Kostenlose Arbeitsblätter

- Wie hängen Geschwindigkeit, Weg und Zeit zusammen? - Denk daran, die Einheiten für die Berechnung anzugleichen (z. B. Minuten in Stunden umrechnen). - Was passiert mit der zur Verfügung stehenden Fahrzeit, wenn eine Pause gemacht wird? - Wie viel Zeit bleibt für die reine Fahrt übrig, wenn die gesamte Reisezeit vorgegeben ist?

1. Berechnung der Fahrzeit für \(18\,\text{km}\) bei \(12\,\text{km/h}\): \(t = s : v = 18\,\text{km} : 12\,\text{km/h} = 1{,}5\,\text{h}\). 2. Umrechnung in Minuten: \(1{,}5 \cdot 60\,\text{min} = 90\,\text{min}\). 3. Addition der Pausenzeit: \(90\,\text{min} + 15\,\text{min} = 105\,\text{min}\). 4. Umrechnung in Stunden und Minuten: \(105\,\text{min} = 1\,\text{h } 45\,\text{min}\). 5. Bestimmung der Ziel-Fahrzeit für Aufgabenteil b): \(60\,\text{min} (\text{Gesamtzeit}) - 15\,\text{min} (\text{Pause}) = 45\,\text{min}\). 6. Umrechnung der Ziel-Fahrzeit in Stunden: \(45\,\text{min} = \frac{45}{60}\,\text{h} = 0{,}75\,\text{h}\). 7. Berechnung der benötigten Geschwindigkeit: \(v = s : t = 18\,\text{km} : 0{,}75\,\text{h} = 24\,\text{km/h}\).

a) Lea ist insgesamt \(1\,\text{Stunde}\) und \(45\,\text{Minuten}\) unterwegs. b) Sie müsste eine Geschwindigkeit von \(24\,\text{km/h}\) einplanen.

- Wie hängen Geschwindigkeit, Weg und Zeit zusammen? - Was ist die gesamte Strecke und wie viel Zeit vergeht insgesamt? - Überlege für die Formel, welcher Teil der Gesamtdauer variabel ist.

1. Berechnung der Geschwindigkeit für den Hinweg: \(v_1 = \frac{s_1}{t_1} = \frac{6\,\text{km}}{1{,}5\,\text{h}} = 4\,\text{km/h}\). 2. Berechnung der Zeit für den Rückweg: \(t_2 = \frac{s_2}{v_2} = \frac{9\,\text{km}}{4{,}5\,\text{km/h}} = 2\,\text{h}\). 3. Berechnung der Gesamt-Durchschnittsgeschwindigkeit: \(v_g = \frac{s_{ges}}{t_{ges}} = \frac{6\,\text{km} + 9\,\text{km}}{1{,}5\,\text{h} + 2\,\text{h}} = \frac{15}{3{,}5} \approx 4{,}29\,\text{km/h}\). 4. Aufstellen der Formel für \(v_g\): Da die Gesamtstrecke \(15\,\text{km}\) und die Zeit für den Hinweg \(1{,}5\,\text{h}\) beträgt, lautet die Funktion \(v_g(t_2) = \frac{15}{1{,}5 + t_2}\).

a) \(v_1 = 4\,\text{km/h}\) b) \(t_2 = 2\,\text{h}\); \(v_g \approx 4{,}29\,\text{km/h}\) c) \(v_g = \frac{15}{1{,}5 + t_2}\)

- Wandle die Zeitangabe des Radfahrers zuerst in Stunden um, damit alle Einheiten zusammenpassen. - Überlege dir, wie du die Strecke mit Hilfe der Geschwindigkeit und der Zeit ausdrücken kannst. - Was bedeutet „doppelt so schnell“ für den mathematischen Ausdruck der Geschwindigkeiten? - Stelle eine Gleichung auf, die den Unterschied von \(5\,\text{km}\) zwischen den beiden Strecken beschreibt.

1. Festlegen der Variablen: Sei \(v\) die Geschwindigkeit des Joggers in \(\text{km/h}\). Die Geschwindigkeit des Radfahrers ist dann \(2v\). 2. Aufstellen der Entfernungen: Der Jogger legt in \(2\,\text{Stunden}\) die Strecke \(d_J = 2 \cdot v\) zurück. Der Radfahrer legt in \(45\,\text{Minuten}\) (entspricht \(0{,}75\,\text{Stunden}\)) die Strecke \(d_R = 0{,}75 \cdot 2v = 1{,}5v\) zurück. 3. Aufstellen der Gleichung: Da der Jogger \(5\,\text{km}\) mehr zurücklegt, gilt \(2v = 1{,}5v + 5\). 4. Lösen der Gleichung: Subtraktion von \(1{,}5v\) ergibt \(0{,}5v = 5\), woraus \(v = 10\,\text{km/h}\) folgt. 5. Berechnung der zweiten Geschwindigkeit: Die Geschwindigkeit des Radfahrers ist \(2 \cdot 10\,\text{km/h} = 20\,\text{km/h}\).

Der Jogger ist \(10\,\text{km/h}\) schnell, der Radfahrer ist \(20\,\text{km/h}\) schnell.

- Wenn zwei Objekte aufeinander zufahren, kannst du ihre Geschwindigkeiten addieren, um die Annäherungsgeschwindigkeit zu finden. - Achte auf die Einheiten: Die Zeit wird erst in Stunden berechnet und muss dann in Minuten umgerechnet werden. - Für den Prozentsatz teilst du den Teilwert durch den Gesamtwert.

1. Berechnung der kombinierten Geschwindigkeit: \(v_{\text{ges}} = 20\,\text{km/h} + 12\,\text{km/h} = 32\,\text{km/h}\). 2. Berechnung der Zeit in Stunden: \(t = \frac{24\,\text{km}}{32\,\text{km/h}} = 0{,}75\,\text{h}\). 3. Umrechnung der Zeit in Minuten: \(0{,}75 \cdot 60 = 45\,\text{min}\). 4. Berechnung von Mias Strecke: \(s_{\text{Mia}} = 20\,\text{km/h} \cdot 0{,}75\,\text{h} = 15\,\text{km}\). 5. Berechnung des prozentualen Anteils: \(\frac{15\,\text{km}}{24\,\text{km}} \cdot 100 = 62{,}5\,\%\).

a) Sie begegnen sich nach \(45\,\text{Minuten}\). b) Mia hat \(62{,}5\,\%\) der Strecke zurückgelegt.

- Überlege zuerst, wie schnell Herr Müller ohne die Hilfe des Bandes läuft. - Wie viel schneller ist er insgesamt, wenn das Band läuft? - Welchen Anteil an der Gesamtgeschwindigkeit trägt das Band bei?

