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- Was passiert mit dem Kontostand bei einer Abbuchung und was bei einer Gutschrift? - Kannst du den Gesamteffekt der beiden Buchungen bestimmen? - Überlege dir, wie du die Rechnung umkehren kannst, um vom Endzustand zum Anfangszustand zu kommen.

1. Aufstellen einer Gleichung mit dem gesuchten Startwert \(x\): \(x - 450{,}00 + 1\,250{,}60 = 840{,}25\). 2. Zusammenfassen der bekannten Werte auf der linken Seite: \(-450{,}00 + 1\,250{,}60 = 800{,}60\). 3. Umstellen der vereinfachten Gleichung \(x + 800{,}60 = 840{,}25\) durch Subtraktion von \(800{,}60\). 4. Berechnung des Startwerts: \(x = 840{,}25 - 800{,}60 = 39{,}65\).

Der Kontostand betrug vor den Buchungen \(39{,}65\,\text{€}\).

- Stelle dir vor, der Ballon startet bei einer unbekannten Höhe. Welche Rechenzeichen passen zu „steigen“ und „sinken“? - Wie viel tiefer oder höher ist der Ballon insgesamt nach beiden Manövern im Vergleich zum Start? - Welche Rechenoperation macht eine Senkung um einen bestimmten Wert wieder rückgängig?

1. Definition der Variable \(h\) für die Ausgangshöhe und Aufstellen der Gleichung: \(h + 245 - 312 = 128\). 2. Berechnung der Netto-Höhenänderung: \(245 - 312 = -67\). 3. Umformen der Gleichung \(h - 67 = 128\) durch Addition von \(67\). 4. Berechnung des Ergebnisses: \(h = 128 + 67 = 195\).

Die ursprüngliche Höhe des Ballons betrug \(195\,\text{m}\).

- Wie viele Kanten hat eine quadratische Pyramide insgesamt? - Kannst du eine Skizze machen und die Kanten beschriften? - Wie hängen die Längen der Seitenkanten von der Grundkante ab?

1. Definition der Variablen: Sei \(a\) die Länge einer Grundkante in \(\text{cm}\). Dann ist die Länge einer Seitenkante \(s = a + 5\). 2. Gesamtlänge bestimmen: Die Pyramide hat 4 Grundkanten und 4 Seitenkanten. Gesamtlänge \(L = 4 \cdot a + 4 \cdot (a + 5) = 8 \cdot a + 20\). 3. Gleichung aufstellen: \(8 \cdot a + 20 = 200\,\text{cm}\). 4. Lösung nach \(a\): \(8 \cdot a = 180 \implies a = 22{,}5\,\text{cm}\). 5. Seitenkante berechnen: \(s = 22{,}5\,\text{cm} + 5\,\text{cm} = 27{,}5\,\text{cm}\).

Eine Grundkante ist \(22{,}5\,\text{cm}\) lang und eine Seitenkante ist \(27{,}5\,\text{cm}\) lang.

- Überlege dir, wie man den Flächeninhalt eines Rechtecks berechnet. - Kannst du die neue Breite und die neue Höhe mithilfe der unbekannten alten Höhe ausdrücken? - Stelle eine Gleichung auf, die den alten und den neuen Flächeninhalt zueinander in Beziehung setzt. - Achte darauf, dass der neue Flächeninhalt um einen bestimmten Wert größer ist als der ursprüngliche.

1. Aufstellen der Terme für die Seitenlängen: Ursprüngliche Breite \(b_1 = 10\,\text{cm}\), ursprüngliche Höhe \(h_1 = x\). Neue Breite \(b_2 = 15\,\text{cm}\), neue Höhe \(h_2 = x - 2\). 2. Aufstellen der Flächeninhaltsgleichung: Der neue Flächeninhalt ist um \(10\) größer als der alte: \(15 \cdot (x - 2) = 10 \cdot x + 10\). 3. Lösen der Gleichung: \(15 \cdot x - 30 = 10 \cdot x + 10\). Subtraktion von \(10 \cdot x\) und Addition von \(30\) führt zu \(5 \cdot x = 40\). 4. Ergebnis: \(x = 8\). Die ursprüngliche Höhe beträgt \(8\,\text{cm}\).

Die ursprüngliche Höhe des Plakats betrug \(8\,\text{cm}\).

- Wie viel Geld hat Paul insgesamt ausgegeben? - Wie viel Geld hat er durch die ersten Verkäufe schon eingenommen? - Wie viel Geld fehlt ihm noch, um keine Verluste zu machen? - Auf wie viele Spiele muss dieser restliche Betrag verteilt werden?

1. Sei \(x\) der Verkaufspreis eines der restlichen Spiele in Euro. Es bleiben \(40 - 15 = 25\) Spiele. 2. Die Einnahmen aus allen Verkäufen sollen genau \(120{,}00\,\text{€}\) betragen: \(15 \cdot 2{,}50 + 25 \cdot x = 120\). 3. Vereinfachen: \(37{,}50 + 25 \cdot x = 120\). 4. Subtraktion von \(37{,}50\): \(25 \cdot x = 82{,}50\). 5. Division durch \(25\): \(x = 3{,}30\).

Paul muss die restlichen Spiele für jeweils \(3{,}30\,\text{€}\) verkaufen.

- Was passiert mit dem Alter beider Brüder, wenn ein Jahr vergeht? - Kannst du einen Platzhalter für die gesuchte Anzahl der Jahre verwenden? - Wie schreibst du das zukünftige Alter von Tim und Leo mathematisch auf? - Wie drückst du die Bedingung „doppelt so alt“ als mathematisches Zeichen aus?

1. Variable \(x\) für die Anzahl der Jahre definieren. 2. Alter von Tim in \(x\) Jahren: \(8 + x\). 3. Alter von Leo in \(x\) Jahren: \(2 + x\). 4. Gleichung aufstellen: \(8 + x = 2 \cdot (2 + x)\). 5. Klammer auflösen: \(8 + x = 4 + 2x\). 6. Nach \(x\) auflösen: \(x = 4\).

In \(4\) Jahren wird Tim doppelt so alt sein wie Leo.

- Was stellt die Unbekannte in dieser Aufgabe dar? - Kannst du die Anteile der ersten beiden Abschnitte zu einem gemeinsamen Anteil zusammenfassen? - Wie viel bleibt vom Ganzen übrig, wenn man die ersten beiden Anteile abzieht? - Überlege, welcher Bruchteil der Gesamtlänge genau den \(7\,\text{km}\) entspricht.

1. Sei \(x\) die Gesamtlänge des Wanderwegs in Kilometern. 2. Aufstellen der Gleichung basierend auf den Teilabschnitten: \(\frac{1}{3}x + \frac{1}{5}x + 7 = x\). 3. Brüche auf den Hauptnenner 15 bringen: \(\frac{5}{15}x + \frac{3}{15}x + 7 = x\). 4. Zusammenfassen der Brüche: \(\frac{8}{15}x + 7 = x\). 5. Subtraktion von \(\frac{8}{15}x\) auf beiden Seiten: \(7 = \frac{7}{15}x\). 6. Auflösen nach \(x\) durch Multiplikation mit dem Kehrwert \(\frac{15}{7}\): \(x = 7 \cdot \frac{15}{7} = 15\).

Der gesamte Wanderweg ist \(15\,\text{km}\) lang.

- Kannst du den Anteil des Geldes bestimmen, der noch übrig ist, nachdem die Kinokarten und das Spiel bezahlt wurden? - Hilft es dir, alle Brüche auf denselben Nenner zu bringen? - Überlege dir, wie du den Restbetrag von \(14\,\text{€}\) als Bruchteil des Ganzen ausdrücken kannst.

1. Aufstellen der Gleichung für das Gesamttaschengeld \(x\): \(x - \frac{1}{4} \cdot x - \frac{2}{5} \cdot x = 14\) 2. Bestimmen des Hauptnenners für die Brüche \(\frac{1}{4}\) und \(\frac{2}{5}\): \(20\) 3. Zusammenfassen der Anteile auf der linken Seite: \(\frac{20}{20} \cdot x - \frac{5}{20} \cdot x - \frac{8}{20} \cdot x = \frac{7}{20} \cdot x\) 4. Lösen der Gleichung \(\frac{7}{20} \cdot x = 14\) durch Multiplikation mit dem Kehrwert: \(x = 14 \cdot \frac{20}{7}\) 5. Berechnung des Endergebnisses: \(x = 40\)

Lukas hat insgesamt \(40\,\text{€}\) Taschengeld bekommen.

- Überlege zuerst, wie schnell Julia läuft, wenn sie \(50\,\%\) schneller als Max ist. - Wie verändert sich der Abstand zwischen den beiden pro Stunde? - Wie lange dauert es, bis der gesamte Abstand von \(18\,\text{km}\) überwunden ist? - Berechne für beide Wanderer einzeln, wie weit sie in dieser Zeit gekommen sind.

1. Berechnung von Julias Geschwindigkeit: \(v_J = 4\,\text{km/h} \cdot 1{,}5 = 6\,\text{km/h}\). 2. Berechnung der relativen Geschwindigkeit beim Entgegenlaufen: \(v_{rel} = 4\,\text{km/h} + 6\,\text{km/h} = 10\,\text{km/h}\). 3. Berechnung der Zeit bis zum Treffen: \(t = \frac{18\,\text{km}}{10\,\text{km/h}} = 1{,}8\,\text{h}\). 4. Berechnung der von Max zurückgelegten Strecke: \(s_M = 4\,\text{km/h} \cdot 1{,}8\,\text{h} = 7{,}2\,\text{km}\). 5. Berechnung der von Julia zurückgelegten Strecke: \(s_J = 6\,\text{km/h} \cdot 1{,}8\,\text{h} = 10{,}8\,\text{km}\). 6. Vergleich und Differenzbildung: Julia hat die größere Strecke zurückgelegt. Die Differenz beträgt \(10{,}8\,\text{km} - 7{,}2\,\text{km} = 3{,}6\,\text{km}\).

Julia hat eine größere Strecke zurückgelegt. Der Unterschied zwischen den beiden Teilstrecken beträgt \(3{,}6\,\text{km}\).

- Wie berechnet man den Umfang eines Rechtecks, wenn man Länge und Breite kennt? - Versuche zuerst, die Terme für die Länge und die Breite zu addieren. - Kannst du eine Gleichung aufstellen, in der der gesamte Umfang vorkommt? - Achte beim Auflösen der Klammern auf das Distributivgesetz.

1. Aufstellen der Umfangsgleichung für ein Rechteck: \(2 \cdot (\text{Länge} + \text{Breite}) = \text{Umfang}\). 2. Einsetzen der gegebenen Terme: \(2 \cdot ((2 \cdot x + 5) + (x + 3)) = 52\). 3. Zusammenfassen der Terme in der Klammer: \(2 \cdot (3 \cdot x + 8) = 52\). 4. Auflösen der Klammer durch Multiplikation: \(6 \cdot x + 16 = 52\). 5. Subtraktion von 16 auf beiden Seiten: \(6 \cdot x = 36\). 6. Division durch 6: \(x = 6\).

Der Wert von \(x\) ist \(6\).

- Welche Formel verbindet den Flächeninhalt eines Dreiecks mit seiner Grundseite und Höhe? - Kannst du die gesuchte Größe als Variable in eine Gleichung einbauen? - Was musst du tun, um die Variable auf einer Seite der Gleichung allein stehen zu haben? - Überprüfe am Ende, ob dein Ergebnis mit der Formel wieder den ursprünglichen Flächeninhalt ergibt.

1. Aufstellen der Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks: \(A = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h\). 2. Einsetzen der gegebenen Werte in die Gleichung: \(18{,}6 = \frac{1}{2} \cdot g \cdot 4\). 3. Vereinfachen der Gleichung durch Zusammenfassen der Zahlenwerte: \(18{,}6 = 2 \cdot g\). 4. Division beider Seiten durch \(2\) zur Isolierung der Unbekannten: \(g = 9{,}3\). 5. Die Grundseite beträgt \(9{,}3\,\text{cm}\).

Die Grundseite des Dreiecks ist \(9{,}3\,\text{cm}\) lang.

- Kannst du eine Variable für die unbekannte Breite festlegen? - Wie hängen Länge und Breite laut Text zusammen? - Erinnere dich an die Formel für den Umfang eines Rechtecks. - Stelle eine Gleichung auf, in der nur noch eine Unbekannte vorkommt.

1. Definition der Variablen: Sei \(x\) die Breite des Rechtecks in \(\text{cm}\). Die Länge ist dann \(x + 13\). 2. Aufstellen der Umfangsgleichung: \(U = 2 \cdot (\text{Länge} + \text{Breite})\), also \(126 = 2 \cdot (x + 13 + x)\). 3. Vereinfachen der Gleichung: \(126 = 2 \cdot (2x + 13) \Rightarrow 126 = 4x + 26\). 4. Lösen nach \(x\): \(100 = 4x \Rightarrow x = 25\). 5. Berechnung der Seiten: Die Breite beträgt \(25\,\text{cm}\). Die Länge beträgt \(25 + 13 = 38\,\text{cm}\).

Die Breite des Rechtecks beträgt \(25\,\text{cm}\) und die Länge beträgt \(38\,\text{cm}\).

- Was wissen wir über das Verhältnis der beiden Bestandteile? - Wie hängen die Einzelmengen mit der angegebenen Gesamtmenge zusammen? - Kannst du die Menge einer der Zutaten als \(x\) bezeichnen? - Überlege, wie du den Anteil des Wassers im Verhältnis zum Konzentrat ausdrücken kannst.

1. Sei \(x\) die Menge des Konzentrats in Litern. 2. Die Menge des Wassers beträgt dann \(4 \cdot x\). 3. Die Gesamtmischung ergibt sich aus der Summe beider Bestandteile: \(x + 4x = 7{,}5\). 4. Zusammenfassen der Terme führt zu \(5x = 7{,}5\). 5. Division durch \(5\) ergibt den Wert für \(x\): \(x = 1{,}5\). Die benötigte Menge an Konzentrat beträgt \(1{,}5\,\text{l}\).

Es werden \(1{,}5\,\text{l}\) Konzentrat benötigt.

- Welche Kosten bleiben immer gleich, egal wie viele Personen mitfahren? - Wie berechnet man die Kosten, die von der Anzahl der Teilnehmer abhängen? - Kannst du eine Gleichung aufstellen, die alle Teilkosten zu einem Gesamtbetrag addiert? - Was musst du tun, um die Unbekannte in deiner Gleichung allein stehen zu haben?

1. Sei \(x\) die Anzahl der teilnehmenden Personen. 2. Die Gesamtkosten setzen sich aus dem festen Buspreis und den variablen Eintrittskosten zusammen: \(450 + 12 \cdot x = 774\). 3. Subtraktion des Pauschalpreises von den Gesamtkosten: \(12x = 774 - 450 = 324\). 4. Division durch den Preis pro Person, um die Anzahl der Personen zu erhalten: \(x = 324 : 12 = 27\). Es nehmen \(27\) Personen am Ausflug teil.

Es nehmen \(27\) Personen am Ausflug teil.

- Was ist in der Aufgabe gesucht? Kennzeichne diesen Wert mit einem Buchstaben. - Wie setzt sich die Gesamtpunktzahl zusammen? - Kannst du eine Rechnung aufschreiben, die den Bonus und die Punkte für die Fragen kombiniert? - Wie gehst du vor, wenn du zuerst den Bonus vom Gesamtergebnis abziehst?

1. Festlegen der Unbekannten \(x\) für die Punktzahl pro richtige Antwort. 2. Aufstellen der linearen Gleichung basierend auf der Gesamtpunktzahl: \(6 \cdot x + 25 = 145\). 3. Subtraktion des Bonus von der Gesamtpunktzahl, um den Anteil der Antworten zu isolieren: \(6x = 120\). 4. Division durch die Anzahl der Fragen, um den Wert einer einzelnen Antwort zu berechnen: \(x = 20\).

Für eine richtige Antwort gibt es \(20\) Punkte.

- Kannst du die Länge des einen Teils mithilfe des anderen Teils ausdrücken? - Wie viel ergibt die Summe der beiden Teilstücke? - Versuche, eine Gleichung aufzustellen, in der nur eine Unbekannte vorkommt.

1. Definition der Variablen: \(x\) für die Länge des kürzeren Teils und \(4x\) für die Länge des längeren Teils 2. Aufstellen der Gleichung für die Gesamtlänge: \(x + 4x = 60\) 3. Zusammenfassen der Terme: \(5x = 60\) 4. Berechnung des kürzeren Teils durch Division: \(x = 12\,\text{cm}\) 5. Berechnung des längeren Teils: \(4 \cdot 12\,\text{cm} = 48\,\text{cm}\)

Die Seilstücke sind \(12\,\text{cm}\) und \(48\,\text{cm}\) lang.

- Überlege dir, welche Klasse am wenigsten gesammelt hat, und nenne diesen Wert \(x\). - Wie kannst du die Mengen der anderen Klassen ausdrücken, wenn sie vom Wert \(x\) abhängen? - Was weißt du über die Summe aller drei Mengen? - Stelle eine Gleichung auf, in der alle Teile zusammen den Gesamtwert ergeben.

1. Festlegen der Variable: \(x\) ist die Menge der Klasse 7a in \(\text{kg}\). 2. Aufstellen der Terme für die anderen Klassen: Klasse 7b sammelt \(2 \cdot x\), Klasse 7c sammelt \(3 \cdot (2 \cdot x) = 6 \cdot x\). 3. Aufstellen der Gesamtsummen-Gleichung: \(x + 2 \cdot x + 6 \cdot x = 1\,800\). 4. Zusammenfassen der Terme: \(9 \cdot x = 1\,800\). 5. Lösen der Gleichung durch Division: \(x = 200\). 6. Berechnung der Einzelmengen: Klasse 7a = \(200\,\text{kg}\), Klasse 7b = \(2 \cdot 200 = 400\,\text{kg}\), Klasse 7c = \(6 \cdot 200 = 1\,200\,\text{kg}\). 7. Überprüfung: \(200 + 400 + 1\,200 = 1\,800\).

Klasse 7a hat \(200\,\text{kg}\), Klasse 7b hat \(400\,\text{kg}\) und Klasse 7c hat \(1\,200\,\text{kg}\) gesammelt.

- Was weißt du über die Summe von Nebenwinkeln? - Könntest du den kleineren Winkel mit einem Buchstaben benennen? - Wie lässt sich der größere Winkel ausdrücken, wenn er einen festen Betrag mehr als der kleinere hat? - Stelle eine Gleichung auf, bei der auf der einen Seite die Summe der Winkelmaße und auf der anderen Seite der Gesamtwert steht.

1. Definition der Unbekannten: Das Winkelmaß des kleineren Winkels in Grad wird als \(x\) bezeichnet. 2. Aufstellen des Terms für den größeren Winkel: Da dieser um \(44^\circ\) größer ist, lautet sein Winkelmaß in Grad \(x + 44\). 3. Aufstellen der Gleichung: Die Summe der Nebenwinkel ergibt \(180^\circ\), also \(x + (x + 44) = 180\). 4. Zusammenfassen und Lösen der Gleichung: \(2x + 44 = 180 \Rightarrow 2x = 136 \Rightarrow x = 68\). 5. Berechnung der Winkelmaße: Der kleinere Winkel beträgt \(68^\circ\), der größere Winkel beträgt \(68^\circ + 44^\circ = 112^\circ\).

Die Winkel sind \(68^\circ\) und \(112^\circ\) groß.

- Wie berechnet man den Umfang eines Rechtecks? - Kannst du die unbekannten Seiten mithilfe einer Variablen und dem gegebenen Verhältnis ausdrücken? - Wie viele „Teile“ umfasst die Summe aus Länge und Breite insgesamt? - Stelle eine Gleichung auf, die alle Seitenlängen kombiniert, um den Gesamtumfang zu erhalten.

1. Da das Verhältnis der Seiten \(5 : 3\) ist, werden die Seiten als \(5x\) und \(3x\) bezeichnet. 2. Die Formel für den Umfang eines Rechtecks lautet \(U = 2 \cdot (a + b)\). Eingesetzt ergibt sich die Gleichung \(2 \cdot (5x + 3x) = 64\). 3. Vereinfachen der Gleichung: \(2 \cdot 8x = 64 \implies 16x = 64\). 4. Lösen nach \(x\): \(x = 64 : 16 = 4\). 5. Berechnung der tatsächlichen Längen: Die Länge beträgt \(5 \cdot 4 = 20\,\text{m}\) und die Breite beträgt \(3 \cdot 4 = 12\,\text{m}\).

Das Beet ist \(20\,\text{m}\) lang und \(12\,\text{m}\) breit.

- Wie berechnet man den Umfang eines Rechtecks, wenn man Länge und Breite kennt? - Kannst du eine der Seiten mit einem Buchstaben benennen und die andere Seite durch diesen Buchstaben ausdrücken? - Erstelle eine Gleichung, in der die Summe aller vier Seiten dem Gesamtumfang entspricht. - Überprüfe am Ende, ob deine berechneten Maße zusammen wirklich den gesuchten Umfang ergeben.

1. Festlegen der Breite als Variable \(x\). 2. Aufstellen des Terms für die Länge basierend auf der Breite: \(3x - 2\). 3. Aufstellen der Gleichung für den Umfang eines Rechtecks: \(2 \cdot (x + 3x - 2) = 44\). 4. Zusammenfassen der Terme innerhalb der Klammer: \(2 \cdot (4x - 2) = 44\). 5. Auflösen der Klammer: \(8x - 4 = 44\). 6. Isolation der Variable durch Addition von 4: \(8x = 48\). 7. Division durch 8 ergibt die Breite: \(x = 6\,\text{m}\). 8. Einsetzen des Wertes zur Berechnung der Länge: \(3 \cdot 6 - 2 = 16\,\text{m}\).

Das Beet ist \(6\,\text{m}\) breit und \(16\,\text{m}\) lang.

- Welche Sorte von Medien eignet sich am besten als Basiswert \(x\)? - Wie kannst du die Beschreibungen „doppelt so viele“ und „um 40 mehr“ mathematisch übersetzen? - Was weißt du über die Summe aller drei Medientypen? - Kannst du eine Gleichung aufstellen, in der nur noch eine Unbekannte vorkommt?

1. Festlegen der Variable \(x\) für die Anzahl der Sachbücher. 2. Aufstellen der Terme für die anderen Medien: Romane \(2x\), Comics \(x + 40\). 3. Aufstellen der Gesamtgleichung: \(x + 2x + (x + 40) = 280\). 4. Zusammenfassen der Terme zu \(4x + 40 = 280\). 5. Subtraktion von 40 führt zu \(4x = 240\), Division durch 4 ergibt \(x = 60\). 6. Berechnung der einzelnen Mengen: Es gibt 60 Sachbücher, \(2 \cdot 60 = 120\) Romane und \(60 + 40 = 100\) Comics.

Es gibt 60 Sachbücher, 120 Romane und 100 Comics.

- Wie berechnet man den Umfang einer Figur, wenn die einzelnen Seitenlängen bekannt sind? - Überlege dir, wie du „doppelt so lang“ oder „\(3\,\text{cm}\) kürzer“ mathematisch ausdrücken kannst. - Wenn du die erste Seite mit \(x\) bezeichnest, wie sehen dann die Terme für die anderen beiden Seiten aus? - Kannst du die Terme für die drei Seiten zu einem Gesamtausdruck für den Umfang zusammenfügen?

1. Aufstellen der Gleichung für den Umfang als Summe der drei Seiten: \(x + (x + 3) + 2x = 27\). 2. Zusammenfassen der Terme auf der linken Seite ergibt \(4x + 3 = 27\). 3. Lösen der Gleichung durch Subtraktion von 3 (\(4x = 24\)) und Division durch 4 ergibt \(x = 6\). 4. Berechnung der Seitenlängen: Die erste Seite ist \(6\,\text{cm}\), die zweite Seite \(6 + 3 = 9\,\text{cm}\) und die dritte Seite \(2 \cdot 6 = 12\,\text{cm}\). 5. Für die geänderte Bedingung (dritte Seite \(x - 3\)) lautet die neue Gleichung: \(x + (x + 3) + (x - 3) = 27\).

a) \(x + (x + 3) + 2x = 27\) (oder vereinfacht \(4x + 3 = 27\)) b) Die Seiten sind \(6\,\text{cm}\), \(9\,\text{cm}\) und \(12\,\text{cm}\) lang. c) Die Gleichung würde \(x + (x + 3) + (x - 3) = 27\) lauten.

- Kannst du die Anzahl der einen Briefmarkensorte mithilfe der Anzahl der anderen Sorte ausdrücken? - Wie berechnet man den Gesamtwert, wenn man den Einzelpreis und die Anzahl kennt? - Versuche, eine Gleichung aufzustellen, bei der auf einer Seite der Gesamtbetrag steht. - Achte darauf, dass du am Ende die Anzahl für beide Sorten angibst.

1. Festlegen der Variablen: Sei \(x\) die Anzahl der \(1{,}10\,\text{€}\)-Marken. Dann ist \(2x\) die Anzahl der \(0{,}85\,\text{€}\)-Marken. 2. Aufstellen der Gleichung für den Gesamtwert: \(1{,}10x + 0{,}85 \cdot 2x = 33{,}60\). 3. Vereinfachen der Gleichung: \(1{,}10x + 1{,}70x = 33{,}60\), woraus \(2{,}80x = 33{,}60\) folgt. 4. Lösen der Gleichung: Division durch \(2{,}80\) ergibt \(x = 12\). 5. Bestimmung der zweiten Sorte: \(2 \cdot 12 = 24\). Der Kunde kaufte 12 Marken zu \(1{,}10\,\text{€}\) und 24 Marken zu \(0{,}85\,\text{€}\).

Der Kunde hat 12 Briefmarken zu \(1{,}10\,\text{€}\) und 24 Briefmarken zu \(0{,}85\,\text{€}\) gekauft.

- Wandle die Zeitangabe des Radfahrers zuerst in Stunden um, damit alle Einheiten zusammenpassen. - Überlege dir, wie du die Strecke mit Hilfe der Geschwindigkeit und der Zeit ausdrücken kannst. - Was bedeutet „doppelt so schnell“ für den mathematischen Ausdruck der Geschwindigkeiten? - Stelle eine Gleichung auf, die den Unterschied von \(5\,\text{km}\) zwischen den beiden Strecken beschreibt.

1. Festlegen der Variablen: Sei \(v\) die Geschwindigkeit des Joggers in \(\text{km/h}\). Die Geschwindigkeit des Radfahrers ist dann \(2v\). 2. Aufstellen der Entfernungen: Der Jogger legt in \(2\,\text{Stunden}\) die Strecke \(d_J = 2 \cdot v\) zurück. Der Radfahrer legt in \(45\,\text{Minuten}\) (entspricht \(0{,}75\,\text{Stunden}\)) die Strecke \(d_R = 0{,}75 \cdot 2v = 1{,}5v\) zurück. 3. Aufstellen der Gleichung: Da der Jogger \(5\,\text{km}\) mehr zurücklegt, gilt \(2v = 1{,}5v + 5\). 4. Lösen der Gleichung: Subtraktion von \(1{,}5v\) ergibt \(0{,}5v = 5\), woraus \(v = 10\,\text{km/h}\) folgt. 5. Berechnung der zweiten Geschwindigkeit: Die Geschwindigkeit des Radfahrers ist \(2 \cdot 10\,\text{km/h} = 20\,\text{km/h}\).

Der Jogger ist \(10\,\text{km/h}\) schnell, der Radfahrer ist \(20\,\text{km/h}\) schnell.

