger Wert? - Welche Einheit gehört zum Preis?

1. Der Termwert beschreibt den gesamten Preis der Fahrt in Euro. 2. Ein Termwert von \(14\) bedeutet daher, dass diese Fahrt \(14\,\text{€}\) kostet.

Die Fahrt kostet \(14\,\text{€}\).

- Betrachte zunächst nur eine einzige Kiste. - Welche beiden Ballmengen werden innerhalb einer Kiste addiert? - Der Faktor \(5\) wird erst danach für alle Kisten gebraucht.

1. Eine Kiste enthält \(n\) blaue Bälle. 2. In derselben Kiste liegen zusätzlich zwei rote Bälle. 3. Daher beschreibt \(n+2\) die Gesamtzahl der Bälle in genau einer Kiste.

\(n+2\) ist die Gesamtzahl der Bälle in einer Kiste.

- Ordne die beiden gleichen waagerechten Seiten einem Teil des Terms zu. - Welche beiden festen Seitenlängen ergeben zusammen die Konstante? - Jeder Summand des Umfangsterms soll zu sichtbaren Randstrecken passen.

1. Die beiden waagerechten Seiten haben jeweils die Länge \(x\). Zusammen liefern sie \(2x\). 2. Die beiden senkrechten Seiten sind jeweils \(3\,\text{cm}\) lang. Zusammen liefern sie \(6\,\text{cm}\).

\(2x\) beschreibt die beiden Seiten der Länge \(x\). Die \(6\) beschreibt die beiden Seiten von je \(3\,\text{cm}\).

- Setze in a) die Argumente direkt in den Nenner des Funktionsterms ein. - In b) ist ein Funktionswert vorgegeben. Welche Gleichung beschreibt diesen Fall? - Vergleiche für c) die Terme \(f(x)\) und \(f(2x)\), ohne konkrete Zahlen einzusetzen.

1. Es ist \(f(2)=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}\) und \(f(10)=\frac{4}{50}=\frac{2}{25}\). 2. Für \(f(x)=\frac{1}{20}\) muss \(\frac{4}{5x}=\frac{1}{20}\) gelten. Kreuzmultiplikation ergibt \(80=5x\), also \(x=16\). 3. Bei verdoppeltem Argument ist \(f(2x)=\frac{4}{10x}=\frac{1}{2}\cdot\frac{4}{5x}=\frac12f(x)\). Der Funktionswert halbiert sich.

a) \(f(2)=\frac{2}{5}\), \(f(10)=\frac{2}{25}\) b) \(x=16\) c) Beim Verdoppeln von \(x\) halbiert sich der Funktionswert.

- Welche Faktoren erkennst du im Term \(\frac{a+c}{2}\cdot h\)? - Was geschieht mit einem Produkt, wenn genau ein Faktor verdoppelt wird? - Wie wirken sich die Faktoren \(3\) und \(\frac{1}{3}\) zusammen auf ein Produkt aus?

1. In \(A=\frac{a+c}{2}\cdot h\) sind \(a+c\) und \(h\) Faktoren der Flächenberechnung. 2. In a) wird der Faktor \(a+c\) verdoppelt, während alle anderen Faktoren gleich bleiben. Deshalb verdoppelt sich der Flächeninhalt. 3. In b) wird ein Faktor mit \(3\) multipliziert und der andere durch \(3\) geteilt. Diese Änderungen gleichen sich aus. Deshalb bleibt der Flächeninhalt gleich.

a) Der Flächeninhalt verdoppelt sich. b) Der Flächeninhalt bleibt gleich.

- Vereinfache einen Term, wenn dadurch seine Struktur leichter erkennbar wird. - Bei einer Aussage über alle natürlichen Zahlen kann ein einziges Gegenbeispiel zum Widerlegen genügen. - Prüfe, was ein Faktor vor einer Variablen über mögliche Termwerte aussagt.

1. Für a) gilt \(n + (n + 1) = 2n + 1\). Da \(2n\) für jede natürliche Zahl \(n\) gerade ist, ist \(2n + 1\) immer ungerade. Die Aussage ist wahr. 2. Für b) genügt ein Gegenbeispiel: Für \(n = 1\) ist \(5 \cdot 1 + 2 = 7\). Die Aussage ist daher falsch. 3. Für c) gilt \(4n - n = 3n\). Dieser Term ist für jede natürliche Zahl \(n\) ein Vielfaches von \(3\). Die Aussage ist wahr.

a) Wahr, denn \(n + (n + 1) = 2n + 1\) ist immer ungerade. b) Falsch; zum Beispiel ergibt \(n = 1\) den Wert \(7\). c) Wahr, denn \(4n - n = 3n\) ist immer ein Vielfaches von \(3\).

