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- Welche beiden Teilmengen ergeben zusammen die Gesamtzahl der Bausteine? - Setze für die unbekannte Teilmenge die vorgegebene Variable ein. - Prüfe nach dem Lösen, ob beide Teilmengen zusammen wieder die Gesamtzahl ergeben.

1. Die roten und blauen Bausteine ergeben zusammen \(25\). Daher gilt \(x+7=25\). 2. Subtraktion von \(7\) auf beiden Seiten ergibt \(x=18\).

Eine passende Gleichung ist \(x+7=25\). Es gibt \(18\) rote Bausteine.

- Ordne jeden Teil des Terms \(3x+4\) einem Teil der beschriebenen Situation zu. - Überlege besonders, warum die unbekannte Anzahl mit \(3\) multipliziert wird. - Kontrolliere dein Ergebnis, indem du die drei Beutel und die losen Murmeln wieder zusammenzählst.

1. Der Term \(3x\) beschreibt die Murmeln in drei gleich gefüllten Beuteln. Daher steht \(x\) für die Anzahl der Murmeln in einem Beutel. 2. Aus \(3x+4=19\) folgt \(3x=15\) und damit \(x=5\).

\(x\) ist die Anzahl der Murmeln in einem Beutel. Jeder Beutel enthält \(5\) Murmeln.

- Was bedeutet die Variable \(x\) in der Situation? - Wie kannst du die Gesamtmasse von fünf gleich schweren Paketen ausdrücken? - Prüfe, ob dein Ergebnis zusammen mit der Anzahl der Pakete wieder die Gesamtmasse ergibt.

1. Fünf Pakete mit jeweils \(x\,\text{kg}\) haben zusammen die Masse \(5x\,\text{kg}\). 2. Daher gilt \(5x=30\). 3. Division durch \(5\) ergibt \(x=6\).

Die Gleichung lautet \(5x=30\). Ein Paket wiegt \(6\,\text{kg}\).

- Welche Wirkung hat die Abbuchung auf einen unbekannten Startkontostand? - Welche Wirkung hat danach die Gutschrift? - Die Gleichung soll beide Buchungen sichtbar enthalten; fasse sie erst anschließend zusammen.

1. Der Startwert \(x\) wird zuerst um \(450{,}00\,\text{€}\) vermindert und danach um \(1250{,}60\,\text{€}\) erhöht: \(x-450{,}00+1250{,}60=840{,}25\). 2. Zusammenfassen ergibt \(x+800{,}60=840{,}25\). 3. Subtraktion von \(800{,}60\) ergibt \(x=39{,}65\).

Gleichung: \(x-450{,}00+1250{,}60=840{,}25\). Der Kontostand vor den Buchungen betrug \(39{,}65\,\text{€}\).

- Welches Vorzeichen passt zu „steigt“ und welches zu „sinkt“? - Beginne mit der unbekannten Ausgangshöhe und schreibe beide Änderungen in der gegebenen Reihenfolge dazu. - Welche Operation hebt anschließend die verbleibende Änderung auf?

1. Die beiden Änderungen führen zur Gleichung \(h+245-312=128\). 2. Zusammenfassen ergibt \(h-67=128\). 3. Addition von 67 auf beiden Seiten ergibt \(h=195\).

Gleichung: \(h+245-312=128\). Zum Beispiel: \(h-67=128\Rightarrow h=195\). Die ursprüngliche Höhe betrug \(195\,\text{m}\).

- Schreibe bei jeder Teilaufgabe zuerst den beschriebenen Rechenvorgang mit \(x\) auf. - Achte darauf, welche Größe das Ergebnis des Rechenvorgangs sein soll. - Erst wenn die Gleichung steht, machst du die jeweilige Rechenoperation rückgängig.

1. Für a) gilt \(x+2{,}5=1{,}25\). Subtraktion von \(2{,}5\) ergibt \(x=-1{,}25\). 2. Für b) gilt \(x-\frac{2}{3}=-1{,}5\). Addition von \(\frac{2}{3}\) ergibt \(x=-\frac{5}{6}\). 3. Für c) gilt \(3x=12{,}6\). Division durch 3 ergibt \(x=4{,}2\).

a) \(x+2{,}5=1{,}25\), also \(x=-1{,}25\). b) \(x-\frac{2}{3}=-1{,}5\), also \(x=-\frac{5}{6}\). c) \(3x=12{,}6\), also \(x=4{,}2\).

- Beide Brüder werden in derselben Zeit um denselben Betrag älter. - Schreibe deshalb beide zukünftigen Alter als Terme mit demselben \(x\). - Welche Gleichheit beschreibt „Tim ist doppelt so alt wie Leo“?

1. In \(x\) Jahren ist Tim \(8+x\) und Leo \(2+x\) Jahre alt. 2. „Tim ist doppelt so alt“ führt zu \(8+x=2(2+x)\). 3. Ausmultiplizieren ergibt \(8+x=4+2x\), also \(x=4\).

Gleichung: \(8+x=2(2+x)\). Daraus folgt \(x=4\). In 4 Jahren ist Tim doppelt so alt wie Leo.

- Drücke die ersten beiden Abschnitte als Anteile von \(x\) aus. - Das feste letzte Teilstück muss zusätzlich in der Gleichung stehen. - Welche Größe erhältst du, wenn du alle drei Abschnitte addierst?

1. Die drei Abschnitte ergeben zusammen die Gesamtlänge: \(\frac13x+\frac15x+7=x\). 2. Zusammenfassen der Brüche ergibt \(\frac{8}{15}x+7=x\). 3. Subtraktion von \(\frac{8}{15}x\) ergibt \(7=\frac{7}{15}x\). 4. Daraus folgt \(x=15\).

Gleichung: \(\frac13x+\frac15x+7=x\). Daraus folgt \(x=15\). Der Wanderweg ist \(15\,\text{km}\) lang.

- Was bedeutet das \(x\) in der Gleichung? - Überlege, wie viel Wasser beide Schläuche zusammen in einer Minute liefern. - Wie kannst du aus der Gesamtdauer die Wassermenge eines einzelnen Schlauchs berechnen?

1. Zusammenfassen der Terme auf der linken Seite der Gleichung: \(12x + 8x = 20x\). 2. Lösen der Gleichung nach \(x\): \(20x = 500 \Rightarrow x = 25\). Die Füllzeit beträgt \(25\,\text{Minuten}\). 3. Berechnung des Anteils von Schlauch 1: \(12\,\text{l/min} \cdot 25\,\text{min} = 300\,\text{l}\).

a) Es dauert \(25\,\text{Minuten}\). b) Der erste Schlauch hat \(300\,\text{l}\) Wasser geliefert.

- Beginne mit dem ganzen Betrag \(x\). - Ziehe die beiden ausgegebenen Anteile einzeln von \(x\) ab. - Welche Zahl muss danach als Rest auf der anderen Seite der Gleichung stehen?

1. Nach beiden Ausgaben bleibt \(x-\frac14x-\frac25x\) übrig. 2. Daher gilt \(x-\frac14x-\frac25x=14\). 3. Zusammenfassen ergibt \(\frac{7}{20}x=14\). 4. Multiplikation mit \(\frac{20}{7}\) ergibt \(x=40\).

Gleichung: \(x-\frac14x-\frac25x=14\). Daraus folgt \(x=40\). Lukas erhält \(40\,\text{€}\) Taschengeld.

- Was bedeutet „das Doppelte“ mathematisch ausgedrückt? - Wie übersetzt man „vergrößert um“ in ein Rechenzeichen? - Versuche zuerst, den festen Teil der Rechnung (die Differenz) auszurechnen, um die Gleichung zu vereinfachen.

1. Übersetzung des Textes in eine Gleichung: \(2x + (15{,}4 - 8{,}4) = 25\) 2. Berechnung der Differenz in der Klammer: \(15{,}4 - 8{,}4 = 7\) 3. Vereinfachung der Gleichung: \(2x + 7 = 25\) 4. Subtraktion von \(7\) auf beiden Seiten: \(2x = 18\) 5. Division durch \(2\): \(x = 9\)

Die Gleichung lautet \(2x + (15{,}4 - 8{,}4) = 25\). Die gesuchte Zahl ist \(x = 9\).

- Übersetze in jeder Teilaufgabe zuerst den beschriebenen Rechenvorgang vollständig. - Achte in 2) auf die Reihenfolge: Die unbekannte Zahl wird von 42 abgezogen. - Löse erst, nachdem die Gleichung feststeht.

1. \(x+8{,}4=15\), also \(x=6{,}6\). 2. \(42-y=13{,}5\), also \(y=28{,}5\). 3. \(3a=25{,}5\), also \(a=8{,}5\).

1) \(x+8{,}4=15\), also \(x=6{,}6\). 2) \(42-y=13{,}5\), also \(y=28{,}5\). 3) \(3a=25{,}5\), also \(a=8{,}5\).

- Wenn das Konzentrat \(x\) Liter beträgt, wie groß ist dann die Wassermenge? - Beide Flüssigkeitsmengen bilden zusammen die Gesamtmenge. - Die Gleichung soll beide Bestandteile sichtbar enthalten.

1. Die Konzentratmenge ist \(x\), die Wassermenge \(4x\). 2. Zusammen ergeben sie \(7{,}5\,\text{l}\): \(x+4x=7{,}5\). 3. Daraus folgt \(5x=7{,}5\) und \(x=1{,}5\).

Gleichung: \(x+4x=7{,}5\). Es werden \(1{,}5\,\text{l}\) Konzentrat benötigt.

- Welche Zahl wird verändert und welche Zahl wird davon abgezogen? - Das Ergebnis des beschriebenen Rechenvorgangs steht auf der anderen Seite des Gleichheitszeichens. - Welche Umkehrung hebt die Subtraktion von \(14{,}2\) auf?

1. Die Beschreibung ergibt \(x-14{,}2=-5{,}8\). 2. Addition von \(14{,}2\) auf beiden Seiten ergibt \(x=8{,}4\).

Gleichung: \(x-14{,}2=-5{,}8\). Lösung: \(x=8{,}4\).

- Wie viele gleich große Punktpakete entstehen durch die sechs richtigen Antworten? - Der Bonus ist ein fester zusätzlicher Summand. - Beide Teile zusammen ergeben die Gesamtpunktzahl.

1. Die sechs richtigen Antworten bringen \(6x\) Punkte. 2. Mit Bonus gilt \(6x+25=145\). 3. Subtraktion von 25 ergibt \(6x=120\), also \(x=20\).

Gleichung: \(6x+25=145\). Eine richtige Antwort ist 20 Punkte wert.

- Bringe zuerst beide Waagschalen in dieselbe Masseneinheit. - Wie wird die Masse der vier identischen Schachteln mit \(x\) beschrieben? - Im Gleichgewicht sind die beiden vollständigen Seiten gleich schwer.

1. \(1{,}35\,\text{kg}=1350\,\text{g}\). 2. Gleichgewicht bedeutet \(4x+150=1350\). 3. Subtraktion von 150 ergibt \(4x=1200\). 4. Division durch 4 ergibt \(x=300\).

Gleichung: \(4x+150=1350\). Eine Pralinenschachtel wiegt \(300\,\text{g}\).

- Wähle die kürzere Länge als Variable. - Wie drückst du das viermal so lange Stück mit derselben Variablen aus? - Die Summe beider Stücke ist die ursprüngliche Seillänge.

1. Die Stücke haben die Längen \(x\) und \(4x\). 2. Zusammen gilt \(x+4x=60\). 3. Daraus folgt \(5x=60\) und \(x=12\). 4. Das längere Stück ist \(48\,\text{cm}\) lang.

Gleichung: \(x+4x=60\). Die Seilstücke sind \(12\,\text{cm}\) und \(48\,\text{cm}\) lang.

- Drücke zuerst 7b mit \(x\) aus. - 7c ist dreimal so groß wie 7b, nicht dreimal so groß wie 7a. - Die Kontrolle soll alle drei Einzelmengen wieder zur Gesamtsumme zusammensetzen.

1. 7a sammelt \(x\), 7b \(2x\) und 7c \(6x\). 2. Die Gesamtgleichung lautet \(x+2x+6x=1800\). 3. Daraus folgt \(9x=1800\) und \(x=200\). 4. Die Mengen sind 200, 400 und \(1200\,\text{kg}\); ihre Summe ist \(1800\,\text{kg}\).

Gleichung: \(x+2x+6x=1800\). 7a: \(200\,\text{kg}\), 7b: \(400\,\text{kg}\), 7c: \(1200\,\text{kg}\). Kontrolle: \(200+400+1200=1800\).

- Wie unterscheiden sich aufeinanderfolgende ganze Zahlen jeweils voneinander? - Schreibe alle vier Zahlen mit derselben Ausgangsvariablen. - Ihre Summe muss 66 ergeben.

1. Die Zahlen sind \(x\), \(x+1\), \(x+2\) und \(x+3\). 2. Daher gilt \(x+(x+1)+(x+2)+(x+3)=66\). 3. Zusammenfassen ergibt \(4x+6=66\), also \(x=15\).

Gleichung: \(x+(x+1)+(x+2)+(x+3)=66\). Die Zahlen sind 15, 16, 17 und 18.

- Drücke jede Medienart mit derselben Grundvariable aus. - Die 40 sind ein zusätzlicher fester Anteil nur bei den Comics. - Alle drei Anzahlen ergeben zusammen 280.

1. Sachbücher: \(x\), Romane: \(2x\), Comics: \(x+40\). 2. Gesamtgleichung: \(x+2x+(x+40)=280\). 3. Daraus folgt \(4x+40=280\), also \(x=60\). 4. Es gibt 60 Sachbücher, 120 Romane und 100 Comics.

Gleichung: \(x+2x+(x+40)=280\). Sachbücher: 60, Romane: 120, Comics: 100.

- Wie kannst du eine Zahl und ihren direkten Nachfolger mit einer Variable ausdrücken? - Kannst du den Text Schritt für Schritt in eine mathematische Gleichung übersetzen? - Was bedeutet „um 31 größer“ mathematisch für den Aufbau deiner Gleichung? - Erinnere dich daran, wie man Klammern auflöst, in denen eine Summe mit einer Zahl multipliziert wird.

1. Definition der Variablen: Sei \(x\) die erste Zahl. Die Nachfolgerzahl ist dann \(x + 1\). 2. Aufstellen der Gleichung gemäß der Problemstellung: \(7x = 5(x + 1) + 31\). 3. Auflösen der Klammer auf der rechten Seite: \(7x = 5x + 5 + 31\). 4. Zusammenfassen der Terme: \(7x = 5x + 36\). 5. Subtraktion von \(5x\) auf beiden Seiten: \(2x = 36\). 6. Division durch 2 ergibt die erste Zahl: \(x = 18\). 7. Bestimmung der Nachfolgerzahl: \(18 + 1 = 19\).

Die beiden aufeinanderfolgenden Zahlen sind 18 und 19.

- Drücke beide Ersparnisse mit derselben Variablen aus. - Die 42 Euro sind die Differenz, nicht die Summe. - Welche der beiden Größen ist größer?

