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- Überlege dir, mit welcher Umkehroperation du \(x\) allein auf eine Seite der Gleichung bringst. - Achte beim Rechnen besonders auf das Vorzeichen des Ergebnisses. - Erinnere dich daran, dass jede natürliche Zahl auch eine ganze Zahl ist und jede ganze Zahl auch eine rationale Zahl.

1. Berechnung von a): \(x = 5 - 12 = -7\). Da \(-7\) eine negative ganze Zahl ist, gehört sie zu \(\mathbb{Z}\) und \(\mathbb{Q}\). 2. Berechnung von b): \(x = -18 : 6 = -3\). Da \(-3\) eine negative ganze Zahl ist, gehört sie zu \(\mathbb{Z}\) und \(\mathbb{Q}\). 3. Berechnung von c): \(x = 8 + 3 = 11\). Da \(11\) eine positive ganze Zahl ist, gehört sie zu \(\mathbb{N}\), \(\mathbb{Z}\) und \(\mathbb{Q}\).

a) \(x = -7\); gehört zu \(\mathbb{Z}\) und \(\mathbb{Q}\). b) \(x = -3\); gehört zu \(\mathbb{Z}\) und \(\mathbb{Q}\). c) \(x = 11\); gehört zu \(\mathbb{N}\), \(\mathbb{Z}\) und \(\mathbb{Q}\).

- Welche Rechenoperation wurde als Letztes durchgeführt? - Wie kannst du eine Addition oder Multiplikation umkehren? - Gehe schrittweise vor und isoliere die Variable \(x\). - Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn du durch eine negative Zahl teilst?

In Teilaufgabe a) wird zuerst \(14\) von beiden Seiten subtrahiert, was zu \(5 \cdot x = 25\) führt, gefolgt von einer Division durch \(5\), was \(x = 5\) ergibt. In b) subtrahiert man \(18\), woraus \(-2 \cdot x = -8\) folgt, und dividiert dann durch \(-2\), was \(x = 4\) liefert. In c) wird zuerst \(5\) subtrahiert, um \(\frac{x}{3} = 7\) zu erhalten, und anschließend mit \(3\) multipliziert, was zu \(x = 21\) führt.

a) \(x = 5\) b) \(x = 4\) c) \(x = 21\)

- Was musst du tun, um die Variable allein auf einer Seite der Gleichung stehen zu haben? - Welche Rechenoperation ist das Gegenteil von Addition? - Was bedeutet es, eine „Probe“ zu machen?

1. Subtraktion von 9 auf beiden Seiten der Gleichung: \(x = 25 - 9\). 2. Berechnung des Wertes für \(x\): \(x = 16\). 3. Durchführung der Probe durch Einsetzen von \(x = 16\) in die ursprüngliche Gleichung: \(16 + 9 = 25\). 4. Da die Aussage \(25 = 25\) wahr ist, ist \(x = 16\) die korrekte Lösung.

Der Wert für \(x\) ist \(16\). Die Probe bestätigt: \(16 + 9 = 25\).

- Was musst du tun, damit die Variable \(x\) allein auf einer Seite der Gleichung steht? - Welche Rechenoperation ist das Gegenteil der Operation, die in der Gleichung steht? - Achte besonders auf die Vorzeichenregeln beim Rechnen mit negativen Zahlen. - Kannst du das Ergebnis überprüfen, indem du dein \(x\) in die ursprüngliche Gleichung einsetzt?

1. Subtraktion von \(11\) auf beiden Seiten: \(x = 4 - 11 = -7\). 2. Addition von \(6\) auf beiden Seiten: \(x = -9 + 6 = -3\). 3. Addition von \(7\) auf beiden Seiten: \(x = -2 + 7 = 5\). 4. Subtraktion von \(20\) auf beiden Seiten: \(14 - 20 = x\), also \(x = -6\). 5. Auflösen der Klammer zu \(x - 5 = -1\) und Addition von \(5\) auf beiden Seiten: \(x = -1 + 5 = 4\).

1) \(x = -7\) 2) \(x = -3\) 3) \(x = 5\) 4) \(x = -6\) 5) \(x = 4\)

- Was bedeutet es für eine Gleichung, wenn eine Zahl ihre Lösung ist? - Versuche, die Zahl an jeder Stelle für den Platzhalter in der Gleichung einzusetzen. - Berechne den Wert der linken und der rechten Seite der Gleichung getrennt voneinander. - Vergleiche die beiden Ergebnisse: Sind sie gleich?

1. Einsetzen von \(x = 3\) in \(7x - 5 = 16\): \(7 \cdot 3 - 5 = 21 - 5 = 16\). Da \(16 = 16\), ist \(3\) eine Lösung. 2. Einsetzen von \(x = 4\) in \(18 - 3x = 6\): \(18 - 3 \cdot 4 = 18 - 12 = 6\). Da \(6 = 6\), ist \(4\) eine Lösung. 3. Einsetzen von \(x = 1\) in \(2 \cdot (x + 4) = 10\): \(2 \cdot (1 + 4) = 2 \cdot 5 = 10\). Da \(10 = 10\), ist \(1\) eine Lösung. 4. Einsetzen von \(x = 5\) in \(4x + 1 = 2x + 9\): Linke Seite \(4 \cdot 5 + 1 = 21\); rechte Seite \(2 \cdot 5 + 9 = 19\). Da \(21 \neq 19\), ist \(5\) keine Lösung.

1) Ja; 2) Ja; 3) Ja; 4) Nein.

- Du kannst Dezimalzahlen in Brüche umwandeln oder umgekehrt, um die Rechnung zu vereinfachen. - Wie berechnet man den Divisor in einer Divisionsaufgabe, wenn das Ergebnis und der Dividend bekannt sind? - Überprüfe, ob deine Lösung eine ganze Zahl oder ein echter Bruch ist.

1. Berechnung von a): Division durch \(-0{,}5\) ergibt \(x = 2{,}5 : (-0{,}5) = -5\). Das Ergebnis \(-5\) ist ein Element von \(\mathbb{Z}\) und \(\mathbb{Q}\). 2. Berechnung von b): Subtraktion von \(\frac{1}{4}\) ergibt \(x = -0{,}5 - 0{,}25 = -0{,}75\). Die Dezimalzahl \(-0{,}75\) (oder \(-\frac{3}{4}\)) gehört zu \(\mathbb{Q}\). 3. Berechnung von c): Umstellen der Gleichung ergibt \(x = \frac{2}{3} : 4 = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}\). Der Bruch \(\frac{1}{6}\) gehört zu \(\mathbb{Q}\).

a) \(x = -5\); gehört zu \(\mathbb{Z}\) und \(\mathbb{Q}\). b) \(x = -0{,}75\) (oder \(-\frac{3}{4}\)); gehört zu \(\mathbb{Q}\). c) \(x = \frac{1}{6}\); gehört zu \(\mathbb{Q}\).

- Was bedeutet es, wenn eine Zahl zur Grundmenge gehört? - Löse die Gleichung zuerst so, als gäbe es keine Einschränkung für die Zahlen. - Prüfe am Ende jedes Ergebnisses: Ist diese Zahl in der Menge \(\{1; 2; 3; \dots\}\) enthalten? - Wenn eine berechnete Zahl nicht in der Grundmenge liegt, gibt es für diese Grundmenge keine Lösung.

1. Gleichung a: \(4x - 7 = 13 \implies 4x = 20 \implies x = 5\). Da \(5\) eine natürliche Zahl ist, gilt \(L = \{5\}\). 2. Gleichung b: \(3x + 12 = 5 \implies 3x = -7 \implies x = -\frac{7}{3}\). Da \(-\frac{7}{3}\) keine natürliche Zahl ist, gilt \(L = \emptyset\). 3. Gleichung c: \(2x + 1 = 8 \implies 2x = 7 \implies x = 3{,}5\). Da \(3{,}5\) keine natürliche Zahl ist, gilt \(L = \emptyset\). 4. Gleichung d: \(15 - 5x = 10 \implies -5x = -5 \implies x = 1\). Da \(1\) eine natürliche Zahl ist, gilt \(L = \{1\}\).

a) \(L = \{5\}\) b) \(L = \emptyset\) c) \(L = \emptyset\) d) \(L = \{1\}\)

- Kannst du den Faktor vor der Klammer zuerst durch Division beseitigen, anstatt die Klammer auszumultiplizieren? - Achte besonders auf das Minuszeichen vor dem Term mit \(x\). - Was musst du tun, wenn das Ergebnis auf der anderen Seite der Gleichung steht? - Denke an die Vorzeichenregeln bei der Division.

In Aufgabe a) wird die Gleichung zuerst durch \(4\) dividiert, was \(x + 2 = 7\) ergibt, und nach Subtraktion von \(2\) erhält man \(x = 5\). In b) subtrahiert man \(21\) von beiden Seiten, was \(-9 = 3 \cdot x\) ergibt, und dividiert durch \(3\), woraus \(x = -3\) folgt. In c) führt die Subtraktion von \(15\) zu \(-5 \cdot x = 20\), und die Division durch \(-5\) ergibt das Resultat \(x = -4\).

a) \(x = 5\) b) \(x = -3\) c) \(x = -4\)

- Was musst du tun, um die Variable allein auf einer Seite der Gleichung zu isolieren? - Denke daran, dass du Rechenoperationen auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens durchführen musst. - Wie gehst du mit einem Minuszeichen vor der Variablen um?

1. Subtraktion von \(12\): \(5x = 25\). Division durch \(5\): \(x = 5\). 2. Subtraktion von \(18\): \(-3y = -12\). Division durch \(-3\): \(y = 4\). 3. Subtraktion von \(z\): \(3z = 12\). Division durch \(3\): \(z = 4\). 4. Subtraktion von \(7\): \(x = -9\).

a) \(x = 5\) b) \(y = 4\) c) \(z = 4\) d) \(x = -9\)

- Überlege dir, welche Rechenoperation die Zahl auf der Seite der Unbekannten „aufhebt“. - Achte besonders auf die Vorzeichen, wenn du durch eine negative Zahl dividierst. - Bei Brüchen hilft oft die Multiplikation mit dem Kehrwert. - Führe die Umformung immer auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens durch.

1. Gleichung a: Subtraktion von \(14\) ergibt \(6x = 36\). Division durch \(6\) führt zu \(x = 6\). 2. Gleichung b: Subtraktion von \(18\) ergibt \(-4y = -16\). Division durch \(-4\) führt zu \(y = 4\). 3. Gleichung c: Addition von \(3\) ergibt \(0{,}5z = 7{,}5\). Division durch \(0{,}5\) (oder Multiplikation mit \(2\)) führt zu \(z = 15\). 4. Gleichung d: Subtraktion von \(4\) ergibt \(\frac{2}{3}b = 6\). Multiplikation mit dem Kehrwert \(\frac{3}{2}\) ergibt \(b = 9\).

a) \(x = 6\) b) \(y = 4\) c) \(z = 15\) d) \(b = 9\)

- Was passiert, wenn nach dem Vereinfachen auf beiden Seiten genau derselbe Ausdruck steht? - Denke daran, dass ein Minuszeichen vor einer Klammer alle Vorzeichen innerhalb der Klammer umkehrt. - Was bedeutet es für die Lösungsmenge, wenn am Ende eine falsche Aussage wie \(5 = 8\) steht? - Kannst du die Klammern im ersten Schritt auflösen oder gibt es einen schnelleren Weg?

1. Teilaufgabe a): Klammer auflösen ergibt \(4x - 8 + 6 = 10\). Zusammenfassen führt zu \(4x - 2 = 10\). Addition von \(2\) ergibt \(4x = 12\). Division durch \(4\) liefert \(x = 3\). Lösung: \(L = \{3\}\). 2. Teilaufgabe b): Linke Seite vereinfachen: \(5x - 2x - 3 = 3x - 3\). Rechte Seite: \(3x - 3\). Es entsteht die Identität \(3x - 3 = 3x - 3\), die für alle rationalen Zahlen wahr ist. Lösung: \(L = \mathbb{Q}\). 3. Teilaufgabe c): Klammer auflösen ergibt \(2x + 8 = 2x + 5\). Subtraktion von \(2x\) führt zum Widerspruch \(8 = 5\). Es gibt keine Zahl, die die Gleichung erfüllt. Lösung: \(L = \emptyset\).

a) \(L = \{3\}\) b) \(L = \mathbb{Q}\) c) \(L = \emptyset\)

- Überlege dir zuerst, wie du alle Terme mit der Unbekannten auf eine Seite der Gleichung bringst. - Was musst du tun, um die Zahlen ohne Unbekannte auf die andere Seite zu schieben? - Achte beim Umformen darauf, immer die gegenteilige Rechenart zu verwenden. - Vergiss nicht, am Ende durch die Zahl vor der Unbekannten zu teilen.

1. Gleichung a: Subtraktion von \(5x\) ergibt \(3x + 13 = 31\). Subtraktion von \(13\) führt zu \(3x = 18\). Division durch \(3\) ergibt \(x = 6\). 2. Gleichung b: Addition von \(6y\) ergibt \(14 = 8y - 18\). Addition von \(18\) führt zu \(32 = 8y\). Division durch \(8\) ergibt \(y = 4\). 3. Gleichung c: Subtraktion von \(3z\) ergibt \(8z - 7 = 25\). Addition von \(7\) führt zu \(8z = 32\). Division durch \(8\) ergibt \(z = 4\).

a) \(x = 6\) b) \(y = 4\) c) \(z = 4\)

- Denke daran, dass beim Auflösen einer Klammer jeder Wert in der Klammer mit dem Faktor davor multipliziert werden muss. - Was passiert mit den Vorzeichen in der Klammer, wenn ein Minuszeichen direkt davor steht? - Fasse erst alle Zahlen und alle Terme mit Variablen auf jeder Seite zusammen, bevor du mit dem Umformen beginnst.

1. Gleichung a: Ausmultiplizieren ergibt \(4x - 12 = 2x + 10\). Subtraktion von \(2x\) ergibt \(2x - 12 = 10\). Addition von \(12\) führt zu \(2x = 22\). Division durch \(2\) ergibt \(x = 11\). 2. Gleichung b: Auflösen der Minusklammer ergibt \(15 - 3a - 4 = 5a - 21\). Zusammenfassen ergibt \(11 - 3a = 5a - 21\). Addition von \(3a\) führt zu \(11 = 8a - 21\). Addition von \(21\) ergibt \(32 = 8a\). Division durch \(8\) ergibt \(a = 4\). 3. Gleichung c: Ausmultiplizieren beider Seiten ergibt \(6t + 8 = 5t - 10\). Subtraktion von \(5t\) führt zu \(t + 8 = -10\). Subtraktion von \(8\) ergibt \(t = -18\).

a) \(x = 11\) b) \(a = 4\) c) \(t = -18\)

- Multipliziere zuerst die Zahlen vor den Klammern mit jedem Glied in der Klammer. - Achte besonders auf das Minuszeichen vor der Klammer in Teilaufgabe b). - Fasse alle Zahlen ohne Variable auf einer Seite und alle Terme mit Variable auf der anderen Seite zusammen. - Kannst du die Probe machen, indem du dein Ergebnis in die ursprüngliche Gleichung einsetzt?

a) Klammer auflösen: \(4x - 12 + 7 = 19\). Zusammenfassen: \(4x - 5 = 19\). Addition von 5: \(4x = 24\). Division durch 4: \(x = 6\). b) Klammer auflösen: \(12 - 3y - 6 = 0\). Zusammenfassen: \(6 - 3y = 0\). Subtraktion von 6: \(-3y = -6\). Division durch \(-3\): \(y = 2\). c) Klammer auflösen: \(5z + 2z - 8 = 13\). Zusammenfassen: \(7z - 8 = 13\). Addition von 8: \(7z = 21\). Division durch 7: \(z = 3\).

a) \(x = 6\) b) \(y = 2\) c) \(z = 3\)

- Was passiert mit den Vorzeichen innerhalb einer Klammer, wenn ein Minuszeichen davor steht? - Kannst du die Terme auf der linken Seite vereinfachen, bevor du mit dem Umstellen beginnst? - Wie isolierst du die Variable Schritt für Schritt?

1. Auflösen der Klammer unter Beachtung des Minuszeichens: \(7x - 2x - 5 = 15\) 2. Zusammenfassen der Terme mit \(x\): \(5x - 5 = 15\) 3. Addition von \(5\) auf beiden Seiten: \(5x = 20\) 4. Division durch \(5\): \(x = 4\)

\(x = 4\)

- Was passiert mit den Vorzeichen innerhalb der Klammer, wenn eine negative Zahl davorsteht? - Kannst du die linke Seite der Gleichung vereinfachen, bevor du mit den Umformungen beginnst? - Wie isolierst du die Variable \(x\) Schritt für Schritt?

1. Klammer auf der linken Seite ausmultiplizieren: \(5x - 3x - 12 = 4\). 2. Terme mit \(x\) zusammenfassen: \(2x - 12 = 4\). 3. Addition von \(12\) auf beiden Seiten der Gleichung: \(2x = 16\). 4. Division durch \(2\): \(x = 8\).

\(x = 8\)

- Kannst du auf jeder Seite der Gleichung zuerst alle Glieder mit Variablen und alle Glieder ohne Variablen zusammenzählen? - Wie schaffst du es, dass am Ende alle Variablen auf der einen und alle Zahlen auf der anderen Seite des Gleichheitszeichens stehen? - Was musst du tun, um eine Zahl vor einer Variablen wegzubekommen?

1. Teilaufgabe a): Zusammenfassen der Terme auf der linken Seite ergibt \(17x - 5\). Die Gleichung lautet nun \(17x - 5 = 2x + 40\). 2. Subtraktion von \(2x\) auf beiden Seiten führt zu \(15x - 5 = 40\). 3. Addition von \(5\) ergibt \(15x = 45\). 4. Division durch \(15\) liefert das Ergebnis \(x = 3\). 5. Teilaufgabe b): Zusammenfassen der Terme auf der linken Seite ergibt \(30 - 4y\). Auf der rechten Seite ergibt sich \(8y - 12\). Die Gleichung lautet \(30 - 4y = 8y - 12\). 6. Addition von \(4y\) auf beiden Seiten führt zu \(30 = 12y - 12\). 7. Addition von \(12\) ergibt \(42 = 12y\). 8. Division durch \(12\) liefert das Ergebnis \(y = 3{,}5\).

a) \(x = 3\) b) \(y = 3{,}5\) (oder \(y = \frac{7}{2}\))

- Überlege, ob du die erste Gleichung so umformen kannst, dass sie wie die zweite aussieht. - Achte besonders auf Klammern und darauf, dass eine Operation immer auf die gesamte Seite der Gleichung angewendet werden muss. - Du kannst auch beide Gleichungen einzeln lösen und die Ergebnisse vergleichen.

1. Prüfung von Teilaufgabe a: Die erste Gleichung \(7x - 14 = 21\) kann durch Division beider Seiten durch \(7\) umgeformt werden. Es ergibt sich \((7x - 14) : 7 = 21 : 7\), was zu \(x - 2 = 3\) führt. Da die zweite Gleichung exakt diesem Ergebnis entspricht, sind beide Gleichungen äquivalent. Die Lösung ist für beide \(x = 5\). 2. Prüfung von Teilaufgabe b: In der ersten Gleichung \(3(a + 4) = 15\) muss das Distributivgesetz angewendet werden: \(3 \cdot a + 3 \cdot 4 = 15\), also \(3a + 12 = 15\). Die zweite Gleichung lautet jedoch \(3a + 4 = 15\). Hier wurde die \(4\) in der Klammer nicht mit der \(3\) multipliziert. Da \(3a + 12 = 15\) die Lösung \(a = 1\) hat und \(3a + 4 = 15\) die Lösung \(a = \frac{11}{3}\) hat, sind sie nicht äquivalent.

a) Ja, die Gleichungen sind äquivalent (Division durch \(7\)). b) Nein, die Gleichungen sind nicht äquivalent (Fehler beim Auflösen der Klammer).

- Was muss man beim Umformen auf beiden Seiten einer Gleichung beachten? - Rechne die Lösung der ersten Gleichung aus und setze sie in die anderen ein. - Überlege dir, welche Rechenoperation Lisa von der ersten zur zweiten Gleichung jeweils durchgeführt hat.

1. Berechnung der Lösung der Ausgangsgleichung: \(5x - 10 = 15 \Rightarrow 5x = 25 \Rightarrow x = 5\). Die Lösungsmenge ist \(L = \{5\}\). 2. Prüfung von a): Durch Addition von \(10\) auf beiden Seiten der Ausgangsgleichung entsteht \(5x = 25\). Dies ist eine Äquivalenzumformung, die Lösungsmenge bleibt gleich (\(x = 5\)). 3. Prüfung von b): Hier wurde auf der linken Seite nur der Term \(5x\), nicht aber der Term \(-10\), durch \(5\) dividiert. Korrekt wäre \((5x - 10) : 5 = x - 2\). Daher ist dies keine Äquivalenzumformung. Die Lösung wäre \(x = 13\), also ungleich. 4. Prüfung von c): Beide Seiten der Ausgangsgleichung wurden durch \(5\) dividiert: \((5x - 10) : 5 = x - 2\) und \(15 : 5 = 3\). Dies ist eine Äquivalenzumformung, die Lösungsmenge bleibt gleich (\(x = 5\)). 5. Prüfung von d): Durch Subtraktion von \(15\) auf beiden Seiten der Ausgangsgleichung entsteht \(5x - 10 - 15 = 0\), also \(5x - 25 = 0\). Dies ist eine Äquivalenzumformung, die Lösungsmenge bleibt gleich (\(x = 5\)).

a) Ja, gleiche Lösungsmenge (Addition von \(10\) auf beiden Seiten). b) Nein, unterschiedliche Lösungsmenge (nur ein Teil der linken Seite wurde dividiert). c) Ja, gleiche Lösungsmenge (Division beider Seiten durch \(5\)). d) Ja, gleiche Lösungsmenge (Subtraktion von \(15\) auf beiden Seiten).

- Kannst du den Text Schritt für Schritt in mathematische Zeichen übersetzen? - Was bedeutet „vergrößern“ oder „vermindern“ als Rechenzeichen? - Wie nennt man eine unbekannte Zahl in einer Gleichung meistens? - Achte darauf, Brüche und Dezimalzahlen einheitlich darzustellen, bevor du rechnest.

1. Aufstellen der Gleichung für a): \(x + 2{,}5 = 1{,}25\). Subtraktion von \(2{,}5\) ergibt \(x = 1{,}25 - 2{,}5 = -1{,}25\). 2. Aufstellen der Gleichung für b): \(x - \frac{2}{3} = -1{,}5\). Umwandlung von \(-1{,}5\) in \(-\frac{3}{2}\) und Addition von \(\frac{2}{3}\) ergibt \(x = -\frac{9}{6} + \frac{4}{6} = -\frac{5}{6}\). 3. Aufstellen der Gleichung für c): \(3 \cdot x = 12{,}6\). Division durch \(3\) ergibt \(x = 4{,}2\).

a) \(x = -1{,}25\) b) \(x = -\frac{5}{6}\) c) \(x = 4{,}2\)

- Kannst du die Terme mit \(x\) auf der linken Seite zuerst verrechnen? - Was musst du tun, um alle Zahlen ohne \(x\) auf eine Seite der Gleichung zu bringen? - Wie isolierst du das \(x\), wenn am Ende zum Beispiel \(8x = 40\) steht?

1. Zusammenfassen der Terme auf der linken Seite: \(11x - 15 = 3x + 25\) 2. Subtraktion von \(3x\) auf beiden Seiten: \(8x - 15 = 25\) 3. Addition von \(15\) auf beiden Seiten: \(8x = 40\) 4. Division durch \(8\): \(x = 5\) 5. Bestimmung der Lösungsmenge: \(L = \{5\}\)

\(L = \{5\}\)

- Überlege dir, wie du die unbekannte Zahl als Platzhalter (zum Beispiel \(x\)) schreiben kannst. - Kannst du den Text Schritt für Schritt in eine mathematische Rechnung übersetzen? - Was bedeutet „das Fünffache“ oder „das Doppelte“ mathematisch ausgedrückt? - Versuche, alle Teile mit \(x\) auf eine Seite der Gleichung zu bringen.

1. Festlegen der Unbekannten: Die gesuchte Zahl wird als \(x\) bezeichnet. 2. Aufstellen der Gleichung nach dem Text: \(2 \cdot x + 18 = 5 \cdot x\). 3. Subtraktion von \(2 \cdot x\) auf beiden Seiten: \(18 = 3 \cdot x\). 4. Division durch 3 zur Isolierung von \(x\): \(x = 6\).

Die Zahl lautet \(6\).

- Versuche, die Gleichungen so weit wie möglich zu vereinfachen. - Was passiert mit der Variable \(x\), wenn du sie auf eine Seite bringen möchtest? - Entsteht am Ende eine wahre Aussage (wie \(5 = 5\)) oder ein Widerspruch (wie \(0 = 1\))? - Unterscheide genau zwischen dem Ergebnis \(x = 0\) und dem Fall, dass es gar kein Ergebnis gibt.

1. Untersuchung von (1): Subtraktion von \(5x\) auf beiden Seiten führt zu der Aussage \(3 = -2\). Da dies ein Widerspruch ist, hat die Gleichung keine Lösung. 2. Untersuchung von (2): Auflösen der Klammer ergibt \(2x + 8 = 2x + 8\). Dies ist eine Identität (wahre Aussage für jedes \(x\)), daher gibt es unendlich viele Lösungen. 3. Untersuchung von (3): Division durch 3 ergibt \(x = 0\). Die Gleichung hat somit genau eine Lösung, nämlich die Zahl 0.

(1) Keine Lösung (2) Unendlich viele Lösungen (3) Genau eine Lösung (nämlich \(x = 0\))

- Kannst du alle Terme mit \(x\) auf eine Seite der Gleichung bringen und alle reinen Zahlen auf die andere? - Welche Rechenoperation macht ein Minus rückgängig? - Wie oft passt \(0{,}5\) in die Zahl \(7{,}5\)?

