Kostenlose Arbeitsblätter

- Lies nur die Beschriftungen der Skizze ab; die gezeichneten Längen sind nicht maßstabsgetreu. - Welche Seiten eines Rechtecks sind gleich lang? - Drücke den gesamten Umfang mit den beiden Seitenlängen aus.

1. Im Rechteck sind gegenüberliegende Seiten gleich lang. Der Umfang ist daher \(2\cdot5+2x\). 2. Aus dem gegebenen Umfang folgt \(10+2x=18\). 3. Damit gilt \(2x=8\) und \(x=4\,\text{cm}\).

Eine passende Gleichung ist \(2\cdot5+2x=18\). Die unbekannte Seitenlänge beträgt \(4\,\text{cm}\).

- Welche Beziehung haben gegenüberliegende Winkel, wenn zwei Geraden einander schneiden? - Nutze die Beschriftungen in der Skizze und nicht die gezeichneten Winkelgrößen. - Formuliere die geometrische Beziehung zuerst als Gleichung.

1. Gegenüberliegende Scheitelwinkel sind gleich groß. 2. Aus der Skizze folgt daher \(x+20=80\). 3. Subtraktion von \(20\) ergibt \(x=60\).

\(x+20=80\), also \(x=60\).

- Welche Regel verbindet die drei Innenwinkel eines Dreiecks? - Verwende die beschrifteten Winkelwerte und nicht die gezeichneten Größen. - Welche Größe fehlt noch bis zur gesamten Winkelsumme?

1. Die Innenwinkel eines Dreiecks ergeben zusammen \(180^\circ\). 2. Aus der Skizze folgt \(50+60+x=180\). 3. Zusammenfassen ergibt \(110+x=180\), also \(x=70\).

\(50+60+x=180\), also \(x=70^\circ\).

- Welche Summe müssen die beiden parallelen Seiten nach der Trapezformel haben? - Wie kannst du die kürzere Seite mit einer Variablen bezeichnen? - Wie drückst du dann die um \(4\,\text{cm}\) längere Seite aus?

1. Aus \(60\,\text{cm}^2=\frac{a+c}{2}\cdot6\,\text{cm}\) folgt \(a+c=20\,\text{cm}\). 2. Setze \(c=x\). Dann ist \(a=x+4\,\text{cm}\). 3. Damit gilt \(x+(x+4\,\text{cm})=20\,\text{cm}\). Daraus folgt \(2x=16\,\text{cm}\) und damit \(x=8\,\text{cm}\). 4. Also ist \(c=8\,\text{cm}\) und \(a=12\,\text{cm}\).

\(a=12\,\text{cm}\) und \(c=8\,\text{cm}\)

- Bezeichne die kürzere parallele Seite mit einer Variablen. - Wie kannst du die dreimal so lange Seite mit derselben Variablen ausdrücken? - Setze beide Ausdrücke in die Trapezformel ein.

1. Setze \(a=x\). Dann ist \(c=3x\). 2. Mit der Trapezformel gilt \(36\,\text{cm}^2=\frac{x+3x}{2}\cdot6\,\text{cm}\). 3. Daraus folgt \(36\,\text{cm}^2=12x\,\text{cm}\) und damit \(x=3\,\text{cm}\). 4. Also ist \(a=3\,\text{cm}\) und \(c=9\,\text{cm}\).

\(a=3\,\text{cm}\) und \(c=9\,\text{cm}\)

- Wie viele Grundkanten und wie viele Seitenkanten besitzt eine quadratische Pyramide? - Bringe die gesamte Stablänge zunächst in Zentimeter. - Drücke die Länge einer Seitenkante mithilfe der Grundkante aus. - Addiere die Längen aller acht Kanten zu einer Gleichung.

1. Sei \(a\) die Länge einer Grundkante in Zentimetern. Dann ist eine Seitenkante \(a+5\,\text{cm}\) lang. 2. Der Stab ist \(2\,\text{m}=200\,\text{cm}\) lang. Für die acht Kanten gilt daher \(4a+4(a+5\,\text{cm})=200\,\text{cm}\). 3. Zusammenfassen ergibt \(8a+20\,\text{cm}=200\,\text{cm}\). 4. Subtraktion von \(20\,\text{cm}\) liefert \(8a=180\,\text{cm}\), also \(a=22{,}5\,\text{cm}\). 5. Die Seitenkante ist damit \(22{,}5\,\text{cm}+5\,\text{cm}=27{,}5\,\text{cm}\) lang.

Eine Grundkante ist \(22{,}5\,\text{cm}\) lang, eine Seitenkante \(27{,}5\,\text{cm}\).

- Wie groß ist der Umfang des quadratischen Platzes? - Wie hängt seine Seitenlänge mit der längeren Rechteckseite \(x\) zusammen? - Was folgt aus dem Rechteckumfang 300 Meter für die Summe aus Länge und Breite?

1. Der quadratische Platz hat die Seitenlänge \(x\) und damit den Umfang \(4x\). 2. Sein Umfang beträgt \(300+160=460\) Meter. Daher gilt \(4x=460\). 3. Daraus folgt \(x=115\). 4. Beim Rechteck gilt wegen des Umfangs \(x+b=150\). 5. Die Breite ist deshalb \(150-115=35\) Meter.

Gleichung: \(4x=300+160\). Der rechteckige Sportplatz ist \(115\,\text{m}\) lang und \(35\,\text{m}\) breit.

- Wie berechnet man den Umfang eines Rechtecks, wenn man Länge und Breite kennt? - Versuche zuerst, die Terme für die Länge und die Breite zu addieren. - Kannst du eine Gleichung aufstellen, in der der gesamte Umfang vorkommt? - Achte beim Auflösen der Klammern auf das Distributivgesetz.

1. Aufstellen der Umfangsgleichung für ein Rechteck: \(2(\text{Länge} + \text{Breite}) = \text{Umfang}\). 2. Einsetzen der gegebenen Terme: \(2((2x + 5) + (x + 3)) = 52\). 3. Zusammenfassen der Terme in der Klammer: \(2(3x + 8) = 52\). 4. Auflösen der Klammer durch Multiplikation: \(6x + 16 = 52\). 5. Subtraktion von 16 auf beiden Seiten: \(6x = 36\). 6. Division durch 6: \(x = 6\).

Der Wert von \(x\) ist \(6\).

- Welche der drei Seiten ist bei positivem \(k\) die längste? - Was muss für die Summe der beiden kürzeren Seiten im Vergleich zur längsten Seite gelten? - Wie berechnet man den Umfang eines Dreiecks?

Damit ein Dreieck existiert, muss die Summe der zwei kürzeren Seiten größer als die längste Seite sein. 1. \(k + (k+2) > k+4 \Rightarrow 2k + 2 > k+4 \Rightarrow k > 2\) 2. Die anderen Bedingungen (\(k + k+4 > k+2\) und \(k+2 + k+4 > k\)) sind für alle positiven \(k\) erfüllt. Somit muss \(k > 2\) gelten. Für eine ganze Zahl \(k\) ist der kleinste Wert \(k = 3\). Der Umfang berechnet sich als \(U = k + (k+2) + (k+4) = 3k + 6\). Einsetzen von \(k = 3\): \(U = 3 \cdot 3 + 6 = 15\,\text{cm}\).

Es muss \(k > 2\) gelten. Der kleinstmögliche Umfang für eine ganze Zahl \(k\) beträgt \(15\,\text{cm}\).

- Welche Flächenformel verbindet Grundseite und zugehörige Höhe eines Dreiecks? - Setze die bekannten Werte ein, bevor du nach \(g\) umformst. - Die Gleichung selbst gehört zur Antwort.

1. Mit \(A=\frac12gh\) ergibt sich \(\frac12\cdot g\cdot4=18{,}6\). 2. Vereinfachen: \(2g=18{,}6\). 3. Division durch 2 ergibt \(g=9{,}3\,\text{cm}\).

Gleichung: \(\frac12\cdot g\cdot4=18{,}6\). Die Grundseite ist \(9{,}3\,\text{cm}\) lang.

- Kannst du eine Variable für die unbekannte Breite festlegen? - Wie hängen Länge und Breite laut Text zusammen? - Erinnere dich an die Formel für den Umfang eines Rechtecks. - Stelle eine Gleichung auf, in der nur noch eine Unbekannte vorkommt.

1. Definition der Variablen: Sei \(x\) die Breite des Rechtecks in \(\text{cm}\). Die Länge ist dann \(x + 13\). 2. Aufstellen der Umfangsgleichung: \(U = 2 \cdot (\text{Länge} + \text{Breite})\), also \(126 = 2 \cdot (x + 13 + x)\). 3. Vereinfachen der Gleichung: \(126 = 2 \cdot (2x + 13) \Rightarrow 126 = 4x + 26\). 4. Lösen nach \(x\): \(100 = 4x \Rightarrow x = 25\). 5. Berechnung der Seiten: Die Breite beträgt \(25\,\text{cm}\). Die Länge beträgt \(25 + 13 = 38\,\text{cm}\).

Die Breite des Rechtecks beträgt \(25\,\text{cm}\) und die Länge beträgt \(38\,\text{cm}\).

- Nebenwinkel liefern die feste Winkelsumme 180 Grad. - Drücke den größeren Winkel als Term in \(x\) aus. - Beide Winkelterme müssen zusammen die gestreckte Winkelsumme ergeben.

