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- Stell dir vor, jede Zahl oder jeder Teilterm steht für eine einzelne Seite der Figur. - Aus wie vielen Teilstücken besteht der Umfang laut dem Term? - Denk beim Vereinfachen daran, die Klammer zuerst zu bearbeiten oder das Distributivgesetz zu nutzen.

1. Interpretation des Terms: Die Figur hat zum Beispiel sechs Seiten, davon vier mit der Länge \(a\) und zwei mit der Länge \(a + 5\). Eine mögliche Skizze ist ein unregelmäßiges Sechseck. 2. Berechnung für \(a = 3{,}5\): \(U = 4 \cdot 3{,}5 + 2 \cdot (3{,}5 + 5) = 14 + 2 \cdot 8{,}5 = 14 + 17 = 31\). Der Umfang beträgt \(31\,\text{cm}\). 3. Vereinfachung des Terms: \(U = 4a + 2a + 10 = 6a + 10\).

a) Individuelle Skizze (z. B. ein Sechseck mit den Seiten \(a, a, a, a, a+5, a+5\)). b) \(31\,\text{cm}\) c) \(U = 6a + 10\)

- Wie verändert eine Klammer die Reihenfolge, in der du rechnest? - Setze die Zahlen Schritt für Schritt ein und beachte die Vorrangregeln. - Überlege dir, ob „etwas wegzunehmen, das aus zwei Teilen besteht“ dasselbe ist, wie erst den einen Teil wegzunehmen und den anderen Teil wieder dazuzugeben.

1. Aufstellen des Terms für a): Die Summe von \(b\) und \(c\) ist \((b + c)\). Diese wird von \(a\) subtrahiert, also \(a - (b + c)\). 2. Berechnung für b): Einsetzen der Werte in \(a - (b + c)\) ergibt \(50 - (15 + 5) = 50 - 20 = 30\). 3. Berechnung für c): Einsetzen der Werte in \(a - b + c\) ergibt \(50 - 15 + 5 = 35 + 5 = 40\). 4. Vergleich: Das Ergebnis von Teil b) (\(30\)) ist kleiner als das von Teil c) (\(40\)). Die Terme sind nicht gleichwertig (äquivalent), da die Klammer im ersten Fall bewirkt, dass auch \(c\) abgezogen wird, während im zweiten Fall \(c\) addiert wird.

a) \(a - (b + c)\) b) \(30\) c) \(40\); Die Ergebnisse sind unterschiedlich, da im ersten Term die gesamte Summe \(b+c\) subtrahiert wird, während im zweiten Term \(c\) addiert wird.

- Setze die Zahl für den Platzhalter ein und beachte die Vorrangregeln. - Was bedeutet eine Klammer für die Reihenfolge der Rechnung? - Vergleiche Schritt für Schritt, was du bei \(T_1\) zuerst rechnest und was bei \(T_2\).

1. Berechnung von \(T_1\) für \(x = 5\): \(4 \cdot 5 - 2 = 20 - 2 = 18\). 2. Berechnung von \(T_2\) für \(x = 5\): \(4 \cdot (5 - 2) = 4 \cdot 3 = 12\). 3. Beschreibung von \(T_2\): Man subtrahiert zuerst \(2\) von der Zahl \(x\) und multipliziert das Ergebnis anschließend mit \(4\). 4. Erklärung des Unterschieds: In \(T_1\) wird zuerst multipliziert (Punkt-vor-Strich), während in \(T_2\) durch die Klammer zuerst die Subtraktion ausgeführt wird.

a) \(T_1 = 18\) und \(T_2 = 12\) b) Bei \(T_2\) wird zuerst die Differenz aus \(x\) und \(2\) gebildet und dann mit \(4\) multipliziert. Die Ergebnisse sind unterschiedlich, weil der Klammerausdruck in \(T_2\) vorrangig berechnet wird.

- Was ist der Unterschied, wenn eine kleine Zahl oben rechts steht oder eine Zahl vor dem Buchstaben? - Schreibe die Terme ganz lang auf, als ob du keine Abkürzungen wie Malpunkte oder Hochzahlen kennen würdest. - Kannst du Äpfel und Birnen zu einer gemeinsamen Frucht „Apfelbirne“ addieren? - Wie viele \(a\) hast du insgesamt, wenn du erst zwei und dann noch mal drei davon hinlegst?

