Kostenlose Arbeitsblätter

- Wie viele Kanten hat eine quadratische Pyramide insgesamt? - Kannst du eine Skizze machen und die Kanten beschriften? - Wie hängen die Längen der Seitenkanten von der Grundkante ab?

1. Definition der Variablen: Sei \(a\) die Länge einer Grundkante in \(\text{cm}\). Dann ist die Länge einer Seitenkante \(s = a + 5\). 2. Gesamtlänge bestimmen: Die Pyramide hat 4 Grundkanten und 4 Seitenkanten. Gesamtlänge \(L = 4 \cdot a + 4 \cdot (a + 5) = 8 \cdot a + 20\). 3. Gleichung aufstellen: \(8 \cdot a + 20 = 200\,\text{cm}\). 4. Lösung nach \(a\): \(8 \cdot a = 180 \implies a = 22{,}5\,\text{cm}\). 5. Seitenkante berechnen: \(s = 22{,}5\,\text{cm} + 5\,\text{cm} = 27{,}5\,\text{cm}\).

Eine Grundkante ist \(22{,}5\,\text{cm}\) lang und eine Seitenkante ist \(27{,}5\,\text{cm}\) lang.

- Wie lautet die Formel für den Umfang eines Rechtecks? - Überlege, wie du die Seitenlängen mit einer Variablen ausdrücken kannst, wenn eine Seite dreimal so lang ist wie die andere. - Was bedeutet der Ausdruck „höchstens“ für das mathematische Vergleichszeichen? - Stelle eine Ungleichung auf und löse sie nach der unbekannten Seite auf.

1. Sei die kürzere Seite \(x\). Dann ist die längere Seite \(3x\). 2. Der Umfang \(U\) berechnet sich durch \(U = 2 \cdot (x + 3x) = 2 \cdot 4x = 8x\). 3. Die Bedingung lautet \(8x \leq 48\). 4. Durch Division durch \(8\) erhält man \(x \leq 6\). 5. Die maximale Länge der kürzeren Seite ist somit \(6\,\text{cm}\). 6. Die maximale Länge der längeren Seite ist \(3 \cdot 6\,\text{cm} = 18\,\text{cm}\).

Die größtmöglichen Seitenlängen betragen \(6\,\text{cm}\) und \(18\,\text{cm}\).

- Wie berechnet man den Umfang eines Rechtecks, wenn man Länge und Breite kennt? - Versuche zuerst, die Terme für die Länge und die Breite zu addieren. - Kannst du eine Gleichung aufstellen, in der der gesamte Umfang vorkommt? - Achte beim Auflösen der Klammern auf das Distributivgesetz.

1. Aufstellen der Umfangsgleichung für ein Rechteck: \(2 \cdot (\text{Länge} + \text{Breite}) = \text{Umfang}\). 2. Einsetzen der gegebenen Terme: \(2 \cdot ((2 \cdot x + 5) + (x + 3)) = 52\). 3. Zusammenfassen der Terme in der Klammer: \(2 \cdot (3 \cdot x + 8) = 52\). 4. Auflösen der Klammer durch Multiplikation: \(6 \cdot x + 16 = 52\). 5. Subtraktion von 16 auf beiden Seiten: \(6 \cdot x = 36\). 6. Division durch 6: \(x = 6\).

Der Wert von \(x\) ist \(6\).

- Welche der drei Seiten ist bei positivem \(k\) die längste? - Was muss für die Summe der beiden kürzeren Seiten im Vergleich zur längsten Seite gelten? - Wie berechnet man den Umfang eines Dreiecks?

Damit ein Dreieck existiert, muss die Summe der zwei kürzeren Seiten größer als die längste Seite sein. 1. \(k + (k+2) > k+4 \Rightarrow 2k + 2 > k+4 \Rightarrow k > 2\) 2. Die anderen Bedingungen (\(k + k+4 > k+2\) und \(k+2 + k+4 > k\)) sind für alle positiven \(k\) erfüllt. Somit muss \(k > 2\) gelten. Für eine ganze Zahl \(k\) ist der kleinste Wert \(k = 3\). Der Umfang berechnet sich als \(U = k + (k+2) + (k+4) = 3k + 6\). Einsetzen von \(k = 3\): \(U = 3 \cdot 3 + 6 = 15\,\text{cm}\).

Es muss \(k > 2\) gelten. Der kleinstmögliche Umfang für eine ganze Zahl \(k\) beträgt \(15\,\text{cm}\).

- Welche Formel verbindet den Flächeninhalt eines Dreiecks mit seiner Grundseite und Höhe? - Kannst du die gesuchte Größe als Variable in eine Gleichung einbauen? - Was musst du tun, um die Variable auf einer Seite der Gleichung allein stehen zu haben? - Überprüfe am Ende, ob dein Ergebnis mit der Formel wieder den ursprünglichen Flächeninhalt ergibt.

1. Aufstellen der Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks: \(A = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h\). 2. Einsetzen der gegebenen Werte in die Gleichung: \(18{,}6 = \frac{1}{2} \cdot g \cdot 4\). 3. Vereinfachen der Gleichung durch Zusammenfassen der Zahlenwerte: \(18{,}6 = 2 \cdot g\). 4. Division beider Seiten durch \(2\) zur Isolierung der Unbekannten: \(g = 9{,}3\). 5. Die Grundseite beträgt \(9{,}3\,\text{cm}\).

Die Grundseite des Dreiecks ist \(9{,}3\,\text{cm}\) lang.

- Kannst du eine Variable für die unbekannte Breite festlegen? - Wie hängen Länge und Breite laut Text zusammen? - Erinnere dich an die Formel für den Umfang eines Rechtecks. - Stelle eine Gleichung auf, in der nur noch eine Unbekannte vorkommt.

1. Definition der Variablen: Sei \(x\) die Breite des Rechtecks in \(\text{cm}\). Die Länge ist dann \(x + 13\). 2. Aufstellen der Umfangsgleichung: \(U = 2 \cdot (\text{Länge} + \text{Breite})\), also \(126 = 2 \cdot (x + 13 + x)\). 3. Vereinfachen der Gleichung: \(126 = 2 \cdot (2x + 13) \Rightarrow 126 = 4x + 26\). 4. Lösen nach \(x\): \(100 = 4x \Rightarrow x = 25\). 5. Berechnung der Seiten: Die Breite beträgt \(25\,\text{cm}\). Die Länge beträgt \(25 + 13 = 38\,\text{cm}\).

Die Breite des Rechtecks beträgt \(25\,\text{cm}\) und die Länge beträgt \(38\,\text{cm}\).

- Was weißt du über die Summe von Nebenwinkeln? - Könntest du den kleineren Winkel mit einem Buchstaben benennen? - Wie lässt sich der größere Winkel ausdrücken, wenn er einen festen Betrag mehr als der kleinere hat? - Stelle eine Gleichung auf, bei der auf der einen Seite die Summe der Winkelmaße und auf der anderen Seite der Gesamtwert steht.

1. Definition der Unbekannten: Das Winkelmaß des kleineren Winkels in Grad wird als \(x\) bezeichnet. 2. Aufstellen des Terms für den größeren Winkel: Da dieser um \(44^\circ\) größer ist, lautet sein Winkelmaß in Grad \(x + 44\). 3. Aufstellen der Gleichung: Die Summe der Nebenwinkel ergibt \(180^\circ\), also \(x + (x + 44) = 180\). 4. Zusammenfassen und Lösen der Gleichung: \(2x + 44 = 180 \Rightarrow 2x = 136 \Rightarrow x = 68\). 5. Berechnung der Winkelmaße: Der kleinere Winkel beträgt \(68^\circ\), der größere Winkel beträgt \(68^\circ + 44^\circ = 112^\circ\).

Die Winkel sind \(68^\circ\) und \(112^\circ\) groß.

- Wie berechnet man den Umfang eines Rechtecks? - Kannst du die unbekannten Seiten mithilfe einer Variablen und dem gegebenen Verhältnis ausdrücken? - Wie viele „Teile“ umfasst die Summe aus Länge und Breite insgesamt? - Stelle eine Gleichung auf, die alle Seitenlängen kombiniert, um den Gesamtumfang zu erhalten.