1. Subtraktion von \(0{,}6x\) auf beiden Seiten der Gleichung führt zu \(4 = 0{,}5x - 3{,}5\). 2. Addition von \(3{,}5\) auf beiden Seiten ergibt \(7{,}5 = 0{,}5x\). 3. Division beider Seiten durch \(0{,}5\) liefert das Ergebnis \(x = 15\).

\(x = 15\)

- Was musst du tun, um alle Glieder mit \(x\) auf eine Seite der Gleichung zu bringen? - Wie gehst du mit Klammern um, vor denen ein Faktor steht? - Kannst du einen der Terme mithilfe einer binomischen Formel vereinfachen? - Was bedeutet es für die Lösungsmenge, wenn am Ende eine falsche Aussage wie \(0 = 5\) steht?

1. Teilaufgabe a): Subtraktion von \(2x\) und \(7\) auf beiden Seiten führt zur Gleichung \(3x = -15\). Division durch \(3\) ergibt das Ergebnis \(x = -5\). Damit ist \(L = \{-5\}\). 2. Teilaufgabe b): Ausmultiplizieren der linken Seite ergibt \(6x + 12 = 6x - 1\). Die Subtraktion von \(6x\) führt zur falschen Aussage \(12 = -1\). Da dies ein Widerspruch ist, gilt \(L = \emptyset\). 3. Teilaufgabe c): Anwendung der dritten binomischen Formel auf der rechten Seite vereinfacht den Term zu \(x^2 + 4x = x^2 - 4 + 20\). Nach Subtraktion von \(x^2\) auf beiden Seiten verbleibt \(4x = 16\). Division durch \(4\) ergibt \(x = 4\). Damit ist \(L = \{4\}\).

a) \(L = \{-5\}\) b) \(L = \emptyset\) c) \(L = \{4\}\)

- Was musst du tun, um alle Terme mit \(x\) auf eine Seite der Gleichung zu bringen? - Wie kannst du die Zahl ohne \(x\) auf die andere Seite bewegen? - Welche Rechenoperation macht eine Multiplikation rückgängig?

1. Addition von \(1{,}2x\) auf beiden Seiten zur Zusammenfassung der Variablen: \(4x - 4{,}2 = 7{,}8\) 2. Addition von \(4{,}2\) auf beiden Seiten zur Isolierung des Terms mit \(x\): \(4x = 12\) 3. Division durch \(4\) zur Berechnung des Endwertes: \(x = 3\)

\(x = 3\)

- Vereinfache jede Seite der Gleichung so weit wie möglich, bevor du sie vergleichst. - Achte besonders auf Minuszeichen vor Klammern. - Wenn nach der Vereinfachung auf beiden Seiten das Gleiche steht, was bedeutet das für \(x\)? - Was passiert, wenn das \(x\) komplett wegfällt, aber die Zahlen ungleich sind?

1. Gleichung A: Vereinfachung der linken Seite ergibt \(4x - 2x - 6 = 2x - 6\). Da die rechte Seite ebenfalls \(2x - 6\) lautet, liegt eine Identität vor. Ergebnis: unendlich viele Lösungen. 2. Gleichung B: Ausmultiplizieren der rechten Seite ergibt \(\frac{2}{3}x + \frac{12}{3} = \frac{2}{3}x + 4\). Die Gleichung lautet \(\frac{2}{3}x + 5 = \frac{2}{3}x + 4\). Subtraktion von \(\frac{2}{3}x\) führt zum Widerspruch \(5 = 4\). Ergebnis: keine Lösung. 3. Gleichung C: Vereinfachung der rechten Seite ergibt \(x + 3x - 3 = 4x - 3\). Die Gleichung \(3x + 7 = 4x - 3\) lässt sich nach \(x\) auflösen (\(x = 10\)). Da die Koeffizienten von \(x\) (\(3\) und \(4\)) verschieden sind, gibt es genau einen Schnittpunkt. Ergebnis: genau eine Lösung.

A: unendlich viele Lösungen B: keine Lösung C: genau eine Lösung

- Kannst du alle Glieder mit \(x\) auf eine Seite der Gleichung bringen? - Was musst du tun, um die Zahlen ohne \(x\) auf die andere Seite zu bewegen? - Wie isolierst du das \(x\), wenn am Ende noch ein Faktor davor steht?

1. Subtraktion von \(0{,}6x\) auf beiden Seiten: \(1{,}2x - 4{,}2 = 3\) 2. Addition von \(4{,}2\) auf beiden Seiten: \(1{,}2x = 7{,}2\) 3. Division durch \(1{,}2\): \(x = \frac{7{,}2}{1{,}2} = 6\)

\(x = 6\)

- Was ist der erste Schritt, wenn eine Klammer in der Gleichung steht? - Achte beim Auflösen der Klammer besonders auf die Vorzeichen. - Welche Rechenoperation kehrt eine Multiplikation mit \(1{,}5\) um?

1. Auflösen der Klammer auf der linken Seite: \(6x - 15 = 4{,}5x + 6\) 2. Subtraktion von \(4{,}5x\) auf beiden Seiten: \(1{,}5x - 15 = 6\) 3. Addition von \(15\) auf beiden Seiten: \(1{,}5x = 21\) 4. Division durch \(1{,}5\): \(x = \frac{21}{1{,}5} = 14\)

\(x = 14\)

- Wie kannst du die Klammern auflösen, wenn ein Minuszeichen davor steht? - Versuche zuerst, beide Seiten der Gleichung so weit wie möglich zu vereinfachen. - Sortiere die Gleichung so, dass alle Terme mit der Unbekannten auf einer Seite stehen.

1. Klammern auf beiden Seiten auflösen: \(10x - 20 - 3x = 16 - x - 8\) 2. Terme auf beiden Seiten zusammenfassen: \(7x - 20 = 8 - x\) 3. \(x\) auf die linke Seite bringen (durch Addition von \(x\)): \(8x - 20 = 8\) 4. Die Zahl \(-20\) auf die rechte Seite bringen (durch Addition von \(20\)): \(8x = 28\) 5. Durch den Koeffizienten \(8\) dividieren: \(x = \frac{28}{8} = 3{,}5\)

\(x = 3{,}5\)

- Was musst du zuerst tun, um die Klammer aufzulösen? - Wie kannst du die Gleichung so umformen, dass alle Terme mit \(x\) auf einer Seite stehen? - Was ist der letzte Schritt, um \(x\) allein stehen zu haben? - Vergiss nicht, dein Ergebnis für \(x\) in die zweite Formel einzusetzen.

1. Ausmultiplizieren der Klammer auf der rechten Seite: \(0{,}5(x + 6) = 0{,}5x + 3\). 2. Die Gleichung lautet nun: \(1{,}5x - 2 = 0{,}5x + 3\). 3. Subtraktion von \(0{,}5x\) auf beiden Seiten ergibt: \(x - 2 = 3\). 4. Addition von \(2\) auf beiden Seiten liefert den Wert für \(x\): \(x = 5\). 5. Einsetzen von \(x = 5\) in den Ausdruck für \(A\): \(A = 3 \cdot 5 + 5\). 6. Berechnung des Endergebnisses: \(A = 15 + 5 = 20\).

Der Wert für \(x\) ist \(5\). Der Wert für \(A\) ist \(20\).

- Wie gehst du vor, wenn auf beiden Seiten der Gleichung die Variable vorkommt? - Welche Rechenregel hilft dir beim Auflösen von Klammern, besonders wenn ein Minuszeichen davor steht? - Gibt es bei Aufgabe b) einen Weg, die Klammer direkt zu beseitigen, ohne sie auszmultiplizieren? - Kannst du Terme auf einer Seite erst zusammenfassen, bevor du umformst?

1. Gleichung a): Subtraktion von \(2x\) ergibt \(5x - 12 = 13\). Addition von 12 ergibt \(5x = 25\). Division durch 5 führt zu \(x = 5\). 2. Gleichung b): Division der gesamten Gleichung durch 3 ergibt \(x - 4 = 5\). Addition von 4 führt zu \(x = 9\). Alternativ: Klammer auflösen zu \(3x - 12 = 15\), dann \(3x = 27\), also \(x = 9\). 3. Gleichung c): Auflösen der Minusklammer ergibt \(10y - 2y - 4 = 12\). Zusammenfassen der Terme ergibt \(8y - 4 = 12\). Addition von 4 ergibt \(8y = 16\). Division durch 8 führt zu \(y = 2\).

a) \(x = 5\) b) \(x = 9\) c) \(y = 2\)

- Achte beim Auflösen der Klammern besonders auf das Vorzeichen vor der Klammer. - Was bedeutet es für die Lösungsmenge, wenn am Ende eine allgemeingültige Aussage wie \(5 = 5\) steht? - Versuche, beide Seiten der Gleichung so weit wie möglich zu vereinfachen.

1. Auflösen der Klammern auf beiden Seiten: \(9x - 3x + 12 = 6x + 12\) 2. Zusammenfassen der Terme auf der linken Seite: \(6x + 12 = 6x + 12\) 3. Subtraktion von \(6x\) auf beiden Seiten führt zur Identität \(12 = 12\) (bzw. \(0 = 0\) nach Subtraktion von \(12\)) 4. Da die Aussage unabhängig vom Wert von \(x\) immer wahr ist, sind alle rationalen Zahlen eine Lösung 5. Lösungsmenge: \(L = \mathbb{Q}\)

\(L = \mathbb{Q}\) (unendlich viele Lösungen)

- Multipliziere zuerst die Klammer aus, indem du den Faktor davor mit jedem Glied in der Klammer multiplizierst. - Sortiere die Gleichung so, dass alle Terme mit \(x\) auf einer Seite und alle Zahlen auf der anderen Seite stehen. - Überlege dir, wie du die Dezimalzahl vor dem \(x\) am besten eliminieren kannst.

1. Ausmultiplizieren der Klammer auf der linken Seite: \(4x - 8 = 1{,}5x + 7\) 2. Subtraktion von \(1{,}5x\) auf beiden Seiten: \(2{,}5x - 8 = 7\) 3. Addition von \(8\) auf beiden Seiten: \(2{,}5x = 15\) 4. Division durch \(2{,}5\): \(x = 6\)

\(x = 6\)

- Überlege dir zuerst eine einfache Rechenoperation mit der Zahl \(-6\). - Was passiert, wenn du zu \(-6\) eine bestimmte Zahl addierst? Das Ergebnis ist dann die rechte Seite deiner Gleichung. - Für den Aufgabenteil mit \(x\) auf beiden Seiten: Setze für \(x\) die Zahl \(-6\) ein und prüfe, ob beide Seiten denselben Wert ergeben.

1. Einsetzen von \(x = -6\) in den Ansatz \(x + a = b\): Wählt man zum Beispiel \(a = 10\), ergibt sich \(-6 + 10 = 4\). Eine mögliche Gleichung ist \(x + 10 = 4\). 2. Einsetzen von \(x = -6\) in den Ansatz \(c \cdot x = d\): Wählt man zum Beispiel \(c = 5\), ergibt sich \(5 \cdot (-6) = -30\). Eine mögliche Gleichung ist \(5x = -30\). 3. Einsetzen von \(x = -6\) in einen Ansatz mit \(x\) auf beiden Seiten: Wählt man links \(2x\) (\(-12\)), muss rechts ebenfalls \(-12\) stehen. Da \(x = -6\), ist \(x - 6 = -12\). Eine mögliche Gleichung ist \(2x = x - 6\).

Mögliche Lösungen sind: 1. \(x + 10 = 4\) 2. \(5x = -30\) 3. \(2x = x - 6\)

- Ersetze in jeder Gleichung \(x\) durch \(2{,}5\). - Berechne die linke Seite und vergleiche sie mit der rechten Seite. - Beachte die Reihenfolge: zuerst die Klammer, dann die Multiplikation.

1. A: \(2 \cdot 2{,}5 + 6 = 11\). Da \(11 \neq 10\), ist \(x = 2{,}5\) keine Lösung. 2. B: \(4 \cdot 2{,}5 - 3 = 7\). Damit ist \(x = 2{,}5\) eine Lösung. 3. C: \(3 \cdot (2{,}5 + 1) = 3 \cdot 3{,}5 = 10{,}5\). Damit ist \(x = 2{,}5\) eine Lösung.

Die Gleichungen B und C besitzen \(x = 2{,}5\) als Lösung.

- Kannst du auf jeder Seite der Gleichung zuerst alle \(x\)-Glieder und alle Zahlen zusammenfassen? - Was ist das Ziel einer Äquivalenzumformung? - Wie gehst du vor, um alle \(x\)-Glieder auf eine Seite und alle Zahlen auf die andere Seite zu bringen? - Wie führst du eine Probe durch, um sicher zu sein, dass dein Ergebnis stimmt?

1. Zusammenfassen der Terme auf der linken Seite: \(8x - 6 = 4x + 18\) 2. Subtraktion von \(4x\) auf beiden Seiten: \(4x - 6 = 18\) 3. Addition von \(6\) auf beiden Seiten: \(4x = 24\) 4. Division durch \(4\): \(x = 6\) 5. Probe durch Einsetzen von \(x = 6\): Linke Seite \(13 \cdot 6 - 8 - 5 \cdot 6 + 2 = 78 - 8 - 30 + 2 = 42\); Rechte Seite \(4 \cdot 6 + 18 = 24 + 18 = 42\). Da \(42 = 42\), ist die Lösung korrekt.

\(x = 6\)

- Wie lässt sich der Wert einer zweistelligen Zahl mithilfe ihrer Ziffern ausdrücken? - Was versteht man unter der Quersumme einer Zahl? - Kannst du eine der Ziffern durch die andere ausdrücken, um nur noch eine Unbekannte in der Gleichung zu haben? - Stelle eine Gleichung auf, die den im Text beschriebenen Zusammenhang wiedergibt.

1. Sei \(t\) die Zehnerziffer und \(u\) die Einerziffer der Zahl. Die Zahl lässt sich als \(10 \cdot t + u\) darstellen. 2. Aus der ersten Bedingung folgt: \(u = t + 3\). 3. Die Quersumme der Zahl ist \(t + u\). 4. Die zweite Bedingung lautet: \((10 \cdot t + u) + (t + u) = 45\). 5. Ersetzen von \(u\) durch \(t + 3\) in der Gleichung: \((10 \cdot t + t + 3) + (t + t + 3) = 45\). 6. Zusammenfassen der Terme: \(13 \cdot t + 6 = 45\). 7. Subtraktion von 6: \(13 \cdot t = 39\). 8. Division durch 13 ergibt die Zehnerziffer: \(t = 3\). 9. Berechnung der Einerziffer: \(u = 3 + 3 = 6\). 10. Die gesuchte Zahl ist 36.

Die Zahl lautet 36.

- Was passiert, wenn du alle Terme mit \(x\) auf die linke Seite bringst? - Wie kannst du die Zahl \(15\) auf die andere Seite der Gleichung bewegen? - Welche Rechenoperation ist das Gegenteil von Multiplikation?

1. Subtraktion von \(3x\) auf beiden Seiten ergibt \(4x + 15 = -5\). 2. Subtraktion von \(15\) auf beiden Seiten führt zu \(4x = -20\). 3. Division durch \(4\) ergibt den Wert für \(x\). 4. Das Ergebnis ist \(x = -5\).

\(x = -5\)

- Wie kannst du die Gleichung so umformen, dass keine Brüche mehr vorkommen? - Welche Zahl ist das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner \(3\) und \(4\)? - Achte darauf, jeden Term der Gleichung mit derselben Zahl zu multiplizieren.

1. Multiplikation der gesamten Gleichung mit dem Hauptnenner \(12\), um die Brüche zu eliminieren: \(9x + 6 = 4x - 12\). 2. Subtraktion von \(4x\) auf beiden Seiten, um die Variable auf eine Seite zu bringen: \(5x + 6 = -12\). 3. Subtraktion von \(6\) auf beiden Seiten: \(5x = -18\). 4. Division durch \(5\), um \(x\) zu isolieren: \(x = -\frac{18}{5}\) bzw. \(x = -3{,}6\).

\(x = -3{,}6\) (oder \(x = -\frac{18}{5}\))

- Achte beim Auflösen der Klammern besonders auf das Vorzeichen vor der Klammer. - Versuche zuerst, beide Seiten der Gleichung so weit wie möglich zu vereinfachen. - Bringe alle Glieder mit der Variablen auf eine Seite und alle Zahlen auf die andere Seite.

a) 1. Klammer auflösen (Minuszeichen beachten): \(18 - 3x - 6 = 2x - 3\) 2. Linke Seite zusammenfassen: \(12 - 3x = 2x - 3\) 3. Terme mit \(x\) auf eine Seite bringen: \(12 + 3 = 2x + 3x\), also \(15 = 5x\) 4. Nach \(x\) auflösen: \(x = 3\) b) 1. Klammer ausmultiplizieren: \(5x - 5 = 2x + 7\) 2. Terme mit \(x\) auf eine Seite bringen: \(5x - 2x = 7 + 5\), also \(3x = 12\) 3. Nach \(x\) auflösen: \(x = 4\)

a) \(x = 3\) b) \(x = 4\)

- Versuche zuerst, den Teil mit der Variablen zu isolieren, indem du die Zahl ohne Variable auf die andere Seite bringst. - Wie kommst du von \(4y\) auf ein einzelnes \(y\)? - Was passiert mit dem Ergebnis der Rechnung, wenn du eine Zahl einsetzt, die nicht die Lösung ist?

1. Lösung der Gleichung: Zuerst wird 3 auf beiden Seiten addiert: \(4y = 20\). 2. Division durch 4 ergibt die Lösung: \(y = 5\). 3. Überprüfung für \(y = 4\): Einsetzen des Wertes in die linke Seite der Gleichung ergibt \(4 \cdot 4 - 3 = 16 - 3 = 13\). 4. Da das Ergebnis \(13\) nicht gleich \(17\) ist, ist \(y = 4\) keine Lösung der Gleichung.

a) Die Lösung ist \(y = 5\). b) \(y = 4\) ist keine Lösung, da das Einsetzen \(4 \cdot 4 - 3 = 13\) ergibt und dies nicht gleich \(17\) ist.

- Kannst du den Text in eine mathematische Formel übersetzen? - Was bedeutet „vergrößert um“ oder „das Dreifache“ als Rechenzeichen? - Wie kannst du eine Rechenoperation rückgängig machen, um die gesuchte Zahl allein auf eine Seite zu bringen?

1. Aufstellen der Gleichung: \(x + 8{,}4 = 15\). Subtraktion von \(8{,}4\) auf beiden Seiten ergibt \(x = 6{,}6\). 2. Aufstellen der Gleichung: \(42 - y = 13{,}5\). Subtraktion von \(42\) ergibt \(-y = -28{,}5\), also \(y = 28{,}5\). 3. Aufstellen der Gleichung: \(3 \cdot a = 25{,}5\). Division durch \(3\) ergibt \(a = 8{,}5\).

1) \(x = 6{,}6\) 2) \(y = 28{,}5\) 3) \(a = 8{,}5\)

- Überlege dir, welche Rechenoperation die Zahl mit der Variablen verknüpft und wie du das Gegenteil davon anwendest. - Achte besonders auf das Rechnen mit negativen Zahlen. - Bringe Brüche vor dem Addieren oder Subtrahieren auf einen gemeinsamen Nenner. - Wenn ein Minuszeichen vor der Variablen steht, kannst du die gesamte Gleichung am Ende mit \(-1\) multiplizieren.

1. Subtraktion von \(8{,}5\) auf beiden Seiten der Gleichung ergibt \(x = 3{,}2 - 8{,}5 = -5{,}3\). 2. Addition von \(\frac{5}{6}\) auf beiden Seiten führt zu \(y = \frac{1}{3} + \frac{5}{6}\). Mit dem Hauptnenner \(6\) ergibt sich \(y = \frac{2}{6} + \frac{5}{6} = \frac{7}{6} = 1\frac{1}{6}\). 3. Subtraktion von \(12\) ergibt \(-z = 3{,}5\). Durch Multiplikation mit \(-1\) erhält man \(z = -3{,}5\). 4. Umwandlung von \(2\frac{1}{4}\) in \(\frac{9}{4}\) und Subtraktion ergibt \(a = \frac{3}{8} - \frac{9}{4}\). Erweitern auf den Nenner \(8\) liefert \(a = \frac{3}{8} - \frac{18}{8} = -\frac{15}{8} = -1\frac{7}{8}\).

a) \(x = -5{,}3\); b) \(y = 1\frac{1}{6}\); c) \(z = -3{,}5\); d) \(a = -1\frac{7}{8}\)

- Kannst du jede Gleichung einzeln nach \(x\) auflösen? - Was musst du tun, um eine Zahl auf die andere Seite des Gleichheitszeichens zu bringen? - Vergleiche am Ende deine berechneten Werte für \(x\).

1. Erste Gleichung lösen: \(4x - 2{,}8 = 5{,}2 \implies 4x = 8{,}0 \implies x = 2\). 2. Zweite Gleichung lösen: \(15 - 3x = 6 \implies 15 - 6 = 3x \implies 9 = 3x \implies x = 3\). 3. Dritte Gleichung lösen: \(0{,}5x + 1{,}5 = 2{,}5 \implies 0{,}5x = 1{,}0 \implies x = 2\). 4. Vergleich der Ergebnisse: Die Gleichungen 1) und 3) haben mit \(x = 2\) dieselbe Lösung.

1) \(x = 2\); 2) \(x = 3\); 3) \(x = 2\). Die Gleichungen 1) und 3) haben dieselbe Lösung.

- Was ist in der Aufgabe gesucht? Ersetze diesen Wert durch einen Platzhalter wie \(x\). - Welches mathematische Rechenzeichen passt zum Wort „subtrahieren“? - Wie kannst du eine Rechenoperation auf der anderen Seite des Gleichheitszeichens wieder rückgängig machen? - Achte beim Rechnen auf das Vorzeichen der Zahlen.

1. Aufstellen der Gleichung mit der unbekannten Zahl \(x\): \(x - 14{,}2 = -5{,}8\). 2. Durchführung der Äquivalenzumformung durch Addition von \(14{,}2\) auf beiden Seiten der Gleichung: \(x = -5{,}8 + 14{,}2\). 3. Berechnung des Ergebnisses: \(x = 8{,}4\).

Die Zahl lautet \(8{,}4\).

- Haben beide Seiten der Waage die gleiche Einheit? - Kannst du die linke Seite der Waage als einen mathematischen Ausdruck schreiben? - Was bedeutet „Gleichgewicht“ für die Beziehung zwischen der linken und der rechten Seite? - Wie kannst du die Gleichung Schritt für Schritt vereinfachen, um \(x\) allein stehen zu haben?

1. Umrechnung der Gewichtseinheiten in Gramm: \(1{,}35\,\text{kg} = 1350\,\text{g}\). 2. Aufstellen der Gleichung für das Gleichgewicht der Waage: \(4 \cdot x + 150 = 1350\), wobei \(x\) die Masse einer Pralinenschachtel in Gramm ist. 3. Isolieren des Terms mit der Unbekannten durch Subtraktion von \(150\) auf beiden Seiten: \(4 \cdot x = 1200\). 4. Division durch \(4\), um das Gewicht einer Schachtel zu erhalten: \(x = 300\,\text{g}\).

\(300\,\text{g}\)

- Überlege dir zuerst, wie du den Term ohne \(x\) auf die andere Seite bringst. - Wie wird man einen Vorfaktor vor dem \(x\) durch eine Rechenoperation los? - Denk daran, dass eine Gleichung wie eine Waage im Gleichgewicht bleiben muss – was du links tust, musst du auch rechts tun. - Was bedeutet ein Minuszeichen direkt vor dem \(x\) für den Wert von \(x\)?

1. Subtraktion von \(9\) ergibt \(3x = -9\). Division durch \(3\) führt zu \(x = -3\). 2. Addition von \(4\) ergibt \(-2x = 10\). Division durch \(-2\) führt zu \(x = -5\). 3. Addition von \(5\) ergibt \(20 = 4x\). Division durch \(4\) führt zu \(x = 5\). 4. Subtraktion von \(10\) ergibt \(-x = 3\). Multiplikation mit \(-1\) führt zu \(x = -3\).

1) \(x = -3\) 2) \(x = -5\) 3) \(x = 5\) 4) \(x = -3\)

- Überlege dir, welche Rechenoperation die Zahl auf der Seite der Unbekannten „aufhebt“. - Achte besonders auf das Vorzeichen, wenn du durch eine negative Zahl teilst. - Es kann helfen, Brüche in Dezimalzahlen umzuwandeln oder umgekehrt, bevor du rechnest. - Gehe schrittweise vor: Isoliere zuerst den Term mit der Variablen.

1. Subtraktion von \(12\) ergibt \(-5x = -30\). Division durch \(-5\) führt zu \(x = 6\). 2. Addition von \(3{,}2\) ergibt \(\frac{a}{8} = -1{,}5\). Multiplikation mit \(8\) führt zu \(a = -12\). 3. Umwandlung von \(2\frac{1}{4}\) in \(2{,}25\). Subtraktion von \(7\) ergibt \(2{,}25y = -4{,}5\). Division durch \(2{,}25\) führt zu \(y = -2\).

1) \(x = 6\); 2) \(a = -12\); 3) \(y = -2\)

- Kannst du die Gleichung zuerst vereinfachen, indem du die Klammer auflöst? - Welche Rechenoperation macht die Subtraktion von 12 rückgängig? - Wie isoliert man die Variable \(x\), wenn sie mit einer Zahl multipliziert wird? - Überlege dir, welche Zahl in der Klammer stehen müsste, damit die Rechnung am Ende Null ergibt.

1. Aufstellen der Gleichung: \(3 \cdot (x + 5) - 12 = 0\). 2. Anwendung des Distributivgesetzes zum Auflösen der Klammer: \(3x + 15 - 12 = 0\). 3. Zusammenfassen der konstanten Glieder auf der linken Seite: \(3x + 3 = 0\). 4. Subtraktion von \(3\) auf beiden Seiten der Gleichung: \(3x = -3\). 5. Division beider Seiten durch \(3\), um die Variable zu isolieren: \(x = -1\).

