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- Was passiert, wenn du auf beiden Seiten des Vergleichs das Gleiche tust, zum Beispiel die Variable entfernst? - Überlege dir, ob eine der Zahlen, die zu der Variablen hinzugefügt oder abgezogen werden, immer größer ist als die andere. - Kannst du dir eine Zahl für die Variable vorstellen und prüfen, welcher Ausdruck dann größer ist? Gilt das für jede Zahl?

1. Vergleich von \(m - 4\) und \(m + 4\): Subtraktion von \(m\) auf beiden Seiten führt zum Vergleich der Konstanten \(-4\) und \(4\). Da \(-4 < 4\) gilt, folgt die Ungleichung \(m - 4 < m + 4\). 2. Vergleich von \(10 - k\) und \(5 - k\): Addition der Variablen \(k\) auf beiden Seiten führt zum Vergleich der Konstanten \(10\) und \(5\). Da \(10 > 5\) gilt, folgt die Ungleichung \(10 - k > 5 - k\).

a) \(m - 4 < m + 4\) b) \(10 - k > 5 - k\)

- Was passiert mit dem Relationszeichen, wenn du auf beiden Seiten die gleiche Zahl addierst? - Achte besonders auf die Vorzeichenregeln beim Rechnen mit negativen Zahlen. - Erinnere dich daran, dass das Addieren einer negativen Zahl dasselbe ist wie das Subtrahieren der entsprechenden positiven Zahl.

1. Addition von \(7\) auf beiden Seiten von \(5 < 9\): \(5 + 7 < 9 + 7\), woraus \(12 < 16\) folgt. 2. Addition von \(3\) auf beiden Seiten von \(-3 > -8\): \(-3 + 3 > -8 + 3\), woraus \(0 > -5\) folgt. 3. Addition von \(-15\) auf beiden Seiten von \(12 > 4\): \(12 + (-15) > 4 + (-15)\), woraus \(-3 > -11\) folgt. 4. Addition von \(-4\) auf beiden Seiten von \(-6 < -1\): \(-6 + (-4) < -1 + (-4)\), woraus \(-10 < -5\) folgt.

1) \(12 < 16\); 2) \(0 > -5\); 3) \(-3 > -11\); 4) \(-10 < -5\).

- Haben beide Terme einen gemeinsamen Teil, den man ignorieren kann, um sie zu vergleichen? - Wie verhalten sich die festen Zahlenwerte zueinander, wenn der variable Teil auf beiden Seiten identisch ist? - Probier doch mal aus, was passiert, wenn du eine sehr große oder eine sehr kleine (negative) Zahl einsetzt. Ändert das etwas am Größenverhältnis?

1. Untersuchung von \(2x + 7\) und \(2x - 3\): Da der Bestandteil \(2x\) in beiden Termen identisch ist, hängt der Wertunterschied nur von den Konstanten ab. Wegen \(7 > -3\) ergibt sich die Ungleichung \(2x + 7 > 2x - 3\). 2. Untersuchung von \(12 - y\) und \(15 - y\): Durch Addition von \(y\) auf beiden Seiten des Vergleichs bleiben die Werte \(12\) und \(15\) übrig. Da \(12 < 15\) ist, gilt für alle \(y\) die Beziehung \(12 - y < 15 - y\).

a) \(2x + 7 > 2x - 3\) b) \(12 - y < 15 - y\)

- Was passiert, wenn du auf beiden Seiten der Beziehung die Zahl \(x\) abziehst? - Überlege dir, wie sich positive Zahlen, negative Zahlen und die Null beim Vervielfachen verhalten. - Setze testweise eine positive Zahl, eine negative Zahl und die Null ein.

1. Untersuchung von \(x < 3x\): Subtraktion von \(x\) auf beiden Seiten ergibt \(0 < 2x\). Division durch \(2\) zeigt, dass dies für alle positiven Zahlen \(x > 0\) gilt. 2. Untersuchung von \(x = 3x\): Subtraktion von \(x\) ergibt \(0 = 2x\). Dies ist nur für \(x = 0\) erfüllt. 3. Untersuchung von \(x > 3x\): Subtraktion von \(x\) ergibt \(0 > 2x\). Dies gilt für alle negativen Zahlen \(x < 0\).

a) \(x > 0\) (alle positiven Zahlen) b) \(x = 0\) c) \(x < 0\) (alle negativen Zahlen)

- Überlege dir, was das Wort „positiv“ für eine mathematische Ungleichung bedeutet. - Wie gehst du vor, um eine Gleichung nach \(x\) aufzulösen? - Erinnere dich an die Rechenregeln für ganze Zahlen: Was passiert bei der Multiplikation und Subtraktion?

1. Nullstelle berechnen: \(8x - 24 = 0\) ergibt nach Addition von \(24\) auf beiden Seiten \(8x = 24\). Division durch \(8\) liefert \(x = 3\). 2. Bedingung für positive Werte: \(8x - 24 > 0\). Umstellen ergibt \(8x > 24\), also \(x > 3\). 3. Ungleichung lösen: \(8x - 24 < 16\). Addition von \(24\) ergibt \(8x < 40\). Division durch \(8\) liefert \(x < 5\). 4. Begründung: Das Produkt zweier ganzer Zahlen (\(8\) und \(x\)) ist stets eine ganze Zahl. Subtrahiert man davon eine weitere ganze Zahl (\(24\)), bleibt das Ergebnis im Bereich der ganzen Zahlen.

1. Für \(x = 3\). 2. Für \(x > 3\). 3. Für \(x < 5\). 4. Da \(8\) und \(24\) ganze Zahlen sind, führt die Multiplikation mit einer ganzen Zahl \(x\) und die anschließende Subtraktion immer zu einer ganzen Zahl.

- Was bedeutet es mathematisch, wenn ein Ergebnis „positiv“ sein soll? - Welche Rechenschritte helfen dir, die Variable auf einer Seite der Ungleichung zu isolieren? - Denke daran, was mit dem Vergleichszeichen passiert, wenn du eine Ungleichung mit einer negativen Zahl multiplizierst oder durch eine negative Zahl dividierst.

1. Für \(4x - 12 > 0\): Addition von \(12\) ergibt \(4x > 12\). Division durch \(4\) liefert \(x > 3\). 2. Für \(18 - 6x > 0\): Subtraktion von \(18\) ergibt \(-6x > -18\). Division durch \(-6\) unter Umkehrung des Relationszeichens liefert \(x < 3\). 3. Für \(-3x - 21 > 0\): Addition von \(21\) ergibt \(-3x > 21\). Division durch \(-3\) unter Umkehrung des Relationszeichens liefert \(x < -7\).

a) \(x > 3\) b) \(x < 3\) c) \(x < -7\)

- Wie kannst du herausfinden, wie man von einer Zahl zu einer anderen gelangt? - Überlege, welche Rechenoperation die Umkehrung zur Addition ist. - Prüfe dein Ergebnis, indem du die gefundene Zahl zur ursprünglichen Ungleichung addierst. - Bleibt der Abstand zwischen den beiden Seiten der Ungleichung gleich, wenn man auf beiden Seiten dieselbe Zahl addiert?

