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- Was passiert mit dem Kontostand bei einer Abbuchung und was bei einer Gutschrift? - Kannst du den Gesamteffekt der beiden Buchungen bestimmen? - Überlege dir, wie du die Rechnung umkehren kannst, um vom Endzustand zum Anfangszustand zu kommen.

1. Aufstellen einer Gleichung mit dem gesuchten Startwert \(x\): \(x - 450{,}00 + 1250{,}60 = 840{,}25\). 2. Zusammenfassen der bekannten Werte auf der linken Seite: \(-450{,}00 + 1250{,}60 = 800{,}60\). 3. Umstellen der vereinfachten Gleichung \(x + 800{,}60 = 840{,}25\) durch Subtraktion von \(800{,}60\). 4. Berechnung des Startwerts: \(x = 840{,}25 - 800{,}60 = 39{,}65\).

Der Kontostand betrug vor den Buchungen \(39{,}65\,\text{€}\).

- Stelle dir vor, der Ballon startet bei einer unbekannten Höhe. Welche Rechenzeichen passen zu „steigen“ und „sinken“? - Wie viel tiefer oder höher ist der Ballon insgesamt nach beiden Manövern im Vergleich zum Start? - Welche Rechenoperation macht eine Senkung um einen bestimmten Wert wieder rückgängig?

1. Definition der Variable \(h\) für die Ausgangshöhe und Aufstellen der Gleichung: \(h + 245 - 312 = 128\). 2. Berechnung der Netto-Höhenänderung: \(245 - 312 = -67\). 3. Umformen der Gleichung \(h - 67 = 128\) durch Addition von \(67\). 4. Berechnung des Ergebnisses: \(h = 128 + 67 = 195\).

Die ursprüngliche Höhe des Ballons betrug \(195\,\text{m}\).

- Kannst du den Text Schritt für Schritt in mathematische Zeichen übersetzen? - Was bedeutet „vergrößern“ oder „vermindern“ als Rechenzeichen? - Wie nennt man eine unbekannte Zahl in einer Gleichung meistens? - Achte darauf, Brüche und Dezimalzahlen einheitlich darzustellen, bevor du rechnest.

1. Aufstellen der Gleichung für a): \(x + 2{,}5 = 1{,}25\). Subtraktion von \(2{,}5\) ergibt \(x = 1{,}25 - 2{,}5 = -1{,}25\). 2. Aufstellen der Gleichung für b): \(x - \frac{2}{3} = -1{,}5\). Umwandlung von \(-1{,}5\) in \(-\frac{3}{2}\) und Addition von \(\frac{2}{3}\) ergibt \(x = -\frac{9}{6} + \frac{4}{6} = -\frac{5}{6}\). 3. Aufstellen der Gleichung für c): \(3x = 12{,}6\). Division durch \(3\) ergibt \(x = 4{,}2\).

a) \(x = -1{,}25\) b) \(x = -\frac{5}{6}\) c) \(x = 4{,}2\)

- Was passiert mit dem Alter beider Brüder, wenn ein Jahr vergeht? - Kannst du einen Platzhalter für die gesuchte Anzahl der Jahre verwenden? - Wie schreibst du das zukünftige Alter von Tim und Leo mathematisch auf? - Wie drückst du die Bedingung „doppelt so alt“ als mathematisches Zeichen aus?

1. Variable \(x\) für die Anzahl der Jahre definieren. 2. Alter von Tim in \(x\) Jahren: \(8 + x\). 3. Alter von Leo in \(x\) Jahren: \(2 + x\). 4. Gleichung aufstellen: \(8 + x = 2(2 + x)\). 5. Klammer auflösen: \(8 + x = 4 + 2x\). 6. Nach \(x\) auflösen: \(x = 4\).

In \(4\) Jahren wird Tim doppelt so alt sein wie Leo.

- Was stellt die Unbekannte in dieser Aufgabe dar? - Kannst du die Anteile der ersten beiden Abschnitte zu einem gemeinsamen Anteil zusammenfassen? - Wie viel bleibt vom Ganzen übrig, wenn man die ersten beiden Anteile abzieht? - Überlege, welcher Bruchteil der Gesamtlänge genau den \(7\,\text{km}\) entspricht.

1. Sei \(x\) die Gesamtlänge des Wanderwegs in Kilometern. 2. Aufstellen der Gleichung basierend auf den Teilabschnitten: \(\frac{1}{3}x + \frac{1}{5}x + 7 = x\). 3. Brüche auf den Hauptnenner 15 bringen: \(\frac{5}{15}x + \frac{3}{15}x + 7 = x\). 4. Zusammenfassen der Brüche: \(\frac{8}{15}x + 7 = x\). 5. Subtraktion von \(\frac{8}{15}x\) auf beiden Seiten: \(7 = \frac{7}{15}x\). 6. Auflösen nach \(x\) durch Multiplikation mit dem Kehrwert \(\frac{15}{7}\): \(x = 7 \cdot \frac{15}{7} = 15\).

Der gesamte Wanderweg ist \(15\,\text{km}\) lang.

- Was bedeutet das \(x\) in der Gleichung? - Überlege, wie viel Wasser beide Schläuche zusammen in einer Minute liefern. - Wie kannst du aus der Gesamtdauer die Wassermenge eines einzelnen Schlauchs berechnen?

1. Zusammenfassen der Terme auf der linken Seite der Gleichung: \(12x + 8x = 20x\). 2. Lösen der Gleichung nach \(x\): \(20x = 500 \Rightarrow x = 25\). Die Füllzeit beträgt \(25\,\text{Minuten}\). 3. Berechnung des Anteils von Schlauch 1: \(12\,\text{l/min} \cdot 25\,\text{min} = 300\,\text{l}\).

a) Es dauert \(25\,\text{Minuten}\). b) Der erste Schlauch hat \(300\,\text{l}\) Wasser geliefert.

- Kannst du den Anteil des Geldes bestimmen, der noch übrig ist, nachdem die Kinokarten und das Spiel bezahlt wurden? - Hilft es dir, alle Brüche auf denselben Nenner zu bringen? - Überlege dir, wie du den Restbetrag von \(14\,\text{€}\) als Bruchteil des Ganzen ausdrücken kannst.

1. Aufstellen der Gleichung für das Gesamttaschengeld \(x\): \(x - \frac{1}{4} \cdot x - \frac{2}{5} \cdot x = 14\) 2. Bestimmen des Hauptnenners für die Brüche \(\frac{1}{4}\) und \(\frac{2}{5}\): \(20\) 3. Zusammenfassen der Anteile auf der linken Seite: \(\frac{20}{20} \cdot x - \frac{5}{20} \cdot x - \frac{8}{20} \cdot x = \frac{7}{20} \cdot x\) 4. Lösen der Gleichung \(\frac{7}{20} \cdot x = 14\) durch Multiplikation mit dem Kehrwert: \(x = 14 \cdot \frac{20}{7}\) 5. Berechnung des Endergebnisses: \(x = 40\)

Lukas hat insgesamt \(40\,\text{€}\) Taschengeld bekommen.

- Wie lässt sich der Wert einer zweistelligen Zahl mithilfe ihrer Ziffern ausdrücken? - Was versteht man unter der Quersumme einer Zahl? - Kannst du eine der Ziffern durch die andere ausdrücken, um nur noch eine Unbekannte in der Gleichung zu haben? - Stelle eine Gleichung auf, die den im Text beschriebenen Zusammenhang wiedergibt.

1. Sei \(t\) die Zehnerziffer und \(u\) die Einerziffer der Zahl. Die Zahl lässt sich als \(10t + u\) darstellen. 2. Aus der ersten Bedingung folgt: \(u = t + 3\). 3. Die Quersumme der Zahl ist \(t + u\). 4. Die zweite Bedingung lautet: \((10t + u) + (t + u) = 45\). 5. Ersetzen von \(u\) durch \(t + 3\) in der Gleichung: \((10t + t + 3) + (t + t + 3) = 45\). 6. Zusammenfassen der Terme: \(13t + 6 = 45\). 7. Subtraktion von 6: \(13t = 39\). 8. Division durch 13 ergibt die Zehnerziffer: \(t = 3\). 9. Berechnung der Einerziffer: \(u = 3 + 3 = 6\). 10. Die gesuchte Zahl ist 36.

Die Zahl lautet 36.

- Kannst du den Text in eine mathematische Formel übersetzen? - Was bedeutet „vergrößert um“ oder „das Dreifache“ als Rechenzeichen? - Wie kannst du eine Rechenoperation rückgängig machen, um die gesuchte Zahl allein auf eine Seite zu bringen?

1. Aufstellen der Gleichung: \(x + 8{,}4 = 15\). Subtraktion von \(8{,}4\) auf beiden Seiten ergibt \(x = 6{,}6\). 2. Aufstellen der Gleichung: \(42 - y = 13{,}5\). Subtraktion von \(42\) ergibt \(-y = -28{,}5\), also \(y = 28{,}5\). 3. Aufstellen der Gleichung: \(3a = 25{,}5\). Division durch \(3\) ergibt \(a = 8{,}5\).

1) \(x = 6{,}6\) 2) \(y = 28{,}5\) 3) \(a = 8{,}5\)

- Was wissen wir über das Verhältnis der beiden Bestandteile? - Wie hängen die Einzelmengen mit der angegebenen Gesamtmenge zusammen? - Kannst du die Menge einer der Zutaten als \(x\) bezeichnen? - Überlege, wie du den Anteil des Wassers im Verhältnis zum Konzentrat ausdrücken kannst.

1. Sei \(x\) die Menge des Konzentrats in Litern. 2. Die Menge des Wassers beträgt dann \(4x\). 3. Die Gesamtmischung ergibt sich aus der Summe beider Bestandteile: \(x + 4x = 7{,}5\). 4. Zusammenfassen der Terme führt zu \(5x = 7{,}5\). 5. Division durch \(5\) ergibt den Wert für \(x\): \(x = 1{,}5\). Die benötigte Menge an Konzentrat beträgt \(1{,}5\,\text{l}\).

Es werden \(1{,}5\,\text{l}\) Konzentrat benötigt.

- Was ist in der Aufgabe gesucht? Ersetze diesen Wert durch einen Platzhalter wie \(x\). - Welches mathematische Rechenzeichen passt zum Wort „subtrahieren“? - Wie kannst du eine Rechenoperation auf der anderen Seite des Gleichheitszeichens wieder rückgängig machen? - Achte beim Rechnen auf das Vorzeichen der Zahlen.

1. Aufstellen der Gleichung mit der unbekannten Zahl \(x\): \(x - 14{,}2 = -5{,}8\). 2. Durchführung der Äquivalenzumformung durch Addition von \(14{,}2\) auf beiden Seiten der Gleichung: \(x = -5{,}8 + 14{,}2\). 3. Berechnung des Ergebnisses: \(x = 8{,}4\).

Die Zahl lautet \(8{,}4\).

- Was ist in der Aufgabe gesucht? Kennzeichne diesen Wert mit einem Buchstaben. - Wie setzt sich die Gesamtpunktzahl zusammen? - Kannst du eine Rechnung aufschreiben, die den Bonus und die Punkte für die Fragen kombiniert? - Wie gehst du vor, wenn du zuerst den Bonus vom Gesamtergebnis abziehst?

1. Festlegen der Unbekannten \(x\) für die Punktzahl pro richtiger Antwort. 2. Aufstellen der linearen Gleichung basierend auf der Gesamtpunktzahl: \(6x + 25 = 145\). 3. Subtraktion des Bonus von der Gesamtpunktzahl, um den Anteil der Antworten zu isolieren: \(6x = 120\). 4. Division durch die Anzahl der Fragen, um den Wert einer einzelnen Antwort zu berechnen: \(x = 20\).

Für eine richtige Antwort gibt es \(20\) Punkte.

- Haben beide Seiten der Waage die gleiche Einheit? - Kannst du die linke Seite der Waage als einen mathematischen Ausdruck schreiben? - Was bedeutet „Gleichgewicht“ für die Beziehung zwischen der linken und der rechten Seite? - Wie kannst du die Gleichung Schritt für Schritt vereinfachen, um \(x\) allein stehen zu haben?

1. Umrechnung der Gewichtseinheiten in Gramm: \(1{,}35\,\text{kg} = 1350\,\text{g}\). 2. Aufstellen der Gleichung für das Gleichgewicht der Waage: \(4x + 150 = 1350\), wobei \(x\) die Masse einer Pralinenschachtel in Gramm ist. 3. Isolieren des Terms mit der Unbekannten durch Subtraktion von \(150\) auf beiden Seiten: \(4x = 1200\). 4. Division durch \(4\), um das Gewicht einer Schachtel zu erhalten: \(x = 300\,\text{g}\).

\(300\,\text{g}\)

- Kannst du die Länge des einen Teils mithilfe des anderen Teils ausdrücken? - Wie viel ergibt die Summe der beiden Teilstücke? - Versuche, eine Gleichung aufzustellen, in der nur eine Unbekannte vorkommt.

1. Definition der Variablen: \(x\) für die Länge des kürzeren Teils und \(4x\) für die Länge des längeren Teils 2. Aufstellen der Gleichung für die Gesamtlänge: \(x + 4x = 60\) 3. Zusammenfassen der Terme: \(5x = 60\) 4. Berechnung des kürzeren Teils durch Division: \(x = 12\,\text{cm}\) 5. Berechnung des längeren Teils: \(4 \cdot 12\,\text{cm} = 48\,\text{cm}\)

Die Seilstücke sind \(12\,\text{cm}\) und \(48\,\text{cm}\) lang.

- Überlege dir, welche Klasse am wenigsten gesammelt hat, und nenne diesen Wert \(x\). - Wie kannst du die Mengen der anderen Klassen ausdrücken, wenn sie vom Wert \(x\) abhängen? - Was weißt du über die Summe aller drei Mengen? - Stelle eine Gleichung auf, in der alle Teile zusammen den Gesamtwert ergeben.

1. Festlegen der Variable: \(x\) ist die Menge der Klasse 7a in \(\text{kg}\). 2. Aufstellen der Terme für die anderen Klassen: Klasse 7b sammelt \(2x\), Klasse 7c sammelt \(3(2x) = 6x\). 3. Aufstellen der Gesamtsummen-Gleichung: \(x + 2x + 6x = 1800\). 4. Zusammenfassen der Terme: \(9x = 1800\). 5. Lösen der Gleichung durch Division: \(x = 200\). 6. Berechnung der Einzelmengen: Klasse 7a = \(200\,\text{kg}\), Klasse 7b = \(2 \cdot 200 = 400\,\text{kg}\), Klasse 7c = \(6 \cdot 200 = 1200\,\text{kg}\). 7. Überprüfung: \(200 + 400 + 1200 = 1800\).

Klasse 7a hat \(200\,\text{kg}\), Klasse 7b hat \(400\,\text{kg}\) und Klasse 7c hat \(1200\,\text{kg}\) gesammelt.

- Wie kannst du die nächste Zahl ausdrücken, wenn die erste Zahl \(x\) ist? - Was bedeutet der Begriff „Summe“ für deine mathematische Gleichung? - Versuche zuerst, alle vier Zahlen als Terme mit einer Variablen aufzuschreiben. - Kannst du die Gleichung vereinfachen, bevor du nach \(x\) auflöst?

1. Definition der ersten Zahl als \(x\). 2. Darstellung der weiteren drei aufeinanderfolgenden Zahlen als \(x + 1\), \(x + 2\) und \(x + 3\). 3. Aufstellen der Summengleichung: \(x + (x + 1) + (x + 2) + (x + 3) = 66\). 4. Zusammenfassen der Terme auf der linken Seite: \(4x + 6 = 66\). 5. Subtraktion von \(6\) auf beiden Seiten: \(4x = 60\). 6. Division durch \(4\): \(x = 15\). 7. Bestimmung der vier gesuchten Zahlen: \(15\), \(16\), \(17\) und \(18\).

Die Zahlen sind \(15\), \(16\), \(17\) und \(18\).

- Welche Sorte von Medien eignet sich am besten als Basiswert \(x\)? - Wie kannst du die Beschreibungen „doppelt so viele“ und „um 40 mehr“ mathematisch übersetzen? - Was weißt du über die Summe aller drei Medientypen? - Kannst du eine Gleichung aufstellen, in der nur noch eine Unbekannte vorkommt?

1. Festlegen der Variable \(x\) für die Anzahl der Sachbücher. 2. Aufstellen der Terme für die anderen Medien: Romane \(2x\), Comics \(x + 40\). 3. Aufstellen der Gesamtgleichung: \(x + 2x + (x + 40) = 280\). 4. Zusammenfassen der Terme zu \(4x + 40 = 280\). 5. Subtraktion von 40 führt zu \(4x = 240\), Division durch 4 ergibt \(x = 60\). 6. Berechnung der einzelnen Mengen: Es gibt 60 Sachbücher, \(2 \cdot 60 = 120\) Romane und \(60 + 40 = 100\) Comics.

Es gibt 60 Sachbücher, 120 Romane und 100 Comics.

