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- Wie viel Geld hat Paul insgesamt ausgegeben? - Wie viel Geld hat er durch die ersten Verkäufe schon eingenommen? - Wie viel Geld fehlt ihm noch, um keine Verluste zu machen? - Auf wie viele Spiele muss dieser restliche Betrag verteilt werden?

1. Sei \(x\) der Verkaufspreis eines der restlichen Spiele in Euro. Es bleiben \(40 - 15 = 25\) Spiele. 2. Die Einnahmen aus allen Verkäufen sollen genau \(120{,}00\,\text{€}\) betragen: \(15 \cdot 2{,}50 + 25 \cdot x = 120\). 3. Vereinfachen: \(37{,}50 + 25 \cdot x = 120\). 4. Subtraktion von \(37{,}50\): \(25 \cdot x = 82{,}50\). 5. Division durch \(25\): \(x = 3{,}30\).

Paul muss die restlichen Spiele für jeweils \(3{,}30\,\text{€}\) verkaufen.

- Überlege dir zuerst, wie man die monatlichen Kosten für den Tarif „Basis“ berechnet, wenn man die Minutenanzahl kennt. - Wann ist ein Preis „günstiger“ als ein anderer? Welches mathematische Zeichen nutzt man dafür? - Was geschieht an der Grenze, an der beide Tarife gleich teuer sind?

1. Definition der Variablen: Sei \(x\) die Anzahl der Gesprächsminuten pro Monat. 2. Aufstellen der Kostenfunktion für Tarif „Basis“: \(K_B(x) = 12 + 0{,}08 \cdot x\). 3. Aufstellen der Kostenfunktion für Tarif „Flat“: \(K_F(x) = 22\). 4. Aufstellen der Ungleichung für den Fall, dass „Flat“ günstiger ist: \(K_F(x) < K_B(x)\), also \(22 < 12 + 0{,}08x\). 5. Subtraktion von 12 auf beiden Seiten: \(10 < 0{,}08x\). 6. Division durch \(0{,}08\) auf beiden Seiten: \(125 < x\). 7. Da nach vollen Minuten gefragt ist, muss die Minutenanzahl größer als 125 sein. Der Tarif „Flat“ ist somit ab der 126. Minute günstiger.

Der Tarif „Flat“ ist ab 126 Minuten pro Monat kostengünstiger als der Tarif „Basis“.

- Wie viel Geld fehlt Lena insgesamt noch, wenn sie ihren aktuellen Sparstand vom Preis abzieht? - Wenn sie jeden Monat den gleichen Betrag spart, wie oft passt dieser Betrag in die noch fehlende Summe? - Prüfe durch Einsetzen, ob die gefundene Anzahl voller Monate bereits ausreicht.

1. Definition der Variablen: Sei \(n\) die Anzahl der Monate. 2. Aufstellen des Terms für das gesparte Geld nach \(n\) Monaten: \(155 + 25 \cdot n\). 3. Aufstellen der Ungleichung: Das Ersparte muss mindestens dem Preis des Fahrrads entsprechen: \(155 + 25n \geq 540\). 4. Subtraktion von 155 auf beiden Seiten: \(25n \geq 385\). 5. Division durch 25 auf beiden Seiten: \(n \geq 15{,}4\). 6. Da nur volle Monate betrachtet werden, muss \(n\) die nächstgrößere ganze Zahl sein: \(n = 16\).

Lena hat nach 16 Monaten genug Geld für das Mountainbike zusammen.

- Wie viele Besuche finden in einem Monat statt, wenn man jeden zweiten Tag geht? - Wie berechnet man die Gesamtkosten, wenn es eine feste Grundgebühr und einen Preis pro Einheit gibt? - Vergleiche das Ergebnis deiner Rechnung für Tarif B mit dem Festpreis von Tarif A.

1. Anzahl der Besuche bei Training an jedem zweiten Tag in einem Monat mit 30 Tagen berechnen: \(30 : 2 = 15\) Besuche. 2. Kosten für Tarif B bei 15 Besuchen berechnen: \(10{,}00\,\text{€} + 15 \cdot 3{,}50\,\text{€} = 10{,}00\,\text{€} + 52{,}50\,\text{€} = 62{,}50\,\text{€}\). 3. Vergleich mit Tarif A: Tarif A kostet konstant \(45{,}00\,\text{€}\). 4. Differenz ermitteln: \(62{,}50\,\text{€} > 45{,}00\,\text{€}\). 5. Ergebnis: Die Aussage ist falsch, da Tarif B bei dieser Nutzungsfrequenz deutlich teurer ist (\(17{,}50\,\text{€}\) Mehrkosten gegenüber Tarif A).

Die Aussage ist falsch. Bei 15 Besuchen im Monat zahlt man in Tarif B insgesamt \(62{,}50\,\text{€}\) (\(10 + 15 \cdot 3{,}5\)). Das ist deutlich teurer als die Flatrate von \(45{,}00\,\text{€}\).

- Stelle für beide Tarife eine Rechnung auf, die zeigt, wie sich die Kosten aus der festen Gebühr und den monatlichen Beiträgen zusammensetzen. - Überlege dir, was passiert, wenn man die Anzahl der Monate als Variable \(x\) bezeichnet. - Wann sind die Kosten genau gleich groß? - Was bedeutet das Ergebnis für die Zeitpunkte davor oder danach?