1. Finja hat \(x\), Lukas \(4x\) Euro. 2. Die Differenzbedingung lautet \(4x-x=42\). 3. Daraus folgt \(3x=42\), also \(x=14\).

Gleichung: \(4x-x=42\). Finja hat \(14\,\text{€}\) gespart.

- Wenn \(x\) die Autos bezeichnet, wie viele Motorräder bleiben von den 22 Fahrzeugen übrig? - Multipliziere jede Fahrzeuganzahl mit ihrer jeweiligen Radzahl. - Erst die Summe beider Radbeiträge ergibt 72.

1. Es gibt \(x\) Autos und \(22-x\) Motorräder. 2. Die Radgleichung lautet \(4x+2(22-x)=72\). 3. Vereinfachen ergibt \(4x+44-2x=72\), also \(2x=28\) und \(x=14\). 4. Damit gibt es 8 Motorräder.

Gleichung: \(4x+2(22-x)=72\). Es stehen 14 Autos und 8 Motorräder auf dem Parkplatz.

- Nutze Anna als mittlere Referenzmenge. - Beate liegt 10 darunter, Clara 10 darüber. - Auch wenn sich die beiden festen Änderungen später aufheben, müssen sie im Modell sichtbar sein.

1. Anna sammelt \(x\), Beate \(x-10\), Clara \(x+10\). 2. Die Gesamtgleichung lautet \((x-10)+x+(x+10)=120\). 3. Daraus folgt \(3x=120\) und \(x=40\). 4. Die Mengen sind 30, 40 und \(50\,\text{kg}\).

Gleichung: \((x-10)+x+(x+10)=120\). Beate: \(30\,\text{kg}\), Anna: \(40\,\text{kg}\), Clara: \(50\,\text{kg}\).

- Drücke Lukas und Noah jeweils mit Mias Anzahl aus. - Die feste Differenz von 20 gehört nur zum Lukas-Term. - Die Summe der drei Terme ist 200.

1. Mia hat \(x\), Lukas \(x+20\), Noah \(2x\). 2. Es gilt \(x+(x+20)+2x=200\). 3. Daraus folgt \(4x+20=200\), also \(x=45\). 4. Lukas hat 65 und Noah 90 Karten.

Gleichung: \(x+(x+20)+2x=200\). Mia: 45 Karten, Lukas: 65 Karten, Noah: 90 Karten.

- Verwende die Zitronensaftmenge als gemeinsame Ausgangsgröße. - Der Apfelsaft enthält einen festen Zusatz von 400 ml gegenüber \(x\). - Die drei Saftterme ergeben zusammen die Gesamtmenge.

1. Zitrone: \(x\), Orange: \(3x\), Apfel: \(x+400\). 2. Es gilt \(x+3x+(x+400)=2000\). 3. Daraus folgt \(5x=1600\), also \(x=320\). 4. Orange: 960 ml, Apfel: 720 ml.

Gleichung: \(x+3x+(x+400)=2000\). Zitronensaft: \(320\,\text{ml}\), Orangensaft: \(960\,\text{ml}\), Apfelsaft: \(720\,\text{ml}\).

- Verwende die kleinere Ausgangsmenge als Variable. - Schreibe beide Änderungen auf die jeweiligen Ausgangsterme. - Erst nach den Änderungen sind die beiden Terme gleich.

1. Anfangsmengen: erster Tank \(3x\), zweiter Tank \(x\). 2. Danach gilt \(3x-15{,}5=x+28{,}5\). 3. Daraus folgt \(2x=44\), also \(x=22\). 4. Der erste Tank enthielt \(66\,\text{l}\).

Gleichung: \(3x-15{,}5=x+28{,}5\). Anfangs waren \(66\,\text{l}\) im ersten und \(22\,\text{l}\) im zweiten Tank.

- Schreibe beide heutigen Alter mit derselben Variablen. - In 6 Jahren wird zu beiden heutigen Altern 6 addiert. - Welche zukünftige Größe ist dann doppelt so groß wie die andere?

1. Heute ist Mia \(x\), Lukas \(3x\) Jahre alt. 2. In 6 Jahren gilt \(3x+6=2(x+6)\). 3. Daraus folgt \(3x+6=2x+12\), also \(x=6\). 4. Lukas ist heute 18 Jahre alt.

Gleichung: \(3x+6=2(x+6)\). Mia ist heute 6 Jahre alt, Lukas 18 Jahre.

- Drücke beide Entnahmemengen mit derselben Variablen aus. - Bilde danach die beiden Restmengen. - „A hat 15 Liter mehr“ bedeutet: Rest A = Rest B + 15.

1. Aus A werden \(x\), aus B \(3x\) Liter entnommen. 2. Die Restmengen sind \(85-x\) und \(110-3x\). 3. „A hat 15 Liter mehr“ ergibt \(85-x=(110-3x)+15\). 4. Daraus folgt \(2x=40\), also \(x=20\). Aus B werden 60 Liter entnommen.

Gleichung: \(85-x=(110-3x)+15\). Aus A werden \(20\,\text{l}\), aus B \(60\,\text{l}\) entnommen.

- Schreibe beide Bohnenmengen als Vielfache desselben Verhältnisanteils. - Die 450 g beschreiben die Differenz der beiden Mengen. - Die Gesamtmasse ist erst danach die Summe beider Mengen.

1. Arabica: \(7x\), Robusta: \(2x\). 2. Differenzgleichung: \(7x-2x=450\). 3. Daraus folgt \(5x=450\), also \(x=90\). 4. Gesamtmasse: \(9x=810\,\text{g}\).

Gleichung: \(7x-2x=450\). Die Packung enthält insgesamt \(810\,\text{g}\).

- Wenn \(x\) Antworten richtig sind, wie viele der 12 sind falsch? - Richtige Antworten und falsche Antworten tragen mit verschiedenen Vorzeichen zum Punktestand bei. - Verwende in beiden Teilen dieselbe Modellstruktur, aber einen anderen Endpunktestand.

1. Bei \(x\) richtigen Antworten sind \(12-x\) falsch. Für a) gilt \(4x-2(12-x)=30\). 2. Daraus folgt \(6x-24=30\), also \(x=9\). 3. Für b) gilt \(4x-2(12-x)=6\). 4. Daraus folgt \(6x-24=6\), also \(x=5\).

a) Gleichung: \(4x-2(12-x)=30\). Die Gruppe hat 9 richtige Antworten. b) Gleichung: \(4x-2(12-x)=6\). Die Gruppe hat 5 richtige Antworten.

- Welches mathematische Zeichenpaar entspricht „strikt zwischen“? - Führe auf allen drei Teilen der Doppelungleichung dieselbe Umformung aus. - Gib zuerst die vollständige rationale Lösungsmenge an. - Wähle erst danach die natürlichen Zahlen aus dem Intervall aus.

1. Die Bedingung lautet \(15<5n-7<35\). 2. Addition von \(7\) auf allen drei Seiten ergibt \(22<5n<42\). 3. Division durch \(5\) ergibt \(\frac{22}{5}<n<\frac{42}{5}\). 4. Über \(\mathbb{Q}\) ist \(L=]\frac{22}{5};\frac{42}{5}[\). 5. Die natürlichen Zahlen darin sind \(5,6,7,8\).

a) \(15<5n-7<35\Rightarrow\frac{22}{5}<n<\frac{42}{5}\) b) \(L=]\frac{22}{5};\frac{42}{5}[\) c) \(5,6,7,8\)

- Jeder Ausgabenposten ist ein Anteil desselben Gesamtbudgets \(x\). - Die 30 Euro sind kein Bruchteil, sondern ein fester Restbetrag. - Alle vier Teile ergeben zusammen das gesamte Budget.

1. Die Budgetgleichung lautet \(\frac13x+\frac25x+\frac16x+30=x\). 2. Die drei Bruchteile ergeben \(\frac{9}{10}x\). 3. Damit gilt \(\frac{9}{10}x+30=x\), also \(30=\frac{1}{10}x\). 4. Daher \(x=300\).

Gleichung: \(\frac13x+\frac25x+\frac16x+30=x\). Das Gesamtbudget beträgt \(300\,\text{€}\).

- Überlege dir zuerst, wofür die Variable \(x\) stehen könnte. - Kannst du die gelesenen Teile des Buches als Bruchteile von \(x\) ausdrücken? - Wie hängen die gelesenen Seiten und die restlichen Seiten mit der Gesamtzahl zusammen? - Versuche, alle Terme mit der Unbekannten auf eine Seite der Gleichung zu bringen.

1. Variable festlegen: Sei \(x\) die Gesamtzahl der Seiten des Buches. 2. Anteile und Restwert als Summe zur Gesamtmenge in Beziehung setzen: \(\frac{1}{3}x + \frac{1}{4}x + 125 = x\). 3. Gleichnamig machen der Brüche (Hauptnenner \(12\)): \(\frac{4}{12}x + \frac{3}{12}x + 125 = x\). 4. Zusammenfassen der \(x\)-Terme auf einer Seite: \(125 = x - \frac{7}{12}x\). 5. Subtraktion der Brüche: \(125 = \frac{5}{12}x\). 6. Nach \(x\) auflösen durch Multiplikation mit dem Kehrwert: \(x = 125 \cdot \frac{12}{5} = 25 \cdot 12 = 300\).

Eine passende Gleichung ist \(\frac{1}{3}x + \frac{1}{4}x + 125 = x\). Das Buch hat insgesamt \(300\) Seiten.

- Achte auf die Reihenfolge der sprachlich beschriebenen Rechenschritte. - Überlege, welcher Term genau „die Zahl verdoppeln“ darstellt. - Prüfe die gewählte Gleichung, indem du die gefundene Zahl in die ursprüngliche Aussage einsetzt.

1. „Eine Zahl verdoppeln“ wird durch \(2x\) beschrieben. Danach werden \(5\) addiert, daher ist A mit \(2x+5=17\) passend. 2. B würde zuerst \(5\) zur Zahl addieren und erst danach die gesamte Summe verdoppeln. C beschreibt weder die Verdopplung noch das gegebene Ergebnis korrekt. 3. Aus \(2x+5=17\) folgt \(2x=12\) und damit \(x=6\).

A ist richtig, weil „verdopple eine Zahl“ den Term \(2x\) ergibt und die \(5\) erst danach addiert wird. Daher beschreibt \(2x+5=17\) genau die vorgegebene Reihenfolge. Aus \(2x+5=17\) folgt \(x=6\).

- Untersuche in der Tabelle, um wie viel die Gesamtzahl steigt, wenn ein Päckchen hinzukommt. - Trenne den Anteil aus den Päckchen von den einzelnen Karten. - Setze den gefundenen Term gleich der neuen Gesamtzahl.

1. Bei jedem zusätzlichen Päckchen steigt die Gesamtzahl um \(4\). Ein Päckchen enthält daher \(4\) Karten. 2. Mit den \(3\) einzelnen Karten ergibt sich für \(x\) Päckchen der Term \(4x+3\). 3. Für insgesamt \(27\) Karten gilt \(4x+3=27\). 4. Daraus folgt \(4x=24\) und damit \(x=6\).

Die Gleichung lautet \(4x+3=27\). Es werden \(6\) Päckchen verwendet.

- Welche Größe wird durch \(x\) beschrieben? - Übersetze zuerst „die Zahl, die um 2 größer ist als \(x\)“ als Term. - Welche beiden vollständigen Ausdrücke werden durch „ist um 10 größer als“ miteinander verglichen?

1. Aus dem Text folgt \(7x=3(x+2)+10\). 2. Ausmultiplizieren und zusammenfassen ergibt \(7x=3x+16\). 3. Subtrahiere \(3x\): \(4x=16\). 4. Division durch 4 ergibt \(x=4\).

Gleichung: \(7x=3(x+2)+10\). Eine mögliche Umformung ist \(7x=3x+16\Rightarrow4x=16\). Damit ist \(x=4\).

- Bei Lukas wächst das Guthaben, bei Sarah sinkt es monatlich. - Ein Gleichstand bedeutet, dass die beiden vollständigen Guthabenterme denselben Wert haben. - Berechne den gemeinsamen Geldbetrag erst nach dem Lösen der Gleichung.

1. Lukas: \(85+12m\), Sarah: \(205-8m\). 2. Gleichstand: \(85+12m=205-8m\). 3. Daraus folgt \(20m=120\), also \(m=6\). 4. Gemeinsamer Betrag: \(85+12\cdot6=157\,\text{€}\).

Terme: \(85+12m\) und \(205-8m\). Gleichung: \(85+12m=205-8m\). Nach 6 Monaten besitzen beide \(157\,\text{€}\).

- In welcher Einheit lässt sich der gesamte Arbeitsaufwand ausdrücken, wenn Personenanzahl und Tage gegeben sind? - Ziehe den bereits geleisteten Arbeitsaufwand vom Gesamtaufwand ab. - Wie wird der verbleibende Aufwand durch 9 Tage und eine unbekannte Personenanzahl \(x\) beschrieben?

1. Der gesamte Arbeitsaufwand beträgt \(4\cdot30=120\,\text{Personentage}\). 2. In 12 Tagen wurden \(12\cdot4=48\,\text{Personentage}\) geleistet, also bleiben \(120-48=72\,\text{Personentage}\). 3. Für 9 verbleibende Tage gilt daher \(9x=72\). 4. Division durch 9 ergibt \(x=8\).

Offener Arbeitsaufwand: \(72\,\text{Personentage}\). Gleichung: \(9x=72\). Ab dem 13. Tag werden insgesamt 8 Programmierer benötigt.

- „Dasselbe Ergebnis“ verbindet zwei vollständige Terme mit einem Gleichheitszeichen. - In a) müssen links und rechts unterschiedliche Vielfache derselben Zahl vorkommen. - In b) muss die Formulierung „um 4 kleiner als ihr Fünffaches“ als Beziehung zwischen \(x\) und \(5x\) erscheinen.

1. Für a) gilt \(2x+5=3x-3\). Subtraktion von \(2x\) und Addition von 3 ergeben \(x=8\). 2. Für b) gilt \(x=5x-4\). Subtraktion von \(x\) ergibt \(4x=4\), also \(x=1\). Damit existiert eine solche Zahl.

a) \(2x+5=3x-3\), also \(x=8\). b) \(x=5x-4\), also \(x=1\). Daher gibt es genau eine solche Zahl.

- In a) stehen zwei verschiedene Rechenwege zur selben Zahl einander gegenüber. - In b) bezieht sich das Dreifache auf die ganze Summe; welche Klammer brauchst du dafür? - Wähle nach dem Aufstellen eine Umformung, die Brüche oder Klammern übersichtlicher macht.

1. Für a) gilt \(\frac14x+0{,}5=2x-3\). Multiplikation mit 4 ergibt \(x+2=8x-12\). Daraus folgt \(14=7x\) und \(x=2\). 2. Für b) gilt \(3(x+4)=5x-2\). Ausmultiplizieren ergibt \(3x+12=5x-2\). Daraus folgt \(14=2x\) und \(x=7\).

a) \(\frac14x+0{,}5=2x-3\). Zum Beispiel: \(x+2=8x-12\Rightarrow14=7x\). Daher \(x=2\). b) \(3(x+4)=5x-2\). Zum Beispiel: \(3x+12=5x-2\Rightarrow14=2x\). Daher \(x=7\).