Der Wert ist \(x = -1\).

- Kannst du die Glieder mit der Variablen auf einer Seite zusammenfassen? - Was musst du tun, um die Zahl ohne Variable auf die andere Seite des Gleichheitszeichens zu bringen? - Wie isolierst du die Variable am Ende, wenn dort zum Beispiel ein Vielfaches steht?

1. Zusammenfassen der Terme mit \(z\) auf der linken Seite ergibt \(9z - 14 = 4\). 2. Addition von \(14\) auf beiden Seiten führt zu \(9z = 18\). 3. Division durch \(9\) ergibt das Ergebnis \(z = 2\). 4. Zusammenfassen der Terme mit \(w\) auf der linken Seite ergibt \(11w - 5 = 50\). 5. Addition von \(5\) auf beiden Seiten führt zu \(11w = 55\). 6. Division durch \(11\) ergibt das Ergebnis \(w = 5\).

a) \(z = 2\) b) \(w = 5\)

- Kannst du Terme mit der gleichen Variablen auf einer Seite zusammenfassen? - Was musst du tun, um eine Zahl auf die andere Seite der Gleichung zu bringen? - Welche Rechenoperation ist das Gegenteil von Multiplikation? - Versuche, die Gleichung Schritt für Schritt zu vereinfachen, bis die Variable allein steht.

1. Zusammenfassen der Terme mit \(x\) auf der linken Seite: \(9x = 81\). Division durch \(9\) ergibt \(x = 9\). 2. Zusammenfassen der konstanten Zahlen auf der linken Seite: \(3y + 9 = 24\). Subtraktion von \(9\) führt zu \(3y = 15\). Division durch \(3\) ergibt \(y = 5\). 3. Zusammenfassen der Terme mit \(z\): \(7z - 4 = 31\). Addition von \(4\) auf beiden Seiten ergibt \(7z = 35\). Division durch \(7\) liefert \(z = 5\).

1) \(x = 9\) 2) \(y = 5\) 3) \(z = 5\)

- Kannst du die Terme mit Variablen und die Zahlen ohne Variablen auf der linken Seite jeweils zusammenfassen? - Was musst du tun, um die Zahl ohne Variable auf die andere Seite des Gleichheitszeichens zu bringen? - Wie kommst du von einem Vielfachen der Variablen (wie zum Beispiel \(10x\)) auf den Wert für genau eine Variable? - Achte besonders auf die Vorzeichen, wenn du negative Zahlen addierst oder subtrahierst.

1. Zusammenfassen der Terme auf der linken Seite: \((6x + 4x) + (-14 + 9) = 25 \implies 10x - 5 = 25\). 2. Isolation des Variablenterms durch Addition von 5: \(10x = 30\). 3. Division durch 10 ergibt die Lösung: \(x = 3\). 4. Zusammenfassen der Terme auf der linken Seite: \((-3y - 5y) + (20 - 8) = 36 \implies -8y + 12 = 36\). 5. Isolation des Variablenterms durch Subtraktion von 12: \(-8y = 24\). 6. Division durch \(-8\) ergibt die Lösung: \(y = -3\).

1) \(x = 3\) 2) \(y = -3\)

- Kannst du die Terme mit \(x\) auf der linken Seite zuerst zusammenfassen? - Was musst du tun, um die reine Zahl auf die rechte Seite der Gleichung zu bringen? - Ziel ist es, die Variable \(x\) ganz allein auf einer Seite stehen zu haben. - Wie machst du eine Multiplikation mit 11 rückgängig?

1. Zusammenfassen der Terme auf der linken Seite: \(11x - 6 = 27\) 2. Addition von 6 auf beiden Seiten der Gleichung: \(11x = 33\) 3. Division beider Seiten durch 11: \(x = 3\)

\(x = 3\)

- Wie kannst du die nächste Zahl ausdrücken, wenn die erste Zahl \(x\) ist? - Was bedeutet der Begriff „Summe“ für deine mathematische Gleichung? - Versuche zuerst, alle vier Zahlen als Terme mit einer Variablen aufzuschreiben. - Kannst du die Gleichung vereinfachen, bevor du nach \(x\) auflöst?

1. Definition der ersten Zahl als \(x\). 2. Darstellung der weiteren drei aufeinanderfolgenden Zahlen als \(x + 1\), \(x + 2\) und \(x + 3\). 3. Aufstellen der Summengleichung: \(x + (x + 1) + (x + 2) + (x + 3) = 66\). 4. Zusammenfassen der Terme auf der linken Seite: \(4 \cdot x + 6 = 66\). 5. Subtraktion von \(6\) auf beiden Seiten: \(4 \cdot x = 60\). 6. Division durch \(4\): \(x = 15\). 7. Bestimmung der vier gesuchten Zahlen: \(15\), \(16\), \(17\) und \(18\).

Die Zahlen sind \(15\), \(16\), \(17\) und \(18\).

- Was musst du beachten, wenn ein Minuszeichen direkt vor einer Klammer steht? - Kannst du die Terme auf der linken Seite zuerst vereinfachen, bevor du die Gleichung umformst? - Was passiert mit Termen wie \(y^2\), wenn sie in beiden Klammern mit demselben Koeffizienten vorkommen? - Achte darauf, alle Zahlen ohne Variable und alle Terme mit der gleichen Variable getrennt zusammenzufassen.

1. Gleichung a: Klammern auflösen ergibt \(6x - 11 + 4x + 5 = 24\). Zusammenfassen führt zu \(10x - 6 = 24\). Addition von \(6\) ergibt \(10x = 30\). Division durch \(10\) liefert \(x = 3\). 2. Gleichung b: Klammern auflösen unter Beachtung des Minuszeichens ergibt \(2y^2 + 9y - 15 - 2y^2 + y - 5 = 60\). Die Terme mit \(y^2\) heben sich auf (\(2y^2 - 2y^2 = 0\)). Zusammenfassen der restlichen Terme ergibt \(10y - 20 = 60\). Addition von \(20\) ergibt \(10y = 80\). Division durch \(10\) liefert \(y = 8\). 3. Gleichung c: Klammern auflösen ergibt \(25 - 8z + 3 + 3z - 2 = 1\). Zusammenfassen der konstanten Terme (\(25 + 3 - 2 = 26\)) und der \(z\)-Terme (\(-8z + 3z = -5z\)) ergibt \(-5z + 26 = 1\). Subtraktion von \(26\) ergibt \(-5z = -25\). Division durch \(-5\) liefert \(z = 5\).

a) \(x = 3\) b) \(y = 8\) c) \(z = 5\)

- Wie gehst du vor, um die Klammer auf der linken Seite zu beseitigen? - Kannst du alle Terme mit dem Buchstaben \(a\) auf einer Seite zusammenfassen? - Wenn du die allgemeine Lösung für \(x\) gefunden hast, wie kannst du die zusätzliche Information \(x = 15\) einbauen?

1. Auflösen der Klammer durch Multiplikation: \(3x - 6a + 5a = 14a\). 2. Zusammenfassen der Terme mit \(a\) auf der linken Seite: \(3x - a = 14a\). 3. Isolation des Terms mit \(x\) durch Addition von \(a\): \(3x = 15a\). 4. Division durch 3 ergibt die allgemeine Lösung: \(x = 5a\). 5. Einsetzen der Bedingung \(x = 15\) in die gefundene Lösung: \(15 = 5a\). 6. Division durch 5 liefert den gesuchten Wert für den Parameter: \(a = 3\).

Die Lösung ist \(x = 5a\). Damit \(x = 15\) gilt, muss \(a = 3\) sein.

- Achte besonders auf das Vorzeichen vor der Klammer beim Auflösen. - Versuche, jede Seite der Gleichung so weit wie möglich zu vereinfachen, bevor du nach \( x \) umstellst. - Was bedeutet es für zwei Gleichungen, wenn sie „dieselbe Lösungsmenge“ haben?

1. Erste Gleichung: Auflösen der Klammer unter Beachtung des Minuszeichens ergibt \( 18 - x - 7 = 5 \). Zusammenfassen führt zu \( 11 - x = 5 \). Subtraktion von \( 11 \) ergibt \( -x = -6 \), also \( x = 6 \). 2. Zweite Gleichung: Auflösen der Klammer ergibt \( 24 = 35 - x - 5 \). Zusammenfassen führt zu \( 24 = 30 - x \). Subtraktion von \( 30 \) ergibt \( -6 = -x \), also \( x = 6 \). Beide Gleichungen haben die Lösung \( x = 6 \), sie besitzen also dieselbe Lösungsmenge \( L = \{6\} \).

Ja, beide Gleichungen haben dieselbe Lösung \( x = 6 \).

- Gibt es eine Zahl, durch die du die gesamte Gleichung teilen kannst, um die Klammer direkt aufzulösen? - Welche Rechenoperation macht eine Addition oder Subtraktion rückgängig? - Achte darauf, dass am Ende die Variable allein auf einer Seite steht. - Kannst du dein Ergebnis überprüfen, indem du es für die Variable in die ursprüngliche Gleichung einsetzt?

1. Division beider Seiten durch 6: \(x + 4 = 8{,}5\); Subtraktion von 4: \(x = 4{,}5\) 2. Division beider Seiten durch 9: \(x - 12 = 2\); Addition von 12: \(x = 14\) 3. Division beider Seiten durch 4: \(3x + 2 = 14\); Subtraktion von 2: \(3x = 12\); Division durch 3: \(x = 4\) 4. Division beider Seiten durch \(0{,}4\): \(x - 5 = 5\); Addition von 5: \(x = 10\)

1) \(x = 4{,}5\); 2) \(x = 14\); 3) \(x = 4\); 4) \(x = 10\)

- Kannst du die Klammer zuerst beseitigen, indem du jeden Wert darin mit dem Faktor davor multiplizierst? - Schau dir die Zahlen ohne Variable auf der linken Seite an – kannst du sie zu einer Zahl kombinieren? - Wie bekommst du die Zahl ohne \(x\) auf die andere Seite des Gleichheitszeichens? - Was musst du tun, um am Ende das \(x\) ganz allein stehen zu haben?

1. Auflösen der Klammer durch Multiplikation: \(6x - 24 + 8 = 20\). 2. Zusammenfassen der konstanten Terme auf der linken Seite: \(6x - 16 = 20\). 3. Addition von \(16\) auf beiden Seiten der Gleichung: \(6x = 36\). 4. Division durch \(6\): \(x = 6\).

\(x = 6\)

- Achte besonders auf das Minuszeichen vor der zweiten Klammer beim Ausmultiplizieren. - Fasse zuerst alle Terme mit \(x\) und alle Zahlen ohne \(x\) auf der linken Seite zusammen, bevor du die Gleichung umformst. - Wie gehst du vor, wenn vor einer Klammer ein Minus steht?

1. Auflösen der Klammern unter Beachtung der Vorzeichen: \(12x - 18 - 12x - 15 + 8x - 4 = 9\) 2. Zusammenfassen der Terme auf der linken Seite: \((12 - 12 + 8)x + (-18 - 15 - 4) = 8x - 37\) 3. Gleichung nach der Zusammenfassung: \(8x - 37 = 9\) 4. Addition von \(37\) auf beiden Seiten: \(8x = 46\) 5. Division durch \(8\): \(x = 5{,}75\)

\(x = 5{,}75\)

- Erinnerst du dich an das Distributivgesetz zum Auflösen von Klammern? - Kannst du die Terme mit \(x\) und die reinen Zahlen auf der linken Seite jeweils zusammenrechnen? - Was ist der letzte Schritt, um \(x\) ganz allein auf einer Seite stehen zu haben? - Wie kannst du dein Ergebnis durch Einsetzen in die Ursprungsgleichung überprüfen?

1. Distributivgesetz anwenden, um die Klammern aufzulösen: \(0{,}5x - 0{,}6 + 0{,}4x + 0{,}2 = 0{,}5\) 2. Gleichartige Terme auf der linken Seite zusammenfassen: \(0{,}9x - 0{,}4 = 0{,}5\) 3. Auf beiden Seiten \(0{,}4\) addieren, um den Term mit \(x\) zu isolieren: \(0{,}9x = 0{,}9\) 4. Beide Seiten durch \(0{,}9\) dividieren: \(x = 1\)

\(x = 1\)

- Kannst du die Klammern zuerst einzeln ausmultiplizieren? - Was passiert mit den Vorzeichen innerhalb einer Klammer, wenn ein Minuszeichen davor steht? - Was stellst du bei den Termen mit \(x^2\) fest, wenn du die linke Seite zusammenfasst? - Wie gehst du vor, um die Variable am Ende allein auf einer Seite stehen zu haben?

1. Ausmultiplizieren der ersten beiden Klammern: \((2x+3) \cdot (x-4) = 2x^2 - 8x + 3x - 12 = 2x^2 - 5x - 12\) 2. Ausmultiplizieren der hinteren beiden Klammern: \((x+1) \cdot (2x-5) = 2x^2 - 5x + 2x - 5 = 2x^2 - 3x - 5\) 3. Subtraktion der Ergebnisse unter Berücksichtigung der Minusklammer: \((2x^2 - 5x - 12) - (2x^2 - 3x - 5) = 2x^2 - 5x - 12 - 2x^2 + 3x + 5\) 4. Zusammenfassen der Terme auf der linken Seite: \(-2x - 7 = 7\) 5. Isolation der Variable \(x\): \(-2x = 14\) führt zu \(x = -7\)

\(L = \{-7\}\)

- Was musst du beachten, wenn ein Minuszeichen direkt vor einer Klammer steht? - Versuche zuerst, jede Seite der Gleichung so weit wie möglich zu vereinfachen, bevor du mit dem Umstellen beginnst. - Denke daran, dass das Ziel darin besteht, alle Terme mit der Unbekannten auf eine Seite und alle Zahlen auf die andere Seite zu bringen.

a) 1. Auflösen der Klammern unter Beachtung der Vorzeichen: \(15 - 2x - 7 = 4x - x + 2\). 2. Zusammenfassen der Terme auf beiden Seiten: \(8 - 2x = 3x + 2\). 3. Sortieren der Terme durch Äquivalenzumformungen: \(6 = 5x\). 4. Division durch 5 ergibt \(x = 1{,}2\). b) 1. Anwendung des Distributivgesetzes: \(6x - 2 - 4x - 12 = 0\). 2. Zusammenfassen der Terme: \(2x - 14 = 0\). 3. Addition von 14 und Division durch 2 führt zu \(x = 7\).

a) \(x = 1{,}2\) b) \(x = 7\)

- Wie kannst du eine Zahl und ihren direkten Nachfolger mit einer Variable ausdrücken? - Kannst du den Text Schritt für Schritt in eine mathematische Gleichung übersetzen? - Was bedeutet „um 31 größer“ mathematisch für den Aufbau deiner Gleichung? - Erinnere dich daran, wie man Klammern auflöst, in denen eine Summe mit einer Zahl multipliziert wird.

1. Definition der Variablen: Sei \(x\) die erste Zahl. Die Nachfolgerzahl ist dann \(x + 1\). 2. Aufstellen der Gleichung gemäß der Problemstellung: \(7x = 5(x + 1) + 31\). 3. Auflösen der Klammer auf der rechten Seite: \(7x = 5x + 5 + 31\). 4. Zusammenfassen der Terme: \(7x = 5x + 36\). 5. Subtraktion von \(5x\) auf beiden Seiten: \(2x = 36\). 6. Division durch 2 ergibt die erste Zahl: \(x = 18\). 7. Bestimmung der Nachfolgerzahl: \(18 + 1 = 19\).

Die beiden aufeinanderfolgenden Zahlen sind 18 und 19.

- Erkennst du in den Klammern eine bestimmte binomische Formel? - Achte besonders auf das Minuszeichen vor den Klammern beim Auflösen. - Was passiert mit den Termen, die ein \(x^2\) enthalten? - Versuche zuerst, die linke Seite der Gleichung so weit wie möglich zu vereinfachen.

1. Teilaufgabe a): Anwendung der dritten binomischen Formel auf \((x-6) \cdot (x+6)\) ergibt \(x^2 - 36\). Multiplikation von \(-x\) mit \((x-3)\) ergibt \(-x^2 + 3x\). Einsetzen in die Gleichung: \(x^2 - 36 - x^2 + 3x = 12\). Zusammenfassen der Terme mit \(x^2\) ergibt \(0\), woraus die lineare Gleichung \(3x - 36 = 12\) folgt. Addition von \(36\) führt zu \(3x = 48\). Division durch \(3\) ergibt \(x = 16\). 2. Teilaufgabe b): Anwendung der dritten binomischen Formel auf \((x-4) \cdot (x+4)\) ergibt \(x^2 - 16\). Multiplikation mit dem Faktor \(2\) ergibt \(2x^2 - 32\). Einsetzen in die Gleichung: \(2x^2 - 32 - 2x^2 + 4x = 8\). Die quadratischen Terme \(2x^2\) und \(-2x^2\) heben sich auf. Es bleibt \(4x - 32 = 8\). Addition von \(32\) führt zu \(4x = 40\). Division durch \(4\) ergibt \(x = 10\).

a) \(x = 16\) b) \(x = 10\)

- Überlege dir zuerst, wie man Potenzen desselben Buchstabens dividiert. - Denke an die Regel „Punkt vor Strich“. - Kannst du die linke Seite der Gleichung so weit wie möglich zusammenfassen, bevor du nach der Unbekannten auflöst?

1. Teilaufgabe a): Wegen \(x \ne 0\) darf \((12x^2) : (4x)\) zu \(3x\) vereinfacht werden. Aus \(3x = 18\) folgt \(x = 6\). 2. Teilaufgabe b): Wegen \(y \ne 0\) gilt \((40y^3) : (8y^2) = 5y\). Damit ist \(5y + 13 = 48\), also \(5y = 35\) und \(y = 7\). 3. Teilaufgabe c): Wegen \(z \ne 0\) gilt \((18z^2) : (6z) = 3z\). Somit ist \(22z - 3z = 38\), also \(19z = 38\) und \(z = 2\). Alle drei Lösungen erfüllen die jeweilige Definitionsbedingung.

a) \(x = 6\); b) \(y = 7\); c) \(z = 2\). Alle Lösungen sind zulässig.

- Kannst du den Ausdruck in der Klammer durch Division vereinfachen? - Denke daran, dass jeder Summand in der Klammer einzeln durch den Divisor geteilt werden muss. - Wie kannst du die Gleichung Schritt für Schritt umformen, um die Unbekannte zu isolieren?

1. Wegen \(y \ne 0\) darf der Quotient gliedweise vereinfacht werden: \((18y^2 - 9y) : (9y) = 2y - 1\). 2. Damit lautet die Gleichung \(14 + 2y - 1 = 20\), also \(13 + 2y = 20\). 3. Subtraktion von \(13\) ergibt \(2y = 7\). 4. Division durch \(2\) liefert \(y = 3{,}5\). Dieser Wert erfüllt \(y \ne 0\).

\(y = 3{,}5\); die Lösung ist zulässig, da \(y \ne 0\) gilt.

- Wie findet man einen gemeinsamen Nenner für die Brüche in der Gleichung? - Was passiert mit der rechten Seite der Gleichung, wenn du die gesamte Gleichung mit einer Zahl multiplizierst? - Kannst du die Terme mit \(x\) auf der linken Seite zusammenfassen, nachdem du die Nenner beseitigt hast?

1. Teilaufgabe a): Multiplikation mit dem Hauptnenner \(20\) führt zu \(8x + 5x = 260\). Zusammenfassen ergibt \(13x = 260\). Division durch \(13\) ergibt \(x = 20\). 2. Teilaufgabe b): Multiplikation mit dem Hauptnenner \(6\) führt zu \(7x - 3x = 48\). Zusammenfassen ergibt \(4x = 48\). Division durch \(4\) ergibt \(x = 12\).

a) \(x = 20\) b) \(x = 12\)

- Wie kannst du die Brüche aus der Gleichung entfernen? - Welche Zahl eignet sich als gemeinsamer Nenner für alle Brüche in der Gleichung? - Achte besonders auf das Minuszeichen vor einem Bruch, wenn du die Klammern auflöst. - Was musst du tun, nachdem die Brüche verschwunden sind, um die Variable zu isolieren?

1. Gleichung a) mit dem Hauptnenner \(4\) multiplizieren: \(3x - 1 + 2 \cdot (x + 2) = 20\). Klammern auflösen und zusammenfassen ergibt \(5x + 3 = 20\). Subtraktion von \(3\) und Division durch \(5\) führt zu \(x = \frac{17}{5}\) bzw. \(x = 3{,}4\). 2. Gleichung b) mit dem Hauptnenner \(6\) multiplizieren: \(2 \cdot (2y + 5) - (y - 1) = 12\). Klammern auflösen (Vorzeichen beachten!) und zusammenfassen ergibt \(4y + 10 - y + 1 = 12\), also \(3y + 11 = 12\). Subtraktion von \(11\) und Division durch \(3\) führt zu \(y = \frac{1}{3}\).

a) \(x = \frac{17}{5}\) (oder \(3{,}4\)) b) \(y = \frac{1}{3}\)

- Erinnere dich daran, wie man eine Zahl für eine Variable in einen Rechenausdruck einsetzt. - Wenn ein Term einen bestimmten Wert annehmen soll, kannst du dies als Gleichung schreiben. - Um herauszufinden, wann zwei Ausdrücke gleich sind, kannst du sie mit einem Gleichheitszeichen verbinden. - Nutze Äquivalenzumformungen, um die Variable allein auf eine Seite der Gleichung zu bringen.

1. Einsetzen der \(x\)-Werte in \(5x - 7\): - Für \(x = -3\): \(5 \cdot (-3) - 7 = -15 - 7 = -22\). - Für \(x = 0\): \(5 \cdot 0 - 7 = -7\). - Für \(x = 2{,}5\): \(5 \cdot 2{,}5 - 7 = 12{,}5 - 7 = 5{,}5\). 2. Lösen der Gleichung \(5x - 7 = 13\): Addition von \(7\) ergibt \(5x = 20\). Division durch \(5\) ergibt \(x = 4\). 3. Gleichsetzen der Terme: \(5x - 7 = 2x + 8\). Subtraktion von \(2x\) ergibt \(3x - 7 = 8\). Addition von \(7\) ergibt \(3x = 15\). Division durch \(3\) ergibt \(x = 5\).

1) Tabelle: \(-22\); \(-7\); \(5{,}5\). 2) \(x = 4\). 3) \(x = 5\).

- Was passiert, wenn du versuchst, alle Terme mit \(x\) auf eine Seite der Gleichung zu bringen? - Überlege dir, was es bedeutet, wenn am Ende eine Aussage wie \(0 = 5\) oder \(3 = 3\) steht. - Achte beim Auflösen der Klammern genau auf die Vorzeichen. - Hat eine Gleichung automatisch keine Lösung, wenn das Ergebnis \(0\) ist?

1. Umformung von \(4 \cdot (x - 1) = 4x - 1\): Ausmultiplizieren ergibt \(4x - 4 = 4x - 1\). Subtraktion von \(4x\) führt zu \(-4 = -1\). Dies ist eine falsche Aussage, daher gibt es keine Lösung. 2. Umformung von \(2x + 8 = 2 \cdot (x + 4)\): Ausmultiplizieren ergibt \(2x + 8 = 2x + 8\). Subtraktion von \(2x\) führt zu \(8 = 8\). Dies ist eine wahre Aussage für alle Zahlen, daher gibt es unendlich viele Lösungen. 3. Umformung von \(5 - x = 7 - x\): Addition von \(x\) führt zu \(5 = 7\). Dies ist eine falsche Aussage, daher gibt es keine Lösung. 4. Umformung von \(3x = 0\): Division durch \(3\) ergibt \(x = 0\). Dies ist genau eine Lösung. Die Gleichungen 1 und 3 haben keine Lösung.

Die Gleichungen 1) und 3) haben keine Lösung.

- Was bedeutet es, wenn zwei Gleichungen die gleiche Lösungsmenge haben? - Bestimme zuerst den Wert für \(x\) in jeder einzelnen Gleichung. - Vergleiche die Ergebnisse der beiden Gleichungen eines Paares. - Wenn die Ergebnisse identisch sind, nennt man die Gleichungen äquivalent.

1. Erste Gleichung in a): \(4x - 7 = 13 \Rightarrow 4x = 20 \Rightarrow x = 5\). 2. Zweite Gleichung in a): \(2x + 5 = 15 \Rightarrow 2x = 10 \Rightarrow x = 5\). 3. Vergleich für a): Da beide Gleichungen die Lösung \(x = 5\) haben, sind sie äquivalent. 4. Erste Gleichung in b): \(3 \cdot (x - 2) = 12 \Rightarrow x - 2 = 4 \Rightarrow x = 6\). 5. Zweite Gleichung in b): \(x + 4 = 9 \Rightarrow x = 5\). 6. Vergleich für b): Da die Lösungen \(x = 6\) und \(x = 5\) unterschiedlich sind, sind sie nicht äquivalent.

a) Die Gleichungen sind äquivalent, da beide die Lösung \(x = 5\) haben. b) Die Gleichungen sind nicht äquivalent, da die erste Gleichung die Lösung \(x = 6\) und die zweite die Lösung \(x = 5\) hat.

- Was bedeutet es, wenn eine Zahl die Lösung einer Gleichung ist? - Könntest du mit einer sehr einfachen Gleichung wie \(x = -4\) starten und diese dann schrittweise verändern? - Welche Rechenoperationen kannst du auf beiden Seiten einer Gleichung durchführen, ohne die Lösung zu ändern? - Probiere für die zweite Aufgabe, zuerst einen Term für die linke Seite zu erfinden und dann das Ergebnis für die rechte Seite passend zu machen.