1. Berechnung der Kosten für 4 Monate: Tarif „Power“: \(45\,\text{€} + 4 \cdot 25\,\text{€} = 145\,\text{€}\). Tarif „Easy“: \(4 \cdot 35\,\text{€} = 140\,\text{€}\). 2. Aufstellen der Kostengleichung/Ungleichung für \(x\) Monate: \(45 + 25x < 35x\). 3. Lösen der Ungleichung: \(45 < 10x \Rightarrow x > 4{,}5\). 4. Da die Monate ganzzahlig gezählt werden, ist der Tarif „Power“ ab dem \(5.\) Monat günstiger.

a) Nach \(4\) Monaten kostet Tarif „Power“ \(145{,}00\,\text{€}\) und Tarif „Easy“ \(140{,}00\,\text{€}\). b) Ab dem \(5.\) Monat ist der Tarif „Power“ insgesamt günstiger.

- Überlege zuerst, wie viel Geld nach Abzug der festen Kosten noch für die Eintrittskarten übrig bleibt. - Welche Rechenoperation hilft dir zu bestimmen, wie oft ein kleinerer Betrag in einen größeren passt? - Kann eine halbe Person mitkommen? Was bedeutet das für dein Ergebnis?

1. Subtraktion der Busmiete vom Gesamtbudget zur Bestimmung des verfügbaren Betrags für Eintrittskarten: \(280{,}00\,\text{€} - 135{,}00\,\text{€} = 145{,}00\,\text{€}\). 2. Aufstellen der Ungleichung mit \(x\) als Anzahl der Personen: \(5{,}20 \cdot x \le 145\). 3. Division des Restbetrags durch die Kosten pro Person: \(x \le 145 : 5{,}20 \approx 27{,}88\). 4. Da nur eine ganze Anzahl an Personen teilnehmen kann, wird der Wert auf die nächstkleinere ganze Zahl abgerundet: \(x = 27\).

Es können maximal 27 Personen an dem Ausflug teilnehmen.

- Welche Kosten bleiben immer gleich, egal wie viele Personen mitfahren? - Wie berechnet man die Kosten, die von der Anzahl der Teilnehmer abhängen? - Kannst du eine Gleichung aufstellen, die alle Teilkosten zu einem Gesamtbetrag addiert? - Was musst du tun, um die Unbekannte in deiner Gleichung allein stehen zu haben?

1. Sei \(x\) die Anzahl der teilnehmenden Personen. 2. Die Gesamtkosten setzen sich aus dem festen Buspreis und den variablen Eintrittskosten zusammen: \(450 + 12 \cdot x = 774\). 3. Subtraktion des Pauschalpreises von den Gesamtkosten: \(12x = 774 - 450 = 324\). 4. Division durch den Preis pro Person, um die Anzahl der Personen zu erhalten: \(x = 324 : 12 = 27\). Es nehmen \(27\) Personen am Ausflug teil.

Es nehmen \(27\) Personen am Ausflug teil.

- Kannst du die Anzahl der einen Briefmarkensorte mithilfe der Anzahl der anderen Sorte ausdrücken? - Wie berechnet man den Gesamtwert, wenn man den Einzelpreis und die Anzahl kennt? - Versuche, eine Gleichung aufzustellen, bei der auf einer Seite der Gesamtbetrag steht. - Achte darauf, dass du am Ende die Anzahl für beide Sorten angibst.

1. Festlegen der Variablen: Sei \(x\) die Anzahl der \(1{,}10\,\text{€}\)-Marken. Dann ist \(2x\) die Anzahl der \(0{,}85\,\text{€}\)-Marken. 2. Aufstellen der Gleichung für den Gesamtwert: \(1{,}10x + 0{,}85 \cdot 2x = 33{,}60\). 3. Vereinfachen der Gleichung: \(1{,}10x + 1{,}70x = 33{,}60\), woraus \(2{,}80x = 33{,}60\) folgt. 4. Lösen der Gleichung: Division durch \(2{,}80\) ergibt \(x = 12\). 5. Bestimmung der zweiten Sorte: \(2 \cdot 12 = 24\). Der Kunde kaufte 12 Marken zu \(1{,}10\,\text{€}\) und 24 Marken zu \(0{,}85\,\text{€}\).

Der Kunde hat 12 Briefmarken zu \(1{,}10\,\text{€}\) und 24 Briefmarken zu \(0{,}85\,\text{€}\) gekauft.

- Kannst du eine Variable nutzen, um die Anzahl der einen Sorte durch die Gesamtzahl und die andere Sorte auszudrücken? - Wie viel Geld bringen alle Brötchen zusammen ein, wenn du ihre Anzahl mit \(x\) bezeichnest? - Stelle eine Gleichung für den Gesamtwert aller verkauften Snacks auf. - Überprüfe dein Ergebnis: Ergeben die Anzahlen zusammen 60 und passt der Preis?