- In b) ändern sich beide Alter um denselben Betrag; prüfe die neuen Werte direkt. - In c) müssen beide zukünftigen Alter denselben Zeitparameter enthalten. - Welcher der beiden zukünftigen Altersterme wird mit 3 multipliziert?

1. Aktuell ist das Verhältnis \(36:6=6\). 2. In 4 Jahren sind die beiden 40 und 10 Jahre alt; Jonas ist dann ein Viertel so alt, nicht halb so alt. 3. Für c) gilt \(36+x=3(6+x)\). 4. Ausmultiplizieren und umformen ergibt \(36+x=18+3x\Rightarrow18=2x\Rightarrow x=9\).

a) Das Verhältnis ist \(6\). b) Jonas hat nicht recht: In 4 Jahren sind die Alter 40 und 10, also ist Jonas ein Viertel so alt. c) Gleichung: \(36+x=3(6+x)\). Daraus folgt \(x=9\). In 9 Jahren ist Sofía dreimal so alt wie Jonas.

- Trenne bei jedem Stapel Startwert und Zuwachs pro Minute. - Für „gleich viele“ müssen die vollständigen Terme gleichgesetzt werden. - Nutze erst nach dem Lösen den gefundenen Zeitpunkt für Teil c.

1. Stapel A wächst mit 5 Kisten pro Minute schneller als Stapel B mit 2. 2. Die Terme sind \(15+5t\) und \(45+2t\). 3. Gleichstand bedeutet \(15+5t=45+2t\). 4. Daraus folgt \(3t=30\), also \(t=10\). 5. Einsetzen ergibt \(15+5\cdot10=65\) Kisten.

a) Stapel A wächst schneller, weil er \(5\) Kisten pro Minute erhält und Stapel B nur \(2\) Kisten pro Minute. b) Terme: \(15+5t\) und \(45+2t\). Gleichung: \(15+5t=45+2t\). Daraus folgt \(t=10\) Minuten. c) Beide Stapel enthalten dann \(65\) Kisten.

- Schreibe zuerst beide heutigen Alter mit derselben Variablen. - In 6 Jahren werden beide heutigen Alter um 6 erhöht. - Welcher zukünftige Altersterm ist dann das Dreifache des anderen?

1. Leonie ist heute \(x\) Jahre alt, Aisha \(4x\). 2. In 6 Jahren sind die beiden \(x+6\) und \(4x+6\) Jahre alt. 3. Die Bedingung führt zu \(4x+6=3(x+6)\). 4. Daraus folgt \(4x+6=3x+18\), also \(x=12\). 5. Aisha ist heute \(4\cdot12=48\) Jahre alt.

Gleichung: \(4x+6=3(x+6)\). Leonie ist heute 12 Jahre alt, Aisha Khan 48 Jahre.

- Schau dir die einzelnen Bestandteile der Gleichung an: Was stellen der Anfangs- und der Endwert dar? - Welche Änderung vergrößert die Wassermenge und welche verkleinert sie? - Vereinfache die bekannten Anteile, bevor du die Unbekannte isolierst.

1. Überprüfung: \(15\) ist der Startwert, \(0{,}5\cdot20\) ist der Zuwachs durch Regen in \(20\,\text{min}\), \(y\cdot20\) ist der Verlust durch das Leck. Die Differenz ergibt den Endwert \(21\). Die Gleichung ist korrekt. 2. Vereinfachung der Gleichung: \(15+10-20y=21\). 3. Zusammenfassen: \(25-20y=21\). 4. Umstellen nach \(y\): \(25-21=20y\Rightarrow4=20y\). 5. Ergebnis berechnen: \(y=4:20=0{,}2\). Der Verlust beträgt \(0{,}2\,\text{l/min}\).

a) Ja, die Gleichung ist korrekt, da sie Startwert, Zufluss und Abfluss über die Zeitspanne von \(20\,\text{Minuten}\) mit dem Endwert verknüpft. b) Der Wasserverlust beträgt \(0{,}2\,\text{l}\) pro Minute.

- Addiere zuerst die drei vorgegebenen Saftanteile. - Der fehlende Anteil gehört zum Mineralwasser. - In b) muss dieser Anteil von \(x\) genau \(300\,\text{ml}\) ergeben.

1. Die Saftanteile ergeben \(\frac13+\frac14+\frac16=\frac34\), also entfällt \(\frac14\) auf Mineralwasser. 2. Für die Gesamtmenge gilt deshalb \(\frac14x=300\). 3. Multiplikation mit 4 ergibt \(x=1200\,\text{ml}\). 4. Orangensaft: \(\frac13\cdot1200=400\,\text{ml}\).

a) Mineralwasser: \(\frac14\) des Punsches. b) Gleichung: \(\frac14x=300\). Daraus folgt \(x=1200\,\text{ml}\). c) Orangensaft: \(400\,\text{ml}\).

- Wie würdest du den Anteil der Kinderbücher berechnen, wenn du nur die Anteile der anderen Bucharten kennst? - Was bedeutet das „Ganze“ in dieser Aufgabe ausgedrückt als Zahl? - Versuche zuerst, alle Anteile auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen, um sie besser vergleichen und verrechnen zu können.

1. Aufstellen der Gleichung: \(x \cdot (1 - (\frac{1}{2} + \frac{1}{5} + \frac{1}{8})) = 63\) oder \(x - \frac{1}{2} \cdot x - \frac{1}{5} \cdot x - \frac{1}{8} \cdot x = 63\) 2. Darstellung der Brüche mit dem Hauptnenner \(40\): \(\frac{20}{40} + \frac{8}{40} + \frac{5}{40} = \frac{33}{40}\) 3. Berechnung des Restanteils: \(1 - \frac{33}{40} = \frac{7}{40}\). 4. Lösen der Gleichung \(\frac{7}{40} \cdot x = 63\): \(x = 63 \cdot \frac{40}{7}\) 5. Berechnung des Ergebnisses: \(x = 9 \cdot 40 = 360\) 6. Interpretation des Ausdrucks: Er stellt den Anteil der Kinderbücher an der Gesamtzahl aller neuen Bücher dar.

Die Gleichung lautet \(\frac{7}{40} \cdot x = 63\) (oder eine äquivalente Form). Die Gesamtzahl der Bücher beträgt \(x = 360\). Der Ausdruck \(1 - (\frac{1}{2} + \frac{1}{5} + \frac{1}{8})\) gibt den Anteil der Kinderbücher an der Gesamtmenge an.

- Kannst du für jede Information im Text (Anzahl Kisten, Anzahl Flaschen) eine eigene Gleichung aufstellen? - Wie hängen die Anzahl der Kisten und die Gesamtzahl der Flaschen zusammen? - Welches Verfahren kennst du, um zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten gleichzeitig zu lösen? - Überprüfe dein Ergebnis am Ende: Ergeben deine Kistenzahlen zusammen wirklich 11?

1. Definition der Variablen: \(x\) für die Anzahl der Limonaden-Kisten und \(y\) für die Anzahl der Wasser-Kisten. 2. Aufstellen des linearen Gleichungssystems: (I) \(x + y = 11\) (II) \(12x + 10y = 122\) 3. Auflösen von (I) nach \(y\): \(y = 11 - x\). 4. Einsetzen in (II): \(12x + 10 \cdot (11 - x) = 122\). 5. Vereinfachen der Gleichung: \(12x + 110 - 10x = 122 \Rightarrow 2x + 110 = 122\). 6. Lösen nach \(x\): \(2x = 12 \Rightarrow x = 6\). 7. Berechnen von \(y\): \(y = 11 - 6 = 5\). 8. Ergebnis: Es wurden 6 Limonaden-Kisten und 5 Wasser-Kisten geliefert.

Es wurden 6 Limonaden-Kisten und 5 Wasser-Kisten geliefert.

- Kannst du die Informationen aus dem Text in zwei mathematische Gleichungen übersetzen? - Welche Unbekannten suchen wir in dieser Aufgabe? - Wie verändern sich die Beträge im beschriebenen „Was-wäre-wenn“-Szenario? - Welches Verfahren kennst du, um zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten zu lösen?

1. Variablen festlegen: \(L\) für Leons Erspartes und \(M\) für Mias Erspartes. 2. Erste Gleichung aufstellen: \(L + M = 30\). 3. Zweite Bedingung als Gleichung formulieren: \(2L + 0{,}5M = 36\). 4. Einsetzungsverfahren anwenden: \(M = 30 - L\) in die zweite Gleichung einsetzen. 5. Berechnung: \(2L + 0{,}5 \cdot (30 - L) = 36 \implies 2L + 15 - 0{,}5L = 36 \implies 1{,}5L = 21\). 6. Ergebnis für \(L\): \(L = 14\). 7. Ergebnis für \(M\): \(M = 30 - 14 = 16\). Leon hat \(14\,\text{€}\) gespart und Mia \(16\,\text{€}\).

Leon hat \(14\,\text{€}\) gespart und Mia \(16\,\text{€}\).

- Kannst du Variablen für die beiden unbekannten Alter festlegen? - Wie drücken wir das Alter der beiden in fünf Jahren aus? - Versuche, für jede Information im Text eine mathematische Beziehung aufzuschreiben. - Könntest du eine der Unbekannten durch die andere ersetzen, um nur noch eine Variable in der Gleichung zu haben?

1. Definition der Variablen: \(s\) für Sarahs heutiges Alter und \(v\) für das heutige Alter des Vaters. 2. Aufstellen der Gleichungen: Aus der ersten Bedingung folgt \(v = 3s\). In \(5\) Jahren sind sie \(s+5\) und \(v+5\) Jahre alt. Die zweite Bedingung lautet \(v + 5 = 2 \cdot (s + 5) + 6\). 3. Einsetzen von \(v = 3s\) in die zweite Gleichung: \(3s + 5 = 2s + 10 + 6\). 4. Zusammenfassen und Lösen nach \(s\): \(3s + 5 = 2s + 16 \implies s = 11\). 5. Berechnung von \(v\): \(v = 3 \cdot 11 = 33\). Sarah ist heute \(11\) Jahre alt und ihr Vater \(33\) Jahre.

Sarah ist \(11\) Jahre alt und ihr Vater ist \(33\) Jahre alt.

- Welche Gleichung beschreibt die Gesamtzahl der Tiere? - Welche Gleichung beschreibt die Gesamtzahl der Beine? - Welche Eigenschaft haben die Beinanzahlen beider Tierarten gemeinsam, die für Teil b) entscheidend ist?

1. Setze \(x\) für die Anzahl der Hühner und \(y\) für die Anzahl der Schafe. Dann gilt \(\begin{cases}x+y=25\\2x+4y=72\end{cases}\). 2. Aus der ersten Gleichung folgt \(x=25-y\). Einsetzen in die zweite ergibt \(2(25-y)+4y=72\), also \(y=11\) und damit \(x=14\). 3. Für Teil b) genügt die Parität: Hühner und Schafe haben jeweils eine gerade Anzahl Beine. Daher muss auch die Gesamtzahl der Beine gerade sein; \(75\) ist ungerade.

a) Es sind 14 Hühner und 11 Schafe. b) Jede mögliche Gesamtzahl der Beine ist gerade; 75 ist ungerade und daher unmöglich.

- Wie lässt sich eine zweistellige Zahl aus Zehner- und Einerziffer als Term schreiben? - Welche Gleichung beschreibt die Quersumme? - Wie verändert sich der Term, wenn die beiden Ziffern vertauscht werden?

1. Setze \(x\) als Zehnerziffer und \(y\) als Einerziffer. Die Zahl lautet \(10x+y\), die vertauschte Zahl \(10y+x\). 2. Aus der Quersumme folgt \(x+y=12\). Aus der zweiten Bedingung folgt \(10y+x=10x+y+18\), also \(-x+y=2\). Zusammen ergibt sich \(\begin{cases}x+y=12\\-x+y=2\end{cases}\). 3. Addiere die beiden Gleichungen: \(2y=14\), also \(y=7\). 4. Mit der ersten Gleichung folgt \(x=5\). Die ursprüngliche Zahl ist daher \(10\cdot5+7=57\).

Die ursprüngliche Zahl ist \(57\).

- Eine zweistellige Zahl mit Zehnerziffer \(t\) und Einerziffer \(u\) hat den Wert \(10t+u\). - Ersetze \(u\) durch den Zusammenhang zur Zehnerziffer. - Die Zahl und ihre Quersumme werden anschließend addiert.

1. Die Einerziffer ist \(t+3\). 2. Die Zahl lautet \(10t+(t+3)\), die Quersumme \(t+(t+3)\). 3. Daher gilt \(10t+(t+3)+t+(t+3)=45\). 4. Zusammenfassen ergibt \(13t+6=45\), also \(t=3\). 5. Die Einerziffer ist 6; die Zahl lautet 36.

Zahlterm: \(10t+(t+3)\), Quersumme: \(t+(t+3)\). Gleichung: \(10t+(t+3)+t+(t+3)=45\). Daraus folgt \(t=3\), also lautet die Zahl 36.

- Nutze die Ziffernsumme, um die Einerziffer mit \(x\) auszudrücken. - Beim Vertauschen ändern sich die Stellenwerte 10 und 1. - Welche der beiden Zahlen ist laut Text um 36 größer?

1. Die Einerziffer ist \(10-x\). 2. Ursprüngliche Zahl: \(10x+(10-x)\). Vertauschte Zahl: \(10(10-x)+x\). 3. Die Differenzbedingung ergibt \(10x+(10-x)-36=10(10-x)+x\). 4. Vereinfachen liefert \(9x-26=100-9x\), also \(18x=126\) und \(x=7\). 5. Die ursprüngliche Zahl ist 73.

Ursprüngliche Zahl: \(10x+(10-x)\). Vertauschte Zahl: \(10(10-x)+x\). Gleichung: \(10x+(10-x)-36=10(10-x)+x\). Daraus folgt \(x=7\), also lautet die ursprüngliche Zahl 73.

- In 1) muss das Doppelte der unbekannten Zahl als ein Term erscheinen. - In 2) unterscheide „von 100 subtrahieren“ von „100 von einer Zahl subtrahieren“. - In 3) bezieht sich die Multiplikation mit 5 auf die ganze Summe.

1. \(2n+17=45\Rightarrow2n=28\Rightarrow n=14\). 2. \(100-z=4\cdot18\Rightarrow100-z=72\Rightarrow z=28\). 3. \(5(k+2{,}2)=25\Rightarrow k+2{,}2=5\Rightarrow k=2{,}8\).

1) \(2n+17=45\), also \(n=14\). 2) \(100-z=4\cdot18\), also \(z=28\). 3) \(5(k+2{,}2)=25\), also \(k=2{,}8\).

- Der „ursprüngliche Betrag“ ist in beiden variablen Summanden derselbe Wert \(x\). - Schreibe das Doppelte und die Hälfte zunächst getrennt auf. - Die festen \(12\,\text{€}\) werden erst danach addiert.