- Welchen Wert suchen wir? Kannst du ihn mit einem Buchstaben benennen? - Wie kannst du den Geldbetrag von Lukas auf zwei verschiedene Arten ausdrücken? - Kannst du eine Gleichung aufstellen, in der beide Seiten denselben Wert (Lukas’ Geld) beschreiben? - Überlege, was du tun musst, um das \(x\) auf eine Seite der Gleichung zu bringen.

1. Festlegen der Variable \(x\) für den Geldbetrag von Finja in Euro. 2. Aufstellen der Gleichung basierend auf den zwei Beschreibungen von Lukas’ Ersparnissen: \(4x = x + 42\). 3. Subtraktion von \(x\) auf beiden Seiten führt zu \(3x = 42\). 4. Division durch 3 ergibt \(x = 14\). 5. Finja hat somit \(14\,\text{€}\) in ihrer Spardose.

Finja hat \(14\,\text{€}\) in ihrer Spardose.

- Welche Informationen über die Anzahl der Fahrzeuge und die Anzahl der Räder sind gegeben? - Bezeichne die Anzahl der Autos mit \(x\). Wie kannst du dann die Anzahl der Motorräder mithilfe der Gesamtzahl ausdrücken? - Wie viele Räder tragen Autos und Motorräder jeweils zur Gesamtzahl bei? - Stelle eine Gleichung mit nur einer Unbekannten auf.

1. Sei \(x\) die Anzahl der Autos. Dann gibt es \(22 - x\) Motorräder. 2. Die Räderzahl führt zur Gleichung \(4x + 2 \cdot (22 - x) = 72\). 3. Ausmultiplizieren und Zusammenfassen ergibt \(4x + 44 - 2x = 72\), also \(2x + 44 = 72\). 4. Subtraktion von \(44\) ergibt \(2x = 28\), daher \(x = 14\). 5. Somit stehen \(14\) Autos und \(22 - 14 = 8\) Motorräder auf dem Parkplatz.

Auf dem Parkplatz stehen \(8\) Motorräder und \(14\) Autos.

- Welche Person bietet sich am besten als Unbekannte \(x\) an, um die anderen Mengen einfach zu beschreiben? - Kannst du die Mengen der anderen beiden Personen mithilfe von \(x\) ausdrücken? - Wie hängen die drei einzelnen Mengen mit der Gesamtsumme zusammen? - Stelle eine Gleichung auf und löse sie nach \(x\) auf.

1. Festlegen der Unbekannten: Sei \(x\) die Menge von Anna in \(\text{kg}\). 2. Ausdrücken der anderen Mengen in Abhängigkeit von \(x\): Beate hat \(x - 10\) gesammelt und Clara hat \(x + 10\) gesammelt. 3. Aufstellen der Gleichung für die Gesamtmenge: \(x + (x - 10) + (x + 10) = 120\). 4. Zusammenfassen der Terme: \(3x = 120\). 5. Lösen nach \(x\): \(x = 40\). 6. Berechnung der restlichen Werte: Anna hat \(40\,\text{kg}\) gesammelt. Beate hat \(40 - 10 = 30\,\text{kg}\) gesammelt. Clara hat \(40 + 10 = 50\,\text{kg}\) gesammelt. 7. Überprüfung: \(40 + 30 + 50 = 120\).

Anna hat \(40\,\text{kg}\), Beate \(30\,\text{kg}\) und Clara \(50\,\text{kg}\) gesammelt.

- Kannst du eine Variable nutzen, um die Anzahl der einen Sorte durch die Gesamtzahl und die andere Sorte auszudrücken? - Wie viel Geld bringen alle Brötchen zusammen ein, wenn du ihre Anzahl mit \(x\) bezeichnest? - Stelle eine Gleichung für den Gesamtwert aller verkauften Snacks auf. - Überprüfe dein Ergebnis: Ergeben die Anzahlen zusammen 60 und passt der Preis?

1. Sei \(x\) die Anzahl der verkauften Brötchen. Dann wurden \(60 - x\) Brezeln verkauft. 2. Die Einnahmen führen zur Gleichung \(1{,}80 \cdot x + 1{,}20 \cdot (60 - x) = 93{,}60\). 3. Ausmultiplizieren und Zusammenfassen ergibt \(1{,}8x + 72 - 1{,}2x = 93{,}6\), also \(0{,}6x + 72 = 93{,}6\). 4. Subtraktion von \(72\) ergibt \(0{,}6x = 21{,}6\). Division durch \(0{,}6\) liefert \(x = 36\). 5. Somit wurden \(36\) Brötchen und \(60 - 36 = 24\) Brezeln verkauft.

Es wurden 36 Brötchen und 24 Brezeln verkauft.

- Wessen Kartenanzahl ist die Basis für die Vergleiche? Wähle dafür eine Variable. - Kannst du die Mengen der anderen beiden Personen mithilfe dieser einen Variable ausdrücken? - Wie sieht die Gleichung aus, wenn du alle drei Mengen addierst? - Überprüfe am Ende, ob die Summe deiner drei Ergebnisse wirklich den Gesamtwert ergibt.

1. Festlegen der Variable \(x\) für die Anzahl der Karten von Mia. 2. Aufstellen der Terme für die anderen Personen: Lukas hat \(x + 20\) Karten, Noah hat \(2x\) Karten. 3. Aufstellen der Gesamtsummen-Gleichung: \(x + (x + 20) + 2x = 200\). 4. Zusammenfassen der Terme: \(4x + 20 = 200\). 5. Subtraktion von \(20\): \(4x = 180\). 6. Division durch \(4\): \(x = 45\). 7. Bestimmung der übrigen Werte: Mia hat \(45\) Karten, Lukas hat \(45 + 20 = 65\) Karten und Noah hat \(2 \cdot 45 = 90\) Karten.

Mia hat \(45\) Karten, Lukas hat \(65\) Karten und Noah hat \(90\) Karten.

- Welche Zutat wird als Vergleichsbasis für die anderen beiden benutzt? - Kannst du die Gesamtmenge als Summe der drei Einzelteile darstellen? - Wie schreibst du „dreimal so viel“ und „400 mehr“ mathematisch auf?

1. Festlegen der Unbekannten: Die Menge des Zitronensafts sei \(x\) (in \(\text{ml}\)). 2. Ausdrücken der anderen Mengen: Orangensaft = \(3 \cdot x\), Apfelsaft = \(x + 400\). 3. Aufstellen der Gesamtmengengleichung: \(x + 3x + (x + 400) = 2000\). 4. Zusammenfassen und Lösen der Gleichung: \(5x + 400 = 2000 \Rightarrow 5x = 1600 \Rightarrow x = 320\). 5. Berechnung der Teilmengen: Zitronensaft = \(320\,\text{ml}\), Orangensaft = \(3 \cdot 320 = 960\,\text{ml}\), Apfelsaft = \(320 + 400 = 720\,\text{ml}\).

Im Punsch sind \(320\,\text{ml}\) Zitronensaft, \(960\,\text{ml}\) Orangensaft und \(720\,\text{ml}\) Apfelsaft enthalten.

- Was genau ist gesucht? - Kannst du eine Variable für die unbekannte Menge in einem der Tanks festlegen? - Wie kannst du den Inhalt des einen Tanks durch den Inhalt des anderen ausdrücken? - Was passiert mit den Mengen, wenn Wasser entnommen oder hinzugefügt wird? - Wie sieht die Gleichung aus, wenn am Ende beide Mengen gleich groß sein sollen?

1. Festlegen der Variable \(x\) für die Wassermenge im zweiten Tank in Litern. 2. Aufstellen des Terms für die Menge im ersten Tank: \(3 \cdot x\). 3. Formulieren der Gleichung nach der Inhaltsänderung: \(3 \cdot x - 15{,}5 = x + 28{,}5\). 4. Zusammenfassen der Terme durch Subtraktion von \(x\) und Addition von \(15{,}5\): \(2 \cdot x = 44\). 5. Lösen der Gleichung durch Division: \(x = 22\). 6. Berechnung der Menge im ersten Tank: \(3 \cdot 22 = 66\).

Im ersten Tank waren ursprünglich \(66\,\text{l}\) und im zweiten Tank \(22\,\text{l}\) Wasser.

- Kannst du das Alter von Mia mit einem Buchstaben ausdrücken? - Wie alt sind die beiden jeweils in 6 Jahren? - Welcher Zusammenhang besteht zwischen ihren Altern in der Zukunft? - Versuche, eine Gleichung aufzustellen, die den zukünftigen Zustand beschreibt.

1. Festlegen der Variablen: \(x\) sei das heutige Alter von Mia. Lukas ist dann \(3 \cdot x\) Jahre alt. 2. Aufstellen der Gleichung für den Zustand in 6 Jahren: \(3x + 6 = 2 \cdot (x + 6)\). 3. Lösen der Gleichung: Ausmultiplizieren ergibt \(3x + 6 = 2x + 12\). Subtraktion von \(2x\) und 6 führt zu \(x = 6\). 4. Berechnung der Alterswerte: Mia ist heute \(x = 6\) Jahre alt. Lukas ist heute \(3 \cdot 6 = 18\) Jahre alt.

Mia ist heute 6 Jahre alt und Lukas ist 18 Jahre alt.

- Was genau soll am Ende berechnet werden? - Können wir eine Unbekannte festlegen, mit der wir beide entnommenen Mengen beschreiben können? - Wie viel Wasser ist nach der Entnahme jeweils noch in den Tonnen? - Wie hängen diese Restmengen laut der Aufgabe zusammen? - Kannst du aus diesem Zusammenhang eine Gleichung bilden?

1. Definition der Variable: Die aus Tonne A entnommene Wassermenge sei \(x\) in Litern. Dann wurde aus Tonne B die Menge \(3 \cdot x\) entnommen. 2. Aufstellen der Terme für die Restmengen: In Tonne A verbleiben \(85 - x\), in Tonne B verbleiben \(110 - 3 \cdot x\). 3. Aufstellen der Gleichung basierend auf der Differenz der Restmengen: Da in Tonne A am Ende \(15\,\text{l}\) mehr sind als in Tonne B, gilt \(85 - x = (110 - 3 \cdot x) + 15\). 4. Vereinfachen der rechten Seite: \(85 - x = 125 - 3 \cdot x\). 5. Lösen der Gleichung: Addition von \(3 \cdot x\) auf beiden Seiten ergibt \(85 + 2 \cdot x = 125\). Subtraktion von \(85\) ergibt \(2 \cdot x = 40\), also \(x = 20\). 6. Berechnung der entnommenen Mengen: Aus Tonne A wurden \(20\,\text{l}\) entnommen, aus Tonne B wurden \(3 \cdot 20 = 60\,\text{l}\) entnommen.

Aus Tonne A wurden \(20\,\text{l}\) und aus Tonne B \(60\,\text{l}\) Wasser entnommen.

- Stelle dir vor, die Mischung besteht aus mehreren gleich großen „Teilen“ oder „Portionen“. - Wie viele Teile entfallen auf die eine Sorte, wie viele auf die andere? - Wie viele Teile macht der Gewichtsunterschied aus? - Wenn du weißt, wie viel ein Teil wiegt, kannst du die Gesamtmenge leicht bestimmen.

1. Aufstellen einer Gleichung basierend auf dem Verhältnis \(7 : 2\). Sei \(x\) der Wert eines Anteils, dann gilt für den Gewichtsunterschied: \(7x - 2x = 450\). 2. Zusammenfassen der Terme: \(5x = 450\). 3. Berechnen des Wertes eines Anteils: \(x = 90\,\text{g}\). 4. Bestimmen der Einzelmengen: Arabica-Bohnen \(= 7 \cdot 90\,\text{g} = 630\,\text{g}\); Robusta-Bohnen \(= 2 \cdot 90\,\text{g} = 180\,\text{g}\). 5. Berechnen des Gesamtgewichts: \(630\,\text{g} + 180\,\text{g} = 810\,\text{g}\).

Der Inhalt der Packung wiegt insgesamt \(810\,\text{g}\).

- Wie viele Fragen wurden insgesamt gestellt? - Wenn du die Anzahl der richtigen Antworten als Platzhalter nimmst, wie kannst du dann die Anzahl der falschen Antworten ausdrücken? - Kannst du eine Rechnung aufstellen, die zeigt, wie die Punkte für richtige und falsche Antworten verrechnet werden? - Überlege dir, wie sich die Gesamtpunktzahl verändert, wenn eine Frage mehr richtig beantwortet wird.

1. Definition der Variablen: \(x\) ist die Anzahl der richtigen Antworten, \(12 - x\) die Anzahl der falschen Antworten. 2. Aufstellen der allgemeinen Gleichung für die Punktzahl: \(4 \cdot x - 2 \cdot (12 - x) = P\). 3. Vereinfachen des Terms: \(4x - 24 + 2x = 6x - 24\). 4. Berechnung für Teilaufgabe a) mit \(P = 30\): \(6x - 24 = 30 \implies 6x = 54 \implies x = 9\). 5. Berechnung für Teilaufgabe b) mit \(P = 6\): \(6x - 24 = 6 \implies 6x = 30 \implies x = 5\).

a) Die „Mathe-Profis“ haben 9 Fragen richtig beantwortet. b) Die „Rätsel-Füchse“ haben 5 Fragen richtig beantwortet.

- Wofür steht die gesuchte Größe in deiner Gleichung? - Kannst du die Anteile an der Gesamtsumme zu einem einzigen Bruch zusammenfassen? - Wie viel fehlt noch am Ganzen, wenn du die Brüche addiert hast? - Versuche, alle Brüche auf denselben Nenner zu bringen.

1. Festlegen der Variable: Sei \(x\) das gesamte Budget in Euro. 2. Aufstellen der Gleichung durch Summieren der Anteile und des Restbetrags: \(x = \frac{1}{3}x + \frac{2}{5}x + \frac{1}{6}x + 30\). 3. Bestimmen des Hauptnenners für die Brüche (\(30\)) und Zusammenfassen der Anteile: \(\frac{10}{30}x + \frac{12}{30}x + \frac{5}{30}x = \frac{27}{30}x = \frac{9}{10}x\). 4. Umformen der Gleichung: \(x = \frac{9}{10}x + 30 \Rightarrow x - \frac{9}{10}x = 30\). 5. Lösen nach \(x\): \(\frac{1}{10}x = 30 \Rightarrow x = 300\). Das gesamte Budget beträgt \(300\,\text{€}\).

Das gesamte Budget beträgt \(300\,\text{€}\).

- Überlege dir zuerst, wofür die Variable \(x\) stehen könnte. - Kannst du die gelesenen Teile des Buches als Bruchteile von \(x\) ausdrücken? - Wie hängen die gelesenen Seiten und die restlichen Seiten mit der Gesamtzahl zusammen? - Versuche, alle Terme mit der Unbekannten auf eine Seite der Gleichung zu bringen.

1. Variable festlegen: Sei \(x\) die Gesamtzahl der Seiten des Buches. 2. Anteile und Restwert als Summe zur Gesamtmenge in Beziehung setzen: \(\frac{1}{3}x + \frac{1}{4}x + 125 = x\). 3. Gleichnamig machen der Brüche (Hauptnenner \(12\)): \(\frac{4}{12}x + \frac{3}{12}x + 125 = x\). 4. Zusammenfassen der \(x\)-Terme auf einer Seite: \(125 = x - \frac{7}{12}x\). 5. Subtraktion der Brüche: \(125 = \frac{5}{12}x\). 6. Nach \(x\) auflösen durch Multiplikation mit dem Kehrwert: \(x = 125 \cdot \frac{12}{5} = 25 \cdot 12 = 300\).

Das Buch hat insgesamt \(300\) Seiten.

- Was ist gesucht und wie hängen die Flächeninhalte der beiden Beete zusammen? - Kannst du die Flächeninhalte mit einer Unbekannten ausdrücken? - Wie berechnet man den Unterschied zwischen zwei Flächen? - Stelle eine Gleichung auf, die den Unterschied der Flächen nutzt.

1. Definition der Breite als Variable \(x\) 2. Aufstellen der Gleichung für die Differenz der Flächeninhalte: \(60 \cdot x - 45 \cdot x = 375\) 3. Zusammenfassen der Terme auf der linken Seite: \(15 \cdot x = 375\) 4. Division durch \(15\) zur Bestimmung von \(x\): \(x = 25\,\text{m}\)

Die Breite der Beete beträgt \(25\,\text{m}\).

- Kannst du den Text Schritt für Schritt in eine mathematische Gleichung übersetzen? - Was bedeuten Begriffe wie "das Siebenfache" oder "um 2 größer" als mathematische Operation? - Wenn eine Seite "um 10 größer" ist als die andere, wie musst du die Waage der Gleichung ausgleichen? - Kannst du die Klammern in deinem Ausdruck zuerst auflösen, bevor du nach der Unbekannten umstellst? - Hast du schon versucht, die gegebenen Antwortmöglichkeiten einfach nacheinander in die Aufgabenstellung einzusetzen, um zu sehen, welche passt? - Wie würdest du "eine um 2 größere Zahl als \(x\)" mathematisch aufschreiben?

1. Aufstellen der Gleichung basierend auf der Problembeschreibung: \(7x = 3(x + 2) + 10\). 2. Auflösen der Klammer auf der rechten Seite der Gleichung: \(7x = 3x + 6 + 10\). 3. Zusammenfassen der konstanten Glieder auf der rechten Seite: \(7x = 3x + 16\). 4. Subtraktion von \(3x\) auf beiden Seiten zur Isolierung der Variable: \(4x = 16\). 5. Division durch 4 zur Berechnung des Wertes von \(x\): \(x = 4\). 6. Abgleich des Ergebnisses mit den vorgegebenen Optionen: \(x = 4\) entspricht Option c).

\(x = 4\)

- Welcher Teil des Preises ändert sich nicht, egal wie weit man fährt? - Wie viel Euro bleiben für die gefahrenen Kilometer übrig, wenn du die Grundgebühr abziehst? - Kannst du eine Gleichung schreiben, die zeigt, wie sich der Gesamtpreis aus Grundpreis und Kilometerpreis zusammensetzt?

1. Aufstellen der Gleichung mit \(x\) als Anzahl der Kilometer: \(4{,}50 + 1{,}80 \cdot x = 26{,}10\). 2. Subtraktion der Grundgebühr auf beiden Seiten: \(1{,}80 \cdot x = 21{,}60\). 3. Division durch den Kilometerpreis: \(x = 21{,}60 : 1{,}80 = 12\).

Der Fahrgast ist \(12\,\text{km}\) gefahren.

- Wie viel Platz nehmen die Plakate insgesamt ein, wenn man ihre Breite zusammenzählt? - Wenn du \(n\) Plakate hast, wie viele Zwischenräume gibt es dann insgesamt, inklusive der Ränder? - Kannst du für den zweiten Teil eine Gleichung aufstellen, in der die Anzahl der Plakate die Unbekannte ist?

1. Berechnung der von \(4\) Plakaten eingenommenen Breite: \(4 \cdot 1{,}20\,\text{m} = 4{,}80\,\text{m}\). 2. Berechnung der verbleibenden Reststrecke für die Abstände: \(15\,\text{m} - 4{,}80\,\text{m} = 10{,}20\,\text{m}\). 3. Bestimmung der Anzahl der Zwischenräume: Bei \(4\) Plakaten gibt es \(5\) Zwischenräume (einer vor dem ersten, drei dazwischen, einer nach dem letzten). 4. Berechnung des Abstands für Teil a: \(10{,}20\,\text{m} : 5 = 2{,}04\,\text{m}\). 5. Aufstellen einer Gleichung für Teil b: Sei \(x\) die Anzahl der Plakate. Dann gilt \(1{,}20 \cdot x + 1{,}50 \cdot (x + 1) = 15\). 6. Lösen der Gleichung: \(1{,}20 \cdot x + 1{,}50 \cdot x + 1{,}50 = 15 \Rightarrow 2{,}70 \cdot x = 13{,}50 \Rightarrow x = 5\).

a) Der Abstand beträgt \(2{,}04\,\text{m}\). b) Es passen \(5\) Plakate an die Wand.

- Stelle für jede Person eine eigene Gleichung auf, da beide denselben Endbetrag haben. - Was bedeutet ein negatives Ergebnis für einen Kontostand in der Realität? - Achte beim Umstellen der Gleichung für Sarah besonders auf die Vorzeichen.

1. Gleichung für Lukas mit Startwert \(x\): \(x + 15{,}50 - 40{,}00 = 5{,}00\). 2. Zusammenfassen bei Lukas: \(x - 24{,}50 = 5{,}00\), daraus folgt \(x = 29{,}50\). 3. Gleichung für Sarah mit Startwert \(y\): \(y + 25{,}00 - 10{,}50 = 5{,}00\). 4. Zusammenfassen bei Sarah: \(y + 14{,}50 = 5{,}00\), daraus folgt \(y = 5{,}00 - 14{,}50 = -9{,}50\). 5. Vergleich der Vorzeichen: Ein negativer Kontostand bedeutet Schulden (im Minus). Da \(-9{,}50 < 0\), war Sarah im Minus.

a) Lukas hatte ursprünglich \(29{,}50\,\text{€}\) und Sarah hatte \(-9{,}50\,\text{€}\). b) Sarah war im Minus, da ihr berechneter Anfangskontostand negativ ist.

- Wie viele Kanten hat ein Quader insgesamt und wie viele davon sind jeweils gleich lang? - Kannst du die Längen aller Kanten durch eine einzige Unbekannte ausdrücken? - Achte darauf, die Einheiten von Metern in Zentimeter umzurechnen, bevor du rechnest.

1. Definition der Variablen: Sei \(x\) die Länge der kürzeren Grundkante in \(\text{cm}\). Die längere Grundkante ist dann \(2 \cdot x\) und die Höhe ebenfalls \(2 \cdot x\). 2. Gesamtlänge des Drahtes: Ein Quader hat jeweils vier Kanten jeder Art. Die Gesamtlänge \(L\) beträgt \(4 \cdot x + 4 \cdot (2 \cdot x) + 4 \cdot (2 \cdot x) = 20 \cdot x\). 3. Gleichung aufstellen: \(20 \cdot x = 360\,\text{cm}\). 4. Lösung nach \(x\): \(x = \frac{360}{20} = 18\,\text{cm}\). 5. Berechnung der anderen Kanten: Die längere Grundkante und die Höhe sind \(2 \cdot 18\,\text{cm} = 36\,\text{cm}\).

Die kürzere Grundkante ist \(18\,\text{cm}\) lang; die längere Grundkante und die Höhe sind jeweils \(36\,\text{cm}\) lang.

- Was weißt du über die Seiten eines Quadrats im Vergleich zu einem Rechteck? - Bezeichne die unbekannte Seite des Quadrats mit einer Variablen. - Wie kannst du die Länge und Breite des Rechtecks mit dieser Variablen beschreiben? - Wenn du die Klammern beim Flächeninhalt des Rechtecks auflöst, heben sich die quadratischen Begriffe gegenseitig auf.

1. Definition der Variablen: Seitenlänge des Quadrats sei \(s\). Flächeninhalt Quadrat \(A_Q = s^2\). 2. Seiten des Rechtecks: Länge \(l = s + 4\), Breite \(b = s - 3\). Flächeninhalt Rechteck \(A_R = (s + 4) \cdot (s - 3)\). 3. Gleichsetzen der Flächen: \(s^2 = (s + 4) \cdot (s - 3)\). 4. Ausmultiplizieren und Lösen: \(s^2 = s^2 + 4 \cdot s - 3 \cdot s - 12\), was sich zu \(s^2 = s^2 + s - 12\) vereinfacht. 5. Subtraktion von \(s^2\) auf beiden Seiten ergibt \(0 = s - 12\), also \(s = 12\).

Die Seitenlänge des quadratischen Beets beträgt \(12\,\text{m}\).

- Was ist der gesamte Geldbetrag, den die AG am Ende in der Kasse haben möchte? - Überlege, wie viel Geld nach dem ersten Verkauf noch eingenommen werden muss. - Wie viele Zeitungen sind noch übrig, um diesen restlichen Betrag einzuspielen?

1. Der angestrebte Gesamterlös beträgt \(180 + 60 = 240\) Euro. Sei \(x\) der Preis eines der verbleibenden \(200 - 120 = 80\) Exemplare. 2. Gleichung: \(120 \cdot 1{,}00 + 80 \cdot x = 240\). 3. Vereinfachen: \(120 + 80 \cdot x = 240\). 4. Subtraktion von \(120\): \(80 \cdot x = 120\). 5. Division durch \(80\): \(x = 1{,}50\).

Die restlichen Exemplare müssen für jeweils \(1{,}50\,\text{€}\) verkauft werden.

- Bleibt der Altersunterschied zwischen den beiden immer gleich? - Überprüfe Jonas' Behauptung, indem du die Alter in \(4\) Jahren konkret ausrechnest. - Setze für die unbekannte Anzahl der Jahre in Teil c einen Buchstaben ein. - Denk daran, dass die Mutter und der Sohn gleichzeitig älter werden.

1. Aktuelles Verhältnis berechnen: \(36 : 6 = 6\). 2. Alter in \(4\) Jahren bestimmen: Mutter \(40\), Jonas \(10\). Das Verhältnis ist \(40 : 10 = 4\). Jonas ist ein Viertel so alt, seine Behauptung ist falsch. 3. Gleichung für Teil c aufstellen: \(36 + x = 3 \cdot (6 + x)\). 4. Klammer auflösen: \(36 + x = 18 + 3 \cdot x\). 5. Nach \(x\) auflösen: \(18 = 2 \cdot x \Rightarrow x = 9\).

a) Das aktuelle Verhältnis ist \(6\). b) Nein, Jonas hat nicht recht. Er wird \(10\) Jahre alt sein und die Mutter \(40\), er ist also nur ein Viertel so alt. c) In \(9\) Jahren wird die Mutter genau dreimal so alt sein wie Jonas.

- Was ergibt die Summe aller Anteile in einem Ganzen? - Wie viel fehlt von der Summe der Säfte noch bis zu einem Ganzen? - Wenn du weißt, welcher Bruchteil \(300\,\text{ml}\) entspricht, wie kommst du dann auf die Gesamtmenge?

1. Berechnung des Gesamtanteils der Säfte: \(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} = \frac{4}{12} + \frac{3}{12} + \frac{2}{12} = \frac{9}{12}\) 2. Kürzen des Anteils: \(\frac{9}{12} = \frac{3}{4}\) 3. Berechnung des Wasseranteils: \(1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}\) 4. Aufstellen der Gleichung für die Gesamtmenge \(x\): \(\frac{1}{4} \cdot x = 300\,\text{ml}\) 5. Berechnung der Gesamtmenge: \(x = 300\,\text{ml} \cdot 4 = 1\,200\,\text{ml}\) 6. Berechnung der Menge an Orangensaft: \(\frac{1}{3} \cdot 1\,200\,\text{ml} = 400\,\text{ml}\)

a) Das Mineralwasser macht \(\frac{1}{4}\) des Punsches aus. b) Sarah hat insgesamt \(1\,200\,\text{ml}\) (oder \(1{,}2\,\text{l}\)) Punsch gemischt. c) Es befinden sich \(400\,\text{ml}\) Orangensaft in der Mischung.

- Wann genau hat eine Person eine andere überrundet? Überlege, wie groß der Unterschied in der zurückgelegten Strecke dann sein muss. - Kannst du für beide Läuferinnen einen Term aufstellen, der die Strecke in Abhängigkeit von der Zeit beschreibt? - Wie viele ganze Runden passen in die von Marie zurückgelegte Strecke? - Was würde passieren, wenn eine Läuferin zwischendurch stehen bleibt oder sprintet?