1. Sei \(x\) die Anzahl der verkauften Brötchen. Dann wurden \(60 - x\) Brezeln verkauft. 2. Die Einnahmen führen zur Gleichung \(1{,}80 \cdot x + 1{,}20 \cdot (60 - x) = 93{,}60\). 3. Ausmultiplizieren und Zusammenfassen ergibt \(1{,}8x + 72 - 1{,}2x = 93{,}6\), also \(0{,}6x + 72 = 93{,}6\). 4. Subtraktion von \(72\) ergibt \(0{,}6x = 21{,}6\). Division durch \(0{,}6\) liefert \(x = 36\). 5. Somit wurden \(36\) Brötchen und \(60 - 36 = 24\) Brezeln verkauft.

Es wurden 36 Brötchen und 24 Brezeln verkauft.

- Wie setzen sich die Gesamtkosten in jedem Tarif zusammen? - Kannst du für jeden Tarif einen Term aufstellen, der die Kosten in Abhängigkeit von den Minuten beschreibt? - Was muss gelten, damit die Kosten gleich sind? - Um zu entscheiden, welcher Tarif bei einer bestimmten Minutenzahl besser ist, kannst du die Werte einfach in deine Terme einsetzen und vergleichen.

1. Aufstellen der Kostenterme für \(x\) Minuten: Tarif A: \(10 + 0{,}15x\); Tarif B: \(0{,}25x\). 2. Gleichsetzen der Terme für Aufgabenteil a): \(10 + 0{,}15x = 0{,}25x\). 3. Subtraktion von \(0{,}15x\) ergibt \(10 = 0{,}10x\). 4. Division durch \(0{,}10\) ergibt \(x = 100\). Bei \(100\) Minuten sind die Kosten gleich. 5. Für Aufgabenteil b) Einsetzen von \(x = 150\) in beide Terme: Tarif A: \(10 + 0{,}15 \cdot 150 = 10 + 22{,}50 = 32{,}50\,\text{€}\). Tarif B: \(0{,}25 \cdot 150 = 37{,}50\,\text{€}\). 6. Vergleich der Ergebnisse: Da \(32{,}50\,\text{€} < 37{,}50\,\text{€}\), ist Tarif A günstiger.

a) Bei \(100\) Gesprächsminuten sind beide Tarife gleich teuer. b) Tarif A ist günstiger, da er bei \(150\) Minuten nur \(32{,}50\,\text{€}\) kostet, während Tarif B \(37{,}50\,\text{€}\) kostet.

- Was passiert mit dem Preis, noch bevor das Taxi den ersten Meter fährt? - Welcher Teil des Preises ändert sich, wenn die Fahrt länger wird? - Kannst du den festen Betrag zuerst vom Gesamtpreis abziehen?

1. Aufstellen der Gleichung: Der Gesamtpreis \(y\) setzt sich aus dem Grundpreis und dem kilometerabhängigen Preis zusammen: \(y = 2{,}20 \cdot x + 4{,}50\). 2. Interpretation der Konstanten: Der Betrag von \(4{,}50\,\text{€}\) stellt den Grundpreis dar, der unabhängig von der Strecke gezahlt werden muss (Grundgebühr). 3. Berechnung der Strecke für \(y = 26{,}50\): Einsetzen in die Gleichung ergibt \(26{,}50 = 2{,}20 \cdot x + 4{,}50\). Subtraktion von \(4{,}50\) ergibt \(22{,}00 = 2{,}20 \cdot x\). Division durch \(2{,}20\) ergibt \(x = 10\). Der Fahrgast ist \(10\,\text{km}\) gefahren.

a) \(y = 2{,}20 \cdot x + 4{,}50\) b) Der Betrag von \(4{,}50\,\text{€}\) ist der Grundpreis, der zu Beginn der Fahrt einmalig anfällt. c) Der Fahrgast ist \(10\,\text{km}\) gefahren.

- Überlege zuerst, wie viel Geld nach dem Kauf des Wassers noch übrig bleibt. - Wie kannst du die Gesamtkosten aus den Kosten für Wasser und Saft zusammensetzen? - Was ist das Ziel: Das Budget darf nicht überschritten werden. Welche mathematische Operation hilft dir, den Restbetrag auf die Flaschen aufzuteilen?

1. Berechnung der Kosten für das Mineralwasser: \(12 \cdot 0{,}75\,\text{€} = 9{,}00\,\text{€}\). 2. Aufstellen der Gleichung für das Gesamtbudget: \(9 + 1{,}40 \cdot x = 30\). 3. Subtraktion der Wasserkosten vom Budget: \(1{,}40 \cdot x = 30 - 9 \Rightarrow 1{,}40 \cdot x = 21\). 4. Division durch den Preis pro Saftflasche: \(x = 21 : 1{,}40 = 15\).

Die Gleichung lautet \(12 \cdot 0{,}75 + 1{,}40 \cdot x = 30\) (oder \(9 + 1{,}40 \cdot x = 30\)). Die Gruppe kann höchstens \(15\) Flaschen Apfelsaft kaufen.

- Welcher Teil des Preises ändert sich nicht, egal wie weit man fährt? - Wie viel Euro bleiben für die gefahrenen Kilometer übrig, wenn du die Grundgebühr abziehst? - Kannst du eine Gleichung schreiben, die zeigt, wie sich der Gesamtpreis aus Grundpreis und Kilometerpreis zusammensetzt?