- Wie kannst du eine Zahl und ihren direkten Nachfolger mit einer Variable ausdrücken? - Kannst du den Text Schritt für Schritt in eine mathematische Gleichung übersetzen? - Was bedeutet „um 31 größer“ mathematisch für den Aufbau deiner Gleichung? - Erinnere dich daran, wie man Klammern auflöst, in denen eine Summe mit einer Zahl multipliziert wird.

1. Definition der Variablen: Sei \(x\) die erste Zahl. Die Nachfolgerzahl ist dann \(x + 1\). 2. Aufstellen der Gleichung gemäß der Problemstellung: \(7x = 5(x + 1) + 31\). 3. Auflösen der Klammer auf der rechten Seite: \(7x = 5x + 5 + 31\). 4. Zusammenfassen der Terme: \(7x = 5x + 36\). 5. Subtraktion von \(5x\) auf beiden Seiten: \(2x = 36\). 6. Division durch 2 ergibt die erste Zahl: \(x = 18\). 7. Bestimmung der Nachfolgerzahl: \(18 + 1 = 19\).

Die beiden aufeinanderfolgenden Zahlen sind 18 und 19.

- Welchen Wert suchen wir? Kannst du ihn mit einem Buchstaben benennen? - Wie kannst du den Geldbetrag von Lukas auf zwei verschiedene Arten ausdrücken? - Kannst du eine Gleichung aufstellen, in der beide Seiten denselben Wert (Lukas’ Geld) beschreiben? - Überlege, was du tun musst, um das \(x\) auf eine Seite der Gleichung zu bringen.

1. Festlegen der Variable \(x\) für den Geldbetrag von Finja in Euro. 2. Aufstellen der Gleichung basierend auf den zwei Beschreibungen von Lukas’ Ersparnissen: \(4x = x + 42\). 3. Subtraktion von \(x\) auf beiden Seiten führt zu \(3x = 42\). 4. Division durch 3 ergibt \(x = 14\). 5. Finja hat somit \(14\,\text{€}\) in ihrer Spardose.

Finja hat \(14\,\text{€}\) in ihrer Spardose.

- Welche Informationen über die Anzahl der Fahrzeuge und die Anzahl der Räder sind gegeben? - Bezeichne die Anzahl der Autos mit \(x\). Wie kannst du dann die Anzahl der Motorräder mithilfe der Gesamtzahl ausdrücken? - Wie viele Räder tragen Autos und Motorräder jeweils zur Gesamtzahl bei? - Stelle eine Gleichung mit nur einer Unbekannten auf.

1. Sei \(x\) die Anzahl der Autos. Dann gibt es \(22 - x\) Motorräder. 2. Die Räderzahl führt zur Gleichung \(4x + 2(22 - x) = 72\). 3. Ausmultiplizieren und Zusammenfassen ergibt \(4x + 44 - 2x = 72\), also \(2x + 44 = 72\). 4. Subtraktion von \(44\) ergibt \(2x = 28\), daher \(x = 14\). 5. Somit stehen \(14\) Autos und \(22 - 14 = 8\) Motorräder auf dem Parkplatz.

Auf dem Parkplatz stehen \(8\) Motorräder und \(14\) Autos.

- Welche Person bietet sich am besten als Unbekannte \(x\) an, um die anderen Mengen einfach zu beschreiben? - Kannst du die Mengen der anderen beiden Personen mithilfe von \(x\) ausdrücken? - Wie hängen die drei einzelnen Mengen mit der Gesamtsumme zusammen? - Stelle eine Gleichung auf und löse sie nach \(x\) auf.

1. Festlegen der Unbekannten: Sei \(x\) die Menge von Anna in \(\text{kg}\). 2. Ausdrücken der anderen Mengen in Abhängigkeit von \(x\): Beate hat \(x - 10\) gesammelt und Clara hat \(x + 10\) gesammelt. 3. Aufstellen der Gleichung für die Gesamtmenge: \(x + (x - 10) + (x + 10) = 120\). 4. Zusammenfassen der Terme: \(3x = 120\). 5. Lösen nach \(x\): \(x = 40\). 6. Berechnung der restlichen Werte: Anna hat \(40\,\text{kg}\) gesammelt. Beate hat \(40 - 10 = 30\,\text{kg}\) gesammelt. Clara hat \(40 + 10 = 50\,\text{kg}\) gesammelt. 7. Überprüfung: \(40 + 30 + 50 = 120\).

Anna hat \(40\,\text{kg}\), Beate \(30\,\text{kg}\) und Clara \(50\,\text{kg}\) gesammelt.

- Wessen Kartenanzahl ist die Basis für die Vergleiche? Wähle dafür eine Variable. - Kannst du die Mengen der anderen beiden Personen mithilfe dieser einen Variable ausdrücken? - Wie sieht die Gleichung aus, wenn du alle drei Mengen addierst? - Überprüfe am Ende, ob die Summe deiner drei Ergebnisse wirklich den Gesamtwert ergibt.

1. Festlegen der Variable \(x\) für die Anzahl der Karten von Mia. 2. Aufstellen der Terme für die anderen Personen: Lukas hat \(x + 20\) Karten, Noah hat \(2x\) Karten. 3. Aufstellen der Gesamtsummen-Gleichung: \(x + (x + 20) + 2x = 200\). 4. Zusammenfassen der Terme: \(4x + 20 = 200\). 5. Subtraktion von \(20\): \(4x = 180\). 6. Division durch \(4\): \(x = 45\). 7. Bestimmung der übrigen Werte: Mia hat \(45\) Karten, Lukas hat \(45 + 20 = 65\) Karten und Noah hat \(2 \cdot 45 = 90\) Karten.

Mia hat \(45\) Karten, Lukas hat \(65\) Karten und Noah hat \(90\) Karten.

- Welche Zutat wird als Vergleichsbasis für die anderen beiden benutzt? - Kannst du die Gesamtmenge als Summe der drei Einzelteile darstellen? - Wie schreibst du „dreimal so viel“ und „400 mehr“ mathematisch auf?

1. Festlegen der Unbekannten: Die Menge des Zitronensafts sei \(x\) (in \(\text{ml}\)). 2. Ausdrücken der anderen Mengen: Orangensaft = \(3x\), Apfelsaft = \(x + 400\). 3. Aufstellen der Gesamtmengengleichung: \(x + 3x + (x + 400) = 2000\). 4. Zusammenfassen und Lösen der Gleichung: \(5x + 400 = 2000 \Rightarrow 5x = 1600 \Rightarrow x = 320\). 5. Berechnung der Teilmengen: Zitronensaft = \(320\,\text{ml}\), Orangensaft = \(3 \cdot 320 = 960\,\text{ml}\), Apfelsaft = \(320 + 400 = 720\,\text{ml}\).

Im Punsch sind \(320\,\text{ml}\) Zitronensaft, \(960\,\text{ml}\) Orangensaft und \(720\,\text{ml}\) Apfelsaft enthalten.

- Was genau ist gesucht? - Kannst du eine Variable für die unbekannte Menge in einem der Tanks festlegen? - Wie kannst du den Inhalt des einen Tanks durch den Inhalt des anderen ausdrücken? - Was passiert mit den Mengen, wenn Wasser entnommen oder hinzugefügt wird? - Wie sieht die Gleichung aus, wenn am Ende beide Mengen gleich groß sein sollen?

1. Festlegen der Variable \(x\) für die Wassermenge im zweiten Tank in Litern. 2. Aufstellen des Terms für die Menge im ersten Tank: \(3x\). 3. Formulieren der Gleichung nach der Inhaltsänderung: \(3x - 15{,}5 = x + 28{,}5\). 4. Zusammenfassen der Terme durch Subtraktion von \(x\) und Addition von \(15{,}5\): \(2x = 44\). 5. Lösen der Gleichung durch Division: \(x = 22\). 6. Berechnung der Menge im ersten Tank: \(3 \cdot 22 = 66\).

Im ersten Tank waren ursprünglich \(66\,\text{l}\) und im zweiten Tank \(22\,\text{l}\) Wasser.

- Überlege dir zuerst, wie viel Geld jeder nach einer Woche, zwei Wochen oder allgemein nach \(x\) Wochen hat. - Wie kannst du mathematisch ausdrücken, dass ein Wert das \(1{,}2\)-Fache eines anderen Wertes ist? - Stelle eine Gleichung auf, in der Sarahs Term auf der einen Seite und Lukas’ Term (multipliziert mit dem Faktor) auf der anderen Seite steht.

1. Aufstellen der Terme für das Ersparte nach \(x\) Wochen: Lukas: \(50 + 5x\); Sarah: \(20 + 8x\). 2. Aufstellen der Gleichung gemäß der Bedingung, dass Sarahs Betrag das \(1{,}2\)-Fache von Lukas’ Betrag ist: \(20 + 8x = 1{,}2(50 + 5x)\). 3. Ausmultiplizieren der Klammer: \(20 + 8x = 60 + 6x\). 4. Zusammenfassen und Isolieren der Variable \(x\): \(2x = 40\). 5. Berechnung des Ergebnisses: \(x = 20\).

Nach \(20\) Wochen.

- Kannst du das Alter von Mia mit einem Buchstaben ausdrücken? - Wie alt sind die beiden jeweils in 6 Jahren? - Welcher Zusammenhang besteht zwischen ihren Altern in der Zukunft? - Versuche, eine Gleichung aufzustellen, die den zukünftigen Zustand beschreibt.

1. Festlegen der Variablen: \(x\) sei das heutige Alter von Mia. Lukas ist dann \(3x\) Jahre alt. 2. Aufstellen der Gleichung für den Zustand in 6 Jahren: \(3x + 6 = 2(x + 6)\). 3. Lösen der Gleichung: Ausmultiplizieren ergibt \(3x + 6 = 2x + 12\). Subtraktion von \(2x\) und 6 führt zu \(x = 6\). 4. Berechnung der Alterswerte: Mia ist heute \(x = 6\) Jahre alt. Lukas ist heute \(3 \cdot 6 = 18\) Jahre alt.

Mia ist heute 6 Jahre alt und Lukas ist 18 Jahre alt.

- Was genau soll am Ende berechnet werden? - Können wir eine Unbekannte festlegen, mit der wir beide entnommenen Mengen beschreiben können? - Wie viel Wasser ist nach der Entnahme jeweils noch in den Tonnen? - Wie hängen diese Restmengen laut der Aufgabe zusammen? - Kannst du aus diesem Zusammenhang eine Gleichung bilden?

1. Definition der Variable: Die aus Tonne A entnommene Wassermenge sei \(x\) in Litern. Dann wurde aus Tonne B die Menge \(3x\) entnommen. 2. Aufstellen der Terme für die Restmengen: In Tonne A verbleiben \(85 - x\), in Tonne B verbleiben \(110 - 3x\). 3. Aufstellen der Gleichung basierend auf der Differenz der Restmengen: Da in Tonne A am Ende \(15\,\text{l}\) mehr sind als in Tonne B, gilt \(85 - x = (110 - 3x) + 15\). 4. Vereinfachen der rechten Seite: \(85 - x = 125 - 3x\). 5. Lösen der Gleichung: Addition von \(3x\) auf beiden Seiten ergibt \(85 + 2x = 125\). Subtraktion von \(85\) ergibt \(2x = 40\), also \(x = 20\). 6. Berechnung der entnommenen Mengen: Aus Tonne A wurden \(20\,\text{l}\) entnommen, aus Tonne B wurden \(3 \cdot 20 = 60\,\text{l}\) entnommen.

Aus Tonne A wurden \(20\,\text{l}\) und aus Tonne B \(60\,\text{l}\) Wasser entnommen.

- Stelle dir vor, die Mischung besteht aus mehreren gleich großen „Teilen“ oder „Portionen“. - Wie viele Teile entfallen auf die eine Sorte, wie viele auf die andere? - Wie viele Teile macht der Gewichtsunterschied aus? - Wenn du weißt, wie viel ein Teil wiegt, kannst du die Gesamtmenge leicht bestimmen.

1. Aufstellen einer Gleichung basierend auf dem Verhältnis \(7 : 2\). Sei \(x\) der Wert eines Anteils, dann gilt für den Gewichtsunterschied: \(7x - 2x = 450\). 2. Zusammenfassen der Terme: \(5x = 450\). 3. Berechnen des Wertes eines Anteils: \(x = 90\,\text{g}\). 4. Bestimmen der Einzelmengen: Arabica-Bohnen \(= 7 \cdot 90\,\text{g} = 630\,\text{g}\); Robusta-Bohnen \(= 2 \cdot 90\,\text{g} = 180\,\text{g}\). 5. Berechnen des Gesamtgewichts: \(630\,\text{g} + 180\,\text{g} = 810\,\text{g}\).

Der Inhalt der Packung wiegt insgesamt \(810\,\text{g}\).

- Wie viele Fragen wurden insgesamt gestellt? - Wenn du die Anzahl der richtigen Antworten als Platzhalter nimmst, wie kannst du dann die Anzahl der falschen Antworten ausdrücken? - Kannst du eine Rechnung aufstellen, die zeigt, wie die Punkte für richtige und falsche Antworten verrechnet werden? - Überlege dir, wie sich die Gesamtpunktzahl verändert, wenn eine Frage mehr richtig beantwortet wird.

1. Definition der Variablen: \(x\) ist die Anzahl der richtigen Antworten, \(12 - x\) die Anzahl der falschen Antworten. 2. Aufstellen der allgemeinen Gleichung für die Punktzahl: \(4x - 2(12 - x) = P\). 3. Vereinfachen des Terms: \(4x - 24 + 2x = 6x - 24\). 4. Berechnung für Teilaufgabe a) mit \(P = 30\): \(6x - 24 = 30 \implies 6x = 54 \implies x = 9\). 5. Berechnung für Teilaufgabe b) mit \(P = 6\): \(6x - 24 = 6 \implies 6x = 30 \implies x = 5\).

a) Die „Mathe-Profis“ haben 9 Fragen richtig beantwortet. b) Die „Rätsel-Füchse“ haben 5 Fragen richtig beantwortet.

- Versuche zuerst, den Satz in eine mathematische Formel mit einem Platzhalter \(n\) zu übersetzen. - Was bedeutet „vermindert um“ und „liegt zwischen“ als mathematisches Symbol? - Wie löst man eine Ungleichung nach der Unbekannten auf? - Denk daran, dass am Ende nur natürliche Zahlen als Lösung gesucht sind.

1. Übersetzung des Textes in eine mathematische Ungleichungskette: \(15 < 5n - 7 < 35\). 2. Addition von 7 auf allen Seiten der Ungleichung: \(15 + 7 < 5n < 35 + 7\), was \(22 < 5n < 42\) ergibt. 3. Division der gesamten Ungleichung durch 5: \(\frac{22}{5} < n < \frac{42}{5}\). 4. Berechnung der Dezimalwerte: \(4{,}4 < n < 8{,}4\). 5. Auswahl der natürlichen Zahlen, die in diesem Intervall liegen: \(n \in \{5, 6, 7, 8\}\).

Die gesuchten Zahlen sind 5, 6, 7 und 8.

- Wofür steht die gesuchte Größe in deiner Gleichung? - Kannst du die Anteile an der Gesamtsumme zu einem einzigen Bruch zusammenfassen? - Wie viel fehlt noch am Ganzen, wenn du die Brüche addiert hast? - Versuche, alle Brüche auf denselben Nenner zu bringen.

1. Festlegen der Variable: Sei \(x\) das gesamte Budget in Euro. 2. Aufstellen der Gleichung durch Summieren der Anteile und des Restbetrags: \(x = \frac{1}{3}x + \frac{2}{5}x + \frac{1}{6}x + 30\). 3. Bestimmen des Hauptnenners für die Brüche (\(30\)) und Zusammenfassen der Anteile: \(\frac{10}{30}x + \frac{12}{30}x + \frac{5}{30}x = \frac{27}{30}x = \frac{9}{10}x\). 4. Umformen der Gleichung: \(x = \frac{9}{10}x + 30 \Rightarrow x - \frac{9}{10}x = 30\). 5. Lösen nach \(x\): \(\frac{1}{10}x = 30 \Rightarrow x = 300\). Das gesamte Budget beträgt \(300\,\text{€}\).

Das gesamte Budget beträgt \(300\,\text{€}\).

- Überlege dir zuerst, wofür die Variable \(x\) stehen könnte. - Kannst du die gelesenen Teile des Buches als Bruchteile von \(x\) ausdrücken? - Wie hängen die gelesenen Seiten und die restlichen Seiten mit der Gesamtzahl zusammen? - Versuche, alle Terme mit der Unbekannten auf eine Seite der Gleichung zu bringen.