1. Aufstellen der Gleichung für die Überrundung: Eine Überrundung findet statt, wenn der Vorsprung von Sophie genau eine Rundenlänge (\(400\,\text{m}\)) beträgt. Mit der Zeit \(t\) in Sekunden gilt: \(3{,}8 \cdot t = 3 \cdot t + 400\). 2. Lösen der Gleichung: \(0{,}8 \cdot t = 400 \Rightarrow t = 500\,\text{s}\). 3. Berechnung der Strecke von Sophie: \(s_S = 3{,}8\,\text{m/s} \cdot 500\,\text{s} = 1900\,\text{m}\). 4. Bestimmung der Runde von Marie: Maries Strecke beträgt \(3\,\text{m/s} \cdot 500\,\text{s} = 1500\,\text{m}\). Da \(1500 : 400 = 3{,}75\), hat sie drei Runden beendet und befindet sich in der 4. Runde. 5. Begründung der Annahme: Ohne konstante Geschwindigkeiten ließen sich keine festen Terme für die zurückgelegten Wege aufstellen; die Überrundung könnte sonst zu jedem beliebigen Zeitpunkt oder gar nicht stattfinden.

a) Nach \(500\,\text{s}\). b) Sophie hat \(1900\,\text{m}\) zurückgelegt. c) Marie befindet sich in ihrer 4. Runde. Die Annahme ist notwendig, damit die zurückgelegte Strecke proportional zur Zeit berechnet werden kann (\(s = v \cdot t\)).

- Achte darauf, alle Zeitangaben in dieselbe Einheit (hier Stunden) umzurechnen, bevor du sie in die Formel einsetzt. - Wenn Julia später losfährt, ist sie kürzer unterwegs als Lukas. Wie drückst du ihre Fahrzeit aus, wenn \(t\) die Zeit von Lukas ist? - Was bedeutet „einholen“ mathematisch für die zurückgelegten Strecken der beiden? - Wie berechnet man die Ankunftszeit, wenn man die Entfernung und die Geschwindigkeit kennt?

1. Umrechnung der Zeitdifferenz: \(10\,\text{min} = \frac{1}{6}\,\text{h}\). 2. Aufstellen der Gleichung: Lukas legt in der Zeit \(t\) die Strecke \(12 \cdot t\) zurück. Julia startet \(\frac{1}{6}\,\text{h}\) später, ihr Weg ist \(18 \cdot (t - \frac{1}{6})\). Gleichung: \(12 \cdot t = 18 \cdot (t - \frac{1}{6})\). 3. Lösen der Gleichung: \(12 \cdot t = 18 \cdot t - 3 \Rightarrow 6 \cdot t = 3 \Rightarrow t = 0{,}5\,\text{h}\). 4. Berechnung der Zeit und Strecke: \(0{,}5\,\text{h}\) entsprechen \(30\,\text{min}\). Einholzeit: 15:30 Uhr. Entfernung: \(12\,\text{km/h} \cdot 0{,}5\,\text{h} = 6\,\text{km}\). 5. Überprüfung der Ankunft: Lukas benötigt für \(12\,\text{km}\) genau \(1\,\text{h}\) (\(12 : 12\)), Ankunft 16:00 Uhr. Julia benötigt \(\frac{12}{18} = \frac{2}{3}\,\text{h} = 40\,\text{min}\). Start 15:10 Uhr + \(40\,\text{min}\) = 15:50 Uhr. Beide sind spätestens um 16:00 Uhr am Ziel.

a) \(12 \cdot t = 18 \cdot (t - \frac{1}{6})\) b) Um 15:30 Uhr nach \(6\,\text{km}\). c) Ja, beide erreichen den See rechtzeitig (Julia um 15:50 Uhr und Lukas um 16:00 Uhr).

- Wie weit ist Lukas bereits gefahren, bevor Mia überhaupt startet? - Bestimme den Abstand der beiden zu dem Zeitpunkt, an dem beide unterwegs sind. - Wie schnell verringert sich der Abstand ab diesem Zeitpunkt? - Vergiss nicht, die Zeit, die Lukas alleine gefahren ist, am Ende für die Gesamtentfernung von Punkt A mit einzuberechnen.

1. Berechnung von Lukas' Vorsprung: In den 15 Minuten \(0{,}25\,\text{h}\) bis Mias Start legt Lukas \(12\,\text{km/h} \cdot 0{,}25\,\text{h} = 3\,\text{km}\) zurück. 2. Verbleibende Distanz um 08:15 Uhr: \(24\,\text{km} - 3\,\text{km} = 21\,\text{km}\). 3. Relative Geschwindigkeit ab 08:15 Uhr: \(v_{rel} = 12\,\text{km/h} + 18\,\text{km/h} = 30\,\text{km/h}\). 4. Zeit bis zum Treffen ab 08:15 Uhr: \(t = \frac{21\,\text{km}}{30\,\text{km/h}} = 0{,}7\,\text{h}\). 5. Umrechnung in Minuten: \(0{,}7 \cdot 60 = 42\,\text{min}\). Die Begegnung findet um 08:57 Uhr statt. 6. Gesamtdistanz von Punkt A: Lukas ist insgesamt \(15\,\text{min} + 42\,\text{min} = 57\,\text{min}\) (\(0{,}95\,\text{h}\)) gefahren. \(s = 12\,\text{km/h} \cdot 0{,}95\,\text{h} = 11{,}4\,\text{km}\).

Sie begegnen einander um 08:57 Uhr in einer Entfernung von \(11{,}4\,\text{km}\) von Punkt A.

- Was bedeutet „gleichschenklig“ für die Seitenlängen des Dreiecks? - Wie setzt sich der Umfang aus den drei Seiten zusammen? - Schreibe die Summe aller Seiten als Term auf und setze ihn mit dem Gesamtwert gleich. - Achte darauf, wie oft jeder Term in der Rechnung vorkommen muss.

1. Aufstellen der Gleichung für den Umfang eines gleichschenkligen Dreiecks: \(\text{Basis} + 2 \cdot \text{Schenkel} = \text{Umfang}\). 2. Einsetzen der Terme: \((y - 2) + 2 \cdot (2y + 1) = 35\). 3. Auflösen der Klammer: \(y - 2 + 4y + 2 = 35\). 4. Zusammenfassen der Terme: \(5y = 35\). 5. Division durch 5: \(y = 7\).

Der Wert von \(y\) ist \(7\).

- Berechne zuerst den Flächeninhalt der Form, von der du alle Maße kennst. - Was bedeutet es für die Rechnung, wenn zwei Flächen den gleichen Inhalt haben? - Kannst du die Flächenformel für das Dreieck so umstellen, dass du die Höhe berechnen kannst? - Achte darauf, dass beim Dreieck der Faktor \(\frac{1}{2}\) in der Formel steht.

1. Berechnung des Flächeninhalts des Parallelogramms: \(A_P = g \cdot h = 8 \cdot 4{,}5 = 36\,\text{cm}^2\). 2. Gleichsetzen der Flächeninhalte: \(A_D = A_P = 36\,\text{cm}^2\). 3. Aufstellen der Gleichung für den Flächeninhalt des Dreiecks: \(36 = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot h_D\). 4. Vereinfachen der Gleichung: \(36 = 6 \cdot h_D\). 5. Auflösen nach der Höhe durch Division: \(h_D = 36 : 6 = 6\). 6. Die Höhe des Dreiecks beträgt \(6\,\text{cm}\).

Die Höhe des Dreiecks beträgt \(6\,\text{cm}\).

- Was bedeutet es für die Seitenlängen einer Figur, wenn sie ein Quadrat ist? - Versuche, die Seiten des Quadrats mithilfe der ursprünglichen Rechtecksseiten auszudrücken. - Wie kannst du den Zusammenhang zwischen der kurzen und der langen Seite in eine Gleichung übersetzen? - Überprüfe am Ende, ob deine gefundenen Seitenlängen nach der Änderung wirklich ein Quadrat ergeben.

1. Variable festlegen: Sei \(s\) die kurze Seite des ursprünglichen Rechtecks. Die lange Seite ist dann \(3s\). 2. Seiten des Quadrats beschreiben: Die neue kurze Seite ist \(s + 5\), die neue lange Seite ist \(3s - 5\). 3. Gleichung aufstellen: Da ein Quadrat vier gleich lange Seiten hat, gilt \(3s - 5 = s + 5\). 4. Gleichung lösen: \(2s = 10 \Rightarrow s = 5\). 5. Ursprüngliche Maße bestimmen: Die kurze Seite ist \(5\,\text{cm}\), die lange Seite ist \(3 \cdot 5 = 15\,\text{cm}\). 6. Umfang berechnen: \(U = 2 \cdot (5 + 15) = 40\,\text{cm}\).

Die kurze Seite des Rechtecks ist \(5\,\text{cm}\) lang, die lange Seite ist \(15\,\text{cm}\) lang. Der Umfang des Rechtecks beträgt \(40\,\text{cm}\).

- Welche drei Kostenbestandteile ergeben zusammen den Gesamtbetrag? - Wie lässt sich die Angabe „um \(25\,\%\) höher“ als mathematischer Faktor ausdrücken? - Überlege, welcher Teil der Kosten fest vorgegeben ist und welcher Teil von der Unbekannten abhängt. - Kannst du eine Gleichung aufstellen, in der alle Kosten auf einer Seite addiert werden?

1. Sei \(x\) der Betrag der Materialkosten in Euro. 2. Die Arbeitskosten sind um \(25\,\%\) höher, also entsprechen sie \(125\,\%\) der Materialkosten: \(1{,}25 \cdot x\). 3. Die Gesamtkosten setzen sich aus Materialkosten, Arbeitskosten und der Pauschale zusammen: \(x + 1{,}25x + 100 = 1\,900\). 4. Vereinfachen der Gleichung: \(2{,}25x + 100 = 1\,900\). 5. Subtraktion der Pauschale: \(2{,}25x = 1\,800\). 6. Division durch \(2{,}25\): \(x = 800\). Die Materialkosten belaufen sich auf \(800\,\text{€}\).

Die Materialkosten betragen \(800\,\text{€}\).

- Was bedeutet es für die Seitenlängen einer Figur, wenn sie ein Quadrat ist? - Wie hängen der Umfang und die beiden unterschiedlichen Seiten eines Rechtecks zusammen? - Kannst du eine der unbekannten Seiten mithilfe der anderen ausdrücken? - Überlege dir, wie sich die Seitenlängen verändern, um vom Rechteck zum Quadrat zu kommen.

1. Sei \(x\) die Länge der kürzeren Seite in \(\text{cm}\). 2. Da das Verlängern der kurzen Seite um \(3\,\text{cm}\) und das Verkürzen der langen Seite um \(3\,\text{cm}\) zur gleichen Seitenlänge führt (Eigenschaft eines Quadrats), ist die längere Seite um \(6\,\text{cm}\) länger als die kurze Seite: \(x + 6\). 3. Die Formel für den Umfang eines Rechtecks lautet \(U = 2 \cdot (a + b)\). Einsetzen der Werte ergibt die Gleichung: \(2 \cdot (x + (x + 6)) = 40\). 4. Vereinfachen der Gleichung: \(2 \cdot (2x + 6) = 40 \Rightarrow 4x + 12 = 40\). 5. Lösen nach \(x\): \(4x = 28 \Rightarrow x = 7\). 6. Berechnen der längeren Seite: \(7 + 6 = 13\). Die Seitenlängen des Rechtecks betragen \(7\,\text{cm}\) und \(13\,\text{cm}\).

Die Seitenlängen des ursprünglichen Rechtecks sind \(7\,\text{cm}\) und \(13\,\text{cm}\).

- Beginne damit, eine Urkundenart als \(x\) festzulegen. Meist ist die kleinste Menge am besten geeignet. - Achte beim Aufstellen der Terme darauf, dass sich der Faktor 4 auf die gesamte Anzahl der Ehrenurkunden bezieht (denke an Klammern). - Die Summe aller drei Terme muss die Gesamtzahl der Urkunden ergeben. - Prüfe am Ende, ob deine drei berechneten Zahlen zusammen wirklich die Gesamtzahl ergeben.

1. Festlegen der Variable: \(x\) sei die Anzahl der Siegerurkunden. 2. Aufstellen der Terme: Ehrenurkunden = \(x + 20\); Teilnehmerurkunden = \(4 \cdot (x + 20)\). 3. Aufstellen der Gleichung für die Gesamtzahl: \(x + (x + 20) + 4 \cdot (x + 20) = 220\). 4. Auflösen der Klammern: \(x + x + 20 + 4x + 80 = 220\). 5. Zusammenfassen der Glieder: \(6x + 100 = 220\). 6. Isolieren von \(x\): \(6x = 120 \implies x = 20\). 7. Berechnung der Werte: Siegerurkunden = \(20\), Ehrenurkunden = \(20 + 20 = 40\), Teilnehmerurkunden = \(4 \cdot 40 = 160\).

Es wurden \(20\) Siegerurkunden, \(40\) Ehrenurkunden und \(160\) Teilnehmerurkunden verteilt.

- Überlege zuerst, wie viele Grad ein gestreckter Winkel insgesamt hat. - Versuche, alle drei gesuchten Winkel durch denselben Buchstaben auszudrücken. - Wenn der dritte Winkel so groß ist wie die ersten beiden zusammen, was bedeutet das für sein Verhältnis zum ersten Winkel? - Prüfe am Ende, ob die Summe deiner drei berechneten Winkel wirklich den gewünschten Gesamtwert ergibt.

1. Festlegen der Variablen: Der erste Winkel sei \(x\). 2. Ausdrücken der weiteren Winkel: Der zweite Winkel ist \(3x\). Der dritte Winkel ist die Summe der ersten beiden, also \(x + 3x = 4x\). 3. Aufstellen der Gleichung für den gestreckten Winkel: \(x + 3x + 4x = 180\). 4. Lösen der Gleichung: \(8x = 180 \Rightarrow x = 180 : 8 = 22{,}5\). 5. Berechnung der einzelnen Winkelwerte: Erster Winkel \(x = 22{,}5^\circ\), zweiter Winkel \(3 \cdot 22{,}5^\circ = 67{,}5^\circ\), dritter Winkel \(4 \cdot 22{,}5^\circ = 90^\circ\).

Die drei Winkel betragen \(22{,}5^\circ\), \(67{,}5^\circ\) und \(90^\circ\).

- Wie viele Anteile mehr Kies als Sand sind in der Mischung? - Wenn dieser Unterschied in Anteilen genau \(60\,\text{kg}\) entspricht, wie viel wiegt dann ein einziger Anteil? - Wie viele Anteile hat die gesamte Mischung insgesamt? - Könntest du eine Variable für das Gewicht eines Anteils festlegen?

1. Sei \(x\) die Masse eines Anteils in Kilogramm. 2. Aufstellen einer Gleichung für den Gewichtsunterschied zwischen Kies (\(8x\)) und Sand (\(4x\)): \(8x - 4x = 60\). 3. Lösen der Gleichung: \(4x = 60 \implies x = 15\). Ein Anteil entspricht also \(15\,\text{kg}\). 4. Berechnung der Zementmenge (\(1\) Anteil): \(1 \cdot 15\,\text{kg} = 15\,\text{kg}\). 5. Berechnung der Gesamtmasse: Die Mischung besteht aus \(1 + 4 + 8 = 13\) Anteilen. 6. Gesamtgewicht: \(13 \cdot 15\,\text{kg} = 195\,\text{kg}\).

Es wurden \(15\,\text{kg}\) Zement verwendet. Die gesamte Betonmischung wiegt \(195\,\text{kg}\).

- Wie berechnet man den Flächeninhalt eines Rechtecks? - Wenn die eine Höhe doppelt so groß ist wie die andere, wie kannst du das als Zahl ausdrücken? - Kannst du eine Gleichung aufstellen, in der die Summe der beiden Flächen vorkommt? - Was ist die unbekannte Größe, nach der wir suchen?

1. Definition der Breite als Variable \(b\). 2. Bestimmung der Höhen: \(h_1 = 8\,\text{cm}\) und \(h_2 = 2 \cdot 8\,\text{cm} = 16\,\text{cm}\). 3. Aufstellen der Gleichung für den Gesamtflächeninhalt: \(8 \cdot b + 16 \cdot b = 192\). 4. Zusammenfassen der Terme: \(24 \cdot b = 192\). 5. Lösen nach \(b\): \(b = 192 : 24 = 8\). Die Breite beträgt \(8\,\text{cm}\). 6. Berechnung der Flächeninhalte: \(A_1 = 8\,\text{cm} \cdot 8\,\text{cm} = 64\,\text{cm}^2\) und \(A_2 = 16\,\text{cm} \cdot 8\,\text{cm} = 128\,\text{cm}^2\).

Die Breite der Rechtecke beträgt \(8\,\text{cm}\). Der Flächeninhalt des ersten Rechtecks ist \(64\,\text{cm}^2\) und der des zweiten \(128\,\text{cm}^2\).

- Welches der drei Teilstücke eignet sich am besten als Unbekannte \(x\), um die anderen Stücke leicht zu beschreiben? - Wie hängen die Längen der drei Stücke mit der Gesamtlänge des Seils zusammen? - Stelle eine Gleichung auf, in der die Summe der drei Teilausdrücke gleich der Gesamtlänge ist.

1. Definition der Unbekannten: Sei \(x\) die Länge des zweiten Seilstücks in \(\text{cm}\). 2. Terme für die weiteren Stücke: Das erste Stück entspricht \(2x\), das dritte Stück entspricht \(2x - 5\). 3. Aufstellen der Gesamtsumme: Die Summe aller Teile ergibt die Gesamtlänge: \(2x + x + (2x - 5) = 100\). 4. Lösen der Gleichung: Zusammenfassen zu \(5x - 5 = 100\), dann \(5x = 105\) und somit \(x = 21\). 5. Ermittlung der Ergebnisse: Das zweite Stück ist \(21\,\text{cm}\) lang, das erste Stück \(2 \cdot 21 = 42\,\text{cm}\) und das dritte Stück \(42 - 5 = 37\,\text{cm}\).

Die Seilstücke sind \(42\,\text{cm}\), \(21\,\text{cm}\) und \(37\,\text{cm}\) lang.

- Was bedeutet es für die Formeln, wenn zwei verschiedene Figuren den gleichen Umfang haben? - Wie viele Seiten hat ein Quadrat und wie viele ein gleichseitiges Dreieck? Sind alle Seiten innerhalb einer dieser Figuren gleich lang? - Wenn du die Seite des Quadrats kennst, wie drückst du dann die Seite des Dreiecks aus? - Stelle eine Gleichung auf, die die beiden Umfänge miteinander vergleicht.

1. Definition der Seitenlänge des Quadrats als Variable \(s\). 2. Ausdruck der Seitenlänge des Dreiecks als \(s + 2{,}5\). 3. Gleichsetzen der Umfangsformeln (\(4 \cdot \text{Seite}\) für das Quadrat und \(3 \cdot \text{Seite}\) für das gleichseitige Dreieck): \(4s = 3 \cdot (s + 2{,}5)\). 4. Auflösen der Klammer auf der rechten Seite: \(4s = 3s + 7{,}5\). 5. Subtraktion von \(3s\) auf beiden Seiten ergibt die Seitenlänge des Quadrats: \(s = 7{,}5\,\text{cm}\). 6. Addition von \(2{,}5\,\text{cm}\) ergibt die Seitenlänge des Dreiecks: \(7{,}5 + 2{,}5 = 10\,\text{cm}\).

Die Seitenlänge des Quadrats beträgt \(7{,}5\,\text{cm}\) und die Seitenlänge des gleichseitigen Dreiecks beträgt \(10\,\text{cm}\).

- Überlege dir, welcher Betrag als Grundwert \(x\) am sinnvollsten ist, um die anderen Beträge einfach darzustellen. - Wie schreibst du „zwei Drittel von etwas“ als mathematischen Ausdruck? - Erstelle eine Gleichung, die alle drei Klassenbeträge addiert und mit dem Gesamtbetrag gleichsetzt. - Achte beim Zusammenfassen der Brüche auf einen gemeinsamen Nenner.

1. Festlegen der Variable \(x\) für den Spendenbetrag der Klasse 7a in Euro. 2. Ausdrücken der Beträge der anderen Klassen: Klasse 7b sammelt \(\frac{2}{3}x\), Klasse 7c sammelt \(\frac{2}{3}x - 15\). 3. Aufstellen der Summengleichung: \(x + \frac{2}{3}x + \frac{2}{3}x - 15 = 510\). 4. Zusammenfassen der \(x\)-Terme: \(\frac{7}{3}x - 15 = 510\). 5. Addition von 15 ergibt \(\frac{7}{3}x = 525\). 6. Multiplikation mit dem Kehrwert \(\frac{3}{7}\) ergibt \(x = 225\). 7. Berechnung der Teilbeträge: Klasse 7a sammelt \(225\,\text{€}\), Klasse 7b sammelt \(150\,\text{€}\) (\(\frac{2}{3}\) von 225) und Klasse 7c sammelt \(135\,\text{€}\) (\(150 - 15\)).

Klasse 7a sammelte \(225\,\text{€}\), Klasse 7b sammelte \(150\,\text{€}\) und Klasse 7c sammelte \(135\,\text{€}\).

- Überlege dir, welche der beiden Mengen du als Unbekannte festlegen möchtest. - Wie kannst du die Menge des einen Produkts durch die Menge des anderen ausdrücken? - Stelle eine Rechnung für den Gesamtwert auf, indem du Preis und Menge multiplizierst. - Prüfe dein Ergebnis am Ende: Ergibt die Summe aus Preis mal Menge wirklich den Gesamtbetrag?

1. Definition der Variablen: Sei \(x\) die Anzahl der verkauften Saftflaschen. 2. Bestimmung der Anzahl der Brötchen: Da doppelt so viele Brötchen wie Saftflaschen verkauft wurden, beträgt deren Anzahl \(2x\). 3. Aufstellen der Gleichung für die Gesamteinnahmen: \(2{,}00 \cdot (2x) + 1{,}50 \cdot x = 110\). 4. Vereinfachen der Gleichung: \(4x + 1{,}5x = 110\), woraus folgt \(5{,}5x = 110\). 5. Lösen nach \(x\): \(x = 110 : 5{,}5 = 20\). 6. Berechnung der Brötchenanzahl: \(2 \cdot 20 = 40\). Ergebnis: Es wurden \(20\) Saftflaschen und \(40\) Brötchen verkauft.

Es wurden \(40\) Brötchen und \(20\) Saftflaschen verkauft.

- Kannst du die Anzahl der Kinder mithilfe der Gesamtzahl der Personen und der Anzahl der Erwachsenen ausdrücken? - Überlege, wie sich die Gesamtkosten aus den Einzelpreisen und den jeweiligen Personenzahlen zusammensetzen. - Was passiert, wenn du eine Variable für eine der gesuchten Größen festlegst? - Prüfe am Ende, ob deine berechneten Anzahlen zusammen wirklich 32 ergeben.

1. Definition der Variablen: \(x\) sei die Anzahl der Erwachsenen. 2. Ausdruck für die Kinder: Da es insgesamt 32 Personen sind, ist die Anzahl der Kinder \(32 - x\). 3. Aufstellen der Kostengleichung: \(10 \cdot x + 7 \cdot (32 - x) = 254\). 4. Auflösen der Klammer: \(10x + 224 - 7x = 254\). 5. Zusammenfassen der Terme: \(3x + 224 = 254\). 6. Isolieren von \(x\): \(3x = 30\), woraus \(x = 10\) folgt. 7. Berechnung der Kinderanzahl: \(32 - 10 = 22\).

In der Gruppe sind 10 Erwachsene und 22 Kinder.

- Welche Seite ist die kürzeste? Überlege, wie du die anderen Seiten im Verhältnis dazu ausdrücken kannst. - Was bedeutet der Begriff „Umfang“ für die Berechnung? - Könntest du eine Skizze machen und die Seiten mit Platzhaltern beschriften? - Stelle eine Gleichung auf, in der die Summe der drei Seiten dem Gesamtwert entspricht.

1. Definition der Variablen: Sei \(x\) die Länge der Seite \(a\) in \(\text{cm}\). 2. Aufstellen der Terme für die anderen Seiten: Seite \(b = 2 \cdot x\) und Seite \(c = 2 \cdot x - 5\). 3. Aufstellen der Gleichung für den Umfang: \(x + 2 \cdot x + (2 \cdot x - 5) = 45\). 4. Zusammenfassen und Lösen der Gleichung: \(5 \cdot x - 5 = 45 \Rightarrow 5 \cdot x = 50 \Rightarrow x = 10\). 5. Berechnung der Seitenlängen: \(a = 10\,\text{cm}\), \(b = 2 \cdot 10 = 20\,\text{cm}\) und \(c = 20 - 5 = 15\,\text{cm}\).

Die Seitenlängen betragen \(a = 10\,\text{cm}\), \(b = 20\,\text{cm}\) und \(c = 15\,\text{cm}\).

- Versuche zuerst, den Betrag der Klasse 7a als Unbekannte festzulegen. - Wie lässt sich der Betrag der Klasse 7c beschreiben, wenn man nur die Informationen über 7a und 7b nutzt? - Denke daran, dass die Summe aller drei Beträge feststeht. - Um den Anteil zu finden, vergleiche den Betrag von 7c mit der Gesamtsumme.

1. Festlegen der Unbekannten: Sei \(x\) der Betrag der Klasse 7a. 2. Ausdrücken der anderen Beträge: Klasse 7b = \(x + 40\); Klasse 7c = \(x + (x + 40) = 2 \cdot x + 40\). 3. Aufstellen der Gesamtgleichung: \(x + (x + 40) + (2 \cdot x + 40) = 720\). 4. Lösen der Gleichung: \(4 \cdot x + 80 = 720 \Rightarrow 4 \cdot x = 640 \Rightarrow x = 160\). 5. Ergebnisse berechnen: Klasse 7a = \(160\,\text{€}\), Klasse 7b = \(200\,\text{€}\), Klasse 7c = \(360\,\text{€}\). 6. Anteil berechnen: \(\frac{360}{720} = \frac{1}{2}\) bzw. \(50\,\%\).

1. Die Klasse 7a hat \(160\,\text{€}\), die Klasse 7b \(200\,\text{€}\) und die Klasse 7c \(360\,\text{€}\) gesammelt. 2. Die Klasse 7c hat die Hälfte (\(\frac{1}{2}\) bzw. \(50\,\%\)) des Gesamtbetrags gesammelt.

- Welche mathematische Regel gilt für alle Winkel in einem Dreieck? - Kannst du einen der Winkel als Platzhalter wählen und die anderen damit beschreiben? - Achte genau darauf, auf welchen Winkel sich die Beschreibung des dritten Winkels bezieht. - Wie lässt sich der Zusammenhang aller Winkel in einer Rechnung ausdrücken?

1. Festlegen der Variablen \(x\) für die Größe des Winkels \(\alpha\). 2. Ausdrücken der anderen Winkel durch \(x\): \(\beta = x + 20^\circ\) und \(\gamma = 3 \cdot (x + 20^\circ)\). 3. Anwendung des Satzes über die Innenwinkelsumme im Dreieck: \(x + (x + 20^\circ) + 3 \cdot (x + 20^\circ) = 180^\circ\). 4. Vereinfachen der Gleichung: \(x + x + 20^\circ + 3x + 60^\circ = 180^\circ \Rightarrow 5x + 80^\circ = 180^\circ\). 5. Lösen der Gleichung: \(5x = 100^\circ \Rightarrow x = 20^\circ\). 6. Berechnung der Winkel: \(\alpha = 20^\circ\), \(\beta = 20^\circ + 20^\circ = 40^\circ\), \(\gamma = 3 \cdot 40^\circ = 120^\circ\).