1. Aufstellen der Gleichung mit \(x\) als Anzahl der Kilometer: \(4{,}50 + 1{,}80 \cdot x = 26{,}10\). 2. Subtraktion der Grundgebühr auf beiden Seiten: \(1{,}80 \cdot x = 21{,}60\). 3. Division durch den Kilometerpreis: \(x = 21{,}60 : 1{,}80 = 12\).

Der Fahrgast ist \(12\,\text{km}\) gefahren.

- Stelle für jede Person eine eigene Gleichung auf, da beide denselben Endbetrag haben. - Was bedeutet ein negatives Ergebnis für einen Kontostand in der Realität? - Achte beim Umstellen der Gleichung für Sarah besonders auf die Vorzeichen.

1. Gleichung für Lukas mit Startwert \(x\): \(x + 15{,}50 - 40{,}00 = 5{,}00\). 2. Zusammenfassen bei Lukas: \(x - 24{,}50 = 5{,}00\), daraus folgt \(x = 29{,}50\). 3. Gleichung für Sarah mit Startwert \(y\): \(y + 25{,}00 - 10{,}50 = 5{,}00\). 4. Zusammenfassen bei Sarah: \(y + 14{,}50 = 5{,}00\), daraus folgt \(y = 5{,}00 - 14{,}50 = -9{,}50\). 5. Vergleich der Vorzeichen: Ein negativer Kontostand bedeutet Schulden (im Minus). Da \(-9{,}50 < 0\), war Sarah im Minus.

a) Lukas hatte ursprünglich \(29{,}50\,\text{€}\) und Sarah hatte \(-9{,}50\,\text{€}\). b) Sarah war im Minus, da ihr berechneter Anfangskontostand negativ ist.

- Berechne zuerst die Werte für beide Formeln getrennt voneinander. - Was bedeutet „Abweichung“ mathematisch? - Schau dir die Zahlen im Term genau an: Welcher Teil sorgt dafür, dass das Ergebnis bei größeren Eingabewerten schneller steigt?

1. Vergleich bei \(30\,^\circ\text{C}\): Faustformel: \(2 \cdot 30 + 30 = 90\). Exakt: \(1{,}8 \cdot 30 + 32 = 54 + 32 = 86\). 2. Abweichung bei \(25\,^\circ\text{C}\): Faustformel: \(2 \cdot 25 + 30 = 80\). Exakt: \(1{,}8 \cdot 25 + 32 = 45 + 32 = 77\). Die Abweichung beträgt \(80 - 77 = 3\,^\circ\text{F}\). 3. Analyse der Aussage: Bei \(10\,^\circ\text{C}\) ergeben beide Formeln denselben Wert (\(2 \cdot 10 + 30 = 50\) und \(1{,}8 \cdot 10 + 32 = 18 + 32 = 50\)). Da der Faktor bei der Faustformel (\(2\)) größer ist als bei der exakten Formel (\(1{,}8\)), wächst das Ergebnis der Faustformel für Werte über \(10\) schneller an. Die Aussage ist in dieser Form falsch: Bei genau \(10\,^\circ\text{C}\) sind beide Werte gleich; erst für \(C > 10\) liefert die Faustformel einen höheren Wert.

a) Faustformel: \(90\,^\circ\text{F}\); Exakt: \(86\,^\circ\text{F}\). b) Die Abweichung beträgt \(3\,^\circ\text{F}\). c) Die Aussage ist falsch. Bei \(10\,^\circ\text{C}\) sind beide Werte gleich (\(50\,^\circ\text{F}\)); nur für Temperaturen über \(10\,^\circ\text{C}\) liefert die Faustformel einen höheren Wert.

- Was ist der gesamte Geldbetrag, den die AG am Ende in der Kasse haben möchte? - Überlege, wie viel Geld nach dem ersten Verkauf noch eingenommen werden muss. - Wie viele Zeitungen sind noch übrig, um diesen restlichen Betrag einzuspielen?

1. Der angestrebte Gesamterlös beträgt \(180 + 60 = 240\) Euro. Sei \(x\) der Preis eines der verbleibenden \(200 - 120 = 80\) Exemplare. 2. Gleichung: \(120 \cdot 1{,}00 + 80 \cdot x = 240\). 3. Vereinfachen: \(120 + 80 \cdot x = 240\). 4. Subtraktion von \(120\): \(80 \cdot x = 120\). 5. Division durch \(80\): \(x = 1{,}50\).

Die restlichen Exemplare müssen für jeweils \(1{,}50\,\text{€}\) verkauft werden.

- Berechne zuerst, wie viel Geld die Organisatoren insgesamt einnehmen wollten. - Wie viel Geld wurde trotz des niedrigeren Preises am Vormittag eingenommen? - Wie viel Geld muss jetzt mit den restlichen Losen noch eingenommen werden? - Kannst du daraus den Preis für ein einzelnes der verbleibenden Lose bestimmen?