1. Die Winkel sind \(x\) und \(x+44\). 2. Nebenwinkel ergeben \(x+(x+44)=180\). 3. Daraus folgt \(2x=136\), also \(x=68\). 4. Der größere Winkel beträgt \(112^\circ\).

Gleichung: \(x+(x+44)=180\). Die Winkel sind \(68^\circ\) und \(112^\circ\).

- Übersetze das Verhältnis in zwei Vielfache derselben Variablen. - Ein Rechteckumfang enthält Länge und Breite jeweils zweimal. - Die Gleichung soll die Verhältnisstruktur sichtbar erhalten.

1. Länge \(5x\), Breite \(3x\). 2. Umfangsgleichung: \(2(5x+3x)=64\). 3. Daraus folgt \(16x=64\), also \(x=4\). 4. Maße: 20 m und 12 m.

Gleichung: \(2(5x+3x)=64\). Länge: \(20\,\text{m}\), Breite: \(12\,\text{m}\).

- Wie berechnet man den Umfang eines Rechtecks, wenn man Länge und Breite kennt? - Kannst du eine der Seiten mit einem Buchstaben benennen und die andere Seite durch diesen Buchstaben ausdrücken? - Erstelle eine Gleichung, in der die Summe aller vier Seiten dem Gesamtumfang entspricht. - Überprüfe am Ende, ob deine berechneten Maße zusammen wirklich den gesuchten Umfang ergeben.

1. Festlegen der Breite als Variable \(x\). 2. Aufstellen des Terms für die Länge basierend auf der Breite: \(3x - 2\). 3. Aufstellen der Gleichung für den Umfang eines Rechtecks: \(2 \cdot (x + 3x - 2) = 44\). 4. Zusammenfassen der Terme innerhalb der Klammer: \(2 \cdot (4x - 2) = 44\). 5. Auflösen der Klammer: \(8x - 4 = 44\). 6. Isolation der Variable durch Addition von 4: \(8x = 48\). 7. Division durch 8 ergibt die Breite: \(x = 6\,\text{m}\). 8. Einsetzen des Wertes zur Berechnung der Länge: \(3 \cdot 6 - 2 = 16\,\text{m}\).

Das Beet ist \(6\,\text{m}\) breit und \(16\,\text{m}\) lang.

- Wie berechnet man den Umfang einer Figur, wenn die einzelnen Seitenlängen bekannt sind? - Überlege dir, wie du „doppelt so lang“ oder „\(3\,\text{cm}\) kürzer“ mathematisch ausdrücken kannst. - Wenn du die erste Seite mit \(x\) bezeichnest, wie sehen dann die Terme für die anderen beiden Seiten aus? - Kannst du die Terme für die drei Seiten zu einem Gesamtausdruck für den Umfang zusammenfügen?

1. Aufstellen der Gleichung für den Umfang als Summe der drei Seiten: \(x + (x + 3) + 2x = 27\). 2. Zusammenfassen der Terme auf der linken Seite ergibt \(4x + 3 = 27\). 3. Lösen der Gleichung durch Subtraktion von 3 (\(4x = 24\)) und Division durch 4 ergibt \(x = 6\). 4. Berechnung der Seitenlängen: Die erste Seite ist \(6\,\text{cm}\), die zweite Seite \(6 + 3 = 9\,\text{cm}\) und die dritte Seite \(2 \cdot 6 = 12\,\text{cm}\). 5. Für die geänderte Bedingung (dritte Seite \(x - 3\)) lautet die neue Gleichung: \(x + (x + 3) + (x - 3) = 27\).

a) \(x + (x + 3) + 2x = 27\) (oder vereinfacht \(4x + 3 = 27\)) b) Die Seiten sind \(6\,\text{cm}\), \(9\,\text{cm}\) und \(12\,\text{cm}\) lang. c) Die Gleichung würde \(x + (x + 3) + (x - 3) = 27\) lauten.

- Beide Flächen enthalten denselben unbekannten Breitenfaktor. - Der längere Rechteckterm ist der größere Flächeninhalt. - Die Differenz der beiden Flächen ist gegeben.

1. Die Flächen sind \(45x\) und \(60x\). 2. Differenzgleichung: \(60x-45x=375\). 3. Daraus folgt \(15x=375\) und \(x=25\,\text{m}\).

Gleichung: \(60x-45x=375\). Die gemeinsame Breite beträgt \(25\,\text{m}\).

- Welche Seiten liegen einander im Viereck gegenüber? - Lies die drei gegebenen Seitenlängen aus der Skizze ab. - Setze die beiden Summen gegenüberliegender Seiten gleich und bestimme die fehlende Länge rechnerisch.

1. Für ein Tangentenviereck gilt \(a+c=b+d\). 2. Aus der Skizze liest man \(a=8\,\text{cm}\), \(b=11\,\text{cm}\) und \(c=10\,\text{cm}\) ab. 3. Einsetzen ergibt \(8\,\text{cm}+10\,\text{cm}=11\,\text{cm}+d\). 4. Damit ist \(18\,\text{cm}=11\,\text{cm}+d\), also \(d=7\,\text{cm}\).

\(d=7\,\text{cm}\)

- Nutze die geometrische Beziehung der beiden Winkel an der Geraden, nicht ihre gezeichnete Größe. - Drücke beide Winkel mit derselben Variablen aus. - Überprüfe nach dem Lösen, ob sich die beiden Winkel zu einem gestreckten Winkel ergänzen.

1. Benachbarte Winkel an einer Geraden ergeben zusammen \(180^\circ\). 2. Daher gilt \(\alpha+2\alpha=180^\circ\). 3. Zusammenfassen ergibt \(3\alpha=180^\circ\), also \(\alpha=60^\circ\).

Die Gleichung lautet \(\alpha+2\alpha=180^\circ\). Es gilt \(\alpha=60^\circ\).

- Welche Größen sind in der angegebenen Formel bekannt, welche ist gesucht? - Wie sieht die Gleichung nach dem Einsetzen der bekannten Werte aus? - Welche Rechenoperation macht eine Multiplikation mit der unbekannten Länge rückgängig?

1. Einsetzen in die angegebene Formel ergibt \(42\,\text{cm}^2=\frac{12\,\text{cm}\cdot f}{2}\). 2. Das ist \(42\,\text{cm}^2=6\,\text{cm}\cdot f\). 3. Daher ist \(f=42\,\text{cm}^2:6\,\text{cm}=7\,\text{cm}\).

\(f=7\,\text{cm}\)

- Welche beiden Seiten sind durch dieselbe Strichmarkierung als gleich gekennzeichnet? - Übernimm die beiden Grundseitenterme genau aus der Skizze. - Beim Umfang kommt jede der vier Seiten genau einmal vor.

1. Die gleich markierten Schenkel sind gleich lang. Einer ist mit \(5\,\text{cm}\) beschriftet, also sind beide \(5\,\text{cm}\) lang. 2. Die Grundseiten sind \(x\) und \(x+2\) Zentimeter. 3. Umfangsgleichung: \(x+(x+2)+5+5=24\). 4. Daraus folgt \(2x+12=24\), also \(x=6\). 5. Die Seitenlängen sind 6, 8, 5 und \(5\,\text{cm}\).

Gleichung: \(x+(x+2)+5+5=24\). \(x=6\). Die Seitenlängen sind \(6\,\text{cm}\), \(8\,\text{cm}\), \(5\,\text{cm}\) und \(5\,\text{cm}\).

- Welche Lage haben die beiden markierten Winkel relativ zu den parallelen Geraden und der schneidenden Geraden? - Welche Winkelbeziehungen kennst du an parallelen Geraden? - Wenn du die passende Beziehung gefunden hast, übersetze die beiden Beschriftungen in eine Gleichung.

1. Die beiden markierten Winkel sind Stufenwinkel an den parallelen Geraden und daher gleich groß. 2. Aus der Skizze folgt \(3x+10=100\). 3. Subtraktion von 10 ergibt \(3x=90\). Division durch 3 liefert \(x=30\).

\(3x+10=100\), also \(x=30\).

- Vergleiche, welche Seitenlänge sich zwischen a) und b) verändert und welche gleich bleibt. - Stelle für beide Rechtecke einen Flächenterm auf. - Was bleibt übrig, wenn du den kleineren Flächenterm vom größeren abziehst?

1. Aus den Skizzen liest man für das erste Rechteck die Fläche \(5x\) und für das zweite Rechteck die Fläche \(7x\) ab. 2. Die Flächendifferenz beträgt daher \(7x-5x=2x\). 3. Wegen der gegebenen Zunahme gilt \(2x=12\), also \(x=6\,\text{cm}\). 4. Der einfache Term \(2x\) entsteht, weil nur ein Streifen der Breite \(2\,\text{cm}\) und Höhe \(x\) hinzukommt.

\(x=6\,\text{cm}\). Die Flächendifferenz ist \(7x-5x=2x\), also die Fläche des hinzugekommenen Streifens.

- Wo kannst du die L-Form so teilen, dass zwei Rechtecke ohne Überlappung entstehen? - Welche Breite hat der obere linke Teil, wenn rechts ein Stück von \(3\,\text{cm}\) fehlt? - Addiere die beiden Rechteckflächen und setze ihre Summe mit dem gesamten Flächeninhalt gleich.

