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- Was passiert, wenn du auf beiden Seiten des Vergleichs das Gleiche tust, zum Beispiel die Variable entfernst? - Überlege dir, ob eine der Zahlen, die zu der Variablen hinzugefügt oder abgezogen werden, immer größer ist als die andere. - Kannst du dir eine Zahl für die Variable vorstellen und prüfen, welcher Ausdruck dann größer ist? Gilt das für jede Zahl?

1. Vergleich von \(m - 4\) und \(m + 4\): Subtraktion von \(m\) auf beiden Seiten führt zum Vergleich der Konstanten \(-4\) und \(4\). Da \(-4 < 4\) gilt, folgt die Ungleichung \(m - 4 < m + 4\). 2. Vergleich von \(10 - k\) und \(5 - k\): Addition der Variablen \(k\) auf beiden Seiten führt zum Vergleich der Konstanten \(10\) und \(5\). Da \(10 > 5\) gilt, folgt die Ungleichung \(10 - k > 5 - k\).

a) \(m - 4 < m + 4\); b) \(10 - k > 5 - k\)

- Was passiert mit dem Relationszeichen, wenn du auf beiden Seiten die gleiche Zahl addierst? - Achte besonders auf die Vorzeichenregeln beim Rechnen mit negativen Zahlen. - Erinnere dich daran, dass das Addieren einer negativen Zahl dasselbe ist wie das Subtrahieren der entsprechenden positiven Zahl.

1. Addition von \(7\) auf beiden Seiten von \(5 < 9\): \(5 + 7 < 9 + 7\), woraus \(12 < 16\) folgt. 2. Addition von \(3\) auf beiden Seiten von \(-3 > -8\): \(-3 + 3 > -8 + 3\), woraus \(0 > -5\) folgt. 3. Addition von \(-15\) auf beiden Seiten von \(12 > 4\): \(12 + (-15) > 4 + (-15)\), woraus \(-3 > -11\) folgt. 4. Addition von \(-4\) auf beiden Seiten von \(-6 < -1\): \(-6 + (-4) < -1 + (-4)\), woraus \(-10 < -5\) folgt.

1) \(12 < 16\); 2) \(0 > -5\); 3) \(-3 > -11\); 4) \(-10 < -5\).

- Überlege dir zuerst, wie man die monatlichen Kosten für den Tarif „Basis“ berechnet, wenn man die Minutenanzahl kennt. - Wann ist ein Preis „günstiger“ als ein anderer? Welches mathematische Zeichen nutzt man dafür? - Was passiert bei genau 125 Minuten?

1. Definition der Variablen: Sei \(x\) die Anzahl der Gesprächsminuten pro Monat. 2. Aufstellen der Kostenfunktion für Tarif „Basis“: \(K_B(x) = 12 + 0{,}08 \cdot x\). 3. Aufstellen der Kostenfunktion für Tarif „Flat“: \(K_F(x) = 22\). 4. Aufstellen der Ungleichung für den Fall, dass „Flat“ günstiger ist: \(K_F(x) < K_B(x)\), also \(22 < 12 + 0{,}08x\). 5. Subtraktion von 12 auf beiden Seiten: \(10 < 0{,}08x\). 6. Division durch \(0{,}08\) auf beiden Seiten: \(125 < x\). 7. Da nach vollen Minuten gefragt ist, muss die Minutenanzahl größer als 125 sein. Der Tarif „Flat“ ist somit ab der 126. Minute günstiger.

Der Tarif „Flat“ ist ab 126 Minuten pro Monat kostengünstiger als der Tarif „Basis“.

- Wie viel Geld fehlt Lena insgesamt noch, wenn sie ihren aktuellen Sparstand vom Preis abzieht? - Wenn sie jeden Monat den gleichen Betrag spart, wie oft passt dieser Betrag in die noch fehlende Summe? - Kann sie sich das Rad schon nach 15 Monaten leisten? Prüfe das Ergebnis durch Einsetzen.

1. Definition der Variablen: Sei \(n\) die Anzahl der Monate. 2. Aufstellen des Terms für das gesparte Geld nach \(n\) Monaten: \(155 + 25 \cdot n\). 3. Aufstellen der Ungleichung: Das Ersparte muss mindestens dem Preis des Fahrrads entsprechen: \(155 + 25n \geq 540\). 4. Subtraktion von 155 auf beiden Seiten: \(25n \geq 385\). 5. Division durch 25 auf beiden Seiten: \(n \geq 15{,}4\). 6. Da nur volle Monate betrachtet werden, muss \(n\) die nächstgrößere ganze Zahl sein: \(n = 16\).

Lena hat nach 16 Monaten genug Geld für das Mountainbike zusammen.

- Wie lautet die Formel für den Umfang eines Rechtecks? - Überlege, wie du die Seitenlängen mit einer Variablen ausdrücken kannst, wenn eine Seite dreimal so lang ist wie die andere. - Was bedeutet der Ausdruck „höchstens“ für das mathematische Vergleichszeichen? - Stelle eine Ungleichung auf und löse sie nach der unbekannten Seite auf.

1. Sei die kürzere Seite \(x\). Dann ist die längere Seite \(3x\). 2. Der Umfang \(U\) berechnet sich durch \(U = 2 \cdot (x + 3x) = 2 \cdot 4x = 8x\). 3. Die Bedingung lautet \(8x \leq 48\). 4. Durch Division durch \(8\) erhält man \(x \leq 6\). 5. Die maximale Länge der kürzeren Seite ist somit \(6\,\text{cm}\). 6. Die maximale Länge der längeren Seite ist \(3 \cdot 6\,\text{cm} = 18\,\text{cm}\).

Die größtmöglichen Seitenlängen betragen \(6\,\text{cm}\) und \(18\,\text{cm}\).

- Stelle für beide Tarife eine Rechnung auf, die zeigt, wie sich die Kosten aus der festen Gebühr und den monatlichen Beiträgen zusammensetzen. - Überlege dir, was passiert, wenn man die Anzahl der Monate als Variable \(x\) bezeichnet. - Wann sind die Kosten genau gleich groß? - Was bedeutet das Ergebnis für die Zeitpunkte davor oder danach?

1. Berechnung der Kosten für 4 Monate: Tarif „Power“: \(45\,\text{€} + 4 \cdot 25\,\text{€} = 145\,\text{€}\). Tarif „Easy“: \(4 \cdot 35\,\text{€} = 140\,\text{€}\). 2. Aufstellen der Kostengleichung/Ungleichung für \(x\) Monate: \(45 + 25x < 35x\). 3. Lösen der Ungleichung: \(45 < 10x \Rightarrow x > 4{,}5\). 4. Da die Monate ganzzahlig gezählt werden, ist der Tarif „Power“ ab dem \(5.\) Monat günstiger.

a) Nach \(4\) Monaten kostet Tarif „Power“ \(145{,}00\,\text{€}\) und Tarif „Easy“ \(140{,}00\,\text{€}\). b) Ab dem \(5.\) Monat ist der Tarif „Power“ insgesamt günstiger.

- Welche der drei Seiten ist bei positivem \(k\) die längste? - Was muss für die Summe der beiden kürzeren Seiten im Vergleich zur längsten Seite gelten? - Wie berechnet man den Umfang eines Dreiecks?

Damit ein Dreieck existiert, muss die Summe der zwei kürzeren Seiten größer als die längste Seite sein. 1. \(k + (k+2) > k+4 \Rightarrow 2k + 2 > k+4 \Rightarrow k > 2\) 2. Die anderen Bedingungen (\(k + k+4 > k+2\) und \(k+2 + k+4 > k\)) sind für alle positiven \(k\) erfüllt. Somit muss \(k > 2\) gelten. Für eine ganze Zahl \(k\) ist der kleinste Wert \(k = 3\). Der Umfang berechnet sich als \(U = k + (k+2) + (k+4) = 3k + 6\). Einsetzen von \(k = 3\): \(U = 3 \cdot 3 + 6 = 15\,\text{cm}\).

Es muss \(k > 2\) gelten. Der kleinstmögliche Umfang für eine ganze Zahl \(k\) beträgt \(15\,\text{cm}\).

- Überlege zuerst, wie viel Geld nach Abzug der festen Kosten noch für die Eintrittskarten übrig bleibt. - Welche Rechenoperation hilft dir zu bestimmen, wie oft ein kleinerer Betrag in einen größeren passt? - Kann eine halbe Person mitkommen? Was bedeutet das für dein Ergebnis?

1. Subtraktion der Busmiete vom Gesamtbudget zur Bestimmung des verfügbaren Betrags für Eintrittskarten: \(280{,}00\,\text{€} - 135{,}00\,\text{€} = 145{,}00\,\text{€}\). 2. Aufstellen der Ungleichung mit \(x\) als Anzahl der Personen: \(5{,}20 \cdot x \le 145\). 3. Division des Restbetrags durch die Kosten pro Person: \(x \le 145 : 5{,}20 \approx 27{,}88\). 4. Da nur eine ganze Anzahl an Personen teilnehmen kann, wird der Wert auf die nächstkleinere ganze Zahl abgerundet: \(x = 27\).

Es können maximal 27 Personen an dem Ausflug teilnehmen.

- Haben beide Terme einen gemeinsamen Teil, den man ignorieren kann, um sie zu vergleichen? - Wie verhalten sich die festen Zahlenwerte zueinander, wenn der variable Teil auf beiden Seiten identisch ist? - Probier doch mal aus, was passiert, wenn du eine sehr große oder eine sehr kleine (negative) Zahl einsetzt. Ändert das etwas am Größenverhältnis?