1. Die Beschreibung führt zu \(2x+\frac12x+12=107\). 2. Zusammenfassen ergibt \(\frac52x+12=107\). 3. Subtraktion von 12 ergibt \(\frac52x=95\). 4. Multiplikation mit \(\frac25\) ergibt \(x=38\).

Gleichung: \(2x+\frac12x+12=107\). Daraus folgt \(x=38\). Anfangs waren \(38\,\text{€}\) in der Spardose.

- Die zweite Waage kann erst ausgewertet werden, wenn du die Würfelmasse aus der ersten kennst. - Jede Waage liefert eine eigene Gleichheit zwischen linker und rechter Seite. - Setze den Wert von \(x\) erst nach dem Lösen der ersten Gleichung in die zweite ein.

1. Erste Waage: \(3x+200=800\), also \(3x=600\) und \(x=200\). 2. Zweite Waage: \(2x+y=500\). 3. Einsetzen von \(x=200\) ergibt \(400+y=500\), also \(y=100\).

Erste Gleichung: \(3x+200=800\), daraus \(x=200\,\text{g}\). Zweite Gleichung: \(2x+y=500\). Mit \(x=200\) folgt \(y=100\,\text{g}\).

- Beginne damit, eine Urkundenart als \(x\) festzulegen. Meist ist die kleinste Menge am besten geeignet. - Achte beim Aufstellen der Terme darauf, dass sich der Faktor 4 auf die gesamte Anzahl der Ehrenurkunden bezieht (denke an Klammern). - Die Summe aller drei Terme muss die Gesamtzahl der Urkunden ergeben. - Prüfe am Ende, ob deine drei berechneten Zahlen zusammen wirklich die Gesamtzahl ergeben.

1. Festlegen der Variable: \(x\) sei die Anzahl der Siegerurkunden. 2. Aufstellen der Terme: Ehrenurkunden = \(x + 20\); Teilnehmerurkunden = \(4(x + 20)\). 3. Aufstellen der Gleichung für die Gesamtzahl: \(x + (x + 20) + 4(x + 20) = 220\). 4. Auflösen der Klammern: \(x + x + 20 + 4x + 80 = 220\). 5. Zusammenfassen der Glieder: \(6x + 100 = 220\). 6. Isolieren von \(x\): \(6x = 120 \implies x = 20\). 7. Berechnung der Werte: Siegerurkunden = \(20\), Ehrenurkunden = \(20 + 20 = 40\), Teilnehmerurkunden = \(4 \cdot 40 = 160\).

Setze \(x\) als Anzahl der Siegerurkunden. Dann sind \(x+20\) die Ehrenurkunden und \(4(x+20)\) die Teilnehmerurkunden. Gleichung: \(x+(x+20)+4(x+20)=220\). Daraus folgt \(x=20\). Es wurden \(20\) Siegerurkunden, \(40\) Ehrenurkunden und \(160\) Teilnehmerurkunden verteilt.

- Zwei aufeinanderfolgende ungerade Zahlen unterscheiden sich um 2. - Die Gleichung soll alle drei Zahlenterme enthalten. - Prüfe Harutos Aussage erst mit der gefundenen mittleren Zahl.

1. Die drei Zahlen sind \(x\), \(x+2\) und \(x+4\). 2. Es gilt \(x+(x+2)+(x+4)=105\). 3. Daraus folgt \(3x+6=105\), also \(x=33\). 4. Die Zahlen sind 33, 35 und 37. Außerdem ist \(105:3=35\), also stimmt die Aussage in diesem Fall.

Gleichung: \(x+(x+2)+(x+4)=105\). Die Zahlen sind 33, 35 und 37. Für diesen Fall stimmt Harutos Aussage, denn \(105:3=35\).

- Verwende einen gemeinsamen Verhältnisfaktor \(x\) für alle drei Bestandteile. - Die gegebene Zahl 60 beschreibt eine Differenz, nicht die Gesamtmasse. - Berechne die Gesamtmasse erst, nachdem du \(x\) bestimmt hast.

1. Zement, Sand und Kies haben die Massen \(x\), \(4x\) und \(8x\). 2. Die Differenzbedingung ergibt \(8x-4x=60\). 3. Daraus folgt \(4x=60\) und \(x=15\). 4. Die Gesamtmasse beträgt \(x+4x+8x=13x=195\,\text{kg}\).

Gleichung: \(8x-4x=60\). Zement: \(15\,\text{kg}\). Gesamtmasse: \(195\,\text{kg}\).

- Aufeinanderfolgende ungerade Zahlen unterscheiden sich jeweils um 2. - In b) brauchst du keine neue Gleichung; nutze die Parität der Summanden. - Achte darauf, dass die Begründung für b) allgemein gilt.

1. Die ungeraden Zahlen sind \(x\), \(x+2\), \(x+4\). 2. Daher gilt \(x+(x+2)+(x+4)=153\). 3. Daraus folgt \(3x+6=153\), also \(x=49\). Die Zahlen sind 49, 51, 53. 4. Die Summe dreier gerader Zahlen ist gerade; 153 ist ungerade.

a) Gleichung: \(x+(x+2)+(x+4)=153\). Die Zahlen sind 49, 51 und 53. b) Drei gerade Zahlen haben eine gerade Summe. Daher kann ihre Summe nicht 153 sein.

- Wähle das zweite Stück als Ausgangsvariable. - Das dritte Stück wird über das erste beschrieben, nicht direkt über das zweite. - Die Summe aller drei Längen ist 100.

1. Zweites Stück: \(x\), erstes Stück: \(2x\), drittes Stück: \(2x-5\). 2. Es gilt \(2x+x+(2x-5)=100\). 3. Daraus folgt \(5x-5=100\), also \(x=21\). 4. Die Längen sind 42, 21 und \(37\,\text{cm}\).

Gleichung: \(2x+x+(2x-5)=100\). Die drei Stücke sind \(42\,\text{cm}\), \(21\,\text{cm}\) und \(37\,\text{cm}\) lang.

- Drücke zuerst 7b als Anteil von 7a aus. - Die 15 Euro werden erst beim Term für 7c abgezogen. - Die drei Beträge müssen zusammen genau 510 Euro ergeben.

1. 7a: \(x\), 7b: \(\frac23x\), 7c: \(\frac23x-15\). 2. Es gilt \(x+\frac23x+(\frac23x-15)=510\). 3. Zusammenfassen ergibt \(\frac73x-15=510\), also \(\frac73x=525\) und \(x=225\). 4. Die Beträge sind 225, 150 und \(135\,\text{€}\).

Gleichung: \(x+\frac23x+(\frac23x-15)=510\). 7a: \(225\,\text{€}\), 7b: \(150\,\text{€}\), 7c: \(135\,\text{€}\).

- Drücke zuerst den zweiten Tag mit der Strecke des ersten Tages aus. - Der dritte Tag ist um 2 km kürzer als der zweite, nicht als der erste. - Alle drei Terme müssen zusammen 46 ergeben.

1. Die Tagesstrecken sind \(x\), \(1{,}5x\) und \(1{,}5x-2\). 2. Ihre Summe ergibt \(x+1{,}5x+(1{,}5x-2)=46\). 3. Daraus folgt \(4x-2=46\), also \(x=12\). 4. Die Strecken sind 12, 18 und \(16\,\text{km}\).

Gleichung: \(x+1{,}5x+(1{,}5x-2)=46\). Tag 1: \(12\,\text{km}\), Tag 2: \(18\,\text{km}\), Tag 3: \(16\,\text{km}\).

- Stelle 7b zunächst als Term in \(x\) dar. - Der Term für 7c ist die Summe der ersten beiden Klassenterme. - Den Anteil in Teil 2 berechnest du erst aus dem gefundenen Betrag der 7c.

1. 7a sammelt \(x\), 7b \(x+40\), 7c \(x+(x+40)=2x+40\). 2. Gesamtgleichung: \(x+(x+40)+(2x+40)=720\). 3. Daraus folgt \(4x+80=720\), also \(x=160\). 4. Die Beträge sind 160, 200 und 360 Euro. 7c hat \(360:720=\frac12=50\,\%\) gesammelt.

1) Gleichung: \(x+(x+40)+(2x+40)=720\). 7a: \(160\,\text{€}\), 7b: \(200\,\text{€}\), 7c: \(360\,\text{€}\). 2) Anteil der 7c: \(\frac12=50\,\%\).

- Überlege dir, welches Paketgewicht du als Grundwert (Variable) festlegst. - Wie kannst du die Gewichte der anderen Pakete im Verhältnis dazu beschreiben? - Wie oft kommt jede Paketart in der Gesamtrechnung vor? - Erstelle eine Gleichung, die alle Pakete und ihr Gesamtgewicht berücksichtigt.

1. Festlegen der Variablen \(x\) für das Gewicht eines kleinen Pakets in \(\text{kg}\). 2. Ausdrücken der Gewichte der anderen Pakete durch \(x\): mittleres Paket = \(x + 2\), großes Paket = \(2x\). 3. Aufstellen der Gleichung für das Gesamtgewicht aller Pakete: \(10x + 5(x + 2) + 2(2x) = 86\). 4. Vereinfachen der Gleichung: \(10x + 5x + 10 + 4x = 86 \Rightarrow 19x + 10 = 86\). 5. Lösen der Gleichung: \(19x = 76 \Rightarrow x = 4\). 6. Berechnung der einzelnen Gewichte: kleines Paket \(4\,\text{kg}\), mittleres Paket \(4 + 2 = 6\,\text{kg}\), großes Paket \(2 \cdot 4 = 8\,\text{kg}\).

Ein kleines Paket wiegt \(4\,\text{kg}\), ein mittleres Paket \(6\,\text{kg}\) und ein großes Paket \(8\,\text{kg}\).

- Stelle zuerst Terme für die Mengen am Anfang auf. - Wie verändern sich diese Terme, wenn Obst dazukommt oder weggenommen wird? - Wie hängen die neuen Mengen am Ende zusammen? Achte darauf, welcher Teil größer ist. - Kannst du die Situation nach der Änderung in einer Gleichung zusammenfassen?

1. Definition der Variable \(b\) für die ursprüngliche Masse der Birnen in kg. Die Masse der Äpfel beträgt dann \(3b\). 2. Bestimmung der neuen Massen nach der Änderung: Äpfel \(3b - 2\), Birnen \(b + 5\). 3. Aufstellen der Gleichung gemäß der Bedingung (Birnenmasse ist Äpfelmasse minus \(3\,\text{kg}\)): \(b + 5 = (3b - 2) - 3\). 4. Vereinfachen der Gleichung: \(b + 5 = 3b - 5\). 5. Umformen durch Addition von 5 und Subtraktion von \(b\): \(10 = 2b\). 6. Lösung der Gleichung: \(b = 5\). 7. Zu Beginn waren \(5\,\text{kg}\) Birnen in der Kiste.

Ursprünglich waren \(5\,\text{kg}\) Birnen in der Kiste.

- Verwende B als Ausgangsgröße. - Der Term für C entsteht aus dem Term für A. - Alle drei Massen zusammen ergeben \(10{,}5\,\text{kg}\).

1. B wiegt \(x\), A \(2x\), C \(2x-1{,}5\). 2. Es gilt \(2x+x+(2x-1{,}5)=10{,}5\). 3. Daraus folgt \(5x=12\), also \(x=2{,}4\). 4. A wiegt \(4{,}8\,\text{kg}\), C \(3{,}3\,\text{kg}\).

Gleichung: \(2x+x+(2x-1{,}5)=10{,}5\). A: \(4{,}8\,\text{kg}\), B: \(2{,}4\,\text{kg}\), C: \(3{,}3\,\text{kg}\).

- Anzahl der Umdrehungen ist Strecke geteilt durch Radumfang. - Beide Räder legen dieselbe Strecke zurück, haben aber verschiedene Umdrehungszahlen. - Welche der beiden Umdrehungszahlen ist um 15 größer?

1. Die Umdrehungszahlen sind \(s:20\) und \(s:30\). 2. Die Differenzbedingung ergibt \(\frac{s}{20}=\frac{s}{30}+15\). 3. Multiplikation mit 60 ergibt \(3s=2s+900\), also \(s=900\,\text{cm}\). 4. Das sind \(9\,\text{m}\).

Gleichung: \(\frac{s}{20}=\frac{s}{30}+15\). Daraus folgt \(s=900\,\text{cm}=9\,\text{m}\).

- Kürze beide Verhältniswerte durch denselben Faktor. - Verwende danach einen gemeinsamen Verhältnisfaktor \(x\). - Die beiden Zahlenterme müssen zusammen 44 ergeben.

1. \(3{,}6:1{,}2=3:1\). 2. Die Zahlen können daher als \(3x\) und \(x\) beschrieben werden. 3. Aus \(3x+x=44\) folgt \(4x=44\), also \(x=11\). 4. Die Zahlen sind 11 und 33.

Vereinfachtes Verhältnis: \(3:1\). Gleichung: \(3x+x=44\). Die Zahlen sind 11 und 33.

- Achte bei Teil b darauf, dass sich die Angabe für den dritten Tag auf den zweiten Tag bezieht. - Wie hängen die drei Tage zusammen, um die Gesamtlänge zu ergeben? - In Teil c musst du nur den Term für den dritten Tag in deiner ursprünglichen Gleichung ersetzen.

1. Zu Teil a): Festlegen der Terme: Tag 1 = \(x\), Tag 2 = \(2x\), Tag 3 = \(2x - 15\). Gesamte Gleichung: \(x + 2x + (2x - 15) = 180\). 2. Zu Teil b): Zusammenfassen der Gleichung: \(5x - 15 = 180\). Lösen nach \(x\): \(5x = 195 \Rightarrow x = 39\). 3. Berechnung der Etappen: Tag 1 = \(39\,\text{km}\), Tag 2 = \(2 \cdot 39 = 78\,\text{km}\), Tag 3 = \(78 - 15 = 63\,\text{km}\). 4. Zu Teil c): Analyse der neuen Bedingung: Tag 3 wäre dann \(x + 10\). Die neue Gleichung lautet: \(x + 2x + (x + 10) = 180\) oder vereinfacht \(4x + 10 = 180\).

a) \(x + 2x + (2x - 15) = 180\) (oder vereinfacht \(5x - 15 = 180\)). b) Tag 1: \(39\,\text{km}\), Tag 2: \(78\,\text{km}\), Tag 3: \(63\,\text{km}\). c) Die Gleichung würde \(x + 2x + (x + 10) = 180\) (oder \(4x + 10 = 180\)) lauten.

- Wähle die Blumenwiese als Variable, weil das Gemüsebeet direkt als Anteil davon beschrieben ist. - Der Rasen ist die Summe der beiden anderen Flächen. - Erst danach addierst du alle drei Flächen zur Gesamtfläche.

1. Blumenwiese: \(x\), Gemüsebeet: \(\frac23x\). 2. Rasen: \(x+\frac23x=\frac53x\). 3. Gesamtgleichung: \(\frac23x+x+\frac53x=750\). 4. Damit \(\frac{10}{3}x=750\), also \(x=225\). 5. Gemüsebeet: 150, Rasen: \(375\,\text{m}^2\).