1. Berechnung der Gehgeschwindigkeit von Herrn Müller: \(v_{\text{Müller}} = \frac{80\,\text{m}}{50\,\text{s}} = 1{,}6\,\text{m/s}\). 2. Berechnung der Gesamtgeschwindigkeit mit eingeschaltetem Rollband: \(v_{\text{Gesamt}} = \frac{80\,\text{m}}{20\,\text{s}} = 4\,\text{m/s}\). 3. Die Gesamtgeschwindigkeit setzt sich aus der Gehgeschwindigkeit und der Bandgeschwindigkeit zusammen: \(v_{\text{Gesamt}} = v_{\text{Müller}} + v_{\text{Band}}\). 4. Berechnung der Bandgeschwindigkeit: \(v_{\text{Band}} = 4\,\text{m/s} - 1{,}6\,\text{m/s} = 2{,}4\,\text{m/s}\).

Das Rollband bewegt sich mit einer Geschwindigkeit von \(2{,}4\,\text{m/s}\).

- Wie viele Stufen pro Sekunde schafft die Rolltreppe alleine? - Wenn Julia zusätzlich geht, wie viele Stufen rücken dann pro Sekunde insgesamt unter ihren Füßen weg? - Denk daran, dass Julia nur für die Zeit Stufen steigt, die sie tatsächlich auf der Treppe verbringt.

1. Geschwindigkeit der Rolltreppe: \(v_{\text{Roll}} = 60\,\text{Stufen} : 30\,\text{s} = 2\,\text{Stufen/s}\). 2. Julias Gesamtgeschwindigkeit: \(v_{\text{Ges}} = v_{\text{Roll}} + v_{\text{Julia}} = 2\,\text{Stufen/s} + 1\,\text{Stufe/s} = 3\,\text{Stufen/s}\). 3. Zeit bis oben: \(t = 60\,\text{Stufen} : 3\,\text{Stufen/s} = 20\,\text{s}\). 4. Von Julia selbst zurückgelegte Stufen: \(20\,\text{s} \cdot 1\,\text{Stufe/s} = 20\,\text{Stufen}\). 5. Begründung: Julia muss weniger Stufen steigen, da die Rolltreppe während ihrer Gehzeit einen Teil der Stufen (nämlich \(40\) Stufen) unter ihr „wegbewegt“ und sie somit passiv nach oben befördert.

a) Julia benötigt \(20\,\text{Sekunden}\). b) Sie ist \(20\) Stufen selbst gestiegen. c) Da sich die Rolltreppe bewegt, übernimmt sie einen Teil des Weges. In den \(20\,\text{Sekunden}\) legt die Treppe \(40\) Stufen zurück, sodass Julia nur noch die restlichen \(20\) Stufen gehen muss.

- Wann genau hat eine Person eine andere überrundet? Überlege, wie groß der Unterschied in der zurückgelegten Strecke dann sein muss. - Kannst du für beide Läuferinnen einen Term aufstellen, der die Strecke in Abhängigkeit von der Zeit beschreibt? - Wie viele ganze Runden passen in die von Marie zurückgelegte Strecke? - Was würde passieren, wenn eine Läuferin zwischendurch stehen bleibt oder sprintet?

1. Aufstellen der Gleichung für die Überrundung: Eine Überrundung findet statt, wenn der Vorsprung von Sophie genau eine Rundenlänge (\(400\,\text{m}\)) beträgt. Mit der Zeit \(t\) in Sekunden gilt: \(3{,}8 \cdot t = 3 \cdot t + 400\). 2. Lösen der Gleichung: \(0{,}8 \cdot t = 400 \Rightarrow t = 500\,\text{s}\). 3. Berechnung der Strecke von Sophie: \(s_S = 3{,}8\,\text{m/s} \cdot 500\,\text{s} = 1900\,\text{m}\). 4. Bestimmung der Runde von Marie: Maries Strecke beträgt \(3\,\text{m/s} \cdot 500\,\text{s} = 1500\,\text{m}\). Da \(1500 : 400 = 3{,}75\), hat sie drei Runden beendet und befindet sich in der 4. Runde. 5. Begründung der Annahme: Ohne konstante Geschwindigkeiten ließen sich keine festen Terme für die zurückgelegten Wege aufstellen; die Überrundung könnte sonst zu jedem beliebigen Zeitpunkt oder gar nicht stattfinden.

a) Nach \(500\,\text{s}\). b) Sophie hat \(1900\,\text{m}\) zurückgelegt. c) Marie befindet sich in ihrer 4. Runde. Die Annahme ist notwendig, damit die zurückgelegte Strecke proportional zur Zeit berechnet werden kann (\(s = v \cdot t\)).

- Achte darauf, alle Zeitangaben in dieselbe Einheit (hier Stunden) umzurechnen, bevor du sie in die Formel einsetzt. - Wenn Julia später losfährt, ist sie kürzer unterwegs als Lukas. Wie drückst du ihre Fahrzeit aus, wenn \(t\) die Zeit von Lukas ist? - Was bedeutet „einholen“ mathematisch für die zurückgelegten Strecken der beiden? - Wie berechnet man die Ankunftszeit, wenn man die Entfernung und die Geschwindigkeit kennt?

1. Umrechnung der Zeitdifferenz: \(10\,\text{min} = \frac{1}{6}\,\text{h}\). 2. Aufstellen der Gleichung: Lukas legt in der Zeit \(t\) die Strecke \(12 \cdot t\) zurück. Julia startet \(\frac{1}{6}\,\text{h}\) später, ihr Weg ist \(18 \cdot (t - \frac{1}{6})\). Gleichung: \(12 \cdot t = 18 \cdot (t - \frac{1}{6})\). 3. Lösen der Gleichung: \(12 \cdot t = 18 \cdot t - 3 \Rightarrow 6 \cdot t = 3 \Rightarrow t = 0{,}5\,\text{h}\). 4. Berechnung der Zeit und Strecke: \(0{,}5\,\text{h}\) entsprechen \(30\,\text{min}\). Einholzeit: 15:30 Uhr. Entfernung: \(12\,\text{km/h} \cdot 0{,}5\,\text{h} = 6\,\text{km}\). 5. Überprüfung der Ankunft: Lukas benötigt für \(12\,\text{km}\) genau \(1\,\text{h}\) (\(12 : 12\)), Ankunft 16:00 Uhr. Julia benötigt \(\frac{12}{18} = \frac{2}{3}\,\text{h} = 40\,\text{min}\). Start 15:10 Uhr + \(40\,\text{min}\) = 15:50 Uhr. Beide sind spätestens um 16:00 Uhr am Ziel.

a) \(12 \cdot t = 18 \cdot (t - \frac{1}{6})\) b) Um 15:30 Uhr nach \(6\,\text{km}\). c) Ja, beide erreichen den See rechtzeitig (Julia um 15:50 Uhr und Lukas um 16:00 Uhr).