1. Der ursprünglich geplante Gesamterlös beträgt \(500 \cdot 1{,}50 = 750\) Euro. Sei \(x\) der Preis eines der restlichen 200 Lose. 2. Gleichung: \(300 \cdot 1{,}10 + 200 \cdot x = 750\). 3. Vereinfachen: \(330 + 200 \cdot x = 750\). 4. Subtraktion von \(330\): \(200 \cdot x = 420\). 5. Division durch \(200\): \(x = 2{,}10\).

Der Preis für die restlichen Lose muss auf \(2{,}10\,\text{€}\) festgelegt werden.

- Was bleibt von dem Verkaufspreis einer Waffel übrig, wenn man die Kosten für den Belag direkt abzieht? - „Kein Verlust“ bedeutet, dass die Einnahmen mindestens so hoch wie die Ausgaben sein müssen. - Für den Gewinn musst du von den gesamten Einnahmen alle Kosten (fest und variabel) abziehen.

1. Definition der Variablen: Sei \(w\) die Anzahl der verkauften Waffeln. 2. Berechnung des Überschusses pro Waffel nach Abzug der variablen Kosten: Verkaufspreis minus variable Kosten: \(1{,}50\,\text{€} - 0{,}35\,\text{€} = 1{,}15\,\text{€}\). 3. Lösung Teil a): Die Einnahmen müssen die Gesamtkosten decken: \(1{,}50w \geq 42 + 0{,}35w\). Umgeformt: \(1{,}15w \geq 42\). Division durch \(1{,}15\) ergibt \(w \geq 36{,}521\ldots\). Die Klasse muss also mindestens 37 Waffeln verkaufen. 4. Lösung Teil b): Der Gewinn (Einnahmen minus Gesamtkosten) soll mindestens \(120\,\text{€}\) betragen: \(1{,}15w - 42 \geq 120\). 5. Addition von 42 auf beiden Seiten: \(1{,}15w \geq 162\). 6. Division durch \(1{,}15\) auf beiden Seiten: \(w \geq 140{,}869\ldots\). Es müssen mindestens 141 Waffeln verkauft werden.

a) Die Klasse muss mindestens 37 Waffeln verkaufen, um keinen Verlust zu machen. b) Um mindestens \(120\,\text{€}\) Gewinn zu erzielen, müssen 141 Waffeln verkauft werden.

- Achte darauf, ob nach monatlichen oder jährlichen Kosten gefragt wird. - Wie groß ist der Unterschied zwischen den beiden Minutenpreisen? - Kannst du eine Gleichung aufstellen, bei der die Kosten beider Tarife gleich sind?

1. Monatlicher Anteil der Grundgebühr für „Smart“: \(114\,\text{€} : 12 = 9{,}50\,\text{€}\). 2. Kosten im März bei \(80\) Minuten: „Smart“: \(9{,}50\,\text{€} + 80 \cdot 0{,}05\,\text{€} = 13{,}50\,\text{€}\); „Basic“: \(80 \cdot 0{,}15\,\text{€} = 12{,}00\,\text{€}\). 3. Für den Jahresvergleich sei \(x\) die Anzahl der vollen Gesprächsminuten. „Smart“ ist günstiger, wenn \(114 + 0{,}05x < 0{,}15x\). 4. Umformen: \(114 < 0{,}10x\), also \(x > 1\,140\). 5. Die kleinste ganze Minutenanzahl ist daher \(1\,141\).

a) Im März kostet Tarif „Smart“ \(13{,}50\,\text{€}\), Tarif „Basic“ \(12{,}00\,\text{€}\). b) Ab \(1\,141\) vollen Gesprächsminuten pro Jahr ist Tarif „Smart“ günstiger.

- Stelle für beide Anbieter einen Kostenterm in Abhängigkeit von der Kilometerzahl auf. - Welches Ungleichheitszeichen beschreibt, dass Anbieter A günstiger ist? - Löse die Ungleichung schrittweise nach der Kilometerzahl auf.

1. Kosten bei \(40\,\text{km}\): Anbieter A: \(15{,}00\,\text{€} + 0{,}20\,\text{€}/\text{km} \cdot 40\,\text{km} = 23{,}00\,\text{€}\); Anbieter B: \(0{,}45\,\text{€}/\text{km} \cdot 40\,\text{km} = 18{,}00\,\text{€}\). 2. Für \(x\) Kilometer ist Anbieter A günstiger, wenn \(15 + 0{,}20x < 0{,}45x\). 3. Subtraktion von \(0{,}20x\): \(15 < 0{,}25x\). 4. Division durch \(0{,}25\): \(x > 60\).

a) Bei \(40\,\text{km}\) kostet Anbieter A \(23{,}00\,\text{€}\), Anbieter B \(18{,}00\,\text{€}\). b) Bei mehr als \(60\,\text{km}\) pro Monat ist Anbieter A günstiger.

- Erstelle zuerst für jeden Tarif eine eigene Formel. - Was bedeutet es mathematisch, wenn zwei Tarife „gleich viel kosten“? - Kannst du eine Tabelle für verschiedene Minutenwerte anlegen, um die Kosten zu vergleichen?