Die Winkel betragen \(\alpha = 20^\circ\), \(\beta = 40^\circ\) und \(\gamma = 120^\circ\).

- Wähle eine der Mengen als Basisvariable, zum Beispiel die Anzahl der Muffins. - Wie kannst du die Anzahl der Saftpackungen beschreiben, wenn sie von der Muffin-Anzahl abhängt? - Stelle eine Summe auf, in der jeder Preis mit der jeweiligen Menge multipliziert wird. - Denke beim Auflösen der Klammer daran, den Preis für die Saftpackungen auf beide Teile der Summe in der Klammer anzuwenden.

1. Definition der Unbekannten: Sei \(x\) die Anzahl der verkauften Muffins. Dann ist \(x\) auch die Anzahl der Brezeln und \(x + 10\) die Anzahl der Saftpackungen. 2. Aufstellen der Einnahmegleichung: \(1{,}50 \cdot x + 1{,}10 \cdot x + 0{,}80 \cdot (x + 10) = 144{,}00\). 3. Ausmultiplizieren und Zusammenfassen: \(1{,}5x + 1{,}1x + 0{,}8x + 8 = 144\), also \(3{,}4x + 8 = 144\). 4. Subtraktion von \(8\): \(3{,}4x = 136\). Division durch \(3{,}4\) ergibt \(x = 40\). 5. Es wurden \(40\) Muffins, \(40\) Brezeln und \(40 + 10 = 50\) Saftpackungen verkauft.

Es wurden 40 Muffins, 40 Brezeln und 50 Saftpackungen verkauft.

- Überlege dir, wie man die Länge mithilfe der Breite ausdrücken kann. - Wie berechnet man den Flächeninhalt vor und nach der Änderung? - Stelle eine Gleichung auf, die den Unterschied zwischen den beiden Flächen beschreibt. - Stell dir das Rechteck bildlich vor: Welches Stück kommt weg, wenn man die Länge kürzt?

1. Definition der Variablen: Die Breite sei \(w\). Da die Länge dreimal so groß ist, gilt \(l = 3w\). 2. Aufstellen der Flächeninhaltsformel: Der ursprüngliche Flächeninhalt ist \(A = l \cdot w = 3w \cdot w = 3w^2\). 3. Modellierung der Änderung: Die neue Länge beträgt \(l_{neu} = 3w - 2\). Der neue Flächeninhalt ist \(A_{neu} = (3w - 2) \cdot w = 3w^2 - 2w\). 4. Aufstellen der Gleichung: Die Differenz der Flächeninhalte beträgt \(12\,\text{cm}^2\), also \(A - A_{neu} = 12\). Einsetzen ergibt \(3w^2 - (3w^2 - 2w) = 12\). 5. Lösen der Gleichung: Das Vereinfachen führt zu \(2w = 12\), woraus \(w = 6\,\text{cm}\) folgt. 6. Berechnung der Länge: Die ursprüngliche Länge ist \(l = 3 \cdot 6\,\text{cm} = 18\,\text{cm}\). 7. Begründung zur Flächenabnahme: Da nur die Länge verändert wurde, fällt ein rechteckiger Streifen weg. Die Fläche dieses Streifens berechnet sich aus der Längenänderung (\(2\,\text{cm}\)) multipliziert mit der (unveränderten) Breite \(w\).

Die ursprüngliche Breite beträgt \(6\,\text{cm}\) und die ursprüngliche Länge \(18\,\text{cm}\). Die Flächenabnahme entspricht dem Produkt aus der Längenänderung und der Breite (\(2 \cdot w\)).

- Kannst du die Länge und Breite des Rechtecks durch eine einzige Variable ausdrücken? - Wie hängen die Seiten des Quadrats mit den ursprünglichen Maßen zusammen? - Stelle für beide Figuren einen Term für den Flächeninhalt auf. - Welchen Zusammenhang gibt es zwischen den beiden Flächeninhalten?

1. Definition der Variablen: Breite des ursprünglichen Rechtecks \(x\), Länge \(x + 7\,\text{cm}\) 2. Aufstellen der Terme für die Flächeninhalte: Rechteck \(A_R = x \cdot (x + 7) = x^2 + 7x\); Quadratseite \(s = x + 7 - 2 = x + 5\), Quadratfläche \(A_Q = (x + 5)^2 = x^2 + 10x + 25\) 3. Aufstellen der Gleichung nach der Bedingung \(A_Q = A_R + 55\): \(x^2 + 10x + 25 = x^2 + 7x + 55\) 4. Lösen der Gleichung: \(3x = 30\), woraus \(x = 10\,\text{cm}\) folgt 5. Berechnung der Quadratseite: \(s = 10 + 5 = 15\,\text{cm}\)

Die Seitenlänge des Quadrats beträgt \(15\,\text{cm}\).

- Kannst du eine Variable für die kürzere Seite festlegen und die längere Seite dadurch ausdrücken? - Wie berechnet man den Flächeninhalt eines Rechtecks allgemein? - Stelle einen Term für den Flächeninhalt vor der Änderung und einen Term für den Flächeninhalt nach der Änderung auf. - Was bedeutet „nimmt um \(15\,\text{cm}^2\) zu“ für die Beziehung zwischen den beiden Flächeninhalten?

1. Definition der Variablen: Die Breite des ursprünglichen Rechtecks sei \(w\). Da die Länge dreimal so groß ist, gilt für die Länge \(l = 3w\). 2. Aufstellen der Flächenformeln: Der ursprüngliche Flächeninhalt ist \(A_1 = w \cdot 3w = 3w^2\). Die neuen Seitenlängen sind \(w + 2\) und \(3w - 3\). Der neue Flächeninhalt ist \(A_2 = (w + 2) \cdot (3w - 3)\). 3. Aufstellen der Gleichung: Gemäß der Aufgabenstellung ist \(A_2 = A_1 + 15\), also \((w + 2) \cdot (3w - 3) = 3w^2 + 15\). 4. Lösen der Gleichung: Ausmultiplizieren ergibt \(3w^2 - 3w + 6w - 6 = 3w^2 + 15\). Vereinfacht führt dies zu \(3w - 6 = 15\). 5. Berechnung der Ergebnisse: Durch Addition von \(6\) erhält man \(3w = 21\), woraus \(w = 7\) folgt. Die Länge ist \(l = 3 \cdot 7 = 21\).

Die ursprüngliche Breite beträgt \(7\,\text{cm}\) und die ursprüngliche Länge beträgt \(21\,\text{cm}\).

- Überlege dir zuerst, wie du die Breite und die Länge mit einer Variablen ausdrücken kannst. - Wie berechnet man den Flächeninhalt eines Rechtecks? - Stelle einen Term für den alten und einen für den neuen Flächeninhalt auf. - Vergiss nicht, beim Ausmultiplizieren der Klammern sorgfältig vorzugehen. - Was passiert mit den quadratischen Gliedern, wenn du die Gleichung vereinfachst?

1. Definition der Variablen: Sei \(x\) die ursprüngliche Breite in \(\text{m}\). Die ursprüngliche Länge ist dann \(x + 5\). 2. Aufstellen des ursprünglichen Flächeninhalts: \(A_{alt} = x \cdot (x + 5) = x^2 + 5x\). 3. Bestimmung der neuen Maße: Die neue Breite ist \(x + 2\), die neue Länge ist \((x + 5) + 3 = x + 8\). 4. Aufstellen des neuen Flächeninhalts: \(A_{neu} = (x + 2) \cdot (x + 8) = x^2 + 8x + 2x + 16 = x^2 + 10x + 16\). 5. Aufstellen der Gleichung basierend auf der Flächenzunahme: \(A_{neu} = A_{alt} + 41\), also \(x^2 + 10x + 16 = x^2 + 5x + 41\). 6. Lösen der linearen Gleichung: Subtraktion von \(x^2\) auf beiden Seiten ergibt \(10x + 16 = 5x + 41\). Umstellen ergibt \(5x = 25\), woraus \(x = 5\) folgt. 7. Berechnung der Maße: Breite \(5\,\text{m}\), Länge \(5\,\text{m} + 5\,\text{m} = 10\,\text{m}\).

Das Beet war ursprünglich \(5\,\text{m}\) breit und \(10\,\text{m}\) lang.

- Kannst du eine Skizze der Platte machen und markieren, welche Teile für den Boden übrig bleiben? - Wie hängen die Seitenlänge der Platte und die Seitenlänge des Schachtelbodens zusammen? - Stelle einen Term für die Fläche der Platte und einen für die Fläche des Bodens auf. - Was passiert mit den quadratischen Gliedern, wenn du die Klammern in deiner Gleichung auflöst?

1. Sei \(a\) die Seitenlänge der ursprünglichen quadratischen Platte in \(\text{cm}\). Ihre Fläche beträgt \(A_{\text{Platte}} = a^2\). 2. Die Seitenlänge des quadratischen Bodens der Schachtel ergibt sich durch Abzug der beiden Ecken zu \(a - 2 \cdot 4 = a - 8\). Die Bodenfläche beträgt \(A_{\text{Boden}} = (a - 8)^2\). 3. Laut Aufgabenstellung gilt \(A_{\text{Platte}} - A_{\text{Boden}} = 160\). Dies führt zur Gleichung \(a^2 - (a - 8)^2 = 160\). 4. Anwendung der binomischen Formel: \(a^2 - (a^2 - 16a + 64) = 160\). 5. Vereinfachung der linearen Gleichung: \(16a - 64 = 160\). 6. Lösung der Gleichung: \(16a = 224\), woraus \(a = 14\,\text{cm}\) folgt. 7. Berechnung des Volumens: Die Bodenfläche ist \(A_{\text{Boden}} = (14 - 8)^2 = 36\,\text{cm}^2\). Mit der Höhe \(h = 4\,\text{cm}\) ergibt sich \(V = 36 \cdot 4 = 144\,\text{cm}^3\).

Die Seitenlänge der Platte beträgt \(14\,\text{cm}\). Das Volumen der Schachtel beträgt \(144\,\text{cm}^3\).

- Stelle für beide Personen einen Ausdruck für die zurückgelegte Strecke auf (Geschwindigkeit mal Zeit). - Verwende für Sarahs Geschwindigkeit das \(1{,}5\)-Fache von Lukas’ Geschwindigkeit \(v\). - Die Differenz der beiden Streckenausdrücke muss genau \(3\,\text{km}\) ergeben. - Für den letzten Teil setzt du Sarahs berechnete Geschwindigkeit in eine neue Zeitrechnung ein.

1. Zu Teil a): Lukas legt \(4v\) Kilometer zurück. Sarahs Geschwindigkeit beträgt \(1{,}5v\), ihre Strecke also \(2 \cdot 1{,}5v = 3v\). Da Lukas \(3\,\text{km}\) mehr zurücklegt, lautet die Gleichung \(4v = 3v + 3\). 2. Zu Teil b): Aus \(4v - 3v = 3\) folgt \(v = 3\). Lukas wandert mit \(3\,\text{km/h}\), Sarah mit \(1{,}5 \cdot 3 = 4{,}5\,\text{km/h}\). 3. Zu Teil c): In \(4\,\text{Stunden}\) würde Sarah \(4 \cdot 4{,}5 = 18\,\text{km}\) zurücklegen.

a) \(4v = 3v + 3\). b) Lukas wandert mit \(3\,\text{km/h}\), Sarah mit \(4{,}5\,\text{km/h}\). c) Sarah wäre \(18\,\text{km}\) weit gekommen.

- Stelle zuerst Terme für die Mengen am Anfang auf. - Wie verändern sich diese Terme, wenn Obst dazukommt oder weggenommen wird? - Wie hängen die neuen Mengen am Ende zusammen? Achte darauf, welcher Teil größer ist. - Kannst du die Situation nach der Änderung in einer Gleichung zusammenfassen?

1. Definition der Variable \(b\) für die ursprüngliche Masse der Birnen in kg. Die Masse der Äpfel beträgt dann \(3b\). 2. Bestimmung der neuen Massen nach der Änderung: Äpfel \(3b - 2\), Birnen \(b + 5\). 3. Aufstellen der Gleichung gemäß der Bedingung (Birnenmasse ist Äpfelmasse minus \(3\,\text{kg}\)): \(b + 5 = (3b - 2) - 3\). 4. Vereinfachen der Gleichung: \(b + 5 = 3b - 5\). 5. Umformen durch Addition von 5 und Subtraktion von \(b\): \(10 = 2b\). 6. Lösung der Gleichung: \(b = 5\). 7. Zu Beginn waren \(5\,\text{kg}\) Birnen in der Kiste.

Ursprünglich waren \(5\,\text{kg}\) Birnen in der Kiste.

- Bezeichne die Anzahl der Erwachsenenkarten mit \(x\). Wie kannst du dann die Anzahl der Kinderkarten mithilfe der Gesamtzahl ausdrücken? - Wie setzt sich der Gesamtpreis aus den beiden Kartenarten zusammen? - Stelle eine Gleichung mit nur einer Unbekannten auf. - Vergleiche anschließend die beiden berechneten Anzahlen.

1. Sei \(x\) die Anzahl der Erwachsenenkarten. Dann wurden \(150 - x\) Kinderkarten verkauft. 2. Aus den Einnahmen ergibt sich die Gleichung \(5 \cdot x + 2 \cdot (150 - x) = 420\). 3. Ausmultiplizieren und Zusammenfassen ergibt \(5x + 300 - 2x = 420\), also \(3x + 300 = 420\). 4. Subtraktion von \(300\) ergibt \(3x = 120\), daher \(x = 40\). 5. Somit wurden \(40\) Erwachsenenkarten und \(150 - 40 = 110\) Kinderkarten verkauft. Da \(110 > 40\), wurden mehr Kinderkarten verkauft.

Es wurden mehr Kinderkarten verkauft. Die Rechnung ergibt \(110\) Kinderkarten und \(40\) Erwachsenenkarten.

- Überlege dir, welches Gewicht am besten als Platzhalter \(x\) geeignet ist, um die anderen Gewichte leicht zu beschreiben. - Achte darauf, dass Beutel C direkt mit Beutel A verglichen wird. - Stelle eine Waagengleichung auf: Die Summe aller drei Beutel muss dem Gesamtgewicht entsprechen. - Vergiss nicht, am Ende die Einheiten korrekt anzugeben.

1. Festlegen der Variable \(x\) für das Gewicht von Beutel B in \(\text{kg}\). 2. Bestimmung der Gewichte der anderen Beutel: Beutel A wiegt \(2x\), Beutel C wiegt \(2x - 1{,}5\). 3. Aufstellen der Gleichung für das Gesamtgewicht: \(2x + x + (2x - 1{,}5) = 10{,}5\). 4. Zusammenfassen der \(x\)-Glieder: \(5x - 1{,}5 = 10{,}5\). 5. Addition von \(1{,}5\): \(5x = 12\). 6. Division durch \(5\): \(x = 2{,}4\). 7. Berechnung der Einzelgewichte: Beutel B wiegt \(2{,}4\,\text{kg}\), Beutel A wiegt \(2 \cdot 2{,}4 = 4{,}8\,\text{kg}\), Beutel C wiegt \(4{,}8 - 1{,}5 = 3{,}3\,\text{kg}\).

Beutel A wiegt \(4{,}8\,\text{kg}\), Beutel B wiegt \(2{,}4\,\text{kg}\) und Beutel C wiegt \(3{,}3\,\text{kg}\).

- Achte bei Teil b darauf, dass sich die Angabe für den dritten Tag auf den zweiten Tag bezieht. - Wie hängen die drei Tage zusammen, um die Gesamtlänge zu ergeben? - In Teil c musst du nur den Term für den dritten Tag in deiner ursprünglichen Gleichung ersetzen.

1. Zu Teil a): Festlegen der Terme: Tag 1 = \(x\), Tag 2 = \(2x\), Tag 3 = \(2x - 15\). Gesamte Gleichung: \(x + 2x + (2x - 15) = 180\). 2. Zu Teil b): Zusammenfassen der Gleichung: \(5x - 15 = 180\). Lösen nach \(x\): \(5x = 195 \Rightarrow x = 39\). 3. Berechnung der Etappen: Tag 1 = \(39\,\text{km}\), Tag 2 = \(2 \cdot 39 = 78\,\text{km}\), Tag 3 = \(78 - 15 = 63\,\text{km}\). 4. Zu Teil c): Analyse der neuen Bedingung: Tag 3 wäre dann \(x + 10\). Die neue Gleichung lautet: \(x + 2x + (x + 10) = 180\) oder vereinfacht \(4x + 10 = 180\).

a) \(x + 2x + (2x - 15) = 180\) (oder vereinfacht \(5x - 15 = 180\)). b) Tag 1: \(39\,\text{km}\), Tag 2: \(78\,\text{km}\), Tag 3: \(63\,\text{km}\). c) Die Gleichung würde \(x + 2x + (x + 10) = 180\) (oder \(4x + 10 = 180\)) lauten.

- Welchen Bruchteil der Gesamtfläche muss die Rasenfläche einnehmen, wenn sie genauso groß ist wie die anderen beiden Flächen zusammen? - Wenn du die Fläche der Blumenwiese als Grundwert nimmst, wie kannst du dann das Gemüsebeet beschreiben? - Versuche, eine Gleichung aufzustellen, in der nur noch eine der Flächen als Unbekannte vorkommt.

1. Definition der Variablen: \(G\) für Gemüsebeet, \(B\) für Blumenwiese und \(R\) für Rasen. 2. Aufstellen der Gleichung für die Rasenfläche: \(R = G + B\). Da die Gesamtfläche \(G + B + R = 750\,\text{m}^2\) ist, folgt \(2 \cdot (G + B) = 750\,\text{m}^2\), also \(G + B = 375\,\text{m}^2\). Damit ist \(R = 375\,\text{m}^2\). 3. Einsetzen des Verhältnisses zwischen Gemüsebeet und Blumenwiese: \(G = \frac{2}{3}B\). 4. Aufstellen der Gleichung für die Teilsumme: \(\frac{2}{3}B + B = 375\,\text{m}^2\). 5. Zusammenfassen und Lösen: \(\frac{5}{3}B = 375 \implies B = 375 \cdot \frac{3}{5} = 225\,\text{m}^2\). 6. Berechnung der verbleibenden Fläche: \(G = \frac{2}{3} \cdot 225 = 150\,\text{m}^2\).

Das Gemüsebeet ist \(150\,\text{m}^2\) groß, die Blumenwiese \(225\,\text{m}^2\) und die Rasenfläche \(375\,\text{m}^2\).

- Welche Information hilft dir, die Kartenanzahl von Lukas durch die von Marie auszudrücken? - Wie verändern sich die Anzahlen durch das Vervierfachen oder Verdreifachen? - Wenn eine Person nach der Änderung mehr Karten hat, wie kannst du das in einer Gleichung mit einem Gleichheitszeichen schreiben? - Achte beim Aufstellen der Gleichung besonders darauf, wie du die Klammern setzt.

1. Festlegen der Variable \(x\) für Maries ursprüngliche Kartenanzahl. 2. Aufstellen des Terms für Lukas’ Kartenanzahl: \(x + 12\). 3. Bestimmen der neuen Kartenmengen: Marie hat \(4x\), Lukas hat \(3 \cdot (x + 12)\). 4. Aufstellen der Gleichung unter Berücksichtigung der Differenz von \(10\) Karten: \(4x = 3 \cdot (x + 12) + 10\). 5. Auflösen der Klammer und Zusammenfassen der rechten Seite: \(4x = 3x + 36 + 10\), also \(4x = 3x + 46\). 6. Isolieren von \(x\) durch Subtraktion von \(3x\): \(x = 46\). 7. Berechnung von Lukas’ Kartenanzahl: \(46 + 12 = 58\).

Marie hatte zu Beginn \(46\) Karten und Lukas hatte \(58\) Karten.

- Überlege dir, wie viel Geld in der Kasse der Klasse 7b noch übrig ist, wenn sie \(20\,\text{€}\) mehr ausgibt als die 7a. - Stelle einen Term für den Restbetrag beider Klassen auf. - Achte beim Aufstellen der Gleichung darauf, dass eine der Restmengen dreimal so groß ist wie die andere. - Vergiss nicht, beim Subtrahieren der Entnahmemenge der Klasse 7b eine Klammer zu setzen, da es sich um einen zusammengesetzten Ausdruck handelt.

1. Variable \(x\) für den Entnahmebetrag der Klasse 7a festlegen. 2. Entnahmebetrag der Klasse 7b als \(x + 20\) ausdrücken. 3. Restbeträge bestimmen: \(120 - x\) für Klasse 7a und \(100 - (x + 20)\), was zu \(80 - x\) vereinfacht wird, für Klasse 7b. 4. Gleichung basierend auf dem Verhältnis der Restbeträge aufstellen: \(120 - x = 3 \cdot (80 - x)\). 5. Klammer auflösen: \(120 - x = 240 - 3x\). 6. Gleichung nach \(x\) lösen: \(2x = 120\), also \(x = 60\). 7. Endergebnisse: Klasse 7a hat \(60\,\text{€}\) entnommen, Klasse 7b hat \(60\,\text{€} + 20\,\text{€} = 80\,\text{€}\) entnommen.

Klasse 7a hat \(60\,\text{€}\) entnommen, Klasse 7b hat \(80\,\text{€}\) entnommen.

- Überlege dir, bei welchem Akku die Ladungsabnahme größer ist und wie man das mit einer Variablen ausdrücken kann. - Stelle für beide Akkus einen Ausdruck auf, der die verbleibende Ladung beschreibt. - Achte darauf, auf welcher Seite der Gleichung du den Unterschied von \(200\,\text{mAh}\) dazurechnen oder abziehen musst, damit die Gleichung stimmt. - Prüfe dein Ergebnis am Ende: Ist die Differenz der Restladungen wirklich \(200\,\text{mAh}\)?

1. Variable festlegen: Die Ladungsabnahme von Akku 2 sei \(x\). Dann beträgt die Ladungsabnahme von Akku 1 \(2 \cdot x\). 2. Restladungen formulieren: Akku 1 hat noch \(4\,200 - 2 \cdot x\), Akku 2 hat noch \(3\,500 - x\). 3. Gleichung aufstellen: Da Akku 2 am Ende \(200\,\text{mAh}\) mehr Ladung hat als Akku 1, gilt \(3\,500 - x = (4\,200 - 2 \cdot x) + 200\). 4. Zusammenfassen der Zahlen: \(3\,500 - x = 4\,400 - 2 \cdot x\). 5. Isolieren der Variable: Addition von \(2 \cdot x\) ergibt \(3\,500 + x = 4\,400\). Subtraktion von \(3\,500\) ergibt \(x = 900\). 6. Ergebnisse bestimmen: Die Ladung von Akku 2 hat um \(900\,\text{mAh}\) abgenommen, die Ladung von Akku 1 um \(2 \cdot 900 = 1\,800\,\text{mAh}\).

Die Ladung von Akku 1 hat um \(1\,800\,\text{mAh}\) abgenommen, die Ladung von Akku 2 um \(900\,\text{mAh}\).

- Bestimme zuerst, wie viele Kilometer ein einzelner „Anteil“ des Verhältnisses wert ist. - Wie lang ist die gesamte Wanderung insgesamt? - Überlege für den zweiten Teil, was ein Verhältnis von \(1:1\) für die Verteilung der Gesamtlänge bedeutet. - Wie viel fehlt der kürzeren Strecke noch bis zur genauen Hälfte der Gesamtlänge?

1. Berechnung der Etappen (Teil a): Sei \(x\) die Länge eines Anteils. Die Differenz der Anteile entspricht der Kilometerdifferenz: \(3x - 2x = 15\). 2. Daraus folgt direkt \(x = 15\). 3. Länge der ersten Etappe: \(3 \cdot 15\,\text{km} = 45\,\text{km}\). 4. Länge der zweiten Etappe: \(2 \cdot 15\,\text{km} = 30\,\text{km}\). 5. Analyse der Änderung (Teil b): Die Gesamtstrecke beträgt \(45\,\text{km} + 30\,\text{km} = 75\,\text{km}\). 6. Für ein Verhältnis von \(1 : 1\) muss jeder Tag \(\frac{75\,\text{km}}{2} = 37{,}5\,\text{km}\) lang sein. 7. Berechnung der Verschiebung: Die erste Etappe muss um \(45\,\text{km} - 37{,}5\,\text{km} = 7{,}5\,\text{km}\) gekürzt werden, die der zweiten Etappe hinzugefügt werden.

a) Die erste Etappe ist \(45\,\text{km}\) lang, die zweite \(30\,\text{km}\). b) Es müssten \(7{,}5\,\text{km}\) von der ersten Etappe auf den zweiten Tag verschoben werden.

- Was bedeutet ein Verhältnis von \(2 : 3\) für die Anzahl der „Teile“, in die man die Autos aufteilen kann? - Wie verändert sich die Anzahl auf jedem Parkplatz, wenn Autos von einem zum anderen fahren? - Versuche, für die Anzahl der Autos pro „Teil“ eine Variable wie \(x\) zu verwenden. - Kannst du aus dem neuen Verhältnis eine Gleichung aufstellen?

1. Festlegen der Variablen basierend auf dem Anfangsverhältnis: Parkplatz A hat \(2x\) Autos, Parkplatz B hat \(3x\) Autos. 2. Bestimmen der Anzahlen nach dem Wechsel: Parkplatz A hat \(2x - 12\) Autos, Parkplatz B hat \(3x + 12\) Autos. 3. Aufstellen der Verhältnisgleichung: \(\frac{2x - 12}{3x + 12} = \frac{1}{2}\). 4. Lösen der Gleichung durch Multiplikation über Kreuz: \(2 \cdot (2x - 12) = 1 \cdot (3x + 12)\). 5. Vereinfachen und nach \(x\) auflösen: \(4x - 24 = 3x + 12 \Rightarrow x = 36\). 6. Berechnung der ursprünglichen Anzahlen: Parkplatz A: \(2 \cdot 36 = 72\), Parkplatz B: \(3 \cdot 36 = 108\).

Ursprünglich standen auf Parkplatz A \(72\) Autos und auf Parkplatz B \(108\) Autos.

- Wähle eine Unbekannte für den kleineren Preis. - Wie kannst du den größeren Preis durch diese Unbekannte ausdrücken? - Stelle eine Rechnung für den Gesamtwert aller Artikel auf. - Berechne für den zweiten Teil zuerst, wie viel Geld man durch die Preisänderung insgesamt weniger ausgeben würde.

1. Variable festlegen: Der Preis eines Bleistifts sei \(x\). Der Preis einer Packung Textmarker ist dann \(4x\). 2. Gleichung aufstellen: \(12 \cdot x + 6 \cdot (4x) = 54\). 3. Gleichung lösen: \(12x + 24x = 54 \Rightarrow 36x = 54 \Rightarrow x = 1{,}50\). 4. Einzelpreise bestimmen: Ein Bleistift kostet \(1{,}50\,\text{€}\), eine Packung Textmarker kostet \(4 \cdot 1{,}50\,\text{€} = 6{,}00\,\text{€}\). 5. Aussage prüfen: Bei einem Preisverhältnis von \(1 : 3\) würde eine Packung nur \(3 \cdot 1{,}50\,\text{€} = 4{,}50\,\text{€}\) kosten. 6. Ersparnis berechnen: Pro Packung spart man \(6{,}00\,\text{€} - 4{,}50\,\text{€} = 1{,}50\,\text{€}\). Bei 6 Packungen beträgt die Gesamtersparnis \(6 \cdot 1{,}50\,\text{€} = 9{,}00\,\text{€}\). 7. Vergleich mit Zusatzkauf: 6 Bleistifte kosten \(6 \cdot 1{,}50\,\text{€} = 9{,}00\,\text{€}\). Die Aussage ist also korrekt.

a) Ein Bleistift kostet \(1{,}50\,\text{€}\) und eine Packung Textmarker kostet \(6{,}00\,\text{€}\). b) Die Aussage ist korrekt, da die Ersparnis von \(9{,}00\,\text{€}\) genau den Kosten für 6 Bleistifte entspricht.