- Untersuche, welche Struktur eines Terms unabhängig vom eingesetzten Wert erhalten bleibt. - Zum Widerlegen einer Aussage über alle natürlichen Zahlen genügt ein passendes Gegenbeispiel. - Bei Aussagen über Endziffern kann die Form des Terms wichtiger sein als das Ausrechnen vieler Beispiele.

1. In a) besitzt \(2(x + 4)\) den Faktor \(2\). Deshalb ist jeder mögliche Termwert gerade. Die Aussage ist wahr. 2. Für b) reicht ein Gegenbeispiel: Für \(x = 3\) ist \(x^2 + 1 = 3^2 + 1 = 10\). Da \(10\) keine Primzahl ist, ist die Aussage falsch. 3. In c) ist \(10x\) stets ein Vielfaches von \(10\) und endet daher auf \(0\). Nach dem Subtrahieren von \(5\) endet das Ergebnis auf \(5\). Die Aussage ist wahr.

a) Wahr, wegen des Faktors \(2\). b) Falsch; ein Gegenbeispiel ist \(x = 3\), denn \(3^2 + 1 = 10\). c) Wahr; \(10x - 5\) endet immer auf \(5\).

- Wie kannst du drei gleiche Summanden kürzer schreiben? - Welcher feste Faktor steht dann im vereinfachten Term? - Nutze die Beispiele erst zur Kontrolle deiner allgemeinen Begründung.

1. Es gilt \(k+k+k=3k\). 2. Der Termwert hat damit immer den Faktor \(3\). Deshalb ist er für jede natürliche Zahl \(k\) durch \(3\) teilbar. 3. Für \(k=2\) ist der Wert \(6\); für \(k=5\) ist der Wert \(15\). Beide Werte sind durch \(3\) teilbar.

a) \(3k\) b) Weil \(k+k+k=3k\) gilt und \(3k\) den Faktor \(3\) hat, ist der Termwert immer durch \(3\) teilbar. c) Für \(k=2\) ist der Wert \(6\), für \(k=5\) ist er \(15\); beide Werte sind durch \(3\) teilbar.

- Ordne jedem Summanden im Umfangsterm eine Gruppe gleich langer Seiten zu. - Setze für b) den gegebenen Wert für \(a\) in beide Teile des Terms ein. - Verwende für c) das Distributivgesetz und fasse gleichartige Glieder zusammen.

1. Ja. Vier Seiten der Länge \(a\) tragen \(4a\) zum Umfang bei, und zwei Seiten der Länge \(a+5\) tragen \(2(a+5)\) bei. Zusammen ergibt das genau den gegebenen Term. 2. Für \(a=3{,}5\,\text{cm}\) gilt \(U=4 \cdot 3{,}5+2(3{,}5+5)=14+17=31\,\text{cm}\). 3. Ausmultiplizieren und Zusammenfassen ergibt \(U=4a+2a+10=6a+10\).

a) Ja; \(4a\) steht für vier Seiten der Länge \(a\), \(2(a+5)\) für zwei Seiten der Länge \(a+5\). b) \(31\,\text{cm}\) c) \(U=6a+10\)

- Berechne beide Terme zuerst mit den angegebenen Zahlen. - Achte danach darauf, welche Faktoren im Zähler und welche im Nenner stehen. - Prüfe, ob du \(z\) auch als Bruch mit dem Nenner \(1\) schreiben kannst.

1. Für \(A\) gilt \(\frac{5}{6}\cdot3=\frac{15}{6}=\frac{5}{2}=2{,}5\). 2. Für \(B\) gilt \(\frac{5\cdot3}{6}=\frac{15}{6}=\frac{5}{2}=2{,}5\). 3. Allgemein kann man \(z\) als \(\frac{z}{1}\) schreiben. Daher gilt \(\frac{x}{y}\cdot z=\frac{x}{y}\cdot\frac{z}{1}=\frac{xz}{y}\) für \(y\ne0\).

a) Beide Terme haben den Wert \(2{,}5=\frac{5}{2}\). b) \(\frac{x}{y}\cdot z=\frac{x}{y}\cdot\frac{z}{1}=\frac{xz}{y}\) für \(y\ne0\).