1. Aufstellen der Terme: Für Tarif A gilt \(K_A = 0{,}20 \cdot x + 1{,}20\). Für Tarif B gilt \(K_B = 0{,}30 \cdot x\). 2. Berechnung für \(x = 15\): Tarif A: \(0{,}20 \cdot 15 + 1{,}20 = 3{,}00 + 1{,}20 = 4{,}20\,\text{€}\). Tarif B: \(0{,}30 \cdot 15 = 4{,}50\,\text{€}\). Tarif A ist bei \(15\) Minuten günstiger. 3. Gleichsetzen der Tarife: \(0{,}20 \cdot x + 1{,}20 = 0{,}30 \cdot x\). Subtraktion von \(0{,}20 \cdot x\) führt zu \(1{,}20 = 0{,}10 \cdot x\). Division durch \(0{,}10\) ergibt \(x = 12\). Bei einer Fahrtdauer von \(12\,\text{Minuten}\) sind beide Tarife gleich teuer.

a) Tarif A: \(K_A = 0{,}20x + 1{,}20\); Tarif B: \(K_B = 0{,}30x\) b) Tarif A: \(4{,}20\,\text{€}\); Tarif B: \(4{,}50\,\text{€}\). Tarif A ist günstiger. c) Bei \(12\,\text{Minuten}\) sind die Kosten gleich.

- Welche drei Kostenbestandteile ergeben zusammen den Gesamtbetrag? - Wie lässt sich die Angabe „um \(25\,\%\) höher“ als mathematischer Faktor ausdrücken? - Überlege, welcher Teil der Kosten fest vorgegeben ist und welcher Teil von der Unbekannten abhängt. - Kannst du eine Gleichung aufstellen, in der alle Kosten auf einer Seite addiert werden?

1. Sei \(x\) der Betrag der Materialkosten in Euro. 2. Die Arbeitskosten sind um \(25\,\%\) höher, also entsprechen sie \(125\,\%\) der Materialkosten: \(1{,}25 \cdot x\). 3. Die Gesamtkosten setzen sich aus Materialkosten, Arbeitskosten und der Pauschale zusammen: \(x + 1{,}25x + 100 = 1\,900\). 4. Vereinfachen der Gleichung: \(2{,}25x + 100 = 1\,900\). 5. Subtraktion der Pauschale: \(2{,}25x = 1\,800\). 6. Division durch \(2{,}25\): \(x = 800\). Die Materialkosten belaufen sich auf \(800\,\text{€}\).

Die Materialkosten betragen \(800\,\text{€}\).

- Überlege dir, welche der beiden Mengen du als Unbekannte festlegen möchtest. - Wie kannst du die Menge des einen Produkts durch die Menge des anderen ausdrücken? - Stelle eine Rechnung für den Gesamtwert auf, indem du Preis und Menge multiplizierst. - Prüfe dein Ergebnis am Ende: Ergibt die Summe aus Preis mal Menge wirklich den Gesamtbetrag?

1. Definition der Variablen: Sei \(x\) die Anzahl der verkauften Saftflaschen. 2. Bestimmung der Anzahl der Brötchen: Da doppelt so viele Brötchen wie Saftflaschen verkauft wurden, beträgt deren Anzahl \(2x\). 3. Aufstellen der Gleichung für die Gesamteinnahmen: \(2{,}00 \cdot (2x) + 1{,}50 \cdot x = 110\). 4. Vereinfachen der Gleichung: \(4x + 1{,}5x = 110\), woraus folgt \(5{,}5x = 110\). 5. Lösen nach \(x\): \(x = 110 : 5{,}5 = 20\). 6. Berechnung der Brötchenanzahl: \(2 \cdot 20 = 40\). Ergebnis: Es wurden \(20\) Saftflaschen und \(40\) Brötchen verkauft.

Es wurden \(40\) Brötchen und \(20\) Saftflaschen verkauft.

- Kannst du die Anzahl der Kinder mithilfe der Gesamtzahl der Personen und der Anzahl der Erwachsenen ausdrücken? - Überlege, wie sich die Gesamtkosten aus den Einzelpreisen und den jeweiligen Personenzahlen zusammensetzen. - Was passiert, wenn du eine Variable für eine der gesuchten Größen festlegst? - Prüfe am Ende, ob deine berechneten Anzahlen zusammen wirklich 32 ergeben.

1. Definition der Variablen: \(x\) sei die Anzahl der Erwachsenen. 2. Ausdruck für die Kinder: Da es insgesamt 32 Personen sind, ist die Anzahl der Kinder \(32 - x\). 3. Aufstellen der Kostengleichung: \(10 \cdot x + 7 \cdot (32 - x) = 254\). 4. Auflösen der Klammer: \(10x + 224 - 7x = 254\). 5. Zusammenfassen der Terme: \(3x + 224 = 254\). 6. Isolieren von \(x\): \(3x = 30\), woraus \(x = 10\) folgt. 7. Berechnung der Kinderanzahl: \(32 - 10 = 22\).

In der Gruppe sind 10 Erwachsene und 22 Kinder.

- Wähle eine der Mengen als Basisvariable, zum Beispiel die Anzahl der Muffins. - Wie kannst du die Anzahl der Saftpackungen beschreiben, wenn sie von der Muffin-Anzahl abhängt? - Stelle eine Summe auf, in der jeder Preis mit der jeweiligen Menge multipliziert wird. - Denke beim Auflösen der Klammer daran, den Preis für die Saftpackungen auf beide Teile der Summe in der Klammer anzuwenden.