1. Der untere Rechteckstreifen ist \(3\,\text{cm}\) hoch und \(x+3\,\text{cm}\) breit. Seine Fläche ist \(3(x+3)\). 2. Der obere linke Rechteckteil ist \(2\,\text{cm}\) hoch. Seine Breite ist \(x\), weil von der Gesamtbreite \(x+3\) rechts \(3\,\text{cm}\) fehlen. Seine Fläche ist \(2x\). 3. Damit gilt \(3(x+3)+2x=34\). 4. Aus \(3x+9+2x=34\) folgt \(5x=25\), also \(x=5\,\text{cm}\).

Zerlegung: unterer Streifen \(3(x+3)\), oberes linkes Rechteck \(2x\). Gleichung: \(3(x+3)+2x=34\). Daraus folgt \(5x+9=34\), also \(x=5\,\text{cm}\).

- Welche zwei verschiedenen Seitenlängen hat ein Rechteck? - Wie hängt die längere Seite von der Breite \(x\) ab? - Wie setzt sich der Umfang aus den vier Seiten zusammen?

1. Die Breite wird mit \(x\) beschriftet, die Länge mit \(x+5\). 2. Beim Rechteck kommen beide Seitenlängen zweimal im Umfang vor. Daher gilt \(2x+2(x+5)=46\). 3. Ausmultiplizieren ergibt \(4x+10=46\), also \(4x=36\) und \(x=9\). 4. Die Länge beträgt \(9+5=14\) Meter.

Skizzenbeschriftung: Breite \(x\), Länge \(x+5\). Gleichung: \(2x+2(x+5)=46\). Die Breite beträgt \(9\,\text{m}\), die Länge \(14\,\text{m}\).

- Welche beiden Seiten müssen in deiner Skizze parallel sein? - Welche gegebene Länge beschreibt den Abstand zwischen diesen parallelen Seiten? - Welche Größen kommen in der Flächenformel für ein Trapez vor?

1. In der Skizze werden die parallelen Seiten mit \(7\) und \(x\) Metern sowie die Höhe mit \(4\) Metern beschriftet. 2. Für den Flächeninhalt eines Trapezes gilt \(A=\frac{(a+c)\cdot h}{2}\). 3. Einsetzen ergibt \(\frac{(7+x)\cdot4}{2}=30\). 4. Vereinfachen ergibt \(2(7+x)=30\), also \(14+2x=30\) und \(x=8\).

Skizzenbeschriftung: parallele Seiten \(7\,\text{m}\) und \(x\,\text{m}\), Höhe \(4\,\text{m}\). Gleichung: \(\frac{(7+x)\cdot4}{2}=30\). Die unbekannte parallele Seite ist \(8\,\text{m}\) lang.

- Wie viel Platz nehmen die Plakate insgesamt ein, wenn man ihre Breite zusammenzählt? - Wenn du \(n\) Plakate hast, wie viele Zwischenräume gibt es dann insgesamt, inklusive der Ränder? - Kannst du für den zweiten Teil eine Gleichung aufstellen, in der die Anzahl der Plakate die Unbekannte ist?

1. Berechnung der von \(4\) Plakaten eingenommenen Breite: \(4 \cdot 1{,}20\,\text{m} = 4{,}80\,\text{m}\). 2. Berechnung der verbleibenden Reststrecke für die Abstände: \(15\,\text{m} - 4{,}80\,\text{m} = 10{,}20\,\text{m}\). 3. Bestimmung der Anzahl der Zwischenräume: Bei \(4\) Plakaten gibt es \(5\) Zwischenräume (einer vor dem ersten, drei dazwischen, einer nach dem letzten). 4. Berechnung des Abstands für Teil a: \(10{,}20\,\text{m} : 5 = 2{,}04\,\text{m}\). 5. Aufstellen einer Gleichung für Teil b: Sei \(x\) die Anzahl der Plakate. Dann gilt \(1{,}20x + 1{,}50(x + 1) = 15\). 6. Lösen der Gleichung: \(1{,}20x + 1{,}50x + 1{,}50 = 15 \Rightarrow 2{,}70x = 13{,}50 \Rightarrow x = 5\).

a) Der Abstand beträgt \(2{,}04\,\text{m}\). b) Es passen \(5\) Plakate an die Wand.

- Wie viele Kanten hat ein Quader insgesamt und wie viele davon sind jeweils gleich lang? - Kannst du die Längen aller Kanten durch eine einzige Unbekannte ausdrücken? - Achte darauf, die Einheiten von Metern in Zentimeter umzurechnen, bevor du rechnest.

1. Definition der Variablen: Sei \(x\) die Länge der kürzeren Grundkante in \(\text{cm}\). Die längere Grundkante ist dann \(2x\) und die Höhe ebenfalls \(2x\). 2. Gesamtlänge des Drahtes: Ein Quader hat jeweils vier Kanten jeder Art. Die Gesamtlänge \(L\) beträgt \(4x + 4(2x) + 4(2x) = 20x\). 3. Gleichung aufstellen: \(20x = 360\,\text{cm}\). 4. Lösung nach \(x\): \(x = \frac{360}{20} = 18\,\text{cm}\). 5. Berechnung der anderen Kanten: Die längere Grundkante und die Höhe sind \(2 \cdot 18\,\text{cm} = 36\,\text{cm}\).

Die kürzere Grundkante ist \(18\,\text{cm}\) lang; die längere Grundkante und die Höhe sind jeweils \(36\,\text{cm}\) lang.

- Überlege dir, wie man den Flächeninhalt eines Rechtecks berechnet. - Kannst du die neue Breite und die neue Höhe mithilfe der unbekannten alten Höhe ausdrücken? - Stelle eine Gleichung auf, die den alten und den neuen Flächeninhalt zueinander in Beziehung setzt. - Achte darauf, dass der neue Flächeninhalt um einen bestimmten Wert größer ist als der ursprüngliche.

1. Aufstellen der Terme für die Seitenlängen: Ursprüngliche Breite \(b_1 = 10\,\text{cm}\), ursprüngliche Höhe \(h_1 = x\). Neue Breite \(b_2 = 15\,\text{cm}\), neue Höhe \(h_2 = x - 2\). 2. Aufstellen der Flächeninhaltsgleichung: Der neue Flächeninhalt ist um \(10\) größer als der alte: \(15(x - 2) = 10x + 10\). 3. Lösen der Gleichung: \(15x - 30 = 10x + 10\). Subtraktion von \(10x\) und Addition von \(30\) führt zu \(5x = 40\). 4. Ergebnis: \(x = 8\). Die ursprüngliche Höhe beträgt \(8\,\text{cm}\).

Die ursprüngliche Höhe des Plakats betrug \(8\,\text{cm}\).

- Bezeichne die Quadratseite mit einer Variablen. - Drücke Länge und Breite des Rechtecks mit derselben Variablen aus. - Welche Gleichung entsteht, weil beide Flächen gleich groß sind? - Multipliziere erst danach sorgfältig aus und fasse gleichartige Terme zusammen.

1. Sei \(s\) die Seitenlänge des Quadrats. Seine Fläche ist \(s^2\). 2. Das Rechteck hat die Seitenlängen \(s+4\) und \(s-3\), also die Fläche \((s+4)(s-3)\). 3. Wegen der gleichen Flächen gilt \(s^2=(s+4)(s-3)\). 4. Ausmultiplizieren ergibt \(s^2=s^2+s-12\). 5. Nach Subtraktion von \(s^2\) auf beiden Seiten bleibt \(0=s-12\), also \(s=12\,\text{m}\).

Die Seitenlänge des quadratischen Beets beträgt \(12\,\text{m}\).

- Stelle zuerst beide Umfangsterme vollständig auf. - Welches Relationszeichen entspricht „Umfang A ist größer“? - Löse die Ungleichung nach \(x\) auf. - Schneide das Ergebnis anschließend mit \(x>0\) und der Grundmenge \(\mathbb{Q}\).

1. Es gilt \(U_A(x)=2x+2(x+6)=4x+12\) und \(U_B(x)=2x+2\cdot3x=8x\). 2. Gesucht ist \(4x+12>8x\). 3. Daraus folgt \(12>4x\) und damit \(x<3\). 4. Zusammen mit \(x>0\) gilt \(0<x<3\). 5. Über \(\mathbb{Q}\) ist die Lösungsmenge \(L=]0;3[\cap\mathbb{Q}\).

\(4x+12>8x\); \(L=]0;3[\cap\mathbb{Q}\)

- Wie hängen Umfang, Basis und Schenkel in der Formel zusammen? - Was passiert mit den anderen Seiten, wenn eine Seite bei gleichbleibendem Umfang länger wird? - Erinnerst du dich an die Dreiecksungleichung? Welche Bedingung müssen drei Längen erfüllen, damit sie ein Dreieck bilden können?