- Kannst du den Gesamtverbrauch als Summe der Einzelverbräuche schreiben? - Nutze das Verhältnis zwischen Strahler und Heizgerät, um nur noch eine Unbekannte in der Gleichung zu haben. - Was bedeutet eine Senkung um \(20\,\%\) für den ursprünglichen Wert des Heizgeräts? - Vergiss am Ende nicht, alle Geräte (Strahler und neue Heizgeräte) wieder zusammenzurechnen.

1. Variable festlegen: Die Leistung eines LED-Strahlers sei \(s\). Die Leistung eines Heizgeräts ist \(5s\). 2. Gleichung aufstellen: \(8 \cdot s + 2 \cdot (5s) = 3600\). 3. Gleichung lösen: \(8s + 10s = 3600 \Rightarrow 18s = 3600 \Rightarrow s = 200\). 4. Ergebnisse Teil a: Ein Strahler verbraucht \(200\,\text{W}\), ein Heizgerät verbraucht \(5 \cdot 200\,\text{W} = 1000\,\text{W}\). 5. Leistungsreduzierung berechnen: \(20\,\%\) von \(1000\,\text{W}\) sind \(0{,}20 \cdot 1000\,\text{W} = 200\,\text{W}\). Die neue Leistung eines Heizgeräts beträgt \(1000\,\text{W} - 200\,\text{W} = 800\,\text{W}\). 6. Gesamte neue Leistung: \(8 \cdot 200\,\text{W} + 2 \cdot 800\,\text{W} = 1600\,\text{W} + 1600\,\text{W} = 3200\,\text{W}\).

a) Ein LED-Strahler verbraucht \(200\,\text{W}\), ein Heizgerät \(1000\,\text{W}\). b) Nach der Modernisierung beträgt die gesamte Leistungsaufnahme \(3200\,\text{W}\).

- Welche Größe ist unbekannt und könnte als Variable bezeichnet werden? - Wie berechnet man die geförderte Wassermenge einer Pumpe, wenn man die Zeit und die Leistung pro Minute kennt? - Kannst du einen Term für die Gesamtmenge beider Pumpen aufstellen? - Achte darauf, dass Pumpe A eine höhere Leistung hat als Pumpe B.

1. Definition der Variablen: Sei \(x\) die Förderleistung von Pumpe B in \(\text{l/min}\). Die Leistung von Pumpe A ist dann \(x + 10\). 2. Aufstellen der Gleichung für die Gesamtmenge: \(45 \cdot (x + 10) + 60 \cdot x = 9900\). 3. Auflösen der Klammer und Zusammenfassen: \(45 \cdot x + 450 + 60 \cdot x = 9900 \Rightarrow 105 \cdot x + 450 = 9900\). 4. Isolieren von \(x\): \(105 \cdot x = 9450 \Rightarrow x = 90\). 5. Berechnung der Leistungen: Pumpe B fördert \(90\,\text{l/min}\), Pumpe A fördert \(90 + 10 = 100\,\text{l/min}\).

Pumpe A fördert \(100\,\text{l/min}\), Pumpe B fördert \(90\,\text{l/min}\).

- Versuche, die gesamte Strecke mit einer Variablen zu benennen. - Wie viel von der Strecke bleibt nach dem ersten Teil der Wanderung noch übrig? - Wenn die Hälfte einer Reststrecke gelaufen wurde, wie viel Prozent dieser Reststrecke sind dann noch offen? - Kannst du die Situation schrittweise von hinten nach vorne durchrechnen?

1. Sei \(x\) die Gesamtlänge der Strecke in \(\text{km}\). 2. Die am Vormittag zurückgelegte Strecke beträgt \(\frac{1}{3}x + 2\). 3. Die nach dem Vormittag verbleibende Reststrecke ist \(x - (\frac{1}{3}x + 2) = \frac{2}{3}x - 2\). 4. Am Nachmittag werden \(50\,\%\) dieser Reststrecke zurückgelegt, was \(0{,}5 \cdot (\frac{2}{3}x - 2) = \frac{1}{3}x - 1\) entspricht. 5. Der verbleibende Teil nach dem Nachmittag ist somit \((\frac{2}{3}x - 2) - (\frac{1}{3}x - 1) = \frac{1}{3}x - 1\). 6. Laut Aufgabenstellung entspricht dieser Rest \(6\,\text{km}\). Daraus ergibt sich die Gleichung \(\frac{1}{3}x - 1 = 6\). 7. Durch Addition von \(1\) erhält man \(\frac{1}{3}x = 7\). 8. Multiplikation mit \(3\) ergibt den Endwert \(x = 21\,\text{km}\).

Die Gesamtlänge der Wanderstrecke beträgt \(21\,\text{km}\).

- Was bedeutet es für den Restbestand, wenn \(60\,\%\) einer Menge weggenommen werden? - Stelle eine Gleichung für den ersten Rest nach der ersten Entnahme auf. - Kannst du den Prozess umkehren? Was war der Stand direkt vor der Autoreinigung? - Achte darauf, dass sich die Prozentangabe auf den jeweiligen Rest bezieht, nicht auf die Gesamtmenge.

1. Sei \(V\) das ursprüngliche Volumen in Litern. 2. Nach der ersten Entnahme verbleibt \(R_1 = V - (\frac{1}{4} \cdot V + 20) = \frac{3}{4} \cdot V - 20\). 3. Von dieser Restmenge werden \(60\,\%\) entnommen, sodass \(40\,\%\) übrig bleiben. 4. Es gilt die Gleichung \(0{,}40 \cdot (\frac{3}{4} \cdot V - 20) = 28\). 5. Division durch \(0{,}40\) führt zu \(\frac{3}{4} \cdot V - 20 = 70\). 6. Addition von \(20\) ergibt \(\frac{3}{4} \cdot V = 90\). 7. Multiplikation mit \(\frac{4}{3}\) ergibt \(V = \frac{90 \cdot 4}{3} = 120\).

Ursprünglich befanden sich \(120\,\text{l}\) Wasser im Tank.

- Wie viel Zeit verbringt die Gruppe tatsächlich mit Wandern, wenn man die Pause abzieht? - Stelle für den Hinweg und den Rückweg jeweils einen Ausdruck für die benötigte Zeit auf. - Welche Größe bleibt bei beiden Wegen gleich? Nutze diese als Unbekannte. - Wie hängen Geschwindigkeit, Weg und Zeit zusammen?

1. Bestimmung der reinen Gehzeit: Von der Gesamtzeit von \(6\) Stunden wird die Pausenzeit abgezogen: \(6\,\text{h} - 2\,\text{h} = 4\,\text{h}\). 2. Aufstellen der Gleichung: Sei \(s\) die Entfernung zur Hütte in Kilometern. Die Zeit für den Aufstieg ist \(t_{auf} = \frac{s}{3}\) und für den Abstieg \(t_{ab} = \frac{s}{5}\). Die Summe beider Zeiten muss der reinen Gehzeit entsprechen: \(\frac{s}{3} + \frac{s}{5} = 4\). 3. Lösen der Gleichung: Multiplikation mit dem Hauptnenner \(15\) ergibt \(5s + 3s = 60\). Dies führt zu \(8s = 60\). Durch Division ergibt sich \(s = 7{,}5\).

Die einfache Wegstrecke zur Hütte beträgt \(7{,}5\,\text{km}\).

- Kannst du die benötigte Zeit für den Hinweg und den Rückweg mithilfe einer Unbekannten ausdrücken? - Achte darauf, dass alle Zeitangaben in derselben Einheit (Stunden) stehen, bevor du sie in eine Gleichung einsetzt. - Wie hängen Geschwindigkeit, Weg und Zeit zusammen? - Kannst du den Rückweg in zwei separate Teilstrecken zerlegen?

1. Variable \(x\) für die gesuchte Strecke in \(\text{km}\) festlegen. 2. Zeit für den Hinweg als Term formulieren: \(t_1 = \frac{x}{15}\). 3. Zeit für den Rückweg aus zwei Teilen zusammensetzen: \(t_2 = \frac{0{,}5x}{15} + \frac{0{,}5x}{10}\). 4. Zeitdifferenz in Stunden umrechnen: \(12\,\text{min} = \frac{12}{60}\,\text{h} = 0{,}2\,\text{h}\). 5. Gleichung gemäß der Differenz aufstellen: \(t_2 - t_1 = 0{,}2\). 6. Gleichung vereinfachen: \(\frac{x}{30} + \frac{x}{20} - \frac{x}{15} = 0{,}2\). 7. Auf den Hauptnenner \(60\) bringen: \(\frac{2x + 3x - 4x}{60} = 0{,}2 \implies \frac{x}{60} = 0{,}2\). 8. Nach \(x\) auflösen: \(x = 0{,}2 \cdot 60 = 12\). Die Strecke beträgt \(12\,\text{km}\).

Die einfache Strecke ist \(12\,\text{km}\) lang.

- Wie viel Zeit verbringt das Schiff tatsächlich mit Fahren? - Überlege dir, wie schnell das Schiff auf dem Hinweg (mit der Strömung) und auf dem Rückweg (gegen die Strömung) ist. - Welche mathematische Beziehung besteht zwischen der Entfernung, der Geschwindigkeit und der benötigten Zeit?

1. Berechnung der reinen Fahrzeit durch Abzug der Pausenzeit von der Gesamtzeit: \(4\,\text{h} - 1\,\text{h} = 3\,\text{h}\). 2. Bestimmung der Geschwindigkeiten: flussabwärts \(15\,\text{km/h} + 3\,\text{km/h} = 18\,\text{km/h}\) und flussaufwärts \(15\,\text{km/h} - 3\,\text{km/h} = 12\,\text{km/h}\). 3. Aufstellen der Gleichung für die Entfernung \(d\): \(\frac{d}{18} + \frac{d}{12} = 3\). 4. Erweitern auf den Hauptnenner \(36\): \(\frac{2d}{36} + \frac{3d}{36} = 3\). 5. Lösen der Gleichung: \(\frac{5d}{36} = 3 \implies 5d = 108 \implies d = 21{,}6\).

Die Sehenswürdigkeit befindet sich in einer Entfernung von \(21{,}6\,\text{km}\).

- Stelle zuerst eine Formel auf, mit der du die Punkte für eine beliebige Anzahl an Treffern berechnen kannst. - Was weißt du über die Anzahl der Schüsse? Kann man einen „halben Treffer“ landen? - Welche Werte kann die Variable für die Anzahl der Treffer logischerweise annehmen? - Probiere aus, was passiert, wenn du die Gleichung für eine Punktzahl von 50 löst.

1. Modellierung: Sei \(x\) die Anzahl der Treffer. Die Anzahl der Fehlschüsse beträgt \(15 - x\). 2. Aufstellen der Gleichung für die Gesamtpunktzahl: \(7 \cdot x - 3 \cdot (15 - x) = P\). 3. Termumformung: \(7 \cdot x - 45 + 3 \cdot x = 10 \cdot x - 45\). 4. Lösung für Teil a): \(10 \cdot x - 45 = 55 \implies 10 \cdot x = 100 \implies x = 10\). Es gab \(10\) Treffer. 5. Untersuchung für Teil b): \(10 \cdot x - 45 = 50 \implies 10 \cdot x = 95 \implies x = 9{,}5\). 6. Da die Anzahl der Treffer \(x\) eine ganze Zahl zwischen 0 und 15 sein muss, ist ein Ergebnis von 50 Punkten unmöglich, da \(9{,}5\) keine ganze Zahl ist.

a) Der Teilnehmer hat \(10\) Treffer erzielt. b) Bei der Berechnung der Trefferanzahl für \(50\) Punkte ergibt sich \(x = 9{,}5\). Da die Anzahl der Treffer nur eine ganze Zahl sein kann, ist dieser Wert nicht erreichbar.

- Überlege dir, wie du die geplante Gesamtfläche mithilfe der täglichen Leistung und der Anzahl der Tage ausdrücken kannst. - Wie verändert sich die tägliche Leistung und die benötigte Zeit in der Realität? - Stelle eine Beziehung zwischen der geplanten Fläche und der tatsächlich bearbeiteten Fläche auf. - Kannst du eine Gleichung aufstellen, in der die Anzahl der Tage die gesuchte Variable ist?

1. Definition der Unbekannten: Sei \(x\) die ursprünglich geplante Anzahl an Tagen. 2. Aufstellen der Terme für die Fläche: Geplante Fläche \(P = 400 \cdot x\). Tatsächliche Fläche \(A = (400 + 100) \cdot (x - 2) = 500 \cdot (x - 2)\). 3. Aufstellen der Gleichung basierend auf der Mehrleistung: \(P + 200 = A\), also \(400x + 200 = 500(x - 2)\). 4. Lösen der Gleichung: \(400x + 200 = 500x - 1000 \Rightarrow 1200 = 100x \Rightarrow x = 12\). 5. Berechnung der geplanten Fläche: \(P = 400 \cdot 12 = 4800\). Die geplante Fläche betrug \(4800\,\text{m}^2\).

Die ursprünglich geplante Fläche betrug \(4800\,\text{m}^2\).

- Was wissen wir über die Summe der Wege, die beide Fahrzeuge bis zum Zeitpunkt des Treffens zurückgelegt haben? - Wie hängen die Geschwindigkeiten der beiden Fahrzeuge zusammen? - Kannst du eine Variable für die unbekannte Geschwindigkeit eines Fahrzeugs wählen? - Überlege, wie man die Strecke berechnet, wenn Geschwindigkeit und Zeit bekannt sind.

1. Durchschnittsgeschwindigkeit des Lkw als \(v\) (in \(\text{km/h}\)) definieren; die Geschwindigkeit des Pkw ist dann \(v + 30\). 2. Die Summe der von beiden Fahrzeugen zurückgelegten Wege entspricht der Gesamtdistanz: \(3 \cdot v + 3 \cdot (v + 30) = 450\). 3. Gleichung vereinfachen und nach \(v\) auflösen: \(3v + 3v + 90 = 450 \Rightarrow 6v + 90 = 450 \Rightarrow 6v = 360 \Rightarrow v = 60\). 4. Geschwindigkeit des Lkw: \(60\,\text{km/h}\). 5. Geschwindigkeit des Pkw: \(60 + 30 = 90\,\text{km/h}\).

Der Lkw fährt mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von \(60\,\text{km/h}\) und der Pkw mit \(90\,\text{km/h}\).

- Was bedeutet „die Hälfte vom Rest“ mathematisch für deine Rechnung? - Berechne zuerst, welcher Bruchteil der Medien Romane oder Sachbücher sind. - Wenn die Hälfte des Rests Kinderbücher sind, welcher Bruchteil des Rests bleibt dann für die Zeitschriften übrig? - Stelle eine Gleichung auf, in der die Anzahl der Zeitschriften einem Bruchteil der Gesamtzahl entspricht.

1. Sei \(x\) die Gesamtzahl der Medien. 2. Summe der Anteile von Romanen und Sachbüchern berechnen: \(\frac{2}{5}x + \frac{1}{4}x = \frac{8}{20}x + \frac{5}{20}x = \frac{13}{20}x\). 3. Den ersten Rest bestimmen: \(x - \frac{13}{20}x = \frac{7}{20}x\). 4. Anteil der Fachzeitschriften bestimmen: Da die Hälfte des Rests Kinderliteratur ist, muss die andere Hälfte des Rests (\(105\)) die Fachzeitschriften darstellen. Der Anteil der Fachzeitschriften ist also \(\frac{1}{2} \cdot \frac{7}{20}x = \frac{7}{40}x\). 5. Gleichung aufstellen und lösen: \(\frac{7}{40}x = 105 \Rightarrow 7x = 4200 \Rightarrow x = 600\). Die Bibliothek besitzt insgesamt \(600\) Medien.

Es gibt insgesamt \(600\) Medien in der Bibliothek.

- Überlege zuerst, welchen Bruchteil die Reserve vom Gesamtbudget ausmacht. - Wie kannst du Brüche mit verschiedenen Nennern addieren? - Wenn du das Gesamtbudget kennst, wie berechnest du dann einen bestimmten Anteil davon? - Stelle eine Gleichung auf, in der die Summe aller Teile das Ganze ergibt.

1. Aufstellen der Gleichung für das Gesamtbudget \(x\): \(x = \frac{3}{8}x + \frac{1}{5}x + \frac{1}{10}x + \frac{1}{4}x + 15\). 2. Finden des Hauptnenners (\(40\)) für die Brüche: \(\frac{15}{40} + \frac{8}{40} + \frac{4}{40} + \frac{10}{40}\). 3. Summieren der Anteile: \(\frac{37}{40}\). 4. Berechnung des Restanteils für die Reserve: \(1 - \frac{37}{40} = \frac{3}{40}\). 5. Aufstellen der Gleichung für die Reserve: \(\frac{3}{40}x = 15\). 6. Auflösen nach \(x\): \(x = \frac{15 \cdot 40}{3} = 200\). Das Gesamtbudget beträgt \(200\,\text{€}\). 7. Berechnung des Betrags für Materialien: \(\frac{3}{8} \cdot 200 = 75\). Der Materialanteil beträgt \(75\,\text{€}\).

Das gesamte Budget beträgt \(200\,\text{€}\). Für die Materialien wurden \(75\,\text{€}\) eingeplant.

- Was ist der „Rest“ nach dem ersten Kauf? - Kannst du den Anteil der Materialkosten am ursprünglichen Gesamtbetrag ausdrücken? - Wie viel vom Ganzen bleibt nach beiden Käufen übrig? - Versuche, eine Gleichung für den Betrag aufzustellen, der am Ende noch übrig ist.

1. Sei \(x\) der ursprüngliche Gesamtbetrag. Nach dem Kauf der Literatur (\(\frac{1}{4}x\)) beträgt der Rest: \(x - \frac{1}{4}x = \frac{3}{4}x\). 2. Die Materialkosten betragen \(\frac{2}{5}\) des Rests: \(\frac{2}{5} \cdot \frac{3}{4}x = \frac{6}{20}x = \frac{3}{10}x\). 3. Der verbleibende Betrag nach beiden Ausgaben ist: \(\frac{3}{4}x - \frac{3}{10}x = \frac{15}{20}x - \frac{6}{20}x = \frac{9}{20}x\). 4. Gleichung für den Endrest aufstellen: \(\frac{9}{20}x = 9{,}00\,\text{€}\). Daraus folgt \(x = 9 \cdot \frac{20}{9} = 20{,}00\,\text{€}\). 5. Berechnung der Einzelkosten: Literatur \(\frac{1}{4} \cdot 20 = 5{,}00\,\text{€}\); Material \(\frac{3}{10} \cdot 20 = 6{,}00\,\text{€}\).

Der ursprüngliche Gesamtbetrag betrug \(20{,}00\,\text{€}\). Die Fachliteratur kostete \(5{,}00\,\text{€}\) und das Material \(6{,}00\,\text{€}\).

- Stell dir vor, du würdest in einem Boot sitzen, das in einem See ohne Strömung fährt. Wie lange bräuchtest du für den Rückweg? - Überlege, wie sich die Strömung auf die Geschwindigkeit des Bootes und des Fenders auswirkt, wenn man sie vom Ufer aus betrachtet. - Wie viel Zeit vergeht insgesamt, bis der Fender wieder beim Boot ist? - Welche Strecke hat der Fender in dieser Gesamtzeit relativ zum Ufer zurückgelegt?

1. Betrachtung im Bezugssystem des fließenden Wassers: Da sich das Boot relativ zum Wasser mit konstanter Geschwindigkeit bewegt und der Fender im Wasser ruht, benötigt das Boot für den Rückweg zum Fender genau dieselbe Zeit wie für den Hinweg, also \(15\) Minuten. 2. Berechnung der Gesamtzeit: Die Zeitspanne vom Verlust des Fenders bis zum Einholen beträgt \(15\,\text{min} + 15\,\text{min} = 30\,\text{min}\). Umgerechnet in Stunden ergibt dies \(0{,}5\,\text{h}\). 3. Bestimmung der Fließgeschwindigkeit: Der Fender legt im Bezugssystem des Ufers in dieser Zeit die Strecke zwischen den Brücken zurück (\(1{,}2\,\text{km}\)). Da er mit der Strömung treibt, entspricht seine Geschwindigkeit der Fließgeschwindigkeit \(v_F\). 4. Berechnung: \(v_F = \frac{s}{t} = \frac{1{,}2\,\text{km}}{0{,}5\,\text{h}} = 2{,}4\,\text{km/h}\).

Die Fließgeschwindigkeit des Flusses beträgt \(2{,}4\,\text{km/h}\).

- Kannst du die unbekannte Laufzeit der zweiten Pumpe mit einem Buchstaben bezeichnen? - Wie lässt sich die Wassermenge, die aus einem Tank entnommen wurde, berechnen? - Überlege, wie du die Anfangsmenge eines Tanks aus der entnommenen Menge und dem Rest berechnest. - Was wissen wir über die Anfangsmengen der beiden Tanks im Vergleich zueinander? - Stelle eine Gleichung auf, in der die Anfangsmenge des ersten Tanks gleich der Anfangsmenge des zweiten Tanks gesetzt wird.

1. Definition der Variable \(x\) für die Laufzeit der zweiten Pumpe in Minuten. 2. Aufstellen der Terme für die ursprüngliche Wassermenge in den Tanks: \(10 \cdot (x + 5) + 50\) für den ersten Tank und \(15 \cdot x + 30\) für den zweiten Tank. 3. Gleichsetzen der Terme aufgrund der identischen Anfangsmenge: \(10 \cdot x + 50 + 50 = 15 \cdot x + 30\). 4. Vereinfachen der Gleichung: \(10 \cdot x + 100 = 15 \cdot x + 30\). 5. Isolieren der Variable: \(70 = 5 \cdot x \implies x = 14\). 6. Berechnung der Anfangsmenge durch Einsetzen von \(x = 14\) in einen der Terme: \(15 \cdot 14 + 30 = 210 + 30 = 240\). Die ursprüngliche Menge betrug \(240\,\text{l}\).

In jedem Tank waren ursprünglich \(240\,\text{l}\) Wasser.

- Achte darauf, alle Angaben in dieselbe Masseneinheit umzurechnen. - Welche Größe bleibt unverändert, wenn nur reines Wasser hinzugefügt wird? - Wie lautet das neue Gesamtvolumen, wenn \(x\) Liter Wasser hinzukommen? - Verknüpfe Zielkonzentration und neues Gesamtvolumen in einer Gleichung.

1. Umrechnung der Einheiten: Die Salzmenge beträgt \(1{,}5\,\text{kg} = 1\,500\,\text{g}\). 2. Sei \(x\) die hinzuzufügende Wassermenge in Litern. Das neue Gesamtvolumen beträgt dann \((50 + x)\,\text{l}\). 3. Die Salzmenge bleibt unverändert. Für die Zielkonzentration gilt daher die Gleichung \(20 \cdot (50 + x) = 1\,500\). 4. Gleichung lösen: \(1\,000 + 20x = 1\,500\), also \(20x = 500\) und damit \(x = 25\).

Es müssen \(25\,\text{l}\) Wasser hinzugefügt werden.

- Achte darauf, dass die Geschwindigkeiten in \(\text{km/h}\) angegeben sind, der Vorsprung aber in Metern. - Wie viele Meter legt Anna pro Minute mehr zurück als Ben? - Kannst du für beide Personen einen Term aufstellen, der die Entfernung vom Startpunkt nach einer bestimmten Zeit beschreibt? - Was passiert mit dem Abstand, wenn die vordere Person schneller ist als die hintere?

1. Umrechnung der Geschwindigkeiten von \(\text{km/h}\) in \(\text{m/min}\): \(12\,\text{km/h} = 12\,000\,\text{m} : 60\,\text{min} = 200\,\text{m/min}\) und \(9\,\text{km/h} = 9\,000\,\text{m} : 60\,\text{min} = 150\,\text{m/min}\). 2. Aufstellen einer Gleichung für die Zeit \(t\) in Minuten, nach der beide die gleiche Strecke vom Startpunkt aus zurückgelegt haben: \(200 \cdot t = 150 \cdot t + 400\). 3. Subtraktion von \(150 \cdot t\) auf beiden Seiten: \(50 \cdot t = 400\). 4. Division durch \(50\): \(t = 8\). 5. Anna holt Ben nach \(8\,\text{Minuten}\) ein. 6. Wenn die Geschwindigkeit des Verfolgten (\(13\,\text{km/h}\)) größer ist als die des Verfolgers (\(12\,\text{km/h}\)), vergrößert sich der Abstand zwischen beiden kontinuierlich, sodass ein Einholen mathematisch unmöglich ist.

a) Anna holt Ben nach \(8\,\text{Minuten}\) ein. b) Wenn Ben schneller läuft als Anna (\(13\,\text{km/h} > 12\,\text{km/h}\)), wird der Abstand zwischen ihnen mit der Zeit immer größer statt kleiner.

- Wähle die kleinste Seite als Basis für deine Unbekannte. - Wie hängen die drei Seiten mathematisch zusammen? Versuche, jede Seite durch denselben Buchstaben auszudrücken. - Wie lautet die Formel für den Umfang eines allgemeinen Dreiecks? - Nachdem du die Werte berechnet hast, schau dir an, ob die drei Längen tatsächlich ein geschlossenes Dreieck bilden könnten.

1. Festlegen der Variablen: Sei \(x\) die Länge der ersten Seite in \(\text{cm}\). 2. Ausdrücke für die weiteren Seiten: Die zweite Seite ist \(x + 3\) und die dritte Seite ist \(2 \cdot x\). 3. Aufstellen der Gleichung für den Umfang: \(x + (x + 3) + 2x = 35\). 4. Vereinfachen der Gleichung: \(4x + 3 = 35\). 5. Lösen nach \(x\): \(4x = 32 \implies x = 8\). 6. Berechnung der Seitenlängen: Erste Seite \(8\,\text{cm}\), zweite Seite \(8 + 3 = 11\,\text{cm}\), dritte Seite \(2 \cdot 8 = 16\,\text{cm}\). 7. Überprüfung der Dreiecksungleichung: Die kürzeren Seiten sind \(8\,\text{cm}\) und \(11\,\text{cm}\). Da \(8 + 11 = 19\) und \(19 > 16\), ist die Bedingung erfüllt.

Die Seitenlängen betragen \(8\,\text{cm}\), \(11\,\text{cm}\) und \(16\,\text{cm}\). Die Dreiecksungleichung ist erfüllt, da \(8\,\text{cm} + 11\,\text{cm} = 19\,\text{cm}\) und dies größer als \(16\,\text{cm}\) ist.

- Achte darauf, dass alle Längenangaben in derselben Einheit (Meter oder Zentimeter) verwendet werden. - Wenn du die Länge eines Banners als Unbekannte bezeichnest, wie drückst du dann die Länge des anderen aus? - Aus welchen zwei Teilflächen setzt sich die angegebene Gesamtfläche zusammen? - Kannst du eine Gleichung für die Summe der Flächen aufstellen?