1. Definition der Unbekannten: Sei \(x\) die Anzahl der verkauften Muffins. Dann ist \(x\) auch die Anzahl der Brezeln und \(x + 10\) die Anzahl der Saftpackungen. 2. Aufstellen der Einnahmegleichung: \(1{,}50 \cdot x + 1{,}10 \cdot x + 0{,}80 \cdot (x + 10) = 144{,}00\). 3. Ausmultiplizieren und Zusammenfassen: \(1{,}5x + 1{,}1x + 0{,}8x + 8 = 144\), also \(3{,}4x + 8 = 144\). 4. Subtraktion von \(8\): \(3{,}4x = 136\). Division durch \(3{,}4\) ergibt \(x = 40\). 5. Es wurden \(40\) Muffins, \(40\) Brezeln und \(40 + 10 = 50\) Saftpackungen verkauft.

Es wurden 40 Muffins, 40 Brezeln und 50 Saftpackungen verkauft.

- Bezeichne die Anzahl der Erwachsenenkarten mit \(x\). Wie kannst du dann die Anzahl der Kinderkarten mithilfe der Gesamtzahl ausdrücken? - Wie setzt sich der Gesamtpreis aus den beiden Kartenarten zusammen? - Stelle eine Gleichung mit nur einer Unbekannten auf. - Vergleiche anschließend die beiden berechneten Anzahlen.

1. Sei \(x\) die Anzahl der Erwachsenenkarten. Dann wurden \(150 - x\) Kinderkarten verkauft. 2. Aus den Einnahmen ergibt sich die Gleichung \(5 \cdot x + 2 \cdot (150 - x) = 420\). 3. Ausmultiplizieren und Zusammenfassen ergibt \(5x + 300 - 2x = 420\), also \(3x + 300 = 420\). 4. Subtraktion von \(300\) ergibt \(3x = 120\), daher \(x = 40\). 5. Somit wurden \(40\) Erwachsenenkarten und \(150 - 40 = 110\) Kinderkarten verkauft. Da \(110 > 40\), wurden mehr Kinderkarten verkauft.

Es wurden mehr Kinderkarten verkauft. Die Rechnung ergibt \(110\) Kinderkarten und \(40\) Erwachsenenkarten.

- Wähle eine Unbekannte für den kleineren Preis. - Wie kannst du den größeren Preis durch diese Unbekannte ausdrücken? - Stelle eine Rechnung für den Gesamtwert aller Artikel auf. - Berechne für den zweiten Teil zuerst, wie viel Geld man durch die Preisänderung insgesamt weniger ausgeben würde.

1. Variable festlegen: Der Preis eines Bleistifts sei \(x\). Der Preis einer Packung Textmarker ist dann \(4x\). 2. Gleichung aufstellen: \(12 \cdot x + 6 \cdot (4x) = 54\). 3. Gleichung lösen: \(12x + 24x = 54 \Rightarrow 36x = 54 \Rightarrow x = 1{,}50\). 4. Einzelpreise bestimmen: Ein Bleistift kostet \(1{,}50\,\text{€}\), eine Packung Textmarker kostet \(4 \cdot 1{,}50\,\text{€} = 6{,}00\,\text{€}\). 5. Aussage prüfen: Bei einem Preisverhältnis von \(1 : 3\) würde eine Packung nur \(3 \cdot 1{,}50\,\text{€} = 4{,}50\,\text{€}\) kosten. 6. Ersparnis berechnen: Pro Packung spart man \(6{,}00\,\text{€} - 4{,}50\,\text{€} = 1{,}50\,\text{€}\). Bei 6 Packungen beträgt die Gesamtersparnis \(6 \cdot 1{,}50\,\text{€} = 9{,}00\,\text{€}\). 7. Vergleich mit Zusatzkauf: 6 Bleistifte kosten \(6 \cdot 1{,}50\,\text{€} = 9{,}00\,\text{€}\). Die Aussage ist also korrekt.

a) Ein Bleistift kostet \(1{,}50\,\text{€}\) und eine Packung Textmarker kostet \(6{,}00\,\text{€}\). b) Die Aussage ist korrekt, da die Ersparnis von \(9{,}00\,\text{€}\) genau den Kosten für 6 Bleistifte entspricht.

- Überlege dir zuerst, welche Größe unbekannt ist, und nenne sie \(x\). - Kannst du für jede Gruppe einen Term aufstellen, der die Gesamtkosten (Eintritt plus Restgeld) beschreibt? - Was weißt du über die Gesamtsummen der beiden Gruppen? - Stelle eine Gleichung auf, indem du die beiden Terme gleichsetzt.

1. Sei \(x\) die Anzahl der Personen in Gruppe A. 2. Der ausgezahlte Betrag für Gruppe A lässt sich durch den Term \(15x + 10\) beschreiben. 3. Da Gruppe B aus \(x + 5\) Personen besteht, lautet der Term für ihren Betrag \(12 \cdot (x + 5) + 7\). 4. Da beide Beträge gleich sind, wird die Gleichung \(15x + 10 = 12 \cdot (x + 5) + 7\) aufgestellt. 5. Lösen der Gleichung: \(15x + 10 = 12x + 60 + 7 \implies 15x + 10 = 12x + 67 \implies 3x = 57 \implies x = 19\). 6. Einsetzen von \(x = 19\) in einen der Terme zur Berechnung des Geldbetrags: \(15 \cdot 19 + 10 = 285 + 10 = 295\).