1. Da das Verhältnis der Seiten \(5 : 3\) ist, werden die Seiten als \(5x\) und \(3x\) bezeichnet. 2. Die Formel für den Umfang eines Rechtecks lautet \(U = 2 \cdot (a + b)\). Eingesetzt ergibt sich die Gleichung \(2 \cdot (5x + 3x) = 64\). 3. Vereinfachen der Gleichung: \(2 \cdot 8x = 64 \implies 16x = 64\). 4. Lösen nach \(x\): \(x = 64 : 16 = 4\). 5. Berechnung der tatsächlichen Längen: Die Länge beträgt \(5 \cdot 4 = 20\,\text{m}\) und die Breite beträgt \(3 \cdot 4 = 12\,\text{m}\).

Das Beet ist \(20\,\text{m}\) lang und \(12\,\text{m}\) breit.

- Wie berechnet man den Umfang eines Rechtecks, wenn man Länge und Breite kennt? - Kannst du eine der Seiten mit einem Buchstaben benennen und die andere Seite durch diesen Buchstaben ausdrücken? - Erstelle eine Gleichung, in der die Summe aller vier Seiten dem Gesamtumfang entspricht. - Überprüfe am Ende, ob deine berechneten Maße zusammen wirklich den gesuchten Umfang ergeben.

1. Festlegen der Breite als Variable \(x\). 2. Aufstellen des Terms für die Länge basierend auf der Breite: \(3x - 2\). 3. Aufstellen der Gleichung für den Umfang eines Rechtecks: \(2 \cdot (x + 3x - 2) = 44\). 4. Zusammenfassen der Terme innerhalb der Klammer: \(2 \cdot (4x - 2) = 44\). 5. Auflösen der Klammer: \(8x - 4 = 44\). 6. Isolation der Variable durch Addition von 4: \(8x = 48\). 7. Division durch 8 ergibt die Breite: \(x = 6\,\text{m}\). 8. Einsetzen des Wertes zur Berechnung der Länge: \(3 \cdot 6 - 2 = 16\,\text{m}\).

Das Beet ist \(6\,\text{m}\) breit und \(16\,\text{m}\) lang.

- Wie berechnet man den Umfang einer Figur, wenn die einzelnen Seitenlängen bekannt sind? - Überlege dir, wie du „doppelt so lang“ oder „\(3\,\text{cm}\) kürzer“ mathematisch ausdrücken kannst. - Wenn du die erste Seite mit \(x\) bezeichnest, wie sehen dann die Terme für die anderen beiden Seiten aus? - Kannst du die Terme für die drei Seiten zu einem Gesamtausdruck für den Umfang zusammenfügen?

1. Aufstellen der Gleichung für den Umfang als Summe der drei Seiten: \(x + (x + 3) + 2x = 27\). 2. Zusammenfassen der Terme auf der linken Seite ergibt \(4x + 3 = 27\). 3. Lösen der Gleichung durch Subtraktion von 3 (\(4x = 24\)) und Division durch 4 ergibt \(x = 6\). 4. Berechnung der Seitenlängen: Die erste Seite ist \(6\,\text{cm}\), die zweite Seite \(6 + 3 = 9\,\text{cm}\) und die dritte Seite \(2 \cdot 6 = 12\,\text{cm}\). 5. Für die geänderte Bedingung (dritte Seite \(x - 3\)) lautet die neue Gleichung: \(x + (x + 3) + (x - 3) = 27\).

a) \(x + (x + 3) + 2x = 27\) (oder vereinfacht \(4x + 3 = 27\)) b) Die Seiten sind \(6\,\text{cm}\), \(9\,\text{cm}\) und \(12\,\text{cm}\) lang. c) Die Gleichung würde \(x + (x + 3) + (x - 3) = 27\) lauten.

- Was ist gesucht und wie hängen die Flächeninhalte der beiden Beete zusammen? - Kannst du die Flächeninhalte mit einer Unbekannten ausdrücken? - Wie berechnet man den Unterschied zwischen zwei Flächen? - Stelle eine Gleichung auf, die den Unterschied der Flächen nutzt.

1. Definition der Breite als Variable \(x\) 2. Aufstellen der Gleichung für die Differenz der Flächeninhalte: \(60 \cdot x - 45 \cdot x = 375\) 3. Zusammenfassen der Terme auf der linken Seite: \(15 \cdot x = 375\) 4. Division durch \(15\) zur Bestimmung von \(x\): \(x = 25\,\text{m}\)

Die Breite der Beete beträgt \(25\,\text{m}\).

- Wie viel Platz nehmen die Plakate insgesamt ein, wenn man ihre Breite zusammenzählt? - Wenn du \(n\) Plakate hast, wie viele Zwischenräume gibt es dann insgesamt, inklusive der Ränder? - Kannst du für den zweiten Teil eine Gleichung aufstellen, in der die Anzahl der Plakate die Unbekannte ist?

1. Berechnung der von \(4\) Plakaten eingenommenen Breite: \(4 \cdot 1{,}20\,\text{m} = 4{,}80\,\text{m}\). 2. Berechnung der verbleibenden Reststrecke für die Abstände: \(15\,\text{m} - 4{,}80\,\text{m} = 10{,}20\,\text{m}\). 3. Bestimmung der Anzahl der Zwischenräume: Bei \(4\) Plakaten gibt es \(5\) Zwischenräume (einer vor dem ersten, drei dazwischen, einer nach dem letzten). 4. Berechnung des Abstands für Teil a: \(10{,}20\,\text{m} : 5 = 2{,}04\,\text{m}\). 5. Aufstellen einer Gleichung für Teil b: Sei \(x\) die Anzahl der Plakate. Dann gilt \(1{,}20 \cdot x + 1{,}50 \cdot (x + 1) = 15\). 6. Lösen der Gleichung: \(1{,}20 \cdot x + 1{,}50 \cdot x + 1{,}50 = 15 \Rightarrow 2{,}70 \cdot x = 13{,}50 \Rightarrow x = 5\).

a) Der Abstand beträgt \(2{,}04\,\text{m}\). b) Es passen \(5\) Plakate an die Wand.

- Wie viele Kanten hat ein Quader insgesamt und wie viele davon sind jeweils gleich lang? - Kannst du die Längen aller Kanten durch eine einzige Unbekannte ausdrücken? - Achte darauf, die Einheiten von Metern in Zentimeter umzurechnen, bevor du rechnest.

1. Definition der Variablen: Sei \(x\) die Länge der kürzeren Grundkante in \(\text{cm}\). Die längere Grundkante ist dann \(2 \cdot x\) und die Höhe ebenfalls \(2 \cdot x\). 2. Gesamtlänge des Drahtes: Ein Quader hat jeweils vier Kanten jeder Art. Die Gesamtlänge \(L\) beträgt \(4 \cdot x + 4 \cdot (2 \cdot x) + 4 \cdot (2 \cdot x) = 20 \cdot x\). 3. Gleichung aufstellen: \(20 \cdot x = 360\,\text{cm}\). 4. Lösung nach \(x\): \(x = \frac{360}{20} = 18\,\text{cm}\). 5. Berechnung der anderen Kanten: Die längere Grundkante und die Höhe sind \(2 \cdot 18\,\text{cm} = 36\,\text{cm}\).

Die kürzere Grundkante ist \(18\,\text{cm}\) lang; die längere Grundkante und die Höhe sind jeweils \(36\,\text{cm}\) lang.

- Überlege dir, wie man den Flächeninhalt eines Rechtecks berechnet. - Kannst du die neue Breite und die neue Höhe mithilfe der unbekannten alten Höhe ausdrücken? - Stelle eine Gleichung auf, die den alten und den neuen Flächeninhalt zueinander in Beziehung setzt. - Achte darauf, dass der neue Flächeninhalt um einen bestimmten Wert größer ist als der ursprüngliche.

1. Aufstellen der Terme für die Seitenlängen: Ursprüngliche Breite \(b_1 = 10\,\text{cm}\), ursprüngliche Höhe \(h_1 = x\). Neue Breite \(b_2 = 15\,\text{cm}\), neue Höhe \(h_2 = x - 2\). 2. Aufstellen der Flächeninhaltsgleichung: Der neue Flächeninhalt ist um \(10\) größer als der alte: \(15 \cdot (x - 2) = 10 \cdot x + 10\). 3. Lösen der Gleichung: \(15 \cdot x - 30 = 10 \cdot x + 10\). Subtraktion von \(10 \cdot x\) und Addition von \(30\) führt zu \(5 \cdot x = 40\). 4. Ergebnis: \(x = 8\). Die ursprüngliche Höhe beträgt \(8\,\text{cm}\).

Die ursprüngliche Höhe des Plakats betrug \(8\,\text{cm}\).