- Berechne zuerst, wie viel Zeit die gesamte Fahrt bei einer bestimmten Durchschnittsgeschwindigkeit dauern darf. - Wenn du die Gesamtzeit kennst, kannst du die Zeit für den Rückweg bestimmen. - Überlege bei Teilaufgabe c), was ein Ergebnis von \(t_2 = 0\) für die Geschwindigkeit bedeuten würde.

1. Durchschnittsgeschwindigkeit Hinfahrt: \(v_1 = \frac{20\,\text{km}}{0{,}5\,\text{h}} = 40\,\text{km/h}\). 2. Berechnung der benötigten Zeit für \(v_g = 50\,\text{km/h}\): \(v_g = \frac{s_{ges}}{t_{ges}} \Rightarrow 50 = \frac{40}{0{,}5 + t_2}\). Umstellen nach \(t_2\): \(0{,}5 + t_2 = \frac{40}{50} = 0{,}8\), also \(t_2 = 0{,}3\,\text{h}\). 3. Benötigte Geschwindigkeit Rückweg: \(v_2 = \frac{20\,\text{km}}{0{,}3\,\text{h}} = 66\frac{2}{3}\,\text{km/h} \approx 66{,}67\,\text{km/h}\). 4. Überprüfung für \(v_g = 80\,\text{km/h}\): \(80 = \frac{40}{0{,}5 + t_2} \Rightarrow 0{,}5 + t_2 = \frac{40}{80} = 0{,}5\). Dies bedeutet \(t_2 = 0\). Da eine Fahrtzeit von Null oder weniger physikalisch unmöglich ist (die Geschwindigkeit müsste unendlich groß sein), kann dieser Durchschnitt nicht erreicht werden.

a) \(v_1 = 40\,\text{km/h}\) b) \(v_2 = 66\frac{2}{3}\,\text{km/h} \approx 66{,}67\,\text{km/h}\) c) Nein, das ist nicht möglich, da die Zeit für die Hinfahrt allein schon so groß ist, dass die Gesamtzeit für \(80\,\text{km/h}\) bereits aufgebraucht wäre (\(t_2\) müsste \(0\) sein).

- Überlege zuerst, wie schnell Julia läuft, wenn sie \(50\,\%\) schneller als Max ist. - Bezeichne die Zeit bis zum Treffen mit \(t\). Welche Streckenterme ergeben sich für Max und Julia? - Beim Treffen müssen sich die beiden zurückgelegten Strecken zur Gesamtentfernung von \(18\,\text{km}\) ergänzen. - Vergleiche anschließend die beiden Teilstrecken und bilde ihre Differenz.

1. Berechnung von Julias Geschwindigkeit: \(v_J = 4\,\text{km/h} \cdot 1{,}5 = 6\,\text{km/h}\). 2. Sei \(t\) die Zeit bis zum Treffen in Stunden. Bis zum Treffen legen beide zusammen \(18\,\text{km}\) zurück. Daher gilt \(4 \cdot t + 6 \cdot t = 18\). 3. Lösen der Gleichung: \(10 \cdot t = 18 \Rightarrow t = 1{,}8\,\text{h}\). 4. Berechnung der Teilstrecken: \(s_M = 4\,\text{km/h} \cdot 1{,}8\,\text{h} = 7{,}2\,\text{km}\) und \(s_J = 6\,\text{km/h} \cdot 1{,}8\,\text{h} = 10{,}8\,\text{km}\). 5. Vergleich und Differenz: Julia hat die größere Strecke zurückgelegt. Der Unterschied beträgt \(10{,}8\,\text{km} - 7{,}2\,\text{km} = 3{,}6\,\text{km}\).

Julia hat eine größere Strecke zurückgelegt. Der Unterschied zwischen den beiden Teilstrecken beträgt \(3{,}6\,\text{km}\).

- Stelle für beide Personen einen Ausdruck für die zurückgelegte Strecke auf (Geschwindigkeit mal Zeit). - Verwende für Sarahs Geschwindigkeit das \(1{,}5\)-Fache von Lukas’ Geschwindigkeit \(v\). - Die Differenz der beiden Streckenausdrücke muss genau \(3\,\text{km}\) ergeben. - Für den letzten Teil setzt du Sarahs berechnete Geschwindigkeit in eine neue Zeitrechnung ein.

1. Zu Teil a): Lukas legt \(4v\) Kilometer zurück. Sarahs Geschwindigkeit beträgt \(1{,}5v\), ihre Strecke also \(2 \cdot 1{,}5v = 3v\). Da Lukas \(3\,\text{km}\) mehr zurücklegt, lautet die Gleichung \(4v = 3v + 3\). 2. Zu Teil b): Aus \(4v - 3v = 3\) folgt \(v = 3\). Lukas wandert mit \(3\,\text{km/h}\), Sarah mit \(1{,}5 \cdot 3 = 4{,}5\,\text{km/h}\). 3. Zu Teil c): In \(4\,\text{Stunden}\) würde Sarah \(4 \cdot 4{,}5 = 18\,\text{km}\) zurücklegen.

a) \(4v = 3v + 3\). b) Lukas wandert mit \(3\,\text{km/h}\), Sarah mit \(4{,}5\,\text{km/h}\). c) Sarah wäre \(18\,\text{km}\) weit gekommen.

- Wie viel Zeit verbringt die Gruppe tatsächlich mit Wandern, wenn man die Pause abzieht? - Stelle für den Hinweg und den Rückweg jeweils einen Ausdruck für die benötigte Zeit auf. - Welche Größe bleibt bei beiden Wegen gleich? Nutze diese als Unbekannte. - Wie hängen Geschwindigkeit, Weg und Zeit zusammen?

1. Bestimmung der reinen Gehzeit: Von der Gesamtzeit von \(6\) Stunden wird die Pausenzeit abgezogen: \(6\,\text{h} - 2\,\text{h} = 4\,\text{h}\). 2. Aufstellen der Gleichung: Sei \(s\) die Entfernung zur Hütte in Kilometern. Die Zeit für den Aufstieg ist \(t_{auf} = \frac{s}{3}\) und für den Abstieg \(t_{ab} = \frac{s}{5}\). Die Summe beider Zeiten muss der reinen Gehzeit entsprechen: \(\frac{s}{3} + \frac{s}{5} = 4\). 3. Lösen der Gleichung: Multiplikation mit dem Hauptnenner \(15\) ergibt \(5s + 3s = 60\). Dies führt zu \(8s = 60\). Durch Division ergibt sich \(s = 7{,}5\).

Die einfache Wegstrecke zur Hütte beträgt \(7{,}5\,\text{km}\).

- Kannst du die benötigte Zeit für den Hinweg und den Rückweg mithilfe einer Unbekannten ausdrücken? - Achte darauf, dass alle Zeitangaben in derselben Einheit (Stunden) stehen, bevor du sie in eine Gleichung einsetzt. - Wie hängen Geschwindigkeit, Weg und Zeit zusammen? - Kannst du den Rückweg in zwei separate Teilstrecken zerlegen?