1. Berechnung der Differenz zwischen den linken (oder rechten) Seiten: \(4 - (-2) = 6\). Überprüfung der rechten Seite: \(11 - 5 = 6\). Die addierte Zahl ist \(6\). 2. Berechnung der Differenz: \(2 - 10 = -8\). Überprüfung: \(-5 - 3 = -8\). Die addierte Zahl ist \(-8\). 3. Berechnung der Differenz: \(-15 - (-7) = -8\). Überprüfung: \(-9 - (-1) = -8\). Die addierte Zahl ist \(-8\). 4. Berechnung der Differenz: \(0{,}5 - 0 = 0{,}5\). Überprüfung: \(-3{,}5 - (-4) = 0{,}5\). Die addierte Zahl ist \(0{,}5\).

1) \(6\); 2) \(-8\); 3) \(-8\); 4) \(0{,}5\).

- Gehe Schritt für Schritt vor und nutze immer das Ergebnis der vorherigen Zeile. - Erinnerst du dich, wie man durch einen Dezimalbruch dividiert? Hilft es dir, die Division durch \(0{,}5\) als Multiplikation mit einer anderen Zahl zu sehen? - Prüfe nach jedem Schritt kurz am Zahlenstrahl, ob die Aussage der Ungleichung noch immer wahr ist.

1. Division durch \(4\): \(12 : 4 = 3\) und \(24 : 4 = 6\). Die neue Ungleichung lautet \(3 < 6\). 2. Multiplikation mit \(7\): \(3 \cdot 7 = 21\) und \(6 \cdot 7 = 42\). Die neue Ungleichung lautet \(21 < 42\). 3. Division durch \(0{,}5\): \(21 : 0{,}5 = 42\) und \(42 : 0{,}5 = 84\). Die finale Ungleichung lautet \(42 < 84\).

1. \(3 < 6\) 2. \(21 < 42\) 3. \(42 < 84\)

- Was musst du tun, um \(x\) auf einer Seite der Ungleichung alleine stehen zu haben? - Achte darauf, welche Zahlenmenge in der Aufgabe vorgegeben ist. - Überprüfe dein Ergebnis, indem du die gefundenen Zahlen testweise in die Ungleichung einsetzt.

1. Addieren von \(2\) auf beiden Seiten der Ungleichung: \(3x < 12\) 2. Dividieren beider Seiten durch \(3\): \(x < 4\) 3. Bestimmen der natürlichen Zahlen, die kleiner als \(4\) sind: \(1, 2, 3\)

Die Lösungen sind die Zahlen \(1, 2\) und \(3\).

- Prüfe für jeden Schritt zwei Dinge: Wurden die Zahlen richtig berechnet? Wurde das Zeichen in die richtige Richtung gedreht? - Erinnere dich daran, welche Zahl auf dem Zahlenstrahl weiter rechts liegt – diese ist immer die größere. - Überlege dir ein einfaches Beispiel: Wenn \(1 < 2\) ist, was passiert dann bei einer Multiplikation mit \(-1\)?

1. Überprüfung von a): Die Multiplikation ergibt \(-20\) und \(-30\). Da \(-20\) größer als \(-30\) ist, hätte das Zeichen umgedreht werden müssen. Die Umformung ist falsch. Korrekt: \(-20 > -30\). 2. Überprüfung von b): Die Multiplikation ergibt \(2\) und \(4\). Das Zeichen wurde korrekt von \(>\) auf \(<\) gedreht. Die Umformung ist richtig. 3. Überprüfung von c): Die Multiplikation ergibt \(-5\) und \(-9\). Das Zeichen wurde korrekt von \(\leq\) auf \(\geq\) gedreht. Die Umformung ist richtig.

a) Falsch. Korrekt ist: \(-20 > -30\) b) Richtig c) Richtig

- Was passiert mit dem Ungleichheitszeichen, wenn du eine Ungleichung mit einer negativen Zahl multiplizierst oder durch eine negative Zahl dividierst? - Kannst du die Ungleichung zuerst so umformen, dass alle Terme mit \(x\) auf einer Seite stehen? - Wie würdest du vorgehen, wenn dort ein Gleichheitszeichen stünde?

1. Für \(4x - 11 < 17\): Addition von \(11\) ergibt \(4x < 28\). Division durch \(4\) führt zu \(x < 7\). 2. Für \(15 - 2x \ge 21\): Subtraktion von \(15\) ergibt \(-2x \ge 6\). Division durch \(-2\) (Umkehrung des Vergleichszeichens) führt zu \(x \le -3\). 3. Für \(3(x + 4) \le 5x + 2\): Ausmultiplizieren ergibt \(3x + 12 \le 5x + 2\). Subtraktion von \(3x\) und \(2\) ergibt \(10 \le 2x\). Division durch \(2\) führt zu \(5 \le x\) bzw. \(x \ge 5\). 4. Für \(\frac{x-2}{3} > 2\): Multiplikation mit \(3\) ergibt \(x - 2 > 6\). Addition von \(2\) führt zu \(x > 8\).

a) \(x < 7\) b) \(x \le -3\) c) \(x \ge 5\) d) \(x > 8\)

- Überlege dir, wie sich die Position der Zahlen auf dem Zahlenstrahl verändert, wenn du sie mit einer negativen Zahl multiplizierst. - Was passiert mit dem Kleiner-als- oder Größer-als-Zeichen, wenn du eine Ungleichung mit einer negativen Zahl multiplizierst oder durch eine negative Zahl dividierst? - Bleibt die Richtung des Zeichens bei positiven Zahlen gleich?

1. Division beider Seiten durch die positive Zahl \(6\): Das Relationszeichen bleibt erhalten. Rechnung: \(18 : 6 < 30 : 6\) ergibt \(3 < 5\). 2. Division beider Seiten durch die positive Zahl \(4\): Das Relationszeichen bleibt erhalten. Rechnung: \(-12 : 4 > -20 : 4\) ergibt \(-3 > -5\). 3. Multiplikation beider Seiten mit der negativen Zahl \(-3\): Das Relationszeichen kehrt sich um. Rechnung: \(5 \cdot (-3) < (-2) \cdot (-3)\) ergibt \(-15 < 6\). 4. Division beider Seiten durch die negative Zahl \(-2\): Das Relationszeichen kehrt sich um. Rechnung: \(-8 : (-2) > -4 : (-2)\) ergibt \(4 > 2\).

1) \(3 < 5\); 2) \(-3 > -5\); 3) \(-15 < 6\); 4) \(4 > 2\).

- Welche ganzen Zahlen liegen auf der Zahlengeraden rechts von \(-2{,}7\) und links von \(3{,}5\)? - Denke daran, dass eine Summe das Ergebnis einer Additionsaufgabe ist. - Ist die Zahl \(0\) eine ganze Zahl?