1. Berechnung zu a): Der Umfang ist \(u = a + b + c\). Da \(a = b\), gilt \(20 = 2a + 4\). Daraus folgt \(2a = 16\), also \(a = b = 8\,\text{cm}\). 2. Berechnung zu b): Es gilt \(20 = 2a + 8\). Daraus folgt \(2a = 12\), also \(a = b = 6\,\text{cm}\). Die Schenkel verkürzen sich jeweils um \(2\,\text{cm}\). 3. Überprüfung zu c): Wäre \(c = 12\,\text{cm}\), dann wäre die Summe der Schenkel \(a + b = 20 - 12 = 8\,\text{cm}\). Nach der Dreiecksungleichung muss die Summe zweier Seiten immer größer als die dritte Seite sein, also insbesondere \(a + b > c\). Da \(8 < 12\), lässt sich mit diesen Maßen kein Dreieck konstruieren.

a) Die Schenkel sind jeweils \(8\,\text{cm}\) lang. b) Die Schenkel werden kürzer und sind dann jeweils \(6\,\text{cm}\) lang. c) Die Behauptung ist falsch, da die Summe der Schenkel (\(8\,\text{cm}\)) kürzer als die Basis (\(12\,\text{cm}\)) wäre, was der Dreiecksungleichung widerspricht.

- Was folgt aus dem Umfang 30 Zentimeter für die Summe aus Länge und Breite? - Wenn die kürzere Seite \(x\) ist, wie kannst du die längere Seite ausdrücken? - Bei einem Quadrat sind die beiden veränderten Seiten gleich lang.

1. Aus dem Umfang folgt für die Summe zweier benachbarter Seiten \(15\,\text{cm}\). 2. Die kürzere Seite ist \(x\), die längere daher \(15-x\). 3. Nach der Änderung sind die Quadratseiten gleich lang: \((15-x)-3=x+2\). 4. Vereinfachen ergibt \(12-x=x+2\), also \(10=2x\) und \(x=5\). 5. Die längere Seite ist \(15-5=10\) Zentimeter.

Gleichung: \((15-x)-3=x+2\). Die ursprünglichen Seitenlängen sind \(5\,\text{cm}\) und \(10\,\text{cm}\).

- Drücke die längere Seite direkt mit \(x\) aus. - Wie lautet die Umfangsformel für ein Rechteck? - Setze beide Seitenterme in diese Formel ein.

1. Die kürzere Seite ist \(x\), die längere \(2x-3\). 2. Mit der Umfangsformel gilt \(2(x+2x-3)=54\). 3. Ausmultiplizieren ergibt \(6x-6=54\). 4. Daraus folgt \(6x=60\), also \(x=10\). 5. Die längere Seite ist \(2\cdot10-3=17\) Zentimeter.

Gleichung: \(2(x+2x-3)=54\). Die Seitenlängen sind \(10\,\text{cm}\) und \(17\,\text{cm}\).

- Drücke die ursprüngliche Länge mit der Breite \(x\) aus. - Stelle den Umfang vor und nach dem Verdoppeln der Länge jeweils als Term auf. - Der Unterschied der beiden Umfangsterme beträgt 20 Zentimeter.

1. Die ursprüngliche Breite ist \(x\), die Länge \(x+4\). 2. Der ursprüngliche Umfang ist \(2(x+x+4)=4x+8\). 3. Nach dem Verdoppeln der Länge ist der Umfang \(2(x+2(x+4))=6x+16\). 4. Die Zunahme beträgt 20 Zentimeter: \((6x+16)-(4x+8)=20\). 5. Vereinfachen ergibt \(2x+8=20\), also \(x=6\). 6. Die ursprüngliche Länge beträgt \(6+4=10\) Zentimeter.

Gleichung: \((6x+16)-(4x+8)=20\). Die ursprüngliche Breite beträgt \(6\,\text{cm}\), die Länge \(10\,\text{cm}\).

- Was bedeutet „gleichschenklig“ für die Seitenlängen des Dreiecks? - Wie setzt sich der Umfang aus den drei Seiten zusammen? - Schreibe die Summe aller Seiten als Term auf und setze ihn mit dem Gesamtwert gleich. - Achte darauf, wie oft jeder Term in der Rechnung vorkommen muss.

1. Aufstellen der Gleichung für den Umfang eines gleichschenkligen Dreiecks: \(\text{Basis} + 2 \cdot \text{Schenkel} = \text{Umfang}\). 2. Einsetzen der Terme: \((y - 2) + 2 \cdot (2y + 1) = 35\). 3. Auflösen der Klammer: \(y - 2 + 4y + 2 = 35\). 4. Zusammenfassen der Terme: \(5y = 35\). 5. Division durch 5: \(y = 7\).

Der Wert von \(y\) ist \(7\).

- Stelle zuerst für jede der beiden Formen einen eigenen Term für den Umfang auf. - Was weißt du über die Seiten eines Quadrats und eines gleichseitigen Dreiecks? - Wenn die Zäune gleich lang sind, was bedeutet das für die beiden Terme? - Wie kannst du eine Gleichung lösen, bei der die Variable auf beiden Seiten vorkommt?

1. Term für den Umfang des Quadrats aufstellen: \(U_{\text{Quadrat}} = 4 \cdot (z + 2)\). 2. Term für den Umfang des gleichseitigen Dreiecks aufstellen: \(U_{\text{Dreieck}} = 3 \cdot (2z - 1)\). 3. Gleichsetzen der beiden Umfangsterme: \(4 \cdot (z + 2) = 3 \cdot (2z - 1)\). 4. Ausmultiplizieren der Klammern: \(4z + 8 = 6z - 3\). 5. Ordnen der Gleichung (Variablen auf eine Seite, Zahlen auf die andere): \(8 + 3 = 6z - 4z\), daraus folgt \(11 = 2z\). 6. Division durch 2: \(z = 5{,}5\).

Der Wert von \(z\) ist \(5{,}5\).

- Für ein Dreieck muss die Summe je zweier Seiten größer als die dritte Seite sein. - Stelle alle drei Bedingungen auf und löse sie getrennt nach \(x\). - Berücksichtige außerdem, dass Seitenlängen positiv sein müssen. - Schneide anschließend alle gefundenen Bereiche miteinander.

1. Die Dreiecksungleichungen liefern \(x+12>3x-2\), also \(x<7\). 2. Aus \(x+(3x-2)>12\) folgt \(4x>14\), also \(x>3{,}5\). 3. Die dritte Dreiecksungleichung liefert nur die schwächere Bedingung \(x>-5\); positive Seitenlängen sind im Bereich \(x>3{,}5\) bereits gesichert. 4. Insgesamt gilt \(3{,}5<x<7\). 5. Die kleinste ganze Zahl in diesem Bereich ist \(4\).

Es gilt \(3{,}5<x<7\). Die kleinste mögliche ganze Zahl ist \(4\).

- Bestimme die bekannte Fläche des Parallelogramms zuerst vollständig. - Setze denselben Flächenwert in die Dreiecksformel ein. - Die unbekannte Höhe bleibt als Variable stehen.

1. Parallelogrammfläche: \(8\cdot4{,}5=36\,\text{cm}^2\). 2. Für das Dreieck gilt \(\frac12\cdot12\cdot h=36\). 3. Damit \(6h=36\), also \(h=6\,\text{cm}\).

Gemeinsame Fläche: \(36\,\text{cm}^2\). Gleichung: \(\frac12\cdot12\cdot h=36\). Dreieckshöhe: \(6\,\text{cm}\).

- Die Dreiecksgrundseite ist erst bekannt, wenn du die Rechteckbreite bestimmt hast. - Die Fläche des angefügten Dreiecks ist die Differenz der beiden Gesamtflächen. - Nutze diese Differenz in einer zweiten linearen Gleichung.

1. Rechteck: \(12b=120\), also \(b=10\,\text{m}\). 2. Dreiecksfläche: \(150-120=30\,\text{m}^2\). 3. Dreieck: \(\frac12\cdot10\cdot h=30\). 4. Daraus folgt \(5h=30\), also \(h=6\,\text{m}\).

Rechteckgleichung: \(12b=120\), also \(b=10\,\text{m}\). Dreiecksgleichung: \(\frac12\cdot10\cdot h=30\). Die Dreieckshöhe beträgt \(6\,\text{m}\).

- Was bedeutet es für die Seitenlängen einer Figur, wenn sie ein Quadrat ist? - Versuche, die Seiten des Quadrats mithilfe der ursprünglichen Rechtecksseiten auszudrücken. - Wie kannst du den Zusammenhang zwischen der kurzen und der langen Seite in eine Gleichung übersetzen? - Überprüfe am Ende, ob deine gefundenen Seitenlängen nach der Änderung wirklich ein Quadrat ergeben.

1. Variable festlegen: Sei \(s\) die kurze Seite des ursprünglichen Rechtecks. Die lange Seite ist dann \(3s\). 2. Seiten des Quadrats beschreiben: Die neue kurze Seite ist \(s + 5\), die neue lange Seite ist \(3s - 5\). 3. Gleichung aufstellen: Da ein Quadrat vier gleich lange Seiten hat, gilt \(3s - 5 = s + 5\). 4. Gleichung lösen: \(2s = 10 \Rightarrow s = 5\). 5. Ursprüngliche Maße bestimmen: Die kurze Seite ist \(5\,\text{cm}\), die lange Seite ist \(3 \cdot 5 = 15\,\text{cm}\). 6. Umfang berechnen: \(U = 2 \cdot (5 + 15) = 40\,\text{cm}\).

Die kurze Seite des Rechtecks ist \(5\,\text{cm}\) lang, die lange Seite ist \(15\,\text{cm}\) lang. Der Umfang des Rechtecks beträgt \(40\,\text{cm}\).

- Der halbe Umfang ist die Summe einer Länge und einer Breite. - Nach den Änderungen sind die beiden neuen Seiten gleich lang. - Setze die längere Seite als Term in \(x\) in diese Gleichheit ein.