1. Variable festlegen: Sei \(x\) die Gesamtzahl der Seiten des Buches. 2. Anteile und Restwert als Summe zur Gesamtmenge in Beziehung setzen: \(\frac{1}{3}x + \frac{1}{4}x + 125 = x\). 3. Gleichnamig machen der Brüche (Hauptnenner \(12\)): \(\frac{4}{12}x + \frac{3}{12}x + 125 = x\). 4. Zusammenfassen der \(x\)-Terme auf einer Seite: \(125 = x - \frac{7}{12}x\). 5. Subtraktion der Brüche: \(125 = \frac{5}{12}x\). 6. Nach \(x\) auflösen durch Multiplikation mit dem Kehrwert: \(x = 125 \cdot \frac{12}{5} = 25 \cdot 12 = 300\).

Eine passende Gleichung ist \(\frac{1}{3}x + \frac{1}{4}x + 125 = x\). Das Buch hat insgesamt \(300\) Seiten.

- Kannst du den Text Schritt für Schritt in eine mathematische Gleichung übersetzen? - Was bedeuten Begriffe wie „das Siebenfache“ oder „um 2 größer“ als mathematische Operation? - Wenn eine Seite „um 10 größer“ ist als die andere, wie stellst du diesen Zusammenhang als Gleichung dar? - Kannst du die Klammern in deinem Ausdruck zuerst auflösen, bevor du nach der Unbekannten umstellst? - Wie würdest du „eine um 2 größere Zahl als \(x\)“ mathematisch aufschreiben?

1. Aufstellen der Gleichung basierend auf der Problembeschreibung: \(7x = 3(x + 2) + 10\). 2. Auflösen der Klammer auf der rechten Seite der Gleichung: \(7x = 3x + 6 + 10\). 3. Zusammenfassen der konstanten Glieder auf der rechten Seite: \(7x = 3x + 16\). 4. Subtraktion von \(3x\) auf beiden Seiten zur Isolierung der Variable: \(4x = 16\). 5. Division durch 4 zur Berechnung des Wertes von \(x\): \(x = 4\).

\(x = 4\)

- „Dasselbe Ergebnis“ deutet auf ein Gleichheitszeichen hin. - Wie drückt man das „Doppelte“ oder „Dreifache“ einer Zahl mathematisch aus? - Wenn eine Zahl um einen Wert kleiner ist als eine andere, wie hängen sie zusammen?

1. Aufstellen der Gleichung für a): \(2x + 5 = 3x - 3\). Subtraktion von \(2x\) auf beiden Seiten ergibt \(5 = x - 3\). Addition von \(3\) ergibt \(x = 8\). 2. Aufstellen der Gleichung für b): \(x = 5x - 4\). Subtraktion von \(x\) ergibt \(0 = 4x - 4\). Addition von \(4\) ergibt \(4 = 4x\). Division durch \(4\) ergibt \(x = 1\). Da eine Lösung existiert, ist die Antwort ja.

a) Die Zahl ist \(8\). b) Ja, die Zahl ist \(1\).

- Bleibt der Altersunterschied zwischen den beiden immer gleich? - Überprüfe Jonas' Behauptung, indem du die Alter in \(4\) Jahren konkret ausrechnest. - Setze für die unbekannte Anzahl der Jahre in Teil c einen Buchstaben ein. - Denk daran, dass die Mutter und der Sohn gleichzeitig älter werden.

1. Aktuelles Verhältnis berechnen: \(36 : 6 = 6\). 2. Alter in \(4\) Jahren bestimmen: Mutter \(40\), Jonas \(10\). Das Verhältnis ist \(40 : 10 = 4\). Jonas ist ein Viertel so alt, seine Behauptung ist falsch. 3. Gleichung für Teil c aufstellen: \(36 + x = 3(6 + x)\). 4. Klammer auflösen: \(36 + x = 18 + 3x\). 5. Nach \(x\) auflösen: \(18 = 2x \Rightarrow x = 9\).

a) Das aktuelle Verhältnis ist \(6\). b) Nein, Jonas hat nicht recht. Er wird \(10\) Jahre alt sein und die Mutter \(40\), er ist also nur ein Viertel so alt. c) In \(9\) Jahren wird die Mutter genau dreimal so alt sein wie Jonas.

- Was verändert sich jede Minute bei den Stapeln? - Kannst du für jeden Stapel einen Term aufstellen, der die Anzahl der Kisten nach \(x\) Minuten beschreibt? - Was muss für die Terme gelten, wenn die Stapel „gleich viele Kisten“ haben? - Schau dir die Zuwachsraten an, um zu entscheiden, welcher Stapel schneller größer wird.

1. Vergleich der Zuwachsraten: Stapel A wächst mit \(5\,\frac{\text{Kisten}}{\text{min}}\) schneller als Stapel B mit \(2\,\frac{\text{Kisten}}{\text{min}}\). 2. Aufstellen der Terme für die Anzahl der Kisten nach \(x\) Minuten: Stapel A: \(15 + 5x\); Stapel B: \(45 + 2x\). 3. Gleichsetzen der Terme: \(15 + 5x = 45 + 2x\). 4. Subtraktion von \(2x\): \(15 + 3x = 45\). 5. Subtraktion von 15: \(3x = 30\). 6. Division durch 3: \(x = 10\). Ergebnis für b): Nach \(10\,\text{Minuten}\). 7. Einsetzen von \(x = 10\) in einen der Terme: \(15 + 5 \cdot 10 = 65\). Ergebnis für c): Es liegen \(65\,\text{Kisten}\) auf jedem Stapel.

a) Stapel A wächst schneller, da er 5 Kisten pro Minute erhält (Stapel B nur 2). b) Nach \(10\) Minuten enthalten beide Stapel gleich viele Kisten. c) Es liegen dann \(65\) Kisten auf jedem Stapel.

- Schau dir die einzelnen Bestandteile der Gleichung an: Was stellt die \(15\) dar, was die \(21\)? - Was passiert mit der Wassermenge im Laufe der \(20\,\text{Minuten}\)? - Kannst du die Gleichung Schritt für Schritt vereinfachen, bevor du nach \(y\) auflöst?

1. Überprüfung: \(15\) ist der Startwert, \(0{,}5 \cdot 20\) ist der Zuwachs durch Regen in \(20\,\text{min}\), \(y \cdot 20\) ist der Verlust durch das Leck. Die Differenz ergibt den Endwert \(21\). Die Gleichung ist korrekt. 2. Vereinfachung der Gleichung: \(15 + 10 - 20y = 21\). 3. Zusammenfassen: \(25 - 20y = 21\). 4. Umstellen nach \(y\): \(25 - 21 = 20y \Rightarrow 4 = 20y\). 5. Ergebnis berechnen: \(y = 4 : 20 = 0{,}2\). Der Verlust beträgt \(0{,}2\,\text{l/min}\).

a) Ja, die Gleichung ist korrekt, da sie Startwert, Zufluss und Abfluss über die Zeitspanne von \(20\,\text{Minuten}\) mit dem Endwert verknüpft. b) Der Wasserverlust beträgt \(0{,}2\,\text{l}\) pro Minute.

- Was ergibt die Summe aller Anteile in einem Ganzen? - Wie viel fehlt von der Summe der Säfte noch bis zu einem Ganzen? - Wenn du weißt, welcher Bruchteil \(300\,\text{ml}\) entspricht, wie kommst du dann auf die Gesamtmenge?

1. Berechnung des Gesamtanteils der Säfte: \(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} = \frac{4}{12} + \frac{3}{12} + \frac{2}{12} = \frac{9}{12}\) 2. Kürzen des Anteils: \(\frac{9}{12} = \frac{3}{4}\) 3. Berechnung des Wasseranteils: \(1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}\) 4. Aufstellen der Gleichung für die Gesamtmenge \(x\): \(\frac{1}{4} \cdot x = 300\,\text{ml}\) 5. Berechnung der Gesamtmenge: \(x = 300\,\text{ml} \cdot 4 = 1200\,\text{ml}\) 6. Berechnung der Menge an Orangensaft: \(\frac{1}{3} \cdot 1200\,\text{ml} = 400\,\text{ml}\)

a) Das Mineralwasser macht \(\frac{1}{4}\) des Punsches aus. b) Sarah hat insgesamt \(1200\,\text{ml}\) (oder \(1{,}2\,\text{l}\)) Punsch gemischt. c) Es befinden sich \(400\,\text{ml}\) Orangensaft in der Mischung.

- Was bedeutet „das Doppelte“ mathematisch ausgedrückt? - Wie übersetzt man „vergrößert um“ in ein Rechenzeichen? - Versuche zuerst, den festen Teil der Rechnung (die Differenz) auszurechnen, um die Gleichung zu vereinfachen.

1. Übersetzung des Textes in eine Gleichung: \(2x + (15{,}4 - 8{,}4) = 25\) 2. Berechnung der Differenz in der Klammer: \(15{,}4 - 8{,}4 = 7\) 3. Vereinfachung der Gleichung: \(2x + 7 = 25\) 4. Subtraktion von \(7\) auf beiden Seiten: \(2x = 18\) 5. Division durch \(2\): \(x = 9\)

Die Gleichung lautet \(2x + (15{,}4 - 8{,}4) = 25\). Die gesuchte Zahl ist \(x = 9\).

- Überlege dir, wie sich der Wert einer Zahl ändert, wenn man die Zehner- und Einerziffer vertauscht. - Kannst du ein System aus zwei Informationen erkennen? - Es hilft, zuerst eine Beziehung zwischen den beiden Ziffern aufzustellen. - Was bedeutet „um 36 kleiner“ mathematisch für den Vergleich der beiden Zahlen?

1. Sei \(t\) die Zehnerziffer und \(u\) die Einerziffer. Die ursprüngliche Zahl ist \(10t + u\). 2. Die Quersummenbedingung lautet: \(t + u = 10\), woraus \(u = 10 - t\) folgt. 3. Die neue Zahl mit vertauschten Ziffern ist \(10u + t\). 4. Die Differenzbedingung lautet: \((10t + u) - 36 = 10u + t\). 5. Vereinfachen der Gleichung: \(9t - 9u = 36\), beziehungsweise \(t - u = 4\). 6. Einsetzen von \(u = 10 - t\) in \(t - u = 4\): \(t - (10 - t) = 4\). 7. Auflösen nach \(t\): \(2t - 10 = 4 \Rightarrow 2t = 14 \Rightarrow t = 7\). 8. Berechnung von \(u\): \(u = 10 - 7 = 3\). 9. Die ursprüngliche Zahl ist 73.

Die ursprüngliche Zahl lautet 73.

- Achte bei Punkt- und Strichrechnung genau auf die Reihenfolge im Text. - Muss bei einer Rechnung mit einer Summe vielleicht eine Klammer gesetzt werden? - Berechne zuerst alle festen Werte, bevor du die Gleichung nach der Unbekannten umstellst.

1. Gleichung: \(2n + 17 = 45\). Erst Subtraktion von \(17\) ergibt \(2n = 28\). Dann Division durch \(2\) ergibt \(n = 14\). 2. Gleichung: \(100 - z = 4 \cdot 18\). Vereinfachung der rechten Seite ergibt \(100 - z = 72\). Umstellen nach \(z\) ergibt \(z = 100 - 72 = 28\). 3. Gleichung: \(5(k + 2{,}2) = 25\). Division durch \(5\) ergibt \(k + 2{,}2 = 5\). Subtraktion von \(2{,}2\) ergibt \(k = 2{,}8\).

1) \(n = 14\) 2) \(z = 28\) 3) \(k = 2{,}8\) (oder \(2\frac{4}{5}\))

- Welchen Wert suchen wir? Kannst du ihn mit einem Buchstaben benennen? - Wie drückst du das Doppelte und die Hälfte dieses Wertes mathematisch aus? - Stelle eine Gleichung auf, die alle genannten Beträge zu der Gesamtsumme kombiniert.

1. Festlegen der Variable: \(x\) ist der ursprüngliche Geldbetrag in der Spardose. 2. Aufstellen der Gleichung nach dem Text: \(2x + 0{,}5x + 12 = 107\). 3. Zusammenfassen der Terme mit \(x\): \(2{,}5x + 12 = 107\). 4. Subtraktion von \(12\) auf beiden Seiten: \(2{,}5x = 95\). 5. Division durch \(2{,}5\): \(x = 38\). Der ursprüngliche Betrag betrug \(38\,\text{€}\).

Anfangs waren \(38\,\text{€}\) in der Spardose.

- Kannst du zuerst herausfinden, wie viel ein einzelner Holzwürfel wiegt? - Welche Informationen von der ersten Waage helfen dir bei der zweiten Waage weiter? - Versuche für jede Waage eine eigene kleine Gleichung aufzustellen. - Was muss links bei der zweiten Waage noch ergänzt werden, damit die Summe genau \(500\,\text{g}\) ergibt?

1. Bestimmung des Gewichts eines einzelnen Holzwürfels (\(x\)) mithilfe der ersten Waage: \(3x + 200 = 800\). 2. Lösen dieser Gleichung: \(3x = 600\), woraus folgt \(x = 200\,\text{g}\). 3. Übertragung des Ergebnisses auf die zweite Waage: \(2 \cdot 200 + y = 500\). 4. Berechnung des unbekannten Gewichts \(y\): \(400 + y = 500\), was zu \(y = 100\,\text{g}\) führt.

\(100\,\text{g}\)

- Beginne damit, eine Urkundenart als \(x\) festzulegen. Meist ist die kleinste Menge am besten geeignet. - Achte beim Aufstellen der Terme darauf, dass sich der Faktor 4 auf die gesamte Anzahl der Ehrenurkunden bezieht (denke an Klammern). - Die Summe aller drei Terme muss die Gesamtzahl der Urkunden ergeben. - Prüfe am Ende, ob deine drei berechneten Zahlen zusammen wirklich die Gesamtzahl ergeben.

1. Festlegen der Variable: \(x\) sei die Anzahl der Siegerurkunden. 2. Aufstellen der Terme: Ehrenurkunden = \(x + 20\); Teilnehmerurkunden = \(4(x + 20)\). 3. Aufstellen der Gleichung für die Gesamtzahl: \(x + (x + 20) + 4(x + 20) = 220\). 4. Auflösen der Klammern: \(x + x + 20 + 4x + 80 = 220\). 5. Zusammenfassen der Glieder: \(6x + 100 = 220\). 6. Isolieren von \(x\): \(6x = 120 \implies x = 20\). 7. Berechnung der Werte: Siegerurkunden = \(20\), Ehrenurkunden = \(20 + 20 = 40\), Teilnehmerurkunden = \(4 \cdot 40 = 160\).

Es wurden \(20\) Siegerurkunden, \(40\) Ehrenurkunden und \(160\) Teilnehmerurkunden verteilt.

- Wie groß ist der Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden ungeraden Zahlen? - Wenn du die mittlere Zahl als \(x\) bezeichnest, wie sehen dann die Zahlen davor und danach aus? - Stelle eine Gleichung auf, die alle drei Zahlen addiert. - Vergleiche dein Ergebnis für die mittlere Zahl mit dem Ergebnis der Division \(105 : 3\).

1. Festlegung der mittleren der drei ungeraden Zahlen als Variable \(m\). 2. Da es sich um aufeinanderfolgende ungerade Zahlen handelt, ist die vorherige Zahl \(m-2\) und die nachfolgende Zahl \(m+2\). 3. Aufstellen der Gleichung für die Summe: \((m-2) + m + (m+2) = 105\). 4. Vereinfachen der linken Seite (die Konstanten \(-2\) und \(+2\) heben sich auf): \(3m = 105\). 5. Lösen der Gleichung durch Division durch \(3\): \(m = 35\). 6. Ermittlung der drei Zahlen: \(35 - 2 = 33\), \(35\) und \(35 + 2 = 37\). 7. Überprüfung der Behauptung: Die Rechnung \(105 : 3 = 35\) ergibt exakt die mittlere Zahl. Die Behauptung ist somit für diesen Fall korrekt.

Die drei Zahlen sind \(33\), \(35\) und \(37\). Die Behauptung des Schülers ist korrekt, da die mittlere Zahl \(35\) genau ein Drittel der Summe (\(105 : 3 = 35\)) ist.

- Wie viele Anteile mehr Kies als Sand sind in der Mischung? - Wenn dieser Unterschied in Anteilen genau \(60\,\text{kg}\) entspricht, wie viel wiegt dann ein einziger Anteil? - Wie viele Anteile hat die gesamte Mischung insgesamt? - Könntest du eine Variable für das Gewicht eines Anteils festlegen?

1. Sei \(x\) die Masse eines Anteils in Kilogramm. 2. Aufstellen einer Gleichung für den Gewichtsunterschied zwischen Kies (\(8x\)) und Sand (\(4x\)): \(8x - 4x = 60\). 3. Lösen der Gleichung: \(4x = 60 \implies x = 15\). Ein Anteil entspricht also \(15\,\text{kg}\). 4. Berechnung der Zementmenge (\(1\) Anteil): \(1 \cdot 15\,\text{kg} = 15\,\text{kg}\). 5. Berechnung der Gesamtmasse: Die Mischung besteht aus \(1 + 4 + 8 = 13\) Anteilen. 6. Gesamtgewicht: \(13 \cdot 15\,\text{kg} = 195\,\text{kg}\).