1. Für die erste Gleichung wird ein Term mit Klammern gewählt, zum Beispiel \(a \cdot (x + b) = c\). Setzt man \(b = 6\) und \(a = 3\), ergibt sich für \(x = -4\) der Wert \(3 \cdot (-4 + 6) = 3 \cdot 2 = 6\). Eine mögliche Gleichung ist \(3 \cdot (x + 6) = 6\). 2. Für die zweite Gleichung wird ein Ansatz der Form \(ax + b = cx + d\) gewählt. Wählt man \(a = 2\) und \(c = 1\), muss für \(x = -4\) gelten: \(2 \cdot (-4) + b = 1 \cdot (-4) + d\), also \(-8 + b = -4 + d\). Mit \(b = 10\) folgt \(2 = -4 + d\), also \(d = 6\). Eine mögliche Gleichung ist \(2x + 10 = x + 6\).

Beispiele für mögliche Gleichungen: 1. \(3 \cdot (x + 6) = 6\) 2. \(2x + 10 = x + 6\)

- Gibt es auf einer der beiden Seiten Terme, die du zuerst zusammenrechnen kannst? - Wie schaffst du es, dass alle Glieder mit \(x\) auf einer Seite und alle Zahlen ohne \(x\) auf der anderen Seite stehen? - Welche Rechenoperation macht eine Subtraktion oder eine Multiplikation rückgängig?

1. Zusammenfassen der gleichartigen Terme auf der linken Seite der Gleichung: \(8x - 14 = 3x + 11\) 2. Subtraktion von \(3x\) auf beiden Seiten, um alle Terme mit \(x\) nach links zu bringen: \(5x - 14 = 11\) 3. Addition von \(14\) auf beiden Seiten, um die Konstante nach rechts zu bringen: \(5x = 25\) 4. Division beider Seiten durch \(5\), um \(x\) zu isolieren: \(x = 5\)

\(x = 5\)

- Zwei Gleichungen sind äquivalent, wenn sie dieselbe Lösungsmenge haben. - Überlege, ob du durch eine zulässige Rechenoperation (wie Addition, Subtraktion, Multiplikation oder Division auf beiden Seiten) von der ersten zur zweiten Gleichung gelangst. - Achte besonders darauf, ob eine Operation auf wirklich alle Teile einer Seite angewendet wurde. - Was passiert mit dem Ergebnis auf der rechten Seite, wenn du die linke Seite veränderst?

1. Prüfung von \(x - 4 = 12\) und \(x = 16\): Addition von 4 auf beiden Seiten der ersten Gleichung führt zur zweiten Gleichung. Ergebnis: äquivalent. 2. Prüfung von \(6x = 24\) und \(2x = 8\): Division beider Seiten der ersten Gleichung durch 3 führt zur zweiten Gleichung. Ergebnis: äquivalent. 3. Prüfung von \(x + 5 = 10\) und \(x + 10 = 20\): Addition von 5 auf der linken Seite ergibt \(x + 10\), auf der rechten Seite jedoch \(10 + 5 = 15\). Da die Zielgleichung \(x + 10 = 20\) lautet: nicht äquivalent. 4. Prüfung von \(\frac{x}{2} + 3 = 7\) und \(x + 6 = 14\): Multiplikation der gesamten ersten Gleichung mit 2 (unter Beachtung des Distributivgesetzes) ergibt \(2 \cdot \frac{x}{2} + 2 \cdot 3 = 2 \cdot 7\), also \(x + 6 = 14\). Ergebnis: äquivalent.

1) Äquivalent (Addition von 4). 2) Äquivalent (Division durch 3). 3) Nicht äquivalent. 4) Äquivalent (Multiplikation mit 2).

- Kannst du das gegebene Verhältnis durch eine einfachere Division ausdrücken? - Stelle für jede Information im Text eine eigene mathematische Beziehung auf. - Versuche, eine der unbekannten Zahlen durch die andere zu beschreiben. - Was passiert mit der Summe, wenn du eine Zahl durch ihren entsprechenden Anteil der anderen Zahl ersetzt?

1. Das Verhältnis der Zahlen \(x\) und \(y\) als Gleichung aufstellen: \(\frac{x}{y} = \frac{3{,}6}{1{,}2}\). 2. Das Verhältnis vereinfachen: \(\frac{3{,}6}{1{,}2} = 3\), also \(x = 3y\). 3. Die Summenbedingung formulieren: \(x + y = 44\). 4. Die erste Gleichung in die Summe einsetzen: \(3y + y = 44\). 5. Die lineare Gleichung lösen: \(4y = 44 \Rightarrow y = 11\). 6. Den Wert für \(x\) berechnen: \(x = 3 \cdot 11 = 33\).

Die Zahlen lauten \(33\) und \(11\).

- Welcher Buchstabe in der Gleichung hat noch keinen zugewiesenen Zahlenwert? - Was passiert mit der Gleichung, wenn du die bekannten Zahlen an die Stellen der entsprechenden Buchstaben setzt? - In welcher Reihenfolge musst du die Rechenoperationen rückgängig machen, um die Unbekannte zu isolieren? - Überlege, wie du eine Multiplikation mit einer Dezimalzahl wie \(0{,}25\) am einfachsten umkehrst.

1. Identifikation der unbekannten Variable: \(x\) 2. Einsetzen der bekannten Werte in die Gleichung: \(3 = 0{,}25 \cdot (x - 5) + 8\) 3. Subtraktion von \(8\) auf beiden Seiten: \(-5 = 0{,}25 \cdot (x - 5)\) 4. Division durch \(0{,}25\) (entspricht der Multiplikation mit \(4\)): \(-20 = x - 5\) 5. Addition von \(5\) auf beiden Seiten: \(x = -15\)

Die unbekannte Variable ist \(x\). Ihr Wert ist \(-15\).

- Wie gehst du vor, wenn ein Minuszeichen direkt vor einer Klammer steht? - Kannst du die Terme auf der linken Seite erst vereinfachen, bevor du die Gleichung umformst? - Überlege, wie du alle Glieder mit \(x\) auf eine Seite und alle Zahlen auf die andere Seite bringst. - Was musst du beim Rechnen mit Dezimalzahlen beachten?

1. Auflösen der Klammern unter Berücksichtigung der Vorzeichen: \(6x - 3 - 4x - 8 + 0{,}5x = 6{,}5\). 2. Zusammenfassen der Terme auf der linken Seite: \((6x - 4x + 0{,}5x) + (-3 - 8) = 2{,}5x - 11\). 3. Gleichung mit dem zusammengefassten Term schreiben: \(2{,}5x - 11 = 6{,}5\). 4. Addition von \(11\) auf beiden Seiten der Gleichung: \(2{,}5x = 17{,}5\). 5. Division durch \(2{,}5\), um \(x\) zu isolieren: \(x = 7\).

\(x = 7\)

- Was bewirkt der Faktor direkt vor der Klammer für die Terme innerhalb der Klammer? - Kannst du die linke Seite der Gleichung vereinfachen, bevor du mit dem Umstellen beginnst? - Wie schaffst du es, dass alle Terme mit \(x\) auf einer Seite und alle reinen Zahlen auf der anderen Seite stehen?

1. Anwendung des Distributivgesetzes: \( 2x - 4 + 1{,}2x = 4{,}2x - 9 \) 2. Zusammenfassen der \(x\)-Glieder links: \( 3{,}2x - 4 = 4{,}2x - 9 \) 3. Subtraktion von \(3{,}2x\) auf beiden Seiten: \( -4 = x - 9 \) 4. Addition von \(9\) auf beiden Seiten: \( x = 5 \)

\( x = 5 \)

- Wie kannst du die Klammern in der Gleichung entfernen? - Achte besonders auf das Vorzeichen vor der zweiten Klammer, wenn du sie auflöst. - Kannst du die Gleichung so umformen, dass alle Terme mit dem Buchstaben auf einer Seite stehen?

1. Auflösen der Klammern mit dem Distributivgesetz: \(6b + 9 - 8 - 4b = 5\) 2. Zusammenfassen der Terme auf der linken Seite: \(2b + 1 = 5\) 3. Subtraktion von 1 auf beiden Seiten: \(2b = 4\) 4. Division durch 2: \(b = 2\)

\(b = 2\)

- Denke an die Vorzeichenregeln: Was passiert, wenn man zwei negative Zahlen multipliziert? - Kannst du die Dezimalzahl \(-1{,}5\) als Bruch schreiben, um mit \(\frac{3}{4}\) leichter zu rechnen? - Gehe schrittweise vor, um \(x\) zu isolieren.

1. Berechnung von a): Division durch \(-1{,}5\) führt zu \(x = 0{,}75 : (-1{,}5) = -0{,}5\). Da \(-0{,}5\) (oder \(-\frac{1}{2}\)) keine ganze Zahl ist, gehört sie nur zu \(\mathbb{Q}\). 2. Berechnung von b): Multiplikation mit \(-0{,}5\) ergibt \(x = (-12) \cdot (-0{,}5) = 6\). Da \(6\) eine positive ganze Zahl ist, gehört sie zu \(\mathbb{N}\), \(\mathbb{Z}\) und \(\mathbb{Q}\). 3. Berechnung von c): Umstellen ergibt \(-x = -1{,}2 + 4{,}8 = 3{,}6\), also \(x = -3{,}6\). Dies ist eine rationale Zahl in \(\mathbb{Q}\).

a) \(x = -0{,}5\) (oder \(-\frac{1}{2}\)); gehört zu \(\mathbb{Q}\). b) \(x = 6\); gehört zu \(\mathbb{N}\), \(\mathbb{Z}\) und \(\mathbb{Q}\). c) \(x = -3{,}6\) (oder \(-\frac{18}{5}\)); gehört zu \(\mathbb{Q}\).

- Erinnerst du dich an die Regeln für das Rechnen mit negativen Zahlen? - Kannst du die Gleichung vereinfachen, bevor du nach \(x\) auflöst? - Überlege dir genau, welche Arten von Zahlen zu den ganzen Zahlen gehören. - Was passiert mit der Lösungsmenge, wenn das Ergebnis eine Dezimalzahl ist?

1. Gleichung a: Klammer auflösen oder durch 3 teilen: \(x + 4 = 5 \implies x = 1\). Da \(1 \in \mathbb{Z}\), ist \(L = \{1\}\). 2. Gleichung b: Terme mit \(x\) zusammenfassen: \(3x - 8 = 1 \implies 3x = 9 \implies x = 3\). Da \(3 \in \mathbb{Z}\), ist \(L = \{3\}\). 3. Gleichung c: Subtraktion von 9: \(2x = -7 \implies x = -3{,}5\). Da \(-3{,}5 \notin \mathbb{Z}\), ist \(L = \emptyset\). 4. Gleichung d: Division durch 4: \(x = 2{,}5\). Da \(2{,}5 \notin \mathbb{Z}\), ist \(L = \emptyset\).

a) \(L = \{1\}\) b) \(L = \{3\}\) c) \(L = \emptyset\) d) \(L = \emptyset\)

- Wie oft passt \(0{,}5\) in eine Zahl? Das hilft dir bei der Division. - Achte bei Dezimalzahlen genau auf die Kommasetzung. - Wenn eine Gleichung mehrere Schritte erfordert, arbeite dich von außen nach innen zum \(x\) vor. - Vergiss nicht, beim Rückwärtsrechnen die Vorzeichen sorgfältig zu beachten.

In Teilaufgabe a) wird \(4\) addiert, was \(0{,}5 \cdot x = 5\) ergibt, und durch Division durch \(0{,}5\) (oder Multiplikation mit \(2\)) erhält man \(x = 10\). In b) wird \(7\) subtrahiert, was zu \(-1{,}5 \cdot x = 6\) führt, und die Division durch \(-1{,}5\) ergibt \(x = -4\). In c) dividiert man zuerst durch \(2\), was \(3 \cdot x + 4 = -2\) ergibt, subtrahiert dann \(4\) und erhält \(3 \cdot x = -6\) und dividiert schließlich durch \(3\), um \(x = -2\) zu erhalten.

a) \(x = 10\) b) \(x = -4\) c) \(x = -2\)

- Kannst du die Gleichung vereinfachen, bevor du mit dem Umformen beginnst? - Was passiert mit den Vorzeichen in einer Klammer, wenn ein Minuszeichen davor steht? - Gibt es einen Weg, eine Klammer direkt zu beseitigen, ohne sie auszumultiplizieren?

1. Division durch \(2\): \(x - 5 = 7\). Addition von \(5\): \(x = 12\). 2. Zusammenfassen der Terme: \(4x + 8 = 20\). Subtraktion von \(8\): \(4x = 12\). Division durch \(4\): \(x = 3\). 3. Division durch \(3\): \(5 = y + 2\). Subtraktion von \(2\): \(y = 3\). 4. Auflösen der Minusklammer: \(5 - x + 2 = 10\). Zusammenfassen: \(7 - x = 10\). Subtraktion von \(7\): \(-x = 3\). Multiplikation mit \(-1\): \(x = -3\).

a) \(x = 12\) b) \(x = 3\) c) \(y = 3\) d) \(x = -3\)

- Was bedeutet es mathematisch, wenn eine Zahl eine „Lösung“ einer Gleichung ist? - Ersetze den Buchstaben in der Gleichung durch die gegebene Zahl und berechne den Wert des Terms. - Vergleiche das Ergebnis der linken Seite mit der rechten Seite der Gleichung. - Achte auf die Vorrangregeln (Klammer vor Punkt vor Strich).

1. Teilaufgabe a: Einsetzen von \(x = 5\) ergibt \(4 \cdot 5 - 7 = 20 - 7 = 13\). Da \(13 = 13\), ist \(5\) eine Lösung. 2. Teilaufgabe b: Einsetzen ergibt \(3(5 + 2) = 3 \cdot 7 = 21\). Da \(21 = 21\), ist \(5\) eine Lösung. 3. Teilaufgabe c: Einsetzen ergibt \(10 - 2 \cdot 5 = 10 - 10 = 0\). Da \(0 = 0\), ist \(5\) eine Lösung. 4. Teilaufgabe d: Einsetzen ergibt \(\frac{1}{5} \cdot 5 + 9 = 1 + 9 = 10\). Da \(10 \neq 11\), ist \(5\) keine Lösung.

a) Ja, \(5\) ist eine Lösung. b) Ja, \(5\) ist eine Lösung. c) Ja, \(5\) ist eine Lösung. d) Nein, \(5\) ist keine Lösung, da die linke Seite den Wert \(10\) ergibt.

- Du kennst den Wert für \(x\) bereits. Setze ihn in die jeweilige Gleichung ein. - Danach bleibt nur noch der gesuchte Platzhalter unbekannt. - Löse die neue lineare Gleichung schrittweise nach diesem Platzhalter auf.

1. Teilaufgabe a: Einsetzen von \(x = 4\) ergibt \(a \cdot 4 - 8 = 12\). Addition von \(8\) liefert \(4a = 20\). Division durch \(4\) ergibt \(a = 5\). 2. Teilaufgabe b: Einsetzen von \(x = -3\) ergibt \(15 + b \cdot (-3) = 3\). Subtraktion von \(15\) liefert \(-3b = -12\). Division durch \(-3\) ergibt \(b = 4\).

a) \(a = 5\) b) \(b = 4\)

- Probiere beide Rechenwege Schritt für Schritt auf einem Blatt Papier aus. - Welcher Weg benötigt weniger Zeilen oder im Kopf einfachere Rechnungen? - Schau dir die Zahlen \(6\) und \(30\) in der ursprünglichen Gleichung genau an.

1. Tims Weg: Ausmultiplizieren ergibt \(6x + 12 = 30\). Subtraktion von \(12\) ergibt \(6x = 18\). Division durch \(6\) liefert \(x = 3\). 2. Sarahs Weg: Division der gesamten Gleichung durch \(6\) ergibt \(x + 2 = 5\). Subtraktion von \(2\) liefert direkt \(x = 3\). 3. Vergleich: Beide Wege führen zum gleichen Ergebnis \(x = 3\). Sarahs Weg ist besonders vorteilhaft, wenn der Faktor vor der Klammer ein Teiler der Zahl auf der anderen Seite des Gleichheitszeichens ist (oder wenn alle anderen Terme der Gleichung ebenfalls durch diesen Faktor ohne Rest teilbar sind).

a) \(x = 3\) b) \(x = 3\) c) Sarahs Weg ist geschickt, wenn die Zahl vor der Klammer ein Teiler der rechten Seite ist.

- Könnte es helfen, Brüche auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen? - Bei Dezimalzahlen kannst du wie gewohnt rechnen, achte aber auf das Komma. - Wenn ein ganzer Term durch eine Zahl geteilt wird, wie kannst du diesen Bruchstrich auflösen? - Manchmal ist es einfacher, erst die Brüche oder Dezimalzahlen durch geschickte Multiplikation zu entfernen.

1. Gleichung a: Subtraktion von \(\frac{1}{2}x\) (entspricht \(\frac{2}{4}x\)) ergibt \(\frac{1}{4}x - 5 = 2\). Addition von \(5\) ergibt \(\frac{1}{4}x = 7\). Multiplikation mit \(4\) ergibt \(x = 28\). 2. Gleichung b: Ausmultiplizieren ergibt \(2x - 4 = 1{,}5x + 7\). Subtraktion von \(1{,}5x\) ergibt \(0{,}5x - 4 = 7\). Addition von \(4\) ergibt \(0{,}5x = 11\). Division durch \(0{,}5\) (oder Multiplikation mit \(2\)) ergibt \(x = 22\). 3. Gleichung c: Multiplikation der gesamten Gleichung mit \(3\) ergibt \(2x - 4 = 18\). Addition von \(4\) führt zu \(2x = 22\). Division durch \(2\) ergibt \(x = 11\).

a) \(x = 28\) b) \(x = 22\) c) \(x = 11\)

- Wenn ein Minus direkt vor einer Klammer steht, ändern sich beim Auflösen alle Vorzeichen innerhalb der Klammer. - Bringe alle Terme mit der Variablen (wie \(x\), \(a\) oder \(k\)) auf eine Seite der Gleichung. - Überprüfe dein Ergebnis für \(a = 0\) sorgfältig – ist die Gleichung dann erfüllt?

a) Klammern auflösen: \(3x + 12 - 2x = 5x - 10\). Zusammenfassen: \(x + 12 = 5x - 10\). Subtraktion von \(x\) und Addition von 10: \(22 = 4x\). Division durch 4: \(x = 5{,}5\). b) Minusklammer und Klammer auflösen: \(8 - 2a - 5 = 3a + 3\). Zusammenfassen: \(3 - 2a = 3a + 3\). Addition von \(2a\) und Subtraktion von 3: \(0 = 5a\). Division durch 5: \(a = 0\). c) Klammern auflösen: \(4k - 4 + 6 - 2k = 10\). Zusammenfassen: \(2k + 2 = 10\). Subtraktion von 2: \(2k = 8\). Division durch 2: \(k = 4\).

a) \(x = 5{,}5\) b) \(a = 0\) c) \(k = 4\)

- Könnte es helfen, die Brüche zu beseitigen, indem du die gesamte Gleichung mit einer geschickten Zahl multiplizierst? - Welche Zahl ist ein gemeinsames Vielfaches der Nenner \(3\) und \(6\)? - Bringe alle Terme mit der Unbekannten auf eine Seite und alle Zahlen auf die andere.

1. Multiplikation der gesamten Gleichung mit dem Hauptnenner \(6\), um die Brüche zu eliminieren: \(4y - 24 = y + 6\) 2. Subtraktion von \(y\) auf beiden Seiten: \(3y - 24 = 6\) 3. Addition von \(24\) auf beiden Seiten: \(3y = 30\) 4. Division durch \(3\): \(y = 10\)

\(y = 10\)

- Multipliziere jeden Summanden in der Klammer mit dem Faktor davor. - Achte auf das Minuszeichen vor der rechten Klammer – was ändert sich dadurch? - Versuche, zuerst alle Terme ohne Variable auf eine Seite und alle Terme mit Variable auf die andere Seite zu bringen.

1. Klammer auf der linken Seite ausmultiplizieren: \(6a - 10 + 4\). 2. Minusklammer auf der rechten Seite auflösen: \(10 - a - 2\). 3. Beide Seiten vereinfachen: \(6a - 6 = 8 - a\). 4. Variable \(a\) auf eine Seite bringen durch Addition von \(a\): \(7a - 6 = 8\). 5. Addition von \(6\) auf beiden Seiten: \(7a = 14\). 6. Division durch \(7\): \(a = 2\).

\(a = 2\)

- Wie verändert sich der Inhalt einer Klammer, wenn ein Minuszeichen davor steht? - Denke daran, jedes Glied innerhalb der Klammer mit dem Faktor davor zu multiplizieren. - Welche Rechenregel gilt, wenn eine Klammer mit einer Zahl multipliziert wird?

1. Teilaufgabe a): Anwenden des Distributivgesetzes auf beiden Seiten ergibt \(4x - 20 = 2x + 6\). 2. Subtraktion von \(2x\) liefert \(2x - 20 = 6\). 3. Addition von \(20\) ergibt \(2x = 26\). 4. Division durch \(2\) führt zum Ergebnis \(x = 13\). 5. Teilaufgabe b): Auflösen der Minusklammer links und Anwenden des Distributivgesetzes rechts ergibt \(25 - 3z - 4 = 2z - 4\). 6. Zusammenfassen auf der linken Seite führt zu \(21 - 3z = 2z - 4\). 7. Addition von \(3z\) ergibt \(21 = 5z - 4\). 8. Addition von \(4\) ergibt \(25 = 5z\). 9. Division durch \(5\) führt zum Ergebnis \(z = 5\).

a) \(x = 13\) b) \(z = 5\)

- Wenn du eine Seite einer Gleichung mit einer Zahl multiplizierst, musst du jedes Glied auf dieser Seite mit dieser Zahl multiplizieren. - Achte auf die Vorzeichen, wenn du Terme auf die andere Seite bringst oder mit negativen Zahlen multiplizierst.

1. Analyse von a: Ausgehend von \(12 - 4y = 8\) subtrahiert man auf beiden Seiten \(12\), woraus \(-4y = -4\) folgt. Durch Multiplikation beider Seiten mit \(-1\) erhält man \(4y = 4\). Somit ist die zweite Gleichung durch korrekte Umformungen entstanden. Die Lösung ist \(y = 1\). 2. Analyse von b: Um den Nenner in \(\frac{z}{2} + 5 = 11\) zu eliminieren, muss die gesamte linke Seite mit \(2\) multipliziert werden. Das ergibt \(2 \cdot (\frac{z}{2} + 5) = 2 \cdot 11\), also \(z + 10 = 22\). In der vorgegebenen zweiten Gleichung \(z + 5 = 22\) wurde die \(5\) nicht mit \(2\) multipliziert. Daher ist die Umformung falsch und die Gleichungen sind nicht äquivalent.

a) Ja, die Gleichungen sind äquivalent. b) Nein, die Gleichungen sind nicht äquivalent.

- Löse zuerst die Klammern auf oder dividiere durch den Faktor vor der Klammer. - Isoliere die Variable auf einer Seite der Gleichung. - Vergleiche am Ende die beiden Ergebnisse für die Variable.

1. Lösung der Gleichung von Max: \(3(a + 4) = 2a + 18\) Klammer auflösen: \(3a + 12 = 2a + 18\) Subtraktion von \(2a\): \(a + 12 = 18\) Subtraktion von \(12\): \(a = 6\) Lösungsmenge \(L_{\text{Max}} = \{6\}\). 2. Lösung der Gleichung von Sophie: \(2(a - 3) = 6\) Division durch \(2\): \(a - 3 = 3\) Addition von \(3\): \(a = 6\) Lösungsmenge \(L_{\text{Sophie}} = \{6\}\). 3. Vergleich: Da beide Gleichungen die Lösung \(6\) ergeben, sind die Lösungsmengen identisch.

Ja, beide Gleichungen besitzen dieselbe Lösungsmenge \(L = \{6\}\).

- „Dasselbe Ergebnis“ deutet auf ein Gleichheitszeichen hin. - Wie drückt man das „Doppelte“ oder „Dreifache“ einer Zahl mathematisch aus? - Wenn eine Zahl um einen Wert kleiner ist als eine andere, wie hängen sie zusammen?

1. Aufstellen der Gleichung für a): \(2 \cdot x + 5 = 3 \cdot x - 3\). Subtraktion von \(2 \cdot x\) auf beiden Seiten ergibt \(5 = x - 3\). Addition von \(3\) ergibt \(x = 8\). 2. Aufstellen der Gleichung für b): \(x = 5 \cdot x - 4\). Subtraktion von \(x\) ergibt \(0 = 4 \cdot x - 4\). Addition von \(4\) ergibt \(4 = 4 \cdot x\). Division durch \(4\) ergibt \(x = 1\). Da eine Lösung existiert, ist die Antwort ja.

a) Die Zahl ist \(8\). b) Ja, die Zahl ist \(1\).

- Denk an das Verteilungsgesetz (Distributivgesetz) beim Auflösen der Klammern. - Achtung: Was passiert mit den Vorzeichen in der Klammer, wenn ein Minuszeichen davor steht? - Versuche zuerst, jede Seite der Gleichung einzeln zu vereinfachen.

1. Ausmultiplizieren der Klammern auf beiden Seiten (beachte das Minuszeichen vor der zweiten Klammer): \(12y - 20 - 2y - 7 = 3y + 3\) 2. Zusammenfassen der Terme auf der linken Seite: \(10y - 27 = 3y + 3\) 3. Subtraktion von \(3y\) auf beiden Seiten: \(7y - 27 = 3\) 4. Addition von \(27\) auf beiden Seiten: \(7y = 30\) 5. Division durch \(7\): \(y = \frac{30}{7}\) 6. Bestimmung der Lösungsmenge: \(L = \{\frac{30}{7}\}\)

\(L = \{\frac{30}{7}\}\)

- Was bedeutet „das Doppelte“ mathematisch ausgedrückt? - Wie übersetzt man „vergrößert um“ in ein Rechenzeichen? - Versuche zuerst, den festen Teil der Rechnung (die Differenz) auszurechnen, um die Gleichung zu vereinfachen.

1. Übersetzung des Textes in eine Gleichung: \(2 \cdot x + (15{,}4 - 8{,}4) = 25\) 2. Berechnung der Differenz in der Klammer: \(15{,}4 - 8{,}4 = 7\) 3. Vereinfachung der Gleichung: \(2x + 7 = 25\) 4. Subtraktion von \(7\) auf beiden Seiten: \(2x = 18\) 5. Division durch \(2\): \(x = 9\)

Die Gleichung lautet \(2x + (15{,}4 - 8{,}4) = 25\). Die gesuchte Zahl ist \(x = 9\).