- Welche gesamte Größe soll in a) von \(a\) abgezogen werden? - Setze die Zahlen Schritt für Schritt ein und beachte die Klammer. - Vergleiche besonders das Vorzeichen des \(c\)-Anteils in beiden Termen.

1. Die Summe von \(b\) und \(c\) ist \(b+c\). Wird diese Summe von \(a\) subtrahiert, entsteht \(a-(b+c)\). 2. Für die gegebenen Werte ist \(50-(15+5)=30\). 3. Der Vergleichsterm ergibt \(50-15+5=40\). 4. Die beiden Terme sind nicht äquivalent: Im ersten Term wird auch \(c\) subtrahiert, im zweiten Term wird \(c\) addiert.

a) \(a-(b+c)\) b) \(30\) c) \(40\); die beiden Terme sind nicht äquivalent.

- Setze die Zahl für den Platzhalter ein und beachte die Vorrangregeln. - Was bedeutet eine Klammer für die Reihenfolge der Rechnung? - Vergleiche Schritt für Schritt, was du bei \(T_1\) zuerst rechnest und was bei \(T_2\).

1. Berechnung von \(T_1\) für \(x = 5\): \(4 \cdot 5 - 2 = 20 - 2 = 18\). 2. Berechnung von \(T_2\) für \(x = 5\): \(4 \cdot (5 - 2) = 4 \cdot 3 = 12\). 3. Beschreibung von \(T_2\): Man subtrahiert zuerst \(2\) von der Zahl \(x\) und multipliziert das Ergebnis anschließend mit \(4\). 4. Erklärung des Unterschieds: In \(T_1\) wird zuerst multipliziert (Punkt-vor-Strich), während in \(T_2\) durch die Klammer zuerst die Subtraktion ausgeführt wird.

a) \(T_1 = 18\) und \(T_2 = 12\) b) Bei \(T_2\) wird zuerst die Differenz aus \(x\) und \(2\) gebildet und dann mit \(4\) multipliziert. Die Ergebnisse sind unterschiedlich, weil der Klammerausdruck in \(T_2\) vorrangig berechnet wird.

- Eine Zahl vor einer Variablen und eine Hochzahl haben unterschiedliche Aufgaben. - Schreibe in b) jeden Summanden einzeln aus. - Vergleiche in c), welche Variablen in den Summanden vorkommen.

1. \(4x=x+x+x+x\), während \(x^4=x\cdot x\cdot x\cdot x\). Ein Koeffizient beschreibt gleichartige Summanden, ein Exponent gleiche Faktoren. 2. \(2a+3a=(a+a)+(a+a+a)=5a\). 3. \(3x+2y=x+x+x+y+y\). Die Summanden mit \(x\) und die Summanden mit \(y\) sind nicht gleichartig. Deshalb darf man sie nicht zu einem einzigen Summanden zusammenfassen.

a) \(4x=x+x+x+x\), aber \(x^4=x\cdot x\cdot x\cdot x\). Bei \(4x\) werden gleiche Summanden addiert; bei \(x^4\) werden gleiche Faktoren multipliziert. b) \(2a+3a=(a+a)+(a+a+a)=5a\) c) \(3x+2y=x+x+x+y+y\). Die Summanden mit \(x\) und die Summanden mit \(y\) sind nicht gleichartig und dürfen deshalb nicht zu \(5xy\) zusammengefasst werden.

- Entferne auf beiden Seiten zuerst denselben Summanden \(a\). - Forme danach so weiter um, dass nur noch \(b\) mit einer Zahl verglichen wird. - Prüfe dein Ergebnis mit je einem passenden positiven oder negativen Wert für \(b\).