1. Festlegen der Länge des kürzeren Banners als Variable \(l\) (in \(\text{m}\)) 2. Ausdruck der Länge des längeren Banners: \(l + 0{,}5\,\text{m}\) 3. Aufstellen der Gleichung für die Gesamtfläche: \(1{,}2 \cdot l + 1{,}2 \cdot (l + 0{,}5) = 4{,}2\) 4. Ausmultiplizieren und Zusammenfassen: \(2{,}4 \cdot l + 0{,}6 = 4{,}2\) 5. Isolieren des Terms mit \(l\): \(2{,}4 \cdot l = 3{,}6\) 6. Berechnung der kurzen Länge: \(l = 1{,}5\,\text{m}\) 7. Berechnung der langen Länge: \(1{,}5\,\text{m} + 0{,}5\,\text{m} = 2{,}0\,\text{m}\)

Das kürzere Banner ist \(1{,}50\,\text{m}\) lang und das längere Banner ist \(2{,}00\,\text{m}\) lang.

- Wenn sich zwei Objekte voneinander entfernen, wie berechnet man dann ihre gesamte Entfernung nach einer bestimmten Zeit? - Wie kannst du das Verhältnis der Geschwindigkeiten als mathematischen Ausdruck mit einer Variablen schreiben? - Kannst du berechnen, wie viele Kilometer die beiden Züge zusammen pro Stunde zurücklegen?

1. Festlegung der Variablen: Sei \(v\) die Geschwindigkeit des schnelleren Zuges in \(\text{km/h}\). Der langsamere Zug hat dann die Geschwindigkeit \(\frac{2}{3} \cdot v\). 2. Aufstellen der Gleichung für die Entfernung nach \(1{,}5\,\text{Stunden}\): \(1{,}5 \cdot v + 1{,}5 \cdot \frac{2}{3} \cdot v = 225\). 3. Vereinfachen der Gleichung: \(1{,}5 \cdot v + 1 \cdot v = 225\), also \(2{,}5 \cdot v = 225\). 4. Lösen der Gleichung nach \(v\): \(v = 225 : 2{,}5 = 90\). 5. Berechnung der zweiten Geschwindigkeit: \(\frac{2}{3} \cdot 90 = 60\). Die Geschwindigkeiten betragen \(90\,\text{km/h}\) und \(60\,\text{km/h}\).

Der schnellere Zug fährt mit \(90\,\text{km/h}\), der langsamere Zug mit \(60\,\text{km/h}\).

- Versuche, die Länge des ersten Stücks als Basis für alle anderen Berechnungen zu nutzen. - Achte beim Aufstellen des Terms für das dritte Stück darauf, dass sich die Verdopplung auf das gesamte zweite Stück bezieht. - Wie sieht die Gleichung aus, wenn man alle drei Teilstücke addiert? - Vergiss nicht, am Ende zu prüfen, ob die Summe deiner drei Ergebnisse wirklich die Originallänge ergibt.

1. Festlegen der Variablen \(x\) für die Länge des ersten Stücks in Zentimetern. 2. Aufstellen der Terme für die anderen Stücke: Das zweite Stück ist \(x + 20\), das dritte Stück ist \(2 \cdot (x + 20)\). 3. Erstellen der Gleichung für die Gesamtlänge: \(x + (x + 20) + 2 \cdot (x + 20) = 320\). 4. Auflösen der Klammer und Zusammenfassen der Terme: \(x + x + 20 + 2x + 40 = 320\), was zu \(4x + 60 = 320\) führt. 5. Isolieren der Variablen durch Subtraktion von \(60\): \(4x = 260\). 6. Division durch \(4\) ergibt \(x = 65\). 7. Berechnung der Teilstücke: 1. Stück = \(65\,\text{cm}\), 2. Stück = \(65 + 20 = 85\,\text{cm}\), 3. Stück = \(2 \cdot 85 = 170\,\text{cm}\).

Das erste Stück ist \(65\,\text{cm}\), das zweite Stück \(85\,\text{cm}\) und das dritte Stück \(170\,\text{cm}\) lang.

- Welche Strecke legt der erste Zug bereits zurück, bevor der zweite überhaupt startet? - Wie hängen die Geschwindigkeiten der beiden Züge zusammen? - Kannst du eine Gleichung aufstellen, in der die Summe der von beiden Zügen zurückgelegten Strecken der Gesamtentfernung entspricht? - Achte darauf, alle Zeitangaben in der gleichen Einheit (z. B. Stunden) zu verwenden, bevor du die Gleichung löst.

1. Definition der Variablen: Sei \(x\) die Zeit in Stunden, die der Personenzug bis zum Treffen fährt. 2. Bestimmung der Geschwindigkeiten: Geschwindigkeit des Güterzugs \(v_G = 60\,\text{km/h}\). Geschwindigkeit des Personenzugs \(v_P = 60\,\text{km/h} + 30\,\text{km/h} = 90\,\text{km/h}\). 3. Zeitdauer der Fahrt: Da der Güterzug \(30\,\text{Minuten}\) (\(0{,}5\,\text{Stunden}\)) früher startet, beträgt seine Fahrzeit bis zum Treffen \((x + 0{,}5)\,\text{Stunden}\). 4. Aufstellen der Gleichung für die gesamte Strecke: \(60 \cdot (x + 0{,}5) + 90 \cdot x = 180\). 5. Lösen der Gleichung: \(60x + 30 + 90x = 180 \implies 150x = 150 \implies x = 1\). 6. Umrechnung in Minuten: \(1\,\text{Stunde} = 60\,\text{Minuten}\).

Der Personenzug begegnet dem Güterzug \(60\,\text{Minuten}\) nach seiner Abfahrt.

- Stelle für beide Personen eine Formel für die Zeit bis zum Treffpunkt auf. - Beachte, dass eine Person eine Pause macht und eine zusätzliche Teilstrecke zurücklegt. - Wandle alle Zeitangaben in die gleiche Einheit (Stunden) um, damit sie zur Geschwindigkeit in km/h passen. - Welche Strecke hat die langsamere Person zum Zeitpunkt des Treffens zurückgelegt, wenn sie noch nicht am Ziel angekommen ist?

1. Sei \(s\) die gesuchte Entfernung in \(\text{km}\). 2. Berechnung der Zeit, die Anton bis zum Treffpunkt benötigt: Für den Hinweg braucht er \(\frac{s}{6}\,\text{h}\), dazu kommen \(10\,\text{Minuten} = \frac{1}{6}\,\text{h}\) Pause und für die \(2\,\text{km}\) Rückweg \(\frac{2}{6}\,\text{h}\). Gesamtzeit: \(t_A = \frac{s}{6} + \frac{1}{6} + \frac{2}{6} = \frac{s+3}{6}\,\text{h}\). 3. Berechnung der Zeit für Bernd bis zum Treffpunkt: Da er \(2\,\text{km}\) vor dem See ist, hat er \(s - 2\,\text{km}\) zurückgelegt. Zeit: \(t_B = \frac{s-2}{4}\,\text{h}\). 4. Da beide zur gleichen Zeit starten und sich treffen, gilt \(t_A = t_B\): \(\frac{s+3}{6} = \frac{s-2}{4}\). 5. Lösen der Gleichung durch Multiplikation über Kreuz: \(4 \cdot (s+3) = 6 \cdot (s-2) \Rightarrow 4s + 12 = 6s - 12 \Rightarrow 24 = 2s \Rightarrow s = 12\). 6. Die Entfernung zwischen Dorf und See beträgt \(12\,\text{km}\).

Die Entfernung vom Dorf zum See beträgt \(12\,\text{km}\).

- Überlege zuerst, wie viel Geld nach dem Kauf des Wassers noch übrig bleibt. - Wie kannst du die Gesamtkosten aus den Kosten für Wasser und Saft zusammensetzen? - Was ist das Ziel: Das Budget darf nicht überschritten werden. Welche mathematische Operation hilft dir, den Restbetrag auf die Flaschen aufzuteilen?

1. Berechnung der Kosten für das Mineralwasser: \(12 \cdot 0{,}75\,\text{€} = 9{,}00\,\text{€}\). 2. Aufstellen der Gleichung für das Gesamtbudget: \(9 + 1{,}40 \cdot x = 30\). 3. Subtraktion der Wasserkosten vom Budget: \(1{,}40 \cdot x = 30 - 9 \Rightarrow 1{,}40 \cdot x = 21\). 4. Division durch den Preis pro Saftflasche: \(x = 21 : 1{,}40 = 15\).

Die Gleichung lautet \(12 \cdot 0{,}75 + 1{,}40 \cdot x = 30\) (oder \(9 + 1{,}40 \cdot x = 30\)). Die Gruppe kann höchstens \(15\) Flaschen Apfelsaft kaufen.

- Wie viele Stunden Arbeit stecken in einer einzigen Seite? - Berechne zuerst, wie viele „Personenstunden“ insgesamt für die neue Seitenzahl nötig sind. - Wie viele Schüler sind am Ende tatsächlich noch da, um die Arbeit zu erledigen?

1. Berechnung des Arbeitsaufwands für die ursprünglichen 12 Seiten: \(3\,\text{Schüler} \cdot 4\,\text{h} = 12\,\text{Personenstunden}\). 2. Bestimmung des Aufwands pro Seite: \(12\,\text{Personenstunden} : 12\,\text{Seiten} = 1\,\text{Personenstunde pro Seite}\). 3. Berechnung des Gesamtaufwands für 18 Seiten: \(18\,\text{Seiten} \cdot 1\,\text{h/Seite} = 18\,\text{Personenstunden}\). 4. Berechnung der Zeit pro Person bei 2 verbleibenden Schülern: \(18\,\text{h} : 2\,\text{Schüler} = 9\,\text{h}\).

Jeder der verbleibenden zwei Schüler muss \(9\,\text{Stunden}\) arbeiten.

- Stelle eine Formel für die Gesamtlänge auf, die die Anzahl der Pfosten als Variable nutzt. - Überlege dir, wie sich die Anzahl der Zwischenräume ändert, wenn 3 Pfosten dazukommen. - Da die Gesamtlänge der Strecke in beiden Fällen gleich ist, kannst du die beiden Ausdrücke gleichsetzen.

1. Sei \(x\) die ursprüngliche Anzahl der Pfosten. Die Anzahl der Zwischenräume ist dann \(x + 1\). 2. Die Gesamtlänge \(L\) lässt sich ausdrücken als: \(L = (x + 1) \cdot 4\). 3. Im zweiten Fall werden \(x + 3\) Pfosten verwendet, was \(x + 3 + 1 = x + 4\) Zwischenräume ergibt. 4. Die Gesamtlänge \(L\) bleibt gleich: \(L = (x + 4) \cdot 2{,}50\). 5. Gleichsetzen der Ausdrücke: \(4 \cdot (x + 1) = 2{,}50 \cdot (x + 4)\). 6. Lösen der Gleichung: \(4 \cdot x + 4 = 2{,}50 \cdot x + 10 \Rightarrow 1{,}50 \cdot x = 6 \Rightarrow x = 4\). 7. Berechnung der Gesamtlänge: \(L = (4 + 1) \cdot 4 = 20\,\text{m}\).

Die Gesamtlänge der Absperrung beträgt \(20\,\text{m}\).

- Was bedeutet es für den Gesamtaufwand, wenn 4 Personen 30 Tage lang arbeiten? - Wie viel von der Arbeit ist nach 12 Tagen bereits erledigt? - Wenn für den Rest der Arbeit nur noch 9 Tage Zeit sind, wie viele Personen müssen dann gleichzeitig arbeiten?

1. Berechnung des Gesamtaufwands für das Projekt in Personentagen: \(4 \cdot 30 = 120\,\text{Personentage}\). 2. Berechnung des in den ersten 12 Tagen bereits geleisteten Aufwands: \(12 \cdot 4 = 48\,\text{Personentage}\). 3. Berechnung des verbleibenden Aufwands: \(120 - 48 = 72\,\text{Personentage}\). 4. Aufstellen einer Gleichung für die benötigte Personenanzahl \(x\) für die restlichen 9 Tage: \(9 \cdot x = 72\). 5. Lösung der Gleichung nach \(x\): \(x = 72 : 9 = 8\).

Ab dem 13. Tag müssen insgesamt 8 Programmierer an dem Projekt arbeiten.

- Berechne zuerst die Höhe für jedes Modell einzeln. - Überlege dir für jedes Modell, aus wie vielen Einzelstücken welcher Länge der Draht besteht. - Wie verteilen sich die zwölf Kanten bei einem Würfel und bei einem Quader mit quadratischer Grundfläche auf die jeweiligen Kantenlängen?

1. Modell Lukas (Würfel): Ein Würfel hat 12 gleich lange Kanten. Sei \(s\) die Kantenlänge. \(12 \cdot s = 480\,\text{cm} \implies s = 40\,\text{cm}\). Die Höhe beträgt \(40\,\text{cm}\). 2. Modell Maya (Quader): Sei \(a\) die Grundkante. Die Höhe ist \(h = 2 \cdot a\). Ein Quader mit quadratischer Grundfläche hat 8 Grundkanten und 4 Höhenkanten. Gesamtlänge: \(8 \cdot a + 4 \cdot (2 \cdot a) = 16 \cdot a\). 3. Berechnung für Maya: \(16 \cdot a = 480\,\text{cm} \implies a = 30\,\text{cm}\). Die Höhe ist \(h = 2 \cdot 30\,\text{cm} = 60\,\text{cm}\). 4. Differenz berechnen: \(60\,\text{cm} - 40\,\text{cm} = 20\,\text{cm}\).

Die Höhe von Mayas Modell ist um \(20\,\text{cm}\) größer als die von Lukas’ Modell.

- Drücke zuerst die Länge durch die Höhe aus. Wenn die Höhe \(x\) ist, wie groß ist dann die Länge? - Stelle einen Term für den ersten Flächeninhalt auf. - Stelle Terme für die veränderten Seitenlängen auf und berechne damit den neuen Flächeninhalt. - Verbinde beide Flächeninhalte in einer Gleichung, indem du die Zunahme von \(30\,\text{cm}^2\) berücksichtigst. - Lasse dich nicht von den Quadraten abschrecken – sie fallen beim Vereinfachen weg.

1. Variablen festlegen: Ursprüngliche Höhe \(h = x\), ursprüngliche Länge \(l = 2 \cdot x\). Ursprünglicher Flächeninhalt \(A_1 = x \cdot 2 \cdot x = 2 \cdot x^2\). 2. Neue Maße: Neue Höhe \(h_{neu} = x + 3\), neue Länge \(l_{neu} = 2 \cdot x - 2\). 3. Neuer Flächeninhalt: \(A_2 = (x + 3) \cdot (2 \cdot x - 2) = 2 \cdot x^2 - 2 \cdot x + 6 \cdot x - 6 = 2 \cdot x^2 + 4 \cdot x - 6\). 4. Gleichung aufstellen (\(A_2 = A_1 + 30\)): \(2 \cdot x^2 + 4 \cdot x - 6 = 2 \cdot x^2 + 30\). 5. Lösen der linearen Gleichung: \(4 \cdot x - 6 = 30 \implies 4 \cdot x = 36 \implies x = 9\). 6. Maße berechnen: Höhe \(9\,\text{cm}\), Länge \(2 \cdot 9 = 18\,\text{cm}\).

Das Schild war ursprünglich \(9\,\text{cm}\) hoch und \(18\,\text{cm}\) lang.

- Berechne zuerst, wie viel Geld die Organisatoren insgesamt einnehmen wollten. - Wie viel Geld wurde trotz des niedrigeren Preises am Vormittag eingenommen? - Wie viel Geld muss jetzt mit den restlichen Losen noch eingenommen werden? - Kannst du daraus den Preis für ein einzelnes der verbleibenden Lose bestimmen?

1. Der ursprünglich geplante Gesamterlös beträgt \(500 \cdot 1{,}50 = 750\) Euro. Sei \(x\) der Preis eines der restlichen 200 Lose. 2. Gleichung: \(300 \cdot 1{,}10 + 200 \cdot x = 750\). 3. Vereinfachen: \(330 + 200 \cdot x = 750\). 4. Subtraktion von \(330\): \(200 \cdot x = 420\). 5. Division durch \(200\): \(x = 2{,}10\).

Der Preis für die restlichen Lose muss auf \(2{,}10\,\text{€}\) festgelegt werden.

- Kannst du das Alter von Marie als \(x\) bezeichnen? Wie sieht dann das Alter des Opas aus? - Stelle zuerst eine Gleichung für die Summe der beiden Alter auf, um ihr aktuelles Alter zu finden. - Wenn du die heutigen Alter kennst, kannst du eine neue Gleichung für die Zukunft aufstellen. - Vergiss nicht, dass beide Personen in der Zukunft um die gleiche Anzahl an Jahren älter geworden sind.

1. Variable \(x\) für Maries Alter festlegen. Dann ist das Alter des Opas \(5 \cdot x\). 2. Gleichung für die Summe aufstellen: \(x + 5 \cdot x = 60\). 3. Lösen: \(6 \cdot x = 60 \Rightarrow x = 10\). Marie ist \(10\) Jahre alt, Opa Heinz ist \(50\) Jahre alt. 4. Variable \(y\) für die Jahre in der Zukunft festlegen. Gleichung aufstellen: \(50 + y = 3 \cdot (10 + y)\). 5. Klammer auflösen und nach \(y\) auflösen: \(50 + y = 30 + 3 \cdot y \Rightarrow 20 = 2 \cdot y \Rightarrow y = 10\).

a) Marie ist heute \(10\) Jahre alt und Opa Heinz ist \(50\) Jahre alt. b) Das wird in \(10\) Jahren der Fall sein.

- Überlege dir, wie lange jeder der beiden Wanderer unterwegs ist, wenn sie sich treffen. - Wenn Herr Schmidt \(t\) Stunden wandert, wie lange ist Frau Weber dann unterwegs, wenn sie 30 Minuten später startet? - Die Summe der von beiden zurückgelegten Strecken muss genau der Gesamtlänge des Weges entsprechen.

1. Aufstellen der Gleichung für die Zeit \(t\) in Stunden seit 14:00 Uhr: Herr Schmidts Weg ist \(4 \cdot t\), Frau Webers Weg ist \(6 \cdot (t - 0{,}5)\), da sie eine halbe Stunde später startet. 2. Die Summe der Wege ergibt die Gesamtstrecke: \(4 \cdot t + 6 \cdot (t - 0{,}5) = 17\). 3. Lösen der Gleichung: \(4 \cdot t + 6 \cdot t - 3 = 17 \implies 10 \cdot t = 20 \implies t = 2\). 4. Bestimmung der Uhrzeit: 14:00 Uhr + 2 Stunden = 16:00 Uhr. 5. Berechnung der Entfernung von Schmidts Startpunkt: \(s = 4\,\text{km/h} \cdot 2\,\text{h} = 8\,\text{km}\).

a) Sie treffen sich um 16:00 Uhr. b) Das Treffen findet \(8\,\text{km}\) von Herrn Schmidts Startpunkt entfernt statt.

- Wie alt sind die beiden Personen in 6 Jahren, wenn man ihr heutiges Alter als Platzhalter nimmt? - Kannst du eine Gleichung aufstellen, die den Zusammenhang in der Zukunft beschreibt? - Achte darauf, dass sich das Alter bei beiden Personen um die gleiche Anzahl an Jahren ändert. - Versuche, das Alter der Mutter durch das Alter der Tochter auszudrücken.

1. Sei \(L\) das heutige Alter von Leonie und \(M\) das heutige Alter von Frau Müller. 2. Erste Bedingung (heute): \(M = 4 \cdot L\). 3. Zweite Bedingung (in 6 Jahren): \(M + 6 = 3 \cdot (L + 6)\). 4. Einsetzen der ersten Gleichung in die zweite: \(4L + 6 = 3(L + 6)\). 5. Klammer auflösen: \(4L + 6 = 3L + 18\). 6. Nach \(L\) auflösen: \(L = 12\). 7. Berechnung von \(M\): \(M = 4 \cdot 12 = 48\).

Leonie ist heute 12 Jahre alt und Frau Müller ist 48 Jahre alt.

- Wie würdest du den Anteil der Kinderbücher berechnen, wenn du nur die Anteile der anderen Bucharten kennst? - Was bedeutet das „Ganze“ in dieser Aufgabe ausgedrückt als Zahl? - Versuche zuerst, alle Anteile auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen, um sie besser vergleichen und verrechnen zu können.

1. Aufstellen der Gleichung: \(x \cdot (1 - (\frac{1}{2} + \frac{1}{5} + \frac{1}{8})) = 63\) oder \(x - \frac{1}{2} \cdot x - \frac{1}{5} \cdot x - \frac{1}{8} \cdot x = 63\) 2. Darstellung der Brüche mit dem Hauptnenner \(40\): \(\frac{20}{40} + \frac{8}{40} + \frac{5}{40} = \frac{33}{40}\) 3. Subtraktion von 1: \(1 - \frac{33}{40} = \frac{7}{40}\) 4. Lösen der Gleichung \(\frac{7}{40} \cdot x = 63\): \(x = 63 \cdot \frac{40}{7}\) 5. Berechnung des Ergebnisses: \(x = 9 \cdot 40 = 360\) 6. Interpretation des Ausdrucks: Er stellt den Anteil der Kinderbücher an der Gesamtzahl aller neuen Bücher dar.

Die Gleichung lautet \(\frac{7}{40} \cdot x = 63\) (oder eine äquivalente Form). Die Gesamtzahl der Bücher beträgt \(x = 360\). Der Ausdruck \(1 - (\frac{1}{2} + \frac{1}{5} + \frac{1}{8})\) gibt den Anteil der Kinderbücher an der Gesamtmenge an.

- Du kannst eine Seite durch die andere ausdrücken, um nur eine Unbekannte zu verwenden, oder ein System mit zwei Variablen aufstellen. - Wie lauten die Terme für die Seitenlängen nach der jeweiligen Verlängerung? - Stelle eine Gleichung auf, die den alten Flächeninhalt mit dem neuen Flächeninhalt in Beziehung setzt. - Denke daran, dass beim Ausmultiplizieren von \((x + a) \cdot (x + b)\) quadratische Terme entstehen, die sich hier jedoch gegenseitig aufheben.

1. Variablen festlegen: \(x\) sei die Länge der kürzeren Seite, dann ist die längere Seite \(x + 5\). 2. Flächeninhalte ausdrücken: \(A_{\text{alt}} = x \cdot (x + 5)\). 3. Neue Seitenlängen: Die kurze Seite wird zu \(x + 3\), die lange Seite zu \((x + 5) + 2 = x + 7\). 4. Neue Fläche: \(A_{\text{neu}} = (x + 3) \cdot (x + 7)\). 5. Gleichung aufstellen: \(A_{\text{neu}} = A_{\text{alt}} + 66\). 6. Einsetzen und lösen: \((x + 3) \cdot (x + 7) = x \cdot (x + 5) + 66 \implies x^2 + 10 \cdot x + 21 = x^2 + 5 \cdot x + 66\). 7. Terme mit \(x^2\) fallen weg: \(10 \cdot x + 21 = 5 \cdot x + 66 \implies 5 \cdot x = 45 \implies x = 9\). 8. Andere Seite berechnen: \(x + 5 = 14\). Die ursprünglichen Seitenlängen sind \(9\,\text{cm}\) und \(14\,\text{cm}\).

Die Seitenlängen des ursprünglichen Rechtecks betragen \(9\,\text{cm}\) und \(14\,\text{cm}\).

- In dieser Aufgabe bewegen sich beide Fahrzeuge in die gleiche Richtung. Wie schnell nähert sich der Lkw dem Traktor an? - Berechne zuerst, wie viele Kilometer Vorsprung der Traktor hat, wenn der Lkw losfährt. - Wie lange braucht der Lkw, um diesen Vorsprung bei seiner höheren Geschwindigkeit aufzuholen? - Achte darauf, die Uhrzeit des Einholens vom Startzeitpunkt des Lkw aus zu berechnen.

1. Zeitdifferenz berechnen: Der Zeitunterschied beträgt 42 Minuten, was \(42 : 60 = 0{,}7\,\text{h}\) entspricht. 2. Vorsprung des Traktors bestimmen: \(s_{vor} = 25\,\text{km/h} \cdot 0{,}7\,\text{h} = 17{,}5\,\text{km}\). 3. Relative Geschwindigkeit (Aufholgeschwindigkeit): \(v_{rel} = 60\,\text{km/h} - 25\,\text{km/h} = 35\,\text{km/h}\). 4. Zeit bis zum Einholen ab Start des Lkw: \(t = \frac{17{,}5\,\text{km}}{35\,\text{km/h}} = 0{,}5\,\text{h}\), also 30 Minuten. 5. Uhrzeit bestimmen: 07:42 Uhr + 30 Minuten = 08:12 Uhr. 6. Entfernung vom Hof berechnen: \(s = 60\,\text{km/h} \cdot 0{,}5\,\text{h} = 30\,\text{km}\).

Der Lkw holt den Traktor um 08:12 Uhr in einer Entfernung von \(30\,\text{km}\) vom Hof ein.

- Stelle zuerst für jede der beiden Formen einen eigenen Term für den Umfang auf. - Was weißt du über die Seiten eines Quadrats und eines gleichseitigen Dreiecks? - Wenn die Zäune gleich lang sind, was bedeutet das für die beiden Terme? - Wie kannst du eine Gleichung lösen, bei der die Variable auf beiden Seiten vorkommt?

1. Term für den Umfang des Quadrats aufstellen: \(U_{\text{Quadrat}} = 4 \cdot (z + 2)\). 2. Term für den Umfang des gleichseitigen Dreiecks aufstellen: \(U_{\text{Dreieck}} = 3 \cdot (2z - 1)\). 3. Gleichsetzen der beiden Umfangsterme: \(4 \cdot (z + 2) = 3 \cdot (2z - 1)\). 4. Ausmultiplizieren der Klammern: \(4z + 8 = 6z - 3\). 5. Ordnen der Gleichung (Variablen auf eine Seite, Zahlen auf die andere): \(8 + 3 = 6z - 4z\), daraus folgt \(11 = 2z\). 6. Division durch 2: \(z = 5{,}5\).

Der Wert von \(z\) ist \(5{,}5\).

- Wie kannst du aus der Länge und dem Flächeninhalt des Rechtecks seine Breite berechnen? - Wie viel Fläche bleibt für das dreieckige Beet übrig, wenn du das Rechteck von der Gesamtfläche abziehst? - Welches Maß des Rechtecks dient als Grundseite für das Dreieck? - Stelle eine Gleichung auf, in der die Höhe des Dreiecks die gesuchte Unbekannte ist.

1. Bestimmung der Breite des Rechtecks (Grundseite des Dreiecks): \(120 = 12 \cdot b \implies b = 10\,\text{m}\). 2. Berechnung des Flächeninhalts des dreieckigen Beets durch Subtraktion: \(A_{Beet} = 150 - 120 = 30\,\text{m}^2\). 3. Aufstellen der Gleichung für das Dreieck mit der Grundseite \(g = 10\,\text{m}\): \(30 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot h\). 4. Vereinfachen der Gleichung: \(30 = 5 \cdot h\). 5. Auflösen nach der Höhe: \(h = 30 : 5 = 6\). 6. Die Höhe des Beets beträgt \(6\,\text{m}\).

Die Höhe des dreieckigen Beets beträgt \(6\,\text{m}\).