1. Aus dem Umfang folgt \(x+y=20\), also \(y=20-x\). 2. Im Quadrat gilt \(x+3=y-3\). 3. Einsetzen ergibt \(x+3=(20-x)-3\). 4. Daraus folgt \(2x=14\), also \(x=7\) und \(y=13\).

Längere Seite: \(20-x\). Gleichung: \(x+3=(20-x)-3\). Ursprüngliche Seiten: \(7\,\text{cm}\) und \(13\,\text{cm}\).

- Beginne mit dem ersten Winkel als \(x\). - Der dritte Winkel ist nicht nur ein Vielfaches aus dem Text, sondern die Summe der ersten beiden Terme. - Alle drei liegen zusammen an einer Geraden.

1. Winkelterme: \(x\), \(3x\), \(x+3x=4x\). 2. Summengleichung: \(x+3x+4x=180\). 3. Daraus folgt \(8x=180\), also \(x=22{,}5\). 4. Die Winkel sind \(22{,}5^\circ\), \(67{,}5^\circ\), \(90^\circ\).

Winkelterme: \(x\), \(3x\), \(4x\). Gleichung: \(x+3x+4x=180\). Winkel: \(22{,}5^\circ\), \(67{,}5^\circ\), \(90^\circ\).

- Beide Rechtecke teilen dieselbe unbekannte Breite. - Schreibe zunächst je einen Flächenterm. - Die Summe dieser beiden Flächen ist 192.

1. Die Flächen sind \(8x\) und \(16x\). 2. Gesamtgleichung: \(8x+16x=192\). 3. Daraus folgt \(24x=192\), also \(x=8\,\text{cm}\). 4. Flächen: 64 und \(128\,\text{cm}^2\).

Gleichung: \(8x+16x=192\). Breite: \(8\,\text{cm}\). Flächen: \(64\,\text{cm}^2\) und \(128\,\text{cm}^2\).

- Was bedeutet es für die Formeln, wenn zwei verschiedene Figuren den gleichen Umfang haben? - Wie viele Seiten hat ein Quadrat und wie viele ein gleichseitiges Dreieck? Sind alle Seiten innerhalb einer dieser Figuren gleich lang? - Wenn du die Seite des Quadrats kennst, wie drückst du dann die Seite des Dreiecks aus? - Stelle eine Gleichung auf, die die beiden Umfänge miteinander vergleicht.

1. Definition der Seitenlänge des Quadrats als Variable \(s\). 2. Ausdruck der Seitenlänge des Dreiecks als \(s + 2{,}5\). 3. Gleichsetzen der Umfangsformeln (\(4 \cdot \text{Seite}\) für das Quadrat und \(3 \cdot \text{Seite}\) für das gleichseitige Dreieck): \(4s = 3 \cdot (s + 2{,}5)\). 4. Auflösen der Klammer auf der rechten Seite: \(4s = 3s + 7{,}5\). 5. Subtraktion von \(3s\) auf beiden Seiten ergibt die Seitenlänge des Quadrats: \(s = 7{,}5\,\text{cm}\). 6. Addition von \(2{,}5\,\text{cm}\) ergibt die Seitenlänge des Dreiecks: \(7{,}5 + 2{,}5 = 10\,\text{cm}\).

Die Seitenlänge des Quadrats beträgt \(7{,}5\,\text{cm}\) und die Seitenlänge des gleichseitigen Dreiecks beträgt \(10\,\text{cm}\).

- Welche Seite ist die kürzeste? Überlege, wie du die anderen Seiten im Verhältnis dazu ausdrücken kannst. - Was bedeutet der Begriff „Umfang“ für die Berechnung? - Könntest du eine Skizze machen und die Seiten mit Platzhaltern beschriften? - Stelle eine Gleichung auf, in der die Summe der drei Seiten dem Gesamtwert entspricht.

1. Definition der Variablen: Sei \(x\) die Länge der Seite \(a\) in \(\text{cm}\). 2. Aufstellen der Terme für die anderen Seiten: Seite \(b = 2x\) und Seite \(c = 2x - 5\). 3. Aufstellen der Gleichung für den Umfang: \(x + 2x + (2x - 5) = 45\). 4. Zusammenfassen und Lösen der Gleichung: \(5x - 5 = 45 \Rightarrow 5x = 50 \Rightarrow x = 10\). 5. Berechnung der Seitenlängen: \(a = 10\,\text{cm}\), \(b = 2 \cdot 10 = 20\,\text{cm}\) und \(c = 20 - 5 = 15\,\text{cm}\).

Die Seitenlängen betragen \(a = 10\,\text{cm}\), \(b = 20\,\text{cm}\) und \(c = 15\,\text{cm}\).

- Welche mathematische Regel gilt für alle Winkel in einem Dreieck? - Kannst du einen der Winkel als Platzhalter wählen und die anderen damit beschreiben? - Achte genau darauf, auf welchen Winkel sich die Beschreibung des dritten Winkels bezieht. - Wie lässt sich der Zusammenhang aller Winkel in einer Rechnung ausdrücken?

1. Festlegen der Variablen \(x\) für die Größe des Winkels \(\alpha\). 2. Ausdrücken der anderen Winkel durch \(x\): \(\beta = x + 20^\circ\) und \(\gamma = 3 \cdot (x + 20^\circ)\). 3. Anwendung des Satzes über die Innenwinkelsumme im Dreieck: \(x + (x + 20^\circ) + 3 \cdot (x + 20^\circ) = 180^\circ\). 4. Vereinfachen der Gleichung: \(x + x + 20^\circ + 3x + 60^\circ = 180^\circ \Rightarrow 5x + 80^\circ = 180^\circ\). 5. Lösen der Gleichung: \(5x = 100^\circ \Rightarrow x = 20^\circ\). 6. Berechnung der Winkel: \(\alpha = 20^\circ\), \(\beta = 20^\circ + 20^\circ = 40^\circ\), \(\gamma = 3 \cdot 40^\circ = 120^\circ\).

Die Winkel betragen \(\alpha = 20^\circ\), \(\beta = 40^\circ\) und \(\gamma = 120^\circ\).

- Wie kannst du die Länge mithilfe der Breite ausdrücken? - Vergleiche den Flächeninhalt vor und nach der Verkürzung. - Welches geometrische Teilstück verschwindet, wenn nur die Länge kürzer wird?

1. Die Breite sei \(w\). Dann ist die ursprüngliche Länge \(3w\). 2. Der ursprüngliche Flächeninhalt ist \(3w\cdot w=3w^2\). Nach der Verkürzung beträgt er \((3w-2)w=3w^2-2w\). 3. Die Flächenabnahme beträgt daher \(3w^2-(3w^2-2w)=2w\). Mit \(2w=12\) folgt \(w=6\,\text{cm}\). 4. Die ursprüngliche Länge ist \(3\cdot6\,\text{cm}=18\,\text{cm}\). 5. Weil nur die Länge um \(2\,\text{cm}\) verändert wird, fällt ein Rechteckstreifen mit der unveränderten Breite \(w\) weg. Seine Fläche ist deshalb \(2\,\text{cm}\cdot w\).

a) Die ursprüngliche Breite beträgt \(6\,\text{cm}\), die ursprüngliche Länge \(18\,\text{cm}\). b) Die Flächenabnahme ist die Fläche des entfernten Streifens: \(2\,\text{cm}\cdot w\). Sie hängt daher direkt von der unveränderten Breite \(w\) ab.

- Beide neuen Beete behalten eine Seitenlänge \(a\). - Schreibe zunächst für jedes neue Rechteck einen eigenen Flächenterm. - Bilde dann die im Text gegebene Flächendifferenz; achte darauf, was sich beim Ausmultiplizieren kürzt.

1. Martas neue Fläche ist \(a(a+2)\), Idris' neue Fläche \(a(a+5)\). 2. Die Flächendifferenz führt zu \(a(a+5)-a(a+2)=15\). 3. Ausmultiplizieren ergibt \(a^2+5a-a^2-2a=15\), also \(3a=15\). 4. Damit ist \(a=5\,\text{m}\).

Gleichung: \(a(a+5)-a(a+2)=15\). Vereinfacht: \(3a=15\). Die ursprüngliche Seitenlänge beträgt \(5\,\text{m}\).

- Kannst du die Länge und Breite des Rechtecks durch eine einzige Variable ausdrücken? - Wie hängen die Seiten des Quadrats mit den ursprünglichen Maßen zusammen? - Stelle für beide Figuren einen Term für den Flächeninhalt auf. - Welchen Zusammenhang gibt es zwischen den beiden Flächeninhalten?

1. Definition der Variablen: Breite des ursprünglichen Rechtecks \(x\), Länge \(x + 7\,\text{cm}\) 2. Aufstellen der Terme für die Flächeninhalte: Rechteck \(A_R = x \cdot (x + 7) = x^2 + 7x\); Quadratseite \(s = x + 7 - 2 = x + 5\), Quadratfläche \(A_Q = (x + 5)^2 = x^2 + 10x + 25\) 3. Aufstellen der Gleichung nach der Bedingung \(A_Q = A_R + 55\): \(x^2 + 10x + 25 = x^2 + 7x + 55\) 4. Lösen der Gleichung: \(3x = 30\), woraus \(x = 10\,\text{cm}\) folgt 5. Berechnung der Quadratseite: \(s = 10 + 5 = 15\,\text{cm}\)

Die Seitenlänge des Quadrats beträgt \(15\,\text{cm}\).