1. Aus \(a-b>a\) folgt nach dem Subtrahieren von \(a\): \(-b>0\). Das ist genau dann der Fall, wenn \(b<0\). Beispiel: \(7-(-3)=10>7\). 2. Aus \(a-b<a+b\) folgt nach dem Subtrahieren von \(a\): \(-b<b\). Addiert man \(b\), erhält man \(0<2b\). Daher gilt \(b>0\).

a) \(a-b>a\Rightarrow-b>0\Rightarrow b<0\). Beispiel: Für \(a=7\) und \(b=-3\) gilt \(7-(-3)=10>7\). b) \(a-b<a+b\Rightarrow-b<b\Rightarrow0<2b\Rightarrow b>0\)

- Welche Rechenoperation macht das \(+b\) auf der rechten Seite rückgängig? - Welche Rechenoperation macht anschließend die Multiplikation mit \(k\) rückgängig? - Eine Probe erfolgt immer in der ursprünglichen, noch nicht umgeformten Formel.

1. Aus \(S=kx+b\) folgt nach Subtraktion von \(b\): \(S-b=kx\). 2. Für \(k\ne0\) ergibt die Division durch \(k\): \(x=\frac{S-b}{k}\). 3. Einsetzen liefert \(x=\frac{85-13}{12}=\frac{72}{12}=6\). 4. Probe: \(12\cdot6+13=72+13=85\). Das Ergebnis erfüllt die ursprüngliche Formel.

a) \(x=\frac{S-b}{k}\) b) \(x=6\) c) \(12\cdot6+13=85\)

- Berechne bei den Beispielen die linke und die rechte Seite getrennt. - Überlege danach, ob dein Rechenweg von einem besonderen Wert von \(k\) abhängt. - Welche bekannten Rechenregeln helfen dir, beide Seiten allgemein zu beschreiben?

1. Für \(k=3\) gilt links \(3\cdot0=0\) und rechts \(3-3=0\). 2. Für \(k=-2\) gilt links \((-2)\cdot0=0\) und rechts \((-2)-(-2)=0\). 3. Allgemein ist das Produkt einer Zahl mit \(0\) gleich \(0\). Außerdem ist jede Zahl minus sich selbst gleich \(0\). Daher gilt \(k\cdot0=k-k\) für jede rationale Zahl \(k\).

a) Für \(k=3\) und \(k=-2\) haben beide Seiten jeweils den Wert \(0\). b) Ja. Links ist das Produkt mit \(0\) gleich \(0\), rechts ist eine Zahl minus sich selbst ebenfalls \(0\). Deshalb sind beide Seiten für jedes \(k\) gleich.

- Wähle eine einfache positive und eine einfache negative rationale Zahl. - Bestimme jeweils die Gegenzahl und vergleiche die beiden Zahlen. - Ein Gegenbeispiel reicht aus, um eine Aussage mit „immer“ zu widerlegen.

1. Zum Beispiel gilt für \(3\): Die Gegenzahl ist \(-3\), also ist \(-3<3\). 2. Für \(0\) ist die Gegenzahl wieder \(0\). Beide Zahlen sind gleich. 3. Zum Beispiel gilt für \(-2\): Die Gegenzahl ist \(2\), also ist \(2>-2\). 4. Die Behauptung ist deshalb falsch. Sie gilt für positive Zahlen, aber nicht für \(0\) oder negative Zahlen.

Zum Beispiel: - positive Zahl: Zu \(3\) gehört die Gegenzahl \(-3\), also \(-3<3\). - \(0\): Die Gegenzahl ist wieder \(0\). - negative Zahl: Zu \(-2\) gehört die Gegenzahl \(2\), also \(2>-2\). Die Behauptung ist deshalb falsch. Sie gilt nur für positive Zahlen.

- Lies zuerst nur den Ausdruck innerhalb der Klammer als Handlung an einer einzigen Kiste. - Überlege anschließend, warum genau derselbe Restbestand mehrfach vorkommt. - Setze bei c) erst in die Klammer ein und berechne danach den äußeren Faktor.

1. \(12-r\) ist die Anzahl der Marker, die nach dem Entnehmen in einer einzelnen Kiste verbleiben. 2. Da es drei gleich behandelte Kisten gibt, wird dieser Restbestand mit \(3\) multipliziert. 3. Für \(r=4\) gilt \(M=3(12-4)=3 \cdot 8=24\). Insgesamt bleiben \(24\) Marker übrig.

a) Verbleibende Marker in einer Kiste b) Es gibt drei identische Kisten. c) \(M=24\); insgesamt bleiben \(24\) Marker.

- Ordne zuerst die feste Gebühr dem konstanten Summanden zu. - Prüfe dann, welcher Preis mit der Anzahl \(n\) multipliziert wird. - Übersetze die nicht passenden Optionen jeweils selbst in einen Term.