1. Variable \(x\) für die gesuchte Strecke in \(\text{km}\) festlegen. 2. Zeit für den Hinweg als Term formulieren: \(t_1 = \frac{x}{15}\). 3. Zeit für den Rückweg aus zwei Teilen zusammensetzen: \(t_2 = \frac{0{,}5x}{15} + \frac{0{,}5x}{10}\). 4. Zeitdifferenz in Stunden umrechnen: \(12\,\text{min} = \frac{12}{60}\,\text{h} = 0{,}2\,\text{h}\). 5. Gleichung gemäß der Differenz aufstellen: \(t_2 - t_1 = 0{,}2\). 6. Gleichung vereinfachen: \(\frac{x}{30} + \frac{x}{20} - \frac{x}{15} = 0{,}2\). 7. Auf den Hauptnenner \(60\) bringen: \(\frac{2x + 3x - 4x}{60} = 0{,}2 \implies \frac{x}{60} = 0{,}2\). 8. Nach \(x\) auflösen: \(x = 0{,}2 \cdot 60 = 12\). Die Strecke beträgt \(12\,\text{km}\).

Die einfache Strecke ist \(12\,\text{km}\) lang.

- Wie viel Zeit verbringt das Schiff tatsächlich mit Fahren? - Überlege dir, wie schnell das Schiff auf dem Hinweg (mit der Strömung) und auf dem Rückweg (gegen die Strömung) ist. - Welche mathematische Beziehung besteht zwischen der Entfernung, der Geschwindigkeit und der benötigten Zeit?

1. Berechnung der reinen Fahrzeit durch Abzug der Pausenzeit von der Gesamtzeit: \(4\,\text{h} - 1\,\text{h} = 3\,\text{h}\). 2. Bestimmung der Geschwindigkeiten: flussabwärts \(15\,\text{km/h} + 3\,\text{km/h} = 18\,\text{km/h}\) und flussaufwärts \(15\,\text{km/h} - 3\,\text{km/h} = 12\,\text{km/h}\). 3. Aufstellen der Gleichung für die Entfernung \(d\): \(\frac{d}{18} + \frac{d}{12} = 3\). 4. Erweitern auf den Hauptnenner \(36\): \(\frac{2d}{36} + \frac{3d}{36} = 3\). 5. Lösen der Gleichung: \(\frac{5d}{36} = 3 \implies 5d = 108 \implies d = 21{,}6\).

Die Sehenswürdigkeit befindet sich in einer Entfernung von \(21{,}6\,\text{km}\).

- Was wissen wir über die Summe der Wege, die beide Fahrzeuge bis zum Zeitpunkt des Treffens zurückgelegt haben? - Wie hängen die Geschwindigkeiten der beiden Fahrzeuge zusammen? - Kannst du eine Variable für die unbekannte Geschwindigkeit eines Fahrzeugs wählen? - Überlege, wie man die Strecke berechnet, wenn Geschwindigkeit und Zeit bekannt sind.

1. Durchschnittsgeschwindigkeit des Lkw als \(v\) (in \(\text{km/h}\)) definieren; die Geschwindigkeit des Pkw ist dann \(v + 30\). 2. Die Summe der von beiden Fahrzeugen zurückgelegten Wege entspricht der Gesamtdistanz: \(3 \cdot v + 3 \cdot (v + 30) = 450\). 3. Gleichung vereinfachen und nach \(v\) auflösen: \(3v + 3v + 90 = 450 \Rightarrow 6v + 90 = 450 \Rightarrow 6v = 360 \Rightarrow v = 60\). 4. Geschwindigkeit des Lkw: \(60\,\text{km/h}\). 5. Geschwindigkeit des Pkw: \(60 + 30 = 90\,\text{km/h}\).

Der Lkw fährt mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von \(60\,\text{km/h}\) und der Pkw mit \(90\,\text{km/h}\).

- Wie lange ist Jan insgesamt gelaufen, wenn Tim erst später startet? - Was bedeutet „einholen“ für die zurückgelegten Strecken der beiden Läufer? - Versuche, die Gleichung so umzustellen, dass alle Terme mit der gesuchten Zeit auf einer Seite stehen.

1. Da Jan \(100\,\text{s}\) früher gestartet ist, beträgt seine Laufzeit \(t + 100\). Die Strecke berechnet sich aus Geschwindigkeit mal Zeit: \(s_J = v_J \cdot (t + 100)\). 2. Tims Laufzeit ist \(t\). Seine Strecke ist demnach: \(s_T = v_T \cdot t\). 3. Beim Einholen sind die zurückgelegten Strecken gleich: \(v_J \cdot (t + 100) = v_T \cdot t\). 4. Auflösen der Klammer: \(v_J \cdot t + 100 \cdot v_J = v_T \cdot t\). 5. Umstellen nach \(t\): \(100 \cdot v_J = v_T \cdot t - v_J \cdot t\). 6. Ausklammern von \(t\): \(100 \cdot v_J = t \cdot (v_T - v_J)\). 7. Ergebnis für die Zeit: \(t = \frac{100 \cdot v_J}{v_T - v_J}\).

a) \(s_J = v_J \cdot (t + 100)\) b) \(s_T = v_T \cdot t\) c) \(t = \frac{100 \cdot v_J}{v_T - v_J}\)

- Achte darauf, dass die Geschwindigkeiten in \(\text{km/h}\) angegeben sind, der Vorsprung aber in Metern. - Wie viele Meter legt Anna pro Minute mehr zurück als Ben? - Kannst du für beide Personen einen Term aufstellen, der die Entfernung vom Startpunkt nach einer bestimmten Zeit beschreibt? - Was passiert mit dem Abstand, wenn die vordere Person schneller ist als die hintere?

1. Umrechnung der Geschwindigkeiten von \(\text{km/h}\) in \(\text{m/min}\): \(12\,\text{km/h} = 12\,000\,\text{m} : 60\,\text{min} = 200\,\text{m/min}\) und \(9\,\text{km/h} = 9\,000\,\text{m} : 60\,\text{min} = 150\,\text{m/min}\). 2. Aufstellen einer Gleichung für die Zeit \(t\) in Minuten, nach der beide die gleiche Strecke vom Startpunkt aus zurückgelegt haben: \(200 \cdot t = 150 \cdot t + 400\). 3. Subtraktion von \(150 \cdot t\) auf beiden Seiten: \(50 \cdot t = 400\). 4. Division durch \(50\): \(t = 8\). 5. Anna holt Ben nach \(8\,\text{Minuten}\) ein. 6. Wenn die Geschwindigkeit des Verfolgten (\(13\,\text{km/h}\)) größer ist als die des Verfolgers (\(12\,\text{km/h}\)), vergrößert sich der Abstand zwischen beiden kontinuierlich, sodass ein Einholen mathematisch unmöglich ist.

a) Anna holt Ben nach \(8\,\text{Minuten}\) ein. b) Wenn Ben schneller läuft als Anna (\(13\,\text{km/h} > 12\,\text{km/h}\)), wird der Abstand zwischen ihnen mit der Zeit immer größer statt kleiner.