1. Untersuchung von \(2 \cdot x + 7\) und \(2 \cdot x - 3\): Da der Bestandteil \(2 \cdot x\) in beiden Termen identisch ist, hängt der Wertunterschied nur von den Konstanten ab. Wegen \(7 > -3\) ergibt sich die Ungleichung \(2 \cdot x + 7 > 2 \cdot x - 3\). 2. Untersuchung von \(12 - y\) und \(15 - y\): Durch Addition von \(y\) auf beiden Seiten des Vergleichs bleiben die Werte \(12\) und \(15\) übrig. Da \(12 < 15\) ist, gilt für alle \(y\) die Beziehung \(12 - y < 15 - y\).

a) \(2 \cdot x + 7 > 2 \cdot x - 3\); b) \(12 - y < 15 - y\)

- Was bedeutet es mathematisch, wenn zwei Ausdrücke „denselben Wert annehmen“? - Wie kannst du eine Gleichung so umformen, dass alle Terme mit \(x\) auf einer Seite stehen? - Verhalten sich die Rechenschritte bei einer Ungleichung anders als bei einer Gleichung, solange du nur addierst oder subtrahierst?

1. Aufstellen der Gleichung für gleiche Termwerte: \(3x + 5 = x + 11\). 2. Subtraktion von \(x\) auf beiden Seiten ergibt \(2x + 5 = 11\). 3. Subtraktion von \(5\) ergibt \(2x = 6\). 4. Division durch \(2\) liefert die Lösung \(x = 3\). 5. Aufstellen der Ungleichung für \(T_1(x) > T_2(x)\): \(3x + 5 > x + 11\). 6. Durch analoge Äquivalenzumformungen (\(-x\) und \(-5\)) erhält man \(2x > 6\). 7. Division durch \(2\) ergibt die Lösungsmenge \(x > 3\).

1) \(x = 3\); 2) für alle \(x > 3\).

- Überlege dir, welches mathematische Zeichen für „positiv“ oder „negativ“ steht. - Wie kannst du den Term so umformen, dass das \( x \) alleine auf einer Seite steht? - Was musst du beim Rechnen mit Ungleichungen beachten, wenn du durch eine negative Zahl teilst?

1. Nullstelle bestimmen: Der Ansatz \( 6 - 2x = 0 \) führt durch Subtraktion von \( 6 \) zu \( -2x = -6 \). Division durch \( -2 \) ergibt \( x = 3 \). 2. Positivität prüfen: Der Ansatz \( 6 - 2x > 0 \) führt zu \( -2x > -6 \). Nach Division durch \( -2 \) und Umkehrung des Relationszeichens folgt \( x < 3 \). 3. Negativität prüfen: Der Ansatz \( 6 - 2x < 0 \) führt zu \( -2x < -6 \). Nach Division durch \( -2 \) und Umkehrung des Relationszeichens folgt \( x > 3 \).

a) Der Term ist Null für \( x = 3 \). b) Der Term ist positiv für \( x < 3 \). c) Der Term ist negativ für \( x > 3 \).

- Was passiert, wenn du auf beiden Seiten der Beziehung die Zahl \(x\) abziehst? - Überlege dir, wie sich positive Zahlen, negative Zahlen und die Null beim Vervielfachen verhalten. - Setze testweise eine positive Zahl, eine negative Zahl und die Null ein.

1. Untersuchung von \(x < 3x\): Subtraktion von \(x\) auf beiden Seiten ergibt \(0 < 2x\). Division durch \(2\) zeigt, dass dies für alle positiven Zahlen \(x > 0\) gilt. 2. Untersuchung von \(x = 3x\): Subtraktion von \(x\) ergibt \(0 = 2x\). Dies ist nur für \(x = 0\) erfüllt. 3. Untersuchung von \(x > 3x\): Subtraktion von \(x\) ergibt \(0 > 2x\). Dies gilt für alle negativen Zahlen \(x < 0\).

a) \(x > 0\) (alle positiven Zahlen) b) \(x = 0\) c) \(x < 0\) (alle negativen Zahlen)

- Überlege dir, was das Wort „positiv“ für eine mathematische Ungleichung bedeutet. - Wie gehst du vor, um eine Gleichung nach \(x\) aufzulösen? - Erinnere dich an die Rechenregeln für ganze Zahlen: Was passiert bei der Multiplikation und Subtraktion? - Was passiert mit dem Wert des Terms, wenn du für \(x\) eine Zahl einsetzt, die genau zwischen zwei untersuchten Bereichen liegt?

1. Nullstelle berechnen: \(8x - 24 = 0\) ergibt nach Addition von \(24\) auf beiden Seiten \(8x = 24\). Division durch \(8\) liefert \(x = 3\). 2. Bedingung für positive Werte: \(8x - 24 > 0\). Umstellen ergibt \(8x > 24\), also \(x > 3\). 3. Ungleichung lösen: \(8x - 24 < 16\). Addition von \(24\) ergibt \(8x < 40\). Division durch \(8\) liefert \(x < 5\). 4. Begründung: Das Produkt zweier ganzer Zahlen (\(8\) und \(x\)) ist stets eine ganze Zahl. Subtrahiert man davon eine weitere ganze Zahl (\(24\)), bleibt das Ergebnis im Bereich der ganzen Zahlen.

1. Für \(x = 3\). 2. Für \(x > 3\). 3. Für \(x < 5\). 4. Da \(8\) und \(24\) ganze Zahlen sind, führt die Multiplikation mit einer ganzen Zahl \(x\) und die anschließende Subtraktion immer zu einer ganzen Zahl.

- Was bedeutet es mathematisch, wenn ein Ergebnis „positiv“ sein soll? - Welche Rechenschritte helfen dir, die Variable auf einer Seite der Ungleichung zu isolieren? - Denke daran, was mit dem Vergleichszeichen passiert, wenn du eine Ungleichung mit einer negativen Zahl multiplizierst oder durch eine negative Zahl dividierst.

1. Für \(4x - 12 > 0\): Addition von \(12\) ergibt \(4x > 12\). Division durch \(4\) liefert \(x > 3\). 2. Für \(18 - 6x > 0\): Subtraktion von \(18\) ergibt \(-6x > -18\). Division durch \(-6\) unter Umkehrung des Relationszeichens liefert \(x < 3\). 3. Für \(-3x - 21 > 0\): Addition von \(21\) ergibt \(-3x > 21\). Division durch \(-3\) unter Umkehrung des Relationszeichens liefert \(x < -7\).

a) \(x > 3\) b) \(x < 3\) c) \(x < -7\)

- Wie kannst du herausfinden, wie man von einer Zahl zu einer anderen gelangt? - Überlege, welche Rechenoperation die Umkehrung zur Addition ist. - Prüfe dein Ergebnis, indem du die gefundene Zahl zur ursprünglichen Ungleichung addierst. - Bleibt der Abstand zwischen den beiden Seiten der Ungleichung gleich, wenn man auf beiden Seiten dieselbe Zahl addiert?

1. Berechnung der Differenz zwischen den linken (oder rechten) Seiten: \(4 - (-2) = 6\). Überprüfung der rechten Seite: \(11 - 5 = 6\). Die addierte Zahl ist \(6\). 2. Berechnung der Differenz: \(2 - 10 = -8\). Überprüfung: \(-5 - 3 = -8\). Die addierte Zahl ist \(-8\). 3. Berechnung der Differenz: \(-15 - (-7) = -8\). Überprüfung: \(-9 - (-1) = -8\). Die addierte Zahl ist \(-8\). 4. Berechnung der Differenz: \(0{,}5 - 0 = 0{,}5\). Überprüfung: \(-3{,}5 - (-4) = 0{,}5\). Die addierte Zahl ist \(0{,}5\).

1) \(6\); 2) \(-8\); 3) \(-8\); 4) \(0{,}5\).

- Gehe Schritt für Schritt vor und nutze immer das Ergebnis der vorherigen Zeile. - Erinnerst du dich, wie man durch einen Dezimalbruch dividiert? Hilft es dir, die Division durch \(0{,}5\) als Multiplikation mit einer anderen Zahl zu sehen? - Prüfe nach jedem Schritt kurz am Zahlenstrahl, ob die Aussage der Ungleichung noch immer wahr ist.

1. Division durch \(4\): \(12 : 4 = 3\) und \(24 : 4 = 6\). Die neue Ungleichung lautet \(3 < 6\). 2. Multiplikation mit \(7\): \(3 \cdot 7 = 21\) und \(6 \cdot 7 = 42\). Die neue Ungleichung lautet \(21 < 42\). 3. Division durch \(0{,}5\): \(21 : 0{,}5 = 42\) und \(42 : 0{,}5 = 84\). Die finale Ungleichung lautet \(42 < 84\).

1. \(3 < 6\) 2. \(21 < 42\) 3. \(42 < 84\)

- Was musst du tun, um \(x\) auf einer Seite der Ungleichung alleine stehen zu haben? - Achte darauf, welche Zahlenmenge in der Aufgabe vorgegeben ist. - Überprüfe dein Ergebnis, indem du die gefundenen Zahlen testweise in die Ungleichung einsetzt.

1. Addieren von \(2\) auf beiden Seiten der Ungleichung: \(3 \cdot x < 12\) 2. Dividieren beider Seiten durch \(3\): \(x < 4\) 3. Bestimmen der natürlichen Zahlen, die kleiner als \(4\) sind: \(1, 2, 3\)

Die Lösungen sind die Zahlen \(1, 2\) und \(3\).

- Prüfe für jeden Schritt zwei Dinge: Wurden die Zahlen richtig berechnet? Wurde das Zeichen in die richtige Richtung gedreht? - Erinnere dich daran, welche Zahl auf dem Zahlenstrahl weiter rechts liegt – diese ist immer die größere. - Überlege dir ein einfaches Beispiel: Wenn \(1 < 2\) ist, was passiert dann bei einer Multiplikation mit \(-1\)?