- Überlege dir, wie du die neuen Seitenlängen ausgehend von den alten beschreiben kannst. - Was bedeutet es für die Gleichung, wenn die Flächeninhalte gleich groß sind? - Achte darauf, am Ende nicht nur die Breite, sondern den gesuchten Umfang zu berechnen.

1. Definition der Variablen: Breite des ursprünglichen Rechtecks \(b\), Länge \(l = b + 8\) 2. Term für den ursprünglichen Flächeninhalt: \(A_1 = b \cdot (b + 8) = b^2 + 8b\) 3. Maße des neuen Rechtecks: Breite \(b + 2\), Länge \(b + 8 - 3 = b + 5\) 4. Term für den neuen Flächeninhalt: \(A_2 = (b + 2) \cdot (b + 5) = b^2 + 7b + 10\) 5. Gleichsetzen der Flächen (\(A_1 = A_2\)): \(b^2 + 8b = b^2 + 7b + 10\) 6. Lösen nach \(b\): \(b = 10\,\text{cm}\) 7. Bestimmung der ursprünglichen Maße: Breite \(10\,\text{cm}\), Länge \(18\,\text{cm}\) 8. Berechnung des Umfangs: \(U = 2 \cdot (10 + 18) = 56\,\text{cm}\)

Der Umfang des ursprünglichen Rechtecks beträgt \(56\,\text{cm}\).

- Kannst du eine Variable für die kürzere Seite festlegen und die längere Seite dadurch ausdrücken? - Wie berechnet man den Flächeninhalt eines Rechtecks allgemein? - Stelle einen Term für den Flächeninhalt vor der Änderung und einen Term für den Flächeninhalt nach der Änderung auf. - Was bedeutet „nimmt um \(15\,\text{cm}^2\) zu“ für die Beziehung zwischen den beiden Flächeninhalten?

1. Definition der Variablen: Die Breite des ursprünglichen Rechtecks sei \(w\). Da die Länge dreimal so groß ist, gilt für die Länge \(l = 3w\). 2. Aufstellen der Flächenformeln: Der ursprüngliche Flächeninhalt ist \(A_1 = w \cdot 3w = 3w^2\). Die neuen Seitenlängen sind \(w + 2\) und \(3w - 3\). Der neue Flächeninhalt ist \(A_2 = (w + 2) \cdot (3w - 3)\). 3. Aufstellen der Gleichung: Gemäß der Aufgabenstellung ist \(A_2 = A_1 + 15\), also \((w + 2) \cdot (3w - 3) = 3w^2 + 15\). 4. Lösen der Gleichung: Ausmultiplizieren ergibt \(3w^2 - 3w + 6w - 6 = 3w^2 + 15\). Vereinfacht führt dies zu \(3w - 6 = 15\). 5. Berechnung der Ergebnisse: Durch Addition von \(6\) erhält man \(3w = 21\), woraus \(w = 7\) folgt. Die Länge ist \(l = 3 \cdot 7 = 21\).

Die ursprüngliche Breite beträgt \(7\,\text{cm}\) und die ursprüngliche Länge beträgt \(21\,\text{cm}\).

- Überlege dir zuerst, wie du die Breite und die Länge mit einer Variablen ausdrücken kannst. - Wie berechnet man den Flächeninhalt eines Rechtecks? - Stelle einen Term für den alten und einen für den neuen Flächeninhalt auf. - Vergiss nicht, beim Ausmultiplizieren der Klammern sorgfältig vorzugehen. - Was passiert mit den quadratischen Gliedern, wenn du die Gleichung vereinfachst?

1. Definition der Variablen: Sei \(x\) die ursprüngliche Breite in \(\text{m}\). Die ursprüngliche Länge ist dann \(x + 5\). 2. Aufstellen des ursprünglichen Flächeninhalts: \(A_{alt} = x \cdot (x + 5) = x^2 + 5x\). 3. Bestimmung der neuen Maße: Die neue Breite ist \(x + 2\), die neue Länge ist \((x + 5) + 3 = x + 8\). 4. Aufstellen des neuen Flächeninhalts: \(A_{neu} = (x + 2) \cdot (x + 8) = x^2 + 8x + 2x + 16 = x^2 + 10x + 16\). 5. Aufstellen der Gleichung basierend auf der Flächenzunahme: \(A_{neu} = A_{alt} + 41\), also \(x^2 + 10x + 16 = x^2 + 5x + 41\). 6. Lösen der linearen Gleichung: Subtraktion von \(x^2\) auf beiden Seiten ergibt \(10x + 16 = 5x + 41\). Umstellen ergibt \(5x = 25\), woraus \(x = 5\) folgt. 7. Berechnung der Maße: Breite \(5\,\text{m}\), Länge \(5\,\text{m} + 5\,\text{m} = 10\,\text{m}\).

Das Beet war ursprünglich \(5\,\text{m}\) breit und \(10\,\text{m}\) lang.

- Kannst du eine Skizze der Platte machen und markieren, welche Teile für den Boden übrig bleiben? - Wie hängen die Seitenlänge der Platte und die Seitenlänge des Schachtelbodens zusammen? - Stelle einen Term für die Fläche der Platte und einen für die Fläche des Bodens auf. - Was passiert mit den quadratischen Gliedern, wenn du die Klammern in deiner Gleichung auflöst?

1. Sei \(a\) die Seitenlänge der ursprünglichen quadratischen Platte in \(\text{cm}\). Ihre Fläche beträgt \(A_{\text{Platte}} = a^2\). 2. Die Seitenlänge des quadratischen Bodens der Schachtel ergibt sich durch Abzug der beiden Ecken zu \(a - 2 \cdot 4 = a - 8\). Die Bodenfläche beträgt \(A_{\text{Boden}} = (a - 8)^2\). 3. Laut Aufgabenstellung gilt \(A_{\text{Platte}} - A_{\text{Boden}} = 160\). Dies führt zur Gleichung \(a^2 - (a - 8)^2 = 160\). 4. Anwendung der binomischen Formel: \(a^2 - (a^2 - 16a + 64) = 160\). 5. Vereinfachung der linearen Gleichung: \(16a - 64 = 160\). 6. Lösung der Gleichung: \(16a = 224\), woraus \(a = 14\,\text{cm}\) folgt. 7. Berechnung des Volumens: Die Bodenfläche ist \(A_{\text{Boden}} = (14 - 8)^2 = 36\,\text{cm}^2\). Mit der Höhe \(h = 4\,\text{cm}\) ergibt sich \(V = 36 \cdot 4 = 144\,\text{cm}^3\).

Die Seitenlänge der Platte beträgt \(14\,\text{cm}\). Das Volumen der Schachtel beträgt \(144\,\text{cm}^3\).

- Drücke die Länge direkt mit der Breite \(x\) aus. - Setze beide Seitenterme in die Umfangsformel ein. - Vergleiche die berechnete Breite anschließend mit 15 Metern.

1. Die Breite ist \(x\), die Länge \(3x-6\). 2. Mit dem Umfang gilt \(2(x+3x-6)=84\). 3. Ausmultiplizieren ergibt \(8x-12=84\), also \(8x=96\) und \(x=12\). 4. Die Länge beträgt \(3\cdot12-6=30\) Meter. 5. Da \(12<15\), ist die Behauptung falsch.

Gleichung: \(2(x+3x-6)=84\). Das Beet ist \(12\,\text{m}\) breit und \(30\,\text{m}\) lang. Die Behauptung ist falsch.

- Verwende Meter für alle Längen, bevor du die Flächen aufstellst. - Beide Flächenterme besitzen dieselbe Höhe. - Addiere die beiden vollständigen Rechteckflächen zur Gesamtfläche.

1. Die Längen sind \(x\) und \(x+0{,}5\). 2. Die Flächen sind \(1{,}2x\) und \(1{,}2(x+0{,}5)\). 3. Es gilt \(1{,}2x+1{,}2(x+0{,}5)=4{,}2\). 4. Daraus folgt \(2{,}4x+0{,}6=4{,}2\), also \(x=1{,}5\). 5. Das längere Banner ist \(2{,}0\,\text{m}\) lang.

Gleichung: \(1{,}2x+1{,}2(x+0{,}5)=4{,}2\). Die Banner sind \(1{,}50\,\text{m}\) und \(2{,}00\,\text{m}\) lang.

- Wie berechnet man den Flächeninhalt eines Quadrats und eines Rechtecks? - Kannst du die neuen Seitenlängen mithilfe der ursprünglichen Länge ausdrücken? - Stelle eine Gleichung auf, die den alten und den neuen Flächeninhalt vergleicht. - Was passiert mit dem quadratischen Glied \(s^2\), wenn du die Gleichung vereinfachst?

1. Variable \(s\) für die Seitenlänge des Quadrats definieren; Flächeninhalt ist \(s^2\). 2. Seitenlängen des neuen Rechtecks als \(s + 2\) und \(s + 5\) ausdrücken. 3. Gleichung basierend auf der Flächenzunahme aufstellen: \((s + 2) \cdot (s + 5) = s^2 + 45\). 4. Terme ausmultiplizieren: \(s^2 + 5s + 2s + 10 = s^2 + 45\). 5. Gleichung vereinfachen: \(s^2 + 7s + 10 = s^2 + 45\). 6. \(s^2\) auf beiden Seiten subtrahieren: \(7s + 10 = 45\). 7. Nach \(s\) auflösen: \(7s = 35\), daraus folgt \(s = 5\). 8. Die ursprüngliche Seitenlänge beträgt \(5\,\text{cm}\).