- Was weißt du über die Seiten eines Quadrats im Vergleich zu einem Rechteck? - Bezeichne die unbekannte Seite des Quadrats mit einer Variablen. - Wie kannst du die Länge und Breite des Rechtecks mit dieser Variablen beschreiben? - Wenn du die Klammern beim Flächeninhalt des Rechtecks auflöst, heben sich die quadratischen Begriffe gegenseitig auf.

1. Definition der Variablen: Seitenlänge des Quadrats sei \(s\). Flächeninhalt Quadrat \(A_Q = s^2\). 2. Seiten des Rechtecks: Länge \(l = s + 4\), Breite \(b = s - 3\). Flächeninhalt Rechteck \(A_R = (s + 4) \cdot (s - 3)\). 3. Gleichsetzen der Flächen: \(s^2 = (s + 4) \cdot (s - 3)\). 4. Ausmultiplizieren und Lösen: \(s^2 = s^2 + 4 \cdot s - 3 \cdot s - 12\), was sich zu \(s^2 = s^2 + s - 12\) vereinfacht. 5. Subtraktion von \(s^2\) auf beiden Seiten ergibt \(0 = s - 12\), also \(s = 12\).

Die Seitenlänge des quadratischen Beets beträgt \(12\,\text{m}\).

- Kannst du die Länge mithilfe der Breite ausdrücken? - Stelle einen Term für den Umfang auf, der nur eine Variable enthält. - Welche Einschränkung gibt es für den Umfang? - Löse die entstandene Ungleichung Schritt für Schritt auf.

1. Sei die Breite \(b\). Dann ist die Länge \(l = b + 4\). 2. Der Umfang beträgt \(U = 2 \cdot (b + b + 4) = 2 \cdot (2b + 4) = 4b + 8\). 3. Es gilt die Ungleichung \(4b + 8 \leq 40\). 4. Subtraktion von \(8\) ergibt \(4b \leq 32\). 5. Division durch \(4\) ergibt \(b \leq 8\). 6. Die maximale Breite des Beetes beträgt somit \(8\,\text{m}\).

Das Beet kann höchstens \(8\,\text{m}\) breit sein.

- Was bedeutet „gleichschenklig“ für die Seitenlängen des Dreiecks? - Wie setzt sich der Umfang aus den drei Seiten zusammen? - Schreibe die Summe aller Seiten als Term auf und setze ihn mit dem Gesamtwert gleich. - Achte darauf, wie oft jeder Term in der Rechnung vorkommen muss.

1. Aufstellen der Gleichung für den Umfang eines gleichschenkligen Dreiecks: \(\text{Basis} + 2 \cdot \text{Schenkel} = \text{Umfang}\). 2. Einsetzen der Terme: \((y - 2) + 2 \cdot (2y + 1) = 35\). 3. Auflösen der Klammer: \(y - 2 + 4y + 2 = 35\). 4. Zusammenfassen der Terme: \(5y = 35\). 5. Division durch 5: \(y = 7\).

Der Wert von \(y\) ist \(7\).

- Erinnere dich an die Dreiecksungleichung: Die Summe zweier Seiten muss immer länger sein als die verbleibende Seite. - Stelle für alle drei Kombinationen von Seiten eine Ungleichung auf. - Löse die Ungleichungen nach der Unbekannten auf. - Überlege, welche ganze Zahl als erstes in den gefundenen Bereich fällt.

Die Dreiecksungleichung besagt, dass die Summe zweier Seitenlängen stets größer als die dritte Seitenlänge sein muss. 1. \(x + 12 > 3x - 2 \Rightarrow 14 > 2x \Rightarrow x < 7\) 2. \(x + (3x - 2) > 12 \Rightarrow 4x - 2 > 12 \Rightarrow 4x > 14 \Rightarrow x > 3{,}5\) 3. \(12 + (3x - 2) > x \Rightarrow 10 + 3x > x \Rightarrow 2x > -10 \Rightarrow x > -5\) Da Seitenlängen zudem positiv sein müssen, gilt \(x > 0\) und \(3x-2 > 0 \Rightarrow x > \frac{2}{3}\). Die Kombination aller Bedingungen ergibt das Intervall \(3{,}5 < x < 7\). Die kleinste ganze Zahl in diesem Bereich ist \(4\).

Der Wert für \(x\) muss im Bereich \(3{,}5 < x < 7\) liegen. Die kleinste mögliche ganze Zahl für \(x\) ist \(4\).

- Berechne zuerst den Flächeninhalt der Form, von der du alle Maße kennst. - Was bedeutet es für die Rechnung, wenn zwei Flächen den gleichen Inhalt haben? - Kannst du die Flächenformel für das Dreieck so umstellen, dass du die Höhe berechnen kannst? - Achte darauf, dass beim Dreieck der Faktor \(\frac{1}{2}\) in der Formel steht.

1. Berechnung des Flächeninhalts des Parallelogramms: \(A_P = g \cdot h = 8 \cdot 4{,}5 = 36\,\text{cm}^2\). 2. Gleichsetzen der Flächeninhalte: \(A_D = A_P = 36\,\text{cm}^2\). 3. Aufstellen der Gleichung für den Flächeninhalt des Dreiecks: \(36 = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot h_D\). 4. Vereinfachen der Gleichung: \(36 = 6 \cdot h_D\). 5. Auflösen nach der Höhe durch Division: \(h_D = 36 : 6 = 6\). 6. Die Höhe des Dreiecks beträgt \(6\,\text{cm}\).

Die Höhe des Dreiecks beträgt \(6\,\text{cm}\).

- Was bedeutet es für die Seitenlängen einer Figur, wenn sie ein Quadrat ist? - Versuche, die Seiten des Quadrats mithilfe der ursprünglichen Rechtecksseiten auszudrücken. - Wie kannst du den Zusammenhang zwischen der kurzen und der langen Seite in eine Gleichung übersetzen? - Überprüfe am Ende, ob deine gefundenen Seitenlängen nach der Änderung wirklich ein Quadrat ergeben.

1. Variable festlegen: Sei \(s\) die kurze Seite des ursprünglichen Rechtecks. Die lange Seite ist dann \(3s\). 2. Seiten des Quadrats beschreiben: Die neue kurze Seite ist \(s + 5\), die neue lange Seite ist \(3s - 5\). 3. Gleichung aufstellen: Da ein Quadrat vier gleich lange Seiten hat, gilt \(3s - 5 = s + 5\). 4. Gleichung lösen: \(2s = 10 \Rightarrow s = 5\). 5. Ursprüngliche Maße bestimmen: Die kurze Seite ist \(5\,\text{cm}\), die lange Seite ist \(3 \cdot 5 = 15\,\text{cm}\). 6. Umfang berechnen: \(U = 2 \cdot (5 + 15) = 40\,\text{cm}\).

Die kurze Seite des Rechtecks ist \(5\,\text{cm}\) lang, die lange Seite ist \(15\,\text{cm}\) lang. Der Umfang des Rechtecks beträgt \(40\,\text{cm}\).

- Was bedeutet es für die Seitenlängen einer Figur, wenn sie ein Quadrat ist? - Wie hängen der Umfang und die beiden unterschiedlichen Seiten eines Rechtecks zusammen? - Kannst du eine der unbekannten Seiten mithilfe der anderen ausdrücken? - Überlege dir, wie sich die Seitenlängen verändern, um vom Rechteck zum Quadrat zu kommen.

1. Sei \(x\) die Länge der kürzeren Seite in \(\text{cm}\). 2. Da das Verlängern der kurzen Seite um \(3\,\text{cm}\) und das Verkürzen der langen Seite um \(3\,\text{cm}\) zur gleichen Seitenlänge führt (Eigenschaft eines Quadrats), ist die längere Seite um \(6\,\text{cm}\) länger als die kurze Seite: \(x + 6\). 3. Die Formel für den Umfang eines Rechtecks lautet \(U = 2 \cdot (a + b)\). Einsetzen der Werte ergibt die Gleichung: \(2 \cdot (x + (x + 6)) = 40\). 4. Vereinfachen der Gleichung: \(2 \cdot (2x + 6) = 40 \Rightarrow 4x + 12 = 40\). 5. Lösen nach \(x\): \(4x = 28 \Rightarrow x = 7\). 6. Berechnen der längeren Seite: \(7 + 6 = 13\). Die Seitenlängen des Rechtecks betragen \(7\,\text{cm}\) und \(13\,\text{cm}\).

Die Seitenlängen des ursprünglichen Rechtecks sind \(7\,\text{cm}\) und \(13\,\text{cm}\).