- Wenn sich zwei Objekte voneinander entfernen, wie berechnet man dann ihre gesamte Entfernung nach einer bestimmten Zeit? - Wie kannst du das Verhältnis der Geschwindigkeiten als mathematischen Ausdruck mit einer Variablen schreiben? - Kannst du berechnen, wie viele Kilometer die beiden Züge zusammen pro Stunde zurücklegen?

1. Festlegung der Variablen: Sei \(v\) die Geschwindigkeit des schnelleren Zuges in \(\text{km/h}\). Der langsamere Zug hat dann die Geschwindigkeit \(\frac{2}{3} \cdot v\). 2. Aufstellen der Gleichung für die Entfernung nach \(1{,}5\,\text{Stunden}\): \(1{,}5 \cdot v + 1{,}5 \cdot \frac{2}{3} \cdot v = 225\). 3. Vereinfachen der Gleichung: \(1{,}5 \cdot v + 1 \cdot v = 225\), also \(2{,}5 \cdot v = 225\). 4. Lösen der Gleichung nach \(v\): \(v = 225 : 2{,}5 = 90\). 5. Berechnung der zweiten Geschwindigkeit: \(\frac{2}{3} \cdot 90 = 60\). Die Geschwindigkeiten betragen \(90\,\text{km/h}\) und \(60\,\text{km/h}\).

Der schnellere Zug fährt mit \(90\,\text{km/h}\), der langsamere Zug mit \(60\,\text{km/h}\).

- Welche Strecke legt der erste Zug bereits zurück, bevor der zweite überhaupt startet? - Wie hängen die Geschwindigkeiten der beiden Züge zusammen? - Kannst du eine Gleichung aufstellen, in der die Summe der von beiden Zügen zurückgelegten Strecken der Gesamtentfernung entspricht? - Achte darauf, alle Zeitangaben in der gleichen Einheit (z. B. Stunden) zu verwenden, bevor du die Gleichung löst.

1. Definition der Variablen: Sei \(x\) die Zeit in Stunden, die der Personenzug bis zum Treffen fährt. 2. Bestimmung der Geschwindigkeiten: Geschwindigkeit des Güterzugs \(v_G = 60\,\text{km/h}\). Geschwindigkeit des Personenzugs \(v_P = 60\,\text{km/h} + 30\,\text{km/h} = 90\,\text{km/h}\). 3. Zeitdauer der Fahrt: Da der Güterzug \(30\,\text{Minuten}\) (\(0{,}5\,\text{Stunden}\)) früher startet, beträgt seine Fahrzeit bis zum Treffen \((x + 0{,}5)\,\text{Stunden}\). 4. Aufstellen der Gleichung für die gesamte Strecke: \(60 \cdot (x + 0{,}5) + 90 \cdot x = 180\). 5. Lösen der Gleichung: \(60x + 30 + 90x = 180 \implies 150x = 150 \implies x = 1\). 6. Umrechnung in Minuten: \(1\,\text{Stunde} = 60\,\text{Minuten}\).

Der Personenzug begegnet dem Güterzug \(60\,\text{Minuten}\) nach seiner Abfahrt.

- Überlege dir, wie lange jeder der beiden Wanderer unterwegs ist, wenn sie sich treffen. - Wenn Herr Schmidt \(t\) Stunden wandert, wie lange ist Frau Weber dann unterwegs, wenn sie 30 Minuten später startet? - Die Summe der von beiden zurückgelegten Strecken muss genau der Gesamtlänge des Weges entsprechen.

1. Aufstellen der Gleichung für die Zeit \(t\) in Stunden seit 14:00 Uhr: Herr Schmidts Weg ist \(4 \cdot t\), Frau Webers Weg ist \(6 \cdot (t - 0{,}5)\), da sie eine halbe Stunde später startet. 2. Die Summe der Wege ergibt die Gesamtstrecke: \(4 \cdot t + 6 \cdot (t - 0{,}5) = 17\). 3. Lösen der Gleichung: \(4 \cdot t + 6 \cdot t - 3 = 17 \implies 10 \cdot t = 20 \implies t = 2\). 4. Bestimmung der Uhrzeit: 14:00 Uhr + 2 Stunden = 16:00 Uhr. 5. Berechnung der Entfernung von Schmidts Startpunkt: \(s = 4\,\text{km/h} \cdot 2\,\text{h} = 8\,\text{km}\).

a) Sie treffen sich um 16:00 Uhr. b) Das Treffen findet \(8\,\text{km}\) von Herrn Schmidts Startpunkt entfernt statt.

- Wie lange ist Lukas insgesamt unterwegs, bis Jan ihn einholt? - Welche Strecke legt Lukas in dieser Zeit zurück? - Jan muss dieselbe Strecke in viel kürzerer Zeit zurücklegen. Wie schnell muss er dafür sein? - Überlege, wie schnell ein Mensch normalerweise rennen kann.

1. Lukas ist bis zum Einholen insgesamt \(12\,\text{min} + 2\,\text{min} = 14\,\text{min}\) unterwegs. 2. Umrechnung: \(14\,\text{min} = \frac{14}{60}\,\text{h}\). 3. Von Lukas zurückgelegte Strecke: \(s = 5\,\text{km/h} \cdot \frac{14}{60}\,\text{h} = \frac{7}{6}\,\text{km}\). 4. Jan hat dafür nur \(2\,\text{min} = \frac{1}{30}\,\text{h}\) Zeit. 5. Benötigte Geschwindigkeit: \(v_J = \frac{7}{6}\,\text{km} : \frac{1}{30}\,\text{h} = 35\,\text{km/h}\). 6. Bewertung: Eine Geschwindigkeit von \(35\,\text{km/h}\) über mehr als einen Kilometer ist für einen Schüler unrealistisch.

Die Situation ist unrealistisch. Um Lukas nach seinem Vorsprung in nur \(2\,\text{Minuten}\) einzuholen, müsste Jan eine Geschwindigkeit von \(35\,\text{km/h}\) erreichen. Das entspricht fast dem Tempo von Profi-Sprintern und ist für einen normalen Schüler über diese Distanz nicht machbar.

- Drücke die Zeiten für beide Teilstrecken mithilfe der Variablen für die Geschwindigkeit aus. - Addiere die Brüche für die Zeit, indem du den gemeinsamen Nenner nutzt. - Nutze die Definition der Durchschnittsgeschwindigkeit (Gesamtweg durch Gesamtzeit) und vereinfache den Doppelbruch.