1. Option A beschreibt eine feste Gebühr \(5\) plus \(n\) Einheiten zu je \(2\), also genau \(5+2n\). 2. Option B würde den Term \(2+5n\) ergeben. 3. Option C würde den Term \(5(2+n)\) ergeben.

a) Option A b) Option B: \(2+5n\); Option C: \(5(2+n)\)

- Achte auf das Vorzeichen des Koeffizienten vor \(d\). - Setze für den Anfang des Vorgangs \(d=0\) ein. - Prüfe für die obere Grenze, wann der Term erstmals den Wert \(0\) erreicht.

1. Der Faktor \(-4\) zeigt, dass jede weitere Runde den Punktestand um \(4\) Punkte verringert. 2. Für \(d=0\) ist \(R=60\). Das ist der Anfangsstand vor der ersten Runde. 3. Nach \(15\) Runden gilt \(R=60-4 \cdot 15=0\). Eine weitere Runde würde einen negativen Wert liefern. 4. Daher sind im Modell die ganzzahligen Werte \(d=0,1,2,\dots,15\) sinnvoll.

a) \(R\) sinkt pro weiterer Runde um \(4\) Punkte. b) Für \(d=0\) beträgt der Punktestand \(60\); das ist der Anfangsstand. c) \(d=0,1,2,\dots,15\)

- Ordne zuerst jeden Summanden einer Gruppe von Leisten zu. - Multipliziere die Klammer aus und fasse anschließend gleichartige Glieder zusammen. - Deute den konstanten Anteil nach der Umformung wieder in der ursprünglichen Konstruktion.

1. \(3(x+2)\) beschreibt die drei längeren Leisten, \(2x\) die beiden Leisten der Länge \(x\). 2. Ausmultiplizieren ergibt \(3(x+2)+2x=3x+6+2x=5x+6\). Damit gilt \(L_1=L_2\). 3. In jeder der drei längeren Leisten stecken zusätzlich \(2\,\text{m}\). Diese drei Zuschläge ergeben zusammen \(6\,\text{m}\).

a) \(3(x+2)\): drei längere Leisten; \(2x\): zwei Leisten der Länge \(x\). b) \(3(x+2)+2x=5x+6\) c) \(6\) entsteht aus drei Zuschlägen von jeweils \(2\,\text{m}\).

- Was umfasst die Klammer im gegebenen Term? - Auf welchen Teil wirkt der Faktor \(4\)? - Welche Rechenoperation findet bei Beschreibung B erst ganz am Ende statt?

1. Im Term \(4(x+3)\) wird zuerst die Summe \(x+3\) gebildet und diese gesamte Summe mit \(4\) multipliziert. Daher passt A. 2. Beschreibung B bedeutet, dass nur die Zahl vervierfacht und danach \(3\) addiert wird. Dazu gehört der Term \(4x+3\).

A passt zu \(4(x+3)\), weil der Faktor \(4\) die gesamte Summe \(x+3\) multipliziert. Zu B gehört \(4x+3\).

- Was beschreibt der Faktor \(3\) vor der Variablen? - Welche Operation wird durch \(+2\) ganz am Ende ausgeführt? - Formuliere die beiden Rechenschritte in genau dieser Reihenfolge.

1. Der Term \(3n\) bedeutet, dass die gedachte Zahl verdreifacht wird. 2. Der konstante Term \(+2\) bedeutet, dass danach \(2\) addiert wird. 3. Eine passende Anweisung lautet daher: „Denke dir eine Zahl, verdreifache sie und addiere anschließend \(2\).“

Zum Beispiel: „Denke dir eine Zahl, verdreifache sie und addiere anschließend \(2\).“

- Welche Kosten wiederholen sich für jede Person? - Welche Kosten fallen nur einmal für die ganze Gruppe an? - Prüfe beim Klammerterm, worauf der Faktor \(3\) wirkt.

1. Für \(x\) Personen entstehen \(3x\,\text{€}\) Eintrittskosten. 2. Die Buchungsgebühr von \(5\,\text{€}\) fällt nur einmal an. Daher passt \(3x+5\). 3. Der Term \(3(x+5)\) würde bedeuten, dass zunächst fünf zusätzliche Einheiten zur Personenzahl addiert und dann alles mit \(3\) multipliziert wird; das entspricht nicht der beschriebenen einmaligen Gebühr.