- Überlege zuerst, wie viele Grad ein gestreckter Winkel insgesamt hat. - Versuche, alle drei gesuchten Winkel durch denselben Buchstaben auszudrücken. - Wenn der dritte Winkel so groß ist wie die ersten beiden zusammen, was bedeutet das für sein Verhältnis zum ersten Winkel? - Prüfe am Ende, ob die Summe deiner drei berechneten Winkel wirklich den gewünschten Gesamtwert ergibt.

1. Festlegen der Variablen: Der erste Winkel sei \(x\). 2. Ausdrücken der weiteren Winkel: Der zweite Winkel ist \(3x\). Der dritte Winkel ist die Summe der ersten beiden, also \(x + 3x = 4x\). 3. Aufstellen der Gleichung für den gestreckten Winkel: \(x + 3x + 4x = 180\). 4. Lösen der Gleichung: \(8x = 180 \Rightarrow x = 180 : 8 = 22{,}5\). 5. Berechnung der einzelnen Winkelwerte: Erster Winkel \(x = 22{,}5^\circ\), zweiter Winkel \(3 \cdot 22{,}5^\circ = 67{,}5^\circ\), dritter Winkel \(4 \cdot 22{,}5^\circ = 90^\circ\).

Die drei Winkel betragen \(22{,}5^\circ\), \(67{,}5^\circ\) und \(90^\circ\).

- Wie berechnet man den Flächeninhalt eines Rechtecks? - Wenn die eine Höhe doppelt so groß ist wie die andere, wie kannst du das als Zahl ausdrücken? - Kannst du eine Gleichung aufstellen, in der die Summe der beiden Flächen vorkommt? - Was ist die unbekannte Größe, nach der wir suchen?

1. Definition der Breite als Variable \(b\). 2. Bestimmung der Höhen: \(h_1 = 8\,\text{cm}\) und \(h_2 = 2 \cdot 8\,\text{cm} = 16\,\text{cm}\). 3. Aufstellen der Gleichung für den Gesamtflächeninhalt: \(8 \cdot b + 16 \cdot b = 192\). 4. Zusammenfassen der Terme: \(24 \cdot b = 192\). 5. Lösen nach \(b\): \(b = 192 : 24 = 8\). Die Breite beträgt \(8\,\text{cm}\). 6. Berechnung der Flächeninhalte: \(A_1 = 8\,\text{cm} \cdot 8\,\text{cm} = 64\,\text{cm}^2\) und \(A_2 = 16\,\text{cm} \cdot 8\,\text{cm} = 128\,\text{cm}^2\).

Die Breite der Rechtecke beträgt \(8\,\text{cm}\). Der Flächeninhalt des ersten Rechtecks ist \(64\,\text{cm}^2\) und der des zweiten \(128\,\text{cm}^2\).

- Was bedeutet es für die Formeln, wenn zwei verschiedene Figuren den gleichen Umfang haben? - Wie viele Seiten hat ein Quadrat und wie viele ein gleichseitiges Dreieck? Sind alle Seiten innerhalb einer dieser Figuren gleich lang? - Wenn du die Seite des Quadrats kennst, wie drückst du dann die Seite des Dreiecks aus? - Stelle eine Gleichung auf, die die beiden Umfänge miteinander vergleicht.

1. Definition der Seitenlänge des Quadrats als Variable \(s\). 2. Ausdruck der Seitenlänge des Dreiecks als \(s + 2{,}5\). 3. Gleichsetzen der Umfangsformeln (\(4 \cdot \text{Seite}\) für das Quadrat und \(3 \cdot \text{Seite}\) für das gleichseitige Dreieck): \(4s = 3 \cdot (s + 2{,}5)\). 4. Auflösen der Klammer auf der rechten Seite: \(4s = 3s + 7{,}5\). 5. Subtraktion von \(3s\) auf beiden Seiten ergibt die Seitenlänge des Quadrats: \(s = 7{,}5\,\text{cm}\). 6. Addition von \(2{,}5\,\text{cm}\) ergibt die Seitenlänge des Dreiecks: \(7{,}5 + 2{,}5 = 10\,\text{cm}\).

Die Seitenlänge des Quadrats beträgt \(7{,}5\,\text{cm}\) und die Seitenlänge des gleichseitigen Dreiecks beträgt \(10\,\text{cm}\).

- Welche Seite ist die kürzeste? Überlege, wie du die anderen Seiten im Verhältnis dazu ausdrücken kannst. - Was bedeutet der Begriff „Umfang“ für die Berechnung? - Könntest du eine Skizze machen und die Seiten mit Platzhaltern beschriften? - Stelle eine Gleichung auf, in der die Summe der drei Seiten dem Gesamtwert entspricht.

1. Definition der Variablen: Sei \(x\) die Länge der Seite \(a\) in \(\text{cm}\). 2. Aufstellen der Terme für die anderen Seiten: Seite \(b = 2 \cdot x\) und Seite \(c = 2 \cdot x - 5\). 3. Aufstellen der Gleichung für den Umfang: \(x + 2 \cdot x + (2 \cdot x - 5) = 45\). 4. Zusammenfassen und Lösen der Gleichung: \(5 \cdot x - 5 = 45 \Rightarrow 5 \cdot x = 50 \Rightarrow x = 10\). 5. Berechnung der Seitenlängen: \(a = 10\,\text{cm}\), \(b = 2 \cdot 10 = 20\,\text{cm}\) und \(c = 20 - 5 = 15\,\text{cm}\).

Die Seitenlängen betragen \(a = 10\,\text{cm}\), \(b = 20\,\text{cm}\) und \(c = 15\,\text{cm}\).

- Welche mathematische Regel gilt für alle Winkel in einem Dreieck? - Kannst du einen der Winkel als Platzhalter wählen und die anderen damit beschreiben? - Achte genau darauf, auf welchen Winkel sich die Beschreibung des dritten Winkels bezieht. - Wie lässt sich der Zusammenhang aller Winkel in einer Rechnung ausdrücken?

1. Festlegen der Variablen \(x\) für die Größe des Winkels \(\alpha\). 2. Ausdrücken der anderen Winkel durch \(x\): \(\beta = x + 20^\circ\) und \(\gamma = 3 \cdot (x + 20^\circ)\). 3. Anwendung des Satzes über die Innenwinkelsumme im Dreieck: \(x + (x + 20^\circ) + 3 \cdot (x + 20^\circ) = 180^\circ\). 4. Vereinfachen der Gleichung: \(x + x + 20^\circ + 3x + 60^\circ = 180^\circ \Rightarrow 5x + 80^\circ = 180^\circ\). 5. Lösen der Gleichung: \(5x = 100^\circ \Rightarrow x = 20^\circ\). 6. Berechnung der Winkel: \(\alpha = 20^\circ\), \(\beta = 20^\circ + 20^\circ = 40^\circ\), \(\gamma = 3 \cdot 40^\circ = 120^\circ\).

Die Winkel betragen \(\alpha = 20^\circ\), \(\beta = 40^\circ\) und \(\gamma = 120^\circ\).

- Überlege dir, wie man die Länge mithilfe der Breite ausdrücken kann. - Wie berechnet man den Flächeninhalt vor und nach der Änderung? - Stelle eine Gleichung auf, die den Unterschied zwischen den beiden Flächen beschreibt. - Stell dir das Rechteck bildlich vor: Welches Stück kommt weg, wenn man die Länge kürzt?

1. Definition der Variablen: Die Breite sei \(w\). Da die Länge dreimal so groß ist, gilt \(l = 3w\). 2. Aufstellen der Flächeninhaltsformel: Der ursprüngliche Flächeninhalt ist \(A = l \cdot w = 3w \cdot w = 3w^2\). 3. Modellierung der Änderung: Die neue Länge beträgt \(l_{neu} = 3w - 2\). Der neue Flächeninhalt ist \(A_{neu} = (3w - 2) \cdot w = 3w^2 - 2w\). 4. Aufstellen der Gleichung: Die Differenz der Flächeninhalte beträgt \(12\,\text{cm}^2\), also \(A - A_{neu} = 12\). Einsetzen ergibt \(3w^2 - (3w^2 - 2w) = 12\). 5. Lösen der Gleichung: Das Vereinfachen führt zu \(2w = 12\), woraus \(w = 6\,\text{cm}\) folgt. 6. Berechnung der Länge: Die ursprüngliche Länge ist \(l = 3 \cdot 6\,\text{cm} = 18\,\text{cm}\). 7. Begründung zur Flächenabnahme: Da nur die Länge verändert wurde, fällt ein rechteckiger Streifen weg. Die Fläche dieses Streifens berechnet sich aus der Längenänderung (\(2\,\text{cm}\)) multipliziert mit der (unveränderten) Breite \(w\).