Die Seitenlänge des Quadrats beträgt \(5\,\text{cm}\).

- Schreibe die ursprüngliche Länge als \(x+5\). - Nur die Breite ändert sich beim zweiten Rechteck. - Die Differenz der beiden vollständigen Flächenterme beträgt 30.

1. Ursprüngliche Fläche: \(x(x+5)\). 2. Vergrößerte Fläche: \((x+2)(x+5)\). 3. Differenzgleichung: \((x+2)(x+5)-x(x+5)=30\). 4. Ausmultiplizieren und Kürzen ergibt \(2x+10=30\), also \(x=10\). 5. Die Länge beträgt \(15\,\text{m}\).

Gleichung: \((x+2)(x+5)-x(x+5)=30\). Vereinfacht: \(2x+10=30\). Breite: \(10\,\text{m}\), Länge: \(15\,\text{m}\).

- Setze die beiden parallelen Seiten in die allgemeine Trapezformel ein. - Vereinfache die Formel, bevor du sie nach einer Variablen auflöst. - Beim Umstellen müssen alle Faktoren, die nicht zur gesuchten Variablen gehören, auf die andere Seite gebracht werden. - Kontrolliere die numerische Höhe durch Einsetzen in die Flächenformel.

1. Mit der Trapezformel \(A=\frac{a+c}{2}h\), \(a=3x\) und \(c=x\) folgt \(A=\frac{3x+x}{2}h=2xh\). 2. Auflösen nach \(h\) ergibt \(h=\frac{A}{2x}\). 3. Für \(x=5\,\text{cm}\) und \(A=70\,\text{cm}^2\) ist \(h=\frac{70\,\text{cm}^2}{10\,\text{cm}}=7\,\text{cm}\). 4. Auflösen derselben Formel nach \(x\) ergibt \(x=\frac{A}{2h}\).

a) \(A=2xh\) b) \(h=\frac{A}{2x}\); für die gegebenen Werte ist \(h=7\,\text{cm}\). c) \(x=\frac{A}{2h}\)

- Die drei anderen Winkel haben zusammen nicht 360 Grad, weil der gesuchte Winkel davon noch abgezogen werden muss. - Übersetze „ein Viertel der Summe der anderen drei“ direkt als Term. - Beseitige anschließend zuerst den Bruchfaktor.

1. Die Summe der drei anderen Winkel ist \(360-x\). 2. Die Bedingung lautet \(x=\frac14(360-x)\). 3. Multiplikation mit 4 ergibt \(4x=360-x\). 4. Addition von \(x\) ergibt \(5x=360\), also \(x=72^\circ\).

Gleichung: \(x=\frac14(360-x)\). Der Winkel beträgt \(72^\circ\).

- Der Umfang eines Dreiecks ist die Summe seiner drei Seitenlängen. - Ordne jedem Summanden genau eine Seitenbeschriftung aus der Skizze zu. - Prüfe außerdem, ob die rechte Seite wirklich der gegebenen Umfangsmaßzahl entspricht. - Löse erst die Gleichung, nachdem du die passende Modellierung begründet hast.

1. Die drei Maßzahlen der Seitenlängen sind \(x\), \(x+2\) und \(9\). Ihre Summe muss die Umfangsmaßzahl \(25\) ergeben. Daher ist A richtig: \(x+(x+2)+9=25\). 2. B ist falsch, weil die Seite mit der Beschriftung \(x+2\) dort fälschlich nur als \(x\) erfasst wird. 3. C ist falsch, weil beim Umfang jede Dreiecksseite genau einmal addiert wird und die Umfangsmaßzahl \(25\), nicht \(50\), beträgt. 4. Aus A folgt \(2x+11=25\), also \(2x=14\) und \(x=7\). 5. Die Seitenlängen sind damit \(7\,\text{cm}\), \(9\,\text{cm}\) und \(9\,\text{cm}\).

A ist richtig: \(x+(x+2)+9=25\). B lässt den Zuschlag \(2\) bei der Seite \(x+2\) weg; C verwendet fälschlich \(50\) statt der Umfangsmaßzahl \(25\). Es gilt \(x=7\); die Seiten sind \(7\,\text{cm}\), \(9\,\text{cm}\) und \(9\,\text{cm}\) lang.

- Addiere für den Umfang alle drei Seitenterme genau einmal. - Nach dem Lösen erhältst du drei konkrete Seitenlängen. - Für positive Seiten genügt es hier, die Summe der beiden kürzeren mit der längsten zu vergleichen.

1. Umfangsgleichung: \(x+(x+1)+7=18\). 2. Daraus folgt \(2x+8=18\), also \(x=5\). 3. Seitenlängen: 5, 6, 7 cm. 4. Für die kritische Dreiecksungleichung gilt \(5+6>7\), also können die Seiten ein Dreieck bilden.

Gleichung: \(x+(x+1)+7=18\). \(x=5\), also sind die Seiten \(5\,\text{cm}\), \(6\,\text{cm}\), \(7\,\text{cm}\). Prüfung: \(5+6>7\). Daher ist ein Dreieck möglich.

- Bestimme zuerst den Flächeninhalt der Raute mit der angegebenen Formel. - Welche Fläche muss das Drachenviereck dann haben? - Setze diese Fläche und die bekannte Diagonale in die angegebene Formel ein und löse die Gleichung.

1. Die Raute hat den Flächeninhalt \(A=\frac{10\,\text{cm}\cdot6\,\text{cm}}{2}=30\,\text{cm}^2\). 2. Das Drachenviereck soll ebenfalls \(30\,\text{cm}^2\) groß sein. Daher gilt \(30\,\text{cm}^2=\frac{12\,\text{cm}\cdot f}{2}\). 3. Das ist \(30\,\text{cm}^2=6\,\text{cm}\cdot f\). Deshalb ist \(f=5\,\text{cm}\).

Die zweite Diagonale ist \(5\,\text{cm}\) lang.

- Formuliere zuerst für jede der drei Seiten einen eigenen Term. - Welche Beziehung verbindet die drei Seitenterme mit dem gegebenen Umfang? - Welche Bedingung müssen die beiden kürzeren Seiten im Vergleich zur längsten Seite erfüllen?

1. Die drei Seiten werden mit \(x\), \(x+2\) und \(2x-1\) beschriftet. 2. Aus dem Umfang folgt \(x+(x+2)+(2x-1)=25\). 3. Zusammenfassen ergibt \(4x+1=25\), also \(x=6\). 4. Die Seiten sind \(6\,\text{cm}\), \(8\,\text{cm}\) und \(11\,\text{cm}\) lang. 5. Für die beiden kürzeren Seiten gilt \(6+8=14>11\). Daher können die drei Längen ein Dreieck bilden.

Skizzenbeschriftung: \(x\), \(x+2\) und \(2x-1\). Gleichung: \(x+(x+2)+(2x-1)=25\). Die Seitenlängen sind \(6\,\text{cm}\), \(8\,\text{cm}\) und \(11\,\text{cm}\). Prüfung: \(6+8>11\), also können die drei Längen ein Dreieck bilden.

- Wie viele Zwischenräume entstehen bei \(x\) Pfosten, wenn auch an beiden Enden derselbe Abstand liegt? - Stelle die Gesamtlänge für beide Pfostenabstände jeweils mit Einheit auf. - Beide Ausdrücke beschreiben dieselbe Strecke und können deshalb gleichgesetzt werden. - Prüfe am Ende, ob beide Anordnungen mit deinem Ergebnis tatsächlich dieselbe Gesamtlänge liefern.

1. Sei \(x\) die ursprüngliche Anzahl der Pfosten. Dann gibt es \(x+1\) gleich lange Zwischenräume. 2. Im ersten Fall ist die Gesamtlänge \(L=(x+1)\cdot4\,\text{m}\). 3. Im zweiten Fall gibt es \(x+3\) Pfosten und damit \(x+4\) Zwischenräume. Daher ist \(L=(x+4)\cdot2{,}50\,\text{m}\). 4. Da beide Ausdrücke dieselbe Länge beschreiben, können nach Weglassen der gemeinsamen Einheit Meter die Zahlenwerte gleichgesetzt werden: \(4(x+1)=2{,}50(x+4)\). 5. Ausmultiplizieren und Umformen ergibt \(4x+4=2{,}50x+10\), also \(1{,}50x=6\) und \(x=4\). 6. Damit beträgt die Gesamtlänge \(L=(4+1)\cdot4\,\text{m}=20\,\text{m}\).

Die Gesamtlänge der Absperrung beträgt \(20\,\text{m}\).

- Zähle die Kanten eines Würfels und eines Quaders nach Längenarten. - Beim Quader sind nur die vier senkrechten Kanten \(2x\) lang. - Beide Modelle verwenden jeweils die gesamte Drahtlänge.

1. \(4{,}80\,\text{m}=480\,\text{cm}\). 2. Würfelkante \(a\): \(12a=480\), also \(a=40\,\text{cm}\). Die Würfelhöhe ist 40 cm. 3. Beim Quader gibt es 8 Grund-/Deckkanten der Länge \(x\) und 4 Höhenkanten der Länge \(2x\): \(8x+4\cdot2x=480\). 4. Daraus folgt \(16x=480\), also \(x=30\,\text{cm}\); die Höhe ist 60 cm. 5. Höhenunterschied: \(60-40=20\,\text{cm}\).