Passend ist \(3x+5\). Der Term \(3(x+5)\) würde auch die zusätzlichen \(5\) mit dem Faktor \(3\) multiplizieren und beschreibt daher eine andere Situation.

- Vereinfache den Klammerterm mit dem Distributivgesetz. - Welche Gruppierung ist im ersten Term unmittelbar sichtbar? - Welche beiden Arten von Stühlen werden im zweiten Term getrennt gezählt?

1. Mit dem Distributivgesetz gilt \(4(n+2)=4n+8\). Die Terme sind daher äquivalent. 2. In \(4(n+2)\) sieht man direkt vier gleich große Gruppen mit jeweils \(n+2\) Stühlen. 3. In \(4n+8\) sieht man direkt den wachsenden Anteil \(4n\) und die insgesamt acht zusätzlichen Stühle.

a) \(4(n+2)=4n+8\), also sind die Terme äquivalent. b) \(4(n+2)\) zeigt die vier Gruppen; \(4n+8\) zeigt den variablen Anteil und die acht festen Zusatzstühle.

- Welche beiden Faktoren stehen im Term \(g\cdot h\)? - Wenn ein Faktor größer wird: Was muss mit dem anderen passieren, damit das Produkt gleich bleibt? - In c) soll das Produkt am Ende doppelt so groß sein. Wie müssen die beiden Änderungen zusammenwirken?

1. In a) wird einer der beiden Faktoren verdoppelt. Deshalb verdoppelt sich die Fläche. 2. In b) wird die Grundseite mit \(3\) multipliziert. Damit das Produkt gleich bleibt, muss die Höhe durch \(3\) geteilt werden. 3. In c) verkleinert der Faktor \(\frac{1}{4}\) die Fläche zunächst auf ein Viertel. Um am Ende die doppelte ursprüngliche Fläche zu erhalten, muss die Grundseite mit \(8\) multipliziert werden, denn \(8\cdot\frac{1}{4}=2\).

a) Der Flächeninhalt verdoppelt sich. b) Die Höhe muss durch \(3\) geteilt werden. c) Die Grundseite muss mit \(8\) multipliziert werden.

- Welchen Wert hat \(t\) genau zu Beginn? - Welche Bedeutung hat der Koeffizient vor \(t\)? - Rechne in c) zuerst die Anfangshöhe aus der Zielhöhe heraus und nutze danach die Zunahme pro Minute.

1. Für \(t=0\) ist \(h=3\cdot0+10=10\,\text{cm}\). Das Becken war also nicht leer. 2. Der Koeffizient \(3\) bedeutet, dass die Wasserhöhe pro Minute um \(3\,\text{cm}\) zunimmt. 3. \(1{,}60\,\text{m}=160\,\text{cm}\). Von der Zielhöhe werden zuerst die anfänglichen \(10\,\text{cm}\) abgezogen: \(160-10=150\,\text{cm}\). Bei \(3\,\text{cm}\) Zunahme pro Minute dauert das \(150:3=50\) Minuten.

a) Die Aussage ist falsch; zu Beginn beträgt die Wasserhöhe \(10\,\text{cm}\). b) \(3\,\text{cm}\) pro Minute c) \(50\) Minuten

- Übersetze die Formulierungen Schritt für Schritt in die Sprache der Mathematik. - Testrechnungen mit verschiedenen Werten helfen oft, eine allgemeine Aussage zu beurteilen. - Reicht ein einziges Beispiel aus, um zu zeigen, dass etwas „immer“ stimmt? Reicht ein einziges Beispiel aus, um zu zeigen, dass etwas nicht immer stimmt?

1. Aufstellen der Terme: Das Dreifache der Zahl ist \(3x\). Die Summe aus der Zahl und 10 ist \(x + 10\). 2. Überprüfung für \(x = 2\): \(3 \cdot 2 = 6\) und \(2 + 10 = 12\). Da \(6 < 12\), ist die Behauptung für \(x = 2\) falsch. 3. Überprüfung für \(x = 10\): \(3 \cdot 10 = 30\) und \(10 + 10 = 20\). Da \(30 > 20\), ist die Behauptung für \(x = 10\) wahr. 4. Da die Behauptung für \(x = 2\) nicht stimmt, ist sie nicht für alle positiven ganzen Zahlen wahr. Sie gilt erst für Zahlen, die größer als 5 sind (da \(3x > x + 10 \Leftrightarrow 2x > 10 \Leftrightarrow x > 5\)).

a) Die Terme lauten \(3x\) und \(x + 10\). b) Für \(x = 2\) ist \(6 < 12\) (falsch); für \(x = 10\) ist \(30 > 20\) (wahr). c) Nein, sie ist nicht immer wahr, wie das Gegenbeispiel \(x = 2\) zeigt.