Es wurden \(15\,\text{kg}\) Zement verwendet. Die gesamte Betonmischung wiegt \(195\,\text{kg}\).

- Wenn eine Zahl ungerade ist, wie weit ist dann die nächste ungerade Zahl von ihr entfernt? - Überlege dir für den zweiten Teil, was passiert, wenn man zwei gerade Zahlen addiert und dann noch eine dritte gerade Zahl dazunimmt. - Ist die Zahl \(153\) gerade oder ungerade? Was bedeutet das für die Summanden?

1. Zu Teil a: Definition der kleinsten ungeraden Zahl als \(x\). Die nächsten ungeraden Zahlen sind \(x + 2\) und \(x + 4\). 2. Aufstellen der Gleichung: \(x + (x + 2) + (x + 4) = 153\). 3. Vereinfachen: \(3x + 6 = 153\). 4. Lösen nach \(x\): \(3x = 147 \Rightarrow x = 49\). 5. Bestimmung der Zahlen: Die Zahlen sind \(49\), \(51\) und \(53\). 6. Zu Teil b: Die Summe von drei geraden Zahlen ist immer gerade (z. B. \(2n + (2n + 2) + (2n + 4) = 6n + 6\), was durch 2 teilbar ist). Da \(153\) eine ungerade Zahl ist, kann sie nicht das Ergebnis einer Summe aus ausschließlich geraden Zahlen sein.

a) Die Zahlen sind \(49\), \(51\) und \(53\). b) Die Summe von drei geraden Zahlen ist immer eine gerade Zahl. Da \(153\) ungerade ist, ist dies unmöglich.

- Welches der drei Teilstücke eignet sich am besten als Unbekannte \(x\), um die anderen Stücke leicht zu beschreiben? - Wie hängen die Längen der drei Stücke mit der Gesamtlänge des Seils zusammen? - Stelle eine Gleichung auf, in der die Summe der drei Teilausdrücke gleich der Gesamtlänge ist.

1. Definition der Unbekannten: Sei \(x\) die Länge des zweiten Seilstücks in \(\text{cm}\). 2. Terme für die weiteren Stücke: Das erste Stück entspricht \(2x\), das dritte Stück entspricht \(2x - 5\). 3. Aufstellen der Gesamtsumme: Die Summe aller Teile ergibt die Gesamtlänge: \(2x + x + (2x - 5) = 100\). 4. Lösen der Gleichung: Zusammenfassen zu \(5x - 5 = 100\), dann \(5x = 105\) und somit \(x = 21\). 5. Ermittlung der Ergebnisse: Das zweite Stück ist \(21\,\text{cm}\) lang, das erste Stück \(2 \cdot 21 = 42\,\text{cm}\) und das dritte Stück \(42 - 5 = 37\,\text{cm}\).

Die Seilstücke sind \(42\,\text{cm}\), \(21\,\text{cm}\) und \(37\,\text{cm}\) lang.

- Überlege dir, welcher Betrag als Grundwert \(x\) am sinnvollsten ist, um die anderen Beträge einfach darzustellen. - Wie schreibst du „zwei Drittel von etwas“ als mathematischen Ausdruck? - Erstelle eine Gleichung, die alle drei Klassenbeträge addiert und mit dem Gesamtbetrag gleichsetzt. - Achte beim Zusammenfassen der Brüche auf einen gemeinsamen Nenner.

1. Festlegen der Variable \(x\) für den Spendenbetrag der Klasse 7a in Euro. 2. Ausdrücken der Beträge der anderen Klassen: Klasse 7b sammelt \(\frac{2}{3}x\), Klasse 7c sammelt \(\frac{2}{3}x - 15\). 3. Aufstellen der Summengleichung: \(x + \frac{2}{3}x + \frac{2}{3}x - 15 = 510\). 4. Zusammenfassen der \(x\)-Terme: \(\frac{7}{3}x - 15 = 510\). 5. Addition von 15 ergibt \(\frac{7}{3}x = 525\). 6. Multiplikation mit dem Kehrwert \(\frac{3}{7}\) ergibt \(x = 225\). 7. Berechnung der Teilbeträge: Klasse 7a sammelt \(225\,\text{€}\), Klasse 7b sammelt \(150\,\text{€}\) (\(\frac{2}{3}\) von 225) und Klasse 7c sammelt \(135\,\text{€}\) (\(150 - 15\)).

Klasse 7a sammelte \(225\,\text{€}\), Klasse 7b sammelte \(150\,\text{€}\) und Klasse 7c sammelte \(135\,\text{€}\).

- Überlege dir einen Namen (Variable) für die Strecke am ersten Tag. - Wie lässt sich „das \(1{,}5\)-Fache“ mathematisch ausdrücken? - Wenn du die Strecke für Tag 2 als Term hast, wie kannst du dann den Tag 3 beschreiben, der davon abhängt? - Stelle eine Gleichung auf, in der alle drei Tage zusammen den Gesamtwert ergeben.

1. Festlegung der Unbekannten \(x\) für die Strecke am ersten Tag in \(\text{km}\). 2. Aufstellen der Terme für die weiteren Tage: Tag 2 entspricht \(1{,}5x\), Tag 3 entspricht \(1{,}5x - 2\). 3. Aufstellen der Gleichung für die Gesamtstrecke: \(x + 1{,}5x + (1{,}5x - 2) = 46\). 4. Zusammenfassen der Terme auf der linken Seite: \(4x - 2 = 46\). 5. Lösen der Gleichung: Addition von 2 ergibt \(4x = 48\); Division durch 4 ergibt \(x = 12\). 6. Ermittlung der Tagesstrecken: Tag 1 ist \(12\,\text{km}\), Tag 2 ist \(1{,}5 \cdot 12 = 18\,\text{km}\), Tag 3 ist \(18 - 2 = 16\,\text{km}\).

Am ersten Tag ist die Gruppe \(12\,\text{km}\), am zweiten Tag \(18\,\text{km}\) und am dritten Tag \(16\,\text{km}\) gewandert.

- Versuche zuerst, den Betrag der Klasse 7a als Unbekannte festzulegen. - Wie lässt sich der Betrag der Klasse 7c beschreiben, wenn man nur die Informationen über 7a und 7b nutzt? - Denke daran, dass die Summe aller drei Beträge feststeht. - Um den Anteil zu finden, vergleiche den Betrag von 7c mit der Gesamtsumme.

1. Festlegen der Unbekannten: Sei \(x\) der Betrag der Klasse 7a. 2. Ausdrücken der anderen Beträge: Klasse 7b = \(x + 40\); Klasse 7c = \(x + (x + 40) = 2x + 40\). 3. Aufstellen der Gesamtgleichung: \(x + (x + 40) + (2x + 40) = 720\). 4. Lösen der Gleichung: \(4x + 80 = 720 \Rightarrow 4x = 640 \Rightarrow x = 160\). 5. Ergebnisse berechnen: Klasse 7a = \(160\,\text{€}\), Klasse 7b = \(200\,\text{€}\), Klasse 7c = \(360\,\text{€}\). 6. Anteil berechnen: \(\frac{360}{720} = \frac{1}{2}\) bzw. \(50\,\%\).

1. Die Klasse 7a hat \(160\,\text{€}\), die Klasse 7b \(200\,\text{€}\) und die Klasse 7c \(360\,\text{€}\) gesammelt. 2. Die Klasse 7c hat die Hälfte (\(\frac{1}{2}\) bzw. \(50\,\%\)) des Gesamtbetrags gesammelt.

- Überlege dir, welches Paketgewicht du als Grundwert (Variable) festlegst. - Wie kannst du die Gewichte der anderen Pakete im Verhältnis dazu beschreiben? - Wie oft kommt jede Paketart in der Gesamtrechnung vor? - Erstelle eine Gleichung, die alle Pakete und ihr Gesamtgewicht berücksichtigt.

1. Festlegen der Variablen \(x\) für das Gewicht eines kleinen Pakets in \(\text{kg}\). 2. Ausdrücken der Gewichte der anderen Pakete durch \(x\): mittleres Paket = \(x + 2\), großes Paket = \(2x\). 3. Aufstellen der Gleichung für das Gesamtgewicht aller Pakete: \(10x + 5(x + 2) + 2(2x) = 86\). 4. Vereinfachen der Gleichung: \(10x + 5x + 10 + 4x = 86 \Rightarrow 19x + 10 = 86\). 5. Lösen der Gleichung: \(19x = 76 \Rightarrow x = 4\). 6. Berechnung der einzelnen Gewichte: kleines Paket \(4\,\text{kg}\), mittleres Paket \(4 + 2 = 6\,\text{kg}\), großes Paket \(2 \cdot 4 = 8\,\text{kg}\).

Ein kleines Paket wiegt \(4\,\text{kg}\), ein mittleres Paket \(6\,\text{kg}\) und ein großes Paket \(8\,\text{kg}\).

- Stelle zuerst Terme für die Mengen am Anfang auf. - Wie verändern sich diese Terme, wenn Obst dazukommt oder weggenommen wird? - Wie hängen die neuen Mengen am Ende zusammen? Achte darauf, welcher Teil größer ist. - Kannst du die Situation nach der Änderung in einer Gleichung zusammenfassen?

1. Definition der Variable \(b\) für die ursprüngliche Masse der Birnen in kg. Die Masse der Äpfel beträgt dann \(3b\). 2. Bestimmung der neuen Massen nach der Änderung: Äpfel \(3b - 2\), Birnen \(b + 5\). 3. Aufstellen der Gleichung gemäß der Bedingung (Birnenmasse ist Äpfelmasse minus \(3\,\text{kg}\)): \(b + 5 = (3b - 2) - 3\). 4. Vereinfachen der Gleichung: \(b + 5 = 3b - 5\). 5. Umformen durch Addition von 5 und Subtraktion von \(b\): \(10 = 2b\). 6. Lösung der Gleichung: \(b = 5\). 7. Zu Beginn waren \(5\,\text{kg}\) Birnen in der Kiste.

Ursprünglich waren \(5\,\text{kg}\) Birnen in der Kiste.

- Überlege dir, welches Gewicht am besten als Platzhalter \(x\) geeignet ist, um die anderen Gewichte leicht zu beschreiben. - Achte darauf, dass Beutel C direkt mit Beutel A verglichen wird. - Stelle eine Waagengleichung auf: Die Summe aller drei Beutel muss dem Gesamtgewicht entsprechen. - Vergiss nicht, am Ende die Einheiten korrekt anzugeben.

1. Festlegen der Variable \(x\) für das Gewicht von Beutel B in \(\text{kg}\). 2. Bestimmung der Gewichte der anderen Beutel: Beutel A wiegt \(2x\), Beutel C wiegt \(2x - 1{,}5\). 3. Aufstellen der Gleichung für das Gesamtgewicht: \(2x + x + (2x - 1{,}5) = 10{,}5\). 4. Zusammenfassen der \(x\)-Glieder: \(5x - 1{,}5 = 10{,}5\). 5. Addition von \(1{,}5\): \(5x = 12\). 6. Division durch \(5\): \(x = 2{,}4\). 7. Berechnung der Einzelgewichte: Beutel B wiegt \(2{,}4\,\text{kg}\), Beutel A wiegt \(2 \cdot 2{,}4 = 4{,}8\,\text{kg}\), Beutel C wiegt \(4{,}8 - 1{,}5 = 3{,}3\,\text{kg}\).

Beutel A wiegt \(4{,}8\,\text{kg}\), Beutel B wiegt \(2{,}4\,\text{kg}\) und Beutel C wiegt \(3{,}3\,\text{kg}\).

- Kannst du das gegebene Verhältnis durch eine einfachere Division ausdrücken? - Stelle für jede Information im Text eine eigene mathematische Beziehung auf. - Versuche, eine der unbekannten Zahlen durch die andere zu beschreiben. - Was passiert mit der Summe, wenn du eine Zahl durch ihren entsprechenden Anteil der anderen Zahl ersetzt?

1. Das Verhältnis der Zahlen \(x\) und \(y\) als Gleichung aufstellen: \(\frac{x}{y} = \frac{3{,}6}{1{,}2}\). 2. Das Verhältnis vereinfachen: \(\frac{3{,}6}{1{,}2} = 3\), also \(x = 3y\). 3. Die Summenbedingung formulieren: \(x + y = 44\). 4. Die erste Gleichung in die Summe einsetzen: \(3y + y = 44\). 5. Die lineare Gleichung lösen: \(4y = 44 \Rightarrow y = 11\). 6. Den Wert für \(x\) berechnen: \(x = 3 \cdot 11 = 33\).

Die Zahlen lauten \(33\) und \(11\).

- Achte bei Teil b darauf, dass sich die Angabe für den dritten Tag auf den zweiten Tag bezieht. - Wie hängen die drei Tage zusammen, um die Gesamtlänge zu ergeben? - In Teil c musst du nur den Term für den dritten Tag in deiner ursprünglichen Gleichung ersetzen.

1. Zu Teil a): Festlegen der Terme: Tag 1 = \(x\), Tag 2 = \(2x\), Tag 3 = \(2x - 15\). Gesamte Gleichung: \(x + 2x + (2x - 15) = 180\). 2. Zu Teil b): Zusammenfassen der Gleichung: \(5x - 15 = 180\). Lösen nach \(x\): \(5x = 195 \Rightarrow x = 39\). 3. Berechnung der Etappen: Tag 1 = \(39\,\text{km}\), Tag 2 = \(2 \cdot 39 = 78\,\text{km}\), Tag 3 = \(78 - 15 = 63\,\text{km}\). 4. Zu Teil c): Analyse der neuen Bedingung: Tag 3 wäre dann \(x + 10\). Die neue Gleichung lautet: \(x + 2x + (x + 10) = 180\) oder vereinfacht \(4x + 10 = 180\).

a) \(x + 2x + (2x - 15) = 180\) (oder vereinfacht \(5x - 15 = 180\)). b) Tag 1: \(39\,\text{km}\), Tag 2: \(78\,\text{km}\), Tag 3: \(63\,\text{km}\). c) Die Gleichung würde \(x + 2x + (x + 10) = 180\) (oder \(4x + 10 = 180\)) lauten.

- Welchen Bruchteil der Gesamtfläche muss die Rasenfläche einnehmen, wenn sie genauso groß ist wie die anderen beiden Flächen zusammen? - Wenn du die Fläche der Blumenwiese als Grundwert nimmst, wie kannst du dann das Gemüsebeet beschreiben? - Versuche, eine Gleichung aufzustellen, in der nur noch eine der Flächen als Unbekannte vorkommt.

1. Definition der Variablen: \(G\) für Gemüsebeet, \(B\) für Blumenwiese und \(R\) für Rasen. 2. Aufstellen der Gleichung für die Rasenfläche: \(R = G + B\). Da die Gesamtfläche \(G + B + R = 750\,\text{m}^2\) ist, folgt \(2(G + B) = 750\,\text{m}^2\), also \(G + B = 375\,\text{m}^2\). Damit ist \(R = 375\,\text{m}^2\). 3. Einsetzen des Verhältnisses zwischen Gemüsebeet und Blumenwiese: \(G = \frac{2}{3}B\). 4. Aufstellen der Gleichung für die Teilsumme: \(\frac{2}{3}B + B = 375\,\text{m}^2\). 5. Zusammenfassen und Lösen: \(\frac{5}{3}B = 375 \implies B = 375 \cdot \frac{3}{5} = 225\,\text{m}^2\). 6. Berechnung der verbleibenden Fläche: \(G = \frac{2}{3} \cdot 225 = 150\,\text{m}^2\).

Das Gemüsebeet ist \(150\,\text{m}^2\) groß, die Blumenwiese \(225\,\text{m}^2\) und die Rasenfläche \(375\,\text{m}^2\).

- Welche Information hilft dir, die Kartenanzahl von Lukas durch die von Marie auszudrücken? - Wie verändern sich die Anzahlen durch das Vervierfachen oder Verdreifachen? - Wenn eine Person nach der Änderung mehr Karten hat, wie kannst du das in einer Gleichung mit einem Gleichheitszeichen schreiben? - Achte beim Aufstellen der Gleichung besonders darauf, wie du die Klammern setzt.

1. Festlegen der Variable \(x\) für Maries ursprüngliche Kartenanzahl. 2. Aufstellen des Terms für Lukas’ Kartenanzahl: \(x + 12\). 3. Bestimmen der neuen Kartenmengen: Marie hat \(4x\), Lukas hat \(3(x + 12)\). 4. Aufstellen der Gleichung unter Berücksichtigung der Differenz von \(10\) Karten: \(4x = 3(x + 12) + 10\). 5. Auflösen der Klammer und Zusammenfassen der rechten Seite: \(4x = 3x + 36 + 10\), also \(4x = 3x + 46\). 6. Isolieren von \(x\) durch Subtraktion von \(3x\): \(x = 46\). 7. Berechnung von Lukas’ Kartenanzahl: \(46 + 12 = 58\).

Marie hatte zu Beginn \(46\) Karten und Lukas hatte \(58\) Karten.