1. Überprüfung von a): Die Multiplikation ergibt \(-20\) und \(-30\). Da \(-20\) größer als \(-30\) ist, hätte das Zeichen umgedreht werden müssen. Die Umformung ist falsch. Korrekt: \(-20 > -30\). 2. Überprüfung von b): Die Multiplikation ergibt \(2\) und \(4\). Das Zeichen wurde korrekt von \(>\) auf \(<\) gedreht. Die Umformung ist richtig. 3. Überprüfung von c): Die Multiplikation ergibt \(-5\) und \(-9\). Das Zeichen wurde korrekt von \(\leq\) auf \(\geq\) gedreht. Die Umformung ist richtig.

a) Falsch. Korrekt ist: \(-20 > -30\) b) Richtig c) Richtig

- Was weißt du über das Vorzeichen des Ergebnisses, wenn du eine Zahl mit sich selbst multiplizierst? - Überlege, was der kleinste Wert ist, den \(x^2\) annehmen kann. - Was passiert mit diesem kleinsten Wert, wenn du \(1\) addierst?

1. Analyse der Eigenschaft von Quadraten: Für jede rationale Zahl \(x\) gilt \(x^2 \geq 0\), da das Produkt zweier Zahlen mit gleichem Vorzeichen (oder Null) niemals negativ ist. 2. Addition von \(1\): Addiert man \(1\) zu einem Wert, der mindestens \(0\) ist, erhält man eine Summe, die mindestens \(1\) beträgt (\(x^2 + 1 \geq 1\)). 3. Schlussfolgerung: Da \(1\) größer als \(0\) ist, ist die Bedingung \(x^2 + 1 > 0\) für alle rationalen Zahlen \(x\) erfüllt. Die Aussage ist wahr.

Ja, die Aussage ist wahr. Da \(x^2\) niemals negativ ist (\(x^2 \geq 0\)), ist die Summe \(x^2 + 1\) immer mindestens \(1\) und damit stets größer als \(0\).

- Was passiert mit dem Ungleichheitszeichen, wenn du eine Ungleichung mit einer negativen Zahl multiplizierst oder durch eine negative Zahl dividierst? - Kannst du die Ungleichung zuerst so umformen, dass alle Terme mit \(x\) auf einer Seite stehen? - Wie würdest du vorgehen, wenn dort ein Gleichheitszeichen stünde?

1. Für \(4x - 11 < 17\): Addition von \(11\) ergibt \(4x < 28\). Division durch \(4\) führt zu \(x < 7\). 2. Für \(15 - 2x \ge 21\): Subtraktion von \(15\) ergibt \(-2x \ge 6\). Division durch \(-2\) (Umkehrung des Vergleichszeichens) führt zu \(x \le -3\). 3. Für \(3 \cdot (x + 4) \le 5x + 2\): Ausmultiplizieren ergibt \(3x + 12 \le 5x + 2\). Subtraktion von \(3x\) und \(2\) ergibt \(10 \le 2x\). Division durch \(2\) führt zu \(5 \le x\) bzw. \(x \ge 5\). 4. Für \(\frac{x-2}{3} > 2\): Multiplikation mit \(3\) ergibt \(x - 2 > 6\). Addition von \(2\) führt zu \(x > 8\).

a) \(x < 7\); b) \(x \le -3\); c) \(x \ge 5\); d) \(x > 8\)

- Überlege dir, wie sich die Position der Zahlen auf dem Zahlenstrahl verändert, wenn du sie mit einer negativen Zahl multiplizierst. - Was passiert mit dem Kleiner-als- oder Größer-als-Zeichen, wenn du eine Ungleichung mit einer negativen Zahl multiplizierst oder durch eine negative Zahl dividierst? - Bleibt die Richtung des Zeichens bei positiven Zahlen gleich?

1. Division beider Seiten durch die positive Zahl \(6\): Das Relationszeichen bleibt erhalten. Rechnung: \(18 : 6 < 30 : 6\) ergibt \(3 < 5\). 2. Division beider Seiten durch die positive Zahl \(4\): Das Relationszeichen bleibt erhalten. Rechnung: \(-12 : 4 > -20 : 4\) ergibt \(-3 > -5\). 3. Multiplikation beider Seiten mit der negativen Zahl \(-3\): Das Relationszeichen kehrt sich um. Rechnung: \(5 \cdot (-3) < (-2) \cdot (-3)\) ergibt \(-15 < 6\). 4. Division beider Seiten durch die negative Zahl \(-2\): Das Relationszeichen kehrt sich um. Rechnung: \(-8 : (-2) > -4 : (-2)\) ergibt \(4 > 2\).

1) \(3 < 5\); 2) \(-3 > -5\); 3) \(-15 < 6\); 4) \(4 > 2\).

- Welche ganzen Zahlen liegen auf der Zahlengeraden rechts von \(-2{,}7\) und links von \(3{,}5\)? - Denke daran, dass eine Summe das Ergebnis einer Additionsaufgabe ist. - Ist die Zahl \(0\) eine ganze Zahl?

1. Bestimmung der ganzen Zahlen im Intervall \((-2{,}7; 3{,}5)\): Die Zahlen sind \(-2, -1, 0, 1, 2, 3\). 2. Identifikation der kleinsten Zahl: \(x_{\min} = -2\). 3. Identifikation der größten Zahl: \(x_{\max} = 3\). 4. Berechnung der Summe: \(-2 + 3 = 1\).

Die Zahlen sind \(-2, -1, 0, 1, 2, 3\). Die Summe aus der kleinsten und der größten Zahl ist \(1\).

- Was bedeutet es für die Klammern im Intervall, wenn eine Zahl selbst nicht zur Lösung gehört? - Achte bei Aufgaben wie b) und d) darauf, die Zahlen der Größe nach zu ordnen (kleinere Zahl links). - Wie schreibt man ein Intervall, wenn eine Seite eingeschlossen ist und die andere nicht?

1. Umwandlung der Bedingungen in standardisierte Ungleichungsketten: a) \(-3 < x < 6\), b) \(4 < x \le 11\), c) \(-7{,}5 < x < -2\), d) \(8{,}4 < x < 15\). 2. Bestimmung der Intervalle: Bei echten Ungleichungen (\(<\), \(>\)) werden offene Klammern verwendet, bei „kleiner-gleich“ (\(\le\)) oder „größer-gleich“ (\(\ge\)) eine geschlossene Klammer. Die Ergebnisse lauten: a) \(L = ]-3; 6[\), b) \(L = ]4; 11]\), c) \(L = ]-7{,}5; -2[\), d) \(L = ]8{,}4; 15[\).

a) \(L = ]-3; 6[\) b) \(L = ]4; 11]\) c) \(L = ]-7{,}5; -2[\) d) \(L = ]8{,}4; 15[\)

- Versuche zuerst, den Satz in eine mathematische Formel mit einem Platzhalter \(n\) zu übersetzen. - Was bedeutet „vermindert um“ und „liegt zwischen“ als mathematisches Symbol? - Wie löst man eine Ungleichung nach der Unbekannten auf? - Denk daran, dass am Ende nur natürliche Zahlen als Lösung gesucht sind.

1. Übersetzung des Textes in eine mathematische Ungleichungskette: \(15 < 5n - 7 < 35\). 2. Addition von 7 auf allen Seiten der Ungleichung: \(15 + 7 < 5n < 35 + 7\), was \(22 < 5n < 42\) ergibt. 3. Division der gesamten Ungleichung durch 5: \(\frac{22}{5} < n < \frac{42}{5}\). 4. Berechnung der Dezimalwerte: \(4{,}4 < n < 8{,}4\). 5. Auswahl der natürlichen Zahlen, die in diesem Intervall liegen: \(n \in \{5, 6, 7, 8\}\).

Die gesuchten Zahlen sind 5, 6, 7 und 8.

- Was bedeutet der Betrag einer Zahl anschaulich auf der Zahlengeraden? - Versuche, beide Bedingungen einzeln auf einer gezeichneten Zahlengeraden zu markieren. - Wo überschneiden sich die markierten Bereiche?

1. Den Betrag interpretieren: Die Bedingung \(|x| < 2{,}5\) bedeutet, dass der Abstand der Zahl \(x\) vom Nullpunkt kleiner als \(2{,}5\) ist. Dies entspricht dem Bereich \(-2{,}5 < x < 2{,}5\). 2. Die zweite Bedingung einbeziehen: Zusätzlich muss \(x > -1\) gelten. 3. Die Bereiche zusammenführen: Man sucht die Zahlen, die sowohl größer als \(-1\) als auch kleiner als \(2{,}5\) sind. Da \(-1\) größer ist als \(-2{,}5\), beginnt der gemeinsame Bereich bei \(-1\). 4. Ergebnis formulieren: Der gesuchte Bereich ist \(-1 < x < 2{,}5\).

\(-1 < x < 2{,}5\)

- Was bedeutet das Zeichen \(\leq\) im Unterschied zu \(<\)? - Erinnere dich daran, dass ganze Zahlen sowohl positiv als auch negativ sein können und die Null einschließen. - Es hilft, die Grenzen als Dezimalzahlen zu schreiben, um sie besser auf der Zahlengeraden einzuordnen. - Schreibe dir die Zahlen für jeden Fall einzeln auf und zähle sie erst am Ende.