Terme: Blumenwiese \(x\), Gemüsebeet \(\frac23x\), Rasen \(\frac53x\). Gleichung: \(\frac23x+x+\frac53x=750\). Gemüsebeet: \(150\,\text{m}^2\), Blumenwiese: \(225\,\text{m}^2\), Rasen: \(375\,\text{m}^2\).

- Welche Information hilft dir, die Kartenanzahl von Lukas durch die von Marie auszudrücken? - Wie verändern sich die Anzahlen durch das Vervierfachen oder Verdreifachen? - Wenn eine Person nach der Änderung mehr Karten hat, wie kannst du das in einer Gleichung mit einem Gleichheitszeichen schreiben? - Achte beim Aufstellen der Gleichung besonders darauf, wie du die Klammern setzt.

1. Festlegen der Variable \(x\) für Maries ursprüngliche Kartenanzahl. 2. Aufstellen des Terms für Lukas’ Kartenanzahl: \(x + 12\). 3. Bestimmen der neuen Kartenmengen: Marie hat \(4x\), Lukas hat \(3(x + 12)\). 4. Aufstellen der Gleichung unter Berücksichtigung der Differenz von \(10\) Karten: \(4x = 3(x + 12) + 10\). 5. Auflösen der Klammer und Zusammenfassen der rechten Seite: \(4x = 3x + 36 + 10\), also \(4x = 3x + 46\). 6. Isolieren von \(x\) durch Subtraktion von \(3x\): \(x = 46\). 7. Berechnung von Lukas’ Kartenanzahl: \(46 + 12 = 58\).

Marie hatte zu Beginn \(46\) Karten und Lukas hatte \(58\) Karten.

- Beginne damit, die Mengen beider Behälter mithilfe einer Variablen \(x\) zu beschreiben. - Was passiert mit der Wassermenge in Behälter 1, wenn Wasser aus Behälter 2 hinzugefügt wird? - Achte bei der Gleichung darauf, welches Vielfache (hier das Dreifache) auf welche Seite der Gleichung gehört, damit die Waage im Gleichgewicht ist. - Was gibt ein Subtraktionsterm wie \((x - 5)\) allgemein an, wenn \(x\) ein Startwert ist?

1. Festlegen der Variablen: \(x\) ist die Menge in Behälter 2. Behälter 1 enthält \(x + 10\). 2. Mengen nach dem Umgießen: Behälter 2 hat \(x - 5\), Behälter 1 hat \((x + 10) + 5 = x + 15\). 3. Aufstellen der Gleichung für das neue Verhältnis: \(x + 15 = 3(x - 5)\). 4. Lösen der Gleichung: \(x + 15 = 3x - 15\). Durch Umformen erhält man \(2x = 30\), also \(x = 15\). 5. Berechnung der Menge für Behälter 1: \(15 + 10 = 25\). 6. Interpretation des Terms: Der Term \((x - 5)\) stellt die Wassermenge dar, die nach dem Umgießen noch in Behälter 2 vorhanden ist.

a) Ursprünglich waren in Behälter 1 \(25\,\text{l}\) und in Behälter 2 \(15\,\text{l}\) Wasser. b) Der Term \((x - 5)\) beschreibt die Wassermenge in Litern, die nach der Entnahme von \(5\,\text{l}\) in Behälter 2 verbleibt.

- Bilde zuerst beide Restbeträge nach den Entnahmen. - Die Entnahme der 7b ist \(x+20\). - „7a hat dreimal so viel wie 7b“ bezieht sich auf die Restbeträge.

1. Rest 7a: \(120-x\). 2. Rest 7b: \(100-(x+20)=80-x\). 3. Bedingung: \(120-x=3(80-x)\). 4. Daraus folgt \(120-x=240-3x\), also \(2x=120\) und \(x=60\). 5. 7b entnimmt 80 Euro.

Gleichung: \(120-x=3(80-x)\). 7a entnimmt \(60\,\text{€}\), 7b \(80\,\text{€}\).

- Überlege dir zuerst, wie viel Geld jeder nach einer Woche, zwei Wochen oder allgemein nach \(x\) Wochen hat. - Wie kannst du mathematisch ausdrücken, dass ein Wert das \(1{,}2\)-Fache eines anderen Wertes ist? - Stelle eine Gleichung auf, in der Sarahs Term auf der einen Seite und Lukas’ Term (multipliziert mit dem Faktor) auf der anderen Seite steht.

1. Aufstellen der Terme für das Ersparte nach \(x\) Wochen: Lukas: \(50 + 5x\); Sarah: \(20 + 8x\). 2. Aufstellen der Gleichung gemäß der Bedingung, dass Sarahs Betrag das \(1{,}2\)-Fache von Lukas’ Betrag ist: \(20 + 8x = 1{,}2(50 + 5x)\). 3. Ausmultiplizieren der Klammer: \(20 + 8x = 60 + 6x\). 4. Zusammenfassen und Isolieren der Variable \(x\): \(2x = 40\). 5. Berechnung des Ergebnisses: \(x = 20\).

Nach \(20\) Wochen.

- Achte darauf, dass das Wasser abfließt – welches Rechenzeichen benötigst du daher in deinem Term? - Wenn eine Menge doppelt so groß sein soll wie eine andere, welche Seite der Gleichung musst du mit 2 multiplizieren, damit beide Seiten gleich sind? - Kannst du die Situation für einen bestimmten Zeitpunkt (z. B. nach 10 Minuten) testen, um zu sehen, ob dein Ansatz stimmt?

1. Definition der Variable \(t\) für die Zeit in Minuten. 2. Aufstellen der Terme für den Wasserstand: Tank 1: \(500 - 10t\); Tank 2: \(800 - 30t\). 3. Aufstellen der Gleichung basierend auf der Bedingung (Tank 1 ist doppelt so voll wie Tank 2): \(500 - 10t = 2(800 - 30t)\). 4. Auflösen der Klammer: \(500 - 10t = 1600 - 60t\). 5. Umformen der Gleichung: \(50t = 1100\). 6. Berechnung der Zeit: \(t = 22\).

Nach \(22\) Minuten.

- Verwende den kleineren Verlust als Variable. - Ziehe die jeweiligen Verluste von den Startladungen ab. - Welche Restladung ist am Ende um 200 größer?

1. Akku 2 verliert \(x\), Akku 1 \(2x\). 2. Restladungen: \(3500-x\) und \(4200-2x\). 3. Die Bedingung ergibt \(3500-x=(4200-2x)+200\). 4. Daraus folgt \(3500-x=4400-2x\), also \(x=900\). 5. Akku 1 verliert \(1800\,\text{mAh}\).

Gleichung: \(3500-x=(4200-2x)+200\). Akku 2 verliert \(900\,\text{mAh}\), Akku 1 \(1800\,\text{mAh}\).

- Nutze für das Verhältnis zwei Vielfache derselben Variablen. - Die Differenz der Etappen beträgt 15 km. - In b) bleibt die Summe gleich, aber beide neuen Etappen sollen gleich groß sein.

1. Die Etappen sind \(3x\) und \(2x\). 2. Aus \(3x-2x=15\) folgt \(x=15\). 3. Die Etappen sind 45 und 30 km; zusammen 75 km. 4. Gleich verteilt sind es je \(37{,}5\,\text{km}\). Daher werden \(7{,}5\,\text{km}\) verschoben.

a) Gleichung: \(3x-2x=15\). Die Etappen sind \(45\,\text{km}\) und \(30\,\text{km}\). b) Es müssen \(7{,}5\,\text{km}\) vom ersten auf den zweiten Tag verschoben werden.

- Was bedeutet ein Verhältnis von \(2 : 3\) für die Anzahl der „Teile“, in die man die Autos aufteilen kann? - Wie verändert sich die Anzahl auf jedem Parkplatz, wenn Autos von einem zum anderen fahren? - Versuche, für die Anzahl der Autos pro „Teil“ eine Variable wie \(x\) zu verwenden. - Kannst du aus dem neuen Verhältnis eine Gleichung aufstellen?

1. Festlegen der Variablen basierend auf dem Anfangsverhältnis: Parkplatz A hat \(2x\) Autos, Parkplatz B hat \(3x\) Autos. 2. Bestimmen der Anzahlen nach dem Wechsel: Parkplatz A hat \(2x - 12\) Autos, Parkplatz B hat \(3x + 12\) Autos. 3. Aufstellen der Verhältnisgleichung: \(\frac{2x - 12}{3x + 12} = \frac{1}{2}\). 4. Lösen der Gleichung durch Multiplikation über Kreuz: \(2 \cdot (2x - 12) = 1 \cdot (3x + 12)\). 5. Vereinfachen und nach \(x\) auflösen: \(4x - 24 = 3x + 12 \Rightarrow x = 36\). 6. Berechnung der ursprünglichen Anzahlen: Parkplatz A: \(2 \cdot 36 = 72\), Parkplatz B: \(3 \cdot 36 = 108\).

Ursprünglich standen auf Parkplatz A \(72\) Autos und auf Parkplatz B \(108\) Autos.

- Überlege dir, wie du die Anzahl der Jungen und Mädchen mit einer Unbekannten ausdrücken kannst, wenn das Verhältnis bekannt ist. - Achte darauf, ob Personen dazukommen oder gehen – wie ändert das deine Terme? - Ein Verhältnis von \(1 : 2\) bedeutet, dass eine Gruppe genau doppelt so groß ist wie die andere. - Kannst du eine Gleichung aufstellen, in der die beiden neuen Mengen zueinander in Beziehung gesetzt werden?

1. Definition der Ausgangsmengen mit dem Faktor \(x\): Jungen = \(3x\), Mädchen = \(7x\). 2. Modellierung der Änderung: Jungen neu = \(3x + 8\), Mädchen neu = \(7x - 4\). 3. Aufstellen der Gleichung für das neue Verhältnis: \(\frac{3x + 8}{7x - 4} = \frac{1}{2}\). 4. Umformen der Gleichung: \(2 \cdot (3x + 8) = 1 \cdot (7x - 4)\). 5. Auflösen der Klammern und Isolieren von \(x\): \(6x + 16 = 7x - 4 \Rightarrow x = 20\). 6. Berechnung der gesuchten Werte: Jungen = \(3 \cdot 20 = 60\), Mädchen = \(7 \cdot 20 = 140\).

Anfangs waren \(60\) Jungen und \(140\) Mädchen im Chor.

- Schreibe die Leistung eines Heizgeräts als Vielfaches von \(x\). - Berücksichtige in der Gleichung die Anzahl beider Gerätetypen. - Die prozentuale Änderung in b) betrifft nur die Heizgeräte.

1. Ein Heizgerät benötigt \(5x\) Watt. 2. Gesamtgleichung: \(8x+2\cdot5x=3600\). 3. Daraus folgt \(18x=3600\), also \(x=200\). Ein Heizgerät benötigt 1000 W. 4. Nach der Senkung benötigt ein Heizgerät \(800\,\text{W}\). Gesamt: \(8\cdot200+2\cdot800=3200\,\text{W}\).

a) Gleichung: \(8x+2\cdot5x=3600\). Strahler: \(200\,\text{W}\), Heizgerät: \(1000\,\text{W}\). b) Neue Gesamtleistung: \(3200\,\text{W}\).

- Fördermenge ist Förderrate mal Laufzeit. - Drücke die Rate von A mit der Rate von B aus. - Addiere die beiden geförderten Gesamtmengen, nicht die Förderraten.

1. Förderrate B: \(x\), Förderrate A: \(x+10\). 2. Gesamtgleichung: \(45(x+10)+60x=9900\). 3. Daraus folgt \(105x+450=9900\), also \(x=90\). 4. A fördert \(100\,\text{l/min}\).

Gleichung: \(45(x+10)+60x=9900\). Pumpe B: \(90\,\text{l/min}\), Pumpe A: \(100\,\text{l/min}\).

- Was genau soll die Variable \(x\) in dieser Aufgabe beschreiben? - Wie verändert sich die Gesamtzahl der Bäume, wenn eine Klasse länger oder kürzer arbeitet? - Überlege dir zuerst, wie viele Bäume jede Klasse einzeln in ihrer jeweiligen Arbeitszeit schafft. - Für den letzten Aufgabenteil musst du die bereits berechnete Stundenleistung mit einer neuen Zeitvorgabe kombinieren.

1. Aufstellen der Gleichung (Teil a): Mit \(x\) als Stundenleistung der Klasse 7b und \(x + 3\) für Klasse 7a ergibt sich \(4(x + 3) + 5x = 93\). 2. Lösen der Gleichung (Teil b): \(4x + 12 + 5x = 93 \Rightarrow 9x + 12 = 93 \Rightarrow 9x = 81 \Rightarrow x = 9\). 3. Ergebnisse für die Stundenleistungen: Klasse 7b pflanzt \(9\) Bäume pro Stunde, Klasse 7a pflanzt \(9 + 3 = 12\) Bäume pro Stunde. 4. Berechnung für Teil c: Die Klasse 7a arbeitete \(4\) Stunden. Bei einer Stundenleistung von \(9\) Bäumen hätte Klasse 7b in dieser Zeit \(9 \cdot 4 = 36\) Bäume gepflanzt.

a) \(4(x + 3) + 5x = 93\) b) Klasse 7a: \(12\) Bäume pro Stunde; Klasse 7b: \(9\) Bäume pro Stunde. c) \(36\) Bäume.

- Bestimme zuerst einen Term für den Rest nach dem Vormittag. - Wenn anschließend genau die Hälfte dieses Rests gewandert wird, wie viel davon bleibt übrig? - Der letzte Rest ist mit 6 km angegeben.

1. Nach dem Vormittag bleiben \(x-(\frac13x+2)=\frac23x-2\) Kilometer. 2. Nach dem Zurücklegen der Hälfte bleibt davon ebenfalls die Hälfte übrig: \(\frac12(\frac23x-2)=6\). 3. Daraus folgt \(\frac13x-1=6\), also \(x=21\).

Gleichung: \(\frac12(\frac23x-2)=6\). Die Gesamtstrecke beträgt \(21\,\text{km}\).

- Die zusätzlichen 20 Liter werden nach dem Viertelanteil abgezogen. - Nach dem zweiten Verbrauch bleibt nicht 60 Prozent, sondern der ergänzende Anteil übrig. - Die Klammer muss den gesamten Zwischenstand nach der ersten Entnahme enthalten.

1. Nach der ersten Entnahme bleiben \(x-\frac14x-20=\frac34x-20\). 2. Nach Verbrauch von 60 Prozent bleiben 40 Prozent davon: \(0{,}4(\frac34x-20)=28\). 3. Daraus folgt \(0{,}3x-8=28\), also \(0{,}3x=36\) und \(x=120\).

Gleichung: \(0{,}4(\frac34x-20)=28\). Anfangs waren \(120\,\text{l}\) im Tank.