1. Bestimmung der ganzen Zahlen im Intervall \((-2{,}7; 3{,}5)\): Die Zahlen sind \(-2, -1, 0, 1, 2, 3\). 2. Identifikation der kleinsten Zahl: \(x_{\min} = -2\). 3. Identifikation der größten Zahl: \(x_{\max} = 3\). 4. Berechnung der Summe: \(-2 + 3 = 1\).

Die Zahlen sind \(-2, -1, 0, 1, 2, 3\). Die Summe aus der kleinsten und der größten Zahl ist \(1\).

- Was bedeutet es für die Klammern im Intervall, wenn eine Zahl selbst nicht zur Lösung gehört? - Achte bei Aufgaben wie b) und d) darauf, die Zahlen der Größe nach zu ordnen (kleinere Zahl links). - Wie schreibt man ein Intervall, wenn eine Seite eingeschlossen ist und die andere nicht?

1. Umwandlung der Bedingungen in standardisierte Ungleichungsketten: a) \(-3 < x < 6\), b) \(4 < x \le 11\), c) \(-7{,}5 < x < -2\), d) \(8{,}4 < x < 15\). 2. Bestimmung der Intervalle: Bei echten Ungleichungen (\(<\), \(>\)) werden offene Klammern verwendet, bei „kleiner-gleich“ (\(\le\)) oder „größer-gleich“ (\(\ge\)) eine geschlossene Klammer. Die Ergebnisse lauten: a) \(L = ]-3; 6[\), b) \(L = ]4; 11]\), c) \(L = ]-7{,}5; -2[\), d) \(L = ]8{,}4; 15[\).

a) \(L = ]-3; 6[\) b) \(L = ]4; 11]\) c) \(L = ]-7{,}5; -2[\) d) \(L = ]8{,}4; 15[\)

- Was bedeutet der Betrag einer Zahl anschaulich auf der Zahlengeraden? - Versuche, beide Bedingungen einzeln auf einer gezeichneten Zahlengeraden zu markieren. - Wo überschneiden sich die markierten Bereiche?

1. Den Betrag interpretieren: Die Bedingung \(|x| < 2{,}5\) bedeutet, dass der Abstand der Zahl \(x\) vom Nullpunkt kleiner als \(2{,}5\) ist. Dies entspricht dem Bereich \(-2{,}5 < x < 2{,}5\). 2. Die zweite Bedingung einbeziehen: Zusätzlich muss \(x > -1\) gelten. 3. Die Bereiche zusammenführen: Man sucht die Zahlen, die sowohl größer als \(-1\) als auch kleiner als \(2{,}5\) sind. Da \(-1\) größer ist als \(-2{,}5\), beginnt der gemeinsame Bereich bei \(-1\). 4. Ergebnis formulieren: Der gesuchte Bereich ist \(-1 < x < 2{,}5\).

\(-1 < x < 2{,}5\)

- Was bedeutet das Zeichen \(\leq\) im Unterschied zu \(<\)? - Erinnere dich daran, dass ganze Zahlen sowohl positiv als auch negativ sein können und die Null einschließen. - Es hilft, die Grenzen als Dezimalzahlen zu schreiben, um sie besser auf der Zahlengeraden einzuordnen. - Schreibe dir die Zahlen für jeden Fall einzeln auf und zähle sie erst am Ende.

1. Für die Bedingung a) \(-4 < x \leq 1\) werden alle ganzen Zahlen gesucht, die größer als \(-4\) und kleiner oder gleich \(1\) sind: \(\{-3, -2, -1, 0, 1\}\). Dies sind \(5\) Zahlen. 2. Für die Bedingung b) \(-2{,}8 \leq x < 3{,}2\) werden alle ganzen Zahlen gesucht, die mindestens \(-2{,}8\) und kleiner als \(3{,}2\) sind: \(\{-2, -1, 0, 1, 2, 3\}\). Dies sind \(6\) Zahlen. 3. Für die Bedingung c) \(-\frac{1}{2} < x < \frac{5}{2}\), also \(-0{,}5 < x < 2{,}5\), werden alle ganzen Zahlen gesucht, die zwischen diesen Werten liegen: \(\{0, 1, 2\}\). Dies sind \(3\) Zahlen. 4. Durch Vergleich der Anzahlen ergibt sich, dass Fall b) mit \(6\) Elementen die meisten Lösungen besitzt.

a) \(\{-3, -2, -1, 0, 1\}\) b) \(\{-2, -1, 0, 1, 2, 3\}\) c) \(\{0, 1, 2\}\) Die meisten Lösungen gibt es im Fall b).

- Was bedeutet der Betrag einer Differenz geometrisch auf der Zahlengeraden? - Wenn der Betrag kleiner oder gleich einer Zahl sein soll, in welchem Bereich muss sich der Wert dann befinden? - Kannst du die Ungleichung ohne Betragsstriche schreiben, indem du zwei Grenzen betrachtest? - Überlege dir, welche Zahlen von der \(2\) genau den Abstand \(4\) haben.

1. Den Betrag \(|x - 2|\) als Abstand der Zahl \(x\) vom Punkt \(2\) auf der Zahlengeraden interpretieren. 2. Die Bedingung \(|x - 2| \le 4\) bedeutet, dass dieser Abstand höchstens \(4\) Einheiten betragen darf. 3. Rechnerische Bestimmung durch Auflösen der Betragsungleichung: \(-4 \le x - 2 \le 4\). 4. Addition von \(2\) auf allen Seiten ergibt \(-2 \le x \le 6\). 5. Die Lösungsmenge ist \(L = \{x \in \mathbb{Q} \mid -2 \le x \le 6\}\).

Die Lösungsmenge ist \(L = \{x \in \mathbb{Q} \mid -2 \le x \le 6\}\). Geometrisch bedeutet dies, dass alle Zahlen gesucht sind, deren Abstand zum Punkt \(2\) auf der Zahlengeraden höchstens \(4\) beträgt. Dies sind alle Zahlen im Intervall von \(-2\) bis \(6\).

- Überlege dir, wie sich das Relationszeichen verhält, wenn du eine Zahl von einer größeren abziehst. - Was passiert mit dem Relationszeichen einer Ungleichung, wenn man sie mit \(-1\) multipliziert? - Du kannst die Subtraktion auch als Addition der Gegenzahl betrachten. - Achte beim Zusammenfassen von Termen mit Variablen genau auf die Vorzeichen, besonders bei Minusklammern.