Die ursprüngliche Breite beträgt \(6\,\text{cm}\) und die ursprüngliche Länge \(18\,\text{cm}\). Die Flächenabnahme entspricht dem Produkt aus der Längenänderung und der Breite (\(2 \cdot w\)).

- Kannst du die Länge und Breite des Rechtecks durch eine einzige Variable ausdrücken? - Wie hängen die Seiten des Quadrats mit den ursprünglichen Maßen zusammen? - Stelle für beide Figuren einen Term für den Flächeninhalt auf. - Welchen Zusammenhang gibt es zwischen den beiden Flächeninhalten?

1. Definition der Variablen: Breite des ursprünglichen Rechtecks \(x\), Länge \(x + 7\,\text{cm}\) 2. Aufstellen der Terme für die Flächeninhalte: Rechteck \(A_R = x \cdot (x + 7) = x^2 + 7x\); Quadratseite \(s = x + 7 - 2 = x + 5\), Quadratfläche \(A_Q = (x + 5)^2 = x^2 + 10x + 25\) 3. Aufstellen der Gleichung nach der Bedingung \(A_Q = A_R + 55\): \(x^2 + 10x + 25 = x^2 + 7x + 55\) 4. Lösen der Gleichung: \(3x = 30\), woraus \(x = 10\,\text{cm}\) folgt 5. Berechnung der Quadratseite: \(s = 10 + 5 = 15\,\text{cm}\)

Die Seitenlänge des Quadrats beträgt \(15\,\text{cm}\).

- Kannst du eine Variable für die kürzere Seite festlegen und die längere Seite dadurch ausdrücken? - Wie berechnet man den Flächeninhalt eines Rechtecks allgemein? - Stelle einen Term für den Flächeninhalt vor der Änderung und einen Term für den Flächeninhalt nach der Änderung auf. - Was bedeutet „nimmt um \(15\,\text{cm}^2\) zu“ für die Beziehung zwischen den beiden Flächeninhalten?

1. Definition der Variablen: Die Breite des ursprünglichen Rechtecks sei \(w\). Da die Länge dreimal so groß ist, gilt für die Länge \(l = 3w\). 2. Aufstellen der Flächenformeln: Der ursprüngliche Flächeninhalt ist \(A_1 = w \cdot 3w = 3w^2\). Die neuen Seitenlängen sind \(w + 2\) und \(3w - 3\). Der neue Flächeninhalt ist \(A_2 = (w + 2) \cdot (3w - 3)\). 3. Aufstellen der Gleichung: Gemäß der Aufgabenstellung ist \(A_2 = A_1 + 15\), also \((w + 2) \cdot (3w - 3) = 3w^2 + 15\). 4. Lösen der Gleichung: Ausmultiplizieren ergibt \(3w^2 - 3w + 6w - 6 = 3w^2 + 15\). Vereinfacht führt dies zu \(3w - 6 = 15\). 5. Berechnung der Ergebnisse: Durch Addition von \(6\) erhält man \(3w = 21\), woraus \(w = 7\) folgt. Die Länge ist \(l = 3 \cdot 7 = 21\).

Die ursprüngliche Breite beträgt \(7\,\text{cm}\) und die ursprüngliche Länge beträgt \(21\,\text{cm}\).

- Überlege dir zuerst, wie du die Breite und die Länge mit einer Variablen ausdrücken kannst. - Wie berechnet man den Flächeninhalt eines Rechtecks? - Stelle einen Term für den alten und einen für den neuen Flächeninhalt auf. - Vergiss nicht, beim Ausmultiplizieren der Klammern sorgfältig vorzugehen. - Was passiert mit den quadratischen Gliedern, wenn du die Gleichung vereinfachst?

1. Definition der Variablen: Sei \(x\) die ursprüngliche Breite in \(\text{m}\). Die ursprüngliche Länge ist dann \(x + 5\). 2. Aufstellen des ursprünglichen Flächeninhalts: \(A_{alt} = x \cdot (x + 5) = x^2 + 5x\). 3. Bestimmung der neuen Maße: Die neue Breite ist \(x + 2\), die neue Länge ist \((x + 5) + 3 = x + 8\). 4. Aufstellen des neuen Flächeninhalts: \(A_{neu} = (x + 2) \cdot (x + 8) = x^2 + 8x + 2x + 16 = x^2 + 10x + 16\). 5. Aufstellen der Gleichung basierend auf der Flächenzunahme: \(A_{neu} = A_{alt} + 41\), also \(x^2 + 10x + 16 = x^2 + 5x + 41\). 6. Lösen der linearen Gleichung: Subtraktion von \(x^2\) auf beiden Seiten ergibt \(10x + 16 = 5x + 41\). Umstellen ergibt \(5x = 25\), woraus \(x = 5\) folgt. 7. Berechnung der Maße: Breite \(5\,\text{m}\), Länge \(5\,\text{m} + 5\,\text{m} = 10\,\text{m}\).

Das Beet war ursprünglich \(5\,\text{m}\) breit und \(10\,\text{m}\) lang.

- Kannst du eine Skizze der Platte machen und markieren, welche Teile für den Boden übrig bleiben? - Wie hängen die Seitenlänge der Platte und die Seitenlänge des Schachtelbodens zusammen? - Stelle einen Term für die Fläche der Platte und einen für die Fläche des Bodens auf. - Was passiert mit den quadratischen Gliedern, wenn du die Klammern in deiner Gleichung auflöst?

1. Sei \(a\) die Seitenlänge der ursprünglichen quadratischen Platte in \(\text{cm}\). Ihre Fläche beträgt \(A_{\text{Platte}} = a^2\). 2. Die Seitenlänge des quadratischen Bodens der Schachtel ergibt sich durch Abzug der beiden Ecken zu \(a - 2 \cdot 4 = a - 8\). Die Bodenfläche beträgt \(A_{\text{Boden}} = (a - 8)^2\). 3. Laut Aufgabenstellung gilt \(A_{\text{Platte}} - A_{\text{Boden}} = 160\). Dies führt zur Gleichung \(a^2 - (a - 8)^2 = 160\). 4. Anwendung der binomischen Formel: \(a^2 - (a^2 - 16a + 64) = 160\). 5. Vereinfachung der linearen Gleichung: \(16a - 64 = 160\). 6. Lösung der Gleichung: \(16a = 224\), woraus \(a = 14\,\text{cm}\) folgt. 7. Berechnung des Volumens: Die Bodenfläche ist \(A_{\text{Boden}} = (14 - 8)^2 = 36\,\text{cm}^2\). Mit der Höhe \(h = 4\,\text{cm}\) ergibt sich \(V = 36 \cdot 4 = 144\,\text{cm}^3\).

Die Seitenlänge der Platte beträgt \(14\,\text{cm}\). Das Volumen der Schachtel beträgt \(144\,\text{cm}^3\).

- Wähle die kleinste Seite als Basis für deine Unbekannte. - Wie hängen die drei Seiten mathematisch zusammen? Versuche, jede Seite durch denselben Buchstaben auszudrücken. - Wie lautet die Formel für den Umfang eines allgemeinen Dreiecks? - Nachdem du die Werte berechnet hast, schau dir an, ob die drei Längen tatsächlich ein geschlossenes Dreieck bilden könnten.

1. Festlegen der Variablen: Sei \(x\) die Länge der ersten Seite in \(\text{cm}\). 2. Ausdrücke für die weiteren Seiten: Die zweite Seite ist \(x + 3\) und die dritte Seite ist \(2 \cdot x\). 3. Aufstellen der Gleichung für den Umfang: \(x + (x + 3) + 2x = 35\). 4. Vereinfachen der Gleichung: \(4x + 3 = 35\). 5. Lösen nach \(x\): \(4x = 32 \implies x = 8\). 6. Berechnung der Seitenlängen: Erste Seite \(8\,\text{cm}\), zweite Seite \(8 + 3 = 11\,\text{cm}\), dritte Seite \(2 \cdot 8 = 16\,\text{cm}\). 7. Überprüfung der Dreiecksungleichung: Die kürzeren Seiten sind \(8\,\text{cm}\) und \(11\,\text{cm}\). Da \(8 + 11 = 19\) und \(19 > 16\), ist die Bedingung erfüllt.

Die Seitenlängen betragen \(8\,\text{cm}\), \(11\,\text{cm}\) und \(16\,\text{cm}\). Die Dreiecksungleichung ist erfüllt, da \(8\,\text{cm} + 11\,\text{cm} = 19\,\text{cm}\) und dies größer als \(16\,\text{cm}\) ist.