- Überlege dir, wie viel Geld in der Kasse der Klasse 7b noch übrig ist, wenn sie \(20\,\text{€}\) mehr ausgibt als Klasse 7a. - Stelle einen Term für den Restbetrag beider Klassen auf. - Achte beim Aufstellen der Gleichung darauf, dass eine der Restmengen dreimal so groß ist wie die andere. - Vergiss nicht, beim Subtrahieren der Entnahmemenge der Klasse 7b eine Klammer zu setzen, da es sich um einen zusammengesetzten Ausdruck handelt.

1. Variable \(x\) für den Entnahmebetrag der Klasse 7a festlegen. 2. Entnahmebetrag der Klasse 7b als \(x + 20\) ausdrücken. 3. Restbeträge bestimmen: \(120 - x\) für Klasse 7a und \(100 - (x + 20)\), was zu \(80 - x\) vereinfacht wird, für Klasse 7b. 4. Gleichung basierend auf dem Verhältnis der Restbeträge aufstellen: \(120 - x = 3(80 - x)\). 5. Klammer auflösen: \(120 - x = 240 - 3x\). 6. Gleichung nach \(x\) lösen: \(2x = 120\), also \(x = 60\). 7. Endergebnisse: Klasse 7a hat \(60\,\text{€}\) entnommen, Klasse 7b hat \(60\,\text{€} + 20\,\text{€} = 80\,\text{€}\) entnommen.

Klasse 7a hat \(60\,\text{€}\) entnommen, Klasse 7b hat \(80\,\text{€}\) entnommen.

- Achte darauf, dass das Wasser abfließt – welches Rechenzeichen benötigst du daher in deinem Term? - Wenn eine Menge doppelt so groß sein soll wie eine andere, welche Seite der Gleichung musst du mit 2 multiplizieren, damit beide Seiten gleich sind? - Kannst du die Situation für einen bestimmten Zeitpunkt (z. B. nach 10 Minuten) testen, um zu sehen, ob dein Ansatz stimmt?

1. Definition der Variable \(t\) für die Zeit in Minuten. 2. Aufstellen der Terme für den Wasserstand: Tank 1: \(500 - 10t\); Tank 2: \(800 - 30t\). 3. Aufstellen der Gleichung basierend auf der Bedingung (Tank 1 ist doppelt so voll wie Tank 2): \(500 - 10t = 2(800 - 30t)\). 4. Auflösen der Klammer: \(500 - 10t = 1600 - 60t\). 5. Umformen der Gleichung: \(50t = 1100\). 6. Berechnung der Zeit: \(t = 22\).

Nach \(22\) Minuten.

- Überlege dir, bei welchem Akku die Ladungsabnahme größer ist und wie man das mit einer Variablen ausdrücken kann. - Stelle für beide Akkus einen Ausdruck auf, der die verbleibende Ladung beschreibt. - Achte darauf, auf welcher Seite der Gleichung du den Unterschied von \(200\,\text{mAh}\) dazurechnen oder abziehen musst, damit die Gleichung stimmt. - Prüfe dein Ergebnis am Ende: Ist die Differenz der Restladungen wirklich \(200\,\text{mAh}\)?

1. Variable festlegen: Die Ladungsabnahme von Akku 2 sei \(x\). Dann beträgt die Ladungsabnahme von Akku 1 \(2x\). 2. Restladungen formulieren: Akku 1 hat noch \(4200 - 2x\), Akku 2 hat noch \(3500 - x\). 3. Gleichung aufstellen: Da Akku 2 am Ende \(200\,\text{mAh}\) mehr Ladung hat als Akku 1, gilt \(3500 - x = (4200 - 2x) + 200\). 4. Zusammenfassen der Zahlen: \(3500 - x = 4400 - 2x\). 5. Isolieren der Variable: Addition von \(2x\) ergibt \(3500 + x = 4400\). Subtraktion von \(3500\) ergibt \(x = 900\). 6. Ergebnisse bestimmen: Die Ladung von Akku 2 hat um \(900\,\text{mAh}\) abgenommen, die Ladung von Akku 1 um \(2 \cdot 900 = 1800\,\text{mAh}\).

Die Ladung von Akku 1 hat um \(1800\,\text{mAh}\) abgenommen, die Ladung von Akku 2 um \(900\,\text{mAh}\).

- Bestimme zuerst, wie viele Kilometer ein einzelner „Anteil“ des Verhältnisses wert ist. - Wie lang ist die gesamte Wanderung insgesamt? - Überlege für den zweiten Teil, was ein Verhältnis von \(1 : 1\) für die Verteilung der Gesamtlänge bedeutet. - Wie viel fehlt der kürzeren Strecke noch bis zur genauen Hälfte der Gesamtlänge?

1. Berechnung der Etappen (Teil a): Sei \(x\) die Länge eines Anteils. Die Differenz der Anteile entspricht der Kilometerdifferenz: \(3x - 2x = 15\). 2. Daraus folgt direkt \(x = 15\). 3. Länge der ersten Etappe: \(3 \cdot 15\,\text{km} = 45\,\text{km}\). 4. Länge der zweiten Etappe: \(2 \cdot 15\,\text{km} = 30\,\text{km}\). 5. Analyse der Änderung (Teil b): Die Gesamtstrecke beträgt \(45\,\text{km} + 30\,\text{km} = 75\,\text{km}\). 6. Für ein Verhältnis von \(1 : 1\) muss jeder Tag \(\frac{75\,\text{km}}{2} = 37{,}5\,\text{km}\) lang sein. 7. Berechnung der Verschiebung: Die erste Etappe muss um \(45\,\text{km} - 37{,}5\,\text{km} = 7{,}5\,\text{km}\) gekürzt werden, die der zweiten Etappe hinzugefügt werden.

a) Die erste Etappe ist \(45\,\text{km}\) lang, die zweite \(30\,\text{km}\). b) Es müssten \(7{,}5\,\text{km}\) von der ersten Etappe auf den zweiten Tag verschoben werden.

- Was bedeutet ein Verhältnis von \(2 : 3\) für die Anzahl der „Teile“, in die man die Autos aufteilen kann? - Wie verändert sich die Anzahl auf jedem Parkplatz, wenn Autos von einem zum anderen fahren? - Versuche, für die Anzahl der Autos pro „Teil“ eine Variable wie \(x\) zu verwenden. - Kannst du aus dem neuen Verhältnis eine Gleichung aufstellen?

1. Festlegen der Variablen basierend auf dem Anfangsverhältnis: Parkplatz A hat \(2x\) Autos, Parkplatz B hat \(3x\) Autos. 2. Bestimmen der Anzahlen nach dem Wechsel: Parkplatz A hat \(2x - 12\) Autos, Parkplatz B hat \(3x + 12\) Autos. 3. Aufstellen der Verhältnisgleichung: \(\frac{2x - 12}{3x + 12} = \frac{1}{2}\). 4. Lösen der Gleichung durch Multiplikation über Kreuz: \(2 \cdot (2x - 12) = 1 \cdot (3x + 12)\). 5. Vereinfachen und nach \(x\) auflösen: \(4x - 24 = 3x + 12 \Rightarrow x = 36\). 6. Berechnung der ursprünglichen Anzahlen: Parkplatz A: \(2 \cdot 36 = 72\), Parkplatz B: \(3 \cdot 36 = 108\).

Ursprünglich standen auf Parkplatz A \(72\) Autos und auf Parkplatz B \(108\) Autos.

- Kannst du den Gesamtverbrauch als Summe der Einzelverbräuche schreiben? - Nutze das Verhältnis zwischen Strahler und Heizgerät, um nur noch eine Unbekannte in der Gleichung zu haben. - Was bedeutet eine Senkung um \(20\,\%\) für den ursprünglichen Wert des Heizgeräts? - Vergiss am Ende nicht, alle Geräte (Strahler und neue Heizgeräte) wieder zusammenzurechnen.

1. Variable festlegen: Die Leistung eines LED-Strahlers sei \(s\). Die Leistung eines Heizgeräts ist \(5s\). 2. Gleichung aufstellen: \(8s + 2(5s) = 3600\). 3. Gleichung lösen: \(8s + 10s = 3600 \Rightarrow 18s = 3600 \Rightarrow s = 200\). 4. Ergebnisse Teil a: Ein Strahler verbraucht \(200\,\text{W}\), ein Heizgerät verbraucht \(5 \cdot 200\,\text{W} = 1000\,\text{W}\). 5. Leistungsreduzierung berechnen: \(20\,\%\) von \(1000\,\text{W}\) sind \(0{,}20 \cdot 1000\,\text{W} = 200\,\text{W}\). Die neue Leistung eines Heizgeräts beträgt \(1000\,\text{W} - 200\,\text{W} = 800\,\text{W}\). 6. Gesamte neue Leistung: \(8 \cdot 200\,\text{W} + 2 \cdot 800\,\text{W} = 1600\,\text{W} + 1600\,\text{W} = 3200\,\text{W}\).

a) Ein LED-Strahler verbraucht \(200\,\text{W}\), ein Heizgerät \(1000\,\text{W}\). b) Nach der Modernisierung beträgt die gesamte Leistungsaufnahme \(3200\,\text{W}\).

- Welche Größe ist unbekannt und könnte als Variable bezeichnet werden? - Wie berechnet man die geförderte Wassermenge einer Pumpe, wenn man die Zeit und die Leistung pro Minute kennt? - Kannst du einen Term für die Gesamtmenge beider Pumpen aufstellen? - Achte darauf, dass Pumpe A eine höhere Leistung hat als Pumpe B.

1. Definition der Variablen: Sei \(x\) die Förderleistung von Pumpe B in \(\text{l/min}\). Die Leistung von Pumpe A ist dann \(x + 10\). 2. Aufstellen der Gleichung für die Gesamtmenge: \(45(x + 10) + 60x = 9900\). 3. Auflösen der Klammer und Zusammenfassen: \(45x + 450 + 60x = 9900 \Rightarrow 105x + 450 = 9900\). 4. Isolieren von \(x\): \(105x = 9450 \Rightarrow x = 90\). 5. Berechnung der Leistungen: Pumpe B fördert \(90\,\text{l/min}\), Pumpe A fördert \(90 + 10 = 100\,\text{l/min}\).

Pumpe A fördert \(100\,\text{l/min}\), Pumpe B fördert \(90\,\text{l/min}\).

- Was genau soll die Variable \(x\) in dieser Aufgabe beschreiben? - Wie verändert sich die Gesamtzahl der Bäume, wenn eine Klasse länger oder kürzer arbeitet? - Überlege dir zuerst, wie viele Bäume jede Klasse einzeln in ihrer jeweiligen Arbeitszeit schafft. - Für den letzten Aufgabenteil musst du die bereits berechnete Stundenleistung mit einer neuen Zeitvorgabe kombinieren.

1. Aufstellen der Gleichung (Teil a): Mit \(x\) als Stundenleistung der Klasse 7b und \(x + 3\) für Klasse 7a ergibt sich \(4(x + 3) + 5x = 93\). 2. Lösen der Gleichung (Teil b): \(4x + 12 + 5x = 93 \Rightarrow 9x + 12 = 93 \Rightarrow 9x = 81 \Rightarrow x = 9\). 3. Ergebnisse für die Stundenleistungen: Klasse 7b pflanzt \(9\) Bäume pro Stunde, Klasse 7a pflanzt \(9 + 3 = 12\) Bäume pro Stunde. 4. Berechnung für Teil c: Die Klasse 7a arbeitete \(4\) Stunden. Bei einer Stundenleistung von \(9\) Bäumen hätte Klasse 7b in dieser Zeit \(9 \cdot 4 = 36\) Bäume gepflanzt.

a) \(4(x + 3) + 5x = 93\) b) Klasse 7a: \(12\) Bäume pro Stunde; Klasse 7b: \(9\) Bäume pro Stunde. c) \(36\) Bäume.

- Versuche, die gesamte Strecke mit einer Variablen zu benennen. - Wie viel von der Strecke bleibt nach dem ersten Teil der Wanderung noch übrig? - Wenn die Hälfte einer Reststrecke gelaufen wurde, wie viel Prozent dieser Reststrecke sind dann noch offen? - Kannst du die Situation schrittweise von hinten nach vorne durchrechnen?

1. Sei \(x\) die Gesamtlänge der Strecke in \(\text{km}\). 2. Die am Vormittag zurückgelegte Strecke beträgt \(\frac{1}{3}x + 2\). 3. Die nach dem Vormittag verbleibende Reststrecke ist \(x - (\frac{1}{3}x + 2) = \frac{2}{3}x - 2\). 4. Am Nachmittag werden \(50\,\%\) dieser Reststrecke zurückgelegt, was \(0{,}5 \cdot (\frac{2}{3}x - 2) = \frac{1}{3}x - 1\) entspricht. 5. Der verbleibende Teil nach dem Nachmittag ist somit \((\frac{2}{3}x - 2) - (\frac{1}{3}x - 1) = \frac{1}{3}x - 1\). 6. Laut Aufgabenstellung entspricht dieser Rest \(6\,\text{km}\). Daraus ergibt sich die Gleichung \(\frac{1}{3}x - 1 = 6\). 7. Durch Addition von \(1\) erhält man \(\frac{1}{3}x = 7\). 8. Multiplikation mit \(3\) ergibt den Endwert \(x = 21\,\text{km}\).

Die Gesamtlänge der Wanderstrecke beträgt \(21\,\text{km}\).

- Was bedeutet es für den Restbestand, wenn \(60\,\%\) einer Menge weggenommen werden? - Stelle eine Gleichung für den ersten Rest nach der ersten Entnahme auf. - Kannst du den Prozess umkehren? Was war der Stand direkt vor der Autoreinigung? - Achte darauf, dass sich die Prozentangabe auf den jeweiligen Rest bezieht, nicht auf die Gesamtmenge.

1. Sei \(V\) das ursprüngliche Volumen in Litern. 2. Nach der ersten Entnahme verbleibt \(R_1 = V - (\frac{1}{4} \cdot V + 20) = \frac{3}{4} \cdot V - 20\). 3. Von dieser Restmenge werden \(60\,\%\) entnommen, sodass \(40\,\%\) übrig bleiben. 4. Es gilt die Gleichung \(0{,}40 \cdot (\frac{3}{4} \cdot V - 20) = 28\). 5. Division durch \(0{,}40\) führt zu \(\frac{3}{4} \cdot V - 20 = 70\). 6. Addition von \(20\) ergibt \(\frac{3}{4} \cdot V = 90\). 7. Multiplikation mit \(\frac{4}{3}\) ergibt \(V = \frac{90 \cdot 4}{3} = 120\).

Ursprünglich befanden sich \(120\,\text{l}\) Wasser im Tank.

- Stelle zuerst eine Formel auf, mit der du die Punkte für eine beliebige Anzahl an Treffern berechnen kannst. - Was weißt du über die Anzahl der Schüsse? Kann man einen „halben Treffer“ landen? - Welche Werte kann die Variable für die Anzahl der Treffer logischerweise annehmen? - Probiere aus, was passiert, wenn du die Gleichung für eine Punktzahl von 50 löst.

1. Modellierung: Sei \(x\) die Anzahl der Treffer. Die Anzahl der Fehlschüsse beträgt \(15 - x\). 2. Aufstellen der Gleichung für die Gesamtpunktzahl: \(7x - 3(15 - x) = P\). 3. Termumformung: \(7x - 45 + 3x = 10x - 45\). 4. Lösung für Teil a): \(10x - 45 = 55 \implies 10x = 100 \implies x = 10\). Es gab \(10\) Treffer. 5. Untersuchung für Teil b): \(10x - 45 = 50 \implies 10x = 95 \implies x = 9{,}5\). 6. Da die Anzahl der Treffer \(x\) eine ganze Zahl zwischen 0 und 15 sein muss, ist ein Ergebnis von 50 Punkten unmöglich, da \(9{,}5\) keine ganze Zahl ist.

a) Der Teilnehmer hat \(10\) Treffer erzielt. b) Bei der Berechnung der Trefferanzahl für \(50\) Punkte ergibt sich \(x = 9{,}5\). Da die Anzahl der Treffer nur eine ganze Zahl sein kann, ist dieser Wert nicht erreichbar.

- Überlege dir, wie du die geplante Gesamtfläche mithilfe der täglichen Leistung und der Anzahl der Tage ausdrücken kannst. - Wie verändert sich die tägliche Leistung und die benötigte Zeit in der Realität? - Stelle eine Beziehung zwischen der geplanten Fläche und der tatsächlich bearbeiteten Fläche auf. - Kannst du eine Gleichung aufstellen, in der die Anzahl der Tage die gesuchte Variable ist?