1. Unterscheidung von Koeffizient und Exponent: Der Koeffizient \(4\) in \(4x\) gibt die Anzahl der Summanden an: \(x + x + x + x\). Der Exponent \(4\) in \(x^4\) gibt die Anzahl der Faktoren an: \(x \cdot x \cdot x \cdot x\). 2. Nachweis der Additionsregel: \(2a\) entspricht \(a + a\). \(3a\) entspricht \(a + a + a\). Die gesamte Summe ist \((a + a) + (a + a + a) = a + a + a + a + a\). Da es fünf Summanden sind, entspricht dies \(5a\). 3. Unmöglichkeit des Zusammenfassens: \(3x + 2y\) ausgeschrieben ergibt \(x + x + x + y + y\). Da \(x\) und \(y\) unterschiedliche Variablen (und damit unterschiedliche Werte oder Objekte) repräsentieren, lassen sie sich nicht zu einer gemeinsamen Anzahl einer neuen Einheit zusammenzählen. Man kann nur gleichartige Glieder addieren.

a) \(4x = x + x + x + x\) (Summe); \(x^4 = x \cdot x \cdot x \cdot x\) (Produkt). b) \(2a + 3a = (a + a) + (a + a + a) = a + a + a + a + a = 5a\). c) \(3x + 2y = x + x + x + y + y\). Da die Summanden \(x\) und \(y\) verschieden sind, kann man sie nicht zu einer Gesamtzahl einer einzigen Variablen zusammenfassen.

- Überlege dir eine Situation, in der ein Gesamtwert um einen Teil verringert wird. - Was passiert in deinem Beispiel, wenn man den Rest durch eine Anzahl teilt? - Achte beim Rechnen auf die Reihenfolge: Der Bruchstrich wirkt wie eine Klammer um den Zähler.

1. Festlegen eines passenden Sachkontexts, zum Beispiel die Abzahlung eines Restbetrags: \(S\) steht für den Gesamtpreis eines Gegenstands, \(b\) für eine bereits geleistete Anzahlung und \(k\) für die Anzahl der Monate, über die der Restbetrag abbezahlt wird. 2. Interpretation von \(x\): In diesem Kontext gibt \(x\) die Höhe der monatlichen Rate an. 3. Einsetzen der gegebenen Werte in den Term: \(x = \frac{85 - 13}{12}\). 4. Berechnung der Differenz im Zähler: \(85 - 13 = 72\). 5. Durchführung der Division: \(72 : 12 = 6\). 6. Ergebnis für \(x\): \(x = 6\).

a) Beispielaufgabe: Ein gebrauchtes Fahrrad kostet \(85\,\text{€}\) (\(S\)). Jemand bezahlt \(13\,\text{€}\) (\(b\)) sofort an. Der Rest wird in \(12\) gleich großen Monatsraten (\(k\)) bezahlt. Wie hoch ist eine Rate (\(x\))? b) \(x = 6\,\text{€}\)

- Was passiert mit der Wasserhöhe, wenn die Zeit \(t\) zunimmt? - Welchen Wert hat die Zeit \(t\) genau in dem Moment, in dem das Leeren beginnt? - Wenn das Becken leer ist, welche Höhe hat das Wasser dann?

1. Berechnung der Tabellenwerte für \(h = 120 - 8 \cdot t\): - \(t = 0 \implies h = 120 - 8 \cdot 0 = 120\,\text{cm}\) - \(t = 5 \implies h = 120 - 8 \cdot 5 = 120 - 40 = 80\,\text{cm}\) - \(t = 10 \implies h = 120 - 8 \cdot 10 = 120 - 80 = 40\,\text{cm}\) - \(t = 15 \implies h = 120 - 8 \cdot 15 = 120 - 120 = 0\,\text{cm}\) 2. Interpretation der Konstanten: Die Zahl \(120\) ist die Höhe bei \(t = 0\), also die Anfangshöhe des Wassers im Becken. 3. Bestimmung des Leerzustands: Das Becken ist leer, wenn \(h = 0\). Aus der Rechnung folgt, dass dies bei \(t = 15\,\text{min}\) der Fall ist.

a) Werte für \(h\): \(120\,\text{cm}\), \(80\,\text{cm}\), \(40\,\text{cm}\), \(0\,\text{cm}\). b) Die \(120\) gibt die Anfangshöhe des Wassers im Becken an (in \(\text{cm}\)). c) Das Becken ist nach \(15\) Minuten leer, da der Term für \(t = 15\) den Wert \(0\) ergibt.