- Achte darauf, dass alle Längenangaben in derselben Einheit (Meter oder Zentimeter) verwendet werden. - Wenn du die Länge eines Banners als Unbekannte bezeichnest, wie drückst du dann die Länge des anderen aus? - Aus welchen zwei Teilflächen setzt sich die angegebene Gesamtfläche zusammen? - Kannst du eine Gleichung für die Summe der Flächen aufstellen?

1. Festlegen der Länge des kürzeren Banners als Variable \(l\) (in \(\text{m}\)) 2. Ausdruck der Länge des längeren Banners: \(l + 0{,}5\,\text{m}\) 3. Aufstellen der Gleichung für die Gesamtfläche: \(1{,}2 \cdot l + 1{,}2 \cdot (l + 0{,}5) = 4{,}2\) 4. Ausmultiplizieren und Zusammenfassen: \(2{,}4 \cdot l + 0{,}6 = 4{,}2\) 5. Isolieren des Terms mit \(l\): \(2{,}4 \cdot l = 3{,}6\) 6. Berechnung der kurzen Länge: \(l = 1{,}5\,\text{m}\) 7. Berechnung der langen Länge: \(1{,}5\,\text{m} + 0{,}5\,\text{m} = 2{,}0\,\text{m}\)

Das kürzere Banner ist \(1{,}50\,\text{m}\) lang und das längere Banner ist \(2{,}00\,\text{m}\) lang.

- Stelle eine Formel für die Gesamtlänge auf, die die Anzahl der Pfosten als Variable nutzt. - Überlege dir, wie sich die Anzahl der Zwischenräume ändert, wenn 3 Pfosten dazukommen. - Da die Gesamtlänge der Strecke in beiden Fällen gleich ist, kannst du die beiden Ausdrücke gleichsetzen.

1. Sei \(x\) die ursprüngliche Anzahl der Pfosten. Die Anzahl der Zwischenräume ist dann \(x + 1\). 2. Die Gesamtlänge \(L\) lässt sich ausdrücken als: \(L = (x + 1) \cdot 4\). 3. Im zweiten Fall werden \(x + 3\) Pfosten verwendet, was \(x + 3 + 1 = x + 4\) Zwischenräume ergibt. 4. Die Gesamtlänge \(L\) bleibt gleich: \(L = (x + 4) \cdot 2{,}50\). 5. Gleichsetzen der Ausdrücke: \(4 \cdot (x + 1) = 2{,}50 \cdot (x + 4)\). 6. Lösen der Gleichung: \(4 \cdot x + 4 = 2{,}50 \cdot x + 10 \Rightarrow 1{,}50 \cdot x = 6 \Rightarrow x = 4\). 7. Berechnung der Gesamtlänge: \(L = (4 + 1) \cdot 4 = 20\,\text{m}\).

Die Gesamtlänge der Absperrung beträgt \(20\,\text{m}\).

- Berechne zuerst die Höhe für jedes Modell einzeln. - Überlege dir für jedes Modell, aus wie vielen Einzelstücken welcher Länge der Draht besteht. - Wie verteilen sich die zwölf Kanten bei einem Würfel und bei einem Quader mit quadratischer Grundfläche auf die jeweiligen Kantenlängen?

1. Modell Lukas (Würfel): Ein Würfel hat 12 gleich lange Kanten. Sei \(s\) die Kantenlänge. \(12 \cdot s = 480\,\text{cm} \implies s = 40\,\text{cm}\). Die Höhe beträgt \(40\,\text{cm}\). 2. Modell Maya (Quader): Sei \(a\) die Grundkante. Die Höhe ist \(h = 2 \cdot a\). Ein Quader mit quadratischer Grundfläche hat 8 Grundkanten und 4 Höhenkanten. Gesamtlänge: \(8 \cdot a + 4 \cdot (2 \cdot a) = 16 \cdot a\). 3. Berechnung für Maya: \(16 \cdot a = 480\,\text{cm} \implies a = 30\,\text{cm}\). Die Höhe ist \(h = 2 \cdot 30\,\text{cm} = 60\,\text{cm}\). 4. Differenz berechnen: \(60\,\text{cm} - 40\,\text{cm} = 20\,\text{cm}\).

Die Höhe von Mayas Modell ist um \(20\,\text{cm}\) größer als die von Lukas’ Modell.

- Drücke zuerst die Länge durch die Höhe aus. Wenn die Höhe \(x\) ist, wie groß ist dann die Länge? - Stelle einen Term für den ersten Flächeninhalt auf. - Stelle Terme für die veränderten Seitenlängen auf und berechne damit den neuen Flächeninhalt. - Verbinde beide Flächeninhalte in einer Gleichung, indem du die Zunahme von \(30\,\text{cm}^2\) berücksichtigst. - Lasse dich nicht von den Quadraten abschrecken – sie fallen beim Vereinfachen weg.

1. Variablen festlegen: Ursprüngliche Höhe \(h = x\), ursprüngliche Länge \(l = 2 \cdot x\). Ursprünglicher Flächeninhalt \(A_1 = x \cdot 2 \cdot x = 2 \cdot x^2\). 2. Neue Maße: Neue Höhe \(h_{neu} = x + 3\), neue Länge \(l_{neu} = 2 \cdot x - 2\). 3. Neuer Flächeninhalt: \(A_2 = (x + 3) \cdot (2 \cdot x - 2) = 2 \cdot x^2 - 2 \cdot x + 6 \cdot x - 6 = 2 \cdot x^2 + 4 \cdot x - 6\). 4. Gleichung aufstellen (\(A_2 = A_1 + 30\)): \(2 \cdot x^2 + 4 \cdot x - 6 = 2 \cdot x^2 + 30\). 5. Lösen der linearen Gleichung: \(4 \cdot x - 6 = 30 \implies 4 \cdot x = 36 \implies x = 9\). 6. Maße berechnen: Höhe \(9\,\text{cm}\), Länge \(2 \cdot 9 = 18\,\text{cm}\).

Das Schild war ursprünglich \(9\,\text{cm}\) hoch und \(18\,\text{cm}\) lang.

- Stelle zuerst für beide Rechtecke einen Term für den Umfang auf. - Welches Zeichen setzt man zwischen die Terme, wenn der eine Umfang größer sein soll als der andere? - Wie löst man eine Ungleichung, in der die Variable auf beiden Seiten vorkommt? - Denke daran, dass eine Seitenlänge immer positiv sein muss.

1. Umfang von Rechteck A: \(U_A = 2 \cdot (x + x + 6) = 2 \cdot (2x + 6) = 4x + 12\). 2. Umfang von Rechteck B: \(U_B = 2 \cdot (x + 3x) = 2 \cdot 4x = 8x\). 3. Die Bedingung \(U_A > U_B\) führt zur Ungleichung \(4x + 12 > 8x\). 4. Subtraktion von \(4x\) auf beiden Seiten ergibt \(12 > 4x\). 5. Division durch \(4\) ergibt \(3 > x\) bzw. \(x < 3\). 6. Unter Berücksichtigung von \(x > 0\) ergibt sich der Bereich \(0 < x < 3\).

Der Umfang von Rechteck A ist für alle \(x\) mit \(0 < x < 3\) größer als der von Rechteck B.

- Bezeichne die kürzere Seite mit einer Variablen und drücke die längere Seite damit aus. - Wie lauten die Terme für die Seitenlängen nach der jeweiligen Verlängerung? - Stelle eine Gleichung auf, die den alten Flächeninhalt mit dem neuen Flächeninhalt in Beziehung setzt. - Denke daran, dass beim Ausmultiplizieren von \((x + a) \cdot (x + b)\) quadratische Terme entstehen, die sich hier jedoch gegenseitig aufheben.

1. Variablen festlegen: \(x\) sei die Länge der kürzeren Seite, dann ist die längere Seite \(x + 5\). 2. Flächeninhalte ausdrücken: \(A_{\text{alt}} = x \cdot (x + 5)\). 3. Neue Seitenlängen: Die kurze Seite wird zu \(x + 3\), die lange Seite zu \((x + 5) + 2 = x + 7\). 4. Neue Fläche: \(A_{\text{neu}} = (x + 3) \cdot (x + 7)\). 5. Gleichung aufstellen: \(A_{\text{neu}} = A_{\text{alt}} + 66\). 6. Einsetzen und lösen: \((x + 3) \cdot (x + 7) = x \cdot (x + 5) + 66 \implies x^2 + 10 \cdot x + 21 = x^2 + 5 \cdot x + 66\). 7. Terme mit \(x^2\) fallen weg: \(10 \cdot x + 21 = 5 \cdot x + 66 \implies 5 \cdot x = 45 \implies x = 9\). 8. Andere Seite berechnen: \(x + 5 = 14\). Die ursprünglichen Seitenlängen sind \(9\,\text{cm}\) und \(14\,\text{cm}\).