- Berechne beide Terme zuerst mit den angegebenen Zahlen. - Welche Zahl musst du mit \(\frac{c}{d}\) multiplizieren, damit \(1\) entsteht? - Achte bei der allgemeinen Begründung darauf, wann ein Nenner oder ein Divisor \(0\) werden könnte.

1. Für \(T_1\) gilt \(\frac{2}{3}:\frac{4}{5}=\frac{2}{3}\cdot\frac{5}{4}=\frac{5}{6}\). 2. Für \(T_2\) gilt \(\frac{2\cdot5}{3\cdot4}=\frac{10}{12}=\frac{5}{6}\). 3. Der Kehrwert von \(\frac{c}{d}\) ist \(\frac{d}{c}\). Deshalb gilt allgemein \(\frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}=\frac{ad}{bc}\). 4. Die Bedingungen schließen eine Null im Nenner und die Division durch den Bruch \(0\) aus.

a) Beide Terme haben den Wert \(\frac{5}{6}\). b) Für \(b\ne0\), \(c\ne0\) und \(d\ne0\) gilt \(\frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}=\frac{ad}{bc}\).

- Vergleiche die Reihenfolge der beiden Zahlen in der bekannten Differenz mit der Reihenfolge im ersten Term. - Überlege, was mit einer Differenz passiert, wenn zu beiden Zahlen derselbe Wert addiert wird. - Nutze eine bereits bestimmte Beziehung für den letzten Term weiter.

1. Wenn die Reihenfolge der Differenz vertauscht wird, ändert sich ihr Vorzeichen. Daher hat \(y - x\) den Wert \(-7\). 2. Beim Term \((x + 10) - (y + 10)\) heben sich die beiden gleichen Verschiebungen um \(10\) gegenseitig auf. Der Term hat deshalb denselben Wert wie \(x - y\), also \(7\). 3. Da \(y - x = -7\), gilt für den dritten Term \(2 \cdot (-7) = -14\).

a) \(-7\) b) \(7\) c) \(-14\)

- Was bedeutet eine Zahl ohne Variable im Vergleich zu einer Zahl mit Variable bei Kosten? - Wenn du die Ersparnis berechnen willst, musst du die Kosten voneinander abziehen. - Achte beim Subtrahieren eines ganzen Terms auf die Klammern. - Was sagt dir ein negatives Vorzeichen über die Ersparnis aus?

1. Analyse der Kostenstruktur: Tarif 1 hat eine feste Grundgebühr von \(10\,\text{€}\) und variable Kosten von \(2\,\text{€}\) pro \(\text{GB}\). Tarif 2 hat keine Grundgebühr, dafür aber höhere variable Kosten von \(4\,\text{€}\) pro \(\text{GB}\). 2. Aufstellen des Ersparnisterms \(E\): Differenz zwischen den Kosten von Tarif 2 und Tarif 1 bilden: \(E = 4m - (10 + 2m)\). 3. Vereinfachung des Terms: Klammer auflösen ergibt \(E = 4m - 10 - 2m\), zusammengefasst \(E = 2m - 10\). 4. Berechnung für \(m = 3\): \(E = 2 \cdot 3 - 10 = 6 - 10 = -4\). Ein negatives Ergebnis bedeutet, dass Tarif 1 um \(4\,\text{€}\) teurer ist als Tarif 2. 5. Berechnung für \(m = 7\): \(E = 2 \cdot 7 - 10 = 14 - 10 = 4\). Ein positives Ergebnis bedeutet, dass man mit Tarif 1 genau \(4\,\text{€}\) gegenüber Tarif 2 spart.

a) Tarif 1 hat eine Grundgebühr von \(10\,\text{€}\) und kostet \(2\,\text{€}\) pro \(\text{GB}\). Tarif 2 hat keine Grundgebühr und kostet \(4\,\text{€}\) pro \(\text{GB}\). b) \(E = 2m - 10\) c) Für \(m = 3\) ist \(E = -4\), man zahlt also \(4\,\text{€}\) drauf. Für \(m = 7\) ist \(E = 4\), man spart also \(4\,\text{€}\).