- Drücke die Zahl der Fehlschüsse über die Trefferzahl aus. - Der negative Punktewert gehört zu jedem Fehlschuss. - In b) ist nicht jede algebraische Lösung im Sachzusammenhang zulässig.

1. Bei \(x\) Treffern gibt es \(15-x\) Fehlschüsse. 2. Für a) gilt \(7x-3(15-x)=55\). Daraus folgt \(10x-45=55\), also \(x=10\). 3. Für b) gilt \(7x-3(15-x)=50\). Daraus folgt \(10x=95\), also \(x=9{,}5\). 4. Eine Trefferzahl muss ganzzahlig sein; 50 Punkte sind daher nicht erreichbar.

a) Gleichung: \(7x-3(15-x)=55\). Trefferzahl: 10. b) Gleichung: \(7x-3(15-x)=50\). Sie führt zu \(x=9{,}5\); da Treffer nur ganzzahlig gezählt werden, sind genau 50 Punkte unmöglich.

- Welche zwei Bestandteile tragen zum Gesamtgewicht bei? - Wenn drei Viertel der Äpfel weg sind, welcher Anteil der Äpfel ist dann noch in der Kiste? - Kannst du für den Anfangszustand und den Endzustand jeweils eine Gleichung aufstellen? - Überlege, wie du eine der Unbekannten eliminieren kannst, indem du die Gleichungen voneinander abziehst.

1. Variablen festlegen: \(x\) für das Gewicht der leeren Kiste und \(y\) für das ursprüngliche Gewicht der Äpfel. 2. Gleichungssystem aufstellen: \(x + y = 15{,}5\) und \(x + \frac{1}{4}y = 5\). 3. Die erste Gleichung nach \(y\) auflösen: \(y = 15{,}5 - x\). 4. Den Ausdruck für \(y\) in die zweite Gleichung einsetzen: \(x + \frac{1}{4} \cdot (15{,}5 - x) = 5\). 5. Die Gleichung nach \(x\) auflösen: \(x + 3{,}875 - 0{,}25x = 5 \implies 0{,}75x = 1{,}125 \implies x = 1{,}5\). 6. Das Gewicht der leeren Kiste beträgt \(1{,}5\,\text{kg}\).

Die leere Kiste wiegt \(1{,}5\,\text{kg}\).

- Kannst du für jeden Tank einen Term aufstellen, der die Wassermenge nach einer bestimmten Zeit beschreibt? - Was bedeutet es für die Gleichung, wenn am Ende in beiden Tanks „die gleiche Menge“ ist? - Stelle ein System aus zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten auf. - Überlege dir zuerst, wie viel Wasser insgesamt aus jedem Tank nach der angegebenen Zeit abgeflossen ist.

1. Definition der Variablen \(x\) für die Wassermenge in Tank 1 und \(y\) für Tank 2 in Litern. 2. Aufstellen der ersten Gleichung für die Gesamtmenge: \(x + y = 3500\). 3. Berechnung der abgeflossenen Mengen nach \(50\,\text{min}\): Tank 1 verliert \(12 \cdot 50 = 600\,\text{l}\), Tank 2 verliert \(18 \cdot 50 = 900\,\text{l}\). 4. Aufstellen der Gleichgewichtsbedingung: \(x - 600 = y - 900\). 5. Umformen der zweiten Gleichung nach \(x\): \(x = y - 300\). 6. Einsetzen in die erste Gleichung: \((y - 300) + y = 3500 \implies 2y = 3800 \implies y = 1900\). 7. Berechnung von \(x\): \(x = 1900 - 300 = 1600\).

Im ersten Tank waren ursprünglich \(1600\,\text{l}\) und im zweiten Tank \(1900\,\text{l}\) Wasser.

- Achte darauf, dass eine Person Geld verliert (Minus) und die andere Person Geld dazu bekommt (Plus). - Wie viel Geld hat Paul nach den 12 Wochen insgesamt ausgegeben? - Wie viel Geld hat Marie nach den 12 Wochen insgesamt dazugewonnen? - Kannst du eine Gleichung schreiben, die besagt, dass ihre Endbeträge gleich sind?

1. Festlegen der Variablen \(p\) für Pauls Anfangsbetrag und \(m\) für Maries Anfangsbetrag. 2. Summengleichung aufstellen: \(p + m = 150\). 3. Terme für die Beträge nach \(12\,\text{Wochen}\) aufstellen: Paul hat \(p - 4 \cdot 12 = p - 48\), Marie hat \(m + 2 \cdot 12 = m + 24\). 4. Gleichsetzen der Terme: \(p - 48 = m + 24\). 5. Umformen der Gleichung zu \(p - m = 72\). 6. Addition der beiden Gleichungen \((p + m) + (p - m) = 150 + 72 \implies 2p = 222\). 7. Ergebnis für Paul: \(p = 111\). 8. Ergebnis für Marie durch Einsetzen: \(111 + m = 150 \implies m = 39\).

Paul hatte am Anfang \(111{,}00\,\text{€}\) und Marie hatte \(39{,}00\,\text{€}\).

- Drücke die geplante Fläche als Tagesleistung mal geplante Tage aus. - Die tatsächliche Zeit ist um 2 Tage kürzer. - Vergleiche die tatsächliche Fläche nicht direkt mit der geplanten Fläche, sondern berücksichtige die zusätzlichen \(200\,\text{m}^2\).

1. Geplante Fläche: \(400x\). 2. Tatsächliche Arbeitszeit: \(x-2\) Tage; tatsächlich bearbeitete Fläche: \(500(x-2)\). 3. Diese Fläche ist um 200 größer als die geplante: \(500(x-2)=400x+200\). 4. Daraus folgt \(500x-1000=400x+200\), also \(x=12\). 5. Die geplante Fläche beträgt \(400\cdot12=4800\,\text{m}^2\).

Gleichung: \(500(x-2)=400x+200\). Geplante Arbeitszeit: 12 Tage. Ursprünglich geplante Fläche: \(4800\,\text{m}^2\).

- Bestimme zuerst einen Term für alle Medien, die weder Romane noch Sachbücher sind. - Fachzeitschriften bilden genau die Hälfte dieses Restes. - Die Zahl 105 gehört daher zu einem Anteil des Restterms, nicht direkt zu \(x\).

1. Nach Romanen und Sachbüchern bleiben \(x-\frac25x-\frac14x=\frac{7}{20}x\). 2. Die Hälfte dieses Restes sind die 105 Fachzeitschriften: \(\frac12(\frac{7}{20}x)=105\). 3. Damit \(\frac{7}{40}x=105\), also \(x=600\).

Gleichung: \(\frac12(x-\frac25x-\frac14x)=105\). Insgesamt gibt es 600 Medien.

- Der Weg ist der Rest nach Blumen- und Gemüsefläche. - In b) vergleichst du zwei Flächenanteile derselben Gesamtfläche. - Welche Fläche ist laut Text um 30 Quadratmeter größer?

1. Weganteil: \(1-\frac27-\frac12=1-\frac{4}{14}-\frac{7}{14}=\frac{3}{14}\). 2. Blumenbeete haben \(\frac27x\), der Weg \(\frac{3}{14}x\). 3. „Weg 30 kleiner“ ergibt \(\frac27x-30=\frac{3}{14}x\). 4. Daraus folgt \(\frac{1}{14}x=30\), also \(x=420\).

a) Weganteil: \(\frac{3}{14}\). b) Gleichung: \(\frac27x-30=\frac{3}{14}x\). Gesamtfläche: \(420\,\text{m}^2\).

- Alle vier Bruchteile beziehen sich auf dasselbe Gesamtbudget. - Die 15 Euro sind der verbleibende feste Betrag. - Addiere alle Budgetteile zu \(x\), bevor du vereinfachst.

1. Es gilt \(\frac38x+\frac15x+\frac1{10}x+\frac14x+15=x\). 2. Die Bruchteile ergeben \(\frac{37}{40}x\). 3. Damit \(\frac{37}{40}x+15=x\), also \(15=\frac{3}{40}x\) und \(x=200\). 4. Materialien: \(\frac38\cdot200=75\,\text{€}\).

Gleichung: \(\frac38x+\frac15x+\frac1{10}x+\frac14x+15=x\). Gesamtbudget: \(200\,\text{€}\). Materialien: \(75\,\text{€}\).

- Nach der ersten Ausgabe bleibt der ergänzende Anteil von \(x\). - Die zweite Ausgabe bezieht sich auf diesen Rest, nicht auf den ursprünglichen Betrag. - Am Ende bleibt wiederum der ergänzende Anteil nach der zweiten Ausgabe.

1. Nach der Literatur bleiben \(\frac34x\). 2. Nach der Materialausgabe bleiben davon \(\frac35\), also \(\frac35\cdot\frac34x=9\). 3. Damit \(\frac{9}{20}x=9\), also \(x=20\). 4. Literatur: \(5\,\text{€}\). Material: \(\frac25\cdot15=6\,\text{€}\).

Gleichung: \(\frac35\cdot\frac34x=9\). Ausgangsbetrag: \(20{,}00\,\text{€}\), Literatur: \(5{,}00\,\text{€}\), Material: \(6{,}00\,\text{€}\).

- Tag 2 bezieht sich auf den Rest nach Tag 1. - Schreibe deshalb zuerst einen Term für diesen Rest. - Der dritte Tag ist genau der Rest nach den ersten beiden Tagesstrecken.

1. Nach Tag 1 bleiben \(x-\frac25x=\frac35x\). 2. Tag 2 umfasst \(\frac13\cdot\frac35x=\frac15x\). 3. Der Rest für Tag 3 ist \(x-\frac25x-\frac15x=12\). 4. Daraus folgt \(\frac25x=12\), also \(x=30\). 5. Tagesstrecken: 12 km, 6 km, 12 km; Tag 1 und Tag 3 sind gleich lang.

Gleichung: \(x-\frac25x-\frac13(x-\frac25x)=12\). Gesamtstrecke: \(30\,\text{km}\). Tagesstrecken: \(12\,\text{km}\), \(6\,\text{km}\), \(12\,\text{km}\); Tag 1 und Tag 3 sind gleich lang.

- Überlege dir, wie du das Alter der beiden Personen heute bezeichnen kannst. - Wie verändert sich das Alter beider Personen, wenn 12 Jahre vergehen? - Kannst du die Beziehung der Alterswerte in der Zukunft in einer Gleichung festhalten? - Versuche, eine Variable durch die andere zu ersetzen, um die Gleichung lösbar zu machen.

1. Festlegen der Variablen \(v\) für das aktuelle Alter des Vaters und \(s\) für das aktuelle Alter des Sohnes. 2. Aufstellen der Gleichungen: \(v = 4s\) für den Ist-Zustand und \(v + 12 = 2 \cdot (s + 12)\) für den Zustand in 12 Jahren. 3. Einsetzen von \(v\) in die zweite Gleichung: \(4s + 12 = 2 \cdot (s + 12)\). 4. Auflösen der Klammer und Berechnen von \(s\): \(4s + 12 = 2s + 24 \Rightarrow 2s = 12 \Rightarrow s = 6\). 5. Einsetzen von \(s\) zur Bestimmung von \(v\): \(v = 4 \cdot 6 = 24\). Der Vater ist heute 24 Jahre alt und der Sohn ist 6 Jahre alt.

Der Vater ist aktuell 24 Jahre alt und der Sohn ist 6 Jahre alt.

- Wähle je eine Variable für das Gewicht eines Zebras und des Elefanten. - Welche zwei Beziehungen zwischen diesen Gewichten nennt der Text? - Welche der beiden Gleichungen eignet sich direkt zum Einsetzen?

1. Setze \(x\) für das Gewicht eines Zebras und \(y\) für das Gewicht des Elefanten. Dann gilt \(\begin{cases}y+4x=5500\\y=12x+100\end{cases}\). 2. Setze die zweite Gleichung in die erste ein: \(12x+100+4x=5500\). 3. Daraus folgt \(16x=5400\), also \(x=337{,}5\). 4. Mit der zweiten Gleichung erhältst du \(y=12\cdot337{,}5+100=4150\).

Ein Zebra wiegt \(337{,}5\,\text{kg}\), der Elefant \(4150\,\text{kg}\).

- Welche zwei Unbekannten suchen wir in dieser Aufgabe? - Kannst du die Zusammenhänge aus dem Text in zwei mathematische Gleichungen übersetzen? - Welches Verfahren (Einsetzungs-, Gleichsetzungs- oder Additionsverfahren) bietet sich hier besonders an, wenn eine Variable bereits fast alleine steht? - Hast du am Ende geprüft, ob deine Werte in beide Sätze der Aufgabenstellung passen?

1. Definition der Variablen: \(x\) für das Volumen eines großen Kanisters und \(y\) für das eines kleinen Kanisters in Litern. 2. Aufstellen des Gleichungssystems: \(2x + 6y = 54\) und \(x = 2y + 2\). 3. Anwendung des Einsetzungsverfahrens durch Einsetzen der zweiten Gleichung in die erste: \(2 \cdot (2y + 2) + 6y = 54\). 4. Auflösen der Klammer und Zusammenfassen der Terme: \(4y + 4 + 6y = 54 \Rightarrow 10y + 4 = 54\). 5. Isolieren der Variable \(y\): \(10y = 50 \Rightarrow y = 5\). 6. Berechnung von \(x\) durch Einsetzen von \(y = 5\) in die zweite Gleichung: \(x = 2 \cdot 5 + 2 = 12\). 7. Ergebnis: Ein großer Kanister fasst \(12\,\text{l}\) und ein kleiner Kanister fasst \(5\,\text{l}\).

Ein großer Kanister hat eine Füllmenge von \(12\,\text{l}\) und ein kleiner Kanister eine Füllmenge von \(5\,\text{l}\).

- Was bleibt in beiden Situationen gleich? - Kannst du für die Anzahl der Kisten und die Anzahl der Äpfel jeweils eine Variable festlegen? - Wie viele Äpfel passen in die Kisten, wenn zwei Kisten leer bleiben? - Versuche, für beide Szenarien einen Term für die Gesamtzahl der Äpfel aufzustellen.

1. Definition der Variablen: \(x\) für die Anzahl der Kisten und \(y\) für die Anzahl der Äpfel. 2. Aufstellen der Gleichungen aus den Bedingungen: \(y = 12x + 15\) (erste Verteilung) und \(y = 15 \cdot (x - 2)\) (zweite Verteilung). 3. Gleichsetzen der Ausdrücke für \(y\): \(12x + 15 = 15 \cdot (x - 2)\). 4. Auflösen der Klammer und Zusammenfassen: \(12x + 15 = 15x - 30\). 5. Isolieren der Variable \(x\): \(3x = 45\), woraus \(x = 15\) Kisten folgt. 6. Einsetzen von \(x\) in eine der Ausgangsgleichungen: \(y = 12 \cdot 15 + 15 = 195\) Äpfel.

Es sind \(195\) Äpfel und \(15\) Kisten.