1. Subtraktion der Ungleichungen mit unterschiedlicher Orientierung erfolgt durch die Bildung der Differenzen der linken und rechten Seiten, wobei das Relationszeichen der ersten Ungleichung beibehalten wird. 2. Für a): \(18 - 3 > 10 - 12\) führt zu \(15 > -2\). 3. Für b): \(-5 - 7 < 4 - 2\) führt zu \(-12 < 2\). 4. Für c): \(8x - 3x > 24 - 15\) ergibt \(5x > 9\). Division durch \(5\) liefert \(x > 1{,}8\). 5. Für d): \((a + 5) - (b - 2) < 9 - 4\) vereinfacht sich zu \(a - b + 7 < 5\). Subtraktion von \(7\) auf beiden Seiten ergibt \(a - b < -2\).

a) \(15 > -2\) b) \(-12 < 2\) c) \(x > 1{,}8\) d) \(a - b < -2\)

- Was bedeutet „gliedweise multiplizieren“ genau? - Achte besonders auf die Vorzeichenregeln bei der Multiplikation ganzer Zahlen. - Vergleiche das Ergebnis der linken Seite mit dem Ergebnis der rechten Seite, um das Zeichen zu wählen.

1. Berechnung für a): Multiplikation der linken Seiten (\(9 \cdot 3 = 27\)) und der rechten Seiten (\(4 \cdot 2 = 8\)). Vergleich der Ergebnisse liefert \(27 > 8\). 2. Berechnung für b): Multiplikation der linken Seiten (\(6 \cdot 4 = 24\)) und der rechten Seiten (\(-3 \cdot 1 = -3\)). Vergleich der Ergebnisse liefert \(24 > -3\). 3. Berechnung für c): Multiplikation der linken Seiten (\((-5) \cdot (-4) = 20\)) und der rechten Seiten (\(2 \cdot 3 = 6\)). Vergleich der Ergebnisse liefert \(20 > 6\).

a) \(27 > 8\) b) \(24 > -3\) c) \(20 > 6\)

- Welche Ungleichung beschreibt die Forderung, dass ein Ergebnis größer als Null sein soll? - Was passiert mit dem Relationszeichen, wenn du eine Ungleichung mit einer negativen Zahl multiplizierst oder durch eine negative Zahl dividierst? - Test doch einmal eine Zahl, die kleiner als dein Ergebnis ist, und eine, die größer ist. Was stellst du fest?

1. Ungleichung aufstellen: Die Bedingung für ein positives Ergebnis lautet \(-4x - 12 > 0\). 2. Isolieren des Variablenterms: Durch Addition von \(12\) auf beiden Seiten erhält man \(-4x > 12\). 3. Division durch den Koeffizienten: Teilen durch \(-4\) ergibt \(x < -3\). 4. Begründung der Zeichenumkehr: Bei der Division oder Multiplikation einer Ungleichung mit einer negativen Zahl dreht sich das Relationszeichen um, damit die mathematische Aussage korrekt bleibt.

Der Term liefert ein positives Ergebnis für alle \(x < -3\). Das Relationszeichen dreht sich um, weil die Ungleichung durch die negative Zahl \(-4\) dividiert wird.

- Das Subtrahieren einer negativen Zahl entspricht dem Addieren der zugehörigen positiven Zahl. - Wie verändert sich eine Zahl, wenn du etwas abziehst, das selbst kleiner als Null ist? - Versuche, die Gleichung im Aufgabenteil b) so umzuformen, dass alle Terme mit \(b\) auf einer Seite stehen.

1. Bedingung für \(a - b > a\): Durch Subtraktion von \(a\) auf beiden Seiten erhält man \(-b > 0\). Dies ist gleichbedeutend mit \(b < 0\). Die Differenz ist also größer als der Minuend, wenn eine negative Zahl subtrahiert wird. Beispiel: \(7 - (-3) = 10\) und \(10 > 7\). 2. Bedingung für \(a - b = a + b\): Subtraktion von \(a\) auf beiden Seiten führt zu \(-b = b\). Addiert man \(b\) auf beiden Seiten, folgt \(0 = 2b\). Daraus ergibt sich \(b = 0\). Der Wert von \(a\) ist dabei unerheblich.

a) Die Differenz ist größer als \(a\), wenn \(b < 0\) ist (negative Zahl). Beispiel: \(5 - (-2) = 7\). b) Die Bedingung ist \(b = 0\).

- Was musst du beim Lösen einer Ungleichung beachten, wenn du durch eine negative Zahl dividierst? - Kannst du ein paar Beispielzahlen für \(x\) einsetzen (z. B. \(1, 2, 3\)), um einen Trend zu erkennen? - Suche zuerst den Punkt, an dem der Term genau den gesuchten Wert erreicht, um die Grenze zu finden.

1. Bedingung für negative Werte: \(15 - 3x < 0\). Subtraktion von \(15\) ergibt \(-3x < -15\). Division durch \(-3\) (Umkehrung des Relationszeichens!) liefert \(x > 5\). 2. Ungleichung lösen: \(15 - 3x > 21\). Subtraktion von \(15\) ergibt \(-3x > 6\). Division durch \(-3\) ergibt \(x < -2\). 3. Gleichung lösen: \(15 - 3x = -3\). Subtraktion von \(15\) ergibt \(-3x = -18\). Division durch \(-3\) liefert \(x = 6\). 4. Da der Koeffizient von \(x\) negativ ist (\(-3\)), wird bei steigendem \(x\) ein immer größerer Wert von \(15\) abgezogen. Der Gesamtwert des Terms sinkt also (wird kleiner).

1. Für \(x > 5\). 2. Für \(x < -2\). 3. Für \(x = 6\). 4. Der Wert des Terms wird immer kleiner (er sinkt).

- Wie übersetzt man „kleiner als 0“ und „nicht positiv“ in mathematische Zeichen? - Kannst du die Brüche durch eine geschickte Multiplikation auflösen? - Achte genau darauf, ob der Grenzwert selbst (die Zahl, bei der der Term genau 0 ist) zur Lösungsmenge gehört oder nicht.

1. Aufstellen der Ungleichung \(\frac{1}{4}z + 2 < 0\). Subtraktion von \(2\) ergibt \(\frac{1}{4}z < -2\). Multiplikation mit \(4\) liefert \(z < -8\). 2. Aufstellen der Ungleichung \(15 - 3z \le 0\). Subtraktion von \(15\) ergibt \(-3z \le -15\). Division durch \(-3\) unter Umkehrung des Relationszeichens liefert \(z \ge 5\).

a) \(z < -8\) b) \(z \ge 5\)

- Welcher Term beschreibt die Abnahme des Ladezustands über die Zeit? - Welches mathematische Zeichen (\(<\), \(>\), \(\leq\), \(\geq\)) passt zur Formulierung „geringer als“? - Achte besonders auf das Ungleichheitszeichen, wenn du eine Ungleichung durch eine negative Zahl dividierst. - Bestimme außerdem, wann der Akku vollständig entladen ist, damit nur physikalisch sinnvolle Zeiten berücksichtigt werden.