1. Für die Bedingung a) \(-4 < x \leq 1\) werden alle ganzen Zahlen gesucht, die größer als \(-4\) und kleiner oder gleich \(1\) sind: \(\{-3, -2, -1, 0, 1\}\). Dies sind \(5\) Zahlen. 2. Für die Bedingung b) \(-2{,}8 \leq x < 3{,}2\) werden alle ganzen Zahlen gesucht, die mindestens \(-2{,}8\) und kleiner als \(3{,}2\) sind: \(\{-2, -1, 0, 1, 2, 3\}\). Dies sind \(6\) Zahlen. 3. Für die Bedingung c) \(-\frac{1}{2} < x < \frac{5}{2}\), also \(-0{,}5 < x < 2{,}5\), werden alle ganzen Zahlen gesucht, die zwischen diesen Werten liegen: \(\{0, 1, 2\}\). Dies sind \(3\) Zahlen. 4. Durch Vergleich der Anzahlen ergibt sich, dass Fall b) mit \(6\) Elementen die meisten Lösungen besitzt.

a) \(\{-3, -2, -1, 0, 1\}\) b) \(\{-2, -1, 0, 1, 2, 3\}\) c) \(\{0, 1, 2\}\) Die meisten Lösungen gibt es im Fall b).

- Überlege dir, wie sich das Relationszeichen verhält, wenn du eine Zahl von einer größeren abziehst. - Was passiert mit dem Relationszeichen einer Ungleichung, wenn man sie mit \(-1\) multipliziert? - Du kannst die Subtraktion auch als Addition der Gegenzahl betrachten. - Achte beim Zusammenfassen von Termen mit Variablen genau auf die Vorzeichen, besonders bei Minusklammern.

1. Subtraktion der Ungleichungen mit unterschiedlicher Orientierung erfolgt durch die Bildung der Differenzen der linken und rechten Seiten, wobei das Relationszeichen der ersten Ungleichung beibehalten wird. 2. Für a): \(18 - 3 > 10 - 12\) führt zu \(15 > -2\). 3. Für b): \(-5 - 7 < 4 - 2\) führt zu \(-12 < 2\). 4. Für c): \(8x - 3x > 24 - 15\) ergibt \(5x > 9\). Division durch \(5\) liefert \(x > 1{,}8\). 5. Für d): \((a + 5) - (b - 2) < 9 - 4\) vereinfacht sich zu \(a - b + 7 < 5\). Subtraktion von \(7\) auf beiden Seiten ergibt \(a - b < -2\).

a) \(15 > -2\) b) \(-12 < 2\) c) \(x > 1{,}8\) d) \(a - b < -2\)

- Was bedeutet „gliedweise multiplizieren“ genau? - Achte besonders auf die Vorzeichenregeln bei der Multiplikation ganzer Zahlen. - Vergleiche das Ergebnis der linken Seite mit dem Ergebnis der rechten Seite, um das Zeichen zu wählen.

1. Berechnung für a): Multiplikation der linken Seiten (\(9 \cdot 3 = 27\)) und der rechten Seiten (\(4 \cdot 2 = 8\)). Vergleich der Ergebnisse liefert \(27 > 8\). 2. Berechnung für b): Multiplikation der linken Seiten (\(6 \cdot 4 = 24\)) und der rechten Seiten (\(-3 \cdot 1 = -3\)). Vergleich der Ergebnisse liefert \(24 > -3\). 3. Berechnung für c): Multiplikation der linken Seiten (\((-5) \cdot (-4) = 20\)) und der rechten Seiten (\(2 \cdot 3 = 6\)). Vergleich der Ergebnisse liefert \(20 > 6\).

a) \(27 > 8\) b) \(24 > -3\) c) \(20 > 6\)

- Berechne zuerst die Werte für beide Formeln getrennt voneinander. - Was bedeutet „Abweichung“ mathematisch? - Schau dir die Zahlen im Term genau an: Welcher Teil sorgt dafür, dass das Ergebnis bei größeren Eingabewerten schneller steigt?

1. Vergleich bei \(30\,^\circ\text{C}\): Faustformel: \(2 \cdot 30 + 30 = 90\). Exakt: \(1{,}8 \cdot 30 + 32 = 54 + 32 = 86\). 2. Abweichung bei \(25\,^\circ\text{C}\): Faustformel: \(2 \cdot 25 + 30 = 80\). Exakt: \(1{,}8 \cdot 25 + 32 = 45 + 32 = 77\). Die Abweichung beträgt \(80 - 77 = 3\,^\circ\text{F}\). 3. Analyse der Aussage: Bei \(10\,^\circ\text{C}\) ergeben beide Formeln denselben Wert (\(2 \cdot 10 + 30 = 50\) und \(1{,}8 \cdot 10 + 32 = 18 + 32 = 50\)). Da der Faktor bei der Faustformel (\(2\)) größer ist als bei der exakten Formel (\(1{,}8\)), wächst das Ergebnis der Faustformel für Werte über \(10\) schneller an. Die Aussage ist in dieser Form falsch: Bei genau \(10\,^\circ\text{C}\) sind beide Werte gleich; erst für \(C > 10\) liefert die Faustformel einen höheren Wert.

a) Faustformel: \(90\,^\circ\text{F}\); Exakt: \(86\,^\circ\text{F}\). b) Die Abweichung beträgt \(3\,^\circ\text{F}\). c) Die Aussage ist falsch. Bei \(10\,^\circ\text{C}\) sind beide Werte gleich (\(50\,^\circ\text{F}\)); nur für Temperaturen über \(10\,^\circ\text{C}\) liefert die Faustformel einen höheren Wert.

- Was bleibt von dem Verkaufspreis einer Waffel übrig, wenn man die Kosten für den Belag direkt abzieht? - „Kein Verlust“ bedeutet, dass die Einnahmen mindestens so hoch wie die Ausgaben sein müssen. - Für den Gewinn musst du von den gesamten Einnahmen alle Kosten (fest und variabel) abziehen.

1. Definition der Variablen: Sei \(w\) die Anzahl der verkauften Waffeln. 2. Berechnung des Überschusses pro Waffel nach Abzug der variablen Kosten: Verkaufspreis minus variable Kosten: \(1{,}50\,\text{€} - 0{,}35\,\text{€} = 1{,}15\,\text{€}\). 3. Lösung Teil a): Die Einnahmen müssen die Gesamtkosten decken: \(1{,}50w \geq 42 + 0{,}35w\). Umgeformt: \(1{,}15w \geq 42\). Division durch \(1{,}15\) ergibt \(w \geq 36{,}521\ldots\). Die Klasse muss also mindestens 37 Waffeln verkaufen. 4. Lösung Teil b): Der Gewinn (Einnahmen minus Gesamtkosten) soll mindestens \(120\,\text{€}\) betragen: \(1{,}15w - 42 \geq 120\). 5. Addition von 42 auf beiden Seiten: \(1{,}15w \geq 162\). 6. Division durch \(1{,}15\) auf beiden Seiten: \(w \geq 140{,}869\ldots\). Es müssen mindestens 141 Waffeln verkauft werden.

a) Die Klasse muss mindestens 37 Waffeln verkaufen, um keinen Verlust zu machen. b) Um mindestens \(120\,\text{€}\) Gewinn zu erzielen, müssen 141 Waffeln verkauft werden.

- Kannst du die Länge mithilfe der Breite ausdrücken? - Stelle einen Term für den Umfang auf, der nur eine Variable enthält. - Welche Einschränkung gibt es für den Umfang? - Löse die entstandene Ungleichung Schritt für Schritt auf.

1. Sei die Breite \(b\). Dann ist die Länge \(l = b + 4\). 2. Der Umfang beträgt \(U = 2 \cdot (b + b + 4) = 2 \cdot (2b + 4) = 4b + 8\). 3. Es gilt die Ungleichung \(4b + 8 \leq 40\). 4. Subtraktion von \(8\) ergibt \(4b \leq 32\). 5. Division durch \(4\) ergibt \(b \leq 8\). 6. Die maximale Breite des Beetes beträgt somit \(8\,\text{m}\).

Das Beet kann höchstens \(8\,\text{m}\) breit sein.

- Achte darauf, ob nach monatlichen oder jährlichen Kosten gefragt wird. - Wie viel Euro sind \(0{,}10\,\text{€}\) Unterschied pro Minute auf das ganze Jahr gerechnet? - Kannst du eine Gleichung aufstellen, bei der die Kosten beider Tarife gleich sind?

1. Monatlicher Anteil der Grundgebühr für „Smart“: \(114\,\text{€} : 12 = 9{,}50\,\text{€}\). 2. Kosten im März bei \(80\) Minuten: „Smart“: \(9{,}50\,\text{€} + 80 \cdot 0{,}05\,\text{€} = 13{,}50\,\text{€}\); „Basic“: \(80 \cdot 0{,}15\,\text{€} = 12{,}00\,\text{€}\). 3. Für den Jahresvergleich sei \(x\) die Anzahl der vollen Gesprächsminuten. „Smart“ ist günstiger, wenn \(114 + 0{,}05x < 0{,}15x\). 4. Umformen: \(114 < 0{,}10x\), also \(x > 1\,140\). 5. Die kleinste ganze Minutenanzahl ist daher \(1\,141\).

a) Im März kostet Tarif „Smart“ \(13{,}50\,\text{€}\), Tarif „Basic“ \(12{,}00\,\text{€}\). b) Ab \(1\,141\) vollen Gesprächsminuten pro Jahr ist Tarif „Smart“ günstiger.

- Stelle für beide Anbieter einen Kostenterm in Abhängigkeit von der Kilometerzahl auf. - Welches Ungleichheitszeichen beschreibt, dass Anbieter A günstiger ist? - Löse die Ungleichung schrittweise nach der Kilometerzahl auf.

1. Kosten bei \(40\,\text{km}\): Anbieter A: \(15+0{,}20\cdot 40=23\) Euro; Anbieter B: \(0{,}45\cdot 40=18\) Euro. 2. Für \(x\) Kilometer ist Anbieter A günstiger, wenn \(15+0{,}20x<0{,}45x\). 3. Subtraktion von \(0{,}20x\): \(15<0{,}25x\). 4. Division durch \(0{,}25\): \(x>60\).

a) Bei \(40\,\text{km}\) kostet Anbieter A \(23{,}00\,\text{€}\), Anbieter B \(18{,}00\,\text{€}\). b) Bei mehr als \(60\,\text{km}\) pro Monat ist Anbieter A günstiger.