- Was müsste auf der rechten Seite stehen, damit die Gleichung für jede beliebige Zahl stimmt? - Wie verhinderst du eine Lösung, wenn die Anteile mit \(x\) auf beiden Seiten bereits gleich sind? - Setze für den letzten Teil die geforderte Zahl einfach in den bekannten Teil der Gleichung ein.

1. Teilaufgabe a): Damit eine Gleichung unendlich viele Lösungen hat, müssen beide Seiten identisch sein. Ergänzung: \(4x + 10\). 2. Teilaufgabe b): Damit keine Lösung existiert, muss nach der Vereinfachung ein Widerspruch entstehen (z. B. \(10 = 5\)). Die Variable \(4x\) muss auf beiden Seiten gleich sein, aber die Konstante verschieden. Ergänzung: \(4x + 5\) (oder jede andere Zahl außer 10). 3. Teilaufgabe c): Setze \(x = 5\) in den linken Teil ein: \(4 \cdot 5 + 10 = 20 + 10 = 30\). Damit \(x = 5\) die Lösung ist, muss die rechte Seite den Wert 30 ergeben. Ergänzung: \(30\).

Mögliche Lösungen sind: a) \(4x + 10 = 4x + 10\) b) \(4x + 10 = 4x + 1\) (oder eine andere Zahl statt 1) c) \(4x + 10 = 30\)

- Bestimme zuerst die Lösung für jede Gleichung einzeln. - Wie gehst du vor, um eine Variable auf eine Seite der Gleichung zu isolieren? - Sind die Ergebnisse für \(y\) in beiden Fällen gleich?

1. Lösen von Gleichung I: \(4y + 8 = 2y - 6 \implies 2y = -14 \implies y = -7\). Die Lösungsmenge ist \(L_1 = \{-7\}\). 2. Lösen von Gleichung II: \(0{,}5y + 10 = 3 \implies 0{,}5y = -7 \implies y = -14\). Die Lösungsmenge ist \(L_2 = \{-14\}\). 3. Vergleich der Lösungsmengen: Da \(L_1 \neq L_2\), sind die Gleichungen nicht äquivalent.

Nein, die Gleichungen sind nicht äquivalent. Die Lösung von Gleichung I ist \(y = -7\), während die Lösung von Gleichung II \(y = -14\) ist.

- Könnte es helfen, die gesamte Gleichung mit einer Zahl zu multiplizieren, um die Divisionen durch 4 und 2 loszuwerden? - Denk daran, beim Auflösen der Klammern jeden Wert im Inneren mit dem Faktor davor zu multiplizieren. - Fasse zuerst alle Terme auf jeder Seite so weit wie möglich zusammen, bevor du umformst.

1. Multiplikation der gesamten Gleichung mit dem Hauptnenner \(4\), um Divisionen aufzulösen: \(8 \cdot (y - 1{,}5) - y = 2 \cdot (3y + 2)\). 2. Ausmultiplizieren der Klammern auf beiden Seiten: \(8y - 12 - y = 6y + 4\). 3. Zusammenfassen der Terme auf der linken Seite: \(7y - 12 = 6y + 4\). 4. Subtraktion von \(6y\) und Addition von \(12\) isoliert die Variable: \(y = 16\).

\(y = 16\)

- Welche Rechenregel hilft dir, wenn eine Zahl direkt vor einer Klammer steht? - Versuche zuerst, alle Terme mit \(x\) auf eine Seite der Gleichung zu bringen und alle Zahlen auf die andere. - Wie gehst du vor, um zu kontrollieren, ob dein gefundenes Ergebnis wirklich stimmt?

1. Auflösen der Klammer auf der linken Seite: \(0{,}5 \cdot 4x - 0{,}5 \cdot 8 = 2x - 4\). 2. Aufstellen der vereinfachten Gleichung: \(2x - 4 = 3x + 1\). 3. Sortieren der Terme: Subtraktion von \(2x\) und \(1\) auf beiden Seiten ergibt \(-5 = x\). 4. Probe durch Einsetzen von \(x = -5\) in die Ausgangsgleichung: Links: \(0{,}5 \cdot (4 \cdot (-5) - 8) = 0{,}5 \cdot (-20 - 8) = 0{,}5 \cdot (-28) = -14\). Rechts: \(3 \cdot (-5) + 1 = -15 + 1 = -14\). 5. Da beide Seiten den gleichen Wert ergeben, ist die Lösung korrekt.

Die Lösung der Gleichung ist \(x = -5\). Die Probe bestätigt die Richtigkeit (\(-14 = -14\)).

- Achte besonders auf das Minuszeichen vor den Klammern. Wie ändern sich die Vorzeichen im Inneren? - Fasse erst alle gleichen Terme auf jeder Seite zusammen, bevor du mit dem Umstellen beginnst. - Kannst du die Gleichung vereinfachen, indem du sie erst einmal ohne Klammern schreibst?

1. Auflösen der Klammern auf beiden Seiten unter Beachtung der Vorzeichen: \(5x - 15 - 2x - 2 = 4 - x + 3\) 2. Zusammenfassen der Terme auf beiden Seiten: \(3x - 17 = 7 - x\) 3. Addition von \(x\) auf beiden Seiten: \(4x - 17 = 7\) 4. Addition von \(17\) auf beiden Seiten: \(4x = 24\) 5. Division durch \(4\): \(x = 6\)

\(x = 6\)

- Überlege dir zuerst, wie die linke Seite der Gleichung vereinfacht aussieht. - Wann heben sich die Variablen auf beiden Seiten gegenseitig auf? - Was muss passieren, damit am Ende eine wahre Aussage wie \(0 = 0\) oder eine falsche Aussage wie \(0 = 5\) entsteht? - Wie verändern unterschiedliche Zahlen vor dem \(x\) die Anzahl der Schnittpunkte zweier Geraden?

1. Vereinfachung der linken Seite der Gleichung: \(2(3x - 5) - x = 6x - 10 - x = 5x - 10\). 2. Für unendlich viele Lösungen (Fall a) müssen beide Seiten der Gleichung identisch sein. Die Lücken müssen also mit \(5\) (Koeffizient von \(x\)) und \(-10\) (konstantes Glied) gefüllt werden. 3. Für keine Lösung (Fall b) müssen die Koeffizienten von \(x\) auf beiden Seiten gleich sein, aber die konstanten Glieder müssen sich unterscheiden. Beispiel: \(5\) für die erste Lücke und \(0\) für die zweite Lücke (da \(0 \neq -10\)). 4. Für genau eine Lösung (Fall c) müssen die Koeffizienten von \(x\) auf beiden Seiten verschieden sein. Das konstante Glied ist hierbei beliebig. Beispiel: \(4\) für die erste Lücke und \(0\) für die zweite Lücke.

Mögliche Lösungen sind: a) \(5\) und \(-10\) b) \(5\) und \(0\) (oder jede andere Zahl außer \(-10\)) c) \(4\) und \(0\) (oder jede andere Zahl für die erste Lücke außer \(5\))

- Was bedeutet es mathematisch, wenn zwei Terme „denselben Wert“ haben sollen? - Nachdem du die Unbekannte berechnet hast, wie kannst du prüfen, ob dein Ergebnis stimmt? - Könnte eine Skizze oder eine Wertetabelle helfen, den Zusammenhang zu verstehen?

1. Die Terme gleichsetzen: \(0{,}8x + 12 = 1{,}4x - 3\) 2. \(0{,}8x\) von beiden Seiten subtrahieren: \(12 = 0{,}6x - 3\) 3. \(3\) auf beiden Seiten addieren: \(15 = 0{,}6x\) 4. Durch \(0{,}6\) dividieren: \(x = 25\) 5. Den Wert für \(x\) in einen der Terme einsetzen, um den Ergebniswert zu berechnen: \(T_1(25) = 0{,}8 \cdot 25 + 12 = 20 + 12 = 32\) 6. (Optional) Kontrolle mit dem zweiten Term: \(T_2(25) = 1{,}4 \cdot 25 - 3 = 35 - 3 = 32\)

Der gesuchte Wert ist \(x = 25\). Der Ergebniswert beider Terme ist \(32\).

- Löse zuerst die Gleichungen A und B getrennt voneinander auf. - Was bedeutet es für eine Gleichung, wenn ein bestimmter Wert ihre „Lösung“ ist? - Wenn du die Lösung für \(x\) bereits kennst, wie kannst du sie nutzen, um den fehlenden Wert in Aufgabenteil b) zu finden? - Wie kannst du dein Ergebnis am Ende überprüfen?

1. Lösung Gleichung A: Addition von 8 ergibt \(5x = 20\). Division durch 5 ergibt \(x = 4\). 2. Lösung Gleichung B: Division durch 2 ergibt \(x + 1 = 5\). Subtraktion von 1 ergibt \(x = 4\). Die Lösungen beider Gleichungen sind mit \(4\) identisch. 3. Bestimmung der Lücke: Einsetzen der gefundenen Lösung \(x = 4\) in die neue Gleichung ergibt \(4 \cdot 4 + \square = 20\). Dies vereinfacht sich zu \(16 + \square = 20\). Subtraktion von 16 ergibt \(\square = 4\).

a) Die Lösung für beide Gleichungen ist \(x = 4\). b) In die Lücke muss die Zahl \(4\) eingesetzt werden.

- Vorsicht beim Auflösen der Minusklammer: Überlege genau, welches Vorzeichen entsteht, wenn du \(-2\) mit \(-3\) multiplizierst. - Fasse die \(x\)-Terme auf jeder Seite erst einmal komplett zusammen. - Was sagt dir das Ergebnis über die Anzahl der Lösungen, wenn das \(x\) komplett wegfällt und eine falsche Aussage übrig bleibt?

1. Auflösen der Klammern unter Beachtung der Vorzeichen: \(15x - 8x + 6 = 7x + 7\) 2. Zusammenfassen der Terme auf der linken Seite: \(7x + 6 = 7x + 7\) 3. Subtraktion von \(7x\) auf beiden Seiten führt zum Widerspruch: \(6 = 7\) 4. Da diese Aussage immer falsch ist, gibt es keinen Wert für \(x\), der die Gleichung erfüllt 5. Lösungsmenge: \(L = \emptyset\)

Die Gleichung hat keine Lösung. \(L = \emptyset\)

- Wenn eine Zahl eine Lösung ist, darfst du sie für \(x\) in die Gleichung einsetzen. - Nach dem Einsetzen von \(x\) erhältst du eine neue Gleichung, in der nur noch \(k\) unbekannt ist. - Löse diese neue Gleichung nach \(k\) auf, genau wie du es sonst mit \(x\) tun würdest.

1. Für a) wird \(x = 4\) eingesetzt: \(7 \cdot 4 - k = 15 \Rightarrow 28 - k = 15\). Durch Umformen erhält man \(k = 28 - 15 = 13\). 2. Für b) wird \(x = 6\) eingesetzt: \(k \cdot (6 + 2) = 24 \Rightarrow k \cdot 8 = 24\). Durch Division erhält man \(k = 24 : 8 = 3\). 3. Für c) wird \(x = 10\) eingesetzt: \(10 + k = 2 \cdot 10 - 5 \Rightarrow 10 + k = 20 - 5 \Rightarrow 10 + k = 15\). Durch Subtraktion erhält man \(k = 15 - 10 = 5\).

a) \(k = 13\) b) \(k = 3\) c) \(k = 5\)

- Erinnere dich an das Distributivgesetz, um die Klammer aufzulösen. - Achte beim Zusammenfassen besonders auf die Dezimalzahlen. - Welche Rechenoperation macht eine Multiplikation mit einer Dezimalzahl rückgängig?

1. Auflösen der Klammer durch Ausmultiplizieren: \(6x - 10 - 0{,}4x = 18\) 2. Zusammenfassen der \(x\)-Glieder auf der linken Seite: \(5{,}6x - 10 = 18\) 3. Addition von \(10\) auf beiden Seiten: \(5{,}6x = 28\) 4. Division durch \(5{,}6\): \(x = 5\) 5. Probe: Einsetzen von \(x = 5\) in die Ausgangsgleichung ergibt \(5(1{,}2 \cdot 5 - 2) - 0{,}4 \cdot 5 = 5(6 - 2) - 2 = 5 \cdot 4 - 2 = 18\). Die Gleichung ist erfüllt.

\(x = 5\)

- Überlege dir, wie sich der Wert einer Zahl ändert, wenn man die Zehner- und Einerziffer vertauscht. - Kannst du ein System aus zwei Informationen erkennen? - Es hilft, zuerst eine Beziehung zwischen den beiden Ziffern aufzustellen. - Was bedeutet „um 36 kleiner“ mathematisch für den Vergleich der beiden Zahlen?

1. Sei \(t\) die Zehnerziffer und \(u\) die Einerziffer. Die ursprüngliche Zahl ist \(10 \cdot t + u\). 2. Die Quersummenbedingung lautet: \(t + u = 10\), woraus \(u = 10 - t\) folgt. 3. Die neue Zahl mit vertauschten Ziffern ist \(10 \cdot u + t\). 4. Die Differenzbedingung lautet: \((10 \cdot t + u) - 36 = 10 \cdot u + t\). 5. Vereinfachen der Gleichung: \(9 \cdot t - 9 \cdot u = 36\), beziehungsweise \(t - u = 4\). 6. Einsetzen von \(u = 10 - t\) in \(t - u = 4\): \(t - (10 - t) = 4\). 7. Auflösen nach \(t\): \(2 \cdot t - 10 = 4 \Rightarrow 2 \cdot t = 14 \Rightarrow t = 7\). 8. Berechnung von \(u\): \(u = 10 - 7 = 3\). 9. Die ursprüngliche Zahl ist 73.

Die ursprüngliche Zahl lautet 73.

- Kannst du die Klammern zuerst auflösen? - Gibt es auf einer Seite der Gleichung Terme, die du zusammenfassen kannst, bevor du umformst? - Versuche, alle \(x\) auf eine Seite und alle Zahlen ohne \(x\) auf die andere Seite zu sortieren.

1. Auflösen der Klammern durch Anwendung des Distributivgesetzes: \(8x - 6 = 5x + 10 + 2\). 2. Zusammenfassen der Terme auf der rechten Seite: \(8x - 6 = 5x + 12\). 3. Subtraktion von \(5x\) auf beiden Seiten: \(3x - 6 = 12\). 4. Addition von \(6\) auf beiden Seiten: \(3x = 18\). 5. Division durch \(3\) ergibt das Endergebnis \(x = 6\).

\(x = 6\)

- Hilft es dir, zuerst die Klammer aufzulösen oder direkt die gesamte Gleichung mit einem geeigneten Nenner zu multiplizieren? - Was musst du beim Multiplizieren eines Terms mit einer Klammer beachten? - Versuche, alle Terme mit \(x\) auf eine Seite der Gleichung zu bringen.

1. Multiplikation der Gleichung mit dem Hauptnenner \(10\), um die Brüche aufzulösen: \(4(x + 3) = 5x - 1\). 2. Ausmultiplizieren der Klammer auf der linken Seite: \(4x + 12 = 5x - 1\). 3. Subtraktion von \(4x\) auf beiden Seiten: \(12 = x - 1\). 4. Addition von \(1\) auf beiden Seiten, um nach \(x\) aufzulösen: \(x = 13\).

\(x = 13\)

- Was bedeutet es für die Lösungsmenge, wenn am Ende eine falsche Aussage wie \(0 = 5\) steht? - Kannst du einen Wert für \(x\) finden, für den die Gleichung stimmt? - Überprüfe deine Umformungen Schritt für Schritt.

1. Klammer auf der linken Seite auflösen: \(6x - 2x - 4 = 4(x + 1)\) 2. Linke Seite zusammenfassen: \(4x - 4 = 4(x + 1)\) 3. Rechte Seite ausmultiplizieren: \(4x - 4 = 4x + 4\) 4. \(4x\) auf beiden Seiten subtrahieren: \(-4 = 4\) 5. Da dies eine falsche Aussage ist, gibt es keine Lösung für \(x\). Die Lösungsmenge ist leer: \(L = \emptyset\)

\(L = \emptyset\)

- Überlege dir zuerst, ob du lieber mit Brüchen oder mit Dezimalzahlen rechnen möchtest. - Wie multipliziert man eine Zahl in eine Klammer hinein? - Was ist der nächste Schritt, wenn du auf beiden Seiten Terme mit \(x\) hast?

1. Auflösen der Klammer auf der linken Seite: \(\frac{3}{4}x - \frac{3}{2} = \frac{1}{2}x + 1{,}5\). 2. Umwandeln der Brüche in Dezimalzahlen oder umgekehrt: \(0{,}75x - 1{,}5 = 0{,}5x + 1{,}5\). 3. Subtraktion von \(0{,}5x\) auf beiden Seiten: \(0{,}25x - 1{,}5 = 1{,}5\). 4. Addition von \(1{,}5\) auf beiden Seiten: \(0{,}25x = 3\). 5. Division durch \(0{,}25\) (entspricht der Multiplikation mit \(4\)): \(x = 12\).

\(x = 12\)

- Achte bei Punkt- und Strichrechnung genau auf die Reihenfolge im Text. - Muss bei einer Rechnung mit einer Summe vielleicht eine Klammer gesetzt werden? - Berechne zuerst alle festen Werte, bevor du die Gleichung nach der Unbekannten umstellst.

1. Gleichung: \(2n + 17 = 45\). Erst Subtraktion von \(17\) ergibt \(2n = 28\). Dann Division durch \(2\) ergibt \(n = 14\). 2. Gleichung: \(100 - z = 4 \cdot 18\). Vereinfachung der rechten Seite ergibt \(100 - z = 72\). Umstellen nach \(z\) ergibt \(z = 100 - 72 = 28\). 3. Gleichung: \(5 \cdot (k + 2{,}2) = 25\). Division durch \(5\) ergibt \(k + 2{,}2 = 5\). Subtraktion von \(2{,}2\) ergibt \(k = 2{,}8\).

1) \(n = 14\) 2) \(z = 28\) 3) \(k = 2{,}8\) (oder \(2\frac{4}{5}\))

- Gehe schrittweise vor und versuche zuerst den Teil ohne Variable auf die andere Seite zu bringen. - Was musst du tun, um einen Faktor vor der Variablen (wie z. B. \(5\) oder \(1{,}2\)) zu eliminieren? - Denke daran, dass eine Division durch eine negative Zahl das Vorzeichen des Ergebnisses ändert. - Du kannst dein Ergebnis immer prüfen, indem du es für die Variable in die ursprüngliche Gleichung einsetzt.

1. Addition von \(12\) ergibt \(5x = 30\). Division durch \(5\) führt zu \(x = 6\). 2. Subtraktion von \(7\) auf beiden Seiten ergibt \(-2y = 6\). Division durch \(-2\) liefert \(y = -3\). 3. Subtraktion von \(4\) ergibt \(\frac{1}{2}z = -3\). Multiplikation mit \(2\) (bzw. Division durch \(\frac{1}{2}\)) ergibt \(z = -6\). 4. Addition von \(0{,}4\) auf beiden Seiten führt zu \(1{,}2w = 2{,}4\). Division durch \(1{,}2\) ergibt \(w = 2\).

a) \(x = 6\); b) \(y = -3\); c) \(z = -6\); d) \(w = 2\)

- Wie kannst du gemischte Brüche in einfache Brüche umwandeln, um besser damit rechnen zu können? - Welchen Schritt musst du zuerst machen, um das \(x\) allein stehen zu haben? - Wie dividiert man durch einen Bruch? - Wie führst du eine Probe durch, wenn du einen Wert für \(x\) gefunden hast?

1. Umwandlung des gemischten Bruchs: \(2\frac{1}{6} = \frac{13}{6}\). 2. Subtraktion von \(\frac{1}{2}\) auf beiden Seiten: \(\frac{2}{3}x = \frac{13}{6} - \frac{3}{6} = \frac{10}{6}\). 3. Kürzen des Bruchs: \(\frac{10}{6} = \frac{5}{3}\). 4. Division durch \(\frac{2}{3}\) (Multiplikation mit dem Kehrwert): \(x = \frac{5}{3} \cdot \frac{3}{2} = \frac{5}{2} = 2{,}5\). 5. Probe: \(\frac{2}{3} \cdot \frac{5}{2} + \frac{1}{2} = \frac{5}{3} + \frac{1}{2} = \frac{10}{6} + \frac{3}{6} = \frac{13}{6} = 2\frac{1}{6}\). Die Lösung ist korrekt.

\(x = 2{,}5\) (oder \(x = \frac{5}{2}\)).

- Welchen Wert suchen wir? Kannst du ihn mit einem Buchstaben benennen? - Wie drückst du das Doppelte und die Hälfte dieses Wertes mathematisch aus? - Stelle eine Gleichung auf, die alle genannten Beträge zu der Gesamtsumme kombiniert.

1. Festlegen der Variable: \(x\) ist der ursprüngliche Geldbetrag in der Spardose. 2. Aufstellen der Gleichung nach dem Text: \(2x + 0{,}5x + 12 = 107\). 3. Zusammenfassen der Terme mit \(x\): \(2{,}5x + 12 = 107\). 4. Subtraktion von \(12\) auf beiden Seiten: \(2{,}5x = 95\). 5. Division durch \(2{,}5\): \(x = 38\). Der ursprüngliche Betrag betrug \(38\,\text{€}\).

Anfangs waren \(38\,\text{€}\) in der Spardose.

- Erinnere dich daran, wie man eine Zahl vor einer Klammer mit dem Inhalt der Klammer verrechnet. - Kannst du die Zahl vor der Klammer direkt verschwinden lassen, indem du beide Seiten der Gleichung teilst? - Überprüfe nach jedem Schritt, ob die Gleichung auf beiden Seiten noch im Gleichgewicht ist. - Probiere aus, welcher der beiden Wege für dich einfacher oder schneller zum Ziel führt.

Weg a: 1. Auflösen der Klammer durch Multiplikation beider Glieder mit \(4\): \(4x - 6 = 10\). 2. Addition von \(6\) auf beiden Seiten: \(4x = 16\). 3. Division durch \(4\) ergibt \(x = 4\). Weg b: 1. Division der gesamten Gleichung durch \(4\): \(x - 1{,}5 = 10 : 4 = 2{,}5\). 2. Addition von \(1{,}5\) auf beiden Seiten: \(x = 2{,}5 + 1{,}5 = 4\). Beide Wege führen zum selben Ergebnis \(x = 4\).

\(x = 4\)

- Kannst du zuerst herausfinden, wie viel ein einzelner Holzwürfel wiegt? - Welche Informationen von der ersten Waage helfen dir bei der zweiten Waage weiter? - Versuche für jede Waage eine eigene kleine Gleichung aufzustellen. - Was muss links bei der zweiten Waage noch ergänzt werden, damit die Summe genau \(500\,\text{g}\) ergibt?

1. Bestimmung des Gewichts eines einzelnen Holzwürfels (\(x\)) mithilfe der ersten Waage: \(3 \cdot x + 200 = 800\). 2. Lösen dieser Gleichung: \(3 \cdot x = 600\), woraus folgt \(x = 200\,\text{g}\). 3. Übertragung des Ergebnisses auf die zweite Waage: \(2 \cdot 200 + y = 500\). 4. Berechnung des unbekannten Gewichts \(y\): \(400 + y = 500\), was zu \(y = 100\,\text{g}\) führt.

\(100\,\text{g}\)

- Kannst du den Term zuerst vereinfachen, indem du die Klammern auflöst? - Achte beim Auflösen der Klammer besonders auf das Vorzeichen vor der Klammer. - Was passiert mit dem Gesamtwert eines Terms, wenn du eine immer größere Zahl abziehst? - Vergleiche die Zahl \(10\) mit deinem Ergebnis aus dem ersten Aufgabenteil.

1. Aufstellen der Gleichung: \(5 - 2 \cdot (x + 1) = -1\). 2. Auflösen der Klammer: \(5 - 2x - 2 = -1\). 3. Zusammenfassen der Zahlen: \(3 - 2x = -1\). 4. Subtraktion von \(3\) auf beiden Seiten: \(-2x = -4\). 5. Division durch \(-2\): \(x = 2\). 6. Analyse des Terms: Der Koeffizient von \(x\) ist nach dem Ausmultiplizieren negativ (\(-2\)). Das bedeutet, dass der Gesamtwert des Terms kleiner wird, wenn \(x\) größer wird. 7. Da \(10 > 2\) ist, muss der Wert des Terms für \(x = 10\) kleiner sein als der Wert für \(x = 2\). Somit ist der Wert kleiner als \(-1\).

1) \(x = 2\); 2) kleiner, da der Term eine Struktur der Form \(3 - 2x\) hat und somit bei größer werdendem \(x\) der Gesamtwert abnimmt.

- Schau dir die beiden Seiten der Gleichung genau an. Was ist auf beiden Seiten identisch? - Gibt es eine bestimmte Zahl, die man mit unterschiedlichen Werten multiplizieren kann und trotzdem immer das gleiche Ergebnis erhält? - Welchen Wert müsste der gesamte Ausdruck in der Klammer haben, damit die Multiplikation auf beiden Seiten zum gleichen Resultat führt? - Probier doch mal aus, was passiert, wenn der Inhalt der Klammer genau Null ist.

1. Analyse der Gleichungsstruktur: Die Gleichung hat die Form \(10 \cdot A = 5 \cdot A\) mit dem Platzhalter \(A = (x - 7)\). 2. Logische Schlussfolgerung: Da die Faktoren \(10\) und \(5\) verschieden sind, kann die Gleichheit nur dann bestehen, wenn der gemeinsame Faktor \(A\) den Wert \(0\) hat. 3. Aufstellen der Teilgleichung für den Klammerausdruck: \(x - 7 = 0\). 4. Bestimmung von \(x\) durch Addition von \(7\): \(x = 7\). 5. Alternativer Lösungsweg durch Ausmultiplizieren: \(10x - 70 = 5x - 35\), daraus folgt nach Umformung \(5x = 35\) und somit \(x = 7\).