- Stelle zuerst fest, wie viele Werkstücke die beiden zusammen in einer einzigen Stunde schaffen. - Wie lässt sich die gesamte produzierte Menge (180 Stück) aus den Einzelzeiten der beiden Personen zusammensetzen? - Kannst du ein Gleichungssystem mit zwei Unbekannten aufstellen? - Überlege, wie du den bekannten Wert für die gemeinsame Stundenleistung in die zweite Situation einsetzen kannst.

1. Definition der Variablen: \(x\) ist die Anzahl der Werkstücke pro Stunde von Herrn Abel, \(y\) die von Frau Bekker. 2. Aufstellen der ersten Gleichung aus der gemeinsamen Arbeitszeit: \(8(x + y) = 240\), vereinfacht zu \(x + y = 30\). 3. Aufstellen der zweiten Gleichung aus dem Teilarbeitsgang: \(3x + 4(x + y) = 180\). 4. Substitution von \((x + y)\) durch \(30\) in der zweiten Gleichung: \(3x + 4 \cdot 30 = 180\). 5. Lösung nach \(x\): \(3x + 120 = 180 \implies 3x = 60 \implies x = 20\). 6. Lösung nach \(y\): \(20 + y = 30 \implies y = 10\). 7. Ergebnis: Herr Abel bearbeitet \(20\,\text{Werkstücke}/\text{h}\), Frau Bekker \(10\,\text{Werkstücke}/\text{h}\).

Herr Abel bearbeitet \(20\,\text{Werkstücke}\) pro Stunde und Frau Bekker \(10\,\text{Werkstücke}\) pro Stunde.

- Schreibe die gleiche Zaunlänge einmal mit der manuellen und einmal mit der Gerätegeschwindigkeit. - Die manuelle Arbeitszeit ist um 2 Stunden länger als \(x\). - Gleichgesetzt werden die zurückgelegten Längen, nicht die Geschwindigkeiten.

1. Mit Gerät beträgt die Länge \(20x\), manuell \(12(x+2)\). 2. Dieselbe Zaunlänge führt zu \(20x=12(x+2)\). 3. Daraus folgt \(20x=12x+24\), also \(x=3\). 4. Die Länge beträgt \(20\cdot3=60\,\text{m}\).

Gleichung: \(20x=12(x+2)\). Mit Sprühgerät dauert die Arbeit 3 Stunden; der Zaun ist \(60\,\text{m}\) lang.

- Rekonstruiere den Anfangsinhalt jeweils aus Restmenge plus abgepumpter Menge. - Die erste Pumpe läuft \(t+5\) Minuten. - Beide rekonstruierten Anfangsinhalte müssen gleich sein.

1. Pumpe 2 läuft \(t\) Minuten, Pumpe 1 \(t+5\) Minuten. 2. Anfangsinhalt aus Tank 1: \(50+10(t+5)\); aus Tank 2: \(30+15t\). 3. Gleichsetzen ergibt \(50+10(t+5)=30+15t\). 4. Daraus folgt \(100+10t=30+15t\), also \(t=14\). 5. Anfangsinhalt: \(30+15\cdot14=240\,\text{l}\).

Gleichung: \(50+10(t+5)=30+15t\). Pumpe 2 lief 14 Minuten; in jedem Tank waren anfangs \(240\,\text{l}\).

- Achte darauf, alle Angaben in dieselbe Masseneinheit umzurechnen. - Welche Größe bleibt unverändert, wenn nur reines Wasser hinzugefügt wird? - Wie lautet das neue Gesamtvolumen, wenn \(x\) Liter Wasser hinzukommen? - Verknüpfe Zielkonzentration und neues Gesamtvolumen in einer Gleichung.

1. Umrechnung der Einheiten: Die Salzmenge beträgt \(1{,}5\,\text{kg} = 1500\,\text{g}\). 2. Sei \(x\) die hinzuzufügende Wassermenge in Litern. Das neue Gesamtvolumen beträgt dann \((50 + x)\,\text{l}\). 3. Die Salzmenge bleibt unverändert. Für die Zielkonzentration gilt daher die Gleichung \(20 \cdot (50 + x) = 1500\). 4. Gleichung lösen: \(1000 + 20x = 1500\), also \(20x = 500\) und damit \(x = 25\).

Eine passende Gleichung ist \(20 \cdot (50 + x) = 1500\). Es müssen \(25\,\text{l}\) reines Wasser hinzugefügt werden.

- Welche Informationen über die Flaschenmengen und die Saftmengen kannst du nutzen? - Versuche, eine Gleichung für die gesamte Saftmenge aufzustellen. - Überlege dir für den zweiten Teil, was passiert, wenn du Saft von vielen kleinen in wenige große Gefäße umfüllst.

1. Definition der Variablen: \(x\) für die Anzahl der \(0{,}5\,\text{Liter}\)-Flaschen und \(y\) für die Anzahl der \(0{,}75\,\text{Liter}\)-Flaschen. 2. Aufstellen des Gleichungssystems: \(x + y = 200\) (Gesamtanzahl) und \(0{,}5x + 0{,}75y = 120\) (Gesamtvolumen). 3. Auflösen der ersten Gleichung nach \(x\): \(x = 200 - y\). 4. Einsetzen in die Volumengleichung: \(0{,}5 \cdot (200 - y) + 0{,}75y = 120\). 5. Vereinfachen und Lösen: \(100 - 0{,}5y + 0{,}75y = 120 \implies 0{,}25y = 20 \implies y = 80\). 6. Berechnung von \(x\): \(x = 200 - 80 = 120\). 7. Zu Aufgabenteil b): Da die \(0{,}75\,\text{Liter}\)-Flaschen ein größeres Einzelvolumen haben als die \(0{,}5\,\text{Liter}\)-Flaschen, wird pro Flasche mehr Saft transportiert. Erhöht man den Anteil der größeren Flaschen, sinkt die benötigte Gesamtzahl der Gefäße für die konstante Saftmenge von \(120\,\text{Litern}\).

a) Es wurden 120 Flaschen der Größe \(0{,}5\,\text{Liter}\) und 80 Flaschen der Größe \(0{,}75\,\text{Liter}\) befüllt. b) Die Gesamtzahl der Flaschen würde sinken, da die größeren Flaschen mehr Inhalt fassen und somit insgesamt weniger Gefäße für dieselbe Menge Saft benötigt werden.

- Das zweite Stück wird direkt aus dem ersten beschrieben. - Das dritte Stück bezieht sich auf das gesamte zweite Stück. - Alle drei Teilstücke ergeben die ursprüngliche Balkenlänge.

1. Die Stücke sind \(x\), \(x+20\) und \(2(x+20)\). 2. Gesamtgleichung: \(x+(x+20)+2(x+20)=320\). 3. Daraus folgt \(4x+60=320\), also \(x=65\). 4. Die Längen sind 65, 85 und \(170\,\text{cm}\).

Gleichung: \(x+(x+20)+2(x+20)=320\). Die Stücke sind \(65\,\text{cm}\), \(85\,\text{cm}\) und \(170\,\text{cm}\) lang.

- Lies zuerst ab, in welchem Abschnitt des Graphen der jeweils gefragte Zeitpunkt oder Wasserstand liegt. - Eine waagerechte Strecke bedeutet, dass sich der Wasserstand in diesem Zeitraum nicht verändert. - Für eine Änderungsrate vergleichst du die Änderung der Höhe mit der dazugehörigen Zeitspanne.

1. Der Zeitpunkt \(t=6\,\text{h}\) liegt im geraden Abschnitt zwischen \((4\mid100)\) und \((8\mid180)\). Die Änderungsrate beträgt \((180-100):(8-4)=20\,\text{cm/h}\). Daher ist \(h(6)=100+2\cdot20=140\,\text{cm}\). 2. Zwischen \(t=2\,\text{h}\) und \(t=4\,\text{h}\) ist der Graph waagerecht. Der Wasserstand bleibt also \(2\,\text{h}\) lang unverändert. 3. In den ersten zwei Stunden steigt der Pegel von \(40\,\text{cm}\) auf \(100\,\text{cm}\). Die Änderungsrate ist \((100-40):2=30\,\text{cm/h}\). 4. Im Abschnitt von \(t=4\,\text{h}\) bis \(t=8\,\text{h}\) gilt \(100+20(t-4)=160\). Daraus folgt \(20(t-4)=60\), also \(t=7\,\text{h}\).

1) \(140\,\text{cm}\) 2) \(2\,\text{h}\) 3) \(30\,\text{cm/h}\) 4) \(t=7\,\text{h}\)

- Welche Schilderzahl hängt von der Teamzahl ab und welche ist fest? - Die Gleichung muss alle 26 vorhandenen Schilder erfassen. - Prüfe nach dem Lösen, welche Werte für eine Teamanzahl überhaupt zulässig sind.

1. Die Teams benötigen \(4x\) Schilder, dazu kommen 3 Ersatzschilder. 2. Daher gilt \(4x+3=26\). 3. Subtraktion von 3 ergibt \(4x=23\), also \(x=5{,}75\). 4. Da eine Teamzahl ganzzahlig sein muss, ist die verlangte Verteilung nicht möglich.

Gleichung: \(4x+3=26\). Algebraisch folgt \(x=5{,}75\). Da \(x\) eine Anzahl von Teams bezeichnet und daher ganzzahlig sein muss, ist die Verteilung nicht möglich.

- Vergleiche in a) zwei Fahrenheitwerte, deren Abstand 18 beträgt, ohne sie vollständig auszurechnen. - In b) steht derselbe Zahlenwert einmal an der Stelle von \(C\) und einmal an der Stelle von \(F\). - Welche Operation beseitigt zuerst die Division durch \(1{,}8\)?

1. In Teil a ändert sich der Zähler \(F-32\) um 18. Daher ändert sich der Celsiuswert um \(18:1{,}8=10\). Der feste Summand 32 fällt bei einer Differenz weg. 2. Für denselben Zahlenwert auf beiden Skalen gilt \(x=(x-32):1{,}8\). 3. Multiplikation mit \(1{,}8\) ergibt \(1{,}8x=x-32\). 4. Subtraktion von \(x\) ergibt \(0{,}8x=-32\). 5. Division durch \(0{,}8\) ergibt \(x=-40\).

a) Die Celsius-Temperatur steigt um \(10\,^\circ\text{C}\). Der feste Term \(-32\) verändert eine Temperaturdifferenz nicht; die Differenz wird nur durch \(1{,}8\) geteilt. b) \(x=(x-32):1{,}8\). \(1{,}8x=x-32\Rightarrow0{,}8x=-32\Rightarrow x=-40\). Also gilt \(-40\,^\circ\text{C}=-40\,^\circ\text{F}\).

- Welche Wassermenge hat jeder Behälter zu Beginn? - Welche der beiden Mengen wächst und welche sinkt pro Minute? - Für einen Gleichstand müssen nicht die Änderungsraten, sondern die beiden vollständigen Mengen gleich sein.

1. Nach \(t\) Minuten enthält Behälter 1 \(450-15t\) Liter und Behälter 2 \(25t\) Liter. 2. Für den Gleichstand gilt \(450-15t=25t\). 3. Addition von \(15t\) ergibt \(450=40t\), also \(t=11{,}25\). 4. Die gemeinsame Menge ist \(25\cdot11{,}25=281{,}25\,\text{Liter}\). 5. Danach sinkt die erste Menge weiter, während die zweite weiter steigt; ihre Reihenfolge kann sich daher nicht erneut umkehren.

a) Terme: \(450-15t\) und \(25t\). Gleichung: \(450-15t=25t\). Daraus folgt \(t=11{,}25\) Minuten. b) In jedem Behälter sind dann \(281{,}25\,\text{Liter}\). c) Nach dem Gleichstand nimmt Behälter 1 weiter ab und Behälter 2 weiter zu; deshalb bleibt Behälter 2 danach größer.

- Schreibe in a) beide heutigen Alter mit derselben Variablen. - In b) werden beide Personen um dieselbe Zahl von Jahren älter. - Die beiden Gleichungen beschreiben verschiedene Zeitpunkte; verwende deshalb zwei Variablen.

1. Für a) ist Opa Heinz \(5x\) Jahre alt. Aus der Summe folgt \(x+5x=60\), also \(x=10\). Damit ist Opa Heinz 50 Jahre alt. 2. Für b) gilt \(50+y=3(10+y)\). 3. Ausmultiplizieren ergibt \(50+y=30+3y\), also \(20=2y\) und \(y=10\).

a) Gleichung: \(x+5x=60\). Marie ist 10 Jahre alt, Opa Heinz 50 Jahre. b) Gleichung: \(50+y=3(10+y)\). Daraus folgt \(y=10\). Das Verhältnis \(3:1\) tritt in 10 Jahren ein.

- Ein Abbrennen führt in jedem Höhenterm zu einer Subtraktion. - Für Teil a müssen die beiden vollständigen Höhen gleich sein. - Verwende in c) dieselben Terme mit einem anderen Zeitwert.

1. Die Höhenterme lauten \(20-1{,}5t\) und \(15-0{,}5t\). 2. Gleichsetzen ergibt \(20-1{,}5t=15-0{,}5t\). 3. Daraus folgt \(5=t\), also \(t=5\). 4. Bei \(t=5\) beträgt die Höhe \(12{,}5\,\text{cm}\). 5. Bei \(t=7\) ergeben die Terme \(9{,}5\,\text{cm}\) und \(11{,}5\,\text{cm}\); Kerze B ist höher.

a) Terme: \(20-1{,}5t\) und \(15-0{,}5t\). Gleichung: \(20-1{,}5t=15-0{,}5t\). Daher \(t=5\) Stunden. b) Beide sind dann \(12{,}5\,\text{cm}\) hoch. c) Bei \(t=7\) ergeben die Terme \(9{,}5\,\text{cm}\) für A und \(11{,}5\,\text{cm}\) für B; Kerze B ist höher.

- Wähle eine der beiden Ziffern als Variable und drücke die andere damit aus. - Eine zweistellige Zahl besteht aus zehnmal der Zehnerziffer plus der Einerziffer. - Die Kontrolle muss beide Bedingungen aus dem Text prüfen, nicht nur das Endergebnis der Gleichung.

1. Die Zehnerziffer ist \(x+2\). Damit lautet die Zahl \(10(x+2)+x\) und ihre Quersumme \((x+2)+x\). 2. „Um 6 kleiner als das Siebenfache“ ergibt \(10(x+2)+x=7((x+2)+x)-6\). 3. Vereinfachen liefert \(11x+20=14x+8\), also \(x=4\). 4. Die Zahl ist 64. Ihre Quersumme ist 10 und \(7\cdot10-6=64\); außerdem ist 6 um 2 größer als 4.

Zahlterm: \(10(x+2)+x\), Quersumme: \((x+2)+x\). Gleichung: \(10(x+2)+x=7((x+2)+x)-6\). Daraus folgt \(x=4\), also lautet die Zahl 64. Kontrolle: \(7\cdot(6+4)-6=64\) und \(6=4+2\).

- Das verkaufte Viertel bezieht sich auf die ursprüngliche Herde \(x\), nicht auf die verdreifachte Herde. - Schreibe die drei beschriebenen Änderungen deshalb zunächst als getrennte Terme. - Prüfe in b) nicht nur \(x\), sondern ausdrücklich den Viertelanteil.