- Erinnere dich an die Dreiecksungleichung: Die Summe zweier Seiten muss immer länger sein als die verbleibende Seite. - Stelle für alle drei Kombinationen von Seiten eine Ungleichung auf. - Löse die Ungleichungen nach der Unbekannten auf. - Überlege, welche ganze Zahl als erstes in den gefundenen Bereich fällt.

Die Dreiecksungleichung besagt, dass die Summe zweier Seitenlängen stets größer als die dritte Seitenlänge sein muss. 1. \(x + 12 > 3x - 2 \Rightarrow 14 > 2x \Rightarrow x < 7\) 2. \(x + (3x - 2) > 12 \Rightarrow 4x - 2 > 12 \Rightarrow 4x > 14 \Rightarrow x > 3{,}5\) 3. \(12 + (3x - 2) > x \Rightarrow 10 + 3x > x \Rightarrow 2x > -10 \Rightarrow x > -5\) Da Seitenlängen zudem positiv sein müssen, gilt \(x > 0\) und \(3x-2 > 0 \Rightarrow x > \frac{2}{3}\). Die Kombination aller Bedingungen ergibt das Intervall \(3{,}5 < x < 7\). Die kleinste ganze Zahl in diesem Bereich ist \(4\).

Der Wert für \(x\) muss im Bereich \(3{,}5 < x < 7\) liegen. Die kleinste mögliche ganze Zahl für \(x\) ist \(4\).

- Wie viel Geld hat Lukas schon, bevor er anfängt, monatlich zu sparen? - Wie viel Geld fehlt ihm dann noch bis zum Preis des Fahrrads? - Wenn ein Ergebnis wie \(10{,}2\) Monate herauskommt, reicht das Geld dann schon nach 10 Monaten aus?

1. Bestimmung des vorhandenen Startkapitals: \(125{,}00\,\text{€} + 50{,}00\,\text{€} = 175{,}00\,\text{€}\). 2. Aufstellen der Ungleichung für die Anzahl der Monate \(m\): \(175 + 25 \cdot m \ge 449\). 3. Subtraktion des Startkapitals von beiden Seiten: \(25 \cdot m \ge 274\). 4. Division durch den monatlichen Sparbetrag: \(m \ge 274 : 25 = 10{,}96\). 5. Da Lukas nur am Ende eines vollen Monats spart, muss das Ergebnis auf die nächste ganze Zahl aufgerundet werden: \(m = 11\).

Lukas hat frühestens nach 11 vollen Monaten genug Geld zusammen.

- Welche Ungleichung beschreibt die Forderung, dass ein Ergebnis größer als Null sein soll? - Was passiert mit dem Relationszeichen, wenn du eine Ungleichung mit einer negativen Zahl multiplizierst oder durch eine negative Zahl dividierst? - Test doch einmal eine Zahl, die kleiner als dein Ergebnis ist, und eine, die größer ist. Was stellst du fest?

1. Ungleichung aufstellen: Die Bedingung für ein positives Ergebnis lautet \( -4x - 12 > 0 \). 2. Isolieren des Variablenterms: Durch Addition von \( 12 \) auf beiden Seiten erhält man \( -4x > 12 \). 3. Division durch den Koeffizienten: Teilen durch \( -4 \) ergibt \( x < -3 \). 4. Begründung der Zeichenumkehr: Bei der Division oder Multiplikation einer Ungleichung mit einer negativen Zahl dreht sich das Relationszeichen um, damit die mathematische Aussage korrekt bleibt.

Der Term liefert ein positives Ergebnis für alle \( x < -3 \). Das Relationszeichen dreht sich um, weil die Ungleichung durch die negative Zahl \( -4 \) dividiert wird.

- Das Subtrahieren einer negativen Zahl entspricht dem Addieren der zugehörigen positiven Zahl. - Wie verändert sich eine Zahl, wenn du etwas abziehst, das selbst kleiner als Null ist? - Versuche, die Gleichung im Aufgabenteil b) so umzuformen, dass alle Terme mit \(b\) auf einer Seite stehen.

1. Bedingung für \(a - b > a\): Durch Subtraktion von \(a\) auf beiden Seiten erhält man \(-b > 0\). Dies ist gleichbedeutend mit \(b < 0\). Die Differenz ist also größer als der Minuend, wenn eine negative Zahl subtrahiert wird. Beispiel: \(7 - (-3) = 10\) und \(10 > 7\). 2. Bedingung für \(a - b = a + b\): Subtraktion von \(a\) auf beiden Seiten führt zu \(-b = b\). Addiert man \(b\) auf beiden Seiten, folgt \(0 = 2b\). Daraus ergibt sich \(b = 0\). Der Wert von \(a\) ist dabei unerheblich.

a) Die Differenz ist größer als \(a\), wenn \(b < 0\) ist (negative Zahl). Beispiel: \(5 - (-2) = 7\). b) Die Bedingung ist \(b = 0\).

- Was musst du beim Lösen einer Ungleichung beachten, wenn du durch eine negative Zahl dividierst? - Kannst du ein paar Beispielzahlen für \(x\) einsetzen (z. B. \(1, 2, 3\)), um einen Trend zu erkennen? - Suche zuerst den Punkt, an dem der Term genau den gesuchten Wert erreicht, um die Grenze zu finden.

1. Bedingung für negative Werte: \(15 - 3x < 0\). Subtraktion von \(15\) ergibt \(-3x < -15\). Division durch \(-3\) (Umkehrung des Relationszeichens!) liefert \(x > 5\). 2. Ungleichung lösen: \(15 - 3x > 21\). Subtraktion von \(15\) ergibt \(-3x > 6\). Division durch \(-3\) ergibt \(x < -2\). 3. Gleichung lösen: \(15 - 3x = -3\). Subtraktion von \(15\) ergibt \(-3x = -18\). Division durch \(-3\) liefert \(x = 6\). 4. Da der Koeffizient von \(x\) negativ ist (\(-3\)), wird bei steigendem \(x\) ein immer größerer Wert von \(15\) abgezogen. Der Gesamtwert des Terms sinkt also (wird kleiner).

1. Für \(x > 5\). 2. Für \(x < -2\). 3. Für \(x = 6\). 4. Der Wert des Terms wird immer kleiner (er sinkt).

- Wie übersetzt man „kleiner als 0“ und „nicht positiv“ in mathematische Zeichen? - Kannst du die Brüche durch eine geschickte Multiplikation auflösen? - Achte genau darauf, ob der Grenzwert selbst (die Zahl, bei der der Term genau 0 ist) zur Lösungsmenge gehört oder nicht.

1. Aufstellen der Ungleichung \(\frac{1}{4}z + 2 < 0\). Subtraktion von \(2\) ergibt \(\frac{1}{4}z < -2\). Multiplikation mit \(4\) liefert \(z < -8\). 2. Aufstellen der Ungleichung \(15 - 3z \le 0\). Subtraktion von \(15\) ergibt \(-3z \le -15\). Division durch \(-3\) unter Umkehrung des Relationszeichens liefert \(z \ge 5\).

a) \(z < -8\) b) \(z \ge 5\)

- Welcher Term beschreibt die Abnahme des Ladezustands über die Zeit? - Welches mathematische Zeichen (\(<\), \(>\), \(\leq\), \(\geq\)) passt zur Formulierung „geringer als“? - Achte besonders auf das Ungleichheitszeichen, wenn du eine Ungleichung durch eine negative Zahl dividierst. - Bestimme außerdem, wann der Akku vollständig entladen ist, damit nur physikalisch sinnvolle Zeiten berücksichtigt werden.

1. Aufstellen des Terms für den Ladezustand nach \(t\) Stunden: \(80 - 12t\). 2. Aufstellen der Ungleichung für einen Ladezustand unter \(20\,\%\): \(80 - 12t < 20\). 3. Subtraktion von \(80\) auf beiden Seiten: \(-12t < -60\). 4. Division durch \(-12\), wobei das Ungleichheitszeichen umgekehrt werden muss: \(t > 5\). 5. Der Akku ist vollständig entladen, wenn \(80 - 12t = 0\). Daraus folgt \(t = 80 : 12 = \frac{20}{3} \approx 6{,}67\). 6. Im physikalisch sinnvollen Zeitraum ist der Ladezustand daher für \(5 < t \leq \frac{20}{3}\) geringer als \(20\,\%\).

Der Ladezustand ist für \(5 < t \leq \frac{20}{3}\) Stunden geringer als \(20\,\%\), also nach mehr als \(5\) Stunden bis einschließlich zum Zeitpunkt der vollständigen Entladung nach etwa \(6{,}67\) Stunden.

- Führe auf beiden Seiten jeder Ungleichung dieselben zulässigen Umformungen aus. - Überlege dir, welche ganzen Zahlen jeweils in den Bereich fallen. - Gibt es eine Zahl, die in beiden Bereichen vorkommt?

1. Lösen der ersten Ungleichung (I): Subtraktion von \(5\) ergibt \(x < -3\). Die Lösungsmenge ist \(\{x \in \mathbb{Z} \mid x < -3\}\), also \(\{\ldots, -6, -5, -4\}\). 2. Lösen der zweiten Ungleichung (II): Addition von \(1\) ergibt \(x > -5\). Die Lösungsmenge ist \(\{x \in \mathbb{Z} \mid x > -5\}\), also \(\{-4, -3, -2, \ldots\}\). 3. Vergleich der Ergebnisse: Die einzige ganze Zahl, die sowohl kleiner als \(-3\) als auch größer als \(-5\) ist, ist die Zahl \(-4\).