1. Definition der Unbekannten: Sei \(x\) die ursprünglich geplante Anzahl an Tagen. 2. Aufstellen der Terme für die Fläche: Geplante Fläche \(P = 400x\). Tatsächliche Fläche \(A = (400 + 100)(x - 2) = 500(x - 2)\). 3. Aufstellen der Gleichung basierend auf der Mehrleistung: \(P + 200 = A\), also \(400x + 200 = 500(x - 2)\). 4. Lösen der Gleichung: \(400x + 200 = 500x - 1000 \Rightarrow 1200 = 100x \Rightarrow x = 12\). 5. Berechnung der geplanten Fläche: \(P = 400 \cdot 12 = 4800\). Die geplante Fläche betrug \(4800\,\text{m}^2\).

Die ursprünglich geplante Fläche betrug \(4800\,\text{m}^2\).

- Was bedeutet „die Hälfte vom Rest“ mathematisch für deine Rechnung? - Berechne zuerst, welcher Bruchteil der Medien Romane oder Sachbücher sind. - Wenn die Hälfte des Rests Kinderbücher sind, welcher Bruchteil des Rests bleibt dann für die Zeitschriften übrig? - Stelle eine Gleichung auf, in der die Anzahl der Zeitschriften einem Bruchteil der Gesamtzahl entspricht.

1. Sei \(x\) die Gesamtzahl der Medien. 2. Summe der Anteile von Romanen und Sachbüchern berechnen: \(\frac{2}{5}x + \frac{1}{4}x = \frac{8}{20}x + \frac{5}{20}x = \frac{13}{20}x\). 3. Den ersten Rest bestimmen: \(x - \frac{13}{20}x = \frac{7}{20}x\). 4. Anteil der Fachzeitschriften bestimmen: Da die Hälfte des Rests Kinderliteratur ist, muss die andere Hälfte des Rests (\(105\)) die Fachzeitschriften darstellen. Der Anteil der Fachzeitschriften ist also \(\frac{1}{2} \cdot \frac{7}{20}x = \frac{7}{40}x\). 5. Gleichung aufstellen und lösen: \(\frac{7}{40}x = 105 \Rightarrow 7x = 4200 \Rightarrow x = 600\). Die Bibliothek besitzt insgesamt \(600\) Medien.

Es gibt insgesamt \(600\) Medien in der Bibliothek.

- Überlege zuerst, welchen Bruchteil die Reserve vom Gesamtbudget ausmacht. - Wie kannst du Brüche mit verschiedenen Nennern addieren? - Wenn du das Gesamtbudget kennst, wie berechnest du dann einen bestimmten Anteil davon? - Stelle eine Gleichung auf, in der die Summe aller Teile das Ganze ergibt.

1. Aufstellen der Gleichung für das Gesamtbudget \(x\): \(x = \frac{3}{8}x + \frac{1}{5}x + \frac{1}{10}x + \frac{1}{4}x + 15\). 2. Finden des Hauptnenners (\(40\)) für die Brüche: \(\frac{15}{40} + \frac{8}{40} + \frac{4}{40} + \frac{10}{40}\). 3. Summieren der Anteile: \(\frac{37}{40}\). 4. Berechnung des Restanteils für die Reserve: \(1 - \frac{37}{40} = \frac{3}{40}\). 5. Aufstellen der Gleichung für die Reserve: \(\frac{3}{40}x = 15\). 6. Auflösen nach \(x\): \(x = \frac{15 \cdot 40}{3} = 200\). Das Gesamtbudget beträgt \(200\,\text{€}\). 7. Berechnung des Betrags für Materialien: \(\frac{3}{8} \cdot 200 = 75\). Der Materialanteil beträgt \(75\,\text{€}\).

Das gesamte Budget beträgt \(200\,\text{€}\). Für die Materialien wurden \(75\,\text{€}\) eingeplant.

- Was ist der „Rest“ nach dem ersten Kauf? - Kannst du den Anteil der Materialkosten am ursprünglichen Gesamtbetrag ausdrücken? - Wie viel vom Ganzen bleibt nach beiden Käufen übrig? - Versuche, eine Gleichung für den Betrag aufzustellen, der am Ende noch übrig ist.

1. Sei \(x\) der ursprüngliche Gesamtbetrag. Nach dem Kauf der Literatur (\(\frac{1}{4}x\)) beträgt der Rest: \(x - \frac{1}{4}x = \frac{3}{4}x\). 2. Die Materialkosten betragen \(\frac{2}{5}\) des Rests: \(\frac{2}{5} \cdot \frac{3}{4}x = \frac{6}{20}x = \frac{3}{10}x\). 3. Der verbleibende Betrag nach beiden Ausgaben ist: \(\frac{3}{4}x - \frac{3}{10}x = \frac{15}{20}x - \frac{6}{20}x = \frac{9}{20}x\). 4. Gleichung für den Endrest aufstellen: \(\frac{9}{20}x = 9{,}00\,\text{€}\). Daraus folgt \(x = 9 \cdot \frac{20}{9} = 20{,}00\,\text{€}\). 5. Berechnung der Einzelkosten: Literatur \(\frac{1}{4} \cdot 20 = 5{,}00\,\text{€}\); Material \(\frac{3}{10} \cdot 20 = 6{,}00\,\text{€}\).

Der ursprüngliche Gesamtbetrag betrug \(20{,}00\,\text{€}\). Die Fachliteratur kostete \(5{,}00\,\text{€}\) und das Material \(6{,}00\,\text{€}\).

- Kannst du die unbekannte Laufzeit der zweiten Pumpe mit einem Buchstaben bezeichnen? - Wie lässt sich die Wassermenge, die aus einem Tank entnommen wurde, berechnen? - Überlege, wie du die Anfangsmenge eines Tanks aus der entnommenen Menge und dem Rest berechnest. - Was wissen wir über die Anfangsmengen der beiden Tanks im Vergleich zueinander? - Stelle eine Gleichung auf, in der die Anfangsmenge des ersten Tanks gleich der Anfangsmenge des zweiten Tanks gesetzt wird.

1. Definition der Variable \(x\) für die Laufzeit der zweiten Pumpe in Minuten. 2. Aufstellen der Terme für die ursprüngliche Wassermenge in den Tanks: \(10(x + 5) + 50\) für den ersten Tank und \(15x + 30\) für den zweiten Tank. 3. Gleichsetzen der Terme aufgrund der identischen Anfangsmenge: \(10x + 50 + 50 = 15x + 30\). 4. Vereinfachen der Gleichung: \(10x + 100 = 15x + 30\). 5. Isolieren der Variable: \(70 = 5x \implies x = 14\). 6. Berechnung der Anfangsmenge durch Einsetzen von \(x = 14\) in einen der Terme: \(15 \cdot 14 + 30 = 210 + 30 = 240\). Die ursprüngliche Menge betrug \(240\,\text{l}\).

In jedem Tank waren ursprünglich \(240\,\text{l}\) Wasser.

- Achte darauf, alle Angaben in dieselbe Masseneinheit umzurechnen. - Welche Größe bleibt unverändert, wenn nur reines Wasser hinzugefügt wird? - Wie lautet das neue Gesamtvolumen, wenn \(x\) Liter Wasser hinzukommen? - Verknüpfe Zielkonzentration und neues Gesamtvolumen in einer Gleichung.

1. Umrechnung der Einheiten: Die Salzmenge beträgt \(1{,}5\,\text{kg} = 1500\,\text{g}\). 2. Sei \(x\) die hinzuzufügende Wassermenge in Litern. Das neue Gesamtvolumen beträgt dann \((50 + x)\,\text{l}\). 3. Die Salzmenge bleibt unverändert. Für die Zielkonzentration gilt daher die Gleichung \(20 \cdot (50 + x) = 1500\). 4. Gleichung lösen: \(1000 + 20x = 1500\), also \(20x = 500\) und damit \(x = 25\).

Eine passende Gleichung ist \(20 \cdot (50 + x) = 1500\). Es müssen \(25\,\text{l}\) reines Wasser hinzugefügt werden.

- Versuche, die Länge des ersten Stücks als Basis für alle anderen Berechnungen zu nutzen. - Achte beim Aufstellen des Terms für das dritte Stück darauf, dass sich die Verdopplung auf das gesamte zweite Stück bezieht. - Wie sieht die Gleichung aus, wenn man alle drei Teilstücke addiert? - Vergiss nicht, am Ende zu prüfen, ob die Summe deiner drei Ergebnisse wirklich die Originallänge ergibt.

1. Festlegen der Variablen \(x\) für die Länge des ersten Stücks in Zentimetern. 2. Aufstellen der Terme für die anderen Stücke: Das zweite Stück ist \(x + 20\), das dritte Stück ist \(2(x + 20)\). 3. Erstellen der Gleichung für die Gesamtlänge: \(x + (x + 20) + 2(x + 20) = 320\). 4. Auflösen der Klammer und Zusammenfassen der Terme: \(x + x + 20 + 2x + 40 = 320\), was zu \(4x + 60 = 320\) führt. 5. Isolieren der Variablen durch Subtraktion von \(60\): \(4x = 260\). 6. Division durch \(4\) ergibt \(x = 65\). 7. Berechnung der Teilstücke: 1. Stück = \(65\,\text{cm}\), 2. Stück = \(65 + 20 = 85\,\text{cm}\), 3. Stück = \(2 \cdot 85 = 170\,\text{cm}\).

Das erste Stück ist \(65\,\text{cm}\), das zweite Stück \(85\,\text{cm}\) und das dritte Stück \(170\,\text{cm}\) lang.

- Was bedeutet es für den Wasserstand, wenn der Graph im Diagramm fällt? - Du kannst die Änderungsrate (Steigung) berechnen, indem du die Differenz der Wasserstände durch die Differenz der Zeit teilst. - Schaue dir den Startwert bei \(t = 0\) genau an. - Überprüfe für die letzte Frage, in welchem Zeitabschnitt der Wasserstand von unter auf über \(160\,\text{cm}\) steigt.

1. Der Zeitpunkt \(t = 6\,\text{h}\) liegt im linearen Bereich zwischen den Punkten \((4 \mid 100)\) und \((8 \mid 180)\). Die Steigungsrate beträgt \(\frac{180 - 100}{8 - 4} = 20\,\text{cm/h}\). Nach 6 Stunden (also 2 Stunden nach dem Start dieses Abschnitts) beträgt die Höhe \(h(6) = 100 + 2 \cdot 20 = 140\,\text{cm}\). 2. Ein unveränderter Wasserstand wird durch einen horizontalen Graphen dargestellt. Dies ist zwischen \(t = 2\) und \(t = 4\) der Fall. Die Dauer beträgt \(2\,\text{h}\). 3. In den ersten zwei Stunden steigt der Pegel von \(40\,\text{cm}\) auf \(100\,\text{cm}\). Die Änderungsrate ist \(\frac{100 - 40}{2} = 30\,\text{cm/h}\). 4. Der Pegel von \(160\,\text{cm}\) wird im zweiten Füllabschnitt (zwischen \(t = 4\) und \(t = 8\)) erreicht. Mit der Steigung von \(20\,\text{cm/h}\) gilt: \(100 + 20 \cdot (t - 4) = 160\). Daraus ergibt sich \(20 \cdot (t - 4) = 60\), also \(t - 4 = 3\). Der Zeitpunkt ist \(t = 7\,\text{h}\).

1) Nach 6 Stunden steht das Wasser \(140\,\text{cm}\) hoch. 2) Der Wasserstand blieb für \(2\,\text{h}\) unverändert. 3) Der Wasserspiegel stieg mit einer Geschwindigkeit von \(30\,\text{cm/h}\). 4) Der Wasserstand betrug nach \(7\,\text{h}\) genau \(160\,\text{cm}\).

- Überlege, wie sich der Betrag bei Lukas und Sarah pro Monat verändert. Nimmt er zu oder ab? - Stelle für beide Personen einen Term auf, der den gesparten Betrag nach einer bestimmten Anzahl von Monaten angibt. - Verwende ein Gleichheitszeichen zwischen den beiden Formeln, um den Zeitpunkt des Gleichstands zu finden.

1. Aufstellen der Gleichung mit \(x\) als Anzahl der Monate: \(85 + 12x = 205 - 8x\). 2. Zusammenfassen der Variablen durch Addition von \(8x\) auf beiden Seiten: \(85 + 20x = 205\). 3. Isolieren des Terms mit \(x\) durch Subtraktion von \(85\): \(20x = 120\). 4. Berechnung der Monate durch Division: \(x = 6\). 5. Berechnung des Endbetrags (Einsetzen in einen der Terme): \(85 + 12 \cdot 6 = 85 + 72 = 157\). 6. Nach 6 Monaten haben beide \(157\,\text{€}\).

Nach 6 Monaten haben beide Freunde jeweils \(157\,\text{€}\).

- Wie viele Stunden Arbeit stecken in einer einzigen Seite? - Berechne zuerst, wie viele „Personenstunden“ insgesamt für die neue Seitenzahl nötig sind. - Wie viele Schüler sind am Ende tatsächlich noch da, um die Arbeit zu erledigen?

1. Berechnung des Arbeitsaufwands für die ursprünglichen 12 Seiten: \(3\,\text{Schüler} \cdot 4\,\text{h} = 12\,\text{Personenstunden}\). 2. Bestimmung des Aufwands pro Seite: \(12\,\text{Personenstunden} : 12\,\text{Seiten} = 1\,\text{Personenstunde pro Seite}\). 3. Berechnung des Gesamtaufwands für 18 Seiten: \(18\,\text{Seiten} \cdot 1\,\text{h/Seite} = 18\,\text{Personenstunden}\). 4. Berechnung der Zeit pro Person bei 2 verbleibenden Schülern: \(18\,\text{h} : 2\,\text{Schüler} = 9\,\text{h}\).

Jeder der verbleibenden zwei Schüler muss \(9\,\text{Stunden}\) arbeiten.

- Was bedeutet es für den Gesamtaufwand, wenn 4 Personen 30 Tage lang arbeiten? - Wie viel von der Arbeit ist nach 12 Tagen bereits erledigt? - Wenn für den Rest der Arbeit nur noch 9 Tage Zeit sind, wie viele Personen müssen dann gleichzeitig arbeiten?

1. Berechnung des Gesamtaufwands für das Projekt in Personentagen: \(4 \cdot 30 = 120\,\text{Personentage}\). 2. Berechnung des in den ersten 12 Tagen bereits geleisteten Aufwands: \(12 \cdot 4 = 48\,\text{Personentage}\). 3. Berechnung des verbleibenden Aufwands: \(120 - 48 = 72\,\text{Personentage}\). 4. Aufstellen einer Gleichung für die benötigte Personenanzahl \(x\) für die restlichen 9 Tage: \(9x = 72\). 5. Lösung der Gleichung nach \(x\): \(x = 72 : 9 = 8\).

Ab dem 13. Tag müssen insgesamt 8 Programmierer an dem Projekt arbeiten.

- Für Aufgabenteil a): Wähle zwei beliebige Fahrenheit-Werte, die einen Unterschied von 18 haben, und berechne die Celsius-Werte. Was stellst du fest? - Für Aufgabenteil b): Du suchst eine Zahl, die man in den Term einsetzen kann, sodass am Ende genau dieselbe Zahl wieder herauskommt.

1. Temperaturänderung: Eine Änderung um \(18\,^\circ\text{F}\) entspricht im Term einer Änderung des Wertes in der Klammer um \(18\). Da diese Differenz durch \(1{,}8\) geteilt wird, ergibt sich \(18 : 1{,}8 = 10\). Die Temperatur steigt also um \(10\,^\circ\text{C}\). 2. Fixpunkt-Gleichung: Gesucht ist ein Wert \(x\), für den gilt: \(x = (x - 32) : 1{,}8\). 3. Auflösen der Gleichung: Multiplikation mit \(1{,}8\) ergibt \(1{,}8x = x - 32\). Subtraktion von \(x\) führt zu \(0{,}8x = -32\). 4. Endergebnis: Division durch \(0{,}8\) ergibt \(x = -32 : 0{,}8 = -40\). Bei \(-40\) haben beide Temperaturskalen denselben Zahlenwert.

a) Die Temperatur steigt um \(10\,^\circ\text{C}\). Begründung: Da die Fahrenheit-Differenz durch \(1{,}8\) geteilt wird, führt ein Zuwachs von \(18\) zu einem Zuwachs von \(10\) bei den Celsius-Graden. b) Der gemeinsame Zahlenwert ist \(-40\). Es gilt: \(-40\,^\circ\text{C} = -40\,^\circ\text{F}\).

- Achte bei b) besonders auf den Begriff „Summe“ – hier musst du eine Klammer setzen. - Kannst du Brüche in Dezimalzahlen umwandeln, um leichter zu rechnen? - Überlege dir genau, auf welcher Seite der Gleichung du etwas abziehen oder dazurechnen musst, wenn ein Wert „kleiner als“ ein anderer ist.