Die Seitenlängen des ursprünglichen Rechtecks betragen \(9\,\text{cm}\) und \(14\,\text{cm}\).

- Stelle zuerst für jede der beiden Formen einen eigenen Term für den Umfang auf. - Was weißt du über die Seiten eines Quadrats und eines gleichseitigen Dreiecks? - Wenn die Zäune gleich lang sind, was bedeutet das für die beiden Terme? - Wie kannst du eine Gleichung lösen, bei der die Variable auf beiden Seiten vorkommt?

1. Term für den Umfang des Quadrats aufstellen: \(U_{\text{Quadrat}} = 4 \cdot (z + 2)\). 2. Term für den Umfang des gleichseitigen Dreiecks aufstellen: \(U_{\text{Dreieck}} = 3 \cdot (2z - 1)\). 3. Gleichsetzen der beiden Umfangsterme: \(4 \cdot (z + 2) = 3 \cdot (2z - 1)\). 4. Ausmultiplizieren der Klammern: \(4z + 8 = 6z - 3\). 5. Ordnen der Gleichung (Variablen auf eine Seite, Zahlen auf die andere): \(8 + 3 = 6z - 4z\), daraus folgt \(11 = 2z\). 6. Division durch 2: \(z = 5{,}5\).

Der Wert von \(z\) ist \(5{,}5\).

- Stelle für jede der drei Seitenkombinationen eine Ungleichung auf. - Achte darauf, dass alle Bedingungen gleichzeitig erfüllt sein müssen. - Wie zählt man die ganzen Zahlen zwischen zwei Grenzen am besten ab?

Anwendung der Dreiecksungleichungen: 1. \(2x + (x + 10) > 30 \Rightarrow 3x + 10 > 30 \Rightarrow 3x > 20 \Rightarrow x > 6\frac{2}{3} \approx 6{,}67\) 2. \(2x + 30 > x + 10 \Rightarrow x > -20\) (Da \(x\) für positive Seitenlängen positiv sein muss, ist dies immer erfüllt) 3. \((x + 10) + 30 > 2x \Rightarrow 40 + x > 2x \Rightarrow x < 40\) Kombiniert ergibt sich der Bereich \(6\frac{2}{3} < x < 40\). Die möglichen ganzen Zahlen für \(x\) sind \(7, 8, 9, \dots, 39\). Anzahl der Werte: \(39 - 7 + 1 = 33\).

Der Wert von \(x\) muss zwischen \(6\frac{2}{3}\) und \(40\) liegen (\(6\frac{2}{3} < x < 40\)). Es gibt insgesamt \(33\) verschiedene ganze Zahlen für \(x\).

- Wie kannst du aus der Länge und dem Flächeninhalt des Rechtecks seine Breite berechnen? - Wie viel Fläche bleibt für das dreieckige Beet übrig, wenn du das Rechteck von der Gesamtfläche abziehst? - Welches Maß des Rechtecks dient als Grundseite für das Dreieck? - Stelle eine Gleichung auf, in der die Höhe des Dreiecks die gesuchte Unbekannte ist.

1. Bestimmung der Breite des Rechtecks (Grundseite des Dreiecks): \(120 = 12 \cdot b \implies b = 10\,\text{m}\). 2. Berechnung des Flächeninhalts des dreieckigen Beets durch Subtraktion: \(A_{Beet} = 150 - 120 = 30\,\text{m}^2\). 3. Aufstellen der Gleichung für das Dreieck mit der Grundseite \(g = 10\,\text{m}\): \(30 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot h\). 4. Vereinfachen der Gleichung: \(30 = 5 \cdot h\). 5. Auflösen nach der Höhe: \(h = 30 : 5 = 6\). 6. Die Höhe des Beets beträgt \(6\,\text{m}\).

Die Höhe des dreieckigen Beets beträgt \(6\,\text{m}\).

- Was wissen wir über den Unterschied in der Breite der beiden Beete? - Wie viel mehr Fläche entsteht pro Meter Länge, wenn ein Beet \(2\,\text{m}\) breiter ist? - Schau dir die Breiten in Teil b) genau an: Wie hängen \(3\,\text{m}\), \(5\,\text{m}\) und \(8\,\text{m}\) zusammen? - Erinnerst du dich an das Distributivgesetz beim Ausmultiplizieren von Klammern?

1. Aufstellen einer Gleichung für die Differenz der Flächeninhalte mit der Länge \(L\): \(5 \cdot L - 3 \cdot L = 14\). 2. Vereinfachen der Gleichung: \(2 \cdot L = 14\). 3. Lösen der Gleichung: \(L = 7\). Die Länge beträgt \(7\,\text{m}\). 4. Berechnung der Flächeninhalte von Beet A und Beet B: \(A_A = 7 \cdot 3 = 21\,\text{m}^2\) und \(A_B = 7 \cdot 5 = 35\,\text{m}^2\). 5. Berechnung des Flächeninhalts von Beet C: \(A_C = 7 \cdot 8 = 56\,\text{m}^2\). 6. Begründung zu Teil c): Da die Länge \(L\) bei allen Beeten gleich ist, gilt nach dem Distributivgesetz \(L \cdot (w_A + w_B) = L \cdot w_A + L \cdot w_B\). Da die Breite von Beet C die Summe der Breiten von A und B ist, muss sein Flächeninhalt die Summe der Teilflächen sein.

a) Die Länge der Beete beträgt \(7\,\text{m}\). b) Der Flächeninhalt von Beet C beträgt \(56\,\text{m}^2\). c) Da die Länge identisch ist, lässt sich die Gesamtfläche als \(L \cdot (3 + 5)\) schreiben, was nach dem Distributivgesetz \(L \cdot 3 + L \cdot 5\) entspricht – also der Summe der Einzelbeete.

- Skizziere die beiden neuen Beete. Was ist bei beiden gleich und was unterscheidet sie? - Stelle für beide neuen Beete einen Term für den Flächeninhalt auf. - Wie kannst du den Unterschied der beiden Flächen mathematisch ausdrücken? - Kannst du die Aufgabe lösen, ohne die quadratische Fläche \(a^2\) direkt berechnen zu müssen?

1. Definition der Ausgangslage: Beide Beete haben die Fläche \(A_{quadrat} = a^2\). 2. Neue Flächeninhalte berechnen: Gärtner A hat nun die Fläche \(A_A = a \cdot (a + 2) = a^2 + 2a\). Gärtner B hat die Fläche \(A_B = a \cdot (a + 5) = a^2 + 5a\). 3. Differenz bilden: Der Unterschied zwischen den Flächen beträgt \(A_B - A_A = (a^2 + 5a) - (a^2 + 2a) = 3a\). 4. Gleichung aufstellen und lösen: Laut Aufgabe ist dieser Unterschied \(15\,\text{m}^2\). Also gilt \(3a = 15\). 5. Ergebnis: Durch Division durch 3 erhält man \(a = 5\,\text{m}\).

Die ursprüngliche Seitenlänge der Beete beträgt \(5\,\text{m}\).

- Überlege dir, wie du die neuen Seitenlängen ausgehend von den alten beschreiben kannst. - Was bedeutet es für die Gleichung, wenn die Flächeninhalte gleich groß sind? - Achte darauf, am Ende nicht nur die Breite, sondern den gesuchten Umfang zu berechnen.

1. Definition der Variablen: Breite des ursprünglichen Rechtecks \(b\), Länge \(l = b + 8\) 2. Term für den ursprünglichen Flächeninhalt: \(A_1 = b \cdot (b + 8) = b^2 + 8b\) 3. Maße des neuen Rechtecks: Breite \(b + 2\), Länge \(b + 8 - 3 = b + 5\) 4. Term für den neuen Flächeninhalt: \(A_2 = (b + 2) \cdot (b + 5) = b^2 + 7b + 10\) 5. Gleichsetzen der Flächen (\(A_1 = A_2\)): \(b^2 + 8b = b^2 + 7b + 10\) 6. Lösen nach \(b\): \(b = 10\,\text{cm}\) 7. Bestimmung der ursprünglichen Maße: Breite \(10\,\text{cm}\), Länge \(18\,\text{cm}\) 8. Berechnung des Umfangs: \(U = 2 \cdot (10 + 18) = 56\,\text{cm}\)

Der Umfang des ursprünglichen Rechtecks beträgt \(56\,\text{cm}\).