1. Aufstellen der Zeit-Terme: \(t_1 = \frac{12}{v_1}\) und \(t_2 = \frac{12}{1{,}5 \cdot v_1} = \frac{8}{v_1}\). 2. Gesamtdauer: \(t_{ges} = t_1 + t_2 = \frac{12}{v_1} + \frac{8}{v_1} = \frac{20}{v_1}\). 3. Herleitung von \(v_g\): \(v_g = \frac{s_{ges}}{t_{ges}} = \frac{24}{\frac{20}{v_1}} = \frac{24 \cdot v_1}{20} = 1{,}2 \cdot v_1\). 4. Berechnung von \(v_1\): \(54 = 1{,}2 \cdot v_1 \Rightarrow v_1 = \frac{54}{1{,}2} = 45\,\text{km/h}\).

a) \(t_{ges} = \frac{20}{v_1}\) b) Durch Einsetzen in \(v_g = \frac{s_{ges}}{t_{ges}}\) erhält man \(v_g = \frac{24}{20/v_1} = 1{,}2 \cdot v_1\). c) \(v_1 = 45\,\text{km/h}\)

- Rechne die \(42\) Minuten zunächst in Stunden um. - Wenn \(t\) die Fahrzeit des Traktors ist, wie lange ist der später gestartete Lkw unterwegs? - Beim Einholen haben beide Fahrzeuge vom Hof aus dieselbe Strecke zurückgelegt. Setze deshalb ihre Streckenterme gleich. - Bestimme aus der Lösung zuerst die Uhrzeit und anschließend die Entfernung vom Hof.

1. Umrechnung der Zeitdifferenz: \(42\,\text{min} = (42 : 60)\,\text{h} = 0{,}7\,\text{h}\). 2. Sei \(t\) die Fahrzeit des Traktors bis zum Einholen in Stunden. Der Lkw ist dann \(t - 0{,}7\) Stunden unterwegs. 3. Beim Einholen haben beide Fahrzeuge dieselbe Strecke zurückgelegt. Daher gilt \(25 \cdot t = 60 \cdot (t - 0{,}7)\). 4. Lösen der Gleichung: \(25 \cdot t = 60 \cdot t - 42 \Rightarrow 35 \cdot t = 42 \Rightarrow t = 1{,}2\,\text{h}\). 5. \(1{,}2\,\text{h}\) entsprechen \(1\,\text{h}\,12\,\text{min}\). Der Lkw holt den Traktor daher um 08:12 Uhr ein. 6. Entfernung vom Hof: \(s = 25\,\text{km/h} \cdot 1{,}2\,\text{h} = 30\,\text{km}\).

Der Lkw holt den Traktor um 08:12 Uhr in einer Entfernung von \(30\,\text{km}\) vom Hof ein.

- Wie viel Prozent der Strecke werden mit der reduzierten Geschwindigkeit gefahren? - Wandle die Verspätung von Minuten in Stunden um, damit sie zu den Geschwindigkeitsangaben in km/h passt. - Stelle einen Term für die normale Fahrzeit und einen Term für die Fahrzeit mit Baustelle auf. - Was bedeutet „Verspätung“ mathematisch für den Vergleich der beiden Zeiten?

1. Variable \(d\) für die Gesamtlänge in \(\text{km}\) festlegen. 2. Planmäßige Fahrzeit: \(t_{\text{plan}} = \frac{d}{120}\). 3. Tatsächliche Fahrzeit mit Baustelle: \(t_{\text{ist}} = \frac{0{,}6d}{120} + \frac{0{,}4d}{80}\). 4. Verspätung in Stunden umrechnen: \(15\,\text{min} = 0{,}25\,\text{h}\). 5. Lineare Gleichung aufstellen: \(t_{\text{ist}} - t_{\text{plan}} = 0{,}25\). 6. Terme zusammenfassen: \(\frac{0{,}6d - d}{120} + \frac{0{,}4d}{80} = 0{,}25 \implies \frac{-0{,}4d}{120} + \frac{0{,}4d}{80} = 0{,}25\). 7. Auf gemeinsamen Nenner \(240\) bringen: \(\frac{-0{,}8d + 1{,}2d}{240} = 0{,}25 \implies \frac{0{,}4d}{240} = 0{,}25\). 8. Nach \(d\) auflösen: \(0{,}4d = 60 \implies d = 150\). Die Strecke ist \(150\,\text{km}\) lang.

Die Bahnstrecke ist \(150\,\text{km}\) lang.

- In Teil a musst du zwei Ausdrücke für die Zeit voneinander subtrahieren. - Überlege in Teil b, ob man bei einer doppelt so langen Reise auch doppelt so viel Zeit „verliert“ oder „gewinnt“. - Vergiss in Teil c nicht, die \(15\,\text{Minuten}\) in Stunden umzurechnen, bevor du sie in die Gleichung einsetzt. - Welche Zahl ist als gemeinsamer Nenner für \(60\) und \(80\) gut geeignet?

1. Aufstellen der Terme für die Fahrzeiten: \(t_{\text{Lkw}} = \frac{s}{v}\) und \(t_{\text{Motorrad}} = \frac{s}{v + 20}\). 2. Differenz bilden für Teil a: \(\Delta t = \frac{s}{v} - \frac{s}{v + 20}\). 3. Begründung für Teil b: Da die Zeit für eine Strecke direkt proportional zur Streckenlänge ist (\(t = \frac{s}{v}\)), verdoppeln sich bei doppelter Strecke beide Einzelzeiten. Damit verdoppelt sich auch ihre Differenz \(\Delta t\). 4. Berechnung für Teil c: Gegeben sind \(v = 60\,\text{km/h}\), also \(v + 20 = 80\,\text{km/h}\) und \(\Delta t = 15\,\text{min} = 0{,}25\,\text{h}\). 5. Gleichung aufstellen: \(\frac{s}{60} - \frac{s}{80} = 0{,}25\). 6. Hauptnenner bilden (\(240\)): \(\frac{4 \cdot s}{240} - \frac{3 \cdot s}{240} = 0{,}25 \implies \frac{s}{240} = 0{,}25\). 7. Ergebnis berechnen: \(s = 0{,}25 \cdot 240 = 60\). Die Entfernung beträgt \(60\,\text{km}\).

a) \(\Delta t = \frac{s}{v} - \frac{s}{v + 20}\) b) Der Zeitunterschied verdoppelt sich. c) Die Entfernung beträgt \(60\,\text{km}\).

- Wandle die Zeitangabe in Minuten zuerst in Stunden um, damit sie zu den Geschwindigkeiten passt. - Was wissen wir über die zurückgelegten Strecken beider Läufer zum Zeitpunkt des Einholens? - Überlege für Aufgabenteil b), wie viel Zeit Jan insgesamt zur Verfügung hat, wenn Tim nach \(6\,\text{km}\) eingeholt werden soll.