Würfelgleichung: \(12a=480\), also Höhe \(40\,\text{cm}\). Quadergleichung: \(8x+4\cdot2x=480\), also Höhe \(60\,\text{cm}\). Mayas Modell ist \(20\,\text{cm}\) höher.

- Drücke die ursprüngliche Länge mithilfe der unbekannten Höhe aus. - Stelle getrennte Flächenterme für den ursprünglichen und den veränderten Zustand auf. - Wie lässt sich die Zunahme um \(30\,\text{cm}^2\) als Gleichung ausdrücken? - Vereinfache die Gleichung erst, nachdem beide Flächenterme vollständig ausmultipliziert sind.

1. Sei \(x\) die ursprüngliche Höhe. Dann beträgt die ursprüngliche Länge \(2x\), die Fläche also \(2x^2\). 2. Die neuen Seitenlängen sind \(x+3\) und \(2x-2\). 3. Die neue Fläche ist \((x+3)(2x-2)=2x^2+4x-6\). 4. Wegen der Flächenzunahme gilt \(2x^2+4x-6=2x^2+30\). 5. Zusammenfassen ergibt \(4x-6=30\), also \(4x=36\) und \(x=9\). 6. Die ursprüngliche Höhe beträgt \(9\,\text{cm}\), die Länge \(18\,\text{cm}\).

Das Schild war ursprünglich \(9\,\text{cm}\) hoch und \(18\,\text{cm}\) lang.

- Bezeichne die kürzere Seite mit einer Variablen und drücke die längere damit aus. - Stelle für alten und neuen Zustand jeweils einen Flächenterm auf. - Verbinde beide Flächen mit der gegebenen Zunahme. - Multipliziere vollständig aus und fasse danach gleichartige Terme zusammen.

1. Sei \(x\) die kürzere Seite. Dann ist die längere Seite \(x+5\). 2. Die alte Fläche ist \(x(x+5)\); die neuen Seiten sind \(x+3\) und \(x+7\), also ist die neue Fläche \((x+3)(x+7)\). 3. Wegen der Flächenzunahme gilt \((x+3)(x+7)=x(x+5)+66\). 4. Ausmultiplizieren ergibt \(x^2+10x+21=x^2+5x+66\). 5. Zusammenfassen führt zu \(5x=45\), also \(x=9\). 6. Die andere Seite ist \(14\,\text{cm}\) lang.

Die Seitenlängen betragen \(9\,\text{cm}\) und \(14\,\text{cm}\).

- Stelle für jede Auswahl von zwei Seiten eine Dreiecksungleichung auf. - Löse die drei Ungleichungen getrennt und kombiniere ihre Bedingungen. - Prüfe zusätzlich, ob alle Seitenlängen positiv sind. - Zähle erst danach die ganzen Zahlen im gemeinsamen Bereich.

1. Aus \(2x+(x+10)>30\) folgt \(3x>20\), also \(x>\frac{20}{3}\). 2. Aus \(2x+30>x+10\) folgt \(x>-20\); diese Bedingung ist gegenüber der positiven Seitenlänge nicht einschränkend. 3. Aus \((x+10)+30>2x\) folgt \(x<40\). 4. Insgesamt gilt \(\frac{20}{3}<x<40\). 5. Die ganzzahligen Werte sind \(7,8,\dots,39\). Ihre Anzahl beträgt \(39-7+1=33\).

Es gilt \(\frac{20}{3}<x<40\). Für ganzzahliges \(x\) gibt es \(33\) mögliche Werte.

- Beide Flächen enthalten denselben Längenfaktor \(x\). - In a) ist die Differenz der Flächen gegeben. - In c) nutze das Distributivgesetz mit der gemeinsamen Länge.

1. Flächendifferenz: \(5x-3x=14\). 2. Daraus folgt \(2x=14\), also \(x=7\,\text{m}\). 3. Beet C: \(8\cdot7=56\,\text{m}^2\). 4. Algebraisch gilt \(8x=(3+5)x=3x+5x\); daher ist die Fläche von C die Summe der beiden Einzelbeete.

a) Gleichung: \(5x-3x=14\). Länge: \(7\,\text{m}\). b) Fläche C: \(56\,\text{m}^2\). c) \(8x=(3+5)x=3x+5x\). Deshalb addieren sich die beiden Flächen genau zur Fläche von C.

- Drücke im ersten Teil die alte und die neue Fläche mit derselben unbekannten Seitenlänge aus. - Die neue Fläche ist um einen festen Betrag größer als die alte; wie lässt sich das als Gleichung schreiben? - Für den zweiten Teil genügt ein konkretes Gegenbeispiel mit dem Ergebnis aus Teil a). - Vergleiche die beiden Flächenwerte direkt.

1. Sei \(s\) die ursprüngliche Seitenlänge. Die Quadratfläche ist \(s^2\), die neue Rechteckfläche \((s+6)(s-4)\). 2. Wegen der Flächenzunahme gilt \((s+6)(s-4)=s^2+16\). 3. Ausmultiplizieren ergibt \(s^2+2s-24=s^2+16\). Zusammenfassen liefert \(2s=40\), also \(s=20\,\text{m}\). 4. Für die Änderung um jeweils \(5\,\text{m}\) entstehen die Seiten \(25\,\text{m}\) und \(15\,\text{m}\). Ihre Fläche beträgt \(375\,\text{m}^2\). 5. Das ursprüngliche Quadrat hat die Fläche \(400\,\text{m}^2\). Da \(375\,\text{m}^2\neq400\,\text{m}^2\), ist die Behauptung widerlegt.

a) Die ursprüngliche Seitenlänge beträgt \(20\,\text{m}\). b) Nach der Änderung um jeweils \(5\,\text{m}\) beträgt die Fläche \(375\,\text{m}^2\) statt \(400\,\text{m}^2\); die Behauptung ist falsch.

- Wie kannst du die Länge durch die unbekannte Breite ausdrücken? - Wie verändern sich beide Bodenmaße, wenn an jeder Ecke ein Quadrat ausgeschnitten wird? - Vergleiche die Fläche des ganzen Blechs mit der Bodenfläche der späteren Schachtel. - Prüfe nach dem Lösen, ob beide Bodenmaße positiv und für eine Schachtel sinnvoll sind.

1. Sei \(b\) die Breite des Blechs in Zentimetern. Dann ist die Länge \(2b\), also beträgt die Blechfläche \(2b^2\). 2. Nach dem Ausschneiden sind die Bodenmaße \(2b-4\) und \(b-4\). Die Bodenfläche ist daher \((2b-4)(b-4)=2b^2-12b+16\). 3. Die Flächendifferenz erfüllt \(2b^2-(2b^2-12b+16)=80\). Daraus folgt \(12b-16=80\), also \(12b=96\) und \(b=8\,\text{cm}\). 4. Das ursprüngliche Blech ist somit \(16\,\text{cm}\) lang und \(8\,\text{cm}\) breit. 5. Der Schachtelboden misst \(12\,\text{cm}\times4\,\text{cm}\), die Höhe beträgt \(2\,\text{cm}\). Damit ist \(V=12\cdot4\cdot2=96\,\text{cm}^3\).

Das Blech ist \(16\,\text{cm}\) lang und \(8\,\text{cm}\) breit. Das Volumen der Schachtel beträgt \(96\,\text{cm}^3\).

- Bestimme zuerst die vier Seitenlängen aus Umfang und Seitenverhältnis. - Zeichne gedanklich eine Diagonale und betrachte die beiden entstehenden Dreiecke. - Welche strenge Ungleichung muss in jedem nicht entarteten Dreieck für eine Seite im Vergleich zur Summe der beiden anderen gelten?

1. Setze \(x\) als Länge der drei gleich langen kürzeren Seiten und \(y\) als Länge der längeren Basis. Dann gilt \(y+3x=24\) und \(y=3x\). 2. Einsetzen ergibt \(6x=24\), also \(x=4\) und \(y=12\). Die Seitenlängen wären damit \(12\,\text{cm}\), \(4\,\text{cm}\), \(4\,\text{cm}\), \(4\,\text{cm}\). 3. Bezeichne die längere Basis mit \(AB\), die kürzere mit \(CD\) und die Schenkel mit \(AD\) und \(BC\). Eine Diagonale \(AC\) würde ein nicht entartetes Trapez in zwei Dreiecke zerlegen. 4. In \(\triangle ACD\) müsste \(AC<AD+DC=8\,\text{cm}\) gelten. In \(\triangle ABC\) müsste zugleich \(AB<AC+CB<8\,\text{cm}+4\,\text{cm}=12\,\text{cm}\) gelten. 5. Tatsächlich wäre aber \(AB=12\,\text{cm}\). Damit ist die strenge Dreiecksungleichung verletzt; ein nicht entartetes Trapez existiert nicht.

Die rechnerischen Seitenlängen wären \(12\,\text{cm}\) und dreimal \(4\,\text{cm}\). Ein nicht entartetes Trapez mit diesen Seitenlängen existiert nicht, weil die längste Seite die Summe der drei anderen Seiten erreicht und damit die notwendige strenge Dreiecksungleichung verletzt wird.