- Was bedeutet der Zeitpunkt \(t = 0\) für die Wasserhöhe? - Achte auf die Einheiten: In welcher Einheit ist die Höhe \(h\) in der Formel angegeben, und welche Höhe ist in der Frage genannt? - Wie verändert sich der Wert von \(h\), wenn \(t\) um \(1\) größer wird?

1. Überprüfung des Anfangszustands: Zum Zeitpunkt \(t = 0\) ergibt die Formel \(h = 3 \cdot 0 + 10 = 10\). Das Becken hatte also einen Anfangswasserstand von \(10\,\text{cm}\) und war nicht leer. 2. Bestimmung der Steigrate: Der Koeffizient vor \(t\) gibt die Änderung pro Zeiteinheit an. Der Wasserspiegel steigt um \(3\,\text{cm}\) pro Minute. 3. Berechnung der Zeit für \(h = 160\,\text{cm}\): Zuerst Umrechnung der Einheiten: \(1{,}60\,\text{m} = 160\,\text{cm}\). Einsetzen in die Formel: \(160 = 3 \cdot t + 10\). Subtraktion von \(10\) ergibt \(150 = 3 \cdot t\). Division durch \(3\) ergibt \(t = 50\). Nach \(50\) Minuten ist die Höhe erreicht.

a) Die Aussage ist falsch. Bei \(t = 0\) beträgt die Höhe \(10\,\text{cm}\). b) Der Wasserspiegel steigt um \(3\,\text{cm}\) pro Minute. c) Die Höhe wird nach \(50\) Minuten erreicht.

- Was bedeutet eine Zahl ohne Variable im Vergleich zu einer Zahl mit Variable bei Kosten? - Wenn du die Ersparnis berechnen willst, musst du die Kosten voneinander abziehen. - Achte beim Subtrahieren eines ganzen Terms auf die Klammern. - Was sagt dir ein negatives Vorzeichen über die Ersparnis aus?

1. Analyse der Kostenstruktur: Tarif 1 hat eine feste Grundgebühr von \(10\,\text{€}\) und variable Kosten von \(2\,\text{€}\) pro \(\text{GB}\). Tarif 2 hat keine Grundgebühr, dafür aber höhere variable Kosten von \(4\,\text{€}\) pro \(\text{GB}\). 2. Aufstellen des Ersparnisterms \(E\): Differenz zwischen den Kosten von Tarif 2 und Tarif 1 bilden: \(E = 4 \cdot m - (10 + 2 \cdot m)\). 3. Vereinfachung des Terms: Klammer auflösen ergibt \(E = 4m - 10 - 2m\), zusammengefasst \(E = 2m - 10\). 4. Berechnung für \(m = 3\): \(E = 2 \cdot 3 - 10 = 6 - 10 = -4\). Ein negatives Ergebnis bedeutet, dass Tarif 1 um \(4\,\text{€}\) teurer ist als Tarif 2. 5. Berechnung für \(m = 7\): \(E = 2 \cdot 7 - 10 = 14 - 10 = 4\). Ein positives Ergebnis bedeutet, dass man mit Tarif 1 genau \(4\,\text{€}\) gegenüber Tarif 2 spart.

a) Tarif 1 hat eine Grundgebühr von \(10\,\text{€}\) und kostet \(2\,\text{€}\) pro \(\text{GB}\). Tarif 2 hat keine Grundgebühr und kostet \(4\,\text{€}\) pro \(\text{GB}\). b) \(E = 2m - 10\) c) Für \(m = 3\) ist \(E = -4\), man zahlt also \(4\,\text{€}\) drauf. Für \(m = 7\) ist \(E = 4\), man spart also \(4\,\text{€}\).