Die Lösung ist \(x = 7\). Die Gleichung ist nur erfüllt, wenn der Klammerausdruck den Wert \(0\) annimmt, da die Faktoren vor den Klammern unterschiedlich sind.

- Achte beim Zusammenfassen in Aufgabenteil b) besonders auf die Vorzeichen vor den Zahlen. - Kannst du die Gleichung so umformen, dass die Variable am Ende alleine steht? - Hilft es dir, die Gleichung in Teil b) so umzustellen, dass die Variable positiv wird?

1. Zusammenfassen der Dezimalzahlen mit \(k\) ergibt \(5k - 4{,}2 = 15{,}8\). 2. Addition von \(4{,}2\) auf beiden Seiten führt zu \(5k = 20\). 3. Division durch \(5\) ergibt das Ergebnis \(k = 4\). 4. Zusammenfassen der Terme mit \(m\) auf der linken Seite ergibt \(20 - 4m = 8\). 5. Subtraktion von \(20\) auf beiden Seiten führt zu \(-4m = -12\). 6. Division durch \(-4\) ergibt das Ergebnis \(m = 3\). Alternativ kann \(4m\) addiert und \(8\) subtrahiert werden, was zu \(12 = 4m\) führt.

a) \(k = 4\) b) \(m = 3\)

- Wie gehst du vor, wenn eine Klammer in der Gleichung steht? - Achte besonders auf das Vorzeichen, wenn ein Minus vor einer Klammer oder einem Faktor steht. - Wenn die Variable auf beiden Seiten vorkommt, wie kannst du sie auf eine Seite bringen? - Überprüfe dein Ergebnis, indem du es am Ende in die ursprüngliche Gleichung einsetzt.

1. Auflösen der Klammer durch Multiplikation: \(3a + 15 = 27\). Subtraktion von \(15\) ergibt \(3a = 12\). Division durch \(3\) führt zu \(a = 4\). 2. Subtraktion von \(5b\) auf beiden Seiten: \(3b - 12 = 9\). Addition von \(12\) ergibt \(3b = 21\). Division durch \(3\) liefert \(b = 7\). 3. Auflösen der Klammer (Vorsicht beim Minuszeichen): \(14 - 2x + 2 = 6\). Zusammenfassen der Zahlen: \(16 - 2x = 6\). Subtraktion von \(16\) ergibt \(-2x = -10\). Division durch \(-2\) führt zu \(x = 5\).

1) \(a = 4\) 2) \(b = 7\) 3) \(x = 5\)

- Schau dir die linke Seite genau an. Welche Teile gehören zusammen? - Wie gehst du vor, wenn vor einer Zahl oder einer Variablen ein Minuszeichen steht? - Vergiss nicht, dass du bei Dezimalzahlen wie gewohnt addieren kannst, solange die Variable dieselbe ist. - Überprüfe dein Ergebnis am Ende, indem du es für die Variable in die ursprüngliche Gleichung einsetzt.

1. Zusammenfassen der Terme auf der linken Seite: \((0{,}4z + 1{,}6z) + (-15 + 7) = -12 \implies 2z - 8 = -12\). 2. Isolation des Variablenterms durch Addition von 8: \(2z = -4\). 3. Division durch 2 ergibt die Lösung: \(z = -2\). 4. Zusammenfassen der Terme auf der linken Seite: \((-5k + 9k - 2k) + (22 - 30) = 14 \implies 2k - 8 = 14\). 5. Isolation des Variablenterms durch Addition von 8: \(2k = 22\). 6. Division durch 2 ergibt die Lösung: \(k = 11\).

1) \(z = -2\) 2) \(k = 11\)

- Vereinfache zuerst die linke Seite der Gleichung so weit wie möglich. - Versuche, alle Terme mit der Variablen \(z\) auf eine Seite und alle Zahlen ohne Variable auf die andere Seite zu bringen. - Welche Rechenoperation hebt ein Minuszeichen vor einem Term auf? - Achte beim Zusammenfassen genau auf die Vorzeichen vor den Zahlen.

1. Zusammenfassen der Terme auf der linken Seite: \(-5z + 15 = 3 - 2z\) 2. Addition von \(5z\) auf beiden Seiten, um die Variable auf eine Seite zu bringen: \(15 = 3 + 3z\) 3. Subtraktion von 3 auf beiden Seiten: \(12 = 3z\) 4. Division beider Seiten durch 3: \(z = 4\)

\(z = 4\)

- Gibt es einen Weg, die Klammern zuerst aufzulösen oder zu beseitigen? - Wenn die Variable auf beiden Seiten der Gleichung steht, wie kannst du sie auf eine Seite bringen? - Achte darauf, jeden Term in der Klammer mit dem Faktor davor zu multiplizieren. - Welche Rechenoperation kehrt eine Multiplikation oder eine Subtraktion um?

1. Division beider Seiten durch \(5\): \(x - 3 = 5\). Addition von \(3\): \(x = 8\). (Alternativ: Ausmultiplizieren \(5x - 15 = 25 \implies 5x = 40 \implies x = 8\)). 2. Subtraktion von \(4y\): \(8y - 7 = 17\). Addition von \(7\): \(8y = 24\). Division durch \(8\): \(y = 3\). 3. Ausmultiplizieren der Klammer: \(6a + 12 - 4a = 20\). Zusammenfassen: \(2a + 12 = 20\). Subtraktion von \(12\): \(2a = 8\). Division durch \(2\): \(a = 4\).

1) \(x = 8\) 2) \(y = 3\) 3) \(a = 4\)

- Wie groß ist der Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden ungeraden Zahlen? - Wenn du die mittlere Zahl als \(x\) bezeichnest, wie sehen dann die Zahlen davor und danach aus? - Stelle eine Gleichung auf, die alle drei Zahlen addiert. - Vergleiche dein Ergebnis für die mittlere Zahl mit dem Ergebnis der Division \(105 : 3\).

1. Festlegung der mittleren der drei ungeraden Zahlen als Variable \(m\). 2. Da es sich um aufeinanderfolgende ungerade Zahlen handelt, ist die vorherige Zahl \(m-2\) und die nachfolgende Zahl \(m+2\). 3. Aufstellen der Gleichung für die Summe: \((m-2) + m + (m+2) = 105\). 4. Vereinfachen der linken Seite (die Konstanten \(-2\) und \(+2\) heben sich auf): \(3m = 105\). 5. Lösen der Gleichung durch Division durch \(3\): \(m = 35\). 6. Ermittlung der drei Zahlen: \(35 - 2 = 33\), \(35\) und \(35 + 2 = 37\). 7. Überprüfung der Behauptung: Die Rechnung \(105 : 3 = 35\) ergibt exakt die mittlere Zahl. Die Behauptung ist somit für diesen Fall korrekt.

Die drei Zahlen sind \(33\), \(35\) und \(37\). Die Behauptung des Schülers ist korrekt, da die mittlere Zahl \(35\) genau ein Drittel der Summe (\(105 : 3 = 35\)) ist.

- Wenn eine Zahl ungerade ist, wie weit ist dann die nächste ungerade Zahl von ihr entfernt? - Überlege dir für den zweiten Teil, was passiert, wenn man zwei gerade Zahlen addiert und dann noch eine dritte gerade Zahl dazunimmt. - Ist die Zahl \(153\) gerade oder ungerade? Was bedeutet das für die Summanden?

1. Zu Teil a: Definition der kleinsten ungeraden Zahl als \(x\). Die nächsten ungeraden Zahlen sind \(x + 2\) und \(x + 4\). 2. Aufstellen der Gleichung: \(x + (x + 2) + (x + 4) = 153\). 3. Vereinfachen: \(3 \cdot x + 6 = 153\). 4. Lösen nach \(x\): \(3 \cdot x = 147 \Rightarrow x = 49\). 5. Bestimmung der Zahlen: Die Zahlen sind \(49\), \(51\) und \(53\). 6. Zu Teil b: Die Summe von drei geraden Zahlen ist immer gerade (z. B. \(2 \cdot n + (2 \cdot n + 2) + (2 \cdot n + 4) = 6 \cdot n + 6\), was durch 2 teilbar ist). Da \(153\) eine ungerade Zahl ist, kann sie nicht das Ergebnis einer Summe aus ausschließlich geraden Zahlen sein.

a) Die Zahlen sind \(49\), \(51\) und \(53\). b) Die Summe von drei geraden Zahlen ist immer eine gerade Zahl. Da \(153\) ungerade ist, ist dies unmöglich.

- Hilft es dir, Brüche in Dezimalzahlen umzuwandeln oder umgekehrt? - Erinnerst du dich, wie man eine Zahl vor einer Klammer mit jedem Term in der Klammer multipliziert? - Überprüfe nach dem Auflösen der Klammern, ob du alle Terme mit der Variable zusammengefasst hast. - Kannst du das Ergebnis durch Einsetzen in die Ursprungsgleichung überprüfen?

1. Gleichung a: Umwandeln von \(\frac{1}{5}\) in \(0{,}2\). Klammern auflösen ergibt \(0{,}6t + 0{,}2t - 1{,}2 = 2\). Zusammenfassen ergibt \(0{,}8t - 1{,}2 = 2\). Addition von \(1{,}2\) ergibt \(0{,}8t = 3{,}2\). Division durch \(0{,}8\) liefert \(t = 4\). 2. Gleichung b: Umwandeln von \(1\frac{1}{2}\) in \(1{,}5\). Klammern auflösen ergibt \(1{,}5w - 0{,}5w - 4 = 6\). Zusammenfassen ergibt \(w - 4 = 6\). Addition von \(4\) liefert \(w = 10\). 3. Gleichung c: Anwenden des Distributivgesetzes auf die Klammer ergibt \(\frac{2}{3} \cdot 6x - \frac{2}{3} \cdot 9 + 0{,}5x = 7{,}5\), was zu \(4x - 6 + 0{,}5x = 7{,}5\) vereinfacht wird. Zusammenfassen ergibt \(4{,}5x - 6 = 7{,}5\). Addition von \(6\) ergibt \(4{,}5x = 13{,}5\). Division durch \(4{,}5\) liefert \(x = 3\).

a) \(t = 4\) b) \(w = 10\) c) \(x = 3\)

- Behandle den Buchstaben \(k\) beim Lösen zunächst so, als wäre er eine feste Zahl. - Was bedeutet es mathematisch, wenn zwei Gleichungen „die gleiche Lösung“ haben sollen? - Wie kannst du die beiden Ausdrücke für \(x\), die du in Teil a) gefunden hast, miteinander vergleichen?

1. Lösung der Gleichung (1): Ausmultiplizieren der Klammer ergibt \(4x + 8k = 20k\). Subtraktion von \(8k\) führt zu \(4x = 12k\). Division durch 4 ergibt \(x = 3k\). 2. Lösung der Gleichung (2): Addition von \(5k\) auf beiden Seiten ergibt \(2x = 16k\). Division durch 2 ergibt \(x = 8k\). 3. Gleichsetzen der Teilergebnisse für Aufgabenteil b): \(3k = 8k\). 4. Subtraktion von \(3k\) ergibt \(0 = 5k\). 5. Division durch 5 liefert das Ergebnis \(k = 0\).

a) Die Lösungen lauten (1) \(x = 3k\) und (2) \(x = 8k\). b) Beide Gleichungen haben die gleiche Lösung, wenn \(k = 0\) ist.

- Was passiert mit den Rechenzeichen innerhalb einer Klammer, wenn ein Minus davor steht? - Fasse erst alle Zahlen und alle Variablen auf jeder Seite getrennt zusammen. - Bringe alle Terme mit \( x \) auf eine Seite und alle Zahlen auf die andere Seite der Gleichung. - Vergiss nicht, dein Ergebnis am Ende in die ursprüngliche Gleichung einzusetzen, um es zu prüfen.

1. Klammern auf beiden Seiten auflösen: \( 45 - 3x + 12 = 15 - x + 4 \). 2. Terme zusammenfassen: \( 57 - 3x = 19 - x \). 3. Gleichung umformen (z. B. \( +3x \)): \( 57 = 19 + 2x \). 4. Weiter umformen ( \( -19 \) ): \( 38 = 2x \). 5. Division durch \( 2 \): \( x = 19 \). 6. Probe: Linke Seite: \( 45 - (3 \cdot 19 - 12) = 45 - (57 - 12) = 45 - 45 = 0 \). Rechte Seite: \( 15 - (19 - 4) = 15 - 15 = 0 \). Da \( 0 = 0 \), ist die Lösung korrekt.

\( x = 19 \)

- Wie gehst du vor, wenn die Variable auf beiden Seiten der Gleichung vorkommt? - Hilft es dir, zuerst alle Klammern durch Ausmultiplizieren aufzulösen? - Versuche, alle Terme mit der Variablen auf die eine Seite und alle Zahlen auf die andere Seite zu bringen. - Was ist der erste Schritt, um die Gleichung übersichtlicher zu machen?

1. Ausmultiplizieren der Klammern: \(3x + 12 = 4x - 2\); Subtraktion von \(3x\) und Addition von 2: \(x = 14\) 2. Ausmultiplizieren: \(5x - 6 = 3x + 6\); Subtraktion von \(3x\): \(2x - 6 = 6\); Addition von 6: \(2x = 12\); Division durch 2: \(x = 6\) 3. Ausmultiplizieren der linken Seite: \(3x - 5 = 2x + 7\); Subtraktion von \(2x\): \(x - 5 = 7\); Addition von 5: \(x = 12\)

1) \(x = 14\); 2) \(x = 6\); 3) \(x = 12\)

- Beginne damit, die Klammern auf beiden Seiten der Gleichung aufzulösen. - Kannst du die Terme auf jeder Seite so weit wie möglich vereinfachen, bevor du mit dem Umstellen beginnst? - Versuche, alle Terme mit \(x\) auf eine Seite und alle Zahlen ohne \(x\) auf die andere Seite zu bringen. - Wie kannst du sichergehen, dass dein gefundenes Ergebnis wirklich stimmt?

1. Auflösen der Klammern auf beiden Seiten: \(6x - 12 = 2x + 10 - 2\). 2. Zusammenfassen der Terme auf der rechten Seite: \(6x - 12 = 2x + 8\). 3. Subtraktion von \(2x\) auf beiden Seiten: \(4x - 12 = 8\). 4. Addition von \(12\) auf beiden Seiten: \(4x = 20\). 5. Division durch \(4\): \(x = 5\). 6. Durchführung der Probe: Linke Seite \(3 \cdot (2 \cdot 5 - 4) = 3 \cdot 6 = 18\); rechte Seite \(2 \cdot (5 + 5) - 2 = 2 \cdot 10 - 2 = 18\). Beide Seiten sind gleich.

\(x = 5\)

- Was bedeutet es mathematisch, wenn zwei Terme „den gleichen Wert annehmen“? - Vereinfache beide Seiten der Gleichung unabhängig voneinander so weit wie möglich, bevor du mit den Äquivalenzumformungen beginnst. - Kontrolliere dein Ergebnis, indem du den gefundenen Wert für \(y\) in beide ursprünglichen Terme einsetzt.

1. Gleichsetzen der beiden Terme: \(5 \cdot (3y - 4) - 2 \cdot (7y - 8) = 4 \cdot (y + 2) - 3 \cdot (2y - 1)\) 2. Auflösen der Klammern auf der linken Seite: \(15y - 20 - 14y + 16 = y - 4\) 3. Auflösen der Klammern auf der rechten Seite: \(4y + 8 - 6y + 3 = -2y + 11\) 4. Vereinfachte Gleichung: \(y - 4 = -2y + 11\) 5. Addition von \(2y\) auf beiden Seiten: \(3y - 4 = 11\) 6. Addition von \(4\) auf beiden Seiten: \(3y = 15\) 7. Division durch \(3\): \(y = 5\)

\(y = 5\)

- Achte besonders auf das Vorzeichen, wenn du die zweite Klammer auflöst. Was passiert mit „Minus mal Minus“? - Fasse zuerst alle Glieder mit \(x\) und alle Glieder ohne \(x\) auf der linken Seite getrennt zusammen. - Welche Rechenoperation macht eine Addition rückgängig? - Wie oft passt \(0{,}7\) in die Zahl \(1{,}4\)?

1. Klammern auflösen (Vorsicht beim Minuszeichen vor der zweiten Klammer): \(0{,}8x + 1{,}6 - 0{,}6x + 1{,}2 + 0{,}5x = 4{,}2\) 2. Alle Terme mit \(x\) zusammenfassen: \(0{,}8x - 0{,}6x + 0{,}5x = 0{,}7x\) 3. Alle konstanten Zahlen auf der linken Seite zusammenfassen: \(1{,}6 + 1{,}2 = 2{,}8\) 4. Vereinfachte Gleichung aufstellen: \(0{,}7x + 2{,}8 = 4{,}2\) 5. \(2{,}8\) auf beiden Seiten subtrahieren: \(0{,}7x = 1{,}4\) 6. Durch \(0{,}7\) dividieren: \(x = 2\)

\(x = 2\)

- Multipliziere zuerst alle Klammern auf beiden Seiten der Gleichung aus, bevor du versuchst, nach \(x\) umzustellen. - Gibt es Terme, die auf beiden Seiten identisch sind und beim Subtrahieren wegfallen? - Wie kannst du am Ende ganz sicher sein, dass dein berechneter Wert für \(x\) wirklich die Gleichung löst? - Achte beim Ausmultiplizieren auf die Vorzeichenregeln.

1. Vereinfachung der linken Seite: \(4x^2 + 12x - 2x - 6 = 4x^2 + 10x - 6\) 2. Vereinfachung der rechten Seite: \(4x^2 - 2x + 2x - 1 + 15 = 4x^2 + 14\) 3. Aufstellen der vereinfachten Gleichung: \(4x^2 + 10x - 6 = 4x^2 + 14\) 4. Subtraktion von \(4x^2\) auf beiden Seiten: \(10x - 6 = 14\) 5. Lösen der linearen Gleichung: \(10x = 20 \Rightarrow x = 2\) 6. Durchführung der Probe: Linke Seite \((4 \cdot 2 - 2) \cdot (2 + 3) = 6 \cdot 5 = 30\); Rechte Seite \((2 \cdot 2 + 1) \cdot (2 \cdot 2 - 1) + 15 = 5 \cdot 3 + 15 = 30\). Da \(30 = 30\) eine wahre Aussage ist, ist die Lösung korrekt.

a) \(4x^2 + 10x - 6 = 4x^2 + 14\) b) \(x = 2\) c) Probe: \(30 = 30\) (wahr)

- Arbeite dich bei verschachtelten Klammern immer von innen nach außen vor. - Was passiert mit den Vorzeichen in einer Klammer, wenn ein Minus davor steht? - Versuche, erst jede Seite der Gleichung so weit wie möglich zu vereinfachen, bevor du Zahlen oder Variablen auf die andere Seite bringst.

1. Auflösen der inneren runden Klammer innerhalb der eckigen Klammer (Minusklammer-Regel): \(x - 2x + 5 = -x + 5\) 2. Einsetzen in die eckige Klammer: \(20 - 3 \cdot [-x + 5] = 2x + 1\) 3. Ausmultiplizieren der eckigen Klammer mit dem Faktor \(-3\): \(20 + 3x - 15 = 2x + 1\) 4. Zusammenfassen der Zahlenwerte auf der linken Seite: \(3x + 5 = 2x + 1\) 5. Subtraktion von \(2x\) auf beiden Seiten: \(x + 5 = 1\) 6. Subtraktion von \(5\) auf beiden Seiten ergibt den Wert für \(x\): \(x = -4\)

\(x = -4\)

- Kannst du die Klammern mithilfe des Distributivgesetzes auflösen? - Was musst du beim Auflösen einer Klammer beachten, vor der ein Minuszeichen steht? - Versuche, alle Terme mit der Variablen auf eine Seite der Gleichung zu bringen. - Wenn ein Term unabhängig von einer Variable sein soll, was bedeutet das für das Endergebnis der Vereinfachung?

1. Ausmultiplizieren der Klammern: \((n^2 + 4n + 3n + 12) - (n^2 + 6n + n + 6)\). Zusammenfassen der Terme in den Klammern: \((n^2 + 7n + 12) - (n^2 + 7n + 6)\). Auflösen der Minusklammer: \(n^2 + 7n + 12 - n^2 - 7n - 6\). Zusammenfassen ergibt den konstanten Wert \(6\). Da kein \(n\) mehr im Ergebnis vorkommt, ist der Wert unabhängig von \(n\). 2. Ausmultiplizieren der Produkte: \((6x^2 - 4x + 3x - 2) - 6 \cdot (x^2 + 2x - x - 2) = 31\). Vereinfachen: \((6x^2 - x - 2) - 6 \cdot (x^2 + x - 2) = 31\). Distributivgesetz anwenden: \(6x^2 - x - 2 - 6x^2 - 6x + 12 = 31\). Zusammenfassen der \(x\)-Terme und Konstanten: \(-7x + 10 = 31\). Subtraktion von \(10\): \(-7x = 21\). Division durch \(-7\): \(x = -3\).

1. Der Term vereinfacht sich zu \(6\). 2. \(x = -3\)

- Multipliziere zuerst die Klammern einzeln aus, bevor du die gesamte Gleichung betrachtest. - Erinnere dich an die binomischen Formeln, um Rechenzeit zu sparen. - Prüfe nach dem Zusammenfassen der Terme, ob noch ein \(x^2\) in deiner Gleichung vorkommt. - Isoliere am Ende die Variable \(x\) auf einer Seite.

1. Anwendung der dritten binomischen Formel auf den ersten Term: \((x-2) \cdot (x+2) = x^2 - 4\). 2. Multiplikation mit dem Faktor \(5\): \(5 \cdot (x^2 - 4) = 5x^2 - 20\). 3. Ausmultiplizieren des zweiten Terms: \(-5x \cdot (x-1) = -5x^2 + 5x\). 4. Zusammenfassen der gesamten linken Seite: \(5x^2 - 20 - 5x^2 + 5x = 5x - 20\). Da \(5x^2 - 5x^2 = 0\) ergibt, heben sich die quadratischen Terme tatsächlich auf. Der Schüler hat somit recht. 5. Lösen der verbleibenden linearen Gleichung: \(5x - 20 = 10\). 6. Addition von \(20\) auf beiden Seiten ergibt \(5x = 30\). 7. Division durch \(5\) ergibt den Endwert \(x = 6\).

Der Schüler hat recht (die \(x^2\)-Terme heben sich auf); \(x = 6\).

- Multipliziere zuerst die Quadrate in den Klammern aus, bevor du den Faktor davor berücksichtigst. - Denk daran, dass ein Minus vor der Klammer alle Vorzeichen innerhalb der Klammer umkehrt. - Siehst du, wie sich die Terme mit \(x^2\) gegenseitig aufheben? - Wie kannst du dein Ergebnis am Ende überprüfen?

1. Auflösen der Klammern: \(2 \cdot (x^2 + 6x + 9) - (2x^2 + 14x) = 10\). Distributivgesetz anwenden: \(2x^2 + 12x + 18 - 2x^2 - 14x = 10\). Zusammenfassen der \(x^2\)- und \(x\)-Terme: \(-2x + 18 = 10\). Subtraktion von \(18\): \(-2x = -8\). Division durch \(-2\): \(x = 4\). 2. Anwendung der binomischen Formeln: \((4x^2 + 20x + 25) - (4x^2 - 9) = 74\). Auflösen der Minusklammer: \(4x^2 + 20x + 25 - 4x^2 + 9 = 74\). Zusammenfassen: \(20x + 34 = 74\). Subtraktion von \(34\): \(20x = 40\). Division durch \(20\): \(x = 2\).

1) \(x = 4\) 2) \(x = 2\)

- Was bedeutet es für eine Gleichung, wenn ein bestimmter Wert eine „Lösung“ ist? - Setze den bekannten Wert für den Buchstaben ein, für den er gilt. - Behandle den gesuchten Wert als eine neue Unbekannte in deiner Rechnung.

1. Teilaufgabe a): Da \(x \ne 0\) gilt, darf man die Koeffizienten und die Potenzen getrennt dividieren: \(45 : 9 = 5\) und \(x^2 : x = x\). Der vereinfachte Term lautet \(5x\). 2. Teilaufgabe b): Einsetzen von \(x = 6\) in \(5x + kx = 84\) ergibt \(5 \cdot 6 + k \cdot 6 = 84\). 3. Daraus folgt \(30 + 6k = 84\), also \(6k = 54\) und \(k = 9\).

a) Für \(x \ne 0\) gilt \((45x^2) : (9x) = 5x\). b) \(k = 9\).

- Vereinfache zuerst die beiden Divisionsterme unabhängig voneinander, bevor du sie kombinierst. - Achte besonders auf das Minuszeichen zwischen den beiden Ausdrücken. Was passiert mit den Vorzeichen in der zweiten Klammer? - Denke daran, dass beim Teilen von \(x^2\) durch \(x\) wieder ein \(x\) übrig bleibt. - Versuche, alle Terme mit \(x\) auf eine Seite und alle Zahlen auf die andere Seite zu bringen.

1. Wegen \(x \ne 0\) gilt \((15x^2 + 10x) : (5x) = 3x + 2\). 2. Ebenso gilt \((12x^2 - 18x) : (6x) = 2x - 3\). 3. Die vereinfachte Gleichung lautet \((3x + 2) - (2x - 3) = 1\). 4. Auflösen der Minusklammer ergibt \(3x + 2 - 2x + 3 = 1\), also \(x + 5 = 1\). 5. Subtraktion von \(5\) führt zu \(x = -4\). Dieser Wert erfüllt die Definitionsbedingung.

\(x = -4\); die Lösung ist zulässig, da \(x \ne 0\) gilt.

- Was passiert mit den Vorzeichen im Zähler, wenn ein Minuszeichen vor dem gesamten Bruch steht? - Hilft es dir, Klammern um die Zähler zu setzen, bevor du die Brüche entfernst? - Wie verhinderst du, dass du beim Multiplizieren mit dem Hauptnenner die rechte Seite der Gleichung vergisst?