Ja, die Zahl \(-4\) erfüllt beide Ungleichungen. Die erste Ungleichung ergibt \(x < -3\) und die zweite \(x > -5\). Die einzige ganze Zahl zwischen \(-5\) und \(-3\) ist \(-4\).

- Probiere verschiedene Arten von Zahlen aus: positive ganze Zahlen, negative Zahlen, die Null und Brüche zwischen \(0\) und \(1\). - Was passiert, wenn man eine Zahl zwischen \(0\) und \(1\) mit sich selbst multipliziert? Wird das Ergebnis größer oder kleiner?

1. Testen von Beispielwerten: Für \(a = 2\) gilt \(2^2 = 4\) und \(4 \geq 2\) (wahr). Für \(a = 0\) gilt \(0^2 = 0\) und \(0 \geq 0\) (wahr). Für \(a = -1\) gilt \((-1)^2 = 1\) und \(1 \geq -1\) (wahr). 2. Untersuchung von Werten zwischen \(0\) und \(1\): Wähle \(a = 0{,}5\). 3. Berechnung: \(0{,}5^2 = 0{,}25\). 4. Prüfung der Ungleichung: \(0{,}25 \geq 0{,}5\) ist eine falsche Aussage. 5. Schlussfolgerung: Da ein Gegenbeispiel existiert, ist die Aussage nicht für alle rationalen Zahlen wahr.

Nein, die Ungleichung gilt nicht für alle rationalen Zahlen. Ein Gegenbeispiel ist \(a = 0{,}5\), da \(0{,}5^2 = 0{,}25\) kleiner ist als \(0{,}5\).

- Wie kannst du die Brüche in der Ungleichung loswerden? - Achte beim Auflösen der Klammern besonders auf das Minuszeichen vor dem zweiten Bruch. - Wenn du die Lösungsmenge gefunden hast, schau dir an, welche ganzen Zahlen (\(\dots, -1, 0, 1, 2, \dots\)) darin enthalten sind.

1. Um die Brüche zu eliminieren, wird die gesamte Ungleichung mit dem Hauptnenner \(12\) multipliziert: \(3 \cdot (x+1) - 4 \cdot (x-2) \ge 6\). 2. Ausmultiplizieren der Klammern ergibt \(3x + 3 - 4x + 8 \ge 6\). 3. Zusammenfassen der Terme führt zu \(-x + 11 \ge 6\). 4. Subtraktion von \(11\) ergibt \(-x \ge -5\). 5. Multiplikation mit \(-1\) (Umkehrung des Zeichens) führt zur Lösung \(x \le 5\). 6. Da \(x\) kleiner oder gleich \(5\) sein muss, ist die größte ganze Zahl, die die Bedingung erfüllt, genau \(5\).

a) \(x \le 5\); b) Die größte ganze Zahl ist \(5\).

- Wie kannst du mathematisch ausdrücken, dass zwei Terme den gleichen Wert besitzen? - Wie sieht das mathematische Zeichen für „kleiner als“ aus? - Kannst du die Terme so sortieren, dass alle Glieder mit \(x\) auf einer Seite stehen? - Hilft es dir, eine Zahl für \(x\) testweise einzusetzen, um ein Gefühl für die Terme zu bekommen?

1. Gleichheit der Terme: Der Ansatz \(5x - 3 = 2x + 9\) wird durch Subtraktion von \(2x\) zu \(3x - 3 = 9\) vereinfacht. Addition von \(3\) ergibt \(3x = 12\). Die Division durch \(3\) liefert \(x = 4\). 2. Vergleich der Terme: Die Ungleichung \(5x - 3 < 2x + 9\) wird analog zur Gleichung umgeformt. Subtraktion von \(2x\) und Addition von \(3\) führt zu \(3x < 12\). Die Division durch \(3\) ergibt \(x < 4\).

a) für \(x = 4\) b) für \(x < 4\)

- Was bedeutet es mathematisch, wenn ein Ergebnis „positiv“ oder „negativ“ sein soll? - Wie verhält sich das Relationszeichen bei einer Ungleichung, wenn du mit einer negativen Zahl multiplizierst oder durch eine negative Zahl dividierst? - Könnte es helfen, zuerst den Wert zu finden, bei dem der Term genau Null ist?

1. Ansatz der Ungleichung \(\frac{5 - 2x}{3} > 0\). Multiplikation mit \(3\) ergibt \(5 - 2x > 0\). Isolation von \(x\) durch Subtraktion von \(5\) führt zu \(-2x > -5\). Division durch \(-2\) unter Umkehrung des Relationszeichens ergibt \(x < 2{,}5\). 2. Ansatz der Ungleichung \(\frac{5 - 2x}{3} < 0\). Analoges Vorgehen führt zu \(5 - 2x < 0\), woraus \(x > 2{,}5\) folgt. 3. Ansatz der Gleichung \(\frac{5 - 2x}{3} = 0\). Multiplikation mit \(3\) und Auflösen der Gleichung \(5 - 2x = 0\) ergibt \(x = 2{,}5\).

a) \(x < 2{,}5\); b) \(x > 2{,}5\); c) \(x = 2{,}5\)

- Stell dir \(x\) und \(y\) als Punkte auf der Zahlengeraden vor. Wo liegt \(x\) im Vergleich zu \(y\)? - Was passiert mit der Anordnung, wenn man beide Werte um denselben Betrag verschiebt? - Was passiert mit der Anordnung, wenn man beide Werte an der Null spiegelt? - Erinnerst du dich an die Regel für die Multiplikation oder Division mit negativen Werten?

1. Addition einer Zahl: Bei der Addition (oder Subtraktion) einer beliebigen Zahl bleibt das Relationszeichen unverändert. Ergebnis: \(x + 10 < y + 10\). 2. Multiplikation mit einer positiven Zahl: Bei Multiplikation mit einer positiven Zahl (\(5\)) bleibt das Relationszeichen unverändert. Ergebnis: \(5x < 5y\). 3. Multiplikation mit einer negativen Zahl: Bei Multiplikation mit einer negativen Zahl (\(-1\)) kehrt sich das Relationszeichen um. Ergebnis: \(-x > -y\). 4. Division durch eine negative Zahl: Bei Division durch eine negative Zahl (\(-2\)) kehrt sich das Relationszeichen um. Ergebnis: \(\frac{x}{-2} > \frac{y}{-2}\).

a) \(<\); b) \(<\); c) \(>\); d) \(>\).

- Was bedeutet der Betrag einer Zahl anschaulich auf der Zahlengeraden? - Erstelle zuerst eine Liste aller Zahlen, die die erste Bedingung erfüllen, und filtere sie dann. - Achte genau auf das Zeichen \(>\). Ist eine Zahl, die genau \(2\) ist, größer als \(2\)?

1. Auflistung der ganzen Zahlen, die die erste Bedingung \(-3 < z < 5\) erfüllen: \(\{-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\}\). 2. Prüfung der zweiten Bedingung \(|z| > 2\) für jede dieser Zahlen: \(|-2| = 2\) (nicht größer als \(2\)) \(|-1| = 1\) (nicht größer als \(2\)) \(|0| = 0\) (nicht größer als \(2\)) \(|1| = 1\) (nicht größer als \(2\)) \(|2| = 2\) (nicht größer als \(2\)) \(|3| = 3\) (erfüllt die Bedingung) \(|4| = 4\) (erfüllt die Bedingung) 3. Ergebnis: Die Zahlen sind \(3\) und \(4\).

Die gesuchten Zahlen sind \(3\) und \(4\).

- Was gibt der Betrag einer Zahl geometrisch auf der Zahlengeraden an? - Wenn der Abstand zur Null kleiner als 5 sein soll, in welchem Bereich zwischen zwei Zahlen muss die Zahl dann liegen? - Kann ein Abstand jemals negativ sein?

1. Ein Betrag \(|x| < a\) bedeutet, dass der Abstand von \(x\) zur Null kleiner als \(a\) ist, also \(-a < x < a\). Für a) ergibt dies \(-7 < x < 7\). 2. Für b) gilt analog \(-3{,}5 \le x \le 3{,}5\). Da die Randwerte eingeschlossen sind, lautet das Intervall \(L = [-3{,}5; 3{,}5]\). 3. Ein symmetrisches Intervall um die Null von \(-9{,}2\) bis \(9{,}2\) entspricht dem Abstand \(|x| < 9{,}2\). 4. Da der Betrag \(|x|\) einen Abstand darstellt, ist er stets größer oder gleich Null. Ein Wert kleiner als \(-1\) ist somit unmöglich, weshalb die Lösungsmenge leer ist (\(L = \emptyset\)).

a) \(-7 < x < 7\) b) \(L = [-3{,}5; 3{,}5]\) c) \(|x| < 9{,}2\) d) Da der Betrag \(|x|\) (Abstand zur Null) niemals negativ sein kann, gibt es kein \(x\), das einen Abstand kleiner als \(-1\) hat.

- Wie kannst du eine zweistellige Zahl mithilfe ihrer Zehner- und Einerziffer mathematisch ausdrücken? - Welche Beziehung besteht laut Text zwischen den beiden Ziffern? - Kannst du eine Ungleichungskette aufstellen, die den Wert der Zahl einschränkt? - Welche Werte darf eine Ziffer in einer Zahl grundsätzlich annehmen?