1. Zeitvorsprung in Stunden umrechnen: \(12\,\text{min} = \frac{12}{60}\,\text{h} = 0{,}2\,\text{h}\). 2. Gleichung für die Laufzeit \(t\) von Jan aufstellen: \(12 \cdot t = 10 \cdot (t + 0{,}2)\). 3. Lösung der Gleichung: \(12t = 10t + 2 \implies 2t = 2 \implies t = 1\,\text{h}\). 4. Für Teil b) Tims benötigte Zeit bis Kilometer \(6\) berechnen: \(t = 6\,\text{km} : 10\,\text{km/h} = 0{,}6\,\text{h}\). 5. Jan hat \(12\,\text{Minuten}\) weniger Zeit: \(0{,}6\,\text{h} - 0{,}2\,\text{h} = 0{,}4\,\text{h}\). 6. Notwendige Geschwindigkeit für Jan: \(v = 6\,\text{km} : 0{,}4\,\text{h} = 15\,\text{km/h}\).

a) Jan holt Tim \(1\,\text{Stunde}\) nach seinem eigenen Start ein. b) Jan müsste mit einer Geschwindigkeit von \(15\,\text{km/h}\) laufen.

- Wie groß ist der zeitliche Vorsprung von Gruppe A in Stunden ausgedrückt? - Stelle eine Gleichung auf, in der die zurückgelegten Wege beider Gruppen gleichgesetzt werden. - Überlege für den letzten Teil, ob die berechnete Entfernung des Treffpunkts kleiner oder größer als die Entfernung zur Hütte ist.

1. Zeitdifferenz zwischen den Starts berechnen: \(10:00\,\text{Uhr} - 8:30\,\text{Uhr} = 1{,}5\,\text{h}\). 2. Gleichung aufstellen, wobei \(t\) die Wanderzeit von Gruppe B ist: \(3 \cdot (t + 1{,}5) = 5 \cdot t\). 3. Gleichung lösen: \(3t + 4{,}5 = 5t \implies 2t = 4{,}5 \implies t = 2{,}25\,\text{h}\). 4. Zeitpunkt bestimmen: \(10:00\,\text{Uhr} + 2\,\text{h}\) und \(0{,}25 \cdot 60\,\text{min} = 15\,\text{min} \implies 12:15\,\text{Uhr}\). 5. Entfernung berechnen: \(5\,\text{km/h} \cdot 2{,}25\,\text{h} = 11{,}25\,\text{km}\). 6. Vergleich für Aufgabenteil c: Da \(11{,}25\,\text{km} < 12\,\text{km}\), erfolgt das Einholen vor Erreichen der Hütte.

a) Gruppe B holt Gruppe A um \(12:15\,\text{Uhr}\) ein. b) Das Treffen findet nach \(11{,}25\,\text{km}\) statt. c) Ja, da \(11{,}25\,\text{km} < 12\,\text{km}\), findet das Treffen vor der Hütte statt.

- Die Entfernung zwischen den beiden Anlegestellen bleibt in beide Richtungen gleich. - Wie kannst du die Entfernung mithilfe der Zeit und der (unbekannten) Gesamtgeschwindigkeit ausdrücken? - Setze ein Symbol für die Geschwindigkeit der Strömung ein. - Erstelle eine Gleichung, in der du die Ausdrücke für die Hin- und Rückfahrt gleichsetzt.

1. Definition der Unbekannten \(x\) als Strömungsgeschwindigkeit in \(\text{km/h}\). 2. Aufstellen der Terme für die Geschwindigkeit: flussabwärts \((20 + x)\,\text{km/h}\) und flussaufwärts \((20 - x)\,\text{km/h}\). 3. Aufstellen der Gleichung für die konstante Strecke \(s = v \cdot t\): \(3 \cdot (20 + x) = 5 \cdot (20 - x)\). 4. Lösen der Gleichung durch Ausmultiplizieren: \(60 + 3x = 100 - 5x\). 5. Zusammenfassen der Terme: \(8x = 40\). 6. Division ergibt die Strömungsgeschwindigkeit: \(x = 5\).

Die Geschwindigkeit der Strömung beträgt \(5\,\text{km/h}\).

- Wie viel Weg legen beide Gruppen zusammen in einer Stunde zurück? - Wenn eine Gruppe später startet, hat die andere Gruppe in dieser Zeit schon eine gewisse Distanz überwunden. Wie beeinflusst das die restliche Strecke? - Überlege für die Begründung, wie sich der Abstand zwischen den Gruppen verändert, während nur eine Gruppe wandert.

1. Teil a: Aufstellen der Gleichung \(4x + 5x = 18 \implies 9x = 18 \implies x = 2\). Die Treffzeit beträgt \(2\,\text{Stunden}\). 2. Teil b: Umrechnung der Zeitverzögerung: \(45\,\text{min} = 0{,}75\,\text{h}\). 3. Aufstellen der Gleichung für Teil b: Sei \(y\) die Zeit für Gruppe B. Gruppe A läuft \(y + 0{,}75\) Stunden. Gleichung: \(4 \cdot (y + 0{,}75) + 5y = 18\). 4. Lösen der Gleichung: \(4y + 3 + 5y = 18 \implies 9y = 15 \implies y = \frac{15}{9} = \frac{5}{3}\,\text{Stunden}\). 5. Umrechnung in Minuten: \(\frac{5}{3} \cdot 60 = 100\,\text{Minuten}\). 6. Teil c: Da Gruppe A bereits einen Teil der Strecke zurückgelegt hat, bevor Gruppe B startet, ist die verbleibende Distanz zwischen den Gruppen zum Startzeitpunkt von Gruppe B kleiner als \(18\,\text{km}\). Da sie sich weiterhin mit der gleichen kombinierten Geschwindigkeit annähern, verkürzt sich die Zeit, in der sich beide gleichzeitig bewegen.

a) Sie treffen sich nach \(2\,\text{Stunden}\). b) Gruppe B wandert \(100\,\text{Minuten}\) bis zum Treffen. c) Gruppe A verringert bereits den Abstand, bevor Gruppe B startet. Damit ist die Distanz, die beide gemeinsam überwinden müssen, kleiner als zu Beginn.

- Stelle für beide Personen eine Formel für die Zeit bis zum Treffpunkt auf. - Beachte, dass eine Person eine Pause macht und eine zusätzliche Teilstrecke zurücklegt. - Wandle alle Zeitangaben in die gleiche Einheit (Stunden) um, damit sie zur Geschwindigkeit in km/h passen. - Welche Strecke hat die langsamere Person zum Zeitpunkt des Treffens zurückgelegt, wenn sie noch nicht am Ziel angekommen ist?