Jeder Gruppe wurden \(295{,}00\,\text{€}\) ausgezahlt.

- Beginne damit, eine Gleichung für die Gesamtkosten aufzustellen. - Was bedeutet „dreimal so viele“ mathematisch für deine Variable? - Für den zweiten Teil musst du zuerst wissen, wie viele Kisten es insgesamt sind. - Achte beim neuen Verhältnis darauf, dass die Summe der Kisten gleich bleibt.

1. Teil a: Definition der Variablen \(x\) als Anzahl der großen Kisten. Die Anzahl der kleinen Kisten ist \(3x\). 2. Aufstellen der Gleichung: \(12 \cdot x + 4{,}5 \cdot 3x = 153\). 3. Zusammenfassen: \(12x + 13{,}5x = 153\), also \(25{,}5x = 153\). 4. Lösen: \(x = 153 : 25{,}5 = 6\). Es wurden \(6\) große und \(18\) kleine Kisten gekauft. 5. Teil b: Gesamtzahl der Kisten ist \(6 + 18 = 24\). 6. Neues Verhältnis (2 große auf 1 kleine): Sei \(y\) die Anzahl der kleinen Kisten, dann ist \(2y\) die Anzahl der großen. \(y + 2y = 24 \Rightarrow 3y = 24 \Rightarrow y = 8\). 7. Neue Mengen: \(8\) kleine Kisten und \(16\) große Kisten. 8. Kostenberechnung: \(16 \cdot 12 + 8 \cdot 4{,}5 = 192 + 36 = 228\). Ergebnis: Der neue Gesamtpreis wäre \(228{,}00\,\text{€}\).

a) Der Kunde hat \(6\) große und \(18\) kleine Kisten gekauft. b) Er hätte insgesamt \(228{,}00\,\text{€}\) bezahlt.

- Wenn du die Anzahl einer Sorte mit \(x\) bezeichnest und die Gesamtanzahl kennst, wie kannst du dann die Anzahl der anderen Sorte ausdrücken? - Wie berechnet man den Preis für mehrere Artikel derselben Sorte? - Kannst du eine Gleichung aufstellen, die den Gesamtwert aus beiden Sorten kombiniert? - Überprüfe dein Ergebnis am Ende: Ergeben die Anzahlen zusammen \(45\) und passt der Gesamtpreis?

1. Definition der Variablen: \(x\) ist die Anzahl der Filzstifte. Die Anzahl der Bleistifte ist dann \(45 - x\). 2. Aufstellen der Gleichung über die Gesamtkosten: \(1{,}20 \cdot x + 0{,}50 \cdot (45 - x) = 38{,}60\). 3. Lösen der Gleichung: Klammer auflösen ergibt \(1{,}2x + 22{,}5 - 0{,}5x = 38{,}6\). Zusammenfassen der \(x\)-Glieder: \(0{,}7x + 22{,}5 = 38{,}6\). 4. Isolieren von \(x\): \(0{,}7x = 16{,}1\). Division durch \(0{,}7\): \(x = 23\). 5. Berechnung der zweiten Sorte: Anzahl Bleistifte \(= 45 - 23 = 22\). Ergebnis: Es wurden \(23\) Filzstifte und \(22\) Bleistifte gekauft.

a) Eine mögliche Gleichung ist \(1{,}20 \cdot x + 0{,}50 \cdot (45 - x) = 38{,}60\). b) Es wurden \(23\) Filzstifte und \(22\) Bleistifte gekauft.

- Überlege dir, wie du die Preise vor dem Rabatt bezeichnen kannst. - Wie sehen die Preise aus, nachdem \(12\,\text{€}\) abgezogen wurden? - Setze die neuen Preise in das Verhältnis, das für die Rabattaktion angegeben ist. - Achte beim Aufstellen der Gleichung auf die Klammersetzung.

1. Definition der Unbekannten: \(b\) sei der ursprüngliche Preis des Bohrersatzes. Der Preis der Bohrmaschine ist dann \(5b\). 2. Aufstellen der Gleichung nach der Preissenkung: \(5b - 12 = 8 \cdot (b - 12)\). 3. Vereinfachen der Gleichung: \(5b - 12 = 8b - 96\). 4. Ordnen der Terme: Durch Addition von 96 und Subtraktion von \(5b\) erhält man \(84 = 3b\). 5. Berechnung der Preise: Division durch 3 ergibt \(b = 28\). Der ursprüngliche Preis des Bohrersatzes beträgt \(28\,\text{€}\). 6. Ermittlung des zweiten Preises: Die Bohrmaschine kostete ursprünglich \(5 \cdot 28\,\text{€} = 140\,\text{€}\).

Der Bohrersatz kostete ursprünglich \(28\,\text{€}\) und die Akku-Bohrmaschine \(140\,\text{€}\).