1. Darstellung der zweistelligen Zahl als \(10t + u\), wobei \(t\) die Zehnerziffer und \(u\) die Einerziffer ist. 2. Anwendung der Bedingung für die Ziffern: \(u = t + 4\). 3. Aufstellen der Ungleichung basierend auf dem Wertebereich: \(20 < 10t + (t + 4) < 60\). 4. Vereinfachung der Ungleichung: \(20 < 11t + 4 < 60\). 5. Isolieren von \(t\): Subtraktion von 4 ergibt \(16 < 11t < 56\). 6. Division durch 11 liefert den Bereich für \(t\): \(\frac{16}{11} < t < \frac{56}{11}\), also etwa \(1{,}45 < t < 5{,}09\). 7. Da \(t\) eine Ziffer (ganze Zahl von 1 bis 9) sein muss, kommen für \(t\) die Werte 2, 3, 4 und 5 infrage. 8. Berechnung der zugehörigen Einerziffern \(u = t + 4\): Für \(t=2\) ist \(u=6\), für \(t=3\) ist \(u=7\), für \(t=4\) ist \(u=8\), für \(t=5\) ist \(u=9\). 9. Die gesuchten Zahlen sind demnach 26, 37, 48 und 59.

Die Zahlen sind 26, 37, 48 und 59.

- Schreibe für beide Aussagen auf, welche die kleinste und welche die größte erlaubte Zahl ist. - Wie kann man den „Abstand zu einer Zahl“ als Rechnung ausdrücken? - Findest du eine Zahl, die bei Marie erlaubt ist, aber bei Lukas nicht?

1. Lukas’ Aussage analysieren: \(|z| \le 6\) bedeutet, dass \(z\) im Intervall von \(-6\) bis \(6\) liegt (einschließlich der Grenzen). Mathematisch: \(-6 \le z \le 6\). 2. Maries Aussage analysieren: Ein Abstand von höchstens \(3\) zur Zahl \(4\) bedeutet mathematisch \(|z - 4| \le 3\). Das entspricht dem Bereich von \(4 - 3\) bis \(4 + 3\), also \(1 \le z \le 7\). 3. Die Bereiche vergleichen: Lukas lässt Zahlen bis maximal \(6\) zu. Marie lässt jedoch Zahlen bis \(7\) zu. 4. Gegenbeispiel finden: Die Zahl \(7\) erfüllt Maries Bedingung (\(7\) hat Abstand \(3\) zu \(4\)), aber nicht Lukas’ Bedingung (Betrag von \(7\) ist \(7\), was größer als \(6\) ist). 5. Schlussfolgerung: Nein, nicht alle Zahlen von Marie erfüllen auch Lukas’ Aussage.

Nein. Maries Bereich ist \(1 \le z \le 7\), während Lukas’ Bereich \(-6 \le z \le 6\) ist. Die Zahl \(7\) (oder jede Zahl \(z\) mit \(6 < z \le 7\)) erfüllt Maries Aussage, aber nicht die von Lukas.

- Stelle dir die Intervalle auf einer gezeichneten Zahlengeraden vor. - Für den zweiten Teil: Wo müssen die Grenzen liegen, damit die nächste ganze Zahl gerade noch nicht beziehungsweise gerade noch im Intervall ist? - Für den dritten Teil: Probiere aus, was passiert, wenn du ein kurzes „Stöckchen“ der Länge \(1{,}5\) über die Zahlen \(\dots, 0, 1, 2, \dots\) auf der Zahlengeraden schiebst.

1. Für \(-3{,}2 < x < 2{,}1\) sind die ganzen Zahlen \(\{-3, -2, -1, 0, 1, 2\}\). Die Anzahl beträgt \(6\). 2. Damit genau \(\{-1, 0, 1\}\) enthalten sind, muss die untere Grenze \(a\) zwischen \(-2\) und \(-1\) liegen und die obere Grenze \(b\) zwischen \(1\) und \(2\). Beispiel: \(a = -1{,}5\) und \(b = 1{,}5\). 3. Beispiel 1: \(a = 0{,}1\) und \(b = 1{,}6\). Hier ist die Differenz \(1{,}6 - 0{,}1 = 1{,}5\). Enthaltene ganze Zahl: \(\{1\}\), Anzahl: \(1\). Beispiel 2: \(a = 0{,}9\) und \(b = 2{,}4\). Hier ist die Differenz \(2{,}4 - 0{,}9 = 1{,}5\). Enthaltene ganze Zahlen: \(\{1, 2\}\), Anzahl: \(2\).

1. \(6\) ganze Zahlen. 2. Zum Beispiel \(a = -1{,}5\) und \(b = 1{,}5\); andere Lösungen wie \(a = -1{,}1\) und \(b = 1{,}9\) sind möglich. 3. Beispiel 1: \(0{,}1 < x < 1{,}6\) enthält nur die \(1\). Beispiel 2: \(0{,}9 < x < 2{,}4\) enthält \(1\) und \(2\).

- Was passiert, wenn du die linken Seiten und die rechten Seiten der Ungleichungen getrennt zusammenzählst? - Achte darauf, dass die Relationszeichen in die gleiche Richtung zeigen müssen. - Kannst du die Variablen auf eine Seite bringen, um den Ausdruck einfacher zu machen? - Denke beim Vereinfachen an die Regeln für das Zusammenfassen von Termen.

1. Aus den beiden gegebenen Ungleichungen folgt durch gliedweise Addition \(22 + 5 > 14 + (-2)\), also \(27 > 12\). 2. Aus den beiden gegebenen Ungleichungen folgt durch gliedweise Addition \(-10 + 3 < -4 + 8\), also \(-7 < 4\). 3. Aus den beiden gegebenen Ungleichungen folgt durch gliedweise Addition \((4x + 7) + (x - 5) > (2x - 1) + (6 - x)\). Dies ergibt \(5x + 2 > x + 5\). Durch Subtraktion von \(x\) und \(2\) erhält man \(4x > 3\), also \(x > 0{,}75\). 4. Aus den beiden gegebenen Ungleichungen folgt durch gliedweise Addition \((3a - 2b) + (b - a) < (a + 5) + (4 - 2a)\). Dies ergibt \(2a - b < 9 - a\). Durch Addition von \(a\) auf beiden Seiten erhält man \(3a - b < 9\).

1) Folgerung: \(27 > 12\) 2) Folgerung: \(-7 < 4\) 3) Folgerung: \(4x > 3\), also \(x > 0{,}75\) 4) Folgerung: \(3a - b < 9\)

- Versuche, für das Gegenbeispiel Werte zu finden, die zwar die Bedingungen erfüllen, deren Differenz aber sehr klein wird. - Was passiert, wenn \(y\) fast so groß ist wie \(x\)? - Denke daran, dass eine mathematische Regel für alle möglichen Zahlenkombinationen gelten muss, die die Voraussetzungen erfüllen.

1. Anwendung der Subtraktionsregel für Ungleichungen mit entgegengesetzter Orientierung: Aus \(x > 15\) und \(y < 6\) folgt \(x - y > 15 - 6\). Das Ergebnis ist \(x - y > 9\). 2. Prüfung der fehlerhaften Subtraktion bei gleicher Orientierung: Angenommen, man würde \(y > 10\) von \(x > 15\) subtrahieren und \(x - y > 5\) erhalten. Wählt man nun beispielhaft \(x = 16\) und \(y = 14\), so sind beide Ausgangsbedingungen erfüllt (\(16 > 15\) und \(14 > 10\)). 3. Berechnung der Differenz für das Gegenbeispiel: \(x - y = 16 - 14 = 2\). Da \(2\) nicht größer als \(5\) ist, ist die durch Subtraktion gewonnene Aussage \(x - y > 5\) im allgemeinen Fall falsch.

1. \(x - y > 9\) 2. Ein mögliches Gegenbeispiel ist \(x = 16\) und \(y = 14\). Hier gilt \(x > 15\) und \(y > 10\), aber die Differenz \(x - y = 2\) ist nicht größer als \(5\).

- Berechne zuerst die Produkte für jede Seite einzeln. - Vergleiche das Relationszeichen deiner fertigen Zeile mit den Zeichen in der Aufgabenstellung. - Überlege, welche Rolle die negativen Zahlen bei der Multiplikation spielen könnten.

1. Fall a): Linke Seite \(2 \cdot 4 = 8\), rechte Seite \(5 \cdot 6 = 30\). Es gilt \(8 < 30\). Das Zeichen bleibt \(<\). 2. Fall b): Linke Seite \(5 \cdot (-4) = -20\), rechte Seite \((-2) \cdot (-8) = 16\). Es gilt \(-20 < 16\). Das Zeichen hat sich von \(>\) zu \(<\) geändert. 3. Fall c): Linke Seite \((-3) \cdot (-5) = 15\), rechte Seite \(4 \cdot (-1) = -4\). Es gilt \(15 > -4\). Das Zeichen hat sich von \(<\) zu \(>\) geändert. 4. Schlussfolgerung: In den Fällen b) und c) hat sich die Richtung des Zeichens geändert.

a) \(8 < 30\) (Zeichen bleibt gleich) b) \(-20 < 16\) (Zeichen ändert sich) c) \(15 > -4\) (Zeichen ändert sich) Die Richtung des Zeichens hat sich in den Fällen b) und c) geändert.

- Wie übersetzt man Formulierungen wie „höchstens“ oder „nicht negativ“ in mathematische Zeichen? - Erinnere dich daran, dass „nicht negativ“ auch den Wert \(0\) einschließt. - Wenn auf beiden Seiten der Ungleichung Terme mit \(x\) stehen, kannst du sie wie bei einer normalen Gleichung zusammenfassen. - Achte genau darauf, ob das Ergebnis einen bestimmten Wert einschließen darf oder nicht.

1. Die Bedingung „höchstens \(10\)“ entspricht \(4 \cdot (x + 2) \leq 10\). Ausmultiplizieren ergibt \(4x + 8 \leq 10\). Subtraktion von \(8\) ergibt \(4x \leq 2\), woraus durch Division \(x \leq 0{,}5\) folgt. 2. Die Bedingung „nicht negativ“ entspricht \(\geq 0\). Aus \(15 - 5x \geq 0\) folgt durch Subtraktion \(15 \geq 5x\) und durch Division \(3 \geq x\) bzw. \(x \leq 3\). 3. Der Vergleich der Terme führt zu \(5x - 8 > 2x + 1\). Subtraktion von \(2x\) ergibt \(3x - 8 > 1\). Addition von \(8\) ergibt \(3x > 9\), woraus \(x > 3\) folgt.