- In Teil a) hilft es, die Fläche des Quadrats und die des neuen Rechtecks durch die Unbekannte auszudrücken. - Achte beim Lösen der Gleichung darauf, dass die quadratischen Terme wegfallen sollten. - In Teil b) sollst du ein konkretes Gegenbeispiel berechnen. Nutze dafür das Ergebnis aus Teil a). - Vergleiche das Ergebnis der Multiplikation mit dem ursprünglichen quadratischen Flächeninhalt.

1. Teil a: Sei \(s\) die Seitenlänge des Quadrats in \(\text{m}\). Der Flächeninhalt ist \(A_Q = s^2\). 2. Die neuen Maße des Rechtecks sind \(s + 6\) und \(s - 4\). Der Flächeninhalt des Rechtecks ist \(A_R = (s + 6) \cdot (s - 4) = s^2 - 4s + 6s - 24 = s^2 + 2s - 24\). 3. Gleichung aufstellen: \(A_R = A_Q + 16\), also \(s^2 + 2s - 24 = s^2 + 16\). 4. Lösen der Gleichung: \(2s - 24 = 16 \Rightarrow 2s = 40 \Rightarrow s = 20\). Die ursprüngliche Seitenlänge beträgt \(20\,\text{m}\). 5. Teil b: Ursprünglicher Flächeninhalt bei \(s = 20\,\text{m}\) ist \(20 \cdot 20 = 400\,\text{m}^2\). 6. Änderung um \(5\,\text{m}\): Die neuen Seiten wären \(20 + 5 = 25\,\text{m}\) und \(20 - 5 = 15\,\text{m}\). 7. Neuer Flächeninhalt: \(25 \cdot 15 = 375\,\text{m}^2\). Da \(375 \neq 400\), ist die Behauptung widerlegt.

a) Die ursprüngliche Seitenlänge des quadratischen Spielplatzes beträgt \(20\,\text{m}\). b) Bei einer Änderung von \(5\,\text{m}\) ergibt sich ein Flächeninhalt von \(25\,\text{m} \cdot 15\,\text{m} = 375\,\text{m}^2\). Da das ursprüngliche Quadrat \(400\,\text{m}^2\) groß war, ist die Behauptung falsch.

- Wenn die Breite \(x\) ist, wie kannst du dann die Länge ausdrücken? - Bedenke, dass an jeder Seite zwei Ecken der Quadrate abgezogen werden müssen, um auf die Maße des Bodens zu kommen. - Stelle eine Gleichung für den Unterschied der beiden Flächeninhalte auf. - Überprüfe am Ende, ob deine berechneten Maße logisch sinnvoll für das Ausschneiden der Quadrate sind.

1. Sei \(b\) die Breite des Blechs in \(\text{cm}\). Dann ist die Länge \(l = 2b\). Die Fläche des Blechs ist \(A_{\text{Blech}} = 2b \cdot b = 2b^2\). 2. Die Maße des Bodens der Schachtel betragen \((2b - 4)\) und \((b - 4)\). Die Bodenfläche ist \(A_{\text{Boden}} = (2b - 4) \cdot (b - 4)\). 3. Ausmultiplizieren der Bodenfläche: \(A_{\text{Boden}} = 2b^2 - 8b - 4b + 16 = 2b^2 - 12b + 16\). 4. Die Differenz der Flächen beträgt \(A_{\text{Blech}} - A_{\text{Boden}} = 44\). Einsetzen ergibt: \(2b^2 - (2b^2 - 12b + 16) = 44\). 5. Vereinfachung der Gleichung: \(12b - 16 = 44\). 6. Lösung der Gleichung: \(12b = 60\), also \(b = 5\,\text{cm}\). Die Länge beträgt somit \(l = 10\,\text{cm}\). 7. Berechnung des Volumens: Die Bodenmaße sind \(10 - 4 = 6\,\text{cm}\) und \(5 - 4 = 1\,\text{cm}\). Mit der Höhe \(h = 2\,\text{cm}\) ergibt sich \(V = 6 \cdot 1 \cdot 2 = 12\,\text{cm}^3\).

Das Blech ist \(10\,\text{cm}\) lang und \(5\,\text{cm}\) breit. Das Volumen der Schachtel beträgt \(12\,\text{cm}^3\).

- Wie berechnet man den Flächeninhalt eines Quadrats und eines Rechtecks? - Kannst du die neuen Seitenlängen mithilfe der ursprünglichen Länge ausdrücken? - Stelle eine Gleichung auf, die den alten und den neuen Flächeninhalt vergleicht. - Was passiert mit dem quadratischen Glied \(s^2\), wenn du die Gleichung vereinfachst?

1. Variable \(s\) für die Seitenlänge des Quadrats definieren; Flächeninhalt ist \(s^2\). 2. Seitenlängen des neuen Rechtecks als \(s + 2\) und \(s + 5\) ausdrücken. 3. Gleichung basierend auf der Flächenzunahme aufstellen: \((s + 2) \cdot (s + 5) = s^2 + 45\). 4. Terme ausmultiplizieren: \(s^2 + 5s + 2s + 10 = s^2 + 45\). 5. Gleichung vereinfachen: \(s^2 + 7s + 10 = s^2 + 45\). 6. \(s^2\) auf beiden Seiten subtrahieren: \(7s + 10 = 45\). 7. Nach \(s\) auflösen: \(7s = 35\), daraus folgt \(s = 5\). 8. Die ursprüngliche Seitenlänge beträgt \(5\,\text{cm}\).

Die Seitenlänge des Quadrats beträgt \(5\,\text{cm}\).

- Überlege dir, wie du die Länge durch die Breite ausdrücken kannst, wenn sie doppelt so groß ist. - Stelle für beide Rechtecke einen Term für den Flächeninhalt auf. - Da die Flächeninhalte gleich sind, kannst du diese Terme gleichsetzen. - Achte beim Ausmultiplizieren der Klammern auf die Vorzeichen.

1. Breite des ursprünglichen Rechtecks als \(b\) und Länge als \(2b\) festlegen. 2. Ursprünglicher Flächeninhalt: \(A_{alt} = b \cdot 2b = 2b^2\). 3. Seiten des neuen Rechtecks ausdrücken: Breite \(b + 2\), Länge \(2b - 3\). 4. Gleichung für den neuen Flächeninhalt aufstellen: \((b + 2) \cdot (2b - 3) = 2b^2\). 5. Klammern ausmultiplizieren: \(2b^2 - 3b + 4b - 6 = 2b^2\). 6. Zusammenfassen: \(2b^2 + b - 6 = 2b^2\). 7. \(2b^2\) subtrahieren: \(b - 6 = 0\), woraus \(b = 6\) folgt. 8. Länge berechnen: \(2 \cdot 6 = 12\). 9. Die Breite beträgt \(6\,\text{cm}\) und die Länge \(12\,\text{cm}\).

Das ursprüngliche Rechteck ist \(6\,\text{cm}\) breit und \(12\,\text{cm}\) lang.

- Wie kannst du die Länge mithilfe der Breite ausdrücken? - Stelle einen Term für den Flächeninhalt vor und nach der Änderung auf. - Überlege dir, wie man den Unterschied zwischen zwei Flächeninhalten mathematisch darstellt. - Welche Information im Text hilft dir, eine Gleichung aufzustellen?

1. Definition der Variablen: Breite \(b\), Länge \(l = b + 5\) 2. Term für den ursprünglichen Flächeninhalt: \(A_1 = b \cdot (b + 5) = b^2 + 5b\) 3. Term für den neuen Flächeninhalt (Breite \(b + 2\)): \(A_2 = (b + 2) \cdot (b + 5) = b^2 + 7b + 10\) 4. Aufstellen der Gleichung für die Flächenzunahme: \(A_2 - A_1 = 30 \Rightarrow (b^2 + 7b + 10) - (b^2 + 5b) = 30\) 5. Vereinfachen der Gleichung: \(b^2 + 7b + 10 - b^2 - 5b = 30 \Rightarrow 2b + 10 = 30\) 6. Lösen der linearen Gleichung: \(2b = 20 \Rightarrow b = 10\) 7. Berechnung der Länge: \(l = 10 + 5 = 15\) 8. Ergebnis: Die Breite beträgt \(10\,\text{m}\) und die Länge \(15\,\text{m}\).

Breite: \(10\,\text{m}\), Länge: \(15\,\text{m}\)