1. Gleichung für a): \(\frac{1}{4}x + 0{,}5 = 2x - 3\). Multiplikation der gesamten Gleichung mit \(4\) zur Nennerbeseitigung: \(x + 2 = 8x - 12\). Subtraktion von \(x\) ergibt \(2 = 7x - 12\). Addition von \(12\) ergibt \(14 = 7x\). Division durch \(7\) ergibt \(x = 2\). 2. Gleichung für b): \(3(x + 4) = 5x - 2\). Auflösen der Klammer: \(3x + 12 = 5x - 2\). Subtraktion von \(3x\) ergibt \(12 = 2x - 2\). Addition von \(2\) ergibt \(14 = 2x\). Division durch \(2\) ergibt \(x = 7\).

a) \(x = 2\) b) \(x = 7\)

- Stelle für jeden Behälter eine Formel auf. Beachte, ob Wasser dazu- oder wegkommt. - Wie rechnet man \(0{,}25\) Minuten in Sekunden um? - Stell dir vor, du zeichnest die Füllstände in ein Koordinatensystem. Was passiert nach dem Treffpunkt der Linien? - Was passiert mit dem Abstand der Wassermengen, wenn eine Menge steigt und die andere gleichzeitig sinkt?

1. Aufstellen der Terme für die Wassermengen nach \(t\) Minuten: Behälter 1: \(450 - 15t\); Behälter 2: \(25t\). 2. Gleichsetzen: \(450 - 15t = 25t\). 3. Lösen der Gleichung: Addiere \(15t\) auf beiden Seiten ergibt \(450 = 40t\). Division durch \(40\) ergibt \(t = 11{,}25\). Der Zeitpunkt ist nach \(11{,}25\) Minuten. 4. Berechnung der Menge: \(25 \cdot 11{,}25 = 281{,}25\). Es befinden sich \(281{,}25\,\text{Liter}\) in den Behältern. 5. Begründung: Da die Wassermenge im ersten Behälter stetig abnimmt und im zweiten Behälter stetig zunimmt, entfernt sich der Wert des zweiten Behälters nach dem Schnittpunkt immer weiter nach oben, während der erste weiter sinkt.

a) Nach \(11{,}25\) Minuten (bzw. \(11\) Minuten und \(15\) Sekunden) ist die Wassermenge gleich. b) Es befinden sich dann \(281{,}25\,\text{Liter}\) Wasser in jedem Behälter. c) Da die Menge im ersten Behälter sinkt und im zweiten Behälter steigt, wird der Unterschied nach dem Gleichstand immer größer; der zweite Behälter „überholt“ den ersten dauerhaft.

- Kannst du das Alter von Marie als \(x\) bezeichnen? Wie sieht dann das Alter des Opas aus? - Stelle zuerst eine Gleichung für die Summe der beiden Alter auf, um ihr aktuelles Alter zu finden. - Wenn du die heutigen Alter kennst, kannst du eine neue Gleichung für die Zukunft aufstellen. - Vergiss nicht, dass beide Personen in der Zukunft um die gleiche Anzahl an Jahren älter geworden sind.

1. Variable \(x\) für Maries Alter festlegen. Dann ist das Alter des Opas \(5x\). 2. Gleichung für die Summe aufstellen: \(x + 5x = 60\). 3. Lösen: \(6x = 60 \Rightarrow x = 10\). Marie ist \(10\) Jahre alt, Opa Heinz ist \(50\) Jahre alt. 4. Variable \(y\) für die Jahre in der Zukunft festlegen. Gleichung aufstellen: \(50 + y = 3(10 + y)\). 5. Klammer auflösen und nach \(y\) auflösen: \(50 + y = 30 + 3y \Rightarrow 20 = 2y \Rightarrow y = 10\).

a) Marie ist heute \(10\) Jahre alt und Opa Heinz ist \(50\) Jahre alt. b) Das wird in \(10\) Jahren der Fall sein.

- Erstelle für jede Kerze einen Term, der die Höhe nach einer bestimmten Zeit \(t\) beschreibt. - Beachte, dass die Kerzen beim Brennen kleiner werden. Welches Rechenzeichen passt dazu? - Wenn du den Zeitpunkt für die gleiche Höhe gefunden hast, wie kannst du daraus die tatsächliche Höhe berechnen? - Was passiert mit dem Höhenunterschied, nachdem der Zeitpunkt des Gleichstands überschritten wurde?

1. Aufstellen der Höhenterme nach \(t\) Stunden: Kerze A: \(20 - 1{,}5t\); Kerze B: \(15 - 0{,}5t\). 2. Gleichsetzen der Terme für Teilaufgabe a): \(20 - 1{,}5t = 15 - 0{,}5t\). 3. Addition von \(1{,}5t\): \(20 = 15 + t\). 4. Subtraktion von 15: \(t = 5\). Ergebnis für a): Nach \(5\,\text{Stunden}\). 5. Berechnung der Resthöhe für Teilaufgabe b): \(20 - 1{,}5 \cdot 5 = 20 - 7{,}5 = 12{,}5\). Die Höhe beträgt \(12{,}5\,\text{cm}\). 6. Berechnung der Höhen nach \(7\,\text{Stunden}\) für Teilaufgabe c): Kerze A: \(20 - 1{,}5 \cdot 7 = 9{,}5\,\text{cm}\). Kerze B: \(15 - 0{,}5 \cdot 7 = 11{,}5\,\text{cm}\). Kerze B ist höher, da sie langsamer abbrennt und den Vorsprung von Kerze A nach 5 Stunden bereits wettgemacht hat.

a) Die Kerzen sind nach 5 Stunden gleich hoch. b) Die Höhe beträgt zu diesem Zeitpunkt \(12{,}5\,\text{cm}\). c) Nach 7 Stunden ist Kerze B höher (\(11{,}5\,\text{cm}\)) als Kerze A (\(9{,}5\,\text{cm}\)).

- Wie alt sind die beiden Personen in 6 Jahren, wenn man ihr heutiges Alter als Platzhalter nimmt? - Kannst du eine Gleichung aufstellen, die den Zusammenhang in der Zukunft beschreibt? - Achte darauf, dass sich das Alter bei beiden Personen um die gleiche Anzahl an Jahren ändert. - Versuche, das Alter der Mutter durch das Alter der Tochter auszudrücken.

1. Sei \(L\) das heutige Alter von Leonie und \(M\) das heutige Alter von Frau Müller. 2. Erste Bedingung (heute): \(M = 4L\). 3. Zweite Bedingung (in 6 Jahren): \(M + 6 = 3(L + 6)\). 4. Einsetzen der ersten Gleichung in die zweite: \(4L + 6 = 3(L + 6)\). 5. Klammer auflösen: \(4L + 6 = 3L + 18\). 6. Nach \(L\) auflösen: \(L = 12\). 7. Berechnung von \(M\): \(M = 4 \cdot 12 = 48\).

Leonie ist heute 12 Jahre alt und Frau Müller ist 48 Jahre alt.

- Wie würdest du den Anteil der Kinderbücher berechnen, wenn du nur die Anteile der anderen Bucharten kennst? - Was bedeutet das „Ganze“ in dieser Aufgabe ausgedrückt als Zahl? - Versuche zuerst, alle Anteile auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen, um sie besser vergleichen und verrechnen zu können.

1. Aufstellen der Gleichung: \(x \cdot (1 - (\frac{1}{2} + \frac{1}{5} + \frac{1}{8})) = 63\) oder \(x - \frac{1}{2} \cdot x - \frac{1}{5} \cdot x - \frac{1}{8} \cdot x = 63\) 2. Darstellung der Brüche mit dem Hauptnenner \(40\): \(\frac{20}{40} + \frac{8}{40} + \frac{5}{40} = \frac{33}{40}\) 3. Berechnung des Restanteils: \(1 - \frac{33}{40} = \frac{7}{40}\). 4. Lösen der Gleichung \(\frac{7}{40} \cdot x = 63\): \(x = 63 \cdot \frac{40}{7}\) 5. Berechnung des Ergebnisses: \(x = 9 \cdot 40 = 360\) 6. Interpretation des Ausdrucks: Er stellt den Anteil der Kinderbücher an der Gesamtzahl aller neuen Bücher dar.

Die Gleichung lautet \(\frac{7}{40} \cdot x = 63\) (oder eine äquivalente Form). Die Gesamtzahl der Bücher beträgt \(x = 360\). Der Ausdruck \(1 - (\frac{1}{2} + \frac{1}{5} + \frac{1}{8})\) gibt den Anteil der Kinderbücher an der Gesamtmenge an.

- Übersetze die Sätze Schritt für Schritt in mathematische Ausdrücke. - Was bedeutet „das Siebenfache der Quersumme“? - Wie kannst du die Information nutzen, dass eine Ziffer um einen bestimmten Wert größer ist als die andere? - Vergiss am Ende nicht die Probe, um sicherzustellen, dass beide Bedingungen des Rätsels erfüllt sind.

1. Sei \(t\) die Zehnerziffer und \(u\) die Einerziffer. Die Zahl ist \(10t + u\). 2. Bedingung für die Ziffern: \(t = u + 2\). 3. Bedingung für den Wert: \(10t + u = 7(t + u) - 6\). 4. Einsetzen von \(t = u + 2\) in die Wertgleichung: \(10(u + 2) + u = 7(u + 2 + u) - 6\). 5. Ausmultiplizieren: \(10u + 20 + u = 7(2u + 2) - 6\). 6. Zusammenfassen: \(11u + 20 = 14u + 14 - 6 \Rightarrow 11u + 20 = 14u + 8\). 7. Ordnen der Terme: \(12 = 3u\). 8. Berechnung der Einerziffer: \(u = 4\). 9. Berechnung der Zehnerziffer: \(t = 4 + 2 = 6\). 10. Die Zahl ist 64. 11. Überprüfung: Quersumme ist \(6 + 4 = 10\). \(7 \cdot 10 - 6 = 70 - 6 = 64\). Die Bedingung \(6 = 4 + 2\) ist ebenfalls erfüllt.

Die Zahl lautet 64.

- Was bedeutet „verdreifachen“ und „ein Viertel abziehen“ für deine Variable? - Achte darauf, dass alle Anteile sich auf die ursprüngliche Anzahl beziehen. - Wann wäre eine Lösung im Zusammenhang mit Tieren unlogisch? - Überprüfe dein Ergebnis: Ist die berechnete Anzahl eine ganze Zahl?

1. Variable definieren: \(x\) sei die Anzahl der Schafe. 2. Gleichung aufstellen: \(3x - \frac{1}{4}x + 2 = 68\). 3. Zusammenfassen der \(x\)-Terme: \(2{,}75x + 2 = 68\). 4. Umformen nach \(x\): \(2{,}75x = 66\). 5. Division durch \(2{,}75\): \(x = 24\). 6. Prüfung des Kontexts: Da \(24\) eine ganze Zahl ist und auch ein Viertel davon (\(6\)) eine ganze Zahl ergibt, ist das Ergebnis im Sachkontext sinnvoll. Der Lehrling hat nicht recht.

a) Es sind \(24\) Schafe. b) Der Lehrling hat nicht recht, da die Rechnung eine ganze Anzahl an Schafen (\(24\)) ergibt und auch der Verkauf eines Viertels (\(6\) Schafe) möglich ist.

- Wie kannst du die größere Zahl ausdrücken, wenn du die kleinere Zahl \(y\) nennst und ihre Summe kennst? - Was bedeutet „doppelt so groß“ mathematisch? - Überlege für Teil b), was passiert, wenn ein Teil eines Ganzen (der Summe) einen größeren Faktor in einer Gleichung ausgleichen muss. - Du kannst Teil b) auch lösen, indem du die neuen Werte kurz berechnest und vergleichst.

1. Festlegen der Variablen: \(y\) für die kleinere Zahl und \(100 - y\) für die größere Zahl 2. Aufstellen der Gleichung gemäß der Bedingung: \((100 - y) - 10 = 2y\) 3. Vereinfachen der Gleichung: \(90 - y = 2y \Rightarrow 90 = 3y\) 4. Lösung für die kleinere Zahl: \(y = 30\) 5. Berechnung der größeren Zahl: \(100 - 30 = 70\) 6. Analyse für Teil b): Die Bedingung \(90 - y = 3y\) führt zu \(4y = 90\), also \(y = 22{,}5\). Da die kleinere Zahl sinkt, muss die größere Zahl steigen (\(100 - 22{,}5 = 77{,}5\)), um die Summe 100 konstant zu halten.

a) Die Zahlen lauten 70 und 30. b) Die größere Zahl muss größer werden (\(77{,}5\)), weil bei unveränderter Summe die kleinere Zahl abnimmt und die größere Zahl entsprechend zunimmt.

- Wenn \(x\) eine ungerade Zahl ist, wie groß ist dann der Abstand zur nächsten ungeraden Zahl? - Stelle für beide Paare jeweils einen Term für ihr Produkt auf. - Schreibe die Differenz dieser beiden Produkte als Gleichung auf. - Keine Sorge wegen der Terme mit \(x^2\) – achte darauf, was mit ihnen passiert, wenn du die Subtraktion durchführst.

1. Sei \(x\) die erste ungerade Zahl. Die darauf folgenden ungeraden Zahlen sind \(x + 2\), \(x + 4\) und \(x + 6\). 2. Aufstellen der Gleichung basierend auf der Differenz der Produkte: \((x + 4) \cdot (x + 6) - x \cdot (x + 2) = 48\). 3. Ausmultiplizieren der Klammerterme: \((x^2 + 6x + 4x + 24) - (x^2 + 2x) = 48\). 4. Vereinfachen des Terms durch Zusammenfassen: \(x^2 + 10x + 24 - x^2 - 2x = 48\). 5. Die quadratischen Terme \(x^2\) heben sich auf, es bleibt: \(8x + 24 = 48\). 6. Lösen der linearen Gleichung: \(8x = 24 \implies x = 3\). 7. Bestimmung der vier Zahlen: 3, 5, 7 und 9.

Die vier Zahlen lauten 3, 5, 7 und 9.

- Beginne damit, die Mengen beider Behälter mithilfe einer Variablen \(x\) zu beschreiben. - Was passiert mit der Wassermenge in Behälter 1, wenn Wasser aus Behälter 2 hinzugefügt wird? - Achte bei der Gleichung darauf, welches Vielfache (hier das Dreifache) auf welche Seite der Gleichung gehört, damit die Waage im Gleichgewicht ist. - Was gibt ein Subtraktionsterm wie \((x - 5)\) allgemein an, wenn \(x\) ein Startwert ist?

1. Festlegen der Variablen: \(x\) ist die Menge in Behälter 2. Behälter 1 enthält \(x + 10\). 2. Mengen nach dem Umgießen: Behälter 2 hat \(x - 5\), Behälter 1 hat \((x + 10) + 5 = x + 15\). 3. Aufstellen der Gleichung für das neue Verhältnis: \(x + 15 = 3(x - 5)\). 4. Lösen der Gleichung: \(x + 15 = 3x - 15\). Durch Umformen erhält man \(2x = 30\), also \(x = 15\). 5. Berechnung der Menge für Behälter 1: \(15 + 10 = 25\). 6. Interpretation des Terms: Der Term \((x - 5)\) stellt die Wassermenge dar, die nach dem Umgießen noch in Behälter 2 vorhanden ist.

a) Ursprünglich waren in Behälter 1 \(25\,\text{l}\) und in Behälter 2 \(15\,\text{l}\) Wasser. b) Der Term \((x - 5)\) beschreibt die Wassermenge in Litern, die nach der Entnahme von \(5\,\text{l}\) in Behälter 2 verbleibt.

- Versuche, die unbekannte Anzahl der Laptops in einem Raum als Variable zu bezeichnen. - Wie viele Laptops sind nach dem Umstellen in jedem Raum? Schreibe dies als Rechenausdruck auf. - Das Wort „Anteil“ oder der Bruch weist auf eine multiplikative Beziehung zwischen den beiden neuen Mengen hin. - Wurden Laptops von außen hinzugefügt oder aus der Schule entfernt?

1. Definition der Unbekannten: \(x\) ist die Anzahl der Laptops in Raum Beta, \(2x\) ist die Anzahl in Raum Alpha. 2. Aufstellen der Gleichung nach dem Transfer von 9 Geräten: \(x + 9 = \frac{4}{5}(2x - 9)\). 3. Multiplikation der gesamten Gleichung mit 5 zur Beseitigung des Bruchs: \(5x + 45 = 4(2x - 9)\). 4. Ausmultiplizieren der Klammer: \(5x + 45 = 8x - 36\). 5. Ordnen der Terme: \(81 = 3x\). 6. Lösung für Raum Beta: \(x = 27\). 7. Lösung für Raum Alpha: \(2 \cdot 27 = 54\). 8. Begründung zur Gesamtzahl: Da die Laptops nur innerhalb der Schule verschoben wurden (interner Transfer), bleibt die Summe der Geräte (\(54 + 27 = 81\)) konstant.

Ursprünglich waren 54 Laptops in Raum Alpha und 27 Laptops in Raum Beta. Die Gesamtzahl bleibt gleich, da die Geräte lediglich den Standort gewechselt haben und keine Laptops hinzugefügt oder entfernt wurden.