1. Sei \(s\) die gesuchte Entfernung in \(\text{km}\). 2. Berechnung der Zeit, die Anton bis zum Treffpunkt benötigt: Für den Hinweg braucht er \(\frac{s}{6}\,\text{h}\), dazu kommen \(10\,\text{Minuten} = \frac{1}{6}\,\text{h}\) Pause und für die \(2\,\text{km}\) Rückweg \(\frac{2}{6}\,\text{h}\). Gesamtzeit: \(t_A = \frac{s}{6} + \frac{1}{6} + \frac{2}{6} = \frac{s+3}{6}\,\text{h}\). 3. Berechnung der Zeit für Bernd bis zum Treffpunkt: Da er \(2\,\text{km}\) vor dem See ist, hat er \(s - 2\,\text{km}\) zurückgelegt. Zeit: \(t_B = \frac{s-2}{4}\,\text{h}\). 4. Da beide zur gleichen Zeit starten und sich treffen, gilt \(t_A = t_B\): \(\frac{s+3}{6} = \frac{s-2}{4}\). 5. Lösen der Gleichung durch Multiplikation über Kreuz: \(4 \cdot (s+3) = 6 \cdot (s-2) \Rightarrow 4s + 12 = 6s - 12 \Rightarrow 24 = 2s \Rightarrow s = 12\). 6. Die Entfernung zwischen Dorf und See beträgt \(12\,\text{km}\).

Die Entfernung vom Dorf zum See beträgt \(12\,\text{km}\).

- Wie hängen die Geschwindigkeit des Läufers und die Gesamtdistanz zusammen, wenn er genau eine Stunde braucht? - Bestimme die Entfernung, die jede Person bis zum Treffpunkt zurückgelegt hat. - Drücke die Zeit bis zum Treffen in Stunden aus. - Kannst du eine Gleichung aufstellen, die nur noch die Entfernung als Unbekannte enthält?

1. Sei \(s\) die Entfernung PQ in \(\text{km}\) und \(v_L\) die Geschwindigkeit des Läufers in \(\text{km/h}\). 2. Da der Läufer \(1\,\text{Stunde}\) für die Strecke \(s\) braucht, gilt \(v_L = \frac{s}{1} = s\). 3. Zum Zeitpunkt des Treffens nach \(40\,\text{Minuten} = \frac{2}{3}\,\text{h}\) hat der Läufer die Strecke \(s - 2\,\text{km}\) zurückgelegt. Es gilt: \(s - 2 = v_L \cdot \frac{2}{3}\). 4. Einsetzen von \(v_L = s\) ergibt: \(s - 2 = \frac{2}{3}s\). Daraus folgt \(\frac{1}{3}s = 2\), also \(s = 6\,\text{km}\). 5. Die Geschwindigkeit des Läufers ist somit \(v_L = 6\,\text{km/h}\). 6. Der Radfahrer hat in \(\frac{2}{3}\,\text{h}\) die Strecke \(s + 2 = 6 + 2 = 8\,\text{km}\) zurückgelegt. 7. Seine Geschwindigkeit beträgt \(v_R = 8 : \frac{2}{3} = 12\,\text{km/h}\).

Die Entfernung zwischen P und Q beträgt \(6\,\text{km}\). Die Geschwindigkeit des Läufers beträgt \(6\,\text{km/h}\) und die des Radfahrers \(12\,\text{km/h}\).

- Überlege dir zuerst, wie viel länger ein Schritt von Anton im Vergleich zu einem Schritt von Bernd ist. - Kannst du ausdrücken, wie weit Anton in der Zeit kommt, in der Bernd genau 5 seiner Schritte macht? - Stelle ein Verhältnis zwischen den Geschwindigkeiten der beiden Läufer auf. - Wenn Anton Bernd einholt, hat er seinen Vorsprung von \(100\,\text{m}\) durch seine höhere Geschwindigkeit wettgemacht.

1. Bestimmung des Verhältnisses der Schrittlängen: Da 3 Schritte von Anton (\(s_A\)) so lang sind wie 4 Schritte von Bernd (\(s_B\)), gilt \(3 \cdot s_A = 4 \cdot s_B\), also \(s_A = \frac{4}{3} \cdot s_B\). 2. Vergleich der Geschwindigkeiten: Die Geschwindigkeit ist proportional zum Produkt aus Schrittfrequenz und Schrittlänge. In einem festen Zeitraum gilt \(v_A : v_B = (4 \cdot s_A) : (5 \cdot s_B)\). 3. Einsetzen des Schrittlängenverhältnisses: \(v_A : v_B = (4 \cdot \frac{4}{3} \cdot s_B) : (5 \cdot s_B) = \frac{16}{3} : 5 = 16 : 15\). Somit ist \(v_A = \frac{16}{15} \cdot v_B\). 4. Aufstellen der Gleichung für die Strecke \(x\), die Bernd noch zurücklegt: Da die Zeit bis zum Einholen für beide gleich ist, gilt \(\frac{100 + x}{v_A} = \frac{x}{v_B}\). 5. Einsetzen des Geschwindigkeitsverhältnisses und Lösen: \(\frac{100 + x}{\frac{16}{15} \cdot v_B} = \frac{x}{v_B} \implies 100 + x = \frac{16}{15} \cdot x \implies 100 = \frac{1}{15} \cdot x \implies x = 1\,500\).

Bernd muss noch \(1\,500\,\text{m}\), also \(1{,}5\,\text{km}\), laufen.

- Stell dir vor, du würdest in einem Boot sitzen, das in einem See ohne Strömung fährt. Wie lange bräuchtest du für den Rückweg? - Überlege, wie sich die Strömung auf die Geschwindigkeit des Bootes und des Fenders auswirkt, wenn man sie vom Ufer aus betrachtet. - Wie viel Zeit vergeht insgesamt, bis der Fender wieder beim Boot ist? - Welche Strecke hat der Fender in dieser Gesamtzeit relativ zum Ufer zurückgelegt?

1. Betrachtung im Bezugssystem des fließenden Wassers: Da sich das Boot relativ zum Wasser mit konstanter Geschwindigkeit bewegt und der Fender im Wasser ruht, benötigt das Boot für den Rückweg zum Fender genau dieselbe Zeit wie für den Hinweg, also \(15\) Minuten. 2. Berechnung der Gesamtzeit: Die Zeitspanne vom Verlust des Fenders bis zum Einholen beträgt \(15\,\text{min} + 15\,\text{min} = 30\,\text{min}\). Umgerechnet in Stunden ergibt dies \(0{,}5\,\text{h}\). 3. Bestimmung der Fließgeschwindigkeit: Der Fender legt im Bezugssystem des Ufers in dieser Zeit die Strecke zwischen den Brücken zurück (\(1{,}2\,\text{km}\)). Da er mit der Strömung treibt, entspricht seine Geschwindigkeit der Fließgeschwindigkeit \(v_F\). 4. Berechnung: \(v_F = \frac{s}{t} = \frac{1{,}2\,\text{km}}{0{,}5\,\text{h}} = 2{,}4\,\text{km/h}\).

Die Fließgeschwindigkeit des Flusses beträgt \(2{,}4\,\text{km/h}\).