1. Multiplikation der gesamten Gleichung mit dem Hauptnenner \(6\) ergibt \(3 \cdot (x + 5) - 2 \cdot (2x - 4) = 24\). 2. Ausmultiplizieren der Klammern unter Beachtung des Minuszeichens vor der zweiten Klammer ergibt \(3x + 15 - 4x + 8 = 24\). 3. Zusammenfassen der Terme auf der linken Seite führt zu \(-x + 23 = 24\). 4. Subtraktion von \(23\) ergibt \(-x = 1\). 5. Multiplikation mit \(-1\) ergibt die Lösung \(x = -1\). 6. Erklärung: Das Minuszeichen vor dem zweiten Bruch wirkt wie ein Minuszeichen vor einer Klammer. Beim Auflösen müssen sich daher alle Vorzeichen im Zähler des zweiten Bruchs umkehren.

\(x = -1\). Beim Multiplizieren der Gleichung mit \(6\) wird der zweite Zähler mit \(-2\) multipliziert: Aus \(2x\) wird \(-4x\) und aus \(-4\) wird \(+8\).

- Kannst du die Gleichung so umformen, dass keine Brüche mehr vorkommen? - Denke daran, dass das Multiplizieren mit dem Hauptnenner jeden Term der Gleichung betrifft, auch die ohne Bruch. - Worauf musst du beim Auflösen von Klammern achten, wenn ein Minuszeichen davor steht? - Wie gehst du vor, wenn die Variable auf beiden Seiten der Gleichung steht?

1. Gleichung a) mit dem Hauptnenner \(10\) multiplizieren: \(2 \cdot (4z - 7) - (2z + 1) = 5z\). Ausmultiplizieren ergibt \(8z - 14 - 2z - 1 = 5z\). Zusammenfassen führt zu \(6z - 15 = 5z\). Subtraktion von \(5z\) und Addition von \(15\) ergibt \(z = 15\). 2. Gleichung b) mit dem Hauptnenner \(12\) multiplizieren: \(12x - 3 \cdot (2x - 3) = 2 \cdot (5x + 1)\). Ausmultiplizieren ergibt \(12x - 6x + 9 = 10x + 2\). Zusammenfassen führt zu \(6x + 9 = 10x + 2\). Sortieren der Terme ergibt \(4x = 7\), woraus \(x = \frac{7}{4}\) bzw. \(x = 1{,}75\) folgt.

a) \(z = 15\) b) \(x = \frac{7}{4}\) (oder \(1{,}75\))

- Wie findest du einen gemeinsamen Nenner für alle Brüche in der Gleichung? - Denk daran, jeden Term auf beiden Seiten der Gleichung mit dem Hauptnenner zu multiplizieren. - Achte besonders auf das Vorzeichen, wenn vor einem Bruch ein Minus steht. - Vergiss nicht, beim Auflösen der Klammern das Distributivgesetz anzuwenden.

1. Multiplikation der Gleichung mit dem Hauptnenner 6: \(2 \cdot (2x - 5) + 3 \cdot (x + 1) = 24\). Ausmultiplizieren: \(4x - 10 + 3x + 3 = 24\). Zusammenfassen: \(7x - 7 = 24\). Addition von 7 auf beiden Seiten: \(7x = 31\). Division durch 7: \(x = \frac{31}{7}\). 2. Multiplikation der Gleichung mit dem Hauptnenner 12: \(3 \cdot (3z - 1) - 2 \cdot (5 - z) = 24\). Ausmultiplizieren: \(9z - 3 - 10 + 2z = 24\). Zusammenfassen: \(11z - 13 = 24\). Addition von 13 auf beiden Seiten: \(11z = 37\). Division durch 11: \(z = \frac{37}{11}\).

1. \(x = \frac{31}{7}\) 2. \(z = \frac{37}{11}\)

- Wie kannst du die Brüche in der Gleichung entfernen? - Achte besonders auf das Minuszeichen vor dem zweiten Bruch. - Denke daran, jeden Term der Gleichung mit derselben Zahl zu multiplizieren. - Wie kannst du am Ende prüfen, ob dein Wert für \(x\) wirklich stimmt?

1. Multiplikation der gesamten Gleichung mit dem Hauptnenner \(6\) ergibt \(3 \cdot (x+4) - 2 \cdot (x-2) = 24\). 2. Auflösen der Klammern unter Beachtung der Vorzeichenregeln führt zu \(3x + 12 - 2x + 4 = 24\). 3. Zusammenfassen der Terme auf der linken Seite ergibt \(x + 16 = 24\). 4. Isolieren der Variablen durch Subtraktion von \(16\) liefert das Ergebnis \(x = 8\). 5. Die Probe bestätigt die Richtigkeit: \(\frac{8+4}{2} - \frac{8-2}{3} = \frac{12}{2} - \frac{6}{3} = 6 - 2 = 4\).

\(x = 8\)

- Was bedeutet es mathematisch, wenn eine Zahl eine „Lösung“ einer Gleichung ist? - Beachte beim Auflösen von Klammern die Vorzeichenregeln. - Wie gehst du vor, wenn die Variable auf beiden Seiten der Gleichung vorkommt? - Kannst du eine Gleichung schrittweise vereinfachen, bevor du nach der Unbekannten auflöst?

1. Einsetzen von \(x = 2\) in beide Ausdrücke: - \(A = 3 \cdot (2 + 4) = 3 \cdot 6 = 18\). - \(B = 10 - 2 = 8\). - Da \(18 \neq 8\), ist \(x = 2\) keine Lösung. 2. Lösen der Gleichung \(3 \cdot (x + 4) = 0\): Da das Produkt Null ist, muss der Klammerausdruck Null sein: \(x + 4 = 0\). Daraus folgt \(x = -4\). 3. Gleichsetzen und Lösen: \(3 \cdot (x + 4) = 10 - x\). Klammer auflösen: \(3x + 12 = 10 - x\). Addition von \(x\): \(4x + 12 = 10\). Subtraktion von \(12\): \(4x = -2\). Division durch \(4\): \(x = -0{,}5\).

1) Nein, \(x = 2\) ist keine Lösung, da \(18 \neq 8\). 2) \(x = -4\). 3) \(x = -0{,}5\).

- Probiere aus, was passiert, wenn du in beiden Beispielen eine beliebige Zahl für \(x\) einsetzt. - Vergleiche die Ergebnisse der Umformungen für A und B. Worin unterscheiden sie sich? - Überlege dir eine Bedingung, die erfüllt sein muss, damit eine Gleichung wirklich gar keine Lösung hat.

1. Untersuchung von Beispiel A: Subtraktion von \(3x\) auf beiden Seiten führt zu der Aussage \(4 = 9\). Da dies ein Widerspruch ist, hat die Gleichung keine Lösung. 2. Untersuchung von Beispiel B: Subtraktion von \(3x\) auf beiden Seiten führt zu der Aussage \(4 = 4\). Da dies eine allgemeingültige Aussage ist, ist die Gleichung für jeden Wert von \(x\) erfüllt. Es gibt also unendlich viele Lösungen. 3. Bewertung der Behauptung: Der Schüler hat nicht recht. Wenn die Zahlen ohne \(x\) (die Konstanten) auf beiden Seiten ebenfalls identisch sind, gibt es unendlich viele Lösungen. Nur wenn die konstanten Glieder verschieden sind, gibt es keine Lösung.

Der Schüler hat unrecht. In Beispiel A gibt es tatsächlich keine Lösung (\(4 = 9\)), aber in Beispiel B gibt es unendlich viele Lösungen, da die Gleichung zu einer immer wahren Aussage (\(4 = 4\)) führt. Eine Gleichung mit gleichen \(x\)-Termen hat nur dann keine Lösung, wenn die konstanten Zahlen auf beiden Seiten verschieden sind.

- Wie kannst du die Information nutzen, dass \(x = 2\) eine Lösung sein soll? - Was passiert mit einer Gleichung, wenn du einen Platzhalter durch eine bekannte Zahl ersetzt? - In Teil b ist \(k\) bekannt und \(x\) gesucht – wie gehst du normalerweise beim Lösen von Gleichungen vor? - Achte beim Auflösen der Klammern auf die Vorzeichen.

1. Teil a: Der Wert \(x = 2\) wird in die Gleichung eingesetzt: \(5 \cdot 2 - k = 3 \cdot (2 + 4)\). 2. Vereinfachung der Terme führt zu \(10 - k = 3 \cdot 6\), also \(10 - k = 18\). 3. Durch Subtraktion von \(10\) erhält man \(-k = 8\), woraus \(k = -8\) folgt. 4. Teil b: Der Wert \(k = 2\) wird in die ursprüngliche Gleichung eingesetzt: \(5x - 2 = 3 \cdot (x + 4)\). 5. Auflösen der Klammer auf der rechten Seite ergibt \(5x - 2 = 3x + 12\). 6. Durch Äquivalenzumformungen (\(-3x\) und \(+2\)) erhält man \(2x = 14\). 7. Division durch \(2\) liefert die Lösung \(x = 7\).

a) \(k = -8\) b) \(x = 7\)

- Kannst du die Klammer zuerst beseitigen? Welches Rechengesetz hilft dir dabei? - Achte beim Multiplizieren des Bruchs mit den Werten in der Klammer auf das Kürzen. - Was ist der nächste Schritt, wenn auf beiden Seiten der Gleichung ein \(x\) steht? - Wie isolierst du die Variable am Ende?

1. Auflösen der Klammer auf der linken Seite mithilfe des Distributivgesetzes: \(\frac{3}{4} \cdot 8x - \frac{3}{4} \cdot 12 = 2x + 5\), was zu \(6x - 9 = 2x + 5\) führt 2. Subtraktion von \(2x\) auf beiden Seiten der Gleichung: \(4x - 9 = 5\) 3. Addition von \(9\) auf beiden Seiten der Gleichung: \(4x = 14\) 4. Division beider Seiten durch \(4\): \(x = \frac{14}{4} = 3{,}5\)

\(x = 3{,}5\)

- Was bedeutet es mathematisch, wenn eine Zahl eine „Lösung“ einer Gleichung ist? - Ersetze den Platzhalter \(x\) durch den bekannten Wert, um die Gleichung zu vereinfachen. - Wie kannst du die Gleichung danach umformen, um den gesuchten Wert von \(k\) zu berechnen? - Kannst du erst die linke und die rechte Seite getrennt ausrechnen, soweit es möglich ist?

1. Einsetzen des Wertes \(x = 6\) in die Gleichung: \(5 \cdot (6 - 2) + k = 2 \cdot (6 + 1)\). 2. Berechnen der Ausdrücke innerhalb der Klammern: \(5 \cdot 4 + k = 2 \cdot 7\). 3. Ausrechnen der Produkte auf beiden Seiten: \(20 + k = 14\). 4. Isolieren von \(k\) durch Subtraktion von \(20\) auf beiden Seiten: \(k = 14 - 20 = -6\).

\(k = -6\)

- Wie gehst du vor, wenn zwei Klammern miteinander multipliziert werden? - Achte besonders auf das Minuszeichen vor der zweiten Klammergruppe. - Was passiert mit den quadratischen Termen beim Vereinfachen? - Versuche, alle Terme mit der Unbekannten auf eine Seite der Gleichung zu bringen.

1. Ausmultiplizieren der ersten beiden Klammern: \((x + 3)(x - 4) = x^2 - 4x + 3x - 12 = x^2 - x - 12\) 2. Ausmultiplizieren der hinteren beiden Klammern: \((x - 5)(x + 2) = x^2 + 2x - 5x - 10 = x^2 - 3x - 10\) 3. Einsetzen in die Gleichung unter Berücksichtigung des Minuszeichens: \(x^2 - x - 12 - (x^2 - 3x - 10) = 2\) 4. Auflösen der Minusklammer: \(x^2 - x - 12 - x^2 + 3x + 10 = 2\) 5. Zusammenfassen der Terme: \(2x - 2 = 2\) 6. Addition von \(2\) auf beiden Seiten: \(2x = 4\) 7. Division durch \(2\): \(x = 2\)

\(x = 2\)

- Wie lassen sich Brüche und Dezimalzahlen in einer Gleichung am besten kombinieren? - Achte darauf, das Distributivgesetz auf beiden Seiten der Gleichung korrekt anzuwenden. - Welche Rechenoperation macht eine Multiplikation mit \(0{,}8\) rückgängig? - Könnte es helfen, alle Zahlen in das gleiche Format zu bringen (zum Beispiel alle als Dezimalzahlen)?

1. Auflösen der linken Klammer: \( 3x - 2 + 0{,}2x = 2{,}4 \cdot (x + 5) \) 2. Auflösen der rechten Klammer: \( 3x - 2 + 0{,}2x = 2{,}4x + 12 \) 3. Zusammenfassen der Terme links: \( 3{,}2x - 2 = 2{,}4x + 12 \) 4. Subtraktion von \(2{,}4x\): \( 0{,}8x - 2 = 12 \) 5. Addition von \(2\): \( 0{,}8x = 14 \) 6. Division durch \(0{,}8\): \( x = 17{,}5 \)

\( x = 17{,}5 \)

- Betrachte den Ausdruck in der Klammer zunächst als einen einzigen großen Platzhalter. - Wie kannst du die Rechnung „von außen nach innen“ auflösen? - Welche Operation macht eine Multiplikation rückgängig? Welche eine Division? - Arbeite dich Schritt für Schritt zum \(x\) vor.

1. Lösungsschritte für a): Zuerst wird die Division durch \(3\) auf beiden Seiten durchgeführt: \(x + 1{,}2 = 15 : 3 = 5\). Anschließend wird \(1{,}2\) subtrahiert: \(x = 5 - 1{,}2 = 3{,}8\). 2. Lösungsschritte für b): Zuerst wird mit \(4\) multipliziert, um die Klammer zu isolieren: \(18{,}6 - x = 3{,}5 \cdot 4 = 14\). Durch Addition von \(x\) auf beiden Seiten und anschließende Subtraktion von \(14\) erhält man \(x = 18{,}6 - 14 = 4{,}6\).

a) \(x = 3{,}8\) b) \(x = 4{,}6\)

- Für Aufgabenteil a): Wähle zwei beliebige Fahrenheit-Werte, die einen Unterschied von 18 haben, und berechne die Celsius-Werte. Was stellst du fest? - Für Aufgabenteil b): Du suchst eine Zahl, die man in den Term einsetzen kann, sodass am Ende genau dieselbe Zahl wieder herauskommt.

1. Temperaturänderung: Eine Änderung um \(18\,^\circ\text{F}\) entspricht im Term einer Änderung des Wertes in der Klammer um \(18\). Da diese Differenz durch \(1{,}8\) geteilt wird, ergibt sich \(18 : 1{,}8 = 10\). Die Temperatur steigt also um \(10\,^\circ\text{C}\). 2. Fixpunkt-Gleichung: Gesucht ist ein Wert \(x\), für den gilt: \(x = (x - 32) : 1{,}8\). 3. Auflösen der Gleichung: Multiplikation mit \(1{,}8\) ergibt \(1{,}8 \cdot x = x - 32\). Subtraktion von \(x\) führt zu \(0{,}8 \cdot x = -32\). 4. Endergebnis: Division durch \(0{,}8\) ergibt \(x = -32 : 0{,}8 = -40\). Bei \(-40\) haben beide Temperaturskalen denselben Zahlenwert.

a) Die Temperatur steigt um \(10\,^\circ\text{C}\). Begründung: Da die Fahrenheit-Differenz durch \(1{,}8\) geteilt wird, führt ein Zuwachs von \(18\) zu einem Zuwachs von \(10\) bei den Celsius-Graden. b) Der gemeinsame Zahlenwert ist \(-40\). Es gilt: \(-40\,^\circ\text{C} = -40\,^\circ\text{F}\).

- Löse die Gleichung zuerst allgemein nach \(x\) auf. - Welche Zahlen gehören zu \(\mathbb{Z}\) und welche zu \(\mathbb{Q}\)? - Kann eine Aussage über „keine Lösung“ wahr sein, wenn man nur bestimmte Zahlen verwenden darf? - Wie würdest du den Unterschied zwischen den beiden Zahlenmengen beschreiben?

1. Berechnung des Wertes für \(x\): \(2x + 6 = 11 \implies 2x = 5 \implies x = 2{,}5\). 2. Prüfung für \(G_1 = \mathbb{Z}\): Da \(2{,}5\) keine ganze Zahl ist, ist die Lösungsmenge leer: \(L = \emptyset\). In diesem Fall hat der Schüler recht. 3. Prüfung für \(G_2 = \mathbb{Q}\): Da \(2{,}5\) eine rationale Zahl ist, ist die Lösungsmenge \(L = \{2{,}5\}\). In diesem Fall hat der Schüler nicht recht.

Der Schüler hat recht, wenn die Grundmenge \(G_1=\mathbb{Z}\) ist, da \(2{,}5\) keine ganze Zahl ist (\(L=\emptyset\)). Für die Grundmenge \(G_2=\mathbb{Q}\) hat er nicht recht, denn \(L=\{2{,}5\}\).

- Was bedeutet es für die Lösungsmenge, wenn am Ende eine wahre Aussage wie \(0 = 0\) steht? - Was bedeutet es, wenn du eine falsche Aussage wie \(0 = 5\) erhältst? - Wie kannst du einen Bruch in einer Gleichung „beseitigen“?

1. Ausmultiplizieren: \(3x + 3 = 3x + 3\). Da beide Seiten identisch sind, ist die Gleichung für alle \(x \in \mathbb{Q}\) erfüllt. Die Lösungsmenge ist \(L = \mathbb{Q}\). 2. Subtraktion von \(2x\): \(5 = -1\). Da dies ein Widerspruch ist, gibt es keine Lösung. Die Lösungsmenge ist leer: \(L = \emptyset\). 3. Ausmultiplizieren: \(4x - 10 = 2x + 2\). Subtraktion von \(2x\): \(2x - 10 = 2\). Addition von \(10\): \(2x = 12\). Division durch \(2\): \(x = 6\). Damit ist \(L = \{6\}\). 4. Subtraktion von \(2\): \(\frac{x}{4} = 3\). Multiplikation mit \(4\): \(x = 12\). Damit ist \(L = \{12\}\).

a) Alle rationalen Zahlen sind Lösungen (\(L = \mathbb{Q}\)). b) Es gibt keine Lösung (\(L = \emptyset\)). c) \(L = \{6\}\) d) \(L = \{12\}\)

- Wann verschwindet die Variable \(x\) komplett aus der Gleichung, wenn du versuchst, sie auf eine Seite zu bringen? - Was muss für die Zahlen links und rechts gelten, damit eine „wahre Aussage“ (wie \(0=0\)) oder eine „falsche Aussage“ (wie \(0=1\)) entsteht? - Setze für die letzte Teilaufgabe die Zahl \(5\) einfach an die Stelle von \(x\) und überlege dir passende Werte für \(a\) und \(b\).

1. Teilaufgabe a): Damit unendlich viele Lösungen existieren, müssen beide Seiten der Gleichung identisch sein. Es muss also \(a = 4\) und \(b = 12\) gelten. 2. Teilaufgabe b): Damit keine Lösung existiert, müssen die Koeffizienten von \(x\) gleich sein, aber die konstanten Glieder verschieden. Es muss \(a = 4\) und \(b \neq 12\) gelten. Beispiel: \(a = 4, b = 10\). 3. Teilaufgabe c): Damit \(x = 5\) eine Lösung ist, muss die Gleichung für diesen Wert wahr sein: \(4 \cdot 5 + 12 = a \cdot 5 + b\), also \(32 = 5a + b\). Wählt man zum Beispiel \(a = 2\), ergibt sich \(32 = 10 + b\), also \(b = 22\). Da \(a \neq 4\), ist dies die einzige Lösung. Beispiel: \(a = 2, b = 22\).

Mögliche Lösungen: a) \(a = 4, b = 12\) b) \(a = 4, b = 10\) (oder jede andere Zahl außer 12) c) \(a = 2, b = 22\) (oder jedes andere Paar, das \(5a + b = 32\) mit \(a \neq 4\) erfüllt)

- Dezimalzahlen oder Brüche vor der Klammer werden wie ganzzahlige Faktoren behandelt. - Denke daran, dass ein Minuszeichen vor einer Klammer wie ein Faktor \((-1)\) wirkt. - Fasse auf jeder Seite des Gleichheitszeichens so weit wie möglich zusammen, bevor du die Gleichung weiter umformst.

a) Klammern auflösen: \(2x - 4 + 3x = 6 - x + 2\). Zusammenfassen: \(5x - 4 = 8 - x\). Addition von \(x\) und 4: \(6x = 12\). Division durch 6: \(x = 2\). b) Klammern auflösen: \(2y + 3 - 5 = 2y - 2 - y\). Zusammenfassen: \(2y - 2 = y - 2\). Subtraktion von \(y\) und Addition von 2: \(y = 0\). c) Klammern auflösen: \(6m + 2 - 4m + 8 = 5m - 2\). Zusammenfassen: \(2m + 10 = 5m - 2\). Subtraktion von \(2m\) und Addition von 2: \(12 = 3m\). Division durch 3: \(m = 4\).

a) \(x = 2\) b) \(y = 0\) c) \(m = 4\)

- Behandle die Variable \(k\) wie eine feste Zahl und versuche, \(z\) allein auf eine Seite der Gleichung zu bringen. - Wie gehst du vor, um einen Summanden auf die andere Seite zu verschieben? - Durch welche Zahl musst du am Ende teilen, damit \(z\) allein steht?

1. Subtraktion von \(4k\) auf beiden Seiten, um die Terme mit \(k\) zusammenzufassen: \(0{,}8z = 8k - 1{,}6\) 2. Division der gesamten Gleichung durch \(0{,}8\): \(z = \frac{8k - 1{,}6}{0{,}8}\) 3. Vereinfachen der Division: \(z = 10k - 2\)

\(z = 10k - 2\)

- Rechne sorgfältig mit den Dezimalzahlen beim Ausmultiplizieren. - Fasse auf jeder Seite der Gleichung so viel wie möglich zusammen, bevor du Äquivalenzumformungen durchführst. - Wie oft passt \(2{,}5\) in die Zahl \(9\)?

1. Linke Seite ausmultiplizieren: \(6y - 3\). 2. Rechte Seite ausmultiplizieren: \(3y + 6 + 0{,}5y\). 3. Rechte Seite zusammenfassen: \(6y - 3 = 3{,}5y + 6\). 4. Subtraktion von \(3{,}5y\) auf beiden Seiten: \(2{,}5y - 3 = 6\). 5. Addition von \(3\) auf beiden Seiten: \(2{,}5y = 9\). 6. Division durch \(2{,}5\): \(y = 3{,}6\).

\(y = 3{,}6\)

- Schau dir genau an, wie Max die Klammer in Schritt 1 aufgelöst hat. Wurde jedes Element in der Klammer berücksichtigt? - Rechne die Aufgabe selbst Schritt für Schritt durch und vergleiche deine Zwischenschritte mit denen von Max. - Was bedeutet es eigentlich, eine Klammer mit einem Faktor davor „auszumultiplizieren“?

1. Fehleranalyse: In Schritt 1 hat Max das Distributivgesetz falsch angewendet. Er hat nur das \(x\) mit der \(2\) multipliziert, aber vergessen, auch die \(4\) mit der \(2\) zu multiplizieren. Korrekt wäre \(2x + 8\). 2. Korrekte Rechnung: \(2 \cdot (x + 4) - 3 = 15 - x\) wird zu \(2x + 8 - 3 = 15 - x\). 3. Zusammenfassen der linken Seite ergibt \(2x + 5 = 15 - x\). 4. Addition von \(x\) auf beiden Seiten führt zu \(3x + 5 = 15\). 5. Subtraktion von \(5\) ergibt \(3x = 10\). 6. Division durch \(3\) liefert das korrekte Ergebnis \(x = \frac{10}{3}\).

Fehler: Max hat beim Auflösen der Klammer nur die Variable \(x\), aber nicht die Zahl \(4\) mit \(2\) multipliziert (Fehler beim Distributivgesetz). Korrekte Lösung: \(x = \frac{10}{3}\) (oder \(x = 3\frac{1}{3}\))

- Überprüfe Schritt für Schritt, welche Rechenoperation durchgeführt wurde, um von der Ausgangsgleichung zur neuen Gleichung zu gelangen. - Wurde die Operation auf alle Teile beider Seiten der Gleichung angewendet? - Rechne im Zweifel die Lösung der Ausgangsgleichung aus und setze sie in die anderen Gleichungen ein.

1. Prüfung von a: Subtrahiert man auf beiden Seiten der Ausgangsgleichung \(2x\), erhält man \((5x - 2x) + 10 = (2x - 2x) - 8\), also \(3x + 10 = -8\). Dies ist eine korrekte Äquivalenzumformung. 2. Prüfung von b: Um auf der linken Seite \(5x\) zu isolieren, müsste man von der Ausgangsgleichung auf beiden Seiten \(10\) subtrahieren. Das ergäbe \(5x = 2x - 8 - 10\), also \(5x = 2x - 18\). Die Gleichung \(5x = 2x + 2\) ist somit nicht äquivalent (hier wurde fälschlicherweise \(10\) addiert oder ein Vorzeichenfehler beim Verschieben gemacht). 3. Prüfung von c: Dividiert man die Ausgangsgleichung auf beiden Seiten durch \(5\), erhält man \(\frac{5x + 10}{5} = \frac{2x - 8}{5}\). Dies vereinfacht sich zu \(x + 2 = \frac{2}{5}x - \frac{8}{5}\). Dies ist eine korrekte Äquivalenzumformung. Alle äquivalenten Gleichungen haben die Lösung \(x = -6\).

a) Äquivalent (Umformung: \(-2x\)) b) Nicht äquivalent (Fehler bei der Subtraktion von \(10\)) c) Äquivalent (Umformung: \(: 5\))

- Multipliziere zuerst die Klammer auf der rechten Seite aus. - Wann steht links genau dasselbe wie rechts? - Was passiert mit dem \(x\), wenn auf beiden Seiten die gleiche Anzahl an \(x\) steht? - Überlege dir, was passieren muss, damit am Ende eine falsche Aussage wie \(0 = 1\) entsteht.