- Finde zuerst heraus, wie viele Fotos am Anfang in jedem Album waren. - Was passiert mit der Gesamtzahl aller Fotos, wenn du sie nur zwischen den Alben verschiebst? - Wenn beide Alben am Ende gleich viele Fotos haben sollen, wie viele Fotos sind das bei der berechneten Gesamtzahl? - Wie viele Fotos fehlen dann im kleineren Album noch bis zu dieser Zielzahl?

1. Variable festlegen: Sei \(b\) die Anzahl der Fotos in Album B, dann hat Album A am Anfang \(4b\) Fotos. 2. Gleichung für die erste Verschiebung aufstellen: \(4b - 12 = 2(b + 12)\). 3. Gleichung lösen: \(4b - 12 = 2b + 24 \Rightarrow 2b = 36 \Rightarrow b = 18\). 4. Anfangsbestände berechnen: Album B hat 18 Fotos, Album A hat \(4 \cdot 18 = 72\) Fotos. 5. Gesamtanzahl und Zielzustand bestimmen: Insgesamt sind es \(72 + 18 = 90\) Fotos. Bei Gleichstand hätte jedes Album \(90 : 2 = 45\) Fotos. 6. Benötigte Verschiebung berechnen: Von 72 Fotos in Album A müssen so viele weg, dass 45 übrig bleiben: \(72 - 45 = 27\).

Es müssten insgesamt 27 Fotos von Album A nach Album B verschoben werden.

- Überlege dir, wie du die Anzahl der Jungen und Mädchen mit einer Unbekannten ausdrücken kannst, wenn das Verhältnis bekannt ist. - Achte darauf, ob Personen dazukommen oder gehen – wie ändert das deine Terme? - Ein Verhältnis von \(1 : 2\) bedeutet, dass eine Gruppe genau doppelt so groß ist wie die andere. - Kannst du eine Gleichung aufstellen, in der die beiden neuen Mengen zueinander in Beziehung gesetzt werden?

1. Definition der Ausgangsmengen mit dem Faktor \(x\): Jungen = \(3x\), Mädchen = \(7x\). 2. Modellierung der Änderung: Jungen neu = \(3x + 8\), Mädchen neu = \(7x - 4\). 3. Aufstellen der Gleichung für das neue Verhältnis: \(\frac{3x + 8}{7x - 4} = \frac{1}{2}\). 4. Umformen der Gleichung: \(2 \cdot (3x + 8) = 1 \cdot (7x - 4)\). 5. Auflösen der Klammern und Isolieren von \(x\): \(6x + 16 = 7x - 4 \Rightarrow x = 20\). 6. Berechnung der gesuchten Werte: Jungen = \(3 \cdot 20 = 60\), Mädchen = \(7 \cdot 20 = 140\).

Anfangs waren \(60\) Jungen und \(140\) Mädchen im Chor.

- Bestimme zuerst, welcher Bruchteil des Gartens für den Weg übrig bleibt, wenn du die anderen Anteile vom Ganzen abziehst. - Stelle eine Beziehung zwischen der Fläche des Weges und der Fläche der Blumenbeete her. - Was bedeutet es mathematisch, wenn eine Fläche um einen bestimmten Wert kleiner ist als eine andere? - Nutze eine Variable für die gesamte Gartenfläche, um die Informationen in eine Gleichung zu übersetzen.

1. Berechnung des Anteils für den Weg: \(1 - \frac{2}{7} - \frac{1}{2} = \frac{14}{14} - \frac{4}{14} - \frac{7}{14} = \frac{3}{14}\). 2. Variable festlegen: Sei \(x\) die Gesamtfläche des Gartens in \(\text{m}^2\). 3. Ausdruck für die Flächeninhalte aufstellen: Blumenbeetfläche ist \(\frac{2}{7}x\), Wegfläche ist \(\frac{3}{14}x\). 4. Gleichung basierend auf der Differenz aufstellen: \(\text{Wegfläche} = \text{Blumenbeetfläche} - 30\). 5. Einsetzen der Terme: \(\frac{3}{14}x = \frac{2}{7}x - 30\). 6. Gleichung umformen (Brüche gleichnamig machen): \(\frac{3}{14}x = \frac{4}{14}x - 30\). 7. Nach \(x\) auflösen: \(30 = \frac{4}{14}x - \frac{3}{14}x = \frac{1}{14}x\). 8. Ergebnis: \(x = 30 \cdot 14 = 420\).

a) Der Weg nimmt \(\frac{3}{14}\) der Gesamtfläche ein. b) Die Gesamtfläche des Schulgartens beträgt \(420\,\text{m}^2\).

- Kannst du ausdrücken, wie viel die Aushilfe pro Woche insgesamt in Form von Geld und Tablet erhalten hätte? - Wie viel hätte sie nach dieser Rechnung in 5 Wochen insgesamt erhalten? - Stelle eine Gleichung auf, in der der Wert für 5 Wochen auf zwei Arten beschrieben wird. - Überlege dir eine Variable für den unbekannten Wert des Gegenstands.

1. Definition der Variable \(x\) für den Wert des Tablets in Euro. 2. Aufstellen des Gesamtwerts der Vergütung für 8 Wochen: \(x + 420\). 3. Berechnung des Werts für eine Woche: \(\frac{x + 420}{8}\). 4. Aufstellen des Werts für die geleisteten 5 Wochen: \(5 \cdot \frac{x + 420}{8}\). 5. Gleichsetzen mit dem tatsächlich erhaltenen Wert: \(\frac{5 \cdot (x + 420)}{8} = x + 60\). 6. Lösen der Gleichung: \(5x + 2100 = 8 \cdot (x + 60)\) \(5x + 2100 = 8x + 480\) \(1620 = 3x\) \(x = 540\). Das Tablet hat einen Wert von \(540\,\text{€}\).

Das Tablet ist \(540\,\text{€}\) wert.

- Wie kannst du Prozentangaben und Brüche einheitlich in einer Gleichung schreiben? - Welche Gruppe ist größer – die Kochgruppe oder die Werkstatt? Das hilft dir bei der Differenz. - Wenn du alle Gruppen zusammenzählst, was muss als Ergebnis herauskommen? - Kannst du die Gleichung vereinfachen, bevor du den Hauptnenner suchst?

1. Definition der Variablen: \(x\) ist die Gesamtzahl der Jugendlichen. 2. Übersetzung der Anteile in Terme: Kochen: \(\frac{1}{3}x\); Werkstatt: \(0{,}25x = \frac{1}{4}x\). 3. Term für die Tanzgruppe: \(3\left(\frac{1}{3}x - \frac{1}{4}x\right)\). 4. Aufstellen der Gleichung: \(x = \frac{1}{3}x + \frac{1}{4}x + 3\left(\frac{1}{3}x - \frac{1}{4}x\right) + 10\). 5. Vereinfachen der Gleichung: \(x = \frac{1}{3}x + \frac{1}{4}x + x - \frac{3}{4}x + 10\). 6. Zusammenfassen der Terme mit \(x\): \(0 = \frac{1}{3}x - \frac{2}{4}x + 10\), was zu \(0 = \frac{1}{3}x - \frac{1}{2}x + 10\) führt. 7. Umformen und Hauptnenner bilden: \(\frac{1}{2}x - \frac{1}{3}x = 10 \Rightarrow \frac{3}{6}x - \frac{2}{6}x = 10\). 8. Lösung der Gleichung: \(\frac{1}{6}x = 10 \Rightarrow x = 60\).

a) Eine mögliche Gleichung ist \(x = \frac{1}{3}x + \frac{1}{4}x + 3(\frac{1}{3}x - \frac{1}{4}x) + 10\). b) Es sind insgesamt 60 Jugendliche im Zentrum.

- Überlege zuerst, wie viel der Strecke nach dem ersten Tag noch zu wandern ist. - Welchen Bruchteil der Gesamtstrecke macht der zweite Tag aus? - Wie viel der Gesamtstrecke (als Bruch) bleibt für den dritten Tag übrig? - Berechne am Ende die Kilometer für jeden Tag, um sie vergleichen zu können.

1. Sei \(d\) die Gesamtlänge. Strecke Tag 1: \(\frac{2}{5}d\). Verbleibender Rest nach Tag 1: \(d - \frac{2}{5}d = \frac{3}{5}d\). 2. Strecke Tag 2: \(\frac{1}{3}\) des Rests, also \(\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{5}d = \frac{1}{5}d\). 3. Verbleibender Rest für Tag 3: \(\frac{3}{5}d - \frac{1}{5}d = \frac{2}{5}d\). 4. Da die Strecke am 3. Tag \(12\,\text{km}\) lang ist: \(\frac{2}{5}d = 12 \implies d = 12 \cdot \frac{5}{2} = 30\,\text{km}\). 5. Berechnung der Tagesstrecken: Tag 1 = \(\frac{2}{5} \cdot 30 = 12\,\text{km}\); Tag 2 = \(\frac{1}{5} \cdot 30 = 6\,\text{km}\); Tag 3 = \(12\,\text{km}\). 6. Vergleich: Am ersten und am dritten Tag wurden jeweils \(12\,\text{km}\) zurückgelegt.

Die Gesamtlänge der Tour beträgt \(30\,\text{km}\). Die Gruppe ist am ersten und am dritten Tag die gleiche Strecke (jeweils \(12\,\text{km}\)) gewandert.

- Welche Information ist für beide Klassen identisch? - Wenn die Klasse 7a genau \(x\) Tage gesammelt hat, wie viele Tage hat dann die Klasse 7b gesammelt? - Erstelle für jede Klasse einen Ausdruck, der das Gesamtziel beschreibt (bereits gesammelte Menge + noch fehlende Menge). - Setze diese beiden Ausdrücke gleich, um die Anzahl der Tage zu berechnen. - Prüfe am Ende, ob dein Ergebnis für beide Klassen zum gleichen Ziel führt.

1. Festlegung der Variable \(x\) für die Anzahl der Sammeltage der Klasse 7a. 2. Aufstellen der Terme für das gemeinsame Sammelziel: \(12x + 40\) für Klasse 7a und \(15(x - 2) + 46\) für Klasse 7b. 3. Gleichsetzen der Terme für das Ziel: \(12x + 40 = 15(x - 2) + 46\). 4. Auflösen der Klammer und Vereinfachen: \(12x + 40 = 15x - 30 + 46 \implies 12x + 40 = 15x + 16\). 5. Umstellen der Gleichung nach \(x\): \(24 = 3x \implies x = 8\). 6. Einsetzen des Wertes \(x = 8\) in einen der Ziel-Terme: \(12 \cdot 8 + 40 = 96 + 40 = 136\). Das Ziel beträgt \(136\,\text{kg}\).

Das gesetzte Ziel der Klassen beträgt \(136\,\text{kg}\).

- Überlege dir zuerst, welcher Bruchteil des Beckens pro Minute gefüllt wird, wenn alles normal läuft. - Wie viel geht pro Minute verloren, wenn der Abfluss die Füllzeit von \(20\) auf \(50\) Minuten verlängert? - Stelle eine Gleichung auf, in der die Differenz der Raten die beobachtete Füllgeschwindigkeit ergibt.

1. Bestimmung der Füllrate der Pumpe: \(\frac{1}{20}\) des Aquariums pro Minute. 2. Bestimmung der tatsächlichen Füllrate (Pumpe minus Abfluss): \(\frac{1}{50}\) des Aquariums pro Minute. 3. Aufstellen der Gleichung für die unbekannte Abflussrate \(r_A\): \(\frac{1}{20} - r_A = \frac{1}{50}\). 4. Berechnung der Abflussrate: \(r_A = \frac{1}{20} - \frac{1}{50} = \frac{5}{100} - \frac{2}{100} = \frac{3}{100}\) des Volumens pro Minute. 5. Berechnung der Entleerungszeit durch den Kehrwert der Rate: \(\frac{100}{3}\,\text{Minuten} = 33 \frac{1}{3}\,\text{Minuten}\). 6. Umrechnung in Minuten und Sekunden: \(33\,\text{Minuten}\) und \(20\,\text{Sekunden}\).

Das Entleeren des vollen Aquariums würde \(33\,\text{Minuten}\) und \(20\,\text{Sekunden}\) dauern.

- Achte darauf, dass alle Leistungsangaben in der gleichen Einheit (Watt) stehen, bevor du rechnest. - Kannst du eine Variable für die Anzahl eines Modultyps festlegen? - Was ändert sich im zweiten Teil der Aufgabe an der Gesamtsumme und was bleibt gleich?

1. Umrechnung der Einheiten: \(10\,\text{kW} = 10\,000\,\text{W}\) und \(12\,\text{kW} = 12\,000\,\text{W}\). 2. Aufstellen der Gleichung für Teil a): Sei \(x\) die Anzahl der Module vom Typ A. Die Anzahl vom Typ B ist \(28 - x\). Gleichung: \(320x + 400(28 - x) = 10\,000\). 3. Lösen der Gleichung: \(320x + 11\,200 - 400x = 10\,000 \implies -80x = -1200 \implies x = 15\). 4. Ergebnisse Teil a): Typ A: \(15\) Module; Typ B: \(28 - 15 = 13\) Module. 5. Berechnung für Teil b): Die Leistung der \(15\) Typ-A-Module beträgt \(15 \cdot 320\,\text{W} = 4800\,\text{W}\). Die restliche Leistung für Typ B ist \(12\,000\,\text{W} - 4800\,\text{W} = 7200\,\text{W}\). 6. Neue Anzahl der Module vom Typ B: \(7200 : 400 = 18\). Zusätzliche Module: \(18 - 13 = 5\).

a) Es sind \(15\) Module vom Typ A und \(13\) Module vom Typ B installiert. b) Es müssen \(5\) zusätzliche Module vom Typ B installiert werden.

- Überlege dir, wie viel Wasser am Morgen des dritten Tages da gewesen sein muss, damit am Abend nach dem Verbrauch noch \(0{,}5\,\text{Liter}\) übrig sind. - Hilft es dir, eine Tabelle für die drei Tage anzulegen? - Wenn \(x\) die Menge am Morgen ist, wie lautet der mathematische Ausdruck für die Menge am Abend? - Wie kannst du den „Verbrauch von der Hälfte plus ein Viertelliter“ mathematisch umkehren?

1. Berechnung des Bestands vor Tag 3: Sei \(x_3\) die Menge am Morgen von Tag 3. Es gilt \(\frac{x_3}{2} - 0{,}25 = 0{,}5\). Daraus folgt \(\frac{x_3}{2} = 0{,}75\), also \(x_3 = 1{,}5\,\text{Liter}\). 2. Berechnung des Bestands vor Tag 2: Sei \(x_2\) die Menge am Morgen von Tag 2. Es gilt \(\frac{x_2}{2} - 0{,}25 = 1{,}5\). Daraus folgt \(\frac{x_2}{2} = 1{,}75\), also \(x_2 = 3{,}5\,\text{Liter}\). 3. Berechnung des Bestands vor Tag 1 (Anfangsvorrat): Sei \(x_1\) die Menge am Morgen von Tag 1. Es gilt \(\frac{x_1}{2} - 0{,}25 = 3{,}5\). Daraus folgt \(\frac{x_1}{2} = 3{,}75\), also \(x_1 = 7{,}5\,\text{Liter}\). 4. Der Wanderer hatte zu Beginn \(7{,}5\,\text{Liter}\) Wasser dabei.

Der Wanderer hatte zu Beginn \(7{,}5\,\text{Liter}\) Wasser dabei.

- Überlege dir, welcher Betrag vor der letzten Ausgabe von \(30\,\text{€}\) in der Kasse gewesen sein muss. - Wenn nach dem Abzug von einem Viertel eines Betrages noch ein Rest bleibt, welchem Bruchteil entspricht dieser Rest? - Setze eine Variable für den gesuchten Gesamtbetrag fest und versuche, die Ausgaben nacheinander abzuziehen. - Kannst du die Aufgabe in zwei Teilprobleme zerlegen: Erst den Betrag vor dem zweiten Monat finden, dann den Startbetrag?

1. Berechnung des Restbetrags vor den Ausgaben des zweiten Monats: Sei \(R\) der Restbetrag nach dem ersten Monat. Die Ausgaben im zweiten Monat betragen \(\frac{1}{4}R + 30\). Es verbleiben \(R - (\frac{1}{4}R + 30) = 300\). Dies führt zu \(\frac{3}{4}R - 30 = 300\), also \(\frac{3}{4}R = 330\). Daraus folgt \(R = 440\,\text{€}\). 2. Berechnung des ursprünglichen Gesamtbetrags \(x\): Nach dem ersten Monat blieben \(R = 440\,\text{€}\) übrig. Die Ausgaben waren \(\frac{1}{3}x + 50\). Die Gleichung lautet \(x - (\frac{1}{3}x + 50) = 440\). 3. Lösen der Gleichung: \(\frac{2}{3}x - 50 = 440 \Rightarrow \frac{2}{3}x = 490\). Multiplikation mit \(\frac{3}{2}\) ergibt \(x = 735\,\text{€}\).

Zu Beginn waren \(735\,\text{€}\) in der Klassenkasse.