- Was wissen wir über den Unterschied in der Breite der beiden Beete? - Wie viel mehr Fläche entsteht pro Meter Länge, wenn ein Beet \(2\,\text{m}\) breiter ist? - Schau dir die Breiten in Teil b) genau an: Wie hängen \(3\,\text{m}\), \(5\,\text{m}\) und \(8\,\text{m}\) zusammen? - Erinnerst du dich an das Distributivgesetz beim Ausmultiplizieren von Klammern?

1. Aufstellen einer Gleichung für die Differenz der Flächeninhalte mit der Länge \(L\): \(5 \cdot L - 3 \cdot L = 14\). 2. Vereinfachen der Gleichung: \(2 \cdot L = 14\). 3. Lösen der Gleichung: \(L = 7\). Die Länge beträgt \(7\,\text{m}\). 4. Berechnung der Flächeninhalte von Beet A und Beet B: \(A_A = 7 \cdot 3 = 21\,\text{m}^2\) und \(A_B = 7 \cdot 5 = 35\,\text{m}^2\). 5. Berechnung des Flächeninhalts von Beet C: \(A_C = 7 \cdot 8 = 56\,\text{m}^2\). 6. Begründung zu Teil c): Da die Länge \(L\) bei allen Beeten gleich ist, gilt nach dem Distributivgesetz \(L \cdot (w_A + w_B) = L \cdot w_A + L \cdot w_B\). Da die Breite von Beet C die Summe der Breiten von A und B ist, muss sein Flächeninhalt die Summe der Teilflächen sein.

a) Die Länge der Beete beträgt \(7\,\text{m}\). b) Der Flächeninhalt von Beet C beträgt \(56\,\text{m}^2\). c) Da die Länge identisch ist, lässt sich die Gesamtfläche als \(L \cdot (3 + 5)\) schreiben, was nach dem Distributivgesetz \(L \cdot 3 + L \cdot 5\) entspricht – also der Summe der Einzelbeete.

- Beginne damit, eine Gleichung für die Gesamtkosten aufzustellen. - Was bedeutet „dreimal so viele“ mathematisch für deine Variable? - Für den zweiten Teil musst du zuerst wissen, wie viele Kisten es insgesamt sind. - Achte beim neuen Verhältnis darauf, dass die Summe der Kisten gleich bleibt.

1. Teil a: Definition der Variablen \(x\) als Anzahl der großen Kisten. Die Anzahl der kleinen Kisten ist \(3x\). 2. Aufstellen der Gleichung: \(12 \cdot x + 4{,}5 \cdot 3x = 153\). 3. Zusammenfassen: \(12x + 13{,}5x = 153\), also \(25{,}5x = 153\). 4. Lösen: \(x = 153 : 25{,}5 = 6\). Es wurden \(6\) große und \(18\) kleine Kisten gekauft. 5. Teil b: Gesamtzahl der Kisten ist \(6 + 18 = 24\). 6. Neues Verhältnis (2 große auf 1 kleine): Sei \(y\) die Anzahl der kleinen Kisten, dann ist \(2y\) die Anzahl der großen. \(y + 2y = 24 \Rightarrow 3y = 24 \Rightarrow y = 8\). 7. Neue Mengen: \(8\) kleine Kisten und \(16\) große Kisten. 8. Kostenberechnung: \(16 \cdot 12 + 8 \cdot 4{,}5 = 192 + 36 = 228\). Ergebnis: Der neue Gesamtpreis wäre \(228{,}00\,\text{€}\).

a) Der Kunde hat \(6\) große und \(18\) kleine Kisten gekauft. b) Er hätte insgesamt \(228{,}00\,\text{€}\) bezahlt.

- Wie kannst du die Anzahl der Brezeln mathematisch beschreiben, wenn sie vom Vierfachen der Brötchenanzahl abhängt? - Stelle eine Gleichung auf, die den Wert aller verkauften Brötchen und aller verkauften Brezeln addiert. - Achte darauf, beim Zusammenfassen der \(x\)-Werte die Dezimalzahlen korrekt zu addieren.

1. Definition der Variablen: \(x\) sei die Anzahl der verkauften Brötchen. 2. Ausdruck für die Brezeln: Da viermal so viele Brezeln verkauft wurden, ist deren Anzahl \(4x\). 3. Aufstellen der Einnahmengleichung: \(2{,}50 \cdot x + 1{,}50 \cdot (4x) = 170\). 4. Vereinfachen des Terms für die Brezeln: \(1{,}50 \cdot 4x = 6x\). 5. Zusammenfassen der Gleichung: \(2{,}5x + 6x = 170 \Rightarrow 8{,}5x = 170\). 6. Lösen nach \(x\): \(x = 170 : 8{,}5 = 20\). 7. Berechnung der Brezelanzahl: \(4 \cdot 20 = 80\).

Es wurden 20 belegte Brötchen und 80 Brezeln verkauft.

- Überlege dir einen Namen (Variable) für die Strecke am ersten Tag. - Wie lässt sich „das \(1{,}5\)-Fache“ mathematisch ausdrücken? - Wenn du die Strecke für Tag 2 als Term hast, wie kannst du dann den Tag 3 beschreiben, der davon abhängt? - Stelle eine Gleichung auf, in der alle drei Tage zusammen den Gesamtwert ergeben.

1. Festlegung der Unbekannten \(x\) für die Strecke am ersten Tag in \(\text{km}\). 2. Aufstellen der Terme für die weiteren Tage: Tag 2 entspricht \(1{,}5x\), Tag 3 entspricht \(1{,}5x - 2\). 3. Aufstellen der Gleichung für die Gesamtstrecke: \(x + 1{,}5x + (1{,}5x - 2) = 46\). 4. Zusammenfassen der Terme auf der linken Seite: \(4x - 2 = 46\). 5. Lösen der Gleichung: Addition von 2 ergibt \(4x = 48\); Division durch 4 ergibt \(x = 12\). 6. Ermittlung der Tagesstrecken: Tag 1 ist \(12\,\text{km}\), Tag 2 ist \(1{,}5 \cdot 12 = 18\,\text{km}\), Tag 3 ist \(18 - 2 = 16\,\text{km}\).

Am ersten Tag ist die Gruppe \(12\,\text{km}\), am zweiten Tag \(18\,\text{km}\) und am dritten Tag \(16\,\text{km}\) gewandert.

- Überlege dir, welches Paketgewicht du als Grundwert (Variable) festlegst. - Wie kannst du die Gewichte der anderen Pakete im Verhältnis dazu beschreiben? - Wie oft kommt jede Paketart in der Gesamtrechnung vor? - Erstelle eine Gleichung, die alle Pakete und ihr Gesamtgewicht berücksichtigt.

1. Festlegen der Variablen \(x\) für das Gewicht eines kleinen Pakets in \(\text{kg}\). 2. Ausdrücken der Gewichte der anderen Pakete durch \(x\): mittleres Paket = \(x + 2\), großes Paket = \(2 \cdot x\). 3. Aufstellen der Gleichung für das Gesamtgewicht aller Pakete: \(10 \cdot x + 5 \cdot (x + 2) + 2 \cdot (2 \cdot x) = 86\). 4. Vereinfachen der Gleichung: \(10x + 5x + 10 + 4x = 86 \Rightarrow 19x + 10 = 86\). 5. Lösen der Gleichung: \(19x = 76 \Rightarrow x = 4\). 6. Berechnung der einzelnen Gewichte: kleines Paket \(4\,\text{kg}\), mittleres Paket \(4 + 2 = 6\,\text{kg}\), großes Paket \(2 \cdot 4 = 8\,\text{kg}\).

Ein kleines Paket wiegt \(4\,\text{kg}\), ein mittleres Paket \(6\,\text{kg}\) und ein großes Paket \(8\,\text{kg}\).

- Skizziere die beiden neuen Beete. Was ist bei beiden gleich und was unterscheidet sie? - Stelle für beide neuen Beete einen Term für den Flächeninhalt auf. - Wie kannst du den Unterschied der beiden Flächen mathematisch ausdrücken? - Kannst du die Aufgabe lösen, ohne die quadratische Fläche \(a^2\) direkt berechnen zu müssen?

1. Definition der Ausgangslage: Beide Beete haben die Fläche \(A_{quadrat} = a^2\). 2. Neue Flächeninhalte berechnen: Gärtner A hat nun die Fläche \(A_A = a \cdot (a + 2) = a^2 + 2a\). Gärtner B hat die Fläche \(A_B = a \cdot (a + 5) = a^2 + 5a\). 3. Differenz bilden: Der Unterschied zwischen den Flächen beträgt \(A_B - A_A = (a^2 + 5a) - (a^2 + 2a) = 3a\). 4. Gleichung aufstellen und lösen: Laut Aufgabe ist dieser Unterschied \(15\,\text{m}^2\). Also gilt \(3a = 15\). 5. Ergebnis: Durch Division durch 3 erhält man \(a = 5\,\text{m}\).

Die ursprüngliche Seitenlänge der Beete beträgt \(5\,\text{m}\).

- Überlege dir, wie du die neuen Seitenlängen ausgehend von den alten beschreiben kannst. - Was bedeutet es für die Gleichung, wenn die Flächeninhalte gleich groß sind? - Achte darauf, am Ende nicht nur die Breite, sondern den gesuchten Umfang zu berechnen.

1. Definition der Variablen: Breite des ursprünglichen Rechtecks \(b\), Länge \(l = b + 8\) 2. Term für den ursprünglichen Flächeninhalt: \(A_1 = b \cdot (b + 8) = b^2 + 8b\) 3. Maße des neuen Rechtecks: Breite \(b + 2\), Länge \(b + 8 - 3 = b + 5\) 4. Term für den neuen Flächeninhalt: \(A_2 = (b + 2) \cdot (b + 5) = b^2 + 7b + 10\) 5. Gleichsetzen der Flächen (\(A_1 = A_2\)): \(b^2 + 8b = b^2 + 7b + 10\) 6. Lösen nach \(b\): \(b = 10\,\text{cm}\) 7. Bestimmung der ursprünglichen Maße: Breite \(10\,\text{cm}\), Länge \(18\,\text{cm}\) 8. Berechnung des Umfangs: \(U = 2 \cdot (10 + 18) = 56\,\text{cm}\)

Der Umfang des ursprünglichen Rechtecks beträgt \(56\,\text{cm}\).

- Wenn du die Anzahl einer Sorte mit \(x\) bezeichnest und die Gesamtanzahl kennst, wie kannst du dann die Anzahl der anderen Sorte ausdrücken? - Wie berechnet man den Preis für mehrere Artikel derselben Sorte? - Kannst du eine Gleichung aufstellen, die den Gesamtwert aus beiden Sorten kombiniert? - Überprüfe dein Ergebnis am Ende: Ergeben die Anzahlen zusammen \(45\) und passt der Gesamtpreis?

1. Definition der Variablen: \(x\) ist die Anzahl der Filzstifte. Die Anzahl der Bleistifte ist dann \(45 - x\). 2. Aufstellen der Gleichung über die Gesamtkosten: \(1{,}20 \cdot x + 0{,}50 \cdot (45 - x) = 38{,}60\). 3. Lösen der Gleichung: Klammer auflösen ergibt \(1{,}2x + 22{,}5 - 0{,}5x = 38{,}6\). Zusammenfassen der \(x\)-Glieder: \(0{,}7x + 22{,}5 = 38{,}6\). 4. Isolieren von \(x\): \(0{,}7x = 16{,}1\). Division durch \(0{,}7\): \(x = 23\). 5. Berechnung der zweiten Sorte: Anzahl Bleistifte \(= 45 - 23 = 22\). Ergebnis: Es wurden \(23\) Filzstifte und \(22\) Bleistifte gekauft.

a) Eine mögliche Gleichung ist \(1{,}20 \cdot x + 0{,}50 \cdot (45 - x) = 38{,}60\). b) Es wurden \(23\) Filzstifte und \(22\) Bleistifte gekauft.

- In Teil a) hilft es, die Fläche des Quadrats und die des neuen Rechtecks durch die Unbekannte auszudrücken. - Achte beim Lösen der Gleichung darauf, dass die quadratischen Terme wegfallen sollten. - In Teil b) sollst du ein konkretes Gegenbeispiel berechnen. Nutze dafür das Ergebnis aus Teil a). - Vergleiche das Ergebnis der Multiplikation mit dem ursprünglichen quadratischen Flächeninhalt.

1. Teil a: Sei \(s\) die Seitenlänge des Quadrats in \(\text{m}\). Der Flächeninhalt ist \(A_Q = s^2\). 2. Die neuen Maße des Rechtecks sind \(s + 6\) und \(s - 4\). Der Flächeninhalt des Rechtecks ist \(A_R = (s + 6) \cdot (s - 4) = s^2 - 4s + 6s - 24 = s^2 + 2s - 24\). 3. Gleichung aufstellen: \(A_R = A_Q + 16\), also \(s^2 + 2s - 24 = s^2 + 16\). 4. Lösen der Gleichung: \(2s - 24 = 16 \Rightarrow 2s = 40 \Rightarrow s = 20\). Die ursprüngliche Seitenlänge beträgt \(20\,\text{m}\). 5. Teil b: Ursprünglicher Flächeninhalt bei \(s = 20\,\text{m}\) ist \(20 \cdot 20 = 400\,\text{m}^2\). 6. Änderung um \(5\,\text{m}\): Die neuen Seiten wären \(20 + 5 = 25\,\text{m}\) und \(20 - 5 = 15\,\text{m}\). 7. Neuer Flächeninhalt: \(25 \cdot 15 = 375\,\text{m}^2\). Da \(375 \neq 400\), ist die Behauptung widerlegt.

a) Die ursprüngliche Seitenlänge des quadratischen Spielplatzes beträgt \(20\,\text{m}\). b) Bei einer Änderung von \(5\,\text{m}\) ergibt sich ein Flächeninhalt von \(25\,\text{m} \cdot 15\,\text{m} = 375\,\text{m}^2\). Da das ursprüngliche Quadrat \(400\,\text{m}^2\) groß war, ist die Behauptung falsch.

- Wenn die Breite \(x\) ist, wie kannst du dann die Länge ausdrücken? - Bedenke, dass an jeder Seite zwei Ecken der Quadrate abgezogen werden müssen, um auf die Maße des Bodens zu kommen. - Stelle eine Gleichung für den Unterschied der beiden Flächeninhalte auf. - Überprüfe am Ende, ob deine berechneten Maße logisch sinnvoll für das Ausschneiden der Quadrate sind.

1. Sei \(b\) die Breite des Blechs in \(\text{cm}\). Dann ist die Länge \(l = 2b\). Die Fläche des Blechs ist \(A_{\text{Blech}} = 2b \cdot b = 2b^2\). 2. Die Maße des Bodens der Schachtel betragen \((2b - 4)\) und \((b - 4)\). Die Bodenfläche ist \(A_{\text{Boden}} = (2b - 4) \cdot (b - 4)\). 3. Ausmultiplizieren der Bodenfläche: \(A_{\text{Boden}} = 2b^2 - 8b - 4b + 16 = 2b^2 - 12b + 16\). 4. Die Differenz der Flächen beträgt \(A_{\text{Blech}} - A_{\text{Boden}} = 44\). Einsetzen ergibt: \(2b^2 - (2b^2 - 12b + 16) = 44\). 5. Vereinfachung der Gleichung: \(12b - 16 = 44\). 6. Lösung der Gleichung: \(12b = 60\), also \(b = 5\,\text{cm}\). Die Länge beträgt somit \(l = 10\,\text{cm}\). 7. Berechnung des Volumens: Die Bodenmaße sind \(10 - 4 = 6\,\text{cm}\) und \(5 - 4 = 1\,\text{cm}\). Mit der Höhe \(h = 2\,\text{cm}\) ergibt sich \(V = 6 \cdot 1 \cdot 2 = 12\,\text{cm}^3\).

Das Blech ist \(10\,\text{cm}\) lang und \(5\,\text{cm}\) breit. Das Volumen der Schachtel beträgt \(12\,\text{cm}^3\).

- Beginne damit, die Mengen beider Behälter mithilfe einer Variablen \(x\) zu beschreiben. - Was passiert mit der Wassermenge in Behälter 1, wenn Wasser aus Behälter 2 hinzugefügt wird? - Achte bei der Gleichung darauf, welches Vielfache (hier das Dreifache) auf welche Seite der Gleichung gehört, damit die Waage im Gleichgewicht ist. - Was gibt ein Subtraktionsterm wie \((x - 5)\) allgemein an, wenn \(x\) ein Startwert ist?

1. Festlegen der Variablen: \(x\) ist die Menge in Behälter 2. Behälter 1 enthält \(x + 10\). 2. Mengen nach dem Umgießen: Behälter 2 hat \(x - 5\), Behälter 1 hat \((x + 10) + 5 = x + 15\). 3. Aufstellen der Gleichung für das neue Verhältnis: \(x + 15 = 3 \cdot (x - 5)\). 4. Lösen der Gleichung: \(x + 15 = 3 \cdot x - 15\). Durch Umformen erhält man \(2 \cdot x = 30\), also \(x = 15\). 5. Berechnung der Menge für Behälter 1: \(15 + 10 = 25\). 6. Interpretation des Terms: Der Term \((x - 5)\) stellt die Wassermenge dar, die nach dem Umgießen noch in Behälter 2 vorhanden ist.

a) Ursprünglich waren in Behälter 1 \(25\,\text{l}\) und in Behälter 2 \(15\,\text{l}\) Wasser. b) Der Term \((x - 5)\) beschreibt die Wassermenge in Litern, die nach der Entnahme von \(5\,\text{l}\) in Behälter 2 verbleibt.

- Versuche, die unbekannte Anzahl der Laptops in einem Raum als Variable zu bezeichnen. - Wie viele Laptops sind nach dem Umstellen in jedem Raum? Schreibe dies als Rechenausdruck auf. - Das Wort „Anteil“ oder der Bruch weist auf eine multiplikative Beziehung zwischen den beiden neuen Mengen hin. - Wurden Laptops von außen hinzugefügt oder aus der Schule entfernt?

1. Definition der Unbekannten: \(x\) ist die Anzahl der Laptops in Raum Beta, \(2x\) ist die Anzahl in Raum Alpha. 2. Aufstellen der Gleichung nach dem Transfer von 9 Geräten: \(x + 9 = \frac{4}{5} \cdot (2x - 9)\). 3. Multiplikation der gesamten Gleichung mit 5 zur Beseitigung des Bruchs: \(5x + 45 = 4 \cdot (2x - 9)\). 4. Ausmultiplizieren der Klammer: \(5x + 45 = 8x - 36\). 5. Ordnen der Terme: \(81 = 3x\). 6. Lösung für Raum Beta: \(x = 27\). 7. Lösung für Raum Alpha: \(2 \cdot 27 = 54\). 8. Begründung zur Gesamtzahl: Da die Laptops nur innerhalb der Schule verschoben wurden (interner Transfer), bleibt die Summe der Geräte (\(54 + 27 = 81\)) konstant.

Ursprünglich waren 54 Laptops in Raum Alpha und 27 Laptops in Raum Beta. Die Gesamtzahl bleibt gleich, da die Geräte lediglich den Standort gewechselt haben und keine Laptops hinzugefügt oder entfernt wurden.

- Überlege dir, wie du die Preise vor dem Rabatt bezeichnen kannst. - Wie sehen die Preise aus, nachdem \(12\,\text{€}\) abgezogen wurden? - Setze die neuen Preise in das Verhältnis, das für die Rabattaktion angegeben ist. - Achte beim Aufstellen der Gleichung auf die Klammersetzung.

1. Definition der Unbekannten: \(b\) sei der ursprüngliche Preis des Bohrersatzes. Der Preis der Bohrmaschine ist dann \(5b\). 2. Aufstellen der Gleichung nach der Preissenkung: \(5b - 12 = 8 \cdot (b - 12)\). 3. Vereinfachen der Gleichung: \(5b - 12 = 8b - 96\). 4. Ordnen der Terme: Durch Addition von 96 und Subtraktion von \(5b\) erhält man \(84 = 3b\). 5. Berechnung der Preise: Division durch 3 ergibt \(b = 28\). Der ursprüngliche Preis des Bohrersatzes beträgt \(28\,\text{€}\). 6. Ermittlung des zweiten Preises: Die Bohrmaschine kostete ursprünglich \(5 \cdot 28\,\text{€} = 140\,\text{€}\).

Der Bohrersatz kostete ursprünglich \(28\,\text{€}\) und die Akku-Bohrmaschine \(140\,\text{€}\).

- Finde zuerst heraus, wie viele Fotos am Anfang in jedem Album waren. - Was passiert mit der Gesamtzahl aller Fotos, wenn du sie nur zwischen den Alben verschiebst? - Wenn beide Alben am Ende gleich viele Fotos haben sollen, wie viele Fotos sind das bei der berechneten Gesamtzahl? - Wie viele Fotos fehlen dann im kleineren Album noch bis zu dieser Zielzahl?

1. Variable festlegen: Sei \(b\) die Anzahl der Fotos in Album B, dann hat Album A am Anfang \(4b\) Fotos. 2. Gleichung für die erste Verschiebung aufstellen: \(4b - 12 = 2 \cdot (b + 12)\). 3. Gleichung lösen: \(4b - 12 = 2b + 24 \Rightarrow 2b = 36 \Rightarrow b = 18\). 4. Anfangsbestände berechnen: Album B hat 18 Fotos, Album A hat \(4 \cdot 18 = 72\) Fotos. 5. Gesamtanzahl und Zielzustand bestimmen: Insgesamt sind es \(72 + 18 = 90\) Fotos. Bei Gleichstand hätte jedes Album \(90 : 2 = 45\) Fotos. 6. Benötigte Verschiebung berechnen: Von 72 Fotos in Album A müssen so viele weg, dass 45 übrig bleiben: \(72 - 45 = 27\).

Es müssten insgesamt 27 Fotos von Album A nach Album B verschoben werden.

- Überlege dir, wie du die Anzahl der Jungen und Mädchen mit einer Unbekannten ausdrücken kannst, wenn das Verhältnis bekannt ist. - Achte darauf, ob Personen dazukommen oder gehen – wie ändert das deine Terme? - Ein Verhältnis von \(1 : 2\) bedeutet, dass eine Gruppe genau doppelt so groß ist wie die andere. - Kannst du eine Gleichung aufstellen, in der die beiden neuen Mengen zueinander in Beziehung gesetzt werden?

1. Definition der Ausgangsmengen mit dem Faktor \(x\): Jungen = \(3x\), Mädchen = \(7x\). 2. Modellierung der Änderung: Jungen neu = \(3x + 8\), Mädchen neu = \(7x - 4\). 3. Aufstellen der Gleichung für das neue Verhältnis: \(\frac{3x + 8}{7x - 4} = \frac{1}{2}\). 4. Umformen der Gleichung: \(2 \cdot (3x + 8) = 1 \cdot (7x - 4)\). 5. Auflösen der Klammern und Isolieren von \(x\): \(6x + 16 = 7x - 4 \Rightarrow x = 20\). 6. Berechnung der gesuchten Werte: Jungen = \(3 \cdot 20 = 60\), Mädchen = \(7 \cdot 20 = 140\).

Anfangs waren \(60\) Jungen und \(140\) Mädchen im Chor.

- Was genau soll die Variable \(x\) in dieser Aufgabe beschreiben? - Wie verändert sich die Gesamtzahl der Bäume, wenn eine Klasse länger oder kürzer arbeitet? - Überlege dir zuerst, wie viele Bäume jede Klasse einzeln in ihrer jeweiligen Arbeitszeit schafft. - Für den letzten Aufgabenteil musst du die bereits berechnete Stundenleistung mit einer neuen Zeitvorgabe kombinieren.

1. Aufstellen der Gleichung (Teil a): Mit \(x\) als Stundenleistung der Klasse 7b und \(x + 3\) für Klasse 7a ergibt sich \(4 \cdot (x + 3) + 5 \cdot x = 93\). 2. Lösen der Gleichung (Teil b): \(4x + 12 + 5x = 93 \Rightarrow 9x + 12 = 93 \Rightarrow 9x = 81 \Rightarrow x = 9\). 3. Ergebnisse für die Stundenleistungen: Klasse 7b pflanzt \(9\) Bäume pro Stunde, Klasse 7a pflanzt \(9 + 3 = 12\) Bäume pro Stunde. 4. Berechnung für Teil c: Die Klasse 7a arbeitete \(4\) Stunden. Bei einer Stundenleistung von \(9\) Bäumen hätte Klasse 7b in dieser Zeit \(9 \cdot 4 = 36\) Bäume gepflanzt.

a) \(4 \cdot (x + 3) + 5 \cdot x = 93\) b) Klasse 7a: \(12\) Bäume pro Stunde; Klasse 7b: \(9\) Bäume pro Stunde. c) \(36\) Bäume.

- Wie viel Prozent der Strecke werden mit der reduzierten Geschwindigkeit gefahren? - Wandle die Verspätung von Minuten in Stunden um, damit sie zu den Geschwindigkeitsangaben in km/h passt. - Stelle einen Term für die normale Fahrzeit und einen Term für die Fahrzeit mit Baustelle auf. - Was bedeutet „Verspätung“ mathematisch für den Vergleich der beiden Zeiten?

1. Variable \(d\) für die Gesamtlänge in \(\text{km}\) festlegen. 2. Planmäßige Fahrzeit: \(t_{\text{plan}} = \frac{d}{120}\). 3. Tatsächliche Fahrzeit mit Baustelle: \(t_{\text{ist}} = \frac{0{,}6d}{120} + \frac{0{,}4d}{80}\). 4. Verspätung in Stunden umrechnen: \(15\,\text{min} = 0{,}25\,\text{h}\). 5. Lineare Gleichung aufstellen: \(t_{\text{ist}} - t_{\text{plan}} = 0{,}25\). 6. Terme zusammenfassen: \(\frac{0{,}6d - d}{120} + \frac{0{,}4d}{80} = 0{,}25 \implies \frac{-0{,}4d}{120} + \frac{0{,}4d}{80} = 0{,}25\). 7. Auf gemeinsamen Nenner \(240\) bringen: \(\frac{-0{,}8d + 1{,}2d}{240} = 0{,}25 \implies \frac{0{,}4d}{240} = 0{,}25\). 8. Nach \(d\) auflösen: \(0{,}4d = 60 \implies d = 150\). Die Strecke ist \(150\,\text{km}\) lang.

Die Bahnstrecke ist \(150\,\text{km}\) lang.

- Wandle die Zeitangabe in Minuten zuerst in Stunden um, damit sie zu den Geschwindigkeiten passt. - Was wissen wir über die zurückgelegten Strecken beider Läufer zum Zeitpunkt des Einholens? - Überlege für Aufgabenteil b), wie viel Zeit Jan insgesamt zur Verfügung hat, wenn Tim nach \(6\,\text{km}\) eingeholt werden soll.

1. Zeitvorsprung in Stunden umrechnen: \(12\,\text{min} = \frac{12}{60}\,\text{h} = 0{,}2\,\text{h}\). 2. Gleichung für die Laufzeit \(t\) von Jan aufstellen: \(12 \cdot t = 10 \cdot (t + 0{,}2)\). 3. Lösung der Gleichung: \(12t = 10t + 2 \implies 2t = 2 \implies t = 1\,\text{h}\). 4. Für Teil b) Tims benötigte Zeit bis Kilometer \(6\) berechnen: \(t = 6\,\text{km} : 10\,\text{km/h} = 0{,}6\,\text{h}\). 5. Jan hat \(12\,\text{Minuten}\) weniger Zeit: \(0{,}6\,\text{h} - 0{,}2\,\text{h} = 0{,}4\,\text{h}\). 6. Notwendige Geschwindigkeit für Jan: \(v = 6\,\text{km} : 0{,}4\,\text{h} = 15\,\text{km/h}\).

a) Jan holt Tim \(1\,\text{Stunde}\) nach seinem eigenen Start ein. b) Jan müsste mit einer Geschwindigkeit von \(15\,\text{km/h}\) laufen.