1. Aufstellen des Terms für den Ladezustand nach \(t\) Stunden: \(80 - 12t\). 2. Aufstellen der Ungleichung für einen Ladezustand unter \(20\,\%\): \(80 - 12t < 20\). 3. Subtraktion von \(80\) auf beiden Seiten: \(-12t < -60\). 4. Division durch \(-12\), wobei das Ungleichheitszeichen umgekehrt werden muss: \(t > 5\). 5. Der Akku ist vollständig entladen, wenn \(80 - 12t = 0\). Daraus folgt \(t = 80 : 12 = \frac{20}{3} \approx 6{,}67\). 6. Im physikalisch sinnvollen Zeitraum ist der Ladezustand daher für \(5 < t \leq \frac{20}{3}\) geringer als \(20\,\%\).

Eine passende Ungleichung ist \(80 - 12t < 20\). Unter Berücksichtigung der vollständigen Entladung gilt \(5 < t \leq \frac{20}{3}\) Stunden, also nach mehr als \(5\) Stunden bis einschließlich etwa \(6{,}67\) Stunden.

- Führe auf beiden Seiten jeder Ungleichung dieselben zulässigen Umformungen aus. - Überlege dir, welche ganzen Zahlen jeweils in den Bereich fallen. - Gibt es eine Zahl, die in beiden Bereichen vorkommt?

1. Lösen der ersten Ungleichung (I): Subtraktion von \(5\) ergibt \(x < -3\). Die Lösungsmenge ist \(\{x \in \mathbb{Z} \mid x < -3\}\), also \(\{\ldots, -6, -5, -4\}\). 2. Lösen der zweiten Ungleichung (II): Addition von \(1\) ergibt \(x > -5\). Die Lösungsmenge ist \(\{x \in \mathbb{Z} \mid x > -5\}\), also \(\{-4, -3, -2, \ldots\}\). 3. Vergleich der Ergebnisse: Die einzige ganze Zahl, die sowohl kleiner als \(-3\) als auch größer als \(-5\) ist, ist die Zahl \(-4\).

Ja, die Zahl \(-4\) erfüllt beide Ungleichungen. Die erste Ungleichung ergibt \(x < -3\) und die zweite \(x > -5\). Die einzige ganze Zahl zwischen \(-5\) und \(-3\) ist \(-4\).

- Wie kannst du die Brüche in der Ungleichung loswerden? - Achte beim Auflösen der Klammern besonders auf das Minuszeichen vor dem zweiten Bruch. - Wenn du die Lösungsmenge gefunden hast, schau dir an, welche ganzen Zahlen (\(\dots, -1, 0, 1, 2, \dots\)) darin enthalten sind.

1. Um die Brüche zu eliminieren, wird die gesamte Ungleichung mit dem Hauptnenner \(12\) multipliziert: \(3(x+1) - 4(x-2) \ge 6\). 2. Ausmultiplizieren der Klammern ergibt \(3x + 3 - 4x + 8 \ge 6\). 3. Zusammenfassen der Terme führt zu \(-x + 11 \ge 6\). 4. Subtraktion von \(11\) ergibt \(-x \ge -5\). 5. Multiplikation mit \(-1\) (Umkehrung des Zeichens) führt zur Lösung \(x \le 5\). 6. Da \(x\) kleiner oder gleich \(5\) sein muss, ist die größte ganze Zahl, die die Bedingung erfüllt, genau \(5\).

a) \(x \le 5\) b) Die größte ganze Zahl ist \(5\).

- Wie kannst du mathematisch ausdrücken, dass zwei Terme den gleichen Wert besitzen? - Wie sieht das mathematische Zeichen für „kleiner als“ aus? - Kannst du die Terme so sortieren, dass alle Glieder mit \(x\) auf einer Seite stehen? - Hilft es dir, eine Zahl für \(x\) testweise einzusetzen, um ein Gefühl für die Terme zu bekommen?

1. Gleichheit der Terme: Der Ansatz \(5x - 3 = 2x + 9\) wird durch Subtraktion von \(2x\) zu \(3x - 3 = 9\) vereinfacht. Addition von \(3\) ergibt \(3x = 12\). Die Division durch \(3\) liefert \(x = 4\). 2. Vergleich der Terme: Die Ungleichung \(5x - 3 < 2x + 9\) wird analog zur Gleichung umgeformt. Subtraktion von \(2x\) und Addition von \(3\) führt zu \(3x < 12\). Die Division durch \(3\) ergibt \(x < 4\).

a) für \(x = 4\) b) für \(x < 4\)

- Was bedeutet es mathematisch, wenn ein Ergebnis „positiv“ oder „negativ“ sein soll? - Wie verhält sich das Relationszeichen bei einer Ungleichung, wenn du mit einer negativen Zahl multiplizierst oder durch eine negative Zahl dividierst? - Könnte es helfen, zuerst den Wert zu finden, bei dem der Term genau Null ist?

1. Ansatz der Ungleichung \(\frac{5 - 2x}{3} > 0\). Multiplikation mit \(3\) ergibt \(5 - 2x > 0\). Isolation von \(x\) durch Subtraktion von \(5\) führt zu \(-2x > -5\). Division durch \(-2\) unter Umkehrung des Relationszeichens ergibt \(x < 2{,}5\). 2. Ansatz der Ungleichung \(\frac{5 - 2x}{3} < 0\). Analoges Vorgehen führt zu \(5 - 2x < 0\), woraus \(x > 2{,}5\) folgt. 3. Ansatz der Gleichung \(\frac{5 - 2x}{3} = 0\). Multiplikation mit \(3\) und Auflösen der Gleichung \(5 - 2x = 0\) ergibt \(x = 2{,}5\).

a) \(x < 2{,}5\) b) \(x > 2{,}5\) c) \(x = 2{,}5\)

- Stell dir \(x\) und \(y\) als Punkte auf der Zahlengeraden vor. Wo liegt \(x\) im Vergleich zu \(y\)? - Was passiert mit der Anordnung, wenn man beide Werte um denselben Betrag verschiebt? - Was passiert mit der Anordnung, wenn man beide Werte an der Null spiegelt? - Erinnerst du dich an die Regel für die Multiplikation oder Division mit negativen Werten?

1. Addition einer Zahl: Bei der Addition (oder Subtraktion) einer beliebigen Zahl bleibt das Relationszeichen unverändert. Ergebnis: \(x + 10 < y + 10\). 2. Multiplikation mit einer positiven Zahl: Bei Multiplikation mit einer positiven Zahl (\(5\)) bleibt das Relationszeichen unverändert. Ergebnis: \(5x < 5y\). 3. Multiplikation mit einer negativen Zahl: Bei Multiplikation mit einer negativen Zahl (\(-1\)) kehrt sich das Relationszeichen um. Ergebnis: \(-x > -y\). 4. Division durch eine negative Zahl: Bei Division durch eine negative Zahl (\(-2\)) kehrt sich das Relationszeichen um. Ergebnis: \(\frac{x}{-2} > \frac{y}{-2}\).

a) \(<\) b) \(<\) c) \(>\) d) \(>\)

- Was bedeutet der Betrag einer Zahl anschaulich auf der Zahlengeraden? - Erstelle zuerst eine Liste aller Zahlen, die die erste Bedingung erfüllen, und filtere sie dann. - Achte genau auf das Zeichen \(>\). Ist eine Zahl, die genau \(2\) ist, größer als \(2\)?