- Setze in a) die drei Zeitwerte nacheinander in die Formel ein. - Welchen Zeitpunkt beschreibt \(t=0\)? - Welche Wasserhöhe gehört zu einem leeren Becken? - Nutze den Zeitpunkt aus c), um den sinnvollen Bereich für \(t\) anzugeben.

1. Für \(t=0\) ist \(h=120\,\text{cm}\), für \(t=5\) ist \(h=80\,\text{cm}\), und für \(t=10\) ist \(h=40\,\text{cm}\). 2. Die Zahl \(120\) ist die Wasserhöhe zu Beginn. 3. Das Becken ist leer, wenn \(h=0\). Aus \(120-8t=0\) folgt \(t=15\). 4. Vor Beginn ist \(t<0\) nicht sinnvoll; nach \(15\) Minuten wäre der berechnete Wert negativ. Daher gilt im Sachzusammenhang \(0\le t\le15\).

a) \(120\,\text{cm}\), \(80\,\text{cm}\), \(40\,\text{cm}\) b) \(120\) ist die Anfangshöhe in Zentimetern. c) Nach \(15\) Minuten, denn \(120-8\cdot15=0\). d) \(0\le t\le15\)

- Was passiert mit der Geschwindigkeit eines Objekts, wenn der Wind von hinten schiebt oder von vorne bremst? - Wenn du zwei Terme addierst, schau genau, welche Variablen sich gegenseitig aufheben. - Das Teilen einer Summe durch 2 entspricht der Berechnung eines Durchschnitts. - Wie hängen die Eigengeschwindigkeit und die Windgeschwindigkeit mit der tatsächlichen Geschwindigkeit über Grund zusammen?

1. Aufstellen der Terme: \(v_R = v + w\) und \(v_G = v - w\). 2. Berechnung des Mittelwerts: \(\frac{(v + w) + (v - w)}{2} = \frac{v + w + v - w}{2} = \frac{2v}{2} = v\). Das Ergebnis \(v\) entspricht der Eigengeschwindigkeit des Flugzeugs bei Windstille. 3. Anwendung auf Zahlenwerte: \(v = \frac{820\,\text{km/h} + 740\,\text{km/h}}{2} = \frac{1560\,\text{km/h}}{2} = 780\,\text{km/h}\). 4. Bestimmung der Windgeschwindigkeit: Da \(v + w = 820\,\text{km/h}\) ist, folgt \(w = 820\,\text{km/h} - 780\,\text{km/h} = 40\,\text{km/h}\). Alternativ über den Gegenwind: \(780\,\text{km/h} - 40\,\text{km/h} = 740\,\text{km/h}\).

a) \(v_R = v + w\); \(v_G = v - w\). b) Das Ergebnis ist \(v\); es entspricht der Eigengeschwindigkeit bei Windstille. c) Die Eigengeschwindigkeit beträgt \(780\,\text{km/h}\), die Windgeschwindigkeit \(40\,\text{km/h}\).

- Lies die Temperatur am ersten und am letzten Messpunkt ab. - Vergleiche jeweils zwei aufeinanderfolgende Messpunkte und bestimme Anstieg oder Abfall. - Welche Rolle spielt der Startwert nur in einem der beiden Terme?

1. Es gilt \(T_1=-4+2+3-1-3+2+3=2\). Der Term startet mit der Temperatur am ersten Tag und addiert die Änderungen. Daher ist \(2\,^\circ\text{C}\) die Temperatur am siebten Tag. 2. Es gilt \(T_2=(2+3+2+3)-(1+3)=6\). Der Term vergleicht die Summe aller Anstiege mit der Summe der Beträge aller Abfälle. Die Netto-Temperaturänderung beträgt daher \(6\,^\circ\text{C}\).

\(T_1=2\,^\circ\text{C}\); das ist die Temperatur am siebten Tag. \(T_2=6\,^\circ\text{C}\); das ist die Netto-Temperaturänderung vom ersten bis zum siebten Tag.