- Wie groß ist der zeitliche Vorsprung von Gruppe A in Stunden ausgedrückt? - Stelle eine Gleichung auf, in der die zurückgelegten Wege beider Gruppen gleichgesetzt werden. - Überlege für den letzten Teil, ob die berechnete Entfernung des Treffpunkts kleiner oder größer als die Entfernung zur Hütte ist.

1. Zeitdifferenz zwischen den Starts berechnen: \(10:00\,\text{Uhr} - 8:30\,\text{Uhr} = 1{,}5\,\text{h}\). 2. Gleichung aufstellen, wobei \(t\) die Wanderzeit von Gruppe B ist: \(3 \cdot (t + 1{,}5) = 5 \cdot t\). 3. Gleichung lösen: \(3t + 4{,}5 = 5t \implies 2t = 4{,}5 \implies t = 2{,}25\,\text{h}\). 4. Zeitpunkt bestimmen: \(10:00\,\text{Uhr} + 2\,\text{h}\) und \(0{,}25 \cdot 60\,\text{min} = 15\,\text{min} \implies 12:15\,\text{Uhr}\). 5. Entfernung berechnen: \(5\,\text{km/h} \cdot 2{,}25\,\text{h} = 11{,}25\,\text{km}\). 6. Vergleich für Aufgabenteil c: Da \(11{,}25\,\text{km} < 12\,\text{km}\), erfolgt das Einholen vor Erreichen der Hütte.

a) Gruppe B holt Gruppe A um \(12:15\,\text{Uhr}\) ein. b) Das Treffen findet nach \(11{,}25\,\text{km}\) statt. c) Ja, da \(11{,}25\,\text{km} < 12\,\text{km}\), findet das Treffen vor der Hütte statt.

- Bestimme zuerst, welcher Bruchteil des Gartens für den Weg übrig bleibt, wenn du die anderen Anteile von der Gesamtfläche (Ganze) abziehst. - Stelle eine Beziehung zwischen der Fläche des Weges und der Fläche der Blumenbeete her. - Was bedeutet es mathematisch, wenn eine Fläche um einen bestimmten Wert kleiner ist als eine andere? - Nutze eine Variable für die gesamte Gartenfläche, um die Informationen in eine Gleichung zu übersetzen.

1. Berechnung des Anteils für den Weg: \(1 - \frac{2}{7} - \frac{1}{2} = \frac{14}{14} - \frac{4}{14} - \frac{7}{14} = \frac{3}{14}\). 2. Variable festlegen: Sei \(x\) die Gesamtfläche des Gartens in \(\text{m}^2\). 3. Ausdruck für die Flächeninhalte aufstellen: Blumenbeetfläche ist \(\frac{2}{7}x\), Wegfläche ist \(\frac{3}{14}x\). 4. Gleichung basierend auf der Differenz aufstellen: \(\text{Wegfläche} = \text{Blumenbeetfläche} - 30\). 5. Einsetzen der Terme: \(\frac{3}{14}x = \frac{2}{7}x - 30\). 6. Gleichung umformen (Brüche gleichnamig machen): \(\frac{3}{14}x = \frac{4}{14}x - 30\). 7. Nach \(x\) auflösen: \(30 = \frac{4}{14}x - \frac{3}{14}x = \frac{1}{14}x\). 8. Ergebnis: \(x = 30 \cdot 14 = 420\).

a) Der Weg nimmt \(\frac{3}{14}\) der Gesamtfläche ein. b) Die Gesamtfläche des Schulgartens beträgt \(420\,\text{m}^2\).

- Kannst du ausdrücken, wie viel die Aushilfe pro Woche insgesamt in Form von Geld und Tablet erhalten hätte? - Wie viel hätte sie nach dieser Rechnung in 5 Wochen insgesamt erhalten? - Stelle eine Gleichung auf, in der der Wert für 5 Wochen auf zwei Arten beschrieben wird. - Überlege dir eine Variable für den unbekannten Wert des Gegenstands.

1. Definition der Variable \(x\) für den Wert des Tablets in Euro. 2. Aufstellen des Gesamtwerts der Vergütung für 8 Wochen: \(x + 420\). 3. Berechnung des Werts für eine Woche: \(\frac{x + 420}{8}\). 4. Aufstellen des Werts für die geleisteten 5 Wochen: \(5 \cdot \frac{x + 420}{8}\). 5. Gleichsetzen mit dem tatsächlich erhaltenen Wert: \(\frac{5 \cdot (x + 420)}{8} = x + 60\). 6. Lösen der Gleichung: \(5x + 2\,100 = 8 \cdot (x + 60)\) \(5x + 2\,100 = 8x + 480\) \(1\,620 = 3x\) \(x = 540\). Das Tablet hat einen Wert von \(540\,\text{€}\).

Das Tablet ist \(540\,\text{€}\) wert.

- Wie kannst du Prozentangaben und Brüche einheitlich in einer Gleichung schreiben? - Welche Gruppe ist größer – die Kochgruppe oder die Werkstatt? Das hilft dir bei der Differenz. - Wenn du alle Gruppen zusammenzählst, was muss als Ergebnis herauskommen? - Kannst du die Gleichung vereinfachen, bevor du den Hauptnenner suchst?

1. Definition der Variablen: \(x\) ist die Gesamtzahl der Jugendlichen. 2. Übersetzung der Anteile in Terme: Kochen: \(\frac{1}{3}x\); Werkstatt: \(0{,}25x = \frac{1}{4}x\). 3. Term für die Tanzgruppe: \(3 \cdot \left(\frac{1}{3}x - \frac{1}{4}x\right)\). 4. Aufstellen der Gleichung: \(x = \frac{1}{3}x + \frac{1}{4}x + 3 \cdot \left(\frac{1}{3}x - \frac{1}{4}x\right) + 10\). 5. Vereinfachen der Gleichung: \(x = \frac{1}{3}x + \frac{1}{4}x + x - \frac{3}{4}x + 10\). 6. Zusammenfassen der Terme mit \(x\): \(0 = \frac{1}{3}x - \frac{2}{4}x + 10\), was zu \(0 = \frac{1}{3}x - \frac{1}{2}x + 10\) führt. 7. Umformen und Hauptnenner bilden: \(\frac{1}{2}x - \frac{1}{3}x = 10 \Rightarrow \frac{3}{6}x - \frac{2}{6}x = 10\). 8. Lösung der Gleichung: \(\frac{1}{6}x = 10 \Rightarrow x = 60\).

a) Eine mögliche Gleichung ist \(x = \frac{1}{3}x + \frac{1}{4}x + 3 \cdot (\frac{1}{3}x - \frac{1}{4}x) + 10\). b) Es sind insgesamt 60 Jugendliche im Zentrum.

- Überlege zuerst, wie viel der Strecke nach dem ersten Tag noch zu wandern ist. - Welchen Bruchteil der Gesamtstrecke macht der zweite Tag aus? - Wie viel der Gesamtstrecke (als Bruch) bleibt für den dritten Tag übrig? - Berechne am Ende die Kilometer für jeden Tag, um sie vergleichen zu können.

1. Sei \(d\) die Gesamtlänge. Strecke Tag 1: \(\frac{2}{5}d\). Verbleibender Rest nach Tag 1: \(d - \frac{2}{5}d = \frac{3}{5}d\). 2. Strecke Tag 2: \(\frac{1}{3}\) des Rests, also \(\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{5}d = \frac{1}{5}d\). 3. Verbleibender Rest für Tag 3: \(\frac{3}{5}d - \frac{1}{5}d = \frac{2}{5}d\). 4. Da die Strecke am 3. Tag \(12\,\text{km}\) lang ist: \(\frac{2}{5}d = 12 \implies d = 12 \cdot \frac{5}{2} = 30\,\text{km}\). 5. Berechnung der Tagesstrecken: Tag 1 = \(\frac{2}{5} \cdot 30 = 12\,\text{km}\); Tag 2 = \(\frac{1}{5} \cdot 30 = 6\,\text{km}\); Tag 3 = \(12\,\text{km}\). 6. Vergleich: Am ersten und am dritten Tag wurden jeweils \(12\,\text{km}\) zurückgelegt.

Die Gesamtlänge der Tour beträgt \(30\,\text{km}\). Die Gruppe ist am ersten und am dritten Tag die gleiche Strecke (jeweils \(12\,\text{km}\)) gewandert.

- Überlege dir zuerst, wie viel länger ein Schritt von Anton im Vergleich zu einem Schritt von Bernd ist. - Kannst du ausdrücken, wie weit Anton in der Zeit kommt, in der Bernd genau 5 seiner Schritte macht? - Stelle ein Verhältnis zwischen den Geschwindigkeiten der beiden Läufer auf. - Wenn Anton Bernd einholt, hat er seinen Vorsprung von \(100\,\text{m}\) durch seine höhere Geschwindigkeit wettgemacht.

1. Bestimmung des Verhältnisses der Schrittlängen: Da 3 Schritte von Anton (\(s_A\)) so lang sind wie 4 Schritte von Bernd (\(s_B\)), gilt \(3 \cdot s_A = 4 \cdot s_B\), also \(s_A = \frac{4}{3} \cdot s_B\). 2. Vergleich der Geschwindigkeiten: Die Geschwindigkeit ist proportional zum Produkt aus Schrittfrequenz und Schrittlänge. In einem festen Zeitraum gilt \(v_A : v_B = (4 \cdot s_A) : (5 \cdot s_B)\). 3. Einsetzen des Schrittlängenverhältnisses: \(v_A : v_B = (4 \cdot \frac{4}{3} \cdot s_B) : (5 \cdot s_B) = \frac{16}{3} : 5 = 16 : 15\). Somit ist \(v_A = \frac{16}{15} \cdot v_B\). 4. Aufstellen der Gleichung für die Strecke \(x\), die Bernd noch zurücklegt: Da die Zeit bis zum Einholen für beide gleich ist, gilt \(\frac{100 + x}{v_A} = \frac{x}{v_B}\). 5. Einsetzen des Geschwindigkeitsverhältnisses und Lösen: \(\frac{100 + x}{\frac{16}{15} \cdot v_B} = \frac{x}{v_B} \implies 100 + x = \frac{16}{15} \cdot x \implies 100 = \frac{1}{15} \cdot x \implies x = 1\,500\).

Bernd muss noch \(1\,500\,\text{m}\), also \(1{,}5\,\text{km}\), laufen.

- Welche Information ist für beide Klassen identisch? - Wenn die Klasse 7a genau \(x\) Tage gesammelt hat, wie viele Tage hat dann die Klasse 7b gesammelt? - Erstelle für jede Klasse einen Ausdruck, der das Gesamtziel beschreibt (bereits gesammelte Menge + noch fehlende Menge). - Setze diese beiden Ausdrücke gleich, um die Anzahl der Tage zu berechnen. - Prüfe am Ende, ob dein Ergebnis für beide Klassen zum gleichen Ziel führt.

1. Festlegung der Variable \(x\) für die Anzahl der Sammeltage der Klasse 7a. 2. Aufstellen der Terme für das gemeinsame Sammelziel: \(12 \cdot x + 40\) für Klasse 7a und \(15 \cdot (x - 2) + 46\) für Klasse 7b. 3. Gleichsetzen der Terme für das Ziel: \(12x + 40 = 15(x - 2) + 46\). 4. Auflösen der Klammer und Vereinfachen: \(12x + 40 = 15x - 30 + 46 \implies 12x + 40 = 15x + 16\). 5. Umstellen der Gleichung nach \(x\): \(24 = 3x \implies x = 8\). 6. Einsetzen des Wertes \(x = 8\) in einen der Ziel-Terme: \(12 \cdot 8 + 40 = 96 + 40 = 136\). Das Ziel beträgt \(136\,\text{kg}\).

Das gesetzte Ziel der Klassen beträgt \(136\,\text{kg}\).

- Überlege dir zuerst, welcher Bruchteil des Beckens pro Minute gefüllt wird, wenn alles normal läuft. - Wie viel geht pro Minute verloren, wenn der Abfluss die Füllzeit von \(20\) auf \(50\) Minuten verlängert? - Stelle eine Gleichung auf, in der die Differenz der Raten die beobachtete Füllgeschwindigkeit ergibt.

1. Bestimmung der Füllrate der Pumpe: \(\frac{1}{20}\) des Aquariums pro Minute. 2. Bestimmung der tatsächlichen Füllrate (Pumpe minus Abfluss): \(\frac{1}{50}\) des Aquariums pro Minute. 3. Aufstellen der Gleichung für die unbekannte Abflussrate \(r_A\): \(\frac{1}{20} - r_A = \frac{1}{50}\). 4. Berechnung der Abflussrate: \(r_A = \frac{1}{20} - \frac{1}{50} = \frac{5}{100} - \frac{2}{100} = \frac{3}{100}\) des Volumens pro Minute. 5. Berechnung der Entleerungszeit durch den Kehrwert der Rate: \(\frac{100}{3}\,\text{Minuten} = 33 \frac{1}{3}\,\text{Minuten}\). 6. Umrechnung in Minuten und Sekunden: \(33\,\text{Minuten}\) und \(20\,\text{Sekunden}\).

Das Entleeren des vollen Aquariums würde \(33\,\text{Minuten}\) und \(20\,\text{Sekunden}\) dauern.

- Die Entfernung zwischen den beiden Anlegestellen bleibt in beide Richtungen gleich. - Wie kannst du die Entfernung mithilfe der Zeit und der (unbekannten) Gesamtgeschwindigkeit ausdrücken? - Setze ein Symbol für die Geschwindigkeit der Strömung ein. - Erstelle eine Gleichung, in der du die Ausdrücke für die Hin- und Rückfahrt gleichsetzt.

1. Definition der Unbekannten \(x\) als Strömungsgeschwindigkeit in \(\text{km/h}\). 2. Aufstellen der Terme für die Geschwindigkeit: flussabwärts \((20 + x)\,\text{km/h}\) und flussaufwärts \((20 - x)\,\text{km/h}\). 3. Aufstellen der Gleichung für die konstante Strecke \(s = v \cdot t\): \(3 \cdot (20 + x) = 5 \cdot (20 - x)\). 4. Lösen der Gleichung durch Ausmultiplizieren: \(60 + 3x = 100 - 5x\). 5. Zusammenfassen der Terme: \(8x = 40\). 6. Division ergibt die Strömungsgeschwindigkeit: \(x = 5\).

Die Geschwindigkeit der Strömung beträgt \(5\,\text{km/h}\).

- Wie berechnet man den Flächeninhalt eines Quadrats und eines Rechtecks? - Kannst du die neuen Seitenlängen mithilfe der ursprünglichen Länge ausdrücken? - Stelle eine Gleichung auf, die den alten und den neuen Flächeninhalt vergleicht. - Was passiert mit dem quadratischen Glied \(s^2\), wenn du die Gleichung vereinfachst?

1. Variable \(s\) für die Seitenlänge des Quadrats definieren; Flächeninhalt ist \(s^2\). 2. Seitenlängen des neuen Rechtecks als \(s + 2\) und \(s + 5\) ausdrücken. 3. Gleichung basierend auf der Flächenzunahme aufstellen: \((s + 2) \cdot (s + 5) = s^2 + 45\). 4. Terme ausmultiplizieren: \(s^2 + 5s + 2s + 10 = s^2 + 45\). 5. Gleichung vereinfachen: \(s^2 + 7s + 10 = s^2 + 45\). 6. \(s^2\) auf beiden Seiten subtrahieren: \(7s + 10 = 45\). 7. Nach \(s\) auflösen: \(7s = 35\), daraus folgt \(s = 5\). 8. Die ursprüngliche Seitenlänge beträgt \(5\,\text{cm}\).

Die Seitenlänge des Quadrats beträgt \(5\,\text{cm}\).

- Überlege dir, wie du die Länge durch die Breite ausdrücken kannst, wenn sie doppelt so groß ist. - Stelle für beide Rechtecke einen Term für den Flächeninhalt auf. - Da die Flächeninhalte gleich sind, kannst du diese Terme gleichsetzen. - Achte beim Ausmultiplizieren der Klammern auf die Vorzeichen.

1. Breite des ursprünglichen Rechtecks als \(b\) und Länge als \(2b\) festlegen. 2. Ursprünglicher Flächeninhalt: \(A_{alt} = b \cdot 2b = 2b^2\). 3. Seiten des neuen Rechtecks ausdrücken: Breite \(b + 2\), Länge \(2b - 3\). 4. Gleichung für den neuen Flächeninhalt aufstellen: \((b + 2) \cdot (2b - 3) = 2b^2\). 5. Klammern ausmultiplizieren: \(2b^2 - 3b + 4b - 6 = 2b^2\). 6. Zusammenfassen: \(2b^2 + b - 6 = 2b^2\). 7. \(2b^2\) subtrahieren: \(b - 6 = 0\), woraus \(b = 6\) folgt. 8. Länge berechnen: \(2 \cdot 6 = 12\). 9. Die Breite beträgt \(6\,\text{cm}\) und die Länge \(12\,\text{cm}\).

Das ursprüngliche Rechteck ist \(6\,\text{cm}\) breit und \(12\,\text{cm}\) lang.

- Wie kannst du die Länge mithilfe der Breite ausdrücken? - Stelle einen Term für den Flächeninhalt vor und nach der Änderung auf. - Überlege dir, wie man den Unterschied zwischen zwei Flächeninhalten mathematisch darstellt. - Welche Information im Text hilft dir, eine Gleichung aufzustellen?

1. Definition der Variablen: Breite \(b\), Länge \(l = b + 5\) 2. Term für den ursprünglichen Flächeninhalt: \(A_1 = b \cdot (b + 5) = b^2 + 5b\) 3. Term für den neuen Flächeninhalt (Breite \(b + 2\)): \(A_2 = (b + 2) \cdot (b + 5) = b^2 + 7b + 10\) 4. Aufstellen der Gleichung für die Flächenzunahme: \(A_2 - A_1 = 30 \Rightarrow (b^2 + 7b + 10) - (b^2 + 5b) = 30\) 5. Vereinfachen der Gleichung: \(b^2 + 7b + 10 - b^2 - 5b = 30 \Rightarrow 2b + 10 = 30\) 6. Lösen der linearen Gleichung: \(2b = 20 \Rightarrow b = 10\) 7. Berechnung der Länge: \(l = 10 + 5 = 15\) 8. Ergebnis: Die Breite beträgt \(10\,\text{m}\) und die Länge \(15\,\text{m}\).

Breite: \(10\,\text{m}\), Länge: \(15\,\text{m}\)

- Achte darauf, dass alle Leistungsangaben in der gleichen Einheit (Watt) stehen, bevor du rechnest. - Kannst du eine Variable für die Anzahl eines Modultyps festlegen? - Was ändert sich im zweiten Teil der Aufgabe an der Gesamtsumme und was bleibt gleich?

1. Umrechnung der Einheiten: \(10\,\text{kW} = 10\,000\,\text{W}\) und \(12\,\text{kW} = 12\,000\,\text{W}\). 2. Aufstellen der Gleichung für Teil a): Sei \(x\) die Anzahl der Module vom Typ A. Die Anzahl vom Typ B ist \(28 - x\). Gleichung: \(320 \cdot x + 400 \cdot (28 - x) = 10\,000\). 3. Lösen der Gleichung: \(320x + 11\,200 - 400x = 10\,000 \implies -80x = -1\,200 \implies x = 15\). 4. Ergebnisse Teil a): Typ A: \(15\) Module; Typ B: \(28 - 15 = 13\) Module. 5. Berechnung für Teil b): Die Leistung der \(15\) Typ-A-Module beträgt \(15 \cdot 320\,\text{W} = 4\,800\,\text{W}\). Die restliche Leistung für Typ B ist \(12\,000\,\text{W} - 4\,800\,\text{W} = 7\,200\,\text{W}\). 6. Neue Anzahl der Module vom Typ B: \(7\,200 : 400 = 18\). Zusätzliche Module: \(18 - 13 = 5\).

a) Es sind \(15\) Module vom Typ A und \(13\) Module vom Typ B installiert. b) Es müssen \(5\) zusätzliche Module vom Typ B installiert werden.

- Wie viel Weg legen beide Gruppen zusammen in einer Stunde zurück? - Wenn eine Gruppe später startet, hat die andere Gruppe in dieser Zeit schon eine gewisse Distanz überwunden. Wie beeinflusst das die restliche Strecke? - Überlege für die Begründung, wie sich der Abstand zwischen den Gruppen verändert, während nur eine Gruppe wandert.

1. Teil a: Aufstellen der Gleichung \(4x + 5x = 18 \implies 9x = 18 \implies x = 2\). Die Treffzeit beträgt \(2\,\text{Stunden}\). 2. Teil b: Umrechnung der Zeitverzögerung: \(45\,\text{min} = 0{,}75\,\text{h}\). 3. Aufstellen der Gleichung für Teil b: Sei \(y\) die Zeit für Gruppe B. Gruppe A läuft \(y + 0{,}75\) Stunden. Gleichung: \(4 \cdot (y + 0{,}75) + 5y = 18\). 4. Lösen der Gleichung: \(4y + 3 + 5y = 18 \implies 9y = 15 \implies y = \frac{15}{9} = \frac{5}{3}\,\text{Stunden}\). 5. Umrechnung in Minuten: \(\frac{5}{3} \cdot 60 = 100\,\text{Minuten}\). 6. Teil c: Da Gruppe A bereits einen Teil der Strecke zurückgelegt hat, bevor Gruppe B startet, ist die verbleibende Distanz zwischen den Gruppen zum Startzeitpunkt von Gruppe B kleiner als \(18\,\text{km}\). Da sie sich weiterhin mit der gleichen kombinierten Geschwindigkeit annähern, verkürzt sich die Zeit, in der sich beide gleichzeitig bewegen.

a) Sie treffen sich nach \(2\,\text{Stunden}\). b) Gruppe B wandert \(100\,\text{Minuten}\) bis zum Treffen. c) Gruppe A verringert bereits den Abstand, bevor Gruppe B startet. Damit ist die Distanz, die beide gemeinsam überwinden müssen, kleiner als zu Beginn.

- Überlege dir, wie viel Wasser am Morgen des dritten Tages da gewesen sein muss, damit am Abend nach dem Verbrauch noch \(0{,}5\,\text{Liter}\) übrig sind. - Hilft es dir, eine Tabelle für die drei Tage anzulegen? - Wenn \(x\) die Menge am Morgen ist, wie lautet der mathematische Ausdruck für die Menge am Abend? - Wie kannst du den „Verbrauch von der Hälfte plus ein Viertelliter“ mathematisch umkehren?

1. Berechnung des Bestands vor Tag 3: Sei \(x_3\) die Menge am Morgen von Tag 3. Es gilt \(\frac{x_3}{2} - 0{,}25 = 0{,}5\). Daraus folgt \(\frac{x_3}{2} = 0{,}75\), also \(x_3 = 1{,}5\,\text{Liter}\). 2. Berechnung des Bestands vor Tag 2: Sei \(x_2\) die Menge am Morgen von Tag 2. Es gilt \(\frac{x_2}{2} - 0{,}25 = 1{,}5\). Daraus folgt \(\frac{x_2}{2} = 1{,}75\), also \(x_2 = 3{,}5\,\text{Liter}\). 3. Berechnung des Bestands vor Tag 1 (Anfangsvorrat): Sei \(x_1\) die Menge am Morgen von Tag 1. Es gilt \(\frac{x_1}{2} - 0{,}25 = 3{,}5\). Daraus folgt \(\frac{x_1}{2} = 3{,}75\), also \(x_1 = 7{,}5\,\text{Liter}\). 4. Der Wanderer hatte zu Beginn \(7{,}5\,\text{Liter}\) Wasser dabei.

Der Wanderer hatte zu Beginn \(7{,}5\,\text{Liter}\) Wasser dabei.

- Überlege dir, welcher Betrag vor der letzten Ausgabe von \(30\,\text{€}\) in der Kasse gewesen sein muss. - Wenn nach dem Abzug von einem Viertel eines Betrages noch ein Rest bleibt, welchem Bruchteil entspricht dieser Rest? - Setze eine Variable für den gesuchten Gesamtbetrag fest und versuche, die Ausgaben nacheinander abzuziehen. - Kannst du die Aufgabe in zwei Teilprobleme zerlegen: Erst den Betrag vor dem zweiten Monat finden, dann den Startbetrag?

1. Berechnung des Restbetrags vor den Ausgaben des zweiten Monats: Sei \(R\) der Restbetrag nach dem ersten Monat. Die Ausgaben im zweiten Monat betragen \(\frac{1}{4}R + 30\). Es verbleiben \(R - (\frac{1}{4}R + 30) = 300\). Dies führt zu \(\frac{3}{4}R - 30 = 300\), also \(\frac{3}{4}R = 330\). Daraus folgt \(R = 440\,\text{€}\). 2. Berechnung des ursprünglichen Gesamtbetrags \(x\): Nach dem ersten Monat blieben \(R = 440\,\text{€}\) übrig. Die Ausgaben waren \(\frac{1}{3}x + 50\). Die Gleichung lautet \(x - (\frac{1}{3}x + 50) = 440\). 3. Lösen der Gleichung: \(\frac{2}{3}x - 50 = 440 \Rightarrow \frac{2}{3}x = 490\). Multiplikation mit \(\frac{3}{2}\) ergibt \(x = 735\,\text{€}\).

Zu Beginn waren \(735\,\text{€}\) in der Klassenkasse.

- Wie hängen die Geschwindigkeit des Läufers und die Gesamtdistanz zusammen, wenn er genau eine Stunde braucht? - Bestimme die Entfernung, die jede Person bis zum Treffpunkt zurückgelegt hat. - Drücke die Zeit bis zum Treffen in Stunden aus. - Kannst du eine Gleichung aufstellen, die nur noch die Entfernung als Unbekannte enthält?

1. Sei \(s\) die Entfernung PQ in \(\text{km}\) und \(v_L\) die Geschwindigkeit des Läufers in \(\text{km/h}\). 2. Da der Läufer \(1\,\text{Stunde}\) für die Strecke \(s\) braucht, gilt \(v_L = \frac{s}{1} = s\). 3. Zum Zeitpunkt des Treffens nach \(40\,\text{Minuten} = \frac{2}{3}\,\text{h}\) hat der Läufer die Strecke \(s - 2\,\text{km}\) zurückgelegt. Es gilt: \(s - 2 = v_L \cdot \frac{2}{3}\). 4. Einsetzen von \(v_L = s\) ergibt: \(s - 2 = \frac{2}{3}s\). Daraus folgt \(\frac{1}{3}s = 2\), also \(s = 6\,\text{km}\). 5. Die Geschwindigkeit des Läufers ist somit \(v_L = 6\,\text{km/h}\). 6. Der Radfahrer hat in \(\frac{2}{3}\,\text{h}\) die Strecke \(s + 2 = 6 + 2 = 8\,\text{km}\) zurückgelegt. 7. Seine Geschwindigkeit beträgt \(v_R = 8 : \frac{2}{3} = 12\,\text{km/h}\).

Die Entfernung zwischen P und Q beträgt \(6\,\text{km}\). Die Geschwindigkeit des Läufers beträgt \(6\,\text{km/h}\) und die des Radfahrers \(12\,\text{km/h}\).