1. Auflistung der ganzen Zahlen, die die erste Bedingung \(-3 < z < 5\) erfüllen: \(\{-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\}\). 2. Prüfung der zweiten Bedingung \(|z| > 2\) für jede dieser Zahlen: \(|-2| = 2\) (nicht größer als \(2\)) \(|-1| = 1\) (nicht größer als \(2\)) \(|0| = 0\) (nicht größer als \(2\)) \(|1| = 1\) (nicht größer als \(2\)) \(|2| = 2\) (nicht größer als \(2\)) \(|3| = 3\) (erfüllt die Bedingung) \(|4| = 4\) (erfüllt die Bedingung) 3. Ergebnis: Die Zahlen sind \(3\) und \(4\).

Die gesuchten Zahlen sind \(3\) und \(4\).

- Was gibt der Betrag einer Zahl geometrisch auf der Zahlengeraden an? - Wenn der Abstand zur Null kleiner als 5 sein soll, in welchem Bereich zwischen zwei Zahlen muss die Zahl dann liegen? - Kann ein Abstand jemals negativ sein?

1. Ein Betrag \(|x| < a\) bedeutet, dass der Abstand von \(x\) zur Null kleiner als \(a\) ist, also \(-a < x < a\). Für a) ergibt dies \(-7 < x < 7\). 2. Für b) gilt analog \(-3{,}5 \le x \le 3{,}5\). Da die Randwerte eingeschlossen sind, lautet das Intervall \(L = [-3{,}5; 3{,}5]\). 3. Ein symmetrisches Intervall um die Null von \(-9{,}2\) bis \(9{,}2\) entspricht dem Abstand \(|x| < 9{,}2\). 4. Da der Betrag \(|x|\) einen Abstand darstellt, ist er stets größer oder gleich Null. Ein Wert kleiner als \(-1\) ist somit unmöglich, weshalb die Lösungsmenge leer ist (\(L = \emptyset\)).

a) \(-7 < x < 7\) b) \(L = [-3{,}5; 3{,}5]\) c) \(|x| < 9{,}2\) d) Da der Betrag \(|x|\) (Abstand zur Null) niemals negativ sein kann, gibt es kein \(x\), das einen Abstand kleiner als \(-1\) hat.

- Schreibe für beide Aussagen auf, welche die kleinste und welche die größte erlaubte Zahl ist. - Wie kann man den „Abstand zu einer Zahl“ als Rechnung ausdrücken? - Findest du eine Zahl, die bei Marie erlaubt ist, aber bei Lukas nicht?

1. Lukas’ Aussage analysieren: \(|z| \le 6\) bedeutet, dass \(z\) im Intervall von \(-6\) bis \(6\) liegt (einschließlich der Grenzen). Mathematisch: \(-6 \le z \le 6\). 2. Maries Aussage analysieren: Ein Abstand von höchstens \(3\) zur Zahl \(4\) bedeutet mathematisch \(|z - 4| \le 3\). Das entspricht dem Bereich von \(4 - 3\) bis \(4 + 3\), also \(1 \le z \le 7\). 3. Die Bereiche vergleichen: Lukas lässt Zahlen bis maximal \(6\) zu. Marie lässt jedoch Zahlen bis \(7\) zu. 4. Gegenbeispiel finden: Die Zahl \(7\) erfüllt Maries Bedingung (\(7\) hat Abstand \(3\) zu \(4\)), aber nicht Lukas’ Bedingung (Betrag von \(7\) ist \(7\), was größer als \(6\) ist). 5. Schlussfolgerung: Nein, nicht alle Zahlen von Marie erfüllen auch Lukas’ Aussage.

Nein. Maries Bereich ist \(1 \le z \le 7\), während Lukas’ Bereich \(-6 \le z \le 6\) ist. Die Zahl \(7\) (oder jede Zahl \(z\) mit \(6 < z \le 7\)) erfüllt Maries Aussage, aber nicht die von Lukas.

- Stelle dir die Intervalle auf einer gezeichneten Zahlengeraden vor. - Für den zweiten Teil: Wo müssen die Grenzen liegen, damit die nächste ganze Zahl gerade noch nicht beziehungsweise gerade noch im Intervall ist? - Für den dritten Teil: Probiere aus, was passiert, wenn du ein kurzes „Stöckchen“ der Länge \(1{,}5\) über die Zahlen \(\dots, 0, 1, 2, \dots\) auf der Zahlengeraden schiebst.

1. Für \(-3{,}2 < x < 2{,}1\) sind die ganzen Zahlen \(\{-3, -2, -1, 0, 1, 2\}\). Die Anzahl beträgt \(6\). 2. Damit genau \(\{-1, 0, 1\}\) enthalten sind, muss die untere Grenze \(a\) zwischen \(-2\) und \(-1\) liegen und die obere Grenze \(b\) zwischen \(1\) und \(2\). Beispiel: \(a = -1{,}5\) und \(b = 1{,}5\). 3. Beispiel 1: \(a = 0{,}1\) und \(b = 1{,}6\). Hier ist die Differenz \(1{,}6 - 0{,}1 = 1{,}5\). Enthaltene ganze Zahl: \(\{1\}\), Anzahl: \(1\). Beispiel 2: \(a = 0{,}9\) und \(b = 2{,}4\). Hier ist die Differenz \(2{,}4 - 0{,}9 = 1{,}5\). Enthaltene ganze Zahlen: \(\{1, 2\}\), Anzahl: \(2\).

1. \(6\) ganze Zahlen. 2. Zum Beispiel \(a = -1{,}5\) und \(b = 1{,}5\); andere Lösungen wie \(a = -1{,}1\) und \(b = 1{,}9\) sind möglich. 3. Beispiel 1: \(0{,}1 < x < 1{,}6\) enthält nur die \(1\). Beispiel 2: \(0{,}9 < x < 2{,}4\) enthält \(1\) und \(2\).

- Was passiert, wenn du die linken Seiten und die rechten Seiten der Ungleichungen getrennt zusammenzählst? - Achte darauf, dass die Relationszeichen in die gleiche Richtung zeigen müssen. - Kannst du die Variablen auf eine Seite bringen, um den Ausdruck einfacher zu machen? - Denke beim Vereinfachen an die Regeln für das Zusammenfassen von Termen.