1) \(x \leq 0{,}5\) 2) \(x \leq 3\) 3) \(x > 3\)

- Übersetze die Formulierungen Schritt für Schritt in die Sprache der Mathematik. - Testrechnungen mit verschiedenen Werten helfen oft, eine allgemeine Aussage zu beurteilen. - Reicht ein einziges Beispiel aus, um zu zeigen, dass etwas „immer“ stimmt? Reicht ein einziges Beispiel aus, um zu zeigen, dass etwas nicht immer stimmt?

1. Aufstellen der Terme: Das Dreifache der Zahl ist \(3x\). Die Summe aus der Zahl und 10 ist \(x + 10\). 2. Überprüfung für \(x = 2\): \(3 \cdot 2 = 6\) und \(2 + 10 = 12\). Da \(6 < 12\), ist die Behauptung für \(x = 2\) falsch. 3. Überprüfung für \(x = 10\): \(3 \cdot 10 = 30\) und \(10 + 10 = 20\). Da \(30 > 20\), ist die Behauptung für \(x = 10\) wahr. 4. Da die Behauptung für \(x = 2\) nicht stimmt, ist sie nicht für alle positiven ganzen Zahlen wahr. Sie gilt erst für Zahlen, die größer als 5 sind (da \(3x > x + 10 \Leftrightarrow 2x > 10 \Leftrightarrow x > 5\)).

a) Die Terme lauten \(3x\) und \(x + 10\). b) Für \(x = 2\) ist \(6 < 12\) (falsch); für \(x = 10\) ist \(30 > 20\) (wahr). c) Nein, sie ist nicht immer wahr, wie das Gegenbeispiel \(x = 2\) zeigt.

- Stelle zuerst für beide Rechtecke einen Term für den Umfang auf. - Welches Zeichen setzt man zwischen die Terme, wenn der eine Umfang größer sein soll als der andere? - Wie löst man eine Ungleichung, in der die Variable auf beiden Seiten vorkommt? - Denke daran, dass eine Seitenlänge immer positiv sein muss.

1. Umfang von Rechteck A: \(U_A = 2 \cdot (x + x + 6) = 2 \cdot (2x + 6) = 4x + 12\). 2. Umfang von Rechteck B: \(U_B = 2 \cdot (x + 3x) = 2 \cdot 4x = 8x\). 3. Die Bedingung \(U_A > U_B\) führt zur Ungleichung \(4x + 12 > 8x\). 4. Subtraktion von \(4x\) auf beiden Seiten ergibt \(12 > 4x\). 5. Division durch \(4\) ergibt \(3 > x\) bzw. \(x < 3\). 6. Unter Berücksichtigung von \(x > 0\) ergibt sich der Bereich \(0 < x < 3\).

Der Umfang von Rechteck A ist für alle \(x\) mit \(0 < x < 3\) größer als der von Rechteck B.

- Stelle für jede der drei Seitenkombinationen eine Ungleichung auf. - Achte darauf, dass alle Bedingungen gleichzeitig erfüllt sein müssen. - Wie zählt man die ganzen Zahlen zwischen zwei Grenzen am besten ab?

Anwendung der Dreiecksungleichungen: 1. \(2x + (x + 10) > 30 \Rightarrow 3x + 10 > 30 \Rightarrow 3x > 20 \Rightarrow x > 6\frac{2}{3} \approx 6{,}67\) 2. \(2x + 30 > x + 10 \Rightarrow x > -20\) (Da \(x\) für positive Seitenlängen positiv sein muss, ist dies immer erfüllt) 3. \((x + 10) + 30 > 2x \Rightarrow 40 + x > 2x \Rightarrow x < 40\) Kombiniert ergibt sich der Bereich \(6\frac{2}{3} < x < 40\). Die möglichen ganzen Zahlen für \(x\) sind \(7, 8, 9, \dots, 39\). Anzahl der Werte: \(39 - 7 + 1 = 33\).

Der Wert von \(x\) muss zwischen \(6\frac{2}{3}\) und \(40\) liegen (\(6\frac{2}{3} < x < 40\)). Es gibt insgesamt \(33\) verschiedene ganze Zahlen für \(x\).

- Kannst du eine Formel für die Länge der Kerze nach einer bestimmten Zeit aufstellen? - Achte darauf, ob die Kerze genau \(10\,\text{cm}\) lang sein soll oder bereits kürzer. - Denke daran, dass sich das Ungleichheitszeichen umkehrt, wenn du durch eine negative Zahl dividierst oder mit einer negativen Zahl multiplizierst. Bestimme außerdem, wann die Kerze vollständig abgebrannt ist.

1. Ungleichung für eine Kerzenlänge unter \(10\,\text{cm}\): \(25-1{,}2h<10\). 2. Subtraktion von \(25\): \(-1{,}2h<-15\). 3. Division durch \(-1{,}2\); dabei kehrt sich das Ungleichheitszeichen um: \(h>12{,}5\). 4. Die Kerze ist vollständig abgebrannt, wenn \(25-1{,}2h=0\). Daraus folgt \(h=\frac{125}{6}\approx20{,}83\). 5. Im physikalisch sinnvollen Zeitraum ist die Kerze daher für \(12{,}5<h\leq\frac{125}{6}\) kürzer als \(10\,\text{cm}\).

Bis zum vollständigen Abbrennen ist die Kerze für \(12{,}5<h\leq\frac{125}{6}\) Stunden (also bis etwa \(20{,}83\) Stunden) kürzer als \(10\,\text{cm}\).

- Was passiert mit dem Ergebnis einer Multiplikation, wenn einer der Faktoren 1 ist? - Was passiert, wenn man eine Zahl mit 0 multipliziert? - Erinnere dich an die Regeln für das Umformen von Ungleichungen, wenn man mit einer negativen Zahl dividiert. - Probiere Beispielwerte für \(a\) und \(b\) aus, um ein Gefühl für die Richtung der Ungleichung zu bekommen.

1. Die Gleichung \(a \cdot b = a\) lässt sich zu \(a \cdot b - a = 0\) und somit \(a \cdot (b - 1) = 0\) umformen. Dies ist erfüllt, wenn \(a = 0\) (wobei \(b\) beliebig sein kann) oder wenn \(b = 1\) ist. 2. Bei \(a \cdot b < a\) mit \(a > 0\) kann man die Ungleichung durch \(a\) dividieren, ohne das Relationszeichen zu drehen. Es ergibt sich \(b < 1\). 3. Ist \(a < 0\), dreht sich bei der Division der Ungleichung \(a \cdot b < a\) durch \(a\) das Relationszeichen um. Es ergibt sich \(b > 1\).

1) \(a = 0\) oder \(b = 1\) 2) \(b < 1\) 3) \(b > 1\)

- Für den ersten Teil: Addiere zunächst die Ungleichungen. Bestimme anschließend aus jeder Ausgangsungleichung den kleinsten möglichen ganzzahligen Wert für \(x\) beziehungsweise \(y\). - Beachte, dass die addierte Ungleichung nur eine Folgerung ist und die ursprünglichen Bedingungen schwächer wiedergeben kann. - Für den zweiten Teil: Probiere verschiedene Zahlenpaare aus. Kannst du Beispiele finden, bei denen einmal „kleiner“, einmal „größer“ und einmal „gleich“ herauskommt? - Warum ist es wichtig, dass die Ungleichheitszeichen in die gleiche Richtung zeigen?

1. Addition für Teil a): \((x + 3) + (y - 5) > 10 + 2\). Vereinfachung der linken Seite ergibt \(x + y - 2 > 12\). 2. Durch Addition von \(2\) auf beiden Seiten folgt die Folgerung \(x + y > 14\). 3. Diese Folgerung allein reicht nicht aus, um den kleinstmöglichen Wert von \(x + y\) zu bestimmen. Aus den Ausgangsungleichungen folgt einzeln \(x > 7\) und \(y > 7\). 4. Da \(x\) und \(y\) ganze Zahlen sind, sind die kleinsten möglichen Werte \(x = 8\) und \(y = 8\). Daher ist der kleinstmögliche Wert der Summe \(x + y = 16\). 5. Untersuchung für Teil b): Betrachtung von \(5 < 12\) und \(10 > 3\). Die Summe der linken Seiten ist \(15\), die Summe der rechten Seiten ist ebenfalls \(15\). Hier gilt Gleichheit (\(15 = 15\)). 6. Gegenbeispiel: \(1 < 2\) und \(10 > 1\). Summe links: \(11\), rechts: \(3\). Es gilt \(11 > 3\). Ein weiteres Beispiel \(1 < 10\) und \(2 > 1\) ergibt \(3 < 11\). 7. Schlussfolgerung: Da je nach gewählten Zahlen unterschiedliche Relationen (\(=\), \(>\), \(<\)) entstehen können, ist keine allgemeingültige Aussage möglich.

a) Durch gliedweise Addition folgt \(x + y > 14\). Aus den beiden Ausgangsungleichungen ergibt sich jedoch \(x > 7\) und \(y > 7\); für ganze Zahlen ist der kleinstmögliche Wert der Summe daher \(16\). b) Nein, man erhält keine eindeutige Aussage. Beispiel: \(5 < 12\) und \(10 > 3\) ergibt \(15 = 15\), während \(1 < 2\) und \(10 > 1\) zu \(11 > 3\) führt. Das Ergebnis hängt von den konkreten Werten ab.