1. Die Aussage führt zu \(3x-\frac14x+2=68\). 2. Zusammenfassen ergibt \(\frac{11}{4}x=66\), also \(x=24\). 3. Ein Viertel von 24 sind 6 Schafe; die Situation ist daher ganzzahlig möglich.

a) Gleichung: \(3x-\frac14x+2=68\). Daraus folgt \(x=24\). b) Emil hat nicht recht: \(\frac14\cdot24=6\), also wird eine ganze Zahl von Schafen verkauft.

- Wenn die kleinere Zahl \(x\) ist und die Summe 100 bleibt, wie lautet die größere Zahl? - Das Verringern um 10 betrifft die größere Zahl vor dem Vergleich. - Vergleiche in b) die neue größere Zahl mit dem Ergebnis aus a).

1. Die größere Zahl ist jeweils \(100-x\). 2. Für a) gilt \(100-x-10=2x\), also \(90=3x\), \(x=30\). Die größere Zahl ist 70. 3. Für b) gilt \(100-x-10=3x\), also \(90=4x\), \(x=22{,}5\). Die größere Zahl ist \(77{,}5\). 4. Die größere Zahl wird daher größer.

a) Gleichung: \(100-x-10=2x\). Die Zahlen sind 30 und 70. b) Gleichung: \(100-x-10=3x\). Die Zahlen sind \(22{,}5\) und \(77{,}5\); die größere Zahl wird größer.

- Wenn \(x\) eine ungerade Zahl ist, wie groß ist dann der Abstand zur nächsten ungeraden Zahl? - Stelle für beide Paare jeweils einen Term für ihr Produkt auf. - Schreibe die Differenz dieser beiden Produkte als Gleichung auf. - Vereinfache die linke Seite vollständig, bevor du entscheidest, welche Art von Gleichung übrig bleibt.

1. Sei \(x\) die erste ungerade Zahl. Die darauf folgenden ungeraden Zahlen sind \(x + 2\), \(x + 4\) und \(x + 6\). 2. Aufstellen der Gleichung basierend auf der Differenz der Produkte: \((x + 4) \cdot (x + 6) - x \cdot (x + 2) = 48\). 3. Ausmultiplizieren der Klammerterme: \((x^2 + 6x + 4x + 24) - (x^2 + 2x) = 48\). 4. Vereinfachen des Terms durch Zusammenfassen: \(x^2 + 10x + 24 - x^2 - 2x = 48\). 5. Die quadratischen Terme \(x^2\) heben sich auf, es bleibt: \(8x + 24 = 48\). 6. Lösen der linearen Gleichung: \(8x = 24 \implies x = 3\). 7. Bestimmung der vier Zahlen: 3, 5, 7 und 9.

Die vier Zahlen lauten 3, 5, 7 und 9.

- Versuche, die unbekannte Anzahl der Laptops in einem Raum als Variable zu bezeichnen. - Wie viele Laptops sind nach dem Umstellen in jedem Raum? Schreibe dies als Rechenausdruck auf. - Das Wort „Anteil“ oder der Bruch weist auf eine multiplikative Beziehung zwischen den beiden neuen Mengen hin. - Wurden Laptops von außen hinzugefügt oder aus der Schule entfernt?

1. Definition der Unbekannten: \(x\) ist die Anzahl der Laptops in Raum Beta, \(2x\) ist die Anzahl in Raum Alpha. 2. Aufstellen der Gleichung nach dem Transfer von 9 Geräten: \(x + 9 = \frac{4}{5}(2x - 9)\). 3. Multiplikation der gesamten Gleichung mit 5 zur Beseitigung des Bruchs: \(5x + 45 = 4(2x - 9)\). 4. Ausmultiplizieren der Klammer: \(5x + 45 = 8x - 36\). 5. Ordnen der Terme: \(81 = 3x\). 6. Lösung für Raum Beta: \(x = 27\). 7. Lösung für Raum Alpha: \(2 \cdot 27 = 54\). 8. Begründung zur Gesamtzahl: Da die Laptops nur innerhalb der Schule verschoben wurden (interner Transfer), bleibt die Summe der Geräte (\(54 + 27 = 81\)) konstant.

Ursprünglich waren 54 Laptops in Raum Alpha und 27 Laptops in Raum Beta. Die Gesamtzahl bleibt gleich, da die Geräte lediglich den Standort gewechselt haben und keine Laptops hinzugefügt oder entfernt wurden.

- Finde zuerst heraus, wie viele Fotos am Anfang in jedem Album waren. - Was passiert mit der Gesamtzahl aller Fotos, wenn du sie nur zwischen den Alben verschiebst? - Wenn beide Alben am Ende gleich viele Fotos haben sollen, wie viele Fotos sind das bei der berechneten Gesamtzahl? - Wie viele Fotos fehlen dann im kleineren Album noch bis zu dieser Zielzahl?

1. Variable festlegen: Sei \(b\) die Anzahl der Fotos in Album B, dann hat Album A am Anfang \(4b\) Fotos. 2. Gleichung für die erste Verschiebung aufstellen: \(4b - 12 = 2(b + 12)\). 3. Gleichung lösen: \(4b - 12 = 2b + 24 \Rightarrow 2b = 36 \Rightarrow b = 18\). 4. Anfangsbestände berechnen: Album B hat 18 Fotos, Album A hat \(4 \cdot 18 = 72\) Fotos. 5. Gesamtanzahl und Zielzustand bestimmen: Insgesamt sind es \(72 + 18 = 90\) Fotos. Bei Gleichstand hätte jedes Album \(90 : 2 = 45\) Fotos. 6. Benötigte Verschiebung berechnen: Von 72 Fotos in Album A müssen so viele weg, dass 45 übrig bleiben: \(72 - 45 = 27\).

Es müssten insgesamt 27 Fotos von Album A nach Album B verschoben werden.

- Welche Größe ist unbekannt und lässt sich mit einer Variablen bezeichnen? - Wie kannst du den gesamten Wert der vereinbarten Vergütung für 8 Wochen ausdrücken? - Welcher Anteil dieser Gesamtvergütung gehört zu 5 Wochen? - Beschreibe den tatsächlich erhaltenen Wert auf eine zweite Art und setze beide Beschreibungen gleich.

1. Sei \(x\) der Wert des Tablets in Euro. 2. Der Gesamtwert der vereinbarten Vergütung für 8 Wochen beträgt \(x+420\). 3. Der anteilige Wert für 5 Wochen ist \(\frac{5}{8}(x+420)\). 4. Tatsächlich erhält Chiara den Wert \(x+60\). Daher gilt \(\frac{5}{8}(x+420)=x+60\). 5. Multiplikation mit \(8\) ergibt \(5(x+420)=8(x+60)\). 6. Ausmultiplizieren und Umformen liefert \(5x+2100=8x+480\), also \(1620=3x\) und damit \(x=540\).

Das Tablet ist \(540\,\text{€}\) wert.

- Wie kannst du Prozentangaben und Brüche einheitlich in einer Gleichung schreiben? - Welche Gruppe ist größer – die Kochgruppe oder die Werkstatt? Das hilft dir bei der Differenz. - Wenn du alle Gruppen zusammenzählst, was muss als Ergebnis herauskommen? - Kannst du die Gleichung vereinfachen, bevor du den Hauptnenner suchst?

1. Definition der Variablen: \(x\) ist die Gesamtzahl der Jugendlichen. 2. Übersetzung der Anteile in Terme: Kochen: \(\frac{1}{3}x\); Werkstatt: \(0{,}25x = \frac{1}{4}x\). 3. Term für die Tanzgruppe: \(3\left(\frac{1}{3}x - \frac{1}{4}x\right)\). 4. Aufstellen der Gleichung: \(x = \frac{1}{3}x + \frac{1}{4}x + 3\left(\frac{1}{3}x - \frac{1}{4}x\right) + 10\). 5. Vereinfachen der Gleichung: \(x = \frac{1}{3}x + \frac{1}{4}x + x - \frac{3}{4}x + 10\). 6. Zusammenfassen der Terme mit \(x\): \(0 = \frac{1}{3}x - \frac{2}{4}x + 10\), was zu \(0 = \frac{1}{3}x - \frac{1}{2}x + 10\) führt. 7. Umformen und Hauptnenner bilden: \(\frac{1}{2}x - \frac{1}{3}x = 10 \Rightarrow \frac{3}{6}x - \frac{2}{6}x = 10\). 8. Lösung der Gleichung: \(\frac{1}{6}x = 10 \Rightarrow x = 60\).

a) Eine mögliche Gleichung ist \(x = \frac{1}{3}x + \frac{1}{4}x + 3(\frac{1}{3}x - \frac{1}{4}x) + 10\). b) Es sind insgesamt 60 Jugendliche im Zentrum.

- Überlege dir zuerst, welcher Bruchteil oder Prozentsatz aus den Spendern entnommen wurde, um die Kanne zu füllen. - Kannst du die Größen von \(A\) und \(B\) jeweils nur durch die Größe von \(C\) ausdrücken? - Stelle eine Gleichung auf, die alle drei Größen im Verhältnis zueinander zeigt. - Was genau bedeutet es mathematisch, wenn etwas „\(20\,\text{Liter}\) mehr als das Vierfache“ ist?

1. Aufstellen der Zusammenhänge basierend auf den verbleibenden Anteilen: Da beim Füllen von \(C\) aus \(A\) noch \(60\,\%\) in \(A\) bleiben, entspricht das Volumen von \(C\) genau \(40\,\%\) von \(A\), also \(C = 0{,}4A\). Umgestellt ergibt dies \(A = 2{,}5C\). 2. Analog für Spender \(B\): Da \(75\,\%\) in \(B\) bleiben, ist \(C = 0{,}25B\), woraus \(B = 4C\) folgt. 3. Aufstellen der Hauptgleichung für das Gesamtvolumen: \(A + B = 4C + 20\). 4. Einsetzen der Ausdrücke für \(A\) und \(B\) in die Hauptgleichung: \(2{,}5C + 4C = 4C + 20\). 5. Zusammenfassen und Lösen nach \(C\): \(6{,}5C = 4C + 20 \Rightarrow 2{,}5C = 20 \Rightarrow C = 8\). 6. Berechnung von \(A\) und \(B\): \(A = 2{,}5 \cdot 8 = 20\) und \(B = 4 \cdot 8 = 32\). Die Volumina betragen \(A = 20\,\text{Liter}\), \(B = 32\,\text{Liter}\) und \(C = 8\,\text{Liter}\).

Der Spender \(A\) fasst \(20\,\text{Liter}\), der Spender \(B\) fasst \(32\,\text{Liter}\) und die Servierkanne \(C\) fasst \(8\,\text{Liter}\).

- Ziel = bereits gesammelte Menge + noch fehlende Menge. - Die Aktivzeit der 7b ist um 2 Tage kürzer. - Setze die beiden Zielterme gleich, nicht die täglichen Sammelraten.

1. Ziel der 7a: \(12t+40\). 2. 7b ist \(t-2\) Tage aktiv, ihr Zielterm lautet \(15(t-2)+46\). 3. Gleiches Ziel ergibt \(12t+40=15(t-2)+46\). 4. Vereinfachen: \(12t+40=15t+16\), also \(t=8\). 5. Ziel: \(12\cdot8+40=136\,\text{kg}\).

Gleichung: \(12t+40=15(t-2)+46\). Das gemeinsame Ziel beträgt \(136\,\text{kg}\).

- Schreibe die Füllzeiten zuerst als Anteile eines Aquariums pro Minute. - Bei offenem Abfluss ist die Nettorate kleiner als die Pumpenrate. - Nachdem du die Abflussrate kennst, welche Zeit gehört zu „ein volles Aquarium“?

1. Pumpenrate: \(\frac1{20}\) Aquarium pro Minute; Nettorate: \(\frac1{50}\). 2. Es gilt \(\frac1{20}-r=\frac1{50}\). 3. Daher \(r=\frac1{20}-\frac1{50}=\frac3{100}\). 4. Die Entleerungszeit ist der Kehrwert: \(\frac{100}{3}\) Minuten = \(33\frac13\) Minuten = 33 Minuten 20 Sekunden.

Gleichung: \(\frac1{20}-r=\frac1{50}\). Abflussrate: \(r=\frac3{100}\) Aquarium pro Minute. Entleerungszeit: 33 Minuten 20 Sekunden.

- Wenn \(x\) Module Typ A sind, wie viele der 28 gehören zu Typ B? - Addiere in a) die Leistungsbeiträge beider Typen. - In b) muss nur die zusätzliche Leistung bis 12 kW modelliert werden.

1. Es gibt \(x\) A-Module und \(28-x\) B-Module. 2. Leistungsgleichung: \(320x+400(28-x)=10\,000\). 3. Daraus folgt \(11\,200-80x=10\,000\), also \(x=15\). Damit gibt es 13 B-Module. 4. Für die Erhöhung fehlen \(2000\,\text{W}\): \(400n=2000\), also \(n=5\).

a) Gleichung: \(320x+400(28-x)=10\,000\). Typ A: 15 Module, Typ B: 13 Module. b) Gleichung: \(400n=2000\). Es werden 5 zusätzliche Typ-B-Module benötigt.

- Schreibe zuerst nur den Rest nach dem ersten Tag als Term. - Verwende diesen gesamten Term als Ausgangsmenge für den zweiten Tag und danach erneut für den dritten. - Die zusätzlichen \(0{,}25\,\text{l}\) werden an jedem Tag nach der Halbierung abgezogen.

1. Nach Tag 1 bleiben \(\frac12x-0{,}25\). 2. Nach Tag 2 bleiben \(\frac12(\frac12x-0{,}25)-0{,}25\). 3. Nach Tag 3 gilt daher \(\frac12(\frac12(\frac12x-0{,}25)-0{,}25)-0{,}25=0{,}5\). 4. Vereinfachen ergibt \(\frac18x-0{,}4375=0{,}5\), also \(\frac18x=0{,}9375\) und \(x=7{,}5\).

Gleichung: \(\frac12(\frac12(\frac12x-0{,}25)-0{,}25)-0{,}25=0{,}5\). Amina hatte anfangs \(7{,}5\,\text{l}\) Wasser.

- Der Anteil im zweiten Monat bezieht sich auf den Zwischenstand nach Monat 1. - Schreibe deshalb zuerst diesen Zwischenstand als Klammerterm. - Die zusätzlichen 30 Euro werden erst nach der anteiligen Ausgabe des zweiten Monats abgezogen.

1. Nach Monat 1 bleiben \(x-\frac13x-50=\frac23x-50\). 2. Nach Ausgabe eines Viertels bleiben davon \(\frac34(\frac23x-50)\); anschließend werden noch 30 Euro abgezogen. 3. Es gilt \(\frac34(\frac23x-50)-30=300\). 4. Vereinfachen ergibt \(\frac12x-67{,}5=300\), also \(\frac12x=367{,}5\) und \(x=735\).

Gleichung: \(\frac34(\frac23x-50)-30=300\). Zu Beginn waren \(735\,\text{€}\) in der Klassenkasse.