1. Aus den beiden gegebenen Ungleichungen folgt durch gliedweise Addition \(22 + 5 > 14 + (-2)\), also \(27 > 12\). 2. Aus den beiden gegebenen Ungleichungen folgt durch gliedweise Addition \(-10 + 3 < -4 + 8\), also \(-7 < 4\). 3. Aus den beiden gegebenen Ungleichungen folgt durch gliedweise Addition \((4x + 7) + (x - 5) > (2x - 1) + (6 - x)\). Dies ergibt \(5x + 2 > x + 5\). Durch Subtraktion von \(x\) und \(2\) erhält man \(4x > 3\), also \(x > 0{,}75\). 4. Aus den beiden gegebenen Ungleichungen folgt durch gliedweise Addition \((3a - 2b) + (b - a) < (a + 5) + (4 - 2a)\). Dies ergibt \(2a - b < 9 - a\). Durch Addition von \(a\) auf beiden Seiten erhält man \(3a - b < 9\).

1) Folgerung: \(27 > 12\) 2) Folgerung: \(-7 < 4\) 3) Folgerung: \(4x > 3\), also \(x > 0{,}75\) 4) Folgerung: \(3a - b < 9\)

- Versuche, für das Gegenbeispiel Werte zu finden, die zwar die Bedingungen erfüllen, deren Differenz aber sehr klein wird. - Was passiert, wenn \(y\) fast so groß ist wie \(x\)? - Denke daran, dass eine mathematische Regel für alle möglichen Zahlenkombinationen gelten muss, die die Voraussetzungen erfüllen.

1. Anwendung der Subtraktionsregel für Ungleichungen mit entgegengesetzter Orientierung: Aus \(x > 15\) und \(y < 6\) folgt \(x - y > 15 - 6\). Das Ergebnis ist \(x - y > 9\). 2. Prüfung der fehlerhaften Subtraktion bei gleicher Orientierung: Angenommen, man würde \(y > 10\) von \(x > 15\) subtrahieren und \(x - y > 5\) erhalten. Wählt man nun beispielhaft \(x = 16\) und \(y = 14\), so sind beide Ausgangsbedingungen erfüllt (\(16 > 15\) und \(14 > 10\)). 3. Berechnung der Differenz für das Gegenbeispiel: \(x - y = 16 - 14 = 2\). Da \(2\) nicht größer als \(5\) ist, ist die durch Subtraktion gewonnene Aussage \(x - y > 5\) im allgemeinen Fall falsch.

1. \(x - y > 9\) 2. Ein mögliches Gegenbeispiel ist \(x = 16\) und \(y = 14\). Hier gilt \(x > 15\) und \(y > 10\), aber die Differenz \(x - y = 2\) ist nicht größer als \(5\).

- Berechne zuerst die Produkte für jede Seite einzeln. - Vergleiche das Relationszeichen deiner fertigen Zeile mit den Zeichen in der Aufgabenstellung. - Überlege, welche Rolle die negativen Zahlen bei der Multiplikation spielen könnten.

1. Fall a): Linke Seite \(2 \cdot 4 = 8\), rechte Seite \(5 \cdot 6 = 30\). Es gilt \(8 < 30\). Das Zeichen bleibt \(<\). 2. Fall b): Linke Seite \(5 \cdot (-4) = -20\), rechte Seite \((-2) \cdot (-8) = 16\). Es gilt \(-20 < 16\). Das Zeichen hat sich von \(>\) zu \(<\) geändert. 3. Fall c): Linke Seite \((-3) \cdot (-5) = 15\), rechte Seite \(4 \cdot (-1) = -4\). Es gilt \(15 > -4\). Das Zeichen hat sich von \(<\) zu \(>\) geändert. 4. Schlussfolgerung: In den Fällen b) und c) hat sich die Richtung des Zeichens geändert.

a) \(8 < 30\) (Zeichen bleibt gleich) b) \(-20 < 16\) (Zeichen ändert sich) c) \(15 > -4\) (Zeichen ändert sich) Die Richtung des Zeichens hat sich in den Fällen b) und c) geändert.

- Wie übersetzt man Formulierungen wie „höchstens“ oder „nicht negativ“ in mathematische Zeichen? - Erinnere dich daran, dass „nicht negativ“ auch den Wert \(0\) einschließt. - Wenn auf beiden Seiten der Ungleichung Terme mit \(x\) stehen, kannst du sie wie bei einer normalen Gleichung zusammenfassen. - Achte genau darauf, ob das Ergebnis einen bestimmten Wert einschließen darf oder nicht.

1. Die Bedingung „höchstens \(10\)“ entspricht \(4(x + 2) \leq 10\). Ausmultiplizieren ergibt \(4x + 8 \leq 10\). Subtraktion von \(8\) ergibt \(4x \leq 2\), woraus durch Division \(x \leq 0{,}5\) folgt. 2. Die Bedingung „nicht negativ“ entspricht \(\geq 0\). Aus \(15 - 5x \geq 0\) folgt durch Subtraktion \(15 \geq 5x\) und durch Division \(3 \geq x\) bzw. \(x \leq 3\). 3. Der Vergleich der Terme führt zu \(5x - 8 > 2x + 1\). Subtraktion von \(2x\) ergibt \(3x - 8 > 1\). Addition von \(8\) ergibt \(3x > 9\), woraus \(x > 3\) folgt.

1) \(x \leq 0{,}5\) 2) \(x \leq 3\) 3) \(x > 3\)

- Übersetze die Formulierungen Schritt für Schritt in die Sprache der Mathematik. - Testrechnungen mit verschiedenen Werten helfen oft, eine allgemeine Aussage zu beurteilen. - Reicht ein einziges Beispiel aus, um zu zeigen, dass etwas „immer“ stimmt? Reicht ein einziges Beispiel aus, um zu zeigen, dass etwas nicht immer stimmt?

1. Aufstellen der Terme: Das Dreifache der Zahl ist \(3x\). Die Summe aus der Zahl und 10 ist \(x + 10\). 2. Überprüfung für \(x = 2\): \(3 \cdot 2 = 6\) und \(2 + 10 = 12\). Da \(6 < 12\), ist die Behauptung für \(x = 2\) falsch. 3. Überprüfung für \(x = 10\): \(3 \cdot 10 = 30\) und \(10 + 10 = 20\). Da \(30 > 20\), ist die Behauptung für \(x = 10\) wahr. 4. Da die Behauptung für \(x = 2\) nicht stimmt, ist sie nicht für alle positiven ganzen Zahlen wahr. Sie gilt erst für Zahlen, die größer als 5 sind (da \(3x > x + 10 \Leftrightarrow 2x > 10 \Leftrightarrow x > 5\)).

a) Die Terme lauten \(3x\) und \(x + 10\). b) Für \(x = 2\) ist \(6 < 12\) (falsch); für \(x = 10\) ist \(30 > 20\) (wahr). c) Nein, sie ist nicht immer wahr, wie das Gegenbeispiel \(x = 2\) zeigt.