1. Teil a: Damit die Gleichung für alle \(x\) wahr ist, müssen beide Seiten identisch sein. Ausmultiplizieren der rechten Seite ergibt \(4 \cdot 2x + 4 \cdot \square = 8x + 4\square\). Vergleich mit der linken Seite \(8x + 20\) liefert \(4\square = 20\), also \(\square = 5\). 2. Teil b: Eine lineare Gleichung hat genau eine Lösung, wenn die Koeffizienten von \(x\) auf beiden Seiten unterschiedlich sind. Beispiel: Ändere \(8x\) in \(7x\). Die Gleichung lautet \(7x + 20 = 4(2x + 5) \Rightarrow 7x + 20 = 8x + 20\). Subtraktion von \(20\) und \(7x\) ergibt \(0 = x\). Die Lösung ist \(x = 0\). 3. Teil c: Keine Lösung tritt auf, wenn die Terme mit \(x\) wegfallen, aber eine falsche Aussage wie \(20 = 21\) übrig bleibt. Die Koeffizienten von \(x\) müssen also gleich sein (\(8x\)), aber die konstanten Glieder unterschiedlich. Beispiel: \(8x + 20 = 8x + 21\) (entspricht \(4(2x + 5{,}25)\)).

a) Die Zahl im Kästchen muss \(5\) sein. b) Individuelle Lösung, z. B.: Ersetzt man \(8\) durch \(7\), ergibt sich \(7x + 20 = 8x + 20\), woraus \(x = 0\) folgt. Jede Zahl ungleich \(8\) ist möglich. c) Beispiel: \(8x + 20 = 8x + 21\) (oder jede andere Zahl statt \(20\) auf der rechten Seite nach dem Ausmultiplizieren).

- Achte bei b) besonders auf den Begriff „Summe“ – hier musst du eine Klammer setzen. - Kannst du Brüche in Dezimalzahlen umwandeln, um leichter zu rechnen? - Überlege dir genau, auf welcher Seite der Gleichung du etwas abziehen oder dazurechnen musst, wenn ein Wert „kleiner als“ ein anderer ist.

1. Gleichung für a): \(\frac{1}{4} \cdot x + 0{,}5 = 2 \cdot x - 3\). Multiplikation der gesamten Gleichung mit \(4\) zur Nennerbeseitigung: \(x + 2 = 8 \cdot x - 12\). Subtraktion von \(x\) ergibt \(2 = 7 \cdot x - 12\). Addition von \(12\) ergibt \(14 = 7 \cdot x\). Division durch \(7\) ergibt \(x = 2\). 2. Gleichung für b): \(3 \cdot (x + 4) = 5 \cdot x - 2\). Auflösen der Klammer: \(3 \cdot x + 12 = 5 \cdot x - 2\). Subtraktion von \(3 \cdot x\) ergibt \(12 = 2 \cdot x - 2\). Addition von \(2\) ergibt \(14 = 2 \cdot x\). Division durch \(2\) ergibt \(x = 7\).

a) \(x = 2\) b) \(x = 7\)

- Löse zuerst alle Klammern auf und fasse die Seiten zusammen. - Was passiert mit der Gleichung, wenn die Variable auf beiden Seiten wegfällt? - Ist das Ergebnis am Ende eine wahre oder eine falsche Aussage? - Was bedeutet es für die Lösungsmenge, wenn am Ende etwas Unmögliches wie \(-14 = 12\) steht?

1. Ausmultiplizieren der Klammern auf beiden Seiten: \(6n - 12 - 2n - 2 = 4n + 12\) 2. Zusammenfassen der Terme auf der linken Seite: \(4n - 14 = 4n + 12\) 3. Subtraktion von \(4n\) auf beiden Seiten führt zu einer Aussage ohne Variable: \(-14 = 12\) 4. Da \(-14 = 12\) eine falsche Aussage (Widerspruch) ist, gibt es keine Zahl für \(n\), die die Gleichung erfüllt 5. Die Lösungsmenge ist leer: \(L = \emptyset\)

\(L = \emptyset\)

- Überlege dir, ob die Zahl Null eine ganz normale Zahl ist, mit der man rechnen kann. - Was passiert, wenn du versuchst, beide Gleichungen Schritt für Schritt zu lösen? - Kannst du eine Zahl finden, die die erste Gleichung erfüllt? Und die zweite?

1. Analyse von \(8x = 0\): Durch Division beider Seiten durch 8 erhält man \(x = 0\). Die Zahl 0 ist eine konkrete Zahl und damit eine gültige Lösung. Die Lösungsmenge ist \(L = \{0\}\). 2. Analyse von \(x + 1 = x\): Subtrahiert man auf beiden Seiten \(x\), erhält man \(1 = 0\). Dies ist ein mathematischer Widerspruch. Es gibt keine Zahl, die man für \(x\) einsetzen kann, um eine wahre Aussage zu erhalten. Die Lösungsmenge ist leer: \(L = \emptyset\). 3. Bewertung: Jonas hat unrecht. Die Zahl 0 als Lösung ist nicht dasselbe wie „keine Lösung“. Im ersten Fall gibt es genau einen Wert, der die Gleichung löst; im zweiten Fall gibt es gar keinen.

Jonas hat unrecht. Die Zahl 0 ist eine gültige Lösung. Bei \(8x = 0\) ist die Lösung \(x = 0\), also gibt es genau eine Lösung. Bei \(x + 1 = x\) entsteht ein Widerspruch (\(1 = 0\)), weshalb diese Gleichung tatsächlich gar keine Lösung besitzt.

- Wie kannst du die Brüche in der Gleichung loswerden? Welcher gemeinsame Nenner hilft dir dabei? - Achte beim Auflösen der Brüche besonders auf das Minuszeichen vor dem zweiten Bruch – es wirkt wie ein Minuszeichen vor einer Klammer. - Erinnere dich an die binomischen Formeln, um Ausdrücke wie \((x+3)^2\) umzuformen.

1. Teilaufgabe a): Multiplikation der gesamten Gleichung mit dem Hauptnenner \(12\) eliminiert die Brüche: \(3(3x - 1) - 4(x + 2) = -12\). Ausmultiplizieren ergibt \(9x - 3 - 4x - 8 = -12\). Zusammenfassen der Terme führt zu \(5x - 11 = -12\). Addition von \(11\) ergibt \(5x = -1\), woraus \(x = -0{,}2\) folgt. 2. Teilaufgabe b): Anwendung der ersten binomischen Formel auf \((x + 3)^2\) und Ausmultiplizieren des zweiten Terms ergibt \(x^2 + 6x + 9 - (x^2 + 4x) = 17\). Auflösen der Klammer liefert \(x^2 + 6x + 9 - x^2 - 4x = 17\). Die quadratischen Terme heben sich auf, es bleibt \(2x + 9 = 17\). Subtraktion von \(9\) ergibt \(2x = 8\), also \(x = 4\).

a) \(x = -0{,}2\) (oder \(x = -\frac{1}{5}\)) b) \(x = 4\)

- Multipliziere zuerst die Klammern aus. Was passiert dabei mit den \(x^2\)-Termen? - Vergiss nicht, dass das Minuszeichen vor dem zweiten Produkt für den gesamten Ausdruck gilt, der aus der Klammer kommt. - Siehst du eine Möglichkeit, die linke Seite so zu vereinfachen, dass kein \(x^2\) mehr vorkommt?

1. Ausmultiplizieren der Klammern (Anwendung des Distributivgesetzes oder der dritten binomischen Formel): \(x^2 - 4 - (x^2 - 4x) = 12\) 2. Auflösen der Minusklammer: \(x^2 - 4 - x^2 + 4x = 12\) 3. Zusammenfassen der Terme, wobei sich \(x^2\) und \(-x^2\) aufheben: \(4x - 4 = 12\) 4. Addition von \(4\) auf beiden Seiten: \(4x = 16\) 5. Division durch \(4\): \(x = 4\)

\(x = 4\)

- Betrachte \(k\) einfach als eine Platzhalterzahl, die du für jeden Teil der Aufgabe neu einsetzt. - Fasse zuerst alle Terme mit \(x\) auf der rechten Seite zusammen. - Vergleiche dann die Struktur der linken und der rechten Seite.

1. Vereinfachung der rechten Seite der Gleichung: \(3x + 12 + 2x = 5x + 12\). 2. Fall a): Mit \(k = 5\) lautet die Gleichung \(5x + 12 = 5x + 12\). Dies ist eine allgemeingültige Aussage (Identität). Ergebnis: unendlich viele Lösungen. 3. Fall b): Mit \(k = 4\) lautet die Gleichung \(4x + 12 = 5x + 12\). Durch Subtraktion von \(4x\) und \(12\) erhält man \(x = 0\). Ergebnis: genau eine Lösung. 4. Fall c): Die geänderte Gleichung lautet \(5x + 10 = 5x + 12\). Subtraktion von \(5x\) führt zu \(10 = 12\), was ein Widerspruch ist. Ergebnis: keine Lösung.

a) unendlich viele Lösungen b) genau eine Lösung c) keine Lösung

- Stelle zuerst eine Gleichung auf, indem du die beiden Termbeschreibungen gleichsetzt. - Wie kannst du den Bruch \(\frac{1}{2}\) in der Rechnung am einfachsten behandeln? - Wenn \(T_1 = T_2\) gilt, was bedeutet das für die Summe \(T_1 + T_2\) im Zähler von \(S\)? - Überprüfe dein Ergebnis für \(k\), indem du es in beide Terme einsetzt – kommt dasselbe heraus?

1. Gleichsetzen der Terme: \(\frac{1}{2}(k + 12) = 2k - 18\). 2. Ausmultiplizieren der linken Seite: \(0{,}5k + 6 = 2k - 18\). 3. Umformen der Gleichung: Subtraktion von \(0{,}5k\) ergibt \(6 = 1{,}5k - 18\). 4. Addition von \(18\) ergibt \(24 = 1{,}5k\). 5. Division durch \(1{,}5\): \(k = \frac{24}{1{,}5} = 16\). 6. Berechnung der Termwerte bei \(k = 16\): \(T_1 = 0{,}5(16 + 12) = 14\) und \(T_2 = 2 \cdot 16 - 18 = 14\). 7. Einsetzen in den Ausdruck für \(S\): \(S = \frac{14 + 14}{16} = \frac{28}{16}\). 8. Kürzen oder Umwandeln in eine Dezimalzahl: \(S = 1{,}75\).

Der Wert für \(k\) ist \(16\). Der Wert für \(S\) ist \(1{,}75\).

- Multipliziere zuerst die Faktoren vor den Klammern mit jedem Glied der jeweiligen Klammer. - Wie vereinfachst du einen Ausdruck wie \(\frac{3}{4} \cdot 8x\)? - Achte auf die Vorzeichen, wenn du Glieder von einer Seite auf die andere bringst. - Vergiss am Ende nicht, deinen Wert für \(x\) in die ursprüngliche Gleichung einzusetzen.

1. Ausmultiplizieren der Klammern auf beiden Seiten: \(6x - 9 - 2x = 5x - 20 + 1\) 2. Zusammenfassen der Terme auf jeder Seite: \(4x - 9 = 5x - 19\) 3. Subtraktion von \(4x\) auf beiden Seiten: \(-9 = x - 19\) 4. Addition von \(19\) auf beiden Seiten: \(x = 10\) 5. Probe: Linke Seite \(\frac{3}{4}(8 \cdot 10 - 12) - 2 \cdot 10 = \frac{3}{4}(68) - 20 = 51 - 20 = 31\); Rechte Seite \(5(10 - 4) + 1 = 5 \cdot 6 + 1 = 31\). Die Lösung ist somit bestätigt.

\(x = 10\)

- Übersetze die Sätze Schritt für Schritt in mathematische Ausdrücke. - Was bedeutet „das Siebenfache der Quersumme“? - Wie kannst du die Information nutzen, dass eine Ziffer um einen bestimmten Wert größer ist als die andere? - Vergiss am Ende nicht die Probe, um sicherzustellen, dass beide Bedingungen des Rätsels erfüllt sind.

1. Sei \(t\) die Zehnerziffer und \(u\) die Einerziffer. Die Zahl ist \(10 \cdot t + u\). 2. Bedingung für die Ziffern: \(t = u + 2\). 3. Bedingung für den Wert: \(10 \cdot t + u = 7(t + u) - 6\). 4. Einsetzen von \(t = u + 2\) in die Wertgleichung: \(10(u + 2) + u = 7(u + 2 + u) - 6\). 5. Ausmultiplizieren: \(10 \cdot u + 20 + u = 7 \cdot (2 \cdot u + 2) - 6\). 6. Zusammenfassen: \(11 \cdot u + 20 = 14 \cdot u + 14 - 6 \Rightarrow 11 \cdot u + 20 = 14 \cdot u + 8\). 7. Ordnen der Terme: \(12 = 3 \cdot u\). 8. Berechnung der Einerziffer: \(u = 4\). 9. Berechnung der Zehnerziffer: \(t = 4 + 2 = 6\). 10. Die Zahl ist 64. 11. Überprüfung: Quersumme ist \(6 + 4 = 10\). \(7 \cdot 10 - 6 = 70 - 6 = 64\). Die Bedingung \(6 = 4 + 2\) ist ebenfalls erfüllt.

Die Zahl lautet 64.

- Was passiert mit den Vorzeichen im Zähler des zweiten Bruchs, wenn du den Bruchstrich durch eine Klammer ersetzt? - Überlege, mit welcher Zahl du die gesamte Gleichung multiplizieren kannst, damit alle Nenner verschwinden. - Prüfe nach dem Auflösen der Klammern sorgfältig, ob alle Vorzeichen korrekt sind.

1. Multiplikation der Gleichung mit dem Hauptnenner \(6\): \(2(2x - 1) - (x + 3) = 3\). 2. Auflösen der Klammern unter Beachtung des Minuszeichens vor der zweiten Klammer: \(4x - 2 - x - 3 = 3\). 3. Zusammenfassen der Terme auf der linken Seite: \(3x - 5 = 3\). 4. Addition von \(5\) auf beiden Seiten: \(3x = 8\). 5. Division durch \(3\): \(x = \frac{8}{3}\).

\(x = \frac{8}{3}\) (oder \(x = 2\frac{2}{3}\))

- Vereinfache zuerst die linke Seite. Was fällt dir im Vergleich zur rechten Seite auf? - Wenn eine Gleichung für jeden beliebigen Wert von \(x\) wahr ist, wie hängt die Lösungsmenge dann von der Grundmenge ab? - Denke daran, dass die Lösungsmenge nur Elemente enthalten kann, die auch in der Grundmenge \(G\) liegen.

1. Linke Seite der Gleichung ausmultiplizieren: \(0{,}5 \cdot 8x - 0{,}5 \cdot 4 = 4x - 2\) 2. Vereinfachen: \(4x - 2 = 4x - 2\) 3. Man erkennt, dass beide Seiten identisch sind. Dies ist eine allgemeingültige Aussage (Identität), die für jedes \(x\) wahr ist. 4. Für Fall a): Da die Gleichung für alle rationalen Zahlen wahr ist, entspricht die Lösungsmenge der Grundmenge: \(L = \mathbb{Q}\). 5. Für Fall b): Da die Gleichung für alle Elemente der Grundmenge wahr ist, sind alle drei Zahlen Lösungen: \(L = \{0; 1; 2\}\).

a) \(L = \mathbb{Q}\) b) \(L = \{0; 1; 2\}\)

- Was bedeutet „verdreifachen“ und „ein Viertel abziehen“ für deine Variable? - Achte darauf, dass alle Anteile sich auf die ursprüngliche Anzahl beziehen. - Wann wäre eine Lösung im Zusammenhang mit Tieren unlogisch? - Überprüfe dein Ergebnis: Ist die berechnete Anzahl eine ganze Zahl?

1. Variable definieren: \(x\) sei die Anzahl der Schafe. 2. Gleichung aufstellen: \(3 \cdot x - \frac{1}{4} \cdot x + 2 = 68\). 3. Zusammenfassen der \(x\)-Terme: \(2{,}75 \cdot x + 2 = 68\). 4. Umformen nach \(x\): \(2{,}75 \cdot x = 66\). 5. Division durch \(2{,}75\): \(x = 24\). 6. Prüfung des Kontexts: Da \(24\) eine ganze Zahl ist und auch ein Viertel davon (\(6\)) eine ganze Zahl ergibt, ist das Ergebnis im Sachkontext sinnvoll. Der Lehrling hat nicht recht.

a) Es sind \(24\) Schafe. b) Der Lehrling hat nicht recht, da die Rechnung eine ganze Anzahl an Schafen (\(24\)) ergibt und auch der Verkauf eines Viertels (\(6\) Schafe) möglich ist.

- Wie kannst du die größere Zahl ausdrücken, wenn du die kleinere Zahl \(y\) nennst und ihre Summe kennst? - Was bedeutet „doppelt so groß“ mathematisch? - Überlege für Teil b), was passiert, wenn ein Teil eines Ganzen (der Summe) einen größeren Faktor in einer Gleichung ausgleichen muss. - Du kannst Teil b) auch lösen, indem du die neuen Werte kurz berechnest und vergleichst.

1. Festlegen der Variablen: \(y\) für die kleinere Zahl und \(100 - y\) für die größere Zahl 2. Aufstellen der Gleichung gemäß der Bedingung: \((100 - y) - 10 = 2y\) 3. Vereinfachen der Gleichung: \(90 - y = 2y \Rightarrow 90 = 3y\) 4. Lösung für die kleinere Zahl: \(y = 30\) 5. Berechnung der größeren Zahl: \(100 - 30 = 70\) 6. Analyse für Teil b): Die Bedingung \(90 - y = 3y\) führt zu \(4y = 90\), also \(y = 22{,}5\). Da die kleinere Zahl sinkt, muss die größere Zahl steigen (\(x = 77{,}5\)), um die Summe 100 konstant zu halten.

a) Die Zahlen lauten 70 und 30. b) Die größere Zahl muss größer werden (\(77{,}5\)), weil bei unveränderter Summe die kleinere Zahl abnimmt und die größere Zahl entsprechend zunimmt.

- Siehst du einen gemeinsamen Faktor in beiden Teilen der linken Seite der Gleichung? - Du kannst die Klammern direkt ausmultiplizieren oder versuchen, durch Ausklammern eines gemeinsamen Terms Rechenzeit zu sparen. - Wenn du ausmultiplizierst, achte gut auf die Vorzeichenverteilung nach dem Minuszeichen. - Welche Methode erscheint dir hier einfacher oder weniger fehleranfällig?

Es gibt zwei Lösungswege: Weg A (Ausklammern): 1. Ausklammern des gemeinsamen Faktors \((x-3)\): \((x-3) \cdot [4 \cdot (x+5) - (4x+2)] = 36\) 2. Vereinfachen des Terms in der eckigen Klammer: \(4x + 20 - 4x - 2 = 18\) 3. Aufstellen der vereinfachten Gleichung: \((x-3) \cdot 18 = 36\) 4. Division durch \(18\): \(x - 3 = 2\) 5. Addition von \(3\): \(x = 5\) Weg B (Ausmultiplizieren): 1. Ausmultiplizieren: \((4x^2 + 8x - 60) - (4x^2 - 10x - 6) = 36\) 2. Zusammenfassen und Auflösen der Minusklammer: \(18x - 54 = 36\) 3. Addition von \(54\): \(18x = 90\) 4. Division durch \(18\): \(x = 5\)

\(x = 5\)

- Wie gehst du vor, wenn Klammern ineinander verschachtelt sind? Welche löst du zuerst? - Bei Brüchen hilft es oft, die gesamte Gleichung mit einer geschickt gewählten Zahl zu multiplizieren, um die Nenner zu eliminieren. - Achte besonders beim Auflösen von Bruchtermen mit einem Minuszeichen davor auf die Vorzeichen im Zähler. - Kannst du die Probe machen, indem du dein Ergebnis in die ursprüngliche Gleichung einsetzt?

a) 1. Innere Klammer auflösen: \(5x - [3x - 2x + 10] = 2x + 8\). 2. Terme in der eckigen Klammer zusammenfassen: \(5x - [x + 10] = 2x + 8\). 3. Äußere Klammer auflösen: \(5x - x - 10 = 2x + 8\), also \(4x - 10 = 2x + 8\). 4. Umformen ergibt \(2x = 18\), woraus \(x = 9\) folgt. b) 1. Multiplikation der gesamten Gleichung mit dem Hauptnenner 12: \(4 \cdot (2x - 5) - 3 \cdot (3x - 7) = 2\). 2. Klammern auflösen: \(8x - 20 - 9x + 21 = 2\). 3. Zusammenfassen der Terme auf der linken Seite: \(-x + 1 = 2\). 4. Nach \(x\) auflösen ergibt \(-x = 1\) und somit \(x = -1\).

a) \(x = 9\) b) \(x = -1\)

- Wenn \(x\) eine ungerade Zahl ist, wie groß ist dann der Abstand zur nächsten ungeraden Zahl? - Stelle für beide Paare jeweils einen Term für ihr Produkt auf. - Schreibe die Differenz dieser beiden Produkte als Gleichung auf. - Keine Sorge wegen der Terme mit \(x^2\) – achte darauf, was mit ihnen passiert, wenn du die Subtraktion durchführst.

1. Sei \(x\) die erste ungerade Zahl. Die darauf folgenden ungeraden Zahlen sind \(x + 2\), \(x + 4\) und \(x + 6\). 2. Aufstellen der Gleichung basierend auf der Differenz der Produkte: \((x + 4) \cdot (x + 6) - x \cdot (x + 2) = 48\). 3. Ausmultiplizieren der Klammerterme: \((x^2 + 6x + 4x + 24) - (x^2 + 2x) = 48\). 4. Vereinfachen des Terms durch Zusammenfassen: \(x^2 + 10x + 24 - x^2 - 2x = 48\). 5. Die quadratischen Terme \(x^2\) heben sich auf, es bleibt: \(8x + 24 = 48\). 6. Lösen der linearen Gleichung: \(8x = 24 \implies x = 3\). 7. Bestimmung der vier Zahlen: 3, 5, 7 und 9.

Die vier Zahlen lauten 3, 5, 7 und 9.

- Welche Rechenregeln helfen dir, Produkte von Klammern aufzulösen? - Denke daran, dass das Minuszeichen vor dem zweiten Produkt die Vorzeichen aller Terme innerhalb dieses Produkts ändert. - Fasse alle Terme mit \(x\) und alle konstanten Zahlen getrennt zusammen. - Prüfe am Ende, ob dein Ergebnis durch Einsetzen in die ursprüngliche Gleichung eine wahre Aussage ergibt.

1. Anwendung der zweiten binomischen Formel auf \((x - 3)^2\) ergibt \(x^2 - 6x + 9\). Multiplikation mit \(2\) führt zu \(2x^2 - 12x + 18\). 2. Ausmultiplizieren des Produkts \((2x + 1) \cdot (x - 5)\) ergibt \(2x^2 - 10x + x - 5\), vereinfacht \(2x^2 - 9x - 5\). 3. Bildung der Differenz unter Beachtung der Vorzeichenregeln: \((2x^2 - 12x + 18) - (2x^2 - 9x - 5) = -3x + 23\). 4. Aufstellen der resultierenden linearen Gleichung: \(-3x + 23 = 11\). 5. Subtraktion von \(23\) führt zu \(-3x = -12\). 6. Division durch \(-3\) ergibt das Endergebnis \(x = 4\).

\(x = 4\)

- Prüfe Schritt für Schritt, ob Lukas auf beiden Seiten der Gleichung die gleichen Rechenoperationen durchgeführt hat. - Schau dir besonders an, was passiert, wenn man eine Klammer auflöst, vor der ein Minuszeichen steht. - Wurde beim Multiplizieren der gesamten Gleichung wirklich jeder einzelne Teil berücksichtigt?

a) Fehleranalyse: 1. In der 1. Zeile wurde die rechte Seite der Gleichung (die 1) nicht mit dem Hauptnenner 6 multipliziert. Korrekt wäre \(... = 6\). 2. In der 2. Zeile wurde beim Auflösen der zweiten Klammer ein Vorzeichenfehler gemacht: \(-2 \cdot (-3)\) ergibt \(+6\) und nicht \(-6\). b) Korrekte Lösung: 1. Multiplikation mit 6: \(3 \cdot (x+4) - 2 \cdot (2x-3) = 6\). 2. Klammern auflösen: \(3x + 12 - 4x + 6 = 6\). 3. Zusammenfassen: \(-x + 18 = 6\). 4. Subtraktion von 18: \(-x = -12\). 5. Division durch \(-1\): \(x = 12\).

a) Lukas hat vergessen, die rechte Seite der Gleichung mit dem Hauptnenner zu multiplizieren, und er hat einen Vorzeichenfehler beim Auflösen der Klammer gemacht (\(-2 \cdot (-3) = +6\)). b) Die korrekte Lösung ist \(x = 12\).

- Was ist das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner \(3\) und \(4\)? - Vergiss nicht, auch das einzelne \(x\) mit dem Hauptnenner zu multiplizieren. - Was passiert mit den Vorzeichen innerhalb der Klammer, wenn ein Minus davor steht? - Bringe alle Terme mit \(x\) auf eine Seite der Gleichung und alle Zahlen auf die andere.

1. Multiplikation der Gleichung mit dem Hauptnenner \(12\) ergibt \(12x - 4 \cdot (2x+1) = 3 \cdot (x+2)\). 2. Auflösen der Klammern durch Anwendung des Distributivgesetzes führt zu \(12x - 8x - 4 = 3x + 6\). 3. Zusammenfassen der Terme auf der linken Seite ergibt \(4x - 4 = 3x + 6\). 4. Subtraktion von \(3x\) auf beiden Seiten liefert \(x - 4 = 6\). 5. Addition von \(4\) auf beiden Seiten ergibt die Lösung \(x = 10\).

\(x = 10\)