- Kannst du eine Formel für die Länge der Kerze nach einer bestimmten Zeit aufstellen? - Achte darauf, ob die Kerze genau \(10\,\text{cm}\) lang sein soll oder bereits kürzer. - Denke daran, dass sich das Ungleichheitszeichen umkehrt, wenn du durch eine negative Zahl dividierst oder mit einer negativen Zahl multiplizierst. Bestimme außerdem, wann die Kerze vollständig abgebrannt ist.

1. Ungleichung für eine Kerzenlänge unter \(10\,\text{cm}\): \(25-1{,}2h<10\). 2. Subtraktion von \(25\): \(-1{,}2h<-15\). 3. Division durch \(-1{,}2\); dabei kehrt sich das Ungleichheitszeichen um: \(h>12{,}5\). 4. Die Kerze ist vollständig abgebrannt, wenn \(25-1{,}2h=0\). Daraus folgt \(h=\frac{125}{6}\approx20{,}83\). 5. Im physikalisch sinnvollen Zeitraum ist die Kerze daher für \(12{,}5<h\leq\frac{125}{6}\) kürzer als \(10\,\text{cm}\).

Bis zum vollständigen Abbrennen ist die Kerze für \(12{,}5<h\leq\frac{125}{6}\) Stunden (also bis etwa \(20{,}83\) Stunden) kürzer als \(10\,\text{cm}\).

- Was passiert mit dem Ergebnis einer Multiplikation, wenn einer der Faktoren 1 ist? - Was passiert, wenn man eine Zahl mit 0 multipliziert? - Erinnere dich an die Regeln für das Umformen von Ungleichungen, wenn man mit einer negativen Zahl dividiert. - Probiere Beispielwerte für \(a\) und \(b\) aus, um ein Gefühl für die Richtung der Ungleichung zu bekommen.

1. Die Gleichung \(ab = a\) lässt sich zu \(ab - a = 0\) und somit \(a(b - 1) = 0\) umformen. Dies ist erfüllt, wenn \(a = 0\) (wobei \(b\) beliebig sein kann) oder wenn \(b = 1\) ist. 2. Bei \(ab < a\) mit \(a > 0\) kann man die Ungleichung durch \(a\) dividieren, ohne das Relationszeichen zu drehen. Es ergibt sich \(b < 1\). 3. Ist \(a < 0\), dreht sich bei der Division der Ungleichung \(ab < a\) durch \(a\) das Relationszeichen um. Es ergibt sich \(b > 1\).

1) \(a = 0\) mit beliebigem \(b\) oder \(b = 1\). 2) Für \(a > 0\) gilt \(b < 1\). 3) Für \(a < 0\) gilt \(b > 1\).

- Versuche bei b) zuerst, den Term mit den Betragsstrichen allein auf eine Seite der Ungleichung zu bringen, genau wie bei einer Gleichung. - Erinnere dich daran, dass eine Ungleichung mit \(|...| < a\) einen Bereich „zwischen“ zwei Werten beschreibt. - Was bedeutet es für den Ausdruck innerhalb der Betragsstriche, wenn sein Betrag größer als eine Zahl sein soll? Welche zwei Richtungen auf der Zahlengeraden musst du betrachten?

1. Teilaufgabe a): Die Ungleichung \(|2x + 6| < 10\) in die Doppelungleichung \(-10 < 2x + 6 < 10\) umformen. 2. Subtraktion von \(6\) ergibt \(-16 < 2x < 4\). 3. Division durch \(2\) liefert \(-8 < x < 2\). Die Lösungsmenge ist \(L_a = \{x \in \mathbb{Q} \mid -8 < x < 2\}\). 4. Teilaufgabe b): Zuerst den Betrag isolieren durch Addition von \(5\): \(4 \cdot |x - 1| \ge 12\). 5. Division durch \(4\) ergibt \(|x - 1| \ge 3\). 6. Fallunterscheidung für die Ungleichung: \(x - 1 \ge 3\) oder \(x - 1 \le -3\). 7. Auflösen der Fälle: \(x \ge 4\) oder \(x \le -2\). Die Lösungsmenge ist \(L_b = \{x \in \mathbb{Q} \mid x \le -2 \text{ oder } x \ge 4\}\).

a) \(L_a = \{x \in \mathbb{Q} \mid -8 < x < 2\}\) b) \(L_b = \{x \in \mathbb{Q} \mid x \le -2 \text{ oder } x \ge 4\}\)

- Für den ersten Teil: Addiere zunächst die Ungleichungen. Bestimme anschließend aus jeder Ausgangsungleichung den kleinsten möglichen ganzzahligen Wert für \(x\) beziehungsweise \(y\). - Beachte, dass die addierte Ungleichung nur eine Folgerung ist und die ursprünglichen Bedingungen schwächer wiedergeben kann. - Für den zweiten Teil: Probiere verschiedene Zahlenpaare aus. Kannst du Beispiele finden, bei denen einmal „kleiner“, einmal „größer“ und einmal „gleich“ herauskommt? - Warum ist es wichtig, dass die Ungleichheitszeichen in die gleiche Richtung zeigen?

1. Addition für Teil a): \((x + 3) + (y - 5) > 10 + 2\). Vereinfachung der linken Seite ergibt \(x + y - 2 > 12\). 2. Durch Addition von \(2\) auf beiden Seiten folgt die Folgerung \(x + y > 14\). 3. Diese Folgerung allein reicht nicht aus, um den kleinstmöglichen Wert von \(x + y\) zu bestimmen. Aus den Ausgangsungleichungen folgt einzeln \(x > 7\) und \(y > 7\). 4. Da \(x\) und \(y\) ganze Zahlen sind, sind die kleinsten möglichen Werte \(x = 8\) und \(y = 8\). Daher ist der kleinstmögliche Wert der Summe \(x + y = 16\). 5. Untersuchung für Teil b): Betrachtung von \(5 < 12\) und \(10 > 3\). Die Summe der linken Seiten ist \(15\), die Summe der rechten Seiten ist ebenfalls \(15\). Hier gilt Gleichheit (\(15 = 15\)). 6. Gegenbeispiel: \(1 < 2\) und \(10 > 1\). Summe links: \(11\), rechts: \(3\). Es gilt \(11 > 3\). Ein weiteres Beispiel \(1 < 10\) und \(2 > 1\) ergibt \(3 < 11\). 7. Schlussfolgerung: Da je nach gewählten Zahlen unterschiedliche Relationen (\(=\), \(>\), \(<\)) entstehen können, ist keine allgemeingültige Aussage möglich.

a) Durch gliedweise Addition folgt \(x + y > 14\). Aus den beiden Ausgangsungleichungen ergibt sich jedoch \(x > 7\) und \(y > 7\); für ganze Zahlen ist der kleinstmögliche Wert der Summe daher \(16\). b) Nein, man erhält keine eindeutige Aussage. Beispiel: \(5 < 12\) und \(10 > 3\) ergibt \(15 = 15\), während \(1 < 2\) und \(10 > 1\) zu \(11 > 3\) führt. Das Ergebnis hängt von